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Axiomas de Zermelo-Fraenkel Zermelo-Fraenkel
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Axioma de elección
A diferencia de los axiomas de ZF, el axioma de elección es un axioma no constructivo, en el sentido de que no determina un conjunto único a partir de su información. Además, como puede observarse, carece de la obviedad que (aunque la complejidad notacional de estos haga en algunos casos pensar lo contrario) caracteriza a todos los otros axiomas. Esto llevó a algunos matemáticos al intento de probar el axioma de elección a partir de los demás axiomas, cosa en lo que todos ellos fracasaron. Estos intentos vanos de probar el axioma de elección después de grandes esfuerzos, y ciertas peculiaridades del mismo, algunos matemáticos pensaban ya en la posible independencia del axioma de elección respecto de los axiomas de ZF, aunque no sabían en que dirección se encontraba la prueba de ello. Gödel probó [1930/1940] que el axioma de elección era consistente con los axiomas de ZF, por lo que podía emplearse junto con ellos sin temor de obtener contradicciones. El axioma de elección fue presentado por Russell en 1906 de manera esencialmente similar a la siguiente: • Para todo conjunto conjunto
no vacío de conjuntos conjuntos disjuntos disjuntos tal que
, el producto producto cartesian cartesiano o de
es no
vacío. Russell llamó a este principio Axioma multiplicativo. El nombre de Axioma de elección (Auswahlaxiom) fue dado por Zermelo al principio más general que el de Russell: • Para todo conjunto conjunto no vacío , tal que
tal que
, existe existe una función función
cuyos argumentos argumentos
son elementos elementos de
.
El nombre del axioma se debe al hecho de que la función
elige un elemento de cada elemento (conjunto)
de
. Zermelo introdujo el axioma de elección para probar el teorema de buena ordenación que afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado. Mostró también que el lema de Kuratowski-Zorn se deduce del axioma de elección. En realidad, el axioma de elección es equivalente tanto al teorema de buena ordenación como al lema de Kuratowski-Zorn (la mayoría de las veces simplemente llamado Lema de Zorn). La siguiente lista enumera algunos principios equivalentes en ZF al axioma de elección: • Teorem Teoremaa de de buen buenaa orde ordenac nación ión.. • Lema Lema de Kur Kurat atow owsk skii-Zo Zorn rn.. • Ley de tric tricoto otomía mía de card cardina inales les.. • Princi Principio pio del del maxim maximal al de Haus Hausdor dorff ff.. • Lema Lema de Teichm Teichmüle üler-T r-Tuke ukey. y. Sierpinski probó [1947] que la Hipótesis del continuo (un principio ad hoc que debe ser aceptado como axioma de la teoría de conjuntos) implica el axioma de elección, si bien lo recíproco no es cierto. Otro principio que implica el axioma de elección es el axioma de conjuntos inaccesibles de Tarski [1938/1939]. El sistema axiomático de ZFC admite las demostraciones por reducción al absurdo como método para demostrar
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Axiomas de Zermelo-Fraenkel Zermelo-Fraenkel
Otras propiedades de ZFC Kurt Gödel probó que la consistencia lógica de los axiomas de ZFC es indemostrable. A lo sumo se pueden demostrar afirmaciones como si ZFC es consistente, entonces "T" también lo es, es decir la consistencia relativa. En cuanto a la completitud, el propio Gödel en sus teoremas de incompletitud demostró que si un sistema axiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmética recursiva, dicho sistema no puede ser completo y consistente.
Véase también • Axioma • Teoría Teoría de conjuntos conjuntos de Von Von NeumannNeumann-Bern Bernaysays-Gödel Gödel • Leng Lengua uaje je form formal al • Lógi Lógica ca mat matem emát átic icaa • Noci Noción ón prim primit itiv ivaa • Sist Sistem emaa form formal al • Teor Teoría ía de de conj conjun unto toss
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Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo Axiomas de Zermelo-Fraenkel Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=4724 http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47241030 1030 Contribuyentes: .José, Alephcero, Antur, Argentinator, Axxgreazz, Chanchicto, Cinabrium, Davius, Dferg, Echani, Egaida, Elwikipedista, Eric, Erufailon, Ezarate, Farisori, HUB, Halfdrag, Haminb, Herufra, Ignacio Icke, Isha, Juan Mayordomo, Kadellar, Kn, Lourdes Cardenal, Neodop, Netito777, Numbo3, Otto ter Haar, Paradoja, Peregring-lk, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Raystorm, Sobolev, Tano4595, Toad32767, Tortillovsky, Vitamine, Vivero, Wewe, 174 ediciones anónimas
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