MATERIA: TEORIA ELECTROMACNETICA TEMA: SOLUCIONARIO CAPITULO VI ESTUDIANTE ANDRES CASA NIVEL: 4TOG”2”
CAPÍTULO VI CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
1
6.1. Un conductor de cobre AWG #12 tiene un di!etro de "." !i$. Un% $on&itud de ' (ie) conduce un% corriente de 2 A. *%$$e $% inten)id%d de c%!(o e$+ctrico E, $% e$ocid%d de corri!iento U, $% c%-d% de o$t%e / $% re)i)tenci% re)i)tenci% (%r% $% )ecci0n de ' (ie).
[
][
1 plg 1000 80.8 mil 1 mil
[
50 ft
0.3048 m 1 ft
]
2.54 cm 1 plg
(
−6
]
=2.05 x 10−3
=15.24 m
2.05 x 10 A = π r = π 2 2
][
1m 100 cm
−3
)
2
2
A =3.30 x 10 m
∫
I = J .dS
En t+r!ino) dierenci%$e)
I =J . A
⇒ J =
20 I 6 2 6.06 10 ⇒ J = = x A / m −6 2 A 3.30 x 10 m 7
Cu = 5.8 x 10 S / m Conductiid%d de$ Cobre σ Cu
J = σ Cu E ⇒ E=
J σ Cu
6
E=
2
6.06 x 10 A / m 7
5.8 x 10 S / m
=104.48 x 10−3 V / m
2
3oi$id%d de $o) E$ectrone) en e$ Cu μCu =0.0032 m / V . s U = μ Cu E −3
−3
104.48 10 = 3.34 x 10 m / s U = 0.0032 x 104.48
2
R=
l σ Cu A
=
15.24 −6
7
5.8 x 10 x 3.30 x 10 m
2
=79.62 x 10−3 Ω
6.2 5u+ den)id%d de corriente inten)id%d de$ c%!(o e$+ctrico corre)(onden % un% e$ocid%d de corri!iento de '.4 7 189 !:) en e$ %$u!inio; < 4."2 7 =1>?@S:! U<.19 =!>2@: =.)@
A / ¿m
2
7
3.82∗10 σ ( 5.3∗10−4 ) =1.45∗10 7 ¿ J = ρμ = U = 0.0014 μ
V / ¿m 7
J U 1.45∗10 E= = = =379.5811∗10−3 ¿ 7 σ μ 3.82∗10
6.4.8 6.4.8 Un condu conducto ctorr $%r&o $%r&o de cobre cobre tiene tiene un% )ec )ecci0 ci0n n tr%n) tr%n)er er)% )%$$ circu$ circu$%r %r de di!et di!etro ro 4.!! 4.!! / conduce un% corriente de 1 A. 5u+ (orcent%e de e$ectrone) de conducci0n deben de%r c%d% )e&undo =(%r% )er ree!($%B%do (or otro@ un% )ecci0n de 1 !! de $on&itud; D%to) Di!etro < 4!! I < 1A ACu < 64,'9 & Den)id%d de Cu <
3
8,96 x 10
kg 3
m
C
−19 C%r&% de$ e$ectr0n < 1,6 x 10 electro
!tomos
26 Nu!ero de Ao&%dro < 6,02 x 10 "mol
de e$ectrone) en 1!! de O(er%ci0n
(
26
# e = 6,02 x 10
)( )(
!tomos "mol
$ <;
1 kmol 63,54 "g
)(
8,96 x 10
3
kg m
3
)(
1 electro
!tomo
4
)
=8,49 x 1028
electro m
3
¿e = A∗l∗ # e
A = π r
l =100
2
mm∗1 m = 0,1 m 1000 mm
Donde e$ di!etro 4!! % ! 3
mm∗1 m =3 x 10−3 m 1000 mm di!metro
E$ r%dio <
2 −3
−3
=
3 x 10 3
2
−6
m
=1,5 x 10−3 m
A = π ( 1,5 x 10 m ) =2,2510 π m
2
¿e =2,25 10−6 π m2∗0,1 m∗8,49 x 1028
electro 3
m
=6 x 10 22 electroes
¿e eu!corrietede 10 A
I =10 A =10
C s
C ∗1 s
10
−19
1,6 x 10
C electro
=6,25 x 1019
electro s
6,25 x 10
de electroes por segudo=
19
electro s
¿ e eu!corriete de 10 A ∗100= ∗100 =0,104 por segudo 22 ¿e = A∗l∗ # e 6 x 10 electroes
6.4. ¿Qué corri!" # $ro%uc #i "o%o# &o# &c"ro!# % co!%ucci'! $r#!"# ! u! c!"()"ro cu*ico % +&u)i!io $+#+r+! u! $u!"o %"r)i!+%o ! 2.,#Su$'!+# u! &c"r'! % co!%ucci'! $or /"o)o. D+"o#: 3 −6 3 <1 cm < 10 m
t<2)
C
"g
−19 Fe<1.67 10 electro
A e)o %t0!ico< 26." "mol
3 "g d !lumiio =¿ 2.?7 10 3 m
9
R#o&uci'!:
(
# = 6.02 x 10
# =6.02 x 10
I =
26
28
) (
)(
1 "mol !tomos 3 "g . . 2.70 x 10 3 26.98 "g "mol m
)
!tomos 3
m
$% $t
28
$% =¿ NFe < 6.27 10
!tomos m
3
7
−6
10
− 19
3
m x 1.6 x 10
C electro
$% =¿ 642 C I =
9632 C =4816 A 2S
I =4.816 kA
Deter!ine $% conductiid%d de &er!%nio intr-n)eco % te!(er%tur% %!biente.
0
300 k & 2,5 ' 10
19
[ ] e . ( m
3
[ ] [ ] 2
m ue =0.38 V .s 2
m u(= 0.18 V .s
−19
e =1,6 ' 10
[ ] )tomos "mol
'
σ = # e . e . ue + # ( . e . u ( u (¿ ¿ e + u () σ = # e . e . ¿
(
σ = 2,5 ' 10
σ =2,24
19
[ ]) ( [ ] [ ])
[ ]) (
2
2
e.( m m −19 )tomos ' 1,6 ' 10 ' 0.38 + 0.18 3 "mol V .s V .s m
S m
6.?.8*%$$e $% conductiid%d de$ &er!%nio ti(o n % te!(er%tur% %!biente )u(oniendo un to!o en c%d%
3
8
10
to!o. H% den)id%d de &er!%nio e)
#* de !+og!dro :6.02 ' 10
26
5,32 ' 10
kg m
3
/ e$ (e)o %t0!ico e)
72,6
kg kmol .
!tm "mol 3
5.32 ' 10 !tm "mol !tm 6.02 ' 10 ' ' =4.41 ' 10 28 3 3 "mol 72.6 "g m m 26
−8
1 !tm& 10
# e =10
−8
electroes
( 4.41 ' 10 ) =4.41 ' 10 28
20
elec m
3
Concentr%ci0n n (%r% e$ &er!%nio % 4 e)
19
2
= # e # ( 2
# (= # e 2.5 ' 10
3
2.5 ' 10 m
19
¿ ¿ ¿2 ¿ # (=¿
6
/ &r%ci%) % $% $e/ de %cci0n de $% !%)%
σ = ρe μe + ρ( μ( σ = # e e μ e + # ( e μ ( σ =( 4.41 ' 10 σ =26.8
6.8)
20
) ( 1.6 ' 10− ) ( 0.38 ) + ( 1.417 ' 10 ) ( 1.6 ' 10− ) ( 0.18 ) 19
18
19
S m
Un conductor de sección transversal uniforme !"# m de lar$o tiene una ca%da de volta&e 5
10
de !.'V una densidad de corriente de (.6"
2 A* m . Cu+l es la conductividad del material
en el conductor, E=
V l (1)
J= σE
(2) Igualando 1 y 2 nos queda
J= 4.65 x E=
5
10
A/
m
V =1.3 +
2
L= 150m
1.3 V 150 m
1.3 V J = σE 4.65 x 10 = σ * 150 m
σ =
5
150∗4.65 x 10 1.3
5
=53.65 x 106
S m
Un% t%b$% de re)i)tiid%de) d% 1.9 oJ!) !i$ circu$%r (or (ie de cobre te!($%do. 5Cu$ e) $% conductiid%d corre)(ondiente en )ie!en) (or !etro; D%to) 1.9 oJ!) !i$ circu$%r:t K<; Un !i$ circu$%r e) e$ re% de un circu$o con un di!etro de 1 !i$ =1 84 (u$&@. 1 !i$ circu$%r
(
−3
184 (u$&.
10 pulg 1 milcircul!r = π ⌊ 2
)(
)
m ⌋ ∗ 0,0254 pulg
2
?
Donde ,2'9 !:(u$& , e) e$ %ctor de coner)i0n de (u$&%d%) % !etro). 1 !i$ circu$%r < ',? 7 1 1 !2
1
σ = R
(
σ =
7
σ =5,78∗10
10,4 , mil circul!r
)( ∗
12 pulg 1 ft
)( ∗
0,0254 m 1 pulg
)(
1 ∗ mil circul!r 10 2 5,07∗10 m
)
1
7
σ =5,78∗10
1 ft
,∗ m
S m
6.1 Un %$%!bre de %$u!inio AWG N2 tiene un% re)i)tenci% de 16.? oJ! (or 1 (ie). 5u+ conductiid%d i!($ic% e)to; E$ %$%!bre de %$u!inio (re)ent% un di!etro de 42 !i$) 1∈
A = π r
2
D< 42 !i$)
¿∗1 m 100 cm
¿ ∗2.54 cm
1 1 mils ∈ 1000
< " .128 ¿ 10
¿
¿
−4
8.128 ¿ 10 r= 2
= 4.064 ¿ 10−4
−4
A = π ( 4.064 ¿ 10
)2=5.19 ¿ 10−7 m2
¿ ∗0.0254 m
12 ∈
1 pie
=3.05 ¿ 102 m ¿ l = 1000 pie ∗¿
"
−4
2
3.05 ¿ 10 m l R= = =35.2 -S / m σA ( 16.7 ) ( 5.19 ¿ 10−7 m2)
6.11 En un conductor ci$-ndrico de r%dio 2!!, $% den)id%d de $% corriente %ri% con $% di)t%nci% de)de A
3 −400 r 2 e$ ee de %cuerdo % J =10 e m . *%$$e $% corriente tot%$ I.
2 mm=0.002 m
∫
I = J .dS 2 π 0.002
∫ ∫ 10 e− 3
I =
0
400 r
.rdrdϕ
400 r
.rdrdϕ
0
2 π 0.002
I =10
3
∫ ∫ e− 0
0
2 π 0.002
3
I =10
∫ ∫ e− 0
400 r
.rdrdϕ
0
Inte&r%ndo I
∫ e−
400 r
rdr −400 r
u= r
d+ = e −400 r − e +=
du =dr
e
400
− 400 r
400
−∫
−ℜ−400 r
e
−r
400
dr
−e−400 r 400
− 400 r
−400 r
−
160000
dr
=
e
(− 400 r −1 )
160000
2 π
I =10
3
∫ 0
[
− 400 r
e
(−400 r −1)
160000
]
0.002
dϕ
0
2 π
I =10
3
∫ (−5.054 x 10− +6.25 x 10− ) dϕ 6
6
0
−6
I =10 ( 2 π ) x 1.196 x 10 3
−5
I =7.51 x 10 A
6.02. 1+&& &+ corri!" u cru3+ &+ $orci'! %& $&+!o 5, %!i%o $or 7,.0 8 9 8 ,.0 ) 7,.,,2 8 3 8 ,.,,2 ) #i J =10 | x|! ( A /m ) 2
2
∮ J.ds
I =
10
¿ (¿ 2| x|! ¿ ¿)( dxd/ ! ) ¿ 0.1
∫¿
−0.1
0.002
I =
∫
¿
−0.002
0.002
I =
0.1
∫ ∫ 10 | x|dxd/ 2
−0.002 −0.1
[ ] ∫ [( )( ) ( )( )]
0.002
I =10
2
0
0.1
∫ ∫ − x dx+∫ x dx d/
−0.002 −0.1 0.002
I =10
2
− x 2 2
−0.002
0.002
I =10
2
∫
−0.002
[
0
0 −0.1
+
x
2
2
0.1 d/ 0
]
1 1 + d/ 200 200
1
2
I =10
( )∫
0.002
1 100
d/
−0.002
I< .2 L.2<9!A
6.14.8 *%$$e $% corriente Fue cruB% $% (orci0n de$ ($%no 7< deMnido (or
−0.01 0 / 0 0.01 m )i J =100cos2 ! x
A 2
m
D%to) 7<
− π 4
π 0 0 m 4
−0.01 0 / 0 0.01 m J =100cos2 ! x
A 2
m
I =1
O(er%ci0n
∫
I = J . ds ⃗ ⃗
ds =dd/! x
∫
I = 100cos2 ! x . d d / ! x
∫
I = 100cos2 d d/ 0,01
I =
π 4
∬
−0,01−
100cos2 d d/ π 4
0,01
I =100
π 4
∬
−0,01−
cos2 d d/ π 4
11
− π 4
0 0
π 4
m
/
0,01
I =100
∫
π
se 2 2
−0,01
|−
4
π
d/
4
0,01
I =100
∫
−0,01
0,01
I =100
∫
−0,01
[
se 2
( ) − ( − ) π
π
se 2
4
2
4
2
]
d/
[ ]
1 1 + d/ 2 2
0,01
I =100
∫
d/
−0,01
0,01 −0,01
I =100 /|
I =100 ( 0,01+ 0,01 )=2 A
3
J =10 sin 2 !r
6.19 D%do
[ ] A
m
2
3
J =10 se2!r
en coorden%d%) e)+ric%). *%$$e $% corriente Fue
cruB% $% concJ% e)+ric% r < .2!. ds =( r . sin 2 ) d2 d ∅ ! r 2
∫
I = J .ds 2 π π
∫∫ 10 . sin 2 . ( r . sin 2 ) d2 d 3
I =
0
2
∅
0
2 π π
3
I =10 .r
2
∫∫ ( sin 2 ) d2 d 2
0
∅
0
2 π π
3
I =10 . ( 0,02 )
2
∫∫ ( sin 2 ) d2 d 2
0
∅
0
12
2 π
I =0,4
∫ 12 . (2 −sin 2 . cos 2 ) ∨π 0 d
∅
0
2 π
I =0,2
∫ ( π −sin π . cos π )−( 0 −sin0.cos0 ) d
∅
0
2 π
I =0,2
∫ ( π −sin π . cos π )−( 0 −sin0.cos0 ) d
∅
0
2 π
I =0,2
∫ (3,08 ) d
∅
0
2 π
I =( 0,2 ) . ( 3,08 )
∫d
∅
0
I =( 0,2 ) . ( 3,08 ) . ∅∨2 π 0
I =( 0,2 ) . ( 3,08 ) .2 π I =3.87 A
6.!6) -etermine la resistencia de aislamiento en una lon$itud L de cale coaial/ como se muestra en la fi$ura0.
J =
I I = A 2 πrl
J= σE J I E= = σ 2 πrlσ
14
()
3
I I I 3 1 dr = ∗dr =¿ ∗ln (r ) ! 2 πrlσ 2 πlσ ! r 2 πlσ
∫
3
∫
3
∫¿
V!3= E∗ dl= !
V!3=
!
()
I I 3 ln ( 3 )−ln ( ! ) ] = ln [ 2 πlσ 2 πlσ !
()
I 3 ln ! 1 V 2 πlσ 3 ln R= = = 2 πlσ I I !
()
6.1?.8Un% Jo% de corriente de 9! de %ncJur% /%ce en e$ ($%no B < / contiene un% corriente tot%$ de 1 A Fue )e diri&e de)de e$ ori&en J%)t% = 1, 4, @!. Encuentre un% e7(re)i0n (%r% . R= !x + 3 !
| R|=√ 1 2+3 2=√ 10 ⃗
U R = ⃗
⃗
!x + 3 !
√ 10
& direcciode "
I 10 " = = 5 4
" = ⃗
(
)
10 !x + 3 ! A 4 m √ 10
6.1" T%$ co!o )e !ue)tr% en $% M&ur%, un% corriente Ir )i&ue un M$%!ento Fue b%% (or e$ ee B / entr% en un% Jo% conductor% de$&%d% en B<.E7(re)e (%r% e)t% Jo%.
Con)id+re)e un circu$o en e$ ($%no <.H% corriente Ir )obre $% Jo% )e %bre unior!e!ente )obre $% circunerenci% 2r. Entonce) $% direcci0n de e)
19
" =
Ir ! 2 πr
r
%r% $% Jo% de corriente de$ (rob$e!% 6.1" encuentre $% corriente en un% )ecci0n de$ ($%no de 4 6 .
∫
I = "∗dl
" =
ero
I 7 2 π ∗r
∗! r
P
%r )e debe % Fue $% corriente in&re)% en un% $!in% Fue )e encuentr% en e$ ($%no B<, / entonce) $% corriente to!%r% $% direcci0n r%di%$. dl = rd8!r
ero
P
%r e) (er(endicu$%r %$ ector en e$ !i)!o ($%no o cur% en $% cu$ %ctQ%.
∫
I = "∗dl
∫
I =
(
I 7 2 π ∗r
)
∗!r ∗( rd8 !r )
I 7
∫ 2 π ∗r rd8
I =
I 7
∫ 2 π d8
I =
ero :6
π 6
I 7
∫ 2 π d8
I =
0
1'
I =
I =
I 7
()
∗
2 π
π 6
I 7 12
6.2,. U!+ corri!" I;A< !"r+ + u! ci&i!%ro circu&+r rc"o %&+%o $or &+ $+r" #u$rior co)o # )u#"r+ ! &+ ur+ 670=.E9$r# > #i & r+%io %& ci&i!%ro # 2 c). " =
" =
" =
I ! r 2π r I 2 π ( 0.02 )
− I
(−! /)
(−! /) [ A / m ]
0.04 π
6.21. En un (unto )itu%do )obre $% )u(erMcie de un conductor, $% den)id%d )u(erMci%$ de c%r&% en e)e (unto; ρs = 9 ⇒ 9 =: o . E
16
E= 0.7 ! x −0.35 ! −1.00 ! /
V m 5Cu$ e)
−1.00 ¿ 2 ¿ −0.35 ¿ 2+¿ (0.7 )2 +¿ 9=
( )
9=
( )
−9
10 .| E|| E|= √ ¿ 36 π −9
10 − 12 C .1.27 =11.22 x 1 0 2 36 π m
6.1()
-os conductores cil%ndricos conc2ntricos ra3#.#!m r3#/#8m/ tienen densidades de 2 ρs! / Tales - 4 eisten entre cilindros/ 5ero son cero en cualuier otra car$a ρs!= 40 pC / m 5arte. 7alle ρs!
escria las e5resiones 5ara - 4 entre los cilindros.
El ad!a "aa el an#l!s!s de$e# es%a en%e a y $ %alque a&&$'
∇∗ 9 =
1 d ( r 9r )
r
dr
=0
o "odemos !guala a una ons%an%e ualqu!ea
aa anal!a la ons%an%e + u%!l!amos el ,e,o de que −12
.=(0.01)(40x 10
= 4x
− 13
10
C m
-es"eando 9r noso%os %enemos que
1?
9r
= ρs! .
= r 9 r
−13
9 =
4 x 10
E=
4.52 x 10
r
C
y em"laando en la omula
2
m −2
!r
r
9 C E= ϵ m %enemos
E=
4 x 10
−13 −9
r ∗10 36 π
!r
V m
V m
ρs3 se enuen%a a,oa a "a%! de
La dens!dad
−13 4 x 10 − ρs3= 9|r =r3 =− 9|r =r3 = =−5 pC / m2
0.08
6.26 Re(it% e$ eercicio 6.2' (%r% e$ cobre donde
σ <'". 3S:! / Ne<
28 −3 ($%t% donde σ <61.? 3S:! / / Ne< 7.44 ¿ 10 ¿ m
P+r+ & co*r σ =58 -s #e=( 1.13 ¿ 10
29
)
σe = ρe∗ μe
#e=
ρe %e
ρe = #e∗%e =( 1.13 ¿ 10 )∗( 1.6 ¿ 10 29
− 19
)=1.808 ¿ 10
10
6
58 ¿ 10 σe μe = = =3.21 ¿ 10−3 m2 / V 10 ρe 1.808 ¿ 10
P+r+ &+ $&+"+ σ =61.7 -s 28
#e=( 7.44 ¿ 10
)
σe = ρe∗ μe
1"
1.13 ¿ 10
29
¿ m−3 (%r%
%$ #e=
ρe %e
ρe = #e∗%e =( 7.44 ¿ 10 )∗( 1.6 ¿ 10 28
−19
) =1.1904 ¿ 10
10
6
σe 61.7 ¿ 10 μe = = =5.18 ¿ 10−3 m2 / V 10 ρe 1.1904 ¿ 10
4 6.2?.8 *%$$e $% concentr%ci0n de Jueco), # ( , en &er!%nio ti(o donde σ =10 S / m / $% !oi$id%d ,
2 de $o) Jueco) e) μ(=0.18 m / V . s
ρe = # e e =0 ρ(= # ( e C elec
−19
e´ =1.6 ' 10
σ = ρe μe + ρ( μ( σ = ρ( μ ( σ = # ( e μ( # (=
σ eμ
10
# (=
(
−19
1.6 ' 10
# (=3.47 ' 10
23
4
S m
C elec
)(
2
0.18
m Vs
)
elec 3
m
1
6.2?. U"i&i3+!%o &o# %+"o# %& $ro*&)+ 6.2= @+&& &+ co!c!"r+ci'! % &c"ro!# 19 −3 N #i &+ co!c!"r+ci'! i!"r(!#c+ # !050.9 10 m .
2
= #e . #( 2
#e= #( 19 2
#e=
( 2.5 x 10 )
23
3.47 x 10
15
−3
#e=1.80 x 10 m
6.4 Deter!ine e$ nQ!ero de e$ectrone) de conducci0n en un !etro cQbico de tun&)teno, cu/% den)id%d e)
18,8 ' 10
3
[ ] "g m
3
/ cu/o (e)o %t0!ico e) 1"9,. Su(on&% do) e$ectrone) de
conducci0n (or to!o.
(
# = 6,2 ' 10
26
# =6,15 ' 10
¿e =
)(
)(
1 "mol )tomo 3 "g ' ' 18,8 ' 10 3 184 "g "mol m
28
)
)tomo 3
m
# e #
# e =¿e . #
2
# e =( 2 . ( 6,15 ' 10 # e =( 1,23 ' 10
29
28
))
)
6.41. *%$$e e$ nQ!ero de e$ectrone) de conducci0n en un !etro cubico de cobre )i −3
2
σ =58 -S / m
/
μ=3.2 ' 10 m / V . s . En (ro!edio 5Cunto) e$ectrone) (or to!o J%/; E$ (e)o %t0!ico e) 64.'9 / 3 3 $% den)id%d e) 8.96 ' 10 "g / m
(
)(
)tomos # = 6.02 x 10 "mol 26
# =8.4910
28
1 "mol 63.54 "g
)(
3
8.96 x 10 "g
m
3
)
)tomos m
3
σ e = ρe . μ e
58
-S = ρe .3.2 ' 10−3 m2 /V . s m 6
ρe =
58 x 10 A / m. s −3
2
3.2 ' 10 m / V . s 9
3
ρe =18.125 x 10 C / m
# e = 9esid!d de Electroes :
# e =
;e
C
9
18.125 x 10
ρe
m
3
−19
1.6 x 10
29
# e =1.133 x 1 0
electr< m
3
21
29
# e
1.133 x 1 0
electr< 3
m 28 )tomos 8.4910 3 m ¿ e¿
−¿= = #
=1.33
6.'1) Una arra de core de sección transversal rectan$ular de #.#1 #.#8 lon$itud de 1 m tiene una ca%da de volta&e de "# mV. 4ncuentre la resistencia/ corriente/ densidad de corriente/ intensidad de cam5o el2ctrico velocidad de corrimiento de los electrones de conducción. e!n %ans3esal 0.02 x 0.0 L=2m = 50 x 10
−3
aa el o$e %enemos que 7
σ =5,8 x 10
S m 2
m μ=0.0032 Vs R=
2 l −6 21.55 10 = = x , σA 5,8 x 10 7∗0.02 x 0.08 −3
7
σV A 5,8 x 10 ∗50 x 10 ∗0.02 x 0.08 I =J ∗ A = = =2.32 x 10−3 A 2 l 7
−3
σ ∗V x 10 ∗50 x 10 A J = σE= =5,8 =1.45 x 106 2 2 l m −3
V 50 x 10 V E= = =25 x 10−3 2 l m −3
−3 m
U = μE =0.0032∗ 25 x 10 =0.08 x 10
s
6.44.8 Un% b%rr% de %$u!inio de .17 .? ! de )ecci0n tr%n)er)%$ / de 4 ! de $on&itud conduce un% corriente de 4 A. *%$$e $% inten)id%d de$ c%!(o e$+ctrico, den)id%d de corriente / e$ocid%d de corri!iento de $o) e$ectrone) de conducci0n.
22
D%to) %rr% de %$u!inio de .17 .? ! Hon&itud 4! I < 4A. σ Al =3,82 x 10
S m
7
2
m μ Al =0,0014 Vs
E <; <; U <; O(er%ci0n −4
A = 0,01∗0,07 =7 x 10 J =
2
m
300 A I A = =4,28 x 10 5 2 4 2 − A 7 x 10 m m
5
J E= = σ
U =
4,28 x 10
A 2
m V =1,12 x 10−2 m 7 S 3,82 x 10 m
J ρ
σ = ρμ 2
S 3,82 x 10 = ρ∗0,0014 m m Vs 7
10
ρ=2,73 x 10
J U = = ρ
C 3
m
4,28 x 10
5
A 2
m m =1,57 x 10−5 s 10 C 2,73 x 10 3 m
6.34 Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 ohm/km para el alambre de cobre AWG n20 a 20C. ¿ue conducti!idad en "/m implica esto para el cobre# $l di%metro AWG es de 32 mils.
24
33.31 o(m
km
R=
∗1 km =0.03331 o(m/ m
1000 m
1∈ &i%metro ' 32mils(
¿∗1 m 100 cm
=8.128 ¿ 10−4 m ¿ ∗2.54 cm
1 1 mil ∈ 1000
¿
¿
−4
8.128 ¿ 10 9= 2
m
−4
=4.064 ¿ 10−4 m
−7
2
A = π ( 4.064 ¿ 10 ) =5.1886 ¿ 10
1 l σ = = =57.86 ¿ 106 S / m 7 − RA ( 0.03331 ) ( 5.1886 ¿ 10 )
6.B6. ¿Cu/& # # &+ co!%uc"ii%+% %& +&+)*r % "u!#"!o AG B2 co! u!+ r#i#"!ci+ % ,.,0=2
R=
, cm - E& %i/)"ro %& AG B2 # ?., )i&#.
l σA
σ 1 = l RA
?)i&#
(
)(
1 pulg 1000 2 . 54 cm 1m . . 1 mils 1 pulg 100 cm
(
) (
)
− 52.,B29 10 m 4
)
, 100 cm , 1.72 . = ,.,0=2 cm 1m m
29
A = π r
(
−4
2.032 x 10 A = π . 2
2
)= 2
−8
3.243 x 10
1 σ S = =17.93 - 8 − l 1.72 x 3.243 x 10 m
6.4?.8Deter!ine $% re)i)tenci% (or !etro de un conductor ci$-ndrico Jueco de %$u!inio con un di!etro e7terno de 42 !! / (%rede) de 6!! de e)(e)or.
2
A 1= π r = r =0.016 −6
2
A 1= π ( 0.018 ) =804.24 ' 10 2
A 1= π r = r =0.01 −6
2
A 1= π ( 0.01 ) =314.16 ' 10 A tr!s+ers!l = A 1− A 2 A tr!s+ers!l =( 804.24 ' 10
−6
)−( 314.16 ' 10− )= 490.09 ' 10− 6
6
1 R 7 S = =σ del !lumiioes 3.82 ' 10 5 σ ' A m
R = 5
1
(
7
3.82 ' 10
)
S ( 490.09 ' 10−6 ) m
R Ω = 53.41 ' 10−6 5 m R μΩ = 53.41 5 m
2'
6.4" *%$$e $% re)i)tenci% de un% V!in% cu%dr%d% de %$u!inio de 1, !i$ de e)(e)or / ', c! de $%do =%@ entre borde) o(ue)to) en $% !i)!% c%r%, =b@ entre $%) do) c%r%) de$ cu%dr%do. −6
e =25,4 ' 10 m
R $ < ' c!
−6
1 1000
1 !i$
R
(u$&
1 !i$
e =25,4 ' 10 m
2,'9 c!
1!
1 (u$&
1 c!
' c!
1! 1 c!
σ =3,82 ' 10
7
[] S m
A =l ' e
A = ( 0.05 m) ' ( 25,4 ' 10 m ) −6
−6
2
A =1,27 ' 10 m
R=
R=
5 σ.A
(
3,82 ' 10
0,05 m 7
[ ])
S −6 2 ' ( 1,27 ' 10 m ) m
R=1,03 m Ω
b@
26
l =0,05 m
R=
R=
5 σ.A 25,4 ' 10
(
3,82 ' 10
−6
m
[ ]) (
2 S ' 0.05 m ) m
7
R=266 p Ω
6.4. *%$$e $% re)i)tenci% de 1 (ie) de conductor AWG # 9: t%nto en cobre co!o en %$u!inio. Un %$%!bre AWG # 9: tiene un di!etro de 96 !i$). D%to) H< 1 t AWG # 9: Di!etro D< 96 !i$) KA$ < 4,"2 7 1? S:! KCu < '," 7 1? S:!
5=
(
)
0,3048 m ∗100 ft = 30,48 m 1 ft
(
9= 460 mils∗
−3
10 pulg 1 mils
)( ∗
0,0254 m 1 pulg
)=
−3
11,684∗10
m
( )
Are! = A = π ∗
9
2
2
(
−3
A = π ∗
11,684∗10 2
m
)
(
11,684∗10 2
−3
m
)
A = π ∗
−6
2
2
2
A =107,22∗10 m
2?
R=
5 σ ∗ A
RCu=
30,48 m
(
5,8∗10
S m
7
)
∗( 107,22∗10−6 m2)
−3
RCu =4,90∗10 , RCu =4,90 m,
R Al=
30,48 m
(
7
3,82∗10
)
S ∗( 107,22∗10−6 m2 ) m
−3
RCu =7,44∗10 , RCu =7,44 m,
6.(#) -etermine la resistencia de un conductor de core de 1m de lar$o con una sección transversal circular un radio de !mm en un etremo ue crece linealmente asta un radio de "mm en el otro etremo. −3
1=1 x 10
m
y
2=5 x 10
−3
aa el o$e %enemos que 7
σ =5,8 x 10
S m 2
μ=0.0032
m Vs
2"
m
L = 2 m'
R=
2 l = =2.20 x 10−3 , 7 3 3 − − σA 5,8 x 10 ∗π ∗1 x 10 ∗5 x 10
6.91. Deter!ine $% re)i)tenci% de un conductor de cobre de 1! de $%r&o con un% )ecci0n tr%n)er)%$ cu%dr%d% de 1!! de $%do en un e7tre!o / Fue %u!ent% $ine%$!ente J%)t% 4!! en e$ otro e7tre!o. 7 Conductiid%d de$ Cobre σ Cu =5.8 x 10 S / m
| |
1 mm
1 cm 1m 10 mm 100 cm
|=
−3
1 x 1 0
m
| |
3 mm
1 cm 1m 10 mm 100 cm
|
=3 x 1 0−3 m
To!%ndo e$ re% !) &r%nde de$ conductor de cobre −3
−3
A =1 x 3 x 10 m =3 x 1 0 m 1m l R = = =5.747 x 1 0−6 Ω > 5.747 m Ω 7 3 − X σ A 5.8 x 10 S / m x 3 x 1 0 m
6.94.8 *%$$e $% den)id%d de corriente de un conductor AWG # 12 cu%ndo conduce corriente de 4 A. Un %$%!bre # 12 tiene un di!etro de "1 !i$). D%to) Conductor AWG #12 I < 4A. Di!etro < "1 !i$) 1 !i$) <
1 pulg 1000
1 (u$& < 2,'9c!
< ; O(er%ci0n
2
1 pulg 1000 ∗2,54 cm 1 mils ∗1 m 1 pulg =2,0574 x 10−3 m 100 cm
mils∗
di!metro =81
r!dio =
A = π r
di!metro 2
2,0574 x 10 = 2
−3
m
=1,0287 x 10−3 m
2
−3
2
−6
A = π ( 1,0287 x 10 m ) =1,058 x 10
2
πm
I =J ∗ A J =
30 A I A = =9,024 x 10 6 2 6 2 − A 1,058 x 10 π m m
6.44. 1+&& &+ corri!" "o"+& ! u! co!%uc"or circu&+r % 2)) % r+%io #i &+ 3
%!#i%+% % corri!" +ri+ co! r % +cur%o +
J =
10
r
( A / m ) 2
.
I =J . A A = π r
2
A = π . ( 2 x 10
−3
I =
10
3
2
) = 4 x 10−
6
. π
−6 −3 x 4 x 10 . π
2 x 10
I =2 π A
6.96 D%d% $% den)id%d de corriente B
$% corriente Fue cruB% $% r%n% c0nic%
J =
(
10
r
2
) [ ]
3
. cos 2 . !2
π 2= ? 0,001 0r 0 0,008 m. 4
2= 45 6
r%n% c0nic%
A 2 m
4
en coorden%d%) e)+ric%). *%$$e
r = 0,080 r = 0,001
/
7
∫
I = J .ds
∫
I =
(
)
3
10
r
2
. cos 2 ' ( r . sin 2 d2 d ∅ )
2 π 0,080
3
I =10 . cos 2 . sin 2
∫∫
0 0,001
π π I =10 . cos . sin
dr d∅ r
2 π
0,080 ln r ∨ d ∫ 4 0,001
3
4
∅
0
π π I =10 . cos . sin 3
4
4
2 π
∫ ln ( 0,080 )− ln ( 0,001 ) d
π π I =10 . cos . sin . ( 4,38 ) 3
4
4
∅
0
2 π
∫d
∅
0
3
I =13,7665 ' 10 A
6.9?.8 *%$$e $% corriente tot%$ )%$iente de)de un cubo de un !etro con un% e)Fuin% en e$ ori&en / 2
%ri)t%) (%r%$e$%) % $o) ee) coorden%do) )i
A / m 2 3 J =2 x ! x + 2 x ! + 2 x ! / ¿
∫
I = ⃗ J . ds
41
⃗
∫ (2 x ! +2 x 2
I =
x
3
∫ (2 x ! + 2 x ! + 2 x ! ) ( dxd/ ! ) +∫ (2 x ! + 2 x ! + 2 x ! ) ( dxd !/ )
! + 2 x ! / ) ( dd/ !x ) + 1
2
3
2
x
1
1
1
∫∫ 2 x dd/ +∫∫ 2 x 2
I =
0
(
I =
0
0
1 1 2 x . / 0 0 2
)(
/
3
3
x
1
1
0
0
/
∫∫ 2 x dxd
dxd/ +
0
2
)(
2
2
x x + 2 1 . / 1 + 2 1 . 1 3
2 0
0
2 0 2 0
)
I =2 + 1 + 0.5 I =3.5 A
6.50. Una corriente laminar de densidad K= 20 az A/m yace en el plano x=0 y hay una densidad de corriente = !0 az A/m2 en el el espacio. "a# $alle la corriente %ue cruza el &rea encerrada por un circulo de radio 0.5 m centrado en el ori'en en el plano z=0. "(# $alle la corriente %ue cruza el cuadrado )x)*= 0.25 m+ )y)*=0.25 m+ z=0.
" =
2
I 2 π ∗r esu! logitud 2 π ∗r ) " =
A = π ∗( 0.5)
A = 0.25 π m
I 5 )
I =(10 A / m
2
2
)∗( 0.25 π m2)
I =1.85 A
$ntonces * es la intersecci+n del plano con el %rea, - *'1. 20 " = 1
" =20 A / m
$ntonces la corriente total es ' 12 ' 20.45A ' 2.4 A
I = @ ∗ A
6alle la corriente 7ue cru8a el cuadrado 9:9;' 0.24 m, 9-9;'0.24 m, 8'0.
I = 5∗ "
I =10 A
I =( 0.5 m )∗(20 A / m )
I =J ∗ A
42
I =(10 A / m
&onde A es Area, entonces
A =l
2
2
)∗( 0.25 m2 )
I =2.5 A 2
A =( 0.5 )
$ntonces la corriente total es ' 12 ' 102.45A ' 12.4 A
2
A = 0.25 m
44
6.'1 Un conductor rect%n&u$%r, Jueco, de (%rede) de$&%d%), con di!en)ione) .1 7 .2 ! conduce un% corriente de 1 A en $% direcci0n x (o)iti%. E7(re)e . " =
10 A
( 0.01+ 0.01+ 0.02+ 0.02) m
" =166.66
A ! m x
6.4
❑
❑
∫ 9 dS + ∫ 9 dS + ∫ ⃗
⃗
!rri3!
!3!@o
t!geci!l
❑
9 t dS = ⃗
∫
ρ s ds
Superfice
❑
∫ 9 dS
*a componente
!3!@o
desaparece -a 7ue su di=erencial apunta al centro de la es=era - 7ueda adentro
donde $ - & son i>uales a cero. ❑
∫
*a componente
t!geci!l
9 t dS desaparece -a 7ue se aplica el principio de simetr?a
$ntonces nos 7ueda ❑
❑
∫ 9 dS =∫❑ ρ ds ⃗
s
!rri3!
&onde deri!ando a los dos lados de la i>ualdad para
¿ 9∨¿ ρ s &∨ E ∨¿
@ero sabemos por el cap?tulo 7ue
dS nos 7ueda
¿ 9∨¿ ϵ 0∗¿ E∨¿
ρ s
⃗
ϵ 0
49
