BIOFÍSICA PROFESOR
: MG. LUIS R. SANCHEZ MATEO
CINEMÁTICA (MRU)
CINEMÁTICA (MRU)
CONCEPTO DE CINEMÁTICA Estudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas. 1 . SISTEMA DE REFERENCIA Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.
2. MOVIMIENTO MECÁNICO Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.
3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO a) Móvil Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo.
b) Trayectoria
Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo. rectilíneo.
c) Recorrido (e) Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).
d) Desplazamiento (d) Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.
e) Distancia (d) Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo del vector desplazamiento. Se cumple que:
4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO a) Velocidad media (Vm) Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.
EJEMPLO:
Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.
b) Rapidez Lineal (RL) Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO El móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia.
En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.
6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento.
a) Velocidad (V) Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ.
b) Desplazamiento (d) El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.
c) Tiempo de encuentro (Te) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:
d) Tiempo de alcance (Ta) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:
CINEMÁTICA (MRUV)
¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO?
RECTILÍNEO
Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.
¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad.
EJEMPLO: Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.
RESOLUCIÓN:
POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V. La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.
ECUACIONES DEL M.R.U.V.
TIPOS DE MOVIMIENTO I. ACELERADO – El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad).
II. DESACELERADO – EL signo ( –) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad).
OBSERVACIÓN: Números de Galileo
EJEMPLO:
Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto segundo?
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Hemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero).
La función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición inicial del móvil
MOVIMIENTO ACELERADO
RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE
Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad.
La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto: Esta es la expresión general de la posición de un objeto en el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.
CAÍDA LIBRE Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libre Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección. Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:
Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+ Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa. Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa. En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.
Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: a(t)=-g v ( t ) = v0 - g
MOVIMIENTO PARABÓLICO Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j , entonces:
Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura:
Descomponiendo la velocidad inicial, componentes iniciales de la velocidad:
obtenemos
las
Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que:
Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento:
Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria : y = ax2 +bx +c
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo , que puede ser dependiente del tiempo (t ). Supongamos que durante un intervalo de tiempo dt , el cambio de ángulo es d .
La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por ds = r d . Al dividir entre el intervalo de tiempo dt , obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:
De donde d /dt es la rapidez de cambio del ángulo y se define como la velocidad angular , se denota por y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de w, tenemos que: v = r w
Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida en una revolución es 2r, el período T es: 2 r = v T
La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:
ACELERACIÓN CENTRÍPETA Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero.
Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a r. ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma:
Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común:
Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este cambio es: V1 - V2 = V Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la de V , la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:
Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linelmente con el tiempo; es decir, = 0 + a t donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado por (t) = 0 + 0 t + ½ a t ²
EJERCICIOS
1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A” . Hallar la distancia entre “A” y “B” .
A 1 Durante
2 B e1 X + 36
2 Final
(I) e2 = V2 x T2 = X
e2
1 2
etotal = 2x + 36
e1 = V1 x T1 = X + 36
x 1
(II) e2 = V1 x T2 = (V1) (1h) e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)
De la ecuación I e2 = X = V2T e1 = X + 36 = V1T
Cuando se encuentran T2 = T1 = T
V2 = X T V1 = X + 36 T
Reemplazando en las ecuaciones II e2 = X = (V1) (1h) = (X + 36) (1) T e1 = X + 36 = (V2) (4h) = X (4) T
X + 36 = X T
T= X + 36 X
Reemplazo III X2 ) (4) 4 X 2 = (X + 36)2 (raíz) X = 36 X + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m X + 36 = (
2.
(17) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de
10/ms2, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/s2 hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?. V0
T1
T2 e1
Ttotal = 30 Seg T1 + T2 = 30 Seg X = e1 + e2
Vf
e2 X
Para el primer tramo
Para el segundo tramo
Vf1 = V0 ± a T1
Vf = Vi ± aT
Vf1 = 0 + (10) T1
Vf = Vf1 ± aT
(I)
Vf1= 10 T1
e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2 2 e1 = 1 (10) (T1)2 2
T1 + (2T1) = 30 … reemplazo 3T1 = 30
0 = 10 T1 – (5) (T2) …. Reemplazo (I)
T2 = 2T1
Como T1 + T2 = 30 ….. (a)
(II)
II en a
T1=10
T2 = 20 Se cumple: e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2)
2
2 e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2 2
reemplazo
(I)
Sumando e2 y e2 e1 + e2 = 10 T1 T2 – ( 1 ) (5) T22 + 5T12 2
X = 10 (10) (20) – ( 1 ) (5) (20)2 + (5) (10)2 2
X = 1500 m
3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída? Planeta X Planeta Tierra Vf = 0 Gravedad Vf = 0
+
h
-
hmax = 100 m
Hmax = 20 m
V1
V1 Para la tierra: Vf 2 = V02 ± 2ge 02 = (V1) 2 - 2(g) (100) -- raiz V1 = 20 m/s
h
(I)
V f = V 1 – gt ---- V i = V 1 0 = 20 – 10 T T = 2 Seg
Para el planeta X: Vf 2 = V02 ± 2 ge 02 = (V1)2 - 2 (g) (100) 202 = 2(g) (100) g = 2m/s2
1er Tramo e = V 0t + 1 gt2 2 400 – X = 0 +1 (2) (T-1)2 2 400 – X = (T-1) … (I) V f = V 0 + gt V 1’= 0+(2) (T-1) V 1’ = 2 (T-1) V 1’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s
Tomando el movimiento total: e = V1 T ± 1 gt2 400=1 (2) (t)2 2 2
T = 20
(II) V 0=0
<-- 1er tramo
400-x
V 1’ X
T=1 Seg 2do Tramo
2do Tramo e = V 0T ± 1 g t 2 2 e = V 1’ (1) + 1 (2) (1)2 2 e = V 1’ + 1 e=38+1= 39 m Reemplazo V1 en h
4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de 6m/s2. Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración de 5 m/s2. Hallar el tiempo que demora en el recorrido total ABC.
Para AB V = Cte a = 6m/s2 r=6m
Sabemos:
Para BC V = Cte a= 5m/s2
ar = v2 , donde V = velocidad lineal r
Para AB: V 2 = ar * r V AB2 = (6) (6) V AB = 6 m/s
Sabemos que
S = .r
Para AB: 1) 2)
S AB = (∏) ( 6 ) = 6 ∏ S AB = e = vt 6 ∏ = VT1 6 ∏=(6)T1
Para BC: V 2 = ar * r V BC2 = 5 * 5 V BC = 5 m/s
T1 = ∏ Seg
Para BC: 1)
SBC = (∏) (5) = 5 ∏
2)
egvT
5 ∏ = 51T1
Ttotal = T1 + T2
T2 = ∏Seg
= 2 ∏ Seg
5. (16)
Hallar las velocidades “V1”, y “V2” . Si lanzadas las partículas simultáneamente chocan como muestra la figura.
Para 1
Para 2
M. Horizontal e=VT
M. Horizontal e=VT
10 = V1 T (I)
30 = V 2 T
(II)
