FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
SYLLABUS
CÁLCULO NUMÉRICO CUARTO SEMESTRE
Gestión Académica II/2010
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
1
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado(a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
2
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado(a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
2
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
I. SYLLABUS Asignatura: Código: Requisito: Carga Horaria: Horas teóricas: Horas prácticas: Créditos:
Cálculo Numérico MAT 212A MAT 202A
80 80 HORAS 4
II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. La formación científica del estudiante involucra el dominio de los métodos fundamentales del Análisis Numérico y su uso en la resolución de problemas matemáticos, utilizando programas programas computacionales como MATLAB. Al final del curso el el estudiante: Comprenderá la necesidad de utilizar métodos numéricos de resolución de ciertos problemas matemáticos, observando que en ocasiones solo es posible la obtención de soluciones aproximadas Podrá identificar los factores claves a la hora de resolver un problema. problema. Concebirá que el análisis teórico teórico correspondiente, es de gran gran importancia el estudio estudio previo del coste y el error de cada método. El análisis de los diversos factores debe de llevar a una elección correcta entre los distintos métodos que resuelven un mismo problema. Conocerá los recursos técnicos que proporciona el ordenador para la utilización eficiente de los métodos numéricos, implementando los algoritmos correspondientes para comprobar su utilidad.
III.
PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
1. INTRODUCCION 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
¿Qué es el Cálculo Numérico? Sistemas Numéricos Representación de un Número en Base b Representación del Proceso Proceso de Cambio de un Fracción en Base Diez a Base Dos Sistemas Numéricos de punto Flotante Propiedades del Sistema de Números de Máquina en Punto Flotante
2. TEORIA DE ERRORES 2.1. 2.2. 2.3.
Definición Números Aproximados Definición de Error. Error Absoluto. La Cota del Error Absoluto U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
3
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
2.4. 2.5.
Error Relativo. La Cota del Error Relativo Tipos de Error a) Error de Cifras Significativas. Definición b) Error de Redondeo. Regla de Redondeo. Relación Entre el Error Relativo de un Número Aproximado y el Número de Digitos. Exactos.. Error en las Operaciones Aritméticas. Error de una Suma. Error de un Diferencia. Error en el Producto. Error en un Cociente. Error Relativo de una Potencia. Error Relativo de una Raíz c) Error de Trucamiento. La Serie de Taylor
3.
RAICES DE UNA ECUACION
3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5.
Introducción Definición Métodos Aproximados Para Determinación de una Raíz Método de Bisección Método de la Secante Método de iteración del Punto Fijo Método de Newton de Primer y Segundo Orden Método de la Falsa Posición y Falsa Posición modificada
4.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
4.1. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4. 4.2.5. 4.2.6. 4.2.7.
Sistemas de ecuaciones. Definición Métodos de Resolución Método de Eliminación Método de Eliminación Gaussiana Método de Gauss Jordan Método de la Matriz inversa Método de Gauss Seidel Método de Relajación Método de Cramer
5.
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
5.1. 5.2. 5.3.
Método de Newton Método de Newton Modificado Método de Iteración
6.
INTERPOLACION DE FUNCIONES
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.9. 6.10.
Interpolación de Lagrange Diferencias Finitas y Diferencias Divididas Interpolación de Newton Interpolación de Gauss Interpolación de Stirling Interpolación de Bessel Interpolación de Splines Interpolación de Funciones de Dos Variables Fórmula de Interpolación de Newton Para una Función de Dos Variables
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
4
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
7.
DIFERENCIACION NUMERICA
7.1. 7.2. 7.2.1. 7.2.2.
Derivadas a partir de Tablas de Diferencias Divididas Derivadas de Orden Superior Diferencias Divididas Diferencias Centrales
8.
INTEGRACION NUMÉRICA
8.1. 8.2. 8.3. 8.4.
Método de los Trapecios Método de Simpson Formula de Integración de Newton-Cotes Método de Integración de Robeos
9.
ECUACIONES DIFERENCIALES
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7.
Problema de Valores iniciales Método de Taylor Fórmula de Taylor de 1er. Orden (Euler) Fórmula de Taylor de 2do. Orden Método de Runge Kutta (4to. Orden) Los Métodos Predictora Correctores Fórmula Predictora de Adams
V. EVALUACION DE LA ASIGNATURA Procesual o Formativa A lo largo del semestre se realizarán exposiciones, repasos cortos y otras actividades de aulas y el CICC, realizados con la universidad. Cada uno se tomará como evaluación procesual calificándola entre 0 y 50.
•
De resultados de los Procesos de aprendizaje o sumativa (examen parcial o final)
Se realizará 2 evaluaciones parciales con contenido teórico y práctico. El examen final consistirá en un examen escrito que se calificará con el 50% de la nota del examen final
VI.
BIBLIOGRAFIA BASICA Y COMPLEMENTARIA. Numerical Analysis, Pws – Kent Publishing, Boston USA. Burden Richard L. y J. Douglas Faires (1989).
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería, Antonio Nieves Hurtado - Federico Domínguez, Compañía Editorial Continental S.A. – México, 1999.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
5
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Smith Allen W., 1994. Análisis Numérico. Prentice – Hall
Rice John R., 1983. Numerical Methods, Software and Analysis. McGraw – Hill
Método Numéricos Aplicados con Software. Prentice – Hall, Nakamura Shoichiro, 1997.
Metodos Numéricos para Ingenieros – Steven C. Chapra – Raymond P. Canale
VII. CONTROL DE EVALUACIONES 1°evaluación parcial Fecha Nota
2°evaluación parcial Fecha Nota
Examen final Fecha Nota
APUNTES
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
6
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
VIII PLAN CALENDARIO
CALENDARIO ACADÉMICO GESTIÓN II/2010 TURNOS REGULAR-TRABAJO ESTUDIANTES NUEVOS Y ANTIGUOS ING. COMERCIAL, ING. DE SISTEMAS, ING. TELECOM, ING. GAS Y PETROLEOS, TURISMO SEMANA 1ra. 2da. 3ra. 4ta. 5ta.
DEL
AL
30ago 06sep 13sep 20sep 27sep
ACTIVIDADES
OBSERVACIONES
04-sep
Avance de materia TEMA 1. INTRODUCCION
11-sep
Avance de materia TEMA2. Tema 2: Teoría de errores
18-sep
Avance de materia Tema 3: Raíces de una Ecuación
25-sep
Avance de materia Tema 3: Raíces de una Ecuación
02-oct
Avance de materia Tema 4: Sistema de Ecuaciones Lineales
6ta.
04-oct
09-oct
Avance de materia
Inicio Primera Evaluación Parcial
Presentación de Notas
7ma.
11-oct
16-oct
Avance de materia
Conclusión Primera Evaluación Parcial
Presentación de Notas
8va.
18-oct
23-oct
Avance de materia Tema 4: Sistema de Ecuaciones Lineales
9na.
25-oct
30-oct
Avance de materia Lineales
06-nov
Avance de materia Tema 7: Diferenciación Numérica
13-nov
Avance de materia
Inicio Segunda Evaluación Parcial
Presentación de Notas
20-nov
Avance de materia
Conclusión Segunda Evaluación Parcial
Presentación de Notas
27-nov
Avance de materia
04-dic
Avance de materia
10ma. 11ra. 12da. 13ra. 14ta.
01nov 08nov 15nov 22nov 29nov
Tema 5: Sistema de Ecuaciones no Tema 6: Interpolación de Funciones
Tema 8: Integración Numérica
Tema 9: Ecuaciones Diferenciales
15ta.
06-dic
11-dic
Inicio Evaluación Final
Presentación de Notas
16ta.
13-dic
18-dic
Conclusión Evaluación Final
Transcripción de Notas
17ma.
20-dic
23-dic
Evaluación del segundo turno
Presentación de Notas
FERIADOS 2 de U
N
I
V
Día de todos los santos E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
7
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
nov
PLANIFICACIÓN DE ACTIVIDADES CONTENIDO ANALÍTICO
CONTENIDO MÍNIMO
PERIODOS ACADÉMICOS
ACTIVIDAD
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Método de Newton Método de Newton Docencia Modificado Método de compartida Iteración
ECUACIONES DIFERENCIALES
Los Métodos Predictora Seminario Correctores Fórmula Predictora taller de Adams
4 Periodos
Data Display Equipos de computación Software de aplicación
4 Periodos
Data Display Documentación bibliográfica
6 Periodos
Data Display Equipo de Computación Software
Seminario Taller
6 Periodos
Data Display Equipos de computación Dcumentación bibliografica
CICC
8 Periodos
Material del Congreso
Método de Eliminación Gaussiana Método de Gauss SISTEMA DE Jordan ECUACIONES Método de la Matriz Visita INSERPAZ LINEALES inversa Método de Gauss Seidel Método de Relajación
APLICACIONES EN MATLAB
Aplicaciones
TOPICOS AVANZADOS
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
RECURSOS DIDÁCTICOS
D
E
A
8
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
WORK PAPER # 1 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:
APRO 07
Nro. DE HOJAS: 6
ELABORO: ING. ROSMERY LUIZAGA SALINAS
CÓDIGO: MAT 212
TITULO WORK PAPER: TEORIA DE ERRORES DPTO:
UDABOL – ORURO
DESTINADO A: DOCENTE
ALUMNOS
ADMINISTRATIVOS
x
OTROS
OBSERVACIONES: Cálculo Numérico, Carrera de Ingeniería de Sistemas FECHA DE DIFUSIÓN: Agosto 2010 FECHA DE ENTREGA: Agosto 2010
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
9
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
WORK PAPER # 1 METODOS NUMERICOS TEORIA DE ERRORES 1.1.
INTRODUCCIÓN
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones: • • •
•
No se adecúan al modelo concreto. Su aplicación resulta excesivamente compleja. La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.
1.2.
ERRORES
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene. Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores: • •
Aquellos que son inherentes a la formulación del problema. Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.
Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
10
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacional-mente. En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales: 1. Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar. 2. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatorio o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son: •
•
•
•
El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x ) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor. Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide. Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias finitas). Solución de la ecuación f (x ) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de iteraciones tiende a infinito.
Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento , ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico. 3. Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo .
1.2.1. DEFINICIONES.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
11
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Ahora que disponemos de una idea correcta de qué es el error y de cual es su origen, podemos formalizar el concepto de error. Generalmente, no conocemos el valor de una cierta magnitud y hemos de conformarnos con un valor aproximado x . Para estimar la magnitud de este error necesitamos dos definiciones básicas:
Error absoluto de x : (1)
EA = x − x
Error relativo de x : ER =
EA
=
x − x
x
(2)
( x ≠ 0)
x
En la práctica, se emplea la expresión:
ER =
EA
=
x − x
x
(3)
( x ≠ 0)
x
En general, no conocemos el valor de este error, ya que no es habitual disponer del valor exacto de la magnitud, sino sólo de una acotación de su valor, esto es, un número ξ ( x) , tal que: EA( x) ≤ ξ A( x)
(4)
o bien: ER( x ) ≤ ξ R( x)
(5)
De acuerdo con este formalismo, tenemos que un numero se representará del siguiente modo: = x ± EA( x)
(6)
x = x(1 ± ER( x))
(7)
x
1.2.2. DÍGITOS SIGNIFICATIVOS Sea x un número real que, en general, tiene una representación decimal infinita. Podemos decir que x ha sido adecuadamente redondeado a un número con d decimales, al que denominaremos x (d ), si el error de redondeo, es tal que: 1 ( d ) (8) ε r = X − X ≤ *10− d 2 Otra forma de obtener el número de cifras significativas es mediante truncamiento , en donde simplemente se eliminan los dígitos de orden inferior. El error cometido en este caso es:
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
12
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
( d )
ε r
=
X − X ≤ 1 *10−
DE
CIENCIAS
d
Y
TECNOLOGIA
(9)
Que en general, conduce a peores resultados que el método anterior.
1.2.3. PROPAGACIÓN DE ERRORES Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las operaciones se lleven a cabo exactamente, obtenemos una aproximación numérica del resultado exacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final del problema tiene cada una de las operaciones realizadas. Para estudiar como se propaga en error, veamos cual es el efecto que cada una de las operaciones básicas tiene sobre el error final cuando se aplican sobre dos números x1 ± EA( x1) y x 2 ± EA( x 2) . =
(10)
=
(11)
=
(12)
=
(13)
Cuando el problema consiste en calcular el resultado y = f (x ) tenemos la siguiente fórmula aproximada de propagación del error:
(14) En el caso más general, en que una función depende de más de una variable (x1,x2,....,xn), la fórmula aproximada de propagación del error maximal es:
y = f
(15) Ejemplo 3: Determinar el error máximo cometido en el cálculo y = x 1 x 22 para X1 = 2 ± 0.1 y . Solución: El error cometido, de acuerdo con la ecuación (15), se puede calcular mediante:
Sustituyendo valores, obtenemos:
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
13
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Por lo que el resultado final se debe expresar como:
Ejemplo 4: Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
en donde producto xy ?.
; b = 1 / a y d = b – a ¿Con qué exactitud podemos determinar el
Solución: Primero resolveremos el sistema de ecuaciones por reducción:
Ecuaciones que conducen a la siguiente expresión para el producto:
(16)
Resolveremos ahora el problema por dos métodos. Primero, calcularemos el error asociado a cada una de las variables y los términos de la expresión anterior:
Sustituyendo valores, obtenemos el siguiente resultado:
Una forma mucho más adecuada de resolver este problema consiste en sustituir en la expresión (16) los valores de b y d por sus correspondientes expresiones en función de a . Sustituyendo y operando, obtenemos que el producto y el error asociado vienen dados por:
Que, sustituyendo valores, conduce al resultado:
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
14
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Si ambos resultados son correctos ¿Por qué el error es mucho menor en el segundo caso que en el primero? La respuesta es simple: en el segundo caso hemos eliminado operaciones intermedias, permitiendo que algunos errores se cancelen mutuamente. En general, cuanto menor sea el número de pasos intermedios que efectuemos para alcanzar la solución, menor será el error cometido.
CUESTIONARIO Y APLICACIONES PRACTICAS 1. 2. 3. 4. 5.
Definir error Que es un error absoluto ejemplificar Que es un error relativo ejemplificar Definir propagación de errores. Determinar el máximo error en el calculo y = X 1 * 5 X 4 , para X1 = 3 ± 02 y X2 = 4 ± 0.1
6. Determinar el máximo error en el calculo y = Cos ( X 1 ) * 2 X 3 , para X1 = 1.5 ± 02 y X2 = 3 ± 0.1 7. ¿Con qué exactitud es necesario medir el radio de una esfera para que su volumen sea conocido con un error relativo menor de 0.01%? ¿Cuantos decimales es necesario emplear para el valor de ? 8. Supongamos una barra de hierro de longitud l y sección rectangular a x b fija por uno de sus extremos. Si sobre el extremo libre aplicamos una fuerza F perpendicular a la barra, la flexión s que ésta experimenta viene dada por la expresión:
En donde E es una constante que depende sólo del material denominada módulo de Young. Conociendo que una fuerza de 140 Kp aplicada sobre una barra de 125 cm. de longitud y sección cuadrada de 2.5 cm. produce una flexión de 1.71 mm, calcular el módulo de Young y el intervalo de error. Suponer que los datos vienen afectados por un error máximo correspondiente al de aproximar por truncamiento las cifras dadas.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
15
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
INGENIERIA DE SISTEMAS WORK PAPER # 2 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:
APRO 07
Nro. DE HOJAS: 5
ELABORO: ING. ROSMERY LUIZAGA SALINAS
CÓDIGO: MAT 212
TITULO WORK PAPER: SISTEMA DE ECUACIONES DPTO:
UDABOL – ORURO
DESTINADO A: DOCENTE
ALUMNOS
ADMINISTRATIVOS
x
OTROS
OBSERVACIONES: Cálculo Numérico, Carrera de Ingeniería de Sistemas FECHA DE DIFUSIÓN: Septiembre 2009 FECHA DE ENTREGA: Septiembre 2009
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
16
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
WORK PAPER # 2 SISTEMA DE ECUACIONES 2.1.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Este método consiste en expresar el sistema como una matriz aumentada de la forma
La idea del método es llevar el sistema a la forma triangular superior y de allí despejar una variable a la vez partiendo de la última. El ultimo paso se conoce como sustitución en reversa . Para lograr llevar el sistema a la forma triangular superior, se emplean las operaciones elementales.
2.2.
EJEMPLO DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Como ejemplo resolveremos el sistema
La matriz aumentada es
Para ir simplificando el sistema avanzaremos por la diagonal principal, los elementos de la diagonal principal los denominaremos pivote. Primero localicemos en la primera columna el primer elemento que sea y lo llevaremos al primer renglón. En este caso se tiene
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
17
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
El pivote es 10, Después dividamos el renglón pivote entre el pivote. Obtenemos
A continuación pasaremos a hacer 0 los elementos que están debajo del pivote. Para ello sumaremos múltiplos apropiados del renglón pivote a cada renglón de tal forma que los elementos debajo del pivote sean 0. En este caso tenemos
Avancemos por la diagonal principal al segundo renglón. Este será ahora el renglón pivote. Busquemos el primer elemento que sea para que sea el pivote. Tenemos
El pivote vale 10.9. Ahora nuevamente dividamos el renglón pivote entre el pivote
Eliminado los elementos debajo del pivote tenemos
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
18
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Los pasos anteriores se repiten hasta que la matriz este en la forma triangular superior. Llevando el elemento al renglón pivote
El pivote es 9.541. Dividiendo entre el elemento pivote
Haciendo 0 elementos abajo del elemento pivote
Llevando el elemento
al renglón pivote
El pivote es 7.111. Dividiendo entre el elemento pivote
Haciendo 0 elementos abajo del elemento pivote
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
19
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Ya tenemos la matriz en la forma triangular superior. A continuación usamos la sustitución en reversa. Del ultimo renglón x4=1. Sustituyendo en la ecuación de arriba
x3=-1. Sustituyendo en la ecuación de arriba
x2=2. Finalmente sustituyendo en la primera ecuación
x1=1. La solución es
x1=1
x2=2
x3=-1 x4=1.
2.3.
APLICACIONES PRÁCTICAS.
En función a lo avanzado en clase y al presente Work Paper, resolver por el Método de eliminación, método de eliminación Gaussiana, método de Gauss Jordan, método de inversión de matrices y método de Gauss Seidel, los siguientes sistemas de ecuaciones:
1 Sistema de ecuaciones X1 – X2 + X3 = -4 5X1 – 4X2 + 3X3 = -12 2X1 + X2 + X3 = 11
2 Sistema de ecuaciones 2X1 + X2 –3X3 = 1 -X1 +3X2 + 2X3 = 12 3X1 + X2 – 3X3 = 2
3 Sistema de ecuaciones X1 + X2 – 5X3 = 2 X1 - 3X2 + 2X3 = 6 3X1 + X2 – 3X3 = 2
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
20
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
WORK PAPER # 3 PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD Nro DE PROCEDIMIENTO:
APRO 07
Nro. DE HOJAS: 4
ELABORO: ING. ROSMERY LUIZAGA SALINAS
CÓDIGO: MAT 212
TITULO WORK PAPER: METODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DPTO:
UDABOL – ORURO
DESTINADO A: DOCENTE
ALUMNOS
ADMINISTRATIVOS
x
OTROS
OBSERVACIONES: Cálculo Numérico, Carrera de Ingeniería de Sistemas FECHA DE DIFUSIÓN: Octubre 2010 FECHA DE ENTREGA: Octubre 2010
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
21
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
WORK PAPER # 3 METODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS 3.1.
INTRODUCCION.
Los polinomios de interpolación de Diferencias divididas son polinomios que sirven para encontrar el valor de una función f(x) para un cierto valor de x, uno de los polinomios de interpolación de Lagrange pueden tener diferentes números de términos, desde dos términos, hasta n+1 términos. Por ejemplo, el de dos términos tiene la forma: f(x)=ao+a1x y se emplea cuando se conocen 2 puntos y los respectivos valores de sus funciones, es decir: xo, f(xo) y x1, f(x1), y se desea conocer más valores de la función f(x) para una x dada. Otro ejemplo será el de tres términos: f(x)=ao+a1x+a2x2 Este polinomio se emplea cuando se conocen 3 puntos y los respectivos valores de sus funciones, es decir: xo, f(xo), x1, f(x1) y x2, f(x2), y se desea conocer con valor de la función f(x) para una x dada. Otro ejemplo será el de cuatro términos: f(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3 Este polinomio se emplea cuando se conocen 4 puntos y los respectivos valores de sus funciones es decir: xo, f(xo), x1, f(x1), x2, f(x2), y x3, f(x3), y se desea conocer un valor de la función f(x) para una x dada. Esto seguiría así sucesivamente: f(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 (para 5 puntos conocidos) f(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 (para 6 puntos conocidos) f(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 +a6x6 (para 7 puntos conocidos) ....... ........... . ............ Para encontrar los valores de ao, a1, a2, a3, a4, a5,…., etc, según sea el caso, se emplean los valores conocidos de xo, f(xo); x1, f(x1); x2, f(x2); x3, f(x3); x4, f(x4); x5, f(x5)….,etc.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
22
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
U
I
Tabla 1.-Diferencias Divididas
3.2.
EJEMPLO DE APLICACIÓN.
Se dispone de los siguientes datos en una tabla:
i
xi
f(xi)
0
1
56.5
1
5
113.0
2
20
181.0
3
40
214.5
Y se desea interpolar a x=2.0
Solución:
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
23
Q
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Se calculan las primeras diferencias divididas
Se calculan las segundas diferencias divididas
Se calculan las terceras diferencias divididas
Ahora se calcula a f(x) con x=2.0
A una función de 2 atmósferas hay una temperatura de 71.6oC.
3.3.
APLICACIONES PRÁCTICAS.
a) Obtenga la aproximación polinomial de Diferencias Divididas con todos los puntos. Interpole el valor de la función para x = 1.6.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
I
XI
F(XI)
0
0
1
1
0.5
2.09
2
1
2.91
3
1.5
3.94
4
2
5.72
5
2.5
8.69
D
E
A
24
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
b)
Determinar los polinomios de interpolación de Newton hacia atrás y adelante según lo avanzado en clase para x = 0.35 ; x = 0.72 ; x = 1.02
N° X F(x) c)
1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.9987 0.9865 0.9801 0.9752 0.9698 0.9599 Obtenga los tres puntos de Chevishev, en 3 < x < 5, escribiendo la formula de interpolación ajustada a ln (x) y encontrar el valor de y = ln (x) para x=3.8.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
25
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
DIF # 1/2010 METODOS NUMERICOS RAÍCES DE ECUACIONES 1.1.
INTRODUCCION.
La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc... La determinación de las soluciones de la ecuación puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f (x ) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f (x ) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares). La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.
2.1. METODOS DE RESOLUCIÓN. 2.1.1. METODO DE BISECCION.Con este método, como con todos los que se explican en esta pagina, lo que se busca es determinar la raíz de una ecuación, o sea, su intersección con el eje de las X o su solución, por lo que se debe tener en cuenta que no todas las ecuaciones tienen una sola solución, y que no todas tienen solución, asi que se debe tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de comenzar a aplicar el método. Procedimiento: Bisectar el intervalo (a,b) en dos mitades b =
a+c
2 El nuevo intervalo que contiene al raíz se bisecta de nuevo hasta que este intervalo este dentro de la tolerancia del error. Durante el proceso de bisección se debe ir evaluando los signos.
2.1.2. METODO DE LA SECANTE.Este método, a diferencia del de biseccion y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va observando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca. U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
26
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Procedimiento: Se aplicara la formula desarrollada por la Serie de Taylor, que se detalla a continuación: X n +1 = Xn −
f ( X n } f ( X n ) − f ( X n +1 )
* ( X n − X n −1 )
se aplicara una tabla que contendrá los siguientes elementos: Xn-1
Xn
Xn+1
F(Xn-1)
F(Xn)
F(Xn+1)
No es necesario evaluar los signos resultante , solo ir reemplazando los nuevos valores.
2.1.3. METODO DE NEWTON.Este método es el mas seguro de todos, ya que casi nunca falla, la única vez que puede fallar es que se quede "oscilando" encima de la raíz sin encontrarla nunca, lo que se llama gravedad matemática. Por lo demás es el mas confiable y el mas fácil de usar, la única dificultad que presenta es que se tiene que derivar la ecuación que se quiere encontrar la raíz, pero por lo demás es muy fácil. Trabaja trazando líneas tangentes a la curva original, por eso la derivada, las cuales se van como deslizando por la misma hasta que quedan prácticamente horizontales, porque se sabe que una línea vertical no tiene pendiente ni recta tangente. Procedimiento: El método de Newton se obtiene a partir del desarrollo de la Serie de Taylor, de cuyo procedimiento se obtiene la siguiente relación: f ( X n ) X n +1 = Xn − f ' ( X n ) posteriormente se va aplicando la formula con su derivada de la función f(Xn), en l a siguiente planilla tipo: Xn Xn+1 F (Xn) F’(Xn+1)
2.1.4. METODO DE NEWTON DE 2°ORDEN Consiste en una aceleración del método de Newton de 1°orden, sin embargo la derivación se realiza hasta la segunda derivada de la función dada. La obtención de la formula radica en la aplicación del Serie de Taylor hasta la segunda derivada, de la cual se obtiene la siguiente relación:
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
27
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
1 ∆ Xn
=−
f ' ( Xn)
+
f ( Xn)
1 2
*
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
f ' ' ( Xn) f ' ( Xn)
Consiguientemente se desarrollada aplicando una tabla conformada por los elementos descritos en la relación anterior de la cual el Xn obtenido se ira sumando a valor de Xn inicial.
2.1.5. MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN.Basado en la interpolación lineal, es análogo al método de Bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f (x ) = 0, es decir, dos puntos x 0 y x 1tales que f (x 0)f (x 1) < 0. La siguiente aproximación, x 2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando en la ecuación del método de la secante). La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x 0,x 2] y [x 2,x 1], se toma aquel que cumpla f (x )f (x 2) < 0. En la figura (1) se representa geométricamente este método.
Figura 1: Representación geométrica del método de la falsa posición. La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método. Por otra parte y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).
Figura 2: Modificación del método de la falsa posición propuesta por Hamming. La aproximación a la raíz se toma a partir del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x 0,f (x 0)/2) y (x 1,f (x 1)) si la función es convexa en el intervalo (figura a) o bien
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
28
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
a partir de la recta que une los puntos (x 0,f (x 0)) y (x 1, f (x 1)/2) si la función es cóncava en el intervalo (figura b). Sin embargo, el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse Para obviar este problema, se ha propuesto una modificación del método, denominada método de Hamming o de la falsa posición modificada. Según este método, la aproximación a una raíz se encuentra a partir de la determinación del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x 0,f (x 0)/2) y (x 1,f (x 1)) si la función es convexa en el intervalo o bien a partir de la recta que une los puntos (x 0,f (x 0)) y (x 1, f (x 1)/2) si la función es cóncava en el intervalo. Procedimiento: Se aplicara la formula desarrollada por la Serie de Taylor, que se detalla a continuación:
X n +1
= Xn −
f ( X n} f ( X n ) − f ( X n +1)
* ( X n − X n−1 )
se aplicara una tabla que contendrá los siguientes elementos: Xn-1
Xn
Xn+1
F(Xn-1)
F(Xn)
F(Xn+1)
En la aplicación de este método es necesario evaluar los signos resultantes, en los valores obtenidos, para intercalar un positivo con un negativo.
2.1.6. METODO DEL PUNTO FIJO.Dada la ecuación f (x ) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x =g (x ), definida en la forma g (x )=f (x )+x . Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x 0 y calculamos una nueva aproximación x 1=g (x 0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores
, que si converge, tendrá como límite la solución del problema.
Figura: Interpretación geométrica del método de las aproximaciones sucesivas.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
29
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
En la figura se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x 0 y calculamos y = g (x 0). La intersección de esta solución con la recta y =x nos dará un nuevo valor x 1 más próximo a la solución final. Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada g '(x ) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y =x ). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura (5). Esta condición, que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir la función g (x ) del siguiente modo: de forma que tomando un valor de condición de la derivada.
adecuado, siempre podemos hacer queg (x ) cumpla la
Figura: Demostración gráfica de que el método de las aproximaciones sucesivas diverge si la derivada g '(x ) > 1.
}
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
30
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
DIF # 2/2010 METODOS NUMERICOS SISTEMA DE ECUACIONES 2.1.
INTRODUCCIÓN
Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma:
A*X=B ó en forma mas compacta: donde A: matriz de coeficientes. X: vector solución. B: vector de términos independientes. 2.2.
PRODUCTO DE MATRICES
Consideremos 2 matrices A y B. Para calcular el producto de las mismas, si la matriz A es de orden m x k, la matriz B de k x n, entonces se obtiene una matriz C de m x n, el producto de matrices se define como , i=1,...,m. j=1,...,n Para el caso de una matriz A de mxn por un vector B de tamaño n, se considera que el vector es una matriz de nx1. Al multiplicarlos se obtiene una matriz C de mx1, es decir, un vector de tamaño m. Se tiene.
2.3.
, i=1,...,m
MATRIZ IDENTIDAD.
La matriz identidad I se define como aquella matriz cuadrada en la cual, la diagonal principal esta formada por 1's y el resto por 0's.
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
31
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
2.4.
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
MATIZ INVERSA.
La matriz inversa A-1 se define como aquella matriz que A A-1 = I. Una matriz es inversible si
.
2.5.
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR.
Se dice que una matriz esta en la forma triangular superior si todos los elementos debajo de la diagonal principal son 0. Los restantes no todos son 0.
2.6.
INVERSIÓN DE MATRICES .
Este método es mas teórico. Consiste en expresar el sistema como una ecuación matricial de la forma AX=B y despejar el vector X. Dado que no esta definida la división de matrices se usa la matriz inversa A-1. Multiplicando por la matiz inversa ambos lados se tiene A-1 AX=A-1 B de donde IX=A-1 B y finalmente X=A-1 B. El problema se reduce a hallar la matriz inversa para multiplicarla por el vector B y así hallar X. Para hallar la matriz inversa se puede utilizar el siguiente procedimiento. 1. Se coloca la matriz A junto a una matriz identidad I del mismo tamaño, es decir, |A|I|. 2. Se aplica la eliminación de Gauss Jordán a la matriz A, las operaciones que se le hagan a la matriz A, también se le aplican a I . 3. La matriz A se convierte en I. Se puede demostrar que matriz I se convierte en A-1 . Una vez hallada A-1 se procede a multiplicarla por B.
2.6.1. Ejemplo del Método de Inversión de Matrices Nuevamente resolveremos el sistema de los ejemplos anteriores. Primero procedamos a hallar la matriz inversa. La matriz inicial junto a la matriz identidad es
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
32
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Comenzamos en el primer renglón, primera columna. Buscamos el elemento que no sea 0. En este caso obtenemos.
El pivote es 10. Dividiendo entre el pivote el renglón pivote
Haciendo 0 elementos arriba y abajo del pivote
Pasamos al segundo renglón, segunda columna. Llevando el elemento tenemos
al renglón pivote
Haciendo 0 elementos arriba y abajo del elemento pivote
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
33
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Pasamos al tercer renglón, tercera columna. Llevando el elemento
al renglón pivote
El pivote es 9.541. Dividiendo entre el elemento pivote
Haciendo 0 elementos arriba y abajo del elemento pivote
Pasemos al ultimo renglón, cuarta columna. Llevando el elemento
al renglón pivote
El pivote es 7.111. Dividiendo entre el elemento pivote
Haciendo 0 elementos arriba y abajo del elemento pivote
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
34
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
La matriz inversa es
Multiplicando la inversa por el vector B, la solución es
Por lo tanto las raíces del sistema de ecuaciones son:
X1= 1 X2=2 X3=-1 X4=1
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
35
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
DIF # 4 METODOS NUMERICOS INTEGRACION NUMERICA 3.1.
MÉTODOS DEL TRAPEZOIDE Y SIMPSON
En este DIF comenzamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo numérico de integrales de la forma
Un método común para aproximar I(f) es reemplazando f(x) con un polinomio de interpolación. Este procedimiento se conoce como las reglas de Cuadratura de Newton . Examinamos los primeros dos casos de este método donde se usan polinomios de interpolación lineales y cuadráticos.
MÉTODO DEL TRAPEZOIDE: Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,
Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x) directamente se obtiene que
Asi que podemos escribir la aproximación:
(*) Más adelante analizamos en detalles el error en esta aproximación. Por el momento basta observar que la aproximación es buena siempre que f sea aproximadamente lineal. En el caso general, dividimos el intervalo [a,b] en subintervalos más pequeños y aplicamos la fórmula anterior en cada subintervalo. Si los subintervalos son suficientemente pequeños, entonces f es aproximadamente lineal en cada subintervalo y la aproximación es buena. Definimos el largo de los subintervalos por:
El j-esimo subintervalo esta dado por [x j-1,x j] donde
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
36
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
Y
TECNOLOGIA
Podemos escribir ahora que:
Usando la aproximación (*) podemos escribir
Sin embargo por aspectos de bibliografía y conceptualizaciones realizadas en clase de la formula extendida del trapecio será: n −1 h I = fo + 2 f ( x ) + fn 2 i =1
∑
Ejemplo 1: Usando la regla del trapezoide con n=2 y n=4 aproximamos:
cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora
Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que
Los resultados fueron como sigue: n
Tn(f)
en=I(f)- Tn(f)
en/ e2n
2
0.708333 0.697024 0.694122 0.693391 0.693208 0.693162 0.693151 0.693148 0.693147
-0.0151862 -0.00387663 -0.00097467 -0.000244022 -0.0000610277 -0.0000152583 -3.81467e-006 -9.53672e-007 -2.38418e-007
----3.91736 3.97738 3.99419 3.99854 3.99963 3.99991 3.99998 3.99999
4 8 16 32 64 128 256 512 U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
37
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
FACULTAD
DE
CIENCIAS
0.693147
1024
Y
TECNOLOGIA
-5.96046e-008
4.00000
REGLA DE SIMPSON Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p2(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:
Tenemos ahora que
Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que
En forma similar se obtiene que
Tenemos pues que (**) Argumentando en forma similar a en método del trapezoide, tenemos que si n es un entero par (¿por qué?) entonces
Usando la fórmula (**) podemos aproximar
Ahora
U
N
I
V
E
R
S
I
D
A
D
D
E
A
38
Q
U
I
N
O
B
O
L
I
V
I
A
