Chươ ng ng 2
Độ tin cậy Biên soạn: TS. Đinh Bá Hùng Anh Tel: 01647.077.055 01647.077.055/090.9192.766 /090.9192.766 Mail:
[email protected]
Độ tin cậy
Là tỷ lệ thờ i gian phần tử (hệ thống)
đượ c k ỳ vọng vẫn hoạt
động tốt. Đượ c xác định bằng xác suất một sản phẩm, các phần tử hay một hệ thống vẫn hoạt động tốt trong quảng thờ i gian định trướ c trong điều kiện vận hành xác định. Còn đượ c hiểu là chất lượ ng trong vận hành. Một sản phẩm không bị hỏng hóc trong vòng đờ i của mình, đượ c xem là có độ tin cậy bằng 1. Một số bộ phận của một sản phẩm có thể hỏng vào thờ i điểm bất k ỳ, độ tin cậy là hàm xác suất.
Độ tin cậy C ó 4 yếu tố ảnh hưở ng ng đến độ tin cậy 1. Xác suất hỏng: Xác suất sản phẩm vẫn chạy tốt trong một quãng thờ i gian xác định. 2. Chứ c năng dự định: Một sản phẩm đượ c thiết k ế vớ i một chức năng nhất
định. Kỳ vọng thc hiện chức năng thiết k ế của sản phẩm có ảnh hưở ng ng đến độ tin cậy. 3. Chu kỳ sống: Quãng thờ i gian sản phẩm đượ c dùng đúng chức năng ảnh hưở ng ng đến độ tin cậy ng: G!m các môi trườ ng: Trong nhà; ngoài trờ i; 4. Môi trườ ng: i; lưu tr"; và di chuyển. Môi trườ ng mà sản phẩm vận hành có ảnh hưở ng ng đến độ tin cậy.
Độ tin cậy
Phươ ng pháp đo
Failure densities and distributions
The reliability function
Tốc độ l#i
Hàm tin cậy trên cơ sở của tốc độ l#i
Thờ i gian l#i trung bình (MTTF) và thờ i gian gi"a hai lần l#i (MTBF)
Một hệ thống càng phức tạp (có nhiều phần t$) thì
độ tin cậy
càng giảm.
Phươ ng án s%p xếp, k ết nối các phần tử có ảnh hưở ng
đến độ tin
cậy của hệ thống.
Các phần tử có thể k ết nối kiểu nối tiếp song song hay phức hợ p.
Độ tin cậy Ảnh hưở ng của sản xuất Sau thiết k ế, quá trình gia công có ảnh hưở ng đến độ tin cậy của hệ thống. Tập trung cải tiến qui trình sản xuất nhưng chi tiết có độ tin cậy thấp. Ảnh hưở ng của chuyển vận Đóng gói và chuyển vận ảnh hưở ng đến độ tin cậy của hệ thống Kiểm tra tính năng sản phẩm trong vận hành (bở i ngườ i sử d&ng) là cách tốt nhất để kiểm tra ảnh hưở ng của chuyển vận.
Độ tin cậy Ảnh hưở ng của khâu thiết kế đến độ tin cậy Thiết k ế ả nh hưở ng mạnh đến độ tin cậy của hệ thống Hệ thống càng đơ n giản, độ tin cậy càng cao. Hệ thống càng ít phần tử, độ tin cậy càng cao. Biện pháp sử d&ng phần tử d phòng (l%p song song) thườ ng đượ c dùng để tăng độ tin cậy cho hệ thống. Độ tin cậy có thể đạt đượ c thông qua việc thiết k ế lại. Sử d&ng nhiều phần tử có hệ số an toàn lớ n làm tăng độ tin cậy của hệ thống. Một hệ thống không tin cậy làm tăng chi phí vận hành Chế độ bảo dư' ng của hệ thống là yếu tố ảnh hưở ng mạnh nhất đến độ tin cậy.
Độ tin cậy
Reliability is a measure of the capability of a system, equipment or component to operate without failure when in service.
Reliability provides a quantitative statement of the chance that an item will operate without failure for a given period of time in the environment for which it was designed.
In its simplest and most general form, reliability is the probability of success.
To perform reliability calculations, reliability must first be defined explicitly. It is not enough to say that reliability is a probability. A probability of what?
Độ tin cậy
Reliability is defined as the probability that an item will perform its intended unction for a specified interval under stated conditions. In the simplest sense, reliability means how long an item (such as a machine) will perform its intended function without a breakdown.
Reliability: the capability to operate as intended, whenever used, for as long as needed.
Reliability is performance over time, probability that something will work when you want it to.
Độ tin cậy Đo độ tin cậy
Basic or Logistic Reliability MTBF - Mean Time Between Failures measure of product support requirements
Mission Reliability Ps or R(t) - Probability of mission success measure of product effectiveness
Độ tin cậy
Độ tin cậy
Measures
Air Force
MFHBF - Mean Flight Hours Between Failures MFHBUM MFHBUM - MFHB Unsche Unschedule duled d Mainte Maintenanc nancee
Army
MFHBE - Mean Flight Hours Between Events
Navy
MFHBF - Mean Flight Hours Between Failures MFHBMA MFHBMA - MFHB Maintenan Maintenance ce Actions Actions
Automotive Industry Number of defects per 100 vehicles
Độ tin cậy
Độ tin cậy Độ tin cậy nhiệm vụ
Mission Reliability is defined as the probability that a system will perform its mission essential functions during a specified mission, given that all elements of the system are in an operational state at the start of the mission. Measure Ps or R(t) - Probability of mission success based on: Mission Essential Functions Mission Essential Equipment Mission Operating Environment Mission Length.
Độ tin cậy Mô hình và phân tích độ tin cậy
Reliability is a probability Therefore a working knowledge of probability, random variables and probability distributions is required for: - Development of reliability models - Performing reliability analyses
An understanding of the concepts of probability is required for design and support decisions
Hàm mật độ hư hỏng Associated with a continuous random variable T, the time to failure of an item, is a function f, called the probability density function, or in reliability, the failure density. The function f has the following properties:
f ( t ) ≥ 0 and
for all values of t
∞
∫ f (t )dt = 1 0
The failure distribution function or, the probability distribution function is the cumulative proportion of the population failing in time t, i.e., t
∫
F(t ) = P(T ≤ t ) = f ( y)dy 0
Hàm mật độ hư hỏng The failure distribution function, F, has the following properties: 1. F is nondecreasing, i.e., if 0 ≤ t1 < t2 < ∞, then F(t1) ≤ F(t2), 2. 0 ≤ F(t) ≤ 1 for all t 3. lim F(t ) = 0
in general, but here F(0) = 0
t →0
4.
lim F(t ) = 1
t → +∞
5. P(a < T ≤ b) = F(b) - F(a) The time to failure distribution has a special name and symbol in reliability. It is called the unreliability and is denoted by Q, i.e. Q(t) = F(t) = P(T ≤ t)
Hàm mật độ hư h hỏng Phân phối
f(t)
Area = P(t 1 <
t
$ "(t) 1 "(t !)
P(t 1 < < t !) = "(t !) # "(t 1)
"(t 1) $
t t 1
t !
Percentile The 100pth percentile, 0 < p < 1, of the time to failure probability distribution function, F, is the time, say tp, within which a proportion, p, of the items has failed, i.e., tp is the value of t such that F(tp) = P(T ≤ tp) = p or
tp = F-1(p)
F(t)
p
tp
Reliability In terms of the failure density, f, of an item, the 100pth percentile, tp, is tp
∫ f (t )dt = p 0
f(t) p
0
tp
t
The Reliability Function The Reliability of an item is the probability that the item will survive time t, given that it had not failed at time zero, when used within specified conditions, i.e., ∞
R (t ) = P(T ≥ t ) = ∫ f ( t )dt = 1 − F( t ) t
Properties of the Reliability Function 1) R is a non-increasing function, i.e., if 0 ≤ t1 < t2 < ∞, 2) 0 ≤ R(t) ≤ 1 for all t 3) R(t) = 1 at t = 0 4)
lim R (t ) = 0 t →∞
then
R(t1) ≥ R(t2)
Properties of the Reliability Function The probability of failure in a given time interval, t1 to t2, can be expressed in terms of either reliability or unreliability functions, i.e., P(t1 < T < t2) = R(t1) - R(t2) = F(t2) – F(t1)
Reliability Relationship between failure density and reliability
f (t ) = −
d dt
R (t )
Failure Rate h (t ) =
f (t ) R (t )
=
f (t ) 1 - F(t )
Remark: The failure rate h(t) is a measure of proneness to failure as a function of age, t.
Properties of the Failure Rate The (instantaneous) failure rate, h, has the following properties: 1. h(t) ≥ 0 , t ≥ 0 and 2.
t
∫
lim h (y )dy = ∞ t →∞
0
Tốc độ lỗi
Là nhân tố quan trọng để xây dng đườ ng chu k ỳ sống
Ký hiệu: λ
λ=
Số lượ ng l#i T(ng thờ i gian
=
r ∑t+(n-r)T
The Reliability Function The reliability of an item at time t may be expressed in terms of its failure rate at time t as follows: t
− ∫ h ( y ) dy R ( t ) = exp − ∫ h ( y)dy = e 0 t
0
where h(y) is the failure rate
Cumulative Failure Rate • The cumulative failure rate at time t, H(t), is the cumulative number of failures at time t, divided by the cumulative time, t, i.e.,
H( t ) =
1
t
h ( y)dy ∫ t 0
• The average failure rate of an item over an interval of time from t1 to t2, where t1 < t2, is the number of failures occurring in the interval (t1, t2), divided by the interval length, t 2 - t1
H ( t1 , t 2 ) =
H( t 2 ) − H( t1 ) t 2 − t1
Mean Time to Failure and Mean Time Between Failures • Mean Time to Failure (or Between Failures) MTTF (or MTBF) is the expected Time to Failure (or Between Failures)
Remarks:
• MTBF provides a reliability figure of merit for expected failure free operation
• MTBF provides the basis for estimating the number of failures in a given period of time
• Even though an item may be discarded after failure and its mean life characterized by MTTF, it may be meaningful to characterize the system reliability in terms of MTBF if the system is restored after item failure.
MTTF MTTF (Mean Time to Failure) or MTBF (Mean Time Between Failures) may be determined from the time to failure probability density function by use of three equivalent methods: 1. definition of MTBF 2. moment generating functions 3. characteristic function
Relationship Between MTTF and Failure Density
If T is the random time to failure of an item, the mean time to failure, MTTF, of the item is ∞
∫
E (T ) = MTTF = tf (t )dt 0
Where f is the probability density function of time to failure, iff this integral exists (as an improper integral).
Relationship Between MTTF and Reliability ∞
∫
MTBF = MTTF = R (t )dt 0
Reliability “Bathtub Curve”
Đườ ng chu kỳ sống Đườ ng chu kỳ sống còn đườ ng gọi là đườ ng hình chậu. Là s so sánh của tốc độ hỏng λ theo thờ i gian. G!m 3 giai đoạn Giai đoạn b%t đầu Giai đoạn vận hành Tốc Giai đoạn thoái hóa
độ l#i λ(t)
Giai đoạn b%t đầu
Giai đoạn vận hành
Giai đoạn thoái hóa
Thờ i gian
Đườ ng chu kỳ sống 1. Giai đoạn bắt đầu Giai đoạn này ng%n và có tốc độ l#i giảm nhanh theo thờ i gian. Có thể là giai đoạn chạy rà để kiểm tra, chuyển giao một số đ)c tính của sản phẩm. Thườ ng sử d&ng phân bố Weibull vớ i ß<1 để mô tả xác suất xuất hiện l#i ở giai đoạn này. 2. Giai đoạn vận hành: L#i xuất hiện một cách ngẫu nhiên theo tốc độ l#i. Ngườ i ta sử d&ng phân bố Weibull vớ i * = 1 để mô tả giai đoạn này. 3. Giai đoạn thoái hóa: Giai đoạn này tốc độ l#i tăng theo thờ i gian. Ngườ i ta sử d&ng phân bố chuẩn ho)c phân bố Weibull vớ i ß >1 để mô tả giai đoạn này.
Đườ ng chu kỳ sống Nguyên nhân xảy ra hỏng hóc ở 3 khu vc của đườ ng chu k ỳ sống.
Giai đoạn Nguyên nhân I: Giai đoạn bắt đầu Phươ ng pháp gia công không đúng Quá trình không t ốt Kiểm soát chất lượ ng không tốt Xử lý l#i kém L#i do con ngườ i Vật liệu và tay ngh ề II: Giai đoạn vận hành Hệ số an toàn thấp Không kiểm tra sai sót L#i do con ngườ i Quá tải Môi trườ ng không mong muốn L#i ngẫu nhiên
Đườ ng chu kỳ sống III: Giai đoạn thoái hóa: Mòn do ma sát l ớ n Bảo trì kém Sửa ch"a không tốt Mòn do quá th ờ i gian ph&c v&.
Kiểm tra độ tin cậy và chu kỳ sống Loại kiểm tra
D$ng theo l#i: D$ng kiểm tra khi hệ thống xảy ra đủ lượ ng l#i đã định trướ c.
D$ng theo thờ i gian: D$ng kiểm tra khi hệ thống vận hành đủ thờ i gian đã định trướ c.
Nối tiếp: Kiểu kiểm tra nối tiếp cho đến khi đạt đượ c nh"ng yêu cầu đượ c định ngh + a trướ c.
Kiểm tra độ tin cậy và chu kỳ sống Kiểm tra da trên nh"ng đ)c tính sau:
Thờ i gian sống: Thờ i gian ph&c v& trung bình c ủa sản phẩm.
Tốc độ l#i: Phần trăm l#i/ đơ n vị thờ i gian hay số lượ ng chu k ỳ.
Tốc độ rủi ro: Tỷ lệ l#i ở một khoảng thờ i gian xác định
Tin cậy của chu k ỳ sống: Chu k ỳ sống mà một số hạng m&c xác định s, đượ c bảo trì.
Ví dụ If
f(t) = λe-λt
for t ≥ 0,
a. Verify that f(t) is a failure density and derive the mathematical expression for: b. R(t) c. MTBF d. h(t) and H(t) e. tp f. Show that P(T > t 1 + t2 | T > t1) = P(T > t2)
Ví dụ %f
f(t) = λe#λt ∞
a&
for t ≥ $, ∞
∫ f (t )dt = ∫ λ e
−∞
− λ t
dt = − e
− λ t ∞ 0
=1
0
therefore, f(t) is a failure 'ensity ∞
b&
∫
R(t ) = P(T ≥ t ) = λ e t
− λ t
dt = − e
− λ t ∞ t
=e
− λ t
Ví dụ c&
=∞ − λ t x
− e 1 = = θ MTBF = E [t ] = ∫ λ te dt = λ x =0 λ 0 ∞
− λ t
or
∞
∞
∫
∫
− - t
MTBF = R(t)dt = e dt = 0
'&
h(t) =
H(t ) =
f ( t ) R (t) 1
t
0
=
λ e − λt e
− λt
1 -
=λ 1
t
1
h ( z)dz = ∫ λdz = [λ(t ) − λ (0 )] = λ ∫ t t t 0
0
Ví dụ e& ince t p
t p
∫
∫
0
0
F (t p ) = f ( z ) dz = λ e
− λ z
dz = −e = −e
− λ t t 0 − λ t p
(
− −e
− λ 0
) = 1 − e λ −
= p
tp = −
1
λ
ln (1 − p ) = −θ ln (1 − p ) , since . =
1 -
t p
Ví dụ f&
P (T > t 1 + t 2 | T > t 1 ) =
P (T > t 1 + t 2 ) P (T > t 1 )
P ( T > t 1 + t 2 ) = 1 − P (T < t 1 + t 2 ) t1 + t 2
P (T < t 1 + t 2 ) =
∫ f (x )dx = F(t
1
+ t2)
0
P(T > t1 + t 2 ) = 1 − F( t1 + t 2 ) = R ( t1 + t 2 ) ut
R ( t ) = e − λt
so that
R ( t 1 + t 2 ) = e − λ ( t1 + t 2 )
Ví dụ "ollowing the same argument
P(T > t1 ) = 1 − F( t1 ) = R ( t1 ) = e so
P (T > t 1 + t 2 ) P (T > t 1 )
therefore
e
=
R ( t1 + t 2 ) R ( t1 )
− λ ( t1 + t 2 )
e
− λt 1
=
P (T > t 2 ) = R ( t 2 ) = e
e
− λt 1
=
e
− λ ( t1 + t 2 )
e
− λt 1 − λt 2
e
e − λt 2
− λt 1
=e
− λt 1
− λt 2
Ví dụ
B
t1
A∩ B =A
t2
t1+ t2
P(A | B) =
P(A ∩ B) P(B)
=
P(A) P(B)
A
Thờ i gian sử a chữ a trung bình MTTR Định ngh + a: Thờ i gian trung bình sửa ch"a MTTR là thờ i gian còn lại cần phải tiến hành hoạt động bảo trì.
k k MTTR = ∑ λ i CMT i / ∑ λ i i =1 i =1 Trong đó K: Số lượ ng phần tử của hệ thống λi: Tốc độ hỏng đơ n vị của chi tiết i; i = 1, 2, 3,4,… k, CMTi: corrective maintenance/repair time required to repair unit/part i, for i = 1, 2, 3, 4.. k. Usually, times to repair follow exponential, lognormal, and normal probability distributions.
Thờ i gian sử a chữ a trung bình MTTR Ví dụ: Một hệ thống g!m 5 phần tử vớ i tốc độ l#i của các phần tử λ1 = 0,0004 l#i/giờ , λ2 = 0,0005 l#i/giờ , λ3 = 0,0006 l#i/giờ , λ4 = 0,0007 l#i/giờ , và λ5 = 0,0008 l#i/giờ . Thờ i gian bảo dư' ng cho các thành ph ần 1-5 là T 1 = 2 h, T 2 = 3 h, T 3 = 4 h, T 4 = 5 h, and T 5 = 6 h. Tính thờ i gian sửa ch"a trung bình cho h ệ thống trên?
Solution MTTR =
(0,0004 × 2) + (0,0005 × 3) + (0,0006 × 4) + (0,0007 × 5) + (0,0008 × 6 ) 0,0004 + 0,0005 + 0,0006 + 0,0007 + 0,0008
= 4,33 giờ Thờ i gian sửa ch"a trung bình MTTR = 4,33 gi ờ
Tính sẵn sàng
Là đơ n vị mức độ s/n sàng thc hiện nhiệm v& của hệ thống
Đo tính s/n sàng ở chế độ vận hành và chế độ chờ . A =
MTBF MTBM + MTDT
Trong đó MTBM: Thờ i gian gi"a hai lần bảo dư' ng MDT: Thờ i gian d$ng máy trung bình MTBF: Thờ i gian l#i trung bình.
Comparison of Reliability Modeling Approaches TYPE MODEL
Advantages
Disadvantages
Analytical
Monte Carlo
A. Gives exact results (given the assumptions of the model). B. Once the model is developed, output will generally be rapidly obtained. C. It need not always be implemented on a computer; paper analyses may suffice.
A. Very flexible. There is virtually no limit to the analysis. Empirical distributions can be handled.
A. Generally requires restrictive assumptions to make the problem trackable.
A. Usually requires a computer; can require considerable computer time to achieve the required accuracy.
B. Because of (A) it is less flexible than Monte Carlo. In particular, the scope for expending or developing a model may be limited. C. Model might only be understood by mathematicians. This may cause credibility problems if output conflicts with preconceived ideas of designers or management.
B. Calculations can take much longer than analytical models. C. Solutions are not exact but depend on the number of repeated runs used to produce the output statistics. That is, all outputs are ‘estimates’.
B. Can generally be easily extended and developed as required. C. Easily understood by nonmathematicians.
Reliability Models
Time to Failure Models: The Exponential Model The Weibull Model The Normal (or Gaussian) Model The Lognormal Model
Discrete Event Models: The Binomial Model The Poisson Model
The Exponential Model Definition: A random variable T is said to have the Exponential Distribution with parameters θ, where θ > 0, if the failure density of T is.
1 f (t) =
θ 0
e
−
t
θ
,
for t ≥ 0
,
elsewhere
The Exponential Model - Remarks The
Exponential Model is most often used in Reliability applications, partly because of mathematical convenience due to a constant failure rate.
The
Exponential Model is often referred to as the Constant Failure Rate Model.
The
Exponential Model is used during the ‘Useful Life’ period of an item’s life, i.e., after the ‘Infant Mortality’period before Wearout begins.
The
Exponential Model is most often associated with electronic equipment.
Properties of the Exponential Model
Probability Distribution Function
F (t ) = 1 - e
t
θ
Reliability Function
R (t) = e
−
−
t
θ
MTBF (Mean Time Between Failure)
MTBF = θ
Properties of the Exponential Model
Standard Deviation of Time to Failure:
σ=θ
Failure Rate
h(t) =
1
θ
=λ
Cumulative Failure Rate
H (t ) = λ
P(T > t1 + t2 | T > t1) = P (T > t2), i.e., the Exponential Distribution is said to be without memory
The Exponential Model - Example *= 1&$$$ +ours f(t)
1
"ailure ensity
f (t ) =
1000
1 1000 −
f (1.000) =
$
1&$$$
!&$$$
-&$$$
t
=
t
−
e
e
1000
1000 1000
1000 e −1
1000 =
0, 368 × 10−3
The Exponential Model – Example (continued) * = 1&$$$ +ours
R(t) 1&$
Reliability "unction −
R(t ) = e
$&.
t
1000
$&/
−
$&-/2 $&1-3$&! $ 1&$$$
!&$$$
-&$$$ t
1
=
e−
=
0,368
$&$02. $
1000
R(1000) = e
$&0
1000
Hàm sử a chữ a (Hàm mũ) 1 t MTTR
−
M e (t ) = 1 − e
Trong đó Me (t ): Hàm sửa ch"a (Hàm m0) MTTR: Thờ i gian trung bình sửa ch"a
Ví dụ: Một hệ thống có thờ i gian sửa ch"a trung bình MTTR = 5 giờ . Hãy tính xác su ất hoàn thành một sửa ch"a trong 6 giờ . 6 5
−
M e (t ) = 1 − e
= 0,6988 This means there is a likelihood of approximately 70% that the repair will be completed within 6 hours.
Hàm sử a chữ a (Phân bố RAYLEIGH)
M r (t ) = 1 − e
t − α
2
Trong đó M r (t ): Hàm sửa ch"a (Reyleigh). t: Biến động thờ i gian sửa ch"a α: Tham số của phân bố Rayleigh.
The Weibull Model
Definition
A random variable T is said to have the Weibull Probability Distribution with parameters β and θ, where β > 0 and θ > 0, if the failure density of T is. β
t
f(t) =
β β −1 − θ t e β θ
,
for t ≥ 0
0
,
elsewhere
Remarks
β is the Shape Parameter θ is the Scale Parameter (Characteristic Life)
The Weibull Model - Probability Density Function f(t) 1.8
*=5.0
1.6 1.4 1.2 1.0
*=0.5
*=3.44
*=1.0
*=2.5
0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
t
t is in multiples of θ
Properties of The Weibull Model
Probability Distribution Function β
F (t ) = 1 - e
t − θ ,
for t ≥ 0
Where F(t) is the Fraction of Units Failing in Time t
Reliability Function
R (t) = e
t − θ
β
The Weibull Model - Reliability Functions R(t)
* = 5.0
1.0 0.8
* = 1.0
0.6
* = 0.5 0.4 0.2 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
t
t is in multiples of θ
The Weibull Model - Weibull Probability Paper Derived from double logarithmic transformation of the Weibull Distribution Function.
F( t ) = 1 − e y = ax + b Of the form
where
− ( t / θ )β
1 y = ln ln 1 − F( t ) a =β
b = −β ln θ
x = ln t
Any straight line on WPP represents a Weibull Distribution with Slope = β & Intercept = - β ln θ.
The Weibull Model - Weibull Probability Paper
Weibull Probability Paper links http://engr.smu.edu/~jerrells/courses/help/resources.html http://perso.easynet.fr/~philimar/graphpapeng.htm http://www.weibull.com/GPaper/index.htm
Use of Weibull Probability Paper
Properties of the Weibull Model
p-th Percentile
t P = θ [- ln(1 - p) ] and, in particular
t 0.632 = θ
1
β
Properties of the Weibull Model MTBF (Mean Time Between Failure)
1 MTBF = θ Γ + 1 β Standard Deviation 1
2 2 1 2 σ = θ Γ + 1 − Γ + 1 β β
Hàm sử a chữ a (Phân bố WEIBULL) θ
M W (t ) = 1 − e
t − α
Trong đó M r (t ): Hàm sửa ch"a (Reyleigh). t: Biến động thờ i gian sửa ch"a α: Tham số của phân bố Weibull. θ = 1 và θ = 2; µ =1/α; biến thành 2 phân bố ở trên
The Gamma Function Γ Γ
∞
Γ (a ) = ∫ e x dx −x
a −1
0
Γ (a + 1) = aΓ (a )
1
1 1.25
1.01
1.5
0.886 1.75
0.9191
0.9943 1.26
0.9044 1.51
0.887 1.76
0.9214
1.02
0.9888 1.27
0.9025 1.52
0.887 1.77
0.9238
1.03
0.9836 1.28
0.9007 1.53
0.888 1.78
0.9262
1.04
0.9784 1.29
0.899 1.54
0.888 1.79
0.9288
1. 05
0. 9735
1. 3
0. 8975 1. 55
0. 889
1. 8
0. 9314
1. 06
0. 9687 1. 31
0. 896 1. 56
0. 89 1. 81
0. 9341
1.07
0.9642 1.32
0.8946 1.57
0.89 1.82
0.9369
1.08
0.9597 1.33
0.8934 1.58
0.891 1.83
0.9397
1.09
0.9555 1.34
0.8922 1.59
0.892 1.84
0.9426
1.1
0.9514 1.35
0.8912
1.6
0.894 1.85
0.9456
1.11
0.9474 1.36
0.8902 1.61
0.895 1.86
0.9487
1.12
0.9436 1.37
0.8893 1.62
0.896 1.87
0.9518
1.13
0.9399 1.38
0.8885 1.63
0.897 1.88
0.9551
1.14
0.9364 1.39
0.8879 1.64
0.899 1.89
0.9584
1.15
Values of the Gamma Function
0.933
0.9064
1.4
0.8873 1.65
1.16
0.9298 1.41
1.17
0.9
1.9
0.9618
0.8868 1.66
0.902 1.91
0.9652
0.9267 1.42
0.8864 1.67
0.903 1.92
0.9688
1.18
0.9237 1.43
0.886 1.68
0.905 1.93
0.9724
1.19
0.9209 1.44
0.8858 1.69
0.907 1.94
0.9761
1.2
0.9182 1.45
0.8857
1.7
0.909 1.95
0.9799
1.21
0.9156 1.46
0.8856 1.71
0.911 1.96
0.9837
1.22
0.9131 1.47
0.8856 1.72
0.913 1.97
0.9877
1.23
0.9108 1.48
0.8858 1.73
0.915 1.98
0.9917
1.24
0.9085 1.49
0.886 1.74
0.917 1.99
0.9958
Hàm sử a chữ a (Phân bố GAMMA) θ
M W (t ) = 1 − e
t − α
Trong đó M r (t ): Hàm sửa ch"a (Reyleigh). t: Biến động thờ i gian sửa ch"a α: Tham số của phân bố Weibull. θ = 1 và θ = 2; µ =1/α; biến thành 2 phân bố ở trên
Properties of the Weibull Model Failure Rate
β β-1 h(t) = β t θ Notice that h(t) is
a decreasing function of t if β < 1 a constant if β = 1 an increasing function of t if β > 1
Properties of the Weibull Model
Cumulative Failure Rate
H(t ) =
t
β -1
θ
β
=
h (t )
β
The Instantaneous and Cumulative Failure Rates, h(t) and H(t), are straight lines on log-log paper.
The Weibull Model with β = 1 reduces to the Exponential Model.
The Weibull Model - Distributions Failure Rates 3
*=5 2
h(t)
*=1 1
*=0.5 0 0
1.0
2.0
t t is in multiples of θ
h(t) is in multiples of 1/ θ
Properties of the Weibull Model
Conditional Probability of Surviving Time t 2, given survival to time t1, where t1 < t2,
R(t 2 t 1 ) = e
{(−1 θ β )[t β 2 −t 1 β ]}
, if β > 1
Mode - The value of time (age) that maximizes the failure density function. 1β
t mod e = θ(1 − 1 β )
The Weibull Model - Expected Time to First Failure
n identical items are put on test or into service under identical conditions and at age of zero time. The failure distribution of each item is Weibull with parameter θ and β . The expected time to first failure is:
E (T 1 ) = (θ / n
1 β
)Γ (1 + 1 / β ) =
The expected time to second failure is
1
n
*
E(T)
:
n n − 1 1 E (T2 ) = θ − 1 / β Γ + 1 1β n β (n − 1)
The Weibull Model Turbine Spacer Life Expectancy WEIBULL FIT - A
100
Based on 2 failures (Excludes 128 hr failure)
99 New Spacers New Engine Build - Undisturbed
98 Percent Surviving at 1 97 Flight Hours
Based on 3 failures
WEIBULL FIT - B 96
95
0
100
200
300
400 500 600 Age (Flight Hours)
700
800
900
The Weibull Model – Example 1 Time to failure of an item has a Weibull distribution with characteristic life θ = 1000 hours. Formulate the reliability function, R(t), and the Failure Rate, h(t), as a function of time (age) and plot, for: (a) (b) (c)
β = 0.5 β = 1.0 β = 1.5
Solution (a)
R(t ) = e
− ( t / 1000) 0.5 −0 . 5
h(t ) = (0.5 / 1000 )t
= 0.01581 / t
The Weibull Model – Example 1 (b)
R (t) = e
− t / 1000
h(t ) = 1 / 1000
= 0.001 (c)
R (t) = e
− ( t / 1000)1.5
1.5
0.5
h(t ) = (1.5 / 1000 )t = 0.000047434
t
The Weibull Model – Example 2 Time to failure of an item follows a Weibull distribution with β = 2 and θ = 1000 hours. (a) What is the reliability, R(t), for t = 200 hours? (b) What is the failure rate, h(t), (instantaneous failure rate) at that time? (c) What is the Mean Time To Failure?
The Weibull Model – Example 2 Solution (a)
R (t) = e
β
− ( t / θ )
R( 200) = e
− ( 200 / 1000) 2
= 0.9608 β −1
(b)
βt h(t) = β θ
2 −1
h( 200) =
= 0.0004
2(200 )
2
(1000)
failures per hour
The Weibull Model – Example 2 Solution continued
(c)
1 MTTF = θ Γ 1 + β 1 = 1000 Γ 1 + 2
From the Gamma Function table:
Γ (1.5) = 0.88623
MTTF = 1000Γ (1.5) = 886.23
The Normal or Gaussian Model Definition A random variable T is said to have the Normal (Gaussian) Distribution with parameters µ and σ, where σ > 0, if the density function of T is.
f ( t ) =
1
σ 2π
e
−
1 2σ
2 − µ t ( ) 2
Definition If T ~ N(µ,σ) and if
Z=
,
T -µ
for 0 < t < ∞
, then Z ~ N(0,1)
σ
the Standard Normal Distribution and Cumulative Probability is tabulated for various values of z.
Properties of the Normal Model - Failure Densities
Properties of the Normal Model
Probability Distribution Function
t − µ F( t ) = Φ σ where Φ(Z) is the Cumulative Probability Distribution Function of the Standard Normal Distribution.
Reliability Function
t − µ R ( t ) = 1 - Φ σ provided that P(T < 0) ≈ 0
Properties of the Normal Model
MTBF (Mean Time Between Failure)
MTBF = µ
Standard Deviation of Time to Failure =
Failure Rate
h(t) =
f ( t ) R (t)
The Normal Model - Example Example µ=1.000 σ=100
Properties of the Normal Model - Standard Normal Distribution able of Probabilities p
Z=
t -µ
σ
The Lognormal Model
Definition
A random variable T is said to have the Lognormal Distribution with parameters µ and σ, where - ∞ < µ < ∞ and σ > 0, if the density function of T is:
f ( t ) =
1
σt 2π
e
−
1 2σ
2 ( − µ ) ln t 2
,
for t > 0
,
for t ≤ 0
Remark
The Lognormal Model is often used as the failure distribution for mechanical items and for the distribution of repair times.
Properties of the Lognormal Model
Failure Distribution
ln t − µ F( t ) = Φ σ where Φ(z) is the cumulative distribution function
Reliability Function
ln t − µ R ( t ) = 1 - Φ σ
If T ~ LN(µ,σ), then Y = lnT ~ N( µ,σ)
Properties of the Lognormal Model
MTBF (Mean Time Between Failures) 1 µ + σ 2 2
µ T = MTBF = e
Standard Deviation of Time to Failure
σ T = [e
2 µ +σ 2
(e
σ 2
)
− 1 ]2
Failure Rate
h(t) =
f ( t ) ln t − µ
1 − Φ
σ
1
The Lognormal Model
"ailure rate functions for various values of µ an' σ
The Lognormal Model
Example - Ductile Strength A theoretical justification based on a certain material failure mechanism underlies the assumption that ductile strength X of a material has a lognormal distribution. Suppose the parameters are µ = 5 and σ = 0.1 (a) Compute E(X) and Var(X) (b) Compute P(X > 120) (c) Compute P(110 ≤ X ≤ 130) (d) What is the value of median ductile strength? (e) If ten different samples of an alloy steel of this type were subjected to a strength test, how many would you expect to have strength at least 120? (f) If the smallest 5% of strength values were unacceptable, what would the minimum acceptable strength be?
Example - Solution a) The mean of x is µ +
E ( X ) = e =e
5+
σ 2 2
( 0.1) 2 2
= 149.16
and the variance of X is.
Var ( X ) = e
2 µ +σ 2
σ 2
(e
− 1)
=
22247.83 × 0.01005
=
223.59
Example – Solution continued b)
P ( X
> 120 ) = 1 −
= 1−
P ( Z ≤
= 1−
P ( Z ≤
= 1−
P ( Z ≤
= 1−
0 . 0166
=
0 . 9834
P ( X
ln 120
−
0 .1 4 . 79 − 5 0 .1 − 2 . 13 )
5
)
)
≤ 120 )
Example – Solution continued c)
P (110 =
≤
X
P ( − 3 . 00
≤
130 )
=
P(
ln 110
≤ Z ≤ − 1 . 32 )
= Φ ( − 1 . 32 ) − Φ ( − 3 . 00 ) =
0 . 0934
=
0 . 0921
−
0 . 0013
d)
x 0 .5
=
e µ
=
148 . 41
0 .1
−
5
≤ Z ≤
ln 130 0 .1
−
5
)
Example – Solution continued e) p = P(X>120) = 0.983 from part (b) Y = number of tests with strength of at least 120 The Y~B(10,0.9834) and
= E (Y ) =
np
= 10(0.9834) = 9.83
Example – Solution continued f) We need to find the value of X, say x 0.05, for which P(X < x0.05) = 0.05 Since P(Z<-1.645) = 0.05 P(Z <
ln x0.05 −
σ
ln x0.05 − µ
σ ln x0.05 =
= −1.645,
= 5 − (0.1)(1.645),
4.8355
Finally, x0.05
=
) = 0.05
e
4.8355
= 125.9015
The Binomial Model Definition If X is the number of successes in n trials, where: (1) The trials are identical and independent, (2) Each trial results in one of two possible outcomes success or failure, (3) The probability of success on a single trial is p, and is constant from trial to trial, then X has the Binomial Distribution with Probability Mass Function given by:
The Binomial Model Probability Mass Function
b( x ) = b(x | n, p) = P(X = x)
=
n x n− x p (1 − p ) , x
for x = 0, 1, 2, ... , n
, otherwise where
n n! = x!(n − x )! x
Binomial Distribution
Mean or Expected Value
µ = np
Standard Deviation 1
σ = [npq] 2
, where
q=1-p
The Binomial Model - Example Application 1 Four Engine Aircraft Engine Unreliability Q(t) = p = 0.1 Mission success: At least two engines survive Find RS(t)
Solution X = number of engines failing in time t RS(t) = P(x ≤ 2) = b(0) + b(1) + b(2) = 0.6561 + 0.2916 + 0.0486 = 0.9963
Number of Failures Model
Definition If T ~ E(θ) and if X is the number of failures occurring in an interval of time, t, then X ~ P(t/ θ), the Poisson Distribution with Probability Mass Function given by: x
p(x) = P(X = x) =
(- t ) e
for x = 0, 1, ...
x!
Where is the failure rate
− - t
- =
1 .
The expected number of failures in time t is
1 = - t =
t .
The Poisson Model X ~ P(2) 5
p(5)
"(5)
$
$&1-3--3
$&1-3--3
1
$&!$/1
$&0$/$$/
!
$&!$/1
$&////
-
$&1.$00
$&.31!-
0
$&$2$!!0
$&20-0
3
$&$-/$.2
$&2.-0-/
/
$&$1!$-$
$&2230//
$&$$-0-
$&22.2$-
.
$&$$$.32
$&222/-
The Poisson Model
p(5)
6umber of "ailures 7 5
The Poisson Model - example continued F(x ) =
1 = - t = 2.0
x
∑ p( y ) y =0
1.00
0
1
2
3
4
5
6
Number of Failures ~ x
7
8
The Poisson Model - Example Application An item has a failure rate of λ = 0.002 failures per hour if the item is being put into service for a period of 1000 hours. What is the probability that 4 spares in stock will be sufficient?
Solution Expected number of failures (spares required) = λt = 2 P(enough spares) = P(X ≤ 4) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 0.945 or about a 5% chance of not having enough spares!
Bài tập Bài 1: Khách hàng đến quầy dịch v& vớ i tần suất 15 ngườ i/giờ . Hỏi xác suất thờ i gian đến quầy < 3 phút của 2 khách hàng liên tiếp? Bài 2: Một thiết bị có tốc độ hỏng λ = 0.01 l#i/giờ . a. Tính độ tin cậy cho 1.000 giờ vận hành? b. Thờ i gian gi"a hai lần hỏng MTBF?
Bài 3: Time to failure of an item has a Weibull distribution with characteristic life θ = 1000 hours, β = 2. a. Formulate the reliability function, R(t), for t = 500 hours? b. What is the failure rate, h(t), at t = 500 hours? c. What is the Mean Time To Failure?
Bài tập Bài 4 Một thiết bị có xác suất hoạt 10 và σ = 4.
động X phân bố lognormal vớ i µ =
(a) Tính trung bình E(X) và độ lệch chuẩn Var(X) (b) Tính P(X > 10,5) (c) Tính P(9,5 ≤ X ≤ 10,5) (d) Tính median của tập X?
Bài 5: Tung một đ!ng xu v2o (P(sấp) = 0,4) 240 lần. Tính xác suất m)t sấp xuất hiện 9 6 lần? Bài 6: Máy bay hạng nh2 có 3 lốp vớ i tốc độ hỏng λ = 0.002 l#i/giờ . Tính xác suất cả 2 lốp hỏng vớ i thờ i gian vận hành t = 1000?
