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CAPITULO 3 Demodulación y Detección de Banda Base En el caso de señales de Bandabase siempre se transmite formas de ondas tipo pulsos. Por que es necesario un demodulador para recobrar la forma de onda del pulso? Pero en el receptor debido a los filtros del transmisor y la característica del canal se reciben secuencias de señales que no son precisamente pulsos. Estas señales contaminadas con ruido y con ISI no pueden ser directamente muestreadas y detectadas. Se debe incorporar un filtro en el receptor que tiene como objetivo recuperar el pulso transmitido lo mejor posible (con mejor relación SNR y libre de ISI). Para sistemas lineales, las matemáticas utilizadas no son afectadas por las traslaciones en frecuencia, entonces se puede enunciar un teorema de equivalencia entre los sistemas banda base y pasa banda. Lo que posibilita la aplicación de las técnicas que se verán en este capitulo a sistemas pasa banda (Capítulo 4). 3.1 Señales y Ruido 3.1.1 Degradación de la performance del error en sistemas de comunicación

La tarea del detector es recuperar desde las formas de ondas recibidas una corriente de bits libre de error (lo mas posible), no obstante el deterioro a la cual la señal estará sujeta. Hay dos causas primarias para la degradación de la performance del error. Las primera es el efecto del filtrado en el transmisor, en el canal y en el receptor (discutido en la sección 3.3). Como se describe aquí, una función de transferencia no ideal causa una interferencia ínter símbolo (ISI). Otra causa de la degradación de la performance del error es el ruido eléctrico e interferencia producida por varias fuentes, tales como ruido galáctico y atmosférico, conmutación transitoria, ruido de ínter modulación además de señales interferentes de otras fuentes. Con precaución, mucho de los ruidos e interferencias entrantes al receptor pueden ser reducidas en intensidad o incluso eliminadas. Sin embargo, hay una fuente de ruido que no puede ser eliminado y que es el ruido causado por movimiento térmico de electrones en algún medio conductor. Este movimiento produce ruido térmico en amplificadores y circuitos, y corrompe la señal en forma aditiva. Las estadísticas de ruido térmico tienen buen desarrollo usando mecánica quantum, y son bien conocidas. La característica primaria del ruido térmico es que su amplitud esta distribuida acorde a una distribución normal o Gaussiana, y se muestran en la figura 1.7. En esta figura se puede ver que la mayoría de las amplitudes probables de ruido son las que tienen pequeños valores positivos o negativos. En teoría el ruido puede ser infinitamente grande, pero amplitudes de ruido muy grandes son raras. La característica espectrales primarias del ruido térmico en sistemas de comunicación, es que su densidad espectral de potencia a ambos lados Gn(f)=No/2 es constante para todas las frecuencias de interés. En otras palabras el ruido térmico, en la media, tiene mucha potencia por hertz en las fluctuaciones de las frecuencias altas y bajas (a una frecuencia de aproximadamente 10 12 hertz). Cuando la potencia de ruido es caracterizada por una densidad espectral de potencia constante, nos referiremos a el cómo ruido blanco. Entonces el ruido térmico esta presente en todos los sistemas de comunicación y es la fuente de ruido predominante para muchos sistemas, las características del ruido térmico (Aditivo Blanco y Gaussiano AWGN) son las mas usadas para modelar el ruido en los procesos de detección y en la designación de receptores. Cuando un canal es designado como un canal AWGN (sin otro deterioro especifico) nosotros estamos en efecto diciendo que su deterioro esta limitado a la degradación causada por sus inevitables ruidos térmicos.

3.1.2 Demodulación y detección

Durante el proceso de transmisión en un sistema Bandabase binario se puede estar transmitiendo una de dos formas de ondas posibles, denotadas como g 1(t) y g2(t). Similarmente un sistema binario pasa banda deberá transmitir una de dos formas de ondas, denotadas s1(t) y s2(t). Entonces el tratamiento general para la demodulación y detección son los mismos ya sea para banda pasante o banda base. Nosotros usaremos si(t) como una designación genérica para formas de ondas transmitidas si el sistema es banda base o banda pasante. Esto permite un tratamiento de demodulacion/detección en este capítulo similar a las descripciones de banda pasante en el capitulo 4. Entonces para cualquier canal binario, la señal transmitida bajo un intervalo de símbolo (0,T) es representada por:

 S 1 (t ) S 2 (t )

S i (t ) = 

0 ≤ t  ≤ T  0 ≤ t  ≤ T 

para el 1 binario para el 0 binario

La señal recibida r(t) degradada por ruido n(t) posiblemente degradada por la respuesta al impulso del canal hc(t) fue descripta en la ecuación (1.1) y reescrita como:

r (t ) = S i (t )* hc (t ) + n(t )

i = 1, ......, M

(3.1)

Donde n(t) se asume como un proceso AWGN con media cero. Para una transmisión binaria sobre un canal sin distorsión, donde la convolución con h c(t) no produce degradación (entonces para el caso ideal hc(t) es una función impulso), la representación r(t) puede ser simplificada a:

r (t ) = S i (t ) + n(t )

i = 1,2

0≤t≤T

(3.2)

La figura 3.1 muestra las funciones típicas de un demodulador y detección de un receptor digital. Definiremos como demodulación demodulación a recobrar la forma de onda y como detección al proceso de tomar  una decisión sobre una u otra forma de onda. Si el código de corrección de error no esta presente, la salida del detector consiste en estimar el mensaje símbolo (o bits), mˆ i (también llamado decisión hard). Si el código de corrección de errores es usado, la salida del detector consiste de una estimación de los símbolos del canal (o bits bits codificados) codificados) uˆ i , el cual se puede hacer con una decisión hard o soft (ver sección 7.3.2). A la brevedad el termino detección es ocasionalmente usado para abarcar todos los pasos del procesamiento de la señal en el receptor. El bloque frequency down-conversion, down-conversion, mostrado en la figura 3.1 realiza la traslación de frecuencia para señales de banda pasante operando a la misma radio frecuencia (RF). Esta función puede ser configurada de barias formas. Esta debe estar en el frente del receptor con el demodulador.

En el bloque demodulate demodulate y sample sample de la figura 3.1 esta el receiving filter (esencialmente (esencialmente el demodulador), el cual recobra la forma de onda preparándola para el paso de detección. El filtrado en el transmisor y un canal típico causan que la secuencia de pulsos recibidos sufran ISI, por lo tanto esto no es suficiente para la etapa de muestreo y detección. El objetivo del filtro receptor es recobrar un pulso de banda base con la mejor relación posible de señal a ruido, libre de ISI. El filtro receptor optimo para acoplar esto es llamado filtro acoplado o correlador descrito en la sección 3.2.2 y 3.2.3. Un filtro de ecualización opcional sigue al filtro receptor, esto es solamente necesario para algunos sistemas donde el ISI inducido por el canal puede distorsionar la señal. El filtro receptor y el filtro ecualizador son mostrado en bloques separados de manera de enfatizar por  separado sus funciones. En muchos casos cuando un ecualizados es usado, un único filtro debe ser  designado para incorporar ambas funciones y de esta forma compensar las distorsiones causadas por  el transmisor y el canal. Esta composición de filtro es a veces referida como un simple filtro ecualizador o un filtro ecualizador y receptor. La figura 3.1 resalta dos pasos en el proceso de demodulación/detección. Paso uno: la transformación de la forma de onda a muestras es realizada del modulador seguido por un muestreador. Al final de cada duración de símbolo (T), la salida del muestreador (el punto de predicción) produce una muestra z(T), algunas veces llamadas test estadístico. z(T) tiene un valor  de voltaje directamente proporcional a la energía del símbolo recibido e inversamente proporcional al ruido. En el paso dos, una decisión (detección) es hecha con respecto al significado digital de la muestra. Asumiremos que el ruido de entrada es un proceso Gaussiano aleatorio y que el filtro receptor en el demodulador es lineal. Una operación lineal realizada sobre un proceso aleatorio Gaussiano deberá producir un segundo proceso aleatorio Gaussiano. Por lo tanto, el ruido a la salida del filtro es Gaussiano. La salida del paso uno producirá el test estadístico: z (T ) = ai (T ) + n0 (T ) = señal y ruido en el instante T 

i = 1,2

(3.3)

Donde ai (T ) es la componente de señal deseada y n0 (T ) es la componente de ruido. Para simplificar la notación expresaremos la ecuación 3.3 como z  = a i + no . La componente de ruido no es una variable aleatoria Gaussiana con media cero y por lo tanto z(T) es una variable aleatoria Gaussiana con una media de a1 o a 2 dependiendo se envió un 1 o un 0 binario. Como describimos

en la sección 1.5.5 la función de densidad de probabilidad del ruido aleatorio Gaussiano puede ser  expresada como: 1 p(n0 ) = exp σ 0 2π 

 1  n0 2  −     2  σ 0  

(3.4)

Donde σ 02 es la varianza del ruido. De las ecuaciones 3.3 y 3.4 podemos expresar a las PDF condicionales como: p(z  S 1 ) =

1 2π 

σ 0

exp

 1  z − a1  2    −  σ  2    0  

(3.5)

exp

 1  z − a2  2    −  σ  2    0  

(3.6)

y p(z  S 2 ) =

1 σ 0

2π 

Estas PDFs condicionales son ilustradas en la figura 3.2. La PDF de la derecha, p (z | s1 ) , llamada probabilidad de s 1 , ilustra la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria z(T), dado que el símbolo s1 fue transmitido. transmitido. Similarmente la PDF de la izquierda, p ( z | s 2 ) , llamada probabilidad de s2, ilustra la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria z(T), dado que el símbolo s2 fue transmitido. La absisa, z(T), representa el rango máximo de posibles muestras de salidas del paso uno de la figura 3.1.

Después de haber recibido la forma de onda, la misma se transforma a una muestra, la forma de onda actual no es muy importante; todos los tipos de forma de onda que son transformados al mismo valor de z(T) son idénticos para para la detección. Luego Luego se mostrara que un filtro receptor  receptor  optimo (filtro acoplado) en el paso uno de la figura 3.1 mapea todas las señales de igual energía en el mismo punto z(T). Por lo tanto, la energía de la señal recibida es un parámetro importante en el proceso de detección. Esto es por que el análisis de detección de señales en banda base es el mismo que para señales en banda pasante. Ya que z(T) es una señal de voltaje que es proporcional a la energía del símbolo recibido, el valor de la magnitud z(T), el proceso de decisión debe estar libre de error. En el paso dos la detección es realizada por elección de la hipótesis que resulta de un umbral de decisión:

Z (T )

H 1 > <

(3.7)

γ 

H 2

Donde H1 y H2 son las dos posibles hipótesis. La relación de desigualdad indica que la hipótesis H 1 se elige si z(T) es mayor que γ  , y la la hipótesis hipótesis H2 es elegida si z(T) es menor que γ  . Si z(T) es igual a γ  la decisión puede ser uno u otro. El elegir a H1 es equivalente a decidir que la señal enviada fue s1(t) y entonces un 1 es detectado. Similarmente al elegir H 2 equivale a decidir que la señal enviada fue s2(t) por lo tanto un 0 binario se detecta. 3.1.3 Representación vectorial de la señal y el ruido

A continuación se presenta una representación vectorial de las formas de ondas mas usadas para señales de banda pasante y banda base. Definiremos Definiremos un espacio vectorial de N dimensiones como un espacio caracterizado por un conjunto de N funciones linealmente independientes {φ j (t )}, llamadas funciones base. Algunas funciones arbitrarias en el espacio pueden ser generadas con una combinación lineal de estas funciones base. Las funciones base deben satisfacer:

∫ ψ  (t ).ψ  (t )dt  = K  δ  j

k 

j

para 0 ≤ t  ≤ T 

jk 

j,k = 1,.........., N

(3.8a)

Donde el operador  δ  jk 

1 para j = k  = 0 para el resto

(3.8b)

es llamado función delta Kronecker y es definido por la ecuación 3.8b. Cuando la constante K j es distinta de cero, el espacio de la señal es llamado ortogonal. ortogonal. Cuando las funciones funciones base son normalizadas de manera que cada K j = 1, el espacio es llamado ortonormal. El principal requerimiento para ortogonalidad se define a continuación: cada función ψ  j (t ) del conjunto de funciones básicas debe ser independiente de las otras funciones del conjunto en el proceso de detección. Desde el punto de vista geométrico, cada ψ  j (t ) es mutuamente perpendicular a cada otro ψ k (t ) para j ≠ k . Un ejemplo similar a un espacio con N=3 es mostrado en la figura 3.3, donde los ejes mutuamente perpendiculares son designados ψ 1 (t ) , ψ 2 (t ) y ψ 3 (t ) . Si ψ  j (t ) corresponde a una componente de forma de onda de valor real de voltaje o corriente, asociada con una resistencia de 1 Ω, entonces usando las ecuaciones 1.5 y 3.8, la energía normalizada en joule disipada en la carga en T seg., debido al ψ  j , es E j

T 

= ∫ 0 ψ  2j dt  = K j

(3.9)

La razón de nuestro enfoque en un espacio de señales ortogonales es que la medida de la distancia Euclidiana es fundamental para los procesos de detección, son fácilmente formuladas en espacios semejantes. Sin embargo, si la forma de onda de la señal no forman un conjunto ortogonal semejante, ellas pueden ser transformadas en combinaciones lineales de formas de onda ortogonales. Cualquier conjunto finito arbitrario de forma de ondas {si (t )} (i = 1, ...., M), donde cada miembro del conjunto es físicamente realizable y de duración T, puede ser expresado como una combinación lineal de N formas de ondas ortogonales ψ 1 (t ) , ψ 2 (t ) , ........, ψ N  (t ) , donde N≤M, dado que: s1 (t ) = a11ψ 1 (t ) + a12ψ 2 (t ) + ....... + a1N ψ N  (t ) s 2 (t ) = a 21ψ 1 (t ) + a 22ψ 2 (t ) + ....... + a 2 N ψ N  (t )

. . s M  (t ) = a M 1ψ 1 (t ) + a M 2ψ 2 (t ) + ....... + a MN ψ N  (t )

estas relaciones son expresadas en forma compacta como: S i (t ) =

N 

∑ a ψ  (t ) ij

j

(3.10)

j =1

donde: a ij

=

1 K j

T 

∫ 

S i (t ) ψ  j (t )dt 

o

= 1,........., M 0 ≤ t  ≤ T  j = 1,........., N 

i

(3.11)

el coeficiente aij es el valor de la componente ψ  j (t ) de la señal si (t ) . La forma ψ  j (t ) no esta especificada; esta es elegida por conveniencia y dependerá de la forma de onda de la señal. El conjunto de señales, {si (t )}, puede ser visto como un conjunto de vectores, {si } = {ai1 , ai 2 ,...., aiN  }. Si para el ejemplo de N=3 nosotros podemos plotear el vector sm correspondiente a la forma de onda:

s m (t ) = a m1ψ 1 (t ) + a m 2ψ 2 (t ) + a m3ψ 3 (t )

como un punto en tres dimensiones de un espacio Euclidiano con coordenadas (a m1 , a m 2 , a m3 ) , como se muestra en la figura 3.3. La orientación entre los vectores de la señal describen la relación de la señal hacia otra (con respecto a fase o frecuencia), y la amplitud de cada vector en el conjunto {si } es una medida de la energía de la señal transmitida durante una duración de símbolo. En general, cuando un conjunto de N funciones ortogonales a sido adoptado, cada señal transmitida {si (t )}, es completamente determinada por el vector de sus coeficientes: si

= (a i1 , a i 2 ,......, a iN  ) ⋅ ⋅i = 1,......, M 

(3.12)

debemos emplear la notación de señal vectorial, {s}, o señales de formas de onda, {s(t )}, como mejor se adapte a la discusión. Un problema de detección típico esta ilustrado en la figura 3.4. Los vectores sj y sk  representan señales prototipo o referencia pertenecientes al conjunto de M formas de onda, {si (t )}. El receptor conoce a priori la localización en el espacio de señales de cada vector  prototipo perteneciente al conjunto M-ary. Durante la transmisión de alguna señal, la señal es perturbada por ruido de manera que el vector resultante que es actualmente recibido es una versión perturbada de la original (ejemplo s j+n o sk +n) donde n representa un vector de ruido.

Figura 3.4

El ruido es aditivo y tiene distribución Gaussiana; por lo tanto la distribución resultante de posibles señales recibidas es un cluster de puntos alrededor de s j y sk . El cluster es denso en el centro y se esparce con el incremento de la distancia del prototipo. La flecha que marca r representa un vector  de señal que puede arribar al receptor durante un intervalo de símbolo. La tarea del receptor es decidir si r esta mas cercano al prototipo s j o al sk , o de lo contrario se encuentre mas cercano a alguna otra señal prototipo en el conjunto M-ary. El receptor o detector debe decidir cual de los prototipos con el espacio de la señal tiene una distancia mas corta al vector recibido r. El análisis de la demodulación o detección envuelve el concepto de distancia entre una forma de onda recibida y un conjunto de posibles formas de ondas transmitidas. 3.1.3.1 Energía de las formas de onda

Usando las ecuaciones 1.5, 3.10 y 3.8, la energía Ei normalizada, asociada con la forma de onda si(t) sobre un intervalo T puede ser expresada en términos de las componentes ortogonales de s i(t) de la siguiente manera:

E i

  = ∫ 0 s i2 (t )dt  = ∫ 0 ∑ aijψ  j (t )  j  T 

T 

2

dt 

(3.13)

= ∫ 0 ∑ aijψ  j (t )∑ aik ψ k  (t )dt 

(3.14)

= ∑ ∑ aij aik  ∫ 0 ψ  j (t )ψ k  (t )dt 

(3.15)

= ∑∑ aij aik K j δ  jk 

(3.16)

T 

j

k 

T 

j

j

k 

k 

N 

= ∑ aij2 K j ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i = 1,...., M 

(3.17)

j =1

La ecuación 3.17 es un caso especial del teorema de Parseval que relaciona la integral de la señal al cuadrado con la suma de los coeficientes de la serie ortogonales al cuadrado. Si las funciones ortonormales son usadas (K j=1), la energía normalizada sobre un periodo de símbolo T se escribe de la siguiente forma: E i =

T 

∫  0

S i2 (t )dr =

N 

∑a

2 ij

(3.18)

j =1

Si hay igual energía E en cada forma de onda si(t), podemos escribir la ecuación 3.18 como: N 

E 

= ∑ aij2

(3.19)

j =1

3.1.3.2 Transformada de Fourier Generalizada

La transformación descripta por las ecuaciones 3.8, 3.10 y 3.11, son referidas a las transformaciones generali zadas de Fourier. En el caso de las transformadas ordinarias de Fourier, el conjunto de {ψ  j (t )} comprenden funciones armónicas senos y cosenos. Pero en el caso de las transformadas generalizadas de Fourier, el conjunto de {ψ  j (t )} no contiene alguna forma especifica: debe solamente satisfacer la ortogonalidad de la ecuación 3.8. Algún conjunto de formas de onda integrables, además del ruido, se puede representar como una combinación lineal de formas de ondas ortogonales a través de la transformada generalizada de Fourier. Por consiguiente, en un espacio ortogonal, justificamos el uso de la distancia Euclediana como un criterio de decisión para la detección de alguna señal en la presencia del ruido AWGN. La aplicación mas importante de esta transformación ortogonal tiene que ver con la manera en que las señales son actualmente transmitidas y recibidas. Ejemplo 3.1 Representación ortogonal de formas de onda

La figura 3.5 ilustra lo expresado anteriormente de que algún conjunto de formas de onda arbitrarias e integrables puede ser representada como una combinación lineal de formas de onda ortogonales. La figura 3.5a muestra un conjunto de tres formas de onda.

(a) Demuestre que estas tres formas de ondas no forman un set ortogonal. (b) La figura 3.5b muestra un set de dos formas de ondas ψ 1 (t ) y ψ 2 (t ) . Verifique que estas formas de onda formen un set ortogonal. (c) Muestre como el set de formas de ondas no ortogonales en la parte (a) puede ser  expresado como una combinación lineal de un set ortogonal en la parte (b). (d) La figura 3.5c ilustra otro set ortogonal de dos formas de ondas, ψ 1' (t ) y ψ 2' (t ) . Muestre como el set no ortogonal en la figura 3.5a puede ser expresado

como una combinación lineal del set en la figura 3.5c. Figura 3.5 Del libro

Solución

(a) s1(t), s2(t) y s3(t) son claramente no ortogonales, entonces ellas reúnen los requerimientos de la ecuación 3.8; que es, el valor integrado en el tiempo del producto cruzado de algunas dos de las tres formas de onda sea distinto de cero. Verificaremos esto para s1(t) y s2(t): T 

∫ 

T  / 2

∫  = ∫  (− 1)(2 )dt + ∫  0

s1 (t )s 2 (t )dt  =

0

s1 (t )s 2 (t )dt +

T  / 2

T 

0

T  / 2

T 

∫ 

T  / 2

s1 (t )s 2 (t )dt 

(− 3)(0 )dt  = −T 

Similarmente la integral sobre el intervalo T de cada uno de los productos cruzados s1(t) s3(t) y s2(t) s3(t) también da un valor distinto de cero. Entonces el set de formas de ondas en la figura 3.5a es un set no ortogonal. (b) Usando la ecuación 3.8, verificamos que ψ 1 (t ) y ψ 2 (t ) forman un set ortogonal: T 

∫  0

) 2 (t )dt  = ψ 1 (t ψ 

T  / 2

∫  0

T 

(1)(1)dt + ∫ T / 2 (− 1)(1)dt  = 0

(c) Usando la ecuación 3.11 con K j=T podemos expresar el set no ortogonal s1(t), s2(t) y s3(t) como una combinación lineal de las bases ortogonales de las formas de ondas ψ  j (t ) ( j = 1,2 ) : s1 (t ) = ψ 1 (t ) − 2ψ 2 (t ) s 2 (t ) = ψ 1 (t ) + ψ 2 (t ) s 3 (t ) = 2ψ 1 (t ) − ψ 2 (t )

(d) similar a la parte (c), el set no ortogonal {s i (t )}(i = 1,2,3) , pueden ser  expresado en termino de un simple set ortogonal básico ψ  j (t ) ( j = 1,2 ) en la figura 3.5c, como sigue:

s1 (t ) = −ψ 1 (t ) − 3ψ 2 (t ) s 2 (t ) = 2ψ 1 (t ) s 3 (t ) = ψ 1 (t ) − 3ψ 2 (t )

estas relaciones ilustrada como un set de formas de onda arbitrarias {si (t )} pueden ser expresadas como una combinación lineal de un set ortogonal ψ  j (t ) , como fue descrito en la ecuación 3.10 y 3.11.

3.1.3.3 Representación del Ruido Blanco en Formas de Onda ortogonal 

AWGN puede ser expresado como una combinación lineal de formas de onda ortogonales de la misma forma como las señales. Para el problema de detección de señales el ruido puede ser  particionado en dos componentes: ~(t ) n(t ) = nˆ (t ) + n

(3.20)

donde nˆ (t ) =

N 

∑ n ψ  (t ) j

j

(3.21)

J =1

se toma para ser el ruido dentro del espacio de la señal, o la proyección de las componentes del ruido sobre las coordenadas de la señal ψ 1 (t ) ,.....ψ N  (t ) , y

~ (t ) = n(t ) − nˆ (t ) n

(3.22)

es definido como el ruido fuera del espacio de la señal. En otras palabras, n~ (t ) es el ruido que queda efectivamente fuera del detector. El símbolo nˆ (t ) representa el ruido que será parte del proceso de detección. Podemos expresar a n(t ) como: n (t ) =

N 

∑ n ψ  (t ) + n~(t ) j

j

(3.23)

j =1

donde nj

=

1 K j

T 

∫  n(t ).ψ  (t )dt ⋅ ⋅ ⋅ ∀j 0

j

(3.24)

y T 

∫ n(t )ψ  (t )dt = 0 para todo j 0

j

(3.25)

la porción interferente del ruido, nˆ (t ) , expresada en la ecuación 3.21 será de aquí en adelante para mayor simplicidad llamada como n(t ) . Podemos expresar a n(t ) como un vector de sus coeficientes similar al mostrado para la señal de la ecuación 3.12. n = (n1,n2,......,nN)

(3.26)

donde n es un vector aleatorio con media cero y distribución Gaussiana, y donde las componentes del ruido ni son independientes. 3.1.3.4 Varianza del Ruido Blanco

El ruido blanco es un proceso idealizado con densidad espectral de potencia igual a ambos lados, con un valor de N0/2, para todas las frecuencias desde - ∞ a +∞. Entonces, la varianza del ruido (potencia media del ruido, dado que el ruido tiene media cero) es: σ 

2

∞ N   = var [n(t )] = ∫ −∞    0 df  = ∞   2 

(3.27)

De esta manera la varianza para AWGN es infinita, la varianza para AWGN filtrado es finita. Por  ejemplo, si AWGN es correlacionado con una función de un set de funciones ortonormales ψ  j (t ) , la varianza en la salida del correlador esta dada por: σ 

2

[

]

2 T  N  = var [n j ] = E  ∫ 0n(t )ψ  j (t )  = 0   2

(3.28)

Entonces debemos asumir que el ruido de interés en el proceso de detección es el ruido que sale del correlador o filtro acoplado con varianza igual a N0/2, como se expreso en la ecuación 3.28. 3.1.4 El Parámetro Básico SNR para Sistemas de Comunicación Digital

Cualquiera que haya estudiado comunicaciones analógicas esta familiarizado con la figura de merito, razón potencia media de la señal con potencia media del ruido (S/N o SNR). En comunicaciones digitales, a menudo usamos E b/N0, una versión normalizada de SNR, como una figura de merito. Eb es la energía de bit y puede ser descripta como una señal de potencia S en el tiempo del bit T b. N0 es la densidad espectral de potencia del ruido, y puede ser como la potencia de ruido N dividido por el ancho de banda W. Ya que el tiempo del bit y la tasa de bit R b son recíprocos, podemos reemplazar Tb con 1/R b y escribir: E b N 0

=

S  S .T b Rb = N  N  W  W 

(3.29)

la tasa de datos es uno de los parámetros mas recurrentes en las comunicaciones digitales. Por lo tanto simplificamos la notación a lo largo del libro por R en lugar de R b para representar bits/seg, y

rescribimos la ecuación (3.29) para enfatizar que Eb/N0 es una versión normalizada de S/N por  ancho de banda y tasa de bit, de la siguiente forma : E b N 0

=

S   W  



N   Rb

 

(3.30)

Una de los mas importantes parámetro de performance en sistemas de comunicación digital es un plot de la probabilidad de error de bit PB versus Eb/N0. La figura 3.6 ilustra la forma de cascada de las diferentes curvas. Para Eb/No ≥ x0, PB ≤ P0. El valor  de menor dimensión de Eb/N0 es una medida estándar de calidad para la performance de sistemas digitales. Por lo tanto, un requerido Eb/N0 puede ser considerado un parámetro que caracterice la performance de un sistema versus otro sistema; el mas pequeño E b/No requerido es el mas eficiente en el proceso de detección para una probabilidad de error dada.

Figura 3.6

3.1.5 Porque E b/N0 es una Figura de Merito

Una reciente introducción en las comunicaciones digitales puede cuestionar la utilidad del parámetro Eb/N0. después de todo, S/N es una figura de merito útil para comunicaciones analógicas (el numerador representa una medida de la potencia de la señal que nosotros deseamos para lograr  una transmisión, y el denominador representa la degradación eléctrica del ruido). Mas aun, S/N es intuitivamente aceptable como una métrica de virtud. Entonces, porque nosotros no podemos continuar con el uso de S/N como una figura de merito para comunicaciones digitales? Porque surge una diferente métrica para sistemas digitales (la relación energía de bit sobre densidad espectral de potencia de ruido)? En la sección 1.2.4, una señal de potencia fue definida como una señal que tiene una potencia media finita y una energía infinita. Una señal de energía fue definida como una señal que tiene potencia media cero y energía finita. Estas clasificaciones son útiles para comparar formas de ondas analógicas y digitales. Porque clasificamos una forma de onda analógica como una señal de potencia? Nosotros podemos pensar una forma de onda analógica con una duración infinita que no necesita ser particionada o ventaneada en el tiempo. Una infinitamente larga forma de onda eléctrica tiene una infinita cantidad de energía; entonces, la energía no es un camino útil para caracterizar esta forma de onda. La potencia (o tasa de llevar la energía) es un parámetro mas útil para señales analógicas.

Sin embargo, en sistemas de comunicación digitales transmitimos (o recibimos) símbolos para transmitir formas de onda en una ventana de tiempo, el tiempo del símbolo Ts. Enfocándonos sobre un símbolo, podemos ver que la potencia (promediada sobre todo el tiempo) se va a cero. Entonces, la potencia no es un camino útil para caracterizar una forma de onda digital. En otras palabra la energía del símbolo (potencia integrada en un periodo T s) es un parámetro mas útil para caracterizar formas de onda digitales. El hecho que una señal digital este mejor caracterizada por su energía recibida no nos dice ahora el enigma de porque Eb/N0 es una métrica natural para sistemas digitales. La forma de onda digital es un vehículo que representa un mensaje digital. El mensaje puede contener 1 bit (binario), 2 bits (4-ary)........, 10 bits (1024-ary). En un sistema analógico, no hay nada semejante a tal estructura de mensaje. Una fuente de información analógica es una onda continua cuantizada infinitamente. Para sistemas digitales, una figura de merito debe permitirnos comparar un sistema con otro por medio del nivel del bit. Por lo tanto, una descripción de una forma de onda digital en términos de S/N es virtualmente útil, entonces la forma de onda debe tener  significado a 1 bit, 2 bits, ....., 10 bits. Por ejemplo, supóngase que para una probabilidad de error  dada, el requerimiento de S/N para una forma de onda digital es 20 unidades. Tomando el caso de que la forma de onda binario tiene un significado de un bit por símbolo, entonces el requisito de S/N por bit es igual a las mismas 20 unidades. Sin embargo, suponer que la forma de onda es 1024ary, con las misma 20 unidades requeridas de S/N. Ahora, entonces la forma de onda tiene 10 bits, el requerimiento de S/N por bits es de solamente 2 unidades. ¿Por qué nosotros debemos tener que pasar por las tales manipulaciones computacional para encontrar una métrico que represente la figura de mérito? ¿Por qué no describimos inmediatamente la métrica en términos de que necesitamos relacionado con parámetros tales como nivel del bit, E b/N0? Así como S/N es una relación adimensional, también lo es Eb/N0. Para verificar esto, considere las siguientes unidades de medida: E b N 0

=

 Joules  Watt  − s energía del bit en T  segundos  = =   Watt  − s  Densidad espectral de Potencia del Ruido  Watt  Hertz   

3.2 Detección de Señales Binarias en Ruido Gaussiano 3.2.1 Estructura de Máxima Probabilidad en el Receptor

El criterio de realizar la decisión mostrado en el paso 2 de la figura 3.1 fue descrito por la ecuación 3.7 de la siguiente forma: Z  (T  )

H 1 > <

γ 

H  2

Un criterio popular para elegir el nivel del umbral γ para la decisión binaria en la ecuación 3.7 esta basado en la minimización de la probabilidad de error. El calculo para este valor de mínimo error de γ=γ0 comienza con formar una expresión de desigualdad entre la relación de la función de densidad de probabilidad condicional y la probabilidad a priori de la señal. Puesto que la función de densidad condicional p (z si ) es también llamada probabilidad de si, la formulación:

H 1

p ( z  s1 )

> <

p (s 2 )

p( z  s 2 ) H  p (s1 )

(3.31)

2

es llamada likelihood ratio test. En esta desigualdad, p(s1) y p(s2) son las probabilidades a priori que s1(t) y s2(t), respectivamente, sean transmitidas, y H1 y H 2 son las dos posibles hipótesis. La regla para minimizar los estados de probabilidad de error es que nosotros debemos escoger la hipótesis H1 si la relación de probabilidad es mayor que la relación de probabilidad a priori, como la muestra en ecuación 3.31. Se demuestra en la sección B.3.1 que si p(s1)= p(s2) y si las probabilidades p (z si ) (i=1,2) son simétricas, podemos introducir las ecuaciones 3.5 y la 3.6 en la 3.31 y obtener: H 1

z  <> H 2

a1 + a2

2

= γ 0

(3.32)

donde a1 es la componente de señal de z(t) cuando s1(t) es transmitido, y a 2 es la componente de la señal de z (t) cuando se transmitió s2(t). El nivel del umbral γ0, representado por  (a1 + a 2 ) 2 , es el umbral optimo para minimizar la probabilidad de hacer una decisión incorrecta para este importante caso. Esta estrategia es conocida como el criterio de mínimo error. Para señales con igual probabilidad, el umbral optimo γ0 pasa a través de la intersección de las funciones de probabilidad, como se muestra en la figura 3.2. De esta manera siguiendo ecuación 3.32, la etapa de decisión selecciona eficazmente la hipótesis que corresponde a la señal con mayor  probabilidad. Por ejemplo, dado un valor arbitrario a la salida del detector  z a(t) para el cual hay una probabilidad distinta de cero de que z a(t) pertenezca a una de las señales s1(t) o s2(t), uno puede pensar en el test de probabilidad como la comparación de los valores probabilidad p (z a s1 ) y p (z a s 2 ) . La señal correspondiente a la máxima pdf es elegida como la mejor opción que fue

transmitida. En otra palabras, el detector elige s1(t) si: p (z a s1 ) > p (z a s 2 )

(3.33)

Caso contrario, el detector elige s2(t). Un detector que minimice la probabilidad de error (para el caso de que las señales son igualmente probables) es también conocido como un detector de máxima probabilidad. La figura 3.2 ilustra que la ecuación 3.33 es simplemente "sentido común" el camino para tomar  una decisión cuando existe conocimiento estadístico de los tipos de señal. Dado el valor  z a(t) a la salida del detector, vemos en la figura 3.2 que z a(t) intercepta a la curva de probabilidad de s1(t) en un valor  l 1 e intercepta a la curva de probabilidad de s2(t) en un valor  l 2. ¿Qué decisión mas razonable debe hacer el detector? Para este ejemplo, elegir la señal s1(t) es la elección mas acertada dado que tiene una probabilidad mayor. Si este fuera ahora un M-ary en lugar de un ejemplo binario, habría un total de M funciones de probabilidad representando las M tipos de señales. La decisión de máxima probabilidad debe ser el tipo de señal que tiene la mayor probabilidad de tolas las M probabilidades. (Referirse al apéndice B para una mirada de la teoría fundamental de decisión).

3.2.1.1 Probabilidad de Error 

Para realizar la decisión binaria descripta en la figura 3.2, hay dos tipos de errores que pueden ocurrir. Un error  e ocurrirá cuando s1(t) es enviado, y el ruido en el canal provoca que la señal de salida z (t) en el receptor sea menor que γ0. La probabilidad de este suceso es: P (e s 1 ) = P (H 2 s 1 ) =

γ  0

∫ 

−∞

p ( z  s 1 )dz 

(3.34)

Esto es mostrado por la parte sombreado a la derecha de γ0 en la figura 3.2. Similarmente, un error  ocurre cuando s2(t) es enviado, y el ruido en el canal provoca que la señal de salida z (t) en el receptor sea mayor que γ0. La probabilidad de este suceso es: P (e s 2 ) = P ( H 1 s 2 ) =

∞

∫ 

γ  0

p ( z  s 2 )dz 

(3.35)

La probabilidad de un error es la suma de las probabilidades de todos los posibles errores que puedan ocurrir. Para el caso binario podemos expresar la probabilidad de error de un bit como: 2

P B

2

= ∑ P (e, si ) = ∑ P (e si )P (si ) i =1

(3.36)

i =1

Combinando las ecuaciones 3.34 a 3.36 podemos escribir: P B

= P (e s1 )P (s1 ) + P (e s 2 )P (s 2 )

(3.37-a)

o equivalentemente: P B

= P (H 2

s1 ).P (s1 ) + P ( H 1 s2 ).P (s2 )

(3.37-b)

Esto es, dado que la señal s1(t) fue transmitida, un error ocurre si la hipótesis H2 es elegida; o dado que la señal s2(t) fue transmitida, un error ocurre si la hipótesis H1 es elegida. Para el caso donde las probabilidades a priori son iguales [que es P( s1)= P(s2)=1/2]: P B =

1 1 P (H 2 s1 ) + P (H 1 s2 ) 2 2

(3.38)

y debido a la simetría de las funciones de densidad de probabilidad: P B

= P (H 2

s1 ) = P (H 1 s2 )

(3.39)

La probabilidad de errar un bit, PB, es numéricamente igual al área bajo la cola de la función de densidad de probabilidad, p (z s1 ) o p (z s 2 ), descendiendo sobre el lado incorrecto del umbral. Podemos por consiguiente computar la P B, integrando p(z s1 ) entre los limites - ∞ y γ0, integrando p (z s 2 ) entre los limites γ0 y + ∞ :

P B

∞

= ∫ γ  =(a + a )/ 2 p ( z  s2 )dz  0

1

(3.40)

2

Aquí, γ 0 = (a1 + a 2 ) / 2 es el umbral optimo de la ecuación 3.32. Reemplazando la probabilidad p (z s 2 ) con su equivalente Gaussiano de la ecuación 3.6, tenemos: ∞

P B

=

∫ σ 

γ 0

0

1

 1  z − a  2  2   dz  exp−  2π   2   σ 0  

donde σ02 es la varianza del ruido a la salida del correlador. Llamaremos u = ( z − a 2 ) / σ 0 . Entonces σ0*du=dz y: ∞  a − a   u2  1 exp−  du = Q 1 2  P B = ∫  2π   2   2σ 0  γ 0

(3.41)

(3.42)

donde Q(x), llamada función de error complementaria o función co-error, es la comúnmente usada simbología para la probabilidad de error bajo la cola de la pdf Gaussiana, y esta definida como:

1 ∞   u 2  Q ( x) ≈ exp − du 2π  ∫    2  x

(3.43)

Note que la función co-error esta definida por varias formas (vea apéndice B); como siempre todas las definiciones son igualmente útiles para determinar la probabilidad de error en ruido Gaussiano. Q(x) no puede ser evaluada en forma cerrada. Esto se presenta tabulado en la tabla B.1. Buenas aproximaciones a Q(x) por funciones más simples pueden encontrarse en la referencia [5]. Una aproximación valida para x>3 es:

  x 2  1 Q( x) ≈ exp −  2π    2 

(3.44)

Ahora tenemos optimizado el nivel del umbral γ, pero no tenemos optimizado el filtro receptor en el bloque 1 de la figura 3.1. A continuación consideraremos optimizar este filtro para maximizar el argumento de Q(x) en la ecuación 3.42. 3.2.2 Filtro Acoplado

Un filtro acoplado es un filtro lineal designado para proveer la máxima relación señal-ruido a su salida (salida del filtro) para una dado símbolo de forma de onda transmitida. Considerar que una conocida señal s(t) mas un ruido n(t) AWGN es la entrada de un filtro lineal e invariante en el tiempo, seguido por un muestreador, como se muestra en la figura 3.1. En el tiempo t=T, la salida z (T) del muestreador consiste de una componente de la señal ai y una componente del ruido n0. La varianza del ruido (potencia promedio de ruido) a la salida esta denotada por  σ02, de manera que la relación de potencia de la señal instantánea a potencia promedia de ruido, (S/N)T, en el tiempo t=T, salida del muestreador en el paso 1, es:

  S   = ai2    N  T  σ 02

(3.45)

deseamos ahora poder encontrar la función de transferencia H0(f) que maximice la ecuación 3.45. Podemos expresar la señal ai(t) a la salida del filtro en términos de la función de transferencia del filtro H(f) y la transformada de Fourier de la señal de entrada es: ai (t ) =

∞

∫ 

−∞

H ( f ).S ( f )e j 2π ft df 

(3.46)

donde S(f) es la transformada de Fourier de la señal de entrada, s(t). Si ambos lados del espectro la densidad espectral de potencia del ruido de entrada es N 0/2 watts/hertz, entonces, usando la ecuación 1.19 y 1.53, podemos expresar la potencia del ruido a la salida como: σ 02

=

N 0

2

∞

∫ 

−∞

2

H ( f ) df 

(3.47)

Combinando las ecuaciones 3.45 a 3.47 podemos expresar la (S/N) T de la siguiente manera: ∞

∫ − ∞ H  ( f  ).S ( f  )e j 2π ft df 

  S   =     N   T 

N 0

∞

∫ 

2

−∞

2

(3.48)

2

H  ( f  ) df 

A continuación encontraremos que valor de H(f)=H0(f) para el cual se logra alcanzar la máxima (S/N)T, usando la desigualdad de Schwrz. Una forma de plantear la desigualdad puede estar dada como: 2

∞

∫ f  ( x) f  ( x)dx 1

∞

≤

2

−∞

∞

2

∫  f  ( x) dx ∫  f  ( x) 1

2

−∞

2

dx

(3.49)

∞

La igualdad se sostiene si f 1(x)=kf *2(x), donde k  es una constante arbitraria y * indica el complejo conjugado. Si identificamos H(f) con f 1(x), y S(f)ej2πf T con f 2(x), podemos escribir: ∞

∫ 

−∞

H ( f ).S ( f )e

j 2π fT 

2

df 

∞

∞

≤ ∫ −∞ H ( f ).2df ∫ −∞ S ( f ).2df 

(3.50)

Sustituyendo en la ecuación 3.48 obtenemos:

  S   ≤ 2    N  T  N 0

∞

∫ 

2

S ( f ) df 

(3.51)

−∞

o

2 E  S   max    =  N  T  N 0

(3.52)

donde la energía E de la señal de entrada s(t) es: ∞

E  =

2

∫ 

S ( f ) df 

(3.53)

−∞

De esta manera, la salida máxima de (S/N)T depende de la energía de la señal y de la densidad espectral de potencia del ruido, no de la forma particular de la forma de onda que se use. La igualdad en la ecuación 3.52 se sostiene solo si la función de transferencia del filtro optimo se desarrolla de la siguiente manera: H ( f ) = H 0 ( f ) = KS * ( f )e− j 2π fT 

(3.54)

Aplicando transformada inversa de Fourier: h(t ) = F  −1 {K .S * ( f  )e − j 2π fT }

(3.55)

Ya que s(t) es una señal de valor real, podemos escribir de las ecuaciones A.29 y A.31 que:

 ks(T − t ) 0 ≤ t ≤ T  paraotro tiempo 0

h(t ) = 

(3.56)

De esta manera, la respuesta al impulso de un filtro que produce la máxima relación señal ruido a la salida es la imagen espejo de la señal mensaje s(t), retrazada una duración de símbolo T. Note que el retardo de T segundos hace causal la ecuación 3.56; lo que es lo mismo decir que el retardo de T segundos hace a h(t) una función de tiempo positiva en el intervalo 0 ≤ t ≤ T. Sin el retardo de T segundos la respuesta s(-t) es irrealizable debido a que ella describe una repuesta impulsional de tiempo negativo. 3.2.3 Realización de la Correlación del Filtro Acoplado

La ecuación 3.56 y la figura 3.7a ilustra las propiedades básicas del filtro acoplado: la respuesta al impulso del filtro es una versión desplazada de una imagen especular de la señal (rotada sobre el eje t=0). Por lo tanto, si la señal es s(t), esta imagen especular será s(-t), y la imagen especular  desplazada T segundos es s(T-t). La salida z(t) del filtro causal puede ser descripta en el dominio del tiempo como la convolución de una señal de entrada r(t) con la respuesta al impulso del filtro (ver sección A.5): z (t ) = r (t ) * h(t ) =

t 

∫ r (τ )h(t − τ )d τ  0

(3.57)

sustituyendo h(t) de la ecuación 3.56 en h(t- τ) de la ecuación 3.57 y arbitrariamente seteando la constante k igual a la unidad, obtenemos: z (t ) = t 

t 

∫ r (τ )s[T  − (t + τ )]d τ  0

= ∫ 0 r (τ )s (T  − t + τ )d τ 

(3.58)

Cuando t=T. Podemos escribir la ecuación 3.58 como: z (t ) =

T 

∫  r (τ )s (τ )d τ  0

(3.59)

La operación de la ecuación 3.59, la integración del producto de la señal recibida r(t) con una replica de la señal transmitida s(t) sobre un intervalo de símbolo se conoce como la correlación de r(t) con s(t). Considere que una señal recibida r(t) es correlacionada con cada prototipo de señal si(t) (i=1, ......, M), usando un banco de M correladores. La señal si(t) la cual produce la correlación con r(t) que permite la máxima salida z i(t) es la señal que acopla mejor a r(t) que todas las otras sj(t) para los j≠i. Por lo tanto podemos utilizar esta correlación característica para optimizar la detección de la señal.

Figura 3. 7

3.2.3.1 Comparación de la Convolución y la Correlación

La operación matemática del filtro acoplado (MF) es la convolución; una señal es convolucionada con la respuesta al impulso del filtro. La operación matemática de un correlador es la correlación; una señal es correlacionada con una replica de si misma. El termino “filtro acoplado” es usado frecuentemente como sinónimo de “correlador”. Como es posible que sus operaciones matemáticas sean diferentes? Recordar que el proceso de convolución de dos señales es invertir una de ellas en el tiempo. También, la respuesta al impulso de un filtro acoplado es definida en términos de una señal que es invertida en el tiempo. Por eso, la convolución en el filtro acoplado con una función invertida en el tiempo resulta en una segunda inversión en el tiempo, haciendo aparecer a la salida el resultado de una señal que a sido correlacionada con su replica. Por consiguiente, esto es valido para implementarlo en el filtro receptor en la figura 3.1 como un filtro acoplado o como un correlador. Es importante notar que la salida del filtro acoplado y la salida del correlador son las mismas solo en el tiempo t=T . Para una señal de entrada senoidal, la salida del correlador, z(t), es aproximadamente una rampa lineal durante el intervalo 0≤t≤T. Sin embargo, la salida del filtro acoplado es aproximadamente una señal senoidal con su amplitud modulada por una rampa lineal con duración en el mismo tiempo de intervalo. La comparación es mostrada en la figura 3.7b. Las funciones del filtro acoplado y del correlador son mostradas en la figura 3.8 que son a menudo usadas en forma intercambiadas.

Figura 3.8

3.2.3.2 Dilema En La Representación Temporal Del Primer Evento y el Ultimo

Existen serios dilemas en la representación de los eventos en el tiempo. Este dilema es indudablemente la causa de errores mas frecuentes en ingeniería eléctrica, confundiendo el bit mas significativo (MSB) con el bit menos significativo (LSB). La figura 3.9a muestra como una función del tiempo es típicamente dibujada; el primer evento aparece más a la izquierda, y el último evento más a la derecha. Considere la figura 3.9b, donde los pulsos que se muestran entran a una red o circuito. Aquí, el primer evento esta mostrado mas a la derecha y el ultimo esta mas a la izquierda. De la figura, debe quedar claro que al denotar los eventos de tiempo, hay una inferencia que podemos seguir una de dos formas descriptas aquí.

Figura 3. 9 3.2.4 Optimización de la performance del error

Para optimizar la PB en el contextos de un canal AWGN y un receptor mostrado en la figura 3.1, necesitaremos seleccionar un filtro receptor óptimo en el paso 1 y un umbral de decisión óptimo en el paso 2. Para el caso binario, el umbral de decisión óptimo ya ha sido elegido en la ecuación (3.32), y mostrado en la ecuación (3.42) que este umbral resulta en PB=Q[(a1-a2)/2σ0]. A continuación, para minimización de P B, es necesario elegir un filtro que maximice el argumento de Q(x). Así, necesitamos determinar qué filtro lineal maximiza (a1-a2)/2σ0, o equivalentemente, que maximice

(a1 − a2 )2 σ 02

(3.60)

donde (a1-a2) es la diferencia de la componente de la señal deseada de la salida del filtro al tiempo t=T, y el cuadrado de estas señal diferencia es la potencia instantánea de la señal diferencia. En la selección 3.2.2, un filtro acoplado fue descrito como uno que maximiza la relación señal a ruido (SNR) de salida para una señal conocida. Aquí, seguiremos este desarrollo para señales binarias, donde vemos que el filtro óptimos es aquel que maximiza la diferencia entre dos posible señales de salida. Comenzando con la ecuación (3.45) y (3.47), esto se mostró en la ecuación (3.52) que un filtro acoplado logra la máxima salida posible de SNR igual a 2E/N 0. Considerar que el filtro es acoplado a la diferencia de las señales de entrada [s 1(t)-s2(t)]; así, podemos escribir la SNR de salida al tiempo t=T como 2   S   = (a1 − a2 ) = 2 E d    N 0 σ 02  N T 

(3.61)

donde N0/2 es la densidad espectral de potencia del ruido a la entrada del filtro y E d  =

T 

∫  [s (t ) − s ( ) ] dt  2

1

0

2 t 

(3.62)

Es la energía de la diferencia de la señales a la entrada del filtro. Note que la ecuación (3.61) no representa la SNR para alguna señal transmitida, s 1(t) o s2(t). Esta SNR produce la métrica de una señal diferencia para la salida del filtro. Para maximizar la SNR de salida de la ecuación (3.61), el filtro acoplado provee la máxima distancia entre las dos candidatos de salida, señal a1 y señal a2. A continuación, combinando las ecuaciones (3.42) y (3.61) tenemos P B

  E d  = Q   2 N 0

   

(3.63)

Para el filtro acoplado, la ecuación (3.63) es un resultado importante en términos de la energía de la señal diferencia a la entrada del filtro. De esta ecuación, una relación mas general en términos de la energía del bit recibido puede ser desarrollada. Podemos seguir definiendo un coeficiente de correlación cruzada para medir la similitud entre las dos señales, s1(t) y s2(t). Obteniendo ρ  =

1 E d 

T 

∫  s (t )s (t )dt  0

1

2

(3.64a)

y ρ  = cosθ 

(3.64b)

donde –1≤ρ≤1. la ecuación (3.64a) es la expresión matemática clásica para la correlación. Si embargo, cuando s1(t) y s2(t) son expresadas como dos vectores de señal, s1 y s2, respectivamente, luego ρ es expresado convenientemente por la ecuación (3.64b). Este vector provee una representación útil. Los vectores s1 y s2 están separados por el ángulo θ. Para un pequeño ángulo de separación, los vectores son bastante similar (alta correlación) uno de otro, y para una separación angular grande, estos son bastante diferentes. El coseno de este ángulo nos da la misma métrica normalizada de correlación como la ecuación (3.64a). Expandiendo la ecuación (3.62) obtenemos:

E d  =

T 

∫  0

T 

∫ 

s12 (t )dt +

0

s 22 (t )dt − 2

T 

∫  s (t )s (t )dt  0

1

2

(3.65)

Los dos primeros términos en la ecuación (3.65) representan la energía asociada con un bit, E b; que es : E b

T 

T 

= ∫ 0 s12 (t )dt = ∫ 0 s 22 (t )dt 

(3.66)

Sustituyendo las ecuaciones (3.64a) y (3.66) en la ecuación (3.65) obtenemos: E d  = E b

+ E b − 2 ρ E b = 2 E b (1 − ρ )

(3.67)

Sustituyendo la ecuación (3.67) en la (3.63) obtenemos: P B

  = Q  

E b (1 − ρ )  N 0

  

(3.68)

Considerar el caso de ρ=1 correspondiente a señales que son perfectamente correlacionadas en un intervalo de símbolo. Se podría usar cualquier tipo de forma de onda para señales digitales?. Por  supuesto que no, debido a que la s señales de comunicación necesitan estar separadas unas de otras lo mas posible de manera que ellas sean fácilmente distinguibles (detectadas). Estamos simplemente catalogando los posibles valores del parámetro ρ. Considerar el caso de ρ=-1 correspondiente a s1(t) y s 2(t) que son anticorrelacionadas en un intervalo de símbolo. En otras palabras el ángulo entre los vectores señales es 180°. En tal caso, donde los vectores son imágenes espejo, las señales son llamadas antipodales, como se muestra en la figura 3.10a. También considerar el caso para ρ=0 correspondiente a cero correlación entre las señales (el ángulo entre los vectores es 90°). Llamaremos a tales señales como ortogonales, las cuales se muestran en la figura 3.10b. Para que dos formas de ondas sean ortogonales, deben ser no correlacionadas en un intervalo de símbolo; lo cual es: T 

∫  s (t )s (t )dt = 0 0

1

2

(3.69)

El propósito de ortogonalidad fue tratado anteriormente en la sección 3.1.3. Para el caso de detectar  señales antipodales (ρ=-1) con un filtro acoplado, la ecuación (3.68) se puede escribir como: P B

  2 E b = Q   N 0

   

(3.70)

Figura 3.10

Similarmente para el caso de detección de señales ortogonales (que es ρ=0) con un filtro acoplado, ecuación (3.68), puede ser escrito de la siguiente forma:

P B

  = Q  

E b N 0

   

(3.71)

En la figura 3.10, las magnitudes de la señal son iguales ( E b ), esto ayuda a ilustrar que la performance de error descripta por las ecuaciones (3.70) y (3.71) es una función de la distancia entre s1 y s2. Cuando las señales son antipodales, como se muestra en la figura 3.10a, la distancia entre ellas es 2 E b , y la energía Ed asociada con la distancia es caracterizada por la distancia al cuadrado o 4Eb. Cuando sustituimos Ed = 4Eb en la ecuación (3.63), la distancia entre ellas es 2 E b y entonces Ed = 2Eb. Cuando sustituimos Ed = 2E b en la ecuación (3.63), el resultado es la ecuación (3.71) Ejemplo 3.2 Filtro acoplado, detección de señales antipodales

Considere un sistema de comunicación binario que recibe las señales s1(t) y s2(t) con igual probabilidad mas ruido. Mire la figura 3.11. Asuma que el filtro receptor es un filtro acoplado (MF), y que la densidad espectral de potencia del ruido N 0 es igual a 10-12 watt/hz. use los valores de voltaje de señal recibido y mire el tiempo en la figura 3.11 para computar la probabilidad de error  de bit. Solución:

Podemos determinar gráficamente la energía de la señal por bit de el dibujo de s1(t) o s2(t) mostrados en la figura 3.11 por integración. Realizándolo en partes, obtenemos: 3

2

2

2

E b = ∫ v 2 (t )dt  = (10 −3 v ) × (10 −6 s ) + (2 × 10 −3 v ) × (10 −6 s )+ (10 −3 v ) × (10 −6 s ) 0

E b

= 6 × 10 −12 joules

Ya que las formas de onda dibujadas en la figura 3.11 son antipodales, y son detectadas con filtros acopladas, usaremos la ecuación (3.70) para encontrar la probabilidad de error de bit de la siguiente manera: P B

  = Q   

E b (1 − ρ )  N 0

   = Q     

E b 2 N 0

−12     = Q  12 x10   10 −12   

  = Q ( 12 ) = Q (3.46 ) = 2.9 x10 − 4  

De la tabla B.1, encontramos que P B = 3x10-4. O ya que el argumento de Q(x) es mayor que 3, podemos también usar la aproximación de la ecuación (3.44) la cual nos da un PB = -4 2.9x10 . Debido a que las señales recibidas son antipodales y son recibidas con un MF, estos son requisitos previos suficientes para que podamos obtener por medio de la ecuación (3.70) la probabilidad de error de bit. Las onda s1(t) y s2(t) pueden ser dibujadas de una forma mucho mas rara, pero con tal de que ellas sean antipodales y detectadas por un MF se podrán hacer los cómputos de PB, independientemente de cómo sea la forma que se le da a la onda. 3.2.5 Performance de Probabilidad de Error de Señales Binarias

3.2.5.1 Señales Unipolares

La figura 3.12a ilustra un ejemplo de señales ortogonales de banda base, llamadas señales unipolares, donde: s1(t)= A 0≤t≤T para 1 binario s2(t)= 0 0≤t≤T para 0 binario (3.72) donde A>0 es la amplitud del símbolo s1(t). La definición de señales ortogonales descriptas por la ecuación (3.69) requiere que s1(t) y s2(t) tengan una correlación de cero en cada duración del símbolo. Debido a que en la ecuación (3.72), s2(t) es igual a cero durante la duración de un símbolo, este set de pulsos unipolares claramente cumple la condición mostrada en la ecuación (3.69), y entonces, ellos forman un conjunto de señales ortogonales.

Figura 3.12

Considerar que las señales unipolares ilustradas en la figura 3.12a y el correlador mostrado en la figura 3.12b, el cual puede ser usado para detectar tales pulsos. El correlador multiplica e integra la señal entrante r(t) con la diferencia de las señales prototipo [s1(t)-s2(t)] = A. Después de una duración de símbolo T, el muestreador produce un test estadístico z(T), el cual es comparado con el umbral γ0. Para el caso de ser recibido s1(t) mas ruido AWGN (que es cuando r(t)= s1(t)+n(t)) la componente de señal de z(t) es hallada usando la ecuación (3.59) de la siguiente forma: a1 (T ) = E {z (T ) s1 (t )} = E 

T 

∫  A 0

2

+ An(t )dt  = A 2T 

donde E {z (T ) s1 (t )} es el valor esperado de z(T), dado que s1(t) fue enviado. Esto se da ya que E {n(t )} = 0 . Similarmente cuando r(t)= s2(t)+n(t), entonces a2(T) = 0. De esta manera, el umbral

de decisión optimo, dado por la ecuación (3.32), es de la forma: γ 0

= (a1 + a 2 ) 2 = 12 A 2T 

Si el test estadístico z(T) es mayor que γ0, la señal es declarada para ser s1(t); caso contrario la señal recibida será s2(t). La diferencia de energía de las señales, de la ecuación (3.62), es dada por E d = A2T. Entonces la performance de error de bit a la salida es obtenida de la ecuación (3.63) de la siguiente forma: P B

  2    E d       = Q A T   = Q E b  = Q   N 0   2 N 0    2 N 0       

(3.73)

donde, para el caso de señales con igual probabilidad, la energía promedio por bit es Eb = A2T/2. La ecuación (3.73) corrobora la ecuación (3.71) donde la relación fue establecida para señales ortogonales en mas de una forma. Note que la unidad de salida del circuito multiplicador de la figura 3.12b son volts. Por lo tanto, para una señal de voltaje cada dos entradas, la función de transferencia del multiplicador debe tener  las unidades de 1/volts y las unidades de r(t) y si(t) a la salida del multiplicador son volt/voltcuadrado. Similarmente las unidades de salida del circuito integrador también son volt. Por lo tanto para una señal de voltaje en el integrador, la función de transferencia del integrador debe tener  unidades de 1/segundos y la función de transferencia total (producto + integrador) tiene unidades de 1/volt-segundos. Por lo tanto, para una señal en el producto integrador la misma tiene unidades de volt-cuadrado-segundos (una medida de energía); podemos representar la salida z(T) como una señal de voltaje que es proporcional a la energía de la señal recibida (volt/joule). 3.2.5.2 Señales bipolares

La figura 3.13a ilustra un ejemplo de señales antipodales en banda base, donde S 1 (t ) = + A

0 ≤ t  ≤ T  para 1 binario (3.74)

y S 2 (t ) = − A

0 ≤ t  ≤ T  para 0 binario

Como definimos anteriormente, el término “antipodal” se refiere a señales binarias que son imágenes especulares una de la otra; esto es, S 1(t) = - S2(t). Un receptor correlador para cada forma de onda antipodal puede ser configurado como lo muestra la figura 3.13b. El primer correlador  multiplica e integra la señal entrante r(t) con la señal prototipo S 1(t); el segundo correlador  multiplica e integra r(t) con S 2(t). La figura 3.13b captura la esencia de la función principal de un receptor digital. Esto es, durante cada intervalo de símbolo, una misma señal de entrada con ruido es enviada a los múltiples correladores en un esfuerzo de correlacionar esta con cada uno de los candidatos posibles. Para realizar la detección el receptor busca el mayor voltaje de salida. Para el ejemplo binario, hay solo dos posibles candidatos. Para el ejemplo 4-aria habría cuatro candidatos, y así. El la figura 3.13b, la salida de los correladores son designados como z i(T) ( i =1,2 ). El test estadístico, formado de la diferencia de la salida del correlador, es z (T ) = z 1 (T ) − z 2 (T )

(3.75)

y la decisión se realiza usando el umbral mostrado en la ecuación 3.32. para señales antipodales, a 1 = - a2 ; por esto, γo = 0. Entonces, si el test estadístico z(T) es positivo, la señal es declarada como S1(T); y si esta es negativa, es declarada como S2(T). De la ecuación 3.62, la señal de diferencia de energía es E d = (2 A)2 T. Entonces, la performance de error de bit de la salida puede ser obtenida de la ecuación 3.63 como P B

  E d  = Q   2 N 0

2        = Q 2 A T   = Q 2 E b   N 0  N 0       

   

(3.76)

donde la energía promedio por bit está dada por E d = A2 T. La ecuación 3.76 corrobora la ecuación 3.70 donde esta relación fue establecida para señales antipodales de una forma general.

3.2.5.3 Señales descritas con funciones bases

En lugar de designar Si(t) como las señales de referencia en el correlador de la figura 3.13b, podemos usar el concepto de funciones bases descritas en la sección 3.1.3. Las señales binarias con pulsos bipolares o unipolares proveen ejemplos particularmente simples para hacer esto, debido a que el espacio completo de las señales puede ser descrito por solo una función base. Si normalizamos el espacio haciendo K j = 1en la ecuación 3.9, entonces debería ser claro que la función base Ψ1(t) debe ser igual a 1 / T  . Para señales de pulso unipolar, podemos escribir 

  1    T   = A   

s1 (t ) = a11ψ 1 (t ) = A T x y

  1    T   = 0   

s 2 (t ) = a 21ψ 1 (t ) = 0 x

donde los coeficientes a11 y a21 son iguales a A T  y 0 respectivamente. Para señales de pulso bipolar podemos escribir 

  1    T   = A   

s1 (t ) = a11ψ 1 (t ) = A T x y

  1   = −A  T    

s 2 (t ) = a 21ψ 1 (t ) = − A T x 

donde los coeficientes a11 y a21 son iguales a A T  y − A T  respectivamente. Para el caso de pulsos antipodales, podemos imaginar el correlador receptor tomando la forma de la figura 3.12b con la señal de referencia igual a 1 / T  . Entonces para el caso de que se envíe S 1(T) = A, podemos escribir 

 T  ∫  0

a1 (t ) = E {z (T ) s1 (t )} = E 

A T 

+

n(t ) T 

 

dt  = A T 

esto es debido a E {n(t )} = 0 , y ya que, para señales antipodales, E b = A 2T  , esto permite que a1 (T ) =

E b . Similarmente, para una señal recibida

r (T ) = s 2 (t ) + n(t ) , esto permite

a 2 (T ) = − E b . Donde las señales de referencia son tratadas en esta forma, entonces el valor 

esperado de z (T ) tiene una magnitud de E b , el cual tiene unidades de volts normalizados proporcionales a la energía recibida. Este tratamiento de funciones base del correlador produce un valor conveniente de z (T ) que es consistente con unidades de volts fuera de los multiplicadores e integradores. Por esto repetimos un punto importante: en la salida del muestreador (el punto de

predicción), el test estadístico z (T ) es una señal de voltaje proporcional a la energía de la señal recibida. La figura 3.14 ilustra las curvas de P B versus E b N 0 para señales bipolares y unipolares. Hay solo dos maneras de comparar tales curvas. Mediante el trazado de una línea vertical para un E b N 0 dado, digamos, 10 dB, vemos que las señales unipolares producen P B en el orden de 10-3, pero que las señales bipolares producen P B en el orden de 10-6. La curva inferior es de una mejor  performance. También, por el trazado de una línea horizontal para algún requerimiento de P B , digamos, 10-5, vemos que con las señales unipolares cada bit recibido requerirá un E b N 0 alrededor de 12,5 dB, pero con las señales bipolares solo se necesita un relación E b N 0 de solo 9,5 dB para cada bit recibido. Por supuesto, un menor requerimiento de E b N 0 es mejor  (usando menos potencia, requerimos menos baterías). En general, las curvas de mejor performance están cercanas a los ejes inferior e izquierdo. Examinando las dos curvas en la figura 3.14 podemos ver un mejoramiento de la performance de error de 3 dB señales bipolares comparadas con señales unipolares.

Esta diferencia podría haber sido predicha por el factor de 2 en el coeficiente de E b N 0 en la ecuación 3.70 comparada con la ecuación 3.71. En el capítulo 4, se muestra que, con la detección MF, señales antipodales pasa banda (ej. PSK binaria) tiene la misma performance de P B como las señales antipodales de banda base (ej. pulsos bipolares). Esto también muestra que, con la detección MF, señales ortogonales pasa banda (ej. FSK ortogonales) tienen la misma performance como las señales ortogonales pasa banda (ej. pulsos unipolares). 3.3 Interferencia intersímbolo

La figura 3.15a muestra los aspectos del filtrado de un típico sistema de comunicación digital. Hay varios filtros (elementos de circuitos reactivos tales como inductancias y capacitores) a lo largo del

sistema, esto es, en el transmisor, en el receptor y en el canal. En el transmisor, la información de símbolo, caracterizada como impulsos o niveles de voltaje, modula los pulsos que luego son filtrados para cumplir un cierto requerimiento de ancho de banda. Para sistemas de banda base, el canal (cable) tiene reactancias distribuidas que distorsionan los pulsos. Algunas sistemas pasa banda, tales como sistemas wireless, son caracterizados por canales con fading (capitulo 15), este comportamiento no deseado se manifiesta en la distorsión de la señal. Cuando el filtro receptor es configurado para compensar las distorsiones causadas por el medio de transmisión y el canal, es con frecuencia llamado filtro de ecualización o filtro de recepción/ecualización. La figura 3.15b muestra un modelo conveniente para el sistema, agrupando el efecto de todos los filtros en una solo sistema equivalente con la siguiente función de transferencia H ( f ) = H t  ( f ) H c ( f )H r  ( f )

(3.77)

donde H t ( f ) caracteriza el filtro del transmisor, H c ( f ) al filtro del canal y H r  ( f ) el filtro receptor/ecualizador. Las características de H ( f ) representan la composición de la función de transferencia del sistema debido a todos los filtros en las varias localizaciones a lo largo de la cadena transmisor/canal/receptor. En un sistema binario como una forma de onda PCM común, tal como un NRZ-L, el detector toma una decisión de un símbolo por comparación de la muestra del pulso recibido con un umbral; por ejemplo, el detector en la figura 3.15 decide que un uno binario fue enviado si el pulso recibido es positivo, y que un cero binario fue enviado, si el pulso recibido es negativo. Debido a los efectos de filtrado del sistema, los pulsos recibidos pueden solaparse unos con otros como se muestra en la figura 3.15b. La cola de un pulso puede “manchar” dentro del intervalo del símbolo adyacente, por esto interfiere en el proceso de detección y degradación de la performance de error, tal interferencia es llamada interferencia intersímbolo (ISI). Aun en la ausencia de ruido, el efecto de filtrado y distorsión introducida en el canal lleva a la aparición de ISI. Algunas veces H c ( f ) es especificado, y el problema es determinar H t ( f ) y H r  ( f ) , para que el ISI sea minimizado en salida de H r  ( f ) . Nyquist investigó el problema de especificar la forma del pulso recibido para que no ocurra ISI en el detector. Él demostró que el ancho de banda del sistema mínimo teórico necesario para lograr  detectar R s símbolos/s, sin ISI, es R s/2 Hertz. Esto ocurre cuando la función de transferencia del sistema H ( f ) es rectangular, como lo muestran figura 3.16a. Para sistemas de banda base, cuando H ( f ) es un filtro con ancho de banda único de 1 2T  ( el filtro de Nyquist ideal) , su respuesta al impulso, la inversa de la transformada de Fourier de H ( f ) es de la forma h(t) = sinc (t/T),

mostrada en la figura 3.16b. Este pulso con forma de sinc (t/T) es llamado pulso de Nyquist ideal ; sus múltiples lóbulos comprenden un lóbulo principal y lóbulos laterales llamados cola anterior y posterior del lóbulo principal que son de una longitud infinita. Nyquist estableció que si un pulso de una secuencia recibida es la forma sinc (t/T), los pulsos pueden ser detectados sin ISI. La figura 3.16b ilustra como el ISI es eliminado. Hay dos pulsos sucesivos, h(t) y h(t-T). Aunque h(t) tiene una largas colas, la figura muestra una cola pasando a través de un valor de amplitud cero en el instante (t = T) cuando h(t-T) es muestreada, de la misma manera todas las colas pasan a través de un valor de amplitud cero cuando cualquier otro pulso de la secuencia h(t-kT), k = ± 1, ± 2, ... es muestreado. Por esto, asumiendo que la temporización del muestreo es perfecta, no habrá degradación introducida por ISI. Para sistema de banda base, el ancho banda requerido para detectar  1 T  pulsos (símbolos) por segundo es igual a 1 2T  ; en otras palabras, un sistema con ancho de banda W  = 1 2T  = Rs 2 hertz puede soportar una razón de transmisión máxima de 2W  = 1 T  = Rs símbolos/s sin ISI. Por esto, para el filtrado de Nyquist ideal (y cero ISI), la máxima razón de transmisión de símbolos por segundo posible, llamada empaquetamiento de razón-símbolo, es 2 símbolos/s/Hz. Debería ser claro que de la función de transferencia de forma rectangular del filtro de Nyquist ideal y de la longitud infinita de sus correspondientes pulsos, que tales filtros ideales no son realizables; ellos solo pueden ser realizados en forma aproximada. Los nombres "filtro de Nyquist" y "pulso de Nyquist" son con frecuencia usados para describir la clase general de filtrado y forma de pulso que satisfacen la condición de cero ISI en los puntos de muestreo. Un filtro de Nyquist es aquel cuya función de transferencia de frecuencia puede ser  representada por la convulsión de una función rectangular con cualquier función par en la frecuencia. Un pulso de Nyquist es aquel que puede ser representado por una función sinc (t/T) multiplicada por otra función del tiempo. Debido esto hay un incontable número de filtros de Nyquist y sus correspondientes formas de pulso. Entre la clase de filtros de Nyquist, los más populares son los de coseno alzado y raíz cuadrada de coseno alzado, tratados abajo. Un parámetro fundamental para los sistemas de comunicación es la eficiencia del ancho de banda, R W  , cuyas unidades son bits/s/Hz. Como las unidades implican, R W  representan una medida del throughput de datos por hertz de ancho banda y por esto mide por el recientemente cualquier  técnica de señal utiliza el recurso del ancho de banda. Desde que el ancho de banda de Nyquist (constraint) dicta que el empaquetamiento razón símbolo máximo teórico sin ISI es 2 símbolos/s/Hz, podríamos preguntarnos que se dice acerca del número máximo de bist/s/Hz. No se dice nada acerca de bits, directamente; Nyquist trata solamente con pulsos o símbolos, y la habilidad para detectar sus valores de amplitudes sin distorsión de otros pulsos. Para encontrar  R W  para cualquier esquema de señales, uno debería conocer cuántos bits representa cada símbolo, lo cual es un problema separado. Considerar un set de señales PAM M-ario. Cada símbolo (que comprende k bits) está representado por una de las amplitudes de los M-pulsos. Para K = 6 bits por símbolo, el tamaño del set de símbolos es M = 2k = 64 amplitudes. Por esto con PAM 64-ario, la eficiencia de ancho de banda máxima teórica que es posible sin ISI es 12 bits/s/Hz. (La eficiencia del ancho de banda es tratado en mayor detalle en el capítulo 9). 3.3.1 Formato de pulsos para reducir ISI

3.3.1.1 objetivos y Trade-off 

Mientras más compacto hagamos el espectro de la señal, más grandes será la razón de datos que se puede transmitir o más grande es el número de usuarios que pueden ser atendidos simultáneamente. Esto tiene implicaciones importantes para los proveedores de servicios de comunicación, ya que la mayor utilización del ancho de banda disponible se traduce en mayores ganancias. Programa sobre los sistemas de comunicación (con excepción de sistema de spread spectrum), nuestro objetivo es

reducir el ancho de banda requerido por el sistema tanto como sea posible. Nyquist nos ha mostrado una limitación básica para la reducción del ancho de banda. Que pasaría si tratamos de forzar a nuestro sistema a operar a menores anchos de banda que el mínimo establecido por Nyquist? Los pulsos podrían expandirse en el tiempo, lo cual podría degradar la performance de error del sistema incrementando el ISI. Un objetivo prudente sería comprimir el ancho de banda de los impulsos de datos a algún ancho de banda razonablemente pequeño pero más grande que el ancho de banda mínimo de Nyquist. Esto se logra por el formato o conformación de los pulsos con un filtro de Nyquist. Si la transición del filtro se próxima al rectángulo en la figura 3.16a, entonces el espectro de señal puede hacerse más compacto. Sin embargo, un filtro tiene una respuesta al impulso de duración aproximadamente infinita, como se indica en la figura 3.16b. Cada pulsos se extiende dentro de muchos otros pulsos en la secuencia entera. Respuestas de larga duración exhiben colas de gran magnitud cerca del lóbulo principal de cada pulso. Tales colas son indeseables debido a, como se muestra en la figura 3.16b, que ellas contribuyen con ISI cero solamente cuando el muestreo es ejecutado a exactamente el tiempo de muestreo correcto; cuando las colas son largas, errores de temporización pequeños resultarán en ISI. Por esto, aún con espectro compacto provee una utilización óptima del ancho de banda, es muy susceptible a la degradación por ISI inducida por  errores de temporización. 3.3.1.2 filtro coseno alzado

Anteriormente fue establecido que el filtro receptor es frecuentemente referido como filtros ecualizador, cuando este es configurado para compensar la distorsión por el transmisor y el canal. En otras palabras, la configuración de este filtro es elegido para optimizar la función de transferencia de frecuencia del sistema compuesto H ( f ) , mostrado en la ecuación (3.77). Una función de transferencia frecuentemente usada H ( f ) perteneciente a la clase de Nyquist (cero ISI en los tiempos de muestreo) es llamado filtro coseno alzado. Que puede ser expresado como

   π   H ( f  ) =  cos 2  4    

1 f  + W  − 2W 0    W  − W 0  0

para f 

< 2W  − W 0

para 2W  − W 0 para f 

<

f 

< W 

> W 

Donde W es el ancho banda absoluto y Wo = 1 / 2T representa el mínimo ancho de banda de Nyquist para el espectro rectangular y los –6 dB de ancho de banda (o punto de amplitud media) para el espectro de coseno alzado. La diferencia W - Wo indica el ancho de banda en exceso, lo cual significa ancho banda adicional basada del mínimo de Nyquist (por ejemplo para un espectro rectangular, W es igual a Wo). El factor de roll-off es definido como r  = W  − W 0 W 0 , donde 0 ≤ r  ≤ 1 . Esto representa el exceso de ancho de banda dividido por el ancho de banda del filtro a – 6dB (el ancho de banda de exceso fraccional). Para un Wo dado, el roll-off r específica el ancho de banda de exceso requerido como una fracción de W o y caracteriza la pendiente del filtro. Las características de coseno alzado son mostradas en la figura 3.17 para valores de roll-off de r = 0, r = 0,5 y r = 1. Para r = 0 ese caso del mínimo ancho de banda de Nyquist. Notar que cuando r = 1 el ancho banda requerido en exceso es del 100%, y las colas son bastante pequeñas. Un sistema con tal característica espectral puede proveer una razón de símbolo de R s símbolos/s usando el ancho de banda de R s hertz (dos veces el ancho de banda mínimo de Nyquist), esto produce un empaquetamiento de razón de símbolo de 1 símbolo/s/Hz. La correspondiente respuesta al impulso para H ( f ) de la ecuación 3.78 es

h(t ) = 2.W 0 (sin c 2W 0 t )

cos[2π (W  − W 0 )t ] 1 − [4(W  − W 0 )t ]2

(3.79)

Y es dibujado en la figura 3.17b para r = 0, r = 0,5 y r = 1. Las colas tienen un valor de cero en cada tiempo de muestreo del pulso, sin importar el valor de roll-off. Sólo se puede implementar aproximadamente el filtro descrito por la ecuación 3.79, ya que, estrictamente hablando, el espectro coseno alzado no es físicamente realizable (por la misma razón que el filtro de Nyquist ideal es no realizable). Un filtro realizable debe tener una respuesta al impulso de duración finita y exhibir un valor de cero para tiempos anteriores a la excitación, las cuales no son características del caso de la familia de coseno alzado. Éstos filtros no realizables son no causales (la respuesta al impulso tiene duración infinita, y el pulsos dictado comienza en un tiempo t = - ). Un filtro conformado de pulso debería satisfacer los requerimientos. Debería proveer el roll-off deseado, y debería ser realizable (la respuesta al impulso necesita ser truncada a una longitud finita). Comenzando con el ancho de banda de Nyquist en el que el ancho de banda del sistema mínimo requerido es W para una razón de símbolo de R s símbolos/s sin ISI es R s / 2 hertz, una relación más general entre el ancho de banda requerido y de razón de transmisión de símbolo involucra el factor  de roll-off y puede ser establecido como ∞

W  =

1 (1 + r )Rs 2

(3.80)

Por esto, con r = 0, la ecuación 3.80 describe el mínimo ancho de banda requerido para el filtrado de Nyquist ideal. Para r > 0, hay una expansión del ancho de banda más allá del mínimo de Nyquist;

debido esto, para este caso, R s es ahora menos que dos veces el ancho de banda. Si el demodulador  saca una muestra por símbolo, entonces el teorema de Nyquist ha sido violado, ya que hemos dejado muy pocas muestras para reconstruir la forma de onda analógica sin ambigüedad (se produce aliasing). Sin embargo, para un sistema de comunicación digital, no nos interesa la reconstrucción de la forma de onda analógica. Ya que la familia de filtros coseno alzado se caracteriza por cero ISI en los tiempos en que los símbolos son muestreados, aún podemos lograr una detección sin ambigüedad. Las señales pasa banda-moduladas (ver capítulo 4), como ASK (amplitude shift keying) PSK ( phase shift keying), requieren dos veces el ancho de banda de transmisión que las señales equivalentes en banda base. Tales señales trasladadas en frecuencia, que ocupan dos veces el ancho de banda que ocuparían en banda base, son consecuencias llamadas señales de doble banda lateral (DSB double sideband). Por esto, para señales moduladas en ASK y PSK, la relación entre el ancho de banda requerido WDSB y la razón de transmisión de símbolo R s es W DSB

= (1 + r )Rs

Recordar que la función de transferencia en frecuencia del coseno alzado describe la H ( f ) compuesta que representa el viaje completo desde el comienzo del mensaje (como un impulso) en el transmisor, su paso por el canal, y el filtro del receptor. El filtrado en el receptor realiza la parte de compensación, de la función de transferencia global, para alcanzar cero ISI, como lo hace el coseno alzado. Con frecuencia se elige el filtro del transmisor y el filtro del receptor de forma tal que sean la raíz cuadrada del coseno alzado (SQRC). Siempre que un filtro ecualizador separado se introduce disminuir los efectos del ISI introducido por el canal, el filtro receptor y el filtro ecualizador debería ser configurados en forma conjunta para compensar la distorsión causada por el transmisor y el canal, y así producir una función de transferencia del sistema global caracterizada por cero ISI. Mientras más grande sea el factor de roll-off, más pequeñas en amplitud serán las colas de los pulsos. Las amplitudes más pequeñas de las colas implican menor sensibilidad a los errores de temporización y por esto reducen la degradación por ISI. Notar en la figura 3.17b, para r = 1, los errores de temporización puedan resultar aún en alguna degradación por ISI. Sin embargo, el problema no es tan serio como puede ser caso del cual r = 0, porque las colas de la forma de onda de h(t) son mucho más pequeñas en amplitud para r=1 que las para r = 0. El costo es mayor ancho de banda en exceso. Por otro lado, mientras más pequeño sea el valor de roll-off del filtro, menor  será el ancho de banda en exceso, esto nos permitirá incrementar la razón de señal (velocidad de transmisión) o bien el número de usuarios que pueden utilizar simultáneamente sistema. El costo son colas de los pulsos de mayor longitud y amplitud, y debido esto, mayor sensibilidad a los errores de temporización. 3.3.2 Dos tipos de degradación de la performance del error

Los efectos de la degradación en la performance del error en las comunicaciones digitales pueden ser separadas en dos categorías. La primera se refiere a la degradación en la potencia de la señal recibida o incremento la potencia del ruido interferente, produciendo una disminución en la relación señal a ruido o E b N 0 . El segundo tipo distorsión es causada por la interferencia intersímbolo (ISI). A continuación mostraremos cuan diferentes son los efectos de estos dos tipos de degradación. Suponemos que se requiere un sistema de comunicación con una probabilidad de error P B versus E b N 0 característica que se corresponde con la línea sólida dibujada en la figura 3.18a. Suponer  que el sistema después de ser configurado y medido no sigue la curva teórica, sino que sigue la curva de línea de puntos. Una pérdida en la relación E b N 0 viene dada por alguna pérdida en la señal o incremento en el nivel del ruido o interferencia. Para una probabilidad de error de bit

deseada de 10-5 , lo teóricamente requerido es 10 dB en la relación E b N 0 . Ya que la performance de nuestro sistema cae un poco de nuestro objetivo, podemos ver de la curva de línea de puntos que, para la misma probabilidad de error de 10 -5, la relación E b N 0 requerida es ahora de 12 dB. Sino hubiera forma de remediar este problema, que relación E b N 0 se debería tener para lograr cumplir  los requerimientos de la probabilidad de error de bit? La respuesta es 2 dB, por supuesto. Esto podría ser un problema serio, especialmente si el sistema es limitado en potencia, y hay dificultad en lograr los 2 dB adicionales. Sin embargo esta pérdida en la relación E b N 0 no es tan terrible cuando se compara con los posibles efectos de la degradación causada por un mecanismo de distorsión. En la figura 3.18b, imaginamos que nuevamente no se cumple con la performance deseada de la curva de línea sólida. Pero en cambio de sufrir una pérdida en la razón E b N 0 hay una degradación producida por ISI (dibujada con línea de puntos). Sino hubiera manera de remediar este problema cuanto más relación E b N 0 se requiere para alcanzar la probabilidad de error de bit deseada? Podría requerirse una cantidad infinita de E b N 0 , o en otras palabras, no haber una relación de E b N 0 que pudiera mejorar esta situación. Más E b N 0 no puede ayudarnos cuando la curva manifiesta una PB irreducible. Mayor  E b N 0 no puede ayudar al problema del ISI. Esto se pude veo observando el solapamiento de los pulsos en la figura 3.15b; si nosotros incrementamos E b N 0 el porcentaje de solapamiento no cambia. Los pulsos son sujetos a la misma distorsión. ¿cuál es la solución mas usual para los efectos de la degradación por ISI?. La solución se encuentra en la técnica llamada ecualización. Entonces los efectos de distorsión causados por ISI son debido a filtrado en el transmisor y en el canal; la ecualización puede ser capaz de revertir tales efectos de filtrado no optimo. Ejemplo 3.3 Requerimiento de Ancho de Banda:

(a) Calcular el mínimo requerimiento de ancho de banda para un canal en banda base de cuatro niveles de PAM con una tasa de R = 2400 bit seg  si la característica del canal es un coseno alzado con un exceso de ancho de banda del 100% ( r  = 1 ) M  = 2 k 

Rs

M  = 4

=

R k 

=

→

k  = 2

2400 = 1200 simbolos seg  2

El mínimo ancho de banda: W  =

1 1 (1 + r ) Rs = ( 2) 1200 = 1200 Hz  2 2

Al analizar el mismo caso pero con una propuesta de transmisión en banda pasante, la única diferencia es haber realizado un traslado en frecuencia. W  = (1 + r )Rs

= (2) 1200 = 2400 Hz 

Ejemplo 3.4 Circuito de Telefonía Digital:

Comparar el ancho de banda de canal telefónico analógico con uno digital. Para el canal telefónico analógico se asigna un ancho de bada de 3 KHz. En el caso digital la voz es formateada en PCM con un conversor que toma 8000 muestras por segundo y cada muestra es cuantificada en 256 niveles. La secuencia de bits es transmitida en PCM y recibida con cero ISI. Solución

El resultado de los proceso de muestreo y cuantización producen palabras PCM tal que cada palabra (representa una muestra) tiene uno de L=256 niveles diferentes. Si cada muestra fue enviada como un pulso PAM 256-ary, entonces de la ecuación 3.80 pódemos escribir que el ancho de banda requerido (sin ISI) para enviar R s símbolos/seg. sera: W  ≥

Rs

2

Hertz

donde el signo igual será cierto solo para el caso de filtros ideales de Nyquist. Como el sistema telefónico digital usa formas de ondas PCM (binario), cada palabra PCM es convertida a l=log 2

L=log 2 256=8 bits. Por lo tan

PCM es

W PCM 

≥

Rs

2

to el ancho de banda del sistema requerido para transmitir voz usando

= (Log 2 L )

Rs

2

= 12 (8

)

bit  simbolo (8000 simbolos ) = 32 KHz 

Los 3 KHz del canal de voz analógico generalmente requieren 4KHz de ancho de banda, incluyendo la banda de guarda. Por lo tanto el formato PCM, usando cuantizacion de 8 bits y señales binarias con formas de ondas PCM, requiere por lo menos 8 veces el ancho de banda de un sistema analógico. 3.3.3 Demodulación y detección de pulsos

3.3.3.1 Filtro acoplado versus filtro convencional 

Los filtro convencionales dejan afuera las componentes espectrales no deseadas de las señales recibidas mientras mantienen alguna medida de fidelidad para señales ocupando un selecto espacio del espectro, llamado banda pasante. Estos filtros son designados para proveer ganancia uniforme, una característica de frecuencia versus fase lineal sobre la banda de paso, y una atenuación mínima sobre el espectro sobrante llamado banda no pasante (stop-band). Un filtro acoplado tiene una diferente asignación de prioridad, maximiza la SNR de una señal conocida en presencia de AWGN. Los filtros convencionales son aplicados a señales aleatorias definidas solo por su ancho de banda, mientras que los filtros acoplados son aplicados a señales conocidas con parámetros aleatorios (tales como amplitud y tiempo de arribo). El filtro acoplado puede ser considerado como un patrón que es acoplado a la forma conocida de la señal durante el proceso. Un filtro convencional intenta preservar la estructura espectral de la señal de interés. En cambio un filtro acoplado modifica significativamente la estructura temporal por aumento de la energía de la señal acoplada a su patrón. En general, en un sistema de comunicación digital se utilizan los dos tipos de filtrado en el receptor, el convencional para proveer aislamiento y alta fidelidad y el acoplado para aumentar la energía a la señal recibida. 3.3.3.2 Pulso de Nyquist y raiz cuadrada del pulso de Nyquist 

Considere una secuencia de impulsos de datos a la entrada del transmisor comparada con la secuencia resultante de pulsos a la salida de un filtro acoplado coseno alzado. La figura 3.21 los datos transmitidos son representados por impulsos que ocurren en los tiempos τ0, τ1, ...... El filtrado ensancha la forma de onda de entrada y retarda las muestras en tiempo. Nosotros usamos la notación t0, t1, ....., para representar el tiempo en que se reciben las señales. El impulso que fue transmitido en el tiempo τ0 arribará al receptor en el tiempo t0, correspondiente al comienzo del pulso de salida. La cola anterior al lóbulo principal del pulso demodulado se refiere a su precursor. Para un sistema real con una referencia de tiempo fija en el sistema, la causalidad dice que t0≥τ0, y la diferencia en tiempo entre t0 y τ0 corresponde al retardo de propagación en el sistema. En este ejemplo el tiempo de duración desde que comienza la demodulación del pulso precursor, es decir en el momento en que aparece el lóbulo principal o la amplitud pico del pulso demodulado hay un retardo de 3T (duración de tres tiempos de pulso). Cada pulso de salida en la secuencia es superpuesto con otros pulsos; cada pulso tiene un efecto sobre el lóbulo principal de tres pulsos posteriores y tres anteriores. Cuando un pulso es filtrado, dado que este ocupa mas de un tiempo de símbolo, definiremos el tiempo de soporte del pulso como el numero total de intervalos de símbolos sobre el cual el pulso persiste. En la figura 3.21, el tiempo de soporte del pulso consiste de seis intervalos de símbolo.

La respuesta al impulso de un filtro raíz de coseno alzado, se muestra en la figura 3.22a (normalizada a un valor pico de la unidad, con un rolloff igual a 0.5)

La respuesta impulsional del filtro coseno alzado, llamado pulso Nyquist es mostrado en la figura 3.22b (con la misma normalización y rolloff). Inspeccionando estas dos figuras de pulso, vemos que ellas tienen una apariencia similar, pero la raíz cuadrada del pulso de Nyquist hace transiciones ligeramente mas rápido, por lo tanto su espectro (raíz del coseno alzado) entonces su espectro no decae tan rápidamente como el espectro del pulso de Nyquist (coseno alzado). Otra diferencia es que el pulso raíz cuadrada de Nyquist no tiene cero ISI (podemos verificar que la cola del pulso en la figura 3.22a no pasan por cero en los tiempos de muestra). Sin embargo si el filtro raíz coseno alzado se usa tanto en receptor como en el transmisor, el producto de estas funciones de transferencias dará el filtro coseno alzado, teniendo una salida de cero ISI. Es interesante ver como la raíz cuadrada del pulso de Nyquist aparece a la salida del transmisor y como el aparece después de la demodulación con un filtro acoplado de raíz de coseno alzado.

La figura 3.23a ilustra un ejemplo de una secuencia enviada de símbolos (+1 +1 –1 +3 +1 +3) de un set de 4-ary, donde los miembros del alfabeto del set son ( ±1, ±3). Considerar que la modulación del pulso es 4-ary PAM, y que los pulsos son realizados con un filtro raíz de coseno alzado, teniendo un rolloff de 0.5. La forma de onda analógica en esta figura representa la salida transmitida. Como la forma de onda a la salida de cualquier filtro es retrasada e el tiempo, entonces en la figura 2.23a, el símbolo de entrada se retarda la misma cantidad que la forma de onda de salida de forma de alinear la secuencia de mensaje con su correspondiente forma de onda filtrada.

Esto es una vicion conveniente de manera que el lector pueda compara la entrada del filtro con su salida. Esto es, por supuesto, solo la salida de la forma de onda analógica que es transmitida (o modulada) sobre un carrier.

La figura 3.23b muestra el mismo retardo de las muestras del mensaje superpuestas con las formas de onda de salida del filtro acoplado raiz de coseno alzado, produciendo una funcion de transferencia coseno alzado para todo el sistema.

Permítanos describir un simple test para determinar si la salida filtrada contiene ISI (asumiendo que no hay ruido). Esto es solo necesario para mostrar la forma de onda filtrada en los tiempos correspondientes de las muestras originales de entrada; si el valor de la muestra resultante no cambia con respecto a las del mensaje original, entonces a la salida del filtro no presenta ISI (en los tiempo de muestra). Cuando las figuras 3.23a y 3.23b se compara con respecto al ISI esta puede aparentar que la muestra de la forma de onda de la raíz cuadrada de Nyquist de la figura 3.23ª (salida del transmisor) no producirá las muestras originales exactas; sin embargo, las muestras de la forma de onda de Nyquist en la figura 3.23b (salida del MF) producirá las muestras originales

exactas. Esto confirma que el filtro de Nyquist produce cero ISI en los puntos de muestra, mientras que cualquier otro filtro no lo hace. 3.4 ecualización 3.4.1 Caracterización del canal

Muchos canales de comunicaciones (ejemplo:telefono, wireless) pueden ser caracterizados como filtros lineales limitados en banda con una respuesta al impulso hc(t) y una respuesta en frecuencia: H c ( f ) = H c ( f ) e jθ c ( f  )

(3.82)

donde hc(t) y Hc(f) son el par de transformada de Fourier, |Hc(f)| es la respuesta en amplitud del canal y θc(f) es la respuesta en fase del canal. En orden para conseguir características de transmisión ideal (sin distorsión) sobre un canal, esto se mostró en la sección 1.6.3, que con un ancho de banda W de la señal, |Hc(f)| debe ser constante. También θc(f) debe ser una función lineal de la frecuencia, lo cual es equivalente a decir que el retardo debe ser constante para todas las componentes espectrales de la señal. Si |H c(f)| no es constante con W, entonces el efecto es una distorsión en amplitud. Si θc(f) no es una función lineal de la frecuencia, con W, entonces el efecto es una distorsión en la fase. Para muchos canales que exhiben distorsión de este tipo, tales como canales atenuados, las distorsiones en amplitud y fase por lo general ocurren al mismo tiempo. Para una secuencia de pulsos transmitidos, tal distorsión se manifiesta como una dispersión o “smearing”, de modo que un pulso recibida de la secuencia recibida en el demodulador no esta bien definido. El solapamiento o smearing, conocido como ISI, descrito en la sección 3.3, surge en la mayoría de los sistemas de comunicación: es uno de los mayores obstáculos para realizar transmisiones de datos a alta velocidad en canales de banda limitada. En un sentido amplio, el nombre “ecualización” se refiere a un proceso de la señal o a una técnica de filtrado que es designada para eliminar o reducir  el ISI. En la figura 2.1, la ecualización esta particionada en dos categorías amplias. La primer categoría, estimación de la secuencia con máxima probabilidad  (MLSE), vincula las dimensiones de h c(t) y entonces provee recursos para ajustar el receptor al medio de transmisión. La meta de tales ajustes es para permitir al detector hacer buenas estimaciones de las secuencias demodulada de pulsos distorsionadas. Con un receptor MLSE, las muestras distorsionadas no son reformadas o compensadas directamente en un solo paso; por lo tanto, la técnica con la que mitiga el receptor  MLSE es la de ajustarse a si mismo en tal forma que pueda tratar mejor las muestras deformadas (un ejemplo de este método conocido como ecualización de Viterbi es tratado en la sección 15.7.1). la segunda categoría, ecualización con filtros, usan filtros para compensar los pulsos deformados. En esta segunda categoría, el detector es presentado con una secuencia de muestras demoduladas que el ecualizador modificara o limpiara de ISI. Una ecualización con filtros es la mas popular y la que se describe en esta sección, para permitir  desmembrarla mas adelante. Los filtros pueden ser descriptos como si ellos fueran dispositivos lineales que contienen solo elementos con realimentación forward (ecualizadores transversales), o como si ellos fueran dispositivos no lineales que contienen ambos elementos de realimentación forward (hacia adelante) y back (hacia atrás) (ecualizadores de decisión feedback). Ellos pueden ser  agrupados de acuerdo a la naturaleza automática de sus operaciones, las cuales pueden ser  preset o adaptive. Ellos también pueden ser agrupados de acuerdo a la resolución del filtro o velocidad de actualización. ¿Sólo se proporcionan las muestras predetectadas en el limite del símbolo, es decir, una muestra por el símbolo? Si, la condición es conocida como symbol spaced. ¿Son provistas las muestras múltiples por cada símbolo? Si, esta condición es conocida como fractionally spaced.

Ahora modificamos la ecuación (3.77) para permitir al filtro receptor/ecualizador ser reemplazado por un filtro receptor y un filtro ecualizador por separado, definidos por H r (f) y He(f) como sus funciones de transferencia respectivamente. Llamaremos a la función de transferencia total como H(f) la cual pertenece a un filtro coseno alzado, designado como H RC(f). De esta forma escribiremos: H RC ( f  ) = H t ( f  )H c ( f  )H r  ( f  )H e ( f  )

(3.83)

H RC ( f ) = Transferencia coseno alzado (Raised Cosine)

En sistemas prácticos, la función de transferencia de canal Hc(f) y su respuesta al impulso h c(t) no son conocidas con suficiente precisión para permitir al receptor poder designar cero ISI en todo tiempo. Usualmente, los filtros transmisor y receptor son elegidos para que estén acoplados, de forma que: HRC(f) = Ht(f) Hr (f)

(3.84)

En esta forma, Ht(f) y Hr (f) tienen funciones de transferencia que son la raíz cuadrada del coseno alzado. Entonces la función de transferencia del ecualizador necesaria para compensar la distorsión introducida por el canal es simplemente la inversa de la función de transferencia del canal: H e ( f  ) =

1 1 e − jθ  ( f  ) = H c ( f  ) H c ( f  ) c

(3.85)

Algunas veces se elige en forma intencional una función de transferencia del sistema que manifiesta ISI en los puntos de muestra. El motivo de esto es para mejorar la eficiencia del ancho de banda, comparada con el uso de un filtro coseno alzado. Cuando tal designación se hace, la función del filtro de ecualización no es solo para compensar el ISI introducido por el canal sino que también para compensar el ISI de los filtros del transmisor y receptor. 3.4.2 Patrón de Ojo

Un patrón de ojo es la imagen que resulta de mediciones de la respuesta de un sistema para señales de banda base en una determinada forma. En la placa vertical de un osciloscopio conectamos la respuesta del receptor para una secuencia aleatoria de pulsos. Sobre la placa horizontal conectamos una onda diente de sierra a la frecuencia de la señal. En otras palabras, la base de tiempo horizontal del osciloscopio es seteada igual que la duración de un símbolo (pulso). Este set de formas de ondas superpuestas dentro de cada intervalo de señal se traduce en una familia de trazas en un intervalo (0, T). La figura 3.24 muestra un patrón de ojo que resulta de una señal binaria antipodal (pulso bipolar). Debido a que los símbolos de una fuente aleatoria son algunas veces positivo y otros negativos, y la persistencia de lo mostrado por el tubo de rayos catódicos nos permite ver el patrón resultante como un ojo. El ancho de la apertura indica el tiempo sobre el cual la muestra es detectada para ser graficada. Por supuesto, el optimo tiempo de muestreo corresponde a la máxima apertura de ojo, produciendo la mayor protección contra el ruido. Si el sistema no fue filtrado (el ancho de banda correspondiente a la transmisión de estos pulsos de datos es infinito) entonces la respuesta del sistema deberá producir un pulso de rectángulo ideal. En este caso el patrón de ojo tiende a la forma de una caja. En la figura 3.24, el rango de diferencia de amplitudes llamado DA es una medida de la distorsión causada por ISI, y el rango de las diferencias de tiempo de los cruces por cero llamado J T, es una medida del Timing Jitter. La

medida del margen de ruido M N y el error de sensibilidad del Timing S T también son mostrados en la figura. En general, el uso mas frecuente del patrón de ojo es para medir cualitativamente la extensión del ISI. Con el ojo cerrado el ISI es incrementado; con el ojo cerrado el ISI es decrementado.

3.4.3 Tipos de filtros de ecualización

3.4.3.1 Ecualización transversal 

Una secuencia usada para ecualizar es con frecuencia elegida para ser una secuencia de ruido, rica en contenido espectral, la cual es necesaria para estimar la respuesta en frecuencia del canal. En sentido simple, el entrenamiento puede consistir en enviar un simple pulso angosto (aproximadamente un impulso ideal) y por consiguiente saber la respuesta al impulso del canal. En la practica , una señal de pseudo ruido (PN) es preferida en vez de una señal de pulso para la secuencia entrenada dado que la señal PN tiene una potencia promedio grande y una SNR grande para la misma potencia pico transmitida. Para describir el filtro transversal, considerar que una señal de pulso a sido transmitida sobre un sistema designado que tiene una función de transferencia coseno alzado H RC ( f  ) = H t ( f  )H r  ( f  ) . Considerar también que el canal induce ISI, así que el receptor demodula el pulso distorsionado, como muestra la figura 3.25, tal que los lóbulos laterales del pulso no pasan por cero en los tiempos de muestra adyacentes al lóbulo principal. La distorsión puede ser vista como repeticiones positivas y negativas que ocurren antes y después del lóbulo principal. Para lograr la deseada función de transferencia coseno alzada, el filtro ecualizador deberá tener una respuesta en frecuencia H e(f), como se muestra en la ecuación (3.85), tal que la respuesta del canal actual multiplicada por  H e(f) produzca H RC (f). En otras palabras, el filtro ecualizador  podría generar un set de cancelaciones de eco. Dado que estamos interesados en ecualizar las muestras de la forma de onda en solo unos pocos tiempos de muestras predeterminados, la designación de un filtro ecualizador puede ser una tarea sencilla.

El filtro transversal, descrito en la figura 3.26, es el mas popular por ser un filtro ecualizador  fácilmente ajustable el cual consiste de un retardo lineal de T segundos por taps (donde T es la duración del símbolos). En un ecualizador, los valore actuales y pasados de una señal recibida son linealmente afectados por los coeficientes del ecualizador { cn} y son sumados para producir la salida. La contribución principal esta dada por el tap central, con la contribución de eco de los otros taps de la señal principal en cada intervalo de símbolo sobre cambos lados de la señal principal. Es posible para el filtro tener un numero infinito de taps, entonces los pesos de los tap pueden ser  elegidos para forzar la respuesta al impulso del sistema a ser cero para todos los tiempos de muestras excepto una, de esta manera hacemos corresponder a H e(f) a la inversa de la función de transferencia del canal en la ecuación (3.85). Dado que una longitud infinita del filtro no es realizable, uno puede aun especificar prácticamente a un filtro que se aproxime al caso ideal. En la figura 3.26, la salida de los pesos de los taps son amplificados, sumados y llevados al dispositivo de decisión. Los pesos de los tap { cn} necesitan ser elegidos para sustraer los efectos de interferencias de los símbolos adyacentes en el tiempo del símbolo deseado. Considerar que hay (2N+1) taps con pesos c-N , c–N+1, ..........., cN . Las salidas muestreadas {z(k)} del ecualizador son entonces halladas por la convolución de las entradas muestreadas {x(k)} con los pesos de los taps {c(k)} como sigue: z (k ) =

N 

∑ x(k − n )c

n

k  = −2 N ,.........,2 N 

n = − N ,....., N 

(3.86)

n =− N 

donde k =0, ±1, ±2,...... es un índice de tiempo mostrado entre paréntesis. (el tiempo se puede tomar  sobre algún intervalo de valores). El subíndice n se usa de dos maneras- como un tiempo offset, y como un identificador de los coeficientes del filtro (el cual es agregado al filtro).

Definimos los vector z y c y la matriz x como:

 z (− 2 N  )      z  =  z (0 )        z (2 N  ) 

 c − N         c = c0        c N  

(3.87)

y

0 0  x(− N ) x(− N + 1) x(− N ) 0     x =  x( N ) x( N − 1) x( N − 2)    0 0  0  0 0 0

      

0

0

        x(− N + 1) x(− N )     x( N ) x( N − 1) 0 x( N ) 

(3.88)

Podemos describir la relación entre z(k), x(k) y cn en una forma mas compacta: z = x. c

(3.89a)

Y siempre y cuando la matriz x sea cuadrada, con sus columnas y filas de la misma dimensión con un numero de elementos en c, podemos encontrar c de la siguiente manera: c

= x −1 .z

(3.89b)

Adviértanse que el tamaño del vector z y el numero de filas en la matriz x deben ser elegidos para algún valor, de manera de poder interesarnos en el ISI de los puntos muestreados para removerlo desde el lóbulo principal del pulso en cuestión. En las ecuaciones 3.86 a la 3.88, el índice k fue arbitrariamente elegido para permitir 4N+1 puntos de muestras. Los vectores z y c tienen dimensiones 4N+1 y 2N+1 respectivamente, y la matriz x es no cuadrada con dimensiones 4N+1 por 2N+1. Tales las ecuaciones son referidas para un set ya determinado (ejemplo hay mucho mas ecuaciones desconocidas). Uno podría resolver un problema en un camino deterministico conociendo la solución forzada a cero, o en un camino estadística conociendo el mínimo error  cuadrático medio. La solución comienza por la disposición de N columnas hacia arriba y N hacia abajo de la matriz x en la ecuación 3.88, así transformar a x en una matriz cuadrada de 2N+1 por 2N+1, transformando a z en un vector de dimensiones 2N+1 y produciendo en la ecuación 3.89a, un set deterministico de 2N+1 de ecuaciones simultaneas. La solución forzada a cero minimiza la distorsión pico del ISI por selección de los pesos c n de manera que la salida del Solución forzada a cero.

ecualizador sea forzada a cero en los puntos de muestras N a cada lado del pulso. En otras palabras, los pesos son elegidos para que:

1  z (k ) =  0 

para k = 0

(3.90) para k = ±1,±2,±3,.......,±N ,

La ecuación 3.89 es usada para resolver las 2N+1 ecuaciones simultaneas por el set de 2N+1 pesos (cn). La longitud requerida del filtro (números de tap) es una función de cuanta interferencia puede introducir el canal. Para un ecualizador con una longitud infinita, la distorsión pico esta garantizada para ser minimizada solo si el patrón de ojo esta inicialmente abierto. Sin embargo, para velocidades de transmisión altas y canales que introducen mucho ISI, el patrón de ojo esta cerrado después de la ecualización. Como el forzado a cero que produce el ecualizador deja de lado el efecto del ruido, esta no es la mejor solución. Ejemplo 3.5

Un ecualizador forzado a cero de 3-taps.

Se supone en la etapa de ajuste se transmite un pulso simple y se utilizan tres retardadores (tap). La distorsión es la mostrada en la figura:

Fig. 3.25 De modo que los errores son 0.0 , 0.2 , 0.9 , -0.3 , 0.1 , se debe buscar los coeficientes de modo que los errores se anulen. Las muestras ecualizadas serán:

{z (− 1) = 0

z (0) = 1 z (1) = 0}

z = x.c 0  x(0) x(− 1) x(− 2) c−1   0.9 0.2 0  c−1  1 =  x(1) x(0) x(− 1)   c  = − 0.3 0.9 0.2  c      0    0  0  x(2) x(1) x(0)   c1   0.1 − 0.3 0.9  c1 

Resolviendo: c−1  − 0.2140  c  =  0.9631   0    c1   0.3448 

Los valores ecualizados del pulso corresponde a k  = −3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 Y usando la ecuación z = x.c que da: 0.0000, -0.0428, 0.0000, 1.0000, 0.0000, -0.0071, 0.0345 La mayor contribución al ISI es 0.0428 que puede ser reducido utilizando mayor número de retardadores. La suma de todas las magnitudes de ISI es 0.0844. Un ecualizador mas robusto es obtenido si los pesos de los c n taps se eligen para minimizar el error cuadrático medio (MSE) de todos los términos de ISI que suman potencia de ruido a las salidas del ecualizador. El MSE se define como los valores esperados de la diferencia cuadrática entre el símbolo deseado y el símbolo estimado. Podemos usar el set de ecuaciones pre-determinadas para obtener una solución MSE por multiplicar ambos lados de la ecuación 3.89a por xT, la cual producirá: Solución de mínimo MSE.

xTz

= x T xc

R xz  = R xx c

(3.91a) (3.91b)

donde de R xz es llamada vector de correlación cruzada y R xx es llamada matriz de auto correlación de la señal y ruido a la entrada. En la practica R xz y R xx son desconocidas a priori, pero pueden ser  aproximadas por la transmisión de un señal de prueba sobre el canal y usando las estimaciones de los tiempos promedios para resolver los pesos de los taps de la ecuación (3.91), como sigue: c = R −xx1 R xz

(3.92)

En el caso de soluciones deterministicas forzadas a cero, la matriz x debe ser cuadrada. Pero para lograr la solución mínima MSE (estadística) uno comienza con un set de ecuaciones predeterminadas y un matriz x no cuadrada, la cual transformamos a una matriz de auto correlación cuadrada R xx, produciendo un set de 2N+1 ecuaciones simultaneas, las cuales conducen a la obtención de los pesos que minimizan los MSE. El tamaño del vector  c y el numero de columnas de la matriz x corresponden al numero de taps en el filtro ecualizador. Los MODEM de líneas telefónicas de muy alta velocidad utilizan el criterio de los pesos de MSE, debido a que este es superior al criterio de la solución forzada a cero; el MSE es mas robusto ante la presencia de ruido y grandes ISI. Ejemplo 3.6 Un ecualizador con criterio de mínimo MSE 7-tap

Se supone haber recibido un set de pulsos distorsionados {x(k)} cuyas muestras son: 0.0108, -0.0558, 0.1617, 1.0000, -0.1749, 0.0227, 0.0110 Los instantes de muestra son:

{k  = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6} cual es la muestra de mayor magnitud que contribuye con ISI y cual es la suma de todas las magnitudes con ISI.

Para siete retardadores (N=3) se puede formar la matriz x de la ecuación 3.88 con dimensiones 4N+1 por 2N+1 igual a 13x7:

Calculando la auto correlación y la correlación cruzada definidas en la ecuación 3.91, se pueden computar los pesos buscados que son: -0.0116, 0.0108, 0.1659, 0.9495, -0.1318, 0.0670, -0.0269 Usando estos pesos en la ecuación 3.89 podemos calcular para las 13 muestras ecualizadas z(k) en los tiempos k=-6, -5, ........, 5, 6. De modo que las muestras ecualizadas serán: 0.0001, -0.0001, 0.0041, 0.0007, 0.0000, -0.0000, 1.0000, 0.0003,- 0.0007, 0.0015, -0.0095, 0.0022, -0.0003 Donde la mayor contribución al ISI es 0.0095 y la suma de todas las magnitudes es igual a 0.0195. 3.4.3.2 Ecualizador de Decisión Feedback 

La limitación básica de un ecualizador lineal, tal como el filtro transversal, es su baja performance sobre canales que tienen un espectro nulo [11]. Tales canales se encuentran frecuentemente en aplicaciones de radio móvil. Un ecualizador con decisión feedback (DFE) es un ecualizador no lineal que usa decisiones previas en el detector para eliminar el ISI de los pulsos que son demodulados. El ISI removido fue causado por la cola de los pulsos previos; en efecto la distorsión sobre un pulso que fue causado sobre un pulso previo es eliminada. La figura 3.27 muestra un diagrama en bloques simplificado de un DFE donde el filtro forward y un filtro feedback pueden hacer el filtro lineal, tal como el filtro transversal. La figura también ilustra como los pesos del filtro son actualizados adaptivamente. La no linealidad del DFE proviene de las características no lineales del detector que provee las entradas al filtro feedback. La idea básica de un DFE es que si el valor del símbolo previamente detectado son conocidos (las decisiones pasadas se asumen correctas), entonces la contribución del ISI por estos símbolos puede ser eliminadas a la salida del filtro forward por medio de la resta del símbolo pasado con apropiado peso. Los pesos tap de forward y feedback pueden ser ajustados simultáneamente para cumplir un criterio tal que minimice la MSE.

Cuando solamente un filtro forward es usado, la salida del filtro contiene contribución de ruido del canal de cada muestra en el filtro. La ventaja de una implementación DFE es que el filtro feedback, el cual trabaja para remover el ISI, opera sobre niveles de cuantizacion sin ruido, y entonces su salida es libre de ruido del canal. 3.4.4 ecualización preset y adaptiva.

En canales cuyas respuestas en frecuencia son conocidos y la invarianza en el tiempo, las características de los canales pueden ser medidos y los pesos de los taps del filtro ajustados acordadamente. Si los pesos permaneces fijos durante la transmisión de los datos, la ecualización se llama “ecualización preset”; un método muy simple de esta ecualización consiste del seteo de los pesos de los tap cn acordando algún promedio conocido del canal. Este fue usado para transmisión de datos sobre líneas telefónicas óbice-grade a menos que 2400 bit/s. Otro método preset consiste en la transmisión de una secuencia generada localmente. La diferencia entre las dos secuencias se usan en el set c n. El aspecto relevante de este tipo de ecualización es que esto se hace una vez en el comienzo de la transición o de vez en cuando (cuando la transmisión es irregular y necesita ser reestablecida). Otro tipo de ecualización , capaz de seguir las variaciones en el tiempo de una respuesta de canal, es conocido como ecualización adaptiva. Esta se puede implementar para realizar los pesos de los taps ajustándolos periódicamente o continuamente. Los ajustes periódicos se hacen por la transmisión periódica de un preámbulo o una secuencia corta de datos digítales que son conocidos de antemano por el receptor. El receptor también utiliza el preámbulo para detectar el comienzo de la transmisión, para setear el nivel del AGC; y alinear los clock internos y osciladores locales con la señal recibida. Los continuos ajustes son hechos para reemplazar la secuencia conocida con una secuencia de símbolos de datos estimados desde la salida del ecualizador y tratados como datos conocidos. Cuando lo realizamos continuamente y automáticamente, el procesó adaptivo (el mas popular) se refiere a una “decisión directa”, no se la debe confundir con la decisión feedback  (DFE). La decisión directa solo es direccionada para ajustar los pesos de los tap del filtro. Esto se hace con la ayuda de una señal desde el detector. El DFE, sin embargo, se refiere a la existencia de un filtro adicional que opera en la salida del detector y retroalimenta recursivamente una señal a la entrada del detector. También, con el DFE hay dos filtros, uno feed-forward y otro feedback que procesa el dato y ayuda a tratar el ISI.

Una desventaja del ecualizador preset es que este requiere de un periodo de prueba inicial que debe ser invocado al comienzo de cualquier nueva transmisión. También un canal de tiempo variable puede degradar la performance del sistema debido al ISI, dado que los pesos de los tap son fijos. Un ecualizador adaptivo, particularmente hace una ecualización adptiva con decisión directa, tratando con éxito la cancelación del ISI cuando la PB debido al error excede el uno por ciento (regla de thumb). Si la probabilidad de error excede el uno por ciento, el ecualizador de decisión directa no puede converger. Una solución común a este problema, es inicializar al ecualizador con un proceso alternativo, tal como un preámbulo para proveer una buena performance de error en el canal y entonces intercambiar al modo de decisión directa. Para evitar el overhead producido por este preámbulo, muchos sistemas designados para operar en un continuo modo broascast usan algoritmos de ecualizacion blind  para formar estimaciones iniciales del canal. Estos algoritmos ajustan los coeficientes del filtro en respuestas a las muestras estadísticas en lugar de respuestas a decisiones de muestras. Los ecualizadores automáticos usan técnicas iterativas para estimar los óptimos coeficientes. Simultáneamente la ecuación descripta en la 3.89 no incluye los efectos de ruido del canal. Para obtener una solución estable para los pesos del filtro, es necesario que los datos sea promediados para obtener una señal estadística estable, o la solución ruidosa obtenida de los datos ruidosos debido al promediado. Consideraciones de algoritmos complejos y mayores estabilidades numéricas llevan mas frecuentemente a soluciones que promedian el ruido. El mas robusto de esta clase de algoritmos es el least-mean-square (LMS). Cada iteración de estos algoritmos usan estimaciones ruidosas del gradiente del error para ajustar los pesos en la dirección de reducir el promedio del error cuadrático medio. El gradiente del ruido es simplemente el producto e(k) r x de un error  escalar e(k) y el vector de dato r x. El vector r x es el vector de muestras del canal corrompido con ruido residiendo en el filtro ecualizador en los tiempos k. Antes, un impulso fue transmitido y el filtro ecualizador opera sobre una secuencias de muestra (un vector) que representa una respuesta al impulso del canal. Visualizamos estas muestras recibidas (en forma de tiempo desplazado) como la matriz x. Considerar que el dato es enviado y de esta manera el vector de muestras recibidas r x a la entrada del filtro (Figura 3.27) representa la respuesta al dato del canal. El error esta formado de la diferencia entre la señal deseada a la salida y la señal a la salida del filtro, dada por:

ˆ(k ) e(k ) = z (k ) − z 

(3.93)

ˆ(k ) que es una estimación de donde z(k) es la señal deseada a la salida (una muestra libre de ISI) y z  z(k) en los tiempos k a la salida del filtro (en el ecualizador de la figura 3.27), la cual se obtiene como sigue:

ˆ (k ) z 

=c

T 

r x

=

N 

∑

x (k  − n)cn

(3.94)

n = − N 

En la ecuación (3.94), la sumatoria representa una convolución de las muestras de los datos de entrada con los pesos de los taps {cn}, donde cn se refiere a los pesos de los tap nth en los tiempos, y cT es la respuesta del vector de los pesos en los tiempos k. Seguidamente se muestra el proceso iterativo que actualiza el set de los pesos en cada tiempo k como: c(k + 1) = c( K ) + ∆e(k )r x

(3.95) donde c(k) es el vector de los pesos del filtro en los tiempos k, y ∆ es un termino pequeño que limita el tamaño del paso de los coeficientes y además controla la velocidad de convergencia del algoritmo así como la varianza de la solución estable. Esta simple relación es una consecuencia del principio de ortogonalidad, que dice que el error formado por una solución optima es ortogonal al dato procesado. Como este es un algoritmo recursivo (en los pesos), se debe tener cuidado para asegurar 

la estabilidad del algoritmo. La estabilidad se asegura si el parámetro ∆ es mas pequeño que la reciproca de la energía del dato en el filtro. Cuando es estable, este algoritmo converge en la media para la solución optima pero posee una varianza proporcional al parámetro ∆. Así, mientras necesitamos la convergencia del parámetro ∆ para aumentar la velocidad de convergencia pero no tanto como para desestabilizarlo, también necesitamos que este sea lo bastante pequeño como para que la varianza sea chica. El parámetro ∆ es usualmente seteado como una cantidad fija y chica para obtener una solución de los pesos con baja varianza y a su vez estable. Existen esquemas que permite un ∆ que cambia de valores grandes durante la adquisición inicial, a valores mas pequeños para la solución estable. Notar que la ecuación (3.93) a través de la (3.95) se muestran en el contexto de señales reales. Cuando el receptor es implementado en cuadratura, tal que las señales aparezcan como pares ordenados, parte real y parte imaginaria ( o en fase y cuadratura), entonces cada línea en la figura 3.27 consistirán de dos líneas, y la ecuación (3.93) a través de la (3.95) necesitaran ser expresadas con notación compleja. (esta implementación en cuadratura se mostrara con mas detalle en las secciones 4.2.1 y 4.6). 3.4.5 Velocidad de Adaptación de los Filtro

Los filtros ecualizadores son clasificados por la tasa a la cual la señal de entrada es muestreada. Un filtro transversal con taps espaciados cada T segundos, donde T es el tiempo de duración del símbolo, es llamado ecualizador de símbolo espaciado. El proceso de muestrear la salida del ecualizador a la tasa 1/T causa aliasing si la señal no es estrictamente limitada en banda a 1/T hertz. La versión con aliasing de la señal puede exhibir espectro nulo [8]. Un filtro update que es mayor  que la tasa de símbolo ayuda a mitigar esta dificultad. Los ecualizadores que usan esta técnica son llamados ecualizadores fractionally-spaced. Con un ecualizador de este tipo. Los taps del filtro son espaciados a : T /

≤

T 

(1 + r )

(3.96)

Donde r denota el exceso de ancho de banda. En otras palabras, el ancho de banda de la señal recibida es: W  ≤

(1 + r ) T 

(3.97)

El objetivo es escoger T´ de modo que la función de transferencia del ecualizador Hc(f) quede lo suficientemente amplia como para que entre todo el espectro de la señal. Note que la señal a la salida del ecualizador es muestreada a una razón 1/T, pero como los pesos de los taps del ecualizador están espaciados T´ segundos (la señal de entrada del ecualizador esta muestreada a una razón de 1/T´), la acción de la ecualización opera sobre la señal recibida antes que estas componentes de frecuencia sean corrompidas con aliasing. CONCLUSION 

En este capitulo describimos la detección de señales binarias con el agregado de ruido Gaussiano en términos de dos pasos básicos. En el primer paso la forma de onda recibida es reducida a un simple numero z(T) y en el segundo paso se hace la decisión de cual señal fue transmitida, sobre la base de