ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA
DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS I
INTEGRANTES: EDWIN VARGAS 6255 CARMEN MIRANDA 622 LIGIA GUALLAN 66!" MARICELA BARCENES 662# REPASO DE ESTATICA $% Los cables AB y BC se sujetan al tronco de un árbol muy grande para evitar que se caiga. Si se sabe que las tensiones en los cables AB y BC son de 555 N y 66 N! respectivamente! determine el momento respecto de " de la #uer$a resultante ejercida por los cables sobre el árbol en B.
Datos :
T AB =555 N T BC =660 N
⃗ BA T BA=T BA . μ ⃗ T T BA=
555 N
√ (−0,75 ) + (−7 ) + 6 2
2
2
(−0,75 i −7 j +6 k )
T BA=− 45 i − 420 j + 360 k [ N ]
⃗ Bc T Bc = T Bc . μ ⃗ T T Bc =
660 N
√ ( 4,25 ) + (−7 ) + 1 2
2
2
( 4,25 i−7 j + k )
] T BA=340 i −560 j + 80 k [ N ]
F R=T BA + T BC F R= (− 45 i − 420 j + 360 k ) + ( 340 i − 560 j + 80 k ) F R=295 i − 980 j + 440 k [ N ] M O=r B /O x F R M O=7 j x ( 295 i − 980 j + 440 k )[ N . m ] M O=−2065 k + 3080 i [ N . m ] M O= 3080 i − 2065 k [ N . m ]
2% %l puntal de madera AB se emplea temporalmente para sostener el tec&o en voladi$o que se muestra en la #igura. Si el puntal ejerce en A una #uer$a de 5' (b dirigida a lo largo de BA! determine el momento de esta #uer$a alrededor de C. )pta* +c , -5/i 06/j 0152 3lb#.#t4
Datos :
T AB =555 N T BC =660 N
⃗ BA T BA=T BA . μ ⃗ T T BA=
555 N
√ (−0,75 ) + (−7 ) + 6 2
2
2
(−0,75 i −7 j +6 k )
T BA=− 45 i − 420 j + 360 k [ N ]
⃗ Bc T Bc = T Bc . μ ⃗ T T Bc =
660 N
√ ( 4,25 ) + (−7 ) + 1 2
2
2
( 4,25 i−7 j + k )
] T BA=340 i −560 j + 80 k [ N ]
F R=T BA + T BC F R= (− 45 i − 420 j + 360 k ) + ( 340 i − 560 j + 80 k ) F R=295 i − 980 j + 440 k [ N ] M O=r B /O x F R M O=7 j x ( 295 i − 980 j + 440 k )[ N . m ] M O=−2065 k + 3080 i [ N . m ] M O= 3080 i − 2065 k [ N . m ]
2% %l puntal de madera AB se emplea temporalmente para sostener el tec&o en voladi$o que se muestra en la #igura. Si el puntal ejerce en A una #uer$a de 5' (b dirigida a lo largo de BA! determine el momento de esta #uer$a alrededor de C. )pta* +c , -5/i 06/j 0152 3lb#.#t4
r ( ¿ ¿ A / C × F BA) R
M c =¿
⃗J +36 k ⃗k ) ∈¿ r A /C =( 48 i−6 J ⃗
F BA=
⃗J − 30 k ⃗k ) 57 ( −5 i +90 J ⃗
⃗J −18 k ⃗k ) =(−3 i +54 J ⃗
95
R c
M
[
=
i
j
k
48 −3
−6
36 −18
54
]
⃗ ) lb . ∈ ¿ M c = (−1836 i + 756 j⃗ + 2574 k R
⃗
⃗ ) lb.ft M c =(−153 i + 63 j⃗ + 214.5 k R
⃗
&% La rampa ABC se sostiene en las esquinas mediante cables en C y . Si la tensin que se ejerce en cada uno de los cables es de 7 N determine la distancia perpendicular desde el punto A &asta una l8nea que pasa por los puntos puntos C y 9.
Datos : T CG = T DE= 810 N d =
T CG =T CG . μCG
⃗
⃗ T = CG
810 N
√ (−0,6 ) + 3,3 + (−3 ) 2
2
2
(−0,6 i+ 3,3 j−3 k )
T CG =−108 i + 594 j − 540 k [ N ] T CG = √ ( −108 ) + 594 + (− 540 ) [ N ] 2
2
2
T CG= 810 N M A= r G / A x T CG M A= ( 2,7 i + 2,3 j ) x (−108 i + 594 j −540 k ) M A= 1603,8 k + 1458 j + 248,4 k −1242 i [ N . m ] M A=−1242 i + 1458 j + 1852,2 k [ N . m ] M A= √ (− 1242 ) + 1458 + ( 1852,2 ) [ N . m ] 2
2
M A= 2664,389 N . m
2
M A=T CG . d 2664,389 N . m = ( 810 N ) . d
d =3,289 m
#% etermine el momento resultante producido por las #uer$as :B y :C respecto al punto ". %;prese el resultado como un vector cartesiano. )pta* ,3<'10'1 4 .
⃗ F = F ∗ μ
F c =
420∗( 2 i −3 j −6 k )
⃗
F B =
√ 2 + 3 + 6 2
2
2
780∗ (2,5 j − 6 k )
⃗
√ 2,52 +62
=( 120 i −180 j −360 k ) N
=( 300 j−720 k ) N
F R = F c + F B = ( 120 i − 120 j − 1080 k ) N ⃗
⃗
⃗
r =(6 ! ) m ⃗ 0 A
[
i
j
k
120
0 120
6 − 1080
Mo = r 0 A x F R = 0
⃗ ⃗
⃗
Mo =( −720 i + 720 j ) N . m Mr= ( 45 i −48 j + 80 k ) N . m
]
5% %l ensamble de tubos está sometido a la #uer$a de 7 N. etermine el momento de esta #uer$a con respecto al punto A. R'(): ,3<5./=0/. 0.> 4 .
F " = F sin 30 =80sin30 F " =40 N F x = 67,28cos 40 F " =53,07 N F R= ( 44,53 i + 53,07 j −40 k ) r = ( 0,55 # + 0,4 J − 0,2 ! ) m ⃗ CA
M A= r C / A x F R M A=( 0,55 # + 0,4 J −0,2 ! ) x ( 44,53 i + 53,07 j −40 k ) [ N . m ] M A=29,18 i + 22 j −17,812 k −16 i −8,9 j + 10,61 i [ N . m ] M A=−5,39 i + 13,1 j + 11,36 k [ N . m ]
6% etermine el momento producido por la #uer$a : con respecto al segmento AB del ensamble de tubos AB. %;prese el resultado como un vector cartesiano. )pta* ,3<51.7<'.> 4
r (¿¿ C / A × F ) M AB= $ AB ¿ $ AB =
( 3 i +4 J ) ⃗
= 0.6 i+0.8 ⃗J ⃗
5
r C / A =( 3 i + 4 J + 4 ⃗k ) m ⃗
F = (−20 i + 10 ⃗ J + 15 ⃗k ) N ⃗
[
M =r C / A × F =
i
j
k
3 −20
4 10
4 15
M = ( 20 i − 125 j⃗ + 110 k⃗ ) N . m ⃗
r (¿¿ C / A × F ) M AB= $ AB ¿
]
M AB=( 0.6 i + 0.8 ⃗ J ) . ( 20 i −125 j⃗ + 110 ⃗k ) ⃗
⃗
M AB=12−100 =−88 N . m M AB= $ AB . M AB M AB=−88 . ( 0.6 i + 0.8 ⃗ J )= (−52.8 i −70.4 ⃗ J ) N .m ⃗
⃗
% Si la tensin en el cable es : , > lb! determine la magnitud del momento producido por esta #uer$a con respecto al eje articulado C! del panel
Datos : F =140 lb
M CD =
⃗ CD . r A /C x T AB M CD = μ ⃗ AB T AB = F . μ 140 lb ⃗ T AB = (−6 i + 4 j +12 k ) 14
T AB =−60 i + 40 j + 120 k [ lb ]
μ ⃗ CD =
r A / C = r A − r C r A /C = ( 6 i + 0 j + 0 k ) −(0 i + 0 j + 0 k )
8 j + 6 k
√ 8 2+ 62
⃗ CD=0,8 j +0,6 k μ
r A /C = 6 i [ %i&s ] r A / C x T AB= 6 i x (−60 i + 40 j + 120 k ) r A / C x T AB=− 720 j + 240 k [ lb . %i& ]
M CD =( 0,8 j + 0,6 k ) . ( −720 j + 240 k ) [ lb. %i& ] M CD=−576 + 144 [ lb. %i& ] M CD =−432 [lb.%i& ]
*% %l ensamble de tubos está asegurado a la pared mediante dos soportes. Si la #uer$a de #riccin de ambos soportes puede resistir un momento má;imo de 5 lb-pie! determine el má;imo peso de la maceta que puede ser sostenido por el ensamble sin ocasionar que ?ste gire alrededor del eje "A. )pta* ,56.7
0 B ' = ( 4 + 3cos30 ) cos60 o
0 B ( =( 4 +3cos30 ) s&) 60 o
0 B * =4 s&) 3 0
o
o
o
=3,3
=5,7
=1,5
⃗ r =( 3,3 i + 5,7 j + 1,5 ! ) ft 0B
r =( 3,3 −0 ) i + ( 5,7− 4 ) j + ( 1,5 −3 ) ! =( 3,3 i + 1,7 j −1,5 k ) ft ⃗ AB
4 j + 3 k 4 3 = j + k + = ⃗ √ 4 + 3 5 5 OA
2
2
Mo =+ OA . r 0 B x ,
⃗⃗
150=
150=
[
0 3,3 0
4 5
4
3
5
5
5,7 0
1,5
−,
]
( 3,3 ) ( , )
, = 56,9 lb
"% La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rtula en B y y se mantiene en la posicin mostrada mediante los cables A% y C:. Si la #uer$a ejercida por el cable C: en C es de // N! determine el momento de esa #uer$a respecto de la l 8nea que une los puntos y B. R'(): +B, -=.5 N.m
⃗ CF T CF =T CF . μ ⃗ T BA=
33 N
√ ( 0,6 ) +(−0,9 ) + (−0,2 ) 2
2
2
( 0,6 i −0,9 j−0,2 k )
T BA=18 i −27 J −6 k [ N ]
r C / D= 0,2 j − 0,4 k
M DB = μ DB . r C /B x T CF r C / B x T CF =( 0,2 j − 0,4 k ) x ( 18 i − 27 j − 6 k ) r C /B x T CF =−3,6 k −1,2 i − 7,2 j −10,8 i [ N . m ] r C /B x T CF =−12 i −7,2 j − 3,6 k [ N . m ] M DB =⃗ μ DB . M DB μ ⃗ AD=
1,2 i − 0,35 k
√ 1,2 +(− 0,35 ) 2
2
⃗ AD= 0,96 i −0,28 k μ M DB =( 0,96 i −0,28 k ) . (−12 i −7,2 j −3,6 k )
M DB =−9,50 N . m
$!% @n letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados %: y %9. Si la #uer$a ejercida por el cable %9 en es de 5> (b! determine el momento de esa #uer$a alrededor de la l8nea que une los puntos A y . )pta* +A , -1/5 lb in
BC =√ 48 + 36 =60 2
2
BE 45 = =0.75 BC 60 r E=( 0.75 x 48 ) i + 96 j +(36 x 0.75 )k⃗ ⃗
r (¿¿ E / A × F ) M AD= $ AD ¿
$ AD =
( 48 i −12 ⃗J + 36 ⃗k ) ⃗
=0.785 i−0.196 ⃗J + 0.588 ⃗k ⃗
61.18
r E/ A = ( 36 i + 96 J + 27 ⃗k ) ∈¿ ⃗
F EG=
54 ( 11 i −88 J −44 ⃗ k ) ⃗
=( 6 i−48 ⃗J − 24 ⃗k ) ⃗
99
[
i
M = 36 6
j
k
96 −48
27 −24
]
,
(−1008 i + 1020 J −2304 ⃗k ) ⃗
M AD= ( 0.785 i −0.196 J + 0.588 k⃗ ) . (−1008 i + 1020 J −2304 ⃗k ) ⃗
⃗
M AD=−791.3 −199.92 − 1354.75 M AD=−2346 -b .∈¿
$$% %l marco AC está articulado en A y y se sostiene por medio de un cable! el cual pasa a trav?s de un anillo en B y está unido a los ganc&os en 9 y . Si se sabe que la tensin en el cable es de >5 N! determine a distancia perpendicular entre el tramo B9 del cable y la diagonal A.
Datos : T BG= 450 N
d =
T BG= T BG . μ BG
⃗
⃗ T = BG
450 N
√ (−0,5 ) + 0,925 + (−0,4 ) 2
2
2
(−0,5 i+ 0,925 j −0,4 k )
T BG=− 200 i + 370 j − 160 k [ N ] T BG=√ ( −200 ) + 370 + (−160 ) [ N ] 2
2
2
T BG= 450 N
M AD= μ AD . r B / A x T BG
⃗
r B / A x T BG= 0,5 i x (− 200 i + 370 j − 160 k ) r B / A x T BG=185 k + 80 j [ N . m ] r B / A x T BG= 80 j + 185 k [ N . m ] μ ⃗ AD=
i −0,75 k
√ 1 +(− 0,75 ) 2
2
⃗ AD= 0,8 i − 0,6 k μ M A=( 0,8 i − 0,6 k ) . ( 80 j + 185 k ) [ N . m ] M A=−111 N . m
| M A|= 111 N . m
T BG
%aral&lo
T BG
%aral&lo
=T BG . μ⃗ AD
=(−200 i + 370 j −160 k ) . ( 0,8 i −0,6 k ) T BG
%aral&lo
=− 160 + 96 [ N ]
T BG
%aral&lo
=−64 N
T T
(¿ ¿ BG %&r%&)diclar ) (¿ ¿ BG %aral&lo )2+¿ 2 T BG = ¿
2
T BG
%&r%&)diclar
T BG
= √ 4502 +(−64 )2
%&r%&)diclar
| M A|=T BG
%&r%&)diclar
= 445,425 N
.d
111 N . m =( 445,425 N ) . d
d =0,2491 m
$2% etermine el momento de par resultante de los dos pares que actan sobre el ensa mble de tubos. La distancia desde A &asta B es d , > mm. %;prese el resultado como un vector cartesiano. )pta* ,3<1.< <'./ 4 .
r = (− 0,4 cos 30 j + 0,4 sin 30 k ) ⃗ AB
⃗ r =−0,35 j + 0,2 k AB
⃗ ⃗
[ [
i
j
k
M 1 = r AB x F 1= 0 0,35 ⃗
⃗ M 2 =⃗ r x F 2= AB
⃗
0
0,2 35
0
]
=−12,25 i
i
j
k
0 −50
0,35 0
0,2 0
]
=−10 j −17,3 k
⃗⃗
M R = M 1 + M 2 =( −12,24 i −10 j −17,3 k ) N . m ⃗
$&% )eemplace el sistema de #uer$as que acta sobre la viga por una #uer$a y un momento de par equivalentes en el punto B.
tan / =
3 4
/=36,86 0 F 1 ( = F 1 . sin / F 1 ( = 2,5sin 36,86 0 F 1 ( =1.5 kN
F x =¿ F 1 x + F 2 x
∑¿
F 1 x = F 1 . cos / F 1 x =2,5cos 36,86 0 F 1 x =−2 kN
F 2 ( = 1,5 sin 30 0
F 2 x =1,5cos30 0
F 2 ( =−1.3 kN
F 2 x =−0,75 kN
F x = 0,75 − 2 [ kN ] F x =−1,25 [ kN ] F ( =¿ F 1 ( + F 2 ( + F A
∑¿
F ( =−3 −1,5− 1,3 [ kN ] F x =− 5,8 [ kN ] F R= √ F x + F ( 2
2
F R=5,93 [ kN ]
M B= F 1 ( ( 6 m ) + F 2 ( ( 2 m ) M B=1,5 ( 6 )+ 1,3 ( 2 ) M B= 11,6 [ kN . m ]
$#% )eemplace las dos #uer$as que actan sobre el poste por una #uer$a resultante y un momento de par en el punto ". %;prese los resultados en #orma vectorial cartesiana. )pta*,31< 4!,3<601 4 .
r 1=( 0 i + 0 J + 6 k⃗ ) m ⃗
r 2 =( 0 i + 0 ⃗ J + 8 k⃗ ) m ⃗
F 1=
J −6 k⃗ ) 7 ( 2 i −3 ⃗
F 2 =
=( 2 i −3 ⃗J −6 ⃗k )
⃗
⃗
7
5 ( 0 i+ 6 ⃗ J − 8 k⃗ ) ⃗
= ( 0 i + 3 ⃗J − 4 ⃗k ) ⃗
10
[
i
j
k
2
0 −3
6 −6
M 1= 0
]
M 1=( 18 i + 12 j⃗ + 0 k⃗ ) !N . m ⃗
[
i
j
k
0
0 3
8 −4
M 2= 0
]
M 2=( −24 i + 0 j⃗ +0 ⃗k ) !N . m ⃗
M o = M 1+ M 2= (−6 i + 12 j⃗ ) !N . m R
⃗
F R= F 1 + F 2= ( 2 i + 0 j⃗ −10 ⃗k ) !N ⃗
$5% Las #uer$as : y :1 de las manijas se aplican al taladro el?ctrico. )eemplace este sistema de #uer$as por una #uer$a resultante y un momento de par equivalentes que acten en el punto ". %;prese los resultados en #orma vectorial cartesiana.
Datos :
F 1= 6 i −3 j − 10 k [ N ] F 2 =2 j − 4 k [ N ]
F R= F 1 + F 2 F R= 6 i − 3 j −10 k + 2 j − 4 k F R= 6 i − j −14 k [ N ]
M O= r A / O x F 1+ r B / O x F 2 M O=( 0,15 i + 0,3 k ) x ( 6 i −3 j −10 k ) +(−0,25 j + 0,3 k ) x ( 2 j − 4 k ) M O=− 0,45 k + 1,5 j + 1,8 j + 0,9 i + i − 0,6 i [ N .m ] M O=1,3 i + 3,3 j −0,45 k [ N . m ]
$6% Se tiene que levantar la losa con las tres eslingas que se muestran. )eemplace el sistema de #uer$as que acta sobre las eslingas por una #uer$a y un momento de par equivalentes en el punto ". La #uer$a : es vertical. )pta* ,3/6 <16. 01.1 4 .
x( =5 cos 45=3,53 x =3,53 s&) 30 =1,76
( =3,53cos30 =3,06 * =4 cos45=2,83
F 1=(6 k ) ! ⃗
F 2=(−1,76 i +3,06 j +3,53 ! ) !
F 3 =(2 i + 2 j +2,83 ! ) ! ⃗
F R = F 1+ F 2 + F 3= ( 0,24 i + 5,06 j + 12,4 k ) N ⃗
⃗
⃗
⃗
Con respecto a o
r 1=( 2 i + 6 j ) m ⃗
r 2=( 4 i ) m ⃗
[ ] [
i ⃗ M 1 = r x F 1= 2 ⃗
1
⃗
0
⃗
M 2 = r 2 x F 2= ⃗
⃗
j
k
6 0
0 6
= ( 36 i− 12 j ) !N . m
i
j
k
4 −1,76
0 3,06
0 3,53
]
=(−14,12 j + 12,24 k ) !N . m
⃗
MR = ( 36 i −26,12 j + 12,24 k ) kN . m
$% @na placa rectangular está sometida a la #uer$a y al par que se muestran en la #igura. %ste sistema debe reempla$arse por una sola #uer$a equivalente! a4 Dara E , >F! especi#ique la magnitud y la l8nea de accin de la #uer$a equivalente! b4 %speci#ique el valor de E si la l8nea de accin de la #uer$a equivalente debe intersecar a la l8nea C! / mm a la derec&a de .
F =48 N M =
∑ M =( 0,4 m ) ( 15 N ) cos 40 0+ 0,24 m (15 N ) sin 40 0 B
M =6,910 N .m
∑ M : M = d F
1
B
6,910 N . m = dx 48 N
d = 0,1496 m
∑ M : ( 0,4 m) ( 15 N ) cos 2 +0,24 m ( 15 N ) sin 2 = 0,1 m ( 48 N ) B
2 =¿ 4 5cos 2 + 3sin ¿ cos 2 5¿
¿ ¿
25cos 2 =( 4 − 3sin 2 ) 2
2
25 ( 1−sin 2 )=16 −24 si)2 + 9sin 2 2
2
2
34sin 2 − 24 si)2 −9 =0 2 − b 3 √ b − 4 ac si)2 =
2a
si)2 =
24 3 √ 24
2
−4 ( 34 )(− 9 ) 2 ( 34 )
si)2 =0,97686 2 = 77,7 0 si)2 =−0,27098 2 =−15,72 0
$*% Dara mantener cerrada una puerta! se usa una tabla de madera colocada entre el piso y la perilla del cerrojo de la puerta. La #uer$a que la tabla ejerce en B es de '5 N y está dirigida a lo largo de la l8nea AB. )eemplace esta #uer$a por un sistema equivalente #uer$a par en C. )pta* :c, 35 N4i 0 35 N4j G 3= N42! +c, 3''.> N.m4i 0 36.5 N.m4j 0 36.7 N.m42
r (¿ ¿ B / C × F AB) R
M c =¿ r B / C =( 683 i −860 J +0 ⃗k ) mm ⃗
F AB =
175 ( 33 i + 990 J − 594 k⃗ ) ⃗
=( 5 i + 150 ⃗J − 90 ⃗k ) N ⃗
1155
[
R c
i
j
M = 683 −860 5
150
k 0 −90
]
M c = ( 77400 i + 61470 j⃗ + 106750 ⃗k ) N . mm R
⃗
M c =( 77.4 i + 61.5 j⃗ + 106.8 ⃗k ) N . m R
⃗
$"% Cuatro #uer$as se aplican al componente de máquina AB% como se muestra en la #igura. )eemplace estas #uer$as por un sistema equivalente #uer$a-par en A.
R= ⃗
∑ F ⃗
R=− 300 i − 50 j − 120 i − 250 k [ N ] ⃗
R=− 420 i − 50 j − 250 k [ N ] ⃗
M A=
∑ ( r x F )
M A= r B / A x (−300 i −50 j ) + r D / A x (−250 k ) + r E / A x (−120 i ) M A= 0,2 i x (−300 i −50 j )+ ( 0,2 i + 0,16 k ) x (−250 k ) +( 0,24 i −0,1 j + 0,16 k ) x (−120 i ) M A=−10 k + 50 j −12 k − 19,2 j M A=30,8 j − 22 k [ N .m ]
[ N . m ]
2!% @n puntal ajustable BC se utili$a para colocar una pared en posicin vertical. Si el sistema #uer$a-par que se ejerce sobre la pared es tal que B , 1.1 (b y + , /.15 (b . #t! encuentre un sistema #uer$a-par equivalente en A. )pta* )A , 37.> lb4i G3=.1 lb4j G3/.1 lb42
⃗ R= R∗ μ R= ⃗
21,2∗ ( 42 i −96 j −16 k )
√ 422 + 96 2+ 162
R= ( 8,4 i − 19,2 j − 3,2 k ) lb ⃗
2$% Cuatro seHalamientos se montan en un marco que está sobre la carretera y las magnitudes de las #uer$as &ori$ontales del viento que actan sobre las seHales son las que se muestran en la #igura. etermine a y b tales que el punto de aplicacin de la resultante de las cuatro #uer$as se encuentre en 9.
F 1= 105 lb F 2 =90 lb F 3 =50 lb
F 4=160 lb
∑ M =0 B
M G= r F 1 / G x F 1 + r F 2 / G x F 2+ r F 3 / G x F 3 + r F 4 / G x F 4 0 = (−9 i −2 j ) x (− 105 k ) + [−( 14,5−b )+ ( 3 + a ) ] x (−90 k ) + ( 8 i −2,5 j ) x (−50 k ) 0 =−945 j + 210 i − (1305 − 90 b ) j + (− 270 − 90 a ) i + 400 j + 125 i
i : 0 = 210− 270−90 a + 125 90 a =65
a = 0,722 ft j : 0=−945 −1305 + 90 b + 400 90 b =1850
b = 20,55 ft
22% @n grupo de estudiantes carga la plata#orma de un tráiler de 1 I /./ m con dos cajas de .66 I .66 I .66 m y con una caja de .66 I .66 I .1 m. Cada una de las cajas se coloca en la parte posterior del tráiler! de tal #orma que queden alineadas con la parte trasera y con los costados del tráiler. etermine la carga m8nima que los estudiantes deben colocar en una caja adicional de .66 I .66 I .1 m y el sitio en el tráiler donde deben asegurarla si ninguna parte de las cajas debe salirse de los costados. Además! suponga que cada caja está cargada uni#ormemente y que la l8nea de accin de la resultante del peso de las cuatro cajas pasa por el punto de interseccin de las l8neas centrales y el eje del tráiler. 3Sugerencia* Jome en cuenta que las cajas pueden colocarse sobre sus e;tremos o sobre sus costados.4 )pta* KL ,/57 N
⃗ ) x R j⃗ M d =r × R =( 1 i + 1.65 k R
⃗
R =792 + F 4 R
M d = M 1+ M 2 + M 3+ M 4
[
]
i
j
k
0
0 −224
0.33 0
M 1= 0.33
M 1= ( 73.92 i + 0 j⃗ −73.92 ⃗k ) N . m ⃗
[
i
j
k
0
0 −176
2 0
M 2= 1.67
]
M 2=( 352 i + 0 j⃗ −293.92 ⃗k ) N . m ⃗
[
i
M 3= 1.67 0
j
k
0 −392
0.6 0
]
M 3= ( 235.2 i + 0 j −654.64 k⃗ ) N . m ⃗
¿ M 4=
[
i
j
k
0.33 0
0
2.7 0
− F 4
]
M 4=( 2.7 F 4 i + 0 j −0.33 F 4 k⃗ ) N . m ⃗
M d = 661.12 i + 2.7 F 4 i − 1022.48 ⃗k − 0.33 F 4 ⃗k ¿ R
⃗
⃗
M d =(1 i + 1.65 ⃗k ) x ( 792+ F 4 ) j⃗ R
⃗
M d =−792 ⃗k − F 4 ⃗k + 1306.8 i + 1.65 F 4 i R
⃗k 4
⃗
⃗
−1022.48 − 0.33 F 4
−792 − F 4 =¿
F 4=344 N
[
i M 4= x
j 0 −344
0
]
k * 0
M 4= (344 * i + 0 j⃗ − 344 x ⃗k ) N . m ⃗
M d =661.12 i +344 * i−1022.48 ⃗k −344 x ⃗k ¿ R
i4
⃗
⃗
661.12 + 344 * =¿
1306.8 + 567.6
,/./
k4
−1022.48 −344 x =−1136 I,./5
¿ M 4=
[
i
j
k
0.35 0
0
3.03 0
− F 4
]
M 4=( 3.03 F 4 i + 0 j⃗ − 0.35 F 4 ⃗k ) N . m ⃗
⃗ −0.35 F 4 ⃗k ¿ M d =661.12 i + 3.03 F 4 i − 1022.48 k R
⃗k 4
⃗
⃗
−792 − F 4 =¿
−1022.48 − 0.35 F 4
F 4= 357.6 N
2&% etermine si el sistema #uer$a-par mostrado en la #igura puede reducirse a una sola #uer$a equivalente R . Si esto es posible! determine R y el punto donde la l8nea de accin de R interseca al plano y$. Si la reduccin no es posible! reemplace el sistema dado por una llave de torsin equivalente y determine su resultante! su paso y el punto donde su eje interseca al plano y$.
Datos : F A = 50 N F G = 70 N T G5 = T G5 . μG5
⃗
70 N ⃗ ( 0,04 i +0,06 j − 0,12 k ) T = 0,14 G5
T G5 = 20 i + 30 j −60 k [ N ] R= F A + T G5 R=50 k + 20 i + 30 j −60 k [ N ] ⃗
R=20 i + 30 j −10 k [ N ] ⃗
∑ ( r x F )
M O=
⃗ #F M O=r A / O x F A + r G /O x T G5 + M A . μ AF + M B . μ M O=( 0,12 j + 0,06 k ) x ( 50 k ) + 0,16 i x ( 20 i + 30 j −60 k ) +
10 N . m 0,2
( 0,16 i −0,12 j ) + 14 N .m ( 0,04 i−0,12 j +
M O= 6 i + 4,8 k + 9,6 j + 8 i −6 j + 4 i −12 j + 6 k [ N . m ] M O=18 i −8,4 j + 10,8 k [ N . m ] ⃗
Comprobamos! si la reduccin del sistema #uer$a-par a una sola #uer$a resultante*
R . M O =0
( 20 i+30 j −10 k ) . (18 i−8,4 j +10,8 k )= 0 360−252 −108=0 0 =0
allamos el punto donde el eje se interseca al plano M* Como nos dice en el plano M el radio r es*
r = 0 i + (j + *k [ m ]
M O=r x R 18 i −8,4 j + 10,8 k =( (j + *k ) x ( 20 i + 30 j −10 k )
0,14
18 i −8,4 j +10,8 k =−20 ( k −10 ( i +20 * j −30 * i
i : 18 =−10 ( −30 * 18=−10 (−0,54 )−30 (−0,42 ) 18=18
j :− 8,4 =20 * * =−0,42 m
k :10,8=−20 (
( =−0,54 m
2#% etermine si el sistema #uer$a-par mostrado en la #igura puede reducirse a una sola #uer$a equivalente ). Si esto es posible! determine ) y el punto donde la l8nea de accin de ) interseca al plano y$. Si la reduccin no es posible! reemplace el sistema dado por una llave de torsin equivalente y determine su resultante! su paso y el punto donde su eje interseca al plano y$. )pta* ), -3>1 lb4i 0 37 (b4j -37 lb42 ;, ! y, .5= in! $ , -./' in.
⃗
F DA =
⃗
F ED=
34∗(−12 i + 9 j + 8 k )
√ 12 + 9 + 8 2
2
30∗(−6 i − 8 k )
√ 6 + 8 2
2
2
=(−24 i + 18 j +16 k )
=(− 18 i− 24 k )
⃗⃗
F R= F DA + F ED=(−42 i + 18 j −8 k ) ⃗
⃗
M A! =
160∗( −6 i −6 j + 18 k )
√ 6 + 6 + 18 2
2
2
=( 48,24 i −48,24 j + 144,73 k )
M 1 = r D6 x R
⃗
160
√ 11 160
√ 11
j :−
k :
(−i − j + 3 k )= (−12 i+ ( ( −3 ) j + k ) x (−42 i+ 18 j −8 k ) (−i − j + 3 k )= [( ( −3 ) (−8 )−18 * ) ¿ i + [ * (−42 ) −(−12 ) (−8 ) ] j +[−12 ( 18 )−( ( −3 )(− 42)] k
160
√ 11
480
√ 11
=− 42 * − 96
=− 216 + 42 ( ( − 3 )
I, M,-!/' ,!6
25% Si se requiere que la #uer$a resultante acte en el centro de la losa! determine la magnitud de las cargas de columna :A y :B! as8 como la magnitud de la #uer$a resultante.
F R= ⃗
∑ F
*
− F R =− F A − F B−30 −90 −20 [ kN ] ⃗
−140− F (¿ ¿ A − F B ) k − F R=¿ ⃗
F R=140 + F A + F B M O=r x F R M O=( 3,25 i + 3,75 j ) x (− F R k ) ⃗
M O=3,25 F R j − 3,75 F R i [ k N . m ] M O=r F 1 / o x F 1+ r F 2 / O x F 2 + r F 3 /O x F 3 + r FA / O x F A + r FB /O x F B M O=( 0,75 i + 0,75 j ) x (−30 k ) + ( 3,25 i + 3,75 j ) x (− 90 k )+ ( 0,75 i + 6,75 j ) x (−20 k ) + ( 5,75 i + 0,75 j ) x (− F B k ) M O=22,5 j −22,5 i −337,5 i + 15 j −135 i + 5,75 F B i + 5,75 F A j −6,75 F A i 3,25 F R j −3,75 F R i =(−495 −0,75 F B−6,75 F A ) i + ( 330+ 5,75 F B + 5,75 F A ) j
i : − 3,75 F R=− 495 − 0,75 F B− 6,75 F A F R= 132 + 0.2 F B + 1,8 F A j :3,25 F R=330 + 5,75 F B + 5,75 F A F R= 101,538 + 1,769 F B + 1,769 F A
F B + 140 + F A = 132 + 0,2 F B + 1,8 F A F A =10 + F B 140 + F A + F B=101,538 + 1,769 F B + 1,769 F A
F A =50,015 − F B F A = 50 − 20 F A =30 !N F B=20 !N
F R= (140 + 20 + 30 ) !N F R=190 !N
26% Si :A , ' 2N y :B , 5 2N! represente el sistema de #uer$as que acta sobre los voladi$os mediante una #uer$a resultante y especi#ique su ubicacin sobre el plano ;-y. )pta* ,16 !,/.75!,71.'
F
(¿ ¿ A + F B +8 + 6 ) !N =26 !N F R =¿ M o = ( r × F R ) =( x i + ( ⃗ J ) x (− 26 ⃗k ) R
⃗
M o =(26 x j⃗ −26 ( i ) R
⃗
R
M o = M 1+ M 2 + M 3+ M 4
[
i
M 1= 150 0
j
k
600 0
0 −7
]
M 1=(−4200 i +1050 j⃗ + 0 ⃗k ) !N . mm ⃗
[
M 2=
i
j
k
− 100
700 0
0 −8
0
]
M 2= (−5600 i − 800 j⃗ + 0 ⃗k ) !N. mm ⃗
[
i
j
k
M 3= 100 −650 0
0
0 −6
]
M 3= ( 3900 i + 600 j + 0 ⃗k ) !N .mm ⃗
M 4=
[
i
j
−150 − 750 0
0
k 0 −5
]
M 4= (3750 i −750 j + 0 ⃗k ) !N . mm ⃗
M o =−2150 i + 100 j⃗ R
⃗
26 x j −26 ( i =−2150 i +100 j
i4 ⃗
j 4
−2150 = ( =82.7 mm −26 100 26
= x =3.846 mm
2% )eemplace el sistema de #uer$a y momento de par que acta sobre el bloque rectangular por una llave. %speci#ique la magnitud de la #uer$a y del momento de par de la llave! as8 como el punto donde su l8nea de accin interseca el plano ;-y.
Datos : F 1= 300 k [ lb] F 2 =−450 i [ lb ] F 3 =600 j [ lb ] M =600 i [lb . %i& ]
∑ F
F R= ⃗
⃗
F R= F 1 + F 2 + F 3 F R=300 k − 450 i +600 j [ lb ] ⃗
F R=−450 i +600 j +300 k [ lb ] ⃗
F R= √ (−450 ) +600 +300 2
2
2
F R= 807,77 lb
⃗ F = μ
−450 i + 600 j + 300 k [ lb ] 807,77 lb
R
⃗ F =−0,5579 i+ 0,7427 j + 0,3714 k μ R
La direccin de la #uer$a resultante 3
⃗ F 4! va ser la misma del momento resultante 3 μ ⃗ M μ R
R
4
⃗ F =⃗ μ μ M R
R
⃗ M M R = M R . μ
R
M R =(− 0,5579 i + 0,7427 j + 0,3714 k ) . M R
∑ ( r x F )
M R = ⃗
M R = r A / 6 x F 1 + r B / 6 x F 2 + r C / 6 x F 3 + M M R =[ ( 3− x ) i + ( 4 − ( ) j ] x 300 k + [ ( 3− x ) i + ( 4 − ( ) j + 2 k ] x (−450 i ) + [ − xi + ( 4 − ( ) j + 2 k ] x 600 j + 600 i ⃗
M R =−( 900−300 x ) j + ( 1200−300 ( ) i + ( 1800 − 450 ( ) k − 900 j −600 xk − 1200 i + 600 i ⃗
(−0,5579 i + 0,7427 j+ 0,3714 k )
.
M R =( 600−300 ( ) i + (300 x −1800 ) j +( 1800− 450 ( −600 x ) k
i : −0,5570 M R =600−300 ( M R = 538,6 ( − 1077,2
j :0,7427 M R =300 x −1800 M R = 403,93 x − 2423,58 ( 2 )
34
j :0,3714 M R =1800− 450 ( −600 x M R = 4846,526 − 1615,50 x − 1211,63 ( ( 3 )
( 1 )=(2) 538,6 ( −1077,2 =¿
403,93 x −2423,58
( =0,75 x −2,5
3>4
( 4 ) &) (3 ) M R = 4846,526 −1615,50 x −908,72 x + 3029,075 M R = 7875,601 −2524,22 x
354
( 5 ) &) (2 ) 2928,15 x =10299,18
x =3,517 %i&s. )eempla$ando x en 3>4 e y en 34
( =0,75 ( 3,517 )−2,5 ( =0,138 %i& .
M R =538,6 ( 0,138 )−1077,2 M R =−1002,92 lb.ft
2*% )eemplace las tres #uer$as que actan sobre la placa por una llave. %speci#ique la magnitud de la #uer$a y del momento de par para la llave! as8 como el punto D 3;! y4 donde su l8nea de accin interseca la placa. )pta* ,== !,/.' .! ,.6 !,1.6
