´ ´ LABORATORIO 3 DE AN ALISIS MATEMATICO 3 Escuel Esc uela: a: Ingenie Ing enierr´ıa Civil Civ il
TRANSFORMADA DE LAPLACE Y APLICACIONES En los problemas (1-4) use la definici´ on para encontrar la transformada de Laplace on 1) f ( f (t) =
−1,
0
1,
≤t<1 t≥1
2) f ( f (t) =
t,
0
1,
≤t<1 t≥1
3) f ( f (t) =
2t + 1,1,
0
f ( f (t) =
≤ t < π/2 π/2 t ≥ π/2 π/ 2
0,
≤t<1 t≥1
4) 0, 0 cos t,
En los problemas (5 - 10) use la propiedad de linealidad para hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 5) f ( f (t) = t2 + 6t 6t
−3
6) f ( f (t) = (t + 1)3 7) f ( f (t) = 1 + e4t
8) f ( f (t) = senh kt 9) f ( f (t) = t2
t
−9
−e
+5
10) f ( cos 5t + sen 2t 2t f (t) = cos
En los problemas (11 - 14) hallar la transformada de Laplace usando primero una identidad identida d trigo trigonom´ nom´etrica: etric a: 11) f ( f (t) = sen 2t 2t cos2t cos2t
13) f ( f (t) = sen (4t (4t + 5)
12) f ( f (t) = cos2 t
14) f ( f (t) = 10cos t
π
(− ) 6
En los problemas (15 - 33) hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:
15)
−1
L
1
s2
−
48 s5
}
2
16)
−1
L
2 1 } s
−s
3
3
−1
17)
L
18)
L
19)
L
20) 21) 22) 23) 24) 25)
−1
−1
−1
L
L−1
−1
L
−1
L
−1
L
−1
L
(s + 1) } s 1 } 4s + 1 1 } 5s − 2 5 } s + 49 1 } 4s + 1 2s − 6 } s +9 s+1 } s +2 1 } s + 3s s } 4
2
26)
L−1
27)
L
28)
L−1
29)
−1
−1
L
−1
30)
L
31)
L
32)
L
33)
L
2
−1
2
−1
2
s
2
(s
2
2
1 } s + s − 20 0,9s } (s − 0,1)(s + 0,2) s−3 }
−1
+ 2s − 3
− √ 3)(s + √ 3)
s(s
−
s2 + 1 1)(s + 1)(s
− 2)
}
{ s } (s + 2)(s + 4) 2s − 4 } (s + s)(s + 1) 1 } s −9 1 } 2
2
2
4
(s2 + 1)(s2 + 4)
´ EN EL EJE S TRASLACION En los problemas (34 - 43) hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: 34)
L−1
35)
−1
L
−1
36)
L
37)
L−1
38) 39)
L−1
−1
L
t
−6
{te } {t(e + e ) } {e sen 3t} {e (t − 1) }
40)
1 } (s + 2) 1 }
42)
t
L−1
2t 2
t
2t
41)
−1
L
2
−1
L
3
(s
− 1)
4
s2
s (s + 1)2
}
5s (s 2)2
}
−
1 6s + 10
−
}
2
43)
−1
L
(s + 1) } (s + 2)4
En los problemas (44 - 48) use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales:
t
−4
44) y + 4y = e ′
y(0) = 2
45) y + 2y + y = 0, ′′
46) y
′′
47) y
′′
− 6y + 13y = 0,
48) y y(0) = 0, y (0) = 1
′′
−y
y(0) = 1, y (0) = 1
′
′
− 6y + 9y = t, ′
′
′
′
= et cos t,
y(0) = 0, y (0) = ′
−3
y(0) = 0, y (0) = 0 ′
´ EN EL EJE t TRASLACION En los problemas (49 - 56) encuentre F (s) o f (t) como se indica: πs/2
L
54)
−1
L
s2 + 4
2−t
55)
L
e s s(s + 1)
L−1
e s2 (s
−1
s
−2
53)
L−1
e } s
se } −
{(t − 1) U (t − 1)} 50) L{e U (t − 2)} 51) L{(3t + 1) U (t − 1)} 52) L{cos2t U (t − π)} 49)
56)
3
−
}
s
−2
− 1)
}
En los problemas (57 - 60) escriba cada funci´ on en t´erminos de funciones escal´ on unitario. Encuentre la transformada de Laplace de la funci´ on dada. 57)
59) f (t) =
2, 0 2,
−
≤t<3 t≥3
f (t) =
58) f (t) =
sen t, 0,
0
0, 0 sen t,
≤ t < 3π/2 t ≥ 3π/2
0, 0 cos t,
≤ t < π/2 t ≥ π/2
60)
≤ t < 2π t ≥ 2π
f (t) =
En los problemas (61 - 65) use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales . 61) y + y = f (t), ′
y(0) = 0, donde f (t) =
62) y + 2y = f (t), ′
−
1, 0 1,
≤t<1 t≥1
y(0) = 0, donde f (t) =
t, 0,
0
≤t<1 t≥1
63) y + 4y = f (t),
y(0) = 0, y (0) =
′′
64) y + 4y = ′′
′
U (t − 2π)sen t,
65) y + 4y + 3y = 1 ′′
′
−1 donde 1, 0 ≤ t < 1 f (t) = 0, t≥1
y(0) = 1, y (0) = 0 ′
− U (t − 2) − U (t − 4) + U (t − 6),
y(0) = 0, y (0) = 0 ′
TRANSFORMADA DE LAPLACE. DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA Y TRANSFORMADA DE INTEGRALES En los problemas (66 - 70 ) encuentre la transformada de Laplace usando la f´ ormula L
n
{t f (t)} = (−1)
n n d F (s) dsn
t
−10
{te } 67) L{t cos2t} 68) L{t e } 69) L{t cosh 3t} 70) L{te sen 6t} 66)
L
3
5t
2t
En los problemas (71 - 74 ) use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dado.
71) y + y = t sen t,
y(0) = 0
′
72) y
′
t
− y = te
sen t,
73) y + 16y = f (t), ′′
y(0) = 0 y(0) = 0,
y (0) = 1,
f (t) = 74) y + y = f (t), ′′
y(0) = 1,
donde
′
cos4t, 0
y (0) = 0, ′
f (t) =
0
≤t<π t≥π
donde
1, 0 t < π/2 sen t, t π/2
≤ ≥
TRANSFORMADA DE INTEGRALES En los problemas (75 - 79) use la propiedad
{f ∗ g} = F (s)G(s)
L
para encontrar la transformada de Laplace. No eval´ ue la integral antes de transformar
3
{1 ∗ t } ∫ 76) L{ ue du} ∫ 77) L{ sen u cos(t − u) du} ∫ 78) L{ u sen u du} ∫ 79) L{t ue du} 75)
L
t
t−u
0
t
0
t
0
t
u
−
0
En los problemas (80 - 82) use t
L
}
f (u)du
0
t
F (s) = s
−1
L
F (s) } s
=
f (u)du
0
para evaluar cada transformada inversa 80) L
−1
1 s(s
− 1)
}
81) −1
L
1 s2 (s 1)
}
1
}
−
82) L
−1
s(s
− a)
2
En los problemas ( 83 - 86 ) use la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on integral o integrodiferencial 83) f (t) = 2t
t
− 4 ∫ sen uf (t − u)du 0
8
t
3
0
∫ (u − t) f (u)du ∫ 85) y (t) = 1 − sen t − y(u)du y(0) = 0 ∫ 86) f (t) = te + uf (t − u)du 84) f (t) = 1 + t
−
3
t
′
0
t
t
0
OBSERVACIONES 1) Este trabajo ser´ a presentado el d´ıa jueves 20 de Junio al inicio de la clase 2) El trabajo ser´ a desarrollado en grupos de 7 integrantes 3) La presentaci´ on de los ejercicios debe tener la misma numeraci´ on que se le est´ a dando en este listado.
MSc. Betty Rimarach´ın L´ opez Profesora del curso
