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PO ELE TROMAGNETICO. OPAGACION Y RADIACION
R. Gómez Martín
DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE GRANADA
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CAMPO ELECTROMAGNETICO.
PROPAGACION Y RADIACION
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CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
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R. Gómez Martín
UNIVERS IDAD DE GRANA DA. Campo Electromagnético. Propagacion y Radiacion Imprime: Secre tariado de P u,,licaciones Depósito legal G R.460/84 Printed in Spain Impreso en Espa1ia
..
PROLOGO )
Estas lecciones de Electromagnetismo está n destinada s a los alumnos
..'
de
42
de Ciencia s Físicas de la Facultad de Ciencias de la
Universidad d e
Granada. Con ellas, una vez caracterizado el campo electromagnético como por tador de energía y
momento (capítulos 1 y
11 ),
se trata de c ubrir aspectos
fundamentales de la propagación de ondas electromagnét icas en medios no confinados (capítulos VI-IX) y confinados (capítulos I ll-V; X-XV), de la radiación de señales electromagnéticas (capítulos XVI-XXII), de la formulación covariante de
la s
ecuaciones
del
campo elec tromagn ético (cap ítulos XX 11 I-XXV)
electrodinámica de partículas
y de la
(capítulos XXVI-XXX). Se supone un conocimiento
básico de electrostática y magnetostática y de las ecuaciones de Maxwell . Mi
agradecimiento a
s us valiosas sugerencias,
y,
B. García Olmedo y
a J.A.
J .A.·
Morente Chiquero por
Lao Pérez por su esmero en la escritura
de los originales .
R. Gómez Martín
'
..'
lll
1.l!I(~Í j
'
1
IND ICE
CAPITULO 1 TENSOR ELECTROSTATlCO Y MAGNETOSTATICO DE MAXWELL . FUERZA VOLUMICA 1.- Tensor electrostático de Maxwell 2 .- Fuerza
17
volúmica en un fluido o sólido defor21
mable
J.- Tensor magnético de Ma xwell. Fuerza volúmica
24
CAPlTULO II CONSERVACION DE LA ENERGIA Y MOMENTO EN EL CAMPO ELECTROMAGNETICO
29
1.- Introducción
2.- Conservación de la e ne rg ía en un campo electromagnético. Vector de Poynting
J.- Vector complejo de Poynting
29 34
4.- Tensor electromagnético de Maxwell: ley de co!! servación del momento e n el campo electromagnético
37
CAPITULO Ill CONEXION
ENTRE TEORIA
DE CAMPOS Y TEORIA DE CIR-
CUITOS 1.- Introducc ión
43
2.- Deducción de las Leyes de Kirchoff a partir de las ecuaciones de Maxwell
43
CAPITULO IV LINEAS DE TRANSMISION (I) 1.- Introducción
49
2.- Ecuaciones generales de las líneas de transmisión 3.- Línea ideal sin pérdidas 4. - Potencia y energía en líneas sin pérdidas S.- Líneas de transmisión con pérdidas pequeñas
49 53 58 58
10
R. OOMEZ MARTIN
CAPITULO V LINEAS
DE
TRANSMIS10N
(ll).
DIAGRAMA
DE
SMITH
Y
ADAPTACION DE IMPEDANCIAS 1. - Reflexiones en líneas de t['ansmisión
63 68 70
2. - Diagrama de Smith 3.- Aplicaciones de la carta de Smith 4.- Adaptación
de
impedancias
mediante secciones
de línea
74 79 80
5.- Teoría aproximada de pequéñas reflexiones 6 . - Adaptador múltiple cuarto de onda CAPITULO VI ONDAS
ELECTROMAGNETICAS
PLANAS
EN
MEDIOS HOMOGE-
NEOS, LINEALES E ISOTROPOS NO CONDUCTORES 1.- Ecuación de ondas
83 85
2.- Ondas planas en medios no conductores 3.- Energía en el campo electromagnético . Flujo de
89
e nergía, vector de Poynting 4.- Polarización de ondas planas
90
CAP ITULO VII PROPAGACION
DE ONDAS .ELECTROMAGNETI CAS
EN
MEDIOS
CONDUCTORES 1.- Introducción 2. - Propagación de ondas electromagné.ticas en medios conductores . Profundidad de penetración
93 93
97 98 99
3 . - Prqpagación en dieléctricos imperfectos 4 . - Constante dieléctrica generalizada
5.- Concepto de resistencia superficial
101
6.- Velocidad de grupo CAPITULO Vlll PRESION DE RADIACION. INCIDENCIA NORMAL DE UNA ONDA PLANA
SOBRE
LA
SUPERFICIE
DE
SEPARACION
DE
DOS
MEDIOS
105 105
1.- Introducción
2.- Presión de radiac ión 3.- Reflexión normal
de una onda plana sobre un
109
conductor p e rfecto. Ondas estacionarias 4.- Incidenc ia
normal
sobre un dieléctrico.
ción de onda es tacionaria
Rela-
113
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
11
CAPITULO IX INCIDENCIA
OBLICUA
DE
ONDAS
ELECTROMAGNETICAS
PLANAS
117
1.- Introducci6n
2.- Reflexión
y
refracción en la superficie de se-
117
paración de dos dieléctricos 3.- Onda incidente con el vector E contenido en el
119
plano de incidencia
)
4.- Onda
incidente
con el vt!ctor E perpendicular
121 122
al plano de incidencia 5.- Interpretaci6n de las f6rmulas de Fresnell 6. - Factores de transmisión y de reflexión
125
7 .- Reflexi6n total interna
126
CAPITULO X PROPAGACION
DE
ONDAS
ELECTROMAGNETICA
EN
MEDIOS
CONFINADOS . SISTEMA CON SIMETRIA TRASLACIONAL 1.- lntroducci6n
2. - Relaciones
129
genera les entre las componentes de
los campos
130
3. - Modos de propagaci6n. Ondas TE , TM y TEM. Potencial escalar para
las componentes trans-
133
versales 4.- Condiciones de contorno
136
5.- Frecuencia de corte
137
CAPITULO XI ORTOGONALIDAD DE MODOS Y CAMPOS 1. - lntroducci6n 2.- Relaciones
141 de
ortogonalidad
e n tre
modos
y
campos en un sistema con s i metría traslacional
'
144
3. - Desarrollo del campo en modos normalizados 4.- Solución general
141
en modos normales para una
guía ideal . Ecuaciones de línea de transmisión
146
Apéndice
149
CAPITULO XII ONDAS TEM O DE L I NEAS DE TRANSMISION )
1.- Introducción
151
2.- Ecuaciones de ondas para modos TEM
151
3 .- Justificaci6n
a
partir
de
las
ecuaciones
de
Maxwell de las ecuaciones diferencia les de l a s
"" l
.'.
12
R. GOMEZ MARTJN
líneas de transmisión
157
CAPITULO XIII GUIAS DE ONDAS RECTANGULARES Y ClLINDRICAS
163 163
l. - Introducción
2.- Guías de ondas de sección rectangular
3.- Guías de ondas de sección circular 4.- Guía coaxial
170
180
CAPITULO XIV ENERGlA Y PERDIDAS EN GUIAS DE ONDAS
183 185 186
1.- Potencia y energía en guías 2.- Velocidad d e flujo de energía 3 . - Cálculo de la atenuación en guías CAPITULO XV CAVIDADES RESONANTES
193 196
1.- Introducción 2.- Cálculo del factor de calidad
197 198
3.- Amortiguamie nto y curva de r esonancia 4.- Cavidad rectangular. Modos TElOp
200 203
S.- Cavidad cilíndrica. Modos TEOlp 6.- Perturbac ione s en cavidades CAP I TULO XVI ECUACIONES DE ONDA PARA LOS POTENCIALES 1.- Introducción
209
2.- lnvarianza de contraste para los potenciales
209
3.- Solución particular de la ecuación inhomogénea de los potenciales
212
4 . - Potencial de Hertz
218
CAPITULO XVII APROX lMACl ON DIPOLAR DE LA RADIACION 1. -
221
Introducc ió n
2.- Potencia l
del
c a mpo
distancia
del
e misor en
electromagnético la
a
gran
aproximactón
di-
221
polar 3 . - Ca mpo
electromagnét i co
de
radiación
dipolar
lejos de las fu en tes
224
4.- I ntensidad de radiación
226
CAPITU LO XVI 11 EXPRESIONES
GENE RA LES
Y
DESARROLLO MULTIPOLAR
DE
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
13
LOS CAMPOS DE RADIACION
229
1.- Introducción 2. -
Expresiones
generales
de
los
campos
creados
por una distribución acotada y arbitraria de
229 235
fuentes 3 .- Energía y potencia radiadas 4. - Cálculo de
'
los
ca mpos
de
radiación mediante
239 240
los potencia les de Hertz 5.- Radiación dipolar eléctrica
6.- Radiación
dipolar
magnética
y
cuadripolar
245
eléctrica CAPITULO XIX ANTENAS LINEALES
251 251
1. - Introducción 2.- Campos de radiación de una antena linea l 3.- Antenas situadas frente a tierra supuesta con-
260
ductora perfecta 4.- Sistematización
del cálculo de los campos de
264 269
radiación 5 .- Teorema de reciprocidad CAP IT ULO XX AGRUPACIONES DE ANTENAS
275
1.- Introducción
2.- Principio de multiplicación de diagramas . Fac-
276 278 287
tor de "array" 3.- Agrupación lineal 4 . - Propiedades directivas de "arrays" uniformes CAPITULO XXI ANTENAS CAMPO
DE
ABERTURA.
METODO
ELECTROMAGNETlCO
DE
SCHEL KUNOFF
EQUIVALENTE .
CONCEPTO
DEL DE
REACCION DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO
291
1.- Introducción 2.- Principio del
campo equivalente.
Principio de
293
Huygens 3. - Ecuaciones )
si.métricas
de Maxwell.
Potenciales
vectoriales
293
4.- Teorema de equivalencia de los campos y campos de antenas de abertura 5.- Abertura rectangular uniforme
297 300
14
R. GOMEZ MARTIN
6.- Generalización
del
teorema
de
reciprocidad.
Concepto de reacción
304
CAPITULO XXII SINTESIS DE AGRUPACIONES DE ANTENAS l. - In trod ucci.ón
309
2.- Método de Schelkunoff
310
3.- Sín tesis de Tchebyscheff
315
CAPITULO XXIII BASES DE LA TEORIA DE LA RELATIVIDAq ESPECIAL Postul~dos.
1.- Bases experimentales.
Transforma321
ciones de Lorentz 2.- Consecuencias de
las
transfo maciones de Lo-
rentz. Intervalos espaciales y temporales 3.- Ley
de
composición
de
la
Einstein y transformación -de 4 . - Simultaneidad,
acción
a
327
velocidades
de
ngulos
di tancia
330 y
acción
inmediata
332
5.- Repre sentación geométrica de
as transformacio-
nes de Lorentz
333
6.- Intervalo y tiempo propios
336
7. - Espacio cuadridimensional 8.- El
cálculo
tensorial
338
como
h rramienta
en
la 345
teoría de la relatividad CAPITULO XXIV FORMULACION
COVARIANTE
DE
LAS ECU CIONES DE MAX-
WELL. TRANSFORMACION DE LOS CAMPOS 347
1.- Cuadrivector densidad de corr ente
2.- Formulación
covariante
de
l s
ecuaciones
de
l s
ecuaciones
de
densidad
de
351
onda para los potenciales 3 . - Formulación
covariante
de
352
Maxwell 4.- Formulación
covariante
de
fuerza de Lorentz. Fuerza de 5 . - Tensor energía-momento del
la
inkowski ampo electromag-
359
nético 6.- Tensor
356
de
polarizaciones .
Transformaciones de
la polarización dieléctrica e imanación CAPITULO XXV ONDAS PLANAS. EFECTO DOPPLER
363
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
15
1.- Carácter invariante de una onda plana. Efecto Doppler
367
2. - Cuadri vector
energía-momento
de
una
onda
plana
372
CAPITULO XXVI FORMULAClON LAGRANGIANA Y HAMILTONIANA DE LAS ECUA CIONES DE LOS CAMPOS
. )
1.- Introducción
377
2.- Lagrangiano
y
Hamiltoniano
de una partícula
cargada en el seno de un campo electromagnético. Ecuación de movimiento
377
3.- Formulación lagrangiana de las ecuaciones del campo
382 384
4. - Desarrollo del campo en osciladores CAPITULO XXVIl CAMPOS DE UNA CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO. POTENCIALES DE LlENARD-WlECHERT 1. - Potenciales de Lienard-Wiechert 2.- Campos
de
una
carga
389
puntual
en
movimiento
arbitrario 3.- Campos
392
producidos por una partícula cargada
con movimiento uniforme
395
CAPITULO XXVII l RADlAClON
DE
ENERGIA
Y
MOMENTO
POR
PARTICULAS
ACELERADAS 1. -
Introducción
399
2 . - Expresión general de la en ergía y momento de radiación de cargas aceleradas
399
3.- Movimiento de partículas cargadas en el seno )
de un campo electromagnético
402 404
4.- Radiación de frenado o Bremsstrahlung 5.- Distribución
angular
de
la
radiación
emit ida
por una carga acelerada 6.- Distribución
en
406
frecuencia
de
la
radiación
emitida por una carga acel erada
410
CAPITULO XXIX REACCION POR EM l SION 1.- Introducción
2.- Cálculo aproximado
419 de
la
fuerza
de reacción
11 11
n
16
R. GOMEZ MARTIN
radiativa
419
3.- Masa electromagnética del electrón 4.- Efecto
de
la
reacción
por
emisión
422 sobre
el
espectro de radiación . Función de distribución espectral de Lorentz
426
CAPITULO XXX DISPERSION Y ABSORCION DE LA RADIACION 1.- Dispersión de ondas electromagnéticas por cargas libres y ligadas 2.- Absorción de la radiación por un oscilador
431 439
PROBLEMAS
443
BIBLIOGRAFIA
473
INDICE ALFABET ICO
477
C AMl'O
~I
FC
rncnt \( óNFTICO.
l'R()l';\(;¡\('l()N
y
R;\llli\CION
477
INDICE ALFABE'l'lCO
A...:i<1pt~d0r
.... uart1...""' de vnd..i, 77; 116;
74-81
de und
d1~tt1buc1~n
Jcbjtrdrid
de fuentPs , 234
A..im.,;,.taJh."1d, dia;.._11 ..:tmd de Smith pard,
Ctlvidades resonantes , 1 93-207
13 - i~
Chebycheff, polinomios de , 315
:!75-:&..;
Coefic iente de reflexión, 55 -56 ;
CtldXial , !Íned , 35; 160-1 61 ; 180
b1nóm1ca , 312 - 313
64 - 65; 68 - 69 ; 11 4; -115
br0ads1de, 285
Coeficiente dt transmisión , 114
endf1re , 285
Conductividad efectiva , 98
fact0r de, 277
Conservación del momento , 40-41; 107 ;
Anchura del lóbulo principal
(BWFN),
287
362 Constante dieléctrica compleja , 96;
Angulo crítico , 126
98-99
Antenas ,
Constante de prcpagación compleja
de abertura , 291-293; 297-304 de media onda , 259 -26 0
distribuci6n de
corri~nles
(Ver fac tor) Contorno , condicione s de,
en,
251-254
en guías , 137 del campo E .M., 297
lineal , 251-260 frente a tierra 260 - 26 4 Atenuación,
Contraste de, Coulomb, 212 Lorentz , 210
constante de, 95 - 98
Covariante , formulación , 345-346
en guías, 186- 1 9 1
Cuadrivector,
en lineas de transmi sión , 51;
aceleración , 341
58-61
densidad de corriente , 347 densidad de fuerza, 357
Bessel, funciones de , 1 72-173
energía-momento, 374
Bifilar, línea, 35 ; 1 60- 161
fuerza de Minkowski, 358
Brensstrahlung, 404-406
número de ondas , 367-368
Brewster , ángulo de, 123
pot e ncial , 351 potencial re •1na carga en mo-
Campo E.M . de radiación, de una antena linea l , 255
~
1
vimiento, 392 velocidad, 340
de una antena de media onda , 259
Cuerpo negro , 387 - 388
de una c arga acelerada, 393 -3 94
D' Alembert.
del cuadripolo eléctrico , 248
Densidad de moment o del campo E.M. 40
o~erador
de, 212; 352
del dipolo eiéctrico, 243
Diagrama de radiación , 258
del dipolo magnéti co , 246
Dilatación del tiempo, 329
11
...
-
R. (i()MEZ MARl l N
478
Dispersión de R.:iylcigh y Th
Dopple r, <·f
impedanc1d ,
1 38
134-ll~;
m
modos normalizad0s, 144-148
GuÍ
del campo E.M., 84
fr e~ uencia
de ondas pard los potcncidl es ,
modos normalizctdos,
211
modos TE, TEOl' 175; 17 7
de Maxwe ll, 83 duales , 294
de corte , 179
l7 G
modos TM, 174-175 Guías de ondas rectangu lar es,
Einst ein , postulados de, 323
frecuencia de corte , 168
Equivalencia,
modos normalizados, 166
principio de, 293 teorema de, 297-299
modos TE, TE
10 modos TM, 1 65
, 166; 168
Es pacio cuadridimensional , 338 Espectro e l ec tromagnético , 89
Hamilto niano , del campo E.M . , 386
Factor de •• array'', 277 Factor de propagación complejo ,
94-95 ; 97 Frecuenc ia de corte , 137
de una partícula cargada ,
378-379 Hertz , potencial de , 218 - 219 desarrollo mult ipolar del, 240
Frenado, radiación de ,
(Ver bremsstrahlung) Fresne ll, fórmulas de, 119; 122
Imáge nes, método de, 260-264 Imanación , tensor de, 363
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
deducción de, 44-48
479
Presión de radiación, 107 - 109 P r ofundidad de penetración , 96 Punto universo, 340
Lagrangiana, del campo E.M., 382-384 de una partícula cargada, 373-379 Lienard-Wiechert , potenciales de, 390; 392
Q, factor,
de una guía d e ondas , 193; 196 d e un dieléctrico, 94 ; 99
Longitud de onda de Compton , 422 Radiación,
Lorentz,
con tracción de , 328
campos de,
distribución espectral de, 429
de frenado,
(Ver campos) (Ver Bremsstrahlung)
energía de, 238 Magnitudes duales, 295
resistencia de, 256
Margen visible, 312
sincrotón, 4 16
Maxwell,
zona de, 237-238
ecuaciones de, 83
Radio clásico del electrón , 405
tensor de esfuerzos de,
Razón de onda estacionar ia,
(Ver tensor)
Reacción,
Masa electromagnética del electrón , 422-426 Minkowski, fuerza de,
(Ver VSWRJ
del campo E.M., 305 por emisión, 419-4 30
(Ver
cuadrivector) Modos en cavidades , 198-201
Re ciprocidad , teorema de , 269-273; 304-307 Reflexión,
Modos en guías (Ver g uías de ondas)
en espejos en movimiento , 374 -3 75
Momento del campo E.M., 40
en líneas, 55-56 ; 64-66
Momento generalizado , 378
de ondas planas, 109-128 factor de , 125
Operadores tetradimensionales, 344-34 5
total interna , 126-128 Refracción, Í ndice de, 86
Permitividad compleja (Ver constante dieléctrica)
Relajación, tiempo de , 84 Relatividad , principio de, 321-322
Planck, ley de, 388
Resistencia superficial, 99-1 01
Polarización de ondas , 90-92
Resonancia en cavidades , 196-198
Potencia, activa y reactiva , 37
Scattering (Ver dispersión)
radiada, 238 ; 243; 259-260
Sección eficaz de dispersión,
Potenciales, escalares y vectoriales , 295 retardados , 216-217 Poynting,
diferencial , 434 t o tal , 435 Simultaneidad de sucesos , 332 - 333 Síntesis de antenas , 309 - 32C
vector de, 31
Chebycheff , 315-320
vector complejo de, 35
Schelkunoff , 310-315
480
R. GOMEZ MARTIN
"Sk1n", efecto , 96-97; 103 Sm1th, diagrama de, 71 Snell, ley de, 118 Stub o sintonizador, 74 - 76 Tangente de pérdida s , 99 Tensor,
de esfuerzos de Maxwell (Ver electrostático y magnetostático ) electromagnético, 37-41 electromagnético cuadridimensional , 352-356 electrostático, 17-21; 24 energía-momento , 359-362 f>
de la frecuencia , 369 de la fuerza de Lore ntz , 356-359 de la imanación , 363-366 de la polarización , 363-366 de la velocidad, 241 de Lorentz , 321-327 de los á ngulos , 332 Vector, complejo de Poynting, 35 de Poynting , 31 radiación, 265 Velocidad(es), composi ción de, 331 de grupo , 102
17
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGA CION Y RADI ACION
CAPITULO I . TE NSOR ELECTROSTATICO Y MAGNETOSTATICO DE MAXWELL . FUERZA VOLUMICA . 1 .- Tensor electrostático de Maxwell .
)
!
Como es bien conocido , el concepto de campo eléctrico es una representación válida de los hechos experimentales y , por t a nto , es posible expresar la e nergí a electrostática de un sistema de cargas úni camente en función del campo que dicha dis tribución crea
!
Eo
'°
. )
(1 . 1 )
v'
expresión válida en medios lineales , homogéneos e isótropos. Iguálmente, en una pura teoría de campos, deberá ser posible calcular la fuer za electrostática sobre un elemento de volumen dado en términos de los valores del campo en la superficie de l elemento . Esto equivale a considerar los campos como medios transmisores de la tensión . Maxwell hi zo hincapié en esta idea para resaltar la realidad de los campos sustentada en el éter en contraposición a la acción a distancia , corrwortándose para estos efectos el éter como un medio elástico . En realidad debemos recordar que el único hecho físico que s ubyace debajo de este planteamiento es la ley de Coulomb, siendo el resto de la discus ión una cuestión puramente matemática y , por tanto , el e nfocar este problema desde el punto de vista de la acción inmediata o de la acción a distancia es puramente forma l . Sólo cuando tratamos efectos relacionados con f enómenos no estacionarios aparecerán aspectos nuevos relacionados con el concepto de c ampo . Para conseguir nuestro objetivo recordemos que , de acuerdo con la teoría de los medios elásticos , la fuerza total que actúa sobre un volumen dado puede considerarse transmitida a través de la superf ici e S que limita dicho volumen y formul ada en términos de una magnitud tensorial T, denominada tensor de esfuerzos o de tensiones , de fo r ma que la fuerza total actuante sobre un volumen puede escribirse
F
·'
1E" dV'
LT ds
( 1 . 2)
siendo f~ ~f.,;_ la fuerz a por unidad de área que actúa sobre superficie S que limita al volumen (fig . 1 . 1 ) .
la
18
R. GOMEZ M ARTI N
Como el teorema de la divergencia es también aplicable a los tensores se puede escribir
F: J V·T d V :: 1 f d V j V
f = \J.T
V
¡
donde
'·:i.
l13
T~
T.¿3
"'31 1';¿
T33
T,
\J
s
T-
=
L 0~·~·~ l ~I '(1. 'Ox.~ o X.3
en¡, 'O'í t
+
'O~, .... 'O~, , .. . > ... C) X,z,
l
'O X3
F-4¡. 1. 1
por lo que la componente f« viene dada , utilizando el convenio de suma para índices repetidos , por ( 1 • 3) -+
El t e nsor correspondiente a una fuerza volúmica , f , no es único pues siempre se le puede añadir otro de divergencia nula sin afectar el valor de f. Vamos a aplicar todo esto, e n primer lugar, a la electrostática y limitándonos a distribuciones de carga en ause ncia de dieléctricos. Para ello hemos de procurar expresar la fuerza eléctrica sobre un eleme n to de volumen , f=f.E como la divergencia de un tenso r T. Con este fín se opera como sigue :
por lo que
=
1
19
CA-MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
Aplicando ahora la propiedad del campo e lectrostático
VAE~o,
se ob-
tie ne
con lo cual
::.
y final me nte
donde d(l«
es
la del ta de
Kron ec ker.
Comparando es ta e xpresión
con
( 1 . 3) se obtiene ( 1 . 4)
te n sor que escrito en forma matri c ial toma l a forma 1
0
T
éo
t. 2 E ... ) " - .:i - ;¡;
( t.~
~"'~
t..._ Ei
t x t.~
_±. l ¡;:~·- "E:x' - E¿~)
E:i
t: • ti Este tensor
'
t.::i ti.
ti
( 1 • 5)
~ l E;- ~j - E:)
se denomina de esfuer z os de Maxwel l
y c omo se puede v e r
y cabía esperar por ser un tensor de es f uerzos , es s imétrico y, tanto , diagoni zable .
po r
Esto se comprueba fácilmente si n más que tomar
uno de los ejes de coordenadas en la dirección del campo e l éctrico . En efecto, si elegimos E=Ex,
por ser Ey=Ez =O , el tensor anterior
queda
E" ~
T=
éo 0
r
o
o
-t
o
o
_:J
( 1 . 6)
Ul JJU
.
1 ll
20
R. GOMEZ MARTI N
con los valores propios
l o q ue traduce , de (1 . 2), que en el cálculo de la fuerza en cada eTeme n to de superficie la componente normal del campo eléctrico En da lug ar a una " tensión " (fuerza por unidad de superficie hacia afuera . . V) igual a 0t éo E~ >t. mientras que la componente tangencial nos da una " presión " (hacia dentro de V) de valor ~ E:o E ; . Sea una superficie cualquiera y un sistema coordenado con el oride
ge n e n la interfase ,
el eje x paralelo a la dirección del campo de
z
f o rma que Ey=Ez=O y el vector unitario contenido en S ( fig . 1 . 2) . Consideremos ahora la fuerza por unidad de
superficie sobre un ele-
mento dS, cuya normal forma un ángulo g con el eje x . Como f s=T.ti y
ds
n=(cos 9, - sen 9 , O) obtenemos
cuyo módulo es fs = l ~ E.., y direc 0 cion la señalada en la figura l . 2
nl
y
F.i..g.. 1. 2
Para
E p erpendicular
al elemento de
área, G=o, resulta una tracción, de mag n itud i ~ E~ , sobre la superficie, en la dirección del campo. Este ser ía el caso , por ejemplo, de un conductor (fig . 1 . 3a) . X
y
-
E
y
X
(a)
F.i.,g. 1.3
(b)
....
Cuando E es paralelo al elemento de superfi cie , ta un empuje de magnitud i. éo Ev sobre la superficie, 0
e=
t1
/-<,, resul-
que es normal
CA MPO ELECTROM AGNETICO. PROPAGAC ION Y RADIACION
21
al campo (fig. 1 .3b). Ejemplo: supongamos dos cargas iguales y del mismo signo colocadas en los puntos (a , 0,0) y (-a , 0 ,0). Las líneas de campo son , como muestra la figura 1 . 4 , simétricas con respecto al plano central . Si el tensor de esfuerzos se integra sobre las superficies de una caja , una de cuyas caras es el plano de simetría entre las dos cargas y las otras caras están en el infinito , de forma que el campo en ellas es nulo, la expresión resultante está de acuerdo con la ley de Coulomb. Efectivamente , el campo en el punto de coordenadas (0, y, 0) es
E
e..
y de acuerdo con la figura 1 . 3b
y la fuerza total
..
.,.
F °'
~ Í _~_ 8
f1
1
2
éo Jo (.Q.~ .¡. ~· ) 5
2njdj::.
que es la ley de repuls i ó n de Coulomb . Análogamente se hace para el caso de que las cargas sean iguales y de signo contrario , pero en este Fi.g.. 1. 4 caso las líneas de campo son perpendiculares al plano de simetría y , de acuerdo con la figura 1 .3a , la fuerza resultante es de atracción . 2 . - Fuerza volúmica en un fluid o o sólido deformable . Deduciremos la fuerza volúmica que actúa sobre un cuerpo dieléctrico cuando está bajo la influencia de un campo electrostático externo a partir de la energía libre del sistema, que supondremos lineal :
A=
r E. "D L
Jv
( 1 . 7)
donde la integral está extendida a todo el volumen donde existe campo . Vamos a aplicar el principio de los trabajos virtuales. Para ello
22
R. GOM EZ MARTIN
consideremos un desplazamiento virtual en el que todos los elementos de cargas y dieléctricos del sistema se desplazan una distanciaóx totalment e arbitraria. Se supone que el proceso es lo s ufi cientemente lento como para poder considerarlo isotérmico y reversible. En estas cond iciones la variación de la energía libre del sistema pued~ igualar se a la del trabajo mecánico y se puede escribir
--
ÓA =
( 1 . 8)
donde, teniendo e n cuenta q ue la magnitud de l os desplazamientos virtuales es totalmente arbitraria pero compatible con la s ligaduras del sistema , se puede identificar f con la fuerza volúmica que actúa sobre el dieléctrico . Consideremo s ahora el cambio de energía l ibre debido a la variación d e f y é en la densidad de carga y constante dieléctrica , respectivamente, provocada por el desplazamiento. De acuerdo con la expres ión de la e n ergía libre , tendremos
en l a que se ha t e n i do e n cuenta que d ( ! I E< )~ - ó E..- / e.../· . El segundo término del Último miembro representa el cambio en la energía debido al de splazamiento de las fuente s y el primero , el cambio en la energía debido a la variación en la constante dieléctrica por l os desplazamientos virtuales .
El segundo térmi no puede escribirse
c uenta que V lsz5éo )="ílt;fi·ó D+
(teniendo en
y que l a integral d e vo l umen de integral de su perfici e , para S
infinitamente le jan a , debido a que ~ varía al menos como 1/r) de la forma
J E. ó Dd V :; -1 'V~ . d DJ V : 1~ ó"\J· Dd." f
v
V
~
dV
( 1 . 1 o)
~
po r tanto ( 1. 11 )
Relacionemos a hora las variaciones de
óx ,
p
y é con los desplazami en-
tos dados, a las coordenadas del s i stema . De l a ecuación de continuidad pa ra la carga y masa , y para un desp l azamiento Ó ~ , la varia-
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
23
ción en un elemento de volumen dV de las mismas, vendrá dada por ( 1 . 1 2)
( 1 . 1 3)
e n las que óp representa la densidad de carga yóo-,..., la de masa . Para el cálculo de d é... nos limitaremos a l a hipótesis , válida para líquidos y gases , de que é..- es función unívoca de la densidad de masa. Con esto, la variación total de Ó€... vendrá dada por
ó
E..- =
d ET do;,,. : - d €,,. \J ( (J"I.
con lo que (1 .11 ) queda de la forma
oA Aplicando el teorema de Gauss a cada integral , utilizando la anterior relación vectorial y despreciando las integrales sobre las superficies infinitamente lejanas, queda ( 1 . 1 4)
que comparándola con (1 . 8) implica
r y como
=
f
E
+
€ 0 0-m,
"J ( E'" d E... )
da-.,.,.,
.¿¡
VE.,: d&. 'Va;... podemos escribir
dcr,,.,.
r = f E - €.,E... v ..¿¡
€., + ...§?__ 'iJ 0
eF'
d. E...
da-,...
o-.,.. )
( 1 . 1 5)
Al interpretar lo s sumandos del segundo miembro, la primera parte traduce la conocida acción del campo sobre cargas reales y la segunda , la fuerza volúrnica que e xiste en los puntos donde varía E.... En particular, da la fuerza normal a la superficie de separación de un dieléctrico en el vacío , que tie nde a introducirlo en él . El Último térmi no, conocido como electros tricc ión. Supone una fuerza volúmica sobre un dieléctrico en un campo eléctrico inhomogéneo. Es de notar que la magnitud de este té rmin o depende explícitamente mediante d h /cÁCJ»1. de la ecuación eléctrica del estado del material y que no conduce a una
'l
24
R. GOMEZ MARTIN
fuerza neta total sobre el dieléctrico . Esto se debe a que la integral d~ volumen puede transformarse en una integral extendida a una superfic i e exter na al dieléctr ico en la que ~~ es igual a cero . Será este suma ndo de una i mportancia decisiva c uando se produzca una modificación de volumen o de f orma del dieléctrico en el campo eléctrico . Para un fluido dieléctrico que se encuentra en un c ampo gravitator i o de inten sidad g=g(r) , a l a vez que en un campo electrostático, la densidad de fuerza total será ( 1 . 16)
y , recordando la ecuación fundamental de la estática de fluidos, f.v¡, donde
r=¡(r)
es la distribución de la presión en e l equilibrio , queda (1
. 17)
Ecuación que, res uelta , da la distribución de la presión en el seno del fluido . La ecuación anterior para un líquido homogéneo , VEr=o , incompresible , ~= C{e , libre de cargas , f.o , en el seno del campo gravi ta torio terrestre g, se simplif ica a ( 1 • 1 8)
finalmente , diremos que es posible , trabajando sobre la expresión (1 . 15) de la mi s ma forma que se hizo con es decir, tratando de darle la forma de un tensor de esfuerzos electrostáticos de Maxwell , obtener que
f:fE ,
T
( 1 . 1 9)
3 .- Te nsor magné tico de Maxwell . Fuerza volúmica . Siguiendo un razonamiento análogo al empleado para el tensor ele~ trostático vamos a tratar de encontrar el tensor de esfuerzos magnetostático T tal que la fuerza total que actúa sobre un volumen pueda
CAMPO ELECTROM AGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
)
25
escribirse en términos de dicho tensor de la forma
~
siendo f,, T·Yt la f ue rz a por unidad de superficie sobr~ la S que limi ta a V. De modo que para la component e~ de la fuerza volúmica podemos escribir
' Restri ngiéndonos al caso de distribuciones de corrient e en el vacío , podemos expresar la fuerza por unidad de volume n como f, J "B, \i'·T siendo l a componente x: 'S"sl. "J)í3i.-J~ B 1 . Como
J
.J
=(
?) J./,
oi
- él¡..¡?.- )
-ox
J
podemos escribir
y
'
teniendo en cuenta que
'V·B •O se
obtiene
por l o que
de donde se deduce (1 . 20)
que son las componentes de un tensor que, al igual que e l eléctrico , es simétrico y, por tanto diagoni zable . En forma explícita lo podemos escribir
26
R. GOMEZ MARTIN
~
l B.,.2 - 6~t - Bet
)
l
B .. Be
B" B.:i
1
J
th B'l 1
T=-
\ 8j... - í3<... -
--<.,
B~...
)
Bj Bt
1
fo e~ ~i
¡
- ( Bi.. - \?i,.. - B~2. )
Bj \3i-
.;:,,
l
( 1 . 21 )
que es el llamado tensor magnético de Maxwell, o bien , tensor de es fuerz os c uando
magnético .
Este
tensor
s
o
tiene
la
siguiente
forma diagonal
B=Bx: 1
T
.¿, fLo
[
2
o
-B..
o
o
( 1 • 22)
obteniéndose igualmente que los ejes p r incipales están orientados de form a que el eje coordenado correspondiente a la raiz simple del determinante
secular >.., =~· /2¡.t.
es
paralelo
a
B,
mi e ntras
que
los
ejes principales correspondientes a la raiz doble ). , =A...,= -B... /.:iµo perpendiculares a
B.
dos son
Esto traduce e l hecho de que el campo magnético
transmite una tensión B' / 2f'-o sobre la superficie normal al campo y una compresión trans versal de la misma magnitud sobre superficies paralelas al campo . En definitiva , todas las concl usiones obtenidas anteriormen te son aplicables aqui . Asi , por e jemplo, la fu e rza por unidad de área sobre un elemento dS es fs = 1-l ·e, /-e, y el campo magnéti co es bisectriz del ángulo entre la normal a la superficie y la dirección de la tensión magnética resultante que actúa sobre dicha superfi cie ( fig. 1 . 5) . De
igual
forma ,
siguiendo un
proceso totalmente análogo al
ñ
que
realizamos en electrostática (por lo que no se repetirán los cálculos , que pueden quedar como ejercicio para el alumno) , se puede deducir la fuerza volúmica que actúa sobre un cuerpo cuando está bajo la influencia de un campo magnético e xt e rno, a partir de la energía libre del s~stema , que consideraremos desplazamiento virtual Sx totalmente arbitrario , a F.i..[;.. 1. 5
1ineal .
Dando
un
todas las coordenadas del sistema , de modo que las velocidades virtua-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
! l
27
les correspondientes a dicho desplazamien t o sean lo suficientemente lentas para que pueda suponerse que el proceso se realiza isotérmica y reversiblemente, la var i ación en la energía libre del sistema puede igualarse a la del trabajo mecánico
oA. ~ ó 'J.,. _ , - )
v
¡.
obteniéndose para la fuerza volúmica la expresión ( 1 . 2 3)
donde, al igual que entonces , se ha considerado la permeabilidad como una función unívoca de la densidad de masa~,.,,_ . El segundo término del segundo miembro da la fuerza volúmica q ue existe en los puntos en que varía ~Y, en especial da la fuerza normal a la superficie de separación de un material magnético con el vac í o . El primer término nos da la conocida acción del campo sobre la densidad de corri ente . Al igual que en electrostática , la expresión (1 . 23) de l a fuerza volúmica puede escribirse como la divergencia de un tensor de e sfuer zos mag netostático de Maxwell más generalizado , obteniéndose ( 1 • 24)
siendo
b
)
)
¡;_ .... -
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGA CION Y RADIACION
'
29
CAPITULO II . CONSERVACION DE LA ENERGIA Y MOM ENTO EN EL CAM PO ELECTROMAGNETICO . 1 .-
Introducción . En este capítulo aplicaremos el principio de conservación de l a
'
energía a un volumen acotado , limitado por una superf icie S , en c uyo interior existe un campo electromagnético arbitrariame n te variable co n el tiempo . Veremos que, como resultado de este balance , aparecerá un nuevo término que representa un flujo de energía asociado al c ampo electromagnético a través de la superficie S que limita al vo l umen considerado . Este término llevará a la definición del vector de Po ynting . Seguidamente pasaremos a
tratar
el caso , muy interesante debido
al teorema de Fourier , de campos que varian armónicamente . De a quí d e finiremos el denominado vector comple j o de Poyn ting . Veremos finalmente que un campo electromagnético llev a asociada una densidad de momento , es decir , es portador de un mome n to q ue e xpresaremos , al igual que su energ í a asociada , e n términos de l vector de f>oy nting . 2 . - Conservación de de Poynting .
la energía en el campo electromagnético .
Vector
La energía electrostática asociada a un sistema d e ca r gas que produce el campo eléctrico es , en medios lineales :
'(J."
~
r D · E dv
( 2 .1 )
~
e x presión q ue se obtiene calc ul a ndo e l trabajo realizado para es tabl e cer al campo . De modo análogo se l lega a la e x presión d e l a energ ía almacenada en un campo magnético (2 . 2 )
El problema que ahora se presenta es la posibilidad de ap l icar estas expresiones en situaciones no estáticas o no estacionarias . Si en una región del espacio, que en general puede ser conducto r a se calcula H·'i1t.E-~ · i7 1\ \:i se obtiene, teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell
J
+
aD '() t
30
R. GOMEZ MARTIN
lo siguiente: ( 2 . 3)
Si el medio es lineal, las derivadas con respecto al tiempo pueden escribirse
(2 .4 )
en donde, recordando las expresiones de la energía almacenada en un campo eléctrico y en un campo magnético, E· 0 Dtot y Q."OB/ot representan las derivadas respecto al tiempo de las densidades de energía eléctrica y magnética en el medio, respectivamente . Utili zando la expresión vectorial
la ecuación (2.3) se escribe
Si integramos esta expresión en un volumen V limitado por una su perficie S en dicha región del espacio y se aplica el teorema de la divergencia al primer miembro, se obtiene, recordando (2.4) : (2 . 5)
Este resultado, deducido por Poynting en 1884 , se i nterpreta del modo siguiente : Si se admite que las expresiones de las energías eléctrica y magné tica almacenadas en los respectivos campos son las mi smas que e n el caso de rég imen estacionario , ecuaciones (2 . 1) y (2 . 2) , el primer térmi no del segundo miembro de la expresión (2 . 5) representa el ritmo o la velocidad con que disminuyen las energías eléctrica y magnética almacenadas en el volumen V. Esta pérdida de energía debe contabili z arse por los dos res tan tes términos de la ecuación ( 2 . 5) . Veamos , pues, el significado de estos dos términos . Si a- es la conductividad del medio y E' el campo electromotor que existe en una cierta region (por ejemplo, a causa de la presencia de un generador o batería), la ley de Ohm se escribe:
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPA GAC ION Y RADIACION
31
\
o bien
y, consecuentemente, el segundo término del segundo miembro de (2 . 5) se escribirá
J
É·JclV
~ J ~ V
V
E'· j
dV - )
dV
(2 .6)
~
Suponiendo que todos los materiales del campo son absolutamente rígi dos para excluir cualquier posible transformación de la energía electromagnética en energía mecánica, sustituyendo (2 . 6) en (2 . 5) y distribuyendo adec uadament e los distintos términos entre los dos miembros de la ecuación para facilitar la interpretación del balance de energía, se obtiene
J E· :5 dv " ¡t J ~ et n "B.1-1) d v + Í ~ d v ~ (E " ~n. ds +
1/
V
+
V
(2 . 7)
S
El primer miembro de esta ec uación represe nta l a energ ía que por segundo suministr an al medio los generador es , es decir , pote nc i a s um i nistrada por todas las fue ntes den t ro de l vol umen . La exi stencia de E' , campo electromotor , en una cierta región puede ser debida a l a pr~ sencia de una fuerza electromotriz ( é ~ cf E'· a causa de l a ac tividad química , por e j emplo e n el interior de un a ba t ería , o una f.e.m. (fuerza electromotriz) d e origen te rmoeléctrico , etc . ¿en qué se emplea esta energía que recibe el medio? ; o , ¿cómo se transf orma dicha energía? . El primer térmi no de este seg undo miembro traduce e l r i tmo de aumento de las energías eléctrica y mag nétic a a l macena das en e l volume n V. El seg undo té rm ino r epresenta la pérd ida i rreversi bl e de e neE gía por segundo a causa del efecto Jo ul e , dent r o del vol ume n V. El ter cer término traduce un f l ujo de energ í a (que al venir e n fu nc i ó n de E y de H, denominamos energía electromag nética) q ue sa l e por segundo a través de la super ficie S que limíta a l vol ume n V. Introduc i e ndo el vector éj, de nomi nado de Po yn ti ng , y definido por
de )
(2 . 8)
el mencionado tercer término de la ecuación ( 2 . 7 ) se escri birá como
32
R. GOMEZ MARTIN
El vector de Poynting (2.8) se puede i n terpretar como la energía que por segundo atraviesa la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección del vector E" H. Se mide en watios por metro cuadrado. Debe observarse, que aunque 1' · d.s r e presenta el flujo total de energía que por unidad de tiempo atraviesa la superf icie cerrada S , no se puede concluir de modo defini tivo que el flujo de energía por unidad de tiempo en un punto del campo sea ff> ·E" 4 , ya que a esta magni t ud podría añadírsele c ualquier vec tor cuya integral sobre la s uperficie cerrada S fuese cero , s in afect ar al flujo total . Se debe r ecordar que la ecuación (2 . 7) se ha deducido suponiendo el medi o lineal , es decir , en ause ncia de materiales f err omagnéticos , ferrimagnéti cos y ferroeléctricos , pues en caso contrari o deberá completarse dicha ecuación agregando términos que representan las pérdidas de potencia por histéresis. Aunque ya se ha mencionado que las consideraciones anteriores son válidas para medios lineales, quizás no esté de má s insistir en que la presencia de la anisot ropía no invalida lo s res ultados o btenidos ; así, se puede demostrar que , aún con ani sotropí a , son válidas las ig ualdades
fs
j
Considerando, por ejemplo , la prime ra de estas expresiones , se sabe que en el caso de med ios a ni sótr opos la relación e ntre D y se puede escribir
E
3
D·
'
Ijo1
E•j tj
En consec ue ncia 3
!.. Q_ t'E·D) ~
ot
X/
J
2:2= [,, j ''
é ¡j (t e~ ~E · 'O E¡)
ot
j
Bt
Un sencillo razonamiento fundado en l a conservación de la energía demuestra que é.•j" EJ• . Aplicando este resultado se intercambian i y j e n e l últ i mo miembro de la ecuación a nterior , con lo que se tie ne
-
es un conjunto de constantes independientes de E y de Si [t.,j ] t , se veri fi ca
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC!ON Y RADIACION
33
según se quería demostrar. Veamos un ejemplo de aplicación del concepto de vector de Poynting. Para ello consideremos el proceso de carga de un condensador
E
admitiendo que el campo eléctrico entre las armaduras es uniforme , con lo que la densidad de energía dentro del condensador, en un instante durante la carga , supuesto que el dieléctrico es el vacío , es
La
energía
tot al,
suponie ndo
el conden sado r de placas circulares y paralelas , ( fig . 2 . 1) , viene dada por
donde
a
es
el radio y 1
la
distancia entre armaduras . Duran te el proceso de carga , el volume n
entre
las
armaduras
del condensador está recibien do energía al ritmo
d '(S F~ . 2 . 1
d. t
Es interesante comprobar que la variación de energía electromagnética entre l as placas del cond ensador está asociada al flujo del vector de P oynti ng a través de la s uperficie lateral del condensador , esto es por
donde se h a
te nido en c uen ta que
H
E es
perpendicular a las armaduras
y t i ene e l sentido indicado en la figura 2 . 1 . Recordando la ec ua ción de Maxwell
y aplicando el teorema de Stokes
34
R. GOMEZ MARTIN
tenemos
el
~
Í>·ds
di, s es decir
y , consecuentemente , el módulo
de H es
La energía que entra por segundo en el condensador es
p..Z11a.~ h~.
2.2
-:
E
éo Cl. .¿,
= éo E
oE
oE
"Ot
ot l1
.Z.rta..~
=
Q~e
que coincide con su aumento. En resumen, la energía puede suponerse que entra desde el espacio exterior y no a través de los conductores . Una explicación intuitiva está en que las cargas vienen de lejos por los conductores hacia las placas del condensador cuando se está cargando ; al estar las cargas alejadas, el campo eléctrico que producen es muy débil y muy disperso, pero al ir acercándose las cargas el campo tiende a entrar, a concentrarse dentro del condensador, como se quiere representar en l a figura 2 . 2, y así la energía del campo se mueve hacia el condensador y termina por quedar localizada entre las placas . 3 .- Vector complejo de Poynting. En muchos casos prácticos los campos electromagnéticos son fun.., ciones armónicas del tiempo y, de hecho, si no lo son, 'siempre es posible descomponerlos en suma de armónicos con distintas amplitudes, fases y frecuencias de acuerdo con el teorema de Fourier. Pues bien ,
35
CAMPO ELECTROMAGNETI CO. PROPAGACI ON Y RADIACION
\
cuando tratamos con señales armónicas , lo usual es utilizar notación compleja y representar los valores instantáneos de y Hcomo la parte real de las expresiones complejas . t Ju.>t y l-\ eJw respectivaEa e: 0 mente , donde E0 y H0 son vectores complejos función de la posición , (x,y,z), es decir (fig . 2 . 3)
lm
E
Er
Re E¡
----
Eo
)
(2 .9) E¡senw t
F.¡_~ .
Entonces , la parte rea l de los campos , teniendo en cuent a la vari a 2 . 3 ción armónica , es
Eo ejv.it} = ReÍl(E~~(J)t+~L ~E'ft'l.wt)tj( E~~eHL<.Ui:- f¡,(<)~{.0-1:.)t -== c.o~wt
+-
Ei
<';~wt
( 2 . 1o )
e igualmente para H -+
J{ = H~ <..o~ wt + H¡, ~eNLwt
( 2 . 1o 1
)
De aquí el valor instantáneo del vector de Poynting es
)
donde hemos tenido en cuenta que: t.~'Y\. uyt ~ wt = ..L .&eyt 0 wt . '2.Ahora bien , en la práctica, l o usualmente utili z ado e s el valor medio del flu j o de energía por unidad de tiempo que, para señales armónica s , viene dado por el valor medio del vector de Poynting en un ciclo , esto es
lP ::
'
L
( 2 . 1 2)
T
para lo cual se ha tenido en cuenta la expresión ( 2. 11) para IP y el hecho de que el valor medio de
36
R. GOMEZ MARTIN
Vamos a formular el teorema de Poynting haciendo uso del vector complejo de Poynting. Consideremos, pues, señales armónicas. Tomemos la expresión de la ley de Faraday para excitaciones sinusoidales y la ley general de Ampére en su forma compleja conjugada -
-
\/ /\ f 0 = -·.} W l¡l- \-1 0
-4
;
Vf\ \1 0 ~
.
-
~
-
.,...
t0
-
•
..
J0
Multiplicando escalarmente la primera ecuación por tt 0 y la segunda por E y sustrayendo los resultados, tenemos , 0
H: · V'" f., - E 0
'V d1c
= -
- ...
2
jW
(_
~
Ho - ..
\:J: -
E-
Eo
·E: )- l -s: 0
( 2 . 1 3)
2
Observemos que H0 . H0 =H y E0 . E0 =E , donde H y E representan la amplitud de los dos campos armónicos en un punto , y que
donde E0 es el campo electrostático y E' o• el campo electromotor. De todo esto y de (2 . 13), se obtiene -,
-11(
+.LE-~\ 0
( 2 . 14)
donde el primer término de la derecha se ha multiplicado y dividido por dos, por conveniencia, de modo que l"Ll·f'/4 y c.E /4 representan, respectivamente, la densidad media de energía magnética y eléctrica y J 2 / 0 , el valor medio del cuadrado de la densidad de corriente como es inmediato ver recordando que el valor medio del cuadrado de la función seno o coseno es 1/2 . Multiplicando la ecuación (2 . 14) por el elemento de volumen dV , integrando sobre cualquier volumen V y aplicando e l teorema de la di vergenc ia, obtenemos 2
J,
Jf
V
lE'-J")dV=J ~dV+.aj·wl ( ~~~_cE )dv + JÍ 01 \f.,11\4: }.ds 1i v V s 2
.L .¿,
o
-2-(J
L¡
qu e es la expresión correspondiente a (2 . 7) en notación compleja . De aquí obtenemos las igualdades: ( 2 . 16) ( 2. 17)
Vamos a interpretar físicamente este par de ecuaciones . La primera integral del segundo miembro de la igualdad (2 .1 6) representa la potencia media transformada en ca l or dentro de V.
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
,\
37
El primer miembro de (2.16) representa la potencia media suministrada por todos los ge neradores dentro de V. Esta potencia media se denomina normalmente potencia activa de los generadores ( 2 . 1 8)
La integral de superficie de (2.16) representa el flujo medio de potencia a través de la superficie S. En cuanto al segundo miembro de (2 .1 7) muestra los términos reac tivos que almacenan energía durante una porción de un ciclo y lo devuelven durante el otro . El primer sumando da la diferencia de los valores de pico de la potencia magnética y eléctrica suministrada a los c ampos y el segundo e l valor de pico del fl ujo reactivo de potencia q ue se intercambia con el medio exterior a través de S . Am bos sumando s en media son nulos . Al término ( 2 . 1 9}
se
denomina pot encia reactiva de l generador. Si la integral de superficie en (2. 1 6) no es cero , s e dice que la región externa es una carga activa para los generadores dentro de v . Similarmente, si la integral de superficie de la ecuación ( 2 . 17) no es cero, se dice que la región externa es una carga reac ti va para los generadores de V. Generalmente estas son ambas distintas de cero y la región externa es a la vez una región activa y reactiva para los gener adores dentro de V. l~
4 . - Tensor e l ectromagnético de Ma xwell: ley de conservac i ó n del mome nto en el campo electromagnético .
'
Como se dedujo anteriorme nte a partir d e considera ciones e nergéticas, la fuerza volúmi ca electrostát ica en un medio l i neal , e -1 E( E , t) , resulta ser - ie J
f
f -E -
=
éo
.z,
r
-;: ;n €T )
:
-
\7 -T te.)
siendo T(e) e l tenso r e l éctrico de Maxwe ll de compone nt e s T
te)
('<>!
=
..,.,..
.vl'
1 l::.,¡ - ~
,
ºt"'I
E 1:> ...
Ir
Igualmente , en magnetostática , la f uer za volúmica para un medio lineal , f-L#p. (B, t) , es
f ¡...,,.¡
:
38
R. GOMEZ MARTIN
siendo
En ambos tensores hemos omitido el término correspondiente a electrostricción y magnetos tricción, respectivamente, simplemente por razones de fluidez en los desarrollos que siguen y es fácil de ver que en absoluto condiciona esta omisión la generalidad de los resultados. De la linealidad de las ecuaciones del campo se sigue por superposición que, cuando coexisten un campo eléctrico y otro magnético, el te n sor electromagnético T(em) de Maxwell será
n11 Ea1 - ~ ~d E~ Dis = Drtc1. -
i
+
eófd.
E<éo
sfl \.lo. - i_ ir11... 1-l T s~
=
(2.20) +
Br l-ld
-i_ fLo µ.,
\-\ ... d(la.
Ahora bien, hemos de recordar que los tensores eléctrico y magnético se obtuvieron para condiciones de campos eléctricos y magnéticos estáticos o cuasiestáticos. Vamos a suponerlas válidas para campos electromagnéticos arbitrariamente variables con el tiempo y ver si la VT(em) nos da unos resultados para la fuerza volúmica que sean corroborados por la experiencia . Las componentes del vector divergencia de T (em) en (2 . 20) son de la forma
( 2 . 21 ) +
Ha. C>B11 é)x('
+
E¡i C>4c! - !... 1-\... f• ~ - Br ~ ox~
¿,
o)(,,¡
01',¡
Nótese que el tercer y cuarto términos provienen de ~ á"~., ETDT , ya que , de la definición de delta de Kronecker se infiere que este término es sólo distinto de cero para ~ =~ . Vamos a transformar adecuadamente la expresión anterior , apoyándo nos en las ecuaciones de Maxwell, con el fin de escribirla en forma vectorial . Para ello observemos q ue : a) De \l·D=f se implica que el primer término de la expresión anterior ,
Eo1. e>.D15 ~
t::o1
'O~
\l·D
~ f:a1
p
b) El segundo término más el cuarto dan: D(l 0Eo1 _ D(' ('))((>
~: [-=¡)"(\T A°€)} -ci
\(.,¡
o(
como puede comprobarse por cálculos directos . c) Del sexto y octavo, mediante fáciles consideraciones
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC ION
B<1
39
o~ -B(l~: _[e,,_ l~f\H)t:;-[s"l°S+~~)t ")((l
8
~e(
d) El quinto sumando es igual a cero ya que IJ.B=O. e) Finalmente, vemos que el tercer y séptimo sumando de (2 . 21) contienen los gradientes de é ... y f-• , respectivamente. En definitiva, tenemos para la componente a de la divergencia del tensor electromagnético la siguiente expresión:
'
(2 . 22) que, teniendo en cuenta las expresiones (1 .15) y (1 . 23), podemos escribir (2 . 23) donde c. "
1
'V f-4Co
Vemos que , para campos variables con el tiempo , aparece para la divergencia del tensor E. M. un nuevo s umando no presente para campos estáticos y que es proporcional a la derivada temporal del vector de Poyn ting . Para el vacío, la expresión (2 . 23) se reduce a (2 . 24) Observemos que el Último término parece sugerir a primera vista , que existe una densidad de fuerza E.M . incluso en el vacío en ausenc i a de cargas y corrientes , lo cual estaría l ógicamente de acuerdo con l a teoría mecánica del éter de Maxwell. Ahora bien , nosotros sabemos que tal éter no existe y que la única fuerza E.M . que para nosotros tiene sentido es la resultante del promedio espacio-temporal de las fuerzas que actúan sobre cargas y corrientes , esto es, la obtenida promediando la densidad de fuerza de Lorentz -¡::- \""1.l ~
p [ i
~
- ] ~+i:T"B
( 2 . 25)
donde v es la velocidad de las partículas cargadas en un elemento de volumen. Desde este punto de vista, el término de la expresión (2 . 24) , 1 'di> , ha de in te. rpretarse como una variación temporal de densidad e• ~ de momento y no como una densidad de fuerza, lo cual es dimensional mente análogo aunque conceptualmente muy diferente. Las conclusiones
40
R. GOMEZ MARTIN
as í obtenidas son corroboradas por la experiencia y vamos a comentarlas a contin uación. Si integramos la expresi.Ón ( 2. 24) en un volumen V que conte nga materia y radiación, se obtiene, aplicando e l teorema de la divergencia a la integral
y median te (2.24)
J~
dV
(2 .26)
" en la que F'o1 es la componente O/ de la fuerza total que ac túa sobre cargas y corrientes en e l interior del volumen. Ahora bien , teniendo en c uenta que la fuerza total que actúa sobre un volumen es igual a la variación de momento mecánico dentro del volumen , podernos escribir, operando en (2.26):
cL
(2.27)
d.t
....
sientjo Po1 la componente ~d e l momento mecánico P. Esta ecuación establece que , para un volumen dado, la variación 2 temporal del momento mecánico más 1/c de la integral de volumen del vector de Poynting es igual al fluj o del tensor de Maxwell sobre la superfi cie que encierra dicho volumen. Si escogemos la superficie lo suficientemente alejada como para que se encuentre en la región libre de campos, entonces el tensor de Maxwe l l en ella se anula y la suma de la integral de volumen del vec tor de Poynting partido por c 2 más el momento mecánico del sistema deber á ser constante en el tiempo. En definitiva , la ausencia de propiedade s medibles para e l éter, nos lleva a un cambio necesari o en nues tro concepto de momento y por t anto , a modificar la ley de su conservación q ue debe de incluir no solo al momento mecánico sino también al asociado a l campo electromagnético, cuya densidad es (2.28) El vector de Poynting aparec e , pues, jugando un doble papel: como portador de energía y como portador de momento. Así , en la interacción del campo y las partículas, a la par que la l ey de conservación de la energía total, se cumple la ley de conservación del momento total . La transferencia de momento a las part í culas va acompañada de una
Es interesante señalar , que los resultados obtenidos en este capítulo serán corroborados desde un punto de vista más formalista cuando ~studiemos la formulación relativista de las ecuaciones del campo electromagnético.
)
' '
- - -";¡'":
43
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
CAPITULO III. CONEXION ENTRE TEORIA DE CAMPOS Y TEORIA DE CIRCUITOS . 1 .- Introducción . Los cuatro elementos más usados en la teoría de circuitos con parámetros localizados son : generadores, resistencias , condensadores e inductores. Desde el punto de vista de la teoría de campos , e l estudio de una red resultante de la conexión mediante hilos conductores de un nDmero cualquiera de estos elementos es extraordinariamente compl icado ya que las condiciones de contorno son muy irregulares y el medio es inhomogéneo. Hemos tenido ya ocasión de comprobar que incluso proble mas de contorno mucho más sencillos son extraordinariamente dif í ciles de resolver. Sin embargo , los problemas de redes son resueltos fácilmente uti lizando métodos de la teoría de circuitos y sus soluciones son la base del diseño de muchos dispositivos . Ahora bien , a pesar de los resultados tan precisos que se alcanzan en determinadas circunstanci a s con la teoría de circuitos , esta no es más que una teoría aproximada cuya validez es limitada . En este capítulo vamos a estudiar en qué condi ciones es válida esta teoría. 2 .- Deducción de las leyes de Kirchoff a partir de l as ecuaciones de Maxwell . Como sabemos , en la resolución de los problemas de redes no aparecen magni tudes vectoriales de c ampo, E, H, -D y B, ya que las magnitudes que determinan el problema son la intensidad de corriente I y la diferencia de potencial V. Es precisamente este hecho es decir , el que nos interesa la relación diferencia de potencial intensidad entre los terminales de los elementos conectados por hilos conductores, sin pre~ cuparnos de qué es lo que sucede en el interior de esos e l ementos , lo que explica fundamentalmente la simplicidad de la teoría de circuitos . Estas relaciones llevan a ecuacione s integrodiferenciales que pueden reducirse a ecuaciones algebráicas . La solución de los problemas de redes se basa en la aplicación de dos leyes, conocidas como l eyes de Kirchoff , que se expresan como sigue: 1) La suma de las intensidades que entran y salen en cualquier superficie cerrada es igual a cero , y esto es cierto en particular en lo nudos de unión de hilos conductores
--
'
L
I
"'o
-
( 3. 1 )
44
R. GOMEZ MARTIN
2) La segunda ley supone que a cada nudo, o a cada par de terminales de una malla sólo puede asignárseles un valor del potencial, por lo que la suma de éstos a lo largo de un circuito o malla cerrada debe ser nula :
¿V
(3 . 2>
=o
Vamos a ver ahora que bajo ciertas condiciones , las ecuaciones ( 3. 1) y (3 . 2) son una consecuencia de la ecuaciones de Ma xwell . Analizaremos primero el régime n estacionario . En estas condic io nes tenemos para el campo magnético R y el eléctrico
E:
t j -ds
-::. o
( 3 . 3)
p [ . J1
:. o
(3 . 4)
~
para cualquier superficie S o línea L c erradas . Las
( 3 . 3)
ecuaciones
( 3 . 4)
y
i mplican
las ec uacion es
( 3.1 )
y
(3 . 2) ya que expresan respectivamente la conservación de la carga y la independencia del cami no para
la diferencia de potencial .
Esto n os
permite concluir que pa ra c ua lquier elemento con un par de terminales solamente , como indica la figu ra (3.1) , la corrien te que en tra por un t e rminal es la misma que sale por e l otro , y que la diferencia de pote ncial V
1 V
<
/ I
s
1
z
1
,
I
/
entre
los
t e rminales
es
independ iente
del camino y por lo tanto está unívocamente determinada . En l as redes lineales , V/ I=cte , siendo esta con sta nt e la resis tencia R. Entonces , si la re lación entre V e I es conocida, (3.1) y (3 . 2) nos permi ten es -
Fi..g.. J . 1
cribir un con junto de ecuaciones y solverlas .
Según
estas
re-
consideraciones
se puede dec ir que para corrientes estacionarias las leyes de Kirchoff son absolutame nte válidas. Cuando existe n variaciones temporales de los campos , las ecuaciones de Maxwell toman la f orma
( 3. 5) ( 3.6)
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGA<;:ION Y RADIACION
45
l Es decir , que hay que tener en cuenta ' la corriente de desplazamiento y la ley de inducción de Faraday . De (3.5) aplicando el teorema de la divergencia llegamos a la ecuación de continuidad en su forma integral
8Q (3. 7)
'Ol
O es la carga encerrada dentro de S. Por otro lado, de (3.6) teniendo en cuenta la definición de potencial vector, llegamos a que
donde
E~
-VV-
~ A_ e>t
donde, como sabemos , el primer sumando es la contribución conservativa y
'OÍ\ /'Ot la no conservativa al campo eléctrico .
Consideremos ahora dos puntos, 1 y 2 , en un campo electromagnético variable con el tiempo . A la integral de línea del campo eléctrico total desde el punto
al 2 se le denomina vol taje entre los puntos
1 y 2 y se le desig na por
V,:¿ ::
v12
r, E.ie 1
=- (
J,
l \J V + 'Oi\ ) . d1
( 3. 8)
'Ot
sie ndo precisamen t e el primer término la diferencia de potencial entre los dos puntos. Por tanto ( 3 . 9) \
De aquí que los conceptos de voltaje entre dos puntos y diferencia de potencial entre dos puntos no son en general iguales. Solo en el caso estático se hacen iguales . La 2
do
término
fun ción puntos .
( b)
diferencia
de
potencial
(V 1 - v2 ) es una función de los puntos 1 y 2 solamente . Pero el seg undel segundo miembro es
del
camino
entre
dichos
Esto es fácil de ver si consideramos dos caminos diferentes, como en la figura 3 . 2, donde
r A·
F.i.[¡. J . 2
1
cieq, ~
~, A. de1 ~
=
~ B.ds = ~ s
) ~ i\ . d ~ ~ ~., A. dQb + 1> 1
1
46
R. GOMEZ MARTIN
donde r:jJ es el flujo magnético y hemos empleado el teorema de Stokes, teniendo en cuenta que B=VAA. Entonces V12 ca.> = V12tloJ -
( 3. 1 o)
'CJ
ol en la que rf; es el flujo magnético a de la figura 3.2.
través de la superficie rayada
De esta manera , la lectura de un voltím etro entre dos puntos de una red dependerá de las diferentes configuraciones de los cables de conexión, (fig. 3.3). De
las
ecuaciones
(3 . 7)
y
( 3 . 8) vemos que las ( 3. 3) y ( 3. 4) no son estrictamente aplicables y, por
tanto ,
tampoco
las
(3.1)
y
( 3 . 2) . Sin embargo, es posible en muchos casos suponer que no existe acumulación de carga en los conduc-
v'
tores de conexión , así como despreciar c ualquier cambio de flujo magnético asociado con las corrientes en dichos
ne s ,
que
a decuada , ( 3 . 4)
analizaremos
hi l os conductores o con
cualquier dispersión de flujo magnético desde el i nterior de cualr.u;.. J . J quier elemento . En estas condicioseguidamente cuando suponen una aproximación
las ecuaciones (3 . 7) y (3 . 8) se transforman en las (3 . 3) y
l o que implica que la leyes de Kirchoff vuelven a ser válidas
y aplicables a V e I en los conductores de conexión , de modo que en c ua l quier instan te , para un nudo cualquiera podemos escribir 2:1: .. o y asociarle un único valor de V.
En definí ti va , todos los cambios de
carg a y flujo los suponemos confinados al interior de los elementos, de forma que no intervienen las ecuaciones de redes . De las simplifi caciones expuestas se deduce que, si nosotros conocemos las relaciones entre v e I para cual quier elemento, podemos usar (3 . 1) y (3 . 2) para plantear , al igual que en régimen estacionario, un sistema de ecuaciones y proceder seguidamente a su resolución. El límite de validez de las simplificaciones impuestas reside en el hecho de que la velocidad de propagación de los campos y las corrientes asociadas a ellos , es finita, así como en la dispersión de los campos fuera de los elementos. Si las variaciones temporales son lo suficientemente lentas, es decir, cuasiestacionarias, como para que la propagación de la pe rtur-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
47
bación a través de la red tenga lugar en un tiempo muy corto comparado con el periodo de la señal, entonces podemos suponer que en cualquier instante la distribución de corriente es la misma que existiría en condiciones estacionarias. Ahora bien , cuando la frecuencia aumenta, la correspondiente longitud de onda ·A disminuye hasta que llega un momento en que puede ser comparable con el tamaño de la red . En est as condiciones , la corriente que entra en un elemento puede ser muy diferente de la que sale en ese mismo instante, debido a los diferentes valores de I en los diferentes puntos a lo largo de los conductores y a la consiguiente acumulación de carga . Esto puede expresarse de una forma cuantitativa a partir de las expresiones de los potenciales re tardados electromagnéticos, V y A, que, como veremos más adelante , dan cuenta del hecho de que las perturbaciones electromagnéticas se propagan con velocidad finita , de modo que las expresiones para el potencial V y el potencial vector A en un instante t y a una distancia r de la fuente vienen dadas, para el caso de excitación armónica, por
y= Vo
e
jwl
e
jc.ut
.li ti c.
\~
-iw.,. ./c
f_ e.
d \f
"1'
siendo r/c el tiempo de retardo, o sea , el tiempo que tarda la perturbación electromagnética en recorrer la distancia r . Ahora bien , si las dimensiones de la red y la frecuencia de la excitación son tales que w"<' le. .:::.::: i, podemos escribir , por ejemplo, el potencial escalar desarrollado en serie de la manera siguiente
) dV
'
'
de modo que queda claro que los efectos de re tardo pueden ser ignora dos cuando se cumple que c..u-r I e <<: l, condición que, teniendo en cuenta la igualdad ~, ~ =- e" , puede escibirse como -r-« .A. . e Te. A Así pues, el tamaño de la red y de los elementos es crucial y , por tanto , la teoría de redes con parámetros localizados es inaplicable a circuitos normales de laboratorid para longitudes de onda del orden de un metro, teniéndose entonces que tratar los hilos conducto res igual que las líneas de transmisión , que serán estudiadas más adelante . Lo mismo ocurre con los elementos que a bajas f recuencias son tratados como localizados. Es interesante también que tengamos en·cuenta que, como se verá en la misma lección en que estudiaremos los potenciales retardados , es precisamente la presencia del término correspondiente a la corriente de desplazamiento en las ecuaciones de Maxwell lo que da lugar al re tardo de los potenciales. Consecuentemente, despreciar el retardo sig -
1.11
48
R. GOMEZ MARTIN
nifica despreciar estas corrientes y, coincidiendo con nuestros razonamientos anteriores, despreciar la acumulación de carga. En cuanto al confinamiento de los campos , la construcción de los eleme ntos y
conductores de conexión es tal que confinan los campos
magnéticos y eleétricos en su interior. A bajas frecuencias , cualquier campo de dispersión puede tenerse en cuenta suponiendo otro elemento localizado (por ejemplo, un condensador a tierra) . Además, c ual q ui er pequeño campo de dispersión variable con el tiempo implica var iación de ·Potencia , l a cual , de acuerdo co n la e x presión de la pote ncia media radiada , de tipo dipolar, asociada a un elemento de corriente de amplitud I
se
incrementa c uando
la longitud de onda decrece y
será apreciable
cuando la longitud de onda sea comparable con el eleme nto. Esto supone un límite práctico al uso de elementos convencionales y comienza el campo de utilización de guías de ondas y cavidades donde los campos son mejor confinados .
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
49
CAPITULO IV . LINEAS DE TRANSMISION (I). In t r oducc ión.
"l !
Según se ha visto en el capítulo anterior, c uando la longitud de onda de excitación a una red es del orden de mag ni tud de las dimensiones de la misma (o me nor ) , o bien, dicho de otra f orma , cuando el periodo de la señal es del orden o menor que el· tiempo de propagación de la señal a lo largo del circuito, las leyes de Kirchoff correspondientes al análisi s de circuitos con parámetros localizados (es decir , la caracterización de los distintos elementos del circuito por una re/ lación V/I), ya no son apl icables. Esto se debe a que en estas candi vs _ cienes la i ntensidad y la te n s ión se hacen función del t iempo y d€ las coordenadas dejando , por ejemplo, de ser válida la relación LI=O F.i.g.. 4 . 1 a través de la superficie S que rodee a un elemento del ci rcuito (fig .4 .1) . En este caso el análisis que debe llevarse a cabo para est udi ar la transmisión de una señal electromagnética es e l denominado de línea de transmi sión , en el que a los pa rámetros us uales de la teoría de circuitos : resistencias , inductancias y capac idade s (R ,L, C) , han de considerarse distribuidos a lo largo de e lla e n lugar de localizados . Realme nte, este modo de anális i s de líneas de trans mi sión, enc,)ntrará una justificación riguros a a partir de las ecuaciones de Maxwell en un capít ulo posterior . (\J
2 .- Ecuaciones ge nera l es de las líneas de transmisión. En general, una líne a de trans misión está constit uida por dos conductores cualesquiera separados por un material dieléctrico , aunque en la práctica las estructuras más utilizadas son el cable coaxial o el formado por dos hilos conductores paralelos . En todo caso, la representación usual de una líned de transmisión es la de la f ig uro 4 . 2a, donde z es la coordenada medida desde el extremo de la línea donde está colocado el generador . En general , la línea se caracteriza por cuatro parámetros : resistencia , capacidad , conductancia e inductancia por unidad de longitud, de modo que un elemento de longitud ~z queda modelado como representa la figura 4 . 2b .
50
R. GOMEZ MARTIN
(a)
-------- ----..---------,- -- - - - ---- -- 1 1 1
1 1 1 1 1
---- - --------'---------+ z 1
z • t;z
1
1 1 1 1
i 12, t )-• '-"'A/'v----t'lOC'P-..-J • -
(b)
v e i
e:. i
Cl!.2
vlz,t )
En é sta figura,
i•
F-4¡. 4. 2
son respectivamen te la tensión e intens i dad en
el instan te t , e 6.v e ~ i s us i ncremen tos en los sentidos d e referencia indicados por el dibujo . De éste, se implica que
(4 . 1 )
=
( G \)" +
e o\J) Clt
D. z
(4 . 2)
Ahora bien,
estas ecuaciones son sólo aprox imadas en el sentido
de que l as v e i
u sadas deberán ser valores promediados sobre el in-
tervalo f::,z. Sin e mbargo, el error tiende a cero cuar. do 11~ _..,o de forma que dividiendo (4 . 1) y (4 . 2) por llz, y tomando límite cuando l l z - o , nos que d a (4 . 3)
(4 . 4) que son las ecuaciones diferencia l es de la línea de transmi sión . En lo que sig u e supondr e mos que tratamos con señales armónicas que es el caso má s importante en la práctica . Además, como sabemos, esto no impl ica ninguna restricción, si tenemos en cuenta la teoría de Fourier y la linealidad de las ecuaciones de la línea, con lo que se c umpl e el principio de superposición . Suponiendo, pues, que i(z,t) y v(z , t) varían armónicamente con el tiempo de acuerdo con la ley
z yV
d"V =
( 4. 7)
d ¿"
y por un procedimiento análogo
d'I
,_
Z.YI.
(4 . 8)
cLe..
Definiendo ahora la cantidad lí": Z 'j :: (ol + j (3 )¿ , donde "6" se denomina constante de propagación compleja ; ~ , constante de atenuación y@, constante de fase. Las ecuaciones (4 . 7) y (4 . 8) se escriben (4 . 9)
(4 . 1 O)
'
que son las ecuaciones de ondas unidimensionales para V e I en una lí nea de transmisión unif orme . Son ecuaciones diferenciales lineales 1e segundo órden con coef ici entes constantes (para un valor definido ie w) cuyas soluciones pueden escribirse en forma exponencial como ( 4 . 11 ) (4 . 12)
'
1
donde vi, Vr, Ii e Ir son las constantes de integración , complejas en general, que se determinan por las apropiadas condiciones de contorno -T.i lr.l y donde los términos en e y e representan ondas atenuadas de vol -
52
R. GOMEZ MARTIN
taje y corriente propagándose en la dirección positiva y negativa de z, respectivamente, de forma que los voltajes y corrientes a lo largo de la línea pueden considerarse en general como la suma de dos ondas atenuadas propagándose en sentidos o pues tos con velocidad de fase
.
ITf~w/\:'
.
Las cuatro constantes vi, vr, Ii e Ir, no son independientes. Efectivamente, de acuerdo con (4 . 5), (4 . 6)' (4 . 11) y (4 . 12) se obtiene que : -~ v'en+ ~ v-< e..-~=-~ \I'én+ I..... e ... -.. ) igualdad que solo puede satisfacerse si los coeficientes de e.-º Y e -n. son iguales, de lo que se deduce
v' )
I.'
donde la magnitudVZ/Y, con dimensiones de impedancia, se denomina impedancia característica de la línea y se nota generalmente como (4 . 1 3) magnitud que en general es compleja . Con estas ecuaciones , el voltaje y la corriente a lo largo de la línea pueden escribirse ,,
vli)= I
L;i;) =-
\Íl
l
Zo
-l"i!
e.
(
\J
d ..
1SZ.
+ve. l
- Yi
(4 . 14)
,¡'"
l)";t
e - v e..
l
)
(4 . 1 5)
que son las ecuaciones fundamentales de la línea de transmisión . Como casos particulares interesantes consideremos primero el de una línea infinitamente l arga , donde no existe onda reflejada , de modo "' e- H que tendremos' de ( 4 . 1 4) y ( 4 . 1 5) ' V( ;¡_ ) = V¡ e - "ll ' I l~) = ~; por lo que z 0=V/ I , esto significa que la im pedancia característica de cualquier línea es igual a la impedancia de una porción muy larga de dicha línea . Un segundo caso importante en la práctica es la llamada línea perfectamente acoplada a la carga , consistente en hacer ZL=Z 0 , es decir, la i mpedancia de carga igual a la impedancia característica de la línea . Entonces, particularizando para z=l, tenemos que V(l)=Z 0 I( l) . . ,r• -..-e -< ye_ de modo que de las ecuaciones (4 . 14) y (4.15), se obtiene " e +~e = ' _,..e .,... ..-e. r . . · Ve - v e por lo que V =0 . Es decir , no existe onda refleJada en una línea cargada con su impedancia característica , lo que significa que la energía total de la señal que alcanza la impedancia es absorbida por ella . En definitiva, vemos que una línea perfectamente acoplada equivale , desde el punto de vista del generador, a una línea infinita-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PRO~AGACION Y RADIACION
'
53
mente larga . Aunque existen otros muchos problemas asociados a las líneas que podrían ser analizados, el estudio completo de los mismos se sale fuera de nuestros propósitos en este tema . De todas formas consideraremos alguno de ellos en el siguiente apartado en el que vamos a estudiar el caso de la línea con pérdidas tan pequeñas que pueden considerarse prácticamente nulas , lo que ocurre generalmente en líneas cuyas dimensiones son razonablemente cortas. El análisis de tales líneas es considerablemente más simple que el de líneas con pérdidas . 3 .- Línea ideal sin pérdidas . En líneas formadas por conductores perfectos (R=Ol y dieléctricos perfectos (G=O) se verifica que ol=O y, por tanto, no existe atenuación . De aq uí (4 .16)
~ = wflc
2º"
(4 . 17)
fe
(4 . 1 8)
donde z0 , magnitud real para una línea sin pérdidas, es la r azón entre voltaje y corriente de la onda incidente (Z =Vi/Ii) o de la refle jada 0 (Z 0 =-Vr/Ir) . Es incorrecto decir que z =V/I puesto que 0
\J li!) = \J' e-j~i!. + \J-< ej\3~
(4 .1 9)
(4.20)
...
Cons ideremos una línea terminada en una impedancia arbitraria z 1 y sea r 1 la amplitud compleja de la corriente en ella . Particularizdndo las ecuaciones (4.19) y (4.20) para z=l, se obtiene
v~ e.-ir ~
:zL IL
+
\(e. )~e.
~o IL "- ~ ' ej~e - V-; e.j(ll y de aquí
·'
\! = .!... l Z L ~ 0 l
~ "f =- L .,a,
~o
lL
.0 e
ej
-j~~
(?L-io)ILe
54
R. GOMEZ MARTIN
Sus ti tu yendo estos valores en ( 4 . 1 9) y ( 4. 20) , y definiendo la nueva variable , g =1-z, que representa la distancia desde la carga (fig. 4 . 3), se obtiene
VL5): lL 0
donde el factor jada .
[LiL + l..)e.~\ts+(~L-~o)gi\6&] -=V• J(is+V..-e-j~s
(4 . 21)
ej\3~ representa la onda incidente y
~:1-;z
'
1
1
z :O
z :I
s=O F.i.g. 4 . J
Haciendo uso de las fórmulas de Euler las ecuaciones ( 4 . 21 ) y (4.22) se simplifican de la forma
y l s ) = TL I
[ z~\ un
( s )" T.¡_ [
Zo
Za
rs
(.o-j
+
rs
j
Zo ~en 0s J
(4 . 23)
+
j z L .leyt (3 s 1
(4 . 24) l
que describen la distribución de voltajes y corrientes a lo largo de la línea en términos de la carga en su extremo . En particular , la impedancia de la línea mirando hacia la carga a una distancia ~. es
Zls)= V(s) I ls )
i Zo -l.3 ~ S Zo + i Z1.. ~ ~ g
Zo ~\
+
(4 . 25)
Observes e que las expresiones ( 4. 14) y ( 4. 1 5) son formalmente idénticas a las (4 . 19) y (4 . 20) respectivamente, con lo que las soluciones también lo serán (ecuaciones (4 . 21) y (4 . 22)). Con (4.25) no ocurre igual porque hay que introducir funciones hiperbólicas en l ugar de circulares debido al factor disipativo, siendo en estas condicio-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC ION Y RADIACION
55
nes, la impedancia de la línea
Dos casos particulares interesantes son el de las líneas cortocircui tadas y en circuito abierto, cuyas impedancias son respectivamente
'
Zl s )
Z ( ~)
~.?'.º~f' s
(4. 26)
\ 2.o
(4 . 27)
J
~~;
que traducen el hecho de que la impedancia de una línea de longitud ~ en cortocircuito o circuito abierto equivale a un condensador o inductancia, indistintamente, dependiendo del signo de "-'.ll-'$ . La representación gráfica de las expresiones (4.26) y (4.27) es la que se indica en la figura 4.4. Como se demostrará en una lección posterior , se verifica que LC'~f- . Siendo é y f-'- la constante dieléctrica y permeabilidad magnética del medio que separa los dos conductor es .
2(1)
-1 1-
-1 1-
-1 f--
- l f--
Un parámetro muy utilizado en el estudio de las líneas de transmisión es el.deno~inado coeficiente de reflexión~ , que se define como la relación entre voltaje reflejado e incidente en la carga ( ~ =0) . De la ecuación (4.21) deducimos
rl "'
ir._ ':: Vl
ZL - Zo 2.L .\-
Zco
(4 . 28)
56
R, GOMEZ MARTIN
y en términos de la corriente en las ondas incidente y reflejada:
11. : -
T..Ii.
El coeficiente de reflexión en otro punto ( 4. 21 ) :
s
será, de acuerdo con
relación que nos dice que en un a línea sin pérdidas ficiente de reflexión pe r manece constante . Esto era las amplitudes de la onda incidente y reflejada se tes a lo largo de la línea . Teniendo en cuenta la expresión de r, podemos ciones (4 . 21) y (4.22) como
Vl ~ ) :
.!__ .¿
I
Il~)= -~-
.¿~º
L
\.
'r_ L
+ ?.º )
el módulo del coede esperar, ya que mantienen constanescribir las ecua-
e.~ (1 s ( l.. + í' )
(4 . 29)
\!- f')
(4 . 30)
IL \ZL+°lol e:i¡is
o bien
Vl 1; ) " V¡_ e~l1 s \ "I
i
l s) = :!i_ e)f~ l
r)
(4 . 29')
i - í' )
(4 . 30')
1-
Zo
de donde se obtiene que la razón de las amplitudes de voltaje o intensidad máxima y mínima, es ~
+ Ir l
s
t- 1r \ Esta es la definición de la razón de onda estacionaria VSWR ( "voltage stand ing wave ratio" ), y su valor que varía desde uno hasta infin ito, es uno cuando no existe onda reflejada, Z0 =ZL y es infinito cuando ZL =O ó ZL = oo. Los mínimos de tensión tie ne lugar cuando (te11iendo en cuenta la e xpresión polar del coef i ciente de reflexión' <.o1 t 11'- 2 I; ) = -i>
r
y los máximo s cuando "
Es evidente, de (4 . 29) y (4 . 30), que en los puntos en que existe un máximo de tensión hay un mínimo de intensidad y viceversa . En esos
CAM PO ELECTROMAGNET!CO. PROPAGACJON Y RADIACION
)
~ 1
1~ \ r 1 ;¿ l~) = ~l5)/Il5) ~ Zo T=lf'I ~ ~º
puntos, la impedancia
s
57
es máxima y
real, debido a que z0 es real en una línea de transmisión ideal . Análogamente , en el caso en que I sea máxima, V es mínima y Z( ~ )=Z 0 /s es mínima y real, como puede verse en la figura 4.5. El primer mínimo de tensión ocurre en 'f - 20 ~ .... ,,, • n . El ángulo de fase '1' puede calcularse determinando i;~,.,. experimentalmente (mediante la detección del primer mínimo de voltaje con un dispositivo adecuado) supuesta conocida ~~~~/Á . Podemos obtener 0 midiendo la distancia e ntre dos mínimos . Finalmente., determinando Vmax/Vmin podemos hallar \r\ y, de estos datos y de (4 . 28) , z 1 (impedancia de carga) . Este método se utiliza para hacer medidas de impedancia a al tas fre c uencias . La variación en torno a los mínimos es mucho más acusada que en torno a los máximos y, por tanto, puede determinarse la posición de forma mucho más precisa . Véase la figura 4.5. 111
IVI 11~1
.ll
¡
l; ():)
2v1
V V;
z.
Vl
v,
1 1 1 1 1 1
~~
2L
: z. 1
\.
- - •J
o
).
~
lb)
111
1v¡
IV I
111
ZL' 3Zo
111
1
!
ZL =1.o
'' 1
1~ '
..... __ ..
'!'.!.
V
2
1 1 1
~
____ J
~
Y2
--------1--------
1
---"'
~
Id)
lvl 2L=
lvl 111
111
Zo/J
4
V
3'..¡
4,
ZL = O
1
1
1 1
1
1
N,
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Yi-
o
1 1 1
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___ .,, .3
1 1
!' 2V 1 r.
T 1 1
!':
1
l V1 ir. 1 1
le)
,'I
V¡
v,
zz.
o
Á/4
V
: 2Z.
2Z.
1
v.
~
1 ___ J
o
(f)
Fi..Q.. 4. 5
58
R. GOMEZ MARTIN
4 .- Potencia y energía en líneas sin pérdidas. De acuerdo con las expresiones (4.19) y (4.20), la potencia trans mitida por la línea vendrá dada por
como puede verificarse fácilmente ya que 1
-2-
Re ( VI ~} , _,_ Re [ ( V,
.¿~o
l
~i~\ 1/..- e.itn)t \J: ei(l~_ \j."" ~l~t) lj
Teniendo en cuenta la definición del coeficiente de reflexión, la expresión anterior puede escribirse c omo
2 donde ~i=~ !Vil /z 0 es la potencia transmitida por la onda incidente y tPi\ rl , por l a reflejada. La potencia s umini strada a la carga es máxima cuando esta se encue ~ tra adaptada a la línea (ZL=Z , rL= Ol de bido a que toda la poten0 cia en la onda incidente es absorbida por la carga . Suministrar la misma potencia a la carga cuando existen reflexiones requiere más potencia en la onda incidente, con los cons iguientes valores mayores de vol taje que pueden provocar l a ruptura del dieléctrico en la línea. Por tanto, unas condiciones Óptimas requieren una razón de onda estacionaria tan próxima a la unidad como sea posible. La energía mag nética media almacenada en l a autoinducción L en una longitud dz , teniendo en cuenta (4 . 18), viene dada por
L \ l v, l ... ~
"20..
+
\V.,..['
l d2
=
Es importante observar que son iguales la energía eléctrica y magnética almacenadas en l a capacidad e inductancia de la línea . 5 .- Líneas de transmisión con pérdidas
peque~as .
Aunque el a nál isis de líneas sin pérdidas es usualmente válido ya que estas son normalmente despreciables, sin embargo , existen si tuaciones especiales en las cuales las pérdidas y atenuación no pueden
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
)
59
ser ignoradas. Ejemplos de estas condiciones son: 1) Cuando la señal ha de ser transmitida a grandes distancias a lo largo de la línea . 2) Cuando la línea ha de usarse a muy alta frecuencia, ya que las pérdidas aumentan con ésta . 3) Cuando ~a línea transporta una elevada potencia, puesto que las pérdidas por Joule son considerables . 4) Cuando la línea de transmisión se utiliza como elemento resonante , pues con la suposición de pérdidas nulas se obtendría un factor de calidad Q infinito . En estas circunstancias tendremos las expresiones generales ya deducidas para la constante de propagación e impedancia característica:
o :.
Vl
R.+
Jw L)
l G ~ ~w e)
2o "\ / R
+
\wL
(4 . 31 )
(4 . 32)
\JG+jwC Ahora bien , en casi todos los problemas prácticos ~<<<.U l y G <:
)
Al emplear las fórmulas aproximadas anteriores, a menudo basta con mantener solamente los t érminos de corrección de primer órden, en cuyo caso ri se reduce a su valor ideal ~' wKC' 21'\ /A. , o<. se calcula de (4.33) y z 0 tiene una parte reactiva de primer órden , dada por el sumando imaginario del segundo miembro . Frecuentemente, en transmisiones a l~rgas distancias , por ejemplo, por cables s ubmarinos, la componente de pérdidas asociada al cable , R /w L , es superior a las pérdidas debidas al dieléctrico, G/wC , en estas circunstancias y en un margen adecuado de frecuencias puede lograrse la cancelación 9e1 término imaginario en la expresión de z0 si se eleva adecuadamente el valor de L, de forma que se obtenga G
e
!<. L
)
(4.36)
60
R. GOMEZ MARTIN
Este objetivo se puede lograr, por ejemplo, intercalando regularmente a distancias adecuadas autoinducciones
(generalmente núcleos de
ferrita) colocadas en serie en los dos conductores de la línea. A este procedimiento se le denomina "pupinización", en honor al científico que primero lo aplicó . En estas condiciones, la línea posee una velocidad de fase y una atenuación constantes en el rango de frecuencias deseado, lo c ual la hace prácticamente equi valent e a una línea ideal no dispersiva que no introduce ni distorsión de fase ni de amplitudes. Esto es de gran interés a efectos de transmisión de información . Recordando
la
definición
de
coeficiente
de
reflexión
en
un
punto cualquiera de la línea , es fácil de ver que ahora la expresión del coeficiente de reflexión a una distancia ~ de la carga es
(4 .37) expresión que pone de manifiesto que e l módulo ya no se mantiene constante sino que disminuye a medida que nos alejamos de la carga. Esto es lógico ya que, a distancias suficientemente alejadas de la carga , la onda reflejada es prácticamente nula debido a s u atenuación según ~ .
En estas circunstancias, si el generador está suficientemente ale -
jado de la carga, el desacoplo oscilador- carga es grande en el sentido de que cualqui er variación de la carga no afecta al oscilador . Por Último, vamos a ver una forma aproximad a d e obtención de la constante de atenuación . Tomemos una onda progresiva en una línea de bajas pérdidas -ctt
V = V, e
Suponiendo
z0
l.f-..
=
I
- i~~
e
-o1.i
e
(4.38) -~F
e
(4.39)
real ,
la potencia media transmitida por la onda,
viene dada por
(4.40) expresión que nos dice que la potencia disminuye con la distancia. En el caso de líneas de bajas pérdidas, sí puede considerarse ~~e<<1, de sarrollando la exponencial y reteni endo sólo los términos de primer órden, obtenemos
f\ l ;¡ )
..
1
\ V·, \..
-C.
~o
( l-
<.ol
~
)
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
61
que puede escribi rse: (4. 41)
siendo PT la potencia transmitida en el punto z=O de la línea. La diferencia entre ambos términos debe ser la potencia total perdida en la línea, por lo que la potencia perdida por u nidad de lon gitud será -2.o(
·'
?,..
( 4.42)
....
... -
,.
CAMPO ELECTROM AGNETICO. P ROPAGACION Y RADIACION
63
CAPITULO V. LINEAS DE TRANSMISION (II). DIAGRAMA DE SMITH Y ADAPTACION DE IMPEDANCIAS . 1 .- Reflexiones en líneas de transmisión. En el capítulo anterior se han obtenido las ecuaciones fundamentales que rigen la propagación de ondas electromagnéticas en líneas de )
transmisión. Usando estas ecuaciones se puede resolver cualquier problema analíticamente, aunque en general los cálculos pueden ser lentos y engorrosos. Actualmente la utilización de ordenadores facilita mucho todo el aspecto operativo, sin embargo, dada la gran importancia que tiene el análisis y diseño de líneas de transmisión por métodos gráficos, vamos a estudiar e l fundamento del más utilizado de todos ellos que es el del diagrama o carta de Smith. En este capítulo también estudiaremos diversas formas de adaptación de impedancias . Esta es una cuestión que se plantea con mucha frecuencia cuando se manejan circuitos de microondas. Las razones que aconsejan esta adaptación son varias. Una de ellas es la de c onseguir la máxima transferencia de energía del generadO'r a la carga . Así, en la figura 5 . 1 , con ZL;lz , si intercalamos 0 entre la carga y la línea una sección adaptadora sin pérdidas, de forma que ZL=Z 0 no habrá onda estacionaria en l a línea y toda la potenc i a del generador llegará a la carga excepto las pérdidas disipadas en la línea.
Sección
adoptado
U;;. . 5 .
1
Otra razón i mportante que acon seja la adaptac ión d e i mpe dancias es debida al volta j e máxi mo , Vma x' que p uede sopo r t ar l a lí nea debido a
la
r i gidez
del
diel éct rico .
Cua ndo n o hay o nd a estacio nar i a e s te
1l
1 11 1
64
R. GOMEZ MARTIN
voltaje máximo puede ser teóricamente igual a la amplitud de la onda incidente; en cambio, cuando hay onda estacionaria, en los puntos de voltaje máximo éste viene dado por
v.,.,,,,,,, :
\Í¡_
( ! + 1r L 1)
(5.1 )
siendo rL el coeficiente de reflexión en la carga por lo que la amplitud de la onda incidente puede ser a lo sumo
disminuyendo así la potencia transmitida por la línea . Otra razón es que la estabilidad de la frecuencia de la señal de la mayor parte de los generadores de microondas depende de la impedancia de carga de dicho generador , siendo óptima cuando el generador está cargado por una impedancia igual a la suya interna. En el caso de no haber adaptación de impedancias, existe un método gráfico sencillo que permite analizar el voltaje en la línea . Consideremos una línea de longitud 1, impedancia característica z0 y velocidad de onda v. La línea está conectada en z =O a una fuente de tensión Vs con r esistencia interna Rs , y terminada en z=l por una resistencia RL . La figura (5 . 2) ilustra este circuito . La propagación de una señal escalón de tensión o corriente a lo largo de la línea se puede representar en un diagrama espacio-temporal (fig . 5.3) . En este diagrama, I(z)Rs el eje horizontal repr esenta la posición a lo largo de la línea y toma valores desde z=O hasta z=l . El l =l z=O eje vertical representa el tiempo, tomando valores desde t=O hasta t= oo. Una onda de amplitud v0 , ini h r;.. 5. 2 cialmente en (0 , 0), atraviesa el diagrama con pendiente 6t /ó~ = i/~ , y alcanza z=l en t=T=l/v . En los puntos a los que no ha llegado la onda (t.::: T), V=O. El coeficiente de reflexión en z=l es rL .,! o . Para t=T se origina una onda en Z=l de amplitud V1 =1" V0 que se propaga hacia z=O. Esta onda se refleja en Z=O y t=2T . Delante de esta onda reflejada V=V 0 ; detrás de ella V=V 0 +v 1 . Para t=2T , la onda alcanza z=O. Suponiendo que la fuente emisora tiene una resistencia Rs distinta de z0 , existe un coeficiente de re flexión en z=O, í'5 • Por tanto, cuando t=2T una onda V2 =rsv 1 =rsr1 v0 se
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION )
65
propaga hacia la derecha. Estos procesos de múltiples reflexiones continúan hasta alcanzar el estado estacionario
o
o
+¡
T
2T
1 +
t
3T
F.Lf¡. 5. J
)
Consideremos el siguiente ejemplo: Una batería de 1V con resistencia interna de 10.n.se conecta , en t=O, a una línea de transmisión ideal de 10rn de longitud . Esta longi tud de línea tiene una inductancia de 1rnH y una capacidad de 0'4fF. La línea está terminada por una resistencia de 30n. El circuito y sucorrespondiente diagrama espacio-temporal aparecen en l as figuras s . ~~ y 5 .4b, respectivamente. Puesto que los parámetros de la l ínea de transmisión se expresan como L y C por unidad de longitud, de los datos anteriores tenernos 1=10-4 H/ rn y C=4.10 - 8 F/m . La línea, por tanto, tiene una impedancia 1 característica z 0 = (L/C) 2 =50Ay una velocidad de onda v=5 .1 o5 rn/s . El tiempo que tarda la onda en recorrer los 10rn de la línea es T=2.10 -5 s; desde t=O, z=O hasta t=T, z=l, la impedancia de carga del 1
... 66
R. GOMEZ MARTIN
generador es la impedancia característica de la línea. será: 1 . so IJ 60
Por tanto
v
0
6
El coeficiente de reflexión en z=l es
rL :
°30- So
- o' .z s
30 +So
en t=T , v 0 alcanza Z=l y vuelve una onda reflejada
Vi. : -o'.zs
.2._v , _ -0 1 20~\J 6
hacia z=O . En z=O, rs=- 0'667 y en t=2T una onda de +0 '139V parte hacia la derecha y así sucesivamente .
I•0
IO!l
2• . V
llfl
volt-
(a)
,, o
I=O
l
=1
2.10 .•
4.10··
6.D"
(b)
F~.
5. 4
La figur a 5 . 5 muestra el voltaje a lo larg o de la línea en t=1 ' 5T y t=2'5T, y también el voltaje como una función del tiempo en Z=l/2 y Z=l.
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
67
l
V
0.833
1
-i
·'
1 1
0,625
1 1 1
1 t
1
t =
3T/2
1
z
o 1
112 V
'1
0,764
1
t-
1
0.625
t
1 t
1
t = S T/2
t
1
'1
o
1/2
z
1
V
1,0
0,833 0.751
0,764
0.7~
1
1 0.625 1
0.726 1 , = 1/2
0.5
0,25 t
o
T
2T
3T
4T
V )
1,0 0,726
0.625
0:75
• =l
0,5 0.25
o
T
2T
3T
4T
t
F.i..~.
5.5
68
R. GOMEZ MARTIN
2 .- Diagrama de Smith. Esencialmente, la carta de Smi th permite, dada la impedancia de carga z 1 y la impedancia característica de la línea z 0 , determinar directamente el coeficiente de reflexión en la carga ~
\ í\ \e
j'f'
( 5. 2)
De forma inversa, determinando 1 1 experimentalmente se puede hallar di rectamente z1 en la carta (supuesta conocida z0 ) . Sin embargo, la uti lidad de la carta de Smith sobrepasa con mucho estas dos simples posibilidades. Para entender el uso de la carta de Smi th debemos saber como se con struye . Con este fin, es conveniente recorda r las expresiones de V e I en la línea : (4 . 29 ' )
(4 . 30 ' )
En lo que sigue , y mientras no se indique explí c i tamente lo contrario , nos limitaremos a líneas ideales . La impedancia a una distancia s de la carga viene dada , por tanto , por ( 5 . 3)
Esta expresión puede simpli ficarse definiendo una impedancia norma liz ada (5 . 4)
introduciendo el coeficiente de reflexión ta ncia 5 de la carga obtenemos 1+
í'
(r ) en un punto a una dis-
( 5 . 5)
1 - í'
donde ZN y
r
son magnitudes complejas: ( 5. 6)
( 5 . 7)
CA M PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION y RADIACION
69
( 5 . 8)
Las magnitudes ZN y r. pueden representarse en el plano complejo tomando como ejes, r y x para ZN y u, v parar. La ecuación (5 . 5) da la correspondencia entre los puntos de los dos planos complejos . Dado que esta ecuación es una transformación bilineal y conforme , tiene la propiedad de que los círculos de un plano se corr esponden con l os círculos del otro plano, conservándose en ángulo entre los segmentos al hacer la transformación del plano ZN al r . La correspondencia en el plano r de las líneas de res i stenci a r y reactancia x constantes, pueden estudiarse igualando las partes reales e imaginarias de (5 . 5), obteniéndose las ecuaciones
)
( 5 . 9) \_U.-1) ~
'
'"\l.T-. (
V
)"'
::
( 5 . 1 0)
Ahora bien , según (5 . 9) la representación gráfica de los lugares geométricos de resistencia constante en el plano r son circunferencias con centro sobre el eje u en (r/1+r,O) y de radios 1/1+r . En la fig ura (5 . 6) se dibujan los círculos correspondientes a r=O , r=1/2 , r=1, r= 00 correspondiendo a este Último el punto de coordenadas (1 , 0) . Las curvas de reactancia x constante son también círculos con cen tros en (1 ,1/x) y de radios 1/x en el plano r (en la carta aparece n como arcos de circunferencia). En la figura 5 . 6 representamos estos círculos para x=O, x=1, x=2 . Cualquier impedancia normalizada queda en este diagrama encerrada por la circunferencia r=O. Por ejemplo, el punto de intersección de las curvas r=B y x=C corresponde a la impedancia normalizada B+jC ; así, en la figura, el punto A representa la impedancia ZN=1+j . El módu lo del coeficiente de reflexión es la distancia de este punto al origen (módulo rL en el plano uv) expresada como fracción del radio uni dad. Para esto se suele dar una escala lineal de dicho radio . Por otra parte, la fase del coeficiente de reflexión referido a esta posición particular en el plano r (es decir, la fase de la tensión de la o nda reflejada con respecto a la incidente en dicha posición) es, según la definición de r el ángulo medido desde el semieje positivo de u en sentido contrario a las agujas del reloj. Para facilitar esta lectura se suministra en la carta una escala de ángulos. Naturalmente, de aquí se deduce la solución del problema inverso ; es decir, conocido el coeficiente de reflexión (determinado experimentalmente), hallar la impedancia normalizada .
70
R. GOMEZ MARTIN
V V
~· Plano
r (l. 112) centro de x =2
r= O
u
180°
F.i..9-. 5. 6
3 .- Aplicaciones de la carta de Smith . 3 . 1- Transferencia de impedancias a lo largo de la línea. Si nos movemos a lo largo de una línea ideal entre puntos de discon tinuidad , el módulo del coeficiente de reflex ión, debe permanecer constante , puesto que las ondas incidente y reflejada cambian de fase per o no de amplitud . Sobre la carga, esto significa desplazarse sobre un círculo con centro en el origen del plano r . El ángulo a través del c ual hay que moverse es proporcional a la longitud de la línea y, según (5.8) es el doble de la longitud eléctrica de la línea, r s. Lamayoría de las cartas llevan sobre el exterior una escala calibrada en fracciones de longitud de onda, por lo que no es necesario calcular ex p lícitamente el ángulo . Véase la figura 5 . 7 donde aparece completa la carta de Smith . Finalmente, el sentido en que hay que desplazarse también está definido en (5 . 8) . Si nos movemos hacia el generador (aumentando ~ ), el ángulo de r decrece, lo que corresponde a un desplazamiento sobre la carta en el sentido de las agujas del reloj . Moverse
CAMPO ELECTROM AGNETICO. PROPAGACI ON Y RADIACION
.
RAOIALLY ~
- t~-0
~
:
~
SCAL(O
... .
PARA M(T(A$
•
,
•
~
~
g
3 ~
2 2 ¡; ¡;
~
t ~
g
~
;;
~ ~
~.
;; ~
;;
.
71
ó ~
ll ~
1•
• ;!, f .~1;r
~ ~
j
CCNTEA
r~ .
-..
5. 7
72
R. GOMEZ MARTIN
hacia la carga corresponde a disminuir
s
en (5 . 7) y, por tanto, des-
plazarse sobre la carta en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Estos sentidos se señalan sobre la carta mediante flechas. Por ejemplo , si nos dan una impedancia de carga normalizada de 1+j, hemos visto que corresponde al punto A de la figura 5 .8. Si la línea es de un cuarto de longitud de onda, hay que moverse sobre la
hg.. 5. 8 car ta un ángulo de 180° con radio consta nte hacia el generador , punto B. Para este punto se l ee una impedancia de entra da normalizada d e 0 ' 5- 0 ' 5j . Si se conoce la impedanc ia de entrada y se desea la d e car ga, es evidente el procedimiento inverso que hay que seguir. 3 . 2- Cál culo de la razón de ond a estacionaria y posición del máximo de tensión. Si deseamos hallar la razón de onda estacionaria de una línea de transmisión ideal terminada en una i mpedancia de carga conocida , hemos
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAOIACION
..'
de utilizar que el punto de impedancia máxima de la línea (que es también el del máximo de tensión y el mí nimo de corriente) es un punt o de resistencia pura , de valor la razón de onda estacionaria por la impedancia característica. Es decir, la resistencia normalizada de dicho punto es exacramente la razón de onda estacionaria . Por tanto , si guiendo alrededor del círculo determinado por la impedancia dada , hemos de observar su cruce con el semieje positivo de u del plano r . El valor de la resistencia normalizada de este punto es la razón de onda estacionaria ; el ángulo recorrido fija la posición del máximo de tensión . Por ejemplo, para la impedancia de carga 1+j, punto A de la figu ra 5 . 8 , hay que recorrer desde la carga hacia el generador 0'088 longitudes de onda , hasta llegar al punto de resistencia pura C. El valor de la resistencia normalizada máxima, que es la razón de onda estacionaria, es de 2 1 6 . Es inmediato el procedimiento inverso para determi nar la impedancia de carga, si se conoce la razón de onda estacionaria y la posición de un mínimo de tensión o la impedancia de entrada en lugar de la de carga . 3 . 3- Carta de Smith para admitancias . •Puesto que la admi tancia se transforma a l o largo de la línea ideal de forma idéntica que la impedancia ,
:;; ~ ':JO
e
~L (.o~ ~ ~
+
j '::Jo ~e.u_\>
Yñf ~
~
j '::JL ~eu 13e
:Yo
·'
73
( 5 . 11 )
es evidente que puede utilizarse la misma carta para la transformación de admitancias teniendo en cuenta las siguientes salvedades : a) Las circun f erencias de resistencia constante son ahora de conductancia constante y las circunferencias de reactancia constante son a hora de susceptancia constante . b) Los puntos de corte de las circunferencias g=cte con la mitad derecha del eje real representan admitancias máximas , es decir , puntos de voltaje mínimo. Lo contrario sucede con la mitad izquie rda . c) La fase del coefici ente de reflexión , que se lee direct amen te en la carta , correspondiente a una admitancia dada , va desfasada 180° de la real . Hay , pues , que sumar esta ca ntidad al ángulo leído en la carta . Estas propiedades pueden comprenderse f áci lmente sin más que observar que la relación entre í'y (coeficiente de reflexión para admi tancias) y rz (coeficiente de reflexión para impedancias) están relacionados en la forma rz= - ~. Una propiedad muy interesante que se deduce de lo anteriormente expuesto se refiere al paso de impedancias a admitancias y viceversa .
74
R. GOMEZ MART!N
Dado un punto Z que representa una impedancia , basta tomar su simétrico respecto al centro de la carta sobre el círculo constante que pasa por z (punto Y de la figura 5.9) para leer directamente la admitancia y viceversa . Esta propiedad es muy útil ya que en muchos problemas hemos de p~ sar de acoplo con elementos serie a acoplo con elementos paralelo.
¡r¡
Fi..g.. 5. 9
4 .- Adaptación de impedancias mediante secciones de línea. 4 . 1 . Simple y doble " stub " o sinton izador . Uno de los métodos más usados para adaptar impedancias consis te en el empleo de secciones de línea de transmisión cortoci rcuitadas o en circuito abierto que se colocan en serie o en paralelo con la línea principal. Una sección de línea de longitud 1, impedancia característica z0 cortocircui tada en un extremo presenta una impedancia de entrada reac tiva z.,jZ..~p"S. La misma sección terminada en circuito abierto es equivalente a una impedancia reactivaZ,o-jZ.c..o~r"l§., figura 5 . 10. De aquí que a este tipo de adaptación se le denomine con frecuencia adaptación mediante elementos reactivos . Para el estudio de este tipo de adaptación pueden seguirse métodos analíticos y métodos gráficos, estos Últimos más sencillos y sufi cientes en casi todos los casos prácticos . Estudiaremos a continuación
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAD IACION
algunos ejemplos gráficos típicos.
75
En todos ellos se supone que las
líneas son sin pérdidas . En los ejemplos que siguen supondremos la sección de línea adaptadora en cortocircuito ; el caso de circuito abierto es análogo.
l.
F~. 5. 10
Ejemplo 1 . Como indica la figura 5 . 1 1a se trata de adaptar una impedanc i a de carga z1 a una línea de transmisión de impedancia z , mediante u na 0 sección cortocircuitada de longitud variable 1 y que se coloca e n paralelo con la línea principal a una distancia d variable de la carga . Los dos parámetros que hemos de hallar son 1 y d . a
'
a·
(b)
F~ .
5. 11
El problema se reduce a hallar un punto de la línea en que la admi tancia normalizada sea de la forma viéndonos desde Y
1
corte
con
la
1~jb
1
,
punto que se encontrará mo
hacia el generador hasta encontrar los p un t os de
circunferencia
g=1 ,
como
indica la
figura
5 . 11 b .
El
76
R. GOMEZ MARTIN
arco recorrido desde YL hasta Y o Y nos dará la distanciad en lon1 2 gitudes de onda. La longitud 1 la hallamos, de forma análoga, moviéndonos desde el punto P, representativo de la admitancia infinita del cortocircuito, hasta encontrar los puntos a ' o a respectivamente . De esta forma la suma de admitancias l±jb 1 y ¡jb 1 produce una admitancia normalizada igual a la unidad, es decir , Y ; con lo cual se logra la 0 adaptación. Ejemplo 2 . Como indica la figura
5.12a ,
se trata de lograr la adaptación
en este caso por medio de dos secciones de línea cortocircuitada situa das a una distancia d 2 también fija. Las variables a encontrar en este caso son 1 1 y 1 2 longitudes de las secciones de línea o sintonizadores .
( o)
(b) F~ .
El
primer paso es trasladar la admitancia Y
1
la distancia d
1
5 . 12
ha-
c i a el generador obteniendo , figura 5 . 12b , la admitancia Y =g +jb . La 3 3 3 adición del primer sintonizador transforma esta admi tancia en otra Y =g +jb ±jb que se encontrará en la circunferencia g =cte. Tendre1 3 3 3 3 mos que elegir una admitancia Y tal que al girar la distancia d cai 3 2 ga sobre la circunferencia g= 1 , teniendo entonces en la sección bb ' una admitancia Y =1 ±jb 2 . La adición del segundo sintonizador de admi4 tancia ¡jb 2 produce la admitancia Y con lo que la adaptación queda l~ 0 grada . El problema radica en encontrar la admitancia Y adecuada. En 3 lugar de proceder por tanteos lo que se hace es girar la circunferen1
1
1
cia g=l
en sentido contrario,
es decir hacia la carga, la distancia
CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACION Y RADIACION
'\
'
77
d 2 . La intersección de la circunferencia girada con la circunferencia g nos proporciona los puntos A y B posibles soluciones para Y 1 . Des3 3 haciendo el giro obtenemos los puntos A' y B' soluciones correspondie~ tes a Y4 . Esto nos permite conocer jb1 y jb 2 , admitancia de los sintonizadores y hallar sus longitudes como se indicó en el ejemplo anterior. Obsérvese que todas las admi tancias Y que caigan dentro del 3 círculo rayado no pueden adaptarse. Sería eñtonces necesario modificar la distancia d 2 . 4.2. Adaptador cuarto de onda . Un método muy frecuente de adaptación de dos líneas de transmi sion de distinta impedancia característica es el empleo de una línea de transmisión de un cuarto de longitud de onda e impedancia característica igual a la media geométrica de las impedancias que se desea acoplar. El método queda ilustrado en la figura 5 . 13 .
r
z¡
z, ">..¡ 4
F.i..g. 5. 13
La impedancia de entrada viene dada por
z,
Z.¿ Z a
k
+
+
j 2.._ l~ ( (" :A /i.¡ ) ""
2:
j 2.3 l<;}
Z.3
tr A/;¡)
Si elegimos
'
'
( 5 . 1 2) entonces Zi=Z1 con lo que hemos logrado la adaptaci ón . Es evidente que este tipo de adaptación solo es válido para impedancias reales y solo es perfec to a la frecuencia para la cual la longitud de la sección es un cuarto de la longitud de onda . Analicemos a continuación la variación del coeficiente de reflexión con la frecuencia . La impeda ncia de entrada de la sección acopladora es ¿._ =
z'1-
i'.'.3 to~
4
r 5 • j :::¿:.._ ~~ ~ s
C.Oi
r $ .. } z..3
bct.L<. ~
-s
78
R. GOMEZ MARTIN
y el coeficiente de reflexión en la primera discontinuidad es
cuyo módulo podemos escribir
1r 1
=
1-~ª - z, 1 2 \) \Z,.Z, ) +<12 , :2 3 ~ 2 (>5
y su representación gráfica .está indicada en la figura 5.14 . Si \\\.,,,,es el máximo valor del coeficiente de reflexión que puede tolerarse , la anchura de banda útil será la que corresponde al ángulo r:,,g
El ángulo 8»i.que corresponde al límite inferior de la banda viene dado por ( 5 . 1 3)
Ya que la pendiente de la curva de la figura 5 . 14 es muy elevada en las proximidades de ~ 't ~ ~ es de esper ar que -el ancho de banda sea muy pequefto. Para hallar una expresión explicita del ancho de banda escribimos
g,,(3$=~fo5=:.~ ( 5 .14) Q"1. :
f,,., .!!.__
f.
.¿
donde el subíndice cero se refiere a la frecuencia de acoplamiento fecto.
pe~
lrl
TIJ2
3fl/2
F.i..g,. 5.11+
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
79
El ancho de banda absoluto viene dado por
y el ancho de banda relativo, de (5.13) y (5 . 14):
L>f :
to
0 _
!i_ ec-;1-'
¡ ~ \r l.,,,_ fii..:__ t %3 - Z, ) ~
n
i - 1r
1
I~
En muchas aplicaciones el ancho de banda conseguido con una línea en cuarto de onda es suficiente . Pero para aquellos casos en que se re quiere una adaptación dentro de un margen amplio de frecuencias es necesario recurrir a métodos algo más complicados. Expondremos a continuación una teoría aproximada , válida para pequeñas ref lexiones, a partir de la cual se seguirá la síntesis . Un estudio más exacto está fuera de nuestros propósitos .
5.- Teoría aproximada de pequeñas reflexiones. Imaginemos la situación representada gráficamente en la figura 5 .1 5 , es decir , dos líneas de transmisión de impedancias características z0 y Z1 unidas entre si alimentando una impedancia z que supondr~ 1 mos real .
e
Zo
1
' : - ~¡
z,
Z,
1
1
''1
r.
1
1
'' í
r. Fj_g,. 5 . 15
El coeficiente de reflexión parcial en la seg unda discontin uidad viene dado por ( 5 . 1 5)
que transferido a la derecha de la primera discontinuidad es
r, La impedancia que carga la primera línea es
( 5 . 1 6)
80
R. GOMEZ MART!N
1+ 1-
-'ljG
r, e r, Q-2jG
( 5. 1 7)
El coeficiente de reflexión total en la primera discontinuidad viene dado por ( 5. 1 8)
Llamando continuidad :
r;,
al coeficiente de reflexión parcial de la primera dis
Z, - '2'.o Z1 ~ ~o
( 5 . 1 9)
podemos escribir
ro 1. +
y si tanto
r,
como~
-2j0
+
11 e ro r, e-2 l 9
(5.20)
son pequeños comparados con la unidad, se puede
aproximar la expresión anterior a ( 5 . 21)
6 . - Ad aptador múltiple cuarto de onda . La figura 5 . 16 representa un transformador o adaptador de impeda~ cias constituido por N secciones de longitud eléctrica impedan-
e:fse
cias características
z1 , z2 , ..... ,
ro
2 , - 20 2 , +20
í',
Z.i- - Z ,
ZN . Denominando
:Z.¿+;?,
r.. _,
rN
:Z r.¡ - Zr.¡_,
::zl'\ + ? ,._, ZL -Zr.¡ ZL+ ~N
( 5. 22)
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC JON Y RADIACJON
81
a los coeficientes de reflexión parciales y suponiendo que todos son mucho menores que la unidad podemos generalizar la expresión ( 5 . 21) y escribir el coeficiente de reflexión total como (5 . 23)
.·'
Imponiendo la condición de que e l transformador sea simétrico , es decir:
\
la expresión (5 . 23) se reduce a (5.24 )
el
donde el Último término será r ':!=.l \ e iG+ Q ) si N es i mpar o r,. s i .¿ ¿; N es par . La expresión (5.24) puede escribirs e como una serie de cosenos e n la forma : (5 . 25 ) donde el Último término será
r
"1-1
c.o1 G
si N es impar o.!.. ~
T
-- - --
r,..
~
si N es par .
-----
.....
F.Lg.. 5 . 16
.'
De las expresiones (5 .24 ) y (5.25) se desprende que, eligiendo de forma adecuada el número de secciones N y los coeficientes r , lo que es igual , las impedancias Zi' podemos conseguir diversas característ icas de banda de paso ; es decir , una banda de frecuencias donde el c oeficiente de reflexión r no excede de un valor tolerable .
..
--~
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
'
CAPITULO VI. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS EN LINEALES E ISOTROPOS NO CONDUCTORES .
MEDIOS
83
HOMOGE NEOS,
1 .- Ecuación de ondas.
'
1,
Al hacer el balance total de energía electromagnética en un volumen acotado V hemos encontrado la necesidad de incluir un término que representa el flujo de energía por unidad de tiempo a través de la superficie s que 1 imita dicho volumen. Es te término viene dado por la integral del vector de Poynting extendida a esa superficie . Ahora vamos a ver como es posible, a partir de las ecuaciones de Maxwell, expresar esta propagación de energía en forma de ondas electromagnéticas. De todas las posibles soluciones de la ecuación de ondas para los campos eléctrico y magnético, nos limitaremos a las más sencillas que corresponden a las denominadas ondas planas, esto no constituye una acusada limitación , ya que aún las ondas esféricas se pueden cons i de rar como planas a distancias suficientemente grandes de las fuentes pues, en estas condiciones, el radio de curvatura de la superficie esfériea de fase constante de la onda electromagnética es muy gra nde comparado con las dimensiones de la región del espacio donde se consi dera el campo. Por ahora no trataremos de relacionar las ondas con sus fuentes, cuestión que queda para un capítulo posterior. Para obtener la ecuación de ondas partiremos de las ecuaciones de Maxwell y de las ecuaciones constitutivas: (6 . 1 )
'iJ·B ~o
(6 . 2)
v" E ~ -oB/ot
(6 .3 )
v"~ : 0 ;
-1
°n/at
(6.4) (6 . 5)
Considerando una región d~l es¡:::acio libre de fuentes donde e y no sean función de las coordenadas ni del tiempo, y haciendo uso de la relación vectorial ~
( 6 . 6)
84
R. GOMEZ MARTIN
de
o( ) ot
obtenemos (6. 7)
que es la ecuación general de ondas . Normalmente el segundo o el tercer término serán despreciables, dependiendo de la aplicación particular de esta ecuación . En un medio no conductor, el segundo término se anula quedando la ecuación de ondas típica cuya solución es una onda que se propaga con una velocidad \J"" i. 1r¡;:E. . En un medio conductor , el tercer término es normalmente despreciable y quedará una ecuación del mismo tipo que la que rige la propagación del calor por conducción o difusión (ecuación de difusión para el campo electromagnético) . La magnitud relativa de estos dos términos puede ser estimada de forma conveniente si consideramos el caso particular de campos armónicos en el tiempo E t-i',t) =- Eti'\ e ¡wt . Sustituyendo esta ecuación en ( 6 . 7) , queda \J&
E+ l
1. -
Ja- ) e,w
f
E
w~ E. " o
(6. 8)
de forma que predominará el segundo o tercer término en (6.7) (o lo que es lo mismo, en el material predominará la corriente por conducción o por desplazamiento) , dependiendo del valor de cr-fEOJ, i /-r.w donde -e es la magnitud denominada tiempo de relajación 't , E. /a- • Si "tw » i, dom.?:_ nará l a corriente de desplazamiento; en caso contrario, -cw <.<. 1, la de conducción. Es interesante observar que en un determinado material domina uno u otro tipo de corriente , dependiendo no solo de su conductividad, sino también de la fre cuencia de la señal . Por ejemplo, para todos los metales puros , el tiempo de relajación es del orden de 10- 14 s y la ecuación del tipo de difusión es vál~ da para todas las fre cuencias por debajo de las del espectro Óptico. Si e n lugar de l as ecuaciones de Maxwell que hemos combinado para obtener la ecuación (6 . 7) , hubiésemos manejado (6 . 3) y (6 . 4) , obtendríamos para el campo magnético una ecuación análoga a (6 . 7) y para la que son válidas las mismas consideraciones:
:: o
(6 . 9)
Podemos concluir este apartado diciendo que las ecuaciones (6 . 7)
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
85
E H
''
y (6 . 9) son las que rigen la propagación de los campos y en un medio lineal, isótropo , homogéneo y libre de cargas , sea conductor o no. Sin embargo, las soluciones de estas ecuaciones de ondas deben de cumplir también las relaciones de Maxwell , ya que, aunque las ecuaciones de ondas se deducen de las de Maxwell , el recíproco no es cierto . De hecho, estas ecuaciones se han obtenido mediante procesos de diferenciación en los que se ha perdido información. En definitiva, los coe ficientes de las sol uciones de las ecuaciones (6 . 7) y (6.9) han de obtenerse de las condiciones de contorno, las cuales son únicamente derivables de las ecuaciones de Maxwell . 2.- Ondas planas en medios no conductores. En un medio uniforme no conductor el campo eléctrico E satisface la ecuación de ondas (6 . 1 O)
:: o
Nos limitaremos a soluciones tipo ondas planas, es decir a aquéllas cuya amplitud tiene el mismo valor en todos los puntos de cual quier plano normal a la dirección de propagación de la onda . En o t ras palabras, la amplitud de los campos es función únicamente de la distan cia desde el origen o fuente a un plano dado . Si ñ es el vector unitario normal al plano (fig . 6 . 1 ) , por haber solo variación en esa dirección, el operador ~ toma la forma: ( 6 . 11 )
pudiéndose entonces escribir las ecuaciones de Maxwell como
....
"
'C) D
.o s :: o " ~ ::O 'Y\. -o e;
'Yl
-n"e>E A
Yl
F-Lg.. 6. 1
-
os
=
"Ot
.....
"o4 ::. () t:
os
_os
+
( 6 . 1 2)
( 6 . 1 3) (6 . 14)
ci'D él-l
Con estas nuevas ecuaciones, (6 . 7) se puede escribir =o
( 6. 16)
86
R. GOMEZ MARTIN
ecuación que suele denominarse " del telegrafista" . Si el medio tiene conductividad nula, esta ecuación se reduce a (6 . 17)
que tiene su homóloga para el campo magnético (6 .1 7')
Utilizando para el campo ecuaciones como
notación eléctrico,
compleja las
jlwt-Ks >
E0 e
podemos
soluciones
~ E~
escribir ,
por
monocromáticas
ejemplo, de
estas
-Jlwt+Ki;)
e
(6 .18)
....
donde E y E'o son en general magnitudes complejas y k el n úmero de 0 onda . En lo que sigue nos limitaremos a ondas monocromáticas. Esto no supone restricción alguna, ya que dada la linealidad de la ecuación de ondas podemos aplicar el principio de superposición y utilizar el teorema de la integral de Fourier para construir la solución general de onda plana; esto es (6 . 19)
donde hemos supuesto que v no es función de k (medio no dispersivo) . Las componentes fi(s - vt ) y gi(~+vt) , de
F y G,
son funciones arbitra-
rias de sus respectivos argumentos, que determinan la forma (sinusoi dal, cuadrada, pulso , etc . ) de la onda generada en alguna fuente lejana .
n,
F< ~ -vtl representa una onda propagándose en e1 sentido de mie~ tras que G(s+vt) corresponde a la propagación en sentido opuesto pero con la misma velocidad Se define el índice de refracción de
v.
un medio, y se representa por n , como la razón entre la velocidad de propagación de una onda en el vacío y la velocidad de propagación en dicho medi o . Para un medio caracterizado por
f
-o
f".,. fº y
t.
-o
E.,. E
0
(6. 20)
Ha de tenerse en cuenta que en general los valores de E..,. y f"" han de medirse a l a misma frecuencia ya que son funciones de ella . De otra manera se obtendrían resultados erróneos.
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
87
Naturalmente, de (6.17' ), se pueden hacer considerac iones análogas a las del campo eléctrico, para el magnético . Los campos eléctrico y magnético son componentes inseparables de la onda electromagnética y juegan un papel igualmente importante e n su propagación . Sin embargo , cuando se t rata de detectar la onda, el campo eléctrico es usalmente más importante . La razón es que la mayor par te de los detectores son más sensibles a que a Por ello, las consideraciones de propagación se hacen sobre el campo eléctrico, aunque todas las ecuaciones tienen su aná loga para el campo magnético ; así , . jlwl-1<.s l . por eJemplo , H =-Hu e. . Ademas, como veremos muy pronto, el campo magnético puede obtenerse siempre a partir del dieléc trico y viceversa . A partir de las ecuaciones de Maxwell (6 . 12) a (6 . 15), teniendo en cuenta que (fig . 6 .1 ) , se obtiene
E
B.
k.r=ks
( 6 . 21) Igualmente
-l I<. " H
(6 . 22)
además para el campo H se verifica (6 . 23)
...
y para el E
(6 . 24) Entonces las ecuaciones de Maxwell para señales monocromáticas con Cí =O , f=O, E' =O y no siendo E. ni f- funcio n es del punto ni del tiempo, quedan:
\( /\ t. K.. " \.i \(
f-W \...\
(6 . 25)
wt
(6 . 26)
=- -
é
(6 . 27)
t :O
l,(·\-1:.0
(6 .28 )
....
De las ecuaciones (6.27) y (6.28) se deduce que E y H son perpen-
88
R. GOMEZ MARTIN
diculares a la dirección de propagación k, luego de (6 . 25) y (6.26) H, y forman un triedro directo . Veamos ahora la relación que liga a las amplitudes de los campos eléctrico y magnético. De (6.25) , sustituyendo E y H, obtenemos
E k
-
(6.29)
u2
como l~/~) es un número real, E0 y H0 están en fase. Ya que la unidad de -H es el A/ m y la unidad de E, el V/m , ( 1l.A. f e" )l/:¿ tiene la dimensión de una resistencia y se denomina impedancia intrínseca o característica del medio. Para el caso del vacío (\l°IE:o)"i= lzot'1.Q.~ ~ 3H.n En la figura 6.2 se representa en un cierto instante la variación espacial de los vectores E y H, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación . Por ello, las ondas planas se denomi nan transversales electromagnéticas (TEM). La amplitud del campo magnético en una onda plana en el espacio libre es normalmente muy pequeña . La razón de E0 a B0 es la velocidad de l~ luz en el espacio libre. Si l a amplitud del campo eléctrico en una onda plana es 0'1 V/m como es el caso de una onda de radio a unos kilómetros del transmisor, la amplitud del campo magnético es O' 1/3 . . 1 0 8 o 3' 3. 10- 1 OT .
X
F.i.g. . 6 . 2
Es interesante notar que las ecuaciones de Maxwell no imponen ni ngún límite a la frecuencia de las ondas electromagnéticas. El es pectro ex perimentalmente investigado se extiende de modo continuo desde las ondas largas de radio hasta los rayos gamma, observados en la
89
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
radiación cósmica . Para las primeras, las frecuencias son del orden de 10 4 s- 1 y las longitudes de onda, de unos J.10 4m y para las Últimas, . los valores correspondientes son 1024 s -1 y 3.10 - 16m. Como vemos, el espectro cubre un intervalo de veinte órdenes de magnitud (fig. 6.3). Es interesante destacar también que hemos preferido utilizar el campo magnético H en lugar del B, debido a dos r azones : 1) E~H es una densidad de flujo de potencia. 2) E/H tiene dimensiones de impedancia. Estos dos conceptos son de gran importancia práctica. Energía
Longitud de o nda
100 MeV Rayos~
Me V Rayos X 1 O KeV
Frecuencia 1O
16
100
eV
Hz
1o14 Hz
1o1 2 Hz
10ª
Hz
106
Hz
1 o4
Hz
ev 1 O me V
Ultravioleta Visible Infrarrojo
m m
m
Microondas
----- ----------- ---------------------Radio
m
m m m
F -'-íJ.· 6 . J
3. - Energía del campo electromagnético. Flujo de energía, vector de Poynting . En un medio lineal donde existen campos eléctricos y magnéticos, la energía e l ectromagnética por unidad de volumen viene dada por (6 . 30) y
para ondas planas
( 6 . 31)
..
n
90
R. GOMEZ MARTIN
de (6.29), obtenemos (6 .32 )
que son las expresiones instantáneas de la densidad de energía a que da lugar la onda en su propagación . Como la energía varía con el tiempo según E2 o H2 , es decir, como Eo"cm ... lv..>l-\< s )ó \-\;cm1 <..wl-1<~), e;:¡.más significativo hablar en términos del valor medio de la densidad de energía (6 . 33) a la que contribuyen , según (6.32), igualmente los campos magnéticos. A continuación vamos a ver que se puede flujo de energía a través de una sección perpendicular a de propagación, en función de la densidad de energía y de propagación . El valor medio del vector de Poynting está dado por ,/ -E " H > ,. -1
r~ c:.
.¿¡
0
n -
~
A
-
Yt. -
w
1J
eléctricos y expresar el la dirección la velocidad
(6.34)
de esta ecuación se deduce que la densidad de energía en una onda plana se propaga con la velocidad de fase de la onda en un medio estacionario no ccnductor. Un resultado interesante se obtiene al considerar el flujo de potencia solar que incide sobre la Tierra, que es de 1400 W/m 2 . De aquí, para obtener 2 . 1O11 W, que viene a ser la potencia media consumida en Ef; tados Unidos, hace f alo ta un área, considerando un rendimiento del 100% , de 12x12 Km 2 . Fi...r; . 6.4 4.- Polarización de ondas planas. Dado que la ecuación de ondas estudiada es ~na ecuación difErencial lineal, se cumplirá el principio de superposición y por tanto, cualquier suma de soluciones es también solución de la ecuación diferencial. E~ particular, la s uma de ondas planas que se propagan en la· misma dirección es solución de la ecuación . Vamos a estudiar ahora el caso práctico interesante de la onda plana resultan te de dos q ie se
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
91
propagan en la misma dirección con frecuencias iguales, pero , en general, con amplitudes y fases arbitrarias distintas entre si . Supongamos que las ondas se propagan según la dirección z, una polarizada en el plano xz y otra en el plano YZ, tal como muestra la figura 6.5. Convi~ ne recordar que convencionalmente se denomina plano de polarización al formado por la dirección de propagación y el campo eléctrico. Veamos cual es el lugar geométrico del ve~ tor campo resultante de la composi ción de estas dos ondas planas . SeX guimos suponiendo medios con cr =0 aunque, como veremos en el capítulo siguiente, el efecto de una conduc tividad finita en un medio homogéF.i..9-· 6. 5 neo e isótropo , que interviene como un factor exponencial común a todas las componentes del campo, no influirá en la polarización. Tenemos que
(6 . 35)
Llamando 1<.~+Ó, :E>, , l(r:+Ó,,~92 y cL.ó, .J"v se obtiene , tras sencillos cá_! culos que envuelven solamente relaciones trigonométricas elementales : (6 . 36) que indica que el lugar geométrico de los vectores cuyas componentes son EX y Ey es una elipse en el pla no XY, tal como se ve en la figura 6 . 6 . En este caso se dice que la onda está polarizada elípticamente . En el caso de que queramos conocer la velocidad angular del vec~ " podemos calcularla tor Et=Exi+Eyj, de la siguiente forma :
-
F.¿9-· 6.6
d. di
e{q-1
Cuando d=mn/2 con m=:!.1, :!.3,
..
J
!
§..) E,
E.É~- E~ · E. \Et\"
5 .. ., la ecuación (6 .36 ) queda
(6 . 37)
92
R. GOMEZ MARTIN
(6. 38)
que es la expresión de una elipse cuyos ejes están en las direcciones x e y. Si , además , a=b, tenemos (6.39)
que es la ecuación de una ~ircunferencia . Particularizando la expresión (6 . 37) a este caso, se obtiene~= !w; por tanto, se ve que el ve~ tor campo eléctrico gira en el sentido de las agujas del reloj con una velocidad angularW=2nf cuando Ó= - TI/2 y en sentido contrario si J =fl/2. Otro caso particular es aquél en que la elipse de polarización degenera en un línea recta . Esto ocurre cuando ó=~mn, siendo m un ente ro cualquiera . En esta condición: (6.40)
que es la ecuación de una recta que pasa por el origen . Tenemos, por tanto, una onda polarizada linealmente. Las componentes de E son , entonces
E"~ J
b e.o~ twt- \<'~
t 'l'Y\. n)
(6 . 41)
y el ángulo que forma la línea recta con el eje x viene dado por (6.42)
El vector magnético de la onda plana forma un ángulo recto con el vector eléctrico y es, por tanto , paralelo a una línea de pendiente ( - 1)ma/b.
CAM PO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACJON Y RADIACION
.,'
93
CAPITULO VII. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS CONDUCTORES . 1 .- Introducción . En el caµ ítulo anterior hemos considerado la propagación de ondas electromagnéticas en medios lineales , homogéneos, isótropos y con conductividad nula . Vamos a estudiar ahora la propagación de ondas electromagnéticas cuando el medio tiene conductividad no nula (~~O) . Veremos como en es tas circunstancias las componentes espectrales de la señal que se propaga lo hacen con velocidades de fase que dependen de la frecuencia, por lo que la señal se deformará a medida que se propaga ; sin embargo , bajo ciertas condiciones , será pos i ble asociar a la señal una velocidad de propagación de su energía , que se denomina velocidad de grupo . 2 .- Propagación de ondas electromagnéticas en medios conductores . Profundidad de penetración . Supongamos una onda electromag nética plana propagándose en la dirección ~ en el vacío y que incide normalmente sobre la superficie de un material conductor que supondremos libre de fuentes de campo , así como lineal, isótropo y homogéneo. En general existirá una onda reflejada y otra que se propaga en el mat erial conductor , se tratará únicamente esta onda electromagnética. La ecuación para una onda propagándose en un medio conductor es
(7 .1
)
existiendo una ecuación análoga para H. El Último término es el dis ipa ti vo debido a la conductiv idad no nula del medio y , por tanto , a la existencia de una pérdida irreversible de calor por efecto Joule . Dada la linealidad de la ecuación anteri or , nos limitaremos a señ ales armó nicas ya que por s uperposición de ellas se puede recons truir cualquier otra señal más complicada . Usando notación compleja , la variación temporal armó nica del c ampo eléctrico E puede representarse por _
El ~.-t. l =
jwl
Elsl e
Sustituyendo es t a ecuación en la (7 . 1 ) , obtenemos
( 7 . 2)
94
R. GOMEZ M ART IN
En estas ecuaciones se ha omitido el factor e jwt que da cuenta de la dependencia temporal. Este factor habrá que añadirlo a las soluciones de la ecuación diferencial anterior cuando queramos indicar explícitamente dicha dependencia . Asimismo, para simplificar, no s e ha indicado el argumentos de E en la ecuación (~ .3) . El segundo miembro de ( 7. 3) se ha expresado de di versas formas con objeto de definir varios parametros de interés en el estudio de la propagación de las ondas electromagnéticas, que son: - Permitividad compleja : (7 .4)
- Factor de propagación complejo : (7. 5)
- Factor Q del medio (razón entre la densidad de corriente de zamiento y la densidad de corriente de conducción) Q .,.
lon/'Oll
despl~
(7 . 6)
lj 1
Una clasificación convencional, de acuerdo con el factor Q, de los medios, es la siguiente : -Medio dieléctrico: Q. '> 100 ; w E. ..,.., o-Cuasiconductores: 1 1 loo .c. C1 < 1oo J -Conductores: G. < l /loo _,. w E. .c.< aCuando 0-=0 , tenemos un dieléctrico perfecto y cuando
r-
r = 'R: \(
(7. 7)
95
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACI ON Y RADIACION
(7 . 8)
donde k es el número de onda ; O(. la constante de atenuación y constante de propagación o constante de fase. De acuerdo con (7 . 2) y (7 . 3) los campos serán
-Et i;,l)
e
j twl-¡H.)
ca'
la
(7 . 9)
De la ecuación de Faraday en forma diferencial para ondas planas ,Yt.~ = = -0 deducimos que
s,
'Ol
( 7 . 1 O)
Por tanto, el campo eléctrico y el magnético están relacionados por l a expresión
\É 1 \~I
(7 . 11)
sientlo Zc la impedancia compleja ( 7 .1 2) _.
donde n es el vector unitario en la dirección de pro pagación y k el ve ctor número de onda . Estas ecuaciones se reducen a las del capí tulo anterio r sin más que hacer
o"
1(
\
!-
~)
112
(7 . 13)
96
R. GOMEZ MARTIN
De aquí se deduce que hay un desfase entre H y E de 45º . Por tanto, de acuerdo con ( 7. 9), las expresiones de los campos dentro del conductor son -
-<;,, /ó
E = Eo
e
e
) tur\.- fi./o)
( 7 . 1 4)
( 7 . 14')
siendo Ó la profundidad pelicular o de penetración, definida como
0' ~.¿,fflW
Ambos campos decrecen con la penetración cayendo a 1/e de su val or cuando s=d . La profundidad pelicular decrece si la conductividad, la permeabilidad relativa o la frecuencia aumentan, por tanto, los bu~ nos conductores son siempre opacos a la luz , salvo en películas extremadamente delgadas. Se debe tener en cuenta que la expresión J:f?,t¡..¡.wrr no puede ex trapolarse a fr ecuencias muy grandes donde hay que trabajar con las expresiones dadas por ( 7 . 7) y ( 7 . 8) para en las que no se ha hecho la aproximac i ón Hu<:<(). En los buenos conductores , la constante dieléctrica e impedancia compleja se reducen a
r
Ee:
e:(!.-
00-)~-~wcr éw
"o{'
( 7 . 1 5)
( 7 .16 )
En este caso la profundidad de penetración es muy peque~a. Por ejemplo , para el oro , a la frecuencia de microondas de 3.10 9Hz , J°=1 1 6.10- 6 m. Tal es así que las guías de ondas son fabricadas con una capa muy fina de oro o plata sobre la superficie de un material conductor más pobre; as í, los campos y corrientes están confinados a una capa muy estrecha en la superficie. Este es el denominado efecto "skin". La figura 7 . 1 muestra la relación entre E y H para una onda que penetra normalmente en el metal en un instante de tiempo dado . Se observa que los campos decaen exponencialmente y que no están en fase . En realidad , la atenuación es tan grande que no puede representarse convenientemente a menos que utilicemos una escala adecuada. De (7.14) ~' 1/J" ; por lo cual>..=2nJ, de forma que la longitud de onda disminuye drásticamente cuando pasa del espacio libre al medio conductor. Ya que ol es igual ar , la atenuación está dada por e-3f !> con lo que en una l ongitud de onda la amplitud cae a e-~,, , es decir, el factor de amor ti guación es del orden de 1/500.
..
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACJON \
(
97
Por otra parte, la velocidad de fase está dada por v=V¿W/f-t~ que decrece cuando cr aumenta. En el límite, cuando o- es infinito,>.. =0 y v=O, y por tanto, no existe onda en el medio. Debido a que la profundidad de penetración es inversamente propo~ cional a la raíz cuadrada de la frecuencia, una capa estrecha de material conductor puede actuar c~ mo un filtro pasa- baja para ondas electromagnéticas . La densidad de energía eléctrica es ~t:fo • De (7 . 14 ' ) , la dens~ dad de energía magnética es z cr .,,.. ~ f-"-0 ' 'wl ; por tanto , la razón entre ellas es Q: ~ que como hemos supuesto es una cantidad muy pequeña, con lo cual la e nergía eléctrica dentro del conductor es despreciable fre~ Fi.r;.. 7. 1 te a la magnética . Esto se debe a la elevada conductividad o- que provoca que la razón E/J sea pequ~ ña (eampo eléctrico débil frente a la densidad de corriente que es re lativamente elevada) . El efecto " skin " frente a la frecuencia se da en l a tabla 7 . 1 . En ella, la tercera columna da la frecuencia a la cual la corriente de conducción es igual a la corriente de desplazamiento . Los valores cruzados para J indican que a estas frecue ncias domina la corriente de 2
desplazamiento . Las aproximaciones hechas no son válidas y, por tanto , estos valores no son significativos. 3 .- Propagación en dieléctricos imperfectos . En dieléctricos imperfectos o con pequeñas pérdidas , se verifica que O,.1 00, w e">'> Cí ; entonces, desarrollando ( 7 . 1 3) en forma binómica , se tiene: _j_
.¿Q
"'
1
i
Q."
J
( 7 . 1 7)
( 7 . 1 8)
..'
( 7 . 1 9)
y la velocidad de propagación
98
R. GOMEZ MARTIN
(7 .20 ) As í pues, el campo eléctrico, al igual que el magnético, experime n ta una pequeí'la atenuación ( <>les muy pequeí'lo debido a que
2
._
, JF , . IF.r 1~ ·¿ ~ 'f V1- jcr)wE,
en l a que, como tiva .
~/w€ << 1 ,
( 7 . 21 )
puede despreciarse la pequeí'la componente reac-
4 . - Constante dieléctrica generalizada . En general , la conductividad finita del medio en que se propaga una •onda electromagnética no es la únic a causa de pérdida de energía electromagnética, y por tanto , de atenuación de la o nda . Otra causa , de tipo fr icciona ! , es la asociada a los mecanismos de polarización de los átomos o moléculas e n e l medio. Esta pérdida de energía puede inc luso ser mayor que la debida al efecto Joule . Debido a tal fri cción , e l vector· de polarización ~. y por tanto de desplazamiento D, irá retrasado con respecto a E. Esta desfase temporal se puede tener en cuenta mediante una perm i t i vi dad compleja (7 . 22) (7 . 23)
do nde Ó es el ángulo de desfase entre D y E. Tendremos pues , que la corriente de desplaz amiento es (7 . 24) por lo que e l efecto de E" es eq uivalen te al de una conductividad . De este resultado, definimos la conduct i vidad efectiva total del dieléc trico como
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
99
y la permitividad compleja generalizada, de acuerdo con (7 . 4), por (7 . 25)
-
La densidad de corriente total JT' vendrá dada por (7 . 26) que se representa en la figura 7 . 2. En el caso en que cr sea des preciable , bien porque supongamos un dieléctrico perfecto o por la alta frecuencia del campo, se tendrá que w t." ;.)0-, entonces r:f ~ c:f • A la relación entre la corrien te de conducción y la de desplazamiento en el dieléctrico se la denomina tangente de pérdidas o fa c tor de disipación
jwE.'E
(7 . 27) F"-9. 7.2
debido a que en general las pérdi-
das son pequeñas. La pérdida irreversible en forma de calor por unidad de tiempo y unidad de volumen , debido al efecto de polarización del dieléctrico solamente , será (7 . 28) por otro lado la energía máxima almaceneda por unidad de volumen es: ~E.' t,,~ , entonces el factor O o factor de calidad del dieléctrico será
w_, :
O
=
wener2ía máxima almecenada perd i da media de potencia
1
tgº
(7 . 29)
o bién igual i /~9l si consideramos la pérdida por efecto Joule debida
acr. 5 . - Concepto de resistencia superficial. Para las aplicaciones prácticas a altas frecuencias es importante conocer la potencia media perdida por unidad de área en un conductor
100
R. GOMEZ MARTIN
para una amplitud dada de la onda en la superficie. Esta información se usará para determinar la atenuación a lo largo de líneas de transm~ sión y guías de ondas . Supongamos que, en la superficie plana de un conductor , la amplitud del campo magnético es H 0 y que la onda incide normalmente y se propaga hacia el interior del conductor (fig.7 . 3). La potencia media absorbida por unidad de área del conductor está dada por la parte real del vector comp le jo de Poynting:
De las ecuaciones (7.14) y (7 . . 14 ' ):
E"I-
º
hg. 7.3
por lo que ( 7. 30)
""'
La magnitud l¡.t-W /~
Esta es una f órmula importante que es estrictame nte válida sólo para s uperf icies conductoras planas , aunque representa una excelente aproximac ión si el r adio de curvatura de l a s uperfici e es mucho mayor que la profundidad de pen etración . En la práctica , este es cas i siempre el caso para muy altas frecuencias . La pérdida total se obtiene integrando la anterior ecuación sobre la superficie del conductor , ya que H0 varía usualment e para diferentes puntos . Ejemplo: Si una onda de 100 MHz y E0=1 V/m incide normalmente sobre una placa de cobre C0-=5 ' 8 . 1O 7 S/m , f- = f-4• é. =e,, ) , la potencia media absorbida es P/S=3'67.10- 8 W/m 2 , mientras que la potencia incidente es
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
,. \
101
1 ' 33 .10- 3 W/m 2 . 6.- Velocidad de grupo . Hasta ahora hemos considerado el caso ideal de una onda monocromática plana , es decir, con un núme ro de onda y una frecuencia fijos. En el caso de propagación de una onda de este tipo en un medio di spersi vo, la velocidad de propagación (velocidad de fase) de la onda monocromática depende de s u frecuencia. En la práctíca no se presenta nun ca la situación ideal de onda monocromática pura . En general , lo que ocurre es que un posible emisor emi te una cierta señal f ( ~, t) durante un intervalo finito de tiempo que, de acuerdo con el teorema de Fourier, se puede descomponer en un espectro contínuo de frecuencias de amplitudes Aw tal que
f
(€.,t)
=
J
( 7 . 32)
-oo
En el caso de propagación de la señal en un medio dispersivo, cada componente espectral viajará a una velocidad difere nte y la señal se deformará de forma que, si en un punto s; sumamos las ondas y hallamos la transformada inversa, obtendremos u na nueva fu nción f' ( ~', ,t ) . En el caso , común en la práctica de que el espectro o grupo de frecuencias de interés sea estrecho y el medio de transmisión poco di~ persivo , puede encontrarse una sola velocidad característica del grupo o paquete de ondas que es la velocidad de grupo . Supongamos un grupo de frecuencias centrado en una portadora de fre c uencia w. y tal que A...,'::!. O salvo cuandoW=~ . Este conjunto consti tuye lo que se denomina grupo o paquete de ondas . (Fig . 7 . 4) . En estas condiciones , (7 . . 24) puede escribirse A(w)
f l s ,t) =
J""'
(3 (W)
=B(Wo) \
-\-
o~ 1
(C.H.Jo)
aw ···-
clw
(7 . 33)
extendida a los valores de w que no hacen A...,=O. Dado q ue (3 = = (?. (w) , podemos desarrollarla en serie de Taylor alrededor de la frecuencia w. en la f o rma :
w
!.
jtwl-~t)
Aw e
~'
Cl2t31
....:....+--
ow"
w.
(W -Wol" - - - +- ... .¿,
(7 . 34)
102
R. GOMEZ MARTIN
Para grupos estrechos en que (w-w. ) es muy pequeño se puede linealizar la expresión (7 .34 ) escribiendo ( 7. 35) donde el signo ' significa derivación respecto a wy el subíndice cero, que los valores están particularizados a la frecuencia w•. Sustituyendo (7 . 35) en (7 . 33) obtenemos
f
ls. t )
=-
eJ
(ro'wº$-(3o°5)
f
J AUJ
)wlt -~ s)
e
c:lw
(7.36)
bl.ú
que puede escribirse, teniendo en c uenta ( 7. 33) para $ =O , como (7 . 37)
s
La señal en un punto tiene la misma amplitud que en el origen después de un tiempo t= ('>o's y un desfase dado por (>o'Wo s -(3os . La velocidad a que se ha propagado la señal y , por tanto , la energía asociada , es (7 . 38) De las relaciones ~ 0 ~11/A. y W=~\1 podemos obtener algunas expresiones al ter nativas para la velocidad de grupo que , a veces, resultan convenientes : (7 . 39) Si la velocidad de fase varia lentamente con la frecuencia, un pulso puede viajar a través de un medi o dispersivo con un cambio relativamente pequeño ; pero si esta condición no se satisface , el grupo se distorsiona mucho y el concepto de velocidad de grupo no es ya válido . Es de notar el hec ho de que una concentración del campo e n el espacio no implica una concentración corres pondiente del espectro de fr~ c uencias , sino todo lo contrario, de acuerdo con la propiedad de cambio de escala de la tr an s formada de Fourier que indica que entre la duración de la señal y su a ncho de banda existe una relación inversa .
......,
_,
Permitividad relativa Conductividad oS/m
Material Oro
6 1 2.10 7
Alumi nio
3 ' 7.10 7
Efecto "skin"
E..- = EfEo
Frecuencia a la que
ó o l. /fnf f'-(J
Ea=8'854.10- 12
'l'r\.
1
1 ' 1 . 1O
18
Hz
Efecto " skin" Ó a frecuencia f 60 Hz
0 ' 064/ f
8 2 mm 1
1 O KHz
0 ' 64
mm
1 MHz
0 ' 064
1 O GHz
mm
0'64
p.m (')
17
>
Hz
0'083/ f
10 ' 7 mm
0'83 mm
0 ' 083 mm
0'83 /11"
.,,3:
f1"
"' "' Q
O' 66 fm
o
2 ' 5 mm
> Cl z
1
6 ' 7 . 1O
Estaño
0 • 7.10 7
1
1 ' 2 . 1O 1 7 Hz
0'185/ f
24 mm
1 '85 mm
0 ' 185 mm
1 '85
Cobre
5 1 8. 10 7
1
1 6 ' 5 . 1O 8 Hz
0 '066 / f
8 1 5 mm
0 ' 66 mm
0 ' 066 mm
Agua de mar
4
81
0'9 GHz
250/ f 1 '6. 1 o4
Agua potable
1 o- 3
81
0'2 MHz
Tierra húmeda
1 o- 3
1o
1 '8 MHz
------f 1 6. 1 o4 -------
m
m
2'5
m
0'25
2 ' 1 Km
160
m
16
m 0' 16
m
2 ' 1 Km
160
m
16
m O' 16
m
32
1 o- 5
3
60 KHz
f
Todos estos materiales son no magnéticos :
f
~fo=4
.10- 7 H/m
"'
;j
f
Tierra seca
"'
3:
(')
1
1------• 6. 1 o5
o
r-
21 Km
1'6 Km
160
m
116
m
.,,9 o.,, "'
> Cl >
(')
oz -<
"'>e > oz (')
TABLA 7 . 1
o "'
-- .
105
CAM PO ELECTROM AGNETICO. PROPAGACION Y RAO IAC !ON
CAPITULO VIII. PRESION DE RADIACION . INCIDENCIA NORMAL DE UNA ONDA PLANA SOBRE LA SUPERFICIE DE SEPARACION DE DOS MEDIOS . - Introducción. En el capítulo anterior hemos estudiado la propagación de ondas electromagnéticas en medios infinitos y continuos y ahora estudiaremos los efectos de una discontinuidad en el medio de propagación . Para ev~ tar reflexiones múltiples, supondremos que a ambos lados de la superficie de separación los dos medios se extienden hasta el infinito y que los dieléctricos son no conductores, lineales, isótropos y homogéneos. Nos limitaremos, en este capítulo , excl u sivamente a incide nc i a normal y veremos como el hecho ya conocido de que la radiación electr~ magnética no solo es portadora de energía sino también de momento, i mplica la existencia de una presión de radiación sobre el material que incide .
A continuación
se estudia la
incidencia normal de
un a
onda electromagnética sobre la supe r f i cie de un cond uctor y la d e u n dieléc t rico . 2 . - Presión de radiación. Como se vió en el capítulo I I , la divergencia del te n sor electromagnético de Maxwell es igual a la fuerza volúrnica de origen electromagnético más la variación temporal de la densidad de momento asociada al campo . Esto se formu l aba , pa r a l a com ponente~ . omitiendo superíndices, de la forma siguiente :
(8.1 ) Veamos como l a ap licación de este resul t ado a u na onda electromagnética p l a na nos l leva a la conclusión de que, siempre que esta i n cid a sobre un cuerpo , ejerce so bre él una presi ón que llamaremos de radiación . Para ello con sideremos una onda plana linealmen te polariz~
F.i...[J. 8 . 1
da que incide normalmente sobre un b l oque de material que absorbe comp l etamente la onda incidente ; esto es,
un cuerpo negro , y que s u pon -
106
R. GOMEZ MARTIN
dremos para simplificar un cilindro de longitud infinita . Tomemos el eje z como la dirección de propagación y el eje x como la dirección del campo eléctrico, con lo que el campo magnético estará en la dirección y . Integrando la ecuación (8.1) en el volumen que ocupa el cuerpo negro resulta
Í
l.J
01
e~
O'!.(!>
dlJ:
~ f.. dv
J ~t
fE
+
. v
[€"~Ldv
( 8. 2)
V
siendo la primera integral del segundo miembro la componente fuerz a total que se ejerce sobre el cuerpo negro :
~
de la
El vector de Poynting viene dado por
j:> =E,_¡:¡ =n h:z..
c..o-:.2 <.cvl-1<.r;+\p)
.
y su derivada temporal será , por tanto , una función armónica , lo que permite prescindir de la Última integral de (8 . 2) al calcular el promedio en el tiempo de la presión de radiación, resultando
Como sabemos , el tensor de Maxwell sin los términos de electros tr i cción y magnetostricción es
~
~
que en nuestro caso, ya que el campo E solo posee componente x y el B, y , se reduce a las componente diagonales
t. • "2 -
T.,.x = -1 E 0
T
lf
JJ
~~
'
-<3
fL
"J lt
2
~ L µ 1-1"2 - L E. E~2 ~
= -
J
¡
±
E.
-G,
( 8 . 3)
t./- 1 r1-1~~
Como en una onda plana propagándose en la dirección del eje z los valores de los campos no son función de x ni de y , se verifica que
)
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
y por otra parte, de (8 . 2): ¡:-
-
~-
<
r""~ f -_!__ l ~ t/ ~ u \-\ .. )1 d s
107
r» º
o
Dado que el cuerpo negro habrá absorbido la radiación para una distancia fin.1.ta dada, el campo en el infinito será nulo ; luego, la presión media sobre el cuerpo negro será ( 8 . 4)
Esta expresión es totalmente válida siempre que las variaciones sean armónicas y estacionarias, porque, si hubiera efectos transitorios , el promedio deCl~/3t no sería nulo y contribuiría en la expresión (8 . 2) . De acuerdo con (8 . 4) y (6.31 ), la presión ejercida sobre un cuerpo negro , en promedio, es igual a la densidad volúmica media de energía de la radiación incidente:
F=
\,,/....._
+ We. =
w
( 8 . 5)
Para el caso de radiación difusa, consistente en ondas propagándose en todas direcciones, sólo una tercera parte de la densidad total de energía estará asociada con las ondas que se propagan normalmente a la superficie , de manera que 1
r
3
w
Es interesan te notar que este resultado coincide con la presión calculada al asociar a la onda la densidad de momento =
q
o
e¡,
c..
Efectivamente, en un tiempo dt el cuerpo negro absorberá el mome~ to comprendido en el volumen Scdt, es decir , un momento : dG=g . S . c . dt . Por tanto , la fuerza que actúa sobre el cuerpo será
..... 'f;'
-
0
-
iP
d G= q S c = - S J e
dt
de modo que la presión, es decir, la fuer za por unidad de superficie , en promedio será íP ::. w (8 . 6)
e
Este resultado puede resumirse diciendo que el término de pres ión de radiación está de acuerdo con el concepto de momento asociado a una onda electromagnética . Esta presión ya fué predicha por la teoría prerrelativista de la radiación electromagnética , no habiendo ten ido que
108
R. GOMEZ MARTIN
ser modificada por la teoría postrrelativista. En realidad, la única fuerza implicada en el fenómeno es la fuerza de Lorentz y cualquier modelo detallado de los procesos de absorción nos llevará a la misma respuesta: la presión media es igual a la densidad media de energía de la radiación incidente. Este resultado concuerda con el de la Física Cuántica , para la cual la radiación consiste en fotones de energía hY, cuyo momento en el vacío es hv/c . La diferencia fundamental c onsiste en que en la teoría clásica el momento no está cuantizado. Para situarnos en el orden de magnitud asociado a ondas e l ectromagnéticas, consideremos, en primer lugar , un láser de dióxido de carbono que emite pulsos de energía de 100 J , con una longitud de onda 5 >... = 1 o- m, siendo 1 Ons la duración del pulso y teniendo el rayo l áser una sección circular de 1cm de radio . La densidad media de energía será: !oo con lo q ue : 1P = e
\JJ :
.3'3 · Ao
13
Wh'l.•
Por otra parte asociada a la radiación solar, se tiene que, en la s uperficie de la Tierra , el valor medio de .Jl>es 1 ' 94cal/cm 2min=1352W/ /m 2 , lo que equivale a que E=1009V/m. De (8 . 6) se tiene que el valor medio temporal de la presión debida a la radiación solar es p=4 ' 51 .1 o- 6 Nw/m 2 , valor verdaderamente pequeño si lo comparamos con 10 5 Nw/m 2 que es la presión atmosférica y la ejercida por el láser del ejemplo anterior . Esta presión corresponde a una fuerza total de 7. 1 o 8 Nw empujando a la Tierra, lo cual es despreciable frente a los 3 .1 o 22 Nw con lo que el Sol la atrae como resultado de la interacción gravitacional mútua. Estas débiles fuerzas son extremadamente difíciles de medir en el laboratorio . Sin embargo con el láser de potencia anterior se consigue una presión de radiación del orden de 1 '1 . 1 o5Nw/m 2 . Así pues, un rayo láser de 1 cm de radio empuja un objeto con una fuerza de alrededor de 30Nw. Es interesante considerar que , aunque la acción de la presion de radiación solar o de otras estrellas es despreciable en el caso de l os cuerpos celestes grandes, puede llegar a ser muy importante cuando ac-
C'AM PO ELEC'TROMAGNETIC'O. PROPAGACION Y RADIACION
109
t0a s0bre ~uerpos más pequenos . La raz6n es que, a una distancia dada
J¿l Sol, la fuerza de radiación es proporcional al área , esta es, al ~uadrado J¿ , la dimensiones lineales de l cuerpo , mientras que la gra~eJad depende de la masa y la fuerza es , por tanto , proporcional al cu ~~ Je las dimensiones lineales . De aquí que , cuando el radio del cuer;:-o Je~:-¿ce , ias fuerzas de radiación se hacen más importantes y , ya que la intensidad de radiación decae con e l cuadrado de la distancia exa~¡amente igual que la fuerza gravitacional, la raz6n de la fuerza ~e radiación a la gravitacional perma nece constante independientemente de la distar.cia al Sol . A una distancia de 1 U.A. (unidad astronómica , :gual a la discancia media Tierra- Sol o 1 '496411 m) la presi6n de ra . .' d iac1on solar es f' =4' 51 . 1 O- 6 Nw / m2 y , por tanto, la f uerza so b re un . a es FR=4'51 . 10- 6na 2 Nw. obje:o de radio La fuerza gravitacional sobre el mismo objeto y a la mis ma distan cia del Sol resulta FG=5'93 . 10- 3 ( 4/3na 3~~Nw, donde 4/3rta 3 ~"'"es la masa del c uerpo en kilogramos y ~.,,,_su dens idad de masa en kilog ramos por metro cúbico . Por tanto , la razón de la fuerza de radiación a la gravit~ cional toma el valor R -: ¡::q.
:: 5'l \íl-~
~
o...(),,,_ Supongamos que el objeto bajo discusión tiene una densidad de masa de 5 • 7 . 10 3kg/m 3 (que es 5 ' 7 veces la densidad del ag ua y del orden de la densidad media de la Tierra y de los meteoritos) . Entonces R=1 cuando a=10- 7m o 1000A . Se pueden deducir algunas conclusiones importantes sobre el comportamiento de partículas cósmicas . Cuando las partículas tiene n un ta mano crítico (~1000A) tal que R=1, su trayectoria en el sistema solar e s aproximadamente rectilínea . Para partículas mayores , esto es , R<1 , el efecto de la gravedad del Sol será reducido , pero l as partículas continuarán sus 6rbi tas elípticas alrededor de él . Cuando R~1, serán repelidas lejos del Sol y desc ribirán órbitas h iperbólicas . Un fenómeno que se explica en parte mediante el concepto de pre sión de radiaci6n es el hecho de que las colas de los cometas suel en estar dirigidas en sentido opuesto al Sol . 3.-
Reflexión normal de una onda plana sobre un conductor perfecto . Ondas estacionarias .
1
.
1
Supongamos una superficie perfectamente conductora ( l o que e n l a práctica equivale a considerar un material tal como la plata , el cobre o el aluminio) y una onda electromagnética plana que se propaga según
l IO
R. GOM EZ MART I N
el eje z e incide normalmente sobre ella. Suponiendo la onda polarizada linealmente, la dirección de polarización es siempre tangente al p¡ano conductor y no influye P.n
P.]
fP.nÓmP.no .
Si
l;i
nolilT'i-
zación no es lineal , siempre se puede descomponer la onda como suma de qos ondas polarizadas linealmente , por lo que nuestra suposición no es restrictiva .\ Al incidir la onda sobre la superficie conductora , el campo eléctrico inducirá corrientes en la superficie del conductor , las cuales, a su F.l.9-. 8 . 2 vez , darán lugar a una onda se cundaria que denominamos reflejada . Para determinar esta onda reflejada hacemos uso de las condiciones de contorno en la superficie de un conductor perfecto :
.,,_. "
-
fs
(8.7a)
E
o
(8 . 7b)
.;. . B
o
(8.7c)
-Yt
D
A
~
nl\~~3.
( 8. 7d)
q ue traducen como cualidades específicas de un conductor perfecto el que no pueda existir campo eléctrico en su interior (y, por tanto, ta~ poco un campo magnético variable) y que las cargas y corrientes sean superficiales . Así pues, de acuerdo con (8 . 7b), la componente tangencial del cam po eléctrico total en la superficie de un conductor perfecto debe ser nula . De aquí se deduce que, en la superficie del conductor, la intensidad del campo eléctrico de la onda reflejada, Er, debe ser de igual amplitud que la de la incidente, Ei, y de signo contrario , como se i ndica en la figura 8. 2. Por otra parte , el campo magnético producido por las corrientes supe rficiales inducidas debe ser de la misma magnitud y de igual signo que Hi, pero prppagándose en dirección opuesta, lo cual queda claro una vez razonado que Er =- Ex y sabiendo que -E, H y forman un triedro directo, pues de otra forma existiría un campo ma[
n
CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACJON Y RADIACJON
111
nético variable dentro del conductor y esto es imposible . Los campos de la onda reflejada se muestran en la figura 8.2. En definitiva se tienen dos ondas propagándose a la izquierda del plano conductor, dadas por
)
El campo eléctrico total, es
donde se ha tenido en cuenta las relaciones de Euler . Por otra parte, para el campo magnético
Los valores instantáneos de la onda total son, por tanto
(8.8)
Estas ecuaciones expresan que, aun que los campos eléctrico y magnético totales producidos por la onda incidente y reflejada son aún perpendiculares e ntre sí en el espacio y están relac i onados por la impedancia Z , los planos en l os cua le s E total y Htotal son nulos, son f ij os ; siendo Etotal cero en planos definidos por kz=-n~, donde n=0 , 1 , 2 . .. , y Htbtal' cero en planos definidos por kz=-(2n+1 ) n /2 , con n=0 , 1 , 2 ... ,
resultando el campo magnético máximo en el conduc t or y en los planos e n que e l campo eléctrico es cero . Por otra parte , como es inmediato de comprobar , el valor medio del vector de
E- •2E¡
~-----,+
Poynting es nulo en c ualquier plano perpendic ular a la dirección de propa-
+ . H-... •2H"
.--~-.-----~,
+
gación .
Esto ,
significa ,
figura que tanta 8.3, energía es transportada
'
por F-4¡.. 8. J
como
la
o nda
por
es tan do
la
toda
reflejada incide n te , la
e nergía
112
R. GOMEZ MARTIN
dos veces cada ciclo en forma de energía magnética y otras dos veces, 90° desfasada espacial o temporalmente, en forma de energía íntegramente eléctrica,
y entre esos tiempos se intercambia de magnética a
eléctrica o viceversa. En definitiva, lo que tenemos es una onda estacionaria pura. Dado que la superficie considerada es perfectamente reflectante, el momento de la onda es, asimismo, reflejado en dirección opuesta. Por lo tanto , como el momento transmitido al conductor es dos veces mayor que en el caso de absorción total, la presión es dos veces mayor que en ese caso .
Esto concuerda lógicamente con el hecho de que la
densidad de energía de la onda estacionaria, es decir, la suma de las densidades de energía de la incidente y la reflejada, es doble que la de la incidente . Es interesante observar que el estudio que acabamos de hacer de la reflexión de una onda sobre un conductor perfecto hemos encontrado todas las propiedades estudiadas en el capítulo III relativas a ondas estacionarias en una línea de transmisión ideal . La analogía entre l as expresiones para una onda plana y para las ondas a lo largo de una línea ideal es exacta y completa . Esto implíca que los razonamientos realizados para resolver uno de los sistemas , son similares a los necesarios para resolver el otro . Cualquier método (tal como el gráfico basado en la carta de Smith para las líneas de transmisión) es válido en ambos casos y cualquier técnica experimental aplicable a un sistema ten drá su contrapartida en el otro. Para ver las bases de esta analogía vamos a escribir las ecuaciones de los campos obtenidas para la reflexión de una onda plana sobre un conductor perfecto y las expresiones halladas en un capítulo anterior para las líneas de transmisión ideales
(por sencillez,
orientaremos los ejes de modo que las ondas
ten gan solo componentes Ex y Hy)
;
Vli) =
\f
'
e-..11n + V... "''°J(lc
_:i._
~
vi. e:-J1n_ \.re. j¡i2 ]
:Z.o
~~ w ~Le :Co • ~
de l
~
Vemos que si sustituimos Ex por la tensión V en las ecuaciones campo , Hy por la corriente I, la permeabilidad p. por la inductan-
cia por unidad de longitud L y la constante dieléctrica é por la capa-
CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACION Y RADIACION
cidad por unidad de longitud
113
e, obtenemos exactamente las ecuaciones
de la línea de transmisión. Para completar la anal ogía , debemos de considerar las condiciones de contorno en una discontinuidad entre dos regiones . Pa ra la superficie de separación entre dos dieléctricos, sabemos que las componentes tangenciales totales del campo eléctrico y del magnético deben ser continuas en el con torno . En el caso de incidencia no rmal (más adelan te ccnsideraremos otros casos) Ex y Hy son las compo nentes tangenciales totales de los campos , por lo q ue estas condiciones de contorno se corresponden directamente con las de las líneas de transmisión , que exige n que la tensión y ccrriente totales sean co n t inuas en la unión entre dos líneas . 4.- Incidencia normal sobre un dieléctrico . Relación de o nda
estacio~
naria. Consideremos un sistema formado por dos dieléc tricos perfectos separados por el plano z=O y una onda plana que se propaga en e l primer medio según la dirección positiva de z. Al ser la inc idenci a nor-
cr'1
t'
,..1 -1 t:AH
R•
R'
U fJ..
8.4
mal, l a pol arización de la onda no i nfluye en el fenómeno, por lo que consideraremos que la onda inciden te está po larizada l inealme n te seg ún el eje x. Al incidir esta o n da sobre la superficie de separación se origina una o nda reflejad a que se propaga en el medio 1 y e n el sentido negativo de z y un a onda tran s mitida que se propaga en el medi o 2 con sentido de z positivo (f ig . 8 . 4). Usando notación compleja se tie ne
'E 'lz ) = E~ l.t:i =
E' e- j \t·~ E~
Et(~) = Et
e
j l(::e
A
X
- j •;:h.
e
t4
;
t4 ll) =
~
X
;
t.¡
l
-~
A
X
-·
)
-¡,
l1):
J14
R. GOMEZ MARTI N
siendo las impedancias características de los medios 1 y 2 números reales, por ser dieléctricos perfectos. Aquí, z juega el papel de la 2 impedancia de carga en la línea de transmisión y z1 , el de la impedancia característica de la línea . Debemos notar que al expresar de la forma anterior los campos refl ejados y transmitidos , hemos supuesto lo siguiente: 1) No existe onda propagándose en el sentido negativo en el medio 2. Esta hipótesis es razonable si se supone que el .medio 2 se extiende i ndefinidamente ; o bien, qu.e a la derecha del medio 2 se ha dispuesto a lg ún dispositivo que absorba totalmente la onda transmitida . 2) La frecuencia de la onda reflejada y de la transmitida es la misma que la de la onda . incidente. Esto implica que el número de onda k es el mi smo para la onda incidente que para la reflejada, lo que demostraremos con detalle más adelante al estudiar las relaciones de Snell y Fresnel . Una vez hechas estas aclaraciones , apliquemos las condiciones de contorno en la superf icie z =O que exigen que las componentes tangenciales de E y H sean continuas - L.
E lo)+
E to ):
- +f lo) + \-( \o) - ~
Et lo>
-1'
L
~\lo)
E'+
e =-
E.i.- ET - - - =Z1
Et Et ~
siendo
De es tas ecuaciones se deduce
Eo
l
A la r azón E~/ E~ se le den?mina coeficiente de reflexión y se designa por r. Similarmente, E6/ E6 se denomina coeficiente de tran smisión ,~. Para r y~ se deduce la siguiente relación ( 8 .1 O)
( 8. 1 o')
q~e
~1-1-"4 Como cabía esperar , este resultado c oincide con las expres ione s obtuvimos en el estudio de la línea de transmisi ón ideal. De hecho
CAMPO ELECTROM A GN ETICO. PROPAGACION Y RADIACION
115
de acuerdo con la ana l ogía anterior, podíamos haber e scri t o dire c t a mente estas expresiones. Una situación común, especialmente a al tas fr ecuencias, es que las permeabilidades de los dieléctricos no difieren mucho de las del espacio libre, esto es
r
( 8 . 11 )
o bien , si no son dieléctricos perfectos
r
=
~~ - fi: 'fZ:c ~ ~
( 8 . 11
' )
donde las E.e , son las permi tividades complejas de los medios . Ahora bien , el caso más general es cuando el material es magnético y de permeabilidad compleja ¡-t-c. = ~·- j ¡-i." , y se tendrá
r
=
Zc =
·
f_i_ .
~~e
Ec
=
E-'-j
(é" ~ :)
(8.11 " )
/
siendo
¡..c.-c la permeabilidad compleja , análoga a la permeabil i dad comdefinida en (7 . 22) . De (8 . 10) se deduce que no hay reflexión si l a s impedanc i as es t án adaptadas, es decir Z1 =Z 2 . Esto sucedería , naturalmente , e n el caso trivial de dieléctricos idénticos, pero también en el caso de que f ue sen diferentes si pudiesen fabricarse con la misma relación en tre ~ y é. Este Último caso no tiene interés en la práctica , ya q ue , normal mente , a al tas frecuencias no se encuentran materiales dieléctricos con permeabilidades magnéticas distintas a la del vacío . Por otra parte, también se deduce que el módulo de r es siempre menor que la uni dad, de forma que la onda reflejada puede entonces combinarse con una parte de la onda incidente de la misma ampl i tud que la reflejada para formar una onda estacionaria, como en el caso de reflexión total ya estudiado. La parte restante de la onda incidente puede considerarse como una onda progresiva que transporta la energía que se transfiere al segundo medio . La combinación de las ondas progresiva y estacionaria produce una onda en el espacio con máximos y mínimos pero , en gen~ ral , con mínimos distintos de cero. En definitiva, de acuerdo c on (8 . 7) y (8 . 8) se tiene plej~
,•
.
'
( 8 . 1 2) ~<-j 1<11
Recordando que e. = i y suponiendo r '!O, se tiene que z -, z . Los 2 1 valores máximos de E1 (z) tendrán lugar en los puntos determinados por
116
R. GOMEZ MARTIN
¿ \\,' Z.,,,"-" : - e.n.li . /
!
J(<-'l'IH) 1i
Análogamente, de 8 ~ -i. y supuesto P>o, los valores mínimos de E1 (z) se obtienen para los siguientes valores de z Y).: o.l.~
...
Si r ~o (esto es Z 2
L ?!.
E:
~jl('z [1-re'jx'i!J ~
Si r es negativo ocurre lo contrario: el campo eléc tric o es mínimo y el magnético, máximo . Al igual que en líneas de transmisión, a la razón entre las amplitudes máxima y mínima del campo eléctrico, se la denomina razón de onda estacionaria (VSWR), s , y se expresa
t:i. o
+.
E.,. o
t::
"'
r\
t + 1
( 8 . 1 3)
ti.le)\.,.,¡'\. toi. t - 1r l Las ondas estacionarias son a menudo indeseables , puesto que lo que se pretende es transmitir toda la energía a otra región . Sin embargo, en algunas ocasiones son útiles. Por ejemplo, supongamos que queremos determinar la impedancia z del medio 2 conocida z1 . En estas 2 circunstancias podemos hacer uso de las propiedades de las ondas estacionarias . En primer lugar , si existe un máximo para en la interfase , inmediatamente concluimos que z 2>z 1 . Por otra parte , mediante un dispositivo adecuado, se puede determinar s midiendo Emax(z) y Emin ( z) y hallando su razón. De aquí, mediante ( 8 . 1 3) , se determina r y, mediante (8 . 10) , z2 . Basándose en los mismos razonamientos que se hicieron al estudiar l as líneas de transmisión, puede conseguirse una adaptación de impedancias entre dos medios que la tengan diferente, media~ te una capa de espesor ~ de un material dieléctrico con impedancia 4 igual a la media geométrica de las dos anteriores, expresión (5 .1 2) . La presión de radiació n será, suponiendo el segundo medio total mente absorbente
E
'f'=W\..1.-tf) siendo f la fracción de energía reflejada.
117
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC!ON Y RAD!ACION
CAPITULO IX . INCIDENCIA OBLICUA DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS . 1 .- Introducción . En el capítulo VIII hemos estudiado el comportamiento de las ondas electromagnéticas planas cuando inciden normalmente sobre la supeE ficie de separación de dos medios . En este consideraremos el caso más general de incidencia oblicua. Supondremos que los dieléctricos son lineales, homogéneos, isótropos, con conductividad nula y sin fuentes. 2. - Reflexión y refracción en la superficie de separación de dos dieléctricos. La cuestión de la reflexión y refracción de ondas planas electromagnéticas en la superficie de separación de dos dieléctricos se resuelve por medio de las condiciones de contorno. Consideremos dos medios como indica la figura 9 . 1 y una onda plana propagándose en el medio 1 en la dirección k i . Al indicar sobre el pl ano de separación de los dos medios, part e de ella se ref l eja y parte se t ransmite . En tonX c e s, en el medio 1 existe una onda incidente y otra reflejada y en e l 2, la transmitida o refrac t ada. En principio no haremos ni nguna suposición sobre que los tres rayos sean coplanarios , aunque así los mues t re F-4;. . 9 . 1 la figura. Denominaremos plano de incidencia al definido por el vector k i y el ej e z . Supondremos -k i en el plano XZ formando un ángulo G. con el l eje z . Los campos eléctricos de las ondas inc i dente , reflejada y t rans mitida pueden escribirse, respectivamente , como
EL °E'"
::.
"E•o
-Eº...
j (. w't - ;;t<. i')
e
(9 . 1 )
j
e.
.. t - )\_.--) .;-
~w
(9 . 2)
11 8
R. GOMEZ MA R T IN
(9. 3)
En z = O, la componente tangencial del campo eléctrico debe ser continua, por lo que habrá de verificarse que
~ lt<>'t-it·i')
(9 .4 )
e para todo instante de tiempo. Igual relación ha de verificarse entre las componentes de los ca~ pos según el eje y. Esta condición únicamente puede satisfacerse si los coeficientes de t , x e y en las exponenciales son iguales , de donde (9 . 5)
Vemos que , aunque la frecuencia no cambia en las ondas reflejada y ref ractada respecto de la incidente, la longitud de onda sí, ya que la velocidad de fase será diferente en los dos medios. Además , tenemos que
para todo punto con z = O. De k=nw/c, donde n es el índice de refracción, y teniendo en cuen t a que por hipótesis ki se encuentra en el plano XZ , se tiene
K.'.:f-~ ~
1( .-¡
-t. 1( . "('
=
'Y\.~ú..l
[ )(
71~W
[
'Yl1
e
W
e¿
+ :C C01
G;,]
x ~eYL 9r + '<:. Cd.>
LY.
ilAA.. Gt
9.,..)
+;e~
et.1
(9 . 7) (9 . 8) (9. 9)
De ( 9 . 6) se deduce que k;=k~=O, lo que significa que los rayos reflejado y transmitido son coplanarios con el incidente . Sustituyendo (9 . 7), (9 . 8) y (9 . 9) en (9 . 6) , e igualando los coeficientes de x , resulta (9 .1 O)
( 9 . 1 ot
)
119
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACI ON Y RADIACION
Las ecuaciones (9 . 10) y la coplanariedad de los rayos constituyen junto a (9.5), las leyes de Snell. A continuación estudiaremos la relación entre las amplitudes de las diferentes ondas, para lo cual haremos uso de las condiciones de contorno en la frontera: ( 9 . 11 )
.·
( 9 . 12)
Analizaremos el problema en dos partes: primero consideraremos el caso en que el campo eléctrico Ei vibra en el plano de incidencia y luego cuando lo hace normalmente al mismo. El caso general puede considerarse como superposición de los dos anteriores . 3 .- Onda incidente con el vector E contenido en el plano de incidencia.
E'
De la continuidad de las componentes tangenciales de E y H (ecuaciones (9.11) y (9 . . 12)), se tiene (fig. 9 . 2)
k'
( 9. 1 3)
. ~ l t0~1 e:.,) +l{E; t; 0~1 ~~ V~ -
F.i..r;.. 9. 2
=o
(9
. 14)
en donde E~ 11 es el módulo de E~ 11 con el signo correspondie~ te a su componente x, y análo-
gamente se definen E; 11 y E~11 • Para escribir (9 . 14) hay que tener en cuenta que la componente y de 8011 tiene signo contrario a la componente x de "E 011 . Resolviendo el sistema obtenemos 2.,,
coj
el - :lJ. c.o~e ( 9 . 1 5)
~ c.cnGt +.('.1~e t
.¿ :e~ Co1 e
tou
t:~,,
z1= (t-td E1)•11y
= 2:i- c.o:i (
lb
Z2= fJ.1 I Ei) • Para el caso en que ¡.1•= ~·=
siendo
( 9 . 16)
et + :l. 1 cm g
f!-o
(materiales no magnéticos), resulta:
.. -
120
R. GOMEZ MARTIN
con lo que (9 . 15) y (9 . 16) se convierten en t~
(.
9¡, - 9)
(9 . 1 7l
t~ (9t_ +9)
( 9. 1 8)
El campo eléctrico total en el medio
será
t"T ,,
( 9 . 19)
en cuya exp resión hemos suprimido la dependencia temporal. Teniendo en cuenta que (9 . 20) ( 9 . 21)
se obtiene -j I(.'. y-
e.
y defi niendo el coeficiente de reflexión
r.,
como
r,,
(9 . 22)
re sulta (9 . 23) Análogamente , se define un coeficiente de transmisión t
't
=
Ea.,
(9 . 24)
E:~ ..
En el caso de que el medio 2 sea un conductor perfecto (Z 2=0l de (9 . 15) se obtiene ~1=-1 . Teniendo en cuenta que -
\(' ~ c..o1
l\.L i!
9 + '(.,.X
~ 9 + \('
y sustituyendo en (9 . 23) . queda
X
-;\l'.o..L
9
~W.. 9
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIAC ION
121
(9.25) ( 9 . 26) Jusl
jLwt-1t'.m ..o)
Introduciendo el factor temporal e , el término e nos da una onda propagándose en la direcci6n del eje x, mientras que el t.2rmino
de (9 . 25) o el análogo de (9 . 26) nos da la superposici6n de dos ondas propagándose según el eje z , pero con sentidos contrarios o , lo que es lo mismo , una onda estacionaria superpuesta a una viajera de manera que la energía transportada , en la direcci6n z, del medio 1 al medio 2, lo es por la onda viajera . Para el caso de conductor perfecto, ~ 1 = -1, se obtiene en la direcci6n del eje z una onda estacionaria solamente . El campo magnético total en el medio 1 es
-,
-j;.•;
HT ... : Ho.l e
-~ ~ ~ 1-lo.i. e = 4
.¡.
..
....
[
"
ta..
_!_
-l ~'.y
e
¡_
t;,,
e.~ ~· . :r ] (9 . 27)
Z1 de donde (9 . 28)
En el caso de un conductor perfecto es fácil comprobar que no existe f l u j o de energía en la direcci6n z y sí en la x, ya que el valor medio temporal del vector de Poynting e n la direcci6n z es cero . Esta situaci6n es típica de la propagaci6n en guías de ondas , que serán es tudiadas poste riormen te . ~
4 .- Onda incidente con el vec tor E perpendicular a l plano de i ncidencia . Haciendo uso , al igual que en el caso anterior , de las ec uaciones de continuidad para las componentes tangenciales de y se tiene , (fig . 9 .3) :
E H
tOL.L
!
Zt
(
+-
...
Eo.1.
t
fo~
e
Eº-'- - ~:.1. )to~ G
~
t to..L
~.¿,
(9 . 29) ~ gt
(9 . 30 )
122
R. GOMEZ MARTIN
ti'
en donde E~ 1 es el módulo de E~ 1 con el signo correspondie~ te .a su componente y, def inién dose análogamente E11 y E~.1. . Asimismo, para escribir ( 9 . 29) se ha tenido en cuenta que la componente x de H~.1.. y -t H0.1. tienen signo contrario a -· Et las componentes y de EOl y o~ respectivamente . Resolviendo el sistema se obtiene
k'
X
-t
H
EC:.
~
i:.;J.
Z..,
CC1 g -
4
C01 g
E:~.1. ::
r.i.9-·
t,;.1.
9. J
.l ~ t.o:l Gt
+ ~1
.,z. ..!:!..,
CC:l
(.aj
ºt
G
Z,¿ e.ose +Z1. c.<ñ Gt
( 9 . 31) (9 . 32)
Estas ecuaciones para materi ales no magnéticos se transforman en
c;J.
(9 . 33)
"Eá.1. ~J. E~...
(9 . 34)
=
Ope r ando de manera análoga a como se hizo para el caso de i~ obt enemos para el campo eléctrico y magnético totales en el medio -
ET... : -
.
-j l<.¡~ ..,._g ( -j'<'1. t<»9
E.:'. 1. e
e
+
r
...
e
jK'z cooG) ~
'j
(9. 35) (9 . 36)
donde r:. =E~.L./E 01 y T=E~.L./E~ 1 son los coef i cientes de reflexión y transmisión respectivamente , dados por (9 . 31) y (9 . 32). Al igual que en el caso de E11 , el campo tiene caracter de onda viajera en la dirección x y de viajera superpuesta a una estacionaria en la dirección z . Las fór mulas (9 . 17) , (9 . 18), (9.33) y (9.34) se denomi nan de Fres nell . 5 . - Interpretación de las fórmulas de Fresnell . Como hemos visto , las fórmulas de Fresnell permiten obtener las relaciones e n tre las amplitudes de las ondas inciden te , reflejada y tra nsmitida . Además, pueden estudiarse los cambios de fase en la seílal
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
123
reflejada y en la transmitida, como hacemos a continuación : A) Onda transmitida . Como Q y et están comprendidos entre O y rf/2, de (9:18) y (9.34) resulta que Eb 11 y Et.1. tienen siempre el mismo signo que E~ 11 y E .L res pectivamente, con lo que no hay cambio de fase en la refracción. B) Onda reflejada. B.1) Consideremos el caso en que n1 et. Estudiaremos por separado los casos de E11 y de E.l..
0
-1
a) E 11
•
Si &+ Gt= rr /2, de ( 9 . 17) obtenemos que E~ =0. El ángulo g para el cual ocurre esto se llama ángulo de Brewster , @B. Se verifica que (9 . 37)
por lo que (9 . 38)
Para un ángulo de incidencia G>B , para el ref?ejada que vibra en el plano de incidencia, transmitido son perpendiculares . Si g¿e8 (9+.et< tt/¿,), (9 . 17) es negativo, con fase de rt. Si 9:>95 (9+9t'71'1/.z.) , (9 . 17) es positivo y no
cual se anula la onda los rayos reflejado y lo que hay un salto de hay cambio de fase .
b) E.i..
De ( 9. 33) vemos que siempre hay un cambio de fase de ,, . Tratemos a continuación dos casos límite: incidencia normal e incidencia rasante . Para incidencia normal (9 - 0) , sustituyendo las tangentes y los senos por sus argumentos , resulta .,.. .,. 'Yl1 - }'2¿_ e-t-e Eº'' ::. Eº i_ (9 . 39)
"
Ea~
Eo~1
Gt+9
'11,J. + "l1.,¡,,
Para el caso de incidencia rasante, de ( 9 . 1 5) y ( 9 . 31 ) obtenemos respectivamente
.,.
E.011
t=o~
::. i_ )
(9 .40)
estos resultados se resumen en la figura 9 . 4. Para el caso de incidencia con 8>_e 8 y el vector E vibrando en el .,.. J t plano de incidencia, resulta que tou es positivo , con lo que no E011 cambio figura hay de fase. Pero, de la 9 . 5. un observador que viese
¡
1
il
124
R. GOMEZ M A RTIN
las ondas incidente y reflejada desde un ángulo muy próximo a la inci-
( n, < "• l
n.-n..
n ... n..
·1
-e F.i.g. 9. 4
dencia rasante , podría pensar que el campo eléctrico en ambas ondas ha cambiado de sentido y decir que hay cambio de fase . Sin embargo esto no es así de acuerdo con lo que nosotros entendemos por cambio de fase , puesto que en la figura se obX serva que las componentes tan. - e - ..,. genciales de E011 y E011 tienen el mismo signo. B. 2) Supongamos ahora que n >n z 1 2 , un análisis análogo al anterior nos llevaría a unos F.i.g. 9. 5 resultados que se represen tan en l a figura 9 . 6 . Aquí, Ge es el ángulo límite para el cual se produce la r e f l exión total.
F.i.g. 9. 6
125
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
,.
6 .- Factores de transmisión y de reflexión. Definimos el factor de reflexión
r como el cociente entre el flu -
jo medio de potencia incidente por unidad de tiempo y área sobre la superficie de s eparación y el flujo refl~jado como
r:
(9 . 41)
y el correspondien te coeficiente de transmisión
(9 . 42)
- , 1P • Y1.. A
donde
n es
el vector unitario normal a la superficie de separación .
Suponiendo que
¡-t...-~
i en
ambos
medios,
las expresiones para los
vectores de Poynting medios son
1?'
.i. (_ €.l )LI~( t.,' )1
:
,,z,
-¡p..-
l
:
~
jt
=
;_
.¿.
p.o
K'
t·ct:r K:·
e~ f-lo
(~ ¡-to
(9 . 43)
)·\ -rol:.r k:t
que sustituyendo en (9 . 41) y (9 . 42) queda
r
,.- T
¿
= C-"C.º. )
(9 . 44)
Eo'
(.()'j9tCE~ t -i'l.i c.o:l{} t t' )""' o
'"112
(9 .45)
Distjnguiendo los casos de incidencia con el vector E contenido en el plano de incidencia y normal al mismo y usando las ecuaciones de Fresnell obtenemos ,
( fig . 9 . 7)
r '
4 un e C-O:l et o-._ 11.T..., ( o-l un et + c.o:1 e )"'u-.z
(9 . 46)
(9 . 4 7)
(9 .48)
(9 .49)
126
R. GOM EZ MARTIN
En ambos casos se cumple la relación
que no es más que el principio de conservación de la energía.
qs
0,8 ~6
0,4
2V -- ts• •
0,.6
~: 1 5 Vt
~
'
q2
0,2
O 10 20 30 t.O 50 60 70 SO g
go•
o
r: 10 20 30 40
so oo
10
so got
e
F~.
9. 7
7 .- Reflexión total interna . Supongamos dos medios tales que n 1 ~n 2 y una onda propagándose en el medio 1. De la ley de Snell se deduce que en este caso Gt>~ y que existe un ángulo crítico de incidencia ~e para el cual el rayo refractado es paralelo a la superficie de separación , es decir:
/
En estas condiciones no hay flujo de energía a t ravés de la supe~ ficie de separación, por lo que toda la energía permanece en el medio 1 . A este fenómeno se le llama reflexión total interna. Cuando 9>ec• si hubiese rayo refractado la ley de Snell nos daría sen Ot>1, por lo que deducimos que no se propaga onda en el medio 2 . Sin embargo, podemo s usar aún las ecuaciones de Fresnell tomando un valor imaginario para cos 9t: (9 . 50)
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
127
donde n=n 2 /n 1 . Introduciendo (9.50) en las ecuaciones de Fresnell:
~Q
Ea~
*'
-
~
de.l't'9-'l'l.'
'<>'l& +
~ ~ ~en·e -n...
j
Vclelt'e-n"
( 9. 51 )
(9.52)
cm s + j \j ~"''e - n...
despejando y pasando a forma polar se obtiene ( 9. 53)
(9 .54) donde
JI'
=
lcjl \j <\~...& -11.'
(9 . 55)
'lt'"ta! 9
cj
=
l _,
'3
V/.ieu,}'e-n' eo:i
(9 . 56)
e
Puesto que las amplitudes incidente y reflejada tienen el mismo y solo se diferencian en la fase, toda la energía se refleja .
módu~o
En un caso general de incidencia (~#~) , la onda reflejada tie ne polarización elíptica. La diferencia de fase n+2(~-~) depende del ángulo de incidencia y de la razón entre los índices de refracción. Fácilmente se obtiene
Vamos a ver ahora que la reflexión total no implica que en el medio 2 no exista campo . Para ello consideremos el factor de propagación . -.( ...... - j k.. "("
e.
~
Así pues, cuando 9>&c, tenemos una onda que se propaga a lo largo de la superficie de separación y que el campo decae en el medio 2 exponencialmente con z de forma que su amplitud se hace muy peque~a en un espacio de unas cuantas longitudes de onda, salvo en el caso en que fb&c;·
La existencia de esta onda superficial tiene importantes consecuencias . Supongamo s , por ejemplo, que un tro zo de un material dieléc trico se coloca en las proximidades de la superficie en donde tiene lugar la reflexión total . Si está suficientemente cerca, la amplitud
128
R. GOMEZ MARTIN
del campo eléctrico es lo suficientemente fuerte como para provocar la conducción en el dieléctrico , induciéndolo a radiar energía. El efecto neto de todas las radiaciones elementales es una nueva onda . Por tanto, alguna luz es transmitida a través del hueco donde antes no había aparentemente flujo de energía. Naturalmente , esta radiación proviene de la onda reflejada internamente . En otras palabras, la reflexión no es total. A este fenómeno se le denomina reflexión total interna frustrada . Es obvio que, cuanto menor es el hueco entre los dos dieléctricos , mayor es la fracción de. luz transmitida a través de él . El fenómen o de la reflexión total tiene múltiples aplicaciones. Por ejemplo, en los prismáticos , la reflexión de la luz se consigue no mediante espejos, sino mediante prismas que actúan en condiciones de reflexión total. La base de las fibras ópticas , es la reflexión total interna. Una fibra óptica típica, tiene un núcleo central en el cual se encuentra confinada la onda que se propaga . Por ejemplo , si el índi ce de refracción del núcleo de una fibra Óptica es n 2= '1Er=1 , 45 y está rodeado por un revestimiento que tiene un Índice de refracción de n 1º ~=1 ,44 . De aquí se deduce que ge =83° , entonces para e~ Ge el vector de onda de la onda que se propaga , es prácticamente parale lo al eje de la fibra .
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
129
TEMA X. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS CONFI NADOS . SISTEMAS CON SIMETRIA TRASLACIONAL . 1 .-
)
Introducción .
En este capítulo vamos a considerar la propagación de ondas electromagnéticas confinadas mediante sistemas de simetría cilíndrica o traslacional . Generalmente se trabajará en la región de microondas (1 a 10 3 GHz). Estos medios son utilizados, en general , para transmitir la energía electromagnética desde un punto a otro con la mayor eficiencia posible , esto es, con el mínimo de pérdidas por radiación y calor . Entendemos por sistema con simetría traslacional aquél en el que existe una dirección privilegiada , que supondremos corresponde al eje z y coincidirá con la dirección de propagación de la onda . A lo largo de esta di rección se conserva la sección transversal del sistema , no solo en geometría sino también en lo que a caracte rísticas electromagnéticas del medio se r efiere . Esto se mues t ra esquemáticamente en la figura 10.1. La hipótesis simplif i cadora de simetría traslacional X se justifica por una pa rte , debido a que muchos sistema¡; corresponden a este supuesto y por otra, porque muchas si tuaciones en las que esto no y ocurre pueden tratarse a partir de las soluciones que vamos a obtener . Un sistema de transmisión F.i.g,. 10. 1 cilíndrico está generalmente constituido por diferentes regiones conductoras y dieléctricas . En la figura 10.2 se representan las secciones transversales de sistemas de transmisión comúnmente utilizados : a) línea bifilar ; b) "strip line" ; c) línea coaxial y d) y e) guías de sección rectangular y cilíndrica respectivamente . A estos sistemas , los dos primeros son abiertos y la falta de con finamiento del campo electromagnético puede dar lugar a fenómenos de radiación que inhabilitan al sistema para su uso a muy alta frecuencia. Aunque en el sentido estricto todo dispositivo utilizado para la transmisión de energía electromagnética puede considerarse como línea de transmisión, lo común hoy día es reservar este término para los que
130
R. GOMEZ MARTIN
I, :~::: 2 2
z
@
~
2 2 2
b)
J
0 o
a)
e)
d)
pueden
transmitir ondas
F~.
2)
transversales
electromagnéticas
( TEM) ,
10.2 que,
como veremos más adelante, son aquellos que constan de dos o más conductores. El término guía de ondas se reserva para los sistemas que solo pueden transmitir ondas TE o TM , es decir , ondas que no tienen comp~>nente
eléctrica y magnética respectivamente en la dirección de propagación. Las guías están formadas por un solo conductor. La eleción
entre línea de transmisión,
generalmente cable coa-
xial, y guía de ondas (siendo la más usada la rectangular), viene determinada en cada caso por consideraciones tales como son el modo de propagación, atenuación, rango de frecuencias , capacidad de transmisión de potencia, coste de producción y otras. Conviene recordar que en el estudio de la línea de transmisión para la propagación del modo TEM, utilizábamos la teoría de redes en la región de microondas , considerando la línea como un conjunto de parámetros distribuídos. Sin embargo, en las guías de ondas las distri buciones de corriente y potencial son tan complicadas que resulta mucho más adecuado estudiar la propagación mediante las ecuaciones de Maxwell, para calcular los campos E y H. 2.- Relaciones generales entre las componentes de los campos . En lo que sigue supondremo s que los dieléctricos son lineales, homogéneos, isótropos y con conductividad nula y que los conductores son perfectos, así como que no existen fuentes de campo en la región de propagación.
Las condiciones de contorno en la superficie de los
conductores serán , por tanto:
131
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACIO N
't
;
~.
H :O
( 1o . 1 )
en donde n es el vector unitario normal a la superficie. En estas condiciones, y dada la simetría supuesta a lo largo del eje z para el medio de propagación así como su no dispersividad , si nos restringimos a ondas monocromáticas, las ecuaciones del campo p ue den escribirse en la forma:
l~\
'
l?.l
j twt -(3 l! )
e
(1o . 2)
En general, en la expresión anterior E0 y H0 serán f unciones de x e y y, más en general , de t 1 y t 2 , coordenadas transversales de c ua! quier sistema de coordenadas ortogonales cilíndricas, ya que en todos ellos la dependencia con z es la misma. Nuestro problema ahora es determinar 0 (x,y) y H0 (x,y). Demostr a remos que, si se conoce la componente del campo según el eje z , se podrá conocer el campo total . Lo haremos en el caso del campo eléctrico únicamente, ya que para el magnético se obtienen ecuaciones análogas . Descompongamos E en sus componentes longitudinal y transversal :
E
(1o . 3 )
la ecuación de ondas para E queda: (1o . 4)
donde se ha tenido en cuenta que
(10.10)
y considerando la componente transversal ( 1o . 11 )
( 1 o .12)
Operando se obtiene fácilmente ( 1 o . 1 3)
y análogamente para H ( 1o .14 )
Sustituyendo (10.13) y (10.14) en (10.11) y (10.12) respectivamente, se tiene
j
U.J
é
~/;
-
V't /\ 1-lr_ + íj-¿ A 1-/t
( 1o.1 5)
(10.16)
Como Ez y H los suponemos conocidos, tenemos un sistema de dos z ecuaciones con dos incógnitas Et y Ht. Para resolverlo multiplicamos
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC ION
133
por ~ w E la primera ecuación , con lo que (10 . 17) y sustituyendo (10 . 16) qÚeda
k:¿
~t
=
jwE
\Jt /\
-Ei!
.¡..
'J-i "
t \Jt " '4l + V,. " Qt]
( 1 0.1 8)
y desarrollando los productos vector i ales
j w E V.¡, E~ - j r \li ~2 A
1
.¡..
r.¿ 41:
con lo que finálmente (1
o . 19)
De maner a análoga se obtiene (1o . 20)
3 .-
Modos de propagación . Ondas TE, TM y TEM . Potencia l escalar para las componentes transversales . Aunque
en
los
en
sistemas
principio de
podría hallar se
transmisión como
el campo electromagné tico
superpo s i ción de ondas planas ,
esto es a menudo difícil y siempre laborioso, r esultando más apropiado buscar otro tipo de soluciones particulares , denominadas modo s de propagación, caracterizadas porque una o inc l uso las dos componentes axiales de
los campos
son cero .
Estos modos son las ll amada s ondas
TE ( Ez=O) , TM (Hz =O) y TEM (Ez=H 2 =0) . La búsqueda de soluc iones de este tipo no es arbitraria ya que en los casos prácticos de interés forman un con junto ortogonal y completo que permite desarrollar el campo en términos de estos modos . Lógicamente, no se pueden obtener expresiones co ncretas las
distribuciones
de
campo electromagnético de
los
para
diversos modos
si n antes especificar el sistema de transmisión . Este aspecto será desarrollado para algunos casos particulares en un capít u lo posterior. No obstante, se pueden encontrar diversas propiedades de índole general para los diferentes tipos de modo s .
11
l
-
~-
134
A
R. GOMEZ MART IN
3 . 1 . Modos TM .
De las ecuaciones (10.19) y (10.20) se tiene directamente ( 1 o. 21 ) ( 1o . 22)
siendo ( 1o.23)
el llama do potencial escalar para los modos TM . Así pues , e n una onda TM , Et puede escribirse como gradiente de un a func i ó n escalar. Este resultado podría haberse obtenido con un razon amiento s imple a partir de l a ley de Faraday :
\7AE=-jwfll-l Como H tiene únicamente componente transversal , lo mismo ocurre para V11 E, lo q ue implíca que
o
( 1o . 24)
donde l a s upe rfi c i e S es normal al eje z , por ser la sección transvers a l de la g uía . Pero Ez no puede contribuir a la integral de línea ya q ue el c ami no de integración se encuentra en el plano transversal y , por t an to ( 1 o. 25)
De (10 . 21 ) y (10 . 22) se ve que Et y Ht son perpendiculares y que s us amplitude s están relacionadas entre sí por la impedancia de onda "{;f !./~ (3 zr.., -- -Ht = (li) é k
T.:-
(1o.26)
Z
Et, Ht y forman un triedro directo si la onda se propaga en el senti do de z positivo e inverso en caso contrario . 3 . 2 . Modos TE.
De las ecuaciones (10 . 19) y (10 . 20) y con argumentos análogos al caso de modos TM , se obtiene
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
..... !-lt : - j ~ \Jt_ 1-l;¡ : iJt cpTE
135
( 1 o . 27)
siendo (1 0 . 28 )
el potencial escalar para el caso de ondas TE . El campo eléctrico es (1o . 29)
viéndose nuevamente la ortogonalidad de los campos y s u relación a tra vés de la impedancia de onda ( 1o .30 )
-
La obtención de Ht a parti r de una fun ción escalar medi ante el operador gradiente puede también explicarse , como en el caso anterior, .... usando la l ey de Ampere, que en nuestro caso, ya que J=O dentro de la guía , es
e oE CJt
3.3.
Modos TEM .
Por Último , estudiaremos los modos TEM. Teniendo en cuenta las ecuaciones (10 . 19) y (10 . 20) que relac i onan las componen tes longitudi nales con las transversales , la existencia de un modo TEM exige que s e cumpla, para que existan soluciones no triviales de los campos , que 2 "6" =0; esto es :
·' ( 1 o . 31 )
Esto significa que un modo TEM en un sistema de transmisión posee la misma constante de propagación que tendría una onda libre en el mis mo medio. Aplicando (10 . 4) a las componentes transversales de l os c ampos , queda
'
¡;
l Vt' q') y teniendo en cuenta
rn, l =º
(10 . 31)
(1o . 32)
obtenemos que la distribución de campo
136
R. GOMEZ MARTI N
e léctrico en un plano transversal satisface la ecuación de Lapl ace en dos dimensiones, condición que también verifica el campo magnético
v;f t = \Jt'" E"º
( 1 o. 33)
~"H1;
( 1 o. 34)
0
V1;.. ~~o
Estas ecuaciones son precisament e las ecuaciones bidimensionales de Laplace para los campos .E y H, puesto que tanto E como H son nu2 2 los . Sabemos que en el caso de campos independientes del tiempo se verifican ambas ecuaciones en regiones sin cargas ni corrientes
Como consecuencia, podemos afirmar que la distribución de campo en el plano transversal es idéntica a una distribución estática, ya que las condiciones de contorno son las mismas: i normal a los conduc tores y H tangencial a ellos, suponiendo conductores perfectos. Estas características demuestran que una onda TEM no puede propagarse en el interior de una región monoconductora cerrada , ya que la distribución de campo ha de ser igual a la del caso estático y no puede existir campo electrostático en el interior de una región sin fuentes y comple tamente cerrada por un conductor . Es fácil demostrar a partir de (10.16) que ( 1 o . 35)
por l o que los campos están relacionados entre sí por la impedancia de onda (1
o . 36)
La propagación de los modos TEM será tratada más ampliamente en un capítulo posterior . 4 .- Condiciones de contorno . Demostraremos ahora que en una guía de ondas ideal en la que se propaga una onda TM es suficiente impone r que E2 =0 en las paredes de la guía para que se verifique que sea nula la componente t angencial del campo eléctrico Et' y la normal Bn, de l campo magnético, esto es , que Et=O , Bn=O en dichas paredes . Efectivamente, de (10 . 21 ), por las propiedades del gradiente, Et
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
;
137
es normal a las líneas de Ez=cte . y lo es , por tanto , al contorno del conductor, ya que este repres~nta ~na línea con Ez=O . Teniendo en cuenta que Ht y Et son perpendiculares entre sí , el campo magnét i co es tangente al conductor y por tanto, queda demostrada nuestra propos ición. En e l c~ o de ondas TE, la condición necesaria y suf iciente para que ET=O y Bn=O en la superfic i e del conductor es que la derivada normal de Hz sea nula en el contorno . Esto lo deducimos de la definición de derivada normal :
o
1-1;?, ~ 'iJ 1-1-e.
ñ
=
o
() '11.
y descomponiendo\! en sus componentes transversal y longitudinal
I ntroduciendo (10 . 27) , resulta
y teniendo en cuenta la perpendicularidad de los campos se deduce que
En resumen , las condiciones en el contorno del sistema de propagación son : A) Ondas TM: ( 1o .3 7) 8 ) Ondas TE : (1
o. 38)
5 . - Frec uencia de corte. De la ecu3ción (10 . 2) vernos que , para que exista propagación , (3 ha de ser real y , por tanto , de (1 0 . 6) , ha de cumpl i rse que W?./tJ 2 '>
o
2
Definimos la frecuencia de corte como W e
-= O ()' = --.!:..__
Vf-E Para un autovalor
o dado ,
(1o.39)
por debaj o de la frecuencia de c orte la
138
R. GOMEZ MARTIN
const ante de propagación ~ es imaginaria pura y el modo correspondiente a Q se atenúa, diciéndose en esta situación que es evanescente. La ecuación (10.6) puede escribirse de la forma: {
!
}... ¿
)..."'
J
!
..e
( 1 0 . 40)
}..
o
donde
w ()
:
o:
~
A.o
/
-2 Ji
A.e
_;
(3 \
.¿ 11
)._:J
( 1 o.41)
siendo Aº la longitud de onda en el espacio l_ibre , Ac la longitud de onda de corte y A._, la longitud de onda en l a guía . Así pues , solo existe propagación para A. <.\ . Consecuen temente , no pueden propagarse a través de la guía ondas con frecuencia menor que fe . En función de fe , (3 toma el valor : (1o.42)
La longitud de onda de la onda que se propaga en la guía se obt iene a partir de (3 =<.11/~, y usando ( 1O . 42) queda )._j =
f
J 4- -(fc/f )"
( 1o . 43)
sin más que tener en cuent a que w::2nf y \T= !/~. Las e xpre siones halladas anteriormente para ZTE y ZTM pueden escri birse de la f orma : (10 . 44)
V 1.- l-tci+t
(1o . 45)
siendo Z la i mpedancia de onda para el espac i o libre . Estas impedancias son reales para frecuencias por encima de la frecuencia de corte e imaginarias puras por debajo de el l a . Esto indica nuevamente que no puede haber transmisión de potencia para frecuencias por debajo de la de corte , ya que una impeda nc i a rea~ tiva refleja toda la potencia que le llega. Deba observarse a este re~ pecto que la atenuación de ondas por debajo de la frecuencia de corte es una atenuación reactiva y no disipativa, puesto que por tratarse de una guía ideal no hay pérdidas óhmicas en el sistema . De (10 . 6) tenemos que
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACI ON
139
(1o . 46 )
de manera que el diagrama de dispersión queda como se indica en la figura 1 O. 3 . La curva a trazos corresponde a<.vc.=O, es decir , a un medio libre y no dispersivo en el que la raz ón w¡~ es la misma para todas las fre cuencias, y da la velocidad de fase de la onda . La curva de trazo continuo representa la ecuación ( 1 O • • 46) para el cuadrante positivo y muestra que existe una gran dispe r / sión para w próxima a Wc: , pero muy poca para frecuencias mayo res, a o las cuales la velocidad tiende as in tóticamente a la correspondiente a hg,. 10. J un medio no dispersivo . Esto oc urr e a longitudes de onda muy pequeftas comparadas con las dimensiones de la guí~. de forma que la presencia de contornos prácticamente no a fecta a la propagación . La velocidad de grupo o velocidad de propagación de la energía en la onda será , de la expresión anterior : /
/
U-:i = d w
dr
"'
vº
Vi. -ci-t.Icw )'2 .
( 10 . 47)
de forma que resulta menor que la velocidad de la luz en el vacío . Su velocidad de fase será (1o .48)
obteniéndose (10 . 49 )
siendo v 0 la velocidad de f ase en el espacio libre . Finálmente, observemos que de (10 . 31) se obtiene para ondas TEM que ~ es siempre real para cualquier frecuencia . Esto significa que la propagación de un modo TEM es teóricamente posible a cualquier f recue~ cia distinta de cero y con una velocidad de fase igual a l a velocidad de la luz en el medio dieléctrico .
" CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
;.
141
CAPITULO XI. ORTOGONALIDAD DE MODOS Y CAMPOS. 1 .- Introducción . Anteriormente hemos mostrado la propagación de ondas electromagnéticas en medio con simetría traslacional o cilíndrica y encontrado soluciones particulares de tipo TM, TE y TEM, como formas de solución de la ecuación de ondas para estos sistemas, que resultan más naturales que las planas debido a que facilitan el análisis de dicha propagación. Ahora bien , en un sistema de transmisión cualquiera, operando a frecuencias suficientemente elevadas, el campo real que se propaga no tiene por qué coincidir con los diferentes modos de propagación estudiados; sin embargo, si se demuestra que dichos modos de propagación constituyen un conjunto ortogonal y completo, cualquier campo real podrá resolverse apropiadamente como superposición de dichos modos . La demostración de que un conjunto de modos es completo no puede hacerse a nivel general , pero se demuestra fácilmente en diversos casos particulares de gran interés práctico, como son las guías de onda de sección rectangular, circular, etc., que se estudian en el capítulo XIII . Pueden obtenerse , sin embargo, como vamos a ver seguidamente, relaciones de ortogonalidad entre los modos de un sistema cilíndrico cualquiera . Este conjunto de modos, convenientemente normalizado, puede ser utilizado como estructura formal adecuada para el desarrollo de una teoría general de guías . Conviene destacar que el disponer de estos conjuntos de modos ortogonales y completos tiene la utilidad adicional de poder estudiar en términos de los mismos otras estructuras no coincidentes con el sistema cilíndrico de partida, como pueden ser guías con obstáculos , iris , etc., en las que se rompe la hipótesis de simetría traslacional . 2 . - Relaciones de ortogonalidad entre modos y campos en un sistema con simetría traslacional . Para la obtención de las distintas relaciones de ?rtogonalidad entre los modos de un sistema de transmisión , utilizaremos la forma bidimensional de la identidad de Green, fundamentada en la hipótesis de simetría traslacional de nuestro sistema y que no es más que el resultado de aplicar el teorema de Gauss a una función de la forma 11-'\J : (11 •1 )
escogiendo el volumen V de la figura 11 . 1 , descomponiendo el operador
-
142
R. GOMEZ MARTIN
V en sus componentes transversal y l o ngitudinal, ~=Vt•Vty considerando la superficie transversal St, c omo el límite cuando t:,.e,-.o, se obtiene la siguiente espresión (ver apéndice al final del capítulo) :
f('Vt1f.''V~//:>+l/J'i)l(j>)dS:
jst
Análogamente, mos
11/! CJt/J a~
de
(11 . 2)
L
intercambiando los papeles de 1/J y cf> en ( 11 . 1 ) , obtene-
( 11 . 3) y restando ambas
rl1P"{~
JSt
f(?/J'0É_ -el> L
é)yt
d~ Ol'l.
) de
( 11 . 4)
que es el denominado t eorema de Green bidimensional. Recordemos que en los sis tema s de propagación c i l índricos que estamos estudiando, la ecuación general de ondas h omogénea se reduce a la ecuación en dos dimensiones (1
o. 7)
donde V{ representa a Hz o Ez y "6"tt. está definido por
F.i._g..
(1o.6) 11 . 1
El desarrollo que s igue l o vamos dos TE y TM. Aplicando la e xpresión ( 11 . 4 ) a lizada s y teniendo en cuenta que las para un modo TM y ~=O para un modo (condi c ión necesaria y suficiente en obtiene
1/J·J d s
a c ent rar fundamentalmente a modos autofunciones ?.fJ.. y ~· normacondiciones de contorno son Y' =O TE en las paredes de l conductor cada caso ) , así como (10 . 7) , se
( 11 . 5 )
s iendo la delta de Kronecker . Igualmente, a partir de (1 1 . 2), se obtiene la relación de o rt ogo-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
143
nalidad
~
vt 'l/J•
'V~~
ds
=
Oj,_ J,l
( 1 1 . 6)
St
Finálmente, otra relación de ortogonalidad válida aún en el caso de dos funcio i.es generales 1i y 'ljJ , que no tienen por qué ser autofuncio nes de nuestro problema , resulta de aplicar el teorema de Stokes a la función 7/J ílc/> :
J 1f v cf;-d e= J v" e'ljJ v<1>) . ds = - 1\ v
~
J~
Entonces , si se anulan
JV
~~en el contorno, se obtiene
o
(\71J"íJ~)-dS=O
}
( 11 • 7)
5t
Operando adecuadamente con. las relac io nes ( 11 . 5) , ( 11 . 6) y ( 1 1 . 7)
y teniendo en cuenta la ecuación (10 . 7), las condiciones de contorno, que '!L'o ~ pueden ser H2 o E2 y las relaci ones para ondas TE y TM , se obtienen las siguientes relaciones de ortogonalidad:
Li:¡;¡e· H:~
( 11 . 8a)
ds - o
l
Jsl
Js,
E:e.- E:;'l, d.s E"le_-
Et:
f 4t~ . ~t: Jsl
L
=o
( 11 • 8b)
ds ; o
( 11 • 8c)
d5 = o
-~
EtQ.. /\ 1-hy¡_ dS
:=O
( 1 1 . 8d) ( 1 1 • 8e)
donde 1 y n representan modos diferentes y la i ntegración se extiende a la sección transversal de la guía , supuesta delimitada por conductores perfectos tal como exigen las condiciones de contorno impuestas . La Última relación de ortogonalidad traduce el importante hecho físico , de que la energía de un sistema de transmisión es llevada independientemente por los distintos modos que se propagan y , por tanto ,
.-'
la potencia total transmitida será la suma de la transpo rtada por cada modo. En este hecho radica la justificación de l a descri pción del campo en modos . En un sistema de transmisión que posea paredes no muy bu~ nas conductoras , puede seguirse describiendo e l campo en términos de lo s modos correspondientes al sistema ideal , pero entonces aparecerá un acoplamiento entre l os distintos modos introducido por la conducti -
/ 144
R. GOM EZ MARTIN
vidad de las paredes. 3 . - Desarrollo del campo en modos normalizados. Apoyándonos en las relaciones de ortogonalidad de los campos, y que en l as guías usuales los modos constituyen un conjunto completo , vamos a def inir la normalización de los modos en función de los cua l es pr etendemos desarrollar el campo . Con ello, s e consigue una estructura f o rmal para una teoría general de güias . Para ello s upondremos que E y Hson los campos reales del sistema y que pueden expresarse como
.,,
( 11 • 9)
....
- · ~..,t .¿-Ho e . L
( 11 . 9
1
)
""\•--
donde
( 11 . 1 o)
r e presentan los modos normalizados que contienen la dependencia con l as coordenadas transversales . x e y. La normalización se escoge de t al forma que
J~ (.e:e.-.ft.:.. )ds ' r)~.(e~t · e1,:)ds, ~ ~~t
... .
h.t:ds , Je...,_
(11 . 11)
1 lo que da lugar a que las dimensiones de et y ht sean de (longitud)- . Fijándonos en un modo concreto y teniendo en cuenta que los campos ET y HT son perpendiculares y relacionados entre sí por la impedancia de onda , el vector de Poynting complejo, que nos da, en su parte real, el doble de la potencia Pn propagada por unidad de área, tendrá por val or ( 11 . 1 2)
De esta forma, la definición de e.t.'\.
kl'I.
l
qs. ~ ~ .2..,_ d s )·~ El.. l
(1.o T;¡ z.,,_ ds )
Hl"l
1
St
1¿
( 11 . 1 3) ( 11 . 1 3' )
C AM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAG ACION Y RA D IACION
145
conduce a la interpretación de que las componentes en los integrandos de las relaciones ( 11 . 11 ) corresponden a campos que llevan potencia unidad por la sección de la guía. La transfo r mación de Ez y Hz se suele hacer de la siguiente for ma: ( 1 1 . 14 )
1-t,'1. :
L
lo -P.,_
(11.14 ' )
H"lo'l.
Z'.'.Y\. ) l/<,
obteniéndose las siguientes relaciones de ortonormalización :
!f J
l-i.tt
~i:
ds :
~
de esta forma ez y hz
~~
e.e. e"': c\s :
:~
Je"-
(1 1 . 1 5 l
St
tienen dimensiones de impedancia y admitancia
por unidad de longitud , respectivamente . En la determinac i ón de los modos , el proceso de normalización no afecta a la ecuación base ni a las condiciones de contorno y por tanto se verifica que ( 11 . 1 6) con ( 1 1 . 1 7) así como ( 1 1 . 1 8) sobre las paredes metálicas del sistema . En ellas queda explícito que en la doble e x presión entre llaves , la superior corresponde a modos TE y la inferior a modos TM .
Estas ecuaciones permiten conocer la distribución transversal del campo en cuanto se precise la geometría del sistema . Efectivamente, una vez resuelto el campo en sus componentes lo ngitudinales, las tran~ versales vienen en función de ellas de la forma ya vista. Teniendo en cuenta estas relaciones , se obtiene ( 11 . 1 9)
146
R. GOMEZ MARTIN
así como la siguiente relación entre los campos transversales ( 11 . 20) De acuerdo con estas definiciones, las ecuaciones de Maxwell resultan
(11.21)
( 11 . 22)
4 . - Solución general en modos normales para una guía ideal . Ecuaciones de línea de transmisión . Vamos los campos ecuaciones ecuaciones esto es:
E.,
a estudiar los según el eje z tipo línea de (1 1 .9) en sus
J!
ejwt
l
0,,.l2 )
aspectos relacionados con la transmisión de y a demostrar que cada modo obedece a unas transmisión. Para ello se descomponen las componentes longitudinales y transversales,
el.._ tY\, tz> e-;.,,_)] /.ut +
.... :-•
(11 . 23) ( 11 . 24)
donde los coeficientes del desarrollo v, q, i y p son funciones de z . De la ley de Faraday en forma diferencial, y la linealidad del operador \l , tenemos 'iJ" E0
:
2:_
'V/\ l 0"'1. e~'l. ~ ~"" e:"" )
( 11 . 25)
'\.
de donde, teniendo en cuenta las ecuaciones (11 .19), (11 .20) y (11 .21 l se ded uce que ( 11 . 26) Teniendo ahora en cuenta que k= w~ e igualando coeficientes en las
.. 147
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
sumatorias de (11 .26), obtenemos ( 1 1 . 27)
y ( 1 1 . 2 8)
Operando análogamente , a partir de la ley de Ampére
-
-
~h~~jw~E
se
tiene (1 1 . 29)
y ( 1 1 . 30)
Entonces ( 11 . 31 )
C)\,.¡_:
C>~
~
-i_ \(Y k. ~ p:
[ \(2 - Tn2. [ !.
o
l J
J
Ü°v¡.
( 11 . 3 1
1
)
Si definimos las impedancias de onda para los modos TE y TM según
las expresiones ( 11 . 31 ) y ( 11 . 31 ') toman la forma
( 11 . 3 2 ) ¡
i.
1
y
v,(i>. dz)
( 11 . 32
1
)
1 r -1..g. 2
:2.
<..
.z.,
11. 2 .
con K = w~ 1-1-e. ,, ~ ... = 1< -1>,,, • Estas ecuac10!1es son formalmente idénticas a las de una línea de transmisión (fig. 1 1.2), como es fácil de ver recordando las ecuaciones (4 . 5) y (4 . 6). Los valores de la impedancia y admitancia por unidad de longitud vienen dados por
148
R. GOMEZ MARTI
( 11 . 33)
Luego se pueden emplear para resolver problemas de guías las mismas técnicas que para líneas. Cuando existen varios modos, se resuelve independientemente c ada uno . Para el caso de un modo TE ( 11 . 34)
'j
=
j Lwe.-_!{_)
( 11 . 35)
wr-
siendo e l elemento de línea equivalente el correspondiente a la figura 11 . 3a. Para e l modo TM ( 11 . 36) ( 11 . 37)
y
s u e lemento de línea equivalente es el representado en la figura
11 . 3b .
T E
(o)
(b)
l
F.i.~.
11 . J
Finálmente, conviene recordar que todos estos resultados son es tr i ctamente vál idos para guías ideales en las que se supone que sus paredes son conductores perfectos .
149
CAMPO ELECTROMAGNETI CO. PROPAGACION Y RADIAC ION
Tengamos ell cuenta la figura 11 . 1 y supongamos una función vectorial A= it' '\c6 estando SC) y l/J definidas en V. Apli cando el teorema de Gaüss a A:
I
,.'
~
'V ( -..P <;; cp
) dV=
~
l/J íl ds
( A . 1)
5
V
y teniendo en cuenta que (A.2)
(A . 3)
se obtiene
I
=
J [ ~ íJ¡, 1/J ) ( \Jt )
+ ?f;\)f.<:j)]
dSt;dr+ \ lf
~~ \.,_ds =~°Y' í!r/>· d"S,
St
V
2,
(A . 4)
ST
donde se ha denominado St a la superficie transversal , ST a la total y Si a la lateral . Si para calc ular el segundo miembro de ( A. 3) tenemos en cuent a , que dS1 dl dz , que 1/JíJ=7/J(\!t+íJ~),1/JíJtif>+"'/HJrrf¡ y que en la supe rfi cie lateral, 1/J \i¡i;¡'.) es normal a n, y por tanto Jifi'il!~ nd€.dz=O, queda
=n
J
1/J
Vcp ds,. = J
'¡/J íJtef>"YL
dedz
+
St
r
'lj.I jSt.,,
()rj; ds.2. _ Í
y
o
j 5-t,
ds 1
0 2: Sustituyendo (A.5) en (A . 4) y tomando el límite cuando ó.z-o y z -. z 1 ) se obtiene 2 Sr
St
Q,_'N\.
c.
'Cli'.
í ) ( 'il¡, 1/J. 'Vt rjJ ~ "P 'Vtc/>) ds l ~ 2:
•-o L v
y definiendo "Ot
J
'Vi: cj;. Yi_ llegamos a ( 11
= Q.(_"1. /:,T.- o
. 2) .
rL ~ se1P
~~
....
de
(A . 5)
cs 2 - s 1
l 6. e J
---
.,,,.... 1
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
151
CAPITULO XII. ONDAS TEM O DE LINEAS DE TRANSMISION . - Introducción. En los capítulos ante r iores se ha considerado detenidamente la propagación de ondas TE y TM e n guías de ondas , habiéndose omitido el estudio detallado de l as ondas TEM, que es el modo dominante en las líneas de transmisión, debido a que trabajan usualmente a fre cuencias inferiores a las de corte para los modos TE y TM . Un ob jetivo de este capítulo es justificar, desde el punto de vis ta de las ecuaciones de Maxwell , e l modelo de circuito con parámetros distribuidos utili zado e n un tema anterior para estudiar la propagación de ondas electromagnéticas e n líneas de transmisión . Recordemos que ahora no se c umple la condición básica de estacionariedad o cuasiestacionariedad para la deducción de las leyes de Kirchoff a partir de las ecuaciones de Maxwell debido a que la longitud de onda de la señal es del orden de las dimensiones del sistema . Los tipos de línea más usados son la bifiliar, la coaxial y el " strip line " . 2 .- Ecuaciones de ondas para modo s TEM . Puesto que es tas ondas se caracterizan porque no existen compone~ tes de los campos en la dirección de propagación, que supondremos el eje z, tendr emo s Ei1
=o
;
1-\z =o
( 12 . 1 )
con lo que l as ecuaciones de Maxwell para medios lineales , homogé neos e isótropos podrán escribirse , suponiendo que no existen fuentes de campo , como ( 12 . 2) ( 1 2 . 3)
·'
siendo , en genera l, Et=Et(u 1 , u 2 , z , t) , en donde u 1 , u son las coor2 denadas transversales de cualquier sistema de coordenadas cilíndri cas . De estas ecua ci one~ , teniendo en cuenta que VtA"Et tiene la dirección del e je z , que ~ está en el plano transversal y que, además , ~h ~ está también e n dicho plano , se deduce : o.i!.
o
....
(12 . 4)
152
R. GOMEZ MARTIN
y, por tanto
( 12. 5) Es interesante notar que las ecuaciones (12.2) y (12.4) , con las condiciones de contorno adecuadas, permiten obtener la dependencia de Et con las coordenadas transversales u1 y u 2 , pero no con z. Análogamente , se tiene para H: ( 12. 6) ( 12 . 7) que conducen , por las misma s causas de antes, a ( 1 2 . 8)
z,. (-cr Et._ é o Et;)
( 12.9)
ot • Para obtener la dependencia de los campos con z y t , buscaremos una ecuación de ondas análoga a la que hemos estudiado . Derivando respecto a z en (12.9) y teniendo en cuenta (1 2 . 5) se tiene ( 12 . 1 o) y operando adecuadamente
él~ ¡{t _ µ,o- e> ~t az~ - ~e. C> t"' ' C>t
.,,
º
( 12 . 11 )
obteniéndose para el campo eléctrico E una ecuación análoga . Nótese l a similitud de esta ecuación con la ecuación de ondas . De las ecuaciones (12.2), (12.4), (12 . 6) y (12 . 8) es fácil compro bar que ( 12 .1 2 ) ( 12 . 1 3) que son las ecuaciones de Laplace para E y H e n el plano transversal. Ah ora bien , como sabemos , en estática los campos cumplen precisamente estas ecuaciones , por lo cual podemos afirmar que la distribución de
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
campos en el plano transversal es idéntica ca, ya que se verifica que las condiciones la línea, supuesta formada por conductores que en una distribución estática de campos.
~- D
153
a una distribución estáti de contorno existentes en perfectos, son las mismas Así pues
= Ís i
E~tas ecuaciones traducen qµe el campo eléctrico es normal a la superficie conductora e induce una densidad de carga fl y que el campo magnético H es tangencial a los conductores generando una densidad de corriente superficial estacionaria Js. Estas características demuestran que una onda TEM puede ser guiada por un sistema de dos o más conductores , o por el exterior de un conductor Gnico, pero no por el interior de una región conductora cerrada, ya que su distribución ha de ser la correspondiente a un problema estático bidimensional y no puede existir campo eléctrico en el interior de una región sin fuentes completamente cerrada por un conductor . Busquemos para la ecuación (12 . 11) soluciones del tipo
( 12 . 1 4)
( 12 . 1 5)
Sustituyendo e n (12.11) y simplificando , queda ( 12 . 1 6)
donde (12 . 17) Las so l uciones generales par a los campos serán
Ht
( 12 . 1 8)
e
jwt.
( 12 . 1 9)
Es inmediato , por sustitución en ( 12 . 9) de ( 12 . 18) , obtener las relaciones ::.
+
( 12 . 20)
¡
154
R. GOMEZ MARTIN
donde ( 1 2. 21 ) Vemos que HOti y EOt± en una onda TEM son siempre perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. En lo que sigue consideraremos solo ondas en el sentido positivo de z, por lo que prescindiremos de los subíndices +y Supongamos una línea constituida por dos conductores A y B como se muestra en la figura 12 . 1 . El voltaje entre ambos conductores puede calcularse integrando el campo eléctrico a lo largo de cualquier camino entre ellos, como el 1, 2 indi cado en la figura, y se obtendrá siempre el mismo valor, ya que E satisface la ecuación de Laplace y puede, por tanto, expresarse como el gradiente de un potencial escalar F~.
12.1
t±:: - V+. V
en lo que se refiere a las variaciones en el plano transversal. Así pues , podemos escribir ~
V ::. -
~ Ect· cle = vi -V~
(1 2. 22)
i
y de la dependencia de Et con t y z, dada por (12 . 14) , se obtiene la ecuación de onda progresiva de voltaje
V (X,{)
=
\J
.ej (wi.-o.c) ( 1 2 . 23)
Razonando ahora a partir de la ley de Ampere y aplicando el teor ema de Stokes en la superf~cie comprendida entre los dos conductores , teniendo en cuenta que \7.¡._A\.{l =o y que de las condiciones de contorno ..... para un conductor perfecto, no existe componente normal de H en la superficie de los conductores Wti· ·
-.11
=-o .
-
~---
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIACION
155
se verifica
( 12 . 24)
y, como el módulo de H es el mismo que el de la densidad de corriente,
se tiene:
Ti. :.
~
-I~
Ho1:. ·de
(12.25)
L1
de forma que las corrientes que circulan por los conductores son iguales pero de sentido contrario . De la dependencia con c.vy z de Ht ' y la linealidad de la operación integral, denominando I a la intensidad de corriente en el sentido z positivo, tendremos
I (i>:,-l)
( 1 2 . 26)
En general, es preferible caracterizar las ondas TEM en términos de ondas de tensión o intensidad en lugar de hacerlo mediante los campos. Las ventajas son claras debido al hecho de que el voltaje y la corriente en las líneas son cantidades fáciles de medir hasta fr ecuencias del orden de 1GHz, mientras que los campos son más difíciles de manejar. Con este objeto , vamos a relacionar las ondas de intensidad y tensión a través de la magnitud con dimensiones de impedancia denominada impedancia característica de la línea, definida por
2.0
::.
V I
=
-r t
~t·d
e
Hot ·de
y
+. L
i
11
E;
~T.0"1
. de
(12 . 27)
donde se han tenido en cuenta las expresiones (12 . 20) , (12 . 22) y (12 . . 25) y donde L es cualquier línea cerrada en la sección transversa l de la línea , tal que rodee al conductor A. Es obvio , de (12.22) , que el denominador de (12 . 27) es proporcional a V; por lo que esta magnitud desaparecerá después de realizar la integración . Esto hace que la impedancia característica de una línea de transmisión ideal sea solo f un ción de la estructura geométrica de la línea y de los parámetros que caracterizan al dieléctrico , f , é y o- , para una frecuencia dada . Vamos a ver ahora que el estudio de las líneas de transmisión uti lizando las magnitudes V e I es cons i stente con el valor de la energí a · transportada a través de la línea ; esto es , demostrar que l a potencia
l
R. GOMEZ MARTIN
transportada a través de un plano z=cte . dada por el producto v(z,t) . . I(z , t) coincide exactamente con la integral de la componente z del vector de Poynting a través de la sección transversal de la línea. Para ello basta, de (12.14) , (12.15) , (12 . 23) y (12 . 26) , comprobar que se ver ifica ( 12.28) Efectivamente, para ello transformemos la integral de (12.28) de la forma
J ( E:t "-i::\ t ). i 0
ds "
s
rs l.2" ~ot) \J1; Vds
( 1 2 . 29)
donde S es el área de la sección transversal e n tre conductores , f ig~a 8
como
se muestra en la
12 . 2 . La integración se
realiza sobre la superficie S con un valor de z y t consta~ tes. Ahora bien, como es fácil de comprobar por cálc ulos sim-
F.i..r;. 12. 2
ples y directos, en una onda TEM, se verifica:
y
para una onda TEM, queda que ( 12. 30) de modo que , sustituyendo en (12.29) y aplicando el teorema de Green, se tiene
VI = ~
s
=
'V-l [ V l i
f !..,,
V
~ \4°'-) 1 d s
li . . ~0t)-Yid.e-f
(12 . 31 )
\J
\i "14ol)-nde
LL
en donde el sig n o menos provi e ne del distinto sentido del vector n en a mba s superficies. Como V es constan te en L1 y L 2 para un valor de z y t dados y to-
1
157
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
ma, respectivamen te, los valores v1 y v2 , (12.31) queda
)
V1:
" 'J¿
J c 2. . Hot>-; de- vi J (Z /\ \40\; )·n de" \J~ ~ J~; 2 d~ + V1 ~ J1·2 ele: v... 4+V1t L..,
L,
[,,_
L
pero I 1 =-I 2 , de modo que finalmente queda
'
YI
( 12. 32)
como se quería demostrar. 3.- Justificación a partir de las ecuaciones de Maxwell de las ecuaciones diferenciales de las líneas de transmisión. Vamos a deducir a partir de las ecuaciones de Maxwell el par de ecuaciones diferenciales acopladas en términos de V e I que rigen la propagación de ondas TEM en las líneas de transmisión . Seguiremos suponiendo que los conductores son perfectos y se hallan separados por un dieléctrico caracterizado por los parámetros é,
f"-Y o- . •Por simplicidad , consideraremos en lo que sigue coordenadas cartesianas , lo cual no supone pérdida de generalidad en las conclusiones ya que la demostración será completamente general si suponemos únicamente, independi entemente de las funciones particulares del tiempo y de z, que Ez y Hz son nulos. El voltaje entre ambos conductores puede calcularse integrando el campo eléctrico a lo largo de cualquier camino entre ellos , tal como la figura 12.3 indica . Tendrá el mismo valor cualquiera que sea el camino que elijamos. Se tiene pues
F.Í..9-. 12. J
V-
rEt·dt =-r(E. d)(+tjd~) 1
1
Derivando la ecuación anterior respecto de z se tiene ( 1 2 . 33) 1
y de la ecuación de Faraday en forma diferencial
158
R. OOMEZ MARTIN
~
'08,.
'O~
Clt ( 12. 34)
C>tx =-0E<1
Lit
'O.i!
Sustituyendo (12.34) en (12.33) , se obtiene ( 12 . 35) Observando la figura 12 . 3 se ve que el integrando es flujo magnético que atraviesa el camino 1. O, ·2 por unidad de longitud en la di rección z . De acuerdo con la definición de autoinducción, la ecuación (12 . 35) se transforma en
'O Vlz,{) = - CJ ( LI ) =-L 'c> I c~.-t) '() ~ 'Ot 'Ot
(12 . 36)
Esta es una de las ecuaciones diferenciales utilizadas como punto de partida en el análisis clásico de la línea de transmisión . La otra ecuación diferencial puede deducirse expresando la corriente en el conductor A como la integral del campo magnético a lo largo de un c amino a, b, c , d, a (no hay contribución de la corriente de desplazamie nto puesto que no existe Ez)
r
=
f (
H" dx +
~J dj)
Derivando respecto a z
¡ (
(12 . 37) I (r. ,l) : 'Ol-lx dx + 'C) .\-{'I d ) '02 '02 '02 ~ De la ley de Ampere en ausencia de corrientes en forma diferené)
J
cial 'Q{-t!I -= - 'C>Dx
--o r.
ot
( 12 . 38)
'O \-h : 0}).'J '°02
0t
Sustituyendo (12.38) en (12 . 37 ) , resulta Cl I
ch
_
(12. 39)
En la figura 12 .3 podemos identi fi car el integrando con el flujo por unidad de longitud de línea del vector desplazamiento que va de un
CAM PO ELECTROMAGNETICO. P R OPAGACION Y RADIACION
159
conductor a otro. Puesto que este es igual a la carga por unidad de longitud en los conductores, puede escribirse como producto de la capacidad por unidad de longitud y el voltaje entre los conductores, transformándose (12.39) en dT Ci!,-\:.J - -
o.i:
e
oV(i!.{)
ol...
(12 . 40)
Las ecuaciones (12.36) y (12.40) son precisamente las utilizadas como base del análisis de la línea de transmisión ideal. Vemos que es tas ecuaciones se pueden deducir de las de Maxwell suponiendo conduc tores perfectos y , puesto que los campos satisfacen en el plano transversal la ecuación de Laplace , la autoinducción y la capacidad que ap~ recen en ellas son las mismas que las calculadas es estática . Por tanto, los métodos de análisis basados en los conceptos circuitales de baja frecuencia son realmente equivalentes a los basados en las ecuaciones de Maxwell, a pesar de . la utilización de las L y C estáticas para un problema que dista mucho de serlo . Si el dieléctrico entre conductores tiene una conductividad cr , entonces existe una corriente adicional proporcional a V y dada por
d
I
C:z ,{) = G
d~
V (2,-í:)
( 12 . 41 )
siendo G la conductancia por unidad de longitud que , de acuerdo con la e l ectrostática , está relacionada con la capacidad por unidad de longi tud por
o-
G
( 12 . 42 )
e
Incluyendo la ecuación (12 . 41) en (12 . 40) , esta queda de la forma
o IC:d)
=-
e o
'Oz
Vci.t) - G Vt-z.. t) cit
( 1 2 . 43 )
Dado que en general los parámetros f- , E.. y a- son funciones de w , resulta más adecuado expresar estas ecuaciones para señal es armónicas . Buscamos soluciones del tipo
Vt:z,{)= Ve
Tl~1t)
= I
~ (t.Jt-n)
eJ
lwLo~)
( 12 . 44)
que sustituidas en el par de ecuaciones (12.36) y (12 . 43) conducen a
160
R. GOMEZ MARTIN
( 12 .45) ecuación que, comparada con
o
=
v-jwf (a-~JEw)
y teniendo en cuenta (12 . 42) , conduce a ( 12 .46) además (12 . 47) que, suponiendo la línea totalmente ideal, se transforma en (12 . 48 ) La impedancia característica para la l í nea coaxial y .para la de hilos paralelos , supuestas sin pérdidas, vienen dadas por las expresiones de la figura 12 . 4 .
Coaxial ;
Z
0
Hilos paralelos;
Zo =
4'2o
-~
~
t>t. -k R..
+
Q'~ ).,_+&.j1 !/;z, R
F.i_r;,.
12. 4
y su representación, en función de las dimensiones relativas , se muestraen la figura 12.5. Finálmente , hay que reseñar que , desde un punto de vista formal, la hipótesis de campo TEM no permite introducir en el análisis efectuado las posibles pérdidas asociadas a la resistencia de los conduc tores , ya que una conductividad finita de los mismos llevaría necesariamente asociada una componente tangencial del campo eléctrico . En la práctica , la conductividad de las paredes que limitan al sistema es
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
161
., z•..rc 6 00 hilos paralelos
150
100
300
50
o 10 h/R ó
2
100 b/a
3 h/R ó
b/a
F.i..g.. 12. 5
finita aunque muy elevada y las ecuaciones obtenidas sig uen siendo válidas pero hay que complementarlas con el término debido a la caída de potencial asociada a la resistencia de los conductores . Teniendo esto en cuenta , las ecuaciones de la línea de transmis ión quedan de la forma:
Cl \J l:i!, t) ClZ
o I (2,t.) oz::
= -~T.t.:d:)-l
::.
-G Vl~.l) - C:
oI (z;-l) -Ol
o \/'l.i!,t)
( 1 2 . 51 )
al
siendo R la resistencia por unidad de longitud de la línea. Estas ecuaciones justifican el modelo inicial de partida de la lección en que estudiamos la línea de transmis i ón desde el punto de vista circuital con parámetros distribuidos.
'
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAOI ACION
163
TEMA XIII. GUIAS DE ONDAS RECTANGULARES Y CILINDRICAS. 1 . - Introducción . El propósito de este capítulo es estudiar las soluciones que , para los diversos modos de propagación , existen en las guías de ondas frecuentemente utilizadas en la práctica, como son las de sección rec tangular y circular . También analizaremos la línea coaxial como g uía de ondas capaz de soportar otros modos diferentes del fundamental TEM . Por ahora nos limitaremos a guías sin pérdidas , cons iderando en otro capítulo las modificaciones a que da lugar el que las paredes que limitan al sistema no sean conductores perfectos, así como las pérdidas debidas al medio que llena la guía. Ya conocemos algunas propiedades de tipo general de los modos de propagación que pueden existir en una guía, los cuales quedarán determinados en cuanto se fije la geometría particular del sistema . El problema a resolver , en el caso de guías homogéneas y uniformes, queda siempre planteado en los mismos términos: resolución de la ecuación de ondas para las componentes longitudinales del campo, sometidas a las conGiciones de contorno fijadas por la geometría del sistema . 2. - Guías de ondas de sección rectangular . La figura 13 . 1 representa una guía de ondas rectangular y su correspondiente sistema de coordenadas . Supondremos que su inter ior está constituido por un dieléctrico isótropo, lineal , b homogéneo, con conductividad nula, sin fuentes y en ausencia de campo electromotor E'. Asimismo, se supone el conduc tor de la guía perfecto . Fi..~ . 1J . 1 Consideremos una onda TM monocromática que se propaga según e l eje z:
"l 11r1
e
jtwt-~i!.)
E
Eo
q
Ho l "{, :i) e
t ><,j l
,
( 13 . 1 )
jcwl-r:a>
(1 3 . 1 1
)
164
R. GOMEZ MARTIN
La ecuación de ondas para el campo eléctrico será ( 1 3. 2)
y la ecuación para H es análoga. Para la componente E2 , y prescindiendo de la dependencia temporal se tiene ( 1 3. 3)
Para resolver esta ecuación diferencial suponemos Ez de la forma (13 .4) Susti tuyendo (13.4) en (13.3) y dividiendo por E2
" o
,
obtenemos ( 1 3.
5)
Como cada sumando depende de una variable distinta, debe verificar se
d"X = - \(:-
1.
!.
d'~
':::!
d ~· d~2
l..
z
(13. 6)
dx;!,
Y..
d
+
-¡_"
=-
'.('j"'
(1
lí.a.
t.02.
3. 7)
(13. 8)
\].a.
Las soluciones de estas ecuaciones son
X = e1
~en\(.. x +
C3 ~eTt ~ '1 -j ~""
Cs e
+
+
e.a. c.o:i \C~ x Ci;
co:i l<.'.f
CG e
'i
( 1 3 . 9)
( 13 . 1 o)
.i~ ~ (1
3.
11 )
Considerando solo la propagación según el sentido positivo de z, la ecuación (13.4) queda ( 13.1 2) Para una onda TM , la condición de contorno es que Ez=O en la superficie de la guía , por lo que habrá de verificarse
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAD IACION
E~l ~
~ =-o
165
=o ( 13. 1 3)
por lo que c 2 =C =0 y resulta 4 F~
-j (3 :;¡_ , A e óe.Yl 1<.. )( ~en \\'.l ~
Volviendo a aplicar la condición de contorno se tendrá
l - J(3r.
A e.
oert k:~ Q. ~eYl ~ ':J
quedando finálmente ( 13 . 14)
-
·Conoc ida la componente longitudinal , la componente transversal de
E viene dada por
siendo
y)™ ~
_!__
o"'
o E~ o~
y operand~ se llega a la expresión final
La componente transversal de
E por
H está
ligada con la transversal de
la expresión
y por lo tanto
( 13 . 1 6)
Para una onda d e TE, imponiendo '() 1-\z 'C>YL
ºº
en las paredes de la guía,
.¡
166
~
R. GOMEZ MARTIN
que es la condición de contorno correspondiente, obtenemos
Recordando de l capítulo anterior que los modos normalizados contienen la dependencia de las coordenadas transversales, tendremos para las expresiones de las componentes base, de (13 . 14) y (13 . 17) , en el caso de una onda TM:
y para una TE :
donde, teniendo en cuenta las condiciones de normalización
!:!:... é
Js. \ltl.'1. l-i~t ds
•
~
[ e,>1. ei.; ds ::. o.,•
/-'- s.
k"
Jn.e
(11.15)
se obtiene , para n y 1 no nulos
(13 . 20)
donde , la e xpresión superior corresponde a modos TE y la inferior, a modos TM. A l as diferentes soluciones que se obtienen dando valores a 1 y n se les denomina modos de la onda . Vamos a ver si son posibles todos los valores de 1 y n. Tomemos una onda TM . Si damos a 1 o a n el valor cero , de acuerdo con (13 . 14) , Ez=O , con lo que tendríamos
y además
concluyendo , por tanto , que no existe modo alguno con 1 o n iguales a
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
167
cero. Si tomamos una TE , puede ser 1 o n igual a cero , pero nunca si multáneamente. En efecto, si 1 es cero , se tiene ( 1 3 . 21 )
si n es cero , se tiene ( 13 . 22)
lo cual es perfectamente posible . En cambio, si ambos son cero: l·h "< 8 ej~~ y como ¡:¡~ ~ 'i7 ~E con (/)rF_t_ o/./l , se llega a que Ht=O y, por tanto , • ' ¡::."' I< ~ . Hz y viene . d ad o tambien tot: - - J!::. 2~ ~~:O r' , 'Od%.e f orma que solo existe (5 c. por 4
( 13 . 23)
Este campo cumple las condiciones de contorno, pero como las soluciones de la ecuación de ondas no son siempre soluciones de las ec ua cienes de Maxwell, hemos de ver si estas se verifican. Al ser el campo H variable con el tiempo tendría que existir un campo eléctrico E, pero hemos visto que E=O , luego no se verifican l as ecuaciones de Maxwell y no existe el modo TE 00 . Trataremos ahora el concepto de frecuencia de corte: De la resolución de la ecuación diferencial ( 1 3 . 3) obteníamos que ( 13 . 24) ( 13 . 25)
pero, para que exista Si llamamos
propagación , ~
ha de ser real .
w LT
/
siendo ~.la longitud de onda en el vacío y A3 , en la guia. Sustituyendo en (13 . 21): :.
,>,." ':\
>-.'o
)..."e
y como ..A~ no puede ser imaginario, A.. ha de ser menor que >..e • Sustituyendo o en (13 . 24) y teniendo en cuenta los valores de kx
168
R. GOMEZ MARTIN
y k y se tiene ( 1 3. 26)
Nos interesa que solo se propague un modo por l a guía con un espectro de frecuencia lo más amplio posible. Supongamos que tenemos una guía con a)b. Para el modo TE 10 resulta
Para el modo TE 01 obtenemos J
donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio. Es evidente que en el rang o de frecuencias -2:.. .:: f.:: Q... solo se ..ZCl. <.b propaga el modo TE 10 . Las guías donde solo se propagan las ondas TE10 son las que se suelen fabricar . La frecuencia de corte se elige solo con la magn itud a . · Podremos variar arbitrariamente b para aumentar o disminuir el rango de frecuencias donde solo se propaga un modo, ya que el resto de los modos tienen una frecuencia de corte más elevada A.e más pequeña) . Para el modo TE 10 los valores de los campos son (13.27) t.~"'º
\..\"
':
/
E
~ Wf-
J ""
Eo
MM. r\ X Q
¿,e,v¡_ ~
o...
-~\H
e
/
e
-~(H
~j "º
(13.
28)
(13 . 29)
o también ( 1 3 . 30)
siendo (13 . 31) y ( 1 3 . 31
La representación de los campos se muestra en la figura (13 . 2) .
')
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
:
~----i---l1l--1---1 :::: :::~: ;_-_-_; _-::: --- -----
---- ---
169
••
t ---------~---------.. --- - ~ - _..: - - ~ -- -- -.. ... \ : i'
•
' :1
1
1
\
'
:
'
'--------~---------#): o o .... --- - ------o - - ---·" ,
-
,-------------------, o
.. - - - - - - -
o
o
--- -
' ''
1
'
-
- - - ......
'
1
: ' '
'
. --. .
'
'
~ ... _-- - - - -~ - ------ _.,' ' ----- - --__ ...
.. _- - - - ---
TE'()
F.ú¡¡. 13. 2
En la pared superior e inferior de la guía habrá una distribución de carga que vendrá dada por
\ fs \ y de s igno contrario en ambas paredes . La ordenación de los modos iniciales en una guía rectangular , suponiendo a=2b , viene representada en el siguiente es quema : •'
TE, 0
TE 01 TE,0
TE,, TM 11
2
'U.4
Wc
( Wc)TE io
F.i.g..
1J . J
en donde las frecuencias están normalizadas dividie ndo por la f rec uencia de corte correspondiente al modo TE . 10 En la práctica, las dimensiones de las guías están normalizadas según el rango de frecuencias en que opera el modo fundame ntal , siendo las de mayo r sección las correspondientes a frecuencias inferiores y
170
R. GOMEZ MARTIN
viceversa. A los rangos de frecuencia que resultan de la normalización se les llama bandas. Algunas de estas bandas son Banda S: Banda J: Banda X: Banda--.? : Banda K: Banda R:
de de de de de de
2 ' 60 5'30 8 1 20 12'4 18 1 o 26 ' 5
a a a a a a
3'95 GHz. 8 1 20 11 12 '4 11 1 8 1 o 11 26' 5· 11 40 ' 0
Para la banda X las dimensiones de la guía estandar son: a=2 ' 286 cm y b=1 ' 016 cm , estando construidas normalmente de latón. En rangos de f recuencias superiores, para disminuir las pérdidas asociadas a las paredes, las guías suelen platearse en su zona interior. 3 . - Guías de ondas de sección circular . Consideremos ahora una guía de ondas cilíndrica de ractio a , como la de la figura 13 . 4, formada por un conductor perfecto de sección circular que posee en su interior un dieléctrico lineal, homogéneo , isótropo , con conductividad nula y sin fuen tes . Como en el caso de la guía rectangular resolveremos la ecuación de ondas para las ;r=I componentes Ez o Hz según se trate de una TM o TE , con l as condiciones de contorno corres pendientes , esto es
( 1 3 . 32)
3.1 . - Modos TM . Consideremos una onda monocromática prop agándose en la dirección positiva del eje z, de la forma _ j t wt-(?>c) [X. = to €. ( 1 3 . 33) donde r y
~
son las componentes radial y azimutal de las coordenadas
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACJON Y RADIACION
171
cilíndricas. Sustituyendo (13.33) en (13.32) tenemos n•r~
t::~
\J
t
w 2 p--E.
o
,...
t:.. il. ::.
recordando que el operador laplaciano en cilíndricas es ( 13 . 34)
,.'
Si s uponemos Ez de la forma ( 13 . 35) sustituyendo en la ecuación de ondas y dividiendo por Ez se obtiene
o"'.+.
+ - '-
VJ
+ -
e>~
"'R
z
-=-' "r.. ...,. u__
+ w•
¡-t-E =o
( 13.36)
B 2•
donde la s uma (13 . 37) depende sol o de z y se puede igualar a una c on stan te o 2 . Con la dependencia de z que hemos impuesto , concluimo s que (13. 38)
Multiplicando la ecuación de ondas que nos queda por r 2 para hacer que el término de la de r ivada segunda de la coordenada azimu tal solo dependa de~. (13.36) se trans f orma en "'(' 2
R
d2R d1"2.
+
'í
dR
R.
d"f'
-
d2\2)
+ -
r/J
+
'i''
·is"'
-::.
di(>•
o
(13 . 39)
Si resolvemos la ecuación
d-:z
if>
ct~2
- n"'
(13 . 40)
tenemos como resultado ( 13 . 41 ) donde, por simetría, n debe ser entero para que , al pa sar tengamos el mismo valor para el campo . La sol ución (13.41) la podemos poner de l a forma
.. -
de~
a
~12~,
172
R. GOMEZ MARTIN
(13. 42 ) donde, identificando coeficientes (13. 43)
Teniendo en cuenta además que P 2 =A 2 +a 2 , podemos escribir ( 1 3 .44)
Sin pérdida de generalidad, podemos rotar los ejes eligiéndolos de forma que tengamos ~=o, con lo que A=O y se tiene finálmente (13. 45) De (13.39), la ecuación para la parte radial queda (13. 46)
Haciendo el cambio '"{'~= ~
_;
d'R.
d-p
dR
d'i'
c:l."I'
dp
l)
dR d¡:>
llegamos a ¡:>~
d~R
dt>"
+
d'R
-dp
'P
+ R
( ¡:>"- Yl~ ) =
o
(1 3 . 47)
que es la ecuación diferencial de Bessel, cuyas soluciones son R l~) = C J""
l ~ .,- )
+
D N'Y\, l
(1
3 .48)
donde Jn y Nn son, respectivamente, las funciones de Bessel y Neumann de orden n . Las funcione s de Bessel son oscilatorias, cambiando gradualmente de fase y decreciendo en amplitud cuando aumenta su argumento . La representación de estas funciones especiales se da en las fi guras 13.5a y b . Para r --+ O, se verifica que Nn ( r, 71) - - oc y, como no es pos i ble que exista un campo de este tipo en el centro de la guía , concluímos que D=O y, por tanto, obtenemos
Ei!
=
E01
u:ñn.\f :lyt.
l ~..,.)
ej¡a~
(1 3 . 4 9 )
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
173
habiendo agrupado todas las constantes en E 1 0 . 10
\J~
08
,...._
06 04
}
1
~!-5/~
/ )
02
/
o
./
./
./~
\
-0.2
.)
-0 6
" f'\-.
1/ f.-/
-
' V
/ V
~ )
o
06 'No /
r--,
'
N,
N, _
V
i
-0.2
I / I / / / / I / /
-0. 4
-0.6 -0.8 -1.0
/ I/
X,
\ '¡..._...-
0
~
14
12
16
N,
V-
o
/í""-. :/'
r"-, V
~
10
,¡ ;r\ 11\ ,> ¡----.. 1/ ¡, 11\ 1\ IJ\
02
(a)
~
x '\. V" V
V
I'- I/'-. V
6
0.4
-1.2
.......
/
/"
\
1\
['\_
-o•
'
\
JJ
/ !'\. V
r--..
~
' V IV
/
"'
,__....
>
/
-
'\
l'x'
/~
r"V
V [',.( (b)
,
o
10
IZ
14
16
.,,.... Para
calcular ~
hr;,. 13 . 5
imponemos la condición de contorno Ez(r=a)=O que
se traduce en
J"' ( oa.) = o
(13 . 50)
Los ceros d e las funciones son infinitos y están tabulados . Los primeros valores del argume n to dados en l a tabla 13 . 1.
Pnl que hacen cero a J n ( P nl) v i enen
~
o
1
2 ' 40
3 ' 83
5 ' 14
6 ' 38
2
5'52
7 ' 02
8 1 42
9 ' 76
3
8 ' 65
1
1o 1 7
1
11 62
13 t 02
4
11 1 79
13 1 32
14 ' 80
1 6 t 20
2
1
3
Tabla 13.1 El
primer
subí ndice
de
Pnl
indica
el
orden de la función de
174
R. GOMEZ MARTIN
Bessel y el segundo, el orden de la raiz de Jn. Si tenemos en cuenta que lfa=P nl, vemos que a cada valor de Pnl le corresponde un o diferente: ( 1 3. 5 1 )
de modo que ( 1 3.
52)
Seleccionando la raiz l de Jn tendremos el modo ™ni de guía de ondas cilíndrica. El primer subíndice da el número de variaciones angulares del campo, además de ser el orden de la función de Bessel. El segundo subíndice nos da el número de ceros de Ez en el rango O
'tT
o:
\Jt
rifJn,, ,
se obtiene
( 1 3. 53) A
+ lf
Si tenemos en cuenta que ( 1 3. 5 4)
nos queda -J~'l
e
~-+
( 13.55 )
+ 'f
EoO...,,YL
~t"('
Para el campo magnético Ht se tiene, recordando que
la expresión
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAD IACION
+i -t.
:
-~
.
- lf
2
é: o. nEo { jwlt'"l'lt )
J"l. ('?)te i"/a..)
1
lj
<.u€. O.~
to
et>.,, ey•
~evi
ytlp
'{'
[n
JYl. Li>"'lle. -<'/o..) '("
""'e a.
175
e-i~i! ~ :f.,,+1 (1'. . ef)
]
CMYJlf
-j~~ (13 56}
e
·
Las configuraciones de los campos de la guía para los modos TM 01 y TM 11 son las que se indican en las figuras 13 .6a y b.
• z
1------- ~ -- - - J
.________._ -
( a)
•H
( b)
____ __...,_ _ TM,, h~.
1).
6
3 . 2 . - Modos TE . Analizernos ahora los modos TE . Para una onda TE se obtendría , siguiendo un proceso análogo (1 3 . 57}
La determinación de o la hacernos imponiendo las condiciones de contorno para una onda TE , lo cual implica que J'n(~a)=O .
176
R. GOMEZ MARTIN
De
nuevo
vernos
que
hay
una
secuencia
infinita de valores
de
oQque satisfacen la ecuación anterior, correspondientes a los máximos de las funciones Jn(~.a). Llamando P ' nl al argumento de la derivada de la función de Bes sel,
los primeros valores que hacen J 'n ( P' nl) =O
son, excluyendo el valor a=O, los que se muestran en la tabla 13.2.
i'z
o
1
2
3
1
3 ' 83
1 '84
3 ' 05
4' 20
2
7'02
5 ' 33
6 ' 71
8'02
3
1o 1 1 7
8'54
9 ' 67
11 1 35
4
13 1 32
11 1 71
13 1 1 7
14' 58
Tabla 13 . 2 A cada valor de P'nl le corresponde un valor de
~~e
dado por
teniéndose finálrnente ( 1 3 . 58)
igual
Para hallar la componente z de los modo s normalizados se opera que en el caso de la guía rectangular y se obtiene para los
modos TE Ef¡.t
(
°Rie' / Cl. Ji
JTl~I ~ 1'_,,~)
2
t1 Q.
f (°P~ )'"-l 1~"
( 1 3 . 59)
y concretamente, para un modo TE 01 E.
11
1
1 fAQ
2
( F'ot
/
Q
) "'-
( 13.60)
jo"' (Poi) K"
Para los modos TM se tiene
p./E. (R,~/a._)2. ,.., Q"
( 1 3 . 61 )
J~., \.-P..,e) 1i:."/2
El primer subíndice indica el número de variaciones angulares que existen en una rotación de ~n y el segundo indica e l número de veces que se anula el campo H2 en el rango O~r~~ Las componentes transversales de H vienen dadas por
177
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIAC ION
(13 . 62) y por tanto
t-1t : - .y. [ A
+ lf'
.1 El campo eléctrico se obtiene de
y, por tanto
~ [ ~)-l-YLQ \40 2
t-P.,,.e,' ) .. (13 . 64 )
\:\' w o.• Ho
\P. . e')
[ 'f1.
J,,. l-P-ne
2
"f'Jo..
L -P-n~'
i'
J"'' (í'""~f)) oo11'I' l!ll.f
l-if l)
CL
·Si particularizamos para las ondas TE 01 tenemos, teniendo e n cuenta (13.58), (13.63) y (13.64), las siguientes expresiones para l os campos
+-11 = +.lo Jo ( -Po~;- ) ejp
(13 . 65)
a,
kt, "-.Y { ~~Q,"~o l -Poe )2
ft = cf f j p. w et, lio [ l CPoi)..
!
0
[Jol"Po~~)] e.1~:z}
'Oi'
o..
(Jo l Po¡ ~ ) ) J
ei ~e lJ
( 13 . 66) (13 . 67)
En el contorno r=a se tiene '
'
Así pues, en la superficie solo queda el campo ( 13 . 68)
-
s i endo Ht=O y Et=O. La s densidades superficiale s de corriente dadas por A
-
A
JS =n~H
tie ne n
la dirección del vector lf', luego: J s=- 4' J s . Podremos filtrar los r e stantes modos construyendo la guía como asociación de aros metálicos uno a continuac ión de otro, pero separa-
178
R. GOMEZ MARTIN
do? eléctricamente, o bien fabricando la guía como una hélice metálica de forma que se corten las corrientes longitudinales. Como veremos en el capítulo XIV, la constante de atenuación , debida a que los conductores no son perfectos, tiene la forma
l
( 1 3 . 69) l f2
en donde el término de cz está asociado a las componentes tangenciales de los campos y el término de et' a las Lransversales . Con Ht=O o Et=O solo tenemos el término dependiente de las componentes longitudinales y las pérdidas se pueden hacer tan pequeñas como queramos aumentando w , ya que el término de Cz decrece monótonamente conw. De todos los modos citados, los cilíndricos TE 01 son los únicos que presentan la propiedad de que su factor de atenuación disminuye con la frecuencia, por lo que son int eresantes para la transmisión de señales a grandes distancias . La representación de los campos en la guía para los modos TE 01 y TE 11 se mues tra en las figur as 13 .7a y b .
• ;¡
-
• • •-----, • • r--..
H
•
1
• • • r- ~. --
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1 1
'1
1 1
' ___ ~- o4-o·;: _ ___ _ \.-.
(a)
r---~ - -
t
....
~ - ~ H ~-;: '
'
1
' 1
1 '
" " ,, l! 1 1
1 1
l
1
1
1 1
~
\. _ .J
'- -
1
1 1
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
~
t
( b)
1
o
o
o
.,
-o-o -o-·,
r- ------, o
1
'
1 1
1
:
1
1
1 '
1 1 1 1
<--J
--~---
r-1
1
.)
o
•
1
~- .. __~!:. !.·~)
,1
• • • • •
z
TE,,
hg.. 1] . 7
CA MPO ELECTROMAGNl:CTICO . PROPAGACION Y RADIACION
179
3 . 3 .- Frecuencia de corte. La constante de propagación para ondas TM viene dada por (13 . 70)
y para ondas TE
( 1 3 . 71 ) Ambas deben ser reales para que exista propagación . Haciendo j
y teniendo en cuenta que para una onda TM (13 . 72)
y para una TE ( 13 . 7 3 )
tenemos A
1
Para que exista propagación es necesari o que
Ao<
Ac , siendo
en una onda TM y
en una onda TE . La mayor longitud de onda de corte corresponde, consultando las tablas, Á.cT1;,, =3 '4 :1. Cl . La siguiente es la del modo TM 01 , que es 2 ' 62 a , con lo que para 2 ' 62 a< A(3 ' 41 a solo se propaga el modo TE 11 . La ordenación de los modos iniciales en una guía cilíndrica viene representada en el siguiente esquema en el que las frecuencias están norma1izadas a la del modo TE 11 , (fig . 13 . 8) .
180
R. GOMEZ MARTIN
TE,, 1,3
t66
2 2.08 2.28
3
F.i..g.. 1J .8
4 .- Guía coaxial . La guía coaxial ,
cuya sección
transversal
se representa en la
figura 13.9 puede tratarse de forma análoga a una guía cilíndrica pero teniendo e n cuenta que el conductor interno impone nuevas condi ciones de contorno en r=b .
F.i..g.. 1) . 9
Formal ment e , las funciones de onda utilizadas para describir el campo electromag né tico coi n ciden con las obtenidas en el análisis de la guía cilíndrica, aunque ahora aparecen funciones de Bessel de segunda espec i e , debido a que el origen no está incluido en la región donde se desea ca l cul ar el campo
(b~r~a) .
Para las componentes longi -
tudi nales de l campo, se obtienen las siguientes e x presiones :
181
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAOIACION
.
•'
( 13. 7 4 )
para una onda TE, · y (1
·'.
3 . 75)
para una TM. En la guía coaxial, además del modo principal TEM, pueden propagarse modos de tipo TE y TM . En general interesa que se propague solo el modo TEM por lo que habrá que operar a frecuencias inferiores a las de corte de los modos TE y TM. Los autovalores o~ habrán de obtenerse a partir de las condiciones de contorno ; así, para los modos TE, la imposición de que o+-li ~o en
o -<
r=a y e n r=b, conduce a
( 13. 76)
Este es un sistema de ecuaciones homogéneo cuya solución , no trivial , exige que sea nulo el determinante de los coeficientes de ( 1 3. 72) (1
De forma análoga,
3 . 77)
para los modos TM, la imposición de que Ez sea
igual a cero en r =a y en r=b , conduce a
( 1 3 . 78) Las ecuaciones anteriores, para cada valor de n, constituyen ecuaciones trascendentes con multiplicidad de raíces . La raíz 1- sima para un valor dado den teniendo en cuenta (13 . 77) y (13 . 78), da lugar al autovalor ~~e del modo TEnl o ™nl respectivamente . Aunque existen gráf icas y tablas, por ejemplo la de la figura 13.10, que dan los
pri me~o s
ceros de es t as ecuaciones en ciertos casos
particulares, en general es preciso acudir a su resolución.
técnicas numéricas para
182
R. GOM EZ MARTIN
-r,,_ o
15 14
13 12 11 10
9 8 7
6 5 L.
3
-TE, 3
2
F.¿9-· 13 . 10
-TE,2 2
L.
3 b/o
5
6
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACJON Y RADIACION
'1
183
TEMA XIV . ENERGIA Y PERDIDAS EN GUIAS DE ONDAS.
1 . - Potencia y energía en guías . Una vez que se ha analizado la distribución y características del campo electromagnetico en guías, vamos a estudiar la potencia transmitida y almacenada en el sistema en función de dicho campo . Trataremos de expresar las magnitudes de interés en términos de las compone ntes longitudinales del campo , que son las que determinan al mismo . Fi nál mente, consideraremos guías reales , es decir , con paredes metálicas que no son conductores perfectos y con medios dieléctricos internos disipativos , obteniendo las expresiones apropiadas para la atenuación del campo en su propagación. Comenzaremos considerando una guía idea l sin fuentes . Teniendo en cuenta la dependencia armónica con el tiempo de los campos , el teorema del vector complejo de Poynting , expresión (2 . 15) , queda _l_ ¿
rhTs (E• H• ) ds = - 0 j w
siendo
-1
Wwi.
'We
'
'
'
1
.¿
:
(
Wwt - \tJe )
L±r H·~ · dv
} J1/
.!_ é
..¿
E.[ ~ d V
( 14 . 1 )
( 14 . 2)
( 14 . 3)
la energía media almacenada e P el volumen V por el campo magnético y e léctrico respectivamente . La expresión (14 . 1) indica que la potencia reactiva media transmitida a través de la superficie cerrada S, coincide con la variación respecto del tiempo de las energías medias almacenadas en el volumen V ence rrado por dicha superficie . Cons ideremo s ahora el volumen V f ormado por una sección de guía de superficie s 3 limitada por dos secciones t ransversales cualesquiera s1 y s 2 . En l a pared s 3 , supuesta conductora perfecta, debido a las condiciones de con torno , el producto E " H* toma la forma En " _H~t_dondP. _ n y t indican componente normal y tangencial a s . Por tantolt:,..\.()·dS~ 3 es nulo en la pared me tálica , lo que traduce que no hay f lujo de energía a través de un conductor perfecto . Desc omponiendo ahora los campos en sus componentes transversa l es y axiales, el vector compl ejo de Poynting toma la forma: E"\-(
( 14 . 4)
184
R. GOMEZ MARTIN
El Último sumando , para modos TE y TM, es evidentemente nulo; el segundo y • el te r cero son normales a la dirección a xial z , por lo que su producto escalar por d51 y d5 2 es también nulo . En consecuenci a podemos escribir de (14 . 1 ) :
zt SL
~ fs l Et" ~l')-ds
=
( 14 . 5)
= - 2 i w ( w"'t _We. >
F.i..9- . 14- . 1
Es evidente que el flujo de potencia activa a través de la superficie de la sección de la guía es nulo por serlo la parte real de (14 . 5) lo que po ne de manifiesto que en una guía ideal no existe disipación de potencia y que la potencia activa que entra por s 1 es _igu~l a l a saliente por s 2 . Para modos que se propagan, el producto Et" H t es real , por lo que wm y we , esto es , l os promedios de la energía almaceAada en forma e léctrica y magnética por unidad de vo l umen en la guía ideal son iguales . Dado que el campo electromagnético en guías ha sido e xpuesto en té rm inos de las componentes longitudi nales , veamos como las magnitudes introducidas, potencia transmitida y energía almacenada, pueden expresarse también e n términos de l as componen tes ci t adas . La potencia media transmitida a travé s de sección transversal de la guía viene dado por
f e~t ~ q~ ).ds
P , !._
e 1 4 . 6)
}$t
.¿
Para los modos TE ,
la relación anterior
puede expresarse en la
f orma
p
~ ~ J ¿TE [< Ht ' i ) ~ H; ] . 2 d s
o
lTE H~
±f
st
w; ds
( 14 . 7l
sl
donde se ha utilizado la relación entre Et y Ht dada por la impedancia de onda y expresada en las ecuaciones (10 . 29) y (10 . 30) . Utiliz ando la ecuaci ón (10.27) , la potencia en términos de Hz, viene dada por
p
~
.!_
.¿,
Finálmente,
ZTe
~ ~
o
J (. v\. H . \i, .¡:\. 1!
,,
l
) ds
( 14 . 8)
St
teniendo en cuenta la expresión ( 11 . 2) así como la
CA M PO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGA CION Y RADIACION
''
185
ecuación de ondas y la condición de contorno para Hz , resulta
~ ~ ~ (i¡
r- ~.Jf J i-1.- 14;
ds
( 14 . 9)
St
Análogamente, para modos TM se tiene
P ~
..'
(~\IJ~~ f Ei· f'- ) 11'~ )5i
l. ~
E: ds
( 14 . 1 O)
De la relación (14 . 9) y de la (14 . 10), se observa que la potencia transmitida es, lógicamente , propor cional al cuadrado de la am plit ud del campo y que, aparte de factores característicos del sistema de transmisión y modo propagante, su dependencia con la frecuencia viene dada por un factor w13 , es decir de la forma (14 . 11) para f< fe , modos evanescentes , 0 es imaginaria, y el flujo es de potencia reactiva, no habiendo por tanto transmisión de potencia activa comportándose pues a estos efectos , la guía como una impedancia reac tiva . 2 .- Velocidad de flujo de energía. Expresamos la potencia transmitida o flujo me dio de energía que por segundo cruza una sección transversal del sistema, como la variación de la energía media almacenada por unidad de longitud, es decir
'P
=
d w'
( 14 . 1 2)
dt
donde d w' =( w~ ... w..;. ) d:c. siendo w~ y w~ las e nergías almacenadas por unidad de longitud por los campos eléctricos y magnét icos res pect i vamente, esto es w' e
-1
' w>n
.!..
E
E·E" ds
4 ) St 4
tl r ~ · ~·
ds
( 14 . 13) ( 14 . 14)
puesto que w~=w~. para modos que se propagan ( 14.1 5) donde ve es la velocidad de propagación de la energía .
186
R. GOMEZ MARTIN
Por ejemplo, para modos TE:
~
We' =
t
f:
cl.s
( 14. 1 6)
- [t -. jf Et·
clS
(14.17)
t 1;
~
escribiendo ( 14.7 ) de la forma 1
:p= - .¿
z . .~
.s~
de (14. 1';), ( 14.1 6) , (14.17) y (10.45), se obtiene _1_
.
~ fE. De
~ 1- r_ f ~
( 14. 1 8)
(14.18) vernos que la velocidad de flujo de ener gía coincide
con la velocidad de grupo dacta por la expresión (10.47). Un desarrollo análogo nos llevaría a la misma conclusión para modos TM y TEM. los
-
Como aplicación, calculemos las potencias medias transmitidas en diferen.t es modos de una guía rectangular particularizando, por
ejemplo,
a los modos TE. Teniendo en cuenta (13.17), la expresión de
Hz para dichos modos resulta:
~ ~~ ~
o..
) dx o
b
~ ~ eoj~ l ~ x) ea? ( ~tt ~ ) el~ o
donde Bes la amplitud de Hz . Operando se obtiene: ( 14. 19) Análogamente, para los modos TM, la expresión de la potencia result~: (14.20)
3.- Cálculo de la atenuación en guías. Para un modo que se propaga,
la atenuación en l a guía está aso-
ciada por una parte a la disipación de energía en las paredes debida a su cond uctividad que aunque norma lmente muy elevada no es infinita y por otra a las pérdidas de tipo dieléctrico en los materiales que const it uyen el sistema . En general, el factor de atenuación es pequeño, pero su conoci mi ento es necesario dado que la atenuación total de la onda varía exponencialmente con la distancia. Las pérdidas asociadas a los materiales se traducen en general a la existencia del factor de atenuación citado , siendo las distribucio-
,
'
187
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PRO PAGACION Y RAOIACION
.
'
nes transversales del campo las mismas analizadas para las guías ideales. Por el contrar io , las pé r d idas en las paredes representan un cambio en las condiciones de contorno que da lugar en general a q ue los modos normales estudiados no pueden propagarse en forma p ura , sino que establece un acop l amiento entr e ellos .
,.'
..!
No obstante , si las pérdidas
son pequeñas, esta efecto puede normalmente despreciarse y , por ello , no haremos un tratamiento comp l eto del problema , reduc i éndonos al cálculo del factor de atenuación . Si P es la potencia transmitida por la guía y denom i namos P~ a la potencia disipada por unidad de longitud en la dirección de prop agación, la disminución de P con la distancia será coincidente con P~ .
dP
( 1 4 . 21 )
d :a -o( j!
Como la amplitud de la onda varía según e , siendo q el f actor de atenuación, P variará según e-?s>t~ , con lo cual se obtiene O(
1
.;¡,
El cálculo del f a cto r
dP d2
l. p
(1 4. 22)
de atenuac i ón debido a dis ipación e n l as
paredes, supuesto que este f actor es pe q ueño , puede efectuarse por el procedimiento perturbativo consistente en suponer que la distri buc i ón del campo electromagnético coincide fundamentalmente con la de la gu í a sin pérdidas; ahora bie n, e l campo magnético tangencial a la pared i nduce. corrientes en la misma y , al considerar una conductividad finit a, dichas corrientes llevarán asociado un campo eléctrico que , por tanto , será tangencial a la pared . Este campo eléctrico sería nulo si l a p ared fuera un conductor perfecto . La combinación de ambos campos da lugar a una energía dirigida hacia el interior de la pared coincidente con la disipación por efecto Joule en el conductor. Esta energía se resta a la que se propaga en la dirección de z, atenuándose la onda .
E H
Si y son los campos que e x isten en la proximidad de la pared , la potencia disipada por unidad de longitud vendrá dada por
siendo L el contorno de la sección transversal de la guía y
n el
vec -
tor unitario normal a la pared , dirigido hacia el interior del conduc tor. Si hacemos ahora la aproximación de conductor plano pa;'a hallar la •otenc ia perdida por unidad de longitud, cabe hacer la suposición de onda plana propagándose en el conductor , ya que la componente normal
del campo
al
conductor se atenúa rápid a mente y
las componentes
l.
~'
..
'
188
R. GOMEZ MARTIN
-
tangenciales de E y H se conservan. Así , recordando el concepto de resistencia superficial , tendremos
±- ~s ~ ~ de
t>d' ::
\
.
(14 . 24)
e
~
resultando para el coeficiente de atenuación del modo n- simo
.L 1(5
o/.
L~-~ ·de_
(14 . 25)
2 5st\4~~ ds
.¿,
siendo Z la i mpedancia de onda del modo en cuestión . La única dificultad que puede encontrarse en la aplicación de esta relación parte de la aproximación efectuada de la pared por pequeñas z onas planas. Esto solo es válido cuando el radio de curvatura de la pared sea suficientemente grande como para que la profundidad de penetración J sea mucho menor que la distancia necesaria para que H cambie apreciablemente en el contorno . En las esquinas de una guía rectangular esta suposición no es adecuada . Sin e mbargo , el campo H es nul o en ellas y , por ta nto , l a relación (14 . 25) sigue siendo válida . Como ejemplo de aplicación calculemos la atenuación del modo TE 10 en guía rectang ular . Como el modo fundamental en guía rectangular solo tiene los componentes Hx y Hz, deducidos en e l capítulo anterior , dicha integral es de la f orma
JL
l ~ (\ H. \" ~ \\-\,\'") ....
\-\·\:\"de:
.e,
o
\,
dll
+) ( lHlt \\.\c\2) d~ o
te niendo e n cuenta que las pérdidas en las paredes opuestas son iguales . Sustituyendo las expresiones de Hx y Hz y operando , se obtiene (14 . 26) Sustituyendo valores en (14 . 26) y operando adecuadamente se obtie ne finálmente para el factor de atenuación del modo TE 10 en guía rectangular: ( -<,w Eo (
.¿bl1..-
( 14. 27)
Recordemos que los valores del factor de atenuación , tal como se han calculado, vjenen expresados en nepers/metro y que multiplicados por 8 868 se convierten en dB/m . Utilizando el valor de la conductivi1 dad del cobre (5 ' 8.10 7 (am) - ), para una guía estandard de la banda x (8 ' 20 a 12 ' 4 GHz) se obtiene un factor de atenuación del orden de 0'1 1
CAMPO ELECTROMAGN ETICO. PRO PAGACION Y RADI AC ION
,)
189
dB/m para el modo fundamental en el centro de la banda . No obstante , conviene destacar que los factores de atenuación reales dependen fuer temente del estado de las superficies metálicas . La dependencia del factor de atenuación con la frecuencia puede analizarse en términos generales a partir de la expresión (14.25). Es -
l
ta dependencia, simbólicamente puede expresarse en la forma : d.
V\
J ~tw l W/~
\
(
~+B
111-t~l'
J
/
ll-ld'
l
( 14 . 28)
O
donde se ha tenido en cuenta que las expr esiones de la i mpedancia de onda para los modos TE y TM y se sobreentiende que , en las e x presio nes en~re llaves, la superior corresponde a modos TE y la inferior , amodos TM . Teniendo en cuenta además que
f
depende de la frecuencia se-
gún (14 . 29) Para los modos TM resulta una dependencia del tipo: o/ =
C
lw
~ b.
I u.le ) t (_lv/wc)°'·- .\.
1i¡.¿,
(14 . 30)
comprobándose fácilmente que dicha atenuación presenta un mínimo a la frecuencia w, '13 Ltk , independientemente de la sección transversa l de la guía (fig . 14 . 2) .
f,
F.i.g..
14 . 2
Para los modos TE ha de tenerse en cuenta la contribución de H .
z
De la ecuación que liga a Ht con Hz para estos modos , relación (10.2 7 ~ fácilmente se obtiene que
~h V\ _1_
l-\ l
13
( 14 . 31 )
190
R. GOMEZ MARTIN
con lo que la expresión de« queda de la forma:
De estos términos (uno asociado a las pérdidas debidas a Hz y el otro a las debidas a Ht en las paredes}, el primero decrece monótonamente con la frecuencia y elsegundo presenta un mínimo análogo al encontrado para los modos TM. Si en las paredes de la guía Ht es nulo, solo tendremos el primer término y las pérdidas pueden hacerse todo lo bajas que se desee operando a frecuencias suficientemente altas. Esta es la situación de los modos TE
en guía cilíndrica, que los hace po01 tencialmente muy útiles para transmisión a larga distancia. De todos
los modos analizados en sistemas de transmisión, los citados son los únicos que presentan la propiedad de que su factor de atenuación disminuye monótonamente con la frecuencia. Finálmente consideremos la atenuación debid~ a pérdidas volúmicas asociadas al carácter disipativo de los materiales constitutivos del sistema, e n este caso solo es preciso te_n er en cuenta el carácter complejo de l parámetro de caracteriz a ción del material. Supongamos por ejemplo ,
una guía totalmente llena de un d i eléctrico no magnético y
disipativo, que caracteri z amos por la permitividad compleja: (14. 32}
En el supuesto de guía homogénea l l ena de este material, la relación de dispersión toma la forma ( 14. 33}
en la cual el carácter complejo de t. implÍca l a existencia de una componente ~ imaginaria para
r que
es el factor de atenuación ( 14. 34)
En situaciones en que ~sea pequeña, la relación anterior co~duce
a ~,2 + cr"-
v.)2 \-'-"-'
o/..
ú.)2
2.
~t."
\> 1
:::
~12 2
+
02
~t \
( 14. 35)
{q df
( 14. 36}
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAG ACION Y RAOIACION
19 1
siendo proporcional el factor de atenuación a la tangente de pérdidas Jr, en tanto que la constante de fase y, por tanto, la longitud de onda, no varía prácticamente respecto al valor correspondiente a guía s i n pérdidas . La variación/ del f ·~tor ·i _.,1 r,r1uación con la frecuencia , supuesto un rango de frecuencia er· 1•J'? 1 '-· ,, opiedades del mater al no ( 1 4 . 36) , el se hace 11,,,y e l evada a varíen, se deduce directamente fr ecuencias próx i mas a la de ~ . lisminuyendo hasta un 'ñlor mínimo para crecer después al aumentar la fre cuencia , hasta hacerse prácticamen te proporcional a ella .
-~
.
193
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACI ON Y RAOIACJON
TEMA XV. CAVIDADES RESONANTES. 1 .- Introducción . Las cavidades son dispositivos de microondas que están esencialmente cons ti tui dos por una región dieléctrica encerrada por paredes conductoras y que juegan un papel equivalente a los circuitos resonantes a bajas frecuencias, ya que son altamente selectivos , e s decir , tienen un factor de ca l idad O muy elevado y solo a determinadas fre cuencias , las denominadas de resonancia, son capaces de almacenar gra~ des densidades de energía. Una diferencia notable respecto a l os circuitos resonantes de baj a frecuencia reside en que un a cavidad resonante posee un número discreto , per o indefinido , de fr ecuencias de resonancia y no una sola . Por otra parte, dado que, aunque muy pequeñas , en las guías existen pérdidas , se verificará que, por muy estrecho que sea el ancho de banda de la cavidad , no será nulo, de modo que la respuesta en frecuencia no va a es t ar constituida por rayas espectrales puras . De todas f ormas este anc ho de banda es mucho más pequeño que el de l os cirouitos resonantes LC de baj a frecuencia . Las pérdidas en las cavidades son fundamentalmente debidas al efecto Joule en las paredes , que tienen una conductividad finita . Otra s pérdidas son l as que tienen lugar en el dieléctrico y las debidas a radiación a través del orificio de excitación y extracción de energía de la cav idad . En lo que s igue v amos a estudiar las característ i cas propias de la cavidad resonante tales como ancho de banda , factor de cali dad y curva de resonancia, íntimamente relacionados . Recordemos que e l factor de calidad o factor O de un sistema resonante se de fine como (1
5.1 )
donde wa es la energía almacenada y Pd' la potencia media disipada por segundo , w. la frecuencia de resonancia y t;.w el ancho de banda ( f 1g . 1 5 . 1 ) . Aunque el problema general de una cavidad arbitraria lo podemos plantear en forma de solución de las ecuaciones de Maxwell sujetas a .i.as condiciones de contorno apropiadas, que serJ.n las impuestas por las paredes conductoras de la cavidad , lo que vamos a hacer e s estudiar las cavidades como tramos de guías cortocircuitadas y apoyarnos en las soluciones ya conocidas para estas .
194
R. GOMEZ MARTIN
En cuanto al factor de calidad , Q, en el que es preciso tener en cuenta las pérdidas para su análisis, seguiremos un método perturbati vo semejante al estudiado en la atenuación de guías ; esto es , partiremos de la distribución de campos en una cavidad ideal . Consideremos ~a guía representada en la f igura 15 . 2a F.i..~. 15. 1 en la que supondremos que se propaga un modo TEnl ' Si en un punto A del eje z se coloca un cortoc ircuito metálico (en plano perpendicular a z), se originará una onda estacionaria , fig ura 15 . 2b . Esta onda estacionaria, formada por la superposición de la incidente y la reflejada por el cortocircuito, obliga a que Et sea igual a cero , en puntos distantes entre sí >..;2, siendo A la longitud de onda en la guía . Estos mínimos serán nulos si la guía es sin pérdidas .
w
(al
(bl
A
F.i..f¡. 15. 2
Si , teniendo en cuenta la situación anteriormente citada , suponemos que en algún mínimo como B o e colocamos otro cortocircuito , las condiciones de contorno no varían y la solución del problema inicial sigue siendo válida . De esta forma, se ha construido una cavidad resonante . Este dispositivo es capaz de almacenar una densidad elevada de energía electromagnética por reflexión sucesiva de la onda en ambos cortocircuitos. Partiendo de las condiciones indicadas, si cambia la posición del
CAMPO EL ECTRO M AGNETI CO. PROPA G ACION Y RA DIACI ON
195
cort ocircui~o . o bien , permaneciendo este fijo , si se modifica la frecue ncia , se deshacen las condiciones de resonancia y la cavidad deja de almacenar energía electromagnética . Conociendo la solución del campo electromag né tico de la guía base, puede obtenerse l a expresión del campo electromagnético de la c avidad. Así, si es
el campo eléctrico transversal de la onda incidente , el campo de l a onda estacionari a formada por la colocación de un cortocircuito en z = O, tendrá la expresión ~
- 2-j A e. l~1j) donde
~
MY\. t~~) l
está determinada por la relación de dispersión
Como ~ se anula cuando sen ( (3 z ) =0, la condición de resonanci a implicará que la l ongitud L de la cavidad sea múltiplo de A/2 :
r; L_F .,"' -.z .A--
.
( 15 . 2)
J
La constante p determina el modo de resonancia par a un modo TEnl de la guía base , que se denomina modo TEnlp ' La condición de resonancia puede expresarse como ( 1 5 . 3)
,,'
Por o tra parte , el c ampo eléctrico en la c avidad tendrá una distribución dada por A
B
.'
,i
e ( x,
':!)
jeyt (
f' ~ ~ ) t. L
( 15 . 4)
El desarrollo anterior se ha efectuado partiendo de un modo TE, pero el correpondiente a modos TM sigue una línea totalmen:e análoga , aunque consideremos las condiciones de contorno particulares de dichos modos . Utilizando la componente Et para describir dichos modos, e l desarrollo es análogo y se llega a las mismas ex presiones ( 1 5 . 3) y (15. 4 ) para la condición de resonancia y distribución del campo .
196
R. GOMEZ MARTI N
2 .- Cálculo del factor de calidad. Consideramos inicialmente que el medio interior de la cavidad es homogéneo y sin pérdidas. Las pérdidas que intervienen en el cálculo de O serán debidas a la conductividad finita de las paredes , aparte de las que se puedan orginar por los acoples de excitación y extracción de energía, que por ahora no incluiremos . Recordando el resultado obtenido al estudiar la potencia disipada por unidad de longitud en las paredes de una guía , para una cavidad de paredes no magnéticas y superficie interior S , se deduce que
P,/
= _l._ .¿a- ó
f ~-~· ds Js
= _!_
Rs
.¿
r H·i4· ds
Js
( 1 4 . 24)
siendo O- la conductividad de las paredes y J la profundidad de penetración. Por otra parte, en una cavidad con pérdidas pequeñas (Q alta) las energías almacenadas en valor medio en forma eléctrica y magnética coinciden , result'ando
VJ =
.¿
We = -2 'v.J"TY¡
=
1) 14-°H.. d\J
( 1 5.
5)
'I
siendo ~ la permea~ilidad del medio interior a la cavidad y extendiéndose la integración al volumen V encerrado por las paredes . De las relaciones (14 . 24) y {15 . 5) se obtiene finálmente la expresión de Q en términos del campo electromagnético del modo para el que existe resonancia de la cavidad y de las características eléctricas y magnéticas de los materiales que la constituyen
J, \4. \~( dV G
l µ.~ · ds
( 15 . 6)
s
Se observa sin dificultad que, para un modo de resonancia de una cavidad determinada, el f actor O es un parámetro de caracterización perfectamente determinado, siendo, en concreto , independiente de la amplitud y dependiente de la estructura geométrica , frecuencia y constitución física de la cavidad . Así, la relación (15 . 6) suele ponerse en términos de un factor de forma , F , que dependerá del modo de resonancia y del cociente volumen/superficie de la cavidad, resultando
CAMPO ELECTROMAGNETlCO. PROPAGACION Y RADIAC ION
197
El factor de f orma F suele ser del orden de la unidad, con lo cual resulta que Q coincide normalmente con la relación entre el volumen de l a cavidad y el vol umen ocupado por las corrientes que circ ulan por las paredes y que vale S . ó . 3 .- Amortiguamiento y curva de resonancia. Si en una cavidad alimentada en resonancia se corta la alimentación de energía , debido a las pérdidas, irá decreciendo paulati namente y tanto más rápidamen te cuanto mayor sea su factor de calidad la energía en ella almacenada . Si iJ es la energía almacenada, que en principio puede medirse mediante un acoplamiento de salida adecuado , la energí a disipada por segundo vendrá dada por
,p· __dCW d
-
dt
con lo que, de (15 . 1 ), se obtiene para la variación de la energía en la cavidad
d 'W dl que integrada , resulta (1
5 . 7)
donde iJ;, es la energía almacenada en la cavidad cuando se cort a la alimentación en e l in stante t=O . Cuando el valor de O es suficientemente e l evado se puede medir el tiempo de caída por un procedimiento convencional y , de esta forma, conocida '2J:, se tiene un método para la medida del f actor Q. A 1 OGHz, por ejemplo , un valor de Q del orden de 10 5 da tiempos de caída del orden de 1 ' 6fs . La ley de amortiguamiento dada por (15 . 7) permite expresar el cam po , supuesto medido a través de una magnitud A, en la forma :
A (t)
~
Aº e lwºt
(1
5 . 8)
Esta relación indica una oscilación amortig uada de frecuencia fundame ntal e.Jo , con con stante de tiempo dada por (W~2Q) - 1 y puede co~ siderarse como superposición de osc ilaciones no a mortiguadas de fre -
198
R. GOMEZ MARTIN
cuencia
Wo
y frecuencias muy próximas a ella. En efecto, supuesto que
Ao
ej(W.•j~)t
flw)e)Wt dw o
se obtiene, calculando la transformada de Fourier -
A ~W)
~ ) e
-e 11
j [ (Wo-W) + i~
Jlo
..?Q.
dt
o
cuyo valor absoluto resulta ser l. [ l..~ t<.Q <..u-Wo )'Wo
rl:t
( 15.9)
De aquí, podemos obtener la respuesta en potencia de la cavidad a una excitación externa armónica de frecuenciaw . La relación que ajusta la curva de resonancia de la cavidad es
62J (w)
Ucwo)
:
( 1 5 . 1 o)
y que gráficamente ~orresponde a la indicada en la figura 15 . 1 . Los resultados obtenidos en los apartados anteriores nos permiten e f ectuar un estudio teórico de la cavidad en lo que a resoluc i ón del campo y cálculo de O se refiere, como a continuación veremos . Lo desar r ollado en este apartado permite, por otra parte , establecer técn i cas ex perimentales para la determinación del factor de calidad , así como confeccionar un modelo circuital de tipo resonante que se ajuste a la respuesta de la cavidad . 4 . - Cavidad rectangular . Modos TE 10 p . Para hacer un estudio teórico podemos considerar una cavidad rectangular como el recinto encerrado por paredes perfectamente conductoras tal y como muestra la figura 15.3 . y
b
a
F.i...g.. 15 . 3
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
199
Obtendremos los campos considerando la cavidad como un tramo de guía co rtocircuitado por sus dos extremos. A modo de ejemplo, estudiaremos los modos TE 10 P que , como ya sabemos, corresponden a un modo base TE 10 extendiéndose p semilongitudes de onda a lo largo de la longi tud L. La expresión general de la componente Hz del modo TE 10 corresponderá a la superposición de las ondas incidente y reflejada :
H.._ ~ \--\~ e.o~ ~ e- J~Z
+
a..
\.i.,. e.o:<. o
e Jf!>l-
.!:!..X
o...
Dicho campo ha de ser nulo en z=O y en z=L, de donde se obtiene que ~L:
)
F,,
p~ 1.~
..
resultando para Hz : ( 15 .1 1 ) y
para la relación de dispersión: ( 1 5 . 1 2)
conservándose la independencia con la coordenada y. Se observa también que (15 . 12) corresponde a la particularización de (15 . 3) para el caso estudiado . Las restantes componentes se obtienen a partir de Hz por el procedimiento habitual . De esta forma se obtiene
f.-\>( =
.
'
~
co\-h) Cll..
.Q_
( T'1 /a_)¿
Ql(
.;?, \
"
p ~ H~
..\'1rfl
L
11 l( Q.
(.oj
f
.!1. L
~
De forma análoga , para Ey se obtiene
E~
º µ.i!
-_JWf!::
l
T'1
ox
la..)¿
~
0~ f'1
1-\~
..1eyt~
P !'\
;e
a..
~eYL-fµL
L
Z
O bien , reagrupando resultados
Hx
= - P ¡
E4 = i -.i
donde H0-2jH 0 i .
J
Q
L
H0
w µ.,o...
'T"f
~e.Y\. Ho
1'1 X
a..
C..O~
óerrt 11 X
°'-
'L
(15 . 1 3 }
~evt ~.C.
L
200
R. GOMEZ MARTIN
Se observa que Hz y EY son nulos en z=O y en z=L, mientras que Hx posee amplitud máxima en dichas posiciones, como corresponde a máxima intensidad circulante por los cortocircuitos . Por otra parte , hay un desfase de 90° entre el campo eléctrico y el magnético, tal como corresponde a la hipótesis de pérdidas nulas que hemos supuesto . Una vez obtenido el campo, las integraciones que aparecen en la relación (15 .6 ) para el cálculo del factor O se efectúan sin dificultad , obteniéndose , ~ara el modo TE 10~ : L o.. b (
1
J
o_•+
L')
( 15.14)
a. L (Q'+ ~) +.z\, C~ .i. r)
Como dato ilustrativo, el valor teórico del f actor O de una cavidad cúbica de paredes de cobre (~=5 ' 8 . 10 7 mhos/m) y de 3cm. de lado, resulta ser 12700, con frecuencia de resonancia en 7 ' 071GHz . No obstan te , el valor real del factor O suele ser algo inferior, debido básicamente al estado de la superficie , cuyas rugosidades aunque sean pequeñas , da n un área efectiva superior a la teórica . 5 .- cavidad cilíndrica . Modos TE 01 p . Nos centraremos en el estudio de los modos TE 01 P por ser los más utilizados en la práctica , entre otros motivos debido a los elevados valores que para los factores de cal idad se pueden obtener . En una guía de sección circular de radio a , la componente Hz del modo TE 01 posee una dependencia de la forma ( 15 . 1 5) siendo J 0 la función de Bessel de orden cero y ºoi.
~ ~'
°'-
,,.
-
1
::i 1?3iH Q
donde p 01 son los valores del argumento que anulan a las derivadas de las funciones de Bessel . Mediante un análisis análogo al efectuado para cavidades rectangulares , se obtienen las siguientes expresiones para el campo en la cavidad:
H, ~ \-\~ 'l l"óo, T) ~eu. ~ L
µ,.
2
- t-lo ~ ~ ~Ol J-l J~ ~ Ool "(") lo~
"'2
~
- j' Ho ~ J t
~
X:
~-
(
"6ol "(" )
ÓErt'\. \
( 15 . 1 6)
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACI ON
201
siendo L la longitud de la cavidad y p el número de semilongitudes de onda que abarca . La relación de dispersión que liga la frecuencia de resonancia con la geometría de la cavidad es ( 15 . 17) Por otra parte , el factor de calidad para estas cavidades viene dado por la expr esión
t(P-2 f' • º: 1 Q;,1' ,. z:- ( I[ f' 0
°'-
pudiendo obtenerse en la banda X valores entre 10.000 y 40 . 000 e incluso mayores . Para el modo TE la representación de los campos es la indicada 011 en la figura 15 . 4 .
f H
1
''
1 1 \
I ' -~' _ ,
F.i...g. . 15. 4 'P
5 . 1 . Corrientes superficiales . En la s uperficie lateral y tambi é n en las bases se anula E, por lo que no exis t e concentración de cargas libres en la s uperficie de la cavidad . Hr se a nu la en la superficie lateral y Hz en las bases , por lo que las corrientes s u perficiales J =ñ~ H que producen los campos 8 son : superficie lateral: no produce corrientes .
bases : corrientes según l a dirección~
202
R. GOMEZ MARTJN
superficie lateral: corrientes según la dirección~.
bases: no produce corrientes.
.
Hay corrientes en la cavidad tanto en las bases como en la superficie lateral , pero todas tienen la dirección~, por lo que no fluye corriente en la unión de la superficie lateral y las bases; por tanto, si se sintoniza una cavidad moviendo la placa que constituye una de las bases mediante un tornillo de paso micrométrico, no es preciso un buen contacto entre las bases y la pared. Este dispositivo se utiliza entre otras cosas para la construcción de frecuencímetros. Para cualquier otro tipo de onda existe corriente entre el ci lindro y sus bases por lo que cualquier contacto deslizante debe tener mucha precisión si se quiere conservar bien el modo en la cavidad resonante. Consultando en las tablas de raíces de las funciones de Bessel y de sus derivada s , así como en las expresiones de las componentes lon gitudinales de los modos TM 11 y TE 01 , obtenemos E.º eo~
-1(1 e:
\p
Ji. ( f•• ...-ict.) e.
Como p =p =3 ' 83 (por lo que tienen igual frecuencia de resonancia), 11 01 los modos TM 11 p y TE 01 p están degenerados: son simultáneamente resonantes . La existencia de un "gap " entre la superficie lateral y las bases disminuye el factor de calidad Q de los modos TM 11 p . La eliminación de estos modos se puede hacer f iltrándolos , mediante la construcción de una cavidad resonante formada por una asociación de aros metálico s separados eléccavidad tricamente o bien diseñando H cilín drica los iris de alimentación de @ forma que se excite selecti vamen te el modo TE 01 P . Esto se consigue co locándolos paralelamente a la ge neratriz del corr i entes cilindro . Así, se elimina el guid rectangul ar modo degenerado TM 11 p' c uyas líneas de corriente en la suF.i.g. 15. 5 perficie lateral son paralelas a las bases del cilindro, figura 15, 5 ,
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACIO'I Y RADIACION
203
'
' Und arli..:J.ción de gran interés en lds cavidades es la caracteri-
zación electromagnética de materiales . Cuando e11 una cavidad resonante se introduce una pequeña perturbación como p~ede ser pequeñas muestras de un material que se quiera estudiar; o bien , sustituir el dieléctrico por otro de características eléctricas muy parecidas (vacío por gas por ejemplo) se pueden obtener parámetros propios de la causa de la perturbación utilizando la teoría de pequeñas perturbaciones, es decir, en términos de las característi cas del sistema sin perturbar y de la perturbación en sí. En muchos casos esta teoría da resultados precisos y de una sencillez muy super ior en general a la del análisis riguroso del sistema . Para desarrollar esta teoría supongamos que s 0 es el sistema c orrespondiente a la cavidad sin perturbar, en e l que la sol ución del campo electromagnético resulta ser
ee ' -. \-\
~º ( 1- l
e
jwt
140 (~) e jw-l
( 15 . 1 9)
r representa la posicion en el interior de la cavidad. Para la cavidad perturbada s upondremos que podemos representar el campo por superposición de uno con distribución análoga al de la cavidad original , aunq ue no necesariamente con la misma amplitud, que dependerá del nivel de excitación y del acoplo de la cavidad al resto del sistema y de otros términos que en principio podrían desarrollarse en función de los modos normales de la cavidad . La nueva distri bución del campo resonará a una frecuencia ligeramente diferente de la origi - nal. De esta forma , llamando E1 y H1 a las modif icaciones de la dist ri bución del campo y Jw a l a variación de l a fr ecuenc ia, se tie ne para el campo en el sistema perturbado la siguiente expresión donde
E"
e.
~ ltv +ów)i.
( 15 . 20)
Por otra parte, estos campos reseñados obedecen a las ecuaciones rotacionales de Maxwell que, particularizadas para el interior de la cavidad bajo excitación armónica , son
204
R. GOMEZ M ARTIN
(15 . 21 )
Sustituyendo en estas ecuaciones los campos modificados y los ori ginales y restando los resultados, se obtiene
v~ E¡ ~ -j [c.v B1
v" H~
+
j [ w ñl
=
Jw +
tsº . . B1) 1
ow l ñº . . ñiJ]
Mult iplicando la primera de estas ecuaciones escalarmente por tt 0 la segunda por 'E0 y sumando, a la vez que utilizando la identidad vectorial 'V (AAB) = B ·lVi<¡)- A·lVAB) y teniendo en cuenta (15.21), se obtiene y
jW [ ( Ei · D
0 -
j
~i· B 0
)
(fo· Dl- HB!) 1+
-
0
·
\J. [
Eo" ~! El" Ho] -
dw [ \ Eo · D H ~o ) + ( E Dl- ~J3l )] 0 -
0
·
0 •
Integrando esta Última ecuación a todo el volumen v de la cavi0 dad, suponiendo que está encerrada por paredes perfectamente conductoras, por lo que la integración del término de la divergencia se anula, resulta la siguiente ex presión:
Ll w
(El·
Dº -E.,· n1) - l ~ .. B. - Ñ.- BJ] dV
JL Eo· li51 i)o J - ~o · ( B1 ~o)J d \J "· resaltar que todavía en esta etapa del +
( 15.22)
+
Conviene desarrollo ne se h a hecho uso de las hipó tesis que permiten aplicar las condiciones de perturbación , con lo cual la ecuación (15 . 22) es correcta en general bajo la única restricción de que la cavidad esté totalmente encerrada por paredes perfectamente conductoras, y medio dieléctrico perfecto . Suponiendo ahora que D1 <:< o y que B 1 << 0 en toda la cavidad , 0 0 salvo como máximo en una pequeña región de volumen v1 << v0 , la ecuación (15 . 22) puede expresarse en la forma:
j v, [ \f1·ii- ~º·DJ-rn1·~º- H.·BJ] dV f \ E" 13º - ~ •. 9º) d \} 0
Vo
(15 . 23)
205
CAMPO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIACION
La ecuación anterior constituye la expresión fundamental de la teoría de perturbaciones en cavidades resonantes , cuya aplicación veremos posteriormente. Conviene destacar que, cuando las cavidades y los posibles materiales que se introducen en ellas poseen pérdidas , el segundo miembro de la ecuación (15.23) será complejo , lo cual puede representarse por una frecuencia compleja en el primer miembro Wc
c.J-jw''
( 1 5 . 24)
estando relacionada e.u" con las pérdidas . Con este simbolismo , la dependencia del campo, considerado oscilando libremente en la cavidad , con el tiempo , será de la forma:
e ~w't · e w"t y comparando con la ecuación (15 . 9) , se observa que fact or
w"vien~
l igada al
O por w" =
w'
eQ
con-lo cual la desviación de la frecuencia compleja , en el caso de valores de O elevados , vendrá dada por (15.
25)
estando relacionada la parte real del segundo miembro de (15 . 25 ) co n la variación de la frecuencia de resonancia y la parte imaginar ia con la del f ac.tor O, parámetros a mbos que, como sabemos , son los que cara~ terizan experimentalmente a una cavidad resonante . Veamos como ejemplo de aplicación el caso de una varilla dieléc trica en una cavidad cilíndrica operando en el modo TM
. Supondremos 010 que dicha varilla cilíndrica, de seccion muy inferior a la de la ca vidad y colocada concéntricamente a la misma . El modo de resonancia escogido es el TM 010 para el cual solo hay componente E 2 y H0 , que den solamente de r, e n la forma:
s i e ndo
depe~
~
206
R. GOMEZ MARTIN
y a, el radio de la cuvidad . El denominador de la expresión (15.23), en que de la cavidad , tiene entonces la forma:
~ ( E D ~0 ·BJ e-\ V= 0 ·
0
-
éo
A.'-\ l ~r
(
Dot -r)
v0
es el volumen
~ J: loot '1")1 '
~
\
que, operando adecuadamente, resulta
Para el cálculo del numerador en la ecuación de perturbaciones hemos de fijarno s en primer lugar en que podemos identificar aproximadamente la integración en v0 con la correspondiente a v1 , que es el volumen de la región perturbada. Esto es esí debido a que la contribución al campo de la perturbación es solo apreciabl e en la región de la muestra y sus proximidades. Si la muestra es de permitivadad apreciable , la contribución a las integrales en la zona de la muestra es muy superior a la correspondiente al campo perturbado en las inmediaciones . Por otra parte, considerada la varilla como no magnética , el término correspondiente en el numerador es nulo. Al ser el campo eléctrico paralelo a los bordes de la varilla, que suponemos de la misma longitud que la cavidad , el campo E interno de la muestra coincide con el externo y, por tanto, E1 =0 . Por otra parte , si éT es l a permitividad relativa de la varilla y se supone rodeada de aire ( €= Eo) , se obtiene 0 +i5'1 = Co ET (E0 +E'1 ) = Ce. Er 'E0 , siendo a = Eo , con lo cual resulta su vez 0 0 E!·D,, - E0 ·b! = - E0 · Ll1 ., - éo \é.,.-1.) E:
D
o
E
Teniendo esto en cuenta y dado que el campo eléctrico es prácticamente uniforme en la región de volumen v 1 ocupada por la varilla, el numerador de la expresión (15.23) es - E0 P-.~lE, -~)Vi.
donde se ha puesto E~=A 2 , que es su valor para r=O. De esta forma, se obtiene finálmente
cfw w
é.,-- l
¿ J~
h.t ll.)
\J1
( 1 5. 26)
\}º
donde el signo negativo indica que la frecuencia de resonancia de la cavidad disminuye al introducir la varilla. El cociente v 1;v 0 coincide con la relación de radios varilla-cavidad al cuadrado, caso de ser la varilla cilíndrica. En la tabla 15.1, se dan los valores de J 1 l~tQ) para diferentes val ores de 1, índice radial del modo.
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACIO N Y RADIAC ION
~
207
. 1
J,
( ~otC\.)
1 0 ' 5191 5
2
3
-0'34026
0 ' 27143
4 -0 ' 23246
Tabla 15.1 . Para una frecuencia determinada,
los valores de 1 generalmente
utilizados en la práct i ca son o 2, ya que, aunque a primera vista parecería ventajoso, en orden a obtener mayor sensibilidad , utilizar valores superiores de 1, ello implicaría la necesidad de aumentar el radio de la cavidad con la consiguien te reducción en el cociente v ;v 1 0 dado que aumentar el radio de la varilla significaría menor aproximación en el resultado de la ~plicación de la ecuación de perturbaciones . Para tener en cuenta el e f ecto de las pérdidas dieléctricas del material basta con dar caracter complejo a E~ en la expresión (15 . 26) viniendo dada la parte imaginaria del primer miembro , según ya se ha visto, por:
siendo o y 01 los valores del factor de calidad de la cavidad vacía 0 y con muestra respectivamente .
•
-.
209
CA MPO EL ECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
CAPITULO XVI. ECUACIONES DE ONDAS PARA LOS POTENCIALES. 1 . - Introducción .
1 '
Hasta ahora hemos estudiado la propagación de ondas electromagnéticas sin preocuparnos de como se producen . En este y siguientes capítulos nos ocuparemos de relacionar l os campos con sus fuentes . Para ello , lo más conveniente es hacerlo a través de los potenciales electromagnéticos. Una vez obtenida la ecuación de ondas para estos poten ciales , procederemos a buscar su solución . 2 .- Invarianza de contraste para los potencial es . Sabemos que en el caso más general , el campo eléctrico puede escribirse como la s uma del gradiente de una función escalar y una contribució n no conservativa dada por la derivada temporal del potenc i a l vector magnético , esto es
-E
-\JV-º A 'Ot
( 16 . 1 )
donde el segundo término es consecuencia directa de la ley de induc ción electromagnéti ca , siendo ( 16 . 2)
Ahora bien, la definición de los potenciales A y V según (16 . 1) no es unívoca y admite una cierta arbitrariedad . Puesto que B=~AA , la transformac ión
y
(16 . 2)
( 16
A - 'V 111 l :C., l )
. 3)
deja i nvariante el campo magnético 8, siendo ~(r , t) una función arbi traria de las coordenadas y del tiempo . De acuerdo con ( 16 . 1 ) y ( 1 6 . 3 ) , el campo eléctrico E se puede expre sar como E
- '\/
( V +
o 1/.J ut
) -
o A_' 'Clt
( 16 . 4)
de es te modo, la transformación V'º V ~ o-Y.. deja invariante al campo ot eléctrico E. Por tanto , la transformación conjunta (16 . 3) y ( 16 . 4) deja invariantes las ecuaciones del campo electromagnético . Las dife rentes maneras de elegir los potenciales A y V dejando invariantes los
210
R. GOMEZ MARTIN
campos reciben el nombre de transformaciones de contraste de Jos potenciales. Mediante este tipo de Lransformaciones se pueden elegir los potenciales de forma que las ecuaciones de la teoría de campos adquieran la forma más simple posible. A las ligaduras que se pueden imponer y que son compatibles con las transformaciones, se las denomina contrastes de potenciales. Como ejemplo de estos contrastes de potenciales , consideremos el denominado de Lorentz (1
6. 5)
que para medios no conductores queda ( 16.6) Dado que el razonamiento es el mismo en lo que sigue , por simplicidad, consideraremos
'\/. Ao
+ i \]"
Apliquemos las transformaciones de contraste Entonces tenemos
'V·A~ Si
-+ -
j
\J 2
\j ~t
=
xc~.t
V
)- íJZ 1P
;- --
02 7/J
LT:z,
'() t'"
exigimos que la función 1P satisfaga la ecuación de D' Alambert, lo
q u e siempre es posible ya que siempre existe ~(r , t) tal que ( 1 6 . 7)
entonces tenemos que para los potenciales transformados A y V se cumplirá la condición de Lorentz . Por ello, para un valor dado de "X_(r , t) siempre cabe elegir una función~ que satisfaga (16.7) . Hay que subrayar que la función ?/J(r , t) no queda todavia determinada mediante (16 . 7) ya que a ella puede sumarse una función "l{¡(r, t) que sea solución de la ecuación homogénea
el l/Jr;
~
0
( 16 . 7 ')
"(J-\:,2.
Efectuando la transformación nuevo a los mismos valores de
A.=A.'+ vl/b
Ey B
y \J:\J'- 0
1k •
vt
negamos de
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACIO
E
21 1
Y RADIACION
<>A'_\JV' Vt
Donde los potenciales A' y V' satisfacen la condición de Lorentz:
V·A,
~
-- 'OV' - \J"
('.) l
~o
como es fácil de v e r tenie ndo en cuentd (16 . 7 ' ) . Por consiguiente, aún manteniéndonos dentro de los límites del contraste de Lorent z, es posible en generdl , escoger la función de tal manera que se cumpla una co ndición más , relativa a una de las magnitudes V, Ax , Ay, Az. Hay que destacar que la condición de Lorentz no es tan arbitraria como a primera vista parece . Veremos que por el mero hecho de introduc irla se nos establecerá una simetría entre los potenciales vectorial y escalar ; esto es , ambo s potenciales verificarán la misma ecuación de ondas que obedecen los campos . En un capítulo posterior veremos que la condición de Loren tz asegura la relación de covarianza r elativista entre los potenciales vectorial y escalar, que podrán cons iderarse como componentes de un cuadrivector . Para determinar la ecuación que verifica el potencial vector A tenemos que tener en cuen ta la ley de Ampére en forma difere ncial , de modo que
'il •~ ,\Jl'J ·Á) -'iJ" A , f-lJ' + crE+c~~) donde J' es la densidad de corriente producida por los campos no conservat i vos E'. Operando se o bti ene ( 16 . 8)
teniendo en cuenta la condición de Lorentz
(16 . 5) ,
queda (16
. 9)
Para el potencial escalar V se satisface una ecuación anblog.; como es fácil de comprobar t eniendo en cuenta la primera ecuación de Maxwell \7E:f/E. y (16 . 5) : (1
6 . 1 o)
La presencia de conductividad introduce muy serias dificultades analíticas que pueden ser evitadas en la mayor par t e de las aplicacio-
212
R. GOMEZ MARTIN
nes prácticas de la teoría . En lo que sigue supondremos que el medio es el vacío , esto es, fL=f1v,é:éo~O":o , En estas condiciones , (16 , 9) y (16 , 10) toman la forma :
DA=
-14J'
ov - J f éo donde
( 16 . 11 ) ( 16 . 1 2)
O representa el operador dalambertiano definido por ( 16 . 1 3)
Estas ecuaciones de ondas de los potenciales son ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, por lo que su solución general será una combinación lineal de una solución particular de la ecuación no homogénea (función de las fuentes J' y f) y de la solución general de la ecuac ió n homogénea . Además del contras t e de Lorentz , a veces ( sobre todo en la teoría c uántica de campos) se utiliza otro , llamado con traste de Coul omb , en el c val se hace \J·A=O . En este contraste , las expresiones para los potenciales conCí=O se obtienen de (16 . 6), (16 . 8) y (16 . 10) : ( 16 . 14) ( 16 . 1 5) Como se observa , el potencial escalar viene determinado por la distribuc ión de cargas como si estas se encontraran en reposo . Queda claro que las intensidades de los campo s E y H que se obtienen a partir de la solución de las ecuaciones para los potenciales en los contrastes de Coulomb y Lorentz coinciden . 3 . - Solución particular de la ecuación inhomogénea de los potenciales . Vamos a ver en este apartado como se puede e ncontrar una sol ución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de los pote nciales por medio del análisis de Fourier . Consideremos una ecuación diferencial lineal no homogénea del tipo
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
2 13
Supongamos que ~ ( )(.,¡) es la transformada de Fourier de la función 1/->(Xot,t) ' e igualmente , ~w (Xo1) la transformada de Fourier de la función fuente ~ ('l<'.,d:) esto es,
Jú (
e.
)(.,¡.t.)
~u.A
dw
/
J ( 'Y-d.,l): Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación diferencial, o btenemos -
=-
-\
jw\ ~w
e
dw
Suponiendo que las integrales verifican los requisitos de convergencia necesarios , se pueden introducir los operadores diferenciales en las integrales, resultando -J
[ V' }/¿, + f• éo w" J.úw +
dw ) ejc..A el w
=o
esta expresión indica que el corchete es la transformada de la función nula , esto es :
\Jz JVw +
\\,z
1Pw =
- ~w
( 16 . 1 6)
que es similar a l a ecuación de Poisson . Para resolver esta ecuación vamos a utilizar el teorema de Green :
J ( F \J'G - GíJ F) d V 2
V,
1 :
Á, ( r: CJ G - G º r5
()YL
¡:: ) ds
(16 . 17)
OYl
válido para cualquier par de funcio nes arbitrarias F y G que no tengan singularidades dentro del volumen de integrac ión V'. Con vista a l ograr el objetivo de resolver la ecuación (16.16), vamos a elegir F y G de la forma: ( 16 . 1 8a)
\(. /
( 16 .1 8b)
214
R. GOMEZ MARTIN
donde
r'
representa el
vector de pOSlClün de cua lq uier punto P(r')
arbitrario dentro de V' y R=lr-r'I la distancia entre el punto fuente P'(r') y cualquier punto campo P(r) fijo, {fig . 16.1).
F\.mto fijo
P(T) i!
y X
(a)
( bl
hr;.
16 . 1
Sustituyendo (16 . 18) en (16 . 17) , se obtiene
Ll
1/luJ l'i'') \J' (
e::Q_ ) _ ( 16 . 1 9)
te ni endo en cuenta que la fun c ión Gw satisface la ec uac ión de ondas V'Gw~~'Gw =o ,
podemos escribir (16 . 19) de la f orma :
( 16 . 20)
L.Si escogemos el punto campo P dentro del volumen d e i ntegración como se muestra en l a figural16 . 1a~ no se c umpl e la cond ición de v a lidez del teorema de Green ya que l a fun c ión Gw p r esenta una singulari dad en R=O . Evitaremos esta s ingularidad rodeando e l punto P con una peq ueña esfera de superfi c i e s 1 y radio R1 , como se muestra en la fi gura 16 . 1b . Entonces, el volumen V está limitado por l a superficie cerrada S= S1 +s , y de aquí podemos escribir s imbólicamen t e : 2
e-~ l
d V' =
!L 51
1 d 'S
+
J[ S.¿
] ds
{ 16
.21
)
215
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
donde los corchetes indican los integrandos de (16 . 19). De la figura 16 . 1b, es evidente que ~~-9_; entonces Vn.
'é'JR
e
+
-jl
o -,/.
l'W
R.
tr ')
'O¡z
1 ds
=-
l(,l(,
( 16. 22 ) ::.
Suponiendo q ue R1 es lo bastante peq ueño como para poder sustituir~{r ') por u n valor medio (1;L<.r')), podemos sacar <1Pwlf'))y
< ol!w c-r·J '>
fuera de la integral obteniéndose
CJR.
] e\ s
[ +
e
:
- ~l<;R1
Rt
J
l ~\:<, • ~ J e-j
~ < l/Jw (1-') )
<
O "ltw
ª
(Y°')
l<í<1
+
1< .l.
'> ~ , Q,
i<.
( 16 . 2 3 )
l ~ S, ds
Como ,d'S : ~Ti R 12 , cuand o hacemos tender R1 a cero, la integral 5 de superficie toma el valor
J [
( 16 . 24)
S1
Sustituyendo este resultado en (16 . 21) y despejando 1fw(r) , resulta la s iguiente expresión : l.
¡ [
J5
4H
(
e-il
'O 1t (. ~') UYt
( 16 . 25 )
J dS
~
aplicando la transformada inversa de Fourier, resulta
( 16 . 26)
-j kr<.
e -- ( e-~~ ) J d
1
1¡ N
~ e~. ll =
-'< N
J l. [ Jr v' R.
qw
u
<.-r' J
ei \( ~
e. jwt el l()
J d V'
( 16
. 27)
y recordando la propiedad de traslación de la transformada de Fourier
216
R. GOMEZ MARTIN
queda ( 16 . 28) donde g es la transformada inversa de Fourier de gw . Para calcular el segundo sumando de (16 . 26) , ~ (r , 2 cuenta que
t) ,
tenemos en
( 16 . 29) con lo cual
~ ( ~ .t) =
e·iwl
r~ -
~ 11
00
.¿ e.-·~\({¿_
+
f5 { -;lt [
dw 8 'Qyt
R
-¡Llw (::C-' )
- .11(~
J
e
+ ( 1 6 . 30)
"Pw e=1-' J ) ds
y cambiando el orden de in tegración : ~ (~.-l)
t
- 1 -4>1
1 -'1 >i
+
ds o -
[
'Oyt
Ps
R _..,
f°"
cls
-G-
r·
~
R
Vlw e
jlw-l-\(R_)
d U)
+ ( 1 6 . 31 )
º~u) e
j<.wl:.-1< 1n
dw
on.
-oo
]
Sumando (1 6 . 31) y (16 . 28), resulta finálmente:
10
e~, t. )
= .!:_.. .i. t1
Jv• [ '31 .-
d\J '
+
~ ¡(~lo 7/1 -'
R.
fs
R.
1 _"d(( 1/JifR))ds (16 . 32)
o yt_ ...
on
donde se ha introducido el simbolismo
para
V
En definiti va , por analogía con las ecu ac ion es (16 . 9) y (1 6 .1 0) las so lucione s de los potenc iales serán de la forma :
~ = O,
_ t_ "'trtéo
& -4 t1
~
jv,
l .f.J,. ~
dv' + _i_
Jv' (i<..J L d v'
( 16 . 33)
'-l t1
+-.L i.¡ ri
¡ f ~ l oA 1 _~ ( ili_J1ds J5 L "R '<'n '" OYl. R.. JJ
( 16 . 34)
Con ob jeto de c larifica r el significado de estas expres i ones , podemos considerar tres casos de interés . a) Si no existen fuentes dentro del volumen V', limitado por S , entonces solo quedan las integrales de superficie y los potenciales en V deben atribuirse a fuent es externas a S . Este tipo de integral ha sido extensamente i nvestigado por Kirchhof f e n problemas de dif racción
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
217
\
óptica . b) Si existen fuentes en la región V' y esta es de dimensiones finitas, entonces S puede extenderse indefinidamente hasta el infinito y reducir así las contribuciones a los potenciales solo a las integrales de volumen, esto es:
\) :l.f ,·l) '
A.
_J__ 4 t1Ec,
L.
c:r.t)= ~J 4'1
-R.1 r f ,~· n.,.. d v ' j
I/'
"R.
l
J l:{-'Jt
O.V,
( 1 6.
35)
( 1 6 . 36)
Esta es la interacción encontrada generalmente en los problemas de radiación y será la que consideraremos exclusivamente . c) Si existen fuentes dentro y fuera de la superficie S que encierra al volumen V~ entonces las expresiones generales (16 .33) y ( 16.341 serían aplicables. Sin embargo esta situación es más bien "académica" pues en general la forma más razonable de operar es expandir S hasta que encierre a todas las fuentes y reducir la situación al caso b) . Para ver la interpretación física de estos resultados consideremos una distribución arbitraria, finita y acotada de cargas y corrientes en un volumen V', ( fig. 16 . 2) . Los potenciales escalar y vectorial debidos a dicha distribución en un punto campo P vienen dete rminados en un instante t por los valores de las densidades de carga y corriente en los puntos fuentes en instantes anteriores , distintos en general para cada punto fuente , "t'"=t- R/c, donde Tes el tiempo retardado y R/c el tiempo de retardo debido a la velocidad de propagación finita de las perturbaciones electromagnéticas .
F.i_g, . 16 . 2
Las expresiones (16.35) y (16 . 36) reciben el nombre de potenciales retardados, y con su obtención, el trabajo básico del estudio del problema de la radiación está completo . So lo resta aplicar estos re sultados a la resolución de problemas prácticos , lo c ual se trata e n capítulos siguientes.
218
R. GOMEZ MARTIN
4.- Potencial de Hertz. Hemos visto que los campos electromagnéticos pueden ser descritos mediante los potenciales A y V. Hertz demostró que ~s posible describir el campo electromagnético en términos de una única función vectorial n , que se conoce con el nombre de potencial de Hertz. Dicho potencial se define mediante la relación:
-
(16 . 37) De acuerdo con la condición de Lorentz es fácil ver que ( 16 . 38) Sustituyendo (16 . 37) y (16 . 38) en las ecuaciones de onda para los potenc iales ( 16 . 11 ) y ( 16 . 1 2) obtenemos ..!:..
C)
( '\/2
e • <:lt
ñ-
l
C2
o. . n ) ot•
-
- JA-o J
( 16 . 39)
- f lé o
( 16 . 40)
y
\j.
( \rñ -
l
e•
~:5
ae
1
-
respecti vamente . Como la densidad de corriente J y la densidad de carga f sat i sfacen la ecuación de continuidad , 'V·J + "QE_:: o , podemos in'Ot traducir el vector P con objeto de derivar la densidad de corriente y de carga de un único vector, definido por las relaciones
J
-
( 16 . 41 )
f ::
(16. 42)
y
Las ecuaciones (16 . 39) y (16 . 40) se reducen entonces a una ecuación idéntica (16 . 43) cuya solución es , por analogía a lo anteriormente- citado ( 16. 44 )
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
219
La funci6n fuente P es conocida como vector polarizaci6n y está relacionada con las cargas y corrientes reales de la misma forma que la polarizaci6n dieléctrica P' está relacionada con las cargas y corrientes de polarizaci6n . Hay que subrayar por tanto , que es solo un paralelismo matemático ya que J y f representan las cargas verdaderas que constituyen las fuentes externas del campo . Por lo que desde el
P del
punto de vista físico es completamente diferente e l vector
'
vec -
tor polarizaci6n dieléctrica P' ordinario . Vamos a tratar de obtener ahora la e x presi6n de los campos radiados en funci6n del potencial de Hertz .
Para ello definamos el campo
vectorial C mediante
e
( 1 6 . 45)
El campo magnético B será :
B
l.
C) C
c ...
at
( 16.46)
Igualmente, el campo eléctrico E será : ( 16 . 47)
-
que es una expresi6n comp l etamente general que determina el valor de E para cualquier punto del espacio . Si no s restringimos a puntos e x teriores a la zona de l as fuentes (que es lo que normalmente interesa) , se verifica que .l:_
c
1
ctTi ~ CJt"
\i'"
P=O ,
por lo que
n
resultando
E
( 16 . 48)
ecuaci6n que como se ve en la forma en que la hemos deducido, es sol o válida para puntos exteriores a la fuente; esto es, en los puntos don de v. E=O. Resumiendo ,
podemos calcular los campos utilizando e l
potencial
de Hertz de acuerdo con las qos posibilidades que indica el siguiente diagrama:
J
n
f
( 16 . 49)
.·
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAD!AC!ON
221
CAPITULO XVII. APROXIMACION DIPOLAR DE LA RADIACION. - Introducción. En este capítulo estudiaremos los campos de radiación producidos por una distr ibución arbitraria y acotada de cargas y corrientes . Nos limitaremos a zonas muy alejadas de las fuentes y no nos ocuparemos de q ué ocurre en l as zonas próximas, cuestión que será tratada en un es-
•
tudio más gen e r al sobre la radiación que har e mos en el capítulo si guiente . En primer lugar se buscarán las expresiones de los potenciales a grande s distancias del emisor, y a partir de ellos , hallaremos 105 campos de radiación. El problema se t r atará en primera apr oxi mación , de forma que en los desarrollos en serie , co n siderar emos únicamente el términ o más significati vo . 2 .- Potencial del campo electromag nético a gran distancia de l e mi sor en la aproximación dipolar . Co n si deremos una distribución arbitraria y acotada de corrient es variab l es con el tiempo tal como indica la figura 17.1 .
p
V
L
V
de l
F.i..[;.. 17. 1
He mo s escogid o como orige n u n punto ar b itrario O en el inte rior sistema , y denominado r' al vec tor de posición de un punto fuente
y r al del punt o P en el q ue queremos calcular el campo . Como ya sabemos , el valor de los potenciales en un punto r vi e n e de term inado en un instante dado por
A t.:C.-ll
~ f-
0
'4H
Í iV'
J \1--' ,'t) R.
dV'
222
R. GOMEZ MARTI N
V donde
~ =t - R/c
t~.ll
es el tiempo retardado y R/c es el tiempo de retardo de-
bido a la velocidad finita de propagación de las perturbaciones electromagnéticas, el cual es distinto en g eneral para cada punto fuente. Así pues , la resolución e xacta de las integrales anteriores se hace muy compleja , ya que las densidades de carga y corriente que aparecen han de ser evaluadas en diferentes instantes para cada punto fuente . No obstante, si e l
punto de ob se rvación se e ncuentra suficiente-
men te alejado del sistema de modo qu e r )) L, siendo L la mayor dimen sión de la distribución, las expresiones an t eriores se pueden simpli fi car . Concretamente, es posible desarrollar en serie 1/R en el entorno del punto O, obteniéndose para el potencial eléctrico
V ::
( 17 . 1)
en donde en el corchete indicamos que las den s idades d e carga en cada punto fuente han de ser evaluadas en el instante T, lo que indica que
L, [ f ],. d v'
1
o.,
de man era que las integrales ant e ri ores siguen adoleciendo de la misma complejidad que las primitivas . Para l ogra r una simpli fi cación del problema tengamos en c uent a que
(17 . 2)
C:-o +
::
y vemos así que el tiempo total de retardo se compone de dos partes;
la primera igual a r/c , que represe nta el tiemp o necesario para que el campo electromagnético se propague desde el origen hasta el punto P . La segunda parte se denomina tiemp o propio y es del orden de magnitud
~·-~ - .!::... CYC
que es el tiempo necesario para la propagación dentro de
los límites del sistema . Este tiempo propio es pequeño comparado con r/c, de modo que en el caso de que la densidad de cargar no sea una función rápidamente v ari a ble de su arg umen t o , es decir , si las cargas se muev en con una velocidad IJ
1o_ << l e
V
tal q ue : )
u- <
Esto implica que la distribución de ca rg a en el sistema no cambia sensiblemente durante el tiempo de retardo propio . En este caso podremos desar r ollar la densidad de carga retardada
•
223
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
, que como sabemos es muy peque-
en serie respecto del parámetro ño, obteniendo:
f \. f' . t: )
e: (1
f
\~".1:0)
-
1
-
"f" · \
+
7 . 3)
f
C"f
Sustituyendo ahora (17.3) en (17.1) y limitándonos a los términos del desarrollo que contienen las potencias menores de 1 /r se obtiene que
(
JU', ""Col d v' ._
~
JV'
( 17 . 4)
siendo
La expresión (17.4) presenta una gran simplificación si la comparamos con (17 . 1 ) , pues t o que para la densidad de carga en cada punto fuente consideraremos ahora el instante Yo , de manera que ahora si es cierto
L,.
que
pli"."to)dV'
representa
la
carga
total del
sistema ,
de
este modo si suponemos el sistema eléctricamente neutro, se tendrá:
r f ~:r-'. L.i·
17,,) dV ' "o
y, teniendo en cuenta la ecuación de continuidad , queda:
1
1
T
j
\5', tº) d 1J 1 = - )
~·
~· L\J · 3 l -r·, 1:0) 1d V'
( 1 7 . 5)
V'
La integral del segundo miembro se calcula fácilmente teniendo en cuenta que
J v.°"'
\l'-_3 d v'
J
\7 { -.,,¡'
J) d V ' - ) ( j . \/ '!.~ )
V'
V'
V'
d V' = - ) Jet d \1 1
( 17 . 6 )
V'
por lo que
Jv'
~· l ~· 3 ~i',rºd dV'
=-
~ 3 c\v' ¡ ~·
) :;. ' f l ~·. L.,) d \1 ~,
1
= (
3d V
)v,
1
(17 . 7)
que sustituida en (17 . 4) conduce a (1 7 . 8)
Análogamente se obtiene bajo las mismas condicio nes de aproxima ción, la expresión:
224
R. GOMEZ MARTIN
A.
t f , ti
(17 . 9)
de manera que
y
c.
A.. n_
( 17 . 1 O)
éofoC
Veamos ahora otra forma d e expresar la in tegral
\-r· f l'i'"',l",) dV' V'
que nos resul tará mucho más conveniente . De la definición de momento di polar
d
=
~ ~ 'fl~ 0 .'to)dV' \/'
se sig ue que
Í
Jv'
J ·d V' ~ ~· j
l :f' , -co) dV' =
V'
d
Í :f' )V,
dL
f
l;:',t
0
)
. dV'= d ('to)
( 17
. 11 )
d
siendo l'Lo)la derivada del momento dipolar respecto del tiempo , cal c ulada en el instante L;, . Mediante ( 17 . 11), las e xpresiones ( 1 7 . 8) y ( 17 . 9) se pueden re presentar de la forma:
Vli- .l )
A
l
Y\.
4 f1 €0
· dt"t:o)
(17 . 1 2)
e,.:...
°A l ~. u
~ "'11"1
d
(17. 1 3)
\.."to) i'"
Vemos pues , que en esta aproximac ión los potenciales lejo s del s i stema vienen determinados por el valor del momento dipolar de la dis tribución . De ahí el nombre de aproximación dipolar . La condición de validez para esta aproximación es que v~
K.'
le~os
de las fuentes .
apartado anterior puede
225
CAMPO ELECTROMAGNETI CO. PROPAGAC ION Y RAD IACI ON
\
donde 1<.'~ /1-" /'< l1 nos queda
Despreciando los términos de orden superi o r a 1 /r ,
( 17 . 1 5) y haciendo uso de la relación vect o rial
'
VI\ (il u. )-:. \7LL /\ dQ. du.
se llega a
-\...\
d- ) ..
~
I<'
( V "tú "
fo \
\.\'
( 17. 1 6 )
Aun que no lo pongamos explícitamente, a partir de aho ra supon emos en lo que sigue que d es f unción del ar gumento co ~ t - 'f' . e Análogamente , para el campo eléctrico podemos escribir E = -
oA - \IV 'Ot
Si hacemos uso de l a identidad términos de orden 1/r 2 , q ueda \JV =
~ e
\.
~
·
d l <::
0
)
\J ( l \.. '('
\J
) + l.. í
lV'.l"l/J) = r/J<:J1/Jf 1/-J'V~y despreciamos l os 'V
CYt
d l 'to) l =TC ~ '\i l Y,, · d Ctº) J
Por otra parte , para una función arbitraria de l argumento t.!. , se c
tiene 'V
f l t - !:c. )
=
ª f_
(17 . 17)
que aplicado al resultado anterior, cond uce a
E
= _ oA
'Ot
.¡.
Yt v e
=- ~ + -nl~·Yi.)-=c-A"ñ'l'I~ =~ cci " -rt)"n
( 1 7 . 1 8)
°f'
donde s e ha tenido e n cuenta la igualdad ( 17 . 10) . Comparando ( 17 .1 8) con (17 . 16) vemos que l os vectores E y H están re l acionados de la for ma : ~
(17 . 19)
Por tanto , a distancias suficientemente grandes del emisor, los campos eléctrico y magnético son perpendicula r es en tr e s í y a l vector n. Tomando e n consi deración el ángulo e formado por r y d, vemos que los c ampos se pueden escr ibir A
-
226
R. GOMEZ MARTIN
\...l
\('
fo-re
E
\\.'
d
~evt.9
(17.20)
d
~em.8
(17. 21)
i""
Estas expresiones muestran que las intensidades de los campos alcanzan su valor máximo para g~N;¿y que disminuyen a medida que se acer can al eje polar, en el que se anulan. Calculemos el vector de Poynting en el punto P:
j
=
E" ~
= foC (
14' n)" \4 = f-oC ~( n
de manera que teniendo en cuenta (17 . 20) queda ( 1 7 . 22)
El hecho de que el vector de Poynting es diferente de cero (salvo en el caso de e=o) y de que su sentido sea saliente de las fuentes significa que hay un flujo de energía electromagnética desde el sistema hacia e l espacio que l o rodea . La expres i ón (17 . 22) nos da la energía que por unidad de tiempo atraviesa un área unidad perpendicular a los vectores E y H, en función del ángulo 9 y de la distancia al sis t ema emisor . La existencia de este f lujo de e nergía es l a que justifica l os términos antes introducidos de radiación y emisor. Es necesario subrayar que, de acuerdo con (17 . 22) , en la energía r a diada en una determinada dirección solo interviene la componente del vector derivada segunda del momento dipolar respecto del tiempo en el pl ano pe r pe,n dicular a n. 4 .- I ntensidad de radiación . La i ntensidad de radiación U se defi ne como la potencia radiada po r un i dad de ángulo só l ido y tiene dimensión de watios por estereoradian . En general este parámetro será funció n de las coordenadas esféricas G y~ - Así pues tendremos ( 17 . 23)
y la potencia total radiada , esto es , la dismin uc i ón de e nergía por el sistema emisor por unidad de tiempo , será , de la expresión en coordena das esféricas para el ángulo sólido : (17 . 24)
,.
donde la Última ig~aldad se obtiene de particularizar, mediante (17 . . 22), para la aproximación dipolar y muestra que el valor de U en un punto campo depende del de den el instante dnterior t-R/c . La potencia de radiación no depende de la distancia al sistema emisor como era de esperar a partir de la ley de la conservación de la e nergia . Esto quiere decir que la energía que por unidad de tiempo atraviesa una superficie que encierra al emisor es independiente de qué superficie tomemos . Como ya sabemos de capitulas anleriores, la densidad de momento de la radiación electromagnética viene dada por (2 . 28)
e"' de manera que un sistema emisor no solo pierde energia, si no tamb ién momento . Como ejemplo de apl icación de todo consideremos algunos sistemas simples. Supongamos en primer lugar,
lo ex pues to
anteriormente ,
( fig . 17 . 2), una carga aislada sobre la que actúa un a fuerza F, comunicándole una aceleració n
a.
Su momento dipolar será (17 . 25)
siendo c ión.
_.,
r ' su vector de posiDe la ley de Newton re -
sulta ~
F:
....
hfj. 17 . 2
y
..
__,. 1
"NL·Q.: 111,-\
por
lo
= ~~
tanto,
-d..
teniendo
en
cue n ta (17.22) queda
E f' lG
0,2'
<'.en"'G_
n
(17 . 26)
t1~C -\2.
y la intensidad de radiación será (17
. 27)
con lo que l a potencia total radiada es (17 . 28)
228
R. GOM EZ M A RTI
Por lo que re~pecLct ct la cantidad de mov i miento, teniendo en cuen ta que !f> y g dependen de sen 2e , tendremos ~(S)
b(9-l1)
( 17 . 29)
por lo que la pérdida total de momento es nula . De acuerdo con todo lo que hemos razonado , esta aproximación será vál ida si v<
d
(17
. 30)
Además , si e l sistema está a i s l a do ( 1 7 - 31 )
- F
( 17 . 32)
-,.,.¡~
s iendo F l a fu e r za de inter acción entr e las d os part í c ulas . Po r tanto
J=(_1i_-~ )F """ ~
(17.
33)
'lY\2.
de ma ne r a que si l as dos partículas tienen la mi s ma r azón carga-masa , no ha brá r adiació n di pol ar y habría que te ner en c ue nt a l os términos de o rde n s uperior .
229
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACJON Y RADIACION
CAPITULO XVIII. EXPRESIONES GENERALES Y DESARROLLO MULTIPOLAR DE LOS CAMPOS DE RADIACION.
1 .- Introducci6n. En este capitulo nos proponemos hallar la expresi6n general de los campos creados por una distribución arbitraria y acotada de densi dades finitas de cargas y corrientes variables con el tiempo que supondremos localizadas en una regi6n del espacio de dimensi6n máxima L, siendo nula la conductividad del espacio que la rodea. Veremos como bajo ciertas condiciones es posible descomponer estos campos como suma de contribuciones asociadas a los diferentes momentos eléctr ... cos y magnéticos resultantes del desarrollo multipolar de la distribuci6n. 2. - Expresiones generales de los campos creados por una distribuci6n acotada y arbitraria de fuentes. Dado que los cálculos se simplifican si trabajamos en el dominio de la frecuencia , supondremos que la distribuci6n de fuentes puede ser desarrollada en integral de Fourier de sus armónicos, expresada por
P..,
<..~·. l) ,.
JU) (._T', 't)
:
fw
l'í-')
e
.iwl
J w (y ' ) e
( 18 . 1 )
.iwl ( 1 8 . 2)
siendo las cargas y corrientes existentes las partes reales de estas expresiones . Como sabemos ,
la soluci6n de
para los potenciales V y V
...A tiene
l~.t): 11 ~ Eo ~V'~
la ecuación de ondas inhomogénea
caracter retardado, de forma que ( 16
fl'f',t:) d\I'
. 21 )
y
A. (:i".t)
Jl:r',l.)d\J'
Para las compo n entes de Fourier tenciales adoptarán la forma :
Jwy
(16 . 22) ~w ,
monocromáticas , los po-
230
R. GOMEZ MARTI N
y para el potencial escalar
f
l
41'1
E.o
fui l~') ejw lt- ~)e\\!'
1
Vw \ =;.,l ) • - - j
-
e:.
R
V'
-
eju.»t
(
~ (~')
-.1o..:i~/c
e.
_ - - ) J_"_ 4 r; c V' ><-
dV'
0
A
por lo que (r , t) y V (r, t) tendrán también una variación armónica de la misma fre cuencia que las fuentes . Sus component es espaciales son por tanto:
Aw
¡¡~ )V'
e~-)
l
Vw l =f- )
-4
ti
to
l
Jw lT')
-j\(~
e,
~
dv'
(18 . 3)
fw ('i-') e-i"~d\J'
L~
( 1 8. 4)
siendo '{,_ ~UJIC = .:?r1 I A el número de ondas y >... la l ongitud de onda en el medio . Evidentemente , el potencial tota l en un punto campo será la suma de Fourier sobre los distintos armónicos , esto es : ( 1 8 . 5)
( 18 . 6 ) De aquí , los campos vendrán dados por
E= -\7V-ºA
( 16 . 1 )
'Ot
( 1 6 . 2)
Calculemos en primer lugar el campo magnético B. A partir de las expresiones (18 .3 ) y ( 1 6 . 2) tendremos
B..,
(r) =
f-
0
9"
i
-Jw
lr')
-j~R
-~ d V'
v' P. que medi~nte la identidac:_ vectorial \/11 (c-1/J)= >ól711C-CA\7~ y observando que 'V ~ J.,(f') :O , ya que Üw no es función de las coordenadas del punto campo , y sustituyendo V Ce:i"R / R) por su valor obtenemos 4
r-i
--jlc~ ] dV'
e
( 1 8 . 7)
CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACION Y RADIACION
23 1
p
( r, &, 'I' )
F.i:.g,.
18. 1
Calculando ahora el campo total a partir de sus componentes de Fourier
B (T,-l) en la que operando: ~
B(~.-ti
=
f r
f-o 4 rt
\
+
dV
V' 1.
e
1
..
[ Í :L
j (L,_il-\(~)
\'i''J
e.
dw
_..,
f dV' l [~ i l~') j w Y'
e
J"
~
+
~·
.i<.w t-1<~)
dw
1 "
;, 1
( 1 8 . 8)
el corchete de la primera integral es el vector densidad de corriente retardado [ J]
Analicemos los términos que aparecen en la e xp resión de - Térmi no de Bi ot-Savart
. 9)
B:
Como se ve , tiene la estructura de l a ley de Biot y Savart , con la única novedad del desfase en el tiempo . Dado que disminuye como 1/R2 , su contribución al campo magnético solo es apreciable a pequeñas
232
R. GOMEZ MARTIN
distancias, por lo que en la zona próxima este campo coincide con el campo magnetostático . - Término de radiación
f-:!___ 4NC
l
J
V'
lJ],. "~ dV' \:\l.
Se denomina así ya que por decaer con la distancia como 1/R, su aportación a grandes distancias es la más apreciable. Procedamos ahora al cálculo del campo eléctrico que resulta algo más complicado. De (16.1) y para una componente de Fourier de (18 . 3) y (18.4): -'it1éo
Eu.i ; -
~
f«J
\.r') \J (
e-~1(1<_ JdV' - l..) ~
V1
Sustituyendo
Vlij~~/R)
C2
~
jw
\} 1
por su valor, obtenemos ( 18 . 1 o)
El primer término es el campo de Coulomb retardado (campo de inducción) que se convierte en el casiestático para kR<'.<1, (e-jkR_ 1), zona próxima a
la fuente.
El segundo término contiene el término de
radiación y, para calcular la integral, hacemos uso de la ecuación de continuidad para las distintas componentes de Fourier . Si llamamos a este segundo término Iw y sustituimos en ( 18 . 1 O), resulta -j \("R_
Iw
} [V'7"0:)q+j1<"i1 e.
e
La componente -
Iwc(
de Iwes
o1
1v' [
J._
e
1<.
°R
V'
( 1 8 . 11 )
dV'
o
Jw(?
'O~
Ro( + j K Jwc( R
-j\(~
1e
¿v'
( 1 8. 1 1 ' )
R
donde se hace uso del convenio de indices repetidos y donde R.._,'>«;. X~ . La ecuación (18 . 11 ' ) puede escribirse también de la forma (puede comprobrarse por simple derivación):
Iwo1.
L
e
lv' ~ !.
e
-j\(I<.
J
~ Ro(~~
-0 W(3 Q'/..p,'
-ji(~
)- j 1(
J~ e
R
1
~
·15v' ~
1
(
J
J dv' ( 18 . 1 2)
_.j\(~
°R.,¡ e. - - R'
) dV 1
Transformando ahora por el teorema de Gauss la Última integral, que es una divergencia, en una integral de superficie, extendida a una superficie donde
Jw=O
(siempre es posible encontrarla ya que J se su-
233
CAMPO ELECTROMAGf',ETJCO. PROPAGACIO"I Y RADIACION
pone limitada a una región finita del espacio) , dicha integral es nula. Ahora bien, para el cálculo de la primera integral tenemos que
E_ ( '-<«_ ¿i\(~ ) Jou~ 1\' º~ Jw~
:
\
l
o
'R,¡ ~
::t,(!
[
_:~\(R,
e
o
R..;. "R
- } l<íl_
)
C)~
~
(
8-~\(R.
\
-~
'R3
+
~ R
_.j\(R.
+ j\\·~-)+
~-- ( 1<
y puesta en forma vectorial se convierte en
R e.- ) l(R_ R
l
Jv..i·R ~l
+j
-
-1
3.., í\
v_
~
-.11(1<._
+
- JU) +
e
Q_ (
C>x0
1<
R.
~ol ) ><.
1:
~ e)~~ +~o¡ 1<.-i .3(' . )
R
- l~·~)1 ~
l<.~
1
=
Sustituyendo en (18.12) resulta l e
f
t - Sw
V'
( 18 . 1 3)
-1\(_ í ~ -
1 oV'
e J V' que puede transformarse en =
.!.- ( [ e J
\.i, R)R-~ "\3°w 11 "R)18_\\(~¿v'-J-'-<_ r[R"t:L.?_)l e1\(~v'(18 . 14i e J~
-¡;z
V'
-n?. ~
Sustituyendo (18 . 14) en (18.10) y sintetizando el campo a partir de sus componentes de Fourier tenemos por razones análogas a las consi deradas para B que
-
.1tr-1Eo"E~ Í [f1~R Jv · "R +
1 ([]l·~)R-[31.C~· ~)
dV'+ 3 . v'
eR ~
d\l'-1<1 8 . 1 5)
~ Í l~ 3 ]~ "~) "~ d V'
e Jv, 'R3 que es la expresión general para todos los campos . Tratemos de identificar los distintos términos que a parecen en sus expresiones . - Término de Coulomb
dV' Se observa fácilmente que este término tiene la estructura de la ley de Coulomb, la única novedad es el desfase en el tiempo característj ·: o de nuestro problema. Dado que decae con la distancia como 2 1/R , su contribución se hace despreciable a grandes distancias .
234
R. GOMEZ MARTIN
- Término de inducción _l_
)
litté;,C
~~
V'
2
Este término decae como 1/R , por lo que su contribución al campo eléctrico solo es apreciable a pequeñas distancias. - Término de radiación
~
1it1Eoc2-
v' A este término se le llama de radiación porque decae como 1/R con la distancia, para grandes distancias, que son las que interesan en
los fenómenos de radiación, su contribución al campo eléctrico es la que predomina . Si consideramos en (1$ . 9) y (18.14) solo los campos de radiación, tendremos: l
B'tt>Q
liN &, (3
1
t.=d
L
[ J J~
.....
/\~
"?_"-
dV'
( [ 3l/\ ?_ ) ":q
L
( 18 .1 6)
dV'
(18 . 17)
~~ 41-f Eo c2 de donde se deduce que a distancias grandes de las fuentes los campos tienen carácter de onda plana es decir, son normales entre sí y a la dirección de propagación con E f H = (flo/é,, )112 • A la zona del espaci o , R>> L , en que los campos vienen definidos por (18 . 16) y (18 . 17), se la
denomina de radiación lejana o de Franhofer. Es interesante observar que así como la expresión (18 . 9) del campo B la hemos obtenido como función únicamente de la densidad de corriente, la (18 . 15) expresa el campo eléctrico como función de la den sidad de carga y de corriente . Utilizando la conservación de la carga vamos a poner el campo E en función únicamente de la densidad de corriente lo que en general facilita su utilización. Para ello hay que tener en cuenta que, para una función F=F(r ' ,e), la divergencia res pecto de la variable vendrá dada por
r'
v ·. FSi llamamos
=
i ,J3dt
( 18.1 8)
y le aplicamos la e xpresión anterior :
\/' . 2: Por la conservación de la carga:
( 18 . 1 9)
. CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
:-º.f
ó
o 't
- l \J'. L:) '?:
f
235
( 18 . 20)
Sustituyendo ( 1 8 . 19) en (18.20) (18 . 21) Con lo que el término de la expresión de E que es función de la densidad de carga queda de la forma :
l
~
t (I,.
dv ',
f t- l°'V'·[~JJ~+ \\:3\_.:_R)~ 1dv'
Rº
V'
La componente
ol.
v'
de
e
"R,3
(18 . 22)
í<."
[ - \'V ' ·\. ~ 1, )~ d,'J ' la podemos po ner: 1v, 1<.3 -
) \I'
~
·,._-e• V
('
\
~'Lf'l.'.:_~o( )d.\J'.¡. l\:'21 ac'\R ~1~-!.)d\J 1 (18 . 23) -o'!i
V'
,..._
\'
3
f>
La primera integral del segundo miembro de la ecuación anterior es equivalente a una integral de superfici e por el teorema de Gauss y es nu l a por estar las f uentes acotadas en un volumen finito . Teniendo en cuenta que ( 18 . 24) la expresión (18 .23 ) q ueda
L.-
l \7 1 ·1:~1 ) ~ d'l1 = "
13- Ui1T·~)~-[i1l~·~) - - dV
1
( 1 8 . 25)
f<3 v' k:"' q ue susti t uida e n (18 . 22) , y llevada a (18 . 15) conduce a
E
: _ l. _
~ T1 l':o
~dv't }V'
.3
( Ci l R ) ~ - [i1,lR·R)._3(\.3l·R)RJ(~l"R) ~ ~1< 18 . 26 ) 'R 5
C "Q"
C'"'Rº
expresión en la que se observa que el campo eléctrico E, viene dado únicamente en términos de la densidad de corriente . 3 . - Energía y potencia radiadas . Vamos a ver que los campos de radiación (18 . 16) y (18 . 17) transportan energía electromagnética (energía radiada); en cambio , los campos cercanos e intermedios no suponen salida alguna de energía de las inmedcaciones que rodean la fuente . La cuestión de por qué los campos de radiación dan lugar a una energía que se propaga , está en su dependencia de 1/R con la distancia .
11
236
R. GO M EZ MARTIN
Como ahora veremos es necesario distinguir al calcular la energía radiada, entre fuentes monocromáticas con campos E0 y 80 y un pulso de radiación con componentes de Fourier Ew y Bw· Vamos a considerar previamente el pulso de radiación . 3.1 .- Pulso de radiación (onda no monocromática o tren de ondas): La energ ía total radiada por una fuente a través de la unidad de superficie normal a la dirección de propagación, es la integral temporal del vector de Poynting ~, es decir: (18 . 27)
Las componentes de Fourier de los campos de radiación a partir de (18.10) y (18,14) son de la forma:
(18 . 7),
(18 . 28)
Ew..-o..1. =
·
- j 1<.
(18 . 29l
v• ~ 11 li &, c v• '?.,,_ es el vector número de ondas . La energía total radiada por la fuente vendrá dada por la integral sobre una gran esfera centrada en el origen y que rodea las fuen t e s ( fig . 1 8 . 1 )
donde
~ l'1 Ea e
-i\ ~--lJw"~)..:-1\(~ e dv'
~ [~" lLi-~)l e-~\<"-¿, V -o___.¡___ 3
k=kR/R
-
U =
-
j \ ifa
dsdl=
s -•
~ \ lE"~) . dsdl
(18 . 30)
S--
Recordando que la integral temporal del producto de dos fun ciones reales dependientes del tiempo puede expresarse en función de sus componentes de Fourier como
o y utili zando este resultado en (18 . 30) , se obtiene
cw- :
í Í-
.i r1
(
Ew " ~..,· .. E..>\41,) J. ¿ s
dw
5 o
de (18 . 29) - jl(:R
e ~
que llamando N a la integral conduce a ( K11Ñ) .._ ~"
: _ _ t_ _
d V'
( 1 8 . 31 )
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACI ON
237
Análogamente
1:-
!.
I N l't<+ l;_¡·~)N *
1
!.G 11 2 fo e\(_
Por consiguiente (18 . 32)
pero
e igualmente ,
i • .i =O.
Sustituyendo (18 . 32) en (18 . 31 ) , res ul ta ( 18 . 33)
donde hemos tenido en cuenta que Eoc. -1 Esta expresión
depende solamente de la distr i bución a ngul a r
de
las coordenadas de r ' en los puntos fuente y no de la superficie S e l egida . Ahora bien , si conside r amos que r es gra n de f r ente a las di mensiones de l a fuente (r )) L), (fig . 18 . 1 ) , te ne mos que
"R.-. =
"fz ~ 1 ,2
_
-C,
:¡.,y.• = ,-2
ll
.¡.
¡
1
2.
-yi.
Esto es :
t
l -
y desarrollando en serie :
"l
1
_ :;. .1-' l
=
i"'"-
y por consiguie n te se ver i fica que (1
es decir , que en esta aproxi mación puede considerarse
n=R/R
8 . 34)
con s tan te
para cada punto de observación . - ' kR
Es i mpor tan te observar q ue en la exp r es i ón eJ
no se pued e des-
preciar el término en r ' /r de l desarrol l o de R d el e x pon e nt e :
238
R. GOMEZ MARTI N
donde ejkr es un complejo constante de módulo unidad,
ya que en el
desarrollo no existen términos en r ' /r que se puedan despreciar. Esto sign ifi ca que aunque a grandes distancias las amplitudes de los campos son practicamente constantes , las fases de los campos diferenciales creados por cada elemento de fuente son distintas y dan lugar a fenómenos de interferencia que tienen gran importancia. En definitiva y de acuerdo con estos razonamientos,
en
(18 . 33)
tendremos que ds ~ll<. = dn. puede considerarse como el ángulo sólido sustend ido por dS desde el origen O. Si e xpre samos la energía de la forma:
..
~
U
ifw dw o
dond e
&_ldw es
la energía total radiada en la banda de frecuencias
de.u.
De (18 . 33) obtenemos ( 1 8 . 35)
que es la expresión de la energía radiada por la fuente por unidad de ángu l o
sólido
en
frecuencias dw .
la banda de
Esta expresión
tiene
gran importancia ya que depende tan solo de las coordenadas de l a f uente y nos da la distribución de radiación segú n l as di stintas direcciones . 3 . 2 . - fuent e monocromática: En el caso de un a fuente mon ocromática de frecuencia f es posible calcular el valor medio de la energía radiada sobre un periodo de la o nda . Te n dremo s así , de (18.27) , que la potencia media radiada será T
~º
P·dsdl
=l \ Re\E /\i4 .. ) -ds
( 1 8 . 36)
5
Utilizando ahora las expresiones (18 . 28) y (18 . 29) para E y By cambiando ~ por 1 , mediante un cálculo similar al anterior obtenemos 0
para la potencia media radiada por unidad de ángulo sólido , a partir de ( 1 8 . 36) , q ue
ll "
_l
.. (
3~ li
\
f::.
0
E.o
f
<-1 )
li
~ i()
e) l
~.;-•) d V'
1e..
....
(18.37)
Es c l aro que solo aquellos campos cuya variación sea de la forma 1/R en ( 18. 9) y (18 . 15) implicarán radiación ".\P energía. En efecto, 2 en ( 1 8. 33), k dS/k=R . d.0.. y si la dependencia en R de l o s términos que se encue nt ran dentro del módulo al cuadrado fuese superior
...
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACI ON Y RADIACION
'
239
4. - Cálculo de los campos de radiación mediante los potenciales de Hertz. En el capítulo XVI vimos que los potenciales vector y escalar electromagnéticos pueden deducirse a partir del potencial de Hertz 11 definido en términos del vector P de polarización ficticia relacionado con las cargas y corrientes reales de la forma:
De este modo,
il
verifica la ecuación de ondas inhomogénea con P
como fuente ( 1 8 . 38) La solución a esta ecuación es análoga a la obtenida para los potenciales A y V en dicho capítulo , obteniéndose un potencial de Hertz retardado
)
il \. .;:,t)
[ "?l1=')l I/'
d\J'
( 18 . 39)
R
La transformada de Four icr del vector i1 en función de la transformada de la fuente será , de acuerdo con la ecuación anterior: (18.40)
Ahora bien, bajo la condición R»r ', la función e-jkR/ R será desarrollable en serie de potencias de r ' . Dada la simetría esférica de esa función, parece natural hacer el desarrollo en esféri cas , para lo cual hacemos uso del s iguient e resultado matemático: ( 18 . 41 )
en donde se han tomado como parámetros del desarrollo kr ' y kr, siendo o el ángulo e n tre
r'
r
(fig . 18 . 1 ) , Pn el polinomio de Legendre de orden n y Jn y hn las funcione s de Bessel y Hankel es féricas de orden n, respectivamente. y
Mediante el teorema de adición de los armónicos esféricos , Pn ( (coso) puede desarrollarse a su vez en función de los ángulos polares ~ y ~· de las fuentes y & y ~ del punto de observación
~
L
-n""'
- "l,
j>vi. l4''- 4')
l- i) •..,_ <. t.o-l e) 'P..,_ C.lcrl~' > e
( 18 . 42)
240
R. GOM EZ MARTIN
en donde P~ y P~m son los polinomios asociados de Legendre . Si sustitui mos (1 8 .42) en (18 . 41) y esta a su vez en (18 . 40) , ob tendríamos un desarrol l o en serie bajo la condición d e que r ' ,>1, la función de Hank el puede susti tuirse por su expresión asintótica : (18 . 44) Sustituyendo
estas
expresiones
en
(18 . 4 1)
y
esta a
su vez
en
(18 . 40) , el desarro llo multipolar q ueda en la forma: ( 18. 4 5) "'r\ :o
siendo
-j 1(-r
q ) ____,.e,___
\ ( l<"f')-.i tlY' )f>""lU:iia)dv'
(18 .46)
\V'
4t1E., 'f"
Cuando la fu e nte es lineal , esta puede tomarse como eje polar y e nt onces o ~ e , con lo que el polinomio de Legendre define aut omá ticamen te la distribución angular del ~ampo correspondiente . En caso contrari o hay que recurrir a
(18 . 4 2) para calcular Pn(coso) en (18 . 46).
Es interesan te notar que al calcular la energía radiada en cuya expres i ón aparecen los cuadrados de los campos , los d ive r sos multipolos no i n terfieren entre s í,
dada la ortogonalidad de las funci ones de Le-
ge ndre P n (coso) .
5 .- Radiaci ó n dipolar eléc tr ica . Vamos a analizar (18 . 46) para distintos valores den. Para n=O se tiene , prescindiendo de l superíndice
r
JV'
--P.., l -r-' ) d v'
o bien , suponiendo una fuente monocromática d e finida por P=P
f "P., (
.f-') ch''
V'
(18.47)
0
e
jwt
:
( 18 . 48)
CAMPO ELECTROMAG ETICO. PROPAGAC'IO
Y RADIACIO '
241
Veamos que la integral de volumen del vector de polarización f i c ticio P0 es igual al momento dipolar eléctrico de la distribución d 0 . Para ello consideremos una función arbitraria lP de la posición . Por el teorema de la divergencia : \J.
\1/113
0
)d\1 1
S
L
j)0
?0 ·\f~dV 1 + r l}l'iJB,dV'
J 1// PoYtdS' )
"
.íJl/i dv'=-) 1f 'V Pº
V
~V'
V1
d\J
.
(18 . 49 )
1ti-P nds
1
<- \
0
5
l)I
Si S es una superficie externa al sistema , como se muestra en la figura 18 . 2 , se verificará que P,,. n=O . Escojamos como 7/J una cual quiera de las componen tes de r ' entonces / "' '
-- -
~.
\
I
I I 1
1 \ \
'
c7
.....
- --
....
\
~"?aj dv' =- ~
s
v'
x1' \/
( 18
. 50)
\/'
y recordando que
I
~ d\J' fo' -V·~
, se ob-
tiene finalmente que
/ /
~ F;_g.. 18. 2
-Po . d v' y'
~ r :;.· fo
l
d v'
'I'
como queriamos demostrar . Por tanto la parte espacial del potencial de Her tz será -j
11 l .Y. )
e
l
~ li Eo \
Para obtener los campos de radiación calculamos primero el vector
e definido por la ecuación (16 . 45) .
)
1 1
X
F-4¡ . 18. J
24 2
R. GOMEZ MARTIN
De la figur a 18 . 3 se puede ver que las componentes del vector 11 en esféricas son :
,,,.
"N
-i \<1""
do to~ e ~ ~li
1ie ~ - do
éo"I'"
-ku.
-j'(1"
e
e
(18 . 51)
4t1Eo'<"
Teniendo en cuenta la expresión del rotacional en esféricas , se halla que solo tiene componente~ . dada por
e
(18.
52)
y de (16 . 48) y (16 . 46) , se obtienen las expresiones para los campos : (18.
53)
(18 . 54)
Ee = do !)~e ( eo '<'" r'>)~,
_!_ +
.L¡ N
En la región en que
-yt
j_!i - ~.,_ \ y-
(18.
55)
e-) 1<'<"
)
los c ampos toman la forma límite: ( 1 8 . 56) - } \<'("
Es--== - \<: ... d.o )~~ .li l'1
(18 . 57)
&,Y-
ecuaciones que escritas en forma vectorial, quedan -j I< 'f
\-\ -:: w \(
e.
( Yt "
do)
( 1 8 . 58)
l..¡ 11"f
( 18 . 59) La relación entre los módulo s de l os campos viene dada por
Vemos que en esta zona los campos son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación ri, como en el caso de ondas planas , ya que en zonas lejanas cualquier porción pequeña de onda esférica puede ap r oximarse por un a onda plana .
CA MPO EL EC rRO MAGNE n c o . PRO l'AGACION y RADIACI ON
.
'
p,,r
''Cl'1J
L11k1 . ~11 1,1 z011J próximd , en que r
~4N
1-11.''/'
ªº
¿<,\,
se tie ne
l e-ot9
( 1 8 . 60)
'fl
d" LOlfl ----
Eº..-
243
(1
8 . 61 )
\:? ti E,, Tº
Eoe
-:
c\o
).tJU
( 18 . 6 2 )
El
1; I'\ c0 T 3
Las dos Últimas expresiones son , prescindiendo de l hec ho de que oscilen con el tiempo , los campos estáticos debidos a un dipolo e l éc trico colocado en el origen. En cuanto a la am pli tu d de l campo magné tico dado por (18 . 60), es fácil de ver q ue se anula en el caso lími t e en que w - o . En este caso , la zona próxi ma se ex tie nde hasta el infinito . El campo de transición , término en 1 /r 2 en ( 18 . 55 ) ' aunque no contribuye a la radiación de energía , si contribuye a l almacenamiento ..... de energía dJrante la oscilación . En definitiva considerando la dependencia temporal, los campos de radiación toman la for ma : ( 1 8 . 63) ( 18 . 64 )
Ee = - 1edo ~~G 4
l"I
Co
T
De acuerdo con estos resultados , vector de Poynting es
1P
.~ Re ""
t E" i=\~ \ ""
el valor medio temporal del
( 18 . 65)
cu'I d.,-.. C-. 3-G T"\-..
c.
0
\
Integrando esta expresión sobre la superficie de la esfera de radio r obtenemos, para la potencia media total radiada:
';d ..
-w- -o-
(18 . 66)
C3 \'.<.. ~ éo
donde se observa que la potencia radiada por el oscilador depende muy fuertemente de la frecuencia , ya que es proporcional a su cuarta potencia . Esto significa que para incrementar la potencia conviene usar ondas cortas . Es interesante también darse cuenta de que el dipolo no radia uniformemente en todas las direcciones . La radiación más intensa tiene lugar en la dirección correspondiente a e 0 ~b normal al dipolo y se anula en la dirección dada por g =O Esta propiedad de radiación desigual en diferentes direcciones es una característica impor ta nte
244
R. GOMEZ MAR 1IN
drá dada por:
u
(1
~ . f.:7 J
De las expresiones (18 . 53) a (18 . 55) se pu~de hallar ~ct somp0n~~ te imag inar1a de 1 vector cumple jo de Puyn ti ng . Comv sabEe;n0:.., ~s ~.;, componente da cuenta de la potencia reactiva , o lo que EeS lo mi3mG, ~~ energia almacenada asociada a los campos cercanus . Es interesan te observar que el sistema radi ante elementa l form~co por un dipolo oscilante o hertziano que acabamos de analizi:l.r y cuyc. es quema , en forma de dos cargas puntuales de valor +q y - q varia~do con el tiempo según ejwt . se muestra en la figura 18 .4a , puede repre sentarse alternativamente como una corriente uniforme en el inter~alo A z (fig . 18 . 4b).
eiwl
<¡
o
ll 4
•
d : q o ei ~ \t::. ~
• - qº e
(o
j~I
( b)
l
F.i.[;. . 18. 4
De aqui, las expresiones de los campos (18 . 53) a (18 . 55) , pueden escribirse en términos de 1 sin más que hacer el cambio : 0
_J
do
I. 0 b. i
( 18 . 68)
w
obteniéndose las siguientes expresiones alternativas :
E.,. = Zo Io
Ee
lo
t.~ Col G
.¿ l1
\< Io ti. e
[
j
'(l
~~Yl
1¡ 11 Y'
1. + _ l_
9
[
\(y
-¡"<.,...
1e
i + ,.l.__ - _'- _ jl
\._k'f)i.
(18 . 69)
l
-j \(-;
e.
( 1 8 . 70)
245
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
[ i +
( 1 8 . 71 ) ( 18 . 72)
Es posible calcular los campos creados por un dipolo her tzia no o e lemento de i nt e n sidad de corriente uniforme con dependencia temporal arbitraria sin má s que tener en c uenta en ( 1 8 . 26) y ( 1 8 . 29) que
J ~1-')
=
I ó l~') cÍl~') ?.. Obteniéndose
f [
l
I ] .,.
dt
+
[
11,.
1[ H ~ . ~ ) ~ - ~ J
-1-
C.T?.
(18
. 73)
d [ Il,.
dl d
t. Il .. clt
( 18 . 74) +
6.- Radiación dipolar magné t ica y c uadripolar eléctrica . Con sideremos el signif icado del término correspondiente a e n (18 . 46) que, prescindiendo de l desfase j es -
t
11 t Y' )
=
-)1<'<"
_\<_ e_ _ .l.\
....
11 co'f'"
l
V'
Las componentes del vector
"°Po l"'í ')
r'
"'e.o~ 'r el. V'
n=1
( 18 . 75)
en cartesianas son
r , X~ . Entonces , en notación tensorial, la componente
0
X
!o(
y
las de
de l integran-
do de ( 1 8 . 75) se puede poner como Xcl POP.. x~ , que es fun ción de dos conjuntos de parámetros de la di stribuc ión: P ~ y x~ . Es conveniente 0 dividir este tensor en dos partes , una si métrica y o tra antisimét ri ca, esto es: (18 . 76)
donde el primer sumando corresponde a la par t e simétrica y el
se~·..indv
a l a antisimé t rica . Poniendo esta 6 1 tima e n notación vectorial , podemos escribir la integral que apare:e en (18 . 75) de la forma : ( 18. 77)
Consideremos ~rimero el término antisimétrico . Puesto que r no es función
de
la
variables
de
integración puede
sacarse
fuera de
la
j 1Dl
246
R. GOMEZ MARTIN
integral de modo que el primer término de la expresión queda:
f (-?º ' -r-· ) d \}
1
.¿
1
( 1 8 . 78)
JV'
Teniendo en cuentd que po r definición se tiene pard funcion es armónicas del tiempo: Po : ~-:. Por lo que de (18 . 78) se jw o btiene
'('
--
,z i<.v J
f\
1'::; -, \,
-.Jo
A'\
d \J :
)
1
( 18
. 79)
v'
siendo m0 el momento magnét i co de la di stribución de corriente :
r
"rr'lo
y- "
Jo
el \11
JV'
de lo anterior, la contri bución al potencial de la parte dn tis imétrica es
"< e-.:~ >
n°" (.'f-J
4nt..,'r..,,)W
(18.80 )
A partir de esta expresión , teniendo en cuenta las relaciones que ligan al vector e con ny al B con C, e introduciendo e l factor +j de ( 18 .46), se tiene , para l a zona de radiación \-\ e
-=
-
'.<:'
'rflo ~e'1. O
-4
( 1 8. 81 )
1i "("
expresión formalme nte idé ntica a l a ( 1 8. 57) obtenida para el campo e l éctrico de radiación del dipolo eléctrico . Reálmente exi ste una dualidad en el análisis del dipolo eléctrico y magnético , de f o rma, que las expresiones obtenidas para el dipolo eléctrico son válidas para el magnético sin más que hacer los cambios
( 18 . 82)
do
mio /e
de esto l os campos de radiación del d ipolo magnético son
(18
\..\e = - \('
'YYlo
\e.
Lt ~'!"
. 83)
-.i \( ...-
e e.
en la fig ura 5 se muestran las direcciones de estos campos junto con
Jj
11
247
C AMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
las correspondientes a los campos del dipolo eléctrico .
H
-E
d
( bl
(al
F.i..~.
18. 5
Consideremos ahora el significado del término simétrico de (18 . 76) . El cor respondiente vector de Hertz está dado por ( 18 . 84) Teniendo en cuenta ( 18 . 49) y haciendo 1/J =-Xi''/.~'
~ \)~ "'o1 ~?o« 'X~ 1
( V1
)
d\/
1 :: -
~
X
se t iene
Y..~ \J ? d\/ ~ )(cl.1 '¡(~ foc\\/'= qolf3 ~ t9. ~18 . 85)
V'
1
0
-o.
J\/,
1
~
en donde hemo s tenido en cuenta la definición de mamen to cuadripolar de una distribución de carga . Por tanto
\\'. e-j'<-r ( 1 8 . 86)
Puesto que el momento cuadripolar está representado por una matriz simétrica , podemos definir una familia de cuádricas deducidas de la forma cuadrática (18
. 87)
y de esta forma escribir
I< e-i'<'f
( 1 8 . 88)
lo que indíca que la dirección de n es normal siempre a la familia de superficies definida por ( 1 8 . 87). Para calculdr las componentes del campo correspondiente a un cuadripolo generdl , escogemos los ejes x,
24 8
R. GOMEZ MARTIN
y, z de tal forma que coincidan con los ejes principales de la cuádrica , de modo que
11.,,
11¡, 1\t
~eM..9
)
~
- ~ 1(.,-
e.
<.o:>'i'
ºº'"
betvl.G oeml{l
gliEo\
c..e1
e
c;¡,, '.l
(18.89)
1
Goei
en donde hemos considerado la diagonalización de (18.87) y la expresión (18 .8 8) . Considerando de nuevo para los campos de radiación eléctricos
y
E =Y"
e,
obtenemos
( 1 8 . 90)
( 1 8 . 91 )
donde
A=
-:i \(yx3 e 3'2.1\ Co T
Para e l campo magnético
Be
~
-
1
c.
( 18 . 92)
E'<'
( 18 . 93) Es fácil de ver de la dependencia de los campos con k 3 que el vector de
Poyn ting y,
por tanto ,
la energí a
radiada dependen de la
sexta potencia de k. Los campos magnéticos de radiación son, pues , de una intensidad mucho menor que los eléctricos y vemos que no tienen componentes radiales . Recordando la definición de momento cuadripolar ( 18 . 94) podemos expresar los campos del siguiente modo: ( 18
. 95)
(18 . 96)
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
249
De las propiedades del momento cuadripolar deducimos que si nos referimos a los ejes principales, solo dos momentos además de los tres ángulos necesarios para definir la orientación de lo5 ejes, hc1ce n falta para definir los campos .
'
''
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
25 1
CAPITULO XIX. ANTENAS LINEALES . 1 .- Introducción . En los capítulos anteriores hemos obtenido las expresiones de los campos creados por distribuciones arbitrarias de cargas y corrientes . Vamos a aplicar estos resultados al estudio de antenas , esto es, sis temas radiantes , especi ficament e diseñados para emitir o recibir seña-
)
les electromagnéticas. En general, las antenas son estructuras metáli cas que tienen como misión adaptar un sistema transmisor de energía electromagnética y el espacio libre . Según se utilize con el fín de transmi tir energía de la guía o línea al espacio libre o viceversa, la antena actúa como transmisora o receptora . De acuerdo con decir,
las
características esperadas de la antena,
es
frecuencia de trabajo, ancho de banda, optimización de la re -
cepción o emisión en determinada dirección . etc. , las ante nas pueden tomar diferentes configuraciones . Por ejemplo , la antena puede ser una pieza de hilo conductor con determinada dimensión y forma geométrica , '
'
una abertura en un sistema transmisor, un conjunto de elementos (array), un reflector etc . Obviamente se sale fuera de la intención de este libro un tratamiento exaustivo de la teoría de ante nas , de modo que solo consideraremos algunos aspectos bás i cos . 2 . - Campos de radiación de una antena lineal. La antena lineal alimen tada por una fuente de tensión , (fig . 19 . 1) es una de las más sencillas y utilizadas en la práctica. El objetivo de este capítulo es el estudio del campo de radiación producido por este tipo de antenas. Para calcularlo consideraremos el creado por c ada elemento de corriente y aplicaremos e l principio de superposición .
Esto hace necesario el conocimiento de la distribución de co-
rrientes en la antena , I(z' ), l a cual puede obtenePse experimental o a nalí ticamente siendo , en general , el método analítico muy complejo . Estudios
experimentales muestran que
las distribuciones de co-
rriente en la antena son aproximadamente ondas sinusoidales estacionarias siempre que la antena sea muy delgada. Cualitativamente , una antena lineal abierta puede ser considerada como una línea de trans misión abierta y
una antena circular,
como una línea de transmisión
cortocircuitada (fig. 19.1b) y (19 . 1c). Los resultados que se obtienen con este modelo simplificado para el cálculo de los campos de radiación son consistentes con los experi mentales,
a
pesar de las desviaciones introducidas por efecto Joule ,
252
R. GOMEZ MARTIN
potencia de radiación , capacidad antena-tierra , etc .
(z I
= '
--
'''>
"' =-=
1 bl
!o)
F.i.9-. 19 . 1
(e¡
En l a figura 19. 2a se muestran ejemplos de ante nas lineales alimentadas po r un a fuente sinusoidal y las correspondientes ondas estacionarias de corriente. Estas ondas estacionarias se obtienen aplicando las siguientes reglas: a)
El
flujo de corriente a
debe ser contínuo .
Esto
través de la fuente de alimentación
se sigue del hecho de que toda la corriente
que sale de la fuente por un terminal debe e n trar por el otro . b)
Si l os extremos de la antena están abi ertos , la corriente en
los extremos debe anularse .
Esto es consecuencia de la conservación
de la carga . c)
Las
distribuciones
de corriente
a
ambos lados del generador
deben ser ondas si nusoidales estacionarias con un factor de fase constan te ~ = üJ ~ ~éo
La distribución viene descrita por ( 19 . 1 )
satisfac i éndose las condiciones de contorno de l as reglas a) y b) an terio rmente expuestas .
, !,
253
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
''•
Las anteriores reglas, aplicadas a una antena lineal alimentada en su punto medio (fig. 19.2a) conducen a ]as siguientes distribuciones de corrientes en las partes superior e inferior de la antena:
( 19. 2)
'
donde r 0 es la amplitud en general i:::ompleja si se desa incluir una fase arbitraria , por ejemplo r 0 =Im eJ~, siendo Im la amplitud máxima de corriente . ,(2 )
,(2)
•
t'
l '
t\ \ t
\
1 1
'· '
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\
t--- ~ [
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o . . . ....1
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1
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1
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__,.'
1
1 1
,' o"" ' 1 1
t , r.... • , ,•• -l ~ , (al
\ \
\
\
\
\
1 1 --~
'
,'
, ,,
I
M
.. . . o (b)
Fi..g. .
19. 2
Las ondas est acionarias ( 19 . 2), como se ha visto, son contín uas en e l punto e n que se localiza el generador, z ' =O , de acuerdo con la regla a ) y se hacen cero e n los extremos de la antena , z ' = :!: 1 , como requiere la regla b) . Si el generador no se pone en e l centro , según muestra la f i gura 19 . 2a , se producen ondas es t acionarias de corrien te no s i métricas . Las reglas aplicadas a este caso , nos proporcionan ( 19. 3) ( 19 . 3
1
)
Las ondas estac ionarias de corriente para antenas alimentadas en su punto medio están representadas en la figura 19 . 3a . En la figura 19 . 3b se muestra la variacion de la corriente en una antena con el tiempo . Igualmente , cabe esperar que también existan distribuciones de corriente estacionarias en una ante na lineal delgada cuando es curva ,
254
R. GOM EZ MARTIN
como representa la figura 19 . 2b . En este caso , la distribución ( 19 . 2 ) puede s e r tomada como una buena aprox imación si la variable z ' se cambia por l a ir,' que repr ese nta l a
'\
¡_, \
l ..
,...----., 1
1 1
,I
'\
l ..
f ' ¡~\ ..--...
' I
'
V
I
-.' /
21 ·2AI 21: Ao
/
I
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H
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4
I
1.... \
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-~
\
3T/8
T/4
t= T/ 2
/
21: t3 >.,,
(al
(b)
F-4¡. 19 . 3
Supuesta la aprox imación (19 . 2) podemos proceder a la evaluación d e los c am pos que una ante na li neal y alimentada en el centro produce en l a z ona le j ana . Para ello , te ndremos e n cuenta la geometría de la f i gura 19 . 4 . : lz l
p·y
1
punto fuente
¡_ -
_ ..
P( r, o , 'P l punto campo
dE
1
o
l(z'), rl--. - ...
\
l
--::::~-
1 1 1 1
... o l
\-
,'
_ ;
r f • ' e, l
1 1
1 \ \ \
\
''
I
'
-1
'
F.i...<¡. 19 , l¡.
255
CAM PO ELECTROMAGNETI CO. PROPAGACI ON Y RADIACI ON
r'
La contribución al campo eléctrico total en su punto campo P , debida a un elemento de corriente I ( z' )dz ' localizado en P ' , viene dada, de (18.70), por: d t:
j 2.o
=
9
I<. "I t~')
d;z.•
( 19.4)
1-4 T'\ R.
Si P(r,9,~) está en la zona lejana y la antena está alimentada en su punto medio, se tiene: (19
. 5)
sustituyendo esta expresión en (19.4) e integrando , se obtiene el campo eléctrico en P "
) \( 2., ~~Y1.9
-~~ l~--z·cmQ) ¿ ;z.•
e.
Ili.' l e. -r- 2 1 cme
\ -e
i ~lo ~e'f\.e
. )e e~'<~ -e
.i. t1
( 19 . 6)
·"'e'Lt>~e ch ' I\'l') e~ , _ 'i!.'une
La dependencia en z' de la corriente viene expresada por (19.2):
( 19 . 7) -e.(c'<:O
El factor de fase exp{+jkz' cosG) que aparece en (19 . 6) da cuenta de las contribuciones a la fase de cada elemento de campo dE& e n el punto P , siendo la i nt egral muy sensible a los desfases , que dependen de la distanciar. Por el contrario , el factor r-z ' cosG del denominador de (19.6) afecta solo a las amplitudes de dE 9 que contribuyen e n P . Por tanto, podemos considerar que r - z ' cos G es prácticamente igual ar . Con esto podemos escribir (19 . 6) de la forma :
~ 1< Zo I
0
-1eYls
e~ °"'1'
l¡t\'('
~ ~e
l
Í0
j 1.n.'cme
,;l!.vt.~\Q...n•)d~· -e. efa'c.o~G ~e.TL\(U.-r.') d1. 1 e
1
+
l
o
)
integrando por partes o por sustitución de la expresión sen x=(2j )- 1 (ejx_e-jx), obtenemos
l
cm ( '-
( 19
. 8)
De esta úl tima ecuación se deducen las siguientes propiedades de
256
R. GOMEZ MARTIN
los campos de radiación: a) Los campos E9 y H~ en la zona lejana son ondas esféricas TEM, relacionadas por la impedancia de onda intrínseca real z lo mismo que 0 en los casos de ondas planas uniformes en el espacio libre. Las amplitudes varían como r- 1 b) Los campos son directamente proporcionales a la ampli tud Im ' de la corriente de excitación. c) E e y H'I' son independientes del ángulo azimutal ~ (simetría axial) . La dependencia con e en (19.8), se designa por: F
(9)
:
( 1 9 . 9)
F( 9 ) es el llamado factor de antena . El factor de antena F(e) especifica como varían los campos con G en la zona lejana. Más adelante discutiremos algunas formas específicas de este factor. La media temporal de la potencia total radiada por una antena lineal vendrá dada por
~=
f ± Re t EA\:\" }· ds s
Haciendo uso de (19 . 8), se obtiene 2 ºI~
fl1 t
-4 T1
lo
F"le)f·:ier.-i.e d e
( 19 . 1 0)
Esta expresión no es integrable en forma analítica pero puede ser evaluad a por métodos gráficos, mediante serie s de potencia o utilizando las funciones seno y coseno integral, Si(x) y Ci(x), definidas por S;.
l~h
íx o
C¡_
lv.): -
.'ie.-t. X
e
d )(
X =~ l(
( 1 9 . 11 )
ch
)(
Una magnitud relacionada con la potencia media radiada por una antena lineal es la denominada resistencia de radiación, Rrad' que se define como la resistencia que debe tener la antena para que en ella se disipen por efecto Joule la misma potencia que radia . Su expresión e n términos del valor de la amplitud de la corriente y de la potencia media es la siguiente: ( 19.1 2)
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
)
257
Es de observar que la resiste ncia de radiación de una antena lineal no es en general igual a la impedancia vista por un generador colocado en los terminales de la antena . Este hecho está relacionado en parte con que la amplitud de la intensidad de corriente , Im ' aparece en cualquier lugar a lo largo del eje z pero no generalmente en los terminales de la antena, como vemos en la figura 19 . 2a . Teniendo en cuenta la expresión de la potencia media radiada, la resistencia de radiación toma la forma:
~ ...<>.&
= Zo
("
lo
.¿l"'I
He) 1~
t
~e'Le
de
( 19 . 1 3)
De la integración de l a ecuación anterior se obtiene 'Rvo.d = GO
te
+ e"\.(.<. \(e) -
G,(<.1<~)+
±~~(2.ll:e) l s.
(.4-.:€) -
z.s . ~211:e)
l-T ( 19 . 1 4)
donde C=0'5772 es la constante de Euler . Si la ante na no está alime nt ada en el punto de corriente máxi ma , la resiste ncia de radiación referida a l os terminales de entrada difiere de la de radiación definida en (19 .1 3) . En el caso general, ld resistencia de entrada será ( 19 . 1 5)
I·:z. t
Se define la ganancia directiva de una antena como una medida de la concentración relativa de la potencia radiada en diferentes direc ciones y es el cociente entre la densidad de potencia radiada por unidad de ángulo sólido en una determinada dirección y la que se radiaría , igualmente por unidad de ángulo sólido, si la radiación fuese isótropa; es decir:
[F(e¡J"
r[
Dte)
~t'1Gd9
( 19 . 1 6)
\'l6)J..
o
La ganancia directiva máxima, o simplemente directividad , Dm, se da para G'"/~, resultando
D"'t. " )
"2-
u.- <.o~ 1< et
r o
~
FlG)
( 19 . 1 7)
YYM_g dg
Merecen estudio especial las antenas dipolo cuya longitud es un múltiplo de semilongitudes de onda. Para ellas las expresiones de los campos son:
258
R. GOM EZ MA RT I N
E ~ =-
j
-i l<;·r
e
Zo Io .¿t\
[ <..o, \. "l'Yt '.l. LO~ g )
"t"
"'!l.+l
+ \..-1 )....
]
para m impar
( 19 . 1 8)
para m par
( 1 9 . 19)
~
Algunos diagramas polares o de radiación , es decir, diagramas en los c uales la distancia desde el orige n a la curva es proporcional a la intensidad de campo , se muestran en la figura 19 . 5 . Las curvas armónicas dibujadas a trazos indican la inte n sidad de corri e nt e en el hi lo conductor;
y las fl ec ha s su dirección .
c iones de corriente presentadas ,
los
Para todas las di stribu-
dibujos muestran el estado de
máxima excitación, la representació n de la onda estacionaria en cualquier instante de tiempo se obtiene de considerar la variación de la intensidad de corriente
según cos w t .
Es
interesante observar
las
ante nas dipolos de m> 2 , debido a las interferencias causadas por in te n sidades con di sti nto sentido, presentan múlt iples lóbulos .
J ·~
lll ni = l
J
l
F.J..9-. 19. 5
La dependencia de la resistencia de radiación con la longitud de
CA MPO ELECTROMAGNETI CO. PROPAGACION Y RAD IACION
259
la antena expresada en longitude s de onda para antenas supuestas infi nitamente delgadas , se representa en la figura 19.6.
)
0,25 Á
0,501.
O,'ISÁ
F.i..g. 19 . 6
Una de las ante nas dipolo más us uales es aquella cuya longitud es 112 igual a media longi t ud de onda. Para este caso, dado q ue Zo•lf'-...E.\, i2on, éo J resulta : .:
(19. 20)
La densidad de potencia es
r~
\P =
(1 9.
21 )
y la potenc ia total radiada
"?:
Go
I:
)"~[e.o-> (n f2.to)9)1~ e\.~ 0
~eivt
(19 . 22)
e
La evaluación de la integral anterior da como resultado P=36'56I n,2 y , en c ons ec ue ncia, la resistencia de radiación es Rrad=73 ' 1.n, valor que es del orden de la impedancia caracterís t ica de un cable coaxial . La directividad , a parti r de (19 . 18), resulta Dm=1 '64. Para el dipolo infinitesimal o hertziano , de (18.65 ) y (18 . 66) , se tiene : ( 19. 23)
260
R. GOM EZ MARTI N
la r e s ist encia de radiación se puede obtener de l vector comp lejo de Poynting dado de (18 . 69) a (18 . 71 ) , por : 1
¿
CÉ ,i:i ")
1 ~
[~ 8
(J.:l,· r
~e.rt'e
..,. ...
[
\-j
LI< ·q->
~
J
+
(19 . 24) +
j Zo
\'( (l,.,.. b." ).¿
C:.0-;\9l~9
l eo ,., • .,-.3
[
.\.
.\..
{
I<. i'¿
A
1e
~
integrando sobre una esfera de radio r, se tiene ( 1 9 . 25)
donde
~rad
es la potencia media radiada ( 19 . 26)
y de aq uí:
que es la resistencia de radiación del dipolo . En cuanto a l a potencia reactiva, hay que tener e n c uenta que a ella solo contribuye la componente radial del vector de Poynting complejo y no la componente 9 ; ya que es t a se anula al i ntegrar sobre una es f era cerrada . Esta ci rcun stancia hace que este método no pueda ser utilizado para obtener la reacta ncia de entrada de l a antena . 3 . - Antena s situadas fren te a tierr a supue sta conductora_E_erfecta . En la práctica , las antenas se encuentran a menudo en presencia de una superficie conductora, aproximadamente plana, que es , en gene ral , la s uperficie de la tierra . El campo electromagnético de las antenas induce cargas y corrientes en esta superfic ie conductora . El campo electromagnético total es debido a todas las cargas y corrien te s : a las de la antena y a las inducidas en la supe rfici e conductora . En el caso más general , la determinación exacta del campo resultante, para una antena situada frente a una superficie conductora imperfecta , es muy complicada . Si hacemos la aproximación de considerar la tierra como conductor perfe~to , el campo debido a las cargas y corrientes inducidas se puede calcular fácilmente. Esta suposición se corrobora porque los campos obtenidos de esta forma conc uerdan bastante bien con los reales. Así pues, en general , el problema del comportamiento de una ante-
CA MPO EL ECTRO M AGNETICO. PROPAGACIO ' Y RADIACION
261
na en presencia de tierra, cons iderada esta como conductor plano perfec to (fig . 19 . 7a) , es resoluble consi derando que la distribución volúmica de cargas y corrientes frente al plano conductor se puede sustituir , para el cálculo del campo elect romagné tico en el semiespacio en que se encuentran las fuentes reales , por el sistema constitui do por estas y sus imágenes , (fig . 19 . 7b) . Efectivamente , conside remos un elemento de v o lume n Va en un pun to genérico Pa de la distribución real de c:rgas y corrientes con densidad de carga fo.. y densidad de c orrie nte Ja .
A dicho punto le corresponde otro Pi ' perteneciente al
volumen Vi , que es la imagen de Va. La densidad de carga en Vi es ~ =- jb... La densid ad de corriente , Ji , está definida de f o rma tal que la distribución Vi sea si mé trica de la real respecto al plano z=O y con sentido opuesto .
-
-
CD
(al
[ b )
Fi..g.. 19. 7
Con esta di stribución equivalente, la expresión d e los potenciales en un punto P por encima de la superfi cie (z >O ) resulta : V~
l L,N
A
Co
jlo 1<11
-~\('(a._
L L
l"--
e.
""-
""Néo
-j l<"<'c;.
Ja..
L
dV'
...
rV,
Si suponemos que P está en z=O, conocidos dados por
E
- \JV - j
c...:i
A
el V'
'í'~
/:!:_o L¡ li
'í'C>.
1v, f ~ e
- lle"<'(
1.
...
dV'
J,
-j \(i\
e
dV'
'{'" <
A
y V los campos vienen
262
R. GOMEZ MARTIN
plano conductor
T
h
plano conducto r
h
:;¡ •• distribucidn real H h plano
conductor
h H d1stribucion
h
h
hr;.. 19. 9
CA MPO ELECTRO MAGNETICO. P RO PAGACIO
Y RADIACIO N
263
Considerando elementos de volumen simétricos , las distancias son iguales y las distribuciones de carga iguales y opuestas . Po r ello , resulta V(z=Ol=O y , por tanto , 'IV es perpendicular a l pl ano z=O . Para el potencial vector A, la resultant e de las dos contribuc i ones da un potencial vector perpendicular al plano z=O . Para las componentes del campo eléctrico , queda
' y , puesto q ue se cumple que
podemos concluir que
De forma aná l oga, para el campo magnético , se llega a que
E.,,_= o
Resumiendo varios casos de distribuciones de corri ente frente a planos conductores, representamos e n la figur a 19 . 8 la distribuc i ón original que , junto con su imagen , resuelve el problema de l a dete rmi nación de campos en la región de radiación por encima de la tierra , sin tener en cuenta, una vez considerada la imagen , el plano conductor . Como un ejemplo , consideremos la antena lineal vertical y a limentada por la base , encima de la superficie de la t ierra , mostrada en la figura 1 9. 9 . El campo de radiac ión existe so lamen te e n la parte superior del es pac io , donde es igual al campo creado por la ante na simétrica de la figur a . La i ntensidad de campo , supuesta una corrient e máxima Im , en la antena viene dada exactamente por (19 . 8) para todos los puntos por encima de tierra (o<.. e<( N /~), siendo nula para lodos los puntos si tuados por delJajo de ella ( N/..¡.<: g.:: H ) • Por tanto , para el cálcul o de la
264
R. GOMEZ MARTIN
potencia radiada, la integral de la ecuación (19 . 10) ha de extenderse Únicamente desde cero a n;2 y la resistencia d e radiación será solo la mitad de la del dipolo completo . Es decir MI¿
"P,
Z'.'.oI: \ 1
lo
[
He)12 ~Gtl9
Por tanto, la resistencia de radiación de una antena de un cuarto de longi tud de onda vendrá dada por 36'5n. En resumen , podemos decir que , en el caso de una antena vertical de longitud 1 situada sobre un conductor perfecto , se produce el mismo diagrama de radiación (en el semiespacio en que se encuentra la antena r eal) que el que daría una antena de longitud 21 que estuviera alimentada por la misma corriente que la antena utilizada . Sin e mbargo, la antena real de altura 1 radia solo e n el semiespacio sit uado sobre el plano , de f orma que su potencia radiada es solo la mitad de l a correspondien te a la antena equivalente (de longitud 21) en consecuencia la resistenc ia de radiación de la antena real es aproximadamente la mitad de la de aquella . 4 . - Sistematización del cálculo de los campos de radiación . Como se ha razo nado en el estudio de l os campos de radiación creados por distribuciones acotadas de fuentes , existen una serie de consideraciones de carácter general que pueden aprovecharse para sistematizar y simpli fi car l os cálculos . A modo de res umen estas consideracione s son : a) Las diferencias entre los radiovectores de diferentes puntos de la antena son , en c uanto a sus e f ectos sobre los módulos , to talmente de s preciables . b) También son despreciables l as diferencias e nt r e las direcciones de l os radiovectores de diferentes pun tos del radiador . c) Toda s las componentes del campo que dismi nuyen con l a distancia con potencias superiores a 1/R son despreciables frente a las que disminuyen con 1/R . d) Las di f erencias entre los radiovectores de los distintos pun tos f uentes se expresan , a efecto de calcular los desfases, como r .r 1 = =r ' cos !L' , ( fig. 19 .1 O) . Teniendo en cuenta estas aproximaciones y suponiendo una distribución monocromática de fuentes , el potenc ial vector A en el punto campo P de la figura 19 . 10 , viene dado por
CAMPO ELECT ROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
~t" r :w) dl(~:\lf'
-.)"" '(""
e.
265
-
N
( 19 . 27)
Jv, donde N, denominado vector de radi ac ión , viene definido por ~Y . ~·
N : J J l ~·)
Ej
d V1
(19 . 28)
~·
F.i_g.. 19 . 10
Si las fuentes están dirigidas según el e j e z : ( 19 . 29)
para una fuente lineal haciendo ~ = 9, Nz se simplifica a 1\1
''12
r
= J Ilt.' J
e
.l \O.'~&
dL'
( 19. 30)
-
tenie ndo e n cuenta la l igadur a de Lorentz (16 .
E
-~wt:\+'J~'V·A)
Los campos E y B, . 6), vienen dados por
'
y.A) fº to ( 1 9 . 31 )
C): íh. A.
Analizando la ecua ción B= V~A en coordenadas esféricas se demues -
11
266
R. GOMEZ MARTIN
traque las úni c as componentes de H que disminuyen según 1/r son . I<.
- .) \("('
e.
1-le : _j -
Nll>
( 19 . 32)
'
( 19. 33) as í mismo se comprueba que la s únicas componentes del campo eléctrico que disminuyen con la distanc ia según 1/r , provienen de
E
E
(19 . 34)
y son
Ea = - j
<....)
-j~
Ag
.l.¡ r\ '(
¡:; '(' : - ·)w 1\IQ
-~~
~
-~ 1(..-
e
l\lg
(19 . 35)
-) l<"I"
N'l'
e
(19 . 36 )
-
.l.¡ H"f'
por lo que e n general, el campo E de radiación puede e scribirse (19 . 37) cumpliéndose l a relación ( 19 . 38) El valor medio tempo ral del vector de Poynting , la intensidad de radiac ión y...,_la potencia media total radiada vienen dadas respec t ivamente por
IP
<
2o
[ INel¿• IN.,1ª1
( 1 9 . 39)
8 :X."-0'
t
u.
:ilo
"?
1~ f~" u.
t. A..,.
o
l "le¡• ~eA-\.9
l 1N~ \'
d9 d 'f'
1
( 19 . 40) (19.41)
o
Para el caso de que las corrientes en las fuentes estén todas en una misma dirección , según el eje z, se tiene ( 19 . 42) y
267
CAMPO EL ECTROMAGN ETI CO. PROPAGACION Y RADIACION
u..
( 19 . 43)
Si todds las corrientes de un sistema radiante presentan s im ~ L ria circular respecto a un eje , puede elegirse dicho eje como el de un sistema de coordenadas esféricas . En esta situación los vectores pueden tener únicamente componente~ . Por tanto
u_ ,
~o
1l\l~1"'
g,)...""
'P
<
-2 '1
~'1 ~
Ay
N
(19 . 44)
dg
( 19 . 45)
o
Relaciones útiles son las que ligan a las coordenadas N0 y Nv con las cartesianas de N y las que expresan el ~ngulo ~de la figura 19 . 10 en función de las coordenadas angulares del punto campo ,
(e , '-P) y del
punto fuente ( G',
( 19 . 46)
(19 . 47)
Ejemplos . 1 . Hilo r e cto excitado por una onda progresiva . Consideremos un hilo recto , que se extiende desde z =O h asta z =l, excitado por u na onda progresiva de corriente , que s u ponemos no se atenúa y cuya velocidad de fase es igual a ll f¡ZE (fig . 19 . 11 ) .
I
'Y':g /
•••-J..
1 ,
I
I
'
'Í
o r~ .
19 . 11
268
R. GOM EZ MARTI N
Puesto que todas las corrientes tienen la dirección z, el vec tor de radiación tendrá únicamente componente z . Podemos pues , aplicar las formas particulares de las ecuaciones ( 1 9 . 29) , ( 19 . 42) y ( 19 . 43) . -·¡1<2.'
¡1<<'
e.
e
N;. =
1
dz.' ' ~\l-
J 1<.
o
-i'
e -
\ l. -
---
t..<ñ9)
(19 . 48)
~ .Io 1~~\(e_~J l i-~9)1
\<. l H.o1 & )
( 19 . 49)
Además , por existir simetría respecto del eje, ~€.A-\¿
l ( 1( e /¿ )l 1-Lo! e) 1 ~eY\?.9 de li\.,t
7 = ?>o
I~
)" 6en-ÍG
~~
!-~e)2
( ('di,¿,) 0-t.mG) l
t
de
1-to1 9 )""
calculando la integral anterior, resulta (19 . 50)
La radiación es nula en 9=0 , según se ve de (19 . 49) , debido a que la radiación de cada elemento de corriente en esa di r ección es nula. Est udiando con detalle la ecuación (19 . 49) , puede comprobarse que los lóbulos en las proximidades de 9=0 son mucho mayores que los que resultan para G1=11 . 2 . Antena de cuadro circular pequeña . Vamos a aplicar ahora las expresiones generales de una antena de cuadro circular, suponiendo que la longitud de su circunferencia es ¡:;equeña respecto de la longitud de onda y que por ella circula una corriente de distribución constante . Debido a la simetría axial , se pueden utilizar las expresiones (19 . 44) y (19 . 45), y puede determinarse N'I' en 11'=0 , ya que es independiente del ángulo (fig. 19 . 12). Las coordenadas del elemento de antena son 'l'' y e ' = n /-e, . El radio de la espira es a . Entonces, según la ecuación (19.47)
N~:lo
r.. ~ JKO.."""·ª<.ol'i>' J e t.o14' Q...dlj>':i, 1
o
r~T1
Io ~ [l.+j~o..~eY\.9C..c:r~
o
1
( 1 9. 51 )
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
269
\
/
/ /
,.' /
F.i.f}. 19 . 12
/ la intensidad de radiación
U
=
~º
1<.¿ n""
~ Q~
6eNL•e
'8 )-..
~~\(o..)" 2>~
r:
~~·e
( 1 9. 52)
La potencia radiada
"P
=
~11
)"
U.
~eme de
(19 . 53)
o
La resi s t e nci a de radiación ( 19 . 54)
5 . - Teorema de r eciprocidad . Según
el
teorema
de reciprocid ad ,
la
corriente en un detector
dividida por el voltaje de l a fuente permanece c ons ta nte si se i nt ercambia n la fu ente y el detector, siempre que no varíen la fre c uencia ni ning una impedancia . Este teorema se utiliza ampliamente para estudiar tanto circ uit os eléct ri cos como antenas . Vamos a demostrarlo en el caso general aplicano las ecuacion es de Maxwell . Un par de espiras , una de ellas empleada como antena emisora y la ot r a como antena receptora no s servirán para fijar i d eas en la discu sión sin pérdida de generalidad . El sistema se indica en la figura 19. 13 . Los cond uctores y el medio de propagación se suponen isótropos . La fuente suministr a a la ante n a de la izquie r da un voltaje V, mi e ntras el detector , conectado a la antena de la derecha , mide una corriente I . El teorema de reciprocidad establece que la razón I/V no se modifica si , como se indica en la figur a 19.14 se intercambian la fuente y el detector.
270
R. GO M EZ MAR TIN l
Receptor
Tran smi sor
F.Lr;.. 19 . 13 Pa r a demost r ar el e n unciado anterior , denominaremos con subí ndice a el
campo que se obtiene cuando las antenas se e mpl ean como indíca
l a parte superior de la figura 19 . 14, y con subíndice b al que existe c uando la f ue n te se
~oloca
en l a anten a 2 y el detector e n la 1 , como
oc u r r e e n la parte i n ferior de l a misma figura . La frecuencia y las impe d ancias se suponen iguales e n los dos casos. En c ua l quier pun to del espacio inc l uyendo las a n te nas e incl u so l as f uen tes , se tiene : (19
. 55)
y e mpl eando las ecuacion es de Maxwell :
( 31o +-oli) + "HQ. al.
+ h . (
3a.+
'Obo..) 'Ol
::
Ea_ . ::sb
~B:~
-o -e
-t
( 19 . 56)
don de se ha sustituido el operador 'C>/ot por jw . Para p untos situados fuera de la fuente, la densidad de corriente es senci l lamente o- E, si suponemos que se aplica la ley de Ohm . Sin
J
embargo dentro de la fuente existe una inten sidad d e campo electromotor E' , y en general (19.57)
CA MPO ELECTROMAGNET ICO. PROPAGAC ION Y RAD IACI ON
27 1
( 1 9 . 58)
donde E~=E;
y
Et,=E2
son respectivamente
las intensidades del campo
e l éc trico electromotor en el interior de la fuente cuando está en la espira 1 y c uando está en la 2 .
Transmisor
Receptor
E.. , ¡:¡&
Vectores campo
~~r
~~~
Vectores
campo
E., , Hi. F.i..<;¡. 19 . 14
...
Eliminando Ea y resulta
Eb del segundo miembro de l a ecuación ( 19 . 56) ,
(19 . 59) e xpresión
que en general
tiene un valor no nulo y que se aplica a
c ualquier par de campos electromagnéticos en cualquier punto del espacio, incluso en el inte r ior de las fuentes . Integrándola sobre to do e l espacio y teniendo en cuenta e l teorema de la divergencia , se tiene
1\].\~~ ~ \:\ \, _
E1/
~
~,._) d v,
r, "E·.. 3 E~ .s. . ) ~-Ea. ~ 41, . ~., "~,J. b_
d \} ,
,
d
s
( 19 . 6 0)
~
Dado que las fuentes ocupan un volumen finito, la superficie de integración del tercer miembro está infinitamente alejada de ellas y se podrá suponer una onda plana con
Ey H
normales y transversal es,
272
R. G OMEZ MARTI N
esto es :
EH;;_
( 1 9 . 61)
donde "n es el vector unitario en la dirección de propag~ción como se indica en la figura 19 . 15 . Por tanto (19.62 )
y a nál ogamente para Hb y Eb . En consecuencia , en puntos infinitamente alejados de las fuent es (19. 63) desarrol lando y recordando que n es perpendicular a Ea y Eb , se puede demostrar que la cantidad entre llaves se anula . Así pues la integral de s u perfici e d e la ecuación (19 . 60) debe se r cero : (19.64) donde la integración se extien de a todo el espacio , pero se puede ¡ i mi tar , por supuesto, a las fu entes , y a que en todos los punt os res tantes ,
Ei
y
E2
son cero . Por tan to
L
-
1
E1
•
Jb d V~
I ~~ .3,._
(1
d\(
b donde v1 Y v 2 son los volúmenes de las fuentes e n donde E'1 y a n ul a n .
E'2
9. 65)
no se
"@- --
éJ
1 1 1
E xH
_____ l ___
E
F.i.f¡. 19 . 15 Operando
sobre
la
integral
del
primer
miembro
de
( 19.65)
se
CAMPO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
..'
273
llega a: (19 . 66) donde Vsa=Vs 1 es el la corriente en la segundo miembro de niéndose finálmente
voltaje suministrado por la fuente en 1 e rb 1 es espira 1 cuando se excita la 2 . La integral del ( 19 . 65) puede expresarse de forma análoga, obtela igualdad ( 19 . 67)
que significa que la corriente inducida en 2 cuando se excita 1, dividida por el voltaje aplicado en 1, es igual al cociente de la corriente inducida en 1 al excitar 2 y el voltaje aplicado en 2, siempre que las frecuencias y las impedancias no se modifiquen. Este es el teorema de reciprocidad válido para cualquier par de antenas. No hay que olvidar que este teorema se refiere solo a la razón I/V y no dice nada sobre la potencia que consume la fuente que en general varía cuando esta cambia de posición . Una consecuencia importante del teorema de reciprocidad es que el cliagrama de r·adiación de una antena debe tener la misma forma que la respuesta de la antena como función del ángulo cuando se empJea como receptor . Este hecho se emplea corrientemente para determinar los diagramas de radiación. Nuestra demostración del teorema es general, suponiendo que los medios son lineales e i sótropos . En consecuencia se puede aplicar a los circuitos eléctricos corrientes.
.. \
t
CAMPO ELECT ROM AGNETICO. P ROPAGACIO N Y RADI ACION
275
CAPITULO XX . AGRUPACIONES DE ANTENAS . 1 .-
'
Introducción .
En el capítulo anterior s e han estudiado las antenas l ineales aisladas y se ha obtenido que e n general la directividad de este tipo de antenas no es función del ángulo ~ y por ello se denominan antenas onnidireccionales. Aunque este tipo de diagrama puede ser útil en radiodi fusión, hay situaciones , como es el caso de comunicaciones vía satélite en que se hace necesario el diseño de antenas con muy alta direct ividad , esto e~ con un acusado reforzamiento de la radiaci6n en una determinada dirección. Aunque el aumento de la s dimensiones de una antena única a menudo conlleva una mayor directividad, la utili z ación de agrupaciones de antenas sin necesidad de aumenta r el tamaño de los elementos individuales constituye una forma más apr opiada . A la nueva antena f o rmada por agrupaciones de varios elementos , se l a denomina " array " . Como veremos más adelante , es posible en una agrupación de antenas variar de forma controlada la dirección preferente de radiación , siendo la variable de control la fase de las corrient e s de e xcitación de los elementos que forman el "array ". Esta posibilidad es ampliamente u t ilizada en radares y seguimiento de satélites . En general los elementos individuales de un "array" pueden ser de cualquier clase (an t e na s , aberturas , etc . ) . En la mayoría de los c a sos , los elementos son idénticos , esto aunq ue no es necesario es lo más conve niente, simple y práctico . En concreto una agrupación muy usual es la formada por antenas dipolares de media onda . En todo c aso , el diagrama de radiación resultante es el debido a las interferencias entre los campos radiados por cada elemento , de tal modo que en ciertas direcciones esto--; L'c.uupos interfieren destructivamente mientras que en otras l o hacen constructivamente . En un "array" de elementos idéntico s exi sten cinco variables de control que pue· e n ser uti lizadas para configurar el diagram1 de radiación de la anten-: a) La configuración g eométrica de l "array" total (lineal , circular , rectangular , tr i dimensional , etc . ) . b) El des plaz amiento relativo entre los elementos . e) La amplitud de la excitación de los elementos individuales . d) La fa se de e xcitación de los elPmentos indiv1dual~s . e) El diagrama de radiación de un elemento individual .
276
R. GOMEZ MARTIN
En este apartado vamos a deducir algunas características generales del campo de radiación producido por una agrupación de anLena:; . Demostraremos que dicho campo puede ser expresado como el producto de dos magnitudes, una, el campo creado por uno de los elementos del co n junto y la otra, el factor del "arra y " que es una magnitud que caracteriza a la agrupación , dependiente tan solo de las excitaciones y las posiciones relativas de los radiadores del " array" . El proceso de separación del campo en estas dos partes se conoce como factoriza c i ón o principio de multiplicación de diagramas . Supondremos que las distribuciones de corriente de los n element os idénticos de la agrupación son similares diferenciándose tan solo un as de otras por constantes complejas. Tomando un punto de la distrib uc i ón d e
corriente de
una antena de
referencia como origen de un
s i stema de coordenadas esféricas (r , e,~) . la posición y la distribuc ión de cor r iente del elemento p del " array " pueden ser especificad
la
tr a s l ada
cons t ante compleja c el
p
un vector rp que, a
la posición de
aplicado a la antena de
dicho
elemento , y por una
que representa el coeficiente de excitación por
c ual de be mu lt i plicarse la distribuc i ón de corriente de la antena
de r efere nc i a para obtener la de l a antena p . (Fig . 20 . 1) .
p
F0-. 20. 1 Si se llama
r'
al vector de posición de un punto de la antena de
re f erencia y r~ al que fija el punto homólogo del radiador p , deberá c umplirse (20 .1 )
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
277
(20 . 2) siendo JP y Jref las distribuciones de corriente relativas al elemento p y a la antena de referencia respectivamente . El potencial vector magnético para el radiador p en la zona de radiación viene dado por
-l\F <.; l =
,)
(.:_o l¡ ti
-P("'
e.
i"
~ Jp l 1-f ) V'
r
Introduciendo en es t a ecuación las expresiones (20 . 1) y (20 . 2) y sumando las contribuciones de los n elementos al potencial vector total, A(r) , del "array", se obtiene (20 . 3) donde (20 . 4) es el potencial vector debido a la antena de referencia y p:n-1
f le , 'f')
=
Ir=o
(20 . 5)
es una magnitud compleja sin dimensiones que se conoce como factor del "array" y que depende únicamente de los coeficientes de excitación c p y de la posición relativa de los elementos por medio de rp' siendo por tanto independiente del tipo de antena de que se trate . De las ecuaciones : (18 . 45a) (18 . 4 5b)
que expresan los campos eléctrico y magnético en función del potenc ~a l vector A, se puede concluir que análogamente estos pueden calcularse en el "array" como ty~{ \.T )
t
(S,l(l)
(20 . 6)
~ \ ~ ) = H. . ~~ l :;;- l
·
f le .'f')
(20 . 7)
E (T):
donde Eref y Href son los campos eléctricos y magnéticos correspon-
278
R. GOMEZ MARTI N
dientes
a
la antena de referencia.
Estas ecuaciones indican que e l
diagrama de radiación de una agrupación resulta del producto del diagrama de radiación de un elemento y el módulo del factor del "array" . En realidad , en un tratamiento totalmente riguroso se debería t ener en cuenta las influencias de unas antenas sobre otras . No obstan te , el tratamiento efectuado da unos resultados suficientemente aceptables . Todo el estudio sobre las agrupaciones está basado en el de la obtención y análisis del factor del "array " expresado según (20 . 5) . Si utilizamos componentes rectangulares en (20 . 5) resulta : (20 . 8)
qu e po ne d e manifi e sto que incluso en agr upaciones de pocos elementos , i n teFv ienen en el cálculo de los campos de r a d i ación un número relati v a me n te e l evado de parámetros . Es interesante notar , que la magnitud (20 . 9) r eprese n ta el diagrama de
potencia de
una agrupación de radiadores
i sótropos idénticos (radiadores puntua l es) . 3 . - Agrupación lineal . Como se ha comentado anteriormente, en la práctica el espaciado ent re las antenas que constituyen la agrupación es usualmente regular y muy frecuentemente están colocadas a lo largo de una línea . Vamos a hace r el est ud io de estos " arrays " partiendo del caso general de co nf i g uración tridimensional de antenas dipolares que se muestra en la f i g u ra 20 . 2 . Consideremos los elementos del " array " ordenados en forma de red tridim ensi onal con vectores bases 1 , , , según los ejes x, y, z 2 3 ( f ig . 20 . 2) . Con esta estructura el vector de pos:ción rp' la fase ~f y l a constante de e x citación cp de la antena p vienen definidos por
a
' r:
a a
(20 . 1 O)
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACIO
279
( 20 . 11 ) ( 20 . 12)
}
siendo O(.i la fase constante de cualquier elemento con respecto a un vecino más próximo sobre e l eje definido por el vector base ªi ' De la definición de f actor de " array " tendremos que (20 . 1 3 )
expresión que debido a la cantidad de parámeLros de que depende puede adaptarse a casi cualquier forma de radiación deseada .
------
______
.)
r.ir;.. 20.2
De la figura 20 . 2 se tiene ( 20 . 14)
'
1
que sustituida en (20.13), conduce a .3 ""''-l .) ?' 'Vl..·
E= EY"t'{ n ,.
f,
f,:
;
:L
¡:.: 'º
e
( 20 .1 5)
280
R. GOMEZ MARTI N
~¿ = 1\. ~
1-c
Q¿
0.3
~ ' ~ ~e
~
( 20 . 16)
<'<'3
donde ni es el número de antenas en cada hilera paralela al eje i . Observando que en (20 . 15) las fi son progresiones geométricas de razón e jlft' , se tiene:
r-r, e J
(Yl,- 1 ) !/{·
¿;-
l.
=
~
L •
.
2,
l.
'2,
3 3
(20 . 17a) (20 . 17b)
por lo que el módulo del campo vendrá dado por ( 20 . 18) para e l caso us ua l de que los elemen tos del "array " sean ante nas de medi ~ onda , se ti e ne :
coa I..,, 1
donde f=°0 lG)
es el factor de antena , y por tanto
1r-1 t:.
-o
'°º r º
rt'o
l e ) \ ,...'"1·
r,.... i-,._·r~
1
(20 . 19)
s iendo la inte nsidad de radiación
u_
~
i. 5 T1
(20 . 20)
Es obvio de lo anterior que los módulos de las f unc i ones del tipo F ( !V)=sen(n\11/2)/sen(¡b/2) determinan las propiedades de rad i ación de la agrupac i ón . Se caracterizan porque presentan mínimos para n.JÚ/2=! p n, p número entero , excepto para p=O en que existe un máximo de valor n , c omo puede comprobarse por la regla de L ' Hospital . Entre cada dos c e ros ex iste un máximo de amplitud sensiblemente inferior al valor n corr espondiente a !b=O y de valor decreciente a medida que a umenta 1/1 . Dividiendo F( ~ ) por su valor máximo se obtiene una curva normalizada ,
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACI ON Y RADI ACION
. .,..
• o o"' ... ,.. • o
~,..
• o ~
~~· !'; 1 ~
..
.
,.....
. .,..
~~~~-'-~--'~~'--~-'-~-'-~-'-~--'-~--''--~"--~+=º ~ ..... o o
º·
'°·
o
o·
LL
F.i..~. 20. J
28 1
282
R. GOMEZ MARTIN
fi gura 20 .3, que presenta simetría respecto a ~ =180° . La agrupación vertical corresponde a un caso particular de la distribución general para n 2=n 1 =0, (f ig. 20 . 4). LL amando a =a , n =n y 3 3 o/ = o/, tendr emos de ( 20 . 20) : 3
l El: 1 E.,.ef i
(20 . 21)
donde puede observarse que en el plano ecuatorial XY no hay directividad pues la expre sión anterior tiene sime tría de revolución. La directi v1dad puede mejorarse en el plano ecuatorial mediante la agrupación de antenas col ocadas verticalmente según el eje y como muestra la figura 20 . 5 que es otro caso particular de la distribución general con n 1 =n =0. Ento nces , de (20.19) tenemos : 3 -óeM.
\Y\ ~!_.! +<{
~~
(
\(a.~-1:
)
+-el )
1
(20.22)
1
donde a=a , ol =o/ y cos "ll'" =sen 9 sen
X
F.i.g. 20. 4
Por lo demás las ecuaciones ( 20 . 21 ) y ( 20 . 22) son formálmen te idénticas . Como ya hemos señalado e l máxi mo de l factor del " arra.y" 2 F(&) se produce simu ltáneamente con el de la magnitud S($)=[F(0)1 que nos determina el diagrama de potencia , para lfi=O. Como de (20 . 22) ~=kacos~+~. se obtiene úJj
ºº
-
o(
/ICo....
(20.23)
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
283
por lo que el ángulo de radiación máxima (dirección del lóbulo principal) es - 1
(20 . 24)
e.o-:,
esto supone que puede variarse la dirección principal de radiación de un "array" variando el ángulo de fase de alimentación de los elementos que lo constituyen . Esto Último es la base de una técnica
'
no mecánica de exploración del haz principal del "array" variando solo la fase de alimentación de los diversos radiadores sin modificar la
amplitud
de
las
corrientes .
La
variación
de
fase
se
puede
conseguir electromagné ticamente por medio del uso de ferritas dando lugar a veloc~dades de exploración mayores que mediante sistemas mecánicos .
Esta técnica es de uso frecuente en seguimientos espacia-
les .
y
X
r.¡_9'· 20. 5
284
R. GOMEZ MARTIN
- - - N=1
2
3
- - - N=3
2
4
- - - N=4
t
F.i.g.. 20. 6
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
285
Un caso de particular interés , lo constituyen aquellos en que la alime n tación es uniforme e idéntica para todos los elementos,
~ =O ,
por
lo que de (20.24) se deduce queºº =~=<1/.z... , es decir, la dirección de máxima radiación es perpendicular al eje del " array " e independiente del espaciado a .
Es te tipo de agrupación se conoce como " array " de
radiación transversal
( " broadside " ) . En la figura 20 . 6 se representan
los diagramas de radiación de agrupaciones de uno a cinco elementos . Otro tipo de agrupación de interés es aquella en que la dirección de radiación máxima coincide con el eje del " array " , el máximo ocurre para '()º=ºy 'lío•T1 Estas agrupaciones se conocen <:orno " array endfi r e " , exigiéndose que el desfase entre la alimentación de sus elementos sea tal que cumpla >./J=o con oo=O o '!SO=li,
(cos15'0 = .!:i). Por tanto, imponiendo
estas condicione s en (20 . 23) , se tendrá : (20 . 25) En el caso partic u lar de a= A./ 4 o a = "1 2 , se tiene
ol
= "!:'"'f.;?.. o o/ .,,
"!: 1"1
respectivamente . ción
La figura correspondiente al factor de " array " para una ag ru pavertical de cinco elemen t os tipo transversal o " broadside " se
muestra en la figura 20 . 7 en la que se o b serva que la amplitud máxima se encuentra en el plano XY , r esultando un campo n veces mayo r para una sol a antena, siendo pues su directividad superior .
que
z
n=S
.
'
X
h g.. 2 0. 7 El diagrama comp l eto resu lta de rotar la figura alrededor del eje z y reflejarla en e l p l ano XY no existiendo directividad del f actor de " array " en este plano . En "array " una
cuanto
a
los
diag r amas
correspondientes
a
los
factores
de
para una agrupación horizontal de cinco elementos separados
distancia
a= A/2 ,
tipo
" broadside"
y
" endfire" ,
se dan
en
las
286
R . GOMEZ MARTIN
figuras 20. 8 y 20 . 9 res pee ti vamente . En ambos casos se observa un a directividad del factor de "array" en el plano XY . Es también evidente de las figuras que la directividad es menor para la configuración "endfire " que para la " broadside " . En el siguiente apartado consideraremos más detenidamente las características directivas de ambas conf i guraciones.
y ( 'f:
o)
F.i.g_. 20. 8
Vemos de la figura 20 . 8, que en la configuración "broadside" horizontal, al igual que en l a vertical , el máximo se encuentra en o= tf /2 , lo que no es de extrañar ya que estamos suponiendo que todas las corrientes de la agrupación en línea recta tienen el mismo módulo y fa se y , por tanto , sus contribuciones a la radiación se sumarán en fase en el plano perpendicular al eje de la agrupación. Para la "endfire " el máxi mo está en el eje de la agrupación .
y ( l"= rt)
("6"=0)
Fi.g.. 20. 9
287
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAOIACION
4.- Propiedades directivas de " arrays" uniformes . Se define el factor BWFN (beamwid t h be t ween first nulls), como el ángulo 2 d" formado por las direcciones de los dos nulos adyacentes al lóbulo principal, de forma que se verifica
donde
'
'Oo es el ángulo determinante de la dirección del lóbulo princi-
pal y 'lf, y 'f.., las direcciones correspondientes a los dos nulos adyacentes definidos de n 1/J/:¿: ~
fTI
por
[
(20 . 26)
de (20 . 23) y (20.26), se obtiene (20 . 27) y
suponiendo que
ó << i C.O~
C-01 "6'¿
podemos hacer l a aproximación
( 'lío -t
Ó )
C.o-'.> 15'0 -
'.!<
O
H.!Yl. Oo - Ó't.
(O~ ~o
.¿,
que sustituida en (20 . 27), conduce a
J
2
=~
"60
+
e ó ~em
ºº -
-<- >-. .,, o
(20 . 28)
Yl..a..
De
esta
principal de
ecuación la
puede
agrupación .
determinarse Para
los
casos
la
anchura
del
lóbu l o
particulares estudiados
resulta : - "Array broadside " (transversa l ) :
ºº:
~
.¿,
;
0
w ¡: N ~
2J
:o
.¿ >. 1'Yl.a.
(20 . 29)
- "Array e ndfire" (longitudinal) : (20 . 30) Vemos pues , que el haz es tanto más estrecho cuanto mayor es la relación l/Á, (l=na) . Por tanto, cuanto más se aleje el lóbulo pri nci pal de la dirección n/2 , más se ensancha este perdiendo , en consecuencia,
directi vi dad.
En
general,
en
los
diagramas
de
radiación
tipo
"endfire" la anchura del lóbulo principal aumenta con relación al caso "array broadside" , pero el número de lóbulos secundarios de esta Último es superior al del primero y si la magnitud de estos lóbulos f ue se
288
R. GOMEZ MARTIN
apreciable,
ello supondría que una parte considerable de la energía
radiada se dispersaría en direcciones no deseadas.
De aquí que deba
hacerse un estudio previo sobre ambas magnitudes , (ancho de lóbulo principal y nivel del lóbu l o secundario) , para obtener l a optimización más adecuada al problema de radiación en cuestión . Cuando las agrupaciones son de elementos desigualmente espaciados , proporcionan un grado adicional de libertad que puede a veces representar una ventaja . Estas agrupaciones han sido utilizadas con el fin de conseguir mayores ganancias y menores lóbulos secundarios que l os obtenidos mediante las agrupaciones equiespaciadas con el mismo número de elementos . En las agrupaciones de elementos irregularmente espaciados es más fácil mantener constante la amplitud de excitación de los element o s . Por este motivo, este tipo de agrupación puede ser útil en muchas aplicaciones . Su análisis es más complicado , pero puede realizars e por ordenador una vez conocidas las separaciones entre los diversos elementos y las excitaciones . Una agrupación de antenas de utilización práctica e interés por la peculiaridad en la alimentación de sus elementos es la antena Yagi, que podemos considerar como un " array " lineal de elementos radiantes . Solo algunos de ellos son alimentados mediante generadores externos ; el r esto del conjunto son excitados por la onda que se propaga a lo largo del " array ". El análisis teórico
de esla antena es compl e jo,
pero desde un
punto de vista cuali tativo podemos poner de manifiesto el comportami ento de este dispositivo. Consideremos la onda emitida por el elemento radiante (generalmente un dipolo de media longitud de onda). Esta onda se dirige en la dirección de propagación que se desea y se encuentra con el elemento pasivo y bajo su influencia se induce una f . e . m. r etardada , en relación a la corriente del e l emento excitada (directora) , en un tiempo igual al de propagación entre las dos antenas . Esta f . e . m. produce sobre el elemento pa r ásito o pasivo una distribución de corriente que será función de su que estará desfasada respecto a dependerá,
a
la vez,
de
la
imp~dancia
propia por lo
la de la directora una cantidad qu e
separación de
las
dos
antenas y de
la
reactancia propia del radiador pasivo . A su vez, este puede emitir en todas direcciones una onda de tal forma que se oponga, si se cumplen requisitos de separación, a la onda emitida por la antena excitadora. Por otra parte, dichas ondas pueden interfe r ir adi t ivamente en e l sentido opuesto, mejorándose así la directividad del conj unto. Evidentemente el simple razonamiento hasta aquí expuesto solo cons tit uy e un intento de describir el comportamiento desde un punto de vist a c uali-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
289
tativo de estas antenas, puesto que en realidad se dan interaccione s múltiples entre los diversos elementos constituyentes (fig . 20 .10) lo que dificulta su análisis teórico riguroso. Resumiendo podemos decir que la antena Yagi es de tipo " endfire ", mostrando un efecto directivo acusado para pequeñas separaciones (del orden de 0'1A) .
d~
L
1
L F~ . 20. 10
'
""
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
C.APITULO XXI. ANTENAS
DE
ABERTURA.
ELECTROMAGNETICO
METODO
EQUIVALENTE.
DE
SCHELKUNOFF
CONCEPTO
DE
DEL
291 CAMPO
REACCION DEL
CAMPO ELECTROMAGNETICO.
- Introducción . En capítulos anteriores hemos estudiado las antenas lineales , en las que era lógico suponer una distribución estacionaria de corriente y considerar los elementos de corriente como fuentes de radiación . Ahora bien, en la región de microondas y cuando se hace necesaria la utilización de sistemas radiantes con una alta directividad, se utilizan las denominadas antenas de abertura. En general, el término "antena de abertura " implica estructuras altamente conductoras que representan aberturas físicas a través de las cuales se radia energí a electromagnética , generalmente en la región de microondas . Un ejemplo de antena de abertura es una guía de ondas rectangular con un extremo abierto . Parte de la energía que se propaga a través de la guía la abandonará y el extremo de la guía se comporta como una estructura radiante . Para conseguir una mayor adaptación entre l a guía y el medio , se da a la zona de transmisión entre la guía y e l medio ld forma de bocina. Dos ejemplos se muestran en la figura 21 . 1.
F.i..:¡. 21 . 1
Este tipo de antenas es muy utilizado en conexión con reflectores
292
R. GOMEZ MARTIN
parabó licos , tal como los que se muestran en la figura 21 . 2 .
~
/ /'l"'-
reflector principal
reflector auxiliar
F~ .
21 . 2
Otro tipo de antenas de abertura son las conocidas como " antenas de ranura " , que se obtienen haciendo una muesca o ranura en una estructura , como puede ser una guía de ondas dentro de la cual existe un campo electromagnético de alta frecuencia. Una cierta energía saldrá por la ranura, de forma que esta se comportará como una fuente de ondas electromagnéticas (fig . 21 . 3) .
F.i..g.. 21 . J
Este tipo de antenas se utiliza en aviones , en los que la ranura se hace en el fuselaje y se llena con un dieléctrico apropiado , de manera que no se requiere cambiar la forma aerodinámica del avión . En general , la distribución de cargas y corrientes sobre la superficie conductora en la vecindad de la abertura es desconocida . El aná l isis exacto de cualquier antena de abertura es, por tanto , prácticamente imposible . Para analizar la radiación de este tipo de antenas es más apropiado partir de la distribución del campo electromagnético
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
,)
293
sobre el área de la abertura como se hace en el método basado en el principio del campo equivalente . 2 .- Principio del campo equivalente . Principio de Huygens. El principio del campo equivalente es un método de análisis de antena de abertura por el cual todas las fuentes reales de campo so n reemplazadas por fuentes ficticias equivalentes. Las fuentes ficticias se dice que son equivalentes dentro de und región porque producen los mismos campos dentro de esa región . El principio del campo equivalente fué formulado en 1936 por S . A. Schelkunoff y es una formulación más rigurosa del principio de Huygens que establece que "cada punto de un frente de onda primaria puede se r considerado como una nueva fuente de campo de una onda esférica secundaria de forma que a partir de l a envolvente de estas ondas esféricas secundarias se obtiene un nuevo frente de ondas ". El principio de equivalencia , es t á basado en el teorema de unicidad que establece que "un campo en una región disipativa está unívocamente determinado por las fuentes dentro d e l a r egió n más las componentes tangenciales del campo eléctrico o del campo magnético o bien de uno en una parte y otro en otra , sobre la superficie que limita a dicha región ". El campo en una región sin pérdidas puede considerarse como el límite del caso con pérdidas cuand o estas tienden a cero . As í pues si las componentes tangenciales del campo son completamente conocidas sobre una superficie cerrada p:.ieden obtenerse los campos en la región libre de fuentes . Resumiendo , el método de análisis de antenas de abertura que vamos a estudiar consiste en reemplazar, desde un p u nto de vista puramente forma l, los campos eléctricos y magnéticos sobre una superficie cerrada arbitraria (gen eralme n te en la abertura) por carg as y corrientes eléctricas y mag né ticas equivalentes , pudiéndose a partir de este formalismo calcular los campos en la región externa a esta superf i cie .
3 .- Ecuaciones simétricas d e Maxwell. Potenciales vectoriales . Llamando f.,.. a
la densidad magnética de carga y Jm a la densidad
de corriente magnética, llegamos a la siguiente forma simétrica de las ecuaciones d e Maxwell en el vacío, dependencia temporal armónica:
f
; t,,L;~
J. - ..a
rC •
:.iu::'Wdi~;¡.M¡,, -.,....;;;:;
escritas en forma compleja y con
( 21 . 1 a)
294
R. GOMEZ MART IN
1• \J
\/" E
-
'O =
( 21 . 1 b)
f.,,,,
J.,,,, - Jw
fo 1-1
( 21 . 1 c)
( 21 • 1 d)
Supongamos que los campos eléctrico y magnético totales dados por las ecuaciones D=~0 E y B=f'oH , se obtienen a partir de las contribucione s De=éoEe y Be=foHe atribuibles únicamente a las cargas y corrientes eléctricas f y J, y las contribuciones adicionales D = e E y B = LLH m 0 m m1om debidas solamente a las cargas y corrientes ficticias f m y Jm en la r egi ón . Los campos totales en las ecuaciones (21 . 1) puede n ser escri tos , por tanto , como superposición de los dos con j untos de campos ( 21 . 2)
-B
( 21 • 3)
=
Esta descomposición permite separar las ecuaciones de Maxwell en dos grupos , atribuibles a los dos tipos de f uentes , como s i gue :
V
De: f
V· ~e
=0
\7" f:e = -
-
'\]A\..\e:
Je·º ftº He
J + Jwéo Ee
(a)
V
(b)
\). B.,.,,
D....,
(e)
=o
=f....,
( f)
ETtl : -3,,. - jw f º -
(e)
\J"
( d)
'V " H"I. =
+-!"'\
jw
Eo
E..i_
( 21 . 4)
(g ) (h)
Se ve claramente que la suma de los pares de ecuac i ones conduce de nuevo a las ecuaciones ( 21 . 1 ) . Las ecuaciones desde la al hasta la d) son las ecuaciones convencionales de Maxwell . Especifican el campo elé ctrico y magnético asociadp con distribuciones de cargas y corrientes de densidades respectivas¡> y J. Las ecuaciones desde la e) hasta la h) introducen el campo eléctrico y magnético produc i dos en una región suponiendo que existen también cargas y corrientes magnéticas f icticias cuyas densidades vienen dadas por .fm y Jm respectivamente . En presencia de ambos tipos de cargas y corrientes, eléctricas y magnéticas, es necesaria la superposición de los campos en ( 21 . 2) y (2 1 . 3) para que se satis f agan las ecuaciones (21 . 1 ) . Una solución completa del sistema de ecuaciones (21 . 4a) hasta (21 . 4d) ya ha sido realizada mediante el uso del potencial vector
l .
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
295
magnético A y se llegó a las siguientes relaciones: ( 21 . 5)
r::'"'
J. "
V= \
( 21 . 6)
-\JV - ~wA
te
(21 . 7)
en donde V y A satisfacen las ecuaciones de ondas \J 2
V ~ w' f-o
€.,
V
:=
-
f I Eo
( 21 . 8) ( 21 . 9)
Una solución de la ecuación (21 . 9) está dada por -
- j~R
-
f-'-o J ( T' ) e
d V'
"'T1 R.
(21.10)
Los efectos adicionales de las cargas y corrientes magnéticas pueden ser deducidos por dualidad o analogía con lo anterior a part i r de las ecuaciones (21 .4e ) hasta (21 . 4h) , observando que
:e He
Eo
es el
" "
dual
" "
de
~m " - Em " (-lo Eo " _.em Jm
( 21 . 11 )
11
f1o ;:.. J
" "
" "
11
"
Como los campos Ee y He están relacionados con el potencial vector magnético A y con el potencial escalar eléctrico V a través de (21 .5) y (21 . 6) , los correspondientes campos Hm y E están conectad ~ s m de forma análoga con el correspondiente "potencial vector eléctrico" F y el " potencia l es calar magnético " 1/J, de forma que
-A es el dual de
F
V es el dual de P
( 21 . 1 2)
Sustituyendo las magnitudes de la primera columna de ( 21 . 11 ) y (21 . 12 ) por sus duales en las ecuaciones que van desde la (21 . 5) hasta la (21 .9) se llega a las siguientes expresiones:
296
R. GOMEZ MARTI N
( 21 . 1 3)
-Vl/J-jwr
( 21 . 1 4)
j \J.? cv E.o
en las que ( 21 . 9):
y'.!
( 21 . 1 5)
fº
y F satisfacen ecuaciones de ondas análogas a ( 21 . 8) y
( 21 . 1 6)
(21 .1 7) ...... De aquí, el potencial vector eléctrico F producido por una distri
bución de densidad de corriente Jm(r ' ) viene dado por : ( 21 • 1 8)
de forma similar a la ecuación (21 . 10) . A partir de lo anterior vemos que si ambas densidades de corriente y Jm ex!sten simultáneamente en una región del espacio libre , el campo total E producido en cualquier punto es la suma de Ee y Em . Sumando (21 . 6) y (21 . 13) tenemos :
J
E ( :r)
: Ee
í. ;¡. ) + E..,.. \ T) :: - j ~ "Y ( íJ · k~
El campo total ( 21 . 14) , quedando
H(r)
A) - ·¡ w A.
( 21 • 1 9)
J
se obtiene análogamen te a partir de (21 . 5) y
( 21 . 20)
En la práctica , no es necesario utilizar la Última expresión, ya que una vez que ha sido calculado utilizando (21 . 19) , sustituyendo el resultado en (21 . le) , con Jm=O , obtenemos H. Para antenas de abertura , en las que las corrientes eléctricas y magnéticas tienen la forma de densidades superficiales , las expres i ones de los potenciales
E
se transforman en
A. l:r-1
f l :f- )
<
o
l
t
-j KR
(-lo Js ('C ' j e 1< 111(
E.a
ds
R.
ds
-
Je
jl< "<"'co-,?t>_
J\ -<-' }
ds
s
"ti"("
Js...,_ ( 'i'-•) e- i"'-R. ,. t1
- jl<"I' f~
~\( "<"
~e
1-
J"""' \ -t-· l
1
s
:i~~· wiw
e
ds
( 21 . 21 )
( 21 . 22)
CAMPO ELECTROMAGNETICO. l'ROPAGACION Y RADIACION
4.- Teorema
de
equivalencia
de
los
campos
y campos
de antenas
297
de
abertura. El desarrollo del teorema de equivalencia de los campos requiere el uso de las condiciones generalizadas de contorno asociadas con las ecuaciones de Maxwell simétricas dadas en (21 . 1) . La forma integral de estas es (21.23a)
t s ds.
c:i,,.
(21. 23b)
de ~ - Jsr 3.., ds - oc Jf s ds ~ r ñ. ds rli H de • fs 3. ds 'Ol Js
-L e:.
CJ.,
'fl
(21.23c)
5
-+
(21 . 23d)
Las condiciones de contorno correspondientes se obtienen utili zando, como es habitual, un cilindro de altura infinitesimal con cargas y corrientes eléctricas y magnéticas equivalentes en su interior. Como sabemos, los resultados son " · "Y\.
...
n·
"
')'\ /\
.
7\ /\
en donde
n es
( 61 - bi L fs lB1-B2) (E~-E...)
(21 . 24a)
fs"l -
-Js.,,,_
-
( 14i - l4v ! , J.s
(21 . 24b) ( 21 . 24c) ( 21 . 24d)
el vector unitario normal que va desde la región 2 a la
región 1 . Las ecuaciones ( 21 . 24b) y ( 21 . 24c) muestran los efectos adicionales de las cargas y corrientes magnéticas superficiales ficti cias, fsm y Jsm' e~ la interfase . El teorema del campo equivalente es aplicable a una interfase tal que el campo en uno de sus lados es nulo. Con la suposición de campo nulo en la región 2 , las condiciones (21 . 24) se convierten en _.,
.,.,_ Di
fs
(21 . 25a)
" Yl
fs"l
(21 . 25b)
A
1?>1:
. E1. -
n
1"*
ld;
A
- JSYY\
( 21 • 25c)
298
R. GOMEZ MARTl1'
(21 .25d) Las expresiones (21 .25a) y (21.25b) establecen que las componentes normales de los campos eléctrico y magnético sufren un salto brusco hasta cero en la regi6n 2 solo si existen densidades superficiales de carga eléctrica f's y magnética fs"'l con valores iguales a las componentes normales Dnl y respectivamente. Asimismo, de acuerdo con (21 . 25c) y (25 . 25d), son admisibles transiciones bruscas al valor cero de las componentes tangenciales Etl y Htl solo si existen en la interf ase _ densidades superficiales de corriente magnética y eléctrica, Jsm Y Js, respectivamente . A pesar de que la existencia de cargas y corrientes magnéticas libres no ha sido probada físicamente, ambas son un concepto matemático importante en el teorema del campo equivalente. Supongamos una distribución de fuentes conocidas , cargas y corrientes, como se muestra en la figura 21 . 4a .
s:i,
Punto campo
•
/ / /
(a)
/ S1
( b)
Fi..<;¡,. 21 J¡.
Los campos externos a una superficie arbitraria s 1 pueden hallarse, como es usual , a partir de los potenciales V y A. Tamb~én pueden obtenerse, sin embargo, a partir de corrientes equivalentes estableci das sobre la superficie s 1 ( fig. 21 . 4b) , donde y H1 son los campos producidos en s 1 por las fuentes. La corriente magnética se reprPsenta
'i:\
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
299
por una doble flecha ~ . Supongamos nulas las fuentes encerradas por s 1 , pero que los campos E1 y H1 en la región inmediata y exterior a ella conservan sus valores iniciales . Esta condición es adm i sible solo si las condiciones de contorno dadas en ( 21. 25) se verifican, implicando l a existencia simultánea de densidades de carga y corriente eléctricas y magnéticas, fs' Jsm' Jsm y Js en la superficie s 1 . Con la introducción de las fuen t es equ ival entes Jsm=-n~E 1 y Js= =n 11H en s , las integrales (21 . 21) y (21.22) pueden ser utilizadas 1 1 para encontrar A y F en cualquier punto del espacio exterior a la superficie. Estas soluciones de los potenciales, introducidas en (21 .1 9) y (21 .20) nos dan y en el punto considerado .
E H
Como aplicación consideremos una antena de bocina rectangular alimentada por una guía de ondas rectangular portando el modo TE 10 . Suponiendo unas dimensiones razonablemente pequeñas de la abertura, la distribución de campo sobre la misma difiere muy poco de la exis tente en la sección transversal de la guía . Aplicando las ideas e xpuestas es posible sustituir los campos en la abertura por densidades equivalentes
de cargas
y
corrientes sobre ella , de acuerdo con las
expresiones (21 . 25) . Como ejemplo supongamos la antena piramidal ali mentada por una guía rectangular portadora del modo TE cuya abertura 10 tiene un área a . b y con el origen de coordenadas en su centro (fig . 21 . 5a) .
/~ X / /
/ /
-
(a)
------ ~
2
l b)
'
.i \
hg,. 21 . 5
\
300
R. GOMEZ MARTl!'I
Desprecidndo los campos en las superficies conductoras externas de la antena y suponiendo que la distribución de campo en la abertura es esencialmente la misma que hay en la sección transversal de la guía, los campos tangenciales en la abertura (z-0) son, a partir de las expresiones conocidas para el modo TE 10 E'j(i.=o) ~ E
0
·
óen.: x
Así pues, las densidades de corriente eléctricas y magnéticas equivalentes sobre la abertura, figura 21 .5b, vienen dadas por ~X:
a..
Js
-ñ.
~N
1
=
~ "' x t-lx
(e= o )
== -
9~ z'O
0 -e!=. 3· i
f
j e 'Yl
"'x a..
análogamente se calculan las densidades de carga. Los campos electromagnéticos en el exterior de la superficie S que envuelve a la bocina en el ejemplo anterior pueden obtenerse utilizando las ecuaciones ( 21 . 21 ) y ( 21 . 24), teniendo en cuenta las expresiones de las densidades de corriente equivalentes , y a partir de aquí hallar los campos E y Hmediante (21 .19) y (21 . 20). 5. - Abertura rectangular uniforme. Consideremos el caso simple idealizado de la abertura rectangular figura 21 . 6, excitada por una onda plana uniforme en fase y amplitud y con el campo definido por \x \
Q
0
I~ \ ~ b 0
de (21 .25c y d), las corrientes equivalentes en la abertura son
X
teniendo en cuenta que en coordenadas esféricas
se obtiene
CAMPO ELECTROMAGNETICO. P ROPAGAC JON Y RA DJACION
301
X
P (r, e, 'f') P'(r'. 'I'', t
1
1
'f-1
. .'
y
-
-
-----
---
\
1
\
\
\ \'
---
- - - - - - - - - -\1 i z
hg.. 21 . 6
por lo que de (21 .10) se llega a
f-º E a.lo "rt lo "f'"
;i""('
~~ LL º""'"V
( 21 . 26)
V
U..
V donde r, e, y
~
son las coordenadas del punto campo . De forma análoga
V
- v-
(21 . 27)
sustituyendo (21 .26) y (21 .27) en (21 . 19) y manteniendo únicamente los campos de radiación, se obtiene
- (.,..,e, 'f )
E
~
V
( 21 . 28)
302
R. GOMEZ MARTIJ\
y particularizando para el plano principal \!'=O, U=ka/2 sen , se Lega a
~>'\. ~~ ~e
J
( 21 . 29)
~~ ~eYl& ..z,
donde el factor entre corchetes es el fac tor de campo normalizado de la abertura rectangul ar en el pl ano 'f=O . Al rango -90°.::&.C.90º le corresponde el de U e ntre -ka/2 y +ka/2 de f orrra que a los ceros de esta funci6n le corresponderán nulos en el diagrama de radiaci6n. Por ejemplo, para a=5.\., se obtienen ocho nulos como se mue stra en la f lg ura 21 . 7a . También se observa, (fig . 21 . 7b) , que existe un efecto de modelado de la función básica sen U/U mediante el factor de (1+cos 9)/2 que se denomina de Huyg ens y que reduce ligeramente los valores de la f unción sen U/U de valor má x i mo la unidad .
1+cos9
2
' ,,. ---
.... ....
/
/
/ /
.....
'
''
Ancho' de banda:: 10°
/ /
/ /
')
/
' - 1+cos9 2
se n U
-u-)
e o nda inciden te
senU
u
eU:511se ne
(a )
( b) F .i..r¡. 2 1. 7
Teniendo en cuenta que e l ancho de banda del lóbulo principal de una abertura se defi ne como la anchura angular medida entre los pun tos con amplitud del 70 ' 7 % del valor máximo, y ya que sen U/U tiene el valor 0 . 707 en u =1 ' 39 , podemos escri bir una expresión para el ancho 0 de banda , 2 e0 , en el plano 'I' =O, como
303
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
l' !19
l<.a. .¿,
-!.l!."l'\.
ªº
e. eº
=">
que si la anchura de aproximarse por
e.e,,
-2-
-i
~e.n
1•3q
=.
.:21
-l
-:1e.n
o''-i'-i3l
ka..
a..
ro..d
la abertura es suficientemente larga,
o' si lo ....-c:.d
~
~.
~
50 ~
Q.
Q.
puede
~=.el
de lo cual se ve que una abertura con a=10~0 produce un anc ho de banda de 2e =5º mientras que a=100~ => 2S0 =0 ' 5º etc . Este resu l tado muestra 0 que el ancho de banda en el plano principal z=O, de una abertura excitada uniformemente es inversamente propor cional a la abertura medida en ese plano . Una f orma análoga tiene el estudio y análisis del diagrama de radiación de E'f' para ('l'= "rl/2). Iluminación de la abertura
Amp litud
Anchura del haz (grados )
Nivel de l 1 Q Lóbulo (db)
Abertura Rectang ul ar ( 1)
Uniforme
~
50º /a/ >..o
1 3. 2
~
68°/ah... 0
23 . 0
82°/a/).O
32.0
~
58° / D/>.o
17 . 6
~
72° /D/ >..o
24 . 6
84°/D/>.. 0
30.6
a
(2) Cosenoidal
..
(3) Coseno c ua drado
Aber tu ra Circ ul a r
1
~
-j
(4)
Uniforme
( ':»
Para bólico
(6)
Parabólico
cuddrado ~
~
o
--1 hg.. 21 . 8
304
R . GO MEZ MARTIN
Este tipo de abertura uniformemente iluminada se usa como referencia de comparación con otras iluminaciones en las que la dependencia fun cional de la distribución de campo en la abertura es 01ferente . En la figura 21 . 8 se mu estran varios tipos de iluminación para abertu ras rectangulares y rectangulares).
Se
circulares especifica
(cuyo análisis es similar al de las el
nivel
relativo
del
mayor
lóbulo
lateral así como la anchura del lóbulo principa l. Se supone que las aberturas cumplen que sus dimensiones principales son mucho mayores que la longitud de onda. 6.- Generalización del teorema de recipr~~~dad. Con~~pto de__E~~ción . En el
apartado 5 del capítulo XIX hemos enfocado el teorema de
reciprocidad con la única finalidad de establecer que en sistemas lineales cuando se intercamb ian fuente y medi dor , la res pues ta no varía . Sin e mbargo, en un sentido más general el teorema de r ec iprocidad relaciona la re sp uesta de una fuente debido a una segunda fuente con la respuesta en la segunda fu ent¿ debido a la primera . Vamos a establecer ahora este
e nunciado basándonos
en
los conceptos de co-
rrientes eléctricas y magnéticas . Consideremos un sistema lineal que supondremos el vacío en el que
Ja,
e xi sten dos conjuntos de fuente s Jma y Jb, Jmb de la misma frecuencia y denominemo s los campos produci~os por las fuentes a por Ea, Ha y los producidos por las b por Eb, Hb . Las ecuaciones del campo serán , de ( 21 . 1 ) : V /\ H
J.,_ +
'\/ /\. Ea.-:. -
~ w é0
J"t.CL -
i
W
Ea. (-lo \-\a.
\J" \-\ 1, = J b /
de aquí se deduce
e i n tercambiando los subíndices a y b
restando, se obtiene
\J /\.El.o: -
-1-
jw
éo E lo
in\, - jw f-lo \-11,
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
305
(21 . 30)
o bien, integrando
LlEQ./\¡:¡
6_
"E"'"~Q.)-ds "~ CÉi.,-\,-Hb·i,.a.-
ECl..3b+i4""-J,.,1,Jdv(21 . 31)
V
donde se ha hecho uso del teorema de la divergencia y la integración se toma sobre un volumen l o suficientemente grande para contener todas las fuentes de ambos conjuntos. La ecuación (21 .3 0) , se reduce , para todo punto libre de fue nte s
a 'il· (
Eo.
A
1-\b -
E\/\ ~a.)
=o
( 21 . 32)
que se denomina teorema de reciprocidad de Lorentz. Si suponemo s que la superficie de integración en (21.31) se extiende h asta el infinito y que las fuentes
tienen dimensión finita ,
entonces los campo s en e l infinito deben co nsisti r en ondas que cumplen las relaciones E9 =Z 0 H'l' y E1p=-Z 0 H9 (ver figura 19 . 15) . estas condiciones la integral de superficie se anula y obtenemos
J
(Ea.. 3b - Hq_. J,.., b )
V
dV=
~ ( Eb . i
- Hb· J>'1.Q.. ) d V
Bajo
( 21 . 33)
V
donde la integración se extiende a todo el espacio. Obviamente , esta expresión también se aplica a regiones de extensión finita siempre que se satisfaga la relación (21 .3 2) . Como puede apreciarse, la expresión (21 . 33) es una generalización de la (19 . 64) . Las integrales que aparecen e n ella reciben el nombre d e reacción. Así, por definición la reacción d el campo a sobre la fuent e b es
<:a..,b)
( 21 . 34)
de forma que en esta notación, el teorema de reciprocidad es
<.a..6 > = < b.a. > esto es,
(21.35)
la reacción de un campo a sobre una fuente b es igual a la
reacción del campo b so bre la fuente a . Este concepto de reacción es muy útil fundamentalmente por su propiedad de conservarse . A la reac ción de un campo con sus propias fuentes se la denomina autorreacción .
306
R. GOMEZ MARTIN
En el caso e n que los volúmenes en que e x isten l as fuentes sean disti ntos , ( fig . 21 . 9) , la e x presión ( 21 . 33) queda
F.i..[;.. 21 . 9
J ( Ea. . Jb vb
\-\Q.. J""l. ~ ) d V
( 2 1 . 36)
Si las fu e nt es b consisten únicamente en un dipolo eléctrico ideal de corriente, localizado e n el punto (xp, yp, zp), esto es, J b=d(x-x )d(y-y )d(z-z )p y J b=O , e ntonces (21 . 36) , se reduce a
P
P
P
m
t:.q,t'il..r ·':li f·~")·f ~ ~
vb
(Eb-3b-H1,:JY'\,Q,)dv
esta expresión nos permite calcular el campo eléctrico de las fuentes a por evaluación de la integral_ª pa:tir de fuentes conocidas Ja y Jma y los campos del dipolo ideal Eb y Hb evaluados en la localiz ación de las fuen.tes de p .
a.
Esto
puede
realizarse
para
diferentes
orientaciones
Otra importante particularización del teorema de reciprocidad se obtiene a
partir de la expresión (21 . 31) y considerando la situación
ilustrada en la figura 21 .1 0 . El volumen V está limitado por las superficies s 1 y s con s rodeando completamente a s 1 . Si t odas las 2 2 fuentes se encuentran en v 1 , entonces _la integral de volumen en (21 . . 31) se anula . Si suponemos que s 2 es la superficie de una esfera de radio infinito , tenemos por los mismos razonamientos anteriores que la in tegra l sobre
s2
en (21 . 31) se anula:
307
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACI ON Y RADIACI O
~
(.
~"- Kb - Í A
b "
4a. ) .d s
o
( 21 . 3 7)
s, expresión que nos dice que si se construye una superficie s 1 que encierre a todas las fuentes de ambas clases en un volumen finito v1 , entonces los campos causados por esas fuentes satisfacen la relac ión (21 .37), que resulta básica para un método de cálcu l o de la autoimpedancia de un dipolo, denominado de la fuerza electromotriz inducida (método E.M.F) .
V
\9s, volumen V libre de fuentes
F.i..g .
21 . 10
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
309
CAPITULO XXII . SINTESIS DE AGRUPACIONES DE ANTENAS . 1 .- Introducción . En los capítulos precedentes se ha enfocado el estudio de las antenas de sde el punto de vista del análisis , esto es, l a determinación del diagrama de radiación , conocida la distribución de corriente sobre las mismas. Obviamente una cuestión de gran interés es el probl ema i nverso , la dete~minación de la est-ructuta y alimentación de un sistema radiante cuyo diagrama de r adiación posea características preestablecidas , es decir , e l problema de síntesis de antenas . Existen muchos métodos de síntesis , respondiendo cada uno de ellos a un tipo de problema determinado . La elección de uno u otro dependerá fund amentalmente de los requisitos e xigidos en las condic iones iniciales de nuestro planteamiento . El criterio de selección de la técnica de síntesis a seguir podrá ser establecido disti nguiendo previamente en nuestro problema dos aspectos . El primero corresponde a la aproximación que e x igimos entre la s cond iciones iniciales preestablecidas y las resultantes del sistema r adiante dise ñado a efectos de satisfacer a quellas . Los re querimientos planteados e n el problema de sín t esis están relacionados con magnitudes tales como la impedancia de entrada , el tamaño y forma de la estructura total del sistema radiante y, de manera prioritaria , la configuración del diagrama de radiación . Referente a este Último aspecto , podemos decir que, en general, los diagrarras de radiación impuestos no coinciden exactamente con los reales de la antena final resu ltante del proceso de síntesis. La técnica seguida será la de aproximar el diagrama deseado por un d re pr"sen tación fun cional que corresponda al tipo de ante na base e legida para la sí nt esis y que sati sfaga las condiciones de error exig idas . Esto Últ i mo impone ciertos criterios de validez en la aproximación , pudiendo citar como más representativos: 1 .- El criterio de error cuadrático mínimo entre el diagrama deseado y el aprox imado . 2 .- El criterio de mínima desviación , que limita la máxima separación entre la función aproximada y la deseada para cualquier punto arbitrario, median te el uso de polinomios de Tchebyscheff como base del desarrollo en serie efectuado . El segundo aspecto del problema , en orden a la elección de l a técnica de síntesis más adecuada para las condiciones exigidas , está relacionado con la realización de la antena . Ahora se trata de producir la distribución de corrientes correspondiente a la representación
310
R. GOMEZ MARTIN
funcional obtenida en la estructura de la antena . Esta parte del diseño exige ciertas imposiciones y limitaciones para su realización , tales como tamaño y forma de la antena , razón entre la potencia reac tiva y radiativa de esta , necesidad o no de tener en cuenta la fase del campo radiante (en general no se sigue un criterio rígido a satisf acer en este aspecto} , etc. Los métodos de síntesis son muy apropiados para estudiarlos en función de estructuras radiantes tipo "arrays " , por cuanto en estas podemos obtener un factor . de " array " preestablecido, den tro de los l í mites exigidos, mediante la evaluación adecuada de los coeficientes de excitación del sistema . Esto mismo puede extenderse al caso de aberturas desde el momento en que estas pueden considerarse como agrupaciones uni o bidimensionales continuas de corrientes. 2 . - Método de Schelkunoff. Este método constituye una sistemática de estudio tan to para el análisis como para la síntesis de agrupaciones . El proceso sugerido por Schelkunoff está basado en expresar el factor del "array " de una distribución discreta de elementos en forma de polinomios de variable compleja . La expresión del factor de una agrupación lineal equiespaciada , de antenas situadas transversalmente a lo largo del eje z es ( 22 . 1 }
Expresando ahora el coeficiente de excitación cp por medio de una parte compleja individual Ap y otra que afecte e n forma progresiva lineal a la fase de la alimentación de cada radiador podemos escribir Yl-1
tCS) :
Lr=o
(22 . 2)
donde
e
y si hac emos Y'=
\\.Q..to~El +o/,
Jpot
( 22 . 3)
resulta (22 . 4)
Haciendo en la expresión anterior el cambio s ugerido por Schelkunof f se obtiene
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAG ACION Y RADIACION
3 11
'1-1
f Ce) Jl'.I donde z = e.
¿
A
f
i_f'
=
Ao .¡. A.1 i.
~
.. ·+
T\-1 A,H z
( 22 . 5)
1''º es decir , f(Q) se halla en el círculo unidad .
La ecuación anterior tiene importantes derivaciones , como co n secuencia de ciertas propiedades generales del álgebra clásica . En el caso más usual de que las magnitudes Ap teniendo en cuenta el teorema fundamental del Algebra
sean
tle) = An-• \~-~1.) (z-z~ ) - - . \2'- z.,_,)
reales
y
(22 .6 )
donde las zi son las raíces del polinomio ( 22 . 5) . Podemos entonces decir que en cualquier " array " lineal, discreto y equiespaciado el factor de radiación puede ser representado por un polinomio . Inversamente,
cualquier
polinomio
puede
ser aproximado como el
factor
de
radiación de una agrupación lineal . El ángulo S puede variar ent re O y M , teniéndose:
; G : n/;;, ;
/
1/; = k..a.. +
711 =
y;
ol
~
~
j
= - ( K.Q -<>l)
e
=
¡z
.)
:.
j ( l<..a..*ol) e:i-< -~ ( l<.O..-ol)
j
~
::.
e.
Asímismo, e l intervalo de variación de z depende de o< y a , correspondiendo para () = H/ 2 ( z=ej"' ) el punto medio del margen posible de variación de z sobre la circunferencia de radio unidad del complejo , como se ve en la figura 22 .1. lm .
Plano 2
Re z
Margen v1sll>le
F.i..g,. 22. 1
3 12
R. GOMEZ MARTIN
La parte de dicha circunferenc ia que es cubierta por los posibles valores de z se llama margen visible de la variable z. La expresión (22.5)
es
( 22 . 6 l
interesante
para
el
polinomio
por varias razones .
de Schelkunoff dado por En primer lugar ,
de esta
forma se presentan expl í citamente los ceros del factor de radiación, que coinciden con
los
del
diagrama de
radiación
dentro del margen
visible de z . En ciertas aplicaciones interesa diseñar las agrupaciones para producir ceros en determinadas direcciones, por ejemplo para evitar las interferencias de radio . La forma factorizada (22.6) es útil para tales problemas, puesto que es inmedi ato construir un polinomio con los ceros que nos interesen, y en consec uenc ia podrá dise ñarse el " array " equivalente cuyo factor de radiación coi ncida con el preestablecido . Por otra parte , (22 . 6) puede interpretarse como el productq de lo s fac tores de radiación de n-1 agrupaciones , todas de dos elementos , y cada una de el las te ni endo un cero de los q ue aparecen en (22 . 6) . Un ejempl o de la utilidad del principio de la multiplicación de diagramas es la obtención de l as llamadas agr u paciones binómi cas .
d= )..12
(al
¡
Ó:Qº
d:A/2,
fbl
d=.A (e)
J:t80 º
¡
J =0º
(d)
Fi.r;.. 22. 2
Así,
por ejemplo ,
si suponemos una agrupación de dos elementos
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
3 13
del tipo
f
Ce') =
i.+~
(22 . 7)
que se caracteriza porque si el espaciado es menor que la longitud de onda, el factor de radiación anterior no tiene lóbulos secundarios , como se representa en la figura 22 . 2a , by c . En la figura 22 . 2d se representa el diagrama de radiación de dos radiadores en las mismas condiciones pero cuando la separación ya no es menor que la longitud de onda , con lo que aparecen lóbulos secundarios . Si consideramos nuevamente una agrupación formada por el produc to de dos factores de radiación del tipo (22 . 7) se tendrá (22 . 8) Esta ec uación representa el factor de radiación de una agrupac1 on de tres compone ntes con amplitudes de corriente en l a pro porción 1 : 2 :1 obteniéndose de este modo un ha z de radiación más estrecho pero con los mi s mos ceros y si n lóbulos sec undari os , como se muestra e n l a figura 22 .3.
X
=
.. \
F-l[;.. 22. 3
El proceso multiplicativo puede continuar para generar lo que se conoce como factores binomiales de agrupación :
f (9)
~
( i
+ i!. )yt
(22 . 9)
En estas agrupaciones los coeficientes de alimentación son los correspondientes al desarrollo binomial, es decir , el coeficiente del término zP en la agrupación binomial será
3 14
R. G OMEZ M A RTI N
rl
( 22 . 10)
(1L-p)\
Una agrupación construí da según ( 22 . 9) (teóricament e) ningún lóbulo secundario .
tiene
n-1
elementos y
Si nos limitamos a las agrupaciones en línea recta con corrientes e n fase,
puede demostrarse que la agrupac ión u niforme ( toda s las co-
rrientes de igual a mplitud ) proporciona más ganancia que aquellas con excitaciones
no
uniformes ,
si
bien ,
en principio,
aún son posibles
ganancias su periores excitando co n diferentes fases . Las agrupacion es que tienen g a nan cias mayore s que la de la agrupa ció n uni fo r me se denominan de supergan a nci a. Para un espaciamiento entre elementos inferior a media longitud d e onda el margen real de g cubre únicamente una parte del círculo unidad . Sin e mbargo , l a agrupac ión uniforme tiene sus ceros distribuídos sobre todo el círculo unidad , y por tanto algunos son invisi bles .
Schelkunoff ha demostrado que , para unas dimensiones dadas de
la anten a , es posible , en principio , conseguir ganancias arbitrariamente altas desplazando los ceros hacia el margen real d e e, distribuídós conve n ientemente para obtener la directividad deseada . El problema es que aparece un gran lóbulo en el margen invisi b le donde se han eliminado los ceros , lo cual tiene importancia , porq ue representa una energía reactiva . Para agrupaciones de radiación tran sversal de a lta gan a ncia no es posible apenas aumentar la ganancia por encima de la agru pación uniforme sin que la energía reactiva sea ~xtraordinaria me n te grande . Para agrupaciones de radiación longitudinal es posible un ligero aumen to , que h a sido utilizado en la práctica. Otra forma de man ifestarse esta limitación es que la corriente en los elementos, para una determinada potencia radiada , llega a ser enorme, y fluctúa en f ase d e un e lemento a l alimentar tal agrupación .
sigu ien te ,
de
modo
que
sería imposible
Los v alores absolutos y las fases de f tienen una interpretación geométrica simple a partir de (22 . 6) . Supongamos un punto z que representa una posición arbitraria angular e con respecto al " array " partic ul ar en estudio cuyo factor de radiación viene dado por (22.6) . En es te caso ' para cada valor de e' 1 f 1 es p roporcional al producto de l as distancias d 1 , d 2 , . .. .. dn-l entre los ceros z 1 , z 2 , .... . zn-l y el punto z sobre la c i rcunferencia de radio unidad correspondiente al
valor de
e
en cuestión . Por otra parte, la fase angular de f es la
s uma de l as fa ses angulares de cada un o de los paréntesis que aparecen en (22 . 6) . Para cada configuración de ra íces corresponde una determinación particular de los coeficientes de excitación . La interpretación
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
315
geométrica mencionada antes se representa en la figura 22 .4.
1z - i!,I= d,
Fi.g.. 22. 4
3.- Síntesis de Tchebyscheff . Es frecuente que a la hora de diseñar un " array " se trate de conseguir un lóbulo principal estrecho y lóbulos secundarios mínimos . En general existe un compromiso entre ambas pretensiones . Pues bien , el método de Tchebyscheff precisamente trata de optimizar esta relación pues permite determinar la repartición de las amplitudes de las corrientes que alimentan los diversos e lement os de la agrupación para que, con un ancho del lóbulo principal preestablecido, dé lugar al mejor nivel de lóbulos secundarios o, a la inversa, fijando esto Último obtener la alimentación que da lugar a una anchura del haz principal mínima. El desarrollo que efectuamos está basado en las propiedades de los polinomios de Tchebyscheff, que trataremos a continuación . Estos polinomios pueden definirse en la forma
l-ü'' <:.o:\Vt ( 11.. cm\i-' T"" ( x) =
'
1
Co:J C..01
\ 'Yl..
1-x.1)
un-r x )
\.t (. 'Y1.
( 22 . 11 }
t..oj\-()()
Constituyen una familia ortogonal en el interva l o -1, 1, respecto del producto escalar usual
Ji -1
T"t l...")
T~ (:'l.i
d
Y.
=
cfvtlll.
( 22 . 1 2)
3 16
R. GOM EZ MART I N
y verifican la relación de recurrencia ~ +t
(l< )
~ -ex T"rl. lx) - TYl-t (x)
( 22 . 1 3)
Algunas de las principales propiedades de estos polinomios, que en unciaremos sin demostración , son las siguien tes : 1) El polinomio Tn(x) es de grado n . 2) Para n par (impar) el polinomio solo contiene potencias pares (impares) de la variable x . 3) Los polinomios pasan por los puntos (1, 1) y (-1 , ( - 1 )n) y fluctúan entre los valores extremos ¡.1 en el intervalo lxl< 1 . 4) Para n~1 los máximos están dados en el intervalo \x\<1 y tienen lugar cuando se c umple que x=cos( np/n) siendo p= 1 , 2 , .. ... , n-1 . 5 ) Para n>O todos los ceros están en el in t ervalo \x\ < 1 y se alcanz an para los valores
l' .,.
o,
1 . ..
n-1
Esto es equivalente a decir q ue Tn( x ) corta n veces a l eje x . 6) Para lxl>1 los po l inomios crecen de forma i ndefinida proporcionalme nte a xn , tal y como se puede ver en la figu r a 22 . 5 .
T.,. (X ) m Par
x.
_, T,., (x l m Impar
t •
f.i..g.. 22. 5
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
317
Una propiedad importante es que, de todos los polinomios Pn(x) de grado n que pasan a través de un punto (x ,R ) , siendo R>1 , y permane0 cen acotados entre ~1 en el intervalo \xts1 , estando todas sus raíces en dicho intervalo, los de Tchebyscheff son los que minimizan la distancia x 0 -x 2 , donde x 2 es el mayor cero de Pn(x). Es fácil de ver que e l factor de radiación de una agrupación puede ser escrito como Tt /¿
'
)
.¡: (ip)
=
l
~ 1cf' 1 F,,
,¿..
C.Oj
~~ -2.
.,,_,
Ce
+
0 ~ p=•
l cf' 1 ero f
Jti
siendo n el número de elementos del array y
f
fQ"f'
p
impQi"'
( 22 . 14)
=kd cos +
Esta e xpresión es válida si los coeficientes de excitación son simét ricos con respecto al elemento central; es decir , si
l e F \ = 1 c _F \ Puesto que
la función
cose no
puede
ser desarrollada usando l a
identidad
resulta yt
=
{.11-!) un,#f1-~ ( .,?.
?/lf.;¿)
!
y a sí podemos e xpr esar ( 22 . 14) en la f orma: .....¿
f e1/J)
f
l
¿
Cp r" .,, ...
Co +
~ f ..
(.c.m Y!, ):z.f-
1
.¿,
cf
((.o-:\
Y!_ ) ~f .¿,
f
r"1'"
f
im¡xi-"f'
( 22 . 1 5)
donde cp son l os nuevos coefi cie nt es reales. Vemos en la ecuació n anterior que ambos tipos de desarro l los son polin omios de grado n-1 en cos ~/2 . Cuando n es par (impar) el correspondiente cos 7/J/2 .
polinomio con tiene sol amente potencias impares
(pares) de
La carac terística importante de los polinomios de Tc hebyscheff en lo que respecta a l a s ín tesis de diagramas de antenas se obtiene de la figura 22 . 5 . Observando que al variar x desde un punto c hasta el valo r x
y retornando al punto de partida la funció n traza un diagrama 0 que consiste en pequeños lóbulos laterales y un lóbulo mayor . Los
318
R. GOM EZ MARTI
lób u los secundarios serán todos de igual amplitud (unidad) y caerán desde el lóbulo principal a un valor 1/b que puede suponerse mediante la elección adecuada de x 0 . A dicho diagrama se le denomi na óptimo o de Tchebyscheff. Dado que se puede obtener el diagrama a partir de las posiciones de los ceros en el círculo unidad, lo que se necesita de los polinomios de Tchebyscheff es información sobre como distribuirlos . Esta información puede obtenerse haciendo que x trace la porción deseada del polinomio de grado adecuado de Tchebyschef f al variar ~ en su propio marg en en el círculo unidad . Para satisfacer lo requerido con exactitud es necesario que l os polinomios de Tchebyscheff Tn (x) sean representados por una serie finita de términos cosenos . El problema de la elección de la función que relaciona a x y~ es que esta no es unívoca y, según la identificación que realicemos, las fórmula s finales variarán, aún cuando el proceso de síntesis sea totalmente análogo . Podemos decir que , en cualquier caso , si x es una función lineal de cos W, e l po l inomio Tn(x) puede ser representado en forma de serie fi nita de cosenos, pudiendo obtener los valores de los c oeficientes de excitación siempre que se preestablezcan las siguientes magnitudes : nive~ del lóbulo secundario o anchura del lóbulo principal y dirección espacial de este Último . La tran sformación de variables en (22.15) que usaremos será
)( =
b e.o~ 7/J /.¿
(2 2 . 1 6 )
do nde b es un parámetro mayor que uno . En ~ste caso, el factor de l a ag rupación de n elemen tos podrá ser e x presado en términos del polinomio de Tchebyscheff adecuado como ( 22 . 17) Para fijar ideas supongamos una agrupación tra nsversal ( "broadsi de " ), donde o{ =0 , siendo el número de elemen tos n y l a magnitud ka preestablec idos inicialmente . Supongamos que la condición exigida e n es te caso sea la a nc hura del lóbulo principal , 26, entre l os primeros nodos del diagrama de radiación. El primer nodo del diag rama de radiación corresponde al mayor cero del poli nomio d e Tchebyscheff; es decir )( ,,_'
e.o-:>
\. ~
)
,;?l'l-.Z,
en don de hemos tenido en cuenta que se trata de T 1 , encontrándose nlos ceros en las posiciones
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACIO
H
Y RADIACION
(-2-p+l..)1
que para p=O nos da lo indicado . Esto determina el parámetro b en la transformación ( 22 . 16) teniendo e n cuenta que la dirección G1 del primer nu lo es
s Lendo en nuestro caso ~
90=
~
ei
J
rt
0
-s
por lo que te nemos
.\
C..OJ
H
~
b
(..(rj
.in-.o
Kd ~ ( t1/.;z, -ó) 0
( 22 . 1 8)
es decir: e.o~
__ H_
'o : ____
___
~ _ ,, __-o
\.\..d
( 22 . 19)
~€111..d 0
Una vez conocido b , el nive l del l óbul o secundario (rel ación entre la amplitud del lóbulo principal, que se da para ~ = 0 y x 0=b , y la amplitud del primer lóbulo secundario) se obtendrá a partir de (22 . 20) y puesto que b>1 , el valor de R será ( 22 . 21 ) Las ecuaciones ( 22 . 19) y ( 22 . 20) expresan la relació n entre la anchura del lóbulo principal preestablecido y el nivel del lób ul o secundario R que, según las propiedades de los polinomios de Tchebyscheff , es la mejor posible . En el caso de que la condición preestablecida inicialmente hubiese sido el nivel de los lóbulos secundarios, el valor del parámetro b se habría obtenido de (22 . 22)
)
siendo
R>1
y, en consecuencia
b :.
1 Y\- l
(22.23)
320
R. GOMEZ MARTI N
La anchura óptim~ del haz la obtenemos resolviendo (22.18) para encontrar el valor óptimo de J'. En el caso de tratarse de una agrupación longitudinal ( " array endfire " ) el máximo de radiación se da en la dirección e=o. Haremos ahora que x 0 (abcisa del valor máximo del polinomio de Tchebyscheff equivalente) se de para 9=0 y x=-1, para 0=1"1. Estas Últimas condiciones especifican el nivel del lóbulo secundario (22.24 ) La transformación (22 . 16) queda '/..º
-i
~
6
C.Oj
\.{.Q "'"""'
0
=
b
(22.25)
- '¡<(_~ -1-ci
C..00
0
obteniéndose como soluciones
l ( 1. + 'J.: ) + -2, Xo ~ \<..a.. 1
i./¿
~en
\.\..a..
(22 . 26)
C. 'i.o.\- :l.) C.O~ 'Ka./0 '11.o- -l
La anchura del lóbulo principal viene dada por
(22 . 27)
-CAMPO ELECTROMAúNETICO. PROPAúACION Y RADIACION
321
CAPITULO XXIII . BASES DE LA TEORIA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL . 1 . - Bases experimental es . Postulados . Transformaciones de Lorentz . Las ideas básicas de Maxwell acerca del campo electromagnético se publicaron por vez primera en 1862 . En los cuarenta a~os siguientes , la estructura matemát ica de las leyes del electromagnetismo se desarrolló gradualmente, y muchas consecuencias de la teoría se observaron experimentalmente. Sin embargo, existían ciertos problemas que planteaban dificultades a l os fís icos de la época . Todas las experiencias anteriores con el movimiento ondulatorio indicaban que se necesitaba un medio para la propagación de las o ndas. Nosotros hemos visto que las ecuaciones de Maxwell conducen a una ecuación de ondas, s i endo la velocidad de propagación para el vacío c~i f~~f'o · Es pues natural que es t e resultado reafirmase en los físicos la idea de un medio, el éter , que llenaba todo el espacio . El éter debería tener unas propiedades tales como densidad e interacción con la ma teria despreciables , y al mismo tiempo una rigidez muy grande que permitiese una velocidad de propagación tan elevada . Por otra parte, se sabía que l as leyes de Newton eran invariantes fren te a las t r ansformaciones de Galileo entre sistemas i nerciales, y era imposible determinar la velocidad absoluta de un sis tema de referencia . Los fenómenos del electromagneti smo aparecían en este aspecto aislados del resto de la Fís ica , en el sentido de que aparentemente conllevaban a un sistema de referencia preferencial, el éter , con respecto al cual la veloc idad de las se~ales electromagnéticas era c , debiendo ser dicha velocidad, para otro sistema distinto del éter , otra , de acuerdo con la regla de adición de velocidades de Galileo . Ante esta situación se propusieron varias pos ibi lidades antes de que el
tema
f ues e
aclarado por Lorcntz
y
Poi nca ré ,
y
so bre todo
por Einstein en 1905 . Estas posibilidades son : 1) Las ecuaciones de Maxwell son inadec uadas para e xpl icar los fenómenos electromagnéticos . 2) Hay un sistema de referencia preferente , el del éter estacionario . Las ecuaciones de Ma xwell requieren modificación en otros sis emas de referencia . 3) Las ecuaciones de Maxwell tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia que se muevan con velocidad uniforme unos con respec t o a otros . La transformación galile;;inri no es adecuada para relacionar los disti ntos sistemas de referencia cuando intervienen campos electromagnéticos . Como sabemos , la tercera elección es la correcta , y es un enun-
322
R. GOMEZ MARTIN
ciado parcial de l principio de re la ti vi dad . Las predicciones de las ecuaciones de Maxwell se han verificado esperimentalmente al menos en nuestro medio ambiente terrestre, y los intentos que se han hecho para detectar al éter como sistema absoluto no han tenido éxito . Reálmente no ha sido un solo experimento lo que ha llevado a rechazar la hipótesis del éter y obligado a aceptar la teoría de la relatividad, sino <.¡U~ fu~l'Vll
.lu:;. l ' o::;.ul LcllJV:;. C VlllU.Í.Ilá.UQ:;. u~ u11 grá.11 IIÚlll~l··u do: O:Xpo:rimentos
l os que no resultaron ser compatib l es con ninguna otra hipótesis . Los experimentos fundamentales son : a) La aberración de la luz de las estrellas (el pequeffo corrimiento en la posición aparente de las estrellas distantes en la dirección del movimiento orbital de la Tierra) . b) Las mediciones de la velocidad de la luz en fluidos en movimiento (Fizeau, 1859) . c) El experimento de Michelson-Morley (1887) . En el experimento de Michelson- Morley se intentó medir la velocidad de la Tierra relativa a un sistema absoluto (en el que las ondas de la luz se propagaban con la velocidad c) . Los resultados del experimento indicaron que no hay marco preferido o que la Tierra se halla en reposo en el sistema de ref erencia preferido. Este ex perimento en sí mismo parecía negar la hipótesis del sistema del éter absoluto , puesto que la Tierra está continuamente cambiando su velocidad en su movimiento alrededor del Sol . Sin embargo , sería posible que la Tierra permaneciera en el sistema de referencia preferido si esta arrastrase al éter consigo ; esto es , un objeto c e leste sólido, como la Tierra , podría tal v ez arrastrar al éter con él en s u movimiento . Por otra parte , los dos primeros experimentos citados no son compatibles con un arrastre del éter . De las mediciones hechas durante un año se vió que la posición aparente de una estrella describr una pequeffa trayectoria elíptica en la esf era celeste . Esta aberración de la luz de la estrella presumiblemente no existiría si el éter fuera arrastrado por la Tierra . Los experimentos con fl uídos en movimiento pueden hacerse compatibles con una hipótesis de arrastre del éter si se supone , bastante artificialmente , que los objetos menos sólidos que la Tierra solo tienen un éxito parcial al arrastrar al éter con ellos . Esta era la situación hasta que en 1904 Lorentz demostró que las ecuaciones de Maxwell eran invariantes al someterlas a la transformación de coordenadas que recibe su nombre, y que veremos más adelante . Aunque la transformación de Lorentz proporciona una base para el .desarrollo de la relatividad especial , las consecuencias trascendentes de la relatividad no fueron descubiertas por Lorentz . En ese tiempo aún creyó en la hipótesis del éter e hizo muchos intentos para ajustar
11
11 1 11 1 •
1
l 1 111
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAvACI ON Y RADIACION
su transformación recientemente descubierta al panorama del
ét~r
323
del
electromagnetismo . El desarrollo de la relatividad especial como lo conocemos ahora fué hecho por H. Poincaré y A. Ein5tein . Hacia el 1904 , Poincaré sugirió que los resul~ados experimentclles de Michelson y Morley fueron una manifestación de un pri~cip10 general : el movimiento absoluto no puede detectarse; por e xperimen tos de laboratorio de ninguna clase , y esto implica que lciS leyes de la naturaleza deben ser lcis mismas para dos observadores ~n movimiento relativo uniforme . Poincaré también concluyó que un nuevo tipo de dinámica se tendría que desarrollar y se caracterizaría, entre otras cosas , por ld regla de que ninguna velocidad puede exceder a la de la luz . En 1 905 Einstein publicó su "Electrodinámica de los cuerpos en movimiento'', en donde desarrolló la teoría especial de la relatividad a partir de dos postulados bás i cos : 1) Las leyes de la naturaleza y los resultados de todas las experiencias son los mismos en todos los sistemas de coordenadas inerciales, de modo que Lodos los fenómenos físicos se presentan en idéntica forma . 2) La velocidad de la luz en el espacio vacío es la misma en todos los sistemas de referencia inerciules . vamos a ver ahora como estos dos postulados básicos nos permiten deducir de una forma natural la mencionada transformación de Lorentz . Supongamos que observamos un suceso en un sistema inercial de referencia S y determinamos su posición y tiempo especificando las coordenadas x, y, z , t del mismo . En un segundo sistema inerci al S ' este mismo suceso se registra con las coordenadas de espacio y tiempo x', y', z ', t '. Ahora busquemos las relaciones funcionales X' ~· :
'>:º(Y...~,.L.l)
':!"
(.Y..,~,2.,l\
~·. ?..' l Y.., I
'j· 2 ,i.)
t' ' l' l 'l..
~ • 2 . \.)
Es decir, se buscan las ecuaciones de transformación que r c. l cionen las coordenadas de espacio y tiempo medidas por el observad . de un suceso , con las coord~rt<1<.lc1s medidas por otro observador Jel mismo suceso . Aplicaremos los postulados fundamentales de la teoría de la relatividad y además supondremos que el espacio y el tiempo son homogéneos . Esta suposición de la homogeneidad significa que, por ejemplo , los resultados de la medición de und longitud o un intervalo de tiempo entre dos sucesos específicos no debe depender de cuándo o dónde esté el intervalo en nuestro sistema de referencia . Má.s adelante se ilus-
324
R. GOMEZ MARTIN
trará la aplicación de esto. Se puede simplificar el procedimiento algebráico si se hace que los sistemas de referenc.i~ S y S' teng~n un eje común x - x' , manteniéndose paralelos los ejes y e y' y z y z•. Tal como se indica en la figura 23.1.
s
l!
s·
¡e'
-
-v
Fi.r;. 2). 1
Esto no supone restricciones f undamentales en nuestros resultados pues el espacio es isótropo, es decir, que tiene las mismas propiedades en todas direcciones. Además , en el instante en que los orígenes O y O' coinciden , hacemos que los reloj es marquen t=O y t ' =O r espectivame nte . Ahora bien , como se explicará más adelante la s uposic ión de la homogeneidad requi ere que las ecuaciones de transformación sea n lineales, de modo que la forma más general que pueden tomar es
~' :
Q1, '(
+ o..,_,.~ + O.n z
i• =
o.i,
'l.
+ a12 'j + O.ni.
t.' '
ª"
1 \(
+ a2., t
( 23 . 1 )
+ Q.¡¡~ ~ + Cl.~3 2.
-+ a..3«
t.
+ Q44
t.
Los coef icientes han de determinarse para poder obtener ecuaciones de transformación exactas . Observemos que no se excluye la posibilidad de que haya alguna dependencia entre las coordenadas de espacio y de tiempo . Si las ecuaciones no fuesen lineales nos apartaríamos de la suposición de la homogeneidad. Por ejemplo, supongamos que x ' dependiese del cuadrado de x. Entonces, la distancia entre dos puntos en el sis-
_
-.: ...
1 1u
IJ
CAMPO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGACION Y RADIACI ON
325
tema S ' estaría reldcionada con la posición de esos puntos en el sistema de referencia S mediante : x2-x1=a 11 ( x~-x~) . Ahora s u pongamos que una varilla de longitud unidad en S tuviese sus puntos e x tremos en x 2 =2 y x 1 =1; entonces x2-x;=3a 11 . En cambio , si ld misma varilla estuviera en x 2 =5 y x 1 =4 . obtendríamos x2- x1=9a 11 . Es decir , la medición de la longitud de la varilla dependería de su posición en el espacio . De la . mi sma manera , podernos rechdZdr cualquier dependencia de .t que no sea lineal , pues el intervalo de tiempo existente entre dos sucesos no debe depender de qué número indiquen las manecillas del reloj del observador . Por lo tanto, las relaciones deben ser lineales . Con relación a estos 16 coeficientes se supone que sus valores dependerán de la velocidad relativd v entre S y S' . Por ejemplo , si v=O , los dos sistemas coinciden en todo momento , y suponemos que a = 11 =a 22 =a =a44 =1 , siendo cero los d e má s coeficientes . Más generalmente , 33 si v es pequeña comparada con e los coeficientes deben conducir a las ecuaciones galileanas clásicas . Se pretende encontrar los coeficientes para c ualquier valor de v , para lo que nos basaremos en los postulados de la relatividad . En el caso de que no h ubiera movimiento relativo entre l os sistemas en las direcciones y o z , podríamos suponer que y ' =y , z ' =z , de manera que (23 . 2)
Analicemos las dos ecuaciones restantes de (23 . 1 ) . Veamos primero la ecuación para t '. Por raz ones de simetría , se s upone q ue t ' no depende de y ni de z . De lo contrario , los relojes colocados simétricamente en el ?lano YZ parecerían no concordar vistos desde S', lo cual está en contra de la isotropía del espacio . Por tanto ( 23 . 3)
.
sabemos que un punto con x ' =O parnce En cuanto a la ecuac ión x ' moverse en la dirección positiva del eje x con velocidad v , de manera que la proposición X' =O debe ser equivalente a x=vt . Por lo tanto suponemos que x' =a (x-vt) es la ecuación de transformación correcta , 11
que da (23 . 4)
con lo que (23 . 1) se ha reducido a
l
~.
1
326
R. GOMEZ MARTIN
x'
: ª"
(X-llf)
~· :~
(23 . 5)
';!'"7 - ~
t'"
QH X -+
a... ~ t
Torl;:iví ;:i f;:il t;:i rlP.tP.rmi nar los coeficientes a 11 . a 41 y a 4 'l . Para hacerlo consideremos el principio de la constanci..t de l..t vu.l.ocid
sale del origen O, que en ese instante coincide con O' . La onda se propaga a una velocidad c en todas direcciones, en cada uno de los sistemas inerciales . Su marcna se describe mea1ante la ecuación
(23.6) (23 . 7) Sustituyendo (23 . 51 en (23 . 7) obtenemos
y ordenando los términos
Para que esta expresión concuerde con (23 . 6) hd de verificarse:
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyas soluciones son:
(23 . 8)
-
1
1 111 ll
u1
11
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAOIACION
327
sustituyendo estos valores en (23 . 5) se obtiene : ( 23 . 9 ) ( 23 . 10)
( 2_3 . 11 )
t' :
(23 . 12 )
que son las ecuaciones de transformación de Lorentz . La obtención de la transformación inversa que expresa x, y , z, t e r1 función de x' , y' , z' , t ' , es inmediata cambiando v por -v . Se observa que cuando v/c tiende a cero la transformación de Lorentz tiende a la de Galileo . Para v>c las coordenadas x' , t' se hacen imaginarias . Esto corresponde al hecho de que es i mposible un movimiento con velocidad mayor que la de la luz. No es posible ni siquiera utilizur un sistema de refe1·1:m<.:id que se mueva con la velocidad de la luz , puesto que se anularían los denominadores que aparecen en las expresiones de la transformación . Se puede comprobar que la transformación de Lorentz deja invariante la ecuación de ondas . 2 . - Consecuencias de las transformaciones de Lurentz . Intervalos espa-
ciales y temporales . Las transformaciones de Lorentz llevan a consecuencias contradictorias con las nociones ordinarias acerca de las propiedades del espacio y del tiempo bas;Hlris en la e x periencia cotidiana . De ellas se deduce que los conceptos tamaño de un cuerpo o tiempo transcurrido entrP no~ fPnÓmenos físicos no tienen un cur6cter absolu t o y son di f ~ rentes en sistemas de referencia distin tos . Consideremos en primer lugar el concepto de extensión espacial (longitud) . Supongamos que en un sistema S' se encuentra en reposo un cuerpo que llamaremos esca la . Sobre esta no actúa ninguna fuerza que pueda def ormarla o modificar su tamaño . Designemos por L0 la longitud de la escala en la dirt:!<.:<.:lón del movimiento (eje x) . Esta longitud medida en el sistema S ' se llamará longitud propia de la escala . Me diante las transformaciones de Lorent7. determinaremos la longitud de la escala en el sistema dP rPfPrPncia S . Sean x; y x~ las coordenadaa del origen y extremo de la escala en el sistema de ref erencia S' . De~ermimaremos las correspondientes coordcnudus en G. Puesto que la escala se mueve respecto del sistema S, para medir
\
\
\
\
~
328
R. GOMEZ MARTIN
sus dimensiones es necesario fijar las coordenadas de su origen y de su ex tremo en S en el mismo instante . Supongamos que el origen y el extremo de la escala tienen coordenadas x y x en S en un cierto 1 2 instante t. Mediante (23 . 9) se encuentra ; x~·
•
'><2 -
V\..
lJi:.
X~
.)
o•/ci
xl-~
\J
i..-
v•tc:
llamando
r
l..
V1. - 1.J fe}· 2
y restando tenemos :
o bien, designando la diferencia x - x 1 por L (longitud de la escala 2 en S) (23 . 13)
Vemos así que la longitud de una escal a que se mueve con velocidad v respecto del sistema Ses 1/p veces su longitud propia . Este acortamiento de las dimensiones de un cuerpo se suele llamar contracción de Lorentz . Dado que las dimensiones de la escala en las direcciones perpendicu l a res a la velocidad se conservan invariantes , el volumen de la escala está l igado con su volumen propio por la e x presión
V = Yo ! r
(23. 14)
Por tanto , la longitud y el volumen de una escala que no está sometida a la acción de fuerzas exteriores son cantidades que tienen un valor re l ativo . En otras palabras , la proposición : "la distancia entre dos puntos del espacio es igual a L", carece de sentido s i no se indica a que sistema de ref erencia corresponde . La distancia entre dos puntos depende del movimiento del sistema de referencia . No hay que olvidar que los dos sistemas S y S' son abso lut amente equivalentes . Por ello , si la escala se encuentra en reposo en S , su longitud en S' será menor que en S por la mü;ma razón . Exi ste una
~ ~
completa reciprocidad entre ambos sistemas de referencia .
i.\.
"'t.¡ ~I
.~-1 .
Es necesario subrayar que el acortamiento de una longitud tiene un carácter puramente cinemático . En el cuerpo no se produce ningún
~
~ j
r.¡
~
'
1
~...........-
.e"=!
•
a
11
CAM PO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
329
tipo de tensión interna que produzca su deformación . Un cambio igualmente fundamental experimenta en la teoría de la relatividad la noción de tiempo . Supongamos que en un punto x' en el s istema S ' tiene lugar un determinado proceso fí sico durante el intervalo de tiempo ~t 0=t2- t; , donde t1 y t2 son los instantes inicial y final del proceso . En el sistema S para los instantes correspondientes t 1 y t 2 se puede esc ribir : Ql<:' ) /
ci.
r
Restando , encon tramos el intervalo de tiempo transcurrido desde el inicio hasta el fin del proceso en el sistema S (23 . 15)
El tiempo .b t 0 medido en el sistema de referencid que se mueve junto con el cuerpo en que ocurre el proceso se llama tiempo propio . Ld expresión (23 . 15) mues t ra que e l tiempo propio entr e dos sucesos f ísicos es 1/r veces el tiempo que ha transcurrido entre ellos en el sistema S . En la teoría de la relatividad es frecuente hablar de comparación de l a marcha de relo j es en di f erentes siste mas de referencia inerciales . Se entiende aquí por reloj un proceso periódico arbitrario . Se puede decir entonces que el tiempo que indican dos relojes depende de la ve locidad de su movimiento . Los relojes que se mueven respecto de determinado s i stema de referencia marchan más despacio , desde el punto de vista de este sistema, que los relojes que se encuentran en reposo en el mismo pero idénticos a los que se mueven . De esta ma nera , e n contraste con la física ne~ tonldna , el transcurso del tiempo depende del estado de movimiento . No P xic:t-P 11n ti
como se ve a partir de las transformaciones de Lorentz . Naturalmente , se plantean dos cuestiones : en primer lugar , por q ué antes de que apareciera la teorí a de la relatividad todos los hechos experimentales conocidos estaban de acuerdo con las ideas newto
330
R. GOMEZ MARTIN
nianas acerca del carácter absoluto de la longitud de un cuerpo y acerca de un único tiempo universal y, en segundo lugar , la de si el acort.amiento de
l.:i" dimcn:;ionco
de
loo cucrpoc
en
movimiento y
el
retraso en la marcha de los relojes que se mueven son reales o aparentes . La res pues ta a la primera cuestión es muy simple . Antes de que se llevaran a cabo los experimentos con los que se perseguía poner de manifiesto el movimiento de la Tierra respec~o del éter , los físicos no se habían encontrado con procesos que ocurren en objetos que se mueven con una velocidad comparable a la de la luz . Si las velocidades del movimiento son peque~as comparadas con la de la luz , es posible .:iplic.:ir loo antiguo:; conceptos acerca del espacio y del tiempo ron 11n
grado de precisión suficiente . Pasando a la segunda de las cuestiones planteadas, hay que resaltar que los conceptos muy extendidos "contracción aparente de una escala" y "variación aparente de la marcha de los relojes" son poco afortunados . El término aparente se utiliza para s ubrayar el carácter puramente cinemático de la contracción , sin embargo la contracción de una escala y el retraso en la marcha de los relojes son hechos reales y objetivos , y no ilusiones del observador . De hecho todos los valores de la longitud de una escala dada o de la duración de un intervalo de tiempo obtenidos en diferentes sistemas de referencia tienen igual validez , y son correctos . La dificultad en comprender estas afirmaciones está vinculada exclusivamente con nuestra costumbre de considerar las noc i ones de longitud y de intervalo de tiempo como conceptos absolutos , c uando en realidad no lo son . Por ello carece también de sentido preguntar qué longitud de la escala es la verdadera y cual la aparente , como tampoco tiene sentido decir si un cuerpo dado se mueve o está en reposo de forma absoluta . 3.- Ley de composición de las velocidades de Einstein y transformación de los ángulos . Una importante consecuencia de las transformaciones de Lorentz es la ley relativista de composición de velocidades que en la teoría de la relatividad susLiLuye a la ley de composición de velocidades de Galileo . La manera más fácil de hallarla consiste en escribir las fórmulas de transfoemación de Lorentz para las diferenc i ~les de las coordenadas espaciales y del tiempo. Estas espresiones son:
-----·
d'(: (d~'+\Jdt')r, d~=d~';di~cl1.'/ dt.:ldl'+od~') r c ...
-·
( 23 . 17)
•
-.
1
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADJAC JON
331
Sean x' , y' , z' , las coordenadas de un punto material que se mueve en el sistema de referencia S' . Las componentes de la velocidad en ese punto en el sistema S ' serán : Uv.' = dy._•
u. i!.'
dt.' y
(23 . 18)
en el sistema S :
u.. .
Ll~ = ~
= d'(
dl
(23 . 19)
dt
Derivando las coordenadas con respecto al tiempo d)(
U"
=
dL
U~; ~~
dt
U: ,
..
U.ic 1;.
i \.
1)
(23 . 20)
U..,C\j C'-
(23 . 21)
u..';\' (_!.+
d
u.<'1.r) r ~
(23 . 22)
L.li!.'
l. dt
(i'- u.~~) i"'
Las expresiones anteriores constituyen la llamada ley de composición de velocidades de Einstein y sustituyen a las fórmu l as de composición de velocidades que da la mecánica clásica . Cuando v << c, la ley de composición de Einstein se transforma automáticamente en la expresión clásica
De esperar, ejemplo , con una será
las expresiones (23 . 20) y (23 . 21) se deduce, como era de que la velocidad de la luz es la velocidad límite . Si, por una partícula se mueve en el sistema S' a lo largo del eje x velocidad u ' =u~=c , en el sistema en reposo S su velocidad
u
=e
=
Si la velocidad de la por ejemplo
u.,"-
u."',
~
p~rtícul~
en
e- o..
(ú.70)
$'
es menor que la
d~
la
lu~,
' ~
. 332
R. OOMEZ MART IN
y el sistema S' se mueve respecto de S con una velocidad v=c-b ; b>O , la velocidad dP la partícula respecto del sistema S en reposo es igual a u.
(.¿c-a.-b) e -?.c-a. - b+ctb
e
Así µu~s, la swna tle úus velu<.:lúaúes <.:aúo ur10 úl:l las <.:ualt:s 1:s menor que la de la luz será siempre.menor qu0 esta velocidad . La suma de dos velocidades , de las cuales una es igual a l a velocidad de la l uz mientras que la otra es menor que ella , ~s igual a la velocidad de la luz . De la composición de velocidades se sigue inmediatamente que un ángulo tiene un valor relativo y cambia al pasar de un sistema de referencia inercial a otro . Dado que
donde e es el ángulo formado por el vector velocidad de la partícula y el eje x . De (23 . 20) y (23 . 21) se sigue : ~
e : u.'
t.e.rtt. e '
( \} + u.'
(.()j
e· ) r
(23 . 23)
donde u•=u' · cose• , u'=u' ·sene' . X y La última fórmula expresa la ley de transformación de los ángulos en teoría de la relatividad . Esta ley liga l os valores de los ángulos gy 9' formados por el vector velocidad con los ejes x ' y x respecti vamente . Finál mente hay que subrayar que por velocidad de un cuerpo hay que entender la velocidad con que puede desplazarse un cuerpo real o propagarse un proceso real de interacción (una señal) . Sin entrar en contradicción con la teoría de la relat ividad , cabe imaginar procesos cuya velocidad supera la velocidad de la luz , pero que tienen un carácter cinemático y son incapaces de transportar un cuerpo o determinar una interacción . 4 . - Simultaneidad , acción a distancia y acción inmediata . Supongamos que en un sistema de referencia inercial S ' tienen lugar en los puntos x; y x2 y en un cierto instante t ' simultáneamente dos sucesos físicos . Desde el punto de vista de la física Newtoniana, dos s ucesos que son simultáneos en un sistema de referencia se producen simultáneamente en todos los demás sistemas inerciales . La situación es diferente en la teoría de la relatividad .
11
u umrn 1
•
1
'"""
333
CA MPO El.ECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
Consideremos un sistema inercial S respecto del cual el sistema S ' se mueve con la velocidad ven el sentido positivo del eje x . En s el primer suceso tiene lugar en el ins~ante :
) r y el segundo , en
l l'
~
Por consiguiente, en s los sucesos se pr oducen , no en el mismo instante, sino una vez transcurrido un tiempo (23 . 24)
Además, según sea el signo de la diferencia
e
(23 . 25)
334
R. GOMEZ MARTIN
siendo v la velocidad instantánea de l punto . Puesto que las velocidades mayores que la de la luz están excluidas , el ángulo de inclinación de esa curva con respecto al eje temporal es siempre menor que 45º . El diagrama de movimiento para una onda luminosa es una linea recta inclinada 4)º con respecto a los ejes .
W:c l
/ / / /
/ / / /
/
/ /
45• / /
X
Fi.9 . 2) . 2
Además del sistema S (coor denadas sin prima) , consideremos un sistema S' (coordenadas con prima) moviéndose con respecto al primero con una velocidad v a lo larqo del eje x . Con la nomen~ldtura : w=ct y w=ct ', las ecuaciones (23 . 9) , (23 . 12) y sus recíprocas , quedan en la f orma : X' : (l< - ~ W' )
í' /
)(
~
l "-' + ~ w )
r
/
W' =
w
-::.
-
~ )(
... w
~
r )('
.¡.
(2 3. 26)
w'
~
s i endo (3 =v/c . Por def inición , los puntos (x=O , w=O) y (x ' =O , w'=O) se encuentran juntos . El punto x ' =O se e stá moviendo con respecto al sistema S con velocidad v; su linea de universo e s, por tanto, una línea recta que pasa por el origen formando con el e je temporal un ángulo ~tg-k , como se muestra en la figura 23 . 3 . Puesto que x ' =O para esta linea , coincide con el eje temporal del sistema S' . Haciendo w' =O en (23 . 26) obtenemos el eje espacial, cuya ecuación es ct=w=~x; es pues una línea recta · que forma el mismo ángulo $b=tg- 1¡'.3 con el eje x. A partir de esta representación señalamos con especial énfasis el carácter relativo de la simultaneidad. Todos los ~ucesos en el eje x' aparecen en el sistema S' como simultáneos , mientras qt:e para el sistema S son progresivos .
,.,,..,. ..1 ' ~ 1 r1 1 •j CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC ION
335
r~ ~
F.i.g.. 2J. J
Para S , el suceso dado por el punto A' , como muestra la figura ocurre un tiempo w/c=AA'/c después que el suceso dado por el punto O. Para una representac i on completa de la transformación de Lore ntz necesitamos aún especificar las unidades en los ejes . Con este propósito dibujamos en la figura 23 . 3 las dos hipérbolas
23 . 4 ,
Estas cortan a los ejes w y x del sistema S en los puntos (w=l , x=O) y (x=l, w=O) . Los puntos d~ corte con los ejes w' y x' del sistema S' son res pectivamente (w';1, x'aO) y (w ' - 0 , x' -1 ) .
w
w
I / /
/
/ /
/
/
A. - _ x·
-·-· o
X
A
hg.. 23.4
336
R. GOMEZ MARTI N
Con la ayuda de la figura 23 . 5 , el fenómeno de acortamiento recípror-o
p11PrlP
<:r>r rlf"'<:;cri to de
la
,.;ia~tionto
manera : ,.;ea OA una
escala unidad en reposo respecto de S. Las líneds de universo de sus puntos extremos son ODC y AA' . w·
X
F.i.g. 2). 5
Para un observador en reposo en S', la localización de la escala da, , para sus puntos origen y ex tremo , los puntos de universo O y A' respectivamente . Por lo tanto , la escala es más corta para él que su unidad de longitud OB '. Recíprocamente , el origen y el ex tremo de una longitud unidad OB' en reposo en el sistema S' con líneas de universo OC 'D' y BB' aparece para el sistema S en w=O , que corresponde a t=O , en los puntos de universo O y B. De nuevo aparece más pequefta que s u uni dad de longitud . La comparación de relojes se hace de una forma totalmente a ná l oga. Un reloj en reposo en S ' se mueve a lo largo de la línea de universo OC 'D' . En el punto de universo (w=1) ha marcado una unidad de tiempo ; pero ya antes (en el punto de universo e' ) , el reloj del sistema S que está en coincidencia espacial con el anterior ha completado una revolución (w=1) . Por tanto, el reloj en movimiento va más despacio que el que está en reposo . 6 .- Intervalo y tiempo propios. La teoría de la relatividad revolucionó los conceptos de la Fí sica newtoniana acerca del carácter absoluto de espacio y tiempo , resultando la naturaleza relativa del espacio y del tiempo ~an paradójica que era frecuente la frase de que "la teoría de la relatividad ha demostrado que todo es relativo ". Sin embargo es interesante convencerse de que la sit~ación es justamente la contraria , pues precisamen-
1
.,.1
1
ll
1 1.
337
CAMPO E L ECTROMAGNETICO. PROPAGA C I ON y RADIACION
te con el problema que se enfrentaba la teoría de la relatividad era hallar las leyes absolutas de la naturaleza , independientes del sistema inercial de referencia , en el caso de la relatividad especial , y en sistemas de referencia arbitrarios , en la teoría general q ue no tratamos . El problema de hallar las leyes de la naturaleza está l igado con el de encontrar magnitudes invariantes, siendo la primera de ellas la velocidad de la luz c . Otras muy importantes son el interval o y t i empo propios . El intervalo s entre dos puntos de coordenadas (x
1
,
y
1
,
z
1
,
t
1
)
Y (x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) se define como (2 3 . 27) Inmediatamente se comprueba mediante la transformac i ón de Lorentz que s es invariante , de forma que la afirmación de que dos sucesos están separados por un i ntervalo s tiene carácter absoluto . Si consideramos dos puntos infinitamente próximos, el intervalo entre a mbos será (2 3 . 28) Es útil introducir un espacio cuadridimensional cuyos ejes representan las tres coordenadas espaciales y el tiempo y en el que , como ya hemos vis to en el apartado anterior, los sucesos se r epresen t an mediante un punto , llamado punto de mundo o p unto de universo . Volvamos ahora a la def inición de tiempo propio y demos t remos que, al igual que el intervalo , es una magnitud invariante , absoluta . Sea S ' un sistema de ref erenc i a inercial . En un punto x', y ', z ', se producen dos sucesos consecutivos separados por e l i nterva lo de tiempo d ~ . Hay que subrayar que el tiempo r se mide con relojes que se encuentran en reposo en el sis tema S', o como suele decirse , con relojes propios del sistema S ', y que el tiempo d 7' es el tiempo propio que ha transcurrido entre los dos sucesos . El intervalo entre estos es igual, por definición , a (23 . 29) Po r
lo tanto , el ti empo propio está ligado con el intervalo por
la igualdad d?.:
j ds /C
(23 . 30)
~-~-
•í.
~·
.
~·.
338 y
R. (;OMEZ MARTIN
es un invariante . El tiempo pro pio ce puede c xprccar en
funcil~
del
ticmp~
de
~n
u~
sistema de referencia arbitrario , es decir , en función del tiemp0 m~ dido con relojes que se mueven respecto de S ' con vtlucidad - v , susti tuyendo en (23 . 29) la expresión de ds :
1.h: • ~Vc.'dt"'-dl(,'-d~t-di't:
d.i..V ~l
1. - !.
e•
t l.~l' 4 t~1{-tcc1 2 p ~ dt\Í1.-u.'1cz dt.
~t
intervalo f inito de tiempo
( 2 3.
3 ·, )
dt
propio~
ce igual a
o
Es necesario poner de relieve que la fórmula (23 . 31) se ha deducido para el caso del movimiento de relojes junto con un sistema de referencia inercial, es decir , de un movimiento con velocidad constante . La fórmula (23 . 31) se aplica frecuentemente a un movimiento acelerado, considerando v como función del tiempo . Sin embargo , es necesario no perder de vista que, en la teoría de la relatividad especial , no cabe considerar un movimiento acelerado del sistema de referencia . En consecuencia, la magnitud t' definida por la fórmula ( 23 . 31) en el caso de un movimiento acelerado no tiene el sentido de tiempo propio , pero es una magnitud conven i ente , invariante respecto de las transformaciones de Lorentz . 7 . - Espacio cuadridimens ional . A efectos de dar una estructura formal adecuada a las expresiones relativistas , es conveniente introducir una nueva coordenada x4 =jct de forma que queda definido un espacio cuadridimensional de coordenadas: j
X.._ :
J
')(~:
1c.t
(23 . 32)
La transformación de Lorentz se escribe ahora :
(23 . 33 )
1
1
C AMPO ELECTROMAGNETICO. l'ROPAGACION Y RADIACION
339
Esta transf ormación tiene la forma : (23 . 34) en donde hemos tenido en cuenta el convenio de índices repetidos y los coeficientes a~~ vienen definidos por la matriz
f\
=
r
r
o
o
~~r
o
\.
o
o
o
l
o
o
o
r
(23 . 35)
l-j;r
La transformación inversa , por ser la matrj z ortogonal , vie ne dada por (23 . 36) además se verifican las siguientes relaciones entre los coeficientes :
y
a..
o/ 1f
l
O.ot >..
o
"f
1
~
t
.X.
' A.
(23 . 37)
En real idad , este es un resultado que cabía ~sperar , ya que , como sabemos , las relaciones lineales entre las coordenadas dadas por la transformacién de Lorentz están sujetas a la condición
y precisamente una transformación ortogonal es la que deja invariante ., 2 la ex presion xi . Un c uadrivector se define como un conjunto de cuatro cantidades que se transf orman al cambiar de un sistema de coordenadas a otro m cdi.:intc c >
cientes
ª~ir ·
(23 . 34) y
(2J , Jv) ,
1,,.v1J lv::. m .i.::.mv ::. 1..:v1;f.i-
es decir :
Ad..'
O.ons f>..-.
(2 3 . 38) donde a .. ir está definido por la matriz (23 . 35) . Elevando al cuadrado ambos miembros en (23 . 38) y sumando sob re~ se tiene
340
R. GOMEZ MARTIN
(23 . 39)
en donde se ha usado la condición de ortogonalidad . Se obtiene así un invariante que se denomina módulo del cuadrivector y que viene dado por
A/
i"'cr
(23.40)
El concepto de cuadrivector facilita considerablemente muchos cálculos ya que si un conjunto de cuatro cantidades forma un cuadrivector, se conoce la ley de transformación de un sistema de coordenadas a otro . En notación vectorial representaremos al cuadrivector de componentes A~ por A. El conjunto de coordenadas de un punto en el espacio cuadridimensional, o punto de universo , es un ejemplo de cuadrivector , ir, cuya longitud o módulo es
..
~:.
...,
X. X :
~._
(23 . 41)
Como hemos visto, el diferencial de tiempo propio drde un punto material es invariante . Po r tanto , el conjunto de derivadas respecto del tiempo propio de las componentes de cualquier cuadrivector también constituye un cuadrivector, ya que la diferenciación respecto a un invariante no cambia las propiedades de la transformación . Si escribimos las derivadas de las coordenadas de un punto de universo respecto del tiempo propio como (23 . 42)
obtenemos el cuadrivector velocidad cuadridimensional -a)
u..
~
l u.., u~ .
U.3.
u...,)
dado que X~:
Z
/
.
podemos escribir las componentes de la cuadrivelocidad en la forma: v..,, u..
r :
u.~
(
1..-
u.~ )-·1~ e•
Ll~: u'j
u.,,:
r
U.?.
(23 . 43)
1
t.t.. ~je\
C AMPO EL ECTROMAGN ETICO. PROPAGACION Y RADI ACI ON
341
donde ux , uy, uz son las componentes de la velocidad tridimensional . El módulo de la cuadrivelocidad es (23 . 44) La transformación de las componentes de la cuadrivelocidad en un cambio de sistema de referencia viene dada por
y utilizando los valores de °'4r dados en (23 . 35), obtenemos
(23 . 45) U,¡,
1
U<.
:
(23 . 46)
j
u.;
(23 . 47)
Sustituyendo las ex presiones de (23 . 47) se t i ene : u.~,
u..~
~1..- U." /c1 u.,j'
-
Vl-
l]
V.
1 - ~-
(23 . 48)
~
e•
•
'
U:i
y
\..fi7
1-~"
y
r
<.]
(23 . 48)
l. -~ e
vi- u:• tc Ll ,. -
(23 . 46)
(23 . 49)
V-i-u.:·1c...
1
u ..·,
(23 . 45) ,
u.. .. j
i
reescribir
en
V1.- u.'/c•
U..:¡
v1. - u::rc· ·y t - u."rcaPodemos forma:
-
(23 . 43)
u..• te" (23 . 49)
,•
e.o&-
( 23 . 50)
r utilizando
U.2'
Z'
u..'1t-w· 1. -
l.JU.
(23 . 50)
en la
(:23 .51)
e~
con lo que obtenemos de nuevo las ecuaciones (23 . 20), (23 . 21) y ( 23 . . 22) para la composición de velocidades . Asi pues , una vez establecido que la cuadrivelocidad es un cuadrivector , inmediatamente obLenemos lds fórmulas de transformacibn de un sistemd a otro . Esto ilusLra la conveniencia de introducir el concepto de cuadrivector . Cuando derivamos lcls componentes de la cuadrivelocidad con respecto al invariante tiempo propio T, hemos de obtener un cuadrivector de componentes et... = d~¡d"\: . El cuadrivector resultante : S>
ct."
e bL.
b.,_. b¡, b.,)
(23 . 52)
342
R. GOMEZ MAR rtN
se denomina cuadriaceleración . Las componentes de esta pueden expresarse en términos de componentes de vectores tridimensionales :
1.-
siendo las expresiones para
a
2
(23 . 53)
u.'tc•
3 análogas . Para a.4 se tiene:
y o.
l.. e
~
-·
LV LL
(.!.-
2
U.
(23 . 54)
/c.•t'
u
En estas e xpresiones el vector es la velocidad tridimensional y la derivación respecto al tiempo t se nota medianle un punto . A partir de (23 . 53) y (23 . 54) podemos hallar el valor invariante de la longitud de l a cuadriaceleración
~~-
C%-"t.t
(23 . 55)
Por analogía en el caso tridimensional , el productor escalar de dos cuadrivectores CA1 , A2 , A , A4 ) y CB1 , B2 , a , B ) se define 3 3 4 como C23 . 56) Si el producto escalar de dos cuadrivectores es cero , se dice que son ortogonales . Es fácil de ver que el producto escalar de dos cuadrivectores es un invariante ante transformaciones ortogonales . Derivando (23 . 44) respecto de cl~ se obtiene
lo que traduce que la cuadriaceleración es ortogonal a la cuadrivelocidad . El tensor cuadridimensional de segundo orden se define como un conjunto de 16 valores que se transforman de un sistema de coordenadas a otro mediante la expresión (23 . 57) donde los coeficientes de la transformación vienen dados por la matriz C23 . 35J . En general, el conjunto de valores i:....... .. """' , dependiente de n índices se llama tensor de orden n y se transforma de un sistema a otro para cada índice como si fuera un vector . Así , un vector es un tensor de primer orden y un escalar puede ser considerado como un tensor de orden cero .
..
C AMPO E L ECTROMAGNETIC O. PROPAGACI ON Y RADIACI ON
343
Se denomina tensor simétrico al que verifica
análogamente , se defi ne un tensor antisimétrico por la condición
cualquier tensor T.:i lr puede ser escrito como suma de un tensor simétrico y uno antisimétrico :
donde )
Se puede comprobar que la propiedad de simetría de un tensor es invariante bajo una transformación de coordenadas, y lo mismo ocurre para los tensores antisimétricos . Una característica i mportante de los tensores cuadridimensiondles o cuadritensores es sus invariantes ; es decir , aquellas combinaciones de s us component es que no cambian por una transformación de Lorentz . Para los tensores antisimétricos de segundo orden son invariantes las siguientes magnitudes escalares: 1) A~~Ao1~ , invariante cuadrático . 2) A...>.. A.').f Ar-oe , invariante cúbico . 3) A<1.1..A). p-A,,_~ AJ>o. , invariante bicuadrático . La suma de dos tensores Toi.-r y Po1~ se define como un tensor Gd" C.!;! yas componentes vienen dadas por la relación Go1¡r
0
~ir +
"Pot ir
de manera análoga se define la diferencia . El producto de un tensor de orden m, To1., c1~, .. , o1"' , por un tensor de orden n , "P-r. , "G'i , . , 'lS'" , es un tensor de orden m+n, cuyas componentes son el producto de las correspondientes componentes de los tensores que se multiplican : Rc1,,<:1 2
•
«""'
º• · 1f> ·
·
~"'
=
·r cl1,c:la···""""' _, .y>a"1 ,lr2 . .. ~"t
El orden de un tensor puede str reducido hasta n- 2 usando la operación de contracción sumando sobre cualquier par de índices . Por ejemplo , a partir de un tensor de orden cuatro , T.,..~ j..1. Y , podemos formar el tensor de segundo orden
344
R. GOMEZ MARTIN
o bien
Esta operación se llama contracción de un tensor . La contracción de un tensor de segundo orden es un escalar . Consideremos una función escalar de cuatro variables 'l'Cx 1 , x 2 , x , x ) . La diferencial total de esta función 4 3 (23 . 58) representa el incremento d~de la función ~al pasar desde un punto a otro infinitamente próximo y es un invariante que no depende del sistema de coordenadas en el qu·e se calcula . Por tanto el miembro de la derecha de (23.58) puede considerarse como el produc to escalar del cuadrivector infinitesimal (dx 1 , dx 2 , dx , dx ), por otro cuyas compo4 3 nentes son
(
(23 . 59)
que llamaremos gradiente cuadridimensional de la función~ . Este gradiente cuadridimensional puede ser representado formalmente por el producto del operador vectorial cuadridimensional
(
~X~
(23 . 60)
y la función escalar 'P . La naturaleza cuadrivectorial del operador dado en (23 . 60) puede ser verificada directamente. Tenemos que :.
(23.61)
por tanto, podemos escribir (23 . 62) es claro entonces que el operador considerado se transforma de acuerdo con la fórmu l a para transformación de vectores . El producto escalar del operador vectorial (23 . 60) con un cuadri vector es un invariantP. CJllP !'P nenomina divergencia cuadridimensiond.l del vector: (23 . 63)
.,. .
-
u
1
1 1 111
UIJl
1.1.!_
1~
llJ
CAMPO ELECTROMAG ETICO. PROPAGACION Y RADIACION
345
., si el cuadrivector A coincide con un gradiente c uadridimensional (23 . 59) , resulta la expresión diferencial invariante (23 . 64) donde el operador
o --
º~
<=>""- +o' a.z -- +_.
-a• + e>• + - -¡::,x: -ox; o~
'd" C>l'se denomina de D'Alambert y es invariante bajo una transformación de Lorentz debido a la naturaleza vectorial del operador (23 . 60), del cual es su cuadrado . Si derivamos un tensor con respecto a sus coordenadas, obtenemos otro tensor que tiene de orden una unidad más que el original. Esta afirmación sigue de (23 . 62) . Por ejemplo, si derivamos un escalar obtenemos un tensor de primer orden, es decir, un vector, que es el gradiente . Por derivación de ~ podemos formar el tensor antisimétrico -- ~ -O'i.~
-ax;
ax~
r,J.
=
o~
::
'O..
ª'\i _ oA, 0)(,
-
1 -
e'"
(23 . 65)
'O~
que se llama rotacional cuadridimensional de~~ . Sus componentes espaciales (i , j=1 , 2 , 3) son idéntica~ a las del rot A, siendo A la parte tridimensional del cuadrivector A~ . 8.- El cálculo tensorial como herrami en ta en la teoría de la relatividad . El principio de relatividad requiere que las leyes de la naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales . En otras palabras , las ecuaciones que expresan las ley es de la naturaleza deben ser covar iantes bajo las transformaciones que conectan los diferentes sistemas inerciales . En la teoría especial de la relatividad esas transformaciones son las de Lorentz , por lo que lct::. ~1,;uü1,;lum::::; 4ue expresan las leyes ele la naturaleza nan de ser covariantes bajo la transformación de Lorentz . Es imposible decir a partir de la forma de una ecuación si es covariante o no . Esto debe ser verificado mediante cálculos, que pueden ser muy penosos . Por tanto , necesitamos desarrollar una herramienta matemática mediante la que las ecuaciones se escriban de forma que inmediatamente sepamos si son o no relativísticamente covariantes . Tal herramienta la suministra el cálculo tensorial, ya que las ecuaciones
.1
1;
346
R. GOMEZ MARTIN
tensoriales tienen la misma forma en todos los sistemas de coordenadas . Por ejemplo . supongamos que una cierta ley se exprP.sñ P.n 11n sistema de coordenadas dado por la ecuación tensorial (23 . 66)
Multiplicando ambos miembros por los coeficientes CLo!.'d~ , y sumando sobre
<>t
.1. , o.~,
. ..
oln. ,
Q.ot¡oit - · ·
O....,¡,,:.;."'
obtenemos (23 . 67)
Teniendo e n cuenta las expresiones pdra transformación de tensores, resulta que (23 . 67) puede escribirse : (23 . 68)
Esta es la ecuación tensorial transformada en el sistema de coordenadas con prima . Pero (23 . 68) tiene la misma form a que (23 . 66) en el sistema sin prima, por lo que la ecuación tensorial tiene forma invariante . De esta manera , poniendo cua lquier ecuación en forma tensorial demostraremos que esa ecuación es covarian te . En def ini ti va, para que una ecuación sea covariante es necesario y suficiente que sea posible expresarla en forma tensorial .
CAMPO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
\
CAPITULO XXIV. FORMULACION
COVARIANT E
DE
LAS
ECUACIONES
DE
347
MAXWELL .
TRANSFORMACION DE LOS CAMPOS.
1 .- Cuadrivector densidad de corriénte.
• 1
En el capítulo anterior hemos comentado que las leyes de la naturaleza deben tener la misma forma en todos los sistemas de coordenadas inerciales, es decir que sus ecuaciones deben ser covariantes bajo la transformación de Lorentz. La condición necesaria y suficiente para que una ecuación sea covariante, es que pueda expresarse en forma ten sorial, ya que las relaciones tensoriales tienen la misma f orma en todos los sistemas de coordenadas. También se ha indicado que las ecuaciones del electromagnetismo habían sido formuladas correctamente, desde el principio, de acuerdo con la teoría de la relatividad . Vamos a mJstrar ahora de forma explícita esta covarianza , lo que matemáticamente significa reescribir las ecuaciones fundamentales en forma cuadridimensional . Esto lleva consigo dos ventajas: La primera, puramente formal, es que en contraste con el formalismo tridimensional presenta una formulación más simplificada y simétrica . La segunda , y esta es de particular importancia, es que aparecen nuevas y fundame11tales conexiones e ntre las distintas magnitudes de la teoría de Maxwell . Además , existen fenóme nos que solo pueden ser explicados bajo la luz de la teoría de la relatividad . Así pues el estudio desde el punto de vista de la relatividad es fundamental para un entendimiento más profundo de los procesos electromagnéticos . Tomaremos como postulado básico la hipótesis de conservación de la carga ya que como sabemos la carga eléctrica es una magnitud funda mental que caracteriza las propiedades de una partícul a y su constancia se observa rigurosamente en todos l os procesos físicos conocidos . Entonces la ley de conservación de la carga ( 24 .1
)
debe ser valida en todos los sistemas inerciales de coordenadas . Para dar a la ley de conservación de la carga ..., una f orma relativisticamente invariable definimos el cuadrivector J, denominado densidad de corrie nte, por
..., J Entonces , la ecuación ( 24 .1 ) toma l a f orma c ovari ante
(24 . 2)
348
K . GOMEZM/\Kll
,. 0J1 ÜX 1
donde x.., son =jet .
.¡.
~~J,_,,
( 24 . 3)
<>Y..¿
las coo rdenadd s del espacio cuadridimensional, con x 4
~
De la definici6n del cuadrivector J se sigue que al pasar de un
s
sistema inercial de referencia
a otro S', como muestra la figurct
24 . 1 sus componentes se transforman según
donde
las
ª«~
componentes
están definidas
•• por
la matriz de Lorentz·
(23.35). Vamos a ver que efectivamente aplicando esta transformaci6n .,, a J obtenemos la ley de conservaci6n de la carga .
s
S' y
y'
x,x
h9-· Consideremos una distribuci ón de carga de densidad en el sis t ema de coordenadas designado por S '.
¡.
21¡. , 1
en reposo
En este sistema, l as
componentes del vector cuadridimensional de corriente "" J ' , son :
' J l . : J~:
'
J3
las del cuadrivector
:
(24 . 4)
o
}
J vendrán
determinadas por la transformación
J1
r
J~
o
{.
J.3 Jt¡
o
o
o
o
r
j~ r
o
o
- j~ r
Ji.'
o
o
.J,z,'
o
J 3' J~'
j
349
CAMPO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC ION
.\
de donde se sigue que l a dens i dad de carga en movimiento ¡.,res mayor
fo en un factor r . Por tanto , la
que la densidad de carga en reposo
carga dq contenida en un volumen dado es invariante debido a que la ley de transformación de un volumen dv que se mueve con velocidad v 0 es
dV .)
(24 . 5)
por lo que
(24 . 6) Consideremos ahora un conductor en movimiento portando una corriente . En su sis t ema propio S ', existirá una corriente de conducción pero no carga volúmica :
1 1.':
·J .. 1
J.,,'
J'
;l. o
J'.3
)
J'2
1- o
(24 . 7)
J
-P o
J 4'
.J
= j Cf ::. o
en el sistema S , en e l cual el conductor está moviéndose, tenemos
Jx
r
o
o
-j~r
J,.:'
J~
o
i
o
o
JJ'
J .,
o
o
o
J:c'
jC_f
j ~r
o
r
o
o
es decir )
(24 . 8) )
Este resultado indica que todo conductor que porta una corrie n te y que aparece descargado para un observador situado en el mismo (f' =O) .•
no permanece eléctricamente neutro cuando es observado desde otro sistema inercial . Este efecto puede ser entendido teniendo en cuenta la definición de simultaneidad de Einstein . Consideremos por ejemplo una regla metálica eléctricamente neutra en el s i stema de referencia S por la que
""t
1
..
1..
e
r.t.. lJ.\I
350
R. GOMEZ MARTIN
circule en
la dirección de su longitud una corriente eléctrica.
Sn
esta se encuen tran en reposo iones positivos y electrones desplazándo se en sentido opuesto a la corriente. Dibujando las lí neas de uni verso de ambos e n e l plano x 0 -ct 0 , d el diagrama de Minkosky, se obtienen, figura 24 . 2 , para l os iones las rectas punteadas paralelas al eje de tiempo y para los electrones las rectas de trazo cont inuo inclinadas
(suponemos
que
los
electrones
se desplazan con velocidad media
V=Cte . ) .
c.t0
x.
F.i_~.
Como consecuencia de
su neutralidad eléctrica ,
la
21+ . 2
densidad
de
carga de la regla medida contando las cargas positivas y negativas simultáneament e , es decir, sobre x , debe ser nu la puesto que la regla 0 corta el mismo número de líneas universo de las dos clases . Considerando ahora un sistema de coorden adas móvil S' de ejes Ox ' y Oct ' , ( fig. 24 . 3) , vemos que , en una sec ción dada del eje x ' no e xiste igual número de electrones e iones. En el caso de la figura aparecen
5
i o ne s
por cada 4 electrones , por tanto existe una cr.trga
neta positiva en S'. Habíamos visto que la carga total de un dominio determinado es invariante frente a las transformac iones de Lorentz . Naturalmente esto sigu8 siendo válido para una corriente cerrada , si se tiene en cuenta la carga total del sistema ; si n embargo, esto no es vá lido para una parte de hilo por el que circula una corriente, puesto que la simul t aneidad diferente en sistemas en movimiento conduce a des~gual resulLado al definir las cargas contenidas en una parte del hilo simultáneamente .
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
351
c.t 0 c.t ·
i
X
o F.i..[)-. 24 . J
2 . - Formulación covariante de las ecuaciones de ondas para los potenciales . Es fácil comprobar que el contra ste de Lorentz (2 4 . 9)
puede fo r mularse en forma covariante por la expresión (24 .1 O) -'>
con A definido por
(A , _j_lT ) e
\
( 24. 11 )
cuya naturaleza de cuadrivector es evidente recordando del capí tul o ~ ~ anterior que el operador V es un c uadrivector . A se denomina cuadri vector potencial . Teni endo en cuenta la definición de cuadripotencial y cuadricorriente , las ecuaciones de onda para los potenciales
v• A -
r.:rv
l
e•
o" A
ot." "
o~v
C"'-
oP
-
~o J
" - f l eo
(24 . 12)
352
R. GOMEZ MARTIN
pueden escribirse:
DA de donde se implíca que
( 24 . 1 3)
~oes
un invariante y por tanto
E-o también lo
es, por serlo a su vez c . 3 . - Formulación covariante de las ecuaciones de maxwell . Para formular las ecuaciones de Maxwell en forma covariante, deberemos escribirlas en forma tensorial. Es fácil comprobar que las dos ecuaciones de Maxwell
\J.1) :
(24 .14 )
f
pueden escribirse como =>
V· dado que
si
tFf
( 24. 1 5)
la divergencia cuad ridimensional de una magnitud es un
vector cuadridimensional, entonces esta magnitud es un tensor de segundo orden, de la ecuación (24 . 1 5) se deduce que F es un tensor de componentes
F
=
-je "Dx
o
~e
-1-\i!
o
H"
- jcl)~
\.-1..'.J
-Hx
o
-je Di!
jC~
je.Di!
o
Je D...
- ~j
( 24. 16)
El otro par de ecuaciones de Maxwell
- a -e, la-t. ( 24 . 17)
v--8 = º
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
353
pueden ser escritas definiendo el nuevo tensor
r H
\
o
'B,,
e
-CBz
o
e Bj
-c\3,..
j E"'
l~
l
- cB:J
- j E"
c. Bx
-J IJ
o
-j Ez
} Ei
o
~.\-l'4L
:O
( 24 . 18) F
-
~
como
o
t-\f'=¡}
o+-!,,A. oxt-'-
.¡.
OXx
-1-
ox"
(24 . 19)
donde ~, i:> y A. toman l os valores 1, 2 , 3, 4 y p.#v# ,\., ya que en otro caso se obtienen simples identidades . Por ejemplo si ~=~. entonces 01-ir- P- + cH.\td· + 01-1 l.t'- ~ 0 X>.. C>i<.t''O X~
0
(24 . 20)
que no es una ecuación sino una identidad, pues
considerando las combinaciones de índices
( t-'- ' ,; ' A. )
= ( -2-, 3. 4
) ,
c. 3. 4'
i) ,
c. .L¡. l.-2-) , u. -G. 3)
en (24 . 19) se obtienen las ecuaciones (24 . 14) . En cuanto a las ecuaciones ( 24_, 21 )
)
es fácil verificar que se pue~en escrib:r en la forma 1
C e
( H\'-i>
u.~º>
+
¡-
r p.. Y
u. {O) >1 =
e:
"-o
\ )
\ 1 U..~ T1 p.» ~
(24 . 22)
+-1 ~Á u.~ ._.\-\,_!-'-u.~) ) = [lo l Ft-'-" u.~i .. r,,.1_ u~ i¡:- Át'- u.~>) ( 24 . 22 , )
(Q\
donde ull · es una componente de la velocidad cuadridimensional sistema de referencia en reposo ="'lo}
u.
del
·
= lo,o.o. Je)
(24 . 23)
354
R. GOMEZ MARTIN
dado que las ecuaciones ( 24. 22) están escritas tensorialmen te son aplicables también a sistemas de referencia en movimiento. Si es la velocidad de un sistema, la velocidad cuadridimensional toma la forma
v
(24 . 24) y las ecuaciones ( 24 . 22) para un sistema de referencia que se. mueve con velocidad v, serán
(24.25)
si estas ecuaciones son desarrolladas para las componentes y puestas en forma vectorial, obtenemos
-
j) .. ..L \Y ".\-\ c ...
i - c:r. !_
- E-
IY"
Eo l
'E+ G-"B) (24 . 26)
¡-i-o ( \-1 - \j-Ai>)
que cuando v=O, se convierten en las ecuaciones (24.21) para un sistema de referencia en reposo . Posteriormente completaremos el significado de estas ecuaciones. F y H reciben el nombre de tensores electromagnéticos de Maxwell, y se transforman al pasar de un sistema de referencia a otro según
F~,, = o..ro1. a.,,ir
to115"
(24.27) .\-\ ~" =
Cl \-'"d
o_,,~ ~ol1f
donde los coeficientes de estas expresiones vienen dados por la matriz de Lorentz . Desarrollando (24.27), se obtienen las relaciones
I>~' = l D::i - ~ 1-1.,) r
1-l~'
r
+l;i'
~·
=
(
1>2
+ Q. 1-1~ )
c. .
J
=
(24.28)
e\-{~+ tJ n'l) r
= Cl-lr.-0:Dj)r
lt:.J-\)~i.)r
Bj' = ( B.:i +
l E2 + \]~) r
Bz' =
~ E"") r
( fü - \)" t:'.l)
e•
r
(24.29)
_,.
.
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC ION Y RA DIACION
355
las ecua ciones de la transformación inv e rsa se obtienen intercambiando los términos de S' y S y cambiando el signo de v . Es conveniente escribir (24.28) y ( 24.29) en forma vector ial
J)•
)
_,
( l i) +
rt_
D,,
D.1.
'H'li "'
~11
~·.e= L lH-\.T"i) )rl j_
E'1,
E11
t~
B,1
~·l.
l\
1
~ 11
~
= :
L lE
!.... Ü- A\--\ ) e•
+
[(b
donde en estas expresiones , los subíndices
(24 . 3 0)
lr"B )rl j_ ~G-"E)r] c2 ll
( 24 . 31 ) .L
y .L denotan que las com-
ponentes son tomadas, respectivamente, paralela y perpendicular al movimiento relativo del sistema de coordenadas . De aquí se deduce que l as ecuaciones (24.26) representan las igualdades
; escritas en el sistema de coordenadas S' . Las ecuaciones (24.28) y (24.29) permjten encontrar los vectores de campo en un sistema de coordenadas que se mueve, si los conocemos en un sistema en reposo y viceversa. Para velocidades bajas del sistema de coordenadas , cuando podemos
'f' 2 ,
ignorar t érminos del orden de
por ser mucho menores que uno,
las
ecuaciones (24 . 28) y (24 . 29) toman una forma mucho más simp l e :
(24 . 32)
En cuanto a las ecuaciones que ligan a los campos con los poten ciales
/
toman la forma covariante ( 24 . 33) Invariantes del campo . De (24 . 18), teniendo e n cuenta que es
un
tensor antisimétrico ,
356
R. GOM EZ MARTIN
los invariantes escalares cuadrático , cúbico y bicuadrático son
-
-
T-<-=
'B·[
r3
q.'B-15-E
(24 . 34)
y podemos concluir sobre el comportamiento de los vectores de campo bajo una trans f ormación de un sistema de coordenadas a otro lo siguiente : a) Si en un si stema de coordenadas dado, c 2B2 :> E2 y B.1..E, podemos coger un sistema de coordenadas en el que el campo eléctrico es cero y el campo magnético no lo es ; esto no se puede hacer si B no es perpendicular a E. b) Si en un sis tema de coordenadas dado, c 2 B2<: E2 y -B.J. -E, entonces podemos coger un sistema de coordenadas tal que el campo magnético es cero y el campo eléctrico no lo es; esto no se puede hacer si B no es perpendicular a E. c) Si e n un sistema de coordenadas dado , ex iste solamente campo eléctrico o solamente campo magnético , una transformación del sistema de coordenadas tendrá , generalmente, ambos campos, eléctrico y magnéti co y estos serán perpendiculares . d) Una onda plana para la que cB=E y B.l.E seguirá siendo una onda plana en todos los sistemas de refe rencia . Todo lo anterior se refiere al comportamiento de los vectores de campo en cualquier punto de un espacio cuadridimensional . En definiti va , decir campo puramen te eléctrico o magnético tiene carácter relativo . Por esto , más que hablar de campos e l éctri cos y magnét i cos hay que hablar con mayor propiedad de campo electromagnético . 4 .- Formulación covariante de la densidad de fuerza de Lorentz . Fuerza de Minkowski . La ecuación de densidad de fuerza de Lorentz (24 . 35) puede escribi rs e , teniendo e n cuenta el te nsor cuadridimensional anti simétrico de segundo orden del campo electromagnético , H, y el cuadri vector j , de forma :
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC! ON
'
t'j
= e
fi! •
+ +1" 3 J3 + \-.\.¿ ... J'i)
( l-l2, J 1 + -
i (
1-131 :11.+ 1-13.¿
J¿, + -
+
357
(24 .36)
-1-1, 'I Ji.¡)
La estructura simétrica de las ecuaciones (24 . 36) sugiere la i n=> traducción de un vector cuadridimensional densidad de fuerza f de componentes
fl-'-
(24 .37)
=
El carácter tensorial de la ecuación (24 . 37) se sigue inmediat amente de su propia expresión, dado que c, es el invariante velocidad de la luz en el vacío, y las magnitudes H~~ y J" tienen carácter tensorial. Por tanto , el cuadri vector densidad de fuerza es covariante bajo la transformación de Lorentz . La cuarta componente (24 . 38) teniendo en cuenta (24 . 35), (24 . 36) y (24 . 37) puede escribirse de la forma
.I- -
\J ·f
.l_ e
Este es un término disipativo y representa , aparte del factor j/c, el trabajo realizado por unidad de tiempo y unidad de volumen por la densidad de fuerza f . Naturalmente, en el sistema en reposo de la carga, f 4=0; como es lógico ya que sobre ella no se realiza trabajo . - Vector de fuerza cuadridimensional de Minkowski . Para calcular la fuerza total que actúa sobre una carga encerrada en un volumen dado , debemos integrar la densidad de fuerza:
-
• 1
(24.39) Sin embargo, las cantidades F" no forman un vector cuc1.dridim·. .sional ya que el elemento espacial de volumen no es invariante. Para obtener el vector de fuerza cuadridimensional que actúa sobre un electrón, notemos que el elemento de volumen cuadridimensional dx 1 dx 2dx dx es invariantP ~djo la transformación de Lorentz . Para 3 4 probar esto, ~scribamos la expresión ?ara la transformación de elementos je v~lumen con cambios de varidoles ~
-,.) ( " ' _·-
l •
1
)( ' l
~
) ' ""
l., (. 1\", X,. 'l.; , Y~;
(24.40)
358
R. GOMEZ MARTIN
donde D(x1, x2 , x3, x4)/D(x 1 , x 2 , x , x ) es el jacobiano de la trans3 4 formación y x' y x están ligadas por la transformación de Lorentz. Se puede verificar por cálculo directo que este determinante es igual a uno . Por tanto, (24.40) toma la forma I NIJ.
( 24 . 41)
que prueba la invarianza del volumen cuadridimensional . Si consideramos ahora und particula, por ejemplo un electrón en un elemento de volumen dV=~ 1 dX 2 dx , usando el vector cuadrid1mens103 nal de dens i dad de fuerza f y la invarianza del volumen cuadridimens i o nal, podemos construir un vector cuadridimensional de moment0 (24.42)
dividiendo ambos lados de esta ecuación por el elemento invciricinte de ti em po propio del electrón d~ e integrando con respecto a las coordenadas espaciales , obtenemos el vector de fuerza cuadridimensional que act úa sobre un electrón (24.43)
ya que d"t" = d.t /V i-~'" . La fuerza cuadridimensional K.11 se denomina fuerza de Minkowski . Para un electrón , la integración con respecto al volumen en (2 4 . 43) se reduce a una aplicación de la fórmula (24 . 44)
por t anto , l as tres primeras componentes de la fuerza de Minkowski son iguales a las tres componentes de la fuerza de Lorentz mul tiplicadas por mientras la cuarta componente, basándonos en (24 . 38) es
r.
(24 . 45)
por l o que , las cuatro componentes de la fuerza de Minkowski se pueden escribir
(Fr1 .i-r e ('3. fl) e ...
donde F , es la fuerza de Lorentz
(24 . 46)
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
359
(24 . 47)
5. - Tensor energía-momento del campo electromagnético . Vamos a darle al cuadrivector de fuerza la forma de divergencia de un tensor cuadridimensional de segundo orden )
f ¡-t
T:
=">
f = ~-T
= 0Tv¡.t-
OXv ./
(24 . 48)
para ello tenemos en cuenta que el vector cuadridi mensional densidad de corriente Jv puede escrib i rse en función del tensor electromagnéti co Fc1_~ como Jo.= oFd..,,fax. Sustituyendo esta expresión en (2 4 . 37), obte-.nemos ( 24.49) dado que H !-'» y F \A".i.> son tensores anti simétricos entonces (24 . 50) intercambiando en el segundo sumando los índices "' y obtiene
~
por
~ y el ,
se
Por otra parte d e la propiedad del tensor de Maxwell H
cH-l t<:i.J
o x)..
-ci.w v>-
+
a x\"-
+
0-\-lA.\:l:
'O xl"
"-o
se tiene l 0
que, sustituida finálm ente en la expresión de
f\-',;
= l. ~e 'Oxl
l 1-1 p-al l="o1. )
+ i:_ !.JC
f~,
3> -
fo10
conduce a
1--1., o
( 24 . 51 )
oX\"'-"
Definiendo T p.v como (24 . 52)
360
R. (,0\11 / \ 1 \R 11'
entonces la expresión para la densidad de fuerza se puede escribir
f
- C>T,,\"-
f.I. - CJX.v es decir, como la divergencia cuadridi mensional de un tensor TI")/• que
es denominado tensor de energía-momento del campo electromagnético . Es ev idente de (24 . 52) que este tensor es simétrico. La expresión para las componentes de este tensor en términos de la intensidad del ~ampo electromagn ético puede ser obtenida sustituyendo las expresiones para F r-l) y
H~ll de (24 .1 5) y (24 . 18) en (24 . 52) . La e xpresión del término constante de (24 . 52) es
(24.53) los restantes términos de las distintas componentes del tensor (2 4.52) se calculan de forma similar utilizando las compon entes de los tensores electromagnéticos H y F, obteniéndose
~.
=
n,.E._+-HxB.,, - ..!:_ .¿,
tiS ·E+t\·B)
T~J ~ T~ X = 1>" t:j + h .. ~
T~'j = J>~ Ej
+
t{J B'j -
~ Ci>·E +
\:\·B)
(24 . 54)
Tj't=Tr.~ = "DJE;!. + .\-\~í)~
Tn = De E.% + -He13,, - i.. ( i) ·~ 0
Tzx. =\""lo
=
+
~ ·B )
E,,1:l"' + Er i-{"
en las que se ve claramente la si metría del tensor Tt"ll . Teniendo en cuenta las expresion es anteriores (24 . 64) y la de la - . -E + -H. -B)/2 y de momento ~ -2 asociadas densidad de energía vr=(D g=(E~H)/c al campo e l ectromagnético, así como la e xpresión del v ector de Poyn-
t ing $> =E • H, podemos escribir el tensor energía momento de l a forma
'"V
T
--
T xx
T .. ~
T
Tj '><'
T~~
TJr.
T2x
Tr.:¡
Tii!'l
- J $¡¡>
-j 11
e
este tensor, columna,
a
z :1-
><'t
-~ e
-Je cax - j'-~ ~ -
~C~z
( 24 . 55)
-v.r
pesar de la notación utilizada para la cuarta fila y
es evidenteme n te simétrico . Vamos ahora a interpretarlo y a
ver el significado físico de la ecuación (24.48). Para e llo , integre-
• 1
CAMPO ELECTROM AGN ETICO. PROPAGACION Y RA D IACION
\
36 1
mos la cuarta componente del cuadrivector densidad de fuerza f sobre el volumen tridimensional dV=dx 1 dx dx . Tenemos entonces 2 3
í f~ J.
.:
dV º
~ ( üT~~
}
•
utilizando la expresión
º~"" º'.1
(24 . 38) y
.,.
)dV
c\51i
+~ Íw dv'
é)z
JC lv
las componentes Ti
4
(24.56)
de (24 . 55) se
puede escribir (24.56) en la forma
v-ifadv-cl_Jv..rdV=
J · EdV-=--} V
d.t
.
V
J
;t t-wd\/
por lo que
í JV
dw dv
=-
d.t.
J ~ . ds _ J 3.'E d v S
V
(24 . 57)
donde la integral de volumen se ha transformado en integral de superficie por medio del teorema de Gauss . La ecuación (24 . 57) es idéntica a la obtenida en el capítulo anterior y expresa la ley de conservación de la energía del campo electromagnético, indicando que la energía electromagnética en un volumen V cambia debido a dos factores : disipación por efec to de Joule y flujo de energía a través de la superficie S que encierra el volume n V. La ecuación
(24 . 48) , con f=4, expresa la ley de conservación de
la energía del campo electromagnético . Esto es la j ustificación de que hayamos introducido en la Última fila de (24 . 55) las magnitudes 'Í'x ' :Py y z, que describen el flujo de e~ergía y no gx, gy y gz que describen el momento ; aunque, como -j/c~jcg, podemos reemplazar formalmente los tres términos en la Última columna de (24 . 55) por los tres términos de la Última fila. Consideremos ahora una de las tres primeras ecuaciones en (24 . 48) esto es, ff-'- !CIT~ \" /ClX.y, por ejemplo, la correspondiente a f=1 . Integrando como antes, sobre e l volumen tridimensional, obtenemos para esta componente (24 . 58) ya que f 1 =fx , es decir , la componente x de la densidad de fuerza, tenemos que el primer miembro de (24 . 58) es la componente x de la fuerza que actúa sobre una carga en un volumen determinado ; mientras que el Último término de (24 . 58)
-i
J·e
d._ ~
d.t
f-
\iadV
V
-~ J d.t
v
CO" d v
362
R. GOMEZ MARTIN
da la componente x de la variación temporal o derivada temporal del momento del campo electromagnético en el volumen en consideración. Por otra parte, el primer término del segundo miembro de la igualdad (24 . 58) debe tener dimensiones de fuerza ya que el primer miembro de la igualdad es una fuerza,
c:n;,,
con lo que
debe ser una fuerza
{()X.,
por unidad de volumen . Análogamente ocurre con ~=2 y ~=3, de forma que podemos escribir en general
Lf
: J
dV
\J. TR d V -
L~
~
dt
V
dV
(24 . 59)
donde TR es el tensor tridimensional dado por ( 1 . 5)
Tli
~
--
Ti3
T12
T1l
\z¡
r lú
T~<.
T¿3 T33
]
(24 . 60)
De acuerdo con las leyes clásicas de la mecánica, la fuerz a Lf.dv produce un cambio en el momento de los cuerpos materiales. Denominando
GM
este momento er. el volumen bajo consideración
el. G'"'
+
d:t
4:.. d.t
J ~ dV ~ V
J '7· TR. dV V
o
tenemos
JTI?.. ds JTo. ..;,. ds = r t. ds o
S
S
( 24. 61)
js
donde hemos aplicado el teorema de la divergencia (que es válido también para tensores) y hemos llamado a la magnitud TR. n' que tiene dimensiones de fuerza por unidad de superficie. La expresión (24 . 61) es la ley de conservación del momento que establece que la fuerza electromagnética que actúa sobre un elemento de volumen puede expresarse en función de los valores del campo en la superficie de dicho volumen y se e mpl ea en cambiar el momento mecánico de las cargas y el momento del campo electromagnético . es el denominado tensor de
TR
esfuerzos electromagnético y es , por supuesto, el mismo tensor electromagnético de Maxwell que ya vimos en los primeros capítulos . De la naturaleza simétrica del tensor energía-momento se sigue la relación
fundamental
entre la densidad de flujo de energía y
g=iP!c
la
2
densidad de momento electromagnético . En definitiva y d e una forma natural hemos llegado nuevamente, de la interpretación física de la cuarta ecuación de fp- , oTJ)I" /ox,, , a los resul lados, ya conocidos, de que las componentes :Px,:Jy y j>z son l as de densidad de flujo de e nergía y de las tres restantes, que gx, gy y g 2 son las componen-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. P ROPAGACJON Y RADIACION
363
tes de la densidad de momento electromagnético . Con lo que , en consecuencia, el campo electromagnético no solo porta energía sino también momento. §.-Tensor de polarizaciones. dieléctrica e imanación. Vamos eléctrica,
a
P,
tratar ahora e imanación,
la relatividad .
Transformaciones
de
M,
de
la
polarizació~
analizar las magnitudes polarización desde el punto de vista de la teoría de
Para este propósito definimos el tensor de polariza-
ciones M "t'- po_r medio de la ecuación
.\-1 \"-)}
C. E.o
~
(24.62)
M\-'-v + "Fp-)l
siendo sus componentes
M
=
o
M._
- M~
~e -Px
- Mi!-
o
Mx
je "R_i
- M~
- M~
o
~c.?~
-jcf~
-jc!J
-¡e-Pe
o
(24 . 63)
Es inmediato observar a partir de (24 . 63) que (24 . 62) es idéntico a las ecuaciones
B= tQ(H+M)
y
D=~ E+P
de la teoría de Maxwe ll sin más
que hacer el correspondiente desarrollo de (24 . 62) . De la estructura cuadridimensional es fácil deducir las fórmulas de transformac i ón para la magnetización y la polarización . Si designa mos estas magnitudes medidas por un observador en desplazamiento con la materia por P' y M' , otro observador para el cual la mater ia se mueve con velocidad v en la dirección del eje x, encontrará para la polarización e imanación los valores :
-P'.I
=
Pi =
r (P:¡' r ( "Pz.'
- {- Mr') +
-t¿-
M~')
M'j ~
M"-=- M; r ( M~' +- l! 'P,_'
M-:t:
r ( M._' - u- -P~' )
=
(2 4 . 64)
(24 . 65)
364
R. GOMEZ MARTI N
deducidas de la fórmula de transformaciones de tensores
Ml"'>l =
o.r
O..n
M.'..~
donde los coeficientes de estas fórmulas vienen dados por la matriz . de transformación de Lorentz . Llamando P 11 y Pi. a las componentes de paralelas y perpendiculares a V y lo mismo para M, estas ecuaciones pueden escribirse de la forma
P
)
-pi : r(1' ' +
;,..¡;·)
(24.66a)
l.
e~
(24 . 66b) Vamos a interpretar estas transformac iones mediante modelos clásicos simplificados . Comenzaremos con las ecuaciones (24 . 66a) . Supondremos un materi al polarizado en reposo en S' con n' dipolos/m 3 que su p ondremos
f ormados
por dos cargas
q
iguales
y
de distinto signo
separ adas una distancia la de forma que p ' , el momento dipolar de cada dipolo , en s• es p'=qla . Si los dipolos eléctricos son paralelos a v , debido a la contracción de longitud, la distancia entre las dos cargas en cada dipolo atómico se reduce de la a la/r en S , de forma que teniendo e n cuenta la invarianza de la carga , el momento dipolar de cada átomo se reduce a p=qla/ r =p'/r en S . Si el volumen del dieléctrico es Va cuando está en reposo en S' , entonces cuando está en movimiento re la tivo a s su v olumen es Va/r tal que en S el número de dipolos/m 3
P' sea paralelo a
se trans f orma de n' a n •r. Como P=np , cuando nemos P=n'p' de donde Pi,=Px=P ' x=P,;
v obte-
Si los dipolos atómicos sun per-
pendiculares a la dirección de la velocidad relativa entre S y S ', la separación entre las carg as no varía y p=p '. El número de dipolos/m 3 es entonces mayor en S que en S ', de esta forma los dipolos elécLricos dan lugar a una polarización rp~· en S . Para e xpl icar el significado del miembro de
(24 . 66a)
segundo
sumando del
segundo
consideremos una espira rectangular en reposo en
S ' con una densidad de corriente
J
como se muestra en la figura 24.4a . '
~
El cuadrivector densidad de corriente tendra las componentes J ' -(J ,J, 0 , 0) y por tanto
J
\ r J , J , o , ~:,~ ) e
(24 . 67)
lo que traduce que cuando la espira se desplaza con velocidad v, desde el punto de vista de S, en el eje x aparecen cargas de valor±. ~ y C" P or tanto un momento dipolar eléctrico "P= Q-,.,ñi e~ ' (fig. 24 . 4b), donde m=abJ es el momento magnético de la espira. Trasladando este resulLado
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAG ACI ON Y RADIACION
365
\
y a -
'
s
X
(o)
a cada espira elemental atómica de corriente de momento magnético
m'
y
teniendo en cuenta que n=n ' r la polarización en S es
~· r sumando este término a
u-,..m.· _ r
ahora a
M'
?•r obtenemos .l. -p.L =
Pasemos
ü- .. n•ñi' = r ¡;. . .
r ( "?'
+
¡;." M' c..
J
.l
la interpretación de las expresiones
( 24 . 66b) .
De acuerdo con el término -vr "P', existe una contribución a la mag n e tización en S debido al movimiento con respecto a S de un material polarizado . La corriente que origina esta magnetización se denomina corri ente. de convección dieléctrico o de Róntgen . Podemos hacer u na r e presentación esquemática que nos ayude a v i sualizar el modelo . Como sabemos, un material polarizado uniformemente (V . P=O) , figura 24 . 5a ,
-
-
puede reem p~azarse por distribuciones superf i cial es de carga P ' . 'n ' = P ' n 2 Coulomb/m , figura 24 . 5b . El dieléctrico desplazándose puede considerarse como equivalente a una serie de espiras de corriente como indica la figura 24 . 5c . Tal conjunto de espiras de corriente dará lugar a un campo magné t ico perpendicular al dibujo en el sentido hacia adentro del papel . El otro análogo al
término de
que
hicimo s
(24 . 66b) para
proviene,
( 24 . 66a)
mediante un razonamiento
de las diferentes medidas del
valor de los momentos atómicos magnéticos en S y S ' y las diferentes
366
R. GOMEZ MARTIN
G)
~G)G)
G)
+++++++
0v0 G 8 8
00000 (a )
le l
(b)
F.i...g.. 24.5
medidas del número de dipolos magnéticos atómicos por unidad de volumen
en
ambos
sistemas.
Finalmente ,
es
interesante
subrayar
que
la
ecuación (24 . 66a) da la base del fenómeno denominado inducción unipolar , consistente en la inducción de una corriente en un hilo conductor estacionario que hace contacto deslizante cerca del polo y del ecuador de un imán permanente cilíndrico giratorio . El campo eléctrico necesario para la existencia de dicha corriente, proviene del término relativista M')/c 2 . Así pues, la inducción unipolar es un fenómeno
(v . .
fundamentalmente relativista .
CA MPO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGACION Y RADIACION
,.'
367
CAPITULO XXV . ONDAS PLANAS . EFECTO DOPPLER . - Carácter invariante de una onda plana . Efecto Doppler . Corno hemo s visto en el capítulo anterior, entre las magnitudes invariantes del campo electromagnético en la transición de un sistema de coordenadas a otro , se encuentran:
.,
2
I t º e• B
-
E" ( 25 . 1 )
Es fác i l de ver que estos dos invariantes nos aseguran que e l carácter de onda plana determinado por las relaciones ;
(25 . 2)
'B .LE
permanece invariante bajo una transformación de Lorentz , ya que para tal onda , se sigue de (25 . 1) y (25 . 2) que I 1 =I 2 =0 . Por otra parte , en el caso de una onda plana , los vectores E y H vienen defi nidos por las ampli t udes E0 y H0 y la fase por ~=(wt -k. r) donde r es la distancia desde el origen al punto campo . El que E y H sean nulos simultáneamente en un punto del espacio y en un determinado instante ; es decir, en un punto universo, tiene carácter absol uto y equivale a que lo anterior sea cierto para cua lquier sistema de coordenadas inercial. Esto significa que la fase de la onda tiene el mismo valor en todos los sistemas de coordenadas y que este valor es un múltiplo entero de ~12 . Este razonamiento muestra l a invarianza de la fase , 'f =wt-k :;, = invariante . Esto mismo puede comprobarse analíticamente sin más que sustit uir las expresiones de los vectores campo de una onda plana en la fórm ula de transformación de dichos vectores y teniendo en cuenta que estas fórmulas deben ser ciertas en cualquier instante . ~ Introduzcamos ahora formálrnente el cuadrivector de onda k:
l ~ , ~ ~ ) " ( 1(,., K~ , \,(i!
,
Jz )
( 25 . 3)
Es posible escribir la fase de una onda plana corno el producto escalar de dos cuadrivectores: ( 25 .4)
donde x es el cuadri vector de las coordenadas de un punto universo x=(x 1 ,x 2 , x , jct) , corno se puede comprobar directamente . 3
.-
368
R. GOMEZ MART IN
..
Por ser la fase un invariante, la magnitud k es un cuadrivector . Llamando ~ al vector unitario en la d~rección de propagación de una onda plana tenemos que ( 25. 5) y podemos escribir el cuadrivector de onda de la forma úJ
( 25 . 6)
e
siendo nx , ny y nz los cosenos directores del vector de onda k . Supongamos ahora un manantial luminoso móvil propagándose con una velocidad v con respecto a un sistema inercial S y sea S' su sistema propio , ( fig . 2 5 . 1 ) .
s·
s
X X
F.i.g.. 25 . 1 Si aplicamos la transformación de Lorentz al cuadrivector de onda , obtenemos (25 . 7)
De esta expresión , la transformación de la frecuencia y dirección de propagación al pasar de un sistema de referencia a otro, viene dada por : ;
;
w Yl~ = W ' n.'.:l t
w ~ w ' l
1. ~~ 11..'
) í'
(25 . 8)
CAMPO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGACION Y RADIACION
369
Por tanto, si suponemos que la fuente luminosa se mueve con velocidad v , la frecuencia que percibe el observador en reposo es w
:
r
w' ( l. + ~ Y\. x' )
(25 . 9)
relación en ú.l que explica el cambio de color en la luz emitida por un manantial luminoso móv il para un observador en reposo . Este cambio en la frecuencia
debido
al movimiento de la fuente se denomina efecto
Doppler y no es más que el efecto de la dilatación del tiempo o no invarianza del intervalo temporal entre los distintos sistemas inerciales . Por otra parte , la fórmula de transformación de la frecuencia que lleva del sistema S al S ' es
= - -w'- -
( 25 . 1 O)
fórmula interesante desde el punto de vista práctico porq ue permite hallar la frecuencia f observada, en función de la fr ecuencia f ' de la luz emitida en el sistema propio S' por una fuente y el coseno nx, medido en el sistema de referencia s , entre la dirección de la luz y e l eje x. Si la dirección de propagación de la onda coincide con la del movimiento , es decir n ' x=nx=:1, correspondiendo e l valor - 1 al alejamiento de la fuente del observador y
el +1
al acercamiento , podemos
obtener entonces de (25 . 10) el efecto Doppler longi t udinal: W'
w (i.
que, para
~<< 1
¡\3)
r
(velocidades ' no relativistas) , res ulta
W'
ecuación que coincide
con
(
i ~
( 25 . 11 )
(3)
la expresión
clásica del efecto Doppler.
Cuando la emisión es transversal, es decir , nx=O , obtenemos el efecto Doppler transversal : <.u ,
~
i -
~~
:!o.
c...).
el. - ~-
r. ) ,.
(-3 <'. <
l.
( 25 . 1 2)
este efecto es más pequeño que el longi tudi na l debido al término ~ 2 y es puramente relativista como se observa por la presencia del término
r
asociado a la dilatación temporal. El estudio experimental del efecto Doppler t uvo gran importancia
t
r 11
370
R. GOMEZ MARTIN
po r que
l a variación de la frecuencia está directamente ligada con el
camb io de l intervalo temporal al pasar de un sistema de referencia a otro . Dic ho estudio permitió comprobar con un elevado grado de precisión la validez de la formulación relativista . ! ves, en 1938, estudió la variación de la frecuencia de radiación emitid a por átomos de hidrógeno moviéndose a velocidades tales que 0es del orden de 6 . 1 o- 3 y superpuso en una misma placa de espectro f recuencias correspondientes al átomo en reposo , w = ~ y las co0 r r espondientes al efecto Doppler longitudinal en la dirección del mov imiento y en la opuesta . A estas frecuencias les corresponden teóril as
w1 =w0 (1+r)r y w2 =~(1-~)r . Midió la posición de la frecuencia media de estas dos líneas desplazadas zw>=
c amente dos líneas con frecuencias
2 0 r con respecto a la frecuencia no desplazada Ll 0 , confirmanlos resultados de la influencia del término r en la expresión del
=(~ +w l/2=W
do
e f ecto Doppler y, por tanto, la de la dilatación temporal en relojes e n movimien to y los efectos longitudinal y transversal del efecto Do p p l er . Veamos ahora la transformación de la amplitud de las ondas plana s . Supongamos una onda
plan~
tal que el vector de onda k=w/c
definida por
ñ
y el vector campo eléctrico estén en
el p lano XY como muestra la figura 25.2 .
y
X
F.i_g, . 25.2
Suponiendo que la amplitud del campo eléctrico es a, se obtienen las siguientes expresiones para las intensidades de la onda plana :
CAMPO ELECTROMAGN ETICO. P ROPAGAC ION Y RA DIACIO
eJ 'f
0-. Yl.x
\-\
\
.e- "
b
j 'f
37 1
( 25 . 1 3 )
( é
1.('b
e. = -¡-to º- ) a.. e
j lf'
donde 'f es l a fase de la onda que , como hemos visto , es un invar i ante bajo l a tran sformación de Lorentz . De las fórmulas de transformaci ón de l os campos del capítulo anterior 1-l:c'= í' l H;¡ -u- Eo E:i) (25 . 1 4 )
Ex' ::. Ex ¡::: '
J
\'
l Ej -
1J
í1°º \..l i! )
Sustituye ndo en (25 . 13) se obtiene
( 25 . 1 5)
con lo que
( 25 . 16) O.' Ylx'
=
r Q. l "ll " - 0)
Dividiendo las dos Últimas ecuaciones de (25 . 16) por la primera , obt e nemos las siguientes expresiones para la transformación de las componentes de l vector unitario en la dirección de propagación
"Y\J ' ":; "11.,. 1
'Yl'! d
r t 1.. - wn") 'Yll< -
::.
(25 . 17)
\3
!- ('> "Ylx
e x presiones que concuerdan con las que se obtienen a partir de las transformaciones de frecuencia . Por otra parte , dividiendo la ecuación w' ":;
r
w
( 1.. - ~ Ylx)
por la primera de (25.16) , obtenemos
372
R. GOMEZ MARTIN
W'
a.:
( 25 . 1 8)
a.
es decir, la razón amplitud a frecuencia en una onda plana es un invariante y, por tanto, su valor es independiente del sistema inercial de referencia . 2.- Cuadrivector energía-momento de una onda plana . Como sabemos la energía asociada a una onda plana en un volumen det espacio V, que supondremos en el sistema de referencia S, viene dada por
~ J ( ~ ·D+B·H) d V : ~ E., t"'J V -;. ) é Y
V
0
a,"-' d
~
( 25 . 1 9)
V
Ahora bien, puesto que la onda se mueve a la velocidad de la luz , también se trasladará V a esa velocidad, nos interesa por tanto , saber como se transforma V al pasar de S a S '. volumen aux i liar v respecto de
S' .
Para ello se i n troduce un
que se mueva con velocidad Ü respecto de S y
u'
0 Según la contracción de Lorentz para el volumen se
tiene
u.•2
1
\J = Yo ( i. -
J
1/2.
(
\. 1 -
e•
Lt.2 \
)
l/J.
(25 . 20)
y dividi endo
l
\} 1
i -
/l.-.
~·_: e~
-::.
V
!. l-21
u.'
( 1.-
( 2 5 . 21 )
~- )
e• .
Puesto que en nuestro caso u ' =u=c, vamos a hallar la anterior relación medi a n te un paso al límite, para e llo tomamos u y u' en la dirección del eje x
(! f V
u.,.'"-'
i -
c."
-::.
i
-
( 25 . 22)
u. .." e"'
Te n ie ndo en cuenta la transformación de velocidades
u._'
u.,.. - 'J
( 2 5 . 23)
373
CAMPO EL ECTROM A GNETICO. PRO PAG A C ION Y RADIACION
sustituy endo en (25 . 22) y operando , se llega a
V'
1
V
r ( l-
(25 . 24) ~) e~
De ux=u . nx, con u te ndiendo a c , se obtiene
V'
V
=-
.,
(25 . 25)
t'U.-(3Yl,.) y de acuerdo con la primera ecuación de (25 . 16)
\j'
:o
\Ío.,
(25 . 26)
a..' Puesto que a/w=a ' /w ' =invariante , obtenemos 1
V' = V w
V w'= Vw
e.U'
(25 . 27)
de donde se deduce que Vw es otro invariante. De lo anterior y de (25.19) y (25 . 4), se deduce
'2J - ·-
J
w
V
(25 . 2 8 )
E.o --wdv:. Q, >. d w
w'
o bien
u
1
(25 . 29)
f' es decir , que las energías medidas por diferentes observadores de un tren de ondas se relacionan entre sí como las frecuencias para estos observadores . Este resultado es de especial interés en la
teoría cuántica de
la radiación , según la cual la luz en su interacción energética con la materia se comporta como si estuviese formada por cuantos discretos de energía hf, siendo h la constante de Planck . Si suponemos , por ejemplo,
un tren de ondas constituido por z cuantos , su energía será
tf=zhf . Ahora bien , la invarianza de la magnitud tf¡f exige que el pro ducto zh también lo sea. Pero como z es un número y, por tanto , un invariante, de (25 . 29) se obtiene que la constante de Planck, h , es un invariante frente a una transformación de Lorentz. Vamos a considerar el momento asociado a una onda plana. sabemos,
junto a
la energía,
Como
una onda plana en un volumen V lleva
asociado un momento igual a
G: C""
f V
E'-~dV
¿)
éo
[~ d \j: ~ ~
(25 . 30)
V
.' ¡
r.11
n
1 1 1
1 1
lllllll
11
11 1
374
donde
R. GOMEZ MARTIN
ñ e s el vector unitario en la dirección de propagación . Para
deducir esta expresión hemos tenido en cuenta que I/¿
EH
L E ( E.o \
-o
Pº J
ci
E = .i. fo l:_2 e
Utilizando el invariante 'b.f/w=W/w' podemos escribir
G=-nw U= "r1..wd cw
( 25 . 31)
)
siendo d , de acuerdo con '2J/w = invariante , una constante . Ah ora bien, como hemos visto , (w n ,w n , wn , jw) es un cuadrivec-
x
y
z
tor . Por tant o , de (25 .31 ) se obtiene (25 . 32) que cons tit uye un c uadrivector denominado cuadrivector energía-momento . Posteriormente, utilizaremos este cuadrivector para h alJar la energía radiada por una partí cul a cargada en movimiento arbitrario . Como u n ejempl o de interés basado en algunos razonamie n tos de los e xpuestos consideremos como varian las leyes de la reflexión para un espejo móvil. Sea un espejo plano perpendicular al eje x moviéndose en la di rección positiva de dicho e j e con una velocidad v . Supongamos que una onda plana, d e fre c uenc ia f 0 , incide sobre dicho espejo y que se propaga en e l pl ano XY f o rmando un ángulo 9 con el eje x . Teniendo en 0 c uenta las expresiones obtenidas para la transformación de frecuen cias es fá cil obtener expresiones análogas para la transformación desde un sistema de coordenadas en reposo a un sistema en movi miento S ', acuerdo con la teoría de la relatividad , si~ más que cambiar V por
'Yl~ 1
Yl~
=
1
_'Y\_.,,_-_~_
::
de
-V:
(25 . 33)
'Yl'..l
=--""-T' l .1.-rsn ~ )
r (1.-í!>tc)9o)
Finálmente , y a que el espejo está en reposo en S ', el ángulo de incidencia es igual a l flexión ; es decir
W-...ef=
w
de reflexión y la fre c uencia no cambia por re-
(25 . 34)
1 )
,!
J •
CA MPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
Utilizando las ecuaciones
375
(25 . 34) para pasar al sistema del o b-
servador en reposo con respecto al c ua l se mue ve el espejo con ve locidad v, es decir cambiando v por -v , obtenemos Wo
-
!. - 2 1 ~ 90 ~ r3 - --'--
2
--~-
1. -0'-
(0~9o-2f1-("'úil9 0
::-
l-
'
-z.
r
C-011'.lo
+\-'
(25 . 35)
2
_______, __ 'l.R..u. 90
(_ \ - ,':.')
En el caso no relativista , cuando~,,, , estas ec uacione s pueden
de~ 2 • como
escribirse con una precisión del orden !o
Wo
l
1- 2 ~ C:.Ol Elo ) \
En la figura 25 . 3 , se representa por lí n eas a trazos e l rayo reflejado por un espe jo y por líneas cont inua s , el reflejado desde un espejo en movimiento .
y
s
s· y·~
'
V
X, X'
F.i..r;.. 25. J
1 1
u
.-
377
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
CAPITULO XXVI . FORMULACION LAGRANGIANA Y HAMILTONIANA DE LAS ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO. - Introducción . En este capítulo vamos a estudiar la formulación lagrangiana y ham iltoniana de la electrodinámica . Los motivos que justifican este estudio es
que además
de permitir una f ormulació n axiomática de la
electrodinámica, sirve de paso a la electrodinámica cuántica . En efecto, solo se puede cuantizar un sistema cuando está descrito en términos mecánicos y, por tanto, para desarrollar una teoría cuántica del campo electromagnético, es necesario formularlo en esos términos. 2.- Lagrangiano y Hamiltoniano de una partícula cargada en el seno de un campo electromagnético . Ecuación de movimiento. En todos los desarrollos que siguen , cuando cons ideremos el campo total que actúa sobre una partícula cargada tendremos que incluir la contribución a dicho campo de la propia partícula y, mientras n o seamos capaces de incorporar expl ícitamente dicha contribución , la s ecuaciones que obtengamos no serán totalmente exactas . Sin e mb argo en primera aproxi mací'ón despreciaremos capítulo posterior
la autoacción de las cargas . En un
justificaremos esta aproximación ,
analizando
las
condicione s en que es válida. Consideremos primeramente velocidades no relativistas . La ecuación de movi miento para un electrón en un campo electromagnético es ( 26 . 1 )
Nues tro propósito es llegar a esta fórmula a partir de las ecuaciones de Lagrange, sin olvidar que se trata de un sistema no conservativo . Para ello definimos una energía potencial generalizada de la forma
<;/J=e(V-A.1J
(26 . 2)
de manera que l a Lagrangiana es _!_ -m. .¿,
u-.. - e
l V- A· Ü- )
y recordando que las ecuaciones del movimiento de Lagrange son
( 26 .3 )
el
(26.4)
clt proce d eremos a
,
.
ca 1 cu 1 ar ca d a uno d e 1 os terminos.
E
,
.
'Clq.,
se denomina momento generalizado, viene dado por "P 1,
C>L
= () ~' = lY1.
f
A
\JL t
y la fuerza generalizada, al!
-
e. M.c ) o~,
-
al
1 termino - . que
-;
( 26. 5)
~ m \J + e. "
, por (26.6)
Haciendo uso ahora de la relación vectorial --
\] ( X·'j) =
(X.\J)'j+ (.~·'iJ)X + X."- ('iJA~ )+ ~I\ l\Jl\X) -
_.,
.....
-..
--
A
e identificando en ella x con A e y con
v,
/\
-
obtenemos ( 26 . 7)
Teniendo en
cuenta
que
la derivada
total del potencial vector
A(r , t) con respecto al tiempo viene dada por
dA
aA + (.v · 'VJA
-ot
ct.:t y que
E
- VV-ºA 'O"\,
a partir de (26.7) llegamos a la ecuación ( 26 . 8) con lo que (26.4) queda en la forma
que es justamente la ecuación de Lorentz ( 26 .1 ) . El Hamiltoniano de nuestro sistema se puede escribir como
L -pe ~e - L = f·G- L ~
_I
(
f -e A"'/' + e V
(26 .9)
y también a partir de él podríamos haber obtenido la ecuación de movi-
CAM PO El.ECI ROMAG ' El IC:O. l'ROl'A(iACIO 'll Y RADIACIO'\
\
mienlo . Pard men te la libre (A partir de
379
e l caso de v~locidades reldlivi~La~ p0d~m0~ 0Ll~h<-:r f~~il Lagrangiana correcla observdnd0 qu e cuandr_, li.1 ¡,articula <-:s y V so n cero) , la ecuac:i<'->n dr~l mc.vimi<-:nt.r, pue;dc.: 0r,t<;nr=r::;<:: a la Lagrangiana
l = -
'fl'lo
<:"'
(<~6 . 10)
\' por tan to , para una partícula relá1.ivi::;1. .;i electromagnético la Lagrang iana será
y ,
L.,
r
- e
e~t
r::l si::no de un campo
( 26 . 11 )
obteniéndose para el momento generalizado y el Ham iltoniano re spect i vamente las expresiones ( 26 . 1 2 )
( 26 . 1 3)
Aunque los resultados obtenidos pueden usarse para reso l ver problemas puramente clás i cos , t ales como movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnétic os , su mayor utilidad aparece al aplicarlos a problemas cuánticos , tales como e l cálculo del efecto de un campo magnético exte rno sobre los niveles atómicos de energía (e fe~ to Zeeman) , o para calcular la absorc ión o radiación estimuladas de átomos baj o la influencia de un campo periódico ex terno . Para ello basta con sustituir en la expresión del Hamiltoniano las variables por sus operadores correspondientes . Las ecuaciones de Lagrange , y a partir de ellas las del mov i miento , pueden ponerse en forma covariante . Para ello reescribimos (26 . 11) haciendo uso de los cuadrivectores potencial y velocidad , que como sabemos son ( 26 . 14)
=> u_
(26 . 15 )
.•
con lo que la Lagrangiana queda ( 26 .16 )
380
R. GOMEZ MARTIN
De acuerdo con el Principio de Hamilton (o principio d e mínima acción), las ecuaciones de movimiento pueden obtenerse a partir de la ecuación variacional
' íj l,
Lclt::o
o
(26.17)
l, realizándose la variación manteniendo fijos los estados inicial y final , y siendo f\dt la denominada integral de acción. Puesto que l, lo que deseamos es encontrar el movimiento de una partícula en un determinado campo descrito por A, la variación que se indica por ó será una variación únicamente de las coordenadas de la partícula . Es decir, las variaciones J Xr- son independientes, pero las variaciones ó A.~ son funciones que dependen de óx~:
ó A.
)i
J x.t'-
= C> A.., o xp-
( 26 . 1 8 )
Pasando de t al tiempo propio L, la ecuación variacional queda
J l°t"z ( -"'l't'loC 2
1-
e.
~P.\"'- J d't:
( 26 . 19)
Q
t",
u..~ ~ ~ dt
y si hacemos uso de la relación
~
( - -nt.o
e~ d
+ e. t.,¡-<- d
1:
~\'- )
, obtenemos
(26 . 20)
-=-o
y realizando la variación:
I [-
mo e" d l d 't)
+
e d A; d X¡1 )i
e. A-\'- ó ed '¡(. f'<-) 1
+
A partir de la relación conocida de ::. =-
~
-
- 1
cz
~ d dt
Vdxr-dxl'-'
ot: d(J)(\'-) = 'O)(t'-
(Jx ) t'-
c1
Llµ.
.d
( 26 . 21)
o
calculamos
d'¡(t e
-=- -_l_
-=-
d tó'k p.) " (26.22)
°\Jd'f..vdXJJ
(JX i,,. )
i
'
Sustituyendo (26 . 18) y (26.22) en (26.21), resul ta
1[ (
iYlo U. I'"
+
Q.
A\ ) d ( o )( !'- )
+-
oQ.
C> Av "C> Xp-
J ~ \"" d Xy j
=O
(26 . 23)
El primer término de esta ecuación puede integrarse por partes , y teniendo en cuenta que la variación de las coordenadas ha de ser cero en los límites de la integral, (26 .23 ) se convier te en
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC !ON Y RAD!ACION
381
(26.24)
Sabemos
que
el
tensor
del
campo
electromagnético verifica la
relación
así que (26 . 24) queda finálmente (26 . 25) y usando las relaciones
d U14 llegamos a que (26.26)
el
Puesto que las variaciones dX~son indepe ndientes y arbitrarias, integrando de la anterior ecuación ha de ser idénticamente cero ,
por lo que ( 26 . 27) Así obtenemos las ecuaciones de movimiento en forma covaria n te . La parte espacial de esta ecuación ( ~=1,2 , 3) nos da (26 . 28) donde p=m
rv .
0
La cuarta componente nos lleva a que
d '15'
(26 . 29)
siendo'lú=m c 2 í' la energía total de la partícula . 0 Concluimos, por lo tanto, que la ecuación (26 . 27) nos da, no solo la ecuación de fuerza de Lorentz , sino también el cambio de energía de la partícula ,
que es
igual a la potencia cedida por el campo a
la
-382
R. GOMEZ MARTIN
partícula . 3 . - Formulación Lagrang iana de las ecuaciones del campo . En la seccion precedente supusimos la existencia ·de un campo electromagnético y calculamos el movimiento de una partícula cargada en él. La variación de la denominada integral de acción, Ld t , se realizó con respecto a las coordenadas de la partícula y así calculamo s las ecuaciones de movimiento . Si queremos obtener las ecuaciones del campo variando la integral de acción, suponemos que las trayectorias de las partículas son fijas, variando solamente los potenciales electromagnéticos. Ahora bien, teniendo en cuenta que tratamos con un sis t ema contínuo se hace necesario, para aplicar el principio de Hamilton y obtener las ecuaciones de movimiento , postular una densidad Lagrangiana, ;;f, :
J
L
~
J :[,
dV
(26 . 30)
V
La función ~debe describir las partículas cargadas, el campo electromagnético y la interacción entre las partículas y el campo . El término que describe a l as partículas en la Lagrangiana ha de ser el mi s mo que apareció en la sección anterior, con lo que resulta L
-
'"'1.o
r
e"
L.t'dv
( 26 . 31 )
Usamos de nuevo el principio variacional
JjLdt:O Como únicamente pueden variar las magnitudes correspondientes al campo , la variación del término m0 c 2/r es nula, resultando o
( 26 . 32)
La parte de .t'que describe la interacción entre las partículas y el campo debe ser proporcional a Jy Av. Ahora bien , es un hecho empírico que el campo electromagnético verifica el principio de superposición y, por lo tanto , las ecuaciones del campo han de se r lineales. Puesto que el operador de variación reduce en una unidad el exponente de cual quie r término sobre el que actúe , el término correspondiente al campo en .l'de be ser cuadrático , pues solo en este caso las ecuaciones de l campo serán lineales . Podemos por tanto , representar adecuadamente el término correspondiente al campo mediante el escalar H~v H~v· Aña-
CA MPO El.ECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIACIOJ\'
)
diendo las constantes apropiadas , la densidad de Lagrangiana
383
qued~
( 26 . 33 )
La variación de la integral de acción
ser~
(26 . 34)
Como hemos supuesto las trayectorias fijas, la ·;ariac:i0r1 dE: l;;, densidad de corriente es cero ; así la (26 . 34) queda
Sustituyendo resulta
~
la
J At" -
[ Jt'-
expresión de
l-\
r-v
en
función
del
potencial
A,
e éo 0
y operando
f t Jl'"J"A~-
j
e:º l-1¡JJ C>(oAJJ) +e¿:º
o'l..f
t-1~¡)olc5Ap.)]ó\ld-!::o
(26 . 36)
o'f..v
0
El segundo término del integrando se puede escribir como - cf 0
~
t.¡
~v
o\.ÓA.,¡)
º~~
cE 0
~ ~
\.-1
J)r-
cHÓA.,¡) o'l
0
Céo
.z.
\-11'-JJ o(Óf\t)
o'l
( 26 .
37
)
En la primera igualdad se hace uso de la antisimetría de H~v , la Última resulta del intercambio de los índices mudos ~y ú . Por tanto , (26 . 36) se convierte en (26 . 38)
Si integramos el segundo término por partes, puesto que en los instantes inicial y final J~=O , queda
f ( JI-'- - e c C> Hr-,¡ ) J Ap. d \/ d l
J
0
o)(»
º o
(26 . 39)
Como las variaciones J l\p. son independientes y arbitrarias, el integrando ha de ser cero . Así pues , el campo obedece a la ecuación (26.40)
384
R. GOMEZ MARTIN
Esta igua ldad corresponde a las dos ecuaciones de Maxwell inhomogéneas . En cuanto a las homogéneas, se encuentran implicitamente contenidas en la relaci6n
4 . - Desarrollo del campo en osciladores . Una forma alternativa de describir el campo electromagnético mediante un equivalente mecánico consiste en reducir el número de grados de libertad a una cantidad infinita numerable mediante el con finamiento del campo en una cavidad rectangular, metálica, y de dimensiones a, b y d . Este desarrollo fué básico para la derivación de la ley de
Rayleigh-J eans
de
la radiación en
equilibrio
térmico en
un
cuerpo negro. Utilizaremos aqui el contraste de Coulomb, ~ . A=O, y supondremos que no existen en la cavidad fuentes de campo , por lo que podemos tomar V=O,
y como consecuencia ,
las ecuaciones que definen el campo y
la e cuaci6n de ondas para el potencial vector quedan en la forma
E ( 26 . 41) 'l·A
=o
-c/S, - e'
\J'A
"o
'Ol'
Las condiciones de contorno para el potencial vector son que la component e normal en las paredes es cero , puesto que \J.A=O y aplicando el
teorema de Gauss,
se obtiene fácilmente este resultado y que la
componente tangencial en la paredes es también cero puesto que Et es cero . Por tanto , A es cero en el contorno y debe variar espacialmente como el campo B en un modo TElmn típico de una cavidad rectangular, con la única diferencia de que los factores serán senos: ~€."\'\.
Q.
1"1)(
n '\ b
-:le"fl. 'YY\
Q,
-6e. yt n
11
r.
(26.42)
cr-
estando cada modo caracterizado por una frecuencia f.A dada por
L
e:.
..;:,
( !:: o.!
+
'YYI.?.
b'"
+
'l..,_
) 1/2.
¿z.
y su correspondiente longitud de onda, A.=c/f.
( 26.43)
Cuando un de termi n a do
C AMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAG ACION Y RADIACION
385
número de modos coexisten , el potencial vector t otal se puede expresar de la forma
A
\
(26 . 44)
en donde q >- es sólo función de t y representa la variación temporal y A>-, la variación espacial según se indica en (26 .4 2) . Como vimos al estudiar las guías de onda , la parte espacial verifica la propiedad de ser ortogonal sobre el volumen de la cavidad :
Lf\).
(\!-'-
dV ::o
(26 .45 )
normalizando A'),, , eligiendo q>- de manera que (26 . 46) Consideremos ahora la energía electromagnética contenida en la cavidad (26 . 47) De (26 . 45) y (26.46) y teniendo en cuenta que E=-A=-.Z:q>-A ~, el primer sumando queda éo
J ·e d V =
Eº
J( L ~
>-
A'),,
v
V
f" d V :
¿ ~:
(26 . 48)
Para transformar el té rmino en B2 usamos la identidad vectorial
en donde se ha tenido en cuenta que v . A=O . Como se tiene que B=V'"A= 2 == L q>- ""Ax, B contendrá términos de la forma (\l " Ad . ('Vt-.A>.) cada uno de los cuales puede ponerse de la forma
•'
Cuando integramos sobre todo el volumen de la cavidad, el pri:rero de estos términos , usando el teorema de Gauss, puede conver t irs e en una integral de superficie de A'),,A(~AA~) sobre el contorno de la cavi dad anulándose puesto que A es cero sobre ese contorno. Si consideramos el segundo término , tenemos que 2
\J At"
a
partir de
(26 . 42) y
= -
w;
(26 . 43).
Ay- / c 2
Al integrar sobre todo un volumen ,
386
R. GOMEZ MARTIN
todos los términos son cero excepto aquellos en los que
~=A,
por (26 .
. 45) y (26.46) . Por tanto, finálmente (26.49) con lo que la energía dada por (26.47) puede ponerse como (26.50) Para escribir el Hamiltoniano consideramos los momentos generalizados, pA=qA , de manera que (26 . 51) Esto coincide con el Hamil toniano de un sistema de osciladores a rmónicos independientes . Por lo tanto, las ecuaciones del campo serán equivalentes a las ecuaciones de movimiento de dicho sistema mecánico . Las frecuencias de los posibles modos que pueden existir en la cavidad vienen dadas por (26 . 43). Esto hace posible contar el número de modos que se hallan en un determinado rango de frecuencias . Para este propósito usamos el espacio (l ,m,n) que se muestra en la figura 26 . 1, en el que cada punto representa un modo en el que existen puntos so l o para valores enteros de 1, m, y n . Interesa la región en que la ldngi tud de onda es mucho menor que las dimensiones lineales de la cavidad. Las frecuencias de los modos forman , pues , un espectro casi contínuo. En esta zona, los puntos son muy densos .
m
F.i_g.. 26. 1
Todos los modos de igual frecuencia se encuentran sobre la superficie del elipsoide
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
i
+
387
(26 .52 )
Pues.to que solo pueden darse valores positivos de 1, m y n el número de modos con frecuencias por encima de una dada f será igual al número de puntos contenidos en el octante positivo del elipsoide . Ya que hay un modo •por unidad de volumen en este espacio, si queremos
·'
calcular el
número de modos
en
el
rango de frecuencias desde cero
hasta f tendremos . que calcular el volumen del octante. Como el volumen de un elipsoide' ~s 4 n/ 3 veces el producto de las longitudes de sus tres semiejes principales, resultará finálmente que el número de modos con frecuencia por debajo de f·será
donde V es el volumen de la cavidad. No podemos olvidar que el campo es un vector, así que ha de haber dos modos independientes para cada conjunto (l,m,n ) con direcciones de polarización perpendiculares. As í pues, el número de modos con frecuencias entre f y f+df es
~
(f)
Por otra parte,
d
t
::.
(26.5 3 )
la ecuación de Schrodinger para un Hamiltoniano
de la forma
puede separarse de manera que sol o tengamos que resolver el problema de valores propios de un oscilador armónico, que vie nen dados por la expresión (26 .54) Einstein , de acuerdo con la interpretación del efecto trico, supuso que la ecuación (26 . 54) las, de manera que existen n ocupando el estado A.,
;1.
d~scribía
fotoelé~
un sistema de partícu-
partículas con una energía hf cada una ,
asignándole al
espacio
vacío,
en ausencia de
campo electromagnético, una energía de punto cero L ~que ignoraremos ~ pero que ocasiona. dificultades teóricas . A estas partículas se las llamó fo'"ones. Es de esperar que en un recinto a temperatura constante un conjunto de fotones se comporte como una colección de partículas idénti cas e indistinguibles, pudiendo existir más de una en el mismo nivel
388
R. GOMEZ MARTIN
cuántico, es decir, que se comportan como bosones. Aplicando la estadística de Bose-Einstein se tiene que el número de fotones con frecuencia comprendida entre f y f+df es
d
Y\.
(26.55)
siendo g(f) el número de modos en ese intervalo de frecuencia. Sustituyendo en (26 . 55) la expresión (26.53) se obtiene (26 .56 ) y como la energía de cada fotón es hf, la energía total por unidad de volumen o densidad de energía en el intervalo de frecuencia considerado es ~
=
f dYI.
1!:
e~
cdf
rj l-t t3 ( er.f1 kT_ 1 )
(26 . 57)
fórmula de Planck que se ajusta rigurosamente a los resultados experimentales , y que explica perfectamente la distribución espectral del cuerpo negro. Es interesante notar que , de acuerdo con el principio clásico de e quipartición de la energía (kT/2 por cada grado de libertad) y teniendo en cuenta que cada oscilador tiene dos grados de libertad corre spondientes a su energía cinét ica y potencial respectivamente, mul tiplicando (26 . 53) por kT se obtiene la fórmula de Rayleigh-Jeans ::.
f2
kT
Esta fórmula no concuerda con la experiencia y predice un aumento indefinido de la energía con la frecuencia. A esta predicción se le denomina "catástrofe ultravioleta ". La ley de Rayleigh-Jeans puede obtenerse como límite de la de Planck a bajas frecuencias .
CAMPO ELECTROMAGNET!CO. PROPAGACION Y RADIACION
389
CAPITULO XXVII. CAMPOS DE UNA CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO . POTENCIALES DE LIE NARD-W IECHERT . - Potenciales de Lienard-Wiechert . Como sabemos, los potenciales escalar y vectorial electromagnéti cos, debidos a una distribución arbitraria de cargas y corrientes en un punto de observación P , vienen determinados en el tiempo por los valores de las cargas en los puntos fuente en instantes anteriores 1 dados por t'=t - r/c!* ) siendo r la distancia desde cada punto f uente al punto campo y r/c el tiempo de retardo. Esto es debido a la velocidad finita c , de propagación de la perturbación. un
Vamos a aplicar estos resultados al caso de una carga q que ocupa pequeño volumen y que se mueve con una velocidad v. Para ello ,
imaginemos una esfera colectora de información centrada en el punto campo , cuyo radio dismi n uye unifo rmemente con la velocidad de la luz c, hasta que finálmente alcanza el punto P e n el instante t . Cons i deremos el elemento de volumen dV=ds~r barrido por el elemento de área ds en el tiempo dt (fig . 27 . 1). Si la carga estuviese en reposo tendríamos que la carga dQ con el tiempo de retardo r/c es simplemen te pCr,t') .dV: pero si la carga est~ movi ~ndose con velocidad ~(L ' ), cuyct componente en la dirección hacia el punto campo es vr, entonces en el tiempo dt en que el elemento de superfici e ha recorrido una distancia dr,
la carga se ha desplazado vr(t ' )dt , de forma que la cantidad de
carga real men te barrida por ds es
d.~ ~
f
(7·, t'l [ ¿.., -
0.,.
(J.')dt
J ds
( 27 . 1
)
o bien , teniendo en cuenta que dV=drds
0- Lt'') · ~
1. -
-rll')c
por tanto
f
(*l)En
los
(27 . 2)
~t')
capítulos
que
l~.-l)
siguen
:l.
(27 3)
llamarem o s
retardado para no confundirlo con el
t '
en
tiempo propio.
vez
de-¡; al
tiempo
390
R . GOMEZ MARTIN
donde todos los términos de la integral son retardados. dr =e dt
F.i...9-. 27. 1
Si la carga es suficientemente pequeña , la variación de r sobre el volumen es también pequeña y , en el límite , el denominador puede sacarse fuera de la integración . Esto conduce a
V (T,ll
(27.4)
de form a similar ( 27.
s = "\"" - \}" ."(""
-
e
5)
( 27 . 6)
sie ndo v , r y s magni tudes retardadas . Las expresiones (27 . 4) y (27 . 5) son conocidas como los potenciales d e Lienard- Wiech ert , que dan los potenciales debidos a un electrón en movimiento arbitrario .
Es interesante notar que estos potenciales
h an sido obtenidos independ ientemente de cualquier modelo de carga y que además están correctamente formulados desde el punto de vista de la teoría de la relatividad y por tanto son válidas incluso a velocidades próximas a la de la luz . Para cerciorarnos , lo que tenemos que hacer es escribir dichos potenciales en forma covariante . Para ello como es usual, razonaremos sobre el s i stema propio del electrón en un instante dado de tiempo.
Sean (r ' ,jet') las coordenadas del electrón
o pa~tícula cargada y (r ,jct) , las coordenadas en el espacio cuadri0 dimensional del punto en el cual queremos hallar el potencial debido a dicha partícula en movimiento. Dado que la perturbación electromagnética se propaga con la velocidad de la luz, se ha de verificar la
39 1
CAMPO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGAC ION Y RADIACION
\
relación (fig . 27 . 2)
1-f-: -;:· 1
e(. l-t') ~
• (27 . 7)
i!
r
.
,•
y
F¡g,. 27 . 2
En el sistema de referencia propio del electrón en un instante dado de tiempo , el potencial cuadridimensional será ->
1\ : ( o,o , o, _L --3:.__ ) e
( 27 . 8)
"1tt Eo-r
ya que la velocidad del electrón con respecto
d
rencia
se
es
nula
y
el
campo
electromagnético
este sistema de refe reduce
al
campo
de
Coulomb de una carga puntual . Igualmente, en su sistema propio la velocidad cuadridimensional del electrón es (27 . 9)
por lo que el cuadripotencial puede escribirse ( 27 . 1 o)
siendo r la distancia del electrón al punto campo en un sistema propio. Definiendo el cuadrivector R~ -~
( 27 . 1 1 )
•
tal que
-R ·R
( 27 . 1 2)
392
R. GOMEZ MARTIN
l a e x presión (27 . 10) puede escribirse \"'10 - ~ '\~i'"=- l
( 27 . 1 3)
e
por tanto es invariante . De acuerdo con (27 . 10) y c i a l la e x presión covariante
(27 .1 3) se obtiene para el cuadripoten-
( 27 .14) v á l i da para cualquier sistema de referencia inercial . Teniendo en cuenta ahora que las componentes de la cuadrivelocidad ~= P ( v, jc) son (u 1 , u 2 , u )=(v 1 ,v 2 ,v )r , u =jcf , donde ves la velo4 3 3 ci d ad tridimensional del electrón , y haciendo uso de la ecuación R . ~= =( r.v - r . c) P, podemos expresar la igualdad (27.14) de la forma
-
tU-~
A
( 27 . 1 5)
T-.;; - -re
desarrollando se obtiene
-
\j
s V \..:r,-\;) La velocidad
v del
=
_j__ ~Hé 0
(27 . 4) (27 . 5)
S
electrón y el radiovector ~ desde la posición
del electrón al punto donde el potencial es evaluado debe tomarse no en el tiempo t
si no en el t'=t-r/c . Estas expresiones coinciden con
las anteriores y cabe utilizarlas para un valor cualquiera de la velocidad de la carga . Para una velocidad de la carga v muy pequeña comparada con la de la luz (v/c tencial electrostático y
~
A--.
O), el potencial escalar tiende al po-
O.
2 . - Campos de una carga puntual en movimiento arbitrario . Determinemos los campos de una partícula cargada en movimiento que como sabemos vienen, dados e n función de los potenciales por las relaciones·
( 27 . 1 7 )
393
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
En las ecuaciones (27.16) y (27 . 17), las derivadas se toman res pecto a las coordenadas del punto de observación y en el instante de o b servación
t .
A
dependen de dichas
través de t ' =t-r/c .
De forma que ten-
Ahora bien los potenciales V y
coordenadas y del tiempo t dremos
a
(2-7 . 18) \
esta expresión
no es
obvia,
pero puede
obtenerse fácil mente
si
se
tiene en cuenta que ( 27 . 1 9) que a su vez se deduce de (27 . 20) Teniendo en cuenta que
~
s
\ls 1
puede escribirse como + 'Os
t.'
'Vt'
( 27 . 21)
o-l.'
tras operaciones sencillas llegamos a (27 . 22) que en forma abreviada podemos escribir como E=E 1 + E . 2 Análogamente
(27 . 23)
'
Por otra parte , ya que v=v(t') \\J11.\J}~
(}~
8l'
'O 2. = -
[.
ij- "
\lt:
1"
es decir (27.24) Teniendo en c uen t a que
Vt ' =-;/cs
(27 . 25)
394
R. GOMEZ MARTI N
d e d o nde
S"
( \TSl\Ü' l l
( 27 . 26)
Comparando con (27 . 22) se halla fácilmente que
B
i.
e
(~"El
( 27 . 27)
-
En l as fór mulas (27 . 22) y (27 . 6) para los vectores v y r hay que tomar los valores correspondientes al instante t ' De acuerdo con (27 . 22) vemos que el campo eléctrico creado por l a c a rg a pue de dividirse en dos partes . La primera , E1 , de pende solo d e la velocidad de la carga y la segunda E2 , también de su aceleració n. En el caso de un movimiento uniforme no existe la segunda compon e nte del campo .
El va l or absoluto de E1 a grandes distancias de la carga disminuy e según 1/r 2 . Además , E 1 tiene siempre una componente dirigida a lo largo del vector r . El segundo sumando del campo, como pued,~ verse de ( 27 . 22) , es siempre perpendicular a r y a la aceleración Céampo transversal) . Esta componente disminuye a grandes distancias de la carga según 1/r, por lo que a grandes distancias E~E . 2 Cuando v=v=O , de (27.22) y (2 7 .26), se sigue que al campo eléctrico se reduce al creado por una carga eléctrica estática y el campo mag n ético se anula. Iguales consideraciones son válidas para el campo ~
magnético que, según (27 . 27) , es siempre perpendicular al campo eléctrico y al vector de posición r . Es interesante notar que el que una partícula moviéndose con una velocidad uniforme no pueda radiar es consistente con la naturaleza relativista de los campos, ya que existe un s i stema de referencia en el
que
la partícula está en reposo
(y e l
observador en movimiento
uniforme) en el cual es obvio que no radia energía . El hecho de que únicamente cargas aceleradas puedan radiar tiene importantes implicaciones y aplicaciones. Por ejemplo , los electrones pueden alcanzar altas velocidades en ciertos dispositivos (como betatrones y sincrotrones) donde están co nf inados por medio de campos magnéticos que hacen que se mu evan e n Órbitas circulares.
Una partícula
moviéndos e en una órbita circ ul ar sufre una aceleración centrípeta ; por tanto los electrones en estos dispositivos rad ian energía mien t ras que se mueven a altas velocidades , no solamente debido al proceso de aceleración "per se " si no también a que se mueven en órbitas circulares . Es tá claro que a medida que aumenta la velocidad se l legará a un
395
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGA CION Y RADIACION
p u nto en el que la energía es radiada tan rápidamente como la suministra el acelerador. Por tanto, existe un límite superior práctico para la energía que los electrones puede n alcanzar en un acelerador circular. Este límite se encuentra en el rango de energías 10-20 Bev (1Bev= =1o 9 ev) . Por ot ra parte , la radiación producida por la aceleración lineal de electrones (que es pequeña comparada con la radiación producida por un movimiento circular) no tiene un límite superior en la energía tan severo y , en aceleradores lineales se puede n alcanzar energías de 100 a
300 Bev.
La radiación de energía por protones mo-
viéndose en órbitas circulares es mucho menor que para electrones de la misma energía. Como consecuencia , la vía más económica para acelerar protones a muy altas energías es hacer lo en máquinas circulares . La energía también se radia por deceleración. Por tanto si se proyecta un haz de electrones sobre un bloque de material que los frene se emitirá radiación . En este caso , la radiación es llamada radiación - X o " bremstrahlung " y, así , precisamente se producen los rayos X. 3. - Campos
producidos
por una part í cula cargada con movimiento uni -
forme .
v,
En el caso de una carga moviéndose con velocidad un iforme, es posible expresar E y B en función d e los valores presentes e n l u gar de hacerlo en f un ció n de los valores retardados . Para demostrar esta afirmación nos apoyaremos en la figura 27 . 3 .
P punto campo
a·
vr c
posit ión retardada
o
a posición presente
F;..g.. 27. J
En esta figura, aa'=vr/c es la distancia recorrida por la carga en el tiempo r/c;
r
es la distancia desde la carga al punto campo P
en la posición retardada y r
0
,
l a distancia desde la carga al punto
396
R. GOM EZ M A RT I N
campo en la posición presente . Es evidente que N?
5
De l triángul o rectángu l o aNP vemos que
Por otra parte , OP=rsene. Esto implíca que (27.28)
Teniendo en cuenta que ( 27 . 22)
r 0=r-(vr/c),
-
podemos escribir para E, de
E
(27 . 29)
,,,.- ._..., /
¡; =o
\! =0,3
~
=0,6
(3 =0,8
/ ,',
I
i
/
F.Lf¡. 27. 4
Todas las magnitudes que aparecen en las relaciones anteriores estan evaluadas en el instante presente. Por otra parte, de B ~ ~ obc tenemos que
l:i "
E G
y aplicando la ley del seno en el triángulo a'Pa (27.30)
CAM PO ELECTROMAGN ET I CO. PRO PAG A C ION Y R ADIACION
i
397
Es evidente, que las ecuaciones (27 . 29) y (27 . 30) que, para altas velocidades (~ -.. 1 ) , los campos aumentan en la dirección perpendicul ar a la dirección del movimiento . Entonces , cuando v -.. c , el campo total comienza a tomar el aspecto de onda plana aunque no existe radiac i ón debido a que la dependencia de los campos se según 1/r 2 . La figura 27.4 muestra la distribución del campo eléctrico para una carga eléctrica en movimiento uniforme para diferentes valores de
.•
.•
~-
CAMPO EL ECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADI ACION
399
CAPITULO XXVIII . RADIACION DE ENERGIA Y MOMENTO POR PARTICULAS ACELE RADAS. Introducción.
.
'
En este capítulo trataremos de encontrar la expresión general de la energía y momento de radiación para una partícula cargada que rea liza un movimiento acelerado . Para ello nos basaremos en los resultados del capítulo anterior acerca de los campos creados por una carga e n movimiento arbitrario. Particularizaremos estas expresiones para el caso en que el movimjento de la partícula sea debido a la acción sobre
ella de un campo electromagnético y
denominada radiación de frenado,
haremos el cálculo de la
emitida como consecuencia del paso
de un haz de partículas cargadas a
través del campo coulombiano que
crean cargas en reposo. Finálmente estudiaremo s la distribución angular de la energía radiada . 2 .- Expresión general de la e nergía y momento de radiación de cargas aceleradas .
De la s expresiones ( 27 . 22) y
( 27 . 23) d el capítulo anterior los
campos de radiación creados por una partícula en movimiento acelerado son
-
{ . rl t ~ -
1-
E-ra.cl
'-l t1 E.o
;-
5' C."
;-IJ
c.
)" J
11
( 28 . 1 )
A
y- f\
E..-o.d
[Ta.el
(28 . 2)
e
Consideremos ahora el sistema propio de una carga en el instante en que se emite la radiación de forma que la velocidad de la carga es igual a cero, aunque no necesariamente su aceleración . En este caso , los campos de radiación y vector de Poynting toman la forma: e¡_
~....,¿_ ~ t1
-f'Al ~ A\}) C"''f 3
cJ-A:(!) ~ -4rtc0 C3 "{""
":B-m.t.
:/>
Eo
::
3:v
"'\ 3
iG l1~c 0 C
l~f\\I)"
..,s
( 28 . 3) (28 . 4) (28 . 5)
Para hallar la potencia total radiada debemos integra r el vector de Poynting sobre una superficie cerrada que rodee a la carga . Podemos elegir esa superficie como una esfera centrada en la posición retarda-
400
R. GOMEZ MARTIN
da de la carga. Eligiendo el eje z en la dirección de
v,
como se indi-
ca en la figura 28 . 1 resulta
:PToÁ
- d cw-0, r ~.nd5
en donde
: ':l-'" 0-.,_
Js
d.t.
la potencia
611
radiada y
ci.So
de la partícula en su sistema propio . carga pierde energía.
(28,6)
E.oc~
la variación de la energía
El signo menos indica que la
X
y F.i..f;.. 28 . 1
Es interesante observar que las ecuaciones (28.3) y (28 .4 ) son formalmente idénticas a las obtenidas para los campos de radiación de un dipolo eléctrico de momento di polar d = ~~ lw': La distribución angular de energía radiada es del tipo sen 2 e. Para una partícula a baja velocidad f i gura 28 . 2 .
adopta.
por
tanto.
la
forma
que
se
indica
en
la
F.i..g,. 28. 2
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACJON
Su dis t ribución
401
tr idimensional completa se obtiene por giro de
la f igura alrededor de un eje que tenga la direcció n de la ace leración . Observamos que, como resultado de la aceleración , particular izando al caso de u n electrón, este pierde por rad::.Jción energía a un ritmo dado por e"'
( 28 . 7)
'
' Por otra parte, en su sistema propio el momento total radiado por la carga es igual a cero , es decir
dG
(28 .8 )
--:O
dt.
puesto que
debido a
la simetría de la rudiación dipolar los campos
emitidos en s en tidos opuestos son iguales en valor
radiado durante el intervalo d'Z: por el electrón,
con
energía y momento transpo rt ados d'IJQ y dG 0 . Como sabemos la energía y momento de un tren de ondas finito constituye un cuadrivector , dado por
(25 . 32) En el sistema propio de la partícula tenemos
...
dG
(dG" 1 dG~ 1 dGz.,j d'ZJ) e
(28.9) ( 28 . 1 o)
-
por lo que podemos escribir (28 . 71 y (28 . 81 en la forma
dG
( 28 , 11
1
d't ~a
cuadriaceleración en el mismo sistema es
. . l vx , \JJ ,
. l.Y¿ ,
o)
por lo que ( 28 . 1 2)
402
R. GOM EZ MARTIN
utilizando esta ecuación se puede expresar rian te
(28 . 11) e n la f orma cova-
~
dG
( 28 . 1 3)
dt:
De este modo, en el caso especial en que la carga está instantáneamente en reposo en un sistema de coordenadas , (28 .1 3) describe correctamente la radiación del electrón, de acuerdo con (28 . 7) y (28 . 8) . Ahora bien , dado que (28.13) tiene forma covariante , podemos concluir que también describ e la radi ación en otro sistema de coor de na das en el que el electró n está moviénd ose co n una velocidad arb itraria . Mediante la relación
ú" - L
-
.
%- " \Y)"'
( 28 .14 )
( i - ~.. )3
y la expresión de la cuadrivelocidad en función de las componen tes de
la velocidad tridimensional ->
1.
u... = obtenemos , a
partir de
( 28 . 1 5)
(28 . 13) , las sigu ient es e x presiones ge nerales
para el cambio en la ene rgía
U
y momento
G del
electrón debido a la
radiación :
d'W
d.t
dG clt
(r" -
e~" j.t
( i-f )3 ¡}~ -
t
-
.
l ~ " l7) 1-
1-n
-
¿
3
·°"~ (l. - f.-' ) tCL t (ú-.ti-)'
V
U.-f
(
2 8 . 17 )
)3
ecuaciones que permiten h al l ar en un sistema de coordenadas arbitrario la energía y momento del campo de radiación creado por un a carga e n movimiento acelerado,
supuesta conocida la ecuación del movimiento .
Naturalment e , estas expresiones se reducen a
(28 . 7) y
(28 . 8) cuando
~-o .
3 . - Movimie nto de partículas cargadas en el seno de un campo electromagnéti co . Frecuentemente, el movimiento acelerado de partículas muy rápidas se debe a la acción de un campo electromagnético . La expresión relati vista para la aceleración es
CAMPO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGACION Y RADIACION
[ ¡:
403
( 28 . 18)
F
donde m es la masa e n repo so de la par tíc ula y l a fuerza que actúa 0 sobre ella . Supon i e ndo que F es la fu erza de Lo r entz , la radiación de e nerg ía por unidad de tiempo de u na carga qu e se mueve en un campo electromagnético es ',
Ct + 0-"Et- ~ c. 0-E y··
e" <ó li €0 ~ C
( 28 . 1 9)
.!. - ~..
3
Teniendo en cuenta la expresión d e la energ ía total de una partí cu la
la ecuación (28 .19 ) se trans f o rma en
el 'lS d. t
(28 . 20)
-
Co nsideremos ahora alg unos casos particulares de (28 . 20) .
...
A) Supongamos qu e B es cero . Dist inguimos dos casos : 1) Caso en que E es perpendicular a la velocidad Se tiene
v.
d 'hl -
(28 . 21 )
ctt 2) Caso en que
E es
paralelo a ~. con lo que se l l ega a la exp r e-
sión
d'W cH
(28 . 22)
siendo la radiación en estas condic iones i nd ependientes de la energía de la partícula . B) Supongamos que la partícula se mueve en un campo magné tico constan te y uniforme de manera que
v es
perpendicular a
H,
siendo además
el campo eléctrico nulo (en estas condiciones la particu l a des cribiría circunferencias) . Entonces,
(28.20)
se convierte en
\J'~ B:i.:: - ~ \)'a- 8 2 G t1 éo 'T'Yl,;,"" C 3
i.
(28 . 23)
i- (?>~
Las expresiones (28.21), (28 . 22) y (28 . 23) se emplean en física nuclear para determinar la pérdida de energía por radiación de partí culas relativistas que se mueven en campos eléctricos y magnéticos . Es
404
R. GOMEZ MARTIN
interesante notar que, excepto en el caso en que
v,
a la .
B=O
y E es paralelo
la radiación depende en gran medida de la energía de la partícuComo ejemplo de partículas en un campo magnético tenemos el caso
de las partículas cargadas de los rayos cósmicos en el campo magnético de la Tierra y el de las partículas cargadas en un betatrón. Son precisamente las pérdidas de energía por radiación las que determinan el límite superior para la energía de las partículas que pueden alcanzar la Tierra y también para la energía hasta la que es posible acelerar los electrones en un betatrón. Esto hace que en los betatrones sea imposible obtener electrones con energía mucho mayor que algunos cientos de MeV. En los sincrotrones, sin embargo, no existe prácticamente límite para la energía que puede transmitirse a los electrones desde el exterior, con lo que la pérdida por radiación no es obstáculo para su aceleración. 4 .- Radiación de frenado o Bremsstrahlung. Una aplicación importante de los resultados obtenidos en el apartado anterior consiste
en
el cálculo de la denominada radiación de
frenad o, emitida como consecuencia de la interacción de un haz de part ículas cargadas con el campo coulombiano creado por cargas en reposo. Este fenómeno se aprovecha para obtener rayos X y juega un papel importante en el mecanismo de frenado para las partículas de alta energía que se mueven en el seno de la materia . Puesto que son las partículas de alta energía las que ofrecen un interés fundamental, nos limi tar emos a este caso . Un electrón con velocidad relativista que pasa por las proximidades d e un núcleo experimenta una desviación muy pequefta , si se excluyen l os procesos de colisión frontal , que por otra parte son poco probables . Puede demostrarse que, para velocidades comparables con la de sol ~ pueden ocurrir desviaciones apreciables cuando el paráme2 2 tro d e impacto es del orden de e /mc . Este caso ya no se puede tratar
la lu z ,
cl á sicamente . En estas condiciones
podemos
suponer,
en primera aproximación,
que la trayectoria de la partícula es rectilínea y que su velocidad es constante , lo que equivale a despreciar la componente longitudinal del campo . Si e l egimos como origen de tiempos el instan te en que la partícula pasa por su posición más próxima al núcleo , la distancia del núcleo al electrón es aproximadamente, como se ve en la figura 28 . 3
CAM PO ELECTROMAGNET!CO. PROPAGA CION Y RADIAC ION
405
. >
F.i.fj. 28. J
.:
(28 . 24) La componente transversal del campo eléctrico creado por el núcleo es (28 . 25) sustituyendo esta expresión en (28 . 21) e integrando sobre el intervalo del tiempo de vuelo , es decir , desde -oo
a
oa , obtenemos la pérdida
total de la energía de la partícula
L:i. 'ZJ:: _ -ro"' 2."'ce.2'
(28 . 26)
l.G Eo ~ 3 \.J U .. -¡?,2)
siendo r 0 =e 2 /4ti é 0 m0 c 2 el radio clásico del electrón . Se observa que la pérdida de energía crece rápidamente al aumentar el número atómico del núcleo y al disminuir el parámetro de impacto . En la práctica , una partícula puede pasar a cualquier distancia de un núcleo; así pues , multiplicando ( 2 8 . 26) por
.¿ t1
f "11. d.f ,
donde n es la densidad de partícu-
las del haz e integrando para todos los valores de la radiación eficaz de un haz de partículas es
ul!f
= -
01"\
iG ;
2' 'f'o" c. en éo o- U. - ~~)
f
•encontramos q ·e
( 28. 27)
expresión en la que f min es la distancia a la que puede aproximarse el electrón al núcleo, y es un parámetro distinto de cero que hace que la integral no sea divergente.
La introducción de este parámetro se
debe a que, como se demuestra en mecánica cuántica, la noción clásica , de trayectoria del electrón deja de ser válid a para pequeñas distan-
11
~
406
R. GOMEZ MARTI N
cias. El tratamiento del problema de acuerdo con la mecánica cuántica conduce al resultado (28.28) de esta manera, para la energía radiada se tendrá Ti
2'..z, \o~ e
1
Yl C~' rtL
\1
(28 . 29)
8éovlti. expresión que permite calcular la pérdida por radiación de frenado cuando partículas muy rápidas atraviesan la materia . La comparación de esta fórmula con la de la pérdida de energía por ionización muestra que la radiación de frenado es el factor fundamental que determina la dis minución de velocidad de los electrones rápidos en la materia. Para hacernos una idea del orden de magnitud diremos que la pérdidas debidas a este tipo de radiación son importantes para electrones con energías de 1 00 MeV en el aire y 10 MeV en el plomo . Para partículas pesadas, como protones, estas energías son mucho mayores . Hay que recordar que no se puede pasar de la expresión ( 28 . 27) a las fórmulas no relativistas haciendo simplemente v << c, puesto que ( 28 . 27) se ha obtenido suponiendo explícitamente que v es del orden de c, y no para una velocidad arbitraria . 5.- Distribución angular de la radiación emitida por una carga acelerada . Vamos a estudiar la distribución de la radiación emitida por una carga acelerada por unidad de tiempo y de ángulo sólido . Al decir " por unidad de tiempo " , y puesto que lo que pretendemos conocer es el ritmo de radiación de la partícula , nos referimos al intervalo de tiempo retardado en que se realiza la emisión y no a intervalos de tiempo de observación . La potencia radiada por unidad de ángulo sólido es
clP U.'l d .n
d'2J
dt.' d.n..
d '2J dl cltdn. dt'
5
,...
( 28. 28')
usando la definición del vector de Poynting se tiene
dSÓlt:) =
I S
;p.n_
( 28 . 29.)
d.Q
de ( 28 .1) y ( 28. 2), la distribución angular de la radiación adquiere la expresión general
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
e~ 16 t\~E.oc3
l l :Z. -
( ;. "
l 1.
'("'4
-
.
407
~
~ ) " 0 1)
(28 . 30)
- .,;.. i} ) 5
e
como puede obser varse, esta distribución es complicada en el caso general . En el caso de velocidades comparables a la de la luz, dicha distribución presenta el rasgo característico, debido a la presencia
.
'
de potencias elevadas de (1-n.v/c) en el denominador , de que la intensidad de radiación es grande en un intervalo angular estrecho, aquél en que 1-n .v/c es pequeño . De esta forma, la partícula radia esencialmente en la dirección de su movimiento. Igualmente se comprueba que en la dirección en que t~
d cp ti:')
dil siendo
e
el ángulo f ormado por
(i -
V
y
n.
~eme)
6
Fácilmente
(28 . 31)
e El diagrama de radiación para
este caso se representa en la figura 28.4. (1 =0,5 /
/
~ =O
' Para v << c ,
f.f..)j ·
28. 4
la distribución adqu~ere la forma funcional d.,.. la
radiación dipolar, sen 2 9, pero para velocidades relativistas los máximos están muy inclinados hacia adelante. La potencia total radiada puede obtenerse a partir de la expresión (28 . 31) obtiene
integrando sobre
todas las direccic..nes , con lo que se
G Neo C3
(28 . 32)
408
R. GOMEZ M ART IN
Una aplicación importante de (28.31) es el cálculo de la radiación de frenado suponiendo que no existe variación en la dirección del mov i mi ento , pero admitiendo que la velocidad no es constante . Para un cálcul o exacto habría que conocer la dependencia de la desaceleración con e l tiempo, pero para un cálculo aprox i mado podemos suponer que v es constante mientras la velocidad decrece desde v hasta cero , de 0 ma nera que se llega a ~ 1 _ i } rf'-é,, c"cnrn l L - ~ 1..()9 )"
e' jeyt •e (J <ó ~
( 28 . 33)
e
ecuación que suele utilizarse para estimar la e f iciencia de un tubo de rayos X de pequeño voltaje. B) Aceleración perpendicular a la velocidad . Desarrol l a ndo el numerador de (28 . 30) se obtiene
d:P ll')
e2 0-"'
dD.
!..
l
l !..-
Q:cme )~
~
e
i -
~errt.~e e.o~ .. 'f'
r~
1
l i - ~to~e Y
(28 . 34)
donde e e s de nuevo e1 ángulo formado por í1 y v, y l.f' es e1 ángu l o a zi mutal del vector n respecto del plano que contiene a v y v, tal y como muestr a la figura 28 . 5. i!
T
y
hg.. 28. 5
El diagrama de radiación presenta un máximo predominante en la dirección de v, de forma que un observador estático vería impulsos de ra diación cada vez que la velocidad de la partícula estuviese dirigida hac i a él . La fi gura 28 . 6 , muestra los diagramas de radiación en el plano de l a órbita ('1'=0) para algunos valores de ~ = IY/C • Las líneas a trazos señal a n l as direcciones de intensidad nula .
CAMPO ELECTROMAGNET!CO. PROPAGACION Y RADIACION
409
\
''
1.37
292
8
f3 = 0,7
x7
37
/3 =0,9
x9
100
F i..!J· 28. 6
Con objeto de mostrar más claramen te la radiación correspondiente al lóbulo posterior , la intensidad de radiación de es tos lóbulos se ha multiplicado
por
1 Of-> en la figura 28 . 6 .
La potencia total p uede
410
R. GOM EZ MARTIN
obtenerse integrando la expresión (28 . 34) (28 . 35) Seg ún esto, para la misma magnitud de la fuerza aplicada, la potencia radiada para aceleración transversal es
r"'
veces mayor que la
correspondiente a la aceleración lineal . Así , para partículas relati vistas con aceleración en dirección arbitraria, predominará, en cuanto a pérdida de energía por radiación , el efecto debido a la componente instantánea de movimiento circular sobre el efecto de la aceleración en la dirección del movimiento. 6 . - Distribución en frecuencia de la radiac ión emitida por una carg a acelerada . Para ana liz ar el espectro de frecuen cia de la radiación recibida por un observador es necesario referir la distribución a ngul ar a tiempo de o bservación, de ma nera que, a partir de (28 . 2) ,
(28 . 28) y ( 28 .
. 29), se tiene
d 1'
(28 . 36)
d.Q en donde __..
F ~ t)
_ 1._ <..p-oc )''~
\ t
(28 . 37)
La energía total radiada por unidad de ángulo sólido será la integral de (28 . 36) respecto del tiempo :
d. 'hl
dn.
~
Joo dcJ:> J.l
-:
dn
¡-
F..,lt:) d t
-
- 00
Para descomponer en frecuencias
(28 . 38)
"" (28 . 38) hacemos uso del teorema
de Parseval . Si la representación de f ourier de F(t) es
Flt) , _
¡"" t=lw)e -
J
jW{,
dw
( 28 . 39)
entonces dicho teorema establece que (28 . 40) Vamos a calcular la distribución espectral de lo energía radiada por unidad de ángulo sólido d'IJ(w)/dn. Para ello escribimos
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAOIACION
41)
;
d CZJ
d U lw) dw dn..
d.O.
o como F(tl es real se verifica que , f (w)=F*(-w)
( 28. 4 1 ) por lo que,
(28 .40)
puede escribirse (28 .42)
.
'
Comparando con (28 . 41 ) , se tiene
d 'tJ lw) dn
(28 . 43)
Vamos a calcular esta expresi6n en el caso general . Haciendo uso de (28 . 1) , resulta _
F (cu )~
l.
-
H·t) e-Jwtdl =
\"" _
.?.tt
1
,1,,
~ H(lloC)
__ e_
.litt Ec,C"'
1
Haciendo el cambio de variable t ' =t - r(t ' )/c y teniendo en cuenta que dt=(1-n .v/c)dt ', se obtiene
-jw l t' + "f) e
(28 . 45)
Suponiendo el punto de observación suficientemente alejado de la partícula, podemos poner aproximadamente , como se ve de la figura 28 . 7
'('- ::
1~ - ~· ll' ) \
-:=.
-("º -
-n.. ~· ll')
(28 . 46)
i!
y
F.i..g.. 28. 7
11
1 1
•
llr
412
R. GOMEZ MARTIN
Elimi nando el factor de fase ei<.p ly.1.r<'olc)que afecta a toda la expresión y que no influye en (28.43), se llega a
f (w) ~
e. 'b ti~ ( Eo c.3 y12
C' ejwlt'- '1.~'f-°)
(28.47)
1 _...,
Haciendo uso de la igualdad
n" [c-Yt-*)"~1
= et ct..t
Li-Yt·~).¿
r ~"lA~~G-) l J..-Yl·\T e
1
~ . podemos integrar (28 .47) por partes , obtenié ndose 00
d is- :. d..O.
e~ w2' 3.Z. t1'4 EoCª
\1
n
f\
-iv.:i
\v
(28.48)
-oo
Es interesante particularizar esta expresión para el caso de una partícula en movimiento circular instantáneo ya que, como hemos visto, el efecto predominante en la radiación es el de la aceleración normal. Según la figura 28 . 6, como el impulso de radiación es de duración muy corta para velocidades próximas a c, necesitaremos conocer la posición y la velocidad de la partícula sobre un arco de trayectoria pequeño en torno al punto en que la tangente de la misma está dirigida hacia el punto de observación . En la figura 28 . 8 se representa el arco de trayectoria en el plano XY con un radio de curvatura f ·
y
X
hr;. 28.8
413
CAMPO ELECTROMAG'IETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
Tomaremos el origen de tiempos
(t ' =O) cuando la partícula está
en el origen de coordenadas . Como la integral se ha de tomar a lo largo de la trayectoria, el vector unitario puede elegirse sin pérdida
n
de generalidad en el plano XZ, formando un ángulo G con el eje x.
El
cono de radiación será estrecho, es decir, tendremos radiación apre ciable tan solo para valores pequeños de 9 . Con el fin de desci:ibir la polarización de la radiación definimos los vectores unitarios.~ en ,
'
'
A
,..
A
la direccion del centro de curvatura, esto es, según el eje y, y E..<-~ n"E, que para valores pequeños de g estará prácticamente según el eje z, normal al plano de la Órbita . En el integrando de (28 . 48) se tiene , para tiempos relativamente pequeños en torno a t'=O, ángulos 9 pequeños y v prácticamente igual
a c A
/\
n," ~ n /\ \}) =\] L- é 1
i.1
~V'l l ~
f
) +-e~ c.mcu-t) ~E"-rt91 ~ e rl - ~Ji é.,/\ .\-e E.-2A
1
1\
f
Para el término de fase, se tiene
f
1 (28 .49)
en las mismas condiciones anteriores,
Sustituyendo estas aproximaciones en (28.48) llegamos a que ( 28 . 51 )
donde
('" Vi lwl = ;
y
\
--
t'
~j'P d..t' ;
(28 . 52)
l ( r-"' + g°')t' + e"' l:.'.3 1 3
f ...
(28 . 53)
Los límites de integración en ( 28 . 52) deben ser realmente l os extremos del intervalo en que se emite la radiación ; sin embargo, para da mayoría de las frecuencias, que serán frecuencias elevadas puesto que el intervalo At' que dura el pulso es muy pequeño , las integrales que aparecen en ( 28. 52) tienen la propiedad de que los integrandos oscilan rápidamente en cuanto t'
toma valores apreciables y solo con-
tribuyen de manera efectiva a la integral los valores de t' muy pequeños , por lo que el resultado es el mismo si integramos sobre el At' que si lo hacemos desde -
«>
a + oo
.
414
R. GOMEZ MARTI N
Haci.endo en la integral e l cambio de variable
d.' ( r·0 p
=
X
+
r
1
e""
.¿
( 28 . 54)
definiendo W_f
~
(
,-~ + e"'/~ (28.55)
3C
y .teniendo en cuenta la simetria del integrando , tenemos
=
FJ.lw)
-2J
~
00
c_r-" +e.,,)
j x~en ~1 s()<.+~i)1dx.
(28 . 56)
o
F°0 lW) = .¿
~
G ( p-<- + G"'
t)
Z $ (X+ t X Jdx
(28 .5 7)
3
""tv:l [
)
o
donde
"°
Jo
X 61:Nt.,
r
~
Li g ~ kx3 )] d = (± s ~ Jdx '<
x. +
x')
( x. ""
~-
€
=
o
1.
'13
k
"''-s
( ¡:¿;) ( 28 . 58)
\.(~13 ~ s)
(28 . 59)
son las funciones de Be ssel modif icadas de orden fraccionar io . A Dado que para
el c uadrado de
la
suma en
puede despreciarse y se obtiene, (28 . 56) a (28 . 59) , que
{ 28 . 51),
teniendo
el
A
c.,, ,
al
término cruzado
en cuenta las ecuaciones
De las propiedades de las funciones de Bessel modificadas se obtiene que la intensidad de radiación es despreciable para $ -,-., 1 . De ( 28 . 55) se observa que esto ocurre para ángulos grandes . Dado que a mayor frecuencia , men or es el valor critico del ángulo a partir del cual la radiación es despreciable, se deduce que la radiación está muy confinada en el
plano
en
que
tiene
lugar
cuanto mayor es la frecuencia respecto de c.
el movimiento,
tanto más
/y . Sin e mbargo, si
w
se
hace demasiado grande , vemos que $ se hará grande para todos los ángulos.
En
este caso,
la energia total emitida a
despreciable . La frecuencia critica ción es s=1
Wc
esta frecuencia será
más allá de la cual la radia-
despreciable para cualquier ángulo puede definirse mediante
para 9 =0 . Así de (28.55) tenemos ( 28 . 61 )
CAMPO FI EC' rROMAG
E
neo.
PROl'i\GACION y RAD l l\C ION
4 15
Si el movimiento de la carga es realmente circular , podemos definir una frecuencia armónica crítica wc:.~ncwo, donde u>o~C/f es la frecuencia fundamenLal de rotación y ne el n0mero de armónicos (28.62)
''
Dado que r~'i la radia1..·ión esLá contenida predominantemen~e en el ;:ilano de la órbita , resulta instructivo calcular la distribución angular para e=o . Para frecuencias muy por debajo de la crítica tenemos
d.;: c(w
'W
1
1
d.Q
1
[ r (''3) r 1 ~ \ i/3
e"
'.:'o
S rf'· E0
s,o
e
En el caso límiT:e opuesto,
d¿'W d.w d.o.
3e~ 1
º'º
""
iG; li3 t 0 C
T1,
<-u'>) Wc ,
rv
cu
\ 4
e~}
r
3
(28.63)
el resultado es
e.
-<.w/Wc;.
(28 . 64)
Wc
Estas fórmulas límite traducen que para 9 =0, el espectro muy por debajo de la frecuencia crítica, aumenta con la frecuencia aproximad~ mente en proporción a w~'', a~canza un máximo en las proximidades de Wcy luego decrece exponencialmente hasta el valor cero por encima de esta frecuencia.
d' 'l.) dw d.n.
F.i.{j. 28. 9
En la figura 28.9 se representa la variación de la intensidad de radiación con respecto al ángulo g seg0n el rango de frecuencias, don de se ha tomado como unidad natural de ángulos re .
41 6
R. GOMEZ MARTIN
Por integración de
(28.60), para todos los ángulos obtenemos la
expresión
di is
Para
0ti Ge
¿x.'2J
K.513\J.)
<-
~
dwdo.
<.U ">'>Wc,
)
dx:.
(28 . 65)
..;,w¡Wc.. w <<<..Je, esta exp resión se reduce a
-:=
dw
úJ Wc,
~r1"é0 C
En el límite
d c¡J
r
e"'
'J3
dw
3'-05 _<2-_ _
1
~~y
)ll3
(28 . 66)
'i\t1~~c
Q~o
tenemos
d 'l..J
e,""
dw
L¡ 1i"' é,,
r ( W )if;¡, e
(28.67)
Q.-<,W/uJc.
Wc.
El comportamiento de dCW/dwcomo función de la frecuencia se muestra en la figura 28.10. La intensidad máxima es del orden de e'r/~t1 2 ~c y la energía total, del orden de: e 2 r Wc /8t1~é.oc = 3e'r• /-grr Eof' . Este expresión permite evaluar las pérdidas radiativas por revolución en los 2
aceleradores circulares .
d'l.S/dw
er12 nc
r~fJ·
2s. 10
La radiación representada por (28 . 60) y (28.65) recibe el nombre de radiación de sincrotrón porque se observó por primera vez en los sincrotrones .
Es
interesante observar
que
en
el caso de movimiento
circular periódico, el espectro es discreto y está compuesto de frecuencias múltiplo de la fundamental c..Jo=CIJ. Como la partícula cargada repite
su movimiento a
un
ritmo de c/.¿Hf revoluciones
por
segundo,
conviene hablar de la distribución angular de la energ ía radiada en el armónico "Y\-Wo. Para ello multiplicamos ( 28. 65 l por la frecuencia
C'AMPO ELEC'TROMAGNETIC'O. PROPAGAC'ION Y RADIACION
'
41 7
de repetición c /~np para convertir la energía en poLencia y por w., ° C/f para pas a r de unidad de intervalo de frecuencia a armóni co . Por cons iguient e l a potencia radiada en el armónico ~Wo es
d~ d.o..
.
'
11..
01'1
e~
0t-t
f
r
(~f f
d~"ZJ dwdD.
\
(28 .68)
WoY\.Wo
~::; lw~TLWo
(28 .69 )
Estos resultados teóricos se han comparado con los experimentales para varias energías de sincrotrones y han resultado estar en buen acuerdo . Debido a la amplia distribución de frecuencia indicada en la figura 28 . 10 que cubre las regiones del visible , ultravioleta y rayos X, la radiación de sincrotrón resulta útil para el est udio de las propiedades ópticas de los sólidos . Buena parte de la radiación óp tica y de radiofrecuencia e n el campo de la astronomía es radiación s incrotrónica y se interpreta debido al giro de las partículas c argadas en órbitas circulares o helicoidales en un campo mag nético . En este campo, el análisis de l a r adiación co n stituye una importante herramienta para la interpretación de l os fenómenos físicos del Universo.
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
)
41 9
CAPITULO XXIX. REACCION POR EMISION. - Introducción . En este capítulo nos planteamos el problema de estudiar el movimiento de una partícula cargada de una forma consistente, esto es , teniendo en cuenta el efecto producido por la emisión de radiación por
\
parte de la carga , radiación que , como sabemos transporta tanto energía como cantidad de movimiento, y ~or tanto debe incluirse forzosa mente en las ecuaciones del movimiento . Ante este planteamiento cabe preguntarse porqué generalmente se evita este problema y cómo, a pesar de ello , se obt ie nen resu l tados que concuerdan muy bien con la experiencia. En esta segunda cuestión tenemos ya una respuesta parcial a la primera, puesto que existen muchos problemas en electrodinámica que se pueden plantear, dentro de un margen de error despreciable, sin la complicación de incluir los efectos de reacción por emisión. Además, es necesario señalar que no existe un tratamiento completamente satisfactorio del problema pues presenta dificultades que se hallan relacionadas con una de las cues tiones más importantes de la física: la naturaleza de una partíc ula elemental , como es el caso del electrón. Esta limitación no proviene únicamente de que nuestro tratamiento sea clásico, puesto que ni siquiera un tratamiento cuántico del problema ha dado soluciones completamente satisfactorias. En el apartado siguiente trataremos de hallar una ecuación de mov imiento para partículas cargadas en la que se tengan en cuenta los fenómenos radiativos mediante un término de fuerza Fs que ha de calcularse, por la razón anteriormente expuesta , de forma aproximada . Vere mos también cual es el límite de validez de esta ecuación, que coinci de con la de la propia electrodinámica clásica . 2.- Cálculo aproximado de la fuerza de reacción radiativa. De acuerdo con lo que acabamos de exponer, la ecuación de movimiento de una partícula cargada en el seno de un campo electromagnético puede escribirse ( 29 . 1 )
donde (29. 2)
420
R. GOMEZ MARTI N
es la fuerza externa de Lorentz, y Fs es la fuerza de reacción por emisión, que tiene en cuenta los efectos de radiación y que se suele denominar fuerza de frenado de Lorentz. Para calcular la fuerza ~\, cabría en principio proceder suponiendo que la carga tiene una estructura previamente determinada, que generalmente se supone esférica . La dividimos en elementos dq y dq' y calculamos entonces ld acción del campo radiado por dq' sobl','e dq, teniendo en cuenta el tiempo de retardo; sumando ahora el efecto de todas las dq' sobre todas las dq ·se encuentra la fuerza de autoacción total buscada. Este tipo de cálculo resulta complejo y , además, solo es posible efectuarlo a partir de un modelo, cuya validez es muy pequeí'!a desde el punto de vista de la teoría cuántica contemporánea. Nosotros procederemos mediante otro tipo de consideraciones, que, si bien no son rigurosas, conducen a la misma expresión que el método anterior para la fuerza de reacción. Supondremos, a priori, que la fuerza de frenado de Lorentz es pequeña e n comparación con la fuerza exter na . Bajo esta hipótesis te nemos que (29. 3) es decir, se puede considerar que la carga se mueve únicamente bajo la acción de la fuerza exterior. Por otra parte, como sabemos , la pérdi d a de energía de la carga por unidad de tiempo en su movimiento es, considerando velocidades no relativistas eV~,a,
6
t1
&,
(29.4)
c5
A partir de esta expresión podremos hallar la fuerza 'Fs, haciendo que el trabajo efectuado por esta fuerza sobre la partícula en el intervalo de tiempo desde t 1 hasta t 2 sea igual a la variación de energía de la partícula por radiación en ese intervalo de tiempo. Por tanto \}. \j-
e integrando por partes el segundo miembro queda t.., t
J Fs · ~ d.t l,
d.:l
t,.,
~ 1~ cll~ ·~)- )\J.J)dt] l,
(29 . 5)
(29.6)
t,
Ahora bien , si el movimiento es periódico , de forma que en los
CA MPO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGAC ION Y RADIACION
421
instantes inicial y final el estado del sistema es el mismo, o si ¡j-.\jes cero en esos don ins t antes , resulta
dl ; -~ G ti E.oC3
1*-~ l
\3-. j cl*-
(29 . 7)
l,
de manera que i gualando los integrandos queda (29 . 8)
.\
En estas condiciones, vemos que la fuerza de reacción depende de la derivada de la aceleración de la carga. Por fin, la ecuación del movimiento para la partícula queda en la forma
e."'
m. cr
(29 . 9)
GtiE0 Cº
ecuación que se sueie denominar de Abraham-Lorentz, y que aproximada mente y en promedio temporal incluye los efectos reactivos de la radiación . Hemos de tener en cuenta que, de acuerdo con la hipótesis inicial de que Fs < < Fe , resulta que m.~ ~Fe . De hecho, si no fuese así , los resultados que obtendríamos no serían aceptables, ya que si pusiésemos por ejemplo que Fs>> Fe ' tendríamos que ( 29 . 1 o) cuyas soluciones son t¡.._
e y
k.
'7
o
( 29 . 1 1 )
si desechamos la solución trivial, resulta que llegamos a un hecho
inaceptable, como es el que una partícula se acelere a sí misma , contradiciendo tanto las leyes de la mecánica como los resultados experimentales . Por tanto, la ecuación (29.9) resulta útil solo en el dominio en que el término de reacción es pequeño . Supongamos ahora que la f uerza externa de Lorentz a que se halla sometida la partícula es periódica en el tiempo, con frecuenciaw. Dado que ',
podemos escribir, de acuerdo con (29.8)
Fs "
e.¿, G t1 Ea
J..
e"
Yl1.
d l="e elt
( 29. 1 2)
422
L'vn
R. GOM EZ M A RT IN
10 que ld L'ondición de Vdlidez F << F' s
U)
e
es equivdlenle
d
( 29. 1 3)
<<
Esca desigudldctd es fundctmental pdra tener idea de la aplicabilila te01·ía e lcisica de la radiación, y solo en lds condiciones que en ellas se expresan la teoría clásicd del campo electromagnético conduce a resultados razonables. Si m representd la mdsa del electrón, la condición expresada en (29 . 13) se cumple para todcts las fre cuencias ópt,icds y los rayos X, e incluso para los rayos ~ no demasiado duros 21 ( f~1 0 Hz) . Sin embargo, en el caso de rayos 1f duros las leyes de la electrodinámica clásica result an inaplicables, y son los efectos cuánticos los que juegan ya un papel fundamental . Resulta interesante escribir (29 .13 ) de otra f orma , introduciendo en ella la longitud de onda : A=~tt~/w , quedando dad de
( 29. 14) que se puede expresar de una forma sencilla utilizando la expresión del radio clásico del electrón ( 29. 15)
con lo que resulta finálmente ( 29. 16)
Así pues, podemos decir que la teoría clásica del campo electromagnético es adecuada cuando consideramos fenómenos que se producen en una región del espacio cuya extensión es mayor que el volumen clásico del electrón o en intervalos de tiempo mucho mayores que :2..,, \0- ~.5. e En realidad, los límites con la descripción cuántica los marca de una forma más precisa la longitud de onda de Compton 2
\
li. me
11.c. : . _ - , ,
- 10
-ó'4-l0
Cm
(29.17)
3 . - Masa electromagnética del electrón . El concepto que vamos a tratar es un int e nto de desarrollar un modelo teórico válido para el electrón, considerándolo como ente puramente electromagnético. Este modelo no es completamente satisfactorio .
CA M PO ELECTROMAGN ETICO. PROPAGACI ON Y RA D IACI ON
)
42 3
La e nergía y el momento totales de un campo electromagnético e n e l es p ac i o libre vie nen dados por las expresiones
CZJ =
t ... t
-21
G
1
léo l" + ~~ ~) d 'J
( 29 . 1 8 )
~ ~ (f"H)d\l
(29 . 19)
C"'
.
'
V
respectivamente, en donde la integración espacio en que existe el campo.
se realiza
sobre
todo el
Consideremos el campo debido a un electrón en reposo .. Supongamos que el electrón es una esfera de radio a. Por simplicidad, suponemos que la carga -e del electrón se encuentra totalmente sobre la superfi cie del mismo . Entonces , los campos en cualquier punto distante r del centro de la esfera son (29 . 20) ( 29 . 2 1 ) para r mayor o igual que a, y cero si r es menor
qu~
a.
Susti tuyendo (29 . 20) y (29 . 21) en (29 . 18) se tiene
w ~~:¡:., =
\ r.. rrl 1::9 00
o
o
a,
(29 . 22)
cLlpdgd;-
para la energía total del campo electromagnético debido al electrón estático .
El factor 1/8 en
(29.22)
es consecuencia de la suposición
de que la carga del electrón reside enteramente sobre su superficie . Diferentes modelos de la distribución de la carga conducen a diferentes
factores
numéricos .
Por ejemplo,
si
su ponemos
una distribución
uniforme de la carga en todo el volumen del electrón, los resultados son - - e.- '~o... i.¡ l1 €.o d! f. (29 . 23)
l
,..
_e_ _;, N
f.o
,..
y
~Q.
,..~
~=~ = O
\} -r
(29 . 24)
y sustituyendo en ( 29 . 18) queda (29 . 25) La sustitución de (29 . 20) y (29 . 21) en (29.19) nos da
424
R. GOMEZ MARTIN
(29.26)
G =o para el momento total del campo debido al electrón en reposo . Si suponemos que la ~nergía en reposo del electrón Llo ' Tilo
e"
es de origen electromagnético , esta ha de ser igual a la energía. total del campo electromagnético del electrón estático. Por tanto, para el caso en que la carga está en la superficie
e"'-- -
(29.27)
De esta manera la masa en reposo del electrón viene dada por (29 . 28) g t1 éoQ;C"-
El momento G del electrón es igual al momento total del campo, es decir, es cero . Observemos que , de acuerdo con (29 . 28) , cuando el radio del e lectrón tiende a cero , la masa en reposo tiende a infinito . Esta es una de las dificultades de la teoría clásica del electrón , dificultad que puede vencerse desde un punto de vista puramente formal introduciendo una ma sa infinita negativa de origen no electromagnético , que compense el valor infinito de la masa electromagnética , proceso que en elec t rodinámica cuántica se con sidera totalmente satisfactorio. o-.
Supongamos ahora que el electrón se mueve con velocidad constante Su e n ergía y momento totales serán ahora
'lJ " G Para el caso en que
"'1.C'-
"rn. \]' = \.J<
(29.29)
'Y\'\.o C ... \'
'YYto 'V
r
(29 . 30)
estas relaciones se reducen a ( 29 . 31 )
e;
-
'YYto \]
( 29 . 32)
Veamos ahora si los resultados expresados er. (29 . 31) y en (29 . 32) pueden obtenerse a partir de las definiciones (29 . 18) y
(29 . 19) y de
l as expresiones de los cainpos para un electrón que se mueve lentamente . En un punto que diste r del centro de la esfera, los campos vienen
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
dados por
-
e.
E
.l.¡ li
i'"
c0
- ..,,,
\)°A i'"
.l.fN
parci r mayor o igual que a .
.
'
'l.J
)°º
.,,_~ o<-ri ~Eo
= donde
e
o
e"' 'e,,.,
)~...
1. .
o
i
+ 5:-_ 3
Eoo..
(29.34) en ( 29 . 1 8)
~stituyendo
1
( 'i. +
~
e"'
es el ángulo entre v
\]'
.
~e.~e) ~e.ne
el -e dg di'
e"'
"("-
o
(29.33)
1'"3
-~
B
) -
(29.35)
'h1. o
y r.
425
e"' (
i. + ~ IJ" ) 3 C°'
De forma análoga, sustituyendo en
( 29 .19)
J
-;::_ ~ - _e.,,__ !G t1 •é,,c"
~
11
r . . r.¿ '
••...
-
~1J·-
..., :!:..V'cme)1e'Ylg d1Rd&d1 - ~-m\J -e
(29.36)
3
o o o Donde el segundo sumando del componente según la dirección de
v
integrando solo contribuye en su debido a la simetría del momento
radiado. Si suponemos que el momento del electrón es lgual al del campo, que vi@ne dado en (29 . 36), o, equivalirntementc, quG l a energía cinética del electrón es igual a la parte de le energía total dada por (29.35) que depende de la velocidad, utilizando el desarrollo del binomio obtenemos para la masa en reposo del electrón
=
e~
( 29 . 37)
---<ó T1
Eo a.e"'
Por tan to, las ecuaciones ( 29 . 1 8) y ( 2 9 . 1 9) dan una mayor masa en reposo para un elect r ón que se mueve lentamente que para un elec trón estático . Fué Rohrlich e l pr imero que señaló que esta discrepancia ocurre porque las e xpres i o nes (29 . 18) y (29 . 19) no son i nvariantes de Lorentz es decir, que su forma cambia cuando se realiza una transformación de Lorentz. La razón física de esta falta de invarianza es que la superficie de un electrón en mov imien t o ya no aparece como esférica para un observador en reposo . Rohrlich reemplazó (29 . 18) y (29 . 19) por ex presiones que son invariantes de Lorentz, que para velocidades no re lativistas se reducen a
'L.f
=
G
~ ::::
I (. c:z.
f.o E"+
~~· 6.. ) ¿ V-
r ( E"H )d\J
+-
e•
J (f"~» G d\I T lem)
C"
ú
dv
(29 . 38)
(29 . 39)
...,.,._.
426
R. GOM EZ MA RTIN
siendo
T l~'N\.J
el tensor electromagnético.
Sustituyendo las expresiones de los campos dadas en (29 . 33) y en (29 . 34) , y despreciando los términos en
G Por lo
0
~~/e~,
encontramos que
"WLo ~
tanto, el tratamiento de Rohrlich conduce al momen t .o co-
rrecto del electrón. Desgraciadamente , si retenemos el término en >J•tc~ en la expresión de la energía total, encontramos que ~ "
bajo la acción de una fuerza restauradora -k . x . En ausencia de la
fuerza de racción, la ecuación del movimiento es (29.40) cuya solución viene dada por (29 . 41) siendo
Wo·iF/~1 a frecuencia de las ondas monocromáticas que en teoría
se emitirían en ausencia de F s . Si consideramos ahora la fuerza de reacción, la ecuación del movimien to toma la forma ( 29 .42) _,.
y r ecordando la expresión para Fs' queda
X
(29.43)
en donde
6 (29 . 44)
CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACION Y RADIACION
.
'
427
Si consideramos que Fs es pequeña en comparación con la fuerza restauradora
- Kx
(29.45)
la aceleración la podemos hacer igual , en primera aproximación, a la del caso en que no hay reacción por emisión, '
'
es decir,
a partir de
(29.40) se tiene X
-
w 0"
j
'f..
(29 . 46)
X
con lo que sustituyendo en (29 .43) y haciendo (29 . 47) podemos escribir X+
ox
.,,
+
Wo
x.
=
O
(29 . 48)
· 1as raíces de la ecuación característica de esta ecuación dife rencial son (29 . 49) que para el caso en que o.:
\o) :: 'f.. 0
( 29 . 51 )
;
resulta que la solución de la ecuación diferencial es ( 29 . 52) siendo el coeficiente de amortiguamiento d.: ~o , que resulta análogo al de un oscilador mecánico sometido a fuerzas de rozamiento. Es t a es la justificación de que llamemos a Fs fuerza de frenado de Lorentz. Para hallar ahora la emisión del osc i lador amortiguado, escribiremos su aceleración, a partir de (29 . 52), en la fo r ma
"·
428
R. GOMEZ MARTIN
a... :: )(
(29 . 53)
donde A es una constan te que, dentro de la aproxi mación ~« Wo es : A.,, -Xo Ahora bien , la expresión ( 29 . 53) para la aceleración nos muestra que no es una función periódica del tiempo, por lo que las ondas electromagnéticas que emite el oscilador no poseen una frecuencia determinada, sino que , por el contrario. en la radiación emitida se hallan presentes todas las frecuencias desde cero hasta infinito : un osci l ador amortiguado radia un espectro continuo de frecuencias. Vamos a estudiar ahora la distribución espectral de la energía emitida en la radiación . Es ta vendrá dada por una función , 'LJ lw) que representa la e nergía radiada en el intervalo de frecuencias e ntre w y w+dw. Se le denomina función espectral de Lorentz, y está ligada con la energía total radiada por el oscilador ~º por
w: .
'ZA.fo "r'l.J
( 29 . 54)
o Por otra parte, de acuerdo con (29 . 4) , l a energía total emitida es
u. .
r
?J
(29 . 55)
o
en donde hemos extendido el i ntervalo de integración a l os valores negativos de t, ya que para t
U. ) (29 . 56)
en donde A {W) viene dada por
Alw) ~
(29 . 57)
y ten iendo en cuenta (29.53) resulta
A <..w),,
A '2t1
r
e
- Í.
!; -·\ l Wo- w 11t
c:H.
A .Z"li
L
! -) lw -w)
Si hacemos uso de la igualdad de Parseval
0
(29 . 58)
CAMPO ELECTROMAGN E'l ICO PROl'AG/\CION Y RA DIAC JO\
'
429
llegamos a
( 29 . 5'.:i) fórmula que
su.;;tituida
en
(29 . 55)
conduce
a
ld sig,liE:nt.E: ex¡:..resiór,
para la energía total emitida
.'
A...
e" i01i"éo
r~
(29.601
o
Por ot r a parte comparando (29 . 60) con (29 . 54) y ti::niendo en c•..1er1ta el valor de 'le.fo, obtenemos
A"'
e" G 't1 Eo c3 ~ -¡¡ > + lW-luo
(._,Zr1)"'
La de
función
wo/~o
,
4
de
distribución
n
Tuo o \..'21i)~
espectral,
- -i - - -
( 29 . 61 )
[lwo-w)"'+~' ] 4
para
diferentes
valores
tiene la forma que se aprecia en la figura 29 . 1 .
'lJ,f"') 80
60
lO
F¡9 , 29 . 1
Todas la curvas presentan un máximo en w ~ w 0 , siendo w 0 la frecuencia a la que emitiría el oscilador sino existiera amortiguamiento . El valor de la distribución espectral para el máximo es (29 . 62) Para
w:: w 0 ± !: , la función vale ~
430
R. GOMEZ MARTlN
( 29 . 63:.1
~a
Es Je-:-i1', la intensidad emitida a esas frecuencias resulta ser mitaJ Je la que se emite en el máximo. Por esta raz6n , a la can t i-
dad -s Í"- se le E arna semianchura de la raya erni tida . Esto corresponde a un :'..ntervalo de 10:1gi tudes de onda en un entorno de la de reson.an c ia dado por 1l
A-/ Wo
.¿N
1¿~1 W
(29 . 64) Wo
Teniendo en cuenta el valor de o, resulta ( 29 . 65)
Para el caso de que la partícula sea un electr6n, haciendo uso de la expresi6n de su radio clásico, queda, finálmente; (29 . 66)
resultado que nos dice que el intervalo de longitudes de onda en que la intensidad de radiaci6n decrece a la mitad es una constante unive rsal, (es independiente de la longitud de onda de resonancia) cuyo orden de magnitud es el del radio clásico del electrón .
CA MPO ELECTROM AGNETI CO. PROPAG ACJON Y RADJACI ON
431
TEMA XXX. DISPERSION Y AB SORCION DE LA RADIACION . 1 .- Dispersión de ondas elec tromagné ti cas por cargas l ibres y ligadas . Supongamos que una onda electromagnética monocromática plana que se propaga en el vacío , incide sobre una partícula de masa m y carga e.
La fuerza que actúa sobre la partícula viene dada por la f órmula
de Lorentz ( 30 . 1)
Supondremos en lo que sigue que en todo instante la ve locidad de la partícula es no relativista . En estas condiciones , como B=E/c, te nemos que la fu erza ejercida por el campo magnético B sobre la carga es del orden de v/c veces de la ejercida por y, por tanto puede su-
E
ponerse despreciable, de modo que la fuerza ejercida por la par tícula es (30 . 2)
Debido a esla fuerza, la particu la adquiere la aceleración (30 . 3)
y se convierte, como ya sabemos, en centro de radiación de onda s e l ectromagnéticas , siendo la dirección de emisión de estas ondas i ndepe n diente de la dirección de propagación de la onda incid ente . Este proceso completo se denomina dispersión de la radiación i ncidente ( " scatering") . En el tratamiento clásico que sigue veremos que , desde este punto de vista , la fr ec uencia de la onda emitida es la misma que la de la onda
incidente,
es decir
se trata de una dispersión coherente .
Sin
embargo, bajo un tratamiento cuántico del probl ema , se encuentra que en algunos casos puede producirse la dispersión con un cambi o de fre c uencia, a l o que se denomina dispersión incoherente . Muchos aspectos de la dispersión de la radiación se pueden explicar satisfactoriamente si n necesidad de un tratamiento cuántico . Supongamos ahora q ue la partícula sobre la que incide la onda plana es un electrón y está elásticamente ligada , de forma que aparece una fuerza restauradora cuando se desplaza de su posición de equili brio
.
~
432
R. GOMEZ MARTIN
(30.4) a
qu~
la
Wo=(K/m)~.
corresponde una frecuencia natural o propia del oscilador de modo que
(30.5) Si tenemos en cuenta en cuenta además el pequeño término correctivo debido a la radiación por emisión estudiado anteriormente , la ecuación de movimiento puede escribirse de la siguiente forma para el caso de un electrón
-rn. ~ = e [ - 'fYl. w~
r
+
e.'2. \ G
i;
(30.6)
& C. 3
o sea
w;;
+
( 30. 7)
despreciando en primera aproximación el pequeño factor de amortiguamiento por radiación, podemos escribir, de (30 . 6), que
(30 . 8) con lo que la ecuación de movimiento queda de la forma
-
,..
+o~
+ Wo""
(30 . 9)
.:¡
siendo el factor o:
o =
la
'°
t1
E.o e 3 "lYl.
Si suponemos, para simplificar, que la onda plana se propaga en dirección positiva del eje z y con el campo eléctrico vibrando
según
el
eje x,
de
acuerdo con la figura
30.1,
la ecuación
(30.9)
puede escribirse
(30 . 10) que
es
la ecuación del movimiento forzado de un oscilador
armó nic o
amortiguado y cuya solución estacionaria es X =
e to e
.i lu..r\.- V::;!.) (30 . 11 )
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
433
Esta ecuación muestra que el desplazamiento está en general desfas ado con respecto al campo eléctrico en un ángulo ( 30 . 1 2)
,
'
X
i!
Fi.g..
JO. 1
Dado que el momento dipolar inducido es
cL.
ex
( 30 . 1 3)
la radiación de dispersión es de tipo dipolar y , por tanto , la potencia radiada en el ángulo sólido d.n vendrá dada por
d
1>
=
'2l dn. ( 30 . 14) \.lo,..,~
'
'
fo"",.,4
,
+-:."" ~ ~-fte uys" c.wt-K ~-aJcln.. lLi Ti)"' e IYL~ (_W 0"- - úf /' + u.f 75 1 donde @ es el ángulo formado por la dirección de observación ~ y el vector de polarización E (fig. 30.1 ). 0 La ecuación (30 .1 4) traduce el hecho de que la rad iación de " scatteri ng " es de la misma frecuencia que la onda incidente pero desfasada con respecto a ella un ánguloÓ.
Introduciendo la ex presión del valor medio ael vector de Poynti ng o intensidad de la onda incidente I 0 =1 /2 dio c l ásico del e l ectrón podemos escribir
..
·~·
cé0 E~
y la expres i ón del ra-
434
R. GOMEZ MARTIN
( 30. 1 5)
Sustituyendo en (30 .14) y hallando el valor medio de esa expresión en un periodo T~ ¿11 /w , se encuentra que dP
~
Y"º,
Io e.u"
( 30 .16)
(_ w:- w> >"' + w' 1S"
que es el valor medio de la potencia radiada en el ángulo sólido dn.. La magnitud sección eficaz diferencial de dispersión ci !f en el ángulo sólido dn, se define como la razón entre (30 . 16) e r , es decir: 0
do-
0
"\:'w~ óeYl.'\3 1
2
(G0o -w') + w'11
( 30. 1 7)
d.n. 2
que como puede comprobarse, tiene dimensiones de superficie . Seguimos considerando que el eje polar z está dirigido según el vector de onda k de la onda incidente mientras que el eje x lo está según el vector de polarización (fig . 30 . 2). ~
ñ
Eº
F~ . 30. 2
De aquí se observa que
C0:1
~ " -:!~"'-Ef ~ ~ ,
o bien
CAMPO ELECTROMAG'l/ETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
435
( 30 . 1 8)
En la práctica, es a menudo importante conocer la sección ef icaz correspond iente a una radiación incidente no polarizada . Para hallarla hay que promediar la sección eficaz (30 . 17) respecto de todas las polarizaciones posibles,
es decir,
respecto de todas las orientaciones
posibles del vector E en el plano XY . Esto significa que es necesario 0 promediar la expresió n (30.18) con relación a todos los val ores p osibles del azimut 'f:
en este caso
do-=
"'º""w~ le.Jo"'- Lú~ + W~ '!S'-
t
!..+c:m'-e ( 30 .1 9)
.¿,
que muestra que en la dirección de la radiación incidente (9=0) y en la opuesta (9=n), la potencia di.¡¡.persada tiene el mismo valor que es precisamente el máx imo . Integrando ( 30 .1 9) con respect o al ángulo sólido se obtiene la sección e f icaz total de dispers~ón de ld radi~ción no polariz ada (30 . 20) expresion que traduce la relación entre la energía total dispersada y la energía de la inc i dente y que recibe el nombre de fórmula de la dispersión de la electrodinámica clásica . De acuerdo con (30.20), la dependencia de la sección eficaz total respecto de la frecuencia presenta un máximo muy acentuado en w = w 0 ; es decir , para una frecuencia de resonancia de la radiación incidente igual a la frecuencia propia del oscilador . Para w~ Wo, (30 . 20) queda de la forma
l Wo-W )._
( 30 . 21)
+-( ~ )¿ .¿,
en
.
particular,
exacta
en
el máximo,
es
decir,
para el caso de resonanc ia
w =e.Jo , la sección eficaz vale
'
i ti 3
dado que
~<
2. Wo"' o --
i""
u-~
la sección eficaz q ue corresponde a la frecuencia de
resonancia alcanza valores muy grandes .
Es te
fenómeno
desempeña
un
436
R. GOMEZ MARTIN
importante papel en la óptica de los medios materiales y se denomina resonancia por fluorescencia. Estas expresiones coinciden formalmente con las que se obtienen en macánica cuántica . Consideremos ahora las expresiones que se obtienen a partir de (30 . 20) en los casos límites de frecuencias muy pequeñas y muy grandes . Para fre c uencias muy pequeñas tales que w<< Wo, que corresponde a cargas fuertemente ligadas , se obtiene que (30.23) donde la sección eficaz resulta inversamente proporcional a la cuarta potencia de A, que es la longitud de onda de la radiación incidente. Este tipo de radiación se denomina radiación de Rayleigh. Esta ley de dispersión tiene un carácter muy general siendo aplicable cuando la longitud de onda de la luz incidente es grande comparada con el tamaño del volumen del dispersor . Para al tas frecuencias tales que w n w.,, la expresión ( 30. 20) vuelve a simplificarse obteniéndose
3
=
_!__ 6
(30.24)
que se denomina fórmula de Thomson.
1
0-,.
o
----t--------------w
hr;. JO. J
En definitiva, la representación de la sección eficaz total para la dispersión de radiación por un oscilador en función de la frecuencia, toma la forma de la figura 30 . 3, de modo que, para w ">> Wo, la sección eficaz o-,. de Thomson resulta ser constante e independiente tanto de la frecuencia de radiación dispersada como de las propiedades
CA MPO EL ECTRO M AGNETICO. PROP AG A CIO N Y RADIA C ION
)
437
d e l osc ilador . Esta Última circunstancia tiene un significado simple : para f recue ncias elevadas, la f uerza de b ida al campo que actúa sobre la carga es muy grande comparada con la fuerza elástica y el electrón se dispersa como si fuera una partícula libre. Este es el caso , por ejemplo , de los electrones de un átomo si se puede prescindir de las f uerzas que los ligan a los mismos y considerarlos como libres . Por otra parte
;
tenemos que pensar que no hay que tener e n cuenta la radiación dis persada por los núcleos pesados, puesto que la sección eficaz es inversamente proporc i onal al cuadrado de la masa de dispersión . La expresió n (30 . 24) para l a sección eficaz de Thomson ha sido s ometida a una rigu rosa comprobación experimental , cuyos resultados se presentan en l a figur a 30 . 4, donde vemo s que la razón ~~f/üT ~ l solamente para longi tudes de onda mayor que uno s 2 Para longi t ude s de onda menores , la descripción clásica de los procesos de dispersión resulta inaplicable
A.
debiéndose
acudir a
la
teoría cua n tic a
para conseguir un resultado
aceptabl e, obteniéndose la expresió n de Kl ein- Ni shina que cor responde a la dispersión de Compton y que concuerda exactamente con la experimental . cr la;.
0,6 O,t.
0,2
F.i..9-. J0. 4 En cuanto a la expresión de la sección eficaz de dispersión dt Rayleig h, es interesante hacer notar que é l dedujo dicha expresión en sus investigaciones sobre el estudio del azul del c i elo . Te n iendo en cuenta que la frecuencia natural de las cargas eléctricas en una mo lécula es del orden de la correspondiente al ultravioleta , siendo por tan t o menor la frecue ncia de la luz visible ( w <
438
R. GOMEZ MARTIN
lo que corresponde al ultravioleta. No obstante , dada la poca sensibi lidad
del
ojo humano a
este color , el que en realidad vemos es el
azul, que es el que le sigue en orden de magnitud de frecuenc ia y, por tanto , al que corresponde mayor intensidad de la luz dispersada . En otras palabras, la luz azul es más dispersada que la roja (la luz azul tiene una longitud de onda aproximadamente la mitad de la luz roja y por tanto su sección eficaz es aproximadamente dieciseis yeces mayor), con lo que resulta la tonalidad azul del cielo. Hacia la noche cuando la luz del Sol tiene que atravesar una gran distancia a través de la atmósfera terrestre para alcanzar un punto cerca del observador, una gran proporción de la luz azul ha desaparecido de ella por disper sión . Blanco menos azul da tonalidad amarilla o roja. Entonces, cuando la luz del Sol, sin componente azul, incida sobre una nube, la luz re f lejada de dicha nube cuando llega al observador , tiene una tonali dad amarilla o roja que se observa en una puesta de Sol. En contraposición, por ejemplo , en la corona solar en que las partículas son libres (la materia en la corona se encuentra en estado de plasma) la dispersión por los electrones de l a luz solar es indep endiente de la frecuencia, luz O.ispersada es blanca .
dispersión de Thomson , y,
por tanto , la
También podemos e xpli car que la luz azul del cielo está lineal mente polarizada cuando el observador mira directamente sobre su cabeza. Veamos que esto es efectivamente así . Para ello nos apoyamos en la figu ra 30 . 5 .
F.i.g. JO. 5
CAMPO ELECTROMAGNET I CO. PROPAGACION Y RADIACION
'
439
La luz natural sin polarizar viene de la izquierda a lo largo del eje x y pasa sobr e un observador que mira verticalmente hacia arriba a lo largo del eje z. Supongamos una mo lécula de la at mósfera locali zada en O. Debido a qu e el campo eléctrico de la onda forma un ángulo recto con la direcció n de propagación, se produce una vibración de las cargas de dicha molécula en el plano ZY . Ahora bien, una componente arbitraria de la luz incidente, vibrando según un ángulo e con el eje z, hace que la molécula vibre en la misma dirección , como se muestra en la figura, pudiéndose entonces descomponer la vibración en una componente según el eje y y otra según el eje z. El resultado es que cada componente de la luz incidente produce el equivalente a dos antenas dipolares moleculares oscilando con la frecuencia de la luz incidente a l o largo de los ejes y y z respectivamente . Ahora bien, como es conocido, la antena no radia en la dirección de su longitud, de aquí que la antena a lo largo del eje z no envíe luz al observador directamente debajo de él . La única luz que alcanza al observador proviene de la componente de vibración a lo largo del eje y. Como en el caso de la onda emitida por cualquier antena esta luz está linealmente polarizada con el campo eléctrico paralelo a la antena, como muestra la figura 30.5 . 2. - Absorción de la radiación por un oscilador .
Vamos a calcular la energía abso~bida de la onda por un electrón ligado al sistema. Consideraremos el paquete de ondas dado por
-E l t.) donde t: lw) es la una distribución la resonancia . Sustituyendo cilador (30.9) y rier, se obtiene
=
Jr"" -[ lw) e.jw\:.clw
(30 . 25)
transformada de Fourier de la señal incidente y es que varía lentamente con w en las zonas próximas a esta expresión en la ecuación de movimiento del os desarrollando su desplazamiento en integral de Fou-
~lw)
=
(30.26)
Por otra parte, la pérdida de energía de la radiación o energía absorbida por el oscilador es igual al trabajo total efectuado por el campo sobre el oscilador. Calcularemos este trabajo mediante la fórmu la
440
R. GOM EZ MARTIN
J
F. \7 dt
( 30. 27)
--
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier tiene l a propiedad
)""
t(l) ~ll)cH = ~l"lf [}:' lw)G'\w)+~(w)Glw) ldw
-"<>
o
y que
llamando E (t) a f(t) y ?Ct) a g(t), nos queda entonces
f!,VJ " e. (-EU.)· .:f Ll) dt =
J
2
.Ztt Q -rrt
--
J""l tlw)( ..aw2 ~
dU)
lWo'-w2 / +112w 2
o
Ten iendo en c uenta además que la parte del integrando que mul ti p l ica a [ ~ (.w) ]~ tiene un máximo muy acusado alrededor de w =u.lo , podemo s escribi r , aproximadamente :
\~
o
O
(<.ilo-W).._
\ Elw)\::i. dw + (~ )"'
Mediante el cambio de variable w-:. Wo ... ~se obtiene ~
2 - - e- -
~ 11
oo
r
1E l
LVo
+ ''2. (¡X.)
\
2
d.x
i + x1
-Z.Wo/í'
Como o <<:. e.Jo se puede cambiar el límite inferior de la integral po r oo , quedando 2
E (wo) \ ~~ ~ '2 11 e"' i+ 'i.2. .¿ li'2 8
2
1E
luJo) \
2
=
i'V\. 3
8 1'1
1E levo)\"' ~- 1 l)() \""' _,,,,
€o c.2 •o
=-
(30 . 28)
1E lWo) IV
'l)1.
Así pues, la energía ab sorbida resulta independiente de las propiedades físicas del sistema absorbente , salvo en lo que concierne a la posición de l a f rec u encia de resonancia,
por l o que la e xpresión
obtenida tiene carácter muy general. En la teoría cuántica de la absorción se obtienen también expresiones muy parecidas .
.'
'
PROBLEMAS
\
1
1
CA MPO ELECTRO MAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
~
443
PROBLEMAS
Capítulos I y II.
1
Sobre una superficie
contenida en e l
plan~ xy, exis t e un c ampo eléctrico E.
Calcular a través del tensor eléctrico de Maxwell , la presión ejercida sobre dicha superficie en los casos siguientes:
,,'
O..)
E' E ~
bJ
E' E i
C)
d) e.)
f)
2
1
E·, - E E' - E i
E=
g=
~)
E
1tt.)
E:
(U~) lXt~)E f.?:> <..x - ~ J E li.1~) l-X-iJE
l 1.1
(u~) 1..-x+g)i:
Una carga +q está situada en el punto (a/_2,0 , 0) y otra -q en (-a/ 2,0 , 0) . Cons trúyase una superficie cerrada formada por el plano infinito yz y una semiesfera de radio infinito que encierra toda l a región izquierda de dicho plano. Calcular la fuerza ejer cida sobre la carga -q integrando el tensor de Ma xwell sobre esta superficie.
3
Repetir el problema ant er i o r s i a mbas cargas son positivas . Calcular la fu e rza sobre le carga +q s ituada en e l p unto (-a/2 , 0 ,0 ).
4
Sea una placa de metal de superfi cie i nfinita, situada en el plano yz y una c arga +q en el punto
.
(a,0,0) . Calc ular la fuerza ejercida por la carga +q so-
bre el metal utilizando el tensor eléctrico de Maxwel l .
l
5
Re petir el problema anteri or c ambiando la carga p osit iva por otra negativa .
6
Calcular la pre sión ej ercida sobre una de l as placas de un condensador plano en función de l a densidad de c arga en las p lacas.
,.' 7
Considérese una super f icie cerrada que encier r a
una d e las placa s de un con -
densador plano y utilizando el ten sor eléctrico de Maxwell , calcular la fuerza ejercida sobre la placa. Con sidera r e l campo uni f orme y despr eciar l os e f ectos de bornes .
)
8
Calcular mediante el tensor de Maxwel l la fuerza que realiza un camp o uniforme
E sobre 9
una carga puntual q.
Una superficie en el plano xz ti e ne un campo B que forma un ángulo €! con e l eje y. Usando el tensor de esfuerzos d e Maxwel l , encontrar la fuerza por uni -
1
l
444
R. GOM EZ MART IN
dad de área que se ejerce sobre la s upe rficie .
10
Un a
placa
1. 000 G.
no
magnét i ca
tie ne
perpendic ular
a
...
sobre
ella.
su superficie un campo magnético B d e
Encontrar e l
valo r
de la tensión sobr e
la
p l aca .
11
Dos hilos conduc t o re s infinitos y paralelos están separados por una
dis~ancia
2a; por cada uno de e llos pasa una corriente d e intensid a d I en sentido contrario una de la otra . Calcular mediante el tensor magnético d e Maxwell ,
la
fuerza por un idad de longitud que se ejer ce sobre c ada hilo conduc t o r.
Cap ítulos III a
12
v.
Un " stripli ne " es una línea d e transmisión f o rmada por d os l á mina s conductoras paralelas , tal corno se muestra en la figura. Despreciando las pérdidas , d e mostrar que l os parámetros de un st ripline son
L • t-t- o../ 'o
( 1-1 1"1. )
b/ct.
l i:/m)
~~ Q./b
:('l_o {
E
~)
a./b
j
lámina co nductora
a b
13
Para la transmisión de señales d e frecue n cia aproximada a 1 GHz se usan f recuentemente l í n eas de t r ansmisión "microstrip" como la que se muestra en la figura. La anchura de la lámi na base es varias veces mayor q ue la a nchura de la lámina
supen.or y e l
a nchura d e
espesor del dieléctrico es pequeño comparado con la
la lámina s uperior.
Despreciand o las pérdidas ,
demostrar que la
impedancia característica de un microestrip es
Z0 donde
7 0
(
1o / 'ÍT,.
es la impedan cia del vacio y
dieléctrico central.
) (a.. / b )
Er es la constante dieléctrica del medio
CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
445
)
lámina metálica
,,'
lamina metálica base 14
Para funciones
arbitrarias del tiempo,
la fracción de energía reflejada y
calcular en una línea de transmisión
la fracción de energía transmitida hacia
la resistencia de carga RL.
15
Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión de una línea de transmisión para los siguientes casos de impedancia de carga: b)
dJ donde
16
ZL ~ Lo /3
Zl
= 3
L
.loes la impedancia característica de la línea.
En la linea de transmisión de la figura,
el interruptor se cierra en el ins-
tante t=O . Dibujar la corriente y el voltaje en el extremo fuente de la línea en función del tiempo.
17
La figura muestra una línea de transmisión cargada a un voltaje Vb . En t=O l a resistencia R se conecta a
la línea. Obtener y dibujar las ondas de corriente
y tensión durante la descarga, así como el voltaje y corriente en los extremos de la línea para los siguientes casos : a) R= 2Z ; b) R=Z ; c) R=Z /2 . 0 0 0
t=O
R
~ 1
--1
+ + + + + + + +
•
446
18
R. GOMEZ MARTIN
La línea de transmisión de la figura tiene una impedancia característica de 50..n. , una longitud de 400 m,
una velocidad de propagación de 200 m/rs y una
resistencia de carga de 16' 7 .n.
En el extremo de la línea se conecta un gene-
.
rador de pulsos de 40 V de amplitud y 1 rs de duración. Obtener y dibujar las ondas de voltaje y
corriente en el extremo fuente de la línea para un solo
pulso. ·Repetir el problema si la duración del pulso es 6 ~s.
400 m.
----J ':
19
En la línea de transmisión del problema anterior, la resistencia de carga se Dibujar las ondas de voltaj e y corriente en
reemplaza por un cortocircuito.
función del tiempo en el extremo fuente de la línea, en e l
caso de un pulso
de entrada de 32 V de amplitud y 1 ~s de duración, Repetir el problema para un pulso de 6
20
f-LS·
Una línea de transmisión cuya impedancia característica es z =200.n. y longitud 0 1, termina en una resistencia de 800 .o. . Una resistencia de 300 n.. está situada en z=l/3 como indica la figura. La línea
se conecta a
una pila de 6 V
cuya
resistencia interna es de
400-Cl. Llamando T a T= l/v, donde v es la velocidad de fase, calcular a) En t=O cual es el voltaje y corriente de las ondas que empiezan a propagarse en la línea. b)
En t=T/3 la onda llega a la resistencia de 300 n., ¿cuál es el voltaje
y corriente en esta rama? c)
En t=T
la onda
llega a
la
carga ,
¿cuál es el voltaje y corriente en
ella? d) En t=T, ¿cuál es la energía absorbida por la carga? e)
En estado estacionario
(t
~
oo ) , ¿cuál es el voltaje en ambos extremos
de la línea? f)
Dibujar
tiempo.
el
voltaje
en el
extremo fuente
de la
línea en función
del
'l
.
447
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC ION
. \
000..n.
..' 21
La figura muestra una línea de transmisión cuya impedancia característica es de 74 n.,
situada entre otras dos de impedancia característica 100.n. Si se
aplica un pulso cuya subida tiene una duración T , dibujar la forma de la onda 1 en el extremo fuente de la línea, indicando los valores de los saltos.
~=100n.
l,,=100n.
r-1. -j 22
En la figura
1-1~ -1
100.o.
1-1, --l
se muestra una línea de transmisión cuya resistencia d e carga
está formada por un condensador en serie con una resistencia . Calcular la diferencia de potencial entre las placas del conden sador
y dibu jarla para el
caso R=Z . Suponer el condensador inicialment e descargado y RC«T. 0
23
Una línea de transmisión de longitud l e impedancia característica z , termina 0 c. El condensador se carga conectando una pila de voltaje Vb
en un condensador
en el otro extremo de la línea. La pila tiene una resistencia interna
z0 .
Ob-
tener el voltaje Vc(t) en el condensador.
24
z0 , termina en una bobina de autoinducción L. El otro extremo de la línea se conecta a una
Una línea de transmi sión de longitud 1 e impedancia característica
448
R. GOMEZ MARTI N
pila de resistencia interna
z0 .
Calcular el voltaje y la corriente en el ex-
tremo carga de la línea.
25
Un cable coaxial de tipo RG-58A/U tiene una velocidad de p ropagación de 2.10
8
m/s y una capacidad de 100 pF/m. Al final del cable , cuya longitud es de 40 m, se coloca una resistencia de 25A . a) Obtener la impedancia característica del cable. b)
Si la frecuencia de traba jo es de 100 MHz, calcular la impedanci a de
entrada.
26
Una
línea
de transmisión de i mpedancia característica 400 n. termina en una
bobina de impedancia Z=j600.n. Calcular la longitud (en longitudes de onda) de una línea cortocircuitada de la misma impedancia característica que sea equi valente a Z y pueda por' tanto sustituirla .
27
Una línea cuarto de onda ideal tiene una impedancia característica de 300
.n.
y
termina en una resistencia de 600 A_ Si el voltaje en el extremo fuente de la jwt . línea es de 100 e V, calcular el voltaJe en el otro extremo.
28
Sea una línea de transmisión en circuito abierto de impedan cia c a racteríst i ca 50 A y de longitud 5/16 de la longitud de onda_ Calcular el voltaje en el extremo carga de la línea si esta está conectada a un generador cuya impedancia interna es de 20.n. y c uyo voltaje es 10 ejwt V.
29
Demostrar que e n una línea d e transmisión se verifica
Z =V . /I . =V /I O min min max max 30
Calcular la impedancia de carga de una línea de transmisión sabiendo que tiene una impedancia característica de 50 .o.., que su razón de onda es tacionaria es s=4 y que en la carga existe un mínimo de corriente.
31
Demostrar
que la impedancia de ca rga de una línea de
transmisión se puede
expresar
j s ~ (3 5...,... S- j ~ 0 $,.,.,,.,,
i
d onde s
-
es la razón de onda estacionaria de l a línea y 5_.... es la distancia
desde la carga hasta el primer mínimo de tensión.
32
Una línea de transmisión de impedancia característica 300
fi
está conectada a
una impedancia de carga desconocida ZL. Se midió la razón de o nda estacio naria
. CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
449
resultando s=3 , la distancia entre mínimos de tensiones es 50 cm y la distancia desde ZL al primer mínimo 30 cm. Encontrar la impedancia de carga.
33
Una línea de
transmisión ideal de
desconocida, siendo sm3 y de vol ta je cambia a
impedancia z =300 n. termina en una carga 0
5_,.._ =11 cm. Si se cortocircuita la carga, el mínimo
un valor 5,,,,.,,._=20 cm. Calcular el valor de la impedancia
de carga.
34
Una línea de transmisión cuya impedancia z es igual a 75 .a. y cuya velocidad 0 de fase es de 200 m/ ¡;.s, termina en una impedancia de carga desconocida ZL. Calcular ZL si la frecuencia de traba jo en la línea es de 1 GHz, s=4 y ;...,.;.,_ = =10 cm.
35
z0 es derivada en un punto por una resistencia R como se muestra en la figura. Encontrar la poten-
Una línea de transmisión de impedancia característica
cia transmitida a
la segunda parte de la línea si el vol ta je incidente es
v·L ;;¡:º
36
v·L R
Expresar la razón entre la potencia reflejada y absorbida para una línea de transmisión, que transmite energía a una carga, en función de la razón de onda estacionaria. Calcularla en los siguientes casos: a) s=2; b) s=5; c) s=lO.
37
Calcular la potencia transmitida a impedancia
z0 =300.n.
la carga por una línea de transmisión de
cuya razón de onda estacionaria es 5 y cuyo voltaje máximo
es 150 V.
38
39
Diseñar una línea cuarto de o nda que adapte una línea de z =300 .n. a una carga 0 de: a) 100.n.; b) tlOO+JlOO)n..
Una línea de transmisión sin pérdidas tiene una carga normalizada de O'S+j0'7. La longitud de onda sobre la línea de transmisión es de 40 mm. Calcular analíticamente y mediante la carta de Smith los siguientes apartados : a) ¿Cuál e s la impedancia a 8 mm de la carga?
\f
i ll l l lt.U
450
R. GOMEZ MARTIN
b) ¿Qué valor tiene el coeficiente de reflexión en la carga? c) ¿Cuál es el valor S.W.R. para esta carga? d)
40
¿A qué distancia de la carga está situado el primer mínimo de tensión?
línea de transmisión de impedancia característica z =100 .n. está excitada 0 por una fuente de voltaJe senoidal de longitud de onda Ao y acaba en una impe-
Una
dancia de carga ZL=lOO(l-j)!\. . Determinar mediante la carta de Smith: a)
¿A qué distancia de la carga se encuentran el primer y segundo máximo
de tensión? ¿Cuál es la razón de onda estacionar~a? b) Calcular a que distancia d de la carga y que longitud 1 debe de tener un mono- stub en abierto para que la línea quede adaptada para A0 cact erística del stub
41
•
Impedancia ca-
z0 =100 .n.
Una línea de impedancia característica
so.n. está cargada con una impedancia
(S+ j 25).0.. Se desea conocer numéricamente y mediante la carta de Smith: a)
A que distancia de la carga se encuentra el primer punto de tensión
máx ima, el de tensión mínima, el de intensidad máxima y el de intensidad mínima. b) Coe f icien te de reflexión en la carga y la razón de onda estacionaria . c) La imped ancia que presenta la línea a 0 ' 18 A de la carga.
42
Se tiene una línea de t ransmisión de impedancia característica 50 .o. acabada en una i mpedancia da carga(60-j80)A . Calcular , en función de la longitud de onda de l a señal en la línea, la longitud l y a que distancia d de la carga debe de colocarse un monostub en cortocircuito , de la misma impedancia que la línea, para que esta q uede adaptada.
43
Adaptar una
l ínea cargada con una
e n cortocircuito.
impedancia l22+j7' 5).n. mediante un monostub
Impedancia característica de la línea y el stub 50 n. .
Dar
las diversas soluciones.
44
Se quiere adaptar una línea de transmisión con z =50 .n. e impedancia de carga 0 ZL = (60-BOj) n. con doble-stub, el stub más cercano a la carga se coloca al final de la línea y el otro a
(3/8) A del primero, como se ve en la figura ,
las impedancias características de ambos stub son también 50.o. . Calcular las longitudes 1
y 1 para que la línea quede adaptada. ¿Qué impedancias de carga 1 2 no pueden ser adaptadas con esta configuración?
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
451
'
I·
.
'
45
Se tiene una carga de admitancia normalizada YL=2+j2 y se desea adaptar con dos líneas en paralelo con la principal, en cortocircuito. La distancia entre las dos líneas es O' 15 A. y entre la línea más próxima a la carga y esta es de
\
O'l
46
A.
Calcular las posibles longitudes de las dos líneas.
La razón de onda estacionaria de una línea de transmisión es 2'1 . Si los dos primeros mínimos de tensión tienen lugar a una distancia de 1'25 y 2 '77 m de la carga ,
calcular la l ongitud y
la posición de un mono-stub que adapte la
línea.
47
Diseñar un sistema mono-stub para adaptar una impedancia de carga del25-j25).n. a
una línea de transmisión de impedancia característica 50 .n.. Si hay más de
una posición ,
usar la más cercana a la carga.
Indicar la longitud del stub y 8 la distancia a que se coloca medida desde la carga, sabiendo que v =2.10 m/s p
para los siguientes casos: a) 27 MHz; b) 150 MHz; c) 500 MHz.
Capítulos VI a IX.
48
Las ecuaciones de ondas para los campos
E
y
H
se obtienen a partir de las
ecuaciones de Maxwell. ¿Se pierde i nformación en este paso? . Explicar porqué .
49
En el caso E= E
X
x la
ecuación de ondas para
E queda
o Demostrar que g
1
(z-vt), g
2
(z+vt) y g +g son soluciones de esta ecuaciói. 1 2
de ondas.
50
Para un e Je x que crece hacia. la derecha, demostrar que Asen {Wt -kx) es una onda viajando hacia la derecha.
452
51
R. GOMEZ MARTIN
Dada una onda de ecuación E(z,t)=0'3 cos(2z+20t) V/m, calcular: a) La velocidad de la onda. b) La longitud de onda. c) La frecuencia. d) La amplitud.
52
2 2 La ecuación de una onda viajera es: E(z,t)=A exp(-at -bz -2 ab zt). a) ¿Cuál es la dirección de propagación de la onda? b) ¿Cuál es su velocidad?
53
La ecuación que describe una onda de presión en el agua es
2 donde Pes la presión en Nw/m . f =10 3 Kg/m 3 es la densidad del agua. 10 2 k=4'8 10 m /Nw es la cte. de comprensibilidad. Calcular la velocidad de propagación de la onda d e presión.
54
Para una onda plana que se propaga en un medio con ~
9
~
E(z,t)=5y cos(lO t+30z) V/m
Calcular: a) La amplitud del campo eléctrico. b) La frecuencia angular
w de la onda.
c) La cte. de propagación de fase ¡3 . d) La velocidad de fase y la dirección de propagación . e) La cte . dieléctrica del medio, considerándolo no magnético, es decir
p." t'-º
f) El campo magnético H(z,t).
55
Usando el criterio de
Q~O'Ol
para que un medio sea buen conductor y conside-
rando la tierra con las siguientes constantes:
3
ü=S.10- ;
é'..r=S;
p- =[.tc=l ' 26 . 10
-6
;
c.o=0 · 0s .10-12
a) ¿Cuál es la máxima frecuencia a la que la tierra es un buen conductor? b) ¿Cuál es la profundidad de penetración a esta frecuencia?
56
El agua del mar a la frecuencia f=4 .10
8
Hz tiene las siguientes caracterís-
ticas: )
a)
Cuál es la razón Q entre la corriente de conducción y la de desplaza-
miento. b)
A esta frecuencia,
¿qué sería más apropiado , aproximar el agua del mar
por un conductor o por un dieléctrico?
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
453
c ) Calcular la con stante de atenuación o! para u na onda plana que se propage en el agua del mar. d)
Si se aproxima este medio por un medio conductor ,
calcular~
y comparar
el va!or obtenido con el del apartado anterior. e) Si se calcula d. como si el agua de mar fuese un dieléctrico, ¿qué valor se obtendría?, ¿es apropiado el uso de esta expresión?
57
'1
A las fre cuencias de 1 KHz, 10 MHz, 1 GHz, cuales de los siguientes medios son conductores y cuales dieléctricos: a) Agua del mar . b) Agua pura. c) Tierra húmeda. d) Tierra seca .
58
Sea un material no magnético cuya cte. dieléctrica éT=9 y cuyo factor de disi pación es O' 1 pudiéndose considerar independiente de la frecuencia . Ca lcular la atenuación en db para una onda que se propaga 200 m en este material a l as 4 6 8 frecuencias: a) W=l0 ; b) W=10 ; c) W=l0 .
El decibelio de atenuación se define como 20 log{E(z)/E(z=OJ} =20 log e
59
-
Determinar las pérdidas por Km para una onda plana que se propaga en tierra húmeda a una frecuencia de 0 ' 5 MHz.
o60
~
-!
10
)
[l... : 1
ET: 10
Determinar las pérdidas por Km para una o nda plana que se propaga en t i erra 3eca a la frecuencia de 0 ' 5 MHz. -s
o-' 10 61
)
r-T : 1
)
Una onda plana de frecuencia l KHz se transmite parcialmente desde e l aire al mar. a) Calcular la longitud de onda en ambos medios. b) Calcular la velocidad de la onda en ambos medios. c) ¿Cuál es la frecuencia de la onda en el agua?
62
Un hilo cilíndrico conductor transporta una corr iente l. Si la resistencia por unidad de longitud del hilo es R, usando e l vector de Poynting, comprobar que 2 la potencia disipada por unidad de longitud es r R.
63
Un submarino cuya antena se encuentra justamente bajo la superficie del agua , recibe una señal de frecuen c ia l KHz que se registra 20 db por encima del n ivel de ruido,
¿a qué profundidad puede encontrarse el submarino para que la
454
R. GOMEZ MARTI N
señal se pierda en el ruido? , ¿c uá l es l a longitud de su antena d ipolar A/2?
64
Calcular la atenuación en db para una distancia d e 5 Ó siendo ó la profundidad d e penetración.
65
Si el módulo de H para una o nda plana e n el vacío es de 10-
3
A/m , ¿cuál es
el módulo de E?
66
Una onda pla na
uni forme
se propaga en un medio no magnético . Determinar l a
c t e. diel éctrica rel ativa d e l me dio si : a ) La i mpedancia intrín seca es de 200 .o... b ) La longitud de o nda es de 1°5 cm para una frecuencia de 10 GHz.
67
Determinar la impedan cia característica de l a plata.
68
Una
de
las múltiples razones por las que la pro fund idad de penetración
se
uti·l iza en ingeni e ría, es porque c uando la fr ecu e n cia se i nc rementa y l a corriente
es obligada
a
cir c ular e n pequeñísimas capas
de
la superficie del
conductor, la resistencia (a altas frecuencias ) del conduc t o r puede obtenerse considerando sobre la
que
todo el flu jo de corriente está uniformemente di stribuido
superficie en una profundidad ó .
superfic:ies
conductoras
curvas ,
c omo
por
Esta aproximación es válida ejemplo en hilos ,
para
s iempre que el
radio " a" del h i lo sea mucho mayor que d". Ya que l a r es istencia d e una p ieza 2 2 y secci ón '!1a viene dada por Rdc =l/
de hilo de l o ngitud l
AC es por tanto R =l/2n~aó. ac El incremento de la resistencia de un hilo
cuando la frecuencia crece
des de OC es por tanto
Determinar e l
factor por el cua l
l a resis t e ncia de un hilo de 3 mm d e
r a d io c r ece cuand o la frecuen cia varía des de OC has ta: a) 100 KHz; b) 1 00 MHZ¡ cl 10 GHz.
69
Una onda plana se pro paga en el vacío siehdo el valor de pico del campo eléctrico 10 V/ m. Calcular : a) El valor d e pico d el vector de Poynting. b ) El v a l or medio del vect or de Poynting. c) El valor de pico del campo magnético .
70
Una o nda plana de frec uencia 10 MHz que se propaga e n el vacío , tiene un vec 2 tor de Po ynting de valor medio 2 W/ m . Calcular : a) La l ongitud de o nda y la velocidad de la onda.
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
'
b) El valor d e pico de l os campus
71
En
Ey
455
H.
un diel¿.<..t.. rico di:;ipativo los campos eléctricos y magnéticos n o está n en
fase deb1dr, ..,
que la impedancia característica del medio es compleja. Si el
curnP<• o:lé,ctr 1 co de una ond a plana viene dado por
Demostrar que el campo magné tico es
Ea e
j twi. .. (i< i!)
e
J l wi. - 13.. ~ - ) i
le rhndr>
Jcf>
Ce, impedancia característica del medio , es :le: \Z:cl e y que el flujo
mc~i~ O•
7 "/.
energía se propaga en la dirección
i,
y viene dado por
r,,11,, tdt"t u, un¡, o nda e lectromagnética que se propaga en la dirección +x en el , , í <• , 1 ... <.:U
jtwt-l
E ~ ~ E1 e
Obtener
ij y W
+
J E..i. e
Hwl .. l()(.~d.)
¿Los valores obtenidos
svn la
suma de los correspon-
dientes a cada componente de la vnda?
73
Repetir el problema anter i or si
E 74
J(w"t. .. l
'J Ei e
+
z f¿ e JL«>t-1< .. +c1)
Dos ondas planas de iguale s frecuencias y fases se propagan en la misma dirección. Ambas son circularmente polarizadas , pero una dextro91ra y la otra es levogira . Las amplitud es de los campos eléctri<.:os son E
1
y E .
2
a) ¿Qué tipo de polarización tendrá la onda resultante si E rE ?
1
2
b) Y si E =E . 2 1
c) ¿Cuando se obtiene una polarización circular?
75
--E' j(wt-kx) • j(wt-kx) ~ fi, . E" {;2, • Sea E - +Ele y E 2=E_E e donde c.~ = - - (y+Jz) y _= - - (y-jz). 1 2 2 2 ¿Cuál es la polarización resultan te en los siguientes casos? a) E >E;:; 1 b) E =E ; c) E
76
Demostrar que en un buen aislante la eléctrica y magnética, viene dada por
razón entre las densidades de energía
456
R. GOMEZ M A RTIN
~
77
78
i -
Obtener la razón ~para un buen conductor .
w..,_
3 Una partícula esférica perfectamente reflectante de radio r y densidad 5 g/cm 11 está a una distancia de 2.10 m del So l; a esta distancia la energía spldr es 2 aproximadamente l' 5 KW/ m . ¿Cuál es el límite sobre r para que la fuerza de radiación debida al Sol supere a la atracción gravitacional solar y la partícula sea acelerada lejos del Sol? (Masa del Sol M=2.lo
° Kg;
3
2
cte. de gravitación universal
G=6'67.l0- 11 ~~2) Kg
79
El ritmo al que la energía solar incíde sobre la Tierra es aproximadamente 2 1.400 W/m . a)
Calcular el valor del campo eléctrico en la superficie terrestre consi-
derando la luz solar monocromática . b) Si el Sol radia isotrópicamente , ¿cuál es la energía radiada por el Sol ? 8 La distancia de la Tierra al Sol es 1'49 . 10 Km. c) Calcular la potencia total recibida por la Tierra , sabiendo que su radio 3
· es 6 ' 37 .10
80
Km.
Considerar un transmisor que colocado en la Luna radia isotrópicamente a la frecuencia
de
5
GHz
Tierra-Luna es 3 ' 8 .10
y con una potencia de 1 W. Sabiendo que la distancia 5
Km, calcular :
a) El va lor de l os campos E y H en la superficie de la Tierra. b) El valor medio del vector de Poynting en la superficie terrestre. c) La densidad media de ene rgía. d) El tiempo que tarda una señal en alcanzar la Tierra.
81
El vector de Poynt ing debido a la radiación electromagnética proveniente del 2 Sol en la superficie terrestre es 1 ' 4 KW/m . Calcular la presión de radiación debida a
la radiación solar sobre un objeto colocado en la superficie de la
Tierra si: a) El o bjeto es abs orbente . b) Si se trata de un metal.
82
Una
onda
electromagnética
transve r sal ,
monocromática
atraviesa un plasma poco denso de densidad electrónica n ' en el que los efec e tos de choques entre partículas son despreciables. \
a) Calcular , con la ayuda de la ecuación de movimiento de los electrones , la conductividad del plasma . b)
Demostrar
que
la relación de dispersión viene dada por
w"'< w¡1 + K'c',
CAMPO ELECTROMAGNETICO. P ROPAGACION Y RADIAC ION
457
)
•
donde
83
Demostrar que el valor medio del vector de Poynting para una onda estacionaria es cero .
.\ 84
Una onda linealmente polarizada de longitud de onda en el aire A0 =300 m incide perpendicularmente sobre una superficie plana del agua
(~,=l;
E,.=81;
cr~o).
La
amplitud del campo eléctrico en el aire es E =100 mV/ m. Determinar la amplitud 0 2 de la fuerza electromotriz inducida en una espira de área O' 1 m situada en el agua,
si es orientada de forma que la fuerza electromotriz inducida sea
máxima.
85
Una onda plana sinusoidal con vector de Poynting
JP'
incide normalmente a la
superficie del mar . Calcular los vectores de Poynting reflejado y transmitido ,
1P~ y 1Pt respectivamente en función de íP'. Los parámetros de l é~=Sl ;
86
agua son: cr = 4;
p-T=l. Considerar a) f=l MHz; b) f=lO GHz.
Una onda plana de frecuencia f =2 GHz , y con un campo eléctrico cuyo valor de pico es de 2 V/m ,
incide normalmente sobre una gran lámina de cobre. Calcular 2 la potencia media absorbida por la lámina en cada m de superficie . (
87
Una onda plana que se propaga en el vacío incide normalmente sobre una gran placa dieléctrica cuya cte. dieléctrica es 5 . La amplitud del campo eléctrico de la onda incidente es 20 V/m. ¿Cuál es la amplitud del campo eléctrico e n el interior del dieléctrico?
88
Una onda plana que se propaga en le vacío incide norma l mente sobre una g r an placa conductora.
(~z-10 9 t)
Si el campo eléctrico de la onda incidente es Ex =100 cos (
V/m, calcular los campos eléctricos y magnéticos totales e n e l va -
cío. Considerar que la superficie conductora está situada en z=O .
89
Una onda plana de frecuencia 500 MHz , que se propaga en el vacío incide normalme nt e
sobre la supe r fi c ie de una gran placa di e léctr i ca situada en z=O y ~i cuya cte . dieléc t r ica es 3 . Si la onda i nc i dente es E =10 e -j~zx; calcular -r -t E ' E (en el dieléctrico) y la razón entre el valor medio del vector de Poyn-
~
t i ng en el dieléctrico y en el vacío.
90
Para reducir las reflexiones en l a interfase aire- c uarzo se emplea una lámina
458
R. GOM EZ MARTIN
cuarto de o nda.
Calcular el espesor y la c te.
para la frecuen c ia de l GHz .
91
di elé<.:t rt ca de la lámina A/4
(Co nstan te dieléctrica relattvct d el c uarzo é,= 5 ).
Una onda electromagnética con el vector E perpendiculctr al plano d e incidencia incide sobre la superficie de separación agua-aire formand 0 un dngu l v
d~
30°
con la no rmal a la s uperfici e. a) Cal c ular el ángulo límite para la interfase agua-aire. b)
Calcular la atenuación ,
o nda superficial en el ai.re.
en la dirección norm..il a
la into=rfase , de la
Expresar la atenuación t n decibelios pdra unu
distancia A d e la supe rficie.
Capítulos X a XV.
92
Una guía de o ndas rectangular tiene como dieléctrico en su inter i o r aire y las dimensiones
de
su sección transversal son a=lO cm y b=6 cm.
frecuencias de corte para los mod os TEM , TE
93
10
; TE
20
; TE
01
Encontrar las
; TE y TE . 11 21
Una guia de ondas rect,ngular con aire e n su interior tiene una sección Lransversal de dimensio nes a=lO cm y b=B c m. a)
¿Cuántos modos TE se podrán t r ansmi tir por l a guia a frecuencias infe -
rio res a 4.000 Hz? b) ¿Cómo son designados estos modos y cuales son s u s fr ecuencia s de corte?
94
Encontrar la v elocidad de fas e y d e grupo de una ond a T E a la frecuenc i a de 10 1 ' 5 veces la fre cuenc ia de corte .
95
Demostrar que la s componentes para una o nda TEnl en una guia de ondas rectangular están dadas por:
t':( =
jW ~+.Jo
e. t\ 11.1"\
a.
Y\.11 )(
je_Y\.
~
e
b
Q.
b
~"
~ \..{º E'j = - jw o.,,
E:z.
un
óeyt 11." )(
a,.
jlwl · ~'l.)
e
UJ-1~ b
Jlult·(l~)
=o
.\--\..,,, =
~ 02
H'J"
i ~11o ºl.
\-h
\..\o
l1.l1
/,\eyt 'Y\ 11 )(
C.O:l
o...
Y\.t\X
a..
b
c..o:<, "Yl 11 ')(
.f..':! '}
(..()-;\
b
b
e. j
Lwt - H .) l
b
CL
Q,
Q. 11 -
C.O.l
de."1.
e
~ b
e.
j t wl -0~ )
j l w-l
-rnJ
CA MPO ELECTROMAGN ET ICO. PROPAGACION Y RAOI ACION
\
96
459
Demostrar que la imp edancia para una onda TM en una guía rectangular es
donde
Z:.,
es la impedancia intrínseca del medio y A,, la longitud de onda en un
medio sin confinar idéntico al dieléctrico en la guía . ¿Cuál será el valor de la impedancia
Zn, para una frecuencia de 4 GHz y unas dimensiones a=;lO c m,
b=6 cm en el modo TM ? 11 97
98
Demostrar que la imp edancia de una onda TE en una guía rectangular es
Escribir las ecuaciones de los campos para el modo TE en una guía de o nd a s 12 (a=b) . Dibujar la variación de las componen tes del campo en fu nc i ón
cuadrada
de x e y.
99
Una guía de ondas rectangular de dimensiones a=lO cm y b=3 cm , tiene e n su interior un dieléctrico con permitividad relativa ér=2 . a) Encontrar la impedancia de la guía para el modo TE
20
a fre cuencia doble
de la de corte. b)
Encontrar la velocidad de fase del modo TE
20
a frecuencia doble de la
de corte.
100
La guía de ondas WG 16 tiene unas dimensi ones internas de 22'9 mm por 10 ' 2 mm
y aire en su interior. Encontrar las cinco frecuencias de corte más bajas. Para el uso de esta guía en el modo d ominante es recomendado usar f recuencias entre 8'20 y 12'40 GHz. Encontrar la velocidad de fase y longitud de onda en la guía a estas frecuencias extremas en términos de los valores e n el espacio libre.
101
En una guía rectangular de 3 cm de ancho , hacer un gráfi co para el modo d o minante de la velocidad de fase , de la velocidad de grupo y de la longitud d e onda en la guía en función de la longitud de onda en el espacio libre.
102
Para una guía rectangular de 3 cm de ancho , operando en el modo fundame n ta l . ¿Cuál debe ser la l o ngitud de onda de la radiación en el espacio libre si se quiere que en lrs la energía cruce una guía de 100 m de largo? ¿Cuál es la velocidad de fase bajo estas circunstancias?
103
En una guía de o ndas rectangular con aire en su interior, encontrar las fr ecuencias de corte para los modos TM ; TM ; TM Y 10 20 11
™21 ·
460
104
R. GOM EZ M ART IN
Demostrar que las soluciones para l os campos E y H de una onda TE en una guía rectangular satisfacen las ecuaciones de Maxwell.
105
Demostrar que la cte. de
atenuación~
para una onda TEmO a frecuencias supe-
riores a la de corte en una guía de ondas rectangular de altura b y ancho a es
p ..,,fA.c.L+ ca.12t,!¿
Y
l. - Ao /Ac.
donde Rs es la resistencia s uperficial de las paredes y
ZJ
la impedancia del
dieléctrico de la guía .
106
Modos TElOp en cavidades rectangulares .
Expresiones para los
-+
campos E y H.
Estudio de la relación de dispersión. Factor de calidad Q para el modo TE
. 101 ¿Cuál es el valor de Q para una cavidad cúbica de cobre con arista de 3 cm a la f recuencia de 7 GHz? 7 0-c...=5 ' 8.10 -lm-l
107
[le...=~) .
Encontrar la cte. de atenua ció n~ para el modo TEnl en una guía d e ondas ci líndrica de radio a , para frecuencias superiores a las de corte.
Capítul os XVI a XXI I.
108
Obtención de la ecuación de ondas para l os potenciales A y V con el contraste de Coulomb .
109
110
Una antena tiene un diagrama de radiación e xpresado por E=E sen 9 . Encontrar 0 la directividad de la antena. ¿En qué dirección es máxima? ¿Y mínima?
Para un dipolo hertziano excitado por una seña l
armónica de intensidad i(t)=
= I e+jwt y de longitud l<
111
Un dipolo hertziano de longitud l=l m está excitado por una señal armónica de amplitud de intensidad _I =l A y frecuencia f=l MHz. a)
Encontrar E 9 y H'f' en el plano ecuatorial (9='1/2 ) del dipolo , a una d is -
tancia d e 10 Km. b)
Si la potencia media radiada por el dipolo es P=l W. ¿Cuál es la ampli-
tud de corriente en el dipolo?
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIACION
112
46 1
Un dipolo hertziano de longitud 1=2 m y conductor esférico de radio a=l.5 mm , está hecho de cobre. relación
entre
la
Si
la frecuencia radiada es de O. 5 MHz ,
potencia media radiada y
encontrar la
la potencia media entregada a l
dipolo.
(Esta relación es una medida de la eficiencia de la antena). 1 7 (Para el cobre
113
Demostrar que la expresión de la potencia media radiada por unidad de ángulo sólido, para una fuente monocromática es
ll
dP
dn. 114
Calcular la potencia media radiada por una antena lineal en la que circula una densidad de corriente
J
1e.Yl.
(X',~', a')
Analizar los casos a)
115
kL~
~K. l ~-\X'i)l -jen l \<;,L/-0)
b) kL=T1.
Repetir el problema 112 , para una antena l i nea l de longitud 21 y radio a=5 mm , 8 con una distribución de corriente a la frecuencia de 10 Hz. Particular i zar para 21= Y2.
116
Dos antenas de media longitud de onda fo rman la una con la otra un ángulo de 90° y las amplitudes complejas de sus corrientes son Im y jlm. Determinar el campo eléctrico resultante en un punto lejano, en función de los campos creados separadamente por cada antena.
117
Una antena de media longitud de onda está alimentada para emitir con una potencia media de 10 Kw. Encontrar la amplitud de corriente e n la antena .
118
Si se desea t ener a
una distancia d=lO Km de una antena de media longitud d e
onda , en su plano ecuatorial , una intensidad de campo eléctrico E=l V/m. Encontrar l a potencia que debe ser radiada por la antena y la amplitud de corriente en l a a ntena .
462
119
R. GOMEZ MARTIN
Dos antenas lineales de media longitud de onda están separadas por una distancia d=A/4 . Las antenas se alimentan por señales desfasadas en ~/ 2, de amplitud I m y frecue ncia 1 MHz. En el plano ecuatorial , calcular: a) Campos de radiación. b) Diagrama de radiación. ¿Para qué dirección es máxima? ¿Y mínima?
y
e) ¿Qué valor debe de tener 1 para que en la dirección de máxima radiación 0 a una distancia de 10 Km , la potencia media recibida por unidad de ángulo
sólid o sea de 1 Kw?
120
Dos antenas lineales están colocadas paralelamente y separadas por una distancia d . La a ntena 1 está excitada por una intensidad de amplitud compleja 1 =1 1 0 y l a antena 2 por 1 =1 ejó . 2 0 Encontr ar y dibujar la relación IE 1/E , siendo E la amplitud de campo 9 0 0 eléctrico debido a la antena 1, para los siguientes casos: 1 ) d= A/2 ; Ó=Oº. 2) d= .Y2 ; J = l80°.
3) d= .Y4 ; a=- 90°. 4) d=Á; Ó=Oº.
121
Una
a n tena
d e media longitud de onda con intensidad I está situada cerca de
un con ductor doblado a 90° como se muestra en la figura.
">y2 (a)
(b)
Suponiendo en una primera aproximación que el conductor es infinitamente l argo y perfectamente conductor , determinar el campo eléctrico resultant e en un punto M como el que se muestra en la figura.
122
Una antena
lineal simétrica está situada a una altura h sobre la superficie
plana de la tierra. Considerando la tierra como un conductor perfecto , determinar el menor valor de h para que la radiación sea máxima a un ángulo como el que se muestra en la figura.
CAM PO ELECTROMAGNET!CO. PROPAGAC!ON Y RADIAC!ON
123
463
Una pequeña antena vertical de altura 1 está excitada por una intensidad de corriente practicarnente uniforme a lo largo de la antena y de amplitud l. En el punto de recepción a una distancia d de la antena , solo llega la onda reflejada por la ionosfera corno muestra la figura. La ionosfera puede ser aproximada por un conductor plano y perfecto a una a l tura h sobre la superficie de la tierra. Considerando a la tierra, tanto en el punto de transmisión corno en el de recepción ,
un conductor perfecto; determinar la amplitud del campo
eléctrico en el punto c ampo.
124
Una antena vertical de cuar to de onda sirve corno antena de transmisión sobre la superficie de la tierra con una potencia media de 100 Kw . La antena recep2 y con N=lO vueltas de hilo
t ora es una antena circular de superficie S=O . l rn conductor ,
situada a
una distancia d=lOO Km (d »)..)
de la antena emisora . Si
la antena circular está situada de forma que la fuerza e l ectromotriz inducida en ella es máxima, determinar la amplitud de la fuerza electromotriz ind ucida en la antena receptora a una frecuencia f=l MHz .
.'
125
Un dipolo hertz iano de longitud 1 es usado como antena r eceptora en el sistema mostrado en el problema 116 . El dipol o está situado e n el p lano x-y. Encontrar la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en el dipolo corno una función del ángulo e<. entre el dipolo y el eje x.
126
Estudiar un conjunto de antenas lineales dispuestas paralelamente en una es-
llJ
464
R. GOMEZ MARTIN
tructura de red cristalina con sus centros dados por r~=p a +p a +p a
a1 , a2 , a3
1 1 2 2 3 3
los vectores base y p , p , p
números enteros. La fase de una an2 3 (p =p =p =0) es f3p=p <>< +p ct +p c.i donde los 1 2 3 1 1 2 2 3 3 son constantes. Particularizar para una red rectangular de antenas excita-
1
tena respecto de ~i
siendo
la del origen
das todas con igual amplitud de intensidad. Analizar
una
fila
de antenas de media longitud de onda ,
excitadas en
fase y separadas A/2 según el eje x con el cual son perpendiculares. Analizar dos antenas de A/2 separadas A/4 y desfasadas en 90°.
127
Una antena circular tiene una longitud de circunferencia de un cuarto de longitud de o nda en el vacío. Hacer un dibujo y encontrar la expresión analítica de la distribución de corriente en función del ángulo
~
generado alrededor del
centro de la antena. ¿Qué efecto tendría sobre la distn.bución de corriente el hecho de que el diametro de la antena fuese muy pequeño comparado con A? ¿Y si fuese grande?
12&
La distribución de corriente en una antena lineal excitada en z=O y con extremos en
z~1
1 y
z =l
2
, puede ser expresada por
I(z)
para
I(z)
para
Hacer un esbozo de como sería la di stribuc i ón de corriente para los siguientes casos: a) Antena de longitud 21, excitada en su centro con A/4=21. b) Antena de 3/4 de longitud de onda excitada en su centro. c) Antena de media longitud de onda excitada en su centro. d) Antena con 1 =3A/4, 1 =~/4 . Expresar 1 en términos de 1 1 2 1 2 e) Antena con 1 = A/8, 1 =A/4. Expresar 1 en términos de 1 . 1 2 2 1
129
Calcular y dibujar
los
fa ctores de antena F (e)
para las siguientes antenas
excitadas en su centro: a) Una antena de media onda. b) Una antena de tres medios de longitud de onda. (Usar
intervalos angulares no mayores de 15°; dibuJar solo de 0° a
90°
en vista de la simetría) .
130
Para una antena de media longitud de onda excitada en su centro , ¿cuál sería la magnitud de E 9 a
l A?.
una distancia de
l
Km
si
la ampl itud de intensidad es
CAMPO ELECTROM AGNETICO. PRO PAGACION Y RA DIACION
131
Encerrando
una
antena
lineal
por
465
una superficie cilíndrica cerrada S ¿Qué
corrientes y car gas equivalentes deben de existir sobre S si querernos que los campos en un punto
permanezcan constantes cuando se anulen las fuen-
P(r , & , ~)
tes dentro de S?
132
Sobre una placa perfectamente absorbente , colocada en el plano x-y se hace una abertura rectangular de dimensiones axb. Si en z
..'
nético monocromático de amplitudes constantes con vector dirección x y campo a)
H según
Las distribuciones
E dirigido
según la
la dirección y, encontrar: superficiales
de
corriente
equivalentes
sobre
la
superficie z=O. b)
A(r)
y
F(r)
en un punto lejano de la región z~o.
c) A partir de los potenciales, los campos d)
Ey
H.
Dibujar los diagramas de radiación en l os planos 'P=Q y 'f' = 11/ 2 si a=SA y
b= 10 A. •
133
Para
el
problema anterior,
dibujar los diagramas d e
radiación en el plano
principal lf=90° con unas dimensiones de la abertura a=l O Á la localización de los sucesivos ceros
134
e.,
y b=20 A
Encontrar
9¿, etc . del diagrama.
Para una antena de bocina de l o ngit ud a y altura b, alimentada por u na guía de ondas rectangular que transporta un modo TE , encontrar las equivalentes 10 distribuciones de corrientes eléctricas y magnéticas sobre la superficie S=ab que encierra la antena de bocina y su sistema de alimentación .
(Aproximar la
distribución de campos en la abertura de la antena por la que ex iste. en la sección transversal de la guía) .
135
Usando el método de equivalencia ,
demostrar que los p otenc iales vectoriales
magnético y eléctrico en la situación descrita en el problema anterior vienen dados para un punto lejano por
&,
~o
ab
e- j~~
-6eyt
s iendo
(30
A
'B
'B
3~
(3> 0 0
a e.ene C-0~ 4'
/
.
B
A partir de los potenciales a nteriores, encontrar los campos eléctricos y magnéticos en la zona lejana .
466
R. GOM EZ M ARTIN
Cap ítulos XXIII a XXX.
136
¿Cuál es la contracción del diámetro de la Tierra en la dirección de su movimiento alrededor del Sol desde el punto de vista de un observ ador en relativo reposo en el Sol? Radio de la Tierra: 6.4 10
3
Km.
Velocidad de la Tierra alrededor del Sol: 30 Km/s.
137
¿Cuál debe ser la velocidad de un cuerpo para que la dimensión en la dirección de su movimiento se contraiga a la mitad?
138
En un sistema de coordenadas en el cua.l.. un p.• - mesón está en reposo , su vida 6 ,.,_.to) + ' y ~p.• --2.l0- s. Calcular el tiempo de vida de un p.-meson
, ' me d ia es igual a
la distancia que podrá viajar si su velocidad es v=0 . 99 c.
139
Un tren está moviéndose a 100 Km/h. Un hombre and a por el tren en la dirección de su mov imiento a la velocidad de 5 Km/h. ¿Cuál es la diferencia entre las velocidades del hombre relativas a la v ía calculadas por la suma de velocidades clásica y por la de la teoría re lativista?
140
Dos
naves
espaciales
viajan en dirección opuesta y
alejándose ambas de la
tierra a la velocidad de O. 7 c medida por un observador en la Tierra. ¿Cuál es la velocidad que observa una nave de la otra?
1 41
En un sistema de coordenadas moviéndose con velocidad v próxima a la de la luz,
dos
rayos de luz son emitidos en la dirección positiva y negativa del
eje y ' . Determinar el ángulo entre los rayos en el sistema de coordenadas en reposo .
142
Un campo magnético homogéneo léctrico de radio a
y
H actúa
paralelamente al eje de un cilindro die-
permitividad é.. Si el cilindro está rotando alrededor
de su eje con una velocidad angular w siendo
c.ua<<~
determinar el vector pola-
rización y la densidad superficial de carga por unidad de longitud que detecta un observador solidario con el cilindro.
143
Demostrar que el campo eléctrico uniforme
v está
dado por
"E
~~ 411Eo•Q
E de
una carga q moviéndose con una velocidad
i-0~ U-(12 .ie'1'\.\i>)3k.-
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA D IACION
467
donde ~ =radio vect o r d esd e la carga al punto donde E es dad o .
'
=angulo entre r y v . ~
=v/c.
Comprobar que cuando v=O , e l campo eléctrico se reduce al caso estático .
1 44
Demostrar que el campo magnético uni forme
v está
B
de una
carga q moviéndose con velocidad
dado por
l - \3~
donde ~=radio vector desde la carga al punto donde es dado
rp =angulo ~
r
entre
y
B.
V.
=v/c .
Comprobar que para v<< c , la e xpresió n anterior se reduce a
dB
d 'J
(expresión n o -relativista p ara una densidad de corriente
145
Un o b se rvado r
J) .
en reposo d e t e rmina en una cierta reg ión del espacio un c ampo
eléctrico estático E =10 V/m. 2
¿Cómo aparecerá este campo para un o bservador moviéndose a través de la regi ón en la dirección positiva del eje y, con una velo cida d de a) 10 m/s , 4 7 8 8 b) 10 m/s , c) 10 m/s, d) 10 m/s , e) 3 10 m/s?
146
Rep etir el problema anterior para el caso de que el o b servador e n reposo determine que l a región contiene un c ampo eléctrico variable con el tiempo dado por Ez.=1 0 sen 20 l1 t
147
(V/ m) do nde t es el tiempo en segundos.
Un observador e n reposo mide en una cierta región del espacio un campo magné tico estático Bz.=
f0 /12 t1
(T) .
¿Qué observará un individuo que se mueve en el
interior de la región donde se encuentra el campo , según la dirección posit_va del e Je y , a las velocidades a) 8 e) 3 10 m/s .
148
10 m/s, b)
Repetir el problema anterior para e l
10
4
m/s,
e)
10
7
m/s, d) 10
8
r-
caso de que el observador e n reposo de-
termine un campo magnét ico variable con el tiempo dado por Bz = (t-< /12 t1 ) 0 20 11 t (T).
149
Un
observador en reposo determina q ue en una
sen
región del espaci o exis t e
un
campo eléctrico estático Ex =10 V/m y un campo magnético estático Bz. =f't/12n
T.
¿Qué campos observa rá
un individuo que se traslada en la dirección positiva
-468 ..
R. GOMEZ MARTI N
d el eje y con una velocidad a) e) 3 10
150
8
10 m/s, b) 1 0
4
m/s, c)
10
7
m/s , d)
lOB m/s ,
m/s.
Una onda plana polarizada linealmente viaja en la dirección positiva del eje x.
Un observador en reposo determina que los valores de pico de l os campos
eléctrico y magnético son Ey =10 V/m y Bz = r'-o/12 i1 T. ¿Qué campos determinará un observador viajando con la onda a su misma vel9cidad? ¿Y a las velocidades de los problemas anteriores?
151
-
Un individuo en reposo S observa un campo E estático en la dirección del eje
y, y un campo estático Ben la dirección del eje z. a)
¿Qué velocidad en la dirección positiva d el eje x respecto de S debe de
tener un sistema de ref erencia S '
para que desde él solo se observe un campo
eléctrico? ¿Y para que solo se observe un campo magnético? b)
¿Existe algún observador que vea los campos E y
B
paralelos? ¿A qué
velocidad se mueve este observador?
152
En un sistema de referencia S se tiene un campo eléctrico uniforme y estático E=lO V/m en la dirección del eje y, y un campo mag nético uniforme y estático 5 B=l 0- T en el plano z-y, formando un ángulo de 30º con el eje y. ¿A qué velocidad respecto a S debe moverse un observador en la dirección positiva del eje x para ver los dos campos paralelos?
153
Una carga puntual de un culombio está situada
en el origen de coor denadas.
¿Cómo observará este punto cargado , un individuo viajando según la dirección positiva del eje x a una distancia constante z=lO m, si la velocidad del ob7 4 8 8 servador es a) 10 m/s , b ) 10 m/s , c) 10 m/s , d) 10 m/s , e) 3 10 m/s.
154
A lo largo del eje x de un sistema S , hay una densidad de carga en reposo
A por unidad de longitud. ¿Qué campo magnético se observa desde un sistema S' que se mueve respecto de S con velocidad uniforme v en la dirección positiva del eje x?
155
Una onda plana incide normalmente desde el aire sobre la superficie plana de un conductor perfecto, infinitamente grueso. Calcular los elementos del cuadritensor energía-momento l~v en cualquier p unto del interior del conductor para encontrar la presión de radiación sobre el conductor.
156
Una onda plana incide desde el vacio sobre una lámina perfectamente conducto2 ra. Si el vector de Poynting de la onda es 1 Kw/m , ¿cuál es la presión en 2 Kg/m ejercida por la onda sobre el conductor?
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
,\
157
4 69
¿Puede una antena ser usada para propulsar un vehículo espacial? ¿Qué potencia debe ser radiada para producir una fuerza de 1 N?
158
A la
distancia que la Tierra dista del Sol, la radiación electromagnética 2 solar es aproximadamente de 1.5 Kw/m (sobre todo en las regiones Ópticas y
de l
infrarrojó) , mientras el viento solar está constituido principalmente de 6 7 vel ocidades aproximadas a 10 m/s y den sidades de 2 10 protones
protones a 3
por m
'
"
a) Comparar la presión e.n N/m
2
de la radiación electromagnética con la pro-
ducida pÓr el viento solar sobre un conductor descargado, situado normalment P. a la radiación y al viento solar. b)
¿Pueden ser usados la radiación o
el viento solar para propulsar un
vehículo interplanetario? 2
¿Qué dimensión debe de tener "la vela" (en m ) para que se produzca una
c)
fue r za de 100 N con el viento solar a favor?
159
Una onda plana de 5 GHz y vector de Poynting 10 w/m
2
viaja en la dirección
positiva del eje x. La onda incide normalmente sobre una gran placa perfectamenté conductora
par~~ela
al plano y-z.
Encontrar la presión ejercida sobre la placa para los casos : a) La placa está en reposo. b) La placa se mueve con una velocidad v=c/5 en la dirección positiva del eje x. ¿Cuál es el vector de Poynting y la frecuencia que se observará , desde un sistema de referencia en reposo , de la onda reflejada por el conductor en los c a sos a) y b) mencionados anteriormente?
160
Un vehículo espacial señal de
retirándose de un observador a la velocidad v emite una
radio con un vector de Poynting
ffi.,.,, medido
en el sistema en r eposo
del vehículo. Demostrar que el vector de Poynting observado está dado por i -(V'/C)
l 161
-1-(ü(C)
Si el vehículo del problema anterior emite la señal a la f r ecuencia f e medida sobre el vehículo ,
comprobar que la frecuencia observada en el sistema en re-
poso está dada por
(i
-l'J"/c)~)
i/.¿
i. + \..IJfC)
li
i+(\)"fC)
donde
X es
- l \J" le )' ) 11<-
el corrimiento doppler o corrimiento hacia el rojo
X
::
i +(IJ/C)
(i -
11 llJ"/C)'- ) "
{
470
162
R. GOMEZ MARTI N
De los problemas anteriores comprobar que
(Wl m>- ) 163
Si la radiación desde el vehículo es emitida sobre un espectro contínuo monocromático)
con Índice espectral OI definido por
vector de Poynting por unidad de ancho de banda
-
$J CI( f ;
(W/m
2
Hz)
(no
demostrar que el en el sistema en
reposo del vehículo a la frecuencia emitida fe es
( i+ Y-) 164
d+i
¿Cuál es la presión de radiación de una o nda incidente desde el vacio sobre un medio con impedancia Z idéntica a la del vacio , de forma que toda la onda es absorbida?
165
De mostrar que las ecuaciones de transformación q ue conectan los sistemas S y S ' pueden ser expresadas por
donde
1.' =
z
l'
t cm\.i.a1
=
Comprobar que la transformación de Lorentz corresponde a una rotación de un á ngulo
166
j«
en el espacio cuadridimensiona l.
La posición de una partícula en el sistema S está dada por el vector tridimensional
r,
en S ' la posición está dada por
r'.
Si el movimiento de S ' relativo a S está descrito por el vector velocidad v, comprobar que la transformación de Lorentz es
l :;.~~
t
r -n
- rl
1
r ( t -
cR
- =d~ y la relativa a S' Si la velocidad relativa de la partícula es u. d~'
, comprobar que la transformación general de velocidades es
di:
ü.'
u.
( 1-f >''"
~
l)"
i donde
0
ü'
e
(
Ü..·
u.
u-"'
--
U.·\.]
cv
[ 1.-
( i.-(3')112 ]- t
J
es
CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION
167
471
Si e n un sü;tema de referencia S el campo elect r omagnético viene d.:.do po r E
y B. Comprobar que en ot r o sistema S ' que se mueve con respecto a S a la velocidad v, los campos vienen dados por
~· = r ~ +
\j
t0"-"E Ht-r)
+-r
\\j"~)
\]"'
i3' 168
re+
11 \J~
t0.8)li-r)-I_ tLJ"E) c2
6 La energía media solar que_ incide sobre la Tierra es aproximadamente 1. 4 10 2
ergs/cm s.
Calcular la potencia radiada por el Sol y la amplitud del campo
eléctrico en la superticie del Sol. Considerar la Tierra como una esfera perfectamente reflectante y calcular la presión de radiación sobre la Tierra. 8 11 Radio del Sol: 7 10 m; di s tancia Sol-Tierra: 1.5 10 m.
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