Aplicacion teoria de conjuntos.Descripción completa
SUPONGAMOS QUE EN UNA REUNIÓN HAY 40 PERSONAS QUE HABLAN ALGUNO DE LOS IDIOMAS ALEMÁN, ESPAÑOL O INGLÉS. SE SABE QUE 22 HABLAN ALEMÁN, 26 NO HABLAN INGLES 30 HABLAN SÓLO UN IDIOMA, 30 HABLAN INGLES O ALEMÁN, 7 HABLAN INGLÉS PERO NO HABLAN ESPAÑOL Y 17 HABLAN ALEMÁN PERO NO HABLAN ESPAÑOL. SE DESEA RESPONDE A PREGUNTAS COMO:
¿CUANTÁS PERSONAS HABLAN LOS TRES IDIOMAS? ¿CUÁNTAS PERSONAS HABLAN SÓLO ESPAÑOL? ¿CUÁNTAS HABLAN ESPAÑOL PERO NO HABLAN INGLES?
Llamemos A, B y C, respectivamente, a los conjuntos d personas que hablan alemán, español e inglés. A todas las relaciones entre e stos conjuntos podemos representarlas en un diagrama de Venn:
Si formalizamos los datos que aparecen en el enunciado nos quedarán los siguientes datos: Número
Enunciado
Formalización
Cardinalidad
Cantidad
1
Personas en Total
A ∩ B ∩ Cc
#(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) =
40
2
Hablan alemán
A ∩ B ∩ Cc
#(I) +#(II) +#(III) +#(V)=
22
3
No hablán ingles
A ∩ Bc ∩ C
#(II) +#(V) +#(VI)=
26
4
Hablan sólo un idioma
Ac ∩ B ∩ C
#(V) +#(VI)+#(VII)=
30
5
Hablan inglés o alemán
A ∩ Bc ∩ Cc
#(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) =
30
6
Hablan ingles pero no español
Ac ∩ B ∩ Cc
#(III) + #(VII) =
7
7
Hablan alemán pero no español
Ac∩ Bc ∩ Cc
#(III) + #(V) =
17
Responder esto es sencillo. (2) son los que hablan Ingles o Alemán. Si restamos (2) al número total de personas (1) nos queda el número de personas que sólo hablan español.
Sabemos que 10 personas sólo hablan español. Por tanto, podemos deducir que 20 personas o bien, hablan inglés o bien, hablan alemán. Ahora vamos a descubrir el número de personas que hablan inglés pero no español y el número de personas que hablan alemán pero no español. Y con este dato, junto a nuestro conocimiento del número de hablantes que sólo hablan inglés o sólo hablan alemán deduciremos los que hablan español e inglés: #(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24 #(V)+#(VII)=20 2x#(III)=4 #(III)=2 Ya sabemos que el número de personas que hablan español y alemán son 4 (#III). Ahora es fácil deducir los que hablan sólo inglés y los que hablan sólo alemán. #(6)= #(III) +#(VII)=7 #(III)=2 #(VII)=5
3 personas sólo hablan ingles (#VII).
#(7)= #(III) + #(V)=17 #(III)=2 #(V)=15
15 son los que hablan alemán.
Sabiendo los que no hablan inglés #(2) y los que hablan alemán #(V) y los que hablan sólo español #(VI), podemos deducir aquellos que hablan alemán y español #(II). #(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26 #(V)= 15 #(VI)= 10 Por tanto, #(II)=1 Como sabemos los que hablan alemán #(2), los que hablan alemán y español #(II), los que hablan ingles y alemán #(III) y, por último, los que hablan sólo alemán #(V), podemos deducir definitivamente el número de personas que hablan los tres idiomas. #(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22 #(II)=1 #(III)=2 #(V)=15 Por tanto, #(I)= 4
Primero deduciremos el valor de #(IV) mediante l os datos disponibles y mediante #(5): #(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30 #(I)= 4 #(II)= 1 #(III)= 2 #(V) = 15 #(VII)= 5 Por tanto, #(IV)= 3 y con este dato deducimos mediante esta operación el número de españoles que no saben inglés: #(IV) + #(VI)= #(IV)=3 #(VI)=10 15 El número de españoles que no saben inglés es de 15.
