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supn vn p,Ω < + (vn )n∈N C c1 (Ω)
∞
∈ C c1(Ω),
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− limsup F n )(u) := inf {lim sup F n (un ) n→+∞ n→+∞ Γ(d) − liminf F n ≤ Γ(d) − limsup F n F u ∈ X u ∈ X
: un
→ u}.
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Γ lim F = cld (F )
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lim sup(inf F n + G ) n→+∞
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limn→+∞ F n (un ) = F (uε )
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≤ inf F + ε.
F (uε )
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}→ {
inf F nk + G
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lim supn→+∞ (inf F n )
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≤ lim inf F k (uk ), k→+∞
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limk→+∞ inf F nk =
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≤ F (¯x, y¯) ≤ F (¯x, y).
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×R ∀n ≥ 2, ∀v1,...,vn ∈ V, ∀λ1,...,λn ∈ R+ ∪ {0} : epi f
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⇒ (iv) ⇒ (v) ⇒ (vi) ⇒ (i)
(i)
⇒ (ii) x0 = 0 ¯ f (x) = f (x + x0 ) ε > 0 M ∈ R x ε f (x) ≤ M x1 , x2 xi ≤ 2 i = 1, 2 x1 = x2 ε ε y − x1 = 2 y = x1 + 2α (x1 − x2 ) 2α ε y ≤ ε f (y) ≤ M x1 = 2α+ε y + 2α+ε x2 (i) c
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n
v
a
r
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c
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s
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t
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z
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a
n
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l
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λi = 1, λi > 0, i
e
q
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i=0
o
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n
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∃ε > 0 : B(x0, ε) ⊆ dom(f )
e
.
n
p
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o
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v
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y
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∈ ∞⊆ (x, λ) ∈ × (vi) ⇒ (i) U a+b U, (x, 2 ) ∈ epi(f ) S
b
m
≤ 1 +1 ε f (y) + 1 +ε ε f (x) ≤ 1 +1 ε f (y) + 1 +ε ε M := M ε,
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c
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f (z) d
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s
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∞
m
S
m
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t
s
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max f (xi ) i = 0, 1,...,n < + .
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e
n
P
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u
u
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n=1
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,
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1
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gx (x) = 0 = y I [x, + ] e
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xλ = x0 + λ(x1 x0 ) f (x0 ) > lλ (x0 ) f (x1 ) > lλ (x1 ) f (xλ ) < (1 λ)f (x0 ) + λf (x1 ) q
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u
s
g
s
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⇒ ∀ ∈ ≥ (ii ) ⇒ (convexidad estricta) lλ (y) = f (xλ ) + f ‘(xλ (y − xλ ) l − λ(xλ = λlλ (x1 ) + (1 − λ)lλ (x0 ) u
D
n
e
(ii) (convexidad) lx (y) = f (x) + f (x)(y x) x I, f (y) lx (y) f (x) = lx (x) f (y) = supy∈I lx (y)
Q
S
− f (x) −x
f (y) y
(i) (ii) gx (y) := f (x) f (y) + f (x)(y gx (y) = f (y)+f (x) gx (y) 0 y I ] gx y=x E
N
⊆R→R
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.
e
n
e
n
f (y) > f (x) + f (x)(y o
a
U
− f (x0) ≤ f (x1) − f (x0) ≤ f (x1) − f (y) . − x0 x1 − x0 x1 − y
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s
c
s
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2
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f (x) = xα
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(iii ) C
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≥1 0≤α≤1
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D
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)
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]0, + [
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.
y
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N
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τ σ x1 = x2 X g
t
s
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1
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p
l
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z
m
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s
i
n
≥
y 0, y < 0.
n
-
S
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n
n
o
·
n
(V, ) f (v) = ϕ( v )
n
r
t
s
v
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x
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y
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s
s
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t
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r
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n
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f ∗ (v ∗ ) = ϕ∗ ( v ∗ ∗ ).
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f
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v∗
∈ V ∗
s
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t
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u
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f ∗ (v ∗ ) = sup v, v∗
− ϕ(v)} v =sup sup t , v∗ − ϕ(t) t t≥0 v=t =sup{tv ∗ ∗ − ϕ(t)} t≥0 =sup{tv ∗ ∗ − ϕ(t)} t∈ =ϕ∗ (v ∗ ∗ ) v ∈V
{
R
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c
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c
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ϕ
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s
p
a
r
.
U
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p ]1, + [ ϕ(x) = x f (v) = 1p v p f ∗ (v ∗ ) = q q) ∗ ) = (L (Ω), m
i
u
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c
u
e
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q
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s
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i
1 f p
F ∗ (g) =
1 g qq . q
pp
.
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1 q
∗ q
F (f ) =
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|y | r
,
s
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(V,
u
l
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1 1 p+q
·
i
m
p
o
r
t
a
n
c
i
=1 ) = (Lp (Ω), p
o
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l
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·p)
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f (y) = E
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x∈K
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s
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σ{x0 } (y) = x0 , y .
n
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s
σK (y) = δK 0 (y)
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n
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s
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σK (y) = y
.
K 0 = y
{ ∈ Y | ∀x ∈ K, x, y ≤ 0}
e
s
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c
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K K Y, x, y σK (y) .
S
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{ ∈ X | ∀y ∈ ≤
K = x 4
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K
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s
σK (y) = δK (y)
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K ⊥ = y
{ ∈ Y | ∀x ∈ K, x, y = 0}
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(K ⊥ )⊥ = K .
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{ ∈ X | ∀y ∈ Y, x, y ≤ σ(y)}
K = x D
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c
{
Γ(X ) = f : X
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(X,Y, , )
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f
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x
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≡ +∞, ω ≡ −∞ s
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c
,
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λ = f (x)
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∈ Y × R \ { ∀(z, λ) ∈ epi(f ), x, y + sr < α ≤ z, y + sλ. x0 ∈ dom(f ) λ > f (x0 )
e
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∀k ≥ 1 ∀z ∈ X ,
− r) > 0
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∀z ∈ dom(f ) x, ys + r < αs ≤ z, ys + f (z) (z) := z, − ys + αs f ≥ f (x) ≥ (x) > r
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a
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∀(z, λ) ∈ epi(f ), x, y < α ≤ z, y. φ dom(f ) = ∈ (X, τ )∗ ∀z ∈ X, f (z) ≥ (z).
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≥ (z) ≥ (z) + k(α − z, y)
f (z) y
− x, y) → +∞
(x) + k(α c
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y
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u
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∀x ∈ X, ∀r < f (x), ∃ ∈ (X, τ )∗ : f ≥ , f (x) ≥ (x) > r f > −∞ f = +∞ f : X → R f ∗ ∈ Γ(X ) f : X → R f ∗∗ : X → R f ∗∗ (x) = sup{x, y − f ∗ (y)}. y ∈Y d
y
q
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→ +∞
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∈ Γ(X ) i
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Γ(X )
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| ∈ Γ(X ), g ≤ f }
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u
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g
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{ | ∈ Γ(X ), g ≤ f } ∈ Γ(X ) f ∗∗ ≤ h g ∈ Γ(X ) g ≤ f g ∈ Γ(X ) g ∗∗ = g
h = sup g(x) g y
,
p
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g ∗∗ f
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f ∗∗
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C
I
A
L
4
f (x0 +td)−f (x0 ) t
q(t) =
a
.
C
o
n
s
i
d
e
r
e
m
o
s
− −
t x0 + td = (x0 + sd) + 1 s d
e
m
o
d
o
q
u
e
p
o
r
c
o
n
v
e
x
i
d
a
d
≤ st f (x0 + sd) +
f (x0 + td) y
s
e
t
i
e
n
e
q
u
e
l
r
i
o
n
p
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s
l
i
y
c
s
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ó
n
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t
2
i
e
t s
y
v
e
a
m
o
s
q
u
e
≤
q(t)
q(s)
.
x0 ,
t s
1
s
f (x0 )
− f (x0) ≤ f (x0 + sd) − f (x0) .
f (x0 + td) t
P
≤
0 < t
3
n
.
4
e
.
q
4
.
u
e
B
a
j
o
l
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s
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n
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c
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,
f (x0 ; )
·
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s
u
n
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f
u
n
c
i
ó
n
s
u
b
-
∂f (x0 ) = x∗
{ ∈ X ∗ | ∀d ∈ X, x∗, d ≤ f (x0; d)} = ∂ [f (x0; ·)](0).
D
e
m
(
(
o
i
i
s
r
a
c
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ó
n
:
V
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m
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s
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s
u
b
l
i
n
e
a
l
i
)
S
e
a
λ>0
,
l
u
e
g
o
i
i
d
:
− f (x0) = λ lim
f (x0 + tλd) t→0+ t
i
a
.
f (x0 + (tλ)d) t→0+ λt
f (x0 ; λd) = lim (
d
f (x0 ; 0) = 0
)
i
t
)
D
a
p
r
d
o
o
s
b
a
∈ X
d1 , d2
r
l
a
c
o
n
v
e
x
i
v
d
e
a
f (x0 ; αd1 + (1
r
i
d
q
d
e
u
e
m
o
s
f (x0 ;
q
u
·)
e
p
f (x0 ; d1 + d2 ) f (x0 ; d1 ) + f (x0 ; d2 ) f (x0 ; d1 + d2 ) = 2f (x0 ; 12 d1 + 12 d2 )
u
− f (x0) = λf (x0; d).
≤
e
s
.
.
−
S
e
P
a
a
r
a
=
lim
≤
l
o
,
∈
− −
−
l
b
α ]0, 1[
f (x0 + tαd1 + t(1 α)d2 ) f (x0 ) t→0+ t α 1 α inf (f (x0 + td1 ) f (x0 )) + (f (x0 + td2 ) t>0 t t = αf (x0 ; d1 ) + (1 α)f (x0 ; d2 ).
− α)d2)
e
,
a
l
u
s
e
t
a
g
o
− f (x0))
−
F
i
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a
l
m
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n
t
e
,
x∗
P
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s
t
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i
c
y
i
ó
n
c
o
2
n
t
.
i
n
4
.
u
5
a
.
∈ ∂f (x0) ⇔f (x0) + x∗, y − x0 ≤ f (y), ∀y ∈ X ⇔f (x0) + x∗, td ≤ f (x0 + td), ∀d ∈ X, ∀t > 0 ⇔x∗, d ≤ f (x0; d), ∀d ∈ X.
e
S
n
e
a
n
x0
.
·)
(X,
E
n
t
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c
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s
n
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.
v
.
n
.
y
f
∈ Γ0(X )
.
T
o
m
e
m
o
s
f (x0 ; d) =
sup
x∗, d = σ∂f (x )(d).
x∗ ∈∂f (x0 )
0
x0
∈ X
y
s
u
p
o
n
g
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m
o
s
q
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f
4
C
4
D
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q
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c
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ó
n
·) .
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d
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e
l
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g
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u
n
e
i
v
g
m
e
o
o
x
a
y
s
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b
M >0
:
e
∀d ∈ X
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A
t
f (x0 ;
R,
p
s
y
s
p
q
t
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c
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t
t
o
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u
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o
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T
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L
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2
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r
.
q
d
.
F
U
N
D
A
M
E
N
T
O
S
D
≥ supx ∈∂f (x )x∗, d ∂f (x0 ) =∅ f (x0 ; ·) f (x0 ; d) ≤ f (x0 + d) − f (x0 ) ≤ M
b
d
P
f (x0 ; d)
n
p
a
e
o
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u
A
E
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n
∗
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c
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,
t
g
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0
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s
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u
u
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d
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p
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b
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P
n
0
n
0
,
.
l
D
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q
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c
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a
N
b
V
s
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E
r
v
X
e
O
m
o
∈
f (x0 ; ) = [f (x0 ; )]∗∗
,
s
f (x0 ; d)
·
·
.
[f (x0 ; )]∗ (x∗ ) = sup x∗ , d
·
− f (x0; d)} x∗ ∈ ∂f (x0 ),
{ d∈X
=
0 +
∞
s
i
s
i
n
o
= δ∂f (x0) (x∗ ) F
i
n
a
l
m
e
n
t
e
,
f (x0 ; d) = sup
∗ { x∗ , d − [f (x0 ; ·)]∗ (x∗ )} = δ∂f (x ) (d) = σ∂f (x ) (d). x ∈X ∗
C
o
r
x0 D
o
l
r
i
o
2
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4
.
1
m
o
s
t
r
a
c
i
ó
n
:
.
S
e
a
x∗0
{ }
∂f (x0 ) =
y
e
a
S
e
t
n
e
i
n
e
t
n
·)
(X,
o
n
e
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f
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e
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s
.
G
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e
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c
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u
e
i
s
s
t
c
r
i
o
n
2
f
a
ó
c
.
e
i
l
4
.
s
ó
i
:
e
2
F
n
n
.
r
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l
h
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y
S
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B
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t
x
-
e
i
r
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b
u
n
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d
i
f
∈ Γ0(X ) e
r
e
n
c
i
a
b
.
S
l
∈
x0 dom(f ) x0 f (x0 ) = x∗0
i
e
e
n
e
t
a
l
y
s
q
u
e
f
e
s
c
o
n
t
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u
a
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n
.
a
.
c
r
i
q
a
x∗, d = x∗0, d
sup
x∗ ∈∂f (x0 )
∈ Γ0(Rn) f
f
f (x0 ; d) = e
0
0
∗
b
l
u
e
e
e
∈ dom(f )
x0
y
n
x0
e
s
t
a
l
q
u
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f
e
s
c
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t
i
n
u
a
e
n
x0
∂f (x0 ) = x∗
{ }
y
,
.
− f (x0) − x∗, y − x0 ≤ 0. y − x0 y →x yk → x0 f (yk ) − f (x0 ) − x∗ , yk − x0 lim = L. k→∞ yk − x0 x dk := yy − d = 1 −x → d
lim sup
f (y)
0
S
e
P
L
o
r
i
∈R
L
a
c
p
s
o
c
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q
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s
,
t
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k
0
k
0
l
q
u
e
c
o
n
.
C
o
m
o
f
e
s
l
− x0dk ) − f (x0 + yk − x0d) → 0 yk − x0
f (x0 + yk
y
e
n
c
o
n
s
e
c
u
e
n
c
i
a
L = lim
k→∞
− x0d) − f (x0) − x∗, yk − x0 = f (x0; d) − x∗, d = 0. yk − x0
f (x0 + yk
o
c
a
l
m
e
n
t
e
2
.
4
.
O
E
b
s
L
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S
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U
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B
c
f (x0 ; d)
i
D
ó
I
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F
2
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R
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1
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.
C
N
o
t
f (x0), d
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I
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A
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L
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A
o
s
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s
,
q
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4
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s
∈ Γ0(X )
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t
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u
x
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n
c
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b
l
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e
n
∈ dom(f )
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,
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n
t
o
n
5
c
e
s
∂f (x0 ) = x∗ P
r
(
o
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n
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b
i
)
s
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t
)
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q
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o
c
o
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1
l
.
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t
s
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2
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4
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t
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∈ ∂f (y) ,
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u
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l
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E
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∂f : X
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l
.
.
.
o
s
n
y
M
c
→ R ∪{+∞} x∗ ∈ ∂f (x) x∗ − y∗, x − y ≥ 0. e
→R λ>0 ∀x ∈ X, ∂ (λf )(x) = λ∂f (x) ∀x ∈ X, ∂f 1(x) + ∂f 2(x) ⊆ ∂ (f 1 + f 2)(x) f 1 , f 2 ∈ Γ0 (X ) f 1
e
e
e
q
r
c
g
u
s
t
n
x,y,x∗ , y∗
m
u
n
n
,
f : X
m
e
e
s
c
s
E
r
:
e
n
u
→ 2X
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a
q
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d
n
e
e
,
ó
→R
o
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n
x
.
A : X
e
f 1 , f 2 : X
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o
n
t
r
o
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N
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r
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t
d
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t
l
u
2
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4
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c
u
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m
r
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i
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s
p
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P
2
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∈ dom(f 1) ∩ dom(f 2)
x0
n
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s
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E
S
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s
i
i
,
e
s
e
.
c
∀x, y ∈ U f (y) ≥ f (x) + f (x), y − x ∀x, y ∈ U f (x) − f (y), x − y ≥ 0
o
2X
i
f
m
O
L
)
)
i
D
s
U
(
(
o
{ ∈ X ∗ | x∗, d ≤ f (x0), d, ∀d ∈ X } = {f (x0)}. U ⊆ X f : U → R
r
e
a
u
-
R
o
c
k
a
f
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l
l
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)
S
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i
n
u
a
e
n
a
l
g
ú
n
∀x ∈ X, ∂f 1(x) + ∂f 2(x) = ∂ (f 1 + f 2)(x). D
e
q
m
u
o
s
t
r
x∗
e
a
c
i
ó
n
:
E
n
v
i
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t
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d
∈ ∂ (f 1 + f 2)(x) .
d
T
e
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l
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⊇
( )
.
S
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a
n
x, x∗
t
a
l
e
s
∀y ∈ X, f 1(y) + f 2(y) ≥ x∗, y − x + f 1(x) + f 2(x). I
n
t
r
o
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u
z
c
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o
s
l
o
s
s
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c
o
n
j
u
n
t
{ {
o
s
c
o
n
v
e
x
o
s
∈ X × R | f 1(y) − x∗, y − x ≤ λ}, ∈ X × R | f 2(x) − f 2(y) ≥ λ}. f 1 (y) + f 2 (y) = x∗ , y − x + f 1 (x) + f 2 (x) C 1 = epi(g) x0 int(C 1 ) = {(y, λ) ∈ X × R | g(y) < λ} = ∅ int(C 1 ) C 2 (y) = −x∗2 , y + α
C 1 := (y, λ) C 2 := (y, λ)
∈ ∩ − · ∈ ∩ ∅ x∗2 ∈ X ∗ α ∈ R ∀y ∈ X, f 2(x) − f 2(y) ≤ −x∗2, y + α ≤ f 1(y) − x∗, y − x − f (x).
(y, λ) C 1 C 2 g = f 1 x∗ , Γ0 (X ) int(C 1 ) C 2 = . A
d
e
m
á
s
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m
á
o
n
á
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∀y ∈ X : f 1(x) + −x∗2 + x∗, y − x ≤ f 1(y) −x∗2 + x∗ ∈ ∂f 1(x) ∀y ∈ X : f 2(x) + x∗2, y − x ≤ f 2(y) x∗2 ∈ ∂f 2 (x) x∗1 = x∗ − x∗2 x∗1 ∈ ∂f 1 (x)
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∈ ∂f (x∗) + ∂δC (x∗). x ∈ X N C (x) := ∂δ C (x) 0 ∈ ∂f (x∗ ) + N C (x∗ ). 0
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{ ∈ Y | ∀u ∈ X, δC (x) + u − x, y ≤ δC (u)} { ∈ Y | ∀u ∈ C, u − x, y ≤ 0}. (P ) ψ ∈ ∂f (x∗ ) ∀u ∈ C, u − x∗, ψ ≥ 0,
N C (x) = y = y L
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y
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C ∀u ∈ C, u − x∗, p ≥ 0.
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∀z ∈ X, (f ◦ A)(x) + A∗y∗, z − x ≤ (f ◦ A)(z) A∗ y∗ ∈ ∂ (f ◦ A)(x) A∗ ∂f (Ax) ⊆ ∂ (f ◦ A)(x) x∗ ∈ ∂ (f ◦ A)(x) ∀z ∈ X, f (Ax) + x∗, z − x ≤ f (Az).
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∀z ∈ X, f (Ax) + x∗, z − x ≤ y∗, Az + α ≤ f (Az) α = f (Ax) − y ∗ , Ax (y) = y ∗ , y − Ax + f (Ax) ∀y ∈ Y, f (Ax) + y∗, y − Ax ≤ f (y)
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u
.
u
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t>0
}
= sup (f i )∞ .
∞
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n
M
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i
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l
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m
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X
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s
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D
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{ d ∈ S ∞ | ≤ ∀ ∈ I } [ Γλ (f ) ]∞ = { d ∈ X | f ∞ (d) ≤ 0 }. 0 f ∞ (d) > 0 d= r
e
e
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e
C ∞ =
s
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C =
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∈ int(dom(f ∗)) ;
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(f ∗ g)(x) := inf f (x1 ) + g(x2 ) x1 + x2 = x . (
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f ∗ g
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(f ∗ g)(¯ x1 + x ¯2 ) = f (¯ x1 ) + g(¯ x2 )
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n
∈ dom(g) ∩ ∂g(¯x2)
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M
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a
n
c
ϕ(x, y) = cT x + δRm (Ax −
5
1
≤ b,
Ax
− b + y).
o
i
ó
n
ϕ:
R
n
× Rm → R ∪ {+∞}
5
C
2
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c
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s
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s
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∈ Γ0(Y )
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( ) β := inf m ϕ∗ (0, y ∗ ) = c
L
∈ Γ0(Rn × Rm) ϕ∗ : Rn × Rm → R ∪{+∞} ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = sup (x∗ − c)T x + y∗T y | x ∈ Rn , Ax + b − y ≤ 0 ∃i ∈ {1,...,m} +∞ = supx∈ (x∗ − c)T x + y∗T (b − Ax) y∗ ≥ 0 ∃i ∈ {1,...,m} +∞ = supx∈ {(x∗ − c − AT y ∗ )T x} + y∗T b y∗ ≥ 0 bT y∗ x∗ = c + AT y ∗ , y ∗ ≥ 0, = +∞ l
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v ∗ (y∗ ) = sup y, y∗
{ − v(y)} = sup{y, y∗ − inf ϕ(x, y)} x∈X y ∈Y = sup {x, 0 + y, y∗ − ϕ(x, y)} x∈X,y ∈Y y ∈Y
= ϕ∗ (0, y ∗ ).
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inf( ) + inf( )
.
−v∗∗(0) = − ysup − v ∗ (y ∗ ) = inf v∗ (y∗ ) = inf ϕ∗ (0, y ∗ ) = β. y ∈Y y ∈Y ∈Y ∗
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v
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∗
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− v∗∗(0) ≥ 0
α + β = v(0)
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⇔ f = −∞ f f : Y → R ∪ {+∞}
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v(0) =
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f = f ∗∗ E
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n
v v v(0) = v(0) R v ∗∗ β = v (0) = v(0) = α R α + β = 0 α β ∗∗ v v v(0) = v∗∗ (0) i
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∈ S (D) ⇔ ∀z∗ ∈ Y ∗, ϕ∗(0, y∗) ≤ ϕ∗(0, z∗) ⇔ ∀z∗ ∈ Y ∗, −v∗(y) ≥ 0, z∗ − v∗(z∗) ⇔ −v∗(y∗) = v∗∗(0) ⇔ y∗ ∈ ∂v ∗∗(0). v(0) ∈ R v
u
(0) = v(0) v(0) = v ∗∗ (0)
i
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D v(0) ∈ R ∂v(0) =∅ S (D) = ∂v(0) =∅ 0 w(0) ∈ R ∂w(0) =∅ S (P ) = ∂w(0) =∅ y∗ ∈ S (D) v(y) ≥ v(0) + y∗ , y v(0) = y∗ S (D) = {y∗ } ∅ ∂v(0) = ∗ ∂v(0) = Y β = w(0) = +∞ ϕ ∈ Γ0 (X × Y ) ϕ(x0 , ·) ϕ(x0 , ·) v(0) = −∞ v(0) ∈ R α + β = 0 · v ϕ(x0 , ·) ∅ S (D ) = v(·) ≤ ϕ(x0 , ·) v ∅ v(0) ∈ R v ∂v(0) = X f : X → R x0 ∈ X f y∗ ∈ ∂v(0) 0 ∈ ∂v ∗ (y∗ ) inf Y v ∗ · Y v ∅ S (D) = ∂v(0) = p
P
.
d
∅ v(0) ∈ R ∗∗ ∗∗ ≤v ≤v v (0) = v(0) D ∅ v(0) = v(0) = v∗∗ (0)
D
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v ∗∗ (0)
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u
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∂v(0) = v (0) = v(0) ∗∗ ∂v(0) = ∂v (0) = S ( ) S ( ) = inf( ) + inf( ) = 0 M
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∈ × P D
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inf( ) l
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− b) ∈ Γ0(Rn × Rm)
D inf(D) ≥ inf(P )
min bT λ AT λ + c = 0, λ
( )
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min cT x Ax
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· S (D) = ∂v(0) − inf(D) = min(D) ∈ R S (P ) = {x ∈ Rn | Ax ≤ b} ∩ {x ∈ Rn | cT x = α} [Ax ≤ b] ∩ [cT x ≤ α ] = ∅ (P ) (D ) ¯ ∈ S (D ) x ¯ ∈ S (P ), λ cT x ¯ + bT λ = 0, A¯ x ≤ b, d
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α = inf( ) = Ax b = α < α
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¯ λ
∀d ∈ Rn, [cT d = 0, Ad ≤ 0 ⇒ d = 0].
≥ 0.
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c
e
a
m
d
o
a
s
q
x
u
e
∈R
α
∈ X
s
e
t
i
e
o
n
D
d
e
e
m
o
e
q
u
s
r
a
c
i
ó
n
:
O
b
v
i
a
m
e
n
t
e
sup
,
µ j ≥0 d
o
q
u
e
t
e
δC (x) =
m
e
a
d
i
F
a
n
u
t
e
n
c
i
ó
n
L
a
g
r
a
n
g
e
a
n
a
o
sup
e
n
e
m
o
s
L
a
q
u
e
e
l
p
r
o
b
l
e
m
a
P
( )
e
s
e
g
r
n
n
i
m
o
s
e
l
p
r
o
b
l
e
m
a
d
u
a
l
t
i
A
C
I
Ó
N
C
O
N
V
E
X
A
c
a
}
}
{ ∈ Rq | λi ≥ 0, i = 1,...,q}
= λ
.
0 +
s
i
s
i
gi (x) 0, gi (x) > 0,
s
i
s
i
hj (x) = 0, hj (x) = 0,
a
l
i
n
t
q
D
e
q
µj hj (x)
i=1
g
e
a
n
o
d
( )
e
u
i
v
a
r
c
l
e
n
t
e
a
e
s
l
a
f
u
n
c
i
ó
n
L: X
inf
m
b
i
( ) γ :=
a
r
sup
inf
s
i
s
i
∈ Rp+,
λ n
× Rp × Rq → R
.
o
x∈X (λ,µ)∈Rp ×Rq )
a
.
j=1
P
e
á
P f (x) + λ, g(x) + µ, h(x) −∞ a
( )
D
m
λi gi (x) +
λ∈Rp+ , µ∈Rq
L(x,λ,µ) = T
Z
hj (x) = 0, j = 1,...,q
p
L
I
hj (x) = 0, j = 1,...,q ,
0 +
sup µj hj (x) =
o
a
≤ ∞ ∞
y
m
M
λi ≥0
e
I
{λ, g(x) + µ, h(x)
q R+
y
sup λi gi (x) =
d
T
λ∈Rp+ , µ∈Rq
,
t
P
inf [f + δC ].
e
g(x) = (gi (x))pi=1 h(x) = (hj (x))qj=1
O
.
n
δC (x) =
d
N
P
p
E
( ) u
a
u
D
≤ 0, i = 1, ..., p,
{ ∈ X | gi(x) ≤ 0, i = 1, ..., p,
e
A
m
C = x d
D
p
( ) α := inf f (x) gi (x)
d
O
sup
c
o
n
L(x,λ,µ).
sup
e
n
l
a
f
o
r
m
inf L(x,λ,µ).
(λ,µ)∈Rp ×Rq ) x∈X
u
l
a
c
i
ó
n
P
r
i
m
a
l
d
e
n
i
d
a
3
.
2
E
.
D
n
g
U
e
A
n
e
L
r
a
I
l
D
,
A
D
L
A
α = γ
.
G
S
i
R
n
A
e
N
m
G
b
E
a
r
A
g
o
N
,
A
c
o
m
o
e
n
d
e
o
c
e
n
s
d
a
e
r
i
a
≤α
γ
m
e
n
t
e
.
S
i
e
v
e
n
t
u
a
l
m
e
n
t
e
≤
≤ xinf ∈X
α = γ
5
¯ µ L(x, λ, ¯)
¯ µ L(x, λ, ¯)
d
,
y
sup
L(x,λ,µ) ,
s
e
t
i
e
n
e
q
u
e
7
(λ,µ)∈Rp ×Rq )
sup
L(x,λ,µ) = α,
(λ,µ)∈Rp ×Rq )
e
l
p
r
o
b
l
e
m
a
d
u
a
l
D
( )
t
i
e
n
e
u
n
a
s
o
l
u
c
i
ó
n
ˆ µ (λ, ˆ)
e
n
t
o
n
c
e
s
ˆ µ inf L(x, λ, ˆ) = γ = α
x∈X y
c
o
m
o
d
a
d
o
∈ X
x
t
e
n
e
m
o
s
sup
q
u
e
≥ L(x, λ,ˆ µˆ) ≥ α = xinf ∈X
L(x,λ,µ)
(λ,µ)∈Rp ×Rq y
d
e
d
u
c
i
m
o
s
q
u
e
s
i
∈ S (P )
x ˆ
e
n
t
o
n
c
e
s
x ˆ
e
s
s
o
l
u
c
i
ó
n
d
e
sup
L(x,λ,µ),
(λ,µ)∈Rp ×Rq
ˆ µ ( ˆ ) α = inf L(x, λ, ˆ),
P
p
r
o
b
l
p R+ P
r
p
i
i
m
o
)
s
q
i
x ˆ
)
i
a
q R
×
o
(
(
e
u
c
o
c
i
e
e
n
ó
s
e
s
e
s
n
u
t
3
n
t
e
r
s
2
s
e
n
a
.
a
ˆ µ (ˆ x, λ, ˆ)
i
p
.
o
l
s
e
1
r
.
u
i
n
p
L
ó
n
a
o
c
u
s
i
a
n
p
d
i
e
t
u
a
s
d
u
e
e
s
n
p
t
e
d
g
s
e
u
s
i
s
e
P
o
s
i
l
l
t
u
l
e
n
l
p
a
s
m
s
r
a
o
d
e
l
L
n
a
o
e
g
b
ˆ µ (λ, ˆ)
y
a
s
e
n
( )
e
x∈X
r
m
u
u
s
n
v
t
i
a
a
l
e
l
o
m
b
a
s
a
r
m
a
c
i
o
n
e
s
i
m
p
l
i
c
a
n
l
a
c
o
n
d
i
c
i
ó
n
d
e
c
m
a
t
i
d
e
o
s
i
d
∀x ∈ X, ∀(λ, µ) ∈ Rp × Rq , A
c
t
u
n
e
i
n
m
e
d
p
l
n
g
a
l
i
u
a
e
M
q
e
l
.
p
i
r
i
d
i
c
a
z
e
d
P
( )
m
L
o
m
p
l
c
a
,
r
i
ó
g
e
d
s
n
r
e
m
e
n
t
e
d
L(ˆ x ,λ,µ)
o
a
s
a
n
i
g
n
e
r
d
e
s
r
i
c
c
P
i
o
n
e
s
.
U
n
p
a
r
( )
e
t
ˆ µ (λ, ˆ)
∈
.
l
e
n
a
r
L
e
c
a
i
r
g
,
r
a
n
g
e
d
e
P
( )
c
o
α = γ .
n
≤ L(ˆx, λ,ˆ µˆ) ≤ L(x, λ,ˆ µˆ). i
e
d
a
d
ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1,...,p. D
e
m
o
s
t
r
a
c
i
ó
n
:
⇒ (ii)
(i)
T
e
n
e
m
o
s
q
u
e
x ˆ
∀x ∈ X, P
o
r
o
t
r
a
p
a
r
t
e
,
⇒ (i)
T
e
n
e
m
o
s
q
u
e
m
o
d
o
q
u
e
γ = α
s
o
l
u
c
i
ó
ˆ µ L(ˆ x, λ, ˆ)
n
d
e
P
( )
d
e
m
o
d
o
q
u
e
≤ L(x, λ,ˆ µˆ).
.
e
ˆ µ L(ˆ x ,λ,µ) = f (ˆ x) + δC (ˆ x) = α = L(ˆ x, λ, ˆ). ≤ sup λ,µ
E
v
i
d
e
n
t
e
m
e
n
t
e
,
f (ˆ x)+δC (ˆ x) = sup L(ˆ x ,λ,µ) = α
,
d
e
m
λ,µ
y
a
d
e
m
á
s
ˆ µ ≤ α ≤ sup L(ˆ x ,λ,µ) = L(ˆ x, λ, ˆ) = inf L(x,λ,µ) ≤ γ, x∈X λ,µ
γ
d
s
L(ˆ x ,λ,µ) (ii)
e
γ = sup inf L(x,λ,µ) λ,µ x∈X
ˆ µ ≤ sup L(ˆ x ,λ,µ) = L(ˆ x, λ, ˆ) ≤ γ, λ,µ
o
d
o
q
u
e
x ˆ
∈ S (P )
,
5
C
8
l
o
q
d
O
b
d
a
s
t
e
o
e
m
v
i
o
a
c
d
i
ó
m
p
l
o
q
u
n
3
i
c
q
e
.
2
.
r
o
,
¾
c
u
á
= (λ, µ) .
l
T
e
1
e
s
n
.
L
Í
∈ S (D)
(λ, µ)
x
r
e
s
e
y
r
o
a
u
a
m
e
.
.
m
l
e
u
e
P
T
U
L
O
3
.
D
U
A
L
I
D
A
D
E
N
O
P
T
I
M
I
Z
A
C
I
Ó
N
C
O
N
V
E
X
A
∈ C ˆ µ f (ˆ x) = L(ˆ x, λ, ˆ) = f (ˆ x) + λ, g(ˆ x) + µ, h(ˆ x) = f (ˆ x) + λ, g(ˆ x), λ, g(ˆx) = 0 g(ˆ x) ≤ 0 λ ≥ 0 λi gi (ˆ x) = 0, i = 1, . . . , p
a
f, (gi )i , (hj )j
P
y∗
e
r
s
u
A
l
a
e
c
i
s
g
i
t
u
ó
e
l
n
C
n
a
c
r
c
e
o
i
s
o
a
o
d
.
n
m
e
V
l
l
d
á
l
o
a
M
u
n
,
c
r
a
l
l
e
i
o
m
o
n
e
c
y
u
e
u
a
m
v
s
t
i
m
d
p
l
o
a
i
c
s
d
a
v
c
d
a
o
e
í
r
s
a
e
t
p
d
e
e
e
p
r
t
u
o
L
r
r
l
a
r
e
c
r
c
g
b
b
a
n
a
o
s
l
a
a
u
e
m
g
e
á
s
t
s
n
m
n
n
o
e
a
o
m
i
n
m
i
i
s
a
e
e
i
,
e
d
a
u
o
S
x ˆ
q
s
?
e
l
e
n
m
o
s
q
u
e
.
p
a
n
r
t
e
e
s
.
e
t
i
e
n
e
,
i
n
c
l
u
s
o
p
a
r
a
Y ∗ := Rp
e
m
e
t
× Rq
y
d
e
n
o
t
e
m
o
s
( ) α = inf sup L(x, y∗ )
P
x∈X y ∗ ∈Y ∗
y
( ) γ = sup inf L(x, y∗ ).
D
D
e
n
a
m
o
s
× Y → R ∪ {+∞}
ϕ : X
y ∗ ∈Y ∗ x∈X
m
e
d
i
a
n
t
e
y ∗ , y + L(x, y∗ )} = (−L(x, ·))∗ (y). { y ∈Y
ϕ(x, y) := sup ∗
E
n
P
t
o
L
o
n
r
u
c
o
e
e
t
g
r
o
s
,
a
,
P
( )
p
a
r
t
e
s
e
q
u
i
v
a
l
e
n
t
e
a
∗
P
( ) α = inf ϕ(x, 0).
e
,
s
i
y∗
→ −L(x, y∗) −L(x, y∗) = sup { y ∗ , y − ϕ(x, y)}. y ∈Y e
s
c
q
P
L
L
u
o
r
a
g
e
e
c
o
r
m
t
a
o
r
n
d
u
p
g
e
3
m
n
a
a
S
n
v
e
x
a
,
s
.
c
.
i
.
y
p
r
o
p
i
a
,
e
n
t
o
n
c
e
s
− xsup sup{y∗ , y − ϕ(x, y)} = −ϕ∗ (0, y∗ ), ∈X y∈Y
x∈X o
o
inf L(x, y∗ ) =
l
x∈X
a
a
.
e
2
n
r
n
.
t
2
e
e
e
t
a
ϕ
i
c
e
,
d
u
a
e
d
s
u
n
e
s
e
v
.
e
c
i
u
i
v
a
l
e
n
t
e
∗
y ∈Y
a
f
u
n
c
i
ó
n
d
−ϕ∗(0, y∗) = − y inf ∈Y ∗
∗
e
a
p
e
r
t
u
r
b
a
c
i
ó
n
ϕ : X
ϕ∗ (0, y∗ ) =
∗
−β.
× Y → R ∪ {+∞}
s
e
d
e
n
e
l
a
f
u
n
c
i
ó
n
× →R −L(x, y∗) := sup { y∗ , y − ϕ(x, y)} = [ϕ(x, ·)]∗ (y∗ ). y ∈Y x
.
q
γ = sup
m
a
.
,
,
e
i
n
n
c
t
l
o
u
n
s
c
o
e
y∗
∀x ∈ X, n
s
Y ∗
o
D (D )
( )
a
c
e
q
L : X
.
s
a
e
s
c
i
a
n
t
e
L(x, y∗) → ∀y∗ ∈ Y ∗, x → L(x, y∗) ϕ ∈ Γ0 (X × Y ) e
u
d
s
c
ó
n
c
a
v
a
a
n
d
o
.
,
s
.
e
c
.
s
s
.
c
d
o
e
n
Y ∗
v
e
x
a
e
d
R
n
e
X
.
e
n
R
,
p
e
r
o
n
o
n
e
c
e
s
a
r
i
a
-
3
.
2
D
.
e
D
m
U
o
s
A
t
r
L
a
I
c
i
D
ó
A
n
D
:
L
P
o
A
r
G
d
R
e
A
n
i
N
c
i
G
ó
E
n
A
N
A
5
9
−L(x, ·) = [ϕ(x, ·)]∗(·) ∈ Γ(Y ∗). P
o
r
o
t
r
a
p
a
r
t
e
,
L(x, y∗ ) = inf ϕ(x, y)
− y∗, y} = yinf Φ(x,y,y∗ ) ∈Y
{ y ∈Y
c
o
Φ
n
A
c
n
o
á
n
l
v
o
e
g
x
a
a
,
m
l
e
n
u
t
e
g
e
o
,
L( , y ∗ )
·
e
s
c
o
n
v
e
x
a
.
ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) =
{x∗, x + y∗, y − ϕ(x, y)} (x,y)∈X ×Y = sup {x∗ , x + sup y∗ , y − ϕ(x.y)} x∈X y ∈Y = sup {x∗ , x − L(x, y∗ )}, x∈X
d
e
d
o
n
d
e
sup
ϕ∗ (0, y∗ ) = A
s
í
e
l
p
r
o
b
l
e
m
a
d
u
a
l
s
e
p
u
e
d
e
e
s
c
r
i
b
i
r
e
n
t
é
r
m
i
L(x, y∗ ). − xinf ∈X n
o
s
d
e
( ) β = inf ϕ∗ (0, y∗ ) =
D
S
i
m
d
i
e
l
d
a
r
o
m
n
e
d
n
e
t
e
,
s
i
∗
y ∈Y
∈ Γ0(X × Y )
ϕ
,
e
n
t
o
n
c
e
c
o
· ∈ Γ0(Y )
o
∗
ϕ(x, )
m
− ysup ∈Y
∗
s
L
y
∗
e
inf L(x, y ∗ ).
x∈X
n
c
o
n
s
e
c
u
e
n
c
i
a
[ϕ(x, )]∗∗ (y) = ϕ(x, y)
·
y∗ , y + L(x, y∗ )}, { y ∈Y
ϕ(x, y) = sup ∗
e
n
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
ϕ(x, 0) = supy
∗
∈Y ∗
L(x, y ∗ )
y
∗
t
e
n
e
m
o
s
q
u
e
( ) α = inf ϕ(x, 0) = inf sup L(x, y∗ ).
P
P
r
o
p
(
(
i
i
i
o
i
x ˆ
)
)
s
c
e
i
s
ó
n
s
3
o
l
(ˆ x, yˆ∗ )
u
.
c
2
i
.
ó
2
.
n
d
S
e
∈ Γ0(X × Y )
ϕ
i
( ) yˆ∗
P
∈ X × Y ∗
e
s
x∈X
,
u
n
p
e
s
u
s
n
t
o
o
l
u
s
c
i
i
l
l
ó
a
e
x∈X y ∗ ∈Y ∗
n
t
n
o
d
d
e
n
e
c
L
∀x ∈ X, ∀y∗ ∈ Y ∗, D
e
m
o
s
t
r
a
c
i
ó
n
:
P
r
o
p
u
e
s
t
o
.
e
s
l
D
( )
(
c
o
a
s
s
i
g
u
i
e
n
t
e
s
s
o
n
e
q
u
i
v
a
l
e
n
t
e
α + β = 0
y
.
n
L(ˆ x, yˆ∗ )
L(ˆ x, y ∗ )
∈R )
,
e
s
d
e
c
i
r
,
≤ L(ˆx, yˆ∗) ≤ L(x, yˆ∗).
s
,
6
C
0
3
.
3
.
T
e
o
B
C
P
r
o
o
m
p
r
e
o
s
r
n
i
e
z
c
i
m
z
a
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int(C ) int(C ) int(C ) = x ¯ int(C ) x0 int(C ) >0 x1 = x ¯ +(¯ x x0 ) x1 C x ¯ ]x0 , x1 [ ]x0 , x1 [ int(C ) int(C ) = int(C ) x0 int(C ) r>0 λ ]0, 1[ xλ := λx0 + (1 λ)x1 D
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D
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2yn −y
− yn) ∈ B(y, ) ⊆ C Y w − v ≤ 12 y − yn (u, v) ∈ C α 1 (xn+1 , yn+1 ) := 1+α (xn , yn ) + 1+α (u, v) ∈ C
n
a
s
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αn :=
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w = y + αn (y
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{ | ∈ C } k0 ∈ N C = −C 0 ∈ int(C )
kC = kx x c
e
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−
∈ int(C )
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e
∈ C
x
L
u
q
→y
yn
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s
αn 1 = xn + u xn 1 + αn 1 + αn 1 = u xn 1 + αn diam(C X ) 2 diam(C X ) = yn αn
xn+1 − xn
l
o
−
− − − ≤ −
l
m
αn 1 y = yn + v y 1 + αn 1 + αn 1 = αn (yn y) y + v 1 + αn 1 = w v 1 + αn 1 y yn , 2
yn+1 −
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e
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i
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x
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0
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∈ ∈ ∞ ∈ ≤ − ϕ((1 − t)x0 + tx, tλy) ≤ k, (1 − t)x0 + tx ≤ 1 + x0 . ((1 − t)x0 + tx0 ,tλy) ∈ C C Y 0 ∈ int(C Y )
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s
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s
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s
d
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C
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c
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n
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q
u
e
D ∈R 0 ∈ int(dom(f ∗ ) − A∗ dom(g ∗ )),
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y
l
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h
i
p
ó
t
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s
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s
d
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C
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e
c
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u
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D ∅
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q
q
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s
s
S ( ) =
m
e
a
o
ñ
e
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D y inf f ∗ (−A∗ y∗ ) + g ∗ (y∗ ). ∈Y inf(P ) ∈ R 0 ∈ int(dom(g) − A dom(f )), ( )
u
a
,
y
S
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.
P
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a
n
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g
b
0 int(C Y ) C Y λ > 0 x X ϕ(x,λy) < + t)x0 + tx, tλy) (1 t)ϕ(x0 , 0) + tϕ(x,λy) t
b
h
e
C
o
u
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L
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C Y
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s
s
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e
m
o
∈ ∂g(A¯x).
s
q
u
e
{x∗, x + y∗, y − f (x) − g(Ax + y)} (x,y)∈X ×Y = sup {x∗ , x + y∗ , z − Ax − f (x) − g(z)} (x,z)∈X ×Y = f ∗ (x∗ − A∗ y∗ ) + g ∗ (y∗ ). (P ) inf ϕ(·, 0) (D) inf ϕ∗ (0, ·) y ∈ dom(ϕ(x, ·)) f (x) < +∞ Ax + y ∈ dom(g) dom(ϕ(x, ·)) = dom(g) − A dom(f )
í
,
e
q
u
i
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l
e
a
sup
y
e
y
,
3
ϕ(x, y) = f (x) + g(Ax + y)
a
g(A¯ x) + g ∗ (y¯∗ ) = A¯ x, y¯∗ .
−A∗y¯∗ ∈ ∂f (¯x), D
−
i
.
f (¯ x) + f ∗ ( A∗ y¯∗ ) = x ¯, A∗ y¯∗ ,
(
,
q
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l
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s
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ϕ(¯ x, 0) + ϕ∗ (0, y¯∗ ) = 0, q
u
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s
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q
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n
t
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f (¯ x) + f ∗ ( A∗ y¯∗ ) + x ¯, A∗ y¯∗
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q
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l
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n
t
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a
− A¯x, y¯∗ + g(A¯x) + g∗(y∗) = 0,
f (¯ x) + f ∗ ( A∗ y¯∗ ) = x ¯, A∗ y¯∗ , g(A¯ x) + g ∗ (y ∗ ) = A¯ x, y¯∗ .
−
q
u
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i = 1, . . . , p f, (gi )i , (hj )j c
o
c
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v
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x
a
P
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{
|
min f (x) gi (x) x∈X
≤ 0, i = 1, . . . , p,
}
hj (x) = 0, j = 1, . . . , q ,
s
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p
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,
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s
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D = X f, gi ,
s
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m
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e
ˆ i gi (x) + λ
D
s
.
H := qj=1 ker(hj ) 0 int(D H ) µ ˆ1 , . . . , µ ˆq R n
y
a
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m
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s
∈
∈
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\
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µ ˆj hj (x).
j=1
c
a
q
s
P
inf( ) = sup( )
p i=1 dom(g))
e
i=1
ˆ µ (λ, ˆ)
e
∩
ˆ 0 f (x) + λ
P ≤
s
D := dom(f ) (
ˆ0, . . . , λ ˆp λ
a
sup
d
o
ˆ 0 v( ) D, λ
∀x ∈ b
O
(λ,µ)∈Rp ×Rq x∈X
a
sup
p
O
N
q j=1 µj hj (x)
x∈X (λ,µ)∈Rp ×Rq
a
D
u
D
( )
c
I
−∞
P
u
L
p i=1 λi gi (x) +
f (x) +
( ) v( ) := inf S
A
× Rp × Rq → R
L: X
L(x,λ,µ) =
d
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A
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λˆ0 = 1
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u
n
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g
e
.
∀x ∈ X, v(P ) ≤ L(x, λ,ˆ µˆ) l
o
q
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s
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q
u
i
v
a
l
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n
t
e
a
ˆ µ P ≤ xinf L(x, λ, ˆ) ≤ v(D) ∈X ˆ µ (λ, ˆ) ∈ S (D ) v( )
e
i
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∀x ∈ X, x∗, x ≥ 0. D
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int(C ) [ x∗ , 0]
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⊆ [x∗, · ≥ 0]. A, B
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0 / (A
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− ∅ ∩ ∅
int(A B) = B) A B = i
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3
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4
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r
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c
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n
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S
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∈ H, λ = L(x)} A ∗ X × R e
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6
p
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.
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∈ × | ⊆ − ∈
B := (x, λ) X R int(A) int(A B) (x∗ , s)
y
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s
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c
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e
x
i
s
t
e
,
∀y ∈ H, ∀(x, λ) ∈ A, x∗, y + sL(y) ≤ x∗, x + sλ. ∀y ∈ H, x∗, y + sL(y) = 0 H λ→∞ ∀y ∈ H, ∀x ∈ dom(F ), x∗, x − y ≥ 0 s ≥ 0 s = 0 0 ∈ int(dom(F ) − H ) x∗ = 0 (x∗ , s) = (0, 0) s>0 x ∗ ∗ ∗ x0 = − s ∀y ∈ H, L(y) = x0, y ∀(x, λ) ∈ A, λ ≥ x0, x x ∈ dom(F ) λ → F (x) F (x) = x F X C
⊆ X
H
e
5
q
u
n
e
S
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p
.
y
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e
∅
s
m
h
int(epi(F )) =
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0
n
e
s
e
o
u
R
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d
a
l
E
∀x ∈ X, F (x) ≥ L(x). x∗0 ∈ X ∗ ∀x ∈ H, L(x) = x∗0, x; ∀x ∈ X, x∗0, x ≤ F (x). A := {(x, λ) ∈ X × R | F (x) < λ} int(A) = int(epi(F )) = ∅ A∩B =∅
e
x
Y
A
e
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3
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4
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.
u
n
-
→ R, i = 1, . . . , m max1≤i≤m f i (x) ≥ 0 ∀x ∈ mi=1 dom(f i), ν 1f 1(x) + ··· + ν mf m(x) ≥ 0 x ˆ ∈ X max1≤i≤m f i (ˆ x) = 0 T
c
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d
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c
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5
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s
ν 1 , . . . , νm
s
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t
i
s
f
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c
e
n
ν i f i (ˆ x) = 0, i =
1, . . . m .
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j
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g
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m
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s
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u
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{
m i=1 dom(f i )
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(
e
l
c
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s
o
m i=1 dom(f i )
∅
=
e
s
t
r
i
v
i
a
l
)
y
d
∈ Rm | ∃x ∈ X, f 1(x) < y1, . . . , fm (x) < ym}. 0∈ /A A {0} m ν = (ν 1 , . . . , νm ) ∈ R \ {0}
e
n
a
m
o
s
A := y = (y1 , . . . , ym ) E
u
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n
f
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c
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i=1
ν i yi
≥ 0.
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C
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m i=1 dom(f i )
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n
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d
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− v(P ), gi(ˆx)} = 0
hj
d
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c
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m i=1 dom(f i )
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ν i0 = 0
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a
l
m
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n
t
.
e
,
∈ X max1≤i≤p{f (x) − x ˆ ∈ S (P ) ˆ ˆ λ0 (f (ˆ x) − v(P ) ) = 0 λi gi (ˆ x) = 0, ∀i =
o
r
q
I
.
a
o
T
ν i f i (ˆ x) = 0
y
m
p
P
∈ A.
e
a
O
≥ 0, ∀i
v
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ν i
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≤ 0, i = 1, . . . , m
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{
l
m
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s
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t
v( ), gi (x) 0 max1≤i≤p f (ˆ x) 1, . . . , m e
Í
yi , i = 1, . . . , m e
>0
f i0 (x) = infty f i0 (x)+ max1≤i≤m f i (ˆ x) = 0 e
i
D
d
−∞
f i (x) >
n
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P
(f 1 (x) + , . . . , fm (x) + )
e
c
c
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u
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u
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v
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l
S
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∈ X ∗ (∀x ∈ X, ∀j = 1, . . . , q , x∗j , x = 0) ⇒ x ¯∗ , x = 0
a
n
t
n
e
x∗1 , . . . , x∗q
,
∈ X ∗
.
S
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x ¯∗
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c
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q
ker x∗j ,
· ⊆ kerx¯∗, ·.
j=1 E
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r
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l
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c
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x∗j
n
∈ X ∗
y
{ ∈ X | x∗j , x − x¯ = 0, j = 1, . . . , q}.
d
a
a
H = x
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p
t
a
e
g
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hj (x) =
y
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[
n
u
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q
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µ1 , . . . , µq
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n
i
c
∈R x ¯∗ = µ1 x∗1 + ··· + µq x∗q V ∗ := {x∗1 , . . . , x∗q } V ∗ x ¯∗ ∈ / V ∗ x ∈ X ∀x∗ ∈ V ∗, x¯∗, x > x∗, x x¯∗, x > 0 x∗, x = 0, ∀x∗ ∈ V ∗ hj (x) = x∗j , x − αj v(P ) ∈ R H = {x ∈ X | x∗j , x − αj = 0, j = 1, . . . , q}.
e
:
b
,
r
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n
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C
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x∗j , x
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s
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c
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c
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r
r
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d
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∈ H F (x) := max {f (x) − v(P ), gi (x)} ≥ 0. 1≤i≤p
m
u
e
o
t
s
o
,
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p
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epi(F )
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m
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o
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q
u
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gi , i = 1, . . . , p ,
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l
u
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g
o
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d
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H
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i
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e
6
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∈ X ∗
t
a
l
q
u
e
7
q
∗
∗
∀x ∈ H, x¯ , x = 0 ⇒ x¯
=
µ ¯j x∗j ,
p
a
r
a
a
l
g
u
n
o
s
∈R
µ ¯j
j=1
y
∀x ∈ X, F (x) − x¯∗, x ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ X, 1max { f (x) − v(P ) − x ¯∗ , x, gi (x) − x ¯∗ , x} ≥ 0. ≤i≤p D
e
D
l
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T
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i
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d
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o
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u
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o
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v
i
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.
x
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e
n
ˆ0 , . . . , λ ˆp λ
≥0
n
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ó
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n
r
t
e
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s
s
t
a
a
q
.
r
d
m
s
,
a
3
∀x ∈ D, λˆ0(f (x) − v(P )) + λˆ1g1(x) + ··· + λˆpgp(x) − (λˆ0 + . . . λˆp)x¯∗, x ≥ 0. ˆ0 + . . . λ ˆ p )¯ µ ˆj := −(λ µj
o
s
d
e
o
l
e
a
p
a
i
m
d
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m
p
e
S
e
e
n
n
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r
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g
c
u
k
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F
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h
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n
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d
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C
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l
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n
s
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i
u
p
c
i
o
ó
n
g
n
-
d
e
S ∃x0 ∈ dom(f ) : gi(x0) < 0, i = 1, . . . , p, hj (x0) = 0, j = 1, . . . , q . ˆ µ (λ, ˆ) ∈ Rp+ × Rq \ {(0, 0)} ∀x ∈ D, v(P ) ≤ L(x, λ,ˆ µˆ).
( ) E
n
t
D
q
o
e
n
e
m
u
c
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s
s
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c
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c
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t
l
r
,
n
,
a
ˆ0 = 0 λ 0
i
p ˆ i=1 λi gi (x0 )
ˆ0, . . . , λ ˆp λ E
i
d
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r
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x = x0 gi (x0 ) < 0
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≥0
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S
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c
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c
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r
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l
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f 1 , . . . fm : X
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c
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n
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F (x) := max f i (x). 1≤i≤p
E
n
t
o
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c
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s
,
m
∀x ∈ X, d
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n
d
e
D = dom(F ) =
∂F ( x) =
m i=1 dom(f i )
{
e
i
.
l
o
n
a
e
∂
λ∈ΛF (x)
i=1
λi fi + δD
(x),
y
ΛF (x) = λ = (λ1 , . . . , λm )
∈ Rm+ | ∀i = 1, . . . , m λi(F (x) − f i(x)) = 0}.
s
c
o
n
v
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x
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s
.
s
.
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s
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m ¯ i=1 λi
c
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n
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∈
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T
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λ∈ΛF (x) ∂ (
L
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D
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m i=1 λi f i (x) + δD ) (x) .
m
o
U
− f i(x)) = 0, i = 1, . . . , m
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s
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C
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N
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X
A
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0 ,
m
∀y ∈ D, l
A
− ≤
¯ i f i (x) + x , y λ ∗
i=1
¯ i f i (y) λ
x
≥ F (y),
i=1
F (x) + x∗ , y
y
l
D
e
u
e
e
g
x
o
n
i
s
a
t
m
e
− x ≤ F (y) x∗ ∈ ∂F (x) x∗ ∈ ∂F (x) ∀y ∈ X, F (x) + x∗, y − x ≤ F (y). G(y) := F (y) − F (x) − x∗ , y − x gi (y) := f i (y) − F (x) − x∗ , y − x ¯1 , . . . , λ ¯m ≥ 0 λ .
o
n
s
R
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c
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p
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T
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s
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u
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m
∀y ∈ D, C
o
q
m
u
o
m ¯ i=1 λi
∀y ∈ D
e
>0 ,
p
o
d
e
m
≥ 0,
i=1
s
s
u
p
o
n
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r
q
u
e
m ¯ i=1 λi
m
O
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q
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u
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í
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v
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x∗ c
i
∈
ó
λ∈ΛF (x) ∂
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S
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s
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T
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m
p
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.
,
a
p
p
i
4
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.
a
P
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p
.
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1
u
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3
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q
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c
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4
s
a
s
n
3
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m
t
e
o
m
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i
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x
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c
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D
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7
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s
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ó
x ˆ
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g
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i
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r
S
e
x
i
s
e
t
F
a
∈ ∂ λˆ0 f +
i=1
y
ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, . . . , p .
¯ = (λ ¯1, . . . , λ ¯m ) λ
∈ ΛF (x)
y
a
r
a
f 1 , . . . , fm
,
e
n
t
o
n
c
e
s
∂f i (x)
P
e
s
n
r
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i
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s
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v
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≥ n
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ˆ0, . . . , λ ˆp λ
p
0
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n
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c
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u
∈ S (P )
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s
u
}
I F (x) := i f i (x) = F (x)
q
− x.
p
i∈I F (x)
o
s
.
∂F (x) = co
d
o
i=1
m ¯ i=1 λi f i
x
i
.
¯ i f i (x) + x∗ , y λ
i=1
e
=1
m
¯ i f i (y) λ
D
¯ i gi (x) = 0, i = 1, . . . , m . λ
y
≥ o
,
¯ i gi (y) λ
é
b
i
l
.
E
n
t
x
o
o
n
,
c
p
e
p ˆ i=1 λi
0,
r
s
o
p
u
(ˆ x) +
i=1
n
=1
q
ˆ i g i + δD λ
i
µj ∂h j (ˆ x)
o
,
a
s
c
y
.
o
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c
n
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e
.
y
c
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i
ó
n
n
i
n
t
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o
c
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s
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a
µ ˆ1, . . . , µ ˆq
l
q
r
i
t
u
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P
m
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6
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l
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c
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m
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c
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q
hj (x) = x∗j , x
− xˆ ,
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n
t
o
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c
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s
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u
p
r
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g
S
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∂δ h (ˆ x) = x∗j
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g
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µj ∂h j (ˆ x)
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s
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J
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i
t
n
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n
l
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s
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µj ∂h j (ˆ x)
i=1
r
,
q
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s
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u
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a
d
c
o
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ú
n
a
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gi , i =
y
∈ ∂f (ˆx) +
q
ˆ i ∂g i (ˆ λ x) +
i=1
µj ∂h j (ˆ x))
i=1
.
D
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m
m
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3
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5
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b
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b
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1
(
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R
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g
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m
i
n
-
m
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x
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.
C
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s
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{
u
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ˆ0 > 0 λ
y
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l
u
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g
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,
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o
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r
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m
a
r
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g
u
l
a
r
i
z
a
d
o
min M r (f 1 (x), . . . , fm (x)).
x∈Rn
d
c
S
min max f 1 (x), . . . , fm (x)
f i : Rn
n
o
x∈Rn
n
o
j
(P r ) d
a
.
o
c
(P )
f
t
ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, . . . , p
y
g
n
p
0
s
o
u
λi gi + δD
ˆ i gi + δD λ
∂ f +
ˆ i gi (ˆ λ x) = 0, i = 1, . . . , p 1, . . . , p xˆ S ( )
i
t
i=1
y
p
i=1
e
s
a
p
0
s
c
j=1
g
n
s
∈
e
e
a
F
p
q
m
9
− v(P )) +
λ(f
∂δ H (ˆ x) =
e
a
∈
i
q
d
r
p
λ∈ΛF (ˆ x) i
l
.
∂F (ˆ x) =
S
E
p
o
∈
.
0 ∂ (F + δH )(ˆ x) x0 D ∂ (F + δH )(ˆ x) = ∂F (ˆ x) + ∂δ H (ˆ x)
y
i
− P } (P ) inf { F + δH }.
F (x) = max1≤i≤p f (x) v( ), gi (x)
a
a
x ˆ
,
n
L
B
∈ S (P ) x0 ∈ H 0 ∈ int(D − H )
e
e
o
t
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n
O
s
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T
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n
M r (y) = rM (y/r)
e
s
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c
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M (y1 , . . . , ym ) = minv∈R [v +
n
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m i=1 θ(yi e
− v)]
θ:R
y
∞
θ∞ (1) = +
.
→ [0, ∞)
e
s
u
n
a
7
C
0
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)
b
)
(
c
(
M
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u
P
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D
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M
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v
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x
p
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−r θ∗(1) ≤ M r (y) − max yi ≤ −r m θ∗(1/m). M r (f 1 (x), . . . , fm (x)) max{f 1 (x), . . . , fm (x)}
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xi u(x)dx = mi , i = 0, . . . , n
r
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u
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s
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E (u(x))dx :
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,
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s
e
p
[0, 1] = mi > 0 i = 0, 1, . . . , n
→ ∪{∞} ≥ ∞ → ∪ { ∞}
r
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ai , x0 < bi m i
(Au)i = )
i
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R E : R u 0 E (u) = u<0 1 1 n+1 Φ:L + A:L R R o
t
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≤ 0 ∀x ∈ C C = {x ∈ X | ai , x ≤ bi ,
m R+
:
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n i i=1 λi x )
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n ∗ i=1 ai yi
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n ∗ i=1 yi xi
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n
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s
˙ + ˙ β ) α ˙ β := α+( f, g : X h := f ˙ g o
a
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s
p
p
s
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o
:
x∗, xi = ai + yi, i = 1 . . . n
r
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,
o
˙ +(
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R
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D
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y
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r
r
q
t
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(
u
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z
s
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1
r
u
n
a
a
p
d
l
ω ω(t) ˙ + ω(t) = u(t) θ(1) = ω(1) = 1 θ
r
n
≤
∞
c
a
y∗ 1
e
minu∈L (
i
.
s
X ∗ yi∗ xi
u
,
n
m
ϕ(x∗ , y) =
x∗
= ai
l
p
o
θ(0) = ω(0) = 0 u(t) i
i
v
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∗
→R
q
c
d
∗
n R
x∗ , xi
(
e
∗
)
m
(P )
.
a
n
{x∗∗ : x∗, xi = ai, i = 1 . . . n} = ymax { x ∈X ∈
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.
a
n
e
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−
n
u
t
l
min
(
(A∗ λ)(x)
s
q
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e
(P )
a
s
m
p
e
e
r
1 ∗ 0 exp(u (x)
c
S
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o
u
n
l
=
o
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d
q
n
a
a
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e
e
∈R
C
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d
g
.
p
Φ∗ (u∗ )
n
n
l
d
ó
I
∈
a
L∞
→
e
u
s
e
a1 , . . . , an x∗ X ∗
y
ó
e
n
b
o
: L∞ d
s
e
n+1 R
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r
i
e
∈
∈ Y
u
e
n
7
A∗
u∗
r
i
q
o
l
e
o
e
e
4
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u
d
l
q
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u
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S
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b
o
b
A
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⊂ X ∈ [0, +∞]
C, D supx∈C d(x, D) D c
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si A∗ si no.
− ∈ S n+
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∈ \ {0} p
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.
Θ(A + H ) > Θ(A) Γ0 (S n ) Θ( ) z
s
u
}
λi > 0
o
Φ(¯ x) + Ψ(¯ y) = 0 r
.
p
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S n Θ( )
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d
x,Ax + f (x)
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t
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→ ∪ { ∞}
Θ(A)+tr(A) A
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p
c
q
a
S n A, B := tr(AB) = R Θ : S n +
g(x) = d(x, D)
e
∈ int(dom f ∗ − ImA)
dom(Θ) = S n+
l
d
e
Θ(A) = N
e
∈ ker A + x¯
y¯
e
0
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A : H +
n
x ¯
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→ R ∪ { ∞}
∈ ker A + y¯
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d
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u
x ¯ P
U
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∈
∂f (¯ x) (
6
f Γ0 (H ) Φ, Ψ : H Φ Ψ
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1
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e
Y = X ∗ C D
o
.
a
x ∈B
o
d
∗
∗
r
c
.
h(C, D) = sup σC (x∗ )
P
d
− { }∈ ∞ e(C, D) = sup {σC (x∗ )−σD (x∗ )}, x ∈B
n
{ ∈
d
d(x, D) = inf y∈D y x h(C, D) = max e(C, D), e(D, C ) [0, + ]
B ∗ := x∗ X ∗ C D
n
e
∗
d
{ − }
Y
A
S n
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.
t
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n i=1 λi
C
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S n+
c
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y
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{x1, . . . , xk } ⊂ min {Θ(A) : xti Axi ≤ 1, i = 1 . . . k}. A∈S
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l
x
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n
-
∈ RN , t > 0, x ∈ RN . x
− y) + tθ(y/t)
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n
.
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,
y
n
t
e
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r
m
i
n
o
(t∗ , x∗ )
s
d
e
f ∗
∈ ∂u(t, x) ⇐⇒ (t∗, x∗, 0) ∈ ∂ϕ(t,x, y¯). θ∗
y
∈ ∂u(t, x)
s
i
.
,
y
s
ó
l
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n
t
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s
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;
∈ ∂f (x − y¯) (iii) x∗ = θ(¯ y/t) u(·, ·) ∗ θ (x u(t, x)) = 0 ;
y
.
)
(ii) x∗
e
.
q
e
i
.
(i) t∗ + θ∗ (x∗ ) = 0
(
−1
xu(t, x)) = 0
− y) + tθ(y/t)
i
u
i
(t∗ , x∗ ) c
n
u
ϕ(t,x,y) = f (x
t
r
u
u
n
P
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b
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∈ ∞
y ∈R
n
o
s
e
u
p
e
u
k τ i=1 λi xi xi
u(t, x) = minn f (x s
u
.
u(0, x) = f (x)
e
s
.
∂u (t, x) + θ∗ ( ∂t
S
(P )
f, θ Γ0 (RN ) limy→∞ θ(y)/ y =
l
u
o
g
a
e
(
e
c
e
m
→ R ∪{∞} A, Ai ≤ 1 − yi, i = 1 . . . k
A= P
e
d
n
i
n
d
k R
i
e
e
,
s
×
Θ(A) +
y∗
c
(D) = (λ1 , . . . , λk ) m
u
ϕ : S n
ϕ(A, y) =
(
Ai := xi xti
n
C
o
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l
u
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q
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.
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(t, x)
∈ (0, ∞) × RN
y
s
a
t
i
s
f
a
c
e
∂u ∂t (t, x) +
7
C
4
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.
.
s
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d
n
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.
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t
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c
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m
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s
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u
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.
} K f −={t ∈ K : f (t) = −f ∞} ⊂ ∪ K f − µ ≥ 0 K f + µ ≤ 0 K f −
K f + = t K : f (t) = f ∞ µ =1 (µ) K f +
l
f ∞ = maxt∈K |f (t)|
M(K )
y
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p
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µ = |µ|(K ) < ∞ |µ|(A) = sup{ mi=1 |µ(Ai)| : {Ai}mi=1 C (K ) M(K )
n
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u
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µ ∈ ∂ · ∞ (f ) P
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m
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m = inf u∈X f (u) >
u
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f f (vk )
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u(0, x) = f (x) (
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i
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e
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t
e
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c
1 λ (I
t
c
→ H x∗ ∈ ∂f (x), y ∗ ∈ ∂f (y) =⇒ y ∗ − x∗ , y − x ≥ 0. J λ(z1) − J λ(z2) ≤ z1 − z2. 1 J λ(z) − z2 ≤ f (z) f (J λ (z)) + 2λ λ↓0
a
n
f
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y
s
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s
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u
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→Rn ε>0 xε ∈ R f (xε) ≤ ε f (xε) > ε f + ε · f (xε ; dε ) < −εdε dε := −f (xε ) m
u
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n
s
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ψ1 , . . . , ψn A(µ) = (
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f λ : H
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m
n i=1 xi ψi ∞ .
1 f λ (z) = inf f (x) + z x∈H 2λ (
e
.
d
a
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e
n
o
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ó
s
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u
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u
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q
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d
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M(K ) → t
m
x∈R
u
u
e
minn f
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x
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(P ) C
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5
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I
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u
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C
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m i=0 exp
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s
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f (x) = log
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=1 0
⊂ { 0≤i≤m
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≤ λ0, λ1,...,λm i = 0, 1,...,m d ∈ Rn
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m i=0 λi
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u
u
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e
e
m
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r
d
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0
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s
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)
m
g0 , g1 ,...,gm : C Rn g(x) := max gi (x)
e
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u
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g
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m i i=0 λi a = ai , d < 0
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∈ int(C )
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− g(¯x)] ≥ gi(¯x), d ∀i ∈ J limsup 1t [g(¯ x + td) − g(¯ x)] ≤ max{gi (¯ x), d} i∈J
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.
t→0+
(
c
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.
t→0+
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S
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p
:
∈ C },
i = 1, 2,...,m, x
e
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g
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∈ I (x¯) := {i | gi(¯x) = 0}
(
c
p
n
f, gi i
z
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λ0 = 1
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∃d ∈ Rn : ∀i ∈ I (x¯), gi(¯x), d < 0, e
d
a
r
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λi gi (¯ x) = 0.
i∈I (x ¯)
t
u
(
≥0
a
h
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g (¯ x; d)
∈ R+ i ∈ I (x¯)
λ0 , λi
c
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λ0 f (¯ x) +
(MF ) e
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f, g1 ,...,gm : C Rn x ¯ int(C )
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min f (x) gi (x) d
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s
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o
ε>0 j g(¯ x)) max
í
(P ) d
p
∈ J ≥ i∈J {gi(¯x), d} + ε tk d) − g (¯ x; d) = max{gi (¯ x), d} i∈J e
(
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s
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l
f ( f (x)u(x)dx ,
F : F : H 01 (Ω) 2 = 12 Ω L2 (Ω)N n
→
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X := H 01 (Ω) Y = L2 (Ω)N
R N 2 i=1 pi (x)dx d
e
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F ( F (u) =
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→ L2(Ω)N
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o
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G∗ (p∗ ) =
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p∗L2 (Ω) ∀u ∈ H 01(Ω), (Ω), A∗ p∗ , uH A∗ p∗ = − div p∗ e
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d
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c
t
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u
Au =
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F (u ) =
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i
Ω
L2 (Ω) G(p) = 12 p
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2 L2 (Ω)N
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7
7
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u∗ = n
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L (Ω)
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s
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A∗ : L2 (Ω)N
= p∗ , Au i
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p
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∈ L2(Ω)N , div p∗ =
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C
∈ int(dom(G int(dom(G) − A dom(F dom(F )) )) inf(P ) ≤ 0 S (D) =∅ (D ) (D ) div(¯ p∗ ) ∈ ∂F ( ∂F (u ¯) = {−f } p¯∗ ∈ ∂G ∂G((u¯) = {u ¯}, c
)
u
T
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0 int(L int(L2 (Ω)N ) = F ( F (v ) + G(Av Av)) u ¯ e
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= f = 0 = 0
div(u div(u) u
e
r
∈ L12(Ω)33 ∈ H (Ω) −∆u + p
⊂R
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d
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d
u
n
e
∗ ∀v ∈
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e
m
3 i=1 Ω
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s
p
a
c
i
o
d
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s
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l
e
ui vi
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p
s
i
s
t
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L2 (Ω)
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t
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q
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u
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m
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H
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s
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l
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c
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p div(ϕ div(ϕ) =
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r
m
m
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á
s
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u
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.
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l
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u
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f v.
Ω
t
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Ω
d
i
n
o
fv
∈ H 1(Ω) × L2(Ω)
(u, p)
{ ∈ H 01(Ω)3 | div(v div(v ) = 0} · u ∈ V 1 (P ) inf v2 − fv v∈V 2
o
d
Ω
V = v
c
(
− i=1
∈ D(Ω)3
ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )
Ω
H 01 (Ω)3 ,
( )
o
n
∂ Ω,
3
C
o
Ω, Ω,
3
d
S
3
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e
s
l
n
(S )
d
f u = (u ( u1 , u2 , u3 )
r
s
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Ω,
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u
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r
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n
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·
e
s
u
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s
2
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,
P
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R
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ó
l
B
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L
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K
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7
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u
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c
o
P
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r
r
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r
m
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l
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r
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b
c
q
m
m
r
u
u
e
e
p
f
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a
−→ R1 → 2 v2 −
F : X v A
e
D
∗
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r
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s
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n
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p
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s
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l
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t
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m
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o
l
q
u
i = 1, 2, 3
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m
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u
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p
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s
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e
p∗ ∈L2 (Ω)
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m
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d
a
l
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s
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c
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X =
u
,
i
a
d
o
a
Y =
P
( )
q
L2 (Ω)
−→ →
A : X v
δ{0} (y),
q
u
e
1 v 2
L (Ω) − 2 + 2
{ −
f
í
q
u
e
s
t
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l
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2
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Ω
)
y
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á
c
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u
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R
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s
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s
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r
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fv
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}
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u
−
∗
r
2
∈ H 01(Ω)
w
e
∈ Y ∗
f i v +
Ω
e
p∗
Ω
∂w = 0, ∂x i
r
e
− f, hL (Ω) + p∗, div(h div(h)L (Ω) = 0.
∗
i
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u
c
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s
)
.
E
s
d
i
1 F ( A p ) = 2 e
l
−
((v ((vp , h))
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∗
d
a
b
R
Ω
∗
e
e
o
−∆vp − p∗ = f (
r
inf F ( F (v ) + G(Av Av)).
e
Ω
d
m
v ∈X
(vp )i w
e
e
∗
d
r
1 inf v v ∈X 2
−
∈ X ∀h = (h1, h2, h3) ∈ X, a
e
p ∈Y ∗
v ∈X
= t
n
i
y
−
s
u
∗
F ∗ ( A∗ p∗ ) = sup
E
e
r
inf F ∗ ( A∗ p∗ ) + G∗ (p∗ )
D
( ) d
t
G : Y y
P
l
s
f v, p
n
o
fv
Ω
n
e
((u, ((u, v)) =
div(v div(v) = 0
( ) E
9
e
∗
s
c
∗ ∗
−
r
i
b
i
r
2 H 01 (Ω)3
e
l
d
u
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l
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c
∗
r
e
c
t
o
v
e
r
i
3
vp
∗
i=1 o
∈
m
o
c
a
e
r
n
q
u
e
L2 (Ω) = 12 vp H 2 (Ω) , ∗
2
1 0
3
H 01 (Ω)3
− ∆vp − p∗ = f ∗
e
s
s
o
l
u
c
i
ó
n
d
e
e
n
Ω .
8
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0
S
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p
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P
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P
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L
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4
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n
p
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A
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x
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O
N
s
ú
E
n
i
S
c
a
,
F (¯ u) + F ∗ ( A∗ p¯∗ ) = u ¯, A∗ p¯∗ = 0,
−
l
o
q
u
e
i
m
p
l
i
c
a
q
u
e
−
F ∗ ( A∗ p¯∗ )
≥ v, −A∗p¯∗ − F (v)
−
y
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n
c
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n
s
e
c
u
e
n
c
i
a
u ¯ = v(¯ p∗ )
.
L
u
e
g
o
,
div(¯ u) = 0
e
Ω,
n
∗
−∆¯u + (−p¯ ) = f
e
∈ ∂ Ω,
u=0
l
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q
u
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P
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,
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ó
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d
e
c
a
l
i
c
a
c
i
ó
n
∈ int(dom(F ∗) + A∗L2(Ω)). F ∗ (−A∗ p∗ ) = 12 vp 2 −A∗p∗ ∈ int(dom(F ∗)) inf(D) = − min(P ) ∈ R p∗n C ≥ 0 n∈N (vp )n H 01 (Ω)3 (p∗n )n (p∗n )n L2 (Ω)/R (p∗n )n p¯∗ ∈ L2 (Ω)/R 0
e
r
m
o
o
p
d
a
o
r
t
y
q
i
c
u
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l
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p
a
n
s
r
m
a
i
t
n
i
o
d
m
i
p∗
∈ L2(Ω) (D ) vp H (Ω) ≤ C
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P
z
o
a
n
t
,
e
p
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∗
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c
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q
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u
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b
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u
c
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c
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u
h
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c
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r
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Ω
Ω
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q
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u
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e
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l
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c
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l
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i
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ó
n
n
d
H 01 (Ω) ( )
e
,
P
.
e
S
s
e
y
n
,
− u)) − (f, v − u) ≥ 0,
((u, v
∈ Lp(Ω) 1 < p < +∞ Ω u ¯ ∈ W 2,α (Ω) ∀α ∈ [1, +∞[ c
n
c
t
.
| | − .
l
o
q
− } P ∅
n
l
a
t
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c
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u
d
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u
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e
i
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d
u
c
i
p
c
n
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{ ∈ H 01(Ω) | |v| ≤ 1,
a
inf
C := v
h
ó
s
y
n
e
i
l
e
t
s
s
a
n
r
o
d
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c
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e
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t
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d
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n
o
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1 0
n
r
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D
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s
e
r
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l
g
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u
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n
r
y
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e
d
c
e
c
c
i
o
l
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a
s
e
e
s
d
C 2
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S
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,
o
e
b
n
o
t
l
e
o
n
v
c
,
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s
∈
∈
.
.
4
.
4
.
P
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O
m
B
e
m
E
M
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S
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o
v
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s
,
→
y
,
→
,
o
d
a
s
p
o
r
Ω
{ ∈ L2(Ω)N | |p(x)| ≤ 1,
D
e
n
a
m
o
s
l
a
s
f
u
n
c
i
o
n
e
s
A : X
→ Y
,
v 2 dx
S = p
n
a
| | −
1 2
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d
.
1
fvdx
G(p) = δS (p),
y
Ω
e
− c.t.p.}
Ω
n
.
L
u
e
g
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P
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q
u
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l
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inf F (v) + G(Av).
v∈X E
s
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c
i
l
v
e
r
q
u
e
1 F ∗ (v ∗ ) = v ∗ + f 2
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d
e
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o
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d
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c
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l
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c
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n
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l
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q
u
S
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1
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2
.
,
e
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l
e
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s
t
d
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1 div p∗ + f 2
H
l
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u
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r
e
l
a
c
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o
n
e
s
d
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e
e
a
x
o
t
r
q
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n
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Ω
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.
n
n
u
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.
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u
P − D ∈ D F (¯ u) + F ∗ (−A∗ p¯∗ ) = div p¯∗ , u¯ G(A¯ u) + G∗ (¯ p∗ ) = p¯∗ , A¯ u ∗ ∗ |p¯ (x)| = p¯ (x)|u¯(x)| Ω − c.t.p. Ω − c.t.p.
min( ) = inf( ) p¯∗ S ( )
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G∗ (p∗ ) =
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f (x)u(x)dλ(x) ,
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f L2 (Ω) minu∈H 1 (Ω) Φ(u) + Ψ(Au) 0 2 N L (Ω) Φ(u) =
α, β > 0
,
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| Ω
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A : p dλ Au = R
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n
−
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.
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Ω
|
Ω
−
u
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L
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l
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o
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o
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c
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A
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s
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f (x)u(x)dx ,
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t
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c
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c
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s
m
d
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s
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t
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i∈I
,
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l
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s
i
n
s
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i
n
∈ I ∪ {0} − t∈R f i i ∈ I ∪ {0} ∗ f i (x + td) = f i (x∗ ) ≤ 0
f i i d=y x
c
a
v
.
a
a
p
-
m
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{ }
x = y ( x, y )
s
u
n
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p
n
s
1 f 0 (x) + f 0 (y) + r 2
a
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s
t
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q
u
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s
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,
s
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m
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e
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l
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,
l
i
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.
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.
s
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f 0 , f i
e
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8
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t
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c
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l
s
∞ ,
u
t
P r ) = {x(r)}
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p
m
S (
d
n
u
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s
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r
s
g
f r (x) = f 0 (x) + r f r∞ (d) > 0
,
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f 0 (x) = f 0 (y)
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i
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s
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g
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é
r > 0 0+
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d
I
r
l
≤0 d ∗ ∈ S (P ) x + td ∈ S (P ) S (P r ) P S (P r ) [x, y] ∈ S (P r ) f i (x) = f i (y) ∀i ∈ I d = 0 x∗ S ( ) S
N
v
o
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f i∞ (d)
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u
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y
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i∈I
i∈I θ
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m
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x0 = limk→∞ x(rk )
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= limk→+∞ x(rk ) xk = x(rk ) x∗ + x ¯ x ¯ k + ∗ ([x , x ¯]) d=x ¯ f 0 (xk ) = f 0 (x(rk ) + d) = f 0 (x(rk )) c
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s
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b
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l
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t
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c
n
d
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c
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s
n
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i
t
ó
e
e
c
i
n
t
→ R ∪ {+∞}
R
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p
n
n
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t
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s
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p
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s
s
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c
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é
t
r
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c
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,
max yj . ≤ Aθ (y) ≤ j=1,...,k
yi
i=1
n
n
e
Aθ
t
u
,
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,
s
yi θ r
θ
δ(y) > 0 y
ó
i
j
c
n
x
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n
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k
k
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c
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s
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x
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s
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c
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r(ρ) > 0
d
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s
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q
x
u
β θ2−1 (θ1 (yi /r)) < < βρ ρ yi /r
i
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s
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θ1 , θ2 :
s
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u
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c
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t
3
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b
.
u
.
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− ∞, 0]
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c
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1 k
y
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n
a
E
1 k E
t
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o
I
s
Aθ (y) = lim Aθ (y d
C
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→R ∀ ∈ P
a
u
m
g
δ : P δ(y) < 0 y
n
i
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.
)
i
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{y | A (y) ≤ λ} = e
A
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v
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A (y) = rθ
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E
e
)
.
∀r ∈]0, r(ρ)[.
m
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3
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M
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s
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s
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g
u
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q
u
e
9
Aθ2 (βρy) = βρA θ2 (y) liminf Ψr
≤ r →0 ≤ limsup Ψr +
r→0+
≤ Aθ ( β ρy) 2
β Aθ (y), ρ 2
= c
o
P
q
c
Ψr = rθ2−1 ( k1
n
u
o
r
o
t
r
o
l
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d
o
,
s
k yi i=1 θ1 ( r ))
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t
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n
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1 k
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u
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x
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D
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r
v
k yi i=1 θ1 ( r )
θ2−1 (x) θ1−1 (x) a
c
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s
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rθ 1−1 ( k1 u
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r
.
E
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c
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c
u
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n
c
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,
d
u
rθ 2−1 ( k1
c
→ inf θ1 = γ
c
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s
q
r→0+
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s
t
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s
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d
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d
u
c
e
q
u
e
≤
a
n
d
o
r
→ 0+
1 k
β liminf rθ 1−1 r→0+
1 k
≤ β ρAθ (y).
k
θ1
yi r
θ1
yi r
θ1
yi r
θ1
yi r
i=1 k
i=1
k
i=1 k
1 k
≤ β limsup rθ1−1 r→0+
→ β
β limsup rθ1−1 r→0+
βρA θ2 (y)
e
k yi i=1 θ1 ( r )) k yi i=1 θ1 ( r ))
y
limsup Ψr =
u
1 k
r→0+
u
→ β
β liminf rθ1−1 r→0+
liminf Ψr =
c
i=1
2
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F
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ρ
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c
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q
d
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u
c
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o
n
Aθ2 (y)
.
θ1−1 (θ2 (u)) v 1 lim = lim −1 = u→−∞ v→−∞ θ (θ1 (v)) u β 2 e
i
n
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y
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k
1 Aθ (y) = k
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S
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limu→−∞ ueθ(u) < 0
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n
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o
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c
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s
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)
S
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limu→−∞ ln(θ(u)) <0 u
,
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i=1
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−
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Aθ (y) = max yi . i=1,...,k
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c
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5
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3
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3
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P
r
u
e
Aθ (y) = maxi=1,...,k yi
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5
)
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m
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4
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.
1
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s
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(u) limu→−∞ θθ (u) >0
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s
i
l
s
⊆ S (P )
C
{ ∈ I | f i ϕC : (C ) → R ∪ {+∞} Aθ ((f i (x) | i ∈ I C )) ϕC (x) = +∞
m
a
n
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s
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u
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s
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s
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u
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u
n
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v
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x
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c
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r
r
a
d
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s
o
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n
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s
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C .
s
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s
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∈ C,
x n
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.
.
.
o
c
n
d
S C = arg min ϕC
y
⊆ S (P ) f i (ˆ x) < 0 ∀i ∈ I C r
∃xˆ ∈ C ∀x, y ∈ C, ∀i ∈/ I C I C = ∅ a
s
o
d
t
)
c
M
I C = i
C
e
.
n
e
q
∀u, v ∈ [−∞, 0]k , i=1,...,k max ui = max vj ⇒ inf Aθ (w) < max{Aθ (u), Aθ (v)}. i=1,...,k w∈[u,v]
(H 1 )
D
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b
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m
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n
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M
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∈ − ∞, 0[k
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s
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s
t
e
n
n
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y
l
u
e
g
o
∈ P
x, y C, x = y S ( )
∈ I ∪ {0} v − 1 ≤ v j ,
n
d
rj θ
rj
i=1
− 1) ≤ liminf rj θ j →+∞
a
d
e
d
s
q
e
u
d
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s
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s
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o
C
C
q
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s
t
a
s
e
n
t
e
.
vi
θ
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o
n
r
k
1 k
∈ I C f i maxi∈I f i maxi∈I f i(y) f i (x) = n
e
e
n
a
g
−
n
c
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g
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s
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s
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y
k
1 k
m
b
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k
1 k
−1
e
l
θ
i=1
a
a
r
b
i
i=1
t
a
< v + 1 ,
vij rj
θ
vij rj
r
p
i
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d
r
a
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d
.
d
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j
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c
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n
t
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s
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g
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d
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s
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n
d
t
o
s
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r
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x
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s
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n
c
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r
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n
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t
a
l
e
s
q
u
e
− α)f (x)
| ∈ I C )) ≤ Aθ (α(f i(y) | i ∈ I C ) + (1 − α)(f i(x) | i ∈ I C )).
Aθ (ϕC (z)) = Aθ ((f i (z) i
c
a
o
c
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a
s
e
n
d
a
c
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a
e
v + 1 < 0
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e
a
C
f i y) = 0
j →+∞
e
e
C
n
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e
u
q
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q
f i∞ (x
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I
r
s
e
a
e
n
v<0
C
− ≤
−1
t
e
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Aθ (v
L
k
1 k
.
y
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o
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u
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n
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c
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e
ó
L
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g
c
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u
u
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Z
y
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o
−
e
t
,
rj θ
d
y
y
d
g
u
L
⊂ C ∃i ∈ I C ∃β < 0 f i (x) = β ∀x ∈ S C x ∈ C f i (x) ≤ 0 ∀i ∈ I C i ∈ I C f i f i (x) < 0 f j (xi ) ≤ 0 ∀j ∈ I C \ {i} x ˆ = |I 1 |
s
∀∈
e
n
e
a
S
d
o
u
n
)
a
∈
)
t
a
e
i
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u
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u
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c
e
)
(
a
t
q
i
r
s
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n
t
∅
I C =
xi C f i (ˆ x) < 0 i I C i / I C x, y C ( x, y ) I C = x y
i
(
e
s
x
n
i
A
−1
k →+∞
v
N
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≤ lim inf rk θ k →+∞
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1 I k
1 I k
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f i (xθj ) rj
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maxi∈I C f i
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o
n
ó
t
n
i
n
u
a
e
λ(r)
.
n
0
A
d
f i (x(r)) r
e
p
m
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á
r
s
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a
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l
g
ú
n
x
λ(r) > 0
∈ Rn
.
D
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d
u
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,
.
u
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c
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a
l
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c
s
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ó
n
P
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S (
r
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r
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i
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h
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r
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m
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s
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s
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∈ Γ0(Rn) arg minf ∩ dom(g) =∅
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5
.
5
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1
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S
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g ∞ (d)
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n
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z(r)
e
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≥ 0 ∀d ∈ Rn
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min f (z) + rg(z).
z ∈Rn E
n
D
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E
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r
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u
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v
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r
g
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a
z∗ = arg min g(z) z
{
(f + rg)∞ (d) > 0
y
l
u
e
| ∈ arg minf }
g
o
.
f +rg
e
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f
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{
| ∈ arg minf }
min g(z) z a
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s
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c
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L
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dk := g(z(rk ))
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→ 0+
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→ d = 0 ≤ g(z∗) .
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y
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m
c
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o
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∗
f (z(rk )) g(z(rk )) + rk z(rk ) z(rk ) l
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l
q
c
q
u
u
u
e
e
e
z(rk ) → +∞
.
f (z(rk ))+ rk g(z(rk )) g ∞ (d) 0
n
2
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D
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n
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d
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z(r)
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.
.
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n
≤
+ rk g(z ) ≤ f (z )z(r , k ) o
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P
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z(r) z¯ = limk→+∞ z(rk ) ∗ f (z ) + rk g(z ∗ ) p
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≤
f (z(rk )) + rk g(z(rk ))
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z∗
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9
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0+
→
rk
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c
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l
5
ó
d
n
a
d
≤ f (z∗) rk g(z(rk )) → 0
liminf f (z(rk )) + rk g(z(rk )) k→+∞
A
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s
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c
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∈ arg minf
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c
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n
c
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≤ f (z∗)
f (¯ z)
,
≤ liminf g(z(rk )) ≤ g(z ∗ ), k→+∞ z¯ ∈ arg min{g(z) | z ∈ arg min f } g(¯ z)
d
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d
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(H 0 ), (H 1 ) λ(r)
u
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s
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s
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∈ D
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θ∗ (0) S ( )
λθ
∗ i∈I θ (λi )
d
q
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λ∈S (D)
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u
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i
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n
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S ( ) = r 0+
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λθ
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θ∗ (λi ).
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g(λ) =
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.
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n
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s
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t
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c
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p
u
e
s
D ∩{ λ | θ∗(λi) < ∞} = S (D) =
∩
arg min f dom(g) = S ( )
∅
.
P
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d
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S
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g
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t
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g
u
D ∅
S ( ) =
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,
n
s
c
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,
κ=0 p(λ) + δRm (λ) + ,
e
n
t
o
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c
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x
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t
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u
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n
c
o
p
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u
j
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u
n
t
t
o
o
s
θ∗ (λ)
≥ λy − θ(y), y > 0, θ(y) < +∞ θ(λ) → ∞ λ → ∞ g(λ) θ∗ g(·) (θ∗ )∞ (±1) ≥ 0 c
o
n
.
t
P
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s
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n
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θ∗ (t) (θ ) (1) = lim t→+∞ t ∗ ∞
s
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g ∞ (d)
n
=
[m ∗ ∞ i∈I (θ ) (di )
∞
]0,
.
,
≥ κ,
y
θ∗ (0
(θ∗ )∞ ( 1) = lim
−
C
λ∗
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>0 λ S ( ) .
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θ∗ (0) = +
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m
t
t→+∞
p
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− t) − θ∗(0) = +∞.
r
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s
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r
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c+AT λ=0
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θ∗ (0) = S ( ) r
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u
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m
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S
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d
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s
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l
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s
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c
c
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∞ +S (D) = ∅ θ λ →0 y
c
i
.
,
s
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E
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c
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.
m
ó
i
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t
d
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θ∗ (λi ),
i∈I 0
i
c
i
t
ó
o
y
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p
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s
i
,
y
∈ I (P )
s
ó
e
D
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s
n+1 R
ϕ:
n R
→R inf max{f i (x)}. x∈ i∈I (µ∗ , x∗ ) ∈ R × Rn µ∗ = maxi∈I {f i (x∗ )} inf {µ | ∀i ∈ I, f i(x) ≤ µ}. (µ,x)∈ ×
i
∈ S (P )
a
s
l
o
s
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i
,
a
n
f i :
f
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c
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s
s
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l
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c
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ó
n
Rn
R
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Ó
.
b
2
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P
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a
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)
I
{ ∈ I | ∃λ ∈ S (D), λi > 0}
.
r
C
bT λ + r
min
I 0 = i
A
min
λ∈S (D)
o
Z
c+AT λ=0,λ≥0
min
d
I
i∈I
Dr )
t
L
min cT x + r
P r )
(
e
A
(
s
N
( ) y
E
× Rm → R ∪ {+∞}
m
e
d
i
a
n
t
e
m
ϕ(µ,x,y) = µ +
δ]−∞,0] (f i (x) + yi
i=1
V
e
d
i
r
i
e
n
q
t
u
e
e
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q
s
t
u
e
á
ϕ
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p(λ) = d
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x∗
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r
g
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c
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∈ S (P )
r
u
d
e
y
a
m
o
s
,
−
inf x∈Rn
∞
+
{ ∈ Rm+ |
∆m = λ
P ∈ ∈ D
inf( ) R λ∗ S ( )
i
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P
( )
y
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l
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− µ).
s
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P
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q
s
u
i
,
e
{
inf p(λ),
λ∈Rn
i∈I λi f i (x)
i∈I λi
}
=1
D ∅
}
∈
y
y
i
s
i
∈ ∆m,
λ n
,
o
.
S ( ) = ∆m λ∗i (f i (x∗ )
λ∗
s
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t
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e
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u
a
l
maxi∈I f i (x∗ )
{
i
d
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.
P
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r
u
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b
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q
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p
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−
r
ϕ¯r (µ,x,y) = µ + r
e
x
d
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e
u
n
a
m
o
s
ϕr (x, y) = minµ∈R ϕ¯r (µ,x,y)
n
ϕr (x, y) = r ln
r
.
p
V
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e
x
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s
F r (x) := ϕr (x, 0)
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P × D
S ( )
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q
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∈ Γ0(Rn × Rm)
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× Rm → R
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{
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∈ I ,
P r )
e
s
λi ln(λi )
λ<0
(
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i∈I
∞
i
r
p(λ) + r
λ ln(λ) = + λ(r)
y
n
a
i
.
P
r
u
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b
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q
u
e
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P r ) + inf(Dr ) = 0
.
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e
∈ C 1(R)
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.
,
c
u
D
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n
.
)
.
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(
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E
s
→ 0+
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p
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s
i
b
l
e
e
x
(f i (x(r))/r) . (f i (x(r))/r)
p
i∈I
e
x
p
Dr ) → min(D)
min(
,
d
e
m
o
s
t
r
a
r
q
u
1 ln(m) (γ
a
S ( ) S ( ) e
u
n+1 R
ϕ¯r :
.
e
p
ó
0 ln(0) = 0
p
λi (r) = M
x∈Rn
0
l
i
i
Dr )
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s
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v
q
m
m
r
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c
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e
-
(
c
q
− min(P )) Γmin(P )+r ln(m) (F r ) ⊆ Γγ (F ). r → x(r) ∈ S (P r ) x(r) S (P ) f i ∈ Q i ∈ I (P r ) S (P r )
u
g
b
a
o
b
e
c
n
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s
l
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S ( ) = arg minF
n
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P
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u
,
t
u
e
l
P min(P ) ≤ inf(P r ) ≤ min(P ) + r ln(m)
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e
p
e
c
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o
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s
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u
e
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c
o
q
f i (
z
t
o
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g
.
u
e
P
n
d
l
)
u
n
o
P r ) = arg min F r γ > min(P )
e
q
p
∀r > 0
S ( (
a
≤ F (x) + r ln(m), ∀x ∈ Rn.
( y
i
F (x) < F r (x) C
c
F 0 (x) := F (x) := maxi∈I f i (x)
y
n
f i (x) + yi r
i∈I
S
e
f i (x) + yi r
i∈I
y
n
7
e
y
t
o
(x(r), λ(r))
d
o
e
n
p
r
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t
l
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ó
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(x∗ , λ∗ )
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n
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i1 xi1 = α1 1 x S (P ∞ ) xi0 = α1 i1 Π1 (x) = (xi : i I 1 )
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− ∈
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min Ay
− bp.
min Ay
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y(p) L = Ay b : y s
t
y ∈Rn
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A
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n
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rg(A) = n
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x∈S (P ∞)
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2 ) (P ∞
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u
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{ − 0 +
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c
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n R
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∈ } si x ∈ L
si no.
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c
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n
··· + mf m(x)
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c
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ó
n
{ ∈ Rn} min{f 1 (x) : x ∈ S 0 }
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min f 0 (x) : x
(P 1 ) .
.
.
{
(P m ) d
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c
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