Baustatik1_Skriptum_IBK

BAUSTATIK 1 Geschichtliche Entwicklung | Grundlagen | Verformungsberechnung | Statisch unbestimmte Systeme | Kraftgößenmethode | Deformationsmethode | Matrix Stiffness Method | Räumliche Systeme

S-2-02/2004

Gernot Beer Institut für Baustatik Technische Universität Graz

Forschungsberichte | Diplomarbeiten | Skripten | Vorträge/Tagungen

Vorwort

Die Vorlesung ist eine Einführung in jene baustatischen Methoden, welche die Berechnung von zwei- und dreidimensionalen Tragwerken ermöglichen. Dabei wird vor allem auf Stabtragwerke und computerunterstützte Berechnungsmethoden eingegangen. Die Vorlesung baut auf die Lehrveranstaltung auf, in der statisches Verständnis und die Berechnung statisch bestimmter Tragwerke vermittelt werden. Ziel der Vorlesung ist es, dem zukünftigen Bauingenieur das notwendige Rüstzeug zu vermitteln um allgemeine Tragwerke berechnen zu können. Besonderes Augenmerk wird auf Matrizenmethoden gelegt, die Grundlage moderner EDV-Programme sind. Traditionelle Methoden der Baustatik, die noch vor der EDV für die Berechnung mit dem klassischen Rechenschieber entwickelt wurden, werden ebenso behandelt, da sie bei der Kontrolle von EDV-Berechnungen und für das baustatische Verständnis notwendig sind. Dem zukünftigen Bauingenieur soll vermittelt werden, daß einerseits die EDV in der Baustatik die Möglichkeiten der Berechnung erhöht hat, daß man aber andererseits den Resultaten der EDV immer kritisch gegenüberstehen muß. Die eigentliche Aufgabe eines Bauingenieurs besteht im Entwurf und in der Konstruktion - die Baustatik ist immer nur ein Hilfsmittel - es ist deshalb unumgänglich nicht nur mathematisch, sondern auch bildhaft zu denken. Deswegen wird, um das vermitteln zu können, neben der mathematischen Erläuterung der baustatischen Methode der Rechenvorgang auch in Bildern gezeigt. In dem Bestreben, den Umfang des vorliegenden Skriptums möglichst klein zu halten, werden zu den einzelnen behandelten baustatischen Methoden nur wenige markante Anwendungen gezeigt, und zwar gerade nur so viele, wie es zur Erläuterung der Theorie erforderlich ist. Der Student wird sich selbstverständlich noch mit weiteren Beispielrechnungen befassen müssen, um diesen Stoff zu beherrschen. Ein Vorlesungsskriptum kann keine umfassende Darstellung der Zusammenhänge beinhalten, deshalb wird auch auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen. Dem

Baustatik 1

Vorwort

Studierenden möge klar sein, daß der Besuch der Vorlesung durch das Studium dieses Skriptums nicht ersetzt werden kann, es soll den Hörer lediglich davon befreien, den Lehrstoff mitzuschreiben, sodaß er sich besser auf den Inhalt der Vorlesung konzentrieren kann. Zuletzt sei noch gesagt, daß der Student nicht nur für die Prüfung lernt, sondern für seine eigene Fähigkeit, die Probleme der Zukunft mit Sachverstand zu lösen. Vorschläge für Verbesserungen dieses Skriptums werden am Institut für Baustatik stets dankbar entgegengenommen und bei Neuauflagen soweit wie möglich berücksichtigt.

Graz, im Februar 2002

Baustatik 1

O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Gernot Beer

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen 1 Die geschichtliche Entwicklung der Baustatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1 2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1 2.1 Kraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1 2.1.1 Äußere Kraftgrößen (Lastgrößen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-1 2.1.2 Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-3

2.2 Verformungsbedingungen (Kinematik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-6 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

Verträglichkeit (Kompatibilität) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-6 Normalhypothese nach Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-7 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-9 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-10

2.3 Werkstoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-11 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

Hooke´sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-11 Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-12 Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-13 Voraussetzungen für lineare Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-13

2.4 Weggrößen eines ebenen Biegestabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-15 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

Äußere Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-15 Innere Weggrößen (Verzerrungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-16 Kinematische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-26 Hooke´sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-27

2.5 Formänderungsarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-28 2.5.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-28 2.5.2 Äußere Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-29 2.5.3 Innere Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-33

2.6 Energiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-40 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.6.6

Energiesatz der Mechanik (Arbeitssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-40 Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-40 Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-47 Satz von Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-52 Satz von Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-54 Prinzip von Müller-Breslau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-56

2.7 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-57

Baustatik 1

Inhaltsverzeichnis

2.7.1 Analytische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-57 2.7.2 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-58 2.7.3 Tabellarische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-60

3 Verformungen ebener elastischer Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1 3.1 Berechnung von Biegelinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

Geometrische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1 Differentialgleichungen ebener, gerader Stabelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2 Analytische Integration der Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3 Die Analogie nach Mohr (1868) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5 Querkraftverformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11

3.2 Verformungen einzelner Tragwerkspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14 3.2.1 Statisch bestimmte Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14 3.2.2 Statisch unbestimmte Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23

3.3 Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte) . . . . . . . . . . 3-27 3.3.1 Anmerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-27 3.3.2 Berechnung der Biegelinie über Sehnenknickwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-28 3.3.3 Berechnung der Biegelinie über Winkelgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-33

3.4 Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan) . . . . . 3-42 3.4.1 Stäbe an ein festes Auflager angeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-42 3.4.2 Fachwerkstäbe an kein festes Auflager angeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-43 3.4.3 Verschiebungspläne ganzer Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-44

4 Statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1 4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1 4.1.1 Statisch bestimmtes Grundsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1 4.1.2 Kinematisch bestimmtes Grundsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2

4.2 Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens . . . . . . . . . . . 4-3

5 Kraftgrößenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1 5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1 5.2 Einführung in das Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2 5.2.1 Träger und Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2 5.2.2 Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-14 5.2.3 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-20

5.3 Vorgangsweise bei statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-23 5.4 Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems . . . . . . . . . 5-24 5.5 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . 5-30 5.5.1 Reduktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-30 5.5.2 Superposition von Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-35

5.6 Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-36 5.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-36 5.6.2 Berechnung von Einflußlinien für Schnittkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-37 5.6.3 Bestimmung von Schnittkrafteinflußlinien mit Hilfe der kinematischen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-41

5.7 Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-45

6 Deformationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1

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Inhaltsverzeichnis

6.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5

Diskretisiertes Tragwerksmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-1 Kinematische Unbestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-2 Zusammenhang zwischen Kraft- und Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-3 Definition der inneren Kraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-4 Definition der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-5

6.2 Die Steifigkeit eines Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4

Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-7 Die lokale Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-13 Die Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-15 Die Transformation von lokalen auf globale Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-16

6.3 Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-19 6.4 Unverschiebliche Rahmentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-29 6.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-29 6.4.2 Belastung zwischen den Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-34 6.4.3 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-44

6.5 Verschiebliche Rahmentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-59 6.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-59 6.5.2 Drehwinkelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-63 6.5.3 Alternative Gleichgewichtsbestimmung Prinzip der virtuellen Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-68

6.6 Symmetrische Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-93 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4

Tragwerke mit Stabsymmetralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-93 Tragwerke mit Knotensymmetralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-95 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-97 Belastungsumordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-99

6.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-100 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4

Linke Gleichungsseite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-101 Lastfall 1: Einseitige Gleichlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-104 Lastfall 2: Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-111 Lastfall 3: Auflagerverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-117

6.8 Die Berechnung von Einflußlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-120 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4

Einflußlinien für Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-120 Einflußlinien für Kraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-121 Hermite’sche Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-126 Starreinspannwerte mit Einflußlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-129

7 Matrix Stiffness Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1 7.1 Eingabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3 7.1.1 Knotenkoordinaten, Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-4 7.1.2 Connectivity, Material, Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-4

7.2 Lokale Element- Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4 7.3 Globale Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5 7.4 Assemblierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5 7.5 Auflager- (Rand) bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-7 7.5.1 Numerische Behandlung - Starre Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-7 7.5.2 Schiefe Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-8 7.5.3 Gelenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-10

Baustatik 1

Inhaltsverzeichnis

7.6 Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11 7.6.1 Knotenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11 7.6.2 Belastung zwischen den Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11

7.7 Auflösung des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-12 7.7.1 7.7.2 7.7.3 7.7.4

Gauß- Reduktion (Gauß‘scher Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-12 Spezielle Methoden zur Lösung von schwach besetzten Matrizen . . . . . . . . . . . 7-13 Iterative Lösung von Gleichungssystemen (Gauß- Seidel Iteration) . . . . . . . . . . . 7-14 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-14

7.8 Stabendkraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-15 7.9 Schnittkraftverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-15

8 Räumliche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1 8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1 8.2 Kräfte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2 8.3 Der Einzelstab im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5 8.4 Steifigkeit des Einzelstabes im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-7 8.5 Transformation

Lokal - Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11

8.6 Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken . . . 8-13 8.7 Allgemeine Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15 8.7.1 8.7.2 8.7.3 8.7.4 8.7.5

Normalspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15 Schubspannungen infolge von Querkräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16 Schubspannung aus Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16 Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-19 Schubmittelpunktslage einiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-21

8.8 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-23 8.8.1 8.8.2 8.8.3 8.8.4

Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-24 Torsion dünnwandiger Hohlquerschnitte (Bredt’sche Formeln) . . . . . . . . . . . . . . 8-26 Torsion mehrzelliger dünnwandiger Hohlquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-29 St. Venantsche Torsion von Stäben mit beliebigen konstanten Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-31 8.8.5 Wölbkrafttorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-38 8.8.6 Spannungen aus Biegung + Torsion dünnwandiger Querschnitte . . . . . . . . . . . 8-44 8.8.7 Querkraftanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-45

8.9 Räumliche Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-49 8.9.1 8.9.2 8.9.3 8.9.4 8.9.5

Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-49 Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-51 Räumliche Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-52 Statisch bestimmte Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-52 Statisch unbestimmte Rahmen (Kraftgrößenmethode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-53

8.10 Trägerrost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-66 8.10.1 Trägerrost mit starren Querträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-67

Index

Baustatik 1

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen

Symbole Wichtige Aussagen der Baustatik, sie sind für das weitere Verständnis von großer Bedeutung. Sehr wichtig, häufige Fehlerquelle

Sätze, die die Baustatik prägten

Hier werden anhand von Beispielen einzelne Verfahren näher erläutert

Numerische Beispiele, zur Veranschaulichung des theoretischen Stoffes

Anmerkungen und Hinweise auf allgemeine Zusammenhänge

Kein Vorlesungsstoff. Allgemeine Zusatzinformation

Baustatik 1

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen Allgemein

Allgemein D

Diagonalstab

LF

Lastfall

O

Obergurt

P

Punkt

S

Stab

U

Untergurt

V

Vertikalstab

W

Arbeit, Formänderungsarbeit

δW

virtuelle Arbeit

W(ä)

äußere Formänderungsarbeit

W(i)

innere Formänderungsarbeit

W

Eigenarbeit, aktive Arbeit

W*

Verschiebungsarbeit, passive Arbeit

∆i

Relativbeziehung, Änderung von i

δi

virtuelles i

„i“

Einflußlinie von i

i, k

beliebige Punkte

i’, k’

beliebige, verformte Punkte

i’’, k’’

um 90° gedrehte, beliebige, ähnliche Punkte

Kraftgrößen Grundsätzlich werden für Kraftgrößen, die Einzel- oder Summengrößen sind, Großbuchstaben und für Kraftgrößen, die sich auf Längen-, Flächen- oder Raumeinheiten beziehen, Kleinbuchstaben verwendet.

Baustatik 1

A, B, C

Auflagerkräfte

H

Horizontalkraft

M

Moment, Biegemoment

MT

Torsionsmoment, Drillmoment

Me

Einspannmoment

M

virtuelles Moment, virtuelles Biegemoment

N

Normalkraft, Längskraft

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen Weggrößen

N

virtuelle Normalkraft, virtuelle Längskraft

P

Einzelkraft, Punktlast

Q

Querkraft

Q

virtuelle Querkraft

S

Stabkraft

S

innere Kraftgrößen, Schnittkräfte M Q N

T

Temperatur

Tm

gleichmäßige Temperaturänderung

∆T

ungleichmäßige Temperaturänderung, Temperaturdifferenz

V

Vertikalkraft

X

statisch unbestimmte Kraftgröße

m

Streckenmoment

mT

Streckentorsionsmoment

q

Streckenlast

σ

Normalspannung

τ

Schubspannung, Scherspannung, Tangentialspannung

τ0

mittlere Schubspannung

Weggrößen AB

Strecke von Punkt A nach Punkt B

s

Weg, Strecke

u

Verschiebung in x-Richtung

u

äußere Weggrößen, Verformungen {u v w}

v

Verschiebung in y-Richtung

w

Verschiebung in z-Richtung („Durchbiegung“)

x, y, z

Koordinaten

α

Winkel

γ

Schubverzerrung, mittlerer Schub- bzw. Gleitwinkel

δ

Verformung, Verschiebung

δik

Verformung an der Stelle i zufolge der Wirkung k

ε

Längsdehnung

ε

innere Weggrößen, Verzerrungen {ε γ κ}

κ

Krümmung

Baustatik 1

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen Querschnitts- und Stabwerte

ϕ

Verdrehung, Neigungswinkel, Winkeländerung

ψ

Sehnenknick (-winkel), Verdrehung, Neigungswinkel einer Sehne

ω

Verwölbung

Querschnitts- und Stabwerte A

Querschnittsfläche, Flächeninhalt

AQ

effektive Schubfläche

A0

Referenz- bzw. Vergleichsquerschnittsfläche

C

Schwerpunkt

I

Flächenträgheitsmoment

I0

Referenz- bzw. Vergleichsträgheitsmoment

Iyz

Zentrifugalmoment in bezug auf die Achsen y und z

S

statisches Flächenmoment

a

Abstand, Länge

aQ

Schubbeiwert

c

Schwerpunktsabstand

L

Stablänge, Stützweite, Spannweite

∆L

Längenänderung

r

Radius, Krümmungsradius

s

Stablänge

∆s

Längenänderung

Baustoffkennwerte

Baustatik 1

C

Federsteifigkeit, Integrationskonstante

E

Elastizitätsmodul

[K]

Steifigkeitsmatrix

EA

Dehnsteifigkeit

EI

Biegesteifigkeit

G

Schubmodul

GAQ

Schubsteifigkeit

αT

Wärmeausdehnungszahl

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen Einheiten

εB

Bruchdehnung

ν

Querdehnungszahl, Querkontraktionszahl

σB

Bruchspannung, Bruchgrenze

σE

Elastizitätsspannung, Elastizitätsgrenze

σF

Fließspannung, Fließgrenze, Streckgrenze

Einheiten Länge

[m]

Querschnittsfläche

[m²], [cm²]

Kraft

[kN]

Streckenlast

[kN/m]

Flächenlast

[kN/m²]

Moment

[kNm]

Streckenmoment

[kNm/m]

Dichte

[kg/m³]

Wichte

[kN/m³]

Spannung

[N/mm²] ( = [MN/m²] = [MPa] )

Bezeichnungen der Deformationsmethode Stabelement (…)

Ursache Ort:

Knotennummer Stabende i, j

Allgemein: i, j

Stabenden

KD

Knotendrehfessel

k

Stabkennwert (I/LI0)

kw

Steifigkeit einer Wegfeder

kd

Steifigkeit einer Drehfeder

SD

Sehnendrehfessel

Baustatik 1

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen Bezeichnungen der Deformationsmethode

x’, y’

Lokales ebenes Koordinatensystem

x, y

Globales ebenes Koordinatensystem

δθ

virtuelle Verdrehung

2

Stabnummer

Kraftgrößen: [ K’] ii

Lokale Stabendsteifigkeitsmatrix, Ort: i, Ursache: i

[K]

Globale Steifigkeitsmatrix

s

Lokale Steifigkeitsmatrix des Stabelementes s

k ii

Steifigkeit

k ii*

relative Steifigkeit

mi/j

Stabendmomente

miB

Starreinspannmoment am Stabende i

m

Endgültige Stabendmomente

[ K’]

M

e

Externes Moment

s

p’

Lokale Stabendkraftgrößen des Stabelementes s

s

p

Globale Stabendkraftgrößen des Stabelementes s

p’xi

Lokale Kraftgröße in Richtung x am Stabende i

pxi

Globale Kraftgröße in Richtung x am Stabende i

P

Einzelkraft, Punktlast

[T]

Transformationsmatrix

[ ... ]T

Transponierte Matrix

Weggrößen:

Baustatik 1

s

u’

Lokale Stabendweggrößen des Stabelementes s

s

u

Globale Stabendweggrößen des Stabelementes s

u’xi

Lokale Verschiebung in Richtung x am Stabende i

u xi

Globale Verschiebung in Richtung x am Stabende i

ui/j

Stabendverschiebungen

{ u }2

Verformungen im Knoten 2

θi/j

Stabendverdehungen

ψ

Stabsehnendrehung

v P,α

Verschiebungskomponente infolge einer Sehnendrehung


Indizes: d

Drehfeder

e

eingespannt

g

gelenkig

i, j

Stabenden

B

Belastung

P

Einzelkraft

T

Einfluß zufolge Temperatur

W

Wegfeder

Baustatik 1


Baustatik 1

1

Die geschichtliche Entwicklung der Baustatik Coulomb Navier Culmann Mohr

Die Erkenntnisse und Hypothesen auf dem Gebiet des Bauwesens sind sowohl im physikalischen Bereich als auch im Ingenieurwesen während des 17. und 18. Jahrhunderts beim Bau von Kanälen, Festungsanlagen, Hoch- und Brückenbauten wesentlich erweitert und vertieft worden. Besondere Verdienste haben sich hierbei zahlreiche Physiker, Mathematiker und Ingenieure aus dem mitteleuropäischen Raum erworben. Vor allem die beiden französischen Ingenieure und sammelten das verstreute Wissen, ordneten es kritisch, bauten es methodisch auf und gaben der Baustatik eine zukunftsweisende Zielrichtung. hat zahlreiche große Bauwerke entworfen, berechnet und ausgeführt. Er hat als erster Fragen der Statik und Festigkeitslehre nach exakt wissenschaftlichen Methoden behandelt und ihre Lösungen in der Baupraxis ausgeführt. Bemerkenswert ist auch die von ihm eingeführte Methode, das in einer Aufgabe vorhandene, unbekannte Element variieren zu lassen, um auf diese Weise den maximalen und minimalen Grenzwert zu finden. Bei aller wissenschaftlichen Exaktheit war stets um Klarheit und Anschaulichkeit der Lösungsmethoden bemüht. , der bereits in seinen frühen Berufsjahren Brücken über die Seine gebaut hatte, lehrte ab 1821 an der . Sein Lehrziel war es, seinen Studenten des Ingenieurfachs das wissenschaftliche Rüstzeug für ein materialgerechtes und ökonomisches Berechnen und Konstruieren der Bauwerke in die Hand zu geben. Sein großer Verdienst ist es, die bis dahin bekannten Gesetzmäßigkeiten, Erkenntnisse und Methoden der angewandten Mechanik und Festigkeitslehre zu einem einzigen Lehrgebäude zusammengefaßt und viele Probleme (z.B. aus den Bereichen Klassische Biegungslehre, Knicken, Berechnen statisch unbestimmter Tragwerke) in Grundzügen gelöst, weiterentwickelt oder neu formuliert zu haben. Vor und hatten die Konstrukteure im wesentlichen die Abmessungen der Bauteile nach den Erfahrungen bei entsprechenden älteren Bauwerken

Baustatik 1 1-1

1

Die geschichtliche Entwicklung der Baustatik

bestimmt. Dies wurde nun entscheidend geändert. gebührt der besondere Ruhm, eine Baustatik, die das Tragverhalten einer Konstruktion im Grundsätzlichen erfaßt, in weniger als einem Jahrzehnt geschaffen zu haben. Nach

haben in erster Linie und Entscheidendes zum Ausbau der Baustatik beigetragen: durch die Entwicklung zeichnerischer Methodik in der Statik der Baukonstruktionen und durch seine Theorie des Fachwerks auf Grund der Voraussetzung gelenkiger Knotenpunkte, durch seine Deutung der Biegelinie des elastischen Stabes, seine Darstellung und Beurteilung der allgemeinen Spannungszustände sowie einige weitere Abhandlungen aus dem Gebiet der technischen Mechanik. Das Erbe

ist besonders durch seinen Nachfolger, , in seinen Anwendungen der graphischen Statik gepflegt und gemehrt worden, während wir eine Systematik der rechnerischen Methoden der Baustatik verdanken. Ein empfehlenswertes Buch, das einen Überblick über die Geschichte der Bauingenieurkunst von der Antike bis in die Neuzeit gibt, ist:

[1] STRAUB, H. : Die Geschichte der Bauingenieurkunst, Birkhäuser, 4. überarb. und erw.

Aufl., Basel - Boston - Berlin 1992

1-2 Baustatik 1

2

Grundlagen Kraftgrößen - Weggrößen Kinematik Formänderungsarbeiten Energiesätze

2.1 Kraftgrößen 2.1.1

Äußere Kraftgrößen (Lastgrößen)

Auf einen Körper können zwei Arten von äußeren Kraftgrößen wirken: Volumskräfte:

Alle Teile des Körpers werden gleichartig und unmittelbar belastet Eigengewichte und Massenkräfte

Oberflächenkräfte: Sind auf der Oberfläche des Körpers wirksam Lasten und Auflagerkräfte Unterteilung der Lasten in: ständige (bleibende)

Eigengewicht

veränderliche (bewegliche)

Verkehrslasten, Bremskräfte, Seitenstöße, Fliehkräfte, Erdbebenkräfte

periodisch wiederkehrende

Schnee-, Wind- und Eislasten, Erdund Wasserdrücke

oder in: Einzellasten

Die Kraftgröße greift in einem Punkt an. Px , Py , Pz , Mx = Mx , My , Mz

verteilte Lasten

Sie erstrecken sich über Flächen oder Linien und sind gleichmäßig oder ungleichmäßig verteilt. qx , qy , qz , mx = mT , my , mz

Baustatik 1 2-1

2

Grundlagen Kraftgrößen

Die Auflagerkräfte werden durch die Art des Auflagers bestimmt. Es werden folgende Auflagerarten unterschieden:

y bewegliches Auflager: V

y festes Auflager:

H V

y feste Einspannung:

H Me

V

y Rollenlager: Me

V

y Wegfeder: V

y Drehfeder: Me

Jede Kraftgröße ist eindeutig bestimmt durch Größe, Richtung und Lage. In der Statik wird angenommen, daß sie allmählich (nicht stoßartig) von Null bis zu ihrem Endwert wächst, ohne das Tragwerk in Schwingungen zu versetzen. Unter der Annahme kleiner Verformungen des Tragwerkes dürfen die äußeren Kraftgrößen auch am verformten Tragwerk in derselben Lage und Richtung angesetzt werden wie am unverformten („richtungstreue Last“). Neben den äußeren Kraftgrößen kann ein Tragwerk auch durch Zwangslastfälle, wie Temperaturänderungen, Widerlagerverschiebungen, Schwinden und Kriechen, beansprucht werden.

2-2 Baustatik 1


2.1.2

Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)

Um die Wirkung der äußeren Kräfte und Momente auf das innere eines Körpers festzustellen, wird an der zu untersuchenden Stelle ein gedachter Schnitt durchgeführt. Soll der durch den Schnitt abgetrennte Körperteil mit seinen äußeren Kraftgrößen im Gleichgewicht bleiben, so müssen in der Schnittfläche innere Kraftgrößen (Schnittkräfte, Molekularkräfte) angreifen. Sie werden, auf die Flächeneinheit bezogen, als Spannungen bezeichnet und können je nach Art der äußeren Belastungen als Normalspannungen (Zug oder Druck) und Schubspannungen auftreten. Bei räumlich beanspruchten Biegestäben gibt es in der Schnittfläche eine Normaloder Längskraft N, zwei Querkräfte Qy und Qz, zwei Biegemomente My und Mz und ein Drill- oder Torsionsmoment Mx (MT). Diese inneren Kraftgrößen sind nach dem Wechselwirkungsgesetz (Reaktionsprinzip) für beide Seiten des Schnittes gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. In den meisten Lehrbüchern wird das in Abb. 2.1 gezeigte lokale Koordinatensystem verwendet, wobei x in Stablängsrichtung zeigt. Für die Vorzeichenregelung gilt: Eine Schnittkraftgröße ist positiv, wenn ihr Vektor auf der positiven (negativen) Schnittfläche eines Körpers in die positive (negative) Koordinatenrichtung weist. Eine positive (negative) Schnittfläche ist eine Fläche, deren Normale in Richtung der positiven (negativen) x-Achse weist. τ

dA

xz

τ

xy σ

Q

N y

x Q

M y

x

z

M

y M

x

= M

T

positive Schnittfläche z z

Abb. 2.1 Innere Kraftgrößen und Spannungen.

Die Spannungsresultierenden sind dabei:

Baustatik 1 2-3

2


N =

³ σ x dA

Qy =

A

³

τ xy dA

My =

A

Qz =

³

³

zσ x dA

A

τ xz dA

Mz = –

A

³

yσ x dA

A

Mx = MT =

³ ( – z τxy + yτxz ) dA A

Die Koordinaten x, y und z werden so gewählt, daß die Integrale

³

³

y dA ,

A

z dA und

A

³

yz dA

A

zu Null werden, dh. die x-Achse in die Schwerpunktsachse fällt. Die Trägheitsmomente ergeben sich damit zu Iy =

³z

2

dA und I z =

A

³

2

y dA

A

und das Zentrifugalmoment zu I yz =

³

yz dA .

A

Bei ebener Biegung um die y-Achse ist σx (von nun an nur mehr mit σ bezeichnet) konstant in y-Richtung und es gibt nur vertikale Schubspannungen τxz (kurz τ). In der Schnittfläche gibt es eine Normalkraft N, eine Querkraft Q und ein Biegemoment M.

2-4 Baustatik 1


Vorzeichenregelung bei ebener Biegung: +M

+M +N

+N Kennfaser

+Q

+Q σ(z)

x

τ(z)

z

Abb. 2.2 Innere Kraftgrößen und Spannungen bei ebener Biegung.

Die Spannungsresultierenden sind nunmehr: N =

³ A

σ dA ,

Q =

³ A

τ dA

und

M =

³ zσ dA

.

A

Schnittkraftgrößen sind Doppelkraftgrößen in fiktiven Schnitten. Sie sind für beide Seiten des Schnittes paarweise gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

Baustatik 1 2-5

2

Grundlagen Verformungsbedingungen (Kinematik)

2.2 Verformungsbedingungen (Kinematik) 2.2.1 Verträglichkeit (Kompatibilität) Tragwerke können als miteinander verbundene Scheiben gedeutet werden. Die Verformungen einer Scheibe (Kontinuum) müssen kontinuierlich sein.

ϕ

k' i'

x,u

wi

k

i

ϕ

ϕ i

k

z,w ui

Abb. 2.3 Verträglichkeit im Kontinuum.

Für Stabtragwerke gilt: y Kontinuität der Stäbe:

Kurvenkontinuität Neigungskontinuität

keine Verformungssprünge keine Verformungsknicke

∆δ

Bei Sprung: Bei Knick

∆ϕ

Bruchmechanik Plastizität

y Kontinuität der Knoten: In biegesteifen Knoten müssen die Endverformungen aller mit dem Knoten verbundenen Stäbe gleich sein. Kompabilitätsbedingung für Fachwerke: Fachwerkstäbe, die vor einer Verformung δ miteinander verbunden sind, müssen auch nach dieser Verformung δ miteinander verbunden bleiben (s. Abb. 2.4).

2-6 Baustatik 1


Verlängerung AC C

Verkürzung BC

δ

C

ursprüngliche Lage C' A

verformte Lage B

Abb. 2.4 Kontinuitätsbedingung beim Fachwerk.

2.2.2

Normalhypothese nach Bernoulli Belasteter Balken:

dx x

z

dx Verformtes Balkenelement: w’ dw’ w’ + --------- ⋅ dx dx

z

w’ ⋅ z

dw’ (w’ + --------- ⋅ dx ) ⋅ z dx

Auch im verformten Zustand sind die Normalen auf die Stabachse eben und normal zur Achse. Dies ist eine Vereinfachung der Wirklichkeit und ergibt sich

Baustatik 1 2-7

2


aus der Annahme, daß die Schubverzerrungen im Querschnitt eines schlanken Biegeträgers (h < L/4) vernachlässigbar klein sind. Die Hypothesen, die diesbezüglich aufgestellt hat, lauten: 1) Querschnitte, die vor einer Verformung normal zur Stabachse stehen, bleiben dies auch nach der Verformung. 2) Ebene Querschnitte bleiben auch nach einer Verformung eben. Verformtes Stabelement:

verkrümmte Stabachse

Annahme von Bernoulli:

verkrümmte und schub verformte Stabachse

Wirklichkeit:

Abb. 2.5 Verformtes und unverformtes Element eines ebenen, geraden Stabes

Unter der Annahme, dass die Querschnitte nach der Verformung eben und normal zur Schwerachse bleiben, ist die Verlängerung der Faser: dw’ dw’ du = w’ ⋅ z – (w’ + ---------- ⋅ dx ) ⋅ z = – ---------- ⋅ dx ⋅ z = – w’’ ⋅ dx ⋅ z dx dx Die Dehnung ist daher: du ε = ------ = – w″ ⋅ z dx 1 – w″ = κ = ---R Die zweite Ableitung der Biegelinie ist die negative Krümmung des Trägers: - w’’ = κ Das Hooke’sche Gesetz sagt aus, daß sich die Spannungen proportional zu den Dehnungen verhalten: σ = E⋅ε Setzt man für die Dehnung obigen Ausdruck ein, erhält man σ = – E ⋅ w″ ⋅ z Die Normalspannung σ ist also über die Querschnittshöhe linear verteilt.

2-8 Baustatik 1


Berechnung des resultierenden Moments

Resultierende Kraft auf dA ( σ ( z ) ⋅ dA ) ⋅ z

dA

z

dz σ(z)

M =

³ ( σ ( z ) ⋅ dA ⋅ z )

=

A

³ –( E ⋅ w″ ⋅ z dA ) 2

A

M = – E ⋅ w″ ⋅ ³ ( z ⋅ dA ) = –E ⋅ I ⋅ w″ 2

° ® ° ¯

A

I M = –E ⋅ I ⋅ κ

2.2.3

Das Moment ist proportional zur Krümmung!

Randbedingungen

Bei den Auflagern werden je nach Art des Auflagers die Verschiebungen und Verdrehungen der Stäbe zu Null oder einem vorgeschriebenen Wert gesetzt.

2

3

u3 = 0

ϕ x,u

z,w

1

u1 = 0 w1 = 0 ϕ1=0

4

u4 = 0 w4 = 0

Abb. 2.6 Auflagerbedingungen.

Baustatik 1 2-9

2


2.2.4 Krümmung ebener Kurven ∆x x,u

t0

∆ϕ ∆s

dx ϕ

∆z

P1

Rechtskurve (positive Krümmung)

ds

z,w

P0

dz

t1

Abb. 2.7 Ebene Kurve.

Krümmung:

∆ϕ dϕ κ = lim ------- = -----ds ∆s → 0 ∆s ∆s 2 2 2 1. Näherung: ∆s = ∆x + ∆z ------- = ∆x

∆z 1 + §© -------·¹ ∆x

2

ds∆s- = ----lim -----dx ∆x → 0 ∆x dz ds ∆z lim ------- = ------ = z′ ------ = dx dx ∆x → 0 ∆x

1 + z′

2

z′ = tan ϕ ϕ = arc tan z′ 1 dϕ d------ = ----( arc tan z′ ) = ---------------- ⋅ z″ 2 dx dx 1 + z′ § z″ · ¨ ----------------2¸ © 1 + z′ ¹ dϕ dϕ ⁄ dx------------------------------------------= = κ = ds ds ⁄ dx 2 1 + z′

Krümmung einer Kurve in einem beliebigen Punkt:

z″ κ = ± --------------------------2 3⁄2 ( 1 + z′ )

In der xz-Ebene ist die Krümmung κ bei Rechtskurven positiv, bei Linkskurven negativ. Die Krümmung κ einer geraden Stabachse infolge der Durchbiegung w ist somit:

2-10 Baustatik 1

Grundlagen Werkstoffgesetze

w″ κ = ± ----------------------------- ≈ ± w″ 2 3⁄2 ( 1 + w′ ) In dem mathematischen Ausdruck der Krümmung κ ist wegen der Voraussetzung, daß die Verformungen sehr klein sind, in der Regel der Einfluß aus der Verdrehung sehr klein; man kann diesen Wert gegenüber 1 vernachlässigen: 2

( w′ « 1 ) . Daraus folgt die lineare Beziehung: κ = ± w″ . Sonderfall:Krümmung eines Kreises: r ⋅ dϕ = ds dϕ 1 κ = ------ = --- = ± w″ ds r

2.3 Werkstoffgesetze Die Werkstoffgesetze geben den Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen eines Querschnitts an.

2.3.1

Hooke´sches Gesetz

veröffentlichte 1678 das Gesetz, daß der Spannungsund der Verzerrungszustand in einem Körper voneinander linear abhängig sind. Das Hooke’sche Gesetz gilt für linear elastische Werkstoffe. σ

Für den einachsigen Spannungszustand eines schlanken Biegestabes ( h < L / 4 ) gilt: tan α = E 0

linear elastisch

ε

Normalspannung:

σ = ε⋅E

Schubspannung:

τ = γ⋅G

Baustatik 1 2-11

2


E G = -------------------2(1 + ν)

...

Schubmodul (nur gültig bei isotropen Werkstoffen) G = 8·107 kN/m2

Stahl: E

...

Elastizitätmodul E = 2,06·108 kN/m2

Stahl: ν

...

Querdehnungszahl, Querkontraktionszahl 0 < ν < 0,50

für elastische Stoffe: Beton (Zug):

ν = 0,10 - 0,125

Beton (Druck):

ν = 0,16 - 0,20

Stahl, Eisen:

ν = 0,30

Glas:

ν = 0,24

Blei:

ν = 0,43 ν = 0,50 z.B.: Gummi, Wasser

für plastische Stoffe: ε

...

Längsdehnung

γ

...

Schubverzerrung

2.3.2 Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl σ

σ

wirklicher Bruchverlauf

Höchstlast

Einschnürung

B

σ F σ E

Bruch Wiederverfestigung Fließbereich

σ B ... Bruchspannung σ F ... Fließspannung

tan α = E 0

Bruchdehnung

ε

ε

σ E ... Elastizitätsspannung

B

Abb. 2.8 Schematische “Arbeitslinie“ eines naturharten Baustahls.

2-12 Baustatik 1


2.3.3

Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Diagramme

ε 0 nichtlinear elastisch

linear elastisch mit Verfestigung σ

σ

ε 0 ideal (voll) plastisch

ε

0

0

linear elastisch ideal plastisch

ε

Abb. 2.9 Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Diagramme.

2.3.4

Voraussetzungen für lineare Statik

Bei Werkstofflinearität und geometrischer Linearität sind die im Tragwerk auftretenden Schnittkraftgrößen, Spannungen, Verformungen, Verzerrungen und Auflagerreaktionen proportional zu den Belastungen (lineare Funktion der Belastungen). Es gilt das Superpositionsgesetz (Überlagerungsgesetz), d.h. die Einflüsse einzelner Belastungen können getrennt ermittelt und danach addiert werden. a) Werkstofflinearität: Die Belastungen müssen im elastischen Bereich des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes liegen, d.h. das Hooke´sche Gesetz ist anwendbar. Z.B. in der Ebene: σ = ε⋅E τ = γ⋅G E, G ...

konstant

Baustatik 1 2-13

2


b) Geometrische Linearität: Die Geometrie des Tragwerkes ist von Art und Größe der Belastungen unabhängig, d.h. die Gleichgewichtsbedingungen können am unverformten Tragwerk aufgestellt werden. Die elastischen Verformungen sind sehr klein gegenüber den Abmessungen des Tragwerkes, d.h. die Längenänderungen ∆s sind vernachlässigbar klein gegenüber den Längen s, ebenso die Winkeländerungen ϕ. sin ϕ = tan ϕ = ϕ cos ϕ = 1

ϕ 1

Beispiel: Pz

A S1

x,u

w

S2

dα

α h

z,w

Gleichgewicht der Kräfte im Punkt A: Theorie I. Ordnung: S1

α

Pz

S2

Theorie großer Verformungen: S1 α – dα S2

2-14 Baustatik 1

h

Pz

Grundlagen Weggrößen eines ebenen Biegestabes

Theorie großer Verformungen - Durchschlagproblem: Pz Pz krit

linearer Verlauf (Theorie I. Ordnung) 0

h

w

2h

Abb. 2.10 Kraft-Verformungs-Diagramm.

Bei der Theorie großer Verformungen (nichtlineare Statik) müssen die Gleichgewichtsbedingungen am verformten Tragwerk aufgestellt werden. In diesem Fall gilt das Superpositionsgesetz nicht, die Bestimmung der Zustandsgrößen erfolgt iterativ.

2.4 Weggrößen eines ebenen Biegestabes 2.4.1

Äußere Weggrößen

Äußere Weggrößen sind Verformungen, wobei man darunter sowohl Verschiebungen als auch Verdrehungen versteht.

Pz

½ ° u ° ° ° {u} = ® w ¾ ° ° ° ϕ ° ¯ ¿

ϕ x,u

i ui wi

z,w

i'

ϕ

i

Abb. 2.11 Äußere Weggrößen.

Baustatik 1 2-15

2


Beispiel:

Starrkörperverforung

a

ϕ

k

i

x,u

δ

wi

z,w

ui

δ w k uk k

ϕ k'

i

a sin ϕ ≈ aϕ

ϕ

i'

a cos ϕ ≈ a

Abb. 2.12 Starrkörperverformung eines ebenen, geraden Stabelementes.

Mit geometrischer Linearität sin ϕ = ϕ und cos ϕ = 1 folgt für eine Starrkörperbewegung:

½ ° u ° ° ° { u }k = ® w ¾ = ° ° ° ϕ ° ¯ ¿

1

0 0

0

1 –a

0

0 1

k

½ ° u ° ° ° ⋅® w ¾ ° ° ° ϕ ° ¯ ¿

i

{ u } ... äußere Weggrößen, kinematische Freiheitsgrade Verzerrungsfreie Verformungen werden als Starrkörperverformungen be-zeichnet.

2.4.2 Innere Weggrößen (Verzerrungen) Jede Schnittkraftgröße besitzt eine zugehörige innere Weggröße:

2-16 Baustatik 1

Normalkraft N

...

Längsdehnung εN

Querkraft Q

...

Schubverzerrung γ

Biegemoment M ...

Krümmung κM


a) Ebener, gerader Stab mit reiner Längsdehnung (Normalkraft): Verschiebung: du = ε N ⋅ dx du Längsdehnung: ε N = ------ = u′ dx N Normalspannung: σ N = ---A σ

h

N

N

N

dx

du

x,u,σ

Normalspannungsverlauf

z,w

Abb. 2.13 Ebenes, gerades Stabelement nur mit Normalkraft belastet.

Für die Normalkraft N erhält man: N =

³ A

σ N dA =

³

ε N E dA = ε N E

A

N ε N = u′ = -------EA

³ dA = εN EA A

EA ... Dehnsteifigkeit

Positive Dehnungen ε werden als Dehnungen, negative als Stauchungen bezeichnet. b) Ebener, gerader Stab mit reiner Biegung (Biegemoment): Verschiebung

mit

du(z) ⁄ 2 dϕ tan § ------· = -------------------© 2¹ z

dϕ dϕ tan §© ------·¹ ≈ -----2 2 folgt du(z) = z ⋅ dϕ

Baustatik 1 2-17

2


negative Krümmung (Linkskurve) r

dϕ

M

z

M

Normalhypothese (Bernoulli)

Abb. 2.14 Biegemomentenverformung

Verformungsannahme:

Normalspannungsverlauf:

dϕ r

linearer Verlauf (Hooke)

h

M

M

neutrale Achse, Nullinie x,u,σ σ(z) M

z

dϕ -----2 du(z)/2

dx

z,w

Abb. 2.15 Ebenes, gerades Stabelement, durch ein Biegemoment belastet.

Längsdehnung:

du(z) dϕ ε(z) M = ------------- = z ⋅ -----dx dx

Krümmung:

1 dϕ κ M = --- = ------ = – w″ r dx ----- ⋅ z σ(z) M = M I

Normalspannung:

Für die Schnittkraft M erhält man: M =

³ σ(z)M ⋅ z dA A

2-18 Baustatik 1

=

³ ε(z) M ⋅ E ⋅ z dA A

=

³ z ⋅ κM ⋅ E ⋅ z dA A


= κM ⋅ E

³

2

z dA = κ M ⋅ EI

A

EI ... Biegesteifigkeit M κ M = – w″ = ------ . EI Für die Dehnung bzw. Stauchung ergibt sich daher: dϕ ε(z) M = z ⋅ ------ = z ⋅ κ M = – z ⋅ w″ dx M ε(z) M = u′ = ------ ⋅ z . EI c) Ebener, gekrümmter Stab mit reiner Biegung (Biegemoment):

Normalhypothese (Bernoulli)

M

dϕ dϕ + ∆dϕ

M

Abb. 2.16 Wirkliche Biegemomentenverformung

Baustatik 1 2-19


r

c

h

dϕ

x

2

z

dϕ + ∆dϕ

M

M

∆dϕ ----------2 Nullinie dx

∆ds(z) ---------------2

ds(z)

Abb. 2.17 Verformungsannahme

Die Nullinie geht nicht mehr durch die Schwerpunktsachse, sondern hat einen Abstand c von dieser. dϕ 1 --- = -----r dx

Ursprüngliche Krümmung:

∆dϕ κ M = ----------dx

Krümmungsänderung:

∆ds(z) ε(z) M = ---------------ds(z)

Längsdehnung:

∆ds(z) ≅ ( c + z )∆dϕ

( c + z )∆dϕ c+z ε(z) M = --------------------------- = ----------- r ⋅ κ M ( r + z )dϕ r+z

hyperbolischer Verlauf Nullinie x σ(z) M

x

z

Abb. 2.18 Normalspannungsverlauf

2-20 Baustatik 1


Normalspannung: M =

c+z σ(z)M = ε(z)M ⋅ E = ----------- r ⋅ κ M ⋅ E r+z

³ σ(z)M ⋅ z dA

=

A

³

c---------+ zr ⋅ κ M ⋅ E ⋅ z dA r+z

A

§ = κM ⋅ E ¨ c © mit

³

³ A

2 · rz rz ----------- dA + ³ ----------- dA¸ r+z r+z ¹ A

σ(z) M dA = 0

c

A

und

³ A

2

z - dA = α ⋅ I ----------z-r+1

Nach weiteren Entwicklungen (siehe Flügge, W.: Festigkeitslehre. Berlin - Heidelberg - New York : Springer 1967, Seite 196) erhält man folgende Ergebnisse: I rα ---A c = --------------------2 I r + α ---A

M § αI · κ M = ---------- ¨ 1 + -------- ¸ 2 αEI © r A¹

2 M §α I rz · σ(z) M = ------ ¨ -------- + ----------- ¸ αI © rA r + z ¹

Der Normalspannungsverlauf ist nicht mehr geradlinig, sondern folgt einer Hyperbel. Für r = ∞ ergeben sich die Normalspannungen des geraden Stabes. Bereits bei verhältnismäßig kleinen Verhältnissen von r / h ( > 5 ) fällt die Nulllinie fast mit der Schwerpunktsachse zusammen und die Normalspannungsverteilung verläuft nahezu geradlinig, d.h. die Normalspannungen können in guter Näherung nach der Theorie des geraden Stabes berechnet werden.

Baustatik 1 2-21

2


d) Ebener, gerader Stab mit reinem Schub (Querkraft):

Parabel

dw h y,v

z

Q

γ

b

x,u,τ

Q

τ(z) max

dx

τ

max

= 3Q ------2A

z,w

z,w

Abb. 2.19 Wirkliche Querkraftverformung (Verwölbung) beim Rechteckquerschnitt γ h y,v

z

b z,w

Q

dw x,u,τ

Q γ

τ

dx

0 τ = Q ---0 A

z,w

Abb. 2.20 Verformungsannahme und Spannungsverlauf

Schubspannung:

Q ⋅ S(z) τ(z) = ------------------I ⋅ b(z)

(siehe VO Festigkeitslehre!)

I...Trägheitsmoment des Gesamtquerschnittes um die y-Achse Das statische Flächenmoment der abgetrennten Querschnittsfläche um die y-Achse ergibt sich zu: S(z) =

³ z dA A

Die Schubspannung τ(z) nimmt parabolisch vom Rand bis zur Schwerpunktsachse von Null auf den maximalen Wert τmax zu. Proportional zu τ(z) verläuft die entstehende Schubverzerrung γ(z), die die Verwölbung der ursprünglich ebenen Querschnittsfläche erzeugt. Es entsteht eine s-förmige Querschnittsverformung. Aus der Näherung, daß die Schubverzerrung γ(z) für alle Querschnittsfasern als gleich vorausgesetzt wird, ergibt sich eine Parallelverschiebung beider Schnittufer

2-22 Baustatik 1


in z-Richtung. Die Verwölbung des Querschnitts wird auf diese Weise vernachlässigt, dh. der Querschnitt bleibt eben. g.L. dw = tan γ ⋅ dx = γ ⋅ dx

Verschiebung:

(wegen geom. Linearität)

Mittlerer Schub- bzw. Gleitwinkel, Schubverzerrung: dw Q γ = ------- = w′ = ------------------dx a Q ⋅ GA

AQ = aQ ⋅ A

Q γ = w′ = -----------GA Q GAQ ... Schubsteifigkeit AQ

... effektive Schubfläche

Aus dem Vergleich der inneren Formänderungsarbeiten der wirklichen Schubspannung τ(z) mit der angenommenen mittleren Schubspannung τ0 folgt mit dem Hooke´schen Gesetz der Schubbeiwert (Herleitung siehe Abschnitt 2.5.3 c): 2

aQ

I = -----------------------------------------2 S(z) § · A ³ © ---------- ¹ dA b(z) A

Rechteckquerschnitt:

aQ ≈ 5 ⁄ 6

Kreisquerschnitt:

aQ ≈ 6 ⁄ 7

Stahlträger:

a Q ≈ A Steg ⁄ A a Q < 1,0

Der Schubbeiwert aQ gleicht die Folgen aus dem Unterschied der wirklichen Schubspannungsverteilung τ(z) zur mittleren Schubspannung τ 0 = Q ⁄ A Q aus.

Baustatik 1 2-23

2


e) Ebener, gerader Stab mit reiner Längsdehnung (gleichmäßige Temperaturänderung): Temperaturverlauf:

x,u,T

h

dx

Tm

du

Tm bei Erwärmung positiv

z,w

Abb. 2.21 Ebenes, gerades Stabelement mit gleichmäßiger Temperaturänderung

Verschiebung:

du = ε T ⋅ dx

Längsdehnung:

du ε T = ------ = u′ dx ε T = u′ = α T ⋅ T m

αT

...

Wärmeausdehnungszahl –5

Stahl:

α T = 1,2 ×10 /°C

Beton:

α T = 1,0 ×10 /°C

–5

Temperaturänderungen erzeugen in statisch bestimmten Tragwerken keine inneren Kraftgrößen oder sonstige Beanspruchungen sondern lediglich Verformungen der Tragwerkselemente. f) Ebener, gerader Stab mit reiner Biegung (ungleichmäßige Temperaturänderung): Unter der Voraussetzung, daß die Temperaturdifferenz zwischen den äußeren Querschnittsfasern einen linearen Verlauf besitzt, ergeben sich analog dem Biegemoment (siehe Abschnitt b) folgende Ergebnisse: Verschiebung:

du(z) = z ⋅ dϕ

Längsdehnung:

du(z) dϕ ε(z)T = ------------- = z ⋅ -----dx dx ∆T ε(z)T = α T ⋅ T(z) = α T ⋅ ------- ⋅ z h

2-24 Baustatik 1


: Temperaturverlauf: dϕ r

To

Abkühlung neutrale Achse, Nullinie x,u,T

h dϕ -----2

T(z)

z

Erwärmung Tu

du(z)/2

dx

∆T = T – T u o

z,w

Abb. 2.22 Verformungsannahme bei ungleichmäßiger Temperaturänderung

Die Krümmung ergibt hier: 1 dϕ κ T = --- = ------ = – w″ r dx ------κ T = – w″ = α T ⋅ ∆T h Die Verzerrungen folgen damit zu: dϕ ε(z) T = z ⋅ ------ = z ⋅ κ T = – z ⋅ w″ dx ∆T ε(z) T = u′ = α T ⋅ ------- ⋅ z h g) Zusammenfassung der inneren Weggrößen beim ebenen, geraden Stab: Das Ebenbleiben der Querschnitte wird vorausgesetzt (Bernoulli) ! N M ∆T ε = ε N + ε(z) M + ε T + ε(z) T = -------- + ------ ⋅ z + α T ⋅ T m + α T ⋅ ------- ⋅ z EA EI h

+

M∆T § -----------· © EI + α T ⋅ h ¹ ⋅ z

° ° ° ® ° ° ° ¯

N------+ αT ⋅ Tm EA ° ° ® ° ° ¯

ε = u′ =

konstanter Anteil

veränderlicher Anteil

Baustatik 1 2-25

2


Q γ = w′ = -----------GA Q und mit κ = κ M + κ T für die Krümmung: M ∆T κ = ϕ′ = – w″ = ------ + α T ⋅ ------EI h

2.4.3 Kinematische Beziehungen Die kinematischen Beziehungen beschreiben den Zusammenhang zwischen inneren und äußeren Weggrößen eines Stabelementes. Im folgenden werden sie für ein ebenes, gerades Stabelement abgeleitet.

Längsdehnung:

du ε = ------ = u′ dx

Die zweite kinematische Beziehung zeigt Abb. 2.23. ϕ beschreibt darin die Verdrehung der ursprünglich horizontalen Stabachse infolge einer reinen Biegung (Biegemoment und/oder ungleichmäßige Temperaturänderung). -dw/dx dagegen gibt die Gesamtverdrehung der Stabachse an, die von ϕ gerade um die Schubverzerrung γ abweicht. ------- = ϕ – γ – dw dx Schubverzerrung:

Krümmung:

2-26 Baustatik 1

dw γ = ------- + ϕ = w′ + ϕ dx dϕ κ = ------ = – w″ dx


ϕ u

x,u

unverformtes Stabelement

z,w dx

verkrümmte Stabachse

w verkrümmte und schubverformte Stabachse

ϕ

verformtes Stabelement

dw – ------dx γ

γ

dw+ϕ = –--------dx

Achtung:

Abb. 2.23 Kinematische Beziehung eines ebenen, geraden Stabelementes.

{ε} = [D] ⋅ {u}

½ ° ε ° ° ° ® γ ¾ ° ° ° κ ° ¯ ¿ Verzerrungen

2.4.4

=

d -----dx

0

0

0

d -----dx

1

0

0

d -----dx

⋅

½ ° u ° ° ° ® w ¾ ° ° ° ϕ ° ¯ ¿ Verformungen

Hooke´sches Gesetz

Das Hooke’sche Gesetz beschreibt den linearen Zusammenhang von inneren Kraftgrößen zu inneren Weggrößen, wie er für linear elastische Materialien gilt. {S} = [E] ⋅ {ε}

Baustatik 1 2-27

2

Grundlagen Formänderungsarbeiten

½ ° N ° ° ° ® Q ¾ = ° ° ° M ° ¯ ¿

EA 0

0

0

GA Q 0

0

0

EI

° ε ° N ° ⋅® γ ° ° κ ° M ¯

½ ° ° ° ¾ ° ° ° ¿

2.5 Formänderungsarbeiten 2.5.1 Arbeit Definition der Arbeit: Die Arbeit ist das Skalarprodukt eines Kraftgrößenvektors mit dem dazugehörigen Weggrößenvektor. Die Arbeit ist positiv, wenn Kraft und Verschiebung die gleiche Richtung besitzen. Die Arbeit wird in der Statik als Formänderungsarbeit bezeichnet, wobei zwischen Eigenarbeit und Verschiebungsarbeit unterschieden wird. Verschiebt sich der Angriffspunkt einer Kraft P auf ihrem Weg u, so wird eine Arbeit W geleistet. Ihr Zuwachs auf dem Wegelement du beträgt: dW = P ⋅ du. Durch Integration ergibt sich die Arbeit zu: u2

W =

³ ( P ⋅ du )

u1

Arbeit einer Kraft: duP P α

Weg du

2-28 Baustatik 1

dW = P ⋅ du = P ⋅ du ⋅ cos α = P ⋅ du P u2

W =

³

u1

P du P


Für ein Kräftepaar mit dem Moment M gilt, analog den obigen Beziehungen: ϕ2

W =

³ϕ M ⋅ cos α dϕM 1

Arbeit eines Moments: dW = M ⋅ dϕ = M ⋅ dϕ ⋅ cos α = M ⋅ dϕ M

M

ϕ2

dϕ

W =

α

ϕ1

Rotation dφ

2.5.2

³ M ⋅ dϕ M

Äußere Formänderungsarbeit

Die äußere Formänderungsarbeit W(ä) ist die Arbeit, die die äußeren Kräfte bei der Verschiebung ihrer Lastangriffspunkte und die äußeren Momente bei der Verdrehung der den Angriffspunkten benachbarten Querschnitte leisten.

W

(ä)

+³

b a

ui

³0

=

P xi du i + ³

wi

P zi dw i + ³

0

u

w

ϕ

0

0

0

ϕi 0

M i dϕ i

§ · © ³ q x du + ³ q z dw + ³ m dϕ¹ dx qz Pzi

ϕ

i

a Pxi

z,w

ui

m

b x,u

ub Mi

qx

wi

wb ϕ

a'

ϕ i'

i

b

b'

Abb. 2.24 Kinematisch verträglicher Weggrößenzustand eines ebenen, geraden Stabelements unter Belastung.

Baustatik 1 2-29

2


1. Äußere Eigenarbeit (aktive Arbeit): (ä)

Die äußere Eigenarbeit W ist die Formänderungsarbeit, die von den äußeren Kraftgrößen Pi auf den durch sie selbst hervorgerufenen elastischen Verformungswegen δi geleistet wird. Für lineare Systeme ergibt sich der in Abb. 2.25 dargestellte Zusammenhang zwischen Last und Verformung. P P = C⋅δ Pi dW

P .......... allgemeine äußere Kraftgröße

(ä)

C.......... Federsteifigkeit δ .......... allgemeine Verformung

0

dδ

δ

ii

δ ii

Abb. 2.25 Linear elastisches Kraftgrößen-Verformungs-Diagramm.

Die Federsteifigkeiten C sind Proportionalitätsfaktoren, d.h. die äußeren Weggrößen (Verformungen) δ sind linear abhängig von den äußeren Kraftgrößen P. Wenn eine äußere Kraftgröße Pi nach dem linearen Kraftgrößen-Verformungs-Diagramm proportional zu der am Punkt i in Richtung der Kraft i auftretenden äußeren Weggröße δii ansteigt, ergibt sich die äußere Eigenarbeit der Kraftgröße Pi zu: δ ii

W

(ä)

=

³

1 P i dδ ii = --- P i ⋅ δ ii . 2

0

Z.B. beim Einfeldträger: Pzi

x,u

i wii

z,w

Ort

Ursache

Allgemein gilt für äußere Kraftgrößen: Kraftgröße × Weggröße Äußere Eigenarbeit = --------------------------------------------------------2

2-30 Baustatik 1


2. Äußere Verschiebungsarbeit (passive Arbeit): (ä) Die äußere Verschiebungsarbeit W * ist die Formänderungsarbeit, die auf den Verformungswegen i geleistet wird, die durch andere äußere Kraftgrößen und Zwangslasten (Temperaturänderungen, Widerlagerverformungen, Schwinden und Kriechen usw.) k hervorgerufen wird.

Beispiel 2.1: Einfeldträger Pzi i

x,u z,w

Pzk k

wii wik Ort

Ursache

wkk

Der linear elastische Einfeldträger wird zuerst mit der Kraft Pzi belastet, Pzi leistet die äußere Eigenarbeit W

(ä)

--- P zi ⋅ w ii . = 1 2

Danach wird die Kraft Pzk aufgebracht, wobei Pzk die äußere Eigenarbeit W

(ä)

--- P zk ⋅ w kk = 1 2

leistet. Im Angriffspunkt i von Pzi erzeugt Pzk die Durchbiegung wik, Pzi wird mitverschoben und leistet während dieser Verschiebung die Verschiebungsarbeit W*

(ä)

=

³

w ik

P zi dw ik . 0

Bei der Integration über wik ist die Kraft Pzi konstant, d.h. W*

(ä)

= P zi ⋅ w ik ,

bzw. Äußere Verschiebungsarbeit = Kraftgröße × Weggröße

Baustatik 1 2-31

2


Die äußere Verschiebungsarbeit einer in voller Größe aufgebrachten äußeren Kraftgröße auf eine äußere Weggröße, die eine andere Ursache hat, ist gleich dem vollen Produkt aus Kraftgröße und fremderzeugter Weggröße.

P

Pi P .......... allgemeine äußere Kraftgröße

(ä) W* = P ⋅δ i ik 0

δ .......... allgemeine Verformung δ

δ ik

Abb. 2.26 Konstantes Kraftgrößen-Verformungs-Diagramm.

Im Gegensatz zur Eigenarbeit fehlt bei der Verschiebungsarbeit der Faktor 1/2, da die äußere Kraftgröße Pi von Beginn der Verformung δik in voller Größe vorhanden ist und sich nicht erst den Verformungsweg selbst erzeugen muß. Deshalb wird die Eigenarbeit auch als aktive Arbeit und die Verschiebungsarbeit als passive Arbeit bezeichnet. Die äußere Formänderungsarbeit (Eigenarbeit und Verschiebungsarbeit) der Kraft Pzi beträgt für Beispiel 1: W

(ä)

= W

(ä)

+ W*

(ä)

1 = 1 --- P zi ⋅ w ii + P zi ⋅ w ik = P zi ( --- w ii + w ik ) 2 2

Pz

0

° ° ® ° ° ¯ ® ¯

Pzi

wii

w

wik

Abb. 2.27 Elastisches Kraft-Durchbiegungs-Diagramm für Beispiel 1.

2-32 Baustatik 1


Beispiel 2.2: Pzi i

x,u

wii

z,w

w

i∆T (ä)

Pzi belastet

W

Temperaturverbiegung

W*

--- P zi ⋅ wii = 1 2

(ä)

= P zi ⋅ w i∆T

... Eigenarbeit ... Versch.-Arbeit

Die äußere Formänderungsarbeit der Kraft Pzi beträgt: W

2.5.3

(ä)

= W

(ä)

+ W*

(ä)

--- w ii + w i∆T·¹ = P zi §© 1 2

Innere Formänderungsarbeit

Erfährt ein Körper eine Verformung, so leisten die inneren Kraftgrößen längs ihrer Verzerrungswege eine innere Formänderungsarbeit W(i). Die innere Formänderungsarbeit wird auch als Arbeit der Molekularkräfte (Spannungen) im Körper bezeichnet. Die Modelle (Abb. 2.28, Abb. 2.29, Abb. 2.30) zeigen deutlich, daß die Molekularkräfte gegen die Verformung wirken, d.h. die innere Formänderungsarbeit ist eine negative Arbeit. a) Ebener, gerader Stab mit reiner Längsdehnung (Normalkraft): Siehe Abschnitt 2.4.2 a) und Abb. 2.13 !

Baustatik 1 2-33

2


h

N

x,u

N

dx

du

z,w

Abb. 2.28 Modell der inneren Formänderungsarbeit bei einer Normalkraftbeanspruchung.

dW

(i)

= –

³ σN du dA

= –

A

³

N ---- ε dx dA = – N ---- ε A A

A

W

(i)

= –

³ dA dx A

³ N ε dx

b) Ebener, gerader Stab mit reiner Biegung (Biegemoment): Siehe Abschnitt 2.4.2 b) und Abb. 2.15 ! dϕ

h

M

M

x,u

dx z,w

Abb. 2.29 Modell der inneren Formänderungsarbeit bei Biegebeanspruchung.

dW

(i)

= –

³A σ(z)M

----- z z dϕ dA = du(z) dA = – ³ M A I

2 2 ----- κ ³ z dA dx ----- ³ z κ dx dA = – M = –M I A I A

2-34 Baustatik 1


W

(i)

³ M κ dx

= –

c) Ebener, gerader Stab mit reinem Schub (Querkraft): Siehe Abschnitt 2.4.2 d) und Abb. 2.20 ! Die Schubverzerrung γ wird über die Querschnittshöhe als konstant vorausgesetzt. Ihre Ursache sei eine mittlere Schubspannung Q τ(z) = τ 0 = ---A dW

(i)

= –

³ τ(z) dw dA

³

= –

A

A

W

(i )

= –

Q ---- γ dx dA = – Q ---- γ A A

³ dA dx A

³ Q γ dx dw

h

x,u

Q Q

dx z,w

Abb. 2.30 Modell der inneren Formänderungsarbeit bei einer Querkraftbeanspruchung

Die Annahme von einer konstanten Schubverzerrung γ ist eine kinematische Näherung. Die geleistete innere Formänderungsarbeit beträgt nach dieser Annahme: dW

(i)

2

Q · = – Q γ dx = – --------------- dx a Q GA

Die einzelnen Schubspannungen τ(z) (sie sind nicht konstant) leisten aber tatsächlich die innere Formänderungsarbeit:

Baustatik 1 2-35

2


dW

(i)

= –

³

τ(z) dw(z) dA = –

A

2

τ(z) τ(z) γ(z) dx dA = – ³ ------------- dA dx G

³ A

dW

A

2

Q = – -------2 GI

(i)

³

2 § S(z) · dA dx --------© b(z) ¹

A

Die beiden inneren Formänderungsarbeiten dW(i) müssen gleich groß sein. Durch Gleichsetzen der beiden Arbeiten erhält man die Formel für den Schubbeiwert: 2

2

Q Q – --------------- dx = – -------2 a Q GA GI

³

2 § S(z) · dA dx --------© b(z) ¹

A 2

aQ

I = -----------------------------------------2 S(z) § · A ³ © ---------- ¹ dA b(z) A

d) Zusammenfassung der inneren Formänderungsarbeit beim ebenen Verzerrungszustand eines Stabes: a

b

x,u

dx b

W

(i)

= –

§ ¨ ©

ε

³ ³ a

γ

κ

0

0

· N dε + ³ Q dγ + ³ M dκ¸ dx ¹

0

1. Innere Eigenarbeit (aktive Arbeit): S

Si dW

dSi

S ...

(i)

allgemeine innere Kraftgröße

ε ... allgemeine Verzerrung 0

dε

ii

ε

ε ii

Abb. 2.31 Linear elastisches Kraftgrößen-Verzerrungs-Diagramm.

2-36 Baustatik 1


b

W

(i)

§1

1

· dx

1

³ © --2- N εN + --2- Q γ + --2- M κM¹

= –

a

Mit dem Hooke´schen Gesetz ergibt sich für ebene, elastische Stäbe aus den inneren Kraftgrößen folgende innere Eigenarbeit: b

W

(i)

1 = – --2

³

2 § N2 Q - M2 · ----------------¨ + + ------- ¸ dx © EA GA Q EI ¹

a

EA

... Dehnsteifigkeit

GAQ

... Schubsteifigkeit

EI

... Biegesteifigkeit

Beispiel 2.3: Kragträger aus Stahl mit konstantem Querschnitt P P

x,u

h

Biegelinie L

b

z,w P N Q

-P - Px

- PL

M

Innere Eigenarbeit:

W

(i)

1 = – --2

L

³0

1 = – ----------2EA

2 § N2 Q - M2 · ----------+ ------- ¸ dx = ¨ -------- + © EA GA Q EI ¹ L

³0

2 E - ( –P )2 + A § P 2 + ------------ ( – Px ) · dx © ¹ Ga I Q

Baustatik 1 2-37

2


8 E2,06 ×10- ≈ 3 --------= --------------------Ga Q 7 --8 ×10 ⋅ 5 6

12 A bh ⋅ 12 ---- = ---------------= -----23 I h bh W

(i)

2

P = – ---------2EA

W

(i)

L

³0

§ 12 2· ¨ 1 + 3 + ------ x ¸ dx 2 © ¹ h

2 2 · P L- § 1 + 3 + 4L --------- ¸ = – ---------¨ 2 2EA © h ¹

Innere Eigenarbeit aus:

L/h

N

Q

M

5

1

3

100

10

1

3

400

20

1

3

1600

§ P2 L · -¸ × ¨ – ---------© 2EA ¹

BIEGESTÄBE: Bei den Biegestäben sind die Arbeitsanteile der Normalkräfte und Querkräfte im Verhältnis zum Arbeitsanteil der Biegemomente sehr klein und je größer das Verhältnis L / h der Biegestäbe wird, desto kleiner werden die Arbeitsanteile der Normalkräfte und Querkräfte im Verhältnis zum Arbeitsanteil der Biegemomente. Deshalb können die Arbeitsanteile der Normalkräfte und Querkräfte meistens vernachlässigt werden. Der Arbeitsanteil der Normalkräfte ist bei gedrungenen Biegestäben ( h > L / 4 ) und/oder dominanten Normalkräften zu berücksichtigen. Der Arbeitsanteil der Querkräfte darf in der Regel vernachlässigt werden. Ausnahme: sehr gedrungene Biegestäbe. Bei ebenen, elastischen Biegestäben vereinfacht sich daher die innere Eigenarbeit in den meisten Fällen auf die Form:

2-38 Baustatik 1


W

(i)

--= –1 2

¦ alle Stäbe

§ ¨ ©

L

2 · M ------- dx¸ EI ¹

³ 0

FACHWERKSTÄBE: Bei elastischen Fachwerkstäben treten als innere Kraftgrößen nur über die Stablänge konstante Normalkräfte auf, sodaß sich die innere Eigenarbeit vereinfacht auf die Form:

s

¦

=

--–1 2

³ 0

° ° ® ° ° ¯

alle Stäbe

2

N - ds ------EA

--–1 2

=

¦ alle Stäbe

§ N2 · ¨ -------- ⋅ s¸ © EA ¹

° ° ° ® ° ° ° ¯

W

(i)

Einzelstab

Fachwerk

2. Innere Verschiebungsarbeit (passive Arbeit): S

Si W

*( i )

S .......... allgemeine innere Kraftgröße

= S ⋅ε i ik

0

ε .......... allgemeine Verzerrung ε

ε ik

Abb. 2.32 Konstantes Kraftgrößen-Verzerrungs-Diagramm. b (i) W * = – ³ ( N i ⋅ ε Nk + N i ⋅ ε T + Q i ⋅ γ k + M i ⋅ κ Mk + M i ⋅ κ T ) dx a

Mit dem Hooke´schen Gesetz ergibt sich für ebene, elastische Stäbe aus den inneren Kraftgrößen folgende innere Verschiebungsarbeit: b

W*

(i)

= –

³

Qi Qk Mi Mk § Ni Nk ∆T · ¨ ------------ + N i ⋅ α T ⋅ Tm + ------------ + -------------- + M i ⋅ α T ⋅ ------- ¸ dx GA Q EI h ¹ © EA

a

Baustatik 1 2-39

2

Grundlagen Energiesätze

FACHWERKSTÄBE: Wie bereits erwähnt, treten bei elastischen Fachwerkstäben als innere Kraftgrößen nur Normalkräfte auf, sodaß sich die innere Verschiebungsarbeit vereinfacht auf die Form:

W*

(i)

¦

= –

alle Stäbe

§ N · i Nk ----------© EA ⋅ s + N i ⋅ α T ⋅ T m ⋅ s¹

2.6 Energiesätze 2.6.1 Energiesatz der Mechanik (Arbeitssatz) Für die Formänderungsarbeit W von einem durch Kraftgrößen im Gleichgewicht befindlichen Körper, längs kinematisch verträglicher Weggrößen, gilt: W = W

(ä)

+W

(i)

= 0

Der Energiesatz gilt nur bei unendlich langsamer Lastaufbringung und isothermen Prozessen für Tragwerke in der Form, daß die bei einer Belastung in ein Tragwerk hineingesteckte Arbeit bei dessen Entlastung wieder vollständig zurückgewonnen wird. Durch das Belasten (z.B. Aufziehen einer Uhrfeder) durch äußere Kraftgrößen wird die Arbeit W(ä) im System gespeichert. Diese Energie wird beim Entlasten (Entspannen der Uhrfeder) von den inneren Kraftgrößen als -W(i) wieder abgegeben.

2.6.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten Im Unterschied zur aktuellen ist virtuelle Arbeit eine gedachte Arbeit. Sie kann zu einem Nachweis des Gleichgewichts oder der Verträglichkeit herangezogen werden. a) Virtuelle Weggrößen - Gleichgewichtsnachweis: An einem starren Körper wird das Gleichgewicht nachgewiesen, wenn die äußere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige virtuelle Verformungen gleich Null wird (virtuelle Starrkörperverformungen).

2-40 Baustatik 1


δW * = δW *

(ä)

= 0

Beim starren Körper ist die innere virtuelle Verschiebungsarbeit der inneren aktuellen Kraftgrößen bei jeder beliebigen virtuellen Verformung gleich Null (verzerrungsfreie virtuelle Verformungen). An einem elastisch festen Körper wird das Gleichgewicht von aktuellen Kraftgrößen nachgewiesen, wenn die äußere und die innere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige, kinematisch verträgliche, virtuelle Weggrößen gleich Null wird. δW * = δW *

(ä)

+ δW *

(i)

= 0

Aktuelle Kraftgrößen:

Px, Pz, M, qx, qz, m

N, Q, M

Virtuelle Weggrößen:

Verf. δu, δw, δϕ

Verz. δε, δγ, δκ

Virtuelle Verschiebungsarbeit: b

δW * = P xi δu i + P zi δw i + M i δϕ i + ³ ( q x δu + qz δw + m δϕ ) dx – a

b

– ³ ( N δε + Q δγ + M δκ ) dx = 0 a

mit δN δε = -------- + α T ⋅ δT m EA

δQ δγ = -----------GA Q

δM ----------δκ = -------- + α T ⋅ δ∆T EI h

Eigenschaften der virtuellen Weggrößen: y klein im Vergleich zum Tragwerk y nur gedacht (virtuell), nicht wirklich vorhanden y von vorhandenen Kraftgrößen unabhängig

Bestimmung von Auflagerreaktionen Bestimmung von Schnittkraftgrößen Bestimmung von Schnittkrafteinflußlinien (kinematische Methode) (siehe Vorlesung „Statik der Tragwerke“)

Baustatik 1 2-41

2


Beispiel 2.4: Kuppel des Petersdoms (Rom) Dies stellt die erste Anwendung des Prinzips der virtuellen Weggrößen dar. Weil die Kuppel Risse aufwies, mußte ein Zugband aus Eisen installiert werden. Es galt, das Zugband zu bemessen, d.h. die Kraft im Zugband zu bestimmen.

Abb. 2.33 Peterskuppel in Rom.

Um eine vereinfachte Berechnung der Kraft im Zugband der Kuppel durchführen zu können wurde bei der Kontrollrechnung 1742-43 das Flächentragwerk in ein ebenes System zerlegt, d.h. es wurde für die Berechnung ein Streifen von 1m Breite betrachtet (siehe Abb. 2.34). Das zugehörige statische System ist in Abb. 2.35 und Abb. 2.36 dargestellt.

2-42 Baustatik 1


HUmfang

HUmfang

Zugband 1m Streifen

Abb. 2.34 1m Streifen der Kuppel.

H

Abb. 2.35 Vereinfachtes ebenes statisches System der Kuppel.

Zunächst wird die gesuchte Horizontalkraft H zufolge der aktuellen Belastung bestimmt, indem man eine virtuelle Verschiebung δu = ″1″ an der Stelle und in Richtung der Horizontalkraft H anbringt. Diese virtuelle Verschiebung δu wird entgegengesetzt der Orientierung der Horizontalkraft H angesetzt. Durch die virtuelle Verschiebung δu ergeben sich auch bei den äußeren aktuellen Kräften Pzi dazugehörige virtuelle Verschiebungen δwi. Somit wird eine äußere virtuelle Ver(ä) schiebungsarbeit δW * geleistet, die im Gleichgewichtszustand zu Null wird. Achtung: Aufgrund der vereinfachten Annahmen (Vernachlässigung der 3-D Effekte, Annahme eines Gelenks etc.) wird mit dem in Abb. 2.35 dargestellten statischen System eine zu große Zugkraft ermittelt.

Baustatik 1 2-43

2


Pz1 δw

aktuelle Belastung des Tragwerkes

1 1

virtuelle Verformung des Tragwerkes δu = ″1″ δw

i

i

x,u

i'

gesuchte Kraft des Zugbandes

H

Pzi

z,w

H

δu

δw

2

2'

2 Pz2

Abb. 2.36 Idealisierte Darstellung der Kuppel.

Virtuelle Verschiebungsarbeit: δW *

(ä)

n

¦ Pzi ⋅ δwi

= – H ⋅ δu + P z1 ⋅ δw 1 + P z2 ⋅ δw 2 +

= 0

i=3

H ⋅ ″1″ = P z1 ⋅ δw 1 + P z2 ⋅ δw 2 +

n

¦ Pzi ⋅ δwi i=3

n

H =

¦ Pzi ⋅ δwi i=1

Umrechnung der Kraft H in eine Zugkraft Z im Zugband: Die Umrechnung der horizontalen Gleichlast H [kN/m] in eine Zugkraft Z [kN] im Zugband erfolgt mit Hilfe der Abb. 2.37. Die Zugkraft Z ergibt sich zu Z = H ⋅ R.

2-44 Baustatik 1


HRdj

Z

Z

dj R

Z

HRdj

Z

dj H [kN/m]

R

Zugband H(kN/m) R

Abb. 2.37 Umrechnung der Kraft H in eine Zugkraft Z im Zugband.

b) Virtuelle Kraftgrößen - kinematischer Verträglichkeitsnachweis: Die virtuellen Kraftgrößen sind ein komplementäres Prinzip zum Prinzip der virtuellen Weggrößen. An einem starren Körper werden aktuelle Verschiebungen nachgewiesen, wenn die äußere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige, im Gleichgewicht befindliche, äußere virtuelle Kraftgrößen gleich Null wird. δW * = δW *

(ä)

= 0

An einem elastischen Körper werden aktuelle Weggrößen als kinematisch verträglich nachgewiesen, wenn die äußere und innere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige, im Gleichgewicht befindliche, virtuelle Kraftgrößen gleich Null wird. (ä)

+ δW *

Virtuelle Kraftgrößen:

δPx, δPz, δM

−−

δN, δQ, δM

Aktuelle Weggrößen:

Verf. u, w, ϕ

−−

Verzerrungen ε, γ, κ

δW * = δW *

(i)

= 0

Virtuelle Verschiebungsarbeit: b

δW * = u i ⋅ δP xi + w i ⋅ δP zi + ϕ i ⋅ δM i –

³a ( ε ⋅ δN + γ ⋅ δQ + κ ⋅ δM ) dx = 0 Baustatik 1 2-45

2


mit N ε = -------- + α T ⋅ T m EA

M ------κ = ------ + α T ⋅ ∆T EI h

Q γ = -----------GA Q

Eigenschaften der virtuellen Kraftgrößen: y nur gedacht (virtuell), nicht wirklich vorhanden y willkürlich y von vorhandenen Weggrößen unabhängig y im Gleichgewicht befindlich Beispiel 2.5: Einfeldträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ges.: maximale Durchbiegung qz Aktuelle Belastung:

x,u

m q L z --------2

q L z --------2

L z,w 2 q L z ------------8

M

Biegelinie:

wm

δP

1/2

2-46 Baustatik 1

= ″1″

m

Virtuelle Belastung:

δM

zm

Parabel IV. Ordnung

1/2 L/4


Die virtuelle Verschiebungsarbeit ergibt sich zu: L

b

M- ⋅ δM dx = 0 δW* = w m ⋅ δP zm – ³ κ ⋅ δM dx = w m ⋅ 1 – ³ ----a 0 EI L

wm =

M δM

- dx ³ --------------EI 0

wobei der Arbeitsanteil aus Querkräften vernachlässigt wird. Mit qz x x - ( L – x ) und δM = --M = ------2 2 folgt weiter L ---

wm

L ---

qz 2 2 3 x 2- 2 q------zx -------- ³ ( Lx – x ) dx = -= ----= ( L – x ) d x ³ 2EI 0 2 EI 0 2 4 4 · qz L § 8 – 3 · q z § L3 L = --------- ¨ L ---------- – ------------- ¸ = ----------- © ------------ ¹ 2EI © 3 ⋅ 8 4 ⋅ 16 ¹ 2EI 192 4

wm

2.6.3

5q z L = --------------384EI

Satz von Castigliano stellte 1879 den Satz vom Differentialquo-

tienten der Eigenarbeit auf. Der Satz wird am Einfeldträger mit vertikalen Punktlasten erklärt. Er gilt sowohl für statisch bestimmte als auch für statisch unbestimmte Tragwerke mit beliebigen äußeren Kraftgrößen unter folgenden Voraussetzungen: linear elastisches Tragwerk spannungslose Anfangszustände keine Temperaturänderungen starre Auflager (keine Widerlagerverformungen)

Baustatik 1 2-47

2


1. Methode: Ein Einfeldträger wird mit willkürlichen vertikalen Punktlasten Pzi belastet: Pz1 1

x,u

Pz2 2

Pz3 3 w3

w2

w1 z,w

Die entlang der Verschiebungswege wi geleistete äußere Eigenarbeit beträgt W

(ä)

--- ( P z1 ⋅ w 1 + P z2 ⋅ w 2 + P z3 ⋅ w 3 ) . = 1 2

Die vertikalen Punktlasten Pzi werden um differentielle Zuwächse dPzi erhöht. dPz1 1

x,u z,w

dw1

dPz3

dPz2 2

3

dw3 dw2

Es vergrößert sich die geleistete äußere Eigenarbeit um einen differentiellen Zuwachs dW

(ä)

.

Die aufgebrachten differentiellen Zuwächse dPzi verrichten eine Eigenarbeit, außerdem leisten die ursprünglichen Punktlasten Pzi auf den differentiellen Verschiebungswegen dwi eine Verschiebungsarbeit. W

(ä )

+ dW

(ä)

--- ( P z1 ⋅ w 1 + P z2 ⋅ w 2 + P z3 ⋅ w 3 )+ = 1 2 --- ( dP z1 ⋅ dw 1 + dP z2 ⋅ dw 2 + dP z3 ⋅ dw 3 )+ +1 2 + P z1 ⋅ dw 1 + P z2 ⋅ dw 2 + P z3 ⋅ dw 3

2. Methode: Die Belastungsreihenfolge wird umgedreht. Der Einfeldträger wird zuerst mit den differentiellen Zuwächsen dPzi belastet, anschließend wird die Belastung mit den willkürlichen vertikalen Punktlasten Pzi erhöht.

2-48 Baustatik 1


dPz1 1

x,u

dPz3

2

3

dw2

dw1

z,w

dPz2

dw3

Pz1 1

Pz2

Pz3

2 w1

3 w3

w2

Es ergibt sich die geleistete Arbeit analog der 1. Methode zu: W

(ä)

+ dW

(ä)

--- ( dP z1 ⋅ dw 1 + dP z2 ⋅ dw 2 + dP z3 ⋅ dw 3 )+ = 1 2 --- ( P z1 ⋅ w 1 + P z2 ⋅ w 2 + P z3 ⋅ w 3 )+ +1 2 + dP z1 ⋅ w 1 + dP z2 ⋅ w 2 + dP z3 ⋅ w 3

In beiden Fällen muß die geleistete Arbeit gleich sein. Nach Unterdrückung der von höherer Ordnung kleinen Arbeitsanteile 1 --2

3

¦ ( dP zi ⋅ dwi ) i=1

und durch Herauskürzen der äußeren Eigenarbeit W dW

(ä)

(ä)

ergibt sich:

= P z1 ⋅ dw 1 + P z2 ⋅ dw 2 + P z3 ⋅ dw 3 =

3

¦ ( Pzi ⋅ dwi ) i=1

dW

(ä)

= dP z1 ⋅ w 1 + dP z2 ⋅ w 2 + dP z3 ⋅ w 3 =

3

¦ ( dPzi ⋅ wi ) i=1 (ä)

Beide Arbeitszuwächse bilden vollständige Differentiale, wenn W im 1. Fall als Funktion der äußeren Weggrößen, im 2. Fall als Funktion der ursprünglichen Kraftgrößen vorausgesetzt wird. Durch gliedweisen Vergleich ergibt sich: (ä)

∂W -------------- = P z1 ∂w 1

(ä)

∂W -------------- = P z2 ∂w 2

(ä )

∂W ... -------------- = P zi ∂w i

Baustatik 1 2-49

2


(ä)

∂W ------------= w1 ∂P z1

(ä)

(ä)

∂W -------------- = w 2 ∂P z2

∂W ... -------------- = w i ∂P zi

Es gilt der Energiesatz, die äußere Eigenarbeit kann durch die innere ersetzt und dasselbe kann ebenso für die innere Eigenarbeit abgeleitet werden. Als Gesamtergebnis erhält man die zwei Sätze von Castigliano: (ä)

(i)

1. Satz

∂W ∂W - = P -------------- = – -----------i ∂δ i ∂δ i

2. Satz

∂W ∂W - = δ -------------- = – -----------i ∂P i ∂P i

(ä )

P ... allg. äußere KG

(i)

δ ... allg. Verformung

Die partielle Ableitung der äußeren oder negativen inneren Eigenarbeit einer äußeren Kraftgrößengruppe nach einer äußeren Weggröße (Kraftgröße) liefert die dazugehörige äußere Kraftgröße (Weggröße). Der 2. Satz von Castigliano ermöglicht auch die Berechnung von Verformungsgrößen δi an Punkten, wo keine entsprechenden äußeren Kraftgrößen Pi angreifen, wenn man in den Richtungen der gesuchten Verformungsgrößen δi dazugehörige äußere Kraftgrößen Pi ansetzt, diese aber nach Durchführung der Differentiationen gleich Null setzt. Hierbei werden, wie teilweise auch dort, wo entsprechende äußere Kraftgrößen Pi angreifen (siehe Beispiel), einige Arbeitsanteile umsonst ausgerechnet. Diese Arbeitsanteile fallen beim Differenzieren oder Nullsetzen heraus. Allgemein - ohne die vorher genannten Voraussetzungen - gelten auch für nichtlinear elastische Tragwerke die zwei Sätze von Castigliano. Dies bedarf aber weitere, ausführlichere Erklärungen über die Formänderungsarbeiten, die nicht Sinn und Zweck der Vorlesung Baustatik sind und sowieso in der Vorlesung Festigkeitslehre behandelt werden. Außerdem werden diese Verfahren für Verformungsberechnungen im allgemeinen nicht mehr verwendet. Sie besitzen, da sie umständlicher sind als neuere Verfahren, in der Praxis nicht mehr ihre frühere Bedeutung.

2-50 Baustatik 1


Beispiel 2.6: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ges.: vertikale Durchbiegung und Verdrehung am freien Ende

Pz M*

x,u w

Biegelinie

ϕ L ϕ - M* - Pz x

z,w M

- M* - Pz L - M*

Die innere Eigenarbeit folgt mit

W

(i)

L

--= –1 2

³

L

2

1M ------- dx = – -------EI 2EI

0

³ ( M*

2

2 2

+ 2M*P z x + P z x ) dx =

0 2

3

zL · 1 - § M* 2 L + M*P L 2 + P ----------= – -------¨ ¸ z 3 ¹ 2EI ©

wobei der Arbeitsanteil aus Querkräften wieder vernachlässigt wird! Mit dem 2. Satz von Castigliano folgt: (i) Pz L · 1 - ------∂ - § M* 2 L + M*P L 2 + ----------------------- = -------δ i = – ∂W ¨ ¸ z 3 ¹ ∂P i 2EI ∂P i © 2

(i)

1∂W - = -------w = – -----------∂P z 2EI

3

3

§ 2P z L · 2 ¨ M*L + --------------¸ 3 ¹ ©

(i)

1 - ( 2M*L + P L 2 ) ------------- = -------ϕ = – ∂W z ∂M* 2EI

Baustatik 1 2-51

2


2.6.4 Satz von Betti Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeiten wurde 1872 von aufgestellt. Der Satz wird am Einfeldträger mit vertikalen Punktlasten erklärt. Er gilt jedoch allgemein für linear elastische Tragwerke mit beliebigen äußeren Kraftgrößen. 1. Methode: Zuerst wird der Einfeldträger mit willkürlichen vertikalen Punktlasten Pzi1 belastet. Pz21

Pz11

Pzi1 Belastung 1

x,u

1

2 w11

i

Verschiebungen wi1 wi1

w21

z,w

Längs der entstehenden Verschiebungswege wi1 wird eine äußere Eigenarbeit (ä) W 1 geleistet. Weiters wird der Einfeldträger mit weiteren willkürlichen vertikalen Punktlasten P zi2 belastet. Pz12

Pzi2

Pz22

Belastung 2 1

x,u

w12 z,w

i

2

Verschiebungen wi2

wi2

w22


w12

w22

Die aufgebrachten vertikalen Punktlasten P zi2 leisten eine äußere Eigenarbeit W2

(ä)

längs der Verschiebungswege w . Auf den Verschiebungswegen wi2 weri2

den die Punktlasten Pzi1 mitverschoben, wodurch eine äußere Verschiebungsarbeit W 12 *

(ä)

der Belastung 1 auf den Wegen der Belastung 2 verrichtet wird.

Die insgesamt geleistete äußere Formänderungsarbeit summiert sich zu: W

2-52 Baustatik 1

(ä)

= W1

(ä)

+ W2

(ä)

+ W 12 *

(ä)

.


2. Methode: Die Belastungsreihenfolge wird umgedreht. Der Einfeldträger wird zuerst mit den willkürlichen vertikalen Punktlasten P zi2 belastet und erst danach mit den willkürlichen vertikalen Punktlasten Pzi1. Pz12

Pz22

Pzi2 Belastung 2

1

x,u w12

z,w

i

2 wi2

w22 Pz11

Verschiebungen wi2

Pz21

Pzi1 Belastung 1

1

2 w11

i


w21

w11

Verschiebungen wi1

wi1

w21

Es ergibt sich die geleistete äußere Formänderungsarbeit analog der 1. Methode zu: W

(ä)

= W2

(ä)

+ W1

(ä)

+ W 21 *

(ä)

,

(ä)

wobei W 21 * die äußere Verschiebungsarbeit der Belastung 2 auf den Verschiebungswegen w der Belastung 1 ist. i1

In beiden Fällen muß die geleistete Arbeit gleich sein: W

(ä)

= W1

(ä)

+ W2

(ä)

+ W 12 *

W 12 *

(ä)

(ä)

= W2

= W 21 *

(ä)

+ W1

(ä)

+ W 21 *

(ä)

(ä)

Es gilt der Energiesatz, die äußere Formänderungsarbeit kann durch die innere ersetzt und dasselbe kann ebenso für die innere Verschiebungsarbeit abgeleitet werden. W 12 *

(i)

= W 21 *

(i)

Baustatik 1 2-53

2


Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeiten (Satz von Betti): Die linear elastische äußere (innere) Verschiebungsarbeit einer Belastung 1 längs Verformungen (Verzerrungen) einer Belastung 2 entspricht derjenigen aus der Belastung 2 längs Verformungen (Verzerrungen) der Belastung 1.

2.6.5 Satz von Maxwell stellte 1864 den Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Verformungen auf. Anwendung des Satzes von Betti mit zwei Einschränkungen: y Man beschränkt sich auf eine einzige Einzelkraftgröße pro Belastung. y Die Einzelkraftgröße besitzt die Größe “1“. Mit dem gleichen Belastungsvorgang von Abschnitt 2.6.4 (1. und 2. Methode) und den Belastungen i und k erhält man das schon bekannte Ergebnis der gegenseitigen äußeren Verschiebungsarbeiten: W ik *

(ä)

= P zi ⋅ w ik = P zk ⋅ w ki = W ki *

(ä)

.

Pzi = “1“ Belastung i x,u

k

i

Verschiebungen wni

wii

wki

z,w Pzk = “1“ Belastung k i

k wik

wkk

Verschiebungen wnk

Werden die Größen der beiden Einzelkraftgrößen gleich “1“ gesetzt, so erhält man den Maxwell´schen Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Verformungen: ″1″ ⋅ w ik = ″1″ ⋅ w ki w ik = w ki oder allgemein: δ ik = δ ki

2-54 Baustatik 1


Die Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) δik im Punkt i zufolge einer Einzelkraftgröße “1“ im Punkt k entspricht der Verformung δki im Punkt k zufolge einer Einzelkraftgröße “1“ im Punkt i. Voraussetzungen: y linear elastisches Tragwerk y spannungslose Anfangszustände y keine Temperaturänderungen y starre Auflager (keine Widerlagerverschiebungen) Achtung: Auch wenn die beiden Einzelkraftgrößen “1“ herausgekürzt werden, so müssen deren Dimensionen erhalten bleiben ! Beispiel 2.7: φi ϕ x,u

δ

i

ki k

Mi = “1“ z,w

Pzk = “1“ i

k δ

ik

M i ⋅ ( – δ ik ) = P zk ⋅ ( – δ ki ) ″1″ [ kNm ] ⋅ δ ik [ - ] = ″1″ [ kN ] ⋅ δ ki [ m ] Es sei hier noch einmal betont, daß die Sätze von Betti und Maxwell nur für die lineare Statik ( Theorie I. Ordnung: Werkstofflinearität + geometrische Linearität Superpositionsgesetz gültig ) sowohl für statisch bestimmte als auch für statisch unbestimmte Tragwerke gelten. Die zwei Sätze von Castigliano sind zusätzlich auch noch für nichtlinear elastische Tragwerke gültig.

Baustatik 1 2-55

2


2.6.6 Prinzip von Müller-Breslau

Anwendung des Satzes von Maxwell bei der Ermittlung von Einflußlinien für äußere Weggrößen (Verformungseinflußlinien). Beispiel 2.8: Einflußlinie “wi“ für die vertikale Durchbiegung im Punkt i Um die Einflußlinie “wi“ für die vertikale Durchbiegung im Punkt i zu erhalten, müßte der Einfeldträger an jedem Punkt x mit Pzx = “1“ einzeln belastet und für jeden Lastfall die Durchbiegung wix an der Stelle i berechnet werden. Nach dem Satz von Maxwell ist w ix = w xi , wobei die wxi die Durchbiegungen (Biegelinie) der im Punkt i angreifenden Einzelkraft Pzi = “1“ sind. Pzx = “1“

x i

x,u

wix

wxx

z,w Pzi = “1“

x i

x wii

z,w

Allgemein:

wxi

x,u

Einflußlinie “wi“

″δ i ″ = δxi

Die Einflußlinie einer Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) „δi“ im Punkt i ist gleich die Biegelinie δxi , wenn im Punkt i in Richtung der Verformung eine übereinstimmende Einzelkraftgröße der Größe “1“ wirkt, d.h. jede Einflußlinie für eine Verformung ist eine Biegelinie.

2-56 Baustatik 1

Grundlagen Integrationsverfahren

2.7 Integrationsverfahren 2.7.1

Analytische Integration

Die analytische Integration ist nur für besonders einfach verlaufende Funktionen zu empfehlen. Beispiel 2.9: Fläche von konvexer Parabel f(x)

h C

3- h ----10

( 3 ⁄ 4 )L

x C ... Schwerpunkt

L 2

f(x) = 2px + f(x 0 ) x=0:

f(0) = 0 f(x0) = 0

x = L:

h f(L) = h 2p = -----2 L h x2 f(x) = ----2 L L

A =

³ f(x) dx

=

³ 0

3

hLh x2 dx = hL --------- = ---------2 2 3 L 3 L

hL A = ------3 Konkave Parabel:

Baustatik 1 2-57

2


h

C 2--- h 5

( 5 ⁄ 8 )L L

2hL A = ---------3 Allgemeines Dreieck:

h

C h/3 b

c

(L+b)/3

(L+c)/3 L

hL A = ------2

2.7.2 Numerische Integration Die numerische Integration wird angewendet, wenn die analytische Integration zu aufwendig ist oder die Funktionswerte nur in diskreten Punkten gegeben sind. f(x)

f0

x1 ∆x

f6

x5

x6

f4

f1

x0

f5 f2

f3

x2

x3

∆x

∆x

x4 ∆x

∆x

∆x

Abb. 2.38 Numerische Integration.

Trapezregel:

2-58 Baustatik 1

n = beliebig

x


A =

³ f(x) dx

f0 f = ∆x §© ---- + f 1 + f 2 + f 3 + … + f n – 1 + ---n- ·¹ 2 2

Simpsonregel: n = 2: A =

³ f(x) dx

------- ( f 0 + 4f1 + f 2 ) = ∆x 3

n = gerade: A =

³ f(x) dx

------- ( f 0 + 4f 1 + 2f2 + 4f 3 + 2f 4 + … + 2f n – 2 + 4f n – 1 + f n ) = ∆x 3

Die Simpsonregel ist bis zur kubischen Parabel exakt. Für Polynome höherer Ordnung ( n > 3 ) ist eine engere Unterteilung zu wählen; z.B. bei Halbierung der Intervalllänge verringert sich der Fehler auf 1/16. Sind Knicke oder Sprünge in den Funktionsverläufen, so darf nur dann integriert werden, wenn sich die Knicke oder die Sprünge an Stellen befinden, deren Werte mit dem Multiplikationsfaktor 2 zu multiplizieren sind. Newtonregel: n=3 A =

³ f(x) dx

---------- ( f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) = 3∆x 8

Beispiel:

Mr

Mm

M

ML

L⁄2

L⁄2 L

M

ML

Mm

Mr

Baustatik 1 2-59

2


L

I =

³ f(x) g(x) dx

=

³ MM dx 0

--- ( M L M L + 4M m M m + M r M r ) I = L 6

Simpsonregel:

2.7.3 Tabellarische Integration I =

³ f(x) g(x) dx

= Tabellenwert × Länge

Beispiele: B L

L

I = D

³ MM dx = 0

M

1 --- BD ⋅ L 3

® ¯

M

Tabellenwert L

M A L

D

I =

³ MM dx = 0

1 --- AD ⋅ L 6

® ¯

M

Tabellenwert Zerlegung in Teilintegrale:

2-60 Baustatik 1


B

A

M

L/2

L/2 L

D

M C

B A

I

x

x D

C

D

C

Achtung:B und D sind negativ ! L

I =

§1

1

· L

³ MM dx = © --3- A ( C – D ) + --6- ( –B ) ( C – 2D )¹ 0

--- § AC – AD + BD – 1 --- BC· I = L ¹ 3 © 2

Baustatik 1 2-61

2


L

A

C

D

C

D

C

C γL

δL

*

C

*

D

*

C

*

D

B

A

A

B

A αL βL

AC

1 --- BC 2

1--- AC 2

1--- ( A + B )C 2

1--- AC 2

1 --- AD 2

1 --- BD 3

1--- AD 6

1--- ( A + 2B )D 6

1--- AD ( 1 + α ) 6

1 --- AC 2

1 --- BC 6

1--- AC 3

1--- ( 2A + B )C 6

1--- AC ( 1 + β ) 6

1 --- A ( C + D ) 2

1 --- B ( C + 2D ) 6

1--- A ( 2C + D ) 6

1--- [ A ( 2C + D ) 6

1--- A [ C ( 1 + β ) 6

+B ( 2D + C ) ]

+D ( 1 + α ) ]

1 --- AC 2

1 --- BC ( 1 + γ ) 6

1--- AC ( 1 + δ ) 6

1--- [ A ( 1 + δ ) 6

– γ – α1- AC 2γ ---------------------------6 βγ

+B ( 1 + γ ) ]C

γ≥α

2 --- AC 3

1 --- BC 3

1--- AC 3

1--- ( A + B )C 3

1--- AC ( 1 + αβ ) 3

2 --- AD 3

5- BD ----12

1--- AD 4

1- ( 3A + 5B )D ----12

1- AD ( 5 – β – β 2 ) ----12

2 --- AC 3

1 --- BC 4

5- AC ----12

1- ( 5A + 3B )C ----12

1- AC ( 5 – α – α 2 ) ----12

1 --- AD 3

1 --- BD 4

1- AD ----12

1- ( A + 3B )D ----12

1- AD ( 1 + α + α 2 ) ----12

2

2

C

*

1 --- AC 3

1- BC ----12

1--- AC 4

1- ( 3A + B )C ----12

1- AC ( 1 + β + β 2 ) ----12

C

**

1 --- AC 4

1- BC ----20

1--- AC 5

1- ( 4A + B )C ----20

1- AC ( 1 + β ) ( 1 + α 2 ) ----20

2-62 Baustatik 1

*

quadratische Parabel

**

kubische Parabel


L

A

*

*

B

A

*

*

B

*

A

2 --- AC 3

2 --- BC 3

2--- AC 3

1--- BC 3

1--- AC 3

1 --- AD 3

5- BD ----12

1--- AD 4

1--- BD 4

1- AD ----12

1 --- AC 3

1 --- BC 4

5- AC ----12

1- BC ----12

1--- AC 4

1 --- A ( C + D ) 3

1- B ( 3C + 5D ) ----12

1- A ( 5C + 3D ) ----12

1- B ( C + 3D ) ----12

1- A ( 3C + D ) ----12

1- BC ( 5 – δ – δ 2 ) ----12

1- AC ( 5 – γ – γ 2 ) ----12

1- BC ( 1 + γ + γ2 ) ----12

1- AC ( 1 + δ + δ2 ) ----12

8- AC * ----15

7- BC ----15

7- AC ----15

1- BC -5

1- AC -5

7----AD 15

8----BD 15

11 ------ AD 30

3----BD 10

2----AD 15

15

11 ------ BC ü 30

8----AC 15

2----BC 15

3----AC 10

1 --- AD 5

3----BD 10

2----AD 15

1--BD 5

1----AD 30

C

* 1--- AC

2----BC 15

3----AC 10

1----BC 30

1--AC 5

C

2** ----AC

1----BC 12

7----AC 30

1----BC 60

1--AC 6

C

D

C

D

C C γL

--1- AC ( 1 + γδ ) 3

δL

C

*

D

7* ----AC

C

*

D

5

15

*


**

kubische Parabel

Baustatik 1 2-63

2

2-64 Baustatik 1


3

Verformungen ebener elastischer Tragwerke Berechnung von Biegelinien Verformungen einzelner Tragwerkspunkte Williot-Verschiebungsplan

3.1 Berechnung von Biegelinien Eine Biegelinie ist eine Verformung von Stäben normal zu deren Schwerpunktsachsen.

3.1.1

Geometrische Beziehungen qz ϕ

M x,u

N

N+dN

dx

Q

z,w

M+dM

qx

Q+dQ

u w

u+du

dx

ϕ + dϕ

ϕ

Abb. 3.1 Verformtes und unverformtes, differentielles Stabelement.

Baustatik 1 3-1

3

Verformungen ebener elastischer Tragwerke Berechnung von Biegelinien

Voraussetzungen für Stabelemente: Kinematische Beziehungen (Abschnitt 3.4.3) Werkstoffgesetze (Abschnitt 2.3) Gleichgewichtsbedingungen

3.1.2 Differentialgleichungen ebener, gerader Stabelemente Bei geraden Stabelementen tritt eine Entkopplung von der achsialen Verschiebung u und der Durchbiegung w ein, bei gekrümmten Stabelementen sind diese gekoppelt. Die Schubverzerrungen g werden gemäß der Normalhypothese nach Bernoulli (Abschnitt 2.2.2) vernachlässigt. 1. Kinematische Beziehungen: Verschiebung: Durchbiegung:

u w

Verdrehung, Neigung:

dw ϕ = – ------- = – w′ dx

Längsdehnung:

du ε = ------ = u′ dx

Krümmung:

2 dϕ d w -------------– κ = = = – w″ 2 dx dx

2. Werkstoffgesetze: du N = EA ⋅ ε N = EA ⋅ -----dx mit

σ = ε ⋅ E folgt 2

d w M = EI ⋅ κ M = – EI ⋅ --------2 dx 3. Gleichgewichtsbedingungen:

¦

Px = 0

N + dN – N + q x ⋅ dx = 0 d ------- = – ------ §©EA ⋅ du ------ ·¹ q x = – dN dx dx dx

3-2 Baustatik 1


2

M=0

° ® ° ¯

¦

q z ⋅ dx M + dM – M – Q ⋅ dx + -----------------= 0 2 II. Ordnung << 2 d w· dM d2 § Q = -------- = – -------- ¨ EI ⋅ --------- ¸ 2 dx dx 2 © dx ¹

Aus der ersten Ableitung des Biegemoments erhält man die Querkraft, bzw. aus der Integration der Querkraft ergibt sich das Biegemoment.

¦

Pz = 0

Q + dQ – Q + q z ⋅ dx = 0 2 dQ d---------M -----=– = qz = – 2 dx dx

2 § d w· ¨ EI ⋅ --------- ¸ 2 2 dx ¹ x © 2

Aus der zweiten Ableitung des Biegemoments erhält man die negative Belastung, bzw. aus der Integration der negativen Belastung ergibt sich die Querkraft.

3.1.3

Analytische Integration der Differentialgleichungen

Belastung:

qx, qz

(keine Temperaturänderungen)

Normalkraft:

N = –

³ qx dx

Querkraft:

Q = –

³ qz dx

Biegemoment:

M = –

³ ³ qz dx dx

Verschiebung:

u =

Verdrehung, Neigung: ϕ = Durchbiegung: w = –

w =

³ ε dx ³ κ dx

=

=

N

- dx ³ ------EA M

- dx ³ ----EI

³ ϕ dx = – ³ ³ κ dx dx

qx

= –

- dx dx ³ ³ ------EA

= –

- dx dx dx ³ ³ ³ ----EI

= –

qz

M

- dx dx ³ ³ ----EI

qz

- dx dx dx dx ³ ³ ³ ³ ----EI

Der Übersichtlichkeit wegen wurde bei sämtlichen Integralen die Integrationskonstante C nicht angeschrieben !

Baustatik 1 3-3

3


Beispiel 3.1: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ges.: maximale Durchbiegung Pz

x,u L z,w Pz (x-L) - Pz L M Biegelinie:

3 P L z ------------3EI

kubische Parabel

2 P ∂--------w M = – ------ = – -----z- ( x – L ) 2 EI EI ∂x

P ∂w ------- = – -----z∂x EI P w = – -----zEI

§ x2 · ¨ ----- – Lx¸ + C 1 ©2 ¹

2 · § x3 x ---¨ – L ----- ¸ + C 1 ⋅ x + C 2 2 ¹ ©6

Randbedingungen:x = 0 :w(0) = 0 C 2 = 0 ∂w(0) --------------- = 0 C 1 = 0 ∂x Pz § 2 x3 · - ¨ Lx – ----- ¸ Biegelinie: w = -------2EI © 3 ¹ 3

x = L : w max

3-4 Baustatik 1

Pz L = ---------3EI


3.1.4

Die Analogie nach Mohr (1868)

Das Verfahren nutzt den analogen Aufbau der Differentialgleichungen des Gleichgewichtes und der kinematischen Beziehungen nach Substitution der Werkstoffgesetze aus. 2

d M ---------= – qz 2 dx

2 Md w = – ------------2 EI dx

dQ ------- = – q z dx

dϕ Md w = – ----– ------ = --------2 dx EI dx

2

Die Durchbiegungen wi eines Tragwerkes sind gleich die Biegemomente Mei eines Ersatztragwerkes, wenn als Belastung die 1/EI-fache Biegemomentenfläche von der wirklichen Belastung aufgebracht wird. Die negativen Neigungen ϕi ( – ϕ = dw ⁄ dx ) der Biegelinie eines Tragwerkes sind gleich die Querkräfte Qei eines Ersatztragwerkes, wenn als Belastung die 1/EIfache Biegemomentenfläche von der wirklichen Belastung aufgebracht wird. Achtung: Bei diesem Verfahren sind die Rand- und Übergangsbedingungen des Ersatztragwerkes verschieden vom wirklichen Tragwerk ! Berechnungsvorgang: y Bestimmung der Auflagerkräfte und Biegemomente Mi infolge der wirklichen Belastung qz am wirklichen Tragwerk. y Belastung eines Ersatztragwerkes mit der nach Punkt 1 ermittelten Biegemomentenfläche unter Berücksichtigung der verschiedenen Trägheitsmomente M / EI. y Bestimmung der Auflagerkräfte und Querkräfte Qei am Ersatztragwerk; diese stellen die negativen Neigungswinkel ϕi der Biegelinie vom wirklichen Tragwerk dar. y Bestimmung der Biegemomente Mei am Ersatztragwerk, die zugleich die Durchbiegungen wi (Biegelinie) vom wirklichen Tragwerk darstellen.

Baustatik 1 3-5

3


Rand- und Übergangsbedingungen: Wirkliches Tragwerk

Ersatztragwerk

w=0

ϕ=0

Me = 0

Qe = 0

w≠0

ϕ≠0

Me ≠ 0

Qe ≠ 0

w=0

ϕ≠0

Me = 0

Qe ≠ 0

w=0

ϕ≠0

Me = 0

Qe ≠ 0

w=0

ϕl = ϕ r

Me = 0

Qel = Qer

w≠0

ϕl ≠ ϕ r

Me ≠ 0

Qel ≠ Qer

statisch bestimmtes Tragwerk

statisch bestimmtes Ersatztragwerk

n-fach statisch unbestimmtes Tragwerk

n-fach kinematisch verschiebliches Ersatztragwerk

Beispiel 3.2: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ges.: maximale Durchbiegung Pz

x,u L z,w M

- Pz L

3

e M max

3-6 Baustatik 1

2 Pz L Pz L 2 - = w ---------- ⋅ --- L = ---------= max 3EI 2EI 3


P L2 z -----------2EI

P L z--------EI e M Biegemomentenlinie des Ersatzträgers = Biegelinie vom wirklichen Träger

2--- L 3

kubische Parabel

3 P L z ------------3EI

Beispiel 3.3: Einfeldträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ges.: maximale Durchbiegung

Pz x,u L/2

L/2

z,w

P L z--------4

Abb. 3.2 Momentenlinie aus Belastung

Baustatik 1 3-7

3


P L z--------4EI

2 P L z ------------16EI L/6

L/3

2 P L z ------------16EI

L/6

L/3

Abb. 3.3 Ersatzträger qz M

e § P L· 2 z -¸ L ¨ --------2/3 © 4EI ¹ ----------------------8

Biegemomentenlinie des Ersatzträgers = Biegelinie vom wirklichen Träger

1/3

kubische Parabel

quadratische Parabel 2

2

3

PzL Pz L L Pz L L e - ⋅ --- – ------------ ⋅ --- = ----------M max = ----------16EI 2 16EI 6 16EI

§1 --- 1- · © 2 – -6¹

3

e M max

Pz L = ------------ = w max 48EI

Beispiel 3.4: Einfeldträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ges.: maximale Durchbiegung MB

A

B ϕ

L

z,w M MB

3-8 Baustatik 1

x,u


M x B -----------EIL

M B-------EI

Ersatzträger: M L B-----------2EI

M L B-----------6EI

M L B-----------3EI

-2 L

L/3

3 L/2

Q

e


M L B-----------6EI x

= negative Neigungswinkel der Biegelinie vom wirklichen Träger M

max

= L§ 3

M L B– -----------3EI

e ϕ

= Biegelinie vom wirklichen Träger

ϕ

A

B

kubische Parabel

2 M L B ----------------

2 M L B 9 3EI ---------------9EI

Die Verdrehungen am Anfang und am Ende des Trägers lauten: MB L ϕ A = – ----------6EI

MB L ϕ B = ------------ . 3EI

und

Die maximale Durchbiegung bei Qe = 0 ergibt: MB L M x x e Q ( x ) = ------------ – -------B- --- ⋅ --- = 0 . 6EI EI L 2 Aus 2

x ------- = L 3 L

folgt

L x max = --------3

und damit wird das Moment über

Baustatik 1 3-9

3


3 MB L M M § e x - ·¸ - x – -------B- --x- x --- ⋅ x --- = --------B- ¨ Lx – ---M ( x ) = ----------6EI EI L 2 3 6EI © L ¹

und weiter mit e M max

2 3 · MB L § MB § L L --- ·¹ = --------- ¨ L --------- – ---------------- ¸ = ------------------ © 1 – 1 6EI © ¹ 3 6 3 EI 3 3 3L

zu 2

e M max

MB L = ------------------ = w max 9 3 EI

Beispiel 3.5: Beidseitig eingespannter Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EI und mittiger Einzelkraft - gesucht wird die maximale Durchbiegung wmax Pz MA

MB A

C

B L/2

L/2 z,w M

A

= M

P L z= – --------B 8

M M

Ersatzträger (freischwebend, ungestützt):

2 P L z ------------64EI

L----12 M

e

= Biegelinie vom wirklichen Träger

3-10 Baustatik 1

C

P L z= --------8

P L z--------4

P L z--------8EI

4L ------12

2 P L z ------------64EI L----L/4 12

P L z--------8EI L/4

x,u


Der Ersatzträger ist allein unter seiner Ersatzbelastung im Gleichgewicht, d.h. die Ersatzbelastung bildet eine Gleichgewichtsgruppe, die Auflagerreaktionen entbehrlich macht (Randbedingung: keine Auflager !). 2

Pz L = ----------64EI

e M max

§ 5L ------- L- · © 12 – ----12 ¹ 3

e M max

3.1.5

Pz L = --------------- = wmax 192EI

Querkraftverformungen

Die Normalhypothese nach Bernoulli (Abschnitt 2.2.2) wird nicht angewendet, d.h. die Schubverzerrungen γ werden nicht vernachlässigt. Es wird jedoch angenommen, daß ebene Querschnitte auch nach der Verformung eben bleiben. γ dw Q

Q

x,u

dx

dw Q γ = ------- = w′ = ------------dx GA Q

z,w

Abb. 3.4 Angenommene Querkraftverformung beim ebenen, geraden Stabelement.

Schubanteil der Biegelinie: w =

Q

------------ dx ³ GA Q

1 = -----------GA Q

dM

- dx ³ ------dx

1 = -----------GA Q

³ dM

M w = ------------ + C GA Q Der Schubanteil der Biegelinie eines Tragwerkes ist gleich dem Biegemoment M, wenn als Belastung die 1/GAQ-fache wirkliche Belastung aufgebracht wird. 2

d w 1 1 - = – q ------------------------- ----------= dQ z 2 GA Q dx GA Q dx

Baustatik 1 3-11

3


2

qz d--------w = – ----------2 GA Q dx

Gesamtbiegelinie (Biegungs- und Schubanteil): 2

2

2 d wB d wS qz d w M- ------------------------------ + ------------ = – ----= – 2 2 2 EI GA Q dx dx dx

2 § M qz · d--------w ---------------¸ = – + ¨ 2 © EI GA Q ¹ dx

Beispiel 3.6: Einfeldträger mit konstanten Steifigkeiten (EI, GAQ) ges.: maximale Durchbiegung Pz x,u L/2

L/2 z,w

M P L z--------4

Biegelinie

3

w B, max

Pz L = -----------48EI

M max Pz L w S, max = ------------- = --------------4GA Q GAQ w max = w B, max + w S, max

3-12 Baustatik 1

Pz L § L2 1 - ·¸ = --------- ¨ ------------ + ----------4 © 12EI GA Q ¹


z.B.: Rechteckquerschnitt aus Stahl 3

A = b⋅h

b⋅h I = -----------12

G ≅ 0, 4 ⋅ E

--- b ⋅ h AQ = aQ ⋅ A = 5 6

3 2 w S, max P z L 48EI 12Ebh 6 6h 12EI --------------- = -------------- ------------ = ------------------2 = --------------------------------------2 = --------------------2w B, max 4GA Q P L 3 12 ⋅ 0,4 E5bhL 0,4 ⋅ 5 L GA Q L z 2 w S, max --------------- = 3 § --h-· © L¹ w B, max

bei h/L = 0,1

wS,max = 0,03 wB,max

bei h/L = 1,0

wS,max = 3,0 wB,max

(kein Stab mehr)

Der Durchbiegungsanteil der Querkraft im Vergleich zum Biegemoment wird umso kleiner, je kleiner das Quadrat des Verhältnisses von Querschnittshöhe zur Trägerlänge wird. D.h. in allen Fällen, wo h<
Baustatik 1 3-13

3

Verformungen ebener elastischer Tragwerke Verformungen einzelner Tragwerkspunkte

3.2 Verformungen einzelner Tragwerkspunkte 3.2.1 Statisch bestimmte Tragwerke Zur Berechnung der Verformung einzelner Tragwerkspunkte wird das Prinzip der virtuellen Kraftgrößen angewendet. Es wird eine äußere virtuelle (gedachte) Kraftgröße “1“ am Ort und in Richtung der gesuchten äußeren Weggröße δ aufgebracht (siehe Abschnitt 2.6.2 b). Grundfälle der Verformungsberechnung: 1.) Verschiebung eines Punktes δ

i

i

“1“

i

i'

Gesuchte Verformung bei vorhandener Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i Beanspruchung (Schnittkräfte N, Q, M) (N, Q, M).

2.) Tangentendrehung eines Punktes i i'

ϕ

i

Gesuchte Verformung bei vorhandener Beanspruchung (N, Q, M)

3-14 Baustatik 1

“1“

i

Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i (N, Q, M).


3.) Relativverschiebung zweier Punkte δ

δ

i

k “1“

i

k

i'

k

i

“1“

k'

∆δ = δ – δ k i



4.) Relativdrehung zweier Tangenten (im Gelenk) ϕ

G ϕ G' ϕ

G

ϕ

G

G

r

“1“

L

= ϕ –ϕ r L



5.) Drehung einer Sehne (Sekante) δ

i

i

i

i' ψ

ψ

ki

δ –δ k -i = ---------------h k

ki

k' δ

“1/h“

h k

“1/h“

k



Baustatik 1 3-15

3


6.) Relativdrehung zweier Sehnen (Sekanten) a δ

b

k

i δ

k k'

L L' δ L i

k

∆ψ

i'

“1/b“

“1/a“

“1/a“

“1/b“ L

i

δ –δ δ –δ i Li k- + ---------------∆ψ = ---------------a b



Berechnungsvorgang für Biegestabtragwerke: Unter vorhandener Belastung ist z.B. die Verschiebung eines Punktes δi und die Verschiebungsrichtung αi zu bestimmen. Es wird nur ein allgemeiner Berechnungsvorgang erklärt. Verformtes Biegestabtragwerk unter vorhandener Belastung ( δ i , α i ) : ui x,u

δ z,w

α

i i

i

wi

i'

Äußere virtuelle Kraftgrößen der Größe “1“ ( Hi = Vi = “1“ ): Hi = “1“

i

u

3-16 Baustatik 1

i

i

Vi = “1“

w

i


y Bestimmung der inneren Kraftgrößen am Biegestabtragwerk unter vorhanderner Belastung (Schnittkräfte N, Q, M). y Aufbringung von äußeren virtuellen Kraftgrößen der Größe “1“ an den Orten und Richtungen der zu bestimmenden äußeren Weggrößen δ am Biegestabtragwerk, wobei jeweils nur eine äußere virtuelle Kraftgröße anzusetzen ist ( Hi = Vi = “1“ ). y Bestimmung der inneren virtuellen Kraftgrößen am Biegestabtragwerk unter den äußeren virtuellen Kraftgrößen (virtuelle Schnittkräfte N H i , Q Hi , M H i , N Vi , Q V i , M V i ). y Bestimmung der virtuellen Verschiebungsarbeiten δW * : a) Äußere virtuelle Verschiebungsarbeit: δW *

(ä)

= ″1″ ⋅ δ

(ä)

δW *H = ″1″ ⋅ u i i

(ä)

δW * V = ″1″ ⋅ w i i

b) Innere virtuelle Verschiebungsarbeit: δW*

(i)

= –

³

§ NN · QQ MM ------- ¸ ds ¨ --------- + N ⋅ α T ⋅ T m + ------------ + ----------- + M ⋅ α T ⋅ ∆T EI GA Q h ¹ © EA

Für schlanke Biegestabtragwerke können die Arbeitsanteile aus den Normalkräften und den Querkräften vernachlässigt werden. δW*

(i )

= –

(i)

MM

§

∆T · ds

- ds + α T ³ © N ⋅ T m + M ⋅ ------- ¹ ³ ---------h EI MM H i

§

∆T · ds

δW* H = –

- ds + αT ³ © NH ⋅ T m + M H ⋅ ------- ¹ ³ -------------h EI

(i)

- ds + αT ³ © N V ⋅ T m + M V ⋅ ------- ¹ ³ -------------h EI

i

δW* V = – i

i

MM V i

i

§

i

i

∆T · ds

Baustatik 1 3-17

3


y Prinzip der virtuellen Arbeiten: δW *

(ä)

δW * ″1″ ⋅ δ =

EI 0 ⋅ δ =

+ δW *

(ä )

(i)

= 0

= – δW *

(i)

§

MM

∆T · ds

- ds + α T ³ © N ⋅ T m + M ⋅ ------- ¹ ³ ---------h EI

∆T · ds

§

I0

³ ---I- MM ds + EI0 αT ³ © N ⋅ Tm + M ⋅ -----h ¹

I0 ... Referenz- bzw. Vergleichsträgheitsmoment I0

EI 0 ⋅ u i =

³ ---I- MMH

EI 0 ⋅ w i =

³ ---I- MMV

i

I0

i

§

∆T · ds

ds + EI 0 α T

³ © NH ⋅ Tm + MH ⋅ -----h ¹

ds + EI 0 α T

³ © NV ⋅ Tm + MV ⋅ -----h ¹

i

i

§

i

i

∆T · ds

y Stabweise Auswertung der Arbeitsintegrale. y Berechnung der zu bestimmenden äußeren Weggrößen δ: ui , wi δi =

2

2

ui + wi

w α i = arc tan -----i ui

FACHWERKSTÄBE: EA 0 ⋅ δ =

¦ alle Stäbe

3-18 Baustatik 1

§A 0NN ⋅ s·¹ + EA 0 α T © ----A

¦ alle Stäbe

A0

...

Referenz- bzw. Vergleichsquerschnittsfläche

s

...

Stablänge

( N ⋅ Tm ⋅ s )


Beispiel 3.7: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI (I0/I = 1,0) ges.: Durchbiegung am Trägerende Pz Aktuelle Belastung:

x,u

i wi

Biegelinie

i'

L

z,w

- Pz x

- Pz L

M

Abb. 3.5 Moment aus aktueller Belastung

“1“ Virtuelle Belastung:

i -x

-L

M

Abb. 3.6 Moment aus virtueller Belastung L

EI 0 ⋅ w i =

³ 0

I ----0 MM dx = I

L

³ 1 ⋅ ( –Pz x ) ( –x ) dx 0

L

= Pz

³x

2

dx

0 3

----EI 0 ⋅ w i = P z L 3 3

Pz L w i = ----------3EI Beispiel 3.8: Ein Rechteckrahmen mit konstanter Biegesteifigkeit EI wird mit einer mittigen Einzelkraft Pz beansprucht. Die horizontale Verschiebung δ des beweglichen Auflagers ist unter dieser Beanspruchung zu bestimmen!

Baustatik 1 3-19

3


Pz

L/2

P L z--------4

Biegelinie

i i' h

M L

δ s

EI ⋅ δ =

³ MM ds 0

h

h h

“1“

M

Abb. 3.7 Virtuelle Belastung

Die Berechnung des Integrals erfolgt mittels Integrationstabelle: 1 PzL EI ⋅ δ = --- h --------- ⋅ L 4 2

Pz L2 h -------------δ = 8EI

Beispiel 3.9: Fachwerk geg.:

Pz = 60 kN Obergurte 12/20 cm Untergurte 12/14 cm Vertikalstäbe 2x6/10 cm Diagonalstäbe D1, D4 12/16 cm Diagonalstäbe D2, D3 12/14 cm Bauholz - Fichte

3-20 Baustatik 1


horizontale Verschiebungen δ 1 und δ 2

ges.:

O3

4,0 m

O2

D1

V1

D2

U1

D3

V2

Pz

U4

δ

2

Pz

Pz 4,0 m

1 D4

V3

U3

U2

4,0 m

δ

4,0 m

4,0 m

Aktuelle Belastung: N 60 kN

60 kN

60 kN

90 kN

90 kN “1“

Virtuelle Belastung 1: N1

1 1/4

1/4 Virtuelle Belastung 2: N2

“1“

1

EA 0 ⋅ δ i =

¦ alle Stäbe

E = 1.000 kN/cm²

A0 § ----· © A- NN i ⋅ s¹

A0 = 240 cm²

... für Fichte, Tanne, Kiefer lt. Ö-NORM B 4100/Teil 2

Baustatik 1 3-21

3


Stab

A

A0 -----A

s

N

N1

N2

-

cm²

-

m

kN

-

-

O2

kNm

kNm

-120

0,50

0

-240,0

0

-120

0,50

0

-240,0

0

90

0,750

1,0

386,1

514,8

90

0,750

1,0

386,1

514,8

90

0,250

1,0

128,7

514,8

U4

90

0,250

1,0

128,7

514,8

V1

60

0

0

0

0

0

0

0

0

0

60

0

0

0

0

-127,3

0,354

0

-318,8

0

42,4

-0,354

0

-121,5

0

42,4

0,354

0

121,5

0

-127,3

-0,354

0

318,8

0

¦

549,6

2059,2

O3

240

1,0

4,0

U1 U2 U3

V2

168

120

1,43

2,0

4,0

4,0

V3

3-22 Baustatik 1

A0 A ------ NN 1 s -----0- NN 2 s A A

D1

192

1,25

D2

168

1,43

D3

168

1,43

D4

192

1,25

5,66

EA 0 ⋅ δ 1 = 549,6 kNm

EA 0 ⋅ δ 2 = 2059,2 kNm

549,6 –3 δ 1 = --------------------------- = 2,29 ×10 m 1.000 ⋅ 240

2059,2 –3 δ 2 = --------------------------- = 8,58 ×10 m 1.000 ⋅ 240

δ 1 = 2,3 mm

δ 2 = 8,6 mm


3.2.2

Statisch unbestimmte Tragwerke

Berechnungsvorgang für 1-fach statisch unbestimmte Tragwerke: y Die überzählige Kraftgröße oder der überzählige Stab wird entfernt oder durchschnitten gedacht. Es verbleibt ein statisch bestimmtes Grundtragwerk. y Das verbleibende Tragwerk erfährt durch die Belastung an der Stelle der entfernten Bindung eine Verformung δ1. Die Bestimmung der Verformung δ1 erfolgt nach Abschnitt 3.2.1 (Berechnungsvorgang für Stabtragwerke) (Lastfall 1). y An der Schnittstelle wird entsprechend der Art der gelösten Bindung eine statisch unbestimmte Kraftgröße P entgegengesetzt der (Dreh-) Richtung der berechneten Verformung δ1 angesetzt. y Es wird eine äußere virtuelle Kraftgröße “1“ am Ort und in Richtung der gesuchten statisch unbestimmten Kraftgröße P am statisch bestimmten Grundtragwerk aufgebracht. y Aus der statisch unbestimmten Kraftgröße P und der virtuellen Kraftgröße “1“ wird nach Abschnitt 3.2.1 eine Verformung δ2 berechnet (Lastfall 2). y Die gesuchte statisch unbestimmte Kraftgröße P muß so groß sein, daß die Verformung an der Schnittstelle entsprechend dem ursprünglichen Ausgangstragwerk Null wird ( δ 1 = δ 2 statisch unbestimmte Kraftgröße P). Beispiel 3.10: Ein 1-fach statisch unbestimmter Rechteckrahmen mit konstanter Biegesteifigkeit EI wird mit einer mittigen Einzelkraft Pz beansprucht. Der Biegemomentenverlauf ist unter dieser Beanspruchung zu bestimmen ! Die Bedingung lautet:

δ1 = δ2

H

2

LF 1:

Pz L h δ 1 = -------------8EI

Siehe Abschnitt 3.2.1 Bsp. 2

Baustatik 1 3-23

3


Pz

L/2

1-fach statisch unbestimmtes Tragwerk:

i i' h

L Statisch bestimmtes Grundtragwerk: Pz i i'

δ

δ

1

LF 1

2

H

LF 2

LF 2: -Hh

Statisch unbestimmte Kraft H als Belastung am statisch bestimmten Grundtragwerk:

-Hh

H

Virtuelle Belastung am statisch bestimmten Grundtragwerk zur Bestimmung der Auflagerverschiebung aus Belastung H:

3-24 Baustatik 1

-Hh

M2

-h -h

“1“

-h

M2


s

EI ⋅ δ 2 =

³ M2 M2 ds 0

Die Berechnung des Integrals erfolgt mittels Integrationstabelle: 3 2 --- (-Hh) (-h) ⋅ h ⋅ 2 + (-Hh) (-h) ⋅ L = 2 --- Hh + Hh L EI ⋅ δ 2 = 1 3 3 2

--------- §© 2 --- h + L·¹ δ 2 = Hh EI 3 2

2 Pz L h -------------- = Hh --------- § 2 --- h + L· ¹ 8EI EI © 3 2

Pz L H = ---------------------------------- h + L· 8h §© 2 ¹ 3 3

5Hh δ 2 = ------------3EI

Wenn L = h :

3- P H = ----z 40 P h z --------4

Pz

h/2 i

3 – ------ P h 40 z

7- P h ----40 z

h

M h

Beispiel 3.11: Ein statisch bestimmter Rechteckrahmen mit konstanter Biegesteifigkeit EI und Querschnittsfläche A erfährt eine ungleichmäßige Temperaturänderung (Erwär-

Baustatik 1 3-25

3


mung der Innenseite). Die horizontale Verschiebung δ ∆T des beweglichen Auflagers ist unter dieser Beanspruchung zu bestimmen ! LF 1: Temperaturänderung: Abkühlung d

h

Erwärmung κ

δ∆T

L

T

= α

T

------⋅ ∆T

∆T

d

Abb. 3.8 Aktuelle Belastung h

h h M

“1“

Abb. 3.9 Virtuelle Belastung s

EI ⋅ δ ∆T = EIα T

∆T

- ds ³ M -----d 0

δ ∆T

------= α T ∆T d

s

³ M ds

------- §© 1 --- hh ⋅ 2 + hL·¹ = α T ∆T d 2

0

α T ∆T h -(h + L) δ ∆T = -------------------d 2

Wenn L = h:

δ ∆T

2 α T ∆T h = ----------------------------d

Beim 1-fach statisch unbestimmten Rechteckrahmen gilt:

3-26 Baustatik 1

Verformungen ebener elastischer Tragwerke Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)

δ ∆T = δ 2 LF 2: 2

--------- §© 2 --- h + L·¹ δ 2 = Hh EI 3

... Siehe Beispiel 1

2

Wenn L = h :

δ ∆T

3 2 α T ∆T h 5Hh --------------------------------------= = = δ2 d 3EI

6 α T ∆T EI H = ----------------------------5dh Wenn nur der Riegel eine ungleichmäßige Temperaturänderung erfährt:

ψ Stiel bleibt gerade

δ

∆T

α T ∆T h L δ ∆T = --------------------------d 2

Wenn L = h :

δ ∆T

α T ∆T h = ----------------------d

3.3 Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte) 3.3.1

Anmerkung

Die Berechnung der Biegelinie über die sogenannten Winkelgewichte mit Hilfe der virtuellen Kraftgrößen bietet eine Möglichkeit die Biegelinien von Stabtragwerken auf einfache Weise in Tabellenform zu berechnen. Diese

Baustatik 1 3-27

3


3.3.2 Berechnung der Biegelinie über Sehnenknickwinkel Die Biegelinie wird durch einen Polygonzug angenähert und durch Addition von einzelnen Sehnenknicken ψi ermittelt. Für Fachwerke ist dies die einfachste Methode; der Polygonzug ist zugleich für das ideale Fachwerk die richtige Biegelinie. Bei Biegestabtragwerken erhält man nur den in die Biegelinie eingeschriebenen Polygonzug. Die Sehnenknicke ψi werden mit dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen nach Abschnitt 3.2.1 bestimmt. qz

ϕ,ψ x,u 1

2

z,w

3 c

c

Aktuelle Belastung

5

4

t5

c

c

ψ ϕ

ϕ

1 ϕ

0

w2 ϕ

ψ

1

w4

w3 ϕ

2 ψ

t1

3

ψ

2

ψ

4 ϕ

5

5

Biegelinie

4

3

Die virtuellen 1/c-Kräfte bilden in den Innenbereichen von Tragwerken lokale Gleichgewichtssysteme keine Auflagerreaktionen ! “2/c“ “1/c“

“1/c“ i -1

i c

i +1

Virtuelle Belastung

c Mi 1,0

Abb. 3.10 Virtuelle Belastung je Punkt i für die Bestimmung der einzelnen Sehnenknicke in den Innenbereichen von Tragwerken.

Ausnahme:Wenn innerhalb der virtuellen 1/c-Belastung ein Gelenk liegt Auflagerreaktionen kein lokales Gleichgewichtssystem !

3-28 Baustatik 1


Durch die Anwendung des Prinzips der virtuellen Kraftgrößen für Biegestabtragwerke (Normalkräfte und Querkräfte vernachlässigt) ergibt sich im Punkt i mit der virtuellen Arbeitsgleichung der Sehnenknick ψi. EI 0 ⋅ ψ i =

³

I0 ---- MM i ds + EI 0 α T I

§

∆T · ds

³ © Ni ⋅ Tm + Mi ⋅ -----h ¹

Bei Fachwerken erhält man den Sehnenknick ψi im Punkt i mit der virtuellen Arbeitsgleichung:

¦

EA 0 ⋅ ψ i =

alle Stäbe

§A 0 - NN i ⋅ s·¹ + EA 0 αT © ----A

¦

( Ni ⋅ Tm ⋅ s )

alle Stäbe

Berechnungsvorgang: y Bestimmung der inneren Kraftgrößen am Tragwerk unter vorhandener Belastung (Schnittkräfte M und/oder N). y Aufbringung von virtuellen 1/c-Kräften am Tragwerk, wobei jeweils nur für einen Punkt i die zwei virtuellen 1/c-Kräftepaare anzusetzen sind. y Bestimmung der inneren virtuellen Kraftgrößen am Tragwerk unter den virtuellen 1/c-Kräften (virtuelle Schnittkräfte Mi und/oder Ni). y Berechnung der einzelnen Sehnenknicke ψi mit der virtuellen Arbeitsgleichung. y Berechnung der einzelnen Neigungswinkel ϕi des Polygonzuges (Achtung auf Anfangsbedingung ϕ0 und Übergangsbedingungen). ϕi = ϕi – 1 + ψi y Berechnung der einzelnen Durchbiegungen wi des Polygonzuges. w i + 1 = wi – c ⋅ ϕ i

Beispiel:

geg.: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ( I0 / I = 1,0 ) ges.: Biegelinie

Baustatik 1 3-29

3


Pz 2

1

Aktuelle Belastung:

c

c = L/4

c

5

x,u

c

L

ϕ,ψ z,w

4

3

- Pz 3c

- Pz L

- Pz 2c

- Pz c

M

Sehnenknicke ψi :

EI 0 ⋅ ψ i =

I0

³ ---I- MMi ds 2

11P z L ψ 1 = – ----------------96EI

2 --- ( 2 ( –P z 4c ) – P z 3c )1,0 ⋅ c = – 11 ------ P z c EI ⋅ ψ 1 = 1 6 6

2

3P z L ψ 2 = – -------------16EI

2 --- ( – P z 4c ⋅ 1,5 – P z 2c ⋅ 1,5 )1,0 ⋅ 2c = – 3P z c EI ⋅ ψ 2 = 1 6

2

2 --- ( – P z 3c ⋅ 1,5 – P z c ⋅ 1,5 )1,0 ⋅ 2c = – 2P z c EI ⋅ ψ 3 = 1 6

Pz L ψ 3 = – ---------8EI

2 --- ( – P z 2c ⋅ 1,5 )1,0 ⋅ 2c = – P z c EI ⋅ ψ 4 = 1 6

Pz L ψ 4 = – ----------16EI

2 --- ( – P z c )1,0 ⋅ c = – 1 --- P z c EI ⋅ ψ 5 = 1 6 6

Pz L ψ 5 = – ----------96EI

2

2

Virtuelle Belastung 1: “2/c“

“1/c“

1 M1 1,0

3-30 Baustatik 1

“1/c“ 2

3

4

5


“2/c“

“1/c“ Virtuelle Belastung 2:

“1/c“

2

1

4

3

5

M2 1,0 M3 1,0 M4 1,0 “2/c“

“1/c“ Virtuelle Belastung 5:

1

2

3

“1/c“ 4

5

M5 1,0

Neigungswinkel ϕi : ϕi = ϕi – 1 + ψi ϕ0 = 0 2

2 11P z L 11P z L ----------------ϕ1 = 0 – = – ----------------96EI 96EI 2

2

2 11P z L 3P z L 29P z L -----------------------------= – ----------------– ϕ2 = – 96EI 16EI 96EI 2

2

2

2

2 29P z L P z L 41P z L -------------------------ϕ3 = – = – ----------------– 96EI 8EI 96EI 2 41P z L P z L 47P z L --------------------------– ϕ4 = – = – ----------------96EI 16EI 96EI 2

2

2 47P z L P z L Pz L --------------------------– ϕ5 = – = – ----------96EI 96EI 2EI

Baustatik 1 3-31

3


Durchbiegungen wi : wi + 1 = wi – c ⋅ ϕi w1 = 0 § 11P L 2 · 11P z L L z ¸ = ----------------w 2 = 0 – --- ¨– ----------------384EI 4 © 96EI ¹ 3

3 11P z L L § 29P z L 2 · 5P z L 40P z L w 3 = ----------------- – --- ¨– ----------------- ¸ = ----------------- = -------------384EI 4 © 96EI ¹ 384EI 48EI 3

3

§ 41P z L 2 · 40P z L 27P z L 81P z L --- ¨– ----------------¸ = ----------------- = ----------------w 4 = ----------------- – L 384EI 4 © 96EI ¹ 384EI 128EI 3

3

3

81P z L L § 47P z L 2 · Pz L 128P z L w 5 = ----------------- – --- ¨– ----------------- ¸ = -------------------- = ----------384EI 4 © 96EI ¹ 384EI 3EI 3

Biegelinie:

t1

3

ϕ

ϕ

2

1 1

= ψ

1

w2

2

3

5

4

3 w3

ψ

ϕ

2 ψ

3

w4 w5

3

ϕ

ψ angenäherte Biegelinie (Polygonzug) wirkliche Biegelinie (kubische Parabel) ti ........ Tangente an die wirkliche Biegelinie

4

4 ϕ ψ

5

5 t5

Bei diesem Beispiel ist aufgrund der Einspannung im Punkt 1 die Tangente t1 an die wirkliche Biegelinie horizontal. Die Anfangsbedingung ergibt für den Neigungswinkel ϕ0 die triviale Lösung Null. Bei diesem Verfahren müssen die Anfangsbedingung und die Übergangsbedingungen (bei Gelenken) für die Neigungen der Tangenten an die wirkliche Biegelinie bekannt sein, z.B. beim Einfeldträger der Neigungswinkel ϕ0 der wirklichen Biegelinie beim Auflager. Dies erfordert, von Sonderfällen ausgenommen, zumindest eine Berechnung nach Abschnitt 3.2 (Verformungen einzelner Tragwerkspunkte) um die Anfangs- und/oder Übergangsbedingung zu erhalten.

3-32 Baustatik 1


3.3.3

Berechnung der Biegelinie über Winkelgewichte

Ein besseres Verfahren zur Bestimmung der Biegelinie ist die Analogie nach Mohr (Abschnitt 3.1.4). Hier erfolgt die Bestimmung der Biegelinie durch Aufbringung der 1/EI-fachen Biegemomentenfläche der wirklichen Belastung als Belastung auf ein Ersatztragwerk, das die Rand- (Anfangs-) und Übergangsbedingungen voll erfüllt, sodaß diese nicht wie nach Abschnitt 3.3.2 gesondert bestimmt werden müssen. qz Aktuelle Belastung:

1

2

3 c

c ϕ,ψ

x,u

5

4 c

c

z,w 2 q L z ------------8EI

1

Ersatzträger:

M----EI

2

5

4

3

Die M/EI-Belastung wird durch Einzelkräfte Wi ersetzt. W1 1

Ersatzträger:

W

1

2

–ϕ

Q

e

= negative Neigungswinkel der Polygone der Biegelinie vom wirklichen Träger

0

W4

W5 5

4

3

1 W

A = –ϕ

W3

W2

2

–ϕ

2 W

3

–ϕ

3

W

4

B = –ϕ –ϕ

4

W

5

5

Baustatik 1 3-33

3


M

w2

e

= durch Polygonzug angenäherte Biegelinie vom wirklichen Träger

ϕ

w4

w3

1 ϕ

ψ

4

2

ψ

2

ψ ϕ

3

ϕ

4

3

Aus der Biegemomentenlinie und der Querkraftlinie des Ersatzträgers ist ersichtlich, daß die Einzelkräfte Wi gleich den Sehnenknickwinkeln ψi sind ( Wi ... WINKELGEWICHTE). Wi = ψi

Berechnungsvorgang: y Bestimmung der inneren Kraftgrößen am Tragwerk unter vorhandener Belastung (Schnittkräfte M und/oder N). y Aufbringung von virtuellen 1/c-Kräften am Tragwerk, wobei jeweils nur für einen Punkt i die zwei virtuellen 1/c-Kräftepaare anzusetzen sind. y Bestimmung der inneren virtuellen Kraftgrößen am Tragwerk unter den virtuellen 1/c-Kräften (virtuelle Schnittkräfte Mi und/oder Ni). y Bestimmung der einzelnen Winkelgewichte Wi mit der virtuellen Arbeitsgleichung (analog den Sehnenknicken ψi). y Aufbringung der Winkelgewichte Wi auf das Mohr´sche Ersatztragwerk. y Bestimmung der Auflagerkräfte und Querkräfte Qei am Ersatztragwerk; diese stellen die negativen Neigungswinkel ϕi der Polygone der Biegelinie vom wirklichen Tragwerk dar. y Bestimmung der Biegemomentenlinie Me des Ersatztragwerkes, die zugleich die durch einen Polygonzug angenäherte Biegelinie vom wirklichen Tragwerk darstellt. Bestimmung der Winkelgewichte: z.B. Winkelgewicht W2 für einen Einfeldträger, der mit einer Gleichlast qz beansprucht wird: W2 = ψ2 =

3-34 Baustatik 1

³

2

qz L L MM 1 - ( 5 – 0,5 – 0,5 2 )M 1,0 ⋅ 2c = ----------17 - ---------------------2- ds = ----------- --3 12EI EI 48EI 8 2


3

17q z L W 2 = ψ 2 = ----------------768EI Virtuelle Belastung 2:

Aktuelle Belastung: qz 1 c = L/4

“1/c“

“1/c“

1

3

2

“2/c“ 3

2

c

M

M2

2

q L z -----------8

1,0

W2 1

Ersatzträger:

2

3

Wird das Mohr´sche Ersatztragwerk mit trapezförmigen 1/EI-fachen Biegemomentenlinien belastet, so können die Winkelgewichte Wi mit folgenden Formeln vereinfacht ermittelt werden:

Winkelgewicht:

Randwinkelgewichte:

1- ⋅ --c- ( M + 4M + M ) W i = ----i–1 i i+1 EI 6 1- ⋅ --c- ( 2M + M ) W i – 1 = ----i–1 i EI 6 1- ⋅ --c- ( M + 2M ) W i + 1 = ----i i+1 EI 6 M -------i EI M i – 1--------------EI i -1

M i + 1--------------EI i +1

i c

c

Wird das Mohr´sche Ersatztragwerk mit parabelförmigen 1/EI-fachen Biegemomentenlinien belastet, so können die Winkelgewichte Wi mit folgenden Formeln vereinfacht ermittelt werden:

Baustatik 1 3-35

3


1 c W i = ------ ⋅ ------ ( M i – 1 + 10M i + M i + 1 ) EI 12

Winkelgewicht:

Randwigew.:

1 c W i – 1 = ------ ⋅ ------ ( 3,5M i – 1 + 3 M i – 0,5M i + 1 ) EI 12 1 c W i + 1 = ------ ⋅ ------ ( – 0,5M i – 1 + 3M i + 3,5M i + 1 ) EI 12 M -------i EI

M i + 1--------------EI

M i – 1--------------EI i -1

i

i +1

c

c

Bei Fachwerken ermittelt man die Winkelgewichte Wi mit folgender Formel:

¦

Wi =

alle Stäbe

§ NN i · ¨ ------------ s + α T ⋅ N i ⋅ T m ⋅ s¸ © EA ¹

Beispiel 1: geg.: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ( I0 / I = 1,0 ) ges.: Biegelinie (Vergleichsrechnung mit Beispiel nach Abschnitt 3.3.2) Pz

Aktuelle Belastung:

1

2 L/4 ϕ,ψ

3 L/4

4 L/4

5

x,u

L/4

z,w

Ersatzträger:

W2

W1 1

2

Wi = ψi

3-36 Baustatik 1

W3 3

W4 4

W5 5


2

2

11P z L W 1 = – ----------------96EI

2

3P z L W 2 = – -------------16EI 2

PzL W 3 = – ---------8EI 2

PzL W 4 = – ----------16EI

Pz L W 5 = – ----------96EI –ϕ –ϕ

2 P L z Q x ------------EI = negative Neigungswinkel der Polygone der Biegelinie vom wirklichen Träger

–ϕ

e

2

= 29 -----96

41= ----96

3

4

= 47 -----96

W5

W4

W3

W2 –ϕ

1

B = –ϕ

5

1= -2

= 11 -----96

W1

ϕ 3 11P L w = -------e z 2 M x ------------384 EI = durch Polygonzug angenäherte Biegelinie vom wirklichen Träger

Beispiel 2: geg.:

ϕ

1 w

3

2

5= ----48

ϕ w

4

27= -------128

3

w ϕ

5

= 1--3

4

Fachwerk Pz = 60 kN Obergurte 12/20 cm Untergurte 12/14 cm Vertikalstäbe 2x6/10 cm Diagonalstäbe D1, D4 12/16 cm Diagonalstäbe D2, D3 12/14 cm Bauholz - Fichte

ges.:

Biegelinie

Baustatik 1 3-37

3


O3

4,0 m

O2

D1

V1 U1

1

D2

D3

V2

U3

U2 2

U4

3 Pz

4,0 m

D4

V3

4

5

Pz

Pz 4,0 m

4,0 m

4,0 m

Aktuelle Belastung: N 60 kN

60 kN

60 kN

90 kN

90 kN

Virtuelle Belastung 2: D1 N2

W2 = W4

V1

D2 U2

U1 2 “1/4“

“1/2“

O2

Virtuelle Belastung 3: N3

W3

“1/4“

V1

O3 D3

D2

V3

3 “1/4“

3-38 Baustatik 1

“1/2“

“1/4“


Stab

A

A0 -----A

s

N

N2

N3

-

cm²

-

m

kN

1/m

1/m

O2

A0 A ------ NN 2 s ------0 NN3 s A A kN

kN

-120

0

-0,250

0

120,0

-120

0

-0,250

0

120,0

90

0,250

0

128,7

0

90

0,250

0

128,7

0

90

0

0

0

0

U4

90

0

0

0

0

V1

60

0,50

-0,250

240,0

-120,0

0

0

0

0

0

60

0

-0,250

0

-120,0

-127,3

-0,354

0

318,8

0

42,4

-0,354

0,354

-121,5

121,5

42,4

0

0,354

0

121,5

-127,3

0

0

0

0

¦

694,7

243,0

O3

240

1,0

4,0

U1 U2 U3

V2

168

120

1,43

2,0

4,0

4,0

V3 D1

192

1,25

D2

168

1,43

D3

168

1,43

D4

192

1,25

5,66

EA 0 ⋅ W i =

¦ alle Stäbe

§A 0 - NN i ⋅ s·¹ © ----A

A0 = 240 cm²

E = 1.000 kN/cm² ... für Fichte, Tanne, Kiefer lt. Ö-NORM B 4100/Teil 2 EA 0 ⋅ W 2 = 694,7 kN EA 0 ⋅ W 3 = 243,0 kN EA 0 ⋅ W 4 = 694,7 kN 4

EA 0 = 24 ×10 kN

Baustatik 1 3-39

3


694,7 kN Ersatzträger:

1

3

2

Kräfte x EA0 816,2 kN

4,0 m

694,7 kN

243,0 kN

4,0 m

4,0 m

x,u

5

4 4,0 m

816,2 kN

z,w M

e

x EA0 3.264,8 kNm

3.264,8 kNm

3.750,8 kNm w3

w2

Biegelinie:

w4

13,6 mm

13,6 mm 15,6 mm

Kontrolle: Berechnung der vertikalen Durchbiegung w3 mit dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen (Abschnitt 3.2.1) Aktuelle Belastung: N 60 kN

60 kN

90 kN

60 kN 90 kN

Virtuelle Belastung 3: N3 3 “1“ 1/2

EA0 ⋅ w 3 =

1/2

¦ alle Stäbe

3-40 Baustatik 1

A0 § ----· © A- NN 3 ⋅ s¹

EA0 = 24·104 kN


Stab

A

A0 -----A

s

N

N3

A0 ------ NN 3 s A

-

cm²

-

m

kN

-

kNm

O2

-120

-1,0

480,0

-120

-1,0

480,0

90

0,50

257,4

90

0,50

257,4

90

0,50

257,4

U4

90

0,50

257,4

V1

60

0

0

0

0

0

60

0

0

-127,3

-0,707

636,8

42,4

0,707

242,6

42,4

0,707

242,6

-127,3

-0,707

636,8

¦

3.748,4

O3

240

1,0

4,0

U1 U2 U3

V2

168

120

1,43

2,0

4,0

4,0

V3 D1

192

1,25

D2

168

1,43

D3

168

1,43

D4

192

1,25

5,66

EA 0 ⋅ w 3 = 3.748,4 kNm 3.748,4 –3 w 3 = -----------------4- = 15,6 ×10 m 24 ×10 w 3 = 15,6 mm

Baustatik 1 3-41

3

Verformungen ebener elastischer Tragwerke Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)

3.4 Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)

3.4.1 Stäbe an ein festes Auflager angeschlossen Längenänderung eines Stabes: N δ i = §© -------- + αT ⋅ T m·¹ ⋅ s EA δ C δ

S1

1 δ

2

δ

C C'

0 = A' = B' δ 2

1 δ

C

S2

A = A'

C' B = B'

Abb. 3.11 Verschiebung eines Dreigelenkknotens mit Verschiebungsplan.

Die Verbindung der beiden Stäbe S1 und S2 wird im Knoten C gelöst, sodaß sich die Stäbe unabhängig voneinander verformen können. Danach werden die beiden Stabenden durch Drehung der Stäbe um ihre festen Punkte A und B wieder zusammengeführt, wobei die beiden Stabenden Kreisbogen beschreiben. Der Schnittpunkt beider Kreisbogen ergibt die Lage des Knotens C nach der Verformung (verformtes Tragwerk A’, B’ und C’). Da die Längenänderungen δi der Stäbe i gegenüber den Stablängen si sehr klein sind, werden die Kreisbogen durch deren Tangenten ( ⊥ zu den Stäben des unverformten Tragwerkes) ersetzt. Verschiebungsplan: Die Punkte A und B sind unverschieblich und stimmen mit den Punkten A’ und B’ des verformten Tragwerkes überein. Diese Punkte werden deswegen als Bezugspunkt 0 gewählt, sie müssen im Verschiebungsplan zusammenfallen ( 0 = A’ = B’ ). Von diesem Bezugspunkt 0 ausgehend werden die Längenänderungen δi der Stäbe i unter Beachtung ihrer Vorzeichen (Verlängerung δ1, Verkürzung δ2 ) in Richtung der Stäbe des unverformten Tragwerkes aufgetragen. Die in

3-42 Baustatik 1


den Endpunkten der aufgetragenen Längenänderungen δi errichteten Senkrechten (Tangenten) schneiden sich im Punkt C’.

3.4.2

Fachwerkstäbe an kein festes Auflager angeschlossen

Sind die Punkte A und B selbst verschieblich und die Verschiebungen δA und δB bekannt, so wird die Verschiebung δC des Knotens C wie folgt ermittelt: Die Verbindung im Knoten C wird gelöst. Die Verschiebung δC des Knotens C läßt sich dann zergliedern in y eine Parallelverschiebung (Translation) y eine Längenänderung y eine Drehung (Rotation).

δ

C

δ

S1

A

δ

δ 2

δ

0=A=B=C

1

B δ

C

2

δ

A A' B'

1 δ

C

S2 δ

A

C'

C'

A' B δB B'

Abb. 3.12 Verschiebung eines Fachwerkknotens mit Verschiebungsplan.

Verschiebungsplan: Der Knoten C wird als Anfangspunkt 0 gewählt, er enthält gleichzeitig Punkt A und B. An ihm werden die Punktverschiebungen (Translation) δA und δB aufgetragen. An die erhaltenen Punkte A’ und B’ werden die Längenänderungen δ1 und δ2 aufgetragen und in den Endpunkten die Senkrechten (Rotation) errichtet. Der Schnittpunkt beider Senkrechten ergibt den Punkt C’. Durch wiederholte Anwendung der beiden Abschnitte 3.4.1 und 3.4.2 läßt sich die Verschiebung δ jedes Fachwerkknotens ermitteln.

Baustatik 1 3-43

3


3.4.3 Verschiebungspläne ganzer Fachwerke Beispiel 3.12: 1

a

3

e

5

d

b

f

c

4

2

P4

Stab von bis

δ [ mm ]

a

1

3

1,0

b

2

3

-2,0

c

2

4

-2,5

d

3

4

0,5

e

3

5

0

f

5

4

0 0 = 1' = 2' δ a δ b δ 3

1 = 2 c

w3

δ

δ

Untergurt

4

w4 = w5

3

3' δ d

Obergurt

M : 1 cm = 1 mm 4 = 5

4'

5'

Abb. 3.13 Biegelinie und Verschiebungsplan - Beispiel 1

Der Verschiebungsplan liefert die Verschiebungen δi der Knotenpunkte i relativ zum Bezugspunkt 0. Da die Punkte 1 und 2 keine Verschiebungen erfahren, sind die relativen Verschiebungen gleichzeitig die wirklichen Verschiebungen der Knotenpunkte. Sollen für eine bestimmte Richtung die Knotenverschiebungen ermittelt werden, so sind die totalen Verschiebungen der Knoten auf diese Richtung zu projizieren.

3-44 Baustatik 1


Damit können z.B. die Biegelinien von Ober- und/oder Untergurte, sofort ermittelt werden. Beispiel 3.13: 3 Drehfessel

Stab von d

a

1

e

c

b

2

4

P2

δ [ mm ]

bis

a

1

2

2,0

b

2

4

2,0

c

2

3

1,0

d

1

3

-1,5

e

3

4

-1,5

M : 1 cm = 1 mm 1

w3

4

δ

1'

δ

δ 2

4'

4

3

Untergurt δ w2

Diagonale

2

3

e

3' δ δ

δ

a

d

c

0 = 2'

δ

b


Bei diesem Fachwerk ist nur der Punkt 1 unverschieblich. Wegen der Symmetrie von System und Belastung erfährt der Stab c bei der Verformung keine Verdrehung: Der Punkt 2’ des Verschiebungsplanes wird daher als Bezugspunkt 0 gewählt. Der Punkt 3’ ergibt sich, wenn die Längenänderung δC parallel zum Stab c im Punkt 2’ aufgetragen wird (Drehfessel). Im Verschiebungsplan sind damit zwei Punkte bekannt und alle weiteren werden nach Abschnitt 3.4.1 ermittelt.

Baustatik 1 3-45

3


Der Auflagerpunkt 1 muß durch die Auflagerbedingungen liegenbleiben. Entgegen der Annahme ist in Wirklichkeit nicht 2, sondern 1 der feste Punkt. Die totalen Verschiebungen δi ergeben sich somit als Abstände vom festen Punkt 1’ aus. Bisher wurde bei der Ermittlung der Verschiebungen davon ausgegangen, daß die Lage zweier benachbarter Knotenpunkte im Verschiebungsplan bekannt ist (entweder beide Knoten unverschieblich oder eine Stabrichtung erfährt keine Verdrehung). Im allgemeinen ist dies nicht der Fall. Beispiel 3.14: 3

Stab von d

1

a Drehfessel

2

δ [ mm ]

a

1

2

2,0

b

2

4

2,0

c

2

3

1,0

d

1

3

-1,5

e

3

4

-1,5

e

c

bis

b P2

4

Es wird ein beliebiger Knotenpunkt (1) als Bezugspunkt 0 gewählt. Die Richtung eines von diesem Knoten (1) ausgehenden Stabes (a) wird als festliegend betrachtet (Drehfessel). Die daraus ermittelten Verschiebungen widersprechen zwar den Auflagerbedingungen, diese werden aber durch eine zusätzliche Verdrehung (Drehpol 1’) um 90° erfüllt. Es sollte als Bezugspunkt 0 immer ein Knotenpunkt gewählt werden, der in der Mitte des Fachwerkes liegt, damit sich Zeichenungenauigkeiten nicht zu sehr fortpflanzen !

3-46 Baustatik 1


δ

4''

4

4'

4

M : 1 cm = 1 mm

w3

3''

2''

δ

δ

1

Untergurt

e

2

3'

w2

onale Diag

3

δ

3

δ c a 0 = 1' = 1'' 2' δ

2 δ

δ

b

d

i''.......... um 90° gedrehtes, ähnliches Fachwerk


Baustatik 1 3-47

3

3-48 Baustatik 1


4

Statisch unbestimmte Systeme Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens

4.1 Allgemeines Statisch unbestimmte Systeme sind dadurch gekennzeichnet, daß sämtliche Auflagerkräfte und innere Kräfte nicht mehr durch die Gleichgewichtsbedingungen alleine bestimmbar sind. Die Berechnung solcher Systeme kann mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens oder des Weggrößenverfahrens erfolgen. Zur Durchführung der Berechnung ist es erforderlich, den Grad der statischen bzw. kinematischen Unbestimmtheit des Systems zu kennen. Die Ermittlung des Unbestimmtheitsgrades eines Systems kann durch Rückführung auf ein statisch bzw. kinematisch bestimmtes System erfolgen. Es besteht eventuell auch die Möglichkeit das System auf ein statisch bzw. kinematisch unbestimmtes zurückzuführen, sofern dessen Grad der statischen oder kinematischen Unbestimmtheit bekannt ist.

4.1.1

Statisch bestimmtes Grundsystem

Es werden so viele Bindungen entfernt (Schnitt- oder Lagergrößen), bis das System statisch bestimmt ist. Die Anzahl der gelösten Bindungen entspricht dem Grad der statischen Unbestimmtheit. Jeder dieser Bindungen entspricht eine Schnitt- oder Auflagergröße.

Baustatik 1 4-1

4

Statisch unbestimmte Systeme Allgemeines

Beispiele für statisch bestimmte Grundsysteme:

System


4.1.2 Kinematisch bestimmtes Grundsystem Es werden so viele Knotenweggrößen gesperrt, bis das System kinematisch bestimmt ist, das heißt bis alle Knotenweggrößen fest vorgegeben sind.Beispiele für kinematisch bestimmte Grundsysteme: Beispiele für kinematisch bestimmte Grundsysteme:

System

4-2 Baustatik 1

Kinematisch bestimmtes Grundsystem


Kinematisch bestimmtes Grundsystem

System

4.2 Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens Kraftgrößenverfahren

Weggrößenverfahren Deformationsmethode

Matrix Flexibility Method

Matrix Stiffness Method

Statisch unbestimmtes statisch bestimmtes System wird ersetzt durch Grundsystem ein

kinematisch bestimmtes Grundsystem

Unbekannte sind

Kraftgrößen

Weggrößen

Gleichungssystem mit Hilfe von

Verträglichkeitsbedingungen

Gleichgewichtsbedingungen

mit

virtuellen Kraftgrößen

virtuellen Weggrößen

Lösung ist Summe von

n Spannungszuständen aus unbekannten Kraftgrößen + Lastspannungszustand

n Verformungszuständen aus unbekannten Weggrößen + Lastverformungszustand

Baustatik 1 4-3

4

4-4 Baustatik 1


5

Kraftgrößenmethode Einführung Grundlagen Verformungsberechnung Einflußlinien

5.1 Allgemeines Das Kraftgrößenverfahren ist eine Möglichkeit zur Berechnung von beliebigen äußerlich und innerlich statisch unbestimmten Systemen. Die in einem statisch unbestimmten System auftretenden Schnittgrößen und Auflagerkräfte sind nicht nur auf äußere Lasten zurückzuführen, sondern können auch durch Temperaturänderung und Verschiebungen (Auflagerverschiebung, Zwangseinbau) entstehen. Die Auflagerkräfte und Schnittgrößen sind auch nicht mehr durch die Gleichgewichtsbedingungen alleine bestimmbar. Für ihre Berechnung werden so viele Verträglichkeitsbedingungen benötigt, wie statisch unbestimmte Größen vorhanden sind. Um die Verträglichkeitsbedingungen aufstellen zu können, werden bei einem nfach statisch unbestimmten System an den Lagern durch Freisetzen von gesperrten Freiheitsgraden und durch Schnitte in den Stäben insgesamt n Bindungen gelöst, sodaß ein statisch bestimmtes Grundsystem entsteht. An diesem Grundsystem werden an allen Schnittufern die im Schnitt freigelegten Kraftgrößen angebracht. Diese statisch unbestimmten Größen können sowohl Auflagerkräfte, Biegemomente, Querkräfte, Normalkräfte als auch Torsionsmomente sein. Bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen kann es von Vorteil sein, anstatt eines statisch bestimmtem Grundsystems ein statisch unbestimmtes zu wählen, wenn für dieses System die Schnittkraftverteilungen bereits bekannt sind.

Baustatik 1 5-1

5

Kraftgrößenmethode Einführung in das Kraftgrößenverfahren

5.2 Einführung in das Kraftgrößenverfahren 5.2.1 Träger und Rahmen Der Rechengang wird anhand eines einfachen Beispiels, einem Einfeldträger laut Abb. 5.1 a , erläutert. Der Träger ist an einem Auflager einspannt, am anderen Auflager nur vertikal gestützt. Somit sind vier Auflagerkräfte vorhanden. Für ein ebenes System stehen aber nur drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, daher ist dieses System 1-fach statisch unbestimmt. Die nächste Aufgabe besteht nun darin ein statisch bestimmtes Grundsystem zu wählen. Für dieses Beispiel wird das Auflager B entfernt, sodaß als statisch bestimmtes Grundsystem ein eingespannter Träger (Kragarm) entsteht (Abb. 5.1 b). Es wäre auch möglich, ein Moment am Auflager A anzusetzen und als statisch unbestimmte Größe zu verwenden, indem man die Einspannung löst. In diesem Fall wäre das statisch bestimmte Grundsystem ein Einfeldträger. Diese Möglichkeit wird später anhand eines weiteren Beispiels gezeigt. Aufgrund der äußeren Last P wird sich der Träger im Punkt 1 um das Maß δ10 nach unten durchbiegen, und daher wird die Auflagerbedingung verletzt. Bei dem Formänderungsausdruck für die Klaffung δ10 gibt der erste Index „1“ den Ort an, und der zweite Index „0“ weist auf die Ursache (Belastung) hin. Tatsächlich ist das Auflager B aber vertikal unverschieblich, das heißt die endgültige Klaffung δ1 muß zu Null werden. Damit diese Bedingung erfüllt wird, muß nun im Punkt 1 eine Kraft angebracht werden, die diese Klaffung δ10 wieder schließt. Die statisch unbestimmte Größe wird zunächst mit X1 = 1 angesetzt. Diese Größe X1 erzeugt nun eine Durchbiegung δ11. Diese Zustandsgröße wird nun solange erhöht, bis die Klaffung gleich Null ist. Die Gesamtformänderung an der Stelle 1 kann somit durch die Verträglichkeitsbedingung δ 1 = X 1 ⋅ δ 11 + δ 10 = 0 beschrieben werden. Aus dieser Gleichung ergibt sich δ 10 X 1 = – ------δ 11

5-2 Baustatik 1


P 1

a A

System

B

b

Statisch bestimmtes Grundsystem P

c

δ 10

δ 11

d X1 = 1 P

Verformungsfigur

e

infolge der Last P

Abb. 5.1 Vorgehensweise bei der Kraftgrößenmethode bei einfach statisch unbestimmten Systemen

Wie anfangs erwähnt sind auch andere Einflüsse, wie Auflagerverschiebung und Temperaturänderung möglich. In diesem Fall lautet die Verträglichkeitsbedingung

δ 1a

+

δ 1t

® ¯

+

® ¯

δ 10

® ¯

X 1 δ 11 +

äußere Belastung

Auflagerverschiebung

Temperaturänderung

= 0

Daraus folgt

Baustatik 1 5-3

5


δ 10 + δ 1a + δ 1t X 1 = – --------------------------------δ 11 Nachdem die statisch unbestimmte Kraft bestimmt ist, können die übrigen statischen Größen auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes ebenso bestimmt werden. Für die Schnittgrößen gilt:

S = S0 + X1 ⋅ S1

Für die Formänderungen gilt:

δ = δ0 + X1 ⋅ δ1

S0

…

Schnittkraft am statisch bestimmten System infolge der Belastung P.

S1

…

Schnittkraft am statisch bestimmten System infolge X1 = 1.

δo

…

Formänderung am statisch bestimmten System infolge der Belastung P.

δ1

…

Formänderung am statisch bestimmten System infolge X1 = 1.

Beispiel 5.1: Lastfall 1: Gleichlast Für einen auf einer Seite eingespannten Einfeldträger sollen die Auflager- und Schnittkräfte infolge der Gleichlast q bestimmt werden. q A

EI = const. = EIC

B

L

Um dieses Beispiel lösen zu können, bieten sich zwei Möglichkeiten an: X1=1 L

Abb. 5.2 Als Unbekannte wird eine Kraft gewählt

5-4 Baustatik 1


X1=1 L

Abb. 5.3 Als Unbekannte wird ein Moment gewählt

a) Als Unbekannte wird eine Kraft gewählt Die Auflagerkraft B wird als Unbekannte eingeführt, wie aus Abb. 5.1 ersichtlich. Die Auflagerkraft ergibt sich aus δ 10 X 1 = – ---------δ 11

q

System x L

X1

„1“

M1 L

2 qL – ---------2


Einheitsbelastung (virtuelle Last der Größe „1“)

Momentenverlauf aus der Einheitsbelastung am statisch bestimmten Grundsystem

Momentenverlauf aus der M0

Belastung q am statisch bestimmten Grundsystem

Abb. 5.4 Kraftgrößenmethode für ein 1-fach statisch unbestimmtes System

Baustatik 1 5-5

5


Mit Hilfe der Methode der virtuellen Kraftgrößen erhält man den Ausdruck L

EI C δ 10 =

³ M 1 M0 ds 0

Die Auswertung des Integrals mit Hilfe der Integraltabelle ergibt 2

EI C δ 10

1qL 2 = – --- ----------- L . 4 2

Aus denselben Überlegungen heraus ergibt sich EI C ⋅ δ 11 =

³ M1 ds 2

1 3 = --- ⋅ L 3

Mit diesen beiden Formänderungswerten wird nun X1 berechnet: EIC δ 10 --- q l = B X1 = – ----------------= 3 8 EIC δ 11 Nachdem die Auflagerkraft B bestimmt worden ist, kann man nun mit Hilfe des Superpositionsgesetzes die restlichen Schnittkräfte bestimmen. M = M 0 + X1 ⋅ M1 Q = Q0 + X1 ⋅ Q1 Die Schnittkräfte an der Einspannungsstelle sind 2

M( x =

L)

Q( x =

2 qL 2 q L--- q L = – ---------= – ----------- + 3 2 8 8

L)

5qL --- q L = ------------= qL–3 8 8

Die Schnittkräfte in Stabmitte sind 2

M( x =

L ⁄ 2)

Q( x =

2

qL qL 3 2 = – ---------- + ------ q L = ---------8 16 16

L ⁄ 2)

qL qL --- q L = -------= -------- – 3 2 8 8

Um die Stelle des maximalen Momentes zu erhalten, wird Q = 0 gesetzt, da die Momentenverteilung ein Extremum besitzt, an dem Q = 0 ist.

5-6 Baustatik 1


Aus

3 Q = q x – --- q L = 0 8

2

Mit

x = 3 --- L 8

wird

3 x = --- L . 8

folgt Mmax bei 2

2

9qL 9 qL 9 q L = – -------------- + ---------------- = ---------------- . 128 64 128

M max

2 qL – -----------8 Momentenverteilung 2 q----------L16

Mmax

3qL – ------------8

Querkraftverteilung

5qL ---------8

3/8 L L/2 L

Abb. 5.5 Endgültige Schnittkraftverteilungen

b) als Unbekannte wird ein Moment gewählt Nun wird als statisch unbestimmte Größe das Moment im Auflager A, wie aus Abb. 5.1 zu erkennen ist, gewählt. Analog zum vorangegangen Beispiel erhält man das Moment über die Gleichung: δ 10 X 1 = – ------δ 11 Die Formänderungsausdrücke δ10 und δ11 sind nun nicht wie zuvor Verschiebungen (Durchbiegungen) sondern Verdrehungen.

Baustatik 1 5-7

5


X1

Statisch bestimmtes Grundsystem L Knotenverdrehung infolge X1

-1 M1

δ11 X 1= 1 Knotenverdrehung infolge q q

M0

δ10 2 qL ---------8 L

Abb. 5.6 Kraftgrößenmethode für ein 1-fach statisch unbestimmtes System

Die Sehnenverdrehung δ11 infolge X1= 1 ergibt L

EI C δ 11 =

³ M1 ds 2

--- L . = 1 3

0

Die Sehnenverdrehung δ10 infolge q ergibt 2

mit

qL --- ---------- L EIC δ 10 = – 1 3 8

folgt

2

qL X 1 = --------8

Man sieht, daß die Einspannmomente in beiden Fällen gleich groß sind. Die Schnittkräfte werden wiederum mit Hilfe des Superpositionsgesetzes berechnet. Die Momenten- und Querkraftverteilung sind daher dieselben wie in Abb. 5.5. Lastfall 2: Temperatur Temperaturveränderungen können Schnittkräfte an einem statisch unbestimmten System aber niemals an einem statisch bestimmten System verursachen.

5-8 Baustatik 1


+To System - Tu L

δ10

Verformung infolge Temperatur

δ11

Verformung infolge X1

X1=1

Abb. 5.7 Kraftgrößenmethode für ein temperaturbeanspruchtes System

Aufgrund der Temperaturdifferenz zwischen der Oberkante und der Unterkante des Trägers entsteht am statisch bestimmten Grundsystem eine Verformung d1t . Die Formänderungswerte betragen L

δ 10 = α t

³ 0

M 1 ∆T ------- ds h

∆T = ( T u – T o )

L

EI C δ 11 =

³ M1

2

ds

0

Mit diesen beiden Formänderungswerten kann X1 bestimmt werden. δ 10 X 1 = – ------δ 11 Die Schnittkräfte können auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes bestimmt werden. M = X1 ⋅ M1

weil

M0 = 0

Q = X1 ⋅ Q 1

weil

Q0 = 0

Für die Formänderungen gilt aber

Baustatik 1 5-9

5


δ = δ0 + X1 δ1 Lastfall 3: Auflagerverschiebung Auflagersetzungen können Schnittkräfte an einem statisch unbestimmten aber niemals an einem statisch bestimmten System verursachen. Auflagerverschiebung = ∆ System

X1

Lösen der Bindung

X1

δ10

Auflagerverschiebung um ∆

δ11 X1=1

Abb. 5.8 Kraftgrößenmethode für ein System infolge einer Auflagerverschiebung

Da die Verschiebung ∆ des Auflagers in Richtung der statisch unbestimmten Größe erfolgt ist die Klaffung δ10 = ∆ positiv. δ 10 = ∆ L

EI C δ 11 =

³ M1 0

Mit Hilfe der Formänderungswerte wird

5-10 Baustatik 1

2

dx


δ 10 X 1 = – ------δ 11 Für die Schnittkräfte gilt: M = X1 ⋅ M1

weil

M0 = 0

Q = X1 ⋅ Q 1

weil

Q0 = 0

Für die Formänderungswerte gilt: δ = δ0 + X1 δ1 Beispiel 5.2: Für einen Zweigelenkrahmen ist die Momentenverteilung zu berechnen. q = 10 kN/m

1

I2 = 4 I1 = 4 I3 I2 = IC

3

h = 2,5 m

2

X1 L = 3,0 m


Baustatik 1 5-11

5


X1

δ11

Verformungsfigur infolge X1 = 1

δ10

Verformungsfigur infolge Gleichlast q

Abb. 5.9 Beispiel für die Berechnung eines Zweigelenkrahmen

Mmax

M0 2

2

M max

3----- = 10 ⋅ ---= qL = 11, 25 kNm 8 8 2,5

2,5

2,5

2,5

X1 M1

Abb. 5.10 Momentenverteilung infolge der Belastung und der statisch unbestimmten Größe X1 am statisch bestimmten Grundsystem

5-12 Baustatik 1


Als statisch unbestimmte Größe wird eine horizontale Auflagerkraft (Abb. 5.9) gewählt. Die Verträglichkeitsbedingung lautet: δ 1 = X 1 δ 11 + δ 10 = 0 Aus der Verträglichkeitsbedingung ergibt sich die statisch unbekannte Größe zu EI C δ 10 X 1 = – ------------------ . EI C δ 11 Die Formänderungswerte ergeben sich aus 2

EI C δ 10 EI C δ 11 =

2 qL = ³ M 1 M 0 dx = – --- L ----------- h = –56 ,25 8 3 1 2 2 IC 2 M ³ 1 ----I dx = 4 ⋅ 2 --3- h h + h L = 60 ,42

Daraus folgt EI C δ 10 X 1 = – ------------------ = 0 ,93 EI C δ 11 Die Momentenverteilung wird mit Hilfe des Superpositionsgesetzes bestimmt. M = M0 + X1 M 1 Verformungsfigur

Endgültige Momentenlinie

Abb. 5.11 Graphische Ergebnisdarstellung mit dem Programm Ruckzuck

Baustatik 1 5-13

5


5.2.2 Fachwerk Für die Berechnung von Fachwerken gelten ebenso die im Abschnitt 5.1 erwähnten Grundprinzipien. Beispiel 5.3: Lastfall 1: Einzellast P Die Formänderungswerte ergeben sich zu

M

¦m = 1

§N N A EA C α t ------C- s· © 0 1 A ¹m +

M

¦m = 1 ( N 1 t 0 s ) m

° ° ° ° ® ° ° ° ° ¯

EA C δ 10 =

Temperaturanteil

Der Temperaturanteil in diesem Beispiel ist Null - nur die äußere Last P wirkt. EA C δ 11 = m

…

Stabnummer

s

…

Stablänge

M

§

2

AC ·

-s ¦m = 1 © N1 -----A ¹m

Die statisch unbestimmte Größe errechnet sich wieder mit δ 10 X 1 = – ------δ 11 System P

Statisch bestimmtes Grundsystem X1 X1

5-14 Baustatik 1


δ11

X1 = 1

δ10 P

X1 = 1

Verformungsfigur infolge P Stabkräfte N0

Verformungsfigur infolge X1=1 Stabkräfte N1

Abb. 5.12 Kraftgrößenmethode für ein Fachwerk mit der Belastung P

Wie Anfangs erwähnt können Auflagerreaktionen und Schnittkräfte nicht nur durch äußere Lasten und Temperaturänderungen entstehen, sondern auch durch den Einbau von zu langen oder zu kurzen Stäben (Zwangseinbau). Lastfall 2: Zwangseinbau System a

∆ X1 X1

Der Stab a ist um die Länge ∆ zu kurz. Um nun diese Klaffung ∆ schließen zu können, wird eine Kraftgröße X1 = 1 angebracht und solange gesteigert, bis die Klaffung Null ist. Da eine Verkürzung entgegen der virtuellen Kraft „1“ wirkt, ist δ 10 = – ∆ EA C δ 11 =

AC

- s· ¦m = 1 §© N1 -----A ¹m M

2

Abb. 5.13 Zwangseinbau

Aus den Formänderungswerten folgt

Baustatik 1 5-15

5


δ 10 X 1 = – ------δ 11 Die Kraftgröße muß aber nicht unbedingt an dem Stab, der einem Zwangseinbau unterworfen wird, angesetzt werden, sondern sie kann auch an anderen Stäben angesetzt werden (Abb. 5.14). System

3

2

X1

X1

∆

b

1 A

∆

4 B

Abb. 5.14 Zwangseinbau - alternativer Lösungsansatz

∆1 X1 X1

Die Bindung im Knoten 2 wird gelöst (Abb. 5.14), und danach wird das Stabende b zum Auflager B hin verschoben. Die Klaffung ∆ schließt sich, und es entsteht eine neue Klaffung ∆1.

Die Kraftgröße X1 = 1 wird angebracht und solange gesteigert, bis die Klaffung Null ist. δ 10 = – ∆ 1 EA c δ 11 =

M

§

Aus den Formänderungswerten folgt δ 10 X 1 = – -----δ 11

5-16 Baustatik 1

2

Ac ·

-s ¦m = 1 © N1 ----A ¹m


Beispiel 5.4: Für ein Fachwerk sind die Auflager- und Normalkräfte zu berechnen. P = 10 kN

P = 10 kN

X1

2

X1

1

6

5,0 m

3

5

4 5,0 m

Abb. 5.15 Beispiel für ein1-fach statisch unbestimmtes Fachwerk

N0

Stab

N1

AC ------A

s

A N 1 N 0 ------C- s A

2A N 1 ------C- s A

N

1

10

1

5

1

50

5

7,50

2

0

1

5

1

-

5

-2,50

3

10

1

5

1

50

5

7,50

4

0

1

5

1

-

5

-2,50

5

0

-1,42

7,07

0,707

-

10

3,55

6

0

-1,42

7,07

0,707

-

10

3,55

Summe

100

40

Mit diesen Werten folgt δ 10 - = – 100 --------- = – 2, 5 kN X 1 = – -----δ 11 40

Baustatik 1 5-17

5


Endgültige Normalkräfte

3.

3. 53

Verformungsfigur

3. 53

53

53 3.


Beispiel 5.5: Für einen Fachwerkausleger sind die Stabkräfte zu bestimmen. Geg: EA = const. Belastung P = 10 kN. 5

3,0m

7

3,0m

1

8

6 4

4

1

5

3

2

P = 10 kN 2 4,0m

4,0m

Abb. 5.17 Systemskizze

5-18 Baustatik 1

3


7 =1

X1

X

8

6

=1 1

5

4

1

2

3

Abb. 5.18 Statisch bestimmtes Grundsystem

N0

Stab

N1

AC ------A

s

A N 1 N 0 ------C- s A

2A N 1 ------C- s A

N

1

-16,67 1

5

1

-83,35

5

-11,51

2

0

1

5

1

0

5

5,16

3

0

-1,20

3

1

0

4,32

-6,19

4

13,33

-1,60

4

1

-85,31

10,24

5,07

5

13,33

-1,60

4

1

-85,31

10,24

5,07

6

0

-1,20

3

1

0

4,32

-6,19

7

0

1

5

1

0

5

5,16

8

0

1

5

1

0

5

5,16

Summe

-253,59

49,12

δ 10 – 253 ,59 Mit diesen Werten folgt X 1 = – ------- = – --------------------- = 5 ,16 kN δ 11 49 ,12

Baustatik 1 5-19

5


Endgültige Stabkräfte

Verformungsfigur infolge der Belastung P

13.33

5,1 7

-6,21

5,06

7

-6,21

5,1

5,06 5,1

7

-1 1,5

10.0


5.2.3 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme Für die Berechnung mehrfach statisch unbestimmter Systeme gelten wiederum die im Abschnitt 5.1 erwähnten Grundprinzipien. Es werden die statisch unbestimmten Größen auch hier solange erhöht, bis jede der einzelnen Klaffungen aus der Summe der verschiedenen Einflüsse (X1, X2, ....) an den „entkoppelten“ Punkten gleich Null sind. P

P

P

Abb. 5.20 System X1

X2


5-20 Baustatik 1


δ20

δ10 M0

Abb. 5.22 Verformungsfigur und Momentenverteilung zufolge äußerer Belastung X1= 1

δ11

δ21

M1

1

Abb. 5.23 Verformungsfigur und Momentenverteilung zufolge X1=1 X2= 1

δ12

M2

δ22

1

Abb. 5.24 Verformungsfigur und Momentenverteilung zufolge X2=1

Für dieses Beispiel lautet das Gleichungssystem: δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0 Aus diesem Gleichungssystem können die statisch unbestimmten Größen bestimmt werden. Sobald diese Größen bekannt sind, können die übrigen statischen Größen auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes bestimmt werden. M = M 0 + M1 X1 + M 2 X2

Baustatik 1 5-21

5


Q = Q0 + Q1 X1 + Q2 X2 δ = δ0 + δ1 X1 + δ2 X2

Abb. 5.25 Endgültige Verformungsfigur

Das Gleichungssystem (Kompatibilitätsbedingungen) für ein mehrfach statisch unbestimmtes System in Matrizenform angeschrieben lautet [ A]{x} + {D} = 0

[A] =

δ 11 δ 12 δ 13 … δ 1n

X1

δ 10

δ 21 δ 22 δ 23 … δ 2n

X2

δ 20

δ 31 δ 32 δ 33 … δ 3n

, { x} =

X3

, {D} =

δ 30

… …

…

…

δ n1 δ n2 δ n3 … δ nn

Xn

δ n0

… …

…

Die Formänderungswerte bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen in allgemeiner Form angeschrieben lauten IC

IC

EI C

N i N k ds + ³ ------------ Q i Q k ds ³ ----I Mi Mk ds + ³ ---A GA Q

EI C δ ik =

Formänderungen aus den statisch Unbestimmten

EI C δ i0 =

³

(Glg. 5.1)

IC EI C IC ---- M i M 0 ds + ³ ---- N i N 0 ds + ³ ------------ Qi Q k ds I A GA Q

Temperatur

® ¯

° ° ° ° ® ° ° ° ° ¯

∆t + EI C α t ³ §© N i t 0 + M i -----·¹ ds + EI C δ h

Auflagerverschiebung

Formänderungen aus der Belastung

5-22 Baustatik 1

(Glg. 5.2)

Kraftgrößenmethode Vorgangsweise bei statisch unbestimmten Systemen

Das Integral werden.

EI C

- Qi Q k ds ³ ----------GA Q

--- » · vernachlässigt kann bei schlanken Stäben §© L h ¹

5.3 Vorgangsweise bei statisch unbestimmten Systemen y System aufzeichnen und die Einwirkungen (Lasten) eintragen. y Steifigkeiten EIn und EAn wählen. Diese Größen sind aus der Vorbemessung bekannt. Für die Schnittkräfte sind nur die Verhältnisse der SteifigEI EA keiten --------C ; ----------C- maßgebend; für die Verformungen aber sind die EI n EA n Steifigkeiten EIn und EAn von Bedeutung. y Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit (n-Bindungen lösen). y Wahl des statisch bestimmtes Grundsystems. y Ermittlung des Lastspannungszustandes (Schnittkräfte) am statisch bestimmten Grundsystem mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen ( M0, Q0, N0 ). Bestimmung der Verformungsgrößen δi0 an den Stellen mit den weggenommenen Bindungen. Ermittlung der Formänderungswerte δi0 über (Glg. 5.2) (siehe Abschnitt 5.2.3). y Aufbringen der n Einheitszustände am statisch bestimmten Grundsystem . Bestimmung der Verformungsgrößen δik an den Stellen mit den weggenommenen Bindungen. Ermittlung der Formänderungswerte δik über (Glg. 5.1) (siehe Abschnitt 5.2.3). y Die Kompatibilitätsbedingungen [ A]{X} + {D} = 0 aufstellen und für n unbekannte Faktoren {Xi} (statisch unbekannte Kräfte aus den weggenommenen Bindungen) lösen. y Superposition der wirklichen Schnittgrößen, Auflagergrößen und Formänderungen (z.B. Verschiebungen, Verformungen) aus den Teilzuständen am statisch bestimmten Grundsystem. M = M0 + ¦ Q = Q0 + ¦

n

i=1 n i=1

Mi Xi

... Moment

Q i Xi

... Querkraft

Baustatik 1 5-23

5

Kraftgrößenmethode Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems

N = N0 + ¦ A = A0 + ¦ δ = δ0 + ¦

n i=1 n

i=1 n i=1

Ni Xi

... Normalkraft

Ai Xi

... Auflagerkraft

δi Xi

... Formänderungen

5.4 Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems Biegezustand und Spannungszustand am Grundsystem sollten ähnlich dem endgültigen Zustand sein. Die Anteile Mi Xi etc. haben dann den Charakter von Verbesserungen. Beispiel 5.6: Zweigelenkbogen Momentenverteilung M

5-24 Baustatik 1

q


Momentenverteilung M0


q

q

M0

M0

Die Momentenverteilung M0 am Grundsystem ist der endgültigen Momentenverteilung nicht ähnlich.



Besser

Ungünstig

X1 = 1

X1 = 1

M1 X1 hat den Charakter einer Verbesserung.

Abb. 5.26 Beispiel für die Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems.

Die Momentenflächen Mj sollen sich über möglichst kleine Bereiche des Systems erstrecken, damit bei großen Systemen viele Formänderungen δik = 0 werden.

Baustatik 1 5-25

5


x [A]=

x

x

x

x

x

x

Bei geschickter Wahl des stat. bestimmten Grundsystems werden viele δik = 0. x

x

Abb. 5.27 Symbolische Darstellung der Nachgiebigkeitsmatrix

Beispiel 5.7: Durchlaufträger

X1

X2

X3

1

1

1

M1

M2

M3

Abb. 5.28 Günstige Wahl der statisch Unbestimmten

Günstig: Integration erstreckt sich über kleine Bereiche, dadurch wird δ13 = 0: δ 11 δ 12 0 δ 21 δ 22 δ 23 0 δ 32 δ 33

5-26 Baustatik 1


X1

X2

X3 M1

M2

M3

Abb. 5.29 Ungünstige Wahl der statisch Unbestimmten

Ungünstig: Integration erstreckt sich über die ganze Länge und kein Koeffizient wird Null. Beispiel 5.8: Symmetrischer Rahmen Bei symmetrischen Systemen kann die Einheitsbelastung in einen symmetrischen und einen antimetrischen Teil aufgeteilt werden: System


Baustatik 1 5-27

5


Einheitsbelastung X1

Symmetrie

X2 X2 Symmetrie

X3 X3 Antimetrie

Abb. 5.30 Zerlegung eines statisch unbestimmten Systems in ein symmetrisches und ein antimetrisches Grundsystem

Bei symmetrischen Systemen mit beliebiger Belastung ist es oft sinnvoll, die Belastung in einen symmetrischen und einen antimetrischen Anteil zu zerlegen und das ursprüngliche System durch ein symmetrisches und ein antimetrisches Ersatzsystem zu ersetzen. Beispiel 5.9: P

5-28 Baustatik 1


Aufteilung in ein symmetrisches System mit symmetrischer P/2

und

P/2

P/2

Verformungsfigur P/2

P/2

Verformungsfigur P/2

P/2

X1

antimetrischer Belastung

P/2

X1

X1

-X1

-1 1

1

M1

1

Ersatzsysteme symmetrisch

antimetrisch

Abb. 5.31 Aufteilung eines statisch unbestimmten Systems in ein symmetrisches und antimetrisches Grundsystem infolge der Belastung P

Baustatik 1 5-29

5

Kraftgrößenmethode Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen

5.5 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen 5.5.1 Reduktionssatz Der Reduktionssatz besagt, daß man bei der Formänderungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen mit Hilfe des Prinzipes der virtuellen Arbeit nur einen der beiden Kraftgrößenzustände eines Formänderungsarbeitsintegrals am statisch unbestimmten System zu ermitteln braucht. Der andere kann aus einem beliebigen statisch bestimmten Grundsystem hervorgehen. Beispiel 5.10: zum Nachweis des Reduktionssatzes Ges.: Durchbiegung δ an der Stelle a: q L

a

q

δa Verformungsfigur infolge q

M

q

M0

5-30 Baustatik 1


P=1

X1

X2 virtuelle Belastung

X1=1 M1

M2 X2=1 P=1

M0

M

Abb. 5.32 Erläuterungsbeispiel zum Reduktionssatz

M und M können mit Hilfe des statisch bestimmten Grundsystems berechnet werden und lassen sich wie folgt darstellen. M = M 0 + X1 M1 + X2 M 2 M = M 0 + X1 M1 + X2 M 2 Mit dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen ergibt sich die Durchbiegung aus δa =

MM

ds ³ -----------EI

Unter Verwendung der Beziehung für M ergibt sich die Durchbiegung zu δa =

MM

MM

-0 ds + X 1 ³ ---------------1 ds + X 2 ³ --------------2- ds ³ -------------EI EI EI MM

Die Formänderungsarbeitsintegrale

Baustatik 1 5-31

5


MM

-1 ds ³ -------------EI

=

ds

- ( M 1 M 0 + X1 M1 M 1 + X 2 M2 M1 ) ³ ----EI

= δ 10 + X 1 δ 11 + X 2 δ 12 = δ 1 MM

-2 ds ³ -------------EI

=

ds

- ( M 2 M 0 + X1 M1 M 2 + X 2 M2 M2 ) ³ ----EI

= δ 20 + X 1 δ 21 + X 2 δ 22 = δ 2 stellen die Formänderungen δ1 und δ2 - in diesem Beispiel sind es Verdrehungen des statisch unbestimmten Systems infolge der Belastung q in den Punkten dar, in denen die statisch unbestimmten Größen X1 und X2 angreifen. Auf Grund der Auflagerbedingungen des Systems - der Träger ist auf beiden Seiten eingespannt - müssen die Formänderungsausdrücke δ1 und δ2 gleich Null sein. Die Durchbiegung im Punkt a wäre somit

δa =

0 - ds ³ -------------EI

MM

Wenn man nun die Beziehung für M statt für M verwendet, so ergibt sich die Durchbiegung zu

δa =

δa =

MM

0- ds ³ -------------EI

MM

0 - ds = ³ ---------------0 ds ³ -------------EI EI

MM

Bei der Gegenüberstellung der beiden Ausdrücke für die Durchbiegung δa kann man erkennen, daß es gleich ist, ob man für die Berechnung der Momentenfläche des statisch unbestimmten Systems die wirkliche oder die virtuelle Belastung verwendet. Beispiel 5.11: Für einen Durchlaufträger ist die Verdrehung im Auflager D mit Hilfe des Reduktionssatzes zu berechnen. Geg: Schnittkraftverlauf M am statisch unbestimmten System

5-32 Baustatik 1


Trägheitsquotient IC/I Ges: Verdrehung im Auflager D

A

P

IC / I=1

B

IC / I=1,5

8,0

C

4,0

IC / I=1

10,0

D

ϕ=?

-90,7

17,0 M 130,8 M =1

M0

1

Abb. 5.33 Beispiel zum Reduktionssatz

ϕ =

M0 M

- ds ³ -------------EI C

28 ,33 1 ⋅1 --- ⋅ 1 ⋅ 17 ⋅ 10 = ------------= -------EI C EI C 6

Eine weitere Möglichkeit wäre, den Stab C-D vom System zu trennen und als isolierten Stab zu betrachten. Als Belastung müssen die wirklichen Momente an den Stabenden angebracht werden, damit die Verformungen und Schnittkräfte gleich denen des Gesamtsystems sind.

Baustatik 1 5-33

5


C

D

X2 j

17,0 M=1

1

Abb. 5.34 Anwendung des Reduktionssatzes auf den isolierten Stab C-D

Beispiel 5.12: Geg: Schnittkraftverlauf M am statisch unbestimmten System. Ges.: Für den Rahmen sind die horizontale Verschiebung δH im Punkt A und die vertikale Verschiebung δV im Punkt B gesucht. q

A

B

M

Abb. 5.35 Momentenverteilung M infolge Gleichlast q

5-34 Baustatik 1


X=1

X=1

M0

M0

Momentenverteilung am

Momentenverteilung am

statisch bestimmten

statisch bestimmten

Grundsystem für die

Grundsystem für die

Abb. 5.36 Beispiele zum Reduktionssatz

EI C δ H =

5.5.2

IC

³ M M0 ----I ds

EI C δ V =

IC

³ M M0 ----I ds

Superposition von Weggrößen

Analog zur Gleichung für die Schnittkräfte gilt für die Weggrößen δ a = δ ao + ¦ δ ak X k q

System L

a

Ges: Durchbiegung δ an der

Baustatik 1 5-35

5

Kraftgrößenmethode Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen

Durchbiegung im

Verformungsfiguren

Punkt a: q δa

δa q

δa0

=

δa1

δa0

X1

X2

+

δa2

Abb. 5.37 Superposition von Weggrößen

5.6 Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen 5.6.1 Allgemeines Einflußlinien werden dazu verwendet, um Auflagerkräfte, Schnittkräfte und Formänderungen zu berechnen, und zwar an einer bestimmten Stelle des Systems für jede mögliche Laststellung. Um zum Beispiel die Extremwerte (Minima oder Maxima) von Stütz- oder Schnittgrößen aus Verkehrslasten zu erhalten, wird in der Regel der Weg über die Einflußlinien eingeschlagen. Für die Bestimmung der Einflußlinie läßt man eine Last P = “1“ über den Träger wandern und untersucht deren Einfluß auf die gesuchte statische Größe in einem betrachteten Punkt m. Die Einflußordinate gibt also an, wie groß in diesem betrachteten Punkt die entsprechende Zustandsgröße ist, wenn die wandernde Last P = “1“ über dieser Ordinate steht. Die Multiplikation der Ordinate mit Größe und

5-36 Baustatik 1


Dimension der darüberstehenden Last ergibt die durch diese Last tatsächlich im Punkt m wirkende Größe. Voraussetzungen Die Wanderlast P = “1“ muß zu sich stets parallel bleiben. Sie muß dieselbe Lastrichtung haben wie jene Lasten, für die die Einflußlinie ausgewertet werden soll. Das Superpositionsgesetz muß gelten, d.h. lineare Materialgesetze und Theorie I.Ordnung.

5.6.2

Berechnung von Einflußlinien für Schnittkräfte

Die Einflußlinien bei statisch bestimmten Systemen verlaufen geradlinig und können rechnerisch mit den Gleichgewichtsbedingungen oder kinematisch mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Weggrößen ermittelt werden. Die Einflußlinien bei statisch unbestimmten Systemen verlaufen im Gegensatz dazu kurvenförmig, und zu ihrer Berechnung müssen Formänderungsbedingungen herangezogen werden. Einflußlinien für n = 1-fach statisch unbestimmte Systeme x

Pi = 1 i

Abb. 5.38 System X1

Abb. 5.39 Statisch bestimmtes Grundsystem Pi = 1

Abb. 5.40 Momentenlinie Mi zufolge Pi=1

Baustatik 1 5-37

5


i δ1i

Abb. 5.41 Verdrehung δ1i infolge Pi=1 X1=1

1

Abb. 5.42 Momentenlinie M1zufolge X1=1 δ11

Abb. 5.43 Verdrehung δ11 infolge X1 = 1

Die statisch unbestimmte Größe X1 läßt sich, wie schon bekannt , durch δ 1i X 1 = – ------δ 11 berechnen. Für die Einflußlinie gilt analog dazu ″δ 1i ″ ″X 1 ″ = – -----------δ 11 „X1“ stellt die Einflußlinie der statisch unbestimmten Größe X1 und „δ1i“ die Einflußlinie der Weggröße δ1i infolge der wandernden Last Pi = 1 dar. Nach dem Satz von MAXWELL gilt aber ″δ 1i ″ = δ i1 δi1 stellt also die Biegelinie (Durchbiegung an allen Stellen i ) am statisch bestimmten Grundsystem infolge einer Belastung X1 = 1 dar. Die Einflußlinie der Kraftgröße X1 ist somit gleich der Biegelinie infolge X1 = 1 multipliziert mit 1 – ------- . δ 11

5-38 Baustatik 1


X1=1

δ11

Abb. 5.44 Biegelinie δi1 infolge X1=1

1

Abb. 5.45

Einflußlinie „X1“ der statisch unbestimmten Größe X1

Analog zur Berechnung von Schnittkräften nach der Kraftgrößenmethode ergeben sich die Einflußlinien für Schnittkräfte an der Stelle m aus der Gleichung ″S m ″ = ″S m0 ″ + ″X 1 ″ ⋅ S m1 „Sm0“ ...

Einflußlinie der Schnittkraft am stat. best. Grundsystem

Sm1

Schnittkraft aus Einheitsbelastung X1=1

...

Beispiel 5.13: Ges: “Mm“ m

Abb. 5.46 System X1 m


Baustatik 1 5-39

5


Mm1

M1

Abb. 5.48 Momentenlinie M1 und Biegelinie (Einflußlinie “X1“) zufolge X1 = 1

m

Abb. 5.49 Einflußlinie “Mm0“ am statisch bestimmten Grundsystem

Die Einflußlinie “Mm“ ergibt sich aus ″M m ″ = ″M m0 ″ + ″X 1 ″ M m1 m

1

“Mm“

Abb. 5.50 Einflußlinie “Mm“

Einflußlinien für n-fach statisch unbestimmte Systeme δ 11 ″X 1 ″ + δ 12 ″X2 ″ + … + δ 1n ″X n ″ + ″δ 1i ″ = 0 δ 21 ″X 1 ″ + δ 22 ″X2 ″ + … + δ 2n ″X n ″ + ″δ 2i ″ = 0 δ n1 ″X 1 ″ + δ n2 ″X 2 ″ + … + δ nn ″X n ″ + ″δ ni ″ = 0 Hierbei sind die Formänderungen δik feste Werte aus dem Einheitslastzustand, und die Einflußlinien „δni“ sind nach dem Satz von MAXWELL, wie vorher gezeigt, die Biegelinien δin . Matrizenform der Kompatibilitätsbedingungen:

5-40 Baustatik 1


[ A ] { ″X″ } + { ″D″ } = 0

½ ° ″δ ″ ° 1i ° ° ° ° ° ″δ 2i ″ ° { ″D″ } = ® ¾ ° · ° ° ° ° ° ° ″δ ni ″ ° ¯ ¿

Aus den Kompatibilitätsbedingungen folgen die Einflußlinien der statisch unbestimmten Größen –1

{ ″X″ } = –[ A ] {″D″ } { ″X″ } = Überlagerung von Biegelinien × Koeffizienten Die Einflußlinien für die Schnittkräfte an der Stelle m ergeben sich dann aus ″S m ″ = ″S m0 ″ + ″X 1 ″S m1 + ″X 2 ″ S m2 + … + ″X n ″ S mn

5.6.3

Bestimmung von Schnittkrafteinflußlinien mit Hilfe der kinematischen Methode

Die virtuelle Verschiebung ist bei Einflußlinien für Kräfte (A, Q, N) eine Verschiebung ∆u=1 und bei Einflußlinien für Momente eine Relativverdrehung ∆ϕ=1.

Baustatik 1 5-41

5


Bestimmung der Einflußlinien an statisch bestimmten Systemen Ges: “Mm“ Pi = “1“

xi

m

Pi = “1“ Mm

w(xi)

θ=1 Mm

Abb. 5.51 Kinematische Methode zur Ermittlung von Einflußlinien bei statisch bestimmten Systemen

Vorgangsweise: y Lösen der Bindungen im Punkt m und Aufbringen des Momentes Mm . y Vorgeben der virtuellen Verschiebungsfigur infolge der Einheitsverformung, auf der die Kraftgröße negative Arbeit leistet. Die äußere virtuelle Arbeit ergibt A

(a)

= 1 ⋅ w ( x ) + Mm ( –1 ) = 0 ,

daraus folgt ″M m ″ = w ( x )

.

Die innere virtuelle Arbeit A(i) ist gleich Null, da keine Formänderungsarbeit geleistet wird. Um die Einflußlinie des Momentes Mm zu bekommen, ist an der gelösten Bindung eine Verdrehung “1“ anzubringen. Die Biegelinie stellt dann bereits die Einflußlinie “Mm“ dar.

5-42 Baustatik 1


Bestimmung der Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen Beispiel 5.14: Ges.: „Mm“ Pi = “1“

xi

m Pi= “1“ m

q=1

δ(xi) Mm

Abb. 5.52 Kinematische Methode bei statisch unbestimmten Systemen

A

(a)

= 1 ⋅ δ ( x ) + Mm ( –1 ) = 0

äußere Kräfte × virtuelle Weggrößen

A

(i)

innere Kräfte

=

ds

³ M M ----EI

× virtuelle innere Weggrößen

M

…

Momente am statisch unbestimmten System aus der Belastung P

M

…

Momente aus der Einheitsverdrehung θ=1

Lösung des statisch unbestimmten Systems: m

X1

δ10

q=1

M0 = 0

M = X1 ⋅ M1

Baustatik 1 5-43

5


(i)

§

ds ·

- = ³ M X 1 M 1 ------ = ³ ( M 0 + X 1 M 1 )X 1 M 1 -----³ M M ----© EI ¹ EI EI 2 ds - = X 1 ⋅ ( δ 10 + δ 11 ⋅ X1 ) = X 1 ³ ( M 0 M 1 + X 1 M 1 ) ----EI ds

=

ds

° ° ® ° ° ¯

A

daher:

A

(i )

0

= 0

Daraus folgt ″M m ″ = δ ( x ) Die kinematische Methode gilt also uneingeschränkt auch für statisch unbestimmte Systeme. Beispiele: m

q=1

Abb. 5.53 Einflußlinie „Mm“ des Momentes M im Punkt m “1“

H 1

Abb. 5.54 Einflußlinie „H“ des Horizontalkraft H

m

1

Abb. 5.55 Einflußlinie „Qm“ der Querkraft Q in Punkt m

5-44 Baustatik 1

Kraftgrößenmethode Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen

5.7 Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen Bei statisch bestimmten Systemen berechnet man die Einflußlinien für Weggrößen (z.B. Verschiebungen, Verdrehungen), indem man eine Last P = „1“ bzw. M = „1“ an der Stelle anbringt, an der die Einflußlinie für diese Formänderung gesucht wird. Danach berechnet man über die Momentenfläche infolge dieser virtuellen Belastung die Biegelinie. Diese Biegelinie stellt dann bereits die Einflußlinie dar (Satz von MAXWELL “δnm“ = δmn). Die Berechnung der Einflußlinien für Weggrößen an statisch unbestimmten Systemen verläuft gleich wie jene bei den statisch bestimmten. Beispiel 5.15: P=1 x m

i

δmi Pm = 1 i δim

Abb. 5.56 Durchbiegung infolge einer wandernden Last P in den Punkten m und i

Nach dem Satz von MAXWELL ″δ mi ″ = δim Die Einflußlinie für die Durchbiegung δ im Punkt m ist gleich der Biegelinie für den Lastfall Pm = „1“.

Baustatik 1 5-45

5


Pm = 1 "δm"

m

Abb. 5.57 Einflußlinie der Durchbiegung im Punkt m

Beispiel 5.16: Geg:

E = 210.106 kN/m2 I = const. = 0,001 m4 A>>

Ges:

Einflußlinie der Verdrehung des Punktes 5 (“ϕ5“) “1“ 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 2 x 1,50 m

+ϕ 4 x 1,50 m

4,00 m

A>> I = const. = 0,001 m4

11 2 x 1,50 m

Lösung: Die Einflußlinie für eine Verformung ist gleich jener Biegelinie, die entsteht, wenn in Richtung der gesuchten Verformung eine „1“-Kraft(Moment) angreift. Um die Einflußlinie für die Verdrehung im Knoten 5 mit geringem Aufwand berechnen zu können, wird das symmetrische System durch ein antimetrisches ersetzt. Diese Vereinfachung ist möglich, da das Moment M=“1“, welches im Knoten 5 in Richtung +ϕ wirkt, für das symmetrische System ein antimetrischer Lastfall ist. Mit Hilfe dieser kleinen Vereinfachung wurde aus dem einfach statisch unbestimmten System ein statisch bestimmtes, und der Rechenaufwand für die Einflußlinie wird erheblich verringert.

5-46 Baustatik 1


Biegelinie und Auflagerkräfte M = 0,5

Momentenlinie

Abb. 5.58 Antimetrisches System (Ergebnisse aus dem Programm Ruckzuck)

M=1

0.08

0.08

Abb. 5.59 Gesamtsystem (Ergebnisse aus dem Programm Ruckzuck) 5 1

2

3

6

7

8

9

“ϕ5“

4

Abb. 5.60 Einflußlinie der Verdrehung im Punkt 5

Baustatik 1 5-47

5

5-48 Baustatik 1


6

Deformationsmethode Drehwinkelverfahren SteifigkeitsmatrixSymmetrie-Antimetrie FachwerkeBelastungsumordnung RahmentragwerkeEinflußlinien

Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe von Verformungs- größen (Verschiebungen und Verdrehungen) als Unbekannten bezeichnet man als Weggrößenverfahren bzw. Deformationsmethode. Die ersten Buchveröffentlichungen darüber stammen von und aus den Jahren 1926/27, ersterer führte auch den häufig verwendeten Begriff Deformationsmethode ein. Diese Art der Berechnung statisch unbestimmter Systeme geht bereits auf und zurück, die noch vor der Jahrhundertwende zur Analyse von Fachwerk-Nebenspannungen Knotendrehwinkel als Unbekannte einführten.

6.1 Vorbemerkungen Bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen taucht die Frage auf, welches Berechnungsverfahren (Kraftgrößen- oder Weggrößenverfahren) mit dem geringsten Aufwand zum Ziel führt. Wenn die Zahl der statisch Unbestimmten gering ist, so ist i.a. das Kraftgrößenverfahren zu bevorzugen, weil es unmittelbar die für die Bemessung benötigten Kraftgrößen liefert. Bei gleicher Anzahl der Unbekannten verlangt das Weggrößenverfahren insofern einen zusätzlichen Aufwand, als man zunächst die Verschiebungsgrößen erhält, aus denen man dann in einem weiteren Rechnungsgang die Kraftgrößen ermitteln muß. Ein Vorteil für das Weggrößenverfahren ergibt sich, wenn es bei einem System mit weniger Unbekannten auskommt als das Kraftgrößenverfahren, was immer dann der Fall ist, wenn die kinematische Unbestimmtheit m kleiner als statische Unbestimmtheit n des Systems ist. Hinzu kommen die bessere Programmierbarkeit.

6.1.1

Diskretisiertes Tragwerksmodell

Das Weggrößenverfahren basiert auf den Konventionen eines diskretisierten Tragwerksmodells. Dieses Modell besteht aus Stabelementen, welche an ihren

Baustatik 1 6-1

6

Deformationsmethode Vorbemerkungen

Stabenden, den Knotenpunkten, miteinander verknüpft oder auf Lagern gestützt sind. In Abb. 6.1 ist das diskretisierte Tragwerksmodell eines Brückentragwerkes dargestellt. a) Ansicht

b) Längenschnitt und diskretisiertes Tragwerksmodell

i

i

j j i

y x

Abb. 6.1 a) Ansicht b) Längenschnitt und diskretisiertes Tragwerksmodell einer dreifeldrigen Plattenbrücke.

Die Geometrie der Tragwerke wird in einem globalen, rechtshändigen Koordinatensystem x, y, z - im Sonderfall der Ebene x, y - definiert. Jedem einzelnen Punkt bzw. Stabelement eines diskretisierten Tragwerksmodelles verleiht darüber hinaus eine lokales, Koordinatensystem x’, y’, z’ - bzw. x’, y’ - eine Orientierung. Die x’-Achse verläuft dabei stets in Richtung der Stabachse, vom linken (i) zum rechten (j) Stabende weisend.( Abb. 6.1)

6.1.2 Kinematische Unbestimmtheit Ein System ist kinematisch bestimmt, wenn alle Knotenverdrehungen und alle Knotenverschiebungen bekannt, d.h. in der Regel gleich Null sind. Ein durch Stäbe nur elastisch gehaltener Knoten hat im Raum sechs (3 Verschiebungen + 3 Verdrehungen), in der Ebene drei (2 Verschiebungen + 1 Verdrehung) Freiheitsgrade. Die

6-2 Baustatik 1


Summe der Freiheitsgrade aller Knoten entspricht der kinematischen Unbestimmtheit eines Systems.

6.1.3

Zusammenhang zwischen Kraft- und Weggrößen

Zwischen den Kraft- und Weggrößen besteht eine vollständige Dualität, d.h. zu bestimmten Kraftgrößen eines Systems gehören eindeutige Weggrößen, und umgekehrt zu bestimmten Weggrößen eindeutige Kraftgrößen. In Abb. 6.2 sind die dualen Berechnungsverfahren, sowie deren prinzipiellen Berechnungswege, dargestellt. Daraus ist ersichtlich, daß von den Gleichgewichts- und den Verformungsbedingungen jeweils nur eine Bedingung durch Ansätze oder Grundlösungen von vornherein erfüllt wird. Die verbleibende Bedingung hingegen folgt aus der Lösung eines algebraischen Gleichungssystems. Gleichgewichtsbetrachtungen dominieren das Kraftgrößenverfahren, wobei jene Kombination von Gleichgewichtszuständen gesucht wird, die auch alle Verformungsbedingungen des Systems erfüllt. Dies erfolgt über Nachgiebigkeitsbeziehungen (Flexibilitätsbeziehungen) der Gestalt: Verformungsgrößen = Nachgiebigkeiten x Kraftgrößen. Beim Weggrößenverfahren werden kinematisch kompatible Verformungszustände so miteinander kombiniert, daß alle Gleichgewichtsaussagen erfüllt sind. Kraftund Weggrößen sind dabei durch Steifigkeitsbeziehungen miteinander verknüpft: Kraftgrößen = Steifigkeiten x Verformungsgrößen.

Baustatik 1 6-3

6


Kraftgrößen-Verfahren

Weggrößen-Verfahren

Das wirkliche System wird für die Berechnung ersetzt durch:

statisch bestimmtes Grundsystem (n-fach statisch unbest.)

kinematisch bestimmtes Grundsystem (m-fach kinemat.unbest.)

Unbekannte sind: (genauer)

Kraftgrößen (die Faktoren Xi der Einheitsspannungszustände)

Weggrößen (die Faktoren {u} der Einheitsverformungszustände)

Sie werden bestimmt aus Verträglichkeitsden Gleichungen bedingungen für: Oder allgemeiner:

Die Lösung ist die Summe von:

Gleichgewichtsbedingungen

Prinzip der virtuellen Kraftgrößen

Prinzip der virtuellen Weggrößen

Lastspannungszuständen + n Einheitsspannungszuständen ∙ (Xi)

Lastverformungszuständen + m Einheitsverformungszuständen ∙ {u}

Abb. 6.2 Übersicht der analogen Berechnungsverfahren für Stabtragwerke.

Die linearen Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Weggrößen ergeben sich aus den m Gleichgewichtsbedingungen (Knoten- und Verschiebungsgleichgewicht), die zu den m Freiheitsgraden gehören.

6.1.4 Definition der inneren Kraftgrößen Für die inneren Kraftgrößen wird eine neue Vorzeichenkonvention eingeführt. In dieser Vorzeichenkonvention werden die positiven Wirkungsrichtungen der Stabendkraftgrößen in Richtung positiver lokaler Koordinaten vereinbart. Die Stabendmomente m’i und m’j sind beide entgegen dem Uhrzeigersinn (vektoriell: + z-Richtung) positiv. Im ersten Augenblick erscheint diese Vorzeichenfestlegung unzweckmäßig. Sie wirkt sich aber sehr vorteilhaft für die schematische Berechnung ganzer Systeme aus, da in jedem Knoten die ankommenden Momente aller Stäbe vorzeichengerecht superponiert werden können. Achtung! Diese Vorzeichenkonvention stimmt nicht

6-4 Baustatik 1


mit der Kennfaserregelung überein. y' p'

p'

m

yi

i p'

j

xj

m = m' i i m = m' j j

L

xi

x' p'

j

s

i

m

yj

Abb. 6.3 Definition der Stabendkraftgrößen im lokalen Koordinatensystem.

Die Gleichgewichtsbedingungen lauten somit p' xi + p' xj = 0

p' yi + p' yj = 0

m i + m j + p' yj L = 0

Die Stabendkraftgrößen des Elementes s werden in der Spaltenmatrix s{ p' }i ° s { p' } = ® ° s ¯ { p' }j

½ ° ¾ ° ¿

zusammengefaßt, mit p' ° xi ° s { p' }i = ® p'yi ° ° ¯ mi

½ ° ° ¾ ° ° ¿

p' ° xj ° s { p' }j = ® p' yj ° ° ¯ mj

½ ° ° ¾ ° ° ¿

Um eventuellen Verwechslungen vorzubeugen, sei noch einmal darauf hingewiesen, daß die inneren Kraftgrößen als elementbezogene Stabendkraftgrößen an den stabseitigen Ufern der Knotenschnitte definiert werden. Auf die Knoten wirken die inneren Kraftgrößen in entgegengesetzter Richtung.

6.1.5

Definition der Verformungen

Das Stabelement s wird sich unter der äußeren Belastung verschieben und verformen (Abb. 6.4). Die Gesamtverformungen lassen sich in Stabendverschiebungen

Baustatik 1 6-5

6


und Stabendverdrehungen zerlegen. Die Stabendverformungen sind positiv im Sinne positiver Stabendkraftgrößen definiert.

θ = θ' i i θ = θ' j j

θ

y'

j

u' u'

xi

θ

i

x'

i j

s

u'

yj

j

θ ,θ i j u' , u' , u' , u' xi yi xj yj

yi i

u'

xj

Stabendverdrehungen Stabendverschiebungen

Abb. 6.4 Definition der Stabendweggrößen.

Die Stabendweggrößen des Elementes s werden in der Spaltenmatrix

s

s ° { u' }i { u' } = ® ° s ¯ { u' }j

½ ° ¾ ° ¿

zusammengefaßt, mit u' ° xi ° s { u' }i = ® u' yi ° ° ¯ θi

½ ° ° ¾ ° ° ¿

u' ° xj ° s { u' }j = ® u' yj ° ° ¯ θj

½ ° ° ¾ ° ° ¿

Beim allgemeinen Weggrößenverfahren werden Stabverformungen aus Momenten, Längskräften und ggf. Querkräften berücksichtigt. Unbekannte sind die kinematischen Freiheitsgrade der Knoten. Das Verfahren ist allgemein anwendbar, also z.B. auch für Fachwerke oder aus Biege- und Dehnstäben zusammengesetzte Tragsysteme. Für die in der Praxis vorkommenden, auf Biegung beanspruchten Rahmen ist es i.a. zulässig, die Verformungsanteile aus Längs- und Querkräften zu vernachlässigen. Die sich daraus ergebende einfachere Variante des allgemeinen Weggrößenverfahrens ist als Drehwinkelverfahren bekannt.

6-6 Baustatik 1

Deformationsmethode Die Steifigkeit eines Stabes

Die dabei getroffenen Vereinfachungen zielen gemäß der ursprünglich verfolgten Absicht auf manuelle Handhabbarkeit ab, da weniger unbekannte Weggrössen auftreten als beim allg. Weggrößenverfahren. In diesem Fall lassen sich die Knotenverschiebungen durch die Stabdrehwinkel ausdrücken. Unbekannte sind damit die Knoten- und Stabdrehwinkel. Das Drehwinkelverfahren ist also auf Biegestabsysteme beschränkt; es können z.B. keine Fachwerksysteme damit berechnet werden. Im Einzelfall können allerdings Längskraftverformungen einzelner Stäbe berücksichtigt werden.

6.2 Die Steifigkeit eines Stabes Die Steifigkeiten eines Stabes sind jene an den Stabenden wirkenden Kraftgrössen, die entstehen, wenn dem kinematisch bestimmten Stab Einheitsweggrössen (Verdrehungen oder Verschiebungen) an den Stabenden erteilt werden. Die Steifigkeiten werden in einer sogenannten Steifigkeitsmatrix zusammengefasst.

6.2.1

Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten

Für die Ermittlung der Steifigkeitswerte für Längskraft- und Biegebeanspruchung liegt der betrachtete Stab ( i - j ) in der x´-Achse eines lokalen Koordinatensystems. Die Biegung erfolgt um eine Hauptträgheitsachse, um die der Stab das Trägheitsmoment I besitzt ( I = konstant über die Stablänge). Weiters wird vorausgesetzt, daß die Kraftgröße im Schubmittelpunkt angreift. Dem kinematisch bestimmten Stab werden nun nacheinander einzelne Einheitsweggrößen in Richtung positiver lokaler Koordinaten eingeprägt, und die durch diese Zwangsverformung geweckten Kraftgrößen berechnet. Zur Demonstration werden nur die Einheitsdeformationszustände vom Stabende j berechnet. Längsverschiebung u' xj = 1 : p'

p'

E,A

xi i

xj

x'

j L

u'

xj

= 1

Abb. 6.5 Stabendkraftgrößen infolge einer Längsverschiebung.

Baustatik 1 6-7

6


p' xj σ = ------A

Mit

und

u' xj σ ε = ------- = --L E

ergibt sich:

L u' xj = ε ⋅ L = -------- ⋅ p' xj . EA Für eine eingeprägte Verlängerung um u' xj = 1 des Stabes erhält man als erforderliche Längskraft ( p' xi = – p' xj ) die Dehnsteifigkeiten

EA p' xi = – -------L

EA p' xj = -------L

.

Querverschiebung u' yj = 1 : Eine Querverschiebung des Stabendes j, erzeugt die in Abb. 6.6 dargestellten Kraftgrößen, die mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens bestimmt werden, wobei aufgrund des antimetrischen Lastfalles die Stabendmomente gleichgerichtet und gleich groß sind. p' p'

yj m

yi

j u'

i

E,I m

i

yj

= 1

j

L

Aufgrund des antimetrischen Lastfalles sind mi = - mj

Abb. 6.6 Stabendkraftgrößen infolge einer Querverschiebung des Stabendes j.

Aufgrund der Querverschiebung ergeben sich am statisch bestimmten Grundsystem Verdrehungen der Stabenden ( θi0, θj0 ), die direkt in die Kompatibilitätsbedingungen eingehen und ebenfals gleichgerichtet und gleich groß sind.

6-8 Baustatik 1


θ

tan θ = θ

j0

= --1L u'

θ

i0

yj

= 1

= --1L

Aufgrund des antimetrischen Lastfalles sind θi = - θj = θ1

Abb. 6.7 Statisch bestimmtes Grundsystem, Verformungszustand.

Mit dem Einheitskraftgrößenzustand der statisch Unbestimmten Xi = Xj = X1 θ X

1

1 X

= 1

θ

1

= 1

1 M 10

-1 +1

läßt sich schließlich die Kompatibilitätsgleichung anschreiben: θ 1 = θ 10 + X 1 θ 11 = 0 Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit (P.v.A.), bei Beschränkung auf die Arbeitsanteile aus Biegemomenten, folgt die Verformungsgröße (Klaffung): EI 0 θ 11 =

³

1 I ----0 M i2 dx = --- ⋅ L 3 I

Diese in die Kompatibilitätsgleichung eingesetzt 2 EI --- + L --- X i = 0 L 3 ergeben nach Lösung des Gleichungssystems die statisch Unbestimmten und damit auch die Stabendmomente zu 6EIX 1 = – -------= m i = mj L2 Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Stabendkraftgrößen (Abb. 6.3)

Baustatik 1 6-9

6


Σ V = p'yi + p'yj = 0 Σ M i = m i + m j + p' yj L = 0

,

folgt

p' yj

6EI- + 6EI ---------·¹ – §© -------m i + mj 2 L2 L 12EI= – ------------------ = – ------------------------------------- = ----------L L L3

;

12EIp' yi = – ----------L3

.

Die Ergebnisse der Berechnung sind in Abb. 6.8 zusammengefaßt.

6EI m = – --------i L2

p'

i

yj

-----------= 12EI L3

j p'

6EI m = – --------j L2

12EI = – -----------yi L3 L

Abb. 6.8 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen.

Bei der graphischen Darstellung der Schnittkräfte ist auf die Vorzeichen zu achten, da diese stets auf die Kennfaser bezogen werden (Abb. 6.9).

-

6EI – --------L2 M

6EI --------L2

+

+

12EI -----------L3

Q

Abb. 6.9 Schnittkräfte; Achtung Kennfaserregel !!!

Verdrehung θj = 1 : Bei einer Verdrehung des Stabendes j um den Winkel θj werden die Stabendkraftgrößen nach Abb. 6.10 geweckt. Die Ermittlung dieser erfolgt wiederum mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens.

6-10 Baustatik 1


m

E,I

i

j

m

i

j

θ = 0 i p'

θ = 1 j

yi

L

p'

yj

Abb. 6.10 Stabendkraftgrößen infolge einer Verdrehung des Stabendes j.

Mit dem Einheitkraftgrößenzustand der statisch Unbestimmten Xi θ

θ

ii

ji

X = 1 i

M0 i

-

-1

und dem Einheitskraftgrößenzustand der statisch unbestimmten Xj

θ

θ

ij

X = 1 j jj

+

+1

M0 j

ergeben sich die Kompatibilitätsgleichungen θ i = θ ii X i + θ ij X j = 0 θ j = θ ji X i + θ jj X j = 1 Die Verformungsgrößen (siehe Querverschiebung) in das Gleichungssystem eingesetzt L --- X j = 0 --- X i – L 6 3 L --- Xj = EI – --- X i + L 6 3 und nach den statisch Unbestimmten aufgelöst, ergeben die Stabendmomente zu

Baustatik 1 6-11

6


2EI X i = --------- = m i L

4EI X j = --------- = m j L

Aus den Gleichgewichtsbedingungen der Stabendkraftgrößen folgt: 6EIp' yi = -------L2

6EIp' yj = – -------L2

Die Ergebnisse sind in Abb. 6.11 zusammengefaßt.

j

i 2EI m = --------i L

p'

4EI m = --------j L

yi

6EI = --------L2

p'

yj

6EI = – --------L2

L

Abb. 6.11 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen.

Die Schnittkräfte sind wieder auf die Kennfaser zu beziehen (Abb. 6.12). 2EI – --------L

+

2m = – m i j

+

4EI --------L 6EI --------L2

M

Q

Abb. 6.12 Schnittkräfte

Im Anschluß sind die Einheitsdeformationszustände vom Stabende i mit deren zugehörigen Stabendkraftgrößen dargestellt.

6-12 Baustatik 1


Längsverschiebung u' xi = 1 : u' p' = EA -------xi L

xi

= 1 xj

EA = – -------L

yj

12EI = – -----------L3

p' j

i L

Querverschiebung u' yi = 1 : p'

6EI m = --------i L2 u'

yi

yi

12EI = -----------L3 p'

= 1 i

j

6EI m = --------j L2

L

Verdrehung θ i = 1 : p'

yi

6EI = --------L2

p'

yj

6EI = – --------L2

θ = 1 i 4EI m = --------i L

6.2.2

i

j

2EI m = --------j L

Die lokale Steifigkeitsmatrix

Jede einzelne Spalte der Steifigkeitsmatrix entspricht einem Einheitsdeformationszustand und kann als ein Vektor aufgefaßt werden, dessen 6 Komponenten die sich aus dem jeweiligen Deformationszustand in den Stabende i und j ergebenden Kraftgrößen sind. In jeder einzelnen Zeile hingegen stehen gleichartige Kraftgrößen, die aus den verschiedenen Deformations-zuständen in einem der beiden Stabenden i oder j entstehen. Sämtliche Kraft- und Verformungsgrößen sind dabei auf das lokale Koordinatensystem bezogen.

Baustatik 1 6-13

6


u′

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ® ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¯

½ ° p′ xi ° ° ° ° ° p′ yi ° ° ° ° mi ° ° ¾ = ° p′ xj °° ° ° ° p′ yj ° ° ° ° mj ° ° ¿

xi

=1

EA -------L

u′

yi

=1

0

θ =1 i

u′

xj

=1

u′

yj

EA – -------L

0

θ =1 j

=1

0

0

0

12EI ------------ 6EI --------L3 L2

0

12EI- 6EI --------– ----------L3 L2

0

6EI-------L2

4EI --------L

0

6EI- 2EI --------– -------L2 L

EA – -------L

0

0

EA -------L

12EI- -------6EI – ----------– 23 L L

0

6EI --------L2

0

2EI --------L

0

0

0

6EI12EI ------------ – -------3 L2 L

0

6EI- 4EI --------– -------L2 L

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ⋅® ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¯

u′ xi

u′ yi θi

u′ xj

u′ yj θj

½ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¾ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¿

In Matrizenschreibweise: s s

s

s

{ p' } = [ K' ] { u' }

... für das Stabelement s

[ K' ] ... lokale Steifigkeitsmatrix des Stabelementes s.

In Untermatrizen aufgespaltet hat die Steifigkeitsmatrix folgende Form:

s

[ K' ] =

s

[ K' ]ii [ K' ]ij

s

s

[ K' ]ji [ K' ]jj

s

.

Der erste Index weist auf den Ort hin, der zweite gibt die Ursache an. Aus dem Satz von

folgt: s

Mit den Untermatrizen

6-14 Baustatik 1

s

T

[ K' ]ji = [ K' ]ij


s

s

[ K' ]ii =

[ K' ]ji =

EA -------L

0

0

0

12EI----------L3

6EI --------L2

0

6EI-------L2

4EI --------L

EA – -------L

0

0

0

s

12EI- 6EI – ----------– -------L3 L2 6EI-------L2

0

s

EA – -------L

0

0

0

12EI– ----------L3

6EI --------L2

0

6EI– -------L2

2EI-------L

EA -------L

0

0

0

12EI----------L3

6EI– -------L2

0

6EI– -------L2

4EI --------L

[ K' ]ij =

[ K' ]jj =

2EI --------L

ergeben sich die lokalen Stabendkraftgrößen nach den Stabenden geordnet, mit

6.2.3

s

{ p' }i = [ K' ]ii { u' }i + [ K' ]ij { u' }j

s

s

s

s

s

{ p' }j = [ K' ]ji { u' }i + [ K' ]jj { u' }j

s

s

s

s

Die Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix

y Da jeder Stabendkraftgröße eine korrespondierende Stabendverformung zugeordnet wird, ist [ K' ] quadratisch. y [ K' ] ist symmetrisch. (siehe Maxwell- Betti-Theorem) y Ihre Hauptdiagonalglieder sind positiv, da am selben Ort nur eine positive Kraftgrösse eine positive Weggrösse verursachen kann. y [ K' ] ist singulär: det K' = 0 , da ein Stab in der Ebene mindestens drei Auflagerbedingungen braucht um unverschieblich gelagert zu sein. Der Rangabfall entspricht der Anzahl der jeweils vorhandenen abhängigen Stabendvariablen.

Baustatik 1 6-15

6


y [ K' ] ist positiv definit : Diagonalglieder bleiben auch während der Dreieckszerlegung positiv.

6.2.4 Die Transformation von lokalen auf globale Größen Die Steifigkeitsmatrix [ K' ] des Einzelstabes wurde im lokalen Koordinatensystem ( x’, y’ ) erstellt. Da für ein Tragwerk die lokalen Koordinaten der Einzelstäbe verschieden gerichtet sind, müssen zur Formulierung der Verformungs-bedingungen und zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamttragwerk die Stabendvariablen (Kraftgrößen und Verformungen), und damit auch die Steifigkeitsmatrizen aller Stäbe, auf ein einheitliches globales Koordinatensystem ( x, y ) bezogen werden (Abb. 6.13). y

y'

p' ,u' yj yj

m ,θ j j

p ,u yj yj

x'

m ,θ j j x

p' ,u' xj xj

j

α

j

α

lokales Koordinatensystem

p ,u xj xj

globales Koordinatensystem

Abb. 6.13 Lokale bzw. globale Stabendvariablen.

Mit der Transformationsmatrix bzw. ihrer Transponierten

[T] =

cos α sin α

0

– sin α cos α

0

0

0

bzw. [ T ] T =

cos α – sin α

0

sin α cos α

0

0

1

0

1

folgt für die Transformation der Stabendvariablen vom lokalen ins globale Koordinatensystem: T

{ p } j = [ T ] { p' } j

T

{ u } j = [ T ] { u' } j ,

bzw. für die umgekehrte Transformation vom globalen ins lokale Koordinatensystem { p' } j = [ T ] { p } j

6-16 Baustatik 1

{ u' }j = [ T ] { u } j .


Diese Transformationen sind in analoger Weise für das Stabende i gültig. So läßt sich z.B. die Transformation globaler in lokale Stabendverformungen für das Stabelement s wie folgt anschreiben: s ° { u' }i s s { u' } = [ T ] { u } = ® ° s ¯ { u' }j s

s

½ ° ¾ = ° ¿

[T] 0 0 [T]

s ° { u }i ® ° s ¯ { u }j

½ ° ¾ ° ¿

[ T ] ... Element- Transformationsmatrix

Die in Abschnitt 6.2.2 erstellten Steifigkeitsbeziehungen wurden auf ein lokales Koordinatensystem bezogen und lauten in einer etwas anderen Schreibweise { p' } m = [ K' ] mn { u' } n

m = i,j ; n = i,j

Mit [ T ] T erweitert T

T

[ T ] { p' } m = [ T ] [ K' ] mn { u' } n und den vorherigen Transformationsbeziehungen { u' } n = [ T ] { u }n

[ T ] T { p' } m = { p } m folgt T

{ p } m = [ T ] [ K' ] mn [ T ] { u } n Die globale Steifigkeitsbeziehung { p } m = [ K ] mn { u } n eingesetzt, ergibt die endgültige Steifigkeitsmatrix im globalen Koordinatensystem T

[ K ] mn = [ T ] [ K' ] mn [ T ]

m = i,j ; n = i,j

So gilt z.B. für die Transformation der lokalen Steifigkeitsmatrix [ K' ] ii : T

[ K ] ii = [ T ] [ K' ] ii [ T ] T

Aus dem Matrizenprodukt [ T ] ⋅ [ K' ] ii folgt die Matrix

Baustatik 1 6-17

6


T

[ T ] [ K' ] ii =

EA -------- cos α L

------------ sin α – 12EI L3

--------- sin α – 6EI L2

EA -------- sin α L

12EI ------------ cos α L3

6EI --------- cos α L2

0

6EI --------L2

4EI --------L

Die Komponenten jeder einzelnen Spalte sind die Stabendkraftgrößen im globalen System, die infolge der Einheitsdeformationen im lokalen System in den Stabenden entstehen. Durch Multiplikation dieser Produktmatrix mit [ T ] werden die Einheitsdeformationen im lokalen System durch jene im globalen System ersetzt, womit die endgültige Steifigkeitsmatrix [ K ]ii und [ K ]jj im globalen System gefunden ist:

[ K ]ii =

[ K ] jj =

EA -------- cos2 α + 12EI ------------ sin2 α L L3

EA 12EI-· sin α cos α § -------- – ----------© L L3 ¹

6EI- sin α – -------L2

EA 12EI-· sin α cos α § -------- – ----------© L L3 ¹

EA ------------ cos2 α -------- sin2 α + 12EI L L3

6EI- cos α -------L2

6EI- sin α – -------L2

6EI- cos α -------L2

4EI --------L

EA ------------ sin2 α -------- cos2 α + 12EI L L3

EA 12EI-· sin α cos α § -------- – ----------© L L3 ¹

--------- sin α – 6EI L2

EA 12EI-· sin α cos α § -------- – ----------© L L3 ¹

EA -------- sin2 α + 12EI ------------ cos2 α L L3

--------- cos α – 6EI

6EI- sin α – -------L2

--------- cos α – 6EI

4EI --------L

L2

L2

Die globale Steifigkeitsmatrix [ K ] ij kann auf die gleiche Weise berechnet werden: ------------ sin2 α -------- cos2 α – 12EI – EA L

[ K ]ij =

L3

EAsin α cos α § – ------© L

------------· + 12EI

6EI- sin α – -------L2

6-18 Baustatik 1

L3 ¹

EA sin α cos α § – -------© L

6EI- sin α ------------· – -------+ 12EI L3 ¹

L2

------------ cos2 α -------- sin2 α – 12EI – EA

6EI --------- cos α L2

--------- cos α – 6EI

2-------EI-

L3

L

L2

L

Deformationsmethode Fachwerke

Aus dem Satz von Maxwell folgt die Symmetriebedingung: [ K ] ij = [ K ]

T ij

Demnach kann schließlich die globale Beziehung zwischen den Stabendkraftgrößen und den Stabendverformungen angeschrieben werden mit s s

s

s

s

s

s

s

s

s

{ p }i = [ K ]ii { u }i + [ K ]ij { u }j

{ p }j = [ K ]ji { u }i + [ K ]jj { u }j

6.3 Fachwerke Ausgehend von den Annahmen eines idealen ebenen Fachwerkes besitzt jeder freie Fachwerkknoten zwei Verschiebungsfreiheitsgrade ( ux, uy ). Die lokale Steifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes läßt sich sehr einfach berechnen, da nur eine Verformung u’x in Richtung der Stabachse auftritt. Die Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten erfolgt analog Abschnitt 6.2.1. p' p

x' xj

u'

yj j

p

xj

xj

y u' p' p

xi α x

yi i

p

xi

½ ° p ° ° xi ° s {p } = ® ¾ i ° p ° ° yi ° ¯ ¿ s

s

xi

L

½ ° p ° s ° xj ° {p } = ® ¾ j ° p ° ° yj ° ¯ ¿ u ° xj s {u } = ® j ° u ¯ yj

½ ° ¾ ° ¿

u ½ ° xi ° { ui } = ® ¾ ° u ° ¯ yi ¿

Abb. 6.14 Lokale bzw. globale Stabendkraftgrößen und Verschiebungen eines Fachwerkstabes.

Baustatik 1 6-19

6


So ergeben sich die lokalen Steifigkeiten der Stabenden zu:

s

[ K' ]ii =

EA -------L

0

0

0

s

s

= [ K' ]jj

[ K' ]ij =

EA – -------L

0

0

0

s

= [ K' ]ji

Man erkennt, dass bei Berechnungen nach Theorie I. Ordnung Fachwerkstäbe keine Steifigkeiten in Richtung normal zur Stabachse aufweisen. Aus der bereits bekannten Transformation T

[ K ] mn = [ T ] [ K' ] mn [ T ]

m = i,j ; n = i,j

folgen die globalen Steifigkeiten der Stabenden s

s

s

s

[ K ]ii = [ K ]jj = – [ K ]ij = – [ K ]ji

mit

s

[ K ]ii =

cos α

– sin α

sin α

cos α

=

⋅

EA ⁄ L 0 0

cos α EA ⁄ L

0

sin α EA ⁄ L

0

⋅

⋅

0

cos α

sin α

– sin α cos α

cos α

sin α

– sin α cos α

cos2 α sin α cos α -------= EA L sin α cos α sin2 α s

Die globale Steifigkeitsmatrix [ K ]ii ergibt sich somit zu s

sin α cos α cos2 α -------[ K ]ii = EA L sin α cos α sin2 α

Das gleiche Ergebnis kommt auch zustande wenn aus der globalen Steifigkeitsmatrix [ K ]ii des Biegestabes alle EI enthaltenden Elemente gestrichen werden.

6-20 Baustatik 1


Grundlagen: Fachwerk i y 1

uy1 x

j

2

1 j

i

{u}1 ux1

Abb. 6.15 Fachwerk mit der dazugehörigen Verschiebungsfigur. i

1 1

uy1 j

2

1

ux1

uy1

2 i

1

j

2

ux1

Abb. 6.16 Verträglichkeitsbedingung.

Bei der Anwendung der Deformationsmethode ist es nicht erforderlich über den Grad der statischen Unbestimmtheit Rechenschaft abzulegen. Vielmehr ist der Grad der kinematischen Unbestimmtheit von Interesse, woraus sich die Anzahl der zu ermittelnden unbekannten Verformungen ergibt. Im abgebildeten Fachwerk treten im Knoten 1 zwei unbekannte Knotenverschiebungen ( ux1, uy1 ) auf (siehe Abb. 6.15).

Baustatik 1 6-21

6


Kompatibilität: Die Verträglichkeitsbedingungen (siehe Abb. 6.16) ordnen die Stabendverformungen den Verformungen des Knotens zu. Die Bedingung, die eine Übereinstimmung der Verformungen aller im Knoten 1 liegenden Stabenden fordert, lautet 1

2

1

2

u x1 = uxj = uxj und u y1 = uyj = uyj In Matrizenschreibweise 1

2

(1)

{ u } 1 = { u }j = { u }j Aus den Auflagerbedingungen folgt 1

2

{ u }i = { 0 }, { u }i = { 0 }

(2)

Gleichgewicht: 1

1p

y1

Py

y 1

px1 1p

2 2

2

px1

x1

px1

1 1

x

Px

py1

Abb. 6.17 Gleichgewicht am Knoten 1.

Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 1 (Abb. 6.17) lautet 1

2

1

P x = pxj + pxj und

P y = pyj

In Matrizenschreibweise 1

2

{ P } 1 = { P }j + { P }j

(3)

Für ein allgemeines Stabelement s gilt s

s

s

s

s

{ p j } = [ K ]ji { u }i + [ K ]jj { u }j

damit folgen die Stabendkraftgrößen der Stabelemente, z.B. für Stab 1 1

{ p j } = [ K ]ji

1

1

= 0 aus (2)

6-22 Baustatik 1

1

1

1

{ u }i + [ K ]jj { u }j = [ K ]jj { u }j

® ¯

1


Diese in (3) eingesetzt ergibt 1

1

2

2

{ P }1 = [ K ]jj { u }j + [ K ]jj { u }j Aber aus (1) folgt 1

2

° ° ® ° ° ¯

{ P } 1 = ( [ K ]jj + [ K ]jj ) { u } 1 [ K ] 11 [ K ] 11 ...

globale Steifigkeitsmatrix für den Knoten 1 aus einer Einwirkung am Knoten 1.

Nach der Lösung des Gleichungssystems { P } 1 = [ K ] 11 { u }1 das nur zwei Unbekannte u x1 und u y1 aufweist, werden die Stabkräfte durch Rückeinsetzen von { u } 1 bestimmt. Für den Stab 1 gilt: 1

1

{ u }i + [ K ]jj

{ u }j

= { u }1

= 0 1

1

® ¯

1

{ pj } = [ K ]ji

® ¯

1

1

{ p j } = [ K ]jj { u } 1

Dabei handelt es sich aber um die globalen Stabkräfte. Mit der Transformation { p' } = [ T ] { p } ergeben sich schließlich die endgültigen Stabnormalkräfte mit 1

1

1

{ p' }j = [ T ] [ K ]jj { u } 1

Ein anderer Lösungsweg wäre: 1

1

1

{ p' }j = [ K' ]jj { u' }j

mit

1

1

{ u' }j = [ T ] { u } 1

Baustatik 1 6-23

6


Beispiel:

2

j 1,4 1

45°

y

m

E, A

uy1

1

x

P = 10 kN α=135°

45°

3

E, A

i

2

1 j

i

ux1

1,0 m Stab 1: cos 135° = -0,707, sin 135° = 0,707 Stab 2: cos 0° = 1,0, sin 0° = 0,0

Das Fachwerk weist zwei unbekannte Verschiebungen ( u x1 , u y1 ) am Knoten 1 auf. Die Vorgansweise ist exakt die gleiche wie beim vorangegangenen Beispiel. Aus diesem Grund werden gleich die notwendigen Steifigkeitsmatrizen berechnet und die Gesamtsteifigkeitsmatrix gebildet. 1

Die globale Steifigkeitsmatrix [ K ]jj für Stab 1:

1


1

EA = ---------- 0 ,5 – 0 ,5 1 ,41 –0 ,5 0 ,5

[ K ]ii = EA 0 ,355 – 0 ,355 – 0 ,355 0 ,355

2

Die Steifigkeitsmatrix [ K ]jj für Stab 2 ergiebt sich zu: sin α cos α cos2 α -------[ K ]jj = EA L sin α cos α sin2 α

2

6-24 Baustatik 1

EA = -------- 1 ,0 0 = EA 1 ,0 0 1 ,0 0 0 0 0


Wie im vorigen Beispiel ausführlich erläutert, kann nun das Gleichungssystem wie folgt angeschrieben werden. 1

2

{ P }1 = ( [ K ]ii + [ K ]jj ) ⋅ ½ ° ° 1 ,35 – 0 ,35 ° ux ° ¾= EA ® ° u ° – 0 ,35 0 ,35 ° y ° ¯ ¿

{ u }1 0 ° ® ° – 10 ¯

½ ° ¾ ° ¿

Als Lösung des Gleichungssystems folgen die zwei Knotenverschiebungen. ½ ° ux ° ½ ° ° ° – 10 ° ¾= ® ¾ EA ® ° u ° ° – 38 ,2 ° ° y ° ¯ ¿ ¯ ¿ Durch Rückeinsetzen und Transformation können die Stabnormalkräfte gewonnen werden. Bestimmung der Stabkräfte: y

2

1 j

i x

p’xj

Für die lokalen Verschiebungen gilt: u' xi = 0

und

– 10 u' xj = --------EA

Daraus läßt sich die Normalkraft des Stabes 2 wie folgt errechnen. EA EA – 10 p' xj = -------- u' xj = -------- ⋅ --------- = –10kN = N 2 (Druck) L 1 ,0 EA

Baustatik 1 6-25

6


Bestimmung der Stabnormalkraft des Stabes 1: j y

1

x

p’xi

α =135° i

1

Für die lokalen Verschiebungen gilt. 1

{ u } i' = [ T ] { u } i ½ ° ° u xi' ° cos α sin α ° u xi ° ° = ® ® ¾ ° ° u ' ° – sin α cos α ° u yi yi ° ° ¯ ¯ ¿

½ ° ° ¾ ° ° ¿

Mit der Verschiebung u xi' kann die Stabnormalkraft N1 berechnet werden. Sie ergiebt sich zu EA EA 1 p xi' = -------- u xi' = ---------- ( u xi cos α + u yi sin α ) = ---------- ( 7 ,01 – 27 ,0 ) = – 14 ,1 L 1 ,41 1 ,41 Daraus folg die Normalkraft: N 1 = 14 ,1kN (Zug) Beispiel 6.1:

6-26 Baustatik 1


2

j

j 45°

y

E, A

x 3

E, A

i

A E,

uy1

L= 1,4 1 1m

3

P = 1o kN 45°

2 L=1,0m

135° i

m ,41 1 L=

45°

i j 1

ux1

Stab 1: cos 135° = -0,707, sin 135° = 0,707 Stab 2: cos 0° = 1,0, sin 0° = 0,0 Stab 3: cos 45° = 0,707, sin 45° = 0,707

Ein zusätzlicher Stab kann mit geringem Aufwand in das Gleichungssystem eingebaut werden. Der Stab 3 wird nach der Berechnung der Stabsteifigkeitsmatrix 3 [ K ]ii in die globale Steifigkeitsmatrix assembliert. 3

Die Steifigkeitsmatrix [ K ]ii lautet:

3


EA = ---------- 0 ,5 0 ,5 1 ,41 0 , 5 0 ,5

[ K ]ii = EA 0 ,35 0 ,35

3

0 ,35 0 ,35 Das Gleichungssystem kann nun wie folgt angeschrieben werden · 1 2 3 { P } 1 = ( [ K ]ii + [ K ]jj + [ K ]ii ) { u } 1 ° ® ° ¯

½ ° ° ux ° 0 ½ 1 , 7 ° 0 ° = ¾ EA ® ¾ ° uy ° – 10 ° 0 0 ,70 ° ° ¿ ¯ ¿

Baustatik 1 6-27

6


Als Lösung des Gleichungssystems folgen die zwei unbekannten Knotenverschiebungen. ½ ° ux ° ° 0 ° ° ° ¾ = ® – 10 EA ® ° u ° ° ---------° y ° ° 0 ,70 ¯ ¿ ¯

½ ° ° ¾ ° ° ¿

Durch Rückeinsetzen und Transformation können wie beim vorangegangenen Beispiel die Normalkräfte gewonnen werden. Beispiel:

j

j

j E, A 4 L=1,0m

45°

y

E, A

L= 1,4

x

i

1

uy1

135° 45°

2 L=1,0m

i

Stab 1: cos 135° = -0,707, sin 135° = 0,707 Stab 2: cos 0° = 1,0, sin 0° = 0,0 Stab 3: cos 45° = 0,707, sin 45° = 0,707 Stab 4: cos 90° = 0,0, sin 90° = 1,0

3

m ,41 1 L=

45°

i

E, A

1m

A E,

i

j 1

ux1

P = 1o kN

Auch dieser zusätzliche Stab kann ebenso wie beim vorigen Beispiel mit geringem Aufwand zusätzlich in das Gleichungssystem assembliert werden. Nach Berech4 nung der Steifigkeitsmatrix [ K ]ii wird der Stab in die globale Steifigkeitsmatrix eingebaut.

6-28 Baustatik 1

Deformationsmethode Unverschiebliche Rahmentragwerke 4

Die Steifigkeitsmatrix [ K ]ii lautet:

4

sin α cos α cos2 α EA ------[ K ]ii = L sin α cos α sin2 α

4

[ K ]ii = EA

EA 0 0 = -------1 ,0 01

00 01

Das Gleichungssystem kann wie folgt angeschrieben werden. { P }1 ° ® ° ¯

=

[ K ] 11

{ u }1

½ ° ° ux ° 0 ½ 1 , 7 ° 0 ° = ¾ EA ® ¾ ° ° u y – 10 ° 0 1 ,70 ° ° ¿ ¯ ¿

Als Lösung des Gleichungssystems folgen die zwei unbekannten Knotenverschiebungen. ½ ½ ° ux ° ° 0 ° ° ° ° ° ¾ = ® – 10 ¾ EA ® ° u ° ° ---------- ° ° y ° ° 1 ,70 ° ¯ ¿ ¯ ¿ Durch Rückeinsetzen und Transformation können die Stabnormalkräfte gewonnen werden.

6.4 Unverschiebliche Rahmentragwerke 6.4.1

Allgemeines

Bei der manuellen Berechnung von Rahmensystemen können i.a. die Längenänderungen der Stäbe, ohne Beeinträchtigung der Rechengenauigkeit der endgültigen Schnittbelastungen, vernachlässigt werden ( EA ⁄ L = ∞ !! ). Wenn nun die

Baustatik 1 6-29

6

Deformationsmethode Unverschiebliche Rahmentragwerke

Lage der Knoten unter der gegebenen Belastung erhalten bleibt, so ist das Tragwerk unverschieblich und es treten als Freiheitsgrade nur Knotenverdrehungen auf. Damit lassen sich die in Abschnitt 6.2.2 erstellten lokalen Stabendsteifigkeitsmatrizen als skalare Größen anschreiben. Aus der Transformations-matrix ist ablesbar, daß der Stabenddrehwinkel und das Stabendmoment wegen ihrer Vektorrichtung senkrecht zur x-y Ebene drehinvariant sind, wodurch keine Transformation vom lokalen ins globale System notwendig ist. sm

θ

s

j

s

i

θ i

j

j

mi

Abb. 6.18 Definition der Stabendverdrehungen und Stabendmomente

Somit gilt für die Stabendsteifigkeiten: s s 4EI [ K' ]ii = [ K ]ii = --------- = kii L s s s 2EI [ K' ]ij = [ K ]ij = --------- = kij L s s s 4EI [ K' ]jj = [ K ]jj = --------- = kjj L s

bzw. für die globale Beziehung zwischen dem Stabendmoment und der Stabendverdrehung: s

mi = kii θi + kij θj

s

s

s

s

s

mj = kji θi + kjj θj

s

s

s

s

Beispiel 6.2: Durchlaufträger mit Einzelmoment

1 i

M

1

2 j i

L1 Anmerkung: E, I = konstant

6-30 Baustatik 1

3

θ2 2 L2

j


Der dargestellte Durchlaufträger wird durch ein externes Moment im Knoten 2 belastet. Als einzige Unbekannte ist die Knotenverdrehung θ2 zu berechnen. Mit den bereits im Kapitel 6.2 bestimmten Stabsteifigkeiten kann man nun für die einzelnen Stäbe die zugehörigen Steifigkeiten wie folgt anschreiben. Stab 1: 1

4EI 1 kii = kjj = --------- , L1

1

2EI 1 kij = kji = --------L1

2

4EI 2 kii = kjj = --------- , L2

2

2EI 2 kij = kji = --------L2

Stab 2:

Kompatibilität: Da an biegesteifen Knoten keine unterschiedlichen Stabendverdrehungen auftreten können, ergibt sich die Verträglichkeitsbedingung für den Knoten 1: 1

θ 1 = θi = 0 für Knoten 2: 1

2

θ 2 = θj = θi und für Knoten 3: 2

θ 3 = θj = 0 Gleichgewicht: Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 ergibt sich aus Abb. 6.19 zu 1

2

M = mj + mi M2 2

1 j 1 m

i 1 j

m j

2

m i

2

2

m i


Mit den bereits bekannten Beziehungen für ein allgemeines Stabelement

Baustatik 1 6-31

6


s

s

s

s

s

mi = kii θi + kij θj

s

s

s

s

s

mj = kji θi + kjj θj

und den Kompatibilitätsbedingungen ergibt sich durch Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung die Gleichung 4EI 4EI 1 1 2 2 1 2 M = kjj θj + kii θi = ( kjj + kii )θ2 = § --------- + ---------· θ 2 = K 22 θ 2 ©L L2 ¹ 1 K 22 ... globale Steifigkeit für den Knoten 2 aus einer Einwirkung am Knoten 2. Somit folgt für die unbekannte Knotenverdrehung M θ 2 = -------K 11 Die Stabendmomente werden durch Rückeinsetzen von θ2 bestimmt. Stab 1: 2EI mi = --------- θ 2 , L1

1

4EI mj = --------- θ 2 , L1

4EI mi = --------- θ 2 , L2

2

2EI mj = --------- θ 2 , L2

1

Stab 2: 2

Aus den Stabendmomenten werden die Querkräfte an den Stabenden mit der allgemeinen Beziehung 1

1

pyi

1

mi + mj = --------------------L

1

1

pyj

1

mi + mj --------------------– = L

gewonnen sofern keine Belastung zwischen den Knoten vorhanden ist. Um schließlich die endgültigen Schnittkräfte zu erhalten sind die obigen Ergebnisse auf die Kennfaser zu beziehen. Beispiel 6.3: Durchlaufträger mit Einzelmoment und gelenkigem Auflager

6-32 Baustatik 1


Gelenk

1

2

M

i

j

1

2

i θ1

3

θ2

L1

j

L2

Anmerkung: E, I sind konstant und A>>

Der Unterschied zum vorangegangenen Beispiel liegt lediglich in der Lagerung des Knotens 1, der hier als Gelenk ausgebildet ist. Für die Bestimmung der unbekannten Knotenverdrehungen θ1 und θ2 ist je eine Gleichgewichtsbedingung am Knoten 1 und 2 aufzustellen. Aus dem vorigen Beispiel kann die Verträglichkeits- und Gleichgewichtsbedingung für den Knoten 2 übernommen werden. Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 ergibt sich aus Abb. 6.20 zu 1

2

1

1

2

kji θ1 + kjj θ 2 + kii θ 2

M = mj + mi =

2EI 4EI 4EI = --------- θ 1 + § --------- + ---------· θ 2 © L1 L2 ¹ L1

M 2

1 j 1 m

i 1 j

2

m j

m i

2

2

m i


Für den Knoten 1 ergibt sich die Verträglichkeitsbedingung 1

θ 1 = θi sowie die Gleichgewichtsbedingung mit Hilfe der Abb. 6.21 zu M = 0 =

1

1

kii θ 1 + kij θ 2

4EI 2EI = --------- θ 1 + --------- θ 2 L1 L1

Baustatik 1 6-33

6


1

1 i 1

m

1 i

m

i


Das Gleichungssystem kann nun wie folgt in Matrizenform angeschrieben werden

EI

4 ----L1

2 ----L1

½ ½ ° θ1 ° ° 0 ° ® ¾ = ® ¾ ° M ° 4 4 °¯ θ 2 °¿ ¯ ¿ ----- + ----L1 L2

° ° ° ® ° ° ° ¯

2 ----L1 [K]

[ K ] ... globale Gesamt- Steifigkeitsmatrix. Als Lösung des Gleichungssystems ergeben sich die beiden unbekannten Knotenverdrehungen θ1 und θ2, wobei aus Gleichung 1 sich die Beziehung θ2 θ 1 = – ----2 berechnen läßt. Mit den unbekannten Knotenverdrehungen können die Stabendmomente berechnet werden und in weiterer Folge die Querkräfte.

6.4.2 Belastung zwischen den Knoten Die Belastung zwischen den Knoten wird durch die sog. berücksichtigt. Diese entsprechen den Stabendmomenten am kinematisch bestimmten Stab (Knotenverdrehungen gesperrt) infolge der Belastung. Um Verwechslungen zu vermeiden sind die Starreinspannwerte mit dem zusätzlichen Index "B" gekennzeichnet. Im Anschluß werden für einige Belastungsfälle die Starreinspannwerte berechnet.

6-34 Baustatik 1


1. Gleichlast q x'

EI = const m

i

iB

j

– m jB

L

Die Berechnung erfolgt mit dem Kraftgrößenverfahren. Zunächst wird der Belastungszustand am statisch bestimmten Grundsystem ermittelt. q

θ

θ

i0

j0

+

M0 B qL 2 ---------8

Aufgrund der Symmetrie (System, Belastung, Trägheitsmoment) sind die beiden Starreinspannwerte, und damit auch die statisch Unbestimmten Xi und Xj, gleich groß. Durch den Ansatz eines entsprechenden Einheitskraftgrößenzustandes kann diese Tatsache ausgenützt werden, sodaß nur eine Unbekannte auftritt. θ

θ

i1

i

j1 j

X = 1

X = 1 -1

M0 1

Somit lautet die Kompatibilitätsgleichung θ i = θ i0 + θ i1 X = 0 Die Verformungsgrößen in die Gleichung eingesetzt qL 2 --- --------- ⋅ ( – 1 ) ⋅ L + L ⋅ X = 0 θi = 2 3 8

qL 2 X = --------12

Baustatik 1 6-35

6


und nach der statisch Unbestimmten aufgelöst, ergibt die Starreinspannwerte m

2 ---------= qL iB 12

m

qL 2 = – ---------jB 12

j

i m

qL 2 = ---------iB 12

m qL ------2

qL ------2

qL 2 = – ---------jB 12

L

2. Gleichmäßige Temperaturänderung ±T

i ( p' ) xi T

j

m

( p' ) xj T

m

m

L

Infolge einer gleichmäßigen Temperaturänderung gegenüber dem Aufstellzustand erfährt der Fachwerkstab eine Längenänderung, wodurch wegen der Verformungsbehinderung Zwangskräfte entstehen. Mit dem Verformungszustand am statisch bestimmten Stab ε m

i

j

( u' ) xj T

L

T

½ ¾ ¿

+T

m

= α T L T m

folgen die Zwangskräfte aus ( p' ) xj Tm σ = E ε = -------------------T T A

= EAα T ( p' ) xi T m T m i

6-36 Baustatik 1

( p' ) = – EAα T xj Tm T m

( p' ) = – EAα T xj Tm T m j


3. Ungleichmäßige Temperaturänderung Infolge einer ungleichmäßigen Temperaturänderung zwischen der oberen bzw. unteren Querschnittsfaser gegenüber dem Aufstellzustand sind bei Stabwerken zweierlei Verformungen zu beachten. Eine , die sich entsprechend der gleichmäßigen Temperaturänderung Tm in der Schwerpunktfaser einstellt. Bei doppeltsymmetrischen QuerTo + Tu schnitten ergibt sich T m = -----------------2 Eine ∆T = T u – T o .

(Biegeverformung) infolge der Temperaturdifferenz

T (m

)

iB ∆T

i

T

o

(m

j

u

) jB ∆T

Aus dem Verformungszustand am statisch bestimmten Grundsystem T

u

> T

o

θ

θ

i0

j0

und dem Einheitskraftgrößenzustand X

θ X = 1

θ

i1

j1

X = 1 M0 1

-1

ergibt sich die Kompatibilitätsgleichung θ i = θ i0 + θ i1 X = 0 Mit den Verformungsgrößen θ i0 =

α T ∆T

- ds = ³ M1 --------------h 0

T L-----------– αT ∆ h

L θ i1 = ----EI

folgt aus der Gleichung die statisch Unbestimmte

Baustatik 1 6-37

6


T L- + ---L- X = 0 -----------θi = – αT ∆ h EI

EI α T ∆T X = -----------------------h

Die Starreinspannwerte lauten somit: EI αT ∆T m iB = -----------------------h

EI α T ∆T m jB = – -----------------------h

4. Auflagersetzung Das Auflager eines Tragwerkes verschiebt bzw. setzt sich um den bekannten Wert u*yn. Nach der Assemblierung der globalen Steifigkeitsmatrix ist das Gleichungssystem, in dem die unbekannte Verschiebung uyn durch den vorgegebenen Wert u*yn ersetzt wird, aufzulösen (siehe Abschnitt 7.7, ). Die Auflagersetzung kann aber auch über die Starreinspannwerte der folgenden Tabellen berechnet werden. Es sei noch festgehalten, daß Knotenverschiebungen auch bei unverschieblichen Systemen auftreten, wenn die Lastfälle Temperatur und Auflagersetzung zu berücksichtigen sind. Achtung: Wenn die Starreinspannmomente für beliebige Belastungsfälle aus Tabellen entnommen werden, ist besonders auf die Vorzeichen zu achten. Es empfiehlt sich, in einer kleinen Skizze die Wirkung der Stabendmomente auf den Stab einzutragen. Positive Stabendmomente wirken entgegen dem Uhrzeigersinn. In der ersten Tabelle sind für einige Belastungsfälle die Starreinspannmomente des beiderseits eingespannten Stabes angegeben; in der zweiten die des einseitig einge-

6-38 Baustatik 1


spannten, einseitig gelenkigen Stabes. Die Starreinspannmomente sind dabei auf die Vorzeichenkonvention der Deformationsmethode bezogen. EI = const m

iB

m

j

i

jB

L

m

iB

BELASTUNGSFALL

m

q

qL 2 + --------12

jB

qL 2 – --------12

q

11- qL 2 + -------192

L/2

L/2

5 - qL 2 – -------192

L/2

qc – ----------( 3L 2 – c 2 ) 24L

q

qc + ----------( 3L 2 – c 2 ) 24L

L/2

q 2 ------( 3q A + 2q B ) +L 60

qL 2 + --------20

q

A

c

q

B

2

------ ( 2q A + 3q B ) –L 60

qL 2 – --------30

Baustatik 1 6-39

6


EI = const m

iB

m

j

i

jB

L

m

iB

BELASTUNGSFALL

m

jB

q

5- qL 2 + ----96

L/2

L/2

5- qL 2 – ----96

L/2

------– PL 8

P

------+ PL 8

L/2

P

Pa 2 b– ----------L2

Pab 2

+ ----------L2

b

a

M

M + ----4

L/2

L/2

----+M 4

M

--------( 3a – L ) + Mb L2

6-40 Baustatik 1

a

b

--------( 3b – L ) + Ma L2


EI = const m

m

j

i

iB

jB

L

m

BELASTUNGSFALL

iB

m

jB

Stützensenkung

– 6EI ---------( ∆A – ∆B ) L2

∆A ∆B

kälter wärmer

EI ∆T α + -----------------------Th

---------( ∆A – ∆B ) – 6EI L2

EI ∆T α – -----------------------Th

h DT

EI = const m

j

i

jB

L

m

iB

BELASTUNGSFALL

m

q

jB

qL 2 – --------8

0

q

0 L/2

L/2

7– -------qL 2 128

Baustatik 1 6-41

6


EI = const m

j

i

jB

L

m

iB

BELASTUNGSFALL

m

jB

q

0

c

L/2

q

0

qc – ----------( 3L 2 – c 2 ) 16L

L/2

q

A

q

B

L 2– -------( 7q A + 8q B ) 120

7– -------qL 2 120

0

q L/2

5- qL 2 – ----64

L/2

3- PL – ----16

0 L/2

P

0

L/2

P

0

6-42 Baustatik 1

a

b

---------( L + a ) – Pab 2L 2


EI = const m

j

i

jB

L

m

iB

BELASTUNGSFALL

m

jB

M

0

M + ----8

L/2

L/2

M

0

a

M-( L 2 – 3a 2 ) + -------2L 2

b

Stützensenkung

0

∆A ∆B

0

kälter wärmer

h

---------( ∆A – ∆B ) – 3EI L2

3EI ∆T α – --------------------------T2h

DT

Baustatik 1 6-43

6


6.4.3 Anwendung Beispiel: Durchlaufträger mit Gleichlast q 2 j

1 i

1

3

θ2 2

i L1

j

L2

Anmerkung: E, I = konstant

Der Durchlaufträger wurde von Beispiel 6 übernommen, wobei nun die Stäbe 1 und 2 mit einer Gleichlast q belastet werden. Bezüglich der Kompatibilität treten keine Veränderungen auf. Gleichgewicht: 2

1

2

j 1

i 1 m m j jB

1

2

1 m m jB j

m

2 i

m

iB

2 m

2 iB

m

i


Nach Abb. 6.22 ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 mit 2

mjB + miB +

1

2

mj + mi

° ® ° ¯

1

° ® ° ¯

0 =

Starreinspannwerte aus der Kotenverdrehung 1

2

1

2

1

2

1

2

0 = mjB + miB + mj + mi = mjB + miB + kjj θ 2 + kii θ2 Mit dem Starreinspannwert infolge der Gleichlast (siehe Kapitel 6.4.2) und der Verträglichkeits- und Gleichgewichtsbedingung (siehe Kapitel 6.4.1) kann die unbekannte Knotenverdrehung wie folgt berechnet werden. q 1 2 2 2 K 22 θ 2 = – ( mjB + miB ) = – ------ ⋅ ( L 2 – L 1 ) 12 q 2 2 θ 2 = – -------------- ⋅ ( L 2 – L 1 ) 12K22

6-44 Baustatik 1


Der generelle Berechnungsablauf ist aus Abb. 6.23 ersichtlich. Am kinematisch bestimmten Grundsystem ensteht aufgrund der Fixierung des Knotens ein Momentensprung M. Dieser Momentensprung darf aber am ursprünglichen System nicht auftreten, da der Knoten in Wirklichkeit ja nicht gehalten ist. Der Knoten muss daher solange verdreht werden, bis der Momentesprung M wieder zu null wird. 1

2

M = mjB + miB = M ( θ 2 = 1 )θ 2 SYSTEM + BELASTUNG 1 i

q 2 j

1

3 2

i

j

Momentenverteilung

KIN. BESTIMMTES GRUNDSYSTEM 1 i

q j

1

2

3

1

EINHEITSVERDREHUNG θ2 1 i

2

i

Momentenverteilung

M 2

m jB

j

m iB

q

1

j

θ

2 i

Momentenverteilung

2

3

= 1

2

j

M(θ2=1)

θ2 SYSTEM+BELASTUNG

KIN. BEST. GRUNDSYSTEM

EINHEITSVERDREHUNG

Abb. 6.23 Genereller Berechnungsablauf bei der Deformationsmethode.

Baustatik 1 6-45

6


Beispiel: Durchlaufträger mit Gleichlast und gelenkigem Auflager q 2 j

1

Gelenk

i

1

2

i θ1

3

θ2

L1

j

L2

Anmerkung: E, I = konstant

Der Unterschied zum vorangegangenen Beispiel liegt lediglich in der Lagerung des Knotens 1, der hier als Gelenk ausgebildet ist. Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 ergibt sich aus Abb. 6.24 zu 1

2

1

2

1

0 = mjB + miB + mj + mi =

2

1

1

2

mjB + miB + kji θ 1 + kjj θ 2 + kii θ 2

=

2EI 4EI 4EI 1 2 = mjB + miB + --------- θ1 + § --------- + ---------· θ2 © L1 L2 ¹ L1 2

1

2

j 1

i 1 m m j jB

1

2

1 m m jB j

m

2 i

m

2 m

iB

2 iB

m

i


Für den Knoten 1 kann die Verträglichkeitsbedingung wie folgt angeschrieben werden. 1

θ 1 = θi Die Gleichgewichtsbedingung ergiebt sich aus Abb. 6.25 zu 0 =

1

1

miB + mi

1

=

1

1

miB + kjj θ 1 + kij θ 2

1

1

i 1

m

2EI 1 4EI = miB + --------- θ 1 + --------- θ 2 L1 L1

2 i

m

2 iB

m

1 iB

m

i


Das Gleichungssystem kann nun wie folgt in Matrizenform angeschrieben werden

6-46 Baustatik 1


EI

1 ½ ° – miB ° θ1 ° ° ® ¾ = ® 2 ° 1 4 4 °¯ θ 2 °¿ ° – ( mjB + miB ) ----- + ----¯ L1 L 2

4 ----L1

2 ----L1

° ° ° ® ° ° ° ¯

2 ----L1

½ ° ° ¾ ° ° ¿

[K] [ K ] ... globale Gesamt- Steifigkeitsmatrix. Als Lösung des Gleichungssystems ergeben sich die beiden unbekannten Knotenverdrehungen θ1 und θ2. Mit diesen unbekannten Knotenverdrehungen können die Stabendmomente berechnet werden und in weiterer Folge die Querkräfte. Beispiel 6.4: Unverschieblicher Rahmen P = 40 kN

q = 14 kN/m

i 1 j

ji 2 i

2

3

1

4m

4

4 6 I , I , I = 800 ×10 mm 1 3 4 6 I = 400 ×10 mm 4 2 E = 210 kN/mm 2 A

3

1,5m

4

i

3m

j

5

3m

j

3m

Es handelt sich hier um ein unverschiebliches Tragwerk mit zwei unbekannten Knotenverdrehungen in den Knoten 1 und 2. Für die numerische Rechnung sind die "absoluten" Steifigkeiten ( k ii , ... ) infolge des zahlenmäßig sehr großen E-Moduls unbequem. Die gesuchten Stabendmomente ergeben sich auch dann mit ihrem richtigen Wert, wenn an Stelle der "absoluten" nur "relative" (verzerrte) Steifigkeiten ( kii∗ , ... ) verwendet werden. Es gilt folgende Beziehung: k∗ ii = c ⋅ k ii Mit dem Verzerrungsfaktor

Baustatik 1 6-47

6


1 c = -------EI 0 wobei für das Vergleichsträgheitsmoment I0 z.B. ein häufig wiederkehrendes Trägheitsmoment innerhalb des Systems gewählt wird, ergeben sich die für die Berechnung zu verwendenden "relativen" Steifigkeiten: 4EI k ii = k jj = --------L

kii 4EI I ----------------------= 4 ---------- = 4k k ii∗ = k ∗ jj = E I = L E I L I0 0 0

2EI k ij = k ji = --------L

k ij k ij∗ = ---------- = 2k E I0

g 3EI k jj = --------L

g k jj∗ = 3k

I k = ---------L I0 k ... Stabkennwert

Achtung: Allerdings erscheinen in diesem Fall die unbekannten Weggrößen nicht in ihrer wahren Größe, sondern 1/c-fach verzerrt. Konnektivität und Stabkennwerte: Tab. 6.1 i – j

Stab

L (m)

I/I0

k

k ∗ = k ∗ ii jj

k∗ ij

1

3

1

4

1

1/4

3/4

(3k)

0

-

2

1

2

6

0,5

1/12

1/3

(4k)

1/6

(2k)

3

2

4

5

1

1/5

4/5

(4k)

2/5

(2k)

4

2

5

5

1

1/5

4/5

(4k)

2/5

(2k)

I

0

4 6 = 800 ×10 mm

Der Kragarm hat keinen Einfluss auf die Steifigkeit des Systems im Sinne des Weggrößenverfahrens, da er einer Verdrehung des Knotens 1 keinen Widerstand entgegensetzt. Das Einspannmoment des Kragarms in den Knoten 1 wird wie ein Starreinspannmoment berücksichtigt.

Gleichgewicht: Für die Berechnung der unbekannten Knotenverdrehungen θ1 und θ2 sind die zugehörigen Knotengleichgewichtsbedingungen aufzustellen.

6-48 Baustatik 1


Knoten 1: M 40 kN

1

2

= 40 ⋅ 1,5

2 k θ + k θ ii 1 ij 2 2 2 = 4 k EI θ + 2 k EI θ 0 1 0 2

m = i

= 60 kNm 1

2

2 2 1

1 g k θ jj 1 1 = 3 k EI θ 0 1

m = j

m

iB

2 = qL ---------12 14 ⋅ 6 2- = 42 kNm = ---------------12

1

Somit ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung für den Knoten 1 zu

Externes Moment

2

miB +

2

1

mi + mj

° ® ° ¯

=

® ¯

® ¯

+M 1

Starreinaus Knotenspannwert verdrehungen

Werden nun die Belastungsglieder auf der "rechten Seite" zusammengefaßt und die Stabendmomente aus den Knotenverdrehungen mit ihren relativen Steifigkeiten ausgedrückt, so lautet die Gleichung 1

2

° ° ° ° ° ° ® ° ° ° ° ° ° ¯

2

= M 1 – miB

° ® ° ¯

2

( 4 k + 3 k )EI 0 θ 1 + 2 k EI 0 θ 2

Belastung (rechte Seite)

Steifigkeitskoeffizienten (linke Seite) Knoten 2: 2

2 k θ + k θ jj 2 ji 1 2 2 = 4 k EI θ + 2 k EI θ 0 2 0 1

m = j

2

2 2 m

jB

= – 42 kNm 3

4

3

2

4 4 m = k θ i ii 2 4 = 4 k EI θ 0 2 3 k θ ii 2 3 = 4 k EI θ 0 2

m = i

Es folgt daraus die Gleichgewichtsbedingung für den Knoten 2 mit:

Baustatik 1 6-49

6


2

2

2

3

3

4

0 = mjB + mj + mi + mi bzw. 2

4

2

2 k EI 0 θ 1 + ( 4 k + 4 k + 4 k )EI 0 θ 2 = – mjB Gleichungssystem: Aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen läßt sich das Gleichungssystem für die unbekannten Knotenverdrehungen allgemein anschreiben zu θ1 2

θ2 1

4 k +3 k EI 0 2

2 k

½ 2 ° θ1 ° ° M 1 – m iB ® ¾ = ® ° 2 2 3 4 ° θ ° 4 k +4 k+4 k ¯ 2 ¿ ¯ – m jB 2

2 k

½ ° ¾ ° ¿

Das Gleichungssystem kann auch ohne Gleichgewichtsbetrachtungen an jedem Knoten über die Assemblierung gewonnen werden. Mit Zahlenwerten lautet das Gleichungssystem

EI 0

1,0833 0,1666

½ ½ 0,1666 ° θ 1 ° ° 18 ° ® ¾ = ® ¾ ° ° 1,9333 ° θ 2 ° ¯ ¿ ¯ 42 ¿

Die Auflösung liefert die Knotenverdrehungen EI 0 θ 1 = 13,45

EI 0 θ2 = 20,56

.

Beide Werte sind positiv, d.h. die Knoten 1 und 2 verdrehen sich entgegen dem Uhrzeigersinn (Abb. 6.26).

6-50 Baustatik 1


1

13,45 = ------------EI 0

2

------------= 20,56 EI 0

θ θ

i

1 j

j i 2 i

1 2

θ

j 4

i

3

2

4

3

1

θ

5

j

Abb. 6.26 Verzerrte Verformungsfigur.

Stabendmomente:

Die Stabendmomente werden durch Rückeinsetzen der Knotenverdrehungen für die einzelnen Stäbe ermittelt. 1

2

3

1

mi = 0 1

mj = 3 k EI 0 θ 1

2

mi = 4 k EI 0 θ 1 + 2 k EI 0 θ 2 + miB

2

2

2

2

1 mi = 1 --- ⋅ 13,45 + --- ⋅ 20,56 + 42 = 49,91 kNm 3 6

2

mj = 2 k EI 0 θ 1 + 4 k EI 0 θ 2 + mjB

2

1 mj = --- ⋅ 13,45 + --1- ⋅ 20,56 – 42 = – 32 ,91 kNm 6 3

2

3

3

3

3

mi = 4 k EI 0 θ2 mj = 2 k EI0 θ 2

4

1

1 1 mj = 3 ⋅ --- ⋅ EI 0 ⋅ 13,45 ------- = 10,09 kNm 4 EI 0

1

4

4

2

2

mi = 4 --- ⋅ 20,56 = 16,45 kNm 5 3 2 mj = --- ⋅ 20,56 = 8,22 kNm 5 3

mi = 16,45 kNm mj = 8,22 kNm

Baustatik 1 6-51

6


Querkräfte: Die Querkräfte an den Stabenden werden aus den Lagerkräften des einfach gelagerten Stabes zufolge der Belastung und den Stabendmomenten gewonnen.

j

i

2 mi

2

2 2 p'

2 yi

p'

mj

yj 4

1 mj

1 j

p'

3 yj

3

mi

3

i

4

mi

p' yi

4

1

p' yi

i

3 p' yj i

1

1

2

2

p' yi p' yj

p' yi

3

mi + mj = --------------------- = 4,93 kN L 3

p' yj = – p' yi = – 4,93 kN 4

4

2

qL mi + mj 14 ⋅ 6 49,91 – 32,91 = ------- + --------------------- = ------------- + --------------------------------- = 44,83 kN 2 6 L 2 2 2 qL mi + mj = ------- – --------------------- = 42 – 2,833 = 39,16 kN L 2 3

3

4

6-52 Baustatik 1

1

p' yj = – p' yi = – 2,52 kN

3

4

mj

mj 10,09 p' yi = ------- = ------------- = 2,52 kN 4 L

2

3

j 3

2

1

1

2

p' yi

4 p' yj

p' yi

4

mi + mj = --------------------- = 4,93 kN L 4

p' yj = – p' yi = – 4,93 kN

4 mj j


Vorzeichenkonventionen: Die ermittelten Stabendkraftgrößen beziehen sich auf die Vorzeichenkonvention die für die Deformationsmethode (Abschnitt 6.1.4) vereinbart wurde. Somit ist eine Rücktransformation in die Kennfaserregelung notwendig. Im Anschluß sind die beiden Vorzeichenkonventionen gegenübergestellt. Biegemomente: +m i

j

+ mi +M

j „ Defo „

+M „ Kennfaser „

Querkräfte: + p' yi

+ p' yj i

j

„ Defo „

+Q „ Kennfaser „ +Q Normalkräfte: + p' xj

+ p' xi i

+N

j

„ Defo „

+N „ Kennfaser „

Der Verlauf der Momente bezogen auf die Kennfaser ist in Abb. 6.27 dargestellt. Die in Klammer gesetzten Werte entsprechen der Vorzeichenkonvention der Deformationsmethode.

Baustatik 1 6-53

6


KM: 1 mm = 3 kNm - 60

-

- 49,91 (49,91) qL 2 ---------8

-

M

- 32,91 (- 32,91) +

10,09 (10,09)

-

-

- 16,45 (16,45)

8,22 (8,22)

8,22 (8,22)

Abb. 6.27 Momentenverlauf.

Eine wichtige Kontrolle besteht darin, daß die Summe der Momente um die Knotenpunkte null ist. Knoten 1: 1

60

49,91

¦ M1

= 0:

– 60 + 10,09 + 49,91 = 0

¦ M2

= 0:

– 32 ,91 + 16,45 + 16,45 = 0

10,09 Knoten 2: 2

32,91

16,45

16,45

In Abb. 6.28 ist der Verlauf der Querkräfte dargestellt.

6-54 Baustatik 1


KM: 1 mm = 2 kN

- 40

- 39,16 (39,16)

-

-

2,52 (- 2,52)

Q

4,93 (4,93)

+

+

+

44,83 (44,83)

4,93 (- 4,93)

2,52 (2,52)

4,93 (- 4,93)

Abb. 6.28 Querkraftverlauf.

Kontrollen ergeben sich aus der mathematischen Definition für die Querkraft dM -------- = Q dx

Q = 0 → Tangente zu M ist Null.

Für die Ermittlung der Normalkräfte sind die Auflagerkräfte A 3 , A 4 , A 5 nach Abb. 6.29 zu bestimmen. 40 kN

q = 14 kN/m 2 1

.

a

4,93

b

4

3

α 4,93

A4

3m

5 8,22

3,0

8,22 A3

cos α = 4--5

5,0

4,0

.

1,5m

sin α = 3--5

α

3m

A5

3m

Abb. 6.29 Berechnung der Auflagerkräfte.

Baustatik 1 6-55

6


Die Auflagerkraft A3 folgt aus dem Kräftegleichgewicht am Knoten 1. 40

44,83 1

2

p' xi

¦ P y1

= 0:

1

¦ P x1

= 0:

2

p' xj = – 84 ,83 kN p' xi = 2,52 kN

2,52 1

A 3 = 84,83 kN

p' xj

Aus der Geometrie ergeben sich die Normalabstände a und b zu 6⋅3 a = 6 ⋅ sin α = ---------- = 3,60 m 5

6⋅4 b = 6 ⋅ cos α = ---------- = 4,80 m 5

Die Momentengewichtsbedinungen am Knoten 5 und 4 liefern die Auflagerkräfte A4 und A5.

¦

M5 = 0 :

8,22 + 8,22 + 40 ⋅ 10,50 + 14 ⋅ 6,0 ⋅ 6,0 – 84,83 ⋅ 9,0 – – 4,93 ⋅ 3,60 – A 4 ⋅ 4,80 = 0

¦

M4 = 0 :

A 4 = 33,17 kN

8,22 + 8,22 + 40 ⋅ 4,50 – 4,93 ⋅ 3,60 – 84,83 ⋅ 9,0 + + A 5 ⋅ 4,80 = 0

A 5 = 15,79 kN

Somit ergeben sich die in Abb. 6.30 dargestellten Normalkräfte. KM: 1 mm = 3 kNm + 2,52

-

-

N

-

- 15,79 - 84,83

- 33,17

Abb. 6.30 Normalkraftverlauf.

6-56 Baustatik 1


Verformung am Punkt A: 1 2

3

4

- 7,5

5

1

-

- 7,5

7

-

6

A

- 4,5

Abb. 6.31 M 0 - Verlauf am statisch bestimmten Grundsystem.

Die Anwendung des Reduktionssatzes

1 ⋅ δA =

³

0 MM ------------- ds , EI

sowie dessen Auswertung mit Hilfe der numerischen Integration (Simpson), Tab. 6.2 Pkt

I0 / I

M0

M

∆ -----x3

f

1

0

0

2

- 30

- 0,75

3

- 60

- 1,5

1

3

- 49,91

- 1,5

1

4

+ 21,59

- 4,5

5

- 32,91

- 7,5

1

5

- 16,47

- 7,5

1

6

- 4,11

- 6,0

7

+ 8,24

- 4,5

³

I M M 0 ----0I

ds

1

2

2

1

4

4

4 1

0,75 ---------3

3,0 ------3

2,5 ------3

Σ

+90,0

-133,86

+154,24

+110,38

liefert die Verformung (Durchbiegung) am Punkt A.

Baustatik 1 6-57

6


EI 0 ⋅ δ A = + 110,38

6-58 Baustatik 1

δ A = 0,000657 m

Deformationsmethode Verschiebliche Rahmentragwerke

6.5 Verschiebliche Rahmentragwerke 6.5.1

Allgemeines

Für die nachfolgenden Betrachtungen wird vorausgesetzt, daß die Einzelstäbe dehnstarr sind, d.h. daß keine Längenänderungen der Stäbe auftreten. Die Vereinfachung, die durch die dehnstarren Stäbe entsteht ist aus Abb. 6.32 ersichtlich. Allgemeines Wegrößenverfahren

q -ux2 2 -uy2

-ux1 1

P -uy1

−θ1

θ2

6 unbekannte Weggrößen (ux1, uy1, θ1, ux2, uy2, θ2) Drehwinkelverfahren A >> ... Längenänderung der Stäbe vernachlässigbar -ux2

-ux1 1 y

-θ1

θ2

2

ψ

L

ux2 = ux1 uy2 = uy1 = 0 ψ =ux2/L = ux1/L

3 unbekannte Weggrößen (θ1, θ2, ψ)

Abb. 6.32 Verschiebliches Rahmensystem.

Ein Tragwerk ist verschieblich wenn sich die Lage der Knoten unter der gegebenen Belastung ändert. Es treten somit neben den Knotenverdrehungen auch Knotenverschiebungen als Freiheitsgrade des Systems auf.

Baustatik 1 6-59

6


Neben den Knotengleichungen müssen für die unbekannten Knotenverschiebungen zusätzliche Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, die sich aus dem Verschiebungszustand des Systems ergeben und deshalb genannt werden. Diese Verschiebungsgleichungen lassen sich entweder als Gleichgewichtsbedingungen an herausgeschnittenen Teilen des Systems oder mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Weggrößen als Arbeitsgleichungen formulieren. Die Anzahl der erforderlichen Verschiebungsgleichungen entspricht der Anzahl der voneinander unabhängigen Knotenverschiebungen. Um diese zu bestimmen, denkt man sich die biegesteifen Knoten durch Gelenke ersetzt und untersucht, wieviele Festhaltungen (ideelle Stabilisierungsstäbe) für die jeweilige Belastung erforderlich sind, damit ein stabiles (unverschiebliches) Gelenksystem entsteht. Die Zahl der Stabilisierungsstäbe ist gleich dem Grad der Verschieblichkeit des betrachteten Systems und damit gleich der Anzahl der erforderlichen Verschiebungsgleichungen. Beispiel 6.5: 1-fach verschieblicher Rahmen ∆

∆ 2 j i 1

θ 2 θ

3 j i

2

P h --2

3

h

3

i 1

4

j

L

Infolge der Annahme, daß sich die Längen der Stäbe unter Belastung nicht ändern (EA >>), erfährt der Knoten 3 die selbe Verschiebung wie Knoten 2. Aus Abb. 6.33 geht hervor, daß ein Stabilisierungsstab V∆ ausreicht um das Gelenksystem unverschieblich zu machen. Somit tritt neben den unbekannten Knotenverdrehungen θ2 und θ3 nur eine zusätzliche Unbekannte auf, nämlich die Verschiebung ∆ .

6-60 Baustatik 1


KD

KD

2

3

V∆ P

V Stabilisierungsstab KD Knotendrehfessel

Abb. 6.33 Gelenksystem - kinematisch bestimmtes Grundsystem

Die Berechnung nach dem Weggrößenverfahren geht vom kinematisch bestimmten Grundsystem aus. Dazu werden entsprechend der Anzahl der unbekannten Weggrößen zusätzliche ideelle Bindungen eingeführt, was dem Nullsetzen der Unbekannten entspricht. So wird der Knoten 2 mit einer ideellen drehstarren Knotendrehfessel (KD) gegen Verdrehung gesichert, ebenso der Knoten 3, der zusätzlich eine ideelle Stützung (V) gegen Verschieben erhält (Abb. 6.33). Die Belastung ruft Festhaltekräfte bzw. Festhaltemomente an den zusätzlichen Bindungen des kinematisch bestimmten Grundsystems hervor. Die Knotendrehfessel KD2 erhält dabei jenes Moment, das notwendig ist, um Gleichgewicht am Knote 2 herzustellen (Starreinspannmoment). Der Stabilisierungsstab V ∆ erhält die Auflagerkraft, die für Gleichgewicht der horizontalen Kräfte notwendig ist (Abb. 6.34). – Ph -----8 2

3

P --2

P

+

M

B

– Ph -----8

Abb. 6.34 Lastverformungszustand

Das tatsächliche System erhält im Gegensatz zum kinematisch bestimmten Grundsystem Knotenverdrehungen und Knotenverschiebungen. Um diese Weggrößen zu berechnen, wird nacheinander je eine Bindung des kinematisch bestimmten Grundsystems gelöst und eine Einheitsweggröße aufgebracht. Die einzelnen Einheitsverformungszustände sowie deren zugehörigen Stabendkraftgrößen (Stabendsteifigkeiten) sind in den nachfolgenden Skizzen, bezogen auf die Kennfaser, dargestellt (siehe auch Kapitel 6.4.2).

Baustatik 1 6-61

6


θ 2 = 1: θ

2

= 1

4EI – --------L

2

4EI --------h M

6EI-------h2

2EI --------L

2

2EI – --------h

θ 3 = 1:

3 θ

3

2EI – --------L

3EI – --------h

= 1 M

3EI --------h2

4EI --------L

3

∆ = 1: ∆ = 1

∆ = 1 6EI – --------h2

3EI --------h2 15EI -----------h3 M

∆

6EI --------h2

Abb. 6.35 Einheitsverformungszustände

Aus den Abbildungen ist ersichtlich, daß sich jeder dieser Einheitsverformungszustände im Gleichgewicht befindet, wenn an den Knotendrehfesseln bzw. an den Stabilisierungsstäben die in Abb. 6.35 dargestellten externen Momente bzw. Festhaltekräfte wirken.

6-62 Baustatik 1


Die Aufgabe besteht nun darin, diejenigen Faktoren ( θ2 , θ 3 , ∆ ) für die Einheitsverformungszustände zu ermitteln, für die die zusätzlichen Bindungen des kinematisch bestimmten Grundsystems bei der Summe aller Teilzustände kräftefrei und damit überflüssig sind. Diese Forderung ist identisch mit zwei Arten von Gleichgewichtsbedingungen: 1. Knotengleichgewicht Für eine Knotengleichgewichtsbedingung sind die in den Skizzen der Teilzustände eingetragenen Werte der Momente am entsprechenden Knoten aufzusummieren (Vorzeichen !!). Die Anteile aus den Einheitsverformungszuständen erhalten dabei noch die zu bestimmenden Faktoren θ 2 , θ 3 , ∆. Für jeden zunächst festgehaltenen Knoten ist eine Gleichung aufzustellen.

¦ M2

= 0:

Ph 4 4 6- EI ∆ = 0 – ------ + §© --- + --- ·¹ EI θ 2 + --2- EI θ3 – ---h L 8 L h2

¦ M3

= 0:

3- EI ∆ = 0 --- · EI θ 3 – -----2- EI θ 2 + § --4- + 3 © ¹ L h L h2

2. Verschiebungsgleichgewicht Die an einem herausgeschnittenen Teilsystem wirkenden Kräfte in Richtung der Stabilisierungsstäbe müssen mit den aufgebrachten Lasten im Gleichgewicht sein. Das heißt, daß die Kraft im Stabilisierungsstab V ∆ aus dem Lastverformungszustand und aus den mit den Faktoren ( θ 2 , θ 3 , ∆ ) multiplizierten Einheitsverformungszuständen Null sein muß.

¦ V∆

= 0:

P 63- EI θ – 15 ------ EI ∆ = 0 EI θ 2 + ---– --- + ---3 2 h2 h2 h3

Aus den beiden Knotengleichungen und der Verschiebungsgleichung können nun die Unbekannten θ2 , θ 3 , ∆ errechnet werden. Somit lassen sich die Stab-endkraftgrößen bestimmen.

6.5.2

Drehwinkelverfahren

Wie bereits eingangs erwähnt, ist das Drehwinkelverfahren ein Sonderfall des allgemeinen Weggrößenverfahrens, welches sich besonders für eine Handrechnung von ebenen Rahmensystemen eignet. Statt Knotenverschiebungen werden Stabsehnendrehungen als Unbekannte angesetzt. Somit weisen verschiebliche Tragwerke Knoten- und Stabsehnendrehungen als Freiheitsgrade auf.

Baustatik 1 6-63

6


Eine Stabsehnendrehung tritt auf, wenn die Stabenden i und j eines Stabes ungleiche Verschiebungen senkrecht zur Stabachse erfahren. Eine Sehnendrehung ψ ist positiv wenn die Verdrehung entgegen dem Uhrzeigersinn erfolgt (Abb. 6.36). L i

j u

u

yi

θ

∆

yj

j

+ψ i θ

+ψ

i

j

∆ = u tan ψ

yi

–u

≈ψ

yj

→

--ψ = ∆ L

Abb. 6.36 Verformungen eines Stabelementes

Die Herleitung der Steifigkeit aus einer Sehnendrehung bedarf keiner weiteren Erklärung (Abb. 6.37, Abb. 6.38). p'

yj

12EI = – -----------L2

6EI m = – --------j L

p' = 12EI -----------yi L2

∆ = 1

ψ = 1 i 6EI m = – --------i L

E,I

j

L

Abb. 6.37 Stabendkraftgrößen infolge einer Sehnendrehung: beiderseits starre Lagerung

6-64 Baustatik 1

ψ= 1

⋅L


p'

p'

yi

yj

3EI = --------L2

3EI m = – --------j L

3EI = – --------L2

∆ = 1

ψ = 1 E,I

i

⋅L

j

L

Abb. 6.38 Stabendkraftgrößen infolge einer Sehnendrehung: einseitig gelenkige Lagerung.

ψ = 1

Die für die Berechnung zu verwendenden "relativen" Steifigkeiten lauten: 6EI k iψ = k jψ = – --------L

3EI g k jψ = – --------L

kjψ∗ = – 3k

6EI Ik iψ∗ = k iψ∗ = – --------------- = – 6 --------= – 6k L E I0 L I0 I k = ---------L I0

g

Die Stabendmomente eines beiderseits eingespannten Stabelementes, das durch eine Belastung, eine Sehnendrehung und Knotenverdrehungen beansprucht wird, ergeben sich mit Abb. 6.36 s

s

s

s

s

mi = miB + k EI 0 ( 4 θ i + 2 θ j – 6 ψ )

s

mj = mjB + k EI 0 ( 4 θ j + 2 θ i – 6 ψ )

Im Anschluß wird der 1-fach verschiebliche Rahmen aus der Sicht des Drehwinkelverfahrens betrachtet. KD

KD

2

3

2 SD 1

α

3 SD Sehnendrehfessel KD Knotendrehfessel

Abb. 6.39 Kinematisch bestimmtes Grundsystem

Baustatik 1 6-65

6


Zur Gewinnung des kinematisch bestimmten Grundsystems wird anstatt der ideellen Stützung (V) der Stab 3 durch eine Sehnendrehfessel SDα gegen Drehen gesichert. Somit tritt neben den unbekannten Knotenverdrehungen θ 2 und θ 3 eine unbekannte Sehnendrehung ψ α auf. 2 j i

2

3 j i

–θ2

1 P

h

3 –ψ α

h --2

–θ3

–ψ α

i 1

4

j

L

Abb. 6.40 Verformungsfigur mit Freiheitsgraden

Je unbekannter Knotenverdrehung steht eine Knotengleichgewichtsbedingung zur Verfügung. Gleichgewicht am Knoten 2: 2 2 2

2

4 k θ2 + 2 k θ3

1

Ph 1 1 – ------ + 4 k θ 2 – 6 k ψα 8

Ph 2 1 1 2 ΣM 2 = – ------ + ( 4 k + 4 k )θ 2 + 2 k θ3 – 6 k ψ α = 0 8

6-66 Baustatik 1


Gleichgewicht am Knoten 3: 3 2 2

2

4 k θ3 + 2 k θ 2 3

3

3 k θ 3 – 3 k ψα 2

3

2

3

3

ΣM 3 = ( 4 k + 3 k )θ3 + 2 k θ 2 – 3 k ψ α = 0

Verschiebungsgleichgewicht: Für die dritte Unbekannte, die unabhängige Sehnendrehung ψ α ist ebenfalls eine Gleichgewichtsgleichung zu formulieren. Dazu wird ein horizontaler Schnitt durch die oberen Enden der Rahmenstiele geführt; in der Schnittstelle werden die Stabendkraftgrößen angebracht. Die Formulierung der Gleichgewichtsbedingung ΣP y = 0 liefert die Verschiebungsgleichung. 1 1 Ph 4 k θ 2 – 6 k ψ α – -----8

1

pyj

P

3

2 1

j

1

h

1

3

3 k θ3 – 3 k ψα 3

pyj

pyi

1

3

Σ P y = pyj + pyi = 0

3

i

pyi

3

h

3

j

i 1 1 Ph 2 k θ 2 – 6 k ψ α + -----8 1 P --- § 1 Ph Ph pyj = --- – 1 6 k θ 2 – 12 k ψ α + ------ – ------ · 2 h© 8 8 ¹

1

--- ( 3 k θ 3 – 3 k ψ α ) pyi = – 1 h

3

3

3

1 3 1 3 Ph Σ P y = ------ – 6 k θ 2 – 3 k θ 3 + ( 12 k + 3 k )ψ α = 0 2

Baustatik 1 6-67

6


Gleichungssystem: θ2 1

θ3 2

4 k+4 k EI 0

2

2 k 1

–6 k

ψα

Ph ½ ° -----2 k –6 k ° 8 ° θ2 ° ° ° ° 2 3 3 ® θ3 ¾ = ® 0 4 k+3 k –3 k ° ° ° ° ψ ° ° Ph 3 1 3 ° – -----–3 k 12 k + 3 k ¯ α ¿ ¯ 2 2

1

½ ° ° ° ¾ ° ° ° ¿

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt die unbekannten Weggrößen, aus denen durch Rückeinsetzen die Stabendmomente gewonnen werden.

6.5.3 Alternative Gleichgewichtsbestimmung - Prinzip der virtuellen Weggrößen Dieses Prinzip stellt nur eine andere Form der Gleichgewichtsbedingungen dar und ist im Kapitel "Grundlagen" ausführlich erläutert worden. Die nachfolgenden Betrachtungen sind auf das Einführungsbeispiel bezogen. Damit das Gleichungssystem für die Unbekannten positiv definit wird, sind die virtuellen Verformungszustände in gleicher Reihenfolge und Form, aber mit entgegengesetzter Drehrichtung wie die Einheitsverformungszustände anzusetzten (d.h. entgegen der positiven Stabsehnendrehung nach Abschnitt 6.5.2). Gleichgewicht am Knoten 2: Die Stabendmomente werden freigelegt, indem je ein Gelenk unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Knoten eingefügt wird. Dann werden die so freigelegten Momente angebracht. Dabei wirken positive Momente am Knoten im Uhrzeigersinn. Der Knoten wird der Übersichtlichkei halber als Dreieck dargestellt, hat in Wirklichkeit aber keine Abmessungen. Wird nur dem Knoten 2 des Gelenksystems (Abb. 6.41) eine virtuelle Verdrehung δθ 2 = 1 erteilt, so muß die virtuelle Arbeit aller auf diesen Knoten wirkenden Momente Null sein. Positive Stabendmomente leisten positive virtuelle Arbeiten, wenn die virtuelle Knotenverdrehung δθ 2 im Uhrzeigersinn erfolgt.

6-68 Baustatik 1


1

2 m

2

j 2m i

δθ

2

2 i j' j i'

δθ

2

= 1

δθ

2

= 1

2

j

3 i

1

P

3

= 1 1

1 i

j 4

Abb. 6.41 Virtuelle Verdrehung des Knotens 2

Die strichlierten Linien für den Stab 1 und 2, die die Lage dieser Stäbe nach der Knotenverdrehung angeben soll, fallen entgegen der Abbildung mit der ursprünglichen Lage der Stäbe zusammen, da bei unendlich klein gedachten Knotenabmessungen bei einer Drehung des Knotens 2 keine Hebung der Punkte i und j eintritt und i mit i’ bzw. j mit j’ zusammenfällt. Damit bleiben die Stabenden an den gedachten Gelenken ungedreht, und es leisten nur die Knotenmomente an der Knotenverdrehung die virtuelle Arbeit 1

2

δW θ = mj ⋅ 1 + mi ⋅ 1 = 0 . Mit den Stabendmomenten 1

1

2

2

1

mj = mjB + k EI 0 ( 4 θ2 – 6 ψ α ) mi = k EI 0 ( 4 θ 2 + 2 θ 3 )

lautet die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 1 1 2 2 Ph ( – ------ + 4 k θ 2 – 6 k ψ α ) + ( 4 k θ2 + 2 k θ 3 ) = 0 8

bzw. 2 1 1 2 Ph ( 4 k + 4 k )θ 2 + 2 k θ 3 – 6 k ψ α = -----8

Dies ist dasselbe Ergebnis wie zuvor.

Baustatik 1 6-69

6


Gleichgewicht am Knoten 3: In analoger Weise erhält man die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 3. Aus der Arbeitsgleichung 2

3

δW θ = mj ⋅ 1 + mi ⋅ 1 = 0 ergibt sich mit den Stabendmomenten 2

2

3

3

mj = k EI 0 ( 4 θ 3 + 2 θ 2 ) mi = k EI 0 ( 3 θ 3 – 3 ψ α )

schließlich die Gleichgewichtsbedingung zu 2

2

3

3

2 k θ 2 + ( 4 k + 3 k )θ 3 – 3 k ψ α = 0 Wäre im Knoten 2 ein Kragarm mit einer Last P sowie ein zusätzliches externes Knotenmoment M en nach Abb. 6.42 vorhanden, so ergäbe sich die Arbeitsgleichung mit 1

2

e

δW θ = mj ⋅ 1 + mi ⋅ 1 – P ⋅ a – M 2 ⋅ 1 = 0 P

a M

a⋅1

e 2 2

2

1

mj

δθ

2

2

mi

= 1 1

δθ

2

= 1

e M .....Externes Knotenmoment 2

Abb. 6.42 Virtuelle Verdrehung des Knotens 2 mit Kragarm und ext. Moment

Verschiebungsgleichgewicht: Die Formulierung des Verschiebungsgleichgewichtes in Querkräften, welche dannach durch Stabgleichgewichtsbetrachtungen in Stabendmomente transformiert werden, kann sehr elegant unter Anwendung des Prinzips der virtuellen Weggrößen erfolgen.

6-70 Baustatik 1


Es werden in gerade sovielen Stabenden des belasteten und verformten Systems Gelenke eingefügt, daß eine zwangsläufige kinematische Kette entsteht. Eine zwangsläufige kinematische Kette ist ein aus starren Scheiben, reibungsfreien Lagern und Anschlüssen bestehendes, bewegliches mechanisches System mit einem Freiheitsgrad (1-fach verschieblich). Wenn in den Gelenken die noch unbekannten endgültigen Stabendmomente als äußere Kraftgrößen angebracht werden, bleibt der Spannungs- und Verformungszustand des wirklichen Systems unverändert. Wird nun der kinematischen Kette ein virtueller Verformungszustand δψ α = 1 erteilt, so ist die virtuelle Arbeit, die dabei von der Belastung und den endgültigen Stabendmomenten geleistet wird, gleich Null. Bei Systemen mit m-facher Verschieblichkeit wird dieser Vorgang mmal durchgeführt, für jede Verschieblichkeit einmal, sodaß m Verschiebungsgleichungen erhalten werden. Zurück zum Einführungsbeispiel; in Abb. 6.43 ist der virtuelle Verformungszustand δψ α = 1 der kinematischen Kette dargestellt. Es sind nur die Arbeit leistenden positiven Stabendmomente eingetragen. Auf die Knoten wirkende externe Momente leisten in keine Arbeit, da sich die Knoten selbst nicht verdrehen. 2 1 m P

1

v

1

3

2

3 m

j

P, α

i

3

⋅ 1 = h--- ⋅ 1

h

2

δψ = 1 α 1 m i

δψ = 1 α 4

Abb. 6.43 Virtuelle Stabsehnendrehung an der kinematischen Kette

Die Arbeitsgleichung lautet somit: 1

1

3

δW ψ = P ⋅ v P, α ⋅ 1 – ( mi + mj ) ⋅ δψ α – mi ⋅ δψ α = 0 Mit den Stabendmomenten folgt 1 1 3 3 Ph ------ – ( 6 k θ 2 – 12 k ψ α ) –( 3 k θ3 – 3 k ψ α ) = 0 2

bzw. 1 3 1 3 Ph – 6 k θ 2 – 3 k θ 3 + ( 12 k + 3 k )ψ α = – -----2

Baustatik 1 6-71

6


Aus diesen Gleichungen leiten sich folgende Assemblierungsregeln ab: Assemblierungsregeln - Rechteckiger Rahmen (Stiele gleicher Länge): [K] ⋅ {u} = {p}

θ2

θ3

2

2

e

g

ψα

2, 3

4¦ k + 3¦ k

2¦ k

3

3

e

g

4¦ k + 3¦ k

¦

e(g)

g

3, α

3, α

e

g

α

α

e

g

12 ¦ k + 3 ¦ k

Summe über alle Stäbe, die an Knoten n und an Knoten m anschließen (in der Regel nur ein Stab)

n, m

¦

Summe über alle Stäbe, die an Knoten n anschließen und eine Sehnendrehung ψ α haben

n, α

¦

e(g) α

Summe über alle Stäbe, die eine Sehnendrehung ψ α haben

¦

e(g)

6-72 Baustatik 1

e

Summe über alle Stäbe, die am anderen Ende eingespannt (gelenkig) gelagert sind und an den Knoten n anschließen

n

¦

2, α

–6 ¦ k – 3 ¦ k

SYMMETRIE

¦

2, α

–6 ¦ k – 3 ¦ k

e

M nB = M n –

n

e

¦ mi( j )B

M n ..... Externes Knotenmoment

e(g)

P αB =

α

α

e

g

α

¦ ( miB + mjB ) + ¦ m i ( j )B – ¦ P ⋅ v P, α


Achtung ! Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert die unbekannten Weggrößen mit ihren EI0 -fachen Werten. Allgemeine Rahmen - Einfach Verschieblich: Für einen allgemeinen Rahmen sind nicht alle Sehnendrehungen gleich. Mit jeder unabhängigen Sehnendrehung ψα eines bestimmten Stabes können abhängige Sehnendrehungen sψα anderer Stäbe (s) verbunden sein. Die geometrische Abhängigkeit der einzelnen Sehnendrehungen wird am besten über einen Verschiebungsplan ( ) gefunden. Dabei ergeben sich die Sehnendrehungen aus der Verschiebung in Richtung senkrecht auf den Stab geteilt durch die Stablänge. Weiters können aus dem Verschiebungsplan die Verschiebungswege der äußeren Kraftgrößen aus einer Einheitssehnendrehung abgelesen werden. Im Anschluß werden zwei Systeme der Reihe nach etwas näher betrachtet, wobei ausschließlich auf die Ermittlung des Verschiebungsgleichgewichtes eingegangen werden soll. Das Aufstellen der Knotengleichungen erfolgt analog zu den vorangegangenen Darstellungen und bedarf keiner weiteren Erklärung. In Abb. 6.44 ist der Einheitsverformungszustand ψ α = 1 eines Rahmens dargestellt. Da die Stiele unterschiedlich lang sind, ergeben sich unterschiedlich große, jedoch von ψα linear abhängige Sehnendrehungen. So verdreht sich z.B. die Sehne des Stabes 3 um den von ψα abhängigen Winkel 3ψ ⋅ ψ α . Zur Illustration wurde als Belastung für den Stab 1 eine Kraft bzw. für α den Stab 3 ein externes Moment gewählt. ψ

2 j i

α

3 j i

2

3 P

1 ψ

3 e M

α

3

Sehnendrehung i 1 4

Abb. 6.44 Einheitsverformungszustand:

ψ

α

= 1

⋅ ψα α Abhängige Sehnendrehung

ψ

j

abhängige Sehnendrehung.

Baustatik 1 6-73

6


Die Stabendmomente eines beiderseits eingespannten Stabelementes (s), das durch eine Belastung, eine abhängige Sehnendrehung und Knotenverdrehungen beansprucht wird, lauten in allgemeiner Schreibweise s

s

s

s

s

s

s

mi = miB + k EI 0 ( 4 θ i + 2 θj – 6 ψα ψ α )

s

mj = mjB + k EI 0 ( 4 θ j + 2 θi – 6 ψα ψ α )

Wird dem Gelenksystem nach Abb. 6.45 ein virtueller Verformungszustand δψ α = 1 erteilt, so leisten die mit Pfeilen eingetragenen positiven Stabendmomente sowie die Belastungen ( P, 3Me ) virtuelle Arbeit. Das externe Moment leistet dabei virtuelle Arbeit auf der Wegkomponente der virtuellen Sehnenverdrehung.

δψ

1⋅L

2 α

i

j

P

1

1 m v δψ

1

1⋅L

3

2 j

i

3

j

⋅1 P, α

α

1

i

= 1

3

i

ψ

α

⋅1

m i 4

Abb. 6.45

m

3 e M 3

1

1

Virtueller Verformungszustand:

j

3 m

δψ

α

j

= 1

Die Arbeitsgleichung lautet somit 1

1

3

3

3

δW ψ = – ( mi + mj ) ⋅ 1 – ( mi + mj ) ⋅ ψα ⋅ 1 + 3

e

3

+ P ⋅ v P, α ⋅ 1 – M ⋅ ψα ⋅ 1 = 0 Die Stabendmomente mit ihren Werten eingetragen liefert 1

1

3

3

1

1

δW ψ = – ( 6 k θ 2 – 12 k ψ α + miB + mjB ) ⋅ 1 – 3

3

3

3

– ( 6 k θ 3 – 12 k ψα ψ α + miB + mjB ) ⋅ ψα + 3

e

3

+ P ⋅ v P, α – M ⋅ ψα = 0 . Nach den Unbekannten geordnet ergibt sich die Verschiebungsgleichung mit

6-74 Baustatik 1


3

1

3

– 6 k θ 2 – 6 k ψα θ 3 + 1

3

3

2

1

1

3

3

3

+ ( 12 k + 12 k ( ψα ) )ψ α = ( miB + mjB ) + ( miB + mjB ) ⋅ ψα – 3

e

3

– P ⋅ v P, α + M ⋅ ψα Die abhängige Sehnendrehung 3ψα kann in diesem Fall sehr einfach ohne Verschiebungsplan über die Geometrie ermittelt werden, so ergibt sie sich mit 3

1⋅L ψα = ------------1L3

L1, L3 ... Stablängen

Das die abhängigen Sehnendrehungen und Verschiebungswege nicht immer so klar ersichtlich sind soll das nachfolgende Beispiel demonstrieren. In Abb. 6.46 sind die abhängigen Sehnendrehungen eines schiefwinkeligen Rahmens infolge des Einheitsverformungszustandes ψ α = 1 dargestellt. ψ

2 ψ

α 2 i j

P

α

⋅ ψα

j3 i

2

3 ψ

1

α

⋅ ψα

3

ψ

1 i

α

j 4


ψ

α

= 1

Dem Gelenksystem wird wiederum ein virtueller Verformungszustand δψ α = 1 erteilt (Abb. 6.47) und sodann die Arbeitsgleichung formuliert. δψ

2 α

2 ψ 2

2 1

P δψ

j

i 2 1

α

= 1

1 i

v 1

m

P, α

⋅1 α

⋅1

m j

m i

m

j

j 3 m

3i

3

3

4

j

ψ 3

i

α

m

⋅1 j

i

Abb. 6.47 Virtueller Verformungszustand:

δψ α = 1

Somit ergibt sich die Arbeitsgleichung

Baustatik 1 6-75

6


1

2

1

2

3

2

3

3

δW ψ = – ( mi + mj ) ⋅ 1 – ( mi + mj ) ⋅ ψα – ( mi + mj ) ⋅ ψα + P ⋅ vP, α = 0 Mit den Stabendmomenten folgt 1

1

1

1

δW ψ = – ( 6 k θ 2 – 12 k ψ α + miB + mjB ) ⋅ 1 – 2

2

2

2

2

– ( 6 k θ 3 + 6 k θ 2 – 12 k ψα ψ α ) ⋅ ψα – 3

3

3

3

– ( 6 k θ 3 – 12 k ψα ψ α ) ⋅ ψα + P ⋅ vP, α = 0 , bzw. nach den Unbekannten geordnet 1

2

2

– 6 ( k ⋅ 1 + k ψα )θ2 – 2

2

3

3

– 6 ( k ψα + k ψα )θ 3 + 1

2

2

2

3

3

2

1

1

+ 12 ( k ⋅ 1 + k ( ψα ) + k ( ψα ) )ψ α = ( miB + mjB ) ⋅ 1 – P ⋅ v P, α Die geometrische Abhängigkeit der einzelnen Sehnendrehungen und Verschiebungen von der vorgegebenen Verformungsgröße δψα = 1 wird mittels eines Verschiebungsplanes ermittelt (siehe Abb. 6.48).

6-76 Baustatik 1


β–γ L

2 P

P

p

α

3

ψ

α

v

β

⋅ L3

0, 1', 4'

P, α

1 ⋅ Lp

1

⋅1

3 α

P, α β

2 ψ p'

1

α

ψ

α

⋅1

4

⋅ L2 δ = 180 – ( α + β )

β–γ

L , L , L ..... Stablängen 1 2 3

2'

sin δ 2'3' = ------------------------- ⋅ L 1 sin ( α + γ )

α

3

α

α+γ v

2 ψ

⋅1

ψ

3'

δ

1⋅L

2

3'

p'

=1 1

3

2

1⋅L

2'

1

δψ

γ

α+γ

2'3' = – -------L 2

3 ψ

sin ( β – γ ) 3'4' = ------------------------- ⋅ L 1 sin ( α + γ )

α

= 3'4' -------L 3

v

P, α

= sin β ⋅ L

P

Abb. 6.48 Verschiebungsplan, geometrische Beziehungen

Federn und Fachwerkstäbe:

Um die Wirkung einer Wegfeder zu erklären soll das Beispiel in Abb. 6.49 dienen. Der Knoten 3 ist durch eine Feder gestützt, deren Länge sich infolge des Einheitsverformungszustandes ψ α = 1 um v w, α ⋅ ψ α ändert. Dabei wirkt bei der gegebenen Federkonstante k w (dies ist die Kraft, die eine Verschiebung um 1 hervorruft) eine Kraft P w = k w ⋅ v w, α ⋅ ψ α

Baustatik 1 6-77

6


auf den Knoten, entgegengesetzt der Verschiebungsrichtung v w, α (Abb. 6.49). Es kann zusätzlich auch eine Federlängenänderung ( ± v w) , oder gleich die daraus resultierende Federkraft P wB = k w ⋅ v w , als Belastung gegeben sein. v

w, α

= ψα L3 P

2 3

2 1

k

w

(P

w

wB

= k

w

⋅ v w, α ⋅ ψα

)

3

ψ α

ψ α

1

(P

4

wB

).... Federkraft

+v w . Abb. 6.49 Einheitsverformungszustand ψ α = 1

Wird dem Gelenksystem nach Abb. 6.50 ein virtueller Verformungszustand δψ α = 1 aufgezwungen, so leisten die Federkräfte virtuelle Arbeit. v

w, α

⋅1 P

2 2

3

1

(P

w

wB

)

3 δψ

α

= 1

1

4

Abb. 6.50 Virtueller Verformungszustand: δψ α = 1

Die virtuelle Arbeit infolge der Stabendmomente wird hier nicht mehr angeführt, sondern lediglich die zusätzlichen Arbeitsanteile der Wegfeder. δW ψ = … + P w ⋅ v w, α + P wB ⋅ v w, α = 0 α

bzw. δW ψ = … + k w ⋅ ( v w, α ) 2 ⋅ ψ α + P wB ⋅ v w, α = 0 α

6-78 Baustatik 1


Der Vollständigkeit wegen sei hier der Einfluß mehrfach verschieblicher Systeme auf die Arbeitsanteile vorweggenommen. Folgt die Längenänderung z.B. aus einem Verformungszustand ψ α = 1 und der virtuelle Zustand aus δψ β = 1 , so gilt sinngemäß δW ψ = … + k w ⋅ v w, α ⋅ v w, β ⋅ ψ α + … = 0 β

Bei Dreh- und Wegfedern ist zu beachten das nicht nur durch die Einheitsverformungszustände Längenänderungen in den Federn entstehen können sondern auch durch den Belastungszustand (Starreinspannwerte) hervorgerufen werden können, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird. Beispiel: Brückentragwerk 1

2

3 fw

4

5

6

Sehnendrehfessel 1

L1 = L2= L3 A1,2,3,4,5 >>

Belastung: gleichmäßige Erwärmung der Stäbe 1 bis 3 um ∆Tm Abb. 6.51 System und Belastung

Aufgrund der Annahme großer Fläche hat das System als einzigen Freuheitsgrad die in der Angabeskizze dargestellte Sehnendrehung. Aus der Belastung (siehe Abb. 6.52) können die Starreinspannwerte ermittelt werden. Dazu wird die Sehnendrehfessel gehalten und die Temperaturbelastung aufgebracht. Aufgrund der Sehnendrehfessel ist der Punkt 1 der Nullpunkt der Verschiebung

Baustatik 1 6-79

6


Starreinspannwerte 1

2∆

∆

1

3∆

2

3 ∆/L6

∆/L5 4

5

FB = kw 3∆

6

Sehnendrehfessel 1

® ¯

6 2∆ 3 k ------L 6 6 m

B

® ¯

5 ∆ 3 k -----L 5 5

m

B

Abb. 6.52 Starreinspannwerte.

Die Steifigkeiten aus der Einheitssehnenverdrehung sind in Abb. 6.53 dargestellt. vw,α

Einheitssehnenverdrehung ya =1 1 ψα = 1 4

2 5

3 6

ψα

ψα 6

5

1

36k6ψα

3 4k

35k5ψα x

ψα

Abb. 6.53 Einheitssehnendrehung ψα = 1.

6-80 Baustatik 1

Fw = vw,a kw


Virtueller Verformungszustand

vw,α

1

2

1

5

4

3 6

ψα

5

ψα

6

Abb. 6.54 Virtueller Verformungszustand: δψ α = 1 .

Wird dem Gelenksystem nach Abb. 6.54 ein virtueller Verformungszustand δψ α = 1 aufgezwungen, kann die virtuelle Arbeit angeschrieben werden.

4

5

5

5

δW ψ = 3 ⋅ k ⋅ ψ α ⋅ 1 + 3 ⋅ k ⋅ ( ψα ) ⋅ ψ α ⋅ ( ψα ) α

6

6

° ® ° ¯

° ® ° ¯

° ® ° ¯

–

6

+ 3 ⋅ k ⋅ ( ψα ) ⋅ ψ α ⋅ ( ψα ) + f w ⋅ v w ,α ⋅ ψ α ⋅ v w ,α 5 ∆ 5 6 § 3 k ----· ⋅ ( 5ψ ) – § 3 k 2∆ -------· ⋅ ( ψα ) – ( k w 3∆ ) ⋅ v w ,α α © ¹ © ¹ L5 L6 FB 5 6 mB mB

Die Federkonstante k d ist das Moment, das auf die Drehfeder wirken muß um eine Drehung θ = 1 hervorzurufen.

Baustatik 1 6-81

6


M

d

= k θ d n θ

k

d

n

M

= 1

d

n

n

δθ θ

n

δθ

= 1

n

n

= 1

= 1

a)

b)

Abb. 6.55 a) Einheitsverformungszustand: b) Virtueller Verformungszustand:

θn = 1

δθ n = 1

Bei einer positiven Drehung des Knotens n um θ n bewirkt die Drehfeder ein rückhaltendes Drehmoment M d , das im positiven Sinn auf den Knoten wirkt. Wird nun dem Knoten n eine virtuelle Verdrehung δθ n = 1 erteilt, so ergibt sich die zusätzliche virtuelle Arbeit mit δθ n

® ¯

δW ψ = … + M d ⋅

= 0

→

δW ψ = … + k d ⋅ θ n = 0 .

= 1

Infolge eines Einheitsverformungszustandes ψ α = 1 ändert sich die Länge des Fachwerkstabes um ∆ Ls, α ⋅ ψ α (Abb. 6.56. a). Die daraus resultierende Stabkraft S ergibt sich zu: EA S = ----------s ⋅ ∆ L s, α ⋅ ψ α Ls

6-82 Baustatik 1


2

3

2 S

1 ∆L

s, α

⋅ ψα

3

ψ α

a)

ψ α

1

4

s, α

⋅

½ ¾ ¿

∆L

= 1 δψ α 2

3

2 S 1

3 δψ

α

b)

= 1

1

4

Abb. 6.56 a) Einheitsverformungszustand: b) Virtueller Verformungszustand:

ψα = 1

δψ α = 1

Die zusätzliche virtuelle Arbeit des Fachwerkstabes ergibt sich mit EA s δW ψ = … + ---------- ⋅ ( ∆ L s, α ) 2 ⋅ ψ α = 0 α Ls bzw. sinngemäß den Wegfedern ( δψ β = 1 !) EA s δW ψ = … + ---------- ⋅ ∆ Ls, α ⋅ ∆ L s, β ⋅ ψ α = 0 β Ls Die Längenänderung ∆ L s,α des Fachwerkstabes kann in diesem Fall über sehr einfache geometrische Beziehungen bestimmt werden (Abb. 6.57).

Baustatik 1 6-83

6


∆ = 1 ⋅ L1 2 ∆L L

α

2

3

s, α 1

3

1

δψ

α

= 1

1

∆L

s, α

4

=

∆ ⋅ cos α

→

∆L

s, α

= L

1

⋅ cos α

Abb. 6.57 Ermittlung der Längenänderung: ∆L s, α

Allgemeine Assemblierung - Einfach Verschieblich:

θn n

n

e

g

4¦ k + 3¦ k +

...

θm

ψα

...

2¦ k

n, m

1 + k d ⋅ -------EI 0

n, α

…

… m

m

e

g

m, α

s

m, α

s

– 6 ¦ k ψα – 3 ¦ k ψα

1+ k d ⋅ ------EI 0

g

e α

s

2

α

s

2

12 ¦ k ( ψα ) + 3 ¦ k ( ψα ) + e

k w ⋅ v w2 , α

6-84 Baustatik 1

s

g

e

4¦ k + 3¦ k +

SYMMETRIE

n, α

s

– 6 ¦ k ψα – 3 ¦ k ψα

g

EA s 1 1 - + --------- ⋅ ∆ L s2, α ⋅ -------⋅ ------EI 0 EI 0 L s


s

abhängige Sehnendrehung eines Stabes, positiv entgegen dem Uhrzeigersinn

ψα

n

e

s

¦

M nB = M n – ¦ mi( j )B

¦

P αB =

α

s

s

α

s

s

s

α

α

s

e

s

¦ ( miB + mjB ) ψα + ¦ ( miB ) ψα – ¦ P ⋅ v P, α + ¦ M ⋅ ψα – e

g

α

– ¦ P wB ⋅ vw, α

s

s

s

s

s

s

s

s

s

mi = miB + 2 k ( 2 θi + θ j – 3 ψα ψ α )

s

mj = mjB + 2 k ( 2 θj + θ i – 3 ψα ψ α )

s

mi = miB + 3 k ( θ i – ψα ψ α )

eingespannt i

j gelenkig

s

i

Allgemeine Rahmen - Mehrfach Verschieblich: Bei mehrfach verschieblichen Systemen sind so viele linear unabhängige virtuelle Verschiebungszustände anzusetzen, wie Stabilisierungen (Sehnendrehfesseln SD) für das kinematisch bestimmte Hauptsystem erforderlich sind. Dabei kann ein Stab Sehnendrehungen aus mehreren kinematischen Ketten erhalten. Die endgültige Sehnendrehung eines Stabes setzt sich somit aus Anteilen mehrerer Verschiebungszustände zusammen. Für das Gelenksystem nach Abb. 6.58 sind zwei Sehnendrehfesseln SD α und SD β zur Seitenstabilisierung notwendig. Es werden z.B. die Stäbe 1 und 4 damit festgelegt. Neben den vier Knotengleichungen für die Knoten 2, 3, 5 und 6 sind zwei Verschiebungsgleichungen aufzustellen.

Baustatik 1 6-85

6


6

5

5 SD

6

β

4

2 2 SD

3

α

3 1

1

4

Abb. 6.58 Stabilisiertes Gelenksystem

Wird dem Stab 1 eine Sehnendrehung ψ α = 1 erteilt, so bleibt die Richtung des Stabes 4 beim Einheitsverformungszustand ψ α = 1 unverändert. 5

ψ

⋅ ψα

5 6 ψ

5 SD

α

4

β

α

6

ψ

6

⋅ ψα

2', 5'

2 2 1

ψ

α

2

3 ψ

α

0, 1', 4'

⋅ ψα α

3

3

= 1

1

ψ

α

⋅ ψα

3'

6'

4


ψ α = 1 , Verschiebungsplan

In Abb. 6.59 ist die verschobene Lage des Systems und der zugehörige Verschiebungsplan dargestellt. Aus dem Verschiebungsplan sind die von ψ α = 1 abhängigen Sehnendrehungen zu entnehmen, wobei deren Größe aus der Geometrie gewonnen wird. Folgende Sehnendrehungen treten somit auf: ψ α = ψα = + 1

2

2'3' ψα = – -------L2

3

3'4'ψα = + ------L3

4

5

5'6' ψα = – -------L5

6

3'6' ψα = – -------L6

1

6-86 Baustatik 1

ψα = 0


Für den Einheitsverformungszustand ψ β = 1 treten nach Abb. 6.60 folgende Sehnendrehungen auf: 4

5

ψβ = ψ β = + 1 5

ψ

β

5'6'ψβ = + ------L5

⋅ ψβ

6 β

= 1 2

2

ψ

β

β

⋅ ψβ

3

6' 0, 1', 2', 3', 4'

3

1

SD

ψ

6

4

ψ

-------ψβ = + 3'6' L6

6

5

5

6

α

5'

1

4


ψ

β

= 1 , Verschiebungsplan

Auf die Darstellung der Einheitsverformungszustände θ 2 = 1 , θ3 = 1 , θ 5 = 1 und θ 6 = 1 wurde verzichtet. Betrachtet man das Gesamtsystem mit den aus den einzelnen Verformungs- sowie Belastungszuständen resultierenden endgültigen Stabendmomenten und erteilt dem stabilisierten Gelenksystem einen virtuellen Verformungszustand, so muß die Gesamtarbeit des Systems für diesen virtuellen Verformungszustand wieder Null sein. Wird dieser Vorgang mit sämtlichen virtuellen Verformungszuständen δθ 2 = 1, ...,δψ α = 1, ...usw. durchgeführt, so ergibt sich daraus das Gleichungssystem für die unbekannten Weggrößen. Wie aus Abb. 6.59 und Abb. 6.60 hervorgeht wird der Stab 5 neben den beiden Einheitsknotenverdrehungen ( θ 5 = 1, θ 6 = 1 ) auch durch Sehnendrehungen beansprucht, die sowohl vom Einheitsverformungszustand ψ α = 1 als auch vom Einheitsverformungszustand ψ β = 1 herrühren. Die daraus resultierenden endgültigen Stabendmomente lauten somit für den Stab 5 5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

mi = miB + k EI 0 ( 4 θ 5 + 2 θ 6 – 6 ψα ψ α – 6 ψβ ψ β ) mj = mjB + k EI 0 ( 4 θ 6 + 2 θ 5 – 6 ψα ψ α – 6 ψβ ψ β )

Auf das Aufstellen der einzelnen Arbeitsgleichungen wird nicht näher eingegangen. Im Anschluß sind die Arbeitsanteile zweier Stabelemente angeführt.

Baustatik 1 6-87

6


4 4

k ⋅ EI 0

θ2 ½ ° ° ° ° ° ° ⋅® θ ¾+® ° 5 ° ° ° ° ° ¯ ψ ¿ ¯ β

4

2

– 6 ψβ

4

– 6 ψβ

4

4

Symmetrie

12 ( ψβ )

2

BELASTUNG

Arbeitsanteil des Stabes 4: ½ ° ° ¾ ° ° ¿

4

5

2

– 6 ψα

5

– 6 ψβ

4

– 6 ψα

5

– 6 ψβ

k ⋅ EI 0

5

12 ( ψα )

5

5

2

5

5

12 ψα ψβ

Symmetrie 5

12 ( ψβ )

2

° ° ° ° ° ⋅® ° ° ° ° ° ¯

θ 5 ½° ° ° ° ° ° ° ° θ6 ° ° ¾+ ® ° ° ψα ° ° ° ° ° ° ° ° ψβ ¿ ¯

BELASTUNG

Arbeitsanteil des Stabes 5:

Allgemeine Assemblierung - Zweifach Verschieblich:

e

n

s

¦

M nB = M n – ¦ mi ( j )B

¦

P αB =

α

s

s

eα

– ¦ P wB ⋅ v w, α

6-88 Baustatik 1

s

α

s

s

α

α

s

e

s

¦ ( miB + mjB ) ψα + ¦ ( miB ) ψα – ¦ P ⋅ vP, α + ¦ M ⋅ ψα – g

½ ° ° ° ° ° ¾ ° ° ° ° ° ¿

α, β

Summe über alle eingespannt (gelenkig) gelagerten Stäbe, die einer Sehnendrehung ψ α sowie einer Sehnendrehung

e( g)

ψ β unterworfen werden

…

e

g

e

2¦ k

θ n, m m

g

e

,

4 ¦ k + 3 ¦ k ∗,

m

m

s

ψα n, α

s

s

m, α

g

s

α

g

e

g

,

,

ψβ

n, β

s

s

m, β

g

s

α, β

e

α, β

g

– 6 ¦ k ψα – 3 ¦ k ψα

m, β

e

s

– 6 ¦ k ψα – 3 ¦ k ψα

n, β

β

g

β

e

g

s 2 s 2 12 ¦ k ( ψβ ) + 3 ¦ k ( ψβ ) ∗

e

s 2 s 2 s s s s 12 ¦ k ( ψα ) + 3 ¦ k ( ψα ) ∗ , 12 ¦ k ψα ψβ + 3 ¦ k ψα ψβ ∗

α

e

– 6 ¦ k ψα – 3 ¦ k ψα

m, α

e

– 6 ¦ k ψα – 3 ¦ k ψα

n, α

∗ Die zusätzlichen Arbeitsanteile infolge Fachwerkstäbe, Weg- und Drehfedern wurden nicht angeführt. (siehe Zusammenfassung !)

SYMMETRIE

4 ¦ k + 3 ¦ k , ∗... ,

n

…

θn

…

¦ …

n


Baustatik 1 6-89

6


ZUSAMMENFASSUNG DREHWINKELVERFAHREN I k = -------LI 0

Stabkennwert:

1 Konstante: c = -------EI 0

I0 ... Bezugsgröße frei wählbar

Gleichungssystem: K nn

…

…

K nm K nα

…

K αα

…

SYMMETRIE

…

K mm K mα

M nB θn ½ ° ° ° ° ° ° ° ° θm ° ° M mB ¾ = ® ° P αB ψα ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¯ P βB ψβ ¿

…

…

…

…

K nβ ° ° ° ° K mβ ° ® K αβ ° ° ° ° ° K ββ ¯

½ ° ° ° ° ° ¾ ° ° ° ° ° ¿

Steifigkeitskoeffizienten (Linke Seite): n

n

e n, m

g

g ...gelenkig

K nn = 4 ¦ k + 3 ¦ k + k d ⋅ c

kw

K nm = 2 ¦ k

e ...eingespannt

e n, α

n, α

s

s

K nα = – 6 ¦ k ⋅ ψα – 3 ¦ k ⋅ ψα e α

kd

g α

Fachwerkstab "Seil"

As , Ls

s 2 s 2 EA K αα = 12 ¦ k ⋅ ψα + 3 ¦ k ⋅ ψα + ¦ k w ⋅ vw2 , α ⋅ c + ¦ ----------s ⋅ ∆ L s2, α ⋅ c Ls e g α, β

s

s

α, β

s

s

K αβ = 12 ¦ k ⋅ ψα ⋅ ψβ + 3 ¦ k ⋅ ψα ⋅ ψβ + ¦ k w ⋅ v w, α ⋅ v w, β ⋅ c + e

+¦

6-90 Baustatik 1

g

EA s ⋅ ∆ L ⋅ ∆ L ⋅ c ---------s, α s, β Ls


Belastung (Rechte Seite): e

n

α

s

s

α

s

e α

α

j

i s

m B ...Starreinspannmomente

s

¦ ( miB + mjB ) ⋅ ψα + ¦ m i( j )B ⋅ ψα –

P αB =

+ m jB

+ m iB

s

M nB = M n – ¦ m i( j )B

g s

e

M

α

s

– ¦ P ⋅ vP, α + ¦ M ⋅ ψα – ¦ P wB ⋅ vw, α

e

Endgültige Momente: Für ein beidseitig eingespanntes Stabelement: s

s

s

s

s

s

s

mi = miB + 2 k ⋅ ( 2 θ i + θ j – 3 ψ )

s

mj = mjB + 2 k ⋅ ( 2 θ j + θ i – 3 ψ )

Für ein im Knoten j gelenkig gelagertes Stabelement: s

s

s

s

s

mi = miB + 3 k ⋅ ( θ i – ψ )

Summe aller auftretenden Sehnendrehungen eines Stabes, die aus den Einheitssehnendrehungen ψ α ,...,ψ β hervorge-

ψ

hen s

s

s

d.h. ψ = ψα ⋅ ψ α + ψβ ⋅ ψ β + …

Algorithmus des Drehwinkelverfahrens: y Ermittlung der Anzahl der unbekannten Knotenverdrehungen und der Verschieblichkeit des Systems. Sämtliche Knoten- und Sehnenverdrehungen blockieren → Kinematisch bestimmte Grundsystem. s

y Stabsteifigkeiten k bestimmen. y Einheitsverformungen ( θ n = 1, …, ψ α = 1 ) anbringen; wenn erforderlich Verschiebungsplan zeichnen; Assemblierung → Linke Gleichungsseite. y Starreinspannwerte aus Belastung → Rechte Gleichungsseite. Sollen einzelne Lastfälle getrennt betrachtet werden, so sind nur die Werte der

Baustatik 1 6-91

6


rechten Seite neu zu berechnen. y Lösung des Gleichungssystems → unbekannten Weggrößen θ n, …, ψ α werden EI 0 -fach erhalten. Die wahren Werte der Weggrößen werden für die Momentenberechnung nicht benötigt. y Ermittlung der endgültigen Momente mit den EI 0 -fachen Weggrößen; Vorzeichen auf Kennfaser beziehen. i

DEFO

j

i

KENNFASER

y Querkräfte und Normalkräfte aus Gleichgewichtsbetrachtungen. y Durchführung von Gleichgewichtskontrollen.

6-92 Baustatik 1

j

Deformationsmethode Symmetrische Tragwerke

6.6 Symmetrische Tragwerke Bei symmetrisch ausgebildeten Tragwerken ( Symmetrie bezüglich Geometrie, Lagerbedingungen und Trägheitsmomente ) ergeben sich erhebliche Vereinfachungen in der zahlenmäßigen Durchführung der Berechnung, da unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften nur das halbe System in Betracht zu ziehen ist. In diesem Zusammenhang sei kurz auf die Symmetrieeigenschaften hingewiesen: System

Belastung

symmetrisch

M

Q

N

symmetrisch

s

a

s

antimetrisch

a

s

a

s ... symmetrisch

a ... antimetrisch

Nach der Form des Tragwerkes ist grundsätzlich zu unterscheiden, ob die Symmetrale Stäbe schneidet oder Knotenpunkte trifft. Beide Fälle werden anschließend getrennt behandelt, wobei zwischen einer symmetrischen und einer antimetrischen Belastung unterschieden wird.

6.6.1

Tragwerke mit Stabsymmetralen

Symmetrische Belastung: KD 2

q

2

2

2'

1

3

1

1'

2 SD

α

1 q

q

Abb. 6.61 Symmetrisch belastetes System - halbes System

Aus der Biegelinie lt. Abb. 6.61 ist zu ersehen, daß sich der Mittelpunkt des Stabes 2 weder verdrehen noch horizontal verschieben wird, lediglich eine vertikale Verschiebung tritt auf. Um nun am halben System rechnen zu können müssen die entsprechenden Freiheitsgrade an der Schnittstelle gesperrt werden die das ursprüngliche Systemverhalten gewährleisten. Anhand dieser Freiheitsgrade ergibt sich somit das Ersatzlager an der Schnittstelle. Im rechten Teil der Abbildung ist das für die

Baustatik 1 6-93

6


Berechnung relevante kinematisch bestimmte Grundsystem dargestellt. Es weist eine unbekannte Knotenverdrehung sowie eine unbekannte Sehnendrehung auf. Eine einfachere Berechnungsvariante ergibt sich bei Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften des Stabes 2. Aus (Abb. 6.61) geht hervor, daß die Drehwinkel der Knoten 2 und 2’ infolge der symmetrischen Belastung gegensinnig gleich groß sind. Betrachtet man ein allgemeines Stabelement (Abb. 6.62), das zur Systemmittelachse symmetrisch liegt, dann läßt sich folgende Steifigkeitsbeziehung herleiten: s

4EI 2EI mi = --------- θ i + --------- θ j mit θj = – θ i L L

s m = 2EI --------i L

i

θ

s

s

→

θ = –θ j i

i

2EI mi = --------- θ i L

s 2EI m = – --------j L

j

L

Abb. 6.62 Steifigkeit eines symmetrisch belasteten Stabes.

Unter Berücksichtigung der Steifigkeit des Symmetriestabes ist am System nach (Abb. 6.61) nur eine unbekannte Knotenverdrehung aber keine unbekannte Sehnenverdrehung vorhanden, da sich die Sehne des Symmetriestabes nicht verdreht. Für die Ermittlung der Starreinspannmomente ist der gesamte Symmetriestab zu betrachten. Antimetrische Belastung: KD 2

1 1 q

2

2'

2

2

3

SD

α

1

1' q

q

Abb. 6.63 Antimetrisch belastetes System, Halbes System.

Beim antimetrisch belasteten System wird sich, wie wiederum aus der Biegelinie hervorgeht, der Mittelpunkt des Stabes 2 horizontal verschieben sowie verdrehen, aber nicht vertikal verschieben. Das Ersatzlager an der Schnittstelle ist somit ein gewöhnliches bewegliches Lager.

6-94 Baustatik 1


Aus (Abb. 6.63) ist ersichtlich, daß aufgrund der antimetrischen Belastung die beiden Knotenverdrehungen θ i und θ j gleich groß sind und auch den selben Drehsinn, also gleiches Vorzeichen haben. In Abb. 6.64 sind die Steifigkeitsbeziehungen eines allgemeinen, antimetrisch belasteten Stabes angeführt.

s --------m = 6EI i L

θ = θ j i

s i

θ

j i

s --------m = 6EI j L

L

Abb. 6.64 Steifigkeit eines antimetrisch belasteten Stabes.

Die Verwendung der Steifigkeiten eines antimetrisch belasteten Stabes bringt Vorteile sofern der Stab keine Belastung aufweist, da die Starreinspannmomente für eine antimetrische Belastung kaum tabelliert sind.

6.6.2

Tragwerke mit Knotensymmetralen

Symmetrische Belastung: q 2

q KD

3

2'

2

2

3

3 1

4

1'

1

Abb. 6.65 Symmetrisch belastetes System, Halbes System.

Der Knoten 3 wird infolge der symmetrischen Belastung keine Verdrehung erleiden. Alle dort biegesteif angeschlossenen Stäbe verhalten sich so als wären sie an diesem Knoten voll eingespannt. Der mit der Symmetrale zusammenfallende Stab wird sich nicht verformen. Somit kann der Knoten 3 durch eine feste Einspannung ersetzt werden.

Baustatik 1 6-95

6


Antimetrische Belastung: -q

q

+q

KD 2

2'

3

1

4

1'

3 3

2 SD

3

KD

2

I

α

3

⁄2 4

1

Abb. 6.66 Antimetrisch belastetes System, Halbes System.

Beim antimetrischen Lastfall führt der Knoten 3 eine Drehung aus (Abb. 6.66), die je zur Hälfte aus +q bzw. -q herrührt. Es kann daher wieder das halbe System mit der entsprechenden Belastung betrachtet werden, wenn für die Steifigkeit des in der Symmetralen gelegenen Stabes (3) der halbe Wert in Rechnung gestellt wird. Die sich daraus ergebenden Stabendmomente des Stabes (3) sind für den endgültigen Momentenzustand zu verdoppeln, weil auch in der zweiten Tragwerkshälfte die gleichen Werte auftreten. Mit der Symmetrale können auch Fachwerkstäbe oder Wegfedern zusammenfallen. Für das halbe System sind sie im Falle einer symmetrischen Belastung mit ihren halben Werten ( A s / 2, k w / 2 ) bzw. bei antimetrischen Belastung überhaupt nicht in Rechnung zu stellen. k

w k /2 w symm. antim.

A

s

A /2 s

symm.

kein Stab

antim.

Bei Tragwerken, deren Symmetrale sowohl Knotenpunkte als auch Stabmitten schneidet, sind die vorhin für beide Tragwerkstypen getrennt gebrachten Darlegungen sinngemäß zu kombinieren.

6-96 Baustatik 1


6.6.3

Beispiele KD

I⁄2

KD

KD

SD

SYMM.

A

s

ANTIM.

A /2 s

KD

KD

SD SD

SYMM.

k

w

k /2 w

KD SD

KD

A

ANTIM.

A

s

KD

SD

s

SD

SYMM.

ANTIM.

Baustatik 1 6-97

6


A

A

s

SD s

A

SD s

SD

KD

A

s

KD SD

SYMM.

ANTIM. KD

KD

KD I⁄2

SD KD

KD

KD

k /2 w SYMM.

ANTIM. KD

SD A

A

SD SYMM.

s

KD

s

SD ANTIM.

6-98 Baustatik 1

SD


6.6.4

Belastungsumordnung

Bei symmetrischen Systemen mit einer beliebigen unsymmetrischen Belastung kann durch die Belastungsumordnung der Vorteil der Symmetrie auch bei nicht symmetrischer Belastung ausgenutzt werden. Ein beliebiger nicht symmetrischer Belastungszustand B wird dabei zerlegt in einen zur Symmetrieachse des Tragwerkes symmetrischen Belastungsanteil Bs und einen antimetrischen Belastungsanteil Ba. P/2

P

B

P/2

P/2

Bs

P/2

Ba

Abb. 6.67 Umordnung der Belastung

Für jeden Belastungsanteil können die Stabendkraftgrößen getrennt berechnet werden. Die Superposition der beiden Zustände ergibt den Endzustand B = B s + Ba Der Vorteil des B-U-Verfahrens liegt nun darin, daß die Berechnung der Stabendkraftgrößen beider Belastungsanteile ( [ B s ], [ B a ] ) unter Ausnutzung der Symmetriebedingungen jeweils nur am halben System durchgeführt werden braucht. Je höher die statische Unbestimmtheit eines Systems ist, desto günstiger kann sich u. U. das B-U-Verfahren auswirken. Im anschließenden Beispiel wird auf die praktische Anwendung der Symmetrieeigenschaften sowie die der Belastungsumordnung eingegangen.

Baustatik 1 6-99

6

Deformationsmethode Beispiel

6.7 Beispiel q t

2 i j

2

1 4m

t

a

t

t

j3 i

a i

5

3

4

t

i

1i

i

t

a

j4

∆u 6m

Gegeben: 6

–5

E = 210 ×10 kN/m 2 , α T = 1,2 ×10

1/°C

4

Stäbe 1, 3:

I = 0,004 m , A

Stab 2:

I = 0,002 m , A

Stäbe 4, 5:

I = 0, A = 0,0002 m

4

2

Belastung: y LF 1:

Gleichlast: q = 20 kN/m

y LF 2:

Temperaturbelastung der Stäbe 1, 2 und 3 t i = + 80 °C , t a = + 40 °C , h = 0,50 m Aufstelltemperatur

y LF 3:

+ 10 °C

Horizontalverschiebung des Knotens 1 ∆u = 0,05 m

Gesucht: Schnittkraftverläufe [M], [Q], [N] für die gegebenen Lastfälle Das oben dargestellte System ist 3-fach kinematisch unbestimmt. Da es sich um ein symmetrisches System handelt ist es naheliegend die Symmetrieeigenschaften zu nutzen und somit die Berechnung am halben System durchzuführen. In Abb. 6.68 sind die kinematisch bestimmten Grundsysteme mit ihren Freiheitsgraden dargestellt.

6-100 Baustatik 1


KD

KD

2 2

2

5 SD

2

2

α SD

1

5

1

1 5

1

4 SYMMETRIE

α

5

2

4

SDα ... Sehnendrehung α KDn ... Knotendrehfessel n

ANTIMETRIE

Abb. 6.68 Symmetrie - Antimetrie: Kinematisch bestimmte Grundsysteme

6.7.1

Linke Gleichungsseite

Stabkennwerte: Tab. 6.3 Stab

i - j

L (m)

I (m4)

I / I0

k

1

1

2

4,0

0,004

2

1/2

2

2

5

3,0

0,002

1

1/3

5

2

4

7,211

As = 0,0002 m2

I0 = 0,002 m4

I k = -------L I0

6 EA s 210 ×10 ⋅ 0,0002---------- = ----------------------------------------= 5824,435 kN/m 7,211 Ls

1 1 - = 2,381 ×10– 6 1 ⁄ kN m 2 c = -------- = -------------------------------------6 EI 0 210 ×10 ⋅ 0,002

Baustatik 1 6-101

6


Symmetrie:

θ

2

θ

= 1:

2

2

= 1 5

2

1

θ

2

5

= 1

1

ψ

α

4

5

= 1: ψ

2 2

1

α

= 1

5

1

4

2 1 1 --- = 2,8333 K 22 = 4 k + 3 k = 4 ⋅ --- + 3 ⋅ 1 3 2 2 1 K 2α = – 6 k = – 6 ⋅ --- = – 2,0 3 2 --- = 4,0 K αα = 12 k = 12 ⋅ 1 3

EI 0 ⋅

6-102 Baustatik 1

2,833

– 2,0

– 2,0

4,0

½ ° θ2 ° ° M 2B ⋅® ¾ = ® ° ψ ° ° P ¯ α ¿ ¯ αB

½ ° ¾ ° ¿


Antimetrie:

θ

2

θ

= 1:

2

2

= 1 5

2

1

θ

2

5

= 1

α

1

ψ

α

= 1:

2

4

5

2

1 ψ

α

= 1

5

1

4

VERSCHIEBUNGSPLAN:

∆L

α = 33,69 ° α

2', 5' L

s, α

= L

1

⋅ cos α = 3,328 m

0, 1', 4'

1

Baustatik 1 6-103

6


1 2 1 --- = 2,5 K22 = 3 k + 3 k = 3 ⋅ --- + 3 ⋅ 1 2 3 1 --- = – 1,5 K2α = – 3 k = – 3 ⋅ 1 2 1 EA s 2 Kαα = 3 k + ---------- ⋅ ( ∆L s, α ) ⋅ c = Ls 2 1 –6 = 3 ⋅ --- + 5824,435 ⋅ ( 3,328 ) ⋅ 2,381 ×10 = 1,6536 2

EI 0 ⋅

2,5 – 1,5

½ ° θ2 ° ° M 2B ⋅® ¾ = ® ° P 1,6236 ° ψ α ° ¯ ¿ ¯ αB – 1,5

½ ° ¾ ° ¿

Für die einzelnen Lastfälle sind nun die Belastungskoeffizienten (Rechte Seite) zu ermitteln. Unsymmetrische Belastungen wie z.B. LF 1 müssen mittels Belastungsumordnung in einen symm. und antim. Anteil zerlegt werden.

6.7.2 Lastfall 1: Einseitige Gleichlast Belastungsumordnung: q = 10 kN/m

q = 10 kN/m

q = 10 kN/m

SYMMETRIE

6-104 Baustatik 1

ANTIMETRIE


q = 10 kN/m 2

q = 10 kN/m 2

5

2

2

5

1

1

5

5

1

1

4

4

Symmetrie:

q = 10 kN/m 2 m

i

iB

2 m

j

2 jB

2 2 m ---------- = + 7,50 kNm = – m = + qL iB jB 12

L = 3,0 m

M

2 – m – 7,50 kNm 2B = iB =

Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgt:

P αP =

³0 ( q ⋅ dx ) ( ψα ⋅ x ) L

L L = ψ α ⋅ q ⋅ ³ ( x ⋅ dx ) = ψ α ⋅ ( qL ) ⋅ --0 2

L P αP = ψ α ⋅ P ⋅ --2 P

q ⋅ L = 30 kN ;

3,0

P =

ψ

α

= 1

v

P, α

P

v

P, α

= 1,50 m

–P⋅v – 45,0 kNm αP = P, α =

Baustatik 1 6-105

6


EI 0 ⋅

2,833

– 2,0

– 2,0

4,0

½ ° θ2 ° ° –7,5 ⋅® ¾ = ® ° ψ ° ° – 45,0 ¯ α ¿ ¯

½ ° ¾ ° ¿

EI 0 θ 2 = – 16,3637

EI 0 ψ α = – 19,4318

( θ 2 = – 0,0000389 )

( ψ α = – 0,0000463 )

Für ein allgemeines Stabelement gilt: z.B. für den Knoten i

Stab 1

s

s

s

s

mi = miB + 2 k ⋅ ( 2 θ i + θ j – 3 ψ )

s

mi = miB + 3 k ⋅ ( θ i – ψ )

i/k

s

k

---

Stab 2

s

s

i/j

s

m( i ⁄ j )B

m( i ⁄ j )B

i

+7,5

k

-7,5

eingespannt (e)

s

gelenkig (g) θj

θi

s

3⋅ k 3/2

-16,364 - - -

2 ⋅ θi

s

2⋅ k 0

0

θj

-32,727 0

2/3

s

– ψ

s

M

mi ⁄ j

-24,55 s

–3 ψ

s

-24,55 M

mi ⁄ j

58,295

+24,55

-24,55

-16,364 58,295

+20,45

+20,45

Als Kontrolle der Berechnung muß die Summe der Momente am Knoten gleich Null sein (siehe vorletzte Spalte). In der letzten Spalte sind die kennfaserbezogenen Vorzeichen der Momente angegeben. Die Querkräfte ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen s

p' yi Stab

1

6-106 Baustatik 1

L

4,0

s

s

mj – mi = p' yi ( B ) + -------------------- ; L M i

0

j

-24,55

p' yj M –M j -------------------i L

- 6,14

s

mj – mi = – p' yj ( B ) + -------------------L Q0

Q

0

-6,14

0

-6,14

N

-30,0


Stab

2

L

M –M j -------------------i L

M

3,0

i

-24,55

j

+20,45

+15,0

Q0

Q

+15,0

+30,0

-15,0

0

N

-6,14

KM: 1 mm = 2 kNm - 24,55

M

+

-

+20,45

KM: 1 mm = 2 kN

+30,0

+

Q

- 6,14 N

-

- 6,14

-

- 30,0

Baustatik 1 6-107

6


Antimetrie:

q = 10 kN/m 2

2

m iB

i

j L = 3,0 m

m

M

P

EI 0 ⋅

2 – m = – 11,25 kNm 2B = iB

αP

= 0

½ ° – 11,25 ° θ2 ° ⋅® ¾ = ® ° 0 1,6236 ° ψ α ° ¯ ¯ ¿

2,5

– 1,5

– 1,5

½ ° ¾ ° ¿

EI 0 θ 2 = – 9,874

EI 0 ψ α = – 8,957

( θ 2 = – 0,0000235 )

( ψ α = – 0,0000213 )

θi

θj

i/k

s

1

k

---

3/2

-9,874

---

-8,957

-1,38

-1,38

2

i

+11,25 3/3

-9,874

---

0

+1,38

-1,38

Stab

m( i ⁄ j )B

s

3⋅ k

s

p' yi

6-108 Baustatik 1

qL 2 = + ---------- = + 11,25 kNm iB 8

s

s

s

mj – mi = p' yi ( B ) + -------------------- ; L

s

– ψ

p' yj

M

mi ⁄ j

s

mj – mi = – p' yj ( B ) + -------------------L


Stab

L

1

4,0

2

3,0

M i

0

j

-1,38

i

-1,38

j

0

M –M j i -------------------L

- 0,34 +0,46

Q0

Q

0

-6,14

0

-6,14

+15,0

+15,46

-15,0

-14,54

N

-15,23 0

Die Normalkraft des Stabes 5 folgt aus 5

EA p' x = ----------s ⋅ [ ∆L s, α ⋅ EI 0 ψ α ] ⋅ c Ls = 5824,435 ⋅ [ 3,328 ⋅ ( – 8,957 ) ] ⋅ 2,381 ×10 +15,46

2

0

α

- 0,41

–6

= – 0,41 kN

¦ Py

= 0:

1 15,46 – 0,41 ⋅ sin α + p' x = 0

¦ Px

= 0:

0,34 – 0,41 ⋅ cos α = 0

α = 33,69 °

- 0,34 1

p' x

KM: 1 cm = 4 kNm

p' x = – 15,23 kN

- 1,38 -

M 9,08

- 1,38

9,54

1

+

+10,56

Abb. 6.69 Momentenlinie aus der antimetrischen Belastung

Baustatik 1 6-109

6


KM: 1 mm = 2 kN +15,46 +

0

-

Q

N

- 14,54 - 0,41

-

- 15,23

- 0,34

Abb. 6.70 Normalkraft- und Querkraftverteilung aus der antimetrischen Belastung

Überlagerung LF 1: KM: 1 mm = 2 kNm

- 25,92

-

-

- 23,17

+

-

-

M

+20,45

KM: 1 mm = 2 kN

+45,46

+ -

Q

- 14,54 - 6,48

6-110 Baustatik 1

+ +5,79


KM: 1 mm = 2 kN - 6,14 N

- 45,23

-

+ 0,41

6.7.3

- 14,77

- 0,41

Lastfall 2: Temperatur

Da alle Stäbe die gleiche Temperaturverteilung aufweisen ist dieser Lastfall symmetrisch. Für die Berechnung ist von der Aufstelltemperatur +10 °C auszugehen. Daraus ergeben sich die maßgebenden Temperaturänderungen in den Stäben. t a = 40 °C t i = 80 °C

t o = t a – 10 °C = 40 – 10 = 30 °C

t u = t i – 10 °C = 80 – 10 = 70 °C

Nach Abschnitt 1.4.2 (3) ist der Rahmen für Stablängenänderungen infolge to + t u T m = -------------- = 50 °C 2 und Krümmumgsänderungen infolge ∆T = t u – t o = 40 °C zu berechnen. gleichmäßige Temperatur Tm: Zunächst sind die Längenänderungen der Stäbe und die sich daraus ergebenden Stabdrehwinkel zu bestimmen.

Baustatik 1 6-111

6


2 5

2

∆L

1

∆L

∆L

1

∆L

2

⋅ α ⋅ Tm T –5 = 4,0 ⋅ 1,2 ×10 ⋅ 50 = 0,0024 m

= L

2 1 1 ψ

( Tm )

1

⋅ α ⋅ Tm T –5 = 3,0 ⋅ 1,2 ×10 ⋅ 50 = 0,0018 m

= L

2

5

1

4 0,0018 m 2' 0 0,0 3

γ ∆L

∆L

s, Tm

1

s, Tm

β = 53,13 °

γ = β – α = 19,44 ° 0,0024 m

β

α

α = 33,69 ° ,

5'

0, 1', 4'

ψ

= 0,003 ⋅ cos γ = 0,00283 m

(T ) m

0,0018 = ---------------- = 0,00045 4,0

Mit der Stabsehnendrehung läßt sich das Starreinspannmoment nach Kapitel 6.5.2 (Abb. 6.37) für den Stab 1 berechnen. 1

--------- ⋅ ψ( T ) mjB = – 3EI m L 1

1

--- ⋅ 0,00045 = – 283,5 kNm mjB = – 3 ⋅ EI ⋅ 1 4

1

M 2B = – mjB = + 283,50 kNm

EI 0 ⋅

6-112 Baustatik 1

2,833

– 2,0

– 2,0

4,0

P αB = 0

½ ° + 283,5 ° θ2 ° ⋅® ¾ = ® ° ° ψ ° 0 ¯ ¯ α ¿

½ ° ¾ ° ¿

EI 0 θ 2 = + 154,636

EI 0 ψ α = + 77,318

( θ 2 = 0,000368 )

( ψ α = 0,000184 )


Stab 1

i/k

s

k

-283,5

Stab

i/j

2

s

m( i ⁄ j )B

m( i ⁄ j )B

i

0

k

0

Stab

3/2

4,0

2

3,0

---

2 ⋅ θi

θj

s

2/3

θj

154,64

2⋅ k

L

1

θi

s

3⋅ k

s

– ψ 0

s

mi ⁄ j

-51,54 s

–3 ψ

s

mi ⁄ j

M -51,54 M

309,28

0

-231,96 +51,54 -51,54

0

154,64

-231,96 -51,54

M i

0

j

-51,54

i

-51,54

j

-51,54

M –M j i -------------------L

-12,89 0

Q0

Q

0

-12,89

0

-12,89

0

0

0

0

-51,54

N

-9,14 -26,60


EA p'x = ----------s ⋅ ∆L s, T m Ls

5

p' x = 5824,435 ⋅ 0,00283 = 16,48 kN

0 2

α

2 p' x

1

¦ Py

= 0:

¦ Px

2 = 0: 12,89 + 16,48 ⋅ cos α + p' x = 0

p' x + 16,48 ⋅ sin α = 0

+16,48 - 12,89 1

p' x

1 p' x = – 9,14 kN

2

p' x = – 26,60 kN

Baustatik 1 6-113

6


KM: 1 mm = 5 kNm - 51,54

M

-

KM: 1 mm = 2 kNm -

0

- 26,60

Q

N

-

- 12,89

- - 9,14

+

+16,48

ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T: Die Starreinspannmomente für eine ungleichmäßige Temperaturänderung sind in Abschnitt 6.4.2 Tabelle 1 angeführt.

6-114 Baustatik 1


2 m

∆T iB

i

2 j

h = 0,50 m

m jB

2

EI ∆T α 2 T- , m = + ---------------------------iB h

2 m

2 = – m

jB

iB

L = 3,0 m 2

6 – 5 40 - = 403,20 kNm ; = 210 ×10 ⋅ 0,002 ⋅ 1,2 ×10 ⋅ -----m iB 0,5 2 m

– 403,20 kNm jB =

∆T i

j

h = 0,50 m

1 m

iB

1 m

3 EI ∆T α 1 T = – ---------------------------------jB 2h

L = 4,0 m 1

m

jB

6 – 5 40 = – 1,5 ⋅ 210 ×10 ⋅ 0,004 ⋅ 1,2 ×10 ⋅ ------= – 1209 ,60 kNm 0,5

2

1

M 2B = –( miB + mjB ) = – ( 403,20 – 1209,60 ) = + 806,40 kNm M 2B = + 806,40 kNm

EI 0 ⋅

2,5 – 1,5

P αB = 0

½ ° + 806,40 ° θ2 ° ⋅® ¾ = ® ° 1,6236 ° ψ α ° 0 ¯ ¯ ¿ – 1,5

½ ° ¾ ° ¿

EI 0 θ 2 = +439,855

EI 0 ψ α = +219,928

( θ 2 = 0,001047 )

( ψ α = 0,000524 )

Baustatik 1 6-115

6


Stab 1

i/k

s

k

-1209,9 3/2

Stab 2

i/j

s

m( i ⁄ j )B

m( i ⁄ j )B

i

+403,2

k

-403,2

Stab

4,0

2

3,0

---

2 ⋅ θi

θj

s

2/3

θj

439,86

2⋅ k

L

1

θi

s

3⋅ k

s

– ψ 0

s

M

mi ⁄ j

-549,81 -549,81 s

–3 ψ

s

M

mi ⁄ j

879,72

0

-659,79 549,81

0

439,86

-659,79 -549,81 -549,81

M –M j i -------------------L

M i

0

j

-549,81

i

-549,81

j

-549,81

-137,45 0

Q0

-549,81

Q

0

-137,45

0

-137,45

0

0

0

0

N

0 -137,45

KM: 1 mm = 50 kNm - 549,81 -

6-116 Baustatik 1

M


KM: 1 mm = 20 kNm

-

0 N

Q

-

0

- 137,45

Besonders augenfällig ist der große Unterschied in den Momentenflächen infolge Beanspruchung des Rahmens durch gleichmäßige und ungleichmäßige Temperaturänderung. Auf die Darstellung der resultierenden Schnittkraftverläufe dieses Lastfalles wurde verzichtet, da es sich lediglich um eine Addition handelt.

6.7.4

Lastfall 3: Auflagerverschiebung

Belastungsumordnung:

∆u ------2

∆u ------2 SYMMETRIE

∆u ------2

ANTIMETRIE

∆u ------2

Die antimetrischen Belastung bewirkt eine reine Translation des Systems, d. h. die Stäbe sind Spannungsfrei. Somit braucht nur der symmetrische Anteil betrachtet werden.

Baustatik 1 6-117

6


2

5 2

1

5

1

4 ∆u = 0,025 m

0,025 m

∆u = 0,025 m

0,025 m 0, 2', 5' α

1'

∆L

4'

∆L

s, ∆u

= 0,025 ⋅ cos α = 0,0208 m

s, ∆u

Abb. 6.71 Verformung mit Verschiebungsplan bei antimetrische Belastung

1

--------- ⋅ ψ( ∆u ) mjB = – 3EI L 1 mjB = – 3 ⋅ 210 ×106 ⋅ 0,004 ⋅ 1 --- ⋅ ( – 0 ,00625 ) = +3937,50 kNm 4 1

1

P αB = 0

M 2B = – mjB = –3937,50 kNm

EI 0 ⋅

6-118 Baustatik 1

2,833

– 2,0

– 2,0

4,0

½ ° – 3937,5 ° θ2 ° ⋅® ¾ = ® ° ° ψ ° 0 ¯ ¯ α ¿

½ ° ¾ ° ¿

EI 0 θ 2 = – 2147,731

EI 0 ψ α = – 1073,866

( θ 2 = – 0,0051136 )

( ψ α = – 0,0025568 )


Stab 1

i/k

s

k

3937,5

Stab

i/j

2

s

0

k

0

Stab

3/2

1

4,0

2

3,0

2 ⋅ θi

s

s

– ψ 0

θj

0

s

i

0

j

+715,9

i

+715,9

j

+715,9

3221,5

-2147,7 3221,5

M –M j i -------------------L

M

+179,0 0

s

mi ⁄ j

715,9

–3 ψ

-4295,4 0

2/3

L

θj

-2147,7 - - -

2⋅ k

m( i ⁄ j )B

i

θi

s

3⋅ k

m( i ⁄ j )B

Q0

s

mi ⁄ j

-715,9

M +715,9 M +715,9

+715,9 +715,9

Q

0

+179,0

0

+179,0

0

0

0

0

N

-67,20 -78,17


EA p'x = ----------s ⋅ ∆L s, ∆u Ls

5

p' x = 5824,435 ⋅ 0,0208 = 121,15 kN

0 2

2

α

p' x

1 p' x + 121,15 ⋅ sin α = 0

¦ Py

= 0:

¦ Px

2 = 0: – 178,98 + 121,15 ⋅ cos α + p' x = 0

+121,15 +178,98 1 p' x

1

p' x = – 67,20 kN

2 p' x = +78,17 kN

Baustatik 1 6-119

6

Deformationsmethode Die Berechnung von Einflußlinien

KM: 1 mm = 10 kN

KM: 1 mm = 50 kNm

+ 715,91 M

+

+178,98

0

Q

+

+

KM: 1 mm = 10 kN

+

+78,17 N +

-

+121,15

- 67,20

6.8 Die Berechnung von Einflußlinien Die Einflußlinie einer Weggröße / Kraftgröße ist gleich der Biegelinie, die entsteht, wenn man dem System diejenige Kraftgröße / Weggröße vom Wert „Eins“ virtuell einprägt, die als komplementäre Größe mit der gesuchten Einflußgröße Arbeit leistet (siehe Kapitel 2.6 - 2.7).

6.8.1 Einflußlinien für Weggrößen Beispiel 6.6: Gesucht ist die Einflußlinie der vertikalen Verschiebung im Punkt s.

6-120 Baustatik 1


Ps = 1 1

2

3

4

s

Abb. 6.72 System mit Einheitsbelastung

An der Stelle an der die Weggrößeneinflußlinie bestimmt werden soll ist die Einheitsbelastung P s = 1 aufbringen. : ″δ nm ″ = δ mn (siehe Grundlagen).

Es gilt der

Daraus folgt bekanntlich, daß die Einflußlinie für die vertikale Verschiebung im Punkt s gleich der Biegelinie für den Lastfall P s = 1 ist. Mit Hilfe der Deformationsmethode werden für diesen Lastfall die Stabendmomente ermittelt. s

-

M

-

Abb. 6.73 Stabendmomente des Systems- mittels Defo

Aus diesen Stabendmomenten läßt sich nun die Biegelinie mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit bestimmen. ″δ ″ s

s

Abb. 6.74 Einflußlinie der Durchbiegung im Punkt s

6.8.2

Einflußlinien für Kraftgrößen

Beispiel 6.7: Gesucht sei die Momenteneinflußlinie im Punkt s. 1

s

2

5

3

4

6

Abb. 6.75 Statisches System

Baustatik 1 6-121

6


Man erhält die Einflußlinie für eine Kraftgröße (Auflager, Schnittgröße) indem man die virtuelle Einheitsweggröße, die mit der gesuchten Kraft negative Arbeit leistet, als vorgegebenen Verformungsfall dem kinematisch bestimmten Hauptsystem einprägt (Müller Breslau). 1

s

2

3

4

w0

1

5

6

Abb. 6.76 Biegelinie am kinematisch bestimmten Grundsystem

Die Starreinspannmomente für einige aufgezwungene Verformungen sind in Tabelle 3 angegeben. Man berechnet dann mit Hilfe der Deformationsmethode die Verformungen ( θ 2 , θ 3 , ψ α ) am wirklichen System. 1

2

3 θ

2

= 1

4

5

6

Abb. 6.77 Biegelinie infolge der Knotenverdrehung: 1

2

w2

s

s

3

θ

2

= 1

4

w3 θ

5

3

= 1

6

Abb. 6.78 Biegelinie infolge der Knotenverdrehung:

θ

3

= 1

Die gesuchte Einflußlinie ″M s ″ ist dann gleich der Biegelinie des Systems, die aus Superposition (der Einheitsbiegelinien) bestimmt werden kann.

6-122 Baustatik 1


η ≡ w = w0 + wi θi + wj θj + … w

Biegelinie am kinematisch bestimmten Grundsystem.

0

w ,w i j

Biegelinie infolge Knoten- oder Stabdrehwinkel.

w ,w 0 i(j)

können für den Einzelstab angegeben werden.

Die Momenteneinflußlinie ″M s ″ ergibt sich somit aus ″M s ″ ≡ w = w 0 + w 2 θ2 + w 3 θ 3 1

s

2

3

4 ″M ″ s

5

6

Abb. 6.79 Momenteneinflußlinie für den Punkt s

Baustatik 1 6-123

6


m

m

iB

EI = const

jB

j

i L

m

AUFGEZWUNGENE iB

m

VERFORMUNG

αL

jB

βL

2 ( 3β – 1 )EI + -----------------------------L

2 ( 3α – 1 )EI – -----------------------------L 1

αL

3β EI + -------------L

βL

0 1

αL

βL

3α EI – --------------L

0 1

4 EI + ----------L

6-124 Baustatik 1

1

2 EI---------L


m

m

iB

EI = const

jB

j

i L

m

AUFGEZWUNGENE iB

3 EI + ----------L

m

VERFORMUNG

jB

0

1

2 EI + ----------L

1

4 EI + ----------L

0

1

3 EI+ ---------L

6 EI– ---------L2

1

6 EI– ---------L2

Baustatik 1 6-125

6


m

m

iB

EI = const

jB

j

i L

m

AUFGEZWUNGENE iB

3 EI– ---------L2

0

m

VERFORMUNG

jB

0

1

1

3 EI– ---------L2

6.8.3 Hermite’sche Ansatzfunktionen Die Biegelinie unbelasteter Stäbe kann mit Hilfe von Ansatzfunktionen aus den bekannten Knotenverformungen ermittelt werden.

6-126 Baustatik 1


Allgemeine Formel: j

j

{u} =

¦

Hn { u }n +

n=i

--- ( 1 – ξ ) 2 ( 2 + ξ ) Hi = 1 4

d{u}

¦ H -----------dξ

n=i

1

--- ( 1 + ξ ) 2 ( 2 – ξ ) Hj = 1 4

1

--- ( 1 – ξ ) 2 ( 1 + ξ ) Hi = 1 4

1

--- ( 1 + ξ ) 2 ( 1 – ξ ) Hj = – 1 4

1

Biegelinie aus einer Knotenverdrehung: L x θ

i ξ = –1

2x ξ = -----L

j

i 0

ξ = +1

Mit den am Stabelement auftretenden Stabendverformungen läßt sich aus der allgemeinen Formel der Verlauf der Biegelinie über die Stablänge anschreiben. --- ( 1 – ξ ) 2 ( 1 + ξ ) dw ------- , w = 1 4 dξ bzw. --- dw --------- ( 1 – ξ ) 2 ( 1 + ξ ) L w = 1 2 dx 4

mit

dw ------- = θ i dx

Damit kann der Verlauf der Biegelinie infolge einer Knotenverdrehung punktweise berechnet werden.

Baustatik 1 6-127

6


ξ = –1 :

w = 0

ξ = – 0,75 :

--- ( 1 + 0,75 ) 2 ( 0,25 ) L --- = 0,766 L --w = 1 4 2 8

ξ = – 0,5 :

--- = 1,125 L ----- ( 1 + 0,5 ) 2 ( 0,5 ) L w = 1 2 8 4

ξ = – 0,25 :

L--- = 1,171 ---- ( 1 + 0,25 ) 2 ( 0,75 ) L w = 1 2 8 4

ξ = 0:

--- L --- = 1,0 L --w = 1 42 8

ξ = 0,25 :

--- ( 1 – 0,25 ) 2 ( 1,25 ) L --- = 0,703 L --w = 1 4 2 8

ξ = 0,5 :

--- = 0,375 L ----- ( 1 – 0,5 ) 2 ( 1,5 ) L w = 1 2 8 4

ξ = 0,75 :

--- = 0,109 L ----- ( 1 – 0,75 ) 2 ( 1,75 ) L w = 1 2 8 4

ξ = 1:

w = 0

ξ = – 1 - 0,75

- 0,5

- 0,25

0

0,25

0,5

0,75

ξ = +1

L

Biegelinie aus einer Sehnenverdrehung: L x j i

0

ξ = –1

ξ = +1

Aus der allgemeinen Formel folgt für diesen Fall --- ( 1 + ξ ) 2 ( 2 – ξ )∆ Hj = 1 4

6-128 Baustatik 1

∆


Für das vorangegangene Beispiel kann somit die Biegelinie durch superponieren der einzelnen Einheitsbiegelinien errechnet werden. s 2

φ = 1 s

3 θ

θ

2

3

φ = 1 s θ

2

θ

6.8.4

3

Starreinspannwerte mit Einflußlinien

Mit Hilfe der Einflußlinien lassen sich die Starreinspannwerte für beliebige Belastungen errechnen. p'

m

yi

P

p'

q

i

j

iB

yj

m

jB

L

″m ″ i

1

1

″p' ″ yi

1

1

″p' ″ yj

″m ″ j

Die Auswertung der Einflußlinien mit den gegebenen Belastungen ergeben die gesuchten Starreinspannwerte; z.B. das Starreinspannmoment m jB . Baustatik 1 6-129

6


P

i

q

j ″m ″ j

6-130 Baustatik 1

7

Matrix Stiffness Method Flußdiagramm Steifigkeitsmatrix und Assemblierung Belastung Lösung des Gleichungssystems

Im vorigen Kapitel ist das Weggrößenverfahren in einer vornehmlich auf manuelle Handhabbarkeit abzielende Weise vorgestellt worden. Nun soll das allgemeine Weggrößenverfahren in Matrizenform unter computerorientierten Aspekten betrachtet werden. Im anschließenden Flußdiagramm (flow chart) wird das Ablaufschema eines derartigen Programmes verdeutlicht. Danach werden die einzelnen Programmphasen etwas näher betrachtet.

Koordinatensystem festlegen Idealisierte Struktur aufzeichnen Knoten und Stäbe numerieren Eingabe: Knotenkoordinaten, Connectivity,

Material- und Querschnittswerte (E, I, A,..)

Lokale Steifigkeitsmatrix für die Stabelemente berechnen s

[ K′]

Steifigkeitsmatrizen ins globale Koordinatensystem transformieren s

[K]

Baustatik 1 7-1

7

Matrix Stiffness Method

Assemblierung der globalen System-Steifigkeitsmatrix

[K]

Rand- (Auflager) bedingungen aufbringen

Belastung aufbringen { p }

Gleichungssystem lösen →

{ u }n

Stabendkraftgrößen bestimmen

Schnittkraftverlauf

Bemessung

7-2 Baustatik 1

Matrix Stiffness Method Eingabe

7.1 Eingabe Beispiel 7.1: 3 i j

3

2 i 2j i y

i

j4

5 4

j i5 j i

8m 7

j

i7

1

6

8

1i

j6

j8

8m

x 8m

8m

Baustatik 1 7-3

7

Matrix Stiffness Method Lokale Element- Steifigkeitsmatrix

7.1.1 Knotenkoordinaten, Freiheitsgrade Knoten

x

uy

ux

y

θ

1

0

0

0

0

0

2

0

8,0

1

1

1

0 ... gesperrt

3

0

16,0

1

1

1

1 ... frei

...

...

...

...

...

...

Tab. 7.1

7.1.2 Connectivity, Material, Querschnitte Stab

i

-

j

E

I

A

1

1

2

...

...

...

2

2

3

...

...

...

3

3

4

...

...

...

...

...

...

...

...

...

i - j → legt die Kennfaser fest.

Tab. 7.2

7.2 Lokale Element- Steifigkeitsmatrix Für jedes Stabelement wird im lokalen Stabkoordinatensystem die lokale Steifigkeitsmatrix gebildet (siehe Abschnitt 6.2.2), z.B. für das Stabelement 1

1

7-4 Baustatik 1

1

[ K' ]ii [ K' ]ij

1

[ K' ]ji [ K' ]jj

[ K' ] = E

1

1

Matrix Stiffness Method Globale Steifigkeitsmatrix

mit der Untermatrix

1

[ K' ]ii =

A ---L

0

0

0

12I -------L3

6I ----L2

0

6I ----L2

4I ----L → 6 x 6 Matrix.

Ein ebenes Stabelement weist 6 Freiheitsgrade auf

7.3 Globale Steifigkeitsmatrix Mit Hilfe der Transformationsmatrix [ T ] werden die lokalen Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Stäbe in das globale Koordinatensystem transformiert (siehe Abschnitt 6.2.4). 1

1

1

1

T

1

1

[ K ] = [ T ] ⋅ [ K' ] ⋅ [ T ] [T] =

[T] 0 0 [T]

[ T ] ... Transformationsmatrix des Stabelementes 1

mit

T =

cos α

sin α

0

– sin α

cos α

0

0

0

1

7.4 Assemblierung Unter Assemblierung versteht man das Einordnen der Stabsteifigkeitsmatrizen in die globale Systemsteifigkeitsmatrix.

Baustatik 1 7-5

7

Matrix Stiffness Method Assemblierung

Bandbreite 2

3

4

5

u x1 u y1 θ1 u x2 u y2 θ2

1

1

1

1

[ K ]ii 1

1

2

[ K ]ji

[ K ]ij

0

0

[ K ]ji

0

4

[ K ]ij

0

[ K ]jj

3

3

+ [ K ]ii

[ K ]ij

8

j

0

2

4

+ [ K ]ii 2 + [ K ]ii 2

3

7

i

[ K ]jj

2

6

[ K ]ij

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

4

3

[ K ]ji

[ K ]jj

5

5

+ [ K ]ii

[ K ]ij

[ K ]jj + 4[ K ]jj + 6[ K ]ii + 7[ K ]ii

5

5

i

0

0

6

4

[ K ]ji

0

0

0

5

[ K ]ji

0

6

[ K ]ji

6

7

[ K ]ij

6

[ K ]ij

[ K ]jj

0

0

0

7

7

j

8

z.B. Stab 7:

0

0

0

0

0

0

0

0

5 i

7

7 j

7

[ K ]ji

0

0

0

7

[ K ]jj

8

[ K ]ij

8

+ [ K ]ii 8

[ K ]ji

8

[ K ]jj

[ K ]ii Spalte 5/5

Abb. 7.1 Systemsteifigkeitsmatrix [ K ] .

Diese Gesamt-Steifigkeitsmatrix ist, wie das Bild belegt, eine dünn besiedelte, symmetrische Matrix mit Diagonalcharakter.

7-6 Baustatik 1

Matrix Stiffness Method Auflager- (Rand) bedingungen

7.5 Auflager- (Rand) bedingungen Starre Auflager: u

u

u

y

x

x

= 0

u

= 0

u

= u

y

x

x

= θ = 0

= u

y

= θ = 0

= 0

Elastische Auflager: k k

p

yA

k

y, A

= k

y, A

⋅ u yA

x, A

k

k d, A k

y, A

p p

yA xA

= k = k

y, A

⋅ u yA

p

x, A

⋅ u xA

p

y, A

⋅ u xA

y, A

⋅ u yA

d, A

⋅ θA

= k

yA A

x, A

= k

xA

m

x, A

= k

Die Assemblierung der Federn erfolgt analog zu den Stabsteifigkeiten, allerdings treten diese nur in den Diagonalgliedern auf.

7.5.1

Numerische Behandlung - Starre Auflager

1. Möglichkeit: Die zu den gesperrten Freiheitsgraden gehörenden Spalten und Zeilen werden weggelassen. Auf das Beispiel bezogen bedeutet dies, daß die Spalten und Zeilen 1, 6 und 8 aus Abb. 7.1 gestrichen werden, was den Vorteil eines kleineren Gleichungssystems bringt. Allerdings können die Auflagerkräfte nicht direkt ermittelt werden. 2. Möglichkeit: Die Größe des Gleichungssystems wird beibehalten (kein Streichen von Zeilen und Spalten). Die Auflagerbedingungen werden durch Wahl der Steifigkeitswerte erfaßt. Die Zahl der Unbekannten ist damit zwar größer, der Rechenprozeß jedoch

Baustatik 1 7-7

7


einfacher. Eine starre Auflagerbedingung kann z.B. durch den Ersatz mit einer sehr steifen Feder simuliert werden. Die Federsteifigkeit ( k ≈ 10 20) wird in das zum Freiheitsgrad gehörende Diagonalglied assembliert (Abb. 7.2), und die zugehörigen Werte des Belastungsvektors werden gleich Null gesetzt. Die Auflagerkräfte können damit direkt ermittelt werden.

u

u

7

y6 θ 6

6 x6

5

6

5

+ k ∞ ! = 10 20

6

7

Abb. 7.2 Ausschnitt aus der Gesamt- Steifigkeitsmatrix.

7.5.2 Schiefe Auflager Starre Auflager: j 1 y 1i uy' = 0

y'

α x A x'

j 2

3

j

Zunächst wird ein lokales Koordinatensystem ( x', y' ) eingeführt. Anstatt der Freiheitsgrade u x1 , u y1 treten nun u x'1 , u y'1 . Die Steifigkeiten aller am Knoten 1 anschließenden Stäbe werden nun transformiert, sodaß die Beziehung lokal- global ist. 1

T 1

1

T 1

[ K' ]ii = [ T ]

[ K' ]ij = [ T ]

7-8 Baustatik 1

[ K ]ii [ T ] [ K ]ij [ T ]


Stabende

i

→

lokal ( u x'i , u y'i , p x'i , py'i )

j

→

global( u xj , uyj , p xj , p yj )

Die Transformationsmatrix für das Auflager lautet cos α A – sin α A

[T] =

sin α A cos α A Da für den Knoten 1 ein lokales Koordinatensystem gilt, erhält man natürlich auch das Ergebnis in lokaler Richtung. Federn:

y

y'

k x', A

α

x x'

k y', A

Die lokalen Federsteifigkeiten

[ K' ] A =

k x', A

0

0

k y', A

sind in die globalen Richtungen rückzutransformieren T

[ K ] A = [ T ] ⋅ [ K' ]A ⋅ [ T ] Danach kann die Assemblierung wie gehabt durchgeführt werden.

Baustatik 1 7-9

7


7.5.3 Gelenke 1

3

n

Rechts

Links

4

2

p

(θ ) n li n

1

p 2

p

xn

p

xn

yn

yn

3

n (θ ) n re

4

(u

) = (u ) xn li xn re

(u

) = (u ) yn li yn re

(θ ) , (θ ) n li n re

Es treten zwei Verdrehungsfreiheitsgrade ( θ n ) li und ( θ n ) re am Knoten n auf. Bei der Assemblierung werden die Steifigkeiten, die zu ux, uy gehören für alle Stäbe addiert. Die Steifigkeiten, die zu ( θ n ) li gehören, werden für alle linken Stäbe und die zu ( θ n ) re gehörenden für alle rechten Stäbe addiert (d.h Matrix erweitern).

n, li

n, re θ

θ

yn u

u

xn

n

Steifigkeitskoeffizienten der Verschiebungen (Stäbe 1, 2, 3, 4)

Steifigkeitskoeffizienten ( θn ) der Verdrehung re (Stäbe 3, 4)

n 0 Steifigkeitskoeffizienten der Verdrehung ( θn ) li (Stäbe 1, 2)

0

Abb. 7.3 Ausschnitt aus der Gesamt- Steifigkeitsmatrix.

7-10 Baustatik 1

Matrix Stiffness Method Belastung

7.6 Belastung 7.6.1

→ gehen in die rechte Seite ein.

7.6.2

Knotenkräfte

Belastung zwischen den Knoten

→ auf Knotenbelastung umrechnen - Starreinspannwerte. m

m

iB i

jB

j

( p' ) yi B

( p' ) yj B

Längskräfte ( p'xi ) B treten nur auf, wenn entlang dem Stab Längsbelastungen eingeleitet werden. Belastung Temperatur

Starreinspannwerte für Standard- Lastfälle programmieren (Tabelle).

Zwangseinbau

Für jeden belasteten Stab werden die Starreinspannwerte im lokalen Koordinatensystem berechnet.

s ° { p' iB } s { p' B } = ® ° s ¯ { p' jB }

½ ° ¾ ° ¿

p' ° xi ° s { p' iB } = ® p' yi ° ° m ¯ i

mit

½ ° ° ¾ ° ° ¿ B

Diese werden in das globale System transformiert s

s

T

s

{ p B } = [ T ] ⋅ { p' B }

und in den Systembelastungsvektor { p } eingeordnet.

Baustatik 1 7-11

7

Matrix Stiffness Method Auflösung des Gleichungssystems

7.7 Auflösung des Gleichungssystems [K] ⋅ {X} = {p} 7.7.1 Gauß- Reduktion (Gauß‘scher Algorithmus) n)

… + k nn X n + … + k nj X j + … = p n

i)

… + k in X n + … + k ij Xj + … = p i

⋅ kin ⁄ k nn

… + k nn X n + … + k nj X j + … = p n i) – n)

k in k in § · - k nj ¸ X j + … = pi – ------ pn 0 + … + ¨ k ij – -----k nn ¹ k nn ©

k in ⁄ k nn -fache Gleichung n) von Gleichung i) abziehen → reduzierte (dreieckszerlegte) Steifigkeitsmatrix. Rekursionsformeln: Dreieckszerlegung: (triangular decomposition) → Reduzierte Steifigkeitsmatrix

k in ⋅ k nj ----------------∗ k ij = k ij – k nn

0 Vorwärtseinsetzen: (forward substitution) k in p n p i ∗ = p i – -------------k nn Nach der Dreieckszerlegung der Steifigkeitsmatrix kann die die einzelnen Lastfälle getrennt behandelt werden. Rückeinsetzen: (back substitution)

7-12 Baustatik 1

für


N · 1 § X n = – ------- ¨ ¦ k ni X i – p n ¸ k nn © i = n + 1 ¹

Ist eine Weggröße bereits vorgegeben z.B. Auflagersenkung X0 so folgt … + k nn X n + … + k nj X j + … = p n

X n = X 0 ......bekannt

… + k in X n + … + k ij X j + … = pi … + k nj X j + … = p n – k nn u 0 … + kij X j + … = p i – k in u 0

7.7.2

Spezielle Methoden zur Lösung von schwach besetzten Matrizen

Bei den zur Gewinnung des Lösungsvektors auszuführenden Maschinenoperationen steigen Speicherplatz- und Rechenzeitbedarf mit der Belegung außerhalb der Hauptdiagonalen, der , rapide an. Die Bandbreite ist als maximale Knotennummerdifferenz eines Stabes mal der Anzahl der Freiheitsgrade (2-D = 3, 3-D = 6) definiert. Um nun den Speicherplatz und die Rechenzeit zu minimieren wurden spezielle Methoden entwickelt, die hauptsächlich auf einer Reduzierung des Gleichungssystems aufbauen. Diese Methoden näher zu erläutern würde den Rahmen dieses Skriptums sprengen, es sei aber auf die beiden gängigsten Methoden hinge-wiesen. y Skyline Solution

0

Symm.

Abb. 7.4 Skyline der Systemsteifigkeitsmatrix (Beispiel Abschnitt 7.1).

Aus Abb. 7.4 ist zu erkennen, daß die Skyline von der Knotennummerierung abhängt. Die Speicherung der Skyline von [ K ] erfolgt als Vektor. {

....}

Baustatik 1 7-13

7


y Frontal Solution Dieses Verfahren ist nicht von der Knotennummerierung, sondern von der Elementnummerierung abhängig (Front muß sich ideal ausbreiten).

7.7.3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen (GaußSeidel Iteration) k-ter Iterationsschritt: k Xn

N § k – 1· 1 = ------- ¨ pn – ¦ kni X i ¸ k nn © ¹ i=1 i≠n

0

k–1

Man beginnt mit X i = 0 oder mit einem bekannten Schätzwert. X i sind die zuletzt errechneten Werte. Es wird so lange angenähert bis der Unterschied zwischen zwei Iterationen klein genug ist. k

k–1

X n – Xi

0

(Konvergenz gegen Null)

7.7.4 Lösung Durch Lösen des Gleichungssystems [ K ] ⋅ { u } = { p } erhält man die Verformungen { u } der Systemknoten in Bezug auf das globale Koordinatensystem. Die endgültige Verformung eines Stabelementes wird aus den Stabendverformungen { u } n (mit Hilfe der Hermite‘schen Funktion) und den Verformungen des kinematisch bestimmten Stabes (wenn belastet) ermittelt.

i

j

j u'

i u'

Kinematisch bestimmt (aus Tabellen)

u' yi θ u'

i

xi ENDGÜLTIGE VERFORMUNGEN

7-14 Baustatik 1

Mit Hermite‘schen Funktionen

xj yj

θ

j

Matrix Stiffness Method Stabendkraftgrößen

7.8 Stabendkraftgrößen j s {u}

s

i

7

→ { u }6 i

s {u}

s

[ T ] { u }7

s

s

[ K' ]ij

s

{ u' }j

+

s

{ p' iB }

® ¯

+

° ° ® ° ° ¯

{ u' }i

½ ¾ ¿

½ ¾ ¿ [ K' ]ii

° ° ® ° ° ¯

s

→ { u }7

j

s

[ T ] { u }6 { p' }i =

{u} j

i 6

s {u}

s

s

aus Verformungen Stabende i

aus Verformungen Stabende j

Starreinspannung

7.9 Schnittkraftverlauf q

i

m

Kinematisch bestimmt

j

m

iB

m

i m

jB

Aus Tabellen oder mit Hermite‘schen Funktionen

j

j

Aus Stabendverformungen

i ENDGÜLTIGER SCHNITTKRAFTVERLAUF

Baustatik 1 7-15

7

7-16 Baustatik 1

Matrix Stiffness Method Schnittkraftverlauf

8

Räumliche Systeme Kräfte und Steifigkeiten im Raum Transformation Trägerrost Torsion

8.1 Allgemeines Die Berechnungsgrundlagen räumlicher Systeme entsprechen jenen der ebenen, das heißt auch bei räumlichen Systemen werden nur relativ kleine Formänderungen zugelassen; die Lasten werden am unverformten System angesetzt, und es gilt das Superpositionsgestz. Für die Berechnung räumlicher Stabwerke kann sowohl das Kraftgrößenverfahren als auch das Weggrößenverfahren angewendet werden. Ein Unterschied zu ebenen Systemen liegt darin, daß der für die Berechnung zu leistende Arbeitsaufwand sehr viel größer wird. Zu dem kommt noch die oft mangelnde Übersichtlichkeit und in vielen Fällen die größere Schwierigkeit der Berechnung hinzu. Dies sind sicherlich auch Gründe dafür, weshalb in der Praxis sowohl für Hand-als auch für EDV-Berechnungen, wenn irgendwie statisch vertretbar, räumliche Systeme als ebene Systeme idealisiert werden. Besonders zu beachten ist die räumliche Tragwirkung z.B. bei Gerüsten, Turmbauten, breiten Brückenbauten (Torsion), Raumüberdeckungen, sowie allgemein im Industriebau, Behälterbau (Zylinderschalen), Wasserbau, Schiffsbau und Flugzeugbau.

Baustatik 1 8-1

8

Räumliche Systeme Kräfte im Raum

8.2 Kräfte im Raum Komponenten einer Kraft: z

Pz Py

P

Px

P ½ ° x ° ° ° P = ® Py ¾ ° ° ° P ° ¯ z ¿ P x = P cos α x = P ⋅ ex

y x

P y = P cos αy = P ⋅ e y P z = P cos α z = P ⋅ e z

Abb. 8.1 Darstellung einer Kraft im Raum

mit den Komponenten des Einheitsvektors Py e y = ----P

Px e x = ----P

Pz e z = ----P

Der Absolutbetrag für den Vektor der Kraft P ergibt sich aus P = P =

P x2 + P y2 + P z2

Komponente einer Kraft in eine beliebigen Richtung: Die Komponente einer Kraft P in eine beliebige Richtung s erhält man aus dem Skalarprodukt (Vektorprojektion) P s = P ⋅ s = P ⋅ ( e x s x + e y s y + e z s z ) = P ⋅ cos αPs s

e

P αPs

s s

Abb. 8.2 Projektion einer Kraft

Die Kraft kann entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne daß das Kräftegleichgewicht beeinflußt wird.

8-2 Baustatik 1


Moment einer Kraft in einem Abstand a:

{M} a α

Das Moment der Kraft P in bezug auf den Punkt m ergibt sich aus dem Vektorprodukt

m

M = r×P

{r}

M = M = r sin α P = P ⋅ a

{P}

Abb. 8.3 Moment einer Kraft

i M =

r P –r P ½ M ½ ° y z z y ° ° x ° ° ° ° ° = ® rz Px – rx Pz ¾ = ® My ¾ ° ° ° ° ° r P –r P ° ° M ° ¯ x y y x ¿ ¯ z ¿

j k

rx ry rz Px Py Pz

r ½ ° x ° ° ° mit r = ® r y ¾ sowie ° ° ° r ° ¯ z ¿

½ ½ ½ ° 1 ° ° 0 ° ° 0 ° ° ° ° ° ° ° i = ® 0 ¾ , j = ® 1 ¾ und k = ® 0 ¾ ° ° ° ° ° ° ° 0 ° ° 0 ° ° 1 ° ¯ ¿ ¯ ¿ ¯ ¿

den drei Einheitsvektoren in Richtung der Koordinaten x, y und z. M =

2

2

2

M x + My + M z

Kräftepaar: Für einen beliebigen Punkt m im Raum beträgt das Moment infolge des Kräftepaares

P a

P

b

M m

M = P ⋅ (a + b) – P ⋅ b = P ⋅ a Das Moment M kann parallel zu seiner Wirkungslinie verschoben werden, da für jeden Punkt im Raum der Absolut-

Abb. 8.4 Kräftepaar

Baustatik 1 8-3

8


Resultierende Wirkung von mehreren Kräften im Raum: Resultierendes Moment (bezogen auf einen Punkt im Raum; z.B.Koordinatenursprung) sowie die resultierende Kraft: M ½ ° x ° ° ° ° ° M = ¦ ® My ¾ = ® ° ° ° ° M ° ° ¯ z ¿ ¯

¦ ( ry Pz – rz Py )

½ ° ° ¦ ( rz P x – rx P z ) ¾° ° ( r P – r P ) ¦ x y y x ¿

° R = °® ° ° ¯

¦ Px

½ ° ° ¦ P y ¾° ° P ¦ z¿

Komponente des Momentes einer Kraft in eine beliebigen Richtung: Die Komponente des Momentes einer Kraft P in bezug auf einen Punkt m in eine beliebige Richtung s erhält man aus dem Skalarprodukt M s = M ⋅ s = M ⋅ cos α Ms

s

M αMs

s s

Abb. 8.5 Projektion eines Momentes

Orthogonale Systeme: v3 = v 1 × v 2 Der Vektor v 3 steht zu den Vektoren v1 und v2 senkrecht.

v3

Der Betrag v 3 ist gleich dem Zahlenwert der Fläche des von den Vektoren v 1 und v 2 gebildeten Parallelogramms.

v2

v1 Abb. 8.6 Vektorprodukt

8-4 Baustatik 1

Räumliche Systeme Der Einzelstab im Raum

8.3 Der Einzelstab im Raum Für eine vorzeichenrichtige Berechnung von Stabkräften und Verschiebungen in dreidimensionalen Systemen spielt die Einhaltung von Vorzeichenkonventionen eine große Rolle. Die Vorzeichenkonvention beim Weggrößenverfahren (Deformationsmethode) ist so geregelt, daß die positiven Wirkungsrichtungen der an den Stabenden angreifenden Kräfte in Richtung der positiven lokalen Koordinatenachsen zeigen. Das lokale Koordinatensystem ist ein Rechtssystem, bei dem die lokale x-Achse x’ in Stabachsenrichtung weist, vom linken (i) zum rechten (k) Stabende weisend. Die beiden anderen lokalen Achsen y’ und z’ liegen im allgemeinen in den Querschnittshauptachsen. In den Abbildungen Abb. 8.7 und Abb. 8.9 sind die positiven Wirkungsrichtungen der Kräfte dargestellt. Für die Verdrehungen und Verschiebungen gilt dieselbe Vorzeichenkonvention. y’ my’i my’k i mx’i

x’

k

mz’i z’

mz’k

mx’k

x’, y’ und z’ sind die lokalen Koordinatenachsen

Iy’ und Iz’

Hauptträgheitsmomente

Abb. 8.7 Definition der Momente beim WGV

Baustatik 1 8-5

8

Räumliche Systeme Der Einzelstab im Raum

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° { u }e = ® ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ¯

u xi ½ ° u yi °° ° u zi ° ° ° θ xi ° ° θ yi ° ° ° θ zi ° ¾ uxk ° ° ° uyk ° ° u zk °° ° θxk ° ° θyk °° ° θ zk ¿

y’ py’i py’k i

px’i

x’

k

pz’i z’

pz’k

px’k

Abb. 8.8 Definition der Kräfte beim WGV

Die Verformungsgrößen eines Einzelstabes ergeben den links angeführten Vektor (12 Komponenten). Die Einführung dieser Vorzeichenkonvention für die inneren Variablen ermöglicht eine einfachere Berechnung ebener und räumlicher Tragstrukturen mittels EDV. Die Darstellung der Schnittkräfte erfolgt aber mit den bisherigen Vorzeichenkonventionen. Die Vorzeichenkonvention beim Kraftgrößenverfahren erfolgt nach der bisherigen Vorzeichenkonvention. Die Schnittgrößen sind positiv, wenn ihre Vektorkomponenten am positiven Schnittufer in Richtung der positiven, lokalen Basis weisen.

8-6 Baustatik 1

Räumliche Systeme Steifigkeit des Einzelstabes im Raum

positives Schnittufer

negatives Schnittufer

Mz’i

Mx’i

y’

Qz’i Nx’i

Qy’k

i

My’i

Qy’i

My’k

x’ k

z’

Nx’k

Qz’k

Mx’k

Mz’k

Abb. 8.9 Definition der positiven Stabschnittgrößen am positiven und am negativen Schnittufer beim KGV

8.4 Steifigkeit des Einzelstabes im Raum Unter der Steifigkeit eines Stabes sind jene Kraftgrößen (Kraftgrößenwiderstände) an den Stabenden zu verstehen, die durch Einheitsverformungen in den Stabenden hervorgerufen werden. Zusammenstellung der Steifigkeiten des Einzelstabes im Raum:

Verformungsfall

Einspannkräfte

y’ px’i

mz’i

x’

k

i z’

uy’=1

EA p x'i = -------L

ux’=1

EA p x'k = – -------L

y

12 EI z' p y'i = ---------------= – p y'k 3 L

x’

k

i py’i

mz’k

py’k

6 EI z' m z'i = ------------= m z'k 2 L

Baustatik 1 8-7

8


Verformungsfall

my’i

my’k

pz’i

i

Einspannkräfte

pz’k x’

k

uz’=1

m y'i

z’

6 EI y' - = m y'k = – ------------2 L

y’

qx’i=1 mx’i

12 EI y' - = – p z'k p z'i = ---------------3 L

x’

k

i

GI D m x'i = --------- = – m x'k L

z’

4 EI z' m z'i = ------------L py’k

py’i i

k qz’i=1

mz’i

x’

2 EI m z'k = -------------z' L

mz’k

6 EI p y'i = – -------------z' = – p y'k 2 L 4 EIy' m y'i = -------------L my’i

my’k i

x’

k qy’i=1

pz’i

m y'k

2 EI y' ------------= L

pz’k

6 EI y' p z'i = – -------------- = – p z'k 2 L E G = -------------------2(1 + ν )

8-8 Baustatik 1

G

...

Schubmodul

ν

...

Querdehnungszahl


ID

...

Drillwiderstand

Elementsteifigkeitsmatrix: e

Die Elementsteifigkeitsmatrix [ K ]' enthält die durch die Einheitsverformungen hervorgerufenen Kraftgrößenwiderstände; sie ist quadratisch und symmetrisch. Die Steifigkeitsmatrix für ein Stabelement im Raum lautet:

e

[ K ]' =

[ K ]'ii [ K ]' ik [ K ]' ki [ K ]' kk

Die Matrix [ K ]' kk lautet gleich wie die Matrix [ K ]' ii mit dem einzigen Unterschied, daß die Vorzeichen jener Koeffizienten umgekehrt werden, die außerhalb der Hauptdiagonalen liegen ( 6I / L2 ). Um die Matrix [ K ]' ik zu erhalten, wird auch hier das Vorzeichen der Koeffizienten außerhalb der Diagonalen der Matrix [ K ]' ki umgekehrt, was in diesem Fall der transponierten Matrix [ K ]' ki entspricht. Die einzelnen Teilsteifigkeitsmatrizen lauten: u x'i

u y'i

u z'i

θ x'i

θ y'i

θ z'i

AE -------L

0

0

0

0

0

p x'i

0

12 EI z'--------------3 L

0

0

0

6 EI z' ------------2 L

p y'i

0

0

12 EI ----------------y' 3 L

0

6 EI y' – ------------2 L

0

p z'i

0

0

0

GI --------DL

0

0

m x'i

0

0

6 EI y' – ------------2 L

0

4 EI y' ------------L

0

m y'i

0

6 EI ------------z'2 L

0

0

0

4 EI z' ------------L

m z'i

[ K ]' ii =

Baustatik 1 8-9

8


u x'i

u y'i

u z'i

θ x'i

θ y'i

θ z'i

AE – -------L

0

0

0

0

0

p x'i

0

12E I z' – --------------3 L

0

0

0

6 EI z' – -----------2 L

p y'i

0

0

12E I y' – --------------3 L

0

6 EI y' ------------2 L

0

p z'i

0

0

0

GI D – --------L

0

0

m x'i

0

0

6 EI y' – ------------2 L

0

2 EI -------------y' L

0

m y'i

0

6 EI z' ------------2 L

0

0

0

2E I z' ------------L

[ K ]' ki =

m z'i

Um nun ein dreidimensionales Stabwerk berechnen zu können, muß man als nächsten Schritt die Element-Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Stabelemente, die ja am lokalen Koordinatensystem berechnet wurden, in das globale Koordinatensystem transformieren. Die Transformation in einem dreidimensionalen System von einem lokalen in ein globales System verläuft vom Prinzip her gleich wie eine Transformation in der Ebene. Der einzige Unterschied besteht darin, daß sich die Transformationsmatrix vergrößert und statt einer 2x2 Matrix eine 3x3 Matrix zur Anwendung kommt.

8-10 Baustatik 1

Räumliche Systeme Transformation Lokal - Global

8.5 Transformation

Lokal - Global

Referenzebene i (xi, yi, zi)

v ref

z

v2 v3

L

k

v1 (xk, yk, zk)

y x

v ref ... liegt in der Referenzebene Abb. 8.10 Lokales und globales Koordinatensystem

Die Vektoren v 1 , v 2 und v3 sind Einheitsvektoren und werden wie folgt bestimmt. v ° 1x ° v 1 = ® v 1y ° ° v ¯ 1z

x –x ½ i ° k ° ° 1° ¾ = --- ® y k – y i L° ° ° z –z ° ¯ k i ¿

½ ° ° ¾ , und v 3 = v 1 × v ref ° ° ¿

Der Vektor v 2 ergibt sich aus dem Kreuzprodukt (äußeres Produkt) v2 = v1 × v3 . Wobei v ref ein vom Benutzer vorgegebener Referenzvektor ist, der die Ebene v 1 × v 2 definiert. Bei symmetrischen Querschnitten geht diese Ebene z.B. durch eine Hauptachse. Die Transformationsmatrix lautet dann

v1x v 2x v 3x [ T] = [ T]R =

v1y v 2y v 3y v 1z v 2z v 3z

Baustatik 1 8-11

8

Räumliche Systeme Transformation Lokal - Global

Bei unsymmetrischen Profilen ist eine zusätzliche Transformation durch eine Rotation um die x’-Achse notwendig.

v2

Referenzebene

y’ γ x’

v3

Hauptachsen

z’

Abb. 8.11 Rotation um die x’-Achse

Die Transformationsmatrix für die Rotation lautet:

1 [ T ]γ =

0

0

0 cos γ sin γ

(Glg. 8.1)

0 – sin γ cos γ Die entgültige Transformationsmatrix ergiebt sich dann zu [ T ] = [ T ]R [ T ]γ

(Glg. 8.2)

Die Transformation der Element-Steifigkeitsmatrix von einem lokalen in ein globales System lautet T

[ K ] = [ T ] ⋅ [ K ]' ⋅ [ T ]

8-12 Baustatik 1

Räumliche Systeme Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken

8.6 Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken 8 8

2

11

9

6 4

11

10

9

6 5

12

7

1

7

3

2 5

13 12

10

3 4

1

Abb. 8.12 Räumlicher Rahmen

y Alle Stäbe und Knoten werden numeriert, die Stäbe von 1 bis s und die Knoten von 1 bis n. y Die Element-Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Stäbe werden in ihren lokalen Koordinatensystemen berechnet. [ K ]'

e

y Die Element-Steifigkeitsmatrizen werden vom lokalen in das globale Koordinatensystem transformiert. e

T

e

[ K ] = [ T ] ⋅ [ K ]' ⋅ [ T ] y Bildung der Steifigkeitsmatrix des Gesamtsystems aus den einzelnen Steifigkeitsmatrizen der Stäbe (assemblieren der Steifigkeitsmatrix). [K] y Einbau der Rand- (Auflager-) und Belastungsbedingungen. Diese werden ebenso im lokalen System eingebaut, danach in das globale System transformiert und anschließend assembliert. {R} y Lösen des Gleichungssystems –1

{ u }n = [ K ] ⋅ { P } y Berechnung der Stabkräfte M, N, Q über die Gleichung { S } = [ K ] ⋅ { u }n

Baustatik 1 8-13

8

Räumliche Systeme Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken

S ... Stabkräfte

Schnittkräfte: Die entgültigen lokalen Schnittkräfte werden nach der Kennfaserregel bestimmt.

y’ My’ Qy’ Qz’

Mz’

T N

z’ Hauptachsen

° ° ° ° ° { S } = °® ° ° ° ° ° ° ¯

½ N ° ° Q y' ° ° ° Q z' ° ¾ T ° ° ° M y' ° ° M z' ° ¿

Abb. 8.13 Lokale Schnittkräfte

Für die linken und rechten Schnittufer (Knoten i und k) ergeben sich die Schnittkräfte zu

° ° ° ° ° ° ° { S }i = ® ° ° ° ° ° ° ° ¯

8-14 Baustatik 1

½ ° – px' ° ° p y' ° ° ° pz' ° ¾ – m x' ° ° ° – m y' ° ° – m z' °° ¿

° ° ° ° ° ° ° { S}k = ® ° ° ° ° ° ° ° ¯

½ ° p x' ° ° – p y' ° ° ° – p z' ° ¾ m x' ° ° ° m y' ° ° m z' °° ¿

Räumliche Systeme Allgemeine Biegung

8.7 Allgemeine Biegung 8.7.1

Normalspannung

ez’

y’

M y' = N ⋅ e z'

M y’

M z ' = – N ⋅ e y'

N

e y’

N

Mz’

x’

z’

Abb. 8.14 Stab parallel zu seiner Achse mit der Normalkraft N belastet

Die Normalspannung einer parallel zur Stabachse angreifenden Kraft lautet M' N M y' σ = ---- + -------- z' – -------z- y' A I y' I z' Die Hauptträgheitsmomente des lokalen Koordinatensystems lauten I y' =

³ z' dA 2

und

I z' =

A

³ y' dA 2

A

Voraussetzungen: y’ und z’ sind Hauptträgheitsachsen d.h.: I y'z' =

³ y'z' dA

= 0

A

und y’ und z’ schneiden sich im Schwerpunkt d.h.:

³ y' dA A

= 0

und

³ z' dA

= 0

A

Baustatik 1 8-15

8


8.7.2 Schubspannungen infolge von Querkräften Im Kapitel 8.7.1 wurden bei der Berechnung von Spannungen in Biegestäben nur die Normalspannungen (Längsspannungen) berücksichtigt, die durch Biegemomente und Normalkräfte hervorgerufen werden. Um aber die Festigkeit eines Stabes beurteilen zu können, muß man auch die Verteilung der Schubspannungen kennen. Für die Berechnung von Schubspannungen werden die Querschnitte in dünnwandige Querschnitte und Vollquerschnitte unterteilt. Die dünnwandigen Querschnitte werden weiters in offene und geschlossene Querschnitte eingeteilt. Im Folgenden werden nur offene dünnwandige Querschnitte untersucht. Auf die dünnwandigen geschlossenen Querschnitte1) und die Vollquerschnitte2) wird nur kurz eingegangen.

8.7.3 Schubspannung aus Biegung Die Schubspannungen, die an der freien Oberfläche auf den Längsseiten des Stabes angreifen, sind Null. Nach dem Satz von der Dualität der Schubspannungen ist folglich in der Querschnittfläche überall am Rand die Schubspannungskomponente senkrecht zum Rand Null. y’ s=0

t(s) x’

s Z’

t(s)

Koordinatensystem x, s, n

τnx’ τaußen

τx’n s

τinnen Tx’s

τx’s

Abb. 8.15 Schubspannungsverteilung bei einem dünnwandigen offenen Querschnitt

Um den Mittelwert der Schubspannung τx’s berechnen zu können, müssen einige Annahmen über die Schubspannung getroffen werden.

1) 2)

8-16 Baustatik 1

Zur Behandlung geschlossener Querschnitte s. z.B. Flügge [7] und Neuber [8] Zur Behandlung von Vollquerschnitten s. z.B. E. Pestel/J. Wittenburg [4]


Wie vorher erwähnt, sind die Schubspannungen τx’n am Rand tangential zur Kontur gleich Null, da die Mantelfläche in x-Richtung unbelastet ist. Wegen der Dünnwandigkeit (t <<) kann angenommen werden: τ innen ≈ τ aussen = τ x's = const t --2

Der Schubfluß ist somit

T x's =

³ τx’s dt

= τ x's t ( s )

t --2

Der Mittelwert der Schubspannung wird aus der Kräftegleichgewichtsbeziehung für ein freigeschnittenes Stabelement berechnet. T sx' ( s )

σ x' ( x' )

t(s) ds

T sx' ( s + ds )

σ x' ( x' + dx' )

dx

Abb. 8.16 Freikörperbild für das Stabelement mit allen Kräften in x-Richtung

Mit Hilfe der TAYLORschen Reihenentwicklung wird ∂σ x' ( x' ) ------------------- ⋅ dx' ∂x'

+

…

® ¯

σ x' ( x' + dx' ) = σx' ( x' ) +

Glieder höherer Ordnung

und ∂T sx's ------------- ⋅ ds ∂s

+ …

® ¯

T sx' ( s + ds ) = T sx' ( s ) +

Glieder höherer Ordnung

Aus dem Kräftegleichgewicht ∂σ x' ( x' ) § σ ( x' ) + ------------------ dx'· t ( s ) ds – σ x' ( x' ) t ( s ) ds x' © ¹ ∂x' ∂T sx' ( s ) + § T sx' ( s ) + ------------------- ds· dx – T sx' ( s ) dx = 0 © ¹ ∂s ergibt sich

Baustatik 1 8-17

8


∂T sx' ( s ) ∂ ( τ x's ( s )t ( s ) ) ∂σ x' ( x' ) ∂σx' ( x' ) ------------------- t ( s ) + ------------------- = ------------------- t ( s ) + -------------------------------- = 0 ∂s ∂s ∂x' ∂x' Für die Berechnung des Mittelwertes der Schubspannung infolge einer Querkraft wird zunächst die Schubspannung infolge Qz berechnet, das heißt Qy wird Null gesetzt. Aus der Beziehung M y' σ x' = -------- z' I y' und ∂M y' ----------∂σ ∂x' Q ---------x' = ----------z' = ------z'- z' ∂x' I y' I y' kann der Mittelwert der Schubspannung berechnet werden.

³ z'

½ ¾ ¿

dA

s

t ( s ) ds

0

° ® ° ¯

Q τ x's ( s )t ( s ) = τ x's ( 0 )t ( 0 ) – ------z'I y'

S y' ( s )

Bei „offenen“ Querschnitten läßt man s vom Rand ausgehen. Die Schubspannung τ x's ( 0 ) ist dort Null. Bei offenen Querschnitten ergeben sich die Schubspannungen infolge Qz und Qy zu Q z' S y' ( s ) τ x's ( s ) = – ----------------------I y' t ( s ) Q y' S z' ( s ) τ x's ( s ) = – ----------------------I z' t ( s )

... infolge Qz

... infolge Qy

Bei „geschlossenen“Querschnitten läßt man s von einer beliebigen Stelle ausgehen. Die Schubspannung ist dann τ x's ( 0 ) ≠ 0 . Die Stellen, an denen τ x's ( 0 ) = 0 ist, sind im allgemeinen nicht bekannt. Hohlquerschnitte sind für den Schub also statisch unbestimmt.

8-18 Baustatik 1


Symmetrische Querschnitte: Solche Querschnitte sind statisch bestimmt, da bei ihnen in der Symmetrieachse die Schubspannungen gleich Null sind. Sie können dort gedanklich getrennt werden und wie offene Querschnitte behandelt werden Unsymmetrische Querschnitte: Der Querschnitt wird aufgeschnitten, und am offenen System werden die Verteilung der Schubspannungen sowie die Schubdeformation bestimmt. An der Schnittstelle wird eine statisch unbestimmte Kraft der Größe „1“ angebracht und so bestimmt, daß die Klaffung wieder geschlossen wird (s. 8.8.2).

8.7.4

Schubmittelpunkt

Der Schubmittelpunkt ist jener Punkt der Querschnittsebene, an dem eine Querbelastung am Querschnitt wirken muß, damit keine Torsion hervorgerufen wird, und somit keine Schubspannungen aus Torsion entstehen. Für die Berechnung der Koordinaten des Schubmittelpunktes wird wie zuvor ein Stabquerschnitt betrachtet, an dem zuerst nur Qz angreift und Qy=0 ist. s=0

ds

s

y’

p(s)

τ(s)t(s)ds

M y*

S

yM

y’

... Hauptträgheitsachse

z’

... Hauptträgheitsachse

M

... Schubmittelpunkt

t(s) e Qz’ z*

z’

Abb. 8.17 Unsymmetrischer dünnwandiger offener Querschnitt mit der Querkraft Qz’ belastet

Um nun die Koordinaten ermitteln zu können, muß das resultierende Moment aller im Querschnitt angreifenden Kräfte um den Schubmittelpunkt gleich Null sein. Die Koordinate yM kann daher mit Hilfe des Gleichgewichts berechnet werden.

Baustatik 1 8-19

8

Räumliche Systeme Allgemeine Biegung e

y M Q z' =

³ 0

e

Q p ( s )τ ( s )t ( s ) ds = – ------z'I y'

³ p ( s )Sy' ds 0

Um dieses Integral lösen zu können, wenden wir die Regel der partiellen Integration an.

³ v du

Partielle Integration s

0

= u v – ³ u dv 0

a(s)

S

S

e

e s

³ p ( s ) ds

A(m)

e

= 2 a(s)

³ p ( s ) ds

und

0

= 2 A(m)

0

du 2 a ( s ) = u → ³ p ( s ) ds = u → p ( s ) = -----ds und

³ z' ( s )t ( s ) ds

dv = S y' ( s ) = v → z' ( s )t ( s ) = ------ . ds

Somit wird das Integral zu e

e

³ p ( s )Sy' ( s ) ds

e

= 2 a ( s )S y' ( s ) + ³ 2a ⋅ z′ ( s )b ( s ) ds . 0

0

0

Die Gleichung für die Koordinate des Schubmittelpunktes lautet e

Q y M Q z' = – ------z'I y' Der Ausdruck

³ 0

e

Q e Q p ( s )S y' ds = – ------z'- 2 a ( s )S y' ( s ) + ------z'0 I y' I y'

Q – ------z'- 2 a ( s )S y' ( s ) I y'

0

e 0

ist Null, da die Schubspannungen an den

Enden s=0 und s=e gleich Null sind. Die Koordinate yM des Schubmittelpunktes lautet somit

8-20 Baustatik 1

³ 2a ( s )z' ( s )b ( s ) ds


2 y M = ---I y'

³

a ( s )z' ( s ) dA

A

Die Koordinate zM kann analog aus der Äquivalenzbedingung e

z M Q y' =

³ p ( s )τ ( s )b ( s ) ds 0

berechnet werden. Die Koordinate zM des Schubmittelpunktes lautet dann 2 z M = – ---- ³ a ( s )y' ( s ) dA I z' A

8.7.5

Schubmittelpunktslage einiger Querschnitte M

M S

S

M=S

Abb. 8.18 Schubmittelpunktslage bei Querschnitten aus zwei sich schneidenden Streifen

Für Querschnitte (Profile) aus zwei sich schneidenden Streifen liegt der Schubmittelpunkt M immer im Schnittpunkt der Systemlinien. Kreisquerschnitte:

M=S

M=S

b

Abb. 8.19 Schubmittelpunktslage: Vollkreis, Kreisrohr

Baustatik 1 8-21

8


Dünnwandige Hohlquerschnitte (mit t = const.) als Dreieck und Quadrat: t t

t

M

M

M

t

t t

Abb. 8.20 Graphische Ermittlung der Schubmittelpunktslage von Quadrat und Dreieck mit t=const

Um den Schubmittelpunkt graphisch bestimmen zu können, werden die Wandstärken als Kräfte aufgefaßt. Der Schubmittelpunkt befindet sich dann im Schnittpunkt der Resultierenden der Kräfte. Die hier oben angeführten baupraktisch wichtigsten Querschnitte sind wölbfreie Querschnitte, das heißt die Torsionsmomente werden nur über Schub durch die sogenannte „reine Torsion“ oder „St. Venantsche Torsion“ abgetragen und es tritt keine Verwölbung in diesen Querschnitten auf. Alle anderen baupraktischen Querschnitte sind nicht wölbfrei. Kann die Verwölbung ungehindert auftreten, sprechen wir von „St. Venantschen Torsion“, werden diese Verwölbungen aber be- oder verhindert, von „Wölbkrafttorsion“. Hohlquerschnitte (mit t ≠ const.): t1

t2

M

t1

t2

Abb. 8.21 Graphische Ermittlung der Schubmittelpunktslage von Hohlquerschnitt mit t ≠ const

8-22 Baustatik 1

Räumliche Systeme Torsion

Symmetrische nicht wölbfreie Querschnitte:

M=S

M=S

Abb. 8.22 Schubmittelpunktslage bei symmetrischen, nicht wölbfreien Querschnitten

8.8 Torsion Die Torsionsbeanspruchung MT eines Stabes tritt immer dann auf, wenn die Querbelastung am Stabquerschnitt nicht im Schubmittelpunkt angreift. Das Torsionsmoment verursacht Verdrehungen des Stabes um die Stabachse, Verwölbungen der Querschnitte in Längsrichtung und sowohl Schubspannungen als auch Längsnormalspannungen im Stab. Das Ebenbleiben der Querschnitte, welches in der klassischen Biegelehre vorausgesetzt wird, muß bei einer Torsionsbeanspruchung im allgemeinen aufgegeben werden. Die Verwölbung der Querschnitte in Längsrichtung hängt sehr stark von der Querschnittsform ab. offene Querschnitte verwölben sich stark geschlossene Querschnitte (auch Vollquerschnitte) verwölben sich nur gering wölbfreie Querschnitte bleiben bei Torsion eben Wenn die Verwölbung in allen Querschnitten ungehindert auftreten kann, werden die Torsionsmomente, sowohl bei offenen als auch bei geschlossenen Querschnitten nur über Schub abgetragen. Diese Art der Torsion nennt man “reine Torsion“ oder “St. Venantsche Torsion“. Wenn die Verwölbung der Querschnitte aber be- oder verhindert wird (z.B. durch Auflagerbedingung oder durch Momente, die sich entlang des Stabes ändern), werden zusätzlich zu den Schubspannungen Längsspannungen aktiviert, welche über den Querschnitt integriert keine resultierende Schnittlast ergeben. Diese Art der Torsion wird als “Wölbkrafttorsion“ bezeichnet. Die “St. Venantsche Torsion“ und die “Wölbkrafttorsion“ treten grundsätzlich bei nicht wölbfreien Querschnitten gekoppelt auf. Für die vereinfachte praktische Berechnung kann man vielfach mit folgender Vorgehensweise das Auslangen finden:

Baustatik 1 8-23

8


bei den geschlossenen Querschnitten (Hohlquerschnitte) überwiegt die „St. Venantsche Torsion“ sehr stark → nur “St. Venantsche Torsion“ in Rechnung stellen bei den offenen Querschnitten überwiegt meist die “Wölbkrafttorsion“ → nur “Wölbkrafttorsion“ in Rechnung stellen

8.8.1 Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt Die hier behandelten Querschnitte sind wölbfreie Querschnitte, welche stets über reine Torsion abtragen. L

MT γ(r) ϕ

r

MT

Abb. 8.23 Verformung eines Torsionsstabes mit Kreisringquerschnitt

Zwischen der Scherung γ(r) und der Verdrehung ϕ besteht der Zusammenhang γ(r) L = ϕ r Die Schubverzerrung ist also ϕr γ( r ) = ------- . L Aufgrund der Beziehung τ( r ) = G γ( r ) ergibt sich die Schubspannung zu ϕr τ ( r ) = G ------- . L Aus der Bedingung, daß das Torsionsmoment gleich dem Moment der inneren Kräfte sein muß, folgt

8-24 Baustatik 1


M T – ³ r τ ( r ) dA = 0 , A

woraus sich ϕ M T = G ----L

³r

2

dA

A

ergibt. Das Intergral in dieser Gleichung wird als polares Trägheitsmoment bezeichnet: IP =

³r

2

dA

A

Für einen Kreisringquerschnitt mit dem Außenradius ra und dem Innenradius ri beträgt seine Größe π 4 4 I P = --- ( ra – r i ) 2

,

für einen Kreisquerschnitt 4 --- r IP = π 2

,

somit lautet die Gleichung für die Verdrehung: MT L ϕ = -------------G IP

GIP ... Torsionssteifigkeit

Das Verhältnis MT ϕ --- = ---------L G IP heißt Drillung des Stabes. Die Schubspannung als Funktion des Radius ergibt M τ ( r ) = -------T- r IP

.

Die maximale Schubspannung tritt am Außenradius auf und lautet

Baustatik 1 8-25

8


M τ max = -------T- r a IP

.

8.8.2 Torsion dünnwandiger Hohlquerschnitte (Bredt’sche Formeln) Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Momente MT=MTD und aus der Bedingung t(s)

s = 0 (L)

T = τ ( s ) ⋅ t ( s ) = const.

D p

folgt ds

MT

T ds

MT =

³° p ( s ) T ds = T ³° p ( s ) ds MT = 2 T Am

Abb. 8.24 Dünnwandiger Hohlquerschnitt

MT MT - → τ = --------------T = ----------2 Am t 2 Am

1. Bredtsche Formel

Die zweite Bredtsche Formel wird mit Hilfe von Formänderungsbedingungen berechnet. Ein dünnwandiger Hohlquerschnitt, wie Abb. 8.25 zeigt, wird mit einem Torsionsmoment belastet. Schneidet man nun den Querschnitt gedanklich auf, so entsteht eine Klaffung (Verwölbungssprung) an der Schnittstelle. Es muß also eine Schubkraft T am Schnitt angebracht werden, die diese Klaffung wieder schließt (siehe Abb. 8.26). dx

t

MT

Abb. 8.25 Dünnwandiger Hohlquerschnitt mit einem Torsionsmoment belastet

8-26 Baustatik 1


∆u T

T

t

Abb. 8.26 Verwölbung eines offenen dünnwandigen Querschnittes infolge einer Torsionsbeanspruchung

Die Klaffung (Verwölbungssprung) infolge des Torsionsmomentes ist ∆u = – ϕ'

³° p ( s )ds + u0

(siehe 8.8.5)

Die Integrationskonstante u0 kann beliebig gewählt werden, da sie nur eine starre Verschiebung (Translation) des Querschnittes in u-Richtung bedeutet. Für die weitere Berechnung ist die Integrationskonstante daher nicht von Bedeutung. Mit

³° p ( s )ds = 2 Am wird ∆u = – 2 A m ϕ'

ϕ’ ... Drillung des Stabes

Die Schubkraft T wird am Schnitt angebracht, damit die Klaffung ∆u ges = 0 wird. Die Schubspannung infolge der Schubkraft T ist T τ = --- , t der Scherwinkel infolge der Schubkraft T daher T γ = -------- , tG und die Klaffung infolge der Schubkraft T lautet somit ∆u T =

1

³° γ ds = ---G- ³° τ ds

T= --G

ds .

³° ----t-

Die endgültige Klaffung (Verwölbungssprung) ist Null:

Baustatik 1 8-27

8


∆u ges = ∆u + ∆u T = 0 Aus dieser Gleichung folgt T– 2 A m ϕ' + --G

ds = 0 .

³° ----t-

Damit nimmt die Gleichung folgende Form an ds

T ϕ' = -----------------2 G Am

³° ----t-

2. Bredtsche Formel

T ... Schubkraft, die zur Schließung der Klaffung erforderlich ist.

Mit der 1. Bredtschen Formel erhält man MT ϕ' = ----------------2 4 G Am

1

°³ ---t- ds

Zur Abkürzung wird das sogenannte Torsionsflächenmoment 2

4 Am I T = --------------1 ³° --t- ds eingeführt. Damit ist MT ϕ' = ----------G IT

.

Das Torsionsträgheitsmoment IT ist nur für Verformungsberechnungen erforderlich.

8-28 Baustatik 1


Beispiel 8.1: a t1

Am = a ⋅ b

b

2

t2

t2

2

4a b I T = -------------------------b a + 2 --2 --t2 t1

t1

Abb. 8.27 Einzelliger dünnwandiger Hohlquerschnitt

8.8.3

Torsion mehrzelliger dünnwandiger Hohlquerschnitte

Auch hier gilt, daß der Schubfluß an jeder Stelle einer betrachteten Wand konstant ist, nicht aber für verschiedene Wände. Die Gleichgewichtsbetrachtung reicht nicht mehr aus, um die Schubflüsse der einzelnen Wände bestimmen zu können. Mehrzellige Hohlquerschnitte sind daher hinsichtlich ihrer Schubspannungen innerlich statisch unbestimmt. Die noch zusätzlich benötigten Bestimmungsgleichungen erhält man aus den Formänderungsbedingungen, daß jede Zelle die gleiche Verwindung ϕ’ wie der Gesamtquerschnitt erfährt. Mit der 2. Bredtschen Formel

³° τ ( s ) ds = 2G A m ϕ' für die Verwindung ϕ’ des Gesamtquerschnittes (Verträglichkeitsbedingung), der Bedingung für den Schubfluß T = τ ( s ) t ( s ) = const und der Gleichgewichtsbedingung MT =

¦ M Ti = 2 ¦ ti Am

können die Schubflüsse eines mehrzelligen Querschnittes berechnet werden. Die Vorgehensweise bei der Berechnung der Schubflüsse wird nun anhand eines zweizelligen Hohlquerschnittes gezeigt.

Baustatik 1 8-29

8


Beispiel 8.2: Zweizelliger Querschnitt A

Zelle 2

Zelle 1

B

Abb. 8.28 Zweizelliger dünnwandiger Querschnitt

Formulierung der Bestimmungsgleichungen: (1)

T3 = T 2 – T 1 Aus der Momentengleichgewichtsbedingung ergibt sich die Gleichung

(2)

M T = 2 A m1 T 1 + 2 A m2 T 2

Aus der Bedingung, daß die Verwindung der einzelnen Zelle gleich der des gesamten Querschnittes ist (Verträglichkeitsbedingung), ergeben sich die Gleichungen 1 - §T ϕ' = ------------------¨ 1 2 G A m1 © 1 -§ ϕ' = ------------------¨ T2 2 G A m2 ©

B

³ A

A

1 --- ds + ( T 1 – T 2 ) t

A

³ B

³ B B

1 --- ds + ( T 2 – T 1 ) t

³ A

· 1 --- ds¸ t ¹

(3)

· 1 --- ds¸ t ¹

(4)

Mit diesen 4 Gleichungen können T1, T2, T3 und ϕ’ berechnet werden. T2

T1

T1

T3 Am1

T1

T1

T2

T2

Am2

T2

Abb. 8.29 Mittlere eingeschlossene Querschnittsflächen

8-30 Baustatik 1


8.8.4

St. Venantsche Torsion von Stäben mit beliebigen konstanten Querschnitten

Es genügt aber nicht, die Torsionsproblematik nur bei Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten und bei dünnwandigen Hohlquerschnitten zu untersuchen, da im Bauwesen auch andere Querschnittsformen, wie aus Abb. 8.30 ersichtlich ist, vorkommen. In diesem Abschnitt werden die Berechnungen der Schubspannungsverteilung und der Torsionssteifigkeit für gerade Stäbe mit längs der Stabachse konstanten Vollquerschnitten mit Hilfe der Prandtlschen Membrananalogie erklärt. Die Beschränkung auf Vollquerschnitte schließt einzellige und mehrzellige Hohlquerschnitte aus.

Abb. 8.30 Verschiedene baupraktische Querschnitte

Um sich die Spannungsverteilung besser vorstellen zu können verwendet man die Membrananalogie von . Das Prandtl’sche Membrangleichnis besagt: Wenn man in den ebenen Deckel eines Behälters ein Loch in der Form eines Stabquerschnittes schneidet und über das Loch eine Membran, am besten eignet sich eine Seifenhaut von der Art, die man beim Seifenblasen verwendet, spannt und im Behälter einen leichten Überdruck erzeugt, wölbt sich die Membran nach außen. Die dabei entstehende Fläche hat dieselbe Form, wie der Verlauf der Spannungsfunktion ψ des gleichen Stabquerschnittes.

Abb. 8.31 Spannungshügel über einem Stabquerschnitt

Diese Analogie dient nicht nur zur leichteren Vorstellung der Spannungsverläufe, sondern sie hat auch für die Lösung des Torsionsproblemes eine große Bedeutung.

Baustatik 1 8-31

8


Sie bildet die Grundlage für eine experimentelle Ermittlung, welche Zahlenwerte für die Schubspannungen und die Torsionssteifigkeit liefert. Gegenüberstellung Membran - Torsion DGL für die Durchbiegung einer Membran infolge eines leichten Überdruckes p 2 2 p ∂--------w --------∂ w – -----+ = 2 2 S ∂z ∂y

DGL für die Spannungsfunktion eines Querschnittes infolge eines Torsionsmomentes MT 2

2

∂ ψ ∂ ψ --------- + --------- = – 2 G ϕ' 2 2 ∂z ∂y

Durchbiegung w

Spannungsfunktion ψ

p Belastung --S

2 G ϕ'

Neigung

Schubspannungen

∂w ------- , ∂w ------∂z ∂y

∂ψ ∂ψ τ yx = ------- , τ zx = ------∂z ∂y

Volumen (Verformte Membran)

Torsionsmoment

V =

³ ³ w dz dy

MT = 2

³ ³ ψ dz dy

S ... Haltekräfte der Membran in tangentialer Richtung

Prandtl’sche Membrananalogie zum Torsionsproblem Aus der Gegenüberstellung der Differentialgleichungen kann man erkennen, daß sich die Spannungen aus Torsion aus der Ableitung der Spannungsfunktion ψ in Richtung normal zur Schubspannung ergeben. Aus Abb. 8.32 ist ersichtlich, daß sich die größten Neigungen am Rand befinden, da dort die Steigung der Membran am größten ist und sich damit auch die größten Schubspannungen am Rand einstellen.

8-32 Baustatik 1


x (w)

x

Membran

MT

τxy τ zx z ∂ψ ------∂z

p

y ∂ψ ------∂y

z

τxy

τzx=0

τzx

y

p ... Überdruck Stabquerschnitt

Behälter

Abb. 8.32 Membrananalogie.

Abb. 8.33 Verformung der Membran aus FE-Berechnung

Bei der Verwendung der Membrananalogie müssen die Randbedingungen für beide Probleme äquivalent sein. Für die Schubkraft aus Torsion gilt das gewisse Schubspannungen am Rande des Querschnitts zu null werden müssen (siehe Abb. 8.32). Dies ergibt sich aus der Dualität der Schubspannunge und der Bedingung, daß an der Oberfläche keine Schubspannungen auftreten können. ∂w Die Abb. 8.34 zeigt, daß diese Bedingung einer Sperrung der Verdrehung ------∂y ∂w und ------- entspricht. D.h. für das äquivalente Membranproblem ist nur die relative ∂z Verschiebung w von Bedeutung. Zur Lösung des Problems muß daher der Querschnitt entlang des Umfangs an allen vier Seiten gehalten werden. Bei dünnwandigen Profilen (siehe Abb. 8.35) muß darauf geachtet daß, damit eine relativ Verschiebung entstehen kann, der Querschnitt nur entlang eines Umfanges an den Kanten gehalten wird (siehe Abb. 8.37).

Baustatik 1 8-33

8


Membran

Spannungsfunktion ∂w ------- = 0 ∂y

τ

zx

∂ψ = ------- = 0 ∂y

∂w ------- = 0 ∂z

∂w ------- = 0 ∂z

y

τ

∂w ------- = 0 ∂y

w = const. = 0

y

yx

∂ψ = ------- = 0 ∂z

∂ψ τ = ------- = 0 ∂z yx τ

zx

∂ψ = ------- = 0 ∂y

Abb. 8.34 Randbedingungen.

Beispiel 8.3: Verformung der Membran (Seifenhaut) eines Hohlquerschnittes unter Druckbeanspruchung. t

Abb. 8.35 Dünnwandiger Hohlquerschnitt.

Membran

Spannungsfunktion

∂w ------- = 0 ∂y

τ

Membran τ

t

∂ψ = ------- = 0 ∂y

∂ψ = ------- = 0 ∂z yx

y

x

zx

y

x

∂w ------- = 0 ∂z ∂w ------- = 0 ∂z

z

∂w ------- = 0 ∂y

z

τ

zx

∂ψ = ------- = 0 ∂y

Abb. 8.36 Randbedingungen: Membran und Spannungsfunktion.

8-34 Baustatik 1


Membran

Membran fixierte Kante

x

p

y

z

t

Abb. 8.37 Verformung der Membran und Schubspannungsverlauf.

Abb. 8.38 Verformung der Membran mittels FE-Berechnung

Für einen schmalen (dünnwandigen) Rechtecksquerschnitt (siehe Abb. 8.39) werden nun mit Hilfe der Membrananalogie die maximale Schubspannung und das Torsionsträgheitsmoment abgeleitet. Aufgrund der Tatsache, daß b>>t kann das Problem als 2-D Problem betrachtet werden, bei dem man annimmt, daß sich alle Querschnitte gleich verformen. Dabei werden Einflüsse am Ende des Rechteckquerschnittes vernachlässigt. Aus der Differentialgleichung der Membran ist ersichtlich, daß eine parbolische Form der Membran angenommen werden kann. x’

Schubspannungsverteilung MT

t

b

Die max. Schubspannung befindet sich am Rand, da dort die Neigung der Membran z’

y’

τmax

Annahme b >> t

z’

τmax y’

Abb. 8.39 Torsionsstab

Baustatik 1 8-35

8


x’

Membran t

b

Behälter z’

y’

p

Annahme b >> t

Abb. 8.40 Membrananalogie

Für einen typischen Querschnitt erhält man: w

w

p

wm

Parabel α

p

S

y

α

t

S

Abb. 8.41 Verformung der Membran infolge einer Belastung p 2

4 wm y w = w m – ------------------2 t

≡

ψ

Die Schubspannung ergibt sich aus der Beziehung dψ τ = ------dy

≡

8 wm y dw ------- = ------------------2 dy t

Die max. Schubspannung befindet sich an der Stelle y = t/2. τ max

≡

4 wm § dw ------------------· © dy ¹ y = --t- = t 2

Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Membran ergibt sich

¦V = 0

8-36 Baustatik 1

p t b – 2 b S sin α = 0 .


4 wm Daraus folgt mit sin α ≈ α = -----------2 t 2

p 8 wm --- = -----------2 S t

p t w m = --- ⋅ --S 8

→

Aus der Membrananalogie folgt weiters 2 t wm b V Membran = --------------------3

1 --- M T 2

≡

Aus dieser Gleichung erhält man die Verformung wm der Membran 4 t wm b M T = --------------------3

→

3 MT w m = ------------4tb

Mit der Gleichung aus der Membrananalogie p --S

≡

2 G ϕ'

ergibt sich das Torsionsmoment zu 3

t b G ϕ' M T = ---------------------- = GI T ϕ' 3 und für die Verdrillung erhält man MT ϕ' = --------GI T Im Falle des schmalen Rechtecks lautet die Formel für das Torsionsträgheitsmoment 3

t b I T = --------3 Die max. Schubspannung des Querschnittes lautet dann 4 ⋅ 3 MT 4 wm 3 MT - = M -------T- t . τ max = ------------ = -------------------- = -----------2 t 4tbt IT bt

Baustatik 1 8-37

8


M τ max = -------T- t IT Torsionsträgheitsmomente dünnwandiger offene Querschnitte

t

3

bt I T = --------3

b

MT t τ = ----------IT

i=3

i=2

--IT = 1 3

n

3

¦i = 1 b i t i

i=1

w

d

(d - t)

t

t

3 3 --- ( 2 b t + ( d – t ) w ) IT = 1 3

b

8.8.5 Wölbkrafttorsion Bei einem Stab, der in seiner Verwölbung nicht behindert wird, nimmt sein ursprünglich ebener Stabquerschnitt bei Torsionsbeanspruchung i. allg. eine verwölbte Form an. Werden die axialen Verschiebungen, welche die Ursache für die Verwölbung sind, be- oder verhindert, werden Längsspannungen aktiviert, und die zugehörige Torsionswirkung wird als Wölbkrafttorsion bezeichnet.

8-38 Baustatik 1


Die Be- oder Verhinderung der Verwölbung wird entweder durch Auflagerbedingungen oder durch eine Veränderung des Momentes entlang des Stabes verursacht. Zusätzlich zu den St. Venantschen Schubspannungen gibt es dann Normalspannungen σw und Schubspannungen τw aus der Wölbbehinderung heraus (sekundäre Schubspannungen). Die Ableitung der Spannungen und des Torsionsmomentes werden im folgenden nur für dünnwandige offene Querschnitte entwickelt. Damit man die Ableitung der Spannungen durchführen kann, muß die Verwölbung u bekannt sein. Diese Verwölbungsfunktion ergibt sich aus einigen geometrischen Überlegungen heraus. In Abb. 8.42 a wird ein offener dünnwandiger Querschnitt mit einem Torsionsmoment beansprucht. Wie aus Abb. 8.42 b und Abb. 8.46 ersichtlich, verursacht die Beanspruchung sowohl eine tangentiale Verschiebung des Punktes S als auch eine Verschiebung des Punktes S in axialer Richtung um du. Da die St. Venant’schen Schubspannungen in der Mittelfläche von dünnwandigen Querschnitten verschwinden, ist die Annahme einer unverzerrten Mittelflache gerechtfertigt. MT

β x

a ⋅ dϕ ⋅ sin β s=0

S

0 z

y

S

S’’

β

0

a S’

ρ0(s)

dϕ

e

M z

Centerline of section Wandmittellinie

schubstarre Wandmittellinie

e

y

S S' = a dϕ S S'' = a dϕ sin β a sin β =

MT a)

ρ0 ( s )

b)

Abb. 8.42 Verformung eines torsionsbeanspruchten Querschnittes im Grundriß

Baustatik 1 8-39

8


ds a dϕ sin β

0

S ds x

du

dx

S du

S’’ e

y

S’’

z

a dϕ sin β ⁄ dx

dx

Abb. 8.43 Darstellung der Verschiebung und Verdrehung eines Elementes eines torsionsbeanspruchten Querschnittes

Die Funktion der Verwölbung im Punkt S kann damit aus der Gleichung dϕ dϕ du = – a ------ sin β ds = – ρ 0 ( s ) ------ ds dx dx berechnet werden. Wenn wir die Gleichung integrieren, erhalten wir die Verwölbung mit der Integrationskonstanten u0. s

u = u0 – ϕ' ³ ρ 0 ( s ) ds . 0

Wird mit s

ω0 ( s ) =

³ ρ0 ( s ) ds 0

die Einheitsverwölbung ω 0 ( s ) eingeführt, so folgt u = u 0 – ω 0 ( s )ϕ' . Die Einheitsverwölbung ω 0 ( s ) ist auf den Schubmittelpunkt M bezogen. Die Änderung der Verwölbung zwischen zwei Punkten ist daher proportional zur Fläche die aus den zwei Geraden vom Schubmittelpunkt aus zu den beiden auf dem Querschnitt liegenden Punkten (siehe Abb. 8.44)gebildet wird.

8-40 Baustatik 1


P2 P1

ρ0(s) Fläche

M z

y

Abb. 8.44 Centerline of section

Der Wert u0 hängt von der Lage des Nullpunktes des Koordinatensystems ab.

M

Abb. 8.45 Verwölbung eines dünwandigen Querschnittes (aus FE-Berechnung)

Die Längsspannungen, über den Querschnitt integriert, ergeben keine resultierende Schnittlast, da keine äußeren Kräfte als Ursache vorhanden sind. Daher muß gelten:

Baustatik 1 8-41

8


N

w

=

³σ

w

dA = 0

A

Mz

w

=

³ y ( s )σ

w

dA = 0

A

My

w

=

³

w

z ( s )σ dA = 0

A

Wenn die Verwölbung behindert ist, entsteht eine Normalspannung: σ

w

= Eε

w

w

Die Längsdehnung der Wandmittelfläche ε ist ∂ ∂u ( x, s ) w ε ( x, s ) = ------------------- = ------ ( u 0 – ω 0 ( s )ϕ' ) = – ω 0 ( s )ϕ'' . ∂x ∂x Für die Normalspannung erhält man den Ausdruck σ

w

= – E ϕ'' ω 0 ( s )

Ändert sich die Spannung σw, erhält man eine zusätzliche Schubspannung. Ihre Größe ergibt sich aus der Gleichgewichtsbedingung der Stabkräfte in x-Richtung eines Stabelementes. τ(0 ) = 0 σ

w

0

t

w τ t dx

§ w ∂σ w · ¨ σ + ----------- dx¸ t ∂x © ¹

t s

e

Abb. 8.46 Darstellung der Verschiebung und Verdrehung eines Elementes eines torsionsbeanspruchten Querschnittes

8-42 Baustatik 1


s

s

w § w · w ---------- dx¸ ds – ³ t ( s ) σ ds = 0 τ t ( s ) dx + ³ t ( s ) ¨ σ + ∂σ ∂σ x ¹ © 0 0 w

Aus dieser Gleichung erhält man den Ausdruck s w

w ---------- ds τ t ( s ) = – ³ t ( s ) ∂σ ∂x 0

Die Schubspannung nimmt somit die Form an

τ

w

w

S= E ϕ''' ----t

In dieser Formel ist Sw durch die Gleichung s

Sw =

³ ω0 ( s ) t ( s ) ds 0

definiert. ( Sw heißt statisches Wölbmoment des Stabes ) w

Das Torsionsmoment M kann aus der Gleichung s

M

W

=

³ ρ0 ( s )t ( s )τ

w

ds

0

berechnet werden. Auf das Integral wird nun die Regel der partiellen Integration angewendet. s

M

W

s

s

------ ds = uv e0 – ³ v ∂u ------ ds = ³ ρ 0 ( s )t ( s )τ ds = ³ u ∂v ∂s ∂s 0 0 0 w

mit w

u = τ t ( s ),

∂v ------ = ρ 0 ( s ) . ∂s

e

Der Ausdruck uv ist Null, weil an allen Stegenden s = 0 und s = e die Schub0 spannung verschwindet. Mit den Gleichungen

Baustatik 1 8-43

8


s

τ t(s ) = – ³ w

0

s

w

∂σ t ( s ) ---------- ds ∂x

und

ω0 ( s ) =

³ ρ0 ( s ) ds 0

wird der zweite Ausdruck zu w ∂u ∂σ - ds ------ = – --------∂s ∂x

und

v = ω0 ( s ) .

Damit ergibt sich für das Tosionsmoment aus Wölbkrafttorsion

M

w

w

=

∂σ - dA = E ϕ''' ω 2 ( s ) dA = E ϕ''' C M ³ ω0 ( s ) --------³ 0 ∂x A A

Die Konstante CM in der Formel wird Wölbwiderstand (z.B. aus Profiltabellen) genannt und ist durch die Gleichung CM =

³ ω 0 ( s ) dA 2

A

definiert.

8.8.6 Spannungen aus Biegung + Torsion dünnwandiger Querschnitte Die Normalspannung aus Biegung und Torsion dünnwandiger Querschnitte lautet M' N M y' σ = ---- + -------- z' + – -------z- y' – E ω 0 ( s ) ϕ'' A I y' I z' Die Schubspannung wird zu Qz' S y' ( s ) Q y' S z' ( s ) ES w ϕ''' τ = – ----------------------- – ----------------------- + G ϕ' t + ---------------I y' t ( s ) I z' t ( s ) t E ω 0 ( s ) ϕ'' … E S w ϕ'' ------------------- … t Gϕ' t … CM

8-44 Baustatik 1

…

Wölbkraftanteil Wölbkraftanteil St. Venantscher Anteil Wölbwiderstand (Profiltabellen)


…

IT

8.8.7

Torsionsträgheitsmoment

Querkraftanalogie

Allgemeine Differentialgleichung der Torsion M T = E C M ϕ''' – G I T ϕ' mT M

∂M T- dx M + ----------T ∂x

T dx

Abb. 8.47 Gleichgewicht am Element

Aus dem Gleichgewicht am Element erhält man ∂M T m T = ----------∂x m T = E C M ϕ"" – G I T ϕ'' E C M ϕ"" …

Wölbkraftanteil

G I T ϕ''

…

St. Venantscher Anteil

…

Wölbwiderstand (Profiltabellen)

…

Torsionsträgheitsmoment

CM IT

Je nach Profiltyp wirken sich die beiden Anteile verschieden stark aus, sodaß bei dünnwandigen Querschnitten in guter Näherung nur jeweils ein Anteil zu berücksichtigen ist. bei offenen Profilen:

Wölbkraftanteil

bei geschlossenen Profilen: St. Venantscher Anteil Analogie der Differentialgleichung mit der des gezogenen Stabes: p

P

P w

EI

Diffgl. des gezogenen Biegestabes nach Theorie II. Ordnung: p = E I w""

–

P w''

Baustatik 1 8-45

8


E I w""

…

Anteil der Balkenbiegung Analogie zur Wölbkrafttorsion

…

P w''

Anteil der Normalkraftwirkung (Seilkraftsanteil) Analogie zur St. Venantschen Torsion

Analogie: St. Venantsche Torsion

↔

gezogener Biegestab

m T = – G I T ϕ''

Belastung

p = – P w''

M T = – G I T ϕ'

Schnittkraft

Q = – P w'

³ MT dx = – G IT ϕ

Verformung

M = –Pw

Bei statisch bestimmter Lagerung ist die Anwendung der Querkraftsanalogie möglich. Bei statisch unbestimmter Lagerung ist sie nur unter bestimmten Voraussetzungen anwendbar: wenn entweder das Torsionsträgheitsmoment IT über die ganze Trägerlänge konstant ist, oder Symmetrie für das Torsionsträgheitsmoment IT und die Belastung vorliegt. Bei all diesen statisch bestimmten, oder quasi statisch bestimmten Torsionsträgern ist die Analogiebetrachtung von Vorteil. Die Analogiebetrachtung gilt auch für die Bestimmung der Einflußlinien. Bei statisch unbestimmten Torsionsträgern wird die Torsionsmomentenverteilung wie bei der Kraftgrößenmethode mit der Elastizitätsgleichung berechnet. Für einfach statisch unbestimmt gelagerte Torsionsträger lautet die Elastizitätsgleichung δ = δ 10 + δ 11 X1 = 0 δ 10

…

Verformung infolge des Torsionsmomentes am statisch bestimmten oder quasi statisch bestimmten Torsionsträger

δ 11

…

Verformungen infolge des Torsionsmomentes X1 = 1.

Die Torsionsmomentenverteilung erhält man aus der Gleichung M T = M T0 + X 1 M T1 M T0 …

8-46 Baustatik 1

Momentenverteilung infolge des Torsionsmomentes MTB


am stat. best. Grundsystem. M T1 …

Momentenverteilung infolge des Torsionsmomentes X1 = 1 am stat. best. Grundsystem.

Beispiel 8.4: Torsionsträger IT = const. → “

“ Torsionsträger

mT

MTB

L

m

T

L/2

≡p

L/2

M

m L T – ------------2

TB

≡P

M TB– -----------2 M

T

≡Q M TB-----------2

m L T ------------2 ϕ 2

m L T ---------------8GI T

M≡ ----------GI

T L M TB ---------------4GI T

Diese Spitze kann sich in Wirklichkeit nicht ausbilden. Sie ergibt sich aus der Vernachlässigung der Wölbkrafttorsion. (Analogie des Seiles ohne “EI“)

Abb. 8.48 Quasi statisch bestimmter Torsionsträger

Baustatik 1 8-47

8


Beispiel 8.5: Statisch unbestimmter Einfeldträger

A

MTB = 400 kNm 10 m

ITC / IT

20 m

1,50

An der Stelle B wird die Gabellagerung gelöst. Die statisch Überzählige ist das Torsionsmoment am Auflager B. Das Torsionsmoment wird gedanklich so lange vergrößert, bis die Verdrehung jB am Auflager Null wird.

B

10 m

1,0

1,50

GI T ϕ B =

³ MT0 MT1 ds = 0


- 400 kNm MTB

MT0

Momentenverteilung infolge MTB

MT1

Momentenverteilung infolge MT1 = 1

M1 = 1

Abb. 8.49 Statisch unbestimmter Einfeldträger

GI TC ϕ 10 X 1 = – --------------------GI TC ϕ 11 GI TC ϕ 11 =

¦i ³

GI TC ϕ 10 =

2 I TC - ds = 1, 50 ⋅ ( 10 + 10 ) + 1, 0 ⋅ 20 = 50 M T1 -----I Ti

¦i ³

I TC - ds = – 400 ⋅ 1, 5 ⋅ 10 = – 6000 M T1 M T0 -----I Ti

– 6000 X 1 = – ----------------- = 120 kNm 500 Die Torsionsmomentenverteilung ergibt sich aus der Gleichung M T = M T0 + X 1 M T1

8-48 Baustatik 1

Räumliche Systeme Räumliche Tragwerke

- 280 kNm MT 120 kNm

Abb. 8.50 Endgültige Momentenverteilung

8.9 Räumliche Tragwerke 8.9.1

Statisch bestimmte Systeme

Bei einem statisch bestimmten räumlichen Tragwerk lassen sich die Auflagerkräfte und die Schnittkräfte mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. In der Ebene stehen 3 und im Raum 6 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. z

Gleichgewichtsbedingungen Mz Pz

y

Py

My

Px Mx

¦ Px = 0 ¦ ¦ Py = 0 ¦ ¦ Pz = 0 ¦

Mx = 0 My = 0 Mz = 0

x

Zur statisch bestimmten Stützung eines starren Körpers werden 6 Stützstäbe benötigt.

Abb. 8.51 Statisch bestimmte Stützung

Räumliche Tragwerke, die auf vier Punkten gelagert werden, sind statisch unbestimmt.

Baustatik 1 8-49

8


Abb. 8.52 Statisch unbestimmte Stützung

Auflagersymbole Anstelle der in Abb. 8.51 und Abb. 8.52 verwendeten Stützstäbe werden oft auch Auflagersymbole verwendet, die die Art der Stützung kennzeichnen. Man unterscheidet das bewegliche und das feste Auflager, die Einspannung und die Gabellagerung. Tab. 8.1 enthält die üblichen Auflagersymbole.

Lager

Mx’

My’

Mz’

Fx’

Fy’

Fz’

nein

nein

ja

nein

nein

nein

ja

ja

ja

nein

nein

nein

ja

ja

ja

ja

ja

ja

ja

ja

ja

ja

nein

nein

(Torsion)

(Biegung (Biegung ) )

x’ y’ z’ x’ y’ z’ x’ y’ z’

x’ y’ z’

Tab. 8.1 Auflagersymbole

x’ y’ z’

8-50 Baustatik 1

... lokales (stabbezogenes) Koordinatensystem


8.9.2

Fachwerk Zur Abstützung eines Knotens im Raum werden 3 Stäbe, die nicht in einer Ebene liegen dürfen, benötigt.

Pro Knoten sind 3 Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen. Knotenschnitt → 3 Gleichungen

¦ Fx = 0 , ¦ Fy = 0

und

¦ Fz = 0

Abb. 8.53 Abstützung eines Knotens

k L

v1 Lz

L’

i

L ⁄L ½ ° x ° ° ° v 1 = ® Ly ⁄ L ¾ ° ° ° L ⁄L ° ¯ z ¿

Sn

Ly Lx

z y

S ½ L ⁄L ° x ° ° x ° ° ° ® Sy ¾ = Sn ® Ly ⁄ L ° ° ° ° S ° ° L ⁄L x ¯ Z ¿ ¯ z n

½ ° ° ¾ ° ° ¿

Abb. 8.54 Komponenten einer Kraft S1

Aus den Gleichgewichtsbedingungen S2

¦ Fx = 0 , ¦ Fy = 0

und

¦ Fz = 0

erhält man S1, S2 und S3. S3

Abb. 8.55 Knotenschnit

Bei statisch unbestimmten räumlichen Fachwerken ist die Berechnungsgrundlage dieselbe wie für ebene Fachwerke. Die Schnittkräfte und Auflagerkräfte lassen sich nicht mehr mit den Gleichgewichtsbedingungen alleine bestimmen; es müssen zusätzlich so viele Elastizitätsgleichungen zu Hilfe genommen werden, wie statisch Unbekannte vorhanden sind.

Baustatik 1 8-51

8


8.9.3 Räumliche Rahmen Bei räumlichen Stabwerken sind die Stäbe in der Lage, Biegemomente, Querkräfte und Normalkräfte aufzunehmen. Für räumliche Stabwerke gelten ebenso die im Kapitel besprochenen Grundprinzipien. Für die Schnittgrößen gilt, daß sie dann positiv sind, wenn ihre Vektorkomponenten am positiven Schnittufer in Richtung der positiven, lokalen Basis weisen. M Mzizi Mxi

Myi

positives Schnittufer

negatives Schnittufer

Qzi

Nxi

Qyi i

x

y

k

z

Nxk

Qyk

Mxk

Qzk Myk Mzk

Abb. 8.56 Definition der positiven Schnittkräfte am positiven und am negativen Schnittufer

8.9.4 Statisch bestimmte Rahmen Bei einem statisch bestimmten Rahmen lassen sich sämtliche Auflager- und Schnittkräfte mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen (in der Ebenen 3, im Raum 6) bestimmen. Beispiel 8.6: Kragarm

q z

x y

8-52 Baustatik 1

L

L/2


2 qL – ---------2

M

T 2 qL – ---------8

2 qL – ---------8 Kennfaser

Abb. 8.57 Biegemomentenverteilung und Torsionsmomentenverteilung

8.9.5

Statisch unbestimmte Rahmen (Kraftgrößenmethode)

Die Auflagerkräfte und Schnittgrößen sind nicht mehr durch die Gleichgewichtsbedingungen allein bestimmbar. Für ihre Berechnung werden so viele Elastizitätsgleichungen benötigt wie statisch unbestimmte Größen vorhanden sind. Für die Berechnung räumlicher unbestimmter Rahmen gelten ebenso die im Kapitel Kraftgrößenmethode besprochenen Grundlagen. Die Formänderungsarbeit infolge eines Biegemomentes, der Normalkraft und der Querkraft wurde bereits abgeleitet. Bei räumlichen Systemen kommt noch die Formänderungsarbeit aus Torsion hinzu. Formänderungsarbeit aus Torsion: dx

MT

ϑ dx = dϕ

γ(r)

------ … Verdrillung ϑ = dϕ dx γ dx = r ϑ dx = r dϕ

r dϕ MT

Abb. 8.58 Verformung eines Torsionsstabes

Verschiebung: du ( r ) = ϑ dx r Spannung: M τ ( r ) = -------T- r IP

Baustatik 1 8-53

8


Formänderungsarbeit: dW = ³ τ ( r ) du( r ) dA = A

M

M

Tr ϑ dx r dA = -------T- ϑ ³ r ³ ------IP IP

2

dA dx = M T ϑ dx

A

Mit der Gleichung für die Verdrillung MT ϑ = --------GIT ergibt sich die Formänderungsarbeit aus Torsion zu MT MT - dx dW = ---------------GI T Beispiel 8.7: Balkon Geg: q, a, b, I und IT

Ges: Biege- und Torsionsmomente q b

8-54 Baustatik 1

a

Dieses System ist 6-fach statisch unbestimmt, aber für die gegebene symmetrische Belastung reduziert sich der Grad der statischen Unbestimmtheit. Für die gegebene Belastung ist das System 1fach statisch unbestimmt.


Mx = 0

b

X1

X1 X1 Nx = 0

x

X1 a/2

My Mz = 0

a/2 a

Qy = 0 y

Qz = 0 z

Abb. 8.59 System mit Belastung und statisch bestimmtes Grundsystem Biegemomente

M0

Torsionsmomente

Biegemomente

Torsionsmomente

M1

T0

T1

1

1

Abb. 8.60 Momentenverteilung

Die Formänderungsausdrücke ergeben sich somit zu EI C ϕ 11 = EI C ϕ 10 =

IC

EI C

- ds ³ M1 ----I ds + ³ T1 -------GI T 2

IC

2

EI C

- ds ³ M1 M0 ----I ds + ³ T1 T0 -------GI T

Mit diesen Ausdrücken erhält man δ 10 X1 = – -----δ 11 Die endgültigen Biegemomente und die Torsionsmomente lassen sich mit den Gleichungen

Baustatik 1 8-55

8


M = M0 + X 1 M 1 T = T0 + X 1 T 1 bestimmen. Biegemomente

Torsionsmomente

T

M

Abb. 8.61 Endgültige Momentenverteilung

Beispiel 8.8: Schiefe Brücke

Hohlkasten

Abb. 8.62 Schiefe Brücke q

I, IT Grundriß C

b

I, IT = •

D

I, IT

A

L a

I, IT = • B a

Abb. 8.63 Statisches System der schiefen Brücke

8-56 Baustatik 1


Das System ist 1-fach statisch unbestimmt. Als statisch unbekannte Größe X1 wird der Auflagerdruck in A gewählt (siehe Abb. 8.64). C

D D

C

A

B B

X1 = 1


Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen erhält man die Auflagerdrücke infolge der Kraft X1 = 1.

¦

Kontrolle:

1⋅b = B⋅b → B = 1

M CD = 0

¦ MAC = 0 ¦ MAB = 0 ¦V = 0

B⋅L = D⋅L → D = B= 1 D⋅b = C⋅b → C = D = 1 1+D–B–C = 0 D=1

C=1 X1 = 1

B=1

Abb. 8.65 Auflagerkräfte zufolge X1=1 M1

T1 b

a

M = 1 ⋅ --a- + 1 ⋅ --a- = a 2 2

T = 1 ⋅ b--- + 1 ⋅ b--- = b 2 2

Abb. 8.66 Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge X1=1

Belastung: Gleichlast q

Baustatik 1 8-57

8


q

C A

X1 = 0

D

B

Abb. 8.67 Statisch bestimmtes Grundsystem mit der Belastung q

Die Auflagerdrücke am statisch bestimmten Grundsystem erhält man ebenso mit den Gleichgewichtsbedingungen.

¦ ¦ ¦ Kontrolle:

L q ⋅ L ⋅ --- + C ⋅ L = 0 2

M BD = 0

b C ⋅ b + q ⋅ L ⋅ --- – D ⋅ b = 0 2

M AB = 0

L B ⋅ L + q ⋅ L ⋅ --- = 0 2

M AC = 0

⋅ L---------C=–q 2

→

→

→

D=0

⋅ L---------B=–q 2

L q ⋅ L ⋅ --- + C + B = 0 2

¦V = 0 M0

T0

qL – ------- --a2 2

qL a – ------- --2 2

2

qL --------8

qL – ------- b--2 2

Abb. 8.68 Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge q

Die EIC fachen Formänderungswerte lauten: EI C δ 11 = EI C ϕ 10 =

³

³

2 I 2 E I M 1 ----C ds + ³ T 1 ---- ----C ds I G IT

I EI M 1 M 0 ----C ds + ³ T1 T 0 --------C- ds I GI T δ 10 X 1 = – -----δ 11

8-58 Baustatik 1


Die endgültigen Biegemoment- und die Torsionsmomentverläufe lassen sich mit den Gleichungen M = M0 + X1 M 1 T = T0 + X 1 T 1 bestimmen. Beispiel 8.9: Durchlaufträger im Bogen starr

starr

a

a

starr

r C

X1 X3

X2 C

C

X1

Abb. 8.69 Durchlaufträger im Bogen mit starren Querträgern

Der Bogen ist auf Grund seiner starren Querträger 3-fach statisch unbestimmt. Im Punkt C werden der linke und der rechte Teil des Bogens vom Querträger freigeschnitten. Die dadurch freigewordenen statisch unbestimmten Größen sind X1, X2 und X3. Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge X2 = 1: r sin ϕ C

sin α ⋅ 1 X2 = 1

r sin α

A B

j

r

a 0

¦ MAB = 0 --– r sin α C = sin α → C = – 1 r M 2 ( ϕ ) = C r sin ϕ + sin ϕ ≡ 0 T 2 ( ϕ ) = – C r ( 1 – cos ϕ ) + cos ϕ ≡ 1

Der Momentenverlauf für X3 = 1 ist spiegelverkehrt zu dem für X2 = 1.

Baustatik 1 8-59

8


Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge X1 = 1: r sin ϕ C

X 1= 1

r sin α

A

cos α ⋅ 1

j

cos α – r sin α C = cos α → C = – --------------r sin α

cos α- sin ϕ M 1 = C r sin ϕ + cos ϕ = cos ϕ – -----------sin α

r

a

B

¦ MAB = 0

T 1 = – C r ( 1 – cos ϕ ) + sin ϕ = 0

cos α- ( 1 – cos ϕ ) = sin ϕ + -----------sin α

Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge unterschiedlicher Belastungen: Belastung: Einzellast P

¦ MAB = 0

C P

A

jP j

r sin α B

sin ( α – ϕ P ) C r sin α = P r sin ( α – ϕ P ) → C = P --------------------------sin α Für ϕ < ϕ P

r

M P = C r sin ϕ

a 0

T P = – C r ( 1 – cos ϕ ) Für ϕ > ϕ P

M P = C r sin ϕ – P r sin ( ϕ – ϕ P ) T P = – C r ( 1 – cos ϕ ) + P r [ 1 – cos ( ϕ – ϕ P ) ] Belastung: Gleichlast q

8-60 Baustatik 1


C q

α

dj

j jq

A B

¦ M AB = 0 r

C r sin α = q r

³

sin ( α – ϕ q ) dϕ q

0 ϕ

a

M q = C r sin ϕ – q r ³ sin ( ϕ – ϕ q ) dϕ q 0

0

ϕ

T q = – C r ( 1 – cos ϕ ) + q r ³ [ 1 – cos ( ϕ – ϕ q ) ] dϕ q 0

Belastung: Gleichstreckenmoment m

C

¦ M AB = 0

m

– C r sin α = m r ( 1 – cos α ) r

j

A B r ( 1 – cos α )

M m = C r sin ϕ + m r ( 1 – cos ϕ ) T m = – C r ( 1 – cos ϕ ) + m r sin ϕ

a 0

Die EIC fachen Formänderungsgrößen lauten: EI C ϕ ik =

IC

EI C

- ds ³ Mi Mk ----I ds + ³ Ti Tk -------GI T

Mit den Formänderungsgrößen können die Elastizitätsgleichungen, z. B. für die Einzellast P, aufgestellt werden. δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + δ 1P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + δ 2P = 0 δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + δ 3P = 0 Aus diesen Gleichungen lassen sich die statisch unbestimmten Größen X1, X2 und X3 bestimmen und in weiterer Folge die Schnittkräfte.

Baustatik 1 8-61

8


Beispiel 8.10: Trägerrost E = 210 . 106 kN/m2,

y

3,0 0

1

G = 80 . 106 kN/m2,

m

1,5

2

0m

z

1,5

Ic = IBieg. = 0,008 m4, 0m 3,0

4 3

0m

5 2,0

5 cm

0m

x

Abb. 8.70 Trägerrost

Ges: MB und MT infolge der Widerlagersenkung des Knotens 5 um 5 cm, sowie die Vertikalverschiebung des Punktes 3 (z-Richtung). Das System ist 1-fach statisch unbestimmt. Als statisch unbestimmte Größe wird die Auflagerkraft im Knoten 5 gewählt. EI C δ =

I

EI

Cds ³ M M ----IC ds + ³ M MT -------GI T

I C = I B = 0, 008 cm

4

8 EI , 1 ×10 ⋅ 0, 008--------C- = 2--------------------------------------= 10, 50 7 GI T 8 ×10 ⋅ 0, 002

Schnittkraftverläufe infolge X1 = 1 am statisch bestimmten Grundsystem: 3,0

1

0m

1,5 0

m

2,50 m

2 4 3

2,50 m

1,5

0m 3,0 0

m

X1 = 1 5 X1 = 1 2,0

0m


8-62 Baustatik 1


Die Abb. 8.72 zeigt die Zerlegung der einzelnen Momente infolge X1 = 1 in Biegeund Torsionsmomente.

1,8

2 ,4

1

2

4

5

a = 53,13° 3

2,4

4,3

2,4

1,1

2,4

Abb. 8.72 Zerlegung der einzelnen Momente in Biege- und Torsionsmomente und Bemaßung +9 +6 +3 MB1 + 1,8

+ 3,6

+ 1,1 + 4,3

Abb. 8.73 Biegemomentenverlauf infolge X1 = 1 2,4

0

m

MT1

2,4

0

2 ,4

4,8

2 ,4

m

m

Abb. 8.74 Torsionsmomentenverlauf zufolge X1 = 1

Baustatik 1 8-63

8


Ermittlung der Arbeitsintegrale ( Klaffungen) --- ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 EI C δ 11 = 1 3

= 9, 00

--- ( 1, 8 ( 2 ⋅ 1, 8 + 4, 3 ) + 4, 3 ( 2 ⋅ 4, 3 + 1, 8 ) )2, 5 +1 6

= 24, 56

--- ( 1, 1 ( 2 ⋅ 1, 1 + 3, 6 ) + 3, 6 ( 2 ⋅ 3, 6 + 1, 1 ) )2, 5 +1 6

= 15, 11

1 + --- ( 6 ( 2 ⋅ 6 + 9 ) + 9 ( 2 ⋅ 9 + 6 ) )3 6

= 171, 00

2

= 604, 80

2

= 151, 20

+ 4, 8 ⋅ 2, 5 ⋅ 10, 5 + 2, 4 ⋅ 2, 5 ⋅ 10, 5

------------------------Summe 975, 67 Da die Verschiebung des Auflagers in Richtung der statisch unbestimmten Größe erfolgt, lautet der Formänderungsausdruck infolge der Widerlagersenkung δ 10 = 5 cm 8

2, 1 ×10 ⋅ 0, 008 ⋅ 0, 05 X 1 = – -------------------------------------------------------- = – 86, 0 kN 976, 67 Die endgültigen Schnittkräfte lassen sich mit den Gleichungen M B = X 1 M B1 M T = X 1 M T1 berechnen.

8-64 Baustatik 1


-774,00

-516,00 -258,00 MB -154,80

-309,6

-369,80

-94,60

Abb. 8.75 Biegemomentenverlauf 0 MT

,8 0 12 -4

20 6 ,4

0

Abb. 8.76 Torsionsmomentenverlauf

Vertikalverschiebung im Pkt. 3 Die Vertikalverschiebung des Punktes 3 wird mit Hilfe des Reduktionssatzes ermittelt. Im Punkt 3 wird eine 1-Last am statisch bestimmten Grundsystem angebracht Die Schnittkraftverläufe MB und MT werden infolge der 1-Last ermittelt. -4,5

MB

MT -1,5

2,0

-2,5

0

Abb. 8.77 Biege- und Torsionsmoment infolge X1 = 1

Baustatik 1 8-65

8

Räumliche Systeme Trägerrost

1 EI C w 3 = --- ( ( – 4, 5 ) ( 2 ( – 774, 0 ) + ( – 516, 0 ) ) ) ⋅ 3, 0 6

= 4644, 0

1 + --- ( ( – 1, 5 ) ( 2 ( – 516 ) + ( – 774, 0 ) ) ) ⋅ 3, 0 6

= 1354, 5

1 + --- ( 2 ( – 309, 6 ) + ( – 94, 6 ) ) ⋅ ( –2, 5 ) ⋅ 2, 5 6

=

743, 5

---------------------------Summe 6742,0 w 3 = 0, 004 m → w 3 = 4, 0 mm Die Durchbiegung im Punkt 3 ist 4,0 mm.

8.10 Trägerrost Der Trägerrost ist ein Spezialfall eines 3-D Tragwerkes und ist hauptsächlich bei Brückentragwerken zu finden. Das Tragsystem liegt in einer Ebene, und die Belastung ist normal zur Ebene. Auf Grund dieser Vorgaben hat jeder Knoten nur 3 Freiheitsgrade (2 Verdrehungen und 1 Durchbiegung). P

q

Abb. 8.78 Trägerrost Iz’ → I

…

Trägheitsmoment

Ix’ → IT

…

Torsionsträgheitsmoment y’ py ’ uy ’

m z ’ qz ’

m x ’ qx ’

x’

z’

Abb. 8.79 Darstellung der Freiheitsgrade eines Knotens

8-66 Baustatik 1


8.10.1 Trägerrost mit starren Querträgern

a3 a2

3

a1

2 1 Hauptträger

Hauptträger

4

Starrer Querträger

x

Abb. 8.80 Trägerrost mit starren Querträgern

Zur Berechnung des hochgradig statisch unbestimmten Systems gibt es viele Möglichkeiten (z.B. Computerprogramme). Eine einfache ingenieurmäßige Berechnungsmöglichkeit stellt das Verfahren von Engesser dar. Die Voraussetzungen für die Anwendung dieses Verfahrens sind Starre Querträger: IQ = ∞ (d.h. geradlinige Querverteilung) Torsionssteifigkeit der Hauptträger ist vernachlässigbar (IT = 0) Querträger werden als verschmiert vorrausgesetzt Hauptträger haben dasselbe Längssystem Hauptträger haben gleichen Verlauf der Trägheitsmomente Für das Trägheitsmoment eines Hauptträgers gilt I i ( x ) = I i ,max ⋅ f ( x ) Die Durchbiegung des Hauptträgers i unter einem Lastsystem P ist dann P y i ( x ) = c ( x ) -----------I i ,max c(x) …

Konstante, die mit den üblichen Methoden der Statik berechenbar ist, jedoch bei der vereinfachten Berechnung herausfällt.

Der Vorteil dieses Verfahrens ist es, daß die Belastung auf die einzelnen Hauptträger querverteilt wird, und damit jeder Hauptträger mit seinem Lastanteil gesondert berechnet werden kann.

Baustatik 1 8-67

8


Die Querschnittsverformungen werden in einen reinen reinen zerlegt. rm

und einen

M

P

P w4

w’ j

w’’

1

Schwerlinie

w1

2

Pi 3

4

Abb. 8.81 Durchbiegung infolge einer Belastung P

Pi

…

Lastanteil des Hauptträgers

Verschiebungszustand w’ = const. e

P w’

Querträger Hauptträger

1

2

a1

3

a2 e1

e2

a3

e3 e4

Abb. 8.82 Durchbiegungszustand w’

º

Durchbiegung an einer gewählten Stelle, z. B. in Trägermitte

e

º

Schwerpunktsabstand, wenn man Ii als Massenpunkte auffaßt

Gleichgewichtsbedingung: P =

¦ Pi'

P' P' I w' = -----1- c = ----i- c → P 1' = P i' ---1Ii I1 Ii Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt

8-68 Baustatik 1


§ I1 I2 · P = P i' ¨ ---- + ---- + …¸ © Ii Ii ¹

→

Ii P i' = P ---------¦ Ii

Der Schwerpunktsabstand e ergibt sich zu

¦ Pi 'ei e = -------------------P ¦ Ii

entspricht der Gesamtmasse

¦

entspricht dem statischen Moment

Ii ei

Verdrehungszustand ϕ = const. M w4’’ j

w1’’

r2

r3

r1

r4 + ri

Abb. 8.83 Verdrehungszustand

Gleichgewichtsbedingung:

¦ Pi'' ⋅ r i = M

mit

M = P ⋅ rm

Geometrische Bedingung: w i'' = r i ⋅ ϕ § I 1 r 1· P 1'' c w i'' w 1'' P i'' c -¸ - → P 1'' = P i'' ¨ --------ϕ = -------- = ------------ = ------- = ---------r1 I1 r1 ri Ii ri © Ii ri ¹ Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt § r1 I1 r2 I2 · M = P i'' ¨ ---------- + ---------- + …¸ © Ii ri Ii ri ¹ 2

2

→

Ii ri -M P i'' = ------------------2 ¦ ( Ii ri )

Baustatik 1 8-69

8


Gesamtzustand w ges, i = w i' + w i'' P ges, i = P i' + P i'' = P i Ii ri Ii ---------- + ------------------- rm 2 ¦ Ii ¦ ( Ii ri )

Pi = P

¦

2

Ii ri

entspricht dem Trägheitsmoment der gedachten Massenpunkte

Quereinflußlinie infolge der Belastung P des Trägers i rk

P=1

M = rk P=1

k 1

2 r2 r1

3

r3 r4

Pik

Abb. 8.84 Trägerrost mit der Belastung P = 1

Pik ist die Kraft, die auf den Träger i wirkt, wenn die Last P = 1 im Punkt k steht. Ii ri Ii P ik = P ----------- + -------------------- r k 2 ¦ Ii ¦ ( Ii ri ) Pik kann daher als Quereinflußlinie für die Belastung des Trägers i (Querverteilungslinie) aufgefaßt werden.

8-70 Baustatik 1


Träger 1: 1

2

3

I1 ------------I

P14

P13 P11

4

¦

P12

2

I1 r 1 -----------------2 Ir

¦

Abb. 8.85 Querverteilungslinie für den Träger 1

Träger 2: 1

2

3 P23

P21

I2 r1 r2 ------------2 ¦ Ir

P22

4 P24

I2 ------------I

¦

Abb. 8.86 Querverteilungslinie für den Träger 2

Baustatik 1 8-71

8

8-72 Baustatik 1


Index

A abhängige Sehnendrehung 73 Antimetrie 103 Antimetrische Belastung 94, 96 Arbeit 28 aktive 30, 36 Eigenarbeit 30, 36 Formänderungsarbeit 29 negative 33 passive 31, 39 Verschiebungsarbeit 31, 39 Arbeitssatz 40 Assemblierung 2, 5 Auflagerarten 2 Auflagerverschiebung 3

B back substitution 12 Beispiel Einseitig eingespannten Einfeldträger 4 Fachwerk 14 Fachwerkausleger 18 Reduktionssatz 30 Zweigelenkrahmen 11 Belastungsumordnung 99, 104 Berechnungsverfahren 4 Bernoulli 11 Betti 52 Biegelinie 1, 126 W-Gewichte 27 Biegestäbe 38

Baustatik 1

Index

Bredt’sche Formeln 26

C Castigliano 47 Connectivity 1, 4 Coulomb 1 Culmann 2

D Deformationsmethode 1, 5 Differentialgleichung der Torsion 45 Drehfeder 81 Drehwinkelverfahren 63 Vorgangsweise 91 Dreieckszerlegung 12

E Eigenarbeit 28 Einflußlinien 36, 120 für Kraftgrößen 121 für Schnittkräfte 37, 41 für Weggrößen 45, 120 Einheitsverformungszustände 61, 102, 103 Einheitsverwölbung 40 Elementsteifigkeitsmatrix 9 Energiesatz 40 Ersatzsystem 28

F Fachwerk 19, 24, 26, 51 Fachwerkstäbe 39, 77, 82 Federkonstante 77, 81 Federn 77 Formänderungsarbeiten 28 Formänderungsberechnung 30 forward substitution 12 frontal solution 14

G Gauß‘scher Algorithmus 12 Gleichgewicht 22, 31 Gleichgewichtsbedingungen 49 Gleichungssystem 12

Baustatik 1

Index

H Hauptträgheitsmomente 15 Hermitesche Ansatzfunktionen 126 Hooke´sches Gesetz 11, 18, 27

I Integration 57 Analytische 57 Numerische 58 Tabellarische 60

K Kinematisch bestimmtes Grundsystem 2 Kinematische Bestimmtheit 2 Kinematische Methode 41 Klaffung 2 Knotendrehfessel 61 Knotengleichgewicht 63 Knotensymmetralen 95 Knotenverschiebungen 59 Kompatibilität 22, 24, 27, 29, 31 Kompatibilitätsbedingungen 22, 41 Kraftgrößen 1 Äußere Kraftgrößen 1 Innere Kraftgrößen 3 Kraftgrößenverfahren 1, 6

L Lasten 1

M Matrix Stiffness Method 1 Matrizenform 22, 40, 1 Maxwell 54, 14 Mehrfach verschiebliche Systeme 85 Mohr 2, 5 Müller-Breslau 2, 56

N Navier 1 Newtonregel 59

Baustatik 1

Index

P Prandtl’sches Membrangleichnis 31 Prinzip der virtuellen Arbeiten 40 der virtuellen Kraftgrößen 14 von Müller-Breslau 56

Q Querkraftanalogie 45 Querkraftverformungen 11 Querschnitte dünnwandig 16 geschlossene 16 Hohl- 26 offene 16 Voll- 16 Querverteilungseinflußlinie 70

R Rahmenkreuz 30 Randbedingungen 9, 6 Räumliche Systeme 1 Räumliche Tragwerke 49 Räumliche Tragwirkung 1 Reduktionssatz 30 Rekursionsformeln 12 Ritter 2 Rückeinsetzen 12

S Satz von Betti 52 von Castigliano 47, 50 von der Gegenseitigkeit der elastischen Verformungen 54 von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeiten 54 von MAXWELL 38 von Maxwell 54 Schnittkraftverlauf 15 Schubmittelpunkt 40 Schubspannungen 16, 39, 43 Schubsteifigkeit 23 Schwerpunkt 15 Sehnendrehung abhängige 73

Baustatik 1

Index

unabhängige 73 Simpsonregel 59 Skyline Solution 13 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 12 Spannungsresultierenden 3 Stabendkraftgrößen 5, 15 Stabsehnendrehungen 63 Stabsymmetrale 93 Starrkörperverformungen 16 Statisch bestimmtes Grundsystem 1, 2 Grundregeln 24 Statisch unbestimmte Systeme 1 Vorgangsweise 23 Statisch unbestimmte Tragwerke 23 Steifigkeitsmatrix 16 Element- 4 Gesamt- 6 global 18 Globale 5 im Raum 7 Reduzierte 12 Superposition von Weggrößen 35 Superpositionsgesetz 13, 4 Symmetrie 102 Symmetrische Belastung 93, 95 Symmetrische Systeme 28 Symmetrische Tragwerke 93

T Temperatur 24, 3, 111, 114 Theorie großer Verformungen 15 Theorie I. Ordnung 13 Torsion 23 Tosionsmoment 44 Trägerrost 66 Transformationsmatrix 16, 5, 10 Trapezregel 58 triangular decomposition 12

U Unverschiebliche Rahmentragwerke 29

V Verdrehungen 15

Baustatik 1

Index

Verformungen 15, 1, 30 Berechnungsvorgang 16 Fachwerkstäbe 18 Graphische Bestimmung 42 Grundfälle 14 Querkraft 11 Tragwerkspunkte 14 Verformungsbedingungen 6 Verschiebungen 15 Verschiebungsarbeit 28 Verschiebungsgleichgewicht 63 Verschiebungsgleichungen 60 Verschiebungsplan 42, 73 Verträglichkeitsbedingungen 1, 3 Verwölbung 39 Verzerrungen 16 Virtuelle Arbeit 40 Kraftgrößen 45 Verschiebungsarbeit 41, 45 Weggrößen 40, 41 Vorwärtseinsetzen 12 Vorzeichenkonvention 3, 4, 5

W Wegfeder 77 Weggrößen 15, 26 Äußere Weggrößen 15 Innere Weggrößen 16 Weggrößenverfahren 1, 5 Werkstoffgesetze 11 Williot 42, 73 Winkelgewichte 27, 35, 36 Berechnungsvorgang 29 Wölbmoment statisches 43 Wölbwiderstand 44

Z Zwangseinbau 15

Baustatik 1

Dies ist eine Veröffentlichung des FACHBEREICHS INGENIEURBAUKUNST (IBK) AN DER TU GRAZ Der Fachbereich Ingenieurbaukunst umfasst die dem konstruktiven Ingenieurbau nahe stehenden Institute für Baustatik, Betonbau, Stahlbau & Flächentragwerke, Holzbau & Holztechnologie, Materialprüfung & Baustofftechnologie, Baubetrieb & Bauwirtschaft, Hochbau & Industriebau, Bauinformatik und Allgemeine Mechanik der Fakultät für Bauingenieurwissenschaften an der Technischen Universität Graz. Dem Fachbereich Ingenieurbaukunst ist das Bautechnikzentrum (BTZ) zugeordnet, welches als gemeinsame hochmoderne Laboreinrichtung zur Durchführung der experimentellen Forschung aller beteiligten Institute dient. Es umfasst die drei Laboreinheiten für konstruktiven Ingenieurbau, für Bauphysik und für Baustofftechnologie. Der Fachbereich Ingenieurbaukunst kooperiert im gemeinsamen Forschungsschwerpunkt „Advanced Construction Technology“. Dieser Forschungsschwerpunkt umfasst sowohl Grundlagen- als auch praxisorientierte Forschungs- und Entwicklungsprogramme. Weitere Forschungs- und Entwicklungskooperationen bestehen mit anderen Instituten der Fakultät, insbesondere mit der Gruppe Geotechnik, sowie nationalen und internationalen Partnern aus Wissenschaft und Wirtschaft. Die Lehrinhalte des Fachbereichs Ingenieurbaukunst sind aufeinander abgestimmt. Aus gemeinsam betreuten Projektarbeiten und gemeinsamen Prüfungen innerhalb der Fachmodule können alle Beteiligten einen optimalen Nutzen ziehen. Durch den gemeinsamen, einheitlichen Auftritt in der Öffentlichkeit präsentiert sich der Fachbereich Ingenieurbaukunst als moderne Lehr- und Forschungsgemeinschaft, welche die Ziele und Visionen der TU Graz umsetzt.

Nummerierungssystematik der Schriftenreihe S – Skripten, Vorlesungsunterlagen | F – Forschungsberichte V – Vorträge, Tagungen | D – Diplomarbeiten Institutskennzahl: 1 – Allgemeine Mechanik | 2 – Baustatik | 3 – Betonbau 4 – Holzbau & Holztechnologie | 5 – Stahlbau & Flächentragwerke 6 – Materialprüfung & Baustofftechnologie | 7 – Baubetrieb & Bauwirtschaft 8 – Hochbau & Industriebau | 9 – Bauinformatik Fortlaufende Nummer pro Reihe und Institut / Jahreszahl

Baustatik1_Skriptum_IBK

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