5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
ANALISIS VARIABEL KOMPLEK
kg
Oleh Dwi Purnomo
Oleh Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika 2009
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
IKIP BUDI UTOMO MALANG TAHUN 2012
DAFTAR ISI
http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
1/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Halaman
Bab I
Bab II
Bab III
Bab IV
Bab V
Bab VI
Halaman 1
Bab I
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
ii 2/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
BILANGAN KOMPLEK Sistem Bilangan Real (R)
Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut. 1. Bilangan asli
1, 2, 3, 4,. . , Juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali
digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan bilangan Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli,
jumlah a + b dan perkalian a. b, (a) ( b) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau untuk memenuhi sifat penutupan terhadap operasi ini. 2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0
masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti x + b = a. dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x = a-b himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.
3.
Bilangan rasional dan pecahan seperti - , - . . . muncul untuk memungkinkan persamaan solusi seperti bx = a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b≠0
ini mengarah ke operasi divisi atau invers perkalian, dan kita tulis dengan x = a/b atau a+b [disebut hasil bagi a dan b] di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan bilangan bulat adalah bagian atau subset dari bilangan rasional,
karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional a / b dimana b = 1. Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama pembagian dengan nol tidak termasuk. 4. Bilangan irasional seperti
√
=1.41423. . . dan = 3. 14159. . .adalah bilangan
yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b≠0 Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan ril. diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui dengan berbagai operasi pada bilangan real.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
iii 3/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Representasi Bilangan Real
Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 titik yang sesuai dengan nol disebut asal
√
-4
-3
-2
-1
√
- atau 1,5
0
1
2
3
Gbr.1.1 sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. jika titik A sesuai dengan bilangan real yang terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan menulis masing-masing a > b atau b < a.
Halaman 2
Susunan dari nilai-nilai x termaksud a < x
terbuka,sumbu yang asli ketika
,yang mana juga termaksud nilai akhir
a dan, disebut interval tertutup berarti symbol x,yang mana dapat berdiri untuk semua susunan dari nilai – nilai asli ,yang disebut variabel asli. Nilai mutlak dari sebuah bilangan asli a , dinotasikan oleh
| |
, yang sama
untuk a jika a > 0,,untuk –a’ adalah a < 0 dan untuk 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b disumbu yang asli adalah
| |
.
Sistem Bilangan Komplek (C)
Tidak ada bilangan asli x yang memenuhi persamaan memberikan
solusi – solusi
untuk
untuk ini dan persamaan – persamaan yang sama
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
iv 4/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
susunan dari bilangan komplek telah di perkenalkan. Kita dapat mengangap sebuah bilangan komplek yang mana dengan bentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan
asli dan i ,yang mana disebut bilangan imajiner ,mempunyai kelengkapan
z = a + bi , kemudian a disebut bilangan asli dari z dan b disebut bagian
bilangan imajiner dari z dan didenotasikan oleh Re
* + * + dan lm
berturut-turut,
symbol z,yang mana dapat berdiri untuk semua susunan bilangan-bilangan komplek ,disebut variabel komplek. Dua bilangan komplek a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan b = d. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut.Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner asli.
Konjuget komplek ,atau konjuget singkat , dari sebuah bilangan komplek a + bi adalah
a-bi . Konjuget komplek dari sebuah bilangan komplek z sering
diindikasikan oleh
atau z .
Operasi dasar pada bilangan Komplek
Operasi
yang
ditunjukan
dengan
bilangan
komplek
kita
memprosesnya seperti aljabar dari bilangan – bilangan asli ,menganti ketika ini terjadi .
dapat
oleh -1
1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian
4. Pembagian
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
v 5/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Nilai Mutlak
Nilai Mutlak
atau modulus dari sebuah bilangan komplek
Contoh:
,….,
Jika
2. 3.
adalah
| | √ | | √ √ | || | | | | | | || | ||| | |||| | | || || | | || || | | || ||
defenisinya adalah sebagai
1.
=
=
adalah bilangan komplek,mengikuti sifat-sifat berikut
atau
jika
atau
4.
atau
Halaman 3 DASAR SISTEM AXIOMETIC DALAM ANGKA-ANGKA YANG KOMPLEKS
Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( a,b) dari bilangan riil a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan angka-angka riil. a. Persamaan (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a = c, b = d b. Penjumlahan (a,b) + (c,d) = (a+ c, b+ d) c. Produk (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad + bc)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
vi 6/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
m(a, b) = (ma, mb) Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa ( a,b) = a ( 1,0)+ b ( 0,1) dan kita berhubungan dengan ini a + bi di mana lambang untuk ( 0,1) dan mempunyai i 2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1) dan ( 1, 0) jadilah setara dengan bilangan riil 1. Pasangan yang diinginkan ( 0,0) sesuai dengan bilangan riil 0.
Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z 1, z 2, z 3, bagian dari S bilangan kompleks : 1. z1 + z2 dan z1 z2 tergolong S
Hukum Tertutupan
2. z1 + z2 = z2 +z1
Hukum Komutatif Penjumlahaan
3. z1 + (z2 + z3)= (z1+z2)+z3
Hukum Asociative Penjumlahaan
4. z1 z2 = z2 z1
Hukum Komutatif Perkalian
5. z1 (z2 z3) = (z1z2) z3
Hukum Asosiatif Perkalian
6. z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1z3
Hukum Penyebaran
7. z1 + 0 = 0 + z 1 = z1, 1.z1 = z1.1 = z1, 0 adalah terpanggil identitas berkenaan dengan tambahan,
1 adalah
terpanggil identitas berkenaan
dengan perkalian. 8. Untuk apa pun bilangan kompleks z1 ada z bilangan unik dalam S seperti z + z1 = 0; z adalah terpilih searah z1 untuk penjumlahan yang ditunjukan oleh – z 1. 9. Untuk apa pun z1 0 ada jumlah anuique dalam S seperti z1z = zz1= 1; z adalah terpilih berlawanan z1 berkenaan dengan perkalian dan ditunjukan oleh z1 -1 atau 1/z1. . Penyajian Grafis Dari Bilangan Kompleks Jika perbandingan riil dipilih pada dua bagian tegak lurus X'OX dan Y'OY yang disebut x dan y bagian berturut-turut seperti 1-2, maka kita dapat menempatkan titik manapun, di dalam bidang yang ditentukan oleh bentuk ini, dengan penghembus yang ditentukan dari bilangan riil
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
vii 7/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
(x,y) segi-empat yang disebut koordinat titik. Contoh-contoh lokasi titik seperti itu diindikasikan oleh P, Q, R, S and T dalam Fig. 1 – 2.
Karena suatu bilangan kompleks x + iy dapat dianggap sebagai suatu pasangan berurut bilangan real, maka kita dapat menjumlahkan angka-angka yang ditunjukan oleh xy yang terhubung pada bidang kompleks atau argand diagram. Bilangan kompleks yang diwakili oleh P, sebagai contoh, kemudian dapat dibaca sebagi ( 3, 4) atau 3+ 4i. Bagi setiap bilangan kompleks disana bersesuaian atau berpasangan satu-satu pada titik didalam bidang, dan sebaliknya bagi masingmasing titik didalam bidang disana bersesuaian satu-satu pada satu bilangan kompleks. Oleh karena itu kita sering mengacu pada bilangan kompleks z sebagai titik z. Kadang-kadang kita melihat x dan y tampak khayal dan riil yang berturutturut pada bidang yang kompleks ketika z dalam bidang. Jarak antar dua bilangan z1= x1+ iy1 dan z2= x2 + iy2 didalam bidang yang kompleks diberi oleh | z 1- z2|=
x1 x2 2 y1 y 2 2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo viii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
8/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Y
Q(-3,3)
4
P(3,4)
3 2
r(2,5,0)
1 -4
-3
-1
-2
0
1
2
3
4
X ’
1 2
R(-2.5,1.5)
S(2,2)
3
Fig. 1-2
Halaman 4 Kadang-kadang kita menunjuk sumbu x dan y sebagai sumbu real dan imajiner
masing-masing untuk bidang kompleks sebagai bidang z. Jarak antara dua titik z 1 x 1 iy1 dan z 2 x 2 iy 2 pada bidang kompleks ditentukan oleh z 1 z 2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2
.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
ix 9/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
BENTUK POLAR DARI BILANGAN KOMPLEKS Jika P adalah titik pada bidang kompleks sama dengan bilangan kompleks (x, y ) atau x + iy, maka kita lihat dari Gambar. 1-3 bahwa
x r cos , y r sin Y P(x,y) r
X ’
0
x
y
X
Y’ (Gambar. 1-3) Dimana r x 2 y 2 x iy disebut nilai modulus atau nilai mutlak dari z x iy 1 [dinotasikan dengan z atau
z
]; dan , disebut amplitude atau
argument(penjelasan) dari z x iy [dinotasikan dengan arg z ], adalah sudut yang membuat garis OP dengan sumbu x positif. Oleh karena itu, z x iy 1 r (cos i sin )
(1)
Yang disebut bentuk polar dari bilangan kompleks, r dan θ disebut koordinat polar( kutub). Kadang-kadang mudah untuk menulis singkatan cis θ untuk
cos i sin . Untuk setiap bilangan kompleks z ≠ 0 terdapat hanya satu nilai yang sesuai
dengan θ untuk 0 < 2π. Namun, interval lain dari panjang 2π, misalnya - π < θ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.
THEOREMA DE MOIVRE'S Jika z 1 x1 iy1 r 1 (cos 1 i sin 1 ) dan z 2 x2 iy2 r 2 (cos 2 i sin 2 ) kita dapat menunjukkan pada [ lihat halaman 19] (2)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
x 10/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
z 1 z 2 r 1 r 2 {cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )} z 1 z 2
r 1 r 2
{cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )}
(3)
Sebuah pernyataan dari (2) menyebabkan z 1 z 2 ...... z n r 1 r 2 ...... r n {cos( 1 2 ..... n ) i sin( 1 2 ..... n )} (4)
dan jika z 1 z 2 ......... z n z ini menjadi z {r (cos i sin )} r (cos n i sin n ) n
n
n
(5)
Yang sering disebut Teorema De Moivre
AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS Sejumlah w disebut akar n dari bilangan kompleks z jika wn=z, dan kita tulis w=z 1/n. Dari teorema De Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, 1/ n
z
{r (cos i sin )}1 / n
2k 2k r 1 / n cos i sin k = 0,1,2 , ........, n-1 n n
(6)
1 / n
Dari yang berikut ini bahwa n adalah nilai yang berbeda untuk z , yaitu n akar yg berbeda dari z. asalkan z ≠ 0.
Halaman 5 RUMUS EULER’S 2 3 x x x .... hubungan dari Di asumsi oleh perluasan deret berhingga e 1 x 2! 3!
kalkulus elementer ketika x i , kita dapat mengambil hasil e cos i sin i
e 2,71828
(7)
Yang mana kita sebut rumus Euler‟s yang sesuai ,bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikan e i . umumnya kita definisikan e x e x iy e x e iy e x cos y i sin y )
(8)
x
Misalnya untuk contoh dimana y = 0 turunan dari e
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xi 11/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Dengan catatan bahwa bentuk dari(7) pada dasarnya turunan dari teorema De
e
i n
Moivre‟s untuk
e in
PERSAMAAN PANGKAT BANYAK
Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan solusi persamaan pangkat banyak dengan bentuk umum : a 0 z
n
a1 z
n
1
a 2 z
n
2
...
a n 1 z
0
an
(9)
, a1 ...., a n adalah bilangan kompleks dan n pangkat positif di sebut Dimana a 0 0
persamaan berpangkat. Sebagaimana solusi juga disebut z0 dari pangkat banyak dar sebelah kiri (9) atau persamaan akar-akar. Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar ( dapat dibuktikan dalam bab 5 ) bahwa setiap persamaan polynomial dari bentuk (9) mempunyai satu akar kompleks. Dari ini kita menunjukkan bahwa mempunyai factor n dari akar-akar kompleks, beberapa atau semuanya yang mungkin sama. Jika z1,z2,…..zn dengan n akar-akar, dapat di tulis a0(z – z1)(z – z2)…(z – zn) = 0
(10)
yang mana di sebutbentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial ,sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10) kita dapat determinankan akar-akarnya dengan muda. AKAR-AKAR DARI N KE UNSUR SATUAN
Solusi dari persamaan z n 1 dimana n adalah pangkat positif di sebut unit akarakar dan di berikan oleh : z
cos 2k n
2 k
i sin 2k
n
e
k 0,1,2,3,....., n 1
n
Missal
jika
cos 2k i sin 2 n n
(11)
e
2 i n
, dimana
, 2 ,......., n 1 . secara geometri menunjukkan bahwa
n
akar-akar dari 1,
n vertical dari sbuah
polygon teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah lingkaran dari jarak satudengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan z 1 dan sering di sebut kesatuan lingkaran.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xii 12/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
INTERPRESTASI VEKTOR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS
Bentuk bilangan kompleks
z = x + iy dapat dipandang vector OP yang
menunjukkan titik asal O dan titik akhir P. dengan titik (x,y) lihat gambar 1.4 kadang-kadang kita sebut OP = x+iy sebagi vector posisi dari P. dua vector ini memiliki panjang sama atau ukuran dan arahnya sama tetapi titik awalnya berbeda, sehingga OP dan AB lihat gambar1.4. hal ini menunjukkan kesamaan sehingga kita dapat menulis OP =AB = x + iy. y
B A ( x,y) O
gambar 1.4
X
Halaman 6 Jumlah dari bilangan kompleks berkorespondensi dengan jumlah jajargenjang dari
jumlah untuk vector ( lihat gambar. 1-5). Dengan jumlah bilangan kompleks z1 dan z2, kita melengkapi jajargenjang OABC dimana untuk sudut OA dan OC berkorespondensi z1 dan z2. Untuk diagonal OB dari jajargenjang bekorespondensi dengan z1 + z2. Lihat masalah 5. A
z2
Z1
z1+ z2
B z1 C
Z2 O Gambar. 1-5
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
13/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
REPRESENTASI BILANGAN KOMPLEKS SECARA ROYEKSI STEREOGRAPHIC
Misalnya P (gambar 1-6) bidang kompleks dan memahami unit bulatan
( jari-jari satu) untuk tangent P di z = 0. Untuk diameter NS tegaklurus dengan P
dan titik N dan S kita sebut bagian utara dan bagian selatan dari
. Beberapa
korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan
pada titik A‟. setiap titik di bidang bilangan kompleks dimana korespondensi
satu-satu dan hanya satu titik dari bulatan
,dan kita dapat menggambarkan
beberapa bilangan kompleks oleh bulatan di setiap titik. Kita katakan Untuk
melengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang kompleks untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z , atau bidang kompleks secara luas. Cara sulit dari untuk memetakan bidang pada bulatan disebut proyeksi stereographich. Bulatan setiap saat disebut Riemann sphere.
N
SSssss
HASIL KALI TITIK DAN SILANG (DOT AND CROSS PRODUCT)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xiv 14/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Misalnya z1 = x1+ iy1 dan z2 = x2 + iy2 da bilangan kompleks (vector). Hasil kali titik ( disebut juga hasil kali titik) dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai z z z z cos x x y y Re z z 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
z z z z 1 2 2 1 2
(12) Dimana adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara 0 dan .
Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai
z 1 x z 2 z 1 z 2 sin x1 y 2 y1 x2 Im z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 i z 1 z 2 z 1 z 2 e
1
z 1 z 2 z 1 z 2
(13)
(14)
2i i
Jika z1 dan z2 bukan nol, maka 1. Diperluan dan kondisi yang cukup dalam z1 dan z2 tegak lurus pada
2 0 z 1 z 2. Diperlukan dan kondisi yang cukup pada z 1 dan z2 sejajar dengan z1 x z2 = 0. 3. Jarak proyeksi dari z 1 di z2 adalah z 1 z 2 / z 2 . 4. Bidang pada sebuah jajargenjang ada pada sudut z1 dan z2 adalah z 1 z 2 .
Halaman 7
KOORDINAT KOMPLEKS SEKAWAN Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus atau koordinat kutub . Namun banyak juga kemungkinan yang
̅
lain. Salah satunya adalah menggunakan kenyataan bahwa dimana
. Koordinat
̅
̅
,
yang menentukan letak
suatu titik dinamakan Koordinator Kompleks Sekawan atau disingkat Koordinat Sekawan dari titik tersebut (Perhatikan soal 43 dan 44).
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xv 15/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
HIMPUNAN TITIK Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut. Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan. 1. Lingkungan (neighbourhoods)
| | – | | – ||
Suatu lingkungan delta (atau titik
sehingga
) dari titik
adalah Himpunan semua
< dimana adalah suatu bilangan positif yang
diberikan. Suatu lingkungan
yang dihilangkan dari
lingkungan dari
nya dibuang, yaitu
yang titik
adalah Suatu .
2. Titik limit (limit points) Suatu titik
disebut titik limit , titik gabung , atau titik kumpul dari
himpunan titik
. Jika setiap lingkungan
memuat titik di himpunan
sebarang, maka himpunan
berhingga. Perhatikan bahwa
karena
yang dihilangkan dari
adalah Suatu bilangan positif
harus memiliki banyak titik yang tak
mungkin terletak di dalam atau di luar
himpunan .
3. Himpunan tertutup (closed sets)
Sebuah himpunan disebut tertutup jika setiap titik limit dari termasuk di dalam
, yaiut
memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh,
himpunan semua titik
sehingga
adalah suatu himpunan
tertutup.
4. Himpunan terbatas (bounded sets)
||
Sebuah himpunan konstata
disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu
sehingga
untuk setiap titik dan . Suatu himpunan
tak terbatas adalah himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup dinamakan Kompak. 5. Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and boundary points)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xvi 16/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Suatu titik
disebut titik dalam dari himpunan
menentukan suatu lingkungan pada . Jika setiap lingkungan
di luar , maka
jika kita dapat
dari
yang semua titiknya termasuk
dari
memuat titik di dan juga titik
dinamakan titik batas. Jika suatu titik bukan suatu titik
dalam atau titik batas dari suatu himpunan titik luar dari .
, maka titik ini dinamakan
6. Himpunan terbuka (open sets) Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik suatu himpunan terbuka.
sehingga
||
adalah
7. Himpunan tersambung (connected sets)
Suatu himpunan terbuka disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang semua titiknya terletak
di dalam . 8. Daerah terbuka atau domain (open regions or domains) Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain. 9. Penutup suatu himpunan (closure of a set) Jika suatu himpunan
kita gabungkan semua titik limitnya, maka
himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan merupakan suatu himpunan tertutup.
dan
10. Daerah tertutup (closed regions) Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup. 11. Daerah (regions) Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini bilamana kita menggunakan istilah
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
17/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain.
Halaman 8 12) Gabungan dan irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik
yang tergabung dalam himpunan S1 dan himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan
himpunan S1 + S2 /
Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat dalam himpunan S 1 dan
S2 dinamakan irisan S1 dan S2 yang ditandai dengan S 1 , S2 /
13) Komplemen sebuah himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan
14) Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong (
). Jika dua
himpunan S1 dan S2 tidak memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 =
. Setiap himpunan yang dibentuk
melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S. 15) Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam sebuah persamaan dengan angka- angka
1,2,3………maka himpunan itu
dinamakan himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak terhingga. Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan: 1. Welerstrass-Bolzano Theorem. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
18/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
2. Heine-Borel Theorem. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan
terpadu
masing-masingnya
mengandung
satu
atau
lebih
himpunan A1, A2.....( yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga.
Soal-soal yang telah dikerjakan Penyelesaian-penyelesaian dasar dengan bilangan kompleks.
1. Membuat penyelesaian pada masing-masing bilangan kompleks. (a) ( 3 + 2 i) + (-7- i ) = 3 – 7 + 2i – I = -4 = i
(b) (-7- i ) + ( 3 + 2 i) = -7 +3 – I + 2i = -4 + i Hasil bilangan komleks (a) dan (b) menunjukan penyelesaian yang dapat dimengerti. (c) (8 – 6i) - (2i - 7) = 8 – 6i -2i + 7 = 15 – 8i (d) (5 + 3i) + {( -1 + 2i) + (7 – 5i)} = (5 + 3i) + {-1 + 2i +7 – 5i} = (5 + 3i) + (6
– 3i) = 11 (e) {( 5 + 3i) + (-1 + 2i) } + (7 – 5i) = {5 + 3i -1 + 2i} + (7 – 5i) = (4 + 5i ) + (7 – 5i) = 11 Hasil (d) dan (e) menunjukan hasil yang berkaitan. (f) (2 – 3i) (4 + 2i) = 2(4 + 2i) - 3i(4 + 2i) = 8 + 4i -12i - 6i 2 = 8 + 4i -12i + 6 = 14 – 8i (g) (4 + 2i) (2 – 3i) = 4(2 – 3i) + 2i(2 – 3i) = 8 – 12i + 4i - 6i2 = 8 -12i + 4i + 6 = 14 – 8i Hasil (f) dan (g)menunjukan hasil yang dapat dipahami. (h) (2 – i) {(-3 + 2i)(5 - 4i)} = (2 - i){-15 + 12i + 10i – 8i2} = (2 - i)(-7 + 22i) = -14 + 44i + 7i – 22i2 = 8 + 51i (i) {(2 – i) (-3 + 2i)} (5 - 4i) = {-6 + 4i + 3i -21i 2} (5 - 4i) = (-4 + 7i) (5 - 4i) = -20 + 16i + 35i – 28i2 = 8 + 51i Hasil (h) dan (i) menjelaskan hasil perkawinan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xix 19/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
* + + * Halaman 9 (j).
Ini memberikan penjelasan pembagian rumus yang lain. (k)
⁄ ()() √ √ | | | | | | | | * +
(l)
(m)
2.jika
(b)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xx 20/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
(c)
(d)
√ √ √ √ . / . √ / √ √ || . / || . /
3. temukanlah bilangan real x dan y seperti yang
| | | | | || | | | | || | | | | | || | ||| | Kemudian berikan hubungan persamaan tertulis sebagai berikut
kemudian menyamakan bagian bilangan real dan imagenari, kemudian pemecahan secara bersamaan,
4. Buktikan: (a)
Misalkan =
kemudian
(a)
(b)
dimana kita sudah menggunakan fakta bahwa hasil konjugasi dari dua bilangan kompleks yang sama dengan produk konjugatif yang lain (lihat Soal 55).) Halaman 10 ANALISIS VARIABEL
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xxi 21/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
UNTUK MEMENUHI TUGAS AKHIR SEMESTER VI
NAMA NPM JURUSAN TUGAS
: ADRIANA BULU : 2091000210060 : MATEMATIKA 2009 A : MENERJEMAHKAN B. INDONESIA HALAMAN 10
BILANGAN KOMPLEKS A.Gambar Grafis Dari Bilangan Kompleks
5.Mengerjakan,menunjukan pembedahan, menganalisa dan gambarkan. (3+4)+(5+2), (6-2)-(2-5), (-3+5)+(4+2)+(5-3)+(-4-6) A).Menganalisis (3+4)+(5+2)=3+5+4+2=8+6
Menggambarkan grafis dua bilangan komplek nilai P1 dan P2 yang berturut – turut seperti gambar dibawah ini 1.7. Sempurnakan garis lintang dengan OP1 dan OP2 seperti berdekatan sisi. Nilai P menggambarkan jumlah 6+8 dari dua bilangan komplek. Catatan persamaan garis lintang untuk penjumlahan dari vektor OP1 dan
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
22/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
OP2 memperoleh vektor OP. Pertimbangan ini untuk memudahkan sebuah bilangan kompleks seperti a +b sebuah vektor memperoleh komponen dan b ke arah dari positip x dan y tanpa hubungan berturut. у
Р P1 3+4i
8+6i 5+2i
O Gambar 1.7 P2 -2+5i
P2
ᵡ
y P 4+3i
O
ᵡ
6-2i
P1 Gambar 1.8 (b) Menganalisa, (6+2)-(2-5)=6-2-2=4+3
Grafis, (6-2)-(2-5)=6-2+(-2+5). Menjumlahkan 6-2 dan((-2+5)seperti dibagian (a).Menunjukan hasil untuk OP didalam gambar 1.8 diatas. (C)Menganalisa. Grafis, (-3+5)+(4+2)+(5-3)+(-4-6)=(-3+4+5-4)+(5+2-3-6)=22. Menggambarkan bilangan yang ditambah untuk z1, z2, z3, z4 berturut – turut. Gambarlah grafis dibawah ini 1.9 untuk memperoleh jumlah yang dibutuhkan bertambah terus seperti bentuk pertama gambar dibawah ini 1.10.Sebagai nilai dari vektor z1 konsepsi vektor z2,vektor z2 konsepsi vektor z3,dan nilai dari z 3 konsepsi vektor z4. Pada suatu saat, sebagai hasil dari jumlah yang dibutuhkan adalah memperoleh vektor OP untuk menyusun huruf awal dari nilai z 4,i. E. OP = Z1+ Z2 + Z3 + Z4 =Z – Z. y
z1
O
z2
ᵡ z 3
z4 y z 2
z 3
z1
z4
O
Gambar 1.9
ᵡ
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
23/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
P s Gambar 1.10 Halaman 11 Jika z 1 dan z 2 adalah dua dari Bilangan Kompleks (vektor – vektornya) pada gambar 1- 11. Buatlah grafiknya 1 5 (a) 3 z 1 2 z 2 (b) z 2 z 1 2 3
(a) Pada gambar 1-12 disamping, OA 3 z 1 adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 3 kali vektor z 1 dan OB 2 z 2 adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 2 kali vektor z 2 dan
2 z 2 Dan vektor OC OA OB 3 z 1 y
y
Q z 1 z
x
P
x
1
O
1 2
z 2
z 2
R
Gambar 1-11
Gambar 1-13 y
C
3 z 1 2 z 2 B
A
2 z 2
3 z 1 x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxiv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
24/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
O Gambar 1-12 (b) Persamaan vektor (Bilangan kompleks) ditunjukkan oleh OP pada gambar 1-13 diatas
7.
Buktikan : (a). z 1 z 2 z 1 z 2 , (b). z 1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 , (c). z 1 z 2 z 1 z 2 dan gambarkanlah grafiknya (a). Penyelesaian Misal z 1 x1 iy 1 , z 2 x2 iy2 dan kita harus menunjukkan bahwa 2 2 2 2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 x1 y1 x2 y2 Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika 2
2
2
2
2
2
2
2
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 x1 y 1 2 ( x1 y1 )( x2 y2 ) x2 y2 2
2
2
2
x1 x2 y1 y 2 ( x 1 y1 )( x2 y2 )
i.e. jika
atau jika ( Kuadratkan Kedua persamaan lagi) 2
x
1
x
Atau
2 2
2
2
2
2
2
2 x x y y y y x x x y 2 2 2 2 2 x1 x2 y1 y 2 x 1 y 2 y 1 x 2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2
2
2
1
y x
2
2
y y 1
2 2
2 y1 ) 2 0 jika benar. Balikkan langkah – langkah Tetapi ini sama untuk ( x1 y 2 x
yang reversibel. Buktikan hasilnya. Grafis. Secara grafis hasil dari fakta bahwa z 1 , z 2 , z 1 z 2 ditunjukan panjang dari sisi – sisi sebuah segitiga (lihat gambar 1-14) dan jumlah panjang dari 2 sisi dari sebuah segitiga yang lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga.
y
z 2 z 1
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
25/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
z 1 z 2 0
x
Gambar 1-14
z 2
z 3
z 1 z 2 z 3
z 1 0
Gambar 1-15
(b). Penyelesaian. Bagian (a) z 1 z 2
z 3 z 1 ( z 2 z 3 ) z 1 z 2 z 3 z 1 z 2
z 3
Grafis. Hasil dari sebuah kesepakatan fakta geometris bahwa sebuah bidang garis lurus lebih pendek diantara 2 titik O dan P (lihat Gambar 1-15) Halaman 12
TERJEMAHAN ANALYSIS VARIABEL COMPLEX 8. Misal diberikan vector posisi dari titik A( x1 , y1 ) dan titik B( x2 , y 2 ) yang
diwakili oleh z 1 dan z 2 berturut-turut.(a) gambar vector AB sebagai bilangan kompleks.(b) tentukan jarak antara titik A dan B (a) Dari gambar 1.16 OA AB OB
AB OB OA z 2
z 1
AB x2
iy2
x1 iy1
AB ( x2
x1 ) i ( y 2 y1 )
z1
AB z2
(b) Jarak antara titik A dan B dapat di cari dengan rumus
AB ( x2 x1 ) i( y2 y1 ) ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 9. misal z 1 x 1 iy1 dan z 2 x 2 iy2 yang diwakili dua vector non kolinear atau vector non parallel Jika a dan b adalah bilangan real sedemikian sehingga az 1 bz 2 0 dengan
syarat a 0 danb 0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
26/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
2 0 ekuivalen dengan a( x1 iy1 ) b ( x2 iy2 ) 0 Diberikan kondisi az 1 bz 1 by2 ) 0 jadi ax1 bx 2 0 dan ay1 by 2 0 persamaan atau ax1 bx2 i (ay ini akan mempunyai solusi yang simultan a 0, b 0, jika y 1 x1 y2 x2 .jika tersebut adalah vectorjajaran non kolinear vector non parallel. . buktikan bahwa diagonal genjangatau saling membagi dua 10vector Pada gambar 1.17 OABC akan diberikan jajaran genjang dengan diagonal yang saling berpotongan pada titik P Karena z 1 AC z 2 , AC z 2 z 1 jadi AP m ( z 2 z 1 ) Dengan syarat 0 m 1 B Karena OB z 1 z 2 , OP n( z 1 z 2 ) dengan syarat 0 n 1 tapi OA AP OP , z 1 m( z 2 z 1 ) n( z 1 z 2 ) atau (1 m n) z 1 (m n) z 2 0 karenanya dari masalah 9 , 1 1 1 m n 0, m n 0 atau m , n dan P adalah titik tengah dari kedua 2 2 diagonal 11. menemukan persamaan untuk garis lurus yang melewati dua titik A( x1 , y1 ) dan B( x2 , y2 )
Misal z 1 x 1 iy1 dan z 2 x 2 iy2 adalah vektor-vektor dari masing-masing titik A dan B. Dari gambar 1.18 z , AP z z 1 OA AP OP atau z 1 AP
z 2 , OA AB OB atau z 1 AB 2 z 1 AB z Karena AP dan AB segaris maka AP tAB atau z z 1 t ( z 2 z 1 ) dimana t adalah bilangan real dan persaman umumnya adalah z z 1 t ( z 2 z 1 ) atau z (1 t ) z 1 tz 2
Dengan menggunakan z 1 x 1 iy1 , z 2 x 2 iy2 dan z x iy , juga dapat ditulis x x1 y y1 x x1 t ( x 2 x1 ) , y y1 t ( y 2 y1 ) atau 2 1 2 1 x x y y Ada dua bentuk persamaan ,yang pertama disebut persamaan parametrik garis dengan t adalah parameternya.yang kedua disebut persamaan garis bentuk standar. Metode lain. Karena AP dan PB segaris dan m dan n adalah bilangan real maka, 2 z ) mAP nPB atau m( z z 1 ) ( z Penyelesaian
z
mz 1 nz 2
atau x
mx1 nx2
mn mn Bentuk persamaan di atas disebut bentuk simetris.
, y
my1 ny2 mn
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
27/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Halaman 13 Dengan menggunakan = + , x- = t ( - ) , y- = t (
= -
dan z =x + atau =
dapat di tuliskan
Dua yang pertma disebut persamaan parametric garis dan t adalah parameter yang ke dua di sebut persamaan dari garis yang pertama mAP=nPB
Dapat di pecahkan
z=
atau
m(z-
atau
) = n (
x=
- z )
, y =
Dari persamaan di atas dapat di sebut bentuk simetris 12. Misal A ( 1, -2 ), B ( -3 , 4 ), C ( 2 , 2 ) menjadi kesimpulan dari segitiga ABC .Carilah panjang median dari C kesisi AB . Vektor posisi A,B dan C di berikan oleh = 1 – 2i , = -3 + 4i dan = 2 + 2i masing masing .Kemudian digambar
AB = BC = AB =
- = 2 + 2i - ( 1 – 2i ) = 1 + 4i - = 2 + 2i – ( -3 + 4i ) =5 -2i - = -3 + 4i – ( 1 – 2i ) = -4 + 6i
AD = AB =
( -4 + 6i ) = -2 + 3i dimana D adalah titik tengah AB
AC +CD = AD atau CD =AD – AC = -2 + 3i – ( 1 +4i ) =-3 – i
√
Maka panjang rata rata dari CD adalah CD = 3,1 =
B
y D
C
x
A 13. Tentukan persamaan untuk (a ) lingkran berjari 4 dengan pusat ( -2 , 1 ) , (b), elips dengan sumbu utama yang panjangnya 10dan titik fokusnya di (-3, 0 ) dan ( 3, 0 ). a) dengan di notasikan atau di tuliskan dengan bilangan kompleks -2 + I .Jika z adalah setiap titik pada lingkaran (gambar 1.20) jarak dari z -2 + I adalah z ( 2 i) =4 Kemudian 2 2 1 =4 adalah persamaan yang di perlukan dalam bentuk empat persegi panjang di berikan oleh ( x 2) i( y 1) =4,i.e ( x+2)2 + (y -1)2=16 Y
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
28/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
y
y
Z x
(-2,1)
z
(-3,0) (3,0)
x
b) Jumlah jarak dari setiap z titik pada elips ( gambar 1-2) untuk focus harus sama=10 maka persamaannya adalah
,
] +[z-3]=10,dalam
empat persegi panjang dapat di kurangi untuk soal 74)
/25 +
/16=1(lihat
Aksioma Dasar dari Bilangan Komleks 14. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0) =(a,c) + (c,b) =(a,b)
Halaman 14 BILANGAN KOMPLEK
Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan
dimana
Dari identifikasi
dengan 1 dan
dengan , kita melihat bahwa
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
29/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
( ) * + ( ) (* + ) Jika
dan
, membuktikan hukum
persamaan distribusi
Kita mendapatkan
KOORDINAT POLAR DARI BILANGAN KOMPLEK
Nyatakan setiap bilangan komplek berikut dalam bentuk koordinat polar
√ a)
√ | √ √ √ √ | | √ √ Nilai penyelesaian atau mutlaknya,
Perluasan atau bukti,
(radians)
Kemudian
Hasilnya juga dapat ditulis sebagai
euler‟s,
atau, menggunakan rumus
y
Gambar
4
600
x
b)
2
(radians)
Kemudian
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxx http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
30/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √ √ √ √ √ √√ √√ √ √ √ √ √ √ √ √
y
5 460
5
x
-5
Gambar
c)
(radians)
Kemudian
y
2
Gambar
d)
x
| | | |√
(radians)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxxi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
31/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
. /
Kemudian
y
x
-3
Gambar
Grafikkan dari setiap bagian berikut:
dapat direfresentasikan secara grafik dengan OP di gambar
dibawah
ini.
Jika kita memulai dengan vektor OA yang besaranya adalah 6 dan
yang mana arahnya adalah
, kita dapat memperoleh OP dengan
merotasikan OA berlawanan dengan arah jarum jam melalui sudut 240 0. Secara umum
sebanding dengan vektor yang diperoleh dengan
merotasikan atau memutar vektor yang besaranya r dengan arah
axis
positif, bergerak berlawanan melalui sudut .
Halaman 15
Nama : Leo marwan NPM : 2091000210059 Jurusan: Matematika, 2009. B
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
32/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS y
y
y 2400 o
2
6 A O
x A
p 4 1080
450 p P
2
b
o
Gambar 1-26
x
Gambar. 1-27
Gambar. 1-28 (b) 4e 3 i / 5 4cos 3 / 5 i sin 3 / 5 4cos108 0 i sin i sin 108 0 Diwakili oleh pada gambar diatas.1
c.2 e i / 4 2cos / 4 i sin / 4 2 cos 450 i sin 450 Bilangan kompleks ini dapt dirpesentasikan oleh vector OP pada gambar. Diatas 1-28 vektor ini dapat diperolah dengan memulai dengan vector OA. Yang besarnya adalah 2 dan yang arahnya adalah bahwa dari sumbu X positif, dan memutarnya berlawanan itu memulai sudut -450 (yang sama dengan memutar secara jarum jam melalui sudut 450).
18. seorang pria perjalanan 12 mil timur laut, 20 mil barat 30 0 dari utara, B
y dan kemudian 18 mil 60 0 selatan barat, menentukan (a) secara analitik
60o
dan (b) grafis seberapa jauh dan kearah mana ia adalah dari titik tolak
18
20
30o nya.
C
12 A
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
33/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
(a). Analitis. Biarakan o menjadi titik awal (lihat gambar 1-29). Maka perp45o
x
Indahan berturut-turut diwakili oleh vector OA,AB dan BC, hasil
dari ke-
o
Tiga perpindahan diwakili oleh vector. OC OA AB BC
AB 20cos90 30 i sin90 30 20 e BC 18cos180 60 i sin180 60 18 e OA 12 cos 450 sin 450 12 e i / 4
sekarang
0
0
0\
0
0
0
2 i / 3
0
0
4 i / 3
Kemudian OC 12e
i / 4
20e 2 i / 3 18e 4 i / 3
12 cos 45 20 cos120 18 cos 240 i12 sin 45 20 sin120 18 sin 240 12 2 / 2 20 1 / 2 18 1 / 2 i 12 2 / 2 20 3 / 2 18 3 / 2 o
6 2 19 6
o
o
o
o
Jika r cos i sin 6 2 19 6 2 3 i, Maka r 6 14.7 sekitar dari cos 6 2 19/ r cos .717 135 49
o
2 3i
1
1
o
2
2 19 6 2 3
2
'
Sehingga orang itu adalah 14,7 mil dari titik tolaknya dalam arah 135o49,-90o= o
,
45 49 barat utara. (b) grafis , menggunakan unit yang nyaman panjang seperti PQ dalam ambar 1-29 yang mewakili 2 mil, Dan busur derajat untuk mengukur sudut, membangun vektor OA,AB dan BA kemudian dengan menentkan jumlah unit di OC dan sudut yang membuat OC dengan sumbu V, kita memper oleh hasil perkiraan (a)
DE MOIVRE‟S TEOREMA
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxiv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
34/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
19. if z 1 r 1 cos 1 i sin 1 dan z 2 r 2 cos 2 i sin 2 , Membuktikan :
a z 1 z 2 r 1r 2 cos 1 2 i sin 1 2 z 1
b
z
r 1
cos 1 2 i sin 1 2 .
r
2
2
c z 1 z 2 r 1 cos 1 i sin 1 r 2 cos 2 i sin 2 r 1r 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos 1 sin 2 r 1r 2 cos 1 2 i sin 1 2
Halaman 16 z 1 r 1 cos 1 i sin 1
(b) z 2
cos 2 i sin 2 r 2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2 r 1 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos 1 sin 2
r 1 r 2
2 2 cos 2 sin 2
r 2
cos 1 2 i sin 1 2
Pada syarat-syarat rumus Euler e i cos i sin , hasilnya menyatakan
bahwa jika i 1 z 1 r 1e r 1
z 2
r 2 e
i 2
r 2
20. Buktikan
z
e
i 1 2
i 1
r e dan z
1
1
2
i 2
r e 2
maka
z z
1 2
r r e 1 2
i 1 2
dan
.
n dimana teorema De Moivre‟s : cos i sin
n adalah bilangan
bulat positif. Kita gunakan prinsip induksi matematika. Menganggap bahwa hasilnya benar
untuk
bilangan
bulat
positif
cos i sin k cos k i sin k
khusus
k ,
yaitu
menganggap
kemudian kalikan kedua sisi dengan
cos i sin , kita dapatkan
cos i sin k cos k i sin k cos i sin cosk 1 i sin k 1
menurut
soal no.19. Jika benar untuk n k maka benar untuk n k 1
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
35/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Tetapi sejak hasilnya jelas benar untuk n 1, maka pasti benar untuk
n 1 1 2 dan n 2 1 3 , dst., dan pasti benar untuk semua bilangan bulat positif. 21. Buktikan identitas : (a) cos 5 16 cos 5 20 cos3 5 cos (b)
sin 5 2 16 cos 4 12 cos 1, if 0, , 2 sin Kita menggunakan rumus Binomial
a bn a n 1n a n1b n2 a n2 b 2 ..... nr a n r b r ... b n Dimana koefisien
n!
n r
, juga dinyatakan dengan
n
C r , yang
r !n r !
disebut koefisien binomial. Bilangan n ! atau n faktorial , didefinisikan sebagai hasil 1 2 3.......n dan kita definisikan 0 ! 1 Dari soal no.20, dengan n 5 , dengan rumus binomial,
cos i sin cos 5 i sin 5 5
cos 5 15 cos 4 i sin 52 cos 3 i sin 2
5
3
2
5
4
5
i sin i sin cos i sin cos
cos 5i cos sin 10 cos sin 10i cos sin 3 3
5
4
4
3
2
2
5 cos sin 4 i sin 5 = cos5 10 cos 3 sin 2 5 cos sin 4
i 5 cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5 Maka
cos3 sin 2 5 cos sin 4 (a) cos 5 cos5 10
cos5 10 cos3 1 cos 2 5 cos 1 cos2 2
3 16 cos5 20 cos 5 cos
dan (b) sin 5 5 cos4 sin 10 cos2 sin 3 sin 5 atau
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
36/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
sin 5 sin
2 5 cos 4 10 cos sin 2 sin 4
5 cos4 10 cos2 1 cos2 1 cos2 2
16 cos 4 12 cos 2 1 dengan sin 0 , yaitu 0, , 2 ,...
22. Tunjukkan bahwa (a) cos
e i e i
2
e e i
, (b) sin
2i
i
Kita mempunyai (1) e ie cos i sin , (2) e i cos i sin
Halaman 17
. (/) (() )() () () () ( ) . / . / (a) Tambahkan (1) dan (2)
atau
(b) Kurangkan (2) dari (1)
atau
23. Buktikan identitas (a)
,(b)
(a)
( ) .( ()(/))(() )() () () ( ) . / . /
(b)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
37/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
24. Diberikan bilangan komplek (vektor) z, mengartikan secara geometri
, - ,- - , √ / . √ , -, .√ √ / √ √ . √ √ / . / ( ) , - √ dimana bilangan real.
Misal menggambarkan garis vector di gambar 1-30. Kemudian Adalah vector yang diwakili oleh OB. Maka perkalian vector oleh sebesar putaran yang berlawanan dari sudut . Gambar 1-30 Kita dapat mempertimbangkan sebagai penghubung yang bertindak pada untuk menghasilkan rotasi ini.
25. Buktikan :
26. Evaluasi soal-soal berikut : (a)
(b)
(c)
Metode lain :
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
38/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Halaman 18 27. Buktikan bahwa (a)
(b)
./ menyatakan kondisi yang sesuai validitas.
Biarkan,
a) Sejak
b) Sejak
Karena ada nilai yang mungkin banyak
, kita
hanya dapat mengatakan bahwa kedua belah pihak dalam kesetaraan di atas adalah sama untuk beberapa nilai dari
dan
mereka tidak dapat
memegang bahkan jika nilai-nilai utama yang digunakan.
AKAR – AKAR BILANGAN KOMPLEKS.
* + * +
28. (a )Temukan semua nilai dari
, dimana
dan (b) tempatkan atau
masukkan nilai ini dalam bidang kompleks. a) Dalam bentuk polar,
Biarkan
Teorema De Moivre ,
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xxxix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
39/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
./ ./ Oleh karena itu,
Dengan mempertimbangkan
serta nilai-nilai negatif, -1, -2, ...,
pengulangan dari lima nilai di atas diperoleh. Oleh karena itu ini adalah satusatunya solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut " lima akar dari – 32 ” dan secara kolektif ditunjukkan dengan Pada umumnya,
mewakili Akar ke-" " dari dan . Dan terdapat
akar.
b) Nilai-nilai z seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1-31. mencatat bahwa mereka memiliki jarak yang sama disepanjang keliling lingkaran dengan pusatnya di titik pusat dan jari-jari 2. Atau dengan kata lain dapat dikatakan bahwa, akar - akar diwakili oleh titik- titik dari poligon yang beraturan.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xl 40/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
y Z2 Z1
π
Z3
3π/5
π/5
x 7π/5
9π/5 Z5 Z4
Gambar 1-31 29. Temukan akar – akarnya dan posisikan akar – akar tersebut dalam grafik. a)
√
. .//
Semua akar – akar ini dapat terlihat pada grafik 1-32. y 11π/12 Z2
Z1 π/4
x 19π/12
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xli 41/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Z3 Gambar 1-32. Halaman 19
(b)
(√ ) √ (√ ) √ √ √ √
Hal ini direpresentasikan dan ditunjukkan secara grafis dalam gambar 1-33. y
19π/24 7π/24 31π/24
x 43π/24
Gambar 1-33
30. Menemukan akar kuadrat dari Metode 1.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xlii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
42/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
* + √ √ . / . / √ . /
Maka akar kuadrat dari
adalah
dan
Sekarang
. / √ . /
√ karena Q adalah sudut di kuadran ketiga
adalah sudut di kuadran kedua. maka
√ √ –
dan sebagainya dari (1) dan (2 ) akar kuadrat yang
dibutuhkan adalah
dan
Sebagai catatan untuk pembuktian
Metode 2. Jadikan
, dimana p dan q adalah bilangan real, dan merupakan akar
kuadrat yang diperlukan. Maka;
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxliii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
43/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
menggantikan
dari (4) ke (3), menjadi
.
Ketika p adalah bilangan real, jika
,
, dan
, dengan demikian akar
dari (4) jika
–
akarnya adalah - 1 + 4i dan 1 - 4i.
PERSAMAAN POLYNOMIAL .
/ . . / √ √
31. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut :
Menukar C dan membaginya dengan
Masing – masing ruas dijumlahkan dengan
(kuadrat sempurna)
Sehingga,
Menggambil akar kuadrat,
Oleh karena itu, 32. Selesaikan persamaan kuadrat berikut :
Dari soal nomor 31, diketahui :
Sehingga penyelesaiaannya adalah sebagai berikut :
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxliv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
44/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √
Menggunakan fakta bahwa akar kuadrat dari
adalah
(lihat
soal no.30). Ini ditemukan untuk memenuhi persamaan yang diberikan. Halaman 20 TUGAS AKHIR Nama : Theobaldus B. Ndarung Kelas : Matematika 2009B Fakultas : FPIEK 33. Jika bilangan rasional nyata p / q (dimana p dan q tidak
mempunyai faktor umum,kecuali 1, i .e. p / q berada dalam batas terenda), persamaan polynomial a0 z a1 z
n 1
n
...... a n 0 ordimana a0 , a1 ,......... .... a n adalah
bilangan bulat,menunjukan bawah p dan q harus menjadi faktor dari a n dan a 0 dengan masing-masing Subtitusi x p / q dalam pemberian persamaan dan pengalihan oleh q n dari hasil a0 p
n1
a1 p n 1 q ..... a n 1 pq n 1 a n q n 0.......... ........ 1
Pembagian oleh p dan memindakan batas akhir a0 p
n 1
a1 p n1q ...... a n 1q n1
an qn p
.......... ......... 2
Mulai dari sisi kiri p adalah billangan bulat,begitu juga pada sisi kanan.tetapi p tidak mempunyai faktor umum dengan q jadi itu tidak bisah di bagi q n dan harus dibagi a n .begitu juga pada pembagian 1 oleh q dan perkalian nilai utama,kta menemukan bahwa q harus dibagi a0 . 34. Selesaikan 6 z 4 25 z 3 32 z 2 3z 10 0 Faktor integral dari 6 dan -10 adalah masing-masing 1,2, 3,6 dan 1,2, 5,10. oleh karena itu dengan soal no
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xlv 45/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
33 mungkin penyelesaian bilangan rasional adalah
1,1 2 ,1 3 ,1 6 ,2, 2 3 , 5, 5 2 , 5 3 , 5 6 ,10,10 3. Dengan percobaan kita menemukan bahwa z 1 2 dan z 2 3 adalah penyelesaian,jadi bilangan polynomial
2 z 13 z 2 6 z 2 z 2 merupakan faktor dari 6 z 4 25 z 3 32 z 2 3z 10 ,faktor lain menjadi z 2 4 z 5
seperti penemuan pada bagian lama. Oleh karena itu :
4 3 2 2 2 6 z 25 z 32 z 3 z 10 6 z x 2 z 4 z 5 0 .
2 Penyelesaiannya dari z 4 z 5 0 (lihat no 31).
z
4 16 20 2
4 4 4 2i 2 i ,kemudian 2
2
penyelesaiannya adalah 1 2, 2 3,2 i,2 i 35. Buktikan bahwa jumlah dan hasil dari semua akar dari a0 z a1 z
n 1
n
1n a n
...... a n 0 dimana a0 0 ,jika a1 a0 dan
....... z n a0 dengan masing-masing.jika z 1 , z 2 ,.........
merupkan akar.persamaannya dapat dituis dalam bentuk faktor dibawah ini: a0 z z 1 z z 2 .......... z z n 0
Persamaan diatas langsung menujukan bawah
a0 z n z 1 z 2 ..... z n z n 1 ..... 1n z 1 z 2 ..... z n 0 itu di ikuti bawah
a0 z 1 z 2 ..... z n a1
n
dan
a o 1 z 1 z 2 ...... z n an n
z z 2 ...... z n a1 ao , z 1 z 2 ....... z n 1 an a0 dari 1 sebagai syarat. n 1 a z n a1 z ......... a n 0 36. p qi Jika adalah akar dari 0
dimana
a0 o, a1 ,....... an , p
dan q adalah bilangan real,buktian
bawah p q juga merupakan sebuah akar. ei 0 Misalkan p qi r dalam bentuk polar. Ya memenui n in 0 n 1 i n 10 ....... a n 1 re io a n 0 persamaan ini : a0 r e a1 r e
ambil konjungsi kedua bagian a0 r n e in 0 a1 r n 1e i n1 ........ a n 1 re i 0 a n 0
. Kita lihat
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxlvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
46/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
i 0 bawah re p qi juga merupakan sebuah akar yang hasilnya
....... an bukan sebuah bilangan real tidak tetap. Jika a0 ..........
(lihat no 32). Teorema ini sering dinyatakan dalam bentuk pernyataan; 0 merupakan sebuah polynomial dengan koefisien bilangan real terjadi dalam konjungsi berpasangan. Halaman 21 Kristina Nasa Halaman 22
42. Carilah luas segitiga yang titik .
– titik
Z1
sudut di
C(x2,y2
,
, dan
Z2
0
A x 1, Gambar 1-35
B x 2,
x
2
Vector dari C ke A dan B [ gambar 1-35 ] berturut – turut adalah sebagai berikut
Sejak luas segitiga dengan sisi
dan
adalah setengah luas jajaran
genjang yang sesuai, ini tidak sesuai dengan no 41: Luas dari segitiga
|||*,-+| -, | | | |
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xlvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
47/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
dalam bentuk determinan.
KOORDINAT – KOORDINAT KONJUGAT BILANGAN KOMPLEKS
43. Tunjukkan setiap persamaan dalam hal konjugasi koordinat : (a) (b)
,
̅ ̅ ̅ . ̅/.̅ ̅/ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ .
42. Sejak
,
,
menjadi
,
. Sehingga
atau
.
Persamaan merupakan garis lurus pada bidang .
43. Metode 1. Persamaannya adalah Metode
2. Gantikan
memperoleh
atau
,
pada
.
untuk
.
Persamaan itu merupakan lingkaran pada bidang
dari radius 6
dengan pusat pada titik asal.
44. Buktikan bahwa persamaan dari setiap lingkaran atau garis pada bidang ditulis sebagai
dapat
dimana dan adalah konstanta nyata,
sementara dapat berupa sebuah konstanta kompleks. Persamaan umum lingkaran pada bidang
dapat ditulis
yang pada konjugasi koordinat menjadi
/. / ̅ ̅ . ̅/. ̅/ . atau
Sebutkan
,
Dalam kasus khusus
dan
, mengikuti hasilnya.
, lingkaran berubah menjadi garis.
HIMPUNAN TITIK
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xlviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
48/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
45. Diberikan himpunan titik
atau secara singkat
dibatasi? (b) Apakah titik batasnya, jika ad? (c) Apakah
interior dan titik batas? (e) Apakah
terbuka? (f) Apakah
⁄
. (a) Apakah
tertutup? (d) Apa tersambung? (g)
Apakah daerah terbuka atau daerah asal? (h) Apa penutupan
? (i) Apakah
komplemen dari ? (j) Apakah dapat dihitung? (k) Apakah tersusun rapat? (l) apakah akhir tersusun padat? a)
||
dibatasi karena untuk setiap poin in ,
[sebagai contoh], yaitu
semua titik S terletak di dalam lingkaran berjari-jari 2 dengan pusat pada titik asal. b) Karena setiap lingkungan yang dihapus dari batasnya adalah
berisi titik
. Itu adalah hanya titik batas.
, titik
Halaman 23 Perhatikan bahwa karena S dibatasi dan tak terbatas teorema Weelerstrass-Bolzano memprediksi setidaknya satu titik limit. a) S tidak tertutup karena titik limit z = 0 bukan S.
b) Setiap lingk ungan
δ dari setiap titik
i/n [yaitu setiap lingkaran
dari radius δ
dengan pusat di i/n] berisi titik yang termasuk ke S dan titik yang bukan S. Jadi setiap titik S, dan juga titik z = 0, adalah titik batas. S tidak memiliki titik interior. c) S bukan termasuk titik interior. Karena tidak dapat terbuka. Dengan demikian S adalah tidak terbuka atau tertutup. d) Jika kita gabungkan dua titik S melalui jalan poligonal, ada titik pada jalan ini yang bukan S. Jadi S tidak tersambung. e) Karena S bukan himpunan terhubung terbuka, mak S bukan merupakan wilayah terbuka atau domain. f) Yang tertutup dari S termasuk himpunan S bersama dengan limit titik nol, yaitu {0, i, 1/2 i, 1/3 i, ...}. g) Yang komplemen dari S adalah himpunan semua titik yang bukan S, yaitu
semua titik z ≠ i, 1/2 i, 1/3 i, ...
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxlix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
49/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
h) Terdapat korespondensi satu-satu antara unsur-unsur dari S dan bilangan asli 1,2,3, ... seperti yang ditunjukkan di bawah ini. a.
i)
1
2
3 4
....
.....
j) Maka S dapat dihitung. k) S dibatasi tetapi tidak tertutup. Oleh karena itu tidak kompak. l) Yang tertutup dari S merupakan dibatasi dan ditutup serta kompak juga.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
l 50/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
46. Diketahui
himpunan
√
titik
* + * + *+ ,
. Tentukan (a) A + B atau A
atau A ∩ C, (d) A (B + C) atau A ∩ (B ∩ C), (f) atau A ∩ (B ∩ C). a. A + B = A
C),
B,
,
(b) AB atau A ∩ B, (c) AC
(e ) AB + AC atau (A ∩ B)
(A
B terdiri titik-titik yang termasuk salah satu titik dari A dan B
atau keduanya dan hasilnya
,
b. AB atau A ∩ B terdiri titik-titik yang termasuk dari kedua titik A dan titik B dan hasilnya {
c. AC atau A ∩ C = d.
}.
{3}, yang terdiri dari hanya anggota 3.
atau B
.
Oleh A (B + C)atau karena itu A∩(B√ C) = {3,
* +
}, terdiri dari
poin milik A dan B + C. a. AB = { }, AC = {3} dari bagian (b) dan (e). Oleh karena itu .
Dari hasil ini dan (d) kita ketahui bahwa A (B + C) = AB + AC atau A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C), yang menggambarkan bahwa A, B, C memenuhi hukum distributif. Kita dapat menunjukkan bahwa himpunan yang menunjukkan banyak sifat-sifat aljabar berlaku dalam bilangan bilangan. Hal ini sangat penting dalam teori dan aplikasi. b. BC = B ∩ C = , himpunan nol, karena tidak ada titik yang sama dari kedua
titik B dan titik C. Oleh karena itu A (BC) = juga.
MASALAH LAIN-LAIN 47. Suatu bilangan disebut bilangan aljabar jika bilangan itu adalah solusi dari persamaan polinomial dimana adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ dan
adalah bilangan aljabar. atau . Dikuadratkan,
atau
or
. Dikuadratkan lagi, , suatu persamaan polinomial dengan koefisien
bilangan bulat yang memiliki
sebagai akar. Oleh karena itu
adalah bilangan aljabar.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
li 51/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √ √ √
(b) Misalkan
atau atau
. Dipangkat tiga, . Dikuadratkan, , suatu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat yang memiliki sebagai akar. Oleh karena itu adalah bilangan aljabar.
Bilangan yang bukan aljabar, i,e. tidak memenuhi setiap persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat, disebut bilangan transendental. Hal ini telah dibuktikan bahwa angka-angka π = 3,14159... dan adalah transendental. Namun, masih belum diketahui apakah bilangan seperti eπ atau e + π, contoh transendental atau tidak.
Halaman 24
BILANGAN KOMPLEKS
48. Menyatakan grafik himpunan dari nilai z untuk (a) |
| = 2,
| | | | | | | | | |
(a) Diberikan persamaan ekuivalen dengan z = x + iy,
2
(b) |
|
< 2
atau jika
ekuivalen dengan
Dengan
mengkuadratkan
menyederhanakan,
dan
Menjadi
menjadi
lingkaran berjari-
jari 4 dengan pusat di (-5,0) seperti yang ditunjukkan pada gambar, 1 - 36 Secara geometri, setiap titik P pada lingkaran ini sedemikian sehingga jarak dari P ke titik B (3,0). dua kali jarak
Gambar 1 - 36
dari P ke titik A (-3,0).
Metode lain |
|
= 2 adalah ekuivalen dengan
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lii 52/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
./.̇̇/ ̇ ̇ ̇
Menjadi
(z + 5)( + 5) = 16 atau |z + 5 | = 4
(b) Diberikan pertidaksamaan ekuivalen dengan |z
menyederhanakan, menjadi
–
Dengan
3| < 2 |z + 3|
atau
mengkuadratkan
dan
> 0 atau
16
diperoleh |z + 5 | > 4
Himpunan yang didapat terdiri dari semua titik eksternal untuk lingkaran Gambar 1-36. 49. Diberikan himpunan A dan B yaitu |z - 1 | < 3 dan |z – 2i |<2 Nyatakan secara geometri (a)
Himpunan yang didapat dari titik yang ditunjukkan diarsir pada Gambar 1-37 dan 1-38.
Gambar 1-37
Gambar 1-38
50. Penyelesaian Metode 1. Persamaan dapat ditulis
atau
maka solusi yang tepat yaitu solusi dari
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
liii 53/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Dan
√ √ √ √ atau
Metode 2. Diberikan w = dan w =
persamaan dapat ditulis menjadi
i
Untuk mendapatkan solusi dari 30.
i dapat digunakan metode Soal
Halaman 25 51. jika Z1, Z2, Z3 mewakili puncak dari suatu segitiga sama sisi, maka dapat di buktikan bahwa dari gambar 1.39 kita lihat bahwa
gambar 1.39
Maka bentuk pembagian,
atau
52. buktikan untuk m = 2, 3, …
-
Akar dari ditulis
adalah Z = 1 ,
Membagi kedua sisi dengan
maka dapat
dan kemudian [ menunjukan bahwa kita temukan ,
(-5,0) …. A Mengambil konjugat kompleks kemudian menghubungkan kedua hasil dari sisi (1)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
..…(1)
liv 54/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
/ . …………(2) Mengalikan (1) dengan (2) menggunakan =
…
Kita dapatkan
……….………(3)
Dari
, (3) menjadi
...……………..(4) Kemudian mengambil akar kuadrat positif dari kedua sisi menghasilkan hasil yang diperluka. MASALAH-MASALAH TAMBAHAN OPERASI DASAR DENGAN BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS 53. tunjukanlah setiap operasi yang diindikasikan (a) (c)
* + ./ . / – √ * + (b)
(e)
(d)
(h)
(f)
(g)
Jawab : (a)
(i)
(j) 3
(c)
(e) 11/7
(g)
(b)
(i)
54. jika Z1 = 1 dibawah ini
(b)
+
(c) (d) Jawab : (a) (b)
(j)
Z2 =
| |
(f)
(g) (h)
(h)
hitunglah setiap hasil-hasil
(e)
(f) 21+
Z3 =
(a)
(d)
(i) Re
,. /- , -
(j) Im
√ √
(c)
(d)
(j)
*
+
(e)
(f)
(√ )
(g)
(h)
765 +128
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lv 55/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Halaman 26
55.Buktikan bahwa , (a). z 1 z 2 = z 1 z 2 , (b). z 1 z 2 z 3 = z 1 z 2 z 3 . 56. Buktikan bahwa , (a). z 1 z 2 = z 1 z 2 , (b). z 1 z 2 = z 1 z 2 , jika z 2 0. 57. Carilah bilangan real x dan y dari: 2x – 3iy + 4ix – 2y – 5 – 10i = ( x + y +2 )
– (y – x + 3)i Jawab : x = 1 , y = - 2 2i . 58. Buktikan bahwa (a). Re z = z z 2 , (b). Im z = z z
59. Buktikan jika hasil dari dua bilangan kompleks adalah 0 < 1 dari bilangan nol. 2
60. Jika w = 3iz – z dan x = x + iy, carilah w dari x dan y. 2
Jawab : x 4 y 4 2 x 2 y 2 6 x 2 y 6 y 3 9 x 2 9 y 2
MENGGAMBAR GRAFIK VEKTOR DARI BILANGAN KOMPLEKS
61. Bentuklah operasi-operasi berikut secara analitik dan grafik. a) (2 + 3i) + (4 – 5i)
(c) 3(1 + 2i) – 2(2 – 3i)
b) (7 + i) – (4 – 2i)
(d) 3(1 + i) + 2(4 – 3i) – (2 + 5i)
(e) Jawab : (a). 6 – 2i, (b). 3 + 3i, (c). -1 + 12i, (d). 9 – 8i, (e).
62. Jika z 1 ,z 2 dan z 3 merupakan vektor yang ditunjukan dalam gambar 1.40, buatlah grafik : (a). 2z 1 + z 3
(c). z 1 + (z 2 + z 3 )
(b). (z 1 + z 2 ) + z 3
(d). 3z 1 - 2z 2 + 5z 3
(e).
1
3 2 z 2 z 1 z 3 3 4 3
s y z2 z1 x z3
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lvi 56/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Gambar 1.40 63. Jika z 1 = 4 – 3i dan z 2 = -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik: (a). z 1 z 2
(b). z 1 z 2
(b). z 1 z 2
(d). 2 z 1 3 z 2 2
Jawab : (a).
10
(b). 5 2
(c). 5 + 5i
(d). 15
64. Letak vektor dari titik A,B dan C dari segitiga ABC masing-masing diberi z 1 = 1 + 2i, z 2 = 4 - 2i dan z 3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya. Jawab : 5, 5, 8 65. Misalkan
3 , z 4 ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat ABCD. z 1 ,z 2 , z
Buktikan bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika z 1 z 2 z 3 z 4 0
66. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang. 67. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan dalam satu titik. 68. Misalkan segi empat ABCD dan E,F,G,H titik tengah dari sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang. 69. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD. Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC membagi AC. 70.Letak vektor dari titik A dan B berturut-turut adalah 2 + i dan 3
– 2i.
(a). carilah sebuah persamaan garis AB. (b). carilah sebuah persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya. Jawab:(a). z (2 i ) t (1 3i) atau x 2 t , y 1 3t atau 3 x y 7 (b). z ( 5 i ) t (3 i) atau x 3t 5 , y t 1 atau x – 3y = 4 2 2 2 2 71.Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan
di bawah ini:
(a). z i 2, (b). z 2i x 2i 6, (c). z 3 z 3 4, (d). z ( z 2) 3, 2 4. (e). Im z
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
57/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Jawab: (a). lingkaran (b). elips (c). hiperbola (d). lingkaran (e). hiperbola 72. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2 dengan titik pusat (-3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai panjang 10. Jawab: (a). z 3 4 i 2 atau ( x 3) 2 ( y 4) 2 4, (b). z 2i z 2i 10
REINELDIS EBU WEA NPM : 2091000210035 MATEMATIKA 2009 A Halaman 26
Halaman 27 73.jelaskansecaragrafiswilayahdiwakiliolehmasing-masingberikutini :
| | | | (a) 1 <
,
< 10.
| | | | | | | | ⁄ ⁄
(b) Re (
74.menunjukkanbahwaelips
) > 1,
(c)
+
> 4,
(d)
+
=10
dapatdinyatakandalampersegipanjangdari (lihatmasalah 13(b).
+
= 1
AKSIOMA DASAR DARI BILANGAN KOMPLEK 75. menggunakandefinisibilangankomplekssebagaipasanganbilangan real untukmembuktikanbahwajikaprodukdariduabilangankompleksadalahnolmakapadat erakhirdarinomorharussamadengan nol.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
58/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
76. buktikanhukumkomutatifberkenaandengan (a) penjumlahan, (b) perkalian. 77. buktikanhukumasosiatifberkenaandengan (a) penjumlahan, (b) perkalian. 78.(a) caribilangan real x dan y sedemikiansehinga (c,d).(x,y) = (a,b) di mana (c,d)
(0,0). (b)bagaimanacara
(x,y)terkaitdenganhasilnyauntukpembagianbilangankompleksdiberikan di halaman 2? 79. buktikanbahwa
⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ⁄ ⁄ ,sin
)
,sin
)
,sin
)=
,
)
80. (a) bagaimanaandamendefinisikan
di mana n
adalahbilanganbulatpositif ? (b) tentukan
dalam bentuk a dan b
BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS 81.nyatakansetiapbilangankompleksberikutdalambentuk polar (a) 2-2 , (b) -1+
, (c) 2
+ 2
, (d) - , (e) -4, (f) -2
, (g)
, (h)
⁄ ⁄ √ √ √ √ √ ⁄ √ √ ⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ ⁄ √ √ √ √ ⁄ √ ⁄ √ ⁄ ⁄ ⁄ -
.
Jawaban. (a) 2 4
, (d)
, (g)
, (b) 2
, (e) 4
, (c)
, (f) 4
, (h)
82. tunjukanbahwa 2 + =
.
83. nyatakandalambentuk polar (a) -3-4 , (b) 1-2 Jawaban. (a) 5 , (b)
84. gambargrafiksetiaphalberikutdantunjukkandalambentukpersegipanjang.
(a) 6 ( )
, (f) 3
), (b) 12
(c)
(d)
, (e)
.
Jawaban.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lix 59/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √ √ √ √ √ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
-3
+ 3
3
-
, (b) 12 , (c) 2
- 2
, (d) -2
-2
, (e) -5
+ (
, (f) -
85.sebuahperjalananpesawat 150 km sebelahtenggara, 100 km barat, 225km utara 30 timur, dankemudiantimurlaut 323km. tentukan (a) secaraanalitisdan, (b)secaragrafisseberapajauhdankearahmanaitudarititikawal. Jawaban . 375km, 23utaradaritimur (sekitar) 86. tigagayasepertipadagambar. 1-41 seumpamasebuahpesawatpadaobjekditempatkan di O. tentukan (a) secaragrafisdan (b) gayasecaraanalitisapa yang dibutuhkanuntukmencegahobjektersebutbergerak. [gayainisering kali disebut equilibrant .]
87. buktikanbahwapadalingkaran 88. (a)buktikanbahwa
+
=
,
=
=
di mana
)
(b) samaratakan hasil di (a)
Halaman 28 Nama : Antonius isak NPM
: 2091000210062
Jurusan : Pendidikan Matematika 2009 B Tugas
: Analisis Variabel Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS
28 TEOREMA DE MOIVRE’S
89. evaluasikan setiap soal dibawah ini:
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lx 60/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
a 5 cis 20
0
3 cis 40
c 8 cis 40 d 3e 2e 6e 2 cis 60 4e 0 3
0
i / 6
5 i / 4
0 4
5 i / 3
2 i / 3 2
4
6
b 2 cis 500
3 i 1 i 5 e 3 i 1 i
b 32 32 3 / 2 3 3 / 2i
Ans. a 15 / 2 15 3 / 2 i
d 3 e
3 i, c 16 16 3i
3 / 2 1 / 2i
90. Buktikan bahwa
a sin 3 3 sin 4 sin 3 b cos 3 4 cos 3 3 cos
91. Buktikan bahwa solusi-solusi dari 4
2
0
0
0
0
z 3 z 1 0 bila diberikan z 2 cos 36 , 2 cos 72 , 2c0s 216 , 2 cos 252
92. Tunjukan bahwa
93. Buktikan bahwa
a cos 36 0 5 1 / 4 b cos 72 0 5 1/ 4 petunjuk : gunakanmasalahnomor 91
a
sin 4 sin
8 cos 3 4 2 cos 3 6 cos 4
b cos 4 8 sin 4 8 sin 2 1
94. Buktikan theorema De moivre‟s
a int egral negatif b bilangan bilangan rasional
AKAR-AKAR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS
95. Carilah setiap akar-akar indikasi dan letak grafiknya
a 2
3 2i
e 64
1
6
1
2
, b 4 4i
f i
2
1
5
c 2 2
3i
1 3,
d 16i
1
4
3
jawaban : 0
0
a 2cis165 , 2cis345 b 2 cis27 0 , 2 cis 990 , 2 cis1710 , 2 cis 2430, 2 cis3150 c 3 4 cis 200 , 3 4 cis1400 , 3 4 cis 2600 , d 2 cis 67,50 , 2 cis157,50 , 2 cis 247,50 , 2 cis 337,50 e 2 cis 0 0 , 2 cis 600 , 2 cis1200 , 2 cis1800 , 2 cis 2400 , 2 cis 3000 0 0 f cis 600 , cis180 , cis 300
96. carilah semua akar-akar indikasi dan letaknya dalam bidang kompleks
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lxi 61/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
a akar akar kubusdari 8 b akar akar persegi dari 4 c akar akar segi lim a dari 16 16 3i d akar akar segi enam dari 27i
2 4 2i,
jawaban :
a 2 cis 0 , 2 cis120 , 2 cis 240 b 8 cis 22,5 , 8 cis 202,5 , c 2 cis 480 , 2 cis1200 , 2 cis1920 , 2 cis 2640 , 2 cis 3360 d 3 cis 450 , 3 cis1050 , 3 cis1650 , 3 cis 2250 , 3 cis 2850 , 0
0
0
0
97. Selesaikan persamaan – persamaan jawaban :
0
3 cis 345 .
a z 4 81 0, b z 6 1
a 3 cis 450 , 3 cis1350 , 3 cis 2250 , 3 cis 3150 b 6 2 cis1000 , 6 2 cis1600 , 6 2 cis 2200 , 6 2 cis 2800 , 6 a 5 12i, b 8
98. Carilah akar-akar persegi dari jawaban :
0
a 3 2i, 3 2i. b
10
3i
2 cis 3400
5i
2i, 10
2i
99. Carilah akar-akar kubus dari -11-2i
jawaban: 1 2i, 12 3 1 12 3 i, 12 3
1 2
3 1 i
PERSAMAAN-PERSAMAAN PANGKAT BANYAK
100. Selesaikan persamaan-persamaan dibawah ini, berlaku semua akar-akar :
a 5 z 2 2 z 10 0, b z 2 i 2 z 3 i 0 jawaban : a 1 7i / 5, b 1 i, 1 2i 101. selesaikan z 5 2 z 4 z 3 6 z 4 0
jawaban : 1,1,2,1 1
102. a Carilah semua akar-akar dari z 4 z 2 1 0 dan
b
letaknya dalam
bidang kompleks
jawaban:
1 2
1 2
1 i 3
1 i 3 ,
103. Buktikan bahwa jumlah akar-akar dari a 0 z n a1 z n 1 a 2 z n 2 ... a n 0 r
dimana a0 0 ambilkan r pada perkalian 1 a r / a0 dimana 0 r n . 104. Carilah dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 4 dan jika dikalikan hasilnya 8. jawaban : 2 2i, 2 2i
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
62/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Halaman 29 Halaman 30 120. Jawablah pertanyaan no 118 jika S adalah himpunan semua titik didalam atau diuar persegi. Jawab. (a) Ya. (b) setiap titik pada S adalah limit point. (c) Ya. (d) Semua titik didalam persegi adalah titik bagian dalam persegi (interior point ), ketika semua titik pada batas persegi disebut titik batas (boundary point ). (e) tidak. (f) Ya. (g) tidak. (h) S itu sendiri. (i) semuat titik diluar persegi. (j) Tidak. (k) Ya. (l) Ya.
121. Diberikan himpunan titik-titik A = {1,i,-i}, B = {2,1,-i}, D = {0,-i,1}. Carilah: (a).A + (B+C) atau A (c) (A + C) (B + D) atau (A
⋃⋃
Jawab.
, (b) AC + BD atau ( A C) (B D).
(a) {2,1,-i,i,1+i}, (b) {1,i,-i}, (c) {1,-i}
⋂ (B
D),
122. jika A< B< C dan D adalah titik-titik sembatrang, buktikan bahwa: (a) A + B = B + A, (b) AB = BA, (c) A + (B+C) = (A + B) + C, (d) A(BC) = (AB)C. (e) A (B + C) = AB + AC. Gunakan notasi dan untuk notasi-
notasi ekuivalen. Diskusikan bagaimana notasi ini bisa digunakan untuk mendefinisikan himpunan-himpunan aljabar. 123.
Jika A,B dan C adalah himpunan semua didefinisikan sebagai │z + i│ 3, │z│ , │z + 1│ , gambarkan secara grafis masing – masing titik
berdasarkan (a) A (b) A (C) A (e) AB + AC + CA, (f) A + B + C .
, (d) (A
124. Buktikan bahwa komplemen dari himpunan S adalah terbuka atau tertutup menurut definisi bahwa S tertutup dan S terbuka.
125. Jika +
,
adalah himpunan-himpunan terbuka, buktikan bahwa adalah terbuka
126. jika sebuah limit point adalah himpunan yang tidak termasuk pada himpunan, buktikan bahwa limit point tersebut haruslah sebuah titik batas dari himpunan.
BERBAGAI MACAM PERMASALAHAN
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
63/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √ √
127. diberikan sebuah jajar genjang ABCD. Buktikan bahwa + = + + + . 128. jelaskan pendapat yang keliru dibawah ini: -1 =
=
=
= 1. Sehingga 1 = -1.
129. (a) Tunjukan bahwa persamaan + + z + = 0 dimana adalah konstanta – konstanta real yang berbeda tidak 0, akan mempunyai akar – akar imajiner jika + = . (b) apakah konvers dari (a) ada ? 130. (a) Buktikan bahwa:
[()] √ 〈〉 ̃ =
Dimana
=
jika n adalah genap
(b) Perolehlah hasil yang sama untuk 131. Jika z = 6
, tentukan │
.
│. Jawab.
132. Tunjukan bahwa untuk setiap bilangan real p dan m,
= 1.
133. Jika P adalah persamaan polinomial didalam z dan koefisien koefisiennya real 134. jika , dan kolinear, buktikan bahwa konstanta dan semuanya tidak 0 sedemikian sehingga α + β + + α = 0
–
bilangan real α, β, γ , γ = 0 dimana α + β
135. Diberikan bilangan kompleks z, gambarkan secara grafis (a) , (b) – z, (c) , (d) .
135. diberikan dua bilangankompleks yang berbeda dan dan tidak sama dengan 0, tunjukan bagaimana menggambar secara grafis hanya menggunakan penggaris dan busur (a)
,
(b)
,
(d)
,
(e)
.
137. Buktikan bahwa sebuah persamaan untuk sebuah garis yang melalui titik dan titik adalah Arg
= 0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxiv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
64/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
138. jika z = x + iy, bu Halaman 31 139 . Apakah sebaliknya untuk pertanyaan 51 benar? jelaskan jawaban Anda?
140. Tunjukan persamaan untuk lingkaran yang melalui titik-titik 1 - i, 2i, 1+ i. Jawaban. z 1 141 .
2
5 dan x 1 y 2 5
Tunjukkan bahwa lokus dari z sedemikian sehingga z 1 z 1 a 2 ,
a> 0 adalah lemniscate sebagai pertunjukan pada Gambar. 1.43
√
x
Gambar 1.43
142 . Misal pn = a2n b2n , n = 1,2,3, ... di mana an dan bn adalah bilangan bulat positif. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif M kita akan dapat 2
2
menunjukan bilangan bulat positif A dan B yang seperti p1 p2 ... pM = B + A . (Contoh: Jika
143.
5 2 2 12 dan 25 32 4 2 , demikian 5.25 2 2 112. ) bahwa
Buktikan
sin cos cos a ... cos na
1 2
n 1a 1
cos
1 2
na
sin 2 a 1 sin n 1a 1 2 sin s in a ... sin na sin na 1 2 sin a 2 144 . Buktikan bahwa (a) Re {z}> 0 dan (b) z 1
yang setara!
z 1 adalah pernyataan
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lxv 65/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
145 . Sebuah roda dengan jari-jari 1,2 meter (Gambar 1,44) yang berputar berlawanan terhadap suatu sumbu melalui pusat di 30 putaran per menit.
(a) Tunjukkan bahwa posisi dan kecepatan dari setiap titik P pada waktu dalam detik pada saat P pada sumbu x positif. (b) Cari posisi dan kecepatan saat t = 2/3 dan t = 15/4
y
1.2m
P
x
Gambar 1.44 146.
Buktikan
untuk
bahwa
*
z a 2m z a 2 m 4maz
2
sebarang
bilangan
bulat,
a 2 cot 2 k / 2m } merupakan hasil
dari faktor-faktor dari k = 1 untuk m-1
147. Jika titik -titik P1 dan P2, yang diwakili oleh z1 dan z2 masing-masing adalah seperti z 1
z 2 z 1 z 2 , Buktikan bahwa (a) z1/z2 adalah bilangan
imajiner sejati, 148 .
cot
149.
(b)
Buktikan
2m
cot
2 2m
bahwa
cot
P 1OP 2 900 untuk
setiap
3
m 1
2m
2m
.. cot
Buktikan
bilangan
bulat
m>
1,
1 dan
generalisasi:
csc 2 / 7 csc 2 2 / 7 csc 2 4 / 7 2
tan 2 / 16 tan 2 3 / 16 tan 2 5 / 16 tan7 / 16 28
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
66/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
150 . Jika massa m1, m2, m3 berada pada titik masing-masing z1,z2,z3 ,buktikan bahwa pusat
massa diberikan
̂
oleh
=
m1 z 1 m2 z 2 m3 z 3 m1 m 2 m3
Generalisasikan untuk massa n.
151 . Cari titik pada garis yang menghubungkan titik z1 dan z2 yang membaginya rasio
dalam Jawaban.
152.
p:q
qz 1 pz 2 /q p
Tunjukkan bahwa persamaan untuk lingkaran yang melewati 3 titik, oleh
diberikan
Halaman 32 SOAL HALAMAN : 32
BILANGAN KOMPLEKS 153. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dengan simpul di 1 berpotongan dititik z 1 z 2 z 3 3
, z z , z 1
2
3
154. Buktikan bahwa bilangan rasional antara 0 dan 1 dapat di hitung (hint. Susunan angkanya sebagai berikut 0 ,
1 1 2 1 3 1 2 3 , , , , , , , ...... ) 2 3 3 4 4 5 5 5
155. Buktikan bahwa semua bilangan rasional dapat dihitung. 156. Buktikan bahwa bilangan irasional antara 0 dan 1 tidak dapat dihitung. 157. Mewakili secara grafis nilai z, yang mana untuk
(a) z z 1 , (b)
z 2 1 z 2 . 158. Tunjukan bahwa (a) 159. Buktikan bahwa
3
2
2
3 dan (b) 2
2i bilangan aljabar
3 adalah bilangan irasional
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
67/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
160. ABCD....PQ
merupakan poligon reguler sisi n inseribed dalam lingkaran
berjari – jari satuan. Buktikan bahwa produk dari panjang diagonal AC, AD,.....AP adalah
1
n
4
csc
161. Buktikan bahwa sin 0, sin n
(a)
sin
2
. n
n 1
cos cos n
n 1
2
k 1
2 sin 2n 1 sin . (b) 2n 1 1 2 k 1 sin sin 2n 1
162. Buktikan cos 2n
n
1
n
1 k 1 n
cos 2 2 k 1 cos 4n 2
163. Jika produk dari dua bilangan kompleks
z dan z adalah bilangan real dan 1
2
p z 2 tidak sama dengan nol, buktikan bahwa p bilangan real sehinga z 1 164. Jika z adalah setiap titik pada lingkaran z 1 1. buktikan bahwa arg 2 2 z 1 2 arg z arg z z dan berikan interprestasi geometris. 3
165. Buktikan bahwa dibawah pembatasan cocok
z m
n
(a)
m
n
z z
mn
z
, (b)
mn
z .
166. Buktikan (a) Re (b) Im
z z Re z Re z Im z Im z 1
2
1
2
1
2
z z Re z Im z Im z Re z . 1
2
1
2
1
2
167. temukan bidang poligon dengan simpul 2 3i , 3 i , 2 4i , 4 i 1 2i . Ans. 47 2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
68/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
168.
a , a .......,a 1
2
n
dan b1 , b2......,bn beberapa bilangan kompleks. Buktikan 2
n
ketidaksamaan Schwarz `s k 1 a k b k
2 n 2 n k 1 k 1 k k a b
Halaman 33 BAB 2 FUNGSI, LIMIT, dan KONTINUITAS
VARIABEL DAN FUNGSI Lambang z , yang dapat menjelaskan sembarang himpunan bilangan kompleks disebut variabel kompleks. Jika setiap nilai variabel kompleks z berpasangan satu atau lebih nilai variabel kompleks w, dapat dikatakan w adalah fungsi z dan ditulis w = f ( z ) atau w = G( z ), dan lainnya. Variabel z terkadang disebut variabel bebas, sedangkan w disebut variabel terikat . Nilai fungsi pada z = a sering dituliskan f (a). Demikian jika f ( z ) = z 2, kemudian f (2i) = (2i)2 = -4. FUNGSI TUNGGAL DAN GANDA Jika hanya satu nilai w berpasangan pada setiap nilai z , dapat dikatakan w merupakan fungsi tunggal z atau f ( z ) merupakan fungsi tunggal. Jika lebih dari satu nilai w berpasangan pada setiap nilai z , dapat dikatakan w merupakan fungsi ganda z . Fungsi ganda dapat diartikan sebagai kumpulan fungsi tunggal, setiap anggotanya disebut cabang fungsi. Ini lazim untuk mengartikan satu anggota bagian sebagai cabang utama fungsi ganda dan nilai fungsi memasangkan ke cabang sebagai nilai utama. Contoh 1 :
2
2
Jika w = z , kemudian setiap nilai z hanya ada satu nilai w. Maka w = f ( z ) = z merupakan fungsi tunggal z .
Contoh 2 :
1/2
1/2
Jika w = z , kemudian setiap nilai z terdapat dua nilai w. Maka w = f ( z ) = z merupakan fungsi ganda z (terdapat dua nilai).
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
69/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Sewaktu-waktu kita berbicara fungsi yang kita dapat, kecuali sebaliknya, menganggap fungsi tunggal . FUNGSI INVERS Jika w = f ( z ), kemudian dapat juga diartikan z sebagai fungsi w, dituliskan z = g (w) = f -1 (w). Fungsi f -1 sering disebut invers fungsi memasangkan ke f . Demikian w = f ( z ) dan w = f -1 ( z ) merupakan fungsi invers yang lainnya. TRANSFORMASI Jika w = u + iv (dimana u dan v real) merupakan fungsi tunggal z = x + iy (dimana x dan y real), dapat ditulis u + iv = f ( x +iy). Dengan menyamakan bagian real dan imajiner agar menjadi ekuivalen pada u = u( x, y), v = v( x, y) (1) Demikian diberikan titik ( x, y) pada bidang z , misal P pada gambar 2-1 di bawah ini, berpasangan titik (u, v) pada bidang w, yaitu P ‟
pada gambar 2-2 di bawah ini.
Himpunan persamaan (1) [atau ekuivalen, w = f ( z )] disebut transformasi. Kita dapat katakan bahwa titik P dipetakan ke titik P ‟
dengan transformasi dan P ‟
bayang-
bayang P . Halaman 34
FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN
Contoh:
jika
transformasi adalah d
pada bidang
. Bayangan
.
Y
dan
adalah Y
P‟ P
Q
Q ‟ X
Gbr.2-1
X
Gbr.2-2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
lxx 70/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Secara umum, transformasi dibawah satu titik seperti pada kurva
dari Gbr.2-1
dipetakan ke dalam korepondensi satu-satu, seperti pada kurva
di Gbr.2-2.
Karakteristik tertentu dari gambar atau tergantung pada jenis fungsi terkadang disebut fungsi pemetaan. Jika
adalah fungsi banyak, titik (atau
kurva) di bidang dipetakan dari titik (atau kurva) di bidang
KOORDINAT KURVA LINEAR Mengingat transformasi
sebut
atau, sama
kita
pada koordinat persegi panjang sesuai dengan koordinat kurva linear
yang
Point di bidang
W plane V=q1 . P
.
Kurva dimana
‟
dan
adalah konstanta, disebut
[lihat Gbr.2-3] dan
setiap pasangan kurva ini memotong di suatu titik. Kurva ini memetakan ke lini saling ortogonal pada bidang w [lihat Gbr. 2-4].
Halaman 35 FUNGSI, LIMIT DAN CONTINUITY (35)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxxi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
71/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Fungsi al jabar rasional di artikan w
p( z ) q( z )
(3)
Dimana P(z) dan Q(z) adalah polynomial.kita kadang menyebut(s) sebuah rasional transformasi. az b Bentuk aslinya w dimana ad-bc 0 sering di sebut liniar atau fransional cz d liniar transformasi. z iy x e z (cos y i sin y) (4) Fungsi al jabar di difisinikan sebagai w e e Dimana e=2.71828……………..bentuk asli dari logaritme.jika a nyata dan positof,kita membagi a z e zina di dalam logaritme dari a.menghasilkan untukdengan (4)jika fungsi a=e al Fungsi al dimana jabar complek mempunyai kesamaan properties/sifat jabar nyata, e z 1 .e z 2 e z 1 z 2 , e z 1 / e z 1 z 2 . Fungsi trigonometri.kita mengartikan trigonometri/fungsi circular sin z,cos z, sebangaimana fungsi al jabar berikut
sin z
iz iz e e
2i 1
sec z
e e iz
cos z
2
iz
z
cos z e iz e iz sin z e e
2i
iz
iz
sin z e iz e iz cos z i (e e )
iz iz sin z e e cos z i(eiz e iz Banyak kemiripan sifat dalam bentuk trigonometri nyata juga mengandung persamaan fungsi dengan trigonometri complek. contoh kita miliki tan z
cot z
2
1
csc z
e iz
sin cos z 1 1 tan z sec z sin(2) sin z cos( z ) cos z 2
2
2
2
1 cot z csc z tan( z ) tan z 2
2
z 1 cos sin( z 1 z 2 ) sin z 2 cos z 1 sin z 2 cos( z 1 z 2 ) cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 tan z 1 tan z 2 tan( z 1 z 2 ) 1 tan z tan z 1
sin z
sec z
2
Fungsi hyperbolic di artikan sebagai berikut
e z e z 2
1
cos z
cos z
2 e e z
z
e z e z
csc z
2 1
sin z
2 e e z z
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
72/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
tan z
sin z
e z e z
cot z
z
cos z e z e Sifat berikut properties
cos2 2 sin 2 z 1 sin( z ) sin z
2 1 tan z 2 z sec ) cos z cos( z
cos z
sin z
e z e z e z e z
cot2 z 1 csc2 z tan( z ) tan z
sin( z 1 z 2 ) sin z 1 cos z 2 cos z 1 sin z 2 cos( z 1 z 2 ) cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 tan z 1 tan z 2 tan( z 1 z 2 ) 1 tan z 1 tan z 2
N A M A : SA L I M NPM : 2091000210038 JURUSAN: PEND.M ATEM ATI KA AN GKATA N: 2009
Halaman 36
FUNGSI,LIMIT-LIMIT DAN KONTINUAN Berikut ini relasi – relasi di luar antara fungsi hiperbolik.
trigonometri atau fungsi lingkaran dan
sin iz i sinh z
cos iz cos z
sinh iz i sin z
tan iz i tanh z
cos iz cosh z
tanh iz i tan z
6. fungsi logaritma Jika z e w ,kemudian kita tulis w ln z ,disebut logaritma biasa dari z. fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi eksponensial dan dapat di defenisikan sebagai invers dari pada fungsi eksponensial dan dapat kita defenisikan sebagai:
k ) w ln z ln r i( 2
k 0,1,2,...,
Dimana z re i re i 2k .
Bahwa ln z adalah sebuah fungsi nilai banyak.itu nilai terpenting atau cabang terpenting dari ln z adalah waktu sementara dengan defenisi ln r + i dimana
o 2 .
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
73/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Fungsi logaritma dapat kita defenisikan sebagai dasar yang nyata daripada e. jika z w , kemudian w log z dimana z e w ln dan w (ln z ) /(ln
).
dan 0,1. Sejauh ini kotak
7. fungsi trigonometri invers Jika z =sin w dimana w =sin 1 adalah Invers sinus (sine) dari z atau arc sin dari z.kita dapat mendefenisikan bahwa invers trigonometri atau fungsi lingkaran 1 z , dan seterusnya. cos 1 z , tan
kemudian fungsi,akan mempunyai nilai banyak, dapat di sebut di dalam fungsi logaritma berikutnya. Di dalam semua kita menyebutkan konteks penjumlahan 2k i , k 0,1,2,...,di dalam logaritma.
sin
cos
1
z =
1
2
ln ( iz +
z =
tan 1 z
2
ln ( z +
=
ln
cs c z = 1
)
sec
1
z
≠ √ ln
=
8. fungsi hiperbola invers
2
ln (
cot 1 z =
)
)
ln
)
1
Jika z = sinh dimana = sinh z adalah mendefenisikan hiperbola invers dari sinus (sine) z. kita defenisikan semua fungsi hiperbola invers cosh-1z, tanh-1z dan
seterusnya.kemudian fungsi akan memiliki nilai banyak, dapat di sebut di dalam logaritma biasa sebagai berikut. Di dalam semua kotak kita menghilangkan konteks penjumlahan 2k i Sinh
Cosh Tanh
1
= ln ( z +
2
1
z = ln ( z +
2
1
z
z
= ln
9 fungsi z dimana (z)
dan g (z)
bahwa
k 0,1,2,... di dalam logaritma.
f (z)
)
)
)
√
csch 1 z = ln (
)
2
sech coth
1
z
1
= ln ( z
= ln
)
)
bilangan komplek,adalah defenisi daripada e ln z .jika f
memberikan dua fungsi dari z ,kita dapat mendefenisikan
g ( z )
f ( z ) = e g ( z ) ln . sacara umum bahwa fungsi mempunyai nilai
banyak .
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxiv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
74/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
10. aljabar dan fungsi transsendental Jika w adalah sebuah solusi dari pertayaan dari polonomial maka: po ( z )u n p1 ( z ) w n1 ... p n 1 ( z ) w p n ( z ) 0 ….dimana
po 0, p1 ( z ),..., p n ( z ) dimana polonomial-polonomial di dalam z dan n
adalah hitungan positif
kemudian w f ( z ) adalah mendefenisikan fungsi
aljabar dari z. Misalkan: w z 1 / 2 adalah sebuah solusi dari pertanyaan w2-z = 0. Dan ini adalah fungsi aljabar dari z Halaman 37 FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN
Setiap fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah penyelesaian dari (6 ) disebut sebagai fungsi transedental. Fungsi logaritma, trigonometri dan hiperbola dan invers korespondensi adalah contoh dari fungsi transedental. Fungsi-fungsi yang disebutkan pada 1-9 diatas, bersamaan dengan fungsifungsi turunannya oleh bilangan berhingga dengan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan akar disebut sebagai fungsi dasar.
TITIK CABANG DAN GARIS CABANG
,-
Misal kita diberikan fungsi
. Misalkan lebih jauh lagi kita
√ √ √ ../ / √ √ √
memperbolehkan untuk membuat suatu lintasan yang lengkap (berlawanan arah jarum jam) di sekitar titik asal A jadi A,
dan
. Kita mempunyai
*
. Setelah lintasannya lengkap kembali pada A
dan . Maka kita tidak dapat Bagaimanapun, dengan membuat lintasan terhadap kedua kembali ke A, misalnya
. dan kemudian kita memperoleh nilai
yang sama dengan apa yang ada pada awal kita mulai. Kita dapat mendeskripsikan hal diatas dengan menyatakan bahwa
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxxv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
75/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
kita berada pada satu cabang dari fungsi nilai ganda kita
berada pada cabang fungsi yang lain.
, sementara jika
Ini jelas bahwa setiap cabang dari fungsi tersebut bernilai tunggal. Untuk
menjaga fungsi bernilai tunggal, kita mengadakan sebuah rintangan buatan seperti halnya OB dimana B adalah pada tidak terbatas [meskipun beberapa garis lain dari O dapat digunakan] yang mana kita setujui untuk tidak melaluinya . Rintangan ini [digambarkan tebal dalam gambar] disebut garis cabang atau potongan cabang dan titik O disebut titik cabang . Perlu dicatat bahwa sebuah lintasan disekitar semua titik kecuali
tidaklah menuju ke nilai yang berbeda; maka
satunya titik cabang yang terbatas.
adalah satu-
bidang z
0
A
B
Gambar 2.5 BIDANG RIEMANN
Ada cara lain untuk mencapai tujuan dari garis cabang yang digambarkan diatas, untuk melihat ini kita bayangkan bahwa
seperti bidang yang terdiri dari
dua lembaran yang diletakkan diatas satu sama lain. Kita sekarang memotong lembaran tersebut sepanjang OB dan bayangkan bahwa ujung lebih rendah dari
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
76/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
dasar lembaran digabung dengan yang paling atas dari lembaran tersebut. Kemudian dimulai di dasar lembaran dan buat satu lintasan yang lengkap sekitar O kita sampai pada lintasan teratas. Sekarang kita bayangkan ujung potongan lainnya yang digabung bersamaan sehingga dengan melanjutkan lintasan tersebut kita pergi dari lembaran teratas menuju lembaran dasar. Kumpulan dari 2 lembaran yang disebut bidang Riemann menyesuaikan dengan fungsi
. Setiap lembaran menyesuaikan ke sebuah cabang fungsi dan
setiap lembaran fungsi adalah nilai-tunggal. Konsep bidang Riemann memiliki keuntungan dimana berbagai macam nilai
dari
fungsi
bernilai-ganda
diperoleh
dari
sebuah
bentuk
berkesinambungan/berkelanjutan. Gagasan tersebut nudah dikembangkan. Sebagai contoh, untuk fungsi
bidang Riemann mempunyai 3 lembaran, untuk ln bidang Riemann mempunyai banyak lembaran tak terhingga.
LIMIT
Biarkan
dibatasi dan benilai tunggal disekitarnya dari
kemungkinan pengecualiaan dari sekitar pada
dengan
sendiri (misalnya dalam penghapusan
). Kita menyatakan bahwa jumlah
Halaman 38 Kita lihat bahwa jumlah l adalah limit dari f(z) dengan z pendekatan z 0 dan di tulis lim f ( z ) l jika untuk bilangan positif
z z 0
beberapa bilangan positif f ( z ) l dim ana
(biasanya
. 0 z z 0
(
namun kecil) kita dapat menemukan
bergantung pada) sedemikian sehingga
Dengan demikian kita juga mengatakan bahwa f(z)
mendekati l sebagai z
pendekatan z 0 dan di tulis f(z) l sebagai z z 0 Limit tersebut harus independen dari cara dimana z mendekati z 0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
77/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Secara geometris, jika Z0 adalah titikpada bidangkompleks,dari lim f ( z ) l z z 0
jika
perbedaandalamnilai
absolutantara
f(z)
danldapat
dibuatsekecilkami
berharapdengan memilihtitik-titk zcukupdekat denganz0(tidak termasukz =z0 ). 2 z z i Contoh:Misalkan f(z) ketika zsemakin dekat dengani (yaitu mendekatii), 0 z i f
(z)semakin
i 2 1.Dengan
dekatdengan
demikian
kitamemperkirakan
lim f ( z ) 1. Untuk membuktikanini kita harusmelihat apakahdefinisi di atas
z z 0
benar .Untukbukti inilihat masalah23. Perhatikan bahwa lim f ( z ) f (i) yaitu limitdari f (z)
dengan z→i adalahtidak
z z 0
sama dengannilaidari f (z) di z= i, karenaf(i) = 0 dengan definisi.Limit tersebutsebenarnya akanmenjadi-1bahkanjika f(z) tidak didefinisikandi z= i Ketika limit dari suatu fungsi adalah unik,yakniadalah satu dan hanya satunya(lihatmasalah26). Jika f(z) adalahbeberapa-nilai, limit z→z0mungkin tergantung padacabang tertentu. TEOREMA TEOREMA LIMIT z 0 f ( z ) A Jika z lim
z 0 g ( z ) B maka dan z lim
1. lim f ( z ) g ( z ) z z 0
0
2. lim f ( z ) g ( z ) z z 0
z z 0
z z 0
0
z lim f ( z ) lim g ( z ) A B z z z 0
3. lim f ( z ) g ( z )
4. lim
z lim f ( z ) lim g ( z ) A B z z z 0
z lim f ( z ) lim g ( z ) AB z z z 0
f ( z ) g ( z )
lim f ( z )
z z 0
lim g ( z )
A B
0
jika B 0
z z 0
TAKTERHINGGA
/ztitikz=0 (yaituasal)dipetakanke w=∞, disebut titikdi tak terhinggapada bidangw.Demikian pula kitamenunjukkandengan z=∞titikdi tak terhinggapada bidangz.Untuk mempertimbangkanperilakudari f (z) di z=∞, cukup Melaluitransformasiw= 1
dengan membiarkans =1 /w danmengkaji perilakuf(1 / (w)) di w= 0.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
78/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Kita mengatakan bahwa lim f ( z ) l atau f(z)mendekati l tak terhinggaz, jika untuk z z 0
setiapN >0 kitadapat menemukanm > 0 sehingga|f (z)-l| < e setiap kali|z|>M. Kita
katakan
z 0 f bahwa z lim ( z ) dari
f
(z)
mendekati
tak
untuk setiapN >0 kitadapat menemukanδ > 0 sehingga|f (z) |>N dimana 0 <| z-z 0| <δ. terhinggasebagaizpendekatanz0, jika
KONTINUITAS
Misalkan f(z)didefinisikan danbernilai tunggalmendekati z =z 0serta pada (yaitu
lingkunganδdari z0).
di
Fungsi
f(z)dikatakankontinu
diz
z=z0 =z0 jika
lim f ( z ) f ( z 0 )
z z 0
Catatan bahwa
mengimplikasikantiga kondisiyang harus dipenuhiagarf (z)
kontinudi z=z0. 1. lim f ( z ) l harus ada z z 0
2. lim f ( z ) l harus ada yaitu f(z) di definisikan oleh z 0 z z 0
3. l f ( z 0 )
Halaman 39 FUNGSI, LIMIT DAN KONTINUITAS
harus terdefinisi
harus terdefinisi, dimana
didefinisikan pada
Ekuivalen,
jika
kontinyu pada
kita dapat menulis ini dalam bentuk
Contoh 1: Jika
kemudian dari contoh pada halaman 38,
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
79/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
| | | | . Untuk
dan
Sehingga
fungsi
tersebut
kontinyu di . untuk semua , maka
Contoh 2: Jika
adalah kontinu di
Titik pada garis
, dan
tidak
dan
.
dimana
tidak kontinu disebut diskontinuitas dari
dikatakan diskontinuitas pada titik-titik ini. Jika
terdefinisi tapi tidak sama dengan dengan mendefinisikan
, kita sebut
diskontinuitas lepas karena
harus sama dengan
pada fungsi menjadi
kontinu.
Alternatif untuk definisi kontinuitas diatas, kita dapat mendefinisikan
sebagai kontinu di
jika untuk setiap
sedemikian sehingga
kita dapat menemukan
dimana
hanyalah definisi limit dengan
memeriksa kontinuitas dari
di
dimana
. keterangan ini
dan tidak berlaku pada
Untuk menguji kontinuitas dari
.
, kita masukkan
dan
.
KONTINUITAS DI DAERAH A
Sebuah fungsi
dikatakan kontinu di suatu daerah jika kontinu di semua
titik daerah.
TEOREMA PADA KONTINUITAS
Teorema 1. Jika
dan
adalah kontinu pada
, sehingga fungsi
dan
, jika dan hanya jika
. Hasil yang sama berlaku untuk kontinuitas di suatu daerah.
Teorema 2. Di antara fungsi-fungsi kontinu di setiap daerah dengan batas (α) semua polinomial, (b) e z , (c) sin z dan cos z .
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomolxxx http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
80/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Teorema 3. Jika
, kontinu pada
dan jika
dan
, maka fungsi
kontinu pada
, yang disebut fungsi
dari fungsi atau fungsi komposit, adalah kontinu pada
.
biasanya secara khusus dinyatakan sebagai: Sebuah fungsi kontinu dari sebuah fungsi kontinu adalah kontinu.
| |
Teorema 4. Jika
kontinu di daerah tertutup, dibatasi di daerah ini, terdapat M
konstan sehingga
Teorema 5. Jika
untuk semua titik pada daerah itu.
kontinu di suatu daerah, maka bagian real dan imajiner dari
juga berada di daerah ini.
KONTINUITAS SERAGAM
| | | | berada di daerah. Maka menurut definisi pada setiap titik
dan untuk setiap
, kita dapat menemukan
pada kedua dan titik tertentu
ke daerah
(pada umumnya tergantung
) sama halnya
dimana
. Jika kita dapat menemukan pada tapi tidak pada titik tertentu
kita mengatakan bahwa
adalah kontinu seragam di daerah tersebut.
Halaman 40 Alternatif f(z) penggunaanya yaitu berlangsung pada daerah jika ada
,
> 0 kita
dapat menemukan > 0 seprti |f(z 1) – f(z2)|< yang mana z 1 – z2 < dimana z1 dan z2 mempunyai dua poin dari daerah.
Teorema. Jika f(z) berada pada daerah tertutup, penggunaannya yaitu berlangsung di sana. URUTAN
Fungsi dari sebuah integral variabel positif di tandai dengan f(n) atau u n dimana n =1, 2, 3....disebut sebuah urutan. Urutan seperti itu merupakan pasangan dari angka-angka u1, u2, u3. . . Dalam sebuah batas pesanan dari pengaturan dan di bentuk menurut batas aturan. Masing-masing nomor pada urutan di sebut batas dan un disebut batas ke n. Urutan u 1, u2, u3. . .juga ditandai dengan singkatan (u n). Pada urutan disebut terbatas atau tidak terbatas sesuai dengan adanya batas angka atau
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
81/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
tidak. Kecuali jika cara lainnya telah di tetapkan kita akan menganggap hanya batas urutan. Contoh 1: pasangan dari angka-angka i, i2, i3…i100 merupakan sebuah batas urutan; pada istilah batas ke n. Yaitu pemberian dengan un = in, n=1, 2, ...100. Contoh 2 : pasangan dari angka-angka 1 + i,
,
merupakan sebuah batas
urutan; pada istilah batas ke n. Yaitu pemberian dengan u n = (1+i)n/n!, n =1, 2, 3, . . . BATAS DARI URUTAN
Angka l di sebut limit dari batas urutan u1, u 2, u 3. . . jika untuk angka yang positif kita dapat menemukan sebuah angka positif
– |
tergantung pada N seperti itu |
untuk semua n > N. Seperti dalam kurung kita menulis
jika
limit dari sebuah urutan ada,pada urutan di sebut konvergen; atau cara lainnya itu di sebut divergen. Sebuah urutan dapat konvergen hanya untuk satu limit jika sebuah limit itu tidak berbanding. Suatu yang lebih intiutif hanyalah cara unrigorous dari gambaran konsep ini pada limit menyatakan bahwa sebuah urutan u 1, u2, u3. . . mempunyai sebuah limit l jika memperoleh batas- batas
urutan”semakin dekat dan semakin dekat” untuk l. Ini sering digunakan untuk menyiapkan sebuah”kemungkinan” sebagai nilai dari limit, yang mana pada devinisi telah diterapkan untuk melihat jika kemungkinan benar. TEOREMA PADA LIMIT DAN URUTAN
Selanjutnya diskusikan salah satu urutan pada BAB 6 Jika
= A dan Jika
= B, lalu
1.
+ bn =
= A + B
2.
- bn =
= A - B
3.
. bn =
= A B
4.
=
= jika B # 0
RANGKAIAN TAK TERHINGGA
misalkan u1, u2, u3. . . .menjadi salah satu urutan.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
82/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Bentuk urutan baru ...,
=
Dimana
+
,
+
,
dibatasi oleh
. . . ,+
=
=
+
,
=
+
+
disebut batas bagian penjumlahan, pada penjumlahan dari n batas
pertama dari urutan{ un}. Halaman 41
Tugas UAS Menerjemah Hal. 41
Urutan
disimbolkan dengan
Yang disebut dengan urutan tak tentu apabila
maka disebut dengan
Konvergan dan S sebagai jumlah. Maka urutan-urutan sebaliknya disebut Divergan. Suatu keadaan dimana suatu urutan berkumpul adalah Namun pembahasan ini belum lengkap (lihat hal.40 & 150) Pembahasan selanjutnya dari urutan tak tentu ini disajikan pada bab 6.
Sontoh Soal (Pemecahan Masalah)
Fungsi dan transformasi 1. Jika
. carilah nilai W yang cocok dengan (a)
dan (b)
serta tunjukan korespondensinya ke dalam bentuk
grafik.
(a) (b)
3i)=(1-3i
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
83/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Titik
, dicerminkan oleh titik P pada bidang z.
yang digambarkan dengan P‟. Pada bidang W dari gambar 2.7 anggap saja bahwa P dipetakan pada P‟ dengan Mempunyai titik gambar
cara pemetaan fungsi atau transformasi
Sama halnya dengan
(titik Q pada gambar 2.6) dipetakan pada (titik Q‟ pada gambar 2.7). untuk masing-masing titik pada bidang z hanya terdapat satu korespondensi pada bidang w, sehingga w adalah satu fungsi z tunggal yang terukur. 2. Buktikan bahwa garis yang mengikuti titik P dan Q pada bidang z yang terdapat pada gambar 2.6 dipetakan oleh
terhadap titik P‟ Q‟ pada
gambar 2.7 serta tentukan persamaannya? Titik P dan Q mempunyai kordinat (-2,1) dan (1,-3) kemudian persamaanya adalah
Persamaan P dan Q adalah
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxiv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
84/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Sedangkan
Karena w=x+iy maka persamaannya adalah..
Sehingga bisa di grafikkan Halaman 42 Belum Halaman 43
a. Daerah asal di z berinduksi dari sebagian bayangan di PQRS terdapat pada gambar 2-10. Daerah yang memetakan kedalam daerah yang berada pada
pada P‟ Q‟ R‟ S‟ yang menunjukkan bayangan terdapat pada gambar 2-11. Yang akan ditulis pada kurva PQRSP yang dipindahkan searah jarum jam
dan kurva gambar P‟ Q‟ R‟ S‟ P‟ yang juga dipindahkan searah jarum jam. b. Daerah asal di z menunjukkan bahwa sebagian bayangan PTUVWXYZ terdapat pada gambar 2-10. Daerah yang memetakan daerah yang berada
pada daerah gambar P‟ T‟ U‟ V‟ terlihat bayangan seperti terdapat pada gambar 2-11.
Hal itu menarik untuk ditulis, ketika berbatasan dengan daerah PTUVWXYZ yang dipindahkan hanya sekali, batasan dari daerah pada
gambar P‟ T‟ U‟ V‟ dipindahkan dua kali. Daerah itu harus dikembalikan faktanya ada delapan titik P dan W, T dan X, U dan Z di daerah asal z
memetakan kedalam empat titik P‟ atau W‟. T‟ atau X‟, U‟ atau Y‟, V‟ atau Z‟ berkesinambungan. Walaupun ketika batasan pada daerah PQRS dipindahkan hanya sekali , batasan dari daerah pada gambar itu juga dipindahkan hanya sekali. Berbeda jika dikembalikan faktanya pada pemindahan kurva PTUVWXYZ melingkari daerah asal z = 0. Sedangkan ketika kita memindahkan kurva PQRSP kita tidak dapat melingkari daerah asalnya.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
85/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
c.
⁄
FUNGSI NILAI PERKALIAN 6. Diberikan dan tujuannya berkorespondensi khusus titik mempunyai
kita
.
a. Jika kita memulai dari titik
ketitik sumbu z ( Lihat gambar 2-12). Membuat
kelengkapan satu keliling searah jarum jam dengan daerah asalnya. Lihat nilai pada w dikembalikan pada
adalah
.
b. Apakah nilai di w jika dikembalikan ke
, setelah 2, 3,....lengkapi lintasan
disekitar daerah asalnya. c. Diskusikan bagian a dan b jika dengan cara satu satunya tidak dapat menemukan daerah asalnya.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
86/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
⁄ ⁄⁄ ⁄⁄
a. Kita dapatkan kemudian
Seperti
, jadi
. Jika
,
.
menambahkan dari
. Yang mana terjadi ketika
kelengkapan satu keliling disekitar daerah asal yang diputar searah jarum jam, kita temukan
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
b. Setelah lintasan disekitar daerah asal 2 lengkap, kita temukan
Setelah lintasan disekitar daerah asal 3 dan 4 lengkap, kita temukan
Setelah lintasan disekitar daerah asal 5 w lengkap nilai yang diperoleh adalah
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ , jadi nilai dari daerah asal w adalah diperoleh setelah daerah
asal disekitar 5 berubah. Setelah itu lingkaran diulang ( Lihat gambar 2-13 ). Cara Lain. Dimulai
, kita mempunyai arg z = arg w berubah dari
.
Selanjutnya jika arg z ditambah
tunjukkan hasil yang diperoleh sama dengan (a) dan (b).
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
87/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
c.Jika dengan cara lain tidak dapat menemukan daerah asal, selanjutnya ditambah dengan arg z dengan 0 dan penambahan arg w selalu 0. Dalam hal ini dari w adalah . Maka pembuat angka dilintasan tidak diperoleh.
Halaman 44
FUNGSI, LIMIT, dan KONTINUITAS
7.a) di soal sebelumnya telah dijelaskan tentang alasan mengapa kita dapat menganggap w sebagai kumpulan dari nilai tunggal dari fungsi z . b) jelaskan secara geometris tentang hubungan antara fungsi-fungsi dari nilai tunggal tersebut. c) tunjukkan secara geometris bagaimana kita dapat membatasi diri kita dengan fungsi dari nilai-nilai tunggal tertentu. (a) karena w3= reiθ = re (iθ + 2kπ) dimana k adalah bilangan bulat, kita memiliki
Dan karena w memiliki 5 nilai fungsi dari z, maka 5 nilai tersebut diberikan oleh k = 0,1,2,3,4 Kita juga dapat menganggap w sebagai sebuah kumpulan dari 5 nilai fungsi yang
disebut cabang dari banyak nilai fungsi, dengan cara membatasi θ. Oleh karen a itu, contohnya, kita dapat menulis
Dimana kita dapat mengambil 5 kemungkinan interval untuk θ yang diberikan oleh ,
Interval pertama adalah
, yang biasanya disebut dengan jarak utama
dari θ dan sama dengan cabang pokok dari banyak nilai fungsi. Interval lain untuk θ dari panjang 2π juga dapat diambil; misalnya
etc, pertama-tama persamaan ini dapat diambil sebagai jarak
pokok/utama.
(b) kita mulai dengan cabang (utama) yang asli
Setelah 1 putaran mengenai asal dari garis z telah lengkap, θ ditingkatkan oleh 2π untuk memberi fungsi bagi cabang lain. Setelah putaran yang lain lengkap, cabang
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
88/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
fungsi lain masih didapatkan sampai semua dari 5 cabang tersebut telah ditemukan, setelah kita kembali pada cabang (utama) yang asli. karena nilai yang berbeda dari f(z) diperoleh dengan berturut-turut mengelilingi z =0 kita sebut z = 0 titik cabang (c) kita dapat membatasai diri kita dalam fungsi nilai tunggal tertentu, biasanya pada cabang utama, dengan menjamin bahwa tidak lebih dari 1 putaran lengkap
yang dibuat, conth: membatasi θ dengan tepat. Dalam kasus jarak utama dengan persamaan
persamaan ini
telah telah diselesaikan dengan menyusun sebuah potongan yang diindikasikan dengan OA pada gambar 2-14 dibawah ini, yang disebut sebuah potongan cabang/garis cabang, pada poros posotif yang benar, maksut dari gambar ini adalah kita tidak boleh melewati garis pemotong tersebut (jika kita melewatinya, maka akan didapatkan fungsi cabang lain).
Jika interval yang lain untuk θ telah dipilih, maka garis cabang / garis pemotong tersebut akan ditarik garis lain dalam garis bujur z yang berasal dari titik pusat. Untuk tujuan tertentu, sebagaimana yang akan kita lihat selanjtnya, bahwa kita dapat melihat kurva dalam gambar 2-15 yang mana pada gambar 2-14 adalah merupakan sebuah kasus yang langka/jarang terjadi. y
y H E F
G
I
O
A
x
D
B
A
x
C J
Gambar 2-14
Fungsi Dasar 8. buktikan bahwa (a)
Gambar 2-15
|| , (b)
,
(c)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo lxxxix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
89/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
a)dengan definisi
dimana z = x+iy. maka jika
Halaman 45 Belum Halaman 46
FUNGSI, LIMIT, dan KONTINUITAS
12. buktikan: a) 1-
b) sin iz = i sinh z
c) cos iz = cosh z
d) sin ( x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y
. / . / – . / a) dengan definisi, cosh z =
kemudian
dibagi dengan
b)
c) d) dari soal nomor 9 (a) dan bagian (b) dan (c), kita memiliki
13. a) jika
dimana
b)tentukan nilai dari
dan
apa yang dimaksud dengan nilai utama?
a) Karen
Kita memiliki persamaan riil dan baian bayangan (1) (2) Dengan
menaruh
(1)
dan
(2)
dalam
tanda
menambahkannya, maka kita menemukan
maka
kurung
yang mana
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
dan
dan u = ln
r. kemudian dari (1) dan (2) dari
a
xc 90/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √ . / Jika
kita menyebut bahwa
bahwa
kemudian kita melihat
Sebuah cara yang sama dalam menyebut
dimana θ
persamaan yang sama adalah dengan menulis
dapat dianggap memiliki banyak nilai yang berbeda dari 2π. Ingat bahwa secara formal
menggunakan
hokum logaritma yang mirip dengan matematika dasar. b) Karena
,
kita
memiliki
Nilai utamanya adalah
14. buktikan bahwa
yang diperoleh dari persamaan k=0.
mempunyai titik pusat pada z = 0.
Kita memiliki persamaan beberapa titik z1≠0
. Andaikan kita mulai pada
dalam bujur yang rumit untuk
maka
(lihat gambar 2-16). Kemudian setelah mebuat 1 putaran lengkap
mengenai asal persamaan tersebut dengan searah jarum jam atau melawan arah jarum jam, kita menemukan arah kembali pada z1, yang mana maka
,
. Oleh karena itu kita berada pada fungsi cabang
yang lain, dan z=0 adalah titik pusat. y
z r 1 θ1
x
Gambar 2 Putaran lengkap selanjutnya tetntang arah awal yang berubah/berpindah ke cabang lain dan (tidak seperti persamaan fungsi lain, misalnya tidak akan pernah kembali pada cabang yang sama.
) kita
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
xci 91/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Hal ini mengikuti bahwa
adalah sebuah fungsi yang memiliki banyak
nilai dari z yang memiliki banyak cabang. Cabang tertentu dari z adalah riil dan positif maka disebut dengan cabang utama. Untuk memperoleh cabang ini maka
kita membutuhkan θ=0 ketika z> 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan persamaan
dimana θ dipilih, maka
, dst.
Sebagai sebuah generalisasi, kita mengingatkan/menekankan bahwa ln (z-a) memiliki sebuah titik cabang pada z=a.
Halaman 47 15.Pertimbangkan transformasi w = ln z. Tunjukkan bahwa (a) melingkar dengan
pusat pada titik asal bidang z yang dipetakan ke dalam garis paralel sumbu v pada bidang w, (b) garis atau sinar keluar dari titik asal bidang z yang dipetakan ke dalam garis paralel sumbu u pada bidang w, (c) bidang z dipetakan pada lebar 2 pada bidang w. Ilustrasi hasil grafik. Kita mempunyai w = u + iv = ln z = ln r + i sedemikian sehingga u = In r, v = . Pilih cabang utama w = ln r + i dimana 0 2 (a) melingkar dengan pusat pada titik asal dan jari-jari a dengan persamaan
z r a . Ini dipetakan ke dalam garis bidang w dengan persamaan u ln a. Gambar 2-17 dan 2-18 lingkaran dan garis yang memetakan a = 1/2, 1, 3/2, 2 yang tertandai. (b) garis atau sinar keluar dari titik asal bidang z (lihat gambar 2-17) mempunyai persamaan a . Ini dipetakan ke dalam garis bidang w (lihat gambar 2-18) dengan persamaan v a . Kita sudah menunjukkan pemetaan garis untuk a 0, / 6, / 3, and / 2 .
(c) memetakan titik P pada bidang z yang digambarkan oleh z 0 dan mempunyai koordinat kutub r , dimana 0 2 , r 0, ada P ‟ dengan lebar
2 yang ditunjukkan gambar 2-20. Kemudian bidang z dipetakan ke dalam titik
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxcii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
92/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
potong. Titik z 0 dipetakan ke dalam titik potong sering disebut titik pada ketidakterbatasan. Jika sedemikian hingga 2 4 , bidang z dipetakan pada titik potong 2 4 pada gambar 2-20. Dengan cara yang sama, kita memperoleh titik
potong lain yang ditunjukkan gambar 2-20. Di bawah ini diberikan titik z 0 pada bidang z, ada tidak terbatas titik gambar pada bidang w memetakan titik gambar.` Yang harus dicatat bahwa jika kita yang telah mengambil seperti
, 3 , dll, titik potong gambar 2-20 akan digeser tegak lurus sejauh .
√ √ √ √ √ √√ √ √
Halaman 48 . Jika kita memilih cabang utama dari sin -1z sehingga sin-1 -1
sin z = ln (iz +
jika w = sin-1z, maka z =sin w =
,buktikan bahwa
)
sehingga
atau
Selesaian,
=
Karena
digantkan dengan sehingga
sekarang
atau w
Sehingga cabang
-1
sini didapat w = sin z =
bilamana
ln (iz +
+ ln (iz +
)
diperoleh dengan mengambil k=0 dari
) seperti yang diinginkan
17.jika kita memilih cabang utama dari tanh-1z sehingga tanh-1 bahwa
,buktikan
./ ./ * + tanh-1z = ln
-1
jika w = tanh z , maka z = tanh w = Karena
18.(a) Jika di mana
maka kita memperoleh atau w = k
Cabang utama untuk
sehingga
ln
memberikan hasil yang diinginkan.
buktikan bahwa
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxciii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
93/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
* + * + | | . / { } + * + * (b) Jika z adalah suatu titik pada lingkaran satan yang berpusat di O,buktikan bahwa menyatakan tak berhingga banyaknya bilangan riil dan tentukan nilai utamanya. (c) Tentukan nilai utama dari (a) Menurut definisinya
diperoleh dengan di
Nilai utama fungsi bernilai banyak mengambil dan ditentukan oleh mana kita memilih sehingga (b) Jika adalah suatu titik pada lingkaran satuan yang bepusat di ,maka .Karena itu menutut ,karena ln ,maka yang menyatakan tak berhingga banyaknya bilangan riil.Nilai utamanya adalah di mana kita memilih sehingga (c) Menurut definisinya
karena
dan
.
Metode lain. Menurut bagian (b), karena satuan yang berpusat di titik dan karena adalah .
terletak pada lingkaran ,maka nilai utamanya
TITIK CABANG,GARIS CABANG DAB PERMUKAAN RIEMANN 19. Misalkan . (a) Tunjukan bahwa adalh titik cabang dari . (b) Tunjukan bahwa suatu lintasan lengkap di sekeliling kedua titik cabangnya tdak menghasilkan perubahan dalam cabang dari (a) Kita mempunyai . Maka
sehingga
Perubahan dalam
Halaman 49
“Fungsi, Limit dan Kekontinuan” Misal C (gambar 2.21) menjadi kurva tertutup yang memuat titik i tapi bukan titik – i. Kemudian titik z adalah suatu kejadian
melawan arah jarum jam
disekitar C. Ubah dalam arg ( z - i ) = 2π
Ubah dalam arg ( z +i ) = 0
Kemudian Ubah dalam arg w =
π
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxciv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
94/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Oleh karena itu w tidak boleh kembali ke nilai aslinya. Perubahan ke cabang mengkin terjadi. Sejak sirkuit komplit tentang z=i merubah cabang dari fungsi, menjadi cabang fungsi z=i. Dengan cara yang sama jika C adalah kurva tertutup yang mendekati titik – i tapi bukan i, kita dapat melihat z=i sebagai titik cabang
Z Plane y
z
i
x
Gambar 2.21 -i
M etode lai n : i i Misal z i r 1e 1 , z i r 2 e 2 . maka
i ( 1 2 )
w r 1r 2 e Jika
kita
1
2
r 1r 2 ei / 2 e i / 2 1
mulai
dengan
dan . Maka 1
1
2
2
fakta-fakta
w r r e
i 1 / 2 i 2 / 2
e
.
nilai
dari
hubungan
Selama z melawan arah
1 2
2
jarum jam disekitar i ,
bahwa
1 diperluas
2 . Saat 2 tinggal serupa. 1 ke 1 2
. Oleh karena itu
w r 1r 2 e
i 1 / 2 i 2 / 2
e
r 1r 2 ei / 2 ei / 2 1
2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xcv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
95/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Perhatikan jika kita tidak mendapatkan nilai asli dari w, perubahan dari cabang terjadi, lihat z i adalah titik cabang.
(b) Jika C menyertakan kedua titik cabang z= i sebagaimana gambar 2.22
kemudian titik z menuju melawan arah jarum jam disekitar C. Ubah dalam arg ( z – i ) = 2π Ubah dalam arg ( z + i ) = 2π Kemudian Ubah arg w = 2π Oleh karena itu sirkuit komplit disekitar kedua titik cabang hasil tidak dapat diubah ke cabang.
M etode lai n
Dalam hal ini, menunjuk cara kedua dari bagian (a)
1 meningkat
dari
1 ke 1 2 saat 2 meningkat dari 2 ke 2 2 . 1 2 ) / 2 i ( 1 2 ) / 2
Demikian w r 1r 2 ei (
e
r 1r 2 ei( / 2ei / 2 1
2
dan
tidak
dapat diubah dalam cabang seperti yang diamati. Z Plane y
z
C i
x
-i
Gambar 2.23
20. Menentukan Garis Cabang untuk Permasalahan Fungsi 19
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxcvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
96/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Garis cabang dapat mengakibatkan Menandai salah satu gambar 2.232.24. dalam kejadian ini, dari tidak memotong salah satu garis ini, kita dapat memastikan nilai tunggal dari fungsi. y
y
i
i x
x -i
-i
Gambar 2.23
Halaman 50 FUNGSI, LIMIT, DAN KONTINUITAS 21. Selidikilah permukaan Riemen untuk fungsi pada masalah 19
Kita mempunyai permukaan Riemann yang berbeda dan berkorespondensi untuk gambar 2-23 atau 2-24 dari masalah pada nomor 20. Dengan mengganti gambar 2-23, sebagai contoh kita bayangkan bahwa bidang z terdiri dari dua lembar lapisan yang lain dan memotong sepanjang garis cabang. Sebaliknya tepi dari potongan itu digunakan, dibentuk permukaan Riemenn . Pada pembuatan salah satu sirkuit yang lengkap sekitar z=i , kita mulai pada salah satu cabang dan kehabisan yang lain. Bagaimana
pun, jika kita membuat salah satu sirkuit
mengenai keduanya z = i dan z = -i, kita tidak dapat mengubah semua cabang. Ini sesuai dengan hasil pada permasalahn 19.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xcvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
97/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
22. Selidikilah
permukaan Riemann untuk fungsi f z = ln z ( perhatikan
masalah 14 )
Dalam hal ini
kita membayangkan bahwa sumbu z terdiri dari lapisan
banyak helai yang tidak terbatas terhadap yang lain. dan memotong sepanjang garis cabang yang berasal dari pusat z=0 keluar dari z=0.
Kemudian kita
menghubungkan setiap potongan tepi atau pinggir untuk berhadapan dengan potongan pinggir dari sebuah pinggir yang berhadapan. Kemudian setiap kali kita membuat sirkuit z=0 adalah pada korespodensi lembar lain untuk sebuah turunan fungsi cabang. Kumpulan dari lembaran lembaran itu disebut survei Riemmann. Kenyataan ini masalah yang tidak suka
pada 6 dan 7, sirkut berturut-berturut
membawa kita kembali cabang yang asli.
LIMIT
23. a If f z =Z 2 , akar dari lim
2 z 0
z z o
2
z
b). temukan lim f z jika f(z) = { 0
a .
z z 0 z z o
Kita harus tunju kkan bahwa diberikan sembarang > 0 kita dapat
menemukan
( tergantung pada hal-hal umum) sedemikiansehingga
z 2 z 02 demikian 0 z z 0 juga
Jika ≤ 1 dan o < z z 0 menyatakan bahwa
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xcviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
98/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
z 2 z 02
z z 0 z z 0 z z 0 2 z 0
0 } 1 2 z 0 { z z 0 2 z Ambilah = 1 atau
yang terkecil. Kemudian kita mempunyai ( 1 2 z o )
z z 0 begitu pula z z 0 , dan hasil yang kita cari dapat 2
2
dibuktikan.
b Tidak
terdapat perbedaan di antara masalah ini dan pada bagian
a ,
karena kedua kasus ini kita dapat menyimpulkan z = z 0 kembali ke bentuk
lim f ( x) z 02 ,dengan catatan bahwa limit dari f (z)
semula. Karena
x x 0
dimana z z 0 , tidak memiliki nilai apapun yang diperoleh dari nilai f( z) pada z 0 24. tafsirkanlah secara geometris dari masalah pada nomor 23 a). Persamaan w f ( z ) z 2 didefenisikan sebagai sebuah transformasi atau pemetaan pada bidang z yang ditunjuk menuju bidang w. berdasarkan keterangan,kita dapat menyimpulkan bahwa titik z 0 adalah dipetakan kedalam w0 z 02
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxcix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
99/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
z
v
.z0 u
Dalam masalah pada nomor 23 (a) kita membuktikan hasil yang diberikan, speperti
0
kita
dapat
menemukan
0 sedemikian sehingga
ww 0 bilamana,. z z 0 Secara geometri ini mengartikan bahwa, jika
kita menginginkan w berada didalam jari-jari lingkaran, (lihat gambar 2-26) kita harus memilih (tergantung pada ) sehinga z berada didalam jari-jari lingkaran
. Menurut masalah pada nomor 23 (b) ini tentu bagus,jika 1
dan
(1 2 z 0 )
b) . Pada masalah nomor 23 (a) w w 0 z 02 adalah bayangan dari z = z 0 . Bagaimanapun, dalam masalah 23(b), w=0 adalah bayangan dari z = z 0 . Kecuali untuk hal ini, penafsiran geometrik adalah serupa dengan yang diberikan pada bagian ( a )
Halaman 51 FUNGSI ,BATAS DAN URUTAN
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
c 100/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
25 .membuktikan bahwa kita harus menunjukkan
bahwa untuk setiap kita dapat menemukan
.
.. . Sehingga . ketika 0 .
, ,
│
.
karena kita dapat menulis
.
untuk membatalkan faktor umum maka kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap .
sehingga ketika │
jika
...
kita dapat menemukan .
berarti │
=│
=│
.
<
<
{ } mengambil
sebagai yang lebih kecil dari I dan .
hasil yang dicari berikut.
THEOREMS PADA BATAS 26 .jika ada, membuktikan bahwa itu harus unik kita harus menunjukkan bahwa jika dan . dengan hipotesis, diberi kita dapat menemukan seperti itu
f(z)- ││f(z) -12│< kemudian │
ketika 0<│z- saat 0<│z -zo│< .
maka
.
.│
kurang dari tiap angka positif (betapapun kecilnya) dan sebagainya harus nol. dengan demikian 27 .jika
│
membuktikan bahwa ada
│B│ karena 0<│
sehingga
kita dapat menemukan
sehingga
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
ci 101/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
, - - - ,-,- menulis │ │ dari mana │
<
kami memiliki
28 .diberikan
dan
membuktikan bahwa
(a)
(c)
jika B
(d)
a) kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap menemukan seperti itu│[f(z)+ )│< saat 0 <│
│[
kita dapat
kami memiliki
dengan hipotesis, mengingat itu │ jika 0 <│ │
kita dapat menemukan 1
1>0
jika 0<│ 2.
dan
2>0
seperti
Halaman 52 Halaman 53
(c)
lim i / 3
z 2 e
z 3 8 z 4 z 16 4
2
Dalam hal ini limit dari pembilang dan penyebut tiap-tiap nol dan teorema pada limit tidak digunakan. Sebagaimana,dihasilkan oleh faktor dari polinomial bisa kita lihat berikut ini. lim i / 3
z 2e
z 3 8 z 4 4 z 2 16
lim
z 2 z 2e i / 3 z 2e3 i / 3
z 2e i / 3
lim
i / 3
z 2e
z 2e z 2e i / 3
2 i / 3
z 2e
z 2
z 2e
2 i / 3
z 2e
4 i / 3
4 i / 3
z 2e e
2e
e
i / 3
5 i / 3
i / 3
2 i / 3
1
e i / 3 e 4 i / 3
3 8
Cara
lim
8
i
z
2
z 2e i / 3
3
z 6 64 z 2 4 z 4 4 z 2 16 ,
lain,sejak
persamaan
masalahnya
ditemukan
4 z 3 8 z 2 4 e 2 i / 3 1 3 3 lim 3 i 6 i z 2 e 8 z 64 z 8 2e 1 8
i / 3
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
cii 102/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
30. menunjukan bahwa lim
z 0
z z
tidak ada. Jika limit ada, itu berarti harus berdiri
sendiri dari cara yang z mendekati nilai 0.berikutnya z 0 sampai x ada. Kemudian y = 0 dan z = x + iy = x dan z x iy x dan z x iy x , jadi, bahwa limit memerlukan lim
x 0
x x
1 . Kemudian z = 0 sampai y ada, kemudian x = 0,
dan z x iy iy , jadi bahwa limit memerlukan lim y 0
iy iy
1 . sejak dua tidak
bisa mendekati dan memiliki kesamaan jawaban, maka limit tidak ada. KONTINUITAS 31. a) menunjukan bahwa f(z) = z2 termasuk pada z = z 0
z 2 z z 0 f z b) menunjukan bahwa 0 z z 0 ,
dimana z ≠0 tidak termasuk pada z
= z0 a) Dengan rumusan 23(a) lim f z 0 z 02 dan selanjutnya f(z) termasuk pada z z z 0
= z0 .
,
Cara lain. Kita harus menunjukan bahwa dengan memberikan > 0 kita bisa fi.
0 (pendalaman padaˏ) seperti bahwa f z f z 0 z 2 z 02 ,
ketika z z 0 , sebuah bentuk yang memberikan rumusan 23(a). b) Dengan rumusan 23(b) lim f z z 02 , tetapi f z 0 0 . Oleh sebab itu z z 0
lim f z
z z 0
0 f 0 , dan selanjutnya f(z) tidak termasuk pada z = z 0 jika z 0
≠0 jika z0 = 0, ketika f(z) = 0: dan sejak lim f z 0 f 0 , kita mengetahui bahwa z z 0
termasuk fungsi. 32. fungsi dari f z
4 3 2 3 z 2 z 8 z 2 z 5
z i
termasuk pada z = i?
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
ciii 103/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
F(i) tidak ada i.e. f(z) tidak dapat dijelaskan pada z = i. Dengan demikian f(z) tidak termasuk pada z = i. Didefinisikan pada f(z) jadi bahwa f i lim f z 4 4i (lihat rumusan 25),itu z i
termasuk pada z = i. Seperti dalam kotak kita menyebutnya z = i, tidak berubah. 33. menunjukan bahwa jika f(z) dan g(z) termasuk pada z = z 0, jadi bisa juga (a) f(z) + g(z) (b) f(z) g(z), (c)
f z g z
jika g(z0) ≠ 0.
Mengikuti hasil dari rumusan 28 yang diambil A = f(z 0), B = g(z0) sebelum menuliskan 0 z z 0 karena z z 0 i.e. masukan z = z 0 Halaman 54 FUNGSI-FUNGSI,LIMIT DAN KEKONTINUAN 54
34. Buktikan bahwa f z z 2 kontinu di daerah z 1 Misalkan z0 di dembarang titik pada daerah z 1. Pada soal 23 (a), f(z) kontinu di z0. Kemudian f(z) kontinu pada daerah sejak kontinu di sembarang titik pada daerah itu. 35. Karena nilai z diikuti oleh fungsi-fungsi kekontinuan?
a f z
z z 1 2
z
z i z i
. sejak bilangan pecahan nol ketika z= i,
fungsi kontinudimanapun kecuali z i
b f z csc z
1 sin z
. Pada soal 10 (a), sin z=0 untuk z=o, , 2 ,....oleh
karena itu f(z) kontinu dimanapun kecuali pada titik-titik tersebut.
KESAMAAN KEKONTINUAN
z 2 adalah bentuk kesamaa kontinu dalam daerah z 1 36. buktikan bahwa f z
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
civ 104/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Kita harus menunjukkan bahwa dibverikan sembarang 0, , kita dapat menemukan 0, sedemikian sehingga z 2 z 02 apabila z z 0 , dimana bergantung hanya pada e dan tidak pada titik utama z 0 dari bidang. Jika z dan z 0 adalah sembarang titik pada z 1, kemudian
| ||| || || ||| || | | ⁄| | | | | | =
Jadi jika
{
< berarti
< ketika
}
<2
< 2 . Pilih =
kita lihat bahwa
< dimana bergantung hanya pada e dan bukan
pada z 0 . oleh karena itu ƒ(z) =
37. buktikan bahwa ƒ(z) =
| |
+
merupakan kesamaan kontinu dalam bidang.
bukan merupakan kesamaan kontinu dalam daerah
<1 Metode 1.
Misalkan ƒ (z) adalah kesamaan kontinu di bidang tersebut. Kemudian untuk
| | | |
sembarang > 0 kita akan dapat mencari , misalkan antara 0 dan 1, sedemikian sehingga
<
ketika
< untuk semua z dan
dalam bidang.
Misalkan z = dan
=
. kemudian
-
= │ │= Bagaimanapun │ │=│ │= | |
< .
> (sejak 0 < < 1).
Dengan demikian kita memiliki kontradiksi, dan kontradiksi berikut ƒ(z) = tidak dapat disamakan kontinu dalam bidang.
Metode 2.
|| ||| ||| | | || Misalkan
dan
+ i disembarang dua titik bidang sedemikian sehingga
= . Kemudian
=
memilih
=│
| |
│=
dapat dibuat lebih besar daripada bilangan positif dengan
yang mendekati 0. Oleh karena itu fungsinya tidak dapat
disamaknan kontinu dalam bidang.
BARISAN DAN DERET
38. selidiki konvergensi dari barisan ini:
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
cv 105/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
a)
1, 2, 3, …, b)
.
Istilah pertama yang muncul dari barisan adalah
dst, atau
pada ploting titik-titik korespondensi dalam bidang z, kita
| | | ⁄ | | ⁄ | | ⁄| | ⁄| ⁄
menduga bahwa batas tersebut adalah nol. Untuk membuktikan ini kita harus menunjukkan bahwa. sekarang
< ketika n > N < ketika n >
misalkan kita pilih N =
. Kemudian kita lihat bahwa (1) benar, dan
sehingga barisan konvergensi kearah nol.
Halaman 55
b. Dengan menghitung
. √ | | √ . | ||| || || ||, || || ||, ||. || || Untuk semua
(sebagai contoh), kita memiliki
Sehingga
untuk semua
, yaitu
dan pada umumnya
Untuk mengikuti
dapat dibuat lebih banyak dari pada
jumlah positif ( tidak peduli sebarapa besar ) dan sehingga limit dari tidak ada, dan karenanya limit dari
tidak ada sehingga urutannya
menyimpang. 39. Jika
dan
.
buktikan bahwa
Dengan definisi, diberikan kita dapat menemukan
sehingga
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
cvi 106/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
| | | | | | | || || | || || | | untuk
,
Kemudian untuk
.
,
yang membuktikan hasilnya.
Terbukti bahwa ini berhubungan dengan bukti untuk limit - limit fungsi
(masalah 28).
40. Untuk membuktikan bahwa jika deret
.
titik, kita harus memiliki Jika
adalah menuju ke satu
adalah jumlah dari suku pertama dari deret, kemudian
. Maka jika
atau
ada
dan sama
, kita memiliki
yaitu
.
deret
Sebaliknya, bagaimanapun, jika
itu mungkin atau tidak
mungkin akan bertemu disatu titik. 41. Buktikan bahwa
if
.
Misalkan
Kemudian
Eliminasi
atau
Jika
, kita mengira bahwa
. Untuk membuktikan ini,
kita harus menunjukan bahwa diberi beberapa sehingga jika
untuk semua
kita dapat menemukan
.
kemudian
⁄|| |||| || | | || [ sejak jika
menemukan yang diperlukan Sehingga
, dan
. Hasilnya adalah memang benar
; maka kita dapat menghilangkan
Sekarang
atau
adalah neegatif. Karena itu kita .
.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
107/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Deret geometri dengan suku pertama dengan
dan rasio
disebut
, dan jumlahnya adalah
deret
.
|| ⁄ ⁄ *+⁄
JENIS – JENIS MASALAH
42. Misalkan
. (a) Jika
menggambarkan kurva nilai
jika
sedangkan
, dan
, ditunjukkan pada gambar 2-27 dibawah, didapati
. (b) Jika
menggambarkan kurva
gambar 2-28 dibawah, adalah nilai dari
jika
, ditunjukkan pada
sama dengan yang
diperoleh pada (a)?
a) Titik
adalah
cabang
pada masalah 19.
Halaman 56
C 1
i
1
r 1 z
0 2 r
2
1
i
Gambar 2.27
1
i
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
108/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
C 2
0
1
i gambar 2.28 Misalkan (1) z i r 1
ei 1
2 z i r 2 ei . karena
,
1
1 dan 2 ditentukan hanya
tegak lurus ke dalam perkalian bilangan bulat dari 2 ri ,maka kita bisa menulisnya atau dapat ditulis:
w r 1r 2 e
i 1 2 / 2
e 2k i / 2 r 1r 2 e
i 1 2 / 2ek i
s
Berdasarkan gambar 2-27 (atau menggunakan persamaan) (1) dan (2) kita ketahui bahwa ketika z berada di 0, r 1 1, 1 3 / 2 dan r 2 1, 2 / 2 ketika w 1di z = 0, yang diambil dari s , 1 e k 1 i dan kita dapat memilih k 10 ,1,3,.... . . Kemudian w r 1r 2 ei 1
2 / 2
Seperti z sebagai garis lintang C 1 dari 0 ke 1, r 1 diganti dari 1 ke 2 , 1 diganti dari 3 / 2 ke / 4, r 2 diganti dari 1 ke 2, 2 diganti dari / 2 ke / 4 . Kemudian
w
2 2 e
i / 4 / 4 / 2
2
(b) seperti dibagian (a), w
r 1 r 2 e i / 2 .berdasarkan gambar 2-28 kita ketahui 1
bahwa z sebagai garis lintang
2
C 1, r 2 diganti dari
3 / 2 ke 7 / 4, r 2 diganti dari 1 ke 2 dan 2 diganti dari
w
2 2 e
i 7 / 4 / 4 / 2
1 ke 2 , 1 diganti dari / 2 ke / 4 .
Kemudian
2 . Yang mana tidak sama dengan nilai yang di
peroleh di bagian(a).
43. misalkan
2
1 z 1 karena 2 = 0. Ditunjukan bahwa z dirubah dari 0 ke p 1
sepanjang poros sebenarnya,
1 z 2 dirubah dari 1 ke i p 2 1
.
V
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
cix 109/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
C 1
z r
B
A x P
E F
1
Gambar 2.29 Jika dipertimbangkan dimana z garis lintang mendekati garis edar ABCDF,dimana BDE adalah setengah lingkaran seperti yang ditunjukan bahwa pada gambar 2-29 dari bentuk ini kita memiliki 1 z 1 z iy r co ir sin Maka
1 z 2
1 z 1 z
r cos / 2 i sin / 2 2 r cos ir sin
Mendekati AB: z x, r 1 x, 0 dan 1 z 2 1 x 1 x 1 x 2 Mendekati EF : z x, r x 1, dan 1 z 2 i x 1 x 1 i x 2 1 1 z 2 bentuk
Sebab z sebagai bentuk dari 0 (dimana x=0) ke p (dimana z=p), dari 1 ke i p 2 1
Halaman 57
44. Temukan fungsi pemetaan yang memetakan titik-titik z = i,2 i ,3i..... dari bidang z ke titik w = 1 (lihat gambar 2.30 dan 2.31) Bidang zBidang w y
v
3i 2i i
x
u 0
1
i
2i
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
cx 110/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
ketika titik berada pada bidang z yang jarak sama,kita lihat masalah 15, untuk memahami fungsi logaritma yang tipe z = ln w jika sehingga titik w 1 e 2 k i , k 0,1,2...., maka z ln w 2k i jadi w = 1dipetakan ke dalam titik-titi 0, 2 i , 4 i,....
titik
ln w kita pandang w = 1 dipetakan, z 0 , i, 2i,.... 2
bagaimana jika, z
dengan cara ini fungsi pemetaan titik-titik z 0 , i, 2i,.... yang dipetakan ke titik w = 1
ln w atau 2
maka fungsi pemetaan yang cocok adalah z
w
e2 z
45. Jika lim z n l , membuktikan bahwa lim Re z n Re l dan n
n
Im zn Iml . lim n
misal. zn x n iyn dan il 2, dimana x n, y n dan l 1, l 2 bagian bilangan l l 1 real dan imajiner dari masing-masing zn dan l . Dengan hipotesis, diberi beberapa e > 0 kita dapat menemukan N sedemikian sehingga z n l N, yaitu ....
xn iyn l 1 il 2 N Atau
xn l 1 2 y n l 2 2
N
Dari sini berarti bahwa
xn l 1 N x lim n
n
l 1 dan lim y n l 2 , .bila di perlukan. n
46. Buktikan bahwa jika a < 1 a) 1 a cos a 2 cos 2 a 3 cos 3 ......... b) a sin a 2 sin 2 a 3 sin 3 .........
1 a cos 1 2a cos a 2 a sin
1 2a cos a 2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
cxi 111/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
misal z ae i lihat masalah 41. Kita bisa melakukan ini ketika z a < 1.. kemudian
i
1 ae i a 2 e 2
1 3 3i a e .... 1 aei
atau
1 a cos a
2
cos 2 .... i a sin a 2 sin 2 ....
1 a cos ia sin 1 2a cos a 2
1 1 ae
i
1 aei 1 ae
i
Hasil yang diperlukan mengikuti pada bagian bilangan real dan imajiner yang disamakan.
Halaman 58
tentukan fungsi grafik yang poin z=0, ±i ±2i ,±3i,……. Dalam plan z dalam poin w=1di dalam plan
Sejak titk plan z spasi perkalian kita biarkan karna masalah lima 15 terhadap fungsi Logaritma tipe z=1n w
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
112/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
k=0,± 1,±2…….sehingga z=1n w=2kπi sehinga titik w = 1lalu titik masuk kedalam grafik 0,=±2πi ,±4πi…… Sekarang jika w=1,
Jika z=(1n.w)/2n,titik w=1di dalam grafik sehingga z=0=i, =2i,dst Maksud dan fungsi dalam grafik ini adalah titik z=0,±I,±2i…..dst. ini semua merupakan w=1 n N + _(
)<,untuk n>N
< untuk n>N Dari penyelesain di atas dapat menghasilkan = dan 6.buktikan bahwa jika (a)>1 (a).1+
Jika z=
+
=
sebagai sarat
+………=
+
(b).a + ……= dari perasalahan 41kita dapat mengerjakan IzI=IaI< 1 sehingga 1+
(1+
.
+
+
+
+……………) +(
+…………= + +………) =
=
0
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocxiii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
113/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Halaman 59 Nama:Aris Wibowo NPM:2091000210008 Jurusan:Pendidikan Matematika 2009b FUNGSI,LIMITS,DAN KELANJUTAN 66.Buktikan jika sin x 1 untuk x semua bilangan real.
67.Tunjukkan bahwa (a) Sinx = Sin x, (b) Coshx = Cos zx (c) Tanx Tan x. , y sedemikian sehingga 68.Untuk Setiap fungsi berikut ini u x , y dan v x f x u vi
Pisahkan kedalam bagian imajiner dan real (a) f x 3iv ,(b) f x cos x (c)
x x 2 2 x f x sin 2x (d) f Jawab (a) u 3 y cos 3 x , v 3 y sin 3x (b) u cos x cos y, (c) y, v sin x sin u sin 2 x cos 2 y
2x 2 2 v cos 2 x sin 2 y, (d) u x y cos 2 y 2 xy sin 2 y , v=
2 xy cos 2 y x
y sin 2 y x Sinhx (b) Cos x Coshx (c) 69.Buktikan bahwa (a) sinh Tan x Tanx
2 x
2
2
2 70.Buktikan bahwa (a) Sinh Cosx1 Sinx2 (b) 2 x x1 x2 Sinhx 1Cosx 2 x Sinh Cosh2 x Cosh 1 1 71.Buktikan bahwa (a) Sin 2 x / 2 cos 1 (b) Cos 2 x / 2 cos x 1 2 2 , y dan v x , y sedemikian sehingga (a) sin 2 x u iv , (b) 72.Tentukan u x x cos x u iv (a)u sin 2 x cos 2 y, v cos 2 x sin 2 y Jawab (b)u x cos x cos y y sin x sin y, v y cos x cos y x sin x sin y
73.Carilah hasil dari (a) 4 Sinh 2 i / 3, (b)cosh 2k 1 i /2, k=0, 1 ,2,..... (c)Cosh 3 i /4 Jawab (a)2i 3 (b) 0 (c) i
1 3 4 x 2 2 = 3 2 k i, k = 0 1 ,0,..... (b)
74. (a) Tunjukkan bahwa (a) ln
Apakah nilai terpenting/utamanya??? Jawab (b) 4 i / 3
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocxiv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
114/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
3 i dan temukan nilai 75.Cari semua nilai dari (a) ln 4 (b)ln (3i ), (c) ln( utama disetiap Jawab (a) 2 ln 2 2k i
/ 2 2 k i, ln 3 i / 2. (b) ln 3 (c) ln 2 11 / 2 k i , ln 2 11 i / 1 2 1 76.Tunjukkan bahwa ln x 1 = ln x 1 y 2 i tan / x 1, berikan 2 batasan jika. 1 x 1 1 77.Buktikan bahwa (a) cos x 1 x ln x x 2 1, , b cot 1 x ln 2i x 1 i menunjukkan adanya pembatasan. 1 x 1 1 1 2
78.Buktikan bahwa (a) sin x ln x x 1, (b) cot x 79.Temukan semua nilai dari sin 1 x2 ,(b) cos 1 i Jawab
(a) i ln 2 3 / 2 2k (b) i ln ,i ln
2 ln x 1
2 1 / 2 2k
2 1 3 / 2 2k
1 80.Tentukan semua nilai dari(a) cos 1 i (b) sin ln 1 Jawab
(a) ln ln 2 1 i / 2 2k i, ln 2
2
2 1 3k i / 2 2k i
(b) ln 2k 1 2 22k 1 1 + i / 2 2m i, ln 2k 1 1 2k 1 3 i / 2 2mi , k , m 0,1 2,....
1
81.Tentukan semua nilai determinan yang benar dari (a) 1 i , (b) 1 Jawab i
2
.
1 1 / 4 2 k cos ln 2 i sin ln 2 , (b)cos 2 2k i sin 2 2k 2 2
1 1,
1 i 82.Tentukan (a) Re
(b) i
1
Jawab (a) 12 ln 27 / 42 ln cos 7 / 4 1 ln 2 (b) 3 / 2 2k 2 83.Tentukan bagian imajiner dan real x 2 dimana x x iy
z 2 1 1 3 ,(b) f x z 1/ 2 z 1/ 3 ,adalah fungsi 84.Tunjukkan bahwa (a) f z algebraic. Titik Cabang,Garis Cabang,dan Bidang Riemann
85.Buktikan bahwa x i adalah titik cabang dari x 2 1
1 3
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo cxv http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
115/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
1 2
1
86.Gambarlah bidang Riemann dari fungsi (a) x (b) x x 1 1
2
87.Tunjukkan bahwa bidang Riemannuntuk fungsi x 2 x
1 3
1 2
1
x 2 3 (c) x 2
mempunyai lembar
88.Gambarlah bidang Riemannuntuk fungsi(a) ln x 2 ,(b)sin 1 x (c) tan 1 x Halaman 60
FUNGSI LIMIT DAN KESEIMBANGAN
LIMIT 89 . (a) Jika f(z)
buktikan
(b) Jika f(z) dan
, temukan
90 .Buktikan
benarkan jawabanmu.
91 Membenarkan suaru nilai untuk (a).
, (b).
dan selidiki mana yang benar untuk terkaanmu .
92 Jika
+ *+ * + * *+*+
(b) adalah constanta (tetap). 93 Jika Jika
dimana p dan q
buktikan (a)
.Dapatkah kamu Apakah membatasi ,
menjawab mirip pernyataan untuk bila ada , apakah mengharuskan ? 94 Mengevaluasai menggunakan teorema pada limit . Pada setiap kasus menyatakan dengan tepat teorema yang mana yang digunakan.,
* + √ √ . /
(a)
(b)
(d)
Jawab ; (a) 95 Temukan
96 Buktikan jika
(e)
(1 + i )/2
(d) 1/3
(e)
)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocxvi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
116/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
√ √ √ | | *+ *+
97 Jika
buktikan
menyediakan
98 Jika kita membatasi diri kita untuk cabang
99 Menjelaskan sama apa yang dimaksut pernyataan
100Menunjukkan bahwa
101
Menunjukan bahwa jika kita membatasai diri untuk
π
KESEIMBANGAN
102Membiarkan
(a)buktikan
digambarkan sebagai sepadan dengan 4i
103Jawaban masalah 102 jika jelaskan perbedaannya. 104Buktikan melingkar 105Jika
berlanjut di mana di dalam dan pada unit
106Jika
adalah bilangan
Dapatkah kamu menjabarkan hasil untuk
bulat positif.
Halaman 61 107. Carilah semua titik yang tidak kontinu pada bilangan fungsi-fungsi berikut :
(a) f(z) =
, (b) f(z) =
,
(c) f(z) = cot z,
(d) f(z) =
,
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo cxvii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
117/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
(e) f(z) =
Jawablah (a) -1 ± i
(c) kπ, k = 0, ± 1, ± 2,...
..
(e) ± i, (k+
)π, k = 0, ± 1, ± 2, …
(b) ± 2, ± 2i
(d) 0,(k+
)πi, k = 0, ± 1, ± 2,
108. Buktikan bahwa f(z) = z2-2z+3 adalah kemana saja kontinu pada bilangan
yang terbatas.
109. Buktikan bahwa f(z) =
suatu bagian │z│≤ 2.
adalah (a) kontinu dan (b) membatasi dalam
110. Buktikan jika f(z) adalah kontinu tertutup, yang di batasi dalam sebuah baian tersebut.
111. Buktikan bahwa f(z) = adalah kontinu untuk semua z seperti bahwa│z│˂ 0,
tetapi tidak dibatasi.
112. Buktikan bahwa polynomial adalah kontinu kemana saja dalam bilangan
yang terbatas
113. Bahwa f(z) =
adalah kontinu pada semua z di luar │z│= 2.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo cxviii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
118/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
BILANGAN BERURUTAN YANG TIDAK TERBENTUK 114. Buktikan bahwa f(z) = 3z – 2 tidak dibentuk dengan terus menerus dalam bagian
│z│≤ 0
115. Buktikan bahwa f(z) =
(a) tidak kontinu dalam sebuah bagian │z│≤ 1 tetapi
(b) tidak kontinu dalam bidang ≤ │z│≤ 1
116. Buktikan bahwa jika f(z) adalah kontinu dalam sebuah bagian yang tertutup R adalah yang beragam secara kontinu dalam R RANGKAIAN DAN RENTETAN 117. Buktikan bahwa (a)
(b)
= 1- i.
(1 +
118. Buktikan bahwa beberapa dari bilangan komplek z, 119. Buktikan bahwa
n
120. Buktikan bahwa
r
= 0.
ni tidak tetap
121. Jika │un│= 0, buktikan bahwa dengankenyatan? Berikan kesimpulanmu. 122. Jika A+B, (b)
≠ 0
an = A dan
) = 1.
un = 0. Apakah bertentangan
bn = B, buktikan bahwa (a)
(an - bn) = A-B, (c)
an bn = AB, (d)
(an + bn) =
= A / B jika B
123. gunakan teori limit terbuka untuk mengeluarkan tiap-tiap bagin ini. (a) (b)
√ √ │ │ √ √ √
(c)
(d)
-
Jawablah (a) i, (b) 1, (c) 0, (d) i. 124. Jika
un = 1, buktikan bahwa
= 1.
√
125. Buktikan bahwa pada rentetan
kelompok yang berlawanan dan temukan jumlahnya 126. Buktikan bahwa rentetan i 2i + 3i 127. Jika rentetan buktikan benar.
–
128. Cari pertemuan dari
– 4i + … yang berbeda
bertemu dengan A, dan
bahwa
pada
bertemu dengan B,
bertemu dengan A + iB. apakah kebalikan itu
dimana w =
+ i. Jawablah yang berlawanan.
Halaman 62 FUGSI, LIMIT dan KEKONTINUAN
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocxix http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
119/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Bermacam – macam Masalah 1
129.Misal w 4 z z 2 42 . Jika w 4
y
saat z 0, tunjukkan bahwa jika z menggambarkan kurva C dari gambar 2-32, kemudian nilai w pada z 6 adalah 4i 5 . 0 6 130.Buktikan bahwa kondisi yang cukup dan memenuhi untuk f z u x , y iv x, y berkelanjutan pada z z 0 x 0 iy0 adalah bahwa , y berkelanjutan pada x0 , y 0 . u x , y dan v x
131.Buktikan bahwa persamaan tan z z hanya mempunyai akar real. 132.Seorang siswa berkata bahwa 1 dicapai pada sembarang kekuatan adalah sama dengan 1. Apakah dia benar? Jelaskan. sin sin 2 sin 3 2 sin 133.Tunjukkan bahwa . 3 ... 2 2 5 4 cos 2 2 134.Tunjukkan bahwa hubungan f x iy f x f iy dipenuhi oleh f x sin z . Dapatkah kamu menemukan fungsi lain yang benar? z 3 z 2 3
0. 4 2 z z 3 z 5 136.Buktikan bahwa csc z 2 e / e 2 1 jika y 1. 135.Buktikan bahwa lim
z
137.Tunjukkan bahwa Resin 1
1 z x
2
y 2 2 x 1 x 2 y 2 2 x 1 .
2 138.Jika F z berkelanjutan dalam wilayah tertutup terikat , buktikan bahwa a
ada a angka positif seperti bahwa untuk semua z dalam ,
f z M , b f x mempunyai sebuah ikatan lebih dalam dan ada paling tidak satu nilai z 0 dalam seperti bahwa f x0 . 139.Tunjukkan bahwa tanh 1 i / 4 1. 2i
140.Buktikan bahwa semua nilai dari 1 i
terletak pada satu garis lurus.
1
141.Evaluasi (a) cosh i / 2, (b) tanh . Jawaban (a) 0, (b) 2k 1 i / 2, k 0, 1,2,..... 142.Jika tan z u iv , tunjukkan bahwa u v
sinh 2 y cis2 x cosh 2 y
sin 2 x cos 2 x cosh 2 y
,
143.Evaluasi terhadap 3 ketepatan tempat desimal (a) 6 3 2i , (b) sin5 4i .
1 i tan / 2 144.Buktikan Re , menggindikasikan nilai pengecualian. cos 1 i tan / 2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo cxx http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
120/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
145.Jika lim f z A dan lim g z B 0, buktikan bahwa x x 0
x x0
lim f x / g x A / B tanpa membuktikan bahwa lim 1/ g x 1 / B.
x x0
x x0
buktikan bahwa f ( z ) tidak berkelanjutan pada 0 jika z adalahirra sional 1 jika z adalahrasional
146.Misal f z
semua nilai z. 147.Buktikab bahwa jika f z u x , y iv x, y berkelanjutan pada satu wilayah a , kemudian a Re f x u x, y blm f z v x, y berkelanjutan dalam satu wilayah. 148.Buktikan bahwa semua akar dari z tan x k , dimana k 0, adalah real. 149.Buktikan bahwa jika limit dari sebuah rangkaian yang ada itu harus unik.
150. a Buktikan bahwa lim
n
n 1 n 0.
b Buktikab bahwa rangkaian
n 1
n 1 n berbeda, dengan
menunjukkan bahwa sebuah rangkaian ke – n mendekati 0 tidak butuh bertemu. 1 x0 / 2, buktikan 151.Jika z n1 z n 1 / z n , n 0,1,2,... dan / 2 arg 2 bahwa lim x n 1. n
Halaman 63 Bab 3
Turunan Kompleks dan Persamaan Cauchy-Riemann
TURUNAN Jika merupakan fungsi ganjil pada R di bidang z , turunan f ( z ) didefinisikan sebagai f „( z ) =
(1)
dibuktikan bahwa keberadaan sumbu limit di . Dalam hal ini dikatakan bahwa f ( z ) adalah turunan pada z . Pada definisi (1) sering digunakan h sebagai pengganti . Walaupun sifat turunannya kontinu, rujukannya tidak tepat (lihat permasalahan 4).
|
FUNGSI ANALITIK Jika turunan f „( z ) terletak pada semua titik bidang z di R, maka dikatakan analitik dalam R dan ditujukan sebagai fungsi analitik di R atau fungsi analitik di R. Istilah umum dan holomorfik sering digunakan sebagai persamaan analitik. Fungsi f ( z ) dikatakan analitik pada titik z 0 jika terdapat pendekatan pada semua titik f „( z ).
|
PERSAMAAN CAUCHY-RIEMANN
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomocxxi http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
121/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
Merupakan hal penting bahwa R, u dan v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann ,
analitik pada
(2)
Jika turunankeadaan parsial pada kontinu di R, maka persamaan Cauchy-Riemann merupakan yang (2) cukup bahwa analitik di R. Lihat permasalahan 5. Fungsi dan sering disebut fungsi konjugat . Terdapat satu yang dapat ditemukan di lainnya (konstan tambahan yang berubah-ubah) maka analitik (lihat permasalahan 7 dan 8).
FUNGSI KESERASIAN Jika turunan parsial kedua u dan v bergantung sumbu x dan y dan kontinu di R, maka ditemukan persamaan (2) (lihat permasalahan 6)
,
(3)
Mengikuti di bawah kondisi bagian real dan imajiner dari fungsi analitik memenuhi persamaan Laplace yaitu Operasi
atau
dimana
(4)
sering disebut Laplacian.
Halaman 64 , y yang memenuhi persamaan Laplace pada Fungsi-fungsi misalnya u x , y dan v x
daerah R disebut fungsi harmonik dan disebut juga harmonik di R . INTERPRETASI GEOMETRI TURUNAN Misal z 0 ( gambar 3-1) titik P pada bidang z dan misal w0 (gambar 3-2) gambar P ' pada bidang w pada transformasi w f z . Sejak kita menganggap bahwa f z bernilai tunggal, titik z 0 memetakan hanya pada satu titik di w0 . bidang z y
bidang w
Q‟
Q z 0 z z 0
w0 w f z 0 z
P
w f z 0 z f z 0 P‟
u w0 f z 0 Gambar 3-1 Gambar 3-2 Jika kita memberi pertambahan z kita mendapat titik Q dari gambar 3-1. Titik ini memiliki gambar Q' pada bidang w . Kemudian dari gambar 3-2 kita x
melihat bahwa P 'Q' merepresentasikan bilangan komplek w f z 0 z f z 0 . Melanjutkan bahwa turunan pada z 0 ( jika ada) dinyatakan oleh :
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo cxxii http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
122/123
5/25/2018
a na lisis-komple k - slide pdf.c om
lim
z 0
f z 0 z f z 0
z
lim
Q P
Q' P ' QP
(5)
yaitu limit dari rasio Q ' P ' ke QP untuk titik Q mendekati titik P . Interpretasi di atas secara jelas mempertahankan dimana z 0 digantikan oleh sembarang titik z . DIFERENSIAL. Misal z dz pertambahan diberikan ke z . Maka w f z z f z (6) Disebut pertambahan pada w f z . Jika f z kontinu dan punya turunan pertama yang kontinu pada suatu fungsi, maka w f ' z z e z f ' z dz e dz (7) Dimana e 0 untuk z 0 Menyatakan bahwa : dw f ' z dz
disebut diferensial dari w atau f z , atau bagian utama dari w dw . Kita sebut dz diferensial dari z. Dikarenakan definisi ( 1 ) dan ( 8 ), kita sering menulis : f z z f z dw w f ' z lim lim z 0 z 0 dz z z
http://slide pdf.c om/re a de r/full/a na lisis-komple k
(8)
w . Catat bahwa
(9)
123/123
