CAP_14_FISICA CUANTICA.pdf

www.fisica2013.blogspot.com

www.fisicax2.blogspot.com

FISICA CUANTICA

.c om

• La leona de la relatividad presentó una nueva estructura para el desarrollo subsecuente de la ciencia.

w w

w .f

is

ic a2 01 3. b

lo gs po t

• Mediante las ecuaciones de MaxweJl y las leyes de la mecanica newtoniana se pueden explicar: el movimiento de cuerpos macroscópicos bajo la acción de fUeíL.aS apl1cadas; el comportamiento de campos electrlcos y magnéticos. y su relación con cargas y corrientes: el movimiento ondulatorio e Incluso la propagación de la luz visible y otras muchas formas de la radiación electromagnettca. Pero en el campo de la rnlcrofislca aparecen una sene de Incoherencias cuando se trata de explicar el comportamiento de la materia a escala atómica. En este campo tenemos: la radiación de cuerpo negro. el efecto fotoeléctrico, las lineas espectrales producIdas por los átomos en descargas de gases Incandescentes, etc.

• Es aqul donde surge la MECANICA CUANTICA con cambIos y generalizaciones slgn1f1catlvas en la mecánica clásIca y el electromagnetismo. RAD IA CION DE CUER PO NEGRO • CualquIer objeto caliente puede emItir un espectro continuo de radiacIón. el cual depende de la temperatura y del tipo de material que emite la luz. • El CUERPO NEGRO es un emisor Ideal que tiene la propiedad de absorver toda la radiación luminosa (absorvente Ideal). Kirchhoff demostró que sus propiedades son Independientes del material de que está hechO', y que emitirá y absorverá la radiació n . con Igu al facilidad.

donde

576 ¡ ( .... )

FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR

[CAP. 28

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com distribución espectral que describe la inlensidad de la radiación emitida desde el cuerpo negro a la frecuencia v.

¡ ( v ) dv: potencia espectral por área unitaria.

Experimentalmente se e n con tró que l( \1) para u n radiador Ideal o c u erpo negro es total mente Inclependlen te de que las paredes circundan tes sean de hierro, cob re, t ungsteno o cualq Uier o tro material. Por lo tanto, existe u na

1(v)

función ú n ica l( v) para

todos los cuerpos negros perfectos que vanan solamente con la frecuencia v y la temperatur a. .c om

v

lo gs po t

• La leoria clásica de la radiación de cuerpo negro se basaba en la leoria cinética clás ica y e n la teo ria cinética de la radiación electromagnética. ic a2 01 3. b

Esto cond ujo a la form a chl.slca de RAYLE IGH-J EANS, qu e hace refere ncia a l número de o nda s e s taciona ría s a u na fre cu en cia da da y a la e nergía que co ntenía cada u na

donde

81t\l2 kTdv

c3

w w

w .f

is

I(\I)dv =

2 : tér m ino qu e Indica el núm ero d e n odos posibles (ondas esta cionarías) k T : da la energla media por nodo. \1

Los resultados de esta aproximación eran erróneos para altas frecuencias, tal como se muestra en el gráfico. La in tegral de la curva de

Rayleigh -Jeans daba un resultado infinito, lo cual se conoció como CATASTROFE DEL ULTRAVIOLETA.

I(y)

Cur ..... de I R.o.yl.igh - Jca~ I I I

I

Curva eIperime n~al

sn

FISICA CUANTICA

CAP. 28]

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com • El cientiftco Wien propuso una fórm u la más apropiada para altas frecuencias, pero desafortunadamente no concordaba para bajos valores de la frecuencl.l v. I(v)dv

'=

el v3e-c1vlkTdv

(el Y C:2 son constantes experimentales).

• Max Planck planteó la ecuación correcta para 12 radla::lón del cu(.rpo negro, válida para todo valor de frecuencias. I(v)dv =

donde

h = 6,63 x 10 - 34 J.S = 6,63 x 10 -21 erg.s

(constante de Planck).

Esta ecuación se reduce a la fórmula de Raylelgh-Jeans para bajas fre cuencias, y a la fórmula de Wlen para altas frecuencias.

lo gs po t

.c om

Para deducir la ecuación supuso que las paredes de la cavidad contenian muchos pequei'líSlmos osciladores a r mónicos electromagnéticos que pueden emitir radiación hacia la cavidad y absorven e nergía de la misma. Las afirma cion es que planteó Planck en la deducción fueron: ic a2 01 3. b

Los osclladores de frecuencia v sólo pueden tener valores de energta discreta dados por n = 1:2: 3:4; .. .

is

En =nh v. w .f

Los estados discretos de energia pe rmitida se conocen como ESTADOS CUANw w

neos o estados estacionarios.

Los osciladores no radian continuamente, como lo h3.ce una carga acele rada, SIOO más bien saltando de un estado estacionario a otro; es decir, la energla se radia en forma de porciones discretas o trenes de ondas lumi nosas, cada uno de los cuales lleva una cantidad de energla Igual a hv. Estos paquetes de cuantos de energia luminosa se llaman FOTONES. 6E = ("2 - " 1 ) hv = ÓO h v

• Un cu erpo negro se puede con struir de ca si cualquier sustancia resistente al calor en forma de un recipiente hueco con un pequeño agujero por el que pueda entrar o salir radiación.

E FECTO FOTOELECTRICO • El efecto fotoeléctrico consiste en el d espre ndimiento de electrones de una s uperficie metalica cuando s e hace Incidir una radiación electromagnética. Esto se comprende fácilmente ya que la radiación e\eclromagné tlca Inciden te Impl1ca la existencia de ca m pos e\éctrlcos y magnéticos , de los cu ales prin cipalmen te el eléctrico pueden ejercer fu e rzas sobre electrones del metal, hacie ndo que sea n emitidos.

, 578



[CAP 28


• Con respecto a la emisión fotoeléctrica. la teoña c1aslca no pudo explicar que: La máxima energla clnéllca del electrón es la mis ma para u na frecue ncia HJa de la radiación , sin de pender de su Intensidad: en cambio el n úmero d e elec trone s e m ltldos si aumenta con la Intensidad de radiación.

Cuando la rad iación incidente es de frecuencia demasiada baja. no se desprenden e lectrones. sin im por tar la inte nsid ad de radiación . La emis ión de e lectrones se produce a menos de 10 - 9 S después de Humlnada

la superfi cie metá lica. • F\Je Einstei n quien planteó que la rad ia ció n e lec troma gnética de frecue ncia v co n te o la paqu etes de energla (fotones) de e ne rg'ia. E

= hv

Los e lec trones, para ser emitidos. necesitan una de te rminada energ1a minlma Uo'

llamada FUNCION DE TRABAJO.

om

Eins te in aseguró que un electrón emitido absorve toda la e nergla de un solo fotón: es decir, que la energla total de la radiación Incidente es la suma de las energlas de los fotones . ot

.c

Por conse rvación de la energ'ia. planteó la ecuación

+

sp bl

og

=

h"

a2

01

3.

Energla de un tot6n

U

o -...----

Funci6n de trabajo (energía mínima)

w

w .f

is

ic

Energla cinética máxima del electr6n emitido

w

• Para frec u encia s arr1ba de la minlma. corres pondientes a la e m isión. la maxlma e nergla clnelica de los e lec trones expelldos a umenta li neal me n te con la frecuencia . Esto se explica m ediante la exp resión v = Uo:mIu:/ h+ Ua / h

Cuando los e lectrones todavla no son emitidos, la energla clnetlca es cero: entonces, s i la frecuencia de la radiación inciden te es me nor que "umbral = Uo / h

significa que los fotones tienen e nergla menor que la función de trabajo. El e1ectron puede absorver el fotón, au mentan d o su energía dentro del metal. pero no adquiere su fi ciente energla para que se produzca la e misión fotoel ~clrlca . Esta

u.-

, FISICA CUANTICA

CAP,28J



57.

frecuencia es conocida como FRECUENCIA DE UMBRAL.

Aniba de esta frecuencia si ocurre expulsl6n de electrones. pero la cnergla que lleva cada folón siempre será hv. sin Importar la intensidad ele la radiación. Entonces. la máxima energia cinéllca de los electrones emllldos es

U~=hv-Uo • La rapidez de la expulsión fotoeléctrtca ~e explica porque el electrón necesita muy poco tiempo para absorver un [otón y salir de la superncle.

• A continuación se muestran algunos esquemas relacionados con la emisl6n fotoeléctrica. incidente

ot

.c

om

Lu~

.b lo g

sp

o

1

13

1,

ca

20

~

w .f

is i

1,

••

CAlodo meUlico

w w

Pohndal de retardadOn

v.

-v, ESPECTROS ATO MICOS

• La radiación de un cuerpo negro es continua en el sentirlo de que contiene algo de

e nergia de todas las frecuencias. Por olra parte, existen muchas fuentes de luz que sólo producen un ESPECTRO DE LINEAS; es decir. que consisten de una sene de frecuencias espectrales discretas bien definidas en vez de un espectro contin uo. • Para el espectro de lineas del átomo de hidrógeno se encontró empíncamente que se podía ajustar con la sig.u lente ecuación I

I = donde A : longitud de onda de la radiación . R : constan te de Rydberg (1 09 73 1 c m- I).

m < n

580

FUNDAMENTOS DE F1SICA SUPERIOR


(CAP 28


• m = I : SERIE D E LYMAN

l = R(J.. ,

- m

- _1 ) . n = 2: 3: 4 :

n'

l'

o ••

= 2 : SE RI E D E BALM E R

+ A

= R (2... , 2

_ --'-,>. n

n = 3 : 4 ; 5 ; ...

- m :: 3 : SERIE D E PASCHEN I

I =

. n

4 :5 :6 :

I '41"2 - ~) .n

= 5; 6 : 7 ;

o"

- m = 4 : SERIE DE BRACKE'IT

iI

= R(

o ••

.c

• Los supuestos básicos de Nle ls Bohr fueron:

om

TEORIA DE BOHR PARA EL ATOMO DE HIDROG EN O gs po t

- Orblla circular del e lectrOn alrededor del núcleo.

= Uc + Up 1

=

w

Un

w

w

La e nergla total del electrón es

.f is

ic

a2

01

3. b

lo

- El electrón podía orbltar en cualqu iera de los muchos estados energetlcos discretos posibles bien definidos. llamados ESfADOS ESTACIONARIOS. La e mlsl6n de radiación se produce únlcamenle cuando ocurre algún salto de un estado estacion a rio a otro.

2

"2 me Vn

AroMO DE

e2 - 4n €o 'n

II IDKOGE NO

Por la ley de fuerzas de Coulomb Fuerza Eléctrica =

FUerza Cenlripela

Sustlluyendo e n la ecuación de la energia

e'

Un = - ~'c---,-

8 1t Eorn

561

HSICA CUANTICA

CAP.28J

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com Cuando se emite radiación en las transiciones desde el estado IntclaJ ¡ a l estado flnaJJcon la rrecuencla v e2

1

11:

( ;: -

- 8

~_

,

~

1

rJ )

Como los radios T¡ y TI no podlan tener cualquier valor, Bohr planteó la cuanUzaclOn de la cantidad de movimiento angular

!.n

=

m",lI n r n

n = I:2:3: ...

= n(hl2n:) :

Combinando con la relación de ruerzas. se obtiene m e 2 n:

•

El radio minlmo ( n ::: 1 ) que corresponde al estado fundamental o de energia mlnlma, es om

( 12) (6,63 X 10 - 34 J. S)2 (8,85x 10 - ]2 C 2 /N. m 2) gs po t

.c

(9, llx 1O - 3I kg)(I,602XI0 - 19C)2n

3. b

lo

= 0.528 x lO -lO m = 0.52 8"'\

de donde

w

w

w

.f is

ic

a2

01

• La ecuación de la energía radiada se convierte en

_1 )

n'

Los estados de energia per mitidos en el átomo d e hidrógeno estan dados por

m e'

•

• Lo único que se ha descartado en la actu alidad . de la leorla de Bohr. es el s u pu esto

de las órbitas circulares. Se calcula qu e la energla minlma o rundamental del hidrógeno es - 13.6 eVo Son

Inestables los atamos que se encuentran en estados altos de e nergía y cae n al estado fundamental después de un cierto tiempo, emitiendo usualmente un fotón .

, 582

FUNDAMENTOS DE FfSICA SUPERIOR


•• •••

(.

• • 3


II

III

• • 2

[CAP. 28

Serie de BrackeU

Serie de ruchen

Serie de

S.lmer

1

-¡3,6fV

" " 1 Se"e de Lyman

ONDAS DE DE BROGLlE

co m

" De BrogUe planteó una relación entre la longitud de onda 1.. de la luz (propiedad ondulatoria) y la cantklad de movimiento (propiedad corpuscular de los fotones).

hv

~

k=ph

a2

01

3.

bl

U

P=c=v¡

og

sp ot .

Afirmó que la relación de la canlldad de movimiento debla ser válida tanto para los electrones, protones y demás partlculas maletiales, como para la luz; es decir

is ic

donde w

w

.f

U: radiación electromagnética de la luz. w

h v : e misión foloeJectrtca.

" Al pla ntear De Broglle que los electrones y otras partícu las manifiestan u na longitud de onda, en lonces debe ser poSible obtener un pat rón Fil.mento de d ifra cció n e n el caso de Proye ctor d e met'lico un haz d e electrones. El eled rone. ca nde n te experi me nto que confirmó la hipótesis de De Broglie es el q ue se muestra i

, --

'--'-,A

!

f,i,

t

~./ -

.

D",,'.'

"~ mo .. ib le

/ •.-'.'''

/ :If'

-'

"

\ - -

..'

\

1.

¡

• CAP. 28¡

583

FISICA CUANTICA

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com Por conservación de la energ\a para e l electrón acelerado a traves de la diferencia de potencial .ó. V = eAV

o sea que. la cantidad de movimiento es p

= "¡f'2"'m;-.""e'.:VV

Median te la relación de De BrogUe A.

h

= p::

h e

'12 m e.6V

• Lo a nler1ar se explica debido a que el cr1slal contlene determinados planos claramen te definidos. llamados PlANOS DE BRACO. en los que están ubicados los atamos.

om

La luz reflejada desde distintos planos de Bragg puede Inlerfer1r conslructlvamenle. a condición de que la diferencia en recorrido entre planos veclnbs sea Igual a un numero entero de longitudes de onda. sp

ot .c

LEY DE BRAGO

3.

bl

og

nA=2dsen9 01

A~omo.

a2

Hu incidente

ic

/\

•

•

•

.f

is w

•

w w

•

en el

cri,ta¡

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

Red eri.talina

•

•

•

• dunEl---

•

•

, 584


¡CAP, 28

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com • Como e n la circunfe re ncia de una órbita de Boh r s6lo se puede acomodar u n número e n tero de longitudes de onda

,,- , , ,

21t"T = nA = nh/p

de donde

,,

21trp=nh

,,

En tonces. la cuan tlzacl6n para el momento cln ~U co está dada por

-,

, /

,,

L =nh/21t

Esta fue la suposIción ú ltima de Bohr en el anáUsts del átomo de h idrógeno.

,

,

--

,,

,,,

,,

'-'

MECA NI CA ONDULATORIA DE SCHRODINGER

bl og s

po t.

q¡ ( x ,y.z,n

co m

• SchrOdlnger e ncontró una ú ltima ecuación de onda que describe la propagación de las ondas de materia de De Broglte. la cual se conoce como FUNCION DE ONDA mecánico-cuántica La forma precisa de dicha función depende de las

fue rlas que actúen sobre la par-

2

ic

, t) 1 proporciona una medida rdaUva de la cantidad de energta próxima al punto r en elllempo t. la función 1 'JI( r , t) I 2 dV da la probabilidad de w .f is

• AsI como 1 E ( r

a2 01

3.

Ucula.

w

w

que se halle el electrón dentro del volumen dV; es decir

Iv l 'fl (r,t)!2 dv =1 Esta es la denominada CONDlCION DE NORMALIZACION , • La cantidad 'fI ( r , t) no llene sentido IIslco dlreclo, en cambio si lo tiene

!lJI(r,nI

2

A esta última expresión se le conoce como AMPLITUD DE PROBABI LIDAD,

Considerando una partlcula de masa m sometida a una fuer.f.8 derivable de una fu n ción conocida de energla potencial Up ( x, y, z): entonces la dlnAmlca de la partlcula estA descrita por las soluciones 'fI (r , t) de la ECUACION DIFERENCIAL DE SCHROOINGER.

-H 2 ~lJI állJl a2 o/ -2 ( - , +--'+--2 )+Up max ayaz

_

( x ,y,z)'fI(r,()

=

• CAP. 281

585

FISICA CUANTICA

www.fisica2013.blogspot.com en donde


(unIdad compleja) h = N2n

(h

cruzada)

Las soluciones de esta ecuación deben ser u n 'valen tes. continuas, dtferenclables y tender a cero para valores posl Uvos grandes de x. y y z: con lo cu a l se obtienen funciones de onda fis icamente realistas . • PRJNCIPIO DE SU PERPOSICION

Para comprender las Implicaciones de este principio en la Interfere ncia mec(rnlcocuántica, se considera la difracción de electrones a travb del s istema de doble rendija

gs po t

.c

om

,

a2

01

3. b

lo

:~

, A

,

N

,,

A

A

ic

cubierta

.f is

•, ,• • ,• , •

t~

Patrón de Intenlidad 1

w

,,

w

, ,

w

Hu monoeromAUeo de . I.drone ,

I

nl ...i

Cuando se cubre la rendija B. todos los electrones a la derecha de la rendija deben 2 tener la función de onda 'JI1\' lal que I '1'J\ 1 describirá la distribución de las llegadas

a la pantalla. Se concluye, entonces, que llegan mas electrones a determinadas Areas de la pantalla

que a a iras y qu e el patrón de s us llegadas es el mismo que se forma cuando la luz pasa por una rendija ango~ta. ~ Se puede repetir la observación, cubriendo la rendija A para obtener el patrón des-

crito por

I '1'8 I 2.

, 586

FUND AMENTOS DE FISICA SUPERIOR

[CAP. 28

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com Ahora. manteniendo abiertas las d os rendijas Patrón de

~~•...•

) ) ) ) )

[nten l id"d I

,, ,T,

i~

) ) ) )

• ••

N

,,

8 ------:

~

)

Amb .. "O,;;"

la

abierta.

[A"< .....alJ'

ot

.c

om

En este caso. como no se sabe por cu al de las rendijas pasan los electro nes. la superposición de estados que corresponden a 'Y A Y 'Y IJ es sp

1

3.

bl

og

'f' = 12('f'A+'f'/J)

= =

\ji.

w

I lJI I 2

w

w .f

is

ic

a2

01

en donde, el coenclente I /{ 2 se obtiene de la condición de normalir.3cI6n, ya que los electrones tienen la misma probabilidad de pasar por la rendija A o por la B. La llegada de electrones a la pantalla esté. dada por q¡ = [

~[I

"VA

72 (. . .~

+ 'f'

¿ >] [12 ('YA + \ji lJ)]

12 + I '+'1J 12 +,+,,,, \fI¿+'f'n'+'~]

El término adicional 'YA

1fI¿

+ \f18\f1~

llamado TERMINO DE INTERFERENC IA, produce una distribución de las llegadas de e lectrones muy distinta de la que seohUene combinando los resultados anter10res en que solamente está abierta una rendiJa . • CUANTlZACION DE LA ENERGlA

Por lo general. las soluciones matemáticas de la ecuación de SchrOdlnger se pueden expresar como el producto de una función 'f' ( x . y . z) de las coordenadas espaCiales de la partícula. y una función que varia slnusoldalmente en elliempo y cuya frecuencia está relacionada con la e ne rgía total de la partícula mediante la relación de Planck U=hv=.fÍro

587

FISIC A CUANTICA

CAP. 29]



La función 'P (x, y, z) satisface la ecuación de SchrOdinger independientemente

del tiempo, es decir

-h 2 a2 'P a2 't' a2 ,f' ( -, + -, + -2) + Up ( x . y. z) '1' ( x . y , z) 2m

ax

ay

az

U 'P(x,y,z)

en donde Up : energia poten cia l. U: e nergía total de la pa r ticu la.

La función 'P ( x . y , z ) debe s a tis fac er además la condición d e normalización . o s ea

Solamen te determinados valores especiales de la energía condu cen a fu nciones de onda lislcamente aceptables. siendo éstos los niveles de energía cuan tlzados . • VALOR ESPERADO O EXPECTATIVA

lo gs po t

.c om

Este parámetro se utiliza e n el campo de las probabl1idad. El valor esperado de u na cantidad Q. es un promedio mecá nico-cuántico de la cantidad por la amplitud de probabilidad, que expresa la probabilidad de que la partícula esté e n la p roximidad de cualquier punto dado.

w .f

is

ic a2 01 3. b

Considerando I '1' I 2 u na distribución espacial de probabilidades, se u tilizan los métodos empleados e n el capítulo 13 en la d istribución de velocidades para expresar el p romed io como w w

fv Q(x, y . z ) I 'P (x. y , z) 12dV

< Q > ""

Ivl 'I' (x. y , z )

1

2

dV

Empleando la condición de normalización, el valor esperado de la cantidad Q es < Q > ""

fv Q ( x, y, z) I 't' (x , y, z) I 2dV

En la mecánica cuántica se utilizan operadores asociados a cantidades dinámicas ordlnarlas como: posición , cantidad de movltnfento y energla, que se pueden operar sobre la función de onda para transfor marla en una función con forma distinta. Los operadores que representan las variables dinámicas de la mecánica ordlnatia tienen u n papel sumamente Importante en la teoría cuántica, y se pueden expresar como:

• 588



www.fisicax2.blogspot.com OPERADOR CUANTlCO gap

CANTIDAD FISICA OBSERVABLE

x,y,x

Posi ción

Cant. m ov. Energía

PX'PY'P z U

[CAP. 28

x

y

!i.i..

:IJ.i..

~

Qop =

~

Q()P

= i

gap

= -

~

ax

-I'í i

i

ay

z :IJ-ªi az

a ai

Los operadores diferenciales operan sobre las func iones de onda compre ndidas en el proceso mecitnlco~cuántlco, de manera que la amplitud de probabilidad se escrtbe como

El operador que representa la cantidad tislea s e intercala entre estos fa ctores Q ( x , y, z) I q¡ ( x, y. z) 12 = 'f" ( x, y, z) Qop 'f' ( x, y. z )

Por lo tanto. la espectallva se expresa así q.t'(x,y.z) Qop'l'(x.y,z)dV .c om

Jv

lo gs po t

< Q > =

RELACION DE INCERTIDUMBRE

ic a2 01 3. b

• La relación de Incertidumbre Impone determinadas limitaciones: una de ellas es que

w w

w .f

is

no hay manera de conocer simultitneamenle con exactitud la posición y la cantidad de mov1mlenlo de una partícula. • En el caso de objetos macroscópicos, la Incertidumbre cuántica no es lo que establece el limite practico a la exactitud de las delerminaciones; pero si se tratara de cuerpos mlcrofisicos, la situación es completamente diferente, siendo necesario por ésto establecer un conocimiento de amplitud de probabilidades y valores esperados en vez de información dinámica del tipo que se obtiene con las leyes de Newlon. • La mecánica cuántica comprende el principio de Incertidumbre que expresa que no

se puede determinar simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento de una par ticula o sistema con precisión arbitraria, sino que debe contener incertidum bre Inherentes t.x y t.Px' cuyo producto está dado por t.xt.Px ;" h/41t

PENETRACION DE BARRERA (EFECTO TUN!,L) • La mecánica cuántica propórclona una forma satisfactoria de describir el compor-

tamiento dinámico de sistemas atómicos y moleculares, además de entender el comportamiento de la materia a nivel microscópico. • El efecto cuántico de túnel está claslcamente prohIbido. y demuestra que una particula tiene u na determinada probabilidad de penetrar una barrera de e nergía potencial demasiada alta. para que la rebase, según la mecanica clásica, y aparezca al

589

FISI CA CUANTICA

CAP. 281

www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com otro lado como una partida libre. • Este efecto se ha observado experimentalmente en una serie de Investigaciones en las áreas de la "slca nuclear y de la IIslca del estado sól1do. PR INCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI • En un sistema dado de un átomo. molécula o todo un cristal formado por muchos Alomos que In teractúan, no pueden haber dos electrones que ocupen el mismo estado cuántico. Los estados cuAntlcos que pertenecen a los niveles de energta permitidos se llenan desde abajo hacia amba. Al número de estados cuánticos asociados a un nivel especifico de energta se le conoce como la degeneración de nivel. • Todo electron, además de cualquIer cantklad de movimiento angular orbital (o momento ctni:tlcol. tiene también un momento cinético propio o SPIN. La magnitud del spln del electrOn es L" = .fi {3/2

og sp

ot

.c

om

SI se busca determinar la componente de esta cantidad de movimiento según una dlrecclOn cualquiera, se encuentra que tal cantidad estA Inevitablemente cuantizada, y que en el caso del electrón, solamente tiene dos valores

3.

bl

L5% :: ± -It 12

ic

a2

01

A menudo, a estas dos orien taciones se les conoce como estados de spln: al que tiene la proyección +h 12 se le llama spln hacia amba y a -h 12, spln hacia abajo.

w

w

w

.f

is

• Al momento cinético de spln del electron le acompai'ta un momento magnétlco de spln , siendo ambos los que Juegan un papel muy Importante en la determinación de la susceptibilidad magni:Uca del material a l que pertenecen los átomos. • El spln Inherente de las partículas elementales difieren de un tipo de parttcula a otro. Los mesones no tienen spln Inherente: los electrones tienen spln de 112 al igual que los protones. muones. neutrinos y neutrones. Hay otras partlculas que tienen momentos cinéticos Intrinsecos más altos.

EMISION ESTIMULAOA DE RADIACION.- EL RAYO LASER • Para efectuar una transición hacia un estado de energla más alto, un electrOn debe absorver suficiente energla para cubrir la diferencia de energia entre el estado Inicial y el final. lo que puede lograrse ahsorviendo un fotón o adquiriendo energía por colisiones con otros átomos: ' No obstante, cuando el electrOn estA en estado de excitación, puede realizar una transición hacia ahajo con la emisión de un fotón. A este tipo de translclOn y de radlaclón se les llama ESPOrITANEAS. • SupOngase ahora que se tiene un recipiente con :Homos y un haz de fotones, cada uno con la energla hv l2 (asumiendo que es tguaJ a la diferencia de energta entre los

590



¡CAP 28


estados 1 Y 2). La mecánica cuántica predice determinada probabilidad para que un á tomo absorva

un (olon, pasando del estado 1 al 2. és ta es la denominada PROBAUILlDAD DE ABSORCION.

La mecánica cuántica también predice una Intensificación en las transacciones des· de el estado 2 a11, lo que lleva al fenómeno de EMIS10N ESTIMULADA, siempre que la frecuencia de la radiación incidente sea muy próxima a v 12 '

o o

o

o o

o

o o

o

o

o om

o

o

3.

bl

og

sp

ot .c

o

ic

a2

01

• La palabra LASER es una sigla de la expresión LIGHT AMPLIFICATlON BY S11M U· LA1ED EMISION OF' RADIACION . w w

w

.f

is

• El haz del rayo láser es una fu e nte de luz coherente y muy angosto. Son muy inlensos y pueden concentrar cantidades relativamente grandes de energla electromagnética en áreas muy pequel'las. Por tener esa caracterlstlca se utilizan para perforar pequeños agujeros en metales y materiales cerámicos, evaporar diamantes, realizar determinadas operaciones quirúrgicas y otras tareas útiles que requieran de altas temperatu ras creadas sobre áreas muy pequenas. La luz dellaser es altamente monocromática, y se transporta con facllJdad mediante fibras ópticas; pudiendose moclular mediante señales de radio o te levisión, como las ondas de radiofrecuencia ordinaria.

• CAP 28\

591

FISICA CUANTICA



PREGUNTAS confinados de ntro del material, y se neo ceslta determi nada e nergia minima Ve' llamada la fundón de trabaja, para producir emisión fotoeléctrica. Hay una frecuencia de umbralo desprendimien to a la Que la luz incidente con frecuencias Inferiores no p roduce emisión de electrones. El electrón puede abSOlVer e l fotón, aumentando su energía, pero sin salir de l metal. Cuanto mayor sea la frecuencia con respecto a la de umbral, mayor será la cantidad de fotones en la radiación incidente; entonces mayor será el número de electrones emitidos, ya que ocurrirán mas procesos elementales de absorcIón de fotones. La frecue ncia de umbral es

1 . ¿Qué ley Importante de la fisl ca viola la "cah\strofe del ultrav1ole ta"? Rpta .: La "ca lá.strofe del ultravioleta", que resulla cuando la putencla espectral por área unitaria ~s infinita, no cumple con la leoria cinética clásica, Según la ecuación de Raylelgh-Jeans

1(,,) CURV", DE ; KAYLIlIGII.JEANS "

,,

,, ,, ,

ot .c

om

, ,,

og bl

v"mbrnl = Uo / h

3. 01 a2

,,

,, is

ic

,,

sp

CUKVA EXI'I-:RlloIE:\'TAL

w w

w

.f

•

La Integración

ha ce que la teoría de la radiación del cuerpo negro, desarrollada e n base a la teoria cinética , no sea correcta. 2 . En el efecto fotoeléctt1co h ay una frecuencia de d esprendi mie nto. ¿COmo explica la imagen de la luz con fotones este hecho? Rpta. : La energia total de la luz Incide n te es la suma de las e nerglas de los "paque tes cua nllzados " o fotones . Los elec trones e n u n metal es tán liga dos o

3. Un elec trón y un neutrón viajan a la misma velocidad. ¿Cu ál tiene la longitud de onda mas larga? Rpta.: Media nte la reladón de De Broglie, con la cual se puede expresar la lon gitud de onda de cualquier partlcu la ma let1al en terminos de su cantidad de movimien to l. = h / p = h / mu

Como la ve locidad es Igual para el neu trón y el electrón y m". .. 1839 me: e n tonces

I Aelectrón >

Aneutrón

I

4 . Indique sl la máxima com e nte que se puede obtener en el efeclo foloe léctri ca es proporciona l a la inlensldad de la luz Incide nte.

• 592

FUNDAMENTOS DE F1SICA SUPERIOR


Rp ta.: La mftxlma Intensidad de la fo to· corriente es proporcional a la intensidad de radiació n de la luz Incidente. lal como 10 m uestra la siguie nte granea

fundamental sobre la determinación simultánea de in formación acerca de la posición y la cantid ad de movim iento d e una par Ucula. Es im posible desco nocer la relació n de In certidumbre. ya que a l determinar la posició n de la pa rlicu la Inevita ble me n te se a ltera la ca n tid a d de movim iento y vi ceve rsa.

Corri e nte J /,

[CAP. 28


/, /,

7. ¿Que s ignifica un "estado estacio nario"? ¿Qu iere decir que los electrones no se mueven? - V,

Po~encial

de retardaci6n Vo

w

w

.c

ot

sp

og

bl 3. 01

w .f

is

ic

a2

Rpta.: Los supuestos para el estudio del álomo de hidróge no. segun Niels Bohr fueron: a l Orblta r:lrcu lar del electron alrededor de un protón único es su núcleo.

om

5. Exprese los supuestos básicos del mode lo de Bohr para el hidrógeno. ¿Cuales permanecen válidos en la fislca cuántica mode rna?

Rpta. : Los estados es ta cionarios de e nergía de los eleclrones son estados discre tos bien definidos. que no cambian en e l tiempo. Enfocándolos como soluciones de la ecuación de SchrOdlnger. significa que las funciones de onda corresponden a estados energéticos cuantlzados. pero de ninguna manera que los electrones no se mueven. ya que éstos se d esplaí".an aleatoriamente.

b) Estados estac ionarios de energía en las órbitas que podia moverse el electrón.

e) CuanlizaclOn de la canlldad de movi miento a ngular del e lectrón. en múl tiplos enteros de h /2 n. Los s upuestos que permanecen válidos en la fisica moderna son los dos últimos. 6. SI los- experimentadores fueran muy astutos para diseñar sus aparatos. ¿podrían Intentar violar la relación de Incertidumbre? Explique. Rpta.: El prlnelplo de Incertidumbre o de Heisenberg se refiere a una limitación

8 . La luz amarilla de 6 000 Ade long1tud de onda apenas puede detectarse vis ualmen te cuando se e ntrega n 1.7 x 10 - 18 W a la retina. ¿Cuántos folones por segundo se reciben en estas circunstancias? Rpta.: Suponiendo que la radiación de luz amarilla se detec ta por la relina cuando incide n N folones por segundo con una potencia luminica determinada. ~ntonces EloIlI!

N

E = N hv = Nh( el).)

de donde N=

E toml ).

he

• CAP. 28]

FISICA CUANTICA


0=

(


Rpta.: SUlxm er órbitas ci rcu lares s ignifica ría qu e la posición y ca n tid ad de movimiento pu ede n ser d e ter mina dos s imultánea men te. con lo cu al des conocería el prin Cipio de Ince rtid u mbre. Esta es la razón por la que d ich a s u pOSición no llene vigencia en la actualidad en el campo d e la fislca moderna.

1, 7 x 10 - 18 W ) (6000 x 10 - 10 m) (6,63 x 10 - 34 J. s) (3 x 10 8 mis)

IN ..

5Jotonesls

593

I

9. Determine el radio de la primera órbita de Bohr para un ion de helio con carga sencilla.

11. ¿Cómo es posible que una partlcula con cantidad de movimiento bien definida sea también una onda?

Rp t a.: Esta hipótesis fu e planteada por el científico De Broglie, quien afirmaba que al Igual que las ondas electromagnéticas podian aparecer como particulas, los corpúsculos materiales (electrones, protones y otros) podrían manifestar propiedades de ondas. Asoció una longitud de onda ;1. a una partícu la de cantidad de movimiento p ;1.:=:: hlp

ic a2 01 3. b

lo gs po t

.c om

R p ta.: Esquemállcamente

De la ecuación de Bohr 2

h

2

w .f

2

Eo

w w

n

is

(2me )e 1t

Entonces TI

=::

=

2me e

2 1t

(6,63xlO- 34 J.s)2 2(9.11 x 10 - 31 kg)

Se puede considerar que la longitud de

onda ;1. es una medida del grado en que esté presente el comportamiento ondulatorio. En consecuencia . existe una relación entre la longitud de onda )'de la luz (propiedad ondulatOria) y la cantidad de movimiento p (propied ad corpuscular de los fotones aSOCiados).

X

(8,B5x JO - 12 C 2 IN. m 2 ) x ( 1,602 x 10 - 19 )21t

e

I TI ~ 0.264.4) 10. La suposición de órbitas circulares realizada por Bohr constituye una violación de la relación de Incertidumbre. Explique.

12. Describa el significado de la.funcl6n de onda de Schrócllnger. ¿Por qué es Innecesario atribuir funciones de onda a los cuerpos macroscópicos?

Rpta.: La función de onda 'fI no tiene sentido fisico directo, sino más bien es una canlidad matemática que satisface una ecuación de onda apropiada. La única ventaja de conocer 'f' es que in mediatamente se puede conocer 1 'f' 12 o

, 594



terial de 2 kg que se mueve a 40 mis. Para el e lectrón

"I' • '1', que es la que tiene el sen Udo fist CO.

6 .63 x 10 - 34 J . s ). = -:c-,-,--"'''''::'';d'''----.,.''-'.~--.,...,. ( 9 .1 1 x 1Q -34 kg )( 10 6 m /s)

La runclón de onda tiene el papel de inte rmedia rio e ntre la ecuación de onda y la ca ntid ad fl s lc a mente s ig n ifi cativa

= 7.3x lO - 10 m = 7.3 "'\

I '1' 1'. E n la mecánica cuántica. la fun ción de onda puede ser una cantidad real, pero de manera más general. tambie n pu ede ser u n a cantidad compleja con u na par te real u y una parte Imaginaria v. o sea

Para la esfe ra Á

= 6.63x 10 -34 J . s (2 kg) (40 m /s) = 8.3 x 10 -36 m

'Y=u+lv En este caso

= 83 . x IO-,oAo

14. Es imperativo que una funcl6n de onda mecánico-cuántica sea normallzable. ¿ Que quiere decir lo anterior?

1'+' 12 ='fI ''f' = (u-Iv)(u+ll)

Rpta.: Que sea normall7.able quiere decir que la probabilidad total de que el e lectrón se encuentre dentro de un volumen V debe ser Igual a la unidad. o sea ot

sp

og bl 3.

fv l 'fl ( x.y.Z.l) 1 dV = 2

1

Lacanlldad [ 'fI ( x, y, z. t) [2 vlenea ser la amplltud de la probabilidad.

w

w

w .f

is

ic

a2

A la cantidad '1' • = u - I v se le conoce como complejo conjugado de '+'. Es Innecesario apllear la ecuación de SchrOdlnger a los cuerpos macroscópicos porque las predic c iones de éstas concuerdan universalmente con todos los experi me ntos que se han realizado media n te la mecánica clásica.

.c

om

1,)2

01

= u2 +

[CAP. 28


1 3. ¿Puede explicar por que los objetos grandes llenen pequeñas longitudes de onda? Rpta.: La longitud de onda es una medida del grado en que está presente el comportamie nto o ndulatorio. SI ). es sumamente pequeña. la energia está muy bien localizada y predomina el carácter corpuscular del objet,o: en cambio si Áes muy grande, la energía del sistema está difundida y distribuida e n un volumen grande. Como un ejemplo numérico se hallarán las longitudes de onda de un e lectrón que se mueve a 10 6 mis yde una esfera ma-

15. 51 'f'A Y 'fIlJ son funcio nes de onda normall7.adas que describen u n sistema dado, 'fIA + 'fI lJ es una función de onda posible. ¿Está debidamente nOTmallzada? Rpta.: El principio de superposición sosUene que para dos soluciones dlsUntas 'f'A Y 'f' n se tiene que 'fI = el 'f'A + ~ 'f' n taQlblen es solución de la ecuacl6n. de manera que representa un estado mecánico-cuántico posible. (e, y C2 son constantes). Por lo tanto, siendo normallzadas 'f' A Y

=

'f'lJ' la función 'fI 'f' A + 'f' lJ tamblen sera normalizada. y e l C:z = J.

=

• CAP. 281

595

FISICA CUANTICA

www.fisica2013.blogspot.com 16. ¿Qué diferencia hay entre la emlslbn espontAnea y la emisión estimulada de la radtaclbn?


Rpta.: Cuando hay un numero enorme de Atomos de hidrógeno. se encuentra que los electrones están distribuidos estadistlcamen1e entre los distintos estados de energla. de acuerdo con la ley de dtstrihuclbn de Maxwell-Boltzmann. Cuando el electrOn estA excitado puede reallzar una transición hacia abajo con la emlslbn de un fot6n. Este proceso de r adlac l6n se conoce como emlslbn espontAnea.

ic

is

w .f

w

w

....v'.5500Á

/I/V\;

:::

/I/V\; /I/V\; "Bombeo"

E,

____

-"~

••

Q

z S

h.eH3A

•v~ En trada •<

lVV'v>lVV'v>lVV'v>lVV'v>-

Sllidl (1II1plincldl¡ ______-LLL______ N,

og

sp

ot

.c

om

Los átomos se "bombean" Inicialmente desde el estado más bajo de la energfa U I al U3 , por medio del pulso de luz ex" terna. Luego, rápidamente sufren translctones al nivel U2 que llene una vida de decaimie nto "muy larga" al estado fundamental. El efecto neto es que se Invierte la poblacl6n y el numero de átomos en el estado ~ es mucho mayor que en UI'

bl 3. 01

a2

Para el caso de emisión estimulada se Induce a la excltactbn para obtener u na radiación predeterminada. Es un fenómeno de resonancia en e l que un fo tón sintonizado a la frecuencia apropiada puede hacer que radien los Atamos excitados. En términos generales. cuando estos fotones están presentes. la emi sión estimulada es mucho más Importante que la espontAnea. Cuando se logra la radiación por medio de la emisión estimulada. se debe Invertir las poblaciones de los niveles cuAntlcos alto y bajo. haciendo que la población N2 (nivel excitado) sea mayor que NI (nivel mAs bajo) . Esto se puede lograr. como en el láser de ealado s6l1do de rubl, exponiendo el sis tema a un pulso de luz muy Intenso de una lAmpara de destellos muy poderosa. En e ste caso interviene un sistema de tres niveles de energla . at6micos. como se muestra a conllnuacl6n.

<

Q

,¡¡

Es posible lograr la emlsl6n estimulada desde el estado U2 1ntroduclendo folones a la frecuencia precisa v 21 . Cuando ocurre emisiÓn estimulada se absorve muy poca energía para pasar los átomos del estado 1 al 2 , debido a que ahora no hay muchos átomos en el nivel de energía mas bajo.

• 596

FUNDAMENTOS DE FISICA SUPE RIOR


[CAP. 28


PROBL EMAS 1 . Usando la ley de Planck, demuestre

I(v)dv

!=Iue en el límite de altas frecuencias se reduce a la fórmula de Wien, mientras q ue en el límite de bajas fl ~cuencias, se re-

= 81'th~dv c 3 h/kr

duce a la fórmula de Rayleigh-Jeans. Explique qué son las constantes el y c2 en la

3

= 8 IIv kT dv

fórmula de Wien .

"

Solución La ecuación de la potencia espectral por área unitaria, expresada por Planck, es

2 . La integral de 1 (v) en la ecuación de Planck sobre todas las fr ecu encias da la potencia total radiada por área unitaria debida f". un cuerpo negro. Realice la integración y haga la sustitución x = h vlkT. De muestre que el resultado será proporcional a T 4 • Aesto se le conoce como ley de Stefa n-Boltzma n n. lo gs po t

.c om

Cumo eh vllff » 1, cuando se trata de altas frecuencias; entonces la expresión [*] se transformacn

Solución

w w

w .f

is

ic a2 01 3. b

d onde

Haciendo h IKT = Q en la expresión lOO). y por desarrollo en series

La ecuación de PllIflck está expresada medillflte 81th

l(v)dv = - ,e

e

y3 /Iv/kY

- 1

dv

Integrllfldo sobre todas las fr&:ucncias se obtiene la JXllcncia total radiada por área unitaria de un cuerpo negro. ... [*]

R=f;/( V)dY o lo que es Jo

mi~mo

l(v)

Curva

pa ra T

Pero, en e l caso de frecuencias bajas a= h/ k t .. O

Entonces

Reemplazando en [*] se obtiene la e xpresión de Raylcigh-Jeans.

R

,

• 597

FISICA CUANTICA

CAP. 281


www.fisicax2.blogspot.com R = 5,6699 x 10- 1 (10 3 )4

Haciendo

=56699W/m 2 = 56699J/m 2.s

x = hv/l'f

la frecuencia queda clIpresada por

v

La superficie de la esfera es

>T

A ::: 4 7tr 2 = 47t(O,05 m)2

=-¡;x

= 0,031 4 16m 2

Diferenciando con respecto a x

Cuando el tiempo de radiación es 1 hora

dv = tT tú

P = RA

h

'.J

Reemplazando dv en se obtiene la potencia to lal en función de la variable x. R=

J o

= (56699x3600+ ) ( 0.031416m m .h

,

I

P - 6,413x 10 6 J/ h

8 n h(tT)4 _ % _
el

t'~-l

11

.f. - ,

Considerando la inlegración sobre una curva para una temperatura 1" :::;;

4. La tasa neta de pérdidas debi da

9. la radiación por u n cuerpo negro elltá dada por 4 R""1ll = (5.6699x IO-R)( T _T:)

mT 4

om

dx)T 4

I

.c

_%-

o e"-!

)

gs po t

R = (Sn!... e 3 ,,3

2

en que T ell la temperatura del cuerpo y T o es la de los alrededores. Calcule la potencia neta radiada por u na persona con 1,3 m 2 de á rea cuando sale a caminar al ai· re libre en un día en que la temperatur a ell de 5 oC y IIU temperatura superficial ell de 32 oC. Suponga que la fórmula anterior es válida.

lo

donde m es una constante. 01

3. b

Entonces

w

w

.f is

ic

a2

1 R es proporcional a T 4 1 w

3 . Para un radiador de cuerpo negro, la potencia total radiada por á rea uni · taria se obtiene integrando la distri bución de radiación de Planck . El resultado es R =(5,6699x lO -8)T 4 enelSL Unaesrera metálica de 5 cm de r a dio está a la temperatura de 1000 K. ¿Cuántos joules de energía se radian cada hora, suponiendo que se puede tratar la esfera como un cuerpo negro? Solución

Reemplazando datos en la fómula propuesta

Ru l" = 5,6699x 1O-8(T 4 _To4 ) = 5.669 9 x 10- 8 1(32+273)' -( 5 + 273)4 J = 152,001 W/m2 CQnsiderando el área superficial de la persona

Por dalO. la potencia total radillda por irea uni taria, para el radiador de cuerpo negro, es

R = 5,669 9x

Solución

lO-Ir'

Como R:=mT', entonces m:= 5,6699 x 10 - 1, Para T= I 000 K, la potencia espectral resulta

igual a 1,3 m 2. la potencia neta radiada será

p "",,, = R... ,,, A :=

(152,001 W/m 2 )(1,3m 2 )

I U," p

= 197,60W

• 5.8

FUNDAMENTOS DE FIS1CA SUPERIOR


¡CAP 28


Recuérdese que

Por dala, la func ión de trabajo es

T:: 32°C = 305K

Uo = 2,5eV

To =5°C=278 K

= 2,5 ( 1,602x

10- 19 J

= 4,005 x

• AS 500A. una fuente de luz monocro-

5.

Entonces, lu frecuenc ias a las que ocurrir' el desprendimiento de electrones son

mática emite 5 W de radiación. ¿Cuántos fotones por segundo son emitidos?

19

v>

Solución

Sea N el número de fotones por segundo emiti-

v

Como cada fOlón tiene energ ía h v

= 51/5 = Nhv

o ••

[·1

~

om

ot .c sp

6. La función de trabajo en determinado metal vale 2,5 eVo Si en la superficie incide luz de 6500..\ de longi tud de onda, determine si ocur re emisión fotoeMctrica. Solución

La ecuación propuesta por Einstein que constituyó la base para la explicación del efecto fotoeléctrico es hv ::::: Ucm4x + Uo Antes que el electrón salga de la superficie me. táli ca, la energía cinctica es nu la; entonces l. e misión se produciri cuando v>UOlh

=v < v ......bral = 6,041 x 10 14 1/: NO OCU RRE EMISION FOTOELECTRICA

bl

og w w

w

.f

is

ic

de donde

= 46 15x 101411:

3. 01

a2

= N ( 6,63 x 10 - 34 1. s)( 5.5 x 10 14 Hz)

v>v..,..¡, ..", ~

•

3x 10 mh 6500x lO - 10 m

Por lo tanto

Reemplazando en (*] 5J/ s

A.

4.615 x 10 14 11z

v=c!Á

3x\08 m1s -=-'=:'-''c:'''T.i= 5,5 x 10 14 Jlz 5 500 x 10 - 10 m

v •

= E. =

Se observa que

Pero

I...v = c

4,OO5xlO- J _ 604 1 10"H 34 . X : 6,63xlO - J . s

Pero, la luz incidente liene la frecuencia igual •

dos.

5W

10- 19 J)

7 . ¿Qué energía mínima debe propor cionarse a un átomo de hidrógeno para desprender un electrón en un estado para el que n = 41 Solución Según la toorla de BORr, pira el 'tomo de hl(irógeno, la energía de un estado permitido es

V,. = _ m. e 4 /( Sr;,, 2 h 2) Un electrón en un estado n = 4 se desprende SI se le proporciona suficiente cnergía como para llevarlo a cero al menos; esta energía mínima necesaria es 4 u~ = m.e /(8ci ,, 2 h 2)

(9,11

X

10- 31 ) ( 1,602x 10 -

19 )4

• ::-:-:':~~:+'-"T"~~ 8 (8,854x 10- 12 ) 2( 4) 2( 6,63 x 10 - 34 )2

I

U, - O,849,V

I

• .99

FI$ICA CUANTICA

CAP. 281



8. El electrón de un átomo de hidrógeno absorve un fotón y efectuu una tra nsición desde u n estado con n = 4 a otr o con n = 8. Halle la frecuencia del fotón. Si luego el electrón cae a su estado fun dam en tal, determine la longitud de onda de la luz emitida

Para el hidrogeno se tiene que

R = 109 73 1,3cm -

t

Reemplazando R en la ecuación 131

l ,

:¡- = (109731,3cm

-1

1 1 )(2 - 2 )

1

R

de donde. la longitud de onda de la luz emitida será

Solución Segun la teona de Rohr

m.e

4

U =- ~~-,

Sr.lh2f12

ti

9. Cuando !le aplicn un potencial de

La diferencia de energías cuando el e lectrón absorve un fotón y efectua una transición desde un estado m hasta otro n, (m < rz), está dada por me e

4

1

•

3 OODA de longitud de onda decae a cero. Determine la función de trabajo en el material.

1

U,. - Um = ,2<.2(2 -"2 ) m

... [IJ

n

om

EO n

reta rdación de 1 volt , la corriente fotoeléct r ica producida por radiación de

Para la energía de un fotón

mee 1 1 -).1 = Sr.lh3c (---) m2 ,,2

lo

de donde. \a función d~ trabajo o energía mínima para desprender electrones es

w

w

.f is

ic

... [31

hv "" Ucll\lJ~+UO

3. b

a2

,

La ecuación de la emisión fotoe léctrica es

01

Comparando 11] y 121 se obtiene la relación para la longitud de onda de la luz emitida

Uo "" hv - UcmM.

w

de donde 4

m.e I hJ 8r.l m2

1 n2

El polencial de retardación hace que la corriente fotoeléctrica sea cero y por conservación de la energía justo en ese momento

v=--(---)

Luego, la frecuencia del fO lón que absorve el electrón para saltar de m = 4 hasta n = 8. ser' v =

gs po t

.c

Solución

... 121

U,.-U.. = hv:: he/ ).

(9,11 x lO -JI )( 1,602 x 10-19 )4 8(8,854xlO- 12 )2(6.63xlO- 34 )3

U o :;; hv -e óV "" hc/ ). - eÓV

34

X

8

"" (6,63 x lO- ¡ .,f)(3xI0 m /s)_ leV 3000xlO - IOm 1 Ua = 3,14eV I

1

v=

1,539x 10

14

Uzl

La constanle de Rydbcrg se eltpresa mediante

m.e

4

R=~~ 3

8r.lh c

1 0 . La longitud de onda de umbral para la emi sión fotoeléctrica del sodio es de

•

•

5 420A. Si incide luz de 4 SOOA de longi . tu d de onda, evnl ue la máxima velocidad de los e lectrones expulsados.

• 600



[CAP 28


Solución

Soluci6n

Como en las condiciones de umbral para taemí· si6n fotoeléctrica la energía cinética es cero; entonces, la función de trabajo, o sea la energía mínima que necesita el electrón para desprenderse, es Uo '" h " ....u,r
La energía de un fotón está dada por

E = hv de donde. la frecuencia de rad iación es v = g = (2 )< 10 6 )( 1,602>< 10- 19 1) h 6,63><1O -34 1 . s

(6,63x \O~34 J .5)( 3 x 10 8 mis)

I v = 4,833>< 10 20 1/% I

5420xlO 10 m Su longitud de onda se halla mediante

= 3,70xlO- 19 J

3>< 10 8 mis ).. = e/v = -''''''''---''''~ 4,833>< 10 20 Hz

Cuando se hace incidir una ra diación de frecuencia mayor, los electrones adquieren una energía cinética mbima. con la cual salen de la superficie metálica; esta energía es

'"'" =hv-UO= hc/ "A. -

Ve

Uo

1).. =

I

La cantidad de movimiento de! f016n se encuentra con la rclaci6n de De Broglie: es decir .c om

(6,63 X 10-34 J . s) (3 X 10 8 mis)

lo gs po t

4500x10 - l om

p = h/).. = 6,63><1O -

Ip = 1,07><10- 21 1.slm I

m4X

Uc

= m~ v;,ú/2

w w

w .f

is

Por lo tanto, la máxima velocidad que pueden adquirir los electrones expulsados se obtiene de

34

1 .s 6,208><10 13 m

ic a2 01 3. b

_ 3,70x 10 - 19 = 7,503 X 10 - 20 J

6,208>< lO-13 m

Entonces v

m4Z

=

J2;~ ~-,'---~2( 7,503)(10 20 J )

9,l1x l 0 - 31 kg

!

5 v.....b = 4,06x 10 mis

I

Recuérdese que el análisis se hace para.e! caso de un e!ectrón, que absorve un fotón de energía h v.

1 1. Un fotón tiene 2 MeV(megael ectronvolts) de energía. Determine su frecuencia, longitud de onda y canti dad de movimiento.

12. Se indica que el vola nte de una má quin a tiene exactamen te 12 J . 8 de canti dad de movim iento a ngular. De acuerdo con la hi pótesis de Bohr, la canti dad de movimiento angular debe estar cuantizada. ¿Hay alguna forma de encontrar si el valor dado está permitido por \a hi pótesis de Bahr? ¿Qué valor de n. se obtiene? Solució n Los estados estacionarios de energía y la cuan· tización de la cantidad de movimien to angular son universales. Según Bohr, se cumple que L = mvr = n h/2n de donde

2n L 2n(12J. $ ) • = - h-= 6,63 ><10 - 34 1 . $

• 601

FISICA CUANTICA

CAP. 28]


In =

1,137 >: i0

3S


I

= 2 n ( 7,9 1 x lO - 35 j .sL 0,75 6, 63x lO - 34 j.s -

Esta cantidad es bastante grande y. por regla general, siempre que los números cuán ticos son de esta magnitud, se está en el campo en el que los aspectos cuánticos no son evidentes y la física clásica no pierde vigencia.

Como n no es un número entero, al amigo le diriamos que dicha partícula no existe o que las mediciones son incorrectas, puesto que el resultado viola el principio de cuantización.

Los niveles de energía cuantizados para el volante de la máquina también serán proporciona-

14. Un protón que inicialmente está en reposo es acelerado por una dlferen· cia de potencial de 1 500 V. Halle la long;· tud de onda final de De Broglie.

les a 1/n 2, como en el caso del hidr6geno. Por lo tanto, el cambio de energía ÓU que resulta de un cambio en el nivel n es

Solución Cuando el protón es acelerado desde el reposo hasta una delCrminada diferencia de potencial, adquiere una energía cinética dada por

Como

1

,

.c om

eóV="2 mpv lo gs po t

ecuación hallada por conservación de la energía.

enton ces, se puede obtener

ti=

ic a2 01 3. b

' ''''

llU

n

La velocidad desarrollada por el protón será, en· tonces

w .f

is

Suponiendo q ue el nivel cuántico se reduzca en 6 n = 20, se obtiene

2 (1,602 x 10 - 19 C)( 1 500V)

w w

~----~

l!J.u IV = - 3,517>: 10- 34 1 1 3 . Un amigo le dice que leyó un artfculo en un periódico, en el que se afirmaba que una partícula recién descubierta tiene una cantidad de movimiento' de 7,91 x 10 -35 J.B

en determinadas condiciones controladas cuidadosamente. ¿Qué le contestarla usted?

o

1,673 x 10- 27 kg

= 535 974 m/s La cantidad de movimiento correspondiente a esta velocidad es

p = mpv

= (1,673x 10- 27 kg) (535974mls) = 8,967xlO- 22 kg.mls

Sol ución Debemos averiguar si dicha cantidad de movimiento angular corresponde a un nivel cuántico.

Aplicando ahora la relación de De Broglie

A = hlp

Según Bohr

L = nhl2n de donde

,.

no-L h

o

6.63x 10- 34 j ..f 8,967x 10- 22 kg. mis

---"'~"'=--"-'-''-

A=7,394xI0

13 m ]

• 602



[CAP 28


1 5 . Las longitudes de onda de De Brogli e para un electrón y un ne utrón son

iguales. Halle la relación de sus velocidades.

3 (1 ,38 1 x 10 - 23 JI K )( 290 K ) I ,675 x 10 - 27 kg

Solución

Mediante la relación de Oc Broglie

= 2678,24m/J'

). = hlp = h/m l'

La c an tidad de mov imiento asociado es, entonces

Para el electrón

p = m"

y

= ( 1,675xlO- 27 kg)(2678,24 m l s )

Para e l neutrón

A"

= 3,663xlO- 2A kg. m l.t

= h /m" v"

Luego, utilizando la relación de De Brog lie

Como las longitudes de onda son iguales, enton,,,

h 6,63x IO- 34 ¡.J' A = - = ---'="",;:;-c'=P 3,663x 1O- 2A kg. m lJ'

--=--

I A= 1,'lA I .c ot

17 . E l positronio es un "átomo" que consp

me

siste en un electrón ligado a un posi. t r ón. La constante de Rydberg par a este átomo es R 12. Usand o este. i nformación, calcu le la ener~,'in de ionización si el s is . tema está en su estado fundamental.

og

"'"

1,675x 10- 27 kg 9,11 X 10- 31 kg

is

ic

a2

01

1 "'e Iv" = 1 839 1

bl

mil

3.

v.

-=-=

om

de donde. la relación de velocidades resulta

w

w

w .f

1 6 . Un neu tr ón térmico tiene u na e ner gía cinética de 3 kT /2 a T = 290 K . Obtenga la longitud de onda de De Broglie del neutrón.

Soluci6n Re presentando esquemáticamente al álOmo de posiuon io

Solución \

La energía cinética adquirida por el neutrón se expresa mediante

·.. 111 Pero, la energía cinética lambién se representa por

... 121 donde v reprcscllta una velocidad promedio del neutrón.

Igualando [1] Y [21

1m -v 2 =lkT 2"

Despejando

v

2

•,-

\

..

•

\ 1

POII/tro'!n

r

r I I

Aplicando la teoría de Sohr para el caso del hi· drógeno, la energía de un estado cuántico está dada por

• 6 03

FISICA CU ANTICA

CAP.28}



La energía suministrada para que el álomo de positronio se ionice. d ebe ser al menos UI

, m,'

:=

8

2

eo n

2

h

2

lO - JI kg ) (3 x 10 6 mis )

;;=

(9, 11

;;=

2,733x 10 - 24 kg. mis

X

C antidad de mu vimiento de l positrón

C o mo se encuentra en el e stado fundamental

PpM

,

n = 1

;;=

mp 0 8 v

= ( 0,000545 mp )( 3 xl 0 6 ) = (0,000545 x 1,673 x 10 -21)( 3 x 10 6 ) = 2,733x 10 - 24 kg . mis

Por otro lado, se sabe que la constante de Rydberg está dada por

L:Js resultados obtenidos son iguales, debido a que la masa del electr ón y del posilrón son iguales. Aplicando la relación de De Broglie

Pero, por condición del prohlema, la constante de Rydbcrg para este álomo es R' = R12.

A. =

VI:; Rhc/2

=

ic a2 01 3. b

(109 731,34)( 6,63 x 10- 34 ) (3 X 10 8 )

2

w w

w .f

is

I VI = 6,812eV I 1 8 . Un electrón y un positrón se acercan un" al otr o con iguales velocida des de 3 x 10 6 mis. Calcule sus longitudes de on· da de De Broglie. Se pueden aniquilar uno a ,'ltro produciendo dos fotones de igual eneq,'''Ía. Determine la energía, la cantidad de movimiento y la longitud de onda de ca· da fotón. Solución

P

6,63x 10-34 1 . s 2,733x 10 - 24 kg. mis

1A.~

lo gs po t

.c om

Entonces, la energía proporcionada será

11.=

= A.pos = 2,426 AI

Si se pueden aniquilar mutuamente el electrón y el positrón'para producir dos fotones de igual energía, entonces por la ley de la conservación de la energía U2/010fl.u=

2

2(mv /2)

Pllfa un fotón Ul/OI6f1

2

= m v /2

= (9,llxlO- 31 kg)(3xI0 6 m1s)212

I Ulfor6f1 = 4,IOx 10 -

18

J = 25,59

eV!

La cantidad de movimiento correspondiente a cada fotón será, entonces

Para las condiciones propuestas

PI/oI6" = U1foré"/c

-,

v v ••.---i._------------~.'__ ... Elec t rón

+~

POBitr6n

Cantidad de mo vimiento del electrón

=

4,IOx 10 - 18 J 8 3x10 m1s

! Plfo l6" =

\,366 x 1O-

26

kg . mis

I

, 604



www.fisicax2.blogspot.com entrega el haz y la intensidad en la abertur a.

Obsérvese que la cantidad de movimiento se re-

duce en 200 veces. Finalmente, aplicando la relación de Oc Broglie

, = _h_ = Pl!QW"

(CAP, 28

SolucIón La polcncia cnlregada por el haz de fOloncs se calcu la medianle P =Nh v ... [· 1 en donde

_6"."63"X"-"I0i.,-,."'_J,,,,."l-

1,366x 10 - 26 kg .m/s

I ' = 485.4'; I

N : número de fotones emilidos por segundo. v : rrecuencia de radiación de los fOlOnes.

19. La ecuación de Planck da la distribución espectral de la radiación de cuerpo negro en func ión a la frecuencia v. Obtenga la expres16n de 1 en ténninos de la longitud de onda A. escribiendo 1 ( v ) dv = 1 (A) dA Y utilizando vA. = c.

Para determinar la frecuencia se emplea la relación '11= clA Como h :: hlp. por la relación de De Broglie; entonces

v ::.....f:....= E.E.

Solución

h/p

= e( U/e) h

\/3

h /H

dY

... [-) VIl-

ic

Por condición, debemos hacer al cambio de riab le w

.f is

v = e/A w

w

Derivando ambos miembros

h

u h

5x l ,602xlO- 19 ) 6.63xlO- 34 ).5

lo

- I

~

3. b

e

01

J (v)dv=-,-

a2

87th

gs po t

.c

om

La ecuación de Planck que da ladismbución espectral de la radiación de un cuerpo negro es

= 1.208 x lO iS Hz

Reemplazando en la ecuaciÓn

r·j

p :: ( 10 16)( 6,63 x 10 - 34) ( 1.208)( 10 15 )

Ip= 8.0 1)( 10 3wl Sus tituyendo en la ecuación ¡ (A)á).. = _ 87th e'

{.¡ se obtiene

( e/ A») e/t clH.T_ 1

(.L dA) ).2

La intensidad de radiación en la abertura está dada por 3 1 = !.. = ....!..... = 8.0IxlO- W A

1t , 2

n(IO- 3 m)2

=_8 nh c (l_ehclH.T)-IáJ..

AS

20. Un haz de fotones de 5 eV de energía lleva 10 16 foto nes por segundo que pasan a través de una abertura circular de 1 mm de radio. Calcule la pote ncia que

1/ = 2550w/ m 2 ] 21 . Demostrar que un electr ón en una Órbita de Bohr con mlmero cuántico 11. tiene una frecuencia de revolución vn da· da por

CAP. 28]

605

FISICA CUANTlCA



Solució n .. . ]5]

Mediante la teoria de Bohr Pero. por otro lado

"" =

= La energía en el eSlado c UMlieo n esui dada por

1

:1:

e :1: .,..c"---

(O .. ' ..

m, '

= ( 21t v" ) ' ,,

,

Finalmen te, sustiruyendo v" en la ellpresión 15]

... p ]

U = - m v n 2 • n 4 1tEo ' n

Igualando la fuena cou]ómbiea y la fuena centripela. se líene

og sp

ot

.c

om

de donde

3.

bl

Entonces. la expresión 111 se convierte en a2

... ]2] ic

2'"

is

"

01

1 , U ;:; -- m v

w

w

w

.f

Ulilizando el principio de la cuanlización de la cantidad de movimiento angular m~",,',,=nh/21t,

n = 1;2;3;.

De ésta y la relación de fuenas se encuentra que 2

2

n h Eo

'" = m. e :1: 1t

So lución ... ]3]

La ellpresión f 1] también se puede upresar mediante

U" = -

m,' •

= -~f--,-, "

La longitud de onda para una radiación desde el estado cuántico n hasta el n - 1, está expresada mediante

0,::,'":,,-,:-,

Sustituyendo la ecuación 13] se oótiene U

2 2. Para números cuánticos muy grandes, evalúe la frecuencia de la radiación emitida paYa u n a transición de electrón en hi drógeno desde el estado n hasta el n - 1. Demuestre que esto concuerda con la frec uencia de revolución q ue se obtiene en el problema anterior.

IjEln2h:1:

Igualando las ecuaciones 12] y 14] resulta

Entonces, la frecuencia de rudiación será ... ]4 ]

v

=f= 8:'3e~ [(n-I I )2 - n\]

Simplificando el término entre corchetes

• 606



¡CAP, 28

www.fisicax2.blogspot.com - ATOMO MUONICO

,, 2_( ,, _ 1 )2 (,,_1)2 - ,,2 :; (n - l)'2 n 2

2,, - 1 = -:-",,-:-;-,

(n_I)2112

Nllcleo de •

Como n es un número cuintico muy grande (n » 1 ); la frecuencia de radiación estará da-

Z .. 82

plomo

-.

M u ón

0,1 126 m,.

d. po<

El muón es una panícula que puede tener earga positiva o negativa; en este caso su carga debe ser negativa. La energía [igante de estado fundamental es

,

Con [o cual se demuestra que concuerda con la frecuencia de revoluc ió n hallada en el problema anterior, o sea

U = "

_ m e.!'""'''''";-:',

8E~n2h2

sp

ot

.c

om

(0,1126 x 1,673 x 10 - 27 )( 1,602x 10-19) 4 8 (8,854x 1O - 1,2( 1)2 (6,63x 10 - 34 )2

Por o tro lado, el radio de la primera órbi'a se halla mediante

w

w

w .f

is

ic

a2

23. Si el electron de un átomo de hidrógeno se reemplaza por un muón y el protón se s ustituye por un núcleo de pIomo, formando Rsí u n "átomo muónico", halle la energía liganta de estado fundamental y el r amo de la primer a órbita de Bohr. Estos átomos se han estudiando extensamente, pero los cálculos teóricos deben tomar en cuenta el tamaño finito del núcleo de Pb.

01

3.

bl

og

I U" = 2809,VI

Solución

, =

"

1'1

2

h

I!1m...:1/1.

2

f:o

e

,

JI:

= __L(~lL)'~(~6~.6~3~X~1~O~-_~~)~'~(~8~.8~54~X~10~-~'~'~), (0,1126 x 1,673 x 10 - 27)( 1.602 x 10- 1') 2Jt

I rl

- ATOMO DE HIOROGENO

= 2,56x \0 -13 m.1

24. Un haz de fotones con longitud de on ·

=

.,

•

Protón

z_¡

m,

m.

~ da constante). 3 OOOA incide sobre una superficie metálica y se detectan fotoelectrones. Son necesarios 2,8eV de energía para desprender un electrón de la superficie metálica . (a) Halle el intervalo de las energías cinéticas de los fotoelee trones. (b) Determine el potencial de

• CAP 281

607

FISlCA CUANTICA



detención. (e) Si la ener gía c inética de un electrón es de 1 eVo determine su longitud de onda de De Broglie.

p = m. v

= (9,lIx lO - J1 kg) (593044mh) = 5,40x 10-2.5 kg . m/.f

Solución

Aplicando la relación de De Broglie

a) Los electrones pueden adquirir cualq uier ve-

locidad desde cero, con la energía mínima.

A =!!=

Mediante la ecuación de la emisión fotoeléctrica

p

1,34eV

is

w w

w

.f

Por la ley de conservación de la energía.

ic

Del res1.!hado del problema anterior 1,34eV = et.V

om

bl

og

sp

ot .c

fuente provocará la emisión de electrones con la mayor e nergía cinética? (e) Calcule la máxima energía cinética de los fotoelectrones cuando la longitud de onda de 108 fotones incidentes es de

3.

a2

rriente fotoeléctrica se redulca a cero.

= et.V

I

A. ¿Cuál

I 01

:S Ue
b) El potcncial de retardación hará que la co·

,

12,27;\

inciden u na lu z intensa de A= 5 OOOA y otra de muy bajn intensidad con A == 4500

Por lo tanto, el intervalo de las energías ciné· ticas de los fotoele<:trones es

ljm,lz

m/$

2,46 eVo (a) Calcule la longitud de onda de un fotón que, al ser absorbido por un e lectró n, hace que é!!te escape con energía cinética cero. (h) Suponga que en el sodio

1,602x iO-[!J

lo

J.s

5,40x 10-2.5 kg.

25. La función de trabtYo en el sodio vale

eV _ 2,8 eV

=4,14eV-2,8eV =

34

l A. ==

U;6J. = hv - V o = he/A. - Uo = (6,63xto- 34 )(3xI0 1 ) _ 28 3 OOOx JO- [O '

= 6,63x 1O-[!J

6,63xlO-

45001. Solución a) La ecuación de la emisión fotoeléctrica es

.....

hv=Ue +Vo La longitud de umbral está dada por

.,. (11

,

Entonces

h - - = Vo de donde c) Para el eleclrón

A..... b~,,'

Ve = m. v 2/2 Despejando la velocidad v v;:

~2 Ue = r2-(-I-X-I-,6-0-2x ~IO---''"'-J-) m~

9,lIxI0 - l4kg

= 593044m/s La cantidad de movimiento es igual a

~~"I

= h clUo

=

(6,63x 10- 34 J .s) 3 x 10 1 m/s 2,46 x 1,602x 10- 19 J

IA"",b,,'¡

= 5,O,H

AI

b) La energía cinética máxima se obtiene de 111, y es igual a

, 6.8

ICAP.28

FUNDAME NTOS DE FISICA SUPERIOR



Ip =

u~trIb = hv - Uo

5,918x

\0 -23

gitud de onda, la energía cinética disminuye: por lo tan to

A = hlp

= _~6.~6~3~X~1~0~-~"~J,-".''--

Fuente de 4 500"\ provoca emisión con mayor energía cinética.

5,9 18x 10- 23 kg . mis

1"

(6,63x lO - 34 ¡ . .f}3x10 8 m/s_ 4500x lO-10 m

Demuestre que la función de probabilidad .c

26. En un cincscopio típico de televisión,

ot

P (r) tiene su valor máximo en el primer radio de Bohr a o' Trace una gráfica de

w .f

is

ic

a2

01

3.

bl

og

sp

los electrones son acelerados a través de una diferencia de potencial de 12 000 V.

w w

Los electrones acelerados adquieren una determinada energía cinética, la cual se obtiene apli. cando el principio de la conservación de ¡, energía, es dec:ir

P(r)vs.r. So luci6n La función de onda para el estado fundamental

de! hidrógeno es esféricarncnte simétrica, ya que es función solamente de la distancia r entre el electrón y el protón.

m. v 2/2=/!/loV de donde, la velocidad promedio de elida electrón es v =

=

,

~2eóv

m.

12( 1,602x 1O- 11l C) 12 000 V "'J 9,1IxIO - 3I k$

= 6,4965 x

\07

mis

Entonces,la cantidad de movimiento rmal resulta

W -N T oe -./ ....

p = m. v

= (9,11 X 1O- 3! /eS){ 6,4965 X 10 7 mis)

0.112A

om

IU~~ = o.29gevl

Obtenga su cantidad de movimiento final y la longitud de onda de De Broglie, IIUponlendo que inicialmente están en reposo.

=

2 7, La probabilidad de encontrar al elect r6n entre 108 radios r y r+dr en el estado fundamental del átomo de hidrógeno está dada por la mecánica cuántica como P(r)dr = Nle - 2r1a.4n r 2 dr

- 2,46 x 1,602x lO-u J

Soluci6 n

I

~-~

el Reemplazando)'= 4 500,1 en Jaexpresi6n 121

t

I

Aplicando la re lació n de De Broglie, la longitud de onda es igual a

De esta expresión se deduce que a mayor lon-

UIJlb.",

/cg. mis

... 121

= he/). - Uo

(aa es

•

el radio de Bohr, QO = O,528A)

• CAP. 281

609

FISICA CUANTICA

www.fisica2013.blogspot.com La función de probabilidad de encontTar al electrón entre los radios , y , + d, eSlá dada por

www.fisicax2.blogspot.com Reali7.ando tal integración e igualando a l se ot>. tiene

1't'1 2 dV

P(,)d, =

= Nge- 2r/"o(41t,2 d , )

La gráfica de P ( ,) continuación

= 41tNo2 e- 2 ,1"o ,2d, ... [11 Para que la función de probabilidad alcance su valor mhimo en' se debe cumplir que 2 d P(,)

'"

,

<

O

VS. ,

es como se muestra a

pe,)

... 121

Por teo ria del Cálculo, los valores de los radios que hacen mínima a la función P ( , ) se obtienen derivando P ( , ) con respecto a , e igu alando a cero. :::::

.,

4 1t N o2 12 'e -2 ,1"• -

,

gs po t

.c

om

!!fJ....d d,

lo .f is

ic

aO

d,

2

-

,

w

w

w

Para verificar que se trata de un máximo hallaremos la segunda derivada

,

4, 2,) -2'/" N' ( • 1t O 1 - - + --:-r e

"ti

·0

d P(,) ",'

I

Soludón Del problema anterior sc dcduce que la función de probabilidad es pe, ) = N 2 e- 2 ,1". 4ft,2

Cuando' = DO 2

01

a2

1, = I d P (,) _ 8

28. Utilizando la función de probabili da d p (,) del problema anterior, detennine la probabilidad de encontrar el electrón en el estado fundamental del hidrógeno, dentro de una esfera de radio ao con centro en el protón.

3. b

Simplificando esta e)[presión se halla

0

= - 8ftNi e - 2 •1". < O

' · "c

Integrando entTe 10$ límites , = O Y , = DO se obtiene la probabilidad de encontrar al electrón dentro de la esfera de radio cltl

Como lo demuestTa el resultado obtenido, efectivamente se cumple la condición 121. Integrando la ecuación [1]. entre lo ~ límites O e se puede hallar la constante No' ya que

00

f;P(,)d, : : :

l 1

, 610

FU NDAMENTOS DE FISICA SUPER IOR

www.fisica2013.blogspot.com La Integral I

e$

¡CAP. 28

www.fisicax2.blogspot.com negro con u n a i n le ns idad m áxi ma a

igulll a

km = 5 600.4, halle la temperat ura superficial del Sol. 80I uc!(1O

En el problema 19 se obtuvu que la distribución cspc¡;;tta! está d ada por

,

I(A) = 81t: c (l _ e - ltuH T) - l Ento nces, la probabilidad

~'ra

P = 1ta~N~ (1-5e-2)

Aplicando la too r!a de los mb imos se deduce que J ( A) será máxima cuando se cumpla

... ('"'

A", T = O,28978x1O- 1 m . K = constanJe

Si la integración fuera hecha entre los límites r = O Y , = _, la probabilidad sería igual a la unidad; es decir

Con A... = 5 600

Ase obtiene

om

T _ 0,28978 x ¡o-2 m . K 5600x ¡o-10 m

1:

gs po t

2+/lof+ ~)]

No =

a2 w

Oc donde, la constante No resulta

w

w

.f is

ic

=41tNl(~)= -V lhta ~

Finalme nte, sustituyendo en la ecuación t'" l. se obtiene

r:1'::-_-5::c¡c:c,,::CK :11

lo

1!-2,/do (r

3. b

=4TtNi[ _~

01

I

.c

Utilizando el resultado de la integral anterior

30. Una de las constantes más interesan· tes de la naturaleza es la constante de estructura fina a definida en términos de la carga del protón e, la constante de PlaneK h y la velocidad de la luz e, de 2 acu erdo con In relnción a = e /41tEohc. Calcule el valor de esta constante y de· muestre que no tiene dimensiones. Solució n Rccmplal.ando dalaS en la ecuación propuesla

a = 74 0',"':..-;:.-:, ( 1,602x 10 - 1,,)2 = 4 7t (8.854)( 10- 12)( 6,63x 10- 3") (3 x lO B)

"m

29. La longitud de onda 'para la que 1 ( A ,T) del problema 19 es máxima satisface la ecuación h", T con.stante = O,2f1978x lO-2 m .K. Esto se conoce camo ley del desplazamiento de Wien. Suponiendo que el Sol radia como un cuerpo

la = 1,16x 10- 3 1 Mediante el an6lisis dimensional

611

FISICA CUANTICA

CAP.28J

www.fisica2013.blogspot.com o

e' --,.-=--_. e' m ( 1 )(--2)(1·.1')(-) N.m

www.fisicax2.blogspot.com de donde, la energía potencial Up es igual a

u, o

.1'

N.m

Como U, h, }.. Y m t:oncluye que

O-j-

~on

cantidades constantes, se

I Como se observa en el resultado obtenido, la constante a no tiene dimensiones.

""

CONSTANTE

I

Por el resultado obtenido. se puede inferir que energía potencial es constante e independiente de la posición x.

31 . Suponga que se le dice que dentro de determinada región del espacio hay una partícula que se mueve en una dimensión que tiene una ene rb'Ía bien defini da, y desc rita por la función de onda e-l...r. ¿Qué puede inferirse acerca de la energía potencial en esa región del espacio?

32. La masa de una partfcula es de 1,0 x

sp ot .

co m

10 - 8 kg y su posición tiene 1,0x 10 - 6 de incertidumbre . Obtenga la incert i d umbre mínima e n su velocidad. Exprese si esta inde t erm inación impone limitaciones prácticas en un caso experimental real.

a2

01

3.

bl

og

Saludón La ecuación de SehrOdinger independiente del tiempo se expresa mediante ./f 2 a 2 qt a 2 'f' a 2 'f - - ( - - + - - + --2 ) + Up 'f' 2m ax2 ay2 az

Solución

De acuerdo al principio de incertidumbre o indeterminación de Heiscnbcrg llp~

tu 2:: h/4 1t

w

w

.f

is ic

= UIf'

w

En este caso (Función de Onda)

U:

Up

Energía total bien definida.

Se sabe que la energía U es constante, ya que es una condición fund amental de toda la física y es independiente de la posición espaci al. Además

a

a

2 1f'0 - 2-\f10 0 -ax2 oy2

Entonces, la ecuación de Schrlldinge r se convierte en

Como, por dato, la incertidumbre de la posición es I ,Ox 10- 6 m

6,63xIO- 34 J.s 4n(I,Ox 10 - 6 m) 2:: 5,276xlO- 29 kg.mls

2:

Por 10 tanto, la incertidum bre en la. velocidad de la partícula es 2:: 5,276xlO- 29 kg.mls

I,O xlO Skg

1.6.....

2:: 5,276x 1O -

2t mis

I

Esta. indeterminación impondría lim itaciones prácticas e n un experimento real, ya que la incertidumbre en la velocidad es muy pequeña.

• 61 2

[CAP 28

FUND AMENTOS DE FISICA SUPERIOR



3 3 . Se ha propuesto que muchas de las

La incertidumbre máxima de la posición de los quarksesóx = lO-15 m .

partículas elementales conocidas se pueden describir en términos de diversas combinaciones de componentes todavía más elementales, conocidos como quarks. Si el protón, cuyo radio es 10- 15 m, está formado por quarks, entonces está definida la máxima incertidumbre en la posición del quark. Estime la mínima incertidumbre en la componente r de la cantidad de movimiento del quark. Si la masa de los quarks fuera 10 veces mayor que la del protón (no hay ley que 10 prohiba), determine la mínima incertidumbre en su velocidad u.r"

Por el principio de incertidumbre 6pzóx~hI4n

Entonces 6p ~ 6,63xl0 -l4J .s % 4n( \O 15 m )

l6pz ~ 5,28xl0

2

is

ic a2 01 3. b

lo gs po t

.c om

Los QUARKS se definen como partícula de carga fraccionaria con respecto a la carga eleclrÓnica del electrón.

w .f

I

Si la masa de los quarks fuera 10 veces mayor que la del protón, la incertidumbre en la velo+ cidad sería

Solución

w w

20 kg . mls

5,28 x 10- 20

*g. mis

1O(1.673x1O- 21 kg)

1.ó.I'z ~

6 3,156x 10 m1.f

1

CAP_14_FISICA CUANTICA.pdf

Recommend Documents