PROBLEMAS CON CERILLOS
OBJETIVOS:
MJlTEIIIJlTlCA RECREATIfIA
41
SITU/lf;.ONES CON P/lLITOS DE FOSFORO
• Propiciar la creatividad de los alumnos a partir de la resolución de problemas con fosforos O cerillas, facilitando el manejo de estrategias para aprender a pensar . e Desarrollar tu destreza visual, empleando para ello imaginacion e ingenio.
Esta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforo o cerillas. Las situaciones problemáticas se dividen en dos Iipos de análisis:
IJVl'R.tlOlT(X"ON:
EJEMPLOS GEOMÉTRICOS;
Al observar nuestro mundo podemos darnos cuenta que matemática hay en todo lo que vivimos, comenzando por e l día de nuestro nacimiento que involucra fecha, lugar en el planeta, época, situación geográfica, elc. y a medida que vamos tomando conciencia en nuestra infancia empezando a hacer cuentas, a guardar recuerdos, a contar juguetes lo cual indica que los números están siempre en nuestra mente y hay necesidad de enseñar al niño a disfrutar del número en todas sus formas. Pero a cambio de esto, en la mayoria de los casos los presentamos de una forma rígida y aúñ sin entrar a la escuela ellos comienzan a temerle por referencia de los mayores. Todo esto ocurre porque nos falta como docentes vivir la matemática para acompañar a los estudiantes a vivenciarla y disfrutarla en todo momento y. en todas sus actividades. Vivir la matemática quiere decir hacerla activa, parlicipativa, disfrutarla, tomarla como algo propio. Otra de las ca/egorías habi/uales en los acertijos ·matemalicos es la de las figuras (ormadas por palillos o cerillas en las que hay que añadir o quilar algullo de esos elemen/os ~on el fin de conseguir olro lipo de figura. Hemos seleccionado dos (en realidad son cualrO pues el primero de ellos es un IIpack» de tres acertijos, a cuál más exigente), en los que con lotal probabilidad tendrás que echar mano de loda tu imaginación.
-==-=-
==-.1
Tres cuadrados de diferente lamajio. Si se retiran 10$ ('erillos 1 y 2. no se formarán cl¡adrados.
11 U..-J
Doce cC',.illol< f0,.",a" un cubo que cuenta ~~==rI/fC ca" seis caras cuadrfldas
Ocho cerillos que
forman un pez con dirección a
la dereclu:l..
EJEMPL04 CON OPERACIONES JlRITMETICAS
La operación 4><8+3=35 usando cerillos sería
yXB+j=j5 Moviendo un cerillo podemos obtener
Ljxg+j=jg
~
IIAII/l/DAD ltlC/CA MATEMATlCA 2012
lo cual también es correcto, pues 4K9+3=39
EDICIONES RUBllÍIoS
: .KEClJEBDll : Estimado alumno para el análisis de las situaciones anteriormente descritas debes de tener en cuenta las siguientes consideraciones:
Un ejemplo en números romanos sena
\/1\7-11 "(./4 = 2) Las condiciones para resolver problemas que involucren palitos de fósforo son:
• En las figuras conformadas por cerillas no es
1) Los palitos de fósforo no se pueden ROMPER
valido dejar palitos libres (cabos sueltos).
niDOBLAR.
* Uno de los casos particulares
•
No es válido doblar o romper los palitos.
de los problemas con cerillos son los referentes a los números romanos; para ello consideremos:
2=11...11
V lO=X ... X
3=Ill"'lll
50=1....
1=1 ...
11) No pueden quedar cabos sueltos. ; es decir, es incorrecto dejar una figura de la siguiente manera: ____ _
r r r
Palito libre
r
~
-
-
~lito
libre o
cabo suelto
CORRECTO
6=V ...
~ ~
INCORRECTO
lOO=C ... [ lOOO=M ..
M
L
Según la norma de escritura de números romanos grandes, considere que: 99=IC. ... iillcorrecto! 99=XCIX.... icorrecto!
por ejemplo, si nos piden formar tres cuadrados cOn 12 palitos de fósforo "..
cFb
1
999=IM.... iillcorrecto! 99 =CMXCIX.... iincorrectol
Consideremos las siguientes operaciones'
+=+/=~=-=
X=x v="'
OBSERVACIONES:
* En problemas sobre cerillos, debemos considerar que: , , , , =lO ó
=X
Según sea más conveniente para la solución del problema . • A pesar de que las soluciones de los problemas sobre los cerillos requieren de mucha creatividad estas no deben Ir en contra de las reglas de fonnaclOn de los números romanos.
Por ejemplo:
C
J
Agrega dos fósforos para
obtener quince
f==-O
I:)=-'
Mueve cuatro palitos de fósforo para poder obtener tres cuadrados
=99 ................................. (error)
xc X ~
=99.................... ( ...rreclo)
=1998.•••••.•••••••••• (error)
CMXCVI i =199R .............. (rorrecto)
MATEMATICA RECREATII/A
PROBLEMAS CON CERILLOS
'-== ~= l -
PROBLEMA' : ¿Cuál es el máximo número de CUddrados que se puede formar con 12 cerillos iguales, si la longitud del lado de los cuadrados debe ser la de un cerillo? N7 WB G5 m6 ID4
RESOLUCI6N : Se forma un cubo:
E L1=r 1 -«-==~~= ~
E)6
RESOLUCION: Para lograr que no se formen los 6 cuadrados simples, quitaremos los tres cerillos horizontales interiores y el cerillo central de la tercera fila de cerillos horizontales para evitar que se forme alguno de los 2 cuadrados compuestos.
LI~
Se forma 6 cuadrados iguales.
RPTA : UD" PROBLEMA 2 : ¿Cuántos cuadrados, cuyo lado sea un cerillo, se puede formar como máximo con 1S cerillos? .1) 10
B) 6
C) 7
D) B
E) 9
RESOLUCI6N : Par~ conseguir la mayor cantidad de cuadrados formaremos un cubo cuya longitud de arista sea igual a un cerillo. Con lo,; otro,; 3
ce"illos /,or",amo.<; IIn ,
e
,-vatlrado llltu rAe
"
~
Por lo tanto, se deben retirar como mínimo 4 cerillos.
PROBLEMA" : ¿Cuántos cerillos se debe retirar, como mínimo, para que no se observe ningún triángulo?
~
A) 3
B)4 C)5
D)6 E) 7
RESOLUCI6N : Si retiramos los cerillos desde el borde y en forma alternada aún nos quedan triángulos en el interior. Por eso retiramos del interior de la figura de la siguiente manera.
'--....._ -.... Y'~-_.J
1;',
Aqul 111' han utilizado 12 cerillo!t y formamos 6 cuadrados =:)
~-"~'j\ ~¡' N~ ~
Total de cuadrados: 6 + 1 ='7
RPTA : 61C" PROBLEMA 3
I
En el siguiente gráfico, ¿cuántos cerillos se deben retirar ,como mínimo, para que no quede algún cuadrado?
~;;~!::~~o:~~,,~ ~-41Y
,.
'1." -
~~, ~. ~
c::> ~ ¡.
Por lo tanto retiramos como mínimo 4 cerillos. RPTA : lIS"
HIISII./IIIIII I.BGICA .ATEMATICA 2D12
~
EDICIONES
PROBI.EMA 5 :
El triángulo rectimgulo del gráfico esta formado por 12 cerillos de un centímetro cada uno. Si X es la cantidad de cerillos que se deben mover, como máximo, para obtener una ligura de 5 u~ de área, y la letra Y e~ la cantidad de cerillos que se deben mover, como mínimo, para obtener una figura de 4 u 1 de área, calcule el valor de X + Y. AJ8 BJ5
C)8 D)9 EJ6
RUBIÑDS
+y=5
:::::)x
RPTA PROBI.EIIIIA B
I
"B"
I
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la igualdad que se muestra en el gráfico sea correcta?
l'
," I
A)I
B)2
RESOI.UCIIÍN
'\
D)4
C)8
EJ5
I
En la igualdad moveremos un cerillo para que sea correcta de la siguiente manera:
Ic=::>e =-==-
II~~I
RESOI.UCIIÍN :
Se pide el valor de X + Y
~
-
'-v--'
Ji
2
-
'--..-'
¡correcto!
1
:::::) Se moverá un cerillo. PROBI.EMA 7 :
Cuántos palitos hay que mover, como mínimo, para formar una e"presión matemática correcta?
". .
•
Para que tenga 5u 2 reducimos' lu 2 moviendo solo dos cerillos, veamos:
A)l
J
=-.. H ~---' !~
..
B)2
C}3 E) 110 es necesario mooor
D)4
2
e:.::¡
RE$DlUCIDN :
+ 2=1 es incorreLla. • Si movemos como mínimo un cerillo, no IOgramOS~a igu~dad, ~ero ~on dos se ~focede así: • La operación en numeros romanos es: 4
I
1,1'
L __
lift
• Para que tenga 4u 1• reducirnos 2u J moviendo como mínimo, 3 cerillos de la siguiente manera:
: . '- '- ;;a~~ IJ 1I a ."... " .u
•
1\
• Moviendo adecuadamente el cerillo a y b se obtiene: • IlG IN
,
-
-=-=--
-a
1 ~ 1
5 2 Yla igualdad t's válida
=
3 RPTA: "B"
PRtlBLEMAS CtllII CERILLtlS PRtlBLE.uI • #
¿Cuántos cerillos se deben retirar, como rninimo, en el siguiente gráfico· para que la igualdad se verifique?
5· BH e)2 REStlLUC/6111 ;
AI6
DH
MATEMATICA RECREA TIliA
4S
E)3
número que tiene raíz cúbica exacta. como por ejemplo:
8 = ~;27 =:i';64 = 4 3 ; . _ Entonces, en el gráfico buscaremos formar 21 ó 64 moviendo la menor cantidad de cerillos. t\nalizando el gráfico tenemos:
ó-r;::;'=-Tl
f.n la expresión observamos que el primer rTÚembro es 2 más que el segundo.
.
~.~
2
._e._.
R4tliralldo .JI .,..,..;lJa_puftfl co,,~ir qru di_irwya .... I
1&1;,..", un .--ilJ. _,..,...,.
7
~9"fI
Entonces, ahora la igualdad se verifica.
¡ Imposible
••.~
~
·,
Se deben retirar como minirno dos cerillos. IlI'TJI , lIt:"
PRtlBI.E. . 9 ;
Halle la ciyltidad de cerillos que se tiene que mover en el gráfico, corno mínimo, para obtener un cubo, si no se debe romper cerillos.
Al 1
B)2
REStlLUCltllII
e)3
DH
EIS
#
Se pide mOVE'r la menor cantidad de ceñllos para obtener el cubo. En el cuadrado del grafico se observan ocho cerillos en total, pero para formar el cubo (sólido geomelrico). Se necesita 12 ceriUos (cada uno seria un arista), entonces, seria ¡IMPOSIBLE!. Sin embargo,sepodriapensarenelcubocomoaquel
~I:;;!
't=,=::lII~y
I
cubo perfecto (numero)
~ Se
tiene que mover 2 cerillos, como mínimo. RPTJI ; lIS" PROBlE.vI ID: En el gráfico se muestra 22 cerillos que forman en total m cuadrados. Si para que quede exactamente 4 cuadrados iguales, sin que sobre cerillos, se deben retirar n cerillos como mínimo. Calcule el ,a1or de m + n .
AJ 18
B) 17
e) 16
REStlI.Ut:IDIII :
D,lS
E)J4
HABILIDAD LOe/CA .ATEMATICA 2012 ~
Se pide el valor de m + n En el gráfico contamos el total de cuadrados
'[1'mo, n t rf ;
¡
~._---
I
r j
VV
A
EDICIONES
=- ft '.:.: = 'J';¡' 11
,¡mpl.... 'oml
AIJ
\- • 50
!!5
~
8cuad~
RUBIÑOS
-
25
Se cambia el cerillo E.
PROBLEMA
'2 :
En el gráfico se cuentan 9 triángulos equiláteros en total, ¿Cuántos cerillos se tienen que retirar, como mínimo, para contar 3 triángulos exactamE>nte?
____o
\ 3 cuadrados de ese tamaño ~m=8+3=11
Ahora retiraremos algunos cerillos para que queden 4 cuadrados ,exactamente. Veamos: OOOKOOO-==-.OO OO }(OO.
O
:::<
A) 1
)!:
:0 0* __ 0
.0_* ..
11::=_ RPTA
#
I#B"
#
.~N
¿Cuál de los cerillos debe ser cambiado de posición para obtener una igualdad?
xxv~~~xxv e A
CjC
D)D
RESOLUCIÓN :
En la igualdad vemos que los siguientes números romanos utilizados es.tán correctamente escritos, además:
25
t
Ej5
\~S1Sl
~n=6~m+n=17
B)B'
DJ4
Se pide retirar la menor cantidad de cerillos para contar exactamente 3 triángulos.
Se rE'tiran 6 cerillos
AJA
C) 3
RESOLUCiÓN:
I
PRDBlEMA "
B) 2
25 Sunlo so
I
Entonces en el segundo miembro formaremos el 50 (en romanos) cambiando de posición el cerillo E, veamos:
~
Retiramos 3 cerillos como mínimo. RPTA: "C"
PROBLEMA 13
#
¿Cuántos cerillos son necesarios, como minimo para obtener 7 triángulos iguaJes cuya longitud de cada uno de sus lados sea del tamaño de un cerillo? Al 15
DJ 10
C) 9
DJ 7
Ej 12
RESOLUCiÓN:
Se le pide la menor cantidad de ce rilo necesarios para obtener 7 triángulos iguales. Condición: Cada lado del triángulo es de la longitud de un cerillo. Por la condición del problema pensaremos en un sólido cuy'\S caras sean triángulos, es decir dos pirámides de base triangular donde ésta es la cara común.
PROBLEMAS CON CERILLOS
MATEMATICA RECREATIVA
Recordemos que la representación del número romano L/X corresponde al núnero 59 y que el número romano resultante de la operación C+lV corresponde a 104. Entonces, para homogenizar dichas cantidades moveremos el cerillo a del siguiente modo.
Lfxi=L-tIXl
------
3triángulos ~Son
necesarios 9 cerillos como mínimo. RPTA
I
I6crr
RESOLUCiÓN 111 : En el siguiente gráfico, ¿Cuántos cerillos se deben
.. - t-- " L -
mover, como mínimo, para que la igualdad sea correcta?
~I
AJ J
B) 2
=
C) 3
RESOLUCiÓN
==-
E) más de
D)4
no es un número, se podría pensar que es 99 en romanos, pero es inco.rrecto, entonces, de él moveremos los cerillos . ~_ _~
-
-
-- I
I
'--y-I
=
101 ~
~ 100
Se moverán como mínimo 2 cerillos. RPTA
PROBLEMA
I
uBu
'5 :
F.n el siguiente gráfico, ¿qué cerillos se deben mover, como mínimo, para que se verifique la igualdad?
Líx= t-+1V Al 1
B) 2
C)3
.RESOLUCIÓN :
Lixi=L+'t/~
-----51
-50- +I xI -1 1 Por lo tanto, como mínimo, solo es necesario mover los cerillos a y b para que se verifiquen la igualdad. RPTA
I
u
BU
PROBLEMA 16 :
En la igualdad se observa que el primer sumando,
~
----..-..... I ----..-.....
4
I
• -,
1........
51 x 1 50 + 4 Como se observa, las cantidades a los extremos de la igualdad son próximas mas no iguales; para ello sena necesario mover un cerillo más, este es el cerillo b.
DJ4
E) 5
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para obtener una igualdad válida?
e=-XX=-L~XXX
A) 1
B)2
C)3
D)4
E)5
RESOLUCiÓN La operación está escrita en números romanos y es 100 - 20 - 100=30, la cual no es válida.
Debemos considerar que podemos obtener otros números romanos como 1..:50: XL:40; XC:90, etc. Lo mínimo seria mover un cerillo, pero vemos que no será suficiente (pruebe todas las posibilidades); lo siguiente sería mover dos cerillos.
L~XX¡C~XXX
rC+XX==c XXX = =-
20 100 50 + lo cual es una igualdad válida.
30
ItA.'UDAIJ LIJCICA MATEMATICA
2DI2 ~
EDICIONES
RUBIÑDS
Por lo tanto, movemos como rninimo 2 cerillos. RPTA I uB"
RESOLUCiÓN
'7
I
.
En el siguiente gráfico, ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mmimo para que la operación sea la correcta? .
, , =-.--
.- .-" L ..'
S- 1, -I..., -lJ --'
-
• "-'f,
l,JUiddad C'onc.fl.l;
5~ -1::1 1.
r1
tJ
Por lo tanto se debe mover I cerillo como rninimo RPTA: UA"
PRDBLE.A
I!::::====
1..uo;o, .. úent ...
'9 :
¿Cuántos palitos debes mover como rninimo, para formar 1S cuadrados? Ajó
8)2
C)3 D)4
A)
1
.'
E)6
el3
8)2
E)5
D)4
RESOLUCiÓN
.
Un U 11
RESDLUClóN : Ella división haremos que el cociente aumente, de esa manera al multiplicarlo con el divisor se acerque más al dividendo (22), para luego variar el residuo. Veamos:
,
•
., •
•
·'L . •
•
22~ ( Dl\'iBión
.' .
e,
r •
....
•
5 por rr
t
•
I ¡¡
Se deben mover 4 palitos para rormar 15 cuadrados.
PROBLEMA 20 : Moviendo solamente un cerillo hay que formar un cuadrado. (La vieja broma de deslizar uno o dos milímetros hacIa arriba el cerillo central superior, y dejar en el centro de la cruz un minúsculo hueco cuadrado no es válido. La solución también es humorística, pero la broma va ahora por muy distinto camino) .
=> Deben moverse 2 cerillos, RPTA: uB" PROBLEMA , .
I
¿Cuántos cerillos se debe mover como mínimo para obtener una igualdad correcta?
S~El
Al1
8)2
C)3
RESDLUCIDN :
=IJ
D)4
El5
RESOLUCION :
/
PROBLEMAS CON CERILLOS
49
PROBLEMA 2 ' : En el gráfico se observa la igualdad correcta ¿Qué cerillo se debe mober para que la igualdad sea correcta? '
exae_ente'
RESOLUCIÓN
t:ij
d
elb
BJa
E)d
DJe
I
L~~
Considerando la igualdad planteada relacionemos los cerillos con números romanos,
aV
así:
b
c- ~d
A) 1
C) 5
,
D}2
EJ4
I
Se pide retirar la menor cantidad de cerillos para obtener siete cuadrados exactamente. En el gráfico mostrado se cuentan en total 11 cuadrados (8 simples y 3 compuestos) de manera que elimi nando cuadrados obtendremos lo pedido, así:
vr~~
~
1 Por lo tanto, solo es necesario el cerillo b .
RPTA : IIC" PROBLEMA 22 ; En el siguiente gráfico, ¿Cuántos cerillos se tien n que mover como mínimo, para obtener una
~/
CO
B) 3
RESOLUCiÓN
7 = T ! it1CQrreclQ ! Trasladando el cerillo b ; tenemos:
.
LLJ
MATEMATICA RECREATIIIA
a\7~~ 71 ~ b
Aje
I
CD ;1
E
Cada cerillo retirado
i~
Elimina dos cuadrados
L~.:J ::) Se deben retirar dos cerillos
/~ Al}
B)2
C)3
PROBlEMA D)4
E)5
RESOLUCltlN: Se quiere obtener con la menor cantidad de movimientos de cerillos una corbata de Michi (de fiesta), para ello har mos lo siguiente:
q:9 ~
(>
24 ;
¿Cuántos cerillos se requieren, como mínimo, para formar exactamente dos cuadrados y 8 triángulos iguales? Considere que no se deben romper los cenllos. Al 8
B) 7
RESOlUCI6N
C) 10
D) 6
E)9
I
Se pide formar dos cuadrados y 8 triángulos con la menor cantidad de cerillos.
::) Se moverán como mínimo dos cerillos
RPTA: IIB" PROBLEMA 23 : En el gráfico, ¿Cuántos cerillos, como mínimo, de~n retirarse para obtener siete cuadrados
Para formar un cuadrado necesitamos 4 cerillos
1IA./LlDAD I.DC/CA IlATEMAT/CA 2012 ~
solamente, como queremos dos cuadrados necesitaremos 8 cerillos, es decir: Ahora, para generar los triángulos podemos intersectar los cuadmdos obtenidos del siguiente modo:
EDICIONES
RUBIÑOS
PROBLEMA 26 :
En el gráfico, ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo para obtener la igualdad?
AlI
v~x B)2
e)3
====-: D)4
~~~~ E)5
RESOLUCiÓN: Se pide mover la menor cantidad de cerillos para que la igualdad sea correcta. ~ Se
requiere 8 cerillos como mínimo. RPTA ; IIA" PROBLEMAS 25 : En el gráfico, ¿Qué cerillos se deben mover, como
~fv:.rex~u~alV ~ B)b
Aja
e) e
D) b ye
E)d ye
. RESOLUCiÓN ;
Se pide indicar el cerillo o cerillos que se debe mover como mínimo para que se verifique la igualdad. Al ver la expresión se observa Que todos los números están bien escritos
V----X =V~
'-v-' 4
-
'-..r--' 10
=
No es número, el cerillo que se retira del otro miembro lo ubicaremos horizontalmente de modo que formamos
~ permutamos esos
dos signos la igualdad
seria correcta. Entonces, moveremos solo un cerillo, el cerillo
e
,J
=-(\
V;X =~nl "--v--J
'--v--I i lnC01Tecto ! 6
N o es número, para que lo sea habrá que retirar un cerillo.
~ Se
=
"--v--J 3 ¡Correcto!
mueve un cerillo. RPTA lilA"
PROBLEMA 27 : En el gráfico, ¿Cuántos cerillos de deben mover, como mínimo, para obtener exactamente 11 cuadrados?
. ~
1
IV==X , ~ V~
~ Se
T
4
I
I
10"'- 6
debe mover el cerillo e como mínimo. RPTA : uC"
AJI
8)2
e)3
D)4
E)5
PROBLEMAS COIII CERIUOS RESOLUCIÓIll
MATEMATICA RECREATIVA
5'
#
Se quiere obtener exactamente II cuadrados moviendo la menor cantidad de cerillos. En el gráfico se cuentan en total 14 cuadrados (9 simples y 5 compuestos) y solo queremos 11, para ello debemos mover aquellos cerillos que desarmen la mayor cantidad de cuadrados, es decir, el cerillo que esta al centro de cada lado del mayor cuadrado, veamos:
triángulos. En el gráfico observamos lo siguiente:
Si retiramos un cerillo del perlmetro como el que se indica en el gráfico, eliminamos 2 triángulos (uno simple y otro compuesto).
...
J ~
....
Al retirar el cerillo señalado se eliminan 4 cuadrados, es la mayor cantidad que se puede eliminar. Entonces, moveremos dos cerillos y ubicaremos en el centro del gráfico como se muestra. Se cuentan en total 11 cuadrados.
Se retiramos un cerillo interior como en que se indica en el gráfico, eliminamos 3 triángulos (dos pequeños o simples y uno grande o compuesto) Como se quiere retirar la menor cantidad de cerillos, entonces retiraremos aquellos que eliminen más triángulos, es decir, los interiores. Es decir:
hay triángulo!
=> Deben retirarse 4 cerillos como mínimo. => Se tienen que mover 2 cerillos. RPTA ~ "B" PROBLEMA 28
I
¿Cuántos cerillos deben retirar, como mínimo, para que en el gráfico no se observe triángulos?
PROBLEMA 29
#
En la siguiente formación, se pueden contar cuatro cuadrados iguales. ¿Cuántos palitos se deben mover, como mínimo, para que solo haya tres cuadrados? AH B)2 C)3
AJ2
B)3
RESOLUCIÓIll
CH
D)5
E)6
I
Se pide retirar cerillos para que no queden
D)4 E)5
RESOlUCIÓIll :
Para formar 4 cuadrados ¡guajes con el mínimo de movimientos tenemos que aprovechar los
NA.,I.IIIAlIlDGICA .ATE.ATICA 2012 ~ EDICIONES RUBIÑOS cuadrados iguales que hay. RESOLUCltiN : Si nos quedamos con dos cuadrados opuestos, En la expresión se tiene todos los números bien tenemos 4 cenllos y 1 es e1lado del otro cuadrado. escritos, pero:
b
.
e '
a~
..
'i+L~ \ll +
• ..
~. . .
.,
a
e
e
•
•
Con lo que es necesario mover como minimo los cerillos a, b Yc. RPTA
I
3
6
El primero es
*lC"
El gráfico muestra una operación que no es correcta
2"
I
Si lo convertimos en uno la igualdad sera correcta Entonces moveremos dos cerillos de la siguiente manera:
~ ~ ~
"-y-oI
=
"-y-oI ;
correcto!
+ 1. 6 1 Se moveran, como minimo 2 cerillos.
"J
RPTA
I
Buscaremos que aquí el 2"
Caso 1:
El diez del primer miembro lo convertiremos en cinco, uno menos que seis (del segundo mierrbro).
"'W
V+X.. !;~V~
~
~~caremos que m¡uí el r
Vl+m ~VI+~~ " . ...,J
En la expresión observamos los siguiente: &> diferencian en uno 1
v +vr-~ V'
~""gun..
-
1':.
RESOLUCIÓN:
110"
PRDBLEMA 31 :
'
6+2 icorrecto! 5+3 = Caso 2 : El seis del ~egundo miembro lo convertiremos en once, uno más que diez (del primer miembro) .
.,
.
.
...
11+2
10+3
~Se moverá solo un cerillo
¡correclo!
PROBLEMA 32 :
En la igualdad mostrada, ¿Cuántos cerillos se deben retirar, como mínimo, para que sea correcta?
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo para que se verifique que la siguiente igualdad?
)(+~W~V~ NI
8)2
CJ3
D)4
~ E)5
UlW
~ }{+1r~ V1+ll ---
r/
PROBLEMA 3D :
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la operación sea correcta? M6 mI 03 m2 IDI
I
+ 2 ; ;noorret'to !, Entonces, tendremos que mover uno de los cerillos para conseguir que la igualdad sea correcta (de no conseguirlo moveremos más cerillos). 10
A) 1
B)2
C)3
D)4
E)5
PROBl.EMAS CON CERIUOS
MATEMATICA RECREATIVA
53
•
RESOLUCiÓN ~
Se pide retirar la menor cantidad de cerillos para que la igualdad sea córrecta. En la expresión mostrada se observa que:
se mueve como mínimo un cerillo. RPTA I 1111"
",:----...,. • R4dero \In D"'riDo ~rannó~1l
• R.tirn doo _
....
)'fOt-ul.d.56~ !:
8 Ox8 .
PROBLEMA 34 :
En la igualdad mostrada, ¿Cuántos cerillos se moverán como mínimo, para que se verifique?
,
...
Si reducimos el 8 retirando algún cerillo, siempre el resultado es mayor que el del primer miembro
Al 5
En la expresión todos los números arábicos son
cercanos, sin enbargo, no es correcta: IJf!1H! Mor menOr que 7 qu.e qfU4
I lo di(",..,,,,,ia .ea po.itiua
~lin:urK'llll~
O!Tillv por.. que\lt!lifiqu\!
... -....-. 10
U
--
x
O
=>Se deben retirar 2 cerillos como minimo RPTA
E)3
RESOLUCiÓN I
Entonces, lo que haremos es retirar la menor cantidad de cerillos de manera que el producto en el segundo miembro sea el menor posible. Para conseguirlo, retiraremos solo un cerillo del 8 de la siguiente manera:
-~
DJl
CH
B)2
~
g- -y ,
y
Conseguiremos que el 9 (nueve) dismínuya retirando momentaneamente un cerillo, con lo que obtenemos:
IIB"
PROBLEMA 33 ;
En la figura, ¿cuántos cerillos. como mínimo, se tienen que mover para que se obtenga una igualdad?
Al 1
•
,
"'
V!.
B) 2
C)3
RESOLUCIÓ
.
~tn
D)4
•
t:erillo q_
." retiró
=> Se moverá solo un cerillo •
Al lado izquierdo de la igualdad esta formado el número romano: V=5 y IX=9, al otro lado número tres y sobra uno, el cual podemos racilmente trasladarlo y crear una raíz cuadrada:
A= ~ ~ ( (¡ ,::; a ~ Ú
•.',.
~l
E) 5
"'H
Se forma la raiz cuadrada de 9 es igual a 3.
RPTA I 110" PROBLEMA
35
~
¿Cuántos cerillos, como mínimo, será necesario tener para formar con ellos cuatro triángulos equiláteros iguales, en la que la longitud del lado del triángulo sea la de un cerillo? Al 6
B) 8
RESOLUCiÓN
C) 9 I
D) 10
E) 12
HA.'''DAD LDCICA MATEMATlCA'ZDIZ
CE)
Para formar 4 triángulos necesitamos 9 cerillos, como mínimo, pero en el espado, cuyo lado sería su arista, para ello formamos:
EDICIONES
RUBIÑOS
siguiente gráfico? 6===-¡_ _.....~
A) 3
B)5
Cl1 D)4
-.
un tetaedro Por lo tanto lo solicitado es 6 cerillos. RPTA PROBLEMA 36 ;
¿Cuántos cerillos, como mínimo se deben retirar del gráfico para que queden exactamente 5 triángulos equiláteros? AJ1 8)2 C)8 D)4
E)8
RESOLUCiÓN;
Se pide quitar la menor cantidad de cerillos para que no quede cuadrado alguno. Buscaremos eliminar la mayor cantidad de cuadrados al retirar un cerillo, de ese modo garantizaremos que la cantidad de cerillos retirados sea la menor posible. En el gráfico mostrado se cuentan en total 14 cuadrados (9 simples y 5 compuestos), de manera que retirando dos cerillos por la fila no encontraremos cuadrado alguno.
E)5
RESOLUCiÓN ;
Se pide la cantidad de cerillos que se debe retirar, como minimo para que queden 5 triángulos
eq"lale#!:.!~~1o
cerillos sueltos fnodeben quedar)
::)
~
~t<>;:::c;J
TI
deben retirar 8 cerillo. RPTA; IIEP'
PROBLEMA 311 ;
Triángulo compuesto En el gráfico se observa que hay ocho triángulos simples y dos compuestos en total, diez. Se debe eliminar 5 triángulos retirando cerillos {la menor cantidad). Entonces, al retirar un cerillo interior, se eliminan dos triángulos, de esa manera eliminaremos 5 triángulos simples, .
~
~
13 triángulos simples
N"¿I> (sombreados). x
::) SI!
2 triángulos compuestos
(delineado).
retiran 3 cerillos.
PROBLEMA 37;
¿Cuántos cerillos se deben quitar como mínimo para que no quede un cuadrado alguno en el
¿Cuántos cerillos se deben retirar, como minim
8)5
C)6 D)1 E)8
RESOLUCIOIII ;
Se pide retirar la menor cantidad de cerillos para que no se observe triángulos. En el gráfico observamos que se puede dividir en tres partes iguales
PROBlEMAS CON CERILLOS
Ahora en cada parte vemos que para no observar triángulos retiraremos los siguientes cerillos, .s;omo mfnimo:
~'ó~ó/SZ\óM ,
MATEMATICA RECREATIIIA
55
Entonces, en el segundo miembro donde se tiene 105 (100+5), se debe hacer que se reduzca moviendo la menor cantidad de cerillos, es decir moviendo un cerillo:
C+V=95 t
necesariamente para que lo sacam08 no queden triángulos rnomentaneamente Enlonces, en el gráfico retiramos del siguiente ~naJmente, para formar la igualdad ubicarnos los modo: ~ ~ ~ cerillos que hemos sacado momentaneamente en el primer miembro del siguiente, ~OdO: O
X'CV=C-V. ------------
¡No hay tri•. ,. '~ => Se deben retirar 6 cerillos como mínimo. PROBlEMA 39 :
,.
En la siguiente operación, ¿Cuántos cerillos se
10-5 9~ => Se moveron 3 cerillos como mínimo Caso 2: Se pudo hace Que n el primer miembro solo queda la letra C (cien n romano) y estos cerillos ubicarlos en el segundo iembro, es decir:
deben mover, como mínimo, para Que sea correcta?
~vc:::c+v A)l
BJ2
C)8
DJ4
EJ5
RESOlUCiÓN:
Se pide la cantidad minima de cerillos Que se deben mover para que la operación sea correcta. Entonces, para garantizar que la cantidad a mover sea la mínima, primero veremos si todos los números romanos que se muestren estan bien escritos.
IV
------no es un número
b
Caso 1:
:=
e +v ~ 100
-5
de aquí moveremos cerillos
\X n==L..-
Se podría mover un cerillo y =90 otro sacarlo,'. momentaneamente: Ahora, ubicando cerillos a la derecha del número 90 obtenido, formaremos un numero mayor de 90 pero menor de lOO (9a).
L:=C 100
--------~~----
=> Tambien se mínimo => Se deben mover 3 cerillos como mi imo PROBlEMA 40 :
RPTA i'~C" "---
¿Cuántos cerillos deben retirarse, como mínimo, para obtener un gráfico formado por 5 cuadrados iguales? AJ6 B)5
C)8 D) 7
E)4
RESOLUCIIÍN :
Si observamos bien, nos damos cuenta que hay 9 cuadrados iguaJes, entonces debemos retirar 4 cuadrados De las esquinas sería 8 cerillos, como me piden el mínimo número de cerillos, entonces lo hacemos
NA.ILIDAD 'Dt:ICA .vITE.ATlCA f20lZ ~ EDICIONES RUBIÑOS de manera alternada y no los que están en las Lo Que hacemos es mover un cerillo más de la esquinas. siguiente manera.
!
,.
- :' 2-
':~
-.
:; 1
~
'"
-
. .... .,
t
,..
8::~l$>. R.,.,,,lto i< . r '1
I
. • Para eso se deben retirar 4 cerillos.
j
RPTA : IIE" PROBLEMA 4-1 : En la igualdad que se muestra, para que se verifique se tiene que mover X cerillos como mínimo. Halle el valor de X.
5j=y 5 A)
1
B)5
e)2
E)3
D)4
- 125 ¡Ahora" ftconv-cto!
-5
RESOLUCiÓN: Se pide hallar el valor de X. En la expresión se observa una igualdad entre un número de dos cifras y otro de tres cifras,lo cual es imposible.
e
5 Para lograr que la igualdad sea conecta es necesario introducir una operación en alguno de los números pero sin aumentar cerillos, solo moviendo la menor cantidad. Al ser el múltiplo de 5 el segundo número, podemos originarlo a partir de una potencia de 5 de la siguiente manera:
:::. Se deben mover 3 cerillos como mínimo :::.X=3
PROBLE.A 4Z : Mueva x cerillos y transforme "el hacha" en tres triángulos iguales. Calcule x . Siendo x es la menor cantidad de cerillos. N1 B)2 e)3 0)4 E)5
RESOLUCI6N : Piden: ¿cuál es el menor número de cerillos Que se deben mover?
n
==--=
Se debe transformar
<::3
"el hacha" en tres triángulos iguales
Manteniendo los cerillos de la base, solo son necesarios los siguientes traslados.
Por lo tanto, solo es necesario trasladar cuatro cerillos.
Vemos que resulta:
¡Pero aún verifica!
53 = 125"* 425
Ldebeserl
1W
PROBLEMA 43 : Con 20 palitos, ¿cuántos cuadrados, como máximo, pueden formarse tal que su lado sea un palito? N 8
B) 10
e) 11
RESOLUCiÓN:
D) 7
E) 6
r PtlOBL EMAS CON CERILLOS La figura que me da mayor cantidad de cuadrados
de un palito Pik lado debe ser tridimensional
I ~• ,
MATEMATICA RECREATlflA
57
Moviendo como se indica, se tiene:
xC~xCv=-v Por lo tanto es necesaño mover 2 cerillos como mínimo RPTA : IIB"
Por lo tanto, pueden formarse 11 cuadrados. RPTA : '*1:" PROBLEIIIA 44 : En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillos que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?
I~~~~~~I Al 1
B) 2
C)3
D)4
PROBlEMA 116:
Adjuntar a las cuatro cerillas, cinco cerillas más de tal forma que obtengamos den.
II II IDO
RESOLUCIOIU : E) 5
RESOLUCiÓN
Piden: ¿cuál es el menor número de ceñllos que se deben cambiar de lugar?
PROBLEMA 47 :
I~!~~~~I Asociamos la distribución de los cerillos a la
En el gráfico, ¿cuántos cerillos se deben retirar, como mínimo, para tener solo 4 cuadrados sin que sobre algún cerillo?
sustracción:
~~~I;'I~
.
...
. .. ..
Al 10
B)l2 e) la
~~Ii~~~~
D)14
E) 16
Por lo tanto, solo se debe cambiar de lugar un ceriUo.
En el gráfico, Lcuántos ceñllos se deben mover, como mínimo, para que se veñfiqf.Je la siguiente igualdad?
.. -
• -,. ... ... r
PROBLEMA 45 :
•
RESOLUCiÓN; 3
1
-,- --
2
......
9
-
-1
"
110
i
t
• •
J
I
•
•
"='
.. . -
RPTA: 111:"
PRDBLEMA 48 : A)J
B)
2
C) 3
D)4
E)5
RES01UCION ;
Cx~xcv=-v
~
El gráfico muestra 12 jaulas conformadas por 4 cerillos cada una. Las letras J , K. L, y M indican la ubicación exacta de una jirafa, una koala, una liebre y un mono, respectivamente. ¿Cuántos cerillos se debe retirar, como mínimo, para que el koala, el mono, la liebre y la jirafa estén
NA.,LlDAD lDClCA _ATE_ATICA 2t112
~
encerrados en una jaula cuadrada, una rectangular, una hexagonal y una octogonal, respectivamente? Considere que los datos de las nuevas jaulas contienen un número exacto de cerillos.
EDICIDNES RUBIÁ~S que la baJanza quede en equilibrio. REStlLUCIÓN:
Al 10 B) 7
C)6
D)B E)9
REStlLUCIÓN:
La koala :::::> jaula cuadrada. El mono :::::> jaula rectangular. La liebre:::::> jaula hexagonal. la jirafa :::::> jaula octagonal Empezamos en el orden indicado con un número .exacto de cerillos.
.... .... ." .. ,
L
-
" J'" 'M'
,.
K
•
..
Por lo tanto hemos retirado 7 cerillos. RPTA PROBLEMA 49:
I
liD"
~vOv~~ LlJ /\ 6 FIGURA 1
FIGURA 11
FIGURAUI
1) Se ha coJ1struido una casa utilizando cerillas Cambiar en ella la posición de dos cerillas, de tal
forma que la casa aparezca de otro costado. 1/) Un cangrejo de cerillas camina hacia arriba.
FIGURA 1/
FIGURA 1
1) Para edilicar este templo griego, se necesitaron once cerillas. Se requiere cambiar en él la posición de cuatro cerillas. de tal forma que resulten quince cuadrados. H) En dos copas, hechas con diez cerillas, cambiar la posición de seis cerillas, d~ tal modo que resulte una casa
REStllUCIÓN:
IJy",
[[]]] om
ll)~'!!"'-..
Cambiar la posición de tres cerillas, de tal forma que el cangrejo camine hacia abajo. nI) Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en estado de desequilibrio . Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma
b
e
PROBLEIlfAS CON CERILLOS
59 contrario?
MATEMATICA RECREATlflA
@PRACTICA DE CLASE 'RESUELTA A) 7
,...
PROBLEMA' :
B)B
¿Cuál será la menor cantidad de palitos a mover para q~ el animal mire para el otro sentido?
C)3
~~
. /\
:: /\/\ PROBLEMA 2 :
Del gráfico, ¿cuántos cerillos se debe retirar, como mínimo, para obtener 2 cuadrados, sin que sobre cerillos? A)6
DH E)5
PROBLEMA 7 :
¿Cuántos cerillos, como mínimo, se debe retirar en el gráfico para ob~ener un cuadrado? AJI B)2 C)3 0)4 E)5
PROBLEMA B:
¿Cuántas cerillos hay Que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad? . . . . .= - e ...
B)6
D) 7
E)4
¡¡ ~
~U~
C)8 AJ I
..a...-
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que queden exactamente 15 cuadrados?
8)3
C)4
C)3
0)4
EJ 5
PROBLEIIfA 9 :
PROBLEMA 3 :
1.)2
B)2
t'
!~
D)5 E) 6
PROBLEMA SI
¿Cuántos Ct rillos se deben agregar, como mínimo, para obtener exactamente 8 cuadrados' AJ6 B)4 C)6
IT~~~=,-.,
D)7 E)3
PROBLEMA '0
#
¿Cuántos cerillos se deben retirar, como mínimo, para que en el gráfico no quede triángulo alguno?
¿Cúantos fósforos como mínimo debes mover para formar cuatro triángulos iguales Que tengan 2 fósforos por lado y 3 rombos?
AJ2
AJ3
;
B)3
8)4
CH
C)6
D)5
D)2
E)6
E)6
PROBLEIIfA 6 :
PROBLEMA
En el gráfico muestra una rana formada por cerillos. ¿Cuántos cerillos es necesario mover, como mínimo, para que la rana tnire en sentido
¿Cuántos cuadrados , como maximo se pueden formar con 20 cerillos, de tal manera Que la
,,:
HABIliDAD LD&/CII MAFEMAFICA 20' 2
~
longitud del lado del cuadrado sea del tamaño de un cerillo? A)JO
819
D)12
C)8
EJl1
'2: ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo PROBLEMA
pMa Obr-
:lfr~dad?
AJ 1
C) :3
Una
n
EDICIONES
PROBLEMA '6 I La figura está formada por 12 palitos de fósforo
¿Cuántos hay que mover como mínimo para obtener 3 cuadrados del mismo tamaño? (No
~~M~'U~IO)r
PROBLEMA
E) 5
D) 4
,3
DJ2
:
EJ6
Del gráfico, ¿cuántos ceriHos se debe mover, como mÚlÍmo, para obtener una igualdad correcta?
.el
t :Cl
CJ3 8) 2
RUBIÑOS
PROBLEMA '7' :
La figura muestra una operación con números
romanos formada con palillos de fósforo. AI3
,.. :
C)l
B/2
PROBLEMA
D)4
•• • • ••••
EJ5
En el gráfico adjunto, ¿cuántos cerillos, cómo mínimo, se deben mover para que la operación sea correcta?
e e
• ••
¿Cuántos palillos, como mínimo, debemos cambiar de posición para generar una nueva igualdad que sea verdadera? Oa igualdad debe utilizar números romanos) A) 3
B) 2
C} 1
DJ4
B}6
PROBLEMA '8 I ¿Cuántos cerillos se debe mover, como mínimo, para formar un cubo? A)1 8)2 C):3
D)4 EJ5
AJ2
B)3
C)4
D)5
E)3
'5 : La estrella de la figura hace posible que contemos 8 triángulos equiláteros en total, ¿cuántos palillos de fósforo se debe cambiar de posición, como mínimo, para que solo se cuenten 6 triángulos equiláteros, sin que queden palillos sueltos . PROBLEMA.
AJ3
DJ4
.
C)5
e'
I
A)1 I
•
e I,
e. I
'9 : ¿Cuántos cerillos se debe mover, como mínimo, de la figura para que queden exactamente 4 cuadrados del mismo tamaño?
e
e•
I
D)2 E)(j
..
PROBLEMA
• •
8)2 C)3
DJ4 EJ5
PROBI.E.AS CON eER/ I.I. OS
61
PROBI.EMA 20 :
Por lo tanto movemos como mínimo 6 cerillos.
¿Cuántos cerillos se debe mover, como mínimo, de la figura para que quéden solamente cuatro cuadrados·iguales.
r
A)2
r. l 1 -,__ 1 .1 J J CH
B)3
DJI
RPTA : I'B" RESOI.UelÓN 3 :
Si los cuadrados son del mismo tamaño, entonces podemos formar triángulos más pequeños:
~-:'4hE~ ')l :.
Cuenta detenidamente y verás 15 cuadrados. Mover solo 4 cerillos como mínimo.
t
Ii
i! . -....:::..-P
b
RPTA : "e"
El5
RETO:
RESOI. Ue/óN 5 :
¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una igualdad? (No está permitido romper o doblar palitos)
Re tiramos los cerillos del interior del gráfico:
MI B)2
-
D)4
I
..
Por lo tanto se retiran 4 cerillos como mínimo.
CJ3
RPTA :
E)5
fj SOLUCIONARIO(TlRACilCA RESOI.Ue/ÓN
DE CLASE
r :
RESDI.Uel6N 6: Si lo escribes en un papel y lo volteas podrás encontrar la solución:
~
8 .-/ ¡./
Como se trata de un animal, entonces la parte superior de la figura ser{l su cabeza. por lo que para que mire hacia otro solo es uficienle que gire su cabeza. ~ ::>.
{:t ... . .
~/
--.......
p 11?)
¡,
1/
//'
~f
"::~~:"\
girando \ .... -.
la cabeza V". '
..;
IV\
RPTA: "E"
RPTA : UA" RESOl.ue/6N 2 :
Si reLiramos cerillos del borde seria solo 9, pero si hacemos del interior probamos y se vería así:
r~ ~
L
se movió como mínimo S cerillos. RESOI.UelÓN 7 :
Hemos movido 1 cerillo como mínimo.
í -1-l~~;'=-] i ......;·•. ~==~· ~¡
.ue"
t - ce ~
~_.
Para formar un cuadrado se necesita 4 cerillos y tenemos 7 cerillos. Debemos imaginar que se desea obtener un cuadrado perfecto. ejemplo: 4, 9, 16, etc.. .. El único que cumple es el número 9.
~
~ ~Q
..
.=~
- , RPTA
I
"A"
HA./I.IDAD LDC/CA _ATE_liT/CA 20'2
@:>
RESOLUCiÓN 11:
=
....------.....
!J
.
~
,
~
• /- "1 1 ',- -
I
RPTA
: I'A"
RESOLUCION '3 :
• Considerando la igualdad planteada, • • •• relacionemos los cerillos con números romanos; así;
0.'.' • • ' .~ • • t.
. ~. .
RUBIÑOS
RESOLUCiÓN:
La operación en números romanos es: 13 6 "lo cual no es válido" Para una verdadera igualdad disminuimos a 13 y le agregamos a 6. Para ello moyemos los cerillos convenientemente (ingenio) • • tt0.? Ji
EDICIONES
I
igualdad válida
·Por lo que es necesario mover como mínimo 2 cerillos. RPTA : IIB"
1
~
20
30
trasladando un ceriUo
RESOLUCiÓN. :
L
XX
• Se podría obtener 8 cuadrados idénticos, agregando 6 cerillos y se formaría un rectángulo de 3x2; pero se pide el mínimo número de cerillos y no necesariamente del mismo tamaño. Entonces vamos adicionar 4 cerillos de la siguiente forma:
Por lo tanto, solo es necesario mover un cerillo. RPTA : uC"
f' =
RESOLUCION , .. :
,--
..
-=-
'---.---'
'---v---'
50
20
Es suficiente cambiarse de posición 2 palillos, :
lJIIi"-t", .·... así
• Así obtenemos exactameIlle 8 cuadrados RPTA : IIB" RESOLuciqN
RESOLUCiÓN
RPTA : 110" RESOLUCION
,,:
Piden formar el maximo número de cuadrados con 20 cerillos. Son ti~tWn
2
r,""'" una
;y
C
("Gro
~n
" _ ' co",,,,,lu>y t1 cuadrado..
.'====-
RPTA
: "E"
'5 :
• Sólo deben cambiarse de posición 2 palillos. así : •
• ,•• • • • .. •• • •• • • •
RPTA
I 1'0"
63
PROBlEMAS COIfI CERILI.OS
I
MATEMATICA RECREATII/A
, -, , -,
RESOLUCiÓN 20 ~
RESOlUCiÓN '6 ~ 2
(
- r r 1'--1.
•
3~
... ~
;....._
RESOlUCIÓIfl ~
* Sólo se deben cambiar dos palillos. veamos el primer cambio. • t. •• t • • t.
Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera:
r-, ,-r
. t. .... · . t. •
• •
•
•
-1-'-1-1
- -
*Ahora el segundo cambio es casi evidente.
• ••
RESOI.UCION
• •
.11 "
•••
•
R PTA
: ·'A"
RESOlUCIÓIfl :
Para resolver éste problema. traemos a la mente un cociente aprendido en matemática como:
'B :
Piden el número mínimo de cerillos a mover
.
Se llene:
-22 =3.141 ..••. = n Entohces movemos: ~
...
Queda
=
'.
'lj¡--T
El número 8 es un cubo perfecto RPTA
: IIB"
RESOLUCiÓN '9 : Quilando dos palitos de la izquierda. un palito de arriba y un palito de abajo. Quedando as' los 4 cuadrados, como se muestra en la figura. c::::== . - - .- -
~_
Por lo tanto movemos un palito. RPTA lilA" HETfI :
= _= _= _c= _ 3~ ~ 4 ~ ....
• • •
___ ... -====_e- - - -
.. V ~~
,,
';e~'o;~~~~=--.::=:::::::=
~
RPTA
_
• IIDI,
¿Cuántos cerillos se deben retirar, como minimo, para que en el gráfico no quede cuadrado alguno?
:- _.:. ......
A)8
t. r ""
'"-1
8J9 {;.} 10
DJll El 12
,.,
.
NAlIlLlDAD I.D61CA MATEIVITICA 2DI2
PItlCTlq,ñiiiiGiDA, ¿Cuántos cerillos, .como mrnimo, se tienen que mover en el gráfico mostrado pa ra obtener una igualdad?
, ".
Al1
B)2
V)4
E) 5
-.'
e J3
~r. .~t
, ,
Determine la máxima
I '
cantidad de triángulos que se puedan formar con 5 cerillos Considere que los cerillos pueden superponerse. AJ8
BJ2
e} 10
V) 12
moviendo la menor cantidad de palitos debemos formar una igualdad correcta. ¿Cuál es esa cantidad?
mover como mínimo para que la figura triangular ([j,) cambie de posición íJ?
'"~ --'
AlI
•
A)1
8J2
D)4
Ejes imposible
BJ2 e)3
e)3
D)4
mover, como mínimo, para formar un cubo?
BJ2
e)8 DJ4
AJ6
AJl
BIl
E)6
e)
0)3
lcuantos cerillos se debe mover, como mínimo , para Que se verifique la igualdad?
EJ4
•
A) 1
, ", 1 ~ BJ 2
c::==
:.e
•••
c=-.e ~
e) 8
D) 4
como mínimo , se pueden formar 2 cuadrados, 8 triángulos y una estrella de 8 puntas? Los cerillos pueden superponerse, pero no romperse.
MI
BJ2
e)3
•
V)4
A)6
B)8
e)lO
D)12
cerilloB Be deben mover, como mínimo. para obtener Bolo dos cuadrados ( figuras Bimples ).,
¿Cual es el menor número de palitos de fósforo que se deben mover para cambiar la dirección de la nave?
A)2
AJ3
En el gráfico. ' lcuántoll
BJS
• 1I
2
En el gráfico mostrado,
mover, como mínimo, para Que la igualdad mostrada sea correcta?
L-
¿Cuántos palitos se deben cambiar de posición como mínimo de la siguiente figura. para obtener 4 triángulos equiláteros congruentes?
¿ on cuántos cerillos,
• •
J
¿Cuantos cerillos se deben
¿Cuánt~s cerillos se deben
•
RUBIÑDS
¿Cuántos palitos hay Que
E)6
quitar como mínimo para obtener 2 cuadrados de diferente tamaño? (No dejar cabo suelto).
0)4
EDICIONES
En el siguiente gráfico,
¿Cuántos palitos hay que
A)l B}2 C)3
~
8)6 CI6
C)5
018
VJ6 E) 7
EllO
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que se verifique la siguiente igualdad? ,.'
•
,.
• AlI V)
t
t. .• .• • C)8
4
E) más de
4
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que se verifique la siguiente igualdad? AlI 8)2 eJ8. D)4
E)5
t-
..
,
•
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que
PROBLEMAS se verifique igualdad? ••
CON CERILLIIS la siguiente
.. - 1
·L~·· · AH
1I -i . =:2r" J I
4
1_ '• ...1
.J C)3
8'2
El mw €k 4
D) 4
MATEMATICA RECREATIVA cerillos de igual longitud . o El siguiente arreglo está ¿Cuántas cerillos como mínimo formado por cerillos de igual se debe cambiar de posición, longitud . Indique la mínima para formar el máximo número cantida d de cerillos que se de triángulos iguales que tenga deben retirar para que no quede un cerillo por lado? cuadrado alguno. .. -=A
65
I
¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que el triángulo cambie de posición?
Al7
~ AJO D)4
A)7
BJ8
D)10
C)9
0)7
Determine la mínima
E) 9
El siguiente
gráfico
representa una lámpara compuesta por 12 cerillos ¿Cuántos cerillos se deben cambiar de lugar, como mínimo. para que queden 5 triángulos iguales?
cantidad de cerillos que deben ser cambiados de posición para que la operación sea corerecta.
3jxYj=gl-i 8)2
AlI
D)4
C)3
Determine la mínima
tI
A)2
cantidad de cerillos que deben ser cambiados de posición para tener solo 3 cuadrados del mismo tamaño.
8)1
C)3 D)4 E)5
,
.
•
8)(;
cerillos de igual longitud. ¿Cuál es el mínimo número de cerillos que se debe c;ambiar de posición· para que resulten cuatro cuadrados? f
,.
AJ4
DJI \.
~
..
-
..... . •
.....
.
~
. ..
C}3 D)2
•
~
C)3 D)2 O E)6
" n
8~
En ~a siguiente figura, ¿cuál
* -.
En la siguiente operación, ¿cuántos cerillos se deben mover como mioimo para obtener 825?
, •
B}5
• -,
i
E)6
r.
-
que esta formado por doce cerillos idénticos. ¿Cuántos cerillos hay que mover como mínimo para obtener una figura que tenga el mismo perímetro que el cuadrado y Que su área sea los 5/9 de) área de) cuadrado? 0 = = 0 = = 0 - ~~ AH
es el menor número de cerillos que se debe de cambiar de posición para obtener una igualdad correcta?
A)4
En la figura se tiene 20
D)3 El5
D)lO
C)9
La figura, es un cuadrado
C)6
C)2
8)8
A)I
~
•
~
•
--•
Bl2
•
•
-.•
,.
t
•
DJ4
En la figura, se tiene 18
A)I D)5
8)3
EH
CJ2
-
