ANCOVA

An´ alise de Covar ariˆ iˆ ancia

An´ An ´ al ise alis e de Co Covar variˆ iˆ an cia anci a - AN ANCOVA COVA Combin Com bina a as t´ ecnic ecnicas as de ANOVA com com as de An´ alise ali se de Regre Reg ress˜ ss˜ ao. ao. Id eia b´ Ide asi sic ca: Incorp Inc orporar orar ` a ANOVA uma ou mais mais vari´ aveis ave is quanqua ntitativas correlacionadas com a vari´ avel avel respo res posta. sta. 1. Ob Obje jeti tivo vo:: Reduzir o erro experimental na compara¸ c˜ ao dos tratamentos. 2. Ex Exem empl plo o 1: Um estudo foi planejado para avaliar os efeitos de 3 filmes promocionais promoci onais sobre uma viagem ` a Bahia. Quinze indiv´ indiv´ıduos foram escolhidos escol hidos ao acaso, acaso, sendo que cada um deles preencheu preencheu um question´ question´ ario ario fornecend fornecendo o suas impress˜ oes oes sobre uma viagem ` a Bahia B ahia antes de assistir algum dos filmes. Em seguida, seguida, 3 grupos de 5 indiv´ıduos foram foram sorteado sorteadoss para para assistir assistir a um dos filmes cuja dura¸ c˜ c˜ ao ao era de 5 minutos. Depois Dep ois cada indiv´ indiv´ıduo era questionado questio nado sobre sobre o filme, filme, sobre sobre seu desejo desejo de ir ` a Bahia, Bahia, etc. etc. Tanto anto os result resultado adoss do question´ ario ario inicial quanto do final foram traduzidos em escores. 1

An´ An ´ al ise alis e de Co Covar variˆ iˆ an cia anci a - AN ANCOVA COVA Combin Com bina a as t´ ecnic ecnicas as de ANOVA com com as de An´ alise ali se de Regre Reg ress˜ ss˜ ao. ao. Id eia b´ Ide asi sic ca: Incorp Inc orporar orar ` a ANOVA uma ou mais mais vari´ aveis ave is quanqua ntitativas correlacionadas com a vari´ avel avel respo res posta. sta. 1. Ob Obje jeti tivo vo:: Reduzir o erro experimental na compara¸ c˜ ao dos tratamentos. 2. Ex Exem empl plo o 1: Um estudo foi planejado para avaliar os efeitos de 3 filmes promocionais promoci onais sobre uma viagem ` a Bahia. Quinze indiv´ indiv´ıduos foram escolhidos escol hidos ao acaso, acaso, sendo que cada um deles preencheu preencheu um question´ question´ ario ario fornecend fornecendo o suas impress˜ oes oes sobre uma viagem ` a Bahia B ahia antes de assistir algum dos filmes. Em seguida, seguida, 3 grupos de 5 indiv´ıduos foram foram sorteado sorteadoss para para assistir assistir a um dos filmes cuja dura¸ c˜ c˜ ao ao era de 5 minutos. Depois Dep ois cada indiv´ indiv´ıduo era questionado questio nado sobre sobre o filme, filme, sobre sobre seu desejo desejo de ir ` a Bahia, Bahia, etc. etc. Tanto anto os result resultado adoss do question´ ario ario inicial quanto do final foram traduzidos em escores. 1

3. Esco Escolha lha das covari´ avei s: Devem ser correlacionadas com a aveis: vari´ avel avel resposta. resp osta. N˜ ao ao devem ser afetadas pelos pel os tratamentos. tratamen tos. Exemplo 2: Compara¸ c˜ c˜ ao ao de dois doi s m´ etodos eto dos de ensin ensino o (t (trat ratam amenentos) tos).. M´ eto et o do 1 usa usa o comp comput utad ador or e M´ eto et o do 2 n˜ ao ao usa us a (pad (p adr˜ r˜ ao). ao). Vari´ avel re avel resp spos osta ta:: nota em um teste para verificar o aprendizado. Covar ari´ i´ avel: tempo gasto estudando. Quando Qua ndo a covari´ cov ari´ avel ave l n˜ ao ao ´ e afet afetada ada p elos elo s trat tratame ament ntos, os, o inter int erval valo o de defini¸ c˜ c˜ ao ao de seus valores ´ e o mesmo para todos to dos os tratamentratame ntos, isto ´ e, e, a distribu dist ribui¸ i¸ c˜ c˜ ao ao dos dos valor va lores es da covar co vari´ i´ avel avel ´ e simi si milar lar para par a todos os tratamentos, sujeita somente ` a uma varia¸ c˜ c˜ ao cas ca sual. al . Observa¸ c˜ ao: ANCOVA sup˜ oe oe que a covari´ avel avel seja sej a quantit quan titativ ativa. a. Se for qualitativa, usamos um modelo em blocos. 2

4. Modelo de ANCOVA para um fator fixo Modelo de ANOVA

yij = µ + τ i + eij , i = 1, . . . , r e j = 1, . . . , n . Modelo de ANCOVA (para uma covari´ avel e rela¸ c˜ ao linear)

yij = µ + τ i + γXij + eij , i = 1, . . . , r e j = 1, . . . , n . γ  ´ e o coeficiente de regress˜ ao para a rela¸ ca ˜o linear entre a v. resposta Y  e a covari´ avel X ; µ n˜ ao ´ e interpretada como a m´ edia ¯.. = i,j Xij /(nr), podegeral; centrando X em sua m´ edia geral X mos interpretar µ como a m´ edia geral.



3

Modelo de ANCOVA usual ¯..) + eij , yij = µ + τ i + γ (Xij − X

i = 1, . . . , r e j = 1, . . . , n . yij : valor da v. resposta associada ` a unidade experimental j submetida ao tratamento i; edia geral (constante); µ: m´ a restri¸ c˜ ao i τ i = 0; τ i: efeito fixo de tratamento i, sujeito ` γ  ´ e o coeficiente de regress˜ ao para a rela¸ c˜ ao linear entre Y  e X ; Xij : valor da covari´ avel X para a unidade experimental j submetida ao tratamento i; eij : erro aleat´ orio associado ` a unidade experimental j submetida ao tratamento i. Supomos que eij s˜ ao independentes com distribui¸ c˜ ao N(0, σ 2).



4

Segue que ¯..), Var(yij ) = σ 2 e yij ∼ N(µij , σ 2), E(yij ) = µij = µ+τ i +γ (Xij −X independentes. Propriedades do modelo de ANCOVA (forma usual) c˜ oes entre os efeitos dos tratamentos • Compara¸ – Para o modelo de ANOVA: E(yij ) = µi = µ + τ i, para todo  j ; – Para o modelo de ANCOVA: E(yij ) = µij = µ + τ i + γ (Xij − ¯..), ou seja, a resposta m´ edia sob cada tratamento ´ e uma X reta de regress˜ ao; 5

¯.., µ+τ i ´ c˜ ao geom´ etrica: para Xij = X e o intercepto • Interpreta¸ da reta de regress˜ ao; e o coeficiente angular de cada reta (retas paralelas). • γ  ´ • Fixado um valor qualquer Xij temos:

¯..) µij − µi j  = µ + τ i + γ (Xij − X ¯..)] − [µ + τ i + γ (Xij − X = τ i − τ i , ou seja, τ i − τ i mede a diferen¸ ca entre as resp. m´ edias dos tratamentos i e i para qualquer valor de X . Quando todos os tratamentos tiverem a mesma resp. m´ edia para qualquer valor de X , as retas de regress˜ ao devem ser coincidentes, ou seja, τ 1 = . . . = τ r . 6

ao ´ e o mesmo • Retas paralelas: se o coeficiente angular γ  n˜ para todas as retas de regress˜ ao, a diferen¸ ca entre os efeitos dos tratamentos n˜ ao ´ e constante para cada valor de X . Neste caso, a ANCOVA n˜ ao ´ e apropriada. Retas de regress˜ ao diferentes devem ser ajustadas, uma para cada tratamento, e ent˜ ao comparadas. 5. Generaliza¸ co ˜es do modelo de ANCOVA avel ´ e uma vari´ avel aleat´ oria. O modelo de ANCOVA • A covari´ deve ser interpretado como um modelo condicional, aplic´ avel para qualquer valor observado de X . ao-linearidade de X . • N˜

A linearidade n˜ ao ´ e essencial. No entanto, n˜ ao deve haver efeito de intera¸ c˜ ao entre a covari´ avel e os tratamentos. 7

avel. O uso de uma covari´ avel apenas • Mais de uma covari´ ´ e, em geral, suficiente para reduzir a variabilidade do erro experimental. A extens˜ ao do modelo de ANCOVA para mais de uma covari´ avel ´ e imediata. 6. Formula¸ ca ˜o do modelo de ANCOVA como um modelo de regress˜ ao

• r − 1 v. indicadoras para representar os r tratamentos

 1, I 1 = −1,  0,

se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento 1; se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento r; caso contr´ ario. 8

 1, I r−1 = −1,  0,

se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento (r-1); se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento r; caso contr´ ario.

¯.. = xij • Xij − X • yij = µ + τ 1I 1 + . . . + τ r−1I r−1 + γxij + eij .

7. Inferˆ encias de interesse

H 0 : τ 1 = . . . = τ r = 0; H 1 : nem todos os τ is s˜ ao iguais. Via regress˜ ao testar H 0 : τ 1 = . . . = τ r−1 = 0 (teste F-parcial). 9

Se H 0 ´ e rejeitada, devem ser realizadas compara¸ c˜ o es m´ ultiplas para investigar a natureza destes efeitos. Em geral, n˜ ao h´ a interesse em verificar a natureza da rela¸ c˜ ao entre X e Y  . A covari´ avel X ´ e usada apenas para reduzir a variabilidade do erro. 8. An´ alise do ajuste do modelo • Normalidade do erro experimental;

ancias entre os tratamentos; • Igualdade de variˆ c˜ oes das diferentes equa¸ co ˜es de regress˜ ao; • Igualdade de inclina¸ ao correlacionados • Erros n˜ 10

9. Exemplo 3. Uma companhia estudou os efeitos de 3 diferentes tipos de promo¸ c˜ a o na vendas de seus biscoitos. 15 lojas foram selecionadas e em plano completamente aleatorizado foi utilizado. 5 lojas foram alocadas ao acaso para cada tipo de promo¸ c˜ ao. Pre¸ co e propaganda foram mantidos constantes durante o estudo nas 15 lojas. A v. resposta Y  foi o n´ umero de pacotes vendidos no per´ıodo e a covari´ avel X foi o n´ umero de pacotes vendidos antes da promo¸ c˜ ao, num per´ıodo de mesma dura¸ c˜ ao. Promo. 1 2 3

1

Y i1 38 43 24

2

Xi1 21 34 23

Y i1 39 38 32

Xi2 26 26 29

Loja 3 Y i2 Xi3 36 22 38 29 31 30

4

Y i3 45 27 21

5

Xi4 28 18 16

Y i5 33 34 18

Xi5 19 25 29 11

Tratamento

45

1 2 3

40

35        Y

30

25

20 15

20

25

30

35

X

Gr´ afico 1. Dispers˜ ao de Y versus X por tratamento 12

Modelo de regress˜ ao

¯..) + eij , yij = µ + τ 1I 1 + τ 2I 2 + γ (Xij − X

i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4, 5. ¯.. = Xij − 25, Fazendo xij = Xij − X

 1, I 1 = −1,  0,  1, I 2 = −1,  0,

se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento 1; se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento 3; caso contr´ ario; se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento 2; se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o tratamento 3; caso contr´ ario, 13

temos

i 1 1 ... 2 2 ... 3 3

j 1 2 ... 1 2 ... 4 5

yij 38 39 ... 43 38 ... 21 28

Xij 21 26 ... 34 26 ... 16 29

xij -4 1 ... 9 1 ... -9 4

I 1 1 1 ... 0 0 ... -1 -1

I 2 0 0 ... 1 1 ... -1 -1

O modelo de regress˜ ao ajustado (modelo completo) ´ e dado por

yij = 33, 8 + 6, 017I 1 + 0, 942I 2 + 0, 899xij . 14

Considerando que realizamos uma an´ alise do ajuste do modelo e que conclu´ımos que este se encontra bem ajustado, temos que SQRC  = 38, 571, QMRC  = 3, 506 e gl C  = 11. Al´ em disto, a matriz de covariˆ ancia dos coeficientes da regress˜ ao ´ e dada por

0, 2338  0  0 0

   .

0, 5016 −0, 2603 0, 4882 0, 0189 −0, 0147 0, 0105

Teste para os efeitos dos tratamentos Para testar H 0 : τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0, ou seja, H 0 : τ 1 = τ 2 = 0, contra H 1 : nem todos os τ is s˜ ao iguais, ajustamos o seguinte modelo de regress˜ ao

yij = µ + γxij + eij , 15

(modelo reduzido) obtendo SQRR = 455, 722 e gl R = 13. A estat´ıstica para o teste de H 0 ´ e dada por

F ∗ =

SQRR − SQRC  455, 722 − 38, 571 : QM RC  = : 3, 506 = 59, 5. 13 − 11 glR − gl C 

Sob H 0, F ∗ ∼ F [2, 11], o que conduz a um n´ıvel descritivo a evidˆ encias para rejeitarmos H 0, ou seja, P < 0, 001. Assim, h´ parace haver efeito do fator promo¸ c˜ ao sobre o n´ umero de biscoitos vendidos.

10. Estima¸ c˜ ao dos efeitos dos tratamentos. Suponhamos, para exemplificar, um estudo em que r = 3. Caso 1. Desejamos estimar o contraste C  = J´ a que i τ i = 0, temos



ˆ= C 



i aiτ i,





i ai = 0.

τˆ i = (a1 − a3)ˆ τ1   + (a2 − a3)ˆ τ 2

i

e ˆ) = (a1 − a3)2var(ˆ var(C  τ1   ) + (a2 − a3)2var(ˆ τ2  ) τ 1, τˆ2   ). + 2(a1 − a3)(a2 − a3)cov(ˆ A matriz de covariˆ ancias do vetor de coeficientes da regress˜ ao µ, τˆ1   , . . . , τˆr  −1, ˆ γ ) ´ (modelo completo) (ˆ e dada por σ 2(X X )−1 16

e estimada por QM RC (X X )−1, sendo X a matriz de planejamento associada ao modelo completo. Um intervalo de confian¸ ca para C  com coeficiente de confian¸ ca 1−α ´ e dado por

 

ˆ  t[1− α ;nr−r−1] var( ˆ ], [C  ˆ C  2

em que t[1− α ;nr−r−1] ´ e o quantil de ordem 1 − α/2 da distribui¸ c˜ ao 2 t Student com nr − r − 1 graus de liberdade. Caso 2. Se quisermos construir uma fam´ılia de intervalos de confian¸ ca com coeficiente de confian¸ c a global 1 − α, podemos utilizr o m´ etodo de Scheff´ e ou de Bonferroni. Neste caso, os intervalos de confian¸ ca s˜ ao dados por: 17

 

ˆi  S  var( ˆi)], i = 1, 2, . . . , em que Scheff´ e: [C  ˆ C  S 2 = (r − 1)F [1−α;r−1;nr−r−1], sendo F [1−α;r−1;nr−r−1] o quantil de ordem 1 − α obtido da distribui¸ c˜ ao F  Snedecor com a − 1 e ˆi e var( ˆi) definidos anteriormente. nr−r−1 graus de liberdade e C  ˆ C 

 

ˆi  B var( ˆi)], i = 1, 2, . . . , s , em que Bonferroni: [C  ˆ C  B = t[1−α/(2s);nr−r−1], sendo s o n´ umero de intervalos de confian¸ ca e t[1−α/(2s);nr−r−1] o quantil de ordem 1 − α/(2s) obtido ˆi da distribui¸ c˜ ao t Student com nr − r − 1 graus de liberdade e C  ˆi) definidos anteriormente. e var( ˆ C  Caso 3. Queremos estudar a resposta m´ edia sob o tratamento i para um valor Xij da covari´ avel X . Em outras palavras, queremos estimar a combina¸ c˜ ao linear L = µ + τ i + γxij . Temos 18

ˆ=µ L γ xij ˆ + τˆi  + ˆ e ˆ) = var(ˆ var(L µ) + var(ˆ τi  ) + x2 γ ) ij var(ˆ + 2xij cov(ˆ µ, ˆ γ ) + 2xij cov(ˆ τ i, ˆ γ ) + 2cov(ˆ µ, τˆ i), com as estimativas das variˆ ancias e covariˆ ancias envolvidas obtidas de QM RC (X X )−1. Um intervalo de confian¸ ca para L com coeficiente de confian¸ ca 1 − α tem a forma do intervalo de conˆ por L ˆ. Em geral, a resfian¸ c a dado no Caso 2 substituindo C  ¯.. ´ posta m´ edia estimada para o tratamento i em X = X e denominada m´ edia ajustada estimada para o tratamento i. O termo ajustada refere-se ao fato do efeito da covari´ avel ser levado em considera¸ c˜ ao na estima¸ c˜ ao. 19

11. Teste de paralelismo Rela¸ c˜ ao linear entre Y  e X . Suposi¸ c˜ ao: Inclina¸ c˜ ao γ  ´ e a mesma para todos os tratamentos. O modelo geral

yij = µ+τ 1I 1 +. . .+τ r−1I r−1 +γxij +β1I 1xij +. . .+βr−1I r−1xij +eij permite diferentes inclina¸ c˜ oes para os tratamentos. Hip´ otese de interesse:

H 0 : β1 = . . . = βr−1 = 0 contra H 1 : h´ a pelo menos uma diferen¸ ca. A hip´ otese H 0 ´ e testada via um teste F-parcial. 20

12. Algumas observa¸ co ˜es

• ANCOVA versus BLOCOS: Em geral, o planejamento em

blocos aleatorizados ´ e prefer´ıvel. – Se a rela¸ c˜ ao entre Y  e X ´ e realmente linear, os dois m´ etodos de an´ alise s˜ ao igualmente eficientes. Se a rela¸ c˜ ao entre Y  e X n˜ ao ´ e linear mas utilizamos a ANCOVA supondo rela¸ c˜ ao linear, a ANCOVA ´ e menos eficiente do que o planejamento em blocos aleatorizados. – No planejamento em blocos aleatorizados n˜ ao estabelecemos suposi¸ co ˜ es sobre a natureza da rela¸ c˜ ao entre a var´ıavel usada para formar os blocos e Y  . 21

– No planejamento em blocos aleatorizados o n´ umero de graus de liberdade do res´ıduo ´ e em geral menor do que na ANCOVA. Somente no caso do estudo envolver poucas observa¸ c˜ oes ´ e que essa diferen¸ ca afeta a precis˜ ao das estimativas. cas: Se γ  = 1, o modelo de ANCOVA e o • Uso de diferen¸ de ANOVA para zij = yij − xij s˜ ao equivalentes. Temos para

γ  = 1 yij = µ + τ i + xij + eij , ou seja,

yij − xij = µ + τ i + eij . Assim, podemos testar no modelo de ANCOVA se γ  = 1. Se γ   = 1, o modelo de ANCOVA ´ e mais apropriado.

13. ANCOVA para estudos com dois fatores cruzados Modelo de ANOVA

yijk = µ + αi + β j + (αβ )ij + eijk , i = 1, . . . , a, j = 1, . . . , b e k = 1, . . . , n . esimo n´ıvel do fator A; αi : efeito do i-´ esimo n´ıvel do fator B; β j : efeito do j -´ (αiβ j ) : efeito de intera¸ c˜ ao entre o i-´ esimo n´ıvel do fator A e o esimo n´ıvel do fator B.  j -´ 22

Modelo de ANCOVA para um estudo com dois fatores cruzados e uma covari´ avel (rela¸ c˜ ao linear) ¯...) + eijk , yijk = µ + αi + β j + (αβ )ij + γ (Xijk − X

i = 1, . . . , r e j = 1, . . . , n . Modelo de regress˜ ao: Exemplo para a = b =2

yijk = µ + α1I ijk 1 + β1I ijk 2 + (αβ )11I ijk 1I ijk 2 + γxijk + eijk , ¯..., xijk = Xijk − X

 1, I 1 = −1,

se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o n´ıvel 1 do fator A; se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o n´ıvel 2 do fator A; 23

 1, I 2 = −1,

se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o n´ıvel 1 do fator B; se a observa¸ c˜ ao est´ a sob o n´ıvel 2 do fator B;

Observa¸ c˜ ao: Por causa das restri¸ co ˜es  j (αβ )ij = 0, temos





i αi =

 j β j =



 (αβ )

ij =

i

α2 = −α1, β2 = −β1, (αβ )12 = (αβ )11, (αβ )21 = −(αβ )11 e (αβ )22 = −(αβ )12 = (αβ )11. Temos ent˜ ao:

y11k = µ + α1 + β1 + (αβ )11 + γx11k + e11k y12k = µ + α1 − β1 − (αβ )11 + γx12k + e12k y21k = µ − α1 + β1 − (αβ )11 + γx21k + e21k y22k = µ − α1 − β1 + (αβ )11 + γx22k + e22k As quatro retas diferem pelo intercepto mas s˜ ao paralelas. 24

Se (αβ )11 = 0, β1 = 0 e α1  = 0, temos um modelo de ANCOVA com o fator A apenas (duas retas). Se (αβ )11 = 0, α1 = 0 e β1  = 0, temos um modelo de ANCOVA com o fator B apenas (duas retas). Observar que os coeficientes do modelo de regress˜ ao s˜ ao os efeitos α1, β1 e (αβ )11 do modelo de ANOVA e o coeficiente γ  da covari´ avel. Para testar primeiramente

H 01 : (αβ )11 = 0 e, posteriormente,

H 02 : α1 = 0 25

e

H 03 : β1 = 0, caso H 01 seja rejeitada, fazemos uso de testes F parciais. Compara¸ c˜ oes m´ ultiplas s˜ ao realizadas por meio dos procedimentos de Scheff´ e e Bonferroni. 14. ANCOVA para planejamentos em blocos completos casualizados Modelo de ANCOVA ¯..) + eij , yij = µ + ρi + τ  j + γ (Xij − X

i = 1, . . . , b e j = 1, . . . , r . 26

Modelo de regress˜ ao: Exemplo para b = 4 e r = 3

yij = µ + ρ1I 1 + ρ2I 2 + ρ3I 3 + τ 1I 4 + τ 2I 5 + γxij + eij , ¯..., com xijk = Xijk − X Para testar

H 0 : τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0 que equivale a testar

H 0 : τ 1 = τ 2 = 0, no modelo de regress˜ ao, ajustamos o modelo reduzido

yij = µ + ρ1I 1 + ρ2I 2 + ρ3I 3 + γxij + eij , e testamos H 0 por meio de um teste F parcial. 27

Qual ´ e o modelo reduzido para testar se as inclina¸ co ˜es s˜ ao todas iguais?

yij = µ+ρ1I 1+ρ2I 2+ρ3I 3+τ 1I 4+τ 2I 5+γxij +β1I 4xij +β2I 5xij +eij , 15. Exemplo 4 Um analista deseja estudar o efeito da Idade (Fator A, Jovem (i = 1), Meia idade (i = 2), Idoso (i = 3)) e do Gˆ enero (Fator B, Homem ( j = 1), Mulher ( j = 2)) de propriet´ arios de carros usados sobre o valor oferecido (Y  , em centenas de d´ olares) por concession´ arias a seus carros. Seis homens e seis mulheres foram selecionados para cada um de trˆ es grupos de idade. Um determinado carro usado de 6 anos de idade e de pre¸ co m´ edio foi usado no experimento. O volume de vendas da concession´ aria 28

(X , em centenas de milhares de d´ olares) foi usado como covari´ avel. Temos os seguintes valores:

Y ijk Idade (i) 21.0 1 23.0 1 19.0 1 22.0 1 22.0 1 23.0 1 21.0 1 22.0 1 20.0 1 21.0 1 19.0 1 25.0 1

Gˆ enero ( j ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

Propriet´ ario (k) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Xijk 3.0 5.1 1.0 4.4 2.7 4.9 3.5 4.2 2.2 3.1 1.3 6.6 29

Y ijk Idade (i) 30.0 2 29.0 2 26.0 2 28.0 2 27.0 2 27.0 2 26.0 2 29.0 2 27.0 2 28.0 2 27.0 2 29.0 2

Gˆ enero ( j ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

Propriet´ ario (k) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Xijk 6.5 4.1 2.2 3.7 3.4 3.0 2.2 5.4 3.1 4.5 3.6 5.0

30

Y ijk Idade (i) 25.0 3 22.0 3 23.0 3 21.0 3 22.0 3 21.0 3 23.0 3 19.0 3 20.0 3 21.0 3 20.0 3 20.0 3

Gˆ enero ( j ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

Propriet´ ario (k) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Xijk 5.0 3.1 3.2 3.2 3.0 2.9 4.0 0.8 1.9 2.8 2.2 1.9

31