Universidad Autónoma de Zacatecas Unidad Académica de Contaduría y Administración
Cálculo Aplicado Tercer Semestre
1. NÚMEROS REALES. Representación de números reales por medio de puntos en el eje numérico. Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. El concepto de número surgió en la antigüedad, ampliándose y generalizándose con el tiempo. Los números enteros y fraccionarios, tanto positivos como negativos, asi como el número cero, se llaman números racionales. El número racional puede expresarse como la razón de dos números enteros p y q. Por ejemplo:
;
En particular, el número entero p se puede considerar como la razón de dos números enteros
, por ejemplo:
,
Los números racionales pueden representarse por fracciones periódicas finitas o por indefinidas. Los números en forma de fracciones decimales indefinidas no periódicas, se denominan números irracionales; por ejemplo,
5 - ,
,
, etc.
La reunión de los números racionales e irracionales se denomina conjunto de números reales. Estos se ordenan según su magnitud, es decir, que para cualquier par de números reales x e y existe una correlación, y sólo una, de las siguientes: x < y, x = y, x > y.
Los números reales se pueden expresar por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una recta infinita en la cual están determinados: 1
1. NÚMEROS REALES. Representación de números reales por medio de puntos en el eje numérico. Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. El concepto de número surgió en la antigüedad, ampliándose y generalizándose con el tiempo. Los números enteros y fraccionarios, tanto positivos como negativos, asi como el número cero, se llaman números racionales. El número racional puede expresarse como la razón de dos números enteros p y q. Por ejemplo:
;
En particular, el número entero p se puede considerar como la razón de dos números enteros
, por ejemplo:
,
Los números racionales pueden representarse por fracciones periódicas finitas o por indefinidas. Los números en forma de fracciones decimales indefinidas no periódicas, se denominan números irracionales; por ejemplo,
5 - ,
,
, etc.
La reunión de los números racionales e irracionales se denomina conjunto de números reales. Estos se ordenan según su magnitud, es decir, que para cualquier par de números reales x e y existe una correlación, y sólo una, de las siguientes: x < y, x = y, x > y.
Los números reales se pueden expresar por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una recta infinita en la cual están determinados: 1
un punto 0 que se denomina origen; — un una dirección positiva que se indica con una flecha; — una una escala para medir longitudes. — una En general dispondremos el eje numérico en posición horizontal, considerando positiva la dirección hacía la derecha del punto 0 (origen). Si el número x 1 es positivo, se representa por el punto M 1. Este se situará a la derecha del punto O a una distancia. OM 1 = x 1; si el número x 2 2 es negativo, estará representado por el punto M 2 2. Este estará situado a la izquierda del punto O, a una distancia OM 2 = - x2 (fig. 1). El punto O representa el número cero. 2 = M2 -4
-3
-2
M1 -1
0
1
2
3
4
X 5
Figura 1 Es evidente que cada número real está representado por un punto en el eje numérico. Dos números reales diferentes están representados en el eje por dos puntos distintos. Es decir, cada punto del eje numérico representa un solo número real, ya sea racional o irracional. As! pues, entre todos los números reales y puntos del eje numérico existe una correspondencia biunivoca: a cada número le corresponde un solo punto que lo representa en el eje numérico, y recíprocamente, a cada punto corresponde un sólo número. Entonces, «número x» y «punto x » son sinónimos y asi los utilizaremos en este manual. Aceptemos, sin demostración, esta importante propiedad del conjunto de números reales: entre dos números reales arbitrarios siempre se pueden hallar números, tanto racionales como irracionales. En lenguaje geométrico esta propiedad se enunciará
asi: entre dos puntos arbitrarlos del eje numérico siempre podrán situarse puntos, tanto racionales como irracionales. 2
Como conclusión, enunciaremos el siguiente teorema que nos servirá, en algún sentido, de «puente entre la teoría y la práctica»:
Teorema. Todo número irracional a se puede expresar con cualquier grado de precisión por medio de números racionales.
En efecto, siendo el número irracional a > 0, calculemos a con un error no mayor de
por ejemplo ( , , etc.) Cualquiera que sea el número a, está comprendido entre dos números enteros consecutivos N, N + 1. Dividamos el segmento comprendido entre N y N + 1 en n partes, entonces el número a resultará comprendido entre los números racionales N +
yN+
. Dado que la diferencia entre estos números es , cada uno de ellos
expresa a con un grado de precisión predeterminado: el primero por defecto, y el segundo por exceso. Ejemplo: El número irracional
se expresa por medio de números racionales:
1.4 y 1,5: con un error no mayor de
1.41 y 1.42: con error no mayor de
1.414 y 1.415: con un error no mayor de , etc. 2. VALOR ABSOLUTO DEL NUMERO REAL. Introduzcamos el concepto de valor absoluto del número real. Este concepto es imprescindible para continuar adelante. Definición. Un número real no negativo, que satisface las condiciones: | x | = x, si x > 0;
| x | = - x, si x < 0. 3
se llama valor absoluto (o módulo) de un número real x (su notación es | x |). Ejemplos: |2| = 2; |- 5| = 5; |0| = 0. De la definición se deduce que para cualquier número x se verifica la correlación x ≤ | x |.
Examinemos algunas propiedades de los valores absolutos. 1. El valor absoluto de la suma algebraica de varios números reales no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos: |x + y| ≤ |x| + |y|
Demostración. Sea x + y ≥ 0. Entonces: |x + y| = x + y ≤ lxl + lyl (ya qu e x ≤ |x| e y ≤ |y|). Supongamos ahora que x + y < 0. Entonces: |x + y| = - (x + y) = (-x) + (- y) ≤ lxl + lyl , como se trataba de demostrar. Esta demostración se puede generalizar fácilmente para cualquier número de sumandos. Ejemplos: |-2+3|<|-2|+|3| = 2 + 3= 5 ó 1 < 5; I-3-5| = |-3| + |-5| = 3 + 5 = 8 u 8 = 8. 2. El valor absoluto de la diferencia de dos números no es menor que la diferencia de los valores absolutos del minuendo y sustraendo:
|x - y| ≥ |x| - |y| Demostración. Supongamos que x - y = z. Entonces x = y + z y según lo demostrado anteriormente, se tiene: | x | = | y+ z | ≤ |y| + |z| = |y| + |x – y|, de donde |x - y| ≥ |x| |y| o |x| - |y| ≤ |x - y| corno se trataba de demostrar. 3. El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores
| xyz | = | z | | y | | z |. 4. El valor absoluto del cociente es igual al cociente de dividir el valor absoluto del dividendo por el del divisor: 4
Las dos últimas propiedades provienen directamente de la definición. de valor absoluto. 3. MAGNITUDES VARIABLES Y CONSTANTES AI medir magnitudes de ciencias sociales, económicas y administrativas: tiempo, longitud, área, volumen, masa, elasticidad, precio, costo, producción, etc., se obtienen sus valores numéricos. Las matemáticas tratan del estudio de las magnitudes, haciendo abstracción de su contenido concreto. Es por ello que, al hablar de magnitudes, tendremos en cuenta, en lo sucesivo, sus valores numéricos. Hay fenómenos en que algunas magnitudes van cambiando, es decir, alteran su valor numérico y otras lo mantienen constante. Por ejemplo, en la depreciación de un activo fijo varían el tiempo y el valor en libros, mientras que la depreciación permanece constante.
Constante. Es una cantidad que durante una análisis o proceso tiene el mismo valor, se clasifica en dos tipos:
Constante Absoluta. Es aquella que nunca cambia.
Constante Relativa o arbitraria. Es aquella que al cambiar de análisis o proceso puede cambiar de valor. Absoluta. (Abstracta) solo existe en la mente.
Cantidad
Escalar. Es el auxiliar para que la cantidad absoluta se vuelva objetiva.
Variable. Es una cantidad que durante un análisis o proceso puede tomar un número ilimitado de valores. 5
Variable Independiente. Es aquella que toma sus valores al azar. También se llama variable arbitraria.
Variable Dependiente. Es una cantidad cuyo valor depende de los valores que tome la Variable Independiente. Observación. En matemáticas, la constante se considera con frecuencia como un caso particular de una magnitud variable cuyos valores numéricos son todos iguales. Conviene tener en cuenta que, en condiciones concretas, una misma magnitud puede ser constante en un fenómeno y variable en otro. Por ejemplo, la velocidad en el movimiento uniforme es una magnitud constante y en el movimiento uniformemente acelerado, una magnitud variable. Las magnitudes cuyo valor numérico permanece invariable en cualquier fenómeno se denominan constantes absolutas. Por ejemplo, la razón de la longitud de la circunferencia y su diámetro es una magnitud constante, llamada = 3.14159 Más adelante veremos que el concepto de variable es fundamental en el cálculo diferencial e integral. Federico Engels escribe en «Dialéctica de la naturaleza»: «El punto de viraje de las matemáticas fue la magnitud variable de Descartes. Esto introdujo en las matemáticas el movimiento y, con él, la dialéctica y también, por tanto, y necesariamente, el cálculo diferencial e integral». 4. CAMPO DE VARIACIÓN DE LA MAGNITUD VARIABLE Una magnitud variable puede tomar diversos valores numéricos. Según el problema que se considero, el conjunto de estos valores puede ser también diferente. Por ejemplo, la temperatura del agua, al calentarla en condiciones normales, variará desde 15 -18° C hasta el punto de ebullición; es decir, hasta 100° C.
6
-1
x
1
Figura 2. La variable x = cos puede tomar todos los valores entre -1 y +1. Los valores de una magnitud variable se representan geométricamente por medio de puntos en el eje numérico. Por ejemplo, los valores de la variable
x = cos son
representados por un conjunto de puntos del segmento en el eje numérico, desde - 1 hasta + 1, incluyendo estos puntos, para todos los valores de (fig. 2). Definición. El conjunto de todos los valores numéricos de la magnitud variable se denomina campo de variación de la variable. Determinemos los siguientes campos de variación de la variable que con frecuencia aparecerán más adelante. Recibe el nombre de intervalo el conjunto de todos los valores numéricos de x comprendidos entre dos números dados a y b (a < b), a excepción de los extremos, es decir, a y b no entran en el conjunto analizado de números. La notación del intervalo es: (a, b) o, mediante las desigualdades, a < x < b. El conjunto de todos los valores numéricos de x comprendidos entre los números dados a y b, incluidos estos, es decir, a y b que entran en el conjunto analizado se llama segmento. La notación del segmento es: [a, b] o, mediante las desigualdades, a ≤ x ≤ b. A veces el segmento recibe el nombre de intervalo cerrado.
En el caso de que uno de los números, a o b (a, por ejemplo), se una al intervalo, y el otro no, se obtiene un Intervalo semicerrado, que puedo ser expresado por las 7
desigualdades a ≤ x < b y cuya notación es [a, b). Si se une al intervalo el número b, excluyéndose a, se obtiene el intervalo semicerrado (a, b], que puede expresarse por medio de las desigualdades a < x ≤ b. Si la variable x adquiere todos los valores posibles, mayores que a, el intervalo se representa por (a, +∞) y se determina por las desigualdades convencionales a < x < +∞ De esta misma manera se determinan los intervalos infinitos y los infinitos semicerrados, que son dados por las desigualdades convencionales: a ≤ x < +∞; -∞ < x < c; -∞ < x ≤ c; -∞ < x < +∞.
Ejemplo: El campo do variación de la variable x = c os , para cualesquiera valores de , es un segmento [-1, 1] que se determina por las desigualdades -1 < X < 1. Las definiciones arriba citadas pueden formularse también utilizando el concepto «punto» en lugar del concepto «número». Por ejemplo: El conjunto de todos los puntos x comprendidos entre los puntos dados a y b (extremos del segmento); cuando estos pertenecen al conjunto considerado, se llama segmento.
X0
X0 - 0
X0 +
X
Figura 3. El intervalo arbitrario (a, b) que contiene un punto dado x 0, es decir, el intervalo (a, b) cuyos extremos satisfacen la condición a < x < b, se denomina vecindad de esto punto. Con frecuencia ocurre quo el intervalo (a, b) es considerado como vecindad (a, b) del punto X0 en que X0, es el centro. En este caso, el punto x 0 recibe el nombre de centro de la vecindad; la magnitud
se denomina radio de la vecindad. La fig. 3
representa la vecindad (x 0 - , x + ) del punto x 0, cuyo radío es .
8
5. VARIABLE ORDENADA. VARIABLES CRECIENTES y DECRECIENTES. VARIABLE ACOTADA Por convención, una variable x es ordenada, si se conoce su campo de variación y se puede precisar para cada par de sus valores, cuál de ellos es anterior y cuál posterior. Aquí, los conceptos «anterior» y «posterior» no se hallan relacionados con el tiempo, sirviendo sólo como el método de ordenación de los valores de la variable, es decir, el establecimiento de un cierto orden para los valores correspondientes de esta variable. La sucesión numérica x 1, x 2, x 3, . . . xk . . ., puede considerarse como caso particular de una variable ordenada, donde, siendo k' < k, el valor x k’ es anterior y el valor x k posterior, sin dar importancia cuál de estos dos valores sea mayor. Definición 1. La variable se denomina creciente, si su valor posterior es mayor que el anterior. Por el contrario, si cada valor posterior es menor que él anterior, la variable se denomina decreciente. Las variables crecientes y decrecientes reciben el nombre de monótonas. Ejemplo: Al duplicar el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo, el área a de este polígono es una variable creciente. Si duplicamos el número de lados de un polígono regular circunscrito alrededor de un círculo, su área a es una variable decreciente. Obsérvese que no toda variable ha de ser forzosamente creciente o decreciente. Por ejemplo, la variable x = sen
no es
monótona, siendo una magnitud creciente en el segmento [0,2 ]. Esta crece, al principio, de 0 a 1 y disminuye después de 1 a -1, para luego crecer de nuevo de -1 a 0. Definición 2. La variable x se denomina magnitud acotada, si existe un número constante M > 0 tal que, a partir de cierto valor, todos los postoriores satisfagan la condición. – M ≤ x ≤ M, es decir, | x |≤ M. 9
Es decir, una variable se llama acotada, si se puede indicar un segmento
[-M,
M], tal que, a partir de cierto valor de la misma, todos sus valores posteriores pertenezcan al segmento indicado. Sin embargo, no hay que pensar que la variable tome necesariamente todos los valores del segmento
[-M, M]. Por ejemplo, una
variable que toma diferentes valores racionales en el segmento [-2, 2], es acotada. Sin embargo, ésta no toma en este segmento valores irracionales. 6. FUNCIONES En matemáticas, una función se usa para representar la forma en que una cantidad depende de otra. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros cúbicos consumidos al mes; el valor de un departamento que depende del número de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende de la hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su duración; la estatura de un niño que depende de su edad. Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
10
Las funciones se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. Una función es una regla que toma ciertos números como entradas y asigna a cada uno un número definitivo de salida. El conjunto de todos los números de entrada recibe el nombre de dominio de la función, y el conjunto de los números de salida resultantes se denomina rango de la función. La entrada se llama variable independiente y la salida, variable dependiente. Las funciones pueden ser representadas por tablas, gráficas, fórmulas y enunciados. El dominio es el conjunto de valores para los cuales una función existe. La contraparte se llama contradominio o rango. Es el conjunto de valores que se obtienen a partir del dominio de la función. Dominio. Representa la variable independiente. Contradominio. Representa a la variable dependiente cuando existen valores para los cuales la función no existe se denomina a la función como discontínua.
NOTACIÓN DE FUNCIONES E INTERSECCIONES. Se escribe y = f(x) para expresar el hecho de que y es una función de x . la variable independiente es x , la variable dependiente es y y f es el nombre de la función. La gráfica de una función tiene una intersección en el punto donde cruza el eje horizontal llamada abscisa en el origen o vertical llamada ordenada en el origen .
11
f(x) = x 3 - x
¿Cuáles son las intersecciones x ? ¿Cuál es la intersección y ?
f(x)= (x - 3)(x - 1)(x + 1)
¿Cuáles son las intersecciones x ? ¿Cuál es la intersección y ?
Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones:
12
x 2. f x x
2
1. f x
3. f x
4. f x
5. f x
3
x 2
x 3
3 x
5
2
2 x
5
x 2 x 1 x 2
x 2
1
x
7. f x 8. f x 9. f x 6. f x
2
4
2 x
6
x 5
10. f x
x 2
8
x 2
9
x x 2
2 x
1
EJERCICIOS DE FUNCIONES En los problemas del 1 al 9, calcule los valores indicados de la función dada 1. f x 3 x 2 5 x 2; f 1, f 0 , f 2 2.ht 2t 1 ; h 1, h0 , h1 3
3. g x x 4. f x
1
x x
; g 1, g 1, g 2
x 2 1
; f 2 , f 0 , f 1
5. f t t 2 2t 4 ; f 2 , f 0 , f 4 3
6. f x x 1 2 ; f 0 , f 1, f 8 3
7. f t 2t 1
2
; f 1, f 5, f 13
8. g x 4 x ; g 2 , g 0, g 2 9. f x x x 2 ; f 1, f 2 , f 3
13
10. Dadof x x 3
5 x 2
4 x 20 demostrarquef x 12, f 5 0, f 0 2 f 3
f 7 5 f 1, f t 1 t 3 11. f x 4 2 x 2
12. Dadof x x 3
2t 2
11t 12
x 4 calcular ; f 0 , f 1, f 1, f 2, f 2 3 x , demostrarque :
f x h f x 3 x 2 13. Dadof x
1h 3 xh 2
h3
1 h demostrarque; f x h f x 2 x x xh
En los ejercicios del 1 al 9 determine: a ). f 0 b). f 1 1 c ). f ( ) 2 d ). f 2 e). f 3
1. f x 3 x 2 10x 1 2. f x
4. f x
7.
10 4 x
x 3 x 3
27
5. f x
8. f x
3 x 2
10
x 2
5 x 2 16 x 2
3 x 10
9.
6.
x 2 x 3
1 3. f x 16 x
x 2
3 x
x 3
2
10
x 2
6 x
4
6 x
10. Dada la función 3
f x x 1 2 , hallar; a) f (0) b)f(-1) c)f(8)
11. Dada la función
14
20
f x
x
2 x 16 4
, hallar; a) f (10) b) f (-2) c) f(3)
12. Dada la función f x x 2
2x 4 ,
hallar; a) f (2) b) f (0) c) f (-4)
13. Dada la función f x
x 9 x 3
4 x
, hallar; a) f (0) b) f (3) c) f (18) APLICACIONES
1. La función C(x) = 25x + 80 000 expresas el costo total C(x) (en dólares) de fabricar x unidades de un producto. Si el número máximo de unidades que pueden producirse es igual a 20000, establezca el dominio y rango restringidos de esta función de costo. 2. La función q = f(p) = 250 000 – 25p es la función de demanda que expresa en dólares la cantidad de la demanda de un producto q en función del precio cobrado por el producto p. Determine el dominio y rangos restringidos de esta función. 3. La función q = f(p) = 180 000 – 40p es la función de demanda que expresa en dólares la cantidad de la demanda de un producto q en función de precio cobrado por el producto p. Determine el dominio y rango restringidos de esta función. 4. Una agencia de renta de automóviles los alquila a razón de 10 dólares al día, más 0.20 dólares por milla recorrida. Si y es al costo en dólares de alquilar un automóvil por un día y si x indica el número de millas recorridas en un día, a) Determine la función y = f(x) que expresa el costo diario de la renta de un automóvil. b) ¿Cuál es f (250)? ¿Qué representa f (250)? 15
c) Comente el dominio restringido de esta función. 5. Al fabricar un producto, una empresa incurre en costos de dos tipos. Tienes costos fijos anuales por 200 000 dólares sin importar el número de unidades producidas. Además, cada unidad producida le cuesta $8 . Si C es el costo anual total en dólares y si x denota el número de unidades producidas durante un año. a) Determine la función C = f(x) que expresa el costo anual. b) ¿Qué es f (200 000)? ¿Qué representa f (200 000)? 6. Suponga que es el costo total en dólares de la fabricación de q unidades de un cierto artículo viene dado por la función; C q q
3
q2
30
400q
500
a) Calcule el costo de fabricación de 20 unidades. b) Calcule el costo de fabricación de la vigésima unidad. 7. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado f x x 3
6 x
2
x radios x horas después.
15
a. ¿Cuántos radios habrá ensamblado tal trabajador a las 10:00 a.m.? b. ¿Cuántos radios ensamblará tal trabajador entre las 9:00 y 10:00 a.m.? 8. Suponga que t horas después de media noche, la temperatura en Miami era de C t
1 2
t 2
4t 10 grados
Celsius.
a. ¿Cuál era la temperatura a las 2:00 p.m.? b. ¿Cuánto creció o decreció la temperatura entre las 6:00 y las 9:00 p.m.? 9. Se estima que dentro de t años, la población de una cierta comunidad suburbana será de P t 20
6 t 1
miles.
a. ¿Cuál será la población de la comunidad dentro de 9 años? b. ¿Cuánto crecerá la población durante el noveno año? c. ¿Qué le sucederá a largo plazo al tamaño de la población? d. ¿Cuál es el dominio de la función? e. ¿Para qué valores de t tiene interpretación práctica la función? 16
f.
¿Qué significa P 0 ?
10. Para estudiar el ritmo al que aprenden los animales, un grupo de estudiantes de psicología realizaron un experimento en el que una rata blanca era enviada repetidamente a través de un laberinto de laboratorio. Los estudiantes encontraron que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en la n-ésima prueba era aproximadamente de f n 3
12 n
Minutos.
a. ¿Cuál es el dominio de la función? b. ¿Para qué valores de n tiene significado la función en el contexto del experimento? c. ¿Cuánto tiempo se tomará la rata para atravesar el laberinto en la tercera prueba? d. ¿En qué prueba atravesó el laberinto la rata por primera vez en 4 minutos o menos? e. ¿Podrá la rata atravesar la rata alguna vez el laberinto en menos de tres minutos? 11. La población de una ciudad. P. en millones, es una función de t, el número de años desde 1950, así P = f (t). Explique el significado del enunciado f (35) = 12 en términos de la población de esta ciudad. 12. ¿Qué gráfica de la figura 1.4 se relaciona mejor con cada una de las siguientes historias? Escriba una historia para la gráfica restante. a) Justo cuando salí de casa me di cuenta que había olvidado mis libros, así que regresé para recogerlos. b) Todo marchaba bien hasta que se desinfló una llanta. c) Al principio iba calmado, pero después apresuré el paso cuando me di cuenta que iba a llegar tarde.
17
13. El número de ventas por mes, S, es una función de la cantidad a, gastados en publicidad ese mes, de modo que S = f(a). a) Interprete el enunciado f (1,000) = 3.500. b) ¿Qué gráfica de la figura 1.5 representa más acertadamente esta función? c) ¿Qué representa la ordenada en el origen de la gráfica de esta función, en términos de ventas y publicidad?
14. En las montañas de los Andes, en Perú, el número, N, de especies de murciélagos es una función de la altura, h, en pies sobre el nivel del mar, así N = f (h). a) Interprete el enunciado f (500) = 100 en términos de especies de murciélagos. b) ¿Cuáles son los significados de la ordenada en el origen, k, y la abscisa en el origen, c. en la figura 1.6?
18
15. En un día frío se deja a la intemperie un objeto a l tiempo t = 0. Su temperatura, H = f (t) en ºC, está graficada en la figura 1.7. a) ¿Qué significa el enunciado f (30) = 10 en términos de temperatura? Incluya unidades para 30 y para 10 en su respuesta. b) Explique qué representan la ordenada en el origen, a, y la abscisa en el origen. b, en términos de la temperatura del objeto y del tiempo de exposición.
16. La población de Washington. D. C. creció de 1900 a 1950; permaneció aproximadamente constante durante la década de 1950 y disminuyó de 1960 al 2000. Trace una gráfica de la población como una función de los años desde 1900. 17. Los inversionistas financieros saben que, en general, entre más alta sea la tasa de la ganancia esperada de una inversión más alto será el riesgo correspondiente. a) Trace la gráfica de esta relación mostrando la ganancia esperada como una función del riesgo. 19
b) En la figura del inciso (a) señale el punto con la mayor ganancia esperada y el menor
riesgo.
(Los
inversionistas
esperan
encontrar
ese
tipo
de
oportunidades.) 18. En los pantanos a la orilla de la costa de Nueva Inglaterra los caracoles comen algas. Describa qué le indica la figura 1.8 respecto al efecto de los caracoles en la diversidad de algas. ¿La gráfica apoya el enunciado referente a que la diversidad alcanza su punto máximo en niveles predatorios intermedios?
19. La concentración de medicamento en el cuerpo de un paciente, después de una inyección, aumenta con rapidez hasta un máximo y luego disminuye lentamente. Trace la gráfica de la concentración de medicamento en el cuerpo como una función de tiempo, a partir de que fue aplicada la inyección. Suponga que el paciente no tiene ningún medicamento en el cuerpo antes de la inyección. Indique cuál es la concentración, máxima y el tiempo que toma alcanzar dicha concentración. 20. Se realiza un depósito en una cuenta que genera intereses. La figura 1.9 muestra el saldo, B, en la cuenta t años después. a) ¿Cuál fue el depósito original? b) Calcule f (10) e interprételo. c) ¿Cuándo el saldo es de $5,000?
20
21. Se coloca una papa en un horno casero al tiempo t = 0. a) ¿Cuál de las gráficas de la figura 1.10 podría representar la temperatura de la papa como función de tiempo? b) ¿Qué significa la ordenada en el origen de la gráfica en términos de la temperatura de la papa?
22. La figura 1.11 muestra la cantidad de nicotina, N = f (t), en miligramos en el torrente sanguíneo de una persona como una función de tiempo, t. en horas, desde que la persona terminó de fumar un cigarrillo. a) Calcule f (3) e interprétela en términos de niveles de nicotina. b) Aproximadamente, cuántas horas han transcurrido desde que el nivel de nicotina bajó a 0.1 miligramos? c) ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿Qué representa en términos de nicotina? d) Si esta función tuviera una abscisa en el origen, ¿qué representaría?
21
23. Para las funciones de los problemas 13 al 17 encuentre f(5).
24. Hizo calor toda la mañana y de pronto enfrió hacia el medio día; después cayó una tormenta. Después de la tormenta, nuevamente hizo calor antes de que enfriara al oscurecer. Trace la gráfica de la temperatura como función del tiempo. 25. Después que se aplica cierto medicamento a un paciente que tiene un ritmo cardiaco rápido, éste disminuye de modo considerable y luego sube lentamente a medida que el medicamento es eliminado. Trace una posible gráfica del ritmo cardiaco respecto al tiempo a partir del momento en que se aplica el medicamento. 26. El rendimiento de gasolina de un automóvil (millas/galón) alcanza su punto máximo cuando el automóvil va a una velocidad de 45 millas/hora y es menor cuando el automóvil va más rápido o más despacio de 45 millas/hora. Trace la gráfica del rendimiento de gasolina como función de la velocidad del automóvil. 22
27. Un tanque de gasolina a seis metros bajo tierra tiene una fuga. La gasolina se escurre y contamina la tierra a su alrededor. Trace la gráfica de la cantidad de contaminación como función de la profundidad (en metros) bajo el suelo. 28. Explique qué le indica la figura 1.13 respecto a una línea de ensamble cuya productividad se representa como función del número de trabajadores en la línea.
23
7. LA FUNCIÓN LINEAL 7.1 CONCEPTO DE LINEA RECTA. Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera x1 , y1 y x2 , y2 del lugar, el valor de la pendiente m resulta siempre constante.
7.2 PENDIENTE DE UNA RECTA. Se llama pendiente de una recta a la inclinación que tiene una recta, también se denomina como la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. por lo tanto podemos escribir m tg
Si x1, y1 y x2 , y2 son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es m
y2
y1
x2 x1
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA. La forma general de la línea recta es Ax By C 0
Donde A y B deben ser diferente de cero y C puede ser o no igual a cero. 7.3 CASOS DE LA LÍNEA RECTA. Punto-pendiente . La recta que pasa por el punto dado x1 , y1 y la pendiente m
tiene por ecuación y y1
m x x1 24
Pendiente y ordenada en el origen . La recta cuya pendiente es m y cuya
ordenada en el origen es b tiene por ecuación y
mx b
Una recta paralela al eje y no tiene ordenada en el origen. En este caso no se puede utilizar la ecuación anterior. Forma cartesiana cuando se conocen dos puntos . La recta que pasa por los
puntos x1 , y1 y x2 , y2 tiene por ecuación y y1
y2 y1 x2 x1
x x1
o
y y1
m x x1
Simétrica . La recta cuyas intercepciones con los eje X y Y tiene los valores a y b
respectivamente tiene por ecuación x a
y b
1
Donde a es el punto donde la recta intercepta al eje X, y b del eje Y por lo tanto a
0. yb 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS En los problemas de 1 al 5 halle ( si es posible) la pendiente de la recta que pasa por el par de puntos dados. 1. A(-2,3) y B(0,4)
4. A(5,-1) y B(-2,-1)
2. A(-1,2) y B(2,5)
5. A(2,6) y B(2,-4)
3. A(2,0) y B(0,2)
6. A(-4,7) y B(5,-2)
En los problemas del 7 al 17, halle la pendiente ( m) y la ordenada en el origen ( b) si existen, de la recta dada y dibuje el grafico. 7. y 3 x
8. y 5 x 2
9. y 3x 6 25
10. x y 2
11. 3 x 2 y 6
12. 2 x 4 y 12
13. 5 y 3x 4
14. 4 x 2 y 6
15.
16. y 2
17. x 3
18. 4 x 9 y 6 0
x 2
y 5
1
En los problemas del 19 al 38, escriba la ecuación para la recta con las propiedades indicadas. 19. Pasando por A(2,0) con m = 1 20. Pasando por A(-1,2) con m = 2/3 21. Pasando por A(5,-2) con m = – ½ 22. Pasando por A(0,0) con m = 5 23. Pasando por A(2,5) y paralela al eje x 24. Pasando por A(2,5) y paralela al eje y 25. Pasando por A(1,0) y B(0,1) 26. Pasando por A(2,5) y B(1,-2) 27. Pasando por A(-2,3) y B(0,5) 28. Pasando por A(1,5) y B(3,5) 29. Pasando por A(1,5) y B(1,-4) 30. m = -3 y pasa por el punto A(2,-1) 31. Intercepta al eje X en 2 y al eje Y en -3 32. Intercepto con Y en 6 y m = -2 33. Pasan por el punto A(-3, 2) y m = 3/2 34. Paralela a la recta: 4x – 3y + 20 = 0. 35. Perpendicular a la recta 4x – 5y + 7 = 0. 36. Pasa por A(2,5) y B(-2,-1) 37. Pasa por el punto de intersección de 6x – 2y + 8 = 0 con 4x – 6y + 3 =0, y paralela a 5x + 2y + 6 = 0 38. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,3) y que es perpendicular a la recta 2x – 3y + 7 = 0 26
7.4 APLICACIONES. 1. Arrendamiento de automóviles. Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas. Los automóviles nuevos cuestan $12,000. Se emplean 3 años y luego se venden en $2 500. El dueño de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles, sin contar la gasolina, son de $0.25 por milla. Los automóviles se alquilan en $0.40 netos por milla (sin incluir la gasolina). a) Formule la información de ingreso total relacionada con el alquiler de los automóviles por x millas durante un periodo de 3 años. b) Formule la función de costo total asociada al alquiler de un automóvil por x millas durante 3 años. c) Formule la función de utilidad. d) ¿Cuál será la utilidad si el automóvil se renta por 60000 millas durante un periodo de 3 años. e) ¿Cuántas millas se requiere a fin de obtener una utilidad cero durante 3 años. 2. Una compañía elabora un producto cuyo precio es de 25 dólares por unidad. Cada unidad le cuesta $18 en gastos variables, y los costos fijos anuales son de $250 000. Si x es el número de unidades producidas y vendidas durante el año, a) Formule la función lineal del costo total. b) Formule la función lineal del ingreso total. c) Formule la función lineal de utilidad. d) ¿Cuál será la utilidad anual si se producen y venden 100 000 unidades durante el año? e) ¿Qué nivel de producción se necesita a fin de obtener una utilidad cero? 3. Una gasolinera vende gasolinas regular sin plomo y de primera calidad sin plomo. El precio por galón es de $0.899 para la gasolina regular sin plomo y de $0.999 para la de primera calidad sin plomo. El costo por galón que cobra el proveedor es de $0.829 y $0.939, respectivamente. Si x 1 es el numero de 27
galones vendidos de gasolina regular y x2 la cantidad de galones de la gasolina de primera calidad. a) Formule la función de ingresos obtenidos con la venta de galones x 1 y x 2, respectivamente, de los dos grados de gasolina. b) Formule la función del costo total de la compra de galones x 1 y x 2, respectivamente, de los dos grados. c) Formule la función de utilidad total. d) ¿Cuál es la utilidad total esperada si la estación vende 100,000 galones de gasolina regular sin plomo y 40 000 de gasolina de primera calidad sin plomo? 4. Una maquina se compra en 60 000 dólares. Los contadores han decidido servirse de un método de depreciación en línea recta, y la maquina se deprecia completamente al cabo de 8 años. Indicando que V el valor de la maquina en libros y con t su edad, determine la función V = f (t). (Suponga que no hay valor de reventa o salvamento.) 5. En el ejercicio anterior suponga que la maquina tendrá un valor de reventa de $10 000 al cabo de 8 años. Determine la función V = f(t) para la situación. 6. Una maquina se compra en 400 000 dólares. Los contadores han decidido valerse del método de descripción en línea recta, y la maquina se deprecia totalmente después de 10 años. Denotando con V el valor de la maquina en libros y con t su edad, determine la función V = f(t). Suponga que no hay valor de reventa. 7. Una compañía adquiere automóviles para sus ejecutivos. En el presente año el costo de compra es de 15 000 dólares. Las unidades se conservan 3 años, una vez transcurridos los cuales se espera que su valor de reventa sea de $3600. Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la función que describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t. 8. Un departamento de policía piensa que las tasas de arrestos R son una función del número de oficiales vestidos de civil n que son asignados a la vigilancia. La tasa de arrestos se define como el porcentaje de casos en el que se han hecho arrestos. Se cree que la relación es lineal y que, con cada oficial mas que se 28
asigne a la fuerza policial vestida de civil, aumenta la tasa de arrestos en 0.90%. Si la fuerza actual consta de 20 oficiales y la tasa de arrestos es de 32%, a) Defina la función R = f(n). b) Interprete el significado de la intersección con el eje y . 9. Dos puntos sobre una función lineal de demanda son A($20, 60 000) y B($30, 47 500). a) Determine la función de demanda q = f (p). b) Determine que precio originara una demanda de 65 000 unidades. c) Interprete la pendiente de la función. 10. Dos puntos con valores (q,p) sobre la función lineal de la demanda son A($25, 50 000) y B($35, 42 500). a) Determine la función de la demanda q = f(p). b) ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 60 000 unidades? c) Interprete la pendiente de la función. d) Trace la función. 11. Dos puntos sobre la función lineal de oferta son A($6.00, 28 000) y
B($7.50,
37 000). a) Determine la función de oferta q = f (p). b) ¿Qué precio hará que lo proveedores ofrezcan 45 000 unidades? 12. Dos puntos (p,q) sobre la función lineal de oferta son A($5.50, 45 000) y B($7 .50, 75 000). a) Determine la función de oferta q = f (p). b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezca 135 000 unidades a la venta? c) Interprete la pendiente de la función. d) Interprete la intersección con el eje x . e) Tace la función. 29
13. Control de armas de fuego Los índices (tasas) de criminalidad han ido en aumento, por lo cual también el número de pistolas en circulación parece estar creciendo. Según una encuesta de 10 años aplicada a los habitantes de Estados Unidos, se observa un extraordinario incremento lineal en la cantidad de pistolas con el tiempo. En 1970el numero de estimado de ellas era de 450 000; en 1980 fue de 580 000. Sea n el numero de pistolas que poseen los residentes de la ciudad y sea t el tiempo medido en años desde 1970 (t = 0 para 1970). a) Por medio de dos puntos de datos, determine la función lineal n = f (t). b) Interprete el significado de la pendiente. c) Si el numero de pistolas sigue aumentando al mismo ritmo, ¡cuando será mayor que 750 000? 14. Asistencia a los espectáculos deportivos Antes de la huelga de 1981, el béisbol de grandes ligas era uno de los principales deportes en Estados Unidos en cuanto al número de espectadores. La asistencia en 1978 fue de 54 881 009 afinados frente a 53 004 141 en 1977. si la asistencia ha ido creciendo de modo lineal a partir de 1975, a) Determine la función y = f (t), donde y es la asistencia anual y t es el tiempo medido en años (t = 0 para 1975). b) Estime la asistencia en 1975. c) Suponiendo que la huelga no haya tenido un efecto negativo, ¿Cuál será en 1990? d) Comente los factores que podrían influir en el límite superior del rango de esta función con el transcurso del tiempo. 15. Drogadicción. El departamento de Salud de un estado de la Unión Americana estima que el número de los que usan cocaína en el ha ido aumentando en una proporción lineal. El número estimado de drogadictos en 1980 fue de 950 000 y en 1985 fue de 1 025 000.
30
a) Determine la función n = f(t), donde n representa el número de usuarios y t es el tempo medido en años (t = 0 para 1980), empleando los dos puntos de datos. b) Interprete el significado de la pendiente. c) Si el número de drogadictos sigue creciendo de acuerdo con esta función, ¿Cuándo llegara a 1 250 000? 16. Pensión alimenticia/ mantenimiento de los hijos Las encuestas recientes indican que el pago de pensión alimenticia o del mantenimiento de los hijos tiende a disminuir con el tiempo transcurrido después del divorcio. Una encuesta aplica la función P = f (t) = 92 – 8.5 t, d onde p indica el porcentaje de casos en que los pagos se realizan y t es el tiempo medido en años después de la sentencia de divorcio. a) Interprete la intersección con el eje p. b) Interprete la pendiente. c) ¿En que porcentaje de casos se sigue pagando la pensión alimenticia o el mantenimiento de los hijos después de 5 años? 17. Lesiones en los deportes Según una encuesta aplicada a jugadores de fútbol americano colegial en Estados Unidos esta aumentado el número de lesionados que ponen fin a la carrera de estas deportista. En 1978 el número de esas lesiones fue de 1025; en 1985 fue de 1235. Si se supone que las lesiones están aumentando en una tasa lineal, a) Determine la función n = f (t), donde n representa el numero de lesiones por año y t indica el tiempo medido en años desde 1978. b) Interprete el significado de la pendiente de esta función. c) ¿Cuándo se espera que el número de tales lesiones rebasa la marca de 2000? 18. El número de pasajeros de una pequeña aerolínea regional ha ido disminuyendo en la tasa lineal. En 1981 fue de 245 000 y en 1986 fue de 215 000. Si n es el 31
número de pasajeros que viajan en ella por año y t indica el tiempo medido en años (t = 0 para 1981), a) Determine la función lineal n = f(t). b) Interprete el significado de la pendiente. c) ¿Cuál es el número de pasajeros que se espera tener en el año 2000? d) Se estima que la aerolínea quebrara si el número de pasajeros desciende a menos de 180 000. de acuerdo con la función de la parte (a), ¿Cuándo ocurrirá eso? 7.5 Familias de funciones lineales Se dice que las fórmulas como f(x) = b + mx, en las que las constantes m y b pueden tomar diversos valores, definen una familia de funciones. Todas las funciones en una familia comparten ciertas propiedades (en este caso las gráficas son rectas.) Las constantes m y b reciben el nombre de parámetros. Las figuras 1.18 y 1.19 muestran gráficas con diversos valores de m y b. Observe que cuanto mayor es la magnitud de m la pendiente es más escarpada.
Problemas para la sección Para los problemas 1 al 4 determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta cuya ecuación se presenta.
32
Para los problemas del 5 al 8 encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados.
9. Enlace las gráficas de la figura 1.20 con las siguientes ecuaciones. (Observe que las escalas de x y y pueden ser diferentes).
10. La figura 1.21 muestra cuatro líneas rectas dadas por la ecuación y = b + mx. Enlace las rectas con las condiciones de los parámetros m y b.
33
11. (a) ¿Cuáles son las dos rectas de la figura 1.22 que tienen la misma pendiente?
De estas dos rectas. ¿Cuál tiene la mayor ordenada en el origen? (b) ¿Cuáles son las dos líneas rectas que tienen la misma intersección con el eje y? De estas dos rectas, ¿cuál tiene la pendiente más escarpada
12. Una empresa de telefonía celular cobra una tarifa mensual de $25 más $0.05 por minuto. Encuentre una fórmula para el cobro mensual. C. en dólares, como una función del número de minutos, m. en los que el teléfono es usado durante el mes. 13. La población de una ciudad era de 30.700 en el año 2000 y está creciendo en 850 personas por año. a) Dé una fórmula para la población de la ciudad, P. como función del número de años, t, desde el 2000. b) ¿Qué población predice la fórmula que habrá en el 2010? c) ¿Cuándo alcanzará la población los 45,000 habitantes? 14. Una empresa ofrece autos en renta a $40 el día y 15 centavos por milla. Los autos de una empresa competidora se rentan en $50 por día y 10 centavos por milla. a) Para cada compañía, escriba una fórmula que dé el costo de rentar un auto por un día como función de la distancia recorrida. b) En un mismo sistema de coordenadas, trace las gráficas de ambas funciones. c) ¿Cómo puede usted decidir cuál empresa es más barata? 15. ¿Cuáles de las siguientes tablas podrían representar funciones lineales? 34
16. Encuentre una fórmula para cada tabla del problema 15 que pueda representar una función lineal. 17. Encuentre la ecuación lineal usada para generar los valores de la tabla 1.3.
18. La estructura de precios de una empresa que se muestra en la tabla 1.4 está diseñada para cubrir pedidos grandes. (Un monto por mayoreo abarca 12 docenas.) Encuentre una fórmula para: a) q como función lineal de p. b) p como función lineal de q.
19. La producción mundial de leche aumentó a una tasa constante entre 1960 y 1990. Véase la figura 1.23. a) Calcule la intersección con el eje vertical e interprétele en términos de la producción de leche. b) Calcule la pendiente e interprétela en términos de la producción de leche. c) Dé una fórmula aproximada para la producción de leche, M . como función de t . 35
20. La figura 1.24 muestra la distancia en millas que recorre desde su casa una persona que realiza un viaje de cinco horas. a) Calcule la ordenada en el origen. Dé las unidades e interprétalas en términos de la distancia desde la casa. b) Calcule la pendiente de esta función lineal. Dé las unidades e interprételas en términos de la distancia desde la casa. c) Dé una fórmula para la distancia. D. desde la casa como una función del tiempo, t, en horas.
21. Los valores de la reserva de oro canadiense, Q, en millones de onzas troy, están en la tabla 1.5. Encuentre una fórmula para la reserva de oro como función lineal de tiempo desde 1986
22. La tabla 1.6 indica el peso promedio, w, en libras, de los varones estadounidenses de 60 años para diversas alturas. h, en pulgadas. 36
a) ¿Cómo saber si los datos de esta tabla podrían representar una función lineal? b) Encuentre el peso, w , como función lineal de la altura, h. ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? c) Encuentre la altura, h, como función lineal del peso, w . ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Cuáles son las unidades de la pendiente?
23. Los equipos de búsqueda y rescate trabajan para encontrar excursionistas perdidos. Los miembros del equipo de búsqueda se separan y caminan paralelamente uno del otro en el área que deben examinar. La tabla 1.7 muestra el porcentaje, P, de las pérdidas que fueron encontradas a diferentes distancias de separación, d. de los buscadores.
a) Explique cómo puede saber que el porcentaje de personas encontradas. P. podría ser una función lineal de la distancia de separación, d. b) Represente P como función lineal de d . c) ¿Cuál es la pendiente de la función? Dé las unidades e interprete la respuesta. d) ¿Cuáles son las ordenadas en el origen y las abscisas en el origen de la función? Dé las unidades e intérprete las respuestas. 24. La cuota mensual de un servicio de recolección de basura es de $32 por 100 kg de desechos, y de $48 por 180 kg de desechos. a) Encuentre una fórmula lineal para el costo, C , de basura recolectada como función del número de kilogramos de desechos, w . 37
