´ l´ements de cours MPSI-E
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
Glos osssair ai re de d´ ebu eb ut d’ann´ an n´ ee ee R´ edac ed acti tion on inco in comp mpl` l` ete. et e. Versi er sion on 1.0 1. 0
Plan I. II. III. IV.
Logique - Ensemble Alg`ebre g´en´erale . Alg` Al g`ebre eb re lilin´ n´eair ea iree . Analyse . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
1 3 4 6
Index – – – – – – – – – – – – –
analyseanal yse-synth` synth`ese, ese, 3, 4 anneau, anneau, 4 appartien appartientt `a, a, 2 bijection, bijection, 3 combinaison combinaiso n lin´eaire, eaire, 5 corps, corps, 4 d´ecomposition ecompo sition idiote, 3 d´erivabili erivab ilit´ t´e d’une d’u ne bijecti bij ection on r´ecipro ecip roque, que, 7 division division euclidienne, euclidienne, 4 ensemble, ensemble, 1 espace espace vectoriel, vectoriel, 5 fonction fonction - application, application, 2 fonctions d’une variable r´eelle eelle et `a valeurs vectorielles, 7 – fonctions fonctions paires et impaires, impaires, 4 – formule de Taylor-Y Taylor-Young, oung, 8 – formules formules de Cramer, Cramer, 5, 6 – groupe, 4 – il existe, 2 – injection, injection, 3
– langage math´ematique, ematique , 1 – limites limites usuelles, usuelles, 6 – matrices et d´eterminants etermina nts dimension 2, 4 dimension 3, 5 – morphisme morphisme - isomorphisme, isomorphisme, 4 – op´eratio era tion, n, 3 – partie partie d’un ensemble, ensemble, 2 – phrase phrase incorrecte, incorrecte, phrase fausse, 1 – pour tout, 2 – produit cart´ esien esien de deux ensembles, 2 – quantificateurs, quantificateurs, 2 – surjection surjection,, 3 – syst` sys t`eme em e d’´equat eq uation ionss lin´ li n´eaire ea ires, s, 4, 6 – th´eor` eor `eme eme d’enc d’ encadr adreme ement, nt, 7 – th´eor` eor `eme eme des valeur vale urss inter i nterm´ m´ediai edi aires res,, 6 – th´eor` eor`eme eme du tableau tabl eau de variation variat ions, s, 6 – trigonom´etrie etrie hyperbol hyp erbolique, ique, 4 – vecteur, vecteur, 5
Le cours cour s de d´ebut ebu t d’ann´ d’an n´ee ee utilise util ise des termes term es et des r´esultats esul tats qui ne seront sero nt d´efinis efin is ou d´emontr´ emo ntr´es es pr´ecis´ ecis´ement ement que plus tard. Ce glossaire glossai re pr´esente esente ces termes et ces r´esultats. esultats. Ils sont regroup´es es par th`emes emes et non suivant l’ordre l ’ordre sous lequel ils apparaissent dans le cours.
I.
Logi Lo giqu que e - Ense Ensem mble ble
”na¨ıf” c’est `a dire que le langage math´ ematique ematique est une langage lang age math´ ematique emat ique Le point de vue adopt´e est ”na¨ partie part ie du d u langa l angage ge usue u suell (le (l e sens se ns de d e certai ce rtains ns mots m ots ´etant etant diff´erent erent de leur l eur sens habituel habi tuel). ). En E n r´ealit´ eali t´e, e, le l e v´eritable erit able langage lang age math´ematique emat ique est compl` comp l`etement etem ent formali for malis´ s´e `a partir partir d’un petit nombre de signes signes et de r` egles egles relatives latives aux com combinai binaisons sons possibles possibles de ces signes. signes. Il est important important de faire la diff´ erence erence entre entre une phrase phrase incorrecte (syntaxiquement) et une phrase fausse (logiquement). On ne peut pas attribuer une valeur logique a` une phrase syntaxiquement syntaxiquement incorrecte. Les termes ”phrase math´ ematique” (syntaxiquement correcte) et ematique” proposition logique sont synonymes. – ”Certaines Certain es araign´ees ees ont six pattes ” pattes ” est syntaxiquement correcte mais logiquement fausse. – ”ont araign´ ees ees Certaines Certaine s six pattes ” pattes ” est syntaxiquement incorrecte, la question de sa valeur logique ne se pose pas. Les principaux constituants constituants du langage math´ ematique ematique sont : – les ensembles, les quantificateurs, quantificateurs, le verbe verbe ”appartient `a” a” qui q ui perme p ermettent ttent de forme f ormerr des phrases phra ses ´el´ el´ementair ement aires es – les op´ erateurs erateurs logiques (”et” , ”ou”, ”implique”, ”´ equivaut equivaut `a”, a”, ”non”) qui permettent de combiner des phrases correctes. Ces op´erateurs erateurs ne seront pas formalis´ formali s´es es davantage (pas ( pas de ”table de v´erit´ erit´e”). e”). On s’attachera plutˆot ot `a ”faire sens” `a l’aide du langage usuel.
1
Cette cr´ eation eation est mi se `a dispositio disposition n selon le Contrat Contrat Paternit´ e-Pas e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/ http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
er´e de mani`ere ”na¨ıve” c’est `a dire comme une collection. Les objets d’une telle ensemble Un ensemble est consid´ collection sont appel´e ´el´ements . Attention, seules certaines collections sont des ensembles . Par exemple la collection de tous les ensembles ne constitue pas un ensemble car un tel ensemble permet de former une phrase correcte et contradictoire (logiquement). On ne cherchera pas davantage `a pr´eciser des conditions assurant qu’une collection est un ensemble. Une pr´esentation plus pr´ecise de la th´eorie des ensembles est indissociable d’un expos´e de logique et de formalisation du langage math´ ematique. Ces questions constituent les fondements des math´ ematiques et ne seront pas d´evelopp´ees. On admet certaines propri´et´es et constructions. La liste suivante ne pr´etend pas ˆetre compl`ete. – Il existe un ensemble particulier dit vide not´e ∅ et qui ne contient aucun ´el´ement. La phrase ”a ∈ ∅” est correcte et toujours fausse. – Si A et B sont deux ensembles, il existe un ensemble not´e A × B dit produit cart´esien des deux ensembles dont les ´el´ements sont des couples . Ils sont not´es (a, b) avec a ´el´ement de A et b ´el´ement de B. Par d´efinition, si (a, b) et (a , b ) sont deux ´el´ements des A × B : (a, b) = (a , b ) ⇔ a = a et b = b – Si A est un ensemble, toute collection d’´el´ements de A forme un ensemble. Un tel ensemble est appel´e une partie de A . Un ensemble B est une partie de A lorsque tout ´el´ement de B est un ´el´ement de A. On note alors B ⊂ A, on dit aussi que B est une partie de A. Par convention ∅ est une partie de n’importe quel ensemble. La collection des parties de A forme l’ensemble des parties de A. Cet ensemble est not´e P (A). el´ement de” et joue un rˆole fondamental en langage math´ematique. appartient ` a Ce verbe est synonyme de ”est ´ Il s’´ecrit ∈ en langage formalis´ e. La phrase ”a ∈ A” est la formalisation de a est un ´el´ement de l’ensemble A. Lorsqu’une telle phrase est vraie, la lettre A d´esigne obligatoirement un ensemble. – ”1 ∈ N” est correcte et vraie – ”N ∈ Z” est correcte et fausse – ”1 ∈ 2” est correcte et fausse (car 2 n’est pas un ensemble) el´ements de syntaxe indispensables `a la constitution d’une phrase correcte. quantificateurs Des ´ quel que soit .. : formalis´e par le signe ∀. La phrase formalis´ee ”∀a ∈ A” se traduit en langage usuel par ”Pour tout ´el´ement a de l’ensemble A” ou par ”Soit a un ´el´ement quelconque de l’ensemble A”. Elle se poursuit apr`es le ” :” par une phrase traduisant une propri´et´e. Plusieurs ∀ peuvent se suivre, l’ordre dans lequel ils s’´ecrivent est sans importance. il existe ... tel que formalis´ e par le signe ∃. La phrase formalis´ee ”∃a ∈ A” se traduit en langage usuel par ”Il existe un ´el´ement a de A”. Une phrase de ce genre se poursuit par ”tel que” qui peut ˆetre sous-entendu en langage formel ce ”tel que” s’´ ecrit ” :”. Exemples.
Soit A et B deux ensembles : A ⊂ B si et seulement si :
∀a ∈ A : a ∈ B On peut formaliser davantage : A ∈ P (B) ⇔ A ⊂ B ⇔ (∀a ∈ A : a ∈ B) Les quantificateurs s’´echangent lors d’une n´egation. La n´egation d’une phrase ”Tous les ´el´ements a de A v´erifient une propri´et´e P (a)” (traduction formelle ” ∀a ∈ A : P (a)” est ”Il existe un ´el´ement a de A qui ne v´erifie pas P (a) (traduction formelle ” ∃a ∈ A : nonP (a)”). La n´egation d’une phrase ”Il existe un ´el´ement de A qui v´erifie P (a)” (traduction formelle ” ∃a ∈ A : P (a)”) est ”Aucun ´el´ement de A ne v´erifie P (a)” ou encore ” ∀a ∈ A : nonP (a)”. Ainsi la n´egation de ”Certaines araign´ees ont six pattes” est ”Aucune araign´ ee n’a six pattes” (ce qui est vrai car les araign´ ees ont toujours huit pattes). IMPORTANT Dans une phrase math´ ematique correcte, il ne doit figurer qu’une lettre apr` es un quantifica´ teur. Evitez en particulier les expressions. Par exemple
∀(x + iy) ∈ C est `a ´eviter. Pr´ef´erer
∀z ∈ C, posons x = Re(z) et y = Im(z) 2
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
efinie dans un ensemble A et `a valeurs dans un ensemble B associe `a chaque ´el´ement fonction Une fonction d´ de A un unique ´el´ement de B. Les fonctions d´efinies dans un ensemble A et `a valeurs dans un ensemble B forment un ensemble not´e F (A, B) Lorsque f est une fonction d´efinie dans A et `a valeurs dans B (on dit aussi simplement de A vers B), et a un ´el´ement quelconque de A. L’unique ´el´ement de B associ´e `a a par f est appel´e image de a par f et not´e f (a). Dans ce cours, les termes ”fonction ” et ”application” sont ´equivalents. efinie dans op´ eration Une op´eration interne (on dit aussi une loi interne) sur un ensemble A est une fonction d´ A × A et `a valeurs dans A. En g´en´eral une image par une op´eration n’est pas not´ee comme une image de fonction. Par exemple l’addition de N est une op´ eration interne. C’est bien une fonction de N × N dans N not´ee ”+” mais on utilisera 1 + 1 au lieu de +((1, 1)). Une op´eration interne peut avoir diverses propri´et´es : associativit´e, commutativit´e, existence d’un ´el´ement neutre. On peut aussi consid´erer des op´erations externes c’est `a dire des fonctions d’un ensemble K × A `a valeurs dans A. Dans ce cas aussi, l’image (le r´ esultat d’une op´eration) est not´ ee avec un signe entre les lettres d´esignant les deux ´el´ements. el´ement x de l’espace d’arriv´ee, il existe un unique ´el´ement de bijection Une application telle que pour tout ´ l’espace de d´epart dont l’image soit x. emonstration (en deux temps) d’une proposition du genre analyse-synth` ese Un mode de d´ Il existe un unique ´el´ement x v´erifiant une propri´et´e P (x) Premier temps : analyse. On consid`ere un ´el´ement x v´erifiant P (x) et on forme des cons´equences pour obtenir des propri´et´es de x. Dans certains cas on peut arriver `a prouver que x ne peut ˆetre qu’un certain x0 . Ceci prouve la partie unicit´e de la proposition `a d´emontrer. Deuxi`eme temps : synth`ese. On consid`ere l’´el´ement particulier x0 et on montre (en g´en´eral par un calcul) qu’il v´erifie la propri´et´e P (x0 ). Ce raisonnement ne peut jamais s’appuyer sur l’analyse. La synth`ese prouve l’existence d’une solution explicite au probl`eme (`a savoir x0 ). L’analyse montre que c’est la seule possible. L’analyse synth`ese fa¸con « Les experts ». Monsieur X a ´et´e retrouv´e mort chez lui. – Analyse. Parmi tous les ˆetres humains, seul Monsieur Y a eu la possibilit´e mat´ erielle de la tuer. – Synth`ese. Prouver que Monsieur Y a r´eellement assasin´e Monsieur X. Remarque : l’analyse ne prouve PAS que Monsieur Y est l’assassin. Il peut finalement s’agir d’un accident. efinie dans un ensemble A et `a valeurs dans un ensemble B injection, surjection, bijection Une fonction f d´ est dite – bijective : lorsque pour tout ´el´ement b ∈ B, il existe exactement un a ∈ A tel que f (a) = b. – injective : lorsque deux ´el´ements distincts a et a de A ont des images distinctes. C’est ´equivalent `a dire que pour tout ´el´ement b ∈ B, il existe au plus un ´el´ement a ∈ A tel que f (a) = b. – surjective : lorsque pour tout ´el´ement b ∈ B, il existe un ´el´ement a ∈ A tel que f (a) = b. Si il existe plusieurs ´el´ements a v´erifiant cette propri´et´e, la fonction n’est pas injective. Une application est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.
II.
Alg` ebre g´ en´ erale
ecomposer arbitrairement un objet en une expression d’une forme particuli`ere d´ ecomposition idiote Il s’agit de d´ qui nous int´eresse et un reste ´egal `a ce qu’il faut pour que l’´egalit´e soit vraie. Souvent le reste a une propri´et´e utile. Exemple. Pour z complexe non nul : z = |z |r. On a d´ecompos´e arbitrairement z en introduisant un r´eel strictement positif et r est ce qu’il faut que ce soit correct `a savoir r = |zz| . Ici la propri´et´e int´eressante du reste est que son module est ´egal `a 1. Autre exemple. Transformation d’une expression homographique . Soit h(x) =
3
2x + 1 3x + 1
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
La d´ecomposition idiote consiste ici `a faire apparaitre ”de force”, le d´enominateur dans le num´ erateur et d’en d´eduire une nouvelle expression de h. 2 2 2 1 2x + 1 = (3x + 1) + 1 − ⇒ h(x) = + 3 3 3 3(3x + 1) On retrouve cette id´ee dans la d´ecomposition canonique d’une expression du second degr´ e. Contrairement aux apparences, les d´ecompositions idiotes sont souvent utiles . et´es. Par exemple ( Z, +), (Q, ×) groupe Un ensemble muni d’une seule op´eration interne v´erifiant certaines propri´ sont des groupes mais (N, +) n’est pas un groupe. erations internes (une addition et une multiplication) anneau - corps Un anneau est un ensemble muni de deux op´ qui v´erifient un certain nombres de propri´et´es (`a peu pr`es les r`egles de calculs usuelles). Par exemple ( Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×), (Z, +, ×) sont des anneaux. Un corps est un anneau avec une propri´et´e suppl´ementaire : tout ´el´ement non nul admet un inverse. Par exemple (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×) sont des corps mais (Z, +, ×) n’est pas un corps. (voir Groupes-Anneaux-Corps). es g´en´eralement, un morphisme est une application entre deux espaces munis d’op´erations et qui morphisme Tr` transporte l’op´eration de l’espace de d´epart vers l’op´eration de l’espace d’arriv´ee. Si T est l’op´eration dans l’espace de d´epart et ∗ celle de l’espace d’arriv´ee : f (aT b) = f (a) ∗ f (b) Par exemple la fonction ln est un morphisme de (]0, ∞[, ×) vers (R, +). Un isomorphisme est un morphisme bijectif. division euclidienne La division euclidienne des entiers naturels est la division enseign´ee depuis l’´ecole primaire.
Si a = 0 et n sont deux entiers naturels, il existe un unique couple ( q, r) d’entiers naturels tels que n = qa + r evec r entre 0 et a − 1. On dit que q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de n par a. La division euclidienne se rattache `a la partie enti`ere introduite dans l’axiomatique du corps des r´eels et s’´etend aux polynˆomes.
III.
Alg` ebre lin´ eaire
fonctions paires et impaires
efinie dans R et a ` valeurs r´eel les se d´ecompose de mani`ere unique comme la Proposition. Toute fonction d´ somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Preuve. La d´emonstration se fait par analyse-synth`ese. Notons f la fonction `a d´ecomposer. Analyse. Si f = g + h avec h paire et f impaire alors, en ´ecrivant cette somme pour x et −x et en combinant, il vient : g(x) =
1 (f (x) + f (−x)), 2
g(x) =
1 (f (x) − f (−x)) 2
g(x) =
1 (f (x) − f (−x)) 2
Ceci assure l’unicit´e de la d´ecomposition. Synth`ese. D´efinissons des fonctions g et h par les formules : g(x) =
1 (f (x) + f (−x)), 2
On v´erifie alors facilement que g est paire, h impaire et f = g + h. Ce qui assure l’existence d’une d´ecomposition. Remarque. C’est ainsi que sont d´efinies les fonctions de la trigonom´etrie hyperbolique 1 . emes. matrices et d´ eterminants 2 × 2 Applications aux syst` Une matrice 2 × 2 a` coefficients r´eels est un tableau de quatre nombres A= 1
a b c d
voir Fonctions usuelles, trigonom´ etrie
4
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
L’ensemble des matrices 2 × 2 a` coefficients r´eels est not´e M2 (R). On utilisera des parenth`eses () ou des crochets [] pour d´elimiter une matrice. La barre verticale est r´eserv´ee au d´eterminant qui est un nombre attach´e `a une matrice. a b det A = = ad − bc c d
Pour un traitement complet voir le chapitre D´eterminants. Les matrices et d´eterminants jouent un rˆole capital dans l’´etude des syst`emes d’´equations lin´eaires . Ici on consid`ere un syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues. eels, le syst` eme lin´eaire de deux ´equations aux deux inconnues Proposition. Soit a, b, c, d, u, v des nombres r´ x et y
ax + by = u cx + dy = v
(S )
admet un unique couple solution si et seulement le d´ eterminant de la matrice associ´ e est non nul. Lorsque ceci est r´ealis´ e, cet unique couple est :
u b a u v d c v ( , ) a b a b c d c d
formules de Cramer
Remarque. Le couple solution est obtenu en rempla¸cant successivement chaque colonne de la matrice par la colonne du second membre. Preuve. – Introduisons d’abord quelques notations
u b D1 = v d
a D2 = c
u v
a b D= c d
– (analyse) Montrons d’abord que si D = 0 alors la seule solution possible est donn´ee par les formules de Cramer. Supposons que (x0 , y0 ) soit un couple solution et rempla¸cons dans l’expression de D1 ). D1 = ud − vb = (ax0 + by0 )d − (cx0 + dy0 )b = Dx0 ⇒ x0 =
D1 D
Le calcul conduit `a un r´esultat analogue pour D2 . – (synth`ese) En rempla¸cant dans les ´equations, on obtient facilement que (
D1 1 D2 1 = (ud − vb), = (av − cu)) D D D D
est un couple solution. – Les deux derniers points montrent (analyse-synth`ese) que lorsque D = 0 le syst` eme admet une unique solution. – Montrons maintenant que si le syst`eme admet une unique solution alors D = 0. En fait on va plutˆot montrer que si D = 0 alors le syst`eme admet plusieurs solutions ou n’en admet aucune. Supposons que D = 0 et que (x0 , y0 ) soit une solution. Consid´erons pour tout r´eel λ : xλ = x0 − λb
yλ = y0 + λa
il est alors ´evident par d´efinition que axλ + byλ = u. De plus : cxλ + dyλ = v + λ(−cb + ad) = v On a donc obtenu une infinit´ e de solutions. Ces r´esultats sont utilis´es dans l’´etude des ´equations diff´erentielles lin´eaires ainsi que dans la g´eom´etrie ´el´ementaire du plan. Leur signification en termes d’intersections de droites est si claire qu’elle rend presque inutile une d´emonstration. Celle propos´ee ici permet de mettre en pratique un peu de logique.
5
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
espaces vectoriels Un espace vectoriel est un ensemble muni de deux op´erations : une addition interne et une multiplication par un ´el´ement d’un corps fix´e. En g´en´eral R ou C. L’addition d´efinit une structure de groupe
et la multiplication externe doit v´erifier certaines propri´et´es. En particulier si u est un ´el´ement de l’espace vectoriel et 1 K le neutre multiplicatif du corps la multiplication externe de 1 K par u est ´egale `a u. Un vecteur est un ´el´ement d’un espace vectoriel. Une combinaison lin´eaire est un vecteur qui s’´ecrit comme une somme de multiplications (externes) λ1 u1 + λ2 u+ · · · + λ p u p o`u les λi sont dans le corps et les ui sont dans l’espace vectoriel. Sous-espace vectoriel engendr´e Vect(u), Vect(u, v). emes. matrices et d´ eterminants 3 × 3 Applications aux syst` Une matrice 3 × 3 a` coefficients r´eels est un tableau de neuf nombres A=
a a a
b b b
c c c
L’ensemble des matrices 3 × 3 a` coefficients r´eels est not´e M3 (R). On utilisera des parenth` eses ( ) ou des crochets [ ] pour d´elimiter une matrice. La barre verticale est r´eserv´ee au d´eterminant qui est un nombre attach´e `a une matrice. a b c det A = a b c a b c
Pour un traitement complet voir le chapitre D´eterminants. Les propri´et´es permettant la manipulation et le calcul des d´eterminants sont multilin´earit´e, antisym´etrie, d´eveloppement suivant une ligne ou une colonne (` a r´ediger) Les matrices et d´eterminants jouent un rˆole capital dans l’´etude des syst`emes d’´equations lin´eaires . Ici on consid`ere un syst`emes de trois ´equations `a trois inconnues. eels, le syst`eme lin´eaire de trois Proposition. Soit a, b, c, a , b , c , a , b , c , u, v w des nombres r´ ´equations aux trois inconnues x, y, z
ax + by + cz =u
a x + b y + c z =v a x + b y + c z =w
(S )
admet un unique triplet solution si et seulement le d´ eterminant de la matrice associ´e est non nul. Lorsque ceci est r´ealis´e, cet unique triplet est :
u b c a u c a b u v b c a v c a b v w b c a w c a b cw ( , , ) a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c
formules de Cramer
Remarques. – Le couple solution est obtenu en rempla¸cant successivement chaque colonne de la matrice par la colonne du second membre. – Lorsque le second membre est nul, la nullit´ e du d´eterminant est ´equivalente `a l’existence d’un triplet solution autre que (0, 0, 0) au syst`eme.
IV.
Analyse
limites usuelles En particulier
1
x
ex → +∞ en +∞. On en d´eduit
ln x
x
→ 0 en +∞.
th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires
eor`eme de la valeur interm´ediaire) . formulation 1 Soit I un intervalle et f une fonction Th´ eor` eme (Th´ continue sur I , a et b deux ´el´ements de I tels que f (a)f (c) < 0. Il existe alors c tel que f (c) = 0. 6
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
formulation 2 Soit I un intervalle, a ∈ I , b ∈ I , f continue sur I et λ ∈] min(f (a), f (b)), max(f (a), f (b))[.
Il existe alors c ∈ [min(a, b), max(a, b)] tel que f (c) = λ. formulation 3 Soit I un intervalle et f une fonction continue sur I . Alors f (I ) est un intervalle.
voir Propri´et´es globales des fonctions continues. On peut combiner avec le th´ eor`eme du tableau des variations pour obtenir une condition suffisante de bijectivit´e. Il vaut mieux les appliquer s´epar´ement et comprendre que le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires est li´e `a la surjectivit´e . th´ eor` eme du tableau de variations
erivable dans ]a, b[ telle que f (x) > 0 pour tout Proposition. Soit f une fonction continue dans [a, b], d´ x ∈]a, b[. Alors f est strictement croissante dans [a, b]. voir Propri´et´es des fonctions d´erivables. On peut combiner avec le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires pour obtenir une condition suffisante de bijectivit´e. Il vaut mieux les appliquer s´epar´ement et comprendre que le th´eor`eme du tableau des variations est li´e `a l’injectivit´e . d´ erivabilit´ e d’une bijection r´ ecipro que
erivable dans ]a, b[ telle que f (x) > 0 pour tout Th´ eor` eme. Soit f une fonction continue dans [a, b], d´ x ∈]a, b[, alors f est bijective de [a, b] dans [f (a), f (b)], sa bijection r´eciproque est continue dans [f (a), f (b)], d´erivable dans ]f (a), f (b)[ avec : 1
∀y ∈]f (a), f (b)[: f −1 (y) =
f (g(y))
voir Propri´et´es des fonctions d´erivables. ` r´ediger fonctions ` a valeurs vectorielles d’une variable r´ eelle A Ces r´esultats sont utilis´es dans l’´etude des Courbes planes param´etr´ees. Les fonctions consid´er´ees ici sont d´efinies dans un intervalle I de R et `a valeurs dans un plan affine E de direction E . Cet espace affine peut ˆetre E ou C. el´ement de I et A un point de E . On dit que f converge D´ efinition. Soit f une fonction de I dans E , t0 un ´
−−−→ en t0 vers A lorsque la fonction de I dans R Af (t) converge vers 0 en t0 . On note f −→ A ou limf = A t0
t0
ees dans un rep`ere, f une fonction de I dans E , t0 un Proposition. Soit x et y les fonctions coordonn´ ´el´ement de I et A un point de E . Alors f −→ A ⇔ t0
x(f (t)) −→ x(A) t0
y(f (t)) −→ y(A) t0
Preuve. – Supposons la convergence de la fonction affine, d’apr`es les propri´et´es de la norme, on peut ´ecrire les in´egalit´es : −−−→ −−−→ |x(f (t)) − x(A)| ≤ Af (t) et |y(f (t)) − y(A)| ≤ Af (t) On en d´eduit la convergence des fonctins num´eriques x ◦ f et y ◦ g en utilisant le th´eor`eme d’encadrement. – Dans l’autre sens, supposons la convergence en t0 des fonctions num´eriques x ◦ f et y ◦ f . Alors, comme
−−−→ Af (t) =
(x(f (t)) − x(A))2 + (y(f (t)) − y(A))2
on obtient la convergence de f en utilisant les r´esultats relatifs aux op´erations et `a la composition des fonctions r´eelles d’une variable r´eelle. efinie dans un intervalle I et `a valeurs dans un espace affine est D´ efinition (Continuit´e) . Une fonction f d´ continue en t0 ∈ I si et seulement si elle converge en t0 vers f (t0 ). → − Une fonction f d´efinie dans un intervalle I et `a valeurs dans un espace vectoriel est continue en t0 ∈ I si et → − seulement si elle converge en t0 vers f (t0 ).
7
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
´ ements de cours MPSI-El´
Glossaire de d´ebut d’ann´ee
17 novembre 2012
erivabilit´e) . Une fonction f d´efinie dans un intervalle I et `a valeurs dans un espace affine est D´ efinition (D´ d´erivable en t0 ∈ I si et seulement si la fonction 1 −−−−−−→ f (t0 )f (t) t − t0 converge en t0 . Dans ce cas, le vecteur limite est not´e
− → f (t0 ) → − Une fonction f d´efinie dans un intervalle I et `a valeurs dans un espace vectoriel est d´erivable en t0 ∈ I si et seulement si la fonction −−→ −−−→ 1 f (t) − f (t0 ) t − t0
converge en t0 . Dans ce cas, le vecteur limite est not´e
− → f (t0 ) erivable en t0 est continue en t0 . Proposition. Toute fonction d´ On dira qu’une fonction est continue ou d´erible dans un intervalle I si et seulement si elle est continue ou d´erivable en tous les t de I . → − − → ere R = (O, i , j ) ´etant fix´e, les fonctions coordonn´ees sont not´ees x et y. Une Proposition. Un rep` fonction f d´ efinie dans un intervalle I et a ` valeurs dans un espace affine est d´ erivable en t0 ∈ I si et seulement si les fonctions (de I dans R) x ◦ f et y ◦ f sont d´erivables. On a alors :
− → → − → − f (t0 ) = (x ◦ f ) (t0 ) i + (y ◦ f ) (t0 ) j ` r´ediger. Preuve. A On peut reformuler la proposition pr´ec´edente. Si f est de la forme
→ − → − f (t) = 0 + u(t) i + v(t) j alors la fonction `a valeurs g´eom´etriques f est d´erivable si et seulement si les fonction `a valeurs num´eriques u et v le sont et : → − → − → − f (t0 ) = u (t0 ) i + v (t0 ) j → − Les formules sont analogues pour une fonction f `a valeurs vectorielles
− → → − → − f (t) =u(t) i + v(t) j → − → − → − f (t) =u (t) i + v (t) j → → → − − → → − D´erivations de ( f /− g ), f , det( f , − g ). efinie dans un intervalle I et a ` valeurs Proposition (Formule de Taylor-Young). Soit f une fonction d´ affines. On suppose qu’elle est d´ erivable dans I , que sa d´eriv´ee est continue dans I et que cette d´eriv´ee est d´erivable en un t0 de I . Alors :
→ − → −−−−−−→ (t − t0 )2 − → f (t0 )f (t) = (t − t0 ) f (t0 ) + f (t0 ) + (t − t0 )2 − ε (t) 2 → − − o` u → ε est une fonction `a valeurs vectorielles qui converge vers 0 en t0 .
8
Cette cr´ eation est mi se `a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible e n ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
R´ emy Nicola i C4199
