7.- CASOS ESPECIALES ESPECIALES DE CARGA
Las solicitaciones a que están afectas las estructuras no son normalmente, como se ha asumido hasta ahora, sólo cargas puntuales (fuerzas o momentos) momentos) aplicadas en los nudos. Estados de carga típicos son: - Peso propio - Cargas de viento - Cargas de tráfico - Gradientes de temperatura -Tensiones iniciales (pretensado) - Deformaciones iniciales - Desplazamientos forzados (asentamientos de apoyos). En este capítulo se mostrará que todos los estados de carga antes mencionados pueden analizarse mediante sistemas de cargas puntuales (fuerzas y/o momentos) aplicados en los nudos de la estructura. Por lo tanto, desde el punto de vista del análisis matricial, los estados de carga indicados pueden considerarse como "casos especiales de carga". 7.1.- Método de las cargas nodales equivalentes
Mediante este método las cargas de cualquier tipo que estén aplicadas a un elemento de una estructura, se suponen aplicadas a ese mismo elemento aislado y con ambos extremos empotrados. Las reacciones en los extremos empotrados se asumen luego como acciones (cambiando el signo) en los nudos de la estructura. estructura. Estas se llaman cargas nodales equivalentes. Posteriormente, una vez calculados los esfuerzos internos en los elementos, y en especial en el elemento con carga entre sus nudos, como consecuencia del Principio de Superposición, los esfuerzos en dicho elemento se obtienen por la superposición de los esfuerzos debido a las cargas nodales equivalentes más los esfuerzos del elemento aislado doblemente empotrado. Los desplazamientos se superponen de igual forma, pero, debido a que el elemento aislado se ha considerado como doblemente empotrado, este no tiene desplazamientos en los nudos, por lo que los desplazamientos nodales de la estructura real son idénticos a los obtenidos con las cargas nodales equivalentes (Fig. 7.1). j
S
j
S
j
S
R3
d
i
R1
R6
j
S
R4
x j
S
z
R2
j
S
R5
j
Cond. De borde:
u1 u 2 ... u6 0
FIGURA 7.1.- Fuerzas nodales de un elemento de viga con carga interna
204
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Las fuerzas nodales del elemento de viga con carga y con condiciones de borde homogéneas j
(elemento empotrado) se almacenan en un vector S R (corresponden a las reacciones del elemento en el sistema sistema de coordenadas locales). El cálculo de dichas reacciones se realiza por alguno de los métodos tradicionales del análisis estructural o integrando la ecuación diferencial de la viga (Hidalgo, (Hidalgo, 1992). Las fuerzas nodales (reacciones) de un elemento doblemente empotrado bajo distintas cargas se indican en la Tabla 7.1. Si se utiliza cualquier otra tabla para determinar dichas reacciones se debe recordar la convención de signos.
E j emplo 7.1 j
Determinar las fuerzas nodales S R de un elemento elemento con carga distribuida constante (Fig. 7.2) j
S
j
S
j
S
R3
R6
j
S
R1
R4
x j
S
z
j
S
R2
R5
FIGURA 7.2.- Elemento con carga distribuida constante Para determinar las fuerzas nodales se recurrirá a la integración de las ecuaciones diferenciales de la viga (despreciando la deformación por esfuerzo cortante): En sentido transversal En sentido axial
EI wiv ( x ) q EA EA u" ( x ) 0
Con las condiciones de borde:
w0 w u 0 u w' 0 w' 0 Resulta la ecuación de la línea elástica:
EI w( x ) y el desplazamiento axial:
q x
4
24
q x
3
12
q x
2
24
EA u" ( x ) 0
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
S R j1 N 0 EAu' (0) 0
j S R 4 N EAu' () 0
S Rj2 Q0 EI w' ' ' 0 q / 2
S Rj5 Q EI EI w' ' ' () q / 2
j S R3 M 0 EI EI w' ' (0) q 2 / 12
j S R 6 M EI w' ' () q 2 / 12
205
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Por lo tanto:
S R
j
0 q / 2 2 q / 12 0 q / 2 2 q / 12
Es importante recordar que las fuerzas nodales (reacciones) del elemento doblemente empotrado, deben realizarse en el elemento considerando considerando todas sus características características especiales. Esto es, posible variación de sus sus rigideces EI y EA, rótulas intermedias, etc.
E j emplo 7.2 7.2 Determinar las fuerzas nodales
j
S R de un elemento con cargas distribuida constante y rótula de momento
intermedia (Fig. 7.3). q
j
S
j
S
j
S
R3
R6
j
S
R1
R4
x z
j
S
R2
j
b
a
S
R5
FIGURA 7.3.- Elemento con rótula intermedia y carga distribuida constante Las reacciones se obtendrán obt endrán utilizando el método de las fuerzas, despr eciando la deformación por esfuerzo de corte. q Mb
Ma
q
qal 2
X
A
a
1
+
= b
q (l-b2 )
B
b
a
qb 2 a b
qal 2
1
2
Mo
EI M M d x 10 0 1 0
1
qb 2
10 X 11 0
4
q 3
3
q 4
8b
qb 8
M1
1 2 EI M d x (a 3 b 3 ) 11 1 2 0 3b 3a 4 b 4a 3b 2 b5 10 X q 3 b3 ) a 8 ( 11
206
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Luego, las reacciones son:
A q
B
M A M B
b
X
2 b
5a 4 8ab 3 3b 4 q S R j2 8( a 3 b 3 )
3a 4 8a 3b 5b 4 q S R j5 2 b 8(a 3 b 3 ) qa a a 5 4a 2 b 3 3ab 4 X q S R j3 b 2 8(a 3 b 3 ) b5 4a3b 2 3a 4b q S R j6 X 8( a3 b3 )
qb
X
Por lo tanto:
0 (5a 4 8ab3 3b 4 ) 5 2 3 4 q j ( a 4 a b 3ab ) S R 3 3 0 8( a b ) (3a 4 8a 3b 5b 4 ) (b5 4a 3b 2 3a 4b)
Un caso particular del anterior es cuando la rótula aparece en el extremo. Para rótula en extremo izquierdo ( a
0 , b )
S R
Para rótula en extremo derecho ( a
0 3 8 q 0 0 5 8 q 2 q / 8
j
, b 0 )
S R
j
0 5 q 8 2 q / 8 0 3 q 8 0
207
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
j
Una vez que se han formado los vectores S R , estos se transforman a coordenadas globales:
S R L D S R j
j
j
(7.1)
j
en que L D es la conocida matriz de giro (Capítulo 3.4) j
Después de formar los vectores S R de todos los elementos de la estructura (para elementos j
sin carga S R = 0), se forma el vector S R de la estructura:
S R1 2 S R . S R . . . S ne (ne = ne = número de elementos de la estructura) Usando el vector S R formamos un sistema de cargas nodales equivalentes. Estas cargas, ordenadas en un vector R R , representa un sistema estático equivalente, esto es: C S R R R 0 o bien R R C S R
(7.2)
matriz de incidencia del Capítulo 4.3. Mediante el producto -C -C S R se obtiene en cada C es C es la matriz nudo y en cada dirección la suma de las "acciones" (obtenidas como las "reacciones" con signo negativo) originadas por las cargas de los ele mentos. Una vez formado el vector R R , el cálculo continúa mediante el método de desplazamientos. Si suponemos que simultáneamente existe un sistema de cargas R aplicadas directamente en los nudos, entonces: K r R R R (7.3) Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene el vector r y posteriormente usando la tabla j
de incidencia se determinan los desplazamientos u de los elementos. elementos. Las fuerzas fuerzas nodales j
S de los elementos se obtienen de: S k u j
j
j
(7.4)
208
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
y en coordenadas locales: j
j
j
S ( L D ) T S
(7.5)
El vector S está formado entonces como:
S 1 2 S S 3 . S . . . ne S
(7.6)
(ne = número de elementos de la estructura) Las fuerzas nodales S así obtenidas están en equilibrio con el vector de cargas R R R utilizado, esto es: (7.7) C S R R R Reemplazando (7.2) en (7.7) se obtiene: C ( S S R ) R
(7.8)
Lo anterior significa que las fuerzas nodales reales de los elementos son:
S S S R
(7.9)
Estas fuerzas nodales S son las que están en equilibrio con las cargas nodales R aplicadas en los nudos ( R puede ser cero). Ellas también se pueden calcular en coordenadas locales: j
S
( L D j )T S j ( L D j )T (S j S Rj )
(7.10)
Para los desplazamientos nodales r no es necesario realizar ninguna modificación ya que las j
fuerzas nodales S R se obtuvieron para condiciones de borde homogéneas (desplazamiento igual cero en los nudos). Sin embargo, la función de desplazamientos al interior del elemento debe ser modificada: w ( x ) w( x ) w R ( x )
(7.11)
209
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
w ( x ) : w( x )
:
w R ( x ) :
Línea elástica real Línea elástica obtenida con cargas nodales R R R Línea elástica del elemento doblemente empotrado con carga intermedia
De manera similar, los esfuerzos internos en cualquier punto del elemento se obtienen con la combinación similar a (7.9). Por ejemplo si se desea determinar el momento flector:
M ( x ) M ( x ) M R ( x ) M ( x ) : Diagrama de momentos real
M ( x )
: Diagrama de momentos obtenido con carga R R R .
M R ( x ) : Diagrama de momentos del elemento doblemente empotrado con carga intermedia j
En la Tabla 7.1 se muestran las componentes del vector de fuerzas nodales S R de los tipos de carga más comunes. En dicha tabla se incorpora el estado de carga "temperatura", tanto un aumento homogéneo de temperatura del elemento (sólo produce reacciones en el sentido axial del elemento doblemente empotrado) como el caso de un gradiente de temperatura entre la parte inferior y superior del elemento (sólo produce momentos de empotramiento en ambos extremos). De este modo dichas cargas también pueden ser analizadas por este método. j
Es de hacer notar que las fuerzas nodales S R indicadas en la Tabla 7.1 son válidas para un elemento doblemente empotrado homogéneo ( E, I, A constantes) y sin singularidades (rótulas) internas. En resumen los pasos del Método de las Cargas Nodales Equivalentes son: j
j
(1) (2) (3)
Formación de los vectores S R y S R para todos los elementos con carga interna. Formación del vector de carga R R = C S R . Cálculo de los desplazamientos nodales r de la solución de K r = R R R .
(4) (5)
Cálculo de las fuerzas nodales de los elementos S , S y S . Cálculo de los esfuerzos internos y desplazamientos al interior de los elementos mediante superposición.
j
j
j
210
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
TABLA 7.1.- Fuerzas nodales S R de elemento doblemente empotrado j j
S
S
j
S
R3
R6
R1
j
S
R4
S R 2
S R1 j
S
R2
Pb
b
0 b
a
0
P
S R 6
0
0
Pb
2
2
2a 1
0
q
1
0
2
n
Pab
q
Aumento homogéneo de temperatura
0
0
0
0
0
EI t
t
M
0
b
t 1
6 M
0
ab
t = t 1 t 2
Asentamiento diferencial
0
2
12 EI
t
Mb
3
3
( 2
coef . dilatación térmica
1
)
2
6 EI
2
h
(3a)
(
1
)
Pa b
q
2
q1 7q 2 2 20
n
2
q 2
12
q1 q 2 2 12 20
0
0
EA t t
0
0
0
0
EI t
2
t
2
0
2
2b 1
0
q1 q2 2 12 30
2
2
2
q1 3q 2 2 20
2
Pa
12
EA t
t
t2
0
2
q
2
2
n
a
b 1
P
0
q
1
S R 5
R5
P a
q
S R 4
S R 3
j
S
ab
6 M
0
12 EI (
3
h altura de la sec ción
3
2
a
M
0
1
)
2
6 EI
2
t h
3b
( 2
1
)
211
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
E jemplo 7.3 Determinar desplazamientos y esfuerzos internos del marco indicado en la Figura 7.4. Nótese que el elemento ② de dicho marco está sometido a tres tipos de carga indicados en la Tabla 7.1: carga repartida constante
q=5kN/m, aumento homogéneo de temperatura Δt = (Δt i +Δt s )/2 y un gradiente de temperatura Δt =Δt i – Δt s. 5 kN/m
0.194 10 4 m 4 2 2 A 0.285 10 m 5 t 1.2 10 1 /º C
t = 80ºC 1 1
x
x
t = 30ºC 2
2
I
2
z
z
5.0 m
3
1
8
2.1 10 kN / m h 0.20m
E 4
3
2
15.0 m
FIGURA 7.4.- Marco con carga repartida 2
Con los datos indicados en la Figura 7.4 se pueden calcular mediante la Tabla 7.1 las fuerzas nodales S R : Carga Repartida q=5
Temperatura homogénea Δt=55ºC
Gradiante temperatura Δt=-50ºC
Total
S R1 =
0
395.01
0
=
395.01 kN
S R 2 =
-37.50
0
0
=
-37.50 kN
S R3 =
93.75
0
-12.22
=
81.53 kNm
S R 4 =
0
-395.01
0
=
-395.01 kN
S R5 =
-37.50
0
0
=
-37.50 kN
S R6 =
-93.75
0
12.22
=
-81.53 kNm
Asignando los grados de libertad de los nudos, la tabla de coordenadas queda: Nudo
x
z
1
0
0
1
2
3
2
15
0
4
5
6
3
0
5
0
0
0
4
15
5
0
0
6
Grados de libertad
Como el único elemento con carga intermedia es el elemento 2
S R S R . 2
2 el vector de cargas R R se forma sólo con
212
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
395.01 37.50 81.53 2 S R 395.01 37.50 81.53
395.01 37.50 81.53 R R C S R 395.01 37.50 81.53
Nudo 1
Nudo 2
Nudo 1
Nudo 2
En la Figura 7.5 se muestra el vector de cargas nodales equivalentes resultantes en l as direcciones reales en que actúa. 81.53 kNm 37.50 kN
1
2
x
395.01 kN
81.53 kNm
37.50 kN
395.01 kN
2
z
5.0 m
3
1
4
3
15.0 m
FIGURA 7.5.- Cargas nodales equivalentes aplicadas a la estructura Como no existen cargas directamente aplicadas a los nudos entonces R
395.01 37.50 81.53 R R R 395.01 37.50 81.53
0 , por lo tanto:
Nudo 1
Nudo 2
La tabla de incidencia en término de nudos y grados de libertad queda: Nudo
Grados de libertad
Elemento
i
d
1
2
3
4
5
5
1
1
3
1
2
3
0
0
0
2
1
2
1
2
3
4
5
6
3
2
4
4
5
6
0
0
0
La entrada de datos para el programa SM I S es: START FORMKDK13 6 1940. 2.1 285000. 0. 0. 0. 5. PRINT K13 1 *** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 1 y 3 *** FORMKDK2 6 1940. 2.1 285000. 0. 0. 15. 0. PRINT K2 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 2 ***
213
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
LOADLMIN (6I6) 3 6 1 2 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 4 5 6 0 0 0 PRINT IN 1 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** ZERO K 6 6 ADDSTFK K13 IN 1 1 ADDSTFK K2 IN 2 1 ADDSTFK K13 IN 3 1 PRINT K 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA *** LOAD SR2 (1F8.0) 6 1 395.01 -37.50 81.53 -395.01 -37.50 -81.53 PRINT SR2 1 *** FUERZAS NODALES SR DE ELEMENTO 2 *** DUPL SR2 R SCALE R PRINT R 1 *** VECTOR DE CARGAS Rr *** SOLVE K R PRINT R 1 *** DESPLAZAMIENTOS r *** FORCEMK13 IN R S1 1 1 FORCEMK2 IN R S2 2 1 FORCEMK13 IN R S3 3 1 PRINT S1 PRINT S2 PRINT S3 ADD S2 SR2 PRINT S2 STOP
-1.
Los resultados que entrega el progr ama SM I S son los siguientes: START SMIS (REV.2.0 - 25.04.2000 - DEPTO. OOCC - ULS) SMIS (FECHA DE EJECUCION :21/12/2000
)
SMIS (HORA
)
DE EJECUCION :18:13:28
FORMKD K13 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.1940E+04 SHEAR AREA = L = 0.5000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.0000E+00 Y1 = X2 = 0.0000E+00 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT
0.0000E+00 0.2100E+01 0.2850E+06 0.0000E+00 0.5000E+01 0.0000E+00
K13
*** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 1 1 1 2 3 4 5 6
0.3911E+03 0.0000E+00 0.9778E+03 -.3911E+03 0.0000E+00 0.9778E+03
2 0.0000E+00 0.1197E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 -.1197E+06 0.0000E+00
3 0.9778E+03 0.0000E+00 0.3259E+04 -.9778E+03 0.0000E+00 0.1630E+04
y
3 *** 4
-.3911E+03 0.0000E+00 -.9778E+03 0.3911E+03 0.0000E+00 -.9778E+03
5 0.0000E+00 -.1197E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1197E+06 0.0000E+00
6 0.9778E+03 0.0000E+00 0.1630E+04 -.9778E+03 0.0000E+00 0.3259E+04
214
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
FORMKD TYPE = 0 I = L = NU = 0 0 X1 = X2 = A = PRINT
K2 6 NUMBER = 1 0.1940E+04 SHEAR AREA = 0.1500E+02 E = 0.0000E+00 CROSS-SECTIONAL AREA = 0.0000E+00 Y1 = 0.1500E+02 Y2 = 0.0000E+00 B =
0.0000E+00 0.2100E+01 0.2850E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
K2
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 2 *** 1 2 3 1 2 3 4 5 6
0.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 -.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00
0.0000E+00 0.1449E+02 -.1086E+03 0.0000E+00 -.1449E+02 -.1086E+03
LOADLM IN (6I6) NUMER.LINEAS: 3 PRINT
0.0000E+00 -.1086E+03 0.1086E+04 0.0000E+00 0.1086E+03 0.5432E+03
NUM. COLUMNAS:
4 -.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 0.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00
5 0.0000E+00 -.1449E+02 0.1086E+03 0.0000E+00 0.1449E+02 0.1086E+03
6 0.0000E+00 -.1086E+03 0.5432E+03 0.0000E+00 0.1086E+03 0.1086E+04
6
IN
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) ***
1 * 2 * 3 * ZERO
1
2
3
4
5
6
1 1 4
2 2 5
3 3 6
0 4 0
0 5 0
0 6 0
K 6 LINEAS
6 COLUMNAS
ADDSTF K K13 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
1 1
ADDSTF K K2 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
2 1
ADDSTF K K13 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
3 1
PRINT
IN
IN
IN
K
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA *** 1 1 2 3 4 5 6
0.4029E+05 0.0000E+00 0.9778E+03 -.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00
2 0.0000E+00 0.1197E+06 -.1086E+03 0.0000E+00 -.1449E+02 -.1086E+03
3 0.9778E+03 -.1086E+03 0.4346E+04 0.0000E+00 0.1086E+03 0.5432E+03
LOAD SR2 (1F6.0 ) NUMER.LINEAS: 6 NUM. COLUMNAS: PRINT
4
1
SR2
*** FUERZAS NODALES SR DE ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.3950E+03 -.3750E+02 0.8153E+02 -.3950E+03 -.3750E+02 -.8153E+02
-.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 0.4029E+05 0.0000E+00 0.9778E+03
5 0.0000E+00 -.1449E+02 0.1086E+03 0.0000E+00 0.1197E+06 0.1086E+03
6 0.0000E+00 -.1086E+03 0.5432E+03 0.9778E+03 0.1086E+03 0.4346E+04
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
DUPL
SR2
R
SCALE R SCALAR = -0.1000000E+01 PRINT
R
*** VECTOR DE CARGAS Rr *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3950E+03 0.3750E+02 -.8153E+02 0.3950E+03 0.3750E+02 0.8153E+02
SOLVE K SKALAR = PRINT
R 0.4029110E-01
R
*** DESPLAZAMIENTOS r *** 1 1 2 3 4 5 6
-.4705E-02 0.3133E-03 -.2023E-01 0.4653E-02 0.3133E-03 0.2024E-01
FORCEM K13
IN
R
S1
FORCEM K2
IN
R
S2
FORCEM K13
IN
R
S3
PRINT
S1
1 1 2 3 4 5 6
-.2162E+02 0.3750E+02 -.7054E+02 0.2162E+02 -.3750E+02 -.3757E+02
PRINT
S2
1 1 2 3 4 5 6
-.3734E+03 -.1113E-02 -.1099E+02 0.3734E+03 0.1113E-02 0.1100E+02
PRINT
S3
1 1 2 3 4 5 6
0.2161E+02 0.3750E+02 0.7053E+02 -.2161E+02 -.3750E+02 0.3754E+02
215
216
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
ADD
S2
PRINT
SR2
S2
1 1 2 3 4 5 6
0.2162E+02 -.3750E+02 0.7054E+02 -.2161E+02 -.3750E+02 -.7053E+02
STOP
Se observa que las fuerzas nodales de los elementos debido al vector de cargas aplicadas son:
21.62 37.50 1 S = 70.54 21.62 37.50 37.56
1
3
Las fuerzas nodales del elemento
373.39 0 2 S = 10.99 373.39 0 10.99
1
2
21.62 37.50 3 S = 70.54 21.62 37.50 37.56
2
4
2 deben ser corregidas de acuerdo a (7.9):
373.39 395.01 21.62 0 37.50 37.50 10.99 81.53 70.54 2 2 2 S S S R 373 . 39 395 . 01 21 . 62 0 37.50 37.50 10.99 81.53 70.54
1
2
En la Figura 7.6 se muestran las fuerzas nodales de los elementos de acuerdo a los resultados obtenidos.
FIGURA 7.6.- Fuerzas nodales resultantes
217
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
De acuerdo a las fuerzas nodales que se muestran en la Fig. 7.6 los diagramas de esfuerzos internos: esfuerzo normal, cortante y momento flector se muestran en la Figura 7.7. 37.50
70.54
70.54
21.62
70.09 37.50
37.50
37.50
21.62
21.62
37.56
37.56
M
Q
N [kN]
[kNm]
[kN]
FIGURA 7.7.- Diagramas de esfuerzos internos
Para graficar los esfuerzos internos es conveniente recordar que en los nudos las fuerzas nodales han sido modificadas y son correctas. De igual forma los esfuerzos internos en el interior del elemento deben ser corregidos mediante la superposición de los esfuerzos obtenidos por las cargas nodales equivalentes y los esfuerzos del elemento doblemente empotrado. Específicamente en el caso del diagrama de momentos, para no tener que recurrir nuevamente a los momentos nodales debido a las cargas nodales equivalentes (sin corregir), se pueden usar los momentos nodales ya corregidos y recurrir a la superposición con el diagrama de una viga simplemente apoyada. A manera de ejemplo se puede comprobar que: q
=
2
+
ql 12
ql 12
ql 12
2
2
2
ql 12
q
ql 2 12
ql 2 12
2
2
ql 8
ql 24
a
b
2
P b a l 2
P a b l 2
P
a
2
b P
=
+
2
P ab l 2
P b a l 2
2
218
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
7.2.- Método de las Deformaciones iniciales
Otra alternativa para considerar la carga aplicada entre los nudos de los elementos es el método de las "deformaciones iniciales". Originalmente este método fue pensado para considerar las "deformaciones iniciales" que tengan los elementos. Estas se pueden definir como deformaciones que se producen en el elemento aislado apoyado isostáticamente sin cargas en sus nudos. j
Definimos como S u al vector de las fuerzas nodales del elementos j apoyado en forma isostática y con carga intermedia. Estas fuerzas nodales representan las reacciones, por lo tanto varias componentes son cero. j
De igual forma definimos como u u al vector de los desplazamientos nodales del elemento j j
apoyado isostáticamente. Debido a los apoyos varias componentes de u u serán nulas. Dependiendo entonces del tipo de apoyo isostático elegido determinadas componentes de los vectores S u
j
j
y u u serán nulas. En el caso de deformaciones iniciales reales (temperatura, j
inexactitud de montaje) todas las componentes del vector S u son nulas (en un sistema isostático no se producen reacciones por temperatura o inexactitud de montaje). Lo anterior se muestra en la Figura 7.8. S S
u1
u 3,
u
S
u3
u 6,
u
u6
, u u1
S S
Tipo de apoyo isostático
u 2,
u
S
u2
u 5,
u
u 4,
u
u4
u5
Fuerzas y deformaciones nodales Temperatura Inexactitud montaje
Carga cualquiera
Elemento tipo (a)
S u
u3
= Su4 = Su6 = 0
u1
= uu2 = uu5 = 0
S
u
= 0
u
u
=/ 0
S
u
u
=/ 0
u
=/ 0
Elemento tipo (b)
S u
u4
= Su5 = Su6 = 0
u1
= uu2 = uu3 = 0
S
u
= 0
u
u
=/ 0
S
u
=/ 0
u
u
=/ 0
FIGURA 7.8.- Fuerzas nodales y deformaciones iniciales posibles
219
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
j
j
En la Tabla 7.2 se muestran las componentes no nulas de los vectores S u y u u para diversas cargas considerando el apoyo isostático tipo (b). Como se indicaba anteriormente, para el caso de deformaciones iniciales propiamente tales: j
temperatura e inexactitud de montaje, se cumple que S u = 0 . En la deducción que sigue se j
considerará el caso más general con S u ≠ 0 , dejando como caso especial el de la deformación inicial real. j
j
Una vez determinadas las fuerzas nodales S u y u u de los elementos, se transforman dichos vectores a coordenadas globales mediante la matriz de giro: j
u u L D u u j
j
(7.12)
j
S u L D S u j
j
(7.13)
Al conectar los elementos deformados a la estructura, se producirán deformaciones elásticas j
adicionales de los elementos u : la estructura por una parte trata de mantener la ubicación de sus nudos y los elementos por su parte tratan de mantener su deformación inicial. La condición de compatibilidad de deformaciones en los nudos se pueden escribir como: T
u u u C r
(7.14)
Esta compatibilidad se gráfica en la Figura 7.9.
j
u
u
FIGURA 7.9.- Compatibilidad de deformaciones en los nudos
Las fuerzas nodales que se producen en los elementos debido a las deformaciones elásticas son: S k u (7.15) La transformación "contragrediente" de la ecuación (7.14) es la relación de equilibrio: R C ( S S u )
(7.16)
220
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Combinando (7.14) y (7.15) se obtiene: S k (C r u u ) T
(7.17)
Reemplazando (7.17) en (7.16) queda: C k C r R C S u C k u u T
(7.18)
T
En que el producto C k C = K representa a la matriz de rigidez de la estructura. Definiendo además R u C S u como el vector de las cargas nodales equivalentes debido a las reacciones S u se obtiene: (7.19) K r R R u C k u u El vector R representa a las cargas puntuales aplicadas directamente en los nudos (puede ser cero). Comparando con la ecuación (7.3) del método de las cargas nodales equivalentes se observa que: (7.20) R R R u C k u u El vector C k u u corresponde a las cargas nodales equivalentes debido a las deformaciones iniciales de los elementos. Mediante la solución del sistema de ecuaciones (7.19) se determinan los desplazamientos nodales r . Las fuerzas elásticas se calculan utilizando la relación (7.17). Por último las fuerzas nodales de los elementos cargados se deben corregir mediante la relación:
S S S u
(7.21)
Posteriormente se pueden determinar las fuerzas nodales en coordenadas locales
S L D S S S u T
(7.22)
Los pasos a seguir en el método de las deformaciones iniciales se pueden resumir en: j
j
1) 2) 3)
Determinación de los vectores S u y u u . Cálculo del vector R u C S u y C k u u . Solución del sistema K r = R + R u C k u u .
4)
Determinación de las deformaciones elásticas de los elementos u C r u u y fuerzas nodales S k u .
5)
Superposición de las fuerzas nodales S S S u .
T
221
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Tabla 7.2.- Deformaciones iniciales y fuerzas nodales S u elemento tipo b
Cargas
uu4
u u5
Gradiente de temperatura
2 t t
t1 t2
u u6
S u 2
S u 3
0
0
0
t 2 t 2h
2h
0
S u1
t = t 1 t 2
Aumento homogéneo de temperatura
t1 t2
t =
t 1 t 2
t t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Aumento homogéneo de temperatura
q
q 1
2
4q111q2 4
0
120 EI
q1 3q 2 3
0
24 EI
q1 q 2
q1 2q 2 2
2
6
P
Pa b2 2
b
a
P a
b
0
6 EI
Pa
0
EA S S
Pa
2
2 EI
0
u
u3
u6
u1
u
u4
0
P
Pa
P
0
0
Coef. Dilatación Térmica h Altura de la sección
t
S
u2
u
u5
222
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
En el Ejemplo 7.4 se muestra el empleo del método de las deformaciones iniciales, utilizando la misma estructura y cargas del Ejemplo 7.3.
E jemplo 7.4 Determinar desplazamientos y fuerzas nodales de los elementos de la estructura del Ejemplo 7.3 utilizando el método de las deformaciones iniciales. De la Tabla 7.2 se obtienen los vectores de deformaciones iniciales y fuerzas nodales del elemento ② a los estados de carga: gradiente de temperatura, aumento homogéneo de temperatura y carga repartida: gradiente temperatura
0 0 0 2 2 uu u u 0 0.3375 0.0450
2
2
S u S u
El vector R u
C S u resulta:
0 0 0 0 0 0
aumento hom. de temperatura
carga repartida
Total
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0099 0 0 . 0099 0 7.76648 8.10398 0 0.69035 0.73535
R u
0 0 0 0 0 0 0 75 562.5 0 0 0
0 75 562.5 0 0 0
0 75 562.5 0 0 0
Nudo 1
Nudo 2
Por otra parte se debe realizar el producto de la matriz de rigidez del elemento 2 por las deformaciones j
2
j
iniciales u u . El producto C k u u no representa otra cosa que asignar los vectores k u u a los nudos de la estructura que corresponden al elemento j . En este caso, el elemento 2 va del nudo 1 y al nudo 2, por lo 2
2
que el vector k u u se sumará al vector R u . El resultado es el vector R R (que debe ser idéntico al obtenido por el método de las cargas nodales equivalentes.
223
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Los datos de entrada para el progr ama SMI S son los siguientes: START FORMKDK13 6 1940. 2.1 285000. 0. 0. 0. 5. PRINT K13 1 *** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 1 y 3 *** FORMKDK2 6 1940. 2.1 285000. 0. 0. 15. 0. PRINT K2 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 2 *** LOADLMIN (6I6) 3 6 1 2 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 4 5 6 0 0 0 PRINT IN 1 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** ZERO K 6 6 ADDSTFK K13 IN 1 1 ADDSTFK K2 IN 2 1 ADDSTFK K13 IN 3 1 PRINT K 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA *** LOAD UU2 (1F12.0) 6 1 0 0 0 0.0099 8.103976436 -0.735353461 PRINT UU2 1 *** DEFORMACIONES INICIALES DEL ELEMENTO 2 *** LOAD SU2 (1F8.0) 6 1 0 -75. 562.5 0 0 0 PRINT SU2 1 *** FUERZAS NODALES Su DE ELEMENTO 2 *** DUPL SU2 RU SCALE RU PRINT RU 1 *** VECTOR DE CARGAS Ru *** MULT K2 UU2 K2U2 PRINT K2U2 1 *** VECTOR DE CARGAS C*k*Uu *** ADD RU K2U2 PRINT RU 1 *** VECTOR DE CARGAS (Ru + C*k*Uu) *** SOLVE K RU PRINT RU 1 *** DESPLAZAMIENTOS r *** DUPL RU U2 SUB U2 UU2 PRINT U2 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 2 *** FORCEMK13 IN RU S1 1 1 MULT K2 U2 S2 FORCEMK13 IN RU S3 3 1 PRINT S1 PRINT S2 PRINT S3 ADD S2 SU2 PRINT S2 STOP
-1.
224
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Los resultados que entrega el progr ama SMI S son: 0 START SMIS (REV.1.5 - 26.09.95 - DEPTO. OOCC - ULS) SMIS (FECHA DE EJECUCION :29/12/2000 ) SMIS (HORA DE EJECUCION : 9:23:23 ) 0 FORMKD TYPE = 0 I = L = NU = 0 0 X1 = X2 = A =
K13 6 NUMBER = 1 0.1940E+04 SHEAR AREA = 0.5000E+01 E = 0.0000E+00 CROSS-SECTIONAL AREA = 0.0000E+00 Y1 = 0.0000E+00 Y2 = 0.0000E+00 B =
0 PRINT
K13
0.0000E+00 0.2100E+01 0.2850E+06 0.0000E+00 0.5000E+01 0.0000E+00
*** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 1 1 1 2 3 4 5 6
0.3911E+03 0.0000E+00 0.9778E+03 -.3911E+03 0.0000E+00 0.9778E+03
2 0.0000E+00 0.1197E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 -.1197E+06 0.0000E+00
y
3 ***
3
4
0.9778E+03 0.0000E+00 0.3259E+04 -.9778E+03 0.0000E+00 0.1630E+04
0 FORMKD TYPE = 0 I = L = NU = 0 0 X1 = X2 = A =
K2 6 NUMBER = 1 0.1940E+04 SHEAR AREA = 0.1500E+02 E = 0.0000E+00 CROSS-SECTIONAL AREA = 0.0000E+00 Y1 = 0.1500E+02 Y2 = 0.0000E+00 B =
0 PRINT
K2
-.3911E+03 0.0000E+00 -.9778E+03 0.3911E+03 0.0000E+00 -.9778E+03
5 0.0000E+00 -.1197E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1197E+06 0.0000E+00
6 0.9778E+03 0.0000E+00 0.1630E+04 -.9778E+03 0.0000E+00 0.3259E+04
0.0000E+00 0.2100E+01 0.2850E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 -.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00
0 LOADLM IN NUMER.LINEAS: 0 PRINT
2 0.0000E+00 0.1449E+02 -.1086E+03 0.0000E+00 -.1449E+02 -.1086E+03
3
4
0.0000E+00 -.1086E+03 0.1086E+04 0.0000E+00 0.1086E+03 0.5432E+03
(6I6) 3 NUM. COLUMNAS:
-.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 0.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00
6
IN
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** 0 1 * 2 * 3 *
1
2
3
4
5
6
1 1 4
2 2 5
3 3 6
0 4 0
0 5 0
0 6 0
0 ZERO K 6 LINEAS 6 0 ADDSTF K K13 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS: 0 ADDSTF K K2 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS: 0 ADDSTF K K13 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
COLUMNAS IN 1 1 IN 2 1 IN 3 1
5 0.0000E+00 -.1449E+02 0.1086E+03 0.0000E+00 0.1449E+02 0.1086E+03
6 0.0000E+00 -.1086E+03 0.5432E+03 0.0000E+00 0.1086E+03 0.1086E+04
225
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
0 PRINT
K
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA *** 1 1 2 3 4 5 6
0.4029E+05 0.0000E+00 0.9778E+03 -.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00
0 LOAD UU2 NUMER.LINEAS: 0 PRINT
2 0.0000E+00 0.1197E+06 -.1086E+03 0.0000E+00 -.1449E+02 -.1086E+03
3
4
0.9778E+03 -.1086E+03 0.4346E+04 0.0000E+00 0.1086E+03 0.5432E+03
(1F12. 0) 6 NUM. COLUMNAS:
-.3990E+05 0.0000E+00 0.0000E+00 0.4029E+05 0.0000E+00 0.9778E+03
1
UU2
*** DEFORMACIONES INICIALES DEL ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.9900E-02 0.8104E+01 -.7354E+00
0 LOAD SU2 NUMER.LINEAS: 0 PRINT
(1F8.0 ) 6 NUM. COLUMNAS:
1
SU2
*** FUERZAS NODALES Su DE ELEMENTO 2 *** 1 1 0.0000E+00 2 -.7500E+02 3 0.5625E+03 4 0.0000E+00 5 0.0000E+00 6 0.0000E+00 0 DUPL SU2 RU 0 SCALE RU SCALAR = -0.1000000E+01 0 PRINT
RU
*** VECTOR DE CARGAS Ru *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 0.7500E+02 -.5625E+03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
0 MULT
K2
UU2
0 PRINT
K2U2
K2U2
*** VECTOR DE CARGAS C*k*Uu *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3950E+03 -.3750E+02 0.4810E+03 0.3950E+03 0.3750E+02 0.8153E+02
5 0.0000E+00 -.1449E+02 0.1086E+03 0.0000E+00 0.1197E+06 0.1086E+03
6 0.0000E+00 -.1086E+03 0.5432E+03 0.9778E+03 0.1086E+03 0.4346E+04
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
0 ADD
RU
0 PRINT
RU
K2U2
*** VECTOR DE CARGAS (Ru + C*k*Uu) *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3950E+03 0.3750E+02 -.8153E+02 0.3950E+03 0.3750E+02 0.8153E+02
0 SOLVE K SKALAR = 0 PRINT
RU 0.4029110E-01
RU
*** DESPLAZAMIENTOS r *** 1 1 2 3 4 5 6
-.4679E-02 0.3133E-03 -.2024E-01 0.4679E-02 0.3133E-03 0.2024E-01
0 DUPL 0 SUB
RU U2
0 PRINT
U2
U2 UU2
*** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 2 ***
1 2 3 4 5 6
1 -.4679E-02 0.3133E-03 -.2024E-01 -.5221E-02 -.8104E+01 0.7556E+00
0 FORCEM K13 0 MULT K2 0 FORCEM K13 0 PRINT
IN U2 IN
S1 1
1 2 3 4 5 6
-.2162E+02 0.3750E+02 -.7053E+02 0.2162E+02 -.3750E+02 -.3755E+02
0 PRINT
S2 1
1 2 3 4 5 6
0.2162E+02 0.3750E+02 -.4920E+03 -.2162E+02 -.3750E+02 -.7053E+02
RU S2 RU
S1 S3
226
227
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
0 PRINT
S3 1
1 2 3 4 5 6
0.2162E+02 0.3750E+02 0.7053E+02 -.2162E+02 -.3750E+02 0.3755E+02
0 ADD
S2
0 PRINT
S2
SU2
1 1 2 3 4 5 6
0.2162E+02 -.3750E+02 0.7053E+02 -.2162E+02 -.3750E+02 -.7053E+02
0 STOP
Se observa que el vector u u 2 se ingresó con una gran cantidad de decimales. Ello es necesario para comparar con los resultados del método de las cargas nodales equivalentes. El vector R R , que se forma directamente en ese método, en el caso de las deformaciones iniciales se forma como R R =
C S u C k u u . El vector S u se
forma directamente de la Tabla 7.2, de la misma forma que u u , pero este último vector debe ser multiplicado por la matriz de rigidez del elemento que contiene números muy grandes, por lo que para no perder precisión se deben incorporar el mayor número de decimales posible al vector u u . Considerando lo anterior se puede observar que los resultados de ambos métodos son idénticos.
E jemplo 7.5 En la estructura indicada utilizar el método de las deformaciones iniciales para: a) Calcular los desplazamientos y esfuerzos internos debido a la carga repartida y carga puntual indicadas. b) Calcular la deformación inicial que debería tener la barra 6 para que el esfuerzo en dicha barra debido al efecto combinado de (a) + (b) sea cero. Nota: Despreciar deformación axial en elementos de viga. 2 kN/m
Elementos 1 EI 6000 kNm
2 3.0 m
x z
2
3
3
6
7
5
1
4
6
4
1 kN 3.0 m 1
5
4.0 m
4.0 m
EA 1.3 x10
6
al 4 (vigas) 2
kN
Elementos 5 al 7 (reticulados) EA 3000kN
228
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
La numeración de los grados de libertad y la tabla de incidencia del programa SMIS despreciando la deformación axial de los elementos de viga es: 4
2
2
1 0
Tabla de Incidencia
5
6
1
3
0 7
5 1
6
4
7
a)
Grados de libertad
Elemento
1 3
De la Tabla 7.2 se obtienen los vectores
1
0
0
2
1
0
3
1
3
4
1
0
5
1
0
1
0
1
3
4
4
1
0
5
5
0
0
0
0 6
7 7 7
6
1
3
6
7
1
0
6
u u y S u
0 0 0 0 0 2 3 0 1 2 3 uu uu uu uu 0 EI 0 q 4 / 8 EI 64 q 3 / 6 EI 21.33 Se dejará el factor
1
fuera de los vectores u u para mejorar la precisión. Las matrices de rigidez de los
EI
elementos se formarán con el factor EI fuera de la matriz de manera que al hacer el producto k u u dichos factores desaparecen.
0 0 q 8 q 2 / 2 16 2 3 2 3 S u S u S u S u 0 0 0 0 0 0 Para la formación de la matriz de rigidez de los elementos de viga ① al ④ se utilizará EI = 1 (equivale a factorizar por EI) y se utilizará un valor EA* ficticio de manera que: EA EI
EA *
1
1.3 10 6000
6
EA* 216.66
Sin embargo para este problema específico en que se desprecia la deformación axial de los elementos de viga (ver tabla de incidencia), el valor de A no tiene relevancia y no incide en la matriz de rigidez de la estructura. Para la formación de la matriz de rigidez de los elementos de reticulado se utilizará también un valor EA* ficticio de modo que: EA EA * 3000 EA* 0.5 EI 1 6000
229
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
A diferencia de los elementos de viga este valor EA* si incide en la matriz de rigidez de la estructura. La formación del vector R u se realiza con los vectores S u de los elementos
2
S u
0 (1) 8 ( 0 ) 16 (2) 0 (1) 0 (3) 0 ( 4)
3
S u
Grados de libertad
Grados de libertad
Por lo tanto el vector
R u C S u queda:
R u
Del mismo modo se formará el vector 2
2
0 (1) 8 (3) 16 ( 4) 0 (1) 0 (0) 0 ( 5)
0 (1) 16 ( 2) 8 (3) 16 ( 4) 0 ( 5) 0 (6) 0 (7)
C k u u asignando los grados de libertad del elemento 2 al vector 3
3
k u u y los del elemento 3 al vector k u u . Los datos de entrada para el programa SMI S son: START FORMKDK1 6 1. 1. 216.6667 0. 6. 0. 0. PRINT K1 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO 1 (EI=1) *** FORMKDK23 6 1. 1. 216.6667 0. 0. 4. 0. PRINT K23 1 *** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 2 y 3 (EI=1) *** FORMKDK4 6 1. 1. 216.6667 8. 0. 8. 6. PRINT K4 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 4 (EI=1) *** FORMKDK5 4 1. 0.5 0. 0. 4. 3. PRINT K5 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 5 (EI=1) *** FORMKDK6 4 1. 0.5 4. 0. 4. 3. PRINT K6 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 6 (EI=1) ***
230
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
FORMKDK7
4 1. 4.
0.5 8. 0. 3. PRINT K7 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 7 (EI=1) *** LOADLMIV (6I6) 4 6 0 0 0 1 0 2 1 0 2 1 3 4 1 3 4 1 0 5 1 0 5 0 0 0 PRINT IV 2 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** *** ELEMENTOS DE VIGA *** LOADLMIR (4I6) 3 4 1 0 6 7 1 3 6 7 1 0 6 7 PRINT IR 2 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** *** ELEMENTOS DE RETICULADO *** ZERO K 7 7 ADDSTFK K1 IV 1 1 ADDSTFK K23 IV 2 2 ADDSTFK K4 IV 4 1 ADDSTFK K5 IR 1 1 ADDSTFK K6 IR 2 1 ADDSTFK K7 IR 3 1 PRINT K 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EI=1) *** LOAD UU23 (1F8.0) 6 1 0 0 0 0. 64. -21.3333 PRINT UU23 1 *** DEFORMACIONES INICIALES ELEMENTOS 2 Y 3 (EI=1) *** LOAD SU23 6 1 -8. 16. PRINT SU23 1 *** FUERZAS NODALES Su ELEMENTOS 2 Y 3 *** ZERO RU 7 1 LOADLMI1 1 1 1 PRINT I1 1 1 *** INDICE DE COLUMNA DE Ru PARA INSERTAR Su *** RMVSM IV F2 2 1 1 6 RMVSM IV F3 3 1 1 6 MERGE RU SU23 F2 I1 MERGE RU SU23 F3 I1 SCALE RU -1. PRINT RU 1 *** VECTOR DE CARGAS Ru *** LOAD R 7 1 1. PRINT R 1 *** VECTOR DE CARGAS R *** ADD R RU PRINT R 1 *** VECTOR DE CARGAS R + Ru *** MULT K23 UU23 K2U2 ZERO CKU 7 1 MERGE CKU K2U2 F2 I1 MERGE CKU K2U2 F3 I1 PRINT CKU 1 *** VECTOR DE CARGAS C*k*Uu *** ADD R CKU PRINT R 1 *** VECTOR DE CARGAS (R + Ru + C*k*Uu) *** WRITE ME7-5 3 K K6 IR SOLVE K R PRINT R 1 *** DESPLAZAMIENTOS r *** ZERO I6 6 6 PRINT I6 1 *** MATRIZ IDENTIDAD ***
1.
231
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
FORCEMI6 IV R U2 2 1 FORCEMI6 IV R U3 3 1 PRINT U2 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 2 *** PRINT U3 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 3 *** SUB U2 UU23 SUB U3 UU23 PRINT U2 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 2 *** PRINT U3 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 3 *** FORCEMK1 IV R S1 1 1 MULT K23 U2 S2 MULT K23 U3 S3 FORCEMK4 IV R S4 4 1 FORCEMK5 IR R S5 1 1 FORCEMK6 IR R S6 2 1 FORCEMK7 IR R S7 3 1 PRINT S1 PRINT S2 PRINT S3 PRINT S4 PRINT S5 PRINT S6 PRINT S7 ADD S2 SU23 ADD S3 SU23 PRINT S2 1 *** ESFUERZOS ELEMENTO 2 CORREGIDOS *** PRINT S3 1 *** ESFUERZOS ELEMENTO 3 CORREGIDOS *** STOP
Los resultados que se obtienen con el programa SMI S son: START SMIS (REV.3.0 - 02.01.2001 - DEPTO. OOCC - ULS) SMIS (FECHA DE EJECUCION :11/ 1/2001
)
SMIS (HORA
)
DE EJECUCION :17: 5:51
FORMKD K1 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.1000E+01 SHEAR AREA = L = 0.6000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.0000E+00 Y1 = X2 = 0.0000E+00 Y2 = A = 0.0000E+00 B =
PRINT
0.0000E+00 0.1000E+01 0.2167E+03 0.6000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
K1
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO 1 (EI=1) ***
1 2 3 4 5 6
1 0.5556E-01 0.0000E+00 -.1667E+00 -.5556E-01 0.0000E+00 -.1667E+00
2 0.0000E+00 0.3611E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 -.3611E+02 0.0000E+00
3 -.1667E+00 0.0000E+00 0.6667E+00 0.1667E+00 0.0000E+00 0.3333E+00
4 -.5556E-01 0.0000E+00 0.1667E+00 0.5556E-01 0.0000E+00 0.1667E+00
FORMKD K23 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.1000E+01 SHEAR AREA = L = 0.4000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA =
0.0000E+00 0.1000E+01
0 X1 = X2 = A =
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
0.0000E+00 0.4000E+01 0.0000E+00
Y1 = Y2 = B =
0.2167E+03
5 0.0000E+00 -.3611E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.3611E+02 0.0000E+00
6 -.1667E+00 0.0000E+00 0.3333E+00 0.1667E+00 0.0000E+00 0.6667E+00
232
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
K23
*** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 2 y 3 (EI=1) *** 1
2
3
4
1 0.5417E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 -.5417E+02 2 0.0000E+00 0.1875E+00 -.3750E+00 0.0000E+00 3 0.0000E+00 -.3750E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 4 -.5417E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.5417E+02 5 0.0000E+00 -.1875E+00 0.3750E+00 0.0000E+00 6 0.0000E+00 -.3750E+00 0.5000E+00 0.0000E+00 FORMKD K4 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.1000E+01 SHEAR AREA = 0.0000E+00 L = 0.6000E+01 E = 0.1000E+01 NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0.2167E+03 0 X1 = 0.8000E+01 Y1 = 0.0000E+00 X2 = 0.8000E+01 Y2 = 0.6000E+01 A = 0.0000E+00 B = 0.0000E+00 PRINT
5 0.0000E+00 -.1875E+00 0.3750E+00 0.0000E+00 0.1875E+00 0.3750E+00
6 0.0000E+00 -.3750E+00 0.5000E+00 0.0000E+00 0.3750E+00 0.1000E+01
K4
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 4 (EI=1) *** 1 1 2 3 4 5 6
0.5556E-01 0.0000E+00 0.1667E+00 -.5556E-01 0.0000E+00 0.1667E+00
2 0.0000E+00 0.3611E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 -.3611E+02 0.0000E+00
3 0.1667E+00 0.0000E+00 0.6667E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.3333E+00
FORMKD K5 TYPE = 4 NUMBER = 1 0 I = 0.0000E+00 SHEAR AREA = L = 0.5000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.0000E+00 Y1 = X2 = 0.4000E+01 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT
4 -.5556E-01 0.0000E+00 -.1667E+00 0.5556E-01 0.0000E+00 -.1667E+00
0.0000E+00 0.1000E+01 0.5000E+00 0.0000E+00 0.3000E+01 0.0000E+00
K5
*** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 5 (EI=1) *** 1 1 2 3 4
0.6400E-01 0.4800E-01 -.6400E-01 -.4800E-01
2 0.4800E-01 0.3600E-01 -.4800E-01 -.3600E-01
3 -.6400E-01 -.4800E-01 0.6400E-01 0.4800E-01
FORMKD K6 TYPE = 4 NUMBER = 1 0 I = 0.0000E+00 SHEAR AREA = L = 0.3000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.4000E+01 Y1 = X2 = 0.4000E+01 Y2 = A = 0.0000E+00 B =
PRINT
4 -.4800E-01 -.3600E-01 0.4800E-01 0.3600E-01
0.0000E+00 0.1000E+01 0.5000E+00 0.0000E+00 0.3000E+01 0.0000E+00
K6
*** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 6 (EI=1) *** 1 1 2 3 4
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
2 0.0000E+00 0.1667E+00 0.0000E+00 -.1667E+00
3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
4 0.0000E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.1667E+00
5 0.0000E+00 -.3611E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.3611E+02 0.0000E+00
6 0.1667E+00 0.0000E+00 0.3333E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.6667E+00
233
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
FORMKD K7 TYPE = 4 NUMBER = 1 0 I = 0.0000E+00 SHEAR AREA = L = 0.5000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.8000E+01 Y1 = X2 = 0.4000E+01 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT K7
0.0000E+00 0.1000E+01 0.5000E+00 0.0000E+00 0.3000E+01 0.0000E+00
*** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 7 (EI=1) *** 1 1 2 3 4
0.6400E-01 -.4800E-01 -.6400E-01 0.4800E-01
2 -.4800E-01 0.3600E-01 0.4800E-01 -.3600E-01
LOADLM IV (6I6) NUMER.LINEAS: 4 PRINT IV
3
4
-.6400E-01 0.4800E-01 0.6400E-01 -.4800E-01
NUM. COLUMNAS:
0.4800E-01 -.3600E-01 -.4800E-01 0.3600E-01
6
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** *** ELEMENTOS DE VIGA ***
1 2 3 4
* * * *
1
2
3
4
5
6
0 1 1 1
0 0 3 0
0 2 4 5
1 1 1 0
0 3 0 0
2 4 5 0
LOADLM IR (4I6) NUMER.LINEAS: 3 PRINT
NUM. COLUMNAS:
4
IR
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** *** ELEMENTOS DE RETICULADO ***
1 * 2 * 3 * ZERO
1
2
3
4
1 1 1
0 3 0
6 6 6
7 7 7
K 7 LINEAS
7 COLUMNAS
ADDSTF K K1 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
1 1
IV
ADDSTF K K23 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
2 2
ADDSTF K K4 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
4 1
ADDSTF K K5 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
1 1
ADDSTF K K6 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
2 1
ADDSTF K K7 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
3 1
IV
IV
IR
IR
IR
234
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
K
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EI=1) *** 1 1 2 3 4 5 6 7
0.2391E+00 0.1667E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1667E+00 -.1280E+00 0.0000E+00
2 0.1667E+00 0.1667E+01 0.3750E+00 0.5000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
3
4
0.0000E+00 0.3750E+00 0.5417E+00 0.0000E+00 -.3750E+00 0.0000E+00 -.1667E+00
0.0000E+00 0.5000E+00 0.0000E+00 0.2000E+01 0.5000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
5 0.1667E+00 0.0000E+00 -.3750E+00 0.5000E+00 0.1667E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
7 1 2 3 4 5 6 7
0.0000E+00 0.0000E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.2387E+00
LOAD UU23 (1F8.0 ) NUMER.LINEAS: 6 NUM. COLUMNAS: PRINT
1
UU23
*** DEFORMACIONES INICIALES ELEMENTOS 2 Y 3 (EI=1) *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.6400E+02 -.2133E+02
LOAD SU23 NUMER.LINEAS: PRINT
6
NUM. COLUMNAS:
1
SU23
*** FUERZAS NODALES Su ELEMENTOS 2 Y 3 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 -.8000E+01 0.1600E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
ZERO
RU 7 LINEAS LOADLM I1 NUMER.LINEAS: PRINT
1 COLUMNAS 1
NUM. COLUMNAS:
1
I1
*** INDICE DE COLUMNA DE Ru PARA INSERTAR Su *** 1 1 *
1
RMVSM IV F2 NUM.DE FILA : 2 NUM.DE COLUMNA: 1 FILAS 6 COLUMNAS
1
RMVSM IV F3 NUM.DE FILA : 3 NUM.DE COLUMNA: 1 FILAS 6 COLUMNAS
1
6 -.1280E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1280E+00 0.0000E+00
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
MERGE RU 6 FILAS FILAS 1 COLUMNAS 1
SU23 F2 I1 1 COLUMNAS 0 2 1 3 4
MERGE RU 6 FILAS FILAS 1 COLUMNAS 1
SU23 F3 I1 1 COLUMNAS 3 4 1 0 5
SCALE RU SCALAR = -0.1000000E+01 PRINT
RU
*** VECTOR DE CARGAS Ru *** 1 1 0.0000E+00 2 -.1600E+02 3 0.8000E+01 4 -.1600E+02 5 0.0000E+00 6 0.0000E+00 7 0.0000E+00 LOAD R NUMER.LINEAS: 7 PRINT
NUM. COLUMNAS:
R
*** VECTOR DE CARGAS R *** 1 1 2 3 4 5 6 7
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01
ADD
R
PRINT
RU
R
*** VECTOR DE CARGAS R + Ru *** 1 1 2 3 4 5 6 7 MULT ZERO
0.0000E+00 -.1600E+02 0.8000E+01 -.1600E+02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 K23 CKU 7 LINEAS
UU23
K2U2
1 COLUMNAS
MERGE CKU 6 FILAS FILAS 1 COLUMNAS 1
K2U2 F2 I1 1 COLUMNAS 0 2 1 3 4
MERGE CKU 6 FILAS FILAS 1 COLUMNAS 1
K2U2 F3 I1 1 COLUMNAS 3 4 1 0 5
1
235
236
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
CKU
*** VECTOR DE CARGAS C*k*Uu *** 1 1 2 3 4 5 6 7
0.0000E+00 0.1333E+02 0.0000E+00 0.1600E+02 0.2667E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
ADD
R
PRINT
CKU
R
*** VECTOR DE CARGAS (R + Ru + C*k*Uu) ***
1 2 3 4 5 6 7
1 0.0000E+00 -.2667E+01 0.8000E+01 0.5150E-04 0.2667E+01 0.0000E+00 0.1000E+01
WRITE ME7-5 Nø DE MATRICES : MATRICES : K
SOLVE K SKALAR = PRINT
3
ARCHIVO EXTERNO : ME7-5
K6
IR
R 0.2391128E-06
R
*** DESPLAZAMIENTOS r *** 1 1 2 3 4 5 6 7
-.3861E-04 -.1028E+02 0.3859E+02 0.1907E-04 0.1028E+02 -.3861E-04 0.3114E+02
ZERO
I6 6 LINEAS PRINT I6
6 COLUMNAS
*** MATRIZ IDENTIDAD *** 1 1 2 3 4 5 6
2
0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
FORCEM I6
IV
R
U2
FORCEM I6
IV
R
U3
4 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
5 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00
6 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
U2
*** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3861E-04 0.0000E+00 -.1028E+02 -.3861E-04 0.3859E+02 0.1907E-04
PRINT
U3
*** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 3 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3861E-04 0.3859E+02 0.1907E-04 -.3861E-04 0.0000E+00 0.1028E+02
SUB
U2
UU23
SUB
U3
UU23
PRINT
U2
*** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3861E-04 0.0000E+00 -.1028E+02 -.3861E-04 -.2541E+02 0.2133E+02
PRINT
U3
*** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 3 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.3861E-04 0.3859E+02 0.1907E-04 -.3861E-04 -.6400E+02 0.3162E+02
FORCEM K1 MULT K23
IV U2
R
U3
S3
FORCEM K4
IV
R
S4
FORCEM K5
IR
R
S5
FORCEM K6
IR
R
S6
FORCEM K7
IR
R
S7
MULT
K23
S1 S2
237
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
S1 1
1 2 3 4 5 6
0.1714E+01 0.0000E+00 -.3427E+01 -.1714E+01 0.0000E+00 -.6855E+01
PRINT
S2 1
1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 0.6209E+00 -.9145E+01 0.0000E+00 -.6209E+00 0.6662E+01
PRINT
S3
1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 0.7379E+01 -.2266E+02 0.0000E+00 -.7379E+01 -.6855E+01
PRINT
S4 1
1 2 3 4 5 6
0.1714E+01 0.0000E+00 0.6855E+01 -.1714E+01 0.0000E+00 0.3427E+01
PRINT
S5
1 1 2 3 4
-.1494E+01 -.1121E+01 0.1494E+01 0.1121E+01
PRINT
S6
1 1 2 3 4
0.0000E+00 0.1242E+01 0.0000E+00 -.1242E+01
PRINT
S7
1 1 2 3 4
0.1494E+01 -.1121E+01 -.1494E+01 0.1121E+01
238
239
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
ADD
S2
SU23
ADD
S3
SU23
PRINT
S2
*** ESFUERZOS ELEMENTO 2 CORREGIDOS *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 -.7379E+01 0.6855E+01 0.0000E+00 -.6209E+00 0.6662E+01
PRINT
S3
*** ESFUERZOS ELEMENTO 3 CORREGIDOS *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 -.6209E+00 -.6662E+01 0.0000E+00 -.7379E+01 -.6855E+01
STOP
Nótese que una vez formadas, la matriz de rigidez de la estructura ( K ) la matriz del elemento ⑥ ( K 6 ) y la tabla de incedencia de los elementos de reticulado ( IR ) fueron grabadas en un archivo externo (ME7_5) para su posterior utilización en la parte (b). Se observa que los esfuerzos nodales de los elementos son:
1.714 0 3.427 1 S 1.714 0 6.855
0 7.379 2 6.855 S 0 0.6209 6.662
0 0.6209 3 6.662 S 0 7.379 6.855
1.714 0 6.855 1.714 0 3.427
1.494 1.121 1.494 1.121
0 1.242 0 1.242
S
4
5 S
5
(N =1.868)
6 S
(N6=-1.242)
7 S
1.494 1.121 1.494 1.121 (N =1.868)
Nótese que en los elementos de viga ( 1 al 4 ) aparece que el esfuerzo axial es cero. Ello, es una consecuencia de despreciar la deformación axial en dichos elementos. En realidad estos elementos transmiten toda la fuerza axial que llegue a sus nudos. Dichos esfuerzos se deben calcular por equilibrio de nudos:
240
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Nudo 2 N
2
2
1
N = -(1.121+7.379) = -8.500 2 N = -(1.494+1.714) = -3.208
7.379 kN 1.494 kN 1.714 kN 1.121 kN N
1
Nudo 4
7.379 kN N
3
4
3
N = -(1.494+1.714) = -3.208 4 N = -(1.121+7.379) = -8.500 1.494 kN 1.714 kN
1.121 kN N 4
Se observa que el elemento
6
6 toma una fuerza axial de N = -1.242 kN (compresión) debido al efecto de las
cargas.
b) Deformación inicial del elemento 6 . Asumamos una deformación inicial
6 (alargamiento) del elemento 6 . Así el vector u u es:
6
uu
0 0 0 1
H aciendo el cálculo con 1 y sin ninguna otra carga la entrada de datos del progr ama SMI S es: START READ ME7-5 3 K K6 IR PRINT K 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EI=1) *** PRINT K6 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 6 (EI=1) *** PRINT IR 2 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** *** ELEMENTOS DE RETICULADO *** LOAD UU6 4 1 1. PRINT UU6 1 *** DEFORMACION INICIAL ELEMENTO 6 *** MULT K6 UU6 K6U6 ZERO CKU 7 1 RMVSM IR F6 2 1 1 LOADLMI1 1 1 1 PRINT I1 1 1
4
241
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
*** INDICE DE COLUMNA DE CKU PARA INSERTAR K6U6 *** MERGE CKU K6U6 F6 I1 PRINT CKU 1 *** VECTOR DE CARGAS R= C*k*Uu *** SOLVE K CKU PRINT CKU 1 *** DESPLAZAMIENTOS r *** ZERO I4 4 4 PRINT I4 1 *** MATRIZ IDENTIDAD *** FORCEMI4 F6 CKU U6 PRINT U6 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 6 *** SUB U6 UU6 PRINT U6 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 6 *** MULT K6 U6 S6 PRINT S6 STOP
1.
Los resultados son: START SMIS (REV.3.0 - 02.01.2001 - DEPTO. OOCC - ULS) SMIS (FECHA DE EJECUCION :11/ 1/2001 ) SMIS (HORA DE EJECUCION :18:14:58 )
READ
ME7-5
Nø DE MATRICES : MATRICES : K
PRINT
3
ARCHIVO EXTERNO : ME7-5 K6
IR
K
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EI=1) *** 1 1 2 3 4 5 6 7
0.2391E+00 0.1667E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1667E+00 -.1280E+00 0.0000E+00
2 0.1667E+00 0.1667E+01 0.3750E+00 0.5000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
3 0.0000E+00 0.3750E+00 0.5417E+00 0.0000E+00 -.3750E+00 0.0000E+00 -.1667E+00
4 0.0000E+00 0.5000E+00 0.0000E+00 0.2000E+01 0.5000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
7 1 2 3 4 5 6 7
0.0000E+00 0.0000E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.2387E+00
PRINT
K6
*** MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTO 6 (EI=1) *** 1 1 2 3 4
0.0000E+00 0.0000E+00 -.0000E+00 -.0000E+00
2 0.0000E+00 0.1667E+00 -.0000E+00 -.1667E+00
3 -.0000E+00 -.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
4 -.0000E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.1667E+00
5 0.1667E+00 0.0000E+00 -.3750E+00 0.5000E+00 0.1667E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
6 -.1280E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1280E+00 0.0000E+00
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
IR
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** *** ELEMENTOS DE RETICULADO ***
1 * 2 * 3 *
1
2
3
4
1 1 1
0 3 0
6 6 6
7 7 7
LOAD UU6 NUMER.LINEAS: PRINT
4
NUM. COLUMNAS:
1
UU6
*** DEFORMACION INICIAL ELEMENTO 6 *** 1 1 2 3 4 MULT ZERO
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 K6 CKU 7 LINEAS
UU6
K6U6
1 COLUMNAS
RMVSM IR F6 NUM.DE FILA : 2 NUM.DE COLUMNA: 1 FILAS 4 COLUMNAS LOADLM I1 NUMER.LINEAS: PRINT
1
NUM. COLUMNAS:
1
1
I1
*** INDICE DE COLUMNA DE CKU PARA INSERTAR K6U6 *** 1 1 *
1
MERGE CKU 4 FILAS FILAS 1 COLUMNAS 1
K6U6 F6 1 COLUMNAS 3 6 7
I1
PRINT CKU *** VECTOR DE CARGAS R= C*k*Uu *** 1 1 2 3 4 5 6 7
0.0000E+00 0.0000E+00 -.1667E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1667E+00
SOLVE K SKALAR = PRINT
CKU 0.2391128E-06
CKU
*** DESPLAZAMIENTOS r *** 1 1 2 3 4 5 6 7
-.9259E-08 0.4410E-01 -.1960E+00 0.0000E+00 -.4410E-01 -.9259E-08 0.5615E+00
242
243
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
ZERO
I4 4 LINEAS
PRINT
4 COLUMNAS
I4
*** MATRIZ IDENTIDAD *** 1
2
1 0.1000E+01 0.0000E+00 2 0.0000E+00 0.1000E+01 3 0.0000E+00 0.0000E+00 4 0.0000E+00 0.0000E+00 FORCEM I4 F6 CKU PRINT
3
4
0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 U6
0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01
U6
*** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 6 *** 1 1 2 3 4 SUB
-.9259E-08 -.1960E+00 -.9259E-08 0.5615E+00 U6 UU6
PRINT
U6
*** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 6 *** 1 1 2 3 4
-.9259E-08 -.1960E+00 -.9259E-08 -.4385E+00
MULT
K6
PRINT
U6
S6
S6 1
1 2 3 4
0.0000E+00 0.4042E-01 0.0000E+00 -.4042E-01
STOP
Para resolver esta parte (b) del problema se recurrió a las matrices ya formadas en la parte (a) y guardadas en el archivo ME7-5: la matriz de rigidez de la estructura
K , la matriz de rigidez del elemento 6 y la tabla de
incidencia de los elementos de reticulado I R . Como la única carga existente es la deformación inicial del elemento 6 , el vector de carga es mediante la tabla de incidencia.
6
6
C k u u formado por el vector k u u ubicado en el vector C k u u
Las fuerzas nodales del elemento 6 resultan (el cálculo se hizo con EI 1 y 1).
6 S EI
0 0 0.04042 242.52 0 0 242.52 0.04042
Lo anterior significa que el elemento 6 debido a una deformación inicial 6 N 242.52 .
queda sometido a una fuerza axial
244
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Superponiendo los resultados de las partes (a) y (b) se obtiene que la condición para que la fuerza axial de la barra 6 debido al efecto combinado sea cero es:
6 N 1.242 242.52 0
0.0051 ( m)
Esto es la barra 6 debe tener una deformación inicial negativa de 5.1 mm (ello significa que debe ser 5.1 mm más corta que su longitud de 3 m considerada en la estructura).
Una importante aplicación del método de las deformaciones iniciales la constituye la determinación de Líneas de I nfluencia en estructuras hiperestáticas. Como se sabe las Líneas de Influencia para esfuerzos internos se pueden determinar utilizando el Principio de Müller-Breslau (Hidalgo, 1992, p. 308), esto es, liberando el grado de libertad asociado al esfuerzo interno y dándole una deformación unitaria. Dicha deformación unitaria se puede imponer con el método de las deformaciones iniciales. El Ejemplo 7.6 muestra dicha aplicación.
E jemplo 7.6 Determinar la Línea de Influencia del momento flector en el extremo derecho del elemento 4 debido a una carga unitaria móvil que se desplaza sobre los elementos 2 , 4 y 6 de la estructura indicada. Despreciar deformación axial de los elementos. 1.0
3
2 x
4
2
5
4
6
z
7
1
1
5
3
5.0 m
6
6 2 EI 2 10 kNm
5.0 m
8
7
10.0 m.
10.0 m.
10.0 m.
Los grados de libertad de la estructura, despreciando la deformación axial son: 2
3
1 0
4
1
2 0
5
1
4 0
1
1
6 0
7
3
5
245
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Por lo tanto la matriz de rigidez en términos de grados de libertad es: Grados de libertad
Elemento 1
1
0
2
0
0
0
2
1
0
2
1
0
3
3
1
0
3
0
0
0
4
1
0
3
1
0
4
5
1
0
4
0
0
0
6
1
0
4
1
0
5
0
0
0
7
1
0
5
Se debe dar una deformación unitaria asociada al momento del extremo derecho del elemento ④ , esto es:
4
uu
La entrada de datos para el programa SMI S es: START FORMKDK17 6 2000. 1000. 1. 0. 0. 0. 5. PRINT K17 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 1 y 7 *** FORMKDK246 6 2000. 1000. 1. 0. 0. 10. 0. PRINT K246 1 *** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 2 , 4 y 6 *** FORMKDK35 6 2000. 1000. 1. 10. 0. 10. 10. PRINT K35 1
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 3 y 5 *** LOADLMIN (6I6) 7 6 1 0 2 0 0 0 1 0 2 1 0 3 1 0 3 0 0 0 1 0 3 1 0 4 1 0 4 0 0 0 1 0 4 1 0 5 1 0 5 0 0 0 PRINT IN 1 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** ZERO K 5 5 ADDSTFK K17 IN 1 1 ADDSTFK K246 IN 2 1 ADDSTFK K35 IN 3 1 ADDSTFK K246 IN 4 1 ADDSTFK K35 IN 5 1 ADDSTFK K246 IN 6 1 ADDSTFK K17 IN 7 1 PRINT K 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ***
0 0 0 0 0 1
246
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
LOAD UU4 6 1 0 1. PRINT UU4 1 *** DEFORMACION INICIAL ELEMENTO 4 *** ZERO CKU 5 1 MULT K246 UU4 K4UU4 PRINT K4UU4 1 *** VECTOR K4Uu4 *** RMVSM IN F4 4 1 1 6 PRINT F4 1 1 *** INDICE DE FILAS DE CKU PARA INSERTAR k4*Uu4 *** LOADLMI1 1 1 1 PRINT I1 1 1 *** INDICE DE COLUMNA DE CKU PARA INSERTAR k4*Uu4 *** MERGE CKU K4UU4 F4 I1 PRINT CKU 1 *** VECTOR DE CARGAS C*k*Uu *** SOLVE K CKU PRINT CKU 1 *** DESPLAZAMIENTOS r *** ZERO I6 6 6 PRINT I6 1 *** MATRIZ IDENTIDAD *** FORCEMI6 IN CKU U2 2 1 FORCEMI6 IN CKU U4 4 1 FORCEMI6 IN CKU U6 6 1 PRINT U2 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 2 *** PRINT U4 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 4 *** PRINT U6 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 6 *** SUB U4 UU4 PRINT U4 1 *** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 4 *** STOP
1.
Los resultados del programa SMI S son: START SMIS (REV.3.0 - 02.01.2001 - DEPTO. OOCC - ULS) SMIS (FECHA DE EJECUCION :15/ 1/2001
)
SMIS (HORA
)
FORMKD TYPE = 0 I = L = NU = 0 0 X1 = X2 = A = PRINT
DE EJECUCION :10:33:46
K17 6 NUMBER = 1 0.2000E+04 SHEAR AREA = 0.5000E+01 E = 0.0000E+00 CROSS-SECTIONAL AREA = 0.0000E+00 Y1 = 0.0000E+00 Y2 = 0.0000E+00 B =
0.0000E+00 0.1000E+04 0.1000E+01 0.0000E+00 0.5000E+01 0.0000E+00
K17
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 1 y 7 *** 1 2 3 1 2 3 4 5 6
0.1920E+06 -.0000E+00 0.4800E+06 -.1920E+06 0.0000E+00 0.4800E+06
-.0000E+00 0.2000E+03 -.0000E+00 0.0000E+00 -.2000E+03 -.0000E+00
0.4800E+06 -.0000E+00 0.1600E+07 -.4800E+06 0.0000E+00 0.8000E+06
4
-.1920E+06 0.0000E+00 -.4800E+06 0.1920E+06 -.0000E+00 -.4800E+06
5 0.0000E+00 -.2000E+03 0.0000E+00 -.0000E+00 0.2000E+03 0.0000E+00
6 0.4800E+06 -.0000E+00 0.8000E+06 -.4800E+06 0.0000E+00 0.1600E+07
247
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
FORMKD K246 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.2000E+04 SHEAR AREA = L = 0.1000E+02 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.0000E+00 Y1 = X2 = 0.1000E+02 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT
0.0000E+00 0.1000E+04 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
K246
*** MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 2 , 4 y 6 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.1000E+03 -.0000E+00 0.0000E+00 -.1000E+03 0.0000E+00 0.0000E+00
2 -.0000E+00 0.2400E+05 -.1200E+06 0.0000E+00 -.2400E+05 -.1200E+06
3 0.0000E+00 -.1200E+06 0.8000E+06 -.0000E+00 0.1200E+06 0.4000E+06
FORMKD K35 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.2000E+04 SHEAR AREA = L = 0.1000E+02 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.1000E+02 Y1 = X2 = 0.1000E+02 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT
4 -.1000E+03 0.0000E+00 -.0000E+00 0.1000E+03 -.0000E+00 -.0000E+00
5 0.0000E+00 -.2400E+05 0.1200E+06 -.0000E+00 0.2400E+05 0.1200E+06
6 0.0000E+00 -.1200E+06 0.4000E+06 -.0000E+00 0.1200E+06 0.8000E+06
0.0000E+00 0.1000E+04 0.1000E+01 0.0000E+00 0.1000E+02 0.0000E+00
K35
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 3 y 5 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.2400E+05 -.0000E+00 0.1200E+06 -.2400E+05 0.0000E+00 0.1200E+06
2 -.0000E+00 0.1000E+03 -.0000E+00 0.0000E+00 -.1000E+03 -.0000E+00
LOADLM IN (6I6) NUMER.LINEAS: 7 PRINT
3
4
0.1200E+06 -.0000E+00 0.8000E+06 -.1200E+06 0.0000E+00 0.4000E+06
NUM. COLUMNAS:
-.2400E+05 0.0000E+00 -.1200E+06 0.2400E+05 -.0000E+00 -.1200E+06
6
IN
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** 1
2
3
1 * 1 0 2 2 * 1 0 2 3 * 1 0 3 4 * 1 0 3 5 * 1 0 4 6 * 1 0 4 7 * 1 0 5 ZERO K 5 LINEAS 5 COLUMNAS ADDSTF K K17 IN 0PRIMERA LINEA : 1 NUM. DE LINEAS: 1 ADDSTF K K246 IN 0PRIMERA LINEA : 2 NUM. DE LINEAS: 1 ADDSTF K K35 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
IN 3 1
4
5
6
0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 3 0 4 0 5 0
5 0.0000E+00 -.1000E+03 0.0000E+00 -.0000E+00 0.1000E+03 0.0000E+00
6 0.1200E+06 -.0000E+00 0.4000E+06 -.1200E+06 0.0000E+00 0.8000E+06
248
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
ADDSTF K K246 IN 0PRIMERA LINEA : 4 NUM. DE LINEAS: 1 ADDSTF K K35 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
IN 5 1
ADDSTF K K246 IN 0PRIMERA LINEA : 6 NUM. DE LINEAS: 1 ADDSTF K K17 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS: PRINT
IN 7 1
K
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA *** 1 1 2 3 4 5
2
0.4320E+06 0.4800E+06 0.1200E+06 0.1200E+06 0.4800E+06
LOAD UU4 NUMER.LINEAS: PRINT
0.4800E+06 0.2400E+07 0.4000E+06 0.0000E+00 0.0000E+00
6
3
4
0.1200E+06 0.4000E+06 0.2400E+07 0.4000E+06 0.0000E+00
NUM. COLUMNAS:
0.1200E+06 0.0000E+00 0.4000E+06 0.2400E+07 0.4000E+06
1
UU4
*** DEFORMACION INICIAL ELEMENTO 4 *** 1 1 0.0000E+00 2 0.0000E+00 3 0.0000E+00 4 0.0000E+00 5 0.0000E+00 6 0.1000E+01 ZERO CKU 5 LINEAS MULT
K246
PRINT
1 COLUMNAS
UU4
K4UU4
K4UU4
*** VECTOR K4Uu4 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.0000E+00 -.1200E+06 0.4000E+06 0.0000E+00 0.1200E+06 0.8000E+06
RMVSM IN F4 NUM.DE FILA : 4 NUM.DE COLUMNA: 1 FILAS 6 COLUMNAS PRINT
1
F4
*** INDICE DE FILAS DE CKU PARA INSERTAR k4*Uu4 ***
1 *
1
2
3
4
5
6
1
0
3
1
0
4
LOADLM I1 NUMER.LINEAS:
1
NUM. COLUMNAS:
1
5 0.4800E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 0.4000E+06 0.2400E+07
249
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
I1
*** INDICE DE COLUMNA DE CKU PARA INSERTAR k4*Uu4 *** 1 1 *
1
MERGE CKU 6 FILAS FILAS 1 COLUMNAS 1 PRINT
K4UU4 F4 I1 1 COLUMNAS 0 3 1 0 4
CKU
*** VECTOR DE CARGAS C*k*Uu *** 1 1 2 3 4 5
0.0000E+00 0.0000E+00 0.4000E+06 0.8000E+06 0.0000E+00
SOLVE K SKALAR = PRINT
CKU 0.4320000E+00
CKU
*** DESPLAZAMIENTOS r *** 1 1 2 3 4 5 ZERO
-.7353E-01 -.4817E-02 0.1171E+00 0.3240E+00 -.3930E-01 I6 6 LINEAS
6 COLUMNAS
PRINT I6 *** MATRIZ IDENTIDAD ***
1 2 3 4 5 6
1 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
2 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
3 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
FORCEM I6
IN
CKU
U2
FORCEM I6 FORCEM I6
IN IN
CKU CKU
U4 U6
PRINT
U2
*** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.7353E-01 0.0000E+00 -.4817E-02 -.7353E-01 0.0000E+00 0.1171E+00
4 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
5 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01 0.0000E+00
6 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1000E+01
250
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
U4
*** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 4 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.7353E-01 0.0000E+00 0.1171E+00 -.7353E-01 0.0000E+00 0.3240E+00
PRINT
U6
*** DESPLAZAMIENTOS ELEMENTO 6 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.7353E-01 0.0000E+00 0.3240E+00 -.7353E-01 0.0000E+00 -.3930E-01
SUB
U4
PRINT
U4
UU4
*** DESPLAZAMIENTOS ELASTICOS ELEMENTO 4 *** 1 1 2 3 4 5 6
-.7353E-01 0.0000E+00 0.1171E+00 -.7353E-01 0.0000E+00 -.6760E+00
STOP
Del cálculo se observa que los desplazamientos de los elementos carga unitaria móvil) son:
u2
0.07353 0 0.004817 0.07353 0 0.1171
2 , 4 y
0.07353 0 0.1171 u4 0.07353 0 0.3240
6
(lugar donde se desplaza la
0.07353 0 0.3240 u6 0.07353 0 0.0393
Los desplazamientos del elemento 4 deben ser corregidos por las deformaciones iniciales
0.07353 0 0.07353 0 0 0 0.1171 0 0.1171 u4 0.07353 0 0.07353 0 0 0 0.3240 1 0.6760
4
uu :
251
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Utilizando las expresiones (5.38) y (5.39) para escribir la línea elástica en función de los desplazamientos nodales de los elementos, se obtiene que las Líneas de Influencia en los elementos 2 , 4 y 6 son:
L2 x ( x
10
3
L x ( x 4
10
3
3
x
5
3
100
( 1.123 x
x
2
5
x
x
2
5
3
) 0.004817 (
10.747 x
3
100
(5.589 x
L6 x ( x
10
2
x
3
x
)0.1171 (
44.18 x
10
2
3
2
10
x
3
100
) 0.1171
x
3
100
) 0.6760
117.1x )
) 0.3240 (
60.87 x
2
4.817 x)
2
3
100
( 2.847 x
x
2
x
x
2
10
x
3
100
) 0.0393
324.0 x )
En la Figura 7.10 se muestra la Línea de Influencia del momento flector
4
S 6 . De acuerdo a la convención
clásica, se muestra la ordenada positiva hacia abajo para mostrar la línea elástica que corresponde al valor del momento flector
4
S 6 para la carga unitaria móvil ubicada en cada posición.
FIGURA 7.10.- Línea de Influencia del momento flector a la derecha del
elemento ④
252
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
7.3.- Desplazamientos forzados de apoyos
Un estado de carga importante en estructuras es el de los desplazamientos forzados de los apoyos. Estos pueden ser desplazamientos propiamente tales o giros de los apoyos debidos a asentamiento del terreno de fundación o desplazamientos forzados por mecanismos de gateo durante el montaje de estructuras (Fig. 7.11).
Asentamiento de apoyo
conocido M desconocido
Giro forzado de empotramiento
Apoyo de montaje para gateo en viga de puente
FIGURA 7.11.- Ejemplos de deformaciones forzadas
Normalmente en un estado de carga se considera sólo un desplazamiento forzado, pero, en el caso más general, podría haber un conjunto de desplazamientos forzados simultáneos en una estructura. Dicho conjunto de desplazamientos nodales forzados (conocidos) los juntaremos en un vector r z . Las fuerzas asociadas a dichos desplazamientos R z son reacciones desconocidas. Para plantear las ecuaciones de equilibrio del problema, consideramos como existentes (no restringidos) los grados de libertad correspondientes a los desplazamientos forzados r z . La ecuación fundamental del método de desplazamientos queda entonces como:
K 11 K 12 K 21 K 22
r R r R z z
(7.23)
en que K 11 , K 12 , K 21 y K 22 son las submatrices que se obtienen de particionar la matriz de rigidez de la estructura de acuerdo a los grados de libertad r (desplazamientos libres) y r z (desplazamientos forzados conocidos no nulos). R es el vector de cargas asociado a los grados de libertad r ( R es conocido y puede ser nulo) y R z corresponde a las reacciones en los desplazamientos forzados r z ( R z es desconocido).
253
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
Los desplazamientos de todos los nudos de la estructura son: r r r z
(7.24)
en que el ordenamiento de r z como las últimas componentes de r se realiza sólo con objeto de claridad de la exposición. De (7.23) se obtienen las siguientes relaciones: K 11 r K 12 r z R
(7.25)
K 21 r K 22 r z R z
(7.26)
Por simetría de la matriz de rigidez se cumple que: K 21 K 12 T
(7.27)
En (7.25), R y r z son conocidos, por lo tanto se puede escribir el sistema de ecuaciones: K 11 r R *
(7.28)
R* R K 12 r z
(7.29)
en que:
*
Como R es conocido, se puede resolver el sistema de ecuaciones (7.28) para calcular los
desplazamientos r . Una vez determinado r , el vector r se forma agregando los desplazamientos forzados (conocidos) r z de acuerdo a (7.24). Los esfuerzos internos en los elementos se determinan formando los desplazamientos nodales de los elementos
u C r T
(7.30)
y multiplicando por las correspondientes matrices de rigidez de los elementos. Si se desean conocer las reacciones correspondientes a los desplazamientos forzados, se utiliza la relación (7.26).
254
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
E jemplo 7.7 Determinar los desplazamientos y esfuerzos internos de la estructura indicada debido a un asentamiento del apoyo 3 de 5 cm. 2
2
3
x
0.05 m
z
5.0 m
4 2 EI 1.2 10 kNm 6 EA 1.64 10 kN
1
1
7.5 m Los grados de libertad de la estructura, incluyendo el desplazamiento forzado , son: 4
3
2 0 1 2
5
Tabla de Incidencia 1
Grados de libertad
Elemento 1
0
0
0
1
2
3
2
1
2
3
0
5
4
Por sencillez de cálculo se deja el último grado de libertad para el desplazamiento forzado. En este caso:
r z r 5 0,05 E l archivo de entrada para el programa SMI S es: START FORMKDK1 6 12. 1000. 1640. 0. 5. 0. 0. PRINT K1 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO 1 *** FORMKDK2 6 12. 1000. 1640. 0. 0. 7.5 0. PRINT K2 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO 2 *** LOADLMIN (6I6) 2 6 0 0 0 1 2 3 1 2 3 0 5 4 PRINT IN 1 1 *** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) *** ZERO K 5 5 ADDSTFK K1 IN 1 1 ADDSTFK K2 IN 2 1 PRINT K 1 *** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ***
255
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
RMVSM K K11 1 RMVSM K K12 1 RMVSM K K21 5 RMVSM K K22 5 PRINT K11 1 *** MATRIZ K11 *** PRINT K12 1 *** MATRIZ K12 *** PRINT K21 1 *** MATRIZ K21 *** PRINT K22 1 *** MATRIZ K22 *** LOAD RZ 1 0.05 PRINT RZ 1 *** DESPLAZAMIENTOS FORZADOS rz *** MULT K12 RZ R PRINT R 1 *** VECTOR K12*rz *** SCALE R SOLVE K11 R PRINT R 1 *** DESPLAZAMIENTOS r *** ZERO R+ 5 STOSM R+ R 1 STOSM R+ RZ 5 PRINT R+ 1 *** DESPLAZAMIENTOS r+ *** FORCEMK1 IN R+ S1 1 FORCEMK2 IN R+ S2 2 PRINT S1 1 *** FUERZAS NODALES ELEMENTO 1 *** PRINT S2 1 *** FUERZAS NODALES ELEMENTO 2 *** MULT K21 R RRZ MULT K22 RZ K22RZ ADD RRZ K22RZ PRINT RRZ 1 *** REACCION Rz *** STOP
1 5 1 5
4 4 1 1
4 1 4 1
1
-1.
1 1 1
1 1
Los resultados que se obtienen son: START SMIS (REV.3.0 - 02.01.2001 - DEPTO. OOCC - ULS) SMIS (FECHA DE EJECUCION :16/ 1/2001
)
SMIS (HORA
)
DE EJECUCION :12:43: 6
FORMKD K1 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.1200E+02 SHEAR AREA = L = 0.5000E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.0000E+00 Y1 = X2 = 0.0000E+00 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT
0.0000E+00 0.1000E+04 0.1640E+04 0.5000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00
K1
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO 1 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.1152E+04 -.0000E+00 -.2880E+04 -.1152E+04 0.0000E+00 -.2880E+04
2 -.0000E+00 0.3280E+06 -.0000E+00 0.0000E+00 -.3280E+06 -.0000E+00
3 -.2880E+04 -.0000E+00 0.9600E+04 0.2880E+04 0.0000E+00 0.4800E+04
4 -.1152E+04 0.0000E+00 0.2880E+04 0.1152E+04 -.0000E+00 0.2880E+04
5 0.0000E+00 -.3280E+06 0.0000E+00 -.0000E+00 0.3280E+06 0.0000E+00
6 -.2880E+04 -.0000E+00 0.4800E+04 0.2880E+04 0.0000E+00 0.9600E+04
256
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
FORMKD K2 TYPE = 6 NUMBER = 1 0 I = 0.1200E+02 SHEAR AREA = L = 0.7500E+01 E = NU = 0.0000E+00 0 CROSS-SECTIONAL AREA = 0 X1 = 0.0000E+00 Y1 = X2 = 0.7500E+01 Y2 = A = 0.0000E+00 B = PRINT
0.0000E+00 0.1000E+04 0.1640E+04 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
K2
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6
2
0.2187E+06 0.0000E+00 0.0000E+00 -.2187E+06 -.0000E+00 0.0000E+00
0.0000E+00 0.3413E+03 -.1280E+04 -.0000E+00 -.3413E+03 -.1280E+04
LOADLM IN (6I6) NUMER.LINEAS: 2 PRINT
3
4
0.0000E+00 -.1280E+04 0.6400E+04 -.0000E+00 0.1280E+04 0.3200E+04
NUM. COLUMNAS:
-.2187E+06 -.0000E+00 -.0000E+00 0.2187E+06 0.0000E+00 -.0000E+00
5 -.0000E+00 -.3413E+03 0.1280E+04 0.0000E+00 0.3413E+03 0.1280E+04
6
IN
*** TABLA DE INCIDENCIA (grados de libertad) ***
1 * 2 * ZERO
1
2
3
4
5
6
0 1
0 2
0 3
1 0
2 5
3 4
K 5 LINEAS
5 COLUMNAS
ADDSTF K K1 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
1 1
ADDSTF K K2 0PRIMERA LINEA : NUM. DE LINEAS:
2 1
PRINT
IN
IN
K
*** MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA *** 1 1 2 3 4 5
0.2198E+06 0.0000E+00 0.2880E+04 0.0000E+00 0.0000E+00
2 0.0000E+00 0.3283E+06 -.1280E+04 -.1280E+04 -.3413E+03
3 0.2880E+04 -.1280E+04 0.1600E+05 0.3200E+04 0.1280E+04
RMVSM K K11 NUM.DE FILA : 1 NUM.DE COLUMNA: 4 FILAS 4 COLUMNAS
1
RMVSM K K12 NUM.DE FILA : 1 NUM.DE COLUMNA: 4 FILAS 1 COLUMNAS
5
RMVSM K NUM.DE FILA : 1 FILAS
K21 5 NUM.DE COLUMNA: 4 COLUMNAS
1
RMVSM K K22 NUM.DE FILA : 5 NUM.DE COLUMNA: 1 FILAS 1 COLUMNAS
5
4 0.0000E+00 -.1280E+04 0.3200E+04 0.6400E+04 0.1280E+04
5 0.0000E+00 -.3413E+03 0.1280E+04 0.1280E+04 0.3413E+03
6 0.0000E+00 -.1280E+04 0.3200E+04 -.0000E+00 0.1280E+04 0.6400E+04
257
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
K11 *** MATRIZ K11 *** 1
1 2 3 4
2
0.2198E+06 0.0000E+00 0.2880E+04 0.0000E+00
PRINT
0.0000E+00 0.3283E+06 -.1280E+04 -.1280E+04
3
4
0.2880E+04 -.1280E+04 0.1600E+05 0.3200E+04
0.0000E+00 -.1280E+04 0.3200E+04 0.6400E+04
K12
*** MATRIZ K12 *** 1 1 2 3 4
0.0000E+00 -.3413E+03 0.1280E+04 0.1280E+04
PRINT
K21
*** MATRIZ K21 *** 1 1
2
0.0000E+00
PRINT
-.3413E+03
3
4
0.1280E+04
K22
*** MATRIZ K22 *** 1 1
0.3413E+03
LOAD RZ NUMER.LINEAS:
PRINT
1
NUM. COLUMNAS:
RZ
*** DESPLAZAMIENTOS FORZADOS rz *** 1 1
0.5000E-01
MULT PRINT
K12
RZ
R
R
*** VECTOR K12*rz *** 1 1 0.0000E+00 2 -.1707E+02 3 0.6400E+02 4 0.6400E+02 SCALE R SCALAR = -0.1000000E+01
SOLVE K11 R SKALAR = 0.2198187E+00
1
0.1280E+04
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
R
*** DESPLAZAMIENTOS r *** 1 1 2 3 4
ZERO
0.2919E-04 0.8659E-05 -.2228E-02 -.8884E-02
R+ 5 LINEAS
1 COLUMNAS
STOSM R+ R NUM.DE FILA : 1 NUM.DE COLUMNA:
1
STOSM R+ RZ NUM.DE FILA : 5 NUM.DE COLUMNA:
1
PRINT
R+
*** DESPLAZAMIENTOS r+ ***
1 1 2 3 4 5
0.2919E-04 0.8659E-05 -.2228E-02 -.8884E-02 0.5000E-01
FORCEM K1
IN
R+
S1
FORCEM K2
IN
R+
S2
PRINT
S1
*** FUERZAS NODALES ELEMENTO 1 *** 1 1 2 3 4 5 6
0.6382E+01 -.2840E+01 -.1061E+02 -.6382E+01 0.2840E+01 -.2130E+02
PRINT
S2
*** FUERZAS NODALES ELEMENTO 2 *** 1 1 2 3 4 5 6 MULT
0.6382E+01 -.2840E+01 0.2130E+02 -.6382E+01 0.2840E+01 0.1669E-05 K21
R
MULT
K22
RZ
ADD
RRZ
K22RZ
RRZ K22RZ
258
259
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
PRINT
RRZ
*** REACCION Rz *** 1 1
0.2840E+01
STOP
Se observa que la reacción inducida por el descenso forzado de 5 cm en el apoyo 3 es de 2.84 kN. Los diagramas de esfuerzos internos son: 2.84
21.3
6.38
10.61
2.84
N [kN]
6.38
Q [kN]
M [kNm]
260
7.- CASOS ESPECIALES DE CARGA
La restricción del uso del método de desplazamientos indicado para considerar desplazamientos forzados es que la matriz resultante K 11 no sea singular. Ello puede suceder cuando la estructura, o la parte de ella en que se le impone un desplazamiento forzado, es isostática. En este último caso, al introducir un grado de libertad adicional con un desplazamiento forzado, la estructura o una parte de ella, se transforma en un mecanismo y se desplaza como cuerpo rígido. En la Figura 7.12 se muestran algunos de esos casos. Estado indeformado
Mecanismo
Indeformada Desplazamiento forzado
Mecanismo
Desplazamiento orzado
Viga Gerber
Marco Triarticulado
Desplazamiento Forzado
Parte isostática
Viga Continua (hiperestática) FIGURA 7.12.- Desplazamientos forzados en estructuras isostáticas
