calculo-variacional

Cálculo Variacional.

Condiciones necesarias y suficientes de extremo. La ecuación de Euler. Condiciones de Jacobi, Legendre y Weiertrass. 01/01/2010 Universidad de Almería. Carmen Gádor Garzón Escamilla y Melina Gorini.

Contenido. 1. Introducción………………………………………………………… Introducción……………………………………………………………………………………… ………………………………4 …4 1.1. Introducción histórica……………………………… histórica…………………………………………………………… …………………………….…..4 .…..4 1.2. Definición de Cálculo Variacional………………………… Variacional……………………………………………….. ……………………...5 .5 1.3. Problemas importantes……………………………… importantes………………………………………………………….… ………………………….…...7 ...7 1.3.1. Problema isoperimétrico…………………………… isoperimétrico………………………………………….………..7 …………….………..7 1.3.2. Principio de acción mínima……………………………………….……….7 mínima……………………………………….……….7 1.3.3. Problema de la Braquistocrona……………………… Braquisto crona………………………………………….8 ………………….8 1.3.4. El problema de las Geodésicas……………………………………….….10 1.3.5. La Catenaria…………………………… Catenaria………………………………………………………… ………………………………….……11 …….……11 1.3.6. Conclusión…………………………………………………………. Conclusión…………………………… ……………………………...……….…11 ..……….…11 1.4. Métodos de resolución de los problemas variacionales…………………..12 1.4.1. Métodos indirectos………………………… indirectos……………………………………………….………… …………………….………….12 .12 1.4.2. Métodos directos…………………………… directos……………………………………………….………… ………………….…………….12 ….12 2. Condiciones necesarias de extremo. Ecuación de Euler…………………………15 2.1. Funciones que dependen de funciones de varias Variables independientes…………………….……………..…………… independientes…………………….……………..…………………….28 ……….28 3. Condiciones suficientes de Extremo…………………………………………..………..33 Extremo…………………………………………..………..33 4. Condición de Legendre……………………………… Legendre………………………………………………………….. …………………………..…………..39 …………..39 4.1. Condición necesaria de Legendre para la realización de un mínimo de un funcional del tipo variacional………..………..…… variacional………..………..……………39 ………39 4.2. Condición suficiente de Legendre de inclusión de un extremal de un funcional en un campo de extremales…….……….....40 5. Condición de Jacobi………………………………… Jacobi………………………………………………………………… …………………………………………42 …………42 5.1. Condición necesaria de Jacobi…………………….……………….……………42 Jacobi…………………….……………….……………42 5.2. Condición suficiente de Jacobi bajo las cuales un u n funcional tiene un mínimo………………………… mínimo…………………………………………………… ……………………………………………49 …………………49 5.3. Relación entre la condición de Jacobi y la teoría t eoría de formas cuadráticas………………….……………… cuadráticas………………….……………………………………………… ………………………………..51 ..51 5.4. Condición suficiente de Jacobi de inclusión de una extremal extr emal en un campo de extremales centrales………………………………………..56 6. Condición de Weiertrass…………………………… Weiertrass………………………………………………………… ………………………………………..59 …………..59 6.1. Función . Condición de Weiertrass………….……….………. Weiertrass………….……….………..59 .59 7. Anexo: Métodos directos en el cálculo variacional. …………………….………..72 …………………….………..72 7.1. Método de Euler de diferencias finitas……………………..………..………72 finitas……………………..………..………72 7.2. Método de Ritz……………………………… Ritz…………………………………………………………… ……………………………..………….74 ..………….74 7.3. Método de Kantoróvich…………………………… Kantoróvich………………………………………………….……… …………………….…………79 …79 7.4. Métodos variacionales de búsqueda de valores propios y funciones propias…………………………… propias………………………………………………………… ……………………………….…….….81 ….…….….81 7.4.1. El problema de Sturm-Liouville………………..………………. Sturm-Liouville………………..………………...…..81 ..…..81 7.4.2. Principio de Rayleigh……………………………. Rayleigh……………………………...……………….….… ..……………….….….85 .85 8. Biografías………………………………………………… Biografías………………………………………………………………………………… ………………………………………..88 ………..88 8.1. Leonhard Euler……………….……………………………………… Euler……………….………………………………………………………88 ………………88 8.2. Karl Gustav Jacobi…………………….………………………………… Jacobi…………………….………………………………………….….90 ……….….90

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Contenido. 1. Introducción………………………………………………………… Introducción……………………………………………………………………………………… ………………………………4 …4 1.1. Introducción histórica……………………………… histórica…………………………………………………………… …………………………….…..4 .…..4 1.2. Definición de Cálculo Variacional………………………… Variacional……………………………………………….. ……………………...5 .5 1.3. Problemas importantes……………………………… importantes………………………………………………………….… ………………………….…...7 ...7 1.3.1. Problema isoperimétrico…………………………… isoperimétrico………………………………………….………..7 …………….………..7 1.3.2. Principio de acción mínima……………………………………….……….7 mínima……………………………………….……….7 1.3.3. Problema de la Braquistocrona……………………… Braquisto crona………………………………………….8 ………………….8 1.3.4. El problema de las Geodésicas……………………………………….….10 1.3.5. La Catenaria…………………………… Catenaria………………………………………………………… ………………………………….……11 …….……11 1.3.6. Conclusión…………………………………………………………. Conclusión…………………………… ……………………………...……….…11 ..……….…11 1.4. Métodos de resolución de los problemas variacionales…………………..12 1.4.1. Métodos indirectos………………………… indirectos……………………………………………….………… …………………….………….12 .12 1.4.2. Métodos directos…………………………… directos……………………………………………….………… ………………….…………….12 ….12 2. Condiciones necesarias de extremo. Ecuación de Euler…………………………15 2.1. Funciones que dependen de funciones de varias Variables independientes…………………….……………..…………… independientes…………………….……………..…………………….28 ……….28 3. Condiciones suficientes de Extremo…………………………………………..………..33 Extremo…………………………………………..………..33 4. Condición de Legendre……………………………… Legendre………………………………………………………….. …………………………..…………..39 …………..39 4.1. Condición necesaria de Legendre para la realización de un mínimo de un funcional del tipo variacional………..………..…… variacional………..………..……………39 ………39 4.2. Condición suficiente de Legendre de inclusión de un extremal de un funcional en un campo de extremales…….……….....40 5. Condición de Jacobi………………………………… Jacobi………………………………………………………………… …………………………………………42 …………42 5.1. Condición necesaria de Jacobi…………………….……………….……………42 Jacobi…………………….……………….……………42 5.2. Condición suficiente de Jacobi bajo las cuales un u n funcional tiene un mínimo………………………… mínimo…………………………………………………… ……………………………………………49 …………………49 5.3. Relación entre la condición de Jacobi y la teoría t eoría de formas cuadráticas………………….……………… cuadráticas………………….……………………………………………… ………………………………..51 ..51 5.4. Condición suficiente de Jacobi de inclusión de una extremal extr emal en un campo de extremales centrales………………………………………..56 6. Condición de Weiertrass…………………………… Weiertrass………………………………………………………… ………………………………………..59 …………..59 6.1. Función . Condición de Weiertrass………….……….………. Weiertrass………….……….………..59 .59 7. Anexo: Métodos directos en el cálculo variacional. …………………….………..72 …………………….………..72 7.1. Método de Euler de diferencias finitas……………………..………..………72 finitas……………………..………..………72 7.2. Método de Ritz……………………………… Ritz…………………………………………………………… ……………………………..………….74 ..………….74 7.3. Método de Kantoróvich…………………………… Kantoróvich………………………………………………….……… …………………….…………79 …79 7.4. Métodos variacionales de búsqueda de valores propios y funciones propias…………………………… propias………………………………………………………… ……………………………….…….….81 ….…….….81 7.4.1. El problema de Sturm-Liouville………………..………………. Sturm-Liouville………………..………………...…..81 ..…..81 7.4.2. Principio de Rayleigh……………………………. Rayleigh……………………………...……………….….… ..……………….….….85 .85 8. Biografías………………………………………………… Biografías………………………………………………………………………………… ………………………………………..88 ………..88 8.1. Leonhard Euler……………….……………………………………… Euler……………….………………………………………………………88 ………………88 8.2. Karl Gustav Jacobi…………………….………………………………… Jacobi…………………….………………………………………….….90 ……….….90

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8.3. Adrien Marie Legendre……………………………………………………. Legendre…………………………………………………….…….…91 …….…91 8.4. Karl Weiertrass………………………………. Weiertrass……………………………….………………………….… ………………………….………….…91 ……….…91 9. Bibliografía……………………………………………… Bibliografía…………………………………………………………………………… ……………………………………..…93 ………..…93


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1. Introducción 1.1. Introducción histórica El cálculo de variaciones o cálculo variacional es una rama clásica y fundamental de las matemáticas. No es una exageración afirmar que el desarrollo de esta rama de las matemáticas ha ido a la par con el desarrollo de los conceptos centrales del análisis matemático y sus aplicaciones. En lo que respecta a las aplicaciones, muchos de los conceptos centrales de la física teórica están en estrecha relación con el cálculo variacional. Las raíces del cálculo variacional se extienden a tiempos anteriores a la Grecia clásica. Uno de los problemas más antiguos del cálculo variacional, y de las matemáticas en general, es el problema isoperimétrico. Este problema está relacionado con la legendaria Dido fundadora de la ciudad fenicia de Cartago (buena parte de la leyenda de Dido se encuentra en la Eneida de Virgilio, aunque por otras fuentes se sabe que fue un personaje histórico). Cuenta la leyenda que Dido y un grupo de seguidores llegaron a las costas de lo que ahora es Túnez y solicitaron un pedazo de tierra a los habitantes locales. Dido pidió la tierra que pueda ser encerrada por la piel de un toro. Desde luego la petición no parecía muy ambiciosa así que le fue esto concedido. Dido corto la piel en tiras muy delgadas formando así una cuerda muy larga. Utilizó entonces esta cuerda para rodear una extensión de tierra en la costa que pasó a convertirse en la ciudad de Cartago. Independientemente de la veracidad de la leyenda no es difícil aceptar que el problema de abarcar la mayor área posible dada una cuerda de longitud fija apareció hace mucho tiempo en la historia. El filósofo Zenodoros (200 a.n.e.) planteó de manera precisa éste y otros problemas matemáticos relacionados con encontrar figuras “óptimas", que hoy podemos considerar problemas clásicos del cálculo variacional. Hay otros problemas clásicos que son parte del cálculo de variaciones que fueron planteados y estudiados por Aristóteles y Pappus. Hasta aquí hemos hablado de problemas de cálculo variacional, pero no hemos definido esta rama de las matemáticas. De hecho no lo haremos ahora sino que postergaremos la definición del cálculo de variaciones. Esto no nos impide notar que en los problemas de cálculo de variaciones siempre se requiere encontrar curvas, figuras, procesos, “óptimos". Se le atribuye a Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, el principio físico de tiempo mínimo, el cual establece que la trayectoria que toma la luz entre dos puntos es la trayectoria que puede ser recorrida en el menor tiempo. Este principio está relacionado con el principio de distancia mínima de Herón de Alejandría, filósofo griego del siglo I (la luz sigue la trayectoria entre dos puntos que resulta ser la más corta). En 1662, Fermat utilizó su principio de tiempo mínimo para deducir la ya entonces conocida ley de Snell que describe la refracción de la luz al pasar de un medio a otro. Es a partir de este momento que se empiezan a utilizar métodos analíticos para la resolución de problemas de “optimización" (anteriormente estos problemas se habían abordado por métodos puramente geométricos). Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

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El tratamiento de Fermat de este problema es considerado por varios historiadores del cálculo variacional como el comienzo del mismo, precisamente por el uso de técnicas analíticas similares a las que se usarían más tarde en el análisis matemático. Es interesante mencionar que éstas técnicas jugaron un papel importante en el desarrollo del cálculo unos años después. En 1696 Johann Bernoulli publica un desafío para los matemáticos de su tiempo: el llamado problema de la Braquistocrona. Varios matemáticos dieron respuesta al desafío. Entre las respuestas destacadas se encuentran la de su hermano Jakob, la de Newton (publicada de manera anónima) y la de Leibniz. Jakob Bernoulli utiliza un método similar al de Fermat, pero más refinado, para dar respuesta al problema. El desarrollo y generalización de estos métodos por Euler, y después Lagrange, llevan a un método sistemático para estudiar este tipo de problemas y éste al cálculo de variaciones. Fue precisamente Euler quién acuño el término. Johann Bernoulli también estudio geodésicas en varias superficies. Este es otro problema clásico del cálculo variacional. La geodésica es la curva más corta sobre cierta superficie que une a dos puntos de esa superficie. Durante el siglo XIX los trabajos de Euler y Lagrange son formalizados y generalizados para conformar lo que es el cálculo de variaciones hoy en día. Es de destacarse las contribuciones de Weierstrass en la formalización de la teoría. El desarrollo del cálculo variacional está relacionado con el desarrollo de la física. Esto es así por el marco conceptual en el que se han desarrollado las ideas sobre el “comportamiento" de la realidad. Con innegable influencia religiosa el pensamiento físico ha considerado que los procesos naturales se desarrollan de manera “óptima". Durante la evolución de los procesos algo se minimiza o maximiza (Dios o la naturaleza deben ser perfectos). Así las leyes de la física deben ser el producto de principios variacionales. Es así como surgen la mecánica analítica y la mecánica hamiltoniana y de ahí la formalización de la mecánica cuántica. Es también notable que la Teoría General de la Relatividad también esté relacionada con el cálculo de variaciones.

1.2. Definición de Cálculo Variacional En una serie de problemas de la física y de la matemática nos encontramos con funciones definidas sobre un conjunto cuyos elementos también son funciones de una o varias variables. Las funciones definidas sobre un conjunto cuyos elementos son funciones, se llaman funcionales. Por ejemplo, la longitud l del arco de una curva plana que une dos puntos dados A( x0 , y 0 ) y B( x1 , y1 ) , es un funcional. La magnitud l puede calcularse si se da la ecuación de la curva y = y ( x ) . Entonces Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

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l [ y ( x )] =

x1

∫

x0

2

1 + ( y ') dx

El área S de cierta superficie es también un funcional, puesto que se determina escogiendo la superficie, es decir, escogiendo la función z = z ( x, y ) de la superficie. Como es sabido, 2

S [ z ( x, y )] =

∫∫ D

2

 dz   dz   dxdy 1 +   +  dz dy    

donde D es la proyección de la superficie en el plano OXY . Los momentos de inercia, los momentos estáticos, las coordenadas del centro de gravedad de cierta curva o superficie homogénea, son también funcionales, puesto que sus valores se determinan eligiendo la curva o la superficie, es decir, las funciones contenidas en la ecuación de dicha curva o superficie. En todos estos ejemplos se tiene una dependencia que es característica para los funcionales: a una función (escalar o vectorial) le corresponde un número, mientras que al dar una función z = f ( x ) a un número le correspondería otro número. En el Cálculo Variacional se consideran los métodos para hallar el valor máximo o el mínimo de un funcional. Los problemas en que se exige investigar el máximo o el mínimo de un funcional, se denominan problemas variacionales. Durante más de dos siglos, el Cálculo de Variaciones ha sido una de las principales ramas del Análisis. Es un instrumento de gran utilidad que se puede aplicar en muy diversos problemas, como ya he dicho antes, tanto en Matemáticas, como en Física. Es fácil captar el interés del tema si se toman en cuenta algunos de sus problemas típicos. A continuación, introducimos algunos ejemplos clásicos del Cálculo de Variaciones, en los que se muestran los elementos fundamentales del problema de optimización. Éstos son: 1. Un espacio de funciones V , tal que u : Ω → ℜ q , donde Ω es un abierto, normalmente acotado, de ℜ n , de frontera, Γ , regular. 2. Restricciones sobre el conjunto de soluciones, que pueden imponerse bien sobre la frontera Γ , bien sobre el dominio Ω . Por ejemplo u = 0 en Γ , u ≥ Ψ en Ω , etc. El conjunto de funciones que satisfacen estas restricciones es, en general, un subconjunto, U de V . 3. Un funcional J : V → ℜ de la forma siguiente:


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J (u ) :=

∫ L( x, u( x ), u' ( x))dx

(1)

Ω

La hipótesis sobre V y L deben asegurar la existencia de J sobre V , o al menos sobre U . El problema de optimización consiste en hallar el mínimo, u ∈ U , del funcional J .

1.3. Problemas importantes 1.3.1.

Problema isoperimétrico

De entre todas las curvas de longitud λ dada, que unen el punto (0,0 ) con un punto variable (ξ ,0) , encontrar aquella que, junto con el eje OX , encierra una superficie máxima. El problema es, pues, el de hallar una función, u y un número, ξ tales que u (0) = 0 , u (ξ ) = 0 , u ≥ 0 y que minimicen el funcional J (u , ξ ) := −

∫

ξ

0

u

y satisfagan la restricción

∫

ξ

0

1.3.2.

1 + u'

2

= λ

Principio de acción mínima

En Mecánica Clásica, cuando una partícula se mueve bajo la acción de un potencial V ( x ) , el movimiento real es el dado por las ecuaciones de Newton, que expresan la aceleración de la partícula en términos de las fuerzas. Cuando las fuerzas derivan de un potencial V ( x ) , el movimiento real t → x(t ) satisface la ecuación diferencial: d x(t ) 2

m

2

dt

=−

dV ( x(t )) dx

cuya solución determina el movimiento real que sigue una partícula que en un instante inicial t 1 sale del punto x1 , se mueve bajo la acción del potencial, y llega en un instante final t 2 al punto x 2 . Una pregunta interesante es: ¿Podemos singularizar el movimiento real dado por las soluciones de esta ecuación, entre todos los movimientos que la


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partícula podría seguir, para ir desde el punto inicial x1 en el instante t 1 al punto final x 2 en el instante t 2 ? La respuesta a esta pregunta es un principio básico en Física, que en Mecánica se denomina principio de Hamilton, o principio de mínima acción. Este principio caracteriza a los movimientos reales entre todos los movimientos imaginables que llevarían a la partícula del estado inicial (posición x1 en el instante t 1 ) al estado final (posición x 2 en el instante t 2 ), ambos dados. La caracterización dada por el principio de Hamilton asocia una cantidad, denominada acción a cada movimiento imaginable. La acción es una cantidad de naturaleza bastante diferente a las cantidades que usualmente describen el estado de la partícula, como posición y/o velocidad. A diferencia de ellas, la acción no se asocia al estado, sino a la historia completa de la partícula entre dos instantes inicial y final. Para cada movimiento imaginable, descrito por t → x (t ) con las condiciones x(t 1 ) = x1 , x (t 2 ) = x 2 , la acción de ese movimiento se define como: S [ x (t )] =

∫

t 2

t 1

 1  dx (t )  2   − V ( x(t ))dt  m  2  dt  

El principio de la mínima acción dice: entre todos los movimientos imaginables, la propiedad que distingue al movimiento real es que el valor de la acción S [ x (t )] es menor para el movimiento real que para cualquier otro .

¿Cuál es la relación entre este principio y la forma newtoniana de planear las ecuaciones del movimiento? Resulta que ambas maneras de describir el movimiento son equivalentes. Para verlo, necesitamos abordar el problema de la búsqueda de la función x (t ) con las condiciones requeridas, que minimice el valor de la acción. No se trata de un problema ordinario de mínimo, ya que la acción depende del movimiento como un todo, esto es, depende de la función x (t ) .

1.3.3.

Problema de la Braquistocrona

El problema de la braquistocrona, o curva de descenso más rápido, es uno de los problemas más antiguos del cálculo de variaciones. La primera solución fue dada por Johann Bernoulli en 1696, aunque también dieron soluciones algunos contemporáneos como Jacob Bernoulli, Leibniz y Newton. Entre todas las curvas que unen los puntos A y B , se desea hallar aquella a lo largo de la cual un punto material, moviéndose bajo la fuerza de la gravedad desde A llega al punto B en el menor tiempo. Para resolver este problema debemos considerar todas las posibles curvas que unen A y B . A una determinada curva, γ , le corresponderá un valor determinado, T , del tiempo invertido para el descenso del punto material a lo Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

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largo de ella.. El tiempo, T , dependerá de la elección de γ . De todas las curvas que unen A con B debemos hallar aquella a la que corresponda el menor valor de T . El problema puede plantearse de la siguiente forma. Tracemos un plano vertical que pase por los puntos A y B . La curva de más rápido descenso debe evidentemente estar en él, así que podemos restringirnos a curvas sobre dicho plano. Tomemos el punto A como el origen de coordenadas, el eje OX apuntando en la dirección de la gravedad y sea B = ( x1 , y1 ) , con x1 > 0 y y1 ≥ 0 . Consideremos una curva arbitraria descrita por la ecuación y = y ( x )

0 ≤ x ≤ x1

donde y es una función regular. Como la curva pasa por debe verificar 0 = y (0) ,

(2) A

y B , la función

y( x1 ) = y1

y

(3)

El movimiento de la masa puntual puede describirse por medio de la ley de la conservación de la energía, E c + E p = cte. , del siguiente modo: en el punto A , en el que asumimos que la l a velocidad inicial es nula, se tiene E c + E p = E p = mgh A = E

donde E > 0 es una constante y h A es la altura a la que se encuentra el punto En cualquier punto por debajo será 1 2

A .

mv 2 + mgh = E

luego v = 2 g (h A − h ) 2

y tomando la coordenada vertical como x = h A − h , deducimos que la velocidad del movimiento del punto material es v≡

ds dt

=

2 gx

siendo s una parametrización de la trayectoria del punto material. Deducimos que dt =

ds 2 gx

y como la longitud de arco de la curva viene dada por 2

ds = 1 + y ' ( x ) dx Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

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tenemos que el tiempo empleado a lo largo de la curva y viene dado por

J ( y ) =

x1

∫

0

 1 + y ' ( x )    2 gx

2

1

 2  dx  

(4)

Hallar la braquistocrona es equivalente a resolver el siguiente problema de mínimos: entre todas las posibles funciones (2) que verifican las condiciones (3), hallar la que corresponda al menor valor de la integral (4).

1.3.4.

El problema de las Geodésicas

Las geodésicas son aquellas curvas contenidas en una superficie regular que minimizan la distancia entre dos puntos de la misma. Enunciaremos este problema de dos formas: 1. Consideremos una superficie regular parametrización: x = x(u, v) ,

y = y (u , v ) ,

S ⊂ ℜ

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definida por la

z = z (u, v ) ,

con (u , v ) ∈ [u 0 , u1 ]× [v0 , v1 ] . Cualquier curva contenida en S puede parametrizarse en la forma t : [t 1 , t 2 ] → (u (t ), v(t )) . El elemento de arco de las curvas contenidas en S está determinado por la primera forma fundamental: 2 2 2 ds := Eu ' +2 Fu ' v'+Gv '

con E := xu + y u + z u , 2

2

2

G := xv2 + y v2 + z v2

F := xu xv + y u y v + z u z v ,

De modo que la longitud del arco entre los puntos correspondientes a los valores t 1 y t 2 es J (u , v ) =

∫

t 2

t 1

2

2

Eu ' +2 Fu ' v'+Gv ' dt

que es el funcional a minimizar. 2. Si la superficie viene dada de la forma implícita por ϕ ( x, y, z ) = 0 y representamos una curva sobre ella de forma paramétrica, ( x(t ), y (t ), z (t )) , debemos minimizar el funcional Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

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J ( x, y, z ) =

∫ ( x' (t ) t 1

2

t 0

1

2

2

+ y ' (t ) + z ' (t )

)

2

dt

Además, las funciones x , y y z deben someterse a la condición ϕ ( x (t ), y (t ), z (t )) = 0 para t ∈ [t 0 t 1 ] . Es lo que se llama un problema variacional con restricciones de igualdad.

1.3.5.

La Catenaria

¿Cómo cuelga un hilo inextensible y flexible, de longitud total L, suspendido entre dos torres con separación horizontal d , y alturas dadas, A y B ? Claramente, el principio que determina la forma de equilibrio del hilo es que su energía potencial sea la menor posible. Cada forma posible del hilo está descrita por una función x → z ( x ) que debe satisfacer las condiciones z (a ) = A , z (b ) = B (donde a y b son las coordenadas horizontales de las torres), d = b − a , y además otra condición importante, a saber, la longitud total del hilo debe ser L ; esta condición se traduce en: L =

∫

b

a

2

1 + z ' ( x ) dx

Veamos ahora cómo se expresa la energía potencial del hilo cuando su forma es la función z ( x ) . Suponiendo el hilo de densidad lineal ρ constante, la masa del elemento entre las coordenadas x y x + dx es ρ 1 + z ' ( x )2 dx y la energía potencial de ese elemento es z ( x )g ρ 1 + z ' ( x )2 dx . Así pues, la energía potencial total es:

∫

b

2

E = ρ g z ( x ) 1 + z ' ( x ) dx a

La forma real será aquella curva que, satisfaciendo la condición adicional de tener longitud total L , haga mínima la energía potencial. Conviene notar que este problema es más complicado que los anteriores, ya que interviene en él una ligadura, o condición auxiliar.

1.3.6.

Conclusión

En todos los casos, el problema propuesto se reduce a buscar, entre todas las funciones f : x → f ( x ) definidas en un intervalo [a, b] , y con condiciones del tipo f (a ) = A , f (b ) = B (además de otras condiciones de continuidad, regularidad, etc. Que se precisarán a su tiempo), aquellas que minimizan o maximizan una expresión del tipo


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b

∫ Φ( x, f ( x ), f ' ( x ))dx a

En algunos casos, la función f : x → f ( x ) debe satisfacer ciertas condiciones adicionales, que pueden imaginarse como ligaduras; en todos los casos que hemos discutido los ligaduras están expresadas también por condiciones del tipo b

∫ Ξ( x, f ( x ), f ' ( x ))dx = cte a

Por otro lado veremos algunos métodos de resolución de problemas variacionales.

1.4. Métodos de resolución de los problemas variacionales Existen dos aproximaciones fundamentales a la resolución de los problemas variacionales.

1.4.1.

Métodos indirectos

La primera de estas aproximaciones es la heredada de los métodos de minimización de funciones (dimensión finita) vía el cálculo diferencial. Este método proporciona condiciones necesarias y condiciones suficientes que dan lugar a una base metodológica para la resolución de problemas variacionales, la cual está íntimamente ligada a la teoría de ecuaciones diferenciales.

1.4.2.

Métodos directos

La idea fundamental es la extensión del Teorema de Weierstrass a funciones definidas de dimensión infinita, que tendrá un enunciado del tipo: Teorema 1. Sea J : V → ℜ un funcional definido en un espacio de funciones V dotado de cierta noción de convergencia para la que V es compacto y J es semicontinuo inferiormente. Entonces existe un mínimo de J en V .

A partir de este teorema, se produce del siguiente modo: 1. Se elige la clase de funciones V junto con una noción adecuada de convergencia para la que V sea completo.


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2. Hay que mostrar que J está bien definido en V y que está acotado inferiormente, de modo que inf u∈V J (u ) sea finito. Esto implica que se puede construir una sucesión minimizante, u k ∈ V , tal que J (u k ) → inf u∈V J (u ) . 3. Debemos probar que J es semicontinuo (secuencialmente), es decir, que u k → u implica

inferiormente

J (u ) ≤ lím J (u k ) k → ∞

4. Finalmente, debemos demostrar que V es compacto (secuencialmente) con respecto a la convergencia considerada en 1. La hipótesis del Teorema de Weierstrass atañen a la función que se desea minimizar (semicontinuidad inferior) y al conjunto en el cual se busca el mínimo (compacto). En espacios de dimensión finita estas hipótesis son relativamente fáciles de comprobar dado que la compacidad de un conjunto es equivalente a que el mismo sea cerrado y acotado. La continuidad suele deducirse de un análisis directo de la función a minimizar. Sin embargo, el Teorema de Riesz establece que la bola unidad cerrada de un espacio de Banach es compacta si y solo si la dimensión del espacio es finita. Puesto que este criterio de compacidad falla en el caso de dimensión infinita, se impone la investigación de nuevas condiciones sobre los subconjuntos de espacios de dimensión infinita y sobre los funcionales definidos en estos espacios que nos permitan usar una generalización del Teorema de Weierstrass. Puesto que los conjuntos cerrados y acotados, en el sentido de la topología fuerte, de un espacio de Banach no son compactos, puede esperarse que si se reduce la cantidad de abiertos mediante la introducción de la nueva topología, la cantidad de cerrados y, por tanto, de compactos, aumente. Esto resulta ser así. En particular, cualquier subconjunto cerrado y acotado de un espacio de Banach es relativamente compacto respecto a la topología débil (es la topología menos fina que hace continuas a las aplicaciones lineales). El problema que surge a continuación es el de la continuidad (respecto a la topología débil) del funcional a minimizar. Claramente, al introducir una topología con menos abiertos, la cantidad de funciones continuas también disminuye y así, por ejemplo, la norma asociada a la topología fuerte no es una función continua respecto a la topología débil. Cobra especial importancia en este contexto la noción de semicontinuidad inferior. Finalmente, observamos que aunque la introducción de la topología débil y de los funcionales semicontinuos inferiormente respecto dicha topología nos permiten asegurar la existencia de un mínimo sobre cualquier conjunto cerrado y acotado respecto la topología débil, la verificación práctica de estas propiedades dista de ser sencilla. Por ello, una de las cuestiones centrales es la Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

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búsqueda de condiciones expresadas respecto a la topología fuerte que impliquen las correspondientes respecto a la topología débil. En este contexto la convexidad de conjuntos y funciones juega un papel fundamental.


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2. Condiciones necesarias Ecuación de Euler.

de

extremo.

Analicemos el extremo del funcional:

௫ ሾ()ሿ =න௫బభ

ቀ , ( ) , ( )ቁ ′

si los puntos frontera de las curvas admisibles están fijos , tal y como podemos apreciar en la siguiente imagen:

ଵ

(, , )

( ଴)= ଴ ( ଵ)= e

′ Además se considera derivable tres veces. Sabemos que la condición necesaria para que haya un extremo es la anulación de la variación de el funcional. Supongamos que en la curva , derivando dos veces, se tiene un extremo (exigiendo sólo la existencia de derivadas de primer orden de las curvas admisibles, se puede demostrar por otro método que la curva posee también segunda derivada). Tomemos cierta curva admisible cercana a la curva e incluyamos ambas curvas en la familia mono-paramétricas de curvas:

= ()

= ()

=0

( , ) = ( ) + (ത( ) − ( ) = ( ) =1

cuando , se obtiene la curva podemos ver en la siguiente imagen:

; para

=ത()

, se tiene

=ത()


. Lo

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ത( ) − ( )

() =(,)

Recordemos que se llama variación de la función y se designa por . Esta función se puede derivar una o varias veces, siendo ′ = ′, es decir, la derivada de la variación es igual a la variación de la derivada. Análogamente podemos verlo en derivadas sucesivas de la variación. De este modo, consideremos la familia , donde , que contiene para la curva en la cual se alcanza el extremo, y para cierta curva admisible cercana llamada curva de comparación. Si consideramos los valores del funcional:

( ) =ത( ) − ( ) ( , )= ( )+ =1 =0 ௫ భ ሾ()ሿ=න௫బ ቀ , ( ), ( )ቁ =(,) ሾ ( , )ሿ = ( ) = ( , ) ( ) ሾ , ሿ () =0 = () = =0( , ) ( ) ( ) =0 0 =0 ௫ ( ) =න௫బభ ቀ , ( , ), ௫( , )ቁ ௫ భ ( ) =න௫బ ൤ ௬ ( , )+ ௬ ( , ) ൨ ௬ = ቀ , ( , ), ( , )ቁ, ௬ = ቀ , ( , ), ( , )ቁ, ( , )= ሾ ( )+ ሿ= ( , )= ൣ (௫) + ൧= ′

sólo en las curvas de la familia función de :

, el funcional se transforma en una

ya que el valor del parámetro determina una curva de la familia determinando también con esto el valor del funcional . Esta función tiene un extremo en , ya que para dicho valor se obtiene teniendo el funcional, por hipótesis, un extremo con respecto a cualquier curva cerca admisible y, en particular, con respecto a las curvas cercanas de la familia . La condición necesaria para que la función tenga un extremo en , es la anulación de su derivada para , es decir, ′ . Como ′

Derivando:

′

′

′

donde

′

′

′

′

o, puesto que,

′

′

′

′

se obtiene


16

′

௫ భ ( ) =න௫బ ൣ ௬൫ , ( , ), ( , )൯ + ௬ ൫ , ( , ), ( , )൯ =0௫భ (0) =න௫బ ൣ ௬൫ , ( ), ( )൯ + ௬ ൫ , ( ), ( )൯ ൧ ′

sustituyendo por

′

′

′

൧

, obtenemos:

′

′

(0)

′

′

′

Como hemos visto ′ se llama variación del funcional, y se designa por . La condición necesaria para que la funcional v tenga un extremo consiste en la anulación de su variación: Para el funcional:

=0. ௫భ ሾ()ሿ =න௫బ ൫ , , ൯ ௫න భൣ ௬ + ௬ ൧ =0 ௫బ ′

esta condición tiene la forma:

′

=( )

′

Integrando el segundo sumando por partes y tomando en cuenta que ′ ′ obtenemos que:

௫ భ ଵ =ൣ ௬ ൧ ଴ +න௫బ ൬ ௬ − ௬ ൰ ฬ = ଴ =ത( ଴) − ( ଴) =0 ฬ = ଴ =ത( ଵ) − ( ଵ) =0 ′

Pero

′

Considerando que todas las curvas admisibles en el problema simple pasan por puntos frontera fijos, se tiene que:

௫ భ =න௫బ ൬ ௬ − ௬ ൰ ′

De este modo, la condición necesaria de extremo toma la forma:

௫ భ =න௫బ ൬ ௬ − ௬ ൰ ௬ − ௗ௫ௗ ௬ ′

= ()

=0 ( )

donde el primer factor ′ es una función continua dada en la curva que realiza el extremo, y el segundo factor es una función arbitraria Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

17

=଴ =ଵ ∈ ଴ଵ(ሾ ଴, ଵሿ) ={ ∈

que satisface que se anula en los puntos frontera y es continua y derivable una o varias veces, o bien y ′ son pequeños en valor absoluto. Para simplificar la condición necesaria de extremo ( I ) obtenida, aplicaremos el siguiente lema, conocido como Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones:

ଵ(ሾ ଴, ଵሿ): ( ଵ)=0, ( ଶ)=0} ௫න భ( ( ) ( ) =0 ௫బ ∈ ଴ଵ(ሾ ଴, ଵሿ) ( )=0 = ̅ ଴଴ଵ(≤ሾ ଴,≤ଵሿ)ଵ ( ) ≠0, ( ) ≠0, ̅ ത ≤ ≤ ത ̅ ଴ ଵ ()

Lema 2. ( Fundamental del Cálculo de Variaciones). Sea

, una función continua tal que:

para todo

. Entonces

para todo

Demostración. Suponiendo que en el punto

∈ሾ ଴, ଵሿ ()

.

∈

contenido en el segmento sea se llega a una contradicción. Así es, como entonces se deduce que si entonces conserva el signo en cierto entorno del punto . Pero entonces tomando una función que también conserve su signo en este entorno y sea igual a cero fuera del mismo tal y como aparece en la siguiente imagen:

se obtiene:

௫න భ( ( ) ( ) =නത௫భ( ( ) ( ) ௫బ ௫ത బ

()()

≠0

̅ ≤ ≤ തଵ (ത ଴)≤ ≤ തଵ ( )= ( − ത଴)ଶ௡( − തଵ)ଶ௡ () 2 −1

ya que el producto conserva su signo en el segmento y se anula fuera del mismo. De este modo, hemos llegado a una contradicción; por lo tanto . La función puede escogerse de la siguiente manera: fuera del segmento ; en el segmento , donde n es un entero positivo, y k, un factor constante. Es evidente que la función satisface las condiciones consideradas anteriormente: es continua, tiene derivadas continuas hasta de orden , se anula en los puntos y y puede hacerse tan pequeña como se quiera en valor absoluto, conjuntamente con sus derivadas, disminuyendo el módulo del factor k.

()≡0 ()≡0 ത ଴ ≤ ≤ തଵ

଴ ଵ

∎

Apliquemos ahora el lema 2 para simplificar la condición necesaria ( I ), obtenida anteriormente, de extremo del funcional inicial con el que comenzamos esta sección, Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

18

௫න భ ൬ ௬ − ௬ ൰ ௫బ ቀ ௬ − ௗ௫ௗ ௬ ቁ

=0

′

Todas las condiciones del lema se cumplen: en la curva que realiza el extremo, el factor es una ′ es función continua, y la variación función arbitraria a la cual se ha impuesto sólo limitaciones de carácter general, ya previstas en el lema fundamental. Por lo tanto, en la curva ′ que realiza el extremo del funcional considerado, es decir, es solución de la ecuación diferencial de segundo orden

= ()

௬ − ௗ௫ௗ ௬ ≡0

௬ − ௬ =0 ௬ ቀ , ( ), ( )ቁ =0 , ∀ ∈( ଴, ଵ)

= ()

′

o también:

௬ ቀ , ( ),

′

( )ቁ − ௬ − ௫௬ − ௬௬ − ௬ ௬ =0 ′

′

o bien de la forma desarrollada:

′

′

′

′′

′ ′

Esta ecuación se denomina Ecuación de Euler, publicada por primera vez por Euler en 1744. La ecuación de Euler juega un papel fundamental en el cálculo de variaciones. Las curvas integrales de la ecuación de Euler se llaman extremales. Sólo en las extremales puede alcanzarse un extremo del funcional:

= ( , ଵ, ଶ)

௫ భ ሾ()ሿ =න௫బ

ቀ , ( ) , ( )ቁ ′

Para hallar la curva que realiza un extremo del funcional, se integra la ecuación de Euler y se determinan las dos constantes arbitrarias, que figuran en la solución general de esta ecuación, de las condiciones de frontera . Sólo en las extremales que satisfacen estas condiciones se puede realizar un extremo del funcional.

( ଴) =

଴, ( ଵ)= ଵ

Recordemos que el problema de la frontera:

௬ − ௬ =0, ( ଴) = ଴, ( ଵ) = ଵ ′

no siempre tiene solución, y si existe, puede no ser única. A continuación veremos un par de problemas variacionales donde la existencia de la solución es evidente en el sentido físico o geométrico del problema, y si la ecuación de Euler que satisface las condiciones de frontera es única, esta única extremal será la solución del problema variacional considerado.


19

Ejemplo 1. Veamos en qué curvas puede alcanzar su extremo el funcional:

గ ሾ()ሿ =නቂ൫଴ଶ ൯ଶ − ଶቃ

, (0) =0,ቀ2ቁ=1 ? + 6 = 0 = =0 ଵଶ cos=1 + ଶ ଵ = ∎ ଵ ሾ()ሿ=නቂ൫଴ ൯ଶ −12 ቃ , (0)=0, (1)=1 ? ଷ+ + =0 = =0 =0 ଵ+ଶ ଵ ଶ = ∎ ′

Solución. La ecuación de Euler tiene la forma:

donde . Utilizando las condiciones de frontera, se obtiene que , por lo tanto, el extremo puede alzarse sólo en la curva . ′′

,

Ejemplo 2. Veamos en qué curvas puede alcanzar su extremo el funcional: ′

Solución. La ecuación de Euler tiene la forma:

donde . Utilizando las condiciones de frontera, se obtiene que , por lo tanto, el extremo puede alzarse sólo en la curva . ′′

,

En estos dos ejemplos la ecuación de Euler fue integrada fácilmente; pero esto no siempre ocurre, puesto que las ecuaciones diferenciales de segundo orden se integran de forma finita, solo en casos excepcionales. A continuación veamos algunos casos simples de integración de la ecuación de Euler: 1) F no depende de ′:

=(,) ( ) , =0 ௬ ௬( , ) =0

௬ ≡0

La ecuación de Euler tiene la forma puesto que . La solución de la ecuación finita obtenida no contiene elementos arbitrarios y, por esto, en general no satisface las condiciones de frontera

( ଴) = ଴ ( ଵ ) = ଵ .

௬( , ) =0

Por lo tanto, la solución del problema variacional considerado en general no existe. Sólo en casos excepcionales, cuando la curva pasa por los puntos frontera , existe una curva en la que se puede alcanzar un extremo.

( ଴, ଴) ( ଵ, ଵ)

2) F depende de ′ en forma lineal:

൫ , , ൯= ( , ) + ( , ) ௫ ሾ()ሿ =න௫బభ ൤ ( , ) + ( , ) ൨ ′

′


20

La ecuación de Euler tiene la forma:

+ − ( , )=0 ′

ó

+ − − =0 − =0 ′

o bien:

′

pero ésta, al igual que en el caso anterior, de nuevo es una ecuación finita y no diferencial. La curva no satisface, en general, las condiciones de frontera. Por lo tanto, el problema variacional, por regla general, no tiene solución en la clase de funciones continuas. Si, en cambio,

డడ௬ − డడ௫ =0

− ≡0

la expresión

+ ௫ ௫ భ భ ሾ()ሿ =න௫బ ൤ + ൨ =න௫బ ሾ + ሿ es una diferencial total, entonces:

no depende del camino de integración con lo que el valor del funcional es constante en las curvas admisibles. Por tanto el problema variacional pierde el sentido. 3) F depende sólo de ′:

=() =0, = = ௬ ௬ ௬ ௫௬ =0 ௬ ௬ =0 =0 ௬௬ =0 = ଵ + ଶ ൫ ൯=0 = ௬ ௬ =௜+ =ଵ+ଶ ′

La ecuación de Euler tiene la forma ′ ′ ′′ puesto que ′ . De aquí se obtiene que ′′ , o bien, ′ ′ . Si ′′ , ′ entonces , que es una familia biparamétricas de líneas rectas. ′ Si la ecuación tiene una o varias raíces reales ′ , ′ ′ entonces , y obtenemos una familia monoparamétrica de rectas contenida en la familia biparamétrica obtenida Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

21

=()

=ଵ+ଶ

anteriormente. De esta forma, en el caso posibles son extremales.

′

todas las líneas rectas

4) F depende sólo de x e ′:

= (, ) ௗௗ௫ ௬ ൫ , ൯=0 ௬൫ , ൫ ൯=, ൯= ଵ ଵ ௬ ′

La ecuación de Euler toma la forma

′

, y por lo tanto, tiene

′

′ la primera integral ′ . Además, como la ecuación de primer ′ orden obtenida ′ no contiene a , ésta puede integrarse o bien resolviéndola directamente respecto a ′ e integrando, o bien introduciendo un parámetro escogido en forma adecuada.

5) F depende sólo de e ′:

= (, ) − − =0, ௬ ௬௬ ௬ ௬ ௫௬ =0 ௗௗ௫ ( − ௬ ) ൫ − ௬ ൯== ൫௬ ௬ −+ ௬ −− ௬௬௬ᇲ௬ᇲ ଶᇱ−൯. ௬௬ ௬௬ − ᇱ ௬ᇱ = ଵ ′ ′

′ ′′ La ecuación de Euler tiene la forma puesto que ′ ′ ′ . Si se multiplica esta ecuación miembro a miembro por ′, ′ entonces, como no es difícil comprobar, el primer miembro se ′ transforma en la derivada exacta ′ . En efecto, ′

′

′

′

′′

′

′

′

′

′

′ ′′

′

Por consiguiente, la ecuación de Euler tiene la primera integral:

además, como esta ecuación de primer orden no contiene explícitamente a x, puede ser integrada resolviéndola con respecto a y separando variables, o introduciendo un parámetro. Para obtener las condiciones necesarias de extremo del funcional de tipo más general:

௫ ሾ ଵ, ଶ, ଷ, … , ௡ሿ=න௫బభ ( , ଵ, ଶ, … , ଵᇱ, ଶᇱ, … , ௡ᇱ)

con condiciones de frontera dadas para todas las funciones:


22

ଵ( ଴)= ଵ଴, ଶ( ଴)= ଶ଴, … ……………………, ௡( ଴)= ௡଴ ଵ( ଵ)= ଵଵ, ଶ( ଵ)= ଶଵ, … ……………………, ௡( ଵ)= ௡ଵ ௝( ) (=1,2…,)

variaremos sólo una de las funciones:

dejando las demás invariables.

ሾ ଵ , ଶ , ଷ , … , ௡ ሿ ௜ ( ), ሾ ଵ, ଶ, ଷ, … , ௡ሿ =෤ሾ ௜ሿ

Entonces el funcional se transforma en un funcional que depende sólo de una función variable, por ejemplo, de

del tipo considerado en el apartado anterior.

Por tanto, la función que realiza el extremo debe satisfacer la ecuación de Euler:

௬೔ − ௬೔ᇲ =0

௜ (=1,2,…)

Como este razonamiento es aplicable a cualquier función obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden:

௬೔ − ௬೔ᇲ =0

(=1,2,…,)

, ଵ, ଶ, … , ௡ ( ) ( ) ௫ ሾ ( ), ( )ሿ =න௫బభ ( , , , ᇱ, ᇱ) ; ( ଴) = ଴, ( ଴) = ଴ ( ଵ) = ଵ ( ଵ) = ଵ = ( ), = ( )

, se

que determinan, en general, una familia dependiente de 2n parámetros de curvas integrales en el espacio , que es la familia de extremales del problema variacional dado. Si, en particular, el funcional depende sólo de dos funciones

o sea, se determina eligiendo la curva alabeada observamos en el siguiente gráfico:

y

:

, tal y como


23

()

( ), = ()

Entonces variando sólo y fijando cambiamos nuestra curva de tal modo que su proyección en el plano xOz no varía, es decir, la curva permanece todo el tiempo en el cilindro de proyección como podemos observar:

()

() = () ௬ − ௬ᇱ =0 ௭ − ௭ᇱ =0 గ ሾ()ሿ =න଴ଶሾ( ᇱ)ଶ + ( ᇱ)ଶ +2 ሿ , (0) =0,ቀ2ቁ=1, (0) =0,ቀ2ቁ=−1 ᇱᇱ − =0 − =0

Análogamente, fijando y variando , variamos la curva de modo que ésta permanezca todo el tiempo en el cilindro de proyección . Entonces obtenemos un sistema de dos ecuaciones de Euler:

Ejemplo 3. Hallar los extremales del funcional:

Solución. El sistema de ecuaciones diferenciales de Euler tiene la forma:


24

௜௩ − =0 = ଵ ௫ + ଶ௫ ି௫ + ି௫ଷ cos + ସ = ଵ + ଶ − ଷ cos − ସ ଵ =0 ଶ =0 ଷ =0 ସ =1

Despejando por ejemplo, z, de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene que integrando esta ecuación lineal con coeficientes constantes tendremos que:

=′

Como entonces . Utilizando las condiciones de frontera, que se exponen en el enunciado, se halla que:

= , =− ௫ భ ሾ ଵ, ଶ, ଷ, … , ௡ሿ=න௫బ ൫ , ( ), ᇱ( ),…, (௡)( )൯ +2 (௡(௡ଵିଵି)() ଴) = ଴(௡(௡ଵିଵି)) (( ଵ଴))== ଵ଴, , ′(′(଴ଵ))== ଴ᇱଵ,ᇱ…, ………………………, ……………………, ( ଵ) = ଵ (−1) = ( ) =ത() ( ) ( ) , = + ሾത(=1)−( (, ))ሿ=ത( ) ( , )= ( )+ =0 ( ሾ, ()=)ሿ ( ) = (, ) ௗௗ௫ ሾ ( , ) ሿ =0 =0,: ௫ భ =ቈ න௫బ ൫ , ௫భ( , ), ᇱ( ,),…, (௡)( , ) ൯ ቉ =0 =න௫బ ( ௬ + ௬ᇲ ᇱ + ௬ᇲ ᇱ +⋯+ ௬(೙) (௡)) ௫න భ ௬ᇱ ᇱ =ൣ ௬ᇲ ൧ ଵ −න௫భ ௬ᇱ ଴ ௫బ ௫బ Y por lo tanto

.

■

Analicemos el extremo del funcional:

donde la función F se considera derivable veces con respecto a todos los argumentos y supondremos que las condiciones de frontera tienen la forma:

Es decir, en los puntos frontera están dados los valores no sólo de las funciones, sino también de sus derivadas hasta de orden inclusive. Supongamos que el extremo se alcanza en la curva , derivable 2n veces. Sea la ecuación de cierta curva de comparación, también derivable 2n veces.

Consideramos la función monoparamétrica de funciones , o bien, . Para , ; para , . Si consideramos el valor del funcional sólo en las curvas de la familia , entonces ésta se transforma en una función del parámetro , la cual alcanza su extremo para . Por lo tanto, restringido a vale 0. Esta derivada se llama variación del funcional y se designa por

Integramos por partes una vez el segundo sumando del segundo miembro:


25

el tercer sumando, dos veces:

௫න భ ௬ᇱᇱ ᇱ ௫బ

௫ ଶ భ ଵ ଵ =ൣ ௬ᇲ ′൧ ଴ −൤ ௬ᇱᇱ ൨ ଴ +න௫బ ଶ ௬ᇱᇱ

y así sucesivamente. El último sumando n veces, tenemos que:

௫න భ ௬(೙) (௡) =ൣ ௬(೙) (௡ଵି) ൧ ଵ −൤ ௬(௡) (௡ଶି) ൨ ଵ +⋯+ (−1)௡ ଴ ଴ ௫బ ௫ ௡ భ =න௫బ ௡ ௬(೙) = ᇱ = ᇱ =⋯= (௡ଵି) =0 = ଴ = ଵ ௫ ଶ ௡ భ ௡ =න௫బ ቆ ௬ − ௬ᇱ + ଶ ௬ᇱᇱ +⋯+(−1) ௡ ௬(೙)ቇ ௫ ଶ ௡ భ ௡ =න௫బ ቆ ௬ − ௬ᇱ + ଶ ௬ᇱᇱ +⋯+(−1) ௡ ௬(೙)ቇ =0

Tomando en cuenta las condiciones de frontera, en virtud de las cuales las variaciones para y para , obtenemos por último:

Como en la curva que realiza el extremo se tiene que:

= () ଶ ௡ ௡ ௬ − ௬ᇱ + ଶ ௬ᇱᇱ +⋯+ (−1) ௡ ௬(೙) ≡0 =௫భ ( ) ሾ ( )ሿ =න௫బ ൫ , ( ), ᇱ( ),…, (௡)( )൯ ଶ ௡ ௡ ௬ − ௬ᇱ + ଶ ௬ᇱᇱ +⋯+(−1) ௡ ௬(೙) =0

para funciones arbitrarias, y como el primer factor bajo el símbolo integral es función continua de x en la misma curva , entonces, debido al lema fundamental, el primer factor es idénticamente nulo:

De este modo, la función

, que realiza el extremo del funcional:

debe ser solución de la ecuación

Esta ecuación diferencial de orden 2n recibe el nombre de ecuación de EulerPoisson, y sus curvas integrales se denominan extremales del problema variacional considerado. La solución general de esta ecuación contiene 2n constantes arbitrarias, las cuales pueden ser, en general, determinadas a partir de las 2n condiciones de frontera: Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

26

( ଴)= ଴, ′( ଴)= ଴ᇱ, … ……………………, (௡ଵି )( ଴)= ଴(௡(௡ଵିଵି)) ( ଵ) = ଵ, ′( ଵ) = ଵᇱ, … ……………………, (௡ଵି )( ଵ) = ଵ Ejemplo 4. Hallar la extremal del funcional:

ଵ ሾ()ሿ =න଴ (1 + ᇱ ଶ)

, (0) =0,′(0) =1, (1) =1,′(1) =1 ௗௗ௫మమ (2 ᇱ ) =0 ó ௜௩ =0 = ଵ ଷ+ ଶ ଶ+ ଷ + ସ ଵ =0 ଶ =0 ଷ =1 ସ =0 =

Solución. La ecuación de Euler-Poisson tiene la forma

su solución general es frontera, obtenemos:

. Utilizando las condiciones de

De esta manera, el extremo puede alcanzarse sólo en la recta

.

■

Ejemplo 5. Determinar la extremal del funcional:

గ ሾ()ሿ =න଴ଶሾ ᇱ ଶ − ଶ + ଶሿ , (0) =1,′(0) =0,ቀ2ቁ=0,ቀ2ቁ=−1 ௜ ௩ − =0 ௫ ି௫ = ଵ + ଶ + ଷ cos + ସ ଵ =0 ଶ =0 ଷ =1 ସ =0

Solución. La ecuación de Euler-Poisson tiene la forma

su solución . Utilizando las condiciones de

general es frontera, obtenemos:

De esta manera, el extremo puede alcanzarse sólo en la recta

=cos

.

■

Veamos que ocurre cuando el funcional tiene la forma:

௫ భ ሾ ( ), ( )ሿ =න௫బ ൫ , , ᇱ, … , (௡), , ᇱ, … , (௠)൯

( ) ( ) () ଶ ௡ ௡ ௬ − ௬ᇱ + ଶ ௬ᇱᇱ +⋯+ (−1) ௡ ௬(೙) =0; () ()

;

variando sólo y considerando fija, se halla que las funciones que realizan el extremo deben satisfacer la ecuación de Euler-Poisson:

Variando y considerando deben satisfacer la ecuación:

()

y

fija, obtenemos que las mismas funciones


27

ଶ ௠ − 1) ௭ − ௭ᇱ + ଶ ௭ᇱᇱ +⋯+( () () ଶ ௬ − ௬ᇱ + ଶ ௬ᇱᇱ +⋯+(−1)௡ ଶ ௭ − ௭ᇱ + ଶ ௭ᇱᇱ +⋯+ (−1)௠

De esta manera las funciones ecuaciones:

e

௠௠ ௭(೘) =0; ௡௡ ௬(೙) =0; ௠௠ ௭(೘) =0;

deben satisfacer el sistema de

De forma completamente análoga se puede razonar también al analizar el extremo de un funcional que depende de un número arbitrario de funciones:

௫ భ ሾ ଵ, ଶ, … , ௠ሿ =න௫బ ቀ , ଵ, ଵᇱ, … , ଵ(௡భ), ଶ, ଶᇱ, … , ଶ(௡మ), … , ௠, ௠ᇱ, … , ௠(௡೘)ቁ ௜( ) ௡ ௡ −௬೔ ௬೔ᇲ +⋯+ (−1) ೔ ௡೔೔ ௬೔(೙೔) =0 ( =1,2, … , )

;

Variando sólo alguna y considerando invariables las demás, obtenemos la condición necesaria fundamental de extremo en la forma:

2.1 Funciones que dependen de funciones de varias variables independientes. Analicemos el extremo del funcional

ሾ ( , )ሿ =ඵ஽ ൬ , , , , ൰ ; ( , ) ̅

Además en la frontera C de la región D los valores de la función están dados, es decir, está dado un contorno alabeado , por el cual deben pasar todas las superficies admisibles, tal y como vemos en la siguiente figura:

డ௭డ௫ = డ௬డ௭ = =(,)

Para abreviar la escritura, designamos considerará derivable tres veces. La superficie extremo, se supondrá derivable dos veces.

,

. La función F se , en la cual se realiza el


28

==0( , , ) = ( , )=+ ( , ) = ̅( , ) − ( , ), =1 = ̅( , ) (,,) డ௭డఈ ሾ ( , ) ሿ =0 =0 =0 ሾ ( , , ) ሿ =0 , ሾ ( , )ሿ =ቐ ඵ஽ ( , , ( , , ), ( , , ), ( , , ) ቑ =0 =ඵሾ஽ ௭ + ௣ + ௤ ሿ ( )= ( )+ , , , ( , , ) = (( ,, ,, )) = ( , ) + ( , , )= = ( , )+

Consideramos nuevamente la familia monoparamétrica de superficies , siendo que contiene, cuando , la superficie , en la cual se realiza el extremo y, para , cierta superficie admisible . En las funciones de la familia , el funcional se transforma en una función de , la cual debe tener un extremo cuando ; por lo tanto . Llamando variación del funcional a la derivada de con respecto a cuando , designándola por tendremos que:

Donde

Como

൛ ௣ ൟ= ൛ ௣ൟ + ௣ ൛ ௤ ൟ= ൛ ௤ൟ + ௤

Entonces

ඵ(஽ ௣ + ௤ ) =ඵ൤ ൛ ൟ+ ൛ ൟ ൨ −ඵ൤ ൛ ൟ+ ൛ ൟ ൨ ௣ ௤ ௣ ௤ ஽ డడ௫ ൛ ௣ൟ ஽ ,, ൛ ௣ൟ= ௣௫ + ௣௭ + ௣௣ + ௣௤

donde

es la llamada derivada parcial completa o total con respecto a x.

Al calcularla, se considera fija, pero la dependencia de cuenta:

de x se toma en

y análogamente:


29

൛ ௤ൟ= ௤௫ + ௤௭ + ௤௣ + ௤௤ En virtud de la fórmula de Green:

ඵ൤஽ + ൨ =ඵ(஼ − )

se obtiene

=0 ̅

ඵ൤஽ ൛ ௣ ൟ+ ൛ ௤ ൟ൨ =න൫஼ ௣ − ௤ ൯ =0

La última integral es igual a cero, debido a que en el contorno C, la variación , puesto que todas las superficies admisibles pasan por el mismo contorno alabeado . Por lo tanto:

ඵሾ஽ ௭ + ௤ ሿ =−ඵ൤஽ ൛ ௣ൟ+ ൛ ௤ൟ൨

y la condición necesaria de extremo:

toma la forma:

ඵሾ஽ ௭ + ௣ + ௤ ሿ =0 ඵ൬஽ ௭ − ൛ ௣ൟ− { ௤}൰ =0

Como la variación es arbitraria (a se le imponen limitaciones sólo de carácter general con respecto a la continuidad y a la derivabilidad, anulación en el contorno C, etc.) y el primer factor es continuo por el lema fundamental enunciado anteriormente, en la superficie que realiza el extremo será:

Por consiguiente,

=(,) ௭ − ൛ ௣ൟ− { ௤}≡0 =(,) ௭ − ൛ ௣ൟ− ൛ ௤ൟ=0

es solución de la ecuación:


30

(, )

Esta ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales, a la cual debe satisfacer la función que realiza el extremo, lleva el nombre de ecuación de Ostrogradski, en honor al eminente matemático ruso M.V.Ostrogradski, quien la obtuvo por primera vez en el año 1834; sin embargo, para las regiones D rectangulares se encontraba ya en los trabajos de L. Euler. Dado el funcional de la siguiente forma:

ሾ ( ଵ, ଶ, … , ௡)ሿ =ඵ… …න ( ଵ, ଶ, … , ௡, , ଵ, ଶ, … , ௡) ଵ ଶ … ௡, =0 ௜ = డ௫డ௭೔ ௡ ௭ −෍௜ୀଵ ௜ ൛ ௣೔ൟ=0 = ( ଵ, ଶ, … , ௡ ) . ଶ ଶ ଶ ሾ ( , )ሿ =ඵ஽ ( , , , , , ଶ , , ଶ)

donde en base a la condición necesaria fundamental de extremo , se obtiene, en forma completamente análoga, la siguiente ecuación de Ostragradski:

a la cual debe satisfacer la función:

que realiza el extremo del funcional Por ejemplo, para el funcional:

se obtiene la ecuación

donde

ଶ ଶ ଶ ௭ − ൛ ௣ൟ− ൛ ௤ൟ+ ଶ { ௥} + { ௦} + ଶ { ௧} =0 ଶ ଶ ଶ = ; = ; = ଶ; = ; = ଶ

La función que realiza el extremo del funcional ecuación de cuarto orden en derivadas parciales.

debe satisfacer esta

Por ejemplo, para el funcional:

ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ =නන൥ቆ ቇ +ቆ ቇ +2 ቆ ቇ ൩ ଶ ଶ ஽ Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

31

La función z que realiza el extremo debe satisfacer la llamada ecuación biarmónica

ସ ସ +2 ଶସ ଶ + ସ ସ

∆∆=0. ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ =නන൥ቆ ቇ +ቆ ቇ +2 ቆ ቇ −2 ( , ) ൩ ଶ ଶ ஽

Que habitualmente se escribe en forma compacta así: Para el funcional

(, )

La función z(x,y) que realiza el extremo debe satisfacer la ecuación . Los problemas sobre el extremo funcional

ଶ ଶ ଶ =නන቎൭ቆ ቇ +ቆ ቇ ൱ ቏ ଶ ଶ ஽ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ =නන൝ቆ + ቇ −2( 1 − )൥ −ቆ ቇ ൩ ൡ ଶ ଶ ଶ ଶ ஽

∆∆ =

o del funcional de forma más general

donde es un parámetro, se reducen también a la ecuación biarmónica.


32

3. Condiciones suficientes de extremo.

( , )= ( , ) ( , ) (, )

Si en el plano por cada punto de cierta región pasa una y sólo una curva de la familia , se dice que esta familia de curvas forma un campo en la región , o, más exactamente, un campo propio. El coeficiente angular de la tangente a la curva de la familia que pasa por el punto se llama inclinación (o declive) del campo en el punto

= ( , ) ( , ). = + ( , ) =1

Por ejemplo, las rectas paralelas forman un campo dentro del 2 2 círculo x + y ≤ 1 (Figura 1) y su inclinación es . Por el contrario, la familia de parábolas y = ( x − a) 2 − 1 (Figura 2) no forma un campo dentro del mismo círculo, debido a que en su interior las parábolas de la familia considerada se cortan.

Figura 1

=(,)

Si todas las curvas de la familia pasan por cierto punto ( x0 , y 0 ) , es decir, forman un haz de curvas, entonces éstas con seguridad no forman un campo propio en la región si el centro del haz pertenece a ésta. Sin embargo, si las curvas del haz cubren toda la región y se cortan en su interior sólo en el centro del haz, es decir, se cumplen las condiciones impuestas al campo en todos los puntos distintos del centro del haz, se die que la familia forma también un campo, llamado en este caso central, a diferencia del campo propio (Figura 3).

=(,)

Figura 2 Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

33

Por ejemplo, el haz de sinusoides y = Csen ( x ) forma un campo central para 0 ≤ x ≤ a , a ≤ π (Figura 4). El mismo haz de sinusoides forma un campo propio en un entrono suficientemente pequeño del segmento δ ≤ x ≤ a del eje de las abscisas, donde δ > 0 , a < π (Figura 4). El mismo haz de sinusoides no forma un campo en un entorno del segmento 0 ≤ x ≤ a1 , a1 > π , del eje de las abscisas (Figura 4). Si un campo central o propio está formado por una familia de extremales de cierto problema variacional, se llama campo de extremales. El concepto de campo se generaliza casi sin modificaciones también al caso de un espacio de cualquier dimensión. La familia yi = yi ( x, C 1 ,..., C n ) (i = 1,2,..., n) forma un campo en la región D del espacio x, y1 ,..., y n .

Figura 3

Figura 4

si por cada punto de dicha región pasa una y sólo una curva de la familia yi = y i ( x, C 1 ,..., C n ) . Se llaman funciones de inclinación del campo pi = ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) (i = 1,2,..., n ) a las derivadas parciales de las funciones yi = y i ( x, C 1 ,..., C n ) con respecto a x, calculadas en el punto ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) ; por consiguiente, para obtener y sustituir

pi = ( x, y1 , y 2 ,..., y n )

hay que tomar

∂ ∂ x

y i ( x, C 1 ,..., C n )

por sus expresiones mediante las coordenadas x, y1 , y 2 ,..., y n . En forma análoga se define también el campo central. (C 1 ,..., C n )

Supongamos que la curva y = y ( x ) es extremal del problema variacional sobre el extremo del funcional simple x1

v[ y ( x)] =

∫ F ( x, y, y' )dx

x 0

con puntos frontera A( xo , y 0 ) y B( x1 , y1 ) fijos. Se dice que la extremal y = y ( x ) está incluida en un campo de extremales, si ha sido dada una familia de extremales y = y ( x, C ) que forma un campo, Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

34

Figura 5

Figura 6

contiene a la extremal y = y ( x ) para cierto valor C = C 0 y dicha extremal no pertenece a la frontera de la región D en la cual la familia y = y ( x, C ) forma un campo (Figura 5). Si el haz de extremales con centro en el punto A( xo , y 0 ) forma un campo en un entrono de la extremal y = y ( x) , que pasa por este punto, entonces con esto se halla un campo central que contiene a la extremal dada y = y ( x ) . Como parámetro de la familia se puede tomar en este caso el coeficiente angular de la tangente a las curvas del haz en el punto A( xo , y 0 ) (Figura 6).

Ejemplo 6. Se da el funcional a

∫ ( y'

2

− y 2 )dx

0

se pide incluir el segmento de la extremal y = 0 que une los puntos (0, 0) y (a, 0), donde 0 < a < π , en un campo central de extremales. Solución. La solución general de la ecuación de Euler y ' '+ y = 0 tiene la forma y = C 1 cos( x) + C 2 sen( x) . De la condición de que las extremales pasen por el punto (0, 0) se obtiene C 1 = 0 , y = C 2 sen( x) ; las curvas de este haz forman un campo central en el segmento 0 ≤ x ≤ a , a < π que incluye la extremal y = 0 para C 2 = 0 . El parámetro C 2 de la familia es igual a la derivada y x en el punto

(0, 0). Si en este mismo problema fuera formaría campo.

a ≥ π ,

la familia y = C 2 sen( x) no ■

Es sabido que dos curvas infinitamente cercanas de la familia F ( x, y , C ) = 0 se cortan en los puntos de la curva C-discriminante, la cual se determina por las ecuaciones Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

35

F ( x, y , C ) = 0

∂F ∂C

=0

Figura 7 Recordemos que en la curva C-discriminante se incluyen, en particular, la envolvente de la familia y los lugares geométricos de los puntos múltiples de las curvas de dicha familia. Si F ( x, y , C ) = 0 es la ecuación de un haz de curvas, se centro pertenece también a la curva C-discriminante. Por esto, si se toma un haz de extremales y = y ( x, C ) que pasan por el punto ( x0 , y 0 ) y se determina su curva C-discriminante Φ ( x, y ) = 0 . En particular, las curvas de este familia próximas a la extremal considerada y = y ( x ) , que pasa por los puntos A( xo , y 0 ) y B( x1 , y1 ) , se cortarán en puntos cercanos a los puntos de tangencia (o de intersección) de la curva y = y ( x ) con la curva C-discriminante (véase la Figura 7, en donde la curva C-discriminante está representada por una línea gruesa). Si el arco AB de la extremal y = y ( x ) no tiene puntos comunes diferentes de A con la curva C-discriminante del haz de extremales que incluye a la extremal dada, entonces las extremales del haz suficientemente próximas al arco AB no se cortan, es decir, forman un campo central que incluye al arco AB en un entorno de este arco (Figura 8).

Figura 8 Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

36

Si el arco de la extremal y = y ( x ) tiene un punto común A* , diferente del punto , con la curva C-discriminante del haz y = y ( x, C ) entonces las curvas del haz próximas a y = y ( x) pueden cortarse entre sí y con la curva y = y ( x ) en las proximidades del punto A* se llama conjugado del punto . El resultado obtenido se puede enunciar así: para construir un campo central de extremales con centro en el punto que contenga el arco de la extremal, es suficiente que el punto A* conjugado del no pertenezca al arco . Esta condición de la posibilidad de la construcción de un campo de extremales que incluya a la extremal dada se llama condición de Jacobi. No es difícil formular esta condición también en forma analítica. Sea y = y ( x, C ) la ecuación del haz de extremales con centro en el punto ; el parámetro se puede considerar, para fijar ideas que coincide con el coeficiente angular y’ de las extremales del haz en el punto . La curva C-discriminante se determina por las ecuaciones ∂ y ( x, C )

y = y ( x, C );

∂C

=0

A lo largo de cada curva fija de la familia la derivada función sólo de u=

∂ y ( x, C )

∂C y = y ( x, C )

∂ y ( x, C ) ∂C

. Denotaremos abreviadamente por

=0

es una

dicha función:

2

, donde

está dado; de aquí

u ' x =

∂ y ( x, C ) . ∂C ∂ x

Las funciones

son soluciones de la ecuación de Euler por lo tanto, F y ( x, y ( x, C ), y ' x ( x, C )) −

d dx

F y ( x, y( x, C ), y ' x ( x, C )) ≡ 0 .

Derivando esta identidad con respecto a y haciendo F yy u + F yy ' u '−

d dx

∂ y ( x, C ) = u , se obtiene ∂C

( F yy u + F y ' y ' u ' ) = 0 ,

o bien ( F yy u −

d dx

F yy ' )u −

d dx

( F y ' y ' u ' ) = 0 .

Aquí F yy ( x, y , y ' ) , F yy ' ( x, y , y ' ) y F y ' y ' ( x, y , y ' ) son funciones conocidas de , debido a que el segundo argumento y es igual a la solución y = y ( x, C ) de la ecuación de Euler, tomada para el valor C = C 0 que corresponde a la extremal . Esta ecuación lineal homogénea de segundo orden con respecto a u se llama ecuación de Jacobi. Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

37

Si la solución

u=

∂ y ( x, C ) ∂C

de este ecuación que se anula en el centro del haz

para x = x0 (el centro del haz siempre pertenece a la curva C-discriminante) se anula también en algún otro punto del intervalo x0 < x < x1 , entonces el punto conjugado de , que se determina por las ecuaciones y = y ( x, C 0 )

y

∂ y ( x, C ) =0 ∂C

o bien u = 0 ,

Pertenece al arco de la extremal. Si, en cambio, existe una solución de la ecuación de Jacobi que se anule para x = x0 y no se anule en ningún otro punto del segmento x0 ≤ x ≤ x1 , entonces no hay puntos conjugados de en el arco ; la condición de Jacobi se cumple y se puede incluir el arco de la extremal en un campo central de extremales con centro en el punto . Observación. Se puede demostrar que la condición de Jacobi es necesaria para

que se alcance un extremo, es decir, para la curva que realiza un extremo el punto conjugado de no puede estar en el intervalo x0 < x < x1 .


38

4. Condición de Legendre 4.1.Condición necesaria de Legendre para la realización de un mínimo de un funcional del tipo variacional. La condición necesaria para la realización de un mínimo de un funcional del tipo variacional

௫ భ ሾ()ሿ=න௫బ ൫ , ( ), ᇱ( )൯

con condición de frontera fija, y ( x0 ) = y 0 y y ( x1 ) = y1 , es la condición de Legendre F y ' y ' ( x , y ( x ), y ' ( x )) ≥ 0 para todo x ∈ ( x 0 , x1 )

Legendre, en analogía al caso de dimensión finita, intentó demostrar, sin éxito, que una condición suficiente para que v tenga un mínimo en y es que satisfaga la desigualdad estricta F y ' y ' ( x , y ( x ), y ' ( x )) > 0

para todo x ∈ ( x0 , x1 )

Ahora, hallamos la siguiente expresión para la segunda variación

δ y2 v (u ) =

1 2

x1

∫

x0

  d  2 2    F yy − F yy ' u + F y ' y ' u ' dx dx    

con u ∈ C 01 ([ x0 , x1 ]) . Por brevedad, la escribimos como δ y2 F (u ) =

1

x1

(Pu ' ∫ 2 x 0

2

+ Qu

2

)dx

La idea de Legendre fue escribir esta expresión en la forma δ y2 F (u ) =

1

x1

(Pu ' ∫ 2 x 0

2

+ 2 wuu '+ (Q + w ' )u 2 )dx

(5)

siendo w una función derivable arbitraria, y donde hemos usado la relación


39

0=

x1

d

x1

∫ dx (wu ) = ∫ (w ' u x 0

2

2

x 0

+ 2 wuu ')dx

puesto que u ( x 0 ) = u ( x1 ) = 0 . Seguidamente, observó que la condición F y ' y ' > 0 sería suficiente si se pudiera encontrar una función w para la que el integrando de (5) fuera un cuadrado perfecto. Sin embargo, esto no es siempre posible, como el mismo Legendre demostró, puesto que w debería satisfacer la ecuación P (Q + w') = w 2

que no posee, necesariamente, una solución global en todo el intervalo ( x 0 , x1 ) (Por ejemplo, si P = −1 y Q = 1 , la solución viene dada por w( x ) = tan(c − x ) . Si x1 − x 0 > π , no hay solución en todo el intervalo ( x 0 , x1 ) , puesto que tan (c − x ) se hace infinita en algún punto de dicho intervalo). Legendre concluyó que condiciones de tipo local como la ecuación de Euler o la condición estricta de Legendre no podían ser las únicas condiciones suficientes para la realización de un mínimo.

4.2

Condición suficiente de Legendre de inclusión de un extremal de un funcional en un campo de extremales.

La condición suficiente de inclusión de un extremal de un funcional

௫ ሾ()ሿ =න௫బభ ൫ , ( ), ᇱ( )൯

con condición de frontera fija, y ( x0 ) = y 0 y y ( x1 ) = y1 en un campo de extremales es el cumplimiento de la condición reforzada de Legendre F y ' y ' ( x , y ( x ), y ' ( x )) > 0

en todos los puntos de la extremal considerada (es decir,para todo

x ∈ ( x0 , x1 )

)

Ejemplo 7. Mostrar que la extremal del problema variacional

ଶ ሾ()ሿ =න଴ ( ′ସ + ′ଶ)

con condición de frontera y (0 ) = 1, y(2 ) = 5 se puede incluir en un campo de extremales.


40

Solución. Las extremales son las rectas y = C 1 x + C 2 . La extremal que satisface la condición de contorno dadas es la recta y = 2 x + 1. En este caso 2

F y ' y ' = 12 y ' + 2

y en todos los puntos de la extremal

y = 2 x +1 tenemos

F y ' y ' = 50 > 0 .

La condición reforzada de Legendre se cumple y, por tanto, la y = 2 x +1 puede ser incluida en un campo de extremales. extremal Esto se ve sin necesidad de realizar cálculos. La extremal y = 2 x +1 pertenece a la familia uniparamétrica de extremales y = 2x + α , donde α es un parámetro, las cuales forman un campo propio. ■


41

5. Condición de Jacobi 5.1. Condición necesaria de Jacobi. En esta sección estudiaremos las condiciones bajo las cuales el funcional G (u ) =

x1

∫ (Pu '

2

x0

+Qu 2 )dx

(6)

definido para u ∈ C 01 ([ x0 , x1 ]) , es definido positivo. Se puede observar, que en relación con la función lagrangiana del problema de optimización se obtiene este mismo funcional, en concreto P=

1 2

Q=

F y ' y ' ,

d 1    F yy − F y ' y '  dx 2  

De momento estudiaremos la positividad del funcional (6) como un problema independiente. Una condición necesaria para la no negatividad del funcional (6) es que P( x ) ≥ 0

para todo x ∈ ( x0 , x1 ) .

En esta sección asumiremos la condición P( x ) > 0

para todo x ∈ ( x 0 , x1 ) .

y buscaremos bu scaremos condiciones necesarias y suficientes su ficientes para par a que dicho funcional f uncional sea definido positivo. Comenzamos escribiendo la ecuación de Euler asociada al funcional (6): −

d dx

(Pu') + Qu = 0

(7)

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Las condiciones de frontera son u ( x 0 ) = u ( x1 ) = 0 . Este problema tiene la solución trivial u ≡ 0 . Sin embargo, también puede tener soluciones no triviales (Por ejemplo, para P = Q = 1 , la función u ( x ) = Csex es solución del problema en el intervalo (0, π ) , para toda constante C ). En este contexto, se introduce la siguiente definición: Definición 3. Diremos que el punto x es un punto conjugado de x 0 si la

ecuación (7) tiene una solución que se anula en x 0 y x pero que no es idénticamente nula.


42

Observación. Si u es una solución no idénticamente nula de (7) entonces también lo será Cu , para cualquier C ≠ 0 . Hay varios criterios de

normalización que se pueden imponer para forzar la unidad de solución de este problema. Aquí asumiremos que u ' ( x0 ) = 1 , que es siempre posible eligiendo C adecuadamente. En efecto, si u ( x0 ) = 0 y v no es idénticamente nula entonces u ' ( x 0 ) no puede ser nulo, por el teorema de unicidad para la ecuación lineal (7).

Teorema 4. Supongamos que P ( x ) > 0 en [ x 0 , x1 ] y que no hay puntos

conjugados en dicho intervalo. Entonces el funcional cuadrático G (u ) =

x1

∫ (Pu ' +Qu )dx 2

2

x0

es definida positiva para toda u ∈ C 01 ([ x0 , x1 ]) . Demostración. Demostración. Para demostrar que el funcional G es definido positivo lo

reduciremos a la forma

x1

∫

x0

2

Pϕ dx

donde ϕ 2 es cierta expresión cuya anulación implica que u ≡ 0 . Para conseguir esto, comenzamos sumando a G la función cero expresada en la forma x1

d

x0

dx

∫

(wu )dx 2

A continuación, seleccionamos la función diferenciable w de modo que la expresión 2 2 Pu ' +Qu +

d dx

(wu ) = Pu ' 2

2

+2 wuu '+ (Q + w')u 2

(8)

sea un cuadrado perfecto. Esto será cierto si w es solución de P (Q + w') = w 2

(9)

ya que en tal caso (8) puede ser escrito como

 w  P u '+ u   P 

2

De este modo, si (9) tiene una solución definida en todo el intervalo [ x0 , x1 ], entonces G puede escribirse como Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

43

x1

∫

x0

2

 w  P u '+ u  dx  P 

(10)

y es, por tanto, definido positivo. De hecho, si (10) se anula, entonces debe ser u '+

w P

u≡0

puesto que, por hipótesis, es P( x ) > 0 en [ x0 , x1 ] . Pero esta ecuación de primer orden, con la condición u ( x0 ) = 0 tiene por única solución a u ≡ 0 . La demostración se reduce, pues, a comprobar que si no hay puntos conjugados de x 0 en el intervalo [ x 0 , x1 ] entonces la ecuación (9) tiene una solución global en [ x 0 , x1 ] . Esta ecuación diferencial, es una ecuación de Ricatti, que puede ser reducida a una ecuación lineal de segundo orden mediante el cambio w=−

z ' z

P

(11)

donde z es una nueva incógnita. Con este cambio (9) se transforma en −

d dx

(Pz ') + Qz = 0

(12)

que es, justamente, la ecuación de Euler de G . Ahora, puesto que no hay puntos conjugados en [ x 0 , x1 ] se sigue, por definición, que (12) tiene una solución que no se anula en [ x 0 , x1 ] . Por tanto, la ecuación (9) tiene una solución, dada por (11), definida en todo el intervalo [ x0 , x1 ] . ■

A continuación veremos que la condición de que no existan puntos conjugados de x 0 en el intervalo [ x 0 , x1 ] no es solo una condición suficiente sino también necesaria. Comenzamos con un lema que usaremos en la demostración. Lema 5. Si la función u satisface la ecuación

−

y las condiciones de frontera

d dx

(Pz ') + Qz = 0

u ( x0 ) = u ( x1 ) = 0

entonces Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

44

x1

∫ (Pu ' x0

2

+Qu 2 )dx = 0

Demostración. El lema es una consecuencia inmediata de la fórmula 0=

x1

∫

x0

x  d  2 2 ( ) ( )dx − + = + Pu Qu udx Pu Qu ' '   ∫ x  dx  1

0

que se obtiene por integración por partes y el uso de las condiciones de frontera. ■

Teorema 6. Supongamos que P( x ) > 0 para todo x 0 en el intervalo [ x 0 , x1 ] . Si

el funcional cuadrático G es definido positivo para toda u ∈ C 01 ([ x0 , x1 ]) entonces el intervalo [ x0 , x1 ] no posee puntos conjugados de x 0 . Demostración. La idea de la demostración es la de construir una familia de funcionales definidos positivos dependientes de un parámetro, t , tales que para t = 1 se reduce al funcional G , mientras que para t = 0 nos da el funcional

cuadrático x1

∫

x0

u ' 2 dx

el cual, claramente, no posee puntos conjugados de x0 en el intervalo [ x 0 , x1 ] . Entonces, demostraremos que cuando variamos el parámetro t en [0,1] , no pueden aparecer puntos conjugados en [ x 0 , x1 ] . Consideremos el funcional x1

∫ [t (Pu ' x0

2

+ Qu 2 ) + (1 − t )u ' 2 ]dx

(13)

es definido positivo para todo t ∈ [0,1] , puesto que G lo es por hipótesis. La ecuación de Euler correspondiente a este funcional es −

d dx

[(tP + (1 − t ))u '] + tQz

=0

(14)

Sea u ( x, t ) una solución de (14) tal que u ( x0 , t ) = 0 y u x ( x0 , t ) = 1 para todo t ∈ [0,1] . Esta solución depende con continuidad del parámetro t , que para t = 1 se reduce a la solución v de la ecuación (7) con las condiciones


45

u ( x0 ,1) = u( x1 ,1) = 0 ,

y para t = 0 se reduce a la solución de u' ' = 0 con las mismas condiciones de frontera, es decir, u ( x0 ,0) = x − x0 . Supongamos ahora que el intervalo [ x 0 , x1 ] contiene un punto x conjugado de x 0 . Necesariamente será x < x1 porque, si x = x1 , el lema anterior implica que existe una v no idénticamente nula tal que G (v ) = 0 , contradiciendo la hipótesis de positividad de G . Por tanto, la demostración se reduce a comprobar que no puede haber un punto conjugado, x , en el interior de [ x0 , x1 ] Para demostrarlo, consideremos el conjunto de puntos C = {( x, t ) ∈ [ x 0 x1 ]× [0,1] : u ( x, t ) = 0}

Si mostramos que en los puntos en los que u ( x, t ) = 0 no puede tenerse u x ( x 0 , t ) = 0 entonces podremos deducir el teorema de la función implícita que el conjunto C representa una curva diferenciable en el plano xt . Tenemos que, si u ( x*, t *) = 0 en algún ( x*, t *) entonces debe ser u x ( x*, t *) ≠ 0 ya que para cualquier t fijo u ( x, t ) satisface la ecuación (14), y si se tuviera u ( x*, t *) = u x ( x*, t *) = 0 entonces debería ser u ( x, t *) = 0 para todo x ∈ [ x 0 , x1 ] debido al teorema de unicidad para ecuaciones diferenciales lineales. Pero esto es imposible puesto que u x es una función continua en [ x0 , x1 ]× [0,1] y u x ( x 0 , t ) = 1 para todo t ∈ [0,1] . Tenemos entonces que el teorema de la función implícita nos asegura la existencia de una curva, x(t ) , tal que u ( x(t ), t ) = 0 en un entorno de cada punto de C . Por hipótesis, el punto ( x,1) pertenece a dicha curva. Partiendo de este punto tenemos que: A.

B.

C. D.

La curva no puede terminar en le interior de [ x 0 , x1 ]× [0,1], pues sería una condición de la dependencia continua de u ( x, t ) respecto del parámetro t . La curva no puede cortar el segmento { x = x1 , t ∈ [0,1]} , puesto que, por el mismo argumento que el del lema anterior, pero aplicado a la ecuación (14), las condiciones de frontera u ( x 0 , t ) = u ( x1 , t ) = 0 y el funcional (13), se tendría una contradicción de la positividad del funcional para todo t . La curva no puede cortar el segmento t = 1 , x ∈ [ x0 , x1 ] , puesto que tendríamos u ( x, t ) = u x ( x, t ) = 0 para algún ( x, t ) . La curva no puede cortar el segmento {t = 0, x ∈ [ x 0 , x1 ]} , puesto que para t = 0 la ecuación (14) se reduce a u' ' = 0 cuya solución sólo se anula en x = x0 . Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

46

E.

La curva no puede aproximarse al segmento { x = x0 , t ∈ [0,1]} puesto que tendríamos u x ( x 0 , t ) = 0 para algún t , contrario a nuestras hipótesis.

Podemos ver esto en la siguiente figura:

Se sigue que tal curva no puede existir, con lo que se concluye la demostración. ■

Si reemplazamos la condición de que el funcional G sea definido positivo por la de que sea no negativo obtenemos el siguiente resultado. Corolario 7. Si G(u ) , con P( x ) > 0 para todo x 0 en el intervalo [ x 0 , x1 ] , es

definido no negativo entonces el intervalo [ x0 , x1 ) no contiene puntos conjugados de x 0 . Demostración. La única diferencia con la demostración del teorema anterior

es que no podemos asegurar que el funcional auxiliar dado por (13) sea definido positivo en t = 1 . Así, no se puede excluir la posibilidad de que x = x1 .

■

Los teoremas anteriores se combinan en el siguiente enunciado. Teorema 8. El funcional cuadrático x1

∫ (Pu ' x0

2

+Qu 2 )dx

con P( x ) > 0 para todo x0 en el intervalo [ x0 , x1 ] , es definido positivo para toda 1 u ∈ C 0 ([ x0 , x1 ]) si y solo si el intervalo [ x 0 , x1 ] no contiene puntos conjugados en x 0 . Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

47

A continuación aplicaremos estos resultados al problema de optimización x1

J (u ) = ∫ L ( x , u ( x ), u ' ( x ))dx x

(15)

0

con las condiciones de frontera u ( x0 ) = u 0 y u ( x1 ) = u1 . Recordemos que la segunda variación de este funcional en un extremo viene dada por x1

∫ (Pv' x0

2

+Qv 2 )dx

(16)

con 1 P = Lu 'u ' , 2

Q=

d 1    Luu − Lu 'u '  2  dx 

Definición 9. La ecuación de Euler

−

d dx

(Pv') + Qv = 0

del funcional cuadrático (16) es llamada ecuación de Jacobi del funcional original dado por (15). Definición 10. Se dice que el punto x es conjugado de x 0 con respecto al

funcional (15) si es el conjugado de x 0 con respecto al funcional cuadrático (16). A continuación enunciamos la condición necesaria de Jacobi : Teorema 11. Si u es un mínimo del funcional

ሾ()ሿ= ௫௫బభ ൫ , ( ), ᇱ( )൯

(17)

para el cual F y ' y ' > 0 , entonces el intervalo ( x 0 , x1 ) no contiene puntos conjugados de x 0 . Demostración. Como ya se ha dicho anteriormente, una condición necesaria para la realización de F es la no negatividad de la segunda variación evaluada

en dicho mínimo. Un colorarlo anterior, asegura que si el funcional cuadrático (16) es no negativo entonces el intervalo ( x0 , x1 ) no puede contener puntos conjugados en x 0 . ■


48

5.2.Condiciones suficientes de Jacobi bajo las cuales un funcional tiene un mínimo. En esta sección formularemos las condiciones suficientes bajo las cuales un funcional de la forma

ሾ()ሿ= ௫௫బభ ൫ , ( ), ᇱ( )൯

(18)

con condiciones de frontera fija, y( x0 ) = y 0 y y ( x1 ) = y1 tiene un mínimo en la curva y . Veremos que estas condiciones se parecen mucho a las condiciones necesarias obtenidas en las secciones anteriores. Las condiciones necesarias fueron consideradas separadamente, puesto que cada una de ellas es necesaria en sí misma. Sin embargo, las condiciones suficientes deben considerarse en conjunto puesto que la presencia de un mínimo está asegurada solo si se satisfacen todas las condiciones simultáneamente. Demostraremos previamente un lema que usaremos en la demostración del teorema de suficiencia. Lema 12. Sea u una función diferenciable con y ( x0 ) = y 0 , y ( x1 ) = y1 y u ∈ C 01 ([ x0 , x1 ]) . Entonces si F es tres veces diferenciable con continuidad

respecto todos sus argumentos, se tiene v ( y + u ) − v ( y ) =

∫

x1

x 0

F (Py ' + Qy )dx + 2

x1

∫ (ξ u

2

x 0

+ η u ' 2 )dx

donde ξ ,η → 0 cuando u 1 → 0 . Demostración. El desarrollo de Taylor de orden dos nos proporciona la

identidad

v ( y + u ) − v ( y ) =

1 ( ) (F ' + + F u F u dx ∫ 2∫ x1

x 0

x1

y'

y

x 0

yy

2 2 u + 2 F yy 'uu '+ F y '' y 'u ' )dx + ε

donde el resto, ε , puede escribirse como

ε =

x1

∫ (ε u x 0

1

2

+ ε 2 uu '+ ε 3 u ' 2 )dx

(19)

Debido a la continuidad de las derivadas F yy , F yy ' y F y ' y ' , se sigue que ε i → 0 cuando u 1 → 0 , para i = 1,2,3 . Ahora integrando por partes y usando

las condiciones de frontera de h , podemos escribir (19) como x1

∫ (ξ u x 0

2

+ η u ' 2 )dx

con ξ y η satisfaciendo ξ ,η → 0 cuando u 1 → 0 . Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

■

49

Teorema 13. Supongamos que el funcional (18) evaluado en u satisface las

siguientes condiciones: 1. La curva u es un extremo, es decir, satisface la ecuación de Euler F y ( x, y ( x ), y ' ( x )) −

d dx

F y ' ( x, y( x ), y ' ( x )) = 0


2. A lo largo de la curva u se satisface la condición estricta de Legendre, es decir P ( x ) =

1 2

= F y ' y ' ( x, y( x ), y ' ( x )) > 0


3. El intervalo [ x 0 , x1 ] no contiene puntos conjugados de x0 . Entonces el funcional (18) tiene un mínimo en y . Demostración. Si el intervalo [ x 0 , x1 ] no contiene puntos conjugados de x 0 , y

si P( x ) > 0 en dicho intervalo, entonces por la continuidad de la solución de la Ecuación de Jacobi y de la función P , tenemos que tampoco habrá puntos conjugados en un intervalo mayor [ x 0 , x1 + ε ] , en el cual también podemos asumir que P > 0 . Consideremos ahora el funcional cuadrático x1

∫ (Pu ' x0

2

+Qu 2 )dx − α 2

x1

∫

x0

2

u ' dx

(19)

que tiene por ecuación de Euler −

d dx

[(P − α )u ']+ Qu = 0 2

(20)

Puesto que P > 0 en [ x 0 , x1 + ε ] y, por tanto, tiene una cota inferior positiva en este intervalo, y como la solución de (20) que satisface las condiciones iniciales u ( x 0 ) = 0 , u ' ( x 0 ) = 1 depende con continuidad del parámetro α , se sigue que: 1. P ( x ) − α 2 > 0 para todo x ∈ [ x 0 , x1 ] . 2. La solución de (2.15) que satisface las condiciones de frontera u ( x 0 ) = 0 , u ' ( x 0 ) = 1 no se anula en ( x 0 , x1 ] . Por el segundo teorema de este punto se sabe que el funcional (19) es definido positivo para todo α suficientemente pequeño. Es decir, existe una constante c > 0 tal que Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

50

x1

∫ (Pu ' x0

2

+Qu 2 )dx > c

x1

∫

x0

2

(21)

u ' dx

A partir de (21) deducimos que el mínimo es, efectivamente, y . En efecto, sea h una curva tal que y + h está suficientemente próximo a y . Entonces tenemos que (por un lema anterior): v ( y + h ) − v ( y ) =

∫

x1

x 0

F (Pu ' + Qu )dx + 2

x1

∫ (ξ h x 0

2

+ η h ' 2 )dx

donde ξ ,η → 0 en [ x 0 , x1 ] cuando h 1 → 0 . Además, usando la desigualdad de Schwarz obtenemos 2

x x x 2 2 h ( x ) =   ∫ x h ' dx  ≤ ( x − x 0 )∫ x h ' dx ≤ ( x − x 0 )∫ x h ' dx   1

2

0

0

0

es decir,

∫

x1

x 0

( x1 − x 0 )2

2

h dx ≤

2

∫

x1

x 0

h ' 2 dx

que implica que

∫

x1

x 0

 ( x1 − x 0 )2  x 2  ∫ h ' dx (ξ h + η h ' )dx ≤ ε  1 +  x 2   2

1

2

(22)

0

si ξ ≤ ε y η ≤ ε . Puesto que ε > 0 puede tomarse arbitrariamente pequeño, se sigue de (21) y (22) que v( y + h ) > v( y ) para toda h con h 1 suficientemente pequeña. ■

5.3. Relación entre la condición de Jacobi y la teoría de formas cuadráticas. El funcional cuadrático b

∫ (Pu ' a

2

+Qu 2 )dx

(23)

donde hemos cambiado la notación [ x 0 , x1 ] por [a, b] , y donde P ( x ) > 0 para todo x ∈ [a, b] , es definido positivo para todo u ∈ C 01 ([a, b]) si y solo si el intervalo [a, b] no contiene puntos conjugados de a . El funcional (23) es el análogo a una forma cuadrática en dimensión finita. Por tanto, es natural Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

51

comenzar estudiando las condiciones de este tipo de formas en un espacio ndimensional y luego tomar el límite n → ∞ . Esto puede hacerse de la siguiente manera: introducimos la partición a = x0 , x1 ,..., xn , xn +1 = b

del intervalo [a, b] , en la cual, por comodidad, suponemos los nodos equiespaciados, ∆ x = (b − a ) (n + 1) , a continuación consideramos la forma cuadrática

  u i +1 − u i  2  2  + Qi u i  ∆ x  Pi  ∑ x ∆   i =0    n

(24)

donde Pi , Qi y v i son los valores de las funciones P , Q y v en los nodos x i . Esta forma cuadrática proporciona una aproximación finito dimensional cuadrático (23), agrupando términos similares y teniendo en cuenta que u 0 = u (a ) = 0 , u n +1 = u (b ) = 0 , podemos escribir (24) como

  Pi −1 − Pi  2 Pi −1 ∆ + − 2 Q x u u u   ∑ i i −1 i   i ∆ x  ∆ x i =1   n

(25)

En otras palabras, el funcional cuadrático (23) puede aproximarse por una forma cuadrática de n variables cuya matriz viene dada por

  a1  b  1  0     0   0 

b1

0

...

0

0

a2

b2

...

0

0

b2

a3

...

0

0

.......... .......... ... 0

0

...

0

0

...

bn − 2 a n −1 0

bn −1



0 

 0    0      bn −1    an  

(26)

donde a i = Qi ∆ x +

Pi −1 + Pi

y bi = −

Pi

∆ x

∆ x

para i = 1,2,..., n

para i = 1,2,..., n − 1


52

Un matriz como (26) en la cual todos los electos excepto la diagonal principal y sus dos diagonales adyacentes se anulan es llamada matriz de Jacobi , y su forma cuadrática asociada es llamada forma de Jacobi . Para cualquier matriz de Jacobi existe una fórmula de recurrencia para el cálculo de los menores principales dados por:

para i = 1,2,..., n . En efecto, expandiendo Di con respecto a los elementos de la última fila, obtenemos la fórmula 2 Di = ai Di −1 − bi −1 Di − 2

(27)

que nos permite determinar D3 ,..., Dn en términos de los dos primeros menores. De hecho, si tomamos D0 = 1 y D −1 = 0 , entonces esta fórmula es válida para todo i = 1,2,..., n . El criterio de Silvester asegura que una forma cuadrática simétrica es definida positiva si y solo si todos los menores Di son positivos. Podemos así obtener un criterio para que el funcional cuadrático (23) sea definido positivo haciendo n → ∞ en la fórmula (27). Sustituyendo la expresión de los coeficientes ai y bi en dicha fórmula, obtenemos Pi −1 + Pi  Pi −21  Di =  Qi ∆ x + Di − 2  Di −1 − 2 ∆ x (∆ x )  

(28)

para i = 1,2,..., n . Es imposible pasar directamente al límite n → ∞ en esta expresión, puesto que los coeficientes de Di −1 y Di −2 se hacen infinitos. Para evitar esta dificultad realizamos el cambio


53

Di =

P1 ...Pi Z i +1 i +1

(∆ x )

,

D0 =

Z 1

∆ x

= 1 , D−1 = Z 0 = 0

para i = 1,2,..., n . La fórmula (28) se escribe entonces, en términos de las variables Z i como P1 ...Pi Z i +1

(∆ x )i+1

2 Pi −1 + Pi  P1 ...Pi −1 Z i Pi −1 P1 ...Pi − 2 Z i −1  =  Qi ∆ x + −  i ∆ x  (∆ x ) (∆ x )2 (∆ x )i −1 

es decir, Qi Z i (∆ x ) + Pi −1 Z i + Pi Z i − Pi Z i +1 − Pi −1 Z i −1 = 0 2

(29)

o Qi Z i −

Z − Z i −1  1  Z i +1 − Z i − Pi −1 i  Pi =0 ∆ x  ∆ x ∆ x 

para i = 1,2,..., n . Pasando al límite n → ∞ obtenemos la ecuación diferencial −

d dx

(PZ ') + QZ = 0

que es justamente la ecuación de Jacobi. La condición de que las cantidades Di sean positivas es equivalente a la condición de que las cantidades Z i que satisfacen la ecuación en diferencias (29) sean positivas ya que el factor Pi ...Pi

(∆ x )i +1 es siempre positivo (ya que P( x ) > 0 ). De modo que hemos probado que la forma cuadrática (23) es definida positiva si y solo si todas, excepto las primeras n + 2 cantidades Z 0 ,..., Z n +1 que satisfacen la ecuación en diferencias (29) son positivas. Ahora, si consideramos la línea poligonal Π n con vértices

(a0 , Z 0 ), ( x1 , Z 1 ),..., (b, Z n+1 ) Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

54

la condición de que Z 0 = 0 y Z i > 0 para i = 1,2,..., n + 1 significa que Π n no corta el intervalo [a, b] excepto en el punto a . Así, cuando ∆ x → 0 , la ecuación en diferencias (29) se transforma en la ecuación de Jacobi, y la línea poligonal Π n tienda a una solución no trivial de dicha ecuación, la cual satisface la condición inicial Z ' (a ) = lím

Z (a ) = Z 0 = 0 ,

Z 1 − Z 0

x → 0

∆ x

= lím x →0

∆ x ∆ x

=1

y además, dicha solución no se anula en (a, b] . En otras palabras, cuando n → ∞ , la forma de Jacobi converge al funcional cuadrático (23), y la condición de que (25) sea definida positiva se traduce en la condición de que (23) sea definida positiva, que es equivalente a que el intervalo [a, b] no contenga puntos conjugados de a . Ejemplo 8. ¿Se cumple la condición de Jacobi para calcular el extremo del a

funcional v = ∫0 ( y' 2 − y 2 )dx que pasa por los puntos A(0,0) y B(a,0) ? Solución. La ecuación de Jacobi tiene la forma

− 2 y −

de donde

d dx

(2 y ') = 0 , o bien

y ' '+ y = 0

y = C 1 sen ( x − C 2 ) .

Como y (0) = 0 , entonces C 2 = 0 , y = C 1 senx . La función y se anula en los puntos x = k π , donde k es un número entero. Por tanto, si a ∈ (0, π ) , la función y se anula en el intervalo x ∈ [0, a ] solo en el punto x = 0 , y la condición de Jacobi se cumple. Si, en cambio, a ∈ (π , ∞ ) , la función y se anula en el intervalo x ∈ [0, a ] también por lo menos en el punto x = π , y la condición de Jacobi no se cumple. ■

Ejemplo 9. ¿Se cumple la condición de Jacobi para calcular el extremo del a

funcional v = ∫0 ( y ' 2 + y 2 + x 2 )dx que pasa por los puntos A(0,0) y B(a,0) ? Solución. La ecuación de Jacobi tiene la forma

y ' '+ y = 0 Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

55

Tomemos la solución general en la forma y = C 1 shx + C 2 chx

De la condición y (0) = 0 se halla C 2 = 0 , por lo que y = C 1 shx . Las curvas del haz y = C 1 shx cortan el eje OX solo en el punto x = 0 . La condición de Jacobi se cumple para todo a .

■

5.4.Condición suficiente de Jacobi de inclusión de una extremal en un campo de extremales central. Para que un arco AB de una extremal se pueda incluir en un campo de extremales central con centro en un punto A( x , y 0) , es suficiente que el arco AB no contenga puntos A * conjugados del punto A. 0

Ejemplo 10. Consideremos el funcional a

∫

2

v[ y ( x)] = ( y '2 − 9 y 2 + e x − 1)dx;

y (0) = 0, y (0) = 0, y (a) = 0.

0

Determinar si la extremal y = 0 puede ser incluida en un campo central de extremales con centro en el punto O (0,0). Solución. La ecuación de Euler del funcional dado es y ''+ 9 y = 0 y su solución general, y( x) = C1sen(3 x) + C2 cos(3 x). Si a ≠ k π / 3 (k es un número entero), entonces la extremal que satisface las

condiciones de contorno dadas es la recta y = 0. Considerando la familia uniparamétrica de extremales y1 = C1sen(3x), es fácil verificar que su CUniversidad de Almería. | Cálculo Variacional.

56

discriminante está formado por los puntos (k π / 3, 0). Por eso, si a < π / 3, en la extremal y = 0 no existen puntos conjugados del punto (0,0), por lo cual esta extremal, evidentemente, puede ser incluida en el campo central de extremales con centro en el punto O (0,0). Pero si a ≥ π / 3, entonces en la extremal y = 0 hay al menos un punto conjugado del punto O(0,0), es decir, la condición suficiente de Jacobi no se cumple. En este caso las extremales y = C1sen(3x) no forman un campo. ■

Forma analítica de la condición de Jacobi.

Consideremos el problema variacional elemental x1

v[ y ( x)] =

∫ F ( x, y, y ')dx;

y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1.

x0

Si la solución

u = u ( x)

de la ecuación deJacobi

( F yy −

d d Fyy ' )u − ( Fy ' y ' , u ') = 0 dx dx

que satisface la condición u ( x0 ) = 0 se anula en algún punto del intervalo x0 < x < x1 , entonces el arco AB de la extremal (en el punto B tiene coordenadas ( x1 , y1 ) ) contiene un punto A * conjugado de A( x0 , y0 ). Si existe una solución u ( x) de la ecuación de Jacobi que satisface la condición u ( x0 ) = 0 y que no se anula en ningún punto del semiintervalo x0 < x ≤ x1 , entonces en el arco AB no hay puntos conjugados de A. En este caso, el arco AB de la extremal puede ser incluido en el campo central de extremales con centro en el punto A( x0 , y0 ). Ejemplo 11. Determinar si se cumple la condición de Jacobi para la extremal

del funcional

a

∫

v[ y ( x)] = ( y '2 + x 2 )dx 0

que pasa por los puntos

O(0,0)

y B (a, 3).

Solución. La ecuación de Jacobi es u '' = 0 y su solución general es u ( x) = C1 x + C2 . De la condición u (0) = 0 resulta C 2 = 0, de donde u = C1 x. Estas

soluciones u = C1 x ( C 1 ≠ 0 ) no se anulan para ningún valor de a > 0. Es decir, en el arco OB de la extremal no existe un punto conjugado del punto O (0,0). Por consiguiente, esta extremal puede ser incluida en un campo central de extremales con centro en el punto O (0,0). No es difícil verificar que la extremal


57

buscada es la recta y = 3 x / a, la cual, evidentemente, está incluida en el campo central de extremales y = C1 x. ■


58

6. Condición de Weiertrass. 6.1. Función E ( x, y , p, y ' ) . Condición de Weiertrass. Supongamos que en el problema simple sobre el extremo del funcional x1

v=

∫ F ( x, y, y' )dx;

y ( x1 ) = y1

y ( x0 ) = y 0 ;

x0

se cumple la condición de Jacobi y, por consiguiente, la extremal C que pasa por los puntos A( x0 , y 0 ) y B( x1 , y1 ) puede ser incluida en un campo central con inclinación igual a (Figura 5).

(,)

Figura 5

Transformemos el incremente ∆v = ∫ F ( x, y, y ' )dx − ∫ F ( x, y, y ' )dx a una forma C

C

más cómoda para su estudio, para determinar el signo del incremento ∆v del funcional v al pasar de la extremal a cierta curva próxima admisible C . (Los símbolos:

∫ F ( x, y, y' )dx y ∫ F ( x, y, y' )dx C

C

x1

representan

los

valores

del

funcional

v=

∫ F ( x, y, y' )dx

tomados

x0

respectivamente por los arcos de las curvas C y C ). Consideremos el funcional auxiliar: Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

59

   dy  F ( x , y , p ) p F ( x , y , p ) + −   p dx , ∫  dx    C

que se transforma en

∫

F ( x, y, y ' ) dx

en la extremal C , en virtud de que

C

dy

= p

dx

en las extremales del campo. Por otro lado, el mismo funcional auxiliar    dy  + − F ( x , y , p ) p F ( x , y , p )   p dx , ∫  dx    C

o bien

∫ [ F ( x, y, p) − pF ( x, y, p)]dx + F ( x, y, p)dy p

(30)

p

C

es la integral de una diferencial total. En efecto, la diferencial de la función v ( x, y ) , en la cual se transforma el funcional v[ y ( x )] en las extremales del campo, tiene la forma d v = [ F ( x, y , y ' ) − y ' F y ' ( x, y, y ' )]dx + F y ' ( x, y , y ' )dy ,

Y se diferencia sólo por la notación del coeficiente angular de la tangente a las extremales del campo de la expresión subintegral en la instalar auxiliar (30) considerada. De este

modo, la integral

∫ [ F ( x, y, p) + ( y '− p) F ]dx p

coincide con la

C

∫ F ( x, y, y ' )dx

en la extremal C, y como el funcional

C

∫ [ F ( x, y, p) + ( y'− p) F ]dx p

es

C

la integral de una diferencial total, (y por lo tanto, no depende del camino de integración) entonces

∫ F ( x, y, y' )dx = ∫ [ F ( x, y, p) + ( y'− p) F ( x, y, p)]dx p

C

C

no sólo para C = C , sino también para cualquier C . Por lo tanto, el incremento

∫

∫

C

C

∆v = F ( x, y , y ' ) dx − F ( x, y , y ' ) dx

Puede ser reducido a la forma siguiente:

∫

∫

C

C

∆v = F ( x, y , y ' ) dx − [ F ( x, y , p ) + ( y '− p ) F p ( x, y, p )]dx . Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

60

La función subintegral se llama función de Weierstrass, y se denota por E ( x, y, p, y ' ) : E ( x, y , p, y ' ) = F ( x, y , y ' ) − F ( x, y, p ) − ( y '− p ) F p ( x, y, p ) .

En estas notaciones x1

∫

∆v = E ( x, y, p, y ' ) dx x0

Es evidente que una condición suficiente para que el funcional v tenga un mínimo en la curva C es que la función E no sea negativa, puesto que si E ≥ 0 , entonces también ∆v ≥ 0 ; y una condición suficiente para que tenga un máximo será E ≤ 0 , debido a que en este caso también ∆v ≤ 0 . Para que haya un mínimo débil es suficiente que la desigualdad E ( x, y , p , y ' ) ≥ 0 (ó E ≤ 0 en el caso de máximo) se cumpla para valores de x e y próximos al valor de x e y en la extremal C investigada, y para valores de y’ cercanos a p(x,y) en la misma extremal; para que haya un mínimo fuerte la misma desigualdad debe ser válida para las mismas x e y, pero para y’ arbitrarias, puesto que en el caso de un extremo fuerte las curvas cercanas tendrán direcciones arbitrarias de las tangentes, y en el caso de extremo débil los valores de y’ en las curvas cercanas son próximos a los valores y ' = p en la extremal C. Por consiguiente, las siguientes condiciones serán suficientes para que el funcional v tenga un extremo en la curva C. Para un extremo débil : 1. La curva C es una extremal que satisface las condiciones de frontera. 2. La extremal C puede ser incluida en un campo de extremales. Esta condición se puede sustituir de la de Jacobi. 3. La función E ( x, y, p, y ' ) no cambia su signo en todos los puntos (x, y) próximos a la curva C, y para valores de y’ cercanos a p(x, y). En el caso de mínimo es E ≥ 0 , en el caso de máximo, E ≤ 0 . Para un extremo fuerte: 1. La curva C es una extremal que satisface las condiciones de frontera. 2. La extremal C puede ser incluida en un campo de extremales. Esta condición se puede sustituir por la de Jacobi. 3. La función E ( x, y, p, y ' ) no cambia su signo en todos los puntos (x, y) próximos a la curva C, y para valores de y’. En el caso de mínimo es E ≥ 0 , en el caso de máximo, E ≤ 0 . Observación. Se puede demostrar que la condición de Weierstrass es

necesaria. Más exactamente, si en un campo central que incluya a la extremal C la función E tiene signos opuestos en los puntos de la extremal para ciertas y’, Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

61

entonces no hay extremo fuerte. Si esta propiedad tiene lugar para valores de y’ arbitrariamente próximos a p, tampoco hay extremo débil. Ejemplo 12. Investigar el extremo del funcional a

∫

v = y '3 dx

y (0) = 0

y ( a ) = b

0

a > 0 b > 0.

Solución. Las rectas y = C 1 x + C 2 son extremales. El extremo puede alcanzarse

sólo en la recta

y =

b a

x .

El haz de rectas y = C 1 x con centro en el punto (0, 0)

forma un campo central que incluye a la extremal y =

b a

x

(Figura 6).

Figura 6 La función E es igual a E ( x, y , p , y ' ) = y ' 3 − p 3 − 3 p 2 ( y '− p ) = ( y '− p ) 2 ( y '+2 p ) .

En la extremal valores próximos a

y =

b

x

a b p = a

la inclinación del campo es

p =

b a

> 0,

y si y’ toma

, entonces E ≥ 0 y, en consecuencia se cumplen todas

las condiciones suficientes para que haya un mínimo débil. De este modo, en la extremal

y =

b a

x

hay un mínimo débil. Si, en cambio, y’ toma valores

arbitrarios, entonces ( y '−2 p ) puede tener cualquier signo y, por lo tanto, la función E no tiene signo constante; no se cumplen las condiciones suficientes para que haya un mínimo fuerte. Entonces, se puede afirmar que no hay mínimo fuerte en la recta y =

b a

x .

■


62

Ejemplo 13. Analizar el extremo del funcional a

∫ (6 y'

2

− y ' 4 + yy' )dx;

y (0) = 0

y ( a ) = b

0

a > 0 b > 0.

en la clase de las funciones continuas con derivada primera continua. b

Solución. Las rectas y = C 1 x + C 2 son extremales. La recta y = x satisface las a

condiciones de frontera, y se incluye en el haz de extremales y = C 1 x que forman un campo central. La función E es igual a 2

4

2

4

3

E ( x, y, p, y ' ) = 6 y ' − y ' + yy'−6 p + p − yp − ( y '− p )(12 p − 4 p + y ) =

= −( y '− p) [ y ' +2 py '−(6 − 3 p ) ]. 2

2

2

.

El signo de E es opuesto a signo del último factor y' 2 +2 py '−(6 − 3 p 2 ) .

′

Este factor se anula y puede cambiar su signo sólo cuando pasa por el valor 2 2 y ' = − p ± 6 − 2 p . Para 6 − 2 p ≤ 0 ó p ≥ 3 , para toda y’ tendremos 2 2 2 [ y' +2 py '−(6 − 3 p )] ≥ 0 ; si, en cambio, 6 − 2 p > 0 ó p < 3 , la expresión 2 2 [ y' +2 py'−(6 − 3 p )] cambia su signo. Si en este caso se diferencia suficientemente poco de , la última expresión mantiene su signo positivo , y negativo para .

1

′

<1

Por tanto, para

p =

b a

<1

ó b < a se tiene un mínimo débil, puesto que E ≥ 0

para valores de y’ próximos a p; para débil. Para

p =

b a

≥ 3

cualesquiera de y’. Para (figura 7).

>

p =

b a

>1

ó b > a se tiene un máximo

se tiene un máximo fuerte, ya que E ≤ 0 para valores p =

b a

< 3,

no hay ni mínimo fuerte ni máximo fuerte

■


63

Figura 7

Incluso en los ejemplos citados más arriba, sumamente simples, el estudio del signo de la función causó ciertas dificultades; por esto, sería conveniente sustituir la condición de que la función tenga sigo constante por otra, de más fácil comprobación. Supongamos que la función F ( x, y , y ' ) es derivable tres veces respecto al argumento . Según la fórmula de Taylor,

′

F ( x, y , y ' ) = F ( x, y , p ) + ( y '− p ) F p ( x, y , p ) +

′

( y '− p ) 2!

2

F y ' y ' ( x, y, q ) ,

donde está contenido entre e . La función

E ( x, y , p, y ' ) = F ( x, y , y ' ) − F ( x, y , p ) − ( y '− p ) F p ( x, y, p )

luego de sustituir toma la forma:

F ( x, y , y ' )

por su desarrollo mediante la fórmula de Taylor,

E ( x, y , p, y ' ) =

( y '− p ) 2!

2

F y ' y ' ( x, y , q ) .

De aquí se ve que la función conserva su signo se F y ' y ' ( x, y , q ) lo conserva. Al estudiar el extremo débil, la función F y ' y ' ( x, y , q ) debe conservar su signo para valores de e en los puntos cercanos a los puntos de la extremal que se investiga, y para valores de próximos a . Si F y ' y ' ( x, y , y ' ) ≠ 0 en los puntos de la extremal , entonces en virtud de la continuidad esta derivada segunda conserva su signo en los puntos próximos a la curva , y para valores de próximos a los valores de y’ en la curva . De este modo, al estudiar un mínimo débil la condición E ≥ 0 puede ser sustituida por la F y ' y ' < 0 en la curva . La condición F y ' y ' > 0 (ó F y ' y ' < 0 ) se llama condición de Legendre).

′


64

(, )

Al estudiar un mínimo fuerte la condición E ≥ 0 puede sustituirse por la F y ' y ' ( x, y , q ) ≥ 0 en los puntos próximos a los puntos de la curva para valores arbitrarios de . En este caso se supone, claro está, que el desarrollo mediante la fórmula de Taylor: F ( x, y , y ' ) = F ( x, y , p ) + ( y '− p ) F p ( x, y , p ) +

′

( y '− p ) 2!

2

F y ' y ' ( x, y, q )

tiene lugar para cualesquiera. Al estudiar un máximo fuerte se obtiene la condición F y ' y ' ( x, y , q ) ≤ 0 , bajo las mismas suposiciones respecto a la región de variación de los argumentos y a la validez del desarrollo de la función F ( x, y , y ' ) por la fórmula de Taylor. Ejemplo 14. Analizar el extremo del funcional a

∫

v[ y ( x)] = ( y' 2 − y 2 )dx

a>0

y (0) = 0

y ( a ) = 0

0

Solución. La ecuación de Euler tiene la forma y ' '+ y = 0; su solución general es y = C 1 cos( x) + C 2 sen( x). Utilizando las condiciones de frontera, se obtiene C 1 = 0 y C 2 = 0 , si a ≠ k π , donde es un entero.

De este modo, si a ≠ k π , es extremo se puede alcanzar sólo en la recta y = 0 . Si a < π , el haz de extremales y = C 1 sen( x) con centro en el punto (0, 0) forma un campo central. Si a > π , la condición de Jacobi no se cumple.

′ ′

Como la función subintegral es derivable tres veces con respecto a para cualesquiera y F y ' y ' = 2 > 0 para valores cualesquiera de y’, entonces en la recta y = 0 , para a < π , hay un mínimo fuerte. Entonces, se puede afirmar que para a > π no hay mínimo en la recta y = 0 .

■

Ejemplo 15. Analizar el extremo del funcional x1

v[ y ( x)] =

∫ 0

1 + y '

y

2

dx

y (0) = 0

y ( x1 ) = y1

Solución. Las extremales son las cicloides x = C 1 (t − sen(t ) + C 2 y = C 1 (1 − cos(t )


65

El haz de cicloides x = C 1 (t − sen(t ) + C 2 , y = C 1 (1 − cos(t ) con centro en el punto (0, 0) forma un campo central que incluye la extremal y = a (1 − cos(t )) ,

x = a (t − sen (t ))

Donde a se determina de la condición de que la cicloide pase por el segundo punto frontera B( x1 , y1 ) (Figura 8), si x1 < 2π a

Figura 8 se tiene F y ' =

y ' y 1 + y '

F y ' y ' =

2

1 2

y (1 + y ' )

3 / 2

>0

para y’ cualesquiera. Por consiguiente, para x1 < 2π a hay un mínimo fuerte en la cicloide y = a (1 − cos(t )) ,

x = a (t − sen (t ))

■


∫

v[ y ( x)] = y '3 dx

y (0) = 0

y ( a ) = b

b > 0.

a>0

0

Solución. Los extremales son líneas rectas. El haz y = Cx forma un campo

central que incluye la extremal segunda es

F y ' y ' = 6 y ' = 6

mínimo débil.

b a

> 0.

y =

b a

x .

En la extremal

y =

En consecuencia, en la recta

b a

x

y =

la derivada b a

x


hay un

66

′

La derivada segunda F y ' y ' = 6 y ' no mantiene su signo constante para arbitrarias; por lo tanto, las condiciones suficientes para que haya un mínimo fuerte indicadas más arriba no se cumplen. Sin embargo, de aquí no se puede aún concluir que no hay un extremo fuerte.

■


v[ y ( x)] =

y

∫ y'

2

y (0) = 1

dx

a>0

y ( a ) = b

0 < b < 1.

0

Solución. La primera integral de la ecuación de Euler tiene la forma y y '

2

+ y '

2 y

y '

3

= C

, o bien y' 2 = 4C 1 y

Extrayendo la raíz cuadrada, separando variables e integrando, se obtiene y = (C 1 x + C 2 ) 2 , que es una familia de parábolas. De la condición y (0) = 1 se halla C 2 = 1 . El haz de parábolas y = (C 1 x + 1) 2 con centro en el punto A(0,1) tiene la curva C 1 -discriminante y = 0 (Figura 9). ■

Figura 9

(,)

Por el punto pasan dos parábolas de este haz. En el arco de una de ellas ( L1 ) se encuentra el punto conjugado del ; en el otro ( L2 ) no hay puntos conjugados y, por lo tanto, la condición de Jacobi se cumple en el arco L2 , y en este arco de parábola puede haber un extremo. En un entrono de la extremal estudiada se tiene

∗

F y ' y ' =

6 y

y ' 4

>0

para

′

arbitrarias; sin embargo, en


67

base a esto no su puede aún afirmar que en el arco L2 hay un mínimo fuerte, debido a que la función

F ( x, y , y ' ) =

y y ' 2

no puede ser representada en la forma

F ( x, y, y ' ) = F ( x, y, p ) + ( y '− p) F p ( x, y, p ) −

2

( y '− p)

′

F y ' y ' ( x, y, q )

2!

Para valores de arbitrarios, ya que la función F ( x, y , y ' ) es discontinua para y ' = 0 . Se puede afirmar solamente que en L2 hay un mínimo débil, puesto que para valores de cercanos a la inclinación del campo en la curva L2 tiene lugar dicho desarrollo de la función F ( x, y, y ' ) por la fórmula de Taylor.

′

Para un estudio completo del extremo de este funcional es necesario considerar la función E ( x, y , p , y ' ) : E ( x, y, p, y ' ) =

y y'

2

−

y p

2

+

2 y

p

3

2

( y '− p ) =

y ( y'− p ) ( 2 y '+ p) 2

y ' p

3

Como el factor (2 y '+ p ) no mantiene su signo constante para puede afirmar, que no hay un mínimo fuerte en el arco L2 .

′

.

arbitrarias, se

La teoría expuesta se generaliza sin cambios sustanciales a los funcionales de la forma x1

v[ y1 , y 2 ,..., y n ] =

∫ F ( x, y , y ,..., y 1

2

n

, y'1 , y ' 2 ,..., y' n ) dx;

x0

yi ( x0 ) = y io

yi ( x1 ) = yi1

(i = 1,2,...n)

La función tiene la forma: E = F ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y '1 , y ' 2 ,..., y ' n ) − F ( x, y1 , y 2 ,..., y n , p1 , p 2 ,..., p n ) − n

−

∑ ( y

i

− p i ) F pi ( x, y1 , y 2 ,..., y n , p1 , p 2 ,..., p n )

i =1

donde p i son las funciones de inclinación del campo, al cual se le imponen ciertas limitaciones (bajo estas limitaciones en campo se llama especial). La condición de Legendre

F y ' y ' ≥ 0

se sustituye por las condiciones siguientes:

F y '1 y ' 2 ≥ 0 ,

F y '1 y '1

F y '1 y '2

F y '2 y '1

F y '2 y '2

≥0


68

Las condiciones suficientes de mínimo débil se pueden obtener tanto para el problema simple como para otros más complejos por otro método, basado en el estudio del signo de la segunda variación. El incremento del funcional en el problema simple se puede reducir, mediante la fórmula de Taylor, a la forma siguiente: x1

∆v =

∫ [F ( x, y + δ y, y'+δ y' ) − F ( x, y, y' )]dx =

x0 x1

∫

= ( F y δ y, F y 'δ y ' ) dx + x0

1

x1

( F δ y 2∫ yy

2

+ 2 F yy 'δ yδ y '+ F y ' y 'δ y' 2 ) dx + R

x0

donde R tiene orden mayor que 2 respecto a δ y y δ y ' . Al investigar un extremo débil δ y y δ y ' son suficientemente pequeñas, y en este caso el signo del incremento ∆v se determina por el signo del término que se halla en el segundo miembro y contiene las potencias menores de δ y y δ y ' . En las extremales la primera variación será x1

∫ ( F δ y, F δ y' )dx = 0 y

y '

x0

y, por lo tanto, el signo del incremento ∆v coincide en general con el de la segunda variación x1

δ v = ∫ ( F yy δ y 2 + 2 F yy 'δ yδ y'+ F y ' y 'δ y' 2 )dx 2

x0

La condición de Legendre conjuntamente con la de Jacobi son precisamente condiciones que aseguran que el signo de la segunda variación sea constante y, conjuntamente con esto, sea constante el signo del incremento ∆v en el problema sobre un extremo débil. En efecto, consideremos la integral x1

∫ (ω ' ( x)δ y

2

(31)

+ 2ω ( x )δ yδ y ' ) dx

x0

donde

( x )

es una función derivable arbitraria. Esta integral es igual a cero: x1

∫ (ω ' ( x)δ y

x0

x1 2

∫

+ 2ω ( x )δ yδ y ' )dx = d (ωδ y ) = [ω ( x )δ y 2 ] x x = 0 1

0

x0

Sumando la integral (31) a la segunda variación, se obtiene Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

69

x1

δ v = ∫ (( F yy + ω ' )δ y 2 + 2( F yy ' + ω )δ yδ y '+ F y ' y 'δ y ' 2 )dx . 2

x0

La función ω ( x) se escoge de modo que la función subintegral se transforme, salvo un factor, en un cuadrado perfecto. Para esto la función ( x) debe satisfacer la ecuación F y ' y ' ( F yy + ω ' ) − ( F yy ' + ω ) 2 = 0 .

Con la función

elegida de este modo, la segunda variación toma la forma 2

 F yy ' + ω  2  δ v = ∫ F y ' y ' δ y '+ δ y  dx   F y ' y ' x   x1

0

y, en consecuencia, su signo coincide con el de

F y ' y ' .

Sin embargo, esta transformación es posible sólo bajo la hipótesis de que la ecuación diferencial 2

F y ' y ' (ω '+ F yy ) − ( F yy ' + ω ) = 0

tenga una solución derivable ω ( x) en el segmento

( x 0 , x1 ) .

Transformando esta ecuación a nuevas variables mediante la sustitución ω = − F yy ' − F y ' y '

u' u

donde es una nueva función incógnita, se obtiene d d    F yy − F yy ' u − ( F y ' y ' u ' ) = 0 , dx dx  

que es la ecuación de Jacobi. Si existe una solución de esta ecuación que no se anule para x0 < x ≤ x1 , es decir, si se cumple la condición de Jacobi, existe, para dichos valores de x, una solución continua y derivable: ω ( x) = − F yy ' − F y ' y '

u' u

de la ecuación: 2

F y ' y ' ( F yy + ω ' ) − ( F yy ' + ω ) = 0 Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

70

De este modo, las condiciones de Legendre y de Jacobi aseguran la constancia del signo de la segunda variación y, por consiguiente, son condiciones suficientes de mínimo ( F y ' y ' > 0) o máximo ( F y ' y ' < 0) débil.


71

7. ANEXO: Métodos directos en el cálculo variacional. 7.1. Método de Euler de diferencias finitas. Consideremos el siguiente problema variacional elemental: hallar el extremo del funcional b

∫

v[ y ( x )] = F ( x , y , y ')dx ; y (a) = A, y (b) = B. a

En el método de Euler los valores del funcional anterior no se consideran en curvas arbitrarias admisibles para el problema variacional dado, sino sólo en líneas quebradas formadas por un número dado n de segmentos rectilíneos cuyos vértices tienen abscisas a + ∆x, a + 2∆x,…, a + (n − 1)∆x, donde ∆ x =

b−a . n

En estas líneas quebradas el funcional v[ y( x)] se transforma en una función Φ( y1, y2 ,..., yn−1 ) de las coordenadas y1 , y2 ,...., yn −1 de los vértices de la línea quebrada. Las ordenadas y1 , y2 ,...., yn−1 se eligen de tal manera que la función Φ( y1, y2 ,..., yn−1 ) alcance su extremo, es decir, se determinan del sistema de ecuaciones ∂Φ ∂ y1

= 0,

∂Φ ∂ y2

= 0, .....,

∂Φ ∂ yn−1

= 0.

La línea quebrada obtenida es una solución aproximada del problema variacional inicial. Ejemplo 18. Hallar la solución aproximada del problema del mínimo del

funcional

1

∫

2 v[ y ( x )] = ( y ' + 2 y )dx; y (0) = y (1) = 0. 0

Solución. Tomemos ∆ x =

1− 0 5

= 0,2 y hagamos

଴ = (0) =0, ଵ = (0,2), ଶ = (0,4), ଷ = (0,6), Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

72

ସ = (0,8), ହ = (1)=0

Sustituyamos aproximadamente los valores de las derivadas mediante la fórmula

ᇱ௞ = ᇱ( ௞)≈ ௞ାଵ∆− ௞

Entonces,

ᇱ(0)= ଵ0,−02 , ᇱ(0,2)= ଶ0,−2 ଵ , ᇱ(0,4)= ଷ0,−2 ଶ , ᇱ(0,6)= ସ0,−2 ଷ, ᇱ(0,8)= 0−0,2 ସ.

La integral se calcula por el método de los rectángulos:

௕න ( ) ௔

≈ ( ( ) + ( ଵ) + ( ଶ) +⋯+( ௡ିଵ ) ∆ . ଶ ଶ ଶ ଶ − − − ଵ ଶ ଵ ଷ ଶ ସ ଷ Φ( ଵ, ଶ, ଷ, ସ) =ቈ൬0,2൰ +൬ 0,2 ൰ +2 ଵ +൬ 0,2 ൰ +2 ଶ +൬ 0,2 ൰ + ଶ ସ +2 ଷ +൬− 0,2൰ +2 ସ቉∙0.2 ଵ, ଶ, ଷ, ସ 10,2 ∙ Φଵ = 0,0ଵ2 − ଶ0,−02 ଵ +2=0, 10,2 ∙ Φଶ = ଶ0,−02 ଵ − ଷ0,−02 ଶ +2=0, 10,2 ∙ Φଷ = ଷ0,−02 ଶ − ସ0,−02 ଷ +2=0, 10,2 ∙ Φସ = ସ0,−02 ଷ + 0,0ସ2 +2=0, 2 − =−0, 0 4 ଵ ଶ =−0,0044 ൞−− −ଵଶ +2+2ଷ +2ଶଷ −−ସ =−0,ସଷ =−0. 04

Entonces,

Escribimos el sistema de ecuaciones para determinar las ordenadas de la línea quebrada:

o bien


73

La solución de este sistema es

ଵ =−0,08 ; ଶ =−0,12 ; ଷ =−0,12 ; ସ =−0,08 ଶ =−

Los valores de la solución exacta

2

en los puntos respectivos coinciden con los valores de la solución aproximada. ■

7.2. Método de Ritz. La idea del método consiste en que al hallar el extremo del funcional v[ y ( x)] se consideran, en lugar del espacio de las funciones admisibles, sólo las funciones que se pueden representar como combinaciones lineales de las funciones admisibles: n

y n ( x) =

∑α ϕ ( x) j

j

(32)

j =1

donde α j son unas constantes y el sistema ϕ j ( x) , llamado sistema de funciones coordenadas, está formado por funciones ϕ j ( x) que son linealmente independientes y que constituyen un sistema completo de funciones en el espacio considerado. Hablado en términos generales, cuando pedimos que las funciones y n ( x) sean admisibles, imponemos a las funciones coordenadas ϕ j ( x) ciertas condiciones complementarias como, por ejemplo, limitaciones en cuanto a la derivabilidad o en cuanto a la verificación de las condiciones de frontera. En estas combinaciones lineales el funcional v[ y ( x )] se convierte en una función de los argumentos α 1 , α 2 ,..., α n : v[ y ( x )] = Φ(α1 ,α 2 ,...,α n ) .

Determinamos los valores α 1 , α 2 ,..., α n que ofrecen extremo a la función Φ (α 1 , α 2 ,..., α n ) ; para ello resolvemos el sistema de ecuaciones


74

∂Φ ∂α j

(i = 1,2,..., n) ,

=0

no lineales, como regla, respecto a α 1 , α 2 ,..., α n , e introducimos en (32) los valores encontrados para α j . La sucesión { y n ( x)} que así resulta es una sucesión minimizante, o sea, la sucesión de los valores del funcional {v[ y ( x)]} obtenida a partir de ella converge hacia el mínimo o hacia la cota inferior del funcional J [ y ( x )] . Sin embargo, de limv[ yn ( x )] = min v[ y ( x )] n →∞

no se deduce aún que lim yn ( x ) = y ( x ) . La sucesión minimizante puede no n→∞

converger hacia la función que realiza el extremo en la clase de las funciones admisibles. Se pueden indicar las condiciones que garanticen que el mínimo absoluto del funcional exista y se alcance en las funciones { y n ( x)}. En el caso en el que se trate del extremo del funcional x2

v[ y ( x)] =

∫ F ( x, y, y ')dx ;

x1

y ( x1 ) = y1

y( x2 ) = y 2

estas condiciones son: 1. La función F ( x, y, z ) es continua respecto al conjunto de sus argumentos para cualquier z y para ( x, y ) ∈ D , donde D es un recinto cerrado del plano x 0 y al que pertenecen las líneas y n ( x) . 2. Existan unas constantes α > 0, p > 1 y β tales que F ( x, y, z ) ≥ z

p

+ β

cualquiera que sea z y para cualquier punto

( x, y ) ∈ D .

3. La función F ( x, y, z ) tiene la derivada parcial continua F z ( x, y, z) y esta derivada es una función no decreciente de z (−∞ < z < +∞) cualquiera que sea el punto ( x, y ) ∈ D . En particular, las condiciones enunciadas se cumplen para los funcionales Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

75

x2

v[ y ( x )] =

2 2  ( ) ' ( ) p x y q x y + + 2r ( x ) y  dx ∫

x1

y ( x1 ) = a

y ( x2 ) = b

donde p( x), q( x) y r ( x) son funciones dadas, continuas en [ x1 , x2 ] , con la particularidad de que existe la derivada continua p ' ( x ) de p ( x) y de que p ( x ) > 0 y q ( x ) ≥ 0 . Si por este método se determina el extremo absoluto del funcional, el valor aproximado de su mínimo se obtiene por exceso y el valor aproximado de su máximo, por defecto. Al aplicar este método, el éxito depende en gran medida de la elección adecuada del sistema ϕ j ( x) de funciones coordenadas. En muchos casos basta tomar la combinación lineal de dos o tres funciones ϕ j ( x) para obtener una aproximación bastante satisfactoria de la solución exacta. Si hay que determinar el extremo aproximado del funcional v[ z ( x1 , x2 ,..., xn )] que dependen de las funciones de varias variables independientes, se escoge un sistema de funciones coordenadas ϕ 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) , ϕ 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) ,… ϕ n ( x1 , x 2 ,..., xn ) ,…

y la solución aproximada del problema variacional se busca en la forma: m

z m ( x1 , x 2 ,..., x n ) =

∑ α ϕ ( x , x k

k

1

2

,..., x n ) ,

k =1

donde los coeficientes α k son unos números constantes. Para determinarlos se forma, por analogía con lo que hemos explicado, el sistema de ecuaciones ∂Φ ∂α k

= 0 ( k = 1,2,..., n)

donde Φ(α 1 , α 2 ,..., α n ) es el resultado de introducir z m en

el funcional v[ z ( x1 , x2 ,..., xn )] . Ejemplo 19. Hallar la solución aproximada del problema sobre el mínimo del

funcional

1

∫

v[ y ( x)] =  y '2 − y 2 + 2 xy  dx

(33)

0

y (0) = y (1) = 0

y compararla con la solución exacta. Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

76

Solución. Como sistema de funciones coordenadas ϕ k ( x) tomamos ϕ k ( x) = (1 − x) x k

( k = 1,2,...)

Es evidente que las funciones ϕ k ( x) satisfacen las condiciones de frontera ϕ k (0) = ϕ k (1) = 0 , son linealmente independientes y forman un sistema completo en el espacio C 1[0,1] . Para k = 1 tenemos y1 ( x) = α 1 ( x − x 2 ) . Introduciendo esta expresión de y1 ( x) en el funcional (33), obtenemos 1

∫

2 2 2 2 2 2 v[ y ( x )] = α1 (1 − 2 x ) − α1 ( x − x ) + 2 xα 1 ( x − x ) dx = 0 1

∫

= α12 (1 − 4 x + 4 x 2 − x 2 + 2 x3 − x4 ) + 2α 1 ( x 2 − x3 ) dx = 0

=

3 10

1

α12 + α 1 6

El coeficiente α 1 se determina de la ecuación ∂φ ∂α 1

de donde resulta α 1 = −

5 18

=

3 5

α 1 +

1 6

=0

. Por consiguiente, y1 ( x ) = −

5 18

x +

5 18

x2 .

Solución exacta. La ecuación de Euler del funcional considerado es y ' '+ y = x

Resolviendo esta ecuación lineal no homogénea, encontramos y = C 1 cos( x) − C 2 sen( x) + x .

Empleando las condiciones de frontera definitivamente

y (0) = y (1) = 0 ,

obtenemos


77

y = x −

sen( x ) sen(1)

.

Comparemos las soluciones exacta y aproximada: X

Solución exacta

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

0 -0,044 -0,070 -0,060 0

Solución aproximada 0 -0,052 -0,069 -0,052 0 ■

Ejemplo 20. Hallar la solución aproximada de la ecuación no lineal y ' ' =

que satisfaga las condiciones

3 2

y2

y (0) = 4 , y (1) = 1 .

Solución. A este problema de contorno le corresponde el problema variacional 1

∫

v[ y ( x)] =  y '2 − y 3  dx y (0) = 4

y (1) = 1

0

Buscaremos la solución en la forma y1 ( x) = 4 − 3 x + α 1 ( x − x 2 )

Es evidente que y1 ( x) satisface las condiciones de frontera dadas cualquiera que sea el valor de α 1 . Tenemos: 1

∫

v[ y ( x)] = α12 (1 − 2x) − 3]2 + [4 − 3 x + α 1( x − x 2 )]3  dx , 0

de donde ∂v[ y1 ( x)] ∂α 1

1

∫

= (1 − 2 x)2[α1(1 − 2 x) − 3] + 3( x − x 2 )[4 − 3 x + α 1( x − x 2 )] 2  dx 0


78

La condición

∂v[ y1 ( x)] ∂α 1

= 0 toma la forma 2

9α 1 + 490α 1 + 1407 = 0

y para α 1 = −3,0413 obtenemos la solución del problema y1 ( x ) = 3,0413 x 2 − 6,0413 x + 4

positiva en todos los puntos. ■

7.3. Método de Kantoróvich. Este método ocupa un lugar intermedio entre la resolución exacta del problema y el método de Ritz, y se utiliza en la investigación de los extremos de funcionales v[ z ( x1 , x2 ,...xn )],

dependientes de funciones de varias variables independientes ( n ≥ 2 ). Al igual que en el caso del método de Ritz, elegimos un sistema coordenado de funciones {ϕ k ( x1 , x2 ,...xn ) y buscamos una solución aproximada de la forma m

zm =

∑α

k

( x j )ϕ k ( x1 , x2 ,... xn ) ,

k =1

pero ahora los coeficientes α k ( x j ) son funciones desconocidas de una de las variables independientes. m

En las funciones de la forma zm =

∑α

k

( x j )ϕ k ( x1 , x2 ,... xn ) el funcional

k =1

v[ z ( x1 , x2 ,...xn )] se transforma en el funcional

v (α1 ( x j ),α 2 ( x j ),...,α m ( x j )),

dependiente de funciones α1 ( x j ),α 2 ( x j ),...,α m ( x j ). Estas funciones se eligen de tal manera que el funcional v alcance su extremo, y se determinan a partir de las condiciones necesarias de extremo del funcional v . Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

79

Para las mismas funciones coordenadas {ϕ k ( x1 , x2 ,... xn )} y con el mismo número de términos de la aproximación, utilizando el método de Kantoróvich obtenemos una solución aproximada más exacta, en general, que por el método de Ritz. Ejemplo 21. Hallar la solución aproximada de la ecuación de Poisson ∆ z = −1 en el rectángulo D = {−a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b} , con la condición z = 0 en la

frontera de la región D. Solución: La ecuación ∆ z = −1 es la ecuación de Euler-Ostrogradski del

funcional

 ∂ z  2  ∂z  2  − 2 z dxdy. v[ y ] = ∫∫   +    D   ∂ x   ∂y  La solución se busca en la forma 2

2

z1 ( x, y) = (b − y )α ( x );

la función z1 ( x, y ) satisface las condiciones de contorno del problema en las rectas y = ±b. Sustituyendo este valor de z1 en el funcional v[ y ] anterior, obtenemos a

v[ z1 ] =

 16 5 2 8 3 2 8 3  ∫−a  15 b α ' + 3 b α − 3 b α  dx.

La ecuación de Euler de este funcional es 5

α ''−

2b

2

α = − 5

4b

2

Se trata de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes y su solución general es

α ( x) = C1ch

5 x

⋅

2 b

+ C2 sh

5 x

⋅

2 b

1

+ . 2

Las constantes C1 , C 2 se hallan a partir de las condiciones de contorno

α (− a ) = α (a ) = 0, 1

lo cual proporciona C 2 = 0, C 1 = − 2ch

5 a

, de manera que

⋅

2 b


80

 ch 1 α ( x) =  1 − 2  ch 

5 x 

⋅



⋅



2 b . 5 a 2 b

Así pues,

 ch 2 2 b −y  1 − z1 ( x, y ) = 2   ch 

5 x 

⋅



⋅



2 b . 5 a 2 b

Para obtener una aproximación más exacta se puede buscar la solución del problema en la forma 2 2 2 2 2 z2 ( x, y ) = (b − y )α1 ( x ) + (b − y ) α 2 ( x ). ■

7.4. Métodos variacionales de búsqueda de valores propios y funciones propias 7.4.1 El problema de Sturm-Liouville. La ecuación de Sturm-Liouville

− ( ( ) ᇱ) + ( ) = ( ) =0, ( ) =0 ( ) >0 ≡0 ()

con condiciones

(33) (34)

donde tiene derivada continua y es continua, siempre tiene la solución trivial (nula) para todo real o complejo.

Definición 14. La ecuación (33) con las condiciones de contorno (34) se denomina problema de contorno de Sturm-Liouville (33)-(34). Los valores del parámetro para los cuales el problema de contorno (33)-(34) tiene soluciones no triviales se denominan valores propios y las propias soluciones, funciones propias del problema de contorno dado.

()≠0,

La ecuación (33) es la ecuación de Euler del siguiente problema de extremo condicionado: hallar el mínimo del funcional

௕ ሾ ሿ =න௔ ( ᇱଶ + ଶ)


(35) 81

con las condiciones (34) y

௕න ( )ଶ ௔

()

=1

(36)

Si cierta función es solución de este problema variacional, entonces, en virtud de la condición (36), también es una solución no trivial del problema (33)-(34). Por eso, los valores propios y las funciones propias del problema de contorno de Sturm-Liouville se llaman también valores propios y funciones propias del funcional (35) con las condiciones (34) y (36). La función propia

()

se denomina función normalizada si

௕න ( )ଶ =1 ௔ ଷ ሾ ሿ =නሾ଴ (2 +3)ଶ ᇱଶ − ଶሿ ଷ (0)=0, (3)=0, න଴ ( )ଶ

Ejemplo 22. Hallar los valores propios y las funciones propias del funcional

con las condiciones

=1.

Solución. La ecuación de Sturm-Liouville es

o bien,

− − ( 2 +3)ଶ ′) = , (2 +3)ଶ ᇱ +4(2 +3௧ ) ᇱ + ( +1) =0. 2+3= ଶ 4 ଶ +4 + ( +1) =0. 4 ଶ+ 4 + + 1 = 0

(37)

Mediante el cambio de variables la ecuación anterior se reduce a la ecuación lineal con coeficientes constantes

Su ecuación característica

tiene raíces


(38) 82

1 1 =− ± ଵ,ଶ 2 2 √ − .

Consideremos tres casos: 1.

<0.

Entonces la solución general de la ecuación (38) es

() = ଵ ௞భ௧ + ଶ ௞మ௧, ଵ ଶ ( )= ଵ(2+3)௞భ + ଶ(2+3)௞మ. ଵ =0 ଶ =0. ()≡0. =0. () = ( ଵ + ଶ ) ିଶ௧, ( )=( ଵ + ଶ ln(2 +3)) √ 2 1+3. =0 =0. ଵ ଶ ()≡0. >0. ଵ,ଶ =− ଵଶ ± √ ଶఒ () = ିଶ௧ ቆ ଵ cos √ 2 + ଶ sin √ 2 ቇ. , √ √ ( ) ( ) cosቆ l n 2 +3 ቇ + si n ቆ l n 2 +3 ቇ ଵ ଶ 2 2 ( )= . (39) √ 2 +3

donde (37) es

y

son números reales. La solucioón general de la ecuación

Utilizando las condiciones de contorno del problema obtenemos que Luego 2.

Entonces,

es decir,

De las condiciones de contorno obtenemos que

3. Entonces ecuación (38) es

Regeresando a la variable

Luego

y la solución general de la

resulta

Las condiciones de contorno proporcionan


83

ଵ cosቆ√ 2 ln(3)ቇ + ଶ sinቆ√ 2 ln(3)ቇ =0 ଵ cosቆ√ 2 ln(9)ቇ + ଶ sinቆ√ 2 ln(9)ቇ =0

(40)

El sistema tiene soluciones no triviales si su determinante es igual a cero:

o bien

es decir,

√ 2 ln(3)ቇ sinቆ√ 2 ln(3)ቇ cosቆ ተcosቆ√ 2 ln(9)ቇ sinቆ√ 2 ln(9)ቇ ተ =0, sinቆ√ l n3− √ 2 ln3ቇ=0, sinቀ√ ଶఒ ln3ቁ=0, √ ଶఒ ln 3= . ଶ ଶ 4 ௡ = lnଶ3 , =1,2,…. de donde

Los valores propios son

Tomando cualquier ecuación del sistema (40) y sustituyendo el valor de por obtenemos

௡

ଵ cos + ଶ sin ଵ =0.

=0,

మ మ ସ௡ గ =0 = ଵ ௡ ୪୬మଷ , ( ) l n 2 +3 si n ൬ ൰ l n 3 ௡( ) = ௡ √ 2 +3 , =1,2,… ௡ ଷන ௡( )ଶ =1, ଴ 2 =± ௡ √ ln 3.

de donde se tiene que Haciendo en (39) obtenemos las funciones propias del problema dado:

Los coeficientes

y

se hallan de la condición de normalización

lo cual proporciona


84

Entonces,

( ) l n 2 +3 si n ൬ ൰ 2 l n 3 ௡( )=± √ ln 3 √ 2 +3 , =1,2,…

■

Los valores propios y las funciones propias del problema variacional (35), (34), (36) poseen una serie de propiedades importantes.

௠ ௡

௠( ) ௡( ) ௕න ௠( ) ௡( ) =0, ௔ ௡

1. Si y son dos valores propios diferentes del funcional (35) con las condiciones (34) y (36), e e son las correspondientes funciones propias, entonces estas funciones son ortogonales, es decir,

≠. ௡( )

2. Todos los valores propios del funcional (35) son reales. 3. Si es un valor propio del funcional (35), e es su función propia normalizada correspondiente, entonces

௡

ሾ ௡( )ሿ = ௡.

4. El menor de los valores propios coincide con el mínimo del funcional (35) con las condiciones (34) y (36).

7.4.2 Principio de Rayleigh. Consideremos el problema de valores propios

donde

ሾ ሿ =− ൬ ( ) ൰+ ( ) = ( ) , (41) ଶଶ + ଵଶଶ >0, ଵ൜ ଶ (( )) ++ ଵଶ ᇱᇱ(( )) =0, ଵ (42) =0, + >0, ( ), ᇱ ( ) , ( ), ( ) ሾ , ሿ ( ) >0 ሾ , ሿ. () (∈) () son continuas en

y

en

Definición 15. La función

se denomina función admisible dos veces diferenciable y satisface las condiciones de contorno (42). Supongamos que para toda función admisible

si es

se cumple la condición


85

௕න ௔

.

ሾ ሿ ≥0.

En este caso el problema de contorno (41)-(42) tiene sólo valores propios reales

()

Al problema de valores propios se le puede poner en correspondencia el siguiente problema variacional: entre todas las funciones admisibles tales que

hallar la función para la cual

Sea Si

ଵ

= ଵ( )

௕න ( ) ଶ ௔

௕௔ ሾ ሿ ௕௔ ( ) ଶ

>0,

(43)

= .

la solución de este problema.

es el valor propio mínimo, es decir, si

ଵ

௕ ௕ ሾ ሿ ሾ ሿ ଵ ଵ ௔ ௔ ଵ =mi௬∈஽n ௔௕ ( ) ଶ = ௔௕ ଵଶ ଵ( )

entonces es el menor valor propio positivo, y correspondiente.

,

es su función propia

Si, además de las condiciones (43), sobre las funciones admisibles se impone la condición

௕න ଵ ௔ ௕௔ ሾ ሿ ௕௔ ଶ ଶ ( ).

=0

(condición de ortogonalidad), entonces el problema

=

tiene nuevamente cierta solución

ଶ

( ) ( ) ≥ ଶ ଵ ଶ ଵ ( ).

ଶ

Si es el valor propio mínimo correspondiente, entonces es el siguiente valor propio en magnitud , y es su función propia correspondiente, ortogonal a En general, si ya se conocen los primeros valores propios positivos Universidad de Almería. | Cálculo Variacional.

86

ଵ ≤ ଶ ≤⋯ ≤ ௞

y su sistema ortogonal de funciones correspondientes

ଵ ( ), ଶ ( ) , … , ௞ ( ), ௕ ሾ ሿ ௔ =mi n ௞ାଵ ௬∈஽ ௔௕ ଶ ,

entonces el siguiente valor propio es

con la particularidad de que ahora se consideran las funciones admisibles que, a excepción de (43), cumplen las condiciones adicionales

௕න ( ) ௩( ) ( ) ௔

=0, =1,2, … , . ( ) >0 ሾ ଵ,, ሿ ௕ ≤ଵ ௔௔௕ ሾଶ ሿ .

Si en la ecuación (41) la función en superiormente el menor valor propio positivo desigualdad ( principio de Rayleigh)

, entonces para estimar a menudo se utiliza la

Ejemplo 23. Utilizando el principio de Rayleigh, estimar

contorno

()

ଵ

en el problema de

− ᇱ = ; ᇱ ᇱ(0) =0, (1) =0. ሾ ሿ ( ) ( ) =− , ≡1>0, ()≡0 ≡ ሾ0,1ሿ. ଶ + ଶ =1>0. ଵ =0, ଵ =1, ଶ =1, ଶ =0, ( )= 1>0ଵଶ + ଶଵଶ =1>0, 1− . ଵ ଵ ଶ 4 ሾ ሿ 2(1− ) ൗ ଴ ଴ ଵ ≤ ଴ଵ ଶ = ଴ଵ(1 − ଶ) = 8ൗ153 =2, 5 =ଵ గସమ ≈2,4674. Solución. En este caso

es decir,

y en Evidentemente, de modo que Tomemos como función admisible De acuerdo con el principio de Rayleigh tenemos

El valor exacto es

■


87

8. Biografías 8.1. Leonha d Euler

(Basilea, Suiza, 170 7-San Petersburgo, 1783) Matemáti o suizo. Las facultades que desde te prana edad demostró para las matem ticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, u o de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la niversidad de Basilea. Tras graduarse n dicha institución en 1723, cuatro año más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en sociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con o ro miembro de la familia Bernoulli, aniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. A causa de su extre a dedicación al trabajo, dos años más arde perdió la visión del ojo derecho, echo que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, ño en que por invitación de Federic el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las for as del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales método de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fá il aplicación a problemas de física. C on ello configuró en buena parte la s matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría lu ego con otros resultados destacados e el campo de la teoría de las ecuacion s diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones tri onométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).

Universidad de Almería. | Cálculo Vari cional.

88

En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos. En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783. A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d’Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo. De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.


89

8.2. Karl Gustav Jacobi

(Potsdam, actual Alemania, 1804-Berlín, 1851) Matemático alemán. Hijo de una familia de banqueros de origen judío, estudió en la Universidad de Berlín, donde se doctoró en 1825. Convertido al cristianismo, tuvo oportunidad de acceder a un puesto de profesor en la Universidad de Königsberg. Destacadísimo pedagogo, influyó en numerosas generaciones posteriores de matemáticos alemanes. Sus trabajos más relevantes se produjeron en el campo del álgebra, en el que introdujo y desarrolló el concepto de determinante, aplicándolo así mismo al estudio de las funciones de variables múltiples. Entre 1826 y 1827 estableció, independientemente del noruego Niels Henrik Abel, los principios fundamentales de la teoría de las funciones elípticas. En el ámbito de la teoría de números, demostró el teorema de Bachet sobre el total de las descomposiciones posibles de un entero, y en el de la mecánica física, trató con profundidad y rigor el problema de los tres cuerpos. Su obra más notable es sobre la formación y propiedades de los determinantes (1841).


90

8.3. Adrien

arie Legendre

(París, 1752-Auteuil, rancia, 1833) Matemático francés. Tras completar sus estudios en el Collège azarin, entró a trabajar en la Escuela ilitar, para la que completó un estudi sobre la trayectoria de los proyectiles que le supuso el Premio de la Academia e Berlín en 1782. A partir de 1795 ense ó matemáticas en la École Normale. En sus primeros tra ajos, centrados en la mecánica, intro ujo conceptos como la función que lle a su nombre o la primera demostración del método de los mínimos cuadrados. Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las funciones elípti cas y las redujo a tres formas básicas. Fue el primero en dedicar una obra est ictamente a la teoría de números, ámb to en el que obtuvo resultados fundam ntales como la demostración en 1830 d la ley de la reciprocidad cuadrática. En 1794 publicó los Elementos de geometría, una versión reordenada y simplificada de la obra riginal de Euclides, que fue traducida a más de treinta idiomas.

8.4. Karl Weiertrass


91

Karl Weierstrass. Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Berlín, 1897) Matemático alemán, e hijo de un oficial a las órdenes de Napol ón, Karl era el mayor de cuatro herm nos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la famili a trasladarse constantemente. Con ca orce años, Karl fue aceptado en la esc ela católica de enseñanza secundaria d Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Unive sidad de Bonn para estudiar comerci y finanzas. Sin embargo, estas aterias no le interesaban y pasó la m yor parte del tiempo bebiendo, practic ndo esgrima y leyendo libros de matemáticas. En 1839 fue aceptad en la Academia de Teología y Filosof a de Münster, donde encontró la insp ración matemática de manos de Chris of Guderman. Éste le introdujo en la t oría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. u primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas. Durante los quince a enseñanza secundaria. una publicación mate matemática con su geni Universidad de Königsb Universidad de Berlín.

os siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de n 1854 envió un trabajo sobre funcio es abelianas a ática de prestigio, y sorprendió a la comunidad . Por este trabajo recibió el doctorado onorífico de la rg y en 1856 fue aceptado como profeso asociado en la

Abrumado por las en rmes responsabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, ue le apartó de las aulas dos años. A p sar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el rest de su vida. Desafortunadamente, tr s los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas h sta que murió víctima de una neumoní .


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calculo-variacional

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