UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DE HOLGUÍN ”OSCAR LUCERO MOYA” FACULTAD DE INGENIERÍA DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA TEORÍA DE LOS MECANISMOS MECANISMOS CLASE PRÁCTICA No. 8
ACTIVIDAD DOCENTE No. 15
CURSO: 03-04
Tema II: MECANISMOS DE PALANCAS Título: Análisis de fuerzas mecanismos de palancas con colisa. OBJETIVO: Analizar las fuerzas en mecanismos de palancas planos, a partir de la estructura de los mismos, empleando el método cinetostático y el teorema la palanca rígida de Zhukovshi.
BIBLIOGRAFÍA: C Máquinas” . Ed. Pueblo y Educación. Baránov, G.G. Curso “ urso de la Teoría de Mecanismos y Máquinas”. La Habana. 1989. pp. 327-354 de Máquinas y Mecanismos”. Mecanismos”. Ciudad de la Habana. – Golubév, Y. Teoría “ Habana. Ed. Pueblo y Educación. 1981. pp. 49-62. – Castillo, G. “Teoría de mecanismos y máquinas (dinámica de las máquinas)”. máquinas)”. Ciudad de la Habana. Ed. Pueblo y Educación. 1977. pp. 229. –
INTRODUCCIÓN Una vez realizada la parte práctica del análisis de fuerzas en mecanismos de palancas planos con más de un grupo estructural, analizaremos las las fuerzas mecanismos en los los que está presente presente el elemento denominado colisa. Como en las clases prácticas anteriores, se vincula el análisis de fuerzas con el cinemático y el estructural, pues para determinar en valor de las fuerzas de inercias y de los momentos de inercia hay que conocer las magnitudes y direcciones de las aceleraciones lineales a s y angulares ξ i , correspondientes y recordemos que es la fórmula de formación del i mecanismo quien nos indica el sentido a seguir en el análisis de fuerzas de los mecanismos de palancas (comenzando por el último grupo estructural hasta llegar al mecanismo de primera clase). Recordemos que durante el análisis de fuerzas de un mecanismo se desprecian las fuerzas de rozamiento en los pares cinemáticos, por lo cual las reacciones entre las superficies de los elementos del par cinemático están dirigidas en la dirección de la normal común a dichas superficies (Figura 1). Las reacciones en el par cinemático se caracterizan por tres parámetros: valor, sentido y punto de aplicación.
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Las reacciones en el par cinemático de quinta clase poseen dos parámetros indeterminados de reacción y uno determinado: a) Par de rotación. Aquí los parámetros indeterminados son: valor, sentido y el determinado es el punto de aplicación (que está en el centro de la articulación) (Figura 1 Izquierda). b) Par de traslación. Aquí los parámetros indeterminados son: valor, punto de aplicación y el determinado es el sentido (el cual perpendicular a la línea directriz del movimiento) (Figura 1, derecha).
Fig. 1. Reacciones en pares de rotación y de traslación
PASOS PARA LA REALIZACIÓN DEL ANÁLISIS DE FUERZAS 1. Se escoge la posición del mecanismo para la cual se determinan todos los parámetros cinemáticos del mecanismo –velocidades y aceleraciones. 2. Se determinan las fuerzas de inercia y los momentos de pares de fuerzas de inercia que actúan en los elementos. 3. Se determina la fuerza de resistencia útil –o fuerza tecnológica– actuante en el elemento de trabajo del mecanismo por el diagrama de fuerzas de resistencia –diagrama indicador de fuerza– por la ecuación que describe este diagrama. 4. Se desarrolla el análisis de fuerzas de los grupos y se determinan las reacciones en los pares cinemáticos de los mismos, el análisis de fuerza comienza desde el grupo estructural más alejado del elemento motriz y se desarrolla en orden inverso al establecido por la fórmula estructural del mecanismo. 5. Se desarrolla el análisis de fuerza del mecanismo de primera clase y se determina la fuerza equilibrante F e o el momento equilibrante M e . 6. Se determina la fuerza equilibrante F ez o el momento equilibrante M ez por el método de Zhukovski. 7. Se comparan los resultados obtenidos por ambas vías y se determina el error de cálculo. e=
Fe − F ez F e
x 100 %
Ejercicio propuesto en la Guía Previa 8 1.
a) b) c) d)
Dado el esquema cinemático de un mecanismo de palancas plano y sus polígonos de velocidades y aceleraciones, diga: Identifique los grupos (estructurales y primario). Clasifíquelos. Escriba la fórmula de formación del mecanismo. Determine las reacciones en los pares cinemáticos Determine la fuerza equilibrante o el momento equilibrante que actúa en el elemento motriz.
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Fig. 2 Fuerzas en el mecanismo de palancas de una máquina limadora
Datos: ω 1; LAD; LAB ; LED ; LEF ; m1; m2 ; m3 ; m4 ; m5 ; I s3 ; I s4
En el presente mecanismo asumimos que el centro de masa del elemento 1 coincide con el centro de rotación de este elemento, por lo tanto la acción del peso G1 no tiene ningún efecto sobre su movimiento; tampoco hay presencia de fuerza de inercia P i1 ya que la aceleración del centro de masas aS 1 = 0 y el momento de inercia M i1 = 0 ya que la ω1 = cte ⇒ ξ 1 = 0 . Se considera además que la masa m2 del elemento 2 es despreciable, así la fuerza de inercia P i 2 = 0 y el momento de inercia M i 2 = 0 . Sobre el elemento 5 actúa la fuerza de resistencia al corte del metal P u 5 .
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Respuesta: a)
Identificación de los grupos que forman al mecanismos y su fórmula de formación.
Fig. 3 Esquema estructural del mecanismo
b)
La fórmula de formación del mecanismo es: Mec. II clase = Mec. I clase(1, 6)
c)
GE II2 clase (2, 3) Análisis de fuerzas
←
←
GE II2 clase (4, 5)
Calculando las reacciones en los pares cinemáticos
Determinación de las fuerzas que actúan sobre los elementos del mecanismo (Figura 1): Pi1 = P i 2 = 0 ; P i3 = −m3 ⋅ a S 3 ( N ) ; Pi 4 = − m4 ⋅ aS 4 ( N ) ; Pi 5 = − m5 ⋅ aS 5 ( N ) ;
M i1 = M i 2 = M i5 = 0 ; G1 = m1 ⋅ g ( N ) ;
M i 3 = − Is3 ⋅ ξ 3 ( Nm) ;
M i 4 = − Is4 ⋅ξ 4 ( Nm) ;
kg ⋅ m 2
= N
s G2 = despreciable ; G3 = m3 ⋅ g ( N ) ; G4 = m4 ⋅ g ( N ) ; G5 = m5 ⋅ g ( N )
P u 5 - fuerza de resistencia al corte del metal; ésta se determina por el diagrama de variación de dicha fuerza en la máquina que se analiza. Determinación de las fuerzas que actúan sobre los elementos del último grupo estructural del mecanismo GE (4, 5)
Comenzamos el análisis estructural por el último grupo estructural que forma el mecanismo, en este caso el formado por los elementos 4 y 5. Según el principio de D’Alembert este grupo estructural bajo la acción de todas las fuerzas incluyendo las de inercia, está en equilibrio. Por consiguiente, también estará en equilibrio cada Enrique E. Zayas Figueras
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elemento del grupo. Entonces se escribe para el elemento 4 la ecuación de momentos respecto al t punto F, lo que permite determinar la componente tangencial R34 de la fuerza que realiza el elemento 3 sobre el 4 en el par E.
Fig. 4 Fuerzas y reacciones presentes en el grupo estructural (4,5)
Se puede realizar la reducción de fuerza P i y momento M i, de modo que queden sólo en los elementos las fuerzas reducidas P i (Figura 3). Donde: M h = i (m) P i
∑ Mto F = 0
t para el elemento 4 ( R34 = ? ) (Convenio es Mto( +) en el sentido horario)
t t R34 ⋅ LEF − G4 ⋅ h4 + Pi 4 ⋅ hi 4 = 0 ⇒ R34 = x (N)
Para obtener los brazos hii de las fuerzas en metros –cuyos valores se sustituyen en la fórmula ante expuesta–, es necesario multiplicar la longitud del brazo medido en el dibujo por el factor de escala µ L (m/mm) con el cual se realizó el esquema cinemático del mecanismo hii = h ⋅ µ L (m). O sea, hi4 = hi 4 ⋅ µ L (m) y h4 = h4 ⋅ µ L (m) n N Para determinar las reacciones R34 y R65 se construye el polígono de fuerzas para el grupo
completo. Si un sistema está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas, la suma vectorial de las mismas será igual a cero, es decir el polígono de las fuerzas será cerrado.
∑ F = 0 en el grupo (4,5)
n t N R34 + R34 + Pi 4 + G4 + Pi5 + G5 + Pu5 + R65 = 0
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Para representar gráficamente las fuerzas es necesario calcular el factor de escala de fuerza µ p .
µ F =
Mayor de las fuerzas Segmento de la fuerza mayor
(N/mm)
en el plano. t 34
R
=
P i 5 =
t R34
µF P i 5
µ F
G4 =
(mm);
G4
µF
(mm);
G5 =
G5
µF
(mm); Pi 4 =
Pi 4
µF
(mm); Pu 5 =
Pu 5
µF
(mm)
El polígono de fuerzas (Figura 5) se comienza a trazar con la componente tangencial del primer t elemento del grupo estructural que se esté analizando –en este caso R34 y a continuación todos los vectores incluidos en la ecuación de equilibrio en la secuencia en que están registrados. El n N polígono se cierra con las reacciones desconocidas en magnitud –en este caso R34 y R65 –, de ellas sólo se conocen sus líneas de acción, cuando éstas se intercepten quedarán determinadas las N reacciones buscadas. La reacción normal R65 se traza perpendicularmente a la dirección de la n t fuerza P u 5 y la reacción R34 se traza perpendicularmente a la dirección de la fuerza R34 .
Fig. 5 Polígono de fuerzas para el grupo (4, 5)
t 34
n 34
Sumando R + R se obtiene R34 total (señalada con un grosor de línea a trazos mayor). Midiendo en el polígono los vectores correspondientes a cada una de las fuerzas buscadas y multiplicando por el factor de escala de fuerzas µ F , se pueden hallar los valores de dichas fuerzas en Newton. n n N N R34 = R34 ⋅ µ F (N), R34 = R34 ⋅ µ F (N); R65 = R65 ⋅ µ F (N) Para determinar la reacción R54 del par interior F del grupo (4, 5), se realiza la sumatoria de fuerzas en un solo elemento, que como se ha mencionado antes se encuentra en equilibrio. Por ejemplo para el elemento 4
∑ F4 = 0 ⇒ R54 = ?
R34 + Pi 4 + G4 + R54 = 0 Enrique E. Zayas Figueras
(mm);
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Fig. 6 Polígono de fuerzas para el elemento 4. Se ha utilizado el polígono anterior (Figura 6) donde estaban representadas las fuerzas contenidas en la expresión antes expuesta, así se determina la reacción R54 . Ahora, para obtener su magnitud en Newtons se mide su longitud en el polígono y se multiplica por el factor de escala, así: R54 = R54 ⋅ µ F (N) Una vez determinadas las reacciones R34 ; R54 y R65 en los pares cinemáticos del grupo formado por lo elementos 4 y 5, pasamos al siguiente grupo estructural del mecanismo, en este caso el formado por los elementos 2 y 3.
Determinación de las fuerzas que actúan sobre los elementos del grupo estructural GE (2, 3)
En este caso es importante señalar que al analizar un grupo tipo 3 (con dos pares exteriores de rotación y uno interior de translación), frecuentemente la masa de la corredera se desprecia por que su valor es pequeño en comparación con los valores de las masas del resto de los elementos del mecanismo, así m2 es despreciable. Así, considerando la condición de equilibrio del elemento 2, se puede escribir lo siguiente:
R12 + R32 = 0 ⇒ R12 = − R32
Los elementos 2 y 3 forman un par de translación, entonces la reacción R32 es perpendicular al
eje axial del elemento 3 y por consiguiente reacción R12 es también perpendicular al eje axial del
elemento 3. Se selecciona arbitrariamente el sentido de la reacción R12 .
Debemos añadir a este grupo la reacción R43 = − R34 en el par E (determinada en el análisis anterior). En este grupo (2, 3) también se realiza la reducción de fuerza de inercia y momento de inercia por una única fuerza de inercia P i 3 que actúa en el elemento, en otro punto que no es el centro de masa del elemento. En la Figura 7 se muestra el grupo cargado con las fuerzas que aparecen en él. Enrique E. Zayas Figueras
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Fig. 7 Fuerzas y reacciones presentes en el grupo estructural (2,3)
∑ Mto B = 0
t en el grupo 2,3 ( R63 = ? ) (Convenio es Mto (+ ) en el sentido horario)
t
R63 ⋅ LDB3 − G3 ⋅ h3 − Pi 3 ⋅ hi3 + R43 ⋅ LED = 0 ⇒ R63 = x (N) Recordemos que los brazos que aquí se colocan deben de ser los reales, o sea se miden en el diagrama y se multiplican por el factor de escala, así: hii = h ⋅ µ L . hi3 = hi 3 ⋅ µ L (m)
h43 = h43 ⋅ µ L (m)
En esta caso los brazos hi3 y h43
h3 = h3 ⋅ µ L (m)
son bastantes pequeños.
n Para determinar las reacciones R12 y R63 se realiza la sumatoria de fuerzas en el grupo (2,3).
Donde se conocen las líneas de acción de las fuerzas que se buscan ( R12 ⊥ al elemento 3 y
n R63 segun el eje axial del elemento 3 ). Entonces queda:
∑ F = 0 en el grupo (2,3)
n t R63 + R63 + G3 + Pi 3 + R43 + R12 = 0
Llevando a escala las fuerzas para realizar el polígono.
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t 63
R
=
t R63
(mm);
µF
G3 =
9 G3
µF
(mm);
G5 =
G5
µF
(mm); Pi3 =
Pi 3
µF
(mm)
Fig. 7 Polígono de fuerzas para el grupo (2 , 3). Se ha utilizado el polígono anterior se determina la reacciones R63 y R12 . Ahora se mides sus longitudes en el polígono y se multiplica por el factor de escala, a sí: R12 = R12 ⋅ µ F (N)
y
R63 = R63 ⋅ µ F (N)
Determinación de la fuerza (o el momento) equilibrante en el mecanismo de primera clase.
Según el principio de D’Alembert se escribe para el elemento 1 (Figura 8), la sumatoria de momentos respecto a A, para determinar la fuerza equilibrante P , e así:
Fig. 8 Polígono de fuerzas para el grupo (6,1). Recordemos que en este caso al coincidir el centro de masas del elemento con el centro de rotación el peso G1 no ejerce ninguna acción, por lo que no se considera. Enrique E. Zayas Figueras
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∑ Mto A = 0
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en el elemento 1 ( P e = ? ) (Convenio es Mto(+ ) en el sentido horario) R ⋅ h Pe ⋅ LAB + R21 ⋅ h21 = 0 ⇒ Pe = − 21 21 (N) L AB
Hay que reajustar el sentido de la fuerza equilibrante P . e El momento equilibrante es: M e = Pe ⋅ LAB (Nm) Para determinar la reacción en el par A, se realiza la suma de fuerza en el mecanismo de primera clase, entonces:
Pe + R21 + R61 = 0
Fig. 8 Polígono de fuerzas para el grupo (1,6). Orientar a los estudiantes el principio de Zhukovski, para comprobar el error entre la fuerza calculada por el método cinestostático y el de Zhukovski.
CONCLUSIONES El objetivo del análisis de fuerzas es determinar las reacciones que se producen en los pares cinemáticos y el momento motriz o el equilibrante en el mecanismo d e primera clase. Para poder analizar sistemas dinámicos como estático se aplica el principio de D´Alembert y por tanto el método utilizado se conoce como método cinestostático de análisis de fuerzas. En el análisis de fuerzas de díadas del tipo analizado en el primer grupo estructural del mecanismo analizado normalmente se desprecia el valor de la masa de la corredera y se asume que la dirección de la reacción entre la corredera y el elemento que la guía es perpendicular a dicho elemento lo que facilita el análisis. El método de la Palanca rígida de Zhukovski permite determinar el valor de la fuerza equilibrante sin necesidad de determinar las reacciones en los pares cinemáticos de los grupos del mecanismo.
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