Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Evidencia de aprendizaje. Problemas que se resuelven a través de la optimización
Facilitador: Gutiérrez Muñoz Israel Iván Alumno: Maritza Fabiola Acosta Góngora Matricula: AL12529944
Cálculo diferencial Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
CALCULO DIFERENCIAL CON APLICACIONES EN DISEÑO Problema 1. Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16cm de ancho y 21cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando, los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Solución. Comenzaremos por trazar un croquis del cartón como se muestra en la figura 1, en donde la letra x denota la longitud del lado del cuadrado que se va a recortar en cada esquina. Nótese que 0 ≤ x ≤ 8. Escribimos los datos conocidos (El tamaño del rectángulo) en los lugares apropiados de la figura
se ve que lo que se desea maximizar es el volumen V de la caja que se formara doblando a lo largo de las líneas punteadas (ver Figura 2). Expresamos V como una función de la variable x. x(16 − 2x)(21 − 2x) V = 2(168x − 37x2 + 2x3). V
=
Esta ecuación expresa V como una función de x cuyo dominio es [0, 8]. Buscamos ahora los números críticos para probar si son máximos o mínimos. Derivando con respecto a x e igualando a cero,
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Entonces, los números críticos son 28/3 y 3. Como 28/3 está fuera del dominio de la función, el único número crítico es 3. Usando el Criterio de la Segunda Derivada comprobamos que en x = 3 V tiene un máximo local
Finalmente se ve si hay valores extremos en la frontera del dominio de la función . Como DomV (x) = [0; 8] entonces calculamos la imagen de x = 3, x = 0, x = 8. V (3) = 450; V (0) = 0; V (8) = 0: Por lo tanto, para obtener una caja de volumen máximo debe recortarse un cuadrado de 3cm de cada lado de la esquina de la hoja de cartón.
CALCULO DIFERENCIAL CON APLICACIONES A LA ECONOMÍA.
Problema 2 El costo total de la producción de x unidades de cierto producto se describe por medio de la función Q(x) = 100, 000 + 1, 500x +0.2x2; donde Q(x) representa el costo total, expresado en pesos. a) Determinar cuántas unidades x deberán de fabricarse a …n d e minimizar el costo
promedio por unidad. b) Demostrar que el costo promedio y el costo marginal son iguales en ese punto. c) Graficar la función costo promedio y la función costo marginal. Solución: a) El costo promedio está dado por
y la primera derivada del costo promedio por
así, q0(x) es igual a cero, si y sólo si,
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x = §707.11 productos, Pero como x representa producción entonces se considera solamente x = 707.11; como punto crítico. Ahora la segunda derivada del costo promedio es
y al sustituir el valor de x; en esta expresión, se tiene que, q00(707.11) = 0.0005659 > 0; por tanto, existe un costo promedio mínimo cuando se produce 707.11 unidades y, así, el costo por unidad es. q(707.11) = 1,782.84 pesos es decir, el costo promedio mínimo es igual a $1,782.84 cuando se produce 707.11 unidades. b) La función costo total está dada por
Q(x) = 100,000+ 1,500x +0.2x2; y la función costo marginal por Q0(x) = 1, 500 +0.4x; y, así, el costo marginal en 707.11 es igual a Q0(707.11) = 1, 782.84 pesos; por tanto, el costo marginal es igual al costo promedio en el punto x = 707.11, es decir, Q0(707.11) = q(707.11): En la práctica se toma el valor de x =707 unidades ya que no se produce partes de unidades
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b) La grafica siguiente muestra el resultado anterior. Costos
1782.84 q(x)=1500+0.4x
707.11
0
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CALCULO DIFERENCIAL CON APLICACIONES EN CONSTRUCCIÓN DE CARRETERAS Problema 3 En un terreno fangoso rectangular que mide 5 km de ancho por 8 km de largo se tiene que comunicar el punto A con el punto B por medio de una carretera, como lo muestra la figura. La carretera debe atravesar desde el punto A hasta cierto punto P situado en el lado contrario; y luego desde P hasta B debe trazarse la carretera paralelamente al terreno fangoso, pero ya por tierra firme. El costo a través del terreno fangoso es de 10 millones de pesos el kilómetro mientras que por tierra firme es de 7 millones de pesos el kilómetro. Calcular las distancias AP por terreno fangoso y PB por tierra firme tales que el costo total de la carretera sea el mínimo.
Solución
Sea x la ubicación del punto P respecto del vértice inferior izquierdo del terreno fangoso (ver figura 11.13). Por lo tanto, el resto PB debe ser (8 - x ). Obsérvese que los valores fron- tera para la variable x son x = 0 y x = 8, es decir, 0 < x < 8. Conforme a la figura, la distancia AP se puede obtener por el teorema de Pitágoras:
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El costo total C de la carretera es el costo unitario (por kilómetro) de cada tramo por su longitud, es decir
√
(4.1)
Antes de calcular el costo mínimo, es saludable hacer una tabla de los diferentes costos según sea la ubicación del punto P para visualizar la variación de dichos costos. En la tabla los costos están en millones de pesos. Para obtener el costo total de la carretera dependiendo del valor dado a x simplemente hay que sustituir en la fórmula del costo (4.1):
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
costo
106
99.99
95.85
93.30
92.03
91.71
92.10
93.02
94.33
Puede verse en la tabla que los costos van disminuyendo y aparentemente el mínimo se obtiene cuando x = 5. Los cálculos siguientes demostrarán que no debe guiarse uno por la apariencia. Derivando la fórmula del costo (4.1):
√ √ √ √ para eliminar el denominador: (√ )
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por
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Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
Como el valor crítico negativo no tiene sentido porque x representa una longitud (ver figura), entonces x = 4.9008 es el mínimo. Y como se dijo al inicio, el hecho de que en la tabla haya aparecido el valor de x = 5 como el mínimo no significa que este valor lo sea realmente. El costo mínimo se puede obtener sustituyendo x = 4.9008 en (4.1):
Recuérdese que el 10 antes del radical indica diez millones pesos, que es el costo por km en el terreno fangoso; y que el 7 antes del paréntesis indica siete millones de pesos, que es el costo por km en terreno firme. Por lo tanto, la unidad de costo es de millón de pesos. Continuando las operaciones anteriores:
√ C=91.70711313
El costo mínimo es de $91, 707,113.13.
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Fuentes de consulta (1)CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CON APLICACIONES A LA ECONOMÍA, DEMOGRAFÍA Y SEGUROS. NORA GAVIRA DURÓN. (2) CAPÍTULO 11 Aplicaciones de Máximos y Mínimos http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf
