PRUEBA DE EVALUACIÓN A DISTANCIA 1 Grado en Físicas
ELECTRODINÁMICA CLÁSICA CÓDIGO: 61043093
1 DE ABRIL DE 2016
Julio Barrientos Galán
[email protected] DNI: 25667364P
Cuestiones Defina o explique el significado de: a) Contraste de Lorenz La condición de contraste o “gauge” se basa en la idea de que hay infinitos potenciales ( , ) y potenciales vectores ( , ) que generan los mismos campos reales E y B. Recordemos que en principio el potencial y potencial vector no tienen ninguna interpretación física al contrario que los campos que si tienen una interpretación física clara. El contraste de Lorenz no es otra cosa que fijar los potenciales y potenciales vectores a un valor concreto que cumple la ecuación: Con esto nos aseguramos que ambos ( , ) y ( , ) cumplen ecuaciones de ondas con una velocidad de propagación equivalente a E y B. El contraste de Lorenz es de los más usados por este motivo y por establecer cierta simetría entre ambos potenciales vector y escalar, parecida a la simetría que surge entre los campos E y B b) Vector de Poynting complejo El vector de Poynting no es otra cosa que el flujo de potencia por una superficie dada y se define como S=ExH. Es una consecuencia directa que puede deducirse desde las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell. Por la misma razón que se usan fasores en la física de forma recurrente para movimientos armónicos, es decir, por facilidad de tratamiento matemático, es también útil usar estos fasores en el tratamiento del electromagnetismo. El uso del vector de Poynting complejo no es más que eso, una transformación al dominio complejo que facilita la operación matemática para finalmente extraer las conclusiones físicas con la parte real de los fasores. En el caso concreto de Poynting, vemos que la parte real del vector complejo, dará el valor medio del vector de Poynting real. El valor medio es mucho más útil ya que con oscilaciones de grandes frecuencias es el valor que realmente llegamos a medir en el mundo real. c) Concepto de simultaneidad en el marco de la relatividad especial La relatividad especial da un vuelco radical a la intuición que por millones de años ha ido moldeando el cerebro humano, no acostumbrado a velocidades cercanas a c. El segundo postulado de la relatividad especial es el más difícil de confrontar y es el que sienta las bases para esta ruptura con la “idea clásica” del espacio y del tiempo. Dicho postulado establece que la velocidad de un haz de luz c es igual independientemente del sistema de referencia medido o de la velocidad de la fuente que emite dicha luz. A partir de aquí se llegan a conclusiones como contracción espacial o dilatación temporal para distintos sistemas de referencias, que acaban en la conclusión que un evento A en un espacio x A y en un tiempo tA y otro evento B en un espacio xB y en un tiempo(distinto) tB, cuando se observan desde otro sistema de referencia inercial pueden transformarse en un espacio x’A y en un tiempo t’A y en un espacio x’B y en un tiempo t’B, donde t’B=t’A y tB ≠tA. Resumiendo, dos eventos que para un observador ocurren en el mismo tiempo t’ pueden no ocurrir en el mismo tiempo t de otro observador distinto que se mueve respecto al primero. Claramente esto desafía toda lógica y “sentido común” visto desde la mecánica clásica pero es como funciona realmente el mundo y se hace más patente cuando nos movemos a velocidades más y más cercanas a c. La simultaneidad de eventos tampoco es un concepto absoluto como creíamos. -1-
d) Formulación covariante del principio de conservación de la carga eléctrica Una formulación covariante por definición es una formulación tensorial de una ley física, la cual es válida ante transformaciones de sistemas de referencia inerciales. Para ello, se intenta formular cualquier ley conocida en forma tensorial para lograr este cometido. El principio de conservación de la carga eléctrica o ecuación de continuidad, dice que la variación temporal de la carga más la divergencia de la densidad de corriente J es cero.
Para poder expresar esta ecuación en forma tensorial definimos un cuadrivector Ji de forma que
Con lo que la ecuación de continuidad se puede expresar de forma covariante (cuadrivector) como:
Que es totalmente equivalente como podemos comprobar pero que tiene notación tensorial (de orden 1 o cuadrivector) e) Cuadrivector energía-momento. Invariante asociado. El cuadrivector energía-momento surge directamente de multiplicar la masa en reposo m con el cuadrivector velocidad: De un modo similar al que hacemos en la mecánica clásica momento p=mv. En este caso vemos que tendremos:
Es fácil comprobar k0 está relacionado con E/c es U0 por m. Este cuadrivector como comentamos en el apartado anterior, nos permite hacer formulaciones tensoriales de ecuaciones de la física que puedan ser transformados de un sistema de referencia a otro. Si calculamos el producto escalar del cuadrivector k por sí mismo es fácil ver que tendremos un escalar que será invariante ante cualquier cambio de sistema de referencia. De ese producto escalar obtenemos:
-2-
Problema 1 Sea un disco de radio a que puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al mismo y que pasa por su centro. Sobre el contorno del disco se coloca un hilo no conductor cargado con densidad lineal en forma de circunferencia de radio a y se aplica una inducción magnética B uniforme y perpendicular al disco sobre una región circular de radio a/2 y centrada con el mismo. Supondremos que inicialmente el sistema, cuyo momento de inercia es I está en reposo. Calcular la velocidad angular que alcanza el disco cuando anulamos el campo magnético. Solución: Primero dibujamos el disco, el campo, el eje y el hilo no conductor (en rojo) que vemos en la figura 1:
Figura 1
El cambio del campo magnético desde B hasta cero hará que el sistema intente resistirse al cambio y por lo tanto crear un campo magnético que sustituya el que desaparece. Si el hilo rojo con carga gira en el sentido indicado en la figura 1 sustituirá el campo magnético B que antes pasaba uniformemente por el circulo de radio a/2. Sin embargo, el campo que generara el movimiento de las cargas del hilo rojo, será un campo magnético que ocupara todo el radio a y que será irregular. Procederemos a calcular el campo Eléctrico generado por el cambio de campo magnético que impulsará el hilo rojo para girar y crear el campo antes descrito que sustituya a B. Dicho campo eléctrico será generado en virtud de una de las leyes de maxwell:
El campo eléctrico ira dirigido en el sentido de giro de la figura 1 para que cree (como comentamos) un campo que compense la pérdida de B. Sustituyendo en la ecuación integral de maxwell tendremos:
=2
∙
=−
∙ = −
+
0∙ ∙
8
-3-
= −
∙
4
Ahora la fuerza que se ejerce sobre el hilo para cada diferencial dq de carga es: =
= −
∙
=
8
∙
=
∙
∙
Asumiendo que lambda es la densidad lineal de carga. Integrando en todo la circunferencia: = −
∙
8
∙
∙
= −
∙
2
8
También sabemos que el torque es T=F*radio y al mismo tiempo es I*aceleración angular =
= −
∙
= ∙
4
= ∙
Por lo tanto, tendremos: −
∙
4
= ∙
→
=−
∙
4
No sabemos exactamente cómo varia el campo desde B hasta cero, pero si observamos la ecuación superior tampoco es relevante ya que una variación de dB conlleva una variación dω que podemos calcular fácilmente. Por lo tanto, solo tenemos que integrar desde el reposo del hilo a su velocidad angular final y desde el campo inicial B hasta cero: =−
4
→
-4-
=
4
Problema 2 Determine con ayuda del tensor de tensiones de Maxwell la presión magnética debida al campo magnético terrestre en los polos magnéticos (B≈ 70 ) y compárela con la presión atmosférica (1 atm= 10 Pa). Por otra parte, sabiendo que el campo eléctrico atmosférico en la superficie terrestre toma un valor de 100 V/m dirigido verticalmente hacia tierra, obtenga también el valor de la presión electrostática. Datos:
= 8.85 ∙ 10
F/m ;
= 4 ∙ 10
H/m.
Solución: El tensor magnetostático se define del siguiente modo:
Y la fuerza que se ejerce a través de una superficie es: =
→
=
Con dS las componentes de la normal a la superficie en ese punto. Sabemos que, en los polos, el campo magnético entra en la tierra de forma perpendicular, es decir que B tiene solo componente en z y el diferencial de dS en el polo norte tiene solo componente normal en z, por lo tanto:
=
1
−
1 2
0
0
−
0
1 2
0
0 0
+
1 2
0 0
=+
11 2
Por lo tanto, la presión magnetostática que se define como dF/dS es: =
=
1 2
=
(70 ∙ 10 ) = 0.00195 2 ∙ 4 ∙ 10
= 1.95 ∙ 10
Que es despreciable frente a la 1 atm o 100.000 Pa de presión atmosférica, en concreto 8 órdenes de magnitud menor de presión magnetostática que de presión atmosférica. Haciendo lo mismo con el tensor Electrostático:
-5-
Hacemos el mismo ejercicio de comparación en los polos donde el campo eléctrico tiene la misma dirección que el campo magnético. Por lo tanto, también tendremos: −
=ε
1 2
0
1 − 2
0 0
0
0 0
+
1 2
0 0
=
ε 2
Por lo tanto, la presión magnetostática que se define como dF/dS es: =
=
ε 2
=
8.85 ∙ 10
2
∙ (100)
= 4.425 ∙ 10
Que es aún menor que la presión magnetostática. En concreto la presión electrostática es 13 órdenes de magnitud menor que la presión atmosférica.
-6-
Problema 3 Un suceso A ocurre en el punto PA = (0, 3, 5) y en el instante ct1 = 15. Otro suceso B ocurre en el punto PB = (0, 8, 10) y ct2 = 5, ambos en un sistema de referencia inercial K. Determine:
Cuál es el intervalo invariante entre A y B Si existe un sistema de referencia K’ en el que estos dos sucesos ocurran simultáneamente. Si es así, encuentre su velocidad (magnitud y dirección) respecto a K Si existe un sistema de referencia K’’ en el que estos dos sucesos ocurran en el mismo punto. Si es así, encuentre su velocidad (magnitud y dirección) respecto a K
Repita el ejercicio para PA = (0, 0, 2), ct1 = 15 y PB = (0, 0, 5) y ct2 = 3 Solución: Teniendo en cuanta que: = (15,0,3,5)
= (5,0,8,10)
El intervalo invariante entre A y B es: =
(15 − 5) − (0 − 0) − (3 − 8) − (5 − 10) = √50
Por lo tanto, al ser un intervalo real, se trata de un intervalo temporal, es decir, hay un sistema de referencia en el cual ambos eventos ocurren en el mismo lugar y tienen “conexión causal”. En un diagrama de minkowski aparecerían ambos en el cono de luz si uno de ellos estuviese en el origen. A la primera pregunta, NO, no existe sistema de referencia K’ en el cual ambos eventos ocurran en el mismo tiempo o simultáneamente. A la segunda pregunta, SI, existe un sistema de referencia K’’ en el cual ambos eventos ocurren en el mismo lugar, ya que tienen “conexión causal” Ahora hallaremos la velocidad de K’’ respecto a K tanto en modulo como en dirección. Para ello buscaremos los parámetros gamma, beta modulo y beta vector. Para ello hacemos uso de las siguientes ecuaciones:
En lugar de la notación prima, haremos uso de la notación doble prima para dejar claro que estamos hablando del sistema K’’ Así tendremos que para el sistema K’’: = (
−
) = 50
Será un invariante en todos los sistemas de referencia y precisamente en K’’ ocurren en el mismo lugar luego: -7-
′′∥ = ′′∥
=
=
;
=
;
=
Haciendo uso de estas conclusiones y de las ecuaciones arriba detalladas tenemos:
( ′′∥ = ′′∥ = (
−
=
−
= (
−
∥)
=
−
= (
−
) = 50 =
(
∥)
)= ( ∥− − ( − ) =
−
+
) →
∥
−
∥
∥
− ∥
=
∥)
(1)
→ (
−
∥
−
∥)
Sustituyendo en la ecuación (1) 50 =
(
−
(
+
=
= 50 = (
(
)) = ( − − ( 1 1 − ) = ( −
−
1
)
−
→
=
(
)) =
−
)
)
−
=
(
−
100 =2 50
) (1 −
→
)
= √2
Entonces: 1−
=
1
=
1 2
→
=
1 2
→
=
1
→
√2
=
√2
Ahora vamos a deducir con las mismas ecuaciones la dirección de la velocidad, para ello usaremos las ecuaciones: = =(
−
−
) = 50 =
5 = √25 = 10 +
= −
−
+ ( − )
→
−
− = 2 ∙ 10 + ( − ) = −5 =
∙
−
∙ cos
Siendo theta el ángulo que forma la velocidad con el vector espacial que separa B y A −
= |(0,5,5)| = √25 + 25 = √50 cos
=−
5
√50
√2 = −1
Por lo tanto el vector velocidad esta 180 grados del vector hacia
−
−
o lo que es lo mismo, dirigido
Así, el vector velocidad de K’’ respecto a K, será: =
√2
− −
=
√2
(0, −5, −5) √50
=
(0, −5, −5) = (0, − /2, − /2) = 10
Probemos ahora con: PA = (0, 0, 2), ct1 = 15 y PB = (0, 0, 5) y ct2 = 3
-8-
Solución: Teniendo en cuanta que: = (15,0,0,2)
= (3,0,0,5)
El intervalo invariante entre A y B es: =
(15 − 3) − (0 − 0) − (0 − 0) − (2 − 5) = √144 − 9 = √135 = 3√15
Igualmente es un intervalo temporal con lo que aplican las mismas respuestas que anteriormente. A la segunda pregunta, SI, existe un sistema de referencia K’’ en el cual ambos eventos ocurren en el mismo lugar, ya que tienen “conexión causal”. Reusemos las formulas anteriores: = 1− =( −
3 = 4
= − 135 ∙
1
=
(
)
−
15 16
=
→
=
) = 135 = 15 − 12 = 16
144 16 = 135 15
− −
1 16
→
→
=
+ ( − )
cos
=
=
=
1 3 cos 4
1 4
4
√15 =
4
16 ∙ 12 + ( − ) 15 →
cos
= −1
De nuevo, el coseno del vector espacial B-A es -1 por lo que la velocidad está en sentido A-B (eje z) =
4
− −
=
4
(0,0, −3) = (0,0, − /4) = 3
Este caso es más fácil de analizar puesto que se trata de dos eventos localizados en el eje z y la velocidad relativa de los sistemas de coordenadas también es en el eje z. Por ello para comprobar el resultado, usaremos la matriz de transformación de coordenadas con eje z:
Si tomamos:
= (15,0,0,2)
= (3,0,0,5)
Y los valores de gamma y beta tenemos: 4
′′ =
∙
=
√15 0 0 1
√15
0
1 0
0
0
0 1
0
1
√15 0 0 4
√15
-9-
15 0 0 2
62
=
√15 0 0 23 √15
4
′′ =
∙
=
√15 0 0 1
√15
0
0
1 0 0 1
0 0
1
√15 0 0 4
√15
3 0 0 5
17
=
√15 0 0 23 √15
Vemos que en el nuevo sistema de coordenadas los eventos tienen lugar en el mismo lugar(z) pero en tiempos distintos. También podemos verlo en un diagrama de Minkowski representando tan solo el eje z:
Figura 2
Hemos representado el cono de luz en el sistema de referencia K (azul) y luego hemos trasladado el sistema de referencia K sobre el evento B para que coincida con el nuevo origen (en verde). Como podemos comprobar, el evento A esta dentro del cono de luz del evento B por lo que son eventos temporales y pueden estar relacionados casualmente.
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Problema 4 Un observador en reposo con respecto al sistema de referencia K observa los campos estáticos = con amplitud de 1V/m y = con una amplitud de 1 gauss. (1 G =10 T) a) Un observador se desplaza con velocidad constante a lo largo del eje Z y observa únicamente uno de los campos. ¿Cuál de los campos observa? b) ¿Cuál es la velocidad del observador? c) ¿Existe algún observador que vea los campos E y B paralelos? En caso afirmativo, ¿a qué velocidad se desplazará este observador? Solución: Para resolver estas cuestiones recurrimos a las ecuaciones de transformación relativista de campos:
Que en coordenadas cartesianas para v paralelo a z se transforman en: =
=
=
−
=
+
=
+
=
−
Teniendo en cuenta que: =
=0
=0
=0
=
=0
Resulta en K’ que: = (
=0 =0
−
=0
) =
=0 −
Para que uno de los campos sea cero debe cumplirse una de estas dos condiciones (
−
)=0
ó
−
=0
Sustituyamos los valores de B0 y de E0 para ver cuál de las condiciones puede cumplirse y cual no: −
= 10
−
1 9 ∙ 10
=0
→
= 9 ∙ 10
∙ 10
= 9 ∙ 10
/
Lo cual es imposible puesto que la velocidad de un sistema de referencia con respecto al otro seria mayor que c. Por lo tanto, la única posibilidad es que se anule el campo eléctrico E - 11 -
= (
−
)=0
→
=
=
1 10
= 10
/
Esto es, cuando un observador se mueve en z con velocidad de 10 km/s en sentido positivo, observara un campo Eléctrico nulo y tan solo observara la componente “y” del campo magnético B Si observamos los invariantes (escalares) que se deducen del tensor de intensidad de campo, el invariante bi-cuadrático dice:
Es decir, si E y B son ortogonales (I3=0) en un sistema de referencia, lo serán en todos los sistemas de referencia. Así que, en ningún sistema de referencia, un observador podrá ver E y B paralelos. Ambos campos serán siempre perpendiculares.
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DECLARACIÓN DE AUTORÍA
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