TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIERÍA ,UNI PERÚ- MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts)
CODEX
ALGEBRA LINEAL
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 4118-17 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN ABRIL , 2017 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL SIN FINES DE LUCRO
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO El presente trabajo “CODEX ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
VOL.II”, En su primera
edición contiene básicamente los temas:
ESPACIOS VECTORIALES Y PRODUCTO INTERIOR, son temas que se desarrollan en el segundo parcial en el Curso de Algebra Lineal en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
DEDICATORIA “A LA PERSONA MAS IMPORTANTE EN LA VIDA DE CADA PERSONA, A TI MAMÁ”
“TAMBIÉN A ESE SER QUE TE DA INSPIRACIÓN COMO CADA POETA NECESITA SU MUSA UN MATEMÁTICO NECESITA DE SU FACTOR
INTEGRANTE DE VIDA (INSPIRACIÓN)” JOSE PAYE CHIPANA
Nuestro vector posición es de n variables por tantas cosas que compartimos, cada detalle que tiene tus gestos tu forma de ser he podido asignar valores a cada detalle tuyo tal vez es porque en una ecuación queda más historia que en una simple palabra y lo más importante siempre le encuentras algo gracioso a todo sin duda te puedo decir que hoy eres el factor integrante que modela la ecuación de mis sentimientos pensé que no hay matemáticas avanzadas para describir esto pero creo que nunca fue un problema si no que estaba equivocado buscado relaciones en conjuntos equivocados al final solo quiero decirte que cada vez que estemos frente a frente veo y me demuestro que eres única: inteligente, divertida y bonita, eres el mejor teorema de la vida que me demuestra que existe el amor y que nuestros sentimientos demuestran la ecuación Dirac, mi matemática favorita eres tú por las soluciones complejas que le das a mi vida.
D
+ m) ψ = 0
si dos sistemas interaccionan entre ellos durante
“
cierto periodo de tiempo y luego se separan, podemos describirlos como dos sistemas distintos, pero de una forma sutil se vuelv en un sistema único. ”
Somos un sistema único tú y yo, creo que este sistema permite que te hable de este modo la mejor regla de la cadena es la que formamos cuando te tomo de la mano y de esta manera somos la mejor función composición y podemos decir que tú y yo formamos una relación de equivalencia por siempre, sabes no soy perfecto pero sé que puedes calcular mi intervalo de confianza y comprenderás mi error espero estar en el rango establecido tuyo mi amada
BELEN ALEJANDRA REAS QUISPE gracias por
apoyarme en lo que más me gusta y de esta manera te dedico esta publicación. Atentamente, JOSE PAYE CHIPANA Un punto en este mundo de infinitas variables “cuando te vi se
cumplió el teorema del valor medio al sonreír contigo”JP
JOSE PAYE CHIPANA
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3er Capítulo
ESPACIO VECTORIAL Es un conjunto infinito “V” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, siendo su Estructura V , ,
¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL? Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores V u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,.......u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k3 , ,.......k n
5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 V
Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma: u1 u 2 u 2 u1 Axioma (3). Asociatividad Para La Suma: u1 u2 u3 u1 u2 u3
Axioma (4). Existencia Del Neutro “ ” Aditivo: u1 u1
Axioma (5). Existencia Del Inverso “ u 1 ” Aditivo: u1 u 1
5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (6). Clausura Para El Producto: k u1 V Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De Vectores: k u1 u 2 k u1 k u 2 Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De Escalares:
k1 k 2 u1 k1 u1 k 2 u1 Axioma (9). Asociatividad Del Producto: k1 k 2 u1 k1 k 2 u1
Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “ k * ”: k * u1 u1 k * 1 1
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
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EJEMPLOS (MODELOS A SEGUIR) Ejemplo (1) a b a Determine si el conjunto de matrices de la forma , con la edición a b b matricial y la multiplicación por un escalar es un espacio vectorial.
Solución: Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores V u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,.......u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k 3 , ,.......k n Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son matrices (para este tipo de demostraciones suficiente con tres vectores) a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a1 u1 u2 u 3 a b b1 b2 b3 a1 b1 a2 b2 3 3
5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 V Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar a1 b1 a2 a2 b2 a1 a2 a1 a1 b1 b1 a2 b2 b2 a1 b1 a 2 b2
a1 b1 a 2 b2
También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
b1 b2
Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma: u1 u 2 u 2 u1 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad a1 b1 a2 a2 b2 a2 a2 b2 a1 a1 b1 a1 a b a b a b a b b b b b1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 a1 a2 a b a b 2 2 1 1
a1 b1 a 2 b2 a2 a1 a b a b b1 b2 1 1 2 2
a2 b2 a1 b1 b2 b1
Se cumple la igualdad es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
2
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Axioma (3). Asociatividad Para La Suma: u1 u 2 u3 u1 u 2 u3 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad
a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a1 a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a1 a b b1 a2 b2 b2 a3 b3 b3 a1 b1 b1 a2 b2 b2 a3 b3 b3 1 1 a1 b1 a2 a3 a1 a b 2 a 3 b3 b1 a 2 b 1 1
a1 a2 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
a 2 b2 a3 b3 b2 b3
a1 a 2 a1 b1 a 2 b2
a1 a2 a3 b1 b2 b3 b1 b2
a1 b1 a 2 b2 a 3
a1 a2 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
b3
b1 b2
a 3 b3
a 3 b3 b3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 b1 b2
b3
Se cumple la igualdad es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (4). Existencia Del Neutro “ ” Aditivo: u1
u1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar el Neutro “ ” c c a1 b1 c1 c2 a1 a1 b1 a Si 1 2 1 c c a b c c a b b b1 1 3 4 1 1 3 4 1 1 a1 b1 c2 a1 a1 b1 a1 c1 a b c b1 c4 a1 b1 b1 1 1 3 Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales a1 c1 a1 c1 0 a1 b1 c2 a1 b1 c2 0 0 0 a b c a b c 0 0 0 1 1 3 1 1 3 b1 c4 b1 c4 0 Se cumple ya que existe neutro de 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (5). Existencia Del Inverso “ u 1 ” Aditivo: u1 u 1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar Inverso “ u 1 ” Aditivo a1 b1 u1 u 2 0 0 u1 u 2 a1 u 1 b1 u3 u 4 0 0 u3 u 4 a1 b1 a1 b1 u 2 0 0 a1 u1 a b u b1 u4 0 0 1 1 3 Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales a1 u1 0 c1 a1 a1 b1 u 2 0 c2 a1 b1 a1 b1 a1 1 u a1 b1 u3 0 c3 a1 b1 b1 a1 b1 b1 u 4 0 c4 b1 Se cumple ya que existe inverso de 2x2 de la misma forma por tanto verifica 3
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5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (6). Clausura Para El Producto: k u1 V Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar a1 b1 ka1 ka1 kb1 a1 k b1 ka1 kb1 kb1 a1 b1 También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De Vectores:
k u u
k u k u
1 2 1 2 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar a1 a1 b1 a2 a2 b2 a1 b1 a2 b2 a1 a2 k a b k a b k a b a b b b b b2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1
ka1 ka2 ka kb 2 kb2 1 1 ka
ka1 kb 1 ka 2 kb2 kb1 kb2
ka1 ka2 ka1 kb 1 ka 2 kb2 ka kb 2 kb2 kb1 kb2 1 1 ka También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De Escalares:
k1 k 2 u1 k1 u1 k 2 u1 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar a1 b1 a1 b1 a1 b1 a1 a1 a1 1 2 k1 k2 a1 b1 b1 k a1 b1 b1 k a1 b1 b1
k1 k 2 a1 k1 k 2 a1 k1 k2 b1 k1 k2 a1 k1 k2 a1 k1 k 2 b1 k k a k k b k k a k k b k k b k1 k 2 b1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica
Axioma (9). Asociatividad Del Producto: k1 k 2 u1 k1 k 2 u1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar a1 a1 b1 a1 b1 a k1 k 2 1 k1 k 2 a b a b b b1 1 1 1 1 1
k1 k 2 a1 k1 k 2 a1 k1 k 2 b1 k1 k 2 a1 k1 k 2 a1 k1 k 2 b1 k1 k 2 a1 k1 k 2 b1 k1 k 2 b1 k1 k 2 b1 k1 k 2 a1 k1 k 2 b1 También es 2x2 de la misma forma por tanto verifica 4
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*
*
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Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “ k ”: k u1
u1 k 1 *
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar a1 b1 a1 a1 b1 a1 k* a b a b b b1 1 1 1 1 1 k *a1 a1 b1 k *a1 k *b1 a1 * a b * * b1 k b1 1 1 k a1 k b1 Dos matrices son iguales si sus componentes son iguales k *a1 a1 *
k a1 b1 a1 b1 k * 1 k * a1 b1 a1 b1 k *b1 b1
Se cumple ya que existe neutro multiplicativo y verifica la unidad a a b Por tanto, las matrices de la forma , forman espacio vectorial. a b b
Ejemplo (2) Determine si el conjunto de números reales positivos forme un espacio vectorial con las operaciones suma: x y xy y la multiplicación por un escalar con la operación x x
Solución: Debe cumplir con 10 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores V u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,.......u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k3 , ,.......k n Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son los reales positivos (para este tipo de demostraciones suficiente con tres vectores)
u1
x u 2 y u3 z 5 AXIOMAS PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 V Remplazamos nuestros vectores en el axioma x y yverificar xy Si dos números reales positivos su suma también es un numero positivo como también su producto por tanto verifica 5
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Axioma (2). Conmutatividad Para La Suma: u1 u 2 u 2 u1 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad x y yx xy yx
Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (3). Asociatividad Para La Suma: u1 u 2 u3 u1 u 2 u3 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar la igualdad
x y z x y z x yz xy z xyz xyz
Se cumple la igualdad por tanto verifica
Axioma (4). Existencia Del Neutro “ ” Aditivo: u1
u1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar el Neutro “ ”
Si c x c x
cx x c 1 1
Se cumple ya que existe neutro forma por tanto verifica 1
Axioma (5). Existencia Del Inverso “ u ” Aditivo: u1 u 1
1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y se debe hallar Inverso “ u ” Aditivo u 1 x 1 x
1
1
x
u 1
1
x
Se cumple ya que existe inverso por tanto verifica 5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (6). Clausura Para El Producto: k u1 V Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar kx x k sea x x Es R Con: sea 0 x 0 1 Es R 1 sea x x Es R Se cumple por tanto verifica
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Axioma (7). Distributividad Del Producto Por Un Escalar Respecto A La Suma De Vectores: Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k u1 u 2 k u1 k u 2
k x y kx ky
xyk kx ky x k y k kx ky
kx ky kx ky Aplicando la condición de problema kx ky kx ky Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (8). Distributividad Del Producto De Un Vector Respecto A La Suma De Escalares:
k1 k 2 u1 k1 u1 k 2 u1 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar k1 k 2 x k1 x k 2 x
x k1 k2 k1 x k 2 x x k1 x k2 k1 x k 2 x Aplicando la condición de problema
k1 x k 2 x k1 x k 2 x Se cumple la igualdad por tanto verifica Axioma (9). Asociatividad Del Producto: k1 k 2 u1 k1 k 2 u1 Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k1 k 2 x k1 k 2 x x k k k1 x k 1
2
x k
1
2
k 2
x k k 1
x k
2
x k k
2
1
k1
2
Se cumple la igualdad por tanto verifica *
* Axioma (10). Existencia Del Neutro Para el Producto “ k ”: k u1
u1 k * 1
Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar k *x x *
xk x *
k
1
Se cumple ya que existe neutro multiplicativo y verifica la unidad Por tanto el conjunto de números reales positivos forman un espacio vectorial con las operaciones suma: x y xy y la multiplicación por un escalar con la operación x x 7
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SUB ESPACIOS VECTORIALES Es un conjunto “S” no vacío donde sus objetos son llamados vectores sobre los que se definen las operaciones de adición y producto por un escalar, siendo su Estructura V ,,
¿CUANDO ES UN ESPACIO VECTORIAL? Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores S u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k3 , ,.......k n UN SUB ESPACIO VECTORIAL ES SUB CONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL S V 1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 S
1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u1 S UN SUB ESPACIO VECTORIAL ES SUB CONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL S V
Una segunda forma de caracterizarlos a los 2 axiomas se concreta en la condición equivalente a la anterior S” es un subespacio ve ctorial de V si y sólo si se verifica que: “
k1 , k2 R, u1 , u2 S ; k1u1 k2u2 W
SUB ESPACIO VECTORIAL “S” (CONDICION ) En los problemas veremos que es necesario expresar al sub espacio como conjunto con restricción de esta manera siempre reconoceremos las condiciones del conjunto para fines prácticos lo veremos de esta forma general S ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
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EJEMPLOS (MODELOS A SEGUIR) Ejemplo (1) Analizar si los polinomios a0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3 para los que a0 0 son subespacios de P3
Solución: Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores S u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k3 , ,.......k n escribimos el subespacio es su forma general S ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION S Px a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 P3 / a0 0
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3 (para subespacios suficiente con dos vectores)
u1 a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a0 0 u 2 b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3 b0 0
1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 S Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
u1 u 2 a0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3 b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3 P3 u1 u2 a0 b0 a1 b 1 x a2 b2 x 2 a3 b3 x 3 P3 a0 b0 0
Verificando la condición REMPLAZANDO LAS CONDICIONES: a0 b0 0
Con: u1 a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a0 0 u 2 b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3 b0 0 a0 b0 0 00 0 00 Es la misma forma por tanto verifica la condición 1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u1 S Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
2
3
k u1 k a0 a1 x a2 x a3 x P3
k u1 ka0 ka1 x ka2 x 2 ka3 x 3 P3 a0 b0 0 9
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Verificando la condición REMPLAZANDO LAS CONDICIONES ka0 0 Con:
u1 a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a0 0 00
Es la misma forma por tanto verifica la condición POR TANTO CUMPLE LOS DOS AXIOMAS ES UN SUB ESPACIO VECTORIAL DE P3
Ejemplo (2) Determinar si W x, y, z, u R 4 / x y z 0 R 4?
y u 0 es Sub Espacio de
Solución: Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores W u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k3 , ,.......k n escribimos el subespacio es su forma general W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION W x, y, z, u R 4 / x y z 0
y u 0
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3 (para subespacios suficiente con dos vectores)
u1
x1 , y1 , z1 , u1 x1 y1 z1 0 y1 u1 0 ; u2 x2 , y2 , z2 , u2 x2 y2 z 2 0 1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
y2
u2 0
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 W Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
u1 u 2 x1 , y1 , z 1, u1 x 2 , y 2 , z 2 , u 2 W
u1 u 2 x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 , u1 u 2 Wx1 x2 y1 y 2 z1 z 2 0
y1 y2 u1 u 2 0
Verificando la condición x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 y1 y2 u1 u2 0 Con:
u1
x1 , y1 , z1 , u1 x1 y1 z1 0 y1 u1 0 ; u2 x2 , y2 , z 2 , u2 x2 y2 z 2 0 REMPLAZAMOS EN LA NUEVA CONDICIÓN x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 y1 y2 u1 u2 0 x1 y1 z1 x2 y2 z2 0 y1 u1 y2 u2 0
0 0 0
00
y2
u2 0
0 0 0
00 Es la misma forma por tanto verifica la condición
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1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u1 W Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k u1 k x1 , y1 , z1 , u1 W
1 W kx 1 ky 1 kz1 0 k u1 kx1 , ky1 , kz1 , ku Verificando la condición
u1
kx1 ky 1
x1 , y1 , z1 , u1 x1 y1 z1 0
ky1 ku1 0
kz1 0 ky1 ku1 0 Con:
y1 u1
0
k x1 y1 z1 0 k y1 u1 0 k 0 0 k 0 0 00 00
Es la misma forma por tanto verifica la condición POR TANTO, CUMPLE LOS DOS AXIOMAS ES UN SUB ESPACIO VECTORIAL DE “R ”
Ejemplo (3) Sea “V” un espacio vectorial de matrices 2x2 sobre R y W consta de todas las matrices talque A2 A Determine si W es un subespacio de “V”
Solución: Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores W u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k 3 , ,.......k n escribimos el subespacio es su forma general W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICIONW A R 2 x 2 V / A2 A Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son polinomios de grado 3 (para subespacios suficiente con dos vectores)
A A2 A ; u2 B B 2 B 1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES u1
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 W Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
u1 u 2 A B W
u1 u 2 A B W A B A B
Verificando la condición
2
A B 2 A B Con: u1 A A 2 A ; u2 B B 2 B 11
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REMPLAZAMOS EN LA NUEVA CONDICIÓN A B 2 A B A2 AB BA B 2 A B 2 A AB BA B A B A B A B No Es la misma forma por tanto No verifica la condición 1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR No es necesario verificar el axioma 2 ya que no verifico el primer axioma Por tanto, W no es un subespacio de “V”
OPERACIONES ENTRE SUB ESPACIOS VECTORIALES Sean W1 ,W2 , subespacios vectoriales de un espacio vectorial “V”, se definen las siguientes operaciones entre subespacios:
INTERSECCIÓN Sean W1 ,W2 , dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial “ V”. La intersección de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma :
W1 W2 x V / x W1 x W2
UNIÓN Sean W1 ,W2 ,dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). La unión de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:
W1 W2 x V / x W1 x W2 La
UNIÓN
de subespacios vectoriales
no s iempre
es un subespacio vectorial
SUMA Ya que la UNIÓN de subespacios vectoriales no tiene por qué ser un subespacio vectorial, necesitaríamos una operación alternativa que recoja en cierta forma la idea de J UNTA R o A ÑA DIR propia de la unión, que mantenga la estructura de subespacio vectorial
Para ello se construye la operación SUMA DE SUBESPACIOS: Sean W1 ,W2 , dos subespacios vectoriales de “V”, se define la suma de estos subespacios como:
W1 W2 z V / z x y, x W1 y W2
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SUMA DIRECTA Cuando tenemos dos subespacios vectoriales cuya
intersección
es el elemento
neutro del
espacio vectorial, y efectuamos la operación suma de subespacios, el subespacio resultante se obtiene añadiendo "totalmente" los vectores de uno con los de otro, es decir se realiza una SUMADIRECTA de subespacios.
Sea “V” un espacio vectorial y sean W1 ,W2 dos subespacios vectoriales de “V”, se define laSUMA DIRECTA de estos subespacios al subespacio W1 W2 W si y sólo si W1 W2 W y además W1 W2 0 W1 W2 z V / z x y, x W1 y W2 y W1 W2 0 TEOREMA Sea “V” un espacio vectorial y W1 ,W2 , 2 subespacios vectoriales de V. Entonces
W1 W2 y W 1W2 también son subespacios vectoriales de V
COMBINACIÓN LINEAL COMBINACIÓN LINEAL ES LA FORMA DE ESCRIBIR UN VECTOR COMO RESULTANTE (SUMA DE VECTORES) Sea un conjunto ““V”” V u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... un , w que pertenece al espacio vectorial “V” y un conjunto de escalares K k1 , k2 , k3 , ,.......kn , si puede escribir:
“Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicad o por un escalar a cada vector”
w k1 u1 k 2 u 2 k3 u3 u4 ....... k n u n
Para que exista una combinación lineal los valores k1 , k2 , k3 , ,.......kn deben existir para cada vector de V u1 , u2 , u3 , u 4 ,....... u n del espacio “V”
NOTA: La combinación lineal en el ámbito de ingeniería tenemos que verla como una forma más de escribir un sistema lineal ( OBJETIVO DE LA MATERIA) 13
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a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a11 a x a x ... a x b 21 1 a 22 2 2n n 2 21 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm a m1
a12
a 22
am2
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x1 b1 a 2 n x 2 b2 a mn x n bm a1n
A X B FORMA MATRICIAL AX Es una combinación lineal de las columnas de A
a11 a12 a13 a1n b1 a a a 21 22 23 a2 n b2 AX x1 x x ..... x 2 3 n am1 am 2 am 3 amn bm
E l Procedimiento (PA S OS A S E G UIR ) P ara Calcular Los E s calares Que Genera n La Combinación L ineal S e Detalla E n E l S ig uiente E jemplo
EJEMPLOS (MODELOS A SEGUIR) Ejemplo (1)
Sí
V
M
2 x2
1 0 es combinación lineal de : U u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n 1 2
.Determine si w
u1 2 1 ; u 2 1 1 0 0
1 y u3 4 0 1 0 3
Solución: Como Me Piden Determinar Si Es Combinación Lineal Bastaría Con Calcular Cada Escalar Para Cada Vector Del Espacio Vectorial “U”
PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
1 0 1 2
Vector: w
2 1 1 1 4 0 ; u2 y u3 Espacio Vectorial: U u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n u1 1 0 0 1 0 3
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Combinación lineal: w 1 u1 2 u 2 3 u3 ....... n u n Remplazamos el vector y el espacio vectorial
1 0 2 1 1 1 4 0 1 2 3 1 2 1 0 0 1 0 3 PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE 11 1 1
0 21 2 1
1 2 0 0
2 4 3 1 2 1 2
0
3 0 2 4 2 0 3 3 1 2 2 3 3
PASO 3: IGUALAMOS LOS VECTORES PARA HALLAR EL S ISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n Dos matrices son iguales si sus elementos son iguales de esta manera forman un sistema lineal 21 2 4 3 1 2 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 2 3 3 2 0 1
4
1 1 0 2 0 0 1 3 3 2
PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Gauss Jordán Matriz Aumentada 2
1
41
1
1
00
1
0
01
0
1
32
En esta matriz por tratarse el primer ejemplo indicaremos detalladamente el procedimiento para reducirla al mínimo este procedimiento ya se detalló en el tomo I del texto, pero es necesario recordarlo. Ejecutaremos una secuencia de pasos para detallar:
Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 2 también el de la fila 3 nos serviría 15
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Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente 2 1 4 1 2 f 2 f1 ' 0 3 41 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 f 2 f3 ' 0 1 0 1 0
1
0
32
1
32
Paso (2) nos concentramos en la segunda columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 0
3
41
1 0
1 1 1
00 01
0
32
En nuestro caso escogeremos de pivote al (1) el cual anulara a la columna 2 0 3 4 1 3 f 4 f1 ' 0 0 5 5 1 1 0 0 f4 f2 ' 1 0 3 2 0 1 0 1 f4 f3 ' 0 0 3 3 0
1
32
0
1
3
2
Paso (3) nos concentramos en la tercera columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados ya dos veces en la fila anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 0 0 5 5 1
0
3
2
0 0
0 1
3
3 2
3
En nuestro caso antes escoger tendremos entre el (-5) o (3) escogeremos el (3) antes de esto lo multiplicaremos por (1/3) a la fila 3 para obtener (1) el cual anulara a la columna 3 0 0 5 5 5 f 3 f1 ' 0 0 0 0 5 f 3 f1 ' 0 0 5 5 1 1 1 0 3 2 3 f3 f2 ' 1 0 0 1 3 f3 f 2 ' 1 0 3 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 3 f3 ' 3 1 3 0 1 3 2 3 f3 f4 ' 0 1 0 1 3 f3 f 4 ' 0 1 3 2
PASO 5: ESCRIBIMOS LA COMBINACIÓN LINEAL SI LA SOLUCIÓN ES CONSISTENTE DETERMINADO CASO CONTRARIO NO SERA COMBINACIÓN LINEAL Escribimos el vector como combinación lineal con los 1 , 2 , 3 , ,....... n valores calculados 1 0 2 1 1 1 4 0 1 2 1 1 0 2 0 1 3 0 3
1 0 1 2 1 1 1 1 1 4 0 1 2 1 0 0 1 0 3 Si los valores de los 1 , 2 , 3 , ,....... n existen entonces si es combinación lineal 16
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Ejemplo (2)
Determine si w px x 2 x 1 es combinación lineal de :
x
2
1,
x
2
x, x 1
Solución: Como Me Piden Determinar Si Es Combinación Lineal Bastaría Con Calcular Cada Escalar Para Cada Vector Del Espacio Vectorial de “polinomios de grado 2” PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
Vector: w px x 2 x 1 Espacio Vectorial: U u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n x 2 1, x 2 x, x 1 u1 x 2 1; u 2 x 2 x
u3 x 1
w 1 u1 2 u 2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial x 2 x 1 1 x2 1 2 x 2 x 3 x 1
PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE x 2 x 1 1 2 x 2 2 3 x 1 3 PASO 3: INCÓGNITAS IGUALAMOS LOS PARA H EL SISTEMA LINEAL DONDE LAS ALLAR ÚNICAS SON VECTORES LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n Dos polinomios son iguales si sus coeficientes son iguales entonces el sistema lineal: 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 3 1 2 1 1 0 1 3 1 1 3 PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Gauss Jordán Matriz Aumentada 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 1 1 En esta matriz por tratarse la primera indicaremos detalladamente el procedimiento para reducirla al mínimo este procedimiento ya se detalló en el tomo I del texto, pero es necesario recordarlo Ejecutaremos una secuencia de pasos para detallar: 17
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Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 1 también el de la fila 3 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
1
1
0 1
0
1
1 1
1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1 f1 f 3 '
0 1 1 2
Paso (2) nos concentramos en la segunda columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 1 0 0
1
1 1
0 1 1 1 1 2
En nuestro caso escogeremos de pivote al (1) el cual anulara a la columna 2 1 1 0 1 f 2 f1 ' 1 0 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 f2 f3 ' 0 0 0 3
El sistema es inconsistente por tanto no es combinación lineal.
CONJUNTO GENERADOR (CALCULO DEL SUB ESPACIO) Si los vectores V u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,.......u n en un espacio vectorial “V” GENERAN “V” si todo vector en
“V” se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Es decir, para todo v V , existen escalares 1 , 2 , 3 , ,....... n tales que:
v 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
EJEMPLO (MODELO A SEGUIR) Determine el subespacio “S” a partir de este conjunto GENERADOR 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1)
Solución:
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CONDICIÓN DE SUB ESPACIOS 18
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“Todo conjunto generador se puede escribir como
combinación linea l de s u variable g eneral de su espaci o vectorial”
De esta manera calcular la condición del sub espacio
Entonces reconocemos el espacio vectorial y conjunto generador
ESPACIO VECTORIAL: R 4 variable general x, y, z, u CONJUNTO GENERADOR: S 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1) Ahora escribimos la variable general del espacio vectorial como combinación lineal del conjunto generador
PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
Vector: w x, y, z, u Espacio Vectorial: S 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1)
u 1,0,1,0; u (1,1,0,0) y u (0,1,1,1) 1
2
3
w 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
x, y, z, u 1 1,0,1,0 2 (1,1,0,0) 3 (0,1,1,1) PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE x, y, z, u 1 1,0,1,0 2 (1,1,0,0) 3 (0,1,1,1)
2 0 3 ,01 2 3 , 1 0 2 3 ,01 0 2 3 PASO 3: IGUALAMOS LOS VECTORES PARA HALLAR EL S ISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n
x, y , z , u
1
1 2 0 3 x
1 1 0
x 1 01 2 3 y 0 1 1 2 y 1 0 1 z 1 0 2 3 z 3 01 0 2 3 u 0 0 1 u
A X B
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PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Para casos de generar un sub espacio es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H A B . Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
Gauss Jordán Matriz Aumentada H A B 1 1 0x
H
0 1 1y 1 0 1z 0 0 1u
Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 1 también el de la fila 3 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
1
1
0x
1
1
0
x
0
1
1y
0
1
1
y
1
0
1z
0
1
0
0
1u
0
0
f1 f 3 '
1 zx 1
u
Paso (2) nos concentramos en la segunda columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con ()
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1
1
0
x
0
1
y
0
1 1
0
0
1
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1 zx
u
En nuestro caso escogeremos de pivote al (1) el cual anulara a la columna 2 1 1 0 x f 2 f1 ' 1 0 1 x y 0
1
0
1 1 z x
0
y
1
0
f 2 f3 '
u
1
0
1
1
0
0
2 zx y
0
0
1
y u
Paso (3) nos concentramos en la tercera columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados ya dos veces en la fila anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 1 0 1 x y y
0
1
1
0
0
2 zx y
0
0
1
u
En nuestro caso escogeremos (1) el cual anulara a la columna 3 1
0
1 x y
0
1
1
0
0
2 zx y
0
0
1
y
2 f 4 f3 '
u
1
0
1
x y
0
1
1
y
0
0
0 z x y 2u
0
0
1
u
NO NECESITAMOS ESCALONAR TOTALMENTE LA MATRIZ Y A QUE PODEMOS HACER EL ANÁLISIS DEL RANGO YA QUE SE ELIMINO UN A FILA 1 0 1 x y H
y
0
1
1
0
0
0 z x y 2u
0
0
1
H AB
u
“Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE DETERMINADO LOS R ANGOS DEBEN SER IGUALES H A B entonces Rango A RangoA B RANGO: NUMERO DE FILAS NO NULAS DE UNA MATRIZ CUALQUIERA
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el rango tendría que ser RangoA B 3 para cumpla Rango A Rango A B entonces z x y 2u 0 tendrá que ser cero para que exista solución Por tanto, es la condición del sistema por tanto es la CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO Rango A 3 tenemos 3 filas no nulas
CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO: z x y 2u 0 Ahora si podemos escribir la forma general del sub espacio: S ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION S x, y, z, u R 4 / z x y 2u 0
BASE DE UN SUB ESPACIO ¿CALCULO DE LA BASE W ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
EJEMPLO (MODELO A SEGUIR) CALCULAR LA BASE DEL SUB ESPACIO “W ” 3z 7z u W x, y, z, u R 4 / x y 8 8
SOLUCIÓN Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
W x, y, z, u R 4 / x
Condición: x
3z 8
y
7z 8
3z 8
y
7z 8
u
u
Término general del espacio vectorial: x, y, z, u 3z 7 z , u, z, u 8 8
Remplazando la condición en el término general: x, y, z, u
Tenemos dos variables z , u que podríamos extraer: 3z 7 z , , z,0 z 0u,u,0u, u 8 8
x,y, z, u
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Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase NOTA: SI DES EA N FACTO RIZ AR EL DE NOMINADO R DE LAS FRA CCIONES DE L VECTOR LO PODRÍAN HACER YA QUE SOLO N ECE SITAM OS LA DIRE CCIÓN EN N UES TRO PROBLEMAS NO LO AR E MOS YA QUE R E PR E SE NTA LO MIS MO x, y, z, u
z 8
3,7,8,0 u 0,1,0,1
3 7 , ,1,0 u 0,1,0,1 8 8
x, y , z, u z
La BASE W son los vectores que generan la combinación lineal Base W
3 7 , ,1,0 ; 8 8
0,1,0,1
DIMENSIÓN DE LA BASE “Dim()” Es el número de vectores no nulos que tiene una base BASE u1 , u2 , u3 , u4 ,....... un DimBASE n DimW T Dim W Dim T Dim W T W Dim T DimW T Dim
TEOREMA: Sea V un espacio vectorial sobre k de dimensión finita, siW es un subespacio propio de V, entonces:
V W DimV Dim W
Dim
INDEPENDENCIA LINEAL conjunto de escalares K k1 , k2 , k3 , ,.......kn , todos los escalares son cero :
Sea un conjunto ““V”” V u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... un , w que pertenece al espacio vectorial “V” y un
“Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicad o por un escalar a cada vector”
0 k1 u1 k 2 u2 k3 u3 u4 ....... k n u n 23
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SISTEMA HOMOGÉNEO A K 0 FORMA MATRICIAL
LINEALMENTE INDEPENDIENTE: A 0 LINEALMENTE DEPENDIENTE: A 0 NOTA: SI UN CONJUNTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE ES BASE (GENERADOR) a11
a12
a13
a21
a22
a23
a1n 0
a 0 k 2 k3 ..... k n 2 n am1 am 2 am 3 amn 0
AK k1
TEOREMA Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro
EJEMPLO (MODELO A SEGUIR) Ejemplo (1) Determine si son linealmente independientes, generador o base 2
2
2
P2 1 x x , x x ,2 x x
Solución: Como Me Piden Determinar Si Es linealmente independientes Bastaría Con verificar la condición LINEALMENTE INDEPENDIENTE: A 0
PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
Vector: w 0 en este caso son polinomios w 0 x2 0 x 0 Espacio Vectorial: P2 1 x x 2 , x x 2 ,2 x x 2 u1 1 x x 2 ; u2 x x 2 y u3 2 x x 2
Combinación lineal: w 1 u1 2 u 2 3 u3 ....... n u n
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Remplazamos el vector y el espacio vectorial
3 2 x x 2 0 x 2 0 x 0 1 1 x x 2 2 x x 2 PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE 0x2 0x 0
1
x1 x 21 x2 x 22 23 x3 x 23
2 3 0 x 2 0 x 0 x 2 1 2 3 x 1
1
23
PASO 3: IGUALAMOS LOS POLINOMIOS PARA HALLAR EL SISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n Dos matrices son iguales si sus elementos son iguales de esta manera forman un sistema lineal 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 1 2 3 1 1 1 2 0 1 1 2 3 1 0 2 3 0
A K 0
PASO 4: CALCULAMOS LA DETERMINANTE DE L A MATRIZ DE COEFICIENTES 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 A 1 1 1 1 0 2 1 0 2 APLICANDO REDUCCIÓN POR CHÍO 1 1 1 1 f 3 f1 ' 0 1 3 f 2 f1 ' 0 0 2 f1 ' 0 0 1 2 1 1 1 f 3 f 2 ' 0 1 1 01 1 20 1 1
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
APLICAMOS COFACTORES A LA FILA 1 LA REGLA DE SIGNOS: 0
0
A 20 1 1
0
1 2 1
1 2
0
1
1
0
2 1 0 1
A 2
LINEALMENTE INDEPENDIENTE: A 0 2 0 POR TANTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE Y
TAMBIÉN ES BASE
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Ejemplo (2) Para que valores de el siguiente conjunto de polinomios es una base en el ;4 x 2 1 x 4;4 x 2 4 x 1 subespacio vectorial “ P2 ” C 1 x 2 4 x 4
Solución: Como Me Piden Determinar Si Es BASE Bastaría Con verificar la condición LINEALMENTE INDEPENDIENTE: A 0
PASO 1: ESCRIBIR COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puedeLA escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector Entonces reconocemos:
Vector: w 0 en este caso son polinomios w 0 x2 0 x 0 Espacio Vectorial: C 1 x 2 4 x 4 ;4 x 2 1 x 4;4 x 2 4 x 1
u1 1 x 4 x 4; u2 4 x 1 x 4 y u3 4 x 4 x 1 2
2
2
Combinación lineal: w 1 u1 2 u 2 3 u3 ....... n u n Remplazamos el vector y el espacio vectorial
0 x 2 0 x 0 1 1 x 2 4 x 4 2 4 x 2 1 x 4 3 4 x 2 4 x 1
PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE 0 x 2 0 x 0 x 2 1 1 4 2 43 x41 1 2 43 41 42 1 3
PASO 3: IGUALAMOS LOS POLINOMIOS PARA HALLAR EL SISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n Dos matrices son iguales si sus elementos son iguales de esta manera forman un sistema lineal 1 1 4 2 4 3 0 4 1 1 2 4 3 0 4 1 4 2 1 3 0
4 1 4 1
4
4
4 4
1 0 0 2
A K 0
1 3 0
PASO 4: CALCULAMOS LA DETERMINANTE DE L A MATRIZ DE COEFICIENTES 26
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4 4 4 4 1 1 A 4 A 4 1 4 1 4 4 4 1 4 4 1 APLICANDO REDUCCIÓN POR CHÍO MATRIZ SIMÉTRICA SUMAMOS TODAS LAS COLUMNAS A LA PRIMERA 1 4 4 C3 C1 ' 1 8 4 4 1 4 4 4 1 4 C2 C1 ' 1 8 1 4 1 8 1 1 4 4 4 1 1 8 4 1 1 4 1
1
4
1 1 A 1 8 1
4
4
f 3 f1 '
4
0
0
A 1 8 1 1
1
1
4
4 1 4
1
APLICAMOS COFACTORES A LA FILA 1 LA REGLA DE SIGNOS: 1 1 A 9 3 A 9 3 4 1 A 9 3 3 1
4
LINEALMENTE INDEPENDIENTE:
9 3 3 A 0
0
9 con estos valores de es BASE 3
PROBLEMAS (OBSTACULOS DE DESARROLLO) PROBLEMA (1) Analice si W x, y, z R 3 / x y 0 Encuentre una base y dimensión
x z 0 es Sub Espacio de R 3? .
Solución: Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores W u1 , u 2 , u3 , u 4 ,....... u n el otro de escalares K k1 , k 2 , k 3 , ,.......k n escribimos el subespacio es su forma general W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
W x, y, z R 3 / x y 0
x z 0
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Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son vectores (para subespacios suficiente con dos vectores)
u1
x1 , y1 , z1 x1 y1 0
y1 z1
0 ; u 2 x2 , y 2 , z 2 x 2 y 2 0 y 2 z 2 0 1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 W Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
u1 u 2 x1 , y1 ,z1 x 2 , y2 , z 2 W
u1 u 2 x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 W x1 x2 y1 y2 0
Verificando la condición
u1
x1 , y1 , z1 x1 y1 0
x1 x2 y1 y2 0 y1 z1
y1 y2 z1 z 2 0
y1 y2 z1 z2 0 Con:;
0 ; u 2 x2 , y 2 , z 2 x 2 y 2 0
y2
z2 0
REMPLAZAMOS EN LA NUEVA CONDICIÓN x1 x2 y1 y2 0 y1 y2 z1 z2 0 x1 y1 x2 y2 0 y1 z1 y2 z2 0 0 0 0 0 0 0 00 00 Es la misma forma por tanto verifica la condición 1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u1 W Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k u1 k x1 , y1 , z1 W
1 W kx1 ky 1 0 k u1 kx1 , ky1 , kz Verificando la condición
u1 x1 , y1 , z1 x1 y1 0
kx1 ky1 0 ky 1
ky1 kz1 0
kz1 0 Con:
y1 z1 0
kx1 ky1 0 ky 1 kz1 0 k x1 y1 0 k y1 z1 0 00
00 Es la misma forma por tanto verifica la condición
POR TANTO CUMPLE LOS DOS AXIOMAS ES UN SUB ESPACIO VECTORIAL DE “R ” 28
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
JOSUE PAYE CHIPANA
Para hallar la Base y Dimensión del subespacio W x, y, z R / x y 0 la condición en el espacio general: 3
Condiciones: x y 0
x z 0Se remplaza
x z 0 Espacio Vectorial: x, y, z R 3
Hallamos la solución de la condición ya que las condiciones forman una solución paramétrica al tener más variables que numero de ecuaciones entonces dejemos en función de una variable (solución paramétrica) x y x z y remplazamos en el Espacio Vectorial General:
x, y, z x,x, x Escribimos como combinación lineal x, y,z x1,1,1 La base del subespacio “W” es: Bw 1,1,1 Su dimensión es el número de vectores de la Base DimBw 1
PROBLEMA (2) Dados los subespacios en R4 definidos por: S x, y, z, u R 4 / 2 x 2 y z 2u 0 T x, y, z, u R 4 / 3x y 2 z u 0 Demostrar que S T Es un Sub Espacio de R4 y luego hallar Encuentre una base y dimensión
Solución: Primero hallaremos el nuevo subespacio S T para luego demostrar si es o no un subespacio (con los 2 axiomas) y paso seguido hallaremos su base y dimensión.
INTERSECCIÓN
T S x V / x T x S Si Queremos Intersectar Dos Sub Espacios Tenemos Que Intersectar
Sus Condiciones S 2 x 2 y z 2u 0
condición de “S” T 3x y 2 z u 0
condición de “T”
2 x 2 y z 2u 0 3x y 2 z u 0
T S LA INTERSECCIÓN SIEMPRE FORMA UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
x 2 2 1 2 y 0 Escribimos en su forma matricial: 3 1 2 1 z 0 u 29
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
JOSUE PAYE CHIPANA
Hallamos la solución del sistema el sistema no tiene solución única ya que existen más variables que ecuaciones entonces tiene solución paramétrica también nos indica dicha situación la matriz de coeficientes no es cuadrada entonces para encontrar una solución la volvemos cuadrada haciendo 2 variables constante cualquier variable nosotros aremos constantes a z, u zz 2 2 x z 2u u u 3 1 y 2 z u Ahora nuestra matriz de coeficientes es cuadrada de esta manera será más simple la solución Resolvemos el sistema por Gauss- Jordan Aplicando la matriz aumentada 2 2 x z 2u 3 1 y 2 z u Aplicando la matriz aumentada z 2u 2 2 z 2u 1 f1 ' 1 1 f 2 f1 ' 2 2 3 1 2z u 0 1 7 z 8u 8 1 1 z 2u 3 1 0
1 2 z2 u 3 f1 f 2 '
3z 1
0
8 0 1 7 z 8u 8
z 2u 2 4 7 z 8u 3 f1 f 2 ' 2 1
x
8 y 7z u 8
z 2u 2 1 f' 0 4 7 z 8u 4 1 2 1
3z
1
Ya teniendo la solución del sistema podemos escribir el sub espacio de intersección S T 3z 7z u AHORA TENEMOS QUE VERIFICAR SI ES UN S T x, y, z, u R 4 / x y 8 8 SUB ESPACIO S T ¿ES UN SUB ESPACIO S T ? Debe cumplir con 2 axiomas para el cual usaremos dos conjuntos uno de vectores S T u1 , u2 , u3 , u4 ,....... un el otro de escalares K k1 , k 2 , k3 , ,.......k n escribimos el subespacio es su forma general S T ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION S T x, y, z, u R 4 / x 83z
y 7z u 8
Entonces escribimos los vectores a la forma indicada en este caso son vectores de R 4 (para subespacios suficiente con dos vectores) 30
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
u1 x1 , y1 , z1 , u1 x1
3z1
7 z1
y1
8
8
JOSUE PAYE CHIPANA
3z 2
u1 ; u2 x2 , y2 , z 2 , u 2 x2
8
y2
7 z2 8
u2
1 AXIOMA PARA LA SUMA DE VECTORES
Axioma (1). Clausura Para La Suma: u1 u2 S T Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
u1 u2 x1 , y1 , z1, u1 x 2 , y2 , z 2 , u 2 S T
3 z1 z 2
7 z1 z 2
8
8
u1 u2 x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 , u1 u2 S T x1 x2
x1 x2
Verificando la condición
u1 x1 , y1 , z1 , u1 x1
3z1 8
y1
3z1 z 2
y1 y2
8
7 z1 8
7 z1 z 2 8
y1 y2
u1 u 2
u1 u2 Con: 3z 2
u1 ; u2 x2 , y2 , z 2 , u2 x2
8
y2
7 z2 8
u2
REMPLAZAMOS EN LA NUEVA CONDICIÓN 3z1 z2 7 z1 z2 u1 u2 x1 x2 y1 y2 8
3z1 3z 2 3z1 z 2 8 8 8 3z1 z 2 3 z1 z 2 8
8
8
z1 z 2 u1 u2 8 8 8 7 z1 z 2 7 z z u1 u2 1 2 u1 u2
7 z1
7 z 7 u 2 u2
8
8
Es la misma forma por tanto verifica la condición 1 AXIOMA PARA EL PRODUCTO POR UN ESCALAR
Axioma (2). Clausura Para El Producto: k u1 S T Remplazamos nuestros vectores en el axioma y verificar
k u1 k x1 , y1 , z1 , u1 S T
k u1 kx1 , ky1 , kz1 , ku1 S T kx1
u1 x1 , y1 , z1 , u1 x1
3kz1
kx1
Verificando la condición
3z1 8
y1
8 7 z1 8
ky1
7kz1 8
8
ky1
7 kz1 8
ku1
ku1 Con:
u1
3z1 3kz1 8 8
k
7 z1 7kz1 u1 ku1 8 8
k
3kz1 3kz1 8
3kz1
7kz1 ku 7kz1 ku 1 1 8 8
8
Es la misma forma por tanto verifica la condición POR TANTO S T CUMPLE LOS DOS AXIOMAS ES UN SUB ESPACIO VECTORIAL 31
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BASE ¿CALCULO DE LA BASE S T ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: S T ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
S T x, y, z , u R 4 / x
Condición: x 3z 8
y
7z 8
3z 8
y
7z 8
u
u
Término general del espacio vectorial: x, y, z, u Remplazando la condición en el término general: x, y, z, u
3z 7 z
8
,
8
u, z, u
Tenemos dos variables z , u que podríamos extraer: 3z 7 z , , z,0 z 0u,u,0u, u 8 8
x,y, z, u
Todo Vector S e Puede E s cribir C omo Combinación Linea l De S u B as e NOTA: SI DESE AN FACTO RIZ AR EL DENOM INADO R DE LA S FR ACCIONES DEL VE CTO R LO PODRÍAN HACER YA QUE SOLO N ECE SITAM OS LA DIRE CCIÓN EN N UES TRO PROBLEMAS NO LO AR E MOS YA QUE R E PR E S E NTA L O MIS MO x, y, z, u
z 8
3,7,8,0 u 0,1,0,1
3 7 , ,1,0 u 0,1,0,1 8 8
x, y , z, u z
La BASE S T son los vectores que generan la combinación lineal BaseS T
3 7 , ,1,0 ; 0,1,0,1 8 8
DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimS T 2 BaseS T
3 7 , ,1,0 ; 0,1,0,1 8 8
DimS T 2
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PROBLEMA (3) Dados los subespacios W1 , W2 de R4, hallar la intercesión de estos subespacios, probar que es un sub espacio de R4, determinar una base y dimensión de este sub espacio. W1 x, y, z, u R 4 / x 2 y 3z u 0 W2 esta generado por el conjunto de vectores S 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1) Solución: Para hallar W1 W2 los subespacios deben estar escrito siempre en su forma general los dos sub espacios
W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
Entonces escribimos los sub espacios en su forma general W1 W1 x, y, z, u R 4 / x 2 y 3z u 0 W2 ? No tenemos su forma general tenemos que hallarla ya que nos da un conjunto
generador S 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1) recordamos que un sub espacio tiene condición entonces calculemos la condición.
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CONDICIÓN DE SUB ESPACIOS
“Todo conjunto generador se puede escribir como
combinación linea l de su variable g eneral de suvectorial” espaci o De esta manera calcular la condición del sub espacio Entonces reconocemos el espacio vectorial y conjunto generador
ESPACIO VECTORIAL: R 4 variable general x, y, z, u CONJUNTO GENERADOR: S 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1) Ahora escribimos la variable general del espacio vectorial como combinación lineal del conjunto generador
PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
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Entonces reconocemos:
Vector: w x, y, z, u u1 1,0,1,0; u2 (1,1,0,0) y u3 (0,1,1,1)
Espacio Vectorial: S 1,0,1,0, (1,1,0,0), (0,1,1,1)
w 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
x, y, z, u 1 1,0,1,0 2 (1,1,0,0) 3 (0,1,1,1) PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE x, y, z, u 1 1,0,1,0 2 (1,1,0,0) 3 (0,1,1,1)
x, y, z, u 1 2 0 3 ,01 2 3 , 1 0 2 3 ,01 0 2 3 PASO 3: IGUALAMOS LOS VECTORES PARA HALLAR EL S ISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n 1 2 0 3 x 1 0 y 0 1 2 3 1 1 0 2 3 z 01 0 2 3 u 0
x 1 1 1 2 y 0 1 z 3 0 1 u 1
0
A X B
PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema decontrario ecuaciones tienecombinación que tener s olución cons is tente determinado c aso no será lineal”
Para casos de generar un sub espacio es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H A B . Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
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Gauss Jordán Matriz Aumentada H A B 1 1 0x
H
0 1 1y 1 0 1z 0 0 1u
Paso (1) nos concentramos en el primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 1 también el de la fila 3 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
1
1
0x
1
1
0
x
0
1
1y
0
1
1
y
1
0
1z
0
1
0
0
1u
0
0
f1 f 3 '
1 zx
u
1
Paso (2) nos concentramos en el segunda columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 1
1
0
x
0
1
y
0
1 1
0
0
1
1 zx
u
En nuestro caso escogeremos de pivote al (1) el cual anulara a la columna 2 1 1 0 x f 2 f1 ' 1 0 1 x y 0
1
0 0
1 1 z x
y
1
0
f 2 f3 '
u
1
0
1
1
0 0
0 0
2 zx y 1 u
y
Paso (3) nos concentramos en la tercera columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados ya dos veces en la fila anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 1 0 1 x y y
0
1
1
0
0
2 zx y
0
0
1
u
En nuestro caso escogeremos (1) el cual anulara a la columna 3 1
0
1 x y
0
1
1
0
0
2 zx y
0
0
1
y u
1
0
1
x y
0
1
1
y
2 f 4 f3 ' 0 0 0
0
0 z x y 2u
1
u
35
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
JOSUE PAYE CHIPANA
NO NECESITAMOS ESCALONAR TOTALMENTE LA MATRIZ YA QUE PODEMOS HACER EL ANÁLISIS DEL RANGO YA QUE SE ELIMINO UN A FILA 1 0 1 x y H
y
0
1
1
0
0
0 z x y 2u
0
0
1
H AB
u
“Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE DETERMINADO LOS R ANGOS DEBEN SER IGUALES H A B entonces Rango A RangoA B RANGO: NUMERO DE FILAS NO NULAS DE UNA MATRIZ CUALQUIERA el rango tendría que ser RangoA B 3 para cumpla Rango A Rango A B entonces z x y 2u 0 tendrá que ser cero para que exista solución Por tanto, es la condición del sistema por tanto es la CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO Rango A 3 tenemos 3 filas no nulas
CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO: z x y 2u 0 Ahora si podemos escribir la forma general del sub espacio: W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION W2 x, y, z, u R 4 / z x y 2u 0 Entonces escribimos los sub espacios en su forma general W1 W1 x, y, z, u R 4 / x 2 y 3z u 0 W2 W2 x, y, z, u R 4 / z x y 2u 0
INTERSECCIÓN W1 W2 x W / x W1 x W2 Si Queremos Intersectar Dos Sub Espacios Tenemos Que Intersectar Sus Condiciones
W1 x 2 y 3z u 0 Condición de “ W1 ”
W2 z x y 2u 0 condición de “ W2 ”
x 2 y 3z u 0 z x y 2u 0
W1 W2 LA INTERSECCIÓN SIEMPRE FORMA UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
x Escribimos en su forma matricial: 1 2 3 1 y 0 1 1 1 2 z 0 u 36
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
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Hallamos la solución del sistema el sistema no tiene solución única ya que existen más variables que ecuaciones entonces tiene solución paramétrica también nos indica dicha situación la matriz de coeficientes no es cuadrada entonces para encontrar una solución la volvemos cuadrada haciendo 2 variables constante cualquier variable nosotros aremos constantes a z, u zz 1 2 x 3 z u uu 1 1 y z 2u Ahora nuestra matriz de coeficientes es cuadrada de esta manera será más simple la solución Resolvemos el sistema por Gauss- Jordan Aplicando la matriz aumentada 1 2 x 3 z u 1 1 y z 2u Aplicando la matriz aumentada 1 2 3z u 1 0 5 z 5u 1 1 z 2u f1 f 2 ' 0 1 4 z 3u 1 0 1 0
2 3z u 1 4 z 3u f1 f 2 '
x 5 z 5u y 4 z 3u
2 3z u 2 f1 f 2 ' 1 4 z 3u f1 '
Ya teniendo la solución del sistema podemos escribir el sub espacio de intersección W1 W2 : x 5 z 5u W1 W2 x, y, z , u R 4 / y 4 z 3 u BASE ¿CALCULO DE LA BASE W1 W2 ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: W1 W2 ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
x 5 z 5u
y 4 z 3u
W1 W2 x, y, z, u R 4 /
Condición:
x 5 z 5u y 4 z 3u
Término general del espacio vectorial: x, y, z, u Remplazando la condición en el término general: x,y, z, u 5z 5u,4z 3u, z, u Tenemos dos variables z, u que podríamos extraer: x, y, z, u 5z,4 z, z,0 z 5u,3u,0u, u 37
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Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase x, y, z, u z 5,4,1,0 u 5,3,0,1 La BASE W1 W2 son los vectores que generan la combinación lineal 2 5,4,1,0 ; 5,3,0,1 BaseW1 W DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimW1 W2 2
2 5,4,1,0 ; 5,3,0,1 BaseW1 W
DimW1 W2 2
PROBLEMA (4) Determine en R 3 ,, un vector que genere la intersección de: U x,0, z R 3 / x, z R 3 y W 1,2,3 ; 1,1,1
Solución: Para hallar U W los subespacios deben estar escrito siempre en su forma general los dos sub W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION espacios Entonces escribimos los sub espacios en su forma general 3 3 U U x,0, z R / x, z R Este sub espacio lo escribiremos de una forma mas entendible
U U x, y, z R 3 / y 0 W ? No tenemos su forma general tenemos que hallarla ya que nos da un conjunto generador W 1,2,3 ; 1,1,1 recordamos que un sub espacio tiene condición entonces calculemos la
condición.
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CONDICIÓN DE SUB ESPACIOS “Todo conjunto generador s e puede es cribir como combinación linea l de su variable g eneral de su espaci o vectorial”
De esta manera calcular la condición del sub espacio Entonces reconocemos el espacio vectorial y conjunto generador
ESPACIO VECTORIAL: R3 variable general x, y, z CONJUNTO GENERADOR: W 1,2,3 ; 1,1,1 Ahora escribimos la variable general del espacio vectorial como combinación lineal del conjunto generador 38
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PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
Vector: w x, y, z Espacio Vectorial: W 1,2,3 ; 1,1,1
u1 1,2,3; u2 (1,1,1)
w 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
x, y, z 1 1,2,3 2 (1,1,1) PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE x, y, z 1,21 ,31 ( 2 , 2 , 2 ) x, y, z 1 2 ,2 1 2 ,31 2 PASO 3: IGUALAMOS LOS VECTORES PARA HALLAR EL S ISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n 1 2 x 1 1 x 2 y 1 2 2 1 1 y 3 1 2 z 3 1 2 z
A X B
PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Para casos de generar un sub espacio es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H A B . Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
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JOSUE PAYE CHIPANA
Gauss Jordán Matriz Aumentada H A B 1 x
1
H 2 1 y 1 z
3
Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 1 Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
1
1 x
2
1 y 2 f1 f 2 ' 0 1 z 3 f1 f 3 ' 0
3
1
1
x
3 y 2x 2 z 3x
Paso (2) nos concentramos en el segunda columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () 1
x
1
3 y 2x 0 2 z 3x 0
En nuestro caso escogeremos de pivote al (-2) y (-3) el cual anulara a la columna 2 1
1
x
1
3 y 2 x 3 2 z 3x 1
0 0
2
1 1
f1 ' 0 1 f3 '
y
3 0 1 z
x
1
2
x 3 3
x
2
2
1
0 1 f 2 f3 '
0
y
05 6
3
x
x 2
x y 3
3
z 2
NO NECESITAMOS ESCALONAR TOTALMENTE LA MATRIZ YA QUE PODEMOS HACER EL ANÁLISIS DEL RANGO YA QUE SE ELIMINO UNA FILA 1
1
H 0 1 0
y
05 6
3
x
x 2
x 3
y 3
H AB
z 2
“Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE DETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER IGUALES H A B entonces Rango A RangoA B RANGO: NUMERO DE FILAS NO NULAS DE UNA MATRIZ CUALQUIERA
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JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
5 6
x
el rango tendría que ser RangoA B 2 para cumpla
Rango A 2 Tenemos 2 filas no nulas Rango A Rango A B entonces
JOSUE PAYE CHIPANA
y 3
z 2
0 tendrá que ser cero para que exista solución
Por tanto, es la condición del sistema por tanto es la CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO
CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO:
5 6
x
y 3
z 2
0
Ahora si podemos escribir la forma general del sub espacio: 5 y z W x, y , z R 3 / x 0 W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION 6 3 2 Entonces escribimos los sub espacios en su forma general y z 3 5 U U x, y, z R 3 / y 0 W W x, y, z R / x 0 6 3 2
INTERSECCIÓN U W x W / x U1 x W Si Queremos Intersectar Dos Sub Espacios Tenemos Que Intersectar Sus Condiciones U y 0 condición de “ U ”
W
5
y
z
6
3
2
x 0 condición de “ W ”
y0 U W LA INTERSECCIÓN SIEMPRE FORMA UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: 5 x y z 0 6 3 2
0 1 0 x 0 Escribimos en su forma matricial: 5 1 1 y 0 6 3 2 z
Hallamos la solución del sistema el sistema no tiene solución única ya que existen más variables que ecuaciones entonces tiene solución paramétrica también nos indica dicha situación la matriz de coeficientes no es cuadrada entonces para encontrar una solución la volvemos cuadrada haciendo 1 variable constante cualquier variable nosotros aremos constantes a z 0 1 x 0 z z 5 1 1 6 3 y 2 z Ahora nuestraelmatriz de coeficientes cuadrada de esta manera será más simple la solución Resolvemos sistema por Gauss-es Jordan
41
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JOSUE PAYE CHIPANA
Aplicando la matriz aumentada 0 1 x 0 5 1 1 z 6 3 y 2
Aplicando la matriz aumentada 0 5
1 0 1 z
6
3 2
0
1 0
5
2 3z
0 1 0 5 0 3z
0
1 0 3 0 z 5
6 f2 '
1
2 f1 f 2 '
x
3
z
y 50 1 5
f2 '
Ya teniendo la solución del sistema podemos escribir el sub espacio de intersección U W : 3 W x, y, z R 3 / x 5 z y0 BASE ¿CALCULO DE LA BASE U W ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera:
U
U W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
U W x, y, z, u R 4 /
3 z 5 y0
x
3
Condición: x 5 z y0 Término general del espacio vectorial: x, y, z Remplazando la condición en el término general: x, y, z z,0, z 3
5
Tenemos una variable z que podríamos extraer:
x, y, z z 3,0,5 5
“LAS BASES SON VECTORES DIRECCIONALES SOLO NOS NTERESA I LA DIRECCIÓN POR ESO
FACTORIZAMOS”
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Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase
x, y,z z 3,0,5 La BASE U W son los vectores que generan la combinación lineal
3,0,5 BaseU W DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimU W 1
3,0,5 BaseU W
Dim U W 1
PROBLEMA (5) a Sea W c 1 conjunto 1
0 y el subespacio “T” generado por el 1 0 1 1 1 2 1 ; ; ; hallar un base y dimensión para W T 2 1 0 1 1 1 3 b
R
d
2x2
/abd
Solución: Para hallar W T los subespacios deben estar escrito siempre en su forma general los dos sub espacios W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION Entonces escribimos los sub espacios en su forma general a b 2x2 W W R / a b d 0 c d T ? No tenemos su forma general tenemos que hallarla ya que nos da un conjunto generador
1 1 0 1 1 1 2 1 ; ; ; recordamos que un sub espacio tiene condición entonces 1 2 1 0 1 1 1 3 calculemos la condición.
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CONDICIÓN DE SUB ESPACIOS “Todo conjunto generador se puede escribir como
combinación linea l de su variable g eneral de su espaci o vectorial”
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De esta manera calcular la condición del sub espacio Entonces reconocemos el espacio vectorial y conjunto generador
a b ESPACIO VECTORIAL: R 2 X 2 variable general c d 1 1 0 1 1 1 2 1 CONJUNTO GENERADOR: S ; ; ; 1 2 1 0 1 1 1 3
Ahora escribimos la variable general del espacio vectorial como combinación lineal del conjunto generador
PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
a
b
c
d
Vector: w
1 1 0 1 1 1 2 1 Espacio Vectorial: S ; ; ; 1 2 1 0 1 1 1 3 1 1 0 1 1 1 2 1 u1 ; u2 ; u3 1 1 y u4 1 3 1 2 1 0
w 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
a b 1 1 0 1 1 1 2 1 c d 1 1 2 2 1 0 3 1 1 4 1 3 PASO 2: SUMAMOS LAS MATRICES COMPONENTE A COMPONTE a b 1 1 0 2 2 3 3 2 4 4 c d 2 0 1 1 2 2 3 3 4 3 4
a b 1 0 2 3 2 4 c d 1 2 3 4
1 2 3 4 3 3 4
21 0 2
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PASO 3: IGUALAMOS LAS MATRICES PARA HALLAR EL SISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n 1 0 2 3 2 4 a 1 0 1 2 1 a 1 1 1 1 b 1 2 3 4 b 2 1 1 1 1 3 c 1 2 3 4 c 21 0 2 3 3 4 d 2 0 1 3 4 d
A X B
PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s oluci ón cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Para casos de generar un sub espacio es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H A B . Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H)=n el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
Gauss Jordán Matriz Aumentada H A B 1
H
2 a
0
1
1
1
1
1 b
1
1
1
1 c
2
0
1
3 d
Paso (1) nos concentramos en el primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 1 también el de la fila 3 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente 1 1
0 1
1
2 a 1 b
1
1
1
2
0
1
1 c f1 f 2 ' 3 d 2 f1 f 2 '
1
f1 f 2 '
1 0
0 1
0
1
0
0
1 0
2 a 3 ba
0 3 ca 1 1 d 2a
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Paso (2) nos concentramos en el segunda columna de la matriz buscamos un pivote al frente de los ceros generados anteriormente ente este caso solo podemos escoger entre los valores con () a
1
0
1
2
0
1 1
0
3 ba
1
a
0
1
2
0 1
0
3 ba
3 c a f 2 f3 ' 0 0 0 0 bc 0 0 1 1 d 2a 0 0 1 1 d 2a NO NECESITAMOS ESCALONAR TOTALMENTE LA MATRIZ YA QU E PODEMOS HACER EL ANÁLISIS DEL RANGO YA QUE SE ELIMINO UN A FILA 0
0
1
a
0
1
2
H 0 1 0 0
0 0
3 b a 0 b c
0
0
H AB
1 1 d 2a
“Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE DETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER IGUALES H A B entonces Rango A RangoA B RANGO: NUMERO DE FILAS NO NULAS DE UNA MATRIZ CUALQUIERA Rango A 3 tenemos 3 filas no nulas el rango tendría que ser RangoA B 3 para cumpla Rango A Rango A B entonces b c 0 tendrá que ser cero para que exista solución Por tanto, es la condición del sistema por tanto es la CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO: b c 0 Ahora si podemos escribir la forma general del sub espacio: a b 2x2 T ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION T R / b c 0 c d Entonces escribimos los sub espacios en su forma general a b a b 2x2 2x2 W R / a b d 0 T c d R / b c 0 c d INTERSECCIÓN W T x V / x W x T Si Queremos Intersectar Dos Sub Espacios Tenemos Que Intersectar Sus Condiciones a b d 0 condición de “ W ” b c 0 condición de “ T ” a b d 0 bc0
W T LA INTERSECCIÓN SIEMPRE FORMA UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
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a 1 1 0 1 b 0 Escribimos en su forma matricial: 0 1 1 0 c 0 d
Hallamos la solución del sistema el sistema no tiene solución única ya que existen más variables que ecuaciones entonces tiene solución paramétrica también nos indica dicha situación la matriz de coeficientes no es cuadrada entonces para encontrar una solución la volvemos cuadrada haciendo 2 variables constante cualquier variable nosotros aremos constantes a: c, d cc 1 1 a d d d 0 1 b c Ahora nuestra matriz de coeficientes es cuadrada de esta manera será más simple la solución Resolvemos el sistema por Gauss- Jordan Aplicando la matriz aumentada 1 1 a d 0 1 b c Aplicando la matriz aumentada 1 1 d f 2 f1 ' 1 0 d c 0 1c 0 1 c 1
0 d c f 2 f1 '
ad
0 1 c
c
b c
Ya teniendo la solución del sistema podemos escribir el sub espacio de intersección W T : a b R 2 x 2 / a d c b c W T c d
BASE ¿CALCULO DE LA BASE W T ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: W T ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
a b 2x2 R / a d c b c c d
W T
Condición: a d c b c
a b Término general del espacio vectorial: c d 47
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a b d c c Remplazando la condición en el término general: d c d c
Tenemos dos variables z, u que podríamos extraer: a b d 0d c c c d 0d d c 0c
Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase a b 1 0 1 1 c d d 0 1 c 1 0 La BASE W T son los vectores que generan la combinación lineal BaseW
1 T 0
0 1 ; 1 1
1 0
DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimW T 2 BaseW
1 T 0
0 1 ; 1 1
1 0
DimW T 2
PROBLEMA (6) Si A 1,0,1,0, (1,0,1,1) un sistema generado de “U” de ( R 4 ,,) y B 3,0,2,1 es un sistema generador de “V” ( R 4 ,,) determinar DimU V , DimU V
Solución: DimU V Dim U Dim V
Para hallar DimU V , DimU V los subespacios deben estar escritos siempre en su forma general los dos sub espacios
W ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
Entonces escribimos los sub espacios en su forma general U ? No tenemos su forma general tenemos que hallarla ya que nos da un conjunto generador A 1,0,1,0, (1,0,1,1) recordamos que un sub espacio tiene condición entonces calculemos la condición.
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V ? No tenemos su forma general tenemos que hallarla ya que nos da un conjunto generador B 3,0,2,1 recordamos que un sub espacio tiene condición entonces calculemos la
condición.
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CONDICIÓN DE SUB ESPACIOS
“Todo conjunto generador se puede escribir como
combinación linea l de su variable g eneral de su espaci o vectorial”
De esta manera calcular la condición del sub espacio U ? Entonces reconocemos el espacio vectorial y conjunto generador
ESPACIO VECTORIAL: R 4 variable general x, y, z, u CONJUNTO GENERADOR: A 1,0,1,0, (1,0,1,1) Ahora escribimos la variable general del espacio vectorial como combinación lineal del conjunto generador
PASO 1: ESCRIBIR LA COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puede escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector
Entonces reconocemos:
Vector: w x, y, z, u u1 1,0,1,0 u2 (1,0,1,1)
Espacio Vectorial: A 1,0,1,0, (1,0,1,1)
w 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
x, y, z, u 1 1,0,1,0 2 (1,0,1,1) PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE x, y, z, u 1,0,1,0 (1,0,1,1)
x, y, z, u
1
1
2
2 ,01 0 2 , 1 2 ,01 2 49
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PASO 3: IGUALAMOS LOS VECTORES PARA HALLAR EL S ISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n 1 2 x 1 0 0 y 0 1 2 1 1 2 z 0 1 2 u 0
1
x y 1 2 z 1 u 0 1
A X B
PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Para casos de generar un sub espacio es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H A B . Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado Gauss Jordán Matriz Aumentada H A B 1
H
1x
0
0y
1
1z
0 1u
Paso (1) nos concentramos en el primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 1 Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
1
1x
0
0y
1
1z
0
1u
f1 f 3 '
1
1
x
0
0
y
0
0 zx
0
1
u
NO NECESITAMOS ESCALONAR TOTALMENTE LA MATRIZ YA QUE PODEMOS HACER EL ANÁLISIS DEL RANGO YA QUE SE ELIMINO UNA FILA 50
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H
1
1
x
0
0
y
0
0 zx
0
1
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H AB
u
“Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE DETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER IGUALES H A B entonces Rango A RangoA B RANGO: NUMERO DE FILAS NO NULAS DE UNA MATRIZ CUALQUIERA el rango tendría que ser RangoA B 2 para cumpla y 0 tendrán que ser cero para que exista solución Por tanto, es la condición del sistema por tanto es la CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO: z x 0 y 0 Ahora si podemos escribir la forma general del sub espacio: U ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION U x, y, z, u R 4 / z x 0 y 0 BASE ¿CALCULO DE LA BASE U ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: U ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION Rango A 2 Tenemos 2 filas no nulas
Rango A Rango A B entonces z x 0
U x, y, z, u R 4 / z x 0
y 0
Condición: z x y 0 Término general del espacio vectorial: x, y, z, u Remplazando la condición en el término general: x, y, z,u z,0, z, u Tenemos dos variables z, u que podríamos extraer: x, y, z, u z,0 z, z,0 z 0u,0u,0u, u Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase x, y, z,u z1,0,1,0 0,0,0,1 La BASE U son los vectores que generan la combinación lineal BaseU 1,0,1,0 ; 0,0,0,1
DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimU 2 BaseU 1,0,1,0 ; 0,0,0,1
DimU 2
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De esta manera calcular la condición del sub espacio V ? Entonces reconocemos el espacio vectorial y conjunto generador
ESPACIO VECTORIAL: R 4 variable general x, y, z, u CONJUNTO GENERADOR: B 3,0,2,1 Ahora escribimos la variable general del espacio vectorial como combinación lineal del conjunto generador
PASO 1: ESCRIBIR COMBINACIÓN LINEAL Todo vector se puedeLA escribir como la suma de un espacio vectorial multiplicado por un escalar a cada vector Entonces reconocemos:
Vector: w x, y, z, u Espacio Vectorial: B 3,0,2,1
u1 3,0,2,1
w 1 u1 2 u2 3 u3 ....... n u n
Remplazamos el vector y el espacio vectorial
x, y, z, u 1 3,0,2,1 PASO 2: SUMAMOS LOS VECTORES COMPONENTE A COMPONTE x, y, z, u 1 3,0,2,1 x, y,z, u 31 ,01 ,21 , 1 PASO 3: IGUALAMOS LOS VECTORES PARA HALLAR EL SISTEMA LINEAL DONDE LAS ÚNICAS INCÓGNITAS SON LOS ESCALARES 1 , 2 , 3 , ,....... n 31 x 3 x 0 y 0 y 1 1 2 z 21 z 1 u 1 u
A X B
PASO 4: RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s oluci ón cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
Para casos de generar un sub espacio es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
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Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H A B . Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado Gauss Jordán Matriz Aumentada H A B 3 x H
0 y 2 z 1 u
Paso (1) nos concentramos en el primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número uno en este caso tenemos en la fila 4 Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente 3 x 3 f 4 f1 ' 0 x 3u 0 y 2 z
2 f 4 f3 '
1 u
0
y
0 z 2u 1
u
NO NECESITAMOS ESCALONAR TOTALMENTE MATRIZ YA QUE PODEMOS HACER EL ANÁLISIS DEL RANGO YA QUE SE ELIMINO UNALA FILA 0 x 3u
H
0
y
0 z 2u
H AB
1 u “Para que sea combina ci ón lineal es
s is tema de ecuaciones tiene que tener s olución cons is tente determinado caso contrario no será combinación lineal”
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE DETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER IGUALES H A B entonces Rango A RangoA B RANGO: NUMERO DE FILAS NO NULAS DE UNA MATRIZ CUALQUIERA Rango A 1 Tenemos 1 filas no nulas
el rango tendría que ser RangoA B 1 para cumpla
Rango A Rango A B entonces x 3u 0 y0 z 2u 0 tendrán que ser cero para que exista solución Por tanto, es la condición del sistema por tanto es la CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO CONDICIÓN DEL SUB ESPACIO: x 3u 0 y 0 z 2u 0 53
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Ahora si podemos escribir la forma general del sub espacio:
ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION V x, y, z, u R 4 / x 3u y 0 z 2u BASE ¿CALCULO DE LA BASE V ? Para hallar la base tenemos que remplazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: V ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION V
V x, y, z, u R 4 / x 3u
y0
z 2u
Condición: x 3u y 0 z 2u Término general del espacio vectorial: x, y, z, u Remplazando la condición en el término general: x, y, z , u 3u,0,2u, u Tenemos una variable “u” que podríamos extraer: x, y, z , u 3u,0,2u, u Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase x, y, z, u u 3,0,2,1 La BASE V son los vectores que generan la combinación lineal
3,0,2,1 BaseV DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimV 1
3,0,2,1 BaseV
DimV 1
INTERSECCIÓN U V x W / x U x V Si Queremos Intersectar Dos Sub Espacios Tenemos Que Intersectar Sus Condiciones zx y 0 Condición de “U” x 3u y0 z 2u condición de “V” xz 0 y0 U V LA INTERSECCIÓN SIEMPRE FORMA UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: x 3u 0 z 2u 0 1 0 1 0 1 0
Escribimos en su forma matricial: 1 0 0 0
0 1
0 0
x 0 y 0
z 0 2 u 0 3
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Hallamos la solución (Resolvemos el sistema por Gauss - Jordan Aplicando la matriz aumentada) pero si observamos es un sistema homogéneo todos pasas por el srcen y las filas no son múltiplos de ninguna fila por tanto la solución es trivial (si no comprende esta parte reduzca la matriz como en los anteriores problemas) Resolvemos el sistema por Gauss- Jordan Aplicando la matriz aumentada x0 1 0 1 0 x 0 0 1 0 0 y 0 y 0 1 0 0 3 z 0 z0 u0 0 0 1 2 u 0 podemos escribir el sub espacio de intersección W W : Ya teniendo la solución del sistema 1 2 BASE ¿CALCULO DE LA BASE U V ? Para hallar la base tenemos que rem U V x, y, z, u R 4 / x y z u 0plazar las condiciones del sub espacio en el término general del espacio vectorial de esta manera: U V ESPACIO VECTORIAL/ CONDICION
U V x, y, z , u R 4 / x y z u 0
Condición: x y z u 0 Término general del espacio vectorial: x, y, z, u Remplazando la condición en el término general: x, y, z,u 0,0,0,0 Tenemos dos variables z, u que podríamos extraer: x, y, z,u 0,0,0,0 Todo Ve ctor S e Puede E s cribir Como Comb inación Li neal De S u B ase x, y, z,u 0,0,0,0 La BASE U V son los vectores que generan la combinación lineal VACÍO BaseU V DIMENSIÓN: Es el número de vectores no nulos de la base DimU V 0 BaseU V
DimU V 0
Ahora calcularemos lo pedido remplazando en las relaciones DimU V Dim U Dim V
DimU V 2 1 Dim U V 3
DimU V 3
DimU V 0
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4er Capítulo
PRODUCTO INTERNO Sea V un espacio vectorial real con producto interno sobre V, es una función / : VxV tal que:
V1 ,V2
V1 / V2 , además la función / debe satisfacer las siguientes AXIOMAS:
5 AXIOMAS PARA EL PRODUCTO INTERIOR A1 )x V
x/ x
0
A2 ) x / x 0 x 0 A3 )x, y V
x/ y
y/x
x/ yz x/ y x/ z suma # reales sumavectoresdeV A5 )x, y V , x / y x / y x / y A4 )x, y , z V
NORMA DE UN VECTOR Sea “V” un espacio vectorial con producto interno definido entonces se define a la norma de un vector de la siguiente manera: v
v/v
Ejemplo: 1
V C 0,1
f /g
f ( x) g ( x)dx
Determine la
ex
0
Solución: ex
ex / ex
e2 1 2
1
1
0
0
e x / e x e 2 x dx e x / e x e 2 x dx
e2 x 2
1
0
e2 1 e2 1 2 2 2
DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea v1 y v2 elementos de V, la distancia entre v1 y v2 está dada por: d v1 , v2 v1 v2
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ANGULO ENTRE DOS VECTORES Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean v1 y v2 que pertenecen al el ángulo
formado entre v1 y v2 está dado por: x/ y x y ; 0 .
arccos
Ejemplo: Determine el ángulo entre los vectores P( x) x 2 x 1 y el vector q( x) 3x 2 2 x 1 donde V P2 con producto interno estándar. Nota: producto interno estándar es el producto punto. Solución: p ( x) x 2 x 1 q( x) 3x 2 2 x 1 1
p( x)Bc 1 1
3
q( x)Bc 2 1
p( x) / q( x) 3(1) (2)(1) (1)(1)
VECTORES ORTOGONALES Sea V un espacio vectorial con producto interno y seav1 y v2 elementos de V, los vectores v1 y v2 son ortogonales si y solo si v1 / v2 0 (producto interno).
CONJUNTO ORTOGONAL Sea V un espacio vectorial con producto interno y seaS V1 ,V2 ,...,Vn un conjunto de n vectores de V. S es un conjunto ortogonal si y solo siVi ,V j S se cumple que Vi / V j 0 cuando i j .
CONJUNTO ORTONORMAL Sea V un espacio vectorial con producto interno y seaS V1 ,V2 ,...,Vn un conjunto de n vectores de V. S es un conjunto ortogonal si y solo siVi ,V j S
0; i j Vi / V j . 1; i j
Teorema Si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial con producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en V.
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PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM SCHMIDT Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sea V1 ,V2 ,...,Vn una base de V. entonces a partir de esta base es factible construir una base ortonormal para V mediante el siguiente proceso: Nota: z i =ortogonal; u i =ortonormal. z1 z1
z1 V1 u1 z 2 V2 z3 V3 z n Vn
v2 / z1 z1
2
v3 / z1 z1
2
vn / z1 z1
2
z1 u2 z1
v3 / z 2 z2
z1 ...
2
z2 z2 z 2 u3
vn / zn1 z n1
2
z3 z3
z n1 u n
zn zn
PROYECCIÓN ORTOGONAL Sea H un subespacio de un espacio vectorial con producto interno yh1 , h2 ,..., hk una base ortonormal de H. Si v V , entonces la proyeccion ortogonal de v sobre H, denotada porproyH v se define como: Pr oy H v (v / h1 )h1
(v / h2 )h2 ... (v / hk )hk
COMPLEMENTO ORTOGONAL Sea H un subespacio de un espacio vectorial V con producto interno. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H , se define como: H v V /(v / h) 0, h H
Teorema Sea H un subespacio del espacio vectorial V con producto interno, entonces se cumple que: i) H es un subespacio de V ii) H H 0 v iii) dim H dim H dimV
58
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PROBLEMAS Problema (1) Dado el espacio vectorial V de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar: 1
p1 (2x) p( ) x 1 2 ( )p( )x p x dx . Calcular la matriz asociada al producto escalar respecto de la 0
base B 1 x
SOLUCIÓN: Un producto escalar es un caso particular de forma bilineal simétrica, por lo tanto existe una matriz simétrica A asociada al producto escalar, respecto de cualquier base B u v de V . Dicha matriz
u u u v vendrá dada por: u v v v
En este caso particular tenemos que: u 1 y que v x . Tal y como se ha definido el producto escalar, lo que sabemos es que: 1
1
0
0
11 1 dx 1 dx
1
1
0
0
1 x 1 xdx 21xdx 1
1
x dx
0
0
x x xxdx
2
13
Luego, la matriz asociada al producto escalar en la base1 x es:
1 12 12 1 3
59
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Problema (2) De un producto escalar definido en R2 respecto de la base B u v , se sabe que: i ) u u 2 ii ) u (3u v) 5
iii ) v v u5(u
a) Calcular la matriz asociada al producto escalar.
)
b) Calcular (2 3) (1 4)
SOLUCIÓN:
u u u v
a) A u v v v
Tenemos que: u u2 u u(3v ) 5 3( uu) uv 5 6 u v 5 uv v v u5(u
1
) 10
2 1 La matriz asociada al producto escalar es: A 1 10 b)
(23) (14) 2 3
1 A 23 4
2 11 113 1104
Problema (3) Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión n y U un subespacio vectorial de E , U , el subespacio complemento ortogonal de U , calcular: a) dim(U U )
b) dim(U U )
SOLUCIÓN: a) Sabemos que la suma de U y U es directa, por tanto U U {0} con lo cual dim(U U ) 0 b) Además de ser suma directa se tiene que, U U V directamente se obtiene que dim(U U) dim () V n
60
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Problema (4) Sea F ( x )yz 2 3 0x y z
calcular una base ortonormal de F
SOLUCIÓN: Primero hallaremos una base de F si es ortogonal, bastaría con normalizar y el problema estaría resuelto, sino aplicaremos el método de Gram-Schmidt para transformarla en otra base deF que sea ortonormal. F ( x )yz 2
x0 (y ) z 2 x y z
3
3
z
x
y
( x y2 x 02) (0 1 1) ) y 3 x y (1 1 0 Una base para F es B1 {0 1 } { 2 1
u}1 u2 que sus vectores no son ortogonales ya que
0
t
u1 u2 (1 0 2)1 2 0
1
Aplicamos el método de Gram-Schmidt
1
v1 u1 0
2
v2 u2
0 v1 1 v v 1
u1t v1 t
1
1
1 2 0 5 2
52 1 1 5
1 25 B2 {0 1 } es una base ortogonal de 2 1 5 1 2 30 5 0 5 } 30 2 1 5 30
B3 {
F y normalizando los vectores de
B2 se obtiene
que es una base ortonormal de F
61
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PROBLEMAS PROPUESTOS DE EXAMENES UMSA a b a Determine si el conjunto de matrices de la forma , con la adición matricial y la a b b multiplicación por un escalar es un espacio vectorial Resp. Es un Espacio Vectorial 1.
2.
Sea V un espacio Vectorial de matrices 2x2 sobre “R” y “W” consta de todas las matrice s tal que
A2 A Determine si W es un sub espacio de V
Resp. W no es un Sub espacio de V
3.
ax a3 x2 Analizar si los polinomios a0 a 1x 2
3
ax.......
n n
para los que a0 0 son sub
espacios de P3 Resp. Es un sub espacio de P3 4.
Dados los sub espacios de R 4 W x( y, z, )R /x2y4 z, 2t
W x(,y,z) R /x
y 2 z t 4
y el sub espacio
Hallar una Base y Dimensión para: ()a W
U () b W U
1 0,0, ,1 ; 1 U W Base Dim 2 Resp. 3 1 (bBase )U 0 , 2, 0,1, 3 0 , 1, 0, U, 2 ; W Dim Base W , 2, 0, 2 2 , x y w x 5. Para que valores de “a ”el polinomio p x será una combinación lineal de u x v 3 2 3 3 3 Si: p x ax 3x 3x 2 , u x 3x 3 , v x 3x 3 , wx x 7 x 4 81 Resp. a ()a Base U
6.
W
20 Escriba vt t 2t 4 3 como combinación lineal de p1 t t 2 2t 5 , p2 t 2t 2 3t y
p 3t 1 p t 2p2 t 4 3 Resp. vt Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado 2º, determinar el valor de la constante “k ”
p3 t t 3 7.
de modo que el conjunto “S” sea:
S k t 1 t2 kt1, t2k , 2
(a)linealmente independiente (b)linealmente dependiente. Resp. (a) k 1, k2 k 2
(b) k 1, k2 k 2
62
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1 8. Hallar el valor de " " para que M pertenezca al subespacio generado por: 1 1 1 2 0 1 Resp. 3 A y B 2 2 1 1 t r 3, 5, , 9. Determinar “r” y “t” de modo que los vectores u 1,2 , 3,9 v ; 2, w2,4 y ,3
33 33 t r , 8t r , 8t Resp. r 8
sean linealmente independiente: 10.
2 Hallar de modo que el conjunto de vectores S w w 1, w 2,
sus vectores como c ombinación lineal de V u u, u , w1u12u3 u w2 u1
1
2
2
3
,
33 2
se linealmente independiente
linealmente independiente. 3
u 2 3 u 3
w1 u21 u2 u3
Resp. R 11.
12.
Indique si el siguiente conjunto es base para P2 : 1 x 4 x,1 2 3 2x ,1 x32 2 x Resp. NO ES BASE
x2
Hallar una base y dimensión del espacio solución del sistema f orma por
x 3y z 0,3x 0y
z 3 y0x
y
z
7. 1.4 , Dim Base1 Resp. Base 13.
Encuentre bases para los espacios de filas y columnas generados por los vectores:
u 2,0,2,2 , u 2 3, 4, 1, 9
, u 3 1,2,3,7 y u 4 3,1, 2,0 , además la dimensión de las bases. T T F 2; Bc 2, 3,1, 3 0, 4, 2,1 , DimB 2c , DimB Resp. BF 1, 2, 3,7 0,1,1,3 1
14.
Dados los Sub Espacios S y T en el espacio Vectorial P 2definido por:
c a /b32c0 S ax 2 bx S
yT ax bxc/ a32 2 b c0
T y demostrar que también es un Sub Espacio en P
se pide hallar 2
Resp. S T ES UN Sub Espacio en P2 Hallar un vector x tal que los conjuntos de vectores de R3generen el mismo sub espacio vectorial: 15.
S 3,2 , 1 , 5,6 , 3T, 8,4yx,4
1,10,1 ,
Resp. x 0,7,1
63
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16.
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3
En R se consideran los Sub Espacios:
U xyz, ,Rz
3/ U0
0,1,1 , 2,1, 2 , 2, 0,1
, W y U W Hallar una Base y Dimensión para: U ,W U Resp. BaseU
1, 0,2 , 0,1, 1 Dim BaseU 2
Basew 2, 0,1 0 , 2,1,
Dim Basew 2
BaseU 1,0,0 , 1, 1, 0 , 0,W0,1 U
Dim Base
W
Base 2,1, 0 WDim W U U Base
3
1
Para los siguientes Sub Espacios, estudiar si son iguales y en caso de no serlo, determinar si uno esta incluido en el otro: 17.
W1 xyzt ,R,, x y z t/
R2,3, 1, 22
xzt 0W 2 0
4
4
Resp. (a)Si dos
Sub Espacios son iguales las Dimensiones deben ser iguales, en nuestro caso
Dim W 1
Dim 2 W1
W
2
W (b) Para ver si e sta incluido en el otro un elemento del conjunto
debe satisfacer la condición del otro Sub Espacio,(no esta incluido) W1 W2 18.
Hallar una base para W1 W2 y la dimensión de W1 W2 si: 3
W1 x y,z, R / 2x yz
3
0 yW
xyz,, R 2 /x3y z 0
3 5 Resp. Base W2 W1 1, , , Dim W2 W1 3 4 4 19.
Calcular Dim W1 2W
W1 xyz,, R y/ 2z x 4 W , 3
W 4 W si xyz,, R 2 x /2z 2y
3
W3 x yz, R x/ 5z 4 y yW 3
Resp. Dim W1 2W 3 W 4
xy, z R4/x 3 y3 z
3
3
W 2
64
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20.
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Sean los Sub Espacios en R S x y,z,u, / 2x y 2zu 4
1, 1 , 1, 1, 3, 3 , 2, 2, 4, 4 1, 1, 1, 1, 1,1, para (a) S T , (b) S T 1,1,1 Resp. (a) Base T S 1,
y T generado por el conjunto
0
, se pide encontrar una base y dimensión
TDim Base 1 S
(b) BaseS 2, 1,0, 2 , 0,1,0, 1 , 0,0,2,1 T , 0,0,1,1 S
T
21.
Para el producto interior A; B
Tr BT A Hallar:
Dim Base
4
El ángulo entre
30º 22.
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1 1 1 1
1 1 ; 0 1
Resp.
En el Espacio Vectorial de los polinomios de grado 2 se define el Sub Espacio
L at2 bt c/ 3a 2 b2 c0
, se pide encontrar un base ortonormal para el mencionado Sub Espacio. Utilice el producto interior definido por:
p t , q t
p t qt 1 p1 ,q11 p
q 1 1 2t 2 3 ,t 6 7371 26
30t
Resp. BaseL
23.
2
39 t
2 1 1 1 ; 3 2 2 1
Hallar una base y dimensión para el Sub Espacio ortogonal a las matrices
a b e f Utilice el producto interior definido por:
24.
ae 2bf 2 7 Resp. B 3 0
c d g; h
Dado el producto interior definido en R 3 por:
V v v1 , v2 ,
UV ;
dh 12 ; 0 3
uv 11 uv22 2 uv3 3
Dim B 2 , donde U u u1 , u2 , 3 ,
3 3 ,se pide ortonormalizar la base para el Sub Espacio en R generado por el conjunto de
vectores: 1, 2,2 , 1,1,1 , 0,1,3
3 ; 0,1, Resp. B 1, 0,4
B
1 1, 0, 4 ; 17
1
731
12,17, 3
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ALGEBRA LINEAL EXÁMENES UNI - LIMA PERÚ MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts)
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QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL SIN FINES DE LUCRO
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
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Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2011-I
FECHA
: 15.12.2011
EXAMEN FINAL 1.- Dado el triángulo ABC y las rectas L1 : x 9
y 18 z 2 11 y 11 z 8 L2 : 7 17 15 5 x4
Medianas del triángulo trazadas de los vértices C y A respectivamente. Si B = (-5, 2, 3), encontrar los vértices A y C del triángulo.
E sen 2 26
2.- Calcular la siguiente suma
sen 2
3 26
sen 2
3
... sen 2
26
51 26
3.- a) Encontrar los valores y vectores característicos de la matriz 4
f ( A) 8 A
3
T
A A
3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
8 I si
b) Diagonalizar la matriz A, si es posible
4.- Cuáles de las siguientes aplicaciones son T. L a) T M : 2 RT /
a b a b c d cd
b) T :P 2 P T ax 2 /c bx
c 2b ax c b x
(2
3 )
1 1 2 2 d) T : C P2 T e : P T2 a/ bi( a) b(2 a3 )bx (3a bx4 ) c) T :M 2
) A M M 2T /A ( MA
2
donde M
(
2
)
donde M2 es el espacio de las matrices cuadras de orden 2 P2 Es el espacio de los polinomios de grado C es el espacio de los números complejos 5.- Sean B1
u1 , u2 , u3
y B2
v1, v2 , v3
2
bases de V3 donde u1 = (1, 0,1)T,
u2 = ( 1,1,0)T , u (0,1, 1)T , v (1, 1,2 )T , v (1,1,2)T , v (0,0,1) . 3 1 2 3 a) Hallar la matriz de transición de la base B1 a la base B2. b) Usando la matriz de transición obtenida en (a ) calcular x en la base B2. NOTA: RESOLVER SOLAMENTE 4 PROBLEMAS
(2,5, 7)T
en la base B1 y
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2011-I
FECHA
: 14.07.2011
EXAMEN FINAL 1.- Dadas las rectas L1 : x 1 y
L2 :
x 1
2
z 1
y 3
3
2
z4
L es la recta que contiene a la distancia mínima entre L1 y L2 . Hallar la imagen de la recta L sobre el plano P : 2 x y z
1 ei 2θ
θ
iθ
1 e
0
iθ
e 2.- Si
ei
0 0
e
0
i 2θ
e
iθ i 2θ
1 e
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1 ei 2θ
ei θ
Aei Bθ
0
0
e
iθ
θ
1 ei 2
Calcule A B. 3.- Si el número complejo i es un cero de
xP ( ) x 120x 6
166 x x 5 203 x
4
x48 3 288
2
118
35
Encontrar todos los ceros de P ( x ) .
4 a a , a, b 4.- Sea la matriz A b 5 b , los valores propios de la matriz A a a b 3 2 satisfacen la ecuación λ 11λ 39 λ 45 0 . Encontrar los valores y vectores propios de A
Victoria
1
.
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBR ALINEAL
CICLO
:2010 – III
CB-111 A.HUAM AN,G.T AFUR
F EC H A
:11/03/2011
EXAMEN FINAL 1.- Calcule el siguiente determinante
A
ei2 ei
ei ie
e i 3θ
1
e i 4θ
e i 4 ei
e3i
ei
e ie5i
3
ei2
4
e i 3θ
2
2
ei
2.- ¿Bajo que condición Px( )x
2m
2 x m 1 es divisible por D( x ) x x 1 ?.
3- a) Averiguar si el conjunto de elementos u a bi
con las operaciones
u1 u2 a1 a2 2b 1bi λu λ b aλi es un espacio vectorial . Justificar
b) Averiguar si el conjunto de elementos u a c
a1 2a b1 b2 c1 c2 d1d2
u1 u2
λu
b con las operaciones d
0 0
λ
a b c d 0
es
un espacio vectorial. Justificar 4.- Pn = { espacio de los polinomios de grado < n} Sea T: P4 P3 una T. L y sea B p1,2p3 4, p , p 2
3
p1 2x, p 3x2, 4p , x x4 p T ( p2) 4 8 x ,
donde:
T ( p3 ) 2 x
2
, Tp( 4) x4
2 x12 8 3
a) b) c) d)
x
2
2
x donde p( x ) ax bx Encontrar T( p( )) cx d Calcular T( q( )x) donde qx() 5 x x3 2 Encontrar una base para el espacio imagen de T Encontrar una base para el espacio núcleo de T
una base para P4
donde T p( 1 )x x2 1 ,
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL
CICLO
: 2 010-II
FECHA
: 16.12.2010
CB-111 A. HUAMAN, R. CHUNG
EXAMEN FINAL 1.- Por el punto A(1, 0, 1) se traza un perpendicular al plano P : 2x y z 7 0 . Si B es el pie de la perpendicular, determinar un punto C en la recta L:Q ( 1,1, 0) t (0,1,5)/ t R , de modo que el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D es igual a 3u 3, siendo D L P . n n
2.- Sea Pz( z) z z
n1
z n 2 3 ... 1 , n es impar / z 1 , z 1 , arg( z ) θ
θ k sec . Halle K. 2 3.- Dadas las bases S (0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) y S (1,1,1),(1, 2,3),(10,1) de Sean v (1,4,5) y u (2,0, 6) a) Determine Hallar los vectores debase respecto v yP de u la b) la matrizcoordenados de cambio de base Sa alas la bases base S S y S Si P ()z
3
c) Utilizando la matriz P de b) halle los vectores coordenados de v y u respecto a la base S d) Determine la matriz de cambio de base S a S
3
3
4.- Halle la matriz asociada a la transformación lineal T : R R definida por
x
x y 2 z
z
5 x y 8 z
T y x 3y z 4
Con respecto a la base (1,1,1),(2 ,2, 1),( 1, 2, 2) y halle una base y la dimensión del núcleo y la imagen de T.
Victoria
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ÁREADE CIENCIAS BÁSICAS CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010 – 2 CODIGO : CB-111 DOCENTE : MONCADA CAJAVILCA, Víctor José FECHA : 06Dic2010
EXAMENES FINALES CICLO 2010-1 1.- Un plano P pasa por el punto (1, 4, -2) y dista una unidad de la recta L :( 2,6,5) r (2, 4,0) , r i) Calcule la ecuación del plano P ii) Indique si los puntos (1, 0, 0) y (0, 0, 1) se encuentran arriba o debajo del plano P iii) Determine de (ii) las proyecciones sobre el plano P
u1, u2 , u3 y B2 v1, v2 , v3 dos bases de 3 donde u1 (1,1,1), u2 (1, 2,1) y u3 (2,1, 1) v1 (1,1,1), v2 (0,2,1)
2.- Sean B1
i) Encontrar la matriz de cambio de base de B1 a B2
ii) Usando la matriz obtenida en (i) si v 3
3.- Sea T :
2
sean las bases
(1,0,1) calcular v
y v3
en la base B1 y v en la base B2
una transformación lineal definida por T x( yz, , )(x y2z x
B1
(1,1,1),(1,1,
3
1),(1, 1, 1) de
(3, 0, 1)
y B2
y, 3 z
(1,2),(3,5)
2
4 )y
2
de
a) Determine la representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2
b) Usando la matriz obtenida en a) de termine T (v ) si v (1,2,3) 4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta
i) Si a
b c
ii) proyrb a
y a
b b / /a b
NOTA: a , b y c
b c 0
entonces proy a b
c. d
iii) a b
proyc b proya c a
ac bd.
a..d bc
.
3
CICLO 2009-3
P2 una transformación lineal y B p1, p2 una base de P2 donde p1 ( x) x 1 , p2 ( x) x 1 , T ( p1 ) x 1, T ()p2 2 x 1 , a) Hallar T (ax b ) b) Calcular T (2 x 3) c) Encontrar la matriz de T con respecto
1.- Sea T : P2
3
2.- Sea T : R
4
T R
una transformación lineal y B u1, u2 , u3 una base para T T T u2 2,5, 7 , u3 2, 4, 5 , T (u1 ) 1, 2,0, 1 T T T (u2 ) 0,1,0, 1 , T (u3 ) 0,0,1,1 . T a) Hallar T 5, 4, 3 . b) Hallar una base para el espacio imagen de T.
u1 1, 2,3
,
c) Hallar una base para el núcleo de T.
a la base B.
3
R ,
, donde :
3.- T : R
3
R3
T (x y,z , ) y z2 x y, x 4 , 3
una transformación lineal definido por
S (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
S (1,1,1), (2, 2,1), (3,2, 2)
dos bases de R
a) Determine la matriz de cambio de base P de S a S
y sean
3
b) Usando a) Determine T
S
4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
a) Si una transformación T cumple T (0) 0 entonces T es lineal
R 3 es lineal tal que , a b3 , 7 ) T a( b, ) b(2 a b a
b) Si T : R
2
c) Sea T : R
3
R2
T(1, 2) = (3, -1, 5)
y
T(0,1) = (2, 1, -1)
una transformación lineal definida por: T x( yz, , )x 3y
z2x
y4 , z
entonces
5
3
S (1,3), (2,5) bases de R 3 y R 2 entonces la 7 33 13 representación matricial de T respecto a las bases S y S es 4 19 8 S (1,1,1), (1,1, 0), (1, 0,0)
y sean
CICLO 2009-2 1.- Sean los planos
P 1:
x 3 y 2z 5
P2 : 3 x 2 y z 1
A=(8,- 5,- 5) 3
y
A1 es proyección ortogonal de A sobre P 1 A2 es proyección ortogonal de A sobre P 2. Sobre P1 P2 encontrar un punto Q de modo que el área de la región triangular A1 Q A2 sea mínima.
2.- Sea B1 u1, u2 , u3 y B2 v1 , v2 , v3
3
dos bases de R donde,
u1 1,1,1 , u2 1, 2, 2 , u3 1, 2, 3
v1 (1, 1, 1) , v2
(0,2,1) , v3
( 3, 0, 1) ,
a) Encontrar la matriz de cambio de base de B 1 a B2 . b) Usando la matriz obtenida en a) halle v B y v B 2 con v (1, 2, 3) 1 4 x y x x 2y z5 z x y
3.- Sea T : 3 3 una transformación lineal tal que Ty
z 2 2 z
3 y sea B u1 , u2 , u3 una base para donde u1 (1,1,1)T , u2 (1,2 , 3)T y u3 (1, 2, 2)T .
a) Halle la representación matricial de T relativo a la base B. b) Usando la parte a) halle T (v ) B tal que v (1, 1,0 ) 4.- Sea P 3 el espacio de los polinomios de grado 3
B 1 x, 1 2, x4
x
x2
y sean B 1 x, 1 x, x 2
y
bases del espacio vectorial P 3.
a) Encontrar la matriz de transición de la base B a la B b) Encontrar la matriz de transición de la base B a la base B c) Usando la matriz obtenida en (a ), si p ( x ) 7 2 x x 2 . Hallar
p ( x) B
y p ( x) B
CICLO 2009-1 1.- Dados los números complejos z1 21 20i y z2 15 8i calcule el área de la región formada cuyos vértices son las raíces cuadradas de los números complejos dados.
2.- Un plano P : ax by cz d π
ángulo de
L1 :
x 1 2
con a,b c, d, contiene a la recta P1 :
con el plano
3
y2 1
z 1
2x y z 7 .
y 8
z 1 y forma un 3
Determine la proyección de la recta
sobre el plano P.
2
3.- Pn = espacio de los polinomios de grado < n .
2 ab c b cx c x
T a bx c x
L : x 1
2
p1 ( x) 12 x x ,
2
p2 ( x) x ,
Sea T : P3 P3 y sea
una Transformación Lineal tal que :
B p1 , p2 , p3
1 x 2 x p3 ( x )
una base de P 3 donde:
2
a) Encontrar la matriz de T con respecto a la base B . b) Usando la matriz obtenida en (a ), calcular T (7 5)x 4.- M = espacio de las matrices cuadradas de orden 2 y sean B M1234 ,M ,M ,M 2
y
1 0 1 1 1 1 1 1 , M 2 0 0 , M 3 1 0 , M 4 1 1 0 0 1 1 2 3 0 1 1 3 N1 , N 2 1 0 , N3 0 0 , N 4 1 1 0 0
B1 N1 , N 2 , N3 , N 4 bases de M
2
donde:
M1
a) Encontrar la matriz de transición de la ba se B a la base B 1 b) Encontrar la matriz de transición de la bas e B 1 a la base B c) Usando las matrices obtenidas en (a ) y (b). Calcule ( M)B y
M B1 ,
3 1 4 2
cuando M
CICLO 2008-3 1.- Sea P n el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que n, T : P3 P2 una transformación lineal tal que A es la matriz de transformación respecto a las bases S y S donde S p p 1 , p2 , 3 , 2 /17 8 /17 13 /17 S q1 , q2 , A , q1 2 x 3 , q2 3 x 4 , hallar una base para el espacio 10/ 17 23 /17 14/ 17 imagen de T.
4 x 4 y 8 z x x 4y z6 4 y sea B u1 , u2 , u3 z 4 y 10 z 6 x 3 T T T una base para R en donde: u1 (-1 , 1 , 1) , u2 = (1 , 0 , -1) , u3 (2 , -1 , -1) .
2.- Sea T : R 3 R 3 una Transformación Lineal tal que: Ty
a) Hallar la matriz de la transformación respecto a la base B. b) Encontrar una base para la imagen de la transformación.
L : x 10 y 7 z 9 y un punto Q(13, 1, 0) a la recta L . Halle dos puntos A 1 2 1 y B en L que forman con Q un triángulo equilátero.
3.- Dada una recta 4.- Sea T : 3
3
una T.L. definido por:
bases Sw 1 w(1,1,1), w2 (1,1, 0), 3
T (x y,z , )x ( y z 2y zx , y z, (1, 0, 0) y S µ1
a) Encontrar la matriz de cambio de base de S a S’
2 )
y considérense las
(2, 0,1), µ 2 (1,1, 1), µ3 b) Usando ( a) calcule
(1, 0,1) de
T S
3
CICLO 2008-2 3
1.- Consideremos las bases S y S’ de
Su
u(1, 2, 0), u (1,3, 2),
1
2
3
tal que
Sv'
(0,1,3)
T : R 4 R 3 una T. L. definida por:
v (1,1,1), v (1,1, 0),
2
(1, 0, 0)
3
b) Usando a) halle v S / v (0,1,1)
a) Halle la matriz de cambio de ba se P de S a S’ 2.- Sea
1
T (x y,st , , x) y (s t x s t ,x y 2s t,
3
2)
a) Encontremos una base y la dimensión de la imagen de T Si uS
u (1,1,1,1), u (1,1,1, u 0),
1
23
(1,1, 0, 0),
(1, 0, 0, 0)
4
es una base de
4
.
b) Encontrar una base y la dimensión de l núcleo de T . 3.- L 1 es una recta que intercepta perpendicularmente a las rectas L 2 y L3 en Q y T respectivamente donde z L3 : x 4 4 y , L2 A t a , A = (4, 8, 4) . La recta L 4 : x y 8, z 0 es secante con L 1. 2 Calcular QT . n
4.- Calcular:
k 1
n 2kπ 2kπ 10 6 cos 2n 1 10 6 cos 2n 1 k 1
CICLO 2008-1 b b 0 a 1 donde a y b son enteros, los valores propios de A satisfacen la ecuación 1 b a
1.- Sea la matriz A 1 λ 3 8λ2
27 λ 10
0
a) Encontrar los valores y vectores propios de -1 b) Diagonalizar A si es posible. 2.- Sea T : 3
3
una T. L definida por:
sea B u1 , u2 , u3 una base de
3
f ()A (3 A) 4
(10) A 2
5 A 8I
x 2 y 2 z
x
T y x y z 2 z x y 4 z
y
tal que u1 (1, 0, 0)T , u2 (1,1, 0)T , u3 (1,1,1)T
a) Encontrar los valores y vectores propios de T b) Encontrar una nueva base de modo que la representación matricial de T sea diagonal 3.- Sea M 2 x 2 = {espacio de las matrices cuadradas de orden 2 } y sean:
B1 M1 , M 2 , M 3 , M 4 1 1 M1234 0 0
,
B2 M1'''', M 2 , M 3 , M 4
bases de M2x2
donde:
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ' 1 0 M ' 0 2 M ' M M1234 M M 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 a) Encontrar la matriz de transición de la ba se de B 1 a la base B2 b) Encontrar la matriz de transición de la base de B 2 a la base B1 1 2 c) Si M . Calcular ( M ) B1 y ( M ) B2 usando las matrices de transición halladas en (a) y (b) 3 4
M
4.- Sean las rectas L1 :
x 5
2
y , z = 0, L2 : x 9 , y 8 , z t , t
donde A L1 , B L2 , AB es
perpendicular L1 y a L2 , M y N son puntos de L1 y L2 respectivamente 2 AM .BN AB. AB , si M es punto medio de AB y L contiene a MN . Calcular la distancia d (M, L ).
CICLO 2007-1 x 6 y 8 x 6 y 8 z 10 1.- L1 : , z = 0 , L2 : son rectas donde AB es la distancia mínima, A L1 12 9 3 4 5 y B L2 , D y O (srcen de coordenadas) son puntos de L 1 y L2 respectivamente y C , W son puntos de DO y AO en ese orden tal que BW : 7 x 24y 15 z 150 0 es el plano que contiene a ABC
es perpendicular al plano AOD, P donde D y O están a uno y otro lado de
dicho plano, si el plano que contiene a BCW es: 3 x 4 y 250 , hallar D . 2 3 n 2.- Calcular a) A = cos cos cos cos 2n 1 n 2 n 1 2n 1 2 1 b) Si n = 7 que valor toma A?.
5 b b 3.- Sea la matriz A a 3 4 donde los valores propios de A satisfacen la ecuación a 1 2 2 λ 3 Bλ 7λ C 0 , B > 0 , C >0. 1 , t0 Para λ 0 el vector propio asociado es X t 0 1 a) Encontrar los valores y vectores propios de A 4.- a)
-1
b) Calcular A15
Pn es el espacio de los polinomios de grado < n. Sea A p1 ()x , p2 ()x , p3 ()x un conjunto de polinomios de P 3 donde
p1 ( x) x 2 2 x 3 , p2 ( x) 2 x2 57x
,
p3 ( x ) x 2
Averiguar si A es un conjunto linealmente independiente. b) Sea GoF :V
W
una transformación definida por:
Fv GoF v G
( ) , donde G y F son transformaciones lineales ¿ Go F es una transformación
lineal?. Justificar la respuesta.
CICLO 2006-2 1.- Dados los números complejos z1 , z2 y z3 donde z1 z2 z3 1 . Demostrar que: 1 z1 z2
z3
3
2
1 z2 z3
z1
3
2
1 z3 z1
z2
3
2
18 3
3
z1 z2 z3
3
5 8 x4 a3x 3ax 2a 2 2.-Sea el polinomio Px( ) x x
1
0
cuyos ceros están en progresión aritmética,
hallar el menor cero de P ( x) . 3.- P n = espacio de los polinomios de grado n Sea T : P2 P1 una T.L y sea B p1, p2 , p3 una base de P 2 donde p1 x 2 1 , p2 3 x 1 ,
p3 4 x 1 ,
se sabe que T ( p1 ) 31 x , T ( p2 ) x 2 , T ( p3 ) x donde p ( x) ax 2 bx c
a) Encontrar T p ( x )
b) Hallar T (3x 2 2 x 4)
2
4.- Sea T :
2
bases de
3
1
v1 2 ,
1
unaT.L definidapor
1 3 , u2 0 , 2
3
y
x y x T 2 x y y sean B u1 , u2 y B v1 , v2 , v3 y 3y
respectivamente, tal que u1
1
v2 1 0
1
v3 0 1
a) Encontrar la matriz de T con respecto a las bases B y B .
5 3
b) Usando la matriz obtenida en (a). Calcular T
CICLO 2006-1 1.- Sea P( x ) Ax m Bx n Cx p Dx q , donde(-1) esuncerod emultiplicidad3; m y p sonpares, n mn ρ q
y q impares. Si .. Calcular
b
2.- Sea A a
2a
B C
b
3
b
a con a, b Z , los valores propios de A son tales que λ 2
1
a
2
b
satisfacenlaecuación λ 3 5λ 2 2λ 8 0 a) Hallar los valores y vectores propios de A b) Calcular 30 A
-30
.
λ 3 2λ 1 y
3.- D-ABC es una pirámide en donde AD = 6 , BC = 5 , A = (5, 6, 3), las rectas que contienen a AD y 3 BC distan en 6 u y forman un ángulo tal que = arc. cos . El plano que contiene al triángulo 5 13 acutángulo DBC es: 6 x 5 y 8 z 132 0 ; , 9, 6 y (6, 12, 9/2) son puntos medios de DB y 2
BC respectivamente. Hallar las coordenadas de B y C . 4.- a) P 3 = espacio de los polinomios < 3
B1 p1 , p 2 , p3 y B2 q1 , q 2 , q3 son bases de P 3 donde p1 1 x x 2 , 2
2
2
2
2
p 2 x x , p3 x , q1 3 x 4 x , q 2 5 2 x x , q3 1 x 6 x i. Encontrar la matriz de transición de la base B 1 a la base B2 ii. Encontrar la matriz de transición de la base B 2 a la base B1 iii.
Usando la matriz obtenida en (i). Calcular p ( x ) 2 x en la base B1 . i
5i
9i
13 i
289 i
E (1 e 73 ) (1 e 73 ) (1 e 73 ) (1 e 73 ) .....(1 e)
Calcular b)
73
CICLO 2005-2 1
1 5
1.- Si A
7
-1
a) Encontrar los valores y vectores propios de 12 A b) Si f ( A) A 2 A IHallar .
7 2.- Sea A d 12
c
19 2c
f ( A) 36
6
d la matriz de orden 3, donde 13
Los valorespropiosdeAsatisfacenlaecuación
cd,
8λ 3 aλ 2 bλ 08
a) Encontrar los valores y vectores propios de A b) Diagonalizar A, si es posible
3 1 1 3 1 1 1 3
3.- Si A 1
n
4.- Hallar
t 1
diagonalizar ortogonalmente la matriz A
2 1 2tπ 1 cos 2 n 1
,
c d 2
nZ
2008-I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2010-I
A. HUAMAN, R. CHUNG
FECHA
: 15.07.2010
EXAMEN FINAL 1.- Un plano P pasa por el punto (1, 4, -2) y dista una unidad de la recta L :( 2,6,5) r (2, 4,0) , r i) Calcule la ecuación del plano P ii) Indique si los puntos (1, 0, 0) y (0, 0, 1) se encuentran arriba o debajo del plano P iii) Determine de (ii) las proyecciones sobre el plano P 2.- Sean B1
u1, u2 , u3
u1 (1,1,1), u2
3
dos bases de
donde
(1, 2,1) y u3 (2,1, 1) (0,2,1) y v3 ( 3,0, 1)
v1, v2 , v3
y B2
v1 (1,1,1), v2
i)
Encontrar la matriz de cambio de base de B1 a B2
ii)
Usando la matriz obtenida en (i) si v
(1,0,1) calcular v en la base B1 y v en la
base B2 3
3.- Sea T :
2
una transformación lineal definida por
T x( yz, , )(xy 2zx B 1
y , 3z
2
(1,1,1),(1,1,
4 ) y sean las bases
1),(1, 1, 1) de
3
y B2
(1,2),(3,5)
de
2
a) Determine la representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2
b) Usando la matriz obtenida en a) determine T (v )
si v
(1,2,3)
4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta
i) Si a
b
c
y a
ii) proy a
rb
b
c
0 entonces proy b a proyc b
NOTA: a , b y c
ac bd .
Victoria
b / /a b
c. d
b
iii) a b
3
a..d bc
.
proya c
a
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : A. HUAMAN, R. VASQUEZ
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2009 – III
FECHA : 12.03.2010
EXAMEN FINAL P2 una transformación lineal y B p1 , p2 una base de P2 p1 ( x) x 1 , p2 ( x ) x 1 , T ( p1 ) x 1, T ()p2 2 x 1 , a) Hallar T (ax b ) b) Calcular T (2 x 3)
1.- Sea T : P2
donde
c) Encontrar la matriz de T con respecto a la base B. 2.- Sea T : R
3
R4
una transformación lineal y
T
donde : u1 1, 2,3 , u2
2,5,7
T
T
u3 2, 4, 5 , T (u1 ) 1, 2,0, 1
,
T
B u1, u2 , u3 una base para R3 , T
,
T
T (u2 ) 0,1,0, 1 , T (u3 ) 0,0,1,1 .
T
a) Hallar T 5, 4, 3 . b) Hallar una base para el espacio imagen de T. c) Hallar una base para el núcleo de T.
R 3 una transformación lineal definido por T x( y,z , ) y z2 x y,x 4 , 3 y sean
3.- T : R
3
S (1,1,1), (2, 2,1), (3,2,2)
S (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) dos bases de R 3
a) Determine la matriz de cambio de base P de S a S b) Usando a) Determine T
S
4.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
a) Si una transformación T cumple T (0) 0 entonces T es lineal 2
3
b) T Sia (T b, : R )(b a 2 R b es a , alineal b3 ,tal7 que T(1, ) 2) = (3, -1, 5) y T(0,1) = (2, 1, -1) entonces
R 2 es una transformación lineal definida por T x(yz, , )x 3y z2x y4 ,z 5 3 y sean S (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
c) Sea T : R
3
S (1,3), (2,5) bases de R 3 y R 2 entonces la representación matricial de T respecto a las bases S y S es
7 33 13 4 19 8
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : A. HUAMAN, C. MENDOZA
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2009 – II
FECHA
: 18.12.09
EXAMEN FINAL 1.- Sean los planos
P 1: x 3 y 2 z 5 P2 : 3 x 2 y z 1
y
A = (8, -5, -5) 3 A1 es proyección ortogonal de A sobre P1 A2 es proyección ortogonal de A sobre P2. Sobre P1 P2 encontrar un punto Q de modo que el área de la región triangular A1 Q A2 sea mínima 2.- Sea B1 u1, u2 , u3 y B2 v1, v2 , v3
dos bases de R 3 donde,
u1 1,1,1 , u2 1, 2, 2 , u3 1, 2, 3
v1 (1, 1, 1) , v2
(0,2,1) , v3
( 3, 0, 1) ,
a) Encontrar la matriz de cambio de base de B 1 a B2 . b) Usando la matriz obtenida en a) halle v y v con v (1, 2,3) 2
B1
B
4 x y x x 2 y z5 z y x
3.- Sea T : 3 3 una transformación lineal tal que Ty
z 2 2 z
y sea B u1, u2 , u3 una base para 3 donde u1 (1,1,1)T , u2 (1,2 , 3)T y u3 (1, 2, 2)T .
a) Halle la representación matricial de T relativo a la base B. b) Usando la parte a) halle T (v ) tal que v (1, 1,0 )
B
4.- Sea P 3 el espacio de los polinomios de grado 3 y sean B 1 x, 1 x, x 2
y
1 x, 1 2x, 4 B
x
x
2
bases del espacio vectorial P3. a) Encontrar la matriz de transición de la base B a la B b) Encontrar la matriz de transición de la base B a la base B c) Usando la matriz obtenida en (a ), si p ( x) 7 2 x x 2 . Hallar Victoria
p ( x) B
y p( x) B
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: ALGEBRA LINEAL : CB-111 : A. HUAMAN, L. KALA
CICLO
: 2009 – I
FECHA
: 17.07.09
EXAMEN FINAL z1 21 20i y
1.- Dados los números complejos
z2 15 8i calcule el área de la
región formada cuyos vértices son las raíces cuadradas de los números complejos dados. 2.- Un plano P : ax by contiene a la recta cz d con a,b c, d, y 8 π L : x 1 z 1 y forma un ángulo de con el plano P1: 2 x y z 7 . 3 3 x 1 y 2 z 1 Determine la proyección de la recta L1 : sobre el plano P. 2 1 2
3.- Pn = espacio de los polinomios de grado < n
Sea T : P3 P3 una T. L tal que T a bx cx
2 ab c b cx c x
2
2
y sea B p1, p2 , p3 una base de P 3 donde p1 ( x ) 12 x x , p2 ( x) x , p3 ( x) 1 x 2 x 2
a) Encontrar la matriz de T con respecto a la baseB . b) Usando la matriz obtenida en (a ), calcular T (7 5)x ,M ,M ,M 4.- M 2 = espacio de las matrices cuadradas de orden 2 y sean B M1234 y B1 N1, N 2 , N3 , N 4 bases de M
1 0 1 1 , M2 0 0 , 0 0 1 1 2 N1 , N2 1 0 0
M1
2
donde
1 1 1 1 , M 4 1 1 1 0 3 0 1 1 3 , N3 0 0 , N 4 1 1 0 M3
a) Encontrar la matriz de transición de la base B a la base B 1 b) Encontrar la matriz de transición de la base B 1 a la base B c) Usando las matrices obtenidas en (a ) y (b) . Calcular (M)B y
Victoria
M B1 , cuando
3 1 4 2
M
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGERA LINEAL : CB-111 : ALEJANDRO HUAMAN, RIQUELMER
CURSO CODIGO DOCENTE
VASQUEZ
CICLO
: 2008 – III
FECHA
: 10.03.09
EXAMEN FINAL 1.- Sea P n el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que n, T : P3 P2 una transformación lineal tal que Aes la matriz de transformación respecto alas bases S y S 2 /17 8 /17 13 /17 S q1, q2 , donde S p p A 1 , p2 , 3 , , q1 2 x 3 , 10/ 17 23 /17 14/ 17
q2 3x 4 , hallar una base para el espacio imagen de T.
4 x 4 y 8 z x 2.- Sea T : R R una T.L tal que Ty x 4y z6 4 y sea B u1, u2 , u3 una z 4 y 10 z 6 x 3
3
3
T
base para R en donde u1 (-1 , 1 , 1) , u2 = (1, 0, -1)
T
T
, u3 (2 , -1 , -1) .
a) Hallar la matriz de la transformación respecto a la base B. b) Encontrar una base para la imagen de la transformación.
x 10
4.- Sea T : 3
3
1
y 7
una transformación lineal definido por
T (x y,z , )x ( y z 2y z x , y z,
2 ) y considérense las bases
Sw 1 w(1,1,1), w2 (1,1, 0), 3
S µ1
z 9
y un punto Q(13, 1, 0) a la recta L . Halle 2 1 dos puntos A y B en L que forman con Q un triángulo equilátero
L:
3.- Dada una recta
(1, 0, 0)
(2,0,1), µ2
(1,1, 1), µ3
y
(1, 0,1) de
3
Encontrar la matriz de cambio de base de S a S’
a) b) Usando ( a) calcule T S
Victoria
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : R. VASQUEZ, A. HUAMAN
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2008 – II
FECHA
: 19.12.08
EXAMEN FINAL 3
1.- Consideremos las bases S y S’ de
Su
Sv'
1
1
u(1, 2, 0), u (1,3, 2),
2
v (1,1,1), v (1,1, 0),
2
tal que
(0,1,3)
3
3
(1, 0, 0)
a) Halle la matriz de cambio de base P de S a S’ b) Usando a) halle v
/ v (0,1,1)
S
2.- Sea T : R 4 R 3 una trasformación lineal definida por:
T (x y,st , , x) y (s t x s t ,x y 2s t,
3
2)
a) Encontremos una base y la dimensión de la imagen de T
Si uS
1
u (1,1,1,1), u (1,1,1, u 0),
23
es una base de
4
(1,1, 0, 0),
4
(1, 0, 0, 0)
.
b) Encontrar una base y la dimensión del núcleo de T . 3.- L 1 es una recta que intercepta perpendicularmente a las rectasL 2 y L3 en Q y T z respectivamente donde L3 : x 4 4 y , L2 A t a , A = (4, 8, 4) . La recta 2 L 4 : x y 8, z 0 es secante con L 1. Calcular QT .
n
4.- Calcular:
k 1
Victoria
n 2 kπ 2kπ 10 6 cos 2n 1 10 6 cos 2n 1 k 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB 111 A. HUAMAN, L. KALA, R. V ASQUEZ :
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2008 – I
FECHA
: 18.07.08
EXAMEN FINAL b 1.- Sea la matriz A 1
0 1 donde a y b son enteros, los valores propios de A
b a
1 b a
satisfacen la ecuación
λ
3
8λ2 27 λ 10 0
a) Encontrar los valores y vectores propios de 4
2
f ()A (3 A ) (10) A 5 A 8 I b) Diagonalizar A-1 si es posible.
2.- Sea T : 3
3
x2 x y 2z x y z 2 z x y 4 z
una T. L definida por: 3
sea B u1, u2 , u3 una base de
Ty
y
tal que u1 (1, 0, 0)T , u2 (1,1, 0)T , u3 (1,1,1)T
a) Encontrar y vectores propios T b) Encontrar los unavalores nueva base de modo que laderepresentación matricial de T sea diagonal 3.- Sea M 2 x 2 = {espacio de las matrices cuadradas de orden 2 } y sean: B1 M1, M 2 , M 3 , M 4 donde
''''
B2 M1, M 2 , M 3 , M 4
,
1 1 M1234 0 0
M
0 0 0 0 M 1 0 0 1
M
' 1 0 M1234 0 0
0 1 ' M M 1 0
M'
0 2 0 1
1
0
0
0
0
0
1
1
bases de M2x2
a) Encontrar la matriz de transición de la base de B 1 a la base B2 b) Encontrar la matriz de transición de la base de B 2 a la base B1 c) Si M 1 2 . Calcular ( M ) B y ( M ) B usando las matrices de transición 1 2 3 4 halladas en (a) y (b) 4.- Sean las rectas L1 :
x 5
2
y , z = 0, L2 : x 9 , y 8 , z t , t
donde
A L1 , B L2 , AB es perpendicular L1 y a L2 , M y N son puntos de
L1 y L2 respectivamente 2 AM .BN AB. AB , si M es punto medio de AB y L
contiene a MN . Calcular la distancia d (M, L ).
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : L. KALA, A. HUAMAN, R. VASQUEZ
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2 008 – I I
FEC H A
: 16.12.08
EXAMEN FINAL 2005-II
1 1.- Si A 7
1
5
a) Encontrar los valores y vectores propios de 12 A b) Si f ( A) A 2 A IHallar .
7
c
2.- Sea A d
19
12
2c
-1
f ( A) 36
6
d la matriz de orden 3, donde 13
cd,
c d 2
Los valores propios de A satisfacen la ecuación 8λ 3 aλ 2 bλ 8 0 a) Encontrar los valores y vectores propios de A b) Diagonalizar A, si es posible
3 1 1 3.- Si A 1 3 1 1 1 3 n
4.- Hallar
t 1
diagonalizar ortogonalmente la matriz A
2 1 2tπ 1 cos 2n 1
,
nZ
2006-I
1.- Sea P( x ) Ax m Bx n Cx p Dx q , donde(-1) esuncerodemultiplicidad3; m y p son pares, n y q impares. Si .. Calcular
B C
mn ρ q
b
b
3
b
2a
a con a, b Z , los valores propios de A son tales que
b
2.- Sea A a
a
1
λ 3 5λ 2 2λ 80 λ 3 2λ 1 ysatisfacenlaecuación 2 a) Hallar los valores y vectores propios de A
λ 2
b) Calcular 30 A
-30
.
3.- D-ABC es una pirámide en donde AD = 6 , BC = 5 , A = (5, 6, 3), las rectas que 3 contienen a AD y BC distan en 6 u y forman un ángulo tal que = arc. cos . El 5 13 plano que contiene al triángulo acutángulo DBC es: 6 x 5 y 8 z 132 0 ; , 9, 6 y 2 (6, 12, 9/2) son puntos medios de DB y BC respectivamente. Hallar las coordenadas de B y C. 4.- a) P 3 = espacio de los polinomios < 3 B1 p1 , p 2 , p3 y B2 q1 , q 2 , q3 son bases de P 3 donde p1 1 x x 2 ,
p 2 x x 2 , p3 x 2 , q1 3 x 4 x 2 , q 2 5 2 x x 2 , q3 1 x 6 x 2
i. Encontrar la matriz de transición de la base B 1 a la base B2 ii. Encontrar la matriz de transición de la base B 2 a la base B1 Usando la matriz obtenida en (i). Calcular p ( x) 2 x en la base B1 .
iii.
i
5i
9i
13 i
289 i
b) Calcular E (1 e 73 ) (1 e 73 ) (1 e 73 ) (1 e 73 ) .....(1 e
73
) 2006-II
1.- Dados los números complejos z1 , z2 y z3 donde z1 z2 z3 1 . Demostrar que: 1 z1 z2 z3
3
2
1 z2 z3 z1
3
2
1 z3 z1 z2
3
2
18
3
z1 z2
2.-Sea el polinomio Px( ) x 5x 8 x4 a3x 3ax 2a 2
3
1
z3
0
3
cuyos ceros están en progresión
aritmética, hallar el menor cero de P ( x ) . 3.- P n = espacio de los polinomios de grado n Sea T : P2 P1 una T.L y sea B p1 , p2 , p3 una base de P2 donde p1 x 2 1 , p2 3x 1 ,
p3 4 x 1 ,
se sabe que T ( p1 ) 31 x , T ( p2 ) x 2 , T ( p3 ) x donde p ( x) ax 2 bx c
a) Encontrar T p ( x )
b) Hallar T (3 x 2 2 x 4)
4.- Sea T :
2
3
x y x una T. L definida por T 2 x y y sean B u1 , u2 y y 3y 2
B v1 , v2 , v3 bases de
1 1
v1 2 ,
1 0
v2 1
v3
3
y
1 3 , u2 0 , 2
respectivamente, tal que u1
1 0 1
a) Encontrar la matriz de T con respecto a las bases B y B .
5 3
b) Usando la matriz obtenida en (a). Calcular T
2007-I
x6
y 8
x6
y 8
z 10
, z = 0 , L2 : son rectas donde AB es la distancia 12 9 3 4 5 mínima, A L1 y B L2 , D y O (srcen de coordenadas) son puntos de L 1 y L2
1.- L1 :
respectivamente y
C , W son puntos de DO y AO en ese orden tal que BW
es
perpendicular al plano AOD, P : 7 x 24y 15 z 150 0 es el plano que contiene a ABC donde D y O están a uno y otro lado de dicho plano, si el plano que contiene a BCW es: 3 x 4 y 250 , hallar D .
2.- Calcular
n 2 3 cos cos cos 2n 1 n 2 n 1 2n 1 2 1 b) Si n = 7 que valor toma A?.
a) A = cos
5 b b 3 4 a 1 2
3.- Sea la matriz A a 2 λ 3 Bλ 7λ C
donde los valores propios de A satisfacen la ecuación
0 , B > 0 , C >0.
1 , t0 1
Para λ 0 el vector propio asociado es X t 0
a) Encontrar los valores y vectores propios de A 4.- a)
-1
b) Calcular A15
Pn es el espacio de los polinomios de grado < n. Sea A p1 ()x , p2 ()x , p3 ()x un conjunto de polinomios de P 3 donde
p1 ( x) x 2 x 3 , p2 ( x ) 2 x 57 x 2
2
p3 ( x ) x 2
,
Averiguar si A es un conjunto linealmente independiente. b) Sea GoF :V
W
una transformación definida por:
Fv GoF v G
( ) , donde G y F son transformaciones lineales ¿ Go F es una
transformación lineal?. Justificar la respuesta. 2008-I
b b 0 1.- Sea la matriz A 1 a 1 donde a y b son enteros, los valores propios de A satisfacen 1 b a
2 la ecuación λ 3 8λ
27 λ 10
0
a) Encontrar los valores y vectores propios de 4
2
f ()A (3 A ) (10) A 5 A 8 I -1 b) Diagonalizar A si es posible.
2.- Sea T : 3
3
x2 x y 2z x y z 2 z x y 4 z
Ty
una T. L definida por:
sea B u1, u2 , u3 una base de
3
y
tal que u1 (1, 0, 0)T , u2 (1,1, 0)T , u3 (1,1,1)T
a) Encontrar los valores y vectores propios de T b) Encontrar una nueva base de modo que la representación matricial de T sea diagonal 3.- Sea M
= {espacio de las matrices cuadradas de orden 2 } 2 x2
y sean: B1 M1, M 2 , M 3 , M 4 donde
1 1 M1234 0 0
0 1
M
,
0
0 0 M 0 1
0
0 1 ' 1 0 M ' M1234 M 0 0 1 0
''''
B2 M1, M 2 , M 3 , M 4
M
0 2 0 1
M'
1
0
0
0
0
0
bases de M2x2
1 1
a) Encontrar la matriz de transición de la base de B 1 a la base B2 b) Encontrar la matriz de transición de la base de B 2 a la base B1 1 2 c) Si M . Calcular ( M ) B1 y ( M ) B2 usando las matrices de transición halladas 3 4 en (a) y (b) 4.- Sean las rectas L1 :
x5
y , z = 0, L2 : x 9 , y 8 , z t , t
2 B L2 , AB es perpendicular L1 y a L2 ,
M
y
N
donde A L1 ,
son puntos de L1 y L2
respectivamente 2 AM .BN AB. AB , si M es punto medio de AB y L contiene a MN . Calcular la distancia d (M, L ).
18.06: soluciones a la prueba 1 de matemáticas 1. (30 pts.)
(a) Dado que la fila 3 de R está íntegramente compuesta por ceros, la fila 3 de A tiene que ser una combinación lineal de sus filas 1 y 2. Las tres filas de A son linealmente dependientes. (b) Tras realizar un paso de la eliminación, obtenemos: 2 1 1
0
a− 4
(fila
1− 82
b
−
3)
b
.
Si nos fijamos en R, nos damos cuenta de que la segunda columna de A no es una columna pivote, de modo que a = 4. Si continuamos con la eliminación, llegamos a:
1 2 0 8 − b 0 0 1 2 8b − . 0 0 0 0 Comparando esto con R, vemos que b = 5. (c) Si igualamos las variables libres x2 y x4 a 1 y 0, y viceversa, y resolvemos Rx = 0, obtenemos la solución del espacio nulo:
−2 1 x = c 0 0
−3 0 +d . −2 1
El espacio de filas y el espacio nulo son siempre iguales para
A
y R.
2. (30 pts.)
(a) Tras la eliminación, obtenemos:
1 2 0 3 0 0
3
. c − 8 3
De modo que la matriz no será invertible cuando c = 8. (b) Cuando c es distinto de 8, la matriz es invertible y su rango es 3.Por lo tanto, su espacio de nulo consiste únicamente en el vector cero y su espacio de columnas abarca la totalidad de R3. La misma lógica y -1
respuestas se aplican a A . (c) Utilizando los multiplicadores derivados de la eliminación: 1 0 0 1 23 A=
1 1 0 0 33 2 2 3 1 0 0 12
.
3. (40 pts.)
(a) Tiene que haber un pivote en cada fila, así que columnas de A abarca la totalidad de Rm. (b) En todos los casos
r ≤ n.
r=m
Por (a) sabemos que
y el espacio de
r = m.
De estas dos
premisas se deduce también que m ≤ n. (c) Simplemente, se utiliza un múltiplo de [2,5] también para las otras filas. Por ejemplo: 2 5 A=
4 10 . 0 0
El espacio de columnas será la línea de R3 formada por todos los múltiplos de la primera columna de cada ejemplo concreto. El espacio nulo será la recta en R2 que contenga todos los múltiplos de la solución del espacio nulo
−5 2 . 1
(d) Sumando la solución concreta
1 0
a la solución del espacio nulo que
aparece en (c), obtenemos la solución completa: 1 −5 2 x = + . c 0 1
18.06
Profesor Strang
Prueba 2
30 de octubre de 2000
Nombre: ___________________________________________________ Rodee con un círculo su grupo de repaso: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
M2 M2 M3 T10 T10 T11 T11 T12 T12 T1 T1 T2 T2
2-131 2-132 2-131 2-132 2-131 2-131 2-132 2-132 2-131 2-132 2-131 2-132 1-150
Holm Dumitriu Holm Ardila Czyz Bauer Ardila Czyz Bauer Ingerman Nave Ingerman Nave
2-181 2-333 2-181 2-333 2-342 2-229 2-333 2-342 2-229 2-372 2-251 2-372 2-251
3-3665 3-7826 3-3665 3-7826 3-7578 3-1589 3-7826 3-7578 3-1589 3-4344 3-4097 3-4344 3-4097
tsh@math dumitriu@math tsh@math fardila@math czyz@math bauer@math fardila@math czyz@math bauer@math ingerman@math nave@math ingerman@math nave@math
1. (36 pts.)
Supongamos que Q es una matriz de 4 por 3 con columnas ortonormales q1, q2 y q3. (a) Partiendo del vector v (ajeno al espacio de columnas de Q), dar la fórmula del cuarto vector ortonormal q4, que se obtiene por el método de Gram-Schmidt a partir deq1, q2, q3 y v. (b) Describir los espacios nulos de Q (la misma matriz de 4 por 3) y de QT. (Se puede contestar a esta pregunta aunque no se haya hallado la fórmula concreta de q4 en el apartado a). Describir también los espacios nulos de QTQ y QQT. (c) Supongamos que b = q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4. Hallar la solución por mínimos cuadrados xˆ para Qx = b. ¿Cuál es la proyección p de esta b sobre el espacio de columnas de Q?
2. (24 pts.)
(a) ¿Hallar la mejor recta posible (aproximando por mínimos cuadrados) que atraviese los puntos (t, b): (2, 3), (3, 5) y (4, K) es lo mismo que resolver por mínimos cuadrados el sistema de ecuaciones Ax = b? ¿Existe algún valor de K para el que el sistema Ax = b tenga una solución exacta? (b) Para A y B generales ¿bajo qué condición sería xˆ = 0 la solución por mínimos cuadrados de Ax = b? Demostrar, en el ejemplo del apartado (a), la existencia o la ausencia de un valor de K para el cual xˆ = 0 sea la solución por mínimos cuadrados.
3. (40 pts.)
(a) Supongamos que A es una matriz de 4 × 4. Si se le suma 1 al elemento a14 de la esquina superior derecha, ¿cuánto cambiará el determinante? (b) Explicar por qué el determinante de toda matriz de proyección es o bien 0, o bien 1. (c) Hallar el determinante de la matriz circulante:
0 a A= 0 b
b
0
0
b
a
0
0
a
a
. b 0 0
18.06: soluciones a la prueba 2 de matemáticas
1. (36 pts.)
q1 v 1Tq
(a) q4* v
q4
q q
2
q2 v q3
T
T
qv q
3
* 4 * 4
(b) El espacio nulo de Q es simplemente el vector cero ( Q tiene un pivote en cada columna). El espacio nulo de QT es de dimensión uno y consiste en todos los múltiplos escalares de q (porque sabemos que q 4 4 es ortogonal a q1, q2 y q3). El espacio nulo de QTQ = I es también el vector cero. El espacio nulo de QQT es, una vez más, de dimensión uno y consiste en todos los múltiplos escalares de q4. (c) QTQx Q bT es lo mismo que x QT b , de modo que
q1Tq1 x
T 2 1 T 3 1
q
qq
q
q2 2 3q 3 4q4
1
2q3 3 44q
q2
q2 2 q3 3 4q4
3
2
La proyección
p
Qx
q1
. 2q2
3q3 .
1 2 2. (30 pts.)
(a) 1 4 x 1 4
3 5
K
Ax = b tiene una solución exacta cuando b se encuentra en el espacio de columnas. Esto sucede cuando K = 7. (b) x 0 es la solución por mínimos cuadrados cuando b se encuentra en el espacio nulo de AT. Para que
3 5 K
esté contenido en el espacio nulo de
T
A , K tendría que ser igual a – 8 y a
21 4 ,
lo cual es imposible.
3. (40 pts.)
(a) El cofactor de a14 estará sumado al determinante. En la segunda parte de la pregunta, el determinante se doblará. (b) Sabemos que P2 = P, por lo que (det(P))2 = det(P), con lo cual det(P) = 0 ó 1. (c) Utilizando los cofactores por la primera columna, 2 2 2 2 2 det(C) ( b )( b)(a b ) (a a) a( )(b a) b2( 2 ). (d) 24 elementos utilizando a11 + 24 elementos utilizando a22 – 6 elementos utilizándolos a los dos = 42 en total.