ALGUNOS ASUNTOS IMPORTANTES I.
El tr triple de de un un nú número o tres ve veces el el nú número. Ejemplo: Número 5 N
II.
Triple 15 3N
Tres veces más el número. Ejemplo: Número 5 N
III.
3 veces 15 3N
3 veces más 5 + 15 = 20 N + 3N = N
!"# e$cede % !&# en !E#. 'e puede escri(ir de 2 )orm%s conocid%s: " = & + E " * & = E Ejemplo: 1 e$cede % 12 en . 1 = 12 + 1 * 12 =
I,.
" un número se le le %%-re-% sus
5
:
'i el número es !$#.
'e pl%nte% : $
T%m(in se puede ll%m%r %l número !5$#/ con lo ue tendr%mos:
2 5
$
5$
Te p%rece mejor4 ,.
2
2 5
5$
$
Matemático griego que vivió en Alejandría, unido a la escuela matemática del Museo. Su obra fund fundam amen enta tal, l, Elem Elemen ento toss de Geometría es una vasta síntesis de geomet geometría ría griega griega,, formad formada a por trece libros siendo los más completos ! los más acabados, tanto por su contenido como por su m" m"to todo do sist sistem emát átic icam amen ente te deduct deductivo ivo.. En ellos ellos se aborda abordan n problemas cu!as soluciones se constru!en con regla ! compás, reali#acio reali#aciones nes materiales materiales de las figuras figuras fundamental fundamentales es como la rect recta a ! la circ circun unfe fere renc ncia ia.. $os $os postulados planteados en el fundamento de la obra, aseg asegur uran an su e%is e%iste tenc ncia ia,, pero pero dete determ rmin inan an,, igua igualm lmen ente te,, las las propiedades del espacio euclídeo. &ste es infinito, puesto que toda recta finita se puede prolongar continuamente ! 'omo 'omog" g"ne neos os,, pues puesto to que que las las fig figura uras geom geom" "tric tricas as no son modificadas por los despla#amientos. (unda una teoría de las relaciones, de las proporciones ! de la medida de magnitudes.
epresent%ci6n de de un un nú número de de 2 ci ci)r%s: %( . 7ic8o número puede ser 109 219 39 ;9 etc. l%ro?. >l%ro?. ,io entonces mientr%s mientr%s el enunci%do enunci%do no especi)iue especi)iue nin-un% condici6n !%# puede ser i-u%l % !(#.
@uc8os %lumnos %l termin%r l% secund%ri% no son c%p%ces de oper%r con r%pideA/ c6mo usted si puede4 ,e%mos. 1. 5
3
2
+
2. Bu v%lor entero tom% !%# en: C% + 2D C% + 3D = 124 3. ;;;;2 + ;;;2
ACTIVIDADES EN AULA 1. E)ect ectu%r: %r: 13 %D ;
(D
3
;
2 5
2
cD 3
dD
;
1 3
1
2
nCn+ 3D = 130
Cn + 1D Cn + D = 20
Cn * 3D Cn + 1D = 525
Cn2 * 1D C2n + 1D = 2
5
1
1
3
+
. esolv olver:
=
%D eD
5
1
;
+
12
(D )D +
2 3
5
1
3
5
2 5
cD
1 3 2 3 3
$
$
2 5 3 5
$
33
$
1:
1 $
2$
2 2
1 +
$
$
5 2
5. 'impl mpli)ic% )ic%r: r: 2. E)ect ectu%r: %r: %D
(D
5
de los
2
1
de 3+
%D
+3
15
: ;
de
3
(D de 30
13
cD
21 $
;0
2 $ 15
30 252 $ 12
: $ ;
2:
3. >%lc >%lcul ule e el v%lo v%lorr de n N en c%d% c%so:
n Cn + 1D = 30
n C n + 1D 2
. El producto de 2 números consecutivos es 3. d%r el m%For. %D 21 dD 2
(D 31 eD 2;
cD 33
imp%res
. El prod producto ucto de 2 númer números os p%res p%res cons consecut ecutivo ivos s es 52. 7%r el m%For. %D dD
(D 2 eD 2
2
$
3
E
;
2
1+ 2
cD
1
%D 1/5 dD /5
5
1
2
. E)ect ectu%r: %r:
3
1
1
3
(D /5 eD
cD
ACTIVIDAD 1. E)ect ectu%r: %r: . E)ectu ectu% %r:
1 3
2
5
+
%D
3
5
15
+
:
(D 3 2. 7isminuir uir
5
en sus
3
1
:
cD 12 3. El produ producto cto de tres tres núme números ros conse consecut cutivo ivos s es ;0 veces el menor. 7%r el m%For de ellos. e llos. . >uál >uál es es el númer número o cuF% cuF% sum% sum% de su mit%d mit%d// su do(le/ su tercer% p%rte F su triple ori-in%n el número 1354
:
1
2 3
+
3 5
2
3 :
. 'impl mpli)ic% )ic%r: r: 1
1
1
2
E 1
1
1
1
3 1
2
1
1
1
1
3
1
1 5
1
1 5
5. 'impl mpli)ic% )ic%r: r: 1
1 2
1
1 3
1
1
....... 1
1 30
. >%l >%lcul% cul%rr los
3
ACTIVIDAD EN AULA
de los
: 15
de los
;
de 150.
1. E)ectu%r:
%D G5 dD 3G
dD 11G1 1
1
1
2
3
(D G12 eD G;
eD 1
. E)ectu%r: cD 5G12
:
5
3
2
2. >%rlos me de(e los G5 de 10 soles F me p%-% los 5G de 10 soles. >uánto me de(e tod%v%4 %D 'G.1 dD 32
(D 25 eD 2
1
1
:
$ 2
3
1 5
2
%D 1G2 dD 3G
cD 30
(D 1G3 eD G12
cD 5G12
. E)ectu%r: 3. 'i los 3G de un número es 5 % cuánto euiv%le el do(le menos l% mit%d del mismo número4 %D 100 dD 120
(D ;0 eD 0
(D ;0 eD 120
cD 100
;
%D 3
2
(D 2G;
1
5
:
:
12
%D 3 dD 1G2
1
5
3
5
1
5
1
1 5
(D eD 3G5
cD 5
. Hn nio ten% 'G F -%sto los 5G12/ >uánto le ued%4 %D 'G.20 dD 32
5. E)ectu%r:
2
1
1
cD 0
. Hn nio compr% m%nA%n% % 3 por 2 soles F l%s vende % por 3 soles. >uánt%s m%nA%n%s de(e vender p%r% -%n%r 5 soles4 %D 0 dD 0
1
(D 2 eD 1
cD 2
1
cD 11G
ACTIVIDAD
1. Bu 8or% es cu%ndo 8%n p%s%do los 5G de los 2G3 de los G5 del d%4
pt%: ........................................
2. >uánto le )%lt% % 1G5 p%r% ser i-u%l % los 3G de 14 pt%: ........................................ . Hn T.,. cuest% 00 soles/ pero lue-o se re(%j%n en 20K. >uánto p%-%r %8or%4 3. "l pre-unt%r un p%dre % su 8ijo. >uánto 8%(% -%st%do de los 10 soles de propin% ue le dio/ el contest6: !8e -%st%do los 3G de lo ue no -%st. >uánto J%st4
pt%: ........................................
pt%: ........................................ . >uánto le )%lt% % 1; p%r% ser i-u%l % los 2G3 de 3G54 pt%: ........................................ . 7e u número 15 es el 20K4 pt%: ........................................ . Bu p%rte de 0 es los 2G5 de 1204 pt%: ........................................ 5. Bu K es / del 20K del 0K de 104 pt%: ........................................
Cada día, al despertar, haz afirmaciones Cada día, al despertar, haz afirmaciones positivas de alegría y de victoria, positivas de alegría y de victoria, procurando construir en torno a ti un procurando construir en torno a ti un ambiente de serenidad y de armonía. ambiente de serenidad y de armonía. Aprender a sonreír de corazón a todos: Aprender a sonreír de corazón a todos: parientes, amigos, conocidos, de tal forma parientes, amigos, conocidos, de tal forma que baste tu presencia para que le alegría que baste tu presencia para que le alegría penetre en el corazón de los que lo tienen penetre en el corazón de los que lo tienen abierto. abierto. Y verificars la felicidad que esto te Y verificars la felicidad que esto te causar. causar.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Representación Representación
Determinación Determinación de de Conjunto Conjunto
Pertenencia Pertenencia
Extensión Extensión
Inclusión Inclusión
Comprensión Comprensión
Diagrama Diagrama de de enn ennEuler Euler
Conjuntos Conjuntos Especiales Especiales
Diagrama Diagrama de de E! E! Carrol Carrol
Operaciones Operaciones con con Conjuntos Conjuntos
ac"o ac"o
Unión Unión
C! C! Unitario Unitario
Intersección Intersección
C! C! Uni#ersal Uni#ersal
Di$erencia Di$erencia
NOCIÓN DE CONJUNTO Entenderemos por conjunto % l% reuni6n/ %-rup%ci6n/ colecci6n o )%mili% de inte-r%ntes 8omo-neos o 8etero-neos ue reci(en el nom(re de elementos del conjunto.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
)'ales era un 'ombre esencialmente práctico* comerciante, 'ábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le inclu!e por tradición entre los Siete Sabios. +omo lo que a'ora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras 'idráulicas ! se dice que desvió el curso del río alis mediante la construcción de diques.
Hn conjunto ued% determin%do cu%ndo es posi(le decidir si un o(jeto d%do pertenece o no %l conjunto. <%r% determin%r conjuntos se puede proceder:
1. Por extensión: >u%ndo se mencion% todos los elementos del conjunto/ por ejemplo: " = L&r%sil/ "r-entin%/ Hru-u%FM & = L09 19 29 3M
2. Por comprensión: >u%ndo se enunci% un% propied%d o c%r%cterstic%s común ue de(en cumplir sus elementos/ por ejemplo en los conjuntos %nteriores como: " = L$G$ es un p%s sud%meric%no ue 8% -%n%do un c%mpeon%to mundi%l de )út(olM & = L$G$ es un número n%tur%l o menor o i-u%l ue 3M
RELACIÓN DE PERTENENCIA 'i un o(jeto !$# es elemento de un conjunto !"#/ escri(iremos $ " lo ue se lee: !$# pertenece %l conjunto !"#. En c%so contr%rio/ escri(iremos $ " lo ue se lee: !$# no pertenece %l conjunto !"#. Ejemplo: 'i
" = L29 59 9 ;M/ entonces 2 " F 3 "
George Cantor
Matemático alemán nacido El sm(olo denot% un% rel%ci6n de elemento % conjunto. en San -etersburgo a'ora $eningrado, /usia0 ! fallecido en alle. 1a en la escuela +antor mostró talento por las RELACIONES ENTRE CONJUNTOS matemáticas, 'aciendo posteriormente de ellas su de !&# o ue !"# está 1. Inclusión: 7%dos los conjuntos !"# F !&#/ diremos ue !"# es su(conjunto profesión, obteniendo el incluido en !&#/ si c%d% elemento de !"# es t%m(in un elemento de puesto !&#. 'e denot%: " &. de profesor en la universidad de alle en 2345. En 2346 +antor empe#ó a introducir 'im(6lic%mente: " & $: $ " $ & conceptos e%tra7os de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer correspondencia Esto si-ni)ic%: !"# está incluido en !&# si F s6lo si p%r% todo !$#/ si !$# pertenece % !"#/ entonces !$# entre dos series, más a8n, pertenece % !&#. esta correspondencia debe ser biunívoca. 9e este modo El sm(olo denot% un% rel%ci6n de conjunto %se conjunto. puede ra#onar que la cantidad de n8meros pares es igual a la de los n8meros naturales, diferenciando entre la aritm"tica de lo infinito ! la aritm"tica familiar de los n8meros finitos. +antor constru!ó una epresent%ci6n -rá)ic% de " &: estructura lógica completa, en la cual se postulaba diferentes órdenes de "& & infinitos. Así la definición de +antor de n8mero real identifica a este 8ltimo con una sucesión " convergente de n8meros racionales.
" &
" = &
C!"# es su(conjunto propio de !&#D
2. Igualdad: 7os conjuntos son i-u%les/ si tienen los mismos elementos. Hs%ndo l% rel%ci6n de inclusi6n se tiene ue: " = & " & & " Ejemplo: 'i. " = L09 19 2M F & = L$G$ es un número n%tur%l menor ue 3M/ entonces: " = &
CONJUNTOS ESPECIALES 1. Conjunto vacío (nulo): Es %uel ue c%rece de elementos. 'e le represent% por !# 6 L
M
" = L$G$ N9 $ 5M
Not%: El conjunto v%co se consider% su(conjunto de todo conjunto. 'im(6lic%mente "/ ".
2. Conjunto unitario:
Es %uel conjunto ue tiene un solo
elemento. Ejemplo: 1. 59 59 59 59 59 5M 2. L$G$ O P 5 $ A *3M
3. Conjunto universal: Es un conjunto ue contiene todos los elementos de determin%do conte$to. 'e denomin% HNI,E'Q CHD. E$isten muc8os universos posi(les.
. Conjunto potencia: 'e ll%m% %s % %uel conjunto ue tiene por elementos % todos los su(conjuntos d%do/ por ejemplo: 7%do:
" = Lm/ n/ pM
Rue-o su conjunto potenci%/ ue se denot% por
n S
Observación* 1. "l número de elementos de un conjunto se le ll%m% t%m(in c%rdin%l del conjunto. 2. 'e ll%m% conjuntos disjuntos/ % %uellos ue no tienen elementos comunes/ por ejemplo: " = L19 29 39 M & = L139 19 15M 3. Todo conjunto tiene su(conjuntos/ F l% c%ntid%d de estos est% d%d% por l% si-uiente rel%ci6n: Número de su(conjuntos = 2nC"D . 'e ll%m% su(conjunto propio/ % todos los su(conjuntos de un conjunto d%do9 e$cepto %l ue es i-u%l %l conjunto. Número de su(conjuntos propios = 2nC"D P 1
ACTIVIDADES EN AULA
1. 7etermin%r por e$tensi6n c%d% uno de los si-uientes conjuntos:
" = L$G$ O9 P2 $ M & = L$2 +1G $ N9 P3 $ M > = L2$ * 1G $ N9 2 $ M
7=L
$
1
$
1
eD L39 9 59 9 M " )D L"M
G $ N9 1 $ 5M
2. 7etermin%r por comprensi6n c%d% uno de los 5. 7%do el conjunto: si-uientes conjuntos: " = L$2 + 1 G$ O P3 $ M Indic%r verd%dero C,D o )%lso CUD/ se-ún " = L9 59 9 9 9 ;M correspond%: & = L19 9 ;9 19 25M > = L29 9 9 9 109 129 1M I. n C"D = 5 7 = L19 1;9 229 259 ....M II. !"# tiene 1 su(conjuntos III. !"# tiene 31 su(conjuntos propios. 3. 7%do el conjunto: . 'e%n los conjuntos i-u%les: " = L%2 + 19 12M & = L% * (9 1M Indic%r verd%dero C,D o )%lso CUD se-ún V%ll%r todos los posi(les v%lores de !% + (# correspond%: " = L19 29 L3M9 9 L5MM
1" LM " L29 " L5M "
C C C C
D D D D
2 " L3M " LM " LM "
C C C C
D D D D
. 'i se cumple ue !"# F !&# son conjuntos unit%rios/ 8%ll%r !% * (# " = L2% + (9 13M & = L( + 29 3W P (M
. 7%do el conjunto: " = L19 29 L39 9 5M9 L9 MM
. 'i los conjuntos !"# F !&# son i-u%les:
Indic%r verd%dero C,D o )%lso CUD/ se-ún correspond%:
" = Ln2 + 19 P M & = L2 * m9 10M
%D 1 " (D L39 9 5M " cD LL39 9 5M 9 L9 MM " dD L1M "
V%ll%r !m + n#
ACTIVIDAD
1. 7etermin%r por e$tensi6n: " = L$3 * $ G$ N $ M
7%r como elementos.
respuest%
l%
sum%
de
sus
2. 7%do el conjunto:
. 7%do el conjunto:
& = LP59 L P 39 2M9 29 L2MM
@ = L%9 L(M9 LmM9 pM
Indic%r cuánt%s de l%s si-uientes proposiciones son verd%der%s:
>uánt%s proposiciones son )%ls%s4 iD L(M @ iiD ( @ iiiD LLmMM @ ivD LL(M 9 LmMM @
I. L2M & II. L2M & III. & I,. LP39 2M & ,. L59 2M &
C C C C
D D D D
. 'i un conjunto tiene 31 su(conjuntos propios/ cuántos elementos tiene el conjunto4
3. 7%dos los conjuntos i-u%les: . >%lcul%r !n C"D + n C&D#/ si se tiene: " = L2$ + F9 M & = L2$ * F9 1M
" = L$G$ O9 1 $ M & = L$G$ O9 2 $ ;M
V%ll%r !$ + F!
:Se alegre ! optimista;
. 7%do el conjunto:
N = L19 L3M9 L5M9 M >uánt%s proposiciones son )%ls%s4 iD L3M N iiD 3 N iiiD LL3MM N ivD LL5M9 NM vD 3 N
C C C C C
D D D D D
Mira 'acia delante ! camina confiado ! alegre, practicando el bien ! a!udando a todos.
5. V%ll%r l% sum% de los elementos de c%d% conjunto: " = L$G$ N9 $ 12M & = L$2 + 1G $ O9 3 $ M
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Lewis Carroll
Matemático alemán nacido en San -etersburgo a'ora $eningrado, /usia0 ! fallecido en alle. 1a en la escuela +antor mostró talento por las matemáticas, 'aciendo posteriormente de ellas sus profesión, obteniendo el puesto de profesor en la universidad de alle en 2345. en 2346 +antor empe#ó a introducir conceptos e%tra7os de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer correspondencia entre dos series, más a8n, esta correspondencia puede ra#onar que la cantidad de n8meros pares es igual a la de los n8meros naturales, diferenciando entre la aritm"tica de lo infinito ! la aritm"tica familiar de los n8meros finitos. +antor constru!ó una estructura lógica completa, en la cual se postulaba que una serie completa de n8meros transfinitos, representaba diferentes órdenes de infinitos. Así la definición de +antor de n8mero real identifica a este 8ltimo con una sucesión
7%do un conjunto !"#/ el conjunto complemento de !"# el %uel conjunto )orm%do por todos los elementos ue pertenecen %l universo pero no pertenecen %l conjunto !"#. "X = L$G$ H F A "M
Jrá)ic%mente "X / ser%:
!
"
#$%&'!CI*
En l%s oper%ciones uni6n/ intersecci6n F di)erenci% simtric%/ se cumple l% propied%d conmut%tiv%/ es decir: " & = & "
" & = & "
" & = & "
En l% di)erenci% no se cumple/ es decir:
" P & & P "
Jrá)ic%mente C" &D/ ser%: "
&
¡No Critiques!
" F & no disjuntos
-rocura más bien colaborar con todos, sin 'acer críticas. $a crítica 'iere, ! a nadie le gusta ser 'erido. $a persona que acostumbra criticar, mu! pronto se queda aislada de todos Si ves alguna cosa errada, 'abla con amor ! cari7o, procurando a!udar. -ero, sobre todo, procura corregir a los otros con tu ejemplo.
" F & disjuntos
&
"
" &
DIERENCIA DE CONJUNTOS ! " # 7%dos dos conjuntos !"# F !&#/ se ll%m% conjunto di)erenci% F se denot% por C" * &D % %uel conjunto )orm%do por todos los elementos ue pertenecen % !"# F ue no pertenecen % !&#. " * & = L$G$ " F $ &M Jrá)ic%mente C" * &D/ ser%: "
" F & no son disjuntos
&
" F & disjuntos &
"
" &
DIERENCIA SIM$TRICA DE CONJUNTOS ! # 'e denomin% %s %l conjunto ue result% de unir los conjuntos C" * &D F C& * "D. " & = C" * &D C & P "D
SIGAMOS ESTUDIANDO
Jrá)ic%mente C" &D/ ser%: "
&
"
" F & no disjuntos
&
" F & disjuntos
&
"
" &
ACTIVIDADES EN AULA 1. Bu oper%ci6n represent% c%d% un% de l%s re-iones som(re%d%s4
2. Bu oper%ci6n represent% c%d% un% de l%s re-iones som(re%d%s4
3. 'i: , = L, NG v es primo9 v 1M F Y = LY NG Y es imp%r9 Z 12M/ 8%ll%r por e$tensi6n lo si-uiente: %D Y cD Y * , eD Y P
dD
H
" > &
(D , Y dD , * Y
. ecuerd% ue el c%rdin%l de un conjunto !"# está d%do por su número de elementos/ F se le denot% por nC"D. Entonces/ si:
. 'i l%s re-iones som(re%d%s represent%n % tres conjuntos:
< = Lp NGp es primo9 5 p M F B = L9 139 1;9 259 319 39 ;M/ 8%ll%r: n C< BD. 5. 7esi-n%ndo: ": el conjunto de todos los n%cidos en el : el conjunto de todos los n%cidos en Iuitos. .
El di%-r%m% de ,enn ue rel%cion% correct%mente los tres conjuntos es:
" %D
El -rá)ico ue corresponde % l% oper%ci6n: C< * BD SB P C
(D
cD
dD
H
>
eD
&
. 7%do el si-uiente di%-r%m%:
"
H
(D & >
" cD
&
H >
'i: " & F & c = . 7etermin%r cuáles de l%s re-iones numer%d%s son v%c%s.
ACTIVIDAD
1. 'i: 5. Bu represent% l% re-i6n som(re%d%4 " = L$ G !$# tiene más de letr%sM & = L$G !$# es un nom(re de mujerM > = L$G !$# es un nom(re de )lorM >uál de los si-uientes elementos pertenece % C"X >D &4 %D @%r-%rit% cD Ev% eD N.".
no
(D os% dD N%t%li%
2. 7%dos los conjuntos: " = L$ NG $ + 3 M & = L$ NG $2 * 3$ + 2 = 0M > = L$ NG$ * [ * 29 [ 5/ \ NM
. <%r% el di%-r%m% mostr%do en l% )i-ur%/ indic%r u oper%ciones le corresponden: I. C& * "D * > II. C" >DX & III. C" &D * >
Entonces " * C& >D/ es: 3. 7%dos los conjuntos: " = L%2 + 19 (9 % ] cM & = LP39 %29 5M > = L$ NG ( * % $ % + cM 7onde/ % N/ ( N F " = & Entonces %)irm%mos: I. El número c%rdin%l de !># es . II. " > = L9 5M III. > * " = L%M 'on ciert%s: . 'impli)ic%r: SC" * &D C> * "D &
. >uánt%s de l%s si-uientes e$presiones le corresponde %l di%-r%m%4 I. SC> &D * " SC" &D * > II. S>X &D SC" * &D > III. C> &DX SC" &D * >
. 'i: " & = L 29 39 M F " &/ >uántos elementos tiene !"#4
ACTIVIDADES EN AULA 1. 7%do los conjuntos !"# F !&#/ se s%(e: n C" D = 30 n C&D = 1 n C" &D = 0
%D 22 dD 1
V%ll%r: n C" &D %D dD 12
(D eD 15
cD 10
n C" &D = 0 n C" * &D = 1 n C"D = 1 V%ll%r: n C" &D %D 2 dD
(D 5 eD
cD
3. 7e un tot%l de 0 deportist%s ue pr%ctic%n )út(ol o n%t%ci6n se s%(e ue 3 pr%ctic%n )út(ol/ 32 pr%ctic%n n%t%ci6n/ cuántos pr%ctic%s %m(os deportes4 %D dD 1
(D 10 eD 1
cD 12
cD 20
. Hn %lumno del to & comi6 ueso o j%m6n en el des%Funo/ c%d% m%%n% dur%nte el mes de ^unio. >omi6 2 m%%n%s j%m6n F 1 m%%n% ueso/ cuánt%s m%%n%s comi6 ueso F j%m6n4 %D 10 dD 13
2. 'i se s%(e:
(D 21 eD 1
(D 11 eD 1
cD 12
. 7e los 10 %lumnos de un centro de idiom%s se s%(e ue : - 2 estudi%n in-ls - 52 estudi%n )r%ncs - 5 estudi%n %lemán - 1 estudi%n in-ls F )r%ncs - 20 estudi%n )r%ncs F %lemán - 1 estudi%n s6lo %lemán - estudi%n los tres idiom%s %. >uántos %lumnos estudi%n e$%ct%mente dos idiom%s de los mencion%dos4 (. >uántos %lumnos estudi%n otros idiom%s4 %D 3 F 22 dD 3 F 2
(D 3; F 2 eD 35 F 25
cD 3; F 22
. 7e los 00 %lumnos del cole-io Reon%rdo de . 7e un -rupo de ;5 deportist%s se o(serv6 ue: 15 son %tlet%s ue pr%ctic%n el )út(ol F l% ,inci se s%(e ue 10 pr%ctic%n )ull cont%c/ n%t%ci6n. 10 pr%ctic%n \%r%te F 120 no pr%ctic%n 52 son %tlet%s. nin-uno de estos deportes. >uántos pr%ctic%n 55 son n%d%dores. %m(os deportes4. Todos los )ut(olist%s son %tlet%s F 12 son deportist%s ue s6lo pr%ctic%n el %tletismo. %D 10 (D 15 cD 20 15 deportist%s no pr%ctic%n nin-uno de los dD 25 eD 30 deportes mencion%dos. 5. 7ur%nte el mes de %-osto/ Enriue s%li6 % p%se%r con "n-lic% o &e%triA. 'i 1 d%s p%se6 con "n-lic% F 23 d%s con &e%triA/ cuántos d%s p%se6 s6lo con un% de ell%s4
>uántos deportist%s son %tlet%s F n%d%dores/ pero no )ut(olist%s4 %D dD 1
ACTIVIDAD
(D 10 eD 1
cD 12
1. 'iendo: " = L%/ (/ c/ d/ eM & = L%/ (/ dM > = Lc/ e/ (M V%ll%r el c%rdin%l del conjunto: SC" &D * > C" &D
>o(ol9 15 estudi%n <%sc%l/ >o(ol F &%sic9 0 estudi%n &%sic9 0 estudi%n >o(ol. R% c%ntid%d de los ue estudi%n >o(ol F &%sic pero no <%sc%l es el do(le de los ue estudi%n s6lo &%sic F % su veA es el triple de los ue estudi%n s6lo >o(ol. >uántos estudi%n <%sc%l pero no &%sic4
. 7e 500 encuest%dos/ se encontr6 ue 12 postul%n % >%t6lic%/ 1 % l% universid%d del 2. 'e%: <%c)ico F 200 % nin-un% de l%s 2 " = L$G$ N 5 $ 15M universid%des. >uántos postul%n % %m(%s & = LF + G F N C2 F + 1D "M universid%des4 . 7e 0 inte-r%ntes de un clu( deportivo/ se >uál es l% sum% de los elementos de ! s%(e ue: 3 pr%ctic%n )út(ol/ 2; (ás\et/ 25 voleF/ 12 )út(ol F (%s\et/ 12 (ás\et F voleF/ 11 3. En un% %c%demi% de idiom%s/ de 00 %lumnos/ )út(ol F voleF/ pr%ctic%n 3 deportes. se s%(e ue 100 no estudi%n in-ls/ ni )r%ncs >uántos no pr%ctic%n nin-uno de los deportes F 50 estudi%n )r%ncs e in-ls. 'i 50 estudi%n mencion%dos4 )r%ncs. cuántos estudi%n in-ls4 . ^%net8 cont%(% ue dur%nte el mes de )e(rero . 7e 120 %lumnos del centro de idiom%s de l% Hniversid%d '%n @%rtn se s%(e ue del 2000 s%l% % p%se%r con ^os o ^u%n o con estudi%n in-ls/ 5 estudi%n )r%ncs F 21 %m(os/ 1 d%s s%li6 con ^os F 20 d%s con estudi%n otros idiom%s. >uántos %lumnos ^u%n. >uántos d%s p%se6 con %m(os/ si el estudi%n in-les F )r%ncs4 d% de los en%mor%dos s%li6 con otr% person%4 5. En un% %c%demi% de comput%ci6n se o(serv% ue todos los ue estudi%n <%sc%l/ estudi%n
)rata de cultivar la verdad en relación con los otros ! tambi"n en relación contigo mismo. Sólo la verdad nos 'ará llegar a la perfección, porque ella nos 'ace conocer lo que realmente somos.
PA R O R D E N A D O "l conjunto )orm%do por !%# F !(# en ese orden F denot%do por C%9 (D/ se le ll%m% p%r orden%do/ siendo !%# primer% componente F !(# se-und% componente.
Jean ran%ois C&a'(ollion
C>%rlos "lv%r%do9 1D C@i-uel 7%A9 2D C^os Esc%l%nte9 3D/ etc. 7os p%res orden%dos son i-u%les/ s6lo si sus primer%s componentes son i-u%les F sus se-und%s componentes t%m(in/ es decir: C%9 (D = Cm9 nD % = m ( = n
P'#+"C,# C!',&%I!*# 7%dos dos conjuntos !"# F !&#/ se ll%m% !%rtesi%no !"$&# %l conjunto de todos los p%res orden%dos C%9 (D t%les ue !%# pertenece % !"# F !(# pertenece % !&#. Es decir: " $ & = LC%9 (D G % " ( &M
+'ampollion, padre de la Egiptología, profesor de 'istoria en Grenoble, en 23=6, se dedicó a estudiar los manuscritos coptos de la >iblioteca ?mperial de -arís, ! al compararlos con los monumentos, descubrió los tres sistemas de escritura egipcia. El fantástico descubrimiento facilitó el camino para interpretar la famosa -iedra /oseta. Entre 2356 ! 23@= impulsó misiones científicas en ?talia !
R E P R E S E N TA C I Ó N G R ) I C A D E L P R O D U C T O C A R T E S I A N O El producto c%rtesi%no !" $ &#/ se puede represent%r medi%nte ciertos -rá)icos o esuem%s/ los más utiliA%dos son:
O+ser,a%i-n
!. +I!-'!! %!-I,!/ # +& 0/&C!% 'e% : " = L19 M F & = L09 39 M "
El n4mero de elementos del producto cartesiano 56 x 07 se deduce de la siguiente relación8
&
n %6 x 0, 9 n %6, x n %0,
&
.
(
/
$. +I!-'!! C!',&%I!*# 'e%: " = L1;;9 1;;M F & = L20_9 30_M
0 %dólares,
%&++12 .-,
%&++/2 .-,
30
%&++12 3-,
%&++/2 3-,
20
1;;
1;;
RELACIÓN *INARIA 7%dos dos conjuntos !"# F !&#/ se ll%m% rel%ci6n !# de !"#/ % %uel su(conjunto del producto c%rtesi%no !" $ &# ue cumple determin%d% condici6n entre los elementos de sus p%res orden%dos.
donde el producto c%rtesi%no !" $ &# es: " $ & = LC19 2D/ C19 D/ C39 2D/ C39 D/ C59 2D/ C59 DM 'i C%9 (D represent% % todos estos p%res orden%dos/ procedemos % e$tr%er %uellos ue cumplen : % (. Entonces tendremos l% si-uiente rel%ci6n: = LC39 2D/ C59 2D/ C59 DM ue se puede determin%r como: = LC%9 (D " $ &G % ` (M Q(servemos ue en nuestr% rel%ci6n % ` ( es l% condici6n o re-l% de correspondenci%/ 8%F ue tener present% ue se nos pudo 8%(er pedido otr% re-l% de correspondenci%/ por ejemplo: %( !
1 = LC19 2D/ C19 D/ C39 DM
DOMINIO . RANGO DE UNA RELACIÓN Rl%m%mos dominio de un% rel%ci6n/ %l conjunto )orm%do por tod%s l%s primer%s componentes de los p%res orden%dos de dic8% rel%ci6n. Rl%m%mos r%n-o de un% rel%ci6n %l conjunto )orm%do por tod%s l%s se-und%s componentes de los p%res orden%dos de dic8% rel%ci6n.
= LC19 2D/ C19 D/ C39 DM 7ominio de = 7CD = L19 3M %n-o de = C D = L29 9 M
ACTIVIDADES EN AULA 1. 'e%n los conjuntos: 7 = LP29 P19 19 0M F E = L19 39 5M9 8%ll%r: %D 7 $ E (D E $ 7 cD 7 $ 7 dD E $ E eD C7 * ED $ C7 ED 2. V%ll%r !$ + F#/ si se cumple ue: C$ * 39 D = CP29 2 * FD 3. V%ll%r !$# e !F#/ se-ún se% el c%so/ p%r% ue se cumpl% l% i-u%ld%d de p%res orden%dos. %D (D cD dD
C$9 2D = C59 2D C109 PFD = C109 P5D C59 P3D = C$ + 19 P3D C$ + 29 FD = C59 1D
eD C19 P3D = CPF9 $ *3D )D
C5$9 D = 202
. 7%do:
12 F
" = L19 39 59 M & = L29 9 9 M F
l% rel%ci6n: = LC%9 (D " $ &G#% . (# es múltiplo de 3M9 V%ll%r: %D (D cD dD eD
>onjunto de p%rtid% de !#. >onjunto de lle-%d% de !#. !# por e$tensi6n. 7i%-r%m% s%-it%l. 7i%-r%m% c%rtesi%no.
5. 7%dos:
> = L09 19 39 59 M/ 7 = L19 29 39 M
F l% rel%ci6n: = LCc9 dD > $ 7G#c + d# es primoM9 8%ll%r: %D (D cD dD
!# por e$tensi6n 7om CD %n C D 7om C D $ %n C D
%D El%(or% un di%-r%m% s%-it%l F un di%-r%m% c%rtesi%no. (D 7etermin% !# por e$tensi6n. cD V%ll% el 7om C D F %n C D . 'i se cumple ue: C$ * 39 D = C9 F +3D. V%ll%r !$ + F#
. 'e%n los conjuntos: " = L29 9 5M F & = L39M F . 'e%n los conjuntos: " = L129 9 5M F & = L29 39 9 l% rel%ci6n: = LC$9 FD " $ &G $ ` FM El%(or% un di%-r%m% s%-it%l F un di%-r%m% 5M F l% rel%ci6n !#: " ! &/ de)inid% por !.... es c%rtesi%no. múltiplo de ....#
ACTIVIDAD 1. 'i los p%res orden%dos : C2% + 29 1D/ . 'e%: C10 9 (2 * 2D son i-u%les. V%ll%r !% + (# 2. 'i: " = L9 9 109 12M F & = L19 39 M 7etermin%r: = LC%9 (D " $ &G% (M9 d%r !nCD#. 3. 'i: " = L19 29 M F & = L19 9 ;M 7etermin%r !# F d%r el número de elementos de su dominio. = LC$9 FD " $ &G$2 = FM . Indic%r verd%dero C,D o )%lso CUD/ se-ún correspond%9 respecto % un% rel%ci6n !# de)inid% de !"# en !&#.
" = L19 29 39 9 5M/ & = L9 9 M
F l%s rel%ciones de !"# en !&#: = LC19 D/ C29 D/ C39 D/ C9 DM ' = LC39 D/ C9 D9 C59 DM . 7%dos los conjuntos: " = LP39 P29 09 1M & = LP19 09 1M F = LC%9 (D " $ &G% + ( % + ( 10M9 V%ll%r: %D 7om C D F %n C D (D n S7om C D
I. n C" $ &D = n C"D $ n C&D II. n C%n-oD = n C7ominioD II. " $ &
. 'e%n:
5. En el di%-r%m% s%-it%l/ cu%l es l% re-l% de correspondenci%:
" = L09 19 29 3M9 & = L09 19 29 M F l% rel%ci6n: = LC%9 (D " $ &G2W =(M V%ll%r : n S7om C D + n S%n C D
3
&&
)
. (
/
RELACIÓN DEINIDA EN UN CONJUNTO 'i en !" $ &#/ el conjunto !&# es i-u%l %l conjunto !"#/ entonces tendr%mos !" $ "#/ entonces tendr%mos " $ "/ por ejemplo: 7%do el conjunto " = L19 39 5M/ cuál es l% rel%ci6n !# de !"# en !"# de)inid% por l% rel%ci6n: % * ( = 24 <%so 1: <%so 2:
'e 8%ll% el producto c%rtesi%no !" $ "#. " $ " = LC191D E$tr%emos %uellos ue cumplen: % * ( = 2 = LC39 1D/ C59 3DM
PROPIEDADES DE UNA RELACIÓN DEINIDA EN UN CONJUNTO 1. Propiedad relexiva: Hn% re)le$i6n !# en !"# es re)le$iv%/ si todo elemento del conjunto !"# est% rel%cion%do consi-o mismo por l% rel%ci6n !#.
2. Propiedad sim4trica: Hn% rel%ci6n !# en !"# es simtric%/ si siempre ue un elemento de !"# está rel%cion%do por !# con otro/ t%m(in ste está rel%cion%do por !# con el primero.
3. Propiedad transitiva: Hn% rel%ci6n !# en !"# es tr%nsitiv%/ si siempre ue un elemento del conjunto !"# est% rel%cion%do con otro/ F ste rel%cion%do con un tercero/ entonces el primero está rel%cion%do por !# con el tercero.
ACTIVIDADES EN AULA
%D 5 = LC$9 FD H $ H G F $M (D = LC$9 FD H $ HG F ` $M
1. 'i: " = L$ N G n 5M F & = L $ OG P 3 $ 3M V%ll%r: %D " $ " cD & $ "
(D " $ & dD & $ &
2. 7etermin% por e$tensi6n c%d% rel%ci6n de !@# en !@# Crel%ci6n en !@#D de)inid% en los si-uientes di%-r%m%s: %D
(D
. 'i: & = L$ NG $ ;M L>uáles de los si-uientes conjuntos represent%n rel%ciones de !&# en !
p%r% c%d%
. 7%d%s l%s si-uientes rel%ciones:
cD
3. 'e%: > = LP29 P19 0M F l% rel%ci6n !# de)inid% en !># por: %( ! % . ( / determin% !# por e$tensi6n F por comprensi6n. . 'i: " = LP59 3M / cuáles son rel%ciones de !"# en !"# F cuáles no4 %lcul%r l%s si-uientes rel%ciones9 indic%ndo su dominio/ r%n-o F -rá)ic%: %D 1 = LC$9 FD H $ H G F = $M (D 2 = LC$9 FD H $ HG $ + F = 5M . 'e% el conjunto: H = L19 29 39 M >%lcul%r l%s si-uientes rel%ciones9 indic%ndo su dominio/ r%n-o F -rá)ic%:
Indic%r verd%dero o )%lso se-ún correspond%: I. 1 es re)le$iv%. II. 3 es simtric% III. 2 F son tr%nsitiv%s. I,. 1 F son euiv%lenci%. ;. 'e%: " = L29 39 59 9 109 12M F l%s si-uientes rel%ciones: 1 = LC%9 (D "2G#%# es p%r F !(# es múltiplo de !%#M 2 = LC%9 (D "2 G ( =
% 2
= 1M
V%ll%: r C1D * n C2D 10. 7%do: " = L29 9 M/ se de)ine l% rel%ci6n de euiv%lenci%: = LC29 2D/ C29 D/ C9 D/ C29 $D/ C9 D/ C9 2D/ C9 D/ C9 2D/ C9 FDM V%ll% !$ + F#
ACTIVIDAD
1. 'e%: " = L% N G ` %M F l% rel%ci6n !#: = LC% 9 (D "2 G % = ( 6 % + ( = M/ V%lle el número de elementos de !#. 2. 7%do: " = L09 19 29 39 9 5M F l%s rel%ciones: 1 = LC%9 (D "2G% * ( = 0M 2 = LC%9 (D "2 G %2 * ( = 0M 3 = LC"9 &D "2 G " + & = 5M
I. 1 es re)le$iv% II. 2 es tr%nsitiv% III. 3 es simtric% I,. 1 es de euiv%lenci%
1 = LC%9 (D @2G % +( = M 2 = LC%9 (D @2G ( ` %M 3 = LC%9 (D @2G !% * (# es múltiplo n%tur%l de 2M @%rc% con !"# un !$# c%d% c%sillero/ se-ún l%s rel%ciones cumpl%n o no l%s propied%des respectiv%s. e)le$iv%
'imtric%
Tr%nsitiv%
. 7%do : > = Lc N G !c# es primo9 c 1M F l%s si-uientes rel%ciones de)inid%s en !>#M = LC%9 (D > $ >G %2 + (2 M ' = LC$9 FD > $ >G $.F 5M V%ll%r: 7om C D 7om C'D
%D (D cD dD
1 = LC19 2D/ C39 2D/ C29 2D/ C29 3DM 2 = LC19 2D/ C29 3D/ C19 3DM 3 = LC19 1D/ C29 2D/ C29 3D/ C39 2D/ C39 3DM = LC19 1D/ C19 2D/ C29 1D/ C29 2D/ C29 3D/ C39 1D/ C39 3DM
. 'i: ' = LC$G#$# es voc%l de l% p%l%(r% !v%lenci%#M/ cuáles de l%s si-uientes rel%ciones son simtric%s en !'# F cuáles no4
(D II F III dD I/ III F I,
3. 'e%: @ = L19 29 39 9 5M F l%s si-uientes rel%ciones:
el%ci6n 1 2 3
(D L29 39 59 9 11M dD L29 3M
5. 'i: " = L19 29 3M/ >uáles son l%s si-uientes rel%ciones son re)le$iv%s F cuáles no4.
>uáles de l%s si-uientes %)irm%ciones son verd%der%s4
%D '6lo I cD I F I, eD Tod%s
%D L29 39 59 M cD L29 39 5M eD >
%D (D cD dD
1 = LC%9 eD/ C%9 iD/ Ce9 iD/ Ce9 %D/ Ci9 eDM 2 = LC%9 %D/ Ci9 iD/ Ce9 eDM 3 = LC%9 %D/ C%9 eD/ Ce9 eD/ Ci9 iD/ Ce9 %DM = LCi9 %D/ Ce9 eD/ C%9 iDM
. 'i: 7 = L$ NG !$# es primo9 $ M/ cuáles rel%ciones son tr%nsitiv%s en !7# F cuáles no4
1 = LC29 3D/ C39 3DM 2 = LC29 3D/ C39 3D/ C39 5D/ C59 DM 3 = LC39 D/ C39 2D/ C9 2D/C295D/C395D/C9 5DM = LC9 DM
. 'e% el conjunto : H = L19 29 39 M >%lcul%r l%s si-uientes rel%ciones9 indic%ndo su dominio/ r%n-o F -rá)ic%: %D 5 = LC$9 FD H $ H G F $M (D = LC$9 FD H $ HG F ` $M
1. 7%do el conjunto: " = L59 L5M9 ;9 L59 1MM Indic%r verd%dero o )%lso se-ún correspond%: I. L5M " III. L59 1M " ,. L1M "
II. L;M " I,. LL5MM " ,I. L;M "
%D 1 dD 2
2. V%ll%r l% sum% de los elementos de !"#/ si: " = L2$2 + 1G$ O9 P2 $ 5M %D dD 5
(D ; eD
cD 1
" = L2$G$ N9 $ ;M &=
5 $
"
3
%D 10 dD 13
(D 11 eD 1
. 7%dos los conjuntos: H = L$G$ N9 5 $ 1M " = L$G$ O9 $ M & = L$G$ N9 3 $ > = L$G$ N9 $ ` 10M V%ll%r: nC"D + nC&D + nC>D %D 13 (D 15 dD 1 eD 20
cD 12
(D 5 eD 0
cD 50
(D eD ;
cD
10. En l% secci6n del 3ro !"# 8%F 25 %lumnos/ se s%(e ue % 12 les -ust% Vistori% F % 1 Ren-u%je. 'i % todos les -ust% %l menos uno de los cursos mencion%dos. " cuántos les -ust% s6lo Vistori% o s6lo Ren-u%je4
M
cD 1
5. 'i: nC"D = 129 n C&D = 1 F n C" &D = . V%ll%r: n C" &D %D 12 (D 1 cD 20 dD 31 eD 15 . R% re-i6n som(re%d% corresponde %: %D C" &D * > (D C" * >D C&*"D cD C& * >D " dD " & > eD " * &
cD
;. En un% (i(liotec% 8%(%n 1 person%s/ de l%s cu%les leFeron l% revist% !"#9 ; l% revist% !&# F leFeron %m(%s revist%s. >uántos no leFeron nin-un% revist%4 %D 5 dD
2+
(D 2 eD 22
. En un% est%ci6n de tr%nsporte/ 8%(%n 100 person%s de l%s cu%les 0 8om(res er%n provinci%nos/ 30 mujeres er%n lime%s F el número de mujeres provinci%n%s e$cede en 10 %l número de 8om(res limeos. >uántos 8om(res 8%F en el %ul%4 %D 0 dD 55
3. V%ll%r !nC"D + nC&D#/ si se tiene:
$
. 7e 100 estudi%ntes de l% universid%d: ; no llev%n @&I F 53 no llev%n Ren-u%. 'i 2 %lumnos no llev%n @&I ni Ren-u%. >uántos %lumnos no llev%n uno s6lo de t%les cursos4
%D 15 dD 20
(D 12 eD 23
cD 1
11. En un% encuest% se revel6 ue:
El 25K lee revist% >"ET"'. El 1K lee revist% 'I. El 15K lee l% revist% QIJ". El ;K lee >"ET"' F QIJ". El K lee 'I F QIJ". El 10K lee >"ET"' F 'I. El 3K lee l%s tres revist%s.
Bu porcent%je no lee dic8%s revist%s4 %D 5K dD 5
(D eD 5
cD
ACTIVIDADES EN AULA 1.
3 5
7
2
-
+
9
3
2 5
4
9
2
.
2.
3 6
2
+
2 1
3
2
7 7
9
-
2
2
2
1
6
9
5
5
9 .
3.
6
1
2
+
2 8
2
1
5
2
1
5
9
.
1
-
.
9
1
2
+ 5
8
7
2 4
5.
2
0
V%ll%r l%s ci)r%s ue de(emos escri(ir en los c%silleros p%r% ue l% oper%ci6n se% correct%. 1.
3
5.
+ 7
9
5
3
-
3 4
6
2.
9
+ .
1
2
9
1
1
1
3
-
5 3.
7
2
1
6
8
2
6
+
2
.
3 5
.
-
. 8
7
+
2 7
9
9 2
1. E)ectu%r:
]
P 2
= ...........
44
]
; P ; = ...........
44 4
]
11 P 22 = ...........
]
P 2
4 +
..... ... ..... ......
= ...........
4 4 4 . .. .. .. 4
. >%rol compr% (lus%s F 'us%n% l% mit%d de l%s ue compr6 "ndre% ue )ueron el do(le de l%s ue compr6 >%rol >uánt%s (lus%s compr%ron en tot%l4
8 c if r a s
2. E)ectu%r: 8 8 2 8 2 8 8 2 8 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
5. Ur%ncesc% tiene 20 soles F RuA tiene l% mit%d de dinero ue tiene ell% menos 2 soles. >%lcul%r l% di)erenci% de dinero ue tienen.
6 su m an do s
. . . . . . . . . . . . 8 2 8 2 . . . .. 8 2
. R%s ed%des de un p%dre F su 8ijo sum%n 5 %os. 'i l% ed%d del 8ijo es l% cu%rt% p%rte de l% de su p%dre/ >uál es l% ed%d del 8ijo4 . R% di)erenci% de dos números enteros es 31 F su correspondiente sum% es P1. >uál es el número menor4
. Re pre-unt%n % ^%vier por su ed%d F ste responde: 'i %l do(le de mi ed%d le sum%n / o(tienen 0 %os. >uál es l% ed%d de ^%vier4 3. E)ectu%r % oper%ciones:
simple
]
13 P ; = ...........
]
1 P ;; = ...........
]
P ;
vist%
l%s
si-uientes
= ...........
ACTIVIDAD
1. E)ectu%r: 88
+
. "l(ert tiene 15 %os F Ruis tiene el triple de su ed%d9 >uánto sum%n sus ed%des4
888 88888 8888
5. >ecili% se v% de compr%s F -%st% el triple de lo ue -%sto <%co más 10 soles. 'i <%co -%sto 20 soles/ >uánto -%sto >ecili%4
888888
2. E)ectu%r:
. Entre uánto más tiene
7 + 78 778 7778 77778 777778
3. E)ectu%r % simple oper%ciones: 0 P 30 = ...........
0 P 5
2
P 2
= ...........
. R%s ed%des de ^u%n F ,ctor sum%n . 'i l% ed%d de ^u%n es el do(le ue l% de ,ctor/ >uál es l% ed%d de ^u%n4
vist%
l%s
si-uientes
. Entre dos person%s tienen 'G.200. 'i l% c%ntid%d ue tiene un% de ell%s es el triple de lo ue tiene l% otr%. >uáles son dic8%s c%ntid%des4
= ...........
;3 P ; = ...........
; P 2
= ...........
Trata Tratade decultivar cultivarlalaverdad verdaden enrelación relación con los otros y también en relación con los otros y también en relación contigo contigomismo. mismo.Sólo Sólolalaverdad verdadnos noshará hará llegar llegaraalalaperfección, perfección,porque porqueella ellanos nos hace haceconocer conocerloloque querealmente realmentesomos. somos.
ACTIVIDADES EN AULA 1. 'i:
>%lcul%r:
a x abc
10 4 4
b x abc
139 2
c x abc
2784
5. 7 1 3 1
cba x abc
2
7%r como respuest% l% sum% de ci)r%s 8%ll%d%s.
2. 'i: M x PAPA
A x PAPA
1 21 2 0 9696
.econstruir l%s si-uientes divisiones Cc%d% %sterisco represent% un% ci)r%D
.
>%lcul%r: PAPA x MAMA
*
*
*
6
3. V%ll%r l%s ci)r%s ue de(emos escri(ir en los c%silleros p%r% ue l% oper%ci6n se% correct%:
2 4
*
* *
3
3
*
* 9
Indic%r el cociente: 3
8
5
. econstruir l%s si-uientes divisiones Cc%d% %sterisco represent% un% ci)r%D
7
1
3
4 6 6
. V%ll%r l%s ci)r%s ue de(emos escri(ir en los c%silleros p%r% ue l% oper%ci6n se% correct%: 8
2
4
* *
* 5
*
*
*
7
*
6
*
*
7%r como respuest% l% sum% del residuo con el cociente. . 8
9
*
*
1
* * 1
*
8
7%r como respuest% l% sum% de ci)r%s 8%ll%d%s.
8 *
*
3 * 6
Indic%r como respuest% el cociente.
ACTIVIDAD
. V%ll%r l%s ci)r%s ue de(emos escri(ir en los c%silleros p%r% ue l% oper%ci6n se% correct%:
1. 'i: mn x 9 . 7 6 6 >%lcul%r: am + n + pa
3
pt%: ...................
2
2. 'i: abc x 3 . 5 8 9 >%lcul%r: a% P ( + ca
2
pt%: ................... 3. 'i:
abm x 7
7%r como respuest% l% m%For ci)r% encontr%d%.
.6 5 2
>%lcul%r: a % + ( P m2 a
pt%: ............. pt%: ...................
. 2
. 'i: abc x 35 3 1 3 9 5 >%lcul%r: a%2 P (2 + ca
7
2 4
pt%: ................... 7%r como respuest% l% sum% de ci)r%s 8%ll%d%s. 5. V%ll%r l%s ci)r%s ue de(emos escri(ir en los c%silleros p%r% ue l% oper%ci6n se% correct%:
pt%: ............. . econstruir l%s si-uientes divisiones Cc%d% %sterisco represent% un% ci)r%D
8 4
5 3
7 3
4
*
*
*
9
*
1
9 * *
9
3
*
*
*
7
Indic%r el dividendo: 1
pt%: .............
ACTIVIDADES EN AULA
