apont_electro

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR DEPARTAMENTO DE ENGª ELECTROMECÂNICA

ELECTROTECNIA APONTAMENTOS DAS AULAS PRÁTICAS

J O Ã O P AULO D A S ILVA C ATALÃO

SETEMBRO 2004

Índice Capítulo 1

Introdução à Electrotecnia 1.1 Definições

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Formas de Corrente Eléctrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Parâmetros Caracterizadores da Corrente Alternada Sinusoidal 1.4 Efeitos da Corrente Alternada

Capítulo 2

Receptores 2.2 Bobina

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Condensador

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 3

Circuitos Eléctricos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 Circuito Puramente Óhmico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Circuito Puramente Indutivo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Circuito Puramente Capacitivo 3.4 Circuito RL 3.5 Circuito RC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Circuito RLC Série

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Impedâncias em Série

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Impedâncias em Paralelo

3 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Resistência

1

.. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Desfasamento entre Duas Correntes

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8

10 10 11 13

16 16 17 18 19 20 21 22 22

Índice Capítulo 1

Introdução à Electrotecnia 1.1 Definições

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Formas de Corrente Eléctrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Parâmetros Caracterizadores da Corrente Alternada Sinusoidal 1.4 Efeitos da Corrente Alternada

Capítulo 2

Receptores 2.2 Bobina

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Condensador

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 3


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Circuito Puramente Capacitivo 3.4 Circuito RL 3.5 Circuito RC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Circuito RLC Série

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Impedâncias em Série

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Impedâncias em Paralelo

3 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Resistência

1

.. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Desfasamento entre Duas Correntes

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8

10 10 11 13

16 16 17 18 19 20 21 22 22

Capítulo 4

Potência em Sistemas Monofásicos

23


23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4.3 Circuito Puramente Capacitivo 4.4 Caso Geral

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Importância do Factor de Potência

Sistemas Trifásicos

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1 Ligação em Estrela e Ligação em Triângulo 5.2 Potência em Sistemas Trifásicos

28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Compensação do Factor de Potência

Capítulo 5

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 37

Introdução à Electrotecnia

Capítulo 1 – Introdução à Electrotecnia 1.1 Definições Electrotecnia – Consiste no estudo

de circuitos eléctricos em corrente alternada.

Corrente Eléctrica – Resultado de cargas Corrente Alternada

eléctricas em movimento.

– Corrente com dois sentidos (alternadamente), periódica e de

valor algébrico médio nulo. Sistema de Energia Eléctrica :

• Geração • Transmissão • Distribuição Geração:

• Centrais Hidroeléctricas – O impacto da água nas pás da turbina (do tipo Pelton,

Francis ou Kaplan, conforme a queda de água e o caudal), coloca a turbina a girar; a turbina é conectada a um gerador / gerador / alternador que, por sua vez, apresenta uma tensão aos seus terminais em consequência do movimento da turbina. • Centrais Termoeléctricas – Produção de electricidade através da queima de

combustíveis fósseis; neste caso, o vapor a alta pressão “substitui” a água. • Energia Renováveis – Eólica ou solar, por exemplo, sendo que a primeira é de

natureza volátil e a segunda apresenta ainda um rendimento baixo.

1


Transmissão :

• As redes de transporte, em muito alta tensão, ligam os grandes centros

produtores até às subestações de interface com as redes de distribuição, permitindo o aproveitamento de recursos energéticos distantes. • A energia eléctrica é transmitida em muito alta tensão aos centros de consumo

por motivos económicos. Porquê? A potência eléctrica, P , é dada por: P = V I sendo V a tensão e I a corrente. Mantendo a tensão constante, a potência surge como proporcional à corrente, sendo que o transporte de potências elevadas acarretaria a existência de correntes elevadas. Correntes elevadas implicam grandes secções para os condutores e sobreaquecimento pelo efeito de Joule: P = R I 2

com importante perda de energia. Deste modo realiza-se o transporte

de potências com correntes reduzidas a muito alta tensão! Distribuição :

• As redes de distribuição levam a energia até junto dos consumidores,

domésticos ou industriais, para o que se usam três níveis de tensão: a baixa tensão, a média tensão e a alta tensão. • Estas redes também recebem a energia produzida pelos produtores

independentes, que usam fontes renováveis ou cogeração. Níveis de Tensão :

• Baixa Tensão – Abaixo de 1000 [V]; tensão à qual estão directamente ligados

os aparelhos eléctricos; como valores típicos, tem-se 231 / 400 [V] na Europa e 120 / 240 [V] nos EUA. • Média Tensão – Entre 1 e 45 [kV]; tensão que alimenta os postos de

transformação; nas redes de distribuição urbana ou rural usam-se, em Portugal, 10, 15 e 30 [kV]. • Alta Tensão – Entre 45 e 110 [kV]; fornece energia às subestações; em Portugal

utiliza-se a tensão de 60 [kV] designada de grande distribuição ou repartição. • Muito Alta Tensão – Acima de 110 [kV]; este nível de tensão é usado nas redes

de transporte, sendo usados em Portugal 150, 220 e 400 [kV]. 2


Transformador –

Equipamento electromagnético que permite alterar a tensão de uma

rede para o nível mais adequado à função que desempenha. Assim, é usual a instalação de transformadores à saída das centrais, os quais elevam a tensão para o nível adequado ao transporte, ou à distribuição para a produção de baixa potência. Os fenómenos de indução electromagnética do transformador apenas são possíveis com corrente alternada e não com corrente contínua. Daí a preferência da corrente alternada em detrimento da corrente contínua para o transporte de energia eléctrica. Vantagens da Corrente Alternada versus Corrente Contínua :

• Aumento e redução da tensão com utilização de transformadores, só possível

em corrente alternada. • Fácil transformação de corrente alternada em corrente contínua por intermédio

de rectificadores. • Os geradores / alternadores são mais simples e têm maior rendimento. • Os motores de indução são mais económicos e têm uma construção mais

simples que os motores de corrente contínua. Vantagens da Corrente Trifásica versus Corrente Monofásica :

• Para a mesma potência transportada é menor a quantidade total de condutor

utilizado. • Para a mesma potência transportada são menores as perdas na linha.

1.2 Formas de Corrente Eléctrica Corrente Contínua

– Corrente que circula sempre no mesmo sentido com uma

intensidade constante. i (t )

0

t 3


Corrente Unidireccional – Corrente com sentido invariável mas cujo valor ao longo do

tempo não é necessariamente constante. i (t )

0

t

Corrente de Sentido Variável – Corrente que muda de sentido. i (t )

0

Corrente Alternada

t

– Corrente de sentido variável com as seguintes propriedades:

• É periódica dado que o sentido da corrente muda, sucessivamente, em

intervalos de tempo iguais. • O valor médio da intensidade é nulo, o que resulta de a corrente, quer no

sentido positivo quer no sentido negativo, passar sucessivamente pelos mesmos valores de intensidade. i (t )

Uma alternância ou semi-onda (positiva ou negativa) é o conjunto de valores assumidos pela corrente num mesmo sentido. Ao conjunto

0

de uma alternância positiva e uma

t

alternância negativa consecutivas chama-se ciclo ou onda.

4


Corrente Alternada Sinusoidal

– Corrente alternada cujo valor é uma função

sinusoidal do tempo (seno ou coseno). i (t )

0

t

1.3 Parâmetros

Caracterizadores

da

Corrente

Sinusoidal Período :

• Tempo que dura um ciclo ou onda. • Símbolo: T • Unidade: s (segundo) • Valor típico de 20 [ms] na Europa. Frequência:

• Número de ciclos efectuados pela corrente durante um segundo. • Fórmula: f =

1 T

• Unidade: Hz (Hertz) ou s -1 • Valores típicos de 50 [Hz] na Europa e 60 [Hz] nos EUA. Valor Máximo , Valor de Pico

ou Amplitude :

• Valor instantâneo mais elevado obtido. • Símbolo: I m

5

Alternada


Valor de Pico a Pico :

• Fórmula: I PP = 2 I m Valor Algébrico Médio :

• Valor médio do conjunto dos valores positivos e negativos. • Fórmula: I =

1

T

T ∫0

i(t ) dt

• Dado que alternância positiva é simétrica da alternância negativa, o valor

algébrico médio de uma corrente alternada sinusoidal é nulo: I = 0 Valor Aritmético Médio :

• Valor médio de apenas uma alternância (positiva ou negativa). • Valor que uma corrente contínua deverá ter para transportar, no mesmo

intervalo de tempo, a mesma quantidade de electricidade que a corrente alternada. • Fórmula: I med =

2 T / 2 T

∫ i(t ) dt 0

• No caso da corrente alternada sinusoidal: i (t ) = I m sen wt

2 T / 2

w=

2π T

T = 2π π

I m ⎡ − cos wt ⎤ I med = I sen wt dt I sen wt dt I ⇔ = ⇔ = med m med T ∫0 w ⎥⎦ 0 π ∫0 π ⎢⎣

⇔ I med =

I m

π

I m ⎡ cos 0 cos wπ ⎤ I m − ⇔ I = med π ⎢⎣ w w ⎥⎦ π

[1 − (−1)] ⇔ I med = 2 I m π

Valor Eficaz (do Inglês RMS – Root Mean Square):

• Valor que uma corrente contínua deverá ter para libertar a mesma quantidade de

calor que a corrente alternada, ou seja, que debite a mesma potência, no mesmo receptor e durante o mesmo intervalo de tempo. • Símbolo: I ef , I RMS ou simplesmente I • Fórmula: I =

1

T

i T ∫

2

(t ) dt

0

6


• No caso da corrente alternada sinusoidal: i (t ) = I m sen wt

1 T

2

I =

2

2

2

∫ I m sen wt dt ⇔ I =

I m2

T 0

2 π

I m2 ⎡ sen 2wt ⎤ t − ⇔ I = 4 π ⎢⎣ 2w ⎥⎦ 0 2

2 π

2 π

∫ 0

w=

2π T

T = 2π

⎛ 1 − cos 2 wt ⎞ ⎜ ⎟ dt 2 ⎝ ⎠

I m I m2 ⎡ sen 4 wπ ⎤ = I ⇔ I = − ⇔ 2 π 4 π ⎢⎣ 2 w ⎥⎦ 2 2

Factor de Forma:

• Fórmula: K s =

I I med

• No caso da corrente alternada sinusoidal: I m K s =

I I med

⇔ K s =

2 ⇔ K = π s 2 I m 2 2 π

• Se K s ≠

π

2 2

a onda não é sinusoidal.

Factor de Distorção ou Deformação de Forma :

• Fórmula: K d =

∫i ∫i

(t ) dt ideal (t ) dt dist

• No caso da corrente alternada sinusoidal, K d deve ser inferior a 5% .

1.4 Efeitos da Corrente Alternada Efeito Térmico

– Também conhecido como efeito de Joule (em homenagem a James

Prescott Joule que estudou o fenómeno em 1840), é causado pelo choque dos electrões livres contra os átomos dos condutores. Efeito Electromagnético –

Constitui o princípio de funcionamento de, por exemplo,

bobinas, motores e geradores.

7


1.5 Desfasamento entre Duas Correntes i1 (t ) = I m1 sen wt

i2 (t ) = I m 2 sen (wt + ϕ )

Diagrama Vectorial

Diagrama Temporal :

ou Fasorial : i1 (t )

w

i2 (t )

I 2 ϕ

I 1

0

t

t 0

No diagrama vectorial ou fasorial representam-se os vectores girantes da tensão e da corrente nas mesmas posições relativas (i.e. a origem dos vectores é a mesma), formando entre si um determinado ângulo de fase ϕ correspondente ao intervalo de tempo t 0 no diagrama temporal. As correntes estão desfasadas dado que nem os respectivos máximos e zeros são simultâneos: • i1 (t ) está atrasada em relação a i2 (t ) de ϕ radianos porque o primeiro máximo

positivo dei2 (t )é anterior no tempo ao de i1 (t ) Numa situação geral : i1 (t ) = I m1 sen (wt + θ )

i2 (t ) = I m 2 sen (wt + φ )

• i1 (t ) está em avanço em relação a i2 (t ) de θ − φ radianos, ou, i2 (t ) está em

atraso em relação a i1 (t ) de θ − φ radianos. • Se θ = φ e I m1 = I m 2 as correntes são idênticas. • Se θ = φ e I m1 ≠ I m 2 as correntes estão em fase. • Se θ ≠ φ e I m1 ≠ I m 2 as correntes estão desfasadas .

8


Quando as correntes estão em fase: i1 (t ) w I 2

I 1

0

t i2 (t )

Vectores têm a mesma direcção e sentido

Quando as correntes estão desfasadas , podemos ter os seguintes casos particulares: • Quadratura – Quando uma corrente está no máximo e a outra é nula,

e vice-versa. i2 (t )

w

I 2

i1 (t )

I 1

0 Vectores

fazem

t

um

ângulo de 90º • Oposição de Fase – Quando as correntes anulam-se ao mesmo tempo, mas uma

está num máximo positivo a outra está num máximo negativo. i1 (t )

w I 2

I 1

0 Vectores têm a mesma

t i2 (t )

direcção mas sentidos opostos fazendo entre si um ângulo de 180º

9

Receptores

Capítulo 2 – Receptores Nos circuitos eléctricos existem tipicamente fontes e receptores. Os receptores, isoladamente ou em associações diversas, do ponto de vista eléctrico são constituídos por algum ou alguns dos seguintes elementos: • Resistência • Bobina • Condensador

2.1 Resistência Um exemplo típico de uma resistência – Um Filamento de uma lâmpada de incandescência. Apresenta as mesmas características de funcionamento , quer em corrente contínua quer em corrente alternada. Lei de Ohm :

• É constante o quociente entre a tensão aplicada a um elemento condutor e a

corrente que o percorre; a essa constante de proporcionalidade dá-se o nome de resistência

com o símbolo R.

• Fórmula: R =

V I

em que a unidade de R é o Ω (Ohm).

10

Receptores

Associações de Resistências :

• Série: Req = R1 + R2 + L + Rn • Paralelo:

1 Req

=

1 R1

+

1 R2

+L+

1 Rn

; para duas resistências: Req =

R1 × R2 R1 + R2

2.2 Bobina Uma bobina é geralmente constituída por um enrolamento à volta de um núcleo ferromagnético. O seu funcionamento é diferente em corrente contínua e em corrente alternada. Porquê? A explicação para este facto provém das leis de Faraday e de Lenz : Uma corrente variável provoca um fluxo magnético variável e origina na bobina uma f.e.m. induzida, a qual cria uma corrente induzida que tende a opor-se à causa que lhe deu origem, isto é, à variação do fluxo. Ora, em corrente contínua o fluxo é constante, não havendo portanto correntes induzidas! Em corrente contínua, a oposição que a bobina oferece à passagem da corrente é menor do que em corrente alternada:

• Em corrente contínua , a bobina comporta-se como se fosse apenas uma

resistência, independentemente de ter ou não núcleo ferromagnético. Deste modo, a corrente é limitada apenas pela resistência do fio do enrolamento, valor este geralmente baixo. A resistência da bobina é, então, tipicamente obtida através de um ensaio em corrente contínua. • Em corrente alternada , a oposição suplementar à passagem da corrente devida

à reacção magnética da bobina, a qual se vai adicionar à resistência do enrolamento, tem o nome de reactância indutiva ou indutância.

11

Receptores

Reactância Indutiva ou Indutância :

• Símbolo: X L • Fórmula: X L = w L = 2 π f L • Unidade: Ω (Ohm) Coeficiente de Auto-Indução da Bobina :

• Símbolo: L • Fórmula:

N 2 S L = μ l

em que

representa a permeabilidade magnética, N o

número de espiras, S a secção das espiras e l o comprimento da bobina • Unidade: H (Henry) F.e.m Induzida numa Bobina

(Leis de Faraday e de Lenz):

• Símbolo: e • Fórmula: e = − N

ΔΦ Δt

= − L

di dt

com o fluxo magnético dado por Φ = L i

Associações de Bobinas:

• Série: Leq = L1 + L2 + L + Ln • Paralelo:

1 Leq

=

1 L1

+

1 L2

+L+

1 Ln

; para duas bobinas: Leq =

Energia Magnética Armazenada nas Bobinas :

1 2

• Fórmula: W = L I 2 • Unidade: J (Joule) Aplicações das Bobinas:

• Electroímanes • Aparelhos de medida • Enrolamentos das máquinas eléctricas • Limitadores de corrente em circuitos de corrente alternada

12

L1 × L2 L1 + L2

Receptores

2.3 Condensador Um condensador é constituído por duas superfícies condutoras, chamadas armaduras, separadas por um meio isolante designado dieléctrico. O papel do isolador é o de não deixar passar corrente de uma armadura para a outra através de si. Materiais Típicos Utilizados nas Armaduras :

• Alumínio • Latão • Cobre • Estanho Materiais Típicos Utilizados nos Dieléctricos :

• Ar • Plástico • Mica • Papel • Porcelana • Óleos electrolíticos (ácido bárico, amónia e água)

A carga armazenada por um condutor é directamente proporcional à tensão aplicada às armaduras: Q = C V em que Q é a carga (em Coulomb – C) e V a tensão. A constante de proporcionalidade C representa a quantidade de electricidade armazenada, chamada de capacidade do condensador. Capacidade do Condensador :

• Símbolo: C • Fórmula: C = ε

S d

em que ε representa a permitividade ou constante

dieléctrica, S a área da armadura e d a espessura do dieléctrico • Unidade: F (Farad)

13

Receptores

Associações de Condensadores :

• Série:

1 C eq

=

1 C 1

1

+

C 2

+L+

1 C n

; para dois condensadores: C eq =

C 1 × C 2 C 1 + C 2

• Paralelo: C eq = C 1 + C 2 + L + C n

Em corrente contínua, a oposição que o condensador oferece à passagem da corrente é maior do que em corrente alternada:

• Em corrente contínua , o condensador fica carregado ao fim de um certo tempo;

a corrente que percorre o circuito tende a anular-se quando o condensador fica carregado, isto é, depois de carregado o condensador comporta-se como uma resistência infinita (isolador), devido à existência do dieléctrico, não havendo corrente no circuito. O condensador tem uma resistência praticamente nula, contrariamente ao que acontece com a bobina, onde existe a resistência associada aos seus enrolamentos. • Em corrente alternada , dada a mudança frequente do sentido da tensão

aplicada, o condensador está continuamente a carregar e a descarregar, alternadamente, ora armazenando energia eléctrica, ora devolvendo-a, havendo por isso uma corrente permanente no circuito. A oposição à passagem da corrente não é infinita, como no caso anterior, e tem o nome de reactância capacitiva ou capacitância. Reactância Capacitiva ou Capacitância :

• Símbolo: X C • Fórmula: X C =

1 w C

=

1 2 π f C

• Unidade: Ω (Ohm) Energia Electrostática Armazenada nos Condensadores :

• Fórmula: W =

1 1 Q V = C V 2 2 2

• Unidade: J (Joule)

14

Receptores

Aplicações dos Condensadores:

• Filtros • Bloqueadores da corrente contínua • Compensação do factor de potência • Eliminação de ruídos (interferências) em circuitos áudio • Armazenamento de energia eléctrica • Protecção de interruptores • Dispositivos temporizadores

15


Capítulo 3 – Circuitos Eléctricos 3.1 Circuito Puramente Óhmico v(t ) = v = V m sen wt i (t )

~

i(t ) = i = I m sen wt v(t )

R

i=

v R

I m =

⇔ i= V m R

V m R

sen wt

ou V = R I

v(t )

w I

V v(t )

0

ϕ = 0º

t i (t )

Desfazamento nulo

16


3.2 Circuito Puramente Indutivo e = − L

i (t )

~

L

v(t )

di

⇒ v = L

dt

⇔ v = L

di dt

⇔ i=

V m

⇔ i=

V m

I m =

L

w L

di dt

dt

=

V m L

sen wt

∫ sen wt dt ⇔ i = −

w L

V m

⇔

di

⎛ ⎝

sen ⎜ wt −

V m w L

cos wt

π ⎞

⎟

2 ⎠

ou V = w L I

v(t )

V

0 w

I ϕ =

t i (t )

π

2

Num circuito puramente indutivo a corrente está sempre atrasada de 90º em relação à tensão

17


3.3 Circuito Puramente Capacitivo dq = i dt

dq = C dv

i (t )

~

dv C

v(t )

dt

=

i C

⇔ i = C

⇔ i = C

d

dv dt

(V m sen wt ) ⇔ i = C V m

dt

π ⎞ ⎛ ⇔ i = w C V m sen ⎜ wt + ⎟ 2 ⎠ ⎝ I m = w C V m

ou V =

1

I w C

v(t )

I

w V

0

t i (t )

ϕ = −

π

2

Num circuito puramente capacitivo a tensão está sempre atrasada de 90º em relação à corrente

18

w cos wt


3.4 Circuito RL R

v = v R + v L ⇔ v = R i + L

dt

⇔ v = R I m sen wt + w L I m cos wt

v R (t )

~

di

L i (t )

v L (t )

π ⎞ ⎛ ⇔ v = R I m sen wt + w L I m sen ⎜ wt + ⎟ 2 ⎠ ⎝

V =

( R I )2 + (w L I )2

⇔ V = I R 2 + (w L )2

Ensaio em corrente contínua: R =

Z = R 2 + X L

2

representa a impedância do circuito, isto é, a

V

Z

I

oposição total feita por um circuito à passagem

Ensaio em corrente alternada : Z =

V = Z I

V

X L = w L

I

Logo:

tg ϕ =

X L R

O inverso da impedância chama-se admitância :

Z 2 − R 2

L =

da corrente alternada em Ω (Ohm).

2 π f

Y =

1 Z

i (t ) V

V L

v(t )

w ϕ

I

V R

0

⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎥⎦

ϕ ∈ ⎢0 ,

Aplicações dos Circuitos RL :

• Produção de campos magnéticos em máquinas eléctricas • Limitação de corrente

19

t


3.5 Circuito RC R

v = v R + v C ⇔ v = R i +

⇔ v = R I m sen wt +

v R (t )

~

C

vC (t )

⇔ v = R I m sen wt +

i (t )

⇔ v = R I m sen wt + ⎛ I ⎞ 2 ⎟⎟ V = ( R I ) + ⎜⎜ ⎝ w C ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ V = I R 2 + ⎜⎜ w C ⎝ ⎠ V = Z I

X C =

1 w C

1 C

1 C

∫ i dt

∫ I sen wt dt

I m

m

(− cos wt )

w C

π ⎞ ⎛ sen⎜ w t − ⎟ 2 ⎠ w C ⎝

I m

2

⇔

2

2

Z = R 2 + X C tg ϕ =

X C R

i (t ) v(t )

V R

I

0

ϕ

w V C V

⎡ π ⎤ ϕ ∈ ⎢− , 0⎥ 2 ⎣

⎦

20

t


3.6 Circuito RLC Série R

v = v R + v L + v C ⇔ v = R i + L

di

v L (t )

L

~

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ V = I R + ⎜⎜ w L − w C ⎝ ⎠ i (t )

Carácter Indutivo w L >

I m

2

Z = R 2 + ( X L − X C )

2

V = Z I

tg ϕ =

X L − X C R

⎣ 2 2⎦

w C

V L

i (t ) V

v(t )

w ϕ

I

0

V R V C

t

⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎥⎦

ϕ ∈ ⎢0 ,

Carácter Capacitivo w L <

1 w C i (t ) v(t )

V L V R

I

0

ϕ

w V V C

⎡ π ⎤ ϕ ∈ ⎢− , 0⎥ 2 ⎣

(− cos wt )

wC

⎡ π π ⎤ ϕ ∈ ⎢− , ⎥

1

∫ i dt

π ⎞ I ⎛ ⎛ π ⎞ v = RI m senwt + wLI m sen⎜ wt + ⎟+ m sen⎜ wt − ⎟ 2 ⎠ wC ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2

C vC (t )

1

dt C

⇔ v = RI m senwt + wLI m cos wt +

v R (t )

+

⎦ 21

t


3.7 Impedâncias em Série Z 1

Z 2

Z n

V 1

V 2

V n

I V

Neste caso, as impedâncias são atravessadas pela mesma corrente I : V = V 1 + V 2 + L + V n

Z = Z 1 + Z 2 + L + Z n

Triângulo de Impedâncias – Considerando Z 1

e Z 2 com carácter indutivo:

Z = ( R1 + j X 1 ) + ( R2 + j X 2 ) Z

Z 2

R2

Z 1 ϕ

⇔ Z = ( R1 + R2 ) + j ( X 1 + X 2 )

X 2

⇔ Z = R + j X ⇒ Z = R 2 + X 2

X

X 1

R1

tg ϕ =

X

R

R

• A resistência total é dada pela soma aritmética das resistências parciais. • A reactância total é dada pela soma algébrica das reactâncias parciais. • A impedância total é dada pela soma vectorial das impedâncias parciais.

3.8 Impedâncias em Paralelo I V

I 1

I 2 Z 1

I n Z 2

Z n

Neste caso, as impedâncias estão sujeitas à mesma tensão V : I = I 1 + I 2 + L + I n

1

=

1

Z Z 1

+

1 Z 2

+L+

22

1 Z n


Capítulo 4 – Potência em Sistemas Monofásicos 4.1 Circuito Puramente Óhmico v = V m sen wt i = I m sen wt

⎛ 1 − cos 2wt ⎞ ⎟ ⇔ p = V I (1 − cos 2wt ) 2 ⎝ ⎠

p = v i ⇔ p = V m I m sen 2 wt ⇔ p = V m I m ⎜

π ⎞ ⎛ ⇔ p = V I − V I cos 2wt ⇔ p = V I + V I sen ⎜ 2wt − ⎟ 2 ⎠ ⎝

p (t )

v(t )

0

t i (t )

A potência instantânea assume, neste caso, sempre valores positivos, dado que a corrente e a tensão assumem valores positivos ou negativos simultaneamente. Deste modo, diz-se que a energia é absorvida ou consumida pelo receptor, fornecida pelo gerador. De notar que a frequência da potência é o dobro da frequência da corrente ou da tensão. 23


Potência Média:

• Valor que uma potência de valor constante deverá ter para transportar, no

mesmo intervalo de tempo, a mesma quantidade de energia. • Fórmula: P =

1

T

∫ p(t ) dt

T 0

• Neste caso: p(t ) = V I (1 − cos 2wt )

1

w=

2π T

T = 2π T

V I ⎡ sen 2wt ⎤ P = ∫ V I (1 − cos 2wt ) dt ⇔ P = t − ⎢ T 0 T ⎣ 2w ⎥⎦ 0 T

⇔ P =

V I ⎡ sen 2wT ⎤ T − ⇔ P = V I 2w ⎥⎦ T ⎢⎣

A potência média anteriormente calculada chama-se potência activa ou real .

4.2 Circuito Puramente Indutivo v = V m sen wt

⎛ ⎝

i = I m sen ⎜ wt −

π ⎞

⎟

2 ⎠ ⎛ ⎝

p = v i ⇔ p = V m I m sen wt sen ⎜ wt −

π ⎞

⎟ ⇔ p = − 2 ⎠

⇔ p = − V I en 2wt

v(t )

p (t )

0

t i (t )

24

V m I m

2

sen 2wt


A potência instantânea assume, neste caso, valores positivos (energia armazenada sob a forma de energia magnética) e negativos (energia restituída pelo campo magnético à fonte de alimentação). Potência Média:

• Neste caso: p(t ) = − V I sen 2wt P =

1

T

− V I sen 2 wt dt ⇔ P = ∫ T 0

⇔ P =

V I ⎡ cos 2 wT T ⎢⎣

2w

−

w=

2π

T = 2π

T

V I ⎡ cos 2wt ⎤ T ⎢⎣

T

2w ⎥⎦ 0

cos 0 ⎤

⇔ P = 0 2w ⎥⎦

Verifica-se que não há consumo de potência activa . Os receptores puramente indutivos consomem outro tipo de potência: potência reactiva .

4.3 Circuito Puramente Capacitivo v = V m sen wt

⎛ ⎝

i = I m sen ⎜ wt +

π ⎞

⎟

2 ⎠ ⎛ ⎝

p = v i ⇔ p = V m I m sen wt sen ⎜ wt +

π ⎞

⎟ ⇔ p = 2 ⎠

⇔ p = V I sen 2wt

p(t ) v(t )

0

t

i (t ) 25

V m I m

2

sen 2wt


A potência instantânea assume, como no caso anterior, valores positivos (energia armazenada sob a forma de energia electrostática) e negativos (energia restituída pelo campo eléctrico à fonte de alimentação). Potência Média :

• Neste caso: p(t ) = V I sen 2wt P =

1

T

V I sen 2 wt dt ⇔ P = − ∫ T 0

⇔ P = −

V I ⎡ cos 2 wT T ⎢⎣

2w

−

w=

2π

T = 2π

T

V I ⎡ cos 2wt ⎤ T ⎢⎣

T

2 w ⎥⎦ 0

cos 0 ⎤

⇔ P = 0 2w ⎥⎦

Verifica-se também que não há consumo de potência activa . Os receptores puramente capacitivos consomem outro tipo de potência: potência reactiva .

4.4 Caso Geral v = V m sen wt i = I m sen (wt − ϕ )

Num circuito com carácter indutivo, ϕ ∈ ⎡⎢0 , ⎤⎥ , enquanto que num circuito com ⎣ 2⎦ π

carácter capacitivo, ϕ ∈ ⎡⎢− , 0⎤⎥ . ⎣ 2 ⎦ π

p = v i ⇔ p = V m I m sen wt sen (wt − ϕ ) ⇔ p = −

⇔ p = V I cos ϕ − V I cos (2wt − ϕ )

26

V m I m

2

[cos (2wt − ϕ ) − cos ϕ ]


v(t )

p (t )

i (t )

0

t

Potência Média :

• Neste caso: p = V I cos ϕ − V I cos (2wt − ϕ ) P =

1

1

T

w=

2π T

T = 2π

T

V I cos ϕ dt − ∫ V I cos (2wt − ϕ ) dt ∫ T T 0

⇔ P =

0

V I cos ϕ T

[t ] 0 − T

V I ⎡ sen (2 wt − ϕ ) ⎤ T ⎢⎣

2w

T

⎥⎦ 0

⇔ P = V I cos ϕ I cos ϕ V ϕ

I I sen ϕ

Assim, num caso geral, tem-se: • Potência Activa ou Real – Potência cuja energia se transforma efectivamente

em trabalho (energia calorífica nas resistências ou energia mecânica nos motores, por exemplo): P = V I cos ϕ [W ] . • Potência Reactiva – Potência que não se transforma em trabalho; potência

“flutuante” devida aos campos magnéticos nas bobinas ou aos campos eléctricos nos condensadores: Q = V I sen ϕ [VA r ]. • Potência Aparente – Não tem qualquer significado físico; dá-nos o máximo de

potência útil: S = V I [VA ] . 27


Triângulo de Potências : S = P 2 + Q 2

S

Q

ϕ

P = S cos ϕ

F.P.

Q = P tg ϕ

⇒

F P . . = cos ϕ =

Q = S en ϕ

P S

representa o Factor de Potência e ϕ representa o

desfasamento entre corrente e tensão.

P

. . = 1 , ϕ = 0 , S = P e Q = 0 Circuito puramente óhmico: F P

⎡ π ⎤ Circuito com carácter indutivo: F P . . ∈ [0 , 1] e ϕ ∈ ⎢0 , ⎥ ⎣ 2⎦

⎡ ⎤ Circuito com carácter capacitivo: F P . . ∈ [0 , 1] e ϕ ∈ ⎢− , 0⎥ ⎣ 2 ⎦ π

• A potência activa total é dada pela soma aritmética das potências activas

parciais. • A potência reactiva total é dada pela soma algébrica das potências reactivas

parciais. • A potência aparente total é dada pela soma vectorial das potências aparentes

parciais.

4.5 Importância do Factor de Potência Aos circuitos indutivos e capacitivos está associada não só energia activa mas também energia reactiva .

Apenas os circuitos resistivos consomem exclusivamente energia

activa. A energia activa e a energia reactiva dependem do valor do F.P. A energia reactiva: • Não é consumida. • Oscila entre gerador e consumidor. • É uma necessidade imposta por determinado tipo de receptores.

28


Circuitos constituídos por: • Bobinas • Motores • Lâmpadas de descarga • Condensadores • Máquinas de soldar

Provocam na rede o trânsito dos dois tipos de energia. Para se compreender a importância do factor de potência considere-se o seguinte exemplo: Duas fábricas operam com os mesmos valores de potência activa e tensão, 1 [MW] e 10 [kV] respectivamente, mas com factores de potência diferentes, nomeadamente cos ϕ 1 = 1

e cos ϕ 2 = 0 ,5 . Quais são os valores de corrente, I 1 e I 2 , que se verificam

em cada uma das fábricas? I 1 = I 2 =

P V cos ϕ 1 P V cos ϕ 2

= 100 [A ]

e

Q1 = P tg ϕ 1 = 0 [MVA r ]

= 200 [A ]

e

Q2 = P tg ϕ 2 = 1 ,73 [MVA r ]

Deste modo, verifica-se que I 2 é o dobro de I 1 o que acarreta mais perdas na linha por efeito de Joule, e implica a utilização de cabos de secção superior consequentemente mais dispendiosos. O valor mínimo para a corrente é atingido com um factor de potência igual à unidade, conforme se pode visualizar a seguir: I

I min

L

0 ,7 0,8 0,9

capacitivo

1

0,9 0,8 0 ,7

L

F P . .

indutivo 29


Um factor de potência baixo indica que existe uma circulação de energia que não é consumida, a energia reactiva, e que se traduz numa corrente excessiva que ocupa a rede. A seguir apresentam-se factores de potência típicos para diversos aparelhos eléctricos e a variação da secção relativa dos condutores com o factor de potência: Aparelhos

Carga 0% 25 % 50 % 75 % 100 %

Motores assíncronos

F.P.

0,17 0,55 0,73 0,80 0,85 ±1 ± 0,5 0,4 a 0,6 ±1 ± 0,85 ± 0,85 0,8 a 0,9 ± 0,5 0,7 a 0,9 0,7 a 0,8 ± 0,8

Lâmpadas incandescentes Lâmpadas fluorescentes Lâmpadas de descarga Fornos de resistência Fornos por indução com compensação integrada Fornos com aquecimento dieléctrico Máquinas de soldar com resistência Postos estáticos monofásicos de soldadura por arco Grupos rotativos de soldagem por arco Transformadores-rectificadores de soldadura por arco Fornos por arco

Factor de potência Secção dos cabos (factor multiplicativo em relação à hipótese de resistência)

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

1,0

1,23

1,56

2,04

2,78

4,0

6,25

11,1

4.6 Compensação do Factor de Potência A compensação do factor de potência consiste no aumento do factor de potência de uma instalação, de modo a que este seja de, pelo menos, 0,93 correspondente ao valor mínimo não penalizável pela empresa distribuidora. Para tal, utilizam-se: • Baterias de condensadores em paralelo com a carga • Motores síncronos ligados à rede

A compensação do factor de potência apresenta encargos financeiros que são, tipicamente, rapidamente amortizados através da economia proporcionada pela redução da factura energética. 30


O valor do condensador a colocar em paralelo com a carga, com um factor de potência inicial calculável, depende do factor de potência final pretendido:

I T

I 1

⎛ w L ⎞ ⎟ ⎝ R ⎠

I 2

ϕ i = tg −1 ⎜

R 2

~

Z 2 = R 2 + (w L )

C

ϕ f = cos −1 ( F . P . f )

L

I 1 =

V R + j w L

I 2 =

V

− j

1

⇔ I 1 =

R Z 2

V − j

w L Z 2

V

⇔ I 2 = j w C V

w C

I T = I 1 + I 2 ⇔ I T =

⎛ L ⎞ V j w C − − ⎜ ⎟ V 2 Z 2 ⎝ Z ⎠ R

⎛ L ⎞ w ⎜ 2 − C ⎟ ⎝ Z ⎠ ⇔ C = L − R tg ϕ ⇔ C = R tg ϕ − R tg ϕ tg ϕ f = f i f R Z 2 w Z 2 w Z 2 w Z 2 Z 2 C = (tg ϕ i − tg ϕ f )

R w Z 2

Se F P . . f = 1 ,

C =

sen ϕ i

Do mesmo modo,

C <

sen ϕ i

C >

sen ϕ i

w Z

w Z

w Z

⇒ Compensação Total

⇒ Compensação Parcial

⇒ Sobrecompensação

31


A empresa distribuidora não permite sobrecompensação pois tal poderá conduzir novamente a um aumento excessivo da corrente nos condutores. Por outro lado, é um desperdício para o próprio consumidor. Antes da Compensação:

I R1

V

ϕ i

I L1

I 1

Depois da Compensação : Compensação Parcial

Compensação Total

Sobrecompensação I 2

I 2 I T

I 2 I R1 ϕ i

I T = I R1 V

V ϕ i

ϕ f

ϕ f = 0º

ϕ f I R1 ϕ i

I T I L1

I 1

I L1

I 1

32

I L1

I 1

V


Capítulo 5 – Sistemas Trifásicos 5.1 Ligação em Estrela e Ligação em Triângulo Um sistema trifásico corresponde a três sistemas monofásicos intimamente ligados, como a seguir se apresenta: V CN

V AN

w

V N

V CN

120º 120º 120º

0

V AN

t

V N

I A

A B C N

V AN

I B

V AB

R1, X 1

I 1

R2, X 2

I 2

R3, X 3

I 3

V AC V BN

I C

V BC

V CN

33


V AN , V BN

e V CN são as tensões simples, medidas entre fase e neutro, V AB, V BC e V AC

são as tensões compostas , medidas entre fases, I A, I B e I C são as correntes na linha e I 1, I 2

e I 3 são as correntes na fase (ou nos enrolamentos).

Quando as cargas estão equilibradas : I 1 + I 2 + I 3 = 0

e o neutro não é necessário. Neste caso: I A = I 1

I B = I 2

I C = I 3

Por outro lado: I 1 =

V AN

I 2 =

Z 1

V BN Z 2

V AB = V AN + (− V BN )

I 3 =

V CN

tg ϕ 1 =

Z 3

X 1 R1

V BC = V BN + (− V CN )

tg ϕ 2 =

X 2

tg ϕ 3 =

R2

X 3 R3

V AC = V AN + (− V CN )

w V A V AN V A

V BN

60º 30º 120º V

V CN

V AN

BN

Pelo Teorema de Carnot: 2

2

2

V AB = V AN + V BN + 2 V AN V BN cos 60º

ou V AB 2 = V AN 2 + V BN 2 − 2 V AN V BN cos120º

Considerando: V AB = V C V S

V AN = V BN = V S

e

em que V C representa a tensão composta e

representa a tensão simples, vem: 2

2

V C = V S + V S + 2 V S V S cos 60º ⇔ V C = V C =

3 V S

34

3 V S 2


Deste modo, tem-se um triângulo equilátero cujos lados correspondem às tensões compostas

w V AN

V AN ϕ 1 I A = I 1

V A

V CA

I C = I 3

120º V CN

ϕ 3

30º V C

V BN

V N V CN

ϕ 2 I B = I 2

A ligação anterior chama-se ligação em estrela e apresenta as seguintes propriedades: • A corrente na linha é igual à corrente na fase (ou no enrolamento) • A tensão aplicada a cada enrolamento é a tensão simples

A A B

⇔

C B C A ligação seguinte, onde não existe neutro, chama-se ligação em triângulo . A

A

B

C

⇔

B

C

35


A

I A

R1, X 1

I 1

B

I B

R2, X 2

I 2

C

I C

R3, X 3

I 3

Neste caso: I A = I 1 + (− I 3 )

I B = I 2 + (− I 1 )

I C = I 3 + (− I 2 )

Por outro lado: I 1 =

V AB

I 2 =

Z 1

V BC

I 3 =

Z 2

V CA Z 3

tg ϕ 1 =

X 1 R1

tg ϕ 2 =

X 2 R2

tg ϕ 3 =

X 3 R3

Considerando: I A = I L I F

e

I 1 = I 3 = I F

em que I L representa a corrente na linha e

representa a corrente na fase (ou no enrolamento) vem:

I L =

3 I F w V AB ϕ 1

V A I C

V A

V CA

120º V C

I A

I 3

30º V C

I 1

ϕ 3

V B

V CA

V C ϕ 2

I 2 I B

A ligação em triângulo apresenta, deste modo, as seguintes propriedades: • A corrente na linha é

3 vezes superior à corrente na fase (ou

• A tensão aplicada a cada enrolamento é a tensão composta 36

no enrolamento)


5.2 Potência em Sistemas Trifásicos Sistema Monofásico : P = V S I L

cos ϕ

em que ϕ é o desfasamento entre V S e I L . Sistema Trifásico – Caso Geral : P = V 1 I 1

cos ϕ 1 + V 2 I 2 cos ϕ 2 + V 3 I 3 cos ϕ 3

se V 1 = V 2 = V 3 = V S , I 1 = I 2 = I 3 = I L e ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ então: P = 3 V S I L

cos ϕ

como V C = 3 V S obtemos a expressão geral dada por: P =

3 V C I L cos ϕ

Do mesmo modo vem: Q=

3 V C I L senϕ

P =

3 V C I L

Sistemas Trifásicos com Neutro

• Cargas Equilibradas :

A W 1

B P = 3 W 1

C

N

37


• Cargas Desequilibradas :

A W 1

B W 2 P = W 1 + W 2 + W 3

B W 3

N

Sistemas Trifásicos sem Neutro

• Cargas Equilibradas :

A W 1

B P = 3 W 1 r a + r v = r 2 = r 3

C

r a

r 2

r 3

neutro artificial (caixa de neutros própria)

38


• Cargas Desequilibradas – Ligação de Aron ou Método dos 2 Wattímetros :

A W 1

B

P = W 1 ± W 2

C W 2

Como não há neutro, verifica-se que: i A + i B + iC = 0 ⇔ iC = −(i A + i B )

A potência instantânea é dada por: p = v A i A + v B i B + vC iC ⇔ p = v A i A + v B i B − vC (i A + i B )

⇔ p = (v A − vC ) i A + (v B − vC ) i B ⇔ p = v AC i A + v BC i B

pelo que: P = V AC I A

cos (ϕ 1 − 30º ) + V BC I B cos (ϕ 2 + 30º )

No caso de sistemas equilibrados e simétricos : V AB = V BC = V CA = V C , I A = I B = I C = I L

e ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ

pelo que: P = V C I L

cos (ϕ − 30º ) + V C I L cos (ϕ + 30º ) ou

P = W 1 + W 2

com

⎡ 3 (W 2 − W 1 ) ⎤ ⎥ W W + 2 1 ⎣ ⎦

ϕ = tan −1 ⎢

Sabendo que: cos (ϕ − 30º ) = cos ϕ cos 30º+sen ϕ sen 30º e cos (ϕ + 30º ) = cos ϕ cos 30º−sen ϕ sen 30º obtém-se a já conhecida expressão geral P =

3 V C I L cos ϕ 39

apont_electro

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