LABORATÓRIO DE
CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Dimas Felipe de Miranda
2
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 1 Objetivos: a) Colocar o aluno em contato com o ambiente computacional que será usado durante o semestre, informar sobre as ferramentas: MATLAB , VCN b) Apresentar uma introdução sobre erros de arredondamento e truncamento
1a Parte : informações gerais Algumas expressões matemáticas. MATEMÁTICA
Como codificá-las
DELPHI
MATLAB
e
exp(x)
exp(x)
ln x
ln(x)
log(x)
logb a
ln(a)/ln(b)
Log(a)/log(b)
sen x
sin(x)
sin(x)
cos x
cos(x)
cos(x)
tg x
tan(x)
tan(x)
arctg x
arctan(x)
arctan(x)
x
y^x
y^x
2
sqr(x) ou x^2
sqr(x) ou x^2
x^(1/n)
x^(1/n)
x
abs(x)
abs(x)
x!
x!
Prod(1:x)
x
y x n
x
Nota: expressões com operações no numerador e / ou denominador devem ser escritas com auxílio de parênteses:
a + b ab
deve ser codificada (a+b)/(a*b).
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CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 1 Objetivos: a) Colocar o aluno em contato com o ambiente computacional que será usado durante o semestre, informar sobre as ferramentas: MATLAB , VCN b) Apresentar uma introdução sobre erros de arredondamento e truncamento
1a Parte : informações gerais Algumas expressões matemáticas. MATEMÁTICA
Como codificá-las
DELPHI
MATLAB
e
exp(x)
exp(x)
ln x
ln(x)
log(x)
logb a
ln(a)/ln(b)
Log(a)/log(b)
sen x
sin(x)
sin(x)
cos x
cos(x)
cos(x)
tg x
tan(x)
tan(x)
arctg x
arctan(x)
arctan(x)
x
y^x
y^x
2
sqr(x) ou x^2
sqr(x) ou x^2
x^(1/n)
x^(1/n)
x
abs(x)
abs(x)
x!
x!
Prod(1:x)
x
y x n
x
Nota: expressões com operações no numerador e / ou denominador devem ser escritas com auxílio de parênteses:
a + b ab
deve ser codificada (a+b)/(a*b).
3
2a Parte: Erros de Arredondamento e truncamento. Erro de Arredondamento:
ε a
Ocorre sempre que se despreza parte decimal de um número e isso sempre se dá ao operar com números irracionais ou dizimas periódicas. Exemplo 1: Ao escrever o número
π
como sendo 3,1 ou 3,14 ou 3,1415, cometem-se erros de
arredondamento de ordem 10−1 , 10-2 e 10-4 respectivamente, ou menor.
Erro de Truncamento:
ε T
Ocorre quando se desprezam termos de uma série numérica e isso se dá com freqüência na obtenção dos métodos numéricos. Exemplo 2: A série de Maclaurin para a função f ( x) = ee é: x
e
= 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ...
x n n!
...
Para calcular o valor do número e1 com a série interrompida no 7 o termo, mesmo usando um erro de arredondamento da ordem de 10−9 em todas as operações, obtem-se e
1 1 1 1 1 = 1+1+ + + + + = 2,71805556 2 6 24 120 720
O resultado obtido só está correto até a 3a casa decimal, devido ao erro de truncamento na série.
Atividade: 1 – a) O MatLab, na versão Estudante, usa um formato de saída de números com 5 dígitos. Para se obter um maior número de casas decimais deve-se colocar o formato dos números em longo. Siga os passos: entre
no Matlab
files preference
number format long
ok
b) Na HP48, pode-se fixar o número de casas decimais com o procedimento pressione
a tecla MODES MODES e aparece uma tela especial
desloque o
escolha escolha
cursor para Number Format
a opção Fixed
4
digite 5 e pressione OK e OK novamente para sair da tela especial
digite 2 e pressione a tecla
e aparecerá a respota: 1.41421
2) Use o Matlab ou a HP48 para efetuar os cálculos abaixo, dando a resposta com o erro de arredondamento indicado a)
5 +3 , 0,3541
b)
+ ln(5) , sen 3 + tg (0,5) e
d) 5 3,16 , 5
ε a
ε a
Resposta: …………………
≤ 10− 6
≤ 10−2
ε a
3 4
Resposta: ……………….
Resposta: ……………………
≤ 10−5
(com 15 dígitos)
33 3
3) Calcule
≤ 10− 4
3
c) log3 5 ,
e)
ε a
Resposta: ………………………
7 + 19 das seguintes formas: 31 − 3 13
a) Calcule, inicialmente, cada radical e anote com 5 casas decimais. Efetue numerador, denominador denominador e a divisão.
Resposta: Resposta: ...................................
b) Use todo o potencial da calculadora: entre na "equation" , edite a fórmula, passe-a para pilha, efetue. ( ou use o Matlab) Matlab) Resposta: Resposta: ............................. c) Compare os resultados obtidos. (Nota: o 2 o resultado estará certo até a última casa decimal) 4 – Para visualizar o erro de truncamento podem-se calcular valores de uma função por meio da série de Maclaurin. Tomando-se alguns termos da série é obtida uma fórmula aproximada. Como exemplo, será usada a função y = sen x a) Veja como obter a fórmula: 1o) Calculam-se as derivadas sucessivas de sen(x) para x = 0 , ou seja: f(x) = senx ............................f(0) = 0 f ´(x) = cosx ............................f ´(0) = 1 f ´´(x) = -senx ............................f ´´(0) = 0 f ´´´(x) = -cosx ............................f ´´´(0) = -1 f (4)(x) = sen(x) ………………….f (4) (0) = 0 f (5)(x) = sen(x) ………………….f (5) (0) = 1 e já está repetindo
5
o
2 ) Substituem-se os valores na fórmula de Maclaurin 1
f ( x)
= f (0) +
x
1!
f ´(0) +
x
2
2!
f ´´(0) +
x
3
3!
f ´´´(0) + ...
x
n
n!
f
( n)
(0)... e efetuam-se as
simplificações. n-1
x 3 x 5 x 7 x 9 x11 xn 2 + − + sen x = x − . . . + (-1) 3! 5! 7! 9! 11! n!
Fórmula: b) Calcule
sen 2 usando
os 6 primeiros termos da fórmula obtida e deixando o resultado
com todas as casas decimais. Resposta:......................................... c) Calcule
sen 2 direto no Matlab ou calculadora. Resposta:.........................................
d) Compare os resultados obtidos. (o 2 o resultado estará certo até a última casa decimal e a casa decimal diferente indica a ordem decimal do erro de truncamento). Resposta: ordem do εT é .......................................... 5 - Use o programa VCN A função y = 3 x pode ser aproximada pela fórmula: f ( x) =
2 3
+
x 3
1
5
9
81
− ( x − 1)2 +
( x − 1)3 −
10 243
( x − 1)4 +
22 729
( x − 1)5 .
A fórmula foi obtida do polinômio de Taylor cuja forma geral é: f ( x ) = f (a) +
( x − a)1 1!
f´(a) +
( x − a)2 2!
f´´(a) +
( x − a)3 3!
f´´´(a) + ...
( x − a)n (n) f (a)... n!
Para obter a fórmula foi considerado a = 1 , calculadas as derivadas sucessivas no ponto 1 , substituídas no polinômio de Taylor e foram feitas algumas simplificações. Para verificar a presença do erro de truncamento preencha a tabela, anotando os valores com
ε a
x
≤ 10−6 . y = 3 x
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 Parece uma boa aproximação.
f ( x)
=
2 x + + ... 3 3
y − f ( x )
6 6 - Repita novamente o exercício 5 , agora com novo intervalo para x . x
y = 3 x
f ( x)
=
y-f(x)
2 x + + ... 3 3
10,3 10,8 11,3
Veja como a aproximação piorou.
Respostas: Confira as suas respostas 2)a)14,7870
b)31,559885
c)1,46
d) 1,25874
3)a)757,46739
b)757,79926 c) erro na ordem 10 -1
4)a)0,909296135963
b)0,909297426826
e) 1,155...772
c)ordem do εT é 10-3
5)y(0,8) - f(0,8) = 0,000002 (erro pequeño); 6)y(11,3) – f(11,3) = 3093,2766... (erro enorme)
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Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 1 Nome:___________________________________Turma:______________ 1 – Use o VCN para efetuar as operações indicadas e dê a resposta com o erro indicado. a)
5 +3 , 0,3541sen(3,25)
b)
− ln(1,5) , cos 3 + tg (0,5) e
ε a
≤ 10 − 4
Resposta:_______________
ε a
≤ 10 −6
Resposta:_______________
3, 5
c) 1 − 7,82 log 3 5 ,
ε a
d) 5 2,71 / 3,16 / 4,28
≤ 10 −2 ,
ε a
Resposta:_______________
≤ 10 −5
Resposta:_______________
2 – a) Escreva os 4 primeiros termos , não nulos, da série de Maclaurim para a função y = cosx Resposta:...................................................... b) Use o VCN para fazer a tabela da função y = cosx , no intervalo indicado, copiando os valores com 8 casas decimais. Resposta: x
0,5
1,0
1,5
Y ......................... ..........................
2,0
.......................... ..........................
c) Faça a tabela da função obtida no item a) , com 8 casas decimais. Resposta: x 0,5 1,0 1,5 2,0 f(x) .......................... .......................... .......................... .......................... d) Compare as duas tabelas e indique a ordem do erro de truncamento em cada caso Resposta: ordem ................. .................. .................. .................... ..................
Respostas Tarefa 01: 1-a) –136,6695 b) -74,722613 2-a) 1 − b) x y c) x
x2 2
+
x4 24
−
c) 10,46
d) 0,22658
x6 720
0,5
1,5
2,0
0,87758256 0,54030231
0,07073720
-0,41614684
0,5
1,0
1,5
2,0
054027778
0,07011719
-0,42222222
≤ 10-4
≤ 10-4
f(x) 0,87758247 d) ordem ≤ 10-7
1,0
≤ 10-2
8
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 2 Objetivos: a) Utilizar o método de Gauss, com pivotação parcial e pivotação completa para resolver sistemas lineares. b) utilizar o método de Jordan para resolver sitemas lineares, calcular matriz inversa e calcular determinante de uma matriz c) Usar os recursos computacionais do software VCN , do Matlab V e da calculadora HP48 para resolver sistemas lineares, calcular determinante e calcular matriz inversa.
Atividade: Problema 1: Resolva o sistema 2 z − 1 = y − x 6 x − 2 y = 1 − 4 z 5 y + 3 x − 8 z = −1
a) Veja como funciona um dos métodos: por exemplo, GAUSS com pivotação parcial Siga os passos: 1o) Organize o sistema, colocando cada variável numa mesma coluna e o termo independente no segundo membro. x − y + 2 z = 1 6 x − 2 y + 4 z = 1 3 x + 5 y − 8 z = −1
2o) Escreva o sistema na forma matricial Ax=B. O processo computacional requer o sistema na forma matricial. 1 − 1 2 x + 1 6 − 2 4 y = 1 3 5 − 8 z − 1
3o) O método de Gauss, com pivotação parcial escalona o sistema usando as seguintes regras: → pivô é o elemento de maior módulo da coluna a ser processada → multiplicador = −
elemento pivô
→ nova linha = multiplicador x linha pivô + linha
9 4o) Existe um dispositivo prático para mostrar as etapas do escalonamento:
Multiplicador m1 m2
m3
=− =
Coeficiente
1 6
−3 1 =− 6 2
−2 1 =− 3 = 6 9
T.independente
Transformação L1
1
-1
2
1
6
-2
4
1
3
5
-8
-1
0
−2 3
4 3
5 6
L1
=−
1 L + L 6 2 1
0
6
-10
3 2
L3
=−
1 L + L 2 2 3
0
0
2 9
2 3
L1
=
-
L2 L3
1 L + L 9 3 1
5o) O sistema escalonado é formado pelas linhas dos pivôs. Na forma matricial tem-se: 6 0 0
−2 6 0
4 − 10 2 9
x y = − z
1 3 2 2 3
6o) O sistema escalonado é resolvido por substituição. Assim,: z
=
2 2 : =3 3 9
3 − + 10.3 19 y = 2 = 6 4
1 − 4.3 + 2. x
=
6
19 4 = −1 4
b) No VCN 1o) Entrar em:
• Sistemas Lineares • Métodos Diretos
1 − 0,25 − 4 19 ou X = 4,75 X = 4 3,00 3
10
o
2 ) Existem opções para 4 métodos: Jordan, Gauss , Guss com pivotação parcial e Gauss com pivotação completa. Basta selecionar o método escolhido. NOTA. Os 4 métodos usam a técnica de escalonamento, mas cada um tem procedimentos diferentes, principalmente na escolha dos pivôs. 3o) Selecionar o método de JORDAN. Esse método transforma o sistema num sistema diagonal, ou seja, faz um duplo escalonamento. Digite a matriz A e a matriz B. Coloque resolução passo a passo e vá apertando a tecla calcula. O sistema diagonal obtido é: 1 0 0 x − 0,25 − 0,25 0 4 0 y 19 cuja solução é X = 4,75 0 0 2 z 6 3,00
4o) Use a tecla REINICIA e agora selecione o método de GAUSS Esse método usa como pivô sempre o elemento da diagonal principal. O sistema escalonado pelo método de Gauss é: 1 − 1 2 x 1 0 4 − 8 y − 5 e resolvido por substituição produz a mesma resposta. 0 0 2 z 6
5o) Use a tecla REINICIA e agora selecione Gauss, com Pivotação Parcial (Esse método foi descrito com detalhes no item a) ) O sistema escalonado obtido é: 4 x 1 6 − 2 0 6 − 10 y − 1,5 0 0 0,222... z 0,666... 6o) Use a tecla REINICIA e agora selecione o método de Gauss com Pivotação Completa. Este método usa como pivô o elemento de maior módulo da matriz. Assim, o primeiro pivô será –8. O sistema escalonado obtido é: 0 0,333... 0 x 0,633... 7,5 0,5 0 y 0,5 ou 3 5 - 8 z − 1 − 0,25 e a solução é a mesma: X = 4,75 3,00
− 8 z + 3 x + 5 y = −1 7,5 x + 0,5 y = 0,5 0,1333 y = 0,6333
11 b) No Matlab → entre com a matriz A :
a = [ 1,-1,2;6,-2,4;3,5,-8 ]
→ entre com a matriz B :
b = [ 1;1;-1 ]
→ use a divisão à esquerda a\b Resposta: x= .....................
y = .......................
z = .......................
d) Na HP48 → entre com matriz B :
matrix . . . digitar matriz e ENTER
→ entre com matriz A :
matrix . . . digitar matriz e ENTER
→ divida: prissione a tecla da divisão Resposta: x= ...............
y= ........................
Problema 2: 1 − 1 0 sendo A = 3 1 5 calcule det A e A -1. 2 − 1 1
Nota: use o método de Jordan
z = .......................
12 a) Veja como é o procedimento: Solução:
*
1
-1
0
1
0
0
L1
3
1
5
0
1
0
L2
2
-1
1
0
0
1
L3
1
-1
0
1
0
0
L1
0
4
5
-3
1
0
L2 = -3L1 + L2
0
1
1
-2
0
1
L3 = -2L1 + L3
4
0
5
1
1
0
L1 = 4L1 + L2
0
4
5
-3
1
0
L2
0
0
1
5
1
-4
4
0
0
-24
4
20
L1 = -5L3 + L1
0
4
0
-28
-4
20
L2 = -5L3 + L2
0
0
1
5
1
-4
L3
1
0
0
-6
-1
5
L1 = L1 / 4
0
1
0
-7
-1
5
L2 = L2 / 4
0
0
1
5
1
-4
L
A −1
L3 = -4L3 + L2
−6 −1 5 = −7 −1 5 5 1 −4
para calcular o determinante, usa-se a matriz triangular considerando as
det (A) =
alterações introduzidas.
4.4.1 = −1 4.( −4)
indicada pelo *
13 b) No VCN → sistemas lineares, método direto, Jordan matriz inversa → entre com a matriz A → pressione a opção calcula até a matriz inversa e o det A serem calculados.
A − Resposta:
1
=
det A = ………………
c) No Matlab → entre com a matriz A :
a = [2, 3, -1 ; 0, 5, 4 ; 1, -1, 3]
→ det(a) , inv(a) Resposta: a mesma do item b) d) Na HP48 → pressione matrix e aparece um ambiente próprio para digitar a matriz → digite cada elemento e pressione enter … após o último elemento pressione enter novamente para sair do matrix → armazena a matriz na variável A ... digite ´A´ e pressione a tecla STO → para recuperar a matriz pressione
VAR e aparecerá o menu das variáveis – a seguir,
pressione a tecla abaixo da letra A do menu. → recupere A e pressione
1 x
para a matriz inversa
→ recupere A e digite DET (ou siga os passos: Mth . . . matr . . . norm . . . (next) . . . det) para calcular o determinante. {confira a resposta com as anteriores}
14
Tarefa : 2 1 – Resolva o sistema linear x − 2 y = −3 3 x + y = 5
Resposta:
x = ………………
y= ………………..
2 – Resolva o sistema linear pelo método de Gauss, com pivotação parcial 2 x + 3 y − z = 5 4 x + 4 y − 3 z = 3 2 x − 3 y + z = −1
Resposta: a)
sistema escalonado
b) x= ..........., y= .........., z= .............. 3-Seja o diagrama do circuito
A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (LEI DE KIRCHOFF); assim, as equações que relacionam as voltagens podem ser obtidas. I A1 + I 21 + I 41 = 0, No nó 1, tem-se a equação ou seja, 100 − V1 V2 − V1 V 4 − V1 + + = 0 o u −4V1 + 2V2 + V 4 = −100
2
1
2
a)Obter as equações dos nós 2, 3 e 4. b)Resolver, por qualquer método, o sistema linear formado pelas equações dos nós 1, 2, 3 e 4, a fim de obter as voltagens em ca da nó do circuito. Resposta:
a) sistema obtido:
V1=
V2=
V3=
=
V4
15 5) Uma companhia mista consta de turcos, gregos, brasileiros, alemães e italianos. O número de brasileiros é igual à terça parte do número de alemães menos um, e é igual, também, à metade do número de italianos menos 3. Os turcos e os alemães ultrapassam o número de gregos e de italianos de 3; os gregos e os alemães formam a metade menos um da companhia; enquanto que os italianos e os gregos constituem
7 da companhia toda. 16
Calcule o número de membros de cada nacionalidade. → Escreva as equações e ordene as variáveis a) Escreva o sistema na forma matricial b) Use o método de Gauss, com pivotação parcial 6) Calcule A -1 e det (A) sendo: 2 − 1 1 3
a ) A =
2 b ) A = 3 − 1
1 1 2
− 1 1 − 3
5 1 3 2 c) A = 1 −1 − 2 1
0 − 1 1 1 0 3 1 − 2
Respostas : 1 − 3 0 0 2 0 5) a) 1 0 − 1 1 − 1 1 7 7 − 9
0 0 A 3 − 1 0 B − 6 − 1 1 G = 3 − 1 − 1 I − 2 − 9 7 T 0 b) A = 24 B=7 G = 15 I = 20 T = 14 -1 6)a) A (1,1) = 0,4286 e detA = -7 b) A -1 (1,1) = 0,5560 e detA = 9 c)A -1 (1,1) = -0,1250 e detA = -48
16
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO - ATIVIDADE 3 Objetivos: a)Resolver sistemas lineares empregando os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel ; b)Resolver sistemas complexos
ATIVIDADES 1) Resolva o sistema pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel x − 2 y = 7 z + 1 5 y + x − 2 = z 6 x + z = y − 2
com
ε a
≤ 10 −4 .
a) Para se fazer na “mão”, siga os passos indicados: Ordene
as equações de modo que os maiores valores, em módulo, fiquem na diagonal
principal para tentar garantir a convergência do método. 6 x − y + z = −2 O sistema passa a ser escrito assim: x + 5 y − z = 2 x − 2 y − 7 z = 1 Explicite
x na primeira equação, y na segunda equação, e assim por diante...
(− 2 + y − 3) (2 + z − x ) ( x − 2 y − 1) , y = e z = 6 6 7 Preencha a tabela com as iterações, começando por substituir x=0 e y = 0 no lado x
=
direito das equações acima e anotando o resultado, lado esquerdo Nota: Para se obter os novos valores: a) Jacobi usa sempre os valores da linha anterior b) Gauss-Seidel usa sempre os últimos valores calculados Jacobi 0
0
Gauss-Seidel 0
0
0
0
0
0
1
- 0,3333 0,4000
-0,1429
1
-0,3333
0,44667 -0,3238
2
-0,2429
0,4381
-0,3048
2
-0,2016
0,3756
-0,2790
3
-0,2095
0,3876
-0,3027
3
-0,2242
0,3891
-0,2861
4
-0,2183
0,3814
-0,2835
4
-0,2208
0,3870
-0,2850
5
-0,2225
0,3869
-0,2830
5
-0,2213
0,3873
-0,2851
6
-0,2217
0,3879
-0,2852
6
-0,2213
0,3872
-0,2851
7
-0,2211
0,3873
-0,2853
8
-0,2212
0,3872
-0,2851
9
-0,2213
0,3872
-0,2851
17 Resposta: x = -0,2213 y = 0,3872 z = -0,2851 ( o método de Gauss-Seidel converge mais rapidamente) b) No VCN → Sistemas Lineares → Métodos Iterativos → Escreva os coeficientes e os termos independentes do sistema na forma organizada. 6 − 1 1 x 2 1 5 − 1 y = 2 1 − 2 − 7 z 1
→ selecione resolução passo à passo. → selecione o método de → pressione a tecla
JACOBI
REINICIAR , selecione o método GAUSS-SEIDEL.
Nota: como visto em a) a resposta final é a mesma – confira.
2) Sistemas complexos ( como obter a fórmula de transformação ) Para transformar o sistema Ax = B num sistema real correspondente, considere: A = M + Ni ; B = C + Di; X = R + Si Ax = B ↓ ( M+Ni) (R+Si ) = C + Di MR + MSi + NRi - NS = C + Di MR − NS = C NR + MS = D
ou
M - N R N M S
=
C D
que é o sistema real correspondente, onde R contém a parte real e S a parte imaginária da solução.
18 a) Resolva o sistema com
ε a
≤ = 10-2
10 x − (2 − 3i ) y = 3 + i (i + 1) x + (9 − i) y = 9 + 7i
Solução no VCN:
tem-se M = 10 − 2 1
M - N R N M S
Fórmula
9
C D
3 C= 9
N = 0 3 1 −1
=
O sistema real correspondente será:
x x 1 D = e faça R = 1 e S = 3 7 x2 x 4 10 − 2 0 − 3 x1 3 1 9 − 1 1 x 9 2 = 0 3 10 − 2 x 3 1 9 x 4 7 1 −1 1
Resolvendo o sistema real pelo método de Gauss, com pivotação parcial, obtemos: x1 = 0,70
x2 = 0,83
x3 = 0,01
x4 = 0,79
Para voltar ao sistema complexo, usa-se a expressão: X = R + Si Então, a resposta do sistema complexo é: x = 0,70 + 0,01i y = 0,83 + 0,79i
19
Cálculo Numérico – Laboratório -- Tarefa 3 Nome: _________________________________________________ Curso________ 1) Resolva o sistema pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, com ε ≤ 10-3 − x + 10 y + 2 z − w − t = 14 w + t − 26 x + z + y = −8 a) Sistema organizado: 3 z − y + 2 x + 15t − w = 13 − x + y + 18 z + 3t − 4w = −1 − 2 y + 3 x + 2t − 17 w − 5 z = −13
b) x = 0,436
y = 1,645
− 26 x + y + z + t + w = −8 − x + 10 y + 2 z − t − w = 14 − x + y + 18 z + 3t − 4 w = −1 2 x − y + 3 z + 15t − w = 13 3 x − 2 y − 5 z + 2t − 17 w = −13
z = -0,111 t = 0,994 w = 0,798
c) Números de iterações necessárias: Jacobi: 6
; Gauss-Seidel: 5
2) Resolva o sistema complexo, usando o método de Gauss, com pivotação parcial, para resolver o sistema real correspondente.
≤ 10-4
ε
(2 − 8i ) x + 7 y − 3iz = i − 6 2 x − 12iy − (i − 2) z = −1 + 2i ix − 2 y + (5 + i ) z = −5 + i
Resposta 7 0 8 0 3 x 1 - 6 2 2 x - 1 0 2 0 12 1 2 0 − 2 5 − 1 0 − 1 x3 - 5 a) Sistema real correspondente = − 8 0 − 3 2 7 0 x4 1 0 − 12 − 1 2 0 2 x5 2 0 1 0 − 2 5 x6 1 1 b) Solução do sistema real: x1 = 0,1380
x2 = -0,1389 x3 = -0,1358 x4 = -0,8200 x5 = 0,0481
c) Solução do sistema complexo: x = 0,1380 – 0,8200i y = -0,1389 + 0,0481i z = -1,1358 + 0,4188i
x6= 0,4188
20
CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 4 Objetivos: Tabelar uma função num intervalo dado. Calcular somas e produtos. Atividade Problema 1: Dada a função
y
= (sen 2 x + 1) /( x + 3) , 1 ≤ x ≤ 2 , ∆x = 0,1 , tabele a função
com espaçamentos iguais e
ε a
≤ 10−4 .
a) Usando o "software" MatLab entre crie
no Matlab
o vetor x ...... x = [1 : 0.1 : 2]
crie vetor
y com as imagens da função ...... y = (sin(x).^2 + 1). / (x + 3)
escreva a tabela usando os vetores x e y O valor encontrado para y(1,4) é : 0,4480
b) Usando a HP48 ligue
a calculadora
pressione
a tecla MODES , coloque a calculadora para trabalhar em radianos e
fixe a saída em 4 casas decimais. gere
uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos:
Função
'(sin(x)^2 + 1) / (x+3)' ENTER
Variável
'x'
ENTER
Valor inicial
1
ENTER
Valor final
2
ENTER
Passo
0.1
ENTER
PRG LIST PROC(next) SEQ aparecerá a lista das imagens confira o
valor y(1,4) = 0,4480
c) Usando o VCN(cálculo numérico) entre
no VCN e vá para o menu utilitários - procure ''tabelar função''
entre com: entre
valor inicial, valor final, passo ou número de pontos
com a função e mande ''calcular'' - - - aparecerá a tabela da função e a soma e o
produto das imagens.
confira o valor y(1,4) = 0,4480
Problema 2: Tabele 150 pontos da função y = (xcosx + lnx). /(x -1) no intervalo
1,32 ≤ x ≤ 11,75 com
ε a
≤ 10−4 .
Nota: neste caso não foi fornecido o ∆ x , mas poderá ser calculado pela fórmula:
Xfinal = Xinicial + (n - 1)h , onde n é o número de pontos e h é o ∆ x constante. Valor de ∆ x encontrado: h = ( 11,75 – 1,32 ) / 149 = 0,07 a) Usando o ''software'' Matlab gere
o vetor x .... x = [ xinicial: passo: xfinal ]
gere
o vetor y..... y = (x.*cos(x) + log(x)). / (x - 1)
O
valor obtido para y(4,68) é : 0,3781
b) Usando a HP48 (fixe a calculadora em quatro casas decimais) gere
uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos
função
' (x*cos(x) + ln(x)) / (x - 1) ' ENTER
Variável
'x '
ENTER
Valor inicial
1.32
ENTER
Valor final
11,75
ENTER
Passo
0.07
ENTER
PRG LIST PROC (next) SEQ aparecerá a lista das imagens. Veja
se consegue a imagem em x= 4,68 para conferir: ............
c) Usando o VCN(cálculo numérico) Basta proceder como no problema 1 Veja como é fácil ler a imagem y (4,68) = 0,3781 10
∑=1
Problema 3: Calcule
i
sen 2i + i 3 i +1
Nota: quando não houver menção em contrário o passo é 1 a) No “Software” Matlab
que os valores de x: x = [1:1:10]
que os some
valores de y:
y
= ( sin(2 * x) + x.^3). /( x + 1)
os y: sum(y)
Resultado: 338,2429 b) Na HP48 que
uma lista com as imagens
( sin(2 * x) + x3 ) /( x + 1) ENTER ‘x’
ENTER
1
ENTER
21
22 10
ENTER
1
ENTER
PRG LIST PROC
SEQ NXT
some
os elementos da lista
MTH . . . LIST . . .
∑
LIST
Resultado: 228,2429 c) No VCN Utilitário Tabelar
uma função
Entre com: valor inicial 1 , valor final 10 , passo 1 .
Entre
com a função ( sin(2 * x) + x^3) /( x + 1)
Mande
calcular e aparecerá a tabela e ao lado a soma e o produto das imagens
∑ f ( x) = 338,2429
23
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 4 Nome: ___________________________________________Curso:______________ 2 x + sen x 1 - Calcule 8 pontos da função y = , no intervalo [1 , 2] , ε a ≤ 10−4 . x + 1 Resposta: O terceiro y da tabela é : 1,1431 sen(3 + i) − i , ∑ i 2 1 + i =1 10
2 - Calcule: a)
ε a
≤ 10− 5 b)
10
3
i + cos i
∏ 3i + e
, εa ≤ 10 −5
sen j
i =1
b) 2,62804... x10−11 = 0,00000
Respostas: a) –2,06735
3) a) Tabele 200 valores de cada função abaixo sen 2 x , x1 = 1 e h = 0,1 y = 3 x + 5
;
ε a
≤ 10−4 Resposta: y( 3,7) = 0,0174
b) Calcule a soma de todas as imagens de índice par.
Resposta:1,9458
c) Calcule a soma das imagens entre a vigésima e a septuagésima. Resposta = 1,1561 4) - Faça as tabelas a) y =
sen( x ) ( x + 2) 2
; x(inicial) = 1 ; h = 0,1 ; 10 pontos,
ε a
≤ 10−2
Resposta: y(1,6) = 0,22 b) w = 3t 2 + 5t − 6 ; t(final) = 2,09 ; h = 0,01 ; 10 pontos e
ε a
≤ 10−4
Resposta: w(2,09) = 17,5543 sen(cos( y )) ; 1 ≤ y ≤ 2,1 ; 12 pontos e y y e − 3,52
c) z =
ε a
≤ 10−3
Resposta: o sexto valor de z é igual a –0,002 d) y = e) φ =
log 4 x ; 3,1 ≤ x ≤ 4,2 ; h = 0,1 ; x x + 3
ln x + log(2x )
x 4 x + 3
ε a
≤ 10 −5 Resposta: y(3,7)= 0,08291
; 1,8 ≤ x ≤ 2,25 ; ∆x = 0,05 ;
ε a
≤ 10 −7
Resposta: φ(1.95)= 0,4328159 x 2
f) f ( x ) =
4 − x 2 3 x 2
x + 2e 2
com x95 = 21,1 ; h = 0,2 , 10 pontos ,
ε a
≤ 10−10
Resposta: o valor da última imagem é 2,176... x10 −22 = 0,0000000000 g) y = e x + ln x , x1 = 1,5 e h = 0,2 ; εa ≤ 10−2 , 7 pontos. Resposta: y(1,7)= 2,45
24
CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 5 Objetivo : usar as ferramentas Matlab, HP48 e VCN para fazer tabelas dos operadores diferença finita e interpolação pelos métodos de Gregory-Newton e Lagrange. Atividade Problema 1: (Função tabelada) Faça a tabela das potências de ∆ para a função:
x y
0,2 1,234
0,4 2,597
0,6 3,016
0,8 5,214
1,0 7,956
1,2 10,842
a) No Matlab → armazene as imagens num vetor de nome y y = [1.234,2.597,3.016,5.214,7.956,10.842]
→ execute o comando abaixo (cada linha do resultado será uma potência) digite
for i = 1 : length(y) - 1 , y = diff(y) , end
pressione ENTER
→ anote ∆3y2 = ................... (para conferir)
b) Na HP48 → armazene as imagens numa lista diretamente na pilha: {1.234 2.597 3.016 5.214 7.956 10.842}
ENTER
→ pressione MTH LIST e aparecerá um menu onde o primeiro item é ∆LIST → vá pressionando ∆LIST e cada vez aparecerá uma potência → anote ∆3y2 = ......................... (confira com o anterior)
c) No programa VCN (Cálculo Numérico) (aqui são encontradas opções para todas as tabelas) → Operadores → entre com os limites, número de pontos, passo e as imagens → marque a opção ∆ (delta) e pressione "calcular" confira
∆3y2 = -1,235
Problema 2: (Função dada por uma equação) Faça a tabela das potências de ∆ para a função y = cos x ; 1,3≤x≤5,5 ; h = 0,2 ; ε a
≤ 10−4 .
a) No Matlab
25
→ gere os vetores x e y: x = [1.3:0.2:5.5] y = cos(x)
→ use o mesmo comando do problema 1 → anote ∆4y3 =
...............
(para conferir)
b) Na HP48 (Coloque em modo RADIANO e FIX 4) → gere uma sequência ( SEQ ) com as imagens. 'cos(x)'
ENTER
'x '
ENTER
1.3
ENTER
5.5
ENTER
0.2
ENTER
→ proceda agora como no exemplo anterior MTH LIST
∆LIST
→ anote ∆4y3 =…………………
c) No VCN (Cálculo Numérico) Aqui tem-se também a facilidade de obter todas as tabelas: → Operadores → entre com os limites, o passo e a função. → escolha a opção e leia a tabela. → anote ∆4y3 =
Problema 3: Dada função w(y) tabelada, calcule a imagem em 1,37
w
-0,36
0,86
1,37
3,16
4,81
y
1,27
1,58
1,89
2,20
2,51
Notas: a)A notação w(y) informa que y é a variável independente (domínio) e que w é avariável dependente (imagem). b)Verifica-se que o passo ∆y é constante e igual a 0,31. (confira).
26
a) Usando o Matlab → defina vetor x : x = [1.27 , 1.58 , 1.89 , 2.20 , 2.51] → defina vetor y : y = [-0.36 , 0.86 , 1.37 , 3.16 , 4.81] → gere o polinômio interpolador: z = polyfit(x,y,4) (4 é o grau máximo do polinômio interpolador e deve ser o número de pontos menos 1)
→ calclule a imagem procurada: polyval(z, 1.37)
Resposta : ..........................
b) Usando o VCN → entre em Interpolação → selecione Gregory-Newton, pois o passo é constante → entre com os dados e o valor a ser interpolado. → leia o valor interpolado w(1,37) = 0,3721
Problema 4: Complete a tabela
A B
1,3276 0,83
1,4958 2,75
? 5,45
2,1744 7,18
Nota: a) o que se quer achar é a imagem em 5,45 logo os valores de B são do domínio x e os de A são as imagens (y). b) ∆x é variável, deve-se usar o polinômio de Lagrange. O número de pontos é 3.
→ entre com os pares (0,83 ; 1,3276) , (2,75 ; 1,4958) , (7,18 ; 2,1744) → entre com a abscissa 5.45 e leia a imagem → o valor procurado é A(5,45) = 1,8612 Nota: Os três pontos da tabela geram um polinômio interpolador de grau máximo 2. No rodapé da página de utilização do polinômio de Lagrange aparece a equação completa do polinômio. Copie o polinômio aqui: ................................................................................................. Problema 5: A temperatura de uma chapa metálica varia conforme a tabela:
Temperatura (oC)
3,8
4,1
5,2
6,1
7,2
Tempo(s)
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Calcule a temperatura no tempo 1,52
→ Resposta:.....................
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 5
27
Nome: __________________________________________Curso_____________ 1 - Calcule a potência 3 do operador diferença finita ascendente em x = 0,8 sendo dada a função tabelada x
0,2
y 0,345
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,279
2,516
4,671 7,154
1,4
8,054
10,172
Resposta: 2 - Dado f ( x ) = sen 3 x + 5 ln x ; x(inicial) = 2 ; h = 0,1 ; tabelando 15 pontos da função ε a
≤ 10−4 calcule ∆3 y2 = 4,609x10-5
3 - Sendo y =
3
+ sen x x + e ; 2 ≤ x ≤ 3 ; h = 0,1 ; cosh x + 1
x
ε a
≤ 10 − 4 ; ∆3y(2,6)= 0,0158
4 – Calcule c)∆5 f (2,3) = 1,413
x f(x)
2,3 0,345
3,4 0,578
4,5 0,912
5,6 1,547
6,7 1,988
7,8 2,458
5) Dada a função x(w) calcule as imagens em a) 1,28 b) 1,96
8,9 3,851 c) 2,15
x
-1,47
0,36
1,28
1,96
2,45
4,07
w
1,24
1,46
1,68
1,90
2,12
2,34
Resposta: a) –0,87
b) 2,07
c)..............................
6 - Usando apenas os pontos fornecidos, complete a tabela:
A
1,23
1,47
B
3,16
5,41
2,75 ?
3,28 6,38
? 6,07
Resposta: 2,59 e 9,02 7 - Obtenha o polinômio interpolador de maior grau para a tabela. (1,2; 2,161), (1,3; 3,912), (1,4; 4,871) Resposta: − 39,6 x 2 + 116,51x − 80, 62 8- Sendo a temperatura T de uma partícula dada em função do tempo t , determine a temperatura para a) t = 0,60
T t
250 0,10
380 0,23
Respostas: a) 530
472 0,57 b) 398
b) t = 0,18 689 0,68
927 0,97 c) 1922
c) t = 1,55 1038 1,31
1326 1,72
28 9 – A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso para homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma temperatura ambiente média de 20 oC. Determinar a cota aproximada de calorias para: a) Um homem de 30 anos que pesa 70 quilos b) Um homem de 45 anos que pesa 65 quilos c) Um homem de 50 anos que pesa 78 quilos d) Uma mulher de 25 anos e 46 quilos e) Uma mulher de 30 anos e 50 quilos f) Uma mulher de 52 anos e 62 quilos
Peso (kg)
Cota de calorias ( em kcal ) Idade (em anos) Homens 25 45 65
Idade (em anos) Mulheres 25 45 65
40
-
-
-
1750
1650
1400
50
2500
2350
1950
2050
1950
1600
60
2850
2700
2250
2350
2200
1850
70
3200
3000
2550
2600
2450
2050
80
3550
3350
2800
-
-
-
Respostas: 12 – 4,609x10-5 3 – 0,0158 4– 5 – a) –0,87
b) 2,07
c)
6 – 2,59 e 9,02 7 - -39,6x2 + 116,51x – 80,62 8 – a)
b)
c)
9 – a) 3173,4
b) 2760,8
c) 3171,19
e) 2048,44
f) 2147,55
d) 1927,20
29
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 6 Objetivo : Usar o Matlab , a HP48 e o VCN para processar os métodos de integração: Regra dos Trapézios, 1a e 2a Regras de Simpson.
Formulário básico: I =
x n
∫ x
ydx onde y está tabelado com h constante.
1
y y1 + y 2 + y3 + ... + y n -1 + n 2 2
a)Regra dos Trapézios I = h b)1a Regra de Simpson h
( y + 4 y2 + 2 y3 + 4 y4 + 2 y5 + ... + 4 yn −1 + yn ) 3 1 c)2a Regra de Simpson 3h ( y + 3 y2 + 3 y3 + 2 y4 + 3 y5 + 3 y6 + ... + 3 yn − 2 + 3 yn −1 + yn ) I = 8 1 I =
Problema 1 : Calcule
0, 6
∫0,2 ydx sendo
x
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
y
1,27
3,21
4,59
6,18
8,86
a) – No VCN → entrar em INTEGRAL SIMPLES , FUNÇÃO TABELADA → entrar com valor inicial de x , valor final, número de pontos, espaçamento → entrar com os valores de y e clicar em Calcular → o programa escolhe o método, dá a resposta e o nome do método usado: Resposta: Regra usada:1a. R.Simpson - ordem do Valor da integral.: 1,90
ε T
é h4
Nota: max {ε T , ε a } = 10−2
b) – Na HP48 e no Matlab V não há fórmula pronta, mas é fácil editar diretamente a 1 a Regra de Simpson : No Matlab tem-se: i = 0.1*(1.27+4*3.21+2*4.59+4*6.18+8.86)/3 Resposta: 1,90
30
Problema 2 : Calcule
2
∫1
sen x x
, com h = 0,1.
dx
1 – No VCN → menu INTEGRAL, integral simples dada a função. → entre com valor inicial de x, valor final, número de pontos e espaçamento → digite a função no local indicado e clicar em Calcular O programa escolhe o método. Nota : como h = 0,1 e o n o de subdivisões é 10 , será usada a 1a Regra de Simpson e
ε T
≤ 10−4 .
Resposta: 0,6593 (com 4 casas decimais)
2 – Na HP48 : Não é possível usar h = 0,1 diretamente, mas como
ε T
≤ 10−4 pode-se fixar a
precisão em 4 casas decimais. → symbolic ; Integrate ; Result: numeric, number format: 4 (precisão de 4 decimais)
Problema 3 : Calcule a integral da função tabelada (1,2; 3,743) , (1,5; 7,418), (1,1; 1,089), (1,3; 4,621), ((1,7; 9,333) Nota: Inicialmente, a tabela deve ser organizada de modo que os valores de x fiquem em ordem crescente. x
1,1
1,2
1,3
1,5
1,7
y
1,089 3,743 4,621 7,418 9,333
Nota-se agora que a tabela tem espaçamento variável, portanto, deve ser quebrada a integral, pois as fórmulas apresentadas só podem ser usadas em tabelas com espaçamento constante. Assim:
1, 7
∫1,1
ydx
1, 3
1, 7
= ∫1,1 ydx + ∫13, ydx
→ no VCN – Integração – integral simples dada a tabela → repita, para cada integral, o procedimento explicado no exemplo 1 → anote os resultados e as regras usadas → some os resultados e arredonde o resultado final para 3 casas decimais: Resposta: ......0,6894 + 2,9084 = 3,598
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 6
31
Nome: ________________________________________Curso:____________________ 1 – Calcule a integral da função no intervalo tabelado a) 1,2 1,4 1,6 1,8 x y 0,37845 0,99741 2,03781 3,89722
2,0 2,2 2,4 2,6 5,16169 7,53910 9,19045 10,67432
Resposta: ................................... b) Calcule a integral anterior sem usar Regra dos Trapézios(sugestão: dividir a integral) Resposta:..................................+...................................=................................. c) (1,4 ; -5,759) , (1,2 ; 0,371) , (1,6 ; -0,419) , (1,3 ; -0,894) , (1,5 ; -2,162) Resposta:.................................. d) x 3,16
3,28
3,40
3,52
3,63
3,74
y 8,71
6,29
5,41
2,34
1,97
0,33
Resposta:................................ 3,83
∫2,71
2 – Calcule
sen 2 x + cos x 2 + e 2 dx , tabelando apenas 8 pontos da função, com h x + ln x
constante. Resposta: .......................................... e-cosx 3 – Calcule ∫ dx , com h = 0,2 0 2x + 4 Resposta: .......................................... 2
4 – Calcule
1
∫0
5 2 1 + logx dx + dx ∫1 ∫0 sen(senx)dx com erro inferior a 0,001 x 4 − 24
Resposta: ..........................+..............................+.............................=................................
32 1, 48
5 – Calcule a integral
∫0,37 ydx sendo dada a função tabelada:
a) x y
0,37 0,370
0,53 0,555
0,69 0,740
0,85 0,920
1,06 1,110
1,27 1,295
1,48 1,480
b) (0,370 ; 1,46) ; (1,110 ; 5,05) ; (0,740 ; 2,69) ; (0,555 ; 1,53) ; (1,480 ; 8,73) ; (0,925 ; 3,85) ; (1,295 ; 7,05) Resposta: sen 2 x + 3 6 – Calcule a integral da função y = , 1 ≤ x ≤ 5 , tabelando apenas 1000 pontos da 2 x + 1 função no intervalo, com ∆ x constante. Resposta: 7 – Calcule as integrais: 4 , 25
∫1,53
a)
sen(x 2 ) + 1 dx tabelando apenas 11 pontos da função. log x + 3
Resposta: b)
2, 76
∫0,68
2
ex 2 1 + e2 x
dx com h = 0,16 , sem usar Regra dos Trapézios.
Respostas: 0,17147 + 0,08712 = c)
x 2 + e − ln x dx , e dê o resultado com 15 dígitos. cos x + 5
3
∫1
Resposta: d)
2
∫− 2
3
x dx , com h = 0,1
Respsota: e)
1, 31
∫−0,37
dx , com h = 0,21 x2
Resposta:
33
Respostas: 1) a) 6,87
b) 6,807
c) –0,793
b) 4,65
6) 2,16953
2) 2,80 3) 0,558 4) 2,94141854 5) a) 1,068 7) a) 0,712 b) 0,17147+0,08712 = 0,258 c) 2,296 . . . d) 0,0000 e) (73,279 não é a resposta. A integral não existe)
d) 2,46
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 7 Objetivo : Usar o VCN , Matlab e HP48 nas aplicações da integral definida Problema 1: Calcule a área limitada pelas curvas = 3 sen x 2 e y =
y
Nota: Área =
∫
b
a
1 , 1 ≤ x ≤ 3 , com h = 0,1. x
| f(x) - g(x) | dx
Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima Modelagem: .
3
∫1
| 3senx 2 - 1/x | dx
→ no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função → digite a função { Nota: | x | é representado por
abs(x) }
Resposta: 3,7987
Problema 2: Considere a função y = xe 2x definida no intervalo [ 0, 1] . Calcule o comprimento do arco no intervalo com h = 0,01
Nota:
L
b
= ∫a 1 + [ f ' ( x)]2 dx
a) Modelagem
L
1
2
= ∫0 1 + [e 2 x + 2 xe2 x )] dx …. Use integral simples dada função
b) Resposta: .........................
Problema 3: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y = ln x e o eixo x , no intervalo [ 1 , 5 ] , em torno do eixo x. b
Nota: v = ∫a
[ f ( x)]2 dx
π
a) Modelagem : v = b) Resposta:
5
∫1
(ln x )2 dx
π
34
35
Problema 4 : c b
x
dx •
B A curva da figura gira em torno da reta AB .
x
a x
Calcule o volume do sólido gerado. x = 0,12
A
b = 1,57 c = 1,81 d = 1,48
a) Modelagem: Colocando-se um sistema de eixos adequado, obtem-se a tabela
x f(x)
0 0,80
0,12 1,57
0,24 1,81
0,36 1,48
0,48 0
Calcula-se o quadrado de f(x)
x
[ f ( x)]2 V =
∫
b
a
0 (0,80)
0,12 (1,57)
0,24 (1,81)
0,36 (1,48)
0,48 (0)
[f(x)]2 dx
π
→ usar INTEGRAÇÃO DADA A TABELA e multiplicar o resultado por b) Resposta:
π
36
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 7
Nome: _________________________________________Curso:_________________ 1) Calcule a área limitada pelas curvas. y = 3 x sen 3 x 2
e y=
Nota: Área =
∫
b
a
| f(x) - g(x) | dx
x-2 , 1 ≤ x ≤ 3 , com h = 0,05. x
a) Modelagem: .................................................................b) Resposta: ....................... 2) Calcule o comprimento do arco da curva Nota: L
y = xe
x
senx , 3 ≤ x ≤ 5 , com h = 0,1.
b
= ∫a 1 + [ f ' ( x)]2 dx
a) Modelagem: ...............................................................b) Resposta: .......................... 3) Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva y = senx/x , em torno do eixo-x , no intervalo [1,3] , com h= 0,2 b
Nota: Volume =
2 f x dx [ ( )] ∫a
π
a) Modelagem: .............................................................b) vResposta: ...................... 4) De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade instantânea:
T(min) V(km/h) 0 23 5 25 10 28 15 35 20 40 25 45 30 47 35 52 40 60 45 61 50 60 55 54 60 60 Calcule a distância em quilômetros percorrida pelo automóvel. Resposta:
37 5) Calcule a área limitada pelas curvas [2,3] , com h = 0,1
y
= ln x e y = 3xxsenx , para x no intervalo
Resposta: 6) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B . Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação à AB com um intervalo de 0,05 km. Qual é esta área? Perpendiculares
Comprimento (km)
A B C D E F G H I J K
3,28 4,02 4,64 5,26 4,98 3,62 3,82 4,68 5,26 3,82 3,24
7) A figura a seguir representa a fotografia aérea de um lago, com as medidas em km. Calcule a área do lago. 10km 9km 8km 7km 4km 6km 2km 0
1,2 1,8 0,6 1,6 0,8
4km
2,4 2,2
3,0
3,6 4,2 3,2 4,0 7km
5km 9km
8km
(km) 4,8
38
Respostas: 3
1- a)
∫1
3xsen 3 x 2 −
5
2 – a) 3 – a)
∫1
b) 6,031130
2
senx π dx x
5 – 3,1990
7-
dx
2
4 – 46 km
6–
x
1 + (e x sen x + xe x cos x + xe x sen x ) dx
∫3 3
x − 2
b) 1,636
b) 720,0907
39
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 8 Objetivo : Usar o VCN , Matlab e HP48 no cálculo de integral dupla e aplicações. Problema 1: Calcule
2
4
∫1 ∫3
sen(x + y) + x 2 dydx com hx = 0,2 e h y = 0,1 x + y
No VCN : integral → integral dupla dada a função → entre com limites de x e hx → entre com limites de y e h y → entre com a função. → pressione Calcular. Nota: o programa informa que foi usada regra dos Trapézios em x e 1 a Regra de Simpson em y. O maior erro de truncamento é da ordem de (h x)2 = (0,2)2 = 0,04 ,
ε T
≤ 10 −2.
Por isso a resposta deve ser dada com apenas duas casas decimais Resposta: 0,28.
Problema 2: Calcule a integral dupla da função z = f(x , y) na região tabelada.
x 0,1 0,2 0,3 0,4
y
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
0,352 0,465 0,897 0,468
0,489 0,888 1,238 0,667
0,750 0,978 2,899 1,290
0,981 1,223 3,005 0,997
1,234 2,451 2,876 0,651
0,887 1,789 1,555 0,321
0,451 0,805 0,989 0,219
→ verifica-se, inicialmente, que a tabela tem espaçamentos iguais no x e no y → No VCN, entre em Integral – dupla – dada a tabela → entre com os valores iniciais , finais e espaçamento do x e do y → entre com as imagens da tabela e pressionar Calcula O programa informa que foi usada 2 a. Regra de Simpson em y e 2 a. Regra de Simpson em x Resposta : ( copiar o valor da integral com 3 casas decimais – número de casas decimais da tabela)
40
Problema 3: Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies: z = 1 − x2
; x = 1,2 ; y = 3,4 ; x = 0,6 ; z = ex + y − sen( xy);
= 5,4
y
hx = 0,1 e
com
hy = 0,1
→ Faça a modelagem
V =
x2
y 2
1
1
∫ x ∫ y
z1 − z2 dydx
Obtendo:
V =
1, 2 5,3
∫ 0,6 ∫3,4
1 - x 2 − e x + y + sen( xy) dydx
→ Proceda como no problema 1 Resposta: Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima Modelagem: . no
3
∫1
| 3senx 2 - 1/x | dx
VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função
digite a função { Nota: | x | é representado por
abs(x) }
Resposta: 3,7987
Exemplo 4 Considere a função y = xe 2x definida no intervalo [ 0, 1] com h = 0,01 . Calcule: a) o comprimento do arco no intervalo b) o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo x
Nota:
L
b
= ∫a 1 + [ f ' ( x)]2 dx
c) Modelagem
L
e
b
V = π ∫a [ f ( x)]2 dx
1
2
= ∫0 1 + [e 2 x + 2 xe2 x )] dx …. Use integral simples dada função
Resposta: d) Modelagem
1
∫0
V = π [ xe
Resposta: ..................
2 x 2
]
dx
1
= ∫0 x 2e 4 x dx … Use integral simples dada função
41
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 9 Objetivo: Usar o Matlab , VCN e a HP48 para resolver equações diferenciais do tipo y ' = f ( x, y ) ; y(x1 ) = y1 , pelos métodos de Taylor e de Runge-Kutta.
Problema 1: Resolva o PVI (problema de valor inicial)
y'−sen( xy) = x − y +3, y(1,4)= 0,37 , 1,3 ≤ x ≤ 1,6 , com h = 0,1 . a)No VCN → Menu : equação diferencial, RungeKutta → entre com : x(inicial) = 1,4 ; y(inicial) = 0.371 ; n o de pontos = 2 ; passo = 0,1 → entre com f(x,y):(explicite y ' e escreva o lado direito da equação) sen(x*y)–y + x + 3. → calcule: (só aparecem as imagens em 1,5 e 1,6 ). Anote-as : y(1,5) =
y(1,6) =
(anote com apenas 3 casas decimais que corresponde ao erro do y(inicial). Nota: 1) para calcular a imagem em 1,3 , anterior à condição inicial, deve-se repetir o processo mas com h negativo , h = -0,1 ... y(1,3) =
(anote)
2) A resposta é uma tabela com os valores anotados, arredondados para o mesmo número de casas decimais da imagem na condição inicial Resposta: x
1,3
y -0,069
1,4
1,5
1,6
0,371
0,831
1,277
b)Na HP48 → coloque a calculadora para operar em Radiano → selecione SOLVE , EQ.DIFERENCIAL → use EDIT para colocar f(x,y) (lado direito da equação na forma explícita) → coloque x(inicial) e y(inicial) (use as setas para mover de um campo para outro) → coloque x(final) = 1.5 e pressione solve para obter a imagem y(1,5) → coloque x(final) = 1.6 e pressione solve solve para obter a imagem y(1,6) → coloque x(final) = 1.3 e pressione solve para obter a imagem y(1,3)
42 (compare com os resultados obtidos em a)... a calculadora usa método de RungeKutta).
Problema 2: Resolva o PVI, usando o método da fórmula de Taylor de grau 5: y ' – x3 + y – senx + 2,4 = 0 ; y(1,7) = 1,305 ; 1,3 ≤ x ≤ 2,1 ; h = 0,2 a) explicita-se y ‘ na equação:
y ‘ = x 3 - y + senx - 2,4
b) calculam-se as derivadas até à quinta ordem e substitui-se o ponto inicial P(1,7 ; 1,305) y ‘ = x3 - y + senx - 2,4
→ y’(P) = 1,73 – 1,305 + sen(1,7) – 2,4 =
y’’ = 3x2 – y’ + cosx
→ y’’(P) = 3(1,7) 2 – (..................) + cos(1,7) =
y’’’ = 6x – y’’ – senx
→ y’’’(P) = 6.1,7 - ( .................) – sen(1,7) =
y(4) = 6 – y’’’ – cosx
→ y(4)(P) = 6 – ( .............) – cos(1,7) =
y(5) = - y(4) +senx
→ y(5)(P) = - ( ..............) + sen(1,7) =
c) Escreve-se o polinômio de Taylor usando os valores obtidos P(x) = y1 + ( x − x1 ) y '+( x − x1 ) 2 y ' ' / 2 + ( x − x1 ) 3 y ' ' ' / 6 + ( x − x1 ) 4 y ( 4) / 24 + ( x − x1 ) 5 y (5) / 120 Substituindo x 1 por 1,7 ; y1 por 1,305 e os demais valores das derivadas já calculadas, tem-se y = 1,305 + ( x – 1,7).
+
1,3051 + ( x − 1,71 ) y '+( x − 1,71 ) 2 y ' ' / 2 + ( x − 1,71 )3 y' ' ' / 6 + ( x − 1,7 )4 y ( 4) / 24 + ( x − 1,7)5 y (5) / 120 d) Usa-se o VCN – Utilitários – Tabelar função, para obter a tabela desejada: Resposta: x y
1,3
1,5
1,7 1,305
1,9
2,1
43
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 9 Nome: _________________________________Curso:_______________ 1)Resolva o PVI, usando o método de Runge-Kutta de 4 a. ordem y ' =
y 2
− x sen 3 x 2 x + 1
Resposta: x
;
0,4
y(1,3) = 2,176 0,7
1,0
,
h = 0,3 ; 0,4 ≤ x ≤ 1,6
1,3
y
1,6
2,176
2) Resolva o PVI usando o polinômio de Taylor de grau 5 y
'=
1
;
x
y(1)=0,000
,
h=0,1 ; 0,8 ≤ x ≤ 1,4
a) Escreva o polinômio obtido: P(x) = ......................................................................................................................... ………………………………………………………………………………. b) Use o VCN(tabelar uma função) para calcular os valores procurados. x y
0,8
0,9
1,0 0,000
1,1
1,2
1,3
1,4
3 – Uma quantidade de 10 kg de material é lançada em um recipiente contendo 60 kg de água. A concentração da solução, c , em percentagem, a qualquer instante t é expressa como:
(60 − 1,1212c ).
dc
k
= (200 − 14c)(100 − 4c) sendo k o coeficiente de transferência de dt 3
massa, igual a 0,0589 e com a condição inicial t = 0 e c = 0. Calcule a concentração em a)t = 1,2; b) t= 1,4 c) t=1,6 com h = 0,10 . Resposta: a)................... b) ............... c) ................ 4 – A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que a chave é ligada em t = 0 pode ser expressa pela equação:
di dt
= ( E sen( wt ) − Ri ) / L
Onde E = 50 volts, L = 1 henry , w = 300 , R = 50 ohms e a condição inicial é i = 0 para t = 0 . complete a tabela
i
0
t
0
0,2
0,4
0,6
44 5 – Seja y o número de bactérias de uma colônia. Sabendo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de bactérias e no instante T = 0 há 2000 bactérias na colônia, calcular o número de bactérias quando T = 2. Dados: y ' = y ; y(0) = 2000 e h = 0,1. 6 – Resolver os PVI com h = 0,1 e 15 pontos a partir das condições iniciais: a ) y '+ ytg ( x) = sen(2 x ); y(0,7) = 1,28495. 2 b)( x + 1) + y '+1 = 0 ; y(1,5) = 2,378.
Respostas: 1) x y
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,125
1,356
1,667
2,176
2,919
( x − 1)2 ( x − 1)3 ( x − 1) 4 ( x − 1)5 2) a) P( x) = ( x − 1) − + − + 2 3 4 5 b) x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 y -0,223 -0,105 0,000 0,085 0,182 0,262 3) a) 5,704
b) 6,351
c) 6,937
4)
5) 6)
i
0
-56
t
0
0,2
-16.282 -4.738.501 0,4
0,6
1,4 0,337
45
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 10 Objetivo: Usar VCN , Matlab e HP48 para resolver equações algébricas e transcendentes. Problema 1: Obtenha a raiz da equação sen 5 x + e x ε a
2
+1
− 3 = 0 no intervalo (0 ; 0,3) com
≤ 10 −6 .
Solução:
a) No Matlab { só funciona se o Matlab estiver carregado com o toolbox symbolic} → digits(6) → syms x → a = solve(sin(5.*x)+exp(x.^2+1)-3) → ans: a = 0,055379
b) Na HP 48 → → solve , solve equation → entre com a equação → pressione solve: Resp: 0,055379
c) No VCN ( use os três métodos: Bisseção, Cordas e Newton ) → zero de função → ou bisseção ou cordas ou newton → entre com equação , valor inicial e final do intervalo e a precisão(0,000001) → para usar o método de Newton, entre com a derivada da função no espaço indicado A resposta é a mesma nos três casos, só muda o número de iterações Resp: 0,055379 Número de interações: Bisseção =
Cordas =
Newton =
46
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa – 10 Nome:__________________________________Curso:_______________ 1 – Calcule a raiz da equação, com precisão de 0,00001 , no intervalo (3,5) , usando método das cordas
x 3
+ 6,27487 x 2 − 8,2513x − 108,02877 = 0
Resposta: valor de x na 3 a iteração: ........................ ; raiz procurada:.......................... 2 – Determine raiz da equação, no intervalo (-1 ; -0,5), pelo método da Bisseção, 2 − x −
2
≤ 10 −3
2x a − 2 = 0 . Valor de x na 4 iteração:................. ; raiz procurada:.................... 3
3 – Calcule a raiz positiva da equação, com x
ε
ε
≤ 0,0001 , usando método de Newton:
− x − senx − 2 = 0 , use como ponto inicial x = 1,5
Resposta: fórmula iterativa do método de Newton:....................................................... Valor de x na 3a iteração:............................ ; raiz procurada:............................. 4 – Resolver a equação
e cos x
+ x 3 − 3 = 0 , (1 , 2) , com precisão de 0,000001.
Resposta:................................... 5 - Resolver a equação algébrica no intervalo (3 , 4) com
ε
≤ 10 −3
0,2 x 3 − 3006 x 2 + 15,06 x − 24,15 = 0 , usando método da Bisseção e Cordas. Resposta: número de iterações Bisseção:.................... Cordas:............................. Raiz procurada:.................... 6 – Resolver, pelo método das Cordas, com precisão de 0,00001:
1,18 x + 2 x − 21 = 0 , (0 , 10) Resposta:........................... 7 – A Tabela Price trata-se de um sistema de pagamento de dívida onde as prestações tem o mesmo valor, ou seja, o somatório de amortização mensal do capital mais juros mensais é constante (igual) ao longo do período do contrato. Tem como fórmula básica: (1 + i %) n i % , onde PMT = valor da prestação periódica, pv = valor do capital PMT = PV (1 + i %) n − 1 financeiro, i = taxa de juros contratada (ao período), n = prazo (n o de períodos). Calcular o juro (i), de um empréstimo de R$100.000,00 com parcelas de R$12.950,46 em 10 meses. (Sugestão: juros entre 0,01 e 10,00). Resposta: Método escolhido:................................ ; juros:......................
