CURSO: ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS METALURGICOS
Realizador por: Mario Guevara Berrío I!"e!iero Civil e! Me#alur"ia
Sep#ie$%re &'((
INDICE:
()
Objetivos y metodología del análisis y optimización de procesos
02 2. 06
Meto Metodo dolo logí gía a de de Aná Análi lisi sis s y Opti Optimi miza zaci ción ón de Proc Proces esos os
. !ara !aract cter erís ísti tica ca de de la met metod odol olog ogía ía de de Anál Anális isis is y Opt Optim imiz izac ació ión n de Procesos. 0" #. 0"
Meto Metodo dolo logí gía a part partic ic$l $lar ar de de AOP% AOP% bas basad ada a en mod model elos os mat matem emát átic icos os..
&. (0
Ad'$isición de datos
6. (
)ise*os e+perimentales
,. (&
-$ndamentos del m$estreo.
. ("
/ipos de de e+ e+perimentos
". 20
Análisis de datos
(0. (0. 2(
Mode Modela laci ció ón de Proces ocesos os
((. ((. 26
lem lemen ento tos s de de Aná Análi lisi sis s de de Pr Proces ocesos os
(2.
l modelamiento matemático de la !onmin$ción 2
(
2
CURSO: ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS METALURGICOS
OB*ETI+O GENERAL ntregar a los participantes las 1erramientas de análisis de procesos y la or orma de apli aplica carl rlas as de mane manera ra '$e '$e p$ed p$eda a enr enren enta tarr con con 3+it 3+ito o los los problemas problemas metal4rgicos metal4rgicos '$e se presentan en $na planta de bene5cio de mine minera rale les s adem además ás est$ est$di diar ar la mode modela laci ción ón y sim$ sim$la laci ción ón de las las dierentes operaciones y procesos metal4rgicos e+tractivos.
OB*ETI+OS OB*ETI+OS ESPECI,ICOS (. )e5nir y describir elementos de ingeniería de sistemas. 2. )escribir metodologías de análisis de proceso análisis de sistemas y modelación matemática. . Ad'$isición y análisis de datos. #. )escribir y aplicar metodologías de validación de inormación de proceso. &. st$d st$dio io de casos casos model modelaci ación ón en7 en7 !1anca !1ancado do Molie Moliend nda a -lotac -lotació ión n 8i+iviación y +tracción por solventes
() O%-e#ivo . $e#odolo"ía del a!/lii . op#i$iza0i1! de pro0eo ()()
()&)
()6)
O%-e#ivo de AOPI 2al#er!a#ivo .3o 0o$ple$e!#ario4 !omprender las interacciones ísico9'$ímicas y de otra nat$raleza de los procesos s$s implicaciones operacionales y económicas :intetizar racionalizaciones en condiciones de proceso operacionales y de planta. :intetizar mejoramientos en la calidad de los prod$ctos )eterminar la actibilidad de innovaciones tecnológicas de proceso mecanizaciones y a$tomatizaciones de 3ste.
Orí"e!e de u!a e5i"e!0ia $e#odol1"i0a 8imitación de los rec$rsos disponibles tanto en calidad como en cantidad ;rec$rsos nat$rales y energ3ticos 5nancieros mano de obra especializada<. sto e+ige '$e s$ $so sea e5ciente para garantizar '$e se obtiene en má+imo provec1o posible por $nidad de rec$rso invertida. 8a imperección de todo proceso arti5cial en el sentido de '$e s$ e5ciencia no es má+ima ;(00=<. sto cond$ce a la posibilidad de lograr mejores e5ciencias a trav3s de innovaciones tecnológicas y metodológicas. 8a cada vez mayor complejidad y complicación de los procesos arti5ciales. 8a e+istencia de t3cnicas y procedimientos para lograr $n $so racional de los rec$rsos limitados y mejorar la e5ciencia de los procesos arti5ciales. sto ay$dado por el desarrollo en 1ard>are y sot>are.
Me#odolo"ía de i!"e!iería de i#e$a
tapas en c$anto a la ?vida@ de $n sistema. a<
Plani5cación de programas '$e se re5ere a la de5nición y selección de programas y políticas '$e se 1an de perseg$ir en el conte+to en '$e se aplicarán.
#
b< Plani5cación de proyectos en la '$e se implementan los proyectos '$e conorman el sistema y se establecen los planes de s$ prod$cción. c< )esarrollo del sistema en '$e este se dise*a ;sintetiza y analiza< y se generan las especi5caciones para s$ prod$cción ;ingeniería básica y de proyecto< d< Prod$cción en la '$e los elementos del sistema son prod$cidos así como las bases t3cnicas para s$ instalación. e< %nstalación en la '$e se instalan los distintos elementos del sistema y se completan los planes de operación. < Operación '$e se re5ere al manejo del sistema poara lograr los objetivos '$e se perseg$irán con s$ dise*o. g< etiro reemplazo o modi5cación del sistema dando l$gar así a $na n$eva iteración en el ciclo.
()7)
,ae
(.#.(. De8!i0i1! del pro%le$a en la '$e se orm$lan los dierentes actores y s$s características '$e cond$jeron al problema en c$estión a transormarse en $no contingente. :e detallan por ejemplo las necesidades las restricciones las características y disponibilidad de datos el medio etc. (.#.2. Die9o de i#e$a de valore en la '$e se post$lan y clasi5can los objetivos c$yo logro resolverá los problemas descritos en la ase anterior. :e de5nen los objetivos y los criterios para s$ medida ;índices< event$almente tambi3n se de5nen metas parciales. (.#.. Sí!#ei de i#e$a en la '$e se concept$alizan potenciales candidatos para políticas actividades controles y sistemas completos '$e p$eden permitir alcanzar los objetivos comprometidos. n esta ase se generan las diversas alternativas de sol$ción del problema. (.#.#. A!/lii de i#e$a en la '$e se determina el comportamiento del sistema y s$s interrelaciones y las características de las políticas actividades y controles prop$estos en t3rmino de logros de los objetivos la resol$ción del problema y la satisacción de las necesidades y todo esto para distintas condiciones en el medio y las restricciones. (.#.&. To$a de de0iio!e en la '$e se elige $na de las políticas alternativas y event$almente otras para s$ event$al aplicación. :e 1a de considerar $n procedimiento de &
eval$ación y selección '$e permita comparar las diversas alternativas. (.#.6. I$ple$e!#a0i1! en '$e se ejec$ta ísicamente la decisión tomada. sto cond$ce a comenzar con la primera ase de la etapa sig$iente.
&) Me#odolo"ía de A!/lii . Op#i$iza0i1! de Pro0eo 2.(. )e5nición de problemas la ind$stria de procesos está inmersa y se m$eve a trav3s de actividades c$yas ormalidades constit$yen problemas los c$ales p$eden ser cotidianos periódicos o de emergencia. jemplos de problemas cotidianos
A$mento del bene5cio económico Mejoramiento de la calidad de los prod$ctos Mejoramiento de la con5abilidad del proceso Mejoramiento en el $so de la energía )ismin$ción de la contaminación ambiental )ismin$ción de la dependencia de otras empresas ;ejemplo7 abastecedoras de materias primas<.
jemplos de problemas de emergencia
&)&)
Mantener la estabilidad rente a cambios en las condiciones de mercado ;costo de mano de obra y materias primas tasa de cambio aranceles nivel de demanda precio de prod$ctos etc<. Mantener la estabilidad rente a cambios en el medio y en las materias primas.
Die9o de i#e$a de valore :e trad$ce 5nalmente en la de5nición de objetivos y los criterios de medida. !asos típicos son7
6
&)6)
Ma+imizar rentabilidad medida por ejemplo a trav3s de la tasa interna de rendimiento o valor act$alizado neto de las $tilidades. A$mentar la calidad de prod$cto medido a trav3s de coe5cientes ad 1oc en las especi5caciones t3cnicas de calidad. Mejorar la con5abilidad medido a trav3s del actor de $tilización por el concepto de alla.
Sí!#ei de i#e$a Para lograr los objetivos perseg$idos se p$eden orm$lar políticas alternativas tales como7
!onstr$ir $na planta n$eva ;para prod$ctos n$evos< Ampliar la planta ;ig$ales prod$ctos< Mejorar los m3todos operacionales y administrativos Mecanizar procesos man$ales A$tomatizar procesos man$ales o solo mecanizados %nnovar tecnologías
Para cada $na de estas políticas alternativas e+isten a s$ vez s$balternativas caracterizadas por ejemplo por tecnología $bicación ísica sec$enciamiento temporal escala.
&)7)
A!/lii de i#e$a
:e est$dia el comportamiento tanto estático como dinámico de las alternativas sintetizadas anteriormente n t3rminos generales en las especi5caciones t3cnicas se de5nen los modos de comportamiento '$e son aceptables desde el p$nto de vista de los objetivos. n los respectivos e+tremos de la escala de modos de comportamiento aceptables se enc$entran7
E#a%ilidad es lo mínimo e+igible. n general se re5ere para $n proceso dado '$e pe'$e*as variaciones en la entrada las condiciones iniciales o los parámetros no se trad$zcan en grandes variaciones de la salida.
,
Op#i$alidad es lo má+imo e+igible. n general se re5ere a determinar las condiciones y valores de variables '$e optimizan $n índice de comportamiento ad 1ocB la optimización debe restringirse a la región estable del sistema.
!omo res$ltado de la ase de análisis de sistemas se obtiene $n análisis detallado de las diversas alternativas y s$ correspondiente eval$ación t3cnico9económica bajo distintas condiciones de riesgo.
&))
Op#i$iza0i1! 8a optimización 1a de entenderse como contin$ación lógica del análisis de sistemas. P$ede eect$arse principalmente de dos maneras
n orma empírica esto es $sando inormación directa del proceso y calc$lando n$evas condiciones de operación en base a estos datos. Csando modelos matemáticos de modo '$e se p$edan determinar parámetros y condiciones '$e optimizan los índices de comportamiento.
!omo res$ltado de la etapa de optimización se tiene el mejor comportamiento posible de las diversas alternativas consideradas.
&);)
To$a de de0ii1! n base a los res$ltados del análisis de sistema y optimización 1a de tomarse decisión respecto de implementación de las alternativas consideradas y partic$lar de a'$ella '$e 1a demostrado ser más e5ciente el c$mplimiento de los objetivos.
la la en en
n esta ase deben ponderarse tanto los actores c$antitativos ;'$e ya 1an sido adec$adamente considerados en ases previas< como c$alitativos sobre la base de $ criterio pre9 establecido y aceptado.
/omas de decisiones típicas son7 rec1azar postergar ;plazo< reest$diar aceptar alternativa más conveniente<
&)<)
I$ple$e!#a0i1!
8a alternativa elegida debe llevarse a la práctica. )ependiente de la etapa de implementación se p$ede reerir a $n programa a $n proyecto a la operación de $na planta etc.
6) Cara0#erí#i0a de la $e#odolo"ía de A!/lii . Op#i$iza0i1! de Pro0eo) .(. .2. i.
ii.
..
%terativa y optimizante )ierencia entre análisis de sistemas y análisis de procesos :e re5ere al comportamiento del proceso y s$s partes rente a distintas condiciones pero sin perder las características y propiedades ísicas. Medios típicos para eect$ar el análisis de proceso son las plantas piloto laboratorios plantas semi9 ind$striales modelos '$e preservan las características ísicas e+perimentos plani5cados en las plantas ind$striales. Análisis de sistemas '$e está reerido a la abstracción del proceso en base a $n objetivo determinado y '$e p$ede corresponder a $na $nción global o especí5ca del proceso. l medio normal para eect$ar el análisis de sistemas es el de la sim$lación mediante modelos matemáticos. Aplicable a síntesis de procesos
7) Me#odolo"ía par#i0ular $a#e$/#i0o) 7)()
de
Ad=uii0i1! de da#o "
AOPI
%aada
e!
$odelo
D$e se re5ere a los procedimientos para obtener datos desde el proceso basados en e+perimentos ;a posteriori< o inerencias ;a priori< estáticos y dinámicos de modo de c$anti5car todas las variables invol$cradas
7)&)
Modela0i1!
D$e se re5ere básicamente a la determinación de las estr$ct$ras de los modelosB para esto se disponen de diversos procedimientos tales como las ec$aciones de balance para modelos matemáticos.
7)6)
Ide!#i80a0i1!
D$e se re5ere ya sea a la estimación de los parámetros de los modelos c$ya estr$ct$ra ya 1a sido obtenida en la etapa previa o la ind$cción de ec$aciones del modelo sin 1aber determinado previamente s$ estr$ct$ra ;como es el caso de los com4nmente llamados modelación de ?cajas negras@<.
7)7)
Si$ula0i1!
D$e se re5ere a los procedimientos para correr los modelos bajo diversas condiciones de operaciónB básicamente la sim$lación se p$ede eect$ar en comp$tadores o plantas pilotos.
7))
Op#i$iza0i1!
:e re5ere a la b4s'$eda de las condiciones adec$adas '$e 1acen má+imo o mínimo el índice de m3rito o comportamiento.
) Ad=uii0i1! de da#o !orresponde al proceso de obtención de datos para s$ posterior análisis. P$ede desarrollarse desde m$estreo man$al con análisis en laboratorio 1asta sistemas comp$tarizados en línea. 8as ases características corresponde a7
(0
Obtención del dato base7 m$estreo y análisis de laboratorio o alternativamente medición E transd$cción E transmisión E conversión E adec$ación. !onversión datoFinormación7 almacenamiento procesamiento desplieg$e reporte y rec$peración.
8os índices operacionales corresponden a la partic$larización de objetivos en '$e solo se consideran variables a'$ellas relativas a la operación del proceso permaneciendo 5jas a'$ellas relativas a la planta por ejemplo7
Prod$ctividad reerida a los tiempos asociados a cada actividad de operación. 5ciencias energ3ticas !ons$mos $nitarios.
!lasi5cación de inormación de AOP%
)()
I!>or$a0i1! de pro0eo 2#?0!i0a4
&.(.(.Gariables Manip$lables Hiveles de materias primas Hiveles de ins$mos materiales Hiveles de ins$mos energ3ticos y de I$idos &.(.2.Gariables controlada Hiveles de Prod$cción ;variables de salida< Hiveles de calidad de prod$ctos ;variables de salida< !ondiciones de proceso ;p$nto de trabajo< &.(..Gariables de estado /emperat$ras I$jos presiones I$jos de calor velocidades posiciones aceleraciones corrientes voltajes el3ctricos concentraciones etc. &.(.#.Parámetros Propiedades de medio o proceso &.(.&.Pert$rbaciones ((
Pert$rbaciones de entrada Pert$rbaciones param3tricas
)&)
I!>or$a0i1! e0o!1$i0a
)&)() a4
Co#o Co#o de opera0i1!
a<
b<
%4
!ostos de operación directa !ostos de materias primas !ostos de ins$mos materiales !ostos de ins$mos energ3ticos y de I$idos !ostos de rec$rsos 1$manos !ostos de mantención y reparación !ostos de ins$mos materiales !ostos de ins$mos energ3ticos y de I$idos !ostos de rec$rsos 1$manos
Co#o de i!veri1! ;en todos7 costos de ins$mos materiales energ3ticos y I$idos y de rec$rsos 1$manos<
04
!osto de inraestr$ct$ra básica !osto de e'$ipamiento !osto de ingeniería !osto de instalaciones montaje y obras !osto de p$esta en servicio y eval$ación ;a posteriori<
O#ro 0o#o
)&)&) a<
)epreciación ;amortización de instalaciones< Pago de patentes y licencias %mp$estos especiales %mp$estos a las $tilidades !ostos 5nancieros ;costos de capital< !ostos de arriendos
I!"reo %ngresos por mayores ;a$mento de prod$cción<
(2
ventas
mismo
prod$cto
b< c<
)6)
%ngresos por mayor vol$men de ventas por mejor precio ;mejor calidad de prod$cto< %ngresos por n$evos prod$ctos
I!>or$a0i1! de opera0i1! 2#?0!i0a4 a< b<
)7)
!antidad y tipo de rec$rsos 1$manos -orma de operación :ec$encia de actividades /iempos M3todos y procedimientos
I!>or$a0i1! de pla!#a 2#?0!i0a4 a< b<
str$ct$ra de la planta ;disposición de e'$ipos y s$ intercone+ión< speci5caciones nominales de e'$ipos e instr$mentos
;) Die9o e5peri$e!#ale ;)()
I!#rodu00i1!
8a t3cnica de los dise*os e+perimentales principalmente con los sig$ientes actores7 a<
b<
c<
está
relacionada
Cn ordenamiento o arreglo de ítem individ$ales '$e componen $n e+perimento complejo dise*ado para $n propósito de5nido. !$anti5cación de los eectos de las variables est$diadas en la resp$esta medida o alg$na característica del sistema en est$dio '$e interese. lección de $na t3cnica adec$ada para el análisis estadístico de los res$ltados obtenidos con el el objetivo de inerir concl$siones razonables.
8a 5nalidad del dise*o es e+perimentos no la precisión.
incrementar
a<
la
e+actit$d
de
los
+actit$d7 es la medida de c$án aj$stados son los valores medidos al valor verdadero. b< Precisión7 s $na medida de c$an aj$stado son los datos medidos con respecto al valor promedio. (
;)&)
M?#odo para i!0re$e!#ar la e5a0#i#ud
n la práctica la mayoría de las mediciones o e+perimentos dan como res$ltado valores de las variables medidas '$e I$ct4an de $na repetición a otra de las e+periencias. stos res$ltados se denominan aleatorios estocásticos o probabilísticos dependiendo del 3nasis partic$lar. )e este modo las variables asociadas a estos enómenos se las denomina variables aleatorias o estocásticas. +isten m$c1as razones del por'$3 las observaciones o medidas obtenidas por e+perimentos res$ltan ser más aleatorias '$e determinísticas alg$nas de 3stas son7 a< b<
c<
%normación ins$5ciente acerca de las variables !arencia de t3cnicas adec$adas '$e permitan obtener la inormación re'$erida. )e este modo solo alg$nas maniestaciones son obtenidas. Hegligencia o alta de c$idado del observador o e+perimentador en la realización de las e+periencias.
l ?valor verdadero@ de $na variable es a'$3l '$e debería ser obtenido de las mediciones si es '$e no e+istiera $n actor estocástico asociado a la medición. Por lo tanto el valor verdadero de $na variable es en cierto sentido $n valor 1ipot3tico el c$al es post$lado como e+istente. 8igado al concepto de valor verdadero está el concepto de error p$esto '$e el error representa la dierencia entre el valor verdadero y el valor medido. )e este modo $n error aleatorio es a'$el '$e representa la dierencia entre el valor verdadero y el valor medido de $na variable aleatoria. ste tipo de error debe ser dierenciado de7 a< b<
Cn error aislado prod$cido por desc$ido o torpeza del e+perimentador Cn error sistemático introd$cido contin$amente debido a la alta de calibración de $n instr$mento por ejemplo. ste tipo de error prod$ce $n sesgo en la medición. (#
!$al'$iera sea la $ente del error e+perimental $na orma de minimizar este error asociado a la medición es la repetición del e+perimento siempre '$e se tomen ciertas preca$ciones como por ejemplo la aleatorización. n el campo de la metal$rgia los dise*os actoriales 1an probado ser $n tipo de dise*o e+perimental preliminar importante de $n mínimo costo '$e permite analizar $n gran n4mero de variables variando todas al mismo tiempo y '$e permite determinar el eecto de cada $na de ellas por separado además del eecto combinado de dos o más variables ;eecto de interacción<. jemplos de análisis aplicados son7 a< b< c< d<
8a calidad de los prod$ctos l rendimiento de $n proceso !omportamiento de $n e'$ipo o instr$mento de medición !ons$mo de energía o comb$stible de $n proceso etc.
!on los dise*os actoriales podemos obtener7 a< stimación de los eectos principales de cada $no de los actores en orma independiente b< stimación del grado de dependencia con otro o combinación de otros en orma independiente ;c$anti5cación de los eectos de interacciones<. c< stimación de los eectos con la má+ima precisión. d< :$ministrar $n estimativo del error e+perimental con el propósito de investigar el grado de signi5cancia de los eectos además de determinar los intervalos de con5anza de los eectos.
<) ,u!da$e!#o del $ue#reo) n el análisis de procesos debe necesariamente considerarse la etapa de ad'$isición de datos a trav3s de la c$al se obtiene inormación c$alitativa y c$antitativa del procesoB esta inormación j$nto con las relaciones del tipo enomenológicas servirán de base para el análisis.
(&
8a ad'$isición de datos es tambi3n el procedimiento '$e se debe emplear para veri5car concl$siones '$e se obtienen del análisis +isten diversas t3cnicas ;alternativas yFo complementarias< para realizar la ad'$isición de datos y las c$ales se enc$entran en alg4n p$nto intermedio entre7 a< b<
M$estreo man$al y análisis de laboratorio Ad'$isición de datos en línea a trav3s comp$tarizados.
de
sistemas
8a aplicación de alg$na de estas t3cnicas depende de la actibilidad t3cnica y económica seg4n corresponda. n general la a$sencia de instr$mentos sensores e5caces en ciertos casos impide en $so de sistemas en línea. sta es $na razón por la c$al se $san a4n en orma com4n los sistemas de ad'$isición basados en m$estreo directo. n m$c1os casos la ad'$isición de datos está orientada 1acia la conección de balances de materia ;por ejemplo metal4rgicos< por lo '$e solo interesan valores globales promedios en periodos determinadosB para tal 5n m$estreos representativos permiten abordar dic1o objetivo. Por consig$iente en la mayoría de los casos la ad'$isición de datos implica procedimientos de m$estreo en el '$e se obtiene inormación parcial acerca de $n objeto ;proceso< y en el '$e es generalmente imposible obtener todos los datos de todas las posibles condicionesB por consig$iente es necesario 1acer consideraciones de tipo estadístico sobre los datos obtenidos.
<)()
E#apa pri!0ipale e! la prepara0i1! de u! $ue#reo
8as etapas invol$cradas en la plani5cación y ejec$ción de $n m$estreo son las sig$ientes7 a< b< c<
)e5nición de objetivos del m$estreo )eterminación de la población a m$estrear de5nir claramente el conj$nto desde el c$al se va a elegir la m$estra )eterminación del tipo de datos a colectar clasi5car los datos relevantes a tomar para evitar trabajos y costos innecesarios
(6
d<
)e5nir grado de precisión deseado los res$ltados de la m$estra están s$jetos siempre a errores e+perimentales los c$ales p$eden minimizarse tomando m$estras más grandes a$mentando el n4mero de mediciones $sando instr$mentos más precisos etc. pero esto $s$almente lleva consigo $n mayor costo y mayor cons$mo de tiempo lo '$e obliga a llegar a $n compromiso. e< )e5nir m3todo de medición de5nir la orma de tomar la m$estra y con '$3 tipo de rec$rsos. < )e5nir el marco de medida dividir la población en $nidades disj$ntas y de ellas elegir la m$estra. llo debe ser realizado a partir del grado de precisión deseado costos relativos y tiempo empleado para cada alternativa. g< ealización de pre9test sim$lar la toma de m$estra para encontrar omisiones red$ndancias etc. y mejorar el procedimiento a $sarse. 1< Organización del trabajo dise*ar $na t3cnica para la toma de datos ;sec$encia de e+periencia< en $nción principalmente de la disponibilidad de la planta y de rec$rsos 1$manos. i< ealización del m$estreo j< es$men y análisis de los datos analizar los datos obtenidos desde el p$nto de vista estadístico para concl$ir la relevancia y aprovec1amiento de ellos síntesis de concl$siones ;inormación< J< Almacenamiento de los datos y de la inormación obtenida del análisis para $t$ras e+periencias.
<)&)
La $edi0i1!
l margen de error aceptable en las mediciones está determinado por los objetivos del análisis ya '$e si se especi5ca $n error aceptable para los res$ltados inmediatamente '$edan condicionadas las tolerancias en todas las etapas del análisis ;propagación de errores<. ste margen de error '$e se p$ede conseg$ir está determinado por dierentes aspectos entre los '$e se destacan7 a< b< c< d< e<
Alteración del proceso por eecto de la medición epresentatividad de la m$estra ecto del e+perimentador ecto del instr$mento de medición l asincronismo (,
<)6)
N@$ero de varia%le a< b< c< d<
<)7)
Tie$po . 0a!#idad de $ue#reo a< b< c<
<))
-actor tecnológico -actor económico Observabilidad ed$ndancia
)iscretización -rec$encia de m$estro /iempo de m$estreo
Be!e80io de la #?0!i0a de $ue#reo
8a t3cnica de m$estrear $na población de datos para est$diarlo tiene determinadas ventajas comparativas j$nto a la posibilidad de est$diar la población en s$ totalidad.
ed$cción de costos7 si los datos son tomados a partir de $na racción pe'$e*a del $niverso los gastos son más bajos '$e si se est$dio todo el conj$nto. Mayor rapidez en obtener inormación7 los datos p$eden ser recolectados y res$midos más rápidamente con $na m$estra '$e con el $niverso completo. sto es de gran importancia c$ando la inormación se re'$iere con $rgencia. Mayores alcances ;Ie+ibilidad<7 p$ede $sarse personal entrenado o e'$ipo especializado para obtener los datos a partir de dierentes m$estras 8a elección radica en obtener la inormación por m$estreo o no obtenerla. Mayor e+actit$d ;precisión<7 :e logra gracias a personal altamente cali5cado y entrenado a $na c$idadosa s$pervisión de la toma de datos casos '$e solo p$eden lograrse c$ando el vol$men de trabajo es red$cido.
) Tipo de e5peri$e!#o )() a<
Cara0#erí#i0a pri!0ipale de la e5peri$e!#a0i1! 8a e+perimentación implica $n conj$nto de procedimientos '$e permiten colocar en relieve determinadas características (
b<
c<
de $n proceso a trav3s de la obtención de inormación de 3ste. Cn e+perimento se realiza normalmente en el marco de $n problema e+perimental y este a s$ vez se establece en los re'$erimientos de inormación '$e impone $n problema de ingeniería o de investigación y desarrollo 8a e+perimentación permite conormar la base de datos para realizar el respectivo análisis del proceso debiendo realizarse en orma controlada de modo '$e la inormación obtenida p$ede asignársele la validez re'$erida.
8os tipos de e+perimentos '$e es posible realizar son estáticos y dinámicos. A los primeros les concierne el eecto de la acción sobre el proceso en los valores estacionarios ;o de r3gimen permanente< de las variables y a los seg$ndos la evol$ción temporal de las variables s$jetas a observación
)&) a<
b<
c<
Co!0ep#o %/i0o de lo e5peri$e!#o e#/#i0o n estos no interesa la evol$ción de las variables observadas '$e sig$e a $na determinada acción sobre el proceso sino a los valores 5nales '$e alcanzan. 8os e+perimentos estáticos se conciben para la determinación en general de relaciones de tipo algebraicas entre las variables de proceso. n ciertos casos p$eden ser representados por ec$aciones dierenciales espaciales. 8os datos '$e se obtienen de e+perimentos estáticos son $sados principalmente para analizar el proceso y s$ operación y poder determinar condiciones más e5cientes. n partic$lar en el caso '$e se $sen t3cnicas de modelación y sim$lación para tales 5nes entonces los datos así obtenidos son $sados para proponer la estr$ct$ra de modelos matemáticos empíricos y para la identi5cación de parámetros de modelos ya sean enomenológicos o empíricos.
)6) Cara0#erí#i0a di!/$i0o
pri!0ipale
de
lo
e5peri$e!#o
ste tipo de e+perimentos tiene normalmente por objetivo el generar datos '$e permitan generar datos '$e permitan proponer ("
y determinar $na descripción matemática '$e relaciona la;s< variables;s< observada;s< con el estím$lo aplicado no solo con s$ valor en el instante en '$e este se prod$ce sino con valores '$e tenía en instantes anteriores. 8a descripción generalmente res$lta ser $na ec$ación de tipo dierencial. 8os aspectos a analizar antes de realizar $n e+perimento dinámico son7 a< b< c< d< e< < g< 1<
lección de variable estím$lo y de variables '$e serán medidas. lección de las se*ales de entrada o estím$lo del proceso ;amplit$des y rec$encias<. /iempo total de observación )e5nición del marco e+terno. )eterminación del tiempo de m$estreo adec$ados a cada $na de las variables. )e5nición de las condiciones de proceso )e5nir si el e+perimento se realizará bajo la acción de $n sistema de control o no. lección de la instr$mentación adec$ada
) A!/lii de da#o n la práctica la mayoría de los enómenos se p$eden representar como aleatorios y el acto de realizar dierentes mediciones de $na variable de proceso entrega dierentes valores de la misma p$esto '$e la medición está aecta a error e+perimental. n este conte+to el ingeniero de procesos o el investigador en general debe analizar los datos obtenidos desde el p$nto de vista estadístico con los objetivos sig$ientes. a<
b< c<
Asignar $n valor ;a la variable de proceso< '$e se p$eda considerar verdadero dado '$e las mediciones están aectas a $n error e+perimental. Asignar $n margen de con5anza a estos valores Analizar los datos estadísticamente para obtener concl$siones 4tiles.
20
stos objetivos mecanismos7 a< b< c<
(')
se
p$eden
lograr
mediante
los
sig$ientes
)eterminar el valor promedio estadístico de los valores medidos )e5nir $n intervalo de con5anza ealizar $n test de 1ipótesis.
Modela0i1! de Pro0eo
)e entre las distintas representaciones posibles de $n proceso la modelación matemática es la más $tilizada en la ind$stria minera. !$ando son posibles de obtener 3stos son los más Ie+ibles y versátiles p$diendo ser $tilizados en todas las ases del análisis de proceso desde la investigación y desarrollo de n$evos procesos 1asta el análisis de plantas est$dios t3cnico económicos etc.
(')()
Clai80a0i1! de lo $odelo
l desarrollo de modelos matemáticos de procesos re'$iere normalmente eect$ar s$posiciones y plantear 1ipótesis simpli5cadores. llas permiten obtener $na resp$esta simple para $n adec$ado manejo del modelo y lo s$5cientemente completa como para '$e permita obtener inormación 4til a los propósitos del est$dio. 8a clasi5cación p$ede realizarse dependiendo de los objetivos planteados de la t3cnica $tilizada y de la estr$ct$ra de los modelos.
(')()()
Clai80a0i1! de a0uerdo a lo o%-e#ivo)
n el ámbito de la %ngeniería de Procesos los objetivos de los modelos matemáticos los c$ales no necesariamente son e+cl$yentes y p$eden perseg$irse $no o más objetivos a la vez son los sig$ientes a<
)ise*o de procesos esto es determinación de las interrelaciones entre diversas $nidades y elementos para satisacer $na necesidad vigente. /ambi3n en el caso del dise*o de $n dispositivo ísico donde las dimensiones y ormas se relacionan con las características dinámicas del proceso. 2(
b<
c<
Optimización del proceso y s$ operación este es el caso típico de procesos '$e $eron dise*ados con $na tecnología '$e no poseía las 1erramientas yFo e'$ipos act$ales o procesos c$ya relación de variables 1a sido modi5cada por envejecimiento o deterioro. /ambi3n es el caso de procesos '$e $eron dise*ados para satisacer re'$erimientos menos estrictos '$e los act$ales. Act$almente la racionalización del $so de rec$rsos es de vital importancia en partic$lar la optimización en el aprovec1amiento de rec$rsos energ3ticos. !ontrol de procesos en el sentido de mantener las relaciones entre las variables '$e garanticen $n comportamiento determinado de 3ste rente a la presencia de pert$rbaciones eval$ación de con5g$raciones alternativas de control sim$lación reg$lar del sistema como tambi3n en sit$aciones de emergencia y partidaFparadas.
8as e+igencias en c$ánto a precisión de los modelos es distinta dependiendo de los objetivos. Así por ejemplo mientras los modelos de control deben tener el mínimo error posible ;2=< al ig$al '$e los modelos para optimización a$n'$e en estos 4ltimos tambi3n depende de la magnit$d del proceso y se aceptan mayores errores ;1asta &=<. n los modelos para dise*o los errores p$eden ser mayores 1asta del orden de (& a 20=.
(')()&) Clai80a0i1! de a0uerdo a la e#ru0#ura de lo $odelo a<
Modelos de parámetros concentrados y distrib$idos este tipo de modelos ignora las variaciones espaciales y considera '$e las propiedades y el estado del sistema p$ede ser considerado 1omog3neo a trav3s del sistema entero. n cambio el sistema distrib$ido considera variaciones espaciales del comportamiento a trav3s del sistema
b<
Modelos lineales y no lineales los modelos lineales son a'$ellos '$e c$mplen la condición de espacios vectoriales 22
lineales todos los demás son modelos no lineales. . stos 4ltimos son los más complicados de resolver y en general 1ay '$e rec$rrir a s$posiciones y restringir s$ rango de validez. 8os m3todos posibles de $sar en el tratamiento de estos modelos son7
c<
Modelos estáticos y dinámicos
d<
:ol$ciones analíticas en donde a $n pe'$e*o conj$nto de problemas simples se les p$ede encontrar $na sol$ción 8inealización de t3rminos no lineales :ol$ciones grá5cas :ol$ción por medio de comp$tador $sando t3cnicas de optimización o algoritmos especiales.
!$ando es sistema presenta $na evol$ción a trav3s del tiempo se dice '$e este sistema tiene $n comportamiento dinámico en caso contrario el sistema presenta comportamiento estático y el modelo '$e lo representa contiene ec$aciones de variables independientes del tiempo. n el caso de modelos de dise*o ellos son con mayor rec$encia del tipo estáticos lo mismo '$e los modelos $sados en la optimización de la operación de procesos. 8os modelos dinámicos se $tilizan principalmente para determinar con5g$raciones de control adec$adas. n rigor especialmente en los procesos ind$striales no e+isten sistemas estáticos sin embargo para 5nes prácticos s$eles ser considerados así. Modelos invariantes y variantes
Cn modelo invariante es a'$3l c$yos parámetros no dependen e+plícitamente del tiempo corresponde a procesos invariantes a los c$ales si se aplica $na misma entrada en dos instantes la resp$esta es la misma. n caso contrario se denominan variantes. Para $n proceso invariante es irrelevante el momento en el c$al se ejec$tan los e+perimentos mientras '$e para $na variante si lo es. 2
e<
Modelos determinísticos y probabilísticos. n $n modelo probabilístico las relaciones entre las variables de inter3s aparecen en t3rminos de cantidades estadísticas. 8os modelos determinísticos por otra parte contienen relaciones precisas entre las variables y a cada parámetro y variable se le p$ede asignar $n n4mero claramente especi5cado en condiciones conocidas.
(')()6) a< b<
c<
d<
e<
Clai80a0i1! e"@! #?0!i0a uada 8a t3cnica $sada en el proceso de modelación divide los modelos matemáticos en dos grandes gr$pos7 Modelos enomenológicos los '$e se basan en relaciones matemáticas '$e representan leyes ísicas aplicables al proceso en est$dio. Modelos enomenológicos son por ejemplo los '$e se obtienen de aplicar las leyes de conservación de masa energía y cantidad de movimiento. Modelos empíricos los '$e se basan en e+citar el proceso con entradas conocidas l$ego medir las salidas ;y a'$ellas variables internas accesibles< y 5nalmente correlacionar tales entradas y las resp$estas del proceso a ellas. l tipo de modelo '$e se p$ede obtener de $n proceso depende del conocimiento '$e se tenga de 3ste de la inormación disponible y del acceso a las variables internas. n $n modelo matemático se disting$en dos componentes básicas estr$ct$ra y parámetros. Csando t3cnicas enomenológicas se determinan en general la estr$ct$ra del modelo los parámetros se estiman l$ego en base a datos. n el caso de $sar t3cnicas empíricas se obtienen en orma sim$ltánea tanto la estr$ct$ra como los parámetros del modeloB en ciertos casos no obstante se p$ede disponer de $n modelo empírico con parámetros por estimar.
2#
(')&)
Me#odolo"ía %/i0a de $odela0i1! $a#e$/#i0a
)ebido a las pec$liaridades de la modelación en el sentido de '$e $n modelo matemático está ligado al proceso en c$estión no es posible contar con $n procedimiento general y e+1a$stivo para obtenerlo. 8a nat$raleza y características '$e tenga $n modelo matemático por desarrollar dependerá de los objetivos '$e se 1ayan planteado. !omo norma general se p$ede decir '$e si el proceso en c$estión tiene m$c1as $nidades es recomendable dividir el sistema en s$bsistemas obteni3ndose modelos parciales los '$e l$ego se interconectan convenientemente de modo de representar el proceso 8a conección de $n modelo de nat$raleza adaptativa. sto permite generar $n modelo '$e presente $n compromiso entre $na adec$ada descripción del proceso en c$estión y '$e posea $na estr$ct$ra '$e sea manejable con las t3cnicas act$almente conocidas y con los medios '$e se dispongan. Cn paso importante en la modelación lo constit$yen las 1ipótesis simpli5cadoras estas se 1acen en virt$d de los objetivos '$e se persig$en y teniendo en c$enta las características del procesoB es importante entonces j$sti5car estas 1ipótesis y eval$ar adec$adamente los modelos '$e se obtienen. n relación a la orm$lación del problema corresponde establecer los objetivos del est$dio y por lo tanto del modelo determinar los re'$erimientos '$e debe c$mplir y de5nir mediante los c$ales se eval$ará s$ calidad. 8a etapa de obtención de antecedentes del proceso tiene por objeto imponerse de la nat$raleza de 3l. )e las características de variables y pert$rbaciones conocer las $nidades '$e lo componen determinar características de operación de modo '$e sea posible establecer los distintos s$bsistemas '$e podrán disting$irse en el proceso. 8as variables y parámetros relevantes '$e deben considerarse depende de los objetivos '$e se 1ayan planteado para el modelo y de la orma como se 1aya concebido los s$bsistemas ya '$e la 2&
inormación a re'$erimientos.
trav3s
de
s$s
interaces
impone
n$evos
8a proposición del modelo matemático ;s$ estr$ct$ra< p$ede prod$cirse ya sea del conocimiento de la enomenología '$e rige las relaciones entre las variables relevantes o de la obtención de $n modelo de tipo empírico determinado en base a e+perimentación.
(()
Ele$e!#o de A!/lii de Pro0eo
(()()
O%-e#ivo . e#ra#e"ia "e!eral)
Para ejec$tar el análisis de proceso se 1an de considerar tanto los actores t3cnicos como económicos '$e tienen incidencia relevante en la e5ciencia del proceso y s$ operación y de modo de optimizar el proceso en el sentido de ma+imización de $tilidades a nivel de la planta invol$crada en el caso de $n objetivo económicoB otro tipo de ma+imizaciones ;o minimizaciones< deben considerarse en caso de objetivos distintos. l concepto de optimización a '$e se 1ace reerencia a'$í es el derivado de planteamiento ormal del problema seg4n se indica más adelante. l conj$nto de actividades contempladas en la ejec$ción de $n plan de optimizaciónFracionalización es7
(()&)
Análisis del proceso la planta y la operación. )eterminación de las condiciones óptimas )eterminación de mecanismos '$e permitan mantener el comportamiento óptimo.
Al#er!a#iva de apli0a0i1! de a!/lii
8as distintas alternativas pla$sibles de aplicar en $n est$dio de esta nat$raleza p$eden clasi5carse en alg$na de las sig$ientes categorías considerando las etapas por las '$e 1an de pasar antes de $na event$al implementación.
26
%nvestigación y desarrollo ;% K )< c$ando se re'$iere la determinación y comprobación empírica de res$ltados c$anti5cables. %ngeniería Lásica c$ando precisan sólo de la determinación de estr$ct$ras y $nciones de sistema y especi5caciones de e'$ipos principales siendo todos ellos ya t3cnicamente conocidos. val$ación c$ando se precisa $n análisis de actibilidad t3cnico económico de la investigación invol$crada. %ngeniería de proyecto c$ando siendo actible t3cnicamente se precisa de ingeniería de detalle y especi5caciones t3cnicas para ejec$tar las obras e instalaciones correspondientes.
8os niveles de pro$ndidad del análisis a '$e se p$eden someter cada alternativa son los '$e se indican a contin$ación7 ((.2.(.
((.2.2.
((.2..
%nvestigación y desarrollo Planteamiento concept$al y teórico modelos matemáticos de proceso. +perimentación en laboratorio +perimentación en planta piloto +perimentación en planta semi9ind$strial +perimentación en planta ind$strial Modelos matemáticos de procesos y económicos para optimización y proyecciones %ngeniería básica Preingeniería ;balances generales< )eterminación de innovaciones ;generación de proyectos de inversión< )eterminación de $nciones y estr$ct$ras speci5caciones de e'$ipos y $nidades principales speci5caciones generales de ingeniería de procesos val$ación Análisis de actibilidad t3cnica Análisis de actibilidad económica ecomendaciones sobre inversión 2,
(()6)
Modelo para a!/lii de pro0eo a<
Modelo concept$al D$e relaciona en orma c$alitativa las distintas variables del proceso y sólo con el propósito de establecer dependencias $ncionales. !on ello se acilita el análisis mismo. )ic1o modelo está basado en $na e+plicación de las variables asociadas a los componentes del sistema.
b<
Modelos de proceso D$e relaciona en orma c$antitativa las variables relevantes asociadas a $na alternativa en est$dio con el propósito de determinar los valores de a'$ellas variables '$e permiten lograr en mejor orma el objetivo especí5co perseg$ido. ste modelo se $sa en la etapa de % K ).
c<
Modelo t3cnico9 económico ;o modelo integrado< D$e relaciona las variables relevantes del proceso ;tanto t3cnico como económico< los objetivos especí5cos los índices operacionales todos a'$ellos representados a trav3s de los respectivos actores de m3rito. sta categoría de modelos se $sa en el modo sig$iente7
% K )7 para optimización del proceso y s$ operación %ngeniería básica7 para balances y c$anti5cación de inI$encia de estr$ct$ras. val$ación7 para determinar los bene5cios '$e reportan las alternativas respectivas.
((..2. n los modelos de proceso y t3cnico económicos se 1a de considerar la sig$iente sec$encia de ases para s$ conección7
)eterminación de estr$ct$ra de modelo Plani5cación ;validación en relación al proceso< :im$lación
2
2"
(&)
EL MODELAMIENTO MATEMTICO EN LA CONMINUCIN
(&)( I!#rodu00i1! l proceso de la conmin$ción 1a sido observado y est$diado a trav3s de los a*os. :e 1an $sado correlaciones estadísticas entre las variables para desarrollar los modelos matemáticos para describir las $nidades y las operaciones integradas. l acercamiento 1a sido necesariamente mecánico. 8a 1ipótesis básica en la modelación de los sistemas de conmin$ción es reconocer el 1ec1o '$e todos los procesos de trit$ración aceptan mineral gr$eso y s$ministran energía destr$yendo las $erzas de $nión entre partíc$las '$e constit$yen el mineral. )ependiendo del proceso $sado del tipo de impacto ya se sencillo o m4ltiples la energía se aplica 1asta lograr la desintegración y la red$cción de tama*o. 8a trit$ración es $n proceso repetitivo. s contin$o 1asta '$e todas las partíc$las en cierta racción de tama*o 1ayan sido trit$radas 1asta $n tama*o aceptable. Así el dise*o del e'$ipo '$e debe '$ebrar las partíc$las y el tiempo '$e el material está en la zona de r$pt$ra controla el tama*o del prod$cto. n modelación de sistemas de trit$ración la idea básica es obtener $na relación matemática entre la alimentación y tama*o de prod$cto. s necesario tomar en c$enta todas las variables invol$cradas en la operación incl$yendo las características del e'$ipo. l proceso de conmin$ción considera y es representado por dos procesos7
Cna partíc$la es seleccionada para la ract$ra Cna partíc$la '$e al ract$rarse prod$ce $na distrib$ción dada de los tama*os de ragmento.
8a distrib$ción de tama*os prod$cida de $n paso de ract$ra sencillo es conocida como la ract$ra o $nción de apariencia. llo denota la distrib$ción relativa de cada tama*o raccionado desp$3s de la ract$ra. 8a $nción de ract$ra es a men$do independiente del tama*o inicial a$n'$e en la práctica no es necesariamente así. n orma matricial esto es escrito como $na matriz triang$lar inerior. 8a probabilidad de ract$ra de ciertos tama*os de partíc$la será mayor '$e otros '$e tambi3n pasan por la etapa de ract$ra. Así la acción de ract$ra selectiva '$e oc$rre en $na proporción de partíc$las ract$radas de $n intervalo de tama*o es conocida como la $nción de selección o probabilidad de ract$ra. 0
Csando estos conceptos se 1an desarrollado las relaciones matemáticas entre tama*o de alimentación y tama*o de prod$cto desp$3s de la trit$ración.
(&)& Bae para $odelar i#e$a de 0o!$i!u0i1! /odos los procesos de trit$ración aplican $erzas para ract$rar y red$cir el tama*o de mineral. :i se c$mple la condición de '$e la energía total impartida para la ract$ra sea mayor '$e la energía de vinc$lación entre partíc$las individ$ales las partíc$las se desintegran prod$ciendo $na distrib$ción de tama*os más pe'$e*os. 8a ract$ra por lo general comienza de $n p$nto ;o área< de concentración de tensión y se propaga dentro de la partíc$la a lo largo de los planos de debilidad. 8a ract$ra de desintegración podría estar a lo largo de los planos de clivaje o intergran$lar. 8as $erzas responsables de la abrasión tambi3n j$egan $na parte importante. 8a 5g$ra (2.( il$stra el mecanismo de la ract$ra de $na partíc$la donde la distrib$ción de tama*o de $n evento de ract$ra sencillo se incl$ye en col$mna ;esta es la $nción de ract$ra<. Para las partíc$las sencillas presentes en cada racción de tama*o ( 2 H la aplicación de la $erza es mostrada por las Iec1as sólidas y las líneas concept$ales de tensión son indicadas por las líneas de p$ntos. l movimiento de ragmentos del mismo o tama*os ineriores es indicado por las Iec1as p$nteadas. 8a col$mna ( tambi3n m$estra la distrib$ción de tama*o de la alimentación con las partíc$las de más pe'$e*os tama*os representados en gris. 8a col$mna # m$estra el prod$cto de la ract$ra desp$3s del n4mero n de las red$cciones de tama*o. 8as 5las ( 2 H m$estran la racción sencilla de tama*o de tama*o (. :e p$ede ver '$e la masa de tama*o ( c$ando se rompe se distrib$ye en otras racciones de tama*o. 8a distrib$ción se v$elve más complicada si ragmentos de la ract$ra de otros tama*os en la alimentación son incl$idos. A cierta ase la racción de tama*o ( desaparecerá como las partíc$las tama*os son distrib$idas a los tama*os más pe'$e*os. l proceso contin4a 1asta oc$rrir n de ract$ra. Para identi5car los prod$ctos en las racciones de tama*o dierente se 1an adoptado dos convenciones. Primero la racción másica de las partíc$las restante en tama*o ( desp$3s de la ract$ra de partíc$las de tama*o ( es designada como b ((. :imilarmente para material ract$rado de tama*o ( en tama*o 2 la racción másica es b 2( y así s$cesivamente. Así b ( b#( etc. a b H( representando esas partíc$las presentes en el er #to... HN intervalos de tama*o de tamices obtenidos de la ract$ra de partíc$las de tama*o (. :imilarmente la ract$ra del tama*o 2 de la alimentación se reconocerá como b22 b2 bH2 y así s$cesivamente. n el caso general c$ando $na partíc$la en
(
el tama*o j de la alimentación es ract$rada en la racción de tama*o i del prod$cto esto es designado como el b ij. 8a seg$nda convención $tilizada por A$stin es registrar el ac$m$lativo pasante de cada tamiz en l$gar del retenido. sto se representa como L ij donde i y j tiene la misma convención. 8a orma de la $nción de ract$ra es mostrada en la 5g$ra (2.2 por dos tipos de materiales.
,i"ura (&)(7 epresentación de la distrib$ción de partíc$las desp$3s de la ract$ra. 8as Iec1as sólidas representan la $erza aplicada para la ract$ra y Iec1as p$nteadas indican la distrib$ción de ragmentos de ract$ra del mismo tama*o o ineriores. 8os ragmentos mostrados representan la ract$ra de $na partíc$la de tama*o original.
2
,i"ura (&)&: -$nción distrib$ción de ract$ra de mineral d$ro y mineral blando.
(&)&)() La >u!0i1! >ra0#ura Garios investigadores 1an prop$esto órm$las matemáticas para describir la $nción de ract$ra. limpel y la órm$la de A$stin res$men la mayor parte y está dada por7
d i B (d i ) = 1 − 1 − d j
n1
d 2 1 − i d j
n2
d 3 1 − i d j
n3
;(2.(<
)onde7 d Q R es el tama*o original siendo ract$rado. di R tama*o del ragmento proveniente de la ract$ra n( E n R constantes dependientes de la orma y densidad de la partíc$la L;di< R -racción de masa ac$m$lada más 5na '$e el d i donde el d Q S di S 0.
8a e+presión $tilizada por Lroadbent y !allcott es m$c1o ácil de $sar para determinar la distrib$ción de partíc$las desp$3s de la ract$ra. n este caso si el d Q es el tama*o de la partíc$la original '$e est$vo s$jeto a red$cción de tama*o y L;d i< es la racción de las partíc$las de menor tama*o '$e d i entonces la distrib$ción de tama*o de los prod$ctos de ract$ra esta dada por la matriz de ract$ra '$e permite la determinación de los elementos individ$ales7 d i
B ( d i ) =
1− e
d j
1 − e −1
d d = 1,581 − e
i
j
;(2.2<
sta e+presión es independiente del material y por lo tanto p$ede ser sólo $na apro+imación. Por lo general $na $nción de ract$ra estándar de este tipo es $tilizada para entregar res$ltados razonables para molinos de barra y bolas
donde la ract$ra es primordialmente debido al impacto y r$pt$ra pero no es adec$ado donde la ricción es importante tal como en los molinos a$tógenos. Al de5nir la matriz $na s$posición implícita es '$e las partíc$las de los tama*os dierentes son ract$radas en $na manera similar ;ract$ra normalizada< y esto no provoca ning$na aglomeración. L es $na matriz de H + H donde los elementos de L denotan la proporción del material '$e está en ese rango de tama*o en partic$lar desp$3s de la ract$ra. !omo ning$na aglomeración es s$p$esta es obvio '$e los elementos sobre la diagonal serán cero. Así L p$ede ser escrita como $na matriz triang$lar inerior7
B1 B 2 B3 B N
0
0
B1
0
B2
B1
B N −1 B N − 2
0
0 B1 0
;(2.<
(&)&)&) E#i$a0i1! de la >u!0i1! ele00i1!: !$ando $n mineral o m$estra de roca son sometidos a $n sistema de ract$ra contiene partíc$las en varios rangos de tama*o. )$rante la ract$ra la probabilidad de r$pt$ra de los tama*os más grandes dentro de $na racción de tama*o es considerablemente mayor comparada con los tama*os más pe'$e*os. s decir cierta proporción de partíc$las dentro de cada rango de tama*o tiene cierta preerencia en la red$cción de tama*o. Así la ract$ra selectiva oc$rre dentro de $n rango de tama*o. 8a proporción de partíc$las dentro de cada rango de tama*o '$e es ract$rada es representada por :. Así :( :2 :... :H será la racción del material en cada racción de tama*o '$e podría ser seleccionada para la red$cción de tama*o con las partíc$las restantes '$e pasan completamente sin ning4n cambio en s$ tama*o. sto es conocido como la $nción de selección ;o el índice especí5co de ract$ra< '$e p$eda e+presarse matemáticamente como $na matriz diagonal donde cada elemento de la matriz representa la proporción de partíc$las '$e tiene la probabilidad de ract$ra. n $n proceso batc1 de molienda si la masa total cargada en el molino es designada como M la racción de masa del tama*o i en el molino es m y el índice especí5co de la ract$ra ;o el índice raccionario de ract$ra o la masa ract$rada del tama*o i por $nidad de tiempo por $nidad de masa de tama*o i presente< es :i entonces para $n primer orden en el proceso de ract$ra7
#
Gelocidad de ract$ra del tama*o i ó masa del tama*o i R m i ;t
−
d [ mi ( t ) M ] dt
= − S i mi ( t ) M
ó
;(2.&<
)onde7 :i R !onstante de proporcionalidad mi ;t< R -racción masiva del tama*o i desp$3s de $n tiempo de molienda t.
)esde la masa total es constante en $n molino batc1 y si : i es independiente del tiempo entonces la integración ec$ación ;(0.,< será7 mi;t< R mi;0< + e+p ;9: it<
;(2.6<
)onde S i t 2,303
8og mi ;t< R log m i ;0< 9
;(2.,<
Cn grá5co de log m i;t< vers$s tiempo de molienda t m$estra $na línea recta de inclinación ;9: iF20 < como se m$estra en el 5g$ra (2..
(&)6 Modelo $a#e$/#i0o de pro0eo de 0o!$i!u0i1!
8os modelos más com4nmente $tilizados para el modelamiento de procesos de trit$ración son7 (. l modelo de matriz 2. l modelo cin3tico
&
. l modelo de energía
8a t3cnica adoptó '$e para desarrollar $n modelo se debe establecer $n balance de masa de componentes y $n balance de energía del sistema de trit$ración. l balance de masa de $n sistema de trit$ración en $ncionamiento p$ede ser como7
Alimentación T -ract$ra R Prod$cto
;(2.<
,i"ura (&)6: Urá5co de primer orden para determinar la tasa de ract$ra de la ec$ación (2.,
l balance de energía es7
Energía trasmitida Energía entrada + Energía transformada a las partículas para la = ( por fractura ) en calor y sonido fractura ;(2."<
8a transormación de energía en calor y sonido son a men$do m$y pe'$e*as y por lo tanto siempre se desprecian en la ec$ación de balance de energía.
6
l balance de masa y los balances de energía entregan res$ltados similares.
(&)6)( Modelo $a#ri0ial 8ync1 e+presó la relación entre la $nción de selección : y análisis de alimentación $sando $n modelo de matriz representante de la alimentación y distrib$ciones de tama*o de prod$cto como H rangos de tama*o. 8a matriz 1a sido desarrollada as$miendo : i para la proporción de partíc$las '$e están dentro de $na racción tamizada i '$e podría ser ract$rada preerencialmente ;los otros son demasiado pe'$e*o<. epresentando la distrib$ción de tama*o de alimentación la matriz - la racción '$e podría seleccionarse para la ract$ra es :V-. Así si - ( -2 -...-H son las masas del material en cada racción de tama*o y : ( :2 :...:H son la proporción de partíc$las '$e tiene la probabilidad de ract$rarse en los intervalos de tama*o correspondientes entonces seg4n 8ync1 el proceso de ract$ra p$ede ser descrito en la orma matricial como7
Tamaño
( 2 # . . H
Alimentación
F 1 F 2 F 3 F 4 . F N
Función selección
S 1 0 0 0 . 0
0
0
0
0
S 2
0
0
0
0
S 3
0
0
0
0
S 4
0
0
0
0
...
0
0
0
...
V
Masa de partículas fracturadas F 1 S 1
0 0 0 . S N 0
F S 2 2 F 3 S 3 F 4 S 4 . F N S N
;(2.(0<
R
Así vemos '$e la masa del prod$cto de la ract$ra de las partíc$las escogidas será7 Masa del prod$cto R : V -
;(2.((<
y la masa de las partíc$las sin ract$rar será ; % E : V - < donde % represento la matriz identidad. l prod$cto total de ract$ra será la s$ma de las partíc$las ract$radas y las partíc$las intactas. 8as partíc$las ract$radas tendrán $na distrib$ción L la $nción de ract$ra. 8a $nción de ract$ra L es para todas las partíc$las en realidad ract$radas y por lo tanto el prod$cto ragmentado de la ract$ra se ,
p$eda representar por LV:V-. 8a operación completa de ract$ra es $na s$ma de partíc$las ract$radas e intactas '$e p$ede e+presarse a1ora por la ec$ación general7 P R L V : V- T ;% E :< V -
;(2.(<
8a ec$ación anterior es la relación matemática entre la alimentación ract$ra y prod$cto. :irve de base de los modelos matemáticos '$e describe el proceso de la trit$ración de $na partíc$la. sta ec$ación da $na relación entre la alimentación y el prod$cto desde la matriz de ract$ra conocida y la $nción selección. n las operaciones de ract$ra reales sin embargo el prod$cto está s$jeto a cierta clasi5cación ;interna a la $nidad de ract$ra o partes e+ternas< y el sobretama*o del clasi5cador esta combinado con la alimentación original para ormar $na n$eva alimentación para la ase pró+ima de ract$ra. 8as características y composición de la alimentación cambian así como los valores de L y :. 8a sit$ación es ácilmente entendida e+aminando la 5g$ra (2.# donde la contrib$ción de la racción de sobretama*o del clasi5cador al proceso de alimentación se il$stra claramente.
8a racción de sobretama*o es reciclada para $na trit$ración adicional y el bajotama*o del prod$cto es sacado de la $nidad de ract$ra. :i $sáramos los símbolos convencionales de - y P para alimentación y distrib$ciones de tama*o de prod$cto ' para la distrib$ción de tama*o al clasi5cador L : y ! para la ract$ra selección y $nciones de clasi5cación respectivamente y todos los t3rminos son considerados como vectores entonces para el proceso de ract$ra el balance de masa p$ede ser escrito como7 )esp$3s de la alimentación7 -2 R -( T !'
;(2.(#<
)onde -2 es la distrib$ción de tama*o de la alimentación más los sobretama*o del clasi5cador. )esp$3s del prod$cto7
P R ;% 9 !< V '
;(2.(&<
,i"ura (&)7: 8a representación es'$emática de $na s$cesión de ract$ra y clasi5cación.
:eg4n la ec$ación ;(2.(< la ract$ra está dada por7
' R ;L V : T % 9 :
;(2.(6<
:$bstit$yendo los valores - 2 y ' en la ec$ación ;(0.(6< y simpli5cando 8ync1 ;(< derivó el modelo de matriz para la trit$ración como7
P R ;% 9 !
;(2.(,<
ste modelo es $na relación c$antitativa entre distrib$ción de tama*o de alimentación y distrib$ción de tama*o de prod$cto en los sistemas de trit$ración. sto 1a sido ampliamente aceptado.
(&)6)& Modelo 0i!?#i0o "
l modelo de matriz considera la red$cción de tama*o especialmente en procesos de molienda como varios pasos discretos '$e consiste en $n ciclo repetitivo de clasi5cación ract$ra y clasi5cación. %nvestigadores como elsall y eid Y1iten 8ync1 y A$stín 1an tratado la red$cción de tama*o como $n proceso contin$o y Ua$lt elaboró en tiempos dependientes procesos característicos. 8oveday y A$stin encontraron e+perimentalmente '$e en el caso de molienda batc1 el índice de ract$ra obedece a la ley de primer orden como en $na reacción '$ímica sin embargo no e+iste ning$na razón válida para ello. l índice constante de ract$ra era $na $nción del tama*o de partíc$la. 8a s$posición básica era '$e la carga entera estaba mezclada completamente y era por lo tanto $niorme d$rante el proceso de molienda. :ig$iendo s$ trabajo la cin3tica del proceso de ract$ra se p$ede describir como7 8a velocidad de desaparición de partíc$las en el rango de tama*o Q por la ract$ra a c$al'$ier rango de tama*o más pe'$e*o i. 8a velocidad de aparición del tama*o i de la ract$ra de partíc$las de tama*o Q. 8A velocidad de la desaparición del tama*o i por el ract$ra a los tama*os más pe'$e*os.
eerirse a la ec$ación ;(2.#< y $sando los mismos símbolos podemos escribir7
Gelocidad de la desaparición de tama*o Q R : Qmi;t
R b iQ: Qmi;t
Gelocidad de desaparición del tama*o i ;(2.20<
R : imi;t
Para $na masa constante M el balance tama*o E masa podría ser7 d dt
I −1
[ mi (t )] = ∑ biJ S J m J (t ) − S i mi (t )
para N ≥ i ≥ j
≥1
J =1 I 〉1
;(2.2(< #0
8a ec$ación ;(2.2(< es el modelo de balance de velocidades de ract$ras básico de masas para la molienda de rocas y menas. l índice de prod$cción del material de tama*o menor + i es la s$ma de los índices de la prod$cción de material de tama*o menor + i por la ract$ra de todos los tama*os más grandes y esta dado por7
d P( xi , t ) dt
i −1
= ∑ Bi , J S J mJ ( t )
N
≥ i ≥ j ≥1
j =1 i 〉1
d P( xi , t ) dt
= 0
i=1
;(2.22< )onde P ( xi , t ) =
i
∑ m (t ) k
k = N
Para el modelamiento de molinos contin$os estables la ec$ación de ract$ra esta combinada con la distrib$ción de tiempo de residencia del material. 8os dos e+tremos de la distrib$ción de tiempo de residencia son el I$jo de entrada y totalmente mezclados. Para el I$jo de entrada todo el material tiene el mismo tiempo de residencia y de a1í la ec$ación de molienda batc1 es aplicable c$ando se integra desde cero al tiempo de residencia. 8a sol$ción de esta integral $e originalmente prop$esta por eid y es conocida como :ol$ción de eid.
8a orma general de la sol$ción es7 mi (t ) =
i
∑a
iJ
e
− S J t
para N ≥ i ≥ 1
J =1
;(2.2< )onde
#(
aiJ
0 i −1 = mi (0) − ∑ aik k =1 i 〉1 1 i −1 S b a k ik kj S − S ∑ i J k = j
para i 〈 j para i = j para i 〉 j ;(2.2#<
Para i R ( esto da7 m1 (t ) = m1 (0)e − S 1t ;(2.2&< Para i R 2 m2 (t ) =
S 1b21 S 2
− S 1
m1 (0)e − S 1t + m2 (0)e S 2t −
S 1b21 S 2
− S 1
m1 (0)e S 2t
;(2.26< Para i S 2 el n4mero de t3rminos en la e+presión se e+panden rápidamente.
Para $na mezcla total dentro del molino la ec$ación llega a ser7 i −1
∑ b S m
P i = P i + τ
ij
j
j
− S i miτ
para N ≥ i ≥ j
≥1
j =1 i 〉1
;(2.2,< )onde τ R signi5ca tiempo de residencia.
Para estimar Pi $sar la ec$ación ;(2.2,< para esto es necesario determinar : j el índice constante de ract$ra. sto se determina e+perimentalmente por $n grá5co log9log de la racción de tama*o de partíc$la Q retenida desp$3s de dierentes tiempos de molienda. )e la pendiente del grá5co se p$ede obtener el valor de :.
(&)7 Modela$ie!#o de i#e$a de 0a!0ado . $olie!da
#2
8os principios y t3cnicas generales descritos para el modelado matemático de los sistemas de trit$ración son directamente aplicables al c1ancado convencional y a los molinos $sados en las operaciones mineras y metal4rgicas. Cn trabajo pe'$e*o 1a sido 1ec1o en s$ aplicación a otras ormas de moler como los molinos de cilindros molinos de energía I$ida molinos vibratorios o ricción. stos molinos son esencialmente p$lverizadores. n la ind$stria minera la p$lverización es raramente re'$erida para liberar $n mineral de s$ ganga.
(&)7)( Modela$ie!#o de 0a!0adore "ira#orio . de $a!dí%ula !$ando $na partíc$la sencilla como lo m$estra la 5g$ra (2.& se presiona entre las mandíb$las del c1ancador las partíc$las se ract$ran prod$ciendo ragmentos indicado en 2 y en la 5g$ra (2.&L. 8as partíc$las marcadas 2 son más grandes '$e la descarga del c1ancador y son retenidas para c1ancarse en el pró+imo ciclo. Partíc$las de tama*o más pe'$e*o '$e la descarga del c1ancador p$eden bajar rápidamente y oc$par o pasar por la porción inerior del c1ancador mientras '$e las mandíb$las se balancean lejos. n el pró+imo ciclo la probabilidad de las partíc$las más grandes ;tama*o 2< de ract$rarse es mayor '$e la partíc$la más pe'$e*a . n el ciclo sig$iente por lo tanto la partíc$la de tama*o 2 es probable '$e desaparezca de reerencialmente y se $na al resto de las partíc$las de tama*o más pe'$e*as indicadas como en la 5g$ra (2.&!. n la 5g$ra las partíc$las c1ancadas no e+isten desp$3s de la trit$ración ;esto es sombreado en blanco solo para indicar las posiciones '$e oc$paba antes de la trit$ración<. 8as partíc$las '$e 1an sido trit$radas y viajan 1acia abajo se m$estran en gris. 8a 5g$ra claramente il$stra el mecanismo de trit$ración y la clasi5cación '$e tiene l$gar dentro de la zona de r$pt$ra d$rante el proceso como se il$stra tambi3n la 5g$ra (2.#. ste tipo de proceso de ract$ra oc$rre dentro del c1ancador de mandíb$la c1ancador giratorio c1ancador de rodillo y molino de barras. 8a ec$ación ;(2.(,< entonces es $na descripción del modelo de c1ancado.
#
,i"ura (&): !lasi5cación dentro de c1ancador de mandíb$la.
n la práctica sin embargo en l$gar de $na partíc$la sencilla la alimentación consiste de $na combinación de las partíc$las presente en varias racciones de tama*o. 8a probabilidad de la ract$ra de ciertas partíc$las relativamente más grandes en preerencia a las partíc$las más pe'$e*as ya se 1a mencionado. Para completar la c$rva de la probabilidad de la ract$ra de los tama*os de partíc$la dierentes se m$estra de n$evo en la 5g$ra (2.6. sto se p$ede ver para los rangos de tama*os de partíc$la entre 0 9 ( la probabilidad de la ract$ra es cero para las partíc$las m$y pe'$e*as. 8os tama*os entre ( y 2 son s$p$estos para '$e la ract$ra oc$rra conorme a $na c$rva parabólica. 8os tama*os de partíc$la mayores '$e 2 deberían ract$rarse siempre.
,i"ura (');: -$nción de clasi5cación ! i en $n c1ancador.
##
:eg4n Y1iten esta $nción de clasi5cación ! i representa la probabilidad de $na partíc$la de tama*o d i entrando a la ase de ract$ra del c1ancador se p$ede e+presar como7
i
=0
para di 〈 !1
d − ! 2 i = 1 − i !1 − ! 2 i = 1
2
para !1 〈 di 〈 !2 para di
〉 !2
;(2.2<
)onde los tama*os s$periores y bajo del tamiz para el intervalo i93simo de tama*o es conocida ! i p$ede obtenerse desde7 i
=
d i +1
∫ d
d i
i
i +1 − d i
dd ;(2.2"<
di y diT( son los sobre y bajos tama*os del tamiz de la i93sima racción de tama*o.
Para c1ancadores de mandíb$la giratorios de cono J ( es el valor del conj$nto y J2 el tama*o sobre todas las partíc$las '$e se romperán. l valor recomendado del e+ponente en la ec$ación ;(2.2< es 2. 8a $nción de clasi5cación p$ede e+presarse como matriz triang$lar donde los elementos representan la proporción de partíc$las en cada intervalo de tama*o '$e p$eda romperse. Para constr$ir $n modelo matemático para describir los tama*os de prod$cto y alimentación donde la alimentación del c1ancador contiene $na proporción de partíc$las '$e es más pe'$e*a '$e el conj$nto cerrado y por lo tanto pase por el c1ancador con mínima o ning$na ract$ra Y1iten promovió $n modelo de c1ancado como el mostrado por la 5g$ra (2.,. 8as consideraciones en la 5g$ra (2., son similares al modelo general para la red$cción de tama*o il$strada en la 5g$ra (2.# e+cepto en el caso c$ando la alimentación es inicialmente orientada a $n clasi5cador '$e elimina los tama*os de partíc$la menores a (. l prod$cto gr$eso del clasi5cador entra a la zona de c1ancado. Así sólo el material de tama*o más grande entra a #&
trit$rarse a la zona de c1ancado. l prod$cto de c1ancado es combinado con la parte principal de la alimentación y proceso se repite. 8os bajotama*o clasi5cados son el prod$cto.
,i"ura (&)<7 Modelo de c1ancado.
A 5n de describir la operación matemáticamente Y1iten y 8ync1 consideraron los balances másicos a la alimentación y prod$cto 5nal y derivaron la relación entre alimentación de c1ancado y prod$cto como7
P R ;% 9 !< V ;% E L V ! < 9( V -
;(2.0<
)onde P R vector para la distrib$ción de tama*o del prod$cto ;masa< % R matriz diagonal $nitaria teniendo todos los elementos R ( ! R $nción de clasi5cación escrito como $na matriz diagonal - R distrib$ción de tama*o de la alimentación ;masa<.
8a ec$ación ;(2.0< es el modelo de c1ancado ampliamente aceptado '$e se $sa para predecir la distrib$ción de tama*o de prod$ctos en los diversos tipos de c1ancadores. !onsiderando los aspectos anteriores de $n modelo de c1ancadores es importante recordar '$e el proceso de red$cción de tama*o en las operaciones comerciales es contin$o en grandes períodos de tiempo. n la práctica por lo tanto la misma operación es repetida por largos periodos así la e+presión general para el tama*o de prod$cto debe tomar este actor en c$enta. Por lo #6
