assurance-vie,ucl,2009-2010

ASSURANCE VIE UCL

Année académique 2009-2010 Professeurs Devolder / Gilles

Institut des sciences actuarielles Ass vie Devolder/Gilles

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Plan du cours Partie 1. La mortalité Partie 2. Les contrats d’assurance vie classiques Partie 3. Les contrats de nouvelle génération

Ass vie Devolder/Gilles

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PREMIERE PARTIE La Mortalité « La statistique a démontré que la mortalité dans l’armée augmente sensiblement en temps de guerre … ». ( Alphonse ALLAIS) Ass vie Devolder/Gilles

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Première Partie: LA MORTALITE 1. Tables de mortalité brutes 2. Probabilités de survie et de décès 3. Espérance de vie 4. Taux instantané de mortalité 5. Tables de Gompertz et de Makeham 6. Probabilités sur 2 têtes 7. Tables règlementaires belges 8. Ajustement de tables 9. En route vers des tables prospectives 10. Risques diversifiables et non diversifiables Ass vie Devolder/Gilles

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2

1. Tables de mortalité brutes L’assurance vie s’intéresse aux risques liés à la durée de la vie humaine. - J’ai aujourd’hui 35 ans ; quelle est la probabilité

que je sois encore en vie à ma retraite à 65 ans ? - J’ai 50 ans ; mon épouse en a 30 .Quelle est la probabilité qu’elle décède avant moi ? En vue de calculer pratiquement ces probabilités, les actuaires utilisent comme outil des tables de mortalité Ass vie Devolder/Gilles

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1. Tables de mortalité brutes Principe : à partir d’une cohorte initiale à la naissance on suit année après année le nombre de survivants

l x =nombre de survivants à l' age x l 0 = 1.000.000

( par convention !! )

Age ultime : premier âge où plus de survivants

lω = 0 (par exemple 120 ans) Ass vie Devolder/Gilles

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3

1. Tables de mortalité brutes EXEMPLE:

age

Table

0

1.000.000

1

999.415

10

994.002

40

965.973

70

767.741

71

750.022 Ass vie Devolder/Gilles

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1. Tables de mortalité brutes La fonction l est positive et décroissante. La table donne les valeurs de l pour des âges entiers . Pour construire ces tables ,on distingue : - les tables de mortalité brutes : résultant de l’observation ( recensement à un moment) ( par exemple INS 2000) - les tables de mortalité ajustées : table ajustée analytiquement - les tables d’expérience : tables tenant compte de l’expérience d’un assureur Ass vie Devolder/Gilles

8

4

1. Tables de mortalité brutes On distingue aussi : -les tables de mortalité périodiques : suppose que la mortalité va rester stable dans le futur - les tables de mortalité prospectives : intègre une évolution future attendue de la mortalité Dans le suite de ce cours on travaillera avec des tables périodiques.


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1. Tables de mortalité brutes Nombre de décès à l’âge x :

d x = l x − l x +1 EXEMPLE:

l 70 = 767.741 l 71 = 750.022 d 70 = 17.719 Ass vie Devolder/Gilles

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2. Probabilités de survie et décès - Probabilité annuelle de décès - quotient de mortalité Probabilité étant en vie à l’âge x de décéder dans l’année

qx =

d x l x − l x +1 = lx lx

EXEMPLE : probabilité à 70 ans de décéder dans l’année

q 70 =

17.719 = 0.023 767.741 Ass vie Devolder/Gilles

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2. Probabilités de survie et décès Les principaux facteurs explicatifs des quotients de mortalité sont : - l ’âge - le sexe - l’époque - le pays ( problématique de la segmentation versus la discrimination) Ass vie Devolder/Gilles

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2. Probabilités de survie et décès EXEMPLE ( Belgique) : tables INS: quotients de mortalité

x 20

H1880 H2000 F1880 F2000 1890 1890 0.006 0.001 0.006 0.0002

50

0.018 0.005 0.012 0.0029

65

0.042 0.017 0.032 0.0083

85

0.228 0.136 0.229 0.0894 Ass vie Devolder/Gilles

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2. Probabilités de survie et décès Probabilité annuelle de survie Probabilité étant en vie à l’âge x d’être encore en vie à l’âge x+1

px =

l x +1 = 1 − qx lx

EXEMPLE: probabilité à 70 ans d’atteindre 71 ans

p 70 =

750.022 = 0.977 767.741


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7

2. Probabilités de survie et décès Probabilité de survie dans n années : Probabilité étant en vie à l’âge x d’être encore en vie à l’âge x+n ( ou de décèder après l’âge x+n) n

px =

l x+n = p x p x +1p x +2 ...p x + n −1 lx

EXEMPLE: probabilité à 40 ans d’atteindre 70 ans 30

p 40 =

767.741 = 0.795 965.973


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2. Probabilités de survie et décès Probabilité de décès dans les n années Probabilité étant en vie à l’âge x de décéder avant l’âge x+n n

qx =

l x − l x+n = 1− n p x lx

EXEMPLE : probabilité à 40 ans de décéder avant 70 ans 30

q 40 =

965.973 − 767.741 = 0.205 965.973 Ass vie Devolder/Gilles

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2. Probabilités de survie et décès Probabilité de décès dans n années Probabilité étant en vie à l’âge x de décéder dans n années entre les âges x+n et x+n+1

n

l x + n − l x + n +1 = n p x q x+n lx

qx =

EXEMPLE : probabilité à 40 ans de décéder entre 70 et 71 ans

30

q 40 =

767.741 − 750.022 = 0.018 965.973


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3. Espérance de vie Définition de l’espérance de vie à l’âge x : Moyenne à l’âge x du nombre d’années restant à vivre Espérance de vie abrégée : ( décès en début d’année): ω− x

ex = ∑ t t =1

ω− x

t

qx = ∑ t t =1

d x+t lx

Espérance de vie complète : ( décès en milieu d’année): 0

ex = ex +

1 2


18

9

3. Espérance de vie Autre forme de l’espérance de vie :

ω− x

ex = ∑ t px t =1

Dém. :

ex = ∑ t t

d x+t l −l = ∑ t x + t x + t +1 lx lx t

=

1 (l x +1 − l x +2 + 2 l x +2 − 2 l x +3 + 3 l x +3 ...) lx

=

1 (l x +1 + l x +2 + l x +3 + ...) lx

= p x + 2 p x + 3 p x + ... Ass vie Devolder/Gilles

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3. Espérance de vie Exemples d’espérance de vie :

( INS – Belgique)

À 0 ans À 25 ans À 65 ans H1880

43,4

37,3

10,6

H2000

75,1

51,2

15,9

F1880

46,6

39,9

11,6

F2000

81,4

57,2

20,1


20

10

3. Espérance de vie Expression en fonction de la variable aléatoire « durée de vie future » T(x)= variable aléatoire = durée de vie future d’un individu d’âge x x+T(x)= âge au décès L’espérance de vie est l’espérance mathématique de cette variable aléatoire.


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3. Espérance de vie Relations d’équivalence :

e x = E ([T ( x )]) 0

e x = E(T ( x )) ≈ e x +

k

1 2

p x = P(T ( x ) > k )


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11

4. Taux instantané de mortalité La mortalité est un phénomène continu dans le temps Passer à une écriture en temps continu :

x ∈ [0, ω]⊂ R

La fonction l x est supposée continue et dérivable (!!! Approximation !!! normalement à valeurs entières!) Quotients de mortalités sur un intervalle : (0
h

qx =

l x − l x+h → 0 si h → 0 lx Ass vie Devolder/Gilles

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4. Taux instantané de mortalité Si la fonction l est dérivable :

lim h→0 =−

1 1 l x − l x+h h q x = lim h →0 h lx h

1 d d l x = − ln l x l x dx dx

=µx = taux ins tan tan é de mortalité


24

12

4. Taux instantané de mortalité Relation entre probabilité de survie et taux instantané de mortalité :

µ x+t = −

d ln l x + t dt

Donc : n

∫µ

dt = − [ln l x + t ]0 = −(ln l x + n − ln l x ) n

x+t

0

= − ln

l x+n = − ln n p x lx Ass vie Devolder/Gilles

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4. Taux instantané de mortalité Donc: n

n

p x = exp( − ∫ µ x + t dt ) 0

On a aussi : 1

q x = 1 − p x = 1 − exp( − ∫ µ x +s ds) 0


26

13

4. Taux instantané de mortalité Relation entre espérance de vie et taux instantané de mortalité : ω− x

ex = ∑ t px

devient en continu :

t =1

ex =

ω− x

ω− x

0

0

∫ t px dt =

∫

t

(exp( − ∫ µ x +sds))dt 0


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4. Taux instantané de mortalité EXEMPLE : taux instantané constant

µx = µ On a dans ce cas une probabilité indépendante de l’âge et ne dépendant que de la durée d’exposition au risque t

t

p x = exp( − ∫ µ x +s ds) = e −µt 0

L’espérance de vie est constante et est l’inverse du taux de mortalité : ∞ ∞ 1 ex = ∫ t p x dt = ∫ e −µt dt = µ 0 0 Ass vie Devolder/Gilles

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5. Tables de Gompertz et Makeham Ajustement analytique de tables brutes de mortalité suivant un modèle explicatif des causes de mortalité 2 causes principales de mortalité :

MALADIE

ACCIDENT

Hyp.: indépendant de l’âge

Hyp.: croit exponentiellement avec l’âge


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5. Tables de Gompertz et Makeham 3 modèles classiques: - modèle accident: - taux instantané constant - modèle maladie – GOMPERTZ ( 1824) - taux instantané exponentiel - modèle accident- maladie – MAKEHAM (1860) -taux instantané constant+ exponentiel


30

15

5. Tables de Gompertz et Makeham Modèle « accident » :

µx = A d ln l x = − A dx l x = k e −Ax Population décroissant exponentiellement …pas adapté pour la vie humaine !!! Ass vie Devolder/Gilles

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5. Tables de Gompertz et Makeham Modèle « maladie » de GOMPERTZ :

µx = Bcx d ln l x = − Bc x dx lx = k e

−

Bc x ln c

Population décroissant doublement exponentiellement Ass vie Devolder/Gilles

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5. Tables de Gompertz et Makeham Modèle de MAKEHAM :

µx = A + Bcx d ln l x = −( A + Bc x ) dx lx = k e

− Ax

−

e

Bc x ln c

Population décroissant sous deux effets Ass vie Devolder/Gilles

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5. Tables de Gompertz et Makeham Modèle de MAKEHAM ( 2) : Ecriture canonique :

lx = k sx gc Avec:

x

s = e−A < 1 −

c >1

B

g = e ln c < 1 k tel que l 0 = 1.000.000 k=

1.000.000 > 1.000.000 g Ass vie Devolder/Gilles

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5. Tables de Gompertz et Makeham EXEMPLE de TABLE Makeham : Table MR Belge ( tables hommes rentes) k= 1.000.266,63 s= 0,999441704 g= 0,999733441 c= 1,101077536


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5. Tables de Gompertz et Makeham Avantages et inconvénients de la table de MAKEHAM : + : logique explicative + : dépend de 4 paramètres + : facilité d’utilisation ( cf. 2 têtes – voir plus loin) - : ne capture pas des phénomènes tels que : - mortalité infantile - bosse des accidents à 20 ans - comportement aux grands âges Reste néanmoins un standard …en Belgique Ass vie Devolder/Gilles

36

18

5. Tables de Gompertz et Makeham Alternative : double table de Makeham : prendre en compte la longévité des rentiers

µx = A + B cx ( 0 ≤ x ≤ x 0 ) µx = D + E f x

( x 0 ≤ x < ω)

( par exemple : prendre f < c )


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5. Tables de Gompertz et Makeham Modèle de HELIGMAN- POLLARD : Objectif : prendre en compte la mortalité infantile et la bosse des accidents . Modélisation directe du

qx

( à valeurs dans (0,1) !!):

q x /(1 − q x ) = A ( x + B) + De − E (ln x −ln F ) + G H x C

Mortalité en bas âge

2

Bosses des accidents


Mortalité normale 38

19

5. Tables de Gompertz et Makeham Autres lois : Modèle de DE MOIVRE ( 1724):

Modèle avec taux instantané croissant et âge limite : µx =

c ω− x

Modèle de WEIBULL ( 1939):

Modèle avec taux instantané de croissance polynomiale: µx = a x b

( b > 1)


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6. Probabilités sur 2 têtes Probabilités relatives à un couple de personnes d’âge x et y : Hypothèse ( discutable…) : indépendance des durées de vie a) Probabilité pour que les 2 têtes soient encore en vie dans n années: n

p xy = n p x n p y


40

20

6. Probabilités sur 2 têtes b) Probabilité pour qu’au moins une des 2 têtes soit encore en vie dans n années : n

p xy = n p x + n p y − n p xy

c) Probabilité pour que les 2 têtes soient décédées dans n année :

n

q xy = 1 − n p xy


41

6. Probabilités sur 2 têtes Notion d’âge moyen : Substituer à un couple d’âges x et y un couple de même âge et ayant la même probabilité de survie (Objectif : remplacer une table à double entrée par une table à une entrée ). n

p mm = n p xy

En général , m dépend non seulement de x et de y mais aussi de n. Ass vie Devolder/Gilles

42

21

6. Probabilités sur 2 têtes Cas particulier : Table de MAKEHAM Montrons que dans ce cas l’âge moyen ne dépend que des deux âges de départ .

l x+n k sx+n g c p = = n x lx k sx gc

x+n

x

= sn gc

x

( c n −1)

m est alors solution de l’équation :

(s n g c

m

) = sn gc

( c n −1) 2

x

( c n −1)

sngc

y

( c n −1)


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6. Probabilités sur 2 têtes C’est à dire :

cx + cy 2 cx + cy m = ln( ) / ln c 2

cm =

On a aussi dans Makeham :

µm =

µx + µy 2


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22

7. Tables réglementaires belges - Tables de Makeham utilisées en assurance avec distinction : - Hommes / Femmes - Phénomène d’antisélection : tables différentes tenant compte du comportement de l’assuré à la souscription d’un contrat d’assurance

Rentes

Opérations de genre vie

Opérations de genre décès


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7. Tables réglementaires belges VIE

DECES

RENTES

H

MR

MK

MR-5

F

FR

FK FK’

FR-5

(1992) Ass vie Devolder/Gilles

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23

7. Tables réglementaires belges Tables hommes :

MK

MR

k= 1.000.450,59 s= 0,999106875782 g= 0,999549614043 c= 1,103798111448

k= 1.000.266,63 s= 0,999441703848 g= 0,999733441115 c= 1,101077536030

MR-5 : rajeunissement de 5 ans sur MR Ass vie Devolder/Gilles

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7. Tables réglementaires belges Tables femmes :

FK

FR

k= 1.000.097,39 s= 0,999257048061 g= 0,999902624311 c= 1,118239062025

FK’ c= 1,122000000000

k= 1.000.048,56 s= 0,999669730996 g= 0,999951440172 c= 1,116792453830

FR-5 : rajeunissement de 5 ans sur FR


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24

8 . Ajustement de tables Passage d’une table de mortalité brute ( observations brutes issues d’un recensement) à une table ajustée ( par exemple un ajustement de Makeham) . Différentes techniques existent : - Méthode de King et Hardy et variantes - Méthode des moindres carrés

Objectif : obtenir des estimateurs des constantes de Makeham ( k,s,g,c) à partir des observations des lx. Ass vie Devolder/Gilles

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8 . Ajustement de tables Méthode des moindres carrés :

ˆl brut → l = k s x g c ??? x x x

Dans une table de Makeham, on a :

1 l 1 = x = gc p x l x +1 s α x = ln (

x

− c x +1

1 1 ) = − ln s + c x (c − 1) ln( ) px g Ass vie Devolder/Gilles

50

25

8 . Ajustement de tables En posant :

a = (c − 1) ln(1 / g ) b = ln s

On a :

αx = −b + a c x

En passant une seconde fois au logarithme :

ln( α x + b) = ln a c x = ln a + x ln c


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8 . Ajustement de tables Méthode des moindres carrés sur les observations :

S=

xN

∑ ( ln(αˆ

x = x0

x

+ b) − ln a − x ln c) 2

-Pour chaque valeur de b ( c’est à dire de s) , la procédure moindres carrés donne une estimation des paramètres de régression ln a et ln c ainsi qu’un coefficient de corrélation. - On choisit la valeur de b donnant le meilleur coefficient de corrélation Ass vie Devolder/Gilles

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9….En route vers des tables prospectives Les tables de mortalité classiques supposent implicitement que la mortalité future sera identique à celle observée aujourd’hui .

Par exemple pour quelqu’un ayant aujourd’hui 20 ans en 2005 et qui aura 60 ans en 2045, si on doit calculer sa probabilité de mourir entre 60 et 61 ans , on utilise les probabilités correspondantes de quelqu’un ayant aujourd’hui 60 ans que l’on projette à l’identique.


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9….En route vers des tables prospectives Evolution du qx à 60 ans ( H) ( tables brutes INS) :

1880-1890

0,03362

1928-1932

0,02412

1959-1963

0,023040

1968-1972

0,022108

1988-1990

0,014979

1994-1996

0,011875

2001-2003

0,011266


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27

9….En route vers des tables prospectives Tables prospectives : tables introduisant une amélioration progressive de la mortalité. Les taux de mortalité ne dépendent plus seulement de l’âge mais aussi de la date de naissance . Deviennent des fonctions de 2 variables ( x,t)

µ x ( t ) = taux instantané de mortalité de quelqu’un ayant l’âge x au temps t


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9….En route vers des tables prospectives µ x (0) = Taux de mortalité observé à l’instant initial µˆ x ( t )

Projection pour estimer les taux futurs de mortalité.

Par exemple , amélioration exponentielle de la mortalité dans le temps mais variable par âge et partant d’une table de Makeham :

µ x ( t ) = ( A + B c x ) e −βx t Ass vie Devolder/Gilles

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28

9….En route vers des tables prospectives Pour un individu d’âge initial x en t , la probabilité de survie après n années (en t+n) est alors donnée par : n n

p x ( t ) = exp( − ∫ µ x +s ( t + s) ds) 0 n

= exp( − ∫ ( A + B c x +s ) e −β x + s ( t +s )ds) 0 n

= exp( −e −βt ∫ ( Ae −βs + B c x +se

−β x + s s

) ds)

0


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9….En route vers des tables prospectives Alternative : convergence vers une table limite :

µ x ( t ) = ( A + B c x ) e −βt + (1 − e −βt ) (C + Df x ) Table initiale

Table asymptotique

Méthodes statistiques d’estimation des tables prospectives: voir cours ACTU 2060- Assurance vie 2 Ass vie Devolder/Gilles

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29

10. Risques diversifiables On considère un portefeuille de N assurés âgés de x ans et souscrivant tous une assurance temporaire un an de capital unitaire ( 1€). On suppose d’abord parfaitement connue la probabilité de décès , q = q x On note D le nombre effectif de décès après un an. D est une variable aléatoire , de distribution binomiale :

P( D = n ) = C nN q n (1 − q ) N −n ( N = 0,1,.., n ) Ass vie Devolder/Gilles

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Risques diversifiables et non diversifiables (2) : Moments :

E( D) = N.q Var ( D) = N.q.(1 − q ) Introduisons la fréquence observée définie par :

f = D /N On a :

E(f ) = q Var (f ) =

En particulier :

q(1 − q ) N

lim N→∞ Var (f ) = 0 Ass vie Devolder/Gilles

60

30

Risques diversifiables et non diversifiables (3) : On suppose à présent qu’il y a une incertitude sur la probabilité de décès q ( par exemple survenance ou non d’une épidémie). q devient une variable aléatoire notée q* On va supposer pour q* une distribution simple, par exemple à 3 valeurs ( scénario central ; scénario à forte mortalité ; scénario à faible mortalité).

P(q* = q L ) = P(q* = q M ) = P(q* = q H ) = 1 / 3 q = E q* = (q L + q M + q H ) / 3 Ass vie Devolder/Gilles

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Risques diversifiables et non diversifiables (4) : On s’intéresse à nouveau à la fréquence observée de sinistre :

D q*)) = q N D D Var (f ) = var( E( q*)) + E(var( q*)) N N q * (1 − q*) = var(q*) + E( ) N 1 = var(q*) + E(q * (1 − q*)) N E(f ) = E q ( E(

Non diversifiable

Diversifiable Ass vie Devolder/Gilles

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31

Deuxième partie : LES CONTRATS D’ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

L’assurance de capital différé Les opérations de rentes Les assurances décès Les assurances mixtes Les opérations sur 2 têtes Les chargements Les provisions Transformations et adaptation de contrats Participations bénéficiaires Ass vie Devolder/Gilles

63

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 1. Pour quels besoins ? Capital versé à condition que l’assuré soit en vie au terme fixé du contrat En cas de décès de l’assuré : 0


64

32

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 2. Calcul de la prime unique En t = 0 : lx têtes d’âge x paient € 1 à l’assureur. L’assureur investit la somme totale, i.e. € lx, jusqu’en t = n. En t = n : il reste lx+n survivants qui peuvent se partager € lx capitalisés. Ass vie Devolder/Gilles

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Chapitre 1. L’assurance de capital différé 2. Calcul de la prime unique Si le taux d’intérêt annuel garanti par l’assureur vaut i, le capital au terme vaut € lx (1+i)n Chaque survivant reçoit donc €

lx lx+n

(1 + i )n


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33

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 2. Calcul de la prime unique

Graphiquement : lx+n survivants dans n années (à l’âge x+n)

lx assurés d’âge x

se répartissent les € lx majorés de leurs intérêts,

paient chacun € 1, soit au total € lx

soit €

lx (1 + i )n lx+n


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Chapitre 1. L’assurance de capital différé 2. Calcul de la prime unique Le capital obtenu au terme par les survivants est égal à leur mise initiale augmentée par

la capitalisation financière à travers le taux d’intérêt i (= taux technique) : (1+i)n l’effet de levier dû à la mortalité (lx+n < lx)

lx lx+n Ass vie Devolder/Gilles

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34

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 2. Calcul de la prime unique Dès lors, quelle prime unique doit demander un assureur afin de pouvoir payer € 1 dans n années à un assuré d’âge x, s’il est vivant à ce moment ?

lx+n l = v n x+n n lx l x (1 + i ) Notation : nEx =

si

vn

v=

1 (1 + i )

lx+n lx


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Chapitre 1. L’assurance de capital différé 3. Les commutations Si on pose : Dx = vx lx

On a : nEx =

Dx + n Dx


70

35

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Homme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MR 1992 i = 3.25% PU = ???


71

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Si l’assuré décède avant 65 ans, que paie l’assureur ? Quelle prime doit demander l’assureur s’il doit payer le capital dans tous les cas ?


72

36

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Le calcul suppose

que l’assureur investira les primes perçues au taux technique; que la proportion de survivants observée dans son portefeuille est conforme à la table de mortalité utilisée.

Si telle n’est pas la réalité, l’assureur réalisera une perte ou un bénéfice selon le cas. La prime demandée sera majorée, afin de couvrir les frais d’exploitation, le risque de mortalité, de rendement financier, … Ass vie Devolder/Gilles

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Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Femme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table FR 1992 i = 3.25% PU = ???


74

37

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Homme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MR 1992 i = 3% PU = ???


75

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Influence des divers paramètres sur la prime

Taux technique Mortalité Âge de l’assuré Sexe de l’assuré Durée du contrat


76

38

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Influence des divers paramètres sur la prime

La prime sera d’autant plus élevée que le taux technique est bas, la mortalité est faible, l’âge de l’assuré est bas, la durée du contrat est courte.


77

Chapitre 1. L’assurance de capital différé 4. Applications Le choix des bases techniques

Le taux d’intérêt L’assureur doit pouvoir investir les primes à un taux au moins

égal au taux technique pour toute la durée du contrat…

La table de mortalité Tenir compte du phénomène d’anti-sélection


78

39

Chapitre 2. Les opérations de rentes 1. Pour quels besoins ?

Paiements périodiques, tant que l’assuré est vivant. Les paiements s’arrêtent lors du décès de l’assuré.


79

Chapitre 2. Les opérations de rentes 2. La rente viagère à terme échu

0

€1

€1

€1

1

2

3

€1

L’assuré d’âge x paie € ax à l’instant 0. À partir de l’instant 1, l’assureur paie € 1 tant que l’assuré est en vie. ax est le capital constitutif de la rente. Rente = somme de capitaux différés Ass vie Devolder/Gilles

80

40

Chapitre 2. Les opérations de rentes 2. La rente viagère à terme échu ax = 1Ex + 2Ex +… Commutations Dx +1 Dx + 2 + + ... Dx Dx

ax =

En posant : Nx = Dx + Dx+1+Dx+2+…

On a : ax =

N x +1 Dx Ass vie Devolder/Gilles

81

Chapitre 2. Les opérations de rentes 2. La rente viagère à terme échu Homme Rente = 1,000,000 x = 65 table MR 1992 i = 3.25% Capital constitutif = ???


82

41

Chapitre 2. Les opérations de rentes 2. La rente viagère à terme échu Femme Rente = 1,000,000 x = 65 table FR 1992 i = 3.25% Capital constitutif = ???


83

Chapitre 2. Les opérations de rentes 2. La rente viagère à terme échu Le calcul suppose

que l’assureur investira le capital constitutif au taux technique ; que la proportion de survivants observée dans son portefeuille est conforme à la table de mortalité utilisée.

Si telle n’est pas la réalité, l’assureur réalisera une perte ou un bénéfice selon le cas. Le capital constitutif demandé sera majoré, afin de couvrir les frais d’exploitation, le risque de mortalité, de rendement financier, …


84

42

Chapitre 2. Les opérations de rentes 2. La rente viagère à terme échu Influence des divers paramètres sur le capital constitutif

Le capital constitutif sera d’autant plus élevé que le taux technique est bas ; la mortalité est faible ; l’âge de l’assuré est bas.


85

Chapitre 2. Les opérations de rentes 3. La rente viagère anticipative €1 0

€1

€1

€1

1

2

3

€1

L’assuré d’âge x paie € äx à l’instant 0. À partir de l’instant 0, l’assureur paie € 1 tant que l’assuré est en vie. äx est le capital constitutif de la rente, calculé immédiatement avant le premier versement. Ass vie Devolder/Gilles

86

43

Chapitre 2. Les opérations de rentes 3. La rente viagère anticipative äx = 1 + 1Ex + 2Ex +… Commutations Dx +1 Dx + 2 + + ... Dx Dx

äx = 1 +

Comme Nx = Dx + Dx+1+Dx+2+…

On a : äx =

Nx Dx Ass vie Devolder/Gilles

87

Chapitre 2. Les opérations de rentes 3. La rente viagère anticipative Un accident de travail frappe un homme de 33 ans dont le salaire annuel est de € 50,000. L’indemnité est estimée à 25% du salaire, payable annuellement par anticipation durant la vie entière. Quel est le capital correspondant ? Table de mortalité MR 1992 à 3.25%


88

44

Chapitre 2. Les opérations de rentes 4. La rente viagère temporaire à terme échu La rente est payée aussi longtemps que l’assuré est vivant, mais pendant n années au plus. Rente viagère temporaire à terme échu n a x =1 E x + 2 E x + ...+ n E x D D D = x +1 + x + 2 + ... + x + n Dx Dx Dx N − N x + n +1 = x +1 Dx Ass vie Devolder/Gilles

89

Chapitre 2. Les opérations de rentes 4. La rente viagère temporaire à terme échu Un accident de la route provoque le décès d’un cadre de 45 ans dont le salaire annuel est de € 50,000. L’indemnité de la veuve, âgée de 40 ans, est estimée à 60% du salaire, payable annuellement à terme échu pendant 20 ans. Quel est le capital correspondant ? Table de mortalité FR 1992 à 3.25%.


90

45

Chapitre 2. Les opérations de rentes 5. La rente viagère temporaire anticipative Rente viagère temporaire anticipative n

äx = 1+1 E x + 2 E x + ...+ n −1 E x = 1+ =

Dx +1 Dx + 2 D + + ... + x + n −1 Dx Dx Dx

N x − N x+n Dx

On a la relation : n

ä x = n a x + 1− n E x Ass vie Devolder/Gilles

91

Chapitre 2. Les opérations de rentes 6. Les rentes viagères fractionnées Rente viagère fractionnée : paiement d’un arrérage égal à 1/m tous les mièmes d’année.

Exemple : rente mensuelle à terme échu : paiement en fin de chaque mois

Méthode de calcul : approximation : hypothèse de variation linéaire du diifére entre 2 âges entiers ( interpolation linéaire).


92

46

Chapitre 2. Les opérations de rentes 6. Les rentes viagères fractionnées Rente viagère temporaire à terme échu fractionnée n ax

=

(m)

1 nm 1 n E = Al ∑ j x m∑ m j=1 m l =1

m

Al = ∑

Avec :

j=1

l −1+

j m

Ex

Par interpolation linéaire on a : j l −1+ m

E x ≅ l −1 E x +

j ( l E x − l −1 E x ) m


93

Chapitre 2. Les opérations de rentes 6. Les rentes viagères fractionnées Rente viagère temporaire à terme échu fractionnée Donc:

Al ≅ m

l −1

Ex +

m( m + 1) ( l E x − l−1 E x ) 2m

En substituant il vient : n ax

(m)

1 n m +1 ( m l−1 E x + ( l E x − l−1 E x )) ∑ m l=1 2 m +1 ≅ n &a&x + ( n E x − 1) 2m

≅


94

47

Chapitre 2. Les opérations de rentes 6. Les rentes viagères fractionnées Rente viagère temporaire à terme échu fractionnée Donc: n

ax

n

(m)

ax

(m)

≅ n a x + (1− n E x ) −

≅ nax +

m +1 (1− n E x ) 2m

m −1 (1− n E x ) 2m


95

Chapitre 2. Les opérations de rentes 6. Les rentes viagères fractionnées Autres rentes viagères fractionnées n

&a&x ( m ) ≅ n a x +

m +1 (1− n E x ) 2m

Et pour les rentes viagères illimitées :

ax

(m)

&a&x ( m )

m −1 2m m +1 ≅ ax + 2m

≅ ax +


96

48

Chapitre 2. Les opérations de rentes 7. Les rentes viagères continues Passage à la limite :

m →+ ∞

n

n

a x = ∫ t E x .dt 0

Approximation ( passage à la limite des approximations non continues)

n

1 a x ≅ n a x + (1− n E x ) 2 1 ax ≅ax + 2 Ass vie Devolder/Gilles

97

Chapitre 2. Les opérations de rentes 8. La rente viagère en progression géométrique de taux de croissance g La version anticipative Le capital constitutif est donné par :

1 + (1 + g )1 E x + (1 + g) 2 2 E x + ... 1+ g (1 + g) 2 p + 1 x 2 p x + ... 1+ i (1 + i) 2 1 1 =1+ 1 px + 2 p x + ... 1+ k (1 + k ) 2

=1+

= &a&x

(k)

k=

i−g (1 + g)

Rente viagère classique calculée à un taux réel d’intérêt k Ass vie Devolder/Gilles

98

49

Chapitre 2. Les opérations de rentes 8. La rente viagère en progression arithmétique croissante de raison 1 La version anticipative Le capital constitutif est noté Iäx : Iäx = 1 + 2 1Ex + 3 2Ex + … En fonction des commutations : Dx Iäx = Dx + 2 Dx+1 + 3 Dx+2 + … = Nx + Nx+1 + Nx+2 + … En posant : Sx = Nx + Nx+1+Nx+2+…

Sx Dx

Iäx =


99

Chapitre 2. Les opérations de rentes 8. La rente viagère en progression arithmétique croissante de raison 1 La version temporaire anticipative Le capital constitutif est noté nIäx : nIäx = 1 + 2 1Ex + 3 2Ex + … + n n-1Ex En fonction des commutations : Dx nIäx = Dx + 2 Dx+1 + 3 Dx+2 + … + n Dx+n-1 = Nx + Nx+1 + Nx+2 + … - n Nx+n nIäx

=

S x − S x + n − nN x + n Dx Ass vie Devolder/Gilles

100

50

Chapitre 2. Les opérations de rentes 9. Les relations de décomposition äx = räx + rEx äx+r Au lieu de souscrire une rente à l’âge x, on peut souscrire 2 contrats :

une rente temporaire de r années; un capital différé égal au capital constitutif d’une rente vie entière à l’âge x+r.


101

Chapitre 2. Les opérations de rentes 10. Application : capital différé à primes annuelles Engagement de l’assureur : paiment de 1 € en cas de vie dans n années d’une tête d’âge initial x . Engagement de l’assuré : paiement d’une prime annuelle P au début de chaque année tant que l’assuré est en vie . Calcul de P ???

Principe d’équivalence actuarielle : on égale la valeur actuelle des obligations de l’assureur et de l’assuré ( en prenant en compte à la fois l’actualisation financière et les probabilités de survie)


102

51

Chapitre 2. Les opérations de rentes 10. Application : capital différé à primes annuelles Ex

Engagement de l’assureur :

n

Engagement de l’assuré :

P. n &a&x

Valeur de la prime annuelle :

Sous forme de commutations :

P=

Ex && n ax

n

D x +n Dx P= N x − N x+n Dx


103

Chapitre 2. Les opérations de rentes 10. Application : capital différé à primes annuelles Homme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MR 1992 i = 3.25% P = ??? Que devient cette prime si elle est payable mensuellement à terme échu ?


104

52

Chapitre 3. Les assurances-décès 1. Pour quels besoins ? Capital versé au moment du décès de l’assuré, si celui-ci a lieu avant le terme du contrat En cas de vie de l’assuré au terme du contrat: 0


105

Chapitre 3. Les assurances-décès 2. Calcul de la prime de risque En t = 0 : lx têtes d’âge x paient € 1 à l’assureur Parmi les lx têtes, dx (= lx – lx+1) décèderont au cours de l’année, en moyenne en milieu d’année si les décès sont répartis uniformément dans l’année. Au moment du décès, l’assureur peut répartir les € lx capitalisés aux bénéficiaires des dx.


106

53

Chapitre 3. Les assurances-décès 2. Calcul de la prime de risque Si le taux d’intérêt annuel garanti par l’assureur vaut i, le capital au terme vaut € lx (1+i)0.5 Pour chaque décès, l’assureur paie donc

l x (1+ i ) dx

0.5


107

Chapitre 3. Les assurances-décès 2. Calcul de la prime de risque

Graphiquement : dx décédés dans l’année (à l’âge x)

lx assurés d’âge x

paient chacun € 1, soit au total € lx

se répartissent les € lx majorés de leurs intérêts, soit €


lx (1 + i )0.5 dx

108

54

Chapitre 3. Les assurances-décès 2. Calcul de la prime de risque Le capital obtenu au terme par les bénéficiaires est égal à la mise initiale augmentée par

la capitalisation financière à travers le taux d’intérêt i (= taux technique) : (1+i)0.5 l’effet de levier dû à la mortalité (dx < lx)

lx dx Ass vie Devolder/Gilles

109

Chapitre 3. Les assurances-décès 2. Calcul de la prime de risque Dès lors, quelle prime doit demander un asureur afin de pouvoir payer € 1 si l’assuré décède dans l’année ? dx = v 0. 5 q x 0. 5 l x (1 + i )


110

55

Chapitre 3. Les assurances-décès 3. Applications Homme K = 1,000,000 x = 25 n=1 table MK 1992 i = 3.25% Prime de risque = ???


111

Chapitre 3. Les assurances-décès 3. Applications Calcul de primes de risque successives

Quid si l’assureur doit payer € 1 dans le cas où le décès de l’assuré survient dans les n années à venir ? L’assureur doit percevoir les primes de risque successives suivantes : v0.5qx, v0.5qx+1, v0.5qx+2, …, v0.5qx+n-1


112

56

Chapitre 3. Les assurances-décès 3. Applications Homme K = 1,000,000 x = 25 n=5 table MK 1992 i = 3.25% Primes de risque = ???


113

Chapitre 3. Les assurances-décès 3. Applications Le calcul suppose que la mortalité observée dans la population assurée sera conforme à la table de mortalité. Sinon, l’assureur réalisera un bénéfice ou une perte, selon le cas. La prime devra donc être majorée de chargements destinés à compenser les écarts de mortalité ainsi que les frais d’exploitation. Par contre, le taux technique est sans grande incidence sur la prime de risque. Pourquoi ?


114

57

Chapitre 3. Les assurances-décès 4. La prime unique L’assurance décès temporaire Aux primes de risque successives, on peut substituer une prime unique payable au début de l’assurance. Cette prime unique est égale au capital constitutif de la rente viagère variable qui prévoit des versements respectivement égaux aux primes de risque successives. Cette prime unique est égale à : 1/ 2 q x +1 E x v1/ 2 q x +1 + ...+ n −1 E x v1/ 2 q x + n −1 n Ax = v

= v1 / 2

dx d d + v 3 / 2 x +1 + ... + v n−1/ 2 x + n −1 lx lx lx Ass vie Devolder/Gilles

115

Chapitre 3. Les assurances-décès 4. La prime unique L’assurance décès vie entière Le capital décès est payé par l’assureur au moment du décès de l’assuré, quel que soit le moment où il intervient. Cette prime unique est égale à :

Ax = v1/ 2 q x +1 E x v1/ 2 q x +1 + ... = v1 / 2

dx d + v 3 / 2 x +1 + ... lx lx


116

58

Chapitre 3. Les assurances-décès 4. La prime unique Commutations Avec

C x = v x +1/ 2 d x

et

M x = C x + C x +1 + ...

On obtient :

Ax = =

C x C x +1 + + ... Dx Dx

n

Ax =

Mx Dx

=

C x C x +1 C + + ... + x + n −1 Dx Dx Dx M x − M x+n Dx


117

Chapitre 3. Les assurances-décès 5. Applications Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MK / FK 1992 i = 3.25% PU = ???


118

59

Chapitre 3. Les assurances-décès 5. Applications Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MK / FK 1992 i = 3% PU = ???


119

Chapitre 3. Les assurances-décès 5. Applications Assurance vie entière Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 table MK / FK 1992 i = 3% PU = ??? Ass vie Devolder/Gilles

120

60

Chapitre 3. Les assurances-décès 6. La prime nivelée Aux primes de risque successives ou à la prime unique, on peut substituer une prime annuelle constante : la prime nivelée. Principes de base

Égalité entre les engagements de l’assureur et les engagements du preneur Engagements de l’assureur = prime unique définie précédemment Engagements du preneur = paiement d’une prime constante, tant que l’assuré est en vie, pendant une durée maximum m.


121

Chapitre 3. Les assurances-décès 6. La prime nivelée La prime nivelée est égale au montant servi par la rente viagère dont le capital constitutif est égal à la prime unique définie précédemment.

n

Ax = P +1 E x P + ...+ m −1 E x P = P m äx


122

61

Chapitre 3. Les assurances-décès 7. Applications Temporaire décès Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MK / FK 1992 i = 3.25% Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

123

Chapitre 3. Les assurances-décès 7. Applications Temporaire décès Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 n = 40 table MK / FK 1992 i = 3% Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

124

62

Chapitre 3. Les assurances-décès 7. Applications Vie entière Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 table MK / FK 1992 i = 3.25% Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

125

Chapitre 3. Les assurances-décès 7. Applications Vie entière, prime payable jusqu’à 65 ans Homme / Femme K = 1,000,000 x = 25 table MK / FK 1992 i = 3.25% Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

126

63

Chapitre 3. Les assurances-décès 7. Applications Influence des divers paramètres sur la prime

La prime sera d’autant plus élevée que le taux technique est bas, la mortalité est élevée, l’âge de l’assuré est élevé, la durée du contrat est longue.


127

Chapitre 3. Les assurances-décès 8. La temporaire en progression arithmétique croissante de raison 1 La prime unique est notée n

n

IAx

IAx = v1/ 2 q x + 21 E x v1/ 2 q x +1 + ... + n n −1 E x v1/ 2 q x + n −1 =

C x + 2C x +1 + ... + nC x + n −1 Dx

=

Rx − Rx + n − nM x + n Dx

avec

Rx = M x + M x +1 + ...


128

64

Chapitre 3. Les assurances-décès 8. La temporaire en progression arithmétique croissante de raison 1 Temporaire en progression arithmétique croissante, prime payable jusqu’à 65 ans Homme / Femme Capital assuré initial = 1 000 000, avec croissance de 1 000 000 chaque année x = 25 n=5 table MK / FK 1992 i = 3.25% Prime nivelée = ???


129

Chapitre 3. Les assurances-décès 8. La temporaire en progression arithmétique croissante de raison 1 Idem que précédemment, mais la couverture ne doit commencer que dans 3 ans. Financement par prime unique


130

65

Chapitre 3. Les assurances-décès 8. La temporaire en progression arithmétique croissante de raison 1 Idem que précédemment, mais la couverture est la suivante : 1000000 pendant les 3 premières années, puis croissance d’1000000 par an pendant 5 ans.

PU, Prime nivelée = ???


131

Chapitre 3. Les assurances-décès 9. La temporaire en progression arithmétique décroissante de raison 1 La prime unique est notée n

n

DAx

DAx = nv1/ 2 q x + (n − 1)1 E x v1/ 2 q x +1 + ...+ n −1 E x v1/ 2 q x + n −1 =(n + 1)n Ax − n IAx

=

nM x − Rx +1 + Rx + n +1 Dx


132

66

Chapitre 3. Les assurances-décès 10. Applications Un prêt de € 1 MM est remboursable par amortissement constant en 10 ans. Le solde restant dû doit être assuré en cas de décès de l’emprunteur âgé de 25 ans. Les capitaux à assurer en cas de décès sont donc successivement de € 1 MM, € 0.9 MM, … Homme Table MK 1992 i = 3.25% PU, prime nivelée, primes de risque annuelles = ???


133

Chapitre 3. Les assurances-décès 10. Applications Une assurance vie est légalement résiliable à tout moment par le preneur. En cas de résiliation de l’assurance par le preneur au cours de l’année 1, l’assureur aurait supporté un risque estimé par la prime de risque, alors qu’il n’aurait encaissé que la prime nivelée. Dans ce cas, le système de la prime annuelle payable pendant la durée de l’assurance doit être refusé par l’assureur. Ass vie Devolder/Gilles

134

67

Chapitre 3. Les assurances-décès 10. Applications Le preneur a le choix entre la prime unique, la prime de risque et la prime nivelée payable pendant 2/3 de la durée. Pourquoi 2/3 ? Empiriquement, on constate que cette durée est telle que la prime nivelée dépasse la prime de risque.


135

Chapitre 3. Les assurances-décès 11. Les relations de décomposition Ax = rAx + rEx Ax+r Au lieu de souscrire une vie entière à l’âge x, on peut souscrire 2 contrats :

une temporaire de r années; un capital différé égal à la prime unique d’une vie entière à l’âge x+r.


136

68

Chapitre 4. Les opérations mixtes 1. Pour quels besoins ? Capital versé au moment du décès de l’assuré, si celui-ci a lieu avant le terme du contrat Capital versé au terme du contrat si l’assuré est encore en vie


137

Chapitre 4. Les opérations mixtes 2. L’assurance mixte pure L’assurance mixte pure est la combinaison

d’un capital différé et d’une temporaire décès, de capital assuré identique.

La prime unique est définie comme : Ax n = n Ax + n E x La prime nivelée est définie comme : P =

Ax n m


äx 138

69

Chapitre 4. Les opérations mixtes 2. L’assurance mixte pure Le choix de la table de mortalité

dépendra de l’importance relative du risque décès ou du risque vie. On prendra la plus chère, à savoir la table décès… … par souci de prudence, protection du consommateur.


139

Chapitre 4. Les opérations mixtes 2. L’assurance mixte pure Applications

Mixte de EUR 1 MM Homme x = 30 n = m = 35 i = 3.25%

Prime unique = ??? Prime nivelée = ???


140

70

Chapitre 4. Les opérations mixtes 3. L’assurance mixte combinée L’assurance mixte combinée est la combinaison

d’un capital différé et d’une temporaire décès, de capital assuré différent.

La prime unique est définie comme :

Ax n = n Ax +α nE x avec

α

= ratio entre capital-vie et capital-décès

La prime nivelée est définie comme : P =

Ax n m


äx 141

Chapitre 4. Les opérations mixtes 3. Choix de la table de mortalité Dépendra de l’importance relative du risque décès ou du risque vie On prendra la plus chère, à savoir ??? En général, la table vie sera choisie lorsque le capital-vie atteint au moins le double du capital-décès. Ass vie Devolder/Gilles

142

71

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications Mixte de EUR 1 MM

10/5, 10/15, 10/20, 10/25 Homme x = 30 n = m = 35 i = 3.25%

Prime unique = ??? Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

143

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. L’assurance terme fixe Capital versé au terme du contrat, que l’assuré soit en vie ou non. Opération viagère ? Opération financière ? … dépend du paiement des primes.


144

72

Chapitre 4. Les opérations mixtes 2. L’assurance terme fixe Financement par prime unique

Aucun risque viager => opération financière

Financement par prime nivelée

Le décès de l’assuré entraîne la cessation du paiement des primes


145

Chapitre 4. Les opérations mixtes 2. L’assurance terme fixe Table de mortalité ? Décès Prime unique ? PU = vn Prime annuelle ?

P=

vn m äx


146

73

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications Terme fixe de EUR 1 MM

Homme x = 30 n = m = 35 i = 3.25%

Prime unique = ??? Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

147

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications La prime de la terme fixe est-elle supérieure ou inférieure à celle de la mixte (toutes choses restant égales par ailleurs, i.e. même durée, même assuré, même capital, …) ? Elle sera inférieure. Pourquoi ?


148

74

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications Quelle somme faut-il payer maintenant pour assurer à un garçon de 11 ans le paiement d’un capital de € 100,000 à l’âge de 18 ans et de € 200,000 à l’âge de 20 ans (i = 3.25)

si le paiement est certain ? si le paiement est subordonné à l’état de vie de l’enfant ?


149

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications Un retraité de 60 ans reçoit un capital de € 250,000 de son assurance de groupe. Quel est le montant de la rente viagère anticipative qu’il pourra obtenir (i = 3.25%)

si la rente prend cours immédiatement ? si la rente prend cours à partir de 65 ans ?


150

75

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications Quelle est la prime unique payable par un homme de 28 ans pour l’assurance en cas de décès d’un capital de € 250,000 pendant les 10 premières années et de € 100,000 pendant les 10 années suivantes (i = 3.25%) ?


151

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Applications Soit un homme de 30 ans. Comparer, pour une durée de 35 ans et un capital de € 1,000,000, la prime unique du capital différé, de la temporaire décès et de la mixte (i = 3.25%).


152

76

Chapitre 4. Les opérations mixtes 5. Le capital différé avec remboursement des primes Capital versé à condition que l’assuré soit en vie au terme du contrat En cas de décès de l’assuré : remboursement des primes versées


153

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Le capital différé avec remboursement des primes Cette opération s’apparente à une assurance mixte, en ce sens qu’il y a une prestation en cas de décès et une prestation en cas de vie. Néanmoins, l’expression de la prime unique présente une structure différente.


154

77

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Le capital différé avec remboursement des primes CDAR à prime unique

La prestation en cas de vie est financée par : nEx La prestation en cas de décès est financée par : PU nAx On obtient dès lors :

PU = n E x + PU nAx =

n Ex 1− n Ax


155

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Le capital différé avec remboursement des primes CDAR à prime nivelée

La prestation en cas de vie est financée par : nEx

La prestation en cas de décès est financée par :

P⋅1 Ax + 2 P⋅1 Ax +1 1 E x + 3P⋅1 Ax + 2 2 E x + ... + mP⋅1 Ax + m −1 m −1 E x + mP⋅n − m Ax + m m E x = P⋅m IAx + mP⋅n − m Ax + m m E x

On en déduit la prime nivelée : P m äx = n E x + P ⋅ ( m IAx + m⋅n − m Ax + n ⋅m E x ) P=

Ex m ä x − m IAx − m⋅n − m Ax + n ⋅m E x n


156

78

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Le capital différé avec remboursement des primes CDAR, capital de 1 MM

Homme x = 30 n = 35 m = 10 i = 3.25% PU = ??? Prime nivelée = ??? Ass vie Devolder/Gilles

157

Chapitre 4. Les opérations mixtes 4. Le capital différé avec remboursement des primes Une femme de 30 ans achète une assurance lui garantissant un capital de 1MM à l’âge de 65 ans si elle est encore en vie. Dans le cas contraire, son époux recevra 70% des primes versées. PU = ??? Prime nivelée = ???


158

79

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 1. Pour quels besoins ? Le paiement de la rente ou du capital est soumis à la condition que 2 personnes soient simultanément en vie.


159

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 2. L’assurance de capital différé n Rappel : nEx = v

lx+n lx

La prime unique d’une assurance de capital différé sur une tête est égale au produit

du facteur d’actualisation financière vn et de la probabilité qu’une tête d’âge x soit en vie n années plus tard.


160

80

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 2. L’assurance de capital différé La prime unique d’un capital différé sur 2 têtes est égale au produit

du facteur d’actualisation financière vn et de la probabilité qu’une tête d’âge x et une tête d’âge y soient en vie n années plus tard.

n nExy = v

lx+n l y+n lx l y Ass vie Devolder/Gilles

161

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 2. L’assurance de capital différé Exemple

Soient 2 têtes âgées de 25 ans (homme) et de 23 ans (femme). Quelle est la probabilité que les 2 têtes soient en vie dans 40 ans ? Quel est le montant nécessaire au paiement d’un capital différé de € 50,000 dans 40 ans (prime unique s’il s’agit d’assurance-vie) ? i = 3.25%


162

81

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 3. La rente viagère Le capital constitutif d’une rente viagère sur 2 têtes est défini par :

à terme échu axy = 1Exy + 2Exy + …

anticipative äxy = 1 + 1Exy + 2Exy + …


163

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 3. La rente viagère Le capital constitutif d’une rente viagère temporaire sur 2 têtes est défini par :

à terme échu naxy = 1Exy + 2Exy + … + nExy

anticipative näxy = 1 + 1Exy + 2Exy + … +

n-1Exy


164

82

Chapitre 5. Les opérations sur 2 têtes 3. La rente viagère

Exemple

Un homme de 63 ans et son épouse de 60 ans souhaitent recevoir € 100.000 chaque année pendant 3 ans, à commencer à la fin de l’année, pour autant que tous 2 soient en vie. Quel capital doivent-ils verser aujourd’hui ? (i = 3.25%) Ass vie Devolder/Gilles

165

L’assurance solde restant dû 1. Pour quels besoins ? L’assurance solde restant dû est

une assurance temporaire décès à capital variable : le capital est égal au solde restant dû de l’emprunt associé.


166

83

L’assurance solde restant dû 1. Pour quels besoins ? Le calcul des primes dépend de la façon dont le capital assuré décroît, i.e. de la façon dont le capital emprunté est remboursé. On envisage

les emprunts à amortissements constants, les emprunts à annuités constantes, les emprunts de type « bullet ». Ass vie Devolder/Gilles

167

L’assurance solde restant dû 2. Calcul du solde restant dû Notations

C = capital emprunté dk = amortissement payable à l’instant k Ak = annuité payable à l’instant k SRDk = solde restant dû à l’instant k+0 (après le paiement de l’annuité Ak) i = taux d’intérêt de l’emprunt n = durée de l’emprunt


168

84

L’assurance solde restant dû 2. Calcul du solde restant dû Formules rétrospectives k

SRDk = C − ∑ d j j =1

k

SRDk = C ⋅ (1 + i ) − ∑ A j ⋅ (1 + i ) k

k− j

j =1

Formules prospectives SRDk = SRDk =

n

∑d

j = k +1

j

n

∑A

j = k +1

j

⋅ v j −k


169

L’assurance solde restant dû 2. Calcul du solde restant dû Emprunt à amortissements constants

Le remboursement du capital se fait de manière linéaire, tout au long du prêt. A chaque période, la part de capital remboursée est identique.

SRDk =

n−k ⋅C n


170

85

L’assurance solde restant dû 2. Calcul du solde restant dû Emprunt à annuités constantes

A chaque période, le montant total payé (amortissement + intérêt) est identique. SRDk =

La formule générale devient

SRDk = A ⋅

n

∑v

j −k

j = k +1

n

∑A

j = k +1

j

⋅ v j −k

= A ⋅ an − k


171

L’assurance solde restant dû 2. Calcul du solde restant dû Emprunt à annuités constantes

Cas particulier : en k = 0, SRD0 = C C = SRD0 = A ⋅ an ⇔ A =

… et dès lors

C an

SRDk = A ⋅ an − k = C


an − k an 172

86

L’assurance solde restant dû 2. Calcul du solde restant dû Emprunt de type « bullet »

Le remboursement du capital se fait en une seule fois, à la fin du prêt. SRDk = C, pour k = 0, 1, …, n-1 SRDn = 0


173

L’assurance solde restant dû 3. Applications Un homme de 30 ans souscrit un emprunt « bullet » de € 100.000 pour une durée de 3 ans. Le taux du prêt est de 4%.

Calculez les primes de risque successives et la prime pure nivelée de l’assurance solde restant dû correspondante (taux technique : 3,25%).


174

87

L’assurance solde restant dû 3. Applications Idem, mais le prêt est à

amortissements constants, annuités constantes.

Comparez les 3 assurances solde restant dû.


175

L’assurance solde restant dû 3. Applications Une femme de 25 ans a emprunté un capital de 100.000 à 4% sur 5 ans. Elle souhaite rembourser par annuités constantes, mais ne commencera les remboursements qu’à partir de la 2e année. Quelle prime nivelée devra-t-elle payer ? Déterminez la prime pure et la prime commerciale. i = 3.25% g = 0.1% ε = 15%


176

88

Chapitre 6. Les chargements 1. Les différents types de chargements Les tarifs comportent des chargements de sécurité et pour frais (gestion, commissions). La prime commerciale, notée P’’, est la prime majorée de tous les chargements.


177

Chapitre 6. Les chargements 1. Les différents types de chargements Chargements de sécurité et pour frais de gestion

Chargement implicite En cas de vie : table de mortalité lente, taux technique

prudent En cas de décès : table de mortalité rapide, taux

technique prudent (significatif pour les primes uniques et les primes nivelées)


178

89

Chapitre 6. Les chargements 1. Les différents types de chargements Chargements de sécurité et pour frais de gestion

Chargement explicite Proportionnel au capital décès, prélevé annuellement par

anticipation (ordre de grandeur : de 0.01% à 0.1%) Proportionnel à la prime (cas particulier) Proportionnel aux arrérages de rentes Notation : g


179

Chapitre 6. Les chargements 1. Les différents types de chargements Chargements pour frais d’acquisition et d’encaissement

Proportionnels à la prime (encaissement) Ordre de grandeur:

Groupe : 5% (gestion) + 2% (encaissement) Individuelle : en cas de décès : 15% (encaissement) mixtes ou en cas de vie : 8% (gestion) + 2% (encaissement) Rentes : gestion : 1% des arrérages encaissement : 2% du capital constitutif

Notation : ε Ass vie Devolder/Gilles

180

90

Chapitre 6. Les chargements 1. Les différents types de chargements Chargements pour frais d’acquisition et d’encaissement

Proportionnels au capital (acquisition), versés à la souscription Ordre de grandeur:

Vie entière : 3% C Mixtes : 1.5% Cv + 1.5% Cd Pas de chargement d’acquisition pour les temporaires décès et les assurances de groupe

Notation : α Ass vie Devolder/Gilles

181

Chapitre 6. Les chargements 2. Calcul de la prime pure Notations

P = prime pure C = capital nXx = symbole désignant la combinaison d’assurance (nAx, nEx, Ax:n, …)

Solution de l’équation exprimant l’égalité des valeurs présentes des engagements :

d’une part, du preneur d’assurance, d’autre part, de l’assureur vis-à-vis du preneur.

P m äx =C n X x Ass vie Devolder/Gilles

182

91

Chapitre 6. Les chargements 3. Calcul de la prime d’inventaire Notations

P’ = prime d’inventaire


d’une part, du preneur d’assurance, d’autre part, de l’assureur vis-à-vis du preneur, pour faire face aux impératifs de sécurité et de frais de gestion

(chargement d’inventaire)

NB : le décès de l’assuré ne met pas nécessairement fin au chargement d’inventaire (exemple : terme fixe où näz = äz )

P'm äx =C n X x + gC n äz Ass vie Devolder/Gilles

183

Chapitre 6. Les chargements 4. Calcul de la prime commerciale Notations

P’’ = prime commerciale


d’une part, du preneur d’assurance, d’autre part, de l’assureur vis-à-vis du preneur, pour faire face aux impératifs de sécurité et de tous les frais.

P''m äx =C n X x + gC n äz + αC + εP''m äx Ass vie Devolder/Gilles

184

92

Chapitre 6. Les chargements 5. Applications Exemple

Quelle est la prime nécessaire au paiement d’un capital de € 100,000 en cas de décès dans l’année d’un homme de 30 ans (i = 3.25%) ? Chargements de sécurité et de gestion : 0.1% du capital Encaissement : 15% de la prime


185

Chapitre 6. Les chargements 5. Applications Exemple

Assurance Mixte 10/10 de € 100,000 souscrite par un homme de 25 ans pour une durée de 40 ans. g = 0.1% α = 3% ε = 10% i = 3.25%

PU pure, d’inventaire, commerciale ? P annuelle pure, d’inventaire, commerciale ? Ass vie Devolder/Gilles

186

93

Chapitre 7. Les provisions 1. Définition En assurance-vie, la prime payée au cours d’une année ne correspond pas aux engagements de l’assureur au cours de cette année.

exception: l’assurance-décès à prime de risque

C’est l’ensemble des primes qui correspond à l’ensemble des engagements de l’assureur, pendant toute la durée du contrat. Ass vie Devolder/Gilles

187

Chapitre 7. Les provisions 1. Définition Définition rétrospective

L’excédent des primes déjà payées sur les engagements passés de l’assureur fait l’objet d’une provision, dite mathématique.

Définition prospective

La provision mathématique est aussi égale à l’excédent des engagements futurs de l’assureur sur les primes encore à payer.


188

94

Chapitre 7. Les provisions 1. Définition Provision mathématique (prospective) = VAP des engagements de l’assureur envers le preneur + VAP des chargements futurs

MOINS VAP de l’engagement du preneur (primes futures) à l’âge atteint par l’assuré et pour la durée résiduelle.


189

Chapitre 7. Les provisions 2. Les différents types de provisions Provision mathématique pure

au niveau des engagements de l’assureur : seuls ceux envers le preneur sont retenus

au niveau des engagements du preneur : seul le paiement de la prime pure est pris en compte.

V =C n − k X x + k − P m − k äx + k

k −0


190

95

Chapitre 7. Les provisions 2. Les différents types de provisions Provision mathématique d’inventaire

au niveau des engagements de l’assureur : les engagements envers le preneur et envers lui-même

pour couvrir les frais de gestion sont retenus ;

au niveau des engagements du preneur : le paiement de la prime d’inventaire est pris en compte.

V ' =C n − k X x + k + gC n − k äz + k − P'm − k äx + k

k −0


191

Chapitre 7. Les provisions 2. Les différents types de provisions Valeur de rachat théorique (ou provision mathématique commerciale)

au niveau des engagements de l’assureur : les engagements envers le preneur et envers lui-même

pour couvrir tous les frais sont retenus ;

au niveau des engagements du preneur : le paiement de la prime commerciale est pris en compte.

V ' ' =C n − k X x + k + gC n − k äz + k + εP''m − k äx + k − P ''m − k äx + k

k −0

=C n − k X x + k + gC n − k äz + k − (1 − ε ) P ''m − k äx + k Ass vie Devolder/Gilles

192

96

Chapitre 7. Les provisions 2. Les différents types de provisions Remarque : le chargement d’acquisition a été prélevé à l’origine. Dès lors, pour k>0, il ne doit plus intervenir dans le calcul de la provision mathématique. La provision mathématique ainsi calculée est dite commerciale. Le plus souvent, elle est appelée valeur de rachat théorique.


193

Chapitre 7. Les provisions 2. Les différents types de provisions Relations entre provisions

Entre provision pure et provision d’inventaire Dans le cas fréquent où m = n et z = x, on a :

V = k −0V '

k −0

Entre valeur de rachat théorique et provision d’inventaire

V '= k −0V ' '+

k −0

αC m

äx

m−k


äx+ k 194

97

Chapitre 7. Les provisions 3. Le chargement d’acquisition non amorti Dans l’expression

V '= k −0V ' '+

k −0

αC m

äx

m−k

äx + k

le terme en α représente le chargement d’acquisition restant à amortir. Le chargement d’acquisition est perçu à l’origine du contrat. Il peut être considéré comme un prêt consenti par l’assureur au preneur pour rémunérer l’intermédiaire. Le montant de ce prêt est égal à αC, où α est de l’ordre de 3%.


195

Chapitre 7. Les provisions 3. Le chargement d’acquisition non amorti Ce prêt est progressivement remboursé (amorti) par αC le preneur par le paiement annuel du montant ä m x contenu dans la prime commerciale (composante d’acquisition de la prime commerciale). Immédiatement avant la date k, le chargement d’acquisition restant à amortir est : αC m

äx

m−k

äx + k


196

98

Chapitre 7. Les provisions 3. Le chargement d’acquisition non amorti Exemple

Assurance vie entière de € 1.000.000 pour un homme de 40 ans. La prime est annuelle (i=3,25%). Chargement d’inventaire : 0,1% Chargement d’encaissement : 10% Chargement d’acquisition : 3%

Calculer immédiatement avant la date 10 :

la provision mathématique pure, la provision mathématique commerciale, le chargement d’acquisition restant à amortir. Ass vie Devolder/Gilles

197

Chapitre 7. Les provisions 4. La provision mathématique au bilan La provision mathématique, estimation de la dette de l’assureur envers le preneur, figure au passif du bilan. La provision mathématique au bilan est dite :

zillmérisée si elle est égale à la valeur de rachat théorique ; non zillmérisée si, comme c’est le cas en Belgique, elle est égale à la valeur de rachat théorique majorée d’une marge prudentielle égale au chargement d’acquisition restant à amortir :

αC m

äx

⋅ m−k ä x + k


198

99

Chapitre 7. Les provisions 4. La provision mathématique au bilan La provision mathématique non zillmérisée est égale à la provision mathématique d’inventaire. Dans ce contexte, le chargement d’acquisition restant à amortir est appelé la marge de zillmérisation. Jusqu’au 1-1-1995, ce montant pouvait figurer à l’actif, mais pas en représentation des provisions techniques. Depuis, ce montant ne peut plus être activé.


199

Chapitre 7. Les provisions Formule rétrospective La provision mathématique rétrospective représente l’excédent des primes déjà payées sur les engagements passés de l’assureur.


200

100

Chapitre 7. Les provisions Formule rétrospective Provision mathématique (rétrospective) = VAP des engagements passés du preneur (primes payées)

MOINS VAP des engagements passés de l’assureur envers le preneur + VAP des chargements passés évalués à l’instant k. Ass vie Devolder/Gilles

201

Chapitre 7. Les provisions Formule rétrospective

Exemple : vie entière

k
k − 0V " =

P"⋅k ä x − (C ⋅k Ax + g ⋅ C ⋅k ä x + αC + εP"⋅k ä x ) k Ex

k≥m:

k −0V " =

P"⋅m ä x − (C ⋅k Ax + g ⋅ C ⋅k ä z + αC + εP"⋅m ä x ) k Ex


202

101


Exercice

Ecrire la formule rétrospective pour la temporaire décès, le capital différé, la rente viagère temporaire anticipative et la rente viagère anticipative. Démontrer l’équivalence avec la formule prospective. Ass vie Devolder/Gilles

203


Exercice

Assurance vie entière (cfr supra) Calculer la provision mathématique prospective et rétrospective, juste avant la date 10.


204

102

Chapitre 7. Les provisions Formule de récurrence de Fouret-Thiele

La formule de récurrence de FouretThiele permet de déterminer la réserve de proche en proche. Cette formule établit le lien entre la réserve en k et la réserve en k+1.


205

Chapitre 7. Les provisions Formule de récurrence de Fouret-Thiele

La réserve, calculée immédiatement avant k+1, s’écrit : k +1− 0V " =

C ⋅n − k −1 Px + k +1 + g ⋅ C ⋅n − k −1 ä z + k +1 − (1 − ε )P"⋅m − k −1 äx + k +1

Exercice : démontrer l’égalité suivante k +1− 0V " =

k − 0V "−v

1/ 2

q x + k ⋅ C − gC + (1 − ε )P" 1 Ex+k


206

103

Chapitre 7. Les provisions Formule de récurrence de Fouret-Thiele En t = k :

on part de la réserve en k-0 ; on extrait la prime de risque pour couvrir le risque tout au long de l’année k ; on prélève le chargement d’inventaire ; on ajoute la prime versée par le preneur (après déduction du chargement d’encaissement).

Pour déterminer la réserve en t = k+1, il reste à capitaliser viagèrement en divisant par 1Ex+k. Ass vie Devolder/Gilles

207

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne

Dans un contexte hors chargements, la formule de Fouret s’exprime : k + 0V

= v1/ 2 q x + k Cd + k +1−0V ⋅1 E x + k

= v1/ 2 q x + k Cd + k +1−0V ⋅ (1 − q x + k ) ⋅ v

(

)

= v1/ 2 q x + k ⋅ Cd − v1/ 2 k +1−0V + k +1−0V ⋅ v


208

104

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne Le capital sous risque est défini par :

(

CRk = C d − v1/ 2 k +1−0V

)

Il s’agit de la partie du capital-décès qui n’est pas couverte par la réserve. La prime de risque est la prime nécessaire à couvrir ce risque décès : PRk = v1/ 2 q x + k ⋅ CRk Ass vie Devolder/Gilles

209

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne De ce qui précède, il vient : k − 0V

+ P = PRk + k +1− 0V ⋅ v

⇔ P = PRk + ( k +1−0V ⋅ v − k −0V )

On appelle prime d’épargne la quantité: PEk = k +1− 0V ⋅ v − k −0V

de sorte que P = PRk + PEk. Ass vie Devolder/Gilles

210

105

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne En se plaçant à la date k+1 : k +1− 0V

= ( k + 0V − PRk ) ⋅ u

⇔ k +1−0V = k + 0V − PRk + I k +1

Ik+1 représente l’intérêt crédité à la date k+1 à la réserve mathématique: I k +1 = i ⋅ ( k + 0V − PRk )


211

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne En se souvenant que : k + 0V = k − 0V

+P

P = PEk + PRk

on peut réexprimer les relations précédentes par : k +1− 0V = k − 0V

+ PEk + I k +1

I k +1 = i ⋅ ( k −0V + PEk ) Ass vie Devolder/Gilles

212

106

Chapitre 7. Les provisions Relation entre réserve mathématique finale et primes d’épargne

1− 0V

= ( 0−0V + PE0 ) ⋅ u = PE0 ⋅ u

2 − 0V

= (1−0V + PE1 ) ⋅ u = PE0 ⋅ u 2 + PE1 ⋅ u

3− 0V

= ( 2 −0V + PE2 ) ⋅ u

= PE0 ⋅ u 3 + PE1 ⋅ u 2 + PE2 ⋅ u


213

Chapitre 7. Les provisions Relation entre réserve mathématique finale et primes d’épargne Pour k = n, on trouve : n − 0V

= ( n −1−0V + PEn −1 ) ⋅ u = PE0 ⋅ u n + PE1 ⋅ u n −1 + ... + PEn −1 ⋅ u =

n −1

∑ PE

k

⋅ u n −k

k =0

La réserve est égale à la somme des primes d’épargne capitalisées financièrement. Ass vie Devolder/Gilles

214

107

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne

Exemple

Assurance mixte 10/10 de € 1 MM souscrite par un homme de 55 ans pour une durée de 10 ans. Calculer pour t = 1, 2, 5, 6 : k-0V,

k+0V,

CRk, PRk, PEk, Ik+1.


215

Chapitre 7. Les provisions Prime de risque et prime d’épargne Remarque

Au cours des premières années, on remarque que k+1-0V < k+0V. Ceci signifie que le prélèvement de la prime de risque dépasse les intérêts perçus sur la réserve (PRk> Ik+1). Puis, au fur et à mesure que la réserve croît, le capital sous risque diminue et par conséquent, la

prime de risque aussi ; les intérêts perçus augmentent.

Alors, on observe que

k+1-0V


>

k+0V.

216

108

Chapitre 7. Les provisions Rachat du contrat C’est la résiliation du contrat par le preneur, à charge pour l’assureur de payer la valeur de rachat (pratique). La valeur de rachat est la valeur de rachat théorique, diminuée d’une indemnité de rachat (traditionnellement 5% maximum). La réglementation belge prévoit que, en cas de résiliation dans les premières années du contrat, une partie des frais d’acquisition doit être remboursée au preneur dans le calcul de la valeur de rachat.


217

Chapitre 7. Les provisions Rachat du contrat Exemple

Assurance vie entière (cfr supra). Valeur de rachat immédiatement avant la date 10?

Le droit au rachat n’existe pas pour les assurances en cas de vie. Pour les assurances de type mixte, la valeur de rachat est limitée au capital décès, le solde éventuel étant considéré comme prime unique d’inventaire d’une assurance de capital différé payable au terme prévu. Le but est d’éviter l’antisélection d’un assuré en mauvaise santé.


218

109

Chapitre 7. Les provisions Rachat du contrat Exemple

Assurance de capital différé de € 1.000.000 à prime unique, avec remboursement de la prime en cas de décès, souscrite par un homme de 30 ans pour une durée de 35 ans (capital différé avec contre-assurance). Chargement d’encaissement : 2% Acquisition : 1,5% Cv + 1,5% Cd Indemnité de rachat : 5%

Le contrat est racheté à la date 30. Valeur de rachat ?


219

Chapitre 7. Les provisions Réduction du contrat C’est la cessation du paiement des primes, le capital assuré étant diminué (réduit) en conséquence. Le capital réduit est égal au capital qu’il est possible d’assurer par la valeur de rachat théorique considérée comme prime unique d’inventaire.


220

110

Chapitre 7. Les provisions Réduction du contrat Exemple

Assurance vie entière (cfr supra). Le contrat est réduit immédiatement avant la date 10. Valeur de réduction ?


221

Chapitre 7. Les provisions Avance sur contrat C’est la faculté pour le preneur d’obtenir un prêt sur son contrat, moyennant intérêts. Ce prêt est limité à la valeur de rachat. Si l’avance n’est pas remboursée au terme, elle est déduite du capital. La faculté d’avance est réservée aux contrats à valeur de rachat suffisante et croissante.


222

111

Chapitre 7. Les provisions Avance sur contrat Les provisions mathématiques restent capitalisées sur base du taux d’intérêt technique. Le preneur est tenu au paiement d’intérêts sur son avance. Ces intérêts sont supérieurs au taux technique, de manière à laisser à l’assureur le bénéfice d’une marge d’intérêts. Ils sont perçus anticipativement de manière à ce que, en cas de rachat, la créance du preneur (provision mathématique – intérêts) ne dépasse pas 95% de la valeur de rachat théorique.


223

Chapitre 7. Les provisions Avance sur contrat Exemple

Assurance vie entière (cfr supra). Immédiatement avant la date 10, quelle est l’avance maximum que le preneur peut demander (taux de l’avance : 4,75%) ?


224

112

Chapitre 7. Les provisions Avance sur contrat Exemple

Si le preneur ne rembourse pas l’avance, que se passe-t-il s’il continue à payer les primes ? s’il réduit son contrat ? s’il rachète son contrat ?


225

Chapitre 8 : La PB 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

Principe général Marges bénéficiaires PB d’un contrat à prime unique PB d’un contrat revalorisable PB d’un contrat à primes annuelles


226

113

8.1. Principe général - Dans la tarification l’assureur utilise des bases actuarielles dites de premier ordre ; celles-ci contiennent une marge de sécurité - taux technique garanti prudent - tables de mortalité plus rapides en cas de décès et plus lentes en cas de vie - chargements - Généralement l’assureur réalise a posteriori des bénéfices.


227

8.1. Principe général - Bénéfice d’intérêt : rendement effectif des placements meilleur que le taux technique à priori - Bénéfice de mortalité : mortalité plus faible dans les opérations décès et plus rapide dans les opérations vie - Bénéfice sur chargements : frais effectifs inférieurs aux chargements


228

114

8.1. Principe général Analyse par marge : décomposer le bénéfice annuel de l’assureur en ces 3 composantes Outil : formule de Fouret de récurrence des provisions Participation bénéficiaire : restitution à posteriori au preneur d’une partie des bénéfices de l’assureur - PB finale (Terminal Bonus) : PB donnée uniquement au terme du contrat - PB annuelle (Reversionary bonus) : PB donnée chaque année Ass vie Devolder/Gilles

229

8.1. Principe général Les deux principales sources de bénéfice distribuées sont : - le bénéfice d’intérêt PB intérêt - le bénéfice de mortalité PB mortalité


230

115

8.1. Principe général PB Intérêt : - sur les opérations à provisions mathématiques significatives

Terminal bonus : complément de prestations donné au terme du contrat (sur base du surplus final actif/passif)

PB annuelle : Dotation de PB effectuée chaque année en fonction de la marge d’intérêt


231

8.1. Principe général PB Intérêt : mode de calcul de la marge d’intérêt

Actif général

Actif cantonné

Rendement de l’ensemble des actifs

Rendement d’un canton d’actifs affectés au produit (engagement de l’assureur)


232

116

8.1. Principe général PB mortalité - s’applique aux assurances en cas de décès - s’exprime sous forme d’une augmentation gratuite décidée chaque année du capital décès ( par exemple +15%) . - peut aussi prendre la forme d’une réduction de la prime à capital inchangé (PB incorporée)


233

8.2. Marges bénéficiaires Base : formule de récurrence de Fouret / Thiele de la provision mathématique d’inventaire : On part de la réserve au 31/12/ K k +1−0V ' =

V '−v1/ 2 q x + k C − gC + P ' 1 Ex+k

k −0

Dans la réalité, on note :

i* = rendement réel q * / p * = mortalité réelle g* = frais réels Ass vie Devolder/Gilles

234

117

8.2. Marges bénéficiaires Compte de résultat de l’assureur : V =

k +1−0

*

V '−v *1/ 2 q *x + k C − g * C + P ' 1 E *x + k

k −0

Bénéfice de l’assureur au 31/12/ K+1: Bk +1 = k +1−0V *− k +1−0V '


235

8.2. Marges bénéficiaires Bk +1 = V * − V' =( k −0V'+ P' )(

1+ i* 1+ i − ) p *x + k p x + k

+ C(

v 1/ 2 q x + k v *1 / 2 q *x +k − ) E E * 1 x+k 1 x+k

+ C(

g g* − * ) 1 E x+k 1 E x+k


236

118

8.2. Marges bénéficiaires Bénéfice d’intérêt : effet uniquement de la différence de rendement Généré principalement par le terme :

Bki +1 ≅( k −0V '+ P'−Cv1/ 2 q x + k − gC )(i * −i ) / p x + k

= k +1−0V ' (i * −i ) /(1 + i )

PB intérêt : redonner une partie de ce montant


237

8.2. Marges bénéficiaires Bénéfice de mortalité : effet uniquement de la différence de mortalité 1 1 Bkm+1 =( k −0V '+ P − v1/ 2Cq x + k − gC )(1 + i )( − ) px+ k * px + k

− v1/ 2C (q *x + k − q x + k )/1E *x + k =

V '(

k +1− 0

px+k − 1) − v1/ 2C (q *x + k − q x + k )/1E *x + k p *x + k


238

119

8.3. PB d’un contrat à PU On considère un contrat en prime unique souscrit à l’âge x pour une durée n . Notations:

i = taux garanti I k = rendement réel de l ' année k

β = part du rendement redistribué τ k = taux de pb de l ' année k C = capital assuré Ass vie Devolder/Gilles

239

8.3. PB d’un contrat à PU Le taux de PB s’appliquant à la provision mathématique d’inventaire fin d’année est donné par :

τk =

max(β I k , i) − i max(β I k − i,0) = (1 + i) (1 + i)

La dotation de pb à l’instant k est donc :

Dk = τk

V'

k −0


240

120

8.3. PB d’un contrat à PU Initialisation du processus : En t=1 , on a avant le processus de PB : 1− 0

V' = C PUI x +1;n −1

Le processus de pb conduit à augmenter la réserve de la dotation de pb et à créer une réserve de pb : 1− 0

V' +1−0VPB ' = C PUI x +1; n −1 + τ1

V' = (1 + τ1 ) 1−0V'

1− 0


241

8.3. PB d’un contrat à PU Si cette dotation de pb est versée en prime unique d’inventaire dans la même combinaison d’assurance que celle du contrat , la nouvelle réserve totale permet d’assurer un nouveau capital :

C1 = (1 + τ1 )C Le capital est indexé au taux de la participation bénéficiaire. D’une manière générale, l’année k on aura : k

C k = (∏ (1 + τ j ))C j=1


242

121

8.3. PB d’un contrat à PU Les réserves du contrat principal et du contrat pb sont donnés respectivement par :

k −0 k

V' = C PUI x + k ;n −k

V PB ' = (C k − C) PUI x + k ;n − k k

= C( ( ∏ (1 + τ j )) − 1) PUI x + k ;n −k j=1


243

8.3. PB d’un contrat à PU Remarques : 1° tout se passe comme si le contrat était alimenté chaque année par des primes uniques successives payées par l’assureur; 2° l’assureur donne donc aussi une nouvelle garantie de taux sur ces dotations de pb 3° la dotation de pb peut parfois être portée dans une autre combinaison d’assurance que le contrat principal (par exemple : contrat principal en mixte 10/10 et pb portée en capital différé sans remboursement). Ass vie Devolder/Gilles

244

122

8.3. PB d’un contrat à PU Remarques : 4°) Pour des raisons notamment fiscales, il convient de gérer de manière distincte le contrat principal et le contrat de participation bénéficiaire 5°) lorsqu’il y a un changement de tarif en cours de contrat, les dotations futures de pb sont mises dans le nouveau tarif (voir chapitre 9)


245

Exercice (1) On considère une assurance mixte 10/10 d’un capital de 1 MM souscrite à 45 ans par un homme pour une durée de 4 ans en prime unique. i = 3.25% On suppose que les taux de placements s’élèvent à : - 2 premières années : 6% - 2 dernières années : 5% L’assureur redistribue 85% du rendement. La PB est octroyée dans la même combinaison d’assurance que le contrat principal. Ass vie Devolder/Gilles

246

123

Exercice (2) Calculer chaque année • la dotation de PB • la réserve PB • le capital supplémentaire PB


247

8.4. PB d’un contrat revalorisable Même logique pour un contrat à primes périodiques . Le processus de participation bénéficiaire permet-il aussi une indexation des prestations du contrat aux taux successifs de pb ? Initialisation du processus : 1− 0

V' = C PUI x +1;n −1 − p' &a&x +1; n −1

Ce qui peut s’écrire :

C=

1−0

V' + p' &a&x +1;n −1 PUI x +1;n −1


248

124

8.4. PB d’un contrat revalorisable Le processus de PB conduit à augmenter cette réserve : 1− 0

V' +1−0VPB ' = (1 + τ1 ) 1−0V'

Si on augmente également la prime du même facteur on a alors :

C(1 + τ1 ) =

1−0

V' (1 + τ1 ) + p' (1 + τ1 ) &a&x +1;n −1 PUI x +1;n −1


249

8.4. PB d’un contrat revalorisable Il s’agit d’un contrat à primes revalorisables : chaque année les primes sont revues au taux de la pb. Dans ce cas, on a la même logique qu’en primes uniques: L’ensemble des prestations sont chaque année indexées au taux de pb. k

C k = (∏ (1 + τ j ))C j=1 k

p' k = (∏ (1 + τ j )) p' j=1


250

125

8.4. PB d’un contrat revalorisable L’opération peut être décomposée en contrat principal et contrat pb . Pour le contrat principal , on a par récurrence :

CPk = CPk −1 + ( τ k p' k −1 )

&a&x + k ;n −k PUI x + k ;n −k

Pour le contrat de participation, on a par différence : k

CPBk = C∏ (1 + τ j ) − CPk j=1


251

8.4. PB d’un contrat revalorisable Au niveau des provisions mathématiques d’inventaire : Contrat principal : k −0

V' = CPk PUI x + k ;n − k − p k ' &a&x + k ; n −k

Contrat de participation bénéficiaire : k −0

V PB ' = CPB k PUI x + k ;n −k


252

126

8.5. PB d’un contrat à primes annuelles Que se passe t’il dans un contrat à primes annuelles fixes non revalorisables et bénéficiant de pb ? Dans ce cas, on a en fin de première année :

C(1 + ψ1 ) =

1− 0

V' (1 + τ1 ) + p' &a&x +1;n −1 PUI x +1;n −1 ψ1 < τ1

Avec :


253

8.5. PB d’un contrat à primes annuelles Augmentation du capital :

CPB1 = ψ1 C =

τ1 1−0V' PUI x +1,n −1

(dotation de PB portée en prime unique d’inventaire sur le contrat) Primes annuelles de l’assuré Ass vie Devolder/Gilles

Primes uniques successives de l’assureur 254

127

8.5. PB d’un contrat à primes annuelles D’une manière générale, l’année k, on aura : Contrat pb:

CPBk = CPBk −1 + k −0

τ k ( k −0V'+ k −0V' PB ) PUI x + k ,n −k

V 'PB = CPB k −1 PUI k

Réserve après dotation : k+0

Effet PB sur PB

V 'PB = CPBk PUI k Ass vie Devolder/Gilles

255

Exercice (1) On considère une assurance mixte 10/10 d’un capital de 1 MM souscrite à 45 ans par un homme pour une durée de 4 ans en primes annuelles anticipatives constantes. i = 3.25% g = 0.1% du capital décès On suppose que les taux de placements s’élèvent à : - 2 premières années : 6% - 2 dernières années : 5% L’assureur redistribue 85% du rendement. La PB est octroyée dans la même combinaison d’assurance que le contrat principal. Ass vie Devolder/Gilles 256

128

Exercice (2) 1. calculer chaque année le bénéfice d’intérêt de l’assureur avant PB 2. calculer chaque année • la dotation de PB • la réserve PB • le capital supplémentaire PB


257

Chapitre 9 : Transformation et adaptation 9.1. Transformation volontaire de contrat 9.2. Modification de tarifs 9.3. Méthode des générations de contrats 9.4. Méthode de l’adaptation tarifaire Ass vie Devolder/Gilles

258

129

9.1. Transformation de contrat Généralement , à l’occasion d’une transformation de contrat, le preneur d’assurance décide de changer un (ou plusieurs) des éléments suivants : - la combinaison d’assurance ; - la durée du contrat ; - le montant de la prime ; - le montant du capital assuré ; - la durée de paiement des primes.


259

9.1. Transformation de contrat Toute transformation de contrat se ramène alors à la résolution d’une équation qui exprime l’égalité entre : - la valeur de rachat théorique ( créance de l’assuré) augmentée de la valeur actuelle des primes futures ; - la valeur actuelle des engagements futurs de l’assureur ( y compris éventuel chargement d’acquisition supplémentaire)


260

130

9.1. Transformation de contrat Équation générale d’équilibre :

k −0

V"+ p" &a& x + k ;m −k = C PUI x + k + ε p" &a&x + k ;m −k + α C 0 Éventuel complément d’acquisition


261

9.1. Transformation de contrat A l’occasion d’une transformation de contrat , il convient d’être attentif à 2 points : - formalités médicales : si la transformation choisie par le preneur conduit à une majoration du capital décès, l’assureur peut exiger des formalités médicales. - changement de table de mortalité : la transformation peut faire changer la nature de l’opération ( genre vie ou genre décès) Ass vie Devolder/Gilles

262

131

9.2. Modification de tarifs Principe général 1 : Lorsque l’assureur modifie son tarif ( taux technique , tables de mortalité et / ou chargements) , il applique ce nouveau tarif aux nouveaux contrats et aux augmentations de primes sur les contrats existants.

Principe général 2 : Pour le portefeuille existant au moment du changement de tarif, deux possibilités existent. Ass vie Devolder/Gilles

263

9.2. Modification de tarifs Possibilité 1 : génération de contrat : on maintient pour le portefeuille existant les anciennes bases techniques , que ce soit pour le calcul des primes et des engagements ou pour celui des provisions mathématiques d’inventaire.

Possibilité 2 : adaptation tarifaire : on applique les nouvelles bases techniques au portefeuille tout en veillant au maintien des garanties octroyées . Ass vie Devolder/Gilles

264

132

9.2. Modification de tarifs Indépendamment de la technique utilisée, on dit que le changement de tarif est : - favorable lorsque le nouveau tarif (NT) est moins cher que l’ancien tarif ( AT) ( par exemple augmentation du taux technique) - défavorable lorsque le nouveau tarif (NT) est plus cher que l’ancien tarif ( AT) ( par exemple diminution du taux technique)


265

9.2. Modification de tarifs Notations :

t = moment du changement de tarif x + t = âge au changement de tarif n − t =durée res tan te au changement PUI A = prime unique d ' inventaire (ancien tarif ) PUI N = prime unique d' inventaire ( nouveau tarif ) &a&xA+s

;m −s

= annuité dans ancien tarif

&a&xN+s ; m −s = annuité dans nouveau tarif Ass vie Devolder/Gilles

266

133

9.2. Modification de tarifs Exemple : ASSURANCE MIXTE 10/10 Ancien tarif :

PUI A = A x n + 0.1% &a&x ;n Calculé à 3.75 % et table MK Nouveau tarif :

PUI N = A x n + 0.15% &a&x ;n Calculé à 3 % et table MK Ass vie Devolder/Gilles

267

9.3. Génération de contrats Notation :

C t −0 = capital au moment du changement de tarif p"t −0 = prime annuelle commerciale p 't −0 = prime annuelle d' inventaire Ces éléments ne sont pas modifiés après changement de tarif et les provisions mathématiques d’inventaire seront toujours calculées dans l’ancien tarif si on utilise les générations de contrats. Ass vie Devolder/Gilles

268

134

9.3. Génération de contrats Provision mathématique au moment du changement de tarif ( en t) : t −0

V' = C t −0 PUI Ax + t − p 't −0 &a&xA+ t ; m− t

Provision mathématique ultérieure ( en s > t) : s −0

V' = C t −0 PUI Ax +s − p 't −0 &a&xA+s; m −s

( dans cette dernière formule, capital et prime sont donc figés à leur valeur au moment du changement de tarif )


269

9.3. Génération de contrats Si après changement de tarif, le preneur décide d’augmenter son capital , l’augmentation de prime en résultant sera elle calculée dans le nouveau tarif et à l’âge correspondant. Un même contrat comprendra alors 2 couches de provisions: l’une calculée à l’ancien tarif ; l’autre calculée au nouveau tarif. On dit parfois que chaque contrat est constitué de sous contrats ou de couches successives ou de générations de bases tarifaires.


270

135

9.3. Génération de contrats Supposons par exemple qu’à un instant k ( k > t) , le preneur décide d’augmenter son capital :

C k = C t − 0 + ∆C k Capital figé depuis t

Augmentation de capital à l’instant k


271

9.3. Génération de contrats Calcul de la nouvelle prime d’inventaire :

p =p ' k

' t −0

PUI xN+ k + ∆C k N = p 't −0 + ∆p 'k &a&x + k ;m −k

Calcul de la nouvelle prime commerciale :

p =p " k

" t −0

PUI xN+ k + α + ∆C k (1 − ε)&a& xN+ k ;m −k Ass vie Devolder/Gilles

272

136

9.3. Génération de contrats Calcul des provisions mathématiques d’inventaire ( s > k > t) : s−0

V' = s−0V' A + s−0V' N

Couche à l’ancien tarif : s −0

V' A = C t −0 PUI Ax +s − p 't −0 &a&Ax +s; m−s

Couche au nouveau tarif : s −0

V' N = ∆C k PUI xN+s − ∆p 'k &a&xN+s; m−s Ass vie Devolder/Gilles

273

9.3. Génération de contrats Risque de vulnérabilité du contrat : Si l’assureur utilise la génération et si le nouveau tarif est très favorable pour le client, ce dernier pourrait préférer racheter son contrat et en émettre un nouveau dans les nouvelle bases . On dit que le contrat est vulnérable si ,malgré les pénalités que le preneur va subir du fait du rachat , les nouvelles garanties assurées deviennent supérieures aux garanties anciennes. Ass vie Devolder/Gilles

274

137

9.3. Génération de contrats Calcul de vulnérabilité : 1° rachat théorique du contrat au moment du changement (t): t −0

V" = C t −0 PUI Ax + t − (1 − ε A ) p"t −0 &a&Ax + t ; m −t

2° rachat pratique du contrat : t −0

R =ρ

V" ( ρ = pénalité de rachat )

t −0


275

9.3. Génération de contrats 3° Capital assuré dans le nouveau tarif par apport d’une part du rachat pratique et d’autre part des primes futures :

p"t −0 &a& N x + t ;m− t + t −0 R = C N PUI xN+ t + α N C N + ε N p"t −0&a&x + t ; m− t C’est à dire :

C = N

(1 − ε N ) p"t −0 &a&xN+ t ;m− t + t −0 R ( PUI xN+ t + α N )

Le contrat est vulnérable si : Ass vie Devolder/Gilles

C N > C t −0 276

138

9.4. Adaptation tarifaire 1° Adaptation favorable : dans ce cas le nouveau tarif est plus avantageux pour le client ; il va donc recevoir plus par l’adaptation de son contrat

Adaptation à capital maintenu

Adaptation à prime maintenue

(moins de prime pour le même capital)

(plus de capital pour la même prime)


277

9.4. Adaptation tarifaire 2° Adaptation défavorable : dans ce cas le nouveau tarif est plus cher pour le client ; l’assureur doit néanmoins garantir ce qu’il avait promis . Pour faire passer le contrat au nouveau tarif, l’assureur devra compléter les provisions mathématiques.

Adaptation

∆PU

Adaptation

∆p


Adaptation

∆c

278

139

9.4. Adaptation tarifaire ADAPTATION FAVORABLE A PRIME MAINTENUE On supposera dans toute la suite pour simplifier les formules qu’il n’y a pas d’acquisition. On supposera aussi que le chargement commercial ε est le même dans l’ancien et le nouveau tarif. Provision mathématique au moment du changement de tarif ( en t) : t −0

V' = C t −0 PUI Ax + t − p 't −0 &a&Ax + t ; m− t


279

9.4. Adaptation tarifaire Calcul du nouveau capital assuré par la même prime : Par équivalence actuarielle :

p 't −0 &a& xN+ t ;m− t + t −0V' = C N PUI xN+ t Donc : C = N

p 't −0&a&xN+ t ;m −t + t −0V' PUI xN+ t


280

140

9.4. Adaptation tarifaire En remplaçant la provision par sa valeur :

C = C t −0 N

PUI Ax + t + p 't −0 (&a&xN+ t ;m −t − &a&xA+ t ;m− t ) / PUI xN+ t N PUI x + t

On peut vérifier à posteriori si l’adaptation est bien favorable si on a :

C N > C t −0


281

9.4. Adaptation tarifaire Calcul des provisions : Juste avant et après adaptation (t) il y a continuité des réserves. En effet après adaptation en t+0 , la provision devient: t+0

V' = C N PUI xN+ t − p 't −0 &a&xN+ t ; m− t =

t −0

s −0

V' = C N PUI xN+s − p 't −0 &a&xN+s ; m −s

V'

( par définition du capital nouveau) De même à une date ultérieure , on a :

( tous les éléments techniques sont calculés dans le nouveau tarif) Ass vie Devolder/Gilles

282

141

9.4. Adaptation tarifaire ADAPTATION FAVORABLE A CAPITAL MAINTENU La même méthodologie peut être appliquée. La relation d’équivalence devient dans ce cas :

p' N &a& xN+ t ;m− t + t −0V' = C t −0 PUI xN+ t Donc : C t −0 PUI xN+ t − p' = &a&xN+ t ; m− t N

V'

t −0


283

9.4. Adaptation tarifaire En remplaçant la provision par sa valeur :

p' = p N

' t −0

&a&xA+ t ;m −t + C t −0 ( PUI xN+ t − PUI Ax + t ) / &a&xN+ t ;m −t N &a&x + t ;m −t

On peut vérifier à posteriori si l’adaptation est bien favorable si on a :

p' N < p' t − 0 Ass vie Devolder/Gilles

284

142

9.4. Adaptation tarifaire Calcul des provisions : Juste avant et après adaptation (t) il y a continuité des réserves. En effet après adaptation en t+0 , la provision devient: t+0

V' = C t −0 PUI xN+ t − p' N &a&xN+ t ; m− t =

V'

( par définition de la prime nouvelle) De même à une date ultérieure , on a : t −0

s −0

V' = C t −0 PUI xN+s − p' N &a&xN+s ; m −s

( tous les éléments techniques sont calculés dans le nouveau tarif) Ass vie Devolder/Gilles

285

9.4. Adaptation tarifaire ADAPTATION DEFAVORABLE Dans le cas où l’adaptation est défavorable, une adaptation mécanique à primes constantes conduirait à diminuer le capital assuré, ce qui est bien sûr contraire au principe même de l’assurance vie à tarif garanti. Si l’on veut quand même passer aux nouvelles bases pour le Calcul des provisions mathématiques d’inventaire, il y aura un supplément à financer par l’assureur.


286

143

9.4. Adaptation tarifaire On commence par une adaptation à primes maintenues :

C N = C t −0

PUI Ax + t + p 't −0 (&a&xN+ t ;m −t − &a&xA+ t ;m− t ) / PUI xN+ t N PUI x + t

L’adaptation étant défavorable , on a cette fois :

C N < C t −0 L’assureur doit maintenir l’ancien capital. On note le trou de garanties :

∆C = C t − 0 − C N


287

9.4. Adaptation tarifaire METHODE 1 : adaptation en

∆PU

Le trou de garanties est financé en une seule fois ; l’assureur apporte une prime unique au moment de l’adaptation donnée par l’expression :

∆PU = ( ∆C) PUI xN+ t Dans ce cas , toutes les provisions futures peuvent se calculer par: s −0

V' = C t −0 PUI xN+s − p 't −0 &a&xN+s; m −s Ass vie Devolder/Gilles

288

144

9.4. Adaptation tarifaire Cette méthode , bien que théoriquement correcte, est rarement appliquée en pratique : - apport trop important en une fois ; - majoration de rachat; - influence sur les pb ( base de calcul plus importante). L’assureur préfère étaler cette prime unique sur la durée restant à courir du contrat.


289

9.4. Adaptation tarifaire METHODE 2 : adaptation en

∆p

On étale le coût en primes périodiques

∆PU (C t −0 − C N ) PUI xN+ t ∆p' = N = &a&x + t ;m− t &a&xN+ t ;m −t Tout se passe comme si l’assureur payait chaque année ce complément de prime constante.


290

145

9.4. Adaptation tarifaire Provisions mathématiques futures : s −0

V' = C t −0 PUI xN+s − ( p 't −0 + ∆p' ) &a&xN+s ; m −s

Prime de l’assuré

Prime de l’assureur

Moyennant ce complément de prime, tout peut donc à nouveau se calculer uniquement avec les nouvelles bases tarifaires. Ass vie Devolder/Gilles

291

9.4. Adaptation tarifaire METHODE 3 : adaptation en ∆c La différence de capital , plutôt que d’être financée en une seule fois comme dans la méthode 1 ou par primes périodiques constantes comme dans la méthode 2, est financée par primes unique successives . La différence de capital est divisé par la durée restante à courir jusqu’au terme ; chaque année l’assureur va financer en prime unique une fraction constante du delta capital. Ceci conduit à un amortissement plus lent et moins coûteux au début. Ass vie Devolder/Gilles

292

146

9.4. Adaptation tarifaire Fraction constante de capital à financer chaque année :

∆c =

∆C n−t

Capital facial assuré l’année s ( s > t):

C s − 0 = C t − 0 − ( n − s ) ∆c Delta prime à verser par l’assureur l’année s :

Solde à financer

∆p 's = ( ∆c) PUI xN+s Ass vie Devolder/Gilles

293

9.4. Adaptation tarifaire Ces compléments de prime sont cette fois croissants contrairement à la méthode 2 . Provisions mathématiques futures : s −0

V' =( C t −0 − ( n − s) ∆c) PUI xN+s − p 't −0 &a&xN+s; m−s

Moyennant ces compléments de prime, tout peut donc à nouveau se calculer uniquement avec les nouvelles bases tarifaires. Ass vie Devolder/Gilles

294

147

Troisième partie: Les contrats de nouvelle génération 1. Introduction 2. Contrats Universal life 3. Contrats Unit linked


295

1. Introduction -Les contrats classiques d’assurance vie ( mixte, CDSR, Vie entière, CDAR, SRD…) sont tous basés sur le principe de la garantie de capitaux à payer par l’assureur contre obligation par l’assuré de payer des primes. - L’assureur offre sa garantie non seulement sur les versements passés mais aussi à tout moment sur les versements futurs. - Cet engagement fort de l’assureur s’accompagne aussi d’engagements assez stricts de l’assuré. Ass vie Devolder/Gilles

296

148

1. Introduction On peut citer 2 caractéristiques de ces produits classiques: - paiement obligatoire des primes aux échéances fixées par le contrat ( pas de flexibilité ni au niveau du montant ni au niveau du moment ). -opacité du rendement et du mécanisme d’épargne sous jacent L’assuré a donc peu de liberté et de transparence en ce qui concerne les primes à payer et le rendement reçu. Ass vie Devolder/Gilles

297

1. Introduction -L’assurance vie qui a une composante d’épargne importante s’est vu de plus en plus concurrencée par d’autres produits financiers à la fois plus souples et plus transparents ( SICAV, fonds de placement, comptes d’épargne à taux

élevé,…) - De nouvelles formes d’assurance vie se sont alors développées pour mieux résister à ces produits concurrents offrant moins de garantie à priori mais plus transparents. Ass vie Devolder/Gilles

298

149

1. Introduction Aujourd’hui en Belgique , les opérations d’assurance vie peuvent être regroupées en plusieurs familles : - Branche 21 : opérations non liées à des fonds d’investissement : garantie de taux et PB au delà. - contrats classiques : mixte, CDSR, temporaire,.. - contrats flexibles : universal life - Branche 23 : opérations liées à des fonds d’investissement - contrats en unités de compte : unit linked


299

1. Introduction Objectifs de ces nouveaux produits : ( Universal life / Unit linked) - les garanties s’ajustent automatiquement au gré du client ( plus simple qu’une transformation de contrat classique) - le client peut arbitrer les performances financières - le client peut payer ce qu’il veut quand il veut - la structure des chargements est plus explicite -…mais le client reçoit moins de garanties …!!!


300

150

2. Contrats universal life 2.1. Principe général

Mécanisme comparable à celle d’un carnet d’épargne: - le client verse quand il veut des primes brutes - de ces primes sont extraites des frais ( chargements) - ces primes nettes sont versées dans un compte d’épargne - ce compte d’épargne reçoit de l’intérêt garanti chaque mois - de ce compte sont extraites des primes de risque décès et d’éventuels retraits de l’assuré ( rachat partiel) Ass vie Devolder/Gilles

301

2. Contrats universal life L’assureur pourra régulièrement produire des extraits de compte : valeur début de mois + primes payées nettes - primes de risque décès - retraits éventuels de l’assuré + intérêts mensuels valeur fin de mois


302

151

2. Contrats universal life Prestations prévues par le contrat : - en cas de vie au terme : liquidation de l’avoir final du compte ( remplace le capital vie dans les produits classiques ; n’est connu cette fois qu’à posteriori ) - en cas de décès avant terme : liquidation de l’avoir au moment du décès plus un éventuel capital décès complémentaire ( qui a été financé par les primes de risque décès); 2 types de capital décès : - soit un capital décès minimum - soit un capital décès complémentaire à l’avoir Ass vie Devolder/Gilles

303

2. Contrats universal life Modifications des conditions : - de la part de l’assuré : il peut changer ses primes et son capital décès quand il veut ( éventuelles formalités médicales néanmoins …) - de la part de l’assureur : il peut changer son taux garanti il doit dans ce cas garantir l’ancien taux sur les réserves accumulées au moment du changement ; toutes les primes futures recevront le nouveau taux (sous comptes ; accumulation de tiroirs aux différents taux ) Il peut également changer le tarif décès. Ass vie Devolder/Gilles

304

152

2. Contrats universal life 2.2. Calcul des réserves mathématiques : 1° calcul des réserves mensuelles en cours d’année : Calcul à la fin de chaque mois de la réserve du compte

tk

Vx

= réserve à la fin du mois k de l’année t

Uniquement formule par récurrence ( ou rétrospective) (pas de formule prospective car pas de capital vie connu au départ). Ass vie Devolder/Gilles

305

2. Contrats universal life P = prime payée début de mois CR = capital risque décès pendant le mois i = taux garanti FG = ch arg ements R = retraits milieu de mois c = ch arg ement sur prime décès


306

153

2. Contrats universal life Calcul du capital risque : capital à assurer en décès au dela de la valeur du compte sous forme d’une temporaire à la prime de risque

option 1 :

CR = 0

option 2 :

CR = max( CDMin − t Vx ;0)

option 3 :

CR = CD

k


307

2. Contrats universal life Formule de récurrence de la réserve :

1   + − − V P FG R t x t t t 1 / 24  (1 + i)  (1 + i )1 / 12 Vx =  q 1   x+t  − (1 + i) 24 CR t 1 − c    k

t k +1

k

k

k

k

k


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154

2. Contrats universal life 2° calcul des réserves mathématiques fin d’année : En plus du mécanisme de réserve mensuelle décrit précédemment , on calcule une dotation de participation bénéficiaire ( rendement octroyé au dela du taux garanti i) qui vient s’ajouter à la réserve du compte ( cf. prime de fidélité sur un compte d’épargne une fois

l’an). Souvent rendement annoncé par l’assureur sur ces comptes :

i + taux PB Ass vie Devolder/Gilles

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2. Contrats universal life CONCLUSION : + contrats plus flexibles pour les versements, les retraits et les couvertures décès ; + plus transparents dans l’évolution mensuelle de l’avoir et le calcul des intérêts ; moins chargés - garantie de taux uniquement sur l’épargne déjà accumulée; pas sur les primes futures ; - possibilité pour l’assureur de changer le prix du décès à tout moment. Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked 3.1. Principe général : Abandon de la garantie de taux (… et donc aussi de la PB) L’assuré va recevoir comme rendement, le rendement total d’un fonds d’investissement après déduction explicite de frais par l’assureur. Son rendement est donc beaucoup plus transparent ( calqué exactement sur un actif financier réel ) Mais il perd la garantie annuelle de taux . L’assuré pourra choisir entre différents fonds d’investissement proposés par l’assureur. Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked Mécanisme de calcul : principe des unités de comptes ( unit) Tout les éléments financiers sont traduits en nombre d’unités du fonds d’investissement choisi par l’assuré ( cf. changement de monnaie : des € en nombre unit). On parlera donc : - de nombre d’unités - de la valeur en € d’une unité


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3. Contrats unit linked Le nombre d’unités est garanti mais pas leur valeur en € ! Notations :

N i ( t ) = nombre total unités en t pour contrat i U( t ) = valeur de l' unité Vi ( t ) = réserve contrat i à l' ins tan t t F( t ) = valeur totale du fonds en t N ( t ) = nombre total unités en circulation


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3. Contrats unit linked Relations fondamentales : 1° fixation de la valeur de l’unité :

U( t ) =

F( t ) N(t)

2° calcul de la réserve du contrat individuel i :

Vi ( t ) = N i ( t ). U ( t ) Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked -Le nombre d’unités de l’assuré i ne varie que s’il y a paiement de prime ou s’il y a retrait sur le contrat. - La valeur de l’unité ne varie pas quand il y a versement d’une prime dans le fonds ; elle varie en fonction des performances financières du fonds .


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3. Contrats unit linked 3.2. Contrats en prime unique : Supposons qu’en t=0 un assuré soit intéressé de verser une prime unique dans le fonds F . La situation initiale de ce fonds connue par l’assuré est :

F(0) = mon tan t total du fonds (€) U(0) = valeur de l' unité On peut donc facilement calculer le nombre d’unités en circulation :

N (0) = F(0) / U (0)


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3. Contrats unit linked Le client i verse alors en t=0+ une prime P ( supposée nette de taxes et de frais) dans le fonds F. On a alors les relations suivantes :

F(0+ ) = F(0) + P P U ( 0) N (0+ ) = N (0) + N i (0) N i ( 0) =

La valeur de l’unité n’est pas affectée par l’arrivée du nouveau client dans le fonds. Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked En effet : U(0+ ) = F(0+ )

N ( 0+ )

=

F(0) + P F(0) + P = U (0) = U ( 0) N ( 0) + P / U ( 0) F(0) + P

Que se passe t’il en fin de première année ? Le fonds reçoit alors ses revenus. En supposant qu’il n’y a plus eu de versements de primes dans le fonds après le client i , on a alors :

F(1) = F(0+ ) + Re venus Financiers (0) = F(0+ ) (1 + r1 ) Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked Ces revenus financiers ne modifient pas le nombre d’unités en circulation.

U(1) =

F(1) F(1) F( 0 + ) = = (1 + r1 ) = U(0).(1 + r1 ) N (1) N (0+ ) N (0+ )

La réserve du client i qui a versé en t=0 une prime unique devient alors :

Vi (1) = N i (0). U (1) = F(0+ )(1 + r1 ).

N i (0) N ( 0+ )

(Réserve totale répartie au prorata du nombre d’unités ) Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked 3.3. Contrats en primes périodiques : Le raisonnement est le même mais cette fois à chaque versement de prime par l’assuré son nombre d’unités augmente. Sa réserve en € évolue donc cette fois non seulement par la variation de la valeur de l’unité mais aussi par la variation du nombre d’unités:

Vi ( t ) = N i ( t ). U ( t ) Le nombre d’unités peut aussi diminuer si l’assuré opère des retraits ( rachat partiel) sur son contrat. Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked EXEMPLE : 1°) en t=0 un fonds comprend 2 clients : i=1 : 100 unités i=2 : 50 unités valeur totale du fonds : 7500 €

7500€ = 50 € 150 V1 (0) = 100 × 50€ = 5000€ U ( 0) =

V2 (0) = 50 × 50€ = 2500€ Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked 2°) Un troisième client décide de verser en t=0+ une prime de 2000 €

2000 = 40 50 N (0) = 150 + 40 = 190 F(0+ ) =9500 € U(0) = 50 € N 3 ( 0) =


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3. Contrats unit linked 3°) En fin de première année , le fonds réalise un rendement de 15%.

F(1) = F(0+ ) × 1,15 = 9500 × 1,15 = 10.925€ 10.925 U(1) = = 57,5 € 190 V1 (1) = 100 × 57,5 = 5750 € V2 (1) = 50 × 57,5 = 2875 € V3 (1) = 40 × 57,5 = 2300€ Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked 4°) En début de deuxième année , le client 3 reverse une prime de 3000 € et le client 2 prélève un montant de 1000 €.

3000 = 92,17 57,5 1000 N 2 (1) = 50 − = 32,61 57,5 N 1 (1) = 100 N 3 (1) = 40 +

N (1+ ) = 224,78 U(1+ ) = 57,5 F(1+ ) = 57,5 × 224Ass ,78vie= Devolder/Gilles 10.925 + 3000 − 1000 = 12.925 324

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3. Contrats unit linked 5°) En fin de deuxième année le fonds subit une moins value de 20%

F( 2) = F(1+ ) × 0,8 = 12.925 × 0,8 = 10.340€ 10.340 U ( 2) = = 46 € 224,78 V1 ( 2) = 100 × 46 = 4600 € V2 (2) = 32,61 × 46 = 1500 € V3 ( 2) = 92,17 × 46 = 4240 € Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked REMARQUES : 1° possibilité de prévoir en cas de décès , outre la liquidation du compte , un capital décès complémentaire ( capital risque ) assuré en temporaire à la prime de risque ( retrait de la réserve de la prime nécessaire en € et diminution corrélative du nombre d’unités). 2° possibilité de prévoir des garanties financières notamment au terme ( par exemple retrouver au terme au moins la somme des versements). Ass vie Devolder/Gilles

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3. Contrats unit linked CONCLUSION : +: grande transparence au niveau du rendement octroyé qui suit fidèlement un vrai fonds d’actif ( pas de décision unilatérale de l’assureur comme dans la PB) +: mécanisme proche des produits financiers de type SICAV avec possibilités de couvertures en décès -: plus de garanties de taux ;le risque financier est rejeté sur l ’assuré . Ass vie Devolder/Gilles

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FIN


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assurance-vie,ucl,2009-2010

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