UNIVERSIDAD UNIVER SIDAD TECNOLÓGICA TECNOL ÓGICA DE EL SALVADOR SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA CÁTED RA DE CIENCIAS CIENCI AS Y MATEMATICA MATEMATICA MATEMATICA MATEMATICA II
TEMA: APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO CATEDRÁTICO:
ALUMNO: OSCAR AMAYA
1. INTR INTROD ODUC UCCI CIÓN ÓN En cualquier lugar del universo, por ende en la naturaleza y en la vida diaria, aparecen numerosos fenómenos que tienen un comportamiento continuo. Por ejemplo: el crecimiento de una planta es continuo, el desplazamiento de un vehículo o el volumen del agua que fluye de un recipiente, el movimiento planetario y una infinidad de otros eventos. Aunque también se presentan discontinu discontinuidade idadess en muchas muchas situacione situacioness como: las corrientes corrientes eléctricas eléctricas,, la cantidad de lluvia que cae, la fuerza del viento y otros fenómenos. Debido a que es mucho más factible ubicar o determinar rápidamente eventos continuos, ocurrió que durante los siglos XVIII y XIX, pocos científicos se dedicaron a buscar otro tipo de comportamiento. Dejando relegado el estudio de funciones discretas hasta el siglo XX, donde se descubrieron aspectos como: a) átomos que vibran en una molécula de hidrógeno pueden oscilar sólo en niveles de energía discretos; b) los átomos al ser calentados, emiten luz en frecuencias discretas y no en espectros continuos; c) uso intenso de funciones discretas en informática y en estadística. La continuidad ha adquirido una gran impo import rtan anci cia, a, ya que que expl explic ica a mate matemá mátitica came ment nte e el comp compor orta tami mien ento to de fenó fenóme meno noss en dife difere rent ntes es ámbi ámbito toss tale taless como como econ econom omía ía,, polí polític tica, a, soci social al,, familiar, religión, ciencia y muchos más. Pragmáticamente, se puede pensar en una función continua en un punto si se puede dibujar su gráfica cerca del punto sin levantar el lápiz del papel. De la misma manera, se puede decir que una función es discontinua en un punto, si se debe levantar el lápiz del papel para obtener la gráfica de la función a ambos ambos lados lados del punto punto indica indicado. do. La defini definició ción n matemá matemátic tica a de contin continuid uidad ad responde al significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano. Se pued puede e pens pensar ar que que un proc proces eso o cont contin inuo uo tien tiene e luga lugarr grad gradua ualm lmen ente te,, sin sin interrupciones ni cambios abruptos. Una Una líne línea a conti ontinu nua a es algo algo que que no se cort corta a que que tien tiene e que que segui eguir, r, las las aplicaciones de la continuidad como las funciones en si es algo más complejo, por eso la siguiente investigación da a conocer algunos conceptos básicos y ejemplos de este tipo de función así como de sus aplicaciones. Se verán algunos ejemplos de la discontinuidad también. Finalmente se aprenderá a graficar y resolver ejercicios basándose en los conceptos que se darán a conocer.
2. OBJETIVOS
2.1.
Objetivo general
Conocer, comprender y aplicar el concepto acerca de la continuidad de una función en un punto determinado.
2.2.
Objetivos específicos
Conocer y analizar algunos de los conceptos que están ligados al tema de la continuidad de una función en un punto determinado. Definir a través de métodos matemáticos los valores apropiados de los parámetros que reflejan q se cumple la continuidad en un punto para una función seccionada. Determinar los tipos de continuidades como también las discontinuidades de una función. Elaborar estrategias de identificación y resolución de problemas en los diversos campos del conocimiento y la experiencia, contrastándolas y reflexionando sobre el proceso seguido. Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad.
3. MARCO TEÓRICO
3.1.
Concepto de una función continua
Una función es continua en un punto x 0 cuando existe el límite de la función en x0 y coincide con el valor que toma la función en x 0. Es decir, ocurre lo siguiente: f es continua en x 0
↔ lim x x 0
f x = f x 0 .
Si una función es continua en un punto x 0, entonces es convergente en x 0, es decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x 0.
3.2.
Requisitos de una función continua
Para que una función sea continua en x 0, se tienen que cumplir tres condiciones: 1.
Existir el límite de la función cuando x → x 0.
2.
Estar definida la función en x 0, es decir, existir f(x0).
3.
Los dos valores anteriores han de coincidir:
lim x x 0
f x = f x 0 .
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x 0. Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.
3.2.1. Ejemplo de cómo determinar la discontinuidad de una función
P r o b a r q u e l a f u n c i ó n d e f i n i d a p o r f x =
2 , −1 ,
s i x≤3 s i x 3
Es discontinua en el punto x 0 = 3.
Resolución: Para probar la discontinuidad de la función en x 0 = 3, hay que ver cual de las tres condiciones de continuidad no se cumple.
En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden: f x =−1
¿
x 3 lim ¿
−¿
f x = 2
x 3 lim ¿
Debido a que: Por tanto, la función es discontinua en x 0 = 3.
3.2.2.
Ejemplo para calcular los puntos de continuidad.
Indicar en que puntos la función
f x =
2
−3 x − 3
2 x
es discontinua.
Resolución: La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anula el denominador, ya que en éstos la función no estará definida; es decir, en x = 3. La función es continua en todos los puntos salvo en x = 3, en el que es discontinua.
3.3.
Tipos de funciones elementales
3.3.1.
Función constante
La función constante f ( x ) = k es continua en todos los puntos.
lim x x 0
f x = f x 0
3.3.2.
lim
f x = k
x x 0
f x 0 = k
Función identidad
La función identidad f ( x ) = x es continua en todos los puntos.
lim x x 0
f x = f x 0
3.3.3.
f x = x 0
lim
x x0
f x 0 = x 0
Función potencial
La función potencial f ( x ) = x n es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x =0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo. lim x x0
f x0 = f x 0
3.3.4.
lim
f x = x0 n
x x 0
f x0 = x0
n
Función polinómica
La función f(x) = a 0 + a1x + a2x2 + … + anxn es una función continua en todos los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos. lim x x 0
f x = f x 0
lim
f x =a 0 a 1 x0 a 2 x 0
2
x x 0
f x 0 =a0a 1 x 0a 2 x0
2
an
a n x 0
n
n
x0
3.3.5. Función racional La función
P x f x = , Q x
donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es
continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
3.3.6.
Función exponencial
La función exponencial f ( x ) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos. lim x x 0
f x = f x0
3.3.7.
lim
f x =a0
x
x x 0
f x 0 =a0 x
Función logarítmica
La función f ( x ) = log a x , siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, ∞). lim x x 0
f x = f x 0
lim
x x 0
f x =log a
f x 0 =log a
x 0
x 0
3.4.
Operaciones con funciones continuas
3.4.1.
Suma
La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.
Demostración: Sean f y g, dos funciones continuas en un punto x o. Esto significa que: lim x x 0
f x = f x0 y
lim x x 0
g x = g x 0
Para probar que la función suma f + g es una función continua en x 0, es necesario demostrar que lim f g x = f g x . x x 0
0
Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones, lim x x 0
f g x = lim
x x 0
f x lim
x x 0
g x = f x 0 g x 0 = f g x 0
La demostración es válida para una suma de n funciones continuas en x 0.
3.4.2.
Resta
La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto. Esta demostración, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basándose en las propiedades de los límites de funciones.
3.4.3.
Producto
El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.
3.4.4.
Producto de una función por un número
El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto..
3.4.5.
Cociente
El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).
3.4.6. Composición de funciones Si f es una función continua en x 0 y g es otra función continua en f(x 0), la función compuesta g o f es continua en el punto x 0.
3.5.
Tipos de discontinuidades
Para que una función f(x) sea discontinua (o no continua) en un punto x 0 deberá darse una, al menos, de estas condiciones: a)
No existe
−¿
x x 0 lim
f x
o no existe x x
¿
¿
b)
0
f x
lim ¿
Los límites laterales existen, pero
l i m ¿
x
x 0
x
x 0
f
x
f
x
l i m − ¿
≠¿ ¿
c)
Existe
l i m f x ,
x x 0
pero
l i m f x ≠ f x 0
x x 0
Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).
1.2.1.
Discontinuidad evitable
Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x 0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c ): x 0 e s u n p u nt o d e d i s c o nt i n u i d a d e v i t a b l e ↔ lim x x 0
f x ≠ f x0
La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x 0, el valor de su límite. En este caso a
lim x x 0
f x = f x 0
se le denomina verdadero valor de la función
en x0, y es el que hace que la función sea continua en ese punto.
Discontinuidad inevitable
1.2.2.
Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x 0 cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite. n o e x i st e
li m −¿
x x 0
o no e xi st e
f x
li m ¿
x x 0
f x
x 0 e s u n p u nt o d e d i s c o nt i n ui d a d i ne vi t ab l e ↔ ¿ ¿ o n o e xi st e
li m x x 0
f x
Discontinuidad de salto
1.2.2.1.
Existen los límites laterales pero son distintos.
Discontinuidad infinita
1.2.2.2.
Al menos uno de los límites laterales no existe.
Ejemplo para determinar y clasificar los puntos de discontinuidad de una función.
1.2.3.
Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función
f x =
x 2 , s i x≠ 1 1 , s i x= 1
Resolución: · La función x +2 es continua en todos los puntos. · La función f ( x ) es continua en todos los puntos salvo en x =1; ya que f (1) = 1 x
− ¿
1
x
f
=
l i −¿
x 1
m
x 2=3
l i m ¿
x 1
f x = x
l i m
l
i m
¿
1
x 2=3
¿
¿
¿ ¿
l i m
f
x ≠ f
1
¿
x 1
Si se asigna a f(1) el valor 3, valor de
li m
f x ,
se evita la discontinuidad y
x 1
entonces f ( x ) = x + 2 es continua en todos los puntos. El verdadero valor de la función en x = 1 es 3.
1.3.
Teoremas de las funciones continuas
Las funciones que son continuas en un intervalo cerrado tienen ciertas propiedades especiales que se enuncian a continuación:
1.3.1.
Teorema de la conservación del signo
Si f(x) es continua en x = a y f(a) > 0, existe un intervalo abierto tal que f(x) > 0, ∀ x (a - δ , a + δ ).
1.3.2.
Teorema del valor intermedio
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] donde f(a) ≠ f(b) y k es un número real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.
Fig. 1. Gráfica que muestra el teorema del valor intermedio Desde el punto de vista geométrico, este teorema establece que la gráfica de una función continua en un intervalo cerrado, debe i ntersecar al menos una vez a cada recta de ecuación y = k, siendo f(a) < k < f(b).
1.3.2.1.
Ejemplo para verificar el teorema del valor intermedio
En el siguiente ejemplo se presenta la importancia de la verificación de la condición de continuidad de la función y = f(x) en el intervalo [a, b] para poder garantizar la existencia del número real c.
S e a l a f u n c i ó n f x
x 2 , s i −1≤ x 2 1 2
x 5 , s i
2≤ x ≤ 4
¿Es posible aplicar el teorema del valor intermedio en su dominio de definición? Justificar al respecto.
El dominio es el intervalo cerrado [-1, 4]. Además, f(- 1) = 1 y f(4) = 7. Cada tramo es una función polinomial y por lo tanto cada tramo es continuo en el intervalo dado. Debe analizarse la continuidad de la función en x = 2: y
l i m x
¿
2
1 2
l i m x
−¿
2
x
5
=6
¿
x 2 = 4
¿
Como los límites laterales son distintos, la función no es continua en x = 2 y por lo tanto tampoco es continua en el intervalo cerrado [ 1, 4]. Por este motivo, no puede aplicarse el teorema del valor intermedio.
1.3.3.
Teorema de Bolzano
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0; es decir, c es una raíz de f(x). Las siguientes gráficas permiten ilustrar el teorema:
Fig. 2. Gráficas que muestran al teorema de Bolzano
1.3.3.1.
Ejemplo para aplicar el teorema de Bolzano
S e a l a f u nc i ó n g x =
12 x
x 3
Determinar si tiene una raíz real en el intervalo [ 5, 1]. Justificar la respuesta. El dominio de esta función es D = R - {3} y por lo tanto no es continua en el intervalo [5, 1]. Como no se cumple la hipótesis de continuidad del teorema de Bolzano, no puede garantizarse la existencia de una raíz real en el intervalo dado.
2. METODOLOGIA Para la elaboración de un trabajo que involucra la relación existente entre la realidad y la continuidad de una función en un punto, se recurrió en primer lugar a la búsqueda de información que tratara sobre ese tema y su análisis pertinente. Junto a lo anterior también fue necesario efectuar los nexos existentes con el conocimiento del tema, lo cual ha sido logrado por las mismas experiencias de la vida, por el bagaje teórico que se ha podido obtener en la vida estudiantil y por el aprendizaje mismo de la vida. Para la revisión del tema que ha sido escrito por expertos, se utilizaron dos tipos de recursos: a) literatura que trata sobre el tema, principalmente libros acerca de matemática superior o cálculo y b) el ciberespacio, donde se tuvo que seleccionar adecuadamente el material más idóneo, ya que en este medio también hay información abundante pero que no reúne los mínimos criterios
que la puedan catalogar como información adecuada. Para esa selección se hicieron las analogías necesarias con autores de reconocida trayectoria o con el apoyo de algunos profesionales que poseen las herramientas técnicas apropiadas. En lo referente a la experiencia tanto académica como de carácter pragmática o de experiencias de la vida, también se utilizaron estrategias que pudieran utilizarlas. Para esto último, las ideas que surgieron se discutieron con compañeros, esto para poder contar con criterios amplios al respecto, sin olvidar los propios puntos de vista. Precisamente muchas de esas experiencias se pudieron plasmar por medio de esas discusiones que acontecieron. Al concentrarse en las experiencias escogidas, se procedió a la elaboración e interpretación de tablas a partir de un conjunto de datos, de gráficas o de expresiones funcionales, teniendo en cuenta el contexto en el que se producen. Siendo muy necesario el reconocimiento de relaciones entre magnitudes, para determinar quien es la independiente y cual la dependiente. Fue de mucha utilidad la interpretación y utilización del lenguaje gráfico teniendo presente la situación que se quiere representar y emplear el vocabulario y los símbolos adecuados. También el uso de expresiones algebraicas para describir funciones en casos sencillos. Así como el reconocimiento de intervalos de crecimiento y decrecimiento, la identificación e interpretación del significado de los valores extremos de una función, la identificación de gráficas de funciones continuas y discontinuas, el reconocimiento de los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas, la selección de las unidades y las escalas más convenientes, verificar las tendencias de algunas funciones y la sistematización de la toma de datos. La metodología que se usó para el desarrollo de este tema, consistió en que a partir de la lectura y análisis de literatura especializada, se plantearon algunas experiencias de la vida que están muy relacionadas con la continuidad de una función en un punto, se discutieron en forma grupal, para que las experiencias individuales o colectivas se enriquecieran junto al bagaje teórico. Luego se plantearon matemáticamente las experiencias. Siendo por lo tanto una actividad que relacionó lo conceptual con la experiencia, lo teórico con el pragmatismo, las individualidades con la discusión grupal. En general, cada experiencia pasó por analizar los siguientes aspectos: a) Variables o magnitudes que se relacionan. b) Variable dependiente y variable independiente. c) Graduación de los ejes. Unidad de medida y escala. d) Continuidad-Discontinuidad. e) Presencia de puntos o líneas. f) La pertinencia o no de unir los puntos. g) Crecimiento y decrecimiento. h) Crecimiento o decrecimiento de la función.
i) Máximos y mínimos. j) Periodicidad. k) Tendencia. l) Lo que ocurre para valores muy grandes. m) Título de la gráfica n) Tabla que relaciona las variables.
1. DESARROLLO DE APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Las funciones continuas son aquellas donde al graficar la función, esta presenta una línea que no se corta, por ejemplo la función seno o la grafica de una línea recta. Una función continua no necesariamente es una línea recta. Hay una gran cantidad de eventos de la vida diaria que son buenos ejemplos de funciones continuas o discontinuas. Para el caso, se puede citar el caso de la medición de la temperatura, por mas caluroso que sea un día, la temperatura no cambia de manera abrupta de un segundo a otro, sino que para llegar de 34 °C a 6 °C debe pasar forzosamente por todos y cada uno de los grados comprendidos entre ellos aun en un tiempo pequeño; otro caso puede constituir
al poner a hervir el agua. Otros más son: el llenado de un tinaco desde cero hasta el límite de su capacidad, la evaporación del agua contenida en un vaso, el consumo de energía eléctrica en una familia.
5.1.
El caso de la gravedad en la tierra
La ciencia ha conseguido la función matemática que relaciona la distancia al centro de la Tierra con el peso de 1 kg masa (esto es la gravedad; lo que pesa un kg). Es un ejemplo típico de función (a trozos). Para ello, se observa que en el punto (0,0) la gravedad es cero. Esto es razonable pues en ese lugar, a un cuerpo cualquiera lo atrae toda la masa de la Tierra en todas las direcciones por igual. En el centro del planeta los cuerpos no tienen peso. A medida que dicho cuerpo se aleja de este punto, puede verse que la gravedad va aumentando linealmente, hasta alcanzar un valor máximo de 9,81 en la superficie. En la mitad del recorrido la gravedad es también la mitad. Ya estando en la superficie y siguiendo alejándose el cuerpo del centro. Se observa como la gravedad disminuye de una manera muy rápida. Cuando dicho cuerpo esté situado a dos veces el radio terrestre, la gravedad habrá caído a la cuarta parte. También se observa que la gravedad decrece constantemente pero nunca se hace cero (asíntota horizontal). Esté en el lugar que esté un cuerpo (excepto en su centro) la Tierra lo atrae. A cuatro veces el radio la atracción es muy pequeña. Su dominio es [0, ∞) y su recorrido [0, 9,81]. Esto quiere decir que la gravedad producida por la Tierra siempre estará comprendida entre estos valores, independientemente de donde se encuentre ubicado en el Universo.
Figura 3. El radio de la tierra y la fuerza de gravedad
5.2.
Los costos de una empresa
Una fábrica es capaz de producir 2000 unidades en cada turno de diez horas. Por cada turno trabajado, hay un costo fijo de $ 1700 (luz, calefacción, impuestos y otros). El costo variable por unidad es de $ 1.5. Al respecto, escribir la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno y analizar su continuidad.
Costos totales = Costos fijos + Costos variables
Primer turno: C (x) = 1700 + 1.5x, si 0 ≤ x ≤ 2000
Segundo turno: C(x) = 1700 + 1700 + 1.5x C(x) = 3400 + 1.5x, si 2000 < x ≤ 4000
Tercer turno: C(x) = 1700 + 1700 + 1700 + 1.5x C(x) = 5100 + 1.5x, si 4000 < x ≤ 6000 C :
1700
1.5
x , s i 0 ≤ x ≤ 2000 1.5 x , s i 2000 x ≤ 4000 5100 1.5 x , s i 4000 x≤ 6000
0 , 6000 3400
Unidad es Costo ($)
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
245
320
395
470
715
790
865
940
118
126
133
141
0
0
0
0
0
0
0
0
50
00
50
00
5000
6000
0
500
170 0
16000 14000 12000
l 10000 a t o t 8000 o t s 6000 o C 4000 2000 0 0
1000
2000
3000
4000
7000
Unidades
Figura 4. La producción de una empresa y los costos totales La función es continua en [0, 6000] excepto en x = 2000 y en x = 4000 donde presenta discontinuidades de salto.
5.3.
El resorte y su alargamiento
Al colgar un resorte por un lado y en su otro extremo colocamos diversos pesos, se produce un alargamiento que se refleja en la tabla: Peso (g) Alargamiento (cm)
0
200
400
600
0
20
40
60
70
) 60 m c 50 ( o t 40 n e i 30 m a g 20 r a a 10 l A 0 0
100
200
300
400
500
600
700
Peso (g)
Figura 5. El alargamiento de un resorte La función es continua en [0, ∞[.
5.4.
Consumo de combustible
Un vehículo inicia su recorrido con un tanque que tiene 23 galones, al finalizar una distancia de 100 kilómetros solo existen 5 galones, por lo cual se compran otros 35 galones que se consumen totalmente con un recorrido nuevo recorrido de 150 km. Finalmente se agregan 50 galones y al recorrer 50 km se encuentran 40 galones de de combustible. La existencia de combustible (E), depende de la distancia que realiza el vehículo (d), por lo tanto:
Primer recorrido: E (d) = ¿? P 1 0 , 23
d 1= 0 E 1 = 23
P 2 100 , 5
d 2= 100 E 2 =5
E 2− E 1 E − E 1= d −d 1 d 2− d 1
E − 23 =
E −23 =
E =
−9
50
5− 23 d − 0 100 − 0
−18
d
100
d 23 , s i 0 ≤d ≤100
Segundo recorrido: E (d) = ¿? P 1 100 ,
40
P 2 250 ,
0
d 1 =100 E 1 =40
d 2=250 E 2 =0
E 2− E 1 E − E 1= d − d 1 d 2− d 1
E − 40 =
E −40 =
E − 40 =
E =
E =
−4
15
−4
15
0 − 40 d − 100 250 −100 −40
150 −4
15
d
d
d −100
d
80 3
80 40 3
200 , si 100 d ≤250 3
Tercer recorrido: E (d) = ¿? P 1 250 , 50
P 2 300 ,
40
d 1 = 250 E 1= 50
d 2 =300 E 2= 40
E 2− E 1 E − E 1= d −d 1 d 2− d 1
E − 50 =
E −50 =
E −50 =
E =
E =
E :
−1
5
−1 5
0 ,
40 − 50 d − 250 300 − 250
−10
50 −1
5
d − 250
d 50
d 50 50
d 100 , s i
300
250 d ≤ 300
−9 50
d 23 , s i
−4 d 200 , s i 15
−1 5
3
d 100 , s i
0 ≤ d ≤ 100 100 d ≤ 250 250
d ≤ 300
15
Distancia (km) Existencia de combustible (Galones)
) 60 n l G ( 50 e l b i t 40 s u b m30 o c e d 20 a i c 10 n e t s i x 0 E
0
50
0 23
100
50 100 100 14
5
150
40
200
0 27
200 250 13
250
Distancia (km)
Figura 6. El consumo de combustible por un vehículo
0
300
250 300 50
40
La función es continua en [0, 300] excepto en d = 100 y en d = 250 donde presenta discontinuidades de salto.
5.5.
El paseo de dos amigos
Misael y Rosario, además de ser compañeros en su colegio, son muy solidarios y amigos entre sí. Ambos viven en un paraje rural muy bonito. Frecuentemente, acostumbran salir de paseo juntos. En una de tantas salidas realizan una de ellas, que consiste en la siguiente trayectoria: Misael sale de su casa y a un paso constante llega a la casa de su amiga en un lapso de 30 minutos, ya que la distancia de ambas casas es de 3 kilómetros. Espera por un lapso de 10 minutos sentado en un sofá de la sala para que Rosario se efectúe los últimos arreglos, que es muy común de toda hermosa mujer. Después ambos salen y caminan por un camino de 2 kilómetros en un tiempo de 25 minutos. Al llegar al pueblo, se toman un helado cada uno, platican animadamente y leen una revista, para lo cual invierten 2 horas. Luego de ese momento, regresan a casa de Rosario, como están un poco relajados, lo hacen trotando y llegan en 10 minutos. Finalmente Misael llega a su casa en 40 minutos, ya que va lento apreciando el bello paisaje del lugar. Efectuar gráficamente la trayectoria que ejecuta Misael. La trayectoria que realiza Misael (d), depende del tiempo que emplea para ello (t), por lo tanto:
Primera trayectoria: d (t) = ¿? P 1 0 , 0
P 2 30 ,
3
d − d 1=
d − 0 = d =
d =
3 30
1 10
t 1= 0 d 1 = 0
t 2=30 d 2=3
d 2 − d 1 t − t 1 t 2 − t 1
3− 0 t − 0 30 −0
t
t , si
0 ≤ t ≤30
Segunda trayectoria: d (t) = ¿? P 1 30 ,
3
P 2 40 ,
3
d − d 1=
t 1 =30 d 1=3 t 2 =40 d 2 = 3
d 2 − d 1 t − t 1 t 2 − t 1
d − 3 =
3− 3 t − 30 40 −30
d − 3 =
0 t −30 10
d − 3 =0 t − 30
d −3 =0
d =3 , s i
30t ≤ 40
Tercera trayectoria: d (t) = ¿? P 1 40 , 3
P 2 65 , 5
d − d 1=
t 1= 40 d 1= 3
t 2= 65 d 2 =5
d 2 − d 1 t − t 1 t 2 − t 1
d − 3 =
5− 3 t − 40 65 − 40
d − 3 =
2 t − 40 25
d −3=
d =
d =
2 80 t − 25 25
2 80 3 t − 25 25 2 25
t −
5 25
d =
2 25
1
t − , s i 5
40 t ≤ 65
Cuarta trayectoria: d (t) = ¿? P 1 65 , 5
t 1= 65 d 1= 5
P 2 185 , 5
t 2= 185 d 2 =5
d 2 − d 1 t − t 1 t 2 − t 1
d − d 1=
d − 5=
5−5 t − 65 185 − 65
d − 5=
0 t −65 120
d − 5= 0 t − 65
d −5=0
d =5 , s i
65 t ≤ 185
Quinta trayectoria: d (t) = ¿? P 1 185 ,
5
P 2 195 , 3
d − d 1=
d − 5=
d − 5=
d − 5=
d =
−1
5
t 1=185 d 1=5
t 2= 195 d 2= 3
d 2 − d 1 t − t 1 t 2 − t 1
3−5 t − 185 195 − 185 −2
10 −1
5
t −185 t 37
t 37 5
d =
−1 5
t 42 , s i
185 t ≤195
Sexta trayectoria: d (t) = ¿? P 1 195 , 3
P 2 235 , 0
d − d 1=
d =
−3
40
−3
40
t 2= 235 d 2 = 0
d 2 − d 1 t − t 1 t 2 − t 1
−3
d − 3 = d =
t 1 =195 d 1= 3
0 −3 t −195 235 −195
d − 3 =
d − 3 =
t − 195
40 −3
40 t
t
t 117 8
117 8 3
141 , s i 195 t ≤ 235 8
d :
Tiempo (minutos) Distancia (km)
0 , 235
1 t , s i 0 ≤ t ≤ 30 10 3 , s i 30 t ≤ 40 2 1 t − , s i 40 t ≤ 65 25 5 5 , s i 65 t ≤ 185 −1 t 42 , s i 185 t ≤195 5 −3 141 t , s i 195 t ≤ 235 40 8
0
30
40
65
185
195
235
0
3
3
5
5
3
0
6
5
) 4 m k ( a 3 i c n a t s 2 i D 1
0 0
50
100
150
200
250
Tiempo (minutos)
Figura 7. La trayectoria que realiza Misael en su paseo con Rosario La función es continua en [0, 235].
6. CONCLUSIONES La investigación, estudio y comportamiento de las funciones continuas en un punto, son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas
de la vida diaria. Ya que se puede prever cual será la tendencia de ese problema a corto, mediano o largo plazo. Existen varios procedimientos para reconocer la continuidad o no en un punto. Siendo necesario conocer a fondo todas sus propiedades para saber identificar cuando una función es continua en un punto o no. Es prudente una actitud critica ante el uso del lenguaje gráfico en informaciones del ámbito social, político, religiosos, económico o de otro tipo.
7. RECOMENDACIONES Debe valorarse la utilidad del lenguaje gráfico para representar situaciones de la vida cotidiana y cuestiones de las diferentes ciencias.
Es necesario generar el interés por conocer las relaciones existentes entre el lenguaje gráfico y otros lenguajes matemáticos e incluso el lenguaje vulgar. Deben crearse metodologías que conlleven a la curiosidad para buscar y encontrar relaciones entre magnitudes. Ya que en muchas ocasiones no se logra definir cual es la dependiente o independiente.
8. BIBLIOGRAFIA De la Torre, A. 1998. Continuidad de funciones. In thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/.../58-Capitulo2.html 11 de agosto de 2012.
Engler, A. et al . s.f. Función continua. Facultad de Ciencias Agrarias, Universidad nacional del Litoral. Argentina. In www.fca.unl.edu.ar/.../... 13 de agosto de 2012. Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards, B. (1995): Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1, Quinta Edición, España, Mc. Graw Hill. Leithold, L. Cálculo. 1998. 7 edición. Grupo Mexicano MAPASA S.A. Pérez, J. Calculo diferencial e integral. 2003. Universidad de Granada. España. In www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/.../calculo_cap04.pdf 12 de agosto de 2012. Rodríguez Méndez, FJ. s.f. Fisica moderna I. In www.conevyt.org.mx/bachillerato/material.../fasiculo5_fimo1.pdf 11 de agosto de 2012.
