DIKTAT GEOMETRI
Disusun Oleh: Drs. Djoko Iswadji Mohammad Mukhlisin, S.Pd.I
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEPENDIDIKAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS AHMAD DAHLAN 2010
1
2
PENGANTAR Diktat matakuliah Geometri ini disusun khusus untuk membantu
para
mahasiswa
Program
Studi
Pendidikan
Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas
Ahmad
Dahlan
Yogyakarta,
dalam
usaha
menanamkan konsep-konsep dasar Geometri yang seharusnya dikuasai dengan baik oleh para mahasiswa sebagai calon guru matematika di sekolah menengah. Karena keterbatasan waktu dibanding dengan luasnya cakupan materi Geometri, maka pada kesempatan ini belum semua
topik
dapat
disajikan,
melainkan
untuk
sementara
mengutamakan topik-topik utama dan esensial; yang dipandang paling penting untuk dikuasai para mahasiswa. Diktat ini pastilah tidak ada artinya apa-apa jika tidak didukung
oleh
ketekunan
dan
kesungguhan
belajar
para
mahasiswa yang menggunakannya. Akhirnya dalam menyusun diktat ini, pastilah terdapat banyak kekurangan dan kelemahan. Untuk itu dari para pembaca atau
pihak
lain
yang
berkepentingan
kamai
sangat
mengharapkan teguran dan saran untuk perbaikannya. Atas kesediaan untuk memberikan saran-saran perbaikan tersebut kami menyampaikan terima kasih. Penyusun
Djoko Iswadji Mohammad Mukhlisin
3
DAFTAR ISI Halaman sampul Kata Pengantar Daftar Isi Bagian I Geometri Bidang Bab I Pendahuluan Bab II Bangun-Bangun Dasar Bab III Garis-garis Sejajar Bab IV Segitiga Bab V Jajargenjang dan Belahketupat BabVI Lingkaran Bagian II Geometri Ruang Bab VII Pendahuluan Bab VIII Gambar Bangun Ruang Bab IX Relasi Antar Unsur-unsur Ruang Bab X Garis Tegaklurus Bidang Bab XI Jarak Bab XII Sudut Dalam Ruang Bab XIII Prisma Bab XIV Limas Bab XV Irisan Bidang dan Bangun Ruang Bab XVI Tabung Bab XVII Kerucut Bab XVIII Bola Bab XIX Bidang Banyak Beraturan Daftar Pustaka
4
Simbol-simbol Geometri
5
BAGIAN I GEOMERI BIDANG
6
BAB I PENDAHULUAN Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang diangkat dari pengalaman manusia dalam berinteraksi dengan bumi dengan segala aspeknya. Karena itu geometri sangat banyak kaitannya dengan kehidupan nyata sehari-hari umat manusia. Secara sadar atau tidak setiap saat atau dalam sebagian besar hidupnya, manusia senantiasa dekat atau bahkan bergantung pada bangun-bangun geometri tertentu. Cobalah Anda jelaskan bagaimana ketergantungan atau hubungan antara manusia dengan bentuk balok dan bentuk lingkaran, tabung dan bola. Alam semesta diciptakan oleh Allah SWT dengan tak berhingga banyaknya keluarbiasaan, dan baru sebagian kecil saja yang dapat terungkap oleh akal pikiran manusia. Dengan geometri dan cabang matematika yang lain dapat dijelaskan makna
dari
dimanfaatkan
sifat-sifat oleh
alam
yang
manusia
dalam
kemudian upaya
ditiru
dan
meningkatkan
kesejahteraan umat manusia. Apakah makna dari sifat simetri cermin yang terdapat pada dedaunan, binatang atau juga pada tubuh manusia? Apakah pula makna bentuk segienam beraturan pada sarang lebah? Karena sifatnya yang akrab dengan kehidupan manusia, demikian juga dengan kehidupan anak-anak usia sekolah, maka seharusnya geometri merupakan cabang atau bagian dari mata pelajaran
matematika
yang
dapat
mudah
dipahami
oleh
kebanyakan siswa. Tetapi pada kenyataannya kebanyakan siswa merasakan sulit dalam mempelajari geometri. Maka adalah tugas para guru matematika untuk senantiasa meningkatkan prestasi
7
belajar para siswanya dalam belajar matematika, yang antara lain
dapat
dilaksanakan
dengan
meningkatkan
dan
menumbuhkan ketertarikan siswa terhadap geometri. Obyek geometri adalah benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak, karena itu bagi kebanyakan siswa di sekolah dasar dan menengah masih dirasakan sulit untuk memahaminya.
Untuk
dapat membantu para siswa yang masih sulit untuk berpikir abstrak maka perlu digunakan alat peraga dalam bentuk modelmodel atau gambar. Benda pikiran dapat diperoleh dari benda-benda nyata dengan melakukan abstraksi dan idealisasi. Untuk menanamkan konsep persegi panjang yang sifatnya abstrak digunakan gambar persegi panjang dan model-model persegi panjang, yang terdiri dari model kerangka dan model daerah persegi panjang. Dalam pengajaran
geometri
secara
tegas
kita
bedakan
antara
pengertian, gambar dan model. Dengan demikian secara tegas harus kita bedakan antara persegi panjang (yang sifatnya abstrak), gambar persegi panjang (yang sifatnya konkret), dan model persegi panjang (yang sifatnya juga kongkret). Para guru harus pula menyadari bahwa geometri adalah suatu ilmu yang tidak dapat disampaikan dengan baik hanya dengan kata-kata saja. Disamping kata-kata secara mutlak harus digunakan pula gambar-gambar dan model-model. Kecuali itu gambar dan model-model itu tidak cukup hanya dilihat saja. Pada gambar atau model itu harus dilakukan pelbagai kegiatan, yaitu kegiatan pikiran yang disertai dengan kegiatan fisik, seperti pembuatan, pengamatan, penyusunan, penyelidikan dan sebagainya. Hasil belajar geometri juga tidak akan maksimal jika seluruh bahan disajikan dalam bentuk uraian saja. Sebagian harus disajikan dalam bentuk pertanyaan yang harus dijawab,
8
soal-soal yang harus diselesaikan, atau tugas-tugas yang harus dikerjakan. Geometri juga berpeluang menumbuhkan kreatifitas dan keterampilan serta sikap hati-hati dan cermat. Semua itu hanya dapat diperoleh dengan menggeluti tugas-tugas secara intensif. Soal-soal
latihan
dalam
buku
ini
diharapkan
dapat
membantu meningkatkan pemahaman para mahasiswa. Setiap soal, betapapun sukarnya hendaklah dicoba untuk menjawab atau mengerjakannya secara tuntas. Jika perlu gunakan gambar, buatlah gambar yang cukup besar dan baik
agar dapat
membantu dalam memecahkan masalahnya. Jika tidak dapat dipecahkan
sendiri,
kerjakan
dengan
teman
sekelompok
belajarnya. Jika belum juga ditemukan pemecahannya tanyakan dalam kegiatan perkuliahan berikutnya. Hanya dengan demikian maka uraian materi dalam buku ini akan sejauh mungkin dapat dikuasai oleh para mahasiswa atau pembaca lainnya, sehingga memberikan manfaat seperti yang diharapkan. Dari
uraian
dikembangkan
yang
diskusi
singkat
untuk
ini
diharapkan
meningkatkan
dapat
pemahaman,
penguasaan dan keterampilan dalam materi pelajaran geometri di sekolah menengah.
9
BAB II BANGUN-BANGUN DASAR 1. Titik, Garis, dan Bidang Sebagai Pengertian Pangkal. Dalam geometri, titik, garis dan bidang merupakan pengertian pangkal. Maksudnya, titik, garis dan bidang diterima
sebagai
istilah
yang
tidak
didefinisikan
dan
dipandang sebagai hal yang diterima saja oleh akal sehat (common sense). Namun demikian, dalam rangka membantu mengerti tentang titik kita dapat menjelaskan ciri-ciri titik, yakni titik memiliki ukuran kecil sempurna. Bangun-bangun geometri didefinisikan (diartikan) sebagai himpunan titik-titik tertentu. Garis merupakan sekumpulan titik-titik tertentu. Kita mengenal garis, sinar garis dan ruas garis. A A
B
Ruas garis atau Sinar garis Sinar garis Garis atau
B
A B Diskusikan. 1. Adakah cara yang paling tepat untuk membaca notasiA B ⃗ ´ , ´ ? AB , ⃗ BA , dan AB notasi AB 2. Apakah Anda pernah melihat garis, sinar garis, atau ruas garis atau yang merupakan model dari bangun-bangun itu? 3. Jika tidak diterangkan secara khusus, maka yang dimaksud dengan garis adalah garis lurus. Apakah yang dimaksudkan dengan “lurus”? 4. Diketahui dua ruas garis
´ AB
dan
´ PQ
yang panjangnya
masing-masing 2 cm dan 5 cm. ´ ´ a) Apakah AB dan PQ sama panjang? ´ b) Apakah banyaknya titik yang membentuk AB dari banyaknya titik yang membentuk 2. Sudut
10
kurang
´ ? Jelaskan! PQ
Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali hal-hal yang berkaitan dengan sudut. Sudut dapat terjadi jika dua buah
Kaki sudut Daerah sudut Titik sudut Kaki sudut
garis atau dua buah bidang saling berpotongan. a. Pengertian Sudut Sudut diartikan sebagai bangun yang terjadi dari gabungan dua sinar yang berimpit pangkalnya. Kita membedakan antara sudut dan daerah sudut. b. Pemberian Nama Sudut P Q
PQR = RQP =
R c. Pengukuran Besar Sudut Besar sudut diukur berdasarkan jarak putaran
1 putaran penuh putaran penuh putaran penuh, dan sebagainya. Besar sudut diukur dengan satuan derajat, menit dan detik
Jadi
1 (derajat) = putaran penuh 1 = 60’ (dibaca: 60 menit) 1’ = 60” (dibaca: 60 detik) 1 putaran penuh = 360 ° 1 2
putaran penuh = 180 ° , disebut sudut lurus
1 4
putaran penuh = 90 ° , disebut sudut siku-siku
d. Jenis-Jenis Sudut Misal x adalah besar sudut. Kita dapat membedakan sudut dengan mengelompokkannya atas: Sudut Lancip
Sudut Siku-siku
90 < x < 180
x = 90 (0 < x < 90)
Sudut Tumpul
11
Sudut lurus x = 180
e. Hubungan antar Sudut
Sudut-sudut x dan y saling berpenyiku, x + y = 90. Sudut y merupakan penyiku dari sudut x dan s y x
Sudut-sudut dan saling berpelurus, + = 180. Sudut merupakan pelurus dari sudut dan seba
f. Sudut antara Dua Arah Mata Angin Sudut dan sudut saling bertolak belakang, = . Sudut antara dua arah mata angin yang berdekatan besarnya 45
Utara Barat-Laut
Timur Laut 45 Timur (east)
Barat
g. Jurusan Tiga Barat Daya Angka Tenggarauntuk menyatakan letak (posisi) atau Selatan arah perjalanan menuju suatu tempat tertentu. Penentuan
arah berpedoman pada arah Utara kemudian berputar searah dengan arah putaran jarum jam.
U A pada jurusan 112 dari P. B pada jurusan 060 dari P. C pada jurusan 240 dari P.
60
B P
112
240
C
A
h. Sudut Elevasi Sudut elevasi adalah sudut antara garis horisontal yang melalui titik mata pengamat dengan arah penglihatan atau arah pandang yang terletak di atas garis horisontal tadi.
Sudut depresi 12
sudut elevasi i. Sudut Depresi Sudut depresi adalah sudut antara garis horisontal yang melalui mata pengamat dengan arah pandang yang terletak di bawah garis horisontal. j. Gambar Skala Salah satu penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari sudut elevasi atau sudut depresi adalah dalam perhitungan jarak atau tinggi, dengan menggunakan gambar skala.
Hitunglah tinggi pohon (t) pada gambar berskala di samping, jika diketahui skalanya 1 : 100, dan tin t 30 12 cm Latihan 1 Petunjuk: Kerjakan bersama dalam kelompok belajar. 1. Dengan
menggunakan
sehelai
kertas,
bagaimana
Anda
memeragakan atau membuat model dari: a. Sebuat sudut lurus? b. Sebuah sudut siku-siku? c. Sebuah sudut yang besarnya 45 ° ? d. Sebuah sudut yang besarnya 60 ° ? 2. a. Apakah yang dimaksud dengan arah horisontal dan arah vertikal? b. Mengapa dalam kehidupan sehari-hari manusia akrab sekali dengan arah horisontal dan arah vertikal? 2 3. a. Sudut manakah yang besarnya kali penyikunya? 3 b. Sudut manakah yang besarnya 4 kali pelurusnya? 4. a. Perlengkapan sederhana apa sajakah yang perlu disiapkan untuk melakukan
13
pengukuran tinggi tiang bendera di halaman sekolah dengan menggunakan pengertian sudut elevasi? b. Dapatkah tinggi tiang bendera itu ditentukan
tanpa
mengukur jarak pengamat sampai titik kaki tiang bendera? c. Dengan menggunakan alat yang digunakan untuk mengukur sudut elevasi, dapatkah dilakukan pengukuran sudut depresi dari suatu objek? Jelaskan! d. Apakah yang sangat penting diperhatikan
dalam
perhitungan dengan menggunakan gambar skala? 5. Tentukan jenis dan besarnya sudut yang terbentuk oleh kedua jarum jam pada saat menunjukkan jam: a. 03.00 b. 09.15 c. 14.45 d. 21.30
14
BAB III GARIS-GARIS SEJAJAR 1. Pengertian Dalam geometri bidang, dua garis sejajar diartikan sebagai dua garis yang tidak mempunyai titik persekutuan. a
b p
q Jika garis a dan b mempunyai sebuah titik persekutuan, dikatakan garis a dan b berpotongan. Jika garis p dan q tidak mempunyai titik persekutuan, dikatakan garis p dan q sejajar, yang dilambangkan dengan p //q. 2. Aksioma Kesejajaran Dua Garis Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu. Melalui titik P di luar garis a dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar garis a. P
.
a 3. Teorema Kesejajaran Dua Garis Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua. Jika diketahui a//b dan g memotong a, maka pasti g juga memotong b. Jika b dua buah garis masing-masing sejajar dengan sebuah g a garis lain, maka kedua garis itu sejajar satu sama lain. Jika p//a dan q//a, maka p//q. p a
q
15
4. Sudut-sudut yang terjadi jika dua garis dipotong oleh a dua garis a dan b dipotong oleh sebuah garis g maka terjadilah: sebuah garis 2 Jika A sehadap, yaitu: 3 Sudut-sudut 1 4 A1 dan B1 ; A2 dan B2 ; g A3 dan B3 ; A4 dan B4 . b
2 3
1
4 B
b) Sudut-sudut dalam berseberangan, yaitu: A3 dan B1 ; A4 dan B2 . c) Sudut-sudut luar berseberangan, yaitu: A1 dan B3 ; A2 dan B4 . d) Sudut-sudut dalam sepihak, yaitu: A3 dan B2 ; A4 dan B1 . e) Sudut-sudut luar sepihak, yaitu: A1 dan B4 ; A2 dan B3 . c) Teorema tentang sudut-sudut yang terjadi jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis Jika dua garis sejajar a dan b dipotong oleh sebuah garis p, maka: a
Sudut-sudut sehadapnya sama besar. antara lain: B1 = A1 dan B2 = A2 Sudut-sudut dalam berseberangan sama besar B2 = A4 dan B1 = A3
2 1A 3 4
b 2 1 B Sudut-sudut 3 4 luar berseberangan sama besar B3 = A1 dan B4 = A2 iv. Tiap dua p sudut dalam sepihak jumlahnya 180 ∘ A4 + B1 = 180 ∘ dan A3 + B2 = 180 ∘ v. Tiap dua sudut luar sepihak jumlahnya 180 ∘ A1 + B4 = 180 ∘ dan A2 + B3 = 180 ∘ Teorema tentang dua garis sejajar yang dipotong oleh iii.
sebuah garis lain banyak sekali kegunaannya untuk pembuktian sifat-sifat geometri 2. selanjutnya. 52
123 3x
29
x
Latihan 2 Bagaimana menentukan besarnya sudut-sudut x, y , dan z berikut: y
3.
4. z 16
x 2y
z
42
5. Buktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga sama dengan 180. 6. Dengan menggunakan apa yang telah dibuktikan pada soal no. 5. Buktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut sebuah segiempat sama dengan 360.
17
BAB IV SEGITIGA Dalam
pelajaran
geometri
di
sekolah
menengah,
pengertian segitiga diturunkan dari pengertian persegi panjang. II
II I
Dua segitiga siku-siku yang kongruen Persegi panjang Segitiga samakaki Bagaimana terbentuknya sebuah segitiga sembarang, yaitu
segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang dan bukan I segitiga siku-siku?. Untuk dapat menjawab pertanyaan di atas, kita harus memiliki pemahaman pengertian segitiga. Pada bab ini akan dibicarakan tentang
pengertian,
unsur-unsur segitiga, jenis-jenis segitiga, segitiga sama dan sebangun (kongruen), lukisan segitiga dan teoremateorema yang berlaku pada segitiga. Kurikulum matematika sekolah menengah
menjadikan
kemampuan melukis segitiga (bangun geometri) sebagai salah satu kompetensi yang harus dikuasai oleh siswa. Lukisan bangun geometri pada dasarnya adalah upaya memvisualisasikan obyekobyek geometri yang sifatnya abstrak, agar lebih mudah dikomunikasikan dan dipahami. Dengan demikian agar obyek yang disampaikan melalui gambar atau lukisan itu dapat diterima secara benar oleh para siswa, maka dalam pembuatan lukisan atau gambar bangun geometri itu harus diusahakan secara hati-hati dan cermat. Untuk mencapai tujuan tersebut maka diperlukan beberapa tata cara dalam membuat lukisan atau gambar. Tata cara dalam melukis inilah yang dipelajari dan secara ringkas ditinjau dalam bab ini.
18
Yang dimaksud dengan lukisan dalam bab ini adalah proses mendapatkan gambar dari obyek tertentu dalam geometri. Bangun geometri yang dimaksud antara lain: garis, sudut, segitiga, atau segibanyak, dengan menggunakan peralatan utama berupa sebuah penggaris dan sebuah jangka, disamping pensil dan busur derajat. Dalam perkembangannya dapat juga hanya digunakan sepasang segitiga siku-siku, tetapi dalam banyak hal penggunaan jangka mutlak diperlukan. Agar hasil lukisan baik, dalam arti tepat bentuk dan ukurannya, serta rapi dan bersih, maka dalam melakukan lukisan perlu diperhatikan benar hal-hal berikut: 1) Gunakan pensil yang runcing, sekali-kali jangan menggunakan tinta atau bolpoint. 2) Gunakan penggaris yang baik, tidak cacat permukaan tepinya. 3) Gunakan jangka yang baik dalam arti tidak goyah engsel, jarum,
maupun
pensilnya.
Ujung
pensil
pada
jangka
hendaknya dijamin runcing, tidak tumpul. 4) Siapkan karet penghapus pensil. 5) Pada saat menarik garis melalui dua buah titik, usahakan agar kedua titik itu tepat terletak pada tepi penggaris dengan kedekatan yang sama. Demikian juga tahan penggarisnya, agar tidak goyah. 6) Pada saat melukis busur lingkaran, tetapkan dulu pusat dan panjang jari-jarinya, kemudian tusukkan jarum jangkanya tepat pada titik pusatnya. 7) Sebelum yakin benar akan ketepatan gambarnya, buatlah garis-garisnya agak tipis lebih dahulu. Baru setelah yakin benar, garis-garisnya dapat ditebalkan dengan pensil atau jika perlu dengan tinta. Jika rambu-rambu di atas diperhatikan dalam setiap lukisan, dan hal itu dilaksanakan secara konsekuen oleh para guru dalam pembelajarannya, maka pokok bahasan tentang “lukisan” akan dapat memiliki “nilai lebih”, karena dapat
19
menumbuhkembangkan sikap-sikap positif dalam bekerja, yaitu sikap hati-hati, sistematis, bersih, rapi, dan cermat. 1. Pengertian Segitiga Jika ada tiga buah
titik
yang
tidak
segaris,
dua-dua
dihubungkan oleh sebuah ruas garis, maka terdapat tiga buah ruas garis. Gabungan tiga buah ruas garis ini disebut segitiga. Ketiga buah ruas garis itu disebut sisi. Ketiga buah titik itu disebut titik sudut. Jumlah panjang ketiga sisi itu disebut keliling segitiga. Garis-garis istimewa dalam segitiga yaitu: 3 buah garis tinggi, 3 buah garis berat, 3 buah garis bagi. 2. Unsur-unsur sebuah segitiga Bentuk dan ukuran sebuah segitiga ditentukan oleh ketiga sisinya dan ketiga sudutnya.
Unsur-unsur dari C segitiga ABC adalah sisi-sisi AB, BC dan CA serta sudut-sudutnya A, B, dan A, B, dan C disebut titik-titik sudut dari segitiga ABC, tetapi A titik-titik sudut ituB bukan unsur dari segitiga ABC, mengapa? Sebuah segitiga tertentu bentuk dan ukurannya jika telah diketahui tiga unsurnya yang bebas satu sama lain, dan memenuhi sifat-sifat segitiga, yaitu: a. Jumlah panjang dua sisinya lebih panjang dari sisi ketiga. b. Jumlah besar ketiga sudutnya sama dengan 180. 3. Jenis-jenis segitiga Segitiga dibedakan atas: a. Menurut sudutnya: segitiga lancip, segitiga siku-siku, dan segitiga tumpul. Segitiga lancip yaitu segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. Segitiga siku-siku yaitu
segitiga
sudutnya merupakan sudut siku-siku.
20
yang
salah
satu
Segitiga tumpul yaitu segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. b. Menurut sisinya: segitiga tidak sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi. Segitiga tidak sama sisi yaitu segitiga yang panjang ketiga sisinya tidak sama. Segitiga sama kaki yaitu segitiga yang dua buah sisinya memiliki panjang yang sama. Selanjutnya kedua sisi itu disebut kaki. Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang panjang ketiga sisinya sama. 4. Dua Segitiga yang Sebangun Teorema-teorema kesebangunan dua segitiga, antara lain: 1) Dua buah segitiga sebangun, jika panjang sisi-sisi yang seletak pada kedua segitiga itu memiliki perbandingan yang sama. 2) Dua buah segitiga sebangun jika dua pasang sudutsudutnya sama besar. 3) Dua buah segitiga sebangun, jika panjang dua pasang sisisisi seletak memiliki perbandingan yang sama dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi ini sama besar. 5. Dua Segitiga Sama Dan Sebangun (Kongruen) Dua buah segitiga dikatakan sama dan sebangun (kongruen) jika tepat dapat saling menutupi. Sisi-sisi dan sudut-sudut dua buah segitiga yang tepat saling menutupi disebut sisi-sisi dan sudut-sudut bersesuaian. Teorema 1 Pada dua buah segitiga yang sama dan sebangun, sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Teorema 2 Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama panjang dua buah sisi dan besar sudut apitnya.(Si, Su, Si) Teorema 3
21
Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama: panjang sebuah sisi dan besar kedua sudut yang berdekatan.(Su, Si, Su) Teorema 4 Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama: panjang sebuah sisi, besar sudut yang berdekatan dan besar sudut yang berhadapan. (Si, Su, Su) Teorema 5 Dua buah segitiga sama dan sebangun jika sama ketiga buah sisinya. (Si, Si, Si) 6. Lukisan segitiga Segitiga merupakan bangun yang sangat penting dalam geometri, karena bangun-bangun geometri lainnya dapat dibentuk dari segitiga-segitiga. Demikian juga sifat-sifat dari bangun-bangun tertentu banyak dapat dijelaskan melalui sifat-sifat segitiga. Pada dasarnya lukisan apapun yang dibuat, misalnya lukisan segitiga atau segiempat, selalu berupa rangkaian dari dua macam lukisan pangkal. Yang dimaksud dengan lukisan pangkal yaitu: a. Melukis sebuah garis lurus (untuk selanjutnya disebut “garis”) melalui dua buah titik berlainan yang diketahui. Untuk melakukan lukisan pangkal ini digunakan penggaris. A B b. Melukis busur lingkaran dengan titik pusat tertentu dan jari-jari yang panjangnya diketahui. Untuk melukis lukisan pangkal ini digunakan sebuah jangka. r P
Sebuah segitiga dapat dilukis jika telah diketahui 3 ketentuan yang bebas satu sama lain, artinya dari ketiga
22
ketentuan itu tidak boleh ada yang bergantung dari yang lain. Ketentuan itu dapat berupa unsur-unsur segitiga atau bagian yang lain dari segitiga (misalnya panjang garis beratnya). Dasar-dasar Melukis dengan Penggaris dan Jangka Menggunakan Sifat Belah Ketupat Sebuah belahketupat memiliki sifat: a. Setiap diagonal merupakan sumbu dari diagonal yang lain. b. Setiap diagonal membagi daerah-dalam (interior) sudut yang memuatnya menjadi dua daerah sudut yang sama besar. Mengingat
bahwa
belahketupat
adalah
segiempat
yang
semua sisinya sama panjang, maka berdasarkan pengertian dan sifat-sifat belahketupat di atas, dapat dilakukan lukisanlukisan khusus yang disebut dasar-dasar melukis dengan penggaris dan jangka. a. Melukis garis yang melalui sebuah titik P yang terletak di luar atau pada sebuah garis g dan yang tegak lurus garis g. 1) P terletak di luar garis g.
P
1
A
B
Q
2
3 4
23
g
2) P terletak pada garis g.
b. Melukis garis bagi sebuah sudut. (dilukis garis-bagi AOB)
3
O
c. Melukis sumbu sebuah ruas garis. (Dilukis sumbu 2
3
4
´ AB
Q
1
M
A
B P
g
1
N 2
N
24
2
3
M
1
)
Kriteria keterlukisan sebuah segitiga Sebuah segitiga dapat dilukis jika telah diketahui:
Panjang sebuah sisi dan besar dua sudut yang salah satu kaki dari kedua sudut itu memuat sisi te (sd, ss, sd)
Panjang sebuah sisi, besar salah satu sudut yang kakinya memuat sisi tersebut, dan besar sudut di hadap (ss, sd, sd)
panjang dua sisi dan besar sudut apitnya, yaitu besar sudut yang kaki-kakinya masing-masing memuat si (ss, sd, ss)
panjang ketiga sisinya (ss, ss, ss)
Panjang dua sisi dan besar sudut yang terletak di hadapan salah satu sisi tersebut. (ss, ss, sd)
Kriteria-kriteria tersebut dimaksudkan bahwa kita hanya dapat melukis segitiga apabila telah dipenuhi 3 ketentuan seperti yang terdapat pada salah satu di antara kelima kriteria tersebut. Contoh: Lukislah segitiga ABC jika diketahui AB = 5cm, BC = 4 cm, dan AC = 5
25
1 2
cm.
Jawab:
Segitiga ABC yang dimaksud dapat dilukis karena:
a) Memenuhi salah satu dari kelima kriteria keterlukisan segitiga, yaitu diketahui panjang ketiga sisinya (ss, ss, ss) b) Sifat segitiga dipenuhi, karena jumlah panjang dua sisi lebih panjang dari panjang sisi ketiga. Diketahui: 5 cm 4 cm 1 2
5
cm
Siapkan dahulu ketentuannya berupa 3 ruas garis yang 1 2
masing-masing panjangnya 5 cm, 4 cm, 5
cm. Kemudian
pertama-tama lukislah sisi AB = 5 cm, lalu buatlah busurbusur lingkaran yang masing-masing berpusat di A dan B dan jari-jarinya 5
1 2
cm dan 4 cm. Kedua busur lingkaran itu
berpotongan di titik yang menunjukkan titik sudut C dari segitiga ABC. Lukisan: Langkah ke-1 A
5cm
B
Langkah ke-2
5 cm
26 A
5 cm
B
Langkah ke-3
C
5 cm
4 cm A
5 cm
B Langkah ke-4
C
5 cm 4 cm
A
5 cm 4 cm
5 cm
B
Latihan 3 (diskusikan) 1. Adakah kelemahan dalam mendefinisikan segitiga dengan menurunkannya dari persegipanjang?
27
2. Perlukah secara tegas dibedakan antara “segitiga” dan “daerah segitiga”? 3. Dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris, tanpa busur derajat, tunjukkan bagaimana melukis sudut-sudut: 1 1 1 a) 15, 22 , 37 , dan 67 . 2 2 2 1 b) 120, 150, 127 . 2 4. Dapatkah segitiga ABC dilukis, jika diketahui: A = 45, B = 75 dan C = 60? 5. Diketahui sebuah segitiga samasisi ABC yang kelilingnya 36 cm. Bagaimana menghitung luas segitiga ABC? 7. Garis-garis Istimewa pada Segitiga Pada sebarang segitiga dapat kita lukis garis-garis istimewa, yaitu: sumbu, garis tinggi, garis berat, garis bagi. Pada sebarang segitiga terdapat tiga buah sumbu, tiga buah garis tinggi, tiga buah garis berat, dan tiga buah garis bagi. Garisgaris ini dikatakan istimewa karena ketiga garis dari masingmasing garis istimewa itu memiliki satu titik persekutuan. a) Sumbu Sumbu suatu ruas garis adalah garis yang membagi dua sama panjang dan tegak lurus pada ruas garis tersebut. Sumbu suatu ruas garis adalah tempat kedudukan titik-titik yang sama jauhnya dari ujung-ujung ruas garis tersebut. Sumbu pada segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang dan tegak lurus pada tiap sisi segitiga. Terdapat tiga sumbu pada suatu segitiga yang ketiganya berpotongan di satu titik. b) Garis tinggi c) Garis berat d) Garis bagi 8. Teorema Pythagoras Dalam sebuah segitiga siku-siku, jumlah luas daerah-daerah persegi yang dibuat pada kedua sisi siku-sikunya sama dengan luas daerah persegi yang dibuat pada sisi miringnya.
28
C
b
a
A pada ∆ABC c B Jika panjang kedua sisi siku-siku masing-masing b dan c, dan panjang sisi miringnya a, maka teorema di atas dapat dirumuskan dengan: b2 + c2 = a 2 dengan kalimat: Dalam sebuah segitiga siku-siku, jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya. Rumusan ini yang selanjutnya digunakan dalam penyelesaian soal-soal. Kebalikan Teorema Pythagoras Jika dalam suatu segitiga, kuadrat panjang salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. Tripel Pythagoras Perangkat (a, b, c) dari tiga bilangan asli disebut Tripel Pythagoras, jika kuadrat dari bilangan terbesar sama dengan jumlah kudrat dua bilangan yang lain. Jika pada tripel Pythagoras (a, b, c), ketiga elemennya berupa bilangan asli yang faktor persekutuan terbesarnya adalah 1, maka (a, b, c) disebut Tripel Pythagoras Primitif. (3, 4, 5), (5, 12, 13) adalah contoh dua tripel Pythagoras primitif,
29
sedang (15, 20, 25), (10, 24, 26) masing-masing bukan tripel Pythagoras primitif. 9. Teorema Proyeksi Dari teorema Pythagoras dapat diturunkan teorema proyeksi pada segitiga miring, yaitu segitiga yang bukan segitiga sikusiku. a. Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Lancip Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lancip sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain dikurangi dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut. C Diketahui: , mA < 90, p panjang proyeksi pada b t a Dibuktikan: a2 = b2 + c2 – 2cp p
c–p
A D c Bukti: Dalam ∆BCD:
B a2 = (c – p)2 + t2 .................
Pythagoras) Dalam ∆ACD:
t2 = b2 – p2
Pythagoras) Subtitusikan t2 = b2 – p2
ke
.................
(Th. (Th.
a2 = (c – p)2 + t2
diperoleh: a2 = (c – p)2 + b2 – p2 a2 = c2 – 2cp + p2 + b2 – p2 a2 = b2 + c2 – 2cp b. Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Tumpul Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, ditambah dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut. C
Diketahui: , mA > 90, p panjang proyeksi pada perpanjangan (proyeksi pada )
t b
a
p D
30
c A
B
a2 = b2 + c2 + 2cp
Dibuktikan: Bukti: Dalam ∆BCD:
a2 = (c + p)2 + t2 .................
(Th.
Pythagoras) Dalam ∆ACD:
t2 = b2 – p2
(Th.
Pythagoras) Subtitusikan t2 = b2 – p2
ke
.................
a2 = (c + p)2 + t2
diperoleh: a2 = (c + p)2 + b2 – p2 a2 = c2 + 2cp + p2 + b2 – p2 a2 = b2 + c2 + 2cp Dari teorema 6.a, yakni: a2 = b2 + c2 – 2cp
diperoleh
b2 +c 2−a2 . 2c Dari teorema 6.b yakni: a2 = b2 + c2+ 2cp
diperoleh
p=
a2−b2−c2 . 2c Berarti jika dalam suatu segitiga panjang semua sisinya p=
diketahui, kita dapat menghitung panjang proyeksi sebuah sisi pada sisi yang lain. 10. Teorema Stewart Jika dalam ∆ABC, x menyatakan panjang ruasgaris yang menghubungkan titik sudut C dengan titik P yang terletak pada sisi AB, sehingga AP = c1 dan BP = c2, maka berlaku: x2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c.
Diketahui: C perhatikan gambar di samping. P pada sehingga AP = c1 dan BP = c2, , dan Buktikan: x2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c. b
t
x
a
p A
D c1
P
B c2
c
31
Bukti: Dalam ∆PBC : a2 = c22 + x2 + 2c2p
..................(1)
(Teorema Proyeksi) Dalam ∆APC : b2 = c12 + x2 – 2c1p
..................(2)
(Teorema Proyeksi) Jika kedua ruas persamaan (1) dikalikan dengan c1 dan kedua ruas persamaan (2) dikalikan dengan c2, masing-masing akan didapatkan: a2c1 b2
=
c22c1
+
x2
c1
+
2
.................................... (3) c2 = c12 c2 + x2 c2 –
c1
c2
p
2c1
c2
p
.................................... (4) Dengan menjumlah masing-masing ruas dari persamaan (3) dan (4) diperoleh: a2c1 + b2 c2 = c22c1 + x2 c1 + 2 c1 c2 p + c12 c2 + x2 c2 – 2c1 c2 p a2c1 + b2 c2 = c1 c2 (c1 + c2 ) + x2 (c1 + c2 ) a2c1 + b2 c2 = c1 c2 c + x2 c x2 c = a2c1 + b2 c2 – c1 c2 c Dengan Teorema Stewart tersebut memungkinkan kita untuk menentukan panjang ruasgaris yang menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah segitiga dengan sembarang titik pada sisi di depannya, jika letak titik tersebut dan panjang ketiga sisi segitiga tersebut diketahui. 11.
Teorema tentang Panjang Garis-Tinggi pada Sebuah
Segitiga Jika dalam ∆ABC yang panjang sisi-sisinya a, b, dan c, panjang garis-tinggi ke sisi-sisi AB, AC, dan AB berturut-turut t a , tb , tc , serta s menyatakan setengah keliling segitiga tersebut, maka: t a=
2 √ s ( s−a )( s−b ) ( s−c ) a
32
t b=
2 √ s ( s−a )( s−b ) ( s−c ) b t c=
2 √ s ( s−a ) ( s−b )(s−c ) c
C D a B
c
b
Bukti: Dalam ∆ABC: b2 = a2 + c2 – 2cp (teorema proyeksi)
a2 +c 2−b2 2a
p=
...................... (1) A
Dalam ∆ABD: ta2 = c2 – p2 ......................(2)
(Teorema
Pythagoras) Subtitusikan
p
dari
persamaan
(1)
ke
persamaan
diperoleh: a2 +c 2−b 2 t =c − 2a
2
(
2
) a +c −b t =( c+ ( ))( c−( a +2ca−b )) 2a 2 ac +a +c −b 2 ac−a −c +b t =( )( 2 a ) 2a 2
2 a
2
2
2
2
2
ta
2 a
2
2 a
2
2
2
2
2
t 2a=
( a+c )2−b 2 b2−( a−c )2 × 2a 2a
t 2a=
( a+c +b )( a+ c−b ) ( b+ a−c ) ( b−a+c ) 2 4a
t a=¿
2
( a+b+ c ) ( a+b +c−2 b ) ( a+ b+c−2 c ) ( a+b+ c−2 a ) 2 4a
33
(2)
t 2a=¿
2 s ( 2 s−2 b ) ( 2 s−2 c ) ( 2 s−2 a ) 4 a2
t 2a=¿
2 4 s ( s−b ) ( s−c ) ( s−a ) 4 a2
t =¿
22 s ( s−b )( s−c )( s−a ) a2
t a=¿
2 √ s ( s−a )( s−b ) ( s−c) a
2 a
Dengan langkah serupa dapat dibuktikan bahwa: 2 √ s ( s−a )( s−b ) ( s−c) b
t b=¿
12.
2 √ s ( s−a ) ( s−b ) (s−c) c
t c =¿
dan
Teorema tentang Panjang Garis-Berat pada Sebuah
Segitiga (Teorema Apollonius) Jika dalam ∆ABC yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b, dan c, dan panjang garis-berat yang melalui titik-titik sudut A, B, dan C berturut-turut ma , mb , mc , maka: 1 1 m2a= ( b 2+ c 2) − a2 2 4 1 2 2 1 2 2 m b= ( a + c ) − b 2 4 1 2 2 1 2 2 mc = ( a +b )− c 2 4 Perhatikan gambar di samping. Diketahui: D titik tengah , AD = ma. Dibuktikan:
A
c
Bukti: B
a
ma
b
D
a
C
Dalam ∆ABC berlaku: 34
AD2.BC = AC2.BD + AB2.CD – DB.CD.BC
.......... (Teorema
Stewart) ma2.a = b2.
1 a + c2 . 2
1 a – 2
1 ab2 + 2
ma2.a =
ma 2 =
1 2 b + 2
ma2 =
1 2
1 1 a. a.a 2 2
1 ac2 – 2
1 2
c2 –
(b2 + c2 ) –
1 3 a 4
1 2 a 4 1 a2 4
Dengan langkah yang serupa dapat dibuktikan: 1 1 m2b= ( a 2+ c 2) − b2 2 4 1 2 2 1 2 2 mc = ( a +b )− c 2 4 13.
Teorema tentang Panjang Garis-Bagi-Dalam pada
Sebuah Segitiga Jika dalam ∆ABC yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan c, diketahui garis-bagi-dalam ACB memotong sisi ´ AB
atas bagian-bagian yang panjangnya c 1 dan c2 serta
panjang garis-bagi-dalam tersebut dinyatakan dengan dc , maka berlaku: C
2
b
dc
Bukti: A c1 D c2 Dalam ∆ABC berlaku:
dc2 = ab – c1c2. Perhatikan gambar di samping. Diketahui: ACD BCD atau C1 C2 AD = c1 dan DB = c2. Dibuktikan: dc2 = ab – c1c2 a
B
AC : BC = AD : DB
..............................
(Teorema)
35
b : a = c 1 : c2
c1 : c 2 = b : a
c1 : c 2 = b : a
(c1
+
c2)
:
(b
+
a)
=
c1
:
b
a)
=
c2
:
a
.............. (sifat)
c : (a + b) = c1 : b
c1 =
bc a+b
..................................... (1) c1 : c 2 = b : a
(c1
+
c2)
:
(b
+
.............. (sifat)
c : (a + b) = c2 : a
c2
ac a+b
=
.................................... (2) untuk menggunakan dc, selanjutnya digunakan Teorema Stewart. Menurut Teorema Stewart, dalam ∆ABC berlaku: CD2.AB = BC2.AD + AC2.BD – AD.BD.AB
dc2.c
a2.c1
=
+
b2.c2
.............................. (3) Subtitusikan (1) dan (2) ke (3), diperoleh: bc
dc2.c = a2. a+b
ac – c1.c2 .c a+b
+ b2 . 2
2
dc2.c =
a bc +a b c – c1.c2 .c a+b
dc2.c =
abc(a+b) – c1.c2 .c a+b
dc2.c = abc – c1.c2 .c
d c2
= ab – c1.c2 .
36
–
c1.c2
.c
14.
Teorema
tentang
Panjang
Garis-Bagi-Luar
pada
Sebuah Segitiga Jika dalam ∆ABC yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan c, diketahui garis-bagi-luar ACB memotong sinargaris ⃗ BA
´ ) pada titik D dengan D-A-B (A di AB
(memuat sisi
antara D dan B) sedemikian, sehingga AB = c, AD = c 1, dan BD = c2, serta garis-bagi-luar tersebut adalah CD yang dilambangkan dengan dc, maka berlaku: dc2 = c1.c2 – ab
Perhatikan gambar di samping. Diketahui: ECD ACD atau C1 C2 AD = c1 dan BD = c2. Dibuktikan: = c1c2 – ab
E C 2 1
dc D
b c1
a A c2
Bukti:
c
B
Dalam ∆ABC berlaku: AC : BC = AD : DB
..............................
(Teorema)
b : a = c 1 : c2
c1 : c 2 = b : a
c1 : c 2 = b : a
(c2 – c1) : (a – b) = c1 : b
(sifat)
c : (a – b) = c1 : b
c1 =
bc a−b
.................................. (1)
37
..............
c1 : c 2 = b : a
(c2 – c1) : (a – b) = c2 : a
..............
(sifat)
c : (a – b) = c2 : a
c2
ac a−b
= ............................... (2)
untuk menggunakan dc, selanjutnya digunakan Teorema Stewart. Menurut Teorema Stewart, dalam ∆ABC berlaku: CA2.DB = BC2.AD + DC2.AB – AD.BD.AB
b2.c2 = a2.c1 + dc2.c – c1.c2 .c
dc2.c
=
b2.c2
–
a2.c1
......................... (3) Subtitusikan (1) dan (2) ke (3), diperoleh:
dc2.c = b2.
ac a−b
bc
– a2. a−b 2
+ c1.c2 .c
2
dc .c =
a b c−a bc + c1.c2 .c a−b
dc2.c =
abc(b−a) a−b
dc2.c =
abc(−( a−b )) a−b
dc2.c = –abc + c1.c2 .c
dc2 = c1.c2 – ab
2
+ c1.c2 .c + c1.c2 .c
Latihan 4 (Diskusikan) 1. Lukislah ruas garis yang panjangnya: a. √ 21 cm. b. √ 37 cm c. (8 - √ 21 ) cm
38
+
c1.c2
.c
2. Dalam ∆ABC, diketahui AB = 12 cm, mABC = 60, dan BC = 8 cm. Hitunglah keliling ∆ABC tersebut! 3. Dalam ∆PQR, diketahui PR = 10 cm, mPQR = 45, dan QR = 15 cm. Hitunglah panjang sisi ketiga dari ∆PQR tersebut! 4. Dalam sebuah segitiga siku-siku, diketahui bahwa panjang kedua sisi siku-sikunya masing-masing 6 cm dan 8 cm. Hitunglah panjang garis tinggi ke sisi miringnya! 5. Dalam ∆PQR, diketahui PQ = 14 cm, QR = 13 cm, dan RP = 15 cm. Hitunglah panjang dari: ´ ´ ; a. Proyeksi PR pada QR b. Garis-tinggi dari titik sudut Q. 6. Dari sebuah ∆ABC, diketahui AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan AC = 7cm, titik P terletak pada
⃗ BC
sedemikian, sehingga P-C-B
1 ´ ! BC. Hitunglah panjang AP 2 7. Dalam ∆ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 dan CP =
cm. Hitunglah panjang ketiga garis-beratnya! 8. Diketahui ∆PQR dengan PQ = 10 cm, QR = 6 cm, dan RP = 8 cm. Pada segitiga tersebut dipilih garis-berat
´ PR
dan garis-
´ . Hitunglah panjang ST ´ ! bagi RT 9. Dalam setiap jajargenjang berlaku: jumlah kuadrat panjang
kedua diagonalnya samadengan jumlah kuadrat panjang semua sisinya. Buktikan pernyataan tersebut! ´ ∥ CD ´ , AB = 20 cm, 10. Diketahui trapezium ABCD, dengan AB BC = 13 cm, CD = 6 cm, dan AD = 15 cm. a. Lukislah dengan cermat trapezium ABCD tersebut! ´ ! b. Hitunglah panjang diagonal AC c. Hitunglah luas daerah trapezium ABCD tersebut! 11. A Di halaman depan sebuah sekolah
tumbuh
pohon
cemara A dan di halaman belakang sekolah tersebut tumbuh pohon mangga B (dilukiskan pada gambar di
B
sebelah kiri). Kedua pohon 39
tersebt
terhalang
oleh
Jelaskan bagaimana cara menentukan jarak kedua pohon tersebut, karena tidak mungkin dilakukan pengukuran secara langsung.
40
BAB V JAJARGENJANG 1. Jajargenjang Jajargenjang
adalah
segiempat
yang
sepasang-
sepasang sisi berhadapannya sejajar.
Daerah jajargenjang dapat diperoleh antara lain jika sebuah daerah segitiga diputar sejauh setengah putaran mengelilingi titik tengah salah satu sisinya, gabungan daerah segitiga itu dengan bayangannya berupa sebuah daerah jajargenjang.
Dari cara memperoleh jajargenjang seperti D di atas, dengan mudah C d T
a. Kedua sisi yang berhadapan sama panjang A AB = CD dan AD = BC b. Kedua sudut yang berhadapan sama besar A = C dan B = D c. Kedua sudut yang berdekatan saling berpelurus A + B = 180, A + D = 180 d. Jumlah besar semua sudutnya 360 A + B + C + D = 360 e. Setiap diagonal membagi jajargenjang menjadi dua bagian yang kongruen ∆ABD ≅∆CBD dan ∆ABC ≅∆CDA f. Kedua diagonalnya saling berpotongan di tengah-tengah atau saling membagi dua sama panjang. AT = TC dan BT = TD Daerah Jajargenjang juga dapat diperoleh atau dapat dibentuk dari sebuah daerah persegi panjang sebagai berikut:
41
B
E
D
E
F tinggi F
C A lebar
G
B
alas A Dari daerah persegi B panjang ABCD dapat dibentuk daerah panjang jajargenjang ABFE. Karena luas jajargenjang ABFE sama dengan luas persegi panjang ABCD, sedang luas persgi panjang ABCD sama dengan panjang x lebar, maka dengan mudah ditunjukkan bahwa: Luas jajargenjang ABFE = Luas persegi panjang ABCD = AB × BC = AB × GE = alas × tinggi Jadi, Luas jajargenjang = alas
× tinggi.
2. Belahketupat Belahketupat adalah jajar genjang yang keempat sisinya sama panjang.
Dari definisi belahketupat dapat dibuktikan sifat-sifat belahketupat, antara lain: 1) Sisi-sisi yang berhadapan sepasang-sepasang sejajar. 2) Setiap diagonal merupakan sumbu simetri. 3) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan terbagi dua sama besar oleh diagonalnya. Sifat-sifat belahketupat di
atas
digunakan
sebagai
landasan untuk macam-macam lukisan dasar, dengan menggunakan penggaris dan jangka, yaitu antara lain: melukis garis tegaklurus garis lain, melukis garis bagi sudut, melukis sumbu ruas garis, melukis garis berat segitiga serta
42
melukis sudut-sudut 90, 60, 45, 30 dan beberapa sudut khusus lainnya. 3. Persegi panjang Persegi panjang adalah jajar genjang yang ukuran keempat sudutnya sama. Dari pengertian di atas, dapat diketahui bahwa persegi panjang memiliki empat sudut siku-siku. Sifat-sifat lain dari persegi panjang adalah: 1) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang. 2) Diagonal-diagonalnya sama panjang
dan
slaing
berpotongan di tengah-tengah. 4. Persegi Persegi adalah belah ketupat yang ukuran keempat sudutnya sama. Sifat-sifat persegi adalah gabungan dari sifat-sifat belah ketupat dan persegi panjang. Sifat-sifat pesegi antara lain: 1) Sudut-sudut dan sisi-sisi yang berhadapan sepasangsepasang sama. 2) Diagonal-diagonalnya sama panjang. 3) Diagonal-diagonalnya saling memotong di tengah-tengah dan saling tegak lurus. 4) Diagonal-diagonalnya membagi dua sudut sama besar. Latihan 5 (Diskusikan) 1. Sebutkan benda-benda nyata dalam kehidupan sehari-hari yang
berbentuk
jajargenjang!
Apakah
persegipanjang
merupakan jajargenjang? 2. Sebutkan semua sifat simetri yang dimiliki oleh: Jajargenjang dan belahketupat. 3. Dari sebuah jajargenjang PQRS diketahui bahwa QR = 10 cm, RS = 8 cm dan mPQR = 150. Hitunglah luas jajargenjang PQRS! 4. Jika luas sebuah jajargenjang ABCD 72 cm 2, panjang AB = 12 cm dan sudut DAB = 30. Hitunglah keliling dari jajargenjang itu!
43
5. Dari sebuah belahketupat diketahui bahwa kelilingnya 24 cm sedang salah satu sudutnya 120. Hitung luas belahketupat tersebut! 6. Diketahui
panjang
kedua
diagonal
sebuah
belahketupat
masing-masing 20 cm dan 52 cm. Hitunglah keliling dan luas belahketupat itu! 7. Sebuah jajargenjar
dan
sebuah
belahketupat
kedua
diagonalnya sepasang-sepasang sama. Jelaskan mana yang lebih luas?
44
BAB VI LINGKARAN
45
BAGIAN II GEOMETRI RUANG
46
BAB VII PENDAHULUAN Obyek dari geometri, jadi juga dari geometri ruang, merupakan benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak, misalnya titik, garis, bidang, balok, kubus, limas, bola dan sebagainya. Benda
pikiran
dapat
diperoleh
dari
benda
nyata
dengan
melaksanakan abstraksi dan idealisasi. Untuk memudahkan pembicaraan tentang bangun-bangun geometri dalam pembelajaran matematika seringkali digunakan gambar atau model dari bangun itu. Model-model bangun geometri itu dapat kita gunakan sebagai alat peraga dalam kegiatan belajar mengajar geometri. Dalam
pengajaran
geometri
secara
tegas
kita
membedakan antara pengertian, gambar, dan model dari suatu bangun
geometri.
Dengan
demikian
secara
tegas
kita
membedakan antara balok, gambar balok dan model balok. Demikian pula kita membedakan antara bola, gambar bola, dan model bola, dan seterusnya. Dalam
geometri,
setiap
bangun
dipandang
sebagai
himpunan titik-titik tertentu (special set of points). Misalnya sebuah garis, sebuah lingkaran dan sebagainya. Ruang diartikan sebagai
himpunan
semua
titik.
Dapatkan
Anda
jelaskan
perbedaan dan hubungan antara “ruang” dan “ruangan”? Dalam
mendefinisikan
bangun-bangun
ruang
dapat
digunakan cara dengan menjelaskan batas-batas dari bangun ruang itu. Misalnya: sebuah kubus didefinisikan sebagai bangun yang dibatasi oleh enam daerah persegi yang kongruen. Cobalah Anda menyebutkan definisi bangun-bangun ruang yang lain. Pernahkan Anda secara khusus memperhatikan benda-benda
47
atau bangun-bangun yang terdapat di sekitar Anda, baik selama Anda berada di ruang kelas, di rumah atau di alam terbuka? Cobalah Anda menyebutkan bentuk dari setiap bangun yang Anda jumpai. Apakah Anda akan menjumpai kesulitan dalam menyebutkan bentuk untuk setiap bangun yang Anda jumpai itu? Dalam geometri yang kita pelajari hanya bangun-bangun baku saja, misalnya segitiga, trapesium, balok, tabung, kerucut, bola
dan
sebagainya.
Dalam
matematika
bangun-bangun
geometri merupakan benda-benda pikiran yang memiliki bentuk dan ukuran yang serba sempurna. Sebaliknya dalam kehidupan sehari-hari atau di alam terbuka yang kita jumpai adalah bendabenda nyata, yang bentuknya tidak sempurna. Benda-benda atau bangun-bangun yang kita jumpai dalam kehidupan seharihari kebanyakan hanya dapat dijelaskan atau ditunjukkan kemiripannya saja terhadap bangun geometri tertentu. Dengan demikian Anda tidak perlu dapat menyebutkan bentuk dari setiap bangun yang Anda jumpai dan kenyataannya memang benda-benda di sekitar Anda memiliki bentuk yang sangat beranekaragam, yang pada umumnya tidak memiliki bentuk baku yang Anda kenal dalam geometri. Geometri merupakan bagian dari matematika yang sangat banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Bangun persegi panjang merupakan bangun yang paling banyak terlibat dalam kehidupan manusia. Dewasa ini bentuk-bentuk segitiga samasisi, segilima beraturan dan segienam bertauran banyak digunakan dalam bidang arsitektur dan industri. Bentuk lingkaran adalah
juga
perkembangan
bentuk umat
yang
sudah
manusia.
melekat
Dapatkah
erat Anda
dengan jelaskan
kemanfaatan dari bentuk lingkaran?. Analoginya dalam ruang, Anda dapat menyaksikan penggunaan bentuk balok yang sangat
48
mendominasi kehidupan umat manusia, demikian juga Anda dapat
membayangkan
akibatnya
apabila
manusia
tidak
menggunakan bangun-bangun tabung, kerucut dan bola yang ternyata telah memiliki peranan khusus dalam pelbagai macam kepentingan
manusia
yang
makin
maju,
sejalan
dengan
perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Di bidang kesenian, sejak dahulu kala manusia sudah memanfaatkan pelbagai macam bentuk yang disusun, dirangkum dalam ragam tertentu sehingga dapat menciptakan pandangan atau suasana yang anggun dan nyaman. Dewasa ini, melalui kreatifitas para pengabdi seni yang jeli memanfaatkan keindahan yang dapat muncul dari balik bangun-bangun geometri tertentu, telah mendorong berkembangnya pelbagai macam industri, mislanya industri rancang bangun, industri keramik, macammacam industri kerajinan dan sebagainya. Dalam hubungan ini pemanfaatan bangun-bangun ruang tertentu semacam bidang banyak beraturan dapat dipelajari dan dikembangkan. Dengan demikian adalah menjadi salah satu kewajiban dari para
guru
matematika
di
sekolah
untuk
membantu
para
siswanya agar sejauh mungkin dapat memanfaatkan bangunbangun geometri sebagai salah satu sumber acuan dalam mengembangkan teknologi pada bidangnya masing-masing. Latihan 7 (diskusikan) 1. Sebutkan sebanyak-banyaknya nama bangun ruang yang Anda kenal atau ketahui. 2. Pernahkan Anda melihat titik, garis lurus, bidang datar, kubus, tabung ataubola? Jelaskan jawaban Anda. 3. Ambillah sebuah botol sirup atau sebuah jambangan bunga. Cobalah Anda menjelaskan bentuk yang dimiliki benda-benda tersebut. Apakah yang dapat Anda katakan tentang bentuk
49
dari sebuah telur, sarang lebah madu dan sepasang telinga kita? 4. Anda diharapkan pernah melihat atau mungkin juga memiliki meja berkaki empat dan meja berkaki tiga. Dapatkah Anda menjelaskan mana meja yang lebih stabil (berdiri mantap tidak goyang); mengapa meja kebanyakan dibuat berkaki empat? 5. Jelaskan perbedaan antara: a. Kotak dan balok b. Kaleng susu dan tabung c. Bola dan bola volly d. Bidang lengkung tabung atau bidang lengkung kerucut dan bidang lengkung bola.
50
BAB VIII GAMBAR BANGUN RUANG Gambar dari sebuah benda dapat dipandang sebagai hasil proyeksi atau bayangan dari model kerangka benda itu pada sebuah layar yang pada umumnya layar itu dipikirkan sebagai sebuah bidang datar. Dari berbagai macam cara, kita mengenal paling tidak dua cara menggambar benda, antara lain: 1. Cara Perspektif Pada penggambaran dengan cara ini digunakan sebagai pedoman adalah garis horizon atau cakrawala atau titik
mata.
Pada
gambar
perspektif
garis-garis
yang
sebenarnya sejajar (kecuali yang sejajar dengan garis horizon) tidak sejajar lagi, tetapi arahnya ke suatu titik tertentu yang terletak pada garis horizon. Dengan demikian ruas-ruas
garis
yang
sebenarnya
sama
panjang
umumnya pada gambar tidak sama panjang lagi. T2
T1
H E
G
D F A
C
B Gambar 2.1. Gambar perspektif sebuah balok ABCDEFGH
51
pada
2. Cara Stereometris Cara ini pada hakekatnya sama dengan cara perspektif, hanya saja garis horizon dianggap letaknya jauh tak berhingga, dan selanjutnya cara ini disebut cara Stereometris. Pada cara ini sinar-sinar yang mengenai benda kita anggap sejajar dan arahnya miring terhadap permukaan bidang layar atau bidang gambar, karena itu cara ini kita sebut juga proyeksi (paralel) miring, dan gambar yang diperoleh disebut gambar ruang dari benda itu. Dalam geometri, baik geometri bidang maupun geometri ruang, cara stereometris inilah yang pada umumnya kita pergunakan.
Dalam
memuat
gambar
stereometris,
kita
mengenal beberapa istilah atauHpengertian: G E
D A
F
C B
a. Bidang gambar Gambar 2.2. Gambar stereometris kubus ABCDEFGH Bidang gambar adalah bidang tempat gambar, yaitu permukaan papan tulis atau permukaan kertas. b. Bidang Frontal Bidang frontal ialah bidang tempat gambar atau setiap bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Keistimewaan dari bidang frontal ini yaitu bahwa setiap bangun yang terletak pada bidang itu bentuk dan ukurannya dalam gambar sama dengan bentuk dan ukuran yang sebenarnya. Misalnya pada gambar kubus ABCDEFGH dengan bidang ABFE frontal, maka ABFE benarbenar berupa persegi, dan sudut ABF misalnya, benarbenar siku-siku.
52
c. Garis frontal Garis frontal yaitu garis atau ruas garis yang terletak pada bidang frontal. Diantaranya garis-garis frontal yang penting adalah garis vertikal. Setiap garis vertikal tentu merupakan garis frontal. Tidak setiap garis horizontal merupakan garis frontal (mengapa? Berilah contoh) d. Garis Ortogonal Garis ortogonal yaitui setiap garis yang letaknya tegak lurus pada bidang frontal. Pada gambar .... misalnya AD, BC, FG. e. Sudut Surut atau sudut simpang atau sudut menyisi Sudut surut yaitu sudut dalam gambar antara sinar garis frontal horizontal arah ke kanan dan sinar garis ortogonal arah belakang. Misalnya pada gambar BAD, FEH; sudutsudut itu ukuran sebenarnya 90. f. Perbandingan proyeksi atau
perbandingan
Ortogonal Yaitu perbandingan antara panjang ruas garis ortogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya dari ruas garis itu. Sebagai misal pada gambar di atas: Panjang AD dalam gambar Perbandingan proyeksi = Panjang AD yang sebenarnya
=
………. ………. Jadi perbandingan proyeksi pada gambar kubus ABCDEFGH di atas adalah ......... Untuk lebih memahami dan terampil dalam membuat gambar ruang,
mahasiswa
perlu
memperoleh
pengalaman
menggambar melalui beberapa latihan dengan pelbagai situasi letak dari bangun ruangnya. Contoh:
Buatlah
gambar
proyeksi
miring
dari
kubus
ABCDEFGH yang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG dan DH. Panjang rusuknya 5 cm, bidang alasnya
53
horizontal, bidang sisi tegaknya ABFE frontal, sudut simpang 30, dan perbandingan proyeksi
2 . 5
Langkah penyelesaian gambar:
ya lebih dahulu, yang berupa daerah persegi ABCD. Karena bidang ABCD horizontal dan ABFE frontal, berarti rusuk AB leta
A
B
54
2. Pada titik A lukislah sudut 30
simpangnya 30
A B
3. Karena AD merupakan ruas garis
orthogonal,
sedang
perbandingan proyeksinya
D 30
2 5
A B
maka
pada gambar
panjang 2 5
AD
x 5 cm =
2 cm. 4.
D C
Karena
proyeksi
miring
persegi
ABCD
berupa
jajargenjang, maka gambar A
B
bidang alas ABCD dapat diselesaikan.
H G
E F
5. Rusuk-rusuk
tengahnya
berupa ruas garis vertikal. Jadi
letaknya
frontal
sehingga titik-titik sudut E,
55
Latihan 8 1. Buatlah gambar proyeksi miring dari kubus
EFGH ABCD
dengan
bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi ABFE frontal. Panjang rusuknya 7 cm, dengan perbandingan proyeksi
3 7
;
dan diketahui pula bahwa: a. Sudut simpang 45 b. Sudut simpang 30 c. Sudut simpang 150 Bandingkan ketiga gambar kubus yang Anda hasilkan itu dengan melukiskan: Diagonal sisi AF Diagonal sisi DE Diagonal ruang DF Diagonal ruang AG Pada gambar kubus tersebut. Apakah yang dapat Anda katakan tentang ketiga gambar kubus itu? Dapatkah Anda kemukakan kriteria dari gambar yang baik? 2. Buatlah gambar balok
EFGH ABCD
dengan AB = 7 cm, AD = 5
cm, AE = 4 cm, dengan bidang alas ABCD horizontal, bidang sisi ABFE frontal, sudut simpang 37
1 dan perbandingan 2
3 . 5 3. Buatlah gambar sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD, proyeksi
dengan bidang alas ABCD horizontal, BC frontal, sudut simpang 45 dan perbandingan proyeksi tinggi limas 7 cm.
56
2 . AB = 5 cm dan 5
4. Buatlah
gambar
sebuah
tabung
dengan
bidang
alas
horizontal, diameter alas 5 cm, tinggi 7 cm, sudut simpang 1 . 3 5. Buatlah gambar sebuah kerucut dengan jari-jari bidang alas 4 90, perbandingan proyeksi
cm, tinggi 8 cm, sudut simpang 90. 6. Buatlah gambar sebuah bola dengan diameter 6 cm, sudut simpang 90, perbandingan proyeksi
1 . 3
BAB IX RELASI ANTARA UNSUR-UNSUR RUANG Setelah mahasiswa cukup terlatih dengan pengenalan dan langkah menggambar bangun-bangun
ruang seperti balok,
kubus, limas, dan sebagainya dengan semua bagian-bagiannya yang berupa sisi, rusuk, dan titik sudut, maka selanjutnya mahasiswa dapat diajak untuk mengenal lebih jauh tentang titik, garis, dan bidang. Titik, garis dan bidang dapat diperoleh berturut-turut dari titik sudut, rusuk dan sisi dengan melepaskan masing-masing dari strukturnya pada suatu benda, misalnya balok. Kemudian kita melakukan abstraksi dan idealisasi. Titik, garis dan bidang adalah benda-benda pikiran yang sifatnya abstrak. Titik, garis dan bidang disebut unsur-unsur ruang. Kemudian apa yang disebut dengan ruang? Ruang didefinisikan sebagai himpunan semua titik. Bangun ruang, antara lain garis, bidang, segitiga, prisma, limas dan sebagainya yang untuk selanjutnya dipandang sebagai himpnan titik-titik tertentu (special set of points). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa titik adalah himpunan bagian dari bidang,
57
bidang merupakan himpunan bagian dari ruang, demikian juga sebuah kubus atau bola adalah himpunan bagian dari ruang. Secara tegas dibedakan antara garis, sinargaris, dan ruas garis. (perhatikan juga pengertian ruasgaris berarah dan garis bilangan). Dalam pembelajaran geometri harus senantiasa ditegaskan perbedaan antara pengertian, lambang, gambar, dan model suatu bangun geometri. Meskipun pada kenyataannya guru di lapangan banyak yang kurang memperhatikan hal tersebut. Unsur-unsur Ruang 1) Titik 2) Garis 3) Bidang
( A, B, C, ... , G, H, I, J, K, ..., X, Y, Z) (a, b, c, ... , g, h, i, j, k, ... , x, y, z) (, , , ... , , , , , , ... , , , )
A. Relasi antara titik, garis, dan bidang dalam ruang 1. Relasi titik dan titik 1.1 Dua titik berlainan 1.2 Dua titik berimpit 2. Relasi tiga titik 2.1 Segaris (ada garis yang melalui ketiganya) A B C Tak-segaris (tidak ada garis yang melalui ketiganya) R P Q Aksioma: melalui tiga titik tak-segaris dapat dibuat tepat 2.2
satu bidang. 3. Relasi titik dan garis 3.1 Titik T di luar garis g 3.2 Titik S pada garis g T g
S
4. Relasi titik dan bidang 4.1 Titik T di luar bidang T
58
4.2
Titik T pada bidang
T g 5. Relasi garis dan garis 5.1 Garis g dan garis h sebidang 5.1.1 Garis g dan garis h sejajar. Terjadi jika keduanya terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. 5.1.2 Garis g dan garis h berpotongan. Jika keduanya terletak satu bidang dan memiliki tepat satu titik persekutuan. 5.1.3 Garis g dan garis h berimpit 5.2 Garis g dan garis h tak sebidang 5.2.1 Garis g dan garis h bersilangan 6. Relasi garis dan bidang 6.1 Garis g sejajar bidang . Garis g dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan. 6.2 Garis g memotong bidang . Garis g dan bidang mempunyai tepat satu titik persekutuan. 6.3 Garis g pada bidang . Setiap titik dari garis g terletak pada bidang . 7. Relasi bidang dan bidang 7.1 Bidang memotong bidang . Bidang dan bidang bersekutu tepat pada sebuah garis. Garis persekutuan tersebut dinamakan garis potng antara bidang dan bidang ; dilambangkan dengan garis (,). Dengan demikian garis (,) merupakan himpunan semua titik yang terletak pada bidang dan juga pada bidang . 7.2 Bidang sejajar bidang . Bidang dan bidang tidak bersekutu pada satu titik pun. 8. Relasi tiga buah bidang
59
8.1
Bidang memotong bidang . Garis s adalah garis
(,). 8.1.1 Bidang memotong garis s 8.1.2 Bidang melalui garis s 8.1.3 Bidang sejajar garis s 8.2 Bidang sejajar bidang . 8.2.1 Bidang memotong bidang 8.2.2 Bidang sejajar bidang Latihan 9 1. Jelaskan tujuan dan kemanfaatan dari diwajibkannya para mahasiswa menggunakan pensil dalam membuat gambargambar bangun geometri! 2. Untuk menggambar sebuah bidang, biasanya digunakan gambar jajargenjang. Jelaskan maknanya! 3. Bagaimanakah kriteria gambar yang baik dalam pembelajaran geometri! 4. Berikan alternatif gambar yang baik untuk menyatakan: a. Sebuah titik P yang terletak pada sebuah bidang . b. Dua buah garis p dan q yang bersilangan. c. Dua buah garis l dan m yang keduanya terletak dalam bidang . 5. Sebutkan ciri khusus dari: a. Titik b. Garis c. Bidang d. Ruang 6. Sebutkan kesamaan dan perbedaan antara “dua garis sejajar” dan “dua garis bersilangan”! 7. Jelaskan perbedaan antara: a. Titik dan titik sudut b. Garis dan garis bilangan c. Bidang dan bidang Cartesius PQ dan ruasgaris berarah PQ d. Sinar garis ⃗ e. Ruang dan ruangan 8. Untuk menanamkan pemahaman siswa tentang relasi antara unsur-unsur ruang yaitu titik, garis, dan bidang, maka seringkali titik, garis, dan bidang diwakili oleh titik sudut,
60
rusuk, sisi, diagonal atau bidang diagonal dalam sebuah kubus. a. Mengapa dipilih bangun kubus? b. Buatlah gambar sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi tegak ABFE fontal! c. Sebutkan tiga pasang
garis
yang
dua-dua
saling
bersilangan! d. Apakah yang dimaksud dengan dua titik sudut yang berhadapan? Berikan contohnya! e. Apakah yang dimaksud dengan
dua
rusuk
yang
berhadapan? Berikan contohnya! f. Apakah yang dimaksud dengan dua sisi berhadapan? Berikan contohnya! g. Apakah yang dimaksud dengan diagonal bidang? Berikan contohnya! h. Apakah yang
dimaksud
contohnya! i. Apakah yang
dimaksud
diagonal bidang
ruang?
Berikan
diagonal?
Berikan
contohnya! j. Tentukan banyak bidang diagonal kubus, apabila digambar semua! k. Pada gambar kubus yang Anda buat, sebutkan: i. Garis-garis yang letaknya frontal, tetapi ii.
horizontal. Garis-garis
iii.
frontal; Garis-garis vertikal yang tidak frontal.
yang
letaknya
9.
61
horizontal,
tetapi
tidak tidak
BAB X GARIS TEGAK LURUS BIDANG 1. Definisi dan Teorema Garis Tegak Lurus Bidang Definisi: Sebuah garis g dikatakan tegak lurus pada sebuah bidang- K, jika garis g tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang-K. Teorema: jika sebuah garis g tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan yang terletak pada sebuah bidang-K, maka garis g akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang-K.
Jadi jika garis g tegak lurus pada bidang-K dan gar`is-garis a, b, c, dan d masing-masing terletak pada bidang-K, maka g a, g b, g c, g d. Sedangkan jika garis g tegak lurus pada garis p dan q yang berpotongan, sedang p dan q terletak pada bidang-K, maka garis g akan tegak lurus pada bidang-K. Dengan demikian untuk membuktikan atau menunjukkan apakah sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, cukup ditunjukkan bahwa garis tersebut tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari, di sekitar kita, khususnya jika kita berada dalam sebuah ruangan, akan kita lihat adanya garis-garis yang tegak lurus bidang. Coba Anda tunjukkan!
62
2. Proyeksi Titik dan Garis pada Bidang a) Proyeksi titik pada bidang Pengertian: Proyeksi titik A terhadap bidang-H adalah titik kaki garis tegak lurus yang ditarik dari titik A pada bidang-H. A
A Pada gambar di atas: H H disebut bidang proyeksi A disebut titik yang diproyeksikan A disebut proyeksi titik A pada bidang H ' A´A disebut garis pemroyeksi Karena garis pemroyeksi letaknya tegak lurus pada bidang proyeksi, maka proyeksi ini disebut juga proyeksi orthogonal, yang untuk selanjutnya cukup disebut “proyeksi” saja. b) Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang Untuk selanjutnya, karena setiap bangun geometri dapat dipandang sebagai himpunan titik, maka proyeksi suatu bangun geometri pada sebuah bidang K diperoleh dengan memproyeksikan semua titik dari bangun itu. Meskipun demikian, pada kenyataannya kita cukup memproyeksikan beberapa titik tertentunya, sesuai dengan sifat bangun yang diproyeksikan. Teorema: Proyeksi dari suatu garis pada sebuah bidang K, pada umumnya akan berupa sebuah garis juga. A
A B
A B B
A
K
B
A
K
B 63
A=B
K
Teorema: Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka proyeksi garis itu pada bidang tersebut berupa sebuah garis yang sejajar dengan garis tadi. Teorema: Jika sebuah garis tegaklurus pada sebuah bidang, maka proyeksi garis itu pada bidang tersebut berupa sebuah titik. Dengan demikian, untuk memproyeksikan sebuah ruas garis
´ AB
cukup dengan memproyeksikan ujung-ujungnya A
dan B saja. Kemudian tinggal menghubungkan A dan B dengan garis lurus untuk memperoleh proyeksi dari ruas garis ´ . AB Jika
´ AB
letaknya tegak lurus pada bidang proyeksi K,
maka proyeksi dari ruas garis
´ AB
merupakan sebuah titik.
Mengapa? Latihan 10 1. Diketahui : kubus ABCDEFGH Buktikan : a. AC tegak lurus bidang DBFH b. AC tegak lurus HB 2. Diketahui : kubus ABCD EFGH Buktikan : a. AC tegak lurus bidang BD b. AG tegak lurus BE c. AG tegak lurus bidang BDE d. Segitiga BDE sama sisi 3. Dalam limas segitiga D.ABC tiga buah rusuk yang bertemu di titik A saling tegak lurus. Buktikan bahwa: a. DA tegak lurus BC b. AC tegak lurus BD 4. Diketahui kubus ABCD EFGH. Tentukan proyeksi: a. Titik G pada bidang ADHE 64
b. Titik H pada bidang ABFE ´ c. CD pada bidang ABCD ´ d. EC pada bidang BCGF ´ e. AC pada bidang EFGH 5. Dalam kubus ABCD EFGH. ´ a. Lukislah proyeksi EF pada bidang ACGE ´ b. Lukislah proyeksi AF pada bidang AEGC 6. Bagaimanakah kedudukan dari dua buah garis p dan q, agar proyeksinya pada sebuah bidang K berupa garis lurus? 7. Bagaimana kedudukan dari dua buah garis a dan b, agar proyeksinya pada sebuah bidang K berupa dua buah titik? 8. Lukislah proyeksi dari sebuah segitiga ABC terhadap sebuah bidang K, jika A, B, dan C terletak di atas bidang K. Kemudian lukislah proyeksi dari titik berat segitiga ABC pada bidang K. Jika Z adalah titik berat segitiga ABC, sedang A, B, C, dan Z berturut-turut adalah proyeksi A, B, C, dan Z pada bidang K, tunjukkan bahwa: ZZ =
1 3
65
(AA + BB + CC).
BAB XI JARAK Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.
A
B
G1
G2
Jika G1dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Sehingga dapat dilakukan pemasangan satu-satu antara titik-titik pada G1dan G2. Jika
´ AB
adalah yang terpendek antara semua ruas garis
penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis
´ AB
disebut
jarak antara G1dan G2. Akibat dari pengertian yang demikian maka: ´ . 1. Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ 2. Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g. 3. Jarak antara titik P dan bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada bidang K. 4. Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang K. 5. Jarak antara bidang K dan L yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya. 6. Jarak antara garis g dan h yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang memotong tegak lurus garis-garis g dan h.
66
Berikut gambar yang menunjukkan cara menentukan jarak bangun-bangun diatas. Perhatikan cara menggambarnya. R
P
Q
P
P
Q K P2
P3
P1
R P1
P4 g
Dua cara atau langkah untuk menentukan jarak antara dua garis a dan b yang bersilangan. Cara 1: 1. Membuat garis b1 sejajar b yang memotong garis a. 2. Membuat bidang H yang melalui a dan b1. Bidang H letaknya sejajar dengan garis b (mengapa?).
67
3. Memproyeksikan garis b pada bidang H, menghasilkan garis b2 yang letaknya sejajar dengan b1 dan memotong garis a di titik A. 4. Melalui titik A dibuat garis g tegak lurus pada bidang H yang akan memotong garis b di titik B. ´ 5. Ruas garis AB merupakan ruas garis yang memotong tegak lurus a dan b; jadi panjang
´ AB
adalah jarak antara
garis a dan b yang bersilangan. Bukti: g bidang H ....................
g a .................. (i) g b2
a dan b2 pada bidang H ....
jadi g
a dan g b g b2
g b .................................................... (ii)
b2 // b Cara I dapat dijelaskan dengan lukisan berikut: g
b
B
b2 A
a
b1
H
Cara II 1. Membuat sebuah bidang yang memotong tegaklurus garis b di titik P, namakan bidang H. 2. Mempoyeksikan garis a pada bidang H yang menghasilkan garis a1.
68
3. Melalui titik P pada bidang H dibuat garis yang memotong tegak lurus garis a1 di titik Q. 4. Melalui titik Q dibuat garis k tegak lurus bidang H, yang memotong garis a di titik A. 5. Melalui titik A dibuat garis l sejajar garis
´ , yang akan PQ
memotong garis b di titik B. ´ 6. Ruas garis AB adalah ruas garis yang memotong tegak lurus garis-garis a dan b, jadi panjang
´ AB
adalah jarak
antara dua garis bersilangan a dan b. Bukti: ´ PQ
a1
jadi ´ PQ
bidang (a, a1)
´ PQ
´ AB
´ PQ
a
a
k
a pada bidang (a, a1)
´ // AB
´ PQ b ´ AB Jadi
´ PQ // ´ AB
´ AB
b
´ PQ memotong tegak lurus garis a dan garis b. Cara II
dapat dijelaskan dengan lukisan pada gambar berikut.
Latihan 11 Buatlah gambar kubus
EFGH ABCD
1. a) Lukis dan hitunglah jarak antara A dan C! b) Lukis dan hitunglah jarak antara D dan G!
69
2. Lukis dan hitunglah jarak antara E dan C jika ditempuh melewati bidang sisi kubus! 3. a) Lukis dan hitunglah jarak antara A dan C! b) Lukis dan hitunglah jarak antara D dan G! 4. a) Lukis dan hitunglah jarak antara HG dan ABFE! b) Lukis dan hitunglah jarak antara FG dan BCHE! 5. Lukis dan hitunglah jarak antara bidang ABFEdan bidang DCHG! 6. Lukis dan hitunglah jarak antara bidang AFH dan bidang BDG! 7. Lukis dan hitunglah jarak antara AB dan FG! 8. Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan BD! 9. Lukis dan hitunglah jarak antara GH dan FC! 10. Dua buah garis l dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah AB. A pada l dan B pada m. Pada l dan m berturut-turut terletak titik-titik C dan D, sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm. hitunglah panjang
´ . CD
4.
70
Jika AB = 10 cm,
BAB XII SUDUT DALAM RUANG 1. Sudut antara Dua Buah Garis yang Bersilangan Pengertian: Sudut antara dua buah garis a dan b yang bersilangan ialah sudut yang diperoleh jika melalui sembarang titik T ditarik garis a1 sejajar a dan garis b1 sejajar b.
Pada kejadian khusus, jika sudut antara dua buah garis yang bersilangan, yakni garis a dan b, berupa sudut siku-siku, maka dikatakan bahwa garis a dan b bersilangan tegaklurus, atau a menyilang tegaklurus garis b. 2. Sudut antara Garis dan Bidang Pengertian: Jika garis a tidak tegaklurus pada bidang K, maka yang dimaksud sudut antara garis a dan bidang K adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis a dan proyeksi garis a pada bidang K.
Pada gambar, a1 adalah proyeksi a pada bidang K, maka sudut antara garis a dan bidang K ditunjukkan oleh sudut lancip yang dibentuk oleh a dan a1. Jadi (a, K) = (a, a1).
71
3. Sudut antara Dua Buah Bidang Jika dua buah bidang K dan L saling berpotongan sepanjang garis potong (K, L), maka sudut antara bidang K dan L ditetapkan sebagai berikut: Buatlah sebuah bidang yang tegaklurus pada garis potong (K, L)
Latihan Dalam kubus ABCD EFGH 1. Sudut antara FD dan bidang BCGF ditunjukkan oleh sudut DFC, selanjutnya tunjukkan sudut antara: a. BD dan bidang AEHD b. FD dan Bidang ABCD c. DH dan Bidang ACGE 2. Berapakah besarnya sudut antara: a. CG dan bidang ABCD b. GD dan bidang ABCD c. DH dan bidang ACGE 3. Lukis besar sebenarnya sudut antara diagonal ruang dan sisi kubus, misalnya antara DG dan bidang sisi BHDG. 4. Tunjukkan dalam limas segi empat beraturan T.ABCD sudut antara: a. TA dan bidang alas b. TA dan bidang TBD 5. Sebuah kerucut bidang
alas
dan
apotemanya
sama
panjang. Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh apotema dan bidang alasnya? 6. Dalam kubus ABCD EFGH, tentukanlah besarnya sudut antara: a. AB dan CG
d. FC dan EA
72
b. AB dan DE e. FG dan AD c. DC dan BE 7. Dalam kubus ABCD EFGH, titik P adalah titik pertengahan AB, dan AB = 8 cm, tentukan: a. Panjang HP b. Cos (AD, HP) c. Tg Cos (EF, GP) 8. Tiga rusuk yang bertemu di titik A di limas T.ABC saling tegak lurus. Jika AB=AC=42 cm dan TA = 43 cm. Hitunglah: a. Besar sudut antara BCT dan ABC b. Tangen sudut antara BCT dan ABT. 9. Dalam kubus ABCD EFGH, dilukis bidang ACGE dan BDG. a. Lukislah garis potong kedua bidang itu. b. Manakah sudut antara BDG dan ACGE c. Manakah sudut antara BDG dan ABCD d. Manakah sudut antara BDG dan BDE.
73
BAB XIII PRISMA DAN LIMAS A. Prisma 1. Definisi: prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan beberapa buah bidang lain yang duadua saling berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bidang-bidang sejajar itu kemudian membentuk dua buah daerah segi banyak yang kongruen yang dinamakan masingmasing bidang alas dan bidang atas. Garis-garis sejajar itu disebut rusuk tegak;dan pada umumnya rusuk tegak tidak tegak lurus pada bidang alas. Bidang batas yang selain bidang alas dan bidang atas disebut bidang sisi tegak; yang pada umumnya berupa daerah jajargenjang. Jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi prisma.
P Q S R
Gambar Irisan prisma dengan sbeuah bidang yang memotong semua rusuk tegak dan letaknya tegak lurus pada rusuk tegak, disebut irisan tegak lurus atau irisan siku-siku (pada gambar PQRS). Prisma yang bidang alasnya sebuah segi-n disebut prisma bersisi-n atau prisma segi-n.
74
2. Prisma yang Memiliki Sifat Khusus 1) Prisma Tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alas. Dengan demikian maka pada sebuah prisma tegak: a. sisi-sisi tegaknya berupa daerah persegi panjang b. bidang alas dan bidang atasnya juga merupakan irisan siku-sikunya c. tinggi prisma dapat diwakili oleh panjang salah satu rusuk tegaknya. Prisma yang tidak tegak disebut prisma miring.
Gambar 2) Prisma beraturan atau prisma teratur adalah prisma tegak yang bidang alasnya berupa segi banyak beraturan. Pada prisma beraturan ruas garis yang menghubungkan titik-titik pusat bidang alas dan bidang atas disebut sumbu dari prisma beraturan itu. Pada gambar di bawah ini adalah prisma segitiga beraturan ABCDEF. Z1 dan Z2 adalah titiktitik pusat bidang alas dan atas, maka Z1Z2 disebut sumbu ABCDEF. D
F Z2 E
A
C Z1
75
B Gambar 3) Paralelepipedum
76
BAB XIV IRISAN BIDANG DAN BANGUN RUANG Bab ini membicarakan tentang bagaimana menentukan atau melukis irisan antara sebuah bidang datar tertentu dengan sebuah bangun ruang yang diketahui. Karena bangun-bangun geometri merupakan himpunan titik-titik tertentu, maka irisan sebuah bidang dan sebuah bangun ruang merupakan himpunan semua titik persekutuan antara bidang dan bangun ruang tersebut. Irisan sebuah bidang dan sebuah bangun ruang pada umumnya berupa sebuah daerah bangun datar. Jika bangun ruang yang dimaksud berupa prisma atau limas, maka irisannya pada umumnya berupa sebuah daerah segibanyak. Dengan demikian dalam melukis irisan bidang dengan prisma atau limas dilakukan dengan melukis ruasgaris-ruasgaris yang merupakan sisi-sisi dari daerah segibanyak atau irisan yang dimaksud. Dalam menentukan perpotongan antara bangun-bangun ruang, khususnya dalam menentukan irisan antara sebuah dan sebuah prisma atau limas, kita menggunakan beberapa postulat (aksioma) dan teorema (dalil), terutama aksioma dan dalil-dalil berikut: Aksioma 1: melalui dua titik yang berlainan ada tepat satu garis. Aksioma di atas dapat juga dikatakan dengan: i. ii.
Dua buah titik yang berlainan menentukan sebuah garis Jika dua buah garis bersekutu dua titiknya, pasti kedua garis itu berimpit.
Aksioma 2: Melalui tiga buah titik paling sedikit dapat dibuat sebuah bidang.
77
Aksioma 3: Jika dua titik dari sebuah garis terletak pada sebuah bidang, pasti seluruh garis itu terletak pada bidang tersebut. (hanya berlaku untuk bidang datar). Aksioma 4: Jika dua bidang bersekutu sebuah titik, pasti kedua bidang itu bersekutu pada sebuah garis yang melalui titik itu. Dari aksioma-aksioma di atas dapat diturunkan dalil-dalil berikut: Dalil 1: Melalui tiga titik yang tidak segaris ada tepat sebuah bidang. Dalil 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluarnya ada tepat sebuah bidang. Dalil 3: Melalui dua garis yang berpotongan ada tepat sebuah bidang. Dalil 4: Melalui dua garis sejajar ada tepat sebuah bidang. Dalil 5: Empat buah titik belum tentu terletak pada sebuah bidang. Dalil 6a: Jika tiga bidang dua-dua menghasilkan
tiga
garis
berpotongan sehingga
berpotongan,
dan
jika
dua
diantara tiga garis itu berpotongan di titik T, maka garis perpotongan yang ketiga juga melalui titik T. (Gambar 1)
Dalil 6b: Jika tiga bidang dua-dua berpotongan sehingga menghasilkan
tiga
garis
perpotongan,
dan
jika
dua
diantara tiga garis itu sejajar, maka garis perpotongan yang
ketiga
juga
akan
sejajar
dengan
perpotongan yang pertama. (Gambar 2)
78
kedua
garis
Akibat dalil 6b: Jika melalui dua garis sejajar masing-masing dibuat dua buah
bidang
yang
saling
berpotongan,
maka
garis
perpotongannya pasti sejajar dengan kedua garis yang pertama. Dengan beberapa aksioma dan dalil di atas, kita dapat menyelesaikan masalah lukisan dalam ruang, khususnya lukisan irisan bidang dengan bangun ruang. Dalam melukis irisan (yang pada umumnya berupa daerah segibanyak), kita berusaha melukis sisi-sisi dari segibanyak itu. Sedang sisi-sisi segibanyak itu masing-masing ditentukan oleh titik-titik sudutnya. Adapun titik-titik sudut itu pada hakekatnya adalah titik potong bidang itu dengan rusuk-rusuk tertentu dari bangun ruang yang dimaksud. Hal ini berarti bahwa “melukis titik potong sebuah garis dan sebuah bidang” merupakan langkah awal yang harus dipahami dan dikuasai dalam melukis irisan sebuah bidang dengan sebuah bangun ruang. Berikut ditunjukkan pedoman tentang bagaimana langkah menentukan titik potong garis dan bidang, serta langkah menentukan garis potong dua buah bidang. Menentukan titik potong garis dan bidang
79
DAFTAR PUSTAKA De Baan dan J.C. Boss, 1956. Ilmu Ukur. Jakarta: J.B. Wolters. Djoko Iswadji. 1999. Geometri II. Yogyakarta: PPPG Matematika. Soekemi, dkk. 1966. Ilmu Ukur dengan Persiapan. Yogyakarta: Penerbit Spring.
80
