Capítulo II ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 2.1) Matrices de Esfuerzos y Deformaciones Unitarias. Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier). 2.1.1) Matrices ;
Consideremos un sólido estructural en equilibrio y un prisma infinitesimal recortado de su interior: Consideraremos únicamente los Medios Continuos no Polares (Las fuerzas de sección no contienen momentos). P
En el caso general, en cada cara del prisma actuarán tres componentes de esfuerzo.
y
Esfuerzos
yy
CARA x XX XY XY CARA y YX YY YZ CARA z ZX ZY ZZ (Sobre las caras positivas)
CARA y POSITIVA
yx
Nota: si no se consideran las FUERZAS MÁSICAS, en las caras opuestas (negativas) actúan esfuerzos de la misma intensidad y sentido contrario.
yz xy CARA x NEGATIVA
zy
P
xz
x
zx CARA x POSITIVA
zz z
xx
CARA z POSITIVA
Convenio:
Esfuerzos positivos, según las direcciones y sentidos indicados en la gráfica anterior.
Mecánica de Sólidos
Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz
Definición:
XX XY XY La matriz YX YY YZ ZX ZY ZZ
se denomina MATRIZ DE ESFUERZOS
Como una respuesta del sólido a los esfuerzos actuantes indicados, se generan las deformaciones unitarias siguientes: CARA x XX XY XY CARA y YX YY YZ CARA z ZX ZY ZZ Definición:
La matriz
XX XY XY YX YY YZ ZX ZY ZZ
se denomina MATRIZ DE DEFORMACIONES
UNITARIAS
Las matrices ; definen el Estado Tensional / Deformacional en el punto P del sólido. PROPIEDAD: las matrices ; son matrices 3 × 3 SIMÉTRICAS.
Por la Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante, tenemos: XY YX ; XZ ZX ; YZ ZY Por la definición de Deformación Unitaria Cortante y propiedad conmutativa de la suma: XY y XY YX YX Similar para los otros planos: ZY YZ ; ZX XZ
Debido a la simetría de las matrices ; , para su determinación basta conocer, en cada caso, seis magnitudes o componentes.
x
TRES ESFUERZOS NORMALES Y TRES ESFUERZOS CORTANTES, PARA LA MATRIZ . TRES DEFORMACIONES UNITARIAS NORMALES Y TRES DEFORMACIONES CORTANTES, PARA LA MATRIZ . NOTA.
Las matrices de esfuerzo y de deformaciones deformaciones unitarias ; , se relacionarán entre si a través de constantes elásticas apropiadas (características del material), mediante una matriz denominada Matriz de Constantes Elásticas..
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Definición:
XX XY XY La matriz YX YY YZ ZX ZY ZZ
se denomina MATRIZ DE ESFUERZOS
Como una respuesta del sólido a los esfuerzos actuantes indicados, se generan las deformaciones unitarias siguientes: CARA x XX XY XY CARA y YX YY YZ CARA z ZX ZY ZZ Definición:
La matriz
XX XY XY YX YY YZ ZX ZY ZZ
se denomina MATRIZ DE DEFORMACIONES
UNITARIAS
Las matrices ; definen el Estado Tensional / Deformacional en el punto P del sólido. PROPIEDAD: las matrices ; son matrices 3 × 3 SIMÉTRICAS.
Por la Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante, tenemos: XY YX ; XZ ZX ; YZ ZY Por la definición de Deformación Unitaria Cortante y propiedad conmutativa de la suma: XY y XY YX YX Similar para los otros planos: ZY YZ ; ZX XZ
Debido a la simetría de las matrices ; , para su determinación basta conocer, en cada caso, seis magnitudes o componentes.
x
TRES ESFUERZOS NORMALES Y TRES ESFUERZOS CORTANTES, PARA LA MATRIZ . TRES DEFORMACIONES UNITARIAS NORMALES Y TRES DEFORMACIONES CORTANTES, PARA LA MATRIZ . NOTA.
Las matrices de esfuerzo y de deformaciones deformaciones unitarias ; , se relacionarán entre si a través de constantes elásticas apropiadas (características del material), mediante una matriz denominada Matriz de Constantes Elásticas..
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2.1.2) Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier)
En Estática se formulan ecuaciones del equilibrio para partículas discretas y cuerpos rígidos, en términos de fuerzas y/o momentos. En Mecánica de Sólidos, interesa establecer las ecuaciones del equilibrio en términos de los esfuerzos desarrollados en el interior de los sólidos deformables. Consideremos un volumen elemental recortado de un sólido deformable, para el cual la configuración deformada (en equilibrio) sea un prisma rectangular sometido a esfuerzos y fuerzas másicas. Fuerzas Másicas (de cuerpo o de volumen): Las que influencian directamente los elementos de masa a través del cuerpo o del sólido. Se las define en términos de Unidades de Fuerza por Unidad de Volumen (o unidad de masa). Así los efectos de la gravedad, efectos electromagnéticos,... etc. Deduciremos la ecuación de equilibrio correspondiente a la dirección X; en las otras direcciones (Y Z) la deducción es similar. Sea B X la función distribución de Fuerzas por Unidad de Volumen en dirección OX. (Consideramos únicamente únicamente los esfuerzos que generan fuerzas en dirección OX). y
z
x
dz
y x x
dx
y x x
y d y y
x
B x dV B x dx dy dz fuerzamásica
zx dy
z x
z x x
z z d z
yx
B d x V
x
x dx x
Variaciónde x debidaa la variación dx
F 0 X dx dydz - X dydz X x yX yX dy dxdz - yX dxdz y zx zx dy dydx - zx dydx B x dxdydz 0 z Simplificando, Simplificando, tenemos:
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x xy zx Bx 0 x y z
i
Reiterando el procedimiento en las direcciones Y, Z se deducen ecuaciones análogas a la i : ∂τ xy
x
∂
+
∂σ y
y
∂
+
∂τ yz
z
∂
+ By = 0
xy yz z Bz 0 x y z Definición) Las ecuaciones
( i i
i i i
)
i , i i , i i i se denominan Ecuaciones Diferenciales
del Equilibrio (Ecuaciones de Navier). Expresan condiciones para el equilibrio en términos de esfuerzos y distribuciones de fuerzas másicas. B B x ,B y ,Bz VECTOR DE FUERZAS MÁSICAS NOTAS:
1. Las ecuaciones de Navier son independientes del material. Esto significa que son validas en régimen elástico o inelástico. 2. No existen ecuaciones en número suficiente para determinar, a partir de ellas, las seis componentes de esfuerzo desconocidas. Esto nos indica que en el Análisis de Esfuerzos, los problemas son Estáticamente Indeterminados. 3. Las ecuaciones de equilibrio M 0 se consideraron al estudiar la simetría de la matriz de esfuerzos (Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante). 4. Si además el sólido estuviese en movimiento, las ecuaciones de Navier siguen siendo válidas, agregando el término representativo de las fuerzas de inercia (Principio de D I Alambert):
Fx 0 Fx I C Fx I C 0 2.2) Ley Generalizada de Hooke 2.2.1) Ley de Hooke en Tres Direcciones Ortogonales. Ecuaciones de Lamé
Consideremos un prisma recto de material elástico, lineal e isotrópico, sometido a esfuerzo normal en tres direcciones ortogonales (No incluimos la presencia de Fuerzas Másicas).
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z
E MATERIAL G y
z
x x x
y
ESTADO TRIAXIAL DE ESFUERZO NORMAL
z
y
Para cada dirección, la deformación unitaria total, es la suma de una DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL Y DOS DEFORMACIONES TRANSVERSALES. Por comodidad, puede usarse el Principio de Superposición: z
x
y
y
y
x
=
x
x
+
+ y
z
S E x N S O I E C L A A y M T R O O T F E z D
z
S E N
x
' x
O I A C ' y A M S A R I O D F B E E' z D D
S E N
z
y
' ' x
O I C A ' ' y A M S R A D O I F B E E ' ' z D D
S E N
' ' ' x
z
O I C A A ' ' ' y M S R A D O I F B ' ' ' z E E D D
Para cada dirección aplicaremos la Ley de Hooke (uniaxial) y la definición de Relación de Poisson: ' x x ' y x ' y x E E E ' ' x y ' ' y y ' ' y y 1 E E E ' ' ' x z ' ' ' y z ' ' ' y z E E E Por el principio superposición, las deformaciones unitarias totales, son:
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x 'x ' 'x ' ' 'x y 'y ' 'y ' ' 'y 2 z 'z ' 'z ' ' 'z Reemplazando las ecs.1) en las ecs 2) y simplificando, tenemos: 1 x y z E 1 y y x z 3 E 1 z z x y E
x
Def). Las ecuaciones (3) constituyen la Ley Generalizada de Hooke (para esfuerzos normales en tres direcciones ortogonales). Notas) 1. Si el material es elástico, lineal e isotrópico, los elementos de la matriz y sus correspondientes de la matriz , se relacionan mediante las ecuaciones: 1 x y z E 1 y y x z E 1 z z x y E 4 1 xy xy G 1 xz xz G 1 yz yz G
x
Estas ecuaciones nos permiten obtener las Deformaciones Unitarias Normales y Cortantes, conociendo los esfuerzos y las características elásticas (E, G) del material. 2. Las ecuaciones (4) pueden invertirse para obtener los esfuerzos en función de las deformaciones unitarias normales y cortantes. Se obtienen: x 2 x x y z y 2 y x y z 5.1 z 2 z x y z
xy G xy xz G xz 5.2 zy G zy
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Definición). Las ecuaciones (5.1) para x , y , z se denominan Ecuaciones de
LAMÉ (del Estado Triaxial de Esfuerzos Normales). Las constantes elásticas , están dadas por: E E (5.3) G ; G 21 1 1 2 denominadas Constantes Elásticas de Lamé. 2.2.2) Definiciones.
i) INVARIANTE: cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de referencia. y
A r 2 Invariante Las coordenadas del centro (C) cambian si se consideran otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas del centro C no son invariantes.
r c
x
x'
y'
ii)La suma x y z (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Esfuerzos: 1 x y z La suma x y z (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Deformaciones Unitarias. 1 x y z 1 2 Entre 1 y 1 se verifica la relación 1 1 E (La invarianza 1 se demostrará al estudiar la Transformación General de Esfuerzos). iii) El invariante 1 x y z es numéricamente igual al cambio Unitario de Volumen. V ; siendo V0 el volumen inicial. 1 x y z V0 Por consiguiente el variante θ 1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen. iv) Un estado de esfuerzos definido por la matriz
0 0 0 0 p 0 se llama ESTADO HIDROSTÁTICO DE ESFUERZOS. 0 0 (Estado volumétrico ó Estado de comprensión triaxial). Recuerda al principio de Pascal: La presión hidrostática es la misma en todas las direcciones.
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Si el material es elástico, lineal e isotrópico, tenemos: E 1 2 E el 1 , es decir p K1 , siendo K p p p p 31 2 E 31 2 denominado MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD DEL MATERIAL. (MÓDULO VOLUMÉTRICO, Bulks). K: representa un valor de esfuerzo de compresión necesario para producir una deformación volumétrica igual a la unidad (K es el valor de –p para generar θ1 = 1).
1
EJEMPLOS
1) En el interior de un sólido, los esfuerzos están dados por la matriz x 2 y 1 y 2 x 0 1 3 y 3 y 0 (unidades de esfuerzo) 1 y 2 x 3 2 0 0 2z Determinar la distribución de Fuerzas Másicas, si el equilibrio debe satisfacerse en todo punto del sólido. Esfuerzos x x 2 y 1 y y 3 3y 3
xy 1 y 2 x yz 0
zx 0 z 2z 2
Reemplazando en las Ecuaciones de Navier (ecs i, ii, iii), obtenemos:
Bx 0 2xy 2xy 0 B x 0 1- y 2 1 3y 2 3 0 B y 0 B y 0 3 0 0 4z B z 0 Bz 0 Luego, vector de fuerzas másicas es: B = (0, 0, -4z) (vector típico de efectos de peso propio). 9K G , donde 3K G E: Modulo de Elasticidad Lineal G: Modulo de Rigidez. K: Modulo Volumétrico. 2) Demostrar la igualdad. E
Sabemos que:
E 2g1 ( i ) 1 2 1 1 ( ii ) E K1 ( iii ) De (iii) y (ii) obtenemos p 1 2 1 K E
(Estado hidrostático de esfuerzos).
Por definición de 1 :
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1 1 2 p 1 2 3 3 K E K E De donde E 3K1 2( iiii ) Entre las ecuaciones (i ) y (iiii) eliminamos la relación de Poisson . Obtenemos: E 1 E de donde despejamos E, para obtener finalmente: 1 2G 2 6K E
9K G 3K G
3) Una varilla de latón AD está acoplada a cierto dispositivo que aplica un confinamiento (presión lateral) de 8,000 lb/pulg 2 en la porción BC de la varilla. Sabiendo que E = 15 ×10 6 lb/pulg2 y 0.33 , determinar: (i) El cambio en la longitud AD; (ii) El cambio en el diámetro en la sección central de la varilla. A
i) En un punto tal como se presenta estado de confinamiento lateral. z
x
B
24"
x
10"
z x z 8,000 lb pu lg2 y 0 (no hay esfuerzo normal)
C
D
2"
Usamos la ley generalizada de Hooke en dirección OY: 1 Tenemos y y x z . Reemplazando valores: E 1 y 0 0.33 8,000 8,000 15 10 6 y 352 x 10 -6 En cambio en la longitud AD será L y
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1011 352 10 6 3.52 10 3 pu lg. (Notar que solo la longitud L = 10’’ está afectada por el confinamiento)
ii) Cambio en el diámetro: 1 y z E x 1 x 8000 0.33 8000 15 10 6 x 357.33 x 10 -6 (disminuci ón del diámetro)
x
Luego d d x d 2' ' 357.33 10 6 d 714.66 10 6 pu lg adas 4) La placa representada está restringida, de tal manera que no puede dilatarse ni contraerse en dirección Y, pero puede hacerlo libremente en las direcciones X, Z. Las superficies de la placa perpendiculares al eje Z están libres de esfuerzo. Si se produce un cambio uniforme de temperatura (ΔT°), hallar y , x , z . T
y
y
x
0
0
DEFORMACIO NES EN GENERAL : TOTAL ELÁSTICA TÉRMICA
z
E; ;
Para cada dirección las deformaciones unitarias totales, son: 1 x TOTAL x y z T 1 E 1 y y x z T 2 TOTAL E 1 z TOTAL z x y T 3 E Condición → restricción → y
TOTAL
0 luego:
x x z E T ( haciendo y
TOTAL
0)
x 0 , tenemos y 0 ET z 0 Reemplazando los valores x , y , z en la ecuación (1) tenemos: Reemplazando datos
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x TOTAL
1 0 2 1 1 T E
Reemplazando en la ecuación (3), tenemos:
z TOTAL 1 0 T E 5) Una placa rectangular de espesor “d” está comprendida entre dos planos paralelos rígidos cuya separación es invariable. La placa está sometida a las fuerzas indicadas P y Q. Calcular la presión que ejerce la placa sobre los planos rígidos. P P
P
y
y
a
a b Q
d
Q
x
Q
z
b d
E;
Q P
P
Como el espesor “d” de la p laca no puede cambiar debe ser z
o
P
0 . Luego:
1 x y E z
De donde obtenemos z x y
Q P Reemplazando los esfuerzos normales, obtenemos z bd ad La presión total ejercida sobre los planos rígidos, es:
z ab (área indicada). a P Q b P Q (compresión sobre los planos rígidos). PTOTAL ab d ad bd d PTOTAL
Nota: Observar que z 0 NO IMPLICA NECESARIAMENTE z 0 6) En el sistema representado, calcular las nuevas dimensiones de las aristas del bloque rectangular. A 1 Barras Elásticas E1 (cuatro, simétricamente ubicadas) 1 aristas iniciales a, b, c. Bloque Prismático E 2 2
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Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz c
p
a
b p
Planta
Frente b
Barras Elásticas 1 Bloque 2
p
y
a p
z
c
x
Reacciones:
F R F
F
R 4 F1 Esfuerzos en el bloque: R (compresión en dirección de x) x ab y (Dato) z 0 (Dato)
F
Deformaciones unitarias (bloque): (Ley Generalizada de Hooke) 1 2 y z x E2 x 1 2 x z y E2 y 1 2 x y z E2 z Reemplazando los esfuerzos tenemos:
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1 R 2 p 0 E 2 ab 1 R y p 2 0 E2 ab 1 R z p 0 2 E2 ab
x
Simplificando: 1 R 2p 2 E 2 ab 1 R y p 2 3 E2 ab 1 R z p 4 E 2 2 ab
x
Cambios de longitud (bloque):
x c x
c E2
R p 2 ab 5
Cambio de longitud (barra elástica):
FL Rc 6 E1 A 1 4E1 A 1
Condición (paredes rígidas) → Δx = Δ, luego: RC R de donde obtenemos R: 2p ab 4E1 A 1 2p R E2 1 4E1 A 1 ab Conocida la fuerza R, reemplazamos su valor en las ecuaciones (2), (3), (4), para obtener las deformaciones unitarias en el bloque. 1 2 x 2 p E ab E2 2 4E A 1 1 1 2p 1 1 2p p 2 ; z y 2 p E 2 ab E 2 ab E2 E2 1 1 4E1 A 1 4E1 A 1 Las nuevas dimensiones de las aristas del bloque serán:
c E2
a’ = a ( 1 + εy );
b’ = a ( b + ε z );
c’ = c ( 1 + ε x )
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7) Sobre un cubo de 1 m. de arista, cuyo material es elástico lineal quiere inducirse el 2kx 2k 0 Estado de Deformación Unitaria dado por la matriz: 2k 2ky 0 , donde (x, 0 0 2k y, z), son las coordenadas de cualquier punto del sólido, expresadas en cm. Se conoce que E 2.6 x 105 Kg cm2 ; 0.3 ; K 10 5 . Calcular los esfuerzos requeridos en las caras del bloque. G
y
F
B
A
D
z
x E C
o
Con los valores E, determinamos las constantes de Lamé: E 2.6 10 5 0.3 1.5 10 5 Kg / cm2 1 1 2 1 0.31 0.6 E 2.6 105 10 5 Kg / cm2 21 21 0.3 Usamos las ecuaciones de Lamé para calcular los esfuerzos requeridos en las caras del sólido (Ecuaciones 5.1):
x 2 x x y z (y similares) x 2 105 2 10 5 x 1.5 105 2 10 5 x 2 10 5 y 2 10 5 (Las deformaciones ε x, εy, εz, → se obtienen de la matriz ).
Simplificando se obtiene x 7x 3y 3 De manera similar procedemos para las direcciones y,z. obtenemos:
y 3x 7y 3 ;
z 3 x 3y 7
A partir de las ecuaciones para esfuerzo cortante (ecs 5.2) obtenemos; xy G xy
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xy 105 2 10 5 2 ( recordar que G = μ) ( xy 2 K , de la matriz ) De manera similar tenemos:
xz 0 , yz 0 Resumen de ecuaciones para los esfuerzos
x 7 x 3y 3 y 3x 7y 3 z 3x 3 y 7
xy 2 xz 0 yz 0
A partir de estas ecuaciones pueden hallarse los esfuerzos en cada cara del prisma. Cara OCDE……………… ABGF……………… AOFE……………… CBGD……………… OABC……………… EFGD………………
plano ……… y=0 y = 100 cm …… ………… x=0 x = 100 (cm) …… ……… Z=0 Z = 100 (cm) ……
(Kg / cm2 ) (Kg / cm2 ) …… y 3x 3 xy 2 y 3x 703 …… xy 2 xy 2 …… x 3y 3 x 3x 703 …… xy 2 z 3x 3y 7 …… 0 z 3x 3y 7 …… 0
y 3x 703 G
y F
z 3x 3 y 7
B
A
x 3y 703
z D E
x
x 3y 3
C
z 3x 3 y 7
o
y 3x 3
225
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8) Un prisma rectangular de aristas a, b, c está solicitado por tres fuerzas normales A, B, C paralelas a las aristas. Hallar la relación entre estas seis magnitudes para que el volumen del prisma no cambie. Considerar el prisma de material elástico lineal (E; ). z
Esfuerzos A x bc B y ac C z ab
C
a
b
B
c
y
A x
1 y z E x 1 A 1 B c aA bB cC x → x E bc ac ab abcE
Deformaciones unitarias: x
De manera similar, obtenemos: 1 bB aA cC ; z 1 cC aA bB y abcE abcE Condición: V 0 → x y z 0 (ver sección 2.2.2) Reemplazando las deformaciones unitarias, tenemos: 1 aA bB cC bB aA cC cC aA bB 0 abcE Simplificando →
Como
1 1 2 aA bB cc 0 abcE
1 1 2 0 ; la condición buscada será: abcE aA bB cC 0
9) Se hace descender, en el océano, una esfera sólida de acero de 100 mm de diámetro, hasta donde la presión es 90 x 106 Pa . Sabiendo que E 200 x 109 Pa ; 0.3 , determinar: i) La reducción del diámetro de la esfera.
226
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ii) La reducción del volumen de la esfera. iii) El aumento porcentual de la densidad de la esfera. Principio de Pascal x y z p Deformaciones unitarias 1 x x y z E 1 2 1 x p p p p E E
Similar para y y para z .Obtenemos:
x y z Reemplazando valores numéricos:
2 1 p E
0.6 19010 6 x y z 1.8 10 4 9 20010 i) d d x d 0.1 1.8 10 4 1.8 10 5 m.
ii)
1 x y z
volumen) VTOTAL
VTOTAL 3 1.8 10 4 5.4 10 4 V0
(cambio unitario del
4 0.053 5.4 10 4 2.83 10 7 m3 3
m Lnp Lnm LnV , de donde: v dp dV (puesto que m es constante) p V dp 2.83 10 7 5.4 10 4 Reemplazando valores: 4 p 5.236 10 (volumen inicial de la esfera) dp 0 0.054 0 0 0 p iii) p
10) Una barra cilíndrica, de material elástico lineal (E, ) está sometida a comprensión p, según se indica en el esquema. Lateralmente la barra está confinada por un tubo cilíndrico de pequeño espesor y módulo elástico E 1 . Hallar los esfuerzos normales en la barra.
227
Mecánica de Sólidos
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P
x z
Elementos cúbicos en la barra :
L
E1
E;
d d1
En la barra interior, la deformación unitaria en dirección X, es: x
1
1 x y z x x x ...........(1) E E
En el tubo de confinamiento:
x
x ó
z
c
c
2 c eL x Ld x d c 2e x c d d1 d 2 2
xd (esfuerzo circunferencial) d1 d xd Deformación unitaria: ' x c (2) E1 d1 dE1 (Compresión) c
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Compatibilidad: x ' x igualamos (1) y (2) xd 1 , de donde obtenemos: x p x E d1 dE1 p x z (Compresiones). E d 1 E1 d1 d 11) Una barra prismática, de material elástico lineal (E; ) está sometida al estado de 0 0 esfuerzos 0 0 0 . Determinar: 0 0 0 i) La superficie transformada de una esfera de ecuación x 2 + y2 + z2 = R2 en el interior de la barra. ii) El volumen encerrado por la nueva superficie. Considerar el origen “ O” como punto fijo durante la deformación de la barra. z
o
x
y
z y 0 (dato) Deformaciones unitarias (barra):
x
x
Ley Generalizada de Hooke: 1 1 x x y z E E Similarmente: y ; z E E
También: xy yz zx o (ver matriz ). Campo de Desplazamientos:
x
u 1 u (1) x E x
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v v ( 2) y E y w w z (3) E z z y
Integrando las ecuaciones (1), (2), (3), tenemos: u x f 1 y, z( 4) E v y f 2 x, z(5) E w z f 3 x, y (6) E Deteminamos las funciones f 1 (y; z); f 2 (x; z); f 3 (x; y) usando las condiciones para distorsión nula xy yz zx 0 . Sabemos que:
xy
u v ; y x
yz
w v ; y z
yz
w u x z
Luego tenemos:
f 1 f 2 0 * v x f 2 f 3 0* * De 5 y 6 : z y f 1 f 3 De 4 y 6 : 0* * * z x De 4 y 5 :
Para todo PX, Y, Z de la barra.
De (*) notamos que f 1 y f 2 han de ser funciones de z De (**) notamos que f 2 y f 3 han de ser funciones de x De (***) notamos que f 1 y f 3 han de ser funciones de y Luego f 1 C1;
f 2 C 2 ;
f 3 C3
Desplazamientos: Reemplazamos f 1, f 2 y f 3 en las ecuaciones (4), (5) y (6): u x C1 E v y C2 E w z C3 E u 0 x 0 Si el origen es punto fijo v 0 paray 0 w 0 z 0
230
Mecánica de Sólidos
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Con el cual determinamos que C1 C 2 C3 0 . En consecuencia el Campo de Desplazamiento se define por: u
v y ; E
x; E
w z E
z
P Esfera P’ Nueva superficie (Transformada de la esfera) r r 0 u r x, y, z u, v, w v , z r x u , y w x' z' y'
P' r
u
o
P x, y, z
r 0
x y
Es decir: x ' x u y ' y u z ' z w
x E y ' y y E z ' z z E x ' x
Por lo tanto:
x ' x 1 E y ' y 1 E z ' z1 E
x' 1 E y' y 1 E z' z 1 E x
Superficie inicial: x 2 + y2 + z2= R2 (esfera) Superficie transformada: x
x '2
1 E
2
y '2
1 E
2
z '2
1 E
2
R 2 (Elipsoide de revolución alrededor del eje x)
231
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VFINAL VINICIAL x y z VFINAL VINICIAL x y z 1 VINICIAL 4 VFINAL R 3 1 3 E E E 4 VFINAL R 3 1 1 2 3 E
12) Un material elástico (E , , α) originalmente llena una cavidad con lados 2a y altura h, en un bloque rígido, según se indica en el esquema. Encima del material elástico se coloca una tapa rígida y se aplica una fuerza de comprensión F a ésta, al mismo tiempo que se incrementa la temperatura. Expresar el movimiento de la tapa en función de F, T y las constantes elásticas del material. Despreciar cualquier efecto de fricción. y y
F F
a
Material Deformable
2a
c
h
2a
a
x
x z
Establecemos, en primer lugar los ejes coordenados como se indica en los esquemas. Se excluye la posible fricción → El material deformable no se adhiere a las paredes del bloque rígido ni a la tapa durante la deformación. Con “c” indicaremos el movimiento de la tapa (supuesto positivo según el eje “y”
indicado).
Como el material deformable es elástico lineal, usamos las ecuaciones de la Ley de Hooke Generalizada, más el efecto de temperatura: 1 y z T E x 1 y y x z T E 1 z z x y T E
x
1
232
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Debido a la carga aplica, en el material sólo ocurren esfuerzos normales. Por la restricción del bloque rígido, el material sólo experimentará deformaciones normales en dirección Y. y ; x z 0 Por la simetría (sección transversal cuadrada) x z. (Puede verificarse haciendo x 0; z 0 en la 1° y la 3° ecuaciones (1)) Reemplazando en la ecuación (1):
0 = σx
- ν σy
+ σ z + Eα Δ T
De donde obtenemos:
x
E y T (2) 1 1
Reemplazando la ecuación (2) en la segunda de las ecuaciones (1) encontramos que:
1 2 2 1 y E ET (3) 1 1 El esfuerzo en dirección y es:
σy
=
F (compresión )(4) 4a2
c (5) h Reemplazando las ecuaciones (4) y (5) en (3) y simplificando obtenemos: También, la deformación unitaria en dirección y, es
c 1 1 F 1 2 2 ET h E 1 4a ó c 1 F T h 1 3 K 4a 2
Siendo K el módulo de compresibilidad del material. Si ΔT = 0
F comprime el material y c es negativo
Si ΔT ≠ 0, la fuerza F requerida para mantener la tapa en su posición inicial
(cuando c 0 ), es:
F 4a 2 3 KT 13) (Ecuaciones diferenciales del equilibrio en Coordenadas Polares). Al estudiar la distribución de esfuerzos en anillos, discos giratorios y otras piezas curvas, es conveniente emplear Coordenadas Polares:
233
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: Angulo polar. : Radio vector. : Esfuerzo Normal en dirección radial. : Esfuerzo Normal en dirección tangencial.
Consideremos un elemento plano definido en coordenadas polares.
p
p
p
Elementos de espesor unitario, al plano del dibujo.
(Esfuerzos en el elemento polar, indicando la variación de los mismos al variar el radio vector y el ángulo polar. No incluimos distribución de fuerzas másicas). Estableciendo el Equilibrio de Fuerzas en dirección radial, tenemos: sen 2
p p
p sen 0 2
Efectuado operaciones, obtenemos:
234
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0 2 2
p p
Simplificando la sumatoria anterior, y dividiendo entre , obtenemos:
0 2 2 2
Llevando al límite, cuando ; 0 , tenemos:
0
Expresión que puede escribirse:
0
Finalmente
1 0 * Estableciendo, ahora, el equilibrio de FUERZAS en dirección tangencial (ortogonal a la dirección radial), tenemos:
1 2 0 * * Las ecuaciones (*), (**) son las ecuaciones de equilibrio, expresadas en términos de esfuerzos, en un sistema plano de coordenadas polares. No se incluyen las posibles distribuciones polares de fuerzas Másicas. 2.3) Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria. Transformación General de Esfuerzos. 2.3.1) Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria.
Consideremos un prisma elemental, sometido al estado general de esfuerzos definido por la matriz . x xy xz yx y yz zx zy z Pueden ser definidos los vectores siguientes:
x x ; xy , xz Vector esfuerzo sobre la cara X positiva. y y x ; y , yz Vector esfuerzo sobre la cara Y positiva.
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z zx ; zy , z Vector esfuerzo sobre la cara Z positiva. De manera equivalente, en función de los valores unitarios i , j , k.
x x i xy j xz k y yx i y j yz k
1
z zx i zy j z k En general x , y , z , son vectores no paralelos a los vectores unitarios i , j , k respectivamente. z
k
z zx, zy, z
x x , xy , xz En las caras opuestas actúan Vectores Esfuerzo de la misma intensidad y sentido contrario.
i
x
j
y
y yx , y , yz
Consideremos, ahora, el vector esfuerzo sobre un plano inclinado ABC que pasa por un punto P del sólido. z
N
C
y P
P
x B y
A
z
x
236
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N Vector Unitario Normal al plano ABC
N l i m j n k . Ecuación cartesiana del plano lx my nz q . Cosenos directores de la normal al plano l 2 + m2 + n2 = 1 z
N
l cos m cos n cos
y
x
Sobre el plano ABC, para el equilibrio, se desarrollará un VECTOR ESFUERZO. P Vector esfuerzo sobre el plano inclinado ABC. Generalmente no es normal al plano ABC. P
El vector esfuerzo puede expresarse en función de sus componentes cartesianas rectangulares. P
P P x i P y j P z k (2) Debemos encontrar las componentes P x , P y , P z en función de los elementos de la matriz y de los cosenos directores l, m, n, de la normal al plano inclinado ABC. La suma vectorial de las fuerzas actuantes sobre el tetraedro OABC nos permite escribir:
P l x m y n z (3) (Vector esfuerzo en el punto P). Reemplazando las expresiones (1) y (2) en (3), tenemos:
P x i P y j P z k l x i xy j xz k m xy i y j yz k n xz i yz j z k Simplificando y recordando las condiciones para igualad de vectores, obtenemos:
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Px l x m xy n xz Py l yx m y n yz Pz l zx m zy n z
4
Las ecuaciones (4) definen las Componentes Cartesianas Rectangulares del Vector de Esfuerzos P , en función de las componentes del Vector Normal Unitario N y de los elementos de la Matriz de Esfuerzo . Matricialmente, las ecuaciones (4) se expresan:
Px x xy xz l Py yx y yz m n zx zy z Pz ó P N Definición:
Vector columna de los cosenos directores de la normal al plano inclinado ABC.
El esfuerzo normal en un plano que pasa por P, es la Proyección Ortogonal del Vector p sobre el Vector Normal Unitario N . N C
PN
P Px , Py , Pz
P
PS s
B
PN Esfuerzo Normal en el plano ABC. PS Esfuerzo Cortante en el plano ABC (en la dirección S). (Dirección S normal con N ). La magnitud del esfuerzo Normal, es: PN P N (Producto escalar) En términos de componentes rectangulares, tenemos: σ PN
σ Px i σ Py j σ Pz k li m j nk
σ PN
lσ Px mσ Py nσ Pz
238
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Reemplazamos σ Px , σ Py , σ Pz por sus valores dados en las ecuación (4) y simplificando, tenemos: σ PN
l2 σ x m2 σ y n2 σ z 2lmτ xy 2ln xz 2mn τ yz
..............(5)
La magnitud del esfuerzo cortante, PS , en dirección S, es: 2
σ PS
σP
σ PS
σ Px
2
σN
2
σ Py 2 σ Pz 2 σ PN 2
.......... ...(6)
Notas:
1. Vector Gradiente
N normal
z
Sea P0 un punto sobre la gráfica de x, y, z k El vector unitario normal, es: N Siendo el vector gradiente: i j k , evaluando en x x x el punto P0 .
P0
x, y, z k
x
y
2. Recordando las operaciones del álgebra matricial, el esfuerzo normal sobre el plano inclinado ABC (ec.5) puede escribirse: l σ PN l m n σ m n ó σ PN
N
T
σ
N
l Siendo N m el vector columna de cosenos directores de la normal al plano n inclinado ABC.
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EJEMPLOS
7 5 1. En un sólido la matriz de esfuerzos es 5 3 0 1 Vector Esfuerzo en un plano que pasa por un punto del ABC. z
Plano ABC: x y z 1 4 2 6 3x 6y 2z 12 Cosenos directores del vector normal al plano ABC:
C
6 ''
4 '' P A
2 '' B
x
l
0 1 Klb pulg 2 . Determinar el 2 sólido, y es paralelo al plano
y
3 3 3 2 6 2 22 7
, m
6 6 3 2 6 2 22 7
n
2 2 3 2 6 2 22 7
Vector esfuerzo:
Px 7 5 0 3 7 5 3 1 Py 6 7 0 1 2 2 7 Pz Efectuando el producto indicado, tenemos: Px 9 7 Py 5 7
Pz 10 7 luego :
P
9 5 10 i j k 7 7 7
3xy 5y 2 0 2. El estado de esfuerzos en un sólido viene dado por 5y 2 0 2z 0 2 z 0 (Unidades de esfuerzo), siendo (x, y, z) las coordenadas de cualquier punto del sólido. Determinar el vector esfuerzo actuante en el punto P0 2,1, 3 ubicado sobre el cilindro y 2 z 2 4
240
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z
N
,, 2 1
3
y
y 2 z2 4
x
Vector unitario normal: N
siendo : y 2 z 2 4 0
y2 z2 4 Vector gradiente: 0i 2y j 2zk
evaluando en P0 2,1, 3
0i 2 j 2 3 k luego : N
0i 2 j 2 3 k 2
0 2 2 2 2 3
1 3 N 0, , 2 2
1 3 k 0i j 2 2
En el punto P0 , la matriz de esfuerzos es: 0 6 5 5 0 2 3 0 2 3 0
Vector esfuerzo: 0 Px 6 5 Py 5 0 2 3 0 2 3 0 Pz
0 12 3 2
Efectuando el producto, e identificando elementos, obtenemos: Py 3 Px 5 2 Px 3 5 Luego: P i 3 j 3 k 2
241
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0 1 2 3. La matriz de esfuerzos en un punto es 1 y 1 calcular y , de manera 2 1 0 que el Vector Esfuerzo en un plano que pasa por ese punto, sea nulo. Encontrar el Vector Unitario Normal para ese plano libre de esfuerzos. Vector esfuerzo P : desconocidos
Px 0 1 2 l 1 1 Py m y 2 1 0 n Pz Efectuando el producto e identificando componentes, tenemos:
Px m 2n
; Py l m y n
; Px 2l m
Condición P = 0. Entonces se requiere:
m 2n 0 .......... ..........1 l m y n 0 .......... ..2 2l m 0 .......... ........3 De (1) n m 2 ; de (3) l m 2 Reemplazando en (2):
m m m y 0 2 2
m 1 y 0
m 0 es imposible, puesto que ocasionaría m n l 0 Entonces
1 y 0 y 1
Para este valor, las ecs. (1), (2), (3) quedan: m 2n 0 lmn 0 2l m 0 Que las resolvemos bajo la condición:
l 2 m2 n2 1 (cosenos directores) 1 2 1 ;m ;n 6 6 6 Los vectores unitarios normales al plano libre de esfuerzos son: Obtenemos : l
N
1 2 1 i j k 6 6 6
242
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4. Sean P1 y P2 los vectores esfuerzo correspondientes a dos planos que pasan por un punto M, Sean n1 y n2 las normales a dichos planos. Demostrar que la proyección de P1 sobre n2 es igual a la proyección de sobre P 2 sobre n1 . n1
n2
P1
M
P2
Debemos probar que: P1 · n2 P 2 · n1.......... .....* Estado de esfuerzos en el punto M: x xy xz xy y yz xz yz z
El vector esfuerzo P1 es:
a P1x x xy xz 1 P1y xy y yz b1 P 1z xz yz z c 1 Desarrollando el producto, encontramos:
P1 x a1 xyb1 xzc 1 ; xya1 y b1 yz c1 , xza1 yzb1 z c 1 La proyección de P1 sobre n2 , es P1·n2 luego: P1·n2 x a1a 2 xyb1a 2 xz c 1a 2 xy a1b 2 y b1b 2 yz c 1b 2 xza1c 2 yzb1c 2 z c 1c 2 .......... .........( **) De manera similar obtenemos la proyección de P2 sobre n1 : P 2 ·n1 x a1a 2 xyb1a 2 xz c 1a 2 xy a1b 2 y b1b 2 yz c 1b 2 xza1c 2 yzb1c 2 z c 1c 2 .......... ........(* * *) Comparando (**) con (***) obtenemos (*): P1·n2 P2 ·n1 Nota: Este resultado, se denomina Ley de Reciprocidad Generalizada.
a b 5. El estado de esfuerzos en un punto es a c donde a, b y c son b c constantes y es un valor dado no nulo. Encontrar las constantes a, b y c de manera que el vector esfuerzo sobre el plano octaédrico sea nulo.
243
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z
ABC es el plano octaédrico, si: C
N cos , cos , cos
B
A
y
x
cos 2 cos 2 cos 2 1 1 cos 3 Normal al plano octaédrico: ' 1 1 1 1 1 1 N , , ó N , , 3 3 3 3 3 3 Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico: 1 3 a b OCT a c 1 3 b c 1 3 Desarrollando el producto, obtenemos: σ aσ bσ aσ σ cσ bσ cσ σ , , σ OCT 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Condición dada: OCT 0 0, 0, 0 luego: 1 σ aσ bσ 0 ; 1 aσ σ cσ 0 ; 1 bσ cσ σ 0 3 3 3 De donde (como es 0 obtenemos: 1 a b 0 a 1 c 0 * b c 1 0 Resolviendo el sistema (*), tenemos: a = -1/2 b = -1/2 c= -1/2 0 0 cx 6. El estado de esfuerzos en un sólido es cx 0 cx donde c es una 0 cx 0 constante.
244
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i) Probar que se satisfacen las ecuaciones del equilibrio, cuando el vector de fuerzas másicas es nulo. ii) Determinar el vector esfuerzo en P0 4,4,7 sobre el plano 2x 2y z 7 y sobre la esfera x 2 y 2 z 2 81 i) Las componentes de esfuerzo son:
x 0 ; xy cz ; xy 0 ; y 0 ; yz cx ; z 0 Reemplazando en las ecuaciones de Navier, notamos que se verifican sólo cuando Bx By Bz 0 punto P0 4,4,7 2x 2y z 7 0
ii) Plano 2x 2y z 7 Vector normal al plano: n
(evaluando en P0 ) n
2i 2 j k
2 2 1 i j k 22 2 2 12 3 3 3
Vector esfuerzo en el punto P0 : 0 2 3 0 7c P0 7c 0 4c 2 3 0 4c 0 - 1 3 14 18 8 P0 c, c, 3 3 3
Esfera x 2 y 2 z 2 81 x 2 y 2 z 2 81 2xi 2y j 2zk
4,4,7
8i 8 j 14k 8i 8 j 14k 4 4 7 Luego: n i j k 8 2 8 2 14 2 9 9 9 Vector esfuerzo: 0 4 9 - 28c 9 0 7c P0 7c 0 4c - 4 9 0 0 4c 0 7 9 16c 9 28 16 P0 ci 0 j ck 9 9 14 7 7 7. En el punto P el estado de esfuerzos es 7 21 0 determinar: 7 0 35 i) El vector esfuerzo en un plano que contiene a P y es paralelo al plano BGE. ii) El vector esfuerzo en un plano que contiene a P y es paralelo al plano BGFC. iii) Las componentes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante en el plano BGFC.
245
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z
6 ''
B
A
C
D E
4 ''
P
y
2 '' G
F
x
i) Hallamos la ecuación del plano BGE: x y z 1 6x 2y 3z 12 2 6 4 Los cosenos directores de la normal al plano, son: 6 2 3 l m n 62 22 32 62 22 32 62 22 32 6 2 3 l m n 7 7 7 14 7 7 6 7 El vector esfuerzo P es: P 7 21 0 2 7 7 0 35 3 7 Efectuando el producto, obtenemos: 11 P 12 P 11i 12 j 9k ó 9 (Siendo i, j, k los vectores direccionales unitarios) ii) Hallamos la ecuación del plano BGFC: x z 1 2x z 4 2 4 Los cosenos directores de la normal al plano son: 2 1 l m 0 n 2 2 12 2 2 12 2 1 l m0 n 5 5 2 5 14 7 7 El vector esfuerzo, es: P 7 21 0 0 7 0 35 1 5 Efectuando el producto, obtenemos:
246
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21 5 P 14 5 21 5
P
ó
21 14 21 i j k 5 5 5
iii) Sobre el plano BGFC, el esfuerzo normal, es:
N N N
2 5 donde N 0 1 5
luego : 2 5 14 7 7 2 1 7 21 0 0 N 0 5 5 7 0 35 1 5 21 5 2 1 14 5 N 0 5 5 2 1 5 42 21 63 N 0 (component e normal) 5 5 5 La componente de esfuerzo cortante , es: 2
P N
2
2
2
2
21 14 21 63 2 5 5 5 5
37.696 5
Nota: Los esfuerzos N y están expresados en las mismas unidades de esfuerzo que los elementos de la matriz . 2.3.2) Transformación General de Esfuerzos
i) Propiedad: “Conociendo las componentes de esfuerzo, referidas a tres superficies ortogonales en un punto, pueden calcularse las componentes de esfuerzo que actúan sobre cualquier otra superficie que pasa por el punto referido.”
247
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Consideremos un tetraedro infinitesimal OABC, recortado de un sólido en equilibrio. En los planos coordenados actúan esfuerzos dados por la matriz . z n
n
C
s
s
yx
y
yz A
x
xy P
xz
o
zx
zy
x
B
y
z
La superficie ABC tiene como vector unitario normal n anx , any , anz y sobre ella actúa el esfuerzo normal n y el esfuerzo cortante s recordar : anx 2 any 2 anz 2 1 La magnitud del esfuerzo normal, es: anx n anx any anz any a nz Desarrollando las operaciones matriciales, obtenemos: n x anx 2 xy a nx any xz anx a nz yx any anx y any 2 1 yza ny a nz zx anz anx zy anz any z anz 2 Nota) Observar la coincidencia con la fórmula deducida en la sección anterior (ec.5),
con el cambio de nomenclatura para los cosenos directores del vector normal unitario:
l anx
m any
n anz
248
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La igualdad (1) demuestra que el esfuerzo normal actuante sobre cualquier superficie que contiene al punto para el cual está definido el estado de esfuerzos (mediante la matriz ), depende únicamente de las componentes de esfuerzo y de los cosenos directores de la normal a la superficie de interés. Sean a sx , a sy , a sz los cosenos directores de una dirección s (contenida en el plano ABC y normal al vector n ). Recordar: a 2 sx a 2 sy a 2 sz = 1 anx a sx any a sy anza sz 0
n
C s
B P
Estableciendo el equilibrio tetraedro OABC, puede establecerse una expresión, similar a la ec. (1), para el esfuerzo cortante s : A
s x anx a sx xy a nx a sy xz anx a sz yx any a sx y any a sy 2 yz any a sz zx anz a sx zy anz a sy z anz a sz La igualdad (2) demuestra que el esfuerzo cortante s , en la dirección s , depende únicamente del estado de esfuerzos y de los cosenos directores de las direcciones n y s. Las ecs. (1) y (2) nos permiten calcular los esfuerzos sobre cualquier superficie que pase por el punto dado, en función de los elementos de la matriz y de los cosenos directores de n y s (ortogonales).
249
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ii) Ecuaciones para la Transformación General de Esfuerzos z'
z
PROBLEMA Conocida la matriz , referida al sistema x, y, z, encontrar la matriz ’
y'
asociada con el sistema x’ y’ z’.
(x, y, z): ortogonal (x’, y’, z’): ortogonal)
(x y z) rotación (x’ y’ z’) o
x' x
y
tura.
Para encontrar x ' (Esfuerzo Normal en la dirección X’)
Podemos usar la ec. (1), anterior, con el cambio apropiado en la nomencla-
Entonces, en la ec. (1) en vez de usar n para la dirección de una superficie (su normal), usamos x’ (normal a la superficie coordenada z’ o’ y’). Reemplazando n por x’
en la ec. (1), tenemos: n x a x'x 2 xy a x'x a x'y xza x'x a x'z yx a x'y a x'x y a x'y 2 3 2 yza x'y a x'z zx a x'z a x'x zy a x'z a x'y z a x'z Donde: a x 'x coseno director entre el eje x’ y e l eje x. a x 'y coseno director entre el eje x’ y el eje y. etc. En forma semejante, pueden hallarse expresiones para los esfuerzos normales y ' y z' Se obtienen: y' x a y'x 2 xy a y'x a y'y xz a y'x a y'z yx a y'y a y'x y a y'y 2 4 2 yz a y'y a y'z zx a y'z a y'x zy a y'z a y'y z a y'z
z' x a z'x 2 xy a z'x a z'y xza z'x a z'z yx a z'y a z'x y a z'y 2 5 yza z'y a z'z zx a z'z a z'x zy a z'z a z'y z a z'z 2 También el esfuerzo cortante x 'z' puede calcularse a partir de la ec. (2) en forma análoga a las usadas para determinar los esfuerzos normales en el sistema rotado (x’ y’ z’). Obtenemos:
x'z' x a x'x a z'x xy a x'x a z'y xz a x'x a z'z yx a x'y a z'x y a x'y a z'y 6 yz a x'y a z'z zx a x'z a z'x zy a x'z a z'y z a x'z a z'z y similares para x 'y ' , y 'z' . Las ecuaciones para la transformación de esfuerzos, ecuaciones (3), (4), (5), (6),….
Se escriben consistentemente en forma matricial:
250
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matriz referida a las coordenadas (x ,y, z). ' matriz referida a las coordenadas ( x’, y’, z’). Ambos sistemas de coordenadas coordenadas son respectivamente respectivamente ortogonales. ortogonales.
z' z
MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS: A
y'
(MATRIZ DE COSENOS DIRECTORES)
a x'x a x'y a x'z A a y'x a y 'y a y 'z a z'x a z'y a z'z (También denominada matriz rotación de coordenadas).
x' x
x
y
z
x’
a x'x
a x'y
a x'z
y’
a y'x
a y'y
a y 'z
z’
a z'x
a z' y
a z 'z
y
En base a esta matriz A , las ecs. (3), (4), (5), (6), escriben consistentemente: consistentemente: ' A A T
se
matriz de esfuerzos en el sistema x y z. ' matriz de esfuerzos en el sistema x' y' z'. Siendo: A matriz de rotación. A T transpuesta de la matriz de rotación.
Recordar A T : se intercambian intercambian filas con columnas en la matriz A a x'x a x'y a x'z A T a y 'x a y 'y a y 'z a z'x a z'y a z'z Recordar también las condiciones condiciones de ortonormalidad. ortonormalidad. EJEMPLOS
1) Demostrar n' '' '' x y z (Primer invariante de esfuerzos). y
z
Sumando respectivamente respectivamente las ecs. (3), (4) y (5), tenemos: x' y' z' x a x'x 2 xy a x'x a x'y xza x'x a x'z
yx a x'y a x'x y a x'y 2 yza x'y a x'z zx a x'z a x'x zy a x'z a x'y z a x'z 2 x a y'x 2 xy a y'x a y'y xz a y'x a y'z
251
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yx a y'y a y'x y a y'y 2 yza y'y a y'z zx a y'z a y'x zy a y'z a y'y z a y'z 2 y a z'y 2 yza z'y a z'z xz a z'y a z'x
yx a z'y a z'x y a z'y 2 yza z'y a z'z zx a z'z a z'x zy a z'z a z'y z a z'z 2 Expresión que puede arreglarse de la manera siguiente:
x ' y ' z ' x a x ' x 2 a y ' x 2 a z' x 2 y a x ' y 2 a y ' y 2 a z ' y 2 z a x'z 2 a y'z 2 a z'z 2 xy a x'x a x'y a y'x a y'y a z'x a z'y Por las condiciones de ortonormalidad, los coeficientes que multiplican a los esfuerzos normales x , y , z valen UNO (son la suma de cuadrados de cosenos directores. Condición de normalidad). También los coeficientes que multiplican a los esfuerzos cortantes xy ..., etc. Valen CERO (condición de ortogonalidad). En consecuencia:
x ' y ' z' x y z (Denominado PRIMER INVARIANTE DE ESFUERZOS). 10 50 50 0 M Pa , hallar x ' , siendo x’ la 2) Dado el estado de esfuerzos 50 0 0 50 0 dirección i 2 j 3k . Vector Unitario en dirección x’:
i 2 j 3k
1 2 3 i j k 2 2 14 14 14 1 2 3 1 2 3 Cosenos Directores a x 'x ; a x'y ; a x 'z 14 14 14 x'
Usamos la ecuación (escalar) de transformación (ec. 3) (Ver Pág. 261) n x a x'x 2 xy a x'x a x'y xz a x'x a x'z yx a x'y a x'x y a x'y 2
yz a x'y a x'z zx a x'z a x'x zy a x'z a x'y z a x'z 2 Reemplazando valores de los cosenos directores: a x'x
1 2 3 ; a x'y ; a x 'z 14 14 14
Tenemos:
252
Mecánica de Sólidos
Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz 2
1 1 2 1 3 50 50 n 10 14 14 14 14 14 2
x
y
z
x’
cos 45º
cos135 135 º
cos 90º
y’
cos 45º
cos 45º
cos 90º
z’
cos 90º
cos 90º
cos 0º
2 1 1 2 3 0 0 50 14 14 14 14 14 3 2 3 2 3 0 0 50 14 14 14 14 14
Efectuando operaciones, obtenemos: 10 100 150 100 150 14 14 14 14 14 90 M Pa x' 6.43 M Pa x' 14
x'
3) El estado de esfuerzos esfuerzos en un punto punto P, referido al sistema sistema de coordenadas coordenadas x, y, z 100 0 0 es 0 0 0 . Determinar la matriz de esfuerzos correspondiente a un 0 0 300 sistema de ejes obtenido mediante la rotación de 45º, del sistema x y z alrededor del eje z, en sentido horario cuando se mira hacia el punto. z'
z
P
x'
450 450 x
y
y'
Matriz de rotación A
2 2 A 2 2 0
2 2 0 2 2 0 0 1
Respecto al sistema rotado x’ y’ z’ , la matriz de esfuerzos, es:
' A A T
253
2
Mecánica de Sólidos
Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz σ
' A
A T
σ
Efectuando el triple producto matricial, tenemos:
X
Y
z
x’
cos 30º
cos 30º
cos 30º
y’
cos 30º
cos 30º
cos 30º
z’
cos 30º
cos 30º
cos 30º
50 50 0 ' 50 50 0 0 0 300
4)
En 500 0 100
un punto de un sólido, la matriz de esfuerzos está dada por 0 100 0 0 KPa , en el sistema inicial de referencia x, y, z. Un nuevo 0 800 sistema de referencia x’ y’ z’ se obtiene girando el sistema inicial 30º alrededor del eje z, según se indica. Determinar la matriz esfuerzos referida al sistema x’ y’ z’. Usaremos la expresión matricial:
' A A
T
Definimos la matriz de transformación de coordenadas A :
z'
z
o
30
x
300
y'
0
y
x'
254
Mecánica de Sólidos
x' x'y' y 'x ' y ' z'x' z'y'
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0.866 0.5 A T 0.5 0.866 0 0 ' A A T x'z' 0.866 0.5 0 500 y'z' 0.5 0.866 0 0 z' 0 0 1 100
0 0 1
0 100 0.866 0.5 0 0 0 0.5 0.866 0 0 800 0 0 1
Desarrollando el triple producto matricial, tenemos:
x' x'y' x'z' 375 216 86.6 y'x' y' y'z' 216 125 50 KPa 800 z'x' z'y' z' 86.6 50 Notar que:
+ σ y ' + σ z' = 375 125 + 800 = 300 KPa σ x + σ y + σ z = 500 + 0 + 800 = 300 KPa → σ x ' + σ y ' + σ z' = σ x + σ y + σ z (Pr imer Invariante de Esfuerzos). σ x'
k 0 0 5) Respecto al sistema x y z, la matriz de esfuerzos es: 0 k 0 determinar la 0 0 k matriz de esfuerzos refe rida al sistema x’ y’ z’. y'
z' z
4 x'
o
y
x
x’: Dirección octaédrica.
255
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Usaremos: ' A A T Debemos encontrar la matriz de transformación: A Como el eje x’ forma ángulos iguales con los ejes x, y, z, es conocida la primera fila de
la matriz A . También, como el ángulo entre z’ y z es
4
, se conocerá el elemento a z'z (= cos 45)
de la matriz A . Datos: a x 'x a x 'y a x 'z cos
cos 2 cos 2 cos 2 1 1 cos 3 1 también : a z 'z 2 Condiciones: a y 'x 2 a y' y 2 a y'x 2 1 cosenos directores de y' a z'x 2 a z'y 2 a z'x 2 1 cosenos directores de z' (Provienen del coseno de entre dos direcciones):
a x`x a y 'x a x 'y a y'y a x'z a y'z 0 x' y' a x`x a x 'x a x 'y a z' y a x 'z a z'z 0 x' z' a a a a a a 0 y' z' y ' y z' y y ' z z' z y `x z ' x x
y
z
x’
a x 'x
a x'y
a x 'z
y’
a y'x
a y'y
a y 'z
z’
a z' x
a z' y
a z'z
Reemplazando en las 5 ecuaciones anteriores los valores conocidos, determinamos el sistema siguiente: a y 'x 2 a y 'y 2 a y'x 2 1(1) 1 a z'x 2 a z'y 2 1 (2) 2 1 1 1 a y 'x a y'y a y'z 0 a y'x a y'y a y 'z 0(3) 3 3 3 1 1 1 1 1 0 a x ' x a z 'y 0 (4) a x 'x a z' y 3 3 3 2 2 1 (5) a y `x a z ' x a y ' y a z ' y a y 'z 0 2
Las ecuaciones (1), (2), (3), (4), (5) determinan un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas: a y 'x , a y ' y , a y 'z , a z'x , a z'y A partir de las ecuaciones (2) y (4), obtenemos:
256
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a z' x 0
a z' y
1 2
Reemplazando estos valores en (5), obtenemos a y 'y = a y 'z (*) Esta condición la reemplazamos en (1) y (3): a y'x 2 2a y 'y 2 1 y a y 'x 2a y 'y 0 donde obtenemos : 2 1 a y' x , a y'y 6 6 1 (*) 6 Tenemos completada la matriz de rotación A y en consecuencia, a y 'z
1 3 1 3 1 3 A 2 6 1 6 1 6 0 1 2 1 2 Finalmente, reemplazamos en: ' A A
T
x' x'y' x'z' 1 3 1 3 1 x'y' y' y'z' 2 6 1 6 1 0 1 2 1 x ' z ' y ' z ' z ' Desarrollando el triple producto matricial: x xy xz xy y yz xz yz z
x
y
z
x’
1 3
1 3
1 3
y’
2 6
1 6
1 6
z’
0
1 2
1 2
3 K 0 0 1 3 2 6 1 3 6 0 K 0 1 3 1 6 1 6 2 0 0 K 0 1 2 1 2
k 0 0 0 k 0 0 0 k
k k k 6) La matriz de esfuerzos k k k está k k k referida al sistema x y z. Hallar la matriz referida al sistema x’ y’ z’, según se indica en el esquema.
257
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y' z
z'
arc cos
2 3
y
x'
x
Los ejes y’, z, z’ están en un mismo plano vertical. Los ejes x’, x, y están en un mismo plano vertical.
Determinaremos la matriz de transformación de coordenadas A : Existen cinco elementos conocidos: 0 a x'x a x'y A a y 'x a y 'y 2 3 1 3 1 3 1 3 Similar al ejemplo anterior, empleamos las condiciones de ortonormalidad: a x `x 2 a x ' y 2 1 2 1 3 a x'y a y'y 0 0
a y `x 2 a y ' y 2 a x `x a y ' x
1 1 a x 'y 0 0 3 3 1 1 2 1 a y `x a y 'y 0 3 3 3 3 Resolviendo este sistema, obtenemos: a x `x 1 2 1 2 1 2 0 a x 'y 1 2 A 1 6 1 6 2 3 a y `x 1 6 1 3 1 3 1 3 a y 'y 1 6 a x `x
Luego:
258
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1 2 1 2 0 ' 1 6 1 6 2 3 1 3 1 3 1 3
1 2 1 6 1 3 k k k k k k 1 2 1 6 1 3 k k k 0 2 3 1 3
Desarrollando el triple producto matricial, obtenemos: 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 3k
1 0 0 7) Referida al sistema x y z, la matriz de esfuerzos es: 0 2 0 demostrar 0 0 3 que el esfuerzo cortante sobre un plano octaédrico, está dado por: 1 OCT 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 z
n Vector normal unitario a uno de los planos octaédricos.
P Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico.
n
1 1 1 n , , 3 3 3
P
y
El esfuerzo sobre el plano octaédrico, es:
x
1 3 1 0 0 3 P 0 2 0 1 3 3 0 0 1 3 3 3 El esfuerzo normal sobre el plano octaédrico, es: 1 3 1 0 0 1 N 1 3 1 3 1 3 0 2 0 1 3 1 2 3 0 0 1 3 3 3 El esfuerzo cortante, será:
N
P
s
259
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OCT P 2 N 2
1 2 1 1 2 2 3 2 1 2 3 2 3 9
Que se transforma en : 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 OCT 3 2.4) Esfuerzos y Direcciones Principales. Diagonalización de la Matriz
Un problema de gran interés en el análisis de esfuerzos, consiste en determinar los máximos valores de los esfuerzos normales y sus direcciones correspondientes. El esfuerzo normal que actúa sobre una cara de un prisma será máximo, cuando en esta cara, los esfuerzos cortantes sean nulos. ( máximo cuando 0 )
En consecuencia, la matriz de esfuerzos deberá transformarse en una matriz diagonal
T
T: transformación de similaridad. y
2
2
1 3
x
1
3
z
: M ATRIZ DIAGONAL
: NO DIAGONAL
Los ejes 1-2-3 denominan EJES x xy xz
PRINCIPALES DE ESFUERZO xy xz 0 0 T 1 y yz 0 2 0 0 0 yz z 3
1 2 3
260
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Definición)
Los esfuerzos 1, 2 , 3 se denominan ESFUERZOS PRINCIPALES. Sus direcciones correspondientes, se denominan DIRECCIONES PRINCIPALES. Los planos donde actúan los esfuerzos principales, se denominan PLANOS PRINCIPALES. Sean N l1, m1, n1 el vector unitario normal paralelo al eje principal 1.
2
l1 cos x,1 m1 cos y,1 n1 cos z,1 El vector esfuerzo sobre el plano cuya normal es N1 , es: (*) N1
N1
1
3
Si en el plano indicado, los esfuerzos cortantes son nulos N1 (condición de paralelismo de vectores). La igualdad (*) nos queda:
N1 N1
(**)
Siendo un escalar por determinar. En términos de sus componentes, la ecuación (**) es: l l1 x xy xz 1 m1 yx y yz m1 n 1 zx zy z n1 Efectuando el producto matricial, e, identificando componentes, tenemos:
l1 x l1 xym1 xzn1 m1 yxl1 y m1 yzn1 n1 zxl1 zym1 zn1 Ecuaciones que determinan el sistema lineal homogéneo siguiente:
x l1 xym1 xzn1 0
yxl1 y m1 yzn1 0 zxl1 zym1 z n1 0
261
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Sistema lineal de ecuaciones homogéneas, que notación matricial se expresa:
x xy xz y yz yx zy z zx
l1 0 m1 0 n 0 1
(Las incógnitas son los cosenos directores l1, m1, n1 ). Una condición del Álgebra L ineal, expresa:”Para que el sistema de ecuaciones homogéneas ó admita soluciones diferentes de la solución trivial l1 m1 n1 0 , es necesario que: det(s) 0 “ En consecuencia, la condición requerida es: x xy xz yx y yz 0 zx zy z Definición)
El determinante del anterior sistema de ecuaciones lineales homogéneas det(s) se denomina DETERMINANTE CARACTERISTICO. La ecuación det( s) 0 se denomina ECUACIÓN CARACTERÍSTICA. Las raíces de la ecuación característica se denominan RAICES CARACTERÍSTICAS. Nota:
Las raíces características vienen a ser los valores buscados del escalar λ. También se denominan Valores Característicos. Encontradas las raíces características, mediante el sistema ó se encontrarán los cosenos directores correspondientes (Un juego para raíz característica). Notas:
Debido a que es una matriz simétrica de orden 3, las tres raíces de la ecuación característica son REALES (Teorema del Álgebra Lineal).
Cada raíz característica es un valor del ESFUERZO PRINCIPAL. Por lo general, las raíces se ordenan 1 2 3 ó 1 2 3 .
Sustituyendo el valor el valor de cada raíz característica en el sistema ó y recordando que l 2 m2 n2 1; se determinan tres sistemas de COSENOS DIRECTORES.
Cada juego de cosenos directores, define una DIRECCIÓN PRINCIPAL. Puede demostrarse que las tres DIRECCIÓNES PRINCIPALES son mutuamente ORTOGONALES.
En los planos principales NO actúan esfuerzos cortantes. En consecuencia, la matriz que define el estado PRINCIPAL DE ESFUERZOS es una matriz diagonal:
262
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1 0 0 0 2 0 0 0 3 Por esto, el proceso de calcular las raíces y los valores característicos, se denomina DIAGONALIZACIÓN DE LA MATRIZ DE ESFUERZOS (Problema de vectores y valores propios)Al formular la ecuación características se obtiene un polinomio de la forma 3 12 2 2 3 0 , donde 1 PRIMER INVARIANTE DE ESFUERZOS. 2 SEGUNDO INVARIANTE DE ESFUERZOS. 3 TERCER INVARIANTE DE ESFUERZOS. Sus valores están dados por: 1 x y z
2 x y y z z x xy 2 xz 2 yz 2 3 x y z 2 xy xz yz xy 2 z yz 2 x xz 2 y EJEMPLOS
1) Hallar los esfuerzos 0 0 0 la matriz 0 150 80
principales correspondientes al estado de esfuerzos dado por 150 80 lb pulg 2 200
0
0 150 80 Ecuación Característica: 0 0 0 150 80 200 Desarrollando el determinante, obtenemos: 2 3 28 0 200 ,900
POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Resolviendo la ecuación característica, obtenemos las raíces características:
1 0 ; 2 297.23 ; 3 97.23 Los esfuerzos PRINCIPALES son: lb lb 1 297.23 ; 0 ; 97 . 23 1 1 pulg 2 pulg 2
3 1 2) El estado de esfuerzos en un punto es 1 3 0 0 esfuerzos principales y sus direcciones correspondientes.
0 0 MPa . Determinar los 1
263
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3
1 0 0 0 Ecuación Característica: 1 3 1 0 0 Desarrollando el determinante, obtenemos:
1 3 2 1 0 Raíces Características: 1 1 ; 2 2 ; 3 4 Esfuerzos Principales: 1 4 MPa ; 1 2 MPa ; 1 1 MPa
4 0 0 MATRIZ DIAGONAL: 0 2 0 MPa 0 0 1 Direcciones Principales: Para 4 : 0 3 4 1 El sistema nos queda 1 3 4 0 0 0 1 4 De donde obtenemos las ecuaciones lineales:
l1 0 m1 0 n 0 1
l1 m1 l1 m1 0 l1 m1 0 l1 m1 3n1 0 n1 0
Que las resolvemos con las condiciones l12 m12 n12 1
l12 l12 0 1 En consecuencia: l1 1 2 m1 1 2 n1 0
Vector unitario correspondiente a la primera dirección principal:
N1 1 2, 1 2 , 0 Para 2 : 0 3 2 1 1 3 2 0 0 0 1 2
l 2 0 m2 0 n 0 2
De donde obtenemos las ecuaciones lineales:
264
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l 2 m2 0 l2 m2 l 2 m2 0 l2 m2 n2 0 n2 0
Que las resolvemos con las condiciones l 2 2 m2 2 n2 2 1
2 l22 1 En consecuencia: l2 1 2 m2 1 2 n2 0 Vector unitario correspondiente a la segunda dirección principal: N2 1 2, 1 2 , 0
Para 1:
3 1 1 0 l 3 0 1 3 1 0 m3 0 0 0 1 1 n 3 0 De donde obtenemos las ecuaciones lineales: 2l3 m3 0 l 3 m3 2 l3 2m3 0 l3 2m3 l 3 m3 0 l3 2 n3 2 m3 2 1 n3 1 Vector unitario correspondiente a la tercera dirección principal: N3 0, 0, 1 Nota:
LOS EJES PRINCIPALES 1-2-3 pueden referirse a los ejes iniciales x, y, z mediante una tabla de cosenos directores: x
y
z
1
1 2
1 2
0
2
1 2 0
1 2 0
0
3
1
Se define la matriz
1 2 1 2 0 B 1 2 1 2 0 0 0 1
La matriz diagonal satisfacerá la condición: B B T 1 2 1 2 0 3 1 0 1 2 1 2 0 4 0 0 0 2 0 1 2 1 2 0 1 3 0 1 2 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 . . . Encontrando los productos escalares N 1 N2; N1 N3; N2 N3 se comprueba que las tres direcciones principales con mutuamente ortogonales.
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20 40 60 3) Dada la matriz de esfuerzos 40 40 20 MPa , hallar los esfuerzos 60 20 20 principales y sus correspondientes direcciones.
20 Ecuación Característica:
40 60
40 60 0 20 40 20 20
Desarrollando el determinante, obtenemos: 3 2 40,000 0 40 6000 ECUACIÓN CÚBICA
Resolviendo la ecuación característica, obtenemos:
1 97.39 ; 2 6.44 ; 3 63.83 Los esfuerzos principales son: 1 97.39 MPa 1 6.44 MPa 1 -63.83 MPa
MPa
0 97.39 0 0 6.44 0 MPa 0 0 63.83
Direcciones principales Reemplazando 1 97.39 en el sistema ; o en su equivalente ; obtenemos:
20 97.39l1 40m1 60n1 0 40l1 40 97.39m1 20n1 0 60l1 20m1 20 97.39n1 0 Que se resuelve condicionada con: l12 m12 n12 1 Obtenemos:
l1 0.6574
m1 0.6116
n1 0.4402
Que constituyen los cosenos directores de la 1ra dirección principal. Reiterando el procedimiento, obtenemos los cosenos directores de la 2da y 3ra dirección principal: l 2 0.4488 l3 0.6053
m2 0.7871 m3 0.0807
n2 0.4232 n3 0.7919
266
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Nota:
Es útil recordar las condiciones de ortonormalidad: A a1, b1, c 1
Vectores unitarios
B a 2 , b 2 , c 2
A
A B a1a 2 b1b 2 c 1c 2 0 a12 b12 c 12 1 a22 b22 c 22 1 B
En todos los casos, las matrices y caracterizan el mismo ESTADO DE ESFUERZOS.
0 200 300 4) Para el estado de esfuerzos 200 500 0 lb pulg 2 se conoce que en 300 0 600 un punto dado, uno de los esfuerzos principales es 749 lb pulg 2 ¿Qué valor tiene el esfuerzo de compresión máximo en el punto y qué dirección tiene? Para facilitar las operaciones numéricas: 0 0.2 0.3 0.2 0.5 0 K lb pulg 2 0.3 0 0.6
0.2 0.3 Ecuación Característica: 0.2 0.5 0 0 0.6 0.3 0 Desarrollando el determinante, obtenemos: 3 1.12 0.17 0.069 0 Como un esfuerzo principal es 0.749 K lb pulg 2 el polinomio característico debe ser divisible por - 0.749 Efectuando la división, el cociente es:
2 0.351 0.0929 0 Ecuación algebraica cuyas raíces son: ' 0.5275 Klb pulg 2 y ' ' 0.1765 Klb pulg 2 Por tanto, el esfuerzo de compresión máximo es 0.1765 Klb pulg 2 Para esa raíz característica, hallamos los cosenos directores correspondientes
267
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0.2 0.3 0.1765 0 . 2 0 . 5 0 . 1765 0 0.3 0 0.6 0.1765
l 0 m 0 n 0
Efectuando el producto se tiene las tres ecuaciones: 0.1765l 0.2 m 0.3 n 0 0.2l 0.6765 m 0 0.3l 0.7765 n 0
Que se resuelve con la condición: l 2 m2 n2 1 Obtenemos: l 0.899
m 0.266
n 0.347
La dirección pedida es N 0.899 i 0.266 j 0.347k 5) Los esfuerzos principales en un punto son 1,000 y 500 lb pulg 2 ¿Qué valor tienen los esfuerzos que actúan en la dirección de unos ejes que forman un ángulo de 30º, en sentido horario, con los ejes principales? 0 1,000 Matriz de esfuerzos principales 0 5 , 000 () Notar que se trata de un estado bidimensional de esfuerzos.
y' y
x, y ejes principales x’, y ejes principales 300
300
x
x'
x
y
X’
cos 30º
cos 120º
Y’
cos 60º
cos 30º
La matriz de esfuerzos en el sistema x’, y’ es:
Encontramos la matriz rotación
A
3 2 1 2 A 3 2 1 2
' A A T
268
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3 2 1 2 1,000 0 3 2 ' 0 5 , 000 3 2 1 2 1 2
1 2 3 2
Efectuando el producto matricial triple, encontramos:
875 125 3 lb pulg 2 ' 125 3 625
x' x'y' ' x'y' y'
2.5) Esfuerzos Octaédricos. Estados Medio y Desviador de Esfuerzos. Elipsoide de Esfuerzos. i) Esfuerzos Octaédricos
Un plano cuya normal forma ángulos, iguales con las DIRECCIONES PRINCIPALES de esfuerzos, se denomina PLANO OCTAÉDRICO. 2
3
1
n l, m, n vector unitario
3
1
2 1 1 1 n , , 3 3 3 Propiedad: sobre un plano octaédrico actúan los esfuerzos: 1 NORMAL OCT 1 2 3 3 1 CORTANTE OCT 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 1 1 1 En efecto, en el plano octaédrico donde n , , 3 3 3 El esfuerzo normal es: 1 3 σ1 0 0 1 1 1 0 σ 2 0 1 3 OCT , , 3 3 3 0 0 σ 1 3 3 Desarrollando los productos:
269
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1 OCT σ1 σ 2 σ 3 3 El vector esfuerzo sobre el plano octaédrico, es: 1 3 σ1 0 0 P 0 σ 2 0 1 3 0 0 σ 1 3 3 σ σ σ P 1 , 2 , 3 3 3 3
El esfuerzo cortante sobre el plano octaédrico, es:
OCT P 2 OCT 2 OCT
2 1 12 2 2 3 1 1 2 3 2 3 3 3 3 9
Simplificando, puede escribirse:
OCT
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3
ii) Estados Medio y Desviador de Esfuerzos
Muchos trabajos experimentales en laboratorios de ensayo y resistencia de materiales han demostrado que el inicio de la fluencia, en varios tipos de materiales, depende de 1 la magnitud del esfuerzo normal m x y z , al cual se denomina Esfuerzo 3 Normal Medio. En varios problemas nos interesará descomponer el estado de esfuerzos en una superposición de dos ESTADOS: m d Donde: m Estado Medio de Esfuerzos (Estado esférico) d Estado Desviador de Esfuerzos
270
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y
m
y m yx
yx yz
xy
zy zx
xz
x
yz
=
z
x y z 3 xz yz 0 z 0
+
zy zx
xz
x m
z m
m
ESTADO GENERAL
x xy xy y xz yz
m
xy
ESTADO MEDIO m
0
ESTADO DESVIADOR d
xy xz x m xy y m yz 0 yz z m x y z xz 3 0
x y z 3 0
x y z 3 En el estado desviador de esfuerzos: 2 y z 2 x y z 2 x y z 1 x 3 3 3 1 0 Donde: m
Si el material es elástico, lineal e isotrópico: El cambio unitario de volumen es: 1
1 2 es decir, para este caso 1 0 1
Propiedad: Como en el Estado Medio de Esfuerzos, no existen esfuerzos cortantes, no se presentan distorsiones angulares. Es decir, el estado medio es responsable de los cambios DE VOLUMEN (sin alterar la FORMA). Como la deformación volumétrica unitaria es NULA en el Estado Desviador de Esfuerzos, no se generan cambios de volumen. Es decir, el estado medio es responsable de los cambios DE FORMA (sin alterar el VOLUMEN). Estas consideraciones serán utilizadas al estudiar los criterios de Falla de Materiales. Nota:
Diagonalizando la matriz del estado desviador de esfuerzos d se determinarán los ESFUERZOS DESVIADORES PRINCIPALES.
271
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Ejemplo:
Hallar los esfuerzos desviadores principales asociados con la matriz de esfuerzos: 10 6 0 6 10 0 MPa . 0 0 1 Encontramos la matriz del estado desviador, a partir de:
m d Estado medio:
10 10 1 0 0 3 10 10 1 0 0 m 3 10 10 1 0 0 3 7 0 0 m 0 7 0 0 0 7 Estado desviador: d m
10 6 0 7 0 0 3 - 6 0 d 6 10 0 0 7 0 - 6 3 0 0 0 1 0 0 7 0 0 - 6 Sean " s" los esfuerzos principales desviadores. Ecuación característica: 3-s -6 0 -6 3-s 0 0 0 0 -6-s
Desarrollando el determinante y simplificando, obtenemos:
- 6 - ss - 9s 3 0 luego : s1 9 MPa s 2 3 MPa Son los esfuerzos desviadores principales.
s 3 6 MPa
iii) Elipsoide de Esfuerzos. Definición: El lugar geométrico de los extremos de los vectores de esfuerzo total,
correspondientes a todos los planos que pasan por un punto, se denomina ELIPSOIDE DE ESFUERZOS (ó ELIPSOIDE DE LAMÉ).
272
Mecánica de Sólidos
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La ecuación del elipsoide de esfuerzos puede ser referida al triedro de direcciones principales de esfuerzo. 3
z
p
n l, m, n P
x
1
y
2
Plano que pasa por P, con normal unitaria n l, m, n Vector esfuerzo P :
Px x 0 0 Py 0 y 0 0 0 z Pz
l l1 m m 2 n n 3
Px l1 ; Py l 2 ; Pz l 3 Pero : l 2 m 2 n 2 1 2
2
2
Px Py Pz 1 1 2 3
ó
2 Px 2 Py Pz 2 2 2 1 12 2 3
Es la ecuación del elipsoide de esfuerzos. El elipsoide de esfuerzos representa la distribución de las magnitudes del esfuerzo total en un ESPACIO DE ESFUERZOS.
Pz
3
2
P
y
1
Px 273
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EJEMPLOS
1) En un punto P , los esfuerzos principales son 1 12 ; 2 3 ; 3 6 . Determinar el vector esfuerzo y su componente normal en el plano octaédrico que pasa por P . Cosenos directores del plano octaédrico l m n
l 2 l 2 l2 1 l m n
1 3
Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico:
OCT N OCT
OCT
1 3 12 0 0 12 3 0 3 0 1 3 3 3 0 0 6 1 3 6 3 12 3 6 i j k 3 3 3
La componente normal será OCT N
OCT OCT
T
N
1 3 12 0 0 1 1 1 0 3 0 1 3 , , 3 3 3 0 0 6 1 3 3
2) Probar que la componente normal del esfuerzo en un plano octaédrico es igual a un tercio del primer invariante de esfuerzos. Cosenos directores de un plano octaédrico: lmn
1 3
Vector esfuerzo en el plano octaédrico:
OCT N OCT
OCT
1 1 0 0 0 2 0 1 0 0 1 3 1 i 2 j 3 k 3 3 3
3 3 3
Componente normal del vector esfuerzo en el plano octaédrico: T OCT N N 1 3 0 0 1 1 1 1 0 2 0 1 3 OCT 3 3 3 0 0 1 3 3 Desarrollando el producto, tenemos:
274
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1 2 3 1 2 3 * 3 3 3 3 0 0 2 0 , el primer invariante de esfuerzos es la traza de la 0 3
OCT 1 Dada la matriz 0 0 matriz:
* * I1 1 2 3 Comparando * y * * : 1 OCT I1 3 2.6) Esfuerzos Cortantes Máximos
Dado el estado general de esfuerzos mediante la matriz , es posible determinar los planos donde actúan los esfuerzos cortantes de máxima o mínima intensidad. Para simplificar los desarrollos algebraicos, es conveniente trabajar con la matriz de esfuerzos en el estado principal . z
referida al triedro de direcciones principale s. 1 0 0 0 2 0 0 0 3
3
P
2
1 x
y
Al rotar el prisma, en sus caras actúan nuevamente esfuerzos normales y cortantes. El propósito es determinar los valores EXTREMOS de los ESFUERZOS CORTANTES y, a su vez, determinar los planos donde estos actúan. z
N : Vector unitario
p
máx
N
N
normal al plano buscado
(referido a las direccione s P
principale s)
Plano buscado
y x
Sea N l, m, n entonces, las componentes del vector esfuerzo total, son:
275
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Px x 0 0 0 0 Py y 0 0 z Pz Es decir: P 1li 2 jl 3lk
l l1 m m 2 n n 3
La componente de esfuerzo normal N (sobre el plano buscado) es: N P N
N 1li 2m j 3nk li m j nk N 1l 2 2m2 3n 2 La componente de esfuerzo cortante, cumple la condición: 2 P 2 N 2 ; es decir : 2 Px 2 Py 2 Pz 2 1l 2 2m2 3n 2 Reemplazando las componentes Px , Py , Pz dadas por (*) tenemos:
2 12l2 2 2m2 3 2n2 1l2 2m2 3n2
* *
Como depende de los cosenos directores (buscados) l, m,n al variar la dirección del vector normal N , también variará la intensidad del esfuerzo cortante .
(ó 2 ) resultan ser funciones de tres variables direccionales: l,m,n ; sujetas a la ecuación de condición l 2 m2 n2 1. Estamos frente a un problema de valores extremos condicionados: “Hallar los valores extremos de:
2 12l2 2 2m2 3 2n2 1l2 2m2 3n2 con la ecuación de restricción l 2 m2 n2 1 ”. El problema puede solucionarse por algún procedimiento de Optimización Matemática (por ejemplo usando Multiplicadores de Lagrange) Sea F 12l 2 2 2m2 3 2n2 1l 2 2m2 3n2 l 2 m2 n2 1
* * *
Las condiciones de valor extremo son:
F F F 0 ; 0 ; 0 ; l2 m2 n2 1 0 l m n (Es evidente que el máximo de F también da el máximo de ) Encontrando las derivadas parciales y simplificando, se plantea un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas l,m,n, .
276
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El sistema referido, es:
l 12 21 1l 2 2m 2 3n 2 0
n
0
m 2 2 2 2 1l 2 2m 2 3n 2 0
2 3 1l 2m 3n l 2 m2 n2 1 2
2
3
2
2
* * * *
Un conjunto de soluciones para ** * * y los correspondientes valores de los esfuerzos cortantes asociados * * * , es: l 1 l0 l0
m0 m 1 m0
n0 0 n0 0 n 1 0
A
Los esfuerzos cortantes dados por A son evidentemente los VALORES MÍNIMOS. Notar, además que las direcciones dadas por A son las direcciones principales de esfuerzos (por eso, los esfuerzos cortantes son NULOS). Un segundo conjunto de soluciones de * * * * , es: l 1 1 2 1 l 2 l
m
1 2
m0 m
1 2
1 2 3 2 2 1 3 1 n 2 2 n0 1 2 2 n
B
3 1 puesto que los esfuerzos principales 2 MÁ X 3 1 que actúa en el plano cuya normal 2
De los tres valores , el mayor es están ordenados 1 2 3 tiene por cosenos directores.
Dicho plano, es el plano bisector del ángulo diedro formado por los planos principales donde actúan el esfuerzo principal mayor 1 y el esfuerzo principal menor 3 .
277
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Tercer plano principal
4 5 0 4 5 0
m á x
1
Plano de ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMO (Bisector)
Primer plano principal
Por ley de reciprocidad del esfuerzo cortante, en un plano perpendicular al plano de esfuerzo cortante máximo, también actuará MÁX .
m á x
á x m
Plano donde actúan el ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMO
En resumen: Para calcular el MÁX , basta determinar los esfuerzos principales mayor, 1 menor 1, 3 puesto que MÁX 3 . Mediante operaciones vectoriales es 2 posible encontrar el vector normal unitario correspondiente a los planos de esfuerzo cortante máximo. Nota. Se definen “Esfuerzos Cortantes Principales” a los valores dados por las ecuaciones (B). 3 , 1 1 2 , 2 2 3 3 1 2 3 1 2 2 2
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Donde los índices NO INDICAN FRACCIONES, sino es una convención para indicar que el esfuerzo cortante actúa en el plano que forma 45º con los planos donde actúan los esfuerzos principales respectivos. ( 1 Indica que el cortante actúa en el plano bisector del diedro formado por los 2
planos donde actúan 1 y 2 ). 2
Elementos Cúbi cos
3
1
1
3
2
2
1
2
Esfuerzos Pr incipales (Normales )
3
3
1
Esfuerzos cor tan tesPr incipales
EJEMPLOS
0 5 0 1) El estado de esfuerzos en un punto es 0 6 12 . Encontrar el máximo 0 12 1 esfuerzo cortante. 5 0 0 Ecuación característica: 0 6 12 0 12 1 0
Desarrollando el determinante, obtenemos las raíces características mediante la ecuación. 5 15 10 0 1 5 2 15 3 10 Esfuerzos principales: 1 10
2 5
3 15
3 1 10 ( 15) 12.5 (en las 2 2 mismas unidades que los esfuerzos dados en la matriz) Luego el esfuerzo principal máximo es MÁX
Este esfuerzo actúa en los planos bisectores de los planos principales donde actúan 1 y 3 3 . 1 2) En un punto P los esfuerzos principales son tales que 22 1 3 . Encontrar el vector normal unitario del plano en el que N 2 y 1 3 . 4
279
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Con respecto a las direcciones principales, el esfuerzo normal N está dado por N 1l2 2m2 3n2 . El esfuerzo cortante está dado por
2 12l2 2 2m2 3 2n2 1l2 2m2 3n2 Condiciones del problema:
2 2 1 3 2 1 3 ; N 1 3 ; 1 3 4 4 4 Reemplazando en las educaciones para N y , tenemos:
1 3 1l 2 2 1 3 4
2
1 3 m 2 3 2n 2 * 2 2 1 3 2 2 2 1 l m 3 2n 2 1 3 * * 4 2
Además, teneos la condición: l 2 m2 n2 1 * * * A partir de las ecuaciones * y * * * se obtienen de la condición:
1 3 n2 l2 0 l n Reemplazando “n” por “ l ” en la ecuación
* * y teniendo presente que la condición
* * * ahora es 1 2l 2 m2 , obtenemos: l2 1 ; de donde l 1 . Por consiguiente 8
n
2
1 . 2
3 2 1 3 1 El vector normal unitario, es N , , 2 2 2 2 2
De 1 2l 2 m2 obtenemos: m
Nota: Los valores negativos de l,m,n ; definen el otro sentido del mismo vector.
3)
Para
la
matriz
de
esfuerzos
1 1 1 a y'x a y 'y a y'z 0 a y 'x a y 'y a y'z 0(3) 3 3 3 1 1 1 1 1 0 a x ' x a z 'y 0 ( 4) a x'x a z' y 3 3 3 2 2 1 (5) determinar los esfuerzos a y `x a z'x a y'y a z'y a y 'z 0 2
principales, el máximo esfuerzo cortante y el esfuerzo cortante octaédrico.
280
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Estado bidimensional de esfuerzos z
Ecuación característica:
y x
xy xy
y
Desarrollando el determinante y simplificando:
x x
y
Las raíces características son: ' 63.951 ' ' -49.951 Por consiguiente, los esfuerzos principales son σ1
= 63.951 MPa
σ2
= 63.951 MPa
En este caso, el máximo esfuerzo cortante, es:
1 2 63.951 49.951 2 2 56.951 MPa
MÁX MÁX
El esfuerzo cortante octaédrico, es: 1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 1 63.951 49.952 49.9512 63.9512 3 46.62 MPa
OCT OCT OCT
Nota: Recordar que los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo NO se representan en los mismos planos. Los esfuerzos bidimensionales se presentan en innumerables aplicaciones de la Mecánica de Sólidos. Por su utilidad, en la sección siguiente estudiaremos en detalle el caso del Estado Bidimensional de Esfuerzos (denominado también ESTADO
281
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PLANO DE ESFUERZOS). Una aplicación importante del estado plano de esfuerzos, es el estudio de los Recipientes de Pared Delgada sometidos a presión. 2.7) Estado Plano de Esfuerzos 2.7.1) Definiciones
Si dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZO se presentan EL ESTADO PLANO DE ESFUERZOS. Seleccionemos al eje z como el eje perpendicular a las caras libres de esfuerzo. y
y
yx
x
xy
xy
x x
yx z
La matriz de esfuerzos, es: x xy xz xy y yz xz yz z Que para el caso, puede representarse: x xy xy y (Matriz representativa del estado de plano de esfuerzos).
y y
Esfuerzos del estado plano con signo positivo (CONVENIO).
y
xy x
x xy
x
y 2.7.2) Transformación de Esfuerzos Bidireccionales
El estado plano de esfuerzos es bastante usado y útil, por cuanto aproximadamente corresponde a innumerables situaciones físicas de interés en Ingeniería. En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando se cambia el sistema de coordenadas de referencia. Sólo analizaremos el caso de rotación de coorden adas, dejando el eje “z” invariante.
282
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Nota: Tener en cuenta que estamos frente a un caso particular de la transformación de
esfuerzos estudiaremos en la sección 2.3.2. Para el caso, el estado de esfuerzos (en el sistema rotado) viene dado por la matriz
x' x' y' 0 x' y ' y' 0 0 0 0
y
Y'
y'
X' Y '
X' x'
X x’
'
X cos
cos 2 cos z’ 2 y’
y X' Y ' cos 2 cos cos
2
z
cos 2Y' cos 2 cos 0
x
x' x'y' 0 x'y' y' 0 0 0 0
La matriz transformación de coordenadas es:
cos sen 0 A sen cos 0 0 0 1 La matriz de esfuerzos en el sistema rotado, se expresa por ' A A
T
Luego:
x' x'y' 0 cos sen 0 x xy 0 cos sen 0 x'y' y' 0 sen cos 0 yx y 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
283
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Desarrollando los productos matriciales, e identificando los respectivos elementos, tenemos: x' x cos 2 y sen2 2 xy sen cos
x'y' x y sen cos xy cos 2 sen2 * y' x sen2 y cos 2 2 xy sen cos Conviene expresar las ecuaciones * en términos del ángulo doble: 1 x y 1 x y cos 2 xy sen2 2 2 1 x'y' x y sen2 xy cos 2 2 1 1 y' x y x y cos 2 xy sen2 2 2
x'
* *
Las ecuaciones * o sus equivalentes * * son las ecuaciones de transformación de esfuerzos planos por rotación de coordenadas. Nota:
Observar que x' y' x y primer invariante de esfuerzos (sumar la primera y tercera de las ecuaciones * * ) 2.7.3) Esfuerzos Principales
Ecuación característica:
x xy 0 yx y
Desarrollando el determinante obtenemos: 2 x y x y xy 2 0 Raíces característica:
1 2
x y x y 2 4 xy 2 2
x y x y 2 4 xy 2 2
Los Esfuerzos Principales, son:
1 1
x y x y 2 4 xy 2 2
x y x y 2 4 xy 2 2
284
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Para determinar p haremos x'y' 0 (Condición para Esfuerzos Principales).
y
2
1
y'
x'
1 y sen2p xy cos 2p 0 2 x
de donde obtenemos: 2 xy tan 2 x y
p 1
x
2
La ecuación anterior define dos valores de 2p separados 180º y, por tanto, define dos valores de p separados 90º (Uno corresponde a la dirección x’ y el otro a la dirección y’). Def.) Las direcciones x’, y’ a lo largo de las cuales actúan los esf uerzos principales se
denominan Direcciones Principales. Los planos donde actúan los esfuerzos principales, se denominan Planos Principales. y 2 1
xy y y'
x
x
x'
x
xy planos principale s
2
1 p
y
Estado de esfuerzosprincipale s
2.7.4) Esfuerzo Cortante Máximo.
Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es,
xy
1 y sen2 xy cos 2 2 x
d x'y ' 0 d y de donde obtenemos tan 2 s x 2 xy
para hallar su valor máximo, hacemos
285
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Ecuación que nos permite calcular dos valores 2 s separados entre sí 180º .Por consiguiente, obtenemos dos valores de s separados entre si 90º. y
y'
x'
MÁX
y'
x'
S ' x
x' y'
Planos de Esfuerzo Cortante Máximo La magnitud del máximo Esfuerzo Cortante, es:
MÁX
1 x y sen arctan x y xy cos arctan x y 2 2 xy 2 xy
Evaluando la composición de funciones, tenemos: 2
MÁX
y 2 xy 1 y x 2 4 2 xy x 2 2
Si efectuamos la diferencia de esfuerzos principales 1 2
y x 2 4 xy
1 2 2 (Coincidente con las expresiones para el caso general). En consecuencia: MÁX
Notas)
1. Consideremos las ecuaciones para determinar los s correspondientes a los esfuerzos principales y al esfuerzo cortante máximo. tan 2p
tan 2 s
2 xy (Esfuerzos Principales) x y
x y (Esfuerzo Cortante Máximo) 2 xy
286
