CÁTEDRA DE ELECTROTECNIA UTN – FRM FRM Ing. Electromecánica
Profesor Asociado Ing. Washington Tobares Profesor Adjunto Ing. Evaristo Mario Martinez
Ing. Evaristo Mario Martinez Ing. Eduardo Guerra
Técnico: Marcelo Martinez
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COMPONENTES SIMÉTRICAS TABLA DE CONTENIDO
2
1.
COMPONENTES SIMÉTRICAS ............................................................................................... 3
2.
EL TRABAJO DE FORTESCUE ................................................................................................ 3
3.
TEOREMA DE FORTESCUE ................................................................................................... 8
4.
INVARIANCIA DE LA POTENCIA ......................................................................................... 14
5.
EXPRESIONES DE LAS TENSIONES Y CORRIENTES EN COMPONENTES SIMÉTRICAS ............. ........... .. 18
6.
PROPIEDADESS DE LAS COMPONENTES DE SECUENCIA NULA Y NEGATIVA........... PROPIEDADE ..................... ............... .... 20
7.
TRANSDUCTORES DE POTENCIA DE SECUENCIA POSITIVA ................................................. 26
8.
POTENCIA EN COMPONENTES SIMETRICAS ....................................................................... 28
9.
APLICACION DE LA TRANSFORMACIÓN ............................................................................. 29
10.
EL CUADRIPOLO ACTIVO .................................................................................................. 32
11.
OCTOPOLO PASIVO ......................................................................................................... 39
12.
BIBLIGRAFIA CONSULTADA ............................................................................................. 45
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COMPONENTES SIMÉTRICAS TABLA DE CONTENIDO
2
1.
COMPONENTES SIMÉTRICAS ............................................................................................... 3
2.
EL TRABAJO DE FORTESCUE ................................................................................................ 3
3.
TEOREMA DE FORTESCUE ................................................................................................... 8
4.
INVARIANCIA DE LA POTENCIA ......................................................................................... 14
5.
EXPRESIONES DE LAS TENSIONES Y CORRIENTES EN COMPONENTES SIMÉTRICAS ............. ........... .. 18
6.
PROPIEDADESS DE LAS COMPONENTES DE SECUENCIA NULA Y NEGATIVA........... PROPIEDADE ..................... ............... .... 20
7.
TRANSDUCTORES DE POTENCIA DE SECUENCIA POSITIVA ................................................. 26
8.
POTENCIA EN COMPONENTES SIMETRICAS ....................................................................... 28
9.
APLICACION DE LA TRANSFORMACIÓN ............................................................................. 29
10.
EL CUADRIPOLO ACTIVO .................................................................................................. 32
11.
OCTOPOLO PASIVO ......................................................................................................... 39
12.
BIBLIGRAFIA CONSULTADA ............................................................................................. 45
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1.
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COMPONENTES SIMÉTRICAS
Cuando se trabaja con circuitos trifásicos en corriente a1terna es usual remplazarlos por circuitos monofásicos y efectuar con ellos los cálculos que sean necesarios. Esta substitución solo es posible si se cumplen algunas de las hipótesis: 1) Que se alimente con un sistema perfecto de tensiones. 2) Que las impedancias de las distintas fases sean iguales en módulo y fase. La primera hipótesis se cumple con bastante aproximación en la realidad ya que, en general, los generadores sincrónicos suministran un sistema perfecto de tensiones, en cambio, la segunda hipótesis rara vez se dá en la práctica. Si se estudia el comportamiento del sistema bajo la acción de una falla asimétrica es evidente que la segunda hipótesis no va a cumplirse y haría imposible el remplazo del circuito trifásico por uno monofásico equivalente. Para resolver sistemas trifásicos desequilibrados se hace necesario aplicar las leyes de Kirchhoff, lo cual, es un proceso complicado y que carece de sistematicidad. sistematicidad.
En el año 1918 FORTESCUE presentó en una reunión del AIE el trabajo: “METHOD OF SYMMETRICAL COORDINATES APPLIED TO THE SOLUTION OF POLYPHASE NETWORKS” que resultó ser una herramienta poderosa para resolver problemas de circuitos polifásicos desequilibrados.
2.
EL TRABAJO DE FORTESCUE
En este trabajo Fortescue demuestra que un sis tema de “n” vectores desequilibrados relacionados entre si, pueden descomponerse en “n” sistemas perfectos de “n” vectores. Cada
uno de estos sistemas se denomina Componente Simétrica. Simétrica. Hay “n” secuencias, una asociada a cada componente. -
La primera componente, denominada componente de secuencia nula, existe toda vez que el sistema de “n” vectores desequilibrados tie ne una resultante distinta de cero. Los
vectores que forman esta componentes son “n” y cada uno tiene una magnitud igual a la enésima parte de la resultante. El desfasaje entre uno y otro es de 0°*360/n. -
La segunda componente es la de secuencia positiva o también denominada de primer
orden. Esta consta de “n” vectores de igual módulo desfasados 1*360°/n entre si. -
El sistema de segundo orden está formado por “n” vectores de igual módulo desfasados 2*360°/n entre si.
-
Y así se continua hasta llegar a la componente de i-ésimo orden, la cual, esta formada por
“n” vectores desfasados i*360°/n entre si. -
La última componente es la de orden (n-1) o también llamada de secuencia secuencia negativa. Esta compuesta por “n” vectores de igual magnitud y desfasados (n -1)*360°/n entre si. Si se construyen los vectores que forman esta componente se tomará conciencia en forma
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inmediata de porque reciben el nombre de componente de secuencia negativa. En la sección siguiente se enunciará esto mismo pero para un sistema de tres vectores, que es, lo que ·generalmente se tiene en sistemas eléctricos. Los sistemas cuyo número de fases es un número primo (como sucede en el caso trifásico) tienen la propiedad de que cada componente simétrica, exceptuando la de secuencia nula, está formada por “n” vectores no coincidentes coincidentes. Ver Figuras 1. Mientras que en el caso en que el número de fases es no primo, algunas componentes simétricas están formadas por vectores superpuestos. En las Figuras 2 se ilustra a este respecto.
Sistema Pentafásico (Primo)
Figura 1.a – Sistema Sistema Pentafásico Desequilibrado (Primo)
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Sistema Hexafásico (No Primo)
Figura 2.a – Sistema Hexafásico Desequilibrado (No Primo)
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Figura 1.b – Componentes Simétricas de un Sistema Pentafásico (Primo)
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Figura 2.b – Componentes Simétricas de un Sistema Hexafásico (No Primo)
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Figura 2.b – Componentes Simétricas de un Sistema Hexafásico (No Primo)
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Electrotecnia - 2012
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TEOREMA DE FORTESCUE “TRES VECTORES DESEQUILIBRADOS DE UN SISTEMA LINEAL TRIFÁSICO PUEDEN DESCOMPONERSE EN TRES SISTEMAS PERFECTOS DE VECTORES”. Los conjuntos perfectos o componentes simétricas son los siguientes: -
Componente de Secuencia Positiva Está constituida por tres vectores de igual módulo desfasados 120° entre si y con la misma secuencia del sistema desequilibrado original.
-
Componente de Secuencia Negativa Está constituida por tres vectores de igual módulo desfasados 120° entre si y de secuencia contraria al sistema desequilibrado original.
-
Componente de Secuencia Cero u Homopolar Está constituida por tres vectores de igual módulo desfasados 360° entre si, es decir que no presentan diferencia de fase y con la misma secuencia del sistema
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TEOREMA DE FORTESCUE “TRES VECTORES DESEQUILIBRADOS DE UN SISTEMA LINEAL TRIFÁSICO PUEDEN DESCOMPONERSE EN TRES SISTEMAS PERFECTOS DE VECTORES”. Los conjuntos perfectos o componentes simétricas son los siguientes: -
Componente de Secuencia Positiva Está constituida por tres vectores de igual módulo desfasados 120° entre si y con la misma secuencia del sistema desequilibrado original.
-
Componente de Secuencia Negativa Está constituida por tres vectores de igual módulo desfasados 120° entre si y de secuencia contraria al sistema desequilibrado original.
-
Componente de Secuencia Cero u Homopolar Está constituida por tres vectores de igual módulo desfasados 360° entre si, es decir que no presentan diferencia de fase y con la misma secuencia del sistema desequilibrado original. Gráficamente se puede ver en la Figura 3.
Figura 3
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Los vectores
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pueden ser corrientes, tensiones o flujos.
Los vectores , y X3 se pueden determinar en función de las componentes simétricas mediante las siguientes expresiones:
= ++ −− = + − =
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Como los vectores pertenecen al plano complejo, si se define el operador:
==
Cualquier vector multiplicado por este fasor, produce el giro en 120° en sentido anti-horario (sentido positivo de los ángulos). j0°
Por ejemplo, si se tiene de referencia el “versor unitario” y ángulo cero: “1 e ”, y lo multiplicamos por el operador “a”, entonces lo gira 120°. Si a este nuevo versor lo multiplicamos nuevamente por “a”, es decir se tiene “a2”, entonces el giro será de 120° respecto a “a” ó 240°
respecto a la referencia “1 e j0°”. Asi sucesivamente se pueden multiplicar por el operador “ a”, las veces que se desee un vector logrando giros de 120° en sentido anti-horario. El caso particular para un sistema trifásico, es que en la posición del vector:
““ ”” (120°) ( coicoinnciciddee concon ““ ”,”, ““ ”,”, eses decidecirr ““ ”” “ ” (240°) “ ”, “ ”, es decir “ ” 0°)
: :
coincide con
:
j 120° a= e
4
= a
=
1+3*n
a
j 0° 1=1x e
=
3
a
=
a
0+3*n
Referencia
n = 0, 1, 2 ..... j 240° 2
5
2+3*n
a =e = a = a
Se puede expresar el sistema (1) en función de tres vectores, uno de cada secuencia:
+ , − ,
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Para ello se toman como referencia a los vectores con subíndice “ 1” y los restantes se expresan en función de este, pero girados “a” y “a2” respectivamente, según se trate del sistema de secuencia positiva o negativa.
Para el sistema de secuencia positiva resulta:
++ = + =+ −− =− − = + Referencia
Para el sistema de secuencia negativa es: Referencia
En el sistema de secuencia cero coinciden los tres vectores en módulo y ángulo, por lo tanto:
≡ ≡ == ++ −− + − = +
Se puede armar en forma matricial:
[ ]=[ ]. +− =
: Es el vector columna variables dominio real. : Es la matriz de Simetrización. : Es el vector columna variables dominio componentes simétricas.
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Esta es la ecuación que vincula ambos sistemas, el real y el de las componentes simétricas. La misma indica que conocidos los valores de secuencia se pueden obtener los valores en el dominio real. No es lo más común, generalmente se conocen los valores del dominio real y se necesitan obtener los valores de las componentes simétricas para resolver el problema en ese dominio de fácil resolución (Sistemas Equilibrados – Se estudia una sola fase) y se retornan los valores al dominio real. Resumiendo: -
Condiciones Iniciales del Sistema Trifásico en el Dominio Real.
-
Transformar esas Condiciones Iniciales al dominio de las Componentes Simétricas.
-
Resolver el problema en el dominio de las Componentes Simétricas.
-
La solución se retorna al dominio Real.
Condiciones Iniciales
Dominio Real: u, v, w
Dominio Componentes Simétricas +, - ,0
Solución u v w
Valores de las variables en el Dominio de las Componentes Simétricas Premultiplicando por la matríz inversa de Simetrización:
= − = − = −
Solución +, - ,0
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Obtención de la Matriz Inversa de Simetrización Por definición, la matriz inversa es:
− = −
(| |)
: matríz inversa de Simetrización : determinante de la matriz de Simetrización : adjunta de la matriz de Simetrización. Es la matriz cofactor transpuesta.
( )
Cada elemento de la cofactor se calcula: (i+j)
cij = (-1)
|Mij|
|Mij| es el determinante que resulta de eliminar la fila “i” y la columna “j”. Una vez calculada la matriz
se transpone.
La transpuesta de una matriz es intercambiar filas por columnas. Se obtiene finalmente:
−+ = [ ]. [ ] Ecuación que nos permite calcular los valores de las Componentes Simétricas conocidos los valores reales, siendo estos últimos a los que se les aplica las Condiciones Iniciales.
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4.
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INVARIANCIA DE LA POTENCIA
Toda transformación lineal, representada por una matriz de transformación unitaria, cumple con la consideración de la invariancia de la potencia La potencia compleja en el sistema original está dada por:
=†. † =()∗
(a)
Donde el signo (†) indica hermitiano.
La “t ” indica transposición y el asterisco “ *” el conjugado. La transpuesta de una matriz es otra matriz cuyas filas son las columnas de la matriz original y cuyas columnas son las filas de dicha matriz. La transpuesta se obtiene cambiando filas por columnas de la matriz original. Toda matriz puede ser transpuesta, sea cuadrada o no. Si lo es, los elementos de la diagonal no se modifican. La matriz conjugada se obtiene conjugando cada uno de los elementos de la matriz original. Esto solamente tiene efecto si la matriz tiene elementos Complejos, ya que el conjugado de un número real es el mismo número. Si todos los elementos j son reales, el conjugado de ese arreglo será el mismo arreglo. Si se desea que la transformación lineal no altere la expresión de la potencia compleja, esto es que en el nuevo sistema:
La
† = “”
(b)
indica el nuevo sistema.
Como surge de comparar (a) y (b), la expresión de la potencia NO ha variado al pasar de uno a otro sistema. Para poder conseguir esto la matriz de transformación debe ser unitaria.
Más claramente si “ ” es la matriz de transformación:
−
: Es la inversa de la matriz
“” (1)+ La
+ = −
− = (| |)
indica cofactor. La matriz cofactor se obtiene remplazando cada elemento por su cofactor.
es el determinante de la matriz que se obtiene suprimiento la fila “i ” y la columna “ j ” de la matriz original. Para obtener el cofactor del elemento se debe colocar al menor el signo que le corresponde. El signo se determina con la siguiente expresión: El menor
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El cofactor del elemento
es:
|| == + =( ) =+ + − = = = =+.
es el determinante de la matriz
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=(1)+
Supongase que:
La potencia compleja será:
Si
Siendo
Como puede observarse la expresión de la potencia no ha variado en el nuevo sistema y queda demostrado lo afirmado al principio de esta secci ón.
Si se analiza la matriz de simetrización su hermitiano, pero se cumple que:
=3 √ 3. √ 3 =
“”
, es fácil comprobar que su inversa no coincide con
o también
La matriz de simetrización dividida por
√ 3
es unitaria. A
√
se la llamará matriz de
transformación de las expresiones simétricas unitaria y se la simbolizará con
Entonces
= =
= √
.
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Si se introduce
= √ =√ 3
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en las ecuaciones (7) y (8):
(9)
Premultiplicando por
−
(10) ambos miembros de las expresiones (9) y (10), y despejando los
vectores en componentes simétricas:
= √ = √ − 1 − = + = √ [1 ] 11 1
(11)
(12)
Donde
(13)
La potencia compleja es:
=()∗ =()∗ =()∗ == =()∗( )∗ =()∗.
(14)
Si la matriz de transformación de las componentes simétricas ( ) fuese unitaria
pero como:
=3 (I) =I. ( )∗. =3
Esto se puede comprobar fácilmente:
Remplazando en (14):
(15)
(I)∗ =IS∗. ∗
Se obtuvo el resultado anticipado. Cualquiera de las dos matrices de transformación se puede utilizar sin ningún problema. Si se utiliza la matriz de transformación , se debe recordar que
( )∗ =3
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Y además que
− = 13 ( )∗
Si se utiliza la matriz de transformación unitaria (
=√ =√
)
se debe tener en cuenta que:
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5.
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EXPRESIONES DE LAS TENSIONES Y CORRIENTES EN COMPONENTES SIMÉTRICAS
Según las ecuaciones (7) y (8)
== =[] =[] 1 1 1 =[ 11]=√ 3
Pero:
+− =[ ] +− =[ ]
Remplazando estos vectores y la matriz en (7) y (8) Se obtienen las expresiones de las tensiones y corrientes en función de las magnitudes en componentes simétricas.
==++ −− + − = ==++ −− + − = = −− = − =(√ 3 )− = √ 13 − = √ 13 + Si en (7) y (8) se despejan
(16)
(17)
e
(18) (19)
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− = √ 13
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(20)
Remplazando (20) en (18) y (19) De (20):
1 + = √ 3 [ ] + = ( ) − = ( ) = ( ) + = ( ) − = ( ) = ( )
(23)
Remplazando (23) en (21) y (22) y colocándolo en forma de sistema de ecuaciones:
(24) (25)
Los sistemas de ecuaciones (24) y (25) relacionan las magnitudes de componentes simétricas con las magnitudes primitivas.
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6.
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PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES DE SECUENCIA NULA Y NEGATIVA.
Propiedad: 1 “No hay componentes de secuencia nula en las corrientes que circulan por una carga conectada en estrel la con el neutro aislado”.
= ( ) La ecuación del nodo “N” es: =
Por lo tanto:
=
Propiedad: 2 “Hay componentes de secuencia nula en las corrientes que circulan por una carga en estrella con el neutro conectado siempre que las impedancias conectadas en cada fase no sean iguales
entre sí (en módulo y argumentos)” .
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aci ó n del nodo “N” se deduce que: = = = = = ; ; ==( ) ∴ = De la ecu
(26)
Entonces:
(27)
Si las cargas son iguales, es decir:
Las corrientes van a formar un sistema perfecto
Remplazando en (16)
De la ecuación (27) se deduce que la corriente que circula por el conductor neutro secuencia nula y solo existe si hay desequilibrio en las cargas.
()
es de
Propiedad: 3 “No hay componente de secuencia nula en las corrientes de línea que alimentan a una carga en triángulo”.
Figura 6
Considerando el triángulo de impedancias como un macro nodo (
)
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Se cumple que:
= = ( ) =
Propiedad: 4 “Puede o no existir component e de secuencia nula en las corrientes de fase en una carga conectada en triángulo ”
De las propiedades 4 y 5 se deduce la siguiente propiedad:
Propiedad: 5 “Si hay corrientes de secuencias nula en una carga conectada en triángulo estas circulan por el triángulo sin salir a la línea”
Esta propiedad dice que las corrientes de secuencia nula en una carga conectada en triángulo son corrientes de circulación.
Propiedad: 6 “No existe componente de secuencia nula en las tensiones entre línea”
Si se miden las tensiones de línea en la forma que se indica en la figura
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Figura 8
El circuito equivalente para la Figura 8 está mostrado en la Figura 9
Figura 9 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, que dice que la sumatoria de las tensiones a lo largo de una trayectoria cerrada es cero, se tiene que:
= = ( ) = ( ) = () =
La componente de secuencia nula de las tensiones de línea es:
“Pueden o no existir componentes de secuencia cero en las tensiones de línea a neutro”
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Propiedad: 8 “No hay componente de secuencia negativa en las corrientes de fase en una conexión en triángulo si las corrientes de línea forman un sistema perfecto de secuencia positiva”
Si las corrientes de línea forman un sistema perfecto de secuencia positiva
== = == ==(( )) = =( ) = ( ) = ( = Las corrientes de fase son:
(28)
(29)
(30)
La componente de secuencia negativa de las corrientes de fase es:
Remplazando (18), (19) y (20) en (21):
(31)
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Propiedad 9 “No hay componentes de secuencia negativa en las tensiones de fase en una conexión en estrella si las tensiones de línea forman un sistema perfecto de secuencia positiva”
Si las tensiones de línea forman un sistema perfecto de secuencia positiva entonces:
== == =
(32)
=
(33) (34)
Las tensiones de fase son:
(35) (36)
(37)
Remplazando (32),(33) y (34) en (35),(36) y (37)
) ==( ( ) =() = ( = ( ) =
(38)
(39) (40)
La componente de secuencia negativa de las tensiones de fase es:
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TRANSDUCTORES DE POTENCIA DE SECUENCIA POSITIVA
En un sistema trifásico en el que todos los generadores producen sistemas perfectos de Fem de secuencia positiva, en el que los elementos de transmisión y las cargas conectadas a ellos están perfectamente equilibrados, solo pueden circular corrientes de secuencia positiva. No es habitual encontrarse con un sistema trifásico que tenga generadores de Fem de secuencia negativa o nula, entonces: Cómo surgen las corrientes de secuencia negativa y nula? Si en el sistema descripto al comienzo de esta página remplazáramos las cargas por un sistema desequilibrado de impedancias, automáticamente comenzarían a fluir corrientes de secuencia negativa y nula.
"Un conjunto desequilibrado de cargas o elementos de transmisión con desequilibrios generan corrientes de secuencia negativa y nula, es por eso que ambos pueden ser considerados como fuentes de secuen cia nula”
Ahora bien, todo elemento que genera corrientes es activo, por lo tanto, las impedancias de carga y elementos de transmisión son componentes activos. Que contrariedad, la conclusión es ridícula. El razonamiento correcto es el siguiente: Los únicos elementos que inyectan potencia en el circuito son los generadores y generan solo potencia de secuencia positiva. El conjunto desequilibrado de impedancias actúa como un transductor que convierte parte de la potencia generada en potencia de secuencia nula y negativa. Una segunda conclusión surge de este razonamiento: "Un conjunto desequilibrado de cargas o elementos de transmisión con desequilibrios son transductores que convierten potencia de secuencia positiva en potencias de secuencia negativa y nula"
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Un caso extremo de desequilibrio en las cargas son las fallas asimétricas como: -
Contacto unipolar a tierra.
-
Cortocircuito bipolar con contacto a tierra.
-
Cortocircuito bipolar sin contacto a tierra.
Puede suceder que el sistema de cargas esté balanceado pero el sistema se vea afectado de una falla asimétrica, por eso es necesario ampliar la última conclusión diciendo que: “Un conjunto desequilibrado de cargas, una falla asimétrica y elementos de transmisión con desequilibrios, son transductores que convierten potencia de secuencia positiva en potencias de secuencia negativa y nula"
0 también sin tanta complicación: "Un conjunto desequilibrado de impedancias es un transductor que convierte potencia de
secuencia positiva en potencias de secuencia nula y negativa”.
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POTENCIA EN COMPONENTES SIMETRICAS
Como ya fue visto la expresión de la potencia compleja en componentes simétricas es:
=( ∗) = + +− ∴ =[ ] ∴ ( ∗) =+∗ −∗ ∗ +− =[ ] = (+∗ + −∗− ∗) =∗ ∗ ∗
(15)
+∗ ∗ [−∗∗ ]
(41)
(42)
Remplazando (41) y (42) en (15) y operando:
(43)
La potencia compleja es la suma de las potencias de cada una de las fases, es decir:
(44)
Y también como se deduce de la expresión (43) es la suma de las potencias de secuencia positiva y negativa y nula tomadas de a una. De esto se concluye que se puede aplicar el principio de superposición para encontrar la potencia total. Como se sabe el principio de superposición es aplicable a sistemas lineales. La potencia es una magnitud no lineal y sin embargo, al igual que sucedía cuando se sumaba las potencias de cada una de las fases para hallar la potencia total, aquí se suman las potencias correspondientes a cada componente simétrica. Debido a esta propiedad se puede decir que la componente simétrica de tensión y corriente son ortogonales entre si.
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9.
APLICACION DE LA TRANSFORMACIÓN
Supóngase que se tienen una ecuación matricial de la forma: (45)
Aplicar la transformación directa que permite llevar las magnitudes al dominio de las componentes simétricas.
= √ 3 = √ 3 =√ 3
(46) (47) (48)
Remplazando (46),(47) y(48) en (45): (49) o también: (50)
Premultiplicando por la inversa de la matriz de transformación se despeja
Donde: (51) (52)
Se resuelve el problema en el dominio de las componentes simétricas. Se obtiene
Aplicando la transformación directa se transfiere el vector solución
al dominio original
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donde se planteó el problema.
o por supuesto:
√ 3
Al parecer este proceso es más laborioso pero si la matriz
verifica cierta condición, la
ecuación matricial (52) en componentes simétricas resulta desacoplada, es decir las magnitudes de cada una de las secuencias solo dependen de magnitudes de su misma secuencia, es decir:
[ +−]= +− [+ − ]. −
(53)
(54) Premultiplicando por
ambos miembros de la ecuación (54)
Posmultiplicando, ahora por (55) Pero:
por ser
una matriz unitaria (56)
Lo que se desea es
sea una matriz diagonal. Por lo tanto:
1= 3 [1 1 11].[0+ 0− 00].[11 ] 1 0 0 11 1
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1= 3 ((+++− −− )) ((+++−−−) ((+++−−−)) ( ) ( ) ( ) = = = 13 (+ − )= = = = 13 (+ − )= = = = 13 (+ − ) = =[ ] De la matriz se deduce que:
La matriz
es:
(57)
Es decir tiene simetría cíclica. Se deduce entonces, que la ecuación matricial (52) se cumple solo cuando cíclica.
tiene simetría
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10. EL CUADRIPOLO ACTIVO Si se desea representar una red lineal en forma global, es decir, sin entrar a detallar cada uno de los elementos que la componen, se lo hace por medio del cuadripolo activo. Del cuadripolo salen tres conductores que suministran energía a la carga, la cual ha sido representada por fuentes de corrientes. Al punto neutro de la carga llega el conductor neutro.
Figura 12
Las cargas conectadas al cuadripolo provocan la circulación de las corrientes I1, I2, I3. Estas, a su vez, provocan caídas de potencial en el interior del cuadripolo activo ya que este posee impedancias internas que, apropiadamente ordenadas, constituyen la matriz de impedancia del cuadripolo.
=[ ] =Impedancia propia de la fase “” =Impedancia mutua entre las fases “” y ””. Donde:
Si las tensiones de fase en bornes del cuadripolo son
,y
a estas tensiones se las
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agrupa en forma vectorial se tiene:
=[]
Vector de las tensiones de fase en los terminales del cuadripolo activo.
Para que existan estas tensiones en los bornes del cuadripolo es necesario que el cuadripolo genere sus propias tensiones de fase. Estas tensiones internas del cuadripolo (
) se
agrupan formando el vector:
=[]
Vector de las tensiones de fase internas del cuadripolo activo.
Entonces, la ecuación de tensiones del cuadripolo expresada en forma matricial será (58)
=[] √ 3 = √ 3 = = √ 3 =
Donde:
Vector de las corrientes de carga.
Se desea expresar la ecuación en términos de las componentes simétricas. Recordando que: (59) (60) (61)
Reemplazando (58), (59), (60) y (61) en (58) (62) Premultiplicando ambos miembros de la ecuación (62) por (63)
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Donde: pero (64) = Matriz de impedancias transformadas Reemplazando (64) en (63): (65) Se ha expresado la ecuación de tensión en las componentes simétricas Despejando el vector de tensiones de fase en los terminales: (66)
[+−]= [+−][++−+ +−−− +−−].[+−] + −
(67)
Como se e ve en la ecuación cada una de las tensiones ( las corrientes de secuencia (
),son dependientes de todas
)
Debido al acoplamiento existente entre magnitudes de distintas secuencia no se hace evidente ninguna ventaja respecto del sistema de ecuaciones acoplado que hubiese resultado de la aplicación de las leyes de Kirchhoff. Para que la aplicación del método resulte conveniente, el sistema de ecuaciones (67) debe ser totalmente desacoplado. Para ser mas claro, la tensión de secuencia positiva solo debe depender de magnitudes de su misma secuencia y lo mismo debe suceder para las tensiones de secuencia negativa y nula. Para que exista desacoplamiento se debe cumplir que:
− =[ ]
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debe ser una matriz diagonal. La pregunta que sabe hacerse en este momento es: ¿ Que condición debe cumplir
para que
resulte una matriz diagonal ?
La respuesta fue dada en una de las secciones anteriores: “La matriz Z debe tener simetría cíclica”
=[ ] Por lo tanto: “El desacoplamiento solo es posible si el cuadripolo activo tienen simetría cíclica” Si se verifica esta condición
+− =+− +−+− = =
(68)
De la ecuación
= [ ].[ ].[
]
(Impedancia de secuencia positiva) (Impedancia de secuencia negativa) (Impedancia de secuencia nula) (69)
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Donde
+− =[]
y
Conocidas las impedancias
=[] , se puede calcular fácilmente
. Por la fórmula (69).
Del sistema de ecuaciones (68) se concluye que si se cumple que el cuadripolo - activo tiene simetría cíclica, se tienen tres sistemas trifásicos equilibrados independientemente entre sí. Cada uno de estos sistemas pueden representarse por un circuito monofásico como los que se ilustran a continuación:
CIRCUITO DE SECUENCIA POSITIVA
CIRCUITO DE SECUENCIA NEGATIVA
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CIRCUITO DE SECUENCIA NULA
Cabe ahora la siguiente pregunta: ¿Que sucede si en una red no cumple con la condición de simetría cíclica?
En general las redes poseen simetría cíclica. Si esta no e s satisfecha, es necesario conectar entre si las redes de secuencia siguiendo reglas determinadas. General mente en una red las tensiones generadas constituyen sistemas perfectos de secuencia positiva.
=[]= Entonces:
+ =[ ] +− =+ +−+ { ==
Reemplazando en las ecuaciones (68)
(70)
Los circuitos equivalentes par cada una de las secuencias se convierten en:
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Figura 17 La presencia de las componentes de secuencia negativa y nula en las tensiones de fase en terminales del cuadripolo activo es consecuencia del desequilibrio existente en la carga. Como fue visto con anterioridad el desequilibrio en las cargas es una fuente de corrientes de secuencia negativa y nula, en consecuencia estas componentes son las que originan las componentes de secuencia negativa y nula en las tensiones de fase, o sea:
− =−− =
Una vez resuelto el problema en el dominio de las componentes simétricas se debe aplicar la transformación inversa y volver a los valores originales. Esto es:
Generalmente se desean conocer las expresiones de las tensiones de fase en terminales del cuadripolo o las corrientes suministradas por el mismo.
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11. OCTOPOLO PASIVO Los elementos pasivos, tales como líneas y transformadores, puede representarce por medio del octopolo pasivo. Estos componentes tienen el siguiente modelo matemático:
=
(71)
Aplicando la transformación de las componentes simétricas:
= S b − = − − b − = =
(72)
Esta es la ecuación que modela el comportamiento de los elementos pasivos que pueden representarse a través de un octopolo , en el dominio de las componentes simétricas.
= −
Donde:
matriz de impedancias de secuencias del octopolo pasivo
++− +−− +− =[+ − ]
+;
- y
0 ,
son las impedancias propias de secuencia positiva, negativa y nula
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respectivamente y los términos con subíndices distintos son las impedancias mutuas entre las tres secuencias. =matriz de impedancias del octopolo pasivo.
=[ ] ;
;
son las impedancias propias de cada fase y los términos con subíndices distintos
son las impedancias mutuas entre las fases del octopolo. Recordando que la matriz -1 = S=
es unitaria:
+ +
[−++ −− − ]= [ ].[ ].[ ] + −
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( )(
) ( )( )
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Operando:
+ = ( ) ( ) +− = ( ) ( ) + = ( ) ( ) − = ( ) ( ) − = ( ) ( )
(73) (74) (75)
(76) (77)
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Operando:
+ = ( ) ( ) +− = ( ) ( ) + = ( ) ( ) − = ( ) ( ) − = ( ) ( ) − = ( ) ( ) = ( ) ( ) − = ( ) ( ) = ( ) ( )
(73) (74) (75)
(76) (77) (78)
(79) (80) (81)
De las expresiones (73), (74), (75), (76), (77), (78), (79), (80) y (81) se tiene:
Las impedancias de secuencia positiva y negativa son iguales Z+=Z- en el elementos pasivos.
La impedancia de secuencia nula no es igual a las de secuencia positiva y negativa.
La impedancia mutua entre los sistemas de secuencia positiva y nula es igual a la impedancia entre los sistemas de secuencias nula y negativa.
La impedancia mutua entre los sistemas de secuencia negativa y nula es igual a la impedancia mutua entre los sistemas de secuencia nula y positiva
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Además
+−+ ≠+−+ − ≠− ≠ +−+ +−− −+ 1 = 3 [+ − ] ““
Pero la matriz S presenta simetría cíclica, salvo en el caso particular de los transformadores a columna. La ecuación (72) se convierte en:
+− =+−+− +− = = =[ ] Entonces:
Se ha conseguido por medio de las componentes simétricas de desacoplar el sistema eliminando la interdependencia entre las variables de las fases. Existe un total desacoplamiento entre los sistemas trifásicos de distinta secuencia lo que de distinta secuencia lo que nos permite analizar el comportamiento del elemento en cuestión bajo cada uno de los sistemas de secuencia en forma independencia. Este desacoplamiento se evidencia matemáticamente en el hecho de que la matriz de impedancia de secuencia sea diagonal, cuyos únicos tres elementos son:
Z+ = Impedancia de secuencia positiva y es la que presenta el circuito cuando se aplica en él un sistema de tensiones perfecto de igual secuencia.
Z-=Impedancia de secuencia negativa, se puede definir de la misma manera. Z0=Impedancia de secuencia nula, definida igualmente.
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Las impedancias de secuencia positiva y negativa son iguales en los elementos pasivos. En cambio
Z0 depende del tipo de conexión, la forma en que están conectados los neutros y del sentido de circulación del flujo de potencia.
+− =+−+− +− = = + + =[ ]
Una vez resuelto el problema en el dominio de las componentes simétricas se vuelve al dominio original.
