TEXTO UNIVERSITARIO
COMPILADO DE CÁLCULO SUPERIOR Jaime Paredes Sánchez Código…………… Código…………… COMPILADOR Chimbote, Perú 1
CÁLCULO SUPERIOR Serie UTEX Primera Edición 2015 Jaime Paredes Sánchez De esta edición Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote Jr. Leoncio Prado N° 443 Chimbote, Ancash – Ancash – Perú Perú Telf.: (043) 327846. Editado por: ……………………………………
Texto digital Decreto Legislativo 822 – 822 – Ley Ley sobre el Derecho de Autor Artículo 43º.- Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitida sin autorización del autor: a) La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes en instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro.
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CÁLCULO SUPERIOR Serie UTEX Primera Edición 2015 Jaime Paredes Sánchez De esta edición Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote Jr. Leoncio Prado N° 443 Chimbote, Ancash – Ancash – Perú Perú Telf.: (043) 327846. Editado por: ……………………………………
Texto digital Decreto Legislativo 822 – 822 – Ley Ley sobre el Derecho de Autor Artículo 43º.- Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitida sin autorización del autor: a) La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes en instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro.
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ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL ............................................................................................... .......................................................................................................................... ........................... 3 PRESENTACIÓN DEL DOCENTE ............................................................................................... .............................................................................................. 5 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ ............................................................................................................................ ..... 6 UNIDADES DE APRENDIZAJE .................................................................................................... ................................................................................................... 7 PRIMERA UNIDAD: FUNCIONES REALES, LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS ... 8 CAPÍTULO I ........................................................................................................... ................................................................................................................................... ......................... 10 FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL ................................................................. 10 DIAGRAMA DE FLECHAS .............................................................................. .................................................................................................................. .................................... 11 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS ................................................................................................................ ............................................................................................................... 12 SOLUCIÓN .................................................................. ........................................................................................................................................ ...................................................................... 12 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS ................................................................................. ............................................................................................... .............. 13 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS ................................................................................. ............................................................................................... .............. 14
CAPÍTULO II ............................................................ ............................................................................................................................... ...................................................................... ... 25 25 LÍMITES Y CONTINUIDAD CONTINUIDAD .......................................................................................................... ......................................................................................................... 25 CAPÍTULO III ........................................................... .............................................................................................................................. ...................................................................... ... 47 DERIVADAS ..................................................................................................................... .................................................................................................................................. .............. 47 Ejemplo 1 ............................................................. ........................................................................................................................ ........................................................... 72 Ejemplo 2 ............................................................. ........................................................................................................................ ........................................................... 72 Ejemplo 3 ............................................................. ........................................................................................................................ ........................................................... 73
RESUMEN ...................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 74 AUTOEVALUACIÓN 1 ....................................................................................................... ................................................................................................................. ........... 76 SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN 1 ..................................................................... 81 REFERENCIAS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. ........................................................................................... .............. 82 SEGUNDA UNIDAD: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS E INTEGRALES ................ 83 CAPÍTULO I ........................................................................................................... ................................................................................................................................... ......................... 86 APLICACIONES DE LA LA DERIVADA ....................................................................................... .......................................................................................... ... 86 Crecimiento y decrecimiento en un intervalo ............................................................... 89
........................91 Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo........................91 Crecimiento y decrecimiento en un punto .................................................................... 92
.............................93 3 Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto.............................9
3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento ................................................................... 94
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento...........................95 Crecimiento y decrecimiento en todo el dominio ......................................................... 97
Máximos relativos .....................................................................................103 Mínimos relativos .....................................................................................104 Cálculo de máximos y mínimos .................................................................................... 104
Cóncava.....................................................................................................115 Convexa.....................................................................................................115 Criterio de concavidad y convexidad ........................................................................... 115 Intervalos de concavidad y convexidad ....................................................................... 116
Ejemplo .....................................................................................................117 CAPÍTULO II ................................................................................................................................ 125 INTEGRALES .............................................................................................................................. 125
Integral indefinida .....................................................................................126 Ejemplos....................................................................................................134 Propiedades de la integral definida ............................................................................. 136 Función integral ............................................................................................................ 137 Resolver ......................................................................................................................... 145 Soluciones ..................................................................................................................... 146 Ejercicio 1 resuelto ........................................................................................................ 146 Ejercicio 2 resuelto ........................................................................................................ 147 Ejercicio 3 resuelto ........................................................................................................ 148
RESUMEN .................................................................................................................................... 166 AUTOEVALUACIÓN 2 ................................................................................................................ 168 SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN 2 ................................................................... 170 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................... 171
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PRESENTACIÓN DEL DOCENTE
El docente universitario, Jaime Paredes Sánchez, es Licenciado en Matemáticas, egresado de la Universidad Nacional de Trujillo; Magister en Administración y con estudios de Doctorado en Matemáticas. Inicia su labor docente en el Instituto Superior Santa María la Católica y luego continua en el Instituto Superior Carlos Salazar Romero de la ciudad de Chimbote. En los años 1997 y 1998 desarrolló labor docente en la Universidad Nacional del Santa En el año 1997 asume la cátedra universitaria en la Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote, entidad en la que viene laborando actualmente y es docente titular de la asignatura Cálculo Superior Es autor de los textos universitarios “Álgebra I” y “Cálculo Diferencial e Integral”, ediciones Uladech, año 2009
Jaime Paredes Sánchez
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INTRODUCCIÓN Estimado estudiante: La asignatura de Cálculo Superior corresponde al II Ciclo de estudios de la Carrera Profesional de Administración. Esta asignatura es fundamental para enfrentar con éxito los retos que le plantea el ejercicio de su futura carrera profesional. Para ello, la asignatura brinda conocimientos teóricos y prácticos del cálculo diferencial e integral para facilitar la resolución de situaciones problemáticas empresariales e institucionales, expresados en modelos matemáticos Dos unidades de aprendizaje conforman la asignatura de Cálculo Superior. En la primera unidad se abordan tres capítulos relacionados a funciones reales, límites y continuidad, así como derivadas. Mientras que en la segunda unidad, se presentan dos capítulos referidos a aplicaciones de las derivadas e integrales En cada uno de los capítulos, la teoría es complementada con sus aplicaciones correspondientes, ejemplos resueltos y ejercicios propuestos. La presente publicación es un aporte al estudiante universitario, incentivando en él sus capacidades de análisis y razonamiento, necesarias en su formación y desempeño profesional.
Jaime Paredes Sánchez
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UNIDADES DE APRENDIZAJE
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PRIMERA UNIDAD: FUNCIONES REALES, LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
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Los contenidos de la Primera Unidad se han tomado de: Henríquez, M. & Merlos, M. (s.f.). Funciones reales de una variable . Recuperado de http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:HxD3GtAXOX4J:www.u ca.edu.sv/facultad/clases/maestrias/made/m000033/Funciones-de-una-varia (pág. 1-14)
García, E. (s.f.). Límites y Continuidad de Funciones . . Recuperado de http://www.fisicanet.com.ar/matematica/limites/ap13_limite_y_continuidad_de_fun ciones.pdf
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003). Cálculo Diferencial/ Definición de derivada. Recuperado de http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/definicion_de_derivada.htm#Definiciones% 20de%20Derivada:
Vitutor. (2014). Concepto de derivada . Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html
Vitutor. (2014). Fórmulas de derivadas. Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003.) Calculo Diferencial/ Ejercicios Resueltos de Derivadas/ Derivadas de sumas, diferencias, potencias y productos. Recuperado de
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersumaspro.htm
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Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003). Cálculo Diferencial/ Ejercicios resueltos/ Derivadas de logaritmos y funciones elevadas a funciones. . Recuperado de
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derlog.htm
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003) . Cálculo Diferencial/ Ejercicios resueltos/ Derivadas de funciones trigonométricas. Recuperado de
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dertrigon.htm
WikiMatematica. (2012). Derivadas de orden superior. Recuperado de http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_de_orden_superior
CAPÍTULO I Tomado de: Henríquez, M. & Merlos, M. (s.f.). Funciones reales de una variable . Recuperado de http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:HxD3GtAXOX4J:www.uca.edu. sv/facultad/clases/maestrias/made/m000033/Funciones-de-una-varia (pág. 1-14)
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 1.1 INTRODUCCIÓN Se usa el término función para denotar la dependencia de una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo: El área A de un cuadrado depende de la longitud l de su lado según la ecuación: A=l2. Se dice que el área A es función de l (la longitud del lado). El volumen V de una esfera depende de r, la longitud de su radio, según la formula V
4 3
3
r
. Decimos que el volumen V es función del radio r.
10
En cada caso se da una regla de correspondencia (una ecuación o una fórmula) mediante la cual a cada valor de la variable l ( ó r ) se le asigna un valor al área A (ó al volumen V) y decimos que l (ó r ) es la variable independiente y A (ó V ) es la variable dependiente NOTA: Designaremos las funciones con letras minúsculas: f, g.
1.2 DEFINICION DE UNA FUNCION Una función f es una regla de correspondencia mediante la cual a cada elemento x de un conjunto A se le asigna uno y solo un elemento y de un conjunto B En general A, B no necesitan ser conjuntos de números reales; sin embargo sólo trataremos funciones en la que A y B son ambos subconjuntos de los números reales. Tales funciones son las que llamamos funciones reales de una variable real.
1.3 TERMINOLOGIA ASOCIADA CON UNA FUNCION. En la definición anterior A se le llama d o m i n i o y B se llama c o d o m i n i o d e f . Si Si
S A
x A
decimos que la función f está definida en S. , entonces y = f ( x ) denota el único elemento en B que la función f
asocia a x, (se lee: y es igual a f de x o bien: y es el valor de f en x). En este caso x es la variable independiente; y es la variable dependiente. Al conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente y (o f(x) ) conforme x varia en el dominio, se le llama rango de f
DIAGRAMA DE FLECHAS
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MANERAS DE ESPECIFICAR UNA FUNCIÓN. Una función puede especificarse así: Haciendo una descripción de ella o
Estableciendo : su regla de correspondencia, (esto es una ecuación o fórmula para evaluarla) y
Su dominio natural D, (esto es el conjunto de todos los valores de la variable independiente para los cuales la regla de correspondencia origina un numero real). NOTA: Si sólo se da la regla de correspondencia y no se especifica su dominio,
asumimos que se trata de su dominio natural.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS En los ejercicios 1, 2 formule la regla de correspondencia y establezca el dominio natural para la función descrita. 1. La función f asigna a un número real, el valor de su segunda potencia 2. La función g hace corresponder a un número real, su valor recíproco.
SOLUCIÓN
Para 1: f ( x)
x2
D f
IR
Así: f ( 2 ) = 22 = 4
Para 2: g ( x)
D g
x
Así :
f (- 2 ) = (-2 ) 2 = 4
1
g
(2)
g
(
1 2
)
IR – { 0 }
1 2 1
1 2
2
1.4 GRÁFICA DE UNA FUNCION El método más común para visualizar una función es su gráfica.
Definición. La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) en el plano cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen la fórmula o ecuación que define a
f . En símbolos:
Gráfica de f = x, y 2 / x D f y y f ( x)
ADVIERTA: Si f ( x)
x 2 entonces:
12
3,9
pertenece a la
2 ,5
no
f ( 2 ) 4
gráfica de f porque
pertenece
y
Si
4
a
la
gráfica
3 D f
de
f
y f ( 3 )
porque
9
2 D f
pero
5.
g ( x)
1
, entonces:
x
1 3 , pertenece a la gráfica de g porque 3
0,0
no p ertenece
a la gráfica de g porque
3 D g
y
g 3
1
3
0 D g
NOTA: No toda curva en el plano xy es la gráfica de una función. Esta última se caracteriza geométricamente porque toda recta vertical que la corta lo hace exactamente en un punto.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS A) Curva que es la gráfica de una función
B) Curva que no es la grafica de una función
A Xo le corresponden dos valores distintos Yo y Y1.
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PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCION. Para construir la gráfica de una función se sugieren estos tres pasos.
PASO 1. Obtener las coordenadas de unos cuantos puntos que satisfagan la ecuación (o fórmula) que define a la función. Presentar estos puntos en una tabla de valores.
PASO 2. Ubicar en el plano los puntos de la tabla de valores. PASO 3. Unir los puntos mediante una curva de trazo continuo. NOTA: Al construir la gráfica de una función definida en un intervalo [a, b] o ]a, b[, conviene comenzar la tabla de valores con el punto de abscisa a y terminar con el punto de abscisa b. Cuando el intervalo es abierto se eliminan los puntos terminales de la gráfica, dejando en su lugar un hueco.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Construir la gráfica de f ( x)
x2
en
a) [-1, 2] ,
b]-1, 2 [
SOLUCIÓN x
f(x)
-1
1
0
0
1
1
2
4
14
2. Construir una gráfica de
g x
1
en [ 2 , 5 ]
x
SOLUCIÓN x
f(x)
2
0.5
4
0.25
5
0.20
NOTA: cuando la regla de correspondencia de una función está dada por más de una fórmula, se dice que la función está definida en secciones. Por ejemplo la función f definida por:
15
x 2 si 1 x 2 f x 1 , si 2 x 5 x
Es una función definida por secciones cuyo dominio es el intervalo [-1, 5 ] y cuya gráfica consta de 2 secciones, las cuales se obtienen al trazar en el mismo sistema de ejes coordinadas la gráfica de
f ( x ) =x2 en –1 ≤ x ≤ 2 y
f x
1
x
en 2 < x < 5
como se ilustra con la siguiente figura.
1.5 FUNCIONES ESPECIALES Y SUS GRAFICAS. a) FUNCION IDENTIDAD f(x)=x Df =IR
16
Gráfica de f(x) = x ,
-1 < x
2
b) FUNCION CONSTANTE f(x) = C Df = IR
Gráfica de f(x) = 4 ,
-1
x<2
ADVIERTA: La gráfica de una función constante es una recta horizontal. c) FUNCION RAIZ CUADRADA f x
es el número no negativo que elevado al cuadrado es x,
x D f
0,
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Gráfica de f x
ADVIERTA:
x
x en [ 0, 4 ]
origina un número real si el radicando x, es un número no
negativo.
d) FUNCIONES POLINOMIALES DEFINICIÓN. Una función polinomial es cualquier función f que tenga como regla de correspondencia una expresión de la forma f(x) = a n x n + a n –1 x n –1 + . . . + a 2 x 2 + a1 x + a o donde los coeficientes a n , . . ., ao , son números reales y los exponentes son enteros no negativos. Obviamente el dominio de cualquier función polinomial es IR. Si a
n
≠ 0, n es el grado de la función polinomial. Particularmente, una función
polinomial
de grado 1, f(x) = a x + b, se llama función LINEAL.
de grado 2, f(x) = ax 2 + bx + c, se llama función CUADRÁTICA.
de grado 3, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , se llama función CUBICA.
GRAFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES. CASO 1. Si la función polinomial es lineal, su gráfica es una línea recta. Bastan dos puntos.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Graficar x
y = 4 + 2x
f(x)
18
0
4
-2
0
2. Graficar y = 4 – 2x x
f(x)
0
4
2
0
ADVIERTA: La gráfica de una función lineal de la forma y = a x + b es una recta que crece si a > o y decrece si a < o (¿ Si a = 0 ?)
CASO 2.
Si la funcion polinomial es cuadrática, su gráfica es una parábola, la
cual se puede construir: Tabulando
Completando un cuadrado para luego desplazar y reflejar la gráfica de Y = X 2.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. 1) Graficar: y = x2 + 2x + 5. y = x2 + 2x + 5 = ( x 2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)2 + 4
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2. Graficar
y = 8 –2x – x2
y = 8 – 2 x – x2 = 8 – ( x2 + 2x ) = 8 - (x2 + 2x + 1) +1 = 9- (x +1)2 La gráfica corta al eje x cuando y = 0 es decir cuando 9 – (x + 1) 2 = 0 [3 – (x + 1)] [3 + (x + 1)] =0 [3 – x – 1] [ 3 + x + 1] = 0 [ 2 – x] [4 + x] = 0 x = 2, x = - 4
ADVIERTA. La gráfica de una función cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c es una parábola abierta hacia arriba si
a>0 y
abierta hacia abajo si a < 0
GRAFICAS DESPLAZADAS Y GRAFICAS REFLEJADAS.
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GRAFICAS DESPLAZADAS. Para un número real o mayor que cero: • La gráfica de y = f(x) + c, es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia arriba. • La gráfica de y = f(x) – c, es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia abajo. • La gráfica de y = f(x + c), es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la izquierda. • La gráfica de y = f (x – c), es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la derecha.
NOTA: Cuando la gráfica desplazada corta al eje x conviene (para futuras aplicaciones) encontrar los valores de x donde se cortan ambas.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. 1. Las gráficas de y = x2 + 4, y = x2 – 4, obtienen
y = (x + 4)2
y = ( x – 4 ) 2 se
de la gráfica de y =x 2 desplazándola 4 unidades hacia arriba, abajo, a la
izquierda y a la derecha respectivamente.
21
2. La gráfica de y = (x – 4)2 – 1 se obtiene de la gráfica de y = x 2, desplazándola 4 unidades hacia la derecha y luego una unidad hacia abajo.
Al desplazar esta última gráfica una unidad hacia abajo, corta el eje x en los puntos donde y = 0 ; es decir donde (x – 4)2 –1 = 0 [(x – 4) - 1] [(x – 4) + 1] = 0
22
(x – 5)(x – 3) = 0 x=5 x=3
3. Construir la gráfica de y = x2 + 2 x. Para construirla como desplazamiento de la gráfica de y = x 2 , primero completemos un trinomio cuadrado perfecto así:
y = x 2 + 2x = x2 + 2x + 1 –1 = (x +
1)2 – 1. De este modo la gráfica a construir es la gráfica de y = x 2 desplazada una unidad a la izquierda y luego una unidad hacia abajo.
Corta el eje x en
x=0
y
x = -2
(VERIFICARLO)
Cuando se trata de una función compuesta en la cual la función externa es el valor absoluto, se grafica la función interna y luego se refleja.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. 1. Construya la gráfica de
23
a)
y
4
x
1
2
b)
y
x
2
2 x
SOLUCION.
a)
b)
24
CAPÍTULO II Tomado de:
García, E. (s.f.). Límites y Continuidad de Funciones . . Recuperado de http://www.fisicanet.com.ar/matematica/limites/ap13_limite_y_continuidad_de_fun ciones.pdf
LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función f ( x )
x 3 1 x 1
,x 1
Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de
25
x =1, usamos dos conjuntos de valores x , uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro
por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f ( x ). x se acerca al 1 por la izquierda
0
0
,9
,99 2
( x )
,71
0
x se acerca al 1 por la derecha
1
1
,999 2
,9701
f ( x ) se acerca al 3
,001
2 ,997001
1
¿ ?
1
,01
3 ,003001
,1 3
3
,0301
,31
f ( x ) se acerca al 3
Figura 1 y 7
f x
x 3 1 x 1
6
5
4
3
1,3
2
1
x -3
-2
-1
1
2
3
-1
La figura 1 es la gráfica de la función f ( x)
x 3 1 x 1
, x 1 y como podemos
observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función g ( x) x
2
x 1 menos
el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f ,
factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f ( x ) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f ( x ) cuando x tiende a a es L, y escribimos lím f ( x) L. x a
2.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f ( x ) cuando x se
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aproxima a a es L, lo cual se escribe como importa que tan pequeña sea, existe una
lím f ( x ) L , si para cualquier 0 , no
x a
0 tal
que si
0 | x a | entonces
| f ( x) L |
Esta definición indica que los valores de f ( x ) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia | f ( x) L | puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a. En la definición no se menciona nada acerca del valor de f ( x ) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que lím f ( x ) exista. x a
Ejemplo 1) Utilicemos la definición para demostrar que lím(4 x 5) 3. x 2
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier
0 existe
una
0 tal
que
si 0 | x 2 | entonces | (4 x 5) 3 |
(A)
si 0 | x 2 | entonces | 4 x 8 | si 0 | x 2 | entonces 4 | x 2 | si 0 | x 2 | entonces | x 2 | Entonces, si tomamos
4
4
.
se cumple la proposición (A). Esto demuestra que
lím(4 x 5) 3. x 2
Tomando
0,01 , 0,0025, luego,
para esos valores de
y
,
los
números x que pertenecen al intervalo abierto 1,9975;2 2;2,0025 verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene: 0 |1,9976 2| | 0,0024 | 0,0024 0,0025 entonces
| (4·1,9976 5) 3| | 7,9904 8| | 0,0096 | 0,0096 0,01
Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x .
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Ejemplo 2). Demostrar usando la definición de límite que lím
x 3
x 1
1
x 1
3.
Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto, si 0 | x 1| entonces
x
3
1
x 1
3
(B)
x 1 x 2 x 1
si 0 | x 1| entonces
x 1
3
si 0 | x 1| entonces | x 2 x 2 | si 0 | x 1| entonces | x 1 x 2 | si
0
x 1
entonces | x 2 || x 1|
Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, 2 | x 2 | 3,
entonces, | x 2 || x 1| 3 | x 1| , por lo tanto, | x 1| . De la proposición (B) se 3
obtiene que, si
0 | x 1| entonces | x 1|
proposición (B), lo que demuestra que
lim x 1
x
3
1
3
. Si tomamos
3
se cumple la
3.
x 1
Ejercicios propuestos Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado. 1) lím (7 2 x) 11 2
x
2)
lím
x 1
x
2
1
x 1
2
3) lím (1 3 x) 5 2
x
4) lím( x 2 x
2
4) 8
2.3 TOREMAS PARA CALCULAR LÍMITES Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los siguientes teoremas
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Teorema 1. Límite de una función lineal. Sea f ( x) mx b donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces lím f ( x ) lím(mx b) ma b
x a
x a
Ejemplo lím(4 x 7) 4·3 7 12 7 5 3
x
Teorema 2. Límite de una función constante. Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces lím c
c
x a
Ejemplo lím 7
7
x 4
Teorema 3. Lím ite de un a fun ción i den tid ad. Sea f ( x) x , entonces
lím x
a
x a
Ejemplo lím
x 2
x 2
Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones. Si lím f ( x ) L y lím g ( x ) M , entonces x a
x a
lím f ( x) g ( x) lím f ( x) lím g ( x) L M
x a
x a
x a
Ejemplo Sean, lím(2 x 4) 2 y lím 3 x 9, entonces, x 3
x 3
lím 2 x 4 3x lím 2 x 4 lím3x 2 9 11 y 3
3
x
3
x
lím x 3
x
3x 2 9 7 2x 4 lím 2 x 4 3x lím x
3
x
3
Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.
29
Si lím f1 ( x) L1 , lím f2 ( x) L2 , x a
lím x a
, y lím f n ( x) Ln , entonces: x a
x a
f1 ( x) f 2 ( x)
f n ( x)
f1 ( x) lím f 2 ( x)
lím x a
lím
x a
x a
f n ( x) L1 L2
Ln
Teorema 6. Límite del producto de dos funciones. Si
lím f x a
( x) L y
lím g ( x )
x a
lím x a
M , entonces
f ( x) ·g ( x) lxíma f ( x) ·lxíma g ( x) L ·M
Ejemplo Sean,
lím( 2 x 4) 2 y lím 3 x 9, entonces, 3
3
x
lím x 3
2
x 4
x
3 lím 2 x
x3
x
4 lím 3 x 2 ·9 18. x 3
Teorema 7. Límite del producto de n funciones. Si
lím x a
lím f1 ( x) x a
L1 ,
lím
f2 ( x) L2 ,
,y
x a
f1 ( x) · f 2 ( x)
lí m x a
f n ( x) lím f1 ( x) ·lím f 2 ( x) · x a
x a
f n ( x) Ln , entonces
· lím f n ( x) L1 · L2 ·
· Ln
x a
Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función. Si lim f ( x ) L y n es cualquier número entero positivo, entonces x a
n
n lím f ( x) lím f ( x ) L x a x a n
Ejemplo Sea,
5 2
lím
x
x
2
10 20, entonces, lím 5 x 10 lím 5x 10 x 2
x 2
2
20
2
400. 40
Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones. Si
lím f x a
( x) L y
lím g ( x )
x a
lím x a
f ( x ) g ( x)
M , entonces lím f
x a
( x)
lím g ( x) x a
L M
si M 0
Ejemplo Sean, lím(2 x 4) 2 y lím 3 x 9, entonces, x 3
x 3
lím x 3
3 x 2 x 4
lím 3 x x 3
lím x 3
2x 4
9 2
30
Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función. Si n es un número entero positivo y lí m
n
x a
f ( x ) n
lí m
lím f x a
( x) L , entonces
f ( x ) n L con la restricción que si n es par, L > 0.
x a
Ejemplo Sea, lím
4
x 5
4 x 2
4 x
lím
x
6 4 lím
x 5
5
4x
2
2
106, entonces 6 10
6 4 l ím 4 x
2
x 5
lím 6 4 x5
4 5
2
6
4
100 6
4
106.
de
1,
Teorema 12. Límite del logaritmo de una función. Sean: lím f x a
b
un
número
real
positivo
y
distinto
y
x L 0, entonces lím log b x a
f x log b lím f x . x a
Ejemplo lím ln 2 x
Calcule:
x e
e aplicando el teorema 2.12.
Apliquemos Apliquemos el teorema exigido: exigido: lím ln 2 x e x
e
ln lím 2 ln lím 2 lím ln 2 ln 1 x
x
e
e
x
x
e
e
x
e
e
e
e
Sin aplicar el teorema: lím ln 2 x x
e
e ln 2e e ln e 1.
Teorema 11. Unicidad del límite de una función. Si
lím f x a
x L y 1
lím f x a
( x) L2 , entonces, L1 L2 .
Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.
2.4 LÍMITES INDETERMINADOS INDETERMINADOS Los límites indeterminados que estudiaremos estudiaremos en éste capítulo son:
La forma indeterminada
0
.
0
31
Si f y y g son son dos funciones f unciones tales que lim f ( x) 0 y lim g ( x) 0, entonces la x a
función f tiene la forma indeterminada
0 0
g
x a
en a.
La manera de resolver los límites indeterminados
0 0
será explicada
,
mediante dos:
Ejemplos 1) Calcular Se lim
x 4
tiene
x 2 x 12 x 2 3x 4
0 0
lim x 4
x x
2
x 12
2
3x
.
4
lim x 2 x 12 0
que
y
x 4
lim x
4
x
2
3x 4
0,
entonces,
.
Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así: lim x 4
x x
2
2
x 12
lim
3x 4
Por lo tanto, lim x 4
2) Calcular
lim x 3
x 4
4
x x
4
x 2 x 12 x 2 3x 4 4 x
2
lim 1
x3 x
13 7
x 4
7 5
x3
7
x 1
.
5
.
.
6 2 x
Aquí tenemos: lim
x 3
lim x 3
4 x
2
13 7
0
6 2 x
4 x 2 13 7 0
lim 6 2 x 0,
y
3
luego,
x
.
0
En éste caso procedemos de la siguiente manera: multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada de
4 x 2 13 7, dicha conjugada es:
resultante, así: 4 x 2 13 7, luego se resuelve el límite resultante,
32
4 x
lim
2
13 7
6 2 x
x 3
4 x
lim x 3
lim
2 3 x
x 3
2
2
13 7
6 2
2
4x
13
4x
x3 2
4x 2
7
lim
x 3
13
Por lo tanto,
7
2 3 x
x 3
4 x
lim
2
2
x
4
lim
2
13
13
4
36 2
4x
x
x 3
x 3
4 x
x 3
4
lim
2
9
4x
4x
x 2
7
2
7
x
lim x 3
13
3
7
2 3 x
7
2
13 49
4x
2
13
7
24
13
13 7
4
6
28
.
7
6
6 2 x
x 3
7
2.5 LÍMITES LATERALES Límite por la izquierda. Sea f definida en cada número del intervalo abierto
c; a
. El límite de f ( x ), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se
escribe una
lím
x a
f ( x) L, si para cualquier
0 tal
0, sin
importar que tan pequeña sea, existe
que si 0 a x entonces | f ( x) L |
Límite por la derecha. Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto a; c . El límite de f ( x ), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe lím
x a
f ( x) L, si para cualquier
0, sin
importar que tan pequeña sea, existe una
0
tal que si 0 x a entonces | f ( x) L |
Teorema El
lím f x a
( x) existe y es igual a L, si y sólo si,
lím
x a
f ( x) y
lím
x a
f ( x) existen y son
iguales a L. lím f x a
( x) lím f ( x) lím f ( x) L x a
x a
Funciones que crecen sin límite.
33
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a mismo. La función f ( x ) crece sin límite, cuando x se aproxima al número a, lo cual se escribe lim f ( x ) si para cualquier N > 0 existe x a
una
0
tal que: si 0 | x a | entonces f ( x ) > N
Ejemplo Supongamos que f es la función definida por f ( x)
3
x 2
. La gráfica de esta
función se muestra en la figura siguiente. Figura 2 19
y
18
f x
17 16
3
x
2
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
El comportamiento de la función f es que crece sin límite cuando x se acerca al número cero por la izquierda o por la derecha. Cuando esto sucede decimos que el límite de f ( x ) es menos infinito cuando x tiende al número 0, lo que se indica mediante la siguiente
notación: lim x
3
0 x 2
Funciones que decrecen sin límite. Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a mismo. La función f ( x ) decrece sin límite, cuando x se aproxima al número a, lo cual se escribe lim f ( x ) si para cualquier N < 0 existe x a
una
0 tal
que si 0 | x a | entonces f ( x ) < N
Ejemplo
34
9
Supongamos que f es la función definida por la ecuación f ( x)
3
x 2
. La gráfica de f
se muestra en la figura siguiente.
Figura 3 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
y x 1
2
3
4
5
6
7
8
-2
f x
3
x
2
-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19
A partir de la gráfica se observa que el comportamiento de la función f es que decrece sin límite cuando x se acerca a “0” por la izquierda o por la derecha. Este comportamiento lo expresamos diciendo que el límite de f ( x ) es menos infinito cuando x tiende a cero, lo que se escribe de la siguiente manera: lim x 0
3 x
2
.
Ahora consideremos la función h definida por la ecuación
h( x)
2 x
x
1
. La gráfica
de h se presenta en la figura 4.
35
9
Figura 4 9
y
8
h x
7
2 x
x
1
6 5 4 3 2 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
El comportamiento de h cuando x se acerca al número 1 por la izquierda es diferente a su comportamiento cuando x se acerca al 1 por la derecha. Cuando se acerca al 1 por la izquierda h( x ) decrece sin límite, mientras que cuando x se acerca al 1 por la derecha h( x ) crece sin límite. Estos comportamientos de h lo escribimos de las siguientes maneras: lim
x 1
2 x
x 1
y
2 x
lim
x 1
.
x 1
Ejemplos Determine el límite analíticamente y apoye la respuesta trazando la gráfica de la función. 1)
lim t 2
x x
2
Solución:
2
.
4
lim x 2
x x
2
2
4
La gráfica de la función g x
lim x 2
x
x
x 2 x
2
4
2
2 x
2
lim x 2
1 x
.
2
es mostrada a continuación.
36
9
Figura 5 9
y
8
g
7
x
x 2 x
2
4
6 5 4 3 2 1 -7
-6
-5
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
En la gráfica se observa que cuando x se acerca al número 2 por la derecha g ( x ) crece sin límite. 2)
3 x
lim x 0
2
.
x
Solución lim
x 0
3 x
lim
2
3 x
2
x 0
x 0
lim
x
lim 3 x
x 0
x0
lim 3 lim
lim
x
2
x0
x 0
lim
x
La gráfica de la función f ( x )
x 0
3 x2 x
x
2
3 lim
x 0
lim
x
x0
x
2
3 0
0
x
es mostrada en la figura 6. Figura 6 9
y
8
3
f x
x2
7 6
x
5 4 3 2 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
37
Observemos que f ( x ) decrece sin límite cuando x se acerca al 0 por la izquierda.
3)
6 x
lim t 2
2 x
2
2
x
2
3x
.
2
Solución: x2 lim 2 2 2 x 3x 2 6 x
2
x
lim x
2
x x x x 2 1 2
x 23 lim 2 x 2
2 3
1 2
La gráfica de la función f ( x)
6 x 2 2 x
2
lim x
lim x 2 0
t
2
x
2
x
x2
3x 2
2 3
4 3
se muestra en la figura 7:
Figura 7 y 12 11
f x
10
6 x 2 x
2
2
x 3x
2 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
6
7
-1 -2 -3 -4 -5
Observando la gráfica podemos verificar que cuando x se acerca al número -2 por la derecha, f ( x ) decrece sin límite.
2.6 LÍMITES INFINITOS Y AL INFINITO
La forma indeterminada
.
Si f y g son dos funciones tales que lim f ( x ) y lim g ( x) , entonces x
la función f es indeterminada con la forma g
x
.
38
La forma de resolver éstos límites será explicada mediante dos ejemplos.
Ejemplos 1) Calcular
lim x
4 x 3
.
2 x 5
Es evidente que
lim x
4 x 3
2 x 5
.
y
lim 2 x 5 , por lo tanto,
lim 4 x 3 x
x
Para resolver éste límite dividimos el numerador y el
denominador entre la x de mayor exponente, así: 4 x lim x
3
4
4 x 3
2 x 5
lim x
x
x
2 x
5
x
lim
x
x
Por lo tanto,
x
3 x
x
En este caso
5
40
2.
20
x
2.
2 x 5
5 x 4
2) Calcular lim
2
x
4 x 3
lim
3
5
2x 4
x
lim 5 x x
4
2
2
.
2x 4
y
lim 3 x x
5
x
2
2
, por lo
tanto, lim x
entre
x
5
5 x
4
3 x
5
2x 4
x
2
2
. Para
resolver, dividamos el numerador y el denominador
pues éste es la potencia de x de mayor exponente, así: 5 x
lim x
5 x
4
3 x
5
2x x
2
4
2
x
lim x
5
3 x x
Por lo tanto,
4
lim x
2x
5
x
x
2 5
2
x
5 x
4
3 x
5
2
2
lim x
5
x
3
4
4
5
x
x
1
2
x
x
2x 4
x
5
5
x
5
5
4
3
lim x
0 0 0
0
3 0 0
0.
3
5
x
0.
2
La forma indeterminada .
39
Si f y g son dos funciones tales que lim f ( x ) y lim g ( x) , entonces x
x
la función f g es indeterminada de la forma
. La manera de resolver éstos límites
será explicado con ejemplos.
Ejemplos 1) Calcular
lim x
Como
lim
x
x
x
2
x
.
y lim x 2 x , entonces, lim x
x
x
x
x
2
x
.
Para
resolver
éste límite racionalizamos, así:
x x 2 x
lim x x 2 x lim
x
lim
x
x 2 x 2 x x
x
lim
x2 x
x x x x
x2 x
lim
x2 x
x
x x
x2
x
2
x
x
x2 x
x
2
2
,
Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma
,
que
se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x , así: x
x
lim
x
x x
2
x
x
x
lim
x
x
Por lo tanto,
lim x
2) Calcular lim
x
x
3
x
2
x
2
x
2
x
x
1 1
2
1
1
x
x
1
lim
1
1 1 0
1 2
.
x
.
2
2 x3 1 3 x2 .
Como: lim
3
2 x
3
1
y
x
lim
x
3
2 x3 1 3 x 2
lim
3
x
2
,
entonces,
x
.
Para resolver éste límite racionalizamos, así:
40
lim x
3
2 x
3
1 3
2
x
x
lim x
3
4 x
6
2
lim x
3
2 x
3
1 3
2
3
1 x 2
3
4 x3 1 3 2 x 5 x 2 3
x
2
x
3
3
2
4
x
3
2 2 1 3 2 x 3 1 x 2 3 x 2
2
1 3 2 x 3 1 x 2 3 x 2
2 x
lim x
x
3
4x
6
3
2
x2 1
4 x 3 1 3 2 x 5 x 2 3 x 4
El límite se transformó en otro indeterminado de la forma
,
.
que se
resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia de x de mayor exponente, que en el caso que nos ocupa es 2 x x
lim x
3
4 x x
6
9
4x x
3
3
3
9
x x
1 x
Por lo tanto,
9
2 3
x
2x x
x
3
, así:
1
3
lim
x
3
2
3
5
9
x
x
3
2 x
2 9
x
3
x
1
3
x
4
x
3 9
2
1
x
lim
1
4 x
3
4 x
6
1 x
9
x
3
2
.
2 x
4
1 x
7
3
1 x
5
.
Teorema de estricción o del encaje. Si h( x) f ( x) g x para todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto en el propio a y si lim h( x) L lim g ( x ), entonces lim f ( x ) L. x a
x a
x a
Ejemplo Sean
f ,
g
y
h( x) x 2 6 x 7, f ( x) 19 x2 23 x 3 y
h g ( x)
las
x
2
funciones
definidas
por
6x 11.
Las gráficas de estas funciones están trazadas en la figura 8.
41
Figura 8 y
g (x )
7
6
5
f (x )
4
3
2
1
x -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
-1
h (x )
-2
Las gráficas de h, f y g son parábolas que tienen sus vértices en el punto (3; 2). Las tres funciones están definidas en x = 3. También se observa que h( x) f ( x) g x . Además,
lim x 3
x
2
6x 7
2 y lim x 3
x
2
6 x 11
2. Por
lo tanto,
de acuerdo al teorema de estricción lim f ( x) 2. x 3
Ejercicios propuestos Calcule los siguientes límites. 1)
lim x
lim t 0
1 3
1 9 x
2
2)
1 3 x
lim x 2
x x
2
2
x6
5 x 14
3)
lim x
1 2
3
4 x
2
4 x
4x 3
2
4)
1
9 t 3
t
5) lim x 1
x 2 4 3 x 3
6) lim x
2
3
x
2
6
x
42 2
, recuerde que: a b
3
a3b
3
a2
3
3
ab b 2
42
3
7) lim
2 x 6 3
x7
4 x 2
x 1
8) 11)
lim
x 5
lim 2 x x
, recuerde que:
5 x 4
x 4
a b a b a b y a b a ab b a b
2
9)
5 x
lim x
4x
4
1
4
7x
20 x
12)
4
2
3
10
3
lim x
3
10)
3
lim x
3
x
2
2
2x
2
3
x
7
3x
7 x
13)
7
6
x
2
2x
5
lim x
3
3
4
4
3 x
4
x
Dadas las funciones indicadas, calcule el límite señalado si existe, sino existe establezca la razón. x 4 14) f ( x) 16 x 2 4 x
si
x 4
si
4 x 4 4x
si
( a) lim f ( x); (b) lim f ( x). x 4
x 4
x 2 4 15) g ( x ) 2 x x 2
si
x2
si
2 x4
si
4 x
( a ) lim g ( x); (b ) lim g ( x). x 2
x4
Utilice el teorema de estricción para determinar el límite.
2.7 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Función continua en un punto (número) Una función f es continua en un número “a” sí y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente: i) f (a) existe; ii) lim f ( x ) existe; x a
iii) lim f ( x) f (a ). x a
Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en “a , entonces se ”
dice que la función f es discontinua en “a . ”
43
Ejemplos 1) La función definida por f ( x)
x 2 4 x 2
, es discontinua en 2, pues dicha
función no está definida en el 2. Veamos cómo es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9. Figura 9 y
x2 - 4 f ( x) = x - 2
5
4
(2; 4) 3
2
1
x -2
-1
1
2
-1
-2
La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x = 2, por lo tanto, f (2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que lim f ( x ) existe y es igual a 4. x 2
Veamos si esto es cierto: lim x 2
x
2
x
4
2
lim x2
x
2
x
x
2
lim x
2
x 2
2
4.
Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero lim f ( x ) existe, se dice que f presenta una x a
discontinuidad removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que f ( a ) lim f ( x ), la nueva función es continua en a. Si una discontinuidad no es removible x a
se dice que es una discontinuidad esencial.
44
La discontinuidad de la función f ( x )
x 2 4 x 2
, es removible, porque si se
redefine en 2, se obtiene la siguiente función:
x 2 4 F ( x ) x 2 4
si
x2
si
x2
La función F es continua en 2, puesto que, lim F ( x) 4 x 2
y F (2) 4.
2) Sea g la función definida por g ( x)
1 1 2 x
. La gráfica de la función es
mostrada en la figura 10. Figura 10 y 6
1 g ( x)
= 1 - 2 x
4
2
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
La gráfica de g se rompe en el punto donde
x
1 2
, pues
la función no está
definida en dicho punto. Además, lim g ( x) y lim g( x) , luego, lim g ( x) no x 12
x 12
x 1 2
existe. Por lo tanto, i)
g
no está definida. 1
2
ii) lim g ( x ) no existe. x 1 2
Entonces, la función g es discontinua en 12 , y la discontinuidad es esencial porque lim g ( x ) no existe. La discontinuidad de éste ejemplo recibe el nombre de x 1 2
discontinuidad infinita.
45
3) Sea h la función definida por 1 h( x) x 2 3
si
x2
si
x2
La gráfica de h es mostrada en la siguiente figura: Figura 11 8
y
7 6 5 4 3 2 1 -3
-2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función h en x = 2. i) h(2) = 3 ii) lim h( x) y lim h( x) , por lo tanto, lim h( x) no existe. x 2
x 2
x 2
Como la condición ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial.
46
CAPÍTULO III
DERIVADAS
3.1. INTRODUCCIÓN Tomado de: Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003). Cálculo Diferencial/ Definición de derivada. Recuperado de http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/definicion_de_derivada.htm#Definiciones%2 0de%20Derivada:
Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de límite.
47
Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes definiciones:
Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto ( x , f ( x ) ) es la derivada de f en x.
Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto P = ( x , f ( x ) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.
Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t , es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una
48
masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x. Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en más de un punto, como se muestra a continuación:
a medida que los intervalos de posición en x son más pequeños como el esquema que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser más semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:
Analizando esta línea tangente podemos ver que:
49
el triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cuál es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triángulo rectángulo corresponde a la línea recta. Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta está dada por la tangente:
pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una línea recta
Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos: sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando o lo que equivale a decir que se genera el limite:
50
fue a ese límite al que se le dio el nombre de derivada:
Donde
es una notación para indicar el operador de derivada.
Nota: Como podremos ver
sin embargo no debe de tomarse como la
operación de dividir dx entre dx.
3.2 DEFINCIÓN DE LA DERIVADA EN UN PUNTO Tomado de: -Vitutor. (2014). Concepto de derivada . Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html
Definición. La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
51
Ejemplos 1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x 2 en el punto x = 2.
2. Calcular la derivada de la función f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = 1.
52
3.3. REGLAS DE DERIVACIÓN Tomado de: Vitutor. (2014). Fórmulas de derivadas. Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/4/d_f.html Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones. En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
53
Derivada de una raíz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
54
Como
, también se puede expresar así:
Derivada del logaritmo neperiano
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
55
Derivada de la cosecante
EJEMPLOS Tomado de: Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003.) Calculo Diferencial/ Ejercicios Resueltos de Derivadas/ Derivadas de sumas, diferencias, potencias y productos. Recuperado de
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersumaspro.htm 1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales. a).b).-
c).-
d).-
SOLUCIONES a). –
56
Como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si
entonces
por lo que para la función planteada en el ejercicio:
Recordando que la derivada de una función potencia
es
y que en la derivada de una constante es cero tendremos
Es decir
b). – Solución Para este caso Distribuyendo la derivada tenemos: y utilizando directamente la fórmula para
la cual es obtenemos
: observamos que al derivar, por ejemplo, por lo que :
c). – Solución De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:
57
como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene
por lo tanto:
d). – Solución
derivando cada término Por lo que:
2.- Obtener los siguientes problemas. a).-
b).-
58
c).-
d).Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:
a).- Solución para obtener la solución tenemos dos caminos.
1ero en este caso si comparamos con la fórmula para derivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x 2 +1 derivando cada función obtendríamos: f´(x)=1 y g´(x)=2x sustituyendo en (A.1) tendríamos:
simplificando:
2ada forma Como ya que x 2 +1 nunca es cero, entonces:
59
podremos utilizar la fórmula:
donde f(x)=x y g(x)=(x 2 +1)-1 derivando cada función obtendríamos: f´(x)=1
y
sustituyendo en A.2 obtenemos:
b).-Solución aplicando la fórmula
tenemos:
del ejercicio anterior ya obtuvimos que:
y
entonces:
60
por lo tanto:
c).- Solución
sustituyendo en la ecuación (A.1 )
por lo tanto:
d).- Solución aplicando la fórmula
61
tenemos:
pero ya hemos calculado
del
ejercicio a)
y la derivada de x 3-x es:
de lo que:
MAS EJEMPLOS Tomado de: Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003). Cálculo Diferencial/ Ejercicios resueltos/ Derivadas de logaritmos y funciones elevadas a funciones. . Recuperado de
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derlog.htm 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones: a).-
b).-
c).d).-
62
e).-
a)
Solución para la solución de estos problemas ocuparemos las
siguientes fórmulas
utilizando C.5 y haciendo
pero
tenemos
por lo que
Simplificando
b)
Solución
63
utilizando C.5 y haciendo
tenemos:
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x 2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la fórmula (B.2)
factorizan
do (2x+1) 2 tendremos:
64
pero
por lo tanto:
finalmente al sustituir en b.1 tenemos:
c)
Solución
tomando, en la fórmula C.3, u=x y v=sen x
d)
tenemos:
Solución aplicando directamente C.1 tenemos
65
e). solución
aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:
2.- Demuestre la fórmula
como pero de la propiedad:
entonces derivando tenemos:
utilizando el hecho de que
y la derivada de un logaritmo
natural tenemos:
66
simplificando, tenemos:
MÁS EJEMPLOS Tomado de: Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003). Cálculo Diferencial/ Ejercicios resueltos/ Derivadas de funciones trigonométricas. Recuperado de
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dertrigon.htm Derivadas trigonométricas 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones: a).-
b).-
c).-
d).-
SOLUCIONES
67
a)
Solución aplicaremos la fórmula para derivar un producto de funciones:
tenemos:
pero:
por lo tanto:
b)
Solución
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x 2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la fórmula
68
(B.2)
factorizando (2x+1) 2 tendremos:
pero
por lo tanto:
c)
Solución
haciendo u=csc 3x tenemos: aplicando la regla de la cadena
69
Tenemos
recordando que
pero v = csc 3 x
tenemos
sustituyendo en y´(x) tenemos:
d)
Solución
aplicando la fórmula (B.1) tenemos:
70
simplificando tenemos:
3.4. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Tomado de: WikiMatematica. WikiMatematica. (2012). Derivadas de orden superior. Recuperado de http://www.wikimatematica.org/in http://www.wikimatematica.org/index.php?title=D dex.php?title=Derivadas_de erivadas_de_orden_supe _orden_superior rior Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f'(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f'(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f''(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
Notación Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior
1ra Derivada
;
;
;
;
;
2da Derivada
;
;
;
;
;
3ra Derivada
71
;
;
;
;
;
n-Derivada
;
;
;
Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan. utilizan.
Ejemplo 1 Encontrar la 2da derivada de Encontramos la 1ra derivada. derivamos
f'(x).
Ejemplo 2
72
Ejemplo 3
73
RESUMEN En la primera unidad de aprendizaje se ha abordado el estudio de funciones reales, límites, continuidad y derivadas. Con respecto a las funciones reales, se dice que toda función definida del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales, es decir de R en R, se llama función real. Así mismo, dentro de las funciones reales, se tienen una serie de funciones por sus características, como son: nombre, regla de correspondencia, dominio, rango y gráfica, toman el nombre de funciones reales especiales o simplemente funciones especiales, las cuales son de mucha aplicación en el campo de la administración En el estudio de límites se ha dado la siguiente definición: Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a
x
0
. El límite de dicha función f(x)
cuando x tiende a x0 es L y se escribe lim x x0
f ( x) = L
0 < x x 0
<δ
, si y solo si
0,
δ
>
0
tal que
f(x) L <
Definición que nos dice, que al aproximar los valores de “x” cercamos al valor se tiene que las imágenes
f ( x ) se
x
0
aproximan al valor real L. Si se trata de calcular
límites, lo teoremas y propiedades dados deben ser aplicados adecuadamente. En la parte de continuidad, se dice que una función es continua en un punto si se cumplen los tres criterios de continuidad, esto es: que exista imagen en el punto, que exista el límite en el punto y que los dos resultados anteriores sean iguales. Al estudiar derivadas, la definición a tomar en cuenta es la siguiente: Consideremos la función real de variable real y=f(x), si
, entonces la derivada
de la función f con respecto a x definiremos por la expresión: f ' ( x) lim
x 0
f ( x x ) f ( x ) x
74
Siempre que dicho límite exista. Lo cual implica, que la derivada de una función está supeditada a la existencia de un límite. De otro lado, para calcular derivadas de forma práctica, de primer u orden superior se deben aplicar adecuadamente las reglas de derivación dadas
75
AUTOEVALUACIÓN 1 PARTE A 1. Hallar dominio y rango de la siguiente función: f ( x)
A) [-2, 0] 1.
x 2 2 x 8
B) [-2, -1]
C) [-2, 4]
D) [3, 4]
E) [1, 2]
Si f representa una función dada por: f = {(2, x + y), (3,4), (2,10), (3,x-y)} ¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos son funciones? g = {(x, 3), (y, 5), (x+y, 4) h = {(x-y, 4), (x, 2), (4,3)} i= {(8,2), (y, 4), (x, 2)} A) g y h
2.
Sea M = {x
B) sólo g
C) todas
Z / 1 < x < 10} Si f = {(x, y)
suma de todos los elementos del D(f) y
D) g e i
E) N.A.
M x M / x + y = 12} y si a es la
b es la suma de todos los elementos del
R(f). El valor de E = a + b es: A) 42
B) 50
C) 84
D) 60
E)N.A.
4. La utilidad obtenida al vender X artículos es descrita por U(x)=30X+1200 soles. Si en el último mes se obtuvo una utilidad de 16200 soles. ¿Cuántos artículos se vendieron? A) 630
B) 50
C) 1300
D) 820
E) 500
5. Sea f (x) = ax + b una función tal que: f (-1) = 2
y
f (2) = 3
Hallar el valor de: a + b A) -1
B) 2/3
C) 0
6. Para la función cuadrática f ( x) x 2 A) y = -2
B) y = 4
D) -4/3
E) 4
4 x 6 su valor mínimo está dado en:
C) y = 2
D) y = 5
E) y = -4
7. Hallar el valor de E = m + n, sabiendo que el conjunto: {(n; m+n), (n; 12), (m; m-n), (m; 2)} es una función
76
A) 12
B) 11
C) 10
D) 15
E) 20
8. Graficar en el plano cartesiano: b) y
a) 3 y 8 4 x
x 2
c) y
9x 2
x
2
3
PARTE B 1. Al calcular el siguiente límite:
lim
x 2
x 3
4 x 21
x 3
A) 10
, se obtiene:
B) 12
C) 0
D) 3
E) N.A. 2. Aplicando la definición del límite demostrar el siguiente limite, calculando el valor de delta para: lim (4x + 7) = -5, si
= 0,04
x→-3 A) 4
B) 0,02
C) 0,01
D) 1
C) 0,5
D) 1
E) 2 3. Calcular el siguiente límite:
2
lim x→1 A) 0
B) -0,5
x 32
1 x
E) 2 4. En los paréntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso. a) El limite de una función, si existe, no siempre es único
(
)
b) Evitable y esencial son clases de discontinuidad
(
)
5. Dada la función:
77
4 x 2 , si ( x ) 2 x 1 , si
Analizar continuidad en
0
3
6. Calcular el siguiente límite: lim (x2 – 4x + 3) x→-2 A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) -8 7. Sea la función: 2 1 , si 1 ax bx ( ) 2 , 1 x ax b si 1 , x si2
Hallar los valores de a y b para que existan los limites de f(x) en x = 1 y x = 2. Dar como respuesta el valor de a+b. A) 2/3
B) 5
C) -1/5
D) 4/7
E) 0 8. Calcular el siguiente límite: 3
4 x
2
3 2 x
lim2 x 5 x 3 4
2
x→ + ∞ A) 0
B) 2
C) 4
D) 1
E)
N.A.
78
9. Sea la función: at si t 4 , t si t 12 ,
( ) g t
Calcular el valor de A) -2
a
para que la función sea continua en
B) -5
C) 0
t 0
2
D) 4
E)
D) 4
E)
3
PARTE C
1. Dada la función: f (x) = x2 - 2x + 1 Aplicando la definición de la derivada calcular f A) 2
B) 5
C) -2
3 2. Respecto a la función g(t) = t3 + 2t2 + 4t Se afirma que: 1) g’ (2) = 24
2) g’’(1) = 4)
3) g’’’ (0) = 6
Son ciertas: A) 1 y 2
B) Solo 1
C) 1 y 3
D) Todas
E) N.A
3. Dada la función: g(t) =
2 t
e
(t 2 4t )
La primera derivada evaluada en t = 0 es igual a:
79
A) 2
B) 5
C) -2
D) -4
E)
3 4. Dada la función: D( p) 100 5 p 2
p3
Calcular D’’(10) A) 20
B) 50
C) -10
D) 40
E)-30
80
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN 1
PARTE A 1. C
2.D
3.C
4.E
5.D
6.C
7.A
3.B
4.FV 5. Es continua 6.D
3.D
4.B
PARTE B 1. A
2.C
7.D
8.A
9.B
PARTE C 1. A
2.C
81
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Henríquez, M. & Merlos, M. (s.f.). Funciones reales de una variable . Recuperado de http://webcache.googleuserconten http://webcache.googleusercontent.com/search?q= t.com/search?q=cache:HxD3GtA cache:HxD3GtAXOX4J:www XOX4J:www.uca.edu. .uca.edu. sv/facultad/clases/maestrias/made sv/facultad/clases/maestrias/made/m000033/Fun /m000033/Funciones-de-una-va ciones-de-una-varia ria (pág. 1-14) 2. García, E. (s.f.). Límites y Continuidad de Funciones . . Recuperado Recuperado de http://www.fisicanet.com.ar/matematica http://www.fisicanet.com.ar/matematica/limites/ap13 /limites/ap13_limite_y_co _limite_y_continuidad_de ntinuidad_de_funciones. _funciones. pdf 3. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Diferencial/ Definición de derivada. Recuperado de Innovación Educativa. (2003). Cálculo Diferencial/ Definición http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/definicion_de_derivada.htm#Definiciones%20de%2 0Derivada: 4. Vitutor. (2014). Concepto de derivada.
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http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFEREN http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/dersuma CIAL/dersumaspro.htm spro.htm 7. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2003) . Cálculo Diferencial/ Ejercicios resueltos/ Derivadas de logaritmos y funciones elevadas a funciones. . Recuperado de
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82
SEGUNDA UNIDAD: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS DERIVADAS E INTEGRALES
83
Los contenidos de la Segunda Unidad han sido tomados de:
Razón de cambio (s.f.). En La derivada como razón de cambio. Recuperado de http://webcache.googleuserconten http://webcache.googleusercontent.com/search? t.com/search?q=cache:eELpx q=cache:eELpxX2f_X2f_ AJ:blog.pucp.edu.pe/media/35 AJ:blog.pucp.edu.pe/media/3529/20090929 29/20090929LA%2520D LA%2520DERIVADA%252 ERIVADA%2520COMO%2 0COMO%2 520RAZON%2520DE%252 520RAZON%2520DE%2520CAMBIO.doc+&cd= 0CAMBIO.doc+&cd=21&hl=es&ct=cln 21&hl=es&ct=clnkk
Universo Fórmulas (2015). Crecimiento y decrecimiento de una función. Recuperado de http://www.universoformulas.com http://www.universoformulas.com/matematicas/a /matematicas/analisis/crecimien nalisis/crecimiento-decrecimie to-decrecimientontofuncion/
Cálculo 21 (s.f.). Máximos y mínimos. Recuperado http://www.calculo.jcbmat.com/id446.htm
Vitutor (2014) Máximos y mínimos/ Extremos relativos. Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html
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Mitacc, M., & Toro, L. (s.f.). Tópicos de Cálculo. Vol. II. 2da. Edición. Lima: Imprenta Impoffot. (pág. 275-276)
85
CAPÍTULO I
APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. 1 Razón de cambio Tomado de: Razón de cambio (s.f.). En La derivada como razón de cambio. Recuperado de http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:eELpxX2f_ AJ:blog.pucp.edu.pe/media/3529/20090929LA%2520DERIVADA%2520COMO%2520RA ZON%2520DE%2520CAMBIO.doc+&cd=21&hl=es&ct=clnk Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad tiempo
t t
Q de
un tiempo t a un
. Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es: Q t
lt / min y la razón instantánea:
dQ dt
lim t 0
Q t
1t / min
Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se da y en términos de x por una fórmula y
f ( x ) podemos discutir la razón de
cambio de y respecto a x. Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde x x0 hasta
x
x
, se
entiende la relación: f ( x) f ( x0 ) x x0
cambio de ordenadas cambio de abscisas
Si el cociente diferencial tiene un límite cuando
x
x0 ,
este límite está acorde
con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.
86
Definición: La razón de cambio instantáneo de f ( x) respecto a
x en x1
es la
derivada f x1 siempre que la derivada exista.
Ejemplos: 1).
Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas.
Solución Sea A
f (a )
a 2 , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces:
Da A f (a ) Da a 2
pu lg 2 / pu lg
2a
a 5 pu lg
2)
Da A 10 pu lg 2/ pu lg.
La relación entre las ventas V y el costo de publicidad P para un producto
está dado por: V = 4 (P2 - P) Hallar la rapidez de cambio en las ventas, para un costo de publicidad P = 5000 soles:
Solución V(P)=4 (P2-P)
Relación entre V y P: Razón de cambio:
dV dP
Nos piden, calcular la primera derivada y evaluar en P= 500. Esto es: dV dP
P 500
4(2 P
P )
P 500
4(2(500) 1) 39996
Rspta. Para un costo en publicidad de 5000 soles la rapidez de cambio en las ventas es de 39 996 soles. Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos
87
fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores. Supongamos que una variable t w está dada por w ,
w
es función del tiempo de manera que al tiempo
g t , donde g es una función derivable. La diferencia entre el
valor inicial y el valor final de
w
en el intervalo de tiempo t , t h está dada por
g t h g (t ) . Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad,
formulamos la siguiente definición.
DEFINICIÒN La razón media de cambio de w g (t ) en el intervalo t
,
t
h
es
g (t h ) g (t ) h
La razón de cambio de w g (t ) con respecto a t es
dw dt
g (t )
lim h 0
g (t h ) g (t ) h
Las unidades que deben usarse dependen de la naturaleza de la cantidad representada por
w
. A veces
dw / dt se
llama la razón de cambio instantáneo de
w
con
respecto a t . El límite de este cociente cuando
h tiende
a 0 (es decir, dy / dx ) se llama la razón
de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de dy / dx unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen es una función de la temperatura t. La derivada
dV / dT nos
V
da la razón de cambio del
volumen con respecto a la temperatura.
1. 2. Análisis de crecimiento y decrecimiento Tomado de: Universo Fórmulas (2015). Crecimiento y decrecimiento de una función. Recuperado de http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/crecimiento-decrecimientofuncion/
88
La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región. El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.
Crecimiento y decrecimiento en un intervalo Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 del intervalo tales que x 1< x 2, se cumple que f ( x 1) < f ( x 2). Es decir, es creciente en [ a,b]
89
si al aumentar la variable independiente x , aumenta la variable dependiente y .
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 del
intervalo tales que x 1< x 2, se cumple que f ( x 1) > f ( x 2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x , disminuye la variable dependiente y .
Una función es constante entre a y b si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 del intervalo tales que x 1< x 2, se cumple que f ( x 1) = f ( x 2). Es decir, es constante en [a,b] si al aumentar la variable independiente x , la variable dependiente y no varía.
90
Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f ( x )= x 2 en los intervalos [-2,1] y [1,3].
Primero estudiamos la función en el intervalo [-2,-1], es decir a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x 1=-1,8 y x 2=-1,2.
La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x 1 y x 2, por lo que la función en [-2,-1] es decreciente.
91
Acto seguido, se estudia el crecimiento y decrecimiento en el intervalo [1,3], es decir a=1 y b=3. Vamos a ver en los puntos x 1=1,5 y x 2=2,5.
En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x 1 y x 2. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo [1,3].
Crecimiento y decrecimiento en un punto Sea una función f derivable en el punto a.
La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.
92
La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.
La función f es constante en a si f ’(a) = 0 y además es la derivada es nula en los puntos muy próximos a a. Es decir, es constante si la derivada es nula en a y en un entorno de a.
En este caso, se exige que la derivada sea nula también en la proximidad de a ya que o sino sería un máximo o mínimo.
Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto Estudiar el crecimiento y decrecimiento en los puntos 0, 3 y 3 de la función: F(x)= x3 - 5x2 + 5x + 4
93
Primero calcularemos la derivada de la función f :
Veamos en el punto x =0.
La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.
Estudiaremos en el punto x =2.
La derivada da f ’(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2.
Finalmente estudiaremos el punto x =3.
La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
94
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece. Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento. 1. Derivar la función, obteniendo f ’( x ). 2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’. Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en ]-∞,+∞[) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían ]-∞,1[ , ]1,3[ y ]3,+∞[ . 4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:
Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de ]1,3[, entonces la función es decreciente en dicho intervalo. 5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y
decrecimiento. Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento Sea la función f definida en los número reales (intervalo]-∞,+∞[ ):
Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.
95
1. Derivamos la función, obteniendo f ’( x ).
2. Hallamos las raíces de la derivada:
3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:
4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada
intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
5. Hallamos que: f es creciente en ]-∞,0[ y en ]2,+∞[ . f es decreciente en ]0,2[ .
96
Crecimiento y decrecimiento en todo el dominio
Una función f es creciente en todo su dominio si es creciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≥ 0.
Una función f es decreciente en todo su dominio si es decreciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≤ 0.
Una función f es constante en todo su dominio si es constante en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) = 0. En estos casos se trata de funciones monótonas.
1. 3. Valores extremos de una función Tomado de: Cálculo 21 (s.f.). Máximos y mínimos. Recuperado http://www.calculo.jcbmat.com/id446.htm El hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy útil para
el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al eje x . También, se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente... Valor máximo relativo:
En la figura siguiente se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en c . Dicho valor es d y ocurre en c. El valor máximo relativo de f en (a,b) es d .
97
Valor mínimo relativo:
En la figura siguiente se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor mínimo relativo en c . Dicho valor es d y ocurre en c. El valor mínimo relativo de f en (a,b) es d .
Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c , se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c .
El teorema anterior establece que la recta tangente a la gráfica de la f en el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela al eje x .
98
Si f es diferenciable, los únicos posibles valores de x para los cuales f tiene un extremo relativo son aquellos en los que f ' ( x ) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que f ' ( x ) = 0, no hay un extremo relativo allí. En la fig.3 se puede apreciar un ejemplo de esta situación. También puede suceder que alguna función f tenga un extremo relativo en un número dado y sinembargo no ser diferenciable en dicho número. La fig.4 ilustra este hecho. Por último, para ciertas funciones f (c ) existe y f '(c ) no existe y sinembargo no hay un extremo relativo en c . En la fig.5 se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación.
Conclusión: si una función f está definida en un número c , una condición necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que f '( x ) = 0 o f '(c ) no exista; pero esta condición no es suficiente.
(fig.3)
(fig.4)
(fig.5)
99
En la fig.6 se muestra la gráfica de una función en donde el valor mínimo absoluto ocurre en a, el valor máximo absoluto ocurre en b. En e la función tiene un valor máximo relativo, y en d un valor mínimo relativo. Cuando una función tiene un valor máximo o un valor mínimo absoluto en un intervalo, se dice que la función tiene un extremo absoluto en el intervalo. Una función dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un intervalo. En la (fig.7) se puede observar que la función tiene un valor máximo absoluto en c (también es un valor máximo relativo), pero no tiene un valor mínimo absoluto.
(fig.7)
100
Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función en el intervalo cerrado [a , b ] 1. Se obtienen los números críticos de la función en ( a, b), y se calculan los
valores correspondientes de f para dichos números.
2. Se hallan f (a) y f (b) 3. El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor es el valor mínimo absoluto.
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 3, obtenga los números críticos de la función dada. En el ejercicio 4 halle los extremos absolutos de la función en el intervalo que se da, y calcule los valores de f ( x ) en los cuales ocurren los extremos absolutos. Trace la gráfica de la función en el intervalo.
Soluciones
101
102
RESUMEN: EXTREMOS RELATIVOS Tomado de: Vitutor (2014) Máximos y mínimos/ Extremos relativos. Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
Si f '(a) = 0. Si f ''(a) ≠ 0. Máximos relativos Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:
f '(a) = 0 f ''(a) < 0
103
Mínimos relativos Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:
f '(a) = 0 f ''(a) > 0 Cálculo de máximos y mínimos Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:
f''(a) < 0 es un máximo relativo f''(a) > 0 es un mínimo relativo 3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
Ejemplo Calcular los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2
Solución f'(x) = 3x2 − 3 = 0 f''(x) = 6x
104
f''(−1) = −6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
NOTA. Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá: 1. Un máximo en el punto, de la función, en la que esta pasa de creciente a
decreciente. 2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que esta pasa de decreciente a
creciente. Ejemplo Hallar los máximos y mínimos de:
105
Tenemos un mínimo en x = 3
Mínimo (3, 27/4) En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función
Aplicaciones de máximos y mínimos Tomado de: Cálculo 21 (s.f.). Aplicaciones de máximos y mínimos. Recuperado http://www.calculo.jcbmat.com/id447.htm
106
107
108
109
fig.1
110
111
112
113
114
1. 4. Concavidad y convexidad de una función. Tomado de: Vitutor (2014). Concavidad y convexidad de una función . Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/5/c_10.html Si f y f' son derivables en a, la función es:
Cóncava Si f''(a) < 0
Convexa Si f''(a) > 0
Criterio de concavidad y convexidad Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava. Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa. Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa: Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x 1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
115
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x 1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
Intervalos de concavidad y convexidad Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos: 1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. 2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese). 3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda. Si f''(x) < 0 es cóncava.
116
Si f''(x) > 0 es convexa. 4 Escribimos los intervalos:
Ejemplo
117
1.5. Aplicación a las ciencias económicas Tomado de: Aplicaciones de la derivada (s.f.). En Aplicaciones a la Administración y la Economía. Recuperado de
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm
ANÁLISIS MARGINAL La derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administración y economía en la construcción de las tasas marginales . Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque permite calcular el punto de maximización de utilidades. En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis
118
marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más. Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se deben cumplir las siguientes condiciones:
Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total.
Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas. Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo:
Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un producto o servicio. También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Debemos tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos producidos.
Costo promedio por artículo =
Costo marginal =
Costo marginal = c'(x) = El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida.
119
Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Para una función de ingreso total r(x), la derivada r’(x) representa la tasa instantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del número de unidades vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.
Utilidad marginal que obtiene una empresa está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es r(x) cuando se venden x artículos y si la función de costo es c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por p(x) = r(x) – c(x). La derivada p’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por art ículo si la producción sufre un pequeño incremento. Resuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.
Problema Una función de costo marginal está definida por c'(x) = 3x 2 + 8x + 4 y el costo fijo es de $6. Determine la función costo total correspondiente. Respuesta: c(x) = x 3 + 4x 2 +4x + 6
Problema Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es I'(x) = 15 - 4x. Si x unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:
a) Determine la función ingreso total. b) Determine la ecuación de demanda.
120
Respuestas: a) I(x) = 15x - 2x 2
b ) p(x) = 15 - 2x
Ejemplo Tomado de: Unitec (s.f.). Métodos numéricos. Recuperado de http://www.eva.com.mx/sia/facs/ejercis/matematicas2/problemU5r4.htm Sea
, la función de costo total de producir y vender ropa para
caballero, dada en miles de pesos y donde x es el número (en cientos) de prendas. Calcular el costo marginal y el costo promedio marginal para producir y vender la prenda 211.
Solución Para obtener el costo marginal derivemos la función, esto es: Ahora calcular el costo marginal para producir y vender la prenda 211, para lo cual se debe considerar que x es igual a 2.1, dado que también x está en cientos de piezas, así:
Lo cual significa que existe una razón de cambio del costo total de 7.6 para cuando se produce y vende la prenda 211. Obtener ahora la función de costo promedio, para lo cual dividiremos la función de costo total entre x :
121
Con esta función se debe calcular la función de costo promedio marginal; derivando ésta:
Ahora bien, se debe evaluar la función obtenida en x=2.1, para que se tenga la razón de cambio por unidad del costo cuando se produce y vende la prenda 211:
Esta razón de cambio por unidad es de 1.6395.
1.6 DERIVADAS PARCIALES Tomado de Escuela Técnica Superior de Náutica y Máquinas Navales (s.f.) Derivadas Parciales. Recuperado de http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm (pág. 1-3)
Derivada parcial de una función de varias variables. Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
Para la derivada de z "respecto de x " consideramos a la variable " y " como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y " consideramos a la variable " x " como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:
:
122
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es:
z’ = u’ .
eu ,
siendo u en nuestro caso: x 2 + y 2 , entonces la derivada de u respecto x es 2 x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
Mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:
En cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se realiza la derivada.
Derivadas parciales de segundo orden.
123
Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (2 2) derivadas de segundo orden:
(se debe leer "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y ", etc.) Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:
Se trata de derivar respecto de x la derivada
.
Se trata de derivar respecto a x la derivada
.
Se trata de derivar respecto a y la derivada
.
Se trata de derivar respecto a y la derivada
.
Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función
:
124
Las derivadas
son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el
ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema
CAPÍTULO II
INTEGRALES 2.1. LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tomado de: Stefan, W. (2008) La integral indefinida. Recuperado de http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/unit6_1.html (pág. 1) Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).
Ejemplos
Pues la derivada de x 2+4 es 2x, entonces una antiderivada de 2x es x 2+4.
Pues la derivada de x 2+30 es 2x también, entonces otra antiderivada de 2x es x2+30.
En forma parecida, otra antiderivada de 2x es x 2-49.
En forma parecida, otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)
2.2. LA INTEGRAL INDEFINIDA Tomado de:
125
Ecured (2015). Integral indefinida. Recuperado de http://www.ecured.cu/index.php/Integral_Indefinida (pág. 1) Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es un conjunto de funciones; no es una f unción sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Ejemplos
126
Tomado de: Stefan, W. (2008). La integral indefinida. Recuperado de http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/unit6_1.htm (pág. 2) La integral indefinida de 2x respecto a x es x 2+ C La integral indefinida de 4x 2 respecto a x es x 4 + C
Leyendo la formula Leemos la primera fórmula más arriba como sigue:
x La antiderivada
e 2x,
dx
=
respe
es
cto a x,
igual a
2
+ C
2
+ C
La constante de integración, C, nos recuerda que podemos añadir cualquiera constante y así obtener una otra antiderivada.
2.3. REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Tomado de: Espinoza, E. (2004). Análisis Matemático II. Cuarta Edición. Lima: Editorial Servicios Gráficos J.J. (pág. 5) Sean f y g funciones derivables, k y c denotan constantes, entonces:
3)
1)
dx x c
2)
kf ( x)dx k f ( x)dx
d ( f ( x)) f ( x) C
127
4)
x
n
dx
x
5 )
n 1
n 1
c, n 1
f ( x) ± g ( x)dx = f ( x)dx ± g ( x)dx
Sean u = f(x), una función diferenciable en x 6) 7)
u
n
du
du =
u
n 1
ln u
c, n 1
+c
u
8)
e du = e
9)
a
u
u
du =
a
du
u
11)
u a
u
+c
u
+c
ln u
10)
12)
n 1
a
2
2
du 2
a
2
du 2
u
2
1
u arctg ( ) c a a 1 2a 1 2a
ln
ln
a c ua u
a c ua
u
Tomado de: Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo/ Coordinación de Innovación Educativa. (2001). Tablas de integrales trigonométricas/ Trigonométricas . Recuperado de http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/inttrigono.htm#Trigonom%C3%A9tric as (pág. 1)
128
Ejemplos de aplicación Tomado de: SAEM Thales. (2015). Integrales indefinidas/ Integrales inmediatas . Recuperado de http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML
Integrales inmediatas Las integrales que proponemos a continuación son inmediatas o por descomposición se convierten en inmediatas. Por su trivialidad daremos sólo su solución.
1.-
11.-
2.-
12.-
3.-
13.-
4.-
14.-
5.-
15.-
129
6.-
16.-
7.-
17.-
8.-
18.-
9.-
19.-
10.-
20.-
Soluciones SAEM Thales. (2015). Integrales indefinidas/ Integrales inmediatas / Solución de ejercicios de esta página. Recuperado de http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-SOLINM.html Solución 1
Solución 2
Solución 3
130
Solución 4
Solución 5
Solución 6
Solución 7
Solución 8
Solución 9
Solución 10
Solución 11
131
Solución 12
Solución 13
Solución 14
Solución 15
Solución 16
Solución 17
Solución 18
Solución 19
132
Solución 20
2.4. MÉTODO DE INTEGRACIÓN: INTEGRACIÓN POR PARTES Tomado de: Inetor (2010). Integración por partes I . Recuperado de http://www.inetor.com/metodos/integracion_partes.html El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.
Tenemos que derivar u e integrar v ' , por lo que será conveniente que la integral
de v ' sea inmediata. Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u .
133
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v ' .
Ejemplos
1)
2)
3)
134
4)
2.5. LA INTEGRAL DEFINIDA Vitutor (2012) Integral definida. Recuperado de http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
135
La integral definida se representa por:
.
∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Propiedades de la integral definida 1. El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
136
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Función integral Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
Que depende del límite superior de integración. Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
137
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].
REGLA DE BARROW Vitutor (2012). Regla de Barrow . Recuperado de http://www.vitutor.com/integrales/definidas/regla_barrow.html La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Ejemplos
1.
138
2.
3.
4.
5.
6.
7.
139
8.
9.
10.
11.
12.
140
13.
141
14.
142
2.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 2.6.1.Áreas de regiones planas Tomado de: Áreas de regiones planas (s.f.). En Propiedades y teoremas de la integral definida . Recuperado de http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm (pág. 5-6)
ÁREA DE REGIÓN ENTRE DOS CURVAS Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) f(x) x [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x
a y x b es
Demostración: Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno de ancho x y dibujamos un rectángulo representativo de alto f(x i) g(xi) donde x está en el i-ésimo intervalo. Área del rectángulo i [f(xi) g(xi)] x
Sumando las áreas y considerando que el número de rectángulos tiende a infinito resulta que el área total es
143
Como f y g son continuas en el intervalo, la función diferencia f - g también los es y el límite existe.
Por lo tanto el área es área
E s importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x) f(x). Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x.
Integración respecto al eje y Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se pueden trabajar mejor considerando x como función de y los rectángulos representativos para la aproximación se consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera, si una región está limitada por las curvas de ecuaciones x f(y), x g(y), y c y la recta horizontal y d, donde f y g son continuas y f(y) g(y) para c resulta
y d, entonces su área
.
144
A modo de resumen:
Área A
(en la variable x, se
consideran rectángulos verticales)
Donde a y b son las abscisas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.
Área A
(en la variable y, se
consideran rectángulos horizontales)
Donde c y d son las ordenadas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.
Ejercicios Tomado de: Vitutor (2012) Ejercicios de áreas de funciones. Recuperado de http://www.vitutor.com/integrales/definidas/ejercicios_areas.html
Resolver 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX.
145
2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e. 3. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8. 4. Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el eje de abscisas. 5. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x 3 − 6x2 + 8x y el eje OX. 6. Calcular el área del círculo de radio r. 7. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b. 8. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 -5x + 6 y la recta y = 2x. 9. Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x. 10. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x 2 e y = −x2 + 4x. 11. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y = −x2 + 4x. 12. Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0.
Soluciones Ejercicio 1 resuelto Calcular el área del r ecinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
146
En segundo lugar se calcula la integral:
Ejercicio 2 resuelto Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
147
Ejercicio 3 resuelto Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
Ejercicio 4 resuelto Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el eje de abscisas.
148
Ejercicio 5 resuelto Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x 3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
149
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
Ejercicio 6 resuelto Calcular el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
150
Hallamos los nuevos límites de integración.
Ejercicio 7 resuelto Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
151
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Ejercicio 8 resuelto Calcular el área limitada por la curva y = x 2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
152
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
Ejercicio 9 resuelto Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x.
153
De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
Ejercicio 10 resuelto Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x 2 e y = −x2 + 4x. En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
154
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
Ejercicio 11 resuelto Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y = −x2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
155
156
Ejercicio 12 resuelto Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.
2.6.2. APLICACIONES A LAS CIENCIAS ECONÓMICAS Excedente consumidor y excedente productor Tomado de:
157
Aplicaciones de las integrales. (s.f.). En Integral definida/ Aplicación a la Administración y la Economía. Recuperado de
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.
A esta función la simbolizamos p =o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.
Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los 158
consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.
A esta función la simbolizamos p d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.
SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas
159
esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q 0 artículos. El área sombreada bajo la recta y=p 0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p 0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p d(q) y p p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:
donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de equilibrio q 0.
Problema La curva de demanda está dada por la ley d(x) 50 0,06x2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p d(20) 50 0,06 202 26. Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:
320
160
La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p 0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.
El área total bajo la curva de oferta entre q 0 y q q0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q 0 artículos. El área total bajo la recta p p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida. Si s(q) es una función de oferta con precio p 0 de equilibrio y oferta q 0 de equilibrio, entonces superávit de los productores
Problema
Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x)
. Encuentre la
ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.
Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10)
12 pesos.
161
La ganancia o superávit de los productores se calcula resolviendo:
Ganancia de las productores
25
La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.
Problema Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. Función de demanda: p 1 (q) 1000 0,4 q2. Función de oferta: p 2 (q) 42q El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:
La oferta coincide con la demanda en (q 0, p0) , es decir,:
162
p1 (q) p2 (q) 1000 0,4q2 42q 0,4q2 42q + 1000 0
q1 125 q2 20 Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q 0 20 y, por lo tanto, p 0 840. El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p 1 (q) y la recta p 840, entre 0 y 20, o sea,
2133,33 El excedente de demanda asciende a $2133,33 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p 840 y p 42q entre 0 y 20, o sea:
(840.20 21.202) 8400
El superávit de oferta alcanza $8400.
Más problemas resueltos Problema Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función f(x) describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe que si
. Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro
años.
163
Debemos plantear Venta total =
Venta total =
=
= 18000
Las ventas totales durante los primeros cuatro años ascienden a 18000 unidades.
Problema Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f(x) = 1000 + 5000x.
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?
a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años calculamos
Al cabo de seis años años el ahorro asciende de $ 96000 96000
b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el número de años de uso que se requieren para que la máquina se pague sola es n, entonces
164
1000n + 2500 n 2 = 67500 Þ 2500 n 2 + 1000n - 67500 = 0 5 n2 + 2n - 135 = 0 Hallamos los valores valores de n aplicando aplicando la resolvente resolvente y resulta n 1 = -5,4 (imposible para nuestro problema) y además n 2 = 5. Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.
Proyección de precios Tomado de: Mitacc, M., Toro, L. (s.f.). Tópicos de Cálculo. Vol. II. 2da. Edición. Lima: Imprenta Impoffot. (pág. 275-276)
Otras Aplicaciones: Ejemplo Actualmente el kilo de huevos huevos cuesta S/. 4,6. Los estudios indican que dentro dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0,09 + 0,0006x 2 soles por semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevos dentro de 10 semanas?
Solución Como:
dP dx
= 0,09 0,000x
2
entonces
10
0
(0,09 0,000 x 2 ) dx es el aumento en
el precio dentro de 10 semanas; Luego, dentro de 10 semanas: P 4,6
10
0
(0,09 0,000 x 2 ) dx 4,6 1,1 5,7
Respuesta. El kilo de huevos, dentro de 10 semanas, costará 5,7 soles
165
RESUMEN Aplicaciones de las derivadas, integrales y sus aplicaciones fueron los temas abordados en la segunda unidad. Con respecto a las aplicaciones de las derivadas tenemos: razón de cambio, que consiste en expresar mediante un cociente la relación de dos variables y encontrar la dV
primera derivada, así tenemos que el cociente
dP
expresa la razón de cambio entre
las ventas (V) y precio (P). Otra aplicación, es el análisis de crecimiento y decrecimiento de una función, esto es: si la función f(x), derivable en un intervalo, crece en dicho intervalo, entonces su primera derivada es positiva; y si la función decrece, entonces la primera derivada es negativa. Para calcular los valores máximo y mínimo de una función, tenemos la aplicación llamada valores extremos de una función y que para su cálculo es recomendable aplicar el criterio de la segunda derivada. Se finaliza el capítulo presentado aplicaciones de la derivada a las ciencias económicas, y que están referidas a encontrar costo marginal, costo promedio, valor mínimo del costo promedio. En lo referente a integrales, se ha abordado primero el estudio de la antiderivada de una función y que consiste en hallar la función que generó una derivada dada. La antiderivada más general de una función toma el nombre de integral indefinida, cuya definición es: Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I, o sea F’(x)=f(x), entonces a su antiderivada más general G(x)= F(x)+C se denota por: x dx F x C C cte F x ( ) ( ) , ' ( ) G(x) = f
A la cual se llama la integral indefinida de f(x). Adicionalmente, tenemos la definición de integral definida: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea F una función tal que
F’(x)=f(x)
x a b ,
, entonces la integral definida de la
función f desde x=a hasta x=b, se define por b
( x ) dx F ( x )| f a
b
(b ) F (a ) F
a
El cálculo de las integrales indefinidas o definidas está relacionado a aplicar adecuadamente las reglas de integración presentadas. Como aplicaciones de las integrales definidas se ha abordado el estudio de cálculo de áreas de regiones limitadas y
166
dentro de ello tenemos el cálculo del excedente consumidor y excedente productor para las funciones de demanda y oferta. Otra aplicación de las integrales es la proyección de precios, que mediante las integrales podemos conocer el precio futuro de un producto, conociendo
su
precio
actual.
167
AUTOEVALUACIÓN 2 PARTE A 1. Para una pequeña empresa manufacturera, la utilidad de producir y vender diariamente x artículos, es descrita por: U(x) = 1800 + 40x – 4x2. Luego ¿Cuántos artículos deberán producirse y venderse diariamente para obtener la máxima utilidad? y ¿Cuál es esa utilidad? A) 6 y 1900
B) 5 y 2400
C) 5 y 1900
D) 4 y 2800
E) 10 y
1600 2. Dada la función: z= f(x, y)= 2x3y2 – 4x2 + 3y2 – 4xy 2
Calcular:
z y
2
( 2 ,1)
A) 20
B) -12
C) 15
D) -26
E) -30
3. En los paréntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso. a. f(x) = x2 es creciente en (- ∞, 0) b. f(x) = -x2 es decreciente en (0, + ∞)
(
)
(
)
4. Respecto a la función f(x) = 10 – 12x + x3 se afirma: 1. Tiene valor mínimo en x = 2 2. Tiene valor máximo en x = 3 3. Su punto de inflexión es (0, 12) Son ciertas: A) 1 y 2
B) 1 y 3
C) 2 y 3
D) Sólo 1.
E) N.A.
5. Para una pequeña empresa el ingreso diario de vender x artículos es descrito por la función: I(x) = 24x – 3x2. Luego ¿Cuántos artículos deberá vender diariamente y así obtener el ingreso máximo? A) 3
B) 5
C) 4
D) 8
E) 10
6. Para la función costo promedio: C(x) = 25 – 8x + 2x2 Calcular el valor mínimo del costo promedio. A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 17
7. La demanda de cierto producto es una función descrita por:
168
D(t) = 10 + 80t – t2 , donde t = años. Calcular la rapidez de cambio en D cuando t = 10 A) 100
B) 60
C) 20
D) 40
E) 30
PARTE B 1.
Al calcular la integral : 3 x x x 5
2
3
2
2
2
x
Se obtiene: A) -2
B) 5
C) 0
D) -4
E) 4
2. El precio actual de una maquinaria es de $.16400, se estima que dentro de t meses dicho precio variara a una tasa de 3t 2+10 dólares por mes. Calcular precio de la maquinaria a 5 meses. A) 10850
B) 5450
C) 16575
D) 18640
3. Para un cierto artículo, su demanda es la descrita por excedente del consumidor para A) 9
p0
10
2q .
Calcular el
4
B) 5
C) 10
4. La oferta de cierto producto es descrita por productor para q0
p
E) 12460
p
D) 8
4 3q
2
E) 12
. Calcular el excedente del
2
A) 10
B) 15
C) 20
D) 16
5. La función demanda para cierto producto está dada por excedente del consumidor para A) 3
p 0
B) 2
p
E) 17 8 3q 2 . Calcular el
5.
C) 4
D) 10
E) 5
6. Calcular el área de las regiones limitadas por: a) y = x 2
2x
3 ,
, x eje x
y
x
, x b) y = x 3 2x 2 5x + 6 , eje x
3
y
x
2
169
SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN 2 PARTE A 1. C
2.D
3.FV 4.D
5.C
3.A
5.B
6.E
7.B
PARTE B 1. E
2.C
4.D
170
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Razón de cambio (s.f.). En La derivada como razón de cambio. Recuperado de http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:eELpxX2f_ AJ:blog.pucp.edu.pe/media/3529/20090929LA%2520DERIVADA%2520COMO%2520RA ZON%2520DE%2520CAMBIO.doc+&cd=21&hl=es&ct=clnk 2. Universo Fórmulas (2015). Crecimiento y decrecimiento de una función. Recuperado de http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/crecimientodecrecimiento-funcion/ 3. Cálculo 21 (s.f.). Máximos y mínimos. Recuperado http://www.calculo.jcbmat.com/id446.htm 4. Vitutor (2014) Máximos y mínimos/ Extremos relativos. Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html 5. Cálculo 21 (s.f.). Aplicaciones de máximos y mínimos. Recuperado http://www.calculo.jcbmat.com/id447.htm 6. Vitutor (2014). Concavidad y convexidad de una función . Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/5/c_10.html 7. Aplicaciones de la derivada (s.f.). En Aplicaciones a la Administración y la Economía. Recuperado de http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm
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171
