JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ECUACIONES DIFERENCIALES
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PROBLEMAS DE EXÁMENES DE LA FACULTAD DE DE INGENIERÍA UMSA PREGUNTAS DE EXÁMENES DEL TERCER PARCIAL PARCIAL ORDENADOS ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA EXAMEN: II-2017 PROBLEMA 1 Resolver la siguiente ecuación diferencial por series alrededor del punto x=0
x
2
4 y 3xy 9 y 0
PROBLEMA 2 Resolver:
x 2 x 6 y f (t ) y 2 x 5 y g (t )
x(0) 0 y (0) 0
PROBLEMA 3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 4u 2 u 2 x y u2 ln u 2 u 2 x y 2 ln u 2 d 3
Considere las condiciones iniciales: x 3 x 3 y 3 0
PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial: y 3 y 4 y u u 9u ; a) Dibujar el diagrama canónico de Jordan b) Plantear las ecuaciones de entrada y salida c) Hallar la matriz de condiciones iniciales
y (0) 1; y(0) 2; y(0) 1
At
d) Calcular la matriz exponencial e e) Hallar la solución del sistema si u cos t 2se sent
EXAMEN: I-2017 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación diferencial:
y 3 y 2 y f (t )
3, 0 t 2 ; f (t 4) f (t ) 0 , 2 4 t
; y (0) 3, y(0) 1 ; f (t )
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PROBLEMA 2 Resolver en serie de potencias alrededor de x0 0 :
x 1 y xy y 0
; y (0) 6, y(0) 2
PROBLEMA 3 Para la ecuación diferencial:
y 2 y 5 y 2t 3 ; y (0) 4, y(0) 0 a) Plantear el sistema dinámico asociado At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial: y 6 y 11y 6 y 2u u u y (0) 1, y(0) 0, y(0) 0 ; Usando conceptos de diag rama canónico en la s eg unda forma – J ordan construir: a) La ecuación de estado b) La ecuación de salida c) El vector de condiciones iniciales d) El diagrama canónico
EXAMEN: II-2016 PROBLEMA 1 Resolver la siguiente ecuación diferencial por series alrededor del punto x=0:
2 x
2
3x 1 y 2 xy 2 y 0
PROBLEMA 2 x1 x1 1 En el sistema dinámico A f t . Determinar la matriz cuadrada A de elementos x2 x2 1 2 x1 t 2 2t 3 ln t 1 1 f t constantes. Si se conoce que: ; . Además: X 0 t 1 1 x2 t 1 2t 1 ln t 1
PROBLEMA 3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 4u 2 u 2 x y u2 ln u 2 u 2 x y 2 ln u 2 d 3
Considere las condiciones iniciales: x 3 x 3 y 3 0
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PROBLEMA 4 Para el diagrama canónico de la figura:
Se pide: a) Hallar la ecuación diferencial de la cual proviene b) Utilizando el concepto de diagrama canónico en su forma Jordán determinar la ecuación de estado, ecuación de salida, vectores de condiciones iniciales si se conoce que: y (0) 1, y(0) 0, y(0) 1
EXAMEN: I-2016 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación integro-diferencial: f t f t
t
t
0 t f d 0 f d 2t ;
f (0) 1
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación diferencial:
y y 6 y f (t )
2, 0 t 2 ; f (t 4) f (t ) 2, 2 4 t
; y (0) 1, y(0) 2
; f (t )
PROBLEMA 3 Resolver en serie de potencias alrededor de x0 0 :
x 1 y xy y 0
; y (0) 3, y(0) 7
PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial:
y 4 y 5 y 3t ; y(0) 3, y(0) 0 a) Plantear el sistema dinámico asociado At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
OPTATIVA Para la ecuación diferencial: y 4 y 3 y 18 y 2u u 3u y (0) 1, y(0) 0, y (0) 1 ; Usando conceptos de diag rama canónico en la s eg unda forma – J ordan construir: a) La ecuación de estado b) La ecuación de salida c) El vector de condiciones iniciales d) El diagrama canónico
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EXAMEN: II-2015 PROBLEMA 1 Resolver la siguiente ecuación diferencial en serie de potencias alrededor de x 0=0: x 2 y 2xy 8 y 0 ; y(0) 1, y(0) 2
PROBLEMA 2 Sea el sistema dinámico
dX
dt solución del sistema, donde:
AX (t ) B (t ) . Se pide: a) hallar la matriz e At por el método Putzer, b) la
7 1 2 0 ; B(t ) te6t A 1 7 0 1 1 6 0
;
1 X 0 0 0
PROBLEMA 3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: xy x 2 z xz ln x 1
xy z xz y ln x 2
y (1) z (1) z (1) 0
PROBLEMA 4 La siguiente figura muestra el diagrama canónico de una ecuación diferencial. Se pide: a) Reconstruir la ecuación diferencial b) Hallar el diagrama canónico en su forma Jordán c) La ecuación de salida y estado d) vectores de condiciones iniciales si se sabe que: y (0) 1, y(0) 0, y(0) 1
OPTATIVA Dado el sistema eléctrico con señal de entrada E(t) y señales de salida Y1 corriente sobre el inductor y Y2 voltaje sobre el condensador se pide plantear el sistema dinámico en las variables planteadas anteriormente. El valor de las resistencias es el mismo.
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EXAMEN: I-2015 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación diferencial:
y 3 y 2 y f (t )
; y (0) 0, y(0) 3
3, 0 t 2 ; f (t 4) f (t ) 3, 2 t 4
; f (t )
PROBLEMA 2 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: 2 x y y 0 x y 2 x 2 y 2t 1
x (0) 0 y (0) y (0) 2
PROBLEMA 3 Para el sistema de ecuaciones diferenciales:
x 4 x 3 y 0 t 6 x y 7 y 2e
x (0) 2 y (0) 0
a) Plantear el sistema dinámico asociado At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial: y 4 y 3 y 18 y 4u 2u 6u y(0) 3, y(0) 2, y (0) 1 ; Usando conceptos de diag rama canónico en la primera forma construir: a) La ecuación de estado b) La ecuación de salida c) El vector de condiciones iniciales d) El diagrama canónico
EXAMEN: II-2014 PROBLEMA 1 Hallar la solución en serie de potencias rededor de x0 0 :
1 x y xy y 0
; y (0) 3, y(0) 8
PROBLEMA 2 Para la ecuación diferencial: y 4 y 4 y 16 y 2u 3u 2u y(0) 2, y(0) 0, y (0) 1 ; Usando conceptos de diag rama canónico en la primera forma construir: a) La ecuación de estado b) La ecuación de salida c) El vector de condiciones iniciales d) El diagrama canónico
PROBLEMA 3 Resolver la ecuación integro-diferencial: 3 2 y 2 t cos 2t 4 2
t
0
y d ; y (0) 2
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PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial:
y 9 y 1 3t t 2
; y (0) 1, y(0) 4
a) Plantear el sistema dinámico asociado At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
EXAMEN: I-2014 PROBLEMA 1 Hallar la solución en serie de potencias rededor de x0 0 :
1 3 x y 6 y 0 2
PROBLEMA 2 Resolver la ecuación diferencial:
y 6 y f (t )
; y (0) 3
4, 0 t 2 ; f (t 4) f (t ) 4, 2 t 4
; f (t )
PROBLEMA 3 Para el sistema de ecuaciones diferenciales: x x y 4 t 3
x 2 x 2 y 3
x(0) 2 y (0) 0
a) Plantear el sistema dinámico asociado At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial: y 2 y y 2 y 8u 8u 4u y (0) y(0) 0, y (0) 2 ; Usando conceptos de diagrama canónico en la segunda forma (Jordan) construir: a) La ecuación de estado b) La ecuación de salida c) El vector de condiciones iniciales d) El diagrama canónico e) La solución de a) si u(t)=1
EXAMEN: II-2013 PROBLEMA 1 La solución del sistema de ecuaciones:
2 x 2 x y y 3t x x y y 1
es
x t 2e 3t 3e t 3t y 1 t 2e
Determinar: x (0) , y (0)
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PROBLEMA 2 Resolver la ecuación diferencial: 2
t y t
2
2
y 0
con las condiciones y (0) 0; y ( )
1 2
PROBLEMA 3 Determinar y (t )
y y Donde: f (t )
t 2
,
f (t 2) f (t )
,
t 2
f (t )
y (0) y(0) 0
PROBLEMA 4 Plantear el sistema dinámico asociado al sistema de ecuaciones diferenciales y luego resolver el sistema:
x 3x y 2 x y (t ) x y 2 x y (t 2) y (0) x (0) x(0) 0
EXAMEN: I-2013 PROBLEMA 1 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: x 2 x y tet
t x x y y 2e
PROBLEMA 2 Plantear el sistema dinámico y luego resolver: x 4 x 2 y 2t t 3
y 3x y (t 2)
x(0) 1, y (0) 0
PROBLEMA 3 Las ecuaciones x1 3x1 u
, x2 4 x2 u
,
y 2 x1 4 x2 . Son el resultado del diagrama de Jordan
en su segunda forma y la solución del sistema dinámico es: x1 2e 6e , x2 2t
3t
e2t e4t .
Determinar a) las condiciones iniciales de salida, b) hallar u(t), c) Determinar la ecuación diferencial producto de las ecuaciones de estado.
PROBLEMA 4 a) b) c) d)
Dibujar el diagrama canónico de Jordan en su segunda forma Establecer la ecuación de estado Establecer las condiciones iniciales de salida Determinar la ecuación de salida del sistema y 3 y 4 y 2u 5u 2u
y (0) 0 , y(0) 1 , y(0) 2 , u ln r
;
4r 5 3
2r
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EXAMEN: II-2012 PROBLEMA 1 Plantear el sistema dinámico asociado a la ecuación diferencial y luego resolver el sistema y(0) y(0) 0 y 4 y 2 cos 2t 3sen 2t ,
PROBLEMA 2 Determinar y (t )
2 y( ) (t )d 3 y 2 sen (t ) d , y (0) y(0) 0 3 0 0 t
t
PROBLEMA 3 Resolver la ecuación diferencial:
4 y(t ) 5 y(t 1) y (t 2) t , con las condiciones iniciales y (t ) 0 para t 0
PROBLEMA 4 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: 3 y 3 z te t 3 cos t
ty z sent
x(0) x(0) z (0) z (0) 0
EXAMEN: I-2012 PROBLEMA 1 Hallar la solución en serie de potencias rededor de x0 0 :
y 2 xy 8 y 0
; y (0) 4, y(0) 0
PROBLEMA 2 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: x 3x 2 y t 2e t
x(0) 0
t 2 x y y 3e
y (0) 1
PROBLEMA 3 Para la ecuación diferencial:
y 2 y y 2 u (t 3) a) Plantear el sistema dinámico asociado
;
y (0) 1, y(0) 0
At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
PROBLEMA 4 Para la ecuación diferencial: y 6 y 11y 6 y 2u u y (0) y(0) 0, y (0) 1 ; Usando conceptos de diagrama canónico en la segunda forma (Jordan) construir: a) La ecuación de estado b) La ecuación de salida c) El vector de condiciones iniciales d) El diagrama canónico
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PREGUNTAS DE EXÁMENES DE COMPETENCIA PARA OPTAR A AUXILIATURA PROBLEMA 1 2018 0 Considere la matriz A 2 2 t
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t 2 t 2 , a) Comprobar que (t ) es la matriz fundamental de 2 t 1 t solución del sistema dinámico X A(t ) X , b) Resolver el problema de valores iniciales t 4 1 X A(t ) X (t ) B(t ) con las condiciones iniciales X (2) y B(t ) 2 4 t PROBLEMA 2 2018 Al circuito de la figura se introduce una señal de entrada X(t), determinar el diagrama acanonico tomando como variables la corriente sobre el inductor y el voltaje sobre el condensador. Considere todas las resistencias iguales a R.
PROBLEMA 2 2017 Resolver por serie de potencias alrededor de del punto x0 0 : 2
2
x y 2 x 3x y 3 y 0
PROBLEMA 3 2017 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:
t et x dx et (t ) t dx 1( t ) 0 1( x) 0 2( x ) t t 1( x ) (t x)dx t (t ) 2( x) dx 2( t ) 0 0
PROBLEMA 4 2017 Dada la ecuación de Euler: 3 2 2 x a y 3 x a y x a y y x a cos 3ln x a
Se pide plantear un sistema dinámico no autónomo forzado.
PROBLEMA 5 INTENSIVO 2016 Para el diagrama canónico de la figura:
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Se pide: a) Hallar la ecuación diferencial de la cual proviene b) Utilizando el concepto del diagrama canónico en su forma Jordán determinar los valores de a y b tal que no se admitan autovalores repetidos, luego halle la ecuación de estado, ecuación de salida, vectores de condiciones iniciales si se conoce que: y (0) 1, y(0) 0, y(0) 1
PROBLEMA 6 2012 Resolver la ecuación diferencial:
8t , y 2 y 2 y f (t ) 12 3t ,
0 t 2 2 t 4
; y (0) 0, y(0) 0
; f (t 4) f (t )
PROBLEMA 7 2012 Para la ecuación diferencial: 3 ( x 1) w ( x 1)w w x 1 a) Construir el sistema dinámico asociado
;
w(2) w(2) 0, w(2) 1
At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
PROBLEMA 8 VERANO 2012 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: dz 2 ty ( t ) z ( t ) t t 1 dt dy z (t ) e t dt Sujeta a las condiciones iniciales y (0) 1, z (0) 1
PROBLEMA 9 VERANO 2012 Un sistema dinámico esta descrito por la ecuación: 2 2 0 1 dX 0 0 1 X (t ) 0 dt 0 3 4 1
0
u1 1 u 2 1
Determinar la transformación x=Ky que desacopla este sistema. Luego encontrar el vector X(t) cuando: x(0)=(0
1
2) t , U(t)=(t
At
1)t . Luego halle la matriz e .
PROBLEMA 10 2010 Resolver la ecuación diferencial en serie de potencias alrededor del punto x0 1 :
( x 2) y 2 y y 0
;
y (1) 2, y(1) 3
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PROBLEMA 11 2010 Para la ecuación diferencial: 3 ; ( x 1) y ( x 1) y y 4 a) Construir el sistema dinámico asociado b) Resolver completamente el sistema plantado en a)
y (2) y(2) 0, y(2) 2
PROBLEMA 12 2008 Resolver la ecuación diferencial: y 2 y 2 y f (t )
; f (t ) 1 t
2
t 0,1 ,
f (t 1) f (t )
y (0) y(0) 1
PROBLEMA 13 2008 Resolver la ecuación diferencial en serie de potencias alrededor del punto x0 0 :
(1 x 2 ) y 2 x x 1 y x 2 y 0
;
y (0) 1, y(0) 2
PROBLEMA 14 2008 Para la ecuación de Bessel:
z 2 y zy ( z 2 r 2 ) y 0
y u1 a) Con los cambios hallar el sistema dinámico asociado zy u 2 b) Plantear el proceso a seguirse para resolver este sistema dinámico
PROBLEMA 15 2008 Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales 3 y 3z tet 3cos t con las condiciones ty z sent
y (0) 1, y(0) 2, z (0) 4, z (0) 0
PROBLEMA 16 INVIERNO 2007 Plantear el sistema dinámico y resolver: (t 7)3 y (t 7) 2 y 2(t 7) y 2 y 0
y (7) y (7) 0, y (7) 3
PROBLEMA 17 INVIERNO 2007 Resolver: 2
2
x y (6 x x ) y xy 0
PROBLEMA 18 INVIERNO 2007 Resolver: t
2t f (t )
f (t u) f (u)du (t) 0
PROBLEMA 19 INVIERNO 2007 A partir del diagrama canónico. Hallar la ecuación que gobierna el sistema
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PROBLEMA 20 2005 Si x 1 , y 4t , son soluciones particulares del sistema de ecuaciones diferenciales:
x x ty 4t 1 2
y 4tx y 4 Determinar la solución general
PROBLEMA 21 2005 Determinar el valor de a N de modo que la solución de:
0 2 2t y 2 y 8 y f (t ) con f (t ) y (0) 0, y(0) 1 2t 6 a y(t )
1 6
e
4t
e
2t
t
1
e2t
5
4 8 12 48 e
4 t
si
t 0
si
0 t 2
si
2 t 4
si
t 4
es:
e2t 2 e 4t 2 t 2 1 1 t 4 e2t 4 e 4 t 4 t 2 t 4 24 2 8 4 12 48 6 16
PROBLEMA 22 2005 Resolver la ecuación diferencial en serie de potencias alrededor del punto x0 0 :
2 x y x x 1 y y 0 2
PROBLEMA 23 2005 Para la ecuación diferencial:
(t 1) z (t 1) z z 0 a) Construir el sistema dinámico asociado 3
At
b) Calcular la matriz exponencial e c) Hallar la solución del sistema planteado en a)
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PROBLEMA 24 2005 Para la ecuación de Bessel: 2 2 2 z y zy ( z r ) y 0
y u1 a) Con los cambios hallar el sistema dinámico asociado zy u 2 b) Plantear el proceso a seguirse para resolver este sistema dinámico
PROBLEMA 25 2004 Para la ecuación diferencial:
(t 2) z (t 2) z z 0 a) Construir el sistema dinámico asociado b) Calcular la matriz exponencial c) Hallar la solución del sistema planteado en 3
PROBLEMA 26 2004 Para la ecuación diferencial:
y y y y 0
;
y (0) y(0) y(0) 2
Plantear: a) El diagrama canónico en la primera forma b) El diagrama canónico de Jordan Construyendo: c) La ecuación de estado d) La ecuación de salida e) El vector de condiciones iniciales en ambos casos
PROBLEMA 27 At
Explique el método Putzer e para calcular y aplíquelo en un ejemplo.
PROBLEMA 28 Resolver por series:
y e x y 0 y(0) y(0) 1
PROBLEMA 29 Hallar las soluciones de la ecuación diferencial aplicando el método de Frobenius: 2 x 2 ( x 1) y 3 x(1 x) 3 y (1 x 2 ) y 0
PROBLEMA 30 Resolver el sistema de ecuaciones
dx dt dy dt
x 2 xy 9 x y 2 xy 9 y
Para determinar x(t) en forma implícita.
PROBLEMA 31 Plantee el diagrama canónico de Jordan para: y 9 y u bu b R con
y (0) 0, y(0) 0, y (0) 1
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2 3 t 5 3t 1 3t y e e e Y luego determine b de tal manera que la ecuación de salida sea: 9 8 36 72 “
”
PROBLEMA 32 Encontrar la solución : y 4 y F (t )
con
y ( ) 0
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