AulaEAF-081-TP-StellaMarisParra.docx

Enseñanza del Álgebra y las funciones

Trabajo Tr abajo Final

Stella Maris Parra

Aula: 09EAF0!"

Tutor: Tu tor: Fabi#n $abriel %&az

Modelizar en el aula de 'ate'#tica: (na cita )resentada en la clase * del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0"./ 'enciona: Al res)ecto1 Patricia Sado2s3y ,-004/ dice: “…la matemática no funciona ‘separando’ problemas, técnicas, representaciones, demostraciones; todas estas ‘zonas’ convergen, de diferentes maneras, en la tarea de modelización” ,-004:*"/5 

 Esta )ro)uesta de 'odelizaci+n se )ens+ )ara alu'nos de -6 año de la escuela 'edia en 7iudad de 8uenos Aires5  Se trabajar# en for'a gru)al , o 4 )ersonas/ )ara generar )roducci+n a )artir del trabajo colaborativo.

 El objeti2o es ue los estudiantes aborden la resoluci+n del )roble'a desde los as)ectos: )ro)orcional1 gr#fico1 algebraico y a)licaci+n de una funci+n1 co'o se 2io durante la cursada del '+dulo Pers)ecti2as )ara la enseñanza de la 'ate'#tica:  el objetivo de este tipo de actividades es la comprensión cognitiva ue se produce en el estudiante a  partir de la posibilidad de poder e!presar el problema propuesto utilizando las representaciones semióticas " de comprender ue todas ellas se relacionan, son representación de la misma cosa# $epresentar, manipular " convertir son las acciones esperadas del estudiante#”  Conocimientos previos: https://1drv.ms/b/s!AlfFnnd-yrOZsFoF"eO#$d%&'" (it)aci*n problem+tica:

(na )ileta de nataci+n ue tiene una ca)acidad de -05000 litros se llena con una bo'ba ue o)era a un rit'o de ;00 litros )or 'inuto5 abr# en la )ileta a los * 'inutos de encender la bo'ba? =y a los . 'inutos? b/ =7u#nto tie')o tardar# en llenarse la )ileta?

c/ =7u#nto tie')o >ubiese tardado en llenarse si >ubiese estado 2ac&a al iniciar su funciona'iento la bo'ba? d/ Si cuando co'ienza a funcionar la bo'ba1 son las *500 )' =u@ >ora ser# cuando se >ayan cargado "5000 litros? e/ Su)oniendo ue luego de llenarse co')leta'ente1 co'ienza a funcionar una bo'ba ue ir# 2aciando la )ileta a un rit'o de "5000 litros )or 'inuto1 =en u@ 'o'ento 2ol2er# a tener -5000 litros?
(sar las nociones de de)endencia y 2ariabilidad Seleccionar la re)resentaci+n ,tablas1 f+r'ulas1 gr#ficos cartesianos1 etc5/



adecuada a la situaci+n nter)retar do'inio y codo'inio1 las 2ariables1 los )ar#'etros1 los )untos de intersecci+n con los ejes y el '#Bi'o o '&ni'o en el conteBto5

Para ello1 deber#n realizar un an#lisis a tra2@s de inter)retar la infor'aci+n dada )or los gr#ficos1 2incular las 2ariables del gr#fico con las f+r'ulas y establecer c+'o se relacionan @stas 2ariaciones con las caracter&sticas de la funci+n ue re)resenta la situaci+n )resentada5 Cbst#culos frecuentes y )osibles estrategias:  %esde el abordaje )ro)orcional1 )uede ser ue un gran obst#culo sea el de co')arar 'agnitudes diferentes1 o sea >eterog@neas co'o el tie')o en ue se llena la )ileta y la cantidad de litros ue )osee en deter'inados instantes1 aunue a'bas est#n relacionadas1 ya ue el rit'o res)onde a litros )or 'inuto y el 2olu'en ue ocu)a el agua se 'ida en litros5 7o'o se dice en clase - del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0"./ %a idea de modelización comprende dos costados diferentes " complementarios# &l acto de modelizar supone, por un lado, el abordaje de una  problemática o una situación ue pueden tener origen intramatemático o e!tramatemático ", en general, con caracter'sticas complejas# &s in(erente a este tipo de trabajo identificar las variables intervinientes en la situación, seleccionar cuáles de ellas ueremos utilizar en el modelo " cuáles no, de acuerdo a la finalidad de estudio# )or otro lado, la elección del lenguaje matemático más adecuado " las formas de representación son decisiones ue se ven incluidas a la (ora de elaborar un modelo… &n general, la selección de dos

variables permite ponerlas en relación " estudiar su dependencia# &ntonces, podemos intentar caracterizar esta relación ", de esta manera, empezar a construir un nuevo conocimiento sobre la situación o el fenómeno considerado#” 

En cuanto a la gr#fica1 el obst#culo '#s asiduo es la idea de ue los )untos re)resentados en ella son )untos '+2iles y no )ares de )untos relacionados )or una funci+n5 Entre las coordenadas de cada )unto eBiste una de)endencia5 El docente )uede )reguntar en este 'o'ento1 si es )osible cargar diferentes cantidades de litros en inter2alos de tie')o iguales sin )ensar en un rit'o diferente al 'encionado en la acti2idad1 de la bo'ba5 Este ti)o de cuestiona'iento )uede acercar a la idea de de)endencia entre 2ariables5 En clase - del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0"./ se cita a 8arallobres ,-000/  *lgunos elementos de la didáctica del  álgebra  ,)#g "0/:D  para ue las funciones puedan ser una verdadera (erramienta de modelización, es necesario ue no se oscurezca, como lo e!presa +reud(ental -./01, su esencial significado de dependencia entre variables, perdiendo su carácter dinámico para transformarse en algo puramente estático# &ste oscurecimiento está fomentado desde las  propuestas ue introducen las funciones como una relación entre dos conjuntos * " 2 en la ue, a cada elemento de *, le corresponde uno " solo un elemento de 2, definición ue deja de lado los aspectos de dependencia " variación, esenciales para la modelización de  procesos de cambio” 5

 Para realizar la gr#fica1 deber#n definir u@ eje es '#s con2eniente )ara cada 2ariable1 )ara lo ue se dejar# establecido ue1 en el eje B estar# re)resentada la 2ariable inde)endiente5  A)arece en este 'o'ento1 la necesidad de identificar si se trata de una funci+n lineal o una relaci+n de )ro)orcionalidad1 =u@ )a)el juega ese 2alor -5000 litros ?5 Ser# 'uy dif&cil ue los alu'nos lleguen a cuestionarse sobre estos conce)tos ya ue1 )ara ellos1 son s+lo ecuaciones con n'eros y letras5 Mirta Ganfling ,bas#ndose en una tesis de doctorado %a noción de función3 análisis epistemológico " didáctico 1 de
 Ctro obst#culo en el as)ecto gr#fico )uede ser ue no co')renden ue un )unto en el )lano tiene dos coordenadas y no una co'o ocurr&a en la recta nu'@rica5 Se debe )oner @nfasis en el a)rendizaje cogniti2o cuando se )retende el )aso de la recta al )lano en cuanto a re)resentaciones gr#ficas5  En una eta)a de generalizaci+n1 )ara lograr 'ayor significado1 en este as)ecto gr#fico1 la )regunta )odr&a ser: =c+'o resultar&a la gr#fica si ca'biara el caudal de agua en reiteradas o)ortunidades1 en el llenado de la )ileta?1 si ca'bia el caudal1 =u@ otra 2ariable ca'bia? ree')lazando la )ro)uesta de )resentar distintos gr#ficos )ara ue los estudiantes decidan cu#l resulta '#s adecuado al )roble'a5 %e tal for'a1 uiz#s con bastante dificultad1 llegar&an a la conclusi+n de ue los ca'bios ue no son constantes res)onden a otro ti)o de gr#fica1 ue no es lineal5 Podr&a ser beneficioso trabajar con una tabla de 2alores )ara 'ostrar ue1 a'bas re)resentaciones1 se refieren a una 'is'a situaci+n5 =Per'ite la gr#fica )ro)uesta1 encontrar con )recisi+n la cantidad de agua ue se 2uelca en la )ileta en "4 'inutos -0 segundos? EBisten situaciones en las ue un gr#fico no dar# cierta infor'aci+n a 'enos ue se considere una escala adecuada5 En este caso1 la res)uesta ser# correcta si se in2estiga en la eB)resi+n algebraica de la funci+n5  Por otro lado1 la )regunta e/ )retende re'o2er ideas c+'o1 )ensar ue la situaci+n in2ersa )lanteada )uede resultar en otro ti)o de )ro)orcionalidad ue no sea la directa5 Se )uede discutir sobre el creci'iento o decreci'iento de las 2ariables y su relaci+n5 En esta ocasi+n )odr&a resol2erse con una gr#fica acorde a la situaci+n5

%esde el )unto de 2ista de eB)resi+n algebraica1 el desaf&o es )oder 'ostrar ue )ara una 2ariable ,de)endiente o do'inio/ deter'inada eBistir# un conjunto de o)eraciones >ec>as sobre otra 2ariable ,inde)endiente o codo'inio/1 tal ue resultaran los diferentes 2alores nu'@ricos de la )ri'era5 En clase * del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0"./ se dice  %a euivalencia act4a, en principio, como un motor de control " seguimiento en las e!presiones (acia lo ue, matemáticamente, es posible o no es  posible realizar### &s decir ue el conte!to nos asegura la euivalencia en tanto ue las  propiedades sobre las operaciones la validan”# Se intenta ue co'iencen reconociendo la

regularidad ue se )roduce entre las 'is'as1 inde)endiente'ente de ue todo co'ience con -5000 litros cargados5 En caso de ue no reconozcan el n'ero -5000 co'o

ordenada al origen1 el docente )ro)ondr# el debate sobre la )regunta c/1 d+nde se es)era ue deduzcan ue el rit'o de la bo'ba ser# distinto si se )retende ue se llene en el 'is'o tie')o anterior o lle2ar# '#s tie')o de llenado al 'is'o rit'o )ero ue co'enzar# con la )ileta 2ac&a5 Entonces1 se )ro)one ue decidan en for'a gru)al1 cu#l o cu#les de las siguientes eB)resiones corres)onden a dic>o )roble'a: "/ -/ */ / 4/

<,t/ J -5000 K n 'inutos B ,;00 litros L" 'inuto/ F,B/ J -5000 K  ,;00 litrosL'inuto/ <,t/ J "00 ,-0 K n 'inutos B ; litrosL" 'inuto/ F,B/ J  ,;00 litrosL'inuto/ N -5000 F,B/ J  ,;00 litrosL'inuto/

 Entre "/ y -/1 la )ro)uesta es des>acerse de la escritura usual1 utilizando )ara eB)resar una funci+n sie')re con la letra f o  )ara referirse a una inc+gnita y no a una 2ariable5 En la clase ; del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0"./ se dice: &n muc(as oportunidades, el alumno necesita realizar un trabajo en soledad ue le permita encontrar diferencias " buscar cone!iones entre los conceptos volcados en la clase# )roponemos un acompa5amiento más cercano en este tránsito# 

 Entre -/ y */1 se )retende 'ostrar diferentes eB)resiones )ara una 'is'a situaci+n ,)ro)iedad distributi2afactor co'n/5 En la clase 4 del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0"./ se 'enciona: &stos procedimientos pudieron estar basados en distintos modos de interpretarlas, usarlas, construirlas o transformarlas " entablar una relación entre ellas en la clase del secundario# &sta puede ser una manera de continuar el  trabajo de construcción de sentido de las e!presiones algebraicas, reconociendo su valor de generalización, ejerciendo un control numérico de las mismas " sosteniendo algunas (erramientas de transformación”, 'oti2o )or el cual se )ro)one el trabajo con f+r'ulas5

Entre cualuiera de las tres )ri'eras y la o)ci+n 4/ se establece la eBistencia de la ordenada al origen5  En el 'o'ento de resol2er c/ )odr&a llegarse a la conclusi+n de ue la cantidad de litros inicial no )uede ser un 2alor negati2o5  En @sta lti'a acti2idad se a)ela al pensamiento cr,tico de los alu'nos1 co'o eje trans2ersal del a)rendizaje1 al re)ensar las )osibilidades )ro)uestas5  
5  Hes)ecto de la aclaraci+n1 en el enunciado del )roble'a1 de la ca)acidad de la )ileta1 se )ro)one en for'a acertada )ara indagar sobre la diferencia entre ecuaci+n y funci+n1 ya ue no se )odr#n cargar '#s de -05000 litros ,el tie')o no )odr# eBceder del necesario )ara llenarla1 )orue desbordar&a/1 o)ortunidad )ara trabajar con do'inio y codo'inio acotado5 Este detalle )odr# ser detectado a )artir del grado de comprensi*n lectora ue )osea el gru)o de alu'nos1 aunue ta'bi@n )odr# >acerse )resente1 esta cualidad1 en el 'o'ento de leer las )reguntas c/1 d/ y e/5  Final'ente se )ro)one una )uesta en co'n sobre cada una de las )reguntas1 fa2oreciendo el trabajo colaborati2o ue se e')ez+ a desarrollar en la resoluci+n del )roble'a y en gru)os )eueños1 y concordando con lo dic>o en la clase  del '+dulo Enseñanza del Álgebra y las funciones ,-0". 13 “&se espacio colectivo 6donde se comparten las estrategias utilizadas…# es también una oportunidad para profundizar algunas relaciones " establecer conclusiones, las ue serán (erramientas para tomar las decisiones sobre ué gráficos pueden servir " cuáles no”, >aciendo ta'bi@n1 'enci+n de

los diferentes as)ectos del )roble'a5 8ibliograf&a: >tt):LL)ostitulo5'ate'atica5infd5edu5arL)rogra'as5cgi?idOcursoJ-.00 >tt):LL)ostitulo5'ate'atica5infd5edu5arLarc>i2osLre)ositorioLL"000L""*!LGanflingO7laseO0"5 )df  >tt):LL5'e5go25arLconsejoLresolucionesLres"-L"!0"-O0.5)df