BAB I PENDAHULUAN
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat – manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat sangat akrab akrab dengan dengan masala masalahh perubah perubahan, an, penentu penentuan an tingkat tingkat maksi maksimum mum dan tingkat tingkat minimum. Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama ( first first derivative sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara
berurutan seksi!seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada kedudukan tertentu" hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum serta hubungan antara fungsi kubik dan derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim serta serta letak letak titik titik belokny beloknya. a. #kan tetapi tetapi sebelu sebelum m semua semua itu, itu, marila marilahh kita kita perhati perhatikan kan hubungan secara umum antara sebuah fungsi dan fungsi!fungsi turunannya. Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bah$a turunan dari suatu fungsi berderajat %n& adalah sebuah fungsi berderajat %n!'&. %n! '&. Dengan perkataan lain, turunan dari fungsi berderajat adalah sebuah fungsi berderajat ), turunan dari fungsi berderajat ) adalah sebuah fungsi berderajat ', turunan dari fungsi berderajat berderajat ' adalah sebuah fungsi berderajat * alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari dar i sebuah konstanta adalah *.
BAB II PEMBAHASAN A. Pengert Pengertian ian Difere Diferensia nsiall
Persamaan diferensial adalah persamaan adalah persamaan matematika untuk matematika untuk fungsi satu fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, rekayasa, fisika, fisika, ilmu ekonomi dan ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu alin. Dariv Darivat atif if atau atau turun turunan an
dy dx
tidak tidak diangga dianggapp sebagai sebagai suatu hasil bagi bagi atau atau
pecahan dengan dy sebagai pembilang dan d+ sebagai penyebut, melainkan sebagai lamb lamban angg yang yang menye menyert rtaka akann limi limitt dari dari
Δ y Δ x
, se$ak e$akttu
∆x
mendek mendekati ati nilai nilai nol
sebagai limit. #kan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan d+ dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini d+ menyatakan diferensial + dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna seka sekali li,, misa misaln lnya ya dala dalam m aplik aplikas asin inya ya pada pada kalkul kalkulus us inte integra grall dan pada pada pend pendeka ekata tann perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas. ika f- (+ merupakan derivative dari fungsi f(+ untuk nilai + tertentu dan ∆ x merupakan merupakan kenaikan dalam +, maka diferensial diferensial dari f(+, yang dalam hal ini ditulis f(+, terdefinisikan oleh persamaan. df (+ f-(+ .
dy ∆x dx
ika f(+ +, maka f- (+ ', dan d+ ∆ x . adi jika + merupakan variabel bebas, maka diferensial d+ dari + sama dengan ∆ x . ika y f(+, maka dy f-(+ d+
dy d+ dx
adi adi dife diferen rensi sial al suat suatuu vari variab abel el gayut gayut sama sama denga dengann hasil hasil kali kali turun turunan annya nya deng dengan an diferensial variabel bebas.
Secara geometrical perhatikanlah kurva y f(+ (lihat gambar / diba$ah ini, dan misalkan turunannya pada titik P f-(+. 0aka d+ P1 dan dy f-(+ (
tan α
(P1
PT . PQ =QT PQ
2leh karena itu dy atau df (+ adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan dengan d+. #rgumentasi geometrical ini memba$a kita kepada penfsiran derivative sebagai suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel bebas + pada suatu titik P (+,y pada kurva y f(+ dinyatakan dengan d+, maka dalam rumusan turunannya. dy f-(+ ( tan α dx
dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat tangens pada P. Perhatikan, bah$a diferensial dy dan kenaikan ∆ y dari fungsi yang berpadan dengan nilai d+
∆x
yang sama, pada
umumnya tidaklah sama. Dalam gambar./ disamping dy 13 sedang ∆ y 1PDari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bah$a dan dy 13 kurang lebih sama, jika
∆x
∆ y 1P4,
P1 sangatlah kecil.
Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. ika diferensial fungsi dapat dipakai untuk mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel bebas keci sekali. B. Penerapan Diferensial Ekonomi a. 5lastisitas 5lastisitas dari suatu fungsi y = f ( x ) berkenaan dengan + dapat didefinisikan sebagai 6 ∆y ) Ey y dy x η= = lim = . Ex ∆ x→ 0 ∆ x ( ) dx y x
(
7ni berarti bah$a elastisitas
y = f ( x )
merupakan limit dari rasio antara
perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam +, untuk perubahan + yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap + dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan +. b. 5lastisitas Permintaan
5lastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap 6 elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand
ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. adi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. ika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya 6 (
∆ Qd E Q d = = lim ηd = ∆P EP ∆ P →0
∆Qd
)
Qd dQ = d. P ( ∆ P ) dP Qd P
Dimana
d Qd dP
tak lain adalah Q' d atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |ηd|>1 , elastic – uniter jika |ηd|= 1 , dan inelastic bila |ηd|< 1 . Barang yang permintaanya elastic mengisyaratkan bah$a jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berla$anan arah dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. 8ontoh kasus6 9ungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan 1d ): – P) . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P :. ηd =
1d ): – P)
Q' d = ηd
d Qd =−6 P dp
d Qd dP
.
P =− 6 P . P 2 Qd 25− 3 P
¿− 6 ( 5 ) .
5 25−75
.
=3 (elastik )
berarti bah$a apabila, dari kedudukan P :, harga naik (turun sebesar ' persen
maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah sebanyak persen. c. 5lastisitas Pena$aran 5lastisitas pena$aran (istilahnya yang lengkap 6 elastisitas harga pena$aran, price elasticity of supply
ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang dita$arkan berkenaan adanya perubahan harga. adi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. ika fungsi pena$aran dinyatakan dengan Q s = f(P), maka elastisitas pena$arannya 6
∆ Qs ) ∆ Qs E Qs Qs d Q P ηs = = = lim = s. ∆P EP ∆ P → 0 ∆ P dP Q s ( ) P
(
Dimana
d Qs tak lain adalah Q' s atau f'(P). dP
Pena$aran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila ηs >1 , elastic – uniter jika ηs =1 dan inelastic bila ηs <1 . Barang yang pena$arannya inelastic mengisyaratkan bah$a jika harga barang tersebut (secara searah dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. 8ontoh kasus 6 9ungsi pena$aran suatu barang dicerminkan oleh 1s !)** ; < P). Berapa elastisitas pena$arannya pada tingkat harga P '* dan P ': =
1s !)** ; < P)
ηs =
d Qs P P . =14 P . dP Q s −200 + 7 P2
1>s d1s ? dP '@ P Pada P '*,
ηs =140 .
10 =2,8 −200 + 700
Pada P ':,
ηs =210 .
15 =2,3 −200 + 1575
ηs =2,8
berarti bah$a apabila dari kedudukan P '*, harga naik (turun sebesar ' A
maka jumlah barang yang dita$arkan akan bertambah (berkurang sebanyak ),A Dan ηs =2,3 berarti bah$a apabila dari kedudukan P ':, harga naik (turun sebesar 'A maka jumlah barang yang dita$arkan akan bertambah (berkurang sebanyak ),A d. 5lastisitas Produksi 5lastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input yang digunakan. adi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. ika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya 6
( ∆ P)
ηp =
∆ P EP = = lim P = dP . X ∆ X EX ∆ X → 0 ∆ X ( ) dX P X
Dimana
dP adalah produk marjinal dari C P' atau f' (X)E. dX
8ontoh kasus 6 9ungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P F C) – C. Gitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak unit dan < unit. P F C) – C ηp =
P> dP ? dC ') C – C)
dP X X 2 . = ( 12 X − 3 X ) . 2 dX P ( 6 X − X 3) 3
Pada C ,
ηp = ( 36− 27 ) .
Pada C <,
ηp =( 84 −147 ) .
η p=1
( 54 − 27 )
=1
7
( 294− 343)
=9
berarti bah$a, dari kedudukan C , maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan sebesar 'A maka jumlah output akan bertambah (berkurang sebanyak ' A Dan η p= 9
berarti bah$a, dari kedudukan C <, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan sebesar 'A maka jumlah output akan bertambah (berkurang sebanyak / A '. Pendapatan Honsumsi Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan ditabung. ika pendapatan dilambang dengan I, sedangkan konsumsi dan tabungan masing – masing dilambangkan dengan 8 dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan6 Y = C +
Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Heduanya berbanding lurus dengan pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang pula, sehingga 6 DI ¶8 ; ¶S à diferensial Harena ¶8 ; ¶S dI à dI?dI ¶8?dI ; ¶S?dI à derivasi
¶8?dI
0P8 (0arginal Propensity to 8onsume
¶S?dI
0PS (0arginal Propensity to Save
Sehingga terbukti bah$a 0P8 ; 0PS ' ). Pendapatan 3abungan Honsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini 6 = (Y,i)
Dimana S adalah tabungan (savings. Y adalah pendapatan nasional (national income, dan i adalah suku bunga (interes rate. 9ungsi ini kita asumsikan seperti semua fungsi yang akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative (parsial kontinu, atau secara simbolis, f J 84. Derivatif parsial δS / δY mengukur kecenderungan marginal (marginal propensity to save. adi, untuk semua perubahan dalam Y, dY , perubahan S hasilnya dapat diaproksima dengan kuantitas Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat
( )
δS di δi
( )
δS dY . δY
sebagai aproksimasi
untuk menentukan perubahan yang dihasilkan. adi perubahan total dalam diaproksimsi dengan diferensial
( ) ( )
dS =
∂S ∂S dY + di ∂ Y ∂i
#tau dengan menggunakan notasi yang lain, dS = SY dY + S i di
Perhatikan bah$a kedua derivative parsial Sy dan Si kembali menaikan peran sebagai %pengubah& yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi d yang bersesuaian. Pernyataan d , yang merupakan jumlah perubahan – perubahan hasil aproksimasi dari kedua sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari diferensial total ini disebut diferensiasi total (total differentiation, sebaliknya kedua komponen yang ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi tabungan.
3entu saja ada kemungkinan dimana I dapat berubah sedangkan i konstan. Dalam hal ini di * dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial6
( )
dS =
δS dY . Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh δY dS dY δS =¿ δY
( )
i konstan
C. APLIKASI INTE!AL DALAM BIDAN EK"N"MI
Di bab ini akan dipelajari mengenai aplikasi hitung integral dalam bidang ekonomi, yaitu mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya. Seperti mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi biaya total dari biaya marginal. 0encari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal dan fungsi kapital dari fungsi investasi. Penentuan fungsi asal dari fungsi marginalnya yang di kemukakan di atas merupakan aplikasi integral tak tentu dalam bidang ekonomi. Di samping itu bab ini akan di pelajari juga konsumen surplus dan produsen surplus yang merupakan aplikasi integral tertentu dalam bidang ekonomi.3ujuan bab ini . setalah mempelajari bab ini peserta didik (mahasis$a di harapkan mampu menerapkan hitung integral dalam bidang. a. #plikasi 7ntegral 3ak 3entu Dalam Bidang 5konomi Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi!fungsi ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsi asal dari fungsi marginalnya.
0encari fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi. #$ngsi Bia%a Total &C'
9ungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. C=∫ MC dq
#$ngsi Penerimaan Total &!'
9ungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. R=∫ MC dq
#$ngsi Kons$msi &C'
9ungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (0P8, dan sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.
C=∫ MPC dy
#$ngsi Ta($ngan &S'
9ungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (0PS, dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan. S=∫ MPS dy
#$ngsi Mo)el &K'
9ungsi (pembentukan modal atau fungsi (pembentukan kapital merupakan integral dari (aliran investasi bersih (7 dan sebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama dari fungsi kapital. H tK 7(t dt
#gar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi marginalnya, di ba$ah ini diberikan beberapa contoh. Lntuk dapat membedakan konsumsi (8, biaya total (8 dengan tetapan?konstanta integrasi (8, khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan dengan H. Conto* +.,
Biaya 0arginal di tunjukkan oleh 08':*!*M;'*M). Biaya tetapnya adalah '@. 8arilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata!rata dan fungsi biaya variabelnya. Pen%elesaian
9ungsi biaya total, 8 K 08 dM (':* ! *M ; '*M)dM ¿ 150 q −40 q 2 +
10 ( 0 )3+ k 3
(H Honstanta 7ntegrasi Bila M * dimasukkan ke dalam fungsi 8 f(M tersebut, didapat biaya tetap (98 sebagai berikut 6 3
0 ¿ + K 2 10 0¿ + ¿ 3 F =150 ( 0 )+ 40 ¿
'@ H 98 adi, f$ngsi (ia%a totaln%a adalah 6 2
=150 q −40 q +
#$ngsi (ia%a rata-ratan%a
10 ( q )3 + 134 3
! =
= q
150 q −40 q
2
+
10 ( q )3 + 134 3
q
=150 q− 40 q2 +
10 134 ( q )3 + 3 q
#$ngsi (ia%a aria(el /C 0 C 1 #C
¿
(
150 q − 40 q
¿ 150 q −40 q 2+
2
+
10 3 ( q ) + 134 3
)−
134
10 ( q )3 3
Conto* +.2
Penerimaan marginal di tunjukkan oleh 0N )* – @M (M kuantitas barang 3entukanlah 6 (a 9ungsi penerimaan total (b 9ungsi permintaan
Pen%elesaian
(a 9ungsi penerimaan total N
K 0N dM K ()* – @M dM )*M – )M) ; 8
Bila M *, maka N *. Selanjutnya nilai 8 (konstanta 7ntegrasi dicari dengan memasukkan M * dan N * ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai 8 sebagai berikut 6 N )* M – )M) ; 8
* )* (* – ) (*) ; 8 8* adi, fungsi penerimaan totalnya adala 6 N f(M )*M – )M) (b 9ungsi permintaaan N M.p
O
" 20 q− 2 q p= = q q
2
p=20 −2 q → q=
adi, fungsi permintaannya adalah M q =
−1 2
−1 2
p + 10
p + 10
Conto* +-3
Gasrat marginal untuk konsumsi (0P8 adalah *,. Bila pendapatan nol (y * maka besarnya konsumsi adalah :*. 3entukanlah besar konsumsinya. Pen%elesaian
8 K 0P8 dy K *, dy K *, y ; H Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai H (Honstanta 7ntegrasi degan memasukkan y * dan 8 (konsumsi :*, ke dalam persamaan di atas akan di dapat H sebagai berikut 6
8 *, y ; H :* *, (* ; H H :* adi, f$ngsi kons$msin%a 8 f(y *, y ; H *, y ; :* Conto* +-4
Gasrat 0,6 +
marginal 0,1
√ y
untuk
konsumsi
(0P8
adalah
0P8
. #pabila pendapatan nol (y *, konsumsinya sebesar '*.
3entukanlah fungsi konsumsinya 8 f(y. Penyelesaian 9ungsi konsumsinya 8 K 0P8 dy
¿ # ( 0,6 +
0,1
√ y
)
−1
¿(0,6 + 0,1 y 2 ) dy
0,1 ¿ 0,6 y + .y −1 +1 2
−1 + 1 2
+ K
1
¿ 0,6 y + 0,1 . y 2 + K 1 2 ¿ 0,6 y + 0,2 √ y + K
Selanjutnya di cari terlebih dahulu ilai (HHonstanta 7ntegrasi dengan memasukkan y * dan 8 (konsumsi '* ke dalam persamaan di atasdi dapat H sebagai berikut 6 =0,6 y + 0,2 √ y + K
10= 0,6 ( 0 )+ 0,2 √ 0 + K
K =10
adi, f$ngsi kons$msin%a5 8 f (y =0,6 y + 0,2 √ y + K =0,6 y + 0,2 √ y + 10 Conto* +-6
Gasrat marginal untuk menabung, 0PS *,): Bila pendapatan nasional '**, terjadi tabungan negatif sebesar '*. 3entukanlah fungsi tabungan, S f(y dan tentukanlah pula fungsi konsumsi 8 f(y. Pen%elesaian
0PS *,): S K 0PS dy K (*,): dy *,):y ; H Selanjutnya di cari terlebih dahulu nila H (konstanta 7ntegrasi dengan memasukkan y '** dan S !'* ke dalam persamaan di atas di dapat H sebagai berikut 6
S
*,):y ; H
!'*
*,): ('** ; H
!'*
): ; H
H
!:
adi, f$ngsi ta($ngann%a S
f (y *,):y ; H *,):y ! : !: ; *,):y
#$ngsi kons$msin%a
I
8;S
8
y–S y – (!: ; *,):y y ; : – o,):y : ; *,<:y
adi, fungsi konsumsinya, 8
f (y :; *,<:y
8ontoh ! F 3ingkat investasi bersih, l )* t)?: dan stok kapital (modal pada a$al tahun, t * adalah <: . 3entukanlah fungsi kapitalnya Pen%elesaian
l(t
)* t)?:
H t
K l(t dt )* K t)?: dt
¿
20 7 t + 2 5 1+ 5
7
100 5 t + ¿ 7
Selanjutnyadicari terlebih dahulu nilai 8(konstantaintegrasi dengan memasukkan nilai t * dan H t <:, kedalam persamaan diatas didapat nilai 8 sebagai berikut 6
7
100 5 K t = t + 7 7
100 ( 0 ) 5 + 75= 7
7: 8
adi fungsi kapitalnya
H t f(t 7
100 5 ¿ t + 75 7
Conto* + 1 7
3ingkat investasi bersih adalah l :* t)? dan stok kapital pada tahun pertama ( t ' adalah ':*.carilah fungsi kapitalya. Selanjutnya berapakah besar kapital pada tahun ke empat. Pen%elesaian
7 :* t)? H t
K7(t dt
K(:*t)? dt :* K t)? dt
2
¿
50 3 + 1 t + 2 +1 3 5
¿ 50 t 3 + 5 3 5 3
¿ 30 t +
Dicari terlebih dahulu nilai 8 (konstanta integrasi dengan memasukkan dan H t ':* ke dalam persamaan di atas, didapat nilai 8 sebagai berikut 6 5
H t ¿ 30 t 3 + ':* * ('
:?
;8
':* *(' ; 8 8 ')* adi, f$ngsi kapitaln%a H t f(t 5 3
¿ 30 t +
t'
5 3
¿ 30 t + 120 Besarn%a 8apital pa)a ta*$n keempat & t 0 4' 5
H t ¿ 30 t 3 + 120 5 3
¿ 30 ( 4 ) + 120 ¿ 30 ( 10.07 )+ 120
¿ 422,1 Conto* + 1 +
Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang 08 M) – )@M ; @: ika untuk memproduksi ' unit barang tersebut diperlukan biaya @@ tentukanlah 6 (a 9ungsi biaya totalnya (b Besar biaya total, biaya rata!rata serta biaya marginal pada saat output ) unit Pen%elesaian
(a 9ungsi biaya total, O 8 K (08 dM K (M) – )@M ; @: dM M – ')M) ; @:M ; H S5#QL3QI# Q7#7 H (H 2QS3#Q3# 7 Q35RN#S7 D78#N7 35N5B7G D#GLL D5QR#Q 050#SLHH#Q 1
' D#Q 8 (B7#I# @@ H5
D##0 P5NS#0##Q D7 #3#S D7 D#P#3 6
8 1 – ')1) ; @:1 ; H @@ (' – ')(') ; @:(' ; H
H @@ – @ '* #D7 9LQRS7 B7#I# 323#QI#
8 1 – ')1) ; @:1 ; H 1 – ')1) ; @:1 ; '* (b Besarnya biaya total, bila M ) 8 M – ')M) ; @:M ; '* () – ')()) ; @:() ; '* F* Besarnya biaya rata!rata, bila M )
3
2
10 q −12 q + 45 q + 10 =q 2−12 q + 45 + ! = = q q q
q =2 → ! =( 2 )−12 ( 2 )+ 45 + 2
10 2
Besarnya biaya marginal, bila M ) 08 M)! )@M ;@: ()) – )@() ; @: / Conto* +-9
Seorang monopolis memiliki fungsi 0N 'F – :1 08 @1 – ) 98 '* M kuantitas output dan p harga per unit output. #pabila si monopolis menghendaki keuntungan yang maksimum, (a Berapa unitkah sebaiknya ia berproduksi dan dengan harga berapa tiap output unit di jual. (b Berapa besar keuntungan yang akan di peroleh si monopolis
Penyelesaian 0N 'F – :M N& !: N K 0N dM K ('F – :M dM 'FM – :?)M) ; H !:?) M) ; 'FM ; H 08 @M – ) 8& @ 8
K 08.dM K (@M – ) dM )M) – )M ; H
Bila M *, maka 8 98 '*. Selanjutnya nilai H (Honstanta 7ntegrasi di cari terlebih dahulu dengan memasukkan M *, 8 '* ke dalam persamaan di atas, di dapat 6 8 )M) – )M ; H '* )(*) – )(* ; H '* k adi, 8 )M)! )M ; H )M)! )M ; '* Bila M *, maka N *, selanjutnya nila H (Honstanta 7ntegrasi di cari terlebih dahulu dengan memasukkan M *, N * ke dalam persamaan di atas, di dapat 6 N 'FM – :?) M) ; H ' 'F (* – :?)(*) ; H H * adi, N 'FM – :?)M) ;* !:?)M) ; 'F M Besarnya profit?laba, $ = "
( ¿( ¿
16 q−
5 2 q 2
16 q−
5 2 q 2
)−( )−(
2q
2
−2 q + 10 )
2q
2
−2 q + 10 )
aba tersebut akan maksimum bila memenuhi dua syarat 6 ' 0N 08
O
'FM – :M @M – ) /M ' M)
) N& 8& )
O
N& !: 8& @ (maksimum pada M
Besarnya laba maksimum tersebut, $ =
−9 2
$ %aks =
2
q + 18 q −10
−9 2
( 2 )2 +18 ( 2 )−10
Besarnya harga per unit output (p "= qp
" p= q
−5 ¿
2
2
q + 16 q q 5 2
¿ 16− q 5 2
¿ 16− ( 2 )=11
adi, a. untuk mendapatkan laba yang maksimum, sebaiknya si monopolis berproduksi sebanyak ) unit, dengan harga jual per unit '' b. keuntungan maksimum yang akan diperoleh sebesar
Conto* + 1 ,:
9ungsi 0PS suatu masyarakat adalah &PS = 0,3 '
1 4 √ y
Bila pada tingkat pendapatan masyarakat nol (y *, maka tabungannya minus '* ditanyakan 6 a. fungsi savingnya b. fungsi 0P8 –nya c. fungsi konsumsinya d. kalau pendapatan masyarakat tersebut '**, hitunglah besarnya 0P8 dan tingkat konsumsi masyarakat tersebut.
Penyelesaian (a. &PS = 0,3 '
1 4 √ y
9ungsi savingnya S
K0PS dy
( ) −1
¿∫
0,3−
y
2
4
dy
1 2
¿ 0,3 y − √ y + K
Dicari terlebih dahulu nilai H (konstanta integrasi dengan memasukkan y * dan S !'*, kedalam persamaan diatas didapat nilai H sebagai berikut 6 1 2
S =0,3 y − √ y + K 1 2
−10 =0,3 ( 0)− √ y + K −10 = K
adi, fungsi savingnya adalah 6
S = f ( y ) 1 2
¿ 0,3 y − √ y + K 1 2
S =0,3 y − √ y −10
(b. fungsi 0P8 –nys 0P8 ; 0PS ' 0P8 ' – 0PS −1
&P =0,7 +
y
2
4
= 0,7 +
1 4 √ y
(8. 9ungsi konsumsi 8 K 0P8 dy
0,7 −1
(¿ + y ) dy 2
4
¿∫ ¿
3erlebih Dahulu dicari 8(konsumsi. Qillai 8 ini di dapat dengan memasukkan I * dan S !'* kedalam persamaan berikut 6 I8;S * 8 – '* 8 '* barulah kemudian dicari nilai H (konstanta integrasi, dengan memasukkan 8 '* dan I * kedalam persamaan (T didapat, &P = 0,70 +
&P =0,70 + (c)
1 4 √ Y 1 = 0,725 40
R#0B#N RN#97HQI# f d 6 M / p) M / p *
* : )
fs 6 M p) ; )p ! M *
: ' ) )
p '
M (*,/
fs fd Ps
* (',*
8s
Soal!soal atihan .'
biaya marginal ditunjukkan oleh 08 '* – @:M ; M) biaya tetapnya adalah ** 3etukalah6 (a fungsi biaya totalnya (b fungsi biaya rata!rata dan fungsi biaya variabel
.)
penerimaan marginal ditunjukkan oleh 0N )** !)*M – ':M) ( M kualitas barang 3entukanlah6 (a fungsi penerimaan total da fungsi penerimaan rata!rata. (b Penerimaan total dan harga tiap unit barang aabila barang yang terjual sebayak @ unit
.
bila hasrat marginal untuk konsumsi, 0P8 *,<: dan bila endaatan nol, aka besarannya konsumsi adalah @* 3antukanlah6 (a fungsi knsumsinya (b besarnya konsumsi bila besarnya endapatan '**
.@
Gasrat marginal untuk menabung, 0PS *,F Bila pedapatan nasional )**, terjadi tabungan negatif sebesar * 3entukanah6 (a fungsi tabungan , S f(y (b fungsi konsumsi , 8 f(y
(c besar tabungan da konsumsi asing!asing bila edapata nasional @** .:
tingkat investasi bersih , 7 '* t?@ dan stok kaital ada a$al tahun (t * F* tentukanlah6 (a fungsi kapitalnya (b besarnya kapital pada tahun kelima
.F
biaya marginal untuk emproduksi suatu barang, 8 : – ')M ; M) bila memproduksi ' unit barang tersebut dielukan biaya :*, tentukanlah6
adalah
(a fungsi biaya total dan fungsi biayarata!rata (b besarya biaya total dan biaya ratat!rata bila berroduksi sebanyak ) unit .< seorang mooolis memiliki fungsi 0N ) – M 08 )M – 98 )* #pabilasi monopolis menghendaki keuntungan yag maksimum (M kuantitas output, p harga per unit output (a berapa unit sebaiknya dia berproduksi dan dengan harga berapa tiyap unit output sebaiknya dijual
(b berapa besar keuntungan yang akan diperoleh si monoolis (c buatlah grafik 8,N,08,0N daam satu gambar . fungsi permintaan trhada suatu barang berbentuk, M ': – p bila p harga tiyap unit barang dan M kualitas unit barang. 3entukanlah surlus bila kuantitas keseimbanga pasar : dan buatlah grafiknya.
./ fungsi permintaan terhadap suatu barang berbentuk M kualitas barang. 3entukanlah surlus konsumen bila tingkat harga keseimbangan pasar ) dan buatlah grafiknya
.'* fungsi pena$aran terhadap sejenis barang berbentuk M )p – bila p harga tiap unit barang dan M kuantitas barang. 3entukanlah produsen surplus, bila harga keseimbangan pasar . buatlah grafiknya.
''!' fungsi pena$aran terhadap suatu barang berbentuk M p ; '?@p)
P harga tiap unit barang dan M kuantitas barang 3entukanlah produsen surplus, bila kuantitas keseimbangan pasar . buatlah grafiknya.
''!'@ tentukanlah konsumen surplus dan produsen surplus pada tingkat keseimbangan pasar, bagi sejenis barang yang memiliki fungsi permintaan dan fungsi pena$aran sebagai berikut6
9ungsi permintaan
fungsi pena$aran
(a M @: – p
M *,:p –
(b M /F !p !)p)
M '*p ; @p)
''.': bila fungsi permintaan sejenis barang berbentuk, M ' – )p) p harga per!unit barang dan M kuantitas barang tentukanlah konsumen surplus, bila (a kuantitas keseimbangan pasar adalah ) (b harga per unit barang pada keseimbangan pasar adalah ' ''.'F dalam kondisi persaingan sempurna, kuantitas barang yang diminta pada harga! harga yang berlaku ditentukan oleh fungsi permintaan dan pena$aran masing! masing sebagai berikut, M '* – p – p) dan M p) !p) – ) M kuantitas barang dan p harga per unit barang. 3entukanlah konsumen surplus pada produsen surplus pada titik keseimbangan pasar
''.'< seorang produsen mempunyai fungsi pena$aran, M )p – '* bila p harga per unit barang dan M kuantitas barang tentukanlah produsen surplus pada titik keseimbangan pasar5(<,@
''.' penerimaan?penjualan marginal sebuah perusahaan perdagangan ditunjukkan oleh 0N )M ; )*. bila kuantitas barang yang terjual mengalami kenaikan dari : unit menjadi unit. 3entukanlah kenaikan penjualan yang diperoleh. M kuantitas barang ''.'/ marginal profit dari penjualan sejenis barang ditunjukkan oleh fungsi 6 0P !:M ;)**. 1 kuantitas barang yang terjual dan 0P marginal profit(dalam ribuan rupiah.bila barang yang terjual sebanyak '** unit, profitnya setengah juta rupiah. 3entukanlah fungsi profitnya.
BAB III PENUTUP
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi. Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan ditabung. ika pendapatan dilambang dengan I, sedangkan konsumsi dan tabungan masing – masing dilambangkan dengan 8 dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan6 Y = C + Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang pula, sehingga 6 DI ¶8 ; ¶S à diferensial S S (I,i, dimana S adalah tabungan (savings. I adalah pendapatan nasional (national income, dan i adalah suku bunga (interes rate. Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat
( )
δS di δi
sebagai
aproksimasi untuk menentukan perubahan yang dihasilkan. adi perubahan total dalam diaproksimsi dengan diferensial
( ) +( )
dS =
∂S dY ∂ Y
∂S di ∂i
DA#TA! PUSTAKA
Dumairy, %0atematika 3erapan untuk Bisnis dan 5konomi&, edisi kedua, BP95, Iogyakarta, '//' http6??books.google.co.id?books=idUatld3RRVQ18Wprintsecfrontcover Budnick,S. 9rank . applied matemathics for business, economics, and the sosial science. 5d ke !@, Singapore 6 0cra$ – Gill, '//. Bab '/ 8hiang,8 . alpha fundamental methods of mathematical economics. 5d. He !, ne$ york 6 0c Rra$ – Gill , '/@. Bab ' Do$ling, 5d$ard 3. matemathical for economists. Singapore 6 0cRra$ – Gill , '/*. Bab '< Xeber,jean 5. mathematical analysis, Business and 5conomics applications. 5d. He !@. ne$ york 6 harper W Nao, publisher, '/). Bab @
