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ÁLGEBRA LINEAL D E P A R T A M E N T O

D E

C I E N C I A S

B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento Departamento de Ciencias Básicas

ontenidos.

Z E M O G O I N I G R I V

_________________________________________ ____________________________________

Unidad 1.

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices. Operaciones con matrices. Matrices elementales. Matrices equivalentes. Operaciones elementales. Determinantes. Propiedades de los determinantes. Aplica- ciones de los determinantes. Matriz inversa. Sistemas de ecuaciones lineales. Rango de una matriz. Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica.

2

Unidad 2.

VECTORES, RECTAS Y PLANOS Vectores en el espacio. Distancia entre dos puntos. Norma. Producto escalar. Producto vectorial. Rectas en el espacio. Planos en el espacio. Planos paralelos. Planos perpendiculares. Ángulos entre planos.

62

Unidad 3.

ESPACIOS VECTORIALES Definición. Propiedades de los espacios vectoriales. Subespa- cios vectoriales. Combinaciones lineales. Conjunto generador. Conjuntos linealmente dependientes. Conjuntos linealmente independientes. Base de un espacio vectorial. Dimensión. Caracterización de un subespacio vectorial. Operaciones con subespacios vectoriales.

98

Unidad 4.

TRANSFORMACIONES LINEALES Definición. Propiedades. Kernel. Imagen de una transformación. Nulidad. Rango. Teorema fundamental del álgebra lineal. Alge- bra de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal.

120

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

143

1


UNIDAD 1


Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales.

2

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas


Matrices.

________ __________________________________________ ______________________

Las matrices fueron creación del eminente matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895). Como muchas invensiones matemáticas, la teoria y el álgebra de matrices surgieron como prolongación de sus investigaciones e intereses matemáticos primarios. Cayley estudió en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de su carrera, mientras se dedicaba al estudio y a la práctica del derecho, realizó alguno de sus descubrimientos matemáticos más brillantes, entre los que destacan: el desarrollo del álgebra de matrices, la teoría de la invarianza algebraica y su desarrollo de la geometría no dimensional. Sus trabajos en geometría cuatridimensional, proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teoría de la relatividad.

El objetivo de esta primera unidad es revisar algunas ideas fundamentales sobre matrices y determinantes, y aplicarlas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

3


Matrices.

Z Œ E  ÑÓ Ó M Ò O ÑÓ Ó Ó Ó G Ò ÑÓ O Ó I Ò N I G R I V

Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de elementos (en este curso nos interesa que los elementos sean números) les llamaremos MATRIZ . Ejemplos: Eœ

Œ È " #

$

 ÎÐ Ð Ï

#ß !"  #1

" #

Gœ

Fœ

# "  !ß " "

# % # %

! $ #

$ !

! " " #

Si hay 7 filas y 8 columnas, decimos que el orden de la matriz es 7 ‚ 8, y nos referimos a ella como "matriz 7 ‚ 8" o simplemente, como matriz rectangular.

Eœ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+"" +#" +$" ÞÞÞ +7"

+"# +# # +$# ÞÞÞ +7#

+"$ ÞÞÞ Þ+"8 +#$ ÞÞÞ +#8 +$$ ÞÞÞ +$8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ + 7$ ÞÞÞ + 78

Una matriz 8 ‚ 8 se llama matriz cuadrada y se dice que tiene orden 8.

Fœ

ÎÐ Ð Ï

+"" +#" ÞÞÞ +8"

+"# +## ÞÞÞ +8#

ÞÞÞ +"8 ÞÞÞ +#8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ + 88

El elemento en la 3-ésima fila y en la 4-ésima columna de una matriz Ede orden 7 ‚ 8se denota como +34 . Así, el elemento que ocupa la tercera fila y la cuarta columna es +$%.  a 11   a 21  a  31  a 41

a 12

a 13

a 14 

a 22

a 23

a 24 

a 32

a 33

a 42

a 43



a 34 

 a 44 

3era fila

4ta columna

Ejemplos: 1)

En la siguiente matriz E œ

Î Ï

1 y columna 2 , es decir , el 4.

" $ !

4

Ñ Ò

% . El elemento +"# representa a aquél que está en la fila &

4


Z E M O  G O I N I G R I V

2)

Si una matriz es de orden $ ‚ #, entonces ésta tiene tres filas y dos columnas.

3)

El orden de la siguiente matriz es $ ‚ $. E œ

Î Ï

" # $ ! $ # " " #

Ñ Ò

Ejercicios: IÑ Determine el orden de las siguientes matrices.

+Ñ E œ

-Ñ G œ

II)

ÎÐ Ð Ï Î Ï

$ $ " #

# # ! %

ÑÓ Ó Ò Ñ Ò

% # $ % $ "

De la matriz dada E œ

Î Ï

" $ !

4 % &

Ñ Ò

,Ñ F œ

ÎÑ ÏÒ

.Ñ H œ

Œ

i) + $" œ

ii) + ## œ

iv) + "" œ

v) +$$ œ

II)

a) E es de orden % ‚ # b) F es de orden $ ‚ " c) G es de orden $ ‚ # i) ! ii) %

"

%

!

'

" $

determine el número correspondiente al elemento pedido.

Respuestas: I)

& ! *

iii) &

iii) +

$#

œ

iv)  " v) No existe

Notación Matricial.

Para ahorrar tiempo y espacio, al escribir una matriz, es conveniente usar una notación especial. Se suele escribir E œ Ð+34 Ñ y cuando se quiere señalar expresamente que la matriz es de orden 7 ‚ 8, se denota E7‚8.

Ejemplo:

Determine la matriz E œ Ð+ 34 Ñ, si + 34 œ 3  4; para 3 œ "ß # ß $ y 4 œ "ß #.

5


Respuesta: E œ

Î Ñ Ï Ò

Observación:

` 7 ‚ 8 ÐŠ Ñß

# $ $ % % &

Š es un conjunto numérico cualquiera.


Una matriz se dice racional, real o compleja según sea el conjunto en el que se encuentren los números del arreglo o elementos de la matriz (coeficientes de la matriz).

Ejemplo: ` 7 ‚ 8 Ð‘ Ñ es el conjunto de matrices reales.

Ejercicios: IÑ Indique cuántas filas y columnas tiene cada una de las siguientes matrices a ) ` 1‚6 II)

b) T 4‚2

c) U &‚%

¿Qué puede decir de `7‚8 Ð‚ ) ?

Respuestas: I)

a) Q es una matriz con 1 fila y 6 columnas b) E es una matriz de 4 filas y 2 columnas c) F es una matriz de & filas y 4 columnas

II)

`7 B 8 Ð‚ ) es el conjunto de matrices complejas, con 7 filas y 8columnas.

La Diagonal Principal de una Matriz Cuadrada.

Se dice que los elementos +"", +##, +$$ ß ..... en una matriz cuadrada están sobre su diagonal principal . Por ejemplo, las diagonales principales de las siguientes matrices se resaltan en negrita. Eœ

Î Ï

# & #

% ' (

' ! *

Ñ Ò

;

Fœ

Œ

"! #

% (



Definición: Diremos que dos matrices E y F son iguales, cuando son del mismo orden y todos los elementos que se ubican en la misma posición, son iguales. Esto es, E y F son dos matrices iguales sí y solo si: i) ii)

ˆ ‰ ˆ‰ab

Eß F − ` 7‚8 ‘ +34 œ ,34 ; donde " Ÿ 3 Ÿ 7 y " Ÿ 4 Ÿ 8

6


Ejemplo: De la definición, tenemos:

 Pero

Œ

" # $ % ! "

son iguales. También, Ejemplo:

"

" #

!

1

 Œ Á

Œ  Œ " " " "

Á

È  #

# %"

" # $ " ! %

" " " " " "

$



  œ

"!! "!!

!

Z E M  O È G Œ  O I Œ  N I G R I V È  È

!ß &

Ð  "Ñ1

%

$

#

&

; puesto que los correspondientes elementos en la segunda fila no

puesto que las matrices no tienen el mismo orden.

Halle los valores de B e C si:

Œ

" # B$ !

 Œ œ

#C  " )

# !

Solución: De la definición, igualamos los elementos correspondientes  " œ #C  " #C œ  # C œ "

y y y

Ejercicios: 1.-

a)

c)

Indique el orden de las siguientes matrices:

ÎÐ Ð Ï a

# !  #1

%

Ñ È Ó Ó Ò

& # * "

"

$

"

(

b

d)

e)

E$‚&

2.-

Dada la matriz E

Eœ

b)

$

ÎÐ ÐÐÐ È Ð Ï

" ! & " #

# & ! #

!ß $

"ß #

ÑÓ Ó Ó Ó Ó È Ò % % " !ß & $

B$ œ ) Bœ $ ) Bœ#

& !

! &

" ! " #

" $

; determine el valor del elemento que se indica:

$

a)

+"$ œ

b)

+#" œ

c)

+%# œ

d)

+## œ

e)

+&" œ

f)

+$% œ

7


3.-

4.-

Determine la matriz E%‚& que satisfaga la condición dada:

Z E M  O  G O I ÑÓ Ó Ò N ÑÓ I Ó Ò G R I V

a)

+34 œ 4  3

b)

+34 œ #3  4

c)

+34 œ $3  #4

d)

+34 œ 3#  #4

Halle los valores de las incógnitas de manera que se verifique la igualdad: a) b) c) d)

Œ Œ Œ Œ

B $  " #C

 Œ   Œ   Œ  Œ  Œ  Œ $ $ " )

œ

BC %

$ !

BC $A

A" %



&  #B )

C "

BC CD

A" #C



CB #D

BA '

œ

' $ % BC

œ

& ! A" D

œ

' "

% D

Respuestas: 1.-

a) d)

$‚$ #‚$

b) e)

#‚# $‚&

c)

"‚$

2.-

a) d)

+"$ œ % +## œ &

b) e)

+#" œ ! +&" œ !ß $

c) f)

+%# œ "ß # +$% œ No existe

3.a)

c)

4.-

a) b) c) d)

ÎÐ Ð Ï ÎÐ Ð Ï

! " # $

" ! " #

# $ " # ! " " !

& ( * "" ) "! "# "% "" "$ "& "( "% "' ") #!

"$ "' "* ##

ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ò % $ # "

b)

d)


" $ & (

! # % '

" " $ &

$ " " $

$ & ( * "" ' ) "! "# "% "" "$ "& "( "* ") #! ## #% #'

Bœ$ à Cœ% BœCœ$ * * ( Bœ  ; Cœ  à D œ & à Aœ # # # Bœ$ à Cœ &à Dœ %à Aœ "

8

# ! # %


Operaciones con Matrices.

Z E M O  G O I N I G Ñ R Ò I V

En álgebraß damos por hecho que cualquier par de números reales pueden sumarse, restarse y multiplicarse; sin embargo, con matrices no siempre es posible realizar dichas operaciones. Estudiaremos a continuación las operaciones con matrices, sus propiedades y restricciones.

Adición De Matrices.

Solamente las matrices que tienen el mismo orden pueden sumarse. Sean E7 ‚ 8 y F 7 ‚ 8 dos matrices de orden 7 ‚ 8 , entonces la suma de E y F es la matriz de orden 7 ‚ 8ß definida por:

c

EF œ +

Ejemplo: Si E œ

Œ

% !

# " $ "

entonces E  F œ

Œ



y

%& !!

34

F œ

 , 34

Œ

d

& " ! #

#" " $ $# "$

$ $

 Œ œ



" !

$ "

¡¡IMPORTANTE!!

# %

Para poder sumar matrices, éstas deben ser de mismo orden y los elementos de la matriz suma corresponden a la suma de las componentes correspondientes.

Ejercicios:

Î Ï

% # & " # $

1)

Sea E œ

Determine E  F

2)

Sean las matrices A=

Œ

# $

"! $ &



& ß "

Ñ Ò

y Fœ

F œ

Œ

) #

Î Ï

$ ! $

# # " & ) *



% , '

Determine E  F  G

9

Ñ Ò

G œ

Î Ï

! #

$ " #


Respuesta: 1)

EFœ

Î Ï

" & &

! "# ! ) "" %

Ñ Ò

2)

 Z E M O G  Œ  O I N I G R I V

EFG œ

Propiedades de la Adición:

Œ

"! $

 "# "&Î#

De las propiedades de los números reales se puede deducir que la operación de adición en el conjunto de las matrices 7 ‚ 8 satisface las siguientes propiedades: Sean E ß F y G tres matrices de orden 7 ‚ 8Þ Entonces se cumple: 1)

Ley Asociativa para la suma de matrices ÐE  F Ñ  G œ E  Ð F  G Ñ

2)

Ley Conmutativa para la suma de matrices E F œ F E

3)

La matriz cero o la matriz nula 7 ‚ 8 denotada por ), es la matriz 7 ‚ 8 con cada elemento igual a cero. Puesto que E  ) œ E œ )  E para cada matriz E 7‚8, la matriz cero es el elemento neutro para cada conjunto de las matrices 7 ‚ 8. Por ejemplo:

Œ 4)

" &

& " # $

 Œ 

! ! ! ! ! !

 Œ œ

" &

& " # $

 Œ œ

! ! ! ! ! !

Matriz simétrica



" &

& " # $

donde ) es la matriz nula de orden 7 ‚ 8

E  Ð  EÑ œ )ß

Multiplicación Por Escalar.

El producto de un número 5 y una matriz E, denotado por 5E, es una matriz con elementos formados por el producto de cada elemento de E por 5.

Ejemplo 1:

#†

Î Ï

" $ "

Î Ï

# % #

Ñ Î Ò Ï

% & !

" # ' ( # $

œ

# ' #

% ) %

Ñ Î Ò Ï

Ñ Ò  #!  #& !

Ejemplo 2:

&

Ejercicios:

Resuelva los siguientes ejercicios:

1)

#†

Î Ï

# ! # " ! $ % & '

Ñ Ò

œ

 $†

Î Ï

" # "

&  $! "!

# " $ ! # %

10

 "!  $&  "&

Ñ Ò

Ñ Ò


Œ

" # $ "

 Œ " #

2)

Ð  &Ñ

3)

Hallar B ß C ß D y A si $

Œ  Œ B D

C A

œ



% )

B '  " #A

'  "!

 Œ 



 Ð  #Ñ

Œ  1 ! ! 1

% BC D A $



Respuesta: 1)

Î Ï

3)

B œ #ß C œ % ß D œ " ß A œ $

( ' ( % * '  & % #%

Ñ Ò

Œ

2)

&  ""

 "$  "#

Diferencia De Matrices.

Z E  M O G O I N I G R  I V

Sean A 7 ‚ 8 y F 7 ‚ 8 dos matrices de orden 7 ‚ 8 , la diferencia entre E y F es la matriz de orden 7 ‚ 8ß definida por:

c

E Fœ +

34

 , 34

d

Ejemplo: Si E œ

Œ Œ

EF œ

œ

œ

& * & *

Œ Œ

# " $ "

  Œ y

# " $ "

&' *!  "" *



F œ ' " ! #

Œ

' " ! #

% #

 

$ $

#" " $  $ # "$

" &



$ , entonces $



Ejercicios: 1)

Determine el valor de Bß C ß A y D para que se cumpla la siguiente igualdad

Œ

BC C "

A" #C

 Œ 

C B  #A

BA '

11

 Œ œ

' "

% D


2)

Sean las matrices A œ

Hallar la matriz H œ EF H œ )

3)

Sean las matrices E =

Î Ï Î Ï

Œ

" # $ % & ' : < >

Ñ Ò Ñ Ò

,

; = ?

Fœ

Î Ï

$ " %

# & $

Ñ Ò

Z E  M O G O I N I G R I V

de manera que se cumpla la igualdad

en la cual ) es la matriz nula de orden $ B #.

" # $ #

% "

Œ

 

, F œ

Œ

& $

" $

# . %

7 8 = de manera que se cumpla la igualdad E  F  H œ : ; < ), donde ) es la matriz nula de orden # ‚ $.

Determina la matriz

4)

Hœ

Hallar # E  $ F E œ

Œ

# )

% "!



' ß F œ  "#

Œ

$ ! # ( " )



Respuesta: 1)

B œ $;

2)

: œ  #; ; œ %; < œ %; = œ  "; > œ * ; ? œ *

3)

7 œ '; 8 œ  $ ; = œ ' ; : œ !; ; œ " ; < œ  &

4)

C œ !; D œ '; A œ  "

Œ

& $(

) "(

'  %)



Multiplicación De Matrices.

Sea E una matriz de orden 7 ‚ 8 y sea F una matriz de orden 8 ‚ :. El producto E † F es la matriz G de orde 7 ‚ :, cuyos elementos - 3 4 son: - 34 œ

! 8

+35 † , 54

5 œ"

12


Ejemplos: 1)

Las matrices E œ

Œ

" % & # # $



y F œ

condiciones anteriormente descritas

ÎÑ ÏÒ # $ %


se pueden multiplicar ya que se cumplen las

La matriz G resultante es de orden # ‚ " 2)

 1 2   4 7 6     2 3 4      − ⋅ = − 1 3 1 3 1        1 4   1 2 1   6 11 8      Observe que el elemento -"# se obtiene de la siguiente manera: -"# = +"" † ,#"  +"# † ,## ( œ " † $ # †#

¡¡IMPORTANTE!!

Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. La matriz resultante tiene orden " el número de filas de primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz "

3)

Î Ï

Ñ Ò

% $ $

Î Ï

Ñ Ò

# # " $ " Las matrices E œ y F œ # % & no se pueden multi-plicar ya que el % ' " # número de columnas de E es 2 y el número de filas de F es 3.

a

b

4) Ejemplo de Aplicación: Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda está dada por el vector de demanda . œ $! #! %! "! Ð una matriz " ‚ % Ñ. El precio por unidad que recibe el fabricante por los artículos está dado por el vector de precios

: œ

ÎÐ Ð Ï

#! "& ") %!

ÑÓ Ó Ò

( una matriz % ‚ "Ñ

¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?

13


Respuesta:

Z E M O d G O I N  I Ñ Ò G R I V

La demanda del primer artículo es 30 y el fabricante recibe $ #! por cada artículo vendido. Entonces recibe $! † #! œ $ '!! de las ventas del primer artículo. Si se sigue este razonamiento, se ve que la cantidad total de dinero que recibe es:

a

ÎÐ bÐ Ï

$! #! %! "! Þ

#! "& ") %!

ÑÓ Ó Ò

œ # !#!

Recibe $ #!#!

Ejercicios: 1)

Dadas las siguientes matrices A=

Ô Õ

" # "

" ! #

× ” Ø ,Fœ

•

" $

" ,G œ #

c

” •

% , H œ # &

$

a)

¿Cuál es el orden de cada una de ellas?

b)

¿Es posible resolver los siguientes Productos?

i) E † F iv) G † E

c)

Resuelva las multiplicaciones que se pueden resolver del ejercicio ( b)

2)

Calcule Bß Cß Dß A si:

3)

ii) E † G v) G † H

Œ  Œ Î Ñ Î Ï Ò Ï

a) #

B C D A

b) $

B DÎ$ #:

œ

C $ A &

a ÑÓ Ó Ó Ó Ò

iii) F † G vi) H † G

" C $ # œ

$ !

% #  " #A ' $

 ÎÏ ÑŒ Ò

% # %

" $ "

% Þ !

$ &

Þ

b

Ñ Œ Ò Î  Ï 

#

% #

!  %A  #C  "* #B % A &:

( D ';

Suponga que un fabricante produce cinco artículos. Su demanda está dada por el vector de demanda . œ "& #! "! #! #& Ð una matriz " ‚ & Ñ. El precio por unidad que recibe el fabricante por los artículos está dado por el vector de precios

: œ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

$!! #!! "!! "&! %&!

( una matriz & ‚ "Ñ

¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?

14


4.-

Determine el valor de B ß C ß D ß Aß : y ; en:

Î Ï

$

5)

B #Î$ #:

C$ A &

Ñ Î Ò Ï œ

% #  " #A ' $

ÑŒ Ò †

% !

$ &

 ÎÏ #

#B %A &:

b)

E es de orden $ ‚ #ß F es de orden # ‚ #ß G es de orden # ‚ "ß H es de orden " ‚ #

i) E † F œ

Î Ï

# # (

$ # $

Ñ Ò

ii) E † G œ

iv) No se pueden multiplicar las dos matrices 2) 3) 4) 5)

Î Ñ Ï Ò Œ * ) '

v)

iii) F † G œ )  "!

% $ #& ( $ b) B œ %à C œ  à D œ #'à A œ (à : œ à ; œ  $ # # $ #$(&! #& ( $ B œ %ß A œ  *ß C œ  ß D œ  $!ß : œ ß ; œ  $ # #

a) B œ  'à C œ  %à D œ  $à A œ 

Revíselo con su profesor.

Propiedades De La Multiplicación De Matrices.

 "# "&

Sean Eß F y G matrices cualesquiera (*), se verifican las propiedades: 1)

Ley asociativa para la multiplicaciónde matrices A † Ð F † G Ñ œ ÐE † FÑ † G

2)

Ñ Ò

Para que dos matrices se puedan multiplicar y sumar ambas deben ser cuadradas y de igual orden. Dé un ejemplo.

Respuestas: 1) a)

Z E M Œ  O  G O I N I G R I V

( D ';

Ley Distributiva para la multiplicación de matrices i) Ð E  F Ñ † G œ E † G  F † G ii) H † Ð I  J Ñ œ H † I  H † J

15

* #

vi) H † G œ Ð#$Ñ


3)

M œ M8 œ

Î Ð  ‘ ÐÐÐ Ï $ 34 œ

" ! ! Þ ! " ! Þ ! ! " ! ! ! Þ " ! ! ! Þ

! Þ ! ! "

ÑÓ Ó Ó Ó Ò

donde $ 3 4 =

E †M8 œ E

4)

Z œ E M O G O I Œ  N I G ÑÓ R Ó Ó I Ó Ò V

M 8 matriz Idéntidad de orden 8. Llamaremos matriz unitaria o identidad de orden 8 a la matriz cuadrada de orden 8 definida por:

1 si 3 œ 4 ! si 3 Á 4

La ley Conmutativa No Se Cumple para el producto matricial, en general: E†F ÁF†E

(*) Se exige, obviamente, que tengan sentido todos los productos que aquí intervienen.

Observación: 1)

Sean E ß F − Q2 y E † F œ ) ¿significa que E œ ) o F œ ) ? Compruébalo tu mismo:

Si E œ

Œ

! !

$ "



y

Fœ

Œ  " "! ! !

ambas matrices distintas a ) œ

ahora multiplica.... ¿Qué pasa? Concluye.

Matrices Elementales.

ˆ ‰

! ! ! !

1) Sea E œ + 3 4 una matriz cuadrada de orden 8. E es una Matriz Diagonal si se verifica que + para todos los 3 Á 4Þ Es decir: Eœ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+"" ! ! Þ Þ

! +## ! ! Þ

16

! ! + $$ ! Þ

! ! Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ + 88

34

œ !ß


ˆ‰

Z E Ñ M Ò O Ñ G Ò O I Œ  N I ÑÓ Ó Ó Ó Ó G Ò ÑÓ R Ó Î Ñ I Ó Ó ÓÏ Ò Ò V

2) Una matriz cuadrada E œ +34 es Triangular Superior si todos los elementos bajo la diagonal principal son igual a cero. Esto es, + 3 4 œ ! ß si 3  4 . Es decir: E =

3)

ˆ‰

34

Î Ï

E =

# ! ! " ) ! ! $ #

ˆ‰

Î Ï

" # %

# " $

% $ #

La matriz transpuesta de una matriz E de orden 7 ‚ 8 es la matriz E> de orden 8 ‚ 7, que se obtiene permutando las filas por las columnas. Es decir: Si E œ

6)

Ñ Ò

Una matriz E œ +34 es simétrica, si los elementos simétricos (imagenes especulares respecto a la diagonal son iguales), es decir, si cada +34 œ + 43. Esto es: Eœ

5)

# " # ! # $ ! ! $

Una matriz cuadrada E œ +34 es Triangular Inferior si todos los elementos sobre la diagonal principal es cero. Esto es, + œ !, si 3  4. Es decir:

4)

Î Ï

Î Ï

# $ % " # $

Ñ Ò

> ß entonces E œ

# $

% # " $

Se dice que una matriz real E es Ortogonal si E † E > œ E > † E œ M Es decir:

Si E œ

E†E> œ

ÎÐ ÐÐÐ Ð Ï

" * %

* ) *

) *

%  * " *

ÎÐ ÐÐÐ Ð Ï

" * % * ) *

% *  (* 

% *

) *  " *

% * (  * % * 

% *

ÑÓÎÐ Ó Ð Ó Ð Ó ÓÐÐ ÒÏ

" * ) *

†



17

, entonces:

% *

% *

%  * (  *

) * " * % *

œ

" ! ! ! " ! ! ! "


7)

Z E M O G O I N I G a b R I V

Sea una matriz E 7 ‚ 8 y sea Q34 la submatriz ( 8  "Ñ cuadrada de E que se obtiene suprimiendo la 3 - ésima fila y su 4- ésima columna,

Ejemplo: Si E œ

Î Ï

" # &

" $ $

% & %

Ñ Ò

, entonces la submatriz Q "$ es la matriz que resulta de eliminar la

fila " y la columna $. Esto es:

Q "$ œ

En forma análoga, tenemos que:

Q ## œ

Œ  Œ  # $ . & $ " &

Matrices Equivalentes.

% . %

Se dice que dos matrices E C F son equivalentes , lo cual se escribe E µ F , si F puede obtenerse a partir de E mediante una sucesión finita de algunas operaciones, las cuales llamaremos Operaciones Elementales.

Operaciones Elementales.

Dada una matriz E de orden 7 ‚ 8, llamaremos Operaciones Elementales (OE) sobre E a cada una de las siguientes operaciones (sobre las filas o columnas de una matriz): 1)

Intercambiar filas (o columnas), lo cual denotaremos por 0 3 Ç 0 4 Ð- 3 Ç -4Ñ

Ejemplo:

Î Ï 2)

0 # Ç 0 $

1 #

1

# $ 1 ! 1 $

Ñ Ò

0 # Ç 0 $

Î Ï

" " #

# $ " $ " !

Ñ Ò

Reemplazar una fila 3 (o columna) por < veces la fila 3 (o columna) 03 œ < † 0 3 -3 œ < † - 3

Ejemplo:

Î Ï

01 œ #0 1 " # "

# $ " ! " $

Ñ Ò

0 1 œ # 0 1

Î Ï

# # "

% ' " ! " $

Ñ Ò

18


3)


Reemplazar la fila (o columna) 3 por la suma de la misma fila (o columna) 3 más < veces la fila 4 (o columna ) 0 3 œ 0 3  < 0 4

Ejemplo:

Î Ï

0 # œ 0 #  $ 0 " (a la fila 2 se le suma 3 veces la fila 1) " # "

# $ " ! " $

Ñ Ò

0 # œ 0 #  $ 0 "

  →

Î Ï

" & "

# $ & * " $

Ñ Ò

Cada vez que realizamos una operación elemental, usamos el símbolo Ä ó µ ya que las matrices que se obtienen al hacer estas OE son semejantes a la inicialmente dada.

Las OE se hacen sobre las filas o columnas, pero no a ambas simultáneamente.

Ejercicio: Sea E œ obtenida.

ÎÐ Ð Ï

" % # &

+Ñ 0 " œ 0 "  $ 0 -Ñ 0 % œ 0 %  0

" ! $ $

ÑÓ Ó Ò

Resuelva las siguientes OE, siempre sobre la última matriz

,Ñ 0 $ œ  0 $

2

.Ñ 0 # œ 0 #  # 0 "

"

/Ñ 0 $ œ $ 0 $  0

# " " #

0 Ñ 0 % œ 0 $  0 "

#

g) 0 % œ 0 % : 0 "

Respuesta:

a) E œ

b)

ÎÐ Ð Ï

ÎÐ Ð Ï

"$ % # &

ÑÓ Ó Ò

ÎÐ Ð Ï

"$ " % " # " & #

" " " #

" ! $ $

" % # &

# " " ! 0 " œ 0 "  $ 0 # " $  → # $

" " " #

" ! $ $

ÑÓ Ó Ò

0 œ  0

ÎÐ Ð Ï

$ →$

"3 % # &

ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ò

19

" ! $ $


c)

d)

e)

ÎÐ ÐÏ ÎÐ Ð Ï ÎÐ Ð Ï

"$ % # &

"3 % # 8

"$  ## # 8

" " " #

ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ò

" ! 0 % œ 0 %  0 "  $   → $

" " "

" ! $ #

1

" " "

"$ % # 8

" " "

1

ÎÐ Ð Ï

0 # œ 0 #  # 0 "

" # $ #

1

ÎÐ ÐÏ

0 $ œ $ 0 $  0 #

ÎÐ Ð Ï

"$  ##  #) 8

" ! $ #

ÑÓ Ó Ò

"3  ## # 8

" " "

1

" " %

" #  "" #

1

Z ÑÓ Ó Ò E ÑÓ Ó M Ò O G O I N Î Ñ  I Ï Ò G R I V " # $ #

f) No se puede desarrollar ß porque la fila que se quiere cambiar es la nº $ y esta no está en las filas de la OE. g) La división de filas NO es una OE.

Matriz Escalonada.

Definición: Una matriz está en la forma escalonada en renglones si se cumplen las siguientes condiciones: i) ii) iii)

Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la matriz. El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son ceros es 1. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo esta más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.

Ejemplo: Algunas matrices en la forma escalonada son:

Î Ï Ejercicios:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ñ Î Ò Ï ,

Ñ Œ Ò

1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 1

1 0 0 0 & ß 0 ! 0 " #

Escalona las siguientes matrices a través de OE Eœ

Œ

# $

" %



ß

Fœ

Î Ï

# " "

Sabían que el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814 – 1897) fue el primero que uso el término matriz en 1850, para distinguir las matrices de los determinantes.

" # $

# $ %

Ñ Ò

La intensión era que el término matriz tuviera el significado de “madre” de los determinantes

20

" ! $ ! ! " & ! ! ! ! "

" ! #


Determinantes


________________________________________________________________________

Gottfried Wilhelm von Leibniz

AugustinLouis Cauchy

Los determinantes aparecieron en la literatura matemática más de un siglo antes de las matrices. Algunos grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX ayudaron a desarrollar las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores creen que la teoría de los determinantes tuvo su origen con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716), quien junto a Newton fue el coinventor del cálculo. Leibniz uso los determinantes en 1693 en referencia de los sistemas de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, algunos piensan que un matemático japonés, Seki Kowa, hizo lo mismo casi 10 años antes. El contribuyente más prolífico a la teoría de determinantes fue el matemático francés Louis Cauchy (1789-1857), por ejemplo, escribió una memoria de 84 páginas en 1812, que contenía la primera demostración de la propiedad "./> E † F œ ./> E † ./> F ".

a b ab ab

Carl Gustav Jacob Jacobi

Charles Lutwidge Dodgson

Un segundo contribuyente (después de Cauchy) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851). Fue con él que la palabra "determinante" ganó su aceptación final. Por último, ninguna historia estaría completa sin citar el libro An Elementary Theory of Determinats, escrito en 1867 por Charles Lutwidge Dodgson, (1832-1898). En este libro Dodgson da las condiciones bajo las cuales los sistemas de ecuaciones tienen soluciones no triviales. Charles Dodgson es más conocido por su pseudónimo de escritor "Lewis Carroll". Con ese nombre publicó su famoso libro

21


Determinantes.

¸¸ ab

Z âââ âââ E ââ M O G O I N I G  R I V

A toda matriz cuadrada E, le corresponde un único número real llamado determinante de E y que se denota como E o ./> E . Así,

Si E œ

ÎÐ Ð Ï

+"" +#" ÞÞÞ +8"

+"# +## ÞÞÞ +8#

ÞÞÞ +"8 ÞÞÞ +#8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ + 88

ÑÓ ¸ ¸ ââââ Ó âââ Ò â

+"" + , entonces E œ #" ÞÞÞ +8"

+"# ÞÞÞ +"8 +## ÞÞÞ +#8 ÞÞÞ ÞÞ Þ ÞÞÞ +8# ÞÞÞ + 88

Observación No debes confundir una matriz con un determinante, no es lo

mismo.

Curiosidad:

La función determinante apareció por primera vez en la investigación de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de propiedades de las matrices cuadrada s.

Cálculo del Determinante de una Matriz E8 . i)

Si E "‚" = Ð+"" Ñ ß entonces el ./> Ð E Ñ œ + ""

ii) En general, el determinante de E puede calcularse con respecto a cualquier fila o columna, con la fórmula que damos a continuación.

! 8

./> ÐE Ñ œ

Ð  "Ñ

35

5œ"

+ 3 5 ./> Ð E 3 5 Ñ , E es una matriz de orden mayor que 1

y E 35 es una submatriz - En particular, si E es una matriz cuadrada de orden 2, es decir, E œ

! #

./> E œ

Ð  "Ñ

5œ "

./> E œ

o bien,

Ð  "Ñ

" "

" 5

+ " 5 ./> Ð E "5 Ñ

+†.

 Ð "Ñ

" #

,†-

./> E œ + † .  , † -

22

Œ

+ -

, , se tiene que: .


Ejemplo:

Si E œ

ab º

./> E œ

Œ



" # , entonces $ %

º

" # œ  " † %  # † $ œ  %  ' œ  "! $ %

- Si la matriz es cuadrada de orden 3, es decir, Eœ

Î Ï

+"" +#" +$"

+"# +## +$#

+"$ +#$ +$$$

Ñ Ò !

, se tiene que:

3

./> Ð E Ñ œ

Ð "Ñ

"5

5œ"

Ejemplo:

Si E œ

âââ âââ

" ./>ÐEÑ œ $ $

âââ âââ

# % "

+ " 5 ./> Ð E " 5 Ñ

Î Ï

" $ $

# % "

" # !

Ñ Ò

, entonces

a

" "" "# "$ % # $ # $ % # œ Ð  "Ñ † " †  Ð  "Ñ †  # †  Ð  "Ñ " " ! $ ! $ " !

º º

Resolviendo , se tiene: l E l œ  #$

Ejercicios: 1)

Si E œ

3)

Si E œ

Encuentra el determinante de la matriz E que a continuación se presentan.

Œ Î Ï

" #

" "

" # ! # $ "

 " " #

Ñ Ò

2)

Si E œ

4)

Si E œ

Respuestas: 1) 3)

Z E M O b º º G º º O I Œ N  Î I Ñ Ï Ò G R I V

lEl œ " lEl œ "&

2) 4)

lEl œ  + #  , # lEl œ "'

Sabías que el matemático francés Pièrre Frederick Sarrus (1798 – 1861) ideó un método para encontrar el determinante de una matriz de orden 3.

23

+ ,

, +

# " " # ! " # % "


Método de Sarrus. Sea la matriz de orden 3:

E œ

Î Ï

+ "" + #" + $"

+ "# + ## + $#

+ "$ + #$ + $$

Ñ Ò


Para calcular su determinante, según este método, se procede de la siguiente manera:

1) Se repiten hacia el lado derecho de la última columna del determinante asociado, las dos primeras columnas del lado izquierdo.

âââ âââ

+ "" l E l = + #" + $"

+ "# + ## + $#

âââ âââ

+ "$ + "" + #$ + #" + $$ + $"

+ "# + ## + $#

2) Se suman los productos obtenidos al multiplicar los elementos de las diagonales principales, y se restan los tres productos de los elementos de las diagonales secundarias. l E l =+ "" Þ+##Þ+$$  + "#Þ+ #$Þ+$"  + "$Þ+#"Þ+ $#  + "# Þ+ #"Þ+ $$  + ""Þ+ #$Þ+ $#  + "$Þ+ ##Þ+ $"

Ejemplo: Si E œ

a

Î Ï

# $ " ! % #

# # "

b

Ñ Ò

, entonces

âââ âââ

# $ l El= " ! % #

a b

âââ âââ

# # $ # " ! œ " % #

# † ! † "  $ † # † %  Ð  #Ñ † " † #  Ð$ † " † "  # † # † #   # † ! † %Ñ œ *

Ejercicios: 1)

Eœ

2)

Fœ

3)

Gœ

Encuentra el determinante de la matriz dada, usando el método de Sarrus.

Î Ï Î Ï Î Ï

" " "

# % !

$ & $

Ñ Ò

# ! $

" $ # " % "

+ + +

, , ,

Ñ Ò

+ + +

Ñ Ò

Respuestas: 1) 2) 3)

l El=  % l E l œ  #( l El œ !

24


Desafío: Aplica todo lo anterior, calcula el determinante de la matriz de orden 4:

E œ

Respuesta:

ÎÐ Ð Ï

" # " % ! " # $ " % # "

$ # $ $

ÑÓ Ó Ò

./>ÐEÑ œ "$

Z E M O G O I N I âââ âââ ââ G R I V

Es evidente que el cálculo del determinante de una matriz de orden 8 puede ser tedioso, como habrás podido ya observar en el cálculo del determinante de orden % ‚ %ß imagínese para el caso de determinantes de orden & ‚ & y así sucesivamente. Sin embargo, existen algunas matrices a las cuales es muy sencillo calcular sus determinantes. 1)

Sea E 8 una matriz triangular inferior o superior. Entonces ./> ÐEÑ œ + "" †+ ## † + $$ † ..Þ † + 88

Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes en la diagonal.

Ejemplo:

Sea E œ

ÎÐ Ð Ï

# $ ! $ ! ! ! !

! # " !

" % $ #

ÑÓ Ó Ò

entonces, E es una matriz triangular superior , por lo tanto: ./> Ð EÑ œ  # † $ † " †  # œ "#

2)

Si la primera columna o fila de una matriz tiene todos sus elementos nulos excepto el del lugar

+"" , su determinante es:

Ejemplo:

âââ âââ âââ â

+"" ! ! ÞÞÞ !

+"# +## +$# ÞÞÞ +8#

+"$ +#$ +$$ ÞÞÞ +8$

Si E œ

ÎÐ Ð Ï

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ # ! ! !

âââ âââ

& ./> ÐEÑ œ # † # '


+"8 +#8 +$8 œ + "" ÞÞÞ + 88 " & # ' ( $ &

$ ( $ &

âââ âââ ââ

+## +$# ÞÞÞ +8#

% # # "

âââ âââ

+#$ ÞÞÞ +#8 +$$ ÞÞÞ +$8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +8$ ÞÞÞ + 88

ÑÓ Ó Ò a b

, entonces

# # œ # †  ( œ "% "

25


Propiedades De Los Determinantes. Sea E una matriz cuadrada de orden 8. 1)

âââ âââ

Ejercicio:

âââ âââ

+ , . / ! !

0 œ! !

3)

âââ âââ

âââ âââ

& ! $

âââ âââ

! , ! / ! 2

âââ âââ

" ! "!

# ! œ (

âââ âââ

& " $

+ . 1

, / 2

âââ âââ

+ 0 œ , 3 -

Verifica la propiedad anterior.

âââ âââ

" # "! # œ "! (

âââ âââ

0 œ ! 3

>

ii)

. / 0

1 2 3

âââ âââ

& " $  " "! "! œ # # (

Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas, se obtiene un determinante que es el opuesto aditivo del original.

âââ âââ

Ejercicio: i)

o

El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Es decir, l E l œ E . Esto es:

Ejercicio: i)

âââ âââ

Verifica la propiedad anterior. i)

2)

Z âââ E âââ M O ¹ ¹ G âââ O âââ I N âââ I âââ âââ âââ âââ âââ G âââ âââ R I V

Si en un determinante todos los elementos de una fila o columna son ceros, entonces el determinante es cero.

âââ âââ

& $ # % ( '

+ . 1

, / 2

âââ âââ

âââ âââ

. 0 œ  + 3 1

/ , 2

0 3

âââ âââ

o

Verifica la propiedad anterior.

âââ âââ

" # œ "

âââ âââ

ii)

26

âââ âââ

+ . 1

# % & $ ( '

, + / 0 œ  . 0 2 3 1 3

# " œ "

, / 2


4)

Z âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ E âââ âââ M âââ âââ âââ âââ O âââ âââ G âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ O âââ I âââ âââ âââ âââ N âââ âââ âââ âââ I G âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ R âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ I âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ V

Si los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número real, el valor de este determinante es equivalente al producto del número real por el valor del determinante original. Es decir: a: − ‘ , se tiene que:

+ :† . 1

Ejercicio:

, / 2

% $ &† # ! ! $ #! # !

ii)

+ :, 0 œ . :/ :5 1 :2

0 3

" " œ #

"& ! $

& " œ #

Si los correspondientes coeficientes de dos filas (o dos columnas) son iguales o están en una razón constante, el determinante es cero. Es decir:

âââ âââ

+ + 1

, , 2

Ejercicio:

- œ! 3

+ . 1

o

, / 2

, / œ! 2

+ . $+

o

, / $,

0 œ ! $-

Calcula los determinantes. ' # # ( $ $ œ ) & &

i)

6)

, / :2

Verifica la propiedad anterior i)

5)

+ 0 œ . 3 :1

ii)

# $ % # $ % œ " & (

Un determinante se puede expresar como suma de dos determinantes descomponiendo como sumandos los elementos de una fila o columna cualquiera, como se indica a continuación.

âââ âââ

+ . 1

, / 2

+ 0 œ ."  .# 3 1 + . 1

, / 2

, + , + , / "  /# 0 "  0# œ . " / " 0 "  . # / # 0 # 2 3 1 2 3 1 2 3

+"  +# 0 œ . "  .# 3 1"  1#

, +" / 0 œ ." 2 3 1"

27

, +# / 0  .# 2 3 1#

, / 0 2 3


Ejercicio: i)

ii) 7)

âââ âââ

% & (

âââ âââ

$ ! "

& ' ) "! " !

âââ âââ âââ âââ


" $" # œ $# # '"

âââ âââ


" $ # œ $ # '

âââ âââ

âââ âââ

$ ! "

âââ âââ

âââ âââ

( # "

+ . 1

, / 2

0 3

âââ Š âââ

0 $œ $ 0 $  0 #

‹

œ

âââ âââ

+ . $1  .

, / 0 $2  / $3  0

Si a la fila 2 le sumamos 2 veces la fila 1 ( 0 # œ 0#  #0" ), obtenemos:

âââ âââ

" $ # % ( '

" " œ " "

;

âââ âââ

âââ âââ

" $ % "! ( '

" $ œ " "

lM8l œ "

Encuentre el determinante de las siguientes matrices usando propiedades

ÎÐ Ð Ï

"1 # $ " & # # $ % % $ !

% ' ' )

E œ

ÎÐ Ð Ï

" ! " # ! ! # !

" ! ! " " " " !

a) E œ

Sea

c

d

ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ò b)

F œ

F œ

ÎÐ Ð Ï

! ! # !

ÎÐ Ð Ï

& ! % #

! " ! "

" " # $ " ! ! !

Calcula ./> Ð E † F Ñ>  M % ß M % œ Identidad de orden % 3)

" # #

( & ' "!  % % " " !

Ejercicios:

2)

$ ! "

Si se sustituye cualquier fila o columna por la suma de ella más 5 veces otra fila o columna, el determinante de la matriz no cambia.

Ejemplo:

1)

Z âââ âââ âââ âââ âââ E âââ âââ M âââ O G O I ÑÓ N Ó I Ò ÑÓ Ó G Ò R I V âââ âââ

" " #  # # "

( & ' ( & ' "# œ %  % '  % "!  # œ % ' " " ! " " !

âââ âââ

8)

$ ! "

Encuentra el valor de 5 si se cumple la siguiente igualdad

âââ âââ

5 # % ! " " !

âââ âââ

âââ âââ

#& 5 & ! " œ 5 % "

$ 5# !

% # "

28

âââ âââ

" " " "

# # & %

$ $ ' &


4)

5)

Prueba que

âââ âââ

" + " , " -

âââ âââ

,-+ œ ! +,

Calcula:


" # Gœ ! ! !

$ % ! ! !

& # " & #

( % # ' $

* # $ # "


Respuestas: 1)

a) ./> Ð E Ñ = (!# b) ./>Ð FÑ œ  ##!

ÔÖÎÐ ÖÐ ÕÏ

" ! ! # " " # !

# " " #

2)

./>

3)

5 œ#

5)

./>ÐGÑ œ  "%

# ! # %

ÑÓ ×Ù ÓÙ Ò Ø

 M% œ !

Aplicaciones De Los Determinantes. Menor de una Matriz. Se llama Menor del elemento +34 de la matriz E a la submatriz Q 34.

Ejercicios:

Calcula los determinantes para la siguiente matriz E œ

a)

lQ "$ l œ

b)

lQ ## l œ

Respuestas:

a)

%

b)

29

!

Î Ï

" " "

Z E M O G O I N I Ñ G Ò R I V # % !

$ & $


Cofactor.

Z E M O G O I N I G ÑÓ R Ó Ó Ó Ò I V 34

Sea E una matriz de orden 7 ‚ 8, el cofactor 34 de E, se determina por E3 4 œ Ð  "Ñ lQ 34l

Ejemplo:

Si E œ

E $ # œ Ð  "Ñ

Ejercicios: 1) 3)

$#

Î Ï

# " % & " !

¸ ¸ Q

$#

$ # "

œ "

Sea la matriz E œ

Î Ï

Ñ Ò

, entonces

º º

# $ œ) % #

# " % & " !

$ # "

Ñ Ò

, determina:

2) 4)

E $$ œ E $# œ

Respuestas: 1)

Ð "Ñ

$$

2)

Ð "Ñ

"#

3) 4)

) &

E "# œ E "" œ

º º º º

# " œ' % & % # œ' " "

Adjunta de una Matriz.

Dada una matriz E cuadrada de orden 8, se define la matriz adjunta de Ela cual se escribe +.4 ÐEÑß como la traspuesta de la matriz de cofactores F de orden 8 ‚ 8Þ Veamos como se determina: Sea F œ E34 la matriz de cofactores de Eß entonces

Fœ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

E "" E #" Þ Þ E 8"

E "# E ## Þ Þ E 8#

30

Þ Þ Þ Þ Þ

Þ E "8 Þ E #8 Þ Þ Þ Þ Þ E 88


ÐFÑ > œ

Ejemplo:

Si E œ

E "" œ

E "# œ

º º

Î Ï

# % ! " $ &

ÎÐ ÐÐÐ Ï

E "" E "# Þ Þ E"8

$ " (

E #" E ## Þ Þ E#8

Þ Þ Þ Þ Þ

Þ E8" Þ E8# Þ Þ Þ Þ Þ E 88

ÑÓ Ó Ó Ó Ò

Ñ Ò

, entonces la +.4 ÐEÑ es:

º º

" &

" œ "# (

! $

" œ  $; en forma análoga (verifícalo), tenemos que: (

E "$ œ  $ ß

E #" œ  "$ ß

E #$ œ # ß

E ## œ &

E $" œ  ( ß

E $# œ #

E $$ œ #

Î Ï

Ñ Ò a b ÏÎ

$ $ & # Así F œ # # F es la adjunta de E. Esto es:

"#  "$ (

ß que es la matriz de cofactores, de manera que la traspuesta de

+.4 E œ

Ejercicios: 1)

3)

"# $ $

 "$ & #

( # #

Ñ Ò

Determina la matriz adjunta para las siguientes matrices.

Eœ

Î Ï

E œ

Œ

" # " # ! #

+ +

$ % #

, ,

Ñ Ò

2)



Eœ

4)

Eœ

Œ ÐÐÎ Ï

$ # % & " $ # "

Respuestas: 1)

3)

Î Ï Œ

 "# "! # # # #

, +

Z E M O G O I N  I ÑÓ Ó G Ò R I ÑÓ Ó V Ò

œ +.4 ÐEÑ

, +



# ( %

Ñ Ò

2)

4)

Œ ÐÐÎ Ï 31

& %

# $

! " ! #

" " " #

 ! # $ $

$  "# "! '

# # $ #

! # # "

# ' & $


Matriz Inversa.

Z E M O Ñ Ó G Ó Ó Ó Ò O I N I G Ñ Ò R Ñ I Ò V

Dada una matriz E de orden 8 y ./>ÐEÑ Á !. Existe la matriz E ", denominada inversa de E, que cumple lo siguiente: E8 † E8" œ E 8" † E8 œ M 8

Existen diversos métodos que permiten encontrar la amtriz inversa. En este curso estudiaremos el método de la matriz equivalente y el de la matriz adjunta.

Método 1: Matriz Equivalente.

Una forma de encontrar la inversa de una matriz es a través de OE Þ Se trabaja con una matriz aumentada. A la izquierda se coloca la matriz a la cual se le quiere determinar la inversa y a la derecha, la matriz Idéntidad, y a través de OE hechas sobre toda la matriz, se transforma la matriz de la izquierda en la Identidad y la matriz que resulta a la derecha, es la matriz inversa buscada.

ÐEß M )=

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+ . 2 Þ B

, Þ Þ / 0 Þ 3 4 Þ Þ Þ Þ C Þ Þ

l l l l l

" ! ! " ! Þ Þ Þ ! Þ

ÑÓÐÎ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ò Ï

Þ ! ! Þ Þ ! " Þ ! Þ " ! Þ Þ "

Ä

" ! Þ ! l +‡ ,‡ -‡ Þ Þ ! " Þ ! l .‡ /‡ Þ Þ Þ ! ! " Þ l 2‡ 3‡ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ l Þ Þ Þ Þ Þ ! ! Þ " l B‡ C‡ Þ Þ Þ

El * indica un término distinto del dado inicialmente

Ejemplo:

Determina, si es que existe, la matriz inversa de E, haciendo OE:

E œ

Î Ï

Desarrollo:

" ! # " ! #

" " "

Ñ Ò

ab

1°

Como ./> E Á ! (verifícalo), se tiene que existe E ".

2°

Para determinar E", trabajamos con el método de la matriz equivalente. Esto es:

(Eß M ) =

Î Ï

" ! # " ! #

 "l " ! !  "l ! " ! " l ! ! "

Ñ Ò

0#œ0

Î Ï

#  # 0

"  →

0 œ 0  #0

Î Ï

$ $ #   →

" ! ! " ! !

32

" ! ! " ! # " " "

 "l "l "l " l  #l %l

" ! ! # " ! ! ! " ! ! " ! # "


0 $ œ  0 $

Î Ï

 → 0 " œ 0 "  0 $ 0 # œ 0 #  0$

Por lo tanto:

E

"

Î Ï œ

" ! ! " ! !

" ! ! " ! !

Î Ï

!l !l "l

$ # %

 "l "l "l $ # %

# " #

" ! # " % # # " #

" " "

" " "

Ñ Ò

No es necesario comprobar, pero si multiplicamos E † E

c)

Eœ

Eœ

a)

c)

E

Ñ Ò

œ M $

Z E M O Ñ Ò G ÑÓ Ó Ò O IÑÒ ÑÓ N IÒÓ G R I V

Determina E , si es que existe, para cada matriz dada, usando OE.

Î Ï Î Ï

Respuestas: "

"

Ñ Ò

"

Ejercicios:

a)

! ! "

œ

" " ! " # " $ " " ! " " # " " # " "

Î Ï

" # &

Ñ Ò Ñ Ò

" " %

b)

d)

" " $

Ñ Ò

b)

No tiene matriz Inversa

d)

Eœ

Eœ

Î Ï ÎÐ Ð Ï

"

E œ

"

E œ

Método 2: Matriz Adjunta.

" # " " # # "

Î Ï ÎÐ Ð Ï

# " ! " " !

! " " $ " ! " #

 "Î$ "Î$  "Î$ "Î$ #Î$ "Î$ " ! " "

$ % % "

" " # "

 #Î$ "Î$ %Î$

" " " !

% ' & "

Otro método para encontrar la matriz inversa de una matriz, es a través de la matriz adjunta y usando la siguiente fórmula: E" œ

k k † +.4aEb " E

33


Ejemplo:

E œ

Î Ï

" ! #

# $ !

" # "

Ñ Ò

Desarrollo: 1°

Como el lE l =  11 Á !, tenemos que existe E ".

2°

Determinaremos la matriz adjunta:

>

E.4 Ð E Ñ œ Ò E 3 4Ó

a b ÏÎ

E.4 E œ

3°

$ # (

œ

% " #

ÎÐ º º º º º ÐÐÐ º º ÐÐÐ º º º Ïº º º º º Ñ Î Ñ Ò Ï Ò k k ab Î Ñ Î Ï Ò Ï $ # ! " # " " ! " # " $ #

"

>

' % $

Por último, E" œ

E

œ

! " # " # " " !

$ % '

# " %

"

" !

" † +.4 E E $ % '

" œ †  ""

Î Ï

# " %

œ

Î Ï

$ ' & $ # "

 "Î(  "Î( ##Î((

$ ! " # # ! # $

( # $

# " %

( # $

œ

Ñ Ò

2) E œ

Î Ï

Respuestas: "

! #

 $Î"" %Î"" 'Î""

Determina E a través de la +.4ÐEÑ, si es posible.

1) E œ

E

# " " " " #

"

Ejercicios:

1)

Z E M º ÑÓ Ó Ó Ó º O Ó Ó Ó ºÒ G O I Ñ Ò N I ÎÐ ÑÓ Ð Ó G Ï Ò R I V

Hallemos la Inversa de E, si existe ß por medio de la matriz adjunta, sabiendo que E esta dada de la siguiente manera:

"&Î(( ##Î((  "'Î((

$Î"" !  "Î""

Ñ Ò 34

+ ! , ! " ! , ! +

Ñ Ò

 #Î""  "Î"" %Î""

>

 (Î"" #Î"" $Î""

3) E œ

$ " " "

" $ " "

" " $ "

" " " $


2)

3)

E

E

"

"

" œ # +  ,#

œ

ÎÐ Ð Ï

Î Ï

&Î"#  "Î"#  "Î"#  "Î"#

+ ! ,

! + ,# !

 " Î"# &Î"#  "Î"#  "Î"#

#

, ! +

 "Î"#  "Î"# &Î"#  "Î"#

Ñ Ò

 " Î"#  "Î"#  "Î"# &Î"#

35

ÑÓ Ó Ò




_________________________________________ _______________________________________

Johann Carl Friedrich Gauss

La teoría de las ecuaciones lineales juega un papel importante y motivador en el ámbito del álgebra lineal. Muchos problemas de álgebra lineal son equivalentes al estudio de un sistema de ecuaciones lineales, como por ejemplo hallar el núcleo de una aplicación lineal o caracterizar el subespacio generado por un conjunto de vectores.

Los fenómenos lineales son aquellos en que, al duplicar o triplicar la causa, se duplica o triplica el efecto, y al sumar las causas, se suman los efectos. Muchos fenómenos naturales y sociales tienen comportamientos muy similares al lineal; por ello se pueden estudiar, con una aproximación aceptable, considerándolos como tales. Se cree que hacia el 1100 AC, los chinos ya se plantearon el problema de cómo resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Y en Japón, el matemático Seki Kowa (1642-1708) hizo un aporte igual o mejor en esta materia que el matemático inglés Isaac Newton (1642-1727). Poco después de que Seki Kowa hubiera previsto la solución de un sistema de manera hipotética, en 1693, Leibniz encontró un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, comparable al creado por los chinos. Este método fue aplicada en 1750 por Cramer (matemático Suizo, 1704-1752) y simplificado en 1764 por E. Bézout (matemático francés 1730-1763). Sin embargo, el matemático que hizo mayores contribuciones en este tema fue el alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Incluso, dos métodos muy utilizados para resolver sistemas de ecuaciones llevan su nombre. En esta sección veremos como aplicar todo lo aprendido anteriormente en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Veremos detalladamente el algoritmo de eliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan, analizaremos las soluciones de dichos sistemas y daremos una interpretación geométrica de ellas.

36



En esta sección describiremos tres métodos para encontrar todas las soluciones (si existen) de un sistema de 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitas. Analizaremos sistemas de ecuaciones lineales que no poseen solución, que poseen solución única o infinitas soluciones. Comenzaremos con algunas definiciones que son escenciales para avanzar en este tema.

Definición: Una Ecuación Lineal o de primer grado en 8 incógnitas B" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B 8 es una expresión de la forma: +" B"  + # B#  + $ B$  ÞÞÞ  + 8 B 8 œ ,

..... (1)

donde +" ß +# ß + $ß ÞÞÞß + 8ß , son números dados en algún conjunto numérico.

+" ß +# ß +$ ß ÞÞÞß + 8 se llaman coeficientes de la ecuación y , el término independiente. Se llama solución de la ecuación a toda 8-upla de números que reemplazados ordenadamente en lugar de las incógnitas B" , B# , B$, ÞÞÞ , B8 convierten a la expresión (1) en una identidad.

Se dice que las soluciones satisfacen la ecuación.

Š

"ß  "ß

Por ejemplo, dada la ecuación #B"  $B# 

È ‹ Œ #ß !

y



"  #ß ß !ß  "# . $

È

#B$  B % œ (, dos soluciones de la misma son:

Estudiaremos ahora los sistemas de ecuaciones y su resolución.

Definición: Se denomina sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Ejemplo:

ÚÝÝ ÛÝÝ Ü

+"" B "  + "# B#  + "$B $  ÞÞÞ  + "8B 8 œ , " +#" B"  +## B#  +#$ B$  ÞÞÞ  + #8B 8 œ , #

........................................................ ............ ....................................................................

+7" B"  +7# B#  +7$ B $  ÞÞÞ  + 78B 8 œ , 7

Observación: Con el sistema anterior se pueden formar tres matrices: i) Una matriz de coeficientes numéricos:

Eœ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+ "" + #" + $" Þ + 7"

+ "# + ## + $# Þ + 7#

37

Þ Þ Þ Þ Þ

Þ + "8 Þ + #8 Þ + $8 Þ Þ Þ + 78

ÑÓ Ó Ó Ó Ò


ii) Una matriz de incógnitas:

\œ

Z E ÎÐ ÑÓ Ð Ó M Ï Ò O ÑÓÎ Ñ Î Ñ G Ó Ð ÓÐ Ó Ó Ð ÓÐ ÓÏ Ò Ï ÒÓ Ò O I ÑÓ Ó Ó Ó N I Ò G R I V ÎÐ Ð Ï

B" B# Þ B8

ÑÓ Ó Ò

iii) Una matriz de términos independientes:

Fœ

," ,# Þ ,8

Utilizando esta tres matrices, es posible escribir el sistema de ecuaciones lineales de la forma siguiente: E† \ œ F

Es decir,

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+ "" + #" + $" Þ + 7"

+ "# + ## + $# Þ + 7#

Þ Þ Þ Þ Þ

Þ + "8 Þ + #8 Þ + $8 Þ Þ Þ + 78

†

B" B# Þ B8

œ

," ,# Þ ,8

Ahora bien, si juntamos la matriz E y la matriz F, formamos una nueva matriz llamada Matriz Ampliada y denotada por ÐEßFÑ.

ÐE ß F Ñ œ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+ "" + #" Þ Þ + 7"

+ "# + ## Þ Þ + 7#

+ "$ + #$ Þ Þ + 7$

Þ Þ Þ Þ Þ

l ," l ,# l Þ l Þ l ,8

Ejercicios: Dado los siguientes sistemas de ecuaciones, escribe las matrices: Eß Fß \ß ÐEß FÑ. 1)

B"  B#  B $ œ "  B"  B$ œ % # B"  # B#  % B$ œ  #

2)

B#  B% œ " #B "  B $ œ ! B$  %B% œ $

38


Respuestas: 1)

E œ

Î Ï

" " #

ÐE ß FÑ œ

2)

E œ

Î Ï

Î Ï

! " # ! ! !

ÐEßFÑ œ

Î Ï

" ! #

" " %

" " #

" ! #

! " " ! " # ! ! !

Ñ Ò

" ! % ! " "

ß F œ

" l " l % l

Ñ Ò


Î Ñ Î Ñ Ï Ò Ï Ò Ñ Ò Î Ñ ÎÐÐ ÑÓ Ï Ò Ï ÒÓ Ñ Ò " % #

ß \ œ

B" B# B$

" % #

" ! $

ß Fœ

B" B# B$ B%

ß\ œ

" l " ! l ! % l $

Métodos De Resolución De Sistemas De Ecuaciones.

Método 1: REGLA DE CRAMER. GABRIEL CRAMER

Sea E una matriz de orden 8. Entonces la sólución única al sistema E † \ œ F está dado por B" œ

Donde:

H" H

B# œ

H# H

B3 œ

H3 H ß

ÞÞÞÞÞÞ , B 8 œ

H8 H

H es el determinante de E H3 es el determinante de sustituir la columna 3 por la matriz de términos independientes, es decir, la matriz F.

¡¡IMPORTANTE!!

Para resolver un sistema usando este método se requiere que det(A ) ≠ 0

39


Ejemplo:

Z E Ñ Î Ñ Ò Ï Ò M ââââ ââ O b a b G O I N I Î Ñ ÎÑ Ï Ò ÏÒ G R I V

Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema. # B"  B#  $ B $ œ "  B"  & B#  B $ œ % $ B"  # B#  % B$ œ  "

1°

Identifiquemos cada una de las matrices del sistema. Eœ

2°

Î Ï

# " $

" & #

$ " %

Ñ Ò

ß Fœ

Î Ï

" % "

â â â a b âââ a œ

# " $

" & #

œ

 %!  $  '   %&  %  % œ # Á !

Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer. Calculemos el valor de las incógnitas:

B"

B#

B$

4°

\œ

Verifiquemos que el determinante de E sea distinto de cero. En efecto: H œ ./> E

3°

ß

B" B# B$

âââ âââ œ âââ âââ œ âââ âââ œ

" " $ % & " " # % #

# " $ " % " $ " % #

# " " " & % $ # " #

âââ âââ ' œ œ $ # âââ âââ # œ œ " # âââ âââ % œ œ # #

La solución del sistema está dada por la matriz \ œ

Ejercicios:

$ # " " % $

B" B# B$

œ

" & #

$ " #

Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas usando la Regla de Cramer.

1)

# B"  B # œ $ $ B"  # B# œ &

2)

# B "  % B #  'B $ œ ") % B "  &B #  ' B $ œ #% $B "  B #  # B $ œ %

3)

#B "  $ B #  B $ œ &

40


 B"  #B#  $B$ œ ! % B"  B #  B $ œ  "

4)

B"  $B#  B$ œ % & B"  B# œ $ # B"  ' B #  # B$ œ )

Respuestas: 1) 2) 3) 4)

"" " B# œ ( ( B" œ % B# œ # " & $ B" œ B# œ B$ œ  % % % ./>ÐEÑ œ !ß no se puede resolver por Cramer. B" œ

B$ œ $

¡¡CUIDADO!! Esta Regla tiene dos limitaciones:

Z E M O G O I Š ‹ N I G R I V

1° La matriz de coeficientes numéricos deber ser cuadrada ya que se calcula el determinante de ella y, además, debe ser distinto de cero. 2° Sirve sólo cuando el sistema tiene una única solución.

Método 2: ECUACIÓN MATRICIAL

Otra forma de resolver un sistema de ecuaciones es a través de la siguiente ecuación matricial. Î multiplicando por la matriz inversa a la izquierda E

E†\ œF

Š ‹ "

"

E †E †\ œ E †F M8†\œE

"

\œE

†F

"

†F

"

Es decir, para resolver un sistema de ecuaciones se debe encontrar la matriz inversa de Eßsi es que existe, la cual se multiplica por la matriz F.

Ejemplo:

Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema. B"  B#  B$ œ # #B"  $B#  B$ œ $  #B"  #B#  B$ œ  #

41


Z E kk âââ âââ k k âââ a b M âââ O ÎÐ º ÑÓ º º º º º ÐÐÐ Ó Ó G a b ÐÐ º º º º º º Ó Ó Ó Ðº Ó º º º º ºÒ Ï Ñ Î Ñ a b ÏÎ O Ò Ï Ò I Î Ñ N a b kk Ï Ò I Î Ñ Ï Ò G Î Ñ Î Ñ Î Ñ R Ï Ò Ï Ò Ï Ò I Î Ñ Î Ñ V Ï Ò Ï Ò 1°

Identifiquemos cada una de las matrices del sistema. E œ

2°

E œ

3°

Î Ï

" # #

" $ #

Ñ Ò

ß F œ

" # #

" $ #

" " " # " #

" " " "  # " " " $ "

+.4 E œ

ß

\œ

Î Ñ Ï Ò B" B# B$

" $ œ $#% '## œ $ Á ! #

# "  # " " " # " " "  # "

" ! " $ # $

# % &

>

# #

$ # " "  # # " " # $

>

" ! #

œ

" $ %

# $ &

Por lo tanto, la matriz inversa queda determinada como sigue: E

"

" " œ +.4 E œ E $

E

"

œ

"Î$ ! #Î$

" ! #

 "Î$ " %Î$

" $ %

# $ &

 #Î$ " &Î$

Luego, \ œ E" † F \œ

6°

# $ #

Como verificamos que el determinante es distinto de cero, buscaremos la matriz inversa. Para ello, utilizaremos la matriz adjunta.

+.4 E œ

5°

Î Ñ Ï Ò

Se dice que existe la matriz inversa, sí y sólo si, E Á !. Verifiquemos que el determinante sea distinto de cero.

$ #

4°

" " "

"Î$ ! #Î$

 "Î$ " %Î$

 #Î$ " &Î$

Þ

La solución del sistema está dada por la matriz \ œ

42

# $ #

B" B# B$

œ

" " #

œ

" " #


Ejercicios:

Resuelve los siguientes sistema usando la ecuación matricial.

1)

B"  #B#  B$ œ $ 2 B "  & B#  B $ œ  " B "  B #  * B $ œ  "'

2)

#B#  $B$ œ % #B"  'B#  (B$ œ "& B"  # B #  &B$ œ "!

Respuestas: "

Î Ï

 %% "* (

"* ) $

( $ "

Ñ Ò

1)

E

2)

./>ÐEÑ œ ! , por lo tanto no se puede resolver el sistema por este método

œ

ß luego B " œ "


B# œ "

B$œ #

¡¡CUIDADO!! Este método también tiene algunas limitaciones, primero, la matriz de coeficientes numéricos debe ser cuadrada para oder así encontrar su determinante, y si este es igual a cero, no se puede aplicar este método.

Método 3: METODO GAUSSIANO

Este método es más general que los otros dos anteriores, pues nos permite analizar con más detalle las distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales admite transformaciones mediante OE, manteniendo invariable su solución hasta llegar a una matriz escalonada por filas. El método consiste en reducir por filas la matriz ampliada a la forma escalonada para, luego, despejar el valor de la última incógnita. Después se usa la sustitución hacia atrás para obtener el valor de las demás incógnitas.

Ejemplo: Para comprender mejor el método, apliquémoslo para resolver el siguiente sistema. B C D œ # #B  $C  D œ $  #B  #C  D œ  #

43


1°

Caractericemos el sistema de ecuaciones: Eœ

Î Ï Î Ñ Ï Ò ÎÑ ÏÒ Î Ï " # #

# $ #

F œ

\œ

" $ #

B C D

ß Matriz de coeficientes.

ß Matriz de términos independientes.

" # #

" $ #

" l " l " l

# $ #

Ñ Ò

, Matriz ampliada.

Escalonemos la matriz ampliada, realizando OE sobre las filas. Ð Eß FÑ œ

3°

Ñ Ò

, Matriz de incógnitas.

Ð EßFÑ œ

2°

" " "

Î Ï

" # #

" $ #

Î Ï Î Ï

" l " l " l

# $ #

Ñ Ò

0 # œ 0 #  #0 " ; 0$ œ 0 $  #0 "

" ! !

" & %

" $ $

l l l

# " #

" ! !

" & !

" $ $

l l l

# " '

Î Ï

" ! !

" & !

Ñ Ò Ñ Ò

0$ œ &0$  %0"

0 # œ 0 #  0 $

" l ! l $ l

# & '

Ñ Ò

De la última matriz, obtenemos el siguiente sistema equivalente. B C D œ #  &C œ & $D œ '

4°


Si despejamos las incógnitas C y D y reemplazamos sus valores en la primera ecuación obtenemos el valor de B. Así, podemos concluir que la solución del sistema es: \œ

ÎÑ Î Ñ ÏÒ Ï Ò B C D

44

œ

" " #


Oye!! ¿Sabías que existía otro método para resolver sistemas de ecuaciones llamado Gauss-Jordan?

Z E M O G ÑÎ Ñ Ò Ï O Ò I N Œ  I ab G R I V

Si quieres saber más acerca de ello, revisa el libro Álgebra Lineal de Stanley Grossman que se encuentra en biblioteca.

Análisis De Las Soluciones De Un Sistema De Ecuaciones.

Para analizar las soluciones de un sistema de ecuaciones, necesitamos conocer un concepto que aún no hemos visto: El Rango de una Matriz .

Rango de una Matriz .

Se llama Rango de una matriz E − `7‚8 al orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es no nulo.

Ejemplo 1:

Sea E œ

Î Ï

Î Ï ÑÎ ÒÏ

# # ! ! " " " " #

# # ! ! " " " " #

à

% ! #

# # ! " " "

Ñ Ò ÑÎ ÒÏ

% ! #

, las posibles submatrices de orden 3 son:

à

# ! ! " " #

% ! #

à

# ! " " " #

% ! #

Verifica que el determinante de cada una de las matrices anteriores es cero, por lo tanto el rango de la matriz E no es 3.

# # cuyo ! " determinante no es cero. En consecuencia, el rango de E es dos, lo que se denota como V E œ #.

Luego, debemos considerar las submatrices de orden 2. Una de éstas es

Ejemplo 2:

Sea E œ

Î Ï

" # $ # $ % $ & (

Ñ Ò

una matriz cuadrada de orden 3.

Por lo tanto, si E es una matriz de orden 3, entonces el rango debería ser 3 ß pero si calculamos su determinante nos damos cuenta que este es igual a cero.

âââ âââ

âââ âââ

" # $ lEl œ # $ % œ ! $ & (

Ê

ab

V E Á$

45


Busquemos el determinante de alguna de sus submatrices de orden 2.

¹ ¹ º º

$ % œ " Á! & (

E"" œ

ab

Ê

V E œ#


Otra forma, más general, es determinar el rango a través de OE, ya que estas no modifican ni su orden ni su rango. Las OE se hacen sobre las filas hasta escalonar la matriz y el rango estará determinado por el número de filas no nulas.

Ejemplo:

Determinemos el rango de la siguiente matriz.

Eœ

1°

ÎÐ Ð Ï

" # " $

$ & $ %

# " # "

" $ $ #

# & $ *

ÑÓ Ó Ò

Realicemos las OE para escalonar la matriz: 3 −2 1 2   1   5 1 −3 5   2  −1 3 2 − 3 − 3   3 4 1 2 9 − −    1 3 − 2  0 −1 5 0 0 30   0 0 − 60

1 −5 − 32 64

2   1  5   − 10 

1 3 2  −2 1 f 2=f 2-2f 1    5 −5 1  0 −1 f 3=f 3+f 1  0 6 0 − 2 − 1   f 4=f 4-3f 1  0 − 13 5 − 1 3 

f 4=f 4+2f 3

1  1 3 − 2  −5 0 −1 5  0 0 30 − 32  0 0  0 0

f 3 =f 3 +6f 2

f 4 =f 4 -13f 2

2   1 5  0 

Como la matriz escalonada tiene $ filas no nulas, resulta que el rango de E es $

También es posible escalonar la matriz realizando OE sobre las columnas, pero convendremos en trabajar por filas.

Ejercicios: 1)

Eœ

Encuentra el rango de las siguientes matrices a través de OE.

Î Ï

" ! "

! # %

" " $

" # &

Ñ Ò 46


2)

3)

Eœ

Eœ


! " " #

" " # %

" ! " "

" " " #

" ! # "

" " ! ! # " & "

ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ò

" # % "


< œ # < œ$ <œ #


Análisis De Soluciones A Través Del Estudio De Rangos.

Sistema de Ecuaciones

R(A) = R(A,B)

NO

Sistema Incompatible No Existe Solución

SI Sistema Compatible Determinado

SI

R(A) = R(A,B) = n

Existe Una Única Solución

NO

Sistema Compatible Indeterminado Existen Infinitas Soluciones

Donde: •n es N° de incógnitas • R(A) rango de la matriz de coeficientes • R(A,B) es rango de la matriz ampliada

47


Z E M Î Ñ O ÏÒ G Ñ O Ò I Ñ N Ò I Ñ Ò G R I V

Estudiemos algunos sistemas.

1)

Sistema Compatible Determinado.

Ya vimos que este tipo de sistema posee solución única. Ejemplo:

Resolvamos el siguiente sistema usando el método Gaussiano.

B C D œ # #B  $C  D œ $  # B  #C  D œ  #

1°

Caracterizando el sistema de ecuaciones E œ

2°

Î Ï

" # #

" $ #

" " "

Ñ Ò

ßF œ

Î Ñ Ï Ò # $ #

ß \œ

Aplicaremos operaciones elementales a la matriz ampliada

ÐEßFÑ œ

Î Ï

" # #

" $ #

" l " l " l

# $ #

Ñ Ò

0# œ 0#  #0" 0$ œ 0$  #0" ÐEßFÑ œ

Î Ï

0$ œ &0$  %0"

" ! !

" & %

Î Ï Î Ï

0# œ 0#  0$

3°

B C D

" ! !

" $ $

" & ! " ! !

" & !

l l l

" $ $

" l ! l $ l

# " #

l l l

# " '

# & '

Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:

aa b b

8 œ $ V E œ$ V Eß F œ $

;

Por lo tanto, el sistema posee solución única.

4° Trabajaremos el sistema equivalente al original para determinar la solución al sistema de ecuaciones lineales. El sistema resultante es: B C D œ #  &C œ & $D œ '

48


Z E M O ÎÑ ÏÒ G O I N I G R I V

Se determina una de las incógnitas y las restantes resultan de ir reemplazando los valores encontrados. De aquí resulta: B œ "

2)

C œ "

Dœ#

Sistema Compatible Indeterminado. Ya vimos que este tipo de sistema posee infinitas soluciones.

Ejemplo:

Resolvamos el siguiente sistema usando OE. B C D œ " # B  $C  #D œ # $B # C D œ $

1°

Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales. Eœ

2°

Î Ï

" # $

" $ #

" # "

Ñ Ò

à

Fœ

" # $

à

\œ

Escalonando la matriz ampliada.

a b ÏÎ EßF œ

" # $

" $ #

0# œ 0#  #0" 0$ œ 0$  $0"

" l " # l # " l $

Î Ï

Ñ Ò

" ! !

" & &

Î Ï

0$ œ 0$  0#

3°

ÎÑ ÏÒ

" ! !

" l " % l ! % l ! " & !

Ñ Ò

" l " % l ! ! l !

Ñ Ò

Analizando los rangos de la matriz escalonada.

ab

a b

B C D

Como 8 œ $ß V E œ #ß V Eß F œ # , se tiene que el sistema es Compatible Indeterminado; por lo tanto, tiene infinitas soluciones. Con la matriz obtenida podemos formar el sistema equivalente: B C D œ "  & C  %D œ !

4°

ab

Observa que la expresión 8  V E , permite conocer el número de incógnitas de las cuales dependeran las otras.

49


Z E ÑÓ M Ò ÎÐ Ó Ñ O ÎÐ ÑÓ ÏÒ Ï Ò G O I N I ÎÑ ÏÒ G R I V

Es decir: $  # œ ". Esto significa que de las $ incógnitas, # de ellas quedan en función de la otra incógnita. En efecto: Si despejamos C de la segunda ecuación tenemos: C œ

% D &

Si este resultado lo reemplazamos en la primera ecuación y despejamos B, tenemos que:

" Bœ" D &

5°

6°

3)

La solución general, entonces, es: \ œ

Algunas soluciones particulares son:

Î Ñ ÎÐ ÏÒ Ï ÎÑ ÏÒ B C D

" &

" % &

œ

" ! !

\œ

D

D

à \œ

Este tipo de sistema, como ya vimos, no tiene solución. Resolvamos el siguiente sistema # C  $D œ % #B  'C  (D œ "& B  #C  &D œ "!

1°

Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales. E œ

2°

Î Ï

! # "

# $ ' ( # &

Ñ Ò

à

Fœ

Î Ñ Ï Ò % "& "!

Escalonando la matriz ampliada. ÐEßFÑ œ

Î Ï

! # "

0" Ç 0$

# $ l %  ' ( l "&  # & l "!

→

Î Ï

" # !

Ñ Ò

 # & l "!  ' ( l "& # $ l %

50

Ñ Ò

' & % &

à \œ

"

Sistema Incompatible o Inconsistente.

Ejemplo:

D

à

\œ

"" & ) &

#

B C D

0 œ 0  #0

# # "  →


Î Ï 3°

" ! !

# # #

Ñ Ò

& l $ l $ l

"!  & 0$ œ 0$  0# %  →

Î Ï

" ! !

# # !

Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:

ab

a b

8 œ $ß V E œ #ß V Eß F œ $

Por lo tanto, el sistema no tiene solución

Observación:

& l $ l ! l

Ñ Ò

Z E M O G O I N I G R I V "! & "

Si el vector de términos Independientes es un vector nulo, entonces el sistema es Homogéneo, en caso contrario se llama No Homogéneo.

El sistema homogéneo E † \ œ ) siempre tiene solución, es decir, es Compatible: a) b)

Si tiene una solución única, ésta es la trivial ( B3 œ !à a3ß con 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8 Ñ Si 8 Á < , entonces tiene Infinitas soluciones, entre ellas la trivial.

Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones debemos calcular el determinante de la matriz de coeficientes numéricos. Si el determinante es distinto de cero, el sistema posee solución única y es la trivial, pero si el determinante es igual a cero, el sistema posee infinitas soluciones y éstas se obtienen por el método gaussiano.

Ejemplo 1:

Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.

# B  $C  %D œ ! B  #C D œ !  B  $C  &D œ !

1° Eœ

2°

Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.

Î Ï

# " "

$ # $

Ñ Ò

à Fœ

ÎÑ ÏÒ ! ! !

à

\œ

ÎÑ ÏÒ B C D

Calculando el determinante de la matriz E. ./> Ð E Ñ œ

3°

% " &

âââ âââ

# " "

$ # $

âââ âââ

%  " œ  &) Á ! . &

Luego, el sistema tiene solución única, y es la trivial. Por lo tanto:

Bœ!

Cœ!

Dœ!

51


Ejemplo 2:

Z E ÎÑ ÎÑ ÏÒ ÏÒ M O G Ñ Ò O Î Ñ I Ï Ò ab N I Î Ñ Î Ñ G ÏÒ Ï Ò R Î Ñ Î Ñ I Ï Ò Ï Ò V

Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo. B  $C  &D œ ! #B  'C  "!D œ !  B  &C  D œ !

1°

Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales. Eœ

2°

Î Ï

" # "

$ ' &

& "! "

Ñ Ò

à

! ! !

Fœ

à

\œ

B C D

Calculando el determinante de la matriz E. ./> Ð E Ñ œ

âââ âââ

" # "

âââ âââ

$ ' &

& "! œ ! . "

Como el ./> ÐEÑ œ !, tenemos que el sistema tiene infinitas soluciones y para determinarlas, lo haremos a través del método gaussiano. 3°

Realizando operaciones elementales en la matriz E. Eœ

Î Ï

" # "

$ ' &

& "! "

0# œ 0#  # 0" 0$ œ 0$  0"

Î Ï 4°

" ! !

$ & ! ! # %

Ñ Ò

" ! !

0# Ç 0$

Resolviendo el sistema equivalente

$ & # % ! !

B  $C  &D œ ! # C %D œ ! C œ  #D B œ  ""D

5°

La solución general, entonces, es: \ œ

6°

Algunas soluciones particulares son: \œ

ÎÑ ÏÒ ! ! !

à \œ

B C D

 "" # "

52

œ

 ""D  #D D

à \œ

 ## % #

à 8 ÁV E


Ejercicios:

Z E M O G O  I N I G R I Î Ñ Ï Ò V

Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss Þ Si el sistema tiene infinitas soluciones además de la general determine una particular. 1)

# B $  $ œ B#  $B " B"  $B# œ "  #B $ $B#  B$ œ #  #B "

2)

>"  $>#  &> $  > % œ % #>"  &> #  #> $  %> % œ '

3)

B1  B #  #B$ œ " B"  $B#  % B$ œ " #B"  #B#  %B$ œ $

4)

$B  'C  'D œ * #B  &C  %D œ '  B  "'C  "%D œ  $

Respuestas: 1) Sistema Compatible Determinado: B " œ " B # œ ! B$ œ ! 2) Sistema Compatible Indeterminado Solución General: Ð  #  "* >  ( =ß #  ) >  # =ß >ß =Ñ >ß = − ‘ Solución Particular: Si > œ ! ß = œ !ß Ð  #ß #ß !ß!Ñ 3) El sistema es Incompatible. 4) Sistema Compatible Indeterminado. # ) > −‘ Solución General : ( $  > ß > ß > Ñ *

*

a bŒ

Soluciones Particulares: $ß !ß ! à

Œ

#* ) ß ß" à * *

#& ) ß  ß " * *

Existen sistemas de ecuaciones lineales en las cuales al menos uno de los coeficientes numéricos +34 es una constante desconocida y necesitamos saber cómo es la solución del sistema.

Ejemplo:

Determinaremos el o los valores que deberían tener + y , en el sistema que se presenta a continuación, para que sea:

i) ii) iii)

Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible

$B"  #B#  &B$ œ " B"  B #  #B$ œ " %B"  $B#  +B$ œ ,

1° Eœ

Caracterizando el sistema.

Î Ï

$ # & " " # % $ +

Ñ Ò

à

Fœ

ÎÑ ÏÒ " " ,

à

\œ

53

B" B# B$


2°

Aplicando operaciones elementales sobre la matriz ampliada.

ÐEß FÑ œ

ÎÐ Ï

$ # & " " # % $ +

¸¸ ÑÓ ÎÐ ¸ Ò Ï " " ,

" " # 0" Ç 0 # $ # & % $ +

0# œ 0 #  $ 0" à 0 $ œ 0 $  %0 "

   →

0$ œ 0$  0 #

3°

ÎÐ Ï

" ! !

ÎÐ Ï

" " !

" ! !

" " ,

" # " " " + )

" " +(

" # ,#

Analizando los rangos.

aa b b ab a b

8 œ$ V E œ depende del valor de +. V Eß F œ depende de los valores de + y ,.

i)

ii)

Z E M O ab a b G ab a b O I a b N I G R I V

¸¸ ÑÓ ¸ Ò ¸¸ ÑÓ ¸ Ò ¸¸ ÑÓ ¸ Ò " # ,%

Para que el sistema sea Compatible Determinado se debe cumplir que: V E œ V Eß F œ 8, es decir, V E œ V Eß F œ $. Esto ocurre cuando +  ( Á !, o bien, + Á (. Conclusión:

El sistema tendrá solución única a + − ‘  Ö(×

a b a ba b a b

Para que el sistema sea Compatible Indeterminado se debe cumplir que: V E œ V Eß F  8, es decir, V E œ V Eß F  $. Esto ocurre cuando +  ( œ ! y ,  # œ 0, o bien, cuando + œ ( y , œ #. En este caso, el V E œ V Eß F œ #Þ Conclusión:

El sistema tendrá infinitas soluciones cuando + œ ( y , œ #.

ab

iii)

Para que el sistema sea Incompatible se debe cumplir que: V E Á V Eß F . Esto ocurre cuando +  ( œ ! y ,  # Á ! , o bien + œ ( y , Á #Þ

Ejercicios: 1) a)

b)

Considere los sistemas #B"  $B#  & œ !  B"  (B#  B$ œ ! %B"  ""B#  5 B$ œ ! B"  B#  B$ œ ! #B"  $B#  %B$ œ ! $B"  %B#  5B$ œ !

¿Para qué valores de 5 los sistemas tendrán soluciones no triviales?

54


2)

Determinar qué valor debería tomar ! para que el sistema siguiente sea

i) ii) iii)

Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible B"  B#  B$ œ " $B"  !B#  !B$ œ & %B"  !B# œ &

3)

Determinar qué valores debe tomar + y , para que el sistema sea

i) ii) iii)

Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible B"  B#  B$ œ " $B"  B#  # B$ œ & %B "  +B$ œ ,

Respuestas: "! "" 5 œ&

1)

a) b)

5 œ

2)

i) ii) iii)

! Á! • !Á& ! œ & ! œ !

3)

i) ii) iii)

+ Á' +œ' • ,œ) + œ ' • , Á)


Interpretación Geométrica De Los Sistemas De Ecuaciones.

Geométricamente en el plano ‘#, se interpretan de la siguiente forma (Cada ecuación se representa en una línea recta)

a) Rectas No Paralelas.

b) Rectas Paralelas.

c) Rectas que Coincidens.

Un punto de intersección

No existe intersección

Infinitos puntos de intersección

55



En el espacio ‘$, la interpretación es la siguiente (cada ecuación representa un plano)

a)

b)

c)

d)

e)

Los tres planos se intersectan en la misma recta. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un número infinito de soluciones.

Dos de los planos coinciden e intersectan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe un número infinito de soluciones..

Los tres planos se intersectan en un punto, entonces existe una solución única.

Al menos dos de los planos son paralelos y distintos. Entonces ningún punto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema no tiene solución.

Dos de los planos coinciden en una recta . El tercer plano es paralelo a L (y no contiene a , de manera que ningún punto del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe solución.

56


AUTOEVALUACION N° 1 Indicación:

Z E  M Ñ Ò O G O I N Î Ñ I Ï Ò G × Ø R I V

Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.

PROBLEMA 1: Encuentra el valor de Bß Cß Aß D para que se cumpla la igualdad propuesta:

Œ

BC CD

A" #C

 Œ 

CB BA #D '

 Œ œ

' "

PROBLEMA 2: Dadas las matrices Eœ

Î Ï

-" !

# -" !

$ % -& #

" -" $

Gœ

Ñ Ò Î Ï

à

-"

! -$ !

# !

Fœ

( ! -"

-& " "

Ñ Ò

Î Ï

& " -# - " ' !

à

Determina E>  G >, #(E  G ) > † F , G † F >.


% D

! " -$

-$ ! "

à


PROBLEMA 1: Dado que una matriz se dice IDEM-POTENTE si E# œ E. Verifica si las matrices siguientes son o no idempotente. Eœ

Î Ï

Ñ Ò

2 -3 -5 -1 4 5 ; 1 -3 4

Fœ

Î Ï

Ñ Ò

-1 3 5 1 -3 -5 ; -1 3 5

Gœ

PROBLEMA 2: Dadas las matrices: Aœ

Ô Õ

× Ø

1 -3 2 2 1 -3 ; 4 -3 -1

Bœ

Ô Õ

× Ø

1 4 1 0 2 1 1 1 ; 1 -2 1 2

Comprueba que EF œ EG

57

Cœ

Ô Õ

2 1 -1 -2 3 -2 -1 -1 2 -5 -1 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0



PROBLEMA 1: Sea E œ

a) b) c)

¸¸

ÎÐ Ð Ï

" $ # "

$  "# "! '

! # # "

# ' & $

ÑÓ Ó Ò

Calcula E Determina la matriz E.4 E Determina la matriz inversa de E.

ab

PROBLEMA 2: Verifica que: a) b) c)

Z E M O G O I Ñ Ò N I G R I V


La adjunta de una matriz escalar es una matriz escalar La adjunta de una matriz diagonal es una matriz diagonal La adjunta de una matriz triangular es una matriz triangular

PROBLEMA 3: Para las siguentes matrices, determina las respectivas matrices adjuntas. a)

Eœ

Î Ï

# ! " " " " % ! "

Ñ Ò

b)

Fœ

Î Ï

# & "

$ " !

! % !

PROBLEMA 4: Para las matrices del problema 3, determina, si existe, las respectivas matrices inversas. Si existe, muéstralas.

58



Z E M O Ñ Ò G Ñ Ò O I N I G R I V



Î Ï

-9= ! ! ! " =/8 ! !

 =/8 ! ! -9= !

Ñ Ò

.

Determina si E posee inversa y si es posible, hállala.

PROBLEMA 2: Que valores de + hacen que la matriz dada sea singular (inversible). Eœ

Î Ï

+ " #+

+" +" # $ +$ +(

Ñ Ò

Fœ

a

Î Ï

b

PROBLEMA 3: Encuentra B − ‘ de manera Ind.: M es la matriz idéntica de orden 3

Œ

B% $

a)

Eœ

c)

E œ BM 

Î Ï

) B# # ! !



" # %

b) " $ %

+# " !

que

Eœ

Ñ Ò a

# $ +" # ! +#

Î Ï b

la

matriz

# ! " " " " % ! "

> PROBLEMA 4: Determina la matriz \ en la ecuación: E † \ " † F œ E † F con

Î Ï

E

" " " ! " # $ " !

Ñ Ò

à Fœ

59

Î Ï

! ! " " # ! " " !

Ñ Ò

 BM

tenga inversa.




a)

c)


1 . +

2 / ,

+, ./ 12

3 0 -

âââ âââ

Î Ï

+ . 1

, / 2

0 3

Ñ ab Ò

y ./> E œ & . Calcula los siguientes determinantes.

b)

, / 0 2 3

âââ âââ

d)

âââ âââ

È È » È È » +,

# +

# +

,

,

b)

+,

âââ âââ

& $. %+

#+  #. 1 .

PROBLEMA 2: Calcula los siguientes determinantes:

a)

Z E âââ âââ M âââ âââ O G âââ âââ ââ O I a b N I G R I V


âââ âââ ââ

 &2 $/ %,

 &3 $0 %-

#,  #/ #-  #0 2 3 / 0

" " " "

# " " "

" " ! " " # # "

PROBLEMA 3: Determina los valores de -%‘, que satisfacen la ecuación: ./> -M  E œ 0 ßdonde - es incógnita de la ecuación e M es la matriz idéntica de orden 4.

Eœ

ÎÐ Ð Ï

# " ! ! " ! ! ! % ! ! !

) "! ! &

ÑÓ Ó Ò

60





PROBLEMA 1: ¿Qué condiciones se deben cumplir para que el sistema se pueda resolver mediante la ecuación \ œ E"F ? Si dichas condiciones se cumplen, encuentre la solución usando la ecuación matricial y operaciones elementales. B%  B " œ " B#  B$  B" œ # B$  B # œ $ B%  B$  B" œ %

PROBLEMA 2: Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer. $C  #B œ D  " $B  #D œ )  &C $D  " œ B  #C

PROBLEMA 3: Resuelva usando el método gaussiano. #B  C  D œ " B  #C  D œ % B  C #D œ  $



PROBLEMA 1: Determina los valores de 5 tales que los sistemas posean: i) ii) iii)

ninguna solución más de una solución una sola solución

a)

5B  C  D œ " B  5C  D œ " B  C  5D œ "

b)

B  #C  $D œ # $B  %C  #D œ 5 #B  $C  D œ "

PROBLEMA 2: Considera el siguiente sistema. Determina el valor que debe tener " +" de manera que el sistema sea compatible. B  #C  D œ " #B  C  $D œ  % B  C  Ð+  #ÑD œ  $+  & %B  #C  Ð+  'ÑD œ  $+ #  )

61


UNIDAD 2


VECTORES, RECTAS Y PLANOS

62


Vectores en ‘# y ‘$ .


________________________________________________________________________

Sir William Rowan Hamilton

Josiah Willard Gibbs

El estudio de los vectores se originó con la invención de los cuaterniones de Hamilton (matemático Irlandés 1805-1865). Hamilton y otros desarrollaron los cuaterniones como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron muy complicados para entenderlos con rápidez y aplicarlos facilmente. Los cuaterniones contenian una parte escalar y una parte vectorial y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los matemáticos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el análisis vectorial.

Este trabajo se debe al físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Gibbs, era un físico original que hizo mucha aplicaciones en el área físico matemática. Definió por ejemplo, la igualdad, adición y multiplicación de vectores. Además, definió el producto escalar para los vectores 3 , 4 , 5 , y lo aplicó en problemas referente a fuerzas. Al estudiar matemáticas, a comienzos del siglo XIX, no debemos perder de vista el hecho que la mayor parte de las matemáticas modernas se desarrollaron para resolver problemas del mundo real. Los vectores fueron desarrollados por Gibbs y otros para facilitar el análisis de los fenómenos físicos, y en ese sentidos tuvieron un gran éxito.

63


Vectores En El Espacio.

Z E M O G O I b N I G R I V

Algunas cantidades físicas como la longitud y la masa quedan perfectamente determinadas por su magnitud. Tales cantidades se llaman Escalares. Sin embargo, para otras como la fuerza y la velocidad, se necesita especificar, además, su dirección Þ Estas últimas se llaman Vectoriales.

Se acostumbra representar un vector mediante un segmento de recta dirigido cuya dirección representa la dirección del vector y cuya longitud en términos de alguna unidad representa su magnitud.

El sistema coordenado rectangular tridimensional consta de tres rectas reales mutuamente perpendiculares. Tales rectas se llaman ejes coordenados y su intersección común se llama origen del sistema.

a b

El sistema así definido establece una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas BßCßD de números reales. z 5

P(2,3,5)

3

y

2

x

figura 1

a b

a

Al origen del sistema le corresponde la terna !ß !ß ! . A la terna #ß $ß & le corresponde el punto T que muestra la figura 1.

Los planos BC, CD, DB se llaman Planos Coordenados y dividen al espacio en ocho regiones llamadas Octantes. El octante cuyos puntos tienen sus tres coordenadas positivas se llama Primer Octante, pero no se ha convenido una numeración para los otros siete.

a

b a

b

Sean T B" ß C" ß D" y U B# ß C# ß D# dos puntos del espacio.

64


z

Q(x2,y2,z2) P(x1,y1,z1) R(x2,y2,z1)

0

V(x1,y1,0) H

y

T(x2,y2,0)

x

figura 2

La distancia entre T y U está dada por:

a b É a b a b a a b a b a b É a b a b a a b È a b È È a b

. T, U œ

Ejemplo:

B#  B"

#

 C#  C"

$  # #  % " # " $

. TßU œ

"* %

. T ßU œ

Por lo tanto, la distancia de T a U es

"%

"% u. de m.

Ejercicios:

a) b) 2)

 D#  D"

La distancia entre los puntos T #ß "ß $ y U $ß %ß " es: . T, U œ

1)

#

Z E M b O b G O I N I G R I V #

#

Obtenga la distancia entre los puntos E y F, y determine el punto medio de los segmentos rectilineos que unen E y F. EÐ$ß %ß #Ñà EÐ%ß  $ß # Ñà

FÐ"ß 'ß $Ñ F Ð  #ß $ ß  &Ñ

Demuestre que los tres puntos Ð"ß  "ß$Ñß Ð#ß "ß(Ñ y Ð%ß #ß'Ñ son los vértices de un triángulo rectángulo y calcule su área. (Indicación: utilice el teorema de Pitágoras)

A

Teorema de Herón de Alejandría

= s (s − a )(s − b )(s − c ) donde s es el semiperíme tro. A es el área del triángulo. A

c b

C

a

B

figura 3

65


Respuestas: 1)

a

a) 3 u. de m.

a

b

b) 11 u. de m. 2)

Œ  Œ  #ß&ß

b

& #

$ "ß!ß  #

El ˜ es rectángulo y su área es aproximadamente 5,6125

Z E c d a b M d O G O I N I G R I d V

Definición: Llamaremos Vector en el espacio a toda terna ordenada de números reales, +" ß +# ß +$ . El vector asociado con el segmento de recta cuyo punto inicial es T B" ß C " ß D" y cuyo punto terminal es U B# ß C # ß D # se denota por:

a

→

a

b

b a

b c

T U œ U  T œ B# ß C# ß D #  B "ß C "ß D " œ B #  B "ß C #  C "ß D #  D " œ → +

Es usual denotar los vectores con letras minúsculas con una flecha para distinguirlos de las cantidades escalares.

Ejemplos: 1)

a

b a b a b a b c d a b a b c d b c d

→ Si T  )ß *ß " y U $ß 'ß ! , entonces el vector T U se determina como sigue: → T U œ U  T œ $ß 'ß !   )ß *ß " œ ""ß  $ß  " → UT œ T  U œ  )ß *ß "  $ß 'ß ! œ  ""ß $ß "

2) 3)

a

→ Si E )ß  'ß  $ , entonces SE œ )ß  'ß  $ .

Sean los puntos T œ Ð!ß ! Ñ y  Ð$ß $ Ñ œ [  $ß  $ ]

→

U œ Ð$ß $Ñ, entonces el vector UT œ T  U œ Ð!ß !Ñ

Ejercicios: 1)

Sean los puntos T œ Ð$ß "Ñß U œ Ð#ß  "Ñß V œ Ð%ß#Ñ. Determine los vectores dirigidos → → → TU , UT , VT .

2)

Sean los puntos T œ Ð$ß "ß  "Ñß U œ Ð!ß#ß  "Ñß V œ Ð%ß  #ß #Ñ . Determine los vectores → → → dirigidos T U , UT , VT .

Respuesta: 1) 2)

→

c c

d d

T U œ  "ß  # ;

→

T U œ  $ß "ß ! ;

→

c d c d c d c

UT œ "ß # ;

→

→

VT œ  "ß  "

UT œ $ß  "ß ! ;

66

→

VT œ  "ß $ß  $


Sabías que los vectores asociados a segmentos de rectas en los que el punto inicial no es el origen del sistema se llaman vectores libres.

c

d

c

d

→ Definición: Sea → + œ +" ß +# ß + $ y , œ , "ß , #ß , $ dos vectores y ! − ‘.


i) ii)

→ + œ , si y sólo si: +" œ , " • + # œ , # • + $ œ , $. Diremos que → → Se define la Adición → +  , y la Multiplicación por escalar !→ + de la siguiente manera:

1°

→ → +  , œ + "  , " ß + #  , #ß + $  , $

2°

!→ + œ !+" ß !+# ß !+ $

c

c

d

d

Ejemplos:

c c

d c d d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d Ú Ú ÛÜ ÛÜ

1

→ Sean → + œ  $ß "ß ! y , œ #ß  "ß % . Entonces:

1°

→ → +  , œ  $ ß "ß !  #ß  "ß % œ  "ß !ß %

2°

$→ + œ $  $ß "ß ! œ  *ß $ß ! .

3°

 # , œ  # #ß  "ß % œ  %ß #ß  )

4°

% ,  #→ + œ % #ß  "ß %  #  $ß " ß !

→

→

œ ) ß  %ß " '   'ß # ß !

œ #ß  #ß"'

5°

→

$→ +  # , œ $  $ß " ß !  # #ß  "ß %

œ  *ß $ß !  % ß  #ß )

œ  "$ß &ß  )

2)

→ → Si 2 œ  $ß +  #ß $, y 5 œ +  , ß  &ß ! . →

→

2 œ 5 Í

+, œ $ +#œ & $, œ !

Í

+œ $ • ,œ!

67


Observaciones:

1)

Z E M d O a b G O I N d I G R c I d V

→ Geométricamente en vector → +  , es la diagonal del paralelógramo cuyos lados adyacentes son → + y , como se ilustra en la figura siguiente: los vectores →

b

a

+

a

- b

-

b b

b

a

figura 4

c

d

c

→ → → 2) Si , œ ," ß ,# ß , $ , entonces  , œ Ð  "Ñ , œ  , "ß  , #ß  , $ Þ

3)

ca db

Todo vector → + œ +" ß +# ß +$ se puede considerar como el vector de origen en el punto S !ß !ß ! y extremo en el punto T +" ß +# ß +$ como se muestra en la figura siguiente: z

a

P (a1,a2,a3)

0

y

x

4)

figura 5

→ + y , como el vector Se define la Sustracción de los vectores →

c

→ → → +  , œ→ +  Ð  , Ñ œ + "  , "ß + #  , #ß + $  , $

c ¼ ¼d È

Definición: Sea → + œ +" ß +# ß +$ un vector. Se llama norma, magnitud o módulo del vector → + , al número → # # # real no negativo + œ +"  + #  +$ . Todo vector de norma 1 se llama Vector Unitario. En el espacio hay tres vectores unitarios especiales que se denotan en forma especial, éstos son:

c d ¼¼ ¼¼ ¼¼ c d •

•

3 œ "ß !ß ! ;

y es claro que

•

3

œ

•

4

œ

•

5

c d

4 œ !ß "ß ! ;

œ ".

Todo vector → + œ +" ß + # ß +$ se puede escribir:

68

•

5 œ !ß !ß "


c d c d c d c d c d c d

→ + œ +" ß ! ß !  !ß + # ß !  !ß ! ß + $

→ + œ +" "ß !ß !  + # !ß "ß !  + $ !ß !ß " • • • → + œ +" 3  + # 4  + $ 5 •

•

•


+ y tienen la dirección de los ejes Los vectores +" 3, +# 4ß +$ 5 se llaman Componentes del vector → coordenados. z

a3 k

a

k i

a2 j y

jj

a1 i x

Teorema:

figura 6

→ + y , dos vectores y ! − ‘. Se tiene: Sean →

1)

m→ +m œ m→ +m

2)

→ → m→ +  ,m œ m ,  → +m

3)

m→ + m œ ! si y sólo si → + œ !ß !ß ! œ )

4)

m!→ + m œ ! † m→ + m; con ! Á !

5)

" • ?œ → → + es un vector unitario en la dirección de → + , si m→ +m Á ! m+m

¸¸

a b

Observaciones

1) 2)

El vector nulo ) no tiene dirección definida. Es claro que para ! − ‘, ! Á 0, la dirección de !→ + es la misma que la de → +. Si !  !, ambos → +. vectores tendrán igual sentido y si !  !, el sentido de ! + será el contrario del sentido de →

Ejemplos: 1)

c È a

d

• • • → Dados los vectores → + œ $3  4  5 y , œ "ß !ß  * .

+ Calcula en módulo de → # → m + m œ $#   "  " # œ

É a b

È

*""œ

69

""

u. de m.

b


2)

→ Calcula en módulo de , → # # m,mœ

3)

a b È

É

#

" !  *

œ

"  !  )" œ

È a

u. de m.

)#

b

→ Calcula en módulo de → +  , → m→ +  , m œ m $ß  "ß"  "ß!ß  * m →

c d c d c d É a b a b È È

m→ +  , m œ m %ß  "ß  ) m

→

m→ +  ,mœ

→

m→ +  ,mœ

%#   " #   ) "'  "  '% œ

#

)" œ *

Z E M O G È O I N I G R I V

4)

+. Determina un vector unitario en la dirección de →

1°

+ m. Como fue determinado en el ejemplo 1, tenemos Para ello necesitamos el móludo de m→ → quem + m œ "" u. de m.

2°

Por lo tanto,

È a

b

" • ?œ → → + œ m+m

ÈŒ "

""

•

•

•

$3  4  5

 È È œ

$

""

•

3

"

Ejercicios: 1)

Determine la norma de los siguientes vectores

a)

→ ? œ [ "ß # $ß  & ]

b)

→ @ œ [  $ß  $ß  " ]

c)

Si → @ œ [  "ß  $ß # ] → #ll? ll  $ll→ @ ll

2)

Determina el valor de 5 para que:

a)

ll→ ? ll œ (ß donde → ? œ [#ß $ß 5 ]

b)

ll→ ? ll œ & donde → ? œ [  5ß $ß "]

3)

È

y

""

•

4

"

""

•

5

→ ? œ [#ß !ß  "], entonces determina

• • • ? œ Ò  "ß # ß $Ó C → @ œ 3  4  '5Þ Determina el vector unitario en la dirección de: Sea →

a)

→ ?

4)

Determina el vector unitario en la dirección de → ? con norma 5.

b)

→ @

70



È È È È È – È È È — – È È È — – È È È —

a) b) c) a) b)

$) "* # &  $ "% 5 œ ' 5 œ "& " # • ?œ ß ß "% "%

a)

4)

@ œ



Definición:

Ejemplo:

"

•

b)

&

"%

$)

"!

ß

"%

$

"%

"

ß 

$)

'

ß

$)

"&

ß

"%


→ + y , son paralelos si y sólo si existe un número ! − ‘ tal que Dos vectores → → , œ !→ +. •

•

•

Los vectores → + œ  $3  4  5 →

•

→

y

•

•

•

, œ '3  #4  #5 son paralelos puesto que:

•

•

, œ '3 #4  #5

→

, œ #

Œ

•

•



•

 $3  4  5

→

→

, œ  #→ + , esto significa que la magnitud del vector , es 2 veces la magnitud del

+ . Ambos vectores son paralelos, pero tienen dirección contraria. vector →

Definición:

c

d

c

c

d !

dc

→ → + † , œ + " ß + # ß + $ † , " ß , #ß , $ œ

Ejemplo:

d

→ + œ +" ß +# ß + $ y , œ , "ß , #ß , $ dos vectores. Se define el Producto Escalar o Sean → → → Producto Punto de + y , como el número:

c

$

5œ"

d

+ 5 †,5 œ + " † ,"  +# † , #  + $ † , $

c d

→ Sean los vectores → + œ  "ß $ß ' y , œ $ß "ß ( , entonces el producto escalar → → + † , → → + † , → → + † , → → + † ,

c

dc d

œ  "ß $ß ' † $ß "ß (

a b

œ œ " †$$†"'†( œ  $  $  %# œ %#

71


Ejercicios: 1) a)

→ ? † @

2)

Calcula el valor de 5 si #ß $ß 5 † 5ß "ß % œ #"

b)

#† ? † A

c dc d

Respuestas: 1)

a) b)

2)

5 œ $

Teorema:

"  "%

c

Sea : el menor ángulo formado por los vectores → + œ +" ß +# ß +$ y → → → + † , œ m→ + m † m , m † - 9= :

Corolario: i)

→ El ángulo entre los vectores → + y , es : œ E<--9=

Ô Õ

→ → + † , → →

m+m†m, m

iii)

→ + †→ + œ m→ + m#

iv)

→ → Dos vectores no nulos → + y , son perpendiculares si y sólo si → + † , œ !.

Ejemplos: • • • 1) Dado dos vectores, → + œ #3  4  #5 → forman los vectores → + y ,.

1°

→

, œ , "ß , #ß ,$ . Entonces:

→ + y , ésta dado por El coseno del ángulo formado por los vectores → → → + † , -9= : œ → . → m+m†m, m

ii)

Z E M O d c d G O I × Ø N I G R I V

• • • • • • • Sea → ? œ  #3  4  $5 , → @ œ  #3  5 y → A œ $3  4 Þ Determina:

y

→

•

•

, œ 3  4. Determinaremos el coseno y el ángulo que

→ → Para ello es necesario determinar → + † , , m→ + m y m , m.

Œ È

Œ  È

• • • • • → → + † , œ #3  4  #5 † 3  4 œ #  "  ! œ $

m→ +m œ

%" % œ

*œ$

72


→

m,mœ

2°

È

""! œ

È #

Z È È E d ” È • c M c d O d G O I N I G R I V

→ + y , es: Luego, el coseno del ángulo formado por los vectores → → → + † , $ " -9= : œ œ œ → # $† # m→ +m†m, m

3°

#

→ Y el ángulo formado por los vectores → + y , es el siguiente: : œ E<--9=

Ô Õ

→ → + † , → →

m+m†m, m

× Ø

œ E<--9=

" #

# œ

1

%

<+.

→ 1 Así, el menor ángulo formado por los vectores → + y , es <+. . %

2)

c

d

c

→ Los vectores → + œ  %ß &ß ( y , œ "ß  #ß # son perpendiculares. En efecto, ambos son no → nulos y además → + † , œ  %  "!  "% œ !.

Ejercicios: 1)

Sean → ? œ 3  #4  $5à → @ œ  $3  #4  &5 y → A œ #3  %4  5 . Calcula:

a) b) c)

?y→ @ El coseno y el ángulo entre → → → El coseno y el ángulo entre ? y A El coseno y el ángulo entre → @y→ A

2)

Para el triángulo cuyos vértices están en EÐ#ß  &ß$Ñß FÐ "ß(ß!Ñ y GÐ  %ß*ß(Ñ, determine las medidas de los ángulos interiores.

Respuestas: 1)

2)

a) b)

-9= ! œ -9= ! œ

c)

-9= ! œ

È È É

% "$$ "$$ "$ ' %# #" $)

w

ww

w

ww

w

ww

! œ '* ‰ %# #!

à à

! œ %! ‰ %" %(

! œ %" ‰ &) %%

à

! œ #*ß(' ‰ " œ *'ß)) ‰ # œ &$ß$' ‰

73


Z E M O G O I N I G R I   V

Definición: Sea → + un vector no nulo. Los ángulos !, " y # que → + forma con los ejes coordenados se → llaman Angulos Directores de + .

a

γ

a3

α β

a1 a2

-9= ! œ

+" ll→ + ll

-9= " œ

+" œ m→ + m-9= !à

+# ll→ + ll

-9= # œ

+$ ll→ + ll

+ # œ m→ + m-9= " à + $ œ m → + m-9= #

Luego, si conocemos los cosenos directores de un vector → + y su longitud m→ + m el vector → + queda completamente determinado. Por otro lado: m→ +mœ

É

+"#  +##  +$#

# # # m→ + m # œ +  +  + œ m→ + m # -9= # !  m → + m # -9= # "  m → + m #-9= ## "

#

$

c

d

m→ + m # œ m→ + m # † -9= # !  -9= # "  -9= ##

Luego:

-9=# !  -9=# "  -9= # # œ "

Esta ecuación nos indica que los cosenos directores no son arbitrarios.

Y que además, el vector a forma un ángulo α con el lado positivo del eje x, β con el lado positivo del eje y , γ con el eje positivo del eje z. Estos ángulos reciben el nombre de Ángulos Directores del vector .

Sabían ustedes que las componentes de a : a 1 , a 2 , a3 se llaman Números Directores.

Los ángulos directores se determinan de la siguiente forma: ! œ E<- -9=

  +"

m→ +m

à

" œ E<- -9=

74

  +#

m→ +m

à

# œ E<--9=

+$

m→ +m


• • • Ejemplo: Si → @ œ  3  4  #5 , entonces:

a)

Los cosenos directores son los siguientes, sabiendo que m→ @m œ -9= ! œ 

b)

È

" '

à

-9= " œ

È "

à -9= # œ 

'

 È   È   È 

# œ E<- -9=

"



" œ E<- -9=



œ ""% 9

'

"

'

#

'

œ '' 9

œ "% 4,749

Ejercicios:

3)

#

'


Encuentra los cosenos directores de → @ œ Ò"ß#ß*ÓÞ → Encuentra los ángulos directores de @ œ Ò  "ß #ß * ÓÞ • • • Determina los ángulos directores del vector → @ œ #3  $4 %5 y prueba que # # 2 -9= !  -9= "  -9= # = "


':

Los àngulos directores se determinan obteniendo el arco coseno de los valores anteriores. Esto es: ! œ E<- -9=

1) 2)

È È

-9= ! œ  ! œ *'ß "9 ! œ ')ß #9

Definición:

È

" )'

à

-9= " œ

È

# )'

à -9= # =

" œ ((ß &9 # œ "$ß *9 " œ &'ß " 9 # œ %#ß ! 9

È

* )'

→ → + y , dos vectores no nulos. Se llama Proyección Escalar de , sobre → + al Sean → número: → , T <9C I =- → +

→ → + † , œ → m+m

b Proy. Escalar

75

a


Definición:

→ → → + † , • , T <9C Z /-> → œ → + + m+m

→ → → + † , → , T <9C Z /-> → œ → + + m + m#

o

b Proy. Vectorial

Ejemplo: 1°

a

Dado los vectores → ? œ Ò  "ß #ß "Ó y → @ œ Ò $ß  #ß %ÓÞ Determinemos la proyección → → escalar y la proyección vectorial de @ sobre ? es:

Calculemos el pruducto punto y la norma del vector → ?. → ? †→ @ œ Ò  "ß #ß "Ó † Ò $ß  #ß %Ó œ  $  %  % œ  $ m→ ?m œ

2°

È

"%" œ

È '

Ahora, obtendremos la proyección escalar: T <9C I=-

3°

→ @ → ?

œ

È

$ '

œ  "ß ##%(%%)("ÞÞÞ

Calculando la proyección vectorial: →

@ T <9C Z /-> → œ ?

$

ŠÈ ‹ '

#Ò

 "ß #ß "Ó œ

Ejercicios: Determina la proyección vectorial de → ? sobre → @ß 1) 2)

• • • • • • → → ? œ #3  $4  5 ß @ œ 3  #4  '5 → ? œ Ò #ß "ß # Ó , → @ œ Ò !ß $ß % Ó

Respuestas: 1) 2)

#• % • "# • 3 4 5 %" %" %" $$ %% !ß ß #& #&

”

Z E M O G O I • N I G R I V

→ → Sean → + y , dos vectores no nulos. Se llama Proyección Vectorial de , sobre → + al vector:

•

76

”

$ ' $ ß ß ' ' '


c

d

→ → + ‚ , œ

a ”º

b

d

º º

+# ,#

+$ + ß  " ,$ ,"

º

c

ºº

+$ + ß " ,$ ,"

º º

→ + → + ‚ , œ #

o

Ejemplo:

c

+ +$ • 3 " ,$ ,"

,#

º

+$ • + 4 " ," ,$

d c

d

º

" "

º º

$ • # 3 % $

º º

$ • # 4 % $

+# • 5 ,#

º

• • " • • 5 œ 3  "(4  &5 œ "ß  "(ß  & "

Ejercicios: Determina el producto cruz entre los siguientes vectores.

2)

• • • @ œ #3  $4  %5 y → • • • • • • → ? œ #3  %4  &5 y → @ œ  $3  #4  5

3)

• • → ? œ Ò #ß  "ß ! Ó y → @ œ 3 5

• • • → ? œ 3  4  #5

Respuestas:

2)

• • • → A œ  #3  )4  &5 • • • → A œ  '3  "$4  )5

3)

• • • → A œ 3 #4  5

1)

+# ,#

Sean los vectores → ? œ #,",  $ , → @ œ $,  " ,% . Determinaremos el producto cruz de → → ? y @ . En efecto:

→ ? ‚→ @ œ

1)

Z º• E º º M O c d G O I N I G R ‹ I V

→ Sean → + œ +" ß +# ß + $ y , œ , " ß , #ß , $ dos vectores. Se llama Producto Vectorial o → Producto Cruz de → + y , en ese orden al vector:

Definición:

Propiedades del Producto Cruz. Sean → ? y → @ dos vectores en ‘$, entonces:

Š ‹

‹

1)

→ ? ‚→ @ œ  → @ ‚→ ? Þ Propiedad Anticonmutativa para el producto vectorial Þ

2)

→ ? † → ? ‚→ @ œ! • → @ † → ? ‚→ @ œ ! . Entonces

3)

p p Si → ? y→ @ son vector no nulo, entonces ? y @ son paralelos si y sólo si → ? ‚→ @ œ)

Š

Š

‹

77

Š

→ ? ‚→ @ es ortogonal a → ? y→ @.


Ejercicios: 1)

Determina un vector perpendicular a → ?y→ @ simultáneamente: → ? = Ò #ß "ß $Ó y • • → ? œ35 y

a) b) 2)

• • • → @ œ #3  4  5

Determina un vector unitario que sea ortogonal a: • • • → ? œ 3  %4  5 y → ? œ Ò #ß  $ß !Ó

a) b) 3)

→ @ œ Ò"ß !ß #Ó

Determina a través del producto cruz si los siguientes vectores son paralelos: → ? = Ò "ß  #ß $Ó y

Respuestas: 1)

a) b)

2)

a)

cc

→ @ œ Ò#ß %ß 'Ó

dd

#ß "ß " "ß  "ß " $ •  3 "$% * •  3 ")"

b) 3)

• • → @ œ #3  $4 → @ œ Ò !ß % ß $Ó y


È È

È È

#

•

4

"$% ' • 4 ")"

Los vectores no son paralelos.

È È

""

•

5

"$% ) • 5 ")"

Teorema: Si : es el ángulo entre → ? C→ @ ß entonces m→ ? ‚→ @ m œ m→ ? m † m→ @ m=/8 :. m→ ? ‚→ @m

Es decir: sen : œ → m ? m † m→ @m

Ejemplo: 1°

? y→ @ . Determinemos : y =/8 :ß usando producto Si : es el ángulo formado por → → cruz dado que → . ? œ  "ß "ß " ß @ œ #ß "ß #

c

d c d

Calcularemos m→ ? ‚→ @ m, m→ ? m y m→ @ m.

º º º º º È È È È È È

º

• • " " • " " • " " • • → ? ‚→ @ œ 3 4 5 œ 3  %4  $5

" #

m→ ? ‚→ @m œ m→ ?m œ m→ @mœ

#

#

"  "'  * œ

""" œ

$

%" % œ

*œ$

#

"

#'

78


2°

Determinando el =/8 :, tenemos que: =/8 : œ

3°

m→ ? ‚→ @m

m→ ? m † m→ @m

œ

È È

#'

$†$

œ

" $

Ê

#' œ !ß *)"$!'('#ÞÞÞ $

El ángulo queda determinado como sigue: : œ E<-=/8

 Ê  " $

#' $

œ ()ß * 9

Ejercicios: Encuentra el ángulo : entre los vectores a) b)

• • • → ? =#3  4  5 y → ? œ  "ß !ß % y

c

Respuestas: a)

=/8 : œ

b)

=/8 : œ

• • • → @ œ  $3  #4  %5 → @ œ  #ß "ß #

d

c

È ÈÈ È È $!

'† &$

$

"(

d

Ê : œ #%ß & 9

#*


Ê : œ $'ß " 9

Interpretación Geométrica de m ? ‚ @ m.

Sea el paralelógramo T UVW definido por los vectores → ? y → @ . Por geometría básica, se tiene que: S

R

v h = || v || sen ϕ ϕ

P

u

Q

Area ò œ base † altura ? ‚→ @m Area ò œ m→

79


Ejemplo:

1°

Primero calcularemos → ? ‚→ @ . En efecto:

º º º º º º

" ! • ! ! • ! " • • → ? ‚→ @ œ 3 4 5œ3 " "

2°

! "

Determinaremos la morma de → ? ‚→ @. m→ ? ‚→ @m œ

3°

Z E M O d G O I N I G R I V

Calculemos el área del paralelógramo que tiene como lados adyacentes los siguientes • • • vectores: → ? œ 4ß → @ œ 45

! "

È

"œ"

c

En consecuencia, tenemos que el área del paralelógramo es " ?Þ./+Þ .

Ejemplo: Encontremos el área del triángulo de vértices EÐ!ß #ß#Ñß FÐ)ß )ß  #Ñy GÐ*ß "#ß 'Ñ. 1°

En primer lugar, debemos determinar los vectores que forman el tríangulo.

c c

→ → + œ EF œ F  E œ )ß 'ß  % → → , œ EG œ G  E œ *ß "!ß %

2°

d

d

Debemos calcular el área del triángulo, que es equivalente a la mitad del área del paralelógramo. " #

A˜ œ Aò → " + ‚ ,m A˜ œ m→ #

3°

→ + ‚ ,: Calculando →

º

→ ' → + ‚ , œ

"!

º º

% • ) 3 % *

º º º

• • • % • ) ' • 4 5 œ '%3  ')4  #'5 % * "!

80


4°

Determinando la norma del vector obtenido en el 3° paso: →

m→ + ‚ ,m œ

5°

È

*$*'

En consecuencia, podemos afirmar que el área del triángulo es: " †# #

È

# $%* œ

È

#$%* œ %)ß %''%)$#'ÞÞÞ Ð? . ./+ .Ñ

Ejercicios: 1)

Z E M O G O I N I G ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ R I V

Calcula el área del paralelógramo de lados adyacentes los vectores → → ? œ Ò$ß #ß  "Ó y @ œ Ò "ß #ß $Ó

2)

→ → Calcula el área del paralelógramo con los vértices que se especifican y de lados EF y EG .

a)

E œ Ð"ß"ß" Ñß F œ Ð#ß $ß %Ñ ß G œ Ð'ß &ß #Ñ

b)

E œ Ð"ß$ß  #Ñß F œ Ð#ß "ß%Ñ , G œ Ð  $ß"ß'Ñ

c)

E œ Ð+ß !ß!Ñß F œ Ð!ß ,ß!Ñß G œ Ð!ß!ß-Ñ

3)

Calcula el área del triángulo de vértices E œ Ð"ß$ß&Ñß F œ Ð$ß $ß!Ñß G œ Ð  #ß!ß&Ñ

Respuestas: 1) 2)

3)

È È È È È

& Ò?. ./ + .Ó a) # )$ Ò?. ./ + .Ó b) " "%! Ò?. ./ +.Ó +# , #  + # -#  , #- # Ò?. ./ + .Ó c) * ' Ò?. ./ +.Ó # '

Š

→ → → Definición: Sean → + , , ,→ - tres vectores. Los productos → + † , ‚→ - y → + ‚ , †→ - se llaman → → + ‚ , ‚→ - y → + ‚ , ‚→ Producto Escalar Triple y los productos de la forma →

se llaman Producto Vectorial Triple .

81


Observación:

1)

º Š

‹º

→ + † , ‚→ El número → → vectores → +, , y → -.

representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los

n c

h ϕ b

a

2)

Š

Z E M O º Š ‹º G O Ic d c d a b N I ‹ º G R I V

Z œ +†

‹

, ‚ -

→ → + † , ‚→ - œ !, entonces los vectores → +, ,, → - son coplanares. Si →

Ejemplo:

? = $ß  &ß " ß Determinemos el volumen del paralelepípedo que tiene a → → → @ œ !ß #ß  # y A œ $ß "ß " como lados adyacentes.

c

d

c d

1°

? ‚→ @ . En efecto, → ? ‚→ @ œ )ß 'ß ' Buscando, en primer lugar, →

2°

? ‚→ @ †→ A œ )ß'ß' $ß"ß" œ #%  '  ' œ $' Calculemos →

3°

Entonces, el volumen del paralelepipedo es

Š

‹ c dc d ºŠ

→ ? ‚→ @ †→ A œ $' Ð?Þ . / @ ÞÑ

Ejercicios: 1)

Calcula el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes

c d

→ ? œ "ß "ß ! ß

2)

Verifiquémoslo

c d

→ @ œ !ß "ß " ß

c d

→ A œ "ß !ß "

→ → → Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores T U ß T V y T W , donde T Ð #ß " ß  "Ñ ß UÐ  $ß " ß %Ñ ß VÐ  "ß ! ß #Ñ y W Ð  $ß  "ß & Ñ .

82


3)

Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son:

a b a b a b a b

E "ß "ß " ß F !ß ! ß # ß G !ß$ß ! , H %ß !ß !

El volumen de un tetaedro está dado por: Z œ

Œ ºŠ

" " " F2 œ $ $ #

Respuestas: 1)

# Ð?. ./ @.Ñ

3)

El volumen de un tetaedro está dado por: Z œ

cc c

dd d ââ â ‹ âââ

2)

→ ? œ  " ß  "ß " → @ œ  "ß #ß  " → A œ $ ß  "ß  "

Š

" " $

→ ? ‚→ @ †→ Aœ

Z œ

" # "

ââââ ââ

& Ð?Þ ./ @ÞÑ

Œ ºŠ

" " " F2 œ $ $ #

‹ º Z E M O G ‹ º O I N I G c d R I V

→ ? ‚→ @ †→ A

→ ? ‚→ @ †→ A

"  " œ  "Ð  #  "Ñ  " Ð"  $Ñ  "Ð"  'Ñ œ # "

" " †# œ Ð ?Þ ./ @Þ Ñ ' $

3

Rectas en ‘ .

Consideremos una recta P que pasa por el punto T! ÐB! ß C! ß D! Ñ y es paralela al vector → < œ +ß ,ß mostrado en la figura

83


z P

P 0

L r y x

Z E M b O G b O I b N I G R I V

→ La recta P es el conjunto de todos los puntos T ÐBß Cß DÑ del espacio para los cuales el vector T! T → es paralelo a → < . Una manera de expresar que T! T es paralelo a → < es afirmar que existe un escalar > tal que:

a

T! T œ > <

c

d

Ecuación Vectorial de la Recta P

c d d c

→ Si T! T œ T  T ! œ B  B ! ß C  C ! ß D  D ! y → < œ +ß ,ß - , entonces

c es decir: B  B! œ +>ß

Ú ÛÜ

o bien:

→

T! T œ >→ < B  B! ßC  C! ßD  D ! œ +>ß,>ß->

C  C! œ ,>ß

d

D  D! œ ->

B œ B!  +> C œ C!  ,> ß > − ‘ D œ D!  - >

a

Ecuación Paramétrica de la recta P

Si +ß ,ß - son no nulos, entonces eliminando el parámetro > se tiene:

a

B  B! C  C! D  D ! ; œ œ + , -

Ecuación simétrica o cartesiana de la recta P

Observaciones:

c d

< œ +ß ,ß - determina la dirección de la recta y los números +ß ,ß - son los números i) El vector → directores de ella.

ii) Si uno de los números directores de una recta P es cero, por ejemplo , œ !ß entonces la recta tiene por ecuación: B  B! +

œ

D  D! à C œ C! -

Ejemplo:

Determinemos la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos T" Ð  $ß # ß %Ñ y T# Ð'ß "ß# Ñ.

84


Z E M O G c O d c d I dc d N I ¼ G R I V

1° Necesitamos conocer el vector director de la recta P. Como nos dicen que la recta pasa por los puntos → T" y T# , podemos afirmar que → < œ T" T# œ * ß  "ß  # es el vector director de P.

c

d

2° Si escogemos a T " como el punto por donde pasa la recta, la ecuación simétrica de la recta es: B$ C # D % œ œ * " #

Sean P" y P# dos rectas; → <1 vector director de P" C → <# vector director de P#.

Definición: a) b)

P" es paralela a P# si → <1 ² → <2 P" es perpendicular a P# si → <1 ¼ → <2

Ejemplo: Averiguemos si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares B œ  "  >ß

C œ #  $>ß

Dœ>

B œ #  >ß

C œ  #  >ß

D œ $  #>

y

Para averiguar si las dos rectas son paralelas debiera ocurrir que → <1 ² → <2, es decir, → → → bien que <1 ‚ <2 œ @. En efecto, los vectores directores son <1 œ "ß  $ß " y → → Se ve claramente que < Á ! < . 1

2

c

→ <1 œ ! → <2 o → < œ "ß "ß # . 2

<1 ¼ → <2 , es decir → <1 † → <2 œ !. En efecto, "ß  $ß " † "ß "ß # œ !. Ahora verifiquemos si → Por lo tanto las rectas son perpendiculares.

Ejercicios: 1)

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por Ð#ß "ß  $Ñ con vector director [ "ß "ß $]

2)

Encuentra las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por Ð"ß %ß $Ñy que es a la recta: B œ #  > ; C œ "  > ; D œ  $  &> .

3)

Encuentra la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por Ð#ß &ß 'Ñ y Ð  *ß $ ß "Ñ.

4)

Considera la recta P cuyas ecuaciones son: PÀ

Ú ÛÜ

B œ #  $> Cœ> ß>−‘ D œ "t

Determina un vector unitario paralelo a P y dos puntos distintos de la recta.

85


5) 6)


Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos T" Ð  "ß " ß #Ñ y T# œ Ð#ß$ß"Ñ. Encuentra la ecuación de una recta P ortogonal a las dos rectas dada y que pasa por el punto dado

B# C$ D" œ œ à % ( $

B# C& D$ œ œ à Ð  %ß (ß $Ñ $ % #

Respuestas: 1)

B œ #> C œ "> D œ  $  $>

2)

B"œ

3)

B# C& D' œ œ "" # &

4)

→ ? œ

5)

P À B œ  "  $>à C œ "  #>à D œ #  >à > − ‘

6)

B% C( D$ œ œ #' " $(

’

C% D$ œ " &



È ß È ß È “ y dos puntos distintos son EÐ#ß !  "Ñ, FÐ  "ß "ß !Ñ. $ ""

" ""

" ""

Teorema: Sea P una recta paralela al vector → < y sea E un punto del espacio que no pertenece a P y T! un punto cualquiera que pertenece a la recta. La distancia . de E a P está dada por: z r

A x

y d

θ

P 0 L

.œ

86

m < ‚ T! Em m


Ejemplo: PÀ

1°

B" C' D$ . œ œ $ " #

Mostraremos los elementos básicos de la recta P. → < œ $ß "ß # ß T  "ß 'ß $

c d a

b

!

→ Calcularemos el vector T! E Þ →

2°

a

b

T! E œ E  T! œ Ð"ß#ß "Ñ   "ß'ß$ œ Ò#ß  %ß %Ó

c d È

3°

< m œ m $ß " ß # m œ Calcularemos m→

4°

→ Calcularemos m→ < ‚ T! Em.

*"% œ

È

"%

→ < ‚ T! E. En efecto: Para ello, debemos determinar el vector →

c d ”º º º c d È

→ → < ‚ T! E œ $ß"ß# ‚ Ò#ß  %ß  %Ó → → < ‚TE œ !

" %

# $ à % #

ºº

# $ à % #

º•

" %

→ → < ‚ T ! E œ %à "'à  "%

→ < ‚ T! E m œ Ahora bien, m→

5°

Z E M O G O I b N I G R I V

Determinemos la distancia desde el punto EÐ"ß#ß  "Ñ a la recta

"'  #&'  "*' œ

È

Por tanto, la distancia del punto E a la recta P es . œ

È È a È

%') œ ' '

Ejercicios: 1) Determina si las rectas dadas son paralelas o perpendiculares C œ  #  %>ß D œ  "  "! >

"$

"%

"$

?Þ ./ 7Þ

B# C$ D% œ œ $ # &

y

B œ '>ß

2)

Sean los puntos EÐ  "ß "ß #Ñ y FÐ$ß "ß #ÑÞ Determina la ecuación de la recta que pasa por E y F.

3)

Determina la distancia entre el punto UÐ$ß  "ß %Ñ y la recta dada por B œ  #  $> ß C œ  # >ß

D œ "  %>

4) Determina la distancia entre el punto VÐ"!ß $ß  #Ñ y la recta dada por B œ %>  #à D œ > "

87

C œ $à


Respuestas: 1)

c

d

cc

dd c

→ < " œ $ß  #ß & ß → < # œ 'ß  %ß "! → < " œ # † < # ß es decir, $ß  #ß & œ

" #

† 'ß  %ß "!

d

Por lo tanto las rectas son paralelas. 2)

B" à C œ "à D œ # %

È a

3)

.ÐUß PÑ œ

4)

.ÐVß PÑ œ ! Obs.: V − P

Planos en ‘$.

ˆ

'

‰

b c d


Sean T! B!ß C! ß D! un punto fijo del espacio y → 8 œ +ß ,ß - un vector dado, con → 8 Á ). z

n P P 0

y x

a b

Un punto T Bß Cß D del espacio perteneciente al plano que contiene a T! y es perpendicular al → vector → 8 si y sólo si el vector T! T es perpendicular a → 8. → 8 †T !T œ ! ;

c

Ecuación Vectorial del Plano.

d

→ Como T9 T œ T  T ! œ B  B! ß C  C ! ß D  D ! , entonces → → 8 † T T œ!

ca d b c a b a d b !

+ß , ß - † B  B! ß C  C ! ß D  D ! œ ! + B  B!  , C  C!  - D  D! œ ! +B  +B!  ,C  ,C!  - D  - D! œ !

donde . œ  +B!  ,C!  -D! ; entonces +B  ,C  -D  . œ ! ;

Ecuación Cartesiana del Plano.

Entonces, podemos concluir que la ecuación del plano se puede determinar de dos formas: a través de la ecuación vectorial o de la ecuación cartesiana.

88


a

c

d

8 œ  "ß #ß $ y pasa Determinemos la ecuación del plano que tiene vector normal →

b

Ejemplo: por T  "ß "ß $ .

Z E M O c d G O I N I G R I V

De la definición dada, podemos determinar la ecuación del plano de dos formas:

aca bb a a b a b bd ca b dc a b ac b a d b

1°

T  T ! œ Bß Cß D  B! ß C ! ß D ! T  T! œ B  " ß C  " ß D  $

Por lo tanto

c À c À c À

→ 8 œ  "ß #ß $ y pasa por T  "ß "ß $

2°

d

B  "ß C  "ß D  $ †  "ß #ß $ œ !  B  "  #ÐC  "Ñ  $ ÐD  $Ñ œ !  B  #C  $D œ "# Ê

B! œ  "

. œ  " †  "  # † "  $ † $ œ "#

Por lo tanto, reemplazamos en la ecuación general del plano.

Ejercicios:

Ê

;

C! œ " ;

D! œ $

 B  # C  $D œ "#

1)

8 œ "ß !ß ! Halla la ecuación del plano que pasa por el punto T Ð#ß "ß #Ñ y su vector normal es →

2)

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto T Ð#ß"ß  "Ñ y es perpendicular al vector → 8 œ #ß " ß  $ .

3)

Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos T œ Ð"ß#ß"Ñß U œ Ð  #ß$ß  "Ñ y

c

d

V œ Ð"ß !ß%Ñ


B œ # #B  C  $D œ )  B *C 'D œ #$

Distancia de un Punto a un Plano.

Se puede probar que en general la distancia . entre un punto T " y un plano c está dada por: Hœ

ó bien

Hœ

m8 † T0 T " m m8 m

l + B"  , C"  - D"  . l

È

+#  , #  - #

p

donde T" − c y 8 es un vector normal al plano c

a b

Ejemplo: Determina la distancia del punto E %ß !ß " al plano #B  C  )D œ $

89


a b

c

Z È a E b M O G O I N I G R I V d

1°

Sabemos que E %ß !ß " es el punto fuera del plano y → 8 œ #ß  "ß ) el vector normal al plano que se obtiene de la ecuación del plano.

2°

Determinaremos el valor de la expresión + B"  , C"  - D"  . . En efecto:

¸

¸

¸ ¸

¸ ¸

# † %  " † !  ) † "  $ œ )  )  $ œ "$

3°

8m œ Calculando la norma del vector director, tenemos que m→

4°

Luego, tenemos que la distancia del punto al plano es: . œ

"$ '*

È

a b

'* œ "ß&'&!"'!*ÞÞÞ u. de l.

Ejercicios: 1)

Dertermina la distancia del punto dado al plano dado a) Ð  $ß !ß #Ñ à  $ B  C  & D œ ! b) Ð"ß & ß  %Ñ à $ B  C  # D œ '

2)

Dertermina la distancia desde el punto Ð!ß "ß "Ñ al plano de vector normal [ $, ", '] y que pasa por T Ð"ß "ß #Ñ

Respuestas: 1)

È È È "*

a) . œ

$& "'

b) . œ 2)

'* ¡verifícalo!

.œ

*

"%

¸ $ß #" Ð? ./ 6Ñ ¸ %ß #( Ð? ./ 6Ñ

%'

Planos Paralelos.

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto cruz de sus vectores normales es el vector nulo.

90


Z E M O G O I N I G R b I V

La distancia entre dos planos paralelos c y d que no contienen al origen, está dado por: Hœ

¹

."  . #

¹

m8 m

donde: ." œ T" † 8 y .# œ T# † 8 T" − Plano c"

Ejemplo: 1°

y

T# − Plano c #

Derterminemos la distancia entre los planos paralelos $B  C  #D  ' œ ! 'B  #C  %D  % œ !.

Determinemos los puntos T" y T # que pertenencen a los planos respectivos.

a b

Sea T" œ "ß "ß # − Plano c" 2°

y

a

y

b

T# œ "ß "ß  # − Plano c #

Calculemos los valores de ." y .#. En efecto:

a bc d a bc d c d È È

." œ T " † 8 œ "ß "ß # † $ß  "ß # œ ' .# œ T# † 8 œ "ß "ß  # † $ß  "ß # œ  #

3° Calculemos la norma de uno de los vectores directores de los planos. Para ello, trabajaremos con el vector → 8 œ $ß  " ß # ²→ 8² œ

4°

*" % œ

"%

Por lo tanto, podemos determinar la distancia entre los planos. Esta es: Hœ

l."  .# l ²→ 8²

œ

È

l'  Ð  #Ñl "%

91

œ

È a )

"%

?Þ ./ 6Þ


a b


Ejemplo: Determina la ecuación cartesiana del plano c ß que contiene el punto "ß #ß $ y es paralela al plano d À $B  C  #D œ %. Encuentre, además, la distancia entre ambos planos. 1°

Como c ² d , se tiene que sus vectores directores también son paralelos. Por lo tanto, un vector 8 œ $ß  " ß # normal para c es →

2°

La ecuación de plano solicitada es:

c

d

a b a b a b

c À $ B  "  " C  #  # D  $ œ ! c À $B  $  C  #  #D  ' œ ! c À $B  C  #D  ( œ !

3°

La distancia entre ambos planos es: Hœ

¸ ¸ È %( "%

a b

œ !ß )!"()$($ ?Þ ./ 6Þ

Ejercicio: Determina la distancia entre los dos planos paralelos #B  C  D œ " y %B  #C  #D œ $.

Respuesta:

.œ

a b

È "

œ !ß #!% ?Þ ./ 6Þ

#%

Planos Perpendiculares.

Dos planos c" y c # son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares, es decir → → 8 1 ¼ 8 # ß donde → 81 y → 8 # son vectores normales a c" y c #.

Ejemplo: 1°

Determinemos si los siguientes planos B  #C  $D œ & y #B  #C  #D œ % son perpendiculares.

Obtengamos los vectores directores de los planos correspondientes.

c

→ 8 1 œ "ß  #ß  $

2°

d

y

c

→ 8 # œ #ß  #ß #

d

81 †→ 8 # œ !. En efecto: Diremos que los planos son perpendiculares si y sólo si → Ò"ß  #ß  $Ó † Ò#ß  #ß#Ó œ #  %  ' œ !

Por lo tanto los planos son perpendiculares

Ejercicios: 1) 2)

a

b

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto  #ß $ß % y es paralela al plano &B  #C  $D œ !. Determina el valor de 5 de modo que los planos 5B  #C  $D œ & y 'B  5C  #D œ  $ sean perpendiculares.

92



3)

Determina si los siguientes pares de planos son paralelos o perpendiculares

a) b) c)

&B  $C  D œ %ß B  %C  (D œ " $B  C %D œ $  *B  $C  "#D œ % B $C 'D œ % &B C  D œ %


&B  #C  $D œ  #) $ 5œ %

Son perpendiculares en +ß son paralelos en b, No son paralelos ni

Ángulo entre Planos.

perpendiculares en -.

El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores normales a los dos planos. Este ángulo se determina de la siguiente forma:

: œ E<--9=

Ejemplo: 1°

ÔÖ ¹ Õ

8 "Þ 8 #

¹ ×Ù Ø

m 8 " m † m 8 #m

Calculemos el ángulo entre los planos B  #C  D œ ! y #B  $C  #D œ !

¹ ¹ ¹ ¹ ¹c d c d¹ ¹ È È È È ÔÖ ¹c d c d ¹ ×Ù Õ È È Ø

Determinemos → 8 " Þ→ 8 # , m→ 8 " m y m→ 8 # m.

¹

→ 8 " Þ→ 8 # œ "ß  #ß " † #ß $ß  # œ #  '  # œ '

m→ 8 "m œ

"%"œ

'

m→ 8 #m œ

%*%œ

"(

"ß #ß" † #ß$ß #

: œ E<--9=

'†

"(

œ E<--9=

 È 

Ejercicios: Encuentra el ángulo entre los planos. 1)

B C D œ $ •

 %B  #C  (D œ &

2)

B  C D œ !

•

$B  #C  #D œ !

93

'

"!#

œ &$ß && 9


3) a) b) c)


Determinar la ecuación del plano que cumpla con la condición indicada.

Paralelo al plano #B  C  D  " œ ! y contenga al punto Ð#ß $ß %Ñ. Perpendicular al plano B  $C  D  ( œ ! y contenga los puntos Ð#ß !ß &Ñ y Ð!ß #ß  "Ñ. Perpendicular a cada uno de los planos B  C  D œ ! y $B  %C  &D  # œ ! y contenga al punto Ð$ß  #ß"Ñ.

Respuestas: 1)

)'ß !"9

2)

3)

Revise sus respuestas con sus compañeros y luego con su profesor.

94

""ß %#9



Z E a b M O G O I N I G R I V


PROBLEMA 1: Dado los vectores → ? œ Ò  "ß &ß #Ó y → @ œ Ò  #ß $ß "Ó con → ?, → @ − ‘ 3. Determina: a) b) c) d) e) f) g)

Los cosenos directores para → ?. → → La distancia de @ a ? . El área del paralelogramo generado por → ?y → @. La ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto "ß#ß  $ y vector @. director → La ecuación del plano que pasa por $ß #ß " y vector normal → ?. → → La proyección vectorial de ? sobre @ . @ sobre → ?. La proyección escalar de →

a b

PROBLEMA 2: Determina el volumen del paralelepípedo que tiene vértices TÐ&ß%ß&Ñà UÐ%ß"!ß'Ñà → → → VÐ"ß )ß (Ñ y WÐ#ß 'ß *Ñ y aristas T U ß T V C T W .

PROBLEMA 3: Diga si el cuadrilátero que tiene sus vértices en T Ð  "ß#ß$Ñà UÐ%ß $ß  "Ñà VÐ#ß#ß"Ñ y WÐ&ß (ß  $Ñ esun paralelógramo.



PROBLEMA 1: Muestra que los puntos: a) b)

Ð#ß "ß&Ñà Ð),-#ß!Ñà Ð"%ß -&ß&Ñ son colineales (que se ubican en la misma recta) Ð$ß "ß#Ñà Ð- $ß "ß -"Ñà Ð%ß $ß&Ñ y Ð"ß "ß"Ñ son coplanares (que se ubican en el mismo plano)

PROBLEMA 2: Determina si las rectas se intersectan. Si se intersectan, calcula el ángulo que forman. P" :

Ú ÛÜ

B œ $  (> C œ#> à >%‘ D œ $  #>

P# :

Ú ÛÜ

B œ&= C œ $  #= à D œ #  '=

95

= %‘



Z d E M O G O I N I G R I V


c

d

c

d

c

PROBLEMA1: Sean → ? œ "ß  #ß $ à → @ œ  $ß #ß & y → A œ #ß  %ß " . Calcula: a) b) c) d) h) j) k)

→ ? → @ → $ @  &→ A

→

A T<9CI=- → @

→

? T <9C Z /->→ @

→ ? †→ A → A †→ @ El ángulo entre → ?y→ @

?ß → @y → A. Determina el volumen del paralelepípedo generado por los vectores →

PROBLEMA 2: Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto Ð$ß  $ß%Ñ y es perpendicular a cada una de las rectas:

#B% #

œ

C$ "

œ

B#

D# &

y

C#

PROBLEMA 3: Demuestra que las rectas œ $ % paralelas y determina la distancia entre ellas.

B$ #C  ( $D œ œ . " $ $

œ

) D B " #C D$ œ œ y % $ % %


son


PROBLEMA 1: Calcula el ángulo formado por la recta #B  $C  D  "" œ !.

B# C D% œ œ $ " #

y el plano

PROBLEMA 2: Determina la distancia del punto Ð(ß(ß%Ñ a la recta de intersección de los planos 'B  #C  D  % œ ! y 'B  C  #D  "! œ ! .

PROBLEMA 3: Encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta paralelo a la recta:

B" "

œ

C #

œ

D( . &

96

B# C$ D œ œ  y es # $ %





PROBLEMA 1: Determina la distancia del punto Ð#ß  "ß %Ñ al plano #B  &C  %D œ $!.

PROBLEMA 2: Encuentra la ecuación del plano que contiene al punto Ð"ß  "ß#Ñ y a la recta B  # œ C " œ

PROBLEMA 3: Calcula

el

D& #

valor

de 5 para que los %B 5C  'D  * œ ! sean perpendiculares entre si.

planos

5B  #C  #D  ( œ ! y

PROBLEMA 4: Sean !, " y $ los ángulos directores de un vector → +. # # # -9= !  -9= "  -9= $ œ " .

97

Demuestra que


Z E M O G O I N I G R I V 98



_________________________________________ _______________________________

Giuseppe Peano

Max Zorn

El primero en dar una definición axiomática de espacio vectorial real, fue el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) en una publicación en el año 1888. También logró establecer las condiciones que debe cumplir un objeto (por ejemplo un vector) para que sea linealmente dependiente de otros (es decir, se pueda escibir como una combinación lineal) e introduce la idea de dimensión (para referirse al número de elementos de un conjunto).

Más adelante, en 1935, el matemático alemán Max Zorn (1906-1993), publicó un axioma que permitió fundamentar la demostración de varios teoremas relativos a espacios vectoriales, llamado "Lema de Zorn" .

Existen muchas situaciones problemáticas que se pueden resolver con mayor facilidad aplicando los conceptos mencionados. Por ejemplo, en los sistemas de ecuaciones lineales resulta natural considerar combinaciones lineales de las filas de una matriz; también, es posible caracterizar conjuntos tales como ‘2 (vectores en el plano) y ‘3 (vectores en el espacio); etc.

99


Definición:


Un espacio vectorial Z es un conjunto de objetos, llamados vectores, que junto con dos operaciones binarias llamadas adición y multiplicación por un escalar , cumplen las siguientes propiedades

a) Propiedades para la Adición

() À Z ‚Z Ä Z Ð→ Bß → CÑ Ä→ B → C

→ → i) Clausura: a → Bß → C − Z à ÐB C Ñ − Z Þ La suma de dos vectores es un vector. Bß → Cß → D −Z à → B  Ð→ C  → D Ñ œ Ð→ B  → CÑ → D ii) Asociatividad: a → Bß → C − Zà → B → C œ → C  → B iii) Conmutatividad: a →

→ → → a→ B − Z ß bx ) − Z Î → B  ) œ )  → B œ → B

iv) Elemento neutro aditivo:

→ → v) Elemento inverso aditivo: a → B −Zß → B Á ) ß bx  → B −Z Î → B  Ð → B Ñ œ Ð → B Ñ → B œ )

b) Propiedades para la Multiplicación por un Escalar B −Z vi) Clausura bajo la multiplicación por un escalar: a →

• ! − Š ; !→ B −Z

B −Z à vii) Asociatividad de la multiplicación por escalares: a ! ß " − Š ß a → !Ð"→ B Ñ œ Ð! "Ñ→ B

B −Z ß "† B œ → B , donde " es el elemento unitario del cuerpo ŠÞ viii) a →

c) Propiedades Distributivas

Š

‹

ix) a ! − Š ß a → B ß→ C −Z Î ! → B → C œ !→ B  !→ C x)

a !ß " − Šß a → B −Z

Î

a b

! " → B œ !→ B  "→ B

100

(† ) À Š‚Z Ä Z Ð !ß → B Ñ Ä !→ B


Ejemplos: 1)


El conjunto Z œ Ö!× (con Š œ ‘) es un espacio vectorial, llamado trivial. En efecto, ( Z ß  ß † Ñ cumple las propiedades:

a b

i) Clausura: ! − Z à !  ! − Z Þ ii) Asociatividad: ! − Z à

a b a b

! !! œ !! !

iii) Conmutatividad: ! − Z à

!!œ !!

iv) Elemento neutro aditivo:

a ! − Z ß bx ! − Z Î !  ! œ !

v) Elemento inverso aditivo: a ! − Z ß b ! − Z Î !  ! œ !

vi) Clausura bajo la multiplicación por un escalar: ! − Z , ! − ‘ ; !! œ ! − Z vii) Asociatividad de la multiplicación por escalares: a !ß " − ‘ ß ! − Z à

a b a b

! " ! œ ! " ! œ !

viii) ! − Z ß " † ! œ !, donde 1 es el elemento neutro multiplicativo del conjunto ‘Þ

a b a b

ix) a ! − ‘ ß ! − Z Î ! !  ! œ !!  !! x)

a !ß " − ‘ß ! − Z

Î

!  " ! œ !!  "! œ !

2) El conjunto Z œ Ö"× no es un espacio vectorial.

a

b

En efecto, Z ß  ß † no cumple la propiedad de clausura para la adición:

a b

a

b

i) " − Z à "  " œ # Â Z Þ Luego, Z ß  ß † no es un espacio vectorial. Observaciones:

1) Los elementos de Z se denominan vectores y los elementos de Š, escalares.

2) Si Š = ‘ , diremos que Z es un espacio vectorial real . Si Š œ ‚ ß diremos que Z es un espacio vectorial complejo.

101


Ejercicios: Determina si los siguientes conjuntos son e.v. 1)


Z œ ÖÐBß CÑ À C œ 7 B× donde 7 es un número real fijo y B es un número real

arbitrario.

2) Z œ Q #‚$ .

Respuestas: 1)

Z œ ÖÐBß CÑ À C œ 7 B× es un e. v., ya que Z consiste en todos los puntos sobre la recta C œ 7 B que pasa por el origen y tiene pendiente 7 y cumple con todas las propiedades de un e.v.

2)

El conjunto de las matrices de orden # ‚ $, junto con la adición de matrices y la multiplicación por un escalar, cumple con todas las propiedades de un e.v.

Propiedades De Los Espacios Vectoriales. → 1) El elemento neutro ) para la operación adición es único. B de Z , el inverso aditivo  → B es único. 2) Para cada elemento →

a→ Bß→ C ß→ D −Z ß → B → C œ → B  → D Ê→ C œ → D

3) Ley de Cancelación:

4) El producto del escalar ! por cualquier vector es el vector nulo. B −Z à 5) a ! − Šß a →

a b

Š ‹

! → B œ  !→ B

→ 6) a - − Š ß - † ) œ ) → B œ ) 7) ! →

Ê

! œ !

→ ” → B œ ) ß

! −Š • → B − Z .

Subespacios Vectoriales. Definición: Sea

Z un Š - espacio y W un subconjunto de Z Þ Diremos que W es un subespacio vectorial de Z , si W es un espacio vectorial sobre Š con las mismas operaciones de adición y multiplicación por escalar definidas en Z . Se dice que W hereda las operaciones del espacio vectorial Z

Observación:

˜™

→ Cualquiera sea el espacio Z , tanto ) como Z mismo, son subespacios triviales. Los demás subespacios de Z , distintos a los dos mencionados, se llaman subespacios propios.

102



Teorema: Sea Z un Š - espacio vectorial y W un subconjunto de Z . Entonces W vectorial de Z si y sólo si: i) W Á 9 ? −W •→ @ −W Ê→ ? → @ − W ii) →

iii) - − Š • → ? − W Ê -→ ? −W

es un subespacio

Ejemplo: El conjunto W œ ÖÐBß CÑ − ‘# Î B  #C œ ! × es subespacio de ‘#, pues verifica que: → i) W Á 9 , pues ) œ Ð!ß !Ñ − WÞ Al reemplazar Ð!ß !Ñ en Wß se tiene que ! # †! œ !

ii) → ? −W • → @ −W Ê→ ? œ Ð?" ß ?# Ñ • → @ œ Ð@ " ß @ #Ñ − W

Ê ?"  #?# œ ! • @"  #@# œ ! Ê Ð?"  #?# Ñ  Ð @ "  #@ # Ñ œ ! Ê ?"  @"  #? #  #@ # œ ! , al suprimir paréntesis Ê Ð?"  @" Ñ  #Ð? #  @ # Ñ œ ! , al conmutar y asociar Ê Ð ?"  @" ß ? #  @ # Ñ − W , por definición de W Ê Ð?" ß ?# Ñ  Ð@" ß @ # Ñ − W , por adición de vectores Ê → ? → @ − W ? −W • → @ −W Ê→ ? → @ − W Por lo tanto, →

iii) Finalmente, probemos que À

-−‘ • → ? − W Ê -→ ? −W

-−‘ • → ? − W Ê - − ‘ • Ð?" ß ?# Ñ − W Ê - − ‘ • Ð?"  #?# œ ! Ñ Ê - Ð?"  # ?# Ñ œ ! Ê -?"  #- ?# œ ! Ê Ð-? " ß -?# Ñ − W Ê -Ð?" ß ?#Ñ − W Ê -→ ? − W

Por lo tanto ß - − ‘ • → ? − W Ê -→ ? −W De i), ii) y iii) se tiene que W es un subespacio vectorial de ‘#.

Ejercicios: Determina si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. 1) 2) 3) 4) 5)

W œ ÖÐB ß C Ñ − ‘# Î $B œ C × W œ ÖÐB ß Cß D Ñ − ‘$ Î B  %C  #D œ !× W œ ÖÐB ß C Ñ − ‘# Î C œ #B  " × W œ Ö ÐBß C ß D Ñ − ‘3 Î # B  "#C  D œ "× + , Wœ − Q#‚# Î +  , œ ! - .

œŒ 



103


6)

W œ Ö+ ,B  -B# − T# ÐBÑ Î , œ - ×

Respuestas: 1), 2), 5) y 6) Son subespacios vectoriales. 3) y 4) No son subespacios vectoriales.

Combinaciones Lineales.

c

Z E d M O G Î O Ñ Ï I Ò N I G R I V

@ œ +ß ,ß - de ‘$ se puede escribir de la Hemos vistoß en el capítulo anterior ß que todo vector → • • • forma → @ œ +3,4-5 • • • En este caso se dice que → @ es una combinación lineal de los tres vectores unitarios 3 ß 4 y 5.

Definición: Sea Z un Š - espacio vectorial y sean → @ "ß → @ # ß ÞÞÞÞß → @ 8 vectores de Z . Cualquier vector → → → que se pueda escribir de la forma !" @ "  !# @ #  ÞÞÞÞÞÞÞÞ  !8 @ 8, donde !", !2, ... ß !n son escalares, se llama una combinación lineal (C.L) de → @ "ß @→ß# ÞÞÞß → @ 8.

Ejemplo: Encontremos los valores de !" , !2, ... ß !n que nos permitan escribir al vector → A œ

Î Ñ Î Ñ Ï Ò Ï Ò Î Ñ Î Ñ Î Ñ Ï Ò Ï Ò Ï Ò ( ( (

como una C.L. de → @" œ

( ( (

Es decir,

" # %

= !"

" # %

 !#

y

→ @# œ

& $ "

Para ello formemos el sistema de ecuaciones  ( œ  ! "  & !# ( œ #!"  $ !# ( œ %!"  !#

Y resolvámoslo, usando matrices. Escalonando, se tiene

Î Ï

" & | # $ | | % "

( ( (

Ñ Î Ò Ï µ

" ! !

& | ( | | !

( ( !

Ñ Ò

Así, el sistema tiene solución única (¿por qué?) y ésta es !" œ # y Por lo tanto,

104

& $ "

!# œ  "

.


Î Ñ Î Ñ Î Ñ Ï Ò Ï Ò Ï Ò ( ( (

= #

" # %



& $ "

Z E M Œ  O Œ G  O I N I G R I V

Ejercicios: Encuentra los valores de !" , !2, ... ß !n , si es que existen, tales que 1)

La matriz Q œ

Œ

$ # " * Q" œ

2) La matriz E œ

Œ

# !

" $ E" œ

Œ

 Œ

) $



pueda escribirse como una C.L Þ de

" ! % " " &



y

Q# œ

pueda escribirse como una C.L Þ de " !



" , "

E# œ

Œ  ! " ! "

c d

y

! " # $

E$ œ

" " ! "

# Þ '

Þ

3) El vector → @ œ  #ß & pueda escribirse como una C.L. de → @ " œ Ò !ß " ÓÞ

4) El vector → @ œ Ò "ß #ß  $ Ó pueda escribirse como una C.L de → @ " œ Ò"ß  #ß $Ó ß → → @ œ Ò #ß !ß "Ó y @ œ Ò !ß #ß  "ÓÞ #

$

Respuestas: 1) 2) 3) 4)

!" œ $ y !# œ # ! " œ  # , !# œ  & y !$ œ % No existe ningún escalar ! que permita escribir al vector → @ como una C.L. y !$ œ  #Î$ !" œ  &Î$ ß ! # œ %Î$

Observación:

El vector nulo es una C.L. de cualquier conjunto de vectores.

En efectoß

→ a8 −  • a → B "ß → B # ß ÞÞÞÞß → B 8 − Z ß se tiene que ) œ ! → B " ! → B #  ÞÞÞÞ  ! → B8

105


Definición: Sea Z un Š - espacio vectorial y E œ Ö→ @ "ß → @ #ß ÞÞÞß → @ 8× © Z . Se dice que E es un conjunto conjunto generador generador de Z , si todo vector en Z se puede escribir como una combinación lineal de los vectores de EÞ

Z E a ba b a ba b a b a b a b a M b O G a b a b a b a b a ba b a ba b ¡ O I œŒ  Œ  Œ  Œ  § ¦œŒ  Œ  Œ  Œ  N I G Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  R Œ Œ I ÎÑ ÎÑ ÎÑ ÏÒ ÏÒ ÏÒ V ¡

La notación Z œ E sirve para indicar que Z es un espacio generado por EÞ

Ejemplos: 1)

Determinar si W œ Ö "ß" "ß" à #ß" × genera a ‘#.

Diremos que W œ Ö "ß" "ß" à #ß" × genera a ‘# sí y sólo si

a Bß C − ‘# de manera que Bß C œ ! "ß "  " #ß "

En efecto:

!  #" œ B !  " œ C

resolviend resolviendoo el sistema sistema en función función de B e C, tenemos tenemos que: y

! œ #C  B

" œ B  C

por lo tanto , Bß C œ ! "ß "  " #ß " , es decir Bß C œ #C  B "ß "  B  C #ß " .

Como existe la c.l., podemos afirmar que ‘# œ W

2)

" ! ß ! !

El conjunto F œ

! " ß ! !

! ! ß " !

! ! ! "

es un conjunto generador de `#‚#,

es decir:

" ! ß ! !

`#‚# =

! " ß ! !

! ! ß " !

! ! ! "

, pues

cualquiera sea la matriz de orden # ‚ # , ésta se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de F. En efecto,

+ , - .

3)

•

Los vectores 3 œ •

4) Los vectores 3 œ

" !

" ! !

œ+

" ! ! !

•

y 4 œ

ß

•

4 œ

! "

! " !

,

! " ! !

-

! ! " !

.

! ! ! "

generan a ‘#.

y

•

5œ

106

! ! "

generan a ‘$.



Observación: Si se agrega uno o más vectores a un conjunto generador, se obtiene otro conjunto " # " # generador. Por ejemplo, si , genera a ‘#, entonces , , # $ # $ # también genera a ‘#. $

œŒ  Œ 

Œ 

5)

a

ba

Determinar

si

a b ba ba b

el

vector

esta "ß&ß  $ß' W œ Ö "ß"ß"ß" "ß"ß"ß" à "ß"ß"ß! à "ß"ß!ß! à "ß!ß!ß! × .

en

œŒ  Œ 

el

espacio

Linealidad.

vectorial

generado

por

Sea Z un Š - espacio vectorial y E œ Ö→ @ "ß → @ # ß ÞÞÞÞ → @ 8× © Z ; E es un conjunto linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares !", !2,..., !n − Š, no todos nulos, tales que: 8 → !→ @ œ!→ @ !→ @  .. @ = ) ...  ! →

!

3 œ"

3

3

"

2

"

#

8

8

Es decir, dos vectores en un e.v Þ son linealmente dependientes, si y solo si uno es un múltiplo escalar del otro. Cuando Cuando E no es L.D. se le den denom omina ina linealmente independiente (L.I.) (L.I.)..

Observación 1:

@ "ß → @ # ß ÞÞÞ ÞÞÞÞÞ ÞÞÞÞ ÞÞßß → @ 8 son linealmente dependientes (L.D.), si y sólo si, uno de ellos es

una combinación lineal los restantes.

Observación 2: W

es un conjunto linealmente independiente si todo subconjunto finito de W es L.I.

Ejemplo: El conjunto W œ ÖÐ#ß ÖÐ#ß  "ß!ß$ Ñß Ð  'ß$ß!ß* Ñ× es L.I. Efectivamente, de la definición se tiene que: Es decir,

→

!" → @ "+ !2 → @# œ )

!" Ð #ß  "ß !ß !ß $Ñ  !2Ð  'ß $ß $ß !ß !ß *Ñ œ Ð!ß !ß !ß !ß !ß !Ñ

Al multiplicar por un escalar

Ð# !" ß  !" ß!ß $ !" Ñ  Ð  ' !2 ß $ !2ß ! ß * ! 2 Ñ œ Ð!ß !ß !ß !ß ! Ñ

Al sumar componente a componente Ð # !1  ' ! 2 ß

!

"

 $ ! 2 ß ! ß $ ! "  * ! 2 Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ

107


Al igualar los vectores y formar un sistema de ecuaciones: # !"  ' !2 œ !  ! "  $ !2 œ ! ! œ ! $ !"  * !2 œ !

Al resolver mediante matrices

Î Ï

# " $

' $ *

Ñ Î Ò Ï µ

" # $

$ ' *

Ñ Î Ò Ï µ

" ! !

$ ! ")

Z E Ñ M Ò O G O I N I G R I V

Se obtiene que !" œ !2 œ ! , de donde se concluye que los vectores son L.I.

Ejercicios:

Determina si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D. L.D.

1) W œ ÖÐ"ß"ß!Ñ ÖÐ"ß"ß!Ñ ß Ð"ß Ð"ß "ß"Ñß Ð!ß Ð!ß  "ß"Ñ× "ß"Ñ× 2) V œ ÖÐ" ÖÐ"ß"Ñ ß Ð#ß  "Ñ ß Ð$ß !Ñ × 3) T œ Ö "  #B ß B  B # ß #  (B  $B # ×

Respuestas:

1) L.I. L.I. , 2) L.D. y 3) L.D. Me cuesta entender un poco esto. ¿Existe alguna interpretación interpretación geométrica?

Una interpretación geométrica de la dependencia e independencia lineal en ‘$ es:

En a) los tres vectores son independientes y no coplanares. En b) los tres vectores son dependientes y coplanares.

108


Observaciones:

1)


Si el conjunto E œ Ö→ @ "ß → @ # ß ... ß → @ 8× es L.I., entonces el único valor que pueden asumir los → escalares !" ß !2 ß ... ß !8 en la ecuación !" → @ "  !2 → @ #  ...  !8 → @ 8 œ ) es !"= !2 œ ÞÞÞ œ !8 œ !Þ

2) Todo conjunto que consta de un único vector distinto del nulo es L.I.

3) Si uno de los vectores de un conjunto de vectores es el nulo, entonces el conjunto es L.D. 4) El conjunto 9 es L.I.

5) Si Ö→ @ "ß → @ # ß ÞÞÞÞß → @ 5 × es un conjunto de L.D.ß entonces uno de los vectores es C.L. de los restantes Þ @ es C.L de → @ "ß → @ # ß ÞÞÞß → @ 5ß entonces Ö → @ß → @ "ß → @ #ß ..Þß → @ 5× es L.D. 6) Si el vector →

7) Todo subconjunto de un conjunto L.I. es L.I.

8) Todo conjunto de un conjunto de vectores que contenga un subconjunto L.D es L.D.

9) Si el conjunto E = Ö→ @ "ß → @ # ß ÞÞÞß → @ 5 × es un conjunto generador L.D. del espacio → entonces existe @ 4 − E tal que E  Ö→ @ 4× es también un conjunto generador de Z Þ

Base de un Espacio Vectorial.

vectorial Z ,

•

Hemos visto que, en ‘#, un vector se puede escribir como una C.L. de los vectores 3 œ Ð"ß !Ñ y •

•

•

•

4 œ Ð!ß "Ñ. En ‘3ß se escribieron en términos de los vectores 3 œ Ð"ß !ß !Ñß 4 œ Ð!ß "ß !Ñ y 5 œ Ð!ß !ß "ÑÞ

Sean Z un Š - espacio vectorial y K œ Ö→ @ "ß → @ # ß ÞÞÞß → @ 8× © Z . Se dice que K es una base de Z si : i) K es L.I. ii) K es un conjunto generador de Z . Observaciones:

1) Se conviene en considerar a una base como un conjunto ordenado de vectores. n n 2) Todo conjunto de 8 vectores L.I., en ‘ , es una base de ‘ . n 3) Dado que, en ‘ , el conjunto de vectores: → / " œ Ð "ß!ß!ßÞÞÞÞß !Ñ → / # œ Ð!ß"ß!ß ÞÞÞÞß !Ñ → / $ œ Ð!ß !ß "ß ÞÞß !Ñ Þ

109


Þ

→ / 8 œ Ð!ß !ßÞÞÞÞÞÞß "Ñ

Z E M O G O I N I G R I V n

es linealmente independiente, se tiene que este conjunto constituye una base de ‘ . Esta base especial n se llama base canónica en ‘ . ¿ Se podría esto relacionar con algún ejemplo práctico de la vida real para que me quede más claro?

Podríamos hacer una analogía con los colores. Si consideramos los tres colores primarios: rojo, amarillo y azul (los cuales son independientes entre sí) podríamos "generar" con ellos toda la gama de colores (Rosa Cromática). Recuerda que rojo y amarillo generan el naranjo; azul y rojo , el morado , etc. Entonces la base sería el conjunto de los colores primarios y el conjunto de todos los colores que existen vendría a ser el espacio vectorial .

Ejemplos: 1) El conjunto F œ ÖÐ"ß #ß !Ñß Ð!ß $ß "Ñ× es una base para el espacio vectorial Z œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘3 Î #B  C  $D œ !×Þ

En efecto: i) ii)

F es L.I., porque sus vectores son L.I. (un vector no es múltiplo del otro).

F es un conjunto generador de Z , pues si B y D se escogen arbitrariamente y se despeja C (obteniéndose que C œ #B  $DÑ, entonces los vectores del conjunto Z son de la forma ÐBß #B  $Dß DÑ, es decir, son una C.L. de los vectores Ð"ß #ß !Ñ y Ð!ß $ß "Ñ. ÐBß #B  $Dß DÑ œ BÐ"ß #ß !Ñ  DÐ!ß $ß "Ñ

Así, entonces, F es efectivamente una base para Z Þ

2) El conjunto F œ

œŒ  Œ  Œ  Œ   " ! ß ! !

! " ß ! !

! ! ß " !

`#‚# . Demuéstralo.

Ejercicios:

! ! ! "

es una base para el espacio vectorial

1) Determina si E œ ÖÐ"ß "ß "Ñß Ð"ß #ß $Ñß Ð#ß  "ß "Ñ× constituye una base para ‘$. 2) Sea [ el subespacio de ‘% generado por los vectores → ? " œ Ð"ß  #ß &ß  $Ñß → ? # œ Ð#ß $ß "ß  % Ñß → ? $ œ Ð$ß )ß  $ß  &Ñ Encuentra una base de este subespacio. 3) Sea [ el subespacio generado por los vectores → ? " œ Ð"ß #ß  "ß $ß %Ñ ß → ? # œ Ð#ß %ß  #ß 'ß)Ñß → ? $ œ Ð"ß $ß #ß #ß 'Ñß

110


→ ? % œ Ð"ß %ß & ß "ß )Ñß → ? & œ Ð#ß (ß $ß $ß *Ñ Halla un subconjunto de los vectores que sea base de [ .


E es base para ‘$. F œ ÖÐ"ß  #, &ß  $Ñß Ð!ß (ß  *ß #Ñ×. F œ ÖÐ"ß #ß  "ß $ß %Ñß Ð!ß "ß $ß  "ß #Ñß Ð!ß !ß  %ß !ß  &Ñ× .


? "ß → ? # ß ÞÞÞß → ? m × y Ö→ @ "ß → @ #ß ÞÞÞß → @ n × son bases del espacio vectorial Z , entonces Observación: Si Ö→ 7 œ 8 ; es decir, dos bases cualesquiera de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores.

Dimensión. Definición: Se llama

dimensión de un Š - espacio vectorial al número de elementos de una base cualquiera de Z . Si Z consiste únicamente en el vector nulo, diremos que su dimensión es

!Þ

Notación: La dimensión de Z se denota por .37ÐZ ÑÞ

Ejemplos: 1)

La dimensión de ‘8 es 8. ¿Por qué?

2)

Si W œ ÖÐ"ß "Ñ ß Ð!ß "Ñ× , entonces .37ÐW Ñ œ #.

Para estar seguros de nuestra afirmación, debemos probar que W es una base de ‘#. i) Verifiquemos que W es L.I. → De !" → @ "  !2 → @# œ )

se tiene que !" Ð"ß"Ñ  !2 Ð!ß"Ñ œ Ð!ß!Ñ de donde resulta que !" œ ! y !2 œ ! Por lo tanto, los vectores son L.I. ii) Verifiquemos, ahora, que generan a ‘#, es decir, que

aÐBß CÑ − ‘#

ÐBß C Ñ œ !" Ð"ß "Ñ  !2Ð!ß "Ñ

Desarrollando los paréntesis À ÐBß C Ñ œ Ð !" ß !" Ñ  Ð !ß !2Ñ Igualando y despejando, obtenemos !" œ B !"  !# œ C

Ê !# œ C  B

111


Por lo tanto, ÐBß C Ñ œ B Ð"ß"Ñ  ÐC  BÑ Ð!ß "Ñ Es decir, ‘# œ  W  . De i) y ii) se desprende que W es una base de ‘# Þ

Z E M O G O I N I G R I Ñ Ò V

Así, entonces, como el número de elementos de W es 2, podemos concluir que .37ÐWÑ œ #.

Ejercicios: Determina la dimensión de cada una de las bases encontradas en los ejercicios de la página 109. Respuestas:

1) 3

2) 2

y

3) 3.

Caracterización De Un Subespacio Vectorial.

Caracterizar un subespacio W de Z , consiste en determinar las condiciones necesarias y @ de Z para que pertenezca a WÞ Para ello se debe demostrar, suficientes que debe cumplir un vector → primero, que los vectores que generan al subespacio W son linealmente independientes. Luego, se debe determinar la "forma" del subespacio W generado por dichos vectores.

Ejemplo:

Vamos a caracterizar al subespacio de ‘$, generado por los vectores → @ " œ Ð!ß "ß #Ñ ß → @ # œ Ð  "ß $ß  "Ñ

i) Los vectores son L.I Þ (demuéstralo). ii) Determinemos el subespacio generado por los vectores → @" y → @ 2.



¡

Sea W œ Ð!ß "ß #Ñ ß Ð  "ß $ß  "Ñ ß es decir, sea W el subespacio generado. Ð B ß C ß D Ñ − W Í b !1 ß !2 − ‘ Î Ð Bß C ß D Ñ = !1Ð!ß "ß #Ñ + !2 Ð  "ß $ß  "Ñ

Usando matrices

Í Ð B ß C ß D Ñ = Ð !, !1 ß # !1 Ñ + Ð  !2 ß $ !#ß  !2Ñ Í Ð B ß C ß D Ñ = Ð  !2 , !1  $ !# ß # !1  !# Ñ Í B =  !2 C œ !1  $!# D œ #!1  !#

Î Ï

! " #

" l B $ l C " l D

Ñ Î Ò Ï µ

" ! !

112

$ l " l ! l

C B D  #C  (B


Encontramos que el sistema tiene solución si y sólo si @" y → @ 2 es: generado por los vectores →

Z E M O G O I N  I ¡ G R I V

D  #C  (B œ ! . Así , el subespacio

W œ ÖÐBß C ß D Ñ − ‘$ Î D  #C  (B œ ! × , que corresponde a un plano en el espacio y pasa por el origen.

Ejercicios: Caracteriza los subespacios generados por 1)

E œ ÖÐ"ß!ÑßÐ!ß"Ñ×

2)

F œ Ö Ð  "ß #ß " Ñ ß Ð ! ß !ß " Ñ ×

3)

G œ ÖÐ#ß!ß"ß#Ñß Ð!ß"ß!ß!Ñ×


W œ ‘ # W œ ÖÐBß C ß D Ñ − ‘$ Î C  #B œ !× W œ ÖÐBß C ß Dß AÑ − ‘% Î B  A œ ! • #D œ A ×

Observación: Es evidente que también es posible determinar la base de un subespacio vectorial.

Ejemplo: Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î#D  #C œ !× . Es claro que W es un subespacio de ‘$ (verifícalo).

Los vectores de este subespacio tienen 3 componentes y se da sólo una condición; por lo tanto, la base de W debe tener # vectores. En efecto, de la condición se tiene que # D œ #C , es decir, D œ C. Esto último implica que ÐBß C ß DÑ œ ÐBß Cß CÑ o sea ÐBß Cß DÑ œ ÐBß !ß !Ñ  Ð!ß Cß CÑ , de manera que À ÐBß Cß DÑ œ BÐ"ß !ß!Ñ  CÐ!ß"ß "Ñ

Así, el conjunto generador de W es ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ× , es decir W œ ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ×

Ahora, como Ð"ß !ß !Ñ y Ð!ß "ß "Ñ son L.I. podemos concluir que el conjunto ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ× es una base de W .

Ejercicios: Determine una base para los siguientes subespacios vectoriales. 1) 2)

W œ ÖÐBß C ß D Ñ − ‘$ Î D  #C œ !× W œ ÖÐBß C ß D ß AÑ − ‘4 Î B  #C œ ! • D  $A œ ! ×

Respuestas: 1) 2)

ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß #Ñ× ÖÐ  #ß"ß!ß!Ñß Ð!ß !ß  $ß"Ñ×

113



Observación 1: En un Š- espacio vectorial Z , de dimensión 8, todo subconjunto W linealmente

→ independiente, con 8 vectores, es una base de Z . Si Z œ Ö ) ×, entonces se dice que Z tiene dimensión cero.

Observación 2: Sea Z un Š- espacio vectorial, de dimensión 8.

i) ii) iii) iv) v) vi)

Todo subconjunto de Z con más de 8 vectores es L.D. Todo subconjunto de Z con menos de 8 vectores no genera a Z . Todo subconjunto de Z con 8 elementos, que lo genere, es una base de Z . Todo subconjunto de Z con 8 elementos y que sea L.I., es una base de Z . Si [ es un subconjunto de Z , entonces .37Ð[ Ñ Ÿ 8. Si [ es un subespacio de Z y .37 Ð[ Ñ œ 8ß entonces [ œ Z .

F œ Ö→ @ "ß → @ # ß ÞÞÞß → @ 8× Observación 3: Sea Z un Š - espacio vectorial de dimensión finita y sea → una base de Z . Todo vector @ de Z se escribe en forma única como C.L de los vectores de FÞ

Intersección de Subespacios.

Teorema: Si Y y [ son dos subespacios vectoriales de un mismo Š - espacio vectorial Z , entonces la intersección Y  [ es un subespacio vectorial de Z Þ Ejemplos:

1) Sean Y y [ dos planos en el espacio de tres dimensiones que pasan por el origen, entonces su intersección, en general, será una recta que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura.

2) Si Y œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$Î B  C œ !× y [ œ ÖÐBß Cß D Ñ − ‘$Î D  B  C œ !× , entonces una base para Y  [ es ÖÐ"ß "ß !Ñ×. En efecto: El conjunto intersección es Y  [ = ÖÐBß Cß DÑ − ‘$Î B  C œ ! • D  B  C œ ! ×

114


Z E M £ O G O I N I G R I V

Como los vectores de Y  [ tienen tres componentes y hay sólo dos condiciones, se puede concluir que la base tiene ( $  # œ ") un sólo vector. Ahora, las condiciones B œ C • B œ D  C indican que D œ ! ; por lo tanto, los vectores ÐBß Cß DÑdel conjunto Y  [ son de la forma ÐCß Cß !Ñ y se pueden escribir como À ÐBß Cß DÑ œ ÐCß Cß !Ñ œ CÐ"ß "ß !Ñ

Luego, el conjunto ÖÐ"ß "ß !Ñ× es una base para Y  [ .

Ejercicios: Dados Y y [ ß determine una base para Y  [ . 1) 2)

Y œ ÖÐBß C ß DÑ − ‘$Î B œ !×

Y œ ÖÐBß C ß DÑ − ‘$Î B  C œ !×

Respuestas: 1) 2)

y



[ œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$Î D  B  C œ !×

y

¢

[ œ ÖÐ"ß "ß !Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ×

¡ ¡

Y  [ œ Ð!ß "ß  "Ñ Y  [ œ Ð"ß"ß!Ñ

Unión De Subespacios.

En general la unión de subespacios no es un subespacio vectorial, como lo prueba el siguiente ejemplo.

Sean los subespacios Y œ ÖÐBß !Ñ − ‘# Î B − ‘× y [ œ ÖÐ!ß CÑ − ‘# Î C − ‘× y sean los vectores → ? œ Ð"ß !Ñ − Y y → @ œ Ð!ß "Ñ − [ . ? − ÐY  [ Ñ • → @ − ÐY  [ Ñ ; además, Es evidente que →

→ ? → @ œ Ð"ß !Ñ  Ð!ß "Ñ œ Ð"ß "Ñ

pero

Luego,

Ð"ß"Ñ Â Y • Ð"ß"Ñ Â [

→ ? → @ Â ÐY  [ Ñ

Por lo tanto ß ÐY  [ Ñ no es subespacio vectorial. Gráficamente:

115



Teorema: Si Y y [ son subespacios de un Š - espacio vectorial Z , entonces ÐY  [ Ñ es un subespacio si y sólo si Y © [ • [ © Y .

Suma de Subespacios.

Sean Y y [ dos subespacios del mismo Š - espacio vectorial Z , se llama suma de Y y [ al conjunto Y  [ œ Ö→ @ −Z Î → @ œ → ? → Aß → ? −Y • → A − [× Observación : El conjunto ÐY  [ Ñ es un subespacio vectorial de Z .

Suma Directa De Subespacios. Sean Z un espacio vectorial, Y y [ subespacios de Z . Z œ Y Š[ Í Z œ Y [

•

→

Y [ œ Ö ) ×

Ejemplo: Sean Z œ ‘$ y los conjuntos Y y [ , definidos como Y œ ÖÐ Bß C ß D Ñ Î # B  C  $D œ ! × [ œ ÖÐ B ß C ß D Ñ Î B œ >ß C œ >ß D œ > ×

Dado que Y œ  Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß%ß# Ñ  [ œ  Ð"ß "ß"Ñ 

→ y que Y  [ œ [ Á Ö ) × , se cocluye que Z no es suma directa de Y y [ .

116


Ejercicios: 1)

Si Z œ ‘$ y los conjuntos Y y [ se definen como Y œ ÖÐBß Cß DÑÎ #B  C  $D œ !×

Z E M O G O I N I G R I ã V b a b™¡

[ œ ÖÐBß C ß D Ñ Î B œ >ß C œ  >ß D œ > à > − ‘×

Determina si Z œ Y Š [ .

2)

Si Y œ ÖÐ+ß ,ß-ß .ÑÎ,  -  . œ !× y [ œ ÖÐ+ß ,ß-ß .ÑÎ+  , œ ! • - œ #.× Encuentra una base (y su dimensión) para los conjuntos: i) Y

ii) [

iii) Y  [

iv) Y  [

v) Verifica si se cumple que ‘% œ Y Š [

Respuestas: 1) 2)

Sí, es suma directa. i) F" œ ÖÐ "ß !ß!ß!Ñß Ð!ß  "ß "ß !ÑßÐ!ß  "ß !ß "Ñ× y .37ÐF "Ñ œ $ œ .37ÐYÑ ii) F# œ ÖÐ "ß"ß !ß !Ñß Ð!ß!ß #ß "Ñ× y .37 ÐF #Ñ œ # œ .37Ð[Ñ

iii) Base de ÐY  [ Ñ œ ÖÐ$ß  $ß # ß " Ñ × y . 37 Ð F+=/ . / Y  [ Ñ œ "

iv) Base de ÐY  [ Ñ œ .37ÐYÑ  .37Ð[Ñ  .37Ð Y  [Ñ œ % De acuerdo a ésto cualquier base de ‘%, por ejemplo, la base canónica es base de Y  [ . → v) No es suma directa ya que Y  [ Á Ö ) ×



PROBLEMA 1: En ‘# se definen la adición y ponderación escalar de la siguiente forma:

a baa b ba a b b +ß ,  -ß . œ +  -ß ! ! +ß , œ !+ß !

¿Es ‘# con estas operaciones un Espacio Vectorial?. Justifica tu respuesta.

PROBLEMA 2: Sean Y œ a)

ã b

Bß Cß D − ‘$Î#B  $C  &D œ !

Verifica que Y es subespacio de ‘$.

117

™

y [œ

!ß !ß " à "ß "ß !


b) c) d)

Z  Œ  Œ Ÿ Œ  Œ ã b ™ E M O a b a b a b a b a b G ” • „ Ÿ O I a b ¢ £ N I ˜ ™ a b ã b ™ a b G R I V

Caracteriza [ . Encuentra una base de Y  [ . Determina si existe ! − ‘ tal que "ß !ß #! − [ .

a

b

PROBLEMA 3: Determina para que valor de 5 − ‘ las matrices: " !

# à "

" "

PROBLEMA 4: Demuestra que [ œ ‘$ .

$ à #

" "

5 à !

! 5

" "

Bß Cß D − ‘$Î#B  % C  D œ !

son l.d.

es un subespacio vectorial de

AUTOEVALUACION N° 14

Indicación:


PROBLEMA 1: Sea W œ Ö Bß Cß Dß A − ‘$ÎB  #D œ !×. Detemina un conjunto que genere a W. PROBLEMA 2: Determina si #ß $ß  " es c.l. de Ö "ß "ß ) à !ß #ß ! à "ß !ß " × PROBLEMA 3: Encuentra la dimensión del espacio Z œ

+ -

, − `# Ð‘Ñ .

+œ, • -œ.

PROBLEMA 4: Decide si T Ð>Ñ œ >#  #>  $ es c.l. de T "Ð>Ñ œ Ð>  "Ñ #ß T #Ð>Ñ œ #">  "ß T $Ð>Ñ œ & . PROBLEMA 5: Determina si el vector B#  B  $ peretenece a W, donde $ # # $ W œ ÖB  #B  "à B  #à B  B× . PROBLEMA 6: Sean Y œ [ œ

a) b)

Bß C ß Dß A − ‘%Î%B  $A  'D œ ! y Bß C ß Dß A − ‘%Î$B  'C  %A œ ! , subespacios de ‘%.

Encuentra una base para Y  [ . Determina el valor de ! − ‘ de modo que  $!  "ß #!ß "ß $  # ! sea un vector de Y  [ .

118


Z ¡ E M O ¡ G Ñ Î ÑŸ ÒÏ Ò O I N I G R I V





PROBLEMA 1: Sea Y el conjunto de todos los puntos de ‘$ que estan en el plano B  #D œ ! [ œ {($ß "ß%Ñà Ð#ß  $ß&Ñà Ð&ß  #ß*Ñà Ð"ß%ß  "Ñ× . Determina: a) b) c) d) e) f)

y

Si [ es subespacio vectorial de ‘$. Una base para Y y [ Caracteriza Y  [ ¿‘$= Y Š [ ? Dim(Y Ñß Dim(W), Dim( Y  [ ) y Dim(U+W) Una base para Y + [

PROBLEMA 2: Sea F œ ÖÐ"ß #ß !Ñà Ð!ß  $ß %Ñà Ð!ß !ß  'Ñ× . Verifica si ‘$ œ F Þ Caracteriza dicho espacio.

PROBLEMA 3: Determina si

Î Ï

" ! #

# % % $ & "

Ñ Ò

es c.l. de

Î Ï

" # & ! # $ " ' !

à

" ! $ ! " $ ! $ "

PROBLEMA 4: Sea Z un espacio vectorial sobre un cuerpo Š y sea F œ Ö@" ß @# ß ÞÞÞß @ 8× una base de Z . Demuestra que cada elemento de Z tiene una expresión única como combinación lineal de los elementos de FÞ

119


UNIDAD 4 Transformaciones Lineales.

120



ransformaciones


ineales.

Jean d'Alembert

Salvatore Pincherle

En este último capítulo estudiaremos una clase especial de funciones, llamadas Transformaciones Lineales (conocidas también como Operadores Lineales), que tienen una gran variedad de aplicaciones y que ocurren con bastante frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de la matemática. Fue el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) quien definió las transformaciones lineales sobre un espacio vectorial y las operaciones (adición y multiplicación) con operadores lineales.

En 1890, el matemático italiano Salvatore Pincherle (1853-1936) formuló una teoría sobre las transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión infinita. Esta teoría no estaba basada en el trabajo de Peano, sino en los aportes sobre operadores abstractos de Leibniz (1646-1716) y el matemático francés Jean d'Alembert (1717-1783).

Varias de las definiciones y teoremas que veremos a continuación son válidas, también, para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos). Sin embargo, en este curso sólo trabajaremos los espacios vectoriales reales y, por lo tanto, eliminaremos la palabra "real" en el análisis de los espacios y transformaciones lineales que realicemos durante el desarrollo del capítulo.

121


Transformaciones Lineales.

Z E M O Ga b ab O I N I b b G R b a b I ‹ b b V Š‹

Definición: Sean Z y [ dos Š - espacios vectoriales. Se llama Transformación Lineal (T.L.) de Z en [ a toda función 0 À Z Ä [ que verifica las siguientes condiciones: 3Ñ

X debe preservar la suma

33Ñ

preservar el producto por escalar X debe a→ ? − Z ß a - − Š Ê 0 -→ ? œ -0 → ?

Š

‹ Š‹ Š‹ Š ‹ Š‹

a→ ? ß→ @ −Z Ê0 → ? → @ œ0 → ? 0 → @

Es decir, la imagen de la suma de las imágenes de vectores es igual a la suma de las imágenes de cada vector, y la imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalar por la imagen del vector. Las T.L se suelen denotar por letras mayúsculas X ß P ß W ÞÞ............ Þ Las condiciones 3 y 33 son equivalentes a la siguiente 333Ñ

ab a b ‹ Š‹ Š‹ a b a ab b a b ab ab

Š

0 !→ ?  "→ @ œ !0 → ?  "0 → @ ß a→ ?ß → @ − Z ß a !ß " − Š

En efecto para obtener 3 y 33 de 333 basta considerar ! œ " œ 1 y se tiene la condición 3 Þ Si " œ ! se tiene la condición 33 La condición 333 se obtiene aplicando la 3 seguida de la 33 Þ

Ejemplo:

3Ñ

a b a

b

La aplicación X À ‘# Ä ‘# es una transformación lineal definida a través de X B ß C œ  $B  #Cß  B  $C . En efecto, si verificamos sus condiciones nos daremos cuenta que X es T.L.

Verificando que la suma es cerrada. X → B → C œX → B X → C ß a→ Bß→ C − ‘#

Š

‹ Š‹ Š‹

Por hipótesis se sabe que:

Š‹ a Š‹ a a b a b ‚ b ‹ a ‹ Š a b a b a ‹ a b a ‹ a ‹ Š‹

→ B œ ÐB" ß B# Ñ de manera que X → B œ  $B "  #B # ß  B "  $B # → C œ ÐC" ß C# Ñ de manera que X → C œ  $C "  #C # ß  C "  $C #

→ B → C œ B" ß B #  ÐC " ß C # Ñ → B → C œ B "  C" ß B #  C # X X → B → C œ X B"  C " ß B #  C # X → B → C œ  $ B "  C"  # B #  C # ß  B "  C "  $ B #  C # X → B → C œ  $B "  $C"  #B#  #C# ß  B "  C "  $B #  $C # X → B → C œ  $B  #B ß  B  $B   $C  #C  C  $C

Š Š Š Š Š

X → B → C œ

"

X → B

#

"

#



122

"

#

X → C

"

#


Por lo tanto,

33Ñ

Š

‹ Š‹ Š‹

X → B → C œ X → B X → C

Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado. X -→ B œ -X → B ß a→ B − ‘#ß a- − ‘

Š ‹ Š‹


Š‹ a a b Š ‹ Š a b‹ a aa b Š‹ Š ‹ Š‹ ab a b

→ B œ ÐB" ß B# Ñ de manera que X → B œ  $B "  #B # ß  B "  $B #

b

-→ B œ - B1 , B #

X -→ B œ X - B 1 , B#

b b

œ X -B1 , -B# œ  $-B"  #-B# ß  -B "  $-B # œ -  $B"  #B # ß  B"  $B # œ -X → B

Por lo tanto X - → B œ -X → B ß

a→ B − ‘# ß a- − ‘

De 3 y 33 se tiene que X es una T.L.

2)


Sean Z y [ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Š, se tiene que X À Z Ä [ de manera → → → que X ? œ K[ . Pruebe que a ? − Z À X ? œ K[ , es una transformación lineal.

Š‹

Š‹

V

W T

v 1 r

v 2 r

θ W

v 3 r

v

r

+ u

r

T (v

r

+ u ) r

Sabemos que X es una transformación lineal sí y sólo si X preserva operaciones: 3Ñ

Verificando que la suma es cerrada. a→ ?ß→ @ −Z ÊX → ? → @ œX → ? X → @

Š ‹ Š‹ Š‹ Š‹ Š‹

Por hipótesis se sabe que: → ? − Z de manera que X → ? œ K[ → @ − Z de manera que X → @ œK [

123


Probando la tesis, tenemos que:

Š ‹ Š‹ Š‹ ‹ Š‹ Š‹ X → ? → @ œX → ? X → @ œ

K[

Por lo tanto,

33Ñ

Š

K[  K[

X → ? → @ œ X → ? X → @

Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado. a→ ? − Z ß a- − Š Ê X - → ? œ -X → ?

Š ‹ Š‹

Por hipótesis se sabe que: → ? − Z de manera que X → ? œ K[

Š‹


Š ‹ Š‹

X -→ ? œ -X → ? K[ œ -K[

Š ‹ Š‹

Por lo tanto X - → ? œ -X → ? De 3 y 33 se tiene que X es una T.L.

ab a b

3)

3Ñ

? œ→ ? , llamada Sea Z un espacio vectorial. Mostrar que X À Z Ä Z de manera que X → transformación idéntica, es una T.L.

Verificando que la suma es cerrada. a→ ?ß→ @ −Z ÊX → ? → @ œX → ? X → @

Š ‹ Š‹ Š‹ Š‹ Š‹

Por hipótesis se sabe que: → ? − Z de manera que X → ? œ→ ? → @ − Z de manera que X → @ œ→ @ Probando la tesis, tenemos que:

Š

‹

X → ? → @ œ→ ? → @

Por lo tanto,

33Ñ

Z E M O G Š‹ O I N I G R I V

Š

/Por definición de X œX → ? X → @ /Por hipótesis

Š‹ Š‹ ‹ Š‹ Š‹

X → ? → @ œ X → ? X → @

Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado. a→ ? − Z ß a- − Š Ê X - → ? œ -X → ?

Š ‹ Š‹

Por hipótesis se sabe que: → ? − Z de manera que X → ? œ→ ?

Š‹

124



Š ‹ Š ‹ Š‹ Š ‹ Š‹ X -→ ? œ -→ ?

X -→ ? œ -X → ?

ab a b


a ab b

Sea [ œ Ö0 À E Ä ‘Î 0 B es una función función derivable derivable×, con E © ‘. Muestre Muestre que X À [ Ä [

c a bd a b ab ab ab ab

de manera que X 0 B œ 3Ñ

/Por hipótesis

? œ -X → ? Por lo tanto X - →

4)

Z E M O G ab ab O I N I G R I V

/Por definición de X

.0 B ß a0 − [ , es una T.L. .B

Verificando que la suma es cerrada.

a 0 ß1 ß1 − Z Ê X 0  1 œ X 0  X 1


c a bd c a bd

.0 .0 B o también X 0 B œ .B .B .1 .1 B → @ − [ de manera que X 1 œ o también X 1 B œ .B .B 0 − [ de manera que X 0 œ


a b c a b a bd a b c a bd c a bd a b ab ab a b ab ab

X 0 1 œ

. 0 B 1 B .B

/Por definión de X

X 0 1 œ

. . 0 B  1B .B .B

/Por propiedad del Cálculo Diferencial /Por hipótesis

X 0 1 œ X 0 X 1

Por lo tanto, 33Ñ

X 0 1 œ X 0 X 1

Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado.

a b ab a b c a bd

a0 − [ ß a- − Š Ê X - 0 œ - X 0


0 − [ de manera manera que X 0 œ

. 0 B .B


a b c a bd

X -0 œ

. -0 B .B

/Por definición de X

125


a b c a bd a b ab a b ab ab a b

Z E M O G a b a b O Š ‹ Š‹ Š‹ I a b b N Š‹ a b a a b b I Š‹ a b a Š ‹ Š‹ Š‹ c a b a b d a b a b G a b a b a b a aa b a b a b b b a a bb R I a ba b V

X -0 œ -

. 0 B .B

X -0 œ -X 0

/Por propiedad del Cálculo Diferencial

/Por hipótesis

Por lo tanto X - 0 œ -X 0


Transformaciones No Lineales.

Para demostrar que una transformación no es lineal, basta mostrar que dicha transformación no preserva la suma o la multiplicación por escalar. También, se puede demostrar usando el método del contraejemplo.

Ejemplo: Demostremos que X À ‘# Ä ‘# de manera que X Bß C œ #B  C ß C  $ no es una transformación lineal. Forma 1: Veremos que X no satisface la condición de la suma: Verificando que la suma NO es cerrada. a→ ?ß→ @ −Z ÊX → ? → @ œX → ? X → @ Por hipótesis se sabe que: → ? œ Bß C − Z de manera manera que X → @ œ +ß , − Z de manera manera que X Probando la tesis, tenemos

→ ? œ X Bß C œ #B  Cß C  $ → @ œ X +ß , œ #+  ,ß ,  $

X → ? → @ œX → ? X → @

X Bß C  +ß + ß , œ X Bß Bß C  X +ß +ß , X B  +ß C  , œ #B  C ß C  $  #+  , ß ,  $ # B  +  C  , ß C  ,  $ œ #B  #+  C  + ß C  ,  ' #B  #+  C  ,ß C  ,  $ Á #B  #+  C  +ß C  ,  '

Por lo tanto, X no es una transformación lineal.

Forma 2: Veremos que X no es una transformación lineal dando un contraejemplo. Sean "ß # y #ß & , dos vectores de ‘#

126


Š ca ab a

‹ Š‹ Š‹ ab bda ba ba ba b ab ab a b ba b

X → ? → @ œX → ? X → @

X "ß #  #ß # ß & œ X "ß "ß #  X #ß #ß & X $ß $ ß ( œ X "ß "ß #  X # ß & "$ß % œ %ß  "  *ß # "$ß% Á "$ß"

Por lo tanto, X no es una transformación lineal.

Z E M c d O G O I N I G R I V

Ejercicios: Determina cuál de las siguientes funciones son Transformaciones Lineales 1) 2) 3) 4) 5)

aa bb a b aa b b a a b b c d ab c a bd ( a b

À ‘# Ä ‘#ß X Bß C œ &B &Bß B  C # À ‘ Ä ‘ß X Bß C œ % À ‘$ Ä ‘#ß X Bß Bß Cß Cß D œ #B # B  C  Dß Dß B  D À ‘# Ä ‘# ß X Bß C œ B  #C #C  "ß "ß C Sea Z œ Ö0 À +ß , Ä ‘Î0 B es una función integrable en +ß , © ‘×. X X X X

,

X À Z Ä ‘ de manera que X 0 B œ

0 B . B es una T.L.

+

Respuestas: (1) , (3) y (5) son T.L (2) y (4) no son T.L. T.L.

Propiedades. 1)

Sean X y P dos transformaciones lineales de Z en [, es decir, P À Z Ä [ , entonces se se cumple: cumple:

ab ab Š ‹

a)

Demostrar que

X ÀZ Ä[y

X )Z œ )[ . La imagen del vector nulo por una Transformación Lineal es siempre el

vector nulo. Por lo tanto, para probar que una función no es T.L. basta probar que X )Z Á )[ .

2)

3Ñ

Š‹

b)

X → B œ X → B

c)

X  P es una T.L.

d)

- † X es T.L., T.L., para para todo todo - − Š

un Si X À Z Ä [ y P À [ Ä ^ son son do doss tran transf sfor orma maci cion ones es line lineal ales es,, ento entonc nces es P‰X À Z Ä ^, es unaa → → T.L. En efecto, cualquiera sean B, C en Z y - − Š.

a bŠ P‰X

‹ ’ Š ‹“ ’ Š ‹“ ’ Š ‹“ ‚ ’ Š ‹“ ’ Š ‹“

→ B → C œP X → B → C œP X → B  X → C œP X → B P X → C

127

por X una T.L.


a bŠ ‹ a b Š ‹ a bŠ ‹ ’ Š ‹“ ’ Š ‹“ ’ Š ‹“ a bŠ ‹ ab a b a b → B  P‰X

œ P‰X

33Ñ

→ C

-→ B œ P X -→ B

P‰X

œ P -X → B œ -P X → B œ - P‰X

→ B

una T.L. De 3 y 33 se tiene que P‰X es

ˆ‰ a b aa b a

Ejemplo:

b

b

Sea X À ‘# Ä ‘#ß X Bß Cß D œ  $B  Dß )  B  C .

X )‘#

œ X !ß ! œ  $ † !  !ß )  !  ! œ Ð!ß )Ñ Á )‘# .


X no es T. L, ya que

Denotaremos por _ Ð Z ß [ Ñ el conjunto de todas las transformaciones lineales de Z en [ donde Z y [ son espacios de dimensión finita sobre un mismo cuerpo Š. De las letras -Ñ y .Ñ de la propiedad "Ñ se tiene que _ Ð Z ß [ Ñ es un subespacio del espacio de todas las funciones de Z en [ donde la función nula es el vector nulo de _ Ð Z ß [ Ñ.

Observación:

De ahora en adelante, Z y [ serán espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Š.

Definición:

Sean Z y [ dos espacios vectoriales, definidos sobre un mismo cuerpo Š y X À Z Ä [ una T.L. Se define O/<8/6 o R ?-6/9 de X , al conjunto de todos los vectores de Z tales que su imagen es el vector nulo de [, se denota por O/<ÐX Ñ, así:

š

Š‹ ›

O/< ÐX Ñ œ → @ −Z ÎX → @ œ )[

T

V

W

Ker(T)

θW

u 1 u 2 u 3 r

r

r

u n r

Ker(T) ⊆ V

Definición: Se llama M 7+1/8 de X al subconjunto de [ que contiene a todos los vectores que son imágenes de todos los vectores de Z , es decir, al recorrido de la función X Þ Se denota por M7Ð X Ñ, así:

ab

ab š

Š‹ ›

M 7 X œ V/- X œ → A − [ Îb → @ −Z ÀX → @ œ→ A

128


T

V

W

u 1 r

Im(T)

w 1 w 2 w 3 r

r

u 2 r

r

u 3 r

w n r

u n r

Z E M O G ab ab a b O I a b a ba b N I G R I V

Im(T) ⊆ W

Sea X À Z Ä [ una T. L., entonces:

Proposición 1:

ab ab

1)

O/< X es subespacio de Z

2)

M7 X

es subespacio de [

Desafío: ab ab

Demuestra que O/< X e M 7 X son subespacios vectoriales.

a b a

Definición: Sea X À Z Ä [ una T. L. Se llama Nulidad de X a la dimensión del O/< X y se denota por ( X Þ Se llama Rango de X a la dimensión de la M7 X y se denota por 3 X .

b

( œ />+ß 3 œ <29

Sea X À ‘2 Ä ‘# ß una T. L., definida por X Bß C œ  # Bß C . ¡verifícalo! .

Ejemplo: Entonces:

O/< O/< O/< O/< O/< O/<

aa bb ˜ãa aa bb ˜ãa aa bb ˜ãa ab X X X X X X

œ œ œ œ œ œ

bb a a b b a a b™b™ bb a b a b™ ™ ™ bb™

Bß C Bß C Bß C Bß C Bß C !ß !

− ‘#ÎX Bß C œ !ß ! − ‘#Î  # Bß C œ !ß ! − ‘#Î  #Bß  #C œ !ß ! − ‘#Î  #B œ ! •  #C œ ! − ‘# Î B œ ! • C œ !

Así: ( X œ ! Por otra parte:

aa bb aa bb ab

M7 M7 M7 M7 M7

X X X X X

œ œ œ œ œ

˜ãa ˜ãa ã

bb a a b b a a b™b™ ™ bb a b a ™ b b a b a b a b™

+ß , +ß , +ß , +ß , +ß ,

− ‘#ÎX Bß C œ +ß , − ‘#Î  # Bß C œ +ß , − ‘#Î+ œ  #B • , œ  #C − ‘#Î +ß , œ  #Bß  #C − ‘#Î +ß , œ  #Bß !  !ß  #C

129


aa bb ˜ãa b b a ba™¡ b a ba b a ba b™ a b ã b a b™ a b +ß , − ‘#Î +ß , œ  #B "ß !   #C !ß " "ß ! à !ß "

M7 X œ M7 X œ

Por lo tanto, una base para M7 X es

Ejercicios:

aa bb aa bb

a) b) c) d)

O/< X M7 X R X V X

1) 2) 3) 4)

Sea Sea Sea Sea

X X X X

"ß ! à !ß " . Así: 3 X œ #.

En los siguientes ejercicios, determina

À ‘# À ‘$ À ‘$ À ‘$

Respuestas:

aa aa

Ä ‘# ß X Ä ‘$ ß X Ä ‘$ß X Ä ‘$ß X

bb aa bb aa

b

b b b

Bß C œ B  #Cß B  C Bß Cß D œ B  Cß #B  C ß$B  C Bß Cß D œ B  Cß B  Cß B  C Bß Cß D œ Bß C  Dß C  D

aa bb aa bb aa b b ab

1)

a) b) c) d)

O/< X œ ÖÐ !ß !Ñ× M 7 X œ ‘# ( X œ! 3 X œ#

2)

a) b) c) d)

O /< X œ ÖÐBß C ß D Ñ − ‘$ÎB œ C œ !ß D − ‘ × M 7 X œ ÖÐ+ß , ß - Ñ − ‘$Î+  #,  - œ ! × ( X œ" 3 ÐX Ñ œ #

3)

a) b) c) d)

O/< X œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘ $ÎB  C œ ! × M7 X œ ÖÐ+ß ,ß -Ñ − ‘$Î+ œ , œ - × ( X œ# 3 ÐXÑ œ "

4)

a) b) c) d)

O/< X œ ÖÐ!ß!ß!Ñ× M 7 X œ ‘$ ( X œ! 3 ÐX Ñ œ $

aa ba bb

Proposición:

aa ba bb

a b

Sea X − _ Z ß [ , entonces: 1) 2)

a b ab

X es inyectiva sí y sólo si O/< X œ Ö)Z × X es sobreyectiva si M7 X œ [ .

130



Z E a b ã b a b a b™ ã b a b™¡ a b ã b a b™ a b M ab O a ab ab a b b G a b c a bd c a bd a O b I a b a b a b ã ba a b b™¡a b a b a b N c a bd c a bd a b I G R I V

Ejemplo:

Si revisamos el ejemplo resuelto anteriormente en donde X À ‘2 Ä ‘#ß definida por X Bß C œ  # Bß C , que es una T.L., encontramos que

O/< X œ

Bß C − ‘#Î B œ ! • C œ ! œ

a b a b ã b

a b

™ ã b™ a b !ß !

Ê( X œ!

Por lo tanto, podemos afirmar que X es una T.L. inyectiva. Por otra parte: M7 X œ

+ß , − ‘#ÎX Bß C œ +ß ,

Por lo tanto, una base para M7 X es

œ

"ß ! à !ß "

"ß ! à !ß " . Así: 3 X œ #.

Entonces, M7 X œ ‘#. En consecuencia, X es sobreyectiva.

Ejercicios: Verifica si las siguientes T.L. son inyectivas y sobreyectivas. 1) 2)

X À ‘# Ä ‘# ß X Bß C œ B  Cß B  C Sea X À ‘# Ä ‘$ ß X Bß C œ Bß Cß B  C

Respuestas: 1) 2)

X es inyectiva y sobreyectiva. X es inyectiva, pero no sobreyectiva.

Teorema (de las dimensiones):

Si X − _ Z ß [ ß entonces: . 37 O /< X

 . 37 M 7 X

œ . 37 Z

Ejemplo: Del ejercicio N°1, resuelto anteriormente, X À ‘# Ä ‘# ß X Bß C œ B  Cß B  C , nos encontramos que O/< X œ Ö !ß ! × lo que implica que ( X œ ! y, por otro lado, encontramos "ß ! à !ß " lo que implica que 3 X œ #. que M7 X œ En consecuencia, tenemos que .37 O/< X  .37 M7 X œ .37 ‘# !  # œ #

Ejercicio: Verifique el teorema de las dimensiones con el ejemplo N° 2, resuelto anteriormente.

131


› Z š › a b Š ‹ E M a b aa b b a b O a b a b a a b b a a b ba b a b a b œ œ G a b a b a b a ba b aa bb c aa bbd a ca b aba b bd aa bb a a bb aa ba O bb a b a b I N a b a b I a b a a bb aa b b G ab R I a b a b a b a b a b a b V aa bb aa b b Teorema Fundamental Del Algebra Lineal.

š

Seav Z y [ dos Š- espacios vectoriales, F œ → @ "ß → @ #ß → @ $ ß ÞÞÞ ß → @ 8 , base de Z , → A"ß → A #ß → A $ ß ÞÞÞ ß → A 8 , conjunto arbitrario de vectores de [ . Entonces existe una única Transformación Lineal X − _ Z ß [ tal que X → @ œ → A ß 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8 . "

"

Observación: De la demostración del teorema se desprende que basta que dos T.L. coincidan sobre una base cualquiera de Z para que sean iguales sobre todo el espacio.

Ejemplo: Sea F œ Ö "ß# à !ß  " × una base de ‘# y consideremos dos vectores cualesquiera de ‘$, A " œ  "ß "ß ! ß → A # œ !ß  $ß " . Entonces: por ejemplo → a Bß C − ‘# Ê Bß C œ ! "ß #  " !ß  " Bß C œ !ß #!  !ß  "

!œB #!  " œ C

Bß C œ !ß # !  " Ê

Por lo tanto, a Bß C − ‘# Ê

Ê

!œB " œ #B  C

Bß C œ B "ß #  #B  C !ß  " X X X X X

Bß C Bß C BßC BßC Bß C

ÎX

œ X B "ß #  X #B  C !ß  " œ BX "ß #  #B  C X ! ß  " œ B  "ß "ß !  #B  C !ß  $ß " œ  Bß Bß !  !ß  'B  $Cß #B  C œ  Bß  &B  $Cß #B  C

que resulta una transformación lineal de ‘# a ‘$.

Ejercicios: 1)

X À ‘3 Ä ‘# ß una T. L., definida X "ß !ß ! œ Ð#ß  $Ñà X !ß "ß ! œ Ð  "ß "Ñ X ! ß !ß " œ Ð  #ß & Ñ. Determina:

Sea

a) b) c) d) e)

X BßCßD O/< X M7 X ( X 3 X

2)

Determina la fórmula de definición de la T.L.

a)

X À ‘3 Ä ‘3 tal que X " ß "ß " œ "ß #ß $ à X "ß "ß ! œ $ß #ß " à X "ß !ß ! œ !ß !ß " .

b)

X À ‘# Ä ‘# tal que X #ß" œ "ß& X !ß " œ  "ß "

132

y


c)

d)

aa bb aa b b a b a ba aa b a b b a b

À ‘$ Ä ‘# tal que "ß!ß" œ "ß" !ß "ß " œ !ß  $ "ß "ß ! œ  "ß ! Averigua si existe X "ß  # ß $ X X X X

X À ‘# Ä ‘# tal que X "ß" œ !ß$ X  #ß  # œ "ß $

Respuestas: 1)

2)

b

a a b b aa b ab š aa bb cc aa bdbd

 a bb ¡

Z E M O G O I N I G R I a V b a b

a) b) c) d) e)

X Bß C ß D œ #B  C  #D ß  $B  C  &D O /< X œ ÖD $ß % ß " ÎD − ‘× œ Ö $ß % ß " ×

a) b) c)

X Bß C ß D œ $C  #D ß B  C ß C  #D X À ‘ # Ä ‘# ß X ÐBß CÑ œ ÐB  C ß # B  C Ñ X À ‘ 3 Ä ‘# ß X Ð Bß Cß DÑ œ Ð  C  Dß #B  #C  DÑ X "ß  #ß $ œ &ß $

d)

No existe la ecuación de la T.L., ya que los vectores son l.d.

M7 X œ

Ð +ß , Ñ Î +ß , − ‘

( X œ . 37 O /< X œ " 3 X œ .37 M 7 X œ #

›

a b a a b a b

œ ‘#

b

Algebra De Las Transformaciones U Operadores Lineales.

En el estudio de las transformaciones lineales de Z en [ es de fundamental importancia que el conjunto de estas transformaciones hereda una estructura natural de espacio vectorial. el conjunto de las transformaciones lineales de un espacio Z en sí mismo tiene incluso una estructura algebraica mayor, pues la composición ordinaria de funciones da una multiplicación de tales transformaciones.

Teorema: Sean Z y [ espacios vectoriales. Sean X y W transformaciones lineales de Z en [. La funciones siguientes se definen como sigue: i) ii) iii)

a bŠ ‹ Š ‹ Š ‹ a bŠ ‹ Š ‹ a bŠ ‹ a b Š ‹ ’ Š ‹ “ XW → ? œX → ? W → ?

→ ? œ -X → ? XW → ? œ X ðW → ? œX W → ? -X

a b a

b

Ejemplos: Sean W À ‘# Ä ‘# de manera que W Bß C œ #B  Cß C y X Bß C œ  #B  Cß ! operadores lineales. eterminemos las definiciones de los siguientes operadores lineales.

133

dos


a)

b)

c)

d)

e)

a ba b a a b a b ba b a b a b a b a c b aa bbd aa ca a bbbd b a b a b a c b aa bbd aa aa b bb b a ba b a a b a b b a b aa b ab b a b a a bbaa bb aa c aa bd bb b a b W  X Bß C œ W Bß Bß C  X Bß Bß C œ #B  C ß C   # B  C ß ! œ #C ß C X W Bß C œ X ððW W Bß C œ X W BßC œ X #B  C ß C œ  # ##B B C CßC œ  %B  Cß ! W X Bß C œ W ðX ðX Bß C œ W X BßC œ W  #B  Cß ! œ #  #B # B  C  !ß !ß ! œ  %B  #Cß !

#X  $W Bß C œ #X B ß C  $W Bß Bß C œ #  #B  C ß !  $ #B #B  Cß C œ  %B  #C ß !  'B  $Cß $ C œ  "!B  C ß  $C

X # Bß C œ X † X Bß C œ X ðX ðX Bß C œ X X BßC œ X  #B  Cß ! œ  #  #B # B  C  !ß !ß ! œ %B  #Cß!

Ejercicios: a) b) c) d)

ÐWXÑ ÐBßCÑ œ ÐXWÑ ÐBß ÐBß CÑ œ W # ÐBß ÐBß CÑ œ X #ÐBßCÑ œ

Observación: La transformación compuesta

ÐW XÑ ÐBß ÐBß CÑ existe, sí y sólo sí, el

subconjunto del dominio de W Þ

Respuestas: a) b) c) d)


aa bb

WX ÐBßCÑ œ ÐBß!Ñ XW ÐBßCÑ œ Ð!ßCÑ W # ÐBß ÐBß CÑ œ ÐBß ÐBß CÑ # X ÐBß ÐBß CÑ œ Ð!ß!Ñ Ð!ß!Ñ

134

Recorrido de X es


Más Ejercicios: Sean las transformaciones lineales: W À ‘3 Ä ‘# Î WÐ WÐBß Cß C ß DÑ D Ñ œ ÐB  C ß C  D Ñ X À ‘3 Ä ‘$ Î X ÐB ÐBß Cß C ß DÑ D Ñ œ ÐBß B  D ß B  C Ñ V À ‘$ Ä ‘$ Î V ÐBß C ß DÑ DÑ œ ÐBß #C #C ß B  $D Ñ

Determina si existen: a) c) e) g) i) k)

b) d) f) h) j) l)

X V W V WV XW VX X#

$X  #V WX XV VW # W V#

Respuestas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

ÐX  VÑÐ VÑÐBßCß DÑ œ Ð#Bß #Bß B  #C  Dß#B  C  $DÑ $DÑ Ð$X Ð$X  #VÑÐ #VÑÐBßCß BßCß DÑ œ ÐBß ÐBß $B $B  %C  $Dß B  $C  'DÑ ÐW  VÑ, no se puede determinar. ÐW X ÑÐBßCß ÑÐBßCß DÑ œ Ð#B Ð#B  Dß C  DÑ ÐWVÑÐ ÐWVÑÐBßCß BßCß DÑ œ ÐB  #Cß #Cß  B  #C  $DÑ $DÑ ÐX VÑÐB VÑÐBßß Cß DÑ œ ÐBß ÐBß  $Dß B  #CÑ #CÑ ÐX WÑÐBßCßDÑß no se puede determinar. ÐVW ÑÐBß ÐBß CßDÑ ß no se puede determinar. ÐV X ÑÐBßCß ÑÐBßCß DÑ œ ÐBß ÐBß #B #B  #Dß %B %B  $CÑ $CÑ W # ß no se puede determinar. X # œ ÐBß ÐBß Cß Cß DÑ DÑ # V œ ÐBß ÐBß %Cß %Cß %B %B  *DÑ

Matriz Asociada A Una Transformación Lineal.

š

Z E M O G O I N › I š › G R I V

@ "ß → @ # ß ÞÞÞ ß → @ 8 , F# œ → A "ß → A #ß ÞÞÞ ß → A7 Sean Z y [ dos Š-espacios vectoriales, F" œ → bases de Z y [ respectivamente y X : Z Ä W una Transformación lineal, lineal, entonces:

Š ‹ Š ‹ Š ‹

X → @ " œ +"" → A "  +"# → A #  ÞÞÞ  +"7 → A7 X → @ # œ +#" → A "  +## → A #  ÞÞÞ  +#7 → A7 ããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããã

X → @ 8 œ +8" → A "  + 8# → A #  ÞÞ ÞÞÞ  + 87 → A7

La matriz:

E œ

ÎÐ ÐÐÐ Ï

+ "" + #" Þ Þ + 8"

+ "# + ## Þ Þ + 8#

Þ Þ Þ Þ Þ

Þ + "8 Þ + #8 Þ Þ Þ Þ Þ + 87

ÑÓ Ó Ó Ó Ò 135


Z E a b a b ã b a b a b™ ã b a b™ M a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b O Î Ñ Ï Ò G š › š › O cd I Î Ñ N Ï Ò I aa bb a a baba b ba a b baba a b b aa bb ˆ ‰ ‰ a b a b a b ˆ G a b a b a a bb a a b b a b R I a b a b œ a b a b a b a b a b c a bd c a bd V

cuya j-ésima columna columna está formada por las coordenadas del transformado transformado por X del j-ésimo j-ésimo vector X F F de la base " con respecto a la base # se llama Matriz Asociada a con respecto a las bases F" y F# y la denotaremos por Q X F F ó X F F . Observemos que el orden de Q X F F es 7 ‚ 8 donde 7 es la " # " # " # dimensión de [ y 8 es la dimensión de Z .

cd

Ejemplo:

cd

cd

Sea X À ‘$ Ä ‘# la T.L. definida por X Bß C ß D œ #B  Cß C  D . F" œ "ß "ß "ß " à "ß "ß "ß ! à "ß !ß !ß ! y F # œ #ß ! à !ß " bases de ‘$ y ‘# respectivamente. Entonces:

" #ß !  # !ß " # " X "ß "ß "ß ! œ "ß " œ #ß !  " !ß " # X " ß !ß !ß ! œ #ß ! œ " #ß !  ! !ß " X "ß "ß "ß " œ "ß # œ

Luego, la matriz asociada a la T.L. es E œ

Proposición 1: Sean Z y [ dos

" # #

" # "

Š-

espacios vectoriales,

"

!

F" œ → @ "ß → @ # ß ÞÞÞ , → @8

y

F# œ → A "ß → A # ß .ÞÞ ,→ Am

base basess de Z y [ resp respec ecti tiva vame ment ntee y E un unaa matr matriz iz de orde ordenn 7 ‚ 8 con elementos en Š. Entonces existe una única transformación lineal X de Zen [ tal que X F" F# œ E.

Ejemplo:

La transformación lineal de ‘# en ‘$ cuya matriz asociada respecto de las bases

canónicas es E œ

# ! $

" #

, es tal que:

" #

X " ß ! œ # "ß ! ß !  ! !ß " ß !  $ !ß ! ß " œ #ß ! ß $ X !ß " œ  " "ß !ß !ß !   # !ß "ß "ß !  "# !ß !ß !ß " œ  "ß " ß  #ß #ß

Por lo tanto: X "ß ! œ #ß # ß !ß !ß $ y X !ß " œ  "ß " ß  #ß #ß

" #

" #

Entonces, X se puede definir:

a Bß C − ‘# Ê Bß C œ ! "ß !  " !ß " Bß C œ !ß !  !ß " Bß C œ !ß " Ê

Por lo tanto, a Bß C − ‘# Ê

! œB " œ C

Bß C œ B "ß !  C !ß "

ÎX

X B ß C œ X B "ß !  X C !ß "

136


a a a a

b b b b

Z E M O š › G O I b N I G R I V

a b a b ‰ a b ˆ ‰ a b ˆ ˆ ‰

X Bß C œ B X " ß !  C X !ß "

X B ß C œ B #ß !ß $  C  "ß  #ß

" #

X Bß C œ #Bß !ß $B   Cß  #Cß "# C X B ß C œ #B  Cß  #Cß $ B  "# C

que resulta una transformación lineal de ‘# a ‘$.

Observación: Si se intercambia el orden de los vectores de las bases, cambia la transformación lineal. (¡verifícalo!).

Proposición 2: Sean

š

Z,

dos

[

Š-espacios

› c d ’ “ ’ Š ‹“

vectoriales,

F" œ → @ "ß → @ # ß ÞÞÞ, → @8

F# œ → A "ß → A # ß ÞÞÞß → A 7 bases de Z y [ respectivamente.

T.L., entonces X

F" F#

→ B

œ X → B

F"

y

Si X À Z Ä [ es una

. Es deir, al multiplicar la matriz asociada a X

F#

B respecto de la base F" ß se obtiene el vector coordenado por el vector coordenado de → → de la imagen de B por X respecto de la base F#.

ab

Ejemplo:

Sea X À `#‚# ‘ Ä ‘$ definida como X La

matriz

a

X ! # ! !

+ -

Œ  Œ  Œ  Œ Ÿ ã b a b a b™ Ñ c d ÏÎ Ò Î ÑÓ Ð ’“ Ð Ó Œ  Ï Ò " ! à ! "

F" œ

F# œ X

B œ Si →

asociada

Œ  a

$  "#

F" F#

 #ß #ß # ! œ " #

" ! à ! !

! ! à " !

à "ß !ß ! à "ß "ß ! ! ! " " " # ! " #

! B ; entonces → %

F"

œ

% " " #

es

y

!

137

, .

œ +  ,ß -  #.ß , .

respecto y

a

las

bases


’ Š ‹“ ÏÎ Š‹ a X → B

F#

œ

! ! " " # !

! " "

ÑÓÎÐ Ó Ò Ï b a b a b " # #

B œ !  #ß #ß #  Entonces, X →

* #

ÑÎÐÐ ÒÏ

% "

œ

" #

"& #

!

"ß !ß ! 

!  *#

"& #

ÑÓ Ò ˆ ‰

"ß "ß ! œ $ß

"& ß! #



PROBLEMA 1:

Sea X À ‘$ Ä ‘$ de manera que XÐBßCß DÑ œ ÐB  %Cß $C  &Dß $DÑ

a) b) c) d)

PROBLEMA 2:


a b ab ab

ab

Diga si X es transformación lineal. Determine el O/< X y la M7 X Calcule ( X y 3 X . Diga si X es una transformación inyectiva.

a a b ab a b a b b š › ša b a b a b›

Sea X À ‘$ Ä ‘$ una T.L. definida por:

X Bß C ß D œ %B  'C ß #D  C  Bß B  C . Sean I œ "ß !ß ! à !ß "ß ! à !ß !ß " y

base de ‘$. Encontrar la matriz asociada a la transformación X dada las bases I y J . Jœ

"ß "ß " à  " ß #ß ! à %ß  &ß '


PROBLEMA 1:


X

a) b)

ab

Considera la T.L. X À `# ‘ Ä ‘% definida por:

Œ  a B C D A

œ B  %D  Aß A  Dß B  Cß A

¿Es X inyectiva? ¿Es > sobreyectiva?

138

b


c)

Œ

Encuentra X

PROBLEMA 2:

" # ! "



aa bb aa b b a b a b

Sea X À ‘$ Ä ‘$ una T.L. tal que: X "ß ! ß ! œ "ß % ß % à X !ß "ß ! œ  " ß !ß  # à X !ß !ß " œ "ß  "ß "

a

Determina la definición de X y calculo X  "ß #ß $

139

Z E b M O G O I N I G R I V


Pre- Examenes

140



Z E Î Ñ Ï Ò M a ba b¡ O a b a b G a b a b O I N I G R I V

PRE-EXAMEN N° 01 Indicación:


PROBLEMA 1: a) b)

Determina la condición de + y , de modo que la matriz E sea invertible. Resuelve la ecuación para \, E\ œ F, para + œ " y , œ !. Eœ

Î Ï

" ! " , # + " " !

a b

Ñ Ò

à

Fœ

# $ "

" ! $

PROBLEMA 2: Sean Y y [ subespacios de ‘$ definidos como sigue:. Y œ Ö Bß Cß D − ‘$ÎB  C  D œ !× y [ œ Ö !ß "ß ! à $ß "ß ! × . a) b)

Verifica que Y es subespacio de ‘$. Determina una base de Y  [ y extiéndela a una base de ‘$.

a b a b

PROBLEMA 3: Sea X À ‘# Ä ‘# una transformación lineal tal que: X  "ß $ œ $ß  # à

a) b)

X &ß $ œ  'ß %

Encuentra explícitamente la transformación lineal X . ¿Es X inyectiva?. ¿Por qué?.

a

b

PROBLEMA 4: Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos T" "ß % ß # ß T# #ß $ ß ! T$  "ß  #ß % .

y

PROBLEMA 5: Determina los valores de " -", si es posible, de modo que el sistema tenga infinitas soluciones. B  C  -D œ ! $B  %C  #D œ ! #B  $C  D œ !

141


PRE-EXAMEN N° 02 Indicación:

Z E M b O G O I N I G R I V


PROBLEMA 1: Resuelve, usando determinantes (Regla de Cramer) #D  $ œ C  $B B  $D œ #C  " $C  D œ #  #B

PROBLEMA 2: Demuestra que ‘$ œ Y Š [ , donde:

aa bb

Y œ Ö Bß C ß D − ‘$ÎB  D œ !× y [ œ Ö Bß C ß D − ‘$ ÎB œ ! • &C  #D œ !×

a b a

PROBLEMA 3: Sea X À ‘$ Ä ‘$ definida por: X Bß Cß D œ B  Cß B  Dß C  D a) b)

cd

Determina la matriz asociada E œ X G G con respecto a la base canónica. Usando E, determina los valores propios de X .

PROBLEMA 4: Resuelve la ecuación para 5 − ‘ À

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

5# % #& 5& ! " ! œ " " ! 5% "

$ % 5# # ! "

âââ âââ

Con el valor de 5 encontrado, sustitúyelo en el siguiente sistema y encuentra su solución, si existe. 5B  C D  A œ ! 5B  C  D  5A œ " 5 B  C  D  %A œ  #

PROBLEMA 5: Para el triángulo cuyos vértices están en EÐ#ß  &ß $ Ñß F Ð  "ß ( ß !Ñ y G Ð  %ß * ß (Ñ calcula la longitud de cada lado, el punto medio de cada lado y su área de dos formas distintas (vectorial y con la fórmula de Herón de Alejandría).

142

Algebra.lineal.pdf

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