Índice UNIDAD 1
Conviviendo con las cuatro operaciones
Capítulo 1 Adición de números naturales........................... 5
Capítulo 6 División de números naturales.......................... 34
Capítulo 2 Sustracción de números naturales.................... 12
Capítulo 7 Aplicación de la multiplicación y división de números naturales....................................... 41
Capítulo 3 Aplicación de adición y sustracción.................. 20 Capítulo 4 Multiplicación de números naturales................ 24 Capítulo 5 Complemento.................................................... 31
UNIDAD 2
Capítulo 9 Repaso............................................................... 50
Conociendo la antigua Aritmética: La teoría de los números
Capítulo 1 Divisibilidad y multiplicidad.............................. 54 Capítulo 2 Criterios de divisibilidad.................................... 61 Capítulo 3 Números primos................................................ 66
UNIDAD 3
Capítulo 8 Operaciones combinadas................................... 45
Capítulo 4 Cantidad de divisores de un número................. 73 Capítulo 5 Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo............................................ 78 Capítulo 6 Complemento.................................................... 85
Los números racionales en nuestra vida cotidiana
Capítulo 1 Números fraccionarios...................................... 89
Capítulo 6 Números decimales........................................... 123
Capítulo 2 Operaciones con números fraccionarios I......... 99
Capítulo 7 Operaciones con números decimales................. 131
Capítulo 3 Repaso............................................................... 107
Capítulo 8 Complemento.................................................... 136
Capítulo 4 Operaciones con números fraccionarios II........ 110
Capítulo 9 Aproximaciones decimales................................ 139
Capítulo 5 Aplicaciones de los números fraccionarios....... 117
Aritmética UNIDAD 4
La necesidad de saber las unidades de medida
Capítulo 1 Conversión......................................................... 145
Capítulo 6 Complemento.................................................... 169
Capítulo 2 Repaso............................................................... 151
Capítulo 7 Estadística I...................................................... 172
Capítulo 3 Razones............................................................. 154
Capítulo 8 Estadística II..................................................... 179
Capítulo 4 Regla de tres simple.......................................... 159
Capítulo 9 Repaso............................................................... 185
Capítulo 5 Porcentaje......................................................... 164
TRILCE
UNIDAD 1 La primera calculadora, aún en uso y con varios miles de años de antigüedad fue el ábaco. Luego de eso y a partir de épocas relativamente recientes, se han desarrollado innúmeras máquinas capaces de realizar las cuatro operaciones. En esta imagen vemos una máquina de diferencias de Babbage, primera máquina programable, permitía calcular logaritmos.
E
Conviviendo con las cuatro operaciones n cada actividad humana sea técnica, científica o cotidiana los números han jugado un papel muy importante... los números siempre están presentes y gobiernan el universo del hombre.
Aún en las tareas más simples como son la preparación de una comida, hacer compras, medir el tiempo de un juego, comprar el pan, colocar los platos y cubiertos sobre la mesa, mirar la talla de la franela que nos gusta para que mamá la compre, en fin, en todas y cada una de las acciones del ser humano se encuentran presente los números. •
Según la lectura: ¿los números siempre están presentes en nuestra vida cotidiana?, ¿y las operaciones básicas también lo están? ¿Por qué? Da algunos ejemplos.
AprendiZajes esperados
•
Identificar palabras en los enunciados relacionándolos con las operaciones básicas.
Razonamiento y demostración
Resolución de problemas
•
•
•
Definir las cuatro operaciones e identificar sus propiedades. Elaborar modelos de la vida real donde se aplique las cuatro operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división.
• •
Comunicación matemática •
Identificar y utilizar diferentes formas de representación de enunciados de las operaciones básicas.
•
Elaborar estrategias para la resolución de problemas de cuatro operaciones. Resolver problemas que involucren adición, sustracción, multiplicación y división. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar las operaciones básicas. Identificar algoritmos que se puedan utilizar para resolver problemas.
Adición de números naturales
Adición de números naturales
1
En este capítulo aprenderemos: • •
A reconocer, identificar e interpretar los elementos y propiedades de la "Adición". A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.
¿Cómo sumaban los egipcios?
L
a suma es la primera operación cuya necesidad siente el hombre; los dedos de las manos y las piedrecillas le bastaron en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del comercio necesita fijar sus compras y sus ventas.
¿Cómo sumaban los egipcios y los caldeo–asirios? Los egipcios y los caldeo–asirios efectuaron la suma haciendo huellas en la arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de esas bolitas en la huella de la derecha representaba un objeto; cada bolita en la siguiente huella (hacia la izquierda) representaba diez objetos; en la siguiente huella representaba cien objetos; en la cuarta, mil objetos, etc. En el esquema que se da a continuación están los cuatro momentos de la suma de 647 + 285:
Primer paso
Segundo paso
El número 647
Se le añade 285
Tercer paso
Cuarto paso
Se dejan dos en la primera columna
Se dejan 3 bolitas en la segunda columna
• Si tú fueras un egipcio, ¿cómo sumarías: 378 + 482?
Saberes previos 1. ¿Cuántas unidades hay en dos decenas? 2. ¿Cuántas unidades hace una docena?
4. Entre 5 docenas y 6 decenas, ¿quién es mayor? ¿Porqué? 5. ¿Cuáles son los números naturales?
3. ¿Cuántas decenas hay en una centena? Central: 619-8100
UNIDAD 1
5
Aritmética
Conceptos básicos Definición La adición es la operación matemática que consiste en agregar, agrupar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.
Elementos de la adición: signo 15 + 26 + 108 = 149 → suma sumandos
Propiedades de la adición de números naturales
Propiedad de clausura o cerradura
Al considerar la adición de dos números naturales, es indudable que siempre se obtiene un número natural. En general, si "a" y "b" son dos números naturales y su suma es "c", "c" siempre es un número natural.
Es decir: Si: a ∈
entonces: a + b = c y c ∈
Ejemplo:
yb∈
Si: 9 ∈
y 5 ∈ , entonces: 9 + 5 = 14 ∈
Recuerda que...
Los números naturales ( ) son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... ; ∞
Propiedad conmutativa
"El cambio del orden de los sumandos no altera la suma".
Es decir: Si: a ∈
y b ∈ , entonces: a + b = b + a
Ejemplo:
Si: 4 ∈
y 7 ∈ , entonces:
4+7=7+4
11 = 11
Propiedad asociativa
"La forma como se asocien los números no altera la suma".
Es decir: Si: a ∈ ; b ∈ Ejemplo:
6
y c ∈ , entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
Si: 6 ∈ ; 2 ∈
y 8 ∈ , entonces:
(6 + 2) + 8 = 6 + (2 + 8)
8 + 8 = 6 + 10
16 = 16
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Adición de números naturales
1
Sabías que...?
Elemento neutro de la adición
"El cero es el elemento neutro de la adición".
Es decir: Si: a ∈
Ejemplo:
entonces: a + 0 = a
Si: 17 ∈ , entonces: 17 + 0 = 17 •
Completa el siguiente cuadrado mágico, sabiendo que toda suma en cualquier dirección es la misma; además los números deben ser diferentes del 1 al 16. 3 7
4 16
12 15
2
5
Síntesis teórica Adición de elementos • Sumandos números • Signo "+" naturales • Suma Acción de
Agregar, agrupar o añadir sus propiedades son
Clausura "Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número natural".
Ejemplo 8 + 9 = 17
Central: 619-8100
Conmutativa "El orden de los sumandos no altera la suma".
Ejemplo 12 + 13 = 13 + 12
Asociativa "La forma como agrupamos los sumandos no altera la suma".
Ejemplo (5 + 7) + 9 = 5 + (7 + 9)
Elemento neutro "Si sumamos cualquier número natural con el cero, el resultado sigue siendo el mismo número natural". Ejemplo 27 + 0 = 0 + 27 = 27
UNIDAD 1
7
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 6. Completar según corresponda cada propiedad de la adición: • • • •
23 + …. = 15 + …..
Propiedad conmutativa 0 + ….. = 29 Propiedad del elemento neutro (7 + 15) + …… = ….. + (….. + 9) Propiedad asociativa 46 + ….. = 70 Propiedad de clausura
7. La propiedad ……………………. nos dice que la "forma como ………………….. los sumandos no altera la…………………."
8. El …………………………. de la adición es el cero. •
Completar las cifras que faltan:
4.
6 .... 7 3
5.
+
9 ....
1 .... 2
5
8
7
1
5
+
.... 2 .... .... 2 .... 0
Aprende más 1. Relacionar: a) 12 + 19 = 31
( ) Elemento neutro
b) 28 + 46 = 46 + 28
( ) Propiedad conmutativa ( ) Propiedad de clausura
c) 65 + 0 = 65
2. Efectúa las siguientes sumas: • • • •
57 892 + 3 872 25 763 + 9 564 + 6 785 8 562 + 3 548 + 1 564 10 890 + 5 684 + 8 910
3. En las siguientes operaciones, halle lo indicado. •
Dar como respuesta el producto de la mayor y la menor cifra encontrada. 6 .… 4 3 8 + 3 .… 2 …. __________________ .… 3 5 …. 1
•
Dar como respuesta la suma de la mayor y menor cifra encontrada. …. 8 6 …. 2 + 3 9 9 …. __________________ 4 … … 9 6
•
Dar como respuesta la mayor cifra hallada. 3 …. 9 2 3 7 + … 2 …. 4 …. 2 --------------------------------------- ... 1 3 4 …. 8 ….
8
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4. Si "A" representa a un número de tres cifras impares y "B" a un número de cuatro cifras, hallar: • El mayor valor que pueda tomar "A + B". • El mínimo valor que puede tomar "A + B". 5. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corresponda: "A"
"B"
35 + 60 + 27
...
46 + 34 + 50
9 decenas + 27 unidades
...
53 unidades + 6 decenas
15 decenas + 19 unidades
...
19 decenas + 15 unidades
La suma de los 7 primeros números impares
...
4 decenas + 9 unidades
25 decenas + 30 unidades
...
2 centenas +7 decenas + 10 unidades
6. Indicar las dos últimas cifras de la siguiente suma: 7 + 7 7 7 7 7 ... ... ... 7 7 ... ... ... 7 7
6 sumandos
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Adición de números naturales
7. Indicar la suma de las dos últimas cifras de la siguiente suma: 1 + 1 1 1 1 1 ... ... ... 1 1 ... ... ... 1 1
10. Hallar la suma de cifras del resultado de sumar:
1
333338 + 333383 + ... + 833333 11. Si: a + b = 7
12 sumandos
calcule: a5b + 2ba + ba3
12. Si: u42q + mqu3 + qe68 = aeuq4 calcule: q + u + e + m + a 13. Daniel tiene a56 soles y desea comprar una computadora que cuesta d194 soles para lo cual necesita bab soles. Calcule "a + b + d".
8. Efectúa: 4 + 44 + 444 + ... (9 sumandos)
14. Si: CHINA + IH1H = NIN62
9. Calcule la suma de las tres últimas cifras de la siguiente adición: 2 + 28 + 282 + 2828 + ... + 28282828282
hallar: C + H + I + N + A (H ≠ 0)
15. La Sra. María, nació en el año 1979 y vivió 6a años, muriendo en el año 20ab. Diga usted el valor de "a + b".
Aplicación cotidiana En el siguiente esquema se muestra la población proyectada en forma anual en la provincia de Satipo. 16. ¿Cuál fue la población de dicha provincia en los años pares?
Prov. Satipo. Población proyectada en forma anual 1993–2005 146 832 135 612 141 085 125 580 130 451 94 250
17. Indicar la población total en los cuatro primeros años de dicho gráfico 18. Si para el año 2007, la población se incrementó en 7 458 personas a comparación del año 2005, entonces, ¿cuál es la población en el año 2007?
1993
2001
2002
2003
2004
2005
¡Tú puedes! 1. Si: VV + VV + AA = UVA, calcular: U + V + A. a) 10
b) 12
c) 18
d) 19
e) 21
2. Si: 19ab + 18ab + 17ab + ... + 1ab = mxy77, determinar "a + x + y" a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
d) 12 567
e) 2 335
d) 27
e) 26
3. Si: (a + b + c)2 = 484, hallar: abc + cab + bca + 111 a) 2 468
b) 25 553
c) 2 553
4. Hallar "a + b + c + d", si: 24abcd + 442 639 = abcd34 a) 28 Central: 619-8100
b) 29
c) 30
UNIDAD 1
9
Aritmética
5. Determinar la suma de todos los números ab que existen, tal que: a – b = 5 a) 360
b) 380
c) 320
d) 400
e) 480 18:10:45
Practica en casa 1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las palabras del recuadro: asociativa
uno
cero
conmutativa
suma
sumandos
suma
asociemos
distributiva
resultado
sumandos
ordenemos
4. En el siguiente cuadro completa los espacios en blanco para que la suma en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. Indica el mayor de los números faltantes. 71 18
9
11 • Los términos de una adición ......................... y .........................
8
• La propiedad ........................... nos dice que la "forma como ...................... los sumandos no altera el .........................." 2. Relaciona los ejemplos de la columna superior con las propiedades de la columna inferior:
106 20
58
28
102
77 68 88 79
89
15
• La propiedad .................................. nos dice que "el orden de los ....................... no altera la ............................."
5. Indicar la menor cifra encontrada en: *
*
3 7
1 8
4 3 7 *
6 * 0 2
+
( ) 17 + 0 = 17
6. Calcular la suma de las dos últimas cifras del resultado en:
( ) 28 + 39 = 67
( ) 205 + 160 = 160 + 205
7. ¿Cuál es la cifra de centenas del resultado?
( ) 0 + 38 = 38
( ) (56 + 34) + 29 = 56 + (34 + 29)
8. Hallar "a + b + c", si:
( ) 1 256 + 467 = 467 + 1 256
A. Propiedad del elemento neutro B. Propiedad conmutativa C. Propiedad de clausura D. Propiedad asociativa 3. Efectuar las siguientes adiciones: • • • •
10
32
son
• El elemento neutro de la adición es el ............
46
768 + 6 716 468 926 + 546 472 1 563 + 896 402 + 3 456 79 503 + 4 658 + 21 789
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4 + 41 + 414 + 4141 + ... + 41414141
8 + 88 + 888 + ... (12 sumandos)
ab4 + bba + 1c96 = 2 964
9. Si: a + b + c = 18
hallar: abc + bca + cab
10. Calcular "a + b"
si: aaa + 381 + bb6 = pq69
11. Carlos Rivera nació en el año 19a6 y luego de vivir 6b años muere en el año 20b7. Calcular "a + b". 12. Tengo S/. ab9 y si recibiera S/. m43 de propina tendría S/. 93m. ¿Cuánto recibí? www.trilce.edu.pe
Adición de números naturales
13. En una lista de números, cada número después del primero se obtiene sumando todos los números que le preceden. ¿Cuál es el octavo número de la lista, si el tercero es 4? 14. Teresita eligió tres dígitos distintos que sumados dan 6 y escribió todos los números de tres cifras que se pueden formar con ellos (sin repeticiones), luego sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál fue su resultado?
Central: 619-8100
15. Hallar el valor de "C + E" en:
1CABLE + 1CABLE + 1CABLE = CABLE1
Si a letras iguales le corresponde la misma cifra, letras diferentes representan cifras diferentes.
1
Links de apoyo: • http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkPop Up?pgseed=1180249174513&idContent=31510&locale =es_ES&textOnly=false (calculo mental de adición) • http://www.genmagic.net/mates4/ser3c.swf (juego de adición)
UNIDAD 1
11
2
Aritmética
Sustracción de números naturales En este capítulo aprenderemos: • •
A identificar e interpretar los elementos de la "Sustracción" en problemas diversos A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.
El método complementario de los hindúes
E
ste método fue usado ya por BHASKARA en su "Lilavati" (1 150 d.C.), aunque es casi seguro que su origen sea más antiguo.
El procedimiento es el siguiente: 1. Se halla el complemento aritmético del sustraendo (para lo cual se resta cada una de sus cifras de 9, excepto la última significativa, que se resta de diez).
2. Se suma el minuendo con el complemento aritmético hallado. 3. Del resultado se resta la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el sustraendo. Esta diferencia es el resultado final.
Esta es una página del manuscrito del Lilavati de Bhaskara II. Este manuscrito data de 1650, sin embargo la obra es mucho más antigua
a) 85 – 30 = (85 + 70) – 100 = 155 – 100 = 55 b) 574 – 234 = (574 + 766) – 1 000 = 1 340 – 1 000 = 340 c) 72 152 – 853 = (72 152 + 147) – 1 000 = 72 299 – 1 000 = 71 299
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
Sistema de numeración hindú
Lilavati.
• Con el método complementario de los hindúes, ¿cómo hallarías: 2 545 – 1 056?
12
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Sustracción de números naturales
2
Saberes previos 1. Resolver: 58 – 37
4. ¿Cuánto le falta a 824 para ser igual a 1 000?
2. Resolver: 423 – 289
5. ¿Se puede resolver: 46 – 50? ¿Por qué?
3. ¿Cuánto le falta a 67 para ser igual a 100?
Conceptos básicos Definición A la acción de extraer, sacar o quitar le llamamos sustracción, que es la operación inversa a la adición.
Elementos de la sustracción:
Importante:
78 – 21 = 57
↓
Minuendo (M)
↓
Sustraendo (S)
↓
Diferencia (D)
Es decir:
Para que la sustracción se pueda dar en el conjunto de los números naturales es necesario que el MINUENDO sea mayor o igualL que el SUSTRAENDO.
M–S=D
Observaciones: a) Si tanto al minuendo como al sustraendo se le suma o resta un mismo número, entonces la diferencia no se altera. Ejemplo:
45 – 17 = 28
Sumemos 6 a cada término de la sustracción:
(45 + 6) – (17 + 6) 51 – 23 = 28
¡La diferencia no se alteró!
b) Si solo al minuendo le sumamos o restamos un número natural, la diferencia queda aumentada o disminuida en esa cantidad. Ejemplo:
47 – 25 = 22
Aumentemos 8 solo al minuendo:
(47 + 8) – 55 –
25 25
= 30
¡La diferencia quedó aumentada en 8!
c) Si solo al sustraendo le sumamos o restamos un número natural, la diferencia queda afectada de forma contraria en esa misma cantidad. Ejemplo:
28 – 12 = 16
Aumentemos 5 solo al sustraendo:
Central: 619-8100
28 28
– (12 + 5) – 17 = 11
¡La diferencia quedó disminuida en 5!
UNIDAD 1
13
Aritmética
Propiedad: "La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo".
Ejemplo
M + S + D = 2M
•
La suma de los tres términos de una sustracción es 1 056, hallar el mayor de los tres términos.
Ejemplo
Resolución: Sabemos que el mayor término de una sustracción es el minuendo. Del dato: Es decir:
M + S + D = 1 056 2 M = 1 056 M = 528
Respuesta: 528
Complemento aritmético
Ejemplos
Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior. Es decir, si el número es de dos cifras, su complemento aritmético es la cantidad de unidades que le falta para ser el menor número de tres cifras. •
CA(6)
→
•
CA(64)
→ Lo que le falta a 64 para 100:
•
CA(728) → Lo que le falta a 728 para 1 000:
Lo que le falta a 6 para 10:
CA (6) = 10 – 6 = 4 CA (64) = 100 – 64 = 36 CA (728) = 1 000 – 728 = 272
Método práctico para calcular el complemento aritmético
Ejemplos
Tomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa del número al que se le está calculando su complemento aritmético, se le resta de 10 y a los demás de 9. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento. •
CA(4 568) = (9 – 4)(9 – 5)(9 – 6)(10 – 8) = 5 432
•
CA(7 520) = (9 – 7)(9 – 5)(10 – 2)0 = 2 480
¡Ahora hazlo tú!
Halla el complemento aritmético de: •
7 590 =
•
52 700 =
No olvidar... El Minuendo es mayor o igual que el Sustraendo m + s + d = 2m
14
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Sustracción de números naturales
2
Síntesis teórica La sustracción de números naturales
Es
La operación inversa a la adición.
M–S=D Sus términos son
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
Es la cantidad mayor a quien se le realizará la resta.
Es la cantidad menor que se va a restar.
Es el resultado de la operación.
Propiedad
S + M + D = 2M
Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior.
Complemento aritmético
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Con los siguientes números: 468; 875 y 407 completar el siguiente esquema e indicar los elementos de la sustracción: .............. –
→ (
)
..............
→ (
)
4. Completar: •
CA(489) → Lo que le falta a 489 para ................................ ⇒ CA(489) =
•
CA(8210) → Lo que le falta a 8 210 para ................................ ⇒ CA(8 210) =
__________ (
) ← ..............
2. El doble del minuendo es igual a la suma de los ......................................... de una sustracción. 3. Lo que le falta a un número para ser igual al número de orden inmediato superior se le conoce como:
5. En el siguiente ejercicio, escribir las cifras que faltan:
9 …. 5 – 4 ____ 6 … ____ ___ … 2 7
......................................................................... Central: 619-8100
UNIDAD 1
15
Aritmética
Aprende más 5. Si: CA(tio) = 124, calcule: t + i + o
1. Efectúa: • 12 596 – 5 946 • 78 090 – 21 564
6. De 598 resta 295.
• 53 701 – 45 088 • 489 520 – 298 354
7. Resta 930 de 1 386.
• 600 864 – 428 523 2. Completa las siguientes sustracciones: •
•
7 * 5 2 –
•
9 * * 5 –
4 * 6
* 7 6 *
* 2 6 *
3 5 8 6
4 0 8 * 6 –
•
* 5 9 *
6 4 * *
* 5 * 7 2 •
* * 5 9 – 1 2 7 6
4 8 * * 6 – 3 5 9 * * 4 8 *
3. En las siguientes operaciones, halle lo que se indique: • Dar como respuesta la suma de las cifras que faltan de la diferencia. 2 * 2 * 7 * – 5 3 4 * 9
* 6 * 6 5 2
• Dar como respuesta la suma de las cifras que faltan del minuendo. * * 4 4 – 3 7 *
1 9 * 7
• Dar como respuesta la mayor cifra hallada del minuendo. * 2 * * * – 1 * 3 4 6
6 1 9 1 8
4. Calcule:
16
• CA (8)
• CA (6)
• CA (57)
• CA (679)
• CA (782)
• CA (6 846 824)
• CA (67 258 000)
• CA (1 000 589 472)
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8. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corresponda: "A"
"B"
La diferencia entre centenas consecutivas
…….
120 disminuido en 19
El exceso de 6 decenas sobre 18 unidades
…….
La diferencia de 169 y 127
La diferencia entre números pares consecutivos
…….
La diferencia de dos días consecutivos
El número que falta a 8 para completar 29
……
2 decenas disminuido en 8 unidades
12 sustraído de 35
……
40 menos 2 docenas
9. Completa en los espacios en blanco especificando lo que sucede con la diferencia, si aumenta o disminuye y en cuántas unidades: • Si el minuendo aumenta en 24 unidades, la diferencia .................................................... ............................................................... • Si el sustraendo aumenta en 4 unidades, la diferencia .................................................... ............................................................... • Si el minuendo disminuye en 8 unidades, la diferencia .................................................... ................................................................ • Si el sustraendo disminuye en 37 unidades, la diferencia ................................................ ................................................................. • Si el minuendo disminuye en 7 unidades y el sustraendo aumenta en 9 unidades, la diferencia .................................................. • Si el minuendo aumenta en 8 unidades y el sustraendo aumenta también en 8 unidades, la diferencia .............................................. 10. En una sustracción la suma de sus términos es 1 926. Si el sustraendo es la tercera parte del minuendo, hallar el sustraendo. www.trilce.edu.pe
Sustracción de números naturales
11. La diferencia de dos números es 149. Si al mayor se le disminuye 18 unidades y al menor se le aumenta en 25 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia?
13. Carmen decide ir de viaje a Cajamarca para lo cual cuenta con una bolsa de viaje de S/. abc, al llegar a dicha ciudad decidió quedarse 3 días y solo gastó S/. bc8, quedándole S/. 204. Calcule "a + b + c".
12. Hallar el complemento aritmético del mayor número de tres cifras diferentes. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
14. Si: CA(aa) = 9a, calcular "a".
2
15. Si: CA(asu) = 13, calcular "a + s + u"
Aplicación cotidiana En el 2009 se desarrolló el Campeonato de Bowling en el cual cada club quedó al final con las siguientes puntuaciones: Asociación Deportiva Metropolitana de Bowling – Campeonato Clubes 2009 Club
II Camp. Individual
I Camp. Tríos
I Camp. Individual
Total acumulado
1°
Bolicheros
253
137
283
673
2°
Apoquindo
193
117
163
473
3°
Pumas
221
54
166
441
4°
Pin Motion
143
114
132
389
5°
Skorpio
90
7
68
165
16. Hallar la diferencia entre el I campeonato individual y el I campeonato de tríos. 17. ¿Cuántos puntos le falta al I campeonato individual para que tenga la misma puntuación del II campeonato individual? 18. Hallar la diferencia de los clubes Bolicheros y Pin Motion en el I campeonato de tríos.
¡Tú puedes! 1. Calcular abc, si: a) 597
abc – cba = 2xy abc + cba = 1 535 b) 792
c) 854
d) 619
e) 916
2. Determinar la suma de cifras de bab, sabiendo que su complemento aritmético es: c(a + 3)(a + 2) a) 10
b) 8
3. Si: abc – cba = xyz ; calcular: E = a) 1
b) 2
c) 11 x+z y
+
d) 13
e) 15
d) 4
e) 5
y x+z
c) 3
4. Se cumple: mup – emt = pum; además: e – t = 3; CA(u) = t. Hallar la suma de las cifras de: muppet a) 27
b) 29
c) 31
d) 25
e) 23
5. La suma de los términos de una sustracción es 570. Además el sustraendo es 2/5 del minuendo. Determinar la suma de cifras de la diferencia. a) 17
Central: 619-8100
b) 15
c) 9
d) 8
e) 10
UNIDAD 1
17
Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Hallar las cifras que debemos escribir en cada casillero e indicar lo que se pide:
• Indicar "b – a". b 5 2 1 a –
• La suma de las dos mayores cifras halladas. 3 2
9 –
• Hallar "a + b + c".
2
8 a 5 c 4 –
2 2 1 5
• La menor cifra encontrada. 1 4
4 – 5. Si la suma de los términos de una sustracción es 460, hallar el minuendo.
2 1 6
• Suma de cifras halladas. 7 3 4
– 8
• 78 560 – 5 946
• 21 059 – 4 987
• 76 548 – 9 564
• 23 232 – 1 313
• 77 777 – 8 888
• 156 156 – 3 443
3. Calcular el complemento aritmético de los siguientes números: • 23 567 298 • 59
• 8 986 269 • 346 • 509
• 29 385 297
• 60 900 500 • 7 891
4. Cambia las letras por cifras que completen correctamente las siguientes sustracciones e indicar lo que se pide: • Suma de cifras diferentes halladas. b 5 4 6 a – 4 c 6 b 8
a c b 8 5
18
Colegios
9. Al minuendo se le suma 120 y al sustraendo 40, ¿qué resultado se obtiene sabiendo que la diferencia original era 120? 10. La diferencia de dos números es 276. Si disminuimos 35 unidades al minuendo y aumentamos el sustraendo en 18 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia? 11. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila y escribe: ">" ; "<" ; "=" o si "no se puede determinar", según corresponda: "A"
"B"
54 disminuido en 3 docenas ......
39 disminuido en una decena
El número que 5 docenas menos 4 le falta a 46 para decenas completar 59 ...... La diferencia entre 56 y 41
1 c 5 b
Complemento aritmético de 12 ......
Complemento aritmético de 999912
b 1 b 4
CA (99999157)
c 4 a 6 –
TRILCE
8. La suma de los términos de una sustracción es 520. ¿Cuál es el complemento aritmético del minuendo?
......
• Hallar la suma de las cifras del sustraendo.
6. Si el sustraendo es la quinta parte del minuendo y la suma de los tres términos de una sustracción es 780, hallar la diferencia. 7. Hallar la diferencia entre el menor número impar de cinco cifras diferentes y el mayor número impar de cuatro cifras diferentes.
1 3 9 4 7
2. Efectuar:
• 8
4 b c 7 5 a 4 c 4 b
2
a a 5 b 5 1 a c 2 2
73 sustraído de una centena
......
CA (156) www.trilce.edu.pe
Sustracción de números naturales
12. ¿Cuál es la diferencia entre el complemento aritmético de 3 888 y el complemento aritmético de 8 883? 13. Si "P" representa a un número de tres cifras y "Q" representa a un número de dos cifras, ¿cuál es el máximo valor que puede tomar "P – Q"? 14. Isaac recibe S/. 67ca16 por la venta de su casa pero tuvo que pagar una deuda de S/. d5ab4 y le quedó S/. 6aa97a. Calcular "a + b + c + d".
Central: 619-8100
15. De 45mnn personas que asistieron al estadio para ver el partido de Universitario vs. Alianza Lima, se retiran 1m964 personas antes que acabe el partido por medida de seguridad. Los que se quedaron hasta el final del partido fueron p7758 personas. ¿Cuántos se retiraron?
2
Links de apoyo: http://redes.agrega.indra.es/visualizar/es/ es_20080613_3_9162400/false# (Relaciones entre suma y resta) http://genmagic.net/repositorio/displayimage.php?pos=–220 (juegos con adición y sustracción)
UNIDAD 1
19
3
Aritmética
Aplicación de adición y sustracción En este capítulo aprenderemos: • •
A interpretar enunciados y expresarlos mediante las operaciones de la adición y la sustracción. A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.
Nuestros actuales signos operatorios
Los signos "+" y "–" •
Posiblemente estos dos signos fueron utilizados por los comerciantes, como simples marcas indicativas del exceso (+) o falta (–) de peso en las mercaderías que recibían.
•
También pudiera ser que, como en los países latinos las palabras MÁS y MENOS, como indicativos de la adición y de la sustracción, están dados por las palabras PLUS y MINUS (de las que generalmente solo se usaban sus iniciales P y M) los signos "+" y "–" bien podrían provenir de la deformación de dichas letras:
¡Cómo pasa el tiempo!
,
,
,
Para el signo más.
,
,
,
Para el signo menos.
•
20
En la actualidad se sigue usando las palabras "más" o "menos" para indicar "exceso" o "falta".
Colegios
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Aplicación de adición y sustracción
3
Saberes previos 1. Resolver: 450 + 782
4. Resolver: 8 701 – 6 789
2. Resolver: 5 482 + 3 278
5. Calcular la suma de 64 con su doble.
3. Resolver: 750 – 468
Aprende más 1. Carmen compra una cocina en S/. 700 y lo quiere vender ganando S/. 150. ¿En cuánto debe vender la cocina?
8. Al sumar dos números se obtiene 60. Si el mayor excede al menor en 22, ¿cuál es el número mayor?
2. Ana se pone a dieta, el primer mes bajo 900 g, el segundo mes bajo 200 g menos que el mes anterior, el tercer mes subió 250 g y el cuarto mes subió 300 g más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos bajó Ana al finalizar el cuarto mes?
9. Juan y Olga tienen entre los dos S/. 106. Si Juan le diera S/. 46 a Olga, los dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
3. Julio abre una cuenta de ahorro en el banco con S/. 550, deposita S/. 100, luego retira S/. 150; posteriormente retira S/. 200 por el cajero automático y finalmente hace un retiro en caja del banco por un monto de S/. 170. ¿Cuánto le queda en el banco? 4. Un automovilista se desplaza por la Panamericana a una velocidad de 70 km/h, luego aumenta su velocidad en 40 km/h, posteriormente vuelve a aumentar su velocidad en 30 km/h y luego disminuye su velocidad en 50 km/h. ¿A qué velocidad se desplaza el automovilista? 5. Javier se encuentra en la cima del Huascarán, cuya altura es de 6 746 m y desciende 429 m. Mario se encuentra a 280 m de la cima y luego asciende 115 m. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas en las que se encuentran Javier y Mario? 6. Simón mira un documental de tres capítulos. El primer capítulo duró 1 hora con 25 minutos, el segundo 1 hora con 35 minutos y el tercero 1 hora con 30 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Simón viendo el documental? 7. La suma de dos números es 35 y su diferencia es 7. Hallar los números. Central: 619-8100
10. Dos depósitos tienen juntos 76 litros de vino. Si uno de ellos tiene 24 litros más que el otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan igual cantidad de vino? 11. A una quinceañera acudieron 145 personas y se observó que al momento de bailar en parejas, se quedaron 27 mujeres sentadas. ¿Cuántos varones asistieron a la quinceañera? 12. Unos amigos se reúnen para cenar. Si cada uno come 8 rosquitas sobran 7, pero si cada uno come 9 rosquitas faltarían 10. ¿Cuántas personas se reunieron? 13. Si compro 6 polos me sobrarían S/. 4 y si compro 7 polos me faltarían S/. 4. ¿Cuánto cuesta cada polo? 14. Cuatro amigos: Alberto, Julio, Nélida y Victoria recibieron un premio de S/.11 400. Según las labores que cada uno realizó, Nélida recibiría S/. 100 más que Victoria, Alberto S/. 100 más que Nélida y Julio S/. 100 más que Alberto. ¿Cuánto recibió Victoria? 15. Un comerciante se percata de que en la venta del día ha obtenido S/. 800 en solo billetes de S/. 20 y S/. 10. Contó los billetes y halló 57. ¿Cuántos billetes hay de cada clase? UNIDAD 1
21
Aritmética
Aplicación cotidiana Rommel tiene preparado pintar su casa para lo cual necesita contar con una escalera para poder realizar dicho trabajo, al llegar a la ferretería se encuentra con dos tipos de escaleras como se muestran en la figura:
A
B
El vendedor le explica que la escalera "A" es más segura al momento de trabajar pero el costo es mayor, la escalera "B" tiene una mayor altura respecto a la escalera "A" y el costo es más comodo. Al final el vendedor le dice: "la escalera "A" vale S/. 40 más que la escalera "B" pero si llevas las dos escaleras el costo será de S/. 350". 16. ¿Cuál es el precio de cada escalera? 17. Si Rommel cuenta con S/. 110, ¿cuánto le faltará para comprar la escalera "B"? 18. Si decide llevar la escalera "A", ¿cuánto de vuelto recibirá si paga con un billete de S/. 200? Aplicación cotidiana El Señor Molledo está preparando parrilla para sus familiares para lo cual él había calculado la cantidad de personas que iban a llegar a su casa pero después de unos minutos se da con la sorpresa que habían más personas de las que se había planificado. Él menciona: "Si a cada plato le ponemos 4 rodajas de papa como complemento me sobran 3 rodajas, pero si a cada uno ponemos 5 rodajas de papa como complemento me faltarían 6 rodajas". 19. ¿Cuántas personas conforman dicha familia? 20. Si al final cada integrante de la familia da S/. 1 más que el anterior, ¿cuánto recaudó el señor Molledo si se sabe que el primero dio S/. 3?
¡Tú puedes! 1. Entre polos, chompas y pantalones, una vendedora tiene en total 75 prendas. Si tuviera 12 pantalones más, 4 chompas más y 7 polos menos, tendría una cantidad igual de cada prenda. Hallar el número de polos. a) 24
b) 28
c) 32
d) 31
e) 35
2. Del 1ro "A" pasan al 1ro "B", 15 alumnos, luego del 1ro "B" pasan 20 alumnos al 1ro "A". Si al final "A" y "B" tienen 65 y 35 alumnos, ¿cuántos alumnos habían inicialmente en cada sección? a) 65 y 35
b) 55 y 45
c) 50 y 50
d) 60 y 40
e) 56 y 34
3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos, si les daba S/. 5 a cada uno le faltaría S/. 30 y si les daba S/. 3 a cada uno le sobraría S/. 70. ¿Con cuánto de dinero contaba esa persona? a) S/. 210
b) 200
c) 220
d) 230
e) 240
4. Un auto debe recorrer 10 km. Si lleva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado, ¿qué distancia recorrió cada llanta? a) 2 km
22
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b) 2,5
c) 8
d) 10
e) 6
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Aplicación de adición y sustracción
5. La suma de las edades de Patricio y Marisol es 35 años. Si Patricio tuviera 17 años menos y Marisol 8 años más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene Patricio? a) 25 años
b) 40
c) 30
d) 45
3
e) 50
18:10:45
Practica en casa 1. Sandra compra un mini gimnasio en S/. 1 750 y lo vende a S/. 1 380. ¿Cuánto perdió en la venta? 2. La suma de dos números es 67 y su diferencia es 17. Hallar el mayor de los números. 3. Un depósito con agua tiene un agujero por el cual se va saliendo el agua. La primera hora salió 43 litros, la segunda hora 16 litros menos que la hora anterior y la tercera hora 7 litros menos que la hora anterior. Si aún quedan 80 litros, ¿cuántos litros habían inicialmente en el depósito? 4. La ciudad de Arequipa tiene una altura de 3 300 m sobre el nivel del mar. Un helicóptero de noticias sobrevolará la ciudad y sube 203 m. Luego desciende 27 m, baja 13 m y se eleva 49 m. Después de todos estos momentos, ¿qué altura tiene sobre el nivel del mar? 5. En un aula de 36 alumnos se observa que hay 8 varones más que mujeres. ¿Cuántos varones hay en el aula? 6. Si compro 7 millares de hojas bond me sobrarían S/.5 y si compro 8 millares de hojas bond me faltarían S/. 3. ¿Cuánto cuesta cada millar de hojas bond? 7. Beto compra dos televisores, el de 29" le costó S/. 400 más que el de 14". Si por ambos televisores pagó S/. 1 230, ¿cuánto le costó cada televisor? 8. Julisa y Fabiola tienen juntas S/. 4 000. Si Julisa le diera S/. 400 a Fabiola, las dos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Fabiola? 9. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la familia come 6 chorizos sobran 5, pero si cada uno come 7 chorizos faltarían 8. ¿Cuántos miembros componen la familia?
Central: 619-8100
10. Adolfo apertura una cuenta de ahorro en el banco con S/. 800, deposita S/. 200, luego retira S/. 450, posteriormente retira S/. 150 por el cajero automático y finalmente hace un retiro en caja del banco por un monto de S/. 270. ¿Cuánto le queda en el banco? 11. Verónica mira una película de tres episodios. El primer episodio duró 1 hora con 45 minutos, el segundo 1 hora con 15 minutos y el tercero 1 hora con 50 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Verónica viendo la película? 12. La suma de las propinas de Milagros y Fernanda es de S/. 82. Si Milagros le diera S/. 14 a Fernanda ambas tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánta propina tiene Milagros? 13. Camila y Sebastián tienen entre los dos 98 años. Si Camila es mayor por 14 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 14. Dos depósitos tienen juntos 148 litros de alcohol. Si uno de ellos tiene 34 litros más que el otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan igual cantidad de alcohol? 15. Se tienen S/. 152 en dos grupos de monedas, en una hay monedas de S/. 2 y en el otro de S/. 1. Si del segundo grupo se pasan al primero 16 monedas, los dos grupos tendrían igual valor, ¿cuántas monedas se tiene en total? Links de apoyo: http://genmagic.net/repositorio/displayimage.php?pos=–207 http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=dados
UNIDAD 1
23
4
Aritmética
Multiplicación de números naturales En este capítulo aprenderemos: • • •
A reconocer los elementos de la multiplicación. A identificar e interpretar las propiedades de la multiplicación. Organizar estrategias para la resolución de problemas.
¿Cómo multiplicaban los hindúes?
E
ntre los métodos utilizados para multiplicar había uno que se conoce con varios nombres distintos: multiplicación en gelosia o multiplicación en celdillas o en el cuadrilátero. Observa los siguientes ejemplos:
•
•
En este primer ejemplo el número 538 aparece multiplicado por 47; el multiplicando está escrito en la parte superior y el multiplicador en la parte izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera que al sumar los dígitos en diagonal se obtiene el producto 25 286 que aparece en la parte inferior y derecha del rectángulo.
En este ejemplo se indica que los datos pueden estar ubicados también de otras maneras, aquí se ve el multiplicando 356 situado de nuevo en la parte superior y el multiplicador 37 en cambio a la derecha, mientras que el producto 13 172 se lee por la izquierda y la parte inferior del rectángulo.
5 7 4
5
3
0
2
8 1
2
2
1
6
5
2
3
2
5
2
3
5
6
1 3
3
9 2
1
1
5
3
1
5 7
1
8
4
2
6 8
3 7
2
• Multiplica: 487 × 56, utilizando el método hindú
24
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Multiplicación de números naturales
4
Saberes previos 1. Multiplicar: 8 × 9
4. Multiplicar: 467 × 36
2. Multiplicar: 12 × 7
5. Multiplicar: 6 docenas por 5 decenas
3. Multiplicar: 76 × 58
Conceptos básicos Definición La multiplicación es una operación aritmética que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda. Ejemplo:
3 × 6 significa 6 veces el 3
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 6 = 18 1444442444443 6 sumandos
Elementos de la multiplicación: 9
×
6
54
Producto
↓ ↓ ↓
Multiplicando Multiplicador 144444444424444444443 Factores También: Si efectuamos por ejemplo 486 × 37 486 × → 37 → 3402 → 1458 → 17982 →
14243
=
Multiplicando Factores Multiplicador Primer producto parcial (486 × 7) Segundo producto parcial (486 × 3) Producto
Propiedades de la multiplicación La multiplicación tiene propiedades muy parecidas a las de la adición. Veamos:
Recuerda que...
Propiedad de clausura
"La multiplicación de dos números es otro número". Si: a ∈
yb∈
entonces: a × b ∈ .
Ejemplo:
Si: 35 ∈
y 7 ∈ , entonces: 35 × 7 = 245 ∈
Las siguientes expresiones: a × b, a.b, a(b) y (a)(b) nos indican multiplicaciones; donde "a" es el multiplicando y "b" el multiplicador.
Propiedad conmutativa "El orden de los factores no varía el producto". Si: a ∈
Central: 619-8100
yb∈
entonces: a × b = b × a UNIDAD 1
25
Aritmética
Ejemplo:
Si: 16 ∈
y 4 ∈ , entonces:
16 × 4 = 4 × 16 64 = 64
Propiedad asociativa "El modo de agrupar los factores no varía el producto" Si: a ∈ , b ∈
yc∈
entonces: (a × b) × c = a × (b × c)
Ejemplo:
Si: 6 ∈ , 3 ∈
y 5 ∈ , entonces:
(6 × 3) × 5 = 6 × (3 × 5) 18 × 5 = 6 × 15 90 = 90
Propiedad del elemento neutro
"El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él, da el mismo número". Si: a ∈
entonces: a × 1 = a
Ejemplo:
Si: 26 ∈ , entonces: 26 × 1 = 26
Propiedad del elemento absorbente
El cero (0) es el elemento absorbente de la multiplicación, porque todo número multiplicado por cero es igual a cero. Si: a ∈
entonces: a × 0 = 0
Ejemplo:
Si: 38 ∈ , entonces: 38 × 0 = 0
Propiedad distributiva
La multiplicación es distributiva con la adición y la sustracción. Si: a ∈ , b ∈
yc∈
entonces: a × (b ± c) = a × b ± a × c
Ejemplos:
• 25 x (5 + 3) = 25 × 5 + 25 × 3 25 × 8 = 125 + 75 200 = 200
•
25 × (5 – 3) = 25 x 5 – 25 × 3
25 × 2 = 125 – 75 50 = 50
No olvidar... Al multiplicar la unidad seguida de ceros por un número natural, escribimos este número y le agregamos tantos ceros como haya después de la unidad. Ejemplos:
a) 257 × 100 = 25 700 b) 28 × 1 000 = 28 000 c) 75 × 10 000 = 750 000 d) 56 × 100 = ……………… e) 105 × 1 000 = ………………….
26
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Multiplicación de números naturales
4
Síntesis teórica Multiplicación de nú- Tiene meros naturales es una
Elementos: • Multiplicando (1er factor) • Multiplicador (2do factor) • Producto
Suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse varias veces. Sus Clausura
Son
Todas las multiplicaciones tienen producto
Propiedades
Ejemplo
Son
Elemento neutro Todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Ejemplo
Son
8 x 9 = 72
Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.
46 x 1 = 46
Asociativa La forma cómo agrupemos los factores no altera el producto.
Ejemplo 12 × 7 = 7 × 12 = 84
Distributiva Es distributiva con la adición y la sustracción.
Ejemplo 3 × (5 × 2) = (3 × 5) × 2
Elemento absorbente Todo número multiplicado por cero es igual a cero.
Ejemplo 6×(4±2)=6×4±6×2
Ejemplo 23 × 0 = 0
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Ubicar los siguientes números:
• 7 × (10 + 6) = 7 × 10 + 7 × 6
26; 718; 2 154 y 9 334 según corresponda:
←
3 5 9 × →
→ → ←
2. Indicar la propiedad que corresponde a cada ejemplo:
Propiedad ……………………………………....
• 152 × 4 = 608
Propiedad ……………………………………....
• 8 × (6 × 15) = (8 × 6) × 15
Propiedad ……………………………………....
• 12 × 25 = 25 × 12
Propiedad ……………………………………....
• 378 × 0 = 0
• 286 × 1 = 286
Propiedad ……………………………………....
Central: 619-8100
Propiedad …………………………………….... UNIDAD 1
27
Aritmética
4. Indicar la mayor cifra del multiplicando.
3. Efectuar: •
1 4 9 ×
4
Indicar la suma de cifras del primer producto parcial
× 7
1 7
3 4 •
Indicar la suma de cifras del producto
1
5. Indicar la mayor cifra hallada. 1
× 6 7
0
Aprende más 1. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta: •
×
•
3
6 ×
4. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios en blanco para que los productos en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. 72
9 2
4
0
•
0
× • 5
6
1
4
3
5
2
8
2. Efectúa las siguientes operaciones: • 209 × 56 • 7 209 × 38
3. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila y escribe el símbolo ">" ; "<"; "=" o si "no se puede determinar" según corresponda:
24 por el elemento neutro de la multiplicación 4+4+4+4+4+4 Una decena por 11 Primer producto parcial de 146 × 21
28
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30
27 240 56
108
16 + 16 + 16 + ... + 16 – (8 + 8 + 8 + ... + 8) 144424443 1442443 9 veces 17 veces
8
"A" El producto de los tres primeros números pares
5
5. Efectuar:
3
• 46 × 78 • 2 057 × 28 • 186 × 3 009
42
7
× 5
288
6 ×
7
•
8
"B" ... ... ... ... ...
4 docenas 68 por el elemento absorbente de la multiplicación 4 veces 7 1 ×2 × 3 × 4 × 5 Segundo producto parcial de 73 × 27
6. José Luis paga S/. 1 445 por la compra de mnp pelotas. Si el precio de cada pelota es S/. 5, ¿cuál es la cantidad de pelotas que compró? 7. Si: pq × a = 84 pq × b = 28 calcular: pq × ba 8. Si: abc × 3 = m589
calcular: a + b + c
9. Si: pqr × 9 = a766
calcular: p + q + r
10. Si: M × PAPA = 12 120
A × PAPA = 9 696
hallar: PAPA × MA www.trilce.edu.pe
Multiplicación de números naturales
11. Si: a × abc = 1 044 b × abc = 1 392 c × abc = 2 784
13. a) ¿En qué cifra termina el siguiente producto:
A = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × ... × 486?
b) ¿En qué cifra termina el siguiente producto:
hallar: abc × cba
12. Si: pqr × p = 208 pqr × q =1 346 pqr × r = 154
4
B = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 52 467?
14. Calcular "a + b + c + d", sabiendo que:
hallar: (pqr)2
abcd × 9 = ... 1879
15. Si: PARE × 99 = ... 1403, hallar: P + R + E
Aplicación cotidiana La siguiente figura muestra las huellas de Mariana sobre la arena de la playa. La longitud de cada paso es de 45 cm. 16. Si Mariana da 68 pasos, ¿cuál es la longitud que recorrió? 17. Si Mariana recorre 5 670 cm, ¿cuántos pasos dio Mariana en dicho recorrido? 18. El fin de semana Mariana sale a trotar por lo cual la longitud de cada paso aumentó en 55 cm. Si en total dio 854 pasos, dar como respuesta la longitud que recorrió (en metros).
¡Tú puedes! 1. Si: 3 × 1edcba = edcba1, entonces "a + b + c + d + e" es: a) 8
b) 12
c) 16
d) 20
e) 26
2. Reconstruir la siguiente multiplicación e indicar la suma de cifras desconocidas. •
a) 55
b) 56
•
7 ×
•
•
•
•
1
•
•
•
6 1
•
•
5
c) 57
•
8 d) 58
e) 59
d) 39
e) 27
3. Si: ERICA × 4 = ACIRE, hallar: E + R + I + C + A a) 24
b) 36
c) 28
4. Si la suma de los productos parciales de abcd × 42 es 19 290, calcular "a + b + c + d". a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
c) 24
d) 28
e) 42
5. Si: 5 3 A B × 8 hallar: A × B A 2 B B 6 a) 32 Central: 619-8100
b) 56
UNIDAD 1
29
Aritmética 18:10:45
Practica en casa
9 ×
6. Un club conformado por 1a7a socios recaudó S/. pqrm6 en la venta de entradas. Si cada socio pagó S/. 8 por su entrada, ¿cuál es la cantidad recaudada?
4
7. Si: ab × m = 92
1. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta: •
×
•
2
8 7
9
•
2
4
×
9
ab × n = 230 •
×
7 6 •
8
6
2
9
9
2
calcular: ab × mn
8. Si: pqr × 9 = m916
× 5
calcular: p + q + r
3
9. Si: abc × 7 = p976
9
10. Calcula la suma de cifras del producto en:
2. Efectúa las siguientes operaciones: • 76 × 18 • 852 × 26 • 5 008 × 37 • 1 897 × 59 • 289 × 1 052 3. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila y escribe el símbolo ">" ; "<"; "=" o si "no se puede determinar" según corresponda: "A"
calcular: a + b + c
627 × a = mnpa
11. Si: abc × 17 = p018, calcula "a × b × c". 12. Si:
t × tia = 254
"B"
i × tia = 1 582
El producto de los cuatro primeros números impares El elemento neutro de la adición
9 docenas
a × tia = 3 046
El elemento neutro de la multiplicación
hallar: ati × tia
7+7+7+7
3 decenas
13. Si:
2 docenas por 3
3×4×5
mio × e = 862
Segundo producto parcial de 465 × 12
Tercer producto parcial de 273 × 217
mio × a = 476
mio × f = 1 254 (o ≠ cero)
hallar: fea × mio
4. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios en blanco para que los productos en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. 35 7
378
5
60
2
16
24 90 168
240
14. Si:
PITA × 99 = ... 1116
hallar: P + I + A
15. Si:
besa × 33 = ... 4611
hallar "e + s + a"
5. Efectuar: 25 + 25 + 25 + ... + 25 – (7 + 7 + 7 + ... + 7) 144424443 1442443 18 veces 62 veces
30
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Complemento
Complemento
5
En este capítulo aprenderemos: •
A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias para cada proceso.
Síntesis teórica Las operaciones aritméticas Son Es
Es
La adición
La sustracción
Es decir Asociar, agrupar, añadir cantidades homogéneas.
Es decir La operación inversa a la adición.
Sus elementos son
Sus elementos son
a+b=s
Es La multiplicación Es decir La suma abreviada, donde los sumandos pueden repetirse varias veces. a + a + a + a + ... = a×n 144424443 "n" veces "a"
Sus elementos son
M–S=D
M×m=p
a: Sumandos b: Signo c: Suma
a: Minuendo (M) b: Sustraendo (S) c: Diferencia (D)
a: Multiplicando b: Multiplicador c: Producto
Ejem:
Ejem:
Ejem:
5 + 4 = 9
↓ ↓ ↓ ↓ a b a c
5 – 4 = 1
↓ ↓ ↓ a b c
Conmutativa: 8+9=9+8 Asociativa: (8 + 9) + 1 = 8 + (9 + 1)
a b c
Sus propiedades
Sus propiedades Clausura: 8 + 9 = 17
5 × 4 = 20
↓ ↓ ↓
Su propiedad
M+S+D=2M
Elemento neutro: 8+0=0+8
Clausura: 8 × 9 = 72 Conmutativa: 8×9=9×8 Asociativa: (8×9)×2=8×(9×2) Elemento neutro: 8×1=8 Elemento absorbente: 8×0 =0 Distributiva: 8×(9±1)=8×9±8×1
• Complemento Aritmético: C.A CA (ab) = 100 – ab Ejem: CA(62)= 100 – 62 = 38 Central: 619-8100
UNIDAD 1
31
Aritmética
Saberes previos 1. Hallar el complemento aritmético de 479 2. Restar 45 de 78 3. Hallar la suma de los cinco primeros números naturales
4. Hallar la suma de las cifras de la diferencia: 789 – 482 5. Compré un televisor a 360 dólares y lo vendí en 650 dólares. ¿Cuánto gané?
Aprende más 1. Hallar "a + b – c"
2 a b 5 +
b46
c292 4bab
2. Efectúa: 3 + 33 + 333 + ... (9 sumandos) 3. Hallar "a + b + c"
a b 0 4 –
5c2b 1ba8
4. La suma de los términos de una sustracción es 1 240. Si el sustraendo es 540, hallar la diferencia. 5. Si: CA(aba) = c27, hallar: a × b – c 6. Tres amigos: Sergio, Antonio y Robert deciden pasar un fin de semana en la playa, para lo cual cada uno de ellos tiene que aportar una cierta cantidad de dinero. Al regresar de la playa sacan cuentas y Sergio dice que gastó S/. 140, Antonio S/. 75 más que Sergio y Robert S/. 40 más que Sergio y Antonio juntos. ¿Cuánto se gastó en ese fin de semana? 7. Paúl planifica su ahorro y empieza a mencionar los gastos que tiene que realizar: S/. 400 en la cuota del banco, S/. 320 para los pasajes del mes, S/. 450 para sus alimentos, S/. 330 para el pago del mini departamento y después de haber hecho todos esos cálculos menciona que le quedaría para ahorrar S/. 500. ¿Cuánto percibe Paúl cada mes?
32
Colegios
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8. Carmen y Catalina comparan la nota que obtuvieron en su examen bimestral de Aritmética y mencionan lo siguiente: Nuestras notas juntas es igual a 34 puntos, pero se sabe que Carmen obtuvo 4 puntos más que Catalina. ¿Cuál es la nota de Catalina? 9. Roxana ganó $ 12 000 en una lotería y vendió su colección de muñecas en $ 450. Si gastó $ 870 en un paseo por el Cuzco y $ 150 en comprarse unas zapatillas, ¿cuánto dinero le queda? 10. Magdalena participa en una maratón: En los primeros 30 minutos recorrió 700 metros, en los siguientes 40 minutos recorrió 150 metros más que en el tiempo anterior y en los últimos 20 minutos recorrió 400 metros menos que el tiempo anterior. ¿De cuántos metros era la maratón? 11. El complemento aritmético de un número de tres cifras que termina en 2 es otro también de tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma de cifras del primer número? 12. Hallar "a + b + c + d" en:
a1a + a2a + a3a + ... + a9a = bcd4
13. Si: CA(8ab8) = cd4e y CA(c + d + e) = 5
hallar "a + b + e".
14. Alberto tiene 10 canicas más que Manuel. Si juntos tienen 48 canicas, ¿cuántas posee Manuel? 15. Si: CA(ab(2c)) = de(2f), halle "a + d".
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Complemento 18:10:45
5
Practica en casa 1. Si: m + n + p = 17
8. Si: N = abb y CA(abb) = (a + 1)a(a + 1)
hallar: monp + pnom + npmo + mpn
Además: o = cero
9. A una conferencia asistieron a5b3 personas, después de un par de horas se retiran 3c8d personas y de esta manera la conferencia quedó con un público de 5 947 personas. Hallar "a + b + c + d".
2. Hallar "a + b + c + d – e", si:
3 5 a 2 b +
4c2d8 ––––––––––– e9003 3. Efectúa:
46 + 646 + 4646 + ... (8 sumandos)
a 2 4 –
56b ––––––– 362 5. En una sustracción, el minuendo disminuye en 41 y el sustraendo aumenta en 73. ¿En cuántas unidades varía la diferencia? 6. Indicar la mayor cifra hallada: 5
4
5
9 4
7
6
7
3
2
+
9 2 5
2
7. Diana tiene 40 años, Juana tiene 9 años menos que Diana y Luisa tiene 7 años más que Juana. ¿Cuántos años suman entre las tres?
Central: 619-8100
10. Raúl vende un equipo de sonido en 2ab5 soles y retira del banco a9b2 soles, de esta manera Raúl tendría 6a4b soles en total. Hallar la cantidad que retiró del banco. 11. Las edades de Toño y Saúl suman 78 años y se sabe que Toño es mayor por 12 años. Indicar las edades de ambos.
4. Calcular "a – b", en:
hallar: N
12. Si Julio reparte 5 canicas a cada sobrino le sobraría 1, pero si reparte 6 canicas a cada uno de ellos le faltaría 10 canicas. ¿Cuántos sobrinos tiene Julio? 13. En una sustracción, al minuendo se le agrega 3 unidades en las decenas y al sustraendo se le agrega 5 unidades en las centenas. ¿Qué sucede con la diferencia? 14. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que si se suma 100, resulta el cuádruplo de su complemento aritmético 15. Hallar: CA(a + b + c)
si: CA(abc) – abc = 632
UNIDAD 1
33
6
Aritmética
División de números naturales En este capítulo aprenderemos: • • •
A identificar los elementos de la división. A identificar divisiones exactas, inexactas e interpretar sus propiedades. Organizar estrategias para la resolución de problemas.
¿Cómo dividían los egipcios?
E
l método empleado para la división es realmente curioso. Se basa en la multiplicación y siempre se obtenían cantidades enteras o fracciones exactas.
1
3
2 6
Si se quiere dividir n/m entonces la idea consiste en obtener el número de "m" y de partes de "m" que suman "n". Como ya hemos comentado el sistema se basa en la multiplicación, pero ahora es el divisor el número que se duplica. Se genera una tabla de 2 columnas que tiene en la primera fila el número 1 y el denominador (m). La idea se basa en obtener en la columna de la derecha el número "n" con la construcción de sucesivas filas obtenidas por duplicación o división. El dividendo se obtiene, entonces, como la suma de los elementos duplicados de la columna del divisor, y el cociente es la suma de los números elegidos en la columna base de la duplicación. Por ejemplo, para dividir 21/3 se hacía: El siguiente número sería 8 y correspondería a 24 que es mayor que 21. Por tanto no se sigue con la tabla. Si el número 21 se puede obtener como suma de los valores de la columna de la derecha, entonces ya está. En este caso:
4 12
12 + 6 + 3 = 21 → 21/3 = 4 + 2 + 1 = 7 Este ejemplo es el más sencillo, pues la división es entera. El problema surgía cuando no se obtenían divisiones enteras y había que utilizar fracciones. Para dividir 21/6 se ejecutaba el mismo proceso anterior, pero cuando se obtiene un número mayor que el numerador, si este no se puede obtener como suma de valores de la columna de la derecha, se continúa la tabla, dividiendo por 2. 1 6 2 12 1/2 3(*) 6 + 12 + 3 = 21 → 21/6 = 1+2+1/2 = 3,5 (*) Ahora ya no tiene sentido poner 4 → 24 porque 24 > 21. Tampoco se puede obtener el valor 21 como suma de valores de la columna de la derecha; por tanto se continúa con divisiones, (1/2, 1/4, ...).
Papiro de Ahmes www.malhatlantica.pt/.../egipto/rhind/71–79.jpg
• Dividir 96 ÷ 4, utilizando el método egipcio.
Saberes previos 1. Dividir: 48 ÷ 12
4. Dividir: 483 ÷ 3
2. Dividir: 56 ÷ 6
5. Dividir: 758 ÷ 5
3. Dividir: 148 ÷ 14
34
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División de números naturales
6
Conceptos básicos Definición Es la operación inversa a la multiplicación, donde dados dos números naturales llamados dividendo y divisor, se halla un tercero llamado cociente, que nos indica cuantas veces contiene el dividendo al divisor.
Elementos de la división:
→
Dividendo (D)
375
41
369
9
← ←
Divisor (d) Cociente (q)
6
↑ Residuo (r) En general:
D
d
Algoritmo de la división:
r
q
D=d×q+r
Clases de División
División exacta
División inexacta
Es cuando el residuo es cero.
Es cuando el residuo es diferente de cero y menor que el divisor.
D
d
0
q
⇒
D=d×q "r" no existe
D
d
r
q
⇒
D=d×q+r r≠0
Ejemplo:
2 5 6 4 2 4 1 6 1 6 – 4 4 –
Ejemplo:
4 641
5 7 8 5 5 2 8 2 2 6 5 –
⇒ Donde: 2 564 = 4 × 641
4
11 525
4 5 9
⇒ 5 784 = 11 × 525 + 9
Recuerda que... En la división el dividendo siempre es mayor o igual que el divisor.
Propiedades I. II.
0 < Residuo < divisor R
máximo
III. Central: 619-8100
R
= divisor – 1 mínimo
=1
Sabías que...? En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo ÷.
UNIDAD 1
35
Aritmética
Observaciones •
28 : 7 = 4, pues: 7 × 4 = 28
•
26 : 1 = 26, pues: 1 × 26 = 26
•
32 : 32 = 1, pues: 32 × 1 = 32
•
0 : 25 = 0 , pues: 25 × 0 = 0
•
22 : 0 = ¿?, No está definido porque no existe ningún número natural que multiplicado por cero de 22.
•
0 : 0 = ¿?, Indeterminado porque cualquier número natural multiplicado por cero da cero. Entonces hay que evitar:
D y 0
0 0
es
La operación inversa a la multiplicación, que consiste en determinar el número de veces que una cantidad contiene a otra.
Síntesis teórica División de números naturales Tiene Elementos: • • • •
Dividendo (D) Divisor (d) Cociente (q) Residuo (r)
Algoritmo D=d×q+r
División exacta
División inexacta
El residuo es cero ("r" no existe)
El residuo es diferente de cero (r ≠ 0)
Ejemplo:
Ejemplo:
35
7
35
5
D=d×q
D=d×q+r
0
45
7
42
6
3 Sus Propiedades Son
Rmáximo = d – 1
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Rmínimo = 1
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División de números naturales 10 x 5 50
6
Aplica lo comprendido 6. Completar la siguiente división e indicar los elementos:
→
8
58
← ←
→
8. Al dividir un número entre 19, el residuo resultó lo menor posible. ¿Cuál fue el residuo? 9. Al dividir un número entre 32, el residuo resultó el mayor posible. ¿Cuál fue el residuo? 10. Indicar el divisor
7. Efectúa la siguiente división e indica si el residuo es máximo o mínimo.
6 6
7
2 5 6 8
3
1
7
Aprende más 1. Relacionar ambas columnas, con flechas: • • • • •
Divisor = 7 Divisor = 15 Divisor = 39 Divisor = 56 Divisor = 156
RMáximo = 38 RMáximo = 55 RMáximo = 155 RMáximo = 14 RMáximo = 6
2. Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno: • 1 785 ÷ 9 • 7 650 ÷ 14 • 25 876 ÷ 137
• 1 089 ÷ 12 • 5 099 ÷ 19 • 18 565 ÷ 375
3. Escribe en el casillero el número que falta para que la operación sea correcta: • 6×
= 78
•
×5 = 95
• 11×
= 187
•
×13 = 195
• 38×
= 912
•
×59 = 2 006
4. Al dividir "T" entre 20 se obtuvo 12 de cociente y su residuo fue el máximo posible. Hallar "T". 5. Al dividir "R" entre 17 se obtuvo 11 de cociente y el residuo fue mínimo. Hallar "R". Central: 619-8100
6. Dar como respuesta el dividendo. * * *
1 9
* 9
* *
9 3 * * * 7 7. Dar como respuesta el cociente. * * *
2 4
* 6
* *
3 3 * * 9 8. Dar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 1 2 4 *
8 *
* *
* *
* 5 * * * 7 * 6
UNIDAD 1
37
Aritmética
9. Reconstruir la siguiente división e indicar la suma de cifras del dividendo, sabiendo que el residuo es mínimo. * * * * * 4 * * 4 8 *
12. Hallar la suma de las cifras encontradas, luego de reconstruir la siguiente división: * 9 * * * 2 * 2 * * * 8 * * 1 * * 3 * 6
1 * 2 * *
10. ¿Cuál es la mayor cifra hallada del dividendo, luego de reconstruir la siguiente división? * * * * 9 * 1 * * * * 5 1 9 * * *
*
2 3 4 * * 8
9 * * * *
13. Se divide "W" entre un número menor que 60 obteniéndose como cociente 125 y como residuo 58. Hallar "W".
* * 1
14. Al dividir "D" entre "A" el cociente fue 13 y el residuo el más grande posible. Si "D + A" es igual a 464, hallar: D × A.
11. Reconstruir la siguiente división e indicar la suma de cifras del cociente:
15. Al efectuar una división se notó que el divisor es el cuádruplo del cociente y el residuo fue el triple del cociente. Si el dividendo es 351, ¿cuál fue el residuo?
5 7 * 8 * * * * 7 5 * * 6 *
7 * * *
Aplicación cotidiana La siguiente figura hace referencia a una escalera con 19 peldaños y una altura total de 304 cm:
41
16. ¿Cuál es la altura de cada peldaño? 304
17. ¿Cuál es el ancho de cada peldaño?
516
Ancho = 41 cm
18. Si se desea poner un acabado de mármol en todos los peldaños de la escalera, además el largo de cada pieza de mármol tiene la misma medida que el largo de los peldaños, ¿cuántas piezas de mármol se necesitarán?
Largo = 120 cm Aquí se muestran las dimensiones de cada pieza de mármol
38
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División de números naturales
6
¡Tú puedes! 1. La suma de dos números es 341 y al dividirlos el cociente es 16 dejando como residuo al mayor número posible. Hallar el número mayor. a) 320
b) 322
c) 324
d) 325
e) 327
2. Si al dividendo de una división se le agregan 98 unidades, el cociente y el residuo aumentan en 7. Hallar el divisor. a) 10
b) 13
c) 17
d) 12
e) 19
3. ¿Cuál es el menor número de cinco cifras que multiplicado por 24, nos da un producto cuyas cifras son todas ocho? a) 37 370
b) 27 027
c) 37 017
d) 37 037
e) 47 047
4. En una división inexacta el cociente y el residuo son respectivamente 58 y 15. Si se quita 376 unidades al dividendo, el cociente es 42 y el resto se vuelve máximo. Hallar el dividendo. a) 1 307
b) 1 417
c) 1 419
d) 1 407
e) 1 411
5. Hallar la suma de cifras del cociente en la siguiente división:
a) 24
*
*
*
*
*
*
b) 26
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
c) 28
*
*
*
*
8
*
*
d) 30
e) 32
18:10:45
Practica en casa 1. Dividir 7 689 240 ÷ 15 e indicar el cociente. 2. Dividir 650 781÷ 102 e indicar la suma de cifras del cociente. 3. Dividir 350 492 ÷ 13 e indicar el residuo. 4. Efectuar 79 045 ÷ 25 e indicar el cociente.
5. Hallar la suma de cifras del divisor. 3 4 1
2
8
0 6 9 4
•
Reconstruya las siguientes divisiones e indica lo que se pide en cada caso:
Central: 619-8100
8 UNIDAD 1
39
Aritmética
6. Indicar la mayor cifra hallada. 5
9. Indicar la suma del cociente más el dividendo.
7
7
4
2
1
7 2
7
1 5 6 2 7. Hallar el producto de cifras del dividendo. 2 9
8
1 5
3 1
0 9 5 5
40
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5 2
9
2
5
10. En una división el cociente es 49 y el divisor 32. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó mínimo.
12. Se divide "K" entre un número de tres cifras obteniéndose como cociente 35 y como residuo máximo 185. Hallar "K".
8. Indicar el dividendo. 5
2
11. En una división el cociente es 64 y el divisor 41. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó máximo.
9
1
2
8
3
3
4
1
2
2
5
13. Al dividir "F" entre "U" el cociente fue 6 y el residuo el más grande posible. Si "F + U" es igual a 255, hallar: F × U. 14. Al efectuar una división se observó que el divisor es el triple del cociente y el residuo el doble del cociente. Si el dividendo es 456, ¿cuál fue el divisor? 15. La suma de dos números es 95, su cociente es 3 y el residuo también es 3. Dar el número mayor.
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Aplicación de la multiplicación y división de números naturales
Aplicación de la multiplicación y división de números naturales
7
En este capítulo aprenderemos: • •
A interpretar enunciados y expresarlo mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.
E
¿Cómo les resultó fácil, multiplicar y dividir a los hombres en la antigüedad?
n la antigüedad eran particularmente difíciles las operaciones de multiplicación y división: esta última en mayor escala. "La multiplicación es mi martirio, y con la división es la desgracia" decían entonces. Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado para cada operación. Por el contrario, estaba en uso simultáneamente casi una docena de diferentes métodos de multiplicación y división con tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a las posibilidades del hombre medio. Cada "maestro de la división" exaltaba su método particular al respecto. "Asunto difícil es la división"(dura cosa es la partida) decía un antiguo refrán italiano; acertado refrán si se toman en cuenta los agotadores métodos con que se realizaban entonces: no importa que estos métodos llevaran a veces nombres demasiado festivos: bajo ellos se ocultaba una larguísima serie de complicadas manipulaciones. Así, en el siglo XVI se consideraba el método más corto y cómodo el de división por "lancha o galera". El ilustre matemático italiano de esa época, Nicolás Tartaglia (siglo XVI), escribió en su extenso manual de aritmética lo siguiente respecto a dicho método:
División de números a la manera antigua, por el método de "galera".
"Este método de división en Venecia, se le llama por lancha o galera, debido a que en la división de ciertas clases de números se forma en la figura parecida a una lancha, y en la de otras, a una galera que a veces se obtiene tan bien terminada, que se muestra provista de todos sus elementos principales tales como popa y proa, mástil, velas y remos". Esto parece muy divertido, pero aunque el antiguo matemático recomienda precisamente dicho método como "elegante, fácil, exacto, usual y el más general de los existentes, útil para la división de todos los números posibles". Sin embargo, este agotador método fue, efectivamente, el mejor en esa época.
• ¿Por qué se llamaba división por lancha o galera?
Saberes previos 1. Compré un juguete en S/. 45, ¿a cómo debo venderlo para ganar S/. 15?
4. Si una docena de mochilas vale S/. 420, ¿cuánto es el costo por unidad?
2. Si al vender un reloj en S/. 70 perdí S/. 15, ¿cuánto me costó el reloj?
5. Carlos desea comprar una bicicleta de S/.570 pero se da cuenta que le faltaría S/.80. ¿Cuánto dinero tiene Carlos?
3. Si una camisa cuesta S/. 48, ¿cuánto costará tres camisas? Central: 619-8100
UNIDAD 1
41
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido •
En la vitrina de las tiendas “SODIMAC” hay una oferta de venta de rodillos y se muestran cuatro rodillos de diferentes medidas (3", 6", 9" y 12") y un repuesto para el rodillo de 12" (pulgadas): Los costos de cada producto son: • • • • •
La docena de 3": S/. 36 La docena de 6": S/. 84 La docena de 9": S/. 108 La docena de 12": S/. 144 La docena de repuesto: S/. 72
1. ¿Cuánto gastará, si compra 5 docenas de 3"? 2. ¿Cuánto gastará, si compra 7 docenas de 6"? 3. ¿Cuánto gastará, si compra 4 docenas de 9"? 4. ¿Cuánto gastará, si compra 9 decenas de 12"? 5. ¿Cuál es el precio por unidad de los rodillos de 3"?
Aprende más 1. Sergio vende un terreno de 20 hectáreas a $ 600 la hectárea y recibe en pago otro terreno de 1 900 metros cuadrados a razón de $ 5 el metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan? 2. Se compran 8 libros de Matemáticas a S/. 10 cada uno, 5 lapiceros a S/.1 y 6 plumas a S/. 5 cada una. ¿Cuánto gastó? 3. Se compran 144 metros de tela a $ 2 el metro y se venden a $ 80 la docena de metros. ¿Cuánto se gana? 4. Arturo gana S/. 35 por día de trabajo y trabaja 6 días a la semana. Si gasta S/. 110 a la semana, ¿cuánto puede ahorrar en 22 semanas? 5. Se repartió cierto número de manzanas entre 21 personas y después de dar 7 manzanas a cada persona sobraron 18. ¿Cuántas manzanas había? 6. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calculadora, gana S/. 75; pero si decide vender cada calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender? 7. Si $ 163 se reparten entre cierto número de personas, a cada una le tocaría $ 9 y sobrarían $ 10. ¿Cuál es el número de personas? 8. Se organiza una proyección de una película en nuestra parroquia. Si el Señor "X" paga S/. 6 por cada entrada, le sobrarían S/. 16 y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró? 9. Tenía S/. 2 576, compré víveres por el valor de S/. 854 y con el resto azúcar a S/. 42 el saco. ¿Cuántos sacos de azúcar compré?
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Colegios
TRILCE
10. Para rifar una cocina se hicieron cierto número de boletos. Si cada boleto se vende a S/. 8 se ganaría S/. 1 040 y si cada boleto se vende a S/. 3 se perdería S/. 210. ¿Cuántos boletos se hicieron? 11. Una pareja de esposos decide ahorrar mensualmente, el esposo S/. 400 y la esposa S/. 320. ¿Después de cuántos meses de ahorrar juntos, el esposo tendrá ahorrados S/. 720 más que la esposa? 12. Habiéndose organizado un Bingo se ha recaudado S/. 1 900. Por la entrada los hombres pagaron S/. 15 y las mujeres S/. 10 y se ha reportado una asistencia de 150 personas. Determinar el número de hombres y el número de mujeres que participaron en el Bingo. 13. Cintia ha comprado 25 docenas de ganchos a S/. 15 la docena. Las primeras 15 docenas las vendió por un importe de S/. 360. Los restantes, debido a la baja de la demanda, lo tuvo que vender por decenas. ¿A qué precio vendió cada decena, si en toda la venta obtuvo una ganancia de S/. 165? 14. Cada vez que Raúl visita a su tía Pamela, ella le duplica el dinero que lleva. Un día realizó tres visitas al cabo de los cuales resultó con S/. 864. ¿Con cuánto dinero hizo la primera visita? 15. Un tren de 100 metros de largo demora 15 segundos en cruzar un túnel de medio kilómetro de longitud. ¿Cuál es la velocidad del tren? www.trilce.edu.pe
Aplicación de la multiplicación y división de números naturales
Aplicación cotidiana
7
Una tienda se dedica a la venta de computadoras y desea vender un lote que le ha quedado para lo cual decide publicar el siguiente anuncio: 16. Si Joaquín está interesado en comprar 10 de estas computadoras para abrir su negocio de internet, ¿cuánto tendrá que pagar por dichas computadoras, si se sabe que la tienda le hace una rebaja de $ 10 por computadora? 17. Si desea comprar la oferta pero quiere cambiar el microprocesador de 1.8 Ghz por uno de 3 Ghz tendría que aumentar $ 15 por computadora. ¿Cuánto pagará por 6 computadoras con el microprocesador de 3 Ghz? 18. El encargado de la tienda menciona que la pantalla LCD se podría cambiar por una pantalla normal plana y por lo cual ahorraría $80 por cada computadora. Si Joaquín acepta dicha propuesta, ¿cuánto pagará por 15 computadoras?
¡Tú puedes! 1. En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los pantalones de algodón $ 50 y las corbatas $ 12. El sábado, tenían una promoción que decía: "Si compra un pantalón de lana, le regalamos una corbata". Ese día recaudaron $ 2 540. Si habían vendido 34 pantalones y habían regalado 15 corbatas, ¿cuántas corbatas vendieron? a) 35
b) 24
c) 45
d) 30
e) 55
2. Héctor invirtió S/. 6 720 en comprar papel bond y papel de colores. Si cada millar de papel bond le costó S/. 24 y cada millar de papel de colores S/. 32, ¿cuántos millares compró, si se sabe que la cantidad de papel bond es la misma que la de colores? a) 100
b) 110
c) 170
d) 120
e) 210
3. Una máquina imprime 20 gigantografías cada hora. ¿Cuántas gigantografías producirán en 3 días, 4 máquinas con las mismas características? a) 4 310
b) 7 680
c) 3 520
d) 8 600
e) 5 760
4. Se compró 19 laptops a $ 1 200 cada una. ¿A cuánto se debe vender cada laptop para obtener una ganancia total de $ 2 850? a) $ 1 110
b) 1 350
c) 1 220
d) 1 450
e) 1 300
5. Gabriela empezó ahorrar de la siguiente manera: S/. 2 diarios durante el mes de enero, S/. 3 diarios durante febrero y S/. 4 durante marzo. ¿Cuánto ahorró en total, si se sabe que esto lo hizo en el año 2008? a) S/. 273
Central: 619-8100
b) 253
c) 223
d) 263
e) 293
UNIDAD 1
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Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su edad. ¿Cuánto suman sus edades? 2. Cecilia se va de compras y gasta el triple de lo que gastó Paco más 10 soles. Si Paco gastó 20 soles, ¿cuánto gastó Cecilia? 3. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 soldados cada una, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces los forma en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora? 4. Olinda y Liliana tienen juntas S/. 462. Si lo que tiene Olinda es 5 veces lo que tiene Liliana, ¿cuánto tiene Liliana? 5. Dos hermanos tienen una cuenta de ahorros en el banco por S/. 1 920. Lo que le corresponde al hermano mayor es 6 veces lo que le corresponde al hermano menor más un adicional de S/. 72. ¿Cuánto le corresponde al hermano mayor? 6. Se repartieron 858 soles en partes iguales entre 37 pobres y sobraban 7 soles. ¿Cuánto le correspondió a cada uno? 7. ¿Cuánto te tardará en cortar una pieza de tela de 70 m de largo, en trozos de 10 m, si se emplea 5 s en hacer cada corte? 8. Por cada docena de manzanas que compro me obsequian una manzana. Si he recibido 780 manzanas, ¿cuántas decenas compré? 9. Un comerciante compró 1 800 vasos a S/. 2 cada uno. Después de romper algunos vende los restantes a S/. 3 cada uno, obteniéndose una ganancia total de S/. 1 620. ¿Cuántos vasos rompió?
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TRILCE
10. Un depósito tiene 480 litros de agua. Jorge y Luis extraen agua con baldes de 8 y 5 litros respectivamente; cada vez que van al depósito. ¿Cuántos litros quedarán en el depósito después de 25 viajes? 11. Un empleado gana mensualmente S/. 700 y su ayudante S/. 620. Cuando el empleado haya recibido S/. 16 100 en sueldos, ¿cuánto habrá recibido su ayudante? 12. Una pareja de novios decide ahorrar mensualmente para su matrimonio, el novio S/. 650 y la novia S/. 550. ¿Después de cuántos meses de ahorrar juntos, el novio tendrá ahorrados S/. 800 más que la novia? 13. Habiéndose organizado un campeonato de fulbito se ha recaudado S/. 2 400. Por la entrada los hombres pagaron S/. 18 y las mujeres S/. 12. Se ha reportado una asistencia de 150 personas. Determinar el número de hombres y el número de mujeres que participaron en el fulbito. 14. Sofía ha comprado 38 docenas de corbatas, a S/. 12 la docena. Las primeras 18 docenas las vendió por un importe de S/. 360. Los restantes, debido a la baja de la demanda, tuvo que vender por decenas. ¿A qué precio vendió cada decena, si en toda la venta obtuvo una ganancia de S/. 384? 15. Cada vez que Fernando hace su tarea, su tía Pochita le duplica el dinero que lleva. Un día realizó tres veces la tarea al cabo de los cuales resultó con S/. 480. ¿Con cuánto dinero hizo la primera tarea?
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Operaciones combinadas
Operaciones combinadas
8
En este capítulo aprenderemos: •
A reforzar los temas tratados anteriormente perfeccionando tu habilidad de interpretación y elaborando estrategias para la resolución de problemas.
Representación numérica egipcia
En la figura se muestra la escritura numérica egipcia y la equivalencia en nuestra escritura.
En la figura se muestra como los egipcios representaban sus números.
• ¿Tú cómo representarías el número 1 347?
Saberes previos 1. Sumar: 7 840 + 5 248
4. Dividir: 496 ÷ 4, indicar el cociente.
2. Restar 946 de 1 257
5. Dividir: 7582 ÷ 14, indicar el residuo.
3. Multiplicar: 45 x 120 Central: 619-8100
UNIDAD 1
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Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido Una tienda deportiva tiene en su catálogo 4 modelos de camiseta con su precio respectivo. Además menciona que por la compra de una docena se le hace un descuento de S/. 2 en cualquier tipo de camiseta. (Por estampado se adiciona S/. 1 por cada camiseta).
Art. 922 921 887 886
1. Si Ronald compra una docena de la camiseta "B", ¿cuánto recibirá de vuelto, si paga con un billete de S/. 200? 2. Si llevan 3 camisetas de cada modelo con su estampado respectivo, ¿cuánto deberán pagar? 3. Un colegio que consta de 16 aulas va a realizar una tarde deportiva por su aniversario, para lo cual deciden comprar una docena de camisetas del modelo "C" para cada aula. ¿A cuánto asciende la suma que deberá pagar?
Modelo Veracruz Veliz Monterrey Escudo
Costo S/. 12 S/. 15 S/. 18 S/. 20
4. Si una vendedora lleva 8 camisetas del modelo "A" pero al cabo de dos días se le acaba y regresa a la tienda a comprar 4 camisetas más, ¿cuánto hubiera ahorrado si llevaba al inicio una docena? 5. Manuel va a la tienda para comprar una docena del modelo "A" pero al ver el modelo "C" cambia de parecer y decide llevar dicho modelo. Si Manuel fue con S/. 140, ¿cuánto le falta para comprar el modelo "C"?
Aprende más 1. Efectuar: 12 × 9 – (46 ÷ 2 + 108 ÷ 9) × 2 2. Efectuar: (84 ÷ 4 + 19) ÷ (189 ÷ 9 – 8 × 2 + 3) 3. Efectuar: {[(8)2 – 168 ÷ 7] – 144 } ÷ 14 4. ¿Cuánto se tardará en cortar una pieza de madera de 70 m de largo, en trozos de 10 m, si se emplea 5 s en hacer cada corte?
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5. Una botella de leche alcanza para 3 gatitos o 2 gatos. Si tenía 8 botellas y he alimentado 12 gatitos, ¿cuántos gatos más puedo alimentar? 6. Leyna y Meylin tienen que escribir 300 cartas cada una. Leyna escribe 15 cartas por hora y Meylin 13 cartas por hora. Cuando Leyna haya terminado su tarea, ¿cuántas cartas faltarán por escribir a la segunda? www.trilce.edu.pe
Operaciones combinadas
7. Se vendió 60 sacos de azúcar por S/. 480 ganando S/. 3 en cada uno. ¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que se hizo al mismo precio y por el cual pagué S/. 400? 8. Un comerciante compró once trajes por S/. 3 300. Si vendió cinco a S/. 240 cada uno, ¿a cómo tiene que vender los restantes para ganar S/. 900? 9. Carla vende en una galería en Gamarra y realiza la compra de un lote de 580 camisas, todas de la misma talla y calidad, por un valor de $ 9 280. El público se aglomera y tiene que vender una cantidad inicial a $ 24 cada una obteniendo por esta venta de apertura, $ 3 528. ¿Cuál es esa cantidad inicial de camisas vendidas? 10. El dueño de una librería compró 1 700 ejemplares de una determinada obra a $ 14 cada uno. Si en el transcurso del traslado sufre un robo en el que se pierden 358 ejemplares, ¿a qué precio deberá vender cada libro de los que le quedan para que su ganancia total sea de $ 4 382 a pesar de dicho robo que sufrió? 11. Un comerciante compra 78 pantalones a $ 29 cada uno; si decide obsequiar uno a cada integrante de un equipo de fútbol, que cuenta con 5 suplentes, ¿a cuánto debe vender cada uno de los pantalones restantes para que obtenga una ganancia total de $ 156?
12. Un comerciante compra por S/. 4 800, dos cajas de galletas conteniendo cada una de ellas 150 paquetes. Si la primera costó S/. 600 más que la segunda y el comerciante vende 70 y 30 paquetes de la primera y segunda respectivamente, recibiendo S/. 2 000, ¿cuánto ganó en la venta?
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13. Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente, uno de ellos 2 soles más que el otro. Después de igual número de días recibieron 240 y 210 soles, respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente cada uno de los obreros? 14. Una persona compra alimento por un valor de S/. 300 y paga con un billete de S/. 1 000, el bodeguero no tiene vuelto y va a cambiar el billete donde el librero. Éste le entrega 10 billetes de S/. 100. Luego el bodeguero regresa a la bodega y le entrega al cliente 7 billetes de S/. 100 y la mercadería. Después de un rato el librero va donde el bodeguero y le exige que le devuelva los S/. 1 000 ya que el billete era falso. El bodeguero se vio en la obligación de pagarle. Entonces el bodeguero perdió: 15. Se necesita cercar un campo de forma triangular, de modo que en cada lado aparezcan 9 postes y uno en cada esquina. ¿Cuántos postes serán necesarios?
Aplicación cotidiana Fernando desea comprar zapatillas para implementar con más artículos su pequeño negocio que está iniciando para lo cual buscó en internet modelos de zapatillas y encontró lo siguiente: Tallas 36 – 37 Tallas 38 – 40 Tallas 41 – 42
Los precios varían de acuerdo a la talla: •
36 – 37:
$ 160 (el par)
•
38 – 40:
$ 180 (el par)
•
41 – 42:
$ 200 (el par)
•
43 – 44:
$ 220 (el par)
Tallas 43 – 44 n Por la compra de una docena se descuenta $ 5 por cada par de zapatillas. 16. Si Fernando decide llevar 5 pares de las tallas 36 – 37, 7 pares de las tallas 41 – 42 y 9 pares de las tallas 43 – 44, ¿cuánto pagará Fernando? 17. Si Fernando lleva una docena de cada modelo, ¿cuánto paga por la compra? 18. Si Fernando va con $ 4 200, ¿cuántas docenas podrá comprar de la talla 38 – 40?
Central: 619-8100
UNIDAD 1
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Aritmética
¡Tú puedes! 1. "Furioso", una combi que hace servicio de "Wilson" a la "Punta" cobra S/. 2 como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja 1 pasajero, suben 2. Si llegó a la "Punta" con 34 pasajeros y una recaudación de S/. 96, ¿cuántas personas partieron de "Wilson"? a) 20
b) 12
c) 28
d) 34
e) 48
2. Un librero adquirió 78 libros a S/. 40 cada uno, habiéndosele regalado 1 por cada docena que compró. ¿A cómo debe vender cada ejemplar para ganar S/. 1 208, si él a su vez ha regalado 5 libros? a) S/. 24
b) 56
c) 36
d) 78
e) 52
3. Un comerciante compra 40 jarrones a 70 soles cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de 20 soles por jarrón, se le rompieron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de 810 soles? a) S/. 100
b) 90
c) 110
d) 120
e) 112
4. Cecilia compra 6 docenas de globos a 70 soles cada globo, pero recibe 1 globo por cada docena y en la factura le hacen además un descuento de 1 300 soles. Si vende cada uno a 75 soles, ¿cuánto ganará vendiéndolos todos? a) S/. 1 960
b) 2 000
c) 1 320
d) 2 480
e) 2 110
5. En un examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos, ¿cuántas preguntas resolvió correctamente? a) 28
b) 32
c) 36
d) 38
e) 42
18:10:45
Practica en casa 1. Efectuar: 256 ÷64 + 12 × 5 – 900 × 2 2. Efectuar: (69 ÷ 23 – 2) × 62 – 8 × 4 3. Efectuar: [(17 × 4 – 240 ÷ 6) ÷ 7] + 121 4. Compré 500 sombreros a $ 6 cada uno y vendí cierto número en $ 500, a $ 5 cada uno. ¿A cuánto tengo que vender el resto para no perder? 5. Un librero compró 15 libros a 12 soles cada uno. Habiéndose deteriorado 9 de ellos, tuvo que venderlos a 8 soles cada uno. ¿A cuánto tiene que vender los restantes para no perder? 6. Un comerciante compró 33 casacas por 3 300 soles y vendió 20 a S/. 80 cada uno. ¿A cuánto tiene que vender los restantes para ganar S/. 900?
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7. Un comerciante compró varias camisas a 12 por 240 soles y las vende a 10 por 250 soles. ¿Cuántas debe vender para ganar 500 soles? 8. Recibí S/. 453 con los que compré tres camisas, sobrándome S/. 378. ¿Cuánto me costó cada camisa, si las tres son de la misma talla y calidad? 9. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 600 soles y los vendió por 840 soles, ganando 2 soles en cada saco. ¿Cuántos sacos compró y cuánto pagó por cada uno? 10. Un hacendado compra cierto número de vacas por 24 000 dólares. Vende una parte por $ 8 832 a $ 276 cada una, perdiendo $ 24 en cada vaca. ¿A cómo tiene que vender las restantes para ganar $ 1 392? www.trilce.edu.pe
Operaciones combinadas
11. Paco compra cierto número de carneros por $ 2 120 a $ 40 cada uno y vendió 40 carneros por $ 1 680. ¿Cuántos carneros le quedan y cuánto ganó en cada uno de los que vendió? 12. Juan compra libros por una suma de 11 500 soles y al venderlos por 16 100 soles resulta un beneficio de 600 soles por docena. ¿Cuántos libros compró? 13. Una asociación integrada por 22 personas tienen que pagar por partes iguales S/. 88 000; como algunos no aportaron dicho dinero por problemas personales; cada uno de los restantes tienen que poner S/. 1 500 más para cancelar la deuda, ¿cuántos son insolventes?
Central: 619-8100
14. Tengo 3 cajas azules; en cada caja azul hay 8 cajas verdes y en cada caja verde hay 10 cajas negras. ¿Cuántas cajas hay en total?
8
15. Una empresa que comercializa ropa, efectúa la compra de un lote de 580 camisas, todas de la misma talla y calidad, por un valor de $ 9 280. El público se aglomera y tienen que vender una cantidad inicial a $ 24 cada una obteniendo por esta venta de apertura, $ 4 176. ¿Cuál es esa cantidad inicial de camisas vendidas?
UNIDAD 1
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Aritmética
Repaso En este capítulo aprenderemos: •
A reforzar los temas tratados anteriormente de una manera sencilla y práctica.
Síntesis teórica LAS CUATRO OPERACIONES
Son
Adición
SUSTRACCIÓN
MULTIPLICACIÓN Sus elementos son
Sus elementos son
Sus elementos son
a) Sumandos b) Suma Ejem: 5 + 4 = 9 ↓ ↓ ↓ a a b
a) Minuendo (M) b) Sustraendo (S) c) Diferencia (D)
a) Multiplicando b) Multiplicador c) Producto
Ejem:
Ejem: 5 × 4 = 20 ↓ ↓ ↓ a b c
5 – 4 = 1 ↓ ↓ ↓ a b c
División Sus elementos son
a) b) c) d)
Dividendo Divisor Cociente Residuo
Ejem:
a ← 20 3 → b 2 6 → c
↓ d
M + S + D = 2M
Clausura: 8 + 9 = 17
Asociativa: (8+9)+1=8+ (9+1) Elemento neutro: 8+0=0+8
Clausura: 8 × 9 = 72
Conmutativa: 8+9=9+8
Sus propiedades
Sus propiedades
Sus propiedades
Conmutativa: 8×9=9×8
•
Complemento aritmético: CA
Asociativa:
Ejemplo:
(8 × 9) × 2 = 8 × (9 × 2)
(CA) 728: Es lo que le falta a 728 para 1000
Elemento neutro:
Sus propiedades
División exacta: "r" no existe / D= d × q División inexacta: r ≠ 0 / D = d × q + r
8×1=8 Elemento absorbente: 8 × 0 = 0 Distributiva: 8×(9±1)=8×9±8×1
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Repaso
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Saberes previos 1. La suma de los tres términos de una sustracción es 240. Hallar el minuendo. 2. Hallar la suma del mayor y menor número de dos cifras.
3. Multiplicar: 976 × 25 4. De 85 restar 67 5. Hallar el residuo en la siguiente división: 758 ÷ 13
Aprende más 1. Indicar la mayor cifra hallada:
8. Si cada * representa una cifra, hallar el dividendo en:
3 4 8 +
* 2 * –––––––––––– 8 7 0
8 A B –
4 7 A 3 8 6
_ _ _ _ × 8 3 8 6
10. A una reunión bailable asistieron 120 personas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres, ¿cuántas mujeres hay en total?
4. Calcular el dividendo en: _
_
_
0
_
_ 2
_
3 _ 3 0 4
11. La suma de dos números es 721, el cociente es 21 y su residuo 17. Determinar el número mayor. 12. Si: abcde × 99 = ***47253
5. Miguel recibe S/. 720 de gratificaciones, Pedro S/. 250 más que Miguel, José tanto como Miguel y Pedro juntos más S/. 185 y Carlos S/. 235 más que José. ¿Cuánto recibieron los cuatro en total? 6. La suma de los tres términos de una sustracción es 280. Hallar el minuendo. 7. Si: CA(mn) = 5, calcular: m2 – 4n Central: 619-8100
2 * *
9. 18 personas tienen que pagar en partes iguales un total de S/. 5 400, como algunos no pueden hacerlo, cada persona debe poner S/. 150 más de lo que le corresponde pagar. ¿Cuántas personas no pagaron?
7
* *
* 8 * *
3. Calcular el multiplicando en:
7
* 3 * *
2. Calcular "A – B" en:
* * * *
Calcular: a + b + c + d + e
13. Si el complemento aritmético de wac es (w + 3)(2a)(c – 2), hallar "w + a + c". 14. Si: 5 × edcba7 = 7edcba, calcular: ed + cba. 15. Juan tiene 8 panes y Pedro 4 panes y deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos estos entregaron 18 soles. ¿Cuánto le tocará a Juan? UNIDAD 1
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Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Indicar la suma de la mayor y menor cifra hallada: * 7 6 + 1 * * –––––––––– 7 8 2
8. Junior y Joel tienen 410 canicas juntos. Si Junior tiene 4 veces lo que tiene Joel, ¿cuántas canicas tiene Junior? 9. Hallar la suma de cifras del cociente:
2. Calcular el minuendo:
10. Al dividir un número "K" entre 29 se obtuvo 16 de cociente y el residuo fue el máximo posible. Hallar el dividendo.
4. Calcular la menor cifra hallada en: 3 2 _
_
_ 7
_
12. Si: abcde × 99 = ***35368
_
6. La suma de los tres términos de una sustracción es 720. Si el sustraendo es 280, hallar la diferencia. 7. Si: CA(pq) = 34, calcular: p + q.
52
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11. Al dividir un número entre 16 se obtiene 57 de cociente y el residuo fue el mínimo. Hallar el dividendo.
_
5. Jimena compra 650 ganchos, Gabriela 140 ganchos más que Jimena, Kiara tanto como Jimena y Gabriela juntas más 230 ganchos y Brenda 110 ganchos más que Kiara. ¿Cuántos ganchos compraron en total?
TRILCE
9 * *
1
_ _ _ _ × 6 ––––––––––––– 2 3 3 4
_
* *
* * * *
3. Calcular el multiplicando en:
_
6
* 9 * *
* * 5 – 7 A A –––––––––– 1 2 4
_
* * * 1
Calcular: a + b + c + d + e
13. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que cuando se le suma 100, se obtiene el cuádruplo de su C.A. 14. Si: aabb × 77 termina en 041, hallar "a + b". 15. Camilo es el tesorero de curso y tiene S/. 4 580 en caja. El director ofreció colaborar con S/. 2 500 para la fiesta de despedida. Si tiene que gastar S/. 450 en un regalo para la profesora, ¿le alcanzará para costear la fiesta de despedida que está calculada en S/. 6 500?
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Orden
1
2
3
4
5
Heptagonales Hexagonales Pentagonales Cuadrados Triangulares
Números
UNIDAD 2
Los números poligonales fueron descubiertos por los pitagóricos, durante los albores de la matemática. En aquella época los números se representaban mediante guijarros (calculi) que se disponían en una superficie. Algunos números pueden disponerse formando figuras geométricas, por ejemplo 3 guijarros se pueden disponer formando un triángulo, 4 forman un cuadrado, etc.
Conociendo la antigua Aritmética: La teoría de los números
E
l término “aritmética” también era utilizado para referirse a la “teoría de números”. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí que la teoría de números suele ser denominada “alta aritmética”, aunque el término también ha caído en desuso. La teoría elemental de números, estudia los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de “divisibilidad”, “máximo común divisor”, factorización de enteros como producto de números primos. (“Descomposición canónica”). • De la frase: “se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas”. ¿Qué conclusión puedes extraer?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • • •
Definir cuando un número es divisible por otro. Identificar números primos y compuestos. Elaborar modelos de la vida real donde se aplique el MCD y el MCM.
Comunicación matemática • •
Reconocer y utilizar diferentes formas de representación de enunciados de MCD y MCM. Interpretar el lenguaje correcto para leer enunciados de MCD y MCM.
Resolución de problemas • • •
Resolver problemas que involucren la Teoría de los Números. Resolver problemas de contexto real y matemático que impliquen utilizar conceptos de la Teoría de los Números. Identificar algoritmos que se puedan utilizar para resolver problemas de contexto real.
Aritmética
Divisibilidad y multiplicidad En este capítulo aprenderemos: • • • •
A identificar cuando un número es divisible o múltiplo de otro. A desarrollar operaciones con múltiplos. A expresar números no divisibles en forma de un múltiplo más un residuo. A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de divisibilidad y multiplicidad.
El pequeño teorema de Fermat
E
l pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionados con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si "p" es un número primo, entonces, para cada número natural "a", ∴ ap ≡ a (mod p) Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma: Si "p" es un número primo, entonces, para cada número natural "a" coprimo con "p": ap – 1 ≡ 1 (mod p) Esto quiere decir que, si se eleva un número "a" a la p-ésima potencia y al resultado se le resta "a", lo que queda es divisible por "p".
Pierre de Fermat
A continuación se muestran algunos ejemplos del teorema: • 53 – 5 = 120 es divisible por 3. • 72 – 7 = 42 es divisible por 2. • 25 – 2 = 30 es divisible por 5. • (– 3)7 + 3 = − 2 184 es divisible por 7. • 297 – 2 = 158 456 325 028 528 675 187 087 900 670 es divisible por 97. Comprueba si: a) 35 – 3 es divisible por 3
b) 42 – 4 es divisible por 2
Saberes previos 4. ¿Cuántas veces 6 es 54?
1. Dividir: 856 ÷ 4 2. Completar: 7 ×
= 84
5. Del 1 al 15, ¿cuántos números se pueden dividir entre 3?
3. Indicar si es una división exacta o inexacta: 4 248 ÷ 7
54
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Divisibilidad y multiplicidad
1
Conceptos básicos Divisibilidad La divisibilidad, es una parte de la teoría de los números que analiza cada una de las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro. ¿Y cuándo un número es divisible por otro? Se dice que un número es divisible por otro, cuando al dividir el primero entre el segundo, la división resulta ser "exacta", es decir: "A" es divisible por "B"
⇔
A
B
0
C ← cociente entero
↑
Ejemplos
residuo (cero) •
¿48 es divisible por 6?
Realizamos la división: 48
6
Luego, como la división es exacta (residuo = 0), se afirma que:
0
8
"48 es divisible por 6"
•
¡Ahora hazlo tú!
¿258 es divisible por 6?
Observación Si un número "A" es divisible por otro número "B" podremos afirmar que: "B" es divisor de "A"
Multiplicidad Se dice que un número "A" es múltiplo de otro número "B", cuando el primero contiene al segundo, un número exacto y entero de veces. "A" es múltiplo de "B" ⇔ A = B . K; K ∈
Ejemplos
•
¿84 es múltiplo de 6?
Sabemos que: 84 = 6 × 14 ⇒ 84 contiene a 6, catorce veces.
⇒ 84 es múltiplo de 6, es decir: 84 = ° 6
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UNIDAD 2
55
Aritmética
¡Ahora hazlo tú!
•
¿144 es múltiplo de 16?
Observaciones •
Todo número entero, tiene infinitos múltiplos.
11 ⇒ 0; 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; ...
6 ⇒ 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; ...
14 ⇒ 0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; ...
No olvidemos que los múltiplos, también pueden tomar valores negativos, además, observamos que el cero es múltiplo de todo entero positivo.
•
Todo número entero, tiene una cantidad finita de divisores.
28 ⇒ 1; 2; 4; 7; 14; 28 ⇒ 6 divisores
36 ⇒ 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 ⇒ 9 divisores
49 ⇒ 1; 7; 49 ⇒ 3 divisores
Observamos que el número 1 es divisor de todo número entero positivo.
Recuerda que... Si "A" es divisible por "B" entonces "B" es divisor de "A".
Observaciones •
Si un número no es divisible por otro, se podrá expresar multiplicidad empleando el residuo. A.
B. •
40
7
5
5
28
5
3
5
Notamos que: 40 = 7(5) + 5 ⇒ 40 = ° 7+5
Notamos que: 28 = 5(5) + 3 ⇒ 28 = ° 5+3
Podemos efectuar operaciones con múltiplos de un mismo número (principios de la divisibilidad). ° n+° n=° n ° n–° n=° n
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° n.k=° n
( °n )
k
=° n
donde: k ∈ donde: k ∈
+
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Divisibilidad y multiplicidad
1
Síntesis teórica TEORÍA DE LOS NÚMEROS
Divisibilidad
Multiplicidad
"A" es divisible por "B" si solo si "A" entre "B" resulta una división exacta.
"A" es múltiplo de "B" si solo si "A" contiene a "B", un número exacto y entero de veces.
Ejemplo
Ejemplo
¿96 es divisible por 4?
¿84 es múltiplo de 6?
96
4
84 = 6 × 14
0
24
84 contiene a 6; 14 veces.
↓
⇒ 84 es múltiplo de 6.
Observaciones
residuo
⇒ es decir: 84 = ° 6
→ 96 es divisible por 4
Todo número entero, tiene infinitos múltiplos.
Todo número entero, tiene una cantidad finita de divisores.
Si un número no es divisible por otro: 45
6
3
7
⇒ 45 = ° 6+3
Operaciones con múltiplos: ° n+° n=° n ° n–° n=° n ° n.k=° n
( °n )
k
=° n
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Indicar los seis primeros múltiplos positivos de 4. 2. Indicar los divisores de 42. 3. Reducir la expresión usando las operaciones con múltiplos. ° 8–8×9+° 8 × 25 Central: 619-8100
•
En los siguientes ejercicios, representar los números como el múltiplo indicado más el residuo.
4. 48 = ° 7+ 5. 99 = ° 5+ UNIDAD 2
57
Aritmética
Aprende más 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • 48 es divisible por 6
6. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay entre 30 y 100? 7. Calcular la suma de todos los múltiplos de 6 que hay entre 20 y 50.
• 1 es múltiplo de todo número • El número 36 tiene 9 divisores
8. Del 1 al 100, ¿cuántos números son ° 7?
2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
9. Hallar un valor de "x", si: 428 = ° 9+x
• 18 es múltiplo de 36 • 44 tiene 8 múltiplos
10. Si el siguiente número: 56x es divisible por 6, calcular el valor de "x".
• 82 es múltiplo de 4 más 2 • 70 tiene 15 divisores
11. Si:
3. Relaciona correctamente, mediante líneas: 81 •
• Es un múltiplo de 8
2 128 •
• Es un múltiplo de 3
5 463 •
• Es un múltiplo de 13
1 625 •
• Es un múltiplo de 9
4. Escribir verdadero (V) o falso (F), ponda: ( ) 45 = ° 8 + 3 ( ) 64 = ( ) 72 = ° 6 + 5 ( ) 58 = ( ) 84 = ° 9 – 6
según corres-
° 5–1 ° 7+2 ° +4 ( ) 114 = 10
A: Cantidad de divisores de 18
B: Cantidad de divisores de 24
hallar "A + B"
° 12. Del 1 al 800, ¿cuántos números son 36? ° +x 13. Hallar "x", en: 945 = 14 14. Hallar la suma de valores que puede tomar "x", en: 74x = ° 3 15. Si el número 28x es múltiplo de 12 más 5, calcular "x".
5. ¿Cuántos divisores tiene el número 84? Aplicación cotidiana Bruce va al cajero del Banco Continental para retirar una parte de su sueldo que asciende a S/. 2 850, para ello ingresa su tarjeta y marca su respectiva clave. La pantalla del cajero le pide a Bruce que ingrese el monto que va a retirar, pero teniendo en cuenta que debe ser un múltiplo de 20. 16. Si Bruce quiere retirar su sueldo íntegro, ¿lo podrá realizar? 17. Si tiene dos pagos por realizar donde uno de ellos asciende a la cantidad de S/. 450 y la otra de S/. 630, ¿el dinero lo debe retirar por separado o junto? Justificar. 18. ¿Cuál será lo máximo que puede retirar de su sueldo?
58
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Divisibilidad y multiplicidad
1
¡Tú puedes! 1. Si: abba es múltiplo de 45, calcular: a + 2b a) 9
b) 7
c) 13
d) 17
e) 6
2. N = ab, es un número de dos cifras. Si "a" es el doble de "b", entonces "N" es simultáneamente múltiplo de: a) 11 y 3
b) 3 y 5
c) 2 y 4
d) 3 y 9
e) 3 y 7
3. Al dividir un número entre 15, el residuo es 12. Entonces el residuo de dividir el número entre 5, es: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) – 1
° + 13. 4. Hallar el menor número "N", tal que: N= ° 7 + 3 y 4N= 15 a) 59
b) 45
c) 46
d) 52
e) 31
d) 2
e) 0
5. Si: ab = ° 5; ba = ° 9 y abc = ° 8, hallar "c" a) 8
b) 6
c) 4
18:10:45
Practica en casa 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: ( ) 91 es divisible por 7 ( ) El número 54 tiene 8 divisores ( ) 0 es divisor de todo número 2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones, son verdaderas? ( ) 84 es múltiplo de 12 ( ) 44 tiene 8 múltiplos ( ) 58 es múltiplo de 5 menos 2 ( ) 80 tiene 15 divisores 3. Relaciona correctamente, mediante líneas: 1 360 •
• Es un múltiplo de 5
144 •
• Es un múltiplo de 7
25 •
• Es un múltiplo de 12
126 •
• Es un múltiplo de 16
Central: 619-8100
4. Escribir verdadero (V) o falso (F), ponda: ° + 4 ( ) 124 = 12 ( ) 50 = ° ( ) 92 = 5 + 1 ( ) 46 = ( i) 460 = ° 9 – 8
(
según corres-
° 4+2 ° 7–2 ° –4 ) 234 = 10
5. ¿Cuántos divisores tiene el número 92? 6. ¿Cuántos números positivos de dos cifras son divisibles por 6? 7. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 60 y 100? 8. Calcular la suma de los cuatro primeros múltiplos positivos de 9. 9. Si: A : Cantidad de divisores de 38
B : Cantidad de divisores de 26
hallar "A + B"
° +x 10. Hallar "x", en: 842 = 16
UNIDAD 2
59
Aritmética
11. Hallar la suma de valores que puede tomar "x", en: 41x = ° 4 12. Si el número 55x es múltiplo de 23 más 2, calcular "x". 13. Si los numerales:
60
y
° +a 37 542 = 13 ° 48 505 = 13 + b,
14. Indicar cuáles de los siguientes números son: ° 7 + 3 • 87 • 714
• 878 • 753
15. Si el número 162a es divisible por 8, ¿cuál es el valor de "a"?
hallar "a + b", sabiendo que "a" y "b" son positivos menores que 13.
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Criterios de divisibilidad
Criterios de divisibilidad
2
Conceptos básicos Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, nos permite determinar si un número es divisible por otro.
Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, cuando su última cifra es cero o par. abcd = ° 2 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8
Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, cuando las dos últimas cifras del numeral forman un múltiplo de cuatro. abcde = ° 4 ⇔ de = ° 4
Divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, cuando las tres últimas cifras del numeral forman un múltiplo de ocho. abcde = ° 8 ⇔ cde = ° 8
Divisibilidad por 3 ó 9 Un número es divisible entre 3 ó 9, si y solo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 o 9 respectivamente. abcd = ° 3⇔a+b+c+d=° 3 9⇔a+b+c+d=° 9 abcd = ° •
Ejemplo aplicativo: Hallar el valor de “x”, sabiendo que 4x327 es divisible por 9. Resolución: Aplicamos el criterio: 4x327 = ° 9⇒4+x+3+2+7=° 9 ⇒ x + 16 = ° 9 Luego, tanteando valores:
x = 2;
puesto que: 2 + 16 = 18 = ° 9
∴x=2
Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es 0 ó 5 abcd = ° 5⇔d=0ód=5
Divisibilidad por 25 ° o terminan en dos ceros. Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras forman un 25, ° ⇔ cd = 00; 25; 50 ó 75 abcd = 25
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UNIDAD 2
61
Aritmética
•
Ejemplo aplicativo: Hallar la suma de valores de “x”, si 351x5 es divisible por 25. Resolución: ° ⇒ x5 = 25 ° de donde: x = 2 ó x = 7 Si: 351x5 = 25
∴ La suma de valores: 2 + 7 = 9
Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez. abcd = ° 6 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8 y además: a + b + c + d = ° 3
Divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 si cumple con la siguiente regla: •
Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores: 1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2; –1; –3; –2; … etc
•
Sumamos los productos obtenidos. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7, el número dado será entonces divisible por 7.
•
Ejemplo aplicativo: 7 Hallar el valor de “x” en: 434x2 = ° Resolución: Aplicamos el criterio: –3 –1 2 3 1
Luego:
434x2=° 7 ° – 12 – 3 + 8 + 3x + 2 = 7 3x – 5 = ° 7 (restando 7) 3x – 12 = ° 7 3(x – 4) = ° 7⇒x–4=° 7
∴x=4
Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11, si la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11. •
Ejemplo aplicativo: ° Hallar el valor de “x” en la siguiente igualdad: 41x32 = 11 Resolución: Aplicamos el criterio: + – + – +
° 4 1 x 3 2 = 11 ° (4 + x + 2) – (1 + 3) = 11 ° 6 + x – 4 = 11
° x + 2 = 11
Finalmente:
x = 9; puesto que: ° 9 + 2 = 11 = 11
Luego:
∴x=9
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Criterios de divisibilidad
2
Observación Si un número es divisible por 4 o por 8 también podemos aplicar: 21
Si:
abcd = ° 4 ⇒ 2c + d = ° 4 421
Si: •
abcd = ° 8 ⇒ 4b + 2c + d = ° 8
Ejemplo aplicativo: 4 Hallar “x” en: 4xx2 = ° Resolución: 21
4xx2 = ° 4
Luego: Tanteando valores, tenemos:
2x + 2 = ° 4 2 2(x + 1) = ° 4⇒x+1=° x = 1; 3; 5; 7 ó 9
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. De los siguientes números: 14; 200; 36 y 72, ¿cuál no es divisible por 4 y por qué? 2. De los siguientes números: 72; 144; 531 y 341, ¿cuál no es divisible por 9 y por qué? 3. De los siguientes números: 175; 325; 1250 y 105, ¿cuál no es divisible por 25 y por qué? 4. De los siguientes números: 924; 704; 792 y 1552, ¿cuál no es divisible por 11 y por qué? 5. De los siguientes números: 112; 210; 8121 y 732, ¿cuál no es divisible por 7 y por qué?
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UNIDAD 2
63
Aritmética
Aprende más 1. Si se tienen los números: 48; 64; 1200; 5600 y 3248, ¿cuántos son múltiplos de 4? a) 0 d) 3
b) 1 e) 5
c) 2
a) 3 d) 5
a0; c5; d00; bmn0 y e503 ¿cuántos son divisibles por 5? b) 1 e) 4
c) 2
3. Se tiene los números: 1000, 2410 y 2420, ¿cuál o cuáles de los números es divisible por 8? a) 1000 c) 2410 e) Ninguno
b) 1000 y 2410 d) 2420
II. 43 927
III. 78 900 991
¿Cuál o cuáles son divisibles por 9? a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) Ninguno
c) Solo III
5. Hallar la suma de valores de “a”, si: 29a2 = ° 4 a) 25 d) 20
b) 24 e) 18
c) 23
6. Hallar la suma de valores de “x”, en: 2x4x = ° 5. a) 0 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
7. Calcular el valor de “a”, si 2a45a es divisible por 8. a) 6 d) 3
b) 5 e) 2
b) 10 e) 4
c) 7
c) 4
b) 2 e) 6
c) 4
10. Hallar el valor de “m” para que el numeral ° m235 sea 11. a) 2 d) 5
b) 3 e) 7
c) 4
c) 7
c) 12
11. Determine el valor de “m”, si: ° m2(m+2)34 = 11 a) 6 d) 5
4. Si se tienen los números: I. 12 345
a) 5 d) 8
9. Calcular “a”, si: 3a5a243 = ° 9
2. Si se tienen los números:
a) 0 d) 3
8. Hallar la suma de valores de “a”, en: 2aa6 = ° 8
b) 9 e) 4
° 12. Hallar “a + b”, en: aba = 45 a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
° ∧ y42y =° 13. Hallar “x + y”, en: 4x23 = 11 5 a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
14. Hallar el mayor valor que puede tomar ab, si: ° 272mab = 25 a) 00 d) 85
b) 25 e) 75
c) 50
° donde: x > y. 15. Hallar “x”, en: 4x33y = 56, a) 6 d) 9
b) 7 e) 5
c) 8
c) 12
° hallar “a . b” 16. Si: 3a710b = 72, a) 8 d) 18
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b) 10 e) 24
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Criterios de divisibilidad
2
¡Tú puedes! 1. ¿Cuál es el residuo de dividir 762m54m2 entre 7? a) 1
b) 2
c) 3
d) 0
e) 4
2. Determinar “m + n”, de tal manera que el numeral 34m5n sea lo menor posible y además sea divisible por 36, si se sabe que “m” es diferente de cero. a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
° bc = 31, ° bcd = ° 3. Sabiendo que: abcd = 28, 5, hallar el valor de “a”. a) 7
b) 4
c) 8
d) 9
e) 3
4. Un alumno de Trilce recuerda que 53a33b5 es el número telefónico de su amiga. También se acuerda que 3a33b es múltiplo de 7 y de 11 y además no contiene ceros. Hallar la suma de cifras del número telefónico. a) 29
b) 28
c) 22
d) 26
e) 25
d) 12
e) 16
° 5. Hallar “C + P + V“, si se cumple: 6CP98V = 504. a) 15
b) 17
c) 13
18:10:45
Practica en casa 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según el caso: ( ( (
) 4a2(2a), es divisible por 2. ) 3m(2m)6, es divisible por 3. ) a(2a)(5a), es divisible por 5.
2. Sin efectuar la división indicada, hallar el residuo que se obtiene en cada una de las siguientes divisiones: I. 5798729 ÷ 5 III. 579221232 ÷ 8
II. 423454238 ÷ 9 IV. 421345313 ÷ 3
3. Hallar la suma de valores que puede tomar “x”, en: x(2x)xx = ° 2 4. Hallar el mayor valor que puede tomar “x”, en: x42x5 = ° 3 4 5. Hallar la suma de valores de “x”, en: 423xx = ° 5 6. Hallar “x”, en: 42x + 3 = ° 8, hallar “x2”. 7. Si el número 3510x es °
Central: 619-8100
9, hallar el valor de “a” 8. Si el número 354a8 es ° 9. Hallar el valor de “x” para que el numeral cum° pla que: 43x91 = 11 ° 10. Calcular “b + a“, si: a5ba = 55 ° 11. Calcular “b – a”, si: ab364a = 45 ° calcular el valor de 12. Si el número: a37b = 72, “a”. 5; 2mn = ° 9 13. Hallar “m + n + p”, en: m4m = ° ° y mp = 7 14. Hallar un número capicúa de tres cifras que sea múltiplo de 45, dar como respuesta la suma de sus cifras. 15. Si ab es ° 5; ba es ° 9; abc es ° 4, hallar el mayor valor de “a + b + c”.
UNIDAD 2
65
Aritmética
Números primos En este capítulo aprenderemos: • • •
A identificar números primos, compuestos y simples. A diferenciar cuando dos o tres números son primos entre sí. A expresar cualquier número positivo como un único producto de factores primos.
Criba de Eratóstenes
L
a criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado "N". Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y "N" y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que "N".
•
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Con el proceso que se indica en la lectura, encuentra los números primos que están contenidos en la imagen que se muestra en la parte superior.
Saberes previos 1. Indicar los divisores de 48.
4. Indicar los divisores de 120.
2. Indicar los divisores de 67.
5. Indicar los divisores de 47.
3. Indicar los divisores de 91.
66
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Números primos
3
Conceptos básicos Los números enteros positivos ( +), se pueden clasificar tomando en cuenta su cantidad de divisores, analizamos por ejemplo los 15 primeros enteros positivos y sus respectivos divisores. Número
Divisores
Cantidad de divisores
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1; 2 1; 3 1; 2; 4 1; 5 1; 2; 3; 6 1; 7 1; 2; 4; 8 1; 3; 9 1; 2; 5; 10 1; 11 1; 2; 3; 4; 6; 12 1; 13 1; 2; 7; 14 1; 3; 5; 15
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4
Definición Números primos: Son aquellos números que poseen únicamente dos divisores, estos son por ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... Números compuestos: Son aquellos números que poseen más de dos divisores, estos son por ejemplo: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; ...
Observaciones •
La unidad (el número uno), no es ni primo, ni compuesto, ya que posee un solo divisor.
•
Se llama números simples, a aquellos enteros positivos que no son compuestos, es decir la unidad y los números primos.
•
Cuando comparamos los divisores de dos o más enteros positivos y observamos que el único divisor común es la unidad (1), entonces diremos que estos números son primos entre sí (PESI), por ejemplo: a) Indicar si los números 16; 63 y 21 son primos entre sí (PESI). 16 ⇒ 1; 2; 4; 8; 16
63 ⇒ 1; 3; 7; 9; 21; 63
21 ⇒ 1; 3; 7; 21 16; 63 y 21 son primos entre sí (Un solo divisor común) 16 y 63 son primos entre sí (Un solo divisor común) 16 y 21 son primos entre sí (Un solo divisor común) 63 y 21 NO son primos entre sí (Cuatro divisores en común)
Central: 619-8100
UNIDAD 2
67
Aritmética
¡Ahora hazlo tú!
•
Indicar si los números 28; 48 y 54 son primos entre sí (PESI).
Descomposición canónica
Ejemplo
Consiste en expresar un entero positivo, como el producto de sus divisores primos elevados a exponentes enteros y positivos. •
Hallar la descomposición canónica de 1 200. 1 200 2 600 2 150 2 75 3 25 5
Luego:
Ejemplo
300 2
1 200 = 24 . 3 . 5 2 14243
Descomposición canónica
5 5 1
•
Hallar la descomposición canónica de 2 700
¡Ahora hazlo tú!
68
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Números primos
3
Síntesis teórica Números Enteros Positivos
Números primos
La unidad (el número uno)
Números compuestos
Poseen únicamente dos divisores que son el mismo número y la unidad.
No es primo ni compuesto por tener un solo divisor.
Poseen más de dos divisores.
Ejemplo: 2; 3; 5; 7; …
Ejemplo: 4; 6; 8; 9; …
Números simples
Teorema fundamental de la Aritmética
Descomposición canónica
Expresar un entero positivo, como el producto de sus divisores primos.
Descomponer 480 480 240 120 60 30 15 5 1
2 2 2 2 2 3 5
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Hallar el producto de los cuatro primeros números primos. 2. Indicar si los números 44; 27 y 15 son primos entre sí. Central: 619-8100
3. Hallar la suma de los divisores simples de 26. 4. Hallar la descomposición canónica de 220. 5. Hallar la descomposición canónica de 320. UNIDAD 2
69
Aritmética
Aprende más 1. ¿Qué grupo de números no son PESI? a) 22; 25; 16 b) 32; 60; 112 c) 17; 13; 34 d) 20; 27; 49 e) 1 001; 13; 17 2. Descomponer canónicamente los siguientes números: a) 170 d) 1 540
b) 729 e) 960
c) 5 400
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • 36 tiene nueve divisores • 151 es un número primo absoluto • 48 tiene siete divisores compuestos
( ( (
) ) )
7. ¿Cuántos divisores compuestos más tiene el número 80 que el número 124? 8. Calcular la suma de los divisores primos de 82. 9. Calcular la suma de los divisores simples del número 40. 10. Calcular la suma de los divisores compuestos de 32. 11. La edad del profesor de Aritmética es el producto de todos los divisores primos de 60. ¿Qué edad tiene el profesor?
4. Sea: A = Suma de los cinco menores números simples. B = Suma de los cuatro menores números compuestos.
Hallar "A + B"
5. Indicar cuál de los siguientes números tiene la menor cantidad de divisores compuestos. A: 26
B: 38
C: 44
6. Indicar cuál de los siguientes números tiene la mayor cantidad de divisores primos. A: 144
B: 120
C: 196
12. Carlos tiene una cantidad de dinero igual a la suma de todos los números compuestos menores que 20. ¿Cuánto dinero tiene Carlos? 13. ¿Cuántos números primos hay entre 40 y 50? 14. ¿Cuántos números compuestos hay entre 50 y 60? 15. Sea:
A = Número de divisores de 18. B =Mayor divisor de 28. C = Mayor divisor primo de 36.
hallar "A + B + C"
Aplicación cotidiana A la izquierda, hay un dibujo de un dado. Los dados son cubos, pero estos cumplen una regla especial: El número total de puntos en dos caras opuestas tiene que ser un número primo (dicho número no puede repetirse). 16. ¿Cuáles son dichos números primos que se forman? 17. A la derecha se pueden ver dos dados colocados uno encima del otro. El dado 1 tiene seis puntos en la cara del frente. ¿Cuántos puntos hay en total en las dos caras verticales que no se pueden ver (caras traseras del dado 1 y 2)? 18. A continuación se mues- I. tran tres dados para armar, ¿en qué figura(s) se cumple que el total de puntos en dos caras opuestas sea el mayor número compuesto?
70
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II.
Dado 1 Dado 2
III.
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Números primos
3
¡Tú puedes! 1. ¿Cuántos divisores tiene: 242 × 424? a) 15
b) 20
c) 120
d) 385
e) 420
d) 20
e) 25
d) 4
e) 6
2. ¿Cuántos divisores de 360 son múltiplos de 6? a) 10
b) 12
c) 18
3. Hallar "n", si 36n tiene 46 divisores compuestos. a) 1
b) 2
c) 3
4. Calcular el cuadrado de "n", si: N = 14n +1 . 24n tiene 72 divisores no divisibles por 84. a) 4
b) 9
c) 1
d) 16
e) 25
5. Si: N = 3b . 5a tiene tres divisores más que el número: M = 2a. 53, hallar la diferencia de "M" y "N". a) 1 444
b) 1 525
c) 1 400
d) 1 732
e) 1 445
18:10:45
Practica en casa 1. Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda: ( ( (
• 78 tiene ocho divisores • 157 es un número primo absoluto • 96 tiene siete divisores compuestos
) 2, es el único número primo par. ) 1, es un número primo. ) 9 y 16 son PESI (Primos entre sí).
2. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 70? 3. Hallar la suma de los divisores primos de 60. 4. ¿Qué grupo de números no son PESI? • 28; 35; 24 • 38; 57; 19 • 36; 18; 25 • 30; 21; 16 5. Descomponer canónicamente los siguientes números: • 960 • 2 058
• 526 • 870
• 1 058
6. Sean:
7. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
M = Menor número primo, mayor que 25. N = Mayor número primo, menor que 52. Hallar "N – M"
Central: 619-8100
(W) (W) (W)
8. Sean:
A = Cantidad de divisores primos de 200. B = Suma de divisores primos de 300 Hallar "A + B"
9. Sea:
A = Suma de los seis menores números primos. B = Suma de los cuatro menores números compuestos. Hallar "A – B"
10. ¿Cuántos divisores compuestos más tiene el número 60 que el número 14? 11. Calcular la suma de los divisores simples del número 84. 12. Calcular la suma de los divisores compuestos de 102. UNIDAD 2
71
Aritmética
13. La edad del profesor de Geometría es el producto de todos los divisores primos de 140. ¿Qué edad tiene el profesor? 14. Carla tiene una cantidad de dinero igual a la suma de todos los números primos menores que 30. ¿Cuánto dinero tiene Carla?
72
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15. Sea: A = Número de divisores de 44. B = Mayor divisor de 13. C = Mayor divisor primo de 84. Hallar "A + B + C"
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Cantidad de divisores de un número
Cantidad de divisores de un número
4
En este capítulo aprenderemos: •
A hallar la cantidad de divisores primos, compuestos y simples por medio de la "tabla de divisores" y la "cantidad de divisores".
El número primo más grande conocido
A
hora el número primo más grande es el: 243 112 609 – 1 Este número está formado por 13 millones de cifras.
Para ayudar a visualizar el tamaño del 47º primo de Mersenne conocidos, se requeriría 3 461 páginas para mostrar el número en base 10 con 75 dígitos por línea y 50 líneas por página. El número primo hallado por Edson Smith es el 47 de Mersenne. Estos llevan el nombre del monje francés Marin Mersenne, del siglo XVII, y tienen la forma "2n – 1". 3164702693302559231434537239493375160541061884752646 4414030417673281124749306936869204318512161183785672 6816539985465097356123432645179673853590577238179357 9008764261039437823764945917429345884971175871469169 7298476115906087325093946208557574075457709862055801 1779529884042198287643319330465064455234988142139565 7854474740235463537585373248018381203876008684165254 0079038128588825668708585545623157752793930592081176 6585308670132129155221804381548625787943020694528015 999221718191557761
...(millones de números omitidos)...
06993415970980
3688308998372051463441115976028226909156682192013981 8308220140461066091129034203658608125335507924074426 1814870918055920432372301962016835359462310980067434 9846253807872478025327585113335024607788843390340197 0092766395816769890801073610141013699685292570327255 3544622464685928707526568105993689915218073801443404 9450082664259324131398269150840699911592797919083981 3022330482408311909319599801456245634794120219590092 8 0 7 9 6 7 0 7 2 9 4 4 7 9 2 1 6 1 6 4 9 1 8 8 7 4 7 8 2 6 5 7 8 0 0 2 2 1 8 ... • ¿En qué cifra termina este nuevo número primo?
Central: 619-8100
UNIDAD 2
73
Aritmética
Saberes previos 1. Hallar la descomposición canónica de 460.
4. Hallar la descomposición canónica de 840.
2. Hallar la descomposición canónica de 1 200.
5. Hallar la descomposición canónica de 980.
3. Hallar la descomposición canónica de 500.
Conceptos básicos Estudio de los divisores de un número entero Tabla de divisores
•
Hallar todos los divisores de 120. Si: 120 = 23 . 3. 5 2 : 1; 2; 2 ; 2 3: 3 5: 5 3
2
Divisores 3
3 5
1 3 5 15
2 6 10 30
4 12 20 60
8 24 40 120
1 2 4 5 10 20
3 6 12 15 30 60
9 18 36 45 90 180
27 54 108 135 270 540
∴ 120 tiene en total 16 divisores. •
Hallar todos los divisores de 540. Si: 540 = 22 . 33 . 5
Divisores
33: 1; 3; 32; 33 22: 2; 22 5: 5
Ejemplo
Ejemplo
Nos permite hallar el total de divisores de un número, para ello se trabajará con la descomposición canónica.
2 4 5
∴ 540 tiene en total 24 divisores.
¡Ahora hazlo tú!
•
Hallar todos los divisores de 280.
Cantidad de divisores A partir de la descomposición canónica, podemos hallar la cantidad total de divisores que posee un número.
74
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Ejemplo
Cantidad de divisores de un número
4
• Hallar la cantidad de divisores del número 120.
2 2 2 3 5 1
Luego: 120 = 2
.3
.5
Entonces: CD(120) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16
Comprobando esto, tenemos a continuación los dieciséis divisores de 120: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60 y 120
Ejemplo
120 60 30 15 5
Observando los divisores de un número compuesto, vemos que posee tres tipos de divisores: – La unidad: 1 – Divisores primos: 2; 3 y 5 – Divisores compuestos: 4; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60 y 120
•
¡Ahora hazlo tú!
Hallar la cantidad de divisores del número 560.
Conclusiones •
Si la descomposición canónica de un número es: N = Aα . Bβ . Cγ
Entonces: C.D.(N) = (α + 1) . (β + 1) . (γ + 1)
•
Para todo entero positivo, se cumple que: Total de divisores de un número (C.D.)
•
=
Total de divisores primos
+
Total de divisores compuestos
+ 1
Los divisores primos, son las bases de la descomposición canónica. 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Completar el siguiente cuadro: … …
1 5 … 35
2 … 14 70
4 20 …. 140
2. Elabora la tabla de divisores de 24. Central: 619-8100
3. Indicar cuantos divisores compuestos tiene 60. (Tabla de divisores) 4. Hallar la suma de los divisores compuestos de 72. (Tabla de divisores) 5. Hallar la cantidad de divisores de "N", si: N = 23 . 52 . 11 UNIDAD 2
75
Aritmética
Aprende más •
Enunciado (preguntas del 1 al 5: Tabla de divisores) Sean los números: A = 336 y B = 540
9. El número: D = 5 . 21x tiene un total de 50 divisores. Hallar "x" 10. El número: E = 5 . 10x tiene 42 divisores. Hallar "x".
1. ¿Cuántos divisores primos tiene "A.B"? 2. ¿Cuántos divisores más tiene "B", respecto a "A"?
11. El número: F = 6x . 10 tiene 40 divisores. Hallar "x".
3. ¿Cuántos divisores compuestos tiene "B"? 12. El número: G = 3x . 108 tiene 21 divisores en total. Hallar "x"
4. ¿Cuántos divisores simples tiene "A"? 5. Hallar la suma de los divisores simples de "B". 6. El número: A = 35 . 2x tiene 24 divisores en total. Calcular el valor de "x". 7. El número: B = 32 . 5 . 11x tiene 36 divisores en total. Calcular el valor de "x". 8. El número: C = 12 . 5 tiene un total de 18 divisores. Hallar el valor de "x". x
13. Dado el número: A = 18x . 16x hallar "x", si el número "A" tiene 55 divisores. 14. El número 54x tiene 40 divisores, ¿cuántos divisores tiene 12x? 15. El número: A = 7 . 132 . 5n + 2 tiene 42 divisores. Hallar "n"
Aplicación cotidiana n
El matemático Pierre de Fermat conjeturó que todos los números de la forma: 22 + 1 eran primos; con "n ≥ 0" (debido a lo cual se les conoce como números de Fermat). Si fuese así, comprueba dicha forma para los siguientes valores: 16. Cuando: n = 0, ¿es primo o compuesto? 17. Cuando: n =1, ¿es primo o compuesto? 18. Cuando: n = 3, ¿es primo o compuesto?
¡Tú puedes! 1. Calcular la suma de los divisores de 4 680 que sean primos con 351. a) 70
b) 80
c) 100
d) 90
e) 120
2. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha del 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6
b) 8
c) 9
d) 5
e) 4
3. Si: p = (300 ... 0 )2 tiene 144 divisores no primos, halle la suma de los divisores de: 2n2 + 18. 123 "n" cifras
a) 62
76
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b) 80
c) 91
d) 93
e) 98 www.trilce.edu.pe
Cantidad de divisores de un número
4. Si el número: N = 14n . 21 tiene 56 divisores compuestos, ¿cuántos de sus divisores son múltiplos de 6? a) 20
b) 24
c) 28
d) 30
e) 32
d) 18
e) 20
4
5. Dado: ab = ° 5 y bab = ° 9, ¿cuántos divisores posee aba? a) 12
b) 15
c) 16
18:10:45
Practica en casa •
Enunciado (preguntas del 1 al 5: Tabla de divisores)
7. Hallar el valor de "y", si "B" tiene 75 divisores.
Sean los números: M = 360 N = 252
8. Hallar el valor de "x", si "A" tiene 24 divisores compuestos.
1. ¿Cuántos divisores primos tiene "M"? 2. Hallar la suma de los divisores primos de "N". 3. ¿Cuántos divisores simples tiene el producto "M . N"? 4. Hallar el producto de los divisores simples de "N". 5. Hallar el total de divisores de "M". •
Enunciado (preguntas del 6 al 10: Cantidad de divisores)
Sean los números: A = 7x . 212 B = 5y . 144
6. Hallar el valor de "x", si "A" tiene 24 divisores.
Central: 619-8100
9. Hallar el valor de "y", si "B" tiene 46 divisores compuestos. 10. Hallar "x + y", si "A . B" tiene 360 divisores. (x > 1) 11. Hallar el valor de "x", si el número: 3x . 26 tiene 32 divisores. 12. Hallar el valor de "x", si el número: 39x . 32 tiene 48 divisores. 13. El número: 34 . 31x tiene 20 divisores, hallar "x". 14. El número: 7x . 25 tiene seis divisores más que el número: 11x . 9, hallar "x". 15. Se tiene el número: 17 . 5x . 26 que tiene 42 divisores, hallar "x".
UNIDAD 2
77
Aritmética
Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo En este capítulo aprenderemos: • •
A identificar el mayor divisor común y el menor múltiplo común en un grupo de números. A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de MCD y MCM.
Algoritmo de Euclides
L
os algoritmos permiten obtener paso a paso resultados de manera consistente y duradera. Un algoritmo básico es el de Euclides que permite obtener el máximo común divisor de dos números a partir de un proceso iterativo. Con ayuda de una tabla se van poniendo las divisiones sucesivas a realizar en la fila del medio, los cocientes en la fila superior y los restos en la inferior y seguimos el hilo de los datos que se obtiene: Pasos: 1. Ponemos los datos del dividendo "D" y el divisor "d" en dos celdas consecutivas de la fila central y efectuamos la división, obteniendo un cociente "C" y un resto "r". El cociente se pone encima del divisor "d" y el resto debajo. 2. Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división, siendo: D = d y d=r. 3. Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto es el máximo común divisor buscado. Cociente División
45
Resto
3
1
3
12
9
3
9
3
0
MCD (45;12) = 3 • Halla el MCD de 48 y 14 utilizando el Algoritmo de Euclides.
Saberes previos 1. Hallar la descomposición canónica de 480.
4. Indicar los divisores de 32 y 48.
2. Hallar la descomposición canónica de 860.
5. Realizar la descomposición canónica de manera adecuada: N = 16 × 15
3. Mencionar los siete primeros múltiplos de 4 y 3.
Recuerda que... Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.
78
Colegios
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo
5
Conceptos básicos Máximo común divisor (MCD) Definición
Se llama así al mayor divisor común que tiene un conjunto de números. Ejemplo:
Sean los números: 8; 12 y 20, cuyos divisores son: 8 ⇒ 1; 2; 4; 8
12 ⇒ 1; 2; 3; 4; 6; 12
20 ⇒ 1; 2; 4; 5; 10; 20
Observamos que los divisores comunes son: 1; 2 y 4, de los cuales el mayor es 4; entonces: MCD (8; 12 y 20) = 4 Métodos para hallar el MCD
Descomposición canónica
•
Hallar el MCD de 60; 80 y 100
Paso 1: Hacemos la descomposición canónica de cada número. 60 30 15 5 1
2 2 3 5
80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1 80 = 24 . 5
60 = 22 . 3 . 5
100 50 25 5 1
2 2 5 5
100 = 22 . 52
Ejemplo
Ejemplo
Se realiza la descomposición canónica de cada número.
Paso 2: Para hallar el MCD, tomaremos las bases comunes (en las tres descomposiciones), con los menores exponentes que tengan.
∴ MCD (60; 80 y 100) = 22 . 5 = 20
Descomposición simultánea
Ejemplos
Se realiza la descomposición solo tomando los factores comunes de los números. •
Hallar el MCD de 60; 80 y 100 60 30 15 3
80 40 20 4
¡Ahora hazlo tú!
100 50 25 5
•
2 2 5 Luego: MCD(60; 80 y 100) = 2 . 2 . 5 = 20
Hallar el MCD de 120; 80 y 60. Descomposición canónica:
Descomposición simultánea:
OJO: Investiga acerca del método llamado "divisiones sucesivas". Central: 619-8100
UNIDAD 2
79
Aritmética
Observaciones •
Si un número contiene a otro, el MCD de ambos es el menor de ellos.
•
Si dos números son PESI, entonces su MCD es uno.
Mínimo común múltiplo (mcm) Definición Se llama así al menor múltiplo positivo común que tiene un conjunto de números. Ejemplo:
Sean los números 4; 6 y 12, cuyos múltiplos positivos son:
4 → 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; ... 6 → 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; ... 12 → 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; ...
Observamos que los múltiplos comunes son: 12; 24; 36; ..., de los cuales el menor es 12, entonces:
mcm (4; 6 y 12) = 12 Descomposición canónica
Se realiza la descomposición canónica de cada número.
Ejemplo
•
Hallar el mcm de 12; 20 y 30
Paso 1: Hacemos la descomposición canónica de cada número. 12 2
20 2
30 2
6 2
10 2
15 3
3 3
5 5
5 5
1
1
1
Ejemplo
12 = 22 . 3
80
20 = 22 . 5
30 = 2 . 3 . 5
Ejemplo
Métodos para hallar el mcm
Paso 2: Para hallar el mcm, tomaremos todas las bases que aparecen, con los mayores exponentes que tengan.
∴ mcm (12; 20 y 30) = 22 . 3 . 5 = 60
Descomposición simultánea
Se realiza la descomposición tomando todos los factores (comunes y no comunes). •
Colegios
Hallar el mcm de 12; 20 y 30
TRILCE
12 6 3 1 1
20 10 5 5 1
30 15 15 5 1
2 2 3 5 Luego: mcm(12; 20 y 30) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
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Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo
¡Ahora hazlo tú!
•
Hallar el mcm de 160; 90 y 60. Descomposición canónica:
5
Descomposición simultánea:
Observaciones •
Si un número contiene a otro, el mcm de ambos es el mayor de ellos.
•
Si dos números son PESI, entonces su mcm es su producto.
Recuerda que... El MCD es el máximo divisor común y el mcm es el mínimo múltiplo común.
Síntesis teórica Hallar el MCD de 80 y 56. Descomposición canónica
4 Ejemplo 80 = 2 . 5
56 = 23 . 7
∴ MCD(80; 56) = 23 = 8 Máximo común divisor (MCD)
El máximo divisor común en un conjunto de números.
Métodos
Descomposición simultánea
Hallar el MCD de 80 y 56. Ejemplo
80 40 20 10
56 28 14 7
2 2 2
∴ MCD(80; 56) = 23 = 8 Hallar el mcm de 40 y 45. Descomposición canónica
3 Ejemplo 40 = 2 . 5
45 = 32 . 5
∴ mcm(40; 45) = 23.32.5=360 Mínimo común múltiplo (mcm)
El mínimo múltiplo común en un conjunto de números.
Métodos
Descomposición simultánea
Hallar el mcm de 40 y 45.
Ejemplo
40 20 10 5
45 45 45 45
5 5 1
15 5 1
2 2 2 3 3 5
∴ mcm(40; 45) = 23.32.5 = 360 Central: 619-8100
UNIDAD 2
81
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Hallar el MCD de 12; 18 y 42. (Descomposición simultánea)
4. Hallar el mcm de 42; 26 y 18. (Descomposición canónica)
2. Hallar el mcm de 8; 10 y 15. (Descomposición simultánea)
5. Hallar "A + B", si:
A = MCD de 28 y 35
B = mcm de 6 y 8
3. Hallar el MCD de 80; 48 y 120. (Descomposición canónica)
Aprende más 1. Calcular el MCD de los siguientes números, aplicando el método de "descomposición canónica". • 50 y 80
• 64; 72 y 124
• 28; 44 y 64
• 18; 90 y 160
• 35; 28 y 70
• 220; 180 y 140
2. Aplica el método de "descomposición simultánea", para hallar el MCD en cada uno de los casos anteriores. 3. Calcular el MCD de los siguientes números, aplicando el método de "divisiones sucesivas". • 500 y 120
• 340 y 170
7. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 32; 112 y 980? 8. Se tiene dos depósitos que contienen 60 litros y 45 litros de vino. Si se desea vaciar en pequeños baldes sin sobrar nada, diga, ¿cuál es el mayor valor que puede contener el balde? 9. Tres depósitos contienen 160; 144 y 176 litros. Si se desea vaciar cada contenido en pequeños recipientes iguales sin sobrar nada, ¿cuál es el máximo volumen del recipiente? 10. Si MCD (300K; 180K; 240K) es igual a 720, calcular "K".
• 250 y 600 4. Calcular el mcm de los siguientes números, aplicando el método de "descomposición canónica". • 40 y 70
• 48; 36 y 54
• 64; 40 y 56
• 22; 143 y 11
• 45; 15 y 20
• 36; 24 y 42
5. Aplica el método de "descomposición simultánea", para hallar el mcm en cada uno de los casos anteriores. 6. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 70; 14 y 56?
82
Colegios
TRILCE
11. ¿Cuál es el menor número, diferente de cero divisible por 6; 18 y 24? 12. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con reglas de 40; 60 y 80 cm? 13. Si: mcm (9a; 4b) = 90, calcular "a . b". 14. Si: mcm (9a; 2a)= 196, calcular "a". 15. La edad de Luis tiene exactamente tercia, cuarta y séptima. Calcular la suma de las cifras de su edad, si se sabe que no es mayor de 100 años. www.trilce.edu.pe
Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo
Aplicación cotidiana
5
La iglesia de Santo Domingo tiene tres campanas las cuales son tocadas cada cierto tiempo, pero el día de hoy se tocaron simultáneamente y de ahí en adelante durante diferentes días: la campana "A" será tocada cada 7 días, la campana "B" cada 4 días y la campana "C" cada 10 días. 16. ¿Después de qué tiempo se volverán a tocar juntas? 17. ¿Cuántas campanadas habrá dado la campana "A" antes de volver a tocarse juntas por segunda vez? 18. ¿Cuántas campanadas en total habrán dado las tres juntas antes de coincidir por segunda vez?
¡Tú puedes! 1. El MCD de dos números es 9, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de dichos números, si su producto es 1 620? a) 180
b) 20
c) 270
d) 1 620
e) 400
c) 82
d) 45
e) 60
2. Sea: MCD (A; B) =12 A2 – B2 = 20 880 Calcular: A – B a) 56
b) 40
3. El cociente de dos números es 15. Si su MCD es 18, hallar el número mayor. a) 180
b) 240
c) 200
d) 270
e) 220
4. Las dimensiones de un terreno rectangular son 894 y 354 m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán? a) 354
b) 894
c) 8 940
d) 8 791
e) 879
5. Hallar "k", sabiendo que: MCD(210K; 300K; 420K) = 1 200 a) 6
b) 15
c) 40
d) 90
e) 30
18:10:45
Practica en casa 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: ( ) El MCD de 20 y 35 es 5. ( ) El mcm de 24 y 18 es 120. ( ) El MCD de 5 y 13 es 55. 2. Hallar el MCD de los siguientes conjuntos de números, aplicando "descomposición canónica". • 36; 120 y 80 • 100; 240 y 220 • 170; 340 y 230 Central: 619-8100
• 72; 160 y 540 • 180; 160 y 250
3. Hallar el MCD de los conjuntos del problema anterior, aplicando descomposición simultánea. 4. Hallar el MCD de los siguientes pares de números, aplicando el método de "divisiones sucesivas". • 24 y 368 • 72 y 240
• 700 y 120 • 1 152 y 180
UNIDAD 2
83
Aritmética
5. Hallar el mcm de los siguientes conjuntos de números, aplicando "descomposición canónica". • 42 y 54 • 50; 25 y 35 • 44; 24 y 160
• 32 y 96 • 70; 14 y 140
6. Hallar el mcm en cada uno de los conjuntos del problema anterior, aplicando "descomposición simultánea". 7. Hallar la suma del MCD y el mcm de 14; 21 y 63. 8. Hallar el mayor divisor común de 27; 36 y 72. 9. Hallar el menor número posible tal que dividido por 4; 15 y 18 se obtiene un residuo común el menor posible. 10. ¿Cuántos números naturales, diferentes de cero y menores que 880, son divisibles simultáneamente por 6; 15; 8 y 18?
84
Colegios
TRILCE
11. Completar la tabla: A
B
210 . 34
215 . 312
122 . 152
163 . 202
182 . 2 000
152 . 150
352 . 402
142 . 1202
MCD(A; B) mcm(A; B)
12. El número de divisores comunes de los números 2 304 y 1 080 es "n". Hallar la suma de cifras de "n". 13. ¿Cuál es el menor número de tres cifras que dividido entre 4; 6; 9; 12 y 15 produce divisiones exactas? 14. ¿Cuántos números dividen exactamente a 2 000; 3 200 y 7 200? 15. Hallar el MCD de "A"; "B" y "C", si:
A = 202.152; B = 123.102 y C = 182.213.114
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Complemento
Complemento
6
En este capítulo aprenderemos: •
A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias para cada proceso.
Síntesis teórica Teoría de los Números Divisibilidad
Multiplicidad
Un número es divisible por otro cuando la división es exacta. Ejemplo:
Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene una cantidad exacta de veces. Ejemplo:
Estudia
¿56 es divisible por 4?
¿24 es divisible entre 8?
56 4 56 14 0
Sabemos que: 24 = 8.3
las propiedades de los números, en particular los enteros.
24 contiene a 8, tres veces. ∴ 24 es múltiplo de 8
∴ 56 es divisible por 4
Máximo común divisor
Números compuestos
Números primos
Son aquellos números que tienen más de dos divisores. Ejemplo:
Son aquellos números que tienen únicamente dos divisores. Ejemplo:
4; 6; 8; 9; 10; 12; 14;…
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; …
Mínimo común múltiplo
Es el mayor divisor común de un grupo de números. Ejemplo:
Es el menor múltiplo común de un grupo de números. Ejemplo:
•
•
Hallar el MCD de 24; 32 y 56.
24 12 6 3
32 16 8 4
56 2 28 2 14 2 7
∴ MCD (24; 32; 56) = 2 . 2 . 2 = 8
Teorema Fundamental: (Descomposición canónica)
Hallar el mcm de 6; 4 y 5.
6 3 3 1 1
4 2 1 1 1
5 5 5 5 1
2 2 3 5
mcm(6; 4; 5) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
Recuerda que...
Expresar un número en un producto de factores primos. Ejemplo: •
Hallar la descomposición canónica de 60. 60 30 15 5 1
Central: 619-8100
2 2 3 ∴ 60 = 22 . 3 . 5 5
El uno (1) no se considera ni primo ni compuesto.
UNIDAD 2
85
Aritmética
Saberes previos 1. Indicar los divisores de 48.
4. Hallar el máximo divisor común de 24; 36 y 42.
2. Hallar los siete primeros múltiplos positivos de 4.
5. Hallar el menor múltiplo común de 8; 6 y 9.
3. Hallar la suma de los cuatro primeros números primos.
Recuerda que... Dos o tres números son PESI cuando tienen como único divisor común a la unidad.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Indicar cuántos de los siguientes números son divisibles por 6. • •
726 2 532
• •
1 054 53 234
2. Si el número 27a es ° 3 + 2, calcular el mayor valor de "a". 3. Hallar el valor de "m" para que el numeral 13m ° sea 11. 4. ¿Cuántos divisores tiene el número 280? 5. Calcular la suma de los divisores primos de 150. 6. Hallar la suma de las cifras del mcm de 18; 24 y 36. 7. Hallar el producto de las cifras del MCD de 48; 72 y 108 8. ¿Cuántos de los siguientes números son primos? • 37 • 223
86
Colegios
TRILCE
• 93 • 107
• 1 001
9. Si al descomponer canónicamente el número 1 800 se obtiene: 2a . 3b . 5c, hallar "a + b + c". 10. Determina la suma de los valores de "a", para que 378a sea divisible entre 4. 11. Si: A = ° 7 + 2; B = ° 7 + 3 y C = ° 7 + 4, entonces "A . B . C" es: 12. ¿Qué valor debe tomar "a" para que 2345a sea divisible por 9? 13. ¿Cuál es el menor número entero positivo tal que al dividirlo entre 16; 32 y 40 se obtiene siempre una división exacta? 14. ¿Cuál es el menor número posible que al dividir a 28; 42 y 35, resulta que siempre la división es exacta? 15. Calcular el mayor de dos números primos que suman 60 y además uno de ellos es menor que 10. Dar la suma de sus cifras.
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Complemento 18:10:45
6
Practica en casa 1. Indicar cuántos de los siguientes números son divisibles por 4. • 936 • 1 589
• 7 628 • 24 222
2. Si el número 64a es ° 5 + 3, calcular el mayor valor de "a". 3. Hallar el valor de "m" para que el numeral 16m ° sea 13. 4. ¿Cuántos divisores tiene el número 840? 5. Hallar la suma de las cifras del mcm de 12; 28 y 32. 6. ¿Cuántos de los siguientes números son primos? • 39 • 49
• 41 • 103
• 57
7. Si al descomponer canónicamente el número 1 960 se obtiene: 2a . 5b . 7c, hallar "a + b + c". 8. Determina la suma de los valores de "a", para que 409a sea divisible entre 3.
Central: 619-8100
9. Si: A = ° 5 + 2; B = ° 5 + 3 y C = ° 5 + 1, entonces "A . B . C" es: a) ° 5 + 1 b) ° 5 + 2 c) ° 5 + 3 ° ° d) 5 + 4 e) 5 10. ¿Qué valor debe tomar "a" para que 1646a sea divisible por 8? 11. ¿Cuál es el menor número entero positivo tal que al dividirlo entre 8; 9 y 12 se obtiene siempre una división exacta? 12. ¿Cuántos números mayores que 200 y menores que 500, son divisibles por 12; 20 y 8? 13. ¿Cuál es el menor número posible que al dividir a 25; 10 y 15, resulta que siempre la división es exacta? 14. ¿Qué número es tal que al dividirlo entre 6; 8 y 14, siempre da como residuo 5, si es el menor posible? 15. Calcular el mayor de dos números primos que suman 60 y uno de ellos está entre 10 y 15. Dar la suma de sus cifras.
UNIDAD 2
87
UNIDAD 3 Hasta las tareas más cotidianas serían imposibles sin los números racionales, (aquellos que son la razón de dos números enteros). Por ejemplo, como expresaríamos los volúmenes menores a un litro como sucede con las botellas de la imagen superior derecha, o cómo mediríamos las masas tan pequeñas usadas en el trabajo científico, o en el comercio (para eso usamos pesas que son fracción de la unidad de masa), y por último en la naturaleza, a cada instante nos topamos con fenómenos en los cuáles la división entre dos o más es parte del proceso de desarrollo, por ejemplo la división entre 5 de los pétalos de la acacia de Nepal (a la izquierda).
Los números racionales en nuestra vida cotidiana
L
os antiguos egipcios calculaban, utilizando fracciones unitarias 1 1 1 1 como ; ; ; ; ... 2 3 4 10 El jeroglífico para una boca abierta ( ) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la “boca abierta”, denotaba el denominador de la fracción. 1 = ; 3
1 = 10
Cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como “fracciones egipcias”. •
3 como la suma de dos 4 fracciones unitarias.
Representa
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • • •
Identificar las clases de fracciones. Interpretar los resultados obtenidos observando su aplicación a la vida real. Elaborar modelos de la vida real donde se aplique los números racionales.
Comunicación matemática • •
Reconocer y utilizar diferentes formas de representación de números racionales. Utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de fracciones.
Resolución de problemas •
Resolver problemas que involucren números racionales. • Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar conceptos de números racionales. • Elaborar estrategias para resolver problemas de contexto real.
Números fraccionarios
Números fraccionarios
1
En este capítulo aprenderemos: • • •
A identificar fracciones propias, impropias, equivalentes, irreductibles y reductibles. A transformar una fracción impropia a una fracción mixta y viceversa. A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de números fraccionarios.
Las fracciones egipcias
El ojo de Horus: los primeros números racionales.
L
os egipcios utilizaron un sistema muy antiguo para representar fracciones en medidas agrarias de superficie y volumen, basado en las divisiones entre dos de 1/2. Los signos de las fracciones mayores fueron tomados de las partes que componían el jeroglífico del ojo de Horus.
=
1 2
;
=
1 4
;
=
1 ; 8
=
1 ; 16
=
1 ; 32
=
1 64
Cada fracción se representaba mediante una grafía del jeroglífico del ojo. • Investiga: ¿Qué otra atribución tenía el ojo de Horus?
Saberes previos 1. Dividir: 844 ÷ 4, indicar si la división es exacta o inexacta.
5. Dividir la siguiente gráfica en cuatro partes iguales.
2. Dividir: 756 ÷ 24, indicar si la división es exacta o inexacta. 3. Multiplicar: 57 × 19 4. Indicar los divisores comunes de 58 y 78.
Central: 619-8100
UNIDAD 3
89
Aritmética
Conceptos básicos Cuando estudiamos el conjunto de los números naturales ( ), vimos que era necesario extender dicho conjunto a otro más amplio que nos permita efectuar la resta o sustracción para todos los casos, apareciendo entonces el conjunto de los números enteros ( ). Pero ahora se nos presenta otra dificultad, al tratar de efectuar ciertas divisiones de números enteros, como por ejemplo: ¿Cómo divido una deuda de S/.250 en 20 cuotas? ............................... 250 ÷ 20 ¿Cómo divido una cuerda de siete metros en dos partes iguales? ................ 7 ÷ 2 ¿Cómo divido una torta en cuatro partes iguales? ....................................... 1 ÷ 4 En todos estos casos anteriores no encontramos solución en el conjunto de los números enteros, ante esta situación surge la necesidad de ampliar dicho conjunto a otro que en adelante llamaremos el conjunto de los números racionales que lo reconoceremos por la letra .
Recuerda que... " " representa a los números racionales.
Definición Una fracción es una división indicada de dos números enteros. En tal división, el divisor es diferente de cero. a Es decir: , donde: b ≠ 0 b Además "a" y "b" son los términos de la fracción y reciben el nombre de numerador y denominador respectivamente.
Algunos significados de fracción La fracción como parte de la unidad Si dividimos un papel en seis partes iguales y pintamos cinco de dichas 5 partes, entonces toda la parte pintada del papel la representamos por 6.
5 6
El denominador 6, representa la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la unidad. El numerador 5, representa la cantidad de partes que se ha tomado de la unidad. La fracción como cociente Queremos repartir dos tortas entre tres niños en partes iguales, a cada 2 2 uno le corresponde de la torta, esto significa que la fracción es el 3 3 cociente de dividir dos entre tres; es decir: 2 2 ÷ 3 = = para cada niño 3 La fracción como operador
"La mitad", "la tercera parte", "la cuarta parte", etc., son nombres de operadores que fraccionan. Ejemplo:
•
90
Colegios
1 1×8 8 de 8 = = =4 2 2 2
TRILCE
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Números fraccionarios
¡Ahora hazlo tú!
•
1 de 15 = 3
•
3 de 20 = 5
1
Observación •
La fracción
a es un operador que multiplica por "a" y divide entre "b". b
Comparación de una fracción con la unidad Fracción propia Se llama así cuando el numerador es menor que el denominador, estas fracciones son menores que la unidad.
Ejemplo
•
De un pastel tomamos las
6 partes. 8
¡Ahora hazlo tú!
•
De un pastel tomamos las
5 partes. 8
Fracción impropia Se llama así cuando el numerador es mayor que el denominador, estas fracciones son mayores que la unidad.
Ejemplo
•
5 4 partes, entonces tomamos dos pasteles así: De un pastel no podemos servirnos las
¡Ahora hazlo tú!
•
De un pastel no podemos servirnos las
7 partes, entonces 3
tomamos dos pasteles así:
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UNIDAD 3
91
Aritmética
Observación •
Si el numerador es igual al denominador, la fracción es igual a la unidad. De un pastel tomemos las
4 partes. 4
Comparación de los denominadores de varias fracciones Fracción homogénea Se llama así cuando tienen el mismo denominador. Ejemplo:
2 5 15 ; ; 7 7 7
Fracción heterogénea Se llama así cuando tienen denominadores diferentes. Ejemplo:
1 2 4 ; ; 2 5 3
Transformación a mixtos Llamamos números mixtos a una forma de representar las fracciones mayores que la unidad. Así: 1
72
es un número mixto. Donde:
La parte fraccionaria es
1 2
1 1 1 . Entonces, también es cierto que: 7 + = 7 2 2 2
Este mixto puede ser desdoblado también así: 7 +
¿Cómo transformamos una fracción impropia a número mixto?
Veámoslo en un ejemplo:
Ejemplo
•
Transformar
27 a mixto. 8
Dividimos el numerador entre el denominador 27
8
24 ––– 3
3
Cociente = 3, es la parte entera Residuo = 3, es el numerador de la parte fraccionaria Divisor = 8, es el denominador de la parte fraccionaria 27 3 =3 Luego: 8 8
¡Ahora hazlo tú!
92
La parte entera es 7
Colegios
TRILCE
•
Transformar
35 a mixto. 9
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Números fraccionarios
¿Cómo transformamos un mixto a una fracción impropia?
Para efectuar esta transformación, multiplicamos el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y a este producto le sumamos el numerador obteniendo así el numerador de la fracción buscada. El denominador es el mismo.
1
Ejemplo:
•
2 Transformar 7 a fracción impropia 5 + 2 5 × 7 + 2 37 7 = = 5 5 5 ×
¡Ahora hazlo tú!
•
3 Transformar 4 a fracción impropia. 5
Fracciones equivalentes
Dos fracciones:
a c y son equivalentes, si se cumple que: b d a.d = b.c
Ejemplo:
•
3 9 y son equivalentes 7 21 3 9 = porque: 7 21
3 × 21 = 9 × 7 63 = 63
¡Ahora hazlo tú!
•
6 3 son equivalentes y 22 11
Fracción irreductible Si los términos de una fracción tienen como único divisor común a la unidad, dicha fracción es irreductible o irreducible. Ejemplo:
•
3 7 ; 5 11
Simplificación de fracciones Significa transformarla en otra equivalente y a la vez irreductible. Para lograrlo dividimos sucesivamente los términos de la fracción entre divisores comunes hasta lograr una fracción irreductible. Central: 619-8100
UNIDAD 3
93
Aritmética
Ejemplo:
•
Simplificar:
24 180
24 180
÷2
12 90
= ÷2
÷2 = ÷2
6 45
¡Ahora hazlo tú!
÷3
2 15
= ÷3
•
Simplificar:
60 252
Relación de orden Regla de productos cruzados • ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 7 3 ; 9 5 7 3 → = 27 y como: 35 > 27, entonces: 7 > 3 Hacemos: 35 = ← 9 5 9 5 ¡Ahora hazlo tú!
•
¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 8 7 ; 9 6
Transformando las fracciones a denominador común •
5 2 7 Ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor: ; y 9 5 12 Paso 1: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(9; 5; 12) = 180 Paso 2: × 7 = 105 × 5 = 100 × 2 = 72 12 180 9 180 5 180
÷ 72 100 105 Paso 3: Ordenando de acuerdo a los numeradores: < < 180 180 180 ÷
÷
↓
2 5
¡Ahora hazlo tú!
•
<
↓ 5 9
<
↓
7 12
Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor. 3 6 4 ; y 4 5 9
Recuerda que... Una fracción impropia origina una fracción mixta.
94
Colegios
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Números fraccionarios
1
Síntesis teórica Número Fraccionario
Su representación
Sus términos • •
Numerador Denominador
a (b ≠ 0) b Clasificación de fracciones
Por los divisores de sus términos
Por sus términos
Impropias
Propias
Ejemplos: 7 9 25 ; ; 4 2 9
Ejemplos: 3 9 21 ; ; 8 17 38
Por grupos
Reductibles
Irreductibles
Ejemplos: 28 9 36 ; ; 8 15 63
Ejemplos: 27 7 35 ; ; 8 13 24
Mixtas
Homogéneas
Heterogéneas
Ejemplos: 2 1 5 5 ;2 ;7 3 7 8
Ejemplos: 5 9 13 ; ; 14 14 14
Ejemplos: 8 6 5 ; ; 5 11 7
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Relacionar: 8 I. 5 II.
4. ¿ a) Fracción propia
3 11
b) Fracción impropia
2. Simplificar: 3. Convertir
6 12 y son equivalentes? 11 22
5. Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada:
48 56
45 a fracción mixta. 8
Central: 619-8100
UNIDAD 3
95
Aritmética
Aprende más 1. Relacionar: 2 5 ; I. 7 11 6 8 II. ; 9 12 12 8 ; III. 5 3 4 11 IV. ; 7 3
a) Fracción impropia b) Fracción irreductible c) Fracción propia d) Fracción equivalente
22 8 78 e) 14 b)
c)
13 6
4. Escribe como fracciones los siguientes mixtos: 2 a) 4 5 3 d) 5 4
1 b) 6 4 7 e) 3 11
4 c) 2 9
36 84 128 d) 224
225 75 120 e) 216
b)
c)
187 231
6. Escribe el signo "<"; ">" o "=" según corresponda: 5 9 7 d) 25 a)
96
Colegios
TRILCE
2 12 b) 3 7 4 8 e) 13 17
7 c) 6
13 3 c) 8 71 40 85
10. Halle una fracción equivalente a 2/3, de modo que la suma de sus términos sea el menor cuadrado posible. 11. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 24 existen? 12. Se tiene una fracción impropia cuyos términos son consecutivos. Si el denominador es el mayor número par de dos cifras diferentes, ¿cuál es la suma de las cifras del producto del numerador y el denominador? 13. ¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador 12 existen entre 1/2 y 2?
5. Simplificar las siguientes fracciones: a)
3 5 12 e) 5
b)
9. ¿Cuántas fracciones propias con denominador 15 existen tales que sean mayores a 1/2?
3. Escribe como mixto las siguientes fracciones: 19 7 42 d) 5
8. Obtenga tres fracciones equivalentes a las siguientes fracciones irreductibles. 2 a) 7 10 d) 9
2. Calcular: 2 a) los de 24 3 1 b) los de 21 7 c) la cuarta parte de 48 3 d) los de 75 5 3 de 22 e) los 11
a)
7. Convertir a homogéneas los siguientes grupos de fracciones: 2 3 4 5 1 3 2 3 a) ; ; ; b) ; ; ; 3 4 3 6 4 10 5 20 10 24 12 8 c) ; ; ; 12 30 18 5
2 49
14. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 1/9 pero menor que 1/8? 17 5 11 • • • 36 72 144 15. Encontrar una fracción equivalente a 372/775 cuya suma de sus términos sea múltiplo de 5 y cuya diferencia de los mismos esté comprendida entre 180 y 200. Indicar la suma de las cifras del numerador. www.trilce.edu.pe
Números fraccionarios
Aplicación cotidiana
1
Carlitos se encuentra jugando con su pelota en el segundo piso de su casa, en un descuido la lanza sin percatarse que la ventana estaba abierta por donde sale. Sabiendo que después del tercer rebote se eleva 160 cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior.
h 160 cm 16. ¿Cuál es la altura de donde sale? 17. ¿Cuál es la altura que alcanza en el segundo rebote? 18. Hallar la suma de las alturas que alcanza la pelota en los tres rebotes.
¡Tú puedes! 1. El producto del numerador por el denominador de una fracción es 52 514. Hallar dicha fracción, si al ser simplificada se obtiene 14/31. Dar la diferencia de los términos. a) 142
b) 153
c) 168
d) 187
e) 179
2. Hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que si al término menor le sumamos 70, para que el valor de la fracción no se altere, entonces el otro término debe triplicarse. 28 42 56 35 21 a) b) c) d) e) 48 72 96 60 36 3. El numerador y el denominador de una fracción son números formados por las mismas dos cifras pero dispuestos en orden inverso. Si la fracción vale 3/8, ¿cuál es la suma de las dos cifras mencionadas? a) 5
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18
4. Hallar una fracción cuya suma de términos sea 12, tal que si se aumenta 3 al numerador y 5 al denominador se obtenga una fracción equivalente a 2/3. 2 4 5 1 7 a) b) c) d) e) 10 8 7 11 8 5. Hallar una fracción equivalente a 36/63 sabiendo que el cuadrado de la suma de sus términos es 4 356. Dar como respuesta el término mayor. a) 126
Central: 619-8100
b) 96
c) 84
d) 42
e) 189
UNIDAD 3
97
Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. ¿Cuánto es:
7. Expresar como número mixto la fracción
a) Un tercio de 24? b) Tres quintos de 40? c) Ocho sextos de 45? 2 d) de un mes? 3 4 e) de 100 soles? 5
p 280 , hallar 8. Si " " es la fracción irreductible de q 420 "pq"
2. De las siguientes fracciones, ¿cuáles son irreductibles? 24 9 21 d) g) a) 16 8 16 b)
35 10
e)
7 24
c)
15 16
f)
41 24
h)
18 42
(A; )
I. Fracciones equivalentes II. Fracciones propias
• •
(B; )
(C; )
47 es una fracción reductible (___) 56 4 88 y son fracciones equivalentes (___) 5 110 7 18 y son fracciones propias (___) 6 15
1 6. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa ? 3 a)
12. Hallar el valor de "a + b" de la siguiente igualdad: 2 a 4 = 7 b 13. Señalar la fracción mayor que 1 a) 4 6 d) 22
8 14 7 e) 19 b)
6 15 1 c) 7
14. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor que 3 ? 7 5 a) 8 4 d) 30
6 11 6 e) 10 b)
4 c) 6
b)
d)
c)
98
10. Calcule el valor de "a" y "b", si las fracciones son equivalentes: 4 24 12 b = • = • 6 a 9 36
III. Fracciones impropias
5. Escribir verdadero (V) o falso (F) según corresponda: •
9. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 3 4 5 6
11. ¿Qué parte del total está sombreado?
a 9 , hallar 3. Si " " es la fracción irreductible de b 243 "a + b". 4. Relaciona: 17 4 15 A. ; ; 23 9 31 5 23 51 B. ; ; 2 17 29 14 18 32 ; ; C. 21 27 48
95 . 17
Colegios
TRILCE
15. Al simplificar una fracción, obtuvimos 2/5. Sabiendo que la suma de sus términos antes de simplificarlo era 63, calcular la diferencia de dichos términos. www.trilce.edu.pe
Operaciones con números fraccionarios I
Operaciones con números fraccionarios I
2
En este capítulo aprenderemos: •
L
A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de operaciones con números fraccionarios.
El uso de las fracciones os números naturales fueron los primeros en ser utilizados por el hombre y han sido empleados por todas las culturas. Con la evolución del ser humano surgió la necesidad de considerar repartos, herencias, divisiones..., es decir, fracciones.
El uso de las fracciones es, sin duda, el rasgo más curioso de la Matemática egipcia. Los egipcios solo escribían de manera directa las fracciones unitarias, es decir, aquellas con numerador 1. Para ello escribían el denominador con un punto encima o con el símbolo:
Símbolo de la fracción unitaria
El sistema de numeración de los egipcios no era posicional y se limitaba a sumar los valores de los símbolos:
= 1,
= 10,
=
1 3
=
1 21
= 100, etc.
= =
1 5
1 102
Suma de los valores de los símbolos
Para representar cualquier otra fracción distinta, la expresaban como suma de fracciones unitarias, intentando poner siempre denominadores los más pequeños posibles. Para poner
7 escribían 12
7 1 1 = + 12 3 4
Para poner
15 escribían 26
15 1 1 = + 26 2 13
Suma de fracciones unitarias
•
Central: 619-8100
Representa
13 como una suma de fracciones unitarias. 22 UNIDAD 3
99
Aritmética
Saberes previos 1. ¿Cuándo una fracción es homogénea? Dar dos ejemplos.
4. Simplificar las siguientes fracciones:
2. ¿Cuándo una fracción es heterogénea? Dar dos ejemplos.
5. Indicar cual de las siguientes fracciones es ma8 6 y . yor: 28 30
50 105 y . 75 45
3. Convertir las siguientes fracciones mixtas a frac3 5 2 ciones impropias: 6 ; 9 y 7 . 7 4 3
Recuerda que... a Si " " es una fracción, entonces: b
"a" se le llama numerador. "b" se le llama denominador.
Conceptos básicos Adición de números fraccionarios De igual denominador
Para efectuar la suma o adición de dos o más fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador.
Veamos en forma gráfica:
3 6
2 6
+
5 6
=
Ejemplo:
•
6 5 2 6 + 5 + 2 13 + + = = 17 17 17 17 17 ¡Ahora hazlo tú!
•
11 9 7 + + = 42 42 42
•
2
1 3 1 +3 + = 4 4 4
De diferente denominador
Para efectuar la suma o adición de fracciones de diferente denominador, buscamos transformar las fracciones a otras equivalentes, de tal forma que todas tengan ahora el mismo denominador. Veamos un ejemplo gráfico:
100
Colegios
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+
↓ 1 2
+
+
↓ 1 4
+
↓ 1 8
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Operaciones con números fraccionarios I
Reducción a común denominador:
↓
+
4 8
+
+
↓
2 8
+
↓ 1 8
=
=
2
↓ 7 8
Método del mínimo común múltiplo (m.c.m.) Ejemplo:
• 1 + 3 + 7 4 8 20
Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo escribimos como denominador del resultado. 4 – 8 – 20 2 – 4 – 10 1–2–5 1–1–5 1–1–1
7 Entonces: 1 + 3 + = 4 8 20
2 2 2 5
m.c.m. = 2 × 2 × 2 × 5 = 40
40
Dividimos el m.c.m. por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el respectivo numerador. Luego: 1 + 3 + 7 = 10 + 15 + 14 = 39 4 8 20 40 40
¡Ahora hazlo tú! •
1 4 7 + + = 3 6 10
Regla de productos cruzados a c ad + cb + = b d bd
Ejemplo:
•
3 7 33 + 28 61 17 + = = =1 4 11 44 44 44 ¡Ahora hazlo tú! •
5 7 + = 9 4
Sustracción en números fraccionarios Efectuar la sustracción de números racionales equivale a efectuar la adición de uno de ellos con el opuesto del otro. Central: 619-8100
UNIDAD 3
101
Aritmética
Ejemplo:
•
2 3 – 5 11
Esta sustracción también se puede escribir así:
Ahora aplicamos la regla de los productos cruzados 2 –3 22 + (–15) 22 – 15 2 3 7 + = = = – = 5 11 55 55 5 11 55
2 –3 + 5 11
¡Ahora hazlo tú! •
4 3 – = 7 10
Multiplicación de números fraccionarios El numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. Es decir: a c a ×c × = b d b×d Ejemplo:
•
3 2 2 × × = 5 7 5
3×2×2 5×7×5
=
12 175
¡Ahora hazlo tú! •
12 21 6 × × = 7 8 15
División en números fraccionarios Observa el dibujo y reflexiona sobre la pregunta: ¿Cuántas veces cabe
Es decir, que
102
↓ 1 2
1 1 1 1 en ? Se trata de dividir entre . 8 2 2 8
÷
÷
↓
1 8
1× 8 8 = =4 2 2×1
=
1 1 cabe cuatro veces en . 8 2
a c a Dividir una fracción " " por otra no nula " " equivale a multiplicar la primera fracción " " por la inb d b c" " . versa de la segunda d Colegios
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Operaciones con números fraccionarios I
Es decir:
2
Se convierte en multiplicación a c a d a ×d ÷ = × = b d b c b×c
Ejemplo:
•
36 9 36 8 32 ÷ = × = 5 8 5 9 5 ¡Ahora hazlo tú! •
48 8 ÷ = 7 21
Síntesis teórica Adición: •
Fracciones heterogéneas: Método de los productos cruzados 5 2 5 × 7 + 2 × 12 59 Ejemplo: + = = 12 7 12 × 7 84 •
Fracciones homogéneas: 7 1 4 7 + 1 + 4 12 Ejemplo: + + = = 9 9 9 9 9
Multiplicación:
División: Ejemplo: 12 9 12 32 16 • ÷ = × = 8 32 8 9 3 •
24 8 24 45 ÷ = × =9 15 45 15 8
Operaciones con números fraccionarios
Ejemplo: 4 7 1 4×7×1 28 = • × × = 5 11 3 5 × 11 × 3 165 •
12 21 12 × 21 9 × = = 7 8 7×8 2
Sustracción: •
Fracciones homogéneas: 15 4 15 – 4 11 Ejemplo: – = = 7 7 7 7 •
Fracciones heterogéneas: Método de los productos cruzados 8 3 8×2–5×3 1 Ejemplo: – = = 5 2 5×2 10
Central: 619-8100
UNIDAD 3
103
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 5 9 11 1. Efectuar: + + 8 2 2 2. Efectuar:
8 5 – 7 6
3. Efectuar:
2 5 × 9 4
4. Efectuar: 7
1 1 ÷5 3 2
2 1 5. Efectuar: 1 × 2 3 5
Aprende más 1. Llenar los espacios en blanco, calculando "f + 1" y "1 – f". f
f +1
5. Completar la tabla: A 10 3 7 4 10 3
1–f
3 4 5 7 10 18
B 2 3 3 5 6 5
7. De
6 11 2. Calcular "A + B", si:
3. Hallar el valor de "a + b", si:
•
104
18 15
2 b 4 = 5 5
2 7 + 5 4
Colegios
TRILCE
2 1 + 3 4
•
7 2 15
•
3 5
3 2 20 ×2 × 6 4 35
calcular "A + B"
10. Escribir la expresión más simple equivalente a: 6 17 8 34
4. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda: •
N = 11
9. Si se sabe que: 2 2 8 3 2 y B= 1 × 1 A= 1 × 3 × 1 3 6 10 7 5
1 2 1 3 A=2 +3 y B= + 2 3 2 5
y
3 y 4
2 3 1 – restar 3 5 15
8. Simplificar:
2 a 3 4 = + 5 5 5
A–B
6. Calcular "M – N", si: M = 12
8 9
A+B
5
2 7
2 4 + 3 9
2 5 9 1 2 + 2 3
3
11. Reducir: 1 + 2+
4 1– 1 4 www.trilce.edu.pe
Operaciones con números fraccionarios I
12. Simplificar:
14. Simplificar:
1 2 11 – 10 × 13 – 9 10 5
1 2 1 4 –3 + 2 3 4 1 2– 5
15. Simplificar:
13. Simplificar:
2
1 1 1 1 28 2 –1 ÷ 3 +2 ÷ 3 6 4 8 129
3
3+
1
3+
1–
1 3
Aplicación cotidiana
10 pulgadas (")
El señor Rodríguez desea enchapar un piso (Fig. 1) con parquet para lo cual la tienda que va a realizar dicho trabajo le muestra tres modelos (Fig. 2) de diferentes dimensiones. 4/5" 2/5" 7/5"
28"
A
40"
B
C
Fig.1
Fig. 2
16. Si decide trabajar con el parquet "A", ¿cuántos necesitará para dicho piso? 17. Si decide trabajar una mitad del piso con el parquet "C" y la otra mitad con el parquet "B", ¿cuántos parquet en total necesitará? 18. En relación con el parquet "A" y "B", ¿cuántos parquet más tendría que comprar?
¡Tú puedes! 1. Simplificar:
1 2
1+
4
3+
5+ a)
141 238
b)
6 7
151 233
c)
151 41
d)
82 151
e)
233 151
2. Un frutero debía vender 600 naranjas a razón de 3 por un dólar y otras 600 a 4 por dólar. Las vendió todas a 7 por 2 dólares. ¿Ganó o perdió y cuánto? (Aproximadamente). a) Ganó 7,5 dólares d) Ganó 9 dólares
Central: 619-8100
b) Perdió 7,5 dólares e) Perdió 9 dólares
c) No ganó ni perdió
UNIDAD 3
105
Aritmética
3. Un lápiz pesa
8 8 g más de su peso. Hallar el peso del lápiz en gramos. 9 9
a) 9
b) 8
c) 10
8 d) 9
e) 7
4. Si a mi computadora personal le aumento un disco duro de 1,8 Gb su capacidad aumentaría en un tercio. ¿Cuál sería la nueva capacidad de mi computadora, si le compro dicho disco duro? a) 7,2 Gb
b) 2,7
5. ¿Qué parte de los a)
c) 5,6
d) 6,5
e) 6,3
2 2 6 2 de los de 45 es lo que le falta a para ser igual a ? 3 5 11 3
1 66
b)
3 55
c)
1 55
d)
1 33
e)
1 99
18:10:45
Practica en casa 1. Calcular:
5 7 de los de 33 11 9
6 5 3 ×– ×– 8. Calcular "A ÷ B", si: A = 10 18 20 16 81 25 B= – × – ×– 27 125 64
1 1 1 2. Efectúe: 3 + 2 + 1 8 7 4 3. Calcular: 5 1 • de de 108 6 9
1+ •
3 1 de de 140 7 10
4. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda: 11 1 2 1 3 4 • + • 6 13 5 3 3 4 •
2 1 + 3 4
2
1 5
•
5. Calcular "A . B", si: A =
3 1 + 5 3
2 1 + 7 2
2 1 2 + y B=5 7 3 8
1
6. Efectuar: 1 + 1+
1 1 1– 2
7. Escribir la expresión más simple equivalente a: 21 16 18 144
106
Colegios
TRILCE
2
9. Reducir: 1 –
3 1+
10. Efectuar: 7 11. Efectuar:
4 5
2 1 5 + 5 – 12 × 27 9 6 18
1 ÷ 3
1 2 4 1 – × + 4 3 3 4
1 1 3 12. Efectuar: 2 + 4 – 8 5 10 25 13. Efectuar:
1 1 10 3 – – – 2 3 6 2
6 1 + 6 61 14. Efectuar: 5 × 41 7 3 – 3 10 3 1 7 1 ×3 + – 13 15. Efectuar: 5 8 24 2 5– 3
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Repaso
Repaso
3
En este capítulo aprenderemos: •
A reforzar los temas tratados anteriormente de una manera sencilla y práctica.
Síntesis teórica Número fraccionario Sus términos
Su representación
Numerador Denominador
a ; (b ≠ 0) b
Clasificación de fracciones Por sus términos
Impropias
Propias
Por los divisores de sus términos
Por grupos
Ejemplos: 3 9 21 ; ; 8 17 38
Ejemplos: 7 9 15 ; ; 4 2 9
Mixtos Ejemplos: 2 1 5 5 ;2 ;7 3 7 8
Reductibles Ejemplos: 28 9 36 ; ; 8 15 63
Homogéneas Ejemplos: 5 9 13 ; ; 14 14 14
Irreductibles Ejemplos: 27 7 35 ; ; 8 13 24
Heterogéneas Ejemplos: 8 6 5 ; ; 5 11 7
Adición: • Fracciones homogéneas: 7 1 4 7+1+4 12 = Ejemplo: + + = 9 9 9 9 9 • Fracciones heterogéneas: Método de los productos cruzados 5 2 5 × 7 + 2 × 12 59 + = = Ejemplo: 12 7 84 84 Multiplicación: División: Ejemplo: Ejemplo: 12 21 12 × 21 9 12 9 12 32 16 × = • = ÷ = × • = Operaciones con 7 8 7×8 2 32 8 9 3 8 Números Fraccionarios 4 7 1 4×7×1 24 8 24 45 × = = • × ÷ = × • =9 5 11 3 5 × 11 × 3 8 15 45 15 28 Sustracción: 165 Fracciones homogéneas: 15 4 15 – 4 11 – = = Ejemplo: 7 7 7 7 Fracciones heterogéneas: Método de los productos cruzados 8 3 8×2–3×5 1 Ejemplo: – = = 5 2 5×2 10 Central: 619-8100
UNIDAD 3
107
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. ¿Cuándo una fracción es impropia? 2. Convertir 3. Efectuar:
58 a una fracción mixta. 9
2 1 5 + – 7 3 21
4. Efectuar:
12 18 × 27 32
1 12 5. Efectuar: 2 ÷ 3 21
Recuerda que... Los términos de una fracción son: numerador y denominador.
Aprende más 1. Escribe "<", "=" o ">" según corresponda: 2 4 1 5 4 1 • 3 • 1 • 3 5 7 3 7 8 2 1 1 1 2. Efectuar: 3 + 2 + 1 8 7 8 3. Calcular: 5 3 • de los del triple de 40 6 5 •
3 4 33 de de 11 3 80
9. Si: N = 3x . 54 . 117, tiene 240 divisores, hallar el valor de "x". 10. Una fracción multiplicada por 3/5 resulta 7/15. ¿Cuál es dicha fracción? 11. ¿Cuánto se debe aumentar al numerador de 3/8 para que resulte 1/2? 12. Si la fracción 2/3 aumenta en 4/7, ¿en cuánto excede a 1/3?
4. Hallar la cantidad de divisores de 1 400.
13. Hallar la cantidad de fracciones equivalentes a 2/7, tal que la suma de sus términos sea menor que 100.
5. Del 1 al 1 000, ¿cuántos son múltiplos de 6?
14. ¿Cuántas fracciones de la forma
6. Hallar el mayor número que divide de manera exacta a 28; 16 y 64. 7. ¿Cuál es el menor número entero positivo tal que al dividirlo entre 12; 18 y 30 se obtiene siempre una división exacta?
lentes a
71875 ? 100 000
ab son equivaba
15. Hallar la fracción equivalente a 12/18 tal que el producto de sus términos sea mayor que 25 pero menor que 90. Dar como respuesta la suma de sus términos.
8. Si: B = 23 . 34 . 53n, tiene 137 divisores no primos, hallar el valor de "n".
108
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TRILCE
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Repaso 18:10:45
3
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: • 238........... (
)
a) Múltiplo de 8
• 247........... (
)
b) Múltiplo de 125
• 1 160........ (
)
c) Múltiplo de 17
• 1 500........ (
)
d) Múltiplo de 13
3 10 3 1 × × ÷3 5 9 4 2 182 10. Repartí S/. entre un grupo de personas y 5 273 a cada una le tocó S/. . ¿Cuántas eran las 15 personas? 9. Efectuar:
2. Hallar el menor valor positivo de "x", si se cum° +x ple que: 122 = 13
11. Hallar el mcm de "A" y "B", si:
3. Si el número 446x es divisible entre 14, hallar el valor de "x"
12. El número 24x tiene 21 divisores, ¿cuántos divisores tiene 54x?
4. Efectuar: 4
1 3 7 +3 –2 6 10 15
5. Del 1 al 400, ¿cuántos números son ° 7? 6. Del 1 al 700, ¿cuántos números son ° 9? 7. Si: A = Suma de los tres primeros números primos B = Suma de los cinco primeros números compuestos
Hallar "B – A"
8. Sea:
A = 220 . 310 . 59 y B = 210 . 36 . 512
3 13. Tengo 6 metros de tela. ¿Cuánto necesito para 5 1 tener 8 ? 6 3 5 3 + × 14. Efectuar: 4 6 5 1 2 7 – × 2 7 5 1 1 1 6 + – × 6 9 12 7 15. Efectuar: 1 8÷ 1 4
A = Cantidad de divisores de 480 B = Cantidad de divisores compuestos de 128 Hallar "A + B"
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UNIDAD 3
109
Aritmética
Operaciones con números fraccionarios II En este capítulo aprenderemos: •
S
A elaborar estrategias para la resolución de los ejercicios propuestos, utilizando las propiedades de manera adecuada.
La historia de una potencia i bien los egipcios y los chinos jugaban al ajedrez ya en la antigüedad, se cree que este juego es originario de la India y que surgió aproximadamente en el siglo V, a.de C.
Cuenta la leyenda que un consejero del rey Hiram III, llamado Sissa, viendo al rey muy apenado por la muerte de su hijo en el campo de batalla, le ofreció un juego para alegrarlo. Aquel juego tenía un tablero y dos grupos de piezas que representaban al ejército del rey y a los de su enemigo. El rey se puso a jugar y tuvo que sacrificar una de sus piezas para poder ganar, Sissa aprovechó para decirle que a veces, para lograr una victoria es necesario un sacrificio. El rey entendió que la observación recibida se refería a su hijo y, agradecido, le ofreció la recompensa que quisiese. Sissa, le pidió los granos de trigo que resultaran de colocar un grano en la primera casilla del tablero, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta casilla y así sucesivamente hasta llegar a la casilla 64. Hiram aceptó el pedido, que considero irrisorio. Al hacer los cálculos, los consejeros del rey se dieron cuenta que era imposible cumplir la orden real.
•
Si el tablero solo hubiera tenido 10 casilleros, ¿cuántos granos de trigo hubiera recibido?
Saberes previos 1. Efectuar: 4 . 4 . 4 . 4
4. Efectuar: (– 3) . (– 3) . (– 3)
2. Efectuar: (–2)5
5. Efectuar:
3. Efectuar: (– 5)2
110
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(– 4)2 (– 5)2 www.trilce.edu.pe
Operaciones con números fraccionarios II
3
Conceptos básicos Potenciación en números fraccionarios La potencia de una fracción es el resultado de multiplicar "n" veces una misma fracción.
¡No olvidar! a es una fracción, b entonces: "a" es numerador y "b" es denominador.
Así:
Si a a a a a × × × ... × = Potencia "n–ésima" ⇒ b b b b b 144424443 a "n" veces b
n
=P
Donde: •
"n" es exponente natural
•
a " " es base racional o fracción b
•
"P" es la potencia o resultado de la operación potenciación. Ejemplo:
33 significa que la base racional debe ser multiplicada por sí misma tres veces. 4 Es decir:
33 3 3 3 3×3×3 33 27 = × × = = 3= 4 4 4 4 4 4×4×4 64
Luego, podemos afirmar de modo general que: an an = n b b
Signos de una potencia de base racional •
+ 2 2 (+ 2) × (+ 2) + 4 = = 3 3×3 9
•
–2 5
4
=
Una potencia de base positiva y exponente par o impar, siempre es positiva. Una potencia de base negativa, puede ser: Positiva, si el exponente es par Negativa, si el exponente es impar
(– 2) × (– 2) × (– 2) × (– 2) + 16 = 5×5×5×5 625
Propiedades an am a n+m . = b b b
•
anm a = b b
•
Ejemplo:
22 23 2 = × 3 3 3
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n.m
Ejemplo: 2 +3
=
25 3
5 2 3 5 2×3 5 6 = = 9 9 9 Unidad 3
111
Aritmética
a cn an cn . = . b d b d
•
an b am b
•
Ejemplo:
2 1 2 2 2 1 2 × = × 5 6 5 6
a n–m b
=
Ejemplo:
5 6 11 5 6–4 5 2 = = 11 11 5 4 11
Radicación en números fraccionarios
Hemos estudiado que dada la siguiente expresión:
an =P b
a La operación que permite el cálculo de la base " " dados "P" y "n", se llama radicación. b Es decir:
n
P=
Donde:
a a n ⇒ =P b b
•
"P": radicando
•
"n": índice (n >2) a " ": raíz b
• •
: operador radical
Ejemplo: 3
33 27 = 5 125
Signos en la radicación •
a c =+ b d a c impar – =– b d a c par + =+ b d a par – = b en . b +
impar
• •
•
27 3 = , porque: 125 5
Ejemplo:
3
Ejemplo: Ejemplo:
5
8 2 =+ 27 3 1 1 – =– 32 2 9 3 + =+ 25 5 +
Propiedades
•
n
a = b
m
n
a n b
n
•
Ejemplo: 3
112
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am a n = b b Ejemplo:
4
3
27 3 27 = 3 = 8 2 8
24 22 22 = = 5 5 5 www.trilce.edu.pe
Operaciones con números fraccionarios II
n
•
a c . = b d
n
a . b
n
c d
•
n
Ejemplo:
1 3 . = 8 5
7
7
1 . 8
7
a = b
p
m
n.m.p
3
a b
Ejemplo:
3 5
2
5
4
2 2 = 2.5.4 = 9 9
40
2 9
Síntesis teórica Operaciones con fracciones II
Potenciación
Radicación
En general
En general n
an an = n=P b b
Propiedades an am a n–m ÷ = b b b
anm a n.m = b b
a cn an cn . = . b d b d
a b
"n": índice "P": radicando "a" : raíz b : operador radical
"a" : base racional b "n": exponente "P": potencia
an am a n+m . = b b b
P=
Propiedades n
n
a c . = b d
m
n
a n b
a = b
a . b
n
am a n = b b
n
n
c d
n
m
p
a = b
n.m.p
a b
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Efectuar:
2. Efectuar: 3. Efectuar:
2 3 4
3
4. Efectuar: 81 16
–4 7
3
5. Completar:
–
125 216 3
64 = 729
64 = —— 729
2
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Unidad 3
113
Aritmética
Aprende más 1. Calcule las siguientes potencias: 23 a) = 3 b)
72 = 9
c)
–4 3 = 3
2. Halle las siguientes raíces: a)
b) c)
81 = 49
b) c)
36 49 × = 25 4
7.
10 × 6
8.
3
–4 × 81
10 = 24 3
16 = 9
3 2 27 × 5 25
3. Utilizando la multiplicación de potencias de igual base, escriba como una sola potencia las siguientes expresiones, sin calcularlas.
6.
1 = 128
7
a)
Desarrollar los siguientes ejercicios:
9. Efectuar:
–27 = 125
3
•
55 57 . = 6 6 –
7
–1 4
10. Simplificar: 1 4 1 81 2 × × 9 16 100 11. Efectuar: 3 1 .4. 4 6 5 1 .6. 6 10
2
2 2 . – = 3 3
8 10 8 –7 8 2 . . = 13 13 13
3
12. Efectuar: 4. Utilizando la división de potencias de igual base, escriba como una sola potencia las siguientes expresiones, sin calcularlas. a)
9 10 9 ÷ = 8 8 4
5. Escribe como una sola potencia, sin calcularlas. a)
3 73 = 10
5 11 0 7 = 12
b) c)
114
4 –5 –2 = 9
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–3
2 5
+
–2
4 7
+
–1
13. Calcular: 3 5 A= 6 5
3
–5 –5 ÷ = 2 2 16 14 c) ÷ = 5 5
b)
1 2
2
14. Calcular: 8
1 16 2
15. Calcular "A . B", si: 12 33 A= – ;B= 3 5
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Operaciones con números fraccionarios II
Aplicación cotidiana Un carpintero se encarga de fabricar juegos didácticos para la estimulación temprana de bebés, y en esta ocasión le tocó confeccionar cubos de madera como se muestra en la figura.
3
7 cm 2
16. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo? 17. ¿Cuál es el área de uno de los lados del cubo?
Cubo
18. Un pediatra le sugiere que el tamaño del cubo es muy pequeño, por lo cual él decide aumentar el lado en 2/3 cm. ¿Cuál será el área del nuevo lado del cubo?
¡Tú puedes! 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la región sombreada, de la figura mostrada? A B
D 3 1 de de ABCD 2 5 3 1 d) de de ABCD 8 4 a)
C
3 1 de de ABCD 2 4 3 1 e) de de ABCD 4 5 b)
1 1 de de ABCD 4 2
c)
29 30
e)
2. Efectuar la siguiente suma: 1 1 1 1 1 1 + + + + + ... + 2 6 12 20 30 600 a) 1
b) 1,5
c)
24 25
d)
25 26
3. ¿Cuántas fracciones propias, cuyos términos son consecutivos, son menores que 0,75? a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
d) 8
e) 6
4. ¿En cuántos dieciséisavos es mayor 1/2 que 1/4? a) 1
b) 2
c) 4
5. Sergio pesa 18 kg más la séptima parte de su peso total. ¿Cuál es la tercera parte del peso de Sergio? a) 21 kg
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b) 14
c) 12
d) 7
e) 28
Unidad 3
115
Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Halle el resultado de: a) b)
3
8. Calcular "b", si:
–1 = 64
9. Efectuar:
121 = 144
c)
16 ;B= 25
1 2 1 ;B= – A= – 6 3
11 19
2 3 4
= –
11 19
7 5 7 7 7 2 7 4 7 × × × = 4 4 4 4 4
116
Colegios
–2
1 + 6
–2
1 + 8
–2
1 + 10
–2
1 3
2 1 9 . . 3 4 15
–3
÷ 5.
3 9 . 15 18
–3
2 5
–1
2 3
+
–2
A= –
3 2 3 ;B= – 4 5
3
15. Efectuar: 33 ×
a
TRILCE
1 P= 4
14. Calcular "A ÷ B", si:
7. Calcular "a", si:
2 4
13. Simplificar: 1 1 1 1 –3 × × 8 27 64
4
6. Calcular el valor del recuadro, en: –
b
12. Efectuar:
3
5. Calcular:
31 50
=
11. Reducir:
4. Calcular "A + B", si:
25 3 25 ÷ 16 16
125 729
35
10. Calcular:
27 64
3
31 50
÷
3. Simplificar: 1 9 25 64 2 × × 16 36 100
40
3
2. Calcular "A . B", si: A=
31 50
81 = 100
23 ×
1 3
2
3
13 1 × 2 3
2
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Aplicaciones de los números fraccionarios
Aplicaciones de los números fraccionarios
5
En este capítulo aprenderemos: •
E
A interpretar los enunciados para poder realizar las operaciones adecuadas.
Las fracciones en nuestras vidas cotidianas n nuestro lenguaje, utilizamos expresiones como éstas: "Me queda la mitad". "Falta un cuarto de hora".
"Tengo un décimo de lotería". "Caben tres cuartos de litro". "Está al treinta por ciento de su capacidad". En estas expresiones estamos utilizando fracciones. Por lo tanto, el empleo de fracciones es tan antiguo como nuestro lenguaje. En esta clase vamos a aprender a expresarlas matemáticamente y a reconocer su valor numérico. Tiene unas décimas de fiebre
•
Menciona las palabras más comunes que has escuchado, que tengan alguna relación con el tema de hoy.
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Unidad 3
117
Aritmética
Saberes previos 1. Hallar los
2 de 18. 3
2. ¿Qué fracción representa la región sombreada?
⇒
3. Reducir:
48 36
4. Efectuar:
2 3 + 5 4
5. Efectuar:
12 5 – 7 7
Conceptos básicos En este capítulo vamos a aplicar el concepto de fracciones a diferentes tipos de problemas, pero antes veremos algunas ideas más, que son sumamente útiles.
Relación parte – todo ¿Recuerdas la representación gráfica de una fracción, cierto?
3 partes 7 partes
¡No olvidar! Una fracción es una división de dos números enteros " a " donde: b ≠ 0. b
Aquí tenemos la fracción 3/7. Recuerda que eso significa que de los 7 pedazos en que se ha dividido el rectángulo, hemos tomado solo 3. Observa que en realidad los 7 pedazos son el total, y que los 3 pedazos que hemos tomado son solo una parte del total. Quiere decir entonces que una fracción es una relación de parte a todo, donde: Numerador Denominador
Parte = Fracción Todo
Ejemplo:
• En un salón de clases hay 50 alumnos y de ellos, 15 estudian inglés en un instituto. ¿Qué fracción de los alumnos del salón, estudia inglés en dicho instituto?
Resolución:
Observa que del total de alumnos del salón (son 50), solo una parte estudia en el instituto (que son 15), por eso la fracción pedida es: Parte 15 3 = = Todo 50 10
Fracción de fracción Observa el siguiente gráfico:
La fracción representada es 2/3, ¿cierto? (¿Porqué?)
118
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Aplicaciones de los números fraccionarios
¿Qué pasaría si ahora esa parte que está sombreada la sacamos un momento, y la dividimos en 5 partes iguales?
5
Ahora, de esas 5 partes (olvida por un momento la línea punteada), ¿qué pasaría si solo quisiese tomar 2 partes? Tendría algo así:
Que viene a ser 2/5, ¿no es así? Ahora regresemos lo obtenido al gráfico del principio y completemos las líneas:
Observa que la parte más oscura representa la parte que tomamos al final: 2/5. Pero esa es una parte, no del total, sino de una parte del total (¿Recuerdas? Al principio eran 2/3). Quiere decir que hemos tomado 2/5 de 2/3 del total. Y si analizas bien, en realidad la parte más oscura son 4 pedazos de un total de 15, lo que significa 4/15. Coloquemos estos resultados así: 2 2 4 de es igual que 5 3 15 Ya habrás notado que para que se cumpla, la preposición "de" debe reemplazarse con un "×" (por), quedando así: 2 2 4 × = 5 3 15 Ejemplo:
•
En un salón de clases, 2/5 de los alumnos son mujeres y de ellas, 1/4 vienen a pie al colegio. ¿Qué fracción del salón son las mujeres que vienen a pie al colegio?
Resolución:
Observa que lo que se pide es 1/4 de los 2/5 del salón, por eso: 1 1 2 1 × = 4 5 10 2
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Unidad 3
119
Aritmética
Síntesis teórica Aplicaciones de los números fraccionarios Son
Relación Parte – Todo
Fracción de fracción
No olvidar
Numerador Denominador
Parte = Fracción Todo
Ejemplo
3 2 de los de "N" 8 3 3 2 1 × ×N= ×N 8 3 4
Los
Ejemplo
¿Qué parte de 9 es 5? 5 9
10 x 5 50
Aplica lo comprendido •
Calcular cada una de las siguientes operaciones: 3 2 1. Los de los de 40. 5 4
2. La tercera parte de los
3 de 45. 5
3. La mitad de la quinta parte de 60. 4. La séptima parte de la mitad de 56. 5. ¿Qué parte de 15 es 5?
Aprende más 1. Calcula lo siguiente: 1 7 a) Los de los de 1 200 5 3 3 2 b) Los de los de 1 040 8 5 7 c) La mitad de la tercera parte de los de 108 9 2. ¿Qué resulta si a los 6/11 de 121, se le agrega los 5/6 de 72?
120
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TRILCE
3. ¿Qué resulta si a los 2/7 de 84, se le quita la mitad de los 2/13 de 52? 4. ¿De qué número es 48 sus 8/9? 5. Si los 8/17 de mi dinero equivalen a 24 soles, ¿cuánto es mi dinero? 6. ¿Qué número es tal que sus 6/13 equivalen a 48? www.trilce.edu.pe
Aplicaciones de los números fraccionarios
7. ¿Qué se obtiene si a 1/8 de 3/5 de 120, se le agrega los 7/9 de los 2/3 de 54? 8. Si los 5/9 de un terreno que pertenecen a un hermano, está valorizado en 50 mil dólares, ¿en cuánto está valorizado la parte que le pertenece al otro hermano? 9. En un salón de clases de 40 alumnos, cierto examen es aprobado por 25 alumnos. a) ¿Qué fracción del total del salón han aprobado? b) ¿Qué fracción del total del salón han desaprobado? 10. ¿En cuánto excede los 3/5 de los 5/12 de 1 200 a los 8/3 de 1/15 de 810?
11. Un pintor trabajando solo tardaría 4 horas en pintar una pared y otro pintor tardaría 6 horas, si también trabajase solo. ¿Cuánto tardarían, si trabajasen juntos?
5
12. Tengo S/. 36 y gasto S/. 24. ¿Qué parte de lo que gasto, no gasto? 13. Tres obreros deben realizar un trabajo. Si cada uno trabajara solo demoraría 3; 4 y 12 días. ¿Cuántos días demorarán trabajando juntos? 14. Carmen termina un trabajo en 15 días y Jorge en 10 días. Si trabajan juntos, ¿en qué tiempo terminarían la obra? 15. En una bolsa hay cierto número de canicas: 6 negras, 4 rojas y 9 azules. ¿Qué fracción del total son negras?
Aplicación cotidiana La municipalidad de La Molina designa un camión cisterna para regar las áreas verdes de un determinado sector que consta de 5 parques. En su recorrido, que se inicia en el parque 1 y termina en el parque 5 consume una cierta cantidad de litros de agua que se muestra en la siguiente tabla.
Número Cantidad de de parque litros 1 1/8 del total 2 7/35 del resto 3 5/28 del resto 4 3/5 del resto 5 184 litros
16. ¿Cuál es la capacidad del camión cisterna? 17. ¿Cuánto de agua utilizó para regar el parque número 2?
¡Tú puedes! 1. Si resuelvo los 3/4 de lo que no resuelvo, en un examen, ¿qué fracción del examen no resolví? 2 1 1 4 3 b) c) d) e) a) 5 4 3 7 7 2. Gasté los 2/7 de lo que no gasté y aún me queda S/. 45 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? a) S/. 27
b) 72
c) 81
d) 108
e) 180
3. Se reparten caramelos entre cuatro niños. Al primero le tocó 1/4 del total; al segundo 1/8; al tercero 1/12 y al cuarto le tocó 6 caramelos más que a los otros tres juntos. ¿Cuántos caramelos le tocó al segundo? a) 42
b) 39
c) 9
d) 56
e) 36
4. Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres. Si 12 de los profesores varones son solteros y los 3/5 de los mismos son casados, ¿cuál es el número de docentes? a) 80
Central: 619-8100
b) 90
c) 60
d) 70
e) 50
Unidad 3
121
Aritmética
5. Dos obreros pueden cavar una zanja en 20 días, pero trabajando por separado uno tardaría 9 días más que el otro. ¿Qué tiempo tardaría este otro? a) 45 días
b) 27
c) 24
d) 36
e) 32
18:10:45
Practica en casa 1. Hallar la quinta parte de la mitad de 80. 2. ¿Qué número es tal que sus 7/13 equivalen a 56? 3. Aumentar 240 en sus 5/12. 4. Disminuir a 350 sus 5/7.
10. Son las 4 p.m., ¿qué parte del día ya pasó? 11. Un albañil puede levantar una pared en 12 días, ¿qué parte habrá hecho en un día? 12. Si Franco demora una hora en realizar 1/7 de su tarea, ¿en cuánto tiempo realizará toda su tarea?
5. Calcular un número cuyo 9/19 equivale a 63. 6. Los 5/9 del costo de una chompa es S/. 45. ¿Cuánto cuesta la chompa? 7. En una bolsa de 30 caramelos, 12 son de fresa, 10 son de menta y el resto es de piña. ¿Qué fracción del total es de piña? 8. En un aula hay 64 alumnos. Si los 9/16 son mujeres, ¿cuántos hombres hay en dicha aula? 9. En una reunión a la que asistieron 120 personas entre hombres, mujeres y niños, se sabe que los 5/12 eran hombres y los 3/8 eran mujeres. ¿Cuántos niños asistieron a dicha reunión?
122
Colegios
TRILCE
13. Los 3/4 de los miembros de un comité son mujeres y 1/3 de los hombres están casados. Si hay 12 hombres solteros, ¿cuántas mujeres tiene el comité? 14. De los 60 soles que tenía Saúl, gastó 1/3 de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó? 15. Un comerciante vende la quinta parte de una pieza de tela. Si aún le sobra 16 metros, ¿cuántos metros tenía inicialmente?
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Operaciones con números decimales
Operaciones con números decimales En este capítulo aprenderemos:
E
•
A realizar las operaciones básicas con los números decimales.
•
A elaborar estrategias para la resolución de ejercicios.
¿Cómo sumaban los europeos en el siglo XVI? n el siglo XVI d.C. los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por ejemplo: 3 25 748 ; ; ; etc. 100 10 000 10
Naturalmente, para sumar las fracciones anteriores basta con tomar 10 000 como denominador común y se obtiene: 300 25 748 000 748 325 + + = 10 000 10 000 10 000 10 000 Este tipo de fracción se llama fracción decimal. Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía: 3 100
2 3
como 3 2
25 como 10 000 748 10
como
7
4 5 1 8
4
Al sumar estos números obtenía: 2 3 + 3 2 •
4 + 5 7
4
1 = 8
1 7
4
2
3
4
8 , 3
2
5
¿Cómo escribirías 14,56 utilizando el método del holandés Simón?
Saberes previos 1. Efectuar:
5 3 + 2 4
2. Efectuar:
7 8 × 4 21
12 18 3. Efectuar: ÷ 25 15
Central: 619-8100
5 9 4. Efectuar: 4 12 5. Efectuar:
11 5 – 9 6
Unidad 3
123
Aritmética
Conceptos básicos Adición y Sustracción de números decimales •
Si se trata de decimales exactos, buscamos que tengan la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros.
•
Si se trata de sumar o restar 6,83 con 11,8752; entonces, igualamos la cantidad de cifras de la parte decimal, es decir: 6,8300 con 11,8752.
•
Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la coma decimal esté alineada, para luego proceder a operar como si se tratara de números enteros.
•
En el resultado, volvemos a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que las demás. Ejemplos:
•
Efectuar: 7,3 + 15,18 + 2,0156
Completando con ceros a la derecha de la parte decimal: 7,3000 + 15,1800 + 2,0156
Escribiendo uno bajo el otro: 7 , 3000 + 15 , 1800 2 , 0156 24 , 4956 la coma conserva el lugar de las demás
Si se trata de decimales inexactos, buscamos la fracción generatriz.
•
Efectuar: 0, 3 + 2, 5 + 1, 6 =
3 5 6 3+5+6 14 3 41 + = +3= = 4,555... = 4, 5 +2 + +1 + = 9 9 9 9 9 1 9
Multiplicación y Potenciación de números decimales Para multiplicar decimales exactos, operamos como si se tratara de números enteros. La cantidad de cifras en la parte decimal del resultado es la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores. Ejemplos:
•
Efectuar: 32,73 × 2,6 32,73 × 2,6 19638 6546 85,098
Si se trata de decimales inexactos, buscamos la fracción generatriz. •
Efectuar: 3, 3 × 0,0 9 33 – 3 9 30 9 1 = × = × = = 0, 3 9 90 9 90 3
División de números decimales Para esto, multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como sea posible, para transformar los números decimales en enteros.
124
Colegios
TRILCE
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Operaciones con números decimales
Ejemplos:
•
Efectuar: 13,5 ÷ 7
Multiplicamos ambos términos por 10
⇒ 135 ÷ 70 135 70 650 630 200 140 60
7
(división de enteros)
70 1,92 ← Respuesta
Si se trata de decimales inexactos, buscamos la fracción generatriz. •
Efectuar: 0, 5 ÷ 0,1 6 5 16 – 1 5 15 5 90 10 = × = = ÷ = ÷ = 3, 3 9 90 9 90 9 15 3
10 x 5 50
Aplica lo comprendido •
En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones que se indican:
3. 12,6 + 4,3
1. 0,5 + 14,5
4. 2,3 × 1,5
2. 5,63 – 3,07
5. 1,44 ÷ 0,9
Aprende más 1. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) 0,3 + 0,8 + 3,15 b) 0,39 – 0,184 c) 1,2 7 + 1,5 + 0,9 3 2. Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) 0,3 × 0,7 c) 0, 2 × 0, 4
b) 2,14 × 3,41
3. Efectúa las siguientes divisiones: a) 1,7 ÷ 0,9 c) 0, 3 ÷ 0,15
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a) 3,4 × (– 0,2) ÷ 0,17 – 0,01 b) (– 5,6) × (–6,4) ÷ (0,32 – 0,24) + 0,09 c) ( 0,16 + 0,25 )2 – 4,86 ÷ 0,9 6. Efectuar: 0,2 – 7. Efectuar:
b) 3,37 ÷ 0,131
1 ÷ 0, 2 3
(0,5 – 0,02) × 0,6 0,45 ÷ 0,9 + 2
8. Efectuar: (0,6 – 0,05) ÷ 0,5
4. Efectúa las siguientes radicaciones: a) 0,01
5. Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
b) 1,21
c) 0,5625
9. Efectuar:
1 3 + 0,4 – × 5 2 4 Unidad 3
125
Aritmética
10. El valor de la expresión (0,01)3 es: 11. Hallar "T" en: T =
13. Si: 0, a + 0, b + 0,ab = 1,42; determina "a . b".
0,01 + 0,02 + ... + 0,09 1,18 – 0,8
12. Si: 0,n1 + 0,n2 + 0,n3 =
14 , calcula el valor 11
14. Hallar el resultado de: 0,0056 +
0,56 32 0,16
15. Efectuar: (15,156262...) – (0,156262...)
de "n". Aplicación cotidiana A inicios del 2010 la cadena de supermercados Plaza Vea presentó al público algunas ofertas en diferentes productos, los cuales variaron entre los meses de febrero y marzo. La señora Dorita estaba pensando realizar algunas compras en esos meses pero al final no lo pudo realizar, pero ayudemos a la señora Dorita a calcular los gastos que iba a realizar en esas compras mensuales.
Aceite Cocinero Agua sin gas Villa del Sur 1500 Arroz fino Gallo Oro Asado × 1 kg Azúcar Ledesma × 1 kg Bananas × 1 kg Bola de Lomo × 1 kg Cacao en polvo Nesquik × 360 Café La Morenita × 500 g Carne picada × 1 kg Cebolla × 1 kg Coca Cola × 2,25 L Crema de Enj. Plusbelle × L Dentífrico Colgate
27/02/2010 27/03/2010 5,63 5,04 2,6 2,4 7,9 8,15 28,59 21,52 2,55 2,75 3 4 28,59 24,6 6,56 7,09 11,40 11,65 12 13,6 3,3 3,5 6,5 6,7 6,50 7 3,6 3,68
16. Si hubiera realizado la compra de cada producto en el mes de febrero, ¿cuánto hubiera gastado la señora Dorita? 17. ¿En qué mes las compras hubieran sido más cómodas y cuánto era la cantidad que hubiera ahorrado? 18. Si compra 2 kg de asado, un sobre de 500 g de Café la Morenita, 2 botellas de coca cola y 3 kg de bananas, ¿cuánto hubiera pagado por dicha compra, si se sabe que lo iba a realizar en el mes de febrero?
¡Tú puedes! 1. Efectuar:
(0,1232323...)(3,666...) 6,777...
2 a) 3
b)
1 15
1 c) 5
d)
1 45
e)
3 5
2. Calcular: F = 0,98 – 0,97 + 0,96 – 0,95 + ... – 0,01 a) 0,48 3. Si:
c) 0,50
d) 0,51
e) 0,52
c) 5
d) 6
e) 7
a b + = 0,781; hallar "a + b" 5 11
a) 3
126
b) 0,49
Colegios
TRILCE
b) 4
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Operaciones con números decimales
4. Dados los números: 0,a b =
b–5 5a + 6 y 0,b a = 6 18
7
Hallar la tercera cifra decimal que resulta al sumarlos. a) 3
b) 6
5. Calcula el valor de: E = a) 2,4
c) 5
d) 4
e) 7
d) 3,6
e) 4,8
0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + ... + 0, 8 0,1 3 + 0,2 4 + ... + 0,7 9
b) 0,12
c) 1,2
18:10:45
Practica en casa 1. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones:
5. Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
a) 8,3 – 5,27
a) 6,2+[3,7 – 2,8 + 5,6]
b) 6,13 – (5,08 + 0,12)
b) 3,7 – [5,1 – (6,3 + 3,6)]
c) 7,6 + 5,7 – 0,6
c) 6,9 + {5,2 – [3,1 – (6,3 – 8,2)]}
d) 7,13 – 5,08
d) 7,2 + 2,1 + (2,3)2 – 6,3 x 5,1
2. Efectúa las siguientes multiplicaciones y potencias: a) (–3,5)(2,7) b) (–5,13)(–6,05) c) (4,3)2(1,2)2 d) (6, 3 )(2, 5 ) 3. Efectúa las siguientes operaciones de división:
6. ¿A qué es igual: 9,8888... – 0,8888...? 7. Efectuar: (12,567567567...) – (3,567567...) 8. Efectuar:
3,6666... + 5,3333... 4,8888... + 13,1111...
9. Hallar el cuadrado de "E", si:
E = 3, 2 + 1, 3 + 6, 4
a) (5,7) ÷ (0,2)
10. Halle la fracción generatriz de:
b) (48,5) ÷ (3,63)
c) 27,36 ÷ 2,42
11. Halle la fracción generatriz de:
4. Efectúa las siguientes radicaciones:
3,6666... + 0,12
2,555... + 3,888...
a)
11,56
b)
56,25
12. ¿Cuántas cifras tiene el periodo del decimal que resulta de operar:
c)
0,69 4
d)
0,21 7
3,12 – 5,121212... 13. Efectuar: 4
3, 8 + 1,01010101... ? –2
14. Calcular: 0,32111... 15. ¿Cuántos veinteavos es 0,45?
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Unidad 3
127
Aritmética
Complemento En este capítulo aprenderemos: •
A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias para cada proceso.
Síntesis teórica an am a n+m . = b b b
a cn an cn . = . b d b d
an am a n–m ÷ = b b b
anm a n.m = b b
Potenciación
Operaciones con fracciones II
n
a = b
n n
a b
n
a c . = b d
a . b
n
n
c d
Radicación Número fraccionario
Aplicaciones de los números fraccionarios
m
n
Relación Parte - Todo
am a n = b b
No olvidar
n
Numerador Denominador
p
m
a = b
n.m.p
a b
Parte = Fracción Todo
Fracción de fracción
Números decimales
Número decimal exacto
0,5; 1,28; 45,981
Número decimal exacto
Decimal periódico puro Número decimal inexacto
0, 6 ; 1,84; 23, 2
Decimal periódico mixto
0,2 3 ; 3,581; 7,10 4
0,8 =
Fracción
Decimal periódico puro
0, 5 =
Es la fracción que dio origen a un determinado decimal
128
Colegios
5 9
Decimal periódico mixto 1,3 4 =
TRILCE
8 10
134 – 13 121 = 90 90
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Complemento
8
Saberes previos 1. Efectuar: 4,75 – 2,9 2. Hallar la fracción generatriz de 0,4555… 3. ¿Qué parte de 12 es 8? 4. Si Andrea realiza su tarea en 8 horas, ¿qué parte de su tarea realizará en una hora? 5. Efectuar:
22 – 3
Recuerda que…! Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal.
1 9
Aprende más 3 7 1. Efectuar: 6 – 5 5 20
8. Un obrero demora 6 días en abrir una zanja. ¿Qué parte de la zanja abrió en 2 días?
2
2. Indicar la fracción generatriz de los siguientes decimales: a) 0,5 c) 2,405
b) 0,75 d) 15,25
3. Indicar la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos puros: a) 0, 3 c) 6,423
b) 0,12 d) 12,658
4. Indicar la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos mixtos: a) 0,1 6 c) 2,678
b) 0,4 9 d) 14,59 6
9. Efectuar: (0,5 + 0,76) × 5 10. Efectuar: (8,35 + 6,003 + 0,01) × 0,7 11. Una piscina está llena hasta sus 2/7. Si le añadimos 1 080 litros de agua, el nivel del agua sube hasta los 4/5 de su capacidad total. ¿Cuál es su capacidad total? 12. Estando el desagüe de una piscina cerrado, un caño demora 6 horas en llenarla y estando abierto el desagüe, el caño se demora 9 horas. Si llenamos la piscina y cerramos el caño, ¿en cuántas horas se vaciará completamente?
5. Manuel hace un trabajo en 15 horas y Pedro hace el mismo trabajo en 30 horas. ¿En cuántas horas harán dicho trabajo juntos?
13. Un caño llena un balde en 30 segundos, otro en 40 segundos y un tercero en 12 segundos. Si se abren los tres caños, estando vacío el balde, ¿en cuánto tiempo llenan el balde?
6. Se extraen 4 000 litros de una piscina que está llena en sus 2/3, quedando llena hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina?
14. ¿Cuál es el valor de "b + a", si se cumple que: 7 0,ab = ? 33
7. Raúl demora 15 min en lustrar los 3/5 del piso de su sala. ¿Qué parte lustró en 1 min?
15. Juan ha leído los 17/25 de un libro de 300 páginas. ¿Cuántas páginas le falta leer?
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Unidad 3
129
Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. ¿Qué fracción de la figura representa la región sombreada?
8. Efectuar:
(1,2)2 + 3,6 0,12
9. ¿Qué fracción de 105 es 45?
2. ¿Qué fracción del rectángulo mayor representa la región sombreada?
11. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en el casillero, para que la igualdad sea cierta?
3. En el dibujo anterior, ¿qué fracción de la región no sombreada representa la región sombreada? 4. Convertir la fracción 47/75 a número decimal. 5. Convertir la fracción 89/99 a número decimal y dar como respuesta la suma de las cifras de la parte decimal del periodo. 6. Encontrar la fracción generatriz de: 0,2343434…. Dar como respuesta la suma de cifras del numerador. 7. Dos obreros juntos necesitan 12 h para hacer un trabajo. Si uno trabajando solo lo hace en 20 h, ¿cuánto tiempo empleará el otro trabajando solo?
130
10. ¿Cuál es el número que deberíamos escribir en el casillero mostrado, para que la igualdad sea cierta? 2 = 46 de 9
Colegios
TRILCE
2 1 1 de de de 630 = 12 7 3
12. ¿Cuánto le falta a 3/5 de 5/7 para que sea igual a 2/3 de 3/4? 13. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 litros de agua. Si se extraen 15 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de leche salen? 14. Un tonel contiene 40 litros de vino y 10 litros de agua. Si extraemos 35 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de vino salen? 15. En mi granja tengo 200 pavos que representan los 10/13 del total de aves que tengo. ¿Cuántas aves tengo?
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Aproximaciones decimales
Aproximaciones decimales
9
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar las cifras de la parte decimal por sus respectivos nombres.
•
A aproximar números decimales.
No tengo esas monedas, ¿cuánto gastaré?
E
s muy común encontrarnos en una situación similar cuando estamos realizando alguna compra ya que muchos de los precios son números decimales, por lo cual es muy bueno conocer este tema ya que nos ayudará a resolver ciertas situaciones en nuestras vidas cotidianas, por eso te invito a practicar este tema con mucho entusiasmo. •
Alguna vez has visto una situación similar. Narra de manera breve dicha experiencia.
Saberes previos 1. Efectuar: 0,5 + 1,64 2. Efectuar: 4,76 – 2,9 3. Efectuar: 1,5 × 0,24 4. Efectuar: 5,85 ÷0,9
¡No olvidar! Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que están separadas por una coma.
5. Efectuar: 2,5 × 4 Central: 619-8100
Unidad 3
131
Aritmética
Conceptos básicos Valor de la posición de las cifras de un número decimal 72 , 291 parte decimal coma decimal parte entera
Tabla de los principales valores de posición Parte entera Parte decimal 5° 4° 3° 2° 1° 1° 2° 3° 4° 5° 3 8 7 2 9 , 4 5 2 7 2 decena de millar
cien milésimos
unidad de millar
diez milésimos
centenas
milésimos
decenas
centésimos
unidades
décimos coma decimal Nos fijamos en qué cifra decimal necesitamos trabajar Buscamos la cifra decimal siguiente
Sí Entonces para aproximar un número decimal, seguimos los pasos de este diagrama:
¿Es menor que 5?
Suprimimos todas las cifras que hay a la derecha de la cifra elegida
NO
Sumamos 1 a la cifra decimal elegida y suprimimos las cifras decimales siguientes
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Aproxima al décimo, cada uno de los siguientes números decimales: a) 5,246 b) 12,782 c) 0,067 2. Aproxima al centésimo, cada uno de los siguientes números decimales:
b) 9,0671 c) 10,2318 3. Aproxima al milésimo, cada uno de los siguientes números decimales: a) 24,5136 b) 19,0028
a) 3,4502
132
Colegios
TRILCE
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Aproximaciones decimales
9
Aprende más 1. Aproxima al décimo, cada uno de los siguientes números decimales: • 8,123
= ...............................................
• 5,675
= ...............................................
• 1,43212 = ............................................... 2. Aproxima al centésimo, cada uno de los siguientes números decimales: • 0,4576 = ............................................... • 3,6256 = ............................................... • 6,2412 = ............................................... 3. Aproxima al milésimo, los siguientes decimales: • 23,1265 = ............................................... • 12,4274 = ............................................... • 1,14159 = ............................................... 4. Resolver: 0,74 + (5,4)2; luego aproximar al entero. 5. Resolver: 12,51 ÷ 0,3 + 3,7 × 1,5; luego aproximar al décimo. 6. Resolver: (5,21 – 3,5) × 2,75; luego aproximar al milésimo. 7. Resolver: (1,1)3 + 3,8 × 0,2; luego aproximar al centésimo.
9. Resolver: (8,45 + 1,3) × 0,61; luego aproximar al centésimo. 10. Alberto compra aceite a un costo fue de S/. 8,64; luego compra fruta y paga S/. 12,78 y finalmente compra dos kilos de camote por S/. 3,46. ¿Cuánto gastó Alberto y aproximarla al entero? 11. Carlos quiere comprar 52,5 kilos de arroz. El bodeguero que le hará la venta le cobra S/. 2,7 por kilo. ¿Cuánto pagará en total? (El bodeguero redondeará el costo al décimo? 12. Jaime fue a un banco para cambiar 57 dólares, cuyo cambio estaba a S/. 2,89. ¿Cuántos soles le pagará la cajera? (Aproximar al décimo). 13. Determinar el volumen de un cubo de metal, cuya arista es 1,4 cm; sabiendo que el volumen es igual a la arista elevada al cubo. (Aproximar al entero). 14. Carmen realiza compras en un centro comercial por un monto total de S/. 127,63. Si paga con S/. 150, ¿cuánto le darán de vuelto? (Aproximar al décimo) 15. Si tenemos que: a = 14,473; b = 4,024 y c = 5,142 • Aproxima cada decimal al centésimo y luego, hallar "a + b + c". • Hallar "a + b + c" y luego aproximar al centésimo.
8. Resolver: (2,5)2 – (1,2)2, luego aproximar al entero. Aplicación cotidiana La constructora Ramos realizó un estudio a un terreno y elaboró un plano en el cual divide al terreno en tres lotes de diferentes dimensiones que estarán designadas para diferentes rubros comerciales. En la siguiente figura, se muestra el plano que elaboró dicha constructora. Ayudaremos al encargado de la obra a resolver algunas preguntas que se le encargó.
17. Hallar el área del lote 52. (Aproximar al entero) 18. ¿Cuál es la diferencia de las superficies del lote 53 y 54? (Aproximar al décimo)
Central: 619-8100
34,26
Lote 53
33,23
33,23
Lote 54
Lote 52
22,00
47,80
29,03 21,80
ueyrr e 22,46 dón
22,00
Av. P
16. ¿Cuál es el perímetro de todo el terreno? (Aproximar al décimo)
18,00
18,00
Calle: Antonio Alice
Unidad 3
133
Aritmética
¡Tú puedes! 1. Un tanque de almacenamiento de petróleo tiene la siguiente forma: r
Cilindro circular recto V = πr2h
h
donde: π = 3,1416
Si el radio de la base es 6,15 m y tiene 3,06 m de altura, determinar el volumen (V) de petróleo aproximando al centésimo. a) 360,60
b) 363,60
c) 350,40
d) 356,60
e) 363,59
2. Se tiene la siguiente fórmula física: 1 d =V0 . t + at2 2
Donde: d = distancia recorrida por un móvil t = tiempo a = aceleración V = velocidad inicial 0
Calcular la distancia recorrida (d) aproximando al décimo, cuando la aceleración (a) es 6,412 m/s2 en un tiempo (t) igual a 8,5 segundos partiendo del reposo, es decir: V0 = 0. a) 212,6 m
b) 230,6
c) 201,6
d) 231,6
e) 224,6
3. Calcular el área de un terreno cuya forma es un triángulo equilátero, sabiendo que el lado del terreno es 15,65 m. (Aproximar el área al entero) A=
L2 3 4
a) 102 m2
donde:
A = área del triángulo equilátero L = lado del triángulo
b) 110
c) 108
d) 106
e) 107
4. El motor de un carro tiene cuatro cilindros, cada uno con un radio de 4,65 cm. Si la carrera del pistón es de 5,4 cm; aproximar al décimo el desplazamiento total del pistón de este motor. Utiliza la fórmula: Vt = 4πR2 . d
a) 1 366,5
b) 1 466,5
Donde:
Vt: Desplazamiento total (volumen) R: Radio total de cada cilindro d: La carrera del pistón Considerar: π = 3,14
c) 1 400,5
d) 1 460,5
e) 1 870,5
5. Calcular el área de un terreno cuya forma es un triángulo equilátero, sabiendo que el lado del terreno es 17,85 m. (Aproximar el área al entero) L2 3 4
donde:
a) 130 m2
b) 125
A=
134
Colegios
TRILCE
A = área del triángulo equilátero L = lado del triángulo c) 138
d) 140
e) 154
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Aproximaciones decimales 18:10:45
9
Practica en casa 1. Aproximar al décimo, cada uno de los siguientes números decimales: •
6,582 =
•
8,462 =
•
4,1234 =
2. Aproximar al centésimo, cada uno de los siguientes números decimales: •
2,845 =
•
7,234 =
•
2,6451 =
3. Aproximar al milésimo, los siguientes números decimales: •
6,2368 =
•
3,4528 =
•
8,3401 =
4. Si: a = 4,064 ; b = 5,127 y c = 8,674 I. Aproximar cada decimal al centésimo y luego, hallar "a + b + c". II. Hallar "a + b + c" y luego, aproximar al centésimo. 5. Resolver: 0,74 + (5,6)2; luego aproximar al décimo. 6. Resolver: 14,64 ÷ 0,4 + 2,8 × 1,3; luego aproximar al décimo.
8. Enrique compró 4 kilos de manzana a S/. 1,6 el kilo, luego compró pollo cuyo costo fue de S/. 23,56 y finalmente arroz por S/. 4,65. Calcular lo que gastó Enrique y aproximarlo al décimo. 9. Calcular el volumen de un cubo de madera, cuya arista es 4,18 cm. (Aproximar al entero). 10. Carolina fue al banco para cambiar 75 dólares cuyo cambio estaba a S/.2,59. ¿Cuántos soles le pagará el cajero? (Aproximar al décimo) 11. Se quiere comprar 48 bolsas de caramelos. Sabiendo que cada bolsa vale S/. 2,35; ¿cuánto se gastará en total? (Aproximar al entero) 12. ¿Cuál será el área de un terreno rectangular cuyas dimensiones son 12,45 metros de largo y 8,24 metros de ancho? (Aproximar al décimo) 13. Camila fue a una casa de cambio para cambiar 140 euros cuyo cambio estaba a S/. 3,86. ¿Cuántos soles le pagará el cajero? (Aproximar al entero) 14. Si el paquete de viaje al Cuzco es de 357 dólares por alumno y el tipo de cambio es de S/. 2,93; ¿cuántos soles se tendrán que pagar por 28 alumnos? (Aproximar al entero) 15. Resolver: 23,2536 y aproximar al centésimo.
7. Resolver: (4,76 – 2,4) × 3,82; luego aproximar al milésimo.
Central: 619-8100
Unidad 3
135
UNIDAD 4 04
8
1/128
3
Medir es una preocupación constante en la sociedad, permite el intercambio de mercancías, y el desarrollo de técnicas y métodos científicos. La medición, constituye de por sí una rama casi independiente dentro del conocimiento humano. En las figuras podemos observar (de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo): Escalímetro (permite el trazo de dibujos a escala), barómetro, (para medir la presión de gases) y pie de rey, que permite la medición muy precisa de longitudes pequeñas.
La necesidad de saber las unidades de medida
E
n toda actividad humana se presenta la necesidad de medir cosas, desde la temperatura de un gas, hasta la longitud de una hoja, desde las dimensiones de un virus, hasta la profundidad de los abismos marinos. Cuando jugamos a menudo tenemos que medir, utilizamos por ejemplo la mano completamente abierta, cuando queremos conocer distancias, utilizamos los pies colocados uno detrás del otro para medir el espacio de nuestra habitación.
Solo hasta el año 1790 durante la Revolución Francesa, es que se decide adoptar el metro como unidad de medida de longitud. •
¿Cuántas palmas tiene tu compendio de Aritmética?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • • •
Identifica las unidades de longitud, capacidad y masa. Interpreta los resultados obtenidos, observando su aplicación a la vida real. Elabora modelos de la vida real, donde se aplique la conversión de las unidades de medidas.
Comunicación matemática • •
Reconoce y utiliza diferentes submúltiplos y múltiplos de las unidades de medidas. Utiliza el lenguaje correcto para leer enunciados de medidas.
Resolución de problemas • • •
Resuelve problemas que involucren medidas de longitud, capacidad y masa. Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los submúltiplos y múltiplos de las unidades de medidas. Elabora estrategias para resolver problemas de contexto real.
Conversión
Conversión
1
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los submúltiplos y múltiplos de la unidad de medida.
S
in medir, no hay ciencia posible. El patrón de las longitudes es sin duda el más conocido, el más útil. En diferentes comarcas se empleó en otros tiempos el pie, la pulgada, la línea, la brazada, el codo, etc. Según los lugares, una misma palabra representaba muchas veces varias medidas y resultaba una gran confusión. Los proyectos de unificación aparecieron bajo Philippe el bello, Louis XI, François I y Louis XIV, pero sin tener éxito. Era necesario primero ponerse de acuerdo sobre la unidad de longitud. Nuestro metro conoció algunas fluctuaciones. Después que Picard, en el año de 1670, propuso la longitud del péndulo que bate el segundo sexagesimal, se tomó (La Contamine en 1766) la medida de un grado meridiano en el Perú. En el año 1790, Talleyrand propuso el péndulo que bate el segundo a la latitud de 45° al nivel del mar. Luego, con la ley francesa del 26 de marzo de 1791 volvió la medida del meridiano y toma el nombre de "metro" para designar la diez-milésima parte de la distancia del Ecuador al polo. El decreto del 1ero de Enero de 1793 fija la longitud de ese metro a 3 pies 11 líneas y 44 céntimos.
•
Tú crees que era necesario tener una medida universal, ¿por qué?
Saberes previos 1. Efectuar: 2,48 ÷ 0,1
4. Efectuar: 45,89 × 1 000
2. Efectuar: 5,45 × 3,6
5. Efectuar: 845 ÷ 10 000
3. Efectuar: 542 ÷ 1 000
Conceptos básicos Unidades de longitud La unidad fundamental es el metro y ésta a la vez tiene: •
Submúltiplos: decímetros (dm), centímetros (cm) y milímetros (mm).
•
Múltiplos: kilómetro (km), hectómetro (hm) y el decámetro (dam).
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UNIDAD 4
137
Aritmética
Submúltiplos del metro (m):
Múltiplos del metro (m):
¿Metros?
1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
1 km = 10 hm 1 hm = 10 dam 1 dam = 10 m 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
Para transformar una unidad en otra, multiplicamos o dividimos sucesivamente por 10. Forma práctica: ×10
×10 km
hm ÷ 10
×10 dam
÷ 10
×10 m
÷ 10
×10 dm
÷ 10
×10 cm
÷ 10
mm ÷ 10
Ejemplos:
•
Convertir 1 800 m a km
•
Convertir 450 hm a km.
1 800 m = 1 800 ÷ 1 000 km = 1,8 km
450 hm = 450 ÷ 10 km = 45 km
Unidades de capacidad La unidad fundamental es el litro y ésta a la vez tiene: •
Submúltiplos: decilitros (dl), centilitros (cl) y mililitros (ml).
•
Múltiplos: kilolitro (kl), hectólitro (hl) y el decalitro (dal).
Submúltiplos del litro (l):
¿Litros?
1 l = 10 dl 1 dl =
10 cl 1 cl = 10 ml 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml
¡Importante! 1litro = 1 dm3
Múltiplos del litro (l): 1 kl = 10 hl 1 hl = 10 dal 1 dal = 10 l 1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l
Para transformar una unidad en otra, multiplicamos o dividimos sucesivamente por 10 Forma práctica: ×10 kl
×10 hl
÷ 10
×10 dal
÷ 10
×10 dl
l ÷ 10
×10
÷ 10
×10 cl
÷ 10
ml ÷ 10
Ejemplos:
138
•
Convertir 2 305 l a kilolitros.
•
Convertir 4 056 hl a kilolitros.
2 305 l = 2 305 ÷ 1 000 kl = 2,305 kl
4 056 hl = 4 056 ÷ 10 kl = 405,6 kl
Colegios
TRILCE
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Conversión
Unidades de masa
1
La unidad fundamental es el kilogramo y ésta a la vez tiene: •
Submúltiplos: hectogramo (hg), decagramo (dag), gramo (g), decigramo (dg), centígramo (cg) y miligramo (mg).
•
Múltiplos: miriagramo (mag), quintal métrico (q) y tonelada métrica (t). Trabajaremos con las unidades de masa más utilizadas en la vida real.
1 t = 1 000 kg 1 kg = 1 000 g 1 g =1 000 mg 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1 000 g
Ejemplos:
•
Convertir 2 kg en gramos
•
Convertir 76 mg en gramos
2 kg = 2 × 1 000 g = 2 000 g
76 mg = 76 ÷ 1 000 g = 0,076 g
Síntesis teórica Conversión
Unidades de longitud
Unidades de capacidad
tienen
tienen
Submúltiplos: decímetro (dm), centímetro (cm) y milímetro (mm)
Submúltiplos: decilitro (dl), centilitro (cl) y mililitro (ml)
Múltiplos: kilómetro (km), hectómetro (hm) y el decámetro (dam)
Múltiplos: kilolitro (kl), hectolitro (hl) y el decalitro (dal)
sus equivalencias
sus equivalencias
Submúltiplos del metro (m):
Submúltiplos del litro (l):
1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm
1 l = 10 dl 1 dl = 10 cl 1 cl = 10 ml
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml
sus equivalencias Múltiplos del metro (m):
tienen Submúltiplos: hectogramo (hg), decagramo (dag), gramo (g), decigramo (dg), centigramo (cg) y miligramo (mg) Múltiplos: miriagramo (mag), quintal métrico (q) y tonelada métrica (t)
sus equivalencias 1 t= 1 000 kg 1 kg = 1 000 g 1 g = 1 000 mg 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1 000 g
sus equivalencias Múltiplos del litro (l): 1 kl = 10 hl
1 km = 10 hm 1 hm = 10 dam 1 dam = 10 m 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
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Unidades de masa
1 hl = 10 dal 1 dal = 10 l 1 kl = 10 h l = 100 dal = 1 000 l
UNIDAD 4
139
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido •
Convierte las unidades que se indican:
3. 32 hl a cl
1. 9 cm a m
4. 45 kl a ml
2. 115 dm a cm
5. 820 t a kg
Aprende más 1. Convierte las siguientes unidades que se indican. a) 1 200 mm a m. b) 8 760 dm a mm c) 300 000 m a km d) 25 dm a cm 2. Convierte las siguientes unidades que se indican. a) 22 hl a l c) 19 l a dl
b) 125 000 ml a hl d) 25 cl a l
3. Convierte las siguientes unidades que se indican. a) 4 000 g a kg c) 75 000 kg a t
b) 37 g a mg d) 0,05 t a mg
4. Observa el ejemplo:
15 dm 16 cm = 150 cm + 16 cm = 166 cm
Escribe en la unidad inferior, cada uno de los siguientes ejercicios: a) 6 m 8 dm c) 48 dm 4 cm e) 46 m 2 dm 3 cm
b) 26 cm 7 mm d) 12 km 150 m
b) 1 358 kg d) 579 kg
6. El largo de un campo deportivo mide 7,5 dam y el ancho mide 56 m. Si un deportista ha dado 12 vueltas al campo deportivo, ¿cuántos metros ha recorrido el deportista?
140
Colegios
TRILCE
8. Una botella de gaseosa se distribuye en un equipo de fútbol que consta de 13 jugadores. Si cada jugador tomó 250 ml, ¿cuál es la capacidad de la botella en litros? 9. Un hipopótamo pesa 1 350 000 g aproximadamente. ¿Cuántas toneladas pesa el hipopótamo? 10. En un depósito hay 5,6 toneladas de arroz. ¿Cuántos costales se necesitarán, si en cada uno se puede encostalar 80 kg? 11. Si el perímetro de un triángulo equilátero es 268,5 cm; calcula la medida de su lado en milímetros. •
Un cordel mide 9,4 m. Si se han utilizado 86 cm, halle:
12. La longitud de la cuerda restante en metros
5. Convierte a toneladas, cada uno de los siguientes ejercicios: a) 200 kg c) 49 000 g
7. Un camión cisterna de 8 kl de capacidad distribuye agua a una comunidad campesina que consta de 250 casas. ¿Cuál es la capacidad en litros que distribuye a cada casa?
13. La longitud del lado del cuadrado que se formaría con la parte utilizada del cordel, en milímetros. 14. Halle el perímetro de un cuadrado, cuyo lado mide 4,8 m. Expresa la respuesta en centímetros. 15. Si el largo de un terreno rectangular es el doble de su ancho y este mide 72,3 m, calcular el perímetro del terreno en decímetros.
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Conversión
Aplicación cotidiana
Chiclayo
Brasil Huaraz
no
16. ¿Cuántos metros hemos recorrido de Lima a Ica?
Puerto Maldonado
Lima 303 km
Bolivia
801 km
m
0k
53
no
Ica
Cusco
Pu
ico
18. ¿Cuántos hectómetros hay de Lima a Puerto Maldonado?
Pacíf
17. ¿Cuántos decámetros hemos recorrido de Cusco a Puerto Maldonado?
Colombia
Ecuador
Ocea
La familia Ramírez decide hacer un tour por fiestas patrias Lima – Puerto Maldonado, pero para eso tiene que hacer unas escalas en Ica y Cusco en ese orden respectivamente. En el transcurso del viaje los hijos reclaman al papá diciendo que están aburridos, por lo cual este les encarga tomar nota de las distancias recorridas y al llegar van a responder ciertas preguntas y el que conteste bien recibirá un regalo sorpresa. Si tú fueras uno de sus hijos como responderías a las preguntas del papá. Observa la figura que se muestra:
1
Arequipa
Chile 18:10:45
Practica en casa 1. Convierte las siguientes unidades que se indican. a) 1 800 mm a m c) 200 000 m a km
b) 5 420 dm a mm
2. Convierte las siguientes unidades que se indican. a) 32 hl a l c) 45 l a dl
b) 2 750 ml a hl
3. Convierte las siguientes unidades que se indican. a) 6 000 g a kg c) 54 000 kg a t
b) 48 g a mg
7. La capacidad de un tanque de agua es de 9 dal. Si se utiliza 52,5 litros para regar un jardín, ¿cuánta agua queda en el tanque? 8. Un depósito de 0,25 kl de capacidad sirve para llenar una cantidad de botellas de 5 l cada una. ¿Cuántas botellas se emplearán? 9. Un termo lleno de café se distribuye en un grupo de 5 personas, bebiendo cada uno de ellos 200 ml. ¿Cuál es la capacidad del termo en litros?
4. Observa el ejemplo:
15 dm 16 cm = 150 cm + 16 cm = 166 cm
Escribe en la unidad inferior, cada uno de los siguientes ejercicios. a) 7 m 10 dm c) 24 dm 12 cm
b) 19 cm 5 mm
5. Convierte a toneladas, cada uno de los siguientes ejercicios. a) 900 kg c) 88 000 g
b) 2 546 kg
6. El ancho de un cuadro mide 56 dm y el largo del cuadro es el triple de su ancho. Calcula el perímetro del cuadro en centímetros. Central: 619-8100
10. Una ballena pesa 14 000 kg aproximadamente. ¿Cuántas toneladas pesa la ballena? 11. En un depósito hay 3,6 toneladas de azúcar. ¿Cuántos costales se necesitarán, si en cada uno se puede encostalar 90 kg? 12. Halla el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide 2,4 m. Expresa tu respuesta en centímetros. 13. Si el perímetro de un cuadrado mide 0,5 km; ¿cuánto mide su lado? Escribe tu respuesta en metros. UNIDAD 4
141
Aritmética
14. Si el largo de un terreno rectangular es el triple de su ancho y éste mide 32,4 m; calcula el perímetro del terreno en decímetros.
142
Colegios
TRILCE
15. ¿Cuántos pasos dará Camila de su casa a la academia, si la distancia entre ellos es de 4 km y en cada paso avanza 50 cm?
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Repaso
Repaso
2
En este capítulo aprenderemos: •
A reforzar los temas tratados anteriormente de una manera sencilla y práctica.
Síntesis teórica
Aproximaciones decimales
Nos fijamos en qué cifra decimal necesitamos trabajar Buscamos la cifra decimal siguiente
Sí
¿Es menor que 5?
Suprimimos todas las cifras que hay a la derecha de la cifra elegida
NO
Sumamos 1 a la cifra decimal elegida y suprimimos las cifras decimales siguientes
Conversión
Unidades de longitud
Unidades de capacidad
tienen
Unidades de masa
tienen
tienen
Submúltiplos:
Submúltiplos:
Submúltiplos:
decímetro (dm) centímetro (cm) milímetro (mm)
decilitro (dl) centilitro (cl) mililitro (ml)
Múltiplos:
Múltiplos:
kilómetro (km) hectómetro (hm) decámetro (dam)
kilolitro (kl) hectolitro (hl) decalitro (dal)
hectogramo (hg) decagramo (dag) gramo (g) decigramo (dg) centigramo (cg) miligramo (mg)
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Múltiplos: miriagramo (mag) quintal métrico (q) tonelada métrica (t) UNIDAD 4
143
Aritmética
Saberes previos 1. ¿Qué es una fracción generatriz? ¡Recuerda que…! Los términos de una fracción son: numerador (Parte) y denominador (Todo).
2. Aproximar 1,456 al décimo. 3. Efectuar: 1,75 × 2,4 4. Efectuar: 0, 5 + 0,12 5. Hallar la fracción generatriz de 0,2 7
Aprende más 1. Convierte a las unidades que se indican: a) 9 cm a milímetros. b) 88 dm a centímetros. c) 10 m a decímetros. 2. ¿Qué parte de
9. Si:
7 2 es ? 9 3
3. Hallar el área de un cuadrado, si el lado mide 4,65 cm. (Aproximar al décimo) 4. Convierte a toneladas, cada uno de los siguientes ejercicios: a) 200 kg
b) 4 536 kg
c) 72 650 kg 5. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 0,75
b) 1,22222...
c) 0,1666… 6. Pepe puede hacer una obra en 18 días, Beto puede hacer la misma obra en 9 días y Carlos puede hacerla en 12 días. ¿Cuánto tiempo emplearán, si trabajan los tres juntos? 7. Un lingote de plata pesa 6 kg más la cuarta parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote?
144
Colegios
TRILCE
8. ¿Qué hora es, cuando la parte transcurrida del día es los 3/5 de lo que falta para acabar el día? 5 = 0,2 7 ; hallar "a + b". ab
10. De una pieza de tela se ha cortado la mitad y luego la cuarta parte del resto. Sabiendo que al final quedaron 24 metros, ¿cuál era la longitud de la tela? 11. Hallar "a2", si: 0,a 3 =
7 30
12. Un caño puede llenar un depósito en 3 horas y otro lo puede hacer solo en 4 horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará el depósito? 13. Estrella, el primer día lee 1/4 del número de páginas de una novela y el segundo día lee los 2/5 del resto. ¿Qué parte de la novela le queda por leer? 14. Efectuar: 1 3
–3
+
2 5
–2
33 × 15. Efectuar: 23 ×
+ 1 3
4 23
–1
3
13 1 × 2 3
+
1 10
–1
2
2
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Números decimales
Números decimales En este capítulo aprenderemos: •
A identificar las clases de números decimales y a la vez a encontrar la fracción generatriz.
El uso de las fracciones
A
unque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.
Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera: 25 3 324 = 25; = 03; = 324 10 100 100 Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal: 25 = 25 = 2,5 10 324 = 324 = 3,24 100 3 = 03 = 0,03 100 Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir lo que hoy se llaman números decimales. Sabiendo que el origen de la escritura de los números decimales está vinculado a la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal. 37 en un número decimal, utilizando la idea que propuso Napier. • Convierte la siguiente fracción 100 Central: 619-8100
UNIDAD 4
145
Aritmética
Saberes previos 1. Expresar la siguiente división: 12 ÷ 48 como una fracción. 2. Expresar la siguiente división: 84 ÷ 64 como una fracción. 3. Indicar si la división: 68 ÷ 15 es exacta o inexacta. 4. Indicar si la división: 56 ÷ 14 es exacta o inexacta.
¡No olvidar! En una división exacta, el residuo no existe y en una división inexacta, el residuo es mayor que cero.
5. ¿Qué es una fracción propia e impropia?
Conceptos básicos Número decimal Es la expresión lineal de una fracción (ordinaria o decimal) que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. Ejemplos:
•
1 = 0,2 (resulta de dividir 1 ÷ 5) 5
•
2 = 0,6666... (resulta de dividir 2 ÷ 3) 3
•
7 = 0,4666... (resulta de dividir 7 ÷ 15) 15
¡Recuerda que…! Una fracción decimal tiene como denominador a una potencia de 10, en cambio una fracción ordinaria tiene como denominador diferente a una potencia de 10.
Clasificación de los números decimales
Número decimal exacto
Son aquellos que tienen un número limitado de cifras. Ejemplos:
Fracción 1 4
146
Decimal exacto 0,25
2 5
0,4
111 200
0,555
Número decimal inexacto
Son aquellos que tienen un número ilimitado de cifras en su parte decimal. Estos números a su vez pueden ser:
Decimal periódico puro
Es aquel en cuya parte decimal aparece uno o un grupo de cifras que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal.
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Números decimales
Ejemplos:
Fracción 2 3
6
Decimal (periódico puro) 0,666... = 0, 6
13 99
0,1313... = 0,13
19 27
0,703703... = 0,703
Decimal periódico mixto
Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o un grupo de cifras después de la coma decimal; a esta cifra o grupo de cifras la llamamos "parte no periódica". Ejemplos:
Fracción 5 6
Decimal (periódico mixto) 0,83333... = 0,8 3
7 30
0,2333... = 0,2 3
1727 9900
0,174444... = 0,17 4
Ejemplos:
Recuerda: Todas las fracciones tienen representación decimal; pero existen números decimales donde su parte decimal tiene infinitas cifras sin presentar período alguno, estos no pueden expresarse como fracciones.
•
1,414213562... proviene de 2
•
–2,20606797... proviene de – 5 .
•
3,141592653589799323846... el famoso π.
Estos números son irracionales.
Fracción generatriz Es la fracción que dio origen a un determinado número decimal.
Generatriz de un decimal exacto a) Se escribe en el numerador todo el número decimal, pero sin la coma decimal, como si fuera un número entero. b) Se escribe en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. c) Si se puede se simplifica.
Ejemplos:
•
0,75 =
75 3 = 100 4 2 ceros, porque hay dos cifras en la parte decimal
•
3,125 =
3 125 25 = 1 000 8 3 ceros, porque hay tres cifras en la parte decimal
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UNIDAD 4
147
Aritmética
Generatriz de un decimal periódico puro a) En el numerador se escribe todo el número decimal (sin la coma decimal) y se resta la parte entera. b) En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período. c) Se simplifica, si se puede.
Ejemplos: Parte entera
•
0,545454... = 0,54 =
54 – 0 54 6 = = 99 99 11 2 nueves, porque hay dos cifras en el período
Parte entera
•
6,18 =
618 – 6 612 68 = = 99 99 11
Generatriz de un decimal periódico mixto a) Se escribe en el numerador todo el número decimal, como si fuera un número entero y restamos el número que se forma sin considerar el período. b) En el denominador escribimos primero tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Ejemplos:
•
0,159090... = 0,1590 =
1 590 – 15 1 575 7 = = 9 900 9 900 44 2 ceros, porque hay dos cifras decimales no periódicas 2 nueves, porque hay dos cifras en el período
•
7,623 =
7 623 – 76 7 547 = 990 990 ¡No olvidar! La fracción generatriz es la que origina un determinado número decimal.
148
Colegios
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Números decimales
6
Síntesis teórica Números decimales
Número decimal exacto
Número decimal inexacto
Tienen un número limitado de cifras
Decimal periódico puro
Decimal periódico mixto
0,5; 1,28; 45,981
La parte decimal es una cifra o un grupo de cifras que se repite indefinidamente
El periodo empieza luego de una cifra o un grupo de cifras, después de la coma decimal
0, 6 ; 1,84; 23,21
0,2 3 ; 3,581; 7,10 4
Fracción Generatriz
Es la fracción que dio origen a un determinado número decimal
Decimal periódico puro
Decimal periódico mixto
Número decimal exacto
•
1,54 =
•
0,8 =
Central: 619-8100
154 100
8 10
•
1,21 =
121 – 1 120 40 = = 99 99 33
•
1,3 4 =
134 – 13 121 = 90 90
•
0, 5 =
5 9
•
0,213 =
213 – 2 211 = 990 990 UNIDAD 4
149
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Mencionar que tipo de número decimal se obtiene en las siguientes fracciones: 12 24 a) b) 20 15 c)
7 9
d)
14 21
2. Hallar la fracción generatriz de 2,47 3. Hallar la fracción generatriz de 1,242424… 4. Hallar la fracción generatriz de 0,3 4 5. Hallar la fracción generatriz de 0,27777…
Aprende más 1. Marca con un aspa en el recuadro correspondiente: Número racional Número 0,75
Decimal exacto
Decimal inexacto Periódico puro
Periódico mixto
x
5,233333..... 107,52 0,6222..... 7,6424242.... 0,55555...... 2. Escribe en forma de número decimal, los siguientes números racionales. Número racional
Número decimal
3. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales: Número decimal 0,75
1 4
0, 2 0,24 6
5 12
5,48 0,727272...
1 3 3 8 5
2 3
11 37
150
Colegios
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Fracción generatriz
0,1666... 4. ¿Cuál es el valor de "b – a", si se cumple que: 7 0,a b = ? 15 5. Hallar "a", si: 0,a 3 = 6. Si:
7 30
29 = a,bac; hallar "a + b + c". 22 www.trilce.edu.pe
Números decimales
7. Si la fracción generatriz de 0,8 3 es:
a , cala+1
11. Halle el valor de "a + b", si: 0,ab + 0,ba = 1, 5
cular "a".
12. Calcular "a + b", si: 1, 7 = a, b
5 genera el número decimal 37 0,abc; calcular "a + b + c".
13. Si:
8. Si la fracción:
9. Si: 0,1a =
m , hallar: (m + a)2 11
a b + = 1,a; hallar "a + b" 5 10
14. Hallar "a + b + c", si: 0,ab c =
3 5 = 0, 3 ; halle: e indique la cifra m m+3 periódica del número decimal que origina.
10. Si:
6
15. Si:
7 12
ab = 0,222..., calcular "b – a". ba
5
Aplicación cotidiana
0,5
0,73
En la figura se muestra las dimensiones de una cómoda (en metros). 16. Hallar la fracción generatriz de la altura de la cómoda.
0,0
0,75
18. Hallar la fracción generatriz del largo de la cómoda.
3
17. Hallar la fracción generatriz del ancho de la cómoda. 1,20
0,45
¡Tú puedes! 1. Si:
a = 0,n(n – 1)(n + 1) ; halle "a + n" 37
a) 16 2. Si:
b) 12
d) 14
e) 15
m = 0, 2 ; donde: m + n = 66, hallar la suma de cifras de "n". n
a) 7
b) 8
3. ¿Cuántos valores puede tomar "N", si: a) 1 4. Si:
c) 13
b) 2
c) 9
d) 12
e) 13
d) 4
e) 5
N = 0,0ab? 37 c) 3
a b + = 0,(a + 1)(a + b), calcular "a"; si es diferente de cero. 11 9
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. Hallar una fracción equivalente a 0, 2 cuyo numerador está comprendido entre 15 y 35 y su denominador entre 50 y 75. 16 2 4 8 10 c) e) a) b) d) 9 9 27 45 72 Central: 619-8100
UNIDAD 4
151
Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Marca con un aspa en el recuadro correspondiente: Número racional Número
Decimal exacto
Decimal inexacto Periódico puro
Periódico mixto
0,725 7,64242... 57,58765 0,35563556… 0,555555... 2. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales: Número decimal
Fracción generatriz
0,24 5,484848... 0,528 0,2444... 0,323232... 3,2888... 0,5666... 3. Completa el cuadro siguiente, según sea el tipo de número decimal al que la fracción da lugar. Número racional
Número decimal
Tipo de decimal
1 6
1 30
152
7 1 – 3 11 137 111
10. Hallar el valor de "a . b", si: 0,ab =
9 74
Colegios
101 33
9. Halle "a + b + c", si: 1,abc =
3 55
5 33
9 2 – 2 3
8. Halle "a . b", si: a,ab =
4 5
TRILCE
6. Halle "a", si: a,8 a =
7. Halle "a + b", si: a,0b =
29 40
4. Halle el valor de "a – b", si: 0,ab =
5. Halle el valor de "a . b", si: 0,ab =
13 25
11. Hallar el valor de "a + b", si: 0,aba = 19 25
12. Hallar el valor de "ba", si: 0,ba =
63 250
4 11
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Repaso 18:10:45
6
Practica en casa 1. Aproximar los siguientes números decimales: a) 1,574 al décimo.
8. Los 3/4 del alumnado de un aula son varones y 12 estudiantes son mujeres. ¿Cuántos estudiantes hay en el aula?
b) 0,2518 al centésimo. c) 42,0583 al milésimo.
9. En una reunión los 2/3 de los asistentes son varones y 3/5 de las mujeres son casadas, en tanto que las otras 6 son solteras. ¿Cuál fue el número de personas que asistieron a la reunión?
2. Efectuar: 1 1 – 2 3 1 1 – 3 4
2
10. ¿Cuántos centímetros hay en 0,05 km?
3. Efectuar: 1 1 1 5 + + – 3 4 5 12 1 2 – 2 15
7. ¿Cuántos decímetros hay en 8 metros?
11. Hallar el valor de: F = 5 –2 1 × 2 9 3
4. Con los S/. 65 que tenía compré cuadernos por S/. 15 y además gasté los 7/10 del resto en una camisa. ¿Cuánto me queda? 5. Candy está llenando un tanque de agua y observa que en las dos primeras horas se llenó la octava parte y en las dos horas siguientes la veinteava parte, faltando 33 litros para llenar el tanque. Determinar la capacidad del tanque.
0,6 1 ÷
0,18
12. Determinar el valor de "a . b", si: b 0,1a = 11 13. Efectuar: F =
0, 7 + 0, 8 0, 6 + 0, 5
14. Si: 0,ab =
8 , calcular "a – b" 11
15. Si: 0,a 3 =
7 ; hallar el valor de "a". 30
6. Si regalo los 2/5 de mi dinero y luego regalo S/. 8 me quedaría S/. 37. ¿Cuánto me quedaría, si hubiese gastado los 3/5 de mi dinero y luego regalaba S/. 5?
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UNIDAD 4
153
Aritmética
Razones En este capítulo aprenderemos: • •
A identificar y diferenciar las clases de razones. A formular estrategias para el desarrollo de ejercicios propuestos.
595 m 565 m
500 m 475 m 460 m 430 m centro del reloj 400 m
350 m Actual altura: 320 m
270 m 250 m
230 m
•
154
Colegios
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UNIDAD 4
¿Cuál es la medida que se empleó en el sector del reloj?
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Razones
6
Saberes previos 1. ¿En cuánto excede 38 a 24?
5. Completar los términos de la división:
← 48 ÷ 16 = 3 → ↓
35 25
2. Simplificar:
3. Restar 45 de 68 ¡No olvidar…! En una división exacta, el residuo no existe.
4. Completar los términos de la sustracción:
← 54 – 28 = 26 → ↓
Conceptos básicos Razón Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción o división. Ejemplo:
Analicemos el siguiente caso: •
"Compara las edades de Jorge y Carla que son 35 y 7 años, respectivamente".
Resolución: Comparando por sustracción
Razón aritmética:
35 años – 7 años = 28 años "La edad de Jorge excede a la de Carla en 28 años".
Comparando por división
Razón geométrica: 35 años =5 7 años
"La edad de Jorge es el quíntuplo de la edad de Carla"
En general: A = RG B 123
A – B = RA 123
Razón aritmética
Razón geométrica
En ambos casos:
"A" es antecedente "B" es consecuente RA = valor de la razón aritmética RG = valor de la razón geométrica
Observación: • • •
•
""A" es a "B" como 3 es a 7" ⇒ A = 3k y B = 7k "Las edades de "A" y "B" están en la relación de 5 a 9" ⇒ A = 5k y B = 9k " "A"; "B" y "C" son entre sí como 3; 7 y 11" ⇒ A = 3k; B = 7k y C = 11k
Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades, se considerará la razón geométrica.
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UNIDAD 4
155
Aritmética
Síntesis teórica Razón es mediante la
La comparación de dos cantidades
mediante la
Sustracción
División
a – b = RA
a = RG b donde "a" es antecedente "b" es consecuente "RA" es el valor de la razón aritmética "RG" es el valor de la razón geométrica
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Halla la razón aritmética de 48 y 36. 2. Halla la razón geométrica de 28 y 35. 3. Completar:
"La razón es la …………………………… de dos cantidades mediante la ………...………………... y ………………………….."
4. Si Martín tiene 21 años y Ximena tiene 18 años, ¿quién sería el antecedente y quién el consecuente? 5. Representar el siguiente enunciado como una razón:
"Las propinas de Arturo y Carmen están en la relación de 7 a 9"
Aprende más 1. La razón de dos números es 3/5 y su suma es 4. La suma de tres números es 435. Si la razón entre el primer y segundo número es 3/7 y la 1 216. Hallar el número menor. diferencia de los mismos es 148, hallar el tercer número. 2. Dos números son entre sí como 4 es a 7. Si su razón aritmética es 78, hallar su suma. 5. La suma de dos números es 320 y su razón geométrica es 3/7. Hallar el número mayor. 3. Dos números están en la relación de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el número mayor.
156
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6. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si su razón aritmética es 72, hallar el número mayor. www.trilce.edu.pe
Razones
7. Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. 8. La razón aritmética de las edades de dos hermanos es 9 años. Si la suma de sus edades es 37 años, hallar la edad del mayor dentro de 5 años. 9. La suma de tres números es 445. Si la razón entre el primer y segundo número es 5/9 y la diferencia de los mismos es 120, hallar el tercer número. 10. Tres números están en la misma relación que 5; 11 y 15. Si la suma de los dos menores excede al mayor en 24, calcule el menor de dichos números.
11. Dos números se encuentran en la relación de 5/4 y su producto es 980. Hallar la suma de dichos números.
6
12. En una reunión se observó que por cada 3 mujeres, habían 7 hombres y además el número de hombres excede al de mujeres en 28. ¿Cuál es la nueva relación de hombres a mujeres, si se retiran 14 parejas? 13. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 5; 8 y 2. ¿Cuál es la medida del ángulo mayor? 14. En una caja se tienen 140 bolas, 80 blancas y el resto azules. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancas por cada 6 bolas azules?
Aplicación cotidiana En el 2010 se finalizó las obras del Metropolitano y a la vez se puso en funcionamiento para que los usuarios sean favorecidos en la disminución del tiempo que empleaban en llegar a sus destinos. Pero muy pocos saben que esta obra consta de dos tipos de buses que son: los buses articulados que recorren las 35 estaciones intermedias que conforman la ruta troncal y los buses alimentadores que circulan de las estaciones de transferencia hacia los paraderos de las rutas alimentadoras o viceversa. Cada uno de estos buses posee una longitud y capacidad de personas diferentes.
Buses alimentadores
Buses acoplados
15. Entre los buses articulados y alimentadores, la relación de sus longitudes son entre sí como 3 es a 2 y además el producto de dichas medidas resulta 216 m2. Halla la longitud del bus articulado. 16. La capacidad de personas entre un bus articulado y un bus alimentador son entre sí como 48 es a 24. Si la suma de las capacidades de ambos buses es 240, ¿cuál es la capacidad del bus alimentador? 17. En estos dos grupos de buses, cada uno cuenta con una flota distinta y los buses articulados exceden en 80 unidades a los buses alimentadores y además la cantidad de buses son entre sí como 60 es a 44. ¿Cuántos buses hay en total?
¡Tú puedes! 1. En una reunión hay hombres y mujeres, siendo el número de mujeres al total de personas como 7 es a 11 y la diferencia entre mujeres y hombres es 21. ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres, si se retiran 14 mujeres? 5 5 7 4 3 c) d) e) a) b) 4 3 3 2 3
Central: 619-8100
UNIDAD 4
157
Aritmética
2. En un salón de clases, el número de varones es al número de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al profesor y a una alumna menos, la nueva relación será 2/3. Hallar cuántas alumnas hay en el salón. a) 25
b) 15
c) 20
d) 30
e) 24
3. En una caja se tienen 200 bolas, de las cuales 130 son blancas y el resto rojas. ¿Cuántas bolas blancas se deben aumentar, para que existan 3 bolas blancas por cada bola roja? a) 50
b) 70
c) 80
d) 90
e) 60
4. Las edades de Rocío y Edwin son 52 y 40 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años, sus edades estarán en la relación de 17 a 14? a) 16
b) 20
c) 12
d) 14
e) 18
5. En un sindicato se realiza una votación sobre una moción y se perdió. Luego de una apelación se volvió a votar y ahora la moción fue aceptada por el triple de votos por el que se había perdido la primera vez y la nueva mayoría con respecto a la anterior es como 11 es a 9. ¿Cuántos asistieron a la votación, si fueron 120 los que cambiaron de opinión? a) 420
b) 480
c) 520
d) 560
e) 600 18:10:45
Practica en casa 1. La razón de dos números es 7/5 y su diferencia es 248. Hallar el número menor. 2. Dos números son entre sí como 9 es a 4. Si el número mayor es 135, hallar el menor. 3. Dos números son entre sí como 2 es a 11 y su suma es 91. Calcular la diferencia de dichos números. 4. Calcular "A . B", si: 6A = 9B y además: A + B = 50. 5. Dos números están en la relación de 13 a 7 y su razón aritmética es 120. Hallar el número mayor. 6. La suma de tres números es 451. Si la razón entre el primer y segundo número es 4/9 y la diferencia de los mismos es 135, hallar el tercer número. 7. Dos números están en la relación de 2 a 5 y el producto de ellos es 250. Hallar el número menor. 8. Si:
a 3 = b 5
9. Si: 7p = 4q
y además: q2 – p2 = 297, hallar: "q – p"
10. Las edades de Carlos y Susana están en la relación de 3 a 5 respectivamente y la suma de sus edades es 56. ¿Qué edad tiene Susana? 11. Tres números son entre sí como 5; 7 y 10. Si la suma de ellos es 220, hallar el mayor de los números. 12. Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 a 3 respectivamente. ¿Qué edad tiene la mayor, si la suma de sus edades es 85 años? 13. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg y estos pesos están en la relación de 7 a 4. Calcule el peso del vehículo menos pesado. 14. El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es de 5 a 3. Calcular el área del rectángulo. 15. Dos amigos deben repartirse $ 27 000 en la razón de 7 a 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor?
y además: 3a – b = 124, hallar: "a + b"
158
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Regla de tres simple
Regla de tres simple En este capítulo aprenderemos: •
A identificar una magnitud directa e inversa.
•
A elaborar estrategias para el desarrollo de ejercicios propuestos.
E
n el día a día siempre se dan situaciones como se muestran en la imagen. Por ejemplo, el señor decide llenar 1 galón de combustible a su automóvil, pero el trabajador por equivocación llena 2 galones y medio. Además se sabe que en ese mes, el galón de combustible tiene un valor de S/. 15,80. •
¿Cuánto pagará el señor por la equivocación del trabajador?
Saberes previos 1. Efectuar: 15 × 6
4. Efectuar: (16 × 28) ÷ 56
2. Efectuar: 148 ÷ 4
5. Hallar "x" en:
3. Efectuar:
24 . 7 14
x.5 = 10 12
Conceptos básicos Regla de tres Es un método especial de resolución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen dos o más magnitudes. Central: 619-8100
UNIDAD 4
159
Aritmética
Regla de tres simple
En este caso intervienen solo dos magnitudes proporcionales.
Dependiendo de las magnitudes que intervienen, la regla de tres simple puede ser: directa o inversa.
Regla de tres simple directa
"Cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P.)" Magnitud "A" D.P. Magnitud "B"
Método práctico:
a
b
c
x x=
b.c a
Ejemplo:
•
Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana, ¿cuántas carpetas fabricará en 12 días?
Resolución:
Las magnitudes que intervienen son: obra y tiempo.
Notamos que a "mayor" tiempo, el carpintero podrá fabricar "mayor" número de carpetas.
Además los valores de una magnitud deben estar en las mismas unidades.
Así: 1 semana = 7 días Obra (N° de carpetas)
D.P.
Tiempo (días)
35
7
x
12 x=
35 . 12 = 60 carpetas 7
Regla de tres simple inversa
"Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P.)" Magnitud "A" I.P. Magnitud "B"
Método práctico:
a
b
c
x
x=
a.b c
Ejemplo:
•
Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12 días, ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en 15 días?
Resolución:
Las dos magnitudes que intervienen son: obreros y tiempo; pues la obra es la misma.
Notamos que a "mayor" número de días se necesitará "menor" número de obreros. Obreros
160
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I.P.
Tiempo (días)
10
12
x
15 x=
10 . 12 = 8 días 15 www.trilce.edu.pe
Regla de tres simple
4
Síntesis teórica Regla de tres simple solo Intervienen dos magnitudes pueden ser
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Las magnitudes que intervienen son D.P.
Las magnitudes que intervienen son I.P.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Para terminar una obra en 9 días, se necesitan 32 obreros. ¿En cuántos días terminarán la obra 24 obreros?
3. Cinco paquetes de chocolates son suficientes para 20 niñas. ¿Cuántos paquetes de chocolates se necesitarán para 32 niñas?
2. Veinticuatro obreros hacen una obra en 30 días. ¿Cuánto tiempo demorarán el doble de obreros para hacer la misma obra?
4. Un caño arroja 40 litros de agua en 25 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 5 minutos? 5. Si 3 litros de pintura cuestan 15 soles, ¿cuánto costarán 80 litros de pintura?
Aprende más 1. Para pintar 75 m2 de una sala son necesarios 30 galones de pintura. ¿Cuántos galones serán necesarios para pintar 15 m2? 2. Si 135 obreros construyen 30 metros de pista; 63 obreros, ¿cuántos metros construirán en igual tiempo? 3. Si 8 chocolates cuestan S/. 145, ¿cuál será el precio de 6 docenas de chocolates? 4. Veinticuatro carpinteros hacen una casa en 30 días. El triple de carpinteros, ¿qué tiempo demorará para hacer la misma obra?
Central: 619-8100
5. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, un peón cobra 200 soles. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado, de 12 m de lado? 6. Trescientos hombres tienen provisiones para 51 días. Si estas provisiones deben alcanzar para 153 días, ¿cuántos hombres deben retirarse? 7. Sonia gasta S/. 24 en pintar un cubo de madera de 10 cm de arista. ¿Cuánto gastará por pintar otro cubo de triple arista? 8. Un barco tiene víveres para 72 pasajeros durante 33 días. Pero si viajan 99 pasajeros, ¿qué tiempo durarán los víveres? UNIDAD 4
161
Aritmética
9. Si 20 obreros construyen 24 metros de pared en cada día, ¿cuál será el avance diario, si se retiran 5 obreros?
10. Un obrero tiene pensado hacer una pared en 15 días, pero tardó 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?
11. Un albañil tenía pensado hacer un muro en 15 días, pero tardó 2 horas menos cada día por trabajar 20 días. ¿Cuántas horas trabajó cada día?
12. Un pintor emplea 45 minutos en pintar una pared cuadrada de 3 m de lado. ¿Qué tiempo empleará en pintar otra pared de 4 metros de lado? 13. Un grupo de 9 peones pueden cavar una zanja en 4 días. ¿Cuántos peones más se deberían contratar, para cavar la zanja en solo 3 días? 14. Un burro atado a una soga de 4 m de largo, tarda 8 h en comer el pasto que está a su alcance. ¿Qué tiempo hubiera empleado en comer el pasto que está a su alcance, si la soga fuera de 6 m? 15. Si por pintar un cubo me cobran 30 soles, ¿cuánto me cobrarán por pintar otro cubo, cuyo volumen es 8 veces el anterior?
Aplicación cotidiana Como todo fin de semana, Roberto pone en la lavadora las prendas que necesita lavar. Se sabe que Roberto utiliza 150 g de detergente que lo mezcla en 4 litros de agua para lavar 12 prendas. 16. Si Roberto compra detergente en la bodega de Lucho a S/. 1,50 cada 100 g, ¿cuánto gastará, si desea lavar 16 prendas? 17. ¿Cuántos litros de agua necesitará para lavar 18 prendas? 18. Roberto va a lavar una docena de ropa, pero al momento de llegar a la lavadora recuerda que tiene otras prendas más, por lo cual ahora lavará dos decenas de ropa. ¿Cuánto más de detergente necesitará?
¡Tú puedes! 1. Diez obreros tienen que hacer un trabajo en "n" días. Luego de 4 días de iniciada la obra, 2 obreros se retiran originando un atraso de 3 días. Hallar "n" a) 16 días
b) 15
c) 12
d) 18
e) 10
2. En una comunidad, cuatro hombres y una mujer cultivan un terreno en 24 días. Si se aumenta un hombre y una mujer, el mismo terreno se cultivará en 6 días menos. ¿En cuántos días cultivarán el mismo terreno, cuatro hombres solos? a) 24
b) 27
c) 36
d) 21
e) 16
3. Luis y Pedro pintaron un establo por S/.1 000. Si Luis trabajó 8 días y Pedro trabajó 12 días, ¿cuánto recibió Pedro por su trabajo en soles? a) 320
162
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b) 400
c) 600
d) 750
e) 800
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Regla de tres simple
4. Se tiene dos relojes malogrados que están marcando la hora exacta. En uno de ellos se adelanta 19 segundos por cada hora y en el otro se atrasa 11 segundos por hora. ¿En qué tiempo mínimo tienen que marcar la misma hora, es decir, que vuelvan a coincidir? a) 1 500 h
b) 1 440
c) 10
d) 5
4
e) 180
5. Las máquinas "A" y "B" tienen la misma cuota de producción semanal, operando 30 horas y 35 horas respectivamente. Si "A" trabaja 18 horas y se malogra debiendo hacer "B" el resto de la cuota, ¿cuántas horas adicionales debe trabajar "B"? a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
18:10:45
Practica en casa 1. En 15 días, un obrero gana S/. 450. ¿Cuánto ganará en 25 días? 2. Si una vara de 4 metros de longitud da una sombra de 12 metros, ¿cuál será la altura de un edificio, cuya sombra a la misma hora es de 72 metros? 3. Si 2 pintores pintan una pared en 6 horas, entonces 3 pintores de igual rendimiento que los anteriores, ¿cuánto demorarán en pintar la pared? 4. Dos caños pueden llenar un depósito en 5 horas. ¿En qué tiempo podrán llenar el depósito 5 caños de igual rendimiento. 5. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? 6. Dos caños pueden llenar un estanque en 6 h. ¿En qué tiempo se podrá llenar el estanque, si se van a utilizar 12 caños? 7. Leyendo 40 palabras por minuto, un estudiante tardó 6 horas en leer un libro. Si hubiera leído 30 palabras por minuto, ¿cuánto tiempo habría tardado en leer el libro?
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8. Para guardar un líquido se emplearon 30 botellas de 500 cc. ¿Cuántas botellas de 750 cc se requieren para guardar esa misma cantidad de líquido? 9. ¿Cuánto hay que pagar por 50 lapiceros, si por 15 lapiceros se pagan S/. 9? 10. Si por 15 botellas de vino se pagan S/. 270; ¿cuánto se pagará por 55 botellas de vino? 11. Un chofer gana S/.49 por los 7/11 de su recorrido diario. ¿Cuánto gana por el recorrido completo? 12. Siete hombres hacen una obra en 15 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra cinco hombres? 13. Si 3 caramelos cuestan S/. 1, ¿cuánto costarán docena y media de caramelos? 14. Por tres docenas de botellas de aceite se pagó S/. 324. ¿Cuánto se pagará por 11 botellas menos? 15. Por cada docena de huevos que compro me regalan uno. Si en total tengo 2 184 huevos, ¿cuántas docenas he comprado?
UNIDAD 4
163
Aritmética
Porcentaje En este capítulo aprenderemos:
E
•
A hallar el porcentaje de una cantidad.
•
A elaborar estrategias para la resolución de ejercicios propuestos.
n ciertas temporadas del año vemos revistas, afiches o comerciales de ofertas en diferentes tiendas comerciales donde aparecen los descuentos. Por eso es muy importante para nosotros saber cómo hallar el descuento de cierta cantidad.
Por lo tanto, el tanto por ciento es un tema que está inmerso en nuestra vida cotidiana y por eso es necesario saber de qué manera se halla el porcentaje, ya que los descuentos se realizan en función a ellos. •
Según el gráfico que se muestra en la parte superior. Si Carlos decide comprar un pantalón Jean cuyo costo es de S/. 180, ¿cuánto pagará por dicho jean, si lo compra utilizando su tarjeta CMR?
Saberes previos 1. ¿Qué parte de 10 es 7?
5. Simplificar:
2. ¿Qué parte es 15 de 20? 3. ¿Qué parte de 4. Simplificar:
164
Colegios
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25 8 es ? 7 7
45 100
12 × 40 100
"a" es una fracción, b entonces: "a" es numerador (parte) y "b" es denominador (todo). Si
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Porcentaje
5
Conceptos básicos Tanto por ciento Por ciento viene del latín "per centum" que significa "por cada cien". Cuando decimos "once por ciento de los estudiantes están ausentes", queremos decir que: "once de cada cien estudiantes están ausentes" El siguiente diagrama indica cómo pudo haberse inventado el símbolo "%", de por ciento. 11 : 100 → 11/100 → 11/00 → 11 0/0 → 11% Porcentajes notables 100 • 100% = = 1 (Es igual al total) 100 75 3 = (Es igual a los tres cuartos del total) • 75% = 100 4 50 1 = (Es igual a la mitad del total) • 50% = 100 2 25 1 = (Es igual a la cuarta parte del total) • 25% = 100 4 20 1 = (Es igual a la quinta parte del total) • 20% = 100 5 Cálculo de porcentajes Porcentaje de una cantidad El a% de a "N" = .N 100 Ejemplo:
•
El 20% de 50 =
Las palabras "de", "del" o "de los" matemáticamente significan multiplicación y la palabra "es" significa igualdad
20 . 50 = 10 100
Cuando se tenga porcentaje de porcentaje
Una forma práctica es convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación. Ejemplo:
•
Calcular el 5% del 40% de 1 800 5 40 × × 1 800 = 36 100 100
Hallar la cantidad total Ejemplo:
•
¿De qué cantidad es S/. 360 el 18%?
Resolución:
Si el 18% de un número es 360, el 100% o sea el número buscado será "x". Si:
18% 100%
360 x
20 360 100 . Luego: x = = 2 000 18 1
Respuesta: S/. 360 es el 18% de S/. 2 000
Central: 619-8100
En algunos casos para el cálculo de porcentajes es conveniente emplear una regla de tres simple directa, donde el 100% es considerada la cantidad total.
UNIDAD 4
165
Aritmética
Hallar el tanto por ciento Ejemplos:
•
¿Qué porcentaje de 1 500 es 375?
Resolución: 1500 375
100% x
Luego: x =
375 . 100 = 25% 1 500
Síntesis teórica Tanto por ciento viene del Latín "per centum" que significa "por cada cien"
Cálculo de porcentajes
Porcentaje de una cantidad
Porcentaje de porcentaje
ejemplo •
El 30% de 250 30 × 250 = 75 100
Hallar la cantidad total
Hallar el tanto por ciento
ejemplo
ejemplo
ejemplo •
El 10% del 30% de 600 10 30 × ×600=18 100 100
•
¿De qué cantidad es 120 el 40%?
•
¿Qué % es 300 de 1 200?
40%
120
x
300
100%
x
100%
1 200
x=
100% . 120 = 300 40%
x =
100% . 300 = 25% 1 200
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Halla el 60% de 40.
4. ¿De qué cantidad es 75 el 60%?
2. Halla el 40% del 20% de 50.
5. ¿Qué porcentaje de 400 es 80?
3. Halla el 75% del 30% de 80.
166
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Porcentaje
5
Aprende más 1. Hallar el 25% de 400.
11. Si a un número se le incrementa el 30% sería igual a 91. Hallar dicho número.
2. ¿El 12% de qué número es 36?
12. Si Orlando tuviera el 25% menos de la edad que tiene, tendría 30 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 6 años?
3. Hallar el 40% de 120. 4. Hallar el 15% del 20% de 800. 5. ¿Qué porcentaje de 360 es 18?
13. Al comprar un DVD en la tienda de mi amigo me hacen un descuento del 15%, costándome ahora 170 dólares. ¿Cuánto le costaría el DVD a otra persona que no es su amigo?
6. ¿Qué porcentaje de 3/5 es 6/25? 7. ¿Qué porcentaje de 0,04 es 0,0028? 8. Calcular el 8% del 36% de 25 000. 9. En un aula de 80 alumnos, 16 desaprueban el curso de Aritmética. ¿Qué porcentaje de los 80 alumnos, aprobaron el curso de Aritmética? 10. En un ómnibus viajan 60 pasajeros, de los cuales 15 son varones. ¿Qué porcentaje de los pasajeros no son varones?
14. Una señora va al mercado, donde al comprar un cierto número de manzanas le regalan un 12% de las que compró, obteniendo así 224 manzanas. ¿Cuántas manzanas compró? 15. En una granja hay 80 000 aves. Se sabe que el 50% son gallinas, el 35% patos y el resto pavos. ¿Cuántos pavos había en total?
Aplicación cotidiana Los alumnos de la promoción del 5to año de secundaria del colegio Trilce se irán de viaje a San Andrés por una semana. Pero lamentablemente solo viajarán 70 alumnos de los 160 que conforman la promoción en sí. 16. ¿Cuál es el porcentaje de los alumnos que no viajaron? 17. Si en dicho viaje acompañaron a la promoción 3 profesoras, 2 profesores y además 30 alumnas, del total de personas que viajaron, ¿qué porcentaje representan las mujeres?
¡Tú puedes! 1. Al preguntar un padre a su hijo, cuánto había gastado de los S/.60 que le dio, el hijo le contestó: "gasté el 20% de lo que no gasté". ¿Cuánto gastó? a) S/. 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 5
2. En la panadería "Don Oscar" han contratado un nuevo panadero, el cual tenía que hornear 850 panetones. Si al cumplir con su labor, el 20% de los panetones se le quema y el 30% del resto no están horneados en su punto, ¿cuántos panetones horneó adecuadamente? a) 430
Central: 619-8100
b) 520
c) 360
d) 240
e) 476
UNIDAD 4
167
Aritmética
3. En una compañía trabajan 240 personas, donde el 80% son varones. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 50% del personal sean mujeres? a) 140
b) 144
c) 244
d) 270
e) 174
4. En una industria se han fabricado 100 productos, el 60% de ellos han sido fabricados por la máquina "A" y el resto por la máquina "B". Si se sabe que el 5% y el 10% de lo fabricado por "A" y "B" respectivamente son defectuosos, ¿cuántos productos en total son defectuosos? a) 4
b) 5
c) 7
d) 6
e) 8
5. En una reunión del club Regatas Lima, se observa que el número de mujeres está en la relación de 1 a 2 con el número de hombres. Si luego se retiran el 35% de los hombres y llegan unas 90 mujeres más, resulta ahora que los hombres y las mujeres están en la relación de 1 a 1. Calcular el número de personas que había al principio en la reunión. a) 800
b) 850
c) 900
d) 950
e) 1 000
18:10:45
Practica en casa 1. Halla el 30% de 300. 2. ¿Qué porcentaje de 40 es el doble de 4? 3. ¿Qué porcentaje de 440 es 110? 4. El 55% de estudiantes del colegio Trilce son mujeres. Si el colegio tiene una población total de 1 200 alumnos, ¿cuántos de ellos son hombres? 5. En una reunión, el 42% de los asistentes son mujeres. Si el número de hombres es 87, ¿cuántas personas en total asistieron a la reunión? 6. Una familia tiene un ingreso mensual de S/. 3 000. Si el 30% se gasta en el estudio de sus hijos y el 40% en alimentos, ¿cuánto le queda para gastos auxiliares?
168
10. En una reunión, el 42% de los asistentes son mujeres. Si el número de hombres es 87, ¿cuántos de los asistentes son mujeres? 11. Karina recibe de propina el 15% del 20% del 40% de S/. 1 500 y Andrea el 18% del 50% de S/. 300. ¿Cuál es la diferencia entre lo que tiene Andrea y lo que tiene Karina? 12. Un anciano padre dispone en su testamento, la repartición de su fortuna entre sus tres hijos. El primero recibirá el 36%, el segundo recibirá el 24% y el tercero recibirá el resto. Si la fortuna asciende a $ 75 000, ¿cuánto recibirá el tercer hijo?
7. ¿Cuánto es el 30% del 50% del 45% de 2 400?
13. Un vendedor recibe una comisión del 20% sobre la venta de cierta mercadería. Si sus ventas ascendieron a S/. 640, ¿cuánto recibirá de comisión?
8. Si Antonio tuviera 24% menos de la edad que tiene, tendría 38 años. ¿Qué edad tiene actualmente?
14. Una compañía "A" tiene 32% menos de capital que una compañía "B". Si el capital de "A" es de $ 3 400, ¿cuál es el capital de "B"?
9. Calcule el 20% del 10% de los 3/5 de 3 000.
15. En una población de 24 600 habitantes, el 63% son menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años hay en dicha población?
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Complemento
Complemento
6
En este capítulo aprenderemos: •
A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias para cada proceso.
Síntesis teórica Razón
Regla de tres simple solo
es mediante la
La comparación mediante de dos la cantidades
Intervienen dos magnitudes puede ser
Sustracción
División Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Las magnitudes que intervienen son D.P.
Las magnitudes que intervienen son I.P.
a = RG b
a – b = RA donde
"a" es antecedente "b" es consecuente "RA" es el valor de la razón aritmética "RG" es el valor de la razón geométrica Tanto por ciento
viene del
Latín "per centum" que significa "por cada cien"
Cálculo de porcentajes
Porcentaje de una cantidad
Porcentaje de porcentaje
ejemplo •
El 30% de 250 30 × 250 = 75 100
ejemplo •
El 10% del 30% de 600 10 30 × ×600 = 18 100 100
ejemplo •
¿De qué cantidad es 120 el 40%?
ejemplo •
¿Qué % es 300 de 1 200?
40%
120
x
300
100%
x
100%
1 200
x=
Central: 619-8100
Hallar el tanto por ciento
Hallar la cantidad total
100% . 120 40%
= 300
x=
100% . 300 1 200
= 25%
UNIDAD 4
169
Aritmética
Aprende más 1. Si:
a 5 = y además: a + b = 48 b 7
hallar: b – a
2. La razón geométrica de dos números es 7/4. Si la razón aritmética es 18, calcula la suma de los números. 3. En una canasta hay 45 frutas entre manzanas y peras. Si la relación entre manzanas y peras es como 7 es a 2, ¿cuántas manzanas hay? 4. A una fiesta asistieron 84 personas entre varones y mujeres. Si el número de mujeres es al número de varones como 5 es a 7, halla el número de varones y mujeres que asistieron a la fiesta. 5. Si:
p 5 = y además: 2p + q = 108, halla: p – q. q 2
6. Se sabe que por cada 5 problemas que resuelve Ricardo, Melisa resuelve 7. Si juntos llevan 132 problemas resueltos, ¿cuántos problemas resuelve Ricardo? 7. En un garaje existen 36 motos más que autos. Si el número de autos es al número de motos como 5 es a 8, ¿cuántas motos hay? 8. Una obra tiene una dificultad del 60% y se puede realizar en 24 días. ¿En cuántos días se podrá hacer la misma obra, si tiene una dificultad del 80%?
9. Con un rendimiento del 50% se puede hacer una obra en 30 días. ¿Cuál sería el rendimiento, si la obra se hiciese en 15 días? 10. Si 10 carpinteros hacen 25 mesas, ¿cuántas mesas harán 4 carpinteros? 11. Si el 20% del 10% de un número es 1 200, ¿cuál es el 25% del 40% de dicho número? 12. Un carnero atado a una cuerda de 4 m, puede comer todo el pasto que está a su alcance en 3 horas. ¿En cuántas horas podrá consumir el pasto que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera el triple? 13. Un móvil tarda 3 horas en recorrer los 5/7 de la distancia que hay entre dos pueblos. ¿En qué tiempo recorrerá la distancia total? 14. Una fuente da 20 litros de agua en 3 minutos. ¿Qué volumen de agua dará en una hora y cuarto? 15. Para pintar un cubo de 4 cm de arista se gastó 5 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar otro cubo de 8 cm de arista? Dar la suma de las cifras de esta cantidad.
18:10:45
Practica en casa 1. Si:
a 4 = y además: 4a + 3b = 186 b 5
halla: "a . b"
2. Se sabe que por cada S/. 5 que tiene Emily, César tiene S/. 8. Si el doble de lo que tiene César más lo que tiene Emily suman S/. 252, ¿cuánto dinero tiene César? 3. Por cada 2 esferas rojas, hay 9 de color amarillo. Si en total hay 132 esferas, ¿cuántas esferas de color amarillo hay?
170
Colegios
TRILCE
4. En una reunión, por cada 11 varones hay 14 mujeres. Si en total asistieron 125 personas, ¿cuántos varones hay en la reunión? 5. Calcule el 20% del 10% de los 3/5 de 4 500. 6. Tres números son entre sí como: 3; 4 y 9. Si dichos números suman 256, halla la suma del menor número con el mayor número. 7. A una reunión deportiva asistieron 125 atletas. Si los de Lima representan el 20%, ¿cuántos de provincia han asistido a la reunión? www.trilce.edu.pe
Complemento
8. Por cada 3 niños hay 8 adultos. Si entre niños y adultos se pueden contar 99 personas, ¿cuántos niños hay?
12. Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12 obreros, ¿en cuántos días harán la obra de igual característica?
9. Ocho conejos tienen alimento para 18 días. Si solo hay 6 conejos, ¿cuántos días durarán los alimentos?
13. Si el 20% de "P" es el 50% de "Q", ¿qué tanto por ciento de "P" es "Q"?
10. En dos días, 20 niños comen 80 panes. En una semana, ¿cuántos panes comerán?
6
14. ¿Qué porcentaje de 1 250 es 75? 15. ¿Qué porcentaje es 35 de 1 400?
11. Veinte mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿para cuántos días tendrá víveres el resto?
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UNIDAD 4
171
Aritmética
Estadística I En este capítulo aprenderemos: • •
A interpretar gráficos estadísticos. A elaborar estrategias para la resolución de ejercicios propuestos.
La Estadística en la historia
D
esde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. El imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media solo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. En nuestros días, la Estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya solo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el proceso de interpretación de esa información.
•
¿Para qué se realizaban gráficos sobre papeles, rocas, palos y paredes de cuevas?
Saberes previos 1. Halla el 20% de 45.
4. ¿Qué tanto por ciento es 80 de 400?
2. Restar 90 de 100.
5. ¿Qué parte es 16 de 24?
3. ¿De qué cantidad es 40 el 20%?
172
Colegios
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Estadística I
7
Conceptos básicos Estadística Es la ciencia que se ocupa de recolectar, procesar, presentar, interpretar y analizar los datos, que sirven para la toma de decisiones en una investigación.
Población
Es un conjunto de elementos que tienen una o más características en común. Ejemplos:
•
Todos los alumnos matriculados en Trilce.
•
Todos los peruanos que tienen 18 años o más.
•
Todos los animales que están en el zoológico.
Muestra
Es una parte o subconjunto de la población, seleccionada de acuerdo a un plan o regla, con el fin de establecer información acerca de la población de la cual proviene. Población
Ejemplos:
• • •
Muestra
200 alumnos de Trilce elegidos al azar. 150 mil peruanos mayores de edad. 40 animales de un zoológico elegidos al azar.
Parte de la población
Representación gráfica
Algunas gráficas, para diagramar una distribución de datos son: a) Gráfico de barras b) Gráfico de barras adecuadas c) Gráfico lineal d) Sector circular
Gráfico de barras Ejemplo:
•
Sueldo
(Cientos de soles)
A continuación se muestra el sueldo proyectado de una persona durante el año 2007.
20
8
10
11
E F M A M J
13
15 16
J A S O N D
Meses
Gráfico de barras adecuadas Ejemplo:
•
A continuación se muestra la población de hombres y mujeres de cierta localidad, durante el período 2004 – 2007.
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UNIDAD 4
173
Aritmética
Población (miles) hombres
25
mujeres
20 15
15 10 5
10
8
2004
2005
2006
2007
Gráfico lineal Ejemplo:
•
Rendimiento de la cosecha "x", a diferentes temperaturas e intensidades luminosas. Rendimiento (%) 60 50 40
"A", "B" y "C": intensidades luminosas
30
A
20
B C
10
10
20
30
40
Temperatura (°C)
50
Sector circular Ejemplo:
•
En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de los productos "A", "B", "C", "D" y "E"; de un total de 200 personas encuestadas. C B
15% 30%
10% 5%
D E
40%
174
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A
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Estadística I
7
Síntesis teórica Estadística es La ciencia que se ocupa de recolectar datos, que sirven para la toma de decisiones en una investigación
Población
Muestra
es
Gráficos
es
Un conjunto de elementos que tienen una o más características en común.
Una parte o subconjunto de la población, con el fin de establecer información acerca de la población de la cual proviene
son • • • •
Gráfico de barras Gráfico de barras adecuadas Gráfico lineal Sector circular
10 x 5 50
Aplica lo comprendido •
El siguiente gráfico nos muestra la producción de papa del departamento de Huancayo, en los últimos cuatro años.
2. ¿En cuántas toneladas disminuyó la producción del año 2008 al 2009?
Toneladas de papa
3. En el 2009, el 30% de la producción se utilizó en la elaboración de "bocaditos". ¿Cuántas toneladas se destinó a otros usos?
90
80
4. Si en el 2011 se desea que la producción aumente en un 20% respecto al 2010, ¿cuántas toneladas se debe producir?
50 40
2007
1. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en dicho departamento, en el periodo 2007–2010?
2008
Central: 619-8100
2009
2010
Año
5. ¿Cuántas toneladas más se produjeron en el período 2007–2008, respecto al periodo 2009– 2010?
UNIDAD 4
175
Aritmética
Aprende más Enunciado I
Enunciado III
•
•
Se encuesta a un grupo de personas sobre su entretenimiento preferido y cada una escogió una sola opción. El resultado fue el siguiente:
Número de personas
radio
televisión
cine
teatro
45
50
35
20
El siguiente gráfico es un diagrama elaborado con las estaturas en centímetros de un grupo de estudiantes. Estudiantes 6 5 4
Responder lo siguiente:
3
1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
2 1
cm 120 130 140 150 160 170 180
2. La mayoría prefiere:
8. ¿Cuántos estudiantes tienen entre 140 y 150 cm? 3. ¿En qué lugar de preferencia está el cine? 4. ¿Cuántas personas prefieren radio o teatro? Enunciado II •
El siguiente diagrama es el gráfico de barras de una encuesta sobre chocolates en la ciudad de Lima.
9. ¿Cuántos estudiantes hay en total? 10. ¿Cuántos estudiantes miden más de 130 cm pero menos de 170 cm? Enunciado IV • El siguiente gráfico muestra las ventas de autos de diferentes casas automotrices. Venta (en miles) 50 80 40 60 Mazda
30 20
7 000
20 10 5
5 000
Nissan
40
Toyota
Cantidad de habitantes
10 000
0
3 000
Año 2010
Venta (en miles) 30 25
5. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate "B"?
20 15 10 5 0
6. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate "C"? 7. ¿Cuál es el chocolate preferido en la ciudad de Lima?
176
Colegios
TRILCE
Mazda
E
Nissan
B C D Chocolates
Toyota
A
Año 2011
11. ¿En qué casa comercial se presentó la mayor variación porcentual en el período 2010 – 2011? 12. ¿Cuál es la variación porcentual de un año a otro, para los autos Toyota? www.trilce.edu.pe
Estadística I
Enunciado V
Enunciado VI
•
•
35
Luz/agua 10%
30 25
Carro 25%
20 15
5%
Comida 20%
os
# de TV vendidos
Según el siguiente gráfico circular:
Otr
Sony analiza las ventas de TV de 40’’ en Lima Metropolitana en las últimas ocho semanas. La información se muestra a continuación:
7
Distribución del presupuesto de la familia Porras
Casa 40%
10 5
1
2
3
4
5
6
7
8 Semana
13. ¿En qué semana se vendió un mayor número de televisores?
Si la familia Porras tiene un ingreso mensual de S/. 2 400, contesta la siguiente pregunta:
15. ¿Cuánto gastan en comida?
14. ¿En qué semana hubo una mayor variación en las ventas?
¡Tú puedes! Enunciado •
Las edades de los alumnos del coro de un colegio se distribuyen en la siguiente tabla: EDAD NÚMERO DE ALUMNOS 11 1 12 10 13 7 14 2
1. ¿Cuántos alumnos integran el coro? a) 4
b) 8
c) 10
d) 15
e) 20
c) 13
d) 12,5
e) 13,5
2. ¿Cuál es la edad promedio del coro? a) 11,5
b) 12
3. Se sabe que en el coro hay una alumna de 11 años y 5 alumnas de 13 años y no hay más mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres? a) 25%
b) 30%
c) 20%
d) 40%
e) 45%
d) 13
e) 12,6
d) 11,75
e) 13,25
4. El promedio de la edad de las mujeres es: a) 12,5
b) 12,3
c) 13,5
5. El promedio de la edad de los hombres es: a) 11,85
Central: 619-8100
b) 12,43
c) 12,25
UNIDAD 4
177
Aritmética 18:10:45
Practica en casa Gráfico 1 • Del gráfico:
8. ¿Cuál es la cantidad de votantes que se inclinan por otros candidatos? Gráfico 4 •
A(65%)
El gráfico muestra la producción (en toneladas) de los tubérculos, en tres meses del año. Producción (toneladas)
B (1 000) C(25%)
papa 30 20
Gráfico 2 • El siguiente gráfico muestra el presupuesto de un trabajador distribuido de la siguiente forma:
15 10
Alimentación
0
144° Otros 108°
72° Fiestas
Educación
Si mensualmente gana S/. 700, calcular lo siguiente:
2. ¿Cuánto gasta mensualmente en Fiestas? 3. ¿Cuánto invierte en Educación? 4. ¿Qué porcentaje de su presupuesto gasta en otras actividades? Gráfico 3 • El siguiente gráfico muestra la preferencia del público hacia un candidato en las "Elecciones 2006" (Total de votantes = 10 000) A (25%)
B (35%)
5. ¿Qué cantidad de votantes se inclinan por el candidato "A"? 6. El candidato "B" posee un porcentaje de aceptación de: 7. Del gráfico, se observa que el candidato favorito es:
178
Febrero
Marzo
Mes
9. ¿Cuántas toneladas más de camote que de papa, se han producido en estos tres meses? 10. ¿En qué mes es menor la diferencia entre las producciones de camote y papa? 11. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote entre febrero y marzo? 12. ¿Cuál fue la producción total de papa (en toneladas) en los tres meses? Gráfico 5 •
El gráfico muestra los componentes de una mezcla alcohólica: Número de litros 40 30
C (10%)
Colegios
Enero
20
Otros (30%)
TRILCE
camote
25
1. Calcule la cantidad que representa el sector "C".
10 30°
40°
50°
60°
70°
Grado
13. ¿Cuántos litros tiene la mezcla en total? 14. ¿Cuántos litros más hay, en el componente alcohólico de 50° respecto al componente alcohólico de 30°? 15. ¿Cuántos litros menos hay en el componente alcohólico de 40° respecto al componente alcohólico de 70°? www.trilce.edu.pe
Estadística II
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8
En este capítulo aprenderemos: •
A elaborar estrategias para la resolución de los ejercicios propuestos, utilizando las propiedades de manera adecuada. Luz del Sur SAA Kandinsky 275, Surquillo Cuenta 20-309-0230 Medidor Nro. 01216576 S - 001 Recibo Nro. 103208042 Para consultas su N° de suministro es: Datos del suministro
1443297 Detalle del consumo
Medidor Trifásico
Consumo de energía eléctrica
Tarifa B15B
Lectura Actual
691657 (29/10/08)
Conexión Subterránea
Lectura Anterior
686496 (29/09/08)
Alimentador C-01
Diferencia entre lecturas
5161
Potencia contratada
Factor del medidor
1
Consumo a facturar
5161 kWh
4,08 kW
Historia de consumo
kWh
Av. Canaval y Moreira 380. San Isidro RUC 20332898008 www.luzdelsur.com.pe Detalle de los importes facturados Descripción Precio unitario Importe Cargo Fijo 2.38 Mant. y Reposición de Conexión 1,37 Consumo de Energía 0,2965 1530,24 Alumbrado Público 43,82 I.G.V. 299,79 Electrificación Rural (Ley N° 28749) 0,070 36,13 subtotal del mes 1913,73
9795
Redondeo (0,03)
7826
Total importes facturados 1913,70
5877 3918 1959 Oc
Nv
Di
En
Fe
Mr
Ab
My
Jn
Jl
Ag
Se
Oc 2008
Mensajes al cliente La prevención es el mejor seguro contra incendios. Debe contar con un adecuado diseño de su instalación eléctrica, cumplir las Normas y hacer el trabajo con personal técnico calificado. Programa Casa Segura (www.programacasasegura.org). PROCOBRE PERÚ.
Encargos solicitados por el cliente
El total a pagar incluye Recargo por FOSE (Ley 27510) S/. 37,38
Fecha emisión
Fecha vencimiento
30-OCT-2008
14-NOV-2008
Total a pagar S/.
***1913,70
E
n la actualidad los gráficos estadísticos están por todos lados, por lo cual es de mucha importancia saber interpretarlos para extraer la información que traen, por ejemplo: En nuestro domicilio cada mes llegan distintos recibos por servicios que recibimos en casa, en este caso se está mostrando un recibo por consumo de electricidad, que es una necesidad básica. En este tipo de recibos siempre aparece una parte en la cual se presenta un gráfico de barras que nos indica el consumo de los últimos 12 meses, lo que nos permite controlar nuestro consumo y cómo está variando. •
Según el gráfico, ¿qué meses pueden tener un consumo parecido?
Saberes previos 1. De los siguientes números: 12; 14; 11; 12; 15; 12, ¿cuál es el que más se repite?
4. Ordenar de menor a mayor los siguientes números: 9; 12; 4; 6; 2; 7; 11
2. Halla la mitad de la suma de 12 y 18.
5. Ordenar en forma decreciente e indicar el o los números que están en el centro:
3. Si los siguientes números: 14; 16; 18 y 12, representan las notas de los exámenes diarios, ¿cuál será el promedio de los exámenes diarios? Central: 619-8100
14; 10; 16; 12; 18
UNIDAD 4
179
Aritmética
Conceptos básicos Medidas de tendencia central Son los valores que habitualmente se ubican en la parte central de una distribución.
Media aritmética o media (x) Es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos (numéricos). Ejemplo:
•
Sean los datos: 12; 13; 13; 16; 17; 17 y 17 12 + 13 + 13 + 16 + 17 + 17 + 17 x= = 15 7
Mediana (Me)
Se considera el valor central de los datos ordenados. •
Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición central. 4; 12; 17 ; 23; 43
•
↑
Me Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos que ocupan las posiciones centrales. 4; 5; 8 ; 12 ; 13; 17 14243 8 + 12 = 10 Me = 2
Moda (Mo)
Es el dato que tiene mayor frecuencia. Ejemplos:
180
•
2; 3; 7; 8; 10:
no existe moda.
•
1; 2; 2; 7; 4:
Mo = 2
•
5; 3; 4; 5; 7; 2; 4: hay dos modas, Mo = 4 y Mo = 5
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8
Síntesis teórica Medidas de tendencia central
son Los valores que se ubican en la parte central de una distribución
Media
Mediana
Moda
Es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos (numéricos). Ejem.: Halla la media de: 16; 12; 14; 18 y 15 16 + 12 + 14 + 18 + 15 x= 5 75 x= = 15 5
Se considera el valor central de los datos ordenados. Ejem.: Halla la mediana de 12; 15; 16; 17 y 19.
Es el dato que tiene mayor frecuencia. Ejem.: Halla la moda de 13; 14; 12; 11; 11; 14 y 11
La mediana es 16 porque es el valor central
La moda es 11 porque es el dato que se repite mayor cantidad de veces.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Dada las siguientes calificaciones:
12; 14; 13; 17; 10; 11; 12; 15
4. Sabiendo que:
Calcular la media aritmética
"a" es la media de: 20; 22; 15; 12; 11
"b" es la moda de: 10; 12; 14; 12; 11
Calcular la media de "a" y "b".
2. Del siguiente grupo de valores: 3; 2; 0; 1; 4; 2; 5, hallar la mediana (Me) de dichos valores. 3. Si: "A" es la media de: 3; 4; 5; 6; 8
"B" es la moda de: 2; 2; 3; 3; 4; 2
Hallar: A + B
Central: 619-8100
5. El médico Rosales durante todos los días de la semana recibió pacientes que en número eran: 10; 8; 7; 5; 6; 3 y 6 por cada día respectivamente. Hallar la mediana, moda y media.
UNIDAD 4
181
Aritmética
Aprende más 1. De los siguientes datos: 8; 12; 15; 15; 13; 21; 24 y 36, hallar su media. 2. En la última práctica calificada de Aritmética se obtuvieron las siguientes notas de cinco alumnos: 08; 12; 14; 06 y 20. Hallar la mediana respectiva. 3. En el último examen se obtuvieron las siguientes notas de ocho alumnos: 12; 14; 16; 12; 14; 08; 05 y 03. Hallar la mediana respectiva. 4. De los siguientes datos: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4 y 6, hallar la moda.
Completar la tabla y responda las siguientes preguntas: 7. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las secretarias? 8. Hallar el porcentaje de ingenieros. 9. Hallar "F3". 10. Hallar el porcentaje de trabajadores que no son ingenieros. 11. Halla la moda. •
5. Las edades de diez alumnos de cuarto año son los siguientes: 14; 15; 16; 14; 15; 15; 16; 14; 14 y 14. Hallar la media, mediana y moda. Dar como respuesta la suma de ellos. 6. Indicar la mediana de los siguientes datos: 12; 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13; 11; 11 •
Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un ministerio, de acuerdo a su ocupación. xi Ocupación
fi Nro. de personas
Doctores Ingenieros Abogados Secretarias Administradores
20 10 40 20 80 n=
Fi
hi
Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Aritmética, recogiéndose los siguientes datos:
03
04
08
02
11
07
10
12
16
15
07
11
10
06
09
09
10
13
13
14
12. Calcular la moda para los datos sin agrupar. 13. Calcular la media para los datos sin agrupar. 14. Calcular la mediana para los datos sin agrupar. •
Se muestran las notas de 11 alumnos en un examen de matemáticas:
10; 12; 09; 12; 08; 14; 12; 10; 11; 12; 08
15. ¿Cuál es la moda?
¡Tú puedes! Para los problemas del 1 al 4. •
Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores de una empresa, de acuerdo a su ocupación. Ocupación Abogados Ingenieros Obreros Secretarias
Número de personas 18 32 40 10
1. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a los obreros?
182
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2. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a los ingenieros?
8
3. ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que son abogados? 4. Si se despiden 8 abogados y 12 ingenieros, ¿cuál será la frecuencia relativa correspondiente a los obreros? 5. Dada la distribución de frecuencia de cierto número de niños. Edades
6
8
10 12
fi
13 15
Fi
4
13
Calcular la diferencia entre la mediana y la moda. a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
18:10:45
Practica en casa 1. Dados los siguientes datos de las edades de diez profesores de ciencias: 22; 25; 23; 36; 32; 36; 23; 23; 23 y 25, dar la moda.
•
2. Del problema anterior, hallar la mediana. 3. Del problema 1, hallar la media aritmética. •
Sobre una muestra de 400 profesionales se obtuvo los siguientes datos: xi profesión Contador
fi Nro. de personas
Fi
hi
0,25
Ingeniero
0,30
9
8
5
6
7
8,5
7,5
6,5
5,5
6
7
6
6,5
4
7
7
7
8
8
8
8. ¿Cuántos empleados duermen menos de 6 horas al día?
80
9. ¿Qué porcentaje de empleados duermen más de 8 horas al día?
n = 400
10. Determine el porcentaje de empleados que duermen menos de 6 horas al día.
Administrador
En una encuesta a 20 empleados de una fábrica se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus horas de reposo por día.
60
Economista
Médico
7. Hallar cuántos no son médicos, suponiendo que cada persona tiene una profesión.
Completar la tabla anterior y responda:
4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los economistas? 5. Hallar el porcentaje de contadores.
11. Determine la moda, la mediana y la media aritmética en cada conjunto de datos: a) 34; 26; 25; 41; 37; 43; 28 b) 21; 18; 27; 31; 33; 25
6. Hallar "F4". Central: 619-8100
UNIDAD 4
183
Aritmética
•
Los pesos de un equipo de fútbol, tienen la siguiente agrupación de frecuencias: xi (pesos)
Fi
12
9
11
8
25
7
18
6
12. ¿Cuál es la moda?
15. El siguiente gráfico muestra las preferencias de un grupo de "N" alumnos sobre los cursos de Aritmética, Álgebra, Física y Química. Determinar cuántos prefieren el curso de Aritmética, si los que prefieren Álgebra son 90
A
x 6n° 5n°
72° F
13. ¿Cuál es la media de los pesos? Q
14. ¿Cuál es la mediana?
184
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Repaso
Repaso
9
En este capítulo aprenderemos: •
A reforzar los temas tratados anteriormente de una manera sencilla y práctica.
Síntesis teórica Estadística es La ciencia que se ocupa de recolectar datos, que sirven para la toma de decisiones en una investigación
Población
Muestra
es
Gráficos
es
Un conjunto de elementos que tienen una o más características en común
son
Una parte o subconjunto de la población, con el fin de establecer información acerca de la población de la cual proviene
• • • •
Gráfico de barras Gráfico de barras adecuadas Gráfico lineal Sector circular
Medidas de tendencia central son Los valores que se ubican en la parte central de una distribución
Media
Mediana
Moda
Es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos (numéricos). Ejem.: Halla la media de: 16; 12; 14; 18 y 15 16 + 12 + 14 + 18 + 15 x= 5 75 x= = 15 5
Se considera el valor central de los datos ordenados. Ejem.: Halla la mediana de 12; 15; 16; 17 y 19.
Es el dato que tiene mayor frecuencia. Ejem.: Halla la moda de 13; 14; 12; 11; 11; 14 y 11
La mediana es 16 porque es el valor central
La moda es 11 porque es el dato que se repite mayor cantidad de veces.
Central: 619-8100
UNIDAD 4
185
Aritmética
Aprende más 1. La razón aritmética de las cantidades de dinero que Jorge y Carmen tienen es S/.240. Si la razón geométrica es 8/13 respectivamente, ¿cuánto dinero tiene Carmen?
10. En un corral hay gallinas y pavos. Si se sabe que el número de gallinas es al total de aves como 2 es a 9 y la diferencia entre pavos y gallinas es 30, hallar el número de pavos.
2. La razón aritmética de las edades de Tulio y Richard es 20 años y su razón geométrica es 4/9 respectivamente. Hallar la edad de Tulio.
11. En una reunión, el número de hombres es al número de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre hombres y mujeres es 24. ¿Cuál es la relación entre hombres y mujeres, si se retiran 33 mujeres?
3. Si:
m 5 = y además: m + n = 35, hallar "n" n 2
4. "A" es a "B" como 2 es a 3 y la diferencia de dichos números es 144. ¿Cuál es el menor número? 5. Calcular "A . B", si: 5A = 4B y además: A + B = 72. Dar como respuesta la suma de cifras. 6. Hallar el 10% de los 2/5 del 40% de 6 000 7. ¿De qué número es 384 el 4% menos? 8. Un padre tiene 34 años y su hijo 7. ¿Al cabo de cuánto tiempo, la razón de las edades será 1/2? 9. La suma de tres números es 1 830. Si el primero es al segundo como 25 es a 10 y su diferencia es 300, hallar la suma de cifras del número mayor.
12. Fito camina 8 horas diarias durante 7 días, logrando recorrer 225 km. ¿Cuánto recorrerá, si camina 12 días a 7 horas diarias?. •
En una encuesta a 30 alumnos se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus pesos. 54 46 45 54 47 70
58 52 40 52 42 71
58 62 56 48 52 64
66 57 63 58 47 46
46 60 61 56 55 50
13. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 55 kg? 14. ¿Qué porcentaje de alumnos pesan menos de 55 kg? 15. Determine el porcentaje de alumnos que pesan de 60 kg a más. 18:10:45
Practica en casa 1. Una oveja sujeta a una estaca por medio de una cuerda de 3,6 m demora 24 minutos en comer todo el pasto que está a su alcance. ¿Cuánto demoraría, si la cuerda fuese de 5,4 m? 2. Si Armando es el triple de rápido que Carlos y Carlos hace una obra en 30 días, ¿qué parte haría Armando de esa obra, en 1 día? 3. Un barco tiene víveres para 78 tripulantes durante 22 días. Si solo viajan 66 personas, ¿qué tiempo durarán los víveres? 4. Una caja de tres docenas de naranjas cuestan S/.27. ¿Cuánto se pagará por 5 cajas de 16 naranjas cada una?
186
Colegios
TRILCE
5. Para pintar un rectángulo de 15 m de largo por 12 m de ancho se necesitan 4 galones de pintura. ¿Cuántos galones se requiere para pintar una superficie de 900 m2? 6. Calcular el 20% del 25% del 4% de 13 500. 7. En un aula, el 20% de las mujeres es igual al 30% de los hombres. ¿Qué porcentaje del total son los hombres? 8. Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó 36 soles, ¿cuánto se pagará por pintar un cubo de 15 cm de arista? www.trilce.edu.pe
Repaso
9. El a% de 300 es "b" y el b% de 30 es 27. ¿Cuál es el valor de "a"? 10. Una mezcla de alcohol contiene 27 litros de alcohol y 63 litros de agua. ¿Cuál es la concentración de esta mezcla? (La concentración es el porcentaje de alcohol en la mezcla). 11. Si 50 litros de una mezcla contienen 15 litros de vino, ¿cuántos litros de agua debemos agregar para tener una solución al 20% de vino? 12. Una cantidad aumentada en su 13% es 1 356. ¿Cuál es dicha cantidad?
Central: 619-8100
13. En una industria se han fabricado 8 000 productos, el 70% fabricados por la máquina "A" y el resto por la máquina "B". Si el 5% de lo fabricado por "A" son defectuosos y el 4% de los que produce "B" también lo son, ¿qué porcentaje de los 8 000 productos son defectuosos?
9
14. Si 8 cuadernos tienen un precio de 145 soles, ¿cuál será el precio de 12 docenas de cuadernos? 15. Un grupo de obreros tenía que hacer un trabajo en 20 días, pero debido a que tres de ellos faltaron, los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?
UNIDAD 4
187
