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Objetivo
Mostrar como determinar as forças em componentes de estruturas e máquinas Analisar as forças em ação em componentes de estruturas e máquinas conectadas por pinos (pivotadas)
1. Estruturas contendo elementos submetidos a várias forças Estruturas e máquinas são sistemas compostos por elementos submetidos a várias forças. As estruturas projetadas para suportar cargas geralmente são estacionárias e completamente vinculadas. As máquinas são projetadas para transmitir e modificar forças; podem ser ou não estacionárias, mas sempre com partes móveis.
1.1.
Análise de uma estrutura
Consideremos o guindaste a seguir, suportando uma dada carga P. O diagrama de corpo livre da estrutura inteira é ilustrado na figura 1.b. Este diagrama pode ser usado para determinar as forças externas que agem sobre a estrutura. Somando os momentos em relação a A, primeiro determinamos a força T exercida pelo cabo. Somando as componentes x e y, determinamos as componentes A x e Ay da reação da articulação A.
Figura 1 Para determinar as forças que mantêm unidas as várias partes de estrutura, devemos desmembrá-la e desenhar o diagrama de corpo livre para cada componente - figura 1.c. Primeiro consideramos as peças submetidas a apenas duas forças (no caso apenas a barra BE). Estas forças devem ter a mesma intensidade, a mesma direção e sentido opostos – respectivamente FBE e - FBE. A correção desta hipótese será verificada pelo sinal obtido para o valor comum das duas forças. A seguir consideramos as peças submetidas a várias forças. De acordo com a terceira lei de Newton, a força exercida por BE sobre o ponto B da barra Ad deve ser igual e oposta à for ça F BE e assim por diante com as demais forças e barras.
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Em C estão unidas duas barras submetidas a várias forças. Como não se conhece nem as direções nem o módulo destas forças que agem neste ponto, elas serão representadas por sua componente horizontal Cx e vertical Cy também arbitrariamente dirigidas. As forças exercidas entre si pelas barras CF e AD serão também iguais e opostas. Mais uma vez as correções serão verificadas pelos sinais obtidos para os valores comuns das forças. Por exemplo, se a força Cx está realmente dirigida para a direita, o sinal positivo validará a hipótese. Caso contrário o sinal negativo indicará que ela está errada. As forças internas podem ser determinadas considerando-se o diagrama de corpo livre das barras. Por exemplo, para CF teremos as equaç ões Σ MC = 0, Σ M E = 0 e Σ F x = 0, que fornecem respectivamente os valores F BE, Cy e Cx, que podem ser comprovados com a verificação do equilíbrio da barra AD. Os diagramas de corpo livre não das articulações não forma trabalhados, pois os pinos foram considerados como partes integrantes da barras. Isto simplifica a análise. Entretanto, quando uma articulação une três ou mais barras ou liga um vínculo externo e duas ou mais barras ou quando uma carga estiver aplicada em uma articulação devemos avaliar com cuidado a qual elemento atribuí-la.
1.2.
Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas de seus vínculos externos.
Muitas estruturas deformar-se-ão quando separadas de seus vínculos externos – não podem ser consideradas como corpos rígidos. A estrutura representada na figura 2.a, que consiste em duas barras AC e CB suportando cargas P e Q em seus pontos médios, vinculadas ao solo por articulações em A e B e articuladas em C. Separada de seus vínculos externos a estrutura não manterá sua forma e deverá ser tratada como composta de duas partes rígidas distintas AC e CB.
Figura 2 As equações Σ F x = 0, Σ F y = 0 e Σ M = 0 expressam as condições de equilíbrio de um corpo rígido e devem ser aplicadas aos diagramas de corpo livre de AC e CB. Como estas barras estão submetidas a várias forças e são articuladas tanto nos vínculos externos quanto na junta, as reações em A e B e as forças em C devem ser representadas por suas componentes horizontais e verticais. Deste modo teremos quatro forças incógnitas atuando nos corpos livres de AC e CB e somente três equações para comprovar os equilíbrios. Entretanto, somente seis diferentes incógnitas estão envolvidas na análise das duas barras e seis equações em conjunto estão disponíveis para expressar
Estática aplicada Engenharia Mecânica Disciplina Data Análise de estruturas – estruturas – Estruturas Estruturas e Assunt 7-8 Aulas nº máquinas o 3/10 Folha o equilíbrio das barras. O método de resolução mais prático para este tipo de problema utiliza tanto o diagrama de corpo livre ACB e quanto de AB e CB. Escrevendo Σ MC = 0 e Σ M B = 0 para o corpo livre ABC obtemos B y e Ay. Com Σ M C = 0, Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0 para AC, obteremos Ax, Cx e Cy. Finalmente com Σ Fx = 0 para ABC, acharemos B x. Está análise envolve incógnitas e seis equações independentes de equilíbrio e comprovamos que todas as incógnitas poderiam ser determinadas e todas as equações satisfeitas. A estrutura considerada é estaticamente determinada e indeformável - manterá sua forma enquanto permanecer ligada a seus apoios. Se existirem mais incógnitas que equações a estrutura será considerada estaticamente indeterminada. Mais equações que incógnitas – incógnitas – será será considerada deformável. Se por causa de uma disposição imprópria das barras e apoios, não for possível determinar todas as incógnitas e tampouco satisfazer todas as equações a estrutura será estaticamente indeterminada e deformável.
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1.3.
Exercícios resolvidos
1.3.1. Na estrutura da figura as barras ACE e BCD são articuladas por um pino em C e pela barra DE. Determine a força na barra DE e as componentes da força exercida em C pela barra BCD.
Solução
Estrutura inteira
Como as reações externas envolvem apenas três incógnitas, determinaremos as reações considerando considerando o diagrama de corpo livre da estrutura toda.
Fy 0 P A y 0 A y P A y 480N M A 0 B x 0,16 m P x 0,1 m 0 B
Fx
480 N x 0,1 m 0,16 m
300 N
0 B A x 300N A x 0 A x 300N
Barras
Como apenas duas barras são articuladas em C, as componentes das forças desconhecidas que agem em ACE e BCD são iguais, i guais, porém de sentidos opostos e supostamente orientadas orientadas como a ilustração. Supondo a barra DE tracionada e forças iguais em D e E, com sentidos opostos
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tg
1
80 150
28,07º
Barra BCD - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos
M C 0 FDE sen x 0,25m 300 N x 0,06 m 480 N x 0,1 m 0 FDE sen
300 N x 0,06 m 480 N x 0,1 m
0,25 m
FDE
F
x
264 N
sen28,07º
FDE sen 264 N
561 N
0 C x FDE cos 300 N 0 C x 561 N cos 28,07 º 300 N 0
C x 795 N
Fy 0 C y FDE sen 480 N 0 C y 561N sen28,07º 480 N 0 C x 216 N
Barra ACE - Os cálculos serão verificados considerando-se o utilizando o diagrama de corpo livre, teremos:
C x 795 N C x 216 N
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cos x 0,3 m C x x 0,22 m 0 M C 0 FDE sen x 0,1 m FDE cos
561 N sen28,07º x 0,1 m 561 N sen28,07º x 0,3 m 795 N x 0,22 m 0 1.3.2. Determinar as componentes das forças que agem em cada barra da estrutura
Solução
Estrutura inteira
Como as reações externas envolvem apenas três incógnitas, determinaremos as reações considerando considerando o diagrama de corpo livre da estrutura toda.
ME
0 2,4 kN x 3,6 m F x 4,8 m 0 F
2,4 kN x 3,6 m 4,8 m
1,8 kN
Fy 0 2,4 kN 1,8 kN E y 0 E y 0,6 kN Fx 0 E y 0
Barras
Como apenas duas barras estão acopladas em cada nó, a estrutura pode ser desmembrada e os
Estática aplicada Engenharia Mecânica Disciplina Data Análise de estruturas – estruturas – Estruturas Estruturas e Assunt 7-8 Aulas nº máquinas o 7/10 Folha componentes componentes iguais e contrários são representados sobre cada barra e em cada nó.
Barra BCD - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos
M B 0 2,4 kN x 3,6 m C y x 2,4 m 0 C y
2,4 kN x 3,6 m
M C 0 2,4 kN x 1,2 m B y x 2,4 m 0 B y
2,4 kN x 1,2 m
Fx
2,4 m
2,4 m
3,6 kN
1,2 kN
0 By Cy 0
Bx e Cx não podem ser obtidos considerando-se somente a barra BCD. Os valores positivos obtidos para By e Cy indicam i ndicam que estas componentes estão indicadas corretamente. corretamente.
Barra ABE - utilizando o diagrama de corpo livre, teremos
M A 0 B x x 2,7 m 0 B x Fx
0
0 B x A x 0 A x 0
Fy 0 A y B y E y 0 A y 1,2 kN 0,6 kN 0 A y 1,8 kN
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Barra BCD – BCD – retornando, retornando, teremos:
Fx
0 By C y 0 0 C y 0 C y 0
Barra ACF (verificação) – (verificação) – todas todas as componentes incógnitas já foram encontradas. Para comprovar os resultados basta verificar o seu equilíbrio.
M c 0 F x 2,4 m A y x 2,4 m 0 1,8 kN x 2,4 m 1,8 kN x 2,4 m 0
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1.4.
Exercícios propostos
1.4.1. Determine as componentes horizontal e vertical da força que o pino em C exerce no componente BC da estrutura.
1.4.2. Um elevador de 500 kg capacidade é acionado pelo motor A utilizando o sistema de polias ilustrado. Se a cabine se desloca com velocidade constante, determine a força desenvolvida nos dois cabos. Desconsidere os pesos dos cabos e polias.
1.4.3. A estrutura ao lado sustenta um cilindro de 50 kg. Determine as componentes horizontal e vertical da reação em A e da força em C
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1.4.4. Uma força P é aplicada nos cabos do alicate. Determine a força desenvolvida no pino liso B e a reação que o pino A exerce nos dois cabos acoplados Dados: P = 35 N; a = 30 mm; b = 125 mm c = 40 mm
1.4.5. O gancho com olhal tem a propriedade de trava quando suporta a carga, pois seus dois componentes são conectados por um pino em A e eles são forçados um contra o outro em B. Determine a força resultante no pino e a força normal em B quando o olhal suporta a carga F. Dados: F = 3.600 N; a = 6 mm; b = 75 mm; c = 50 mm; = 30º
