Cartografía Matemática_T2

Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática

TEMA No.2

Tema No.2: Introducción. Escala de Representación. Cálculo diferencial de elementos de la esfera, elipsoide y en el plano. Coeficientes de Gauss. Módulos de deformación: lineal, angular y superficial. Elipse de Tissot. Aplicaciones de la elipse de Tissot para el cálculo de deformaciones. Campo de una proyección.

2.1.- Escala de Representación Se define la escala de representación como la relación que existe entre la línea geodésica definida por los puntos A y B en la esfera ó esferoide y su correspondiente en el plano definido por los puntos a y b.

B

b

A

a

E =

ab AB

2.2.- Cálculo diferencial de elementos de la esfera, elipsoide y sus correspondientes en el plano El estudio diferencial de estos elementos va encaminado a analizar como se transforman las longitudes, ángulos y superficies entre el elipsoide y sus transformados en el plano, auxiliándose en un cuadrilátero infinitesimal ABCD limitado por dos paralelos y dos meridianos infinitamente próximos del elipsoide.

Tema No.2: Teoría Matemática General

Prof. Giovanni Royero O.


TEMA No.2

Elementos diferenciales del elipsoide Conocido un punto de coordenadas geodésicas A(ϕ,λ), sobre un elipsoide de revolución cuyos parámetros a y f que lo definen son conocidos, se cumple que los lados del cuadrilátero tendrán por valor: N

a

=

1 − e 2sen 2 ϕ

Rc = ρ =

a (1 − e 2 )

(1 − e sen ϕ) 2

2

3/ 2

AB = ρ ⋅ dϕ AD = r ⋅ dλ = N cos ϕdλ Por tanto,

a. Elemento lineal (dl) dl = AC =

AB2

+ AD 2

dl =

ρ 2 dϕ 2 + N 2 cos 2 ϕdλ2

dl =

ρ 2 dϕ 2 + r 2 dλ2

Entonces: dl =

ρ 2 (dϕ)2 + N 2 cos 2 ϕ(dλ )2 = ρ 2 (dϕ)2 + r 2 (dλ )2

b. Elemento angular (d ) tanθ =

CD AD

=

AB AD

=

ρd ϕ rdλ

=

ρd ϕ N cos ϕdλ

c. Elemento superficial (ds) ds = ρdϕ.rdλ

= AB ∗ AD = ρ N. cos ϕdϕdλ




TEMA No.2

Elementos diferenciales de la esfera Considerando ahora la tierra con características esféricas de radio R, se obtendrán las siguientes expresiones para los elementos lineal, angular y de superficie. AB = dm = R ⋅ dϕ : Elemento diferencial de meridiano AD = dp = r ⋅ dλ = R cos ϕdλ : Elemento diferencial de paralelo Por tanto,

a. Elemento lineal (dl) dl =

R 2 (dϕ)

2

+ R 2 cos 2 ϕ(dλ )2 = R (dϕ )2 + cos 2 ϕ(dλ )2

b. Elemento angular (d ) tanθ =

CD AD

=

AB AD

=

R d ϕ R cos ϕdλ

=

sec ϕ d ϕ dλ

c. Elemento superficial (ds) ds = AB ∗ AD = R 2 . cos ϕdϕdλ

Nota: estas fórmulas no son válidas en los polos. Elementos diferenciales del plano Para calcular los elementos diferenciales dl1, dθ1, y ds1 en el plano ó mapa, basta considerar la imagen A1, B1, C1, D1, del cuadrángulo ABCD, en la retícula correspondiente a la proyección.

Considerando A1x, la dirección del paralelo que pasa por A y A1y, la dirección del meridiano que pasa por A.

A su vez es de conocimiento las fórmulas de transformación o vinculación entre las superficies plana y esférica ó elipsoidal. Tema No.2: Teoría Matemática General



TEMA No.2

= f (λ, ϕ) y = g (λ, ϕ)

x

De esta manera para el punto imagen A1, se tiene:

= f (λ A , ϕ A ) y A1 = g (λ A , ϕ A )

x A1

Donde f y g, son las relaciones funcionales de paso del elipsoide al mapa y dependen del sistema de proyección a utilizar.

a. Elemento lineal (dl1) De la figura las coordenadas de C1 son: x C1 y C1

= x A1 + dx = y A1 + dy

Como: x

= f (λ, ϕ) ⇒ dx =

∂x ∂x dλ + dϕ ∂λ ∂ϕ

Análogamente, y = g (λ, ϕ) ⇒ dy =

∂y ∂y dλ + dϕ ∂λ ∂ϕ

Por otra parte: dl1

= A1C1 = (x C1 − x A1 )2 + (y C1 − y A1 )2 =

dx 2

+ dy 2

Sustituyendo dx y dy, se tiene: 2

dl1

⎛ ∂x ∂x ⎞ ⎛ ∂y ∂y ⎞ = ⎜⎜ dλ + dϕ ⎟⎟ + ⎜⎜ dλ + dϕ ⎟⎟ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ

2

Desarrollando los argumentos de la raíz: 2

2

2

⎛ ∂x ⎛ ∂x ∂x ⎞ ∂x ⎞ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎜⎜ dλ + dϕ ⎟⎟ = ⎛ ⎜ dλ ⎟ + 2⎜⎜ dλ ⋅ dϕ ⎟⎟ + ⎜⎜ dϕ ⎟⎟ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ⎝ ∂λ 2 2 2 ⎛ ∂y ⎛ ∂y ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎜⎜ dλ + dϕ ⎟⎟ = ⎜ dλ ⎟ + 2⎜⎜ dλ ⋅ dϕ ⎟⎟ + ⎜⎜ dϕ ⎟⎟ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ⎝ ∂λ Agrupando términos comunes y sustituyendo en la raíz, se tiene:




TEMA No.2

⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 2 ⎤ ⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 2 ⎤ ⎡⎛ ∂x ∂x ⎞ ⎛ ∂y ∂y ⎞⎤ dl1 = ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dλ ⎥ + ⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ dϕ ⎥ + 2 ⎢⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟⎥dλdϕ ∂ λ ⎝ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎝ ∂λ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ∂ϕ ⎠⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎢⎣⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Donde: 2

⎛ ∂y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂λ ⎠

2

2

⎛ ∂y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ϕ ⎠

2

⎛ ∂x ⎞ G=⎜ ⎟ ⎝ ∂λ ⎠ ⎛ ∂x ⎞ E = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ϕ ⎠

⎛ ∂x ∂x ⎞ ⎛ ∂y ∂y ⎞ ⋅ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ ∂ λ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂λ ∂ϕ ⎠ ⎝

F = ⎜⎜

Por tanto: dl1

=

Gdλ2

+ Edϕ 2 + 2Fdλdϕ

Para los puntos de igual latitud (A y D), d ϕ = 0º, entonces: dl1

=

Gdλ2

Para los puntos de igual longitud (A y B), dλ = 0º, entonces: dl1

=

Edϕ 2

Nota: E, F y G, se denominan Coeficientes de Gauss que son la base fundamental para el análisis de las propiedades de una proyección particular una vez que se conoce su estructura matemática ó módulo matemático.

b. Elemento angular (d 1) Del gráfico, el acimut que forma la diagonal A1C1, con el eje x, está dado por:

tan θ1

=

dy dx

, adicionalmente,



Universidad del Zulia Departamento de Geoinformática Cátedra: Cartografía Matemática dy

senθ1

=

cos θ1

=

dl1 dx dl1

TEMA No.2

dy

=

dx 2

+ dy 2

dx

=

dx 2

+ dy 2

Por otro lado, es importante analizar la rotación que ha sufrido el cuadrilátero debido a un cambio de acimut ó giro representado como

θ DA11 . Este análisis se realizará por dos

vías a

saber:

b.1.- Cálculo de

D1 A1

Debido a que se conoce que

ϕA’

=

ϕD1’,

entonces D1 representa la posición a la cual se

desplaza el punto A1 para el caso en que solo exista variación en longitud (λ), por tanto D1D’1, representa la variación de la coordenada yA1, por efecto de la variación de longitud el cual se determina de la siguiente manera: tan θ

D1 A1

=

D1 D1' '

A 1 D1

Ahora, D1 D1'

=

∂y dλ ∂λ

Análogamente, A 1 D1'

=

∂x dλ ∂λ

Sustituyendo se obtiene finalmente que:

∂y ∂y ⎛ ∂y ⎞ dλ ⎜ ⎟ D1 D1 ∂ λ ∂ λ = ⇒ θ A1 = arctan⎜ ∂λ ⎟ tan θ A1 = ∂x ∂x ⎜ ∂x ⎟ dλ ⎜ ⎟ ∂λ ∂λ ⎝ ∂λ ⎠ b.2.- Cálculo de

B1 A1

De forma equivalente, la longitud del punto A1 es la misma que la del punto B1, por lo que B’1, representa el cambio de posición a la cual se desplaza el punto A1, en el caso de que solo exista variación de la coordenada en latitud de la coordenada xA1 y será:




tan θ BA11

=−

' 1 ' 1

A1B B1 B

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∂y ∂y ⎛ dϕ ⎜ ∂ϕ ∂ϕ B1 =− =− ⇒ θ A1 = arctan⎜ − ⎜ ∂x ∂x dϕ ⎜ ∂ϕ ∂ϕ ⎝

∂y ⎞ ⎟ ∂ϕ ⎟ ∂x ⎟ ∂ϕ ⎠⎟

Adicionalmente, tan θ BA11

= − cot θ BB1'1

y para θ BA11

⎛ ∂y ⎞ < 90º ⇒ tan θ BA11 = arctan⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ϕ ⎠

También se pueden calcular

D1 A1

B1 A1

y

en función de los Coeficientes de Gauss, de la

siguiente manera:

senθ DA11

=

D1 D dl

' 1

P 1

∂y ∂y dλ dλ ∂ λ ∂ λ = P = = dl1 G dλ

1 G

*

∂y ∂λ

*

∂y ∂ϕ

Análogamente,

senθ BA11

=

A1D dl1M

' 1

=

∂y dϕ ∂ϕ dl1M

∂y dϕ ∂ϕ = = E dϕ

1 E

c. Elemento superficial (ds1)

= AB ∗ AD ds1 = A 1 B1 ∗ A1 D1 ∗ sen (θ BA11 − θ DA11 ) ds1 = A 1 B1 ∗ A1 D1 ∗ (senθ BA11 cos θ DA11 − cos θ BA11senθ DA11 ) ds1

Donde: A 1 B1

= dϕ E ; A1 D1 = dλ G ; senθ B1 A1 =

senθ D1 A1

=

∂y 1 ⋅ ∂ϕ E

∂y 1 ∂x 1 ∂x 1 ⋅ ⋅ ⋅ ; cosθ B1 ; cosθ D1 A1 = − A1 = ∂λ G ∂ϕ E ∂λ G

S=

γ


1

a ⋅ b ⋅ senγ 2 ≠ 90º



TEMA No.2

Considerando que:

θ = 90º +θ B1 A1

B1 B '1

⇒ cos θ = cos(90º +θ B1 A1

B1 B '1

) = −senθ

B1 B '1

=

B1 B1' A 1 B1

Entonces:

∂x dϕ ∂x 1 ∂ ϕ B1 =− cos θ A1 = − ∂ϕ E dϕ E Por analogía:

∂x dλ ∂x D1 ∂ λ cos θ A1 = = dλ G ∂λ

1 G

Sustituyendo los valores anteriores, se tiene:

⎡ ∂y ⎣ ∂ϕ

E ⋅ dλ G ⋅ ⎢

1

∂x ∂λ

ds1

= dϕ

ds1

= dϕ ⋅ dλ

ds1

⎛ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎞ = dϕ ⋅ dλ ⋅ ⎜⎜ ⋅ + ⋅ ⎟⎟ ⎝ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ⎠

E E

⋅

G G

E

1 G

⎛ ∂x − ⎜⎜ − ⋅ ⎝ ∂ϕ

⎞ ∂y ⎟⎟ ⋅ E ⎠ ∂λ

1

⎤ ⎥ G⎦

1

⎛ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎞ ⋅ ⎜⎜ ⋅ + ⋅ ⎟⎟ ⎝ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ⎠

2.3.- Módulos de deformación lineal, angular y superficial Son expresiones que permiten evaluar la distorsión que sufre la figura a utilizar que sustituirá la esfera ó elipsoide en términos de ángulos, distancias y superficie al ser transferida ó transformada mediante la función de paso ó transferencia de la esfera ó elipsoide al plano.




TEMA No.2

a. Módulo de Deformación Lineal (L) Se define como el cociente entre el elemento diferencial lineal en el plano (dl1) y su correspondiente en la esfera ó elipsoide (dl).

L=

dl1 dl

Sí L = 1, entonces dl1 = dl, esto implica que se verifica la propiedad de equidistancia y por ello la proyección es Automecoica ó Equidistante y en ellas las distancias se conservan.

b. Módulo de Deformación Angular (A) Se define como la diferencia entre el valor angular (θ1) en el plano y su correspondiente en la esfera ó elipsoide (θ).

A = θ1 - θ

Sí A = 0, implica que se conservan los ángulos. Por esto las proyecciones se denominarán Conformes ó Isogonales.

c. Módulo de Deformación de Área ó Superficie (S) Se define como el cociente entre un elemento diferencial de superficie en el plano (ds1) y su correspondiente en la esfera ó elipsoide (ds).

S=

ds1 ds

Sí S = 1, entonces se conservan las áreas ó superficies, por lo que se denominan proyecciones Equivalente ó Equiarial .




TEMA No.2

2.4.- Elipse indicatríz de Tissot En 1859 y1881, Nicolas Auguste Tissot, publicó un análisis clásico de las distorsiones que ocurren sobre un mapa de proyección

Previamente se analizaron cuales eran las deformaciones que podrían surgir en un cuadrilátero infinitesimal situado sobre un elipsoide ó esfera cuando se transformaba al plano. Esto permitió llegar a la definición de los módulos de deformación, que permite obtener las condiciones que deben cumplir las proyecciones para que se conserven las longitudes, ángulos ó las áreas.

Ahora se considerará un cuadrilátero no infinitesimal que según sean las funciones matemáticas

de

transferencia

ó

transformación

características

de

la

proyección

seleccionada, se obtendrán distintas deformaciones para el cuadrilátero al representarlo sobre el plano. Para realizar lo antes expuesto, se utilizará un círculo infinitesimal de centro O y radio (1) unidad situado sobre el elipsoide. Calculando su transformado sobre el plano, para lo que se aplicará en cada dirección la expresión:

dl1

=

Gdλ2

+ Edϕ 2 + 2Fdλdϕ

Y adicionalmente, se van uniendo los extremos de los extremos de los segmentos transformados al girar 360º el elipsoide, se obtendrá en el plano una elipse y en general a cada círculo infinitesimal de radio unidad sobre el elipsoide le corresponderá sobre el plano una elipse que a su vez es la que se denomina elipse indicatríz de Tissot.

Por otro lado, si se consideran dos diámetros del círculo elemental sobre el elipsoide que sean perpendiculares entre sí, al transformarlos al plano, se verá que en general no serán perpendiculares, pero se demuestra que de todos los existentes, dos sí cumplen la condición de ser perpendiculares en el elipsoide y al ser transformados al plano.




TEMA No.2

Para determinar esos diámetros antes mencionados, se considerará del gráfico dos (2) líneas geodésicas del elipsoide OG0 y OG1, y sean O1g0 y

O1g1 sus transformadas en el plano. El

ángulo que forman dos curvas en el plano en su punto de intersección es el mismo que el de las correspondientes tangentes. Si ahora se realiza una rotación continua que traslade ó lleve a la línea geodésica OG0 sobre

OG1, OG1 entonces se habrá desplazado a OG2. Las dos geodésicas se han mantenido siempre perpendiculares en esta rotación, pero en el plano, habrán pasado O1g0 a

O1g1 y

O1g1 a O1g2. El ángulo de O1g0 a O1g1 que inicialmente era menor de 90º, ha pasado a ser mayor de 90º, por tanto, en un cierto momento, las dos transformadas de las rectangulares en el elipsoide han sido rectangulares en el plano, como se quería demostrar. A estas direcciones se le denomina direcciones principales de la elipse y sobre ellas están situados los semiejes a y b que son necesarios determinar para ciertas aplicaciones. Estos semiejes a su vez, pueden ser determinados de diferentes formas, una a partir de la anamorfosis lineal (muy complicada) y otra mas sencilla que a continuación se describe mediante los teoremas de Apolonio.

2.4.1.- Cálculo de a y b con aplicación de los Teoremas de Apolonio Primero se calcularán los módulos de deformación lineal a lo largo de los meridianos y paralelos denominados con las letras h y k.




h

=

k =

dl1M dl M

dl1P dl P

=

Edϕ

ρ

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ρ ⎜⎝ ∂ϕ ⎠⎟ ⎜⎝ ∂ϕ ⎠⎟

G dλ

1

2

TEMA No.2

2

⎛ ∂y ⎞ + ⎛ ∂y ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ rdλ rdλ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ 1

2

donde se han llamado dl M y dl P a los arcos elementales de meridiano y paralelo sobre el elipsoide y dl1M y dl1P a los correspondientes en el plano.

Consideremos ahora dos semidiámetros de valores m1 y m2 conjugados en una elipse (se llaman así aquellos donde la tangente en P, extremo de m1, es paralela a m2). Aplicando los Teoremas de Apolonio aplicados al gráfico arriba mostrado, se obtiene:

+ m 22 = a 2 + b 2 m1 ⋅ m 2 ⋅ cos β = a ⋅ b m12

Aplicando ahora estos teoremas a la transformada del círculo, representado en el plano a través de una elipse en el plano, (gráfico abajo), y llamando

a la diferencia entre el

ángulo que forman dos radios del círculo (u) y el correspondiente en la elipse (u1), (el cual, en general, será distinto), se verá como al considerar las dos direcciones principales que se corresponden con los ejes de la citada elipse, el valor de


será cero.



TEMA No.2

Por otro lado, se considerará a S como el módulo de deformación superficial y a su vez, M

dl

P

= dl = 1, ya que son radios del círculo infinitesimal en el elipsoide, por lo que se

cumplirá:

= dl1M k = dl1P h

Aplicando ahora el Teorema de Apolonio a estas expresiones principales resultará:

+ k 2 = a 2 + b 2 h ⋅ k ⋅ cos α = a ⋅ b h2

Y conociendo el valor de S = a . b, se obtiene lo siguiente: a 2 + b 2

= h 2 + k 2

2a ⋅ b = 2S

Sumando y restando miembro a miembro a 2 + b 2

+ 2ab = h 2 + k 2 + 2S ⇒ (a + b )2 = h 2 + k 2 + 2S 2 a 2 + b 2 − 2ab = h 2 + k 2 − 2S ⇒ (a − b ) = h 2 + k 2 − 2S Por otra parte de la definición de los módulos de deformación de los meridianos y paralelos ( h y k), permiten determinar el valor de S, donde sustituyendo se tiene:




TEMA No.2

⎛ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎞ ⎛ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎞ ⎜⎜ ⋅ − ⋅ ⎟⎟dϕ.dλ ⎜⎜ ⋅ − ⋅ ⎟⎟ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ⎠ dS1 ⎝ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ⎠ = = ⎝ S= ρ.r .dϕ.dλ ρ.r dS Sustituyendo el calor obtenido de S conjuntamente con los de h y k, en los elementos de la expresión del Teorema de Apolonio se obtiene:

⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 ⎤ 1 (a + b ) = 2 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + 2 ρ ⎢⎣⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎥⎦ r

⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 ⎤ 1 ⎡ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎤ − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + 2 ⎢ ∂ λ ∂ λ ρ ∂ ϕ ∂ λ ∂ϕ ∂λ ⎥⎦ r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎣⎢ ⎦⎥

⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 ⎤ 1 (a − b ) = 2 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + 2 ρ ⎢⎣⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎥⎦ r

⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 ⎤ 1 ⎡ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎤ − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ⎥⎦ ρr ⎣ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ⎦

2

2

1

1

Desarrollando, operando y agrupando términos, se tiene: 2

2

⎡ 1 ∂y 1 ∂x ⎤ ⎡ 1 ∂x 1 ∂y ⎤ + (a + b ) = ⎢ ⎥ + ⎢ ρ ∂ϕ − r ∂λ ⎥ ρ ∂ ϕ ∂ λ r ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 ⎡ 1 ∂x 1 ∂y ⎤ ⎡ 1 ∂y 1 ∂x ⎤ 2 + − (a − b ) = ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎣ ρ ∂ϕ r ∂λ ⎦ ⎣ ρ ∂ϕ r ∂λ ⎦ 2

Y de éstas dos expresiones finales, es de las cuales se puede determinar los valores correspondientes de los semiejes de la elipse de Tissot a y b.

2.4.2.- Aplicaciones de la elipse de Tissot para el cálculo de deformaciones En general, la elipse de Tissot, permite estudiar las alteraciones existentes entre los puntos ubicados en el elipsoide y sus correspondientes transformados en el plano. Es por esto que se presentará el comportamiento de estas alteraciones (lineal, angular y superficial) de un punto ubicado en el elipsoide de radio unidad que al proyectarlo se ubica en el plano en la elipse de Tissot generada.




TEMA No.2

2.4.2.1.- Alteración Lineal Considerando el plano tangente a la esfera en el punto

O, en el que se quiere hacer el estudio de la deformación. Se adoptará un par de ejes

X, Y que

corresponderán a los diámetros principales del círculo situado sobre el elipsoide, los cuales se van a transformar en el plano en los semiejes elipse.

Coincidiendo

nuevamente

tangente, se toman unos nuevos ejes Haciendo coincidir X = x e

a y b de la

con

el

plano

x e y que correspondan a su representación plana.

Y = y, al círculo infinitesimal de radio dl = 1, le corresponderá

en el plano la elipse de semiejes a y b.

Del gráfico, al punto

A de coordenadas X, Y en el círculo, le corresponde el A1 de

coordenadas x e y. Adicionalmente, elevando al cuadrado la expresión del módulo de deformación lineal L se obtiene: 2

L

=

dl12 dl 2

Y por semejanza de triángulos entre el x a

=

X 1

⇒ x = aX

Análogamente de los triángulos y b

=

Y 1

ODD’1 y OAA’1, se obtiene:

OCC1 y OAA’1, se obtiene:

⇒ y = bY

Finalmente, teniendo en cuenta que: X = cosu

∧

x = a.cosu

Y = senu

∧

x = b.senu




TEMA No.2

Sustituyendo en la expresión de L y considerando dl = 1, se obtiene: L2

= a 2 cos 2 (u ) + b 2 sen 2 (u ) ⇒ L =

Donde

a 2 cos 2 (u ) + b 2 sen 2 (u )

L representa la alteración lineal a lo largo de la dirección u, a su vez, es necesario

calcular previamente los semiejes de la elipse d e Tissot.

2.4.2.2.- Alteración Angular

2.4.2.3.- Alteración Superficial De la definición del módulo de anamorfosis superficial se deriva la siguiente expresión: S=

dS1 dS

Donde

dS1 es el diferencial de superficie de la elipse indicatriz y dS el correspondiente en

el círculo.

Sustituyendo y simplificando, se obtiene: S=

π ⋅ a ⋅ b a ⋅ b = = a ⋅ b 1 π ⋅ dS 2

Si la proyección es equivalente entonces se verifica que S = 1, por lo cual a = 1/b.




TEMA No.2

Elipses Indicatríz de Tissot en la Proyección Sanson. De esta manera, la elipse indicatríz de Tissot es una herramienta que permite de una forma fácil visualizar la distorsión existente en un punto

P de interés en un mapa. La elipse se

transformará en un círculo siempre que el mapa sea conforme (se conserven los ángulos) en cada punto

P de interés, y de cualquier otra manera, el eje principal de la elipse dará la

dirección de máxima y mínima longitud de la distorsión.

En el ejemplo arriba mostrado, se puede observar las elipses indicatríz para una proyección Sanson. Se aprecia que la imagen no se distorsiona a lo largo del Ecuador y el meridiano de Greenwich. Es importante mencionar que todas las indicatrices aunque no tienen la misma forma y tamaño si conservan la superficie lo que demuestra que la proyección de Sanson conserva las áreas.

2.4.3.- Campo de una proyección Para el estudio de las proyecciones es importante considerar el concepto de campo por cuanto establece un límite de hasta donde puede aplicarse un desarrollo respecto del origen (paralelos de tangencia, ecuador, otro) de manera de poder aceptar las deformaciones que se van a presentar y que irán en aumento a medida que se aleje del origen de la zona proyectada. Tema No.2: Teoría Matemática General



TEMA No.2

Un ejemplo de lo descrito previamente, asumiendo que una proyección es conforme, puede interesar conocer que extensión puede representarse para que las deformaciones lineales no excedan de un cierto valor, para ello, se considera el límite de anamorfosis lineal con valor l = 1.005, esto equivale a admitir una deformación del orden de 1/2000. Este valor define el campo de la proyección, de modo que esta exigencia indica que cuando en un mapa se mide una longitud no debe cometerse un error mayor a 1/2000 cualquiera que sea la escala de la representación.

En general, la alteración de la escala se interpretará como (1/E)*1.0005 = (1/E′), siendo (1/E) la escala original y (1/E′) la escala final.

Resumiendo, se puede decir que cuando existan alteraciones lineales del orden de 1.005, se estará en el límite de la aceptación del mapa que se esté utilizando, esto referente a deformación lineal. En el caso que la representación sea conforme, la alteración lineal tendrá el mismo valor cualquiera sea la dirección en la que se calcule.




TEMA No.2

Bibliografía Asín, Fernando Martín:

“Geodesia y Cartografía Matemática”, Editorial Paraninfo,

1984. España. Bentley System: “Microstation J, Academic Version”. BEN edition, 2001.

http://www.geometrie.tuwien.ac.at/havlicek/tissot.html Wessel, Paul; Smith, Walter:

Reference

and

“The Generic Mapping Tools Version 3.4.3 -Technical

Cookbook”,

Laboratory

for

Satellite

Altimetry.

NOAA/NESDIS/NODC. Mayo, 2003.



Cartografía Matemática_T2

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