APOSTILA_-_Eletromagnetismo

Prof. Prof. Beatriz Bronislava Bronislava Lipinski Eletromagnetismo II - Notas de Aula

Curitiba, Pr 2008

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Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universida Universidade de Tuiuti Tuiuti do Paraná

Capítulo 1 O Campo Magnético Estacionário Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. Atualmente, Atualmente, identificamos identificamos essas pequenas correntes correntes com o movimento movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais. Resumi Resumindo: ndo: a corrent correntee que passa por um condutor condutor produz um campo campo magnético magnético a sua volta. volta. Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo  pode ser originado de duas maneiras: magnético criado (efeito). O campo magnético H a. Por corrente elétrica; b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos magnéticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias, estes dipolos magnéticos magnéticos estão orientados orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cada dipolo magnético se somam, formando um imã natural.

Lei de Biot Savart Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo de campo magnético magnético é produzido produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir. Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo mag é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido. nético H

1


Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encontrar uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Observaram que cargas cargas elétricas estacionárias estacionárias e imãs não provocav provocavam am qualquer influência um no outro. Mas em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por uma corrente. rente. Por outro lado era conheci conhecido do que campos campos magnétic magnéticos os produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Ele observou também, que os campos magnéticos produzidos produzidos por correntes correntes elétricas, em um fio retilíneo, tinham Figura 1.1: a forma de círculos concêntricos como mostra a figura 1.1 1.1(a). (a). O sentido destas linhas é indicado pelo norte da bússola. Uma outra forma de se determinar o sentido das linhas de B é usar a regra da mão direita, a qual é mostrada esquematicamente na figura 1.1 1.1(b). (b). No estudo da eletrostática, observamos que a lei de Coulomb, descrevendo o campo elétrico de cargas puntiformes foi simplesmente o modo pelo qual as observações experimentais relativas à forças eletrostáticas em corpos carregados poderiam ser melhor resumidas. A situação é a mesma em relação a campos magnéticos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. estacionárias. Não há meio de se deduzir uma expressão para estes campos; tudo o que podemos fazer é observar as forças magnéticas criadas por correntes reais experimentalmente e então tentar achar uma expressão matemática para o campo magnético que esteja de acordo com os resultados de todas as observações. Foi justamente desta maneira que a lei de Biot-Savart, a qual dá o campo magnético criado pelo fluxo de corrente em um condutor, foi descoberta. A lei de Biot-Savart diz-nos que o elemento de indução  associado a uma corrente I em um segmento de um fio condutor descrito por dL  é: magnética dH 







 e ao vetor posição R  do segmento do condutor dirigido em uma direção perpendicular ao dL ao ponto P , no qual o campo está sendo medido;  do segmento e à corrente I que ele carrega; diretamente proporcional ao comprimento dL

inversamente proporcional em módulo ao quadrado da distância R entre o elemento de corrente e o ponto P .  e R. proporcional proporcional ao seno do ângulo θ entre os vetores dL

A lei de Biot-Savart pode, então, ser expressa pela equação: (1.1)

 a I dL ˆR  dH = 4πR 2

×

⇒

 R  I dL . 4πR 3

×

A figura 1.2 revela a geometria do problema clássico geral: a intensidade de campo magnético  2 , produzida por um elemento  1 . A no ponto 2, dH elemento diferencial de corente localizada no ponto 1, I 1 dL  2 é para dentro desta página. direção de dH 2



Figura 1.2: Na forma integral, a lei de Biot-Savart é dada por:  = H

(1.2)



 a I dL ˆR 4πR 2

×

⇒



 R  I dL , 4πR 3

×

nesta, deve-se levar em conta que a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula; esta corrente fluindo em torno de um caminho fechado é a fonte de campo magnético que deve ser considerada. considerada. Relembrando: Relembrando: este resultado resultado é consequência direta direta da equação da continuidade: continuidade: densidade de corrente corrente é estacionária estacionária numa superfície fechada  · J  = − ∂ρ∂t = 0, significando que a densidade (não varia no tempo). Esta lei é ferramenta básica para cálculo de campo magnético criado num ponto, devido a uma distribuição distribuição de corrente. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidade permeabilidade  tem, no SI, unidades de ampères por metro (A/m) magnética). A intensidade do campo magnético H e, no sistema cgs, unidades de Oersted (Oe): 1Oe = 1000 A/m = 79, 79, 58 A/m. 4π v

Exemplo 1: Campo magnético magnético devido a um condutor longo retilíneo. Determine Determine o campo mag num ponto P distante r metros de um condutor infinitamente longo, percorrido por uma nético H corrente de I ampères. ampères. A seguir, seguir, calcule o campo a uma distância distância de 10 cm do condutor quando ele for percorrido por uma corrente de 0, 1 A.

3



Dois condutores paralelos Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercem forças forças sobre sobre cargas cargas em movime movimento. nto. Então Então dois condutor condutores es paralel paralelos, os, com corrente corrente experi experimen mentam tam uma dada for¸ca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes. Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre os condutores, e se soma fora dos condutores. Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre os condutores, e se subtrai fora dos condutores. Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente.

Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos por correntes I 1 = 100 A e I 2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo.

Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I . Obter Obter a equaçã equaçãoo do campo magnético no centro da mesma.

4



Exemplo 4: Campo magnético magnético de uma espira circular. circular. Neste exemplo, exemplo, calcularemos o valor do campo magnético em um ponto genérico P , situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante I , conforme esquema da figura abaixo.

Exemplo 5: As bobinas de Helmholtz são duas bobinas circulares coaxiais, onde seus raios R são iguais à distância d entre elas, isto é: R = d. Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campo magnéti magnético co é uniform uniformee ao longo longo do seu eixo. Calcul Calculee a amplitu amplitude de do campo campo ao longo longo do eixo das bobinas.

Sugestão de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seção 8.1. Resolver os exercícios E8.1 e E8.2, página 136. 5



Lei circuital de Ampère A lei lei de Ampè Ampère re,, que que é um umaa das das leis leis mais mais im impo port rtan ante tess do elet eletro roma magn gnet etis ismo mo,, é a conh conhec ecid idaa regr regraa da mão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentido  . A intensidad de H intensidadee é dada pela pela distribui distribuição ção de campo e fluxo magnético magnético no sistema sistema.. Assim, Assim, a  , em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela¸ dadas circulação circulação do vetor H pelo percurso: (1.3)



 dL  = I H

·

⇒

 

 dS  = I . J

·

 e corrente é dada por uma integral de linha, Com esta expressão matemática, a relação campo H que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana amperiana. A corrente I é a corrente  é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio. líquida englobada pela curva e onde dL Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de deter em função de J  . Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podem minar o campo H  em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os determinar H problemas existentes.

Exemplo 6: Campo magnético magnético de um solenóide. Forma-se Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, e consideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre os fios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita.

6



Exemplo 7: Campo Campo de um toróide. toróide. No interior interior do toróide toróide da figura abaixo, abaixo, aplique aplique a lei de Ampère, resolva a integral na linha amperiana circular de raio r e Calcule H .

Exemplo 8: Campo magnético dentro de um fio. Consideremos o fio condutor como um cilindro infinito, de raio R, transportando uma corrente I 0, com densidad densidadee uniforme. uniforme. Calcule Calcule o campo no interior do fio.

7



 Rotacional de H  . Agora vamos discutir resumidamente o significado físico do operador rotacional aplicado a H Para fazermos fazermos isso, usaremos a concepção concepção do medidor do rotacional ou das pazinhas girantes. Imagine uma correnteza de água através uma de seção transversal na direção z. Considera-se a velocidade v da água independente da altura mas aumentando uniformemente desde o valor zero das extremidades até um valor máximo de v0 localizado localizado no centro da corrente de água. Agora, vamos considerar o menor atrito que nas pás, desconsiderando a influência na velocidade da água e intoduzir na água uma seta vertical, isto é, paralela ao eixo x. A pá vai girar na direção anti-horária, anti-horária, do lado direito para o centro. Além disso, partindo partindo de que a velocidade velocidade diferencial é independente de y, a pá vai girar com uma taxa parecida, independentemente independentemente de y. Na exata metade da correnteza, não haverá giro da pazinha para nenhum dos dois lados já que a velocidade é a mesma para ambos. Agora, se nós examinarmos o gráfico de vx e compará-lo com o movimento da pazinha, o significado físico do rotacional rotacional fica aparente. Isso significa a capacidade capacidade do vetor campo para a rotação da pazinha. pazinha. Se nós inserirmos a pazinha horizontalme horizontalmente, nte, isto é, junto do eixo z ou junto ao eixo y ou em qualquer outra direção paralela ao plano yz , ela não vai girar desde desde o fundo fundo até a superficie, pois estão com a mesma força, assim mostra-se que o rotacional para esse campo não tem uma componente horizontal. O rotacional não faz nada com a curvatura ou com a corrente rotacional como o nome talvez lembre. Podemos obter a forma pontual da lei circuital de Ampère, aplicando-a ao perímetro de um elemento diferencial de área e encontra encontrando ndo o seu rotaciona rotacional.l. Escolhem Escolhemos os as coordena coordenadas das cartesianas e um caminho fechado incremental de lados ∆x e ∆y, como mostra a figura ao lado. Considere que uma corrente  de referência no elétrica qualquer gere um campo magnético H 0  0 = H 0 a centro do retângulo, dado por H ˆy + H z0aˆz . x ˆx + H y a  neste caminho é, aproxiA integral de linha fechada de H  · ∆L  em cada lado. madamente, a soma dos quatro valores de H A direção de percurso escolhida, dada na figura, corresponde a uma corrente elétrica na direção aˆz . A primeira contribuição é:  ∆L  )1 (H

2

−

·

= H y1 2 ∆y. −

O valor de H y nesta região pode ser avaliada como a soma do valor de referência H y0, no centro do retângulo e a sua taxa de variação em x pela distância ∆2x : H y1

2

−

= H y0 +

 ∆L  )1 (H

·

2

−

∆x ∂H y . Assim: 2 ∂x





1 ∂H y = H y0 + ∆x ∆y. 2 ∂x

8



Ao longo da aresta 2 − 3:  ∆L  )2 (H

3

−

·

= H x2 3 ( ∆x) = −

−

−







1 ∂H y H y0 + ( ∆x) ∆y. 2 ∂x

1 ∂H x H x0 + ∆y ∆x. 2 ∂y

Para a aresta 3 − 4:  ∆L  )3 (H

4

−

·

= H y3 4 ( ∆y ) = −

−

−

−



Para a última aresta:  ∆L  )4 (H

1

−

·





1 ∂H x = H x4 1 (∆x (∆x) = H x0 + ( ∆y) ∆x. Então: 2 ∂y −



 ∆L  = H

·



−

∂H y ∂x

−



∂H x ∆x∆y. ∂y

 , a corrente envolvida é ∆I = J z ∆x∆y: Assumindo uma densidade de corrente genérica J



 ∆L  = H

·



∂H y ∂x

−



∂H x ∆x∆y = J z ∆x∆y, ∂y

 ∆L  ∂H y H = ∆x∆y ∂x



·

− ∂H ∂y

x

ou:

= J z .

A maior aproximação possível para esta expressão está no limite ∆x, ∆y → 0: lim

∆x,∆ x,∆y→0

 ∆L  ∂H y H = ∆x∆y ∂x



·

− ∂H ∂y

x

= J z .

Se escolhermos um caminho fechado de forma que a corrente esteja na direção aˆx , temos: lim

∆y,∆ y, ∆z →0

 ∆L  ∂H z H = ∆y ∆ z ∂y



·

− ∂H ∂z

y

= J x ,

e para um camnho fechado de forma que a corrente esteja na direção ay : lim

∆z,∆ z, ∆x→0

 ∆L  ∂H x H = ∆ z ∆x ∂z



·

− ∂H ∂x

z

= J y .

 = J x a Como J ˆx + J y a ˆy + J z a ˆz , temos a forma pontual da lei circuital de Ampère:  = J



∂H z ∂y

−

 

∂H y ∂H x ˆx + a ∂z ∂z

−

 

∂H z ∂H y ˆy + a ∂x ∂x

−



∂H x  =  ˆz = rot H a ∂y

 × H .

 × H  = J  , aplicada acondições não variantes no tempo. Acima está a terceira Equação de Maxwell: 

9



Em coordenadas cilíndricas:

 × H  =



1 ∂H z ρ ∂φ

−

 

∂H φ ∂H ρ a ˆρ + ∂z ∂z

−

 

∂H z 1 ∂ (ρH φ) a ˆφ + ∂ρ ρ ∂ρ

−



1 ∂H ρ a ˆz . ρ ∂φ

Em coordenadas esféricas:  H  = 1 r sin θ

×



∂ (H φ sin θ) ∂θ

−



∂H θ 1 a ˆr + ∂φ r



1 ∂H r sin θ ∂φ

−



∂ (rH φ ) 1 a ˆθ + ∂r r



∂ (rH θ ) ∂r

−



∂H r a ˆφ . ∂θ

 · dL  = I é muito importante e justifica o fato desta dar O significado físico da integral H origem a um rotacional. Esta integral é calculada sobre uma linha fechada, definindo uma circulação de “alguma coisa”, que vem a ser a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada. O rotacional gerado nos fornece os domínios domínios de direções e sentidos do campo magnético gerado por  · dL  é nula (como visto esta corrente. Em analogia com o campo eletrostático, a integral de linha E no semestre passado!), significando que não há circulação de campo elétrico em torno co caminho fechado de integração. Em outras palavras, nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma carga elétrica elétrica de um ponto a outro sobre este caminho fechado. Para o campo magnetostático, magnetostático, há trabalho trabalho realizado realizado pois a circulação circulação de campo magnético não é nula. Esta circulação circulação dá origem a um fluxo de cargas, caracterizando uma corrente elétrica.





 = 0, 2z 2 a ˆx , sendo Exemplo 9: Na região z > 0 do espaço há um campo magnético dado por H  · dL  ao longo do quadrado nulo, como na figura. Calcule a integral H quadrado fechado de lado d, centrado em 0, 0, z1 no plano y = 0, onde z1 > 2d.



10



Teorema de Stokes A segunda Equação de Maxwell é a forma pontual da lei circuital de Ampère e define o campo magnetostático magnetostático gerado gerado a partir de uma densidade de corrente. É possível, através através de argumentos argumentos simples, deduzir que o contrário também é verdadeiro: a variação de campo magnético gera uma densidade de corrente elétrica. Este é o princípio de funcionamento de um eletroimã, por exemplo. Considere uma superfície S dividida em elementos infinitesimais de área, ∆S . Apli Aplica cand ndoo a definição de rotacional a um destes elementos de área, temos:



(1.4)

 dL  ∆S H = (  ∆S

·

 × H  )

⇒ ( × H  ) · aˆ

N ,

N

 normla à superfície, na qual o índice N indica a componente de H superfície, dada pela regra da mão direita. O  ∆S indica o perímetro da área ∆S . caminho fechado dL Após simples manipulação:

(1.5)



 dL  ∆S = (  H

 × H  ) · aˆ

·

N ∆S

⇒ ( × H  ) · ∆S.

Como estamos interessados em determinar a circulação total de campo em torno do perímetro de ∆S , integramos em S : (1.6)



 dL  ∆S = H

·

  × ( 

S

 ) dS,  H

·

 sendo o perímetro de S . com dL Esta última equação é conhecida como o Teorema de Stokes e é capaz de transformar um problema envolvendo uma integral de linha em um problema de integração de superfície. Esta identidade é valida para qualquer campo vetorial.

Exemplo 10: Considere a região superficial de uma esfera, delimitada por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1π  = 6r sin φa e 0 ≤ φ ≤ 0, 3π . Se o campo no local é dado por H ˆr + 18r 18r sin θ cos φa ˆφ . Calcule os dois membros doTeorema de Stokes.

11



Fluxo magnético e Densidade de fluxo magnético  pode ser produzido por uma corrente elétrica ou por uma magnetização O campo magnético H  do momento de dipolo molecular resultante, M molecular. A magnetização é uma característica característica intrínseca intrínseca de cada material, e está relacionada com a estrutura atômica e molecular.

Magnetização: Toda matéria exibe propriedades propriedades magnéticas. Até mesmo substâncias como cobre e alumínio, alumínio, que normalmente são livres de propriedades magnéticas, são afetadas pela presença de um campo magnéti magnético co produzido produzido por qualquer qualquer polo de um imã de barra. barra. Dependen Dependendo do se há uma atração ou repulsão pelo polo de um ímã, a matéria matéria é classificada classificada como sendo paramagnética paramagnética ou diamagnética, diamagnética, respectivamente. Alguns materiais, notavelmente o ferro, mostram uma atração muito grande para o polo de uma barra permanente de ímã; materiais deste tipo são chamados ferromagnéticos. Os átomos têm momentos de dipolo magnético em virtude do movimento orbital dos respectivos elétrons. Além disso, cada elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco associado ao seu spin. O momento magnético de um átomo depende da disposição dos elétrons no seu interior. Esta magnetização pode ser puramente devido à interação do campo aplicado com a matéria, conforme ocorre com os materiais diamagnéticos e paramagnéticos ou pode já existir mesmo na ausência do campo externo, conforme ocorre com os materiais ferromagnéticos. O diamagnetismo ocorre em todos os materiais, pois todas as moléculas exibem um momento de dipolo magnético induzido e antiparalelo ao campo magnético aplicado em virtude da deformação da distribuição distribuição da corrente eletrônica. eletrônica. A sua magnetização magnetização tende a enfraquecer o campo externo. externo. Geralmente o efeito diamagnético nos materiais é mascarado pelo comportamento paramagnético e ferromagnético. ferromagnético. O paramagnetismo paramagnetismo resulta da tendência dos momentos magnéticos magnéticos moleculares moleculares alinharem-se com o campo magnético aplicado, reforçando o campo aplicado. Esses materiais diamagnéticos e paramagnéticos têm uma susceptibilidade, em módulo, muito menor que um (χ << 1). Quando colocarmos um material qualquer num campo magnético uniforme, geralmente no ar, pode ocorrer três fenômenos distintos: 1. Afastamento Afastamento - o fluxo passará preferencialmente preferencialmente pelo ar, ar, que é um meio mais permeável. permeável. Isso faz com que apareça uma força que tenderá a repelir o corpo do polo Norte da fonte geradora de campo. Chama-se diamagnético ao material que apresenta esta propriedade. 2. Estático - as linhas de fluxo não se alteram, e continuarão a passar pelo materiam como se nada tivesse tivesse acontecido. Consequenteme Consequentemente, nte, não existe força atuando sobre o material, material, que é denominado paramagnético. 3. Aproximação - as linhas se concentram no material, como aconteceu com o campo elétrico. Com isto surge uma força que tende atrair fortemente o material do polo Norte. Chamam-se ferromagnéticos a estes materiais. 12



Baseando-se neste princípio, dividiram-se os materiais em: paramagnético, diamagnético e ferromagnético. magnético. Como não temos por objetivo, objetivo, realizar o estudo microscópico microscópico destes materiais, materiais, veremos apenas os princípios que norteiam a magnetização e a permeabilidade magnética. Paramagnetismo

O paramagnetismo ocorre nas substâncias cujos átomos têm momentos magnéticos permanentes e interagem uns com os outros apenas de modo fraco. Quando não há campo magnético magnético externo, estes momentos magnéticos estão orientados ao acaso. Na presença de um campo magnético externo, os momentos tendem a alinhar-se com o campo, mas esta tendência é contrariada pelo fato dos momentos ficarem orientados orientados ao acaso em virtude da agitação térmica. A fração dos momentos que se orienta paralelamente ao campo depende da intensidade do campo e da temperatura. Em temperaturas muito baixas e em campos externos elevados, quase todos os momentos estão paralelos ao campo. A energia potencial do momento magnético num campo magnético magnético externo é mínima quando o momento é paralelo ao campo e máxima quando está antiparalela ao campo. Diamagnetismo

Foi descoberto por Faraday, quando verificou que um pedaço de bismuto era repelido pelos polos de um imã, o que indicava que o campo externo do imã provocava um dipolo magnético no bismuto em direção oposta à do campo. O efeito diamagnético não depende da temperatura. O alinhamento dos momentos permanentes diminui com o aumento da temperatura para as substâncias paramagnéticas e ferromagnética ferromagnéticas. s. Todos os materiais materiais são diamagnéticos diamagnéticos em temperaturas temperaturas suficientemente suficientemente elevadas. Ferromagnetismo

Ocorre no ferro, no cobalto e no níquel, puros e em ligas destes metais uns com os outros e com alguns outros elementos, elementos, e em algumas poucas substâncias substâncias mais. Nestas substâncias substâncias um pequeno campo magnético externo pode provocar um grande grau de ordenação dos momentos de dipolo magnético dos átomos, o que em certos casos, pode persistir mesmo na ausência de campo externo magnetizador magnetizador.. Isto ocorre em virtude de os momentos de dipolo magnético dos átomos destas substâncias exercerem fortes forças sobre seus vizinhos, de modo que numa pequena região do espaço os momentos estão alinhados entre si, mesmo sem campo externo. Em temperaturas acima da temperatura temperatura crítica, denominada denominada temperatura Curie, estas forças desaparecem, saparecem, e os materiais ferromagnético ferromagnéticoss tornam-se paramagnéticos paramagnéticos.. A região do espaço sobre a qual os momentos de dipolos magnéticos estão alinhados é denominado um domínio magnético magnético. A dimensão dimensão do domínio é, usualmente usualmente microscópica. microscópica. Dentro de um domínio todos os momentos magnéticos estão alinhados, alinhados, mas a direção do alinhamento alinhamento varia de domínio para domínio, de modo que o momento magnético líquido de uma amostra macroscópica do material é nulo no estado normal. 13



Spin e momento angular

Rigorosamente, núcleos não apresentam spin, mas sim momento angular (exceção feita somente ao núcleo do isótopo 1 do hidrogênio, que é constituído de um único próton). Embora o spin possa ser considerado um momento angular, por terem ambos as mesmas unidades e serem tratados por um formalismo matemático e físico semelhante, nem sempre o oposto ocorre. O spin é intrínseco, ao passo que objetos compostos têm momento momento angular extrínseco. extrínseco. Contudo, Contudo, motivos históricos históricos e continuado costume levaram à esse abuso de linguagem, tolerado e talvez tolerável em textos não rigorosos. O conceito de spin surgiu da necessidade de se explicar os resultados até então impensados na experiência de Stern-Gerlach na década de 1920. Nessa experiência, um feixe colimado de átomos de prata, oriundos de um forno a alta temperatura, atravessavam um campo magnético altamente nãouniforme. uniforme. Tal experimento era destinado a medir a distribuição distribuição dos momentos momentos magnéticos, devidos principalmente principalmente aos elétrons. Como os átomos, na temperatura temperatura em que estavam estavam emergindo do forno, estavam no seu estado fundamental 1S 0 , deveriam sofrer desvios nulos na presença do campo magnético não-uniforme. A distribuição esperada era da perda da coerência espacial do feixe durante o seu tempo de vôo, do forno de origem até o alvo. Tal não sucedeu, contudo. O resultado obtido foram duas manchas de depósito de prata sobre o alvo, indicando que o feixe se dividira em dois durante o percurso. Isso indicou que os átomos de prata do feixe ainda tinham um grau de liberdade liberdade de momento momento angular, mas que não era o momento momento angular orbital dos elétrons elétrons no átomo, mas sim um momento angular intrínseco intrínseco destas partículas. partículas. A esse “momento angular intrínseco” deu-se o nome de spin (significando giro em Português). Em 1924, Wolfgang Wolfgang Pauli postulou que os núcleos se comportariam comportariam como minúsculos imãs. Mais tarde, experimentos experimentos similares, similares, porém mais sofisticados, aos do Stern-Gerlach determinaram momentos magnéticos nucleares de várias espécies. Considere uma espira de raio R percorrida por corrente I . Se R é pequeno em relação a x, podemos escrever H = I 24πR . πx Definindo a quantidade I πR 2 como o momento de dipolo magnético, m, temos H = 42πxm . Através da analogia com o dipolo elétrico, podemos escrever as componentes normal e tangecial 2m cos α sin α  : H N de H e H T T = m4πR . N = 4πR 2

3

3

3

3

Dipolo e carga magnética

Geralmente Geralmente um imã minúsculo de microscópico microscópico para dimensões dimensões subatômicas, subatômicas, equivalente equivalente a um fluxo de carga elétrica ao redor de uma esfera. Elétrons que circulam ao redor de núcleos atômicos, de seus próprios eixos, e de núcleos atômicos carregados positivamente são todos dipolos magnéticos. A soma destes efeitos pode se cancelar, cancelar, de forma que um determinado determinado tipo de átomo pode não ser um dipolo magnético. Se eles não se cancelam completame completamente, nte, o átomo é um dipolo magnético magnético permanente, como são, por exemplo, os átomos de ferro. Muitos milhões de átomos de ferro, espon14



taneame taneamente nte,, se se mantém mantém no mesmo mesmo alinham alinhamento ento para formar formar um domínio domínio ferroma ferromagné gnético tico,, const constitui ituindo ndo também um dipolo magnético. magnético. As agulhas de bússolas bússolas magnéticas e imãs de barra são exemplos exemplos de dipolos magnéticos macroscópicos. Quando um dipolo magnético é considerado como uma corrente arredondada, a magnitude do momento momento de dipolo é proporcional a corrente, multiplicado multiplicado pelo tamanho da área inclusa. A direção do momento de dipolo, que pode ser representado matematicamente como um vetor, é perpendicularmente afastada do lado da superfície que gira fluxo de carga positiva no sentido anti-horário. Considerando Considerando a volta da corrente como um imã minúsculo, este vetor corresponde à direção do polo sul ao polo norte. Quando estão livres para girar, os dipolos se alinham de forma que seus momentos apontem, predominantemente, na direção do campo magnético externo. Os momentos magnéticos do núcleo e do elétron são quantizados, o que significa que eles podem somente ser orientados no espaço em certos ângulos discretos em respeito à direção do campo externo. Momentos de dipolo magnéticos têm dimensões de corrente vezes a área ou energia dividido por densidade de fluxo magnético. No sistema metro-quilograma-segundo-ampère e SI, a unidade específica para momento de dipolo é ampère vezes metro quadrado. Vetor magnetização

 que é um vetor representativo de Para os trabalhos práticos, lida-se com o vetor magnetização M todos os vetores m  sobre um volume V . Cada corrente atômica é um pequeno circuito fechado de dimensões atômicas, e pode ser descrito como um dipolo magnético. Seja m  i o momento magnético  do átomo de índice i. Definiremos Definiremos agora uma quantidade quantidade vetorial macroscópica, macroscópica, a magnetização M (momento (momento de dipolo magnético magnético por unidade de volume). Somaremos, Somaremos, vetorialmente vetorialmente sobre todos os momentos de dipolo num pequeno elemento de volume ∆V e dividiremos o resultado por ∆V :

(1.7)

 = lim M

∆V →0

1 ∆V



m  i .

i

 é A/m, a mesma unidade do campo magnético. Podemos admitir que a magneA unidade de M  (x,y,z) tização seja uma função das coordenadas, como por exemplo M x,y,z ) no sistema cartesiano.

Exemplo Exemplo 11: A magn magnet etiz izaç ação ão de satu satura raçã çãoo do ferr ferroo é 1, 7.106 A/m, e sua sua dens densid idad adee é 7970 kg/m3 . Sabendo que o número de Avogadro vale 6, 025. 025.1026 kg − atomo, e a massa atômica relativa do ferro é 56, calcular o momento magnético de cada átomo de ferro, em Am2.

15



Indução e permeabilidade magnética

Colo Coloque quemo moss um umaa barra barra de ferro ferro desm desmag agnet netiz izada ada dentr dentroo de um camp campoo magné magnéti tico co unifo uniform rme. e. Obser Observa va-se o surgimento de polos, imantando a barra de ferro. Esta imantação gera uma magnetização, que se soma ao campo magnético magnético externo externo aplicado. aplicado. O novo novo campo campo magnético magnético resultant resultantee se denomina indução magnética magnética, ou densidade de fluxo, ou simplesmente indução e se denota pelo símbolo  . Sua unidade B unidade no sistem sistemaa internaci internacional onal é o Tesla (T ). Para Para que ocorra ocorra a conse conserv rvaçã açãoo da enenergia, precisaremos de uma constante, que será denominada permeabilidade magnética no vácuo  é dada por: µ0 = 4π × 10 7 Tm/A. A indução magnética magnética B −

(1.8)

 = µo (H +  + M  ). B H M )

 é, frequentemente No caso do ferro e de outros materiais ferromagnéticos, a magnetização M frequentemente,,  por um fator de vários milhares ou até mais. muito maior que a intensidade magnética H

A grandeza grandeza µo significa a medida do quanto o meio é deformável quando imerso em um campo magnético e é necessário na equação anterior para tornar as unidades compatíveis com o SI. A  é o weber por metro quadrado, Wb/m2 (1W b = 1V s), ou o tesla (T ), e a unidade no SI para B  e M  é o ampère por metro (A/m). A unidade  é o gauss (G) e unidade do SI para H unidade cgs cgs para B  = µ0 H  , definido como a permeabilidade magnética do vácuo. 1 T = 104 G. No vácuo, temos que B B Para qualquer outro material, podemos definir µ = H , como sendo a permeabilidade magnética deste material. Ainda podemos definir a permeabilidade magnética relativa: µ = µµ . utilizando utilizando a grandeza  = µ0 (1 + χH  ). susceptibilidade magnética, podemos ainda escrever µ = µ0 (1 + χ), e B 0

 · dS  = Q , a integral para o cmapo magnético também é Em analogia com a lei de Gauss, Ψ = E ε válida. Porém, até os dias de hoje, não há qualquer comprovação da exixtência de uma fonte genérica de camp campoo magnét magnétic ico, o, que seja seja análo análoga ga à carg cargaa elétr elétric ica. a. Esta Esta “car “carga ga magn magnéti ética ca”” não não exis existe te de fato fato,, pois pois as fontes de campo magnético são descritas pela presença de materiaia magnéticos ou magnetizados,  · dS  = 0. Aplicando o terorema que possuem características características particulares e extensíveis. extensíveis. Então, B da divergência, encontramos:



0



(1.9)

 · B = 0. 16



Esta última equação é a quarta equação de Maxwell, que se aplica a campos magnéticos estacionários. Agora já conhecemos todas as equações de Maxwell na sua forma diferencial (ou pontual), para campos elétricos e magnéticos estacionários:

 · E  = ρε  × E  = 0  × H  = J   · B = 0 v

(1.10)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

0

(1.11) (1.12) (1.13)

Lei de Gauss; Lei de Faraday; Lei de Ampère; Lei de Gauss.

Eis as mesmas equações na forma integral: (1.14)



S

(1.15) (1.16) (1.17)



 dS  = Q = E ρv dv ε0 V  dL  = 0 E



·



·

 dL  = I = H

·



S



S

 dS  J

·

 dS  = 0 B

·

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Lei de Gauss; Lei de Faraday; Lei de Ampère; Lei de Gauss.

EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 1 1. Quais são as principais diferenças entre os campos elétrico e magnético? 2. Imagine Imagine que você você esteja sentado sentado numa sala sala com as costas costas voltadas voltadas para a parede, parede, da qual qual emerge um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua direita, qual serão a direção e o sentido do campo magnético existente na sala? 3. Interprete fisicamente os gráficos abaixo.

17



Potencial Vetor Magnético

 · B  = 0, estabelece que o fluxo magnético através A lei de Gauss para o campo magnético,  de uma superfíci superfíciee fechada fechada é nulo. nulo. Isso Isso significa significa que não existe monopol monopoloo magnético. magnético. Quando Quando o divergente de um cmpo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como sendo o rotacional de outro campo vetorial:

 ·  × A = 0 ⇒

 =  B

 × A.

 é dito potencial vetor magnético, do qual pode-se extrair o campo magnético O campo vetorial A através através do operador diferencial diferencial rotacional. Aplicando Aplicando a lei de Biot-Savart Biot-Savart a esta expressão, expressão, obtemos como resultado a expressão:  = A

(1.18)



 µ0 I dL . 4πR

Exemplo 12: Mostre que o campo magnético diferencial gerado por um elemento diferencial de um fio muito longo, percorrido por uma corrente I , orientada no sentido positivo do eixo z é dado por  = √Idzρ dH a ˆφ . 4π (ρ +z ) 2

2 3

18



Potencial Escalar Magnético

 × B  = µ0 J  . Se a densidade de corrente J  é nula, temos:   × B  = 0. Pela lei de Ampère, temos   × (  · φ) = 0, na qual Φ é um campo escalar Esta última pode ser escrita como  escalar.. Em outras outras palavras,podemos dizer sem perda de informação, que quando o rotacional de um campo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar. Assim, o campo magnético  = 0 pode ser escreito como: numa região em que J  = B

(1.19)

−µ ϕ, 0

 · B  = 0, na qual ϕ é dito potencial escalar magnético. Da lei de Gauss para o magnetismo, magnetismo, temos temos  temos:

 · (−µ ϕ) = 0 ⇒  ϕ = 0.

(1.20)

2

0

Exemplo 13: Sabendo que o campo magnético produzido por um dipolo magnético vale  r)r  (r ) = µ 3(m B − rm , mostre que ϕ = 4m πrr representa o potencial escalar magnético para o 4π r dipolo magnético. 0



·

5

3



·

3

Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seções 8.6 e 8.7. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E8.8 e E8.9, da página 153.

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Capítulo 2 Forças Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Até agora, tratamos de problemas que só podiam ser resolvidos a partir do conhecimento da configuração da corrente elétrica que gera o campo magnético. Ou seja: se a distribuição de corrente é  , B  e A  em cada ponto do espaço de campo magnético não-nulo. conhecida, podemos determinar H Uma outra forma de analisar o fenômeno magnetostático, é estudar as forças e os torques que o cmpo magnético magnético exerce sobre cargas cargas de prova. prova. O primeiro passo, é definir a força magnética magnética gerada por uma carga em movimento.

Força sobre uma carga em movimento Lembrando um pouco de Eletromagnetismo I , a força que atua sobre uma carga elétrica estacionária vale  = q E.  F

Quando colocamos esta carga em movimento, além da presença de campo elétrico, também detectamos a presença de um fluxo magnético (ou indução magnética), devido à presença de uma corrente elétrica. elétrica. Neste enunciado, enunciado, encontramos a explicação ao funcionamento funcionamento dos motores elétricos, e entendemos tendemos a indução magnética. magnética. Quando uma carga elétrica elétrica q se desloca com velocidade v , ela gera  um fluxo de campo elétrico e também, um fluxo de campo magnético, com indução magnética B  , que depende do vetor indução magnética e do vetor campo elétrico, e, sobre ela, atua uma força F gerado pela própria carga que se move. Esta é a chamada força de Lorentz:  = q(E +  + v F E

× B ),

 . Analisan sendo a força perpendicular ao plano ocupado por v e B Analisando do esta equação, equação, também também podemos ver facilmente que os campos elétrico e magnético, gerados por uma carga em movimento,  são ortogonais, o módulo de F  é dado são sempre perpendiculares entre si. Quando os vetores v e B por F = qvB qv B . Lembrando um pouquinho da Física II , a velocidade dos portadores de carga (elétrons) é medida pela corrente elétrica elétrica I no condutor. condutor. A carga de elétrons num condutor, cuja área da seção

20


Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância

reta é A e cujo comprimento é L, pode ser expressa como qv = I L. Então, temos que o módulo força que age sobre as cargas pode ser dada por: F = BIL.

Ilustração: a) Uma carga pontual de 20 nC está parada em certa região do espaço. Determine a força que atua  = −3î + 4 jˆ + 6kˆ. sobre ela quando está imersa numa região de campo elétrico E b) A mesma carga de 20 nC é colocada em movimento com uma velocidade v = (3, (3, 2î − 4 jˆ +  = 2î − 5 jˆ + 3kˆ. Determine 1, 6kˆ) × 105 m/s, devido à presença de um campo magnético B Determine a força que atua sobre ela devido a este campo magnético. c) Continuando na situação do item b: qual é a força total que atua sobre esta carga em movimento, devido ao conjunto dos campos elétrico e magnético presentes nesta região?

21



Força Força sobre um elemento diferencial de corrente  : Tomando um elemento diferencial de carga, dq , podemos definir um elemento de força dF  = dqv dF

 × B.

O elemento de de carga dq envolve um grande número de elétrons envolvidos num pequeno volume diferencial dV , cujas dimensões devem ser muito maiores que a separação média entre os elétrons. Então, a força total é meramente a força resultante (a soma de todas as forças) que agem sobre cada um dos elétrons. Este é um problema de muitos corpos, pois as forças agem individualmente sobre cada elétron. Porém, se considerarmos considerarmos que estes elétrons são elétrons livres livres que se movem movem na superfície de um condutor, condutor, podemos desconsiderar o problema de muitos corpos e, sem perda de generalidade, tratar esta força resultante como uma única força agindo sobre o condutor.

Efeito Hall Os elétrons livres de um condutor movem-se entre as cargas positivas itiv as fixas dos átomos do material que o formam (os núcleos atômicos). Quando colocamos este consutor em uma região de campo magnético externo não-nulo, o movimento eletrônico é levemente deslocado, pois há uma força magnética externa agindo sobre eles. Porém, a força coulombiana entre estes elétrons e os núcleos atômicos, que é muito mais forte que esta força magnética externa, se opõe a tal desvio. Há então uma força resultante, com a mesma direção que a da força coulombiana coulombiana atrativa entre os elétrons livres livres e os núcleos, cujo módulo é muito próximo próximo da própria força coulombiana. coulombiana. Em outras palavras, a força magnética externa não é páreo para a força coulombiana atrativa atrativa entre os elétrons livres e os núcleos do condutor. condutor. Mas de alguma forma, ela está lá e causa um efeito global sobre o condutor: esta força magnética acaba por ser transferida à rede cristalina do condutor, causando-lhe uma vibração que provoca mudanças nas distâncias entre os elétrons livres. O resultado disso, é uma distribuição distribuição de cargas não-homogênea não-homogênea sobre a superfície do condutor. condutor. Uma distribuição distribuição de cargas cargas não-uniforme causa uma diferença de potencial entre dois pontos distintos na superfície do condutor. Esta ddp é conhecida como tensão de Hall e o o efeito em si, é dito efeito Hall. Considere Considere o condutor da figura abaixo, no qual os portadores de carga têm velocidade de arrasto  , a força devido a B  provoca va . Quando este condutor é submetido a um campo magnético externo, B um desvio no movimento inicial dos seus portadores de carga. Se o condutor conduz uma corrente I da esquerda para a direita, devido ao movimento de portadores de carga positiva, existe um campo  na direção x, orientado no sentido negativo. magnético B negativo. Os portadores de carga positiva positiva ficam 22



 = qva × B  , que aponta para cima, na direção do eixo z . sujeitos a uma força magnética dada por F Essa força faz com que os portadores se desloquem para o ponto A da figura, que se torna positivo, com um potencial elétrico maior do que no ponto B , situado na parte de baixo do condutor. A existência desta ddp provoca o surgimento de um campo elétrico entre os pontos A e B , orientado para baixo, na direção z . Este camp campoo el[etric el[etricoo passa passa a atuar sobre os portadores de carga, fazendo agir sobre eles uma força orientada no sentido negativo de z . Quanto mais cargas cargas são levadas levadas ao ponto A devido à força magnética, maior fica a ddp entre as faces do condutor, o cmapo elétrico torna-se cada vez maior, até igualar-se à força magnética. magnética. Neste momento, momento, os portadores param de se acumular no ponto A e voltam a mover-se apenas na direção y . A condição de equilíbrio ocorre ocorre quando a força de Lorentz se anula:  L = q E  z + qva F

× B = 0 ⇒

 z = E

 −v × B. a

Como estas grandezas são perpendiculares, podemos tomar o módulo desta equação: E z = vaB.

A ddp entre os pontos A e B é a tensão de Hall, V H H , relacionada ao cmapo elétrico através da lei de Coulomb: V H H = E z Z

⇒

V H H = Z va B.

Se considerarmos a densidade de cargas ρ = NV q , na qual N é o número de partículas em V e n = N é o número de portadores por unidade de volume, temos: V I = nqAva ,

na qual A é a área pela qual a corrente flui, A = X Z . Então: va = V H H = Z B

I nqXZ

⇒

V H H =

I nqXZ

,

IB 1 : . Definido o coeficeinte Hall, RH = nqX nq

V H H = RH

23

IB . X



Força que age sobre um fio que conduz corrente  = qv × B  , para um fio condutor sobre o qual flui uma corrente Partindo da força de Lorentz, F I ao longo do seu comprimento, podemos escrever a força elementar que atua sobre cada um dos portadores:  = qva dL ˆ dF

 × B,

na qual:

|v| = v

a

=

 dL . dt

Existe, então, um número N de portadores de carga por unidade de volume. Para um elemento infinitesimal de volume, temos: dV = AdL, com A sendo sendo a área da secção secção reta do fio. Então Então a densidade de portadores é: N =

n V

⇒

n = N V

⇒

dn = N AdL AdL .

 : Assim, a força que age sobre todo o segmento dL do fio é dndF  = NqAva dL  dF

× B .

Sendo ρ = N q a densidade volumétrica de cargas, obtemos:  = ρAva dL  dF

× B

na qual: I = ρAva . Então:

 = I dL  dF

× B ,

que representa a força total sobre todos os portadores de carga em dL. Se dividir dividirmos mos esta esta expressão por dL, obtemos a força por unidade de comprimento:   dF dL = I dL dL

×

 B

⇒

 dF ˆ = I dL dL

× B .

Ilustração: Um fio é percorrido por uma corrente I . Um pedaço do fio, de comprimento L está submetido a  uniforme, um campo magnético externo B uniforme, como mostra a figura. Determine Determine a força magnética magnética que age sobre o fio e a força magnética por unidade de comprimento.

24



Força entre elementos diferenciais de corrente O campo magnético em um ponto P 2 do espaço, devido a um elemento de corrente posicionado no ponto P 1 é dado por:  2 = dH

I 1  1 dL 2 4πR 12

× aˆ

R12 ,

 2 = I 2 dL ˆ2 × B  2 , no ponto P 2 , temos: se substituirmos a força diferencial, que é dada por dF  2 ) = µ0 I 1 I 2 dL  2 d(dF 2 4πR 12

× (dL × aˆ 1

R12 ).

Esta é a expressão que calcula o elemento de força infinitesimal entre dois elementos de corrente infinitesimais.

Ilustração: Considere duas correntes, I 1 = 3 A, no sentido negativo do eixo y e I 2 = 4 A, no sentido negativo do eixo z . Determine Determine a força entre pontos P 1 (5, (5, 2, 1) e P 2 (1, (1, 8, 5).

25



Força e torque em circuito fechado A força de um dipolo magnético, chamado de momento de dipolo magnético, pode ser imaginado como uma medida da habilidade de um dipolo de se alinhar quando submetido a um campo magnético externo. externo. Em um campo magnético magnético uniforme, a magnitude do momento momento de dipolo é proporcional proporcional a soma de torque no dipolo, a qual ocorre quando o dipolo está em ângulos certos para o campo magnético. O momento de dipolo magnético, frequentemente chamado de momento magnético, pode ser definido como o máximo de quantia de torque causado por força magnética, nas proximidades de campo magnético magnético no vácuo. Imagine uma espira, de uma volta, no plano z = 0, com largura W ao  , longo do eixo x e comprimento l ao longo do eixo y , imersa em uma região de indução magnética B uniforme e orientado na direção do eixo x. A espira é percorrida pela corrente I no sentido horário. As únicas forças aparecem nos lados da espira, e têm módulo F = BI L. O torque relativo a cada “braço” é dado por:   Γ = F

× R ⇒

 Γ = BILW sin BILW sin γ,

 , na qual S na qual, define-se m = I LW como o módulo do momento momento de dipolo magnético magnético m  = I S é a área da espira. Então:  Γ=m 

× B ⇒

  Γ = I S

 × B.

 = −I B  × dL  . Se B  for Para um circuito fechado qualquer, a forá fica melhor definida como F  = −I B  × dL  . Já sabemos do cálculo vetorial que esta última integral uniforme,temos a integral F é nula. Então a força sobre o circuto fechado é nula. Porém, este não é o resultado final. A força sobre um elemento de corrente pode ser nula, mas se o campo não for uniforme, podem existir regiões do circuitos com diferentes densidades lineares e até mesmo volumétricas de corrente, garantindo que haja uma força não-nula sobre o circuito. Se tomarmos no circuito, dois elementos diferenciais de corrente, corrente, podemos verificar que, mesmo qua a força devido devido a cada um deles seja nula, o torque total  × F  para cada elemento de corrente. O torque total, Γ=R é diferente de zero. O torque é dado por:   1 × F  1 + R  2 × F  2 , como as forças são nulas, a resultante dos dois elementos de corrente será:  Γ=R  1 + F  2 = 0. Obtemos, então: sua soma também é nula, então: F





  1 Γ=R

× F  − R × F  ⇒ 1

2

1

  1 Γ = (R

− R ) × F  ⇒ 2

1

  21 Γ=R

× F  . 1

 21 liga o ponto de aplicação da força F 2 ao ponto de aplicação da força F 1, portanto, O vetor R  1 e R  2 . Portanto, o torque independe da escolha de uma origem. independe da origem dos vetores R O elemento diferencial de torque é dado por: d Γ = dm 

26

 × B.



Ilustração: Considere uma espira retangular de dimensões 1 × 2 m no plano xy, imersa numa região de  0 = −0, 6î + 0, indução magnética magnética B 0 , 8ˆz T . uma corrente I = 4 mA circula pela espira no sentido anti-horário. Determine o torque sobre a espira.

27



Condições de fronteira magnéticas A figura abaixo mostra a fronteira entre dois materiais magnéticos diferentes, de permeabilidades magnéticas µ1 e µ2 . Os materiais são isotrópicos e homogêneos.

Primeira condição de fronteira:

Aplicando a lei de Gauss sobre a superfície gaussiana cilíndrica, temos:



S

 dS  = 0 , B

·

somente as faces do topo e da base do cilindro contribuem com a integral, pois a área lateral tem vetor normal perpendicular perpendicular ao vetor indução magnética, de forma que o produto interno entre eles é nulo. Então, obtemos: BN 1 N 1 ∆S

−B

N 2 N 2 ∆S =

H N N 2 =

0

BN 1 N 1 = BN 2 N 2 . Assim, temos:

⇒

µ1 H N N 1 . Para a magnetização, temos: µ2 M N N 2 =

χ2 µ1 M N N 1 . χ1 µ2

Segunda condição de fronteira:

Aplicando a lei circuital de Ampère no caminho retangular da figura, observamos que os lados  . Assim temos: menores do retângulo não contribuem com a integral pois são perpendiculares a H temos:



 dL  = I H

·

⇒

H t1 ∆L

− H ∆L = K ∆L, t2

na qual:

 é definido como uma densidade de corrente linear de módulo K , conduzida pela superfície. Então: K

28


H t1

− H

t2


=K,

 t1 − H  t2 ) = aˆN 12  com: (H N 12 × K .

 , obtemos: Para a componente tangencial de B Bt1 µ1

− Bµ

t2

= K,

e para a magnetização:

2

M t2 =

χ2 M t1 χ1

− χ K. 2

Ilustração: Suponha que µ1 = 4 µH/m, na região 1 com z > 0 e que µ2 = 7 µH/m na região 2 onde z < 0. Admita uma densidade de corrente linear na fronteira (z = 0) entre estes dois materiais, dada por  = 80î A/m. Se houver uma indução magnética na região de valor B  1 = (2î − 3 jˆ + kˆ) mT , qual é K o valor da indução magnética na região 2?

29



Indutância e Indutância mútua Já vimos que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo elétrico e que uma corrente elétrica elétrica cria um campo magnético. Em particular, particular, calculamos o campo magnético de um solenóide. solenóide. Este dispositivo dispositivo está para o magnetismo, assim como o capacitor capacitor está para a eletricidade. eletricidade. Há uma completa analogia entre os dois dispositiv dispositivos. os. Assim, correspondendo correspondendo à capacitância de um capacitor, podemos definir a indutância (ou auto-indutância), L: L=

N Φ , I

sendo N o número de espiras do solenóide, Φ o fluxo de campo magnético total na bobina e I a corrente que passa pelo solenóide. Esta expressão é válida para meios magnéticos lineares, nos quais o fluxo de campo é proporcional à corrente. A unidade de indutância é o H = henry, equivalente a um weber-espira por ampère. Indutância em um cabo coaxial:

Considere o cabo coaxial de raio interno a e raio externo b da figura abaixo, com o eixo principal ao longo do eixo z .

30



Indutância Indutância em uma bobina toroidal toroidal de N espiras:

Se considerarmos uma bobina toroidal, com um enrolamento de N espiras, cujas voltas têm uma separação separação da ordem da espessura do filamento, podemos obter a indutância utilizando o mesmo procedimento acima: Bθ = Φ=

µ0 N I , 2πρ

µ0 N I S , 2πρ 0

µ0N 2 I S L= , 2πρ0

nas quais S é a área da secção reta do toróide. Porém, se a separação entre as espiras for grande em relação à espessura do filamento enrolado, cada espira terá a sua própria indutância agindo sobre as demais espiras e, a indutância total não poderá mais ser tomada como o produto da indutância de uma espira pelo raio médio das espiras, como feito acima. Neste caso, estamos diante do fenômeno de indutância indutância mútua, onde cada espira age sobre a outra simultaneamente e devemos olhar a indutância de cada espira separadamente. A indutância total é dada pela soma discreta das indutâncias de cada espira: L=

Φ1 + Φ2 + ... + Φi . I

É óbvio que esta conta não é trivial! Na maioria dos casos, é necessário recorrer a dados experimentais rimentais e grandezas grandezas empíricas de caracterização caracterização do dispositivo, dispositivo, como os fatores de enrolamento enrolamento e suas dimensões. Uma forma aproximada de calcular a indutância mútua de um dispositivos como estes, é partir das medidas de energia produzida pela corrente que flui pelos dispositivos: L=

2W H H , I 2

na qual W H H é a energia magnética produzida pela corrente I que flui no filamento do dispositivo. A expressão de W H H só poderá ser deduzida a partir das equações de Maxwell completas (com variação temporal), as quais viremos mais à frente. Por enquanto, vamos aceitar a sua forma como um comparativo com a, já deduzida, expressão para a energia elétrica armazenada em um capacitor: 1 W E E = 2



vol

 E  dv D

·



1 WH == 2



vol

 Hdv  . B

·

 = µH  , obtemos: Se lembrarmos que B 1 W H H = 2



vol

2

µH dv

1 ou W H H = 2

31



vol

B2 dv . µ



Então a indutância mútua pode ser expressa como: L=



vol

 H  dv B . I 2

·

Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 9, Seções 9.9 e 9.10. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E9.11 da página 181 e E9.12 e E9.13 da página 185.

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EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 2 1) Considere uma carga elétrica Q = 18 nC movendo-se num condutor com velocidade de 5.106 m/s na direção av = 0, 04î − 0, 05 jˆ + 0, 2kˆ. Calcule Calcule o módulo módulo da força força que age sobre sobre a  = (−3î + 4 jˆ + 6kˆ) mT e E  = (−3î + 4 jˆ + 6kˆ) kV/m. carga devido aos campos B 2) Determine a auto-indutância auto-indutância de um cabo coaxial de 3, 5 m de comprimento e raios 0, 8 mm e 4 mm, preenchido com um material cuja permeabilidade relativa vale 50. 3) Considere o enrolamento de 500 espiras ao redor de uma bobina toroidal, de área transveral 6, 25 cm2 . Se o raio médio do toróide é 2 cm, determine a sua auto-indutância.

33


Capítulo 3 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell Lei de Faraday Faraday Agora, vamos começar a falar sobre o que chamamos propriamente de Eletromagnetismo = Eletro + magnetismo ou seja, a interação entre os campos elétrico e magnético de um sistema. Um pouco de história sempre é bom para valorizarmos o trabalho dos cientistas pioneiros, que tanto contribuiram para a renovação tecnológica da qual disfrutamos hoje. No decorrer da vida, Michael Faraday (1791-1867) aprendeu a pesquisar num laboratório de química. Ele aprendeu igualmente a sobreviver aos insultos decorrentes da sua condição de encadernador assalariado, assalariado, aspirante à integração no mundo da alta sociedade que dominava a ciência. Na França daquela época foi confirmada, por Ampère e um colega, a espantosa notícia que a corrente elétrica que circula em um enrolamento espiral também se comportava como um ímã, atraindo pequenos pedaços de ferro. Por essa razão, sua descoberta foi batizada de eletroímã. No decorrer dos dois séculos anteriores, os filósofos naturalistas tinham descoberto várias semelhanças entre a eletricidade e o magnetismo. O francês Charles-Augustin Coulomb descobrira que ambas as forças tinham propriedades semelhantes, por diminuírem de intensidade com a distância, exatamente da mesma forma. O alemão Otto von Guericke descobrira que ambas as forças tinham duas faces, por serem capazes de atrair alguns objetos e de repelir outros. Desta feita, refletia Faraday incredulamente, Orsted, Ampère e Arago tinham chegado mais longe, revelando algo mais profundo sobre as duas forças. A sua espantosa descoberta levantava a possibilidade de que a eletricidade e o magnetismo pudessem ser de alguma forma intermutáveis. No entanto, se a eletricidade podia se comportar como um ímã, faltava-se provar que o contrário também também era verdadei verdadeiro: ro: O magnet magnetism ismoo poderia poderia se comport comportar ar como a eletrici eletricidad dade? e? Dito de out outra ra forma: poderia um ímã produzir eletricidade eletricidade?? Subitamente, Subitamente, encontrar encontrar uma resposta para essa pergunta tomou-se o Santo Gral da ciência do século XIX. Faraday observou que o magnetismo produzido pela corrente elétrica exercia sempre a mesma influência influência sobre uma bússola magnética: magnética: imaginando imaginando a bússola deitada sobre uma mesa e a corrente corrente 34


Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell

elét elétri rica ca a flu fluir ir do chão chão em dire direçã çãoo ao teto teto,, a agul agulha ha da búss bússol olaa gira giravva semp sempre re no sent sentid ido, o, inve invers rsoo ao dos dos ponteiros do relógio, e nunca ao contrário. Não sabia o que isto significava, mas após ter apresentado o artigo sobre a história da eletricidade e do magnetismo aos Annals of Phylosophy, decidiu averiguar a questão. À medida que se concentrava, concentrava, começou a esboçar-se esboçar-se uma imagem mental que explicav explicavaa a experiência original de Orsted. Tal como uma corrente ascendente de ar se transforma por vezes num tornado, especulou se uma corrente ascendente de eletricidade podia produzir redemoinhos de magnetismo, provocando um ligeiro movimento a qualquer agulha magnética que se encontrasse nas proximidades. Faraday percebeu que esta imagem tinha mais de palpite do que de propriamente teoria, mas havia uma maneira de a testar: se a corrente elétrica produzia produzia de fato um tornado magnético, magnético, então os seus ventos rotativos rotativos fariam girar continuamente continuamente quaisquer objetos magnéticos que se encontrassem encontrassem nas proximidades, proximidades, e não apenas de forma ligeira, ligeira, como acontecia com a agulha magnética de Orsted. A questão era saber como fazer isso acontecer. acontecer. Após semanas de experimentação, experimentação, a resposta surgiu. Primeiro, ele pegou um ímã em forma de barra e alinhou-o com a vertical. Nessa posição, colocou-o num recipiente com mercúrio, de modo que o ímã passou a flutuar em pé, como uma pequena bóia. Em seguida colocou um fio condutor no centro do recipiente recipiente e fez passar através deste uma corrente corrente elétrica em direção ao teto. Como resultado, algo notável aconteceu: o ímã-bóia começou a rodar em tomo do condutor, tal como se fosse arrastado por uma corrente invisível, no sentido anti-horário. Com esta simples experiência, Faraday matou dois coelhos com uma só cajadada. Confirmou a sua teoria do tornado magnético magnético e no processo processo criou o primeiro primeiro motor elétrico do mundo. Futuramente, os engenheiros encarregar-se-iam de aperfeiçoar a tosca engenhoca concebida por Faraday, criando motores elétricos elétricos que acabariam acabariam por bater em potência os motores de vapor que propulsionpropulsionavam a revolução industrial. Mesmo a um século de distância, com motores elétricos a serem produzidos em todos os tamanhos e feitios, o princípio que os força a girar ainda é o do campo de forças magnéticas em forma de tornado, reconhecido pela primeira vez pelo prodígio da classe trabalhadora inglesa. A sua fama disparou, disparou, tal como como sucedeu sucedeu à altura altura das pil pilhas has voltaicas voltaicas:: para obter obter eletric eletricidad idadee em quantidade suficiente para alimentar motores elétricos com potências significativas, os cientistas viram-se forçados a construir baterias de dimensões tais que ocupavam divisões inteiras. No laboratório, o despretensioso Faraday trabalhava agora mais arduamente do que nunca para encontrar encontrar a resposta a uma questão que o intrigava intrigava desde a descoberta do motor elétrico. Se a eletricidade podia produzir magnetismo, porque não seria o inverso verdadeiro? Porque o magnetismo não poderia produzir eletricidade? Muitos cientistas se puseram à mesma questão, mas não conseguiram encontrar uma resposta. Nem mesmo Orsted teve sucesso, apesar de ter trabalhado dia e noite para descobrir o complemento lógico da sua descoberta original. A 29 de Agosto de 1831, Faraday encontrou o filão. Começou a enrolar um comprido fio metálico em torno de um segmento de um anel de ferro e em seguida, fez o mesmo em torno do outro segmento do anel. Se os fios metálicos fossem ligaduras, o braço circular do anel aparentaria possuir feridas em dois pontos opostos. Como sempre, o plano de ação de Faraday era bastante simples: faria passar uma corrente elétrica pela primeira ligadura de fio, produzindo um vento magnético que percorreria todo o anel. Se a dita tempestade 35



magnética produzisse uma corrente elétrica na outra ligadura de fio, Faraday teria encontrado aquilo que todos procuravam: o magnetismo teria criado eletricidade. Se tal coisa acontecesse, acontecesse, antevia Faraday, Faraday, provavel provavelmente mente a corrente elétrica produzida seria extremame tremamente nte débil e por isso nunca havia havia sido detecta detectada. da. Assim, Assim, lig ligou ou o segundo segundo segmento segmento a um amperímetro amperímetro capaz de detectar o menor vestígio possível possível de corrente elétrica. Agora era tudo ou nada. Ao eletrificar o primeiro enrolamento através de uma pilha voltaica, olhou esperançoso para o amperím amperímetro etro.. O ponteir ponteiroo moveu-s moveu-se! e! “Oscilou e voltou à posição de repouso”, escreveu histérica e históri históricam camente ente no registr registro. o. Durante Durante uns moment momentos, os, Farada Faradayy olhou olhou estupef estupefato ato para o ponteiro ponteiro.. Voltaria ele a mover-se? mover-se? Após alguns minutos de espera vã, desistiu. Todavia, odavia, ao desligar desligar a pilha ficou surpreendido ao observar “mais uma vez uma perturbação no amperímetro”. Durante o resto da noite, Faraday Faraday continuou a ligar e a desligar o anel da pilha. A de cada vez que o fazia, o ponteiro ponteiro do amperímetro amperímetro movia-se em espasmos. Finalmente Finalmente fez-se luz no seu espírito e nesse momento momento sentiuse como o jovem que saltara de alegria numa véspera de Natal, quase vinte anos antes. A corrente elétrica no primeiro enrolamento produzia um tornado magnético que, por sua vez, produzia uma corrente elétrica elétrica no outro enrolamento. Mas isso acontecia apenas quando a intensidade do tornado aumentava aumentava ou diminuía. diminuía. Estavam Estavam explicados explicados os saltos do ponteiro: de cada vez que Faraday ligava/desligava a pilha, o tornado magnético surgia/desaparecia, produzindo o efeito. Entre esses dois momentos, desde que os ventos magnéticos se mantivessem estáveis ao longo do anel de ferro, nada acontecia. Durante os meses seguintes, Faraday passou em revista e refinou o equipamento, chegando sempre às mesmas conclusões que confirmavam a descoberta original. Em 1831, finalmente, Faraday - o prodígio da Royal Institution, então com 40 anos de idade, resumia a sua descoberta histórica numa única frase: “Sempre Sempre que uma força magnética magnética aumenta ou diminui, produz produz eletricidade. eletricidade. Quanto mais de pressa se dá esse aumento ou diminuição, mais eletricidade se produz.” Embora a eletricidade e o magnetismo se pudessem afirmar individualmente, na verdade estavam inexplicav inexplicavelment elmentee associados, surgindo sempre um onde quer que o outro estivesse estivesse presente. presente. Seria por este motivo que a ciência acabaria por batizar esta bizarra relação de forças com um único epíteto híbrido: eletromagnetismo. Com esta nova forma de encarar a eletricidade e o magnetismo, Faraday Faraday e os seus sucessores concretizaram finalmente uma parte do antigo sonho científico da unificação das forças da natureza. O trabalho de unificação dos fenômenos elétricos e magnéticos ficou a cargo de James Clerk Maxwell, anos após a publicação dos trabalhos de Faraday, que obteve convergência total em quatro únicas equações, equações, que levam levam o seu nome. Nas equações completas completas de Maxwell, Maxwell, leva-se em conta as variações temporais dos campos elétricos e magnéticos, estabelecendo a relação entre eles: “Um campo elétrico produz um campo magnético e um campo magnético variável produz um campo elétrico.”

36



Equivale a dizer que uma corrente elétrica gera um campo magnético e um campo magnético variável produz uma corrente elétrica. Após este breve histórico, histórico, começaremos começaremos apresentando apresentando outro tipo de campo elétrico: elétrico: o campo elétrico induzido ou força eletromotriz induzida - fem. Uma força eleromotriz é uma tensão que surge a partir de condutores que se movem em um campo magnético, ou a partir de campos magnéticos variantes e é regida pela lei de Faraday (lei de indução de Faraday), mais conhecida como: f em = V =

−

dΦ = dt



 dL  = E

·

−

d dt



S

 dS,  B

·

na qual ddtΦ é a variação variação do fluxo magnético no tempo. O valor desta derivada derivada pode ser não-nula em três situações: 1) no caso de um fluxo variável no tempo através de um caminho fechado estacionário e 2) no caso de um movimento relativo entre um fluxo estacionário e um caminho fechado. 3) no caso de uma combinação entre as duas primeiras. O sinal negativo indica que a f em-induzida -induzida flui no sentido inverso inverso do fluxo de corrente original. original. Haverá, portanto, uma redução no fluxo de corrente original ⇒ lei de Lenz. Em 1832, o jovem físico escocês Maxwell publicou a sua obra de referência Tratado da eletricidade e Magnetismo, na qual traduziu a simples afirmação de Faraday numa equação matemática. Maxwell empregou a letra B para designar o magnetismo e a letra E para designar a eletricidade. Empregou igualmente o símbolo − ∂t∂ para representar a expressão “a taxa de crescimento ou diminuição  para designar “o valor de ...”. Assim sendo, a descoberta de Faraday resumiade ...” e o símbolo × se à seguinte equação: (3.1)



×

 = E

−

 ∂ B ∂t .

Isto é, a quantidade de eletricidade produzida pelo magnetismo era igual à taxa de aumento ou diminuição diminuição da força causadora. Um campo magnético magnético que varia rapidamente rapidamente produz uma grande quantidade quantidade de eletricidade, eletricidade, enquanto que um campo magnético magnético que registra registra variações lentas produz uma ínfima corrente corrente elétrica. Se o campo magnético se mantiver mantiver constante constante no tempo, não há produção de eletricidade. Embora tenha se expressado numa linguagem considerada pouco elegante pela ciência, Faraday olhara para o mundo com olhos de poeta: tinha visto a simplicidade onde existia complexidade. complexidade. Juntamente Juntamente com Orsted, mostrou que a eletricidade eletricidade podia gerar magnetismo e que o magnetismo podia gerar eletricidade, uma relação genética tão incestuosa como nenhuma outra existente na natureza. Quando um condutor se movimenta num fluxo magnético, surge um campo elétrico induzido devido ao movimento, que é dado por: (3.2)

 = v E

× B ,

 , o vetor indução na qual v é a velocidade do condutor e B indução magnétic magnética. a. Assim, Assim, o campo campo elétrico elétrico induzido tem duas componentes:

37



(a) a componente devido à variação temporal do campo magnético, dado pela equação3.1 equação 3.1.. Aplicando Aplicando o teorema de Stokes a esta equação, encontramos a tensão induzida:  ∂ B ∂t



S

·

 −

 = dS

 dL  , E

·

que também representa a lei de Lenz. (b) a componente devido ao movimento do condutor no espaço, dado pela equação 3.2 3.2,, que é a tensão



 dL  = E

·



(v

× B ) · dL .

A tensão induzida é a soma das duas contribuições: V =

 L

 dL  E

·

 −

S

 ∂ B ∂t

· dS .

A forma diferencial (ou pontual) desta equação é: ( 

 × E  )

=



− ∂ ∂tB .

As duas últimas são as formas integral e diferencial diferencial de uma das quatro equções de Maxwell. Maxwell. Se  não varia com o tempo, elas se reduzem às equações eletrostáticas: observarmos bem: quando B  · dL  = 0 e   × E  = 0. E



Exemplo: Uma espira retangular de lados a e b, posicionada no plano do papel, está imersa numa região  , saindo perpendicularmen de campo magnético B perpendicularmente te ao plano, como mostra a figura. A espira gira com uma velocidade velocidade angular  ω. Determine a força eletromotriz induzida e o sentido da corrente no circuito. Calcule também o valor da corrente induzida em função da resistência elétrica, R, da espira.

38



Correntes de deslocamento Agora vamos analisar analisar o que acontece quando um campo elétrico varia no tempo. Partimos Partimos da lei  · dL  = I , que afirma que a integral de linha de H  sobre qualquer caminho circuital de Ampère, H  corresponde à corrente elétrica que circula por este caminho. Lembre-se: o sentido da fechado dL corrente é dado pela regra da mão direita. Aplicando o teorema de Stokes à integral acima, temos:





 dL  = H

·

  × S

( 

 ) dS  = I = H

·



S

 dS.  J

·

 × H  ) = J  . Além disso: aplicando o teorema da divergência a Então: ( I =



S

 dS  = J

·

  · V

 ) dv = (  J

, − dQ dt



S

 dS  , temos: J

·

na qual a derivada de Q em relação a t representa a taxa de decaimento do fluxo de portadores de carga positiva positiva (corrente (corrente convencio convencional) nal) para fora da superfície superfície limitada por S , sendo Q a carga total envolvida pela superfície fechada, definida pela integral de volume. Ou seja: a densidade volumétrica de carga, ρv = dQ / dv , então:

  · V

 ) dv = (  J

−

d dt



ρv dv,

a qual, para superfícies constantes no tempo, fica simplesmente:

  · V

 ) dv = (  J

 −

∂ρ v dv, ∂t

e obtemos, então a Equação da Continuidade Continuidade:

 · J  = − ∂ρ∂t

v

.

 : Se lembrarmos das aulas anteriores .... em uma delas tomamos o divergente do rotacional de H

 · ( × H  )

 = 0. =  J

·

Se compararmos compararmos as duas últimas equações, equações, percebemos que há algo de conflitante conflitante entre as duas. O caso em que ∂ρ v / ∂v = 0 é uma limitação irreal. Portanto, há a necessidade de realizar uma correção para o caso dos campos variantes no tempo. Essa correção se faz adicionando um campo  à densidade de corrente J  . Assim: vetorial G

 × H  = tomando o divergente desta: 39

 + G,  J



 · ( × H  )

 +  G  = 0, =  J

·

·

sendo, necessariamente:

∂ρ v . ∂t

 · G =

É importante lembrar que a primeira equação da eletrostática, a lei de Gauss, relaciona o vetor  , à densidade volumétrica de carga, ρv : densidade de fluxo elétrico, D



 dS  = Q , ε0E

 · D

·

 = ε0 E,  D

= ρv ,

de forma que podemos escrever:

 · G =

 ∂   ∂ D ( D) =  , ∂t ∂t

·

·

Assim:  ∂ D  G = , ∂t

e chegamos à relação final da lei circuital de Ampère na forma diferencial (ou pontual):

 × H  =

  + ∂ D . J ∂t

 / ∂t, tem dimensão de densidade de corrente e foi denominado O último termo desta equação, ∂ D  d e é consequênpor Maxwell, de densidade de corrente de deslocamento, usualmente denotado por J  . Então: cia de uma variação temporal da corrente de deslocamento, D

 × H  =

 + J  d . J

 , pode se referir a uma densidade de Devemos lembrar ainda que, a densidade de corrente, J  = σ E  , consequência do movimento de cargas em uma região de densidade corrente de condução, J  = ρv dv, que é resultado da líquida nula de cargas, ou à densidade de corrente de convecção, J variação da densidade de cargas no volume. Em um meio não-condutor (σ = 0), no qual nenhuma densidade volumétrica de cargas esteja  = 0 e tem-se: presente, J

 × H  =

 ∂ D ∂t

e

 × E  =

 ∂ B , ∂t

 e H  e entre os vetores  e B  . nas quais pode-se observar a simetria entre os vetores E vetores D

40



Forma diferencial diferencial das Equações de Maxwell Agora já temos condições de tabelar as quatro equações de Maxwell, levando em conta as variações temporais dos campos elétrico e magnético. A lei de Gauss, tanto para o campo elétrico quanto para o campo magnético, permanecem permanecem inalteradas pois nela, leva-se leva-se em conta somente as variações variações espaciais espaciais dos referidos referidos campos. As equações abaixo são capazes de descrever descrever quaisquer fenômenos eletromagnéticos.  ∂ B ∂t

 × E  = −  × H  = J  +  · D = ρ  · B = 0 v

 ∂ D ∂t

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Lei de Faraday Lei de Ampère-Maxwell Lei de Gauss para a eletrostática Lei de Gauss para a magnetostática

A segunda segunda equação esconde a informação informação sobre a densidade volumétrica volumétrica de carga, carga, ρv , que pode ser uma fonte de linhas de fluxo elétrico, se ρV > 0 ou um sorvedouro de linhas de campo elétrico, se ρv < 0. Assim, Assim, não se pode mais mais dizer que todas as linhas de fluxo começam ou terminam em  e E  podem ter circulações se houver um campo uma carga, pois a primeira equação mostra que D magnético magnético variante variante no tempo estiver presente. presente. Portanto, Portanto, as linhsa de fluxo elétrico podem formar espiras fechadas.  é nulo, indicando a inexistência de A quarta equação de Maxwell mostra que o divergente de B  é cargas cargas magnéticas magnéticas isoladas: isoladas: não existem monopolos magnéticos. Portanto Portanto,, o fluxo magnéti magnético co B sempre encontrado em percursos fechados, nunca divergindo ou convergindo para uma fonte pontual, como é possível para o fluxo elétrico. O conjunto conjunto das quatro equaçõe equaçõess formam a base de tod todaa a teoria teoria eletroma eletromagné gnética tica.. Elas são equações diferenciais parciais e relacionam os campos elétrico e magnético um com o outro e cada  . As um com suas fontes: a densidade volumétrica volumétrica de cargas, cargas, ρv e a densidade densidade de corrente corrente elétrica, J denominações dos quatro campos relacionados nas equações de Maxwell e suas unidades estão na tabela abaixo:  D  E  B  H

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Densidade de fluxo elétrico ou vetor deslocamento Intensidade de campo elétrico Densidade de fluxo magnético ou vetor indução magnética Intensidade de campo magnético

2

⇒ C /m ⇒ V /m ⇒ Wb/m ⇒ A/m

2

Para chegarmos às quatro equações de Maxwell, utilizamos outras equações, as quais chamamos  com E  e B  com H  : Equações Auxiliares ou Constitutivas, que relacionam o campo D  = εE  D

e

 = µH  , B

além destas, outras equações são relevantes: as equações que relacionam a densidade de corrente  à intensidade de campo elétrico, E  e a que relaciona a densidade de corrente de de condução, J  à densidade volumétrica de cargas, ρv : convecção, J 41



 = σ E  J

e

 = ρvv . J

Nas relações acima, as grandezas ε, µ e σ representam representam a permissividade elétrica do material, a permeabilidade magnética do meio e a condutividade elétrica do material, respectivamente. Outros detalhes que devemos lembrar é que, como visto na discipilna de Eletromagnetismo I, certos materiais  . E, podem sofrer um efeito relevante de polarização polarização elétrica, representado pelo vetor polarização, P como visto em aulas anteriores, certos materiais podem sofrer um efeito relevante relevante de magnetização, magnetização,  . nestes casos é necessário somar essas contribuições: representado pelo vetor magnetização, M  = εE +  + P  D E

 = µ(H  + M  ) , B

e

lembrando que a polarização elétrica pode ser entendida como a soma dos momentos de dipolo elétrico por unidade de volume e, a magnetização é a soma dos momentos magnéticos dos portadores de carga negativa negativa do material por unidade de volume. O vetor polarização polarização depende de uma grandeza que caracteriza o material dielétrico, χe, a susceptibilidade elétrica do dielétrico, que mede o quanto o dielétrico é sensível a um campo elétrico. O vetor magnetização do material depende a susceptibilidade magnética, χm , que mede o quanto o material é sensível a um campo magnético:  = χe ε0 E  P

e

 = χmH  . M

Definimos Definimos também, também, grandezas grandezas relativas: relativas: a constante constante dielétrica dielétrica do dielétrico, dielétrico, εr = εε e a permeabilidade magnética relativa, µr = µµ . Definimos ainda, as relações entre ε e χe e µ e χm: 0

0

εr = 1 + χe =

ε ε0

e

µ . µ0

µr = 1 + χm =

Na tabela abaixo encontra-se uma lista das grandezas relacionadas aos vetores polarização elétrica e magnetização:  P ε ε0 εr χe  M µ µ0 µr χm

vetor polarização permissividade elétrica do material permissividade elétrica do vácuo perm permis issi sivi vida dade de rela relati tivva susc suscep epti tibi bili lida dade de elét elétri rica ca vetor magnetização permeabilidade magnética do material permeabilidade magnética do vácuo perm permea eabi bili lida dade de rela relati tivva susc suscep epti tibi bili lida dade de magn magnét étic icaa

2

C /m

V /m 8, 85. 85.10

F /m

adim adimen ensi sion onal al adim adimen ensi sion onal al A/m2 H/m 1, 26. 26.10

6

−

H/m

adim adimen ensi sion onal al adim adimen ensi sion onal al

A última equação, que não podemos esquecer, é a força de Lorentz: 42

12

−



 = q (E +  + v F E

× B ) .

Forma integral das Equações de Maxwell As formas integrais das equações de Maxwell são usualmente mais fáceis de serem reconhecidas em termo termoss das das leis leis expe experim rimen entai tais, s, a part partir ir das quais quais elas elas foram foram obt obtida idass pela pela gener generali aliza zação ção do proce processo sso.. Experimentos exploram grandezas físicas macroscópicas e portanto, os seus resultados são melhor expressos em termos de relações integrais.

   

 E  H  D  B

 ∂ B S ∂t

· dL = −  · dS    + S · dL =  J  · dS + · dS  = ε E  · dS  = q · dS  = 0 S

 ∂ D S ∂t

· dS  = I +

 ∂ D S ∂t



· dS 

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Lei de Faraday Lei de Ampère-Maxwell Lei de Gauss para a eletrostática Lei de Gauss para a magnetostática

Forma harmônica das Equações de Maxwell

 (t), D  (t), Até agora assumimos que a dependência temporal dos campos eletromagnéticos, (E  (t) e B  (t)) é arbitrária. H arbitrária. A partir de agora assumiremos assumiremos que estes campos variam harmonicamente harmonicamente com o tmpo. Ou seja: a dependência dependência temporal destes destes campos se dá por forma forma de ondas senoidais senoidais periódicas no tempo. esta aproximação tem muita aplicação prática no estudo de ondas eletromagnéticas, como emissão e transmissão de ondas de rádio, tv, banda larga, telefonia fixa e celular, etc, além de poder ser estendida para a maioria das formas de ondas, através da transformada de Fourier . Funções senoidais e cossenoidais são expressas como fasores. √ Um fasor é um número complexo, z = x + iy , com i = −1. utilizando a fórmula de Euler , podemos escrever: iφ

z = x + iy = re = r(cos φ + i sin φ) ,

sendo:

r= z =

||



x2 + y 2

e:

tan φ =

y , x

x é dito parte real e y, a parte imaginária, r é a magnitude e φ, a fase do fasor z . a repres representa entação ção de de z na forma retangular, z = x + iy e na forma polar, z = reiφ estão ilustradas na figura. A soma e a subtração de

fasores são mais facilmente efetuadas na forma retangular, enquanto que o produto e o quociente de fasores são melhores efetuados na forma polar. Para introduzir a dependência temporal, utilizamos a relação: φ = ωt + θ ,

ωt) r eiφ = rei(θ+ωt)

⇒

iωt) re iφ = reiθ eiωt) ,

sendo θ uma função qualquer do tempo ou das coordenadas espaciais, podendo ser constante e ω representa a velocidade angular, dada em rad/s. As partes real e imaginária imaginária de z são dadas por: 43



Re((re iφ ) = r cos(ωt Re cos(ωt + θ)

I m(reiφ ) = r sin(ωt sin(ωt + θ) .

e

Podemos ilustrar a utilização de fasores com um exemplo simples: Considere que, a corrente senoidal dada por I 1 (t) = I 0 cos(ωt cos(ωt + θ) é igual à parte real da corrente I 2 (t) = I 0 eiφ = I 0 eiθ eiωt . O iθ termo complexo é dito fasor corrente, I S fasorial S = I 0 e . O subíndice S serve para indicar a forma fasorial de I (t). De maneira geral, uim fasor fasor pode ser um escalar ou uma vetor. vetor. Se um vetor A (x,y,z,t) x,y,z,t) é um  é A  S (x,y,z) campo harmônico harmônico no tempo, a forma fasorial de A x,y,z ) e a relação entre as duas grandezas fica dada por:  = Re  S eiωt ) . A Re((A  como: Por exemplo: Se A = A0 cos(ωt cos(ωt − βx)ˆ βx )ây , podemos escrever o vetor A  = Re  S eiωt ) = Re A Re((A Re[( [(A A0 e

iβx

−

a ˆy )eiωt ] ,

sendo A0 e iβx aˆy a forma fasorial de A . A diferenciação de fasores é bem simles. Para o exemplo anterior, anterior, a derivada derivada de A e relação ao tempo é: −

 ∂ A ∂  S eiωt ) = Re  S eiωt ) , = Re( Re(A Re((iω A ∂t ∂t

ou seja: para encontrar a derivada temporal de uma grandeza instantânea basta multiplicar sua forma fasorial por iω e a operação derivada fica equivalente à:  ∂ A ∂t

 S , iω A

→

e a integração corresponde à:



 A∂t

→

 S A . iω

 (x,y,z,t) Obser Observe ve atent atentam ament entee a difer diferen ença ça entre entre a form formaa insta instantâ ntânea neaA x,y,z,t) e a form formaa faso fasori rial al A S (x,y,t) x,y,t): a primeira é real e dependente do tempo, enquanto que a segunda é complexa e invariante no tempo.  (x,y,z,t) Aplic Aplicand andoo o conce conceito ito de fasor fasor às equaç equações ões de Maxw Maxwell ell para para campos campos varia variant ntes es no temp tempo, o,E x,y,z,t),  (x,y,z,t)  (x,y,z,t)  (x,y,z,t) D x,y,z,t), B x,y,z,t), J x,y,z,t) e ρv (x,y,z,t) x,y,z,t), obtemos:

44


 · D = ρ  · B = 0  × E  = −iωB  × H  = J  + iωD S

vs

S

S S

S S

S

S S

S

⇒ ⇒ ⇒ ⇒


   

 S D  S B  S E S  H S S

· dS  =  ρ dv · dS  = 0  · dL = − iω B · dS  · dL = (J  + iωD ) · dS  vS

S

S S

S

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Gauss - eletrostática Gauss - magnetostática Faraday Ampère-Maxwell

Ilustração: 1) Expresse o campo elétrico E y = 100 cos(10 cos(108 t − 0, 5z + 30o ) V /m como um fasor.

45


Capítulo 4 Onda Plana Uniforme Uniforme Uma das principais aplicações das equações de Maxwell é o estudo da propagação de ondas eletromagnéticas (EM). A existência deste tipo de onda é prevista pelas equações de Maxwell e foi, inicialmente, estudada por Henrich Hertz, que após muitos cálculos e experimentos experimentos conseguiu conseguiu gerar e detectar ondas de rádio. meio de trans transpo porta rtarr energ energia ia ou infor informa maçã ção. o. Existe Existem m ondas ondasmecânicas, de impact Ondas são um meio impacto oe eletromagnéticas. Um exemplo de onda mecânica é o som. Este tipo de onda só se propaga em meios materiais. Uma onda de impacto (ou de choque) é uma onda sônica pulsada, de frequências acima da frequênc frequência ia audível audível e também também precisa precisa de meios meios materia materiais is para para se propaga propagarr. Um exemp exemplo lo (aterro (aterroriza rizador dor,, por sinal), são as ondas de choque provocadas por grandes explosões, como de uma bomba atômica. Ondas eletromagnéticas (EM) não necessitam de meios materiais para se propagarem, podendo se propagar propagar no vácuo. O exemplo exemplo mais cotidiano cotidiano de onda EM é a luz visível. Porém, existem existem muito mais ondas EM se espalhando pelo espaço e ao nosso redor, formando um imenso espectro de ondas eletromagnéticas: o espectro eletromagnético!. Cada onda EM é caracterizada pela sua frequência, ν e pelo seu comprimento de onda, λ. O módulo da velocidade, velocidade, v, de qualquer onda EM num meio qualquer é dado por v = ν λ e no vácuo (ou no ar) este valor é sempre o mesmo: c = 3.108 m/s, a velocidade da luz. Então: c = ν λ, para qualquer onda que se propaga no vácuo. Assim, todas as ondas eletromagnéticas são “luzes”! Porém, a sensibilidade visual do ser humano só nos permite enxergar uma pequena faixa destas “luzes”, chamada de espectro visível.

46


Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme

Praticamente toda a troca de energia entre a Terra e o resto do Universo ocorre por radiação (propagação (propagação de ondas EM), que é a única que pode atravessar atravessar o relativo relativo vazio do espaço. O sistema Terra-atmosfera está constantemente absorvendo radiação solar e emitindo sua própria radiação para o espaço. Numa média de longo prazo, as taxas de absorção absorção e emissão são aproximadamente aproximadamente iguais, iguais, de modo que o sistema está muito próximo ao equilíbrio radiativo. A radiação também tem papel importante na transferência de calor entre a superfície da Terra e a atmosfera e entre diferentes camadas da atmosfera. Todas as formas de ondas EM compartilham de três características fundamentais: • são irradiadas a partir de uma fonte (uma antena, por exemplo), sem a necessidade de um meio de propagação; • se propagam propagam em altas velocidade velocidades, s, no vácuo: c = 3.108 m/s; • apresentam apresentam propriedades propriedades ondulatórias. ondulatórias. A velocidade de propagação de uma onda EM, que se propaga em um meio diferente, é diferente! Mudou o meio, muda a velocidade de propagação. Até agora, estudamos separadamente, fenômenos elétricos e magnéticos em meios condutores e isolantes, pois o nosso interesse é estudas os fenômenos físicos nos materiais que utilizamos para confeccionar nossos dispositivos tecnológicos. Porém, ainda não estudamos os efeitos que aparecem aparecem nesses materiais, quando analisamos a associação dos fenômenos eléricos eléricos e magnéticos magnéticos sobre eles. As ondas EM interagem com o meio material material no qual ela se

47



propaga! propaga! Por isso, a velocidade de propagação de uma onda EM muda, de acordo com o material material no qual ela se propaga! Qualquer fenômeno eletromagnético pode ser descrito a partir das equações de Maxwell, pois são fenômenos fenômenos que envolvem envolvem ondas EM que se propagam em um determinado determinado meio. Assim, o objetivo objetivo deste capítulo é resolver as equações de Maxwell para ondas EM que se propagam nos seguintes meios materiais:

Meio Meio de prop propaga agação ção Condut Condutivi ivida dade de Permi Permissi ssivid vidad adee Perme Permeab abilid ilidade ade espaço livre σ=0 ε = ε0 µ = µ0 dielétricos sem perdas σ≈0 ε = ε0 εr µ = µ0 µr dielétricos com perdas σ= ε = ε0 εr µ = µ0 µr 0 bons condutores σ≈∞ ε = ε0 εr µ = µ0 µr

Propagação Propagação de ondas no espaço livre A seguir, trabalharemos com campos magnéticos e elétricos variáveis no tempo, que gerar ondas eletromagnéticas. Para demonstrar que as equações de Maxwell levam, inevitavelmente, a ondas eletromagnétic eletromagnéticas, as, é necessário necessário fazer uso das equações de Maxwell na forma diferencial. ComeçareComeçaremos com a propagação da onda eletromagnética no vácuo. Limitaremos a este caso particular devido as dificuldades matemáticas para resolver um sistema de equações de onda. Devido ao fato de não existirem cargas elétricas ou correntes elétricas no vácuo, as equações de Maxwell assumem a seguinte forma:  ∂ B ∂t

 ∂ E 0 0 ∂t

 × E  = −  · E  = 0

 × B = µ ε  · B = 0

A partir das leis de Faraday e de Ampère, podemos deduzir as equações de onda:



 ∂ 2 E E = µ0 ε0 2 ∂t

2 

e

Faça estas deduções junto com o professor!

48



 ∂ 2 B B = µ0 ε0 2 . ∂t

2 



Na forma cartesiana:

 E  = 2

 B = 2

     

 x ∂ 2 E ∂x 2  y ∂ 2 E ∂x 2  z ∂ 2 E ∂x 2  x ∂ 2 B ∂x 2  y ∂ 2 B ∂x 2  z ∂ 2 B ∂x 2

 x ∂ 2 E ∂y 2  y ∂ 2 E ∂y 2  z ∂ 2 E ∂y 2

+ + +

+ + +

 x ∂ 2 B ∂y 2  y ∂ 2 B ∂y 2  z ∂ 2 B ∂y 2

+ + +

+ + +

 x ∂ 2 E ∂z 2  y ∂ 2 E ∂z 2  z ∂ 2 E ∂z 2  x ∂ 2 B ∂z 2  y ∂ 2 B ∂z 2  z ∂ 2 B ∂z 2



2

= µ0 ε0 ∂ ∂tE 2



2

= µ0 ε0 ∂ ∂tE 2

=

e

 µ0 ε0 ∂ ∂tE 2 2

2



= µ0 ε0 ∂ ∂tB 2

2



= µ0 ε0 ∂ ∂tB 2

2

.



= µ0ε0 ∂ ∂tB 2

A quantidade µε tem o valor do inverso do quadrado da velocidade de propagação da onda no meio. Ou seja:

√1µε .

v=

No vácuo, a onda se propaga com a velocidade da luz, c: c2 =

1 , µ0 ε0

então podemos escrever as equações de onda no vácuo como:  1 ∂ 2 E c2 ∂t 2

2 

−  E = 0

e

 1 ∂ 2 B c2 ∂t 2

−  B = 0 . 2

Para simplificar o estudo do sistema de equações acima, restringiremos a um caso particular, cuja solução seja relativamente simples. Isto não invalidará os resultados obtidos pois suas soluções valem para qualquer caso. Vamos amos supor supor que é possí possíve vell estabe estabele lecer cer camp campos os elétr elétric icos os e magné magnéti ticos cos que satis satisfa faça çam m as condiç condiçõe ões: s: campo elétrico uniforme que tenha apenas uma componente na direção y e campo magnético uniforme apontando na direção x, para uma onda EM que se propaga na direção z . Ou seja, E (y, t) e B (x, t), dependentes do tempo e de apenas uma coordenada espacial. Então, temos os campos:  =< 0, E y , 0 > E

e

 =< Bx , 0, 0 > . B

Substituindo esses campo nas equações, obtemos: ∂ 2 E y 1 ∂ 2 E y = 2 ∂z 2 c ∂t 2

e

∂ 2 Bx 1 ∂ 2 Bx = 2 . ∂z 2 c ∂t 2

sin(k0 z − ωt) sin(k0z − ωt) O par par de solu soluçõ ções es suge sugeri rida dass para para este este prob proble lema ma é: E y = E 0 sin(k ωt ) e Bx = B0 sin(k ωt ). A partir destas soluções, podemos chegar numa conclusão muito interessante e importante: a conclusão a que Maxwell chegou chegou e que espantou toda a comunidade comunidade científica da época: qualquer onda EM no vácuo se propaga com a velocidade da luz!!

49



Faça as contas junto com o professor e verifique a descoberta de Maxwell, que o permitiu unificar a óptica com o eletromagnetismo:

Exercícios:

√

2   S 1) A equação 2 E S = −k0 E S S , com k0 = ω µ0 ε0 sendo o número de onda no espaço livre, é conhecida como equação vetorial de Helmholtz e representa a forma harmônica da equação de onda i(k z +φ) para o campo elétrico no espaço livre. Mostre que E xS é uma solução desta equação. xS = Ae 0

 (z, t) = 200 2) Dado o campo E 200 sin sin 0, 2z cos cos 108 tî +500cos(0, +500cos(0, 2z + 50o )sin108 t jˆ V/m, calcule:  em P (0;2;0 a) E P (0;2;0,, 6) com t = 25 ns;  | em P (0;2;0 b) |E P (0;2;0,, 6) com t = 25 ns; c) E S P (0;2;0,, 6). S em P (0;2;0  no espaço livre é dado por H  (x, t) = 10 3) Um campo H 10 cos cos 108 t − kxˆ kx a ˆy A/m. Determine: Determine: a) k; b) λ; c) ν ;  (x, t) em P (0 d) E P (0,, 1; 0, 2; 0, 3) em t = 1 ns. o i20z 20z  S 4) Dado E a ˆx V /m. Determine: Determine: S = (40 − i30 )e a) k; b) ω ; c) ν ; d) λ.

5) Uma onda plana uniforme, de 150 M H z , no espaço livre, é descrita por  S ˆy )e ikz A/m. Determine: H ax + ia Determine: S = (4 + i10)(2ˆ a) ω; b) λ; c) k;  (z, t) para z = 20 cm com t = 1 ns. d) H −

50



EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 3 1) Na figura abaixo, B = 0, 2cos120πt 2cos120πt T . Considere que o condutor que une as duas extremidades do resistor é perfeito. Pode-se admitir que o campo magnético produzido por I (t) é desprezível. Determine: a) V ab ab (t); b) I (t).

 = (0, 2) Dado o campo B (0, 5âx +0, +0 , 6ây − 0, 3âz )cos5000t )cos5000t T e uma espira quadrada filamentar com seus vértices em (2, (2, 3, 0), (2, (2, −3, 0), (−2, 3, 0) e (−2, −3, 0), determine a função que dá a variação da corrente no tempo, I (t), que flui na direção aˆφ , se a resistência resistência total da espira é 400 kΩ.

3) Considere a região definida por |x| < 1, |y| < 1 e |z | < 1. Seja εr = 5, µr = 4 e σ = 0. Se  d = 20 J 20 cos cos (1, (1, 5 × 108 t − bx)ˆ bx)ây µA/m2 , determine:  e E  ; a) D  e H  ; b) B  × H  = J  d + J  ; c)  d) b.

51



Propagação Propagação de ondas em dielétricos com perdas Um diel dielét étri rico co com com perd perdas as é um meio meio no qual qual onda ondass EM perd perdem em ener energi giaa à medi medida da que que se prop propag agam am,, devido à condutividade do meio. Em outras palavras, um dielétrico com perdas é um meio parcialmente condutor, que pode ser um dielétrico imperfeito ou um condutor imperfeito, para o qual σ =  0. Considere um dielétrico com perdas, linear, isotrópico, homogêneo e livre de cargas (ρv = 0). A forma diferencial harmônica das equações de Maxwell reduzem-se à:

 · E 

S S

=0,

 · H  = 0 ,  × E  = −iωµH  ,  iωε)E  × H  = (σ + iωε) S S

S S

S S

S S .

S S

Podemos obter a equação de onda para a onda EM que se propaga neste meio, aplicando o operador rotacional em ambos os membros da lei de Faraday:

 ×  × E  = −iωµ × H 

S S ,

S S

 ×   × A  =   (  · A  ) − 2 A  e com o auxílio da quarta equação utilizando a identidade vetorial  de Maxwell, obtemos:  iωµ(σ + iωε) iωε)E  ( · E  ) −  E  = −iωµ( 2

S S

S S ,

S S

que pode ser simplificada, utilizando a primeira equação de Maxwell:

 E  − γ E  2

S S

2

S S

γ 2 = iωµ( iωµ(σ + iωε) iωε) .

com

=0

 S utilizando um procedimento similar, obtemos a equação de onda para H S :

 H  − γ H  2

S S

2

S S

=0.

As duas equações de onda acima são as chamadas chamadas equações vetoriais homogêneas de Helmholtz Helmholtz ou equações vetoriais de onda, nas quais γ é dito constante de propagação (por metro) e é uma grandeza complexa, podendo ser escrita como: γ = α + iβ ,

nas quais as constantes α e β são encontradas a partir da parte real de γ 2 :

52



Re((γ 2 ) = (α + iβ )2 = α2 Re

2

2

− β = −ω µε .

Por outro lado, o módulo de γ 2 é dado por 2

2

|γ | = β + α

√

2

= ωµ σ 2 + ω2 ε2 .

Combinando as duas últimas equações, chegamos aos valores finais de α e β : α=

        −  µε 2

σ 1+ ωε

2

e

1

β = ω

         µε 2

σ 1+ ωε

2

+1 .

A solução para as equações de onda podem ser encontradas de forma mais simples, se considerarmos uma onda que se propaga na direção +âz , com campo elétrico somente na direção aˆx . Então:  S v = vz aˆz e E ax. Substituindo estas na equação de onda, temos: S = E xS xS (z )ˆ (  2

2

 − γ )E

xS xS (z )

=

∂E xS ∂E xS ∂E xS xS (z ) xS (z ) xS (z ) + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

2

− γ E

xS xS (z )

=0,

como o campo varia apenas na coordenada z , as duas primeiras derivadas são nulas e resta apenas: d2E xS xS (z ) dz 2

2

− γ E

xS xS (z )

=0,

que é uma equação diferencial, homogênea e linear, cuja solução possui a forma: γz

−

E xS xS = E 0 e

+ E 0 eγz , 

sendo E 0 e E 0 , constantes a determinar. Para grandes distâncias, z → ∞, o campo deve ser finito,  pode ser obtida tomando-sa a parte real da equação portanto: E 0 = 0. A forma insta instantân ntânea ea de E acima: 



iωt  (z, t) = Re E Re[[E xS ˆx ] = Re Re[[E 0 e xS (z )e a

αz i(ωt−βz) βz )

−

e

a ˆx ] ,

ou, de forma equivalente:  (z, t) = E 0 e E

αz

−

cos(ωt cos(ωt

βz )â − βz)ˆ

x

.

Através do mesmo procedimento, encontramos a expressão para o campo magnético:  (z, t) = Re ˆy ] = R[H 0 e H Re[[H x S (z )eiωt a

αz i(ωt−βz) βz )

−

e

ˆy ] , a

estando H 0 relacionado com E 0 por meio da impedância impedância intrínseca do meio, η , medida em ohms: 53



η=

E 0 . H 0

A impedância intrínseca do meio é uma grandeza complexa dada por: η=

|η| =

    µ ε

1+

σ ωε

2 1/4



iωµ = η eiθ , σ + iωε

||

e

η

tan(2θ tan(2θη ) =

σ ωε

sendo:

para

0

≤ θ ≤ 45 η

o

.

 (z, t) é: A forma final de H

 (z, t) = E 0 e H η

αz

−

||

cos(ωt cos(ωt

− βz − θ )â η

y

.

 (z, t) e H  (z, t), observa-se que os campos elétrico e Comparando as expressões finais para E magnético são ortogonais: enquanto um deles oscila perpendicularmente ao eixo x, o outro oscila perpendicularmente ao eixo y, enquanto os dois se propagam na direção z . Além disso, disso, pode-s pode-see observar que a amplitude decresce por meio de um fator e αz . Por esta razão, a constante α é chamada de constante constante de atenuação atenuação (ou fator de atenuação atenuação) do meio e, para α > 0, representa uma medida da taxa de decaimento espacial espacial da onda no meio. A unidade de α é o decibéis por metro (dB/m). Uma atenuação atenuação de 1 dB/m corresponde a uma redução de e 1 ≈ 37% do valor original. Outra unidade utilizada para α é o nepers por metro (Np/m). A relação de conversão entre as duas unidades é: −

−

1 N p = 20 log log10 e = 8, 686 dB .

No espaço livre, α = 0, portanto a onda não é atenuada enquanto se propaga, mantendo a sua amplitude. A atenuação da onda no meio dielétrico com perdas é mostrada na figura abaixo:

A constante constante β é a medida do deslocamento de fase por unidade de comprimento e é chamada de 54



constante de fase ou número de onda.

Pode ser espressa através da velocidade velocidade da onda, u, e também

através do comprimento de onda, λ: u=

ω β

ou

λ=

2π . β

Pode-se perceber também, através destas expressões finais, que os campos elétrico e magnético estão sempre defasados, para qualquer instante de tempo, por um ângulo θη . Esta difer diferença ença de de fase se dá dá devido à impedância intrínseca complexa do meio η. Então, o campo  (z, t) está sempre adiantado por um ângulo θη em relação elétrico E  (z, t). A razão entre as densidades de corrente ao campo magnético H  s e de deslocamento J  ds de condução J ds em um meio dielétrico com perdas é dada pela tangente de θ :

|J  | = |σE  | = σ = tan θ , |J  | |iωεE  | ωε s

S S

ds ds

S S

sendo θ = 2θη e, tan θ a tangente de perdas e θ o ângulo de perdas do meio. Embora não haja uma fronteira bem definida entre bons condutores e dielétricos com perdas, a grandeza tan θ, ou o próprio quantificar as perdas de energia energia em qualquer meio. Um bom dielétrico θ, podem ser utilizados para quantificar (sem perdas ou perfeito) se tan θ for muito pequeno, o que significa σ >> ωε. Do ponto de vista da propagação de onda, o comportamento característico de um meio depende dos seus parâmetros constitutivos, σ , ε e µ, além de depender da frequência de operação. Um meio que se comporta como um bom condutor em baixas frequências pode ser um bom dielétrico em altas frequências. Da última equação de Maxwell, após alguns arranjos, obtem-se:

 × H 

S S

iσ   E S S = iωε c E s , ωε

− 

 S = (σ + iωε) iωε)E S = iωε 1

sendo εc a permissividade complexa do meio, dada por: iσ ωε

− 

εc = ε 1

=ε





− iε

de forma que a razão entre ε e ε seja a tangente de perdas do meio: 



ε σ = . ε ωε 

tan θ =

Para o limite em que por:



εr εr 



<< 1, os coeficientes α e β da constante de propagação, γ , são dados

ωε r 2



α

≈

µ0 ε0 εr





e

55

β

≈ω



µ0 ε0 εr . 



Exercícios: 1) Considere uma onda plana de 1 M H z propagando-se propagando-se em água doce (µr = 1 e εr = ε = 81). Perceba que, neste caso, ε = 0. Isso significa que as perdas de energia são muito pequenas! Se o  = E  x = 0, 1cos(ωt campo elétrico elétrico é dado por E 1cos(ωt − βz)ˆ βz )âx V /m, determine: a) ω; b) β ; c) λ; d) |v |; e) η ;  x ; f) E  y . g) H 





2) Um sinal de radar de 10 GHz GH z pode ser representado por uma onda plana uniforme, se considerarmos uma região de propagação suficientemente pequena. Calcule o comprimento de onda e a atenuação, em nepers/metro, se esta onda se propaga em material cujas características características contitutiv contitutivas as são dadas por: a) εr = 1 e εr = 0; b) εr = 1, 04 e εr = 9.10 4; c) εr = 2, 5 e εr = 7, 2 









−



56

APOSTILA_-_Eletromagnetismo

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