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IEG3100 Análisis Estructural Lineal Prof. Jorge Vásquez P. Primera Clase 13 de Marzo del 2017
Estableciendo la Notación Notación dual La regla más importante es que una fuerza en un punto y en una dirección y el desplazamiento en el mismo punto y dirección se identifican con la misma letra, mayúscula y minúscula, respectivamente. Q y q, F y f , N y n, M y m, etc. El sentido de fuerzas y desplazamientos es genérico, y puede ser un momento y la correspondiente rotación, una resultante de tensiones y la correspondiente deformación. Sin embargo, la notación usual de Mecánica de Sólidos, σ ’s y ε’s, se usará en la derivación de algunas expresio expresiones. nes. 2
Estableciendo la Notación Notación dual La regla más importante es que una fuerza en un punto y en una dirección y el desplazamiento en el mismo punto y dirección se identifican con la misma letra, mayúscula y minúscula, respectivamente. Q y q, F y f , N y n, M y m, etc. El sentido de fuerzas y desplazamientos es genérico, y puede ser un momento y la correspondiente rotación, una resultante de tensiones y la correspondiente deformación. Sin embargo, la notación usual de Mecánica de Sólidos, σ ’s y ε’s, se usará en la derivación de algunas expresio expresiones. nes. 2
Estableciendo la Notación 2 Definiendo vectores, o mejor arreglos ( arrays), de índices:
También se puede escribir:
3
Estableciendo la Notación 3 Son válidas y equivalen equivalentes tes las asignaciones: Se pu pued eden en us usar ar las ab abrrev evia iatu turras p=i:j para significar el arreglo de i - - jj + 1 componentes con valores comprendidos entre i y j , con incrementos incremen tos de una unidad, por ejemplo: En una matriz de A, definida como de n líneas y m columnas, expresiones de la forma A(:,3) y A(:,:) se interpretan como las submatrices A(1:n,3) y A(1:n, 1:m) , respectivamente: 4
Estableciendo la Notación 4 Notación de Solución
representa la solución de: es decir: En cierta medida esta notación enfatiza que lo que corresponde hacer es resolver el sistema de ecuaciones en lugar de invertir la matriz y multiplicar por el vector segundo miembro. 5
Estableciendo la Notación 5 Notación de Remplazo
se puede usar en expresiones como:
para darle sentido algebraico a la suma cuando los vectores Qi tienen menor dimensión que el vector Q. Se puede escribir en vez la secuencia de reemplazos: 6
Estableciendo la Notación 6
Para eliminar líneas de una matriz, se usa igualarlas al conjunto vacío, por ejemplo para las líneas 2 , 4 y 5,
y semejante para eliminar columna; pero atención, no líneas y columnas a la vez, lo que representaría una operación inadmisible. 7
Fuentes de las Ecuaciones Como todo problema de Mecánica de Sólidos el Análisis Estructural deriva de las siguientes tres fuentes: 1. Estudio de las fuerzas y de los requerimientos de equilibrio ( estática) 2. Estudio de la deformación y de las condiciones de ajuste geométrico (cinemática) 3. Aplicación de las relaciones esfuerzodeformación (constitutividad ) 8
Suposiciones Simplificatorias • En la estática, al formular el equilibrio, los desplazamientos de los puntos de aplicación de las cargas debidos a las cargas mismas son despreciados; el equilibrio es analizado en la geometría no deformada. • En l a cinemática, los desplazamientos son considerados infinitesimales. Esto implica deformaciones infinitesimales (notar que sin embargo el recíproco no es cierto). • En la constitutividad , en todos los puntos de la estructura el material es tal que la relación tensión deformación es lineal elástica. 9
El Principio de Superposición De las anteriores simplificaciones, resulta que todas las ecuaciones involucradas son lineales. Y las ecuaciones lineales admiten superposición. Eso significa que la solución para un estado de cargas C que es a veces el estado de carga A más b veces el estado de carga B, es a veces la solución del estado de carga A más b veces la solución del estado de carga B.
¡Superposición NO es un Principio! 10
Qué es Resolver una Estructura Resolver una estructura es conocer tensiones y las componentes desplazamiento en todo punto de ella.
las de
Resolver una barra es entonces conocer las tensiones y las componentes de desplazamiento en todo punto de ella; se discretiza una barra si se pueden expresar estas infinitas incógnitas en términos de un número finito de variables. 11
Discretización de Barra Axial
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Discretización de Barra Axial 2
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Discretización de Barra Flexural
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Discretización de Barra Flexural 2
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Discretización de Barra Flexural 3
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Discretización de Barra Flexural 4
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El Concepto de Grado de Libertad Para imponer a un punto de la estructura un desplazamiento en una dirección dada, se requiere una acción: una fuerza. El conjunto de desplazamiento y fuerza constituye el concepto de grado de libertad (GDL); pero se acostumbra decir más bien que el desplazamiento es el GDL, y que la fuerza asociada se aplica en el GDL. En todo punto de la estructura se debe especificar el desplazamiento o especificar la fuerza; uno de los dos, y el otro es incógnita que 18
El Concepto de Grado de Libertad 2 quedará determinada de una ecuación de equilibrio asociada al GDL; nunca ninguno y nunca los dos. En un estructura con n GsDL habrá n desplazamientos incógnita y n ecuaciones de equilibrio disponibles, lo que implica una promesa de que el problema siempre tiene solución. Un método de análisis - el de Rigidezes justamente la solución de las ecuaciones de equilibrio para todos los GsDL en términos de los desplazamientos de todos los GsDL 19
Número de Grados de Libertad ¿Cuántos GsDL hay? Es una pregunta que está planteada de manera inapropiada. En rigor hay infinitos. La discretización de elementos es la que reduce los infinitos GsDL. Depende, de las características geométricas mecánicas que imponen una división en elementos. Pero al considerar la manera en que se manejarán las cargas actuantes en esos elementos, los GsDL pueden reducirse a través de considerarlas como cargas locales al elemento, por ejemplo: 20
Número de Grados de Libertad 2
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Número de Grados de Libertad 3 Los GsDL se reducen al usar la ecuación de equilibrio de un GDL para eliminar un desplazamiento, ordinariamente el del mismo GDL, en el proceso que se llama condensación estática. Con ese procedimiento se puede llegar a tan sólo un GDL. Naturalmente, cuando se ha condensado un GDL ya no es posible modificar la carga asociada a él 22
Número de Grados de Libertad 4 La pregunta que se debe hacer es cuál es el número de GsDL que son necesarios para formular directamente las ecuaciones de equilibrio de una estructura empleando una determinada discretización. La discretización define nodos, cuyos desplazamientos son los GsDL del sistema estructural . El número de GsDL depende de cómo se aborda el problema. 23
Discontinuidades En los puntos en que hay discontinuidades geométricas o de características mecánicas, o bien cargas concentradas que no serán tratadas como locales, se deben definir nudos que implican GsDL adicionales. Por ejemplo, en una rótula interna, se debe considerar que el giro de al barra a un lado de la rótula es distinto al giro de la barra del otro lado
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Sistema Estructural El Sistema Estructural es un conjunto de elementos (barras, vigas, columnas, diagonales, etc., y eventualmente elementos finitos de cualquier tipo) conectados entre si, pero sin ninguna vinculación a tierra. Cualquier parte de un sistema es a su vez un sistema, y formalmente debe regirse por las mismas ecuaciones. Esto es lo que llamaremos la propiedad de sistema 25
Vínculos y Reacciones Un vínculo es una restricción geométrica en una dirección dada al desplazamiento de un punto. Requiere de una fuerza –reacción– en dirección del desplazamiento –GDL– que impide, o que impone, y debe ser de la magnitud que sea necesaria para el equilibrio. Para todo GDL hay dos posibilidades: si está efectivamente libre, la fuerza en él será especificable; si está restringido, la fuerza estará determinada –es reacción. 26
Estrategia para Reacciones Las reacciones son incógnitas, y entonces se presentan dos opciones para manejarlas, dos estrategias: • Aumentativa: retener los GsDL del sistema estructural especificando el desplazamiento como dato pero incorporar la fuerza como incógnita • Reductiva: suprimir los GsDL del sistema estructural eliminando el desplazamiento como variable, y descartar la ecuación de equilibrio que contiene la fuerza incógnita. 27
El Vínculo de la Continuidad
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Dualidad Estático-Cinemática Primera fuente: la asociación de desplazamiento y equilibrio en el concepto de GDL; la complementareidad de vínculo y reacción; de continuidad y esfuerzo interno. Segunda fuente (particular a la linearización): el que el desplazamiento infinitesimal y la estática de cuerpo rígido (en la geometría no deformada) sea regida por ecuaciones complementarias. La notación dual es coherente con la dualidad.
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Fuerza en un Plano
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Desplazamiento de Placa Plana
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Dualidad en Placa Plana
Más en general la complementareidad de las ecuaciones de estática y cinemática linearizadas se desprenderá del Teorema de los Trabajos Virtuales. 32
Sujeción Mínima Sujeción mínima o suficiente es una disposición de vínculos a tierra que restringe el desplazamiento de un conjunto de GsDL del sistema de modo que deja de ser un mecanismo, y pasa a ser una estructura, pero que si se libera cualquiera de esos GsDL, deja de ser una estructura, y vuele a ser un mecanismo. Si el sistema es una placa plana indeformable, una sujeción suficiente restringen 3 GsDL. 33
Determinación Estática En general si un sistema estructural tiene n GsDL y sus elementos suman m esfuerzos necesarios para la discretización, se tendrán para ellos n ecuaciones de equilibrio, siempre con n>m. Si la sujeción restringe a r GsDL, y se cumple que: la estructura será, o bien determinada, o un mecanismo.
estáticamente
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Determinación Estática 2 Efectivamente, para la estrategia aumentativa se tendrán justamente n ecuaciones con igual número m+r de incógnitas. Para la estrategia reductiva se tendrán m incógnitas con igual número n- r de ecuaciones. Si la matriz de coeficientes de la ecuación no es singular - sujeción aparente- se resolverá independientemente la estática 35
Determinación Estática 3 Grado de Indeterminación
Diseño Determinado vs. Indeterminado El diseño determinado se usó extensamente en el pasado porque permitía, por una parte, resolver las estructuras con las precarias herramientas disponibles, y por otra, evitar problemas por asentamientos. Pero el diseño indeterminado lleva a construcciones más económicas y notoriamente más atractivas.
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Vinculación Aparente n=4*3 = 12 m=3*3 = 9 r=3 p = m+r n = = 9 + 3 – 12 = 0
n=2*3 +2+1= 9 m=3*2 = 6 r=3 p = m+r n = =6+3–9=0
n=2*8=16 m=12 r=4 p = m+r n = 12 + 4 – 16 = 0 37
Vinculación Aparente 2 El marco rectangular es una placa plana, por lo que tiene 3 GsDL; una rótula restringe 2 GsDL y un deslizante el GDL de desplazamiento horizontal. Si la línea de acción de la reacción horizontal se empieza a acercar a la rótula, la reacción se va haciendo cada vez más grande, y si llega a pasar por ella, se hace infinito: esto es un caso de lo que se denomina vinculación aparente. 38
Vinculación Aparente 3 I6,
I2, a a
6
2
2b
2b 1 3
5
4
a
a
I4,
I3,
I5,
El reticulado tiene 12 esfuerzos de barras y 4 componentes de reacción incógnitas, y 16 GsDL; parecería ser determinado. Pero un análisis de cinemática muestra que si se suprime la barra AB igual la distancia AB que39
Vinculación Aparente 4 dará invariable: la barra AB es en cierto modo redundante. Pero atención: es claro que esto es dentro de la cinemática que considera que los desplazamientos sumamente pequeños, infinitesimales. Es decir, la estructura es tal que incluso sin carga existirá entre A y B desplazamientos relativo vertical. Este al hacerse finito se bloqueará, pero a costa de generar enormes esfuerzos internos; es inestable.
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Cinemática del Reticulado I6,
I2, a a
6
2
2b
2b 1 3
5
4
a
a
I4,
I3,
I5,
Los extremos de la barra 4 se desplazan según las flechas, por lo que su centro de instantáneo rotación (CIR) es I4; si la rotación es la , magnitud de los desplazamientos es a El extremo de la barra 1 se desplaza horizontal por lo que el CIR de la barra 3 debe ser I , con 41
Cinemática del Reticulado 2 Los extremos de la barra 4 se desplazan según las flechas, por lo que su centro de instantáneo rotación (CIR) es I4; si la rotación es , la magnitud de los desplazamientos es a . El extremo de la barra 1 se desplaza horizontal por lo que el CIR de la barra 3 debe ser I3, con una rotación f . Claramente entonces el desplazamiento común a las barras 3 y 4 satisface que a = 3af , de donde f = ⅓ . Eso significa que el desplaza42
