UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
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P r e ac i o
La asignatura es de naturaleza práctico – teórico, orientado a desarrollar en el estudiante habilidades superiores del pensamiento para el razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma de decisiones.
Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:
Unidad I: Integración Indefinida Unidad II: Integración Trigonomé Trigonométrica trica e Integración Integración por Fracciones Fracciones Parciales Unidad III: Integración Definida Unidad IV: Derivadas parciales, Integración Aproximada Aproximada,, Integrales Dobles e integrales Triples y sus aplicaciones
Integración Indefinida
La antiderivada de una función o Integral Indefinida.
Integración Trigonom. e Integrac. por Fracciones Parciales
Integración Trigonométrica
Integral. Inmediata Integrac. por sustituc. algebraica
Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas
Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas
Integración por sustitución tri tri onom onomét étri rica ca
Métodos de integración: Integración por partes
Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales)
Integración Definida
La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow Cálculo de áreas de regiones planas Volúmenes de sólidos en revolución
Trabajo mecánico. Longitud de arco
Deriv. Parcial, Integrac. Aprox, Integ. Dobles y Triples y sus aplicaciones Derivadas parciales
Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método del punto medio
Integral Doble y triple
Aplicaciones de las Integrales
La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: “Reconoce, determina, relaciona, evalúa, analiza y aplica los conocimientos matemáticos correspondiente correspondiente al cálculo Integral, con destreza y seguridad” seguridad”.
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P r e ac i o
La asignatura es de naturaleza práctico – teórico, orientado a desarrollar en el estudiante habilidades superiores del pensamiento para el razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma de decisiones.
Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:
Unidad I: Integración Indefinida Unidad II: Integración Trigonomé Trigonométrica trica e Integración Integración por Fracciones Fracciones Parciales Unidad III: Integración Definida Unidad IV: Derivadas parciales, Integración Aproximada Aproximada,, Integrales Dobles e integrales Triples y sus aplicaciones
Integración Indefinida
La antiderivada de una función o Integral Indefinida.
Integración Trigonom. e Integrac. por Fracciones Parciales
Integración Trigonométrica
Integral. Inmediata Integrac. por sustituc. algebraica
Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas
Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas
Integración por sustitución tri tri onom onomét étri rica ca
Métodos de integración: Integración por partes
Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales)
Integración Definida
La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow Cálculo de áreas de regiones planas Volúmenes de sólidos en revolución
Trabajo mecánico. Longitud de arco
Deriv. Parcial, Integrac. Aprox, Integ. Dobles y Triples y sus aplicaciones Derivadas parciales
Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método del punto medio
Integral Doble y triple
Aplicaciones de las Integrales
La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: “Reconoce, determina, relaciona, evalúa, analiza y aplica los conocimientos matemáticos correspondiente correspondiente al cálculo Integral, con destreza y seguridad” seguridad”.
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Índice del Contenido Contenido
I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: INT INTEGRA EGRACI CI N IND INDEFI EFINIDA NIDA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: La antiderivada de una función o Integral Integral Indefinida. b. Tema 02: Integrales inmediatas. Integración por sustitución algebraica. c. Tema 03: Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas. d. Tema 04: Métodos de integración: Integración por partes. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: 2: INTEGRACION TRIGONOMETRICA E INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Integración Trigonométrica. b. Tema 02: Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas. c. Tema 03: Integración por sustitución trigonométrica. d. Tema 04: Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales) 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: IN INTE TEGRA GRACI CI N DEFINI DEFINIDA DA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas e. Tema 01: La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow. a. Tema 02: Cálculo de áreas de regiones planas. b. Tema 03: Volúmenes de sólidos en revolución. c. Tema 04: Trabajo mecánico. Longitud de arco. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: DERIVA DERIVADAS DAS PARCIALES PARCIALES,, INTEGRACI INTEGRACI N APROXIMA APROXIMADA, DA, INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES TRIPLES Y SUS APLICACIONES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Derivadas parciales b. Tema 02: Integración Integración Aproximada. Regla Regla del trapecio, trapecio, Método del punto medio. c. Tema 03: Integral Doble y triple d. Tema 04: Aplicaciones de las Integrales 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUE FUENTE NTES S DE INF INFORMA ORMACI CI N V. SOLUCIONARIO
02 03 04-30 05 05 05 05 05 05 06-27 06 14 19 23 28 28 29 30 31-58 32 32 32 32 32 32 33-54 33 39 44 48 55 55 56 58 59-91 60 60 60 60 60 60 61-86 61 67 74 79 87 87 89 91 92-114 93 93 93 93 93 93 94-125 94 98 104 108 111 111 112 114 115 121 124
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UNIDAD
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Introducción
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a)Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la Integral Indefinida, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
b)Competencia Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida.
c) Capacidades 1. Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida. 2. Determina y calcula las integrales inmediatas y la integración por sustitución algebraica.
3. Interpreta el contexto de la integración de funciones exponenciales y logarítmicas, con uso efectivo de las propiedades de este tópico.
4. Utiliza y aplica correctamente los métodos de integración por partes.
d)Actitudes Promueve actividades y toma de decisiones pertinentes. Reconoce y valora las relaciones entre
“lenguaje gráfico” y “lenguaje
algebraico”.
Muestra interés y Confía en su capacidad para percibir y resolver la Integración Indefinida.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 01: INTEGRAL INDEFINIDA, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: La Antiderivada de una Función o Integral Indefinida. TEMA 02: Integrales Inmediatas. Integración por Sustitución Algebraica TEMA 03: Integración de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas. TEMA 04: Métodos de Integración: Integral por partes.
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TEMA 1
La Antiderivada de una Función o Integral Indefinida
“ Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida”.
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Desarrollo de los Temas
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DEFINICIÓN:
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo: Si
∫ .
A la expresión:
Se llama integral indefinida donde:
∫
es el s ig no integ ral, f ( x) : es el
integrando. C es la cons tante de integ ración.
Ejemplo 1: Hallar la antiderivada general de Solución:
Buscamos una función Es decir,
tal que
, entonces
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FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN Sean f yy g funciones que tienen antiderivadas (integrales indefinidas), sea k una una constante y r un un número racional, entonces:
1. 2. 3. 4.
5.
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ∫ ∫ ∫( )
∫ * +
Ejemplo 1: Hallar la siguiente integral: Solución:
∫
xdx 7 x 4 dx (3 x 5 5 x 7 x 4 )dx 3 x 5 dx 5 xdx
3 x dx 5 xdx xdx 7 x dx 3 5
4
x 6 6
5
x 2 2
7
x 5 5
c
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USO DE LA TECNOLOGÍA: PROGRAMA WINPLOT
1.
∫
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2.
∫
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UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP TABLA BÁSICA DE INTEGRALES
1.
x
n
dx
dx
2.
3.
x
1
n 1
C ; n 1
Ln x C
a dx x
x n
a
x
Ln a
C (a 0) ;
e dx e x
4.
sen x dx cos x C
5.
cos x dx sen x C
6.
sec2 x dx tg x C
7.
cos ec 2 x dx cot g x C
8.
sec x tg x dx sec x C
9.
cos ec x cot g x dx cos ec x C
10.
x
C
tg x dx Ln sec x C
cot g x dx Ln cos ec x 11.
C
12.
sec x dx Ln sec x tg x
13.
cos ec x dx Ln cos ec x co tg x
C C
11
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14.
15.
16.
17.
18.
x x
a
dx 2
a2 dx
2
a2 dx
2
x 2
1
x arctg C , a 0 a a 1
2a
1
2a
dx
x 2 a 2 dx
Ln
x a x a
Ln
a x a x
C , a 0
C , a 0
Ln x x 2 a 2 C , a 0 x
arcsen C , ( a 0)
a 2 x 2
a
dx
x
19.
x
20.
senh x dx cosh x C
21.
cosh x dx senh x C
22.
sec h 2 x dx tgh x C
23.
cos ec 2 h x dx cot gh x C
24.
sec h tgh x dx sec h x C
25.
cos ech x cot gh x dx cos ech x C
x a 2
2
arc sec
a
C , ( a 0)
12
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplos:
∫ ∫ ∫ =
∫ ∫ =
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 9.
=
13
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TEMA 2 Integrales Inmediatas, Integración por Sustitución Algebraica
“ Determina y calcula las integrales inmediatas y la integración por sustitución algebraica ”. 14
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1. INTEGRALES INMEDIATAS O POR SUSTITUCIONES ELEMENTALES Evaluar: o
o
o
o
∫ ∫ ∫ ∫ √ ∫ ∫ . √ / ∫ ∫ ∫√ ∫ ∫
=
o
∫ . /
2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
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Evaluar
Solución:
Haciendo: u = 5x + 1 Tenemos du = 5 dx
(es el resultado de derivar: 5x + 1 )
∫ Despejando:
Solución:
∫ ∫ u=
du = 2b2 x dx =
=
=
+ C
+ C
Solución:
Como
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∫ √ √ [ ]( ) √ √ √ (√ ) √ Solución:
Solución:
, se tiene que du=
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∫(√ √ ) √ √ √ √ (√ √ )√ √ ( ) √ √ √ √ √
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TEMA 3
Integración de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
1
“ Interpreta el contexto de la integración de funciones exponenciales y logarítmicas, con uso efectivo de las propiedades de este tópico ”. 19
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INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS: Las funciones exponenciales y logarítmicas son integrables en sus dominios y se tienen las siguientes fórmulas de integración: 1) e x dx e x c 2) h' ( x)e h( x) dx e h( x) c 3) a x dx
1 ln a
a x c si a 0 a 1
4) g ' ( x)a g ( x ) dx
1 ln a
a g ( x ) c si a 0 a 1
1
5) dx ln x c , x 0 x
6) 7)
f ' ( x) f ( x)
dx ln f ( x) c , f ( x) 0
Ley de Exponentes
Derivada de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
0
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Solución:
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TEMA 4 Métodos de Integración: Integral por partes
“ Utiliza y aplica correctamente los métodos de integración por partes”. 23
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INTEGRACIÓN POR PARTES Y APLICACIÓN Sean u u ( x) y v v( x) dos funciones diferenciables e integrables, entonces:
Observaciones:
u dv uv v du
1. Reconocer a u y v en el problema original. 2. Escoger a “dv ” de tal manera que sea fácil de hallar “ v ”.
Considerar: Derivadas trigonométricas:
,- ,- ,-
,- ,- ,-
Funciones trigonométricas
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T
z
Aplicar sustitución trigonométrica para
casos complejos
√ √
Ejemplo 1: Hallar ln x dx
Solución
INTEGRANDO POR PARTES
f(x) = ∫u.dv f(x) = u.v - ∫v.du Sea u ln x du
1 x
dx
dv dx v x
1
ln x dx (ln x)( x) x dx (ln x)( x) dx x
ln x dx (ln x)( x) c
Ejemplo 2:
x.Sec 2 x dx
INTEGRANDO POR PARTES
Solución
f(x) = ∫u.dv f(x) = u.v - ∫v.du
u x du 1dx dv Sec x v tan x 2
uv v du
x. tan x tan x.dx
x. tan x Ln sec x c
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∫
Ejemplo 3:
Solución
√
X
z
,-
∫ √ ∫ √ ∫ ∫ √ √ √ √ (√ ) Ejemplo 4:
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∫ ∫
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Lecturas Recomendadas
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Integral Indefinida (Inmediatas-Por sustitución-Por Partes-Varias)
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.html Integral Indefinida
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Indefinida.pdf Integración por partes
http://www.scribd.com/doc/506075/Integracion-por-partes
Actividades E ercicios
Cálculo de Integrales, Usando el Software Matlab 2009. (En caso de no tener el Software indicado, puede resolverlo mediante la aplicación de Fórmulas básicas de Integración). Envía el desarrollo de tus actividades a través de “Cálculo de Integrales” .
1.2.-
∫ ∫
3.- a x dx 3x dx 4. -
x
dx 2
a
2
dx x 2 2 2
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Autoevaluaciones ∫
( x3 +1 ) 3/2
1. Calcular a)
( x +1 ) 3
5/2
+ C
d) 2.
( x +1 ) 3
( x +1 )
b)
+ c
a) 4.
b) 3
5/2
c)
+ C
5/2
+ C
e)
( x +1 ) 3
( x +1 ) 3
5/2
+ C
5/2
+ C
∫ √ √ √ √ √ ∫ √ √ √ √ √ √ ∫ . / √ √ ∫ a)
3.
c)
+c
d)
+ c
e) 2x + c
+ c c)
+c
d)
+c
e)
+c
+ c b)
a)
+ c
b)
+ c c)
+c
+ c d) Ln 3x + c e) ln 2x
dx
5. Calcular : a)
b)
d)
c)
e)
6. Calcular: x 2 ln xdx a) b) c) d)
e)
x 3 ln x 3 ln x 3
x 3 9
x 3
x 3 ln x 3 x 3 ln x
9
c
x 3 3
c 3 x 3 ln x x 2 3
c
c
c
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Resumen
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LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si F ' ( x) f ( x), x I . A la expresión:
f ( x)dx F ( x) c
Se llama integral indefinida donde: es el signo integral, f ( x) : es el integrando y C es la constante de integración.
Si F ( x) f ( x) , entonces f ( x)dx F ( x) C donde C , es una constante arbitraria.
n
x n dx
es
x n 1 n1
cualquier
número
real,
excepto –1,
entonces:
C , donde C es una constante arbitraria.
. La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función. Esto es:
a f (x) dx
INTEG RAC ION DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALE S Y LOGARÍTMICAS:
Fórmulas Fundamentales De Integración
. Si
INTEGRALES INMEDIATAS INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
Propiedades de la función logaritmo neperiano Ln:
./
./
MÉ TOD OS DE INTE G R ACIÓN INTE G R AL P OR PA R TE S
= a f (x) dx
. La integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones. Esto es: si f y g son funciones, entonces:
Sean u u ( x) y v v( x) dos funciones diferenciables e integrables, entonces:
[ f ( x) g ( x)] dx = f (x) dx + g(x) dx 30
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u dv uv v du
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UNIDAD
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Introducción
a)Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la “INTEGRACI ÓN TRIGONOMÉTRICA E INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES” así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
b)Competencia (Logro) Identifica y comprende la Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones parciales.
c) Capacidades 1. Resuelve operaciones que se le presenta con integrales trigonométricas, aplicando las fórmulas básicas de integración en combinación con las identidades trigonométricas. 2. Analiza y resuelve integrales que involucran funciones trigonométricas inversas. 3. Analiza con criterio y destreza la integración por sustitución trigonométrica 4. Aplica criterios y técnicas adecuadas para evaluar la integración de funciones racionales.
d)Actitudes Respeto a las normas de convivencia: Cumple con los horarios establecidos. Respeta y cumple las normas de convivencia en el ámbito universitario. Desarrolla interés por investigar sobre formas y configuraciones que pueden representarse matemáticamente. Valora la utilidad de la Integración Trigonométrica y de la Integración por Fracciones Parciales para explicar y predecir ciertos hechos de la vida cotidiana. Reconoce y valora críticamente la utilidad del desarrollo tecnológico para realizar cálculos, exploraciones numéricas y representaciones gráficas.
e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad La Unidad de Aprendizaje 2: “Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones Parciales “comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Integración Trigonométrica TEMA 02: Integrales que involucran Funciones Trigonométricas Inversas TEMA 03: Integración por Sustitución Trigonométrica TEMA 04: Integración Funciones Racionales
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TEMA 1 Integración Trigonométrica
“Res uelve operaciones que se le presenta con integrales trigonométricas, aplicando las fórmulas básicas de integración en combinación con las identidades trigonométricas”.
Desarrollo de los Te as
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Las
integrales
operaciones
trigonométricas
algebraicas
sobre
implican funciones
trigonométricas, se aplican las fórmulas básicas de
integración
identidades
en
combinación
trigonométricas,
con
para
las
evaluar
integrales que contienen productos de potencias de funciones trigonométricas.
3) 4) 5)
6)
7)
8)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ -Ln Ln
Ln Ln
Ln -Ln
+ C + C
