Cálculo para Ingenieros Cap 1

7.:

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cALcuLo PARA INGENIERoS Todos los derechos reservados. Queda prohibida, salvo excepci6n prevista en la ley, cualquier forma de reproducci6rg distribuci6n, comunicaci6n prlbtica y hansforriraci6n de esta obra sin cJntar con la autorizaci6n de los autores y/o editores. La infracci6n de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual. @ Daniel Franco Lei+ Esther Gil Cid, Luis Manuel Ruiz Virumbrales

O EDITORIAL SANZ Y TORRE9

S.

c/ Pinos Alta,49 - 28029 Madrid 8902400 415 -913L45599

L.

www.sanzytolTes.com [email protected]

www.sanA/torres.com/ editorial [email protected] ISBN: 978-84 -92948 -25-g Dep6sito legal: M-7537 4-2010 Imagen de portada: ]ohann Carl FriedrichGauss

Composici6n: Ana Diaz Hemdndez, Daniel Franco Leis, Esther Gil cid, Elvira Hern6nd ez GarcIa Impresi6n: Edigrafos, S. A. c/ Yolta,2, pol. Ind. San Marcos, 2g906 Getafe (Madrid) Encuademaci6n: Felipe Mdndez,S'

A'

cif Del Carb6n,

6

y

8, Pol.

Ind. SanJos6 de Valderas ZZ}g:rll,egan6s (Madrid)

-*t

-=-.,-\

VI

INDICE GENERAL

2.5.

Ej

2.4.2. Mdtodo de Newton 2.4.3. puntos fijos de funciones

84

2.5.1.. Motivaci6n

92

2.5.2. Teorema de Rolle 2.5.3. Teorema del valor medio 2.5.4. Funcionesmon6tonas

92 93

94 96

ercicios de Autoevaluaci6n

98

Aplicaciones de la derivada 3.1. El Teorema de Taylor 3.1.1. Motivaci6n 3.7.2. Derivadas sucesivas

3.1.3. El Teorema de Taylor 3.2. Aplicaciones a series y sucesiones

101

102/ L02 102 105

de fuciones

3-2.'J,. Motivaci6n 3.2.2. Derivaci6n de sucesiones de funciones 3.2.9. Funciones analiticas 3.3. Interpolaci6n polin6mica . 3.3.1. Motivaci6n 3:3.2. Interpolaci6n 3.4. Optimizaci6n. Extremos relativos y absolutos 3.4.1,. Motivaci6n 3.4.2. Extremos absolutos 3.4.3. Extremos relativos 3.5. Concavidad y convexidad . 3.5.1. Motivaci6n Concavidad y convexidad ,r^_-,r l_t de , Ej ercicios Autoevaluaci6n

4.

88

Teoremas de Rolle y del valor medio

Integral de Riemann 4.1. Definici6n de integral de Riemann 4.1.1. Motivaci6n 4.1.2. Integral definida 4.1,.3. Integral indefinida 4.2. Teoremas fundamentales . 4.2.1. Motivaci6n

4.2.2.

Teoremas fundamentales del Ciilculo

111 171. 111

115

r17 1.77

118

723

t23 123 128 732 1,32

133

737 139

740 140 740

I45 146 146 746

iuolcE GENERAL vrr .[.3. Cdlculo de integrales 4.3.1. Motivaci6n

&{ e5-

1-3.2. Algunas t6cnicas de integraci6n Integraci6n num6rica 4.4.1. Motivaci6n 1-4.2. Lrtegraci6nnum6rica Paso al limite en integraci6n 4.5.1. Motivaci6n 1.5.2. Integrales impropias .1.5.3. Sucesiones funcionales e integrabilidad

Hiercicios de

Autoevaluaci6n

150 150 150 1.67 1.67

L68 175 175 175

.

S, Funciones

de varias variables 5-1- El espacio IR' .

5.1.1. Motivaci6n 5.L.2. El espacio IR". Primeras definiciones 5.1.3. Coordenadas polares, cilindricas y esf6ricas

52

Funciones de varias variables 5-2.7. Motivaci6n 5.2.2. Funci6n de varias variables 5.2.3. Limite de una funci6n en un punto. Continuidad 5-3. Derivada parcial. Gradiente 5.3.1. Motivaci6n 5.3.2. Derivada parcial 5.3.3. Gradiente l-{- Derivadas de orden superior 5.4.1.. Motivaci6n 5.4.2. Derivadas de orden superior 5.5. Derivada direccional 5.5.1. Motivaci6n 5.5.2. Definici6n de derivada direccional . . . Eiercicios de Autoevaluaci6n

6.

Aplicaciones de la diferencial 6.1. Diferencial de una funci6n 6.1..1.. Motivaci6n 6.1..2. Funci6n diferenciable. Plano tangente 6.2. Regla de la cadena. Teorema del valor medio

183 185

187 188 188 188

194 198 198

199

204 214 21.4

214 219 221 221.

221

224 224

225 229

23L 232 232 232

240

vrrr ixucr

GENERAL

6.2.1. Motivaci6ir 6.2.2. Regla de la cadena 6.2.3. Teorema del valor medio 6.3.

Teorema de la funci6n implicita

6.3.1,. Motivaci6n

6.3.2. Teorema de la funci6n implicita

6.4.

Valores extremos

6.4;1".

Motivaci6n

. .l .

.

...

i

6.4.2. Extremos absolutos. Extremos relativos

6.5.

Extremoscondicionados

6.5.1. Motivaci6n 6.5.2. M6todo de los multiplicadores de Lagrange Ei ercicios de Autoevaluaci6n

240 240 246 250 250 250 258 258 259 269 269 270

278

Soluciones eiercicios de autoevaluaci6n

28L

indice de Figuras

289

indice Alfab6tico

En este capitulo comienza su estudio delcdlculo inJinitesimal. En esencia esta rama de las matemdticas obtiene informaci6n realizando un proceso conocido como paso aI limite. Para poder realizar este proceso es necesario trabajar con los nfmeros reales puesto que los racionales no gozan de pro-

piedades suficientes al no verificar el Axioma del supremo que estudiaremos muy pronto. El siguiente diagrama describe esquem6ticamente el capitulo. Como ve, despu6s de estudiar los nfmeros reales, introduciremos los conceptos de sucesi6n y serie de nrimeros reales. Ambos conceptos est6n estrechamente relacionados y nos llevar6n a la idea de convergencia y suma infinita. A continuaci6n estudiaremos las funciones y veremos que es posible realizar pasos al limites al acercarnos tanto como queramos a un punto o al infinito. A partir del limite en un punto llegaremos al concepto de continuidad. Finalmente, generalizaremos los conceptos de sucesi6n y serie de nrimeros a sucesi6n y serie de funciones viendo c6mo podemos definir dos tipos de convergencia y sus propiedades.

11

12 Cnriruro 1 /

El paso al lfmite

1.1. El espacio R 1.1".1. Motivaci6n

Introducci6n Nuestro primer contacto con el cdlculo infinitesimal ser6 a trav6s de los ntimeros reales. No es casualidad. Los nfmeros reales son los adecuados para medir magnitudes del mundo real y Por lo tanto forman la base sobre la que trabajaremos. Aunque no vamos a construir el conjunto de los nfmeros reales de forma rigurosa, presentaremos algunas de las propiedades que poseen y que los diferencian de los nrimeros racionales.

Orientaciones Este tema deberia ser de rePaso patala mayoria de los lectores. Si no piigina: puede seguirlo necesita mejorar su PreParaci6n matemdtica, por ejemplo, http://ocw.innova. uned.es/ consultando el Curso 0 de la UNED.

Curso 0, Se tra en la

encuen-

matematicas-industriales/

Obietivos esta parte del libro entender6 la necesidad de considerar nrimeros reales y algunas de las propiedades m6s importantes que verifican. Prestaremos especial atenci6n al Axioma del supremo Porque eS um

Al finalizar

pieza clave para el desarrollo del cdlculo infinitesimal. Pero por ejemplo, tambi6n veremos c6mo el valor absoluto permite medir distancias y definir intervalos.

1,,L.2. Los nrimeros reales Los nfmeros naturales, N : {7,2,3,...}, sirven para contar; los nG meros enteros, Z: {...,-2 - 1,0,2,...}, permiten realizar operacionee con nrimeros naturales en las que se pueda quedar a deber, es decir, resta$ los nrimeros racionales, Q : {oa t P,Q € Z, q I 0}, abren el camino de las proporciones. Utilizando los nfmeros anteriores podemos describfo multitud de fen6menos naturales y de la vida cotidiana. Sin embargo, yu hace mucho tiempo que los cientlficos observaron que eran necesarios mfu nfmeros. Veamos un ejemplo. Consideremos el tridngulo de la Figura l-L

F

I

1.1EIespacio IR. 13

Figura

1".1:

Triiingulo rect6ngulo de base y altura

1.

Aplicando el Teorema de Pit6goras obtenemos que la hipotenusa de ese tri6ngulo verifica

h2:12 +L2. Por lo tanto,la longitud de la hipotenusa del tridngulo es h : /2. No es dificil demostrar que tal longitud no es un nfmero racional y por 1o tanto es un ejemplo de magnitud real que no puede ser descrita con los conjuntos de nfmeros N, Z o Q. Podriamos construir un nuevo conjunto de nrimeros que incluyese a las raices, cuadradas o de orden u,tperior ({2, {2,...), de nrimeros racionales. Pero pronto veriamos que nos siguen faltando ntimeros, puesto qlrer,la relaci6n universal entre la longitud de una circunferencia y su didmetro, no perteneceria a ese nuevo conjunto. El conjunto que estamos buscando es el conjunto de nfmeros reales que denotaremos por IR. y al que pertenecen lZ y . Los nrimeros racionales " son un subconjunto propio de IR con Io cual tenemos la siguiente cadena de inclusiones

NcZcQclR.

Belleza matem6tica.

Si

est6 interesado puede en-

contrar

la

prueba

de

la

irracionalidad de vD en el libro Apologia de un Matumrtilco

de G.H. Hardy, en donde aparece como ejemplo de belleza matem6tica.

La

construcci6n rigurosa

de R queda fuera de

los

objetivos de este curso. Sin

embargo, debe saber que esa construcci6n estd estrechamente ligada al cdlculo

infinitesimal puesto que se Adem6s, el complementario de Q en IR, es decir, el conjunto formado puede realizar completando Q con los limites de ciertas por los ntimeros de IR que no son racionales, se denota por II y estd formado sucesiones de nfmeros

por los llamados nfmeros irracionales.

racionales.

L4 Clpiruro 1 /

El paso al limite Los nfmeros reales se pueden representar grdficamente como los puntos de una recta. A esa recta se la llama recta real o recta de los nfmeros reales.

-t

I o |

-tn2 e |

|

rt

| o I

eiT o

lo

-3-2-70123 Figura 1.2: Recta real con algunos elementos representados.

Operaciones

En IR se pueden definir las mismas operaciones que ya utilizdbamos con los nrimeros racionales y que le daban a estos riltimos una estructura algebraica, es decir,las operaciones internas de suma y producto. Con esas dos operaciones IR tiene la misma estructura que Q. Por otro lado, dados dos elementos r, g pertenecientes a IR tambi6n es posible ordenarlos. Intuitivamente r serd menor o igual que g (escribiremos r < A) si la representaci6n de r en la recta real estd a la izquierda de la de A o r : A.De forma similar r serd menor queA (escribiremos r < gr) si la representaci6n de r en la recta real est6 a la izquierda de la de g. Como es habitual, llamaremos nfmeros negativos a los que son menores que 0 y positivos a los que son mayores.

Maxima: $ se escribe "3/5"; Elnnnnro 1.1.

A la vista de la Figura1,.2

2son el nf mero ?T' se escribe sigualdades e
correctas las siguientes de-

La primera y la segunda son correctas puesto que e estd a la izquierda de n y a la derecha de 1. La tercera es incorrecta puesto que ln 2 no estd a la izquierda de -t. r El siguiente resultado establece las propiedades del orden que acabamos de introducir.

I

1.1 El espacio

E;rnnrro L.2. Utllizando las propiedades anteriores mostremos qtrc junto con z I ut implica r I z I y + w.

rI

R

l

y

Sumando z en primera desigualdad y utilizando la relaci6n del orden con la suma resulta r I z 4 lJ + z.Sumando 3l en la segunda desigualdad resulta z -fy 1w I z. Ahora, puesto queU I z : z *?lpor serla suma commutativa, podemos utllizar la propiedad transitiva para obtener la relaci6n

buscadarlzl7+uD.

r

Valor absoluto

Por lo tanto, el valor absoluto de un nrimero real es un nfmero positivo Maxima: el valor absoluto siempre que el nfmero no sea 0. Griificamente, el valor absoluto de r se 2, 2j , se escribe "abs(2)'. corresponde con la distancia entre ese nfmero r y elO en la recta real. Extendiendo este hecho llegamos al concepto de distanciapara dos nfmeros reales cualesquiera. Distanciaentrerei *1,

Entre las propiedades del valor absoluto caben destacar las siguientes.

ra

-

gl,

r

16 Capfruro 1 /

El paso al limite

E;rnapro 1.3. Razonemos la veracidad o falsedad de la siguiente afirmaci6n: r < s implica l"l < lal. La afirmaci6n indica que si un nfmero es menor que otro su distancia al cero es menor que la distancia al cero del mayor, lo cual, si tenemos en cuenta a los nfmeros negativos, parece falso. Contraeiemplo. Si queremos Para demostrar la falsedad es suficiente encontrar un par de valores demostrar que una afirma- para los que no se cumpla. Si por ejemplo tomamos r : -2 e A : I resulta ci6n no es cierta en general, que-2 1,pero < l-21:2 > l1l. es suficiente encontrar un caAnimamos al lector a que represente los valores anteriores y otros en Ia so en el que no se cumpla, es decir, un contraejemplo. recta real y observe lo que ocurre al considerar su valor absoluto. r

1:

Intervalos Los intervalos son los subconjuntos de la recta real formados por una lo tanto, intuitivamente, los segmentos de la recta real y las semirrectas son intervalos. A partir de a y b nfmeros reales con o, < b, rrtilizando la relaci6n de orden, podemos definir los siguientes intervalos que coinciden con distintos tipos de segmentos entre a y b: sora pieza. Por

: {r e IR : a 1r l-b} la,b) :{z e IR : a I r I b}

(a,b)

la,b): {re IR:alrq[], Los nfmeros o y

Infinito. El simbolo infinito

oo se lee

y si tiene un

signo menos delante menos infinito.

l

I

(Intervalo abierto), (Intervalocerrado),

(a,bl:{re IR:a
reciben el nombre de extremos del intervalo. Por otro lado, a partir de un ntimero rear a podemos definir los siguientes intervalos que coihciden con semirrectas que parten de a: (o,

-) : {r

b

e IR : o <

r}

(Intervalo abierto),

I F

lR. W

1.1 El espacio

*) : {r e IR. : a ( r} (Intervalo cerrado), [-oo, r) : {r e lR. : r < o} (Intervalo abierto), (--, o] : {r € IR : z < a} (Intervalo cerrado).

[o,

Grdficamente los intervalos se representan mediante par6ntesis y corchetes sobre la recta real. En la Figura 1.3 aparecen rePresentados los intervalos (-f , - In2) y (e,r).

Figura 1.3: Intervalos

a

l

Intervalos degeneradm. Tambi6n son inten'alc la,al: {o},(o,"):0f (-oo, oo) : ng.

(-t, - ln 2) y (e,rl'

Para los intervalos definidos a partir de dos ntimeros reales, a b,podemos calcular el punto medio del intervalo, que es

y b con

a*b 2

A este punto medio tambi6n se Ie llama centro del intervalo y a la distancia Radio y centro lo (o, b) desde 6l a cualquier extremo del intervalo se conoce como radio del interlg#. si damos Ia vuelta al procedimiento que hemos valo y su valor radio <+ "t dados intervalos definir seguido para definir el centro y el radio podremos su punto medio c y su radio r siendo r ) 0:

("- r,c*r), ("-r,clr], l"-r,c1-r), l"-r,c*r]. Puesto que lr - cl es la distancia entre el punto r y eI punto c/ no es

dificit comprobar que los intervalos cerrados y abiertos con centro c y radio r pueden describirse utilizando el valor absoluto del siguiente modo:

("-r,c*r) : {r e IR : lr-cl < r} y lc-r,clrl: {r e IR : lr -cl 3r}. Eynvrruo 1.4. Dado el intervalo abierto (1,4) calculemos su centro, radio y describdmoslo utilizando el valor absoluto.

ytnradio Elcentro delintervalo (1,4) esc: +:9 Por lo tanto, utilizando el valor absoluto tenemos que

r : 14- tl:8.

51 3l (r.4\:1".m'l , (-rl'zJ

r

I

de un

inten'a

L:rtervalo dado su centro c

radio

r>0

c-r

c* r

y

18 Cepirurol /

El

al l(mite

Eyrvrnro 1.5. Los puntos quq se encuentran a distancia menor o igual que fr aA punto -1 forman un intervalo. Calcul6moslo. Recordando que la distancia se define a partir del valor absoluto tenlmos que los puntos que se encuentran a distancia menor o igual que rt det punto -1 son los pertenecientes a

.3}. {rem:lr-(-1)l ' ' ''-10J' [ Por lo tanto, el conjunto coincide con el intervalo cerrado de centro radio ft,es decir,

-1 y

[-'- rt,-,. +] : [-]; -*] I Conjuntos acotados. Axioma del supremo

Al final de este apartado descubriremos la propiedad mds importante de los nfmeros reales frente a los racionales. pero para llegar a ella necesi-

tamos algunas definiciones.

Eynvrnro 1.5. Mostremos que el ndmero subconjuntos

A:{reQ:22<7}

rt

"s

una cota superior para los

y B:{reR:12<7}.

Efectivamente, puesto que tanto los elementos de A como los de B veri1 7, se tiene que l"l < {f ,luego r < /7.

flcan 12

En el ejemplo anterior podemos observar qrc mado por nrimeros racionales, pero rt e g.

! I

-

I

r

\n /

A,porque est6 for-

Claramente, dado un nfmero c que es una cota superior para un subconjunto A, cualquier otro nfmero mayor que c tambi6n es una cota superior. Por lo tanto, si hay una cota superioq, entonces hay infinitas. pero, no para todos los subconjuntos de nrimeros reales podremos encontrar una cota superior.

Eluunro L.7. Mostremos

que N

c

IR.

no tiene cotas superiores.

Razonemos por reducci6n al absurdo. supongamos que N si tiene cotas Reducci6n al absurdo. Si superiores y tratemos de llegar a una contradicci6n. Si c fuese una cota su- queremos demostrar que alperior para N se tendria n cpara todo n € N lo que resulta imposible. go no puede ocurrir pode mos suponer que ocr[Te 1Porque si existiese esa cota superior,la podriamos escribir en formato decibuscar una contradicci6n que mal y tomar su parte entera que seria un nfmero natural. sumando 2 a ese nos indique que la premisa nrimero natural obtendriamos otro numero natural mds grande que la cota de partida era falsa. superior lo que representa una

I

contradicci6n.

r

Daremos un nombre a los conjuntos que tienen la propiedad de poseer al menos una cota superior.

De forma aniiloga a 1o anterior introducimos las siguientes definiciones.

Tambi6n daremos nombre a los conjuntos que tienen cotas superiores e inferiores.

EyEuno 1.8. Estudiemos

'

la acotaci6n de N

c

IR.

Cluru-"nte 0 es una cota inferior para N, por lo que N est6 acotado inferiormente. Pero no superiormente como vimos en el Ejempro1..7.por lo tanto, N no est6 acotado.

I

20 Clpiruro 1 /

El paso al limite EJEMPLo 1.9. Estudiemos la acotaci6n del intervalo [n,3e2]. El intervalo [n, 3e2] es un conjunto acotado Porque fl-es una cota inferior r y 3e2 es una cota superior.

y como hemos visto, si conocemos una cota superior para un conjunto, podemos encontrar un ntimero infinito de cotas superiores, todas Tal

ellas mayores que la conocida. Luego si conoci6semos la cota superior mds pequefla conoceriamos todas las cotas superiores. Llamaremos supremo de A ala menor de las cotas superiores de A, o con mds precisi6n'

De forma similar, llamaremos infimo de A a la mayor de las cotas inferiores de A.

De la propia definici6n se deduce que el supremo o el infimo de un conjunto ,4. si existen serdn rinicos. Para comprobarlo suPonga que existen dos nrimeros distintos que son supremo de un cierto conjunto A y busque una contradicci6n. Pero cuidado, no todos los conjuntos tienen supremo y/o infimo. Ve6mos unos ejemplos.

E;urrpro 1.10. Los intervalos (-1,1), (-1,1], [-1,1) y [-1,1] tienen como r supremo 1 y como infimo -1. EIEMPIo 1.1-L. Para

supA:\/7.

A: {r e Q: ,2 < 7} severifica inf A: -tf;V :

!

t I

1.L Elespacio

IR

2'1.

ElnuPro 1.L2. Los nrimeros naturales verifican inf N : 1, sin embargo, sup N no existe. Por otro lado, el conjunto de los nfmeros enteros Z no posee

ni supremo ni

infimo.

E1nunro1.13. Elconjunto

supA:7.

r

A: {r € Q: r <7} notieneinfimo,pero r

O dicho de un modo mds directo: el supremo siempre existe para un subconjunto no vacio de ndmeros reales acotado superiormente. (Aqui, como en los contratos, la letrapequefla tambi6n cuenta).

El Axioma del supremo es clave para demostrar muchos de los resultados tor se haya quedado decepcionado y dude de la importancia del Axioma que aparecerdn en las secdel supremo debido a su sencillez. Tal vez esperaba algo parecido a: los ciones y capitulos siguientes, nfmeros reales tienen la propiedad de pasar de 0 a 100 en menos de tres aunque debido a que omisegundos y ctuzar el Atliintico a nado a diario. Bueno, no estaria mal. Pero tiremos la mayoria de las El Axioma del supremo es la propiedad mds importante de los nrimeros reales anunciada al principio de la secci6n. Es muy probable que el lec-

demostraciones el lector no recordemos que estamos hablando de nrimeros, y pese a que puede parecer podril apreciarlo. una propiedad fdcil de cumplir no 1o es: ninguno de los conjuntos N, Z, Q o II la cumplen sin ayuda de IR.. Esta riltima afirmaci6n necesita ser matizada. Lo que, por ejemplo Q no cumple, es que dado el subconjunto acotado superiormente A : {r € Q < 7} no es posible encontrar un nfmero ' "a racional que sea sup,4, o sea, que pese a existir infinitas cotas superiores racionales no existe la mds pequefla de todas ellas en Q.

Los conjuntos acotados inferiormente verifican una propiedad an6loga al Axioma del supremo. En lugar de repetir uno de los dos enunciados dados antes presentaremos uno equivalente y m6s corto.

Esto es, si A est6 acotado inferiormente, entonces inf A es un nrimero real y por lo tanto existe.

22 Cnpfruro 1 /

El paso al lfmite

1..2. Sucesiones 1.2.1. Motivaci6n Introducci6n En esta parte del texto comprobaremos c6mo las matemdticas permiten a seres finitos como nosotros manejar, comprender y manipular procesos infinitos. Las sucesiones serdn las protagonistas de esta segunda parte de la secci6n y su convergencia un concepto muy importante puesto que su adecuada comprensi6n facilitar6 al lector eI seguimiento de las pr6ximas secciones y capitulos.

Orientaciones Para dominar el c6lculo de limites es necesario hacer muchos ejercicios. Aqui encontrard algunos ejemplos pero sin duda deberd complementar su

formaci6n realizando otros muchos.

Obietivos Tras el estudio del texto, comprenderd los conceptos de sucesi6n, sucesi6n acotada, sucesi6n mon6tona y, muy especialmente, sucesi6n convergente. Ademds establecer6 relaciones entre esos conceptos y serd capaz de

utilizar resultados para demostrar la convergencia o no convergencia de una sucesi6n y en su caso para calcular su lfmite.

1.2.2. Sucesiones I

Comencemos definiendo el objeto matemdtico que estudiaremos durante esta secci6n.

i i

I

I I

I

l I I

&

il

I

t F

t

E;Etrtnro L.14. La aplicaci6n a: N -+ IR definida por a(n) si6n constante que fnicamente toma el valor a'.

:

?r es

una suce-

r

EyEunro I".15. La aplicaci6n a,: N -+ lR definida por a(n) : 2n - 1 es una sucesi6n que toma como valores los nfmeros impares: a(f ) : L a(2) : 3, a(3) : 5, ... r

1.2

Sucesiones

23

Lo habitual es referirse a los elementos pertenecientes a la imagen de la lR como t6rminos de la sucesi6n y en lugar de denotarlos por a(1), a(2), a(3),...utlIizar la forma at, e2, as,...) asi, al es el primer t6rmino de la sucesi6ny a7 es el s6ptimo. En caso de poder definir todos los t6rminos de la sucesi6n mediante una f6rmula, por ejemplo an : Inn, dicha f6rmula recibe el nombre de t6rmino general. Tampoco es habitual Maxima: definimos la sucereferirse a las sucesiones utilizando la notaci6n o: N -+ IR sino que se utiliza si6n de t6rmino general a, : I con "a[n]:='lln". la mds corta {arr}. sucesi6n a: N -+

Sucesiones convergentes La siguiente definici6n expresa matemiiticamente la propiedad que poseen aquellas sucesiones cuyos t6rminos se aproximan a un nfmero tanto

como se quiera.

En ocasiones utilizaremos le-

tras griegas: e,5,

p,0,9

que

se leen epsil6n, delta, ro, teta

f

Intentemos profundizar algo mds en el significado de la definici6n anterior. Asi, si afirmamos que una sucesi6n tiene limite I estamos garantizando que para cualquier cantidad (e > 0), sea grande o pequefra, seremos capaces de encontrar un t6rmino de la sucesi6n a partir del cual todos los t6rminos siguientes distan del limite menos que la cantidad e dada. O sea, cualquier intervalo abierto que contiene al limite l, tambi6n contiene a todos los t6rminos de la sucesi6n, salvo quizits, a un nfmero finito de ellos. E;ErraPro 1.16. Toda sucesi6n constante an

]y5o.:

:

c es

convergente y se verifica

"'

Efectivamente, dado cualquier e > 0 se tiene

lo" para todo n e

E;runo

- "l:0 (

e

N.

1.17. Comprobemos, utilizando la definici6n, que

r lfm 1

n-+@

rz

:

0.

y

respectivamente.

Maxima: para saber si una sucesi6n es convergente

y

calcular

utilizamos

la

su

limite

instrucci6n "limit(a[n],n,inf)" que nos devuelve un nf mero en caso de ser convergente.

L4 Capfrurol /

El

al limite

".r"Jl1i".:Tffcemos

por calcular la diferencia entre el limite y los t6rmi_

lo,-ol:11-ol lnln

:1

Ahora sea € > 0. Como queremos que lan_ 0l : : = , para todos los n mayores que un nafural N que debemos encont arfobr".rru-os que es suficiente que tal l/ verifique 7

t/ ya que para todo n et prtmer nuto.ar

)

N

se tiene

-1_


< f Asi

^:r;r:r:,13;r''' 1

1V

Si s

Demostrar la unicidad del limite es sencillo utilizando que:

probar p+e

que

equiva_

Esta es

la

receta

I < I'r.

ltr: 7007;y si e :

I2,bastacon ly'

: 1.f

Gracias a la siguiente definici6n, entre otras cosas, estableceremos una esto es, una urta condici6n LL'r.('clon que nece_ nece:ff*:.J""_""T::1i:::i::^:1""*ncia, sariamente todas las sucesi.r.." .^:;:-::'^::^"^:"' por ro tanL, si una sucesi6n,,o ru

I p).

de la

basta con tomar

<+

l/ que buscamos puede ser

".,*i,:18:H::H;Tl:ffi*ren.

le a probar que 18 =+lP (no

implica no

: ffi,

(e

el

de_

mostraci6n para que el lector

rnteresado la cocine: (1) Suponga que existen dos limites distintos que estdn a

unadistanciaZ >

: tz)-]9me,

0.

+ y aplique la definici6n de lirnite para cada uno de los dos. (3) Pruebe que la sucesi6n no

puede converger usando que

L:F-ml

:lt_an*an_

,rll
La anunciada condici6n necesaria para la convergenciu ur tu

El-

de la propiedad anterior no g" .F es cierto. Por ejemplo, la suce-

lecinroco tt6ir jj-t),") qonrcAn I (-1)r] e" es acotadu p"ro,.,o

ffi *:f

uffi

",

"or",rrergente.

::T',fr:::"::::t:i,1"?io"existenteentreacotaci6ny

::il:11T:'lll.1l_*l:presentemosargunos.";;i;;;:*#';:ii"l limites.

a la hora de calcular

1.2

E;EIrtnro 1.L8. Calculemos

fi- 1

n-+cxtn,2

Sucesiones

25

udhzando el resultado anterior.

Puesto que para todo n e N se tiene

0<

J{g* : nemos gue,qL$ : 0. y hemos visto que

Elsvrpro 1.19. Calculemos

11 n

0, aplicando la Propiedad del emparedado te-

r

ffS.

Recordemos que n! es el facdel nrimero natural n, y coincide con el producto de todos los naturales menores o iguales que rl, es decir, n! : n . (n - l).. .2. 1. Por convenio se establece 0! : 1. En Maxima 7. es"7r.i'

La funci6n coseno solamente toma valores en l-1,1], por lo tanto la torial

sucesi6n{"*,(Tffi)

es acotada.

Adem6s,

}

que el limite anterior existe y es 0.

El reciproco de la Proposici6n 1.2 es cierto si como muestra el siguiente ejemplo.

ti- 1 :

n-+@fL

0. Por lo

I

I

:

0. Pero no en general,

26 Capiruro 1 /

El paso al limite

E;rvrrro L.20. Lasucesi6n {l(-1)" + }l}

converge a

1

pero

{(-1)" + }} no

es convergente.

A continuaci6n aparecen representados gr6ficamente los diez primeros t6rminos de ambas sucesiones.

{(-1)'+ *}

{l(-1)'*t*tr

I Veamos ahora c6mo podemos oPerar con limites.

vn? + n + r r. lim 1.21. verifiquemos que a*" rr'l-& n2 - n 11 Si aplicamos la Proposici6n 1.3 directamente encontramos problemas, pero si antes dividimos entre n2 el numerador y el denominador se tiene Observaci6n. Si tenemos un cociente de expresiones / 1 1\ 11 polin6micas, entonces dia) vidir por el monomio de mayor grado el numerador / t 1\ n-+oof _]+i n-+6:, nz-nl I y el denominador simplifica

:

E;rvrro

H^2(+n+,r

los pasos al limite.

: r^'*4*nl: ;l* t'*;*

J-%(t-;+a)

11 lim -* Iim Iim2* n +6)n'" n-+@Tl, n-+oo 1I

lfml- lim:f lfm n +oo n-+6'TL n >(xn'"

-, I

L.2

Sucesiones

27

Lfmites infinitos Los problemas a los que nos referimos en el p6rrafo anterior tienen que ver con el infinito, que matemiiticamente se denota por oo. Debido a nuestra naturaleza, no es un concepto sencillo y el hecho de que cualquier matemiitico afirme sin pestaflear que existen infinitos tipos de infinito debe resultar al menos intrigante para el profano.

A continuaci6n afladiremos

a la recta real dos elementos,

las propiedades que esperariamos del infinito.

-oo y

oo/ con

Hasta ahora hemos considerado sucesiones que convergen a un nrimero real. Ahora vamos a caractetizar las sucesiones que se aproximan a too. El simbolo too significa: oo o bien -oo y se lee mhs o menos infinito.

cualquier cantidad e.) 0 solamente hay un nrimero finito de t6rminos de la sucesi6n menores que €. Esto es,

)y:""":

oo si para

28 Ceriruro t /

El paso al limite

Elrnnrro L.22. Cornprobemos

que

J55(rr"

- n) : *.

Dado e > 0 buscamos un ly' ) 0 que garantice n2 N. Puesto que n2 - rL : n(n - L) > n para todo n tomar l/ > mdx{1,e},ya que si n} N

n)

,2 -n:n(n-

1) >

n ) e para todo ) l, es suficiente

n) N ) mrix{l,e} > e. I

Como es sencillo pfobar que lfmrr-- n : e elresultado anteriornos indica que si en un limite de una sucesi6n sustituimos n pol oo en su t6rmino general, entonces el valor del limite coincide con el valor que obtengamos al operar con oo segrin las reglas dadas en la Definici6n L.L2.

E;r*rno

1.23. Calculemos

)*"'.

Sustituyendo n por oo en el t6rmino general obtenemos oo2 que la defini: *. ci6n'l,.12nos indica que vale oo. Por 1o tanto,

)!2r'

Pero no todas las operaciones estdn definidas para todos los elementos de IR y al sustituir n pot oo podemos encontrarnos con problemas. Las siguientes expresiones no est6n definidas y reciben el nombre de indetermlnaclones:

0 0'

too too

E;eurro 1.24. Calculemos ]yy(n2 - n). Al sustituir n pot oo vemos que se trata de una indeterminaci6n del tipo

I

oo

-

oo. Podemos esperar que el n2 ctezcamucho m6s

rdpido hacia oo

a#

L.2

Si_ tr-a

Sucesiones Z

Para ver que es asi murtipricamos y dividimos por er conjugado de

hln2-n)

ts-'

,

Si la

:

indeterminaci6n oc

-x

procede de un t6rmino gerre tal an - bn, entonces suele ser

una buena idea multiplicar

y dividir por el

1

rrrtFmos ante un limite de la forma lfm,r*_ anb,

t.rminos f onmediante

coniugado,

an * bn.

0

con

{a.,}

positivos, podemos transformarlo en un rimite Recordemos que eln. : la siguiente igualdad. para x > 0 y que lna6 b .lna.

F'oilo necesitamos adelantar argo que abordaremos en detalle Flerros cambiado el limite de una exponencial por la expo_ de ur limite. ase puede hacer esto siempre? La ."rol"r," Ir"u

t

Eil ", (en dada por'unu rurr"ion continua Hf1r_t"I@) : ^:"*f;lamos.viene cm e'). aeu€ funciones tienen esa ig'ulentes que el lector debe conocer: polin6micas,"*u"tu.i#il;;",1", trigonomEtricas, expo_ r

rciales,logaritmicas.

EpruruoL25. Calculemos lfm ln1. ?z-+m n U(dizarrdo ta prcpiedad. descrita en el pfu rafo anterior

lnl:ln

,z-+oo -lrr-r-r n

E;euruo 1.26. Calculemos rm n)a

tim

n_+6

1:-oo. n,

r

a. yyn

Utilizando (1.L) resulta

]*#:

eli*'**n'ln(f)

- e*'(--) :

e-m

:

0'

r

r :

30 Ceriruro 1 /

El paso al limite Volvamos a los limites de Ia forma limrr-- o,rb' con {arr} una sucesi6n con t6rminos positivos. Si en ellos sustituimos n por cc es fdcil ver que las siguientes expresiones

oo, 1t*,

@0,

nos llevan a la indeterminaci6n *oo . 0. Es por ello que es habitual afladir a las cuatro indeterminaciones que presentamos anteriormente las tres que acabamos de ver y establecer como indeterminaciones la siguiente lista de siete expresiones.

Sucesiones mon6tonas

Hemos estudiado sucesiones que convergen a un nfmero y sucesiones que tienden a *oo. Ahora introduciremos ciertas clases de sucesiones que tienen todos sus t6rminos ordenados.

Grifficamente, sobre la recta

Evidentemente, cualquier sucesi6n estrictamente decreciente (o creciende ejemplos nos ayu-

real, las sucesiones crecientes te) es en particular decreciente (o creciente). Un par colocan cada t6rmino siemdar6n a entender mejor las definiciones anteriores. pre a la derecha del anterior y las decrecientes a la izquierda.

ElEturro t.27. Ctalquier sucesi6n constante, por ejemplo {4}, es mon6tona porque es creciente y decreciente. Sin embargo, no es ni estrictamente creciente ni estrictamente decreciente. r

E;rvtruo 1.28. Comprobemos

que la sucesi6n {a,,}, siendo

1 rL

trictamente decreciente.

Efectivamente,paran€Nsetiene &n-;I :

I

t a n*1-

1

-n -

CS CS-

a,,.

0,n.

I

-

L.2

volvamos ahora sobre algo que dejamos pendiente hace un par de pdginas: la relaci6n entre acotaci6n y convergencia. Para la clase de sucesiones mon6tonas los conceptos de acotaci6n y convergencia coinciden puesto que se verifica lo siguiente.

Utilizando el resultado anterior es posible demostrar el siguiente que nos permitir6 calcular limites con indeterminaci6n del tipo

Eyrnanro 1..29. Catculemos et limite,q

(r

1+-.

. #)

Recordando las propiedades de las potencias se tiene

Ji%

(' .

#)^': lyr(('. #)-) : (,'* (,* #).)

:e. 2 I

El siguiente resultado es muy de sucesiones.

ritil para el c6lculo

de limites de cocientes

Sucesiones

31

32 Capiruro 1 /

El paso al limite 1,11 H. ija2+4+...+(2n+2)' + 3 + . . * (2n* L) } y {a,} : {2 + 4+..

E;uuero 1.30. Calculemos

. . + (2n + 2) Definamos {on} : { 1 }-Es sencillo comprobar que {2+4+ ' . .-l(2n*2)} es una sucesi6n mon6tona que tiende a oo. Por otro lado,

an*I llmn-+x [n11 -

an

:

bn

1+...+(2(n +1)+1) - (1+...+ 1! uur

(2n+L)) ... ... ;:a 2+ + (2(n +1) + 2) - (2 + + (2n + 2)) ,!_-- 1 +3 + . " + (2n+3) - 1 - 3 - ... - (2n+ t)) ;:A 2 + 4 + . " + (2n + 4) - 2 - 4 - ... - (2n + 2)) tllll

:

li^2'*3:r. l4

n-+x 2n

E..t^..^^^ Entonces, 1!^ lrrlv'IrLLu/;3A2+4+...+en+Dillii 1+3+...+(2n+1) _1

''

r

En la actualidad hay una reHemos dedicado muchos esfuerzos al estudio de las propiedades de vista especializada, The Fi- las sucesiones convergentes o acotadas. Sin embargo, existen sucesiones bonacci Quarterly, que se cen(y por lo tanto no convergentes) con propiedades sorprentra en el estudio de las no acotadas matem6ticas relativas a esta dentes. Por ejemplo, la sucesi6n definida mediante &r : I, &2 : 7 y &n : sucesi6n. Por cierto, la for- an-r I an-2 par6. todo n ) 2 se llama sucesi6n de Fibonacci en honor del ma que hemos utilizado para matemdtico italiano que la estudi6 a principios del siglo XIII. Los primeros definirla recibe el nombre de t6rminos de la sucesi6n aparecen a continuaci6n

forma recursiva.

1,112,3,5,8,.

L.3.

.

.

Series

1.3.L. Motivaci6n Si hoy te doy un euro, maflana medio, y dia tras diala mitad del dia anterior. iCudnto dinero necesitar6 para hacer frente a ese pago infinito? Y qu6 ocurre si soy un poco mds generoso y hoy te doy un euro, pasado

medio, al dia siguiente un tercio, al dia siguiente un cuarto y asi dia tras dia.

Introducci6n Las series que nos disponemos a estudiar son los modelos matemdticos

de sumas de infinitos t6rminos. Por muy rdpido que sumemos no pode-

.J**

'(

,,,

! L.3

Series

33

mos hacer frente a sumas de infinitos t6rminos. pero sf sabemos sumar un conjunto finito de tdrminos. Este hecho y haber establecido una forma de paso al lfmite para sucesiones en la secci6n anterior nos permitir6 llegar a la suma infinita mediante un paso al limite en una sucesi6n de sumas finitas que si sabemos hacer.

Orientaciones Las series de nrimeros reales est6n estrechamente ligadas a las sucesi6n de nfmeros reales. Haber asimilado los conceptos y resultados tratados en las secciones anteriores es indispensable para poder seguir esta secci6n de

forma fluida.

Objetivos Al finalizar el estudio de esta parte tendr 6 claro el concepto de serie de nfmeros reales y de serie convergente y divergente. Adem is sabr6, aplicar criterios que garantizan su convergencia dependiendo de sus caracteristicas.

1.3.2. Series A partir de una sucesi6n {a,r} podemos definir otra {s,} de la forma

siguiente

Notaci6n. La suma at

...I

SL: AI, S2:

A1

I A2,

53

:

01

+

A2

+

AS,

an se escribe

I

az

-

n

,r:f

\-

OO.

ZJ

i:7

i:1

-' ",

y se lee suma

de a; desde que La sucesi6n {s,} se llama sucesi6n de sumas parciales de {a,r} y para i vale t hasta que vale n. La cada k suma los t6rminos de {ar} desde el primero hasta el k-6simo. Ietra griega sigma mayiscula

I indica que es una suma v el indice z se llama indice de recorrido.

Pese a

la definici6n anterior, no utilizaremos ra notaci6n ({o,},

{",})

para referimos a las series sino que emplearemos la mds tradicional e in-

tuitiva

D",.

n:7

Esta notaci6n tiene un pequeflo inconveniente que veremos

despu6s de introducir el concepto de serie convergente.

/

34 Cnpiruro

1

Si

definidos

tenemos

El paso al limite

Estamos cometiendo el siguiente abuso de notaci6n. La expresi6n

nfmeros an para n )> p € Z

i",

podemos definir DT_oo"

de forma similar a como definimos DTro*. Asi, por ejemplo, podremos hablar de D}oo. si tenemos definido el nrimero as.

n:l

denota tanto la serie que puede ser convergente o no, como de existir, la suma de 6sta que es un nfmero fijo. Normalmente el contexto aclarar6 si nos referimos a la serie o a la suma de la serie y cuando sea necesario 1o pondremos de manifiesto.

E;nruruo

1.31-. Dada la sucesi6n constante

de sumas parciales €s s1 - 7, s2 : 1 f 1 :

{"}.

{or} :

{1, 1,1,. .. } ru sucesi6n 2, ..., sn: D, esto es, la sucesi6n

r

E;nvtnro 1.32. Calculemos la sucesi6n de sumas parciales de la serie aritoo

m6tica

D".

n:l Un t6rmino gen6rico de la sucesi6n de surnas parciales es

sn:1-+2+...+(r-1) *n o

1o

que es lo mismo si le damos Ia vuelta a los sumandos

sn:TL+(n-1) +...+2+I. Si sumames en las dos igualdades anteriores los t6rminos que ocupan la misma posici6n tenemos

2sn: (1+n) +(2+n-t) +...+ (n-t+2)+ (n+1) :n(n*I). Despejando on_

n(n + I) 2

L.3

La sucesi6n

gente.

{sr} no es convergente y la serie no es sumable o diver-

r

Elntvrrro L.33. Para r

I

L fljo calculemos el

de sumas parciales de la serie geom6trica

t6rmino general de la sucesi6n

Dr".

n:7

Un argumento similar al del ejemplo anterior nos ayudar6. Tenemos

sn:r+12+...1vn-L17n y multiplicando ambos miembros de la igualdad por TSn

:

12

+

Ts

r

+ ... + rn 1 ynl7.

Si restamos las dos igualdades anteriores llegamos a (7

-

r) sn

: rI

12

+

...

I

rn-r

I

rn

-

(r2 + r3

'r'

- 'rn*I 7-r

+

...

+ rn + rnrl)

: r - rntr.

Despejando on-

que lim sr, : a' .-si lrl < 1. La sucesi6n no es convern-+@ I-r gente si lrl > 1. La constante r a partir de la cual se define la serie se conoce Es sencillo ver

como raz6n de la serie

geom6trica.

r

En estos primeros ejemplos el c61cu1o del tdrmino general de la sucesi6n de sumas parciales es posible. Sin embargo, esto no siempre ocurre asi. Es por ello que buscaremos condiciones suficientes y necesarias para que una serie sea convergente en funci6n de su t6rmino general.

O dicho de otro modo, ri

j{g

an

#

O,entonces

D",es

divergente.

La propied ad'1.6se suele utilizar para probar {"1t una serie no es convergente.

Series

35

36 Cepfrurol /

El

al limite

E;rvrrro L.34. Estudiemos si las series

I

n:l

gentes.

Por un lado

lim

:-

:

"

, y I(-1)" n:l

_

son conver-

r + 0 y la serie no puede converger. por otro

lado, lim (- 1)"i',1?ft1"1y la serie tampoco converge. n-+oo

I

Sin embargo, el que la sucesi6n {ar} de la serie converja a cero no es una condici6n suficiente para que la serie sea sumable.

E;ruero 1.35. La r"ri"

ia I '

verifica

li I : '*;

^ o Pero

no es sumable'

Para entenderla raz6npor la cual no es sumable estudiamos la sucesi6n de sumas parciales {sr,}.

Observamos eue s1

: I, s2: 7+|:q-tt,

_111 - _ 1-1--.1-1 >1+r+ D4-r-r-3-4 +* 4:tr+i, 111 s6:s3+1+l +Otss*36:ss*2, 45 1

y como siempre ocurre

: sn* r,*, + ". + 2n) t" *rrr> snl r, tenemos eue s2n ) s", + ]. for lo tanto no es convergente ya que si lo fuese, y su limite valiese l, obtendriamos la contradicci6nl > t + r l. s2n

1.3

Series de t6rminos no negativos

Los siguientes tres resultados son relativos a series de t6rminos no negativos, esto es, series de la forma

Do,

con o,,

)

0

para todo n.

n,:1

Parattilizar

el Criterio de comparaci6n es necesario conocer series con-

vergentes y divergentes. A las presentadas hasta ahora afladimos dos muy importantes:

Series

37

II

El paso al limite

Ahora presentaremos unos ejemplos de aplicaci6n de los tres criterios pero antes debemos volver a recordar que solamente se pueden aplicar a series de t6rminos no negativos. Ademds, el primero de ellos es el mds general (en realidad los otros dos se deducen de 6l), Pero no resulta c6modo de utilizar. La elecci6n del Criterio de la niz o del cociente para estudiar una serie vendr6 dada por la forma de la serie pero es bueno saber que:

erie es con-

E;uurro

i+

1.36. Estudiemos el cardcter de la serie

n:I

;ente se le :ardcter de

oc

sabemos qrr"

m6trica

i (+)" es convergente por tratarse de una serie geo-

deraz6n?il;;t

absoluto menor que 1. Ademds paran

tiene

2 1se

n 1 2n -2n

cos2

El Criterio de comparaci6n garantiza que

E1u*rno 1.37. Estudiemos si la serie

.a cos2 r} converge. r L 2 n:1

|#res

convergente.

Aplicaremos el Criterio del cociente.

n*l

rm Yij rt' : nj&

Ifm n-+6

nlt : -<1. 3 3n 1

3

Por lo tanto

Elnurro

!

I

n:7'fr ", "orrrrergente.

1.38. Estudiemos el cardcter de la serie

if*-

1)"

n:l

Utilizaremos el Criterio deIaniz.

lim

2-+OO

(r[i - t)" : lfm (n-t-1-1:0(1.

I

I

1.3

Por lo turtt"

f

n:7

(

fn - \'

es convergente.

I

I

Series de t6rminos sin signo constante Si los t6rminos de una serie cambian de signo al calcular la sucesi6n de

sumas parciales en ocasiones afladiremos una cantidad positiva y en otras restaremos una cantidad positiva. Este hecho deberia hacernos intuir que la convergencia de este tipo de series debe ser mds sencilla que para las de t6rminos de signo constante que solamente afladen o restan. Aclaremos en qu6 sentido esto es asi.

El siguiente resultado establece la relaci6n entre convergencia absoluta y convergencia para una serie.

E;ruruo

3 ) n:I

cos,

..

1.39. Estudiemos la convergencia y la convergencia absoluta de

Series

39

40 Capiruro

1,

/

El paso al limite Como la funci6n coseno toma valores positivos y negativos no podemos aplicar los criterios anteriores al no tratarse de una serie de t6rminos posi-

tivos.

_

La serie es absolutamente convergente porque

m

lffl t # t 2# *

una serie convergente. Adem6s, debido a la propiedad 1.8la convergencia absoluta implica la convergencia de la serie. r Terminamos esta parte del texto dedicada a series de nrimeros reales estudiando un caso particular de series con t6rmino general sin signo conr tante.

EJuruno 1.40. La serie

f (-1)" es alternada.

I

n:t

Para las series alternadas la condici6n necesaria de convergencia se cur vierte tambi6n en suficiente si afiadimos una hip6tesis adecuada.

ETEMPLO 1.4L. Estudiemos la convergencia

y la convergencia absoluta de

,$(-t)" /.n, n:L

Tomando valores absolutos se tiene

DL, lqf l : DLr |.

como

!p, f no es convergente obtenemos que !p, -,gP no es absolutamente convergente. por otro lado, la serie es alternada y la sucesi* {lqtl} : {*} * decreciente. Ademds,lirnn-*trY :0' Utitizando el criterio de Leibniz convergente. resulta gue DLr 9f r "t sabemos que Ia serie

1.4

Limites y continuidad

4l

L.4; Limites y continuidad l.4Jl,. Motivaci6n Introducci6n Las sucesiones, que ya hemos estudiado, son ritiles para modelar fen6menos que ocurren en tiempos discretos, por ejemplo, la evoluci6n de la poblaci6n de una especie de aflo en aflo. Pero hay otros fen6mbr,o, qrr" ocurren en tiempos continuos y de los que necesitamos conocer el comportamiento en instantes determinados. Por este motivo, generalizaremos en esta secci6n el concepto de sucesi6n al de funci6n. El hecho de que las funciones est6n definidas en lR, y no rinicamente en N, nos permitird considerar limites en puntos, empleando ideas similares a las utilizadas para definir el concepto de sucesi6n convergente. A partir de ahf llegaremos a la continuidad que es una de las propiedades miis deseables para los fen6menos que ocurren en tiempos continuos.

Orientaciones Nuevamente, este tema deberia ser de repaso. El lector deberia tener cierta experiencia en el manejo de funciones y sin duda conocer algunas de las propiedades m6s importantes y la representaci6n grilhca de algunas funciones elementales como: trigonom6tricas y sus inversas (cos trt sentr, tgr,, arc cos r, etc.), potenciales (zo), exponenciales (2* , e' , e-") y logaritmicas (ln r, Iogls r). Si no posee ese bagaje, no podr6 seguir el texto, por 1o que le recomendamos que consulte el Curso 0 de la UNED. Pero, aunque sea asi, no se confie. Los temas tratados son el fruto de siglos de trabajo y algunos resultaron enormemente dificiles de asimilar para la comunidad cientifica.

Objetivos Al finalizar la secci6n conocerd algunas de las propiedades mds importantes de las funciones continuas. Para conseguirlo, antes deberemos conocer los diversos tipos de limites que se pueden definir para una funci6n.

Convenio. En este texto el argumento de las funciones trigonom6tricas estd expresado en radianes. Es decir, sen2r :0 pero sen 360 I 0.

42 Cariruro

1

/

El paso al limite

1,.4.2. Limites de funciones Funciones reales de una variable Maxima. Definiremos funciones con "f(x):= expresion;", por ejemplo, "f(x):= sqrt(abs(x+'l));".

Si

querede escribimos "f(-5);".

mos conocer el valor

/(-5)

real

/

Comenzamos en esta secci6n el estudio del objeto matem6tico protagonista del Chlculo lnJinitesimal; Las funciones reales de variable real, esto es, aplicaciones f : D C IR -+ lR. en donde D recibe el nombre de dominio de / y f (D) : {f (r) : r e D} el de imagen de /. En este texto, tal y como es habitual en la literatura, cuando no se especifique el dominio de una funci6n se entendere que consideramos el mayor conjunto en el que puede estar definida. Si la imagen de una funci6n es un conjunto acotado se dice que la funci6n es acotada. La grilfrca de un funci6n es una representaci6n en el plano rg de los puntos de la forma (r, f (n)). Debemos notar que los valores de / no son esos puntos (r, f (r)) e IR2 sino las proyecciones de ellos sobre el eje y.

Limite en un punto La siguiente definici6n de limite de una funci6n en un punto le recordar6 a la que ya vimos para sucesiones convergentes.

la existencia de limite en un punto a Grdficamente,

nos indica que para cualquier banda horizontal determina-

daporl-ryl+epodemos encontrar un intervalo

No hemos impuesto ninguna condici6n sobre el punto a en la definici6n + 6) tal que la gr6fi- anterior. Sin embargo, para que tenga sentido es necesario suponer que ca de la funci6n restringicualquier conjunto de la forma (o - 5,a + 6) \ {o} : (o - 6,a) U (a,o + d) daa(a-6,ala)\{"} estd en la banda horizontal. (d > 0) tenga intersecci6n no vacia con el dominio de /. Qt

-

6,a

E;rtrrrcr 1.42. Dada una funci6n definida en (0,1) U {2}, tiene sentido hablar del limite de la funci6n en cualquier elemento del intervalo [0,1] pero no er:.2, o en ningrin otro elemento de lR. La Definici6n 1.18 nos indica que una funci6n tiene lfmite I en a si los puntos pr6ximos a o tienen imdgenes pr6ximas a L Por 1o tanto, no deberia sorprendernos que si el limite en un punto a es positivo, entonces la funci6n deba ser positiva para valores suficientemente cercanos al punto a, excluido el propio a. O lo que es lo mismo, que se verifica el siguiente resultado.

L

)

1.4

Limites y continuidad 43

;Qu6 ocurrir6 si el limite fuese negativo en lugar de positivo en el punto podriamos garantizat qlJe para valores suficientemente pr6ximos al punto a, excluido el propio a,Ia funci6n tomard valores negativos. a? Pues que

Demostraci6n

de la uni-

Antes de meternos de lleno en el cdlculo de limites utilizaremos repre- cidad. Para la verificaci6n de este resultado se puede sentaciones grdficas para intentar contestar si una funci6n tiene limite.

aplicar la misma receta que

:

EJruruo 1.43. La funci6n f (r) La grifica de f (r) aparece que si

a

r se aproxima a 0 (pero r

r*1, 2, -rl\,

r { 0, r :0, r)0,

presentamos en el caso de limites de sucesiones.

tiene limite 1 en 0.

continuaci6n y en ella podemos apreciar I 0),los valores f (r) se aproximan a 1.

Maxima representa la gr6fica de

1- lrl en (-3, 3) mediante

"plot2d(1 -abs(x),[x,-3,3]) ;"

EJrunro

1,.44. La funci6n

"f

I

(0, oo;

no tiene limite en 0.

La gr6hca aparece

a continuaci6n.

-+

IR

definida mediante f (r)

:

1

sen-

r

M

Capiruro 1 / El paso al lfmite

Como vemos,la funci6n oscila cadavez m6s rdpido si nos acercamos a cero y dichas oscilaciones tienen amplitud constante 2. Por Io tanto, la funci6n no se aproxima a ningrin punto I e lR. r l

Maxima calcula

de f(r) en "lim(f(x),x,a);"

a

el limite Al igual que ocurri6 en el caso de sucesiones mediante serdn de

utilidad

a la hora de calcular

los siguiente resultados

limites.

Dado que el lfmite es un concepto local: s6lo interviene la definici6n de la funci6n cerca del punto a. La propiedad anterior admite la siguiente generalizaci6n.

!

I l

L.4 Lfmites y

Limites infinitos,limites laterales y lfmites en el infinito Ahora estableceremos algunas definiciones de limites con los limites infinitos.

md,s.

Comenzamos

utilizaremos las operaciones que ya conocemos y pol supuesto las indeterminaciones siguen siendo las mismas En

IR

EIEMPLo 1..45. Lafunci6n f

(r): \ verifical5,h: *

Observe su representaci6n gtdfica en la figura al margen'

funci6n en un punto Justo despu6s de dar la definici6n de limite de una a indicamos que pala que tenga sentido considerar tal limite es necesario que el dominio D de la funci6n interseque a (a - 6, a) U (a,a I d) para todo

d > 0. si el dominio D de la funci6n tiene valores en (a - 5,o) podremos definir el limite por la izquLierda en a,,y si D tiene valores en (4, a * d) podremos definir el limite por la derecha, en el sentido que vamos introducir' Pero antes necesitamos una nueva definici6n.

continuidad

45

46 Cnpfruro 1, /

El paso al limite

Maxima calcula lirn

f(r)

x+a-l

mediante "lim(f(x),x,a,plus);" f (") mediante Y

,tu,

"lim(f (x),x,a, minus);"

En otras palabras, para calcular el limite por la derecha de a nos restringimos a los puntos del dominio de la funci6n que son mayores qlre ay al hacerlo por la izquierda a los que son menores que a. Por 1o tanto, una funci6n puede tener limites laterales y no tener limite.

E;nunro

1..46. Lafunci6n

f (r)

:1

verifica

Ver la grdhca de la funci6n al margen.

:ooV

"tl3,;

1

llm -:-OO. ' r-+OI I

El siguiente resultado relaciona los limites laterales y el limite en un punto.

Por riltimo, establecemos lo que se entiende por limite en el infinito y dejamos al lector establecer de forma rigurosa la definici6n de limite infinito en el infinito, que tras las definiciones anteriores y la anunciada no deberia resultarle dificil.

Eynturro L.47. Calculemos

J\r):

I

12-r+L rr+I

.

)!Lf

@)

y,{T"" f (r)paralafunci6ndadapor

1.4 Lfmites y

continuidad

{t

Dividiendo por el monomio de mayor grado resulta

tip /(r) r--+oo

11 r-J:!:r.

lim Hm o',!t - f__+oo - r_+oo " r.+I )

ydeformaaniiloga

\' - I

1 1 1 ___J__ lfm t' ' '*2 1- --l z-+-oo l* "

l++ ") - \ ,lc

o\ nt "'ze

,

l<

tt"'..'

Maxima utiliza "uncF (m

definido) e "ind" (no definftb pero no acotado) pard informar del comportamienh

que detecta. En el prirner calcuk el limite, en el segundo el limite no existe y h funci6n no es acotada. E!ecaso no es capaz de

cute "limit(exp(x),x,infli, "limit(sin(x),x,inl);' y

"limit(x*sin(x),x,inf);" para comprobar qu6 ocurre.

I Asfntotas Las representaciones grdficas que hemos manejado hasta ahora dejan claro que el comportamiento de una funci6n puede ser verdaderamente complicado. Es por ello, que siempre es una buena noticia conocer existencia de una recta a la que se acerca tanto como queramos la grdfica de la funci6n. Dichas rectas reciben el nombre de asfntotas de la funci6n. Por supuesto, no todas las funciones tienen asintotas pero sin quererlo, o tal vez queri6ndolo, ya hemos estudiado algunas que si las tienen. Asi, cualquier funci6n que verifique f (*) : b tendrd como asintota "l* cualquier funci6n que verihorizontal a la recta A : b. De forma similar, fiqt",{T_ f@) : b tendrd como asintota horizontal a la recta U : b (vea la representaci6n grdfica delEjemplol.47). Perotodaviarrrils,si f (r) posee una asin{ota horizontal debe ocurrir que al menos uno de los lfmites en el

infinito eiiste.

48 Capiruro L /

El paso al limite En resumen, la recta U :

(r) b: ,IT"" f -

b es

o

una asintota horizontal.'si y s6lo si

y/o jggf(r) - b:0.

Por otro lado, una condici6n necesaria y suficiente Para que tr una asintota vertical para f (r) es que

,tu

f

:

a' sea

("): too

f {"1: too' Y/o "14 j (r): (*): como f f $ tienen dr:0 como asintota

Tantolafunci6n vertical (vea las gr6ficas de los Ejemplos \a5 y 1'.aQ. Asi pues las asintotas verticales y horizontales de una funci6n son rectas (verticales u horizontales) a las que se acerca la funci6n tanto como queramos. Pero en el plano, donde se representala gr6fica de f : D -+ lR no s61o existen rectas horizontales y verticales, tambi6n las hay oblicuas. Necesariamente, si una ,f tiene una asintota oblicua verificard

: ,{T-./(') *-' no tiene asintoPero esto no es suficiente, ya que por ejemplo f (r) : "l"l tasyverificu,lg f(r): f@):*. "{T_ La recta A : nt'r* b con m + }es una asintota oblicua si y s6lo si )*f ("): *oo

,S/(") -(^**b):s

Y/o

y/o

"{T."

f (")

-

(mr

*

b)

:

o'

Pero fij6monos que para poder calcular la caracterizaci6n anterior necesitamos conocer rnpatatratar de calcular b. El siguiente resultado nos indica c6mo calcular rn.

Un contraejemplo que muesEl ciilculo de estas riltimas asintotas es el que probablemente despierta tra que la condici6n dada en la Proposici6n 1.12 es nece- m6s desasosiego puesto que todavia no hemos presentado ningdn ejemplo. saria pero no suficiente es la Pero eso tiene f6cil soluci6n. oo funci6n dada por l@) : r + sen rt . de asintotas las EJrunro 1.48. Estudiemos

r"Ir'lI /(r) : 12+7

No existen asintotas verticales Porque para cualquier nrimero a se tiene

lrro"*u*.'!'-a3+a2+L. a2+L ":; r2+I

i, \? -!

!

r l:

I

'"t.

lmrumffi' 'a

1.4 Limites y

Por otro lado, es f6cil probar que (vea Ejemplo 1.47)

t, llTll z-+@

13+12+r rz *

Ilm r,3+12+I --w,

n-+-6 -- f", I_I

y

L

por lo tanto tampoco existen asintotas horizontales y se verifica la condici6n necesaria para la existencia de asintotas oblicuas. -:OC Para estudiar la existencia de asintotas oblicuas estudiaremos en pri-

(") mer lugar si existe el limite ,t^ f .En caso de existir, su valor ser6 la u-+oo r pendiente rn de la posible asintota oblicua.

.

a! 1. t#P "' : Iim lim f@)

u-+oo f

,r-+oo

#+r2+l z-+oo fr + f

f

Ahora comprobamos si para este valor de m es finito.

rs +12 +r lfm -r: z-+oo f"+I Por lo tanto,

lim

z-+oo

:

13+12 +1- 13-r 12

+7

1 el

limite Iim f (r) -rnr

: litn 12-r+l z-+oo ,.. r. + I

- @ -r1) :

:1.

y en consecuencia la recta a : r * 1 es una asintota oblicua para la funci6n. El estudio de la existencia de asintota oblicua al acercarnos a -oo es similar al que acabamos de realizar y arroja como resultado que tambi6n en ese caso A : fr l1 es una asintota oblicua. Se recomienda al lector que confirme este hecho.

]gLtX#

0

A:r+I,.i f

("):d##

,-,

continuidad

49

50 Capirurol /

El

al lfmite

Utilizando t6cnicas similares a las empleadas enlimites de sucesiones es posible calcular muchos limites de funciones. sin embargo, en el pr6ximo capitulo presentaremos una herramienta que en muchas ocasiones simplifica los cdlculos. Se tlata de la Regla de r-"H6pital.

1.4.3. Funciones continuas Continuidad en un punto utilizando el concepto de limite damos nombre a las funciones para las que existe limite en un punto, estdn definidas en dicho punto y el valor del limite y la funci6n coinciden.

De la Proposici6n

'1,.11,

y la Definici6n 1.20 se deduce inmediatamente el

siguiente resultado.

Si hemos definido en Maxima dos funciones f (") V g@) que se pueden componer, su composici6n h : 9 o/ se define mediante "h(x):= S(f(x));"

Ahora veremos c6mo se comporta la continuidad ante la composici6n de funciones. Recordemos que si tenemos dos funciones f : D c IR -+ IR y g, f (D) -+ IR podemos definir una funci6n que recibe el nombre de / compuesta con 9 y que se denota por g o f dadapor g o f : D c JR -+ IR, donde (g f)(") : g(f(a)).

"

Continuidad en un intervalo. Propiedades Las funciones que son continuas en todos los puntos de un intervalo cerrado tienen propiedades interesantes que estudiaremos en breve pero antes necesitamos establecer una definici6n.

1.4 Limites y

continuidad 5l

En caso de no especificar el conjunto I en el que una funci6n es continua se entender6 que 1o es en su dominio de definici6n.

utilizando la propiedad anterior se puede probar de forma sencilla el siguiente resultado que ademds la contiene como caso particular.

En otras palabras, si una funci1n continua en un interoalo toma dos aalores, Recuerde entonces toma todos los aalores comprendidos entre ellos.

Los teoremas anteriores pueden adaptarse a intervalos no cerrados y acotados cambiando las hip6tesis sobre los valores en los extremos por hip6tesis sobre limites. Por ejemplo, el Teorema de Bolzano sigue siendo vdlido si consideramos una funci6n / definida en un intervalo de la forma (a,b),fa,b) o la,oo), exigiendo, en lugar de f (a) . f (b) < 0,

(*) <0, f ("). (,) ,14 f 1"1 ]+f )g_f <0,

o f (a)

"Iry

/(") < 0.

Esto es, unafunci1n continua en un interaalo cerrado y acotado es acotada y ademds alcanza en dicho interaalo los rsalores mdximo y minimo. O en otras palabras, la imagen de funci1n continua con dominio un interaalo cerrado y acotado es tambi1n un interaalo cercado y acotado. La Proposici6n 1.15 se conoce como Teorema de Bolzano-weierstrass y no debe confundirse con eI Teorema de Bolzano.

que el valor de una

funci6n en un punto r es la imagen de ese punto, es decir, f (r).

52 Clpiruro 1 /

El paso al lfmite

El resultado anterior no s6lo se apoya en la continuidad de la funci6n sino que las propiedades del intervalo cerrado y acotado [a, b] son imprescindibles. Por ejemplo, f (") : r-L es continua en (0,1) pero no acotada. M6todo de bisecci6n En este apartado vamos autllizar el Teorema de Bolzano que ya ha estudiado para resolver de forma aproximada ecuaciones. El lector debe saber c6mo resolver algunas ecuaciones de una variable. Por ejemplo,para

2r2+r- 7:0, basta aplicar la conocida f6rmula para el ciilculo de las raices de un polinomio de orden dos

-1+/1+8 :- -1+3 4'

para conocer de forma exacta las dos soluciones de la ecuaci6n

y tr: ,1

r:-7

Caza mayor. En clave de huSin embargo, no existen m6todos generales parala resoluci6n de ecuamor el m6todo de la bisec- ciones de forma exacta y es necesario utilizar herramientas que permitan ci6n explica c6mo cazar un aproximar las soluciones. Este tipo de herramientas reciben el nombre de Le6n que sabemos que se encuentra en el desierto del m6todos num6ricos. Aunque eran conocidos con anterioridad, desde la S5hara. Divida el desierto en aparici6n de los ordenadores han mostrado todo su potencial y se han vueldos partes, y vdllelas. El le6n to imprescindibles para muchos trabajos cientificos y t6cnicos. tiene que estar en una de En el caso de la resoluci6n de ecuaciones los m6todos num6ricos conslas dos partes. Vuelva a ditruyen una sucesi6n de soluciones aproximadas que converge a una soluvidir esa parte en dos y repita el proceso construyendo ci6n real de la ecuaci6n. Este tipo de procesos reciben elnombre de procesos

vallas que dividan en dos la zona en la que est6 el le6n. Tendrd al le6n encerrado

iterativos. Queremos resolver la ecuaci6n por

una valla tan pequefla como quiera. ;Y sin pegar ni

un solo tirol Puede

encon-

trar otras formas de caza ma- donde

yor en H. Pfrann, A contribution to the mathematical theory of big game hunt-

f(r) /

es una

:

o

funci6n dada. Si / es continua en el intervalo [a, b] y

f(a)'f(b)<0,

ing, American Mathematical entonces el Teorema de Bolzano garantiza Monttrly 45 (1938) 446-447. soluci6n de la ecuaci6n en (a, b).

la existencia de al menos una

i I

I

1.4

Limites y continuidad Slt

En la primera iteraci6n el m6todo de bisecci6n calcula el punto medio

delintervalo Cl:

a*b

y evalfa la funci6n en ese punto. Tenemos tres posibilidades excluyentes:

. f (ct):

por tanto c1 es soluci6n de la ecuaci6n y hemos terminado (en la pr6ctica esta situaci6n no suele ocurrir). 0,

.

f (cr) . f (") < 0. Luego podemos aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo lo,"t] y concluir que existe al menos una soluci6n en (a, c1) con la ventaja de que el intervalo [a, c1] mide exactamente la mitad que el inicial [a, b].

.

f (ct) . f (b) < 0. Luego podemos aplicar el teorema de Bolzano en el intervalo l"t,b] y concluir que existe al menos una soluci6n en (c1, b) con la ventaja de que el intervalo lc1,b] mide exactamente la mitad que el inicial [o, b].

Si estamos en cualquiera de los dos riltimos casos podemos calcular el

punto medio del nuevo intervalo que llamar€filos c2 y repetir el procedimiento. Continuando este proceso se construye una sucesi6n {c,.,}, formada por los puntos medios de los intervalos, que aproxima a una soluci6n de la ecuaci6n.

El m6todo es muy sencillo de implementar en un ordenador' Ademds, tras la primera iteraci6n sabemos llue c1 : + y Por tanto el error al aproximar una soluci6n i en el intervalo la,bl sefi.

l"r

- *l .u#,

tras n iteraciones el error ser6

1""-rl<

b-a 2

Como consecuencia de la f6rmula anterior, es posible conocer a priori el nfmero de mdximo de iteraciones que vamos a necesitar para conseguir un error menor que un valor establecidb. Efectivamente, si queremos que el error sea menor que un nfmero e ) 0, como

+.€

e nltog2(")

Maxima no tiene unafunclh

definida para logaritmos en base distinta del n0rnero c. Pero podemos definirlas

Q

forma sencilla, por eiemplb para base 2 bastarfa tpcer "log2(x) := log(x) / loS(2)'

54 Cepiruro 1 /

El paso al limite es suficiente que el nrimero de iteraciones

enbase dos de

f

n supere el valor del logaritm

.

Eluvrpro 1.49. Calqulemos una soluci6n aproximada de la ecuaci6n

e-n:tr

(1.2

en el intervalo [0, 1] con un error menor de 0,1. En primer lugar reescribimos (1.2) en la forma

!'/'

f (*)

:0,

esto es,

e-r-r:o'

1=

y tenemos que "f (r) : e-* - r. Comprobamos que / verifica las condiciones del Teorema de Bolzan, en [0,1]. Efectivamente, f es claramente continua y

/(o) :eo o:1) o

f

(1)

:"-1 - 1= -0,632 <0.

Como consecuencia sabemos que existe al menos una soluci6n de l, ecuaci6n y podemos ttilizar el m6todo de bisecci6n. Antes de comenzar el proceso de bisecci6n veamos cudntas iteracione tendremos que realizar como miiximo:

1-0

2


I e :=<-2" <+ 10<2" <+ n)3. 0'1

Entonces hay que determinar 4 puntos medios.

T

Primero dividimos el intervalo (0,1) por su punto medio, {lue €s c1 : 0,5. El valor de / es

/ (0,5) y como^/-(l) <

e-0,5

-

0, continuamos con el

c2:

f

=

0,107

>

0

intervalo (0,5,1). Su punto medio e; x -0,278 < 0yelr,.r"rrointerval<

(0,75)

es (0,5, 0,75). Su punto medio es c3 =E:0,75.Enestepunto,

f (0,625)

0.5

=

r

:

0,62b

y a[i

-0,898 x 10-1

que es negativo, por lo que continuamos con el intervalo (0,5,0,625). E punto medio de este intervalo es c4 - 0,563 (hemos redondeado y, por eso es un valor aproximado).

L.5 Sucesiones y series de

funciones

55

En la siguiente tabla estiin los resultados parciales de los valores de los extremos del intervalo considerado en cada paso (a,b), el valor de / en Maxima dispone de un comando que realiza el m6todo estos extremos, el punto medio del intervalo c y su valor por /. de bisecci6n que acabamos Paso

a

b

f (")

f

-0,632 -0,632 -0,278 -0,0898

1

0

1

1

2

0,5

I

0,107

3

0,5

0,75

0,107

4

0,5

0,625

0,107

(b)

Punto medio c

de presentar, si queremos encontrar un cero de la

(r+0)/z:o,s (t + 0,5) 12: 0,75 (0,5 + 0,75)12:0,625 (0,5 + 0,625) l2 = 0,563

funci6n f(") en el intervalo (o, b) escribimos "findroot(f(x),x,a,b);"

I

1.5. Sucesiones y series de funciones L.5.1. Motivaci6n Introducci6n Hemos definido sucesiones y funciones de nrimeros reales. Ahora nos planteamos definir sucesiones de funciones. Al igual que se define el nrimero e mediante el limite de una sucesi6n hay ocasiones en las que es fundamental definir una funci6n mediante el limite de otras funciones. Por ejemplo, cuando Fourier, coet6neo de Napole6n, resolvi6 el problema de la distribuci6n del calor en una barra metdlica utiliz6 sucesiones y series funcionales.

Orientaciones adquirido los conceptos tratados hasta el momento lo que vamos a presentar a continuaci6n no deberia resultarle complicado. Si no es asi, repase los temas sobre sucesiones y series de nfmeros reales porque es muy probable que una nueva lectura le ayude a avanzar con paso mds firme Si ha

aqui.

Objetivos Tras el estudio de este capitulo .otroce.d los conceptos de sucesi6n y serie funcional. Ademds entenderd las diferencias y relaci6n entre la convergencia puntual y la uniforme.

55 Cnpirurol /

El

al limite

"1,,5.2. Sucesiones de funciones Convergencia

puntual

'

Cuando nos encontlamos ante una sucesi6n cuyos tdrminos son funciones de la variable real r denominamos a estas Sucesiones, sucesiones de funciones o sucesiones funcionales; es grande la importancia y muchas las aplicaciones de las sucesiones de funciones. Citaremos s61o una, que consiste en construir nuevas funciones y exPlesal funciones mediante el paso al limite en estas sucesiones de funciones' Una importante diferencia con las sucesiones de nfmeros reales, que estudiamos en el primer capitulo, es que en estas sucesiones definiremos dos clases de convergencia. La convergencia puntual y la convergencia uniforme. Las condiciones para la convergencia uniforme Son m6s exigentes que las de la puntual, por lo que la convergencia uniforme es mds fuerte que la puntual,lo que implicar6, entre otras cosas, que transmite mds ProPiedadel de las funciones t6rminos (continuidad, derivabilidad, etc.) a la funci6r limite.

Las funciones ft, fz, ..., fn se denominan t6rminos de la sucesi6n. Er caso de poder definir todos los t6rminos de una sucesi6n mediante uru f6rmula, por ejemplo f.(r) : rln(n f 1), dicha f6rmula recibe el nombr< de t6rmino general. A lo largo de este este capitulo en lugar de referirnos a la sucesi6n fun' cional {/,,} donde cada fn asigna a cada r e D el valor f"(r), escribiremot porbrevedad la sucesi6n funcional {f"(r)}, n € D. El lector debe notar qur estamos realizando un abuso de notaci6n puesto que /'(r) es un ntimer< para cada r y no una funci6n.

EJnrunro L.50. La sucesi6n de funciones {/"(")} : como elementos las funciones constantes dadas por ..', f"(*) : LlnPara r € IR"

parar€lR,tienr fi(z) : l, fz(r) : l12 I

{*}

1.5 Sucesiones y series de

Eyrnaruo 1.5L. La sucesi6n de funciones {sen(nr)} para r e [0,1], tiene como elementos las funciones dadas por f1(r) : sen r, fz(r) : sen 2tr, .. ., f"(r) : sen(nr) para r € [0, 1]. r

Al igual que ocurria con las sucesiones de nfmeros

reales nos vamos a plantear c6mo averiguar el comportamiento de una sucesi6n funcional cuando rz tiende a infinito.

se

Por lo tanto verifica

{/"} converge puntualmente )ry;f"@)

en D a

f

si para todo

r

eD

: f (r)-

Una primera cuesti6n que se nos plantea es la conservaci6n de la continuidad al pasar al limite. Es decir, si todas las funciones fr, fz,. .. , fn,. . . que conforman la sucesi6n son continuas y la sucesi6n funcional {/r} converge puntualmente, entonces asu limite f seft tambi6n continua? Veamos algrin ejemplo de sucesiones funcionales con convergencia puntual.

E;nuno

1.52. Consideremos Ia sucesi6n funcional dada por f"(r) : rn para r, € N.

{f"(")}

con ,r

€

10, 1]

:

Para que la sucesi6n tenga limite puntual debe existir lfm,,--yoo f.(*) limrr-oo rn para todo € [0, 1]. Claramente , si tr 0, el limite anterior lfmrr--'oo0:0; existey es 0porque limrr-ellimite existe y es 1 porque limrr--'oo f"(7) lfmr--y- 1 1. Por otro lado, si 0 < < 1 sabemos que lim,r-oo :t:n 0. Por 1o tanto, la sucesi6n funcional converge puntualmente y su limite es

r

:

f"(0): :

/(")

:

:

: sir:1,

r

o,=:"r. r,

{ ?; /'

Fijemonos en que las funciones ft, fz,. . . , fr,. . . son continuas, sin embargo,la funci6n limite / no lo es. La siguiente figura muestra la grdfica de algunos elementos de la sucesi6n y de su limite puntual.

funciones

57

58 Cepfruro 1 /

El paso al lfmite

I El Ejemplo 1.52 contesta a la cuesti6n planteada en la piigina anterior, resultando lo siguiente.

En el pr6ximo apartado introduciremos una nueva definici6n de convergencia, m6s exigente que la puntual, y que si conserva la continuidad tras el paso al limite.

Convergencia uniforme Expondremos a continuaci6n la definici6n de convergencia uniforme.

Teniendo en cuenta que

lf"@)

-

f@)l <

sup n€D

{lf"@)

-

f@)l}

i

l

1.5 Sucesiones y series de es sencillo comprobar la siguiente relaci6n entre los dos conceptos de con-

vergencia que hemos presentado para sucesiones funcionales.

En los pr6ximos ejemplos veremos que el reciproco del Teorema 1.5 no decir,la convergencia puntual no implica la uniforme. Por otro lado, el Teorema 1.5 nos ayuda a establecer c6mo estudiar la convergenes cierto, es

cia uniforme: esfudiamos la convergencia puntual, si no existe, tampoco tendremos convergencia uniforme; si existe, utilizamos la funci6n limite obtenida para estudiar la convergencia uniforme.

Elnrrno

L.53. Sea

uniforme de

{/,(r)}

f,(*) : ry

Estudiemos la convergencia puntual y

en R.

Abordamos primero la convergencia puntual. Claramente, si ,f" (0) : 0 para todo n. Luego lim,,-yoo./"(0) : 0. Por otro lado, si fijamos cualquier r + 0, resulta

1i1yf,(,)

tr :

0,

:JS.#:0,

porque el seno toma valores entre -1 y 1 y la sucesi6" {#} converge a 0. En resumen, Iimrr-- f*(*) : 0 para todo r € IR y en consecuencia {f .(")} converge puntualmente a la funci6n f (r) : 0 en 10, oo). Estudiemos la convergencia uniforme. Construimos:

lf,(r) - f@)l

: lf,(r)- 0l : l#l

Debemos averiguar el valor supremo de la expresi6n anterior para r e que previsiblemente depender6 de n, y posteriormente estudiar el limite de ese supremo al hacer tender n a infinito. A veces, ser6 sencillo el c6lculo

IR,

del supremo; otras, deberemos recurrir a conocimientos sobre cdlculo de extremos, que veremos mds adelante en este texto. En el caso que nos ocupa, utilizamos que lsen rl en consecuencia

sup {l/,(r)

ze [0,oo)

- /(")l}:

l#l

< 7 para todo r € IR, y

< 1r'

funciones

59

60 Cnpfruro 1 /

El paso al limite En principio, no hemos calculado el supremo, pero hemos acotado su valor por exceso mediante una sucesi6n que converge a 0. Como ademds se trata de un supremo de un conjunto de nfmeros en valor absoluto resulta

0<

1 sup {lf"@)-f@)l} < r'

ze [0,oo)

Y aplicando la Propiedad del emparedado obtenemos que

J*":,tL

,{lr"@)

- /(")l} :

o'

Luego { f converge uniformemente a la funci6n f (*) : 0 en [0, oo). ^(")) La figura que aparece a continuaci6n muestra la grilfrca de algunos elementos de la sucesi6n y c6mo se aproximan a la funci6n constante .f (r) : 0 en el semieje positivo.

Como adelantamos,la convergencia uniforme conserva la continuidad.

I

I

m

L F

:

i

I

t

Conviene resaltar que la condici6n de convergencia uniforme no es necesaria para que la funci6n limite sea continua. En los siguientes ejemplos estudiaremos sucesiones de funciones continuas que convergen puntualmente a funciones continuas y sin embargo no existe convergencia uniforme.

i,.r'*t'itifi.-T:F!MT..4$l:

1,.5

Sucesiones y series de

E;Eunro 1.54. Estudiemos la convergencia puntual y funcional de la sucesi6n {/"} dada por

{f,(")}: {u'"ts1}

en

IR.

Comenzamos con la convergencia puntual, puesto que

lfm

arc

lim 9: arctg0:0 tg!:arctg n-+@ n n

?1,-+OO

para todo , € IR, tenemos que la sucesi6n converge puntualmente a la funci6n llmite f (*) :0. Pasamos a estudiar si la convergencia puntual es tambi6n uniforme. Para ello construimos:

lf,(*)

- f (")l:

larcts

; -rl: l*.r* il

En este caso es sencillo comprobar que:

Y

como

larc

ts

f

I

= ::n

larc

ts

#*i: i +

(;)l: ; o

no hay convergencia uniforme.

E;ruruo

I

1.55. Sea la sucesi6n de funciones dada por

nr

f"(r):TTnrir, Todas ellas son continuas

z€R.

y convergen puntualmente a f (*)

:

0 para todo z e IR. Por otro lado, observando la expresi6n de las funciones /r, tenemos que

fn(*) : ;

Luego sup

l/,(r) -

r(dt- lr (*) - ol : ;,

y la sucesi6n no converge uniformemente. En la siguiente figura aparecen las griificas de los primeros elementos de la sucesi6n y podemos observar que siempre toman el valor 0,5 y -0,5.

rr#q

funciones 6l

62 Cepfruro 1 /

El paso al limite

I dar una interpretaci6n grdfica a la convergencia uniforme. Cuando nos encontramos ante una convergencia uniforme y dibujamos las grdficasde/* €y f - econ6 > 0,6stasdefinenunabandacentradaenla grilftca de la funci6n limite /. Llamando U, (f) la colecci6n de todas las funciones cuyas gr6ficas estdn contenidas en esta banda, la convergencia uniforme de f, -+ f se puede establecer diciendo que para cada e > 0, existe un ns tal que para todo n ) no todas las f n est6n incluidas en U, (f). Con otras palabras, construida la banda f + e y f - e, apartir de un valor ns, todos los t6rminos de la sucesi6n a partir de ns, {fn}r>no, deben estar contenidos en la mencionada banda si la convergencia es uniforme. Se puede

L.5.3. Series de funciones De la misma forma que definimos las series de nfmeros reales a partir de las sucesiones de ntimeros reales, ahora introduciremos las series funcionales. A partir de una sucesi6n funcional {/"} er D podemos definir otra {fl',} con el mismo dominio de la forma siguiente F1

Fz: h t fz, Fs: ft

-t fz

* fs,

tr*:\

n fe

.

i.:t

La sucesi6n funcional {F"} se llama sucesi6n funcional de sumas parciales de {f.} y para cada n suma los t6rminos de {/,} desde el primero hasta el n-6simo.

Ii,

LY

l l,rtiilriirllitirirlllllilffill'rilHffilll!1il11ffiMl]iflffififfi

I

L.5 Sucesiones y series de

funciones

63

Como ya ocurri6 en el tema dedicado a las series de nrimeros, pese a la definici6n anterior, no utilizaremos la notaci6n ({f"},{4}) para referirnos a las series funcionales sino que emplearemos la m6s tradicional e intuitiva oo

oo

D t"en D o \,

f,{"),

x:

€ D.

si

tenemos

definidas funciones

fn para

Recuerde que

n>p€Zpodemosdefinir )-:- - f. de forma similar

a como definimos D7, fAsi, por ejemplo, podremos

hablar de

D}o f. si

ten-

emos definida la funci6n /s.

Lo que quiere decir que para cada n € D la serie num6dca\i, f"(r) converge a F(r). Al igual que hicimos en la secci6n dedicada a series establecemos la convergencia absoluta y su relaci6n con Ia convergencia puntual.

El siguiente resultado es consecuencia inmediata de que, como sabemos,la convergencia absoluta garantice la convergencia para series de nrimeros reales.

Por riltimo, definiremos la convergencia uniforme.

A la vista de estas definiciones y las propiedades que estudiamos para sucesiones funcionales tenemos que si la serie una funciones converge uniformemente en D c IR tambi6n converge puntualmente en D.

64 Capiruro 1 /

El paso al lfmite

Veamos a continuaci6n eI criterio de Weierstrass que establece una condici6n suficiente para Ia convergencia absoluta y uniforme de una serie

funcional.

A continuaci6n veremos un ejemplo sencillo en el que estudiaremos la convergencia de una serie funcional. E;nvrruo 1.56. Dada la sucesi6n de funciones

{/"}

siendo

(n:0,7,2,...) nos proPonemos:

1. Estudiar la naturaleza de las series num6ricas DLo y en caso de ser convergentes obtener su suma.

f" e), DLo /"

(1)

2. Estudiar la convergencia puntual en [0,1] de la serie de funciones DLo fn asi como la convergencia uniforme. 3. Estudiar la convergencia uniforme en 11,t]. Resolveremos el ejemplo apartado por apartado.

1. Sin mds que sustituir resulta

ittol luego la serie num6rica

::+::

ILo

/,(0)

0

T:0,

es convergente

y su suma es 0.

L.5 Sucesiones y series de

De forma similar

3"-l \

ir't,): 2

n:0

luego la serie num6rica

e-l

""

DLo /"(1)

-t=

es convergente

y su suma es e.

2. Comencemos con la convergencia puntual. En el apartado anterior ya hemos estudiado el comportamiento Para r: 0 y r : l. Si r e (0, 1) resulta una serie geom6trica deraz6n ! < t y por tanto

\, f"t") : n:o @

e'-7 :

er.

Luego la serie converge puntualmente en el conjunto [0,1] a la funci6n

( o, r:0, s@):\e", r€(0.1]

.

Como todas y cada una de las funciones fr(r) : # son continuas en [0,1] y la funci6n g, ala que convergen puntualmente, no lo es, tenemos que la convergencia no puede ser uniforme.

3. Utilizaremos el criterio de Weiestrass. La monotonia de la funci6n exponencial hace que en el intervalo lj, r] se verifique ("t)" { ("')" , que luego r r implica a #* \e_)._< -+.-,lo ("r).

le"-ll / e-1 ' I e"* l' e"lz r-r

-

convergente por ser Ahora bien, la serie de t6rmino general # "" menor que 1, y apli valor absoluto deraz6n en una serie geom6trica cando el criterio de Weiestrass tenemos que'la serie lpo /," es uniformemente convergente en [1, t].

funciones

55

66 Clpfruro

1

/

El paso al lfmite Series de

potencias

\

Dedicaremos este apartado a estudiar un tipo concreto de series funcionales, llamadas series de potencias, en las que la sucesi6n funcional que define a la serie es f"(r) : ar(r - ,o)" para cierto rs f1jo y an € iR para todo n.

Una serie de potencias ILo an(r - 16)' queda definida cuando se conocen &n Y :Lo.El cambio de variable A : r - 16 transforma una serie centrada €fl rs €n otra centrada en 0 con los mismos coeficientes

io"''

n:0

Por este motivo, estudiaremos en este apartado las series centradas en 0.

Basiindonos en esta proposici6n, las series de potencias centradas en 0 se pueden clasificar en:

Tipo L. Series de potencias que convergen de aplicaci6n la proposici6n anterior.

s61o para el

valor 0 de r. No

es

Tipo 2. Series de potencias que convergen en intervalos del tipo (-7,7), l-l,l), ?l,ll,l-l,.yl con ? e (0, oo), y no convergen para valores de z tales que lzl ) 7. Estas series son absoluta y uniformemente convergentes en cualquier intervalo l-k,k] con k < l pero la convergencia en los puntos -.1 o ^1, si tiene Iugar, puede ser absoluta o no.

i

t_

I

1.5 Sucesiones y series de

funciones

67

Tipo 3 Series de potencias que convergen para todo valor real de r; son absolutamente convergentes en todo punto de IR y uniformemente convergentes en cualquier intervalo de IR.. Las series del tipo 1 se llaman series de potencias con radio de convergencia nulo. Las series del tipo 2 tienen radio de convergencia 1 e (0, -). Las series del tipo 3 tienen radio de convergencia infinito. Al intervalo for-

mado por los puntos en los que una serie de potencias es puntualmente convergente lo llamaremos intervalo de convergencia.

i nlrn converge rinicamente

EJEurro 1,.57. Lar".l" Efectivamente, si

r

nl!!nb"

:

1.58. La

r :0.

cp

luego el t6rmino general no tiende a cero. Es del tipo

E;rurro

en

n:o + }tenemos

,".i"

1.

i rn paracada valor de r da lugar a una

Recordemos que una condici6n necesaria para la convergencia de una serie era que su serie t6rmino general convergiese

a0.

geom6trica de r az6n igu!l-! r.

r'

Si lrl < 1, la serie DLo es convergente y su suma si lzl > 1 resulta una serie cuyo t6rmino general no tiende a cero,"r es una serie del tipo 2 con radio de convergencia igual a 1, el intervalo de convergencia es (-1, 1) ya que en el punto -1 es una serie oscilante y en el 1 es divergente.

fr;

6

Eyruruo 1.59. Estudiemos

de que tipo es la serie

^fz

r,#

n:0 Aplicando eI criterio de la nu al valor absoluto del t6rmino general Recuerde que los criterios del cociente y la rau se apliobservamos que para cualquier r fijo can

tim

lEy:

n-+oo ! ?In

Hm

l'l :

n-+@ n

a

series num6ricas de

t6rminos positivos. o.

Por lo tanto,la serie es absolutamente convergente para cualquier valor, luego es una serie del tipo 3 que es absblutamente convergente en todo punto de IR y uniformemente convergente en cualquier intervalo cerrado y acotado de IR..

L,

I

I

<-r

68 Cariruro L /

El paso al limite

EJuunro 1.60. Veamos que la serie valo

t +r'

es

convergente en el inter-

n:o

(-1,1].

Primero demostraremos que el radio de convergencia es 1, es decir, que la serie es absolutamente convergente para lrl < 1 y divergente para l"l > l.Construimos la serie DLo DLo *1"1" y aplicamos el criterio del cociente, hacemos bn+r bn

b,:

la#*l:

*l*1" y tenemos

n l*1"*' _ rL t_t :--:- n+I-W - nqt*t'

Tomando limites en la igualdad anterior resulta

lim

bn+I '," '-

ri-+oo

bn.

lim

n-+oo 2,

n { |

lrl

:lrl.

'

Luego por el criterio del cociente esta serie converge para l"l < 1 y diverge para lrl > 1. De ello se deduce que la serie original DLo ?1)" es absolutamente "" convergente para l"l < 1 y divergente para l"l > 1. En otras palabras: el radio de convergencia es 1. Veamos ahora qu6 ocurre en los extremos del intervalo r : -1y r : l. En r : -1, sin miis que sustituir resulta

m / 1\n

, Sf ,';.(-1)":L; n=0

n=0

que es la serie arm6nica, que, como sabemos, diverge.

Enr :1, sin mds que sustituir obtenemos DLo e#,que

es una serie alternada convergente por el criterio de Leibniz. Luego la serie DLo Gf)" ," es absolutamente convergente para lrl < 1, divergente en -1 y convergente en 1. El intervalo de convergencia es

I Antes de pasar a enunciar criterios que ser6n de gran utilidad para el c6lculo del radio de convergencia de series de potencias, conviene que el lector recuerde que las series de potencias DLo antrn son un caso particular de series de funciones y como antrn sonfunciones continuas en IR, resulta que la funci6n suma de una serie de potencias es continua en el interior del intervalo de convergencia puesto que alli la convergencia es uniforme.

i

I

'r*rd,

! 1,.5

Sucesiones y series de

Los siguiente criterios nos ayudan a calcular el radio de convergencia estudiando el comportamiento de los coeficientes de la serie de potencias.

E;nvmro 1.5L. obtengamos el radio de convergencia de la serie de potencias:

i""

f'--'3+t' Puesto que

11 "'t1-t : llm -: )gLVEf:,lgL V lst+tl n-+oo 3 -.3' aplicando el Criterio de la raiz el radio de convergencia es I : ! - 3 y el intervalo de convergencia (lverifiquelo!) ser6 el conjunto de punlos tales que lrl < 3. T

E;E*mo

1-.62. Obtengamos el

radio de convergencia de la serie de poten-

cias:

if"+1)(r n-0

_ 2)'.

Puesto que

rimantl: lim '17:1. o,n n-+6 n

n-+(x)

aplicando el Criterio del cociente el radio de convergencia es 7 : 1 y el intervalo de convergencia (lverifiquelo!) serd el conjunto de puntos tales

quelr-21<1.

funciones e

70 Capiruro 1 /

El paso al limite

Ejercicios de Autoevaluaci6n Determinese si las siguientes afirmaciones son verdad.eras:

1. El centro y el radio del intervalo [-1,3] son 1 y

2. Todo subconjunto acotado A de nrimeros

2 respectivamente.

reales verifica sup

A e ,4.

3. Una sucesi6n de nfmeros reales puede ser a la vez no convergente y acotada.

a. Si {la"l} converge, entonces tambi6n converge 5. Sabiendo que an *

0V

i

n:7 ",es

lim

n-+@

6.

La serie

i(-t)"'*n!

n:7 7. Si B.

9.

f

{4,",}.

convergente, se verifica

(L+ar)"*:".

""convergente

por el Criterio de Leibniz.

f

y g son funciones continuls en a, entonces es continua Ig en a.

continua en el intervalo cerrado y acotado 1. El m6todo de la bisecci6n puede aplicarse a la ecuaci6n f (r) : 0 en 1 siempre que exista un c € l tal que /(") : 0. Sea

/

La convergencia uniformemente garantiza la convergencia puntual. oo

10. Sea

)4^:-: ! an(r -rs)n. Si n--+cn an+\ n:o

cia de la serie de potencias es

t E

1

d.

3, entonces el

radio de convergen-