Es la comparación que se establece entre dos cantidades, mediante las operaciones de sustracción o división.
En general: Sean las cantidades a y b. Razón Aritmética
Razón Geométrica
Determinar en cuanto excede una cantidad a la otra, y se obtiene mediante la sustracción.
Determinar cuántas veces cada una de las cantidades la unidad de referencia, y se obtiene mediante la división. a =k b
a–b=r Donde: • a y b • a • b • r • K
En general:
B. Propiedades
1.
→ Términos de la razón → Antecedente → Consecuente → Valor de la razón aritmética → Valor de la razón geométrica
n: Número de razones multiplicadas
Es la igualdad en valor numérico, de dos razones de la misma clase.
Igualdad de más de dos razones geométricas equivalentes. Ejemplo: 1º 3º 5º 7º
Discreta
Proporción aritmética
Proporción geométrica
a–b=c–d
a c = b d (b ≠ c)
(b ≠ c) d: cuarta diferencial de a, b y c
d: cuarta proporcional de a, b y c
a–b=c–d
4 8 10 6 = = = = 2 ← Razón o constan de 2 4 5 3 proporcionalidad
Continua
2º 4º 6º 8º Donde: • Antecedentes: 8, 10, 6 y 4 • Consecuentes: 4, 5, 3 y 2 • Términos extremos: 8 y 2 Se puede observar: 8 = 4 × 2 10 = 5 × 2 6 = 3 × 2 4 = 2 × 2
SAN MARCOS REGULAR 2014 – III
Productos de antecedentes = (Constante)n Productos de consecuentes
II. PROPORCIÓN
A. Serie de razones geométricas equivalentes (S. R. G. E.)
Suma de antecedentes = Constante Suma de consecuentes
2.
Recuerda que, si en un problema se menciona la palabra razón o relación, estas hacen referencia a la razón geométrica.
Dada la S. R. G. E.:
(b ≠ c)
a b = b c
d: media diferencial de a y c
d: media proporcional de a y c
b=
a + c 2
c: tercera diferencial de a y b
11
(b =
ac )
c: tercera proporcional de a y b
ARITMÉTICA
TEMA 1
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 La suma de dos números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto del mayor como 3 es a 8, el número mayor es: A) 48 B) 40 C) 32 D) 16 E) 56
Problema 2 Si dos personas tienen 40 y 30 años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 6 a 5? A) 10 B) 15 C) 20 D) 22 E) 30 UNMSM 2006-II
UNMSM 2004-I NIVEL FÁCIL
NIVEL FÁCIL
Resolución: Sea x el número de años
Resolución: ⇒ (a+b)– (a – b) = 36 b = 18
NIVEL FÁCIL
Resolución: Sea: H: cantidad de hombres M: cantidad de mujeres H M = 8 15
Si llegan 30 mujeres:
Respuesta: 20
18 a = 3 8
Problema 3 Antes que empiece una asamblea había 690 personas y por cada 8 varones había 15 damas. Iniciada la asamblea llegaron 30 damas. Hallar la nueva relación de los varones con respecto a las damas.
Respuesta: 48
UNMSM 2008-II
H+M H M = = 8+15 8 15
30+x 40+x = 5 6 x = 20
⇒ b=a 3 8
a = 48
A) 24/25 B) 1/2 C) 1/3 D) 8/45 E) 7/16
M = 450 + 30 = 480 H = 240 Entonces la nueva relación será: H 240 1 = = M 480 2
Respuesta: 1/2
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
términos es 16. Hallar los dos últimos términos, si la diferencia de los consecuentes es 6. A) 10; 6 B) 20; 10 C) 6; 20 D) 4; 20 E) 10; 20
1. Sabiendo que: a b c d = = = 4 8 7 9 y ac + bd = 14400 Hallar: a + b + c + d A) 252 D) 560
B) 280 E) 672
C) 336
2. Si: a b c = = 2 7 9
a2 + b2 + c2 = 1206
Hallar: a + b + c A) 36 D) 54
B) 45 E) 72
Calcular: a + b + 30 E= c – 25
A) 1 D) 4 C) 58
3. La suma de los primeros términos de una P.G. es 32 y la de los segundos
TEMA 1
a2 + 2b2 + c2 = 50
B) 2 E) 5
ARTIMÉTICA
22
Hallar:
2
D) k
5. En una proporción geométrica continua, el primer término es 1/4 del cuarto término. Halla la media proporcional si se sabe que los extremos suman 60.
C) 48
a c e = = =k b d f
A) 1/k
C) 3
B) 24 E) 21
PROFUNDIZACIÓN 6. Si:
4. Si: a b c = = 5 7 11
A) 12 D) 36
a2 + c2 + e2 ab + cd + ef B) k
C) k/2
E) 1
7. En una progresión geométrica continua, la suma de los extremos menos uno es igual a la suma de los medios. Si el producto de los cuatro términos es 1296, halla la suma de estos. A) 24 B) 20 C) 26 D) 25 E) 30
SAN MARCOS REGULAR 2014 – III
RAZONES Y PROPORCIONES
8. Si: A + B B + C A + C = = 9 11 10
y: 3A + 2B – C = 240
Halle: A + B – C A) 30 D) 45
B) 36 E) 48
C) 40
9. En una proporción geométrica continua la suma de los cuatro términos es 700 y la diferencia entre los extremos es 280. Hallar la suma de los extremos. A) 560 B) 540 C) 480 D) 420 E) 406
SISTEMATIZACIÓN 10. La edad de “A” es a la de “B” como 2 es a 3; la edad de “B” es a la de “C” como 9 es a 20; la edad de “C” es a la de “D” como 8 es a 9. Si cuando “B” nació, “D” tenía 27 años, ¿cuánto tenía “C” cuando “A” nació? A) 26 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 11. En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente. ¿Cuántas parejas
SAN MARCOS REGULAR 2014 – III
33
deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres hay 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final? A) 10 D) 13
B) 11 E) 14
C) 12
12. Si a los números 12, 18, 21 y 30 se les añade una misma cantidad, entonces se forma con ellos una proporción geométrica. Hallar el mayor de los términos de la proporción. A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40
