Statistika Dasar
BAB 4
UKURAN GEJALA PUSAT
Pada umumnya, data biasanya menunjukkan kecenderungan berkumpul pada nilai-nilai tertentu, yaitu di tengahtengah distribusi. Nilai yang dapat menjelaskan kecenderungan ini disebut ukuran gejala pusat. Ukuran dari data sampel disebut statistik dan ukuran dari populasi disebut parameter. Statistik biasanya digunakan untuk mempelajari perilaku parameter yang dilakukan dalam bentuk pengujian hipotesis atau penaksiran parameter Untuk keperluan perhitungan, pada umumnya nilai-nilai dari data kuatitatif di-nyatakan dengan simbol x1, x2, …, xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat sebanyak n nilai. Simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyaknya data atau anggota sampel. Sedangkan jika banyaknya anggota populasi terhingga, kita gunakan simbol N untuk ukuran populasi. A. Rata-rata Rata-rata (biasa juga disebut rata-rata hitung) suatu data kuantitatif dihitung dengan menggunakan semua nilai dalam data. Misalnya, nilai ujian statistika dari lima orang mahasiswa sebagai beri-kut: 65, 70, 50, 46, dan 69. Jika kita gunakan simbol, maka diperoleh x1 = 65, x2 = 70, x3 = 50, x4 = 46, x5 = 69, dan n = 5 menyatakan ukuran sampel. Simbol rata-rata untuk sampel ialah x (baca: eks garis), sedangkan rata-rata untuk populasi dipakai simbol µ (baca: mu). Jadi x adalah statistik dan µ adalah parameter yang menyatakan nilai rata-rata. Rumus rata-rata adalah:
Ukuran Gejala Pusat
33
Statistika Dasar
n
x + x2 + + xn x= 1 n
atau
x =
∑x i =1
i
n
Dengan menggunakan rumus ini, rata-rata nilai statistika lima orang mahasiswa terse-ut di atas adalah: x =
65 + 70 + 50 + 46 + 69 300 = = 60 5 5
Jika ada lima mahasiswa mendapat nilai 65, enam mendapat nilai 70, tiga mendapat nilai 50, dua mendapat nilai 46, dan empat mahasiswa mendapat nilai 69, maka lebih baik data itu ditulis sebagai berikut: Tabel 4.1 Distribusi Frekuensi Nilai Statistika 20 Mahasiswa xi fi xi menyatakan nilai ujian, dan fi 65 5 menyatakan frekuensi untuk nilai 70 6 xi yang bersesuaian. Misalnya: f1 50 3 = 5 untuk x1 = 65, f2 = 6 untuk x2 46 2 = 70 dan seterusnya. 69 4
Untuk data berbentuk demiki-an, rumus rata-ratanya adalah: k
x =
∑ fi i =1 k
xi
∑ fi i =1
k
Perlu diperhatikan bahwa ∑ f i i =1
=n.
Rumus ini disebut rumus
rata-rata berbobot dengan frekuensi setiap nilai sebagai bobotnya. Jadi, rata-rata ialah jumlah hasil kali antara frekuensi dan nilai data dibagi oleh jumlah frekuensi. Untuk contoh di atas dianjurkan dibuat tabel penolong seperti pada tabel berikut:
Tabel 4.2 Nilai Statistika 20 Mahasiswa 34
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar
xi 65 70 50 46 69 Jumlah
fi 5 6 3 2 4 20
fi xi 325 420 150 92 276 1263
5
∑fi i =1
5
dan ∑ f i xi
= 1263 ,
i =1
sehingga:
k
x =
= 20
∑ fi i =1 k
xi
∑ fi i =1
1263 x = = 63,15 . 20
diperoleh Jadi, nilai rata-rata ujian statistika untuk ke-20 mahasiswa itu adalah 63,15. Contoh 4.1 Tabel 4.3 Banyaknya Barang Rusak yang Disimpan di Gudang Nama Barang Disimpan Rusak Persentase Mentega 100 96 96 Kecap 200 92 46 Sabun 160 80 50 Mie Instan 80 60 75 Jumlah 540 328 -
Data pada Tabel 4.3 merupakan daftar banyaknya barang yang disimpan di gudang, di antaranya terdapat yang rusak. Tentukan rata-rata persentase barang yang rusak di gudang itu. Penyelesaian: Jika rata-rata persentase barang yang rusak dihitung dengan n
rumus
x =
∑xi i =1
n
diperoleh
x =
(96 + 46 + 50 + 75)% = 66,75% , 4
tetapi barang rusak ada 328 dari 540. Ini berarti 328 ×100% = 60,74% . Hasil ini didapat dengan menggunakan 540 Ukuran Gejala Pusat
35
Statistika Dasar
k
rumus
x =
∑ fi i =1 k
xi
, di mana k menyatakan banyaknya
∑ fi i =1
kelompok seperti dalam tabel berikut: Tabel 4.4 Persentase Barang Rusak yang Disimpan di Gudang xi (%) fi fi xi 96 100 96 46 200 92 50 160 80 75 80 60 Jumlah 540 328
Dalam Tabel 4.4, xi = persentase yang rusak, fi = banyaknya barang, sehingga di-peroleh fi xi pada baris pertama 96% x 100 = 96, dan seterusnya untuk baris yang lain. Demikian pula diperoleh
4
∑ f i = 540 i =1 k
x =
∑ f i xi i =1 k
∑ fi
4
dan ∑ f i xi
×100% =
i =1
= 328 .
Jadi,
328 ×100% = 60,74% 540
i =1
Dari Contoh 4.1 terlihat bahwa menghitung rata-rata dari beberapa nilai persen-tase tidak tepat apabila tidak diberi bobot sesuai nilai mutlak masing-masing nilai persentase tersebut. Contoh 4.2 Hitung rata-rata nilai dari 80 mahasiswa yang terdapat pada Tabel 3.2. Penyelesaian: Untuk menghitung rata-rata nilai 80 mahasiswa yang terdapat pada Tabel 3.2, dibuat kembali dalam bentuk Tabel 4.5. Dari
36
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar 7
Tabel 4.5 didapat ∑ f i i =1
= 80
7
dan ∑ f i xi i =1
= 6090 ,
sehingga
6090 = 76,12 . 80
Jadi, rata-rata nilai ujian statistika 80 mahasiswa adalah 76,12. x =
Tabel 4.5 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai Frekuensi Tanda Kelas fi xi Ujian (fi) (xi) 31 - 40 2 35,5 71,0 41 - 50 3 45,5 136,5 51 - 60 5 55,5 277,5 61 - 70 13 65,5 851,5 71 - 80 24 75,5 1812,0 81 - 90 21 85,5 1795,5 91 - 100 12 95,5 1146,0 Jumlah 80 6090,0
Cara lain untuk menghitung rata-rata dari data dalam tabel distribusi frekuensi dalam bentuk kelas interval ialah dengan cara sandi. Untuk ini ambil salah satu tanda kelas, namakan x0. Untuk harga x0 ini diberi nilai sandi c = 0. Tanda kelas yang lebih kecil dari x0 berturut-turut diberi harga sandi c = -1, c = -2, c = -3, dan se-terusnya. Tanda kelas yang lebih besar dari x0 berturut-turut diberi harga sandi c = +1, c = +2, c = +3, dan seterusnya. Dengan ini semua, jika p = panjang kelas interval yang sama besarnya, maka rata-rata dihitung dengan rumus k ∑ f i ci x = x0 + p i =1k ∑ fi i =1
Contoh 4.3 Tabel 4.5 Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai fi (xi) ci fi ci Ujian 31 - 40 2 35,5 -4 -8 41 - 50 3 45,5 -3 -9 Ukuran Gejala Pusat
37
Statistika Dasar
51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 Jumlah
5 13 24 21 12 80
55,5 65,5 xo=75,5 85,5 95,5 −
-2 -1 0 1 2 −
-10 -13 0 21 24 5
Telah diambil x0 = 75,5 dan nilai sandi c = 0 telah diberikan untuk ini. Harga-harga c = -1, c = -2, c = -3, dan c = -4 telah diberikan berturut-turut untuk tanda kelas 65,5; 55,5; 45,5; dan 35,5. Tanda kelas yang lebih besar dari x0 = 75,5 berturut-turut diberi harga c = 1 dan c = 2. Karena p =10, maka dengan mengguna-kan rumus terakhir di atas didapat 5 x = 75,5 +10 = 76,12 . 80
Catatan: Cara sandi di atas hanya berlaku jika panjang kelas interval semuanya sama. Selanjutnya, kita akan perhatikan beberapa ciri khusus ratarata. Dalam menghitung rata-rata, semua nilai data menentukan nilai rata-rata. Oleh karena itu, nilai ekstrim yang biasa juga disebut pencilan (out lier), baik yang terkecil maupun yang terbesar, sangat mempengaruhi nilai rata-rata. Misalnya, kita akan menghitung rata-rata penghasilan pegawai dalam sebuah perusahaan. Kalau penghasilan pemilik perusahaan yang lebih besar daripada penghasilan setiap pegawai lainnya dimasukkan dalam perhitungan, maka nilai rata-rata akan terangkat menjadi tinggi akibat nilai ekstrim penghasilan pemilik perusahaan itu. Demikian pula jika ada nilai ekstrim yang sangat kecil akan menurunkan nilai rata-rata. Oleh karena itu, nilai rata-rata bukan satu-satunya ukuran gejala pusat, masih ada beberapa alternatif yang dapat dipilih sesuai keperluan dan juga bila ada data pencilan. B. Rata-rata Ukur
38
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar
Rata-rata ukur sangat berguna dalam menghitung rata-rata rasio, persentase, dan pertumbuhan/penyusutan. Lebih khusus lagi, rata-rata ukur sangat penting dalam statistika ekonomi dan bisnis, misalnya dalam penentuan bilangan indeks. Misalkan sebuah perusahaan pemborong mempunyai tiga proyek yang memberikan keuntungan kepada perusahaan sebesar, masing-masing, 2, 4, dan 8 persen. Kalau dihitung dengan rata-rata hitung seperti pada bagian (a), maka setiap proyek memberikan keuntungan rata-rata sebesar 2+ 4+8 % = 4,67% 3
Perhitungan rata-rata seperti di atas sudah benar kalau setiap proyek sama besarnya. Kebetulan proyek yang ketiga merupakan proyek yang jauh lebih besar. Rata-rata ukur data yang bernilai x1, x2, …, xn adalah akar pangkat n dari hasil kali seluruh nilai data, dan ditulis seperti berikut U = n x1 . x 2 ... x n
Jika ada data nol atau negatif, maka rata-rata ukur tidak dapat digunakan. Rata-rata ukur pada contoh di atas adalah U = 3 2 ×4 ×8 % = 4% Rata-rata ukur data dalam bentuk distribusi frekuensi dihitung dengan rumus U = n x1f1 . x 2f 2 ... x nf n k
dengan ∑f i =n dan k menyatakan banyaknya kelas interval i =1
dari distribusi frekuensi itu. Jika data bernilai besar, rumus alternatif dengan menggunakan logaritma akan memudahkan perhitungan,
Ukuran Gejala Pusat
39
Statistika Dasar
terutama kalau hanya menggunakan kalkulator. Rumus tersebut adalah n
log U =
∑log x
i
i =1
n
yakni logaritma rata-rata ukur U sama dengan jumlah logaritma tiap data dibagi dengan banyaknya data. Rata-rata ukur akan didapat dengan mencari kembali anti logaritmanya. Untuk memperlihatkan penggunaan rumus ini, kita hitung rata-rata ukur dari 2, 4, dan 8, yaitu: log U =
log 2 + log 4 + log 8 3 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 3
= = 0,6021
Dengan demikian, rata-rata ukur U didapat dengan menghitung anti logaritma, yaitu U =10 0,6021 = 4 . Hasil ini dapat dihitung langsung dengan kalkulator atau dengan menggunakan daftar logaritma. Rumus alternatif rata-rata ukur data dalam bentuk distribusi frekuensi adalah k
log U =
∑( f i . log xi ) i =1
k
∑ fi i =1
k
dengan xi seperti biasa menyatakan tanda kelas dan ∑f i = n . i =1
Contoh 4.4 Nilai Ujian (1) 31 – 40 41 – 50 51 – 60
40
Tabel 4.6 Nilai Ujian 80 Mahasiswa fi xi log xi (2) (3) (4) 1 35,5 1,5502 2 45,5 1,6580 5 55,5 1,7443
fi log xi (5) 1,5502 3,3160 8,7215
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar
61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 20 91 – 100 12 Jumlah 80 Sumber: Soedjana (1992)
65,5 75,5 85,5 95,5 −
1,8162 1,8779 1,9320 1,9800 −
27,2430 46,9475 38,6400 23,7600 150,1782
Penyelesaian: Dari tabel diperoleh
7
∑( f i xi ) = 150,1782 i =1
7
dan ∑f i =80 , log U i =1
= 150,1782/80 = 1,8772 yang menghasilkan U = 101,8772 = 75,37. Jadi, nilai ujian 80 mahasiswa tersebut mempunyai nilai rata-rata ukur sebesar 75,37. Selanjutnya kita akan membicarakan tiga contoh penting penggunaan rata-rata ukur. 1. Merata-ratakan rasio. Ada dua pabrik dalam sebuah industri dan kita akan me-naksir rata-rata persentase peningkatan produksi dari tahun 2001 ke tahun 2002. Satu pabrik meningkat produksinya 20%, dan yang lainnya 50%. Jadi produksi tahun 2002 adalah 120% dari produksi tahun 2001 pada pabrik pertama, dan 150% pada pabrik kedua. Jika diberi bobot kepentingan yang sama pada masing-masing pabrik tanpa memperhatikan hasil produksi mutlak, maka digunakan rata-rata ukur. Rata-rata ukur menjadi 1,2 × 1,5 =1,34 atau 134%. Ini berarti rata-rata kenaikan produksi kedua pabrik itu adalah 34% (bukan rata-rata hitung (20+50)% = 35%. 2. Menghitung rata-rata pertumbuhan/penyusutan. Jika penduduk bertambah 10% dalam sepuluh tahun, maka pertambahan tahunan bukannya rata-rata hitung 10%/10 = 1%. Dalam kasus seperti ini, untuk menghitung perubahan penduduk, jumlah bunga majemuk, dan dalam situasi serupa.
Ukuran Gejala Pusat
41
Statistika Dasar
Untuk gejala yang bersifat tumbuh dengan syarat-syarat tertentu, seperti per-tumbuhan penduduk, bakteri dan lain-lain, sering digunakan rumus mirip rata-rata ukur: t
x Pt = P0 1 + 100
dengan P0 = keadaan awal atau permulaan Pt = keadaanakhir x = rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu t = satuan waktu yang digunakan. Contoh 4.5 Penduduk Indonesia pada akhir tahun 2000 diperkirakan mencapai 220 juta, sedangkan tahun 1995 ada 170 juta. Tentukan laju rata-rata pertumbuhan pendu-duk tiap tahun! Penyelesaian: Untuk menentukan laju rata-rata pertumbuhan penduduk tiap tahun kita gunakan rumus di atas dengan t = 5, P0 = 170, dan Pt = 220. Maka didapat 5
x 220 = 170 1 + 100
atau log 220 = log 170 + 5 log (1 +
atau 2,3424 = 2,2304 + 5 log (1 + atau log (1 + atau (1 +
x 100
x ) 100
x 100
)
x ) 100
) = 0,0224
= 100,0224 = 1,0529 atau
x
= 5,29. Jadi, laju rata-rata pertumbuhan penduduk = 5,29% tiap tahun. 3. Merata-ratakan sebuah deret yang mendekati deret ukur. Jika angka produksi dari sebuah perusahaan industri dalam jutaan ton adalah berturut-turut 2, 4, 8, 16, 32, 64, dan 128, maka rata-rata ukur yang digunakan. Perhitungan rata-rata ukur U adalah U = 7 2 × 4 × 8 ×16 × 32 × 64 ×128 atau log U = (log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + log 32 +log 64 + log 128)/7 = 42
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar
1,2041, dan U = 101,2041 = 16. Rata-rata x deret ini adalah 36,29 yang jauh lebih besar daripada rata-rata ukur U, karena dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim. Dalam praktek, kita tidak mencari pertumbuhan yang mengikuti deret ukur, tetapi kita mencari deret yang mendekatinya. Perlu diperhatikan pula bahwa penggu-naan rata-rata ukur tidak begitu terkenal, tidak mudah dipahami oleh orang awam, karena relatif lebih sulit cara menghitungnya. C. Rata-rata Harmonis Untuk data x1, x2, …, xn dalam sebuah sampel berukuran n, maka nilai rata-rata harmonis ditentukan oleh: H =
n 1 1 1 + + + x1 x 2 xn
atau
H =
n n
1 ∑x . i =1
i
Contoh 4.6 Tentukan rata-rata harmonis untuk kumpulan data 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12! Penyelesaian: Dengan ukuran sampel n = 7 rata-rata harmonis dapat dihitung sebagai berikut: H =
7 = 5,87 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 3 5 6 6 7 10 12
Penggunaan lain mengenai rata-rata harmonis seperti diberikan pada contoh berikut. Seorang pergi dan pulang mengendarai mobil dari tempat A ke tempat B yang jaraknya 300 km. Waktu pergi ia menempuh dengan kecepatan 75 km/jam dan waktu pulang dengan kecepatan 60 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pergi-pulang? Jawaban otomatis, dengan rata-rata hitung biasa, ialah (75 + 60)/2 km/jam = 67,5 km/jam. Jawaban ini tidak benar, karena panjang jalan 300 km sehingga untuk pergi diperlukan waktu 4 Ukuran Gejala Pusat
43
Statistika Dasar
jam (300/75) dan untuk pulang diperlukan waktu 5 jam (300/60). Jadi, pergi dan pulang memerlukan waktu 9 jam dengan menempuh jarak 600 km, sehingga kecepatan rata-rata adalah 600/9 km/jam = 66,67 km/jam. Hasil ini tiada lain adalah rata-rata harmonis H =
2 1 1 + 75 60
= 66,67
Untuk data dalam tabel distribusi frekuensi, rata-rata harmonis dihitung dengan rumus: k
H =
∑ fi i =1 k
f
∑ xi i =1
i
dengan xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi, dan k = banyaknya kelas interval.
Contoh 4.7 44
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar
Tentukan rata-rata harmonis data dalam Tabel 4.6! Penyelesaian: Jika nilai ujian dalam Tabel 4.6 dihitung rata-rata harmonisnya, maka Tabel 4.7 berikut diperlukan seperti berikut: Tabel 4.7 Nilai Ujian 80 Mahasiswa Nilai fi xi fi / xi Ujian (1) (2) (3) (4) 31 – 40 1 35,5 0,0282 41 – 50 2 45,5 0,0440 51 – 60 5 55,5 0,0901 61 – 70 15 65,5 0,2290 71 – 80 25 75,5 0,3311 81 – 90 20 85,5 0,2339 91 – 100 12 95,5 0,1256 Jumlah 80 1,0819 − Sumber: Soedjana (1992) Kolom (3) merupakan tanda kelas dan kolom (4) adalah hasil bagi kolom (2) dan (3). Dari Tabel 4.7 didapat 7
∑ f i xi = 1,0819 i =1
H =
dan
80 = 73,94 . 1,0819
7
∑fi i =1
= 80 ,
sehingga
diperoleh
Jadi rata-rata harmonis untuk nilai ujian
itu adalah 73,94. C. Modus Peubah yang diukur dengan skala pengukuran interval atau rasio dapat memberi informasi tentang rata-rata, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonis. Tetapi, peubah kategori dengan skala pengukuran nominal memiliki ciri tersendiri. Frekuensi kategori merupakan informasi yang dapat memberi petunjuk kecenderungan berkumpulnya sekelompok data nominal. Ukuran Gejala Pusat
45
Statistika Dasar
Ukuran gejala pusat yang relevan dengan situasi ini adalah modus, yaitu data (kategori) yang paling besar frekuensinya. Dengan modus, kita mendapat informasi tentang adanya kategori tertentu yang mendominasi kategori lainnya dalam pengamatan. Konsep frekuensi terbesar tergantung pada atau ditentukan oleh sistem pengelompokan dan variasi ukuran interval dalam distribusi. Modus kurang informatif dalam hal distribusi memiliki lebih dari satu konsentrasi yang berbeda dan terpisah. Penggunaan konsep modus dalam kehidupan sehari-hari sering dilakukan, tetapi banyak orang yang tidak menyadarinya. Misalnya, kita biasa membaca atau mende-ngar bahwa kebanyakan kematian di daerah tertentu disebabkan penyakit malaria, atau umumnya kecelakaan lalu lintas disebabkan oleh kecerobohan pengemudi. Contoh ini adalah modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas. Andaikan kita memiliki data 2, 4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 1, 2 yang mungkin saja angka-angka ini menyatakan lambang suatu sistem pengelompokan, maka untuk menentu-kan modus data itu ada baiknya kita buatkan tabel terlebih dahulu seperti berikut: Tabel 4.8 Distribusi Frekuensi Data xi fi 1 1 2 2 4 5 8 2 Jumlah 10 Frekuensi fi = 5 merupakan frekuensi terbesar yang terjadi untuk data bernilai 4, sehingga modus adalah 4. Kumpulan data yang mempunyai satu modus seperti ini disebut unimodal. Tabel 4.9 Distribusi Frekuensi Data xi fi 1 4 2 7 4 2 8 7 46
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar Jumlah
20
Selanjutnya, tabel distribusi frekuensi data seperti Tabel 4.9 menunjukkan bahwa bahwa frekuensi terbesar adalah 7 untuk data bernilai 2 dan 8. Ini menunjukkan bahwa ada dua modus, yaitu 2 dan 8. Bentuk distribusi seperti ini disebut bimodal, karena memiliki dua posisi konsentrasi. Dengan demikian, modus dalam hal ini tidak menunjukkan kecenderungan berkumpul. Jika data kuantitatif telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, modusnya yang ditulis dengan Mo dapat ditentukan dengan rumus b1 Mo = b + p b +b 1 2
dengan
b p b1 b2
= batas bawah kelas modus, ialah kelas interval dengan frekuensi terbesar, = panjang kelas modus, = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus, = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus. Tabel 4.10 Nilai Ujian 80 Mahasiswa xi fi 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 20 91 – 100 12 Jumlah 80
Jika rumus ini digunakan untuk mencari modus (Mo) dari data yang terdapat dalam Tabel 4.10, maka diperoleh: kelas modus = kelas kelima, yaitu 71 – 80, b = 70,5; b1 = 25 − 15 = 10; b2 = 25 − 20 = 5, p = 10. Jadi, 10 Mo = 70,5 + 10 = 77,5 10 + 5
Ketika orang berbicara tentang rata-rata pembeli menyukai merek A, biasanya dimaksudkan kebanyakan pembeli menyukai merek A. Modus dengan dua konsentrasi menghasilkan kumpulan data yang disebut bimodal. Keadaan ini biasanya terjadi karena: 1. Data mungkinheterogen. 2. Data mungkin dikelompokkan dengan cara yang kurang baik. Kelas interval kecil biasanya mengakibatkan bimodal.
Ukuran Gejala Pusat
47
Statistika Dasar 3. Hal kebetulan yang menghasilkan bimodal karena bisa saja terjadi bimodal walaupun datanya homogen.
D. Median Berbeda dengan rata-rata yang dihitung dari semua nilai data, median adalah posisi rata-rata. Kata posisi menunjuk pada tempat sebuah nilai dalam data. Posisi median dalam data berada di tengah, sehingga banyaknya data di bawahnya sama dengan banyaknya data di atasnya. Dengan kata lain, 50% dari data itu mempunyai nilai paling tinggi sama dengan median, dan 50% lagi nilainya paling rendah sama dengan median. Jika banyaknya data ganjil, maka median adalah data paling tengah setelah data disusun menurut nilainya dari yang paling kecil ke yang paling besar, atau sebaliknya. Untuk sampel yang berukuran genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, median sama dengan rata-rata hitung dua data paling tengah. Contoh 4.8 Tentukan median data: a. 5, 10, 4, 7, 8, 8, 3 b. 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 7 Penyelesaian: a. Sampel dengan data 5, 10, 4, 7, 8, 8, 3 setelah disusun menurut nilainya menjadi 3, 4, 5, 7, 8, 8, 10 maka median adalah 7, karena 7 adalah data paling tengah. b. Sampel dengan data 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 7 yang kalau disusun menurut nilainya menjadi 7, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19. Data paling tengah adalah 10 dan 12, sehingga median adalah (10+12)/2 = 11. Untuk data yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, mediannya yang ditulis dengan Me, dihitung dengan rumus: n −F Me = b + p 2 f
dengan b p n F
= = = =
batas bawah kelas median, ialah kelas di mana median terletak, panjang kelas median, ukuran sampel atau banyaknya data, jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil daripada tanda kelas median, f = frekuensi kelas median.
Contoh 4.9 Tentukan median nilai ujian mahasiswa pada Tabel 4.10. Penyelesaian: Untuk menghitung median nilai ujian 80 mahasiswa pada Tabel 4.10, kita perlu membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif seperti pada Tabel 4.11. 48
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar Tabel 4.11 Nilai Ujian 80 Mahasiswa xi 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah Letak median adalah
fi 1 2 5 15 25 20 12 80
fi kumulatif 1 3 8 23 48 68 80 −
n 80 = = 40 . Jadi, median terletak pada kelas interval 2 2
ke-lima (frekuensi kumulatif 48), karena sampai pada kelas interval ini frekuensi ku-mulatif sudah lebih 40, sedangkan frekuensi kumulatif kelas interval sebelumnya baru mencapai 23. Dari kelas interval ini diperoleh: b = 70,5; p = 10, f = 25, dan F = 1 + 2 + 5 + 15 = 23. Jadi, 80 − 23 2 = 77,3 . Me = 70,5 +10 25
Median dapat juga dipandang sebagai sebuah titik kesetimbangan. Rata-rata menyeimbangkan perbedaan dari dirinya sendiri, sedangkan median menyeimbangkan banyaknya data, yakni sebuah barisan yang menurut besarnya dibagi oleh median menjadi dua bagian yang sama banyak.
Soal Latihan 1. Berikan sebuah contoh kegunaan masing-masing ukuran gejala pusat berikut: a. rata-rata, b. rata-rata ukur, c. rata-rata harmonis, d. modus, e. median. 2. Mengapa rata-rata lebih stabil daripada median? Jelaskan! 3. Berikan contoh untuk memperlihatkan bahwa rata-rata ukur lebih tepat berfungsi sebagai rata-rata daripada rata-rata hitung! 4. Berikan contoh untuk memperlihatkan bahwa rata-rata harmonis lebih tepat berfungsi sebagai rata-rata daripada rata-rata hitung! 5. Kapan suatu kumpulan data hanya bisa dihitung modusnya? 6. Apakah sekumpulan data dapat memiliki median yang sama dengan rata-ratanya? Berikan contoh atau alasan jawaban Anda!
Ukuran Gejala Pusat
49
Statistika Dasar 7. Apakah sekumpulan data dapat memiliki rata-rata, median, dan modus yang sama? Berikan contoh atau alasan jawaban Anda! 8. Dapatkan median bukan anggota sampel? 9. Besarnya modal dalam jutaan rupiah dari 40 perusahaan nasional adalah sebagai berikut: 138 146 168 146 161
164 158 126 173 145
150 140 138 142 135
132 147 176 147 142
144 136 163 135 150
125 148 119 153 156
149 152 154 140 145
157 144 165 135 128
Hitung rata-rata, median, dan modusnya! 10. Dalam jangka waktu 3 bulan, harga gula pasir naik dua kali lipat. Berapa persenkah rata-rata kenaikan harga gula setiap bulan? 11. Selama lima minggu, perbandingan harga barang A terhadap harga barang B berturut-turut 2 kali, 2,25 kali, 2,50 kali, 2 kali, dan 1,75 kali. Secara rata-rata, berapa kali harga barang A terhadap harga barang B? 12. Sebuah sampel berukuran n mempunyai rata-rata x . Berapa nilai rata-rata sampel baru yang diperoleh jika: tiap nilai data dikurangi dengan tiga, tiap nilai data ditambah dengan tiga, tiap nilai data dikali dengan tiga, tiap nilai data dibagi dengan tiga. 13. Jumlah penduduk sebuah negara setiap bulan, untuk periode 1993 – 2003, dalam jutaan jiwa adalah sebagai berikut: Tahun 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Jumlah 10,16 12,10 13,90 15,91 17,93 20,07 22,72 25,87 29,01 30,98 36,17
a. Buatlah diagram yang cocok untuk data tersebut! b. Hitunglah berapa persen laju pertambahan penduduk rata-rata tiap tahun! c. Dari tahun berapa ke tahun berapa, laju pertambahan penduduk yang paling pesat?
50
Ukuran Gejala Pusat
Statistika Dasar
Ukuran Gejala Pusat
51
