Capítulo 6 37. ¿Cuál es la diferencia entre una variable aleatoria y una distribución de probabilidad? Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio y puede ser discreta, si se permite adopte sólo un número limitado de valores, o continua, si se le permite asumir cualquier valor dentro de determinados límites. Una distribución de probabilidad es una distribución teórica de frecuencia, describe cómo se espera que varíen los resultados, se ocupan de las expectativas y son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. 38. En cada uno de los siguientes enunciados, indique si la variable aleatoria es discreta o continua. a) El tiempo de espera para un corte de cabello. cabello. Rpta. Variable continua. b) El número de automóviles que rebasa rebasa un corredor cada cada mañana. Rpta. Variable discreta. c) El número de hits de un equipo femenil de softbol de preparatoria. preparatoria. Rpta. Variable discreta. d) El número de pacientes atendidos en el el South Strand Medical Center entre las seis y diez de la noche, cada noche. Rpta. Variable discreta. e) La distancia que recorrió en su automóvil con el último tanque de gasolina. Rpta. Variable continua. f)
El número de clientes del Wendy’s de Oak Street que utilizaron las instalaciones.
Rpta. Variable discreta. g) La distancia entre Gainesville, Florida, y todas las ciudades de Florida con una población de por lo menos 50 000 habitantes. Rpta. Variable continua. 49. Estadísticas recientes sugieren que 15% de los que visitan un sitio de ventas de menudeo en la web realiza la compra. Un minorista desea verificar esta afirmación. Para hacerlo, seleccionó una muestra de 16 “visitas” de su sitio y descubrió que 4 realizaron una compra. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro realicen una compra?
~ = 16, 16, = 0.155 = 4 = 0.114
Rpta. 11.4% b) ¿Cuántas compras deben esperarse?
~ = 16, = 0.15 ∗ = 16∗ 0.15 = 2.4 Rpta. Deben esperarse 2 compras. c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más “visitas” terminen en compra?
~ = 16, = 0.15 ≥ 4 = 1 − 0.074 − 0.210 − 0.277 −0.229 = 0.21 Rpta. 21% 50. En el capítulo 19 se estudia la muestra de aceptación. El muestreo de aceptación se utiliza para supervisar la calidad de la materia prima que entra. Suponga que un comprador de componentes electrónicos permite que 1% de los componentes se encuentren defectuosos. Para garantizar la calidad de las partes que entran, por lo general se toman 20 partes como muestra y se permite una parte defectuosa. a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote con 1% de partes defectuosas? b) Si la calidad del lote que ingresa en realidad fue de 2%, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte? c) Si la calidad del lote que ingresa en realidad fue de 5%, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte? 61. Un estudio relacionado con las filas de las cajas registradoras en Safeway Supermarket, en el área de South Strand, reveló que entre las 4 y 7 de la tarde de los fines de semana hay un promedio de cuatro clientes en la fila de espera. ¿Cuál es la probabilidad de que al visitar Safeway en este horario encuentre lo siguiente:
=4 =∗
ningún cliente en la fila? a) cuatro clientes en la fila de espera? b) cuatro o menos clientes en la fila? c) cuatro o más clientes en espera?
Capítulo 7 41. La cantidad de bebida de cola en una lata de 12 onzas tiene una distribución uniforme entre 11.96 y 12.05 onzas. X:Número de onzas a) ¿Cuál es la cantidad media de bebida por lata?
0 5 = 11.96 +12. 2 = 12 Rpta. 12
b) ¿Cuál es la desviación estándar de la cantidad de bebida por lata?
= √ 12.05 −211.96 = 0.02598 Rpta. 0.02598 c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una lata de bebida de cola que contenga menos de 12 onzas? X:Número de onzas X~N(µ=12,σ2=0.025982)
− 12) < 12 = ( < 0.1202598 < 12= < 0 < 12 = 0.5 Rpta. 50% d) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una lata de bebida de cola que contenga más de 11.98 onzas?
> 11.98 = 1 − < 11.98 > 11.98 = 1 − ( < 11.0.9082598− 12 ) > 11.98 = 1 − < 0.77 > 11.98 = 1 − 0.2206 > 11.98 = 0.7794 Rpta. 77.94%
e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una lata de bebida de cola que contenga más de 11 onzas?
> 11 = 1 − < 11 − 12) > 11 = 1 − ( < 10.102598 > 11 = 1 − 0+ > 11= 1 > 11 = 100% Rpta. 100% 42. Un tubo de pasta dental Listerine Control Tartar contiene 4.2 onzas. Conforme la gente utiliza la pasta, la cantidad que queda en cualquier tubo es aleatoria. Suponga que la cantidad de pasta restante en el tubo tiene una distribución uniforme. De acuerdo con estos datos, es posible determinar la siguiente información relativa a la cantidad restante de un tubo de pasta dental sin invadir la privacidad de nadie. a) b) c) d)
¿Cuánta pasta esperaría que quedara en el tubo? ¿Cuál es la desviación estándar de la pasta que queda en el tubo? ¿Cuál es la posibilidad de que en el tubo queden menos de 3.0 onzas? ¿Cuál es la posibilidad de que en el tubo queden más de 1.5 onzas?
53. La administración de Gordon Electronics piensa instituir un sistema de bonos para incrementar la producción. Una sugerencia consiste en pagar un bono sobre el 5% más alto de la producción tomado de la experiencia previa. Los registros del pasado indican que la producción semanal tiene una distribución normal. La media de esta distribución es de 4 000 unidades a la semana, y la desviación estándar es de 60 unidades semanales. Si el bono se paga sobre el 5% más alto de producción, ¿a partir de cuántas unidades se debe pagar? X:Número de millas X~N(µ=4000,σ2=602)
= 0.05 p(x>t) = 0.05 1-p(x
1 −( < − ) = 0.05 52000) = 0.05 1 −( < −5000 ( < −604000) = 0.95
( = −604000) = 1.64 = 60 ∗ 1.64 + 4000 = 4098.4 54. Fast Service Truck Lines utiliza exclusivamente el Ford Super Duty F-750. La administración realizó un estudio acerca de los costos de mantenimiento y determinó que el número de millas que se recorrieron durante el año tenía una distribución normal. La media de la distribución fue de 60 000 millas, y la desviación estándar, de 2 000 millas. X:Número de millas X~N(µ=60000,σ2=20002) a) ¿Qué porcentaje de los Ford Super Duty-750 registró en su bitácora 65 200 millas o más?
> 65200 = 1− < 65200 > 65200 = 1− < − > 65200 = 1− < 652002000− 60000 > 65200 = 1− < 2.6 > 65200 = 1− 0.99534 > 65200 = 0.00466 = 0.466% Rpta. El 0.466% registró 65200 millas o más. b) ¿Qué porcentaje de los Ford Super Duty-750 registró en su bitácora más de 57 060 millas y menos de 58 280?
57060 < < 58280 = 570602000− 60000 < < 582802000− 60000 57060 < < 58280 = −1.47 < < −0.86 57060 < < 58280 = 0.19489 −0.07078 57060 < < 58280 = 0.12411 = 12.411%
Rpta. El 12.411% registró más de 57 060 millas y menos de 58 280. c) ¿Qué porcentaje de los Ford Super Duty-750 recorrió 62 000 millas o menos durante el año?
< 62000 = < −
< 62000 = < 620002000− 60000 < 62000 = < 1 < 62000 = 0.84134 < 62000 = 84.134% Rpta. El 84.134% recorrió 62 000 millas o menos. d) ¿Es razonable concluir que ninguno de los camiones recorrió más de 70 000 millas? Explique.
> 70000 = 1− < 70000 > 70000 = 1− < − > 70000 = 1− < 700002000− 60000 > 70000 = 1− < 5 > 70000 = 1− 0.99999+ > 70000= 0+ Rpta. Sí porque las probabilidades son cada vez más mínimas y más próximas al cero absoluto. 65. La mayoría de las rentas de automóviles por cuatro años abarcan hasta 60 000 millas. Si el arrendador rebasa esa cantidad, se aplica una sanción de 20 centavos la milla de renta. Suponga que la distribución de millas recorridas en rentas por cuatro años tiene una distribución normal. La media es de 52 000 millas, y la desviación estándar, de 5 000 millas. X:Número de millas X~N(µ=52000,σ2=50002)
n=60000
a) ¿Qué porcentaje de rentas generará una sanción como consecuencia del exceso en millas?
> 60000 = 1− < 60000 > 60000 = 1− < − > 60000 = 1− < 600005000− 52000 > 60000 = 1− < 1.6
> 60000 = 1− 0.9452 > 60000 = 0.0548 = 5.48% Rpta. El 5.48% de rentas genera una sanción por exceso de millas. b) Si la compañía automotriz quisiera modificar los términos de arrendamiento de manera que 25 rentas rebasaran el límite de millas, ¿en qué punto debe establecerse el nuevo límite superior? Número de rentas: np=25 (reemplazando n=60000) 60000p=25 (despejando)
25 = 60000 = 0.0004167
p(x>t) = 0.0004167 1-p(x
1 −( < − ) = 0.0004167 52000) = 0.0004167 1 −( < −5000 52000) = 0.999583 ( < −5000 52000) = 3.34 ( = −5000 = 5000 ∗3.34+ 52000 = 68700 Rpta. Para que 25 rentas rebasen el número de millas, el nuevo límite superior deberá ser 68700 millas. c) Por definición, un automóvil de bajo millaje es uno con 4 años de uso y que ha recorrido menos de 45 000 millas. ¿Qué porcentaje de automóviles devueltos se considera de bajo millaje?
< 45000 = < − < 45000 = ( < 450005000− 52000) < 45000 = < −1.4 < 45000 = 0.08076
< 45000 = 8.076% Rpta. El porcentaje de automóviles de bajo millaje es 8.076%
