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Índice Unidad I Capítulo 1

Teoría de exponentes I

4

Capítulo 2

Teoría de exponentes II

9

Capítulo 3

Notación P(x)

14

Capítulo 4

Grados y polinomios especiales

19

Capítulo 5

Repaso I

25

Capítulo 6

Productos Notables

30

Capítulo 7

División algebraica

36

Capítulo 8

Factorización I

42

Capítulo 9

Factorización II

47

Unidad II Capítulo 10

Fracciones Algebraicas

53

Capítulo 11

Cantidades Imaginarias I

59

Capítulo 12

Cantidades Imaginarias II

64

Capítulo 13

Cantidades imaginarias III

69

Capítulo 14

Teoría de ecuaciones

75

Capítulo 15

Repaso II: Productos Notables y Factorización

81

Capítulo 16

Ecuaciones de segundo grado I

86

Capítulo 17

Ecuaciones de segundo grado II

92

Unidad III Capítulo 18

Ecuaciones de segundo grado III – Planteo

98

Capítulo 19

Sistema de ecuaciones I

104

Capítulo 20

Sistema de ecuaciones II

110

Capítulo 21

Repaso III: Ecuaciones y sistemas

116

Capítulo 22

Inecuaciones I

122

Capítulo 23

Inecuaciones II

128

Capítulo 24

Funciones I

134

Capítulo 25

Funciones II

141

Unidad IV Capítulo 26

Funciones III

147

Capítulo 27

Función cuadrática

153

Capítulo 28

Repaso IV: Ecuaciones de segundo grado

160

Capítulo 29

Progresiones I

165

Capítulo 30

Progresiones II

171

Capítulo 31

Logarítmos I

177

Capítulo 32

Logarítmos II

182

Capítulo 33

Logarítmos III

188

Álgebra

1

Capítulo

Teoría de exponentes I Lectura: La petición del invento del ajedrez Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presenta su invento a un príncipe de la india. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para la cual le dijo: “Pídeme lo que quieras, que te lo daré”. El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente: Deseo que me entregues un gramo de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64. La sorpresa fue cuando el sacerdote del príncipe calculó la cantidad del trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener el trigo que pedía el inventor. ¿Cuántos trillones de granos de trigo pedía aproximadamente) utiliza 2 3 4 62 63 la calculadora para hallarlo: 1+2+2 +2 +2 +...+2 +2 . FUENTE: http://thales.cica.es

En este capítulo aprenderemos Teoría de exponentes I .. Potenciación (base, exponente, potencia) .. Definiciones –– Exponente entero positivo. –– Exponente cero. –– Exponente entero negativo. .. Teoremas: –– Bases iguales (multiplicación y división) –– Exponentes iguales (multiplicación y división) –– Potencia de potencia. .. Ejercicios.

Colegios

4

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Síntesis teórica

www.trilce.edu.pe

Tercer año de secundaria

5

1

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar E=10+5(–1)–2(–1)

4. Descomponer canónicamente los siguientes números. • 120

• 180

2. Calcular E = 25 + 36 5. Factorizar: 3

5

P(x)=x +x +x

3. Reducir: E=3m–2m+9m

4

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente

3. Completar correctamente

a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5

I. 5°

b) 5°+5°+5°+5°+5°

II. 5

6

III. 5

5

–1

–1

–1

–1

c) 5 +5 +5 +5 + 5 5

5

5

5

d) 5 +5 +5 +5 +5 a

b

–1

5

IV. 5

c

m

I. a x a

2m

=a

3m

(

v)

5m

÷a

3m

=a

2m

(

)

III. a

4m

+a

2m

=a

6m

(

)

3m

IV. (a ) = a

TRILCE

3+m

(

exponente

es

b) Si una base negativa se eleva a un exponente

.

7 c) Luego de reducir x5 el exponente final es x .

II. a

el

.

signo

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)

6

y

par, la potencia resultante es siempre de

d

III

Colegios

9

3 , la base es

a) En la

)

-1 0 4. Efectuar: ` 1 j + ^ 70 + 1h + 2^− 5h0 3

5. Simplificar:

x7 y9 z11 x7 y3 z9

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente: –1

a) (2x)(2x)(2x) 2

I. 2 .x 2

b) (x +2)°+(x +2)° –1 –1

c) (2x ) d) (–2x)

2

a

x .125 x .5x 8. Simplificar: 25 2 − 3 x 9x − 3 .5 5

2

a) 1

b) 5

III. 8x

3

d) x

e) 25

c

d

a) 5 d) 15

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. x − 1 = 1 ; 6x ! R x o II. x = 1; 6x ! R

(

)

(

)

5 III. (x2) 5 = x2 ; 6x ! R

(

)

IV. x − 1 = − x ; 6x ! R

(

)

a) 625 d) 5

.

indica que la base

se

veces.

23 c) Luego de reducir (x3) 2 el exponente final es (x ) .

4. Reducir: a) 4 d) 3

3 4 1 −1 ;(− 2) + (− 2) + (− 3 ) + 4 3 E b) 2 c) 0 e) 1 0

−1 − 4− 2

5. Calcular: E = ` 1 j 36 a) 6 b) 8 d) 12 e) 20

53

+ 20

3 24 222 ) ((a ) ) 6. Simplificar: (a2 b 10 b .a .b6 .a10 a) a b) b e) 1 d) a b

57

+ 31

c) 10

c) ab

x−1 + 3x + 3x + 1 7. Reducir: 3 3x

a) 3

b) 13

d) 1

e) 13 3

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6

4

impar, la potencia resultante es multiplica

c) 4 5x + 3 5x − 1

b) 152 e) 1

c) 25

11. Luego de reducir, indicar el exponente final de " x":

a) Si una base negativa se eleva a un exponente 6

b) 9 e) 6

x+ 1 x+ 2 10. Reducir: E = 5 x − 3+ 5 x − 2 + 5 +5 +


b) 3

c) 5

2 3 9. Simplificar: 75 #2 6 # 2 100 # 27

IV. 2x° b

–1

II. 4x

c) 3 13

x81 x3

; x>0

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

12. Si: a+b=1; ab= b

a

a

2,

c) 3 simplifique la expresión:

b

(a + b )(a + b ) – (2

a/2

+2

b/2

) b

c) a +1

a) 0

b) 1

d) a+1

e) b +1

a

13. Si x es positivo, simplificar la expresión: 1 2

2 3

x

3 4

x

4 5

x

n

x .... n + 1 x

2 xn + 3n

a) x

1/2

d) x

b) x

n

c) x

2

e) 1

14. Los planetas A, B, C se encuentran unidas colinealmente con respecto a un eje de referencia. Si las distancias entre A y B y B y C x+11 x+9 y2 respectivamente y la distancia son 2 93 93 94 97 de A y C es 2 +2 +2 +2 , hallar x a) 86

b) 85

d) 88

e) 84

c) 87

15. En cierto planeta un virus se duplica cada segundo. Si A representa la cantidad de virus que se tienen en 31 segundos y B representa la cantidad de virus en 28 segundos. Hallar A÷B a) 12 d) 2

b) 16 e) 8

c) 4


7

1

Capítulo

Practica en casa -1

1. Reducir: A = ` 1 j + (2012 + 2013) 0 + 811/4 5 o

2. Calcular: B = 2 3 + (3 5 ) o + (− 5o) + (− 2o) −2 3. Reducir: E = ` 1 j 25

− 5o

x+ 2 x+ 1 + 3x 12. Calcular: A = 3 x +x 3 3 + 3 − 1 + 3x − 2

5. Efectuar: E = (− 4) 3 − (− 7) 2 − (− 5) o 6. Reducir: A = x 4 .x

7. Simplificar:

8. Simplificar:

3 ^x2h x 4 24 2

^x h .x

x+1 x 10. Simplificar: 5 x− 5 5 15 7 9 3 11. Reducir: E = e x13 + x5 + x7 + x o .x − 2 ; x ! 0 x x x x

4. Calcular: A = x5 . (x2) 3 . (x 4) 2

(− 2) 2

9 4 2 9. Simplificar: 14 3.15 3 .306 80 .35 .21

.x

− 32

x+ 1 x 13. Si x =2 , calcular E = xx

(− 4) o

.x

62 + 52 6− 2 + 5− 2

14. Calcular: ; x^0

5 3 o ^x 4h ^x2h ^x 4h 4 3 11

x .x .x

; x^0

m m m 15. Si 5 =3 y 2 =7 ; calcular 10 21

Tú puedes 2

1. Calcular el exponente final de x ; luego de 2 x6 `x − 2 ^x − 3h j x reducir : 2 2 x2 . .x3 .x − 10 a) 8 d) –2

b) 3 e) 1,0

c) 4

2. UNMSM 2008 – II Si x

xx

= 4, x

−z

a) 1 d) 4

x−z = 1 ; hallar el valor de xx 2

b) 2 e) 5

c) 3

8

nn

b) 11

d) 3 11

e) 2 11

TRILCE

3

1/n

+ 2n + 5n + 27 nn + 3

a) 11 2

Colegios

2y

a) 512 d) 125

c) 11 3

x+y

=11 , calcular el valor de

b) 216 e) 343

c) 729

5. UNMSM 2010 – II k2 + 1

Si x = 32 donde “k” es un número entero no negativo, entonces el valor de x + 4 x es k2 − 1` 2k2 − 1

3. Si n = 3 Calcular E = n

2x

Si 3 +3 =27 ; 3 x y3 K= (3 +3 )

a) 32

n

nn + n

4. UNMSM 2003

3

k2 − 1` 2k2

b) 32

k2

3

+ 1j

+ 1j

k2 − 2

c) 32 + 32 k2

k2 − 2

d) 32 + `32

+ 1j

k2 − 1` 2k2 + 1

e) 32

3

+ 1j

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Capítulo

2

Teoría de exponentes II

Lectura: Los descendientes de Carlomagno Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos: “Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que tiene usted es: 2

3

4

38

39

40

2+2 +2 +2 + ... +2 +2 +2 =22 199023, 255550 Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”; pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna. FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com

En este capítulo aprenderemos Ecuaciones exponenciales .. Criterios de resolución –– De bases iguales. –– Formas análogas. .. Casos particulares

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9

2

Capítulo

Síntesis teórica

De las bases iguales

Criterios de resolución

De los exponentes iguales

De la forma análoga

ECUACIONES EXPONENCIALES

Casos particulares

Colegios

10

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 2 35

4. Efectuar: (x .y )

1. Resolver: x + 3 = 4 2

7 a

2. Efectuar: x .x

5. Efectuar: (x3)

4

7 3. Efectuar: xb x

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente x

a) 3 =3 b) 3

x–1

c) 3

x+1

6

=3

3. Completar correctamente I. x=3/2

7

a) En 3

II. x=2

=27

b) En 11

III. x=6

x

d) 9 =27

IV. x=8

a

b

c

c) En 2

d d) xx

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. 5

x–1

=5

x–2

= 1

x–1

=9

II. 7

III. 7

2–x

IV. 6

0

x–1

=4

www.trilce.edu.pe

x–1

2–x

x–5

x–1

x3

x

=9 , la solución es =1, la solución es

=6

1–x

, la solución es

= 3 , la solución es

4. Resolver:

entonces x=1

(

)

entonces x=2

(

)

entonces x=1

(

)

entonces x=2

(

)

8

x–2

=4

x+3

5. Resolver x

. .. x x

=5


11

2

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: a)

x−2

2

I. x=–8

= 23

1−x b) 3 7 = 73

II. x= 3 3

1 x = 53 ` c) 5 j

III. x=8

d) x

x3

a

b

c

a

II. xx = a , entonces x = a a = b , entonces x = b b 1

1

x7

(

)

(

)

(

)

(

)

solución

es

solución

b) 4 e) 12

5. Resolver: 6

3n–9

a) 3 d) –3

=27

6. Resolver: 4

b) 3

d) − 3 2

e) –2

c) 10

Colegios

12

TRILCE

3

3 2

b) 2 e) 0 x–4

+4

x–3

+4

c) 3 x–2

e) 0

+4

x–1

b) 2 e) 5

b) 2 e) 5

=340 c) 3

4x + 1

@

x+1

= 81 4

4

c) 3

15 n 8 12. Si: = 7n − 4− 7 3 G = 7 , hallar la suma de cifras de "n" 7 −7

a) 1

b) 2

d) 8

e) 9

13. Resolver: 5 es

a) 1 d) –1

2n

c) 3

n

– 4.5 – 5=0 b) 2 e) 5

c) –2

dimensiones dadas por el gráfico 2n+1

2

a) 4 d) 32

3

n+3

b) 64 e) 16

c) 8

15. La edad de un padre es igual que la suma de las edades de sus tres hijos. Si las edades de n–3 n–2 n–1 y la del padre 39. sus hijos son 3 , 3 , 3 Halle la edad del mayor hijo.

c) 2

c)

n+2

si el perímetro de dicho terreno es 56m. Halle el lado más grande.

c) 2

3

d) −

=39

2

7. Hallar x: ^2xh^2xh = 3 b) 3 3

x–1

14. Un terreno triangular tiene las siguientes

=0,5

a) 1

a) − 3 3

+3

n–3

b) –2 e) 0 n+1

x–2

1

es

n−1 9 4. Resolver: 35 = 35

a) 8 d) 11

+3

a) 1 d) 4

. la

x–3

c) 1 5

11. Calcular el valor de "x": 638

solución

7

c) Si x , entonces x es x 2 d) (0,2) =5 , entonces .

e) 1 3

a) 1 d) 4

x–3

` j ` j IV. ` 1 j 2 = ` 1 j 4 2 4 3. Completar correctamente x a) Si x =27, entonces la . 2x b) Si x =16; entonces la .

d) 1 2

10. Hallar x: 4

I. 1 =1, entonces la única solución es x=3

III. x

b) 1 6

a) 1 d) 4

d


. x..

a) 1 15

9. Hallar x: 3

IV. x=–3

=3

1 = (0, 2) 3 5

8. Hallar x: x

3 2

a) 6 d) 27

b) 9 e) 30

c) 18

Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 1. Hallar x: 5 2. Resolver 7

x–3

x–2

3. Hallar x: x

5. Resolver: x

4

9. Luego de resolver:

=49

3 xx

4. Resolver: 11

6. Hallar x: 9

=5

.. x.

=(

1 1–2x ) 125

1

=7

10. Resolver: n 0, 2 = ` 1 j3 5

x–5

11. Resolver: 2 =7

=5

x–1

Indique el valor de 4x

=3

x–5

x–1

25

12. Hallar x: 3

2x–2

n+3

2x

+2

x

n2–4

=5

4–n2

14. Si a

2

x 2 8. Si xx = 2; hallar x2 + xx

5 aa

+2

n+1

=56

x

– 7.3 – 18=0

13. Resolver: x =36

7. Halle el mínimo valor de “n” en: 7

n+2

=5yb

3

. .. b b

5

= 2, calcular E=a +b

2

3 15. Resolver : xx = 36

Tú puedes 1. UNMSM 2009 – I n+1

n+2

4. UNMSM 2008 – I n+3

n+4

Si: 5 +5 +5 +5 =780 y "n" en un número entero, entonces el valor de: 2(n+3) es. a) 4 d) 15

b) 10 e) 8

c) 6

2. UNMSM 210 – II 64

a

Si: 2 =a y

3

54

a) 48 d) 44

= (3b) b , halle 3a+2b

b) 96 e) 66

c) 99

Z r 10 r 2 ] bb = 9 + 2 − ^3 h [ 44 ] x 2 x+1 =0 \ 4 .2 − 2 Entonces se puede afirmar que: a) x – b=3 d) x
b) x+b=3 e) xb=2

c) |b|<|x|

5. UNMSM 2008 – II 2 2 2 2 2 2x + 2x − 1 + 2x − 2 + 2 x − 3 + 2x − 4 = 62

donde x>0, hallar "x"

3. UNMSM 2010 – II y

Si x =2 (donde x>0), halle el valor de la y x− y

expresión a) 16 3 11 d) 4

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^4x h

y y

^xx h + ^x2h− y

2 x 2y − 6 x − y b) 3 e) 13 4

a) 1

b)

2

d) 2

e)

5

c) 5 2

c) 16 5

“Equivocarse no es fracasar, es aprender” Tercer año de secundaria

13

3

Capítulo

Notación P(x) Lectura: Paolo Ruffini Matemático y médico, nació el 22 de septiembre de 1765 en velantano, estados pontificios, y murió en Módena el 10 de mayo de 1822. Estudió medicina, y cuando acabó la carrera se dedicó a estudiar matemáticas. Sus estudios de matemáticas le valieron pronto para tener muy buena reputación en el campo matemático y en 1787 accedió al puesto de profesor en la universidad de Módena, donde había estudiado. Fue nombrado rector de la universidad y catedrático de clínica médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas. Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los años, dentro del mundo matemático, como el descubridor de la regla de Ruffini que hace que se permita encontrar los coeficientes del polinomio wue resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio (x–a). Pero esto no ha sido lo único con lo que Ruffini ha colaborado en el mundo de las matemáticas, eleboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y superiores, aunque no fue del todo exacta su teoría, que sería corregida posteriormente por Niels Henrik Abel, matemático noruego. FUENTE: http://www.rtre.es

En este capítulo aprenderemos Evaluaciones exponenciales .. Polinomio (definición) .. Clasificación –– De acuerdo al número de términos. –– De acuerdo al grado. .. Polinomio de una sola variable .. Valor numérico –– Teoremas: suma de coeficientes, término independiente. .. Cambio de variable .. Ejercicios

Colegios

14

TRILCE

Central: 6198-100


Según el número de términos • Monomio • Binomio • Trinomio, etc. Clasificación

Según el grado er

• 1 grado do • 2 grado er • 3 grado, etc Polinomio de una sola variable

POLINOMIO

Para P(x), se cumple Valor numérico

Suma de coeficientes Término independiente

Cambio de variable

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15

3

Capítulo

Saberes previos 2

3

1. Calcular: 3(1) +5(1) – 2(1) – 1 a) 4 d) 7

b) 5 e) 8 3

2

c) 6 5

4

2. Calcular: 5(0) – 2(0) +7(0) – 6(0) +3 a) 7 d) 4

b) –1 e) 3

c) 0

2

3. Calcular: 1(2) – 2(2)+6 a) 5 d) 9

b) 6 e) –2

2

2

4. Calcular: 2 .2 – 3 .3+4

c) 7

a) 30

b) 20

d) 21

e) 30

2

c) 16

3 2 5 4

5. Reducir: x y .x y a) x y

12 4

b) x y

3 9

8 6

e) x y

c) xy

6 8

d) x y



a) P(x)=x+3

I. P(0)=0

b) P(x)=x–2

II. P(10)=21

c) P(x)=x

III. P(5)=8

d) P(x)=2x+1

IV. P(3)=1

a

b

c

d

a) En

P(x,y)=x+2y

las

variables

son

. 2

b) En P(x)=3x +2x–5 el término independiente es

. 2

c) En P(x)=–2x +x–1 el coeficiente principal es

. 2

d) En P(x)=4x +x+2 la suma de coeficientes es

.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) Sea P(x) =3x–1 I. P(0)=–1

(

)

II. P(1)=5

(

)

III. P(–1)=–7

(

)

IV. P(2)=5

(

)

Colegios

16

TRILCE

4. Si P(x;y)=2x+3y, calcular P(1;0)

5. Si P(x)=2x+1, calcular P(y+1)

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 8. Si P(x–1)=2x+1, calcular P(0)+P(1)+P(2)

1. Relacionar correctamente: a) P(x)=x

I. P(1)=10

b) P(x+1)=x+10

II. P(10)=12

c) P(x+2)=x+1

III. P(0)=0

d) P(x–1)=x+1

IV. P(7)=6

a

b

c

a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

c) 10

2 9. Si P(x)=x , calcular P (x + 1) − P (x − 1) x a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10. Si P(x–1)=2 P(x–2) – 1

d

Además P(–3) = 2, hallar P(0) 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) 5 4 3 Sea P(x)=4x –3x +7x +x–2

a) 1 d) 9

I. El grado del polinomio es 5

(

)

II. El coeficiente principal es 4

(

)

III. El término independiente es –2

(

)

IV. La suma de coeficiente es 7

(

)

3

P(x,y)=3xyz, .

las

20

a) 2 d) 5

variables la

suma

son de

.

20

c) En P(x)=(1–x) +2, el término independiente . es 2

P(x+1)=(1+x) , .

entonces

P(2)

b) –5 e) 1

c) –6

2

5. Si P(x)=x –1, hallar P(x+1) 2

2

a) x +2x

b) x –2x

d) 2x

e) x+1

c) x

2

2

6. Si P(x–2)=x –3x, halle P(3) a) –3

b) 3

d) 10

e) –9

c) 9

2

b) 3 e) 1

es

c) 4 4

12. Si P(x)=(x–1) +(x+2) +3, hallar la suma de coeficientes de P(x) multiplicado por el término independiente. a) 1850 d) 1560

b) 1520 e) 1280

c) 1680

13. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios, además: P(x) + Q(x) = ax + b P(x) – Q(x) = a + bx donde: P(5) = 4, calcular P(Q(1)) a) 4/3 d) 5/3

4. Si P(x;y)=5x–y, hallar P(–1;1) a) 5 d) 6

2

6

b) En P(x)=(x–1) +3x–1, coeficientes es

d) En

5

c) 8

11. Si P(x)=(a –7)x +ax +a +1 es un polinomio mónico, hallar el término independiente.

3. Completar correctamente a) En

b) 2 e) 12

b) 1/3 e) –4/3

c) 2/3

14. Una empresa de galletas contabiliza sus 2 ganancias en soles mediante: P(x)=(x+1) –3, donde x indica un ciento de galletas. ¿Cuánto ganará si vende 9900 galletas? a) S/.9999 d) S/.9997

b) S/.9996 e) S/.9995

c) S/.9998

15. Un terreno rectangular tiene las dimensiones de x+5 de largo y x+2 de ancho. Hallar el área de dicho terreno representado por P(x). 2

a) P(x)=x +7x+10 2

b) x +7x

7. Si P(x+1)=2x–3, halle P(x–1) a) 2x–7

b) 2x+7

d) 7x–2

e) 7

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2

c) 7x+2

c) x +7x–10 d) P(x)=x 2

e) P(x)=x –10 Tercer año de secundaria

17

3

Capítulo

Practica en casa 2

8. Si P(x+1)= 3x–1

1. Si P(x)=x +3x+1 Calcular P(0)+P(1)+P(2) 8

Calcular P(0)+P(1)+P(2) 2 9. Si P(x)=x , calcular P (x + 1)2+ P (x − 1) x +1

4

2. Si P(x;y)=(x+1) +(y–1) +xy Calcular P(–2;2)

2

2

10. Si P(x)=x+1; q(x)=x –1;

3

3. Si P(x) =(x–1) +x(x–7) +4

Halle P(q(0))

Halle el término independiente. 11

2

4. Si P(x)=(2x–1) +(5x–4) +(9x–10)

8

Halle la suma de coeficientes 2

3

4

3

2

11. Si P(x)=(a –26)x +2x –x+a –1 es un polinomio mónico, hallar el término independiente. 12. P(2x–5)= 2x + 1 + 3 x + 4 ; hallar R(3)

5. Si P(x)=x +1 Halle P(x–1)

99

98

13. Si P(x)=x –3x +2x–1; hallar P(3)

2

6. Si P(x–4)=x –2x

x; si x es par 14. Si P (x) = * x + 1 ; hallar P(2)+P(5) ; si x es impar 2

Halle P(1) 7. Si P(x–1)=3x–1

2

15. Si P(x)=x –2x; calcular P (P (...P (2)) ...) 1 4 44 2 4 44 3

Halle P(x+1)

100 veces

Tú puedes 1. UNMSM 2010 – II Sabiendo que f(x+6)=ax+b; f(2)=–14 y f(–3)=–29, halle el valor de 2a–b a) –6 d) 12

b) 10 e) 8

c) 4

2. UNMSM 2010 – I P(x)+Q(x)=ax+b, P(x)–Q(x)=a+bx y P(5)=4, calcule P(Q(1)) a) 4 3

b) 1 3

d) 5 3

e) − 4 3

c) 2 3

3. UNMSM 2004 – II 2 Si g(z+1)=g(z)+5z –3z+2 y g(0)=2, entonces g(1)+g(–1) es a) 4 d) 0 Colegios

18

TRILCE

b) –4 e) –2

c) 2

4. UNMSM 2004 – II El polinomio 2 n–3 n+1 2 3 7 n–17 +(n x –9) (2x+3) P(x)=(7x –3) (2x–1) 2n–17 +(5x–7n)(5x–1) Tiene como término independiente 112. Hallar "n" a) 13 d) 20

b) 18 e) 12

c) 16

5. UNMSM 2002 – I Dado 3f(x)=x+4+ f (x) , calcular f(f(–4)) 2 a) –4

b) 8 5

d) 0

e) − 8 5

c) 4

“El éxito es 1% inteligencia y 99% esfuerzo” Central: 6198-100

Capítulo

4

Grados y polinomios especiales Lectura: El índice de masa corporal (i.m.c) El índice de masa corporal (I.M.C) es un método simple para estimar la proporción de grasa corporal de una persona. Se calcula con facilidad dividiendo el peso del sujeto expresado en kilogramos, entre el cuadrado de su altura en metros. 2

IMC=peso(Kg)/talla (mts)

2

Por ejemplo para una persona que mide 1.70mts y pesa 75Kg el índice de masa corporal se calcularía así: IMC=75Kg / (170mts) IMC=75Kg / 2,89mts IMC=25,95Kg / mts

2

2

2

Actualmente un IMC entre 18,5 y 24,9 se considera saludable; un IMC entre 25 y 29,9 indica sobrepeso; un IMC entre 30 y 39,9 corresponde a obesidad y un IMC de 40 a más es propio de una obesidad severa o mórbida. FUENTE: http://www.n/m.nih.gor

En este capítulo aprenderemos Grados .. Definición .. Grado en un monomio –– Grado relativo (G.R) –– Grado absoluto (G.A) .. Grado en un polinomio –– Grado relativo (G.R) –– Grado absoluto (G.A) .. Operaciones con grados. Polinomios especiales .. Definición .. Tipos –– –– –– –– –– ––

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Polinomio ordenado. Polinomio completo. Polinomio competo y ordenado. Polinomio homogéneo. Polinomios idénticos. Polinomio idénticamente nulo.


19

4

Capítulo

Síntesis teórica

GRADOS

Polinomios

Polinomios especiales

P. Ordenado

P. Completo

P. Completo y ordenado

P. Homogéneo

Operaciones entre polinomios

Grado relativo (G.R)

Grado Absoluto (G.A)

Adición

Sustracción

Multiplicación

División

Potenciación

P. Idénticos

P. Idénticamente nulo

Colegios

20

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Escribir un término semejante a x 4

2n+5 4

y

4 6

2

4

4. Calcular (2m n )(–5m n)(mn )

3

2. Si P(x)=–x +3x , hallar el valor numérico cuando x=4

3

2

5. A partir de P(x)=5x –3x +5x–4, indicar su coeficiente principal aumentado en su término

3. Hallar la suma de coeficientes de:

independiente.

2

P(x)=–3x +5x–9

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente 2 7

3. Completar los espacios en blanco.

a) P(x;y)=–3x y

I. G.R.(x)=5

b) Q(x;y)=9xy

II. G.R.(y)=1

4

c) R(x;y)=x y

III. G.A.=9

5 3

d) S(x;y)=4x y

Si se sabe que el grado de P(x) es 3 y el grado de Q(x) es 2, entonces. a) El grado de P(x)+Q(x) es

.

IV. G.A.=2 b) El grado de P(x).Q(x) es

a

b

c

d

.

2

c) El grado de P (x) es 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda 4

4 6

8 6

II. En R(x;y)=x y +2x y el grado absoluto es 24 ( ) 2

.

2 a+3

4. Si el polinomio P(x;y)=3x y

n–2

IV. En S(x;y)=7x y–4x –5x el grado absoluto es 10

n+3 n–5

y

4 b+1

–4x y

5 3

+x y

es homogéneo, hallar a+b.

3

III. En Q(x;y)=3xy–5x y+4x y el grado relativo a "y" es 1 ( )

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3

d) El grado de P(x).Q (x) es

2 6

I. En P(x;y)=2x y–5x y el grado relativo a "x" es 4 ( )

n+1

.

5. Si el polinomio Q(x)=7x

a–1

+x

b–3

+x

c–2

+8 es

completo y ordenado, hallar a+b+c

, si n=6, ( )


21

4

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2 5 3

2

A

P(x;y;z)=3x y z

B

P(x;y)=3n xy +n x y –

C

P(x) es de grado 3 y Q(x), de grado 4

G.A.(P)=8

D

P(x) es de grado 32 y Q(x), de grado 24

G.R.(Y)=5

2

4

[P (x).Q(x)]º=10 5 2 6

n x

7

[P(x)+Q(x)]º=32

2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 4

I. El grado de P(x;y;z)=7xyz w es 7

( 4 6

) 3 7

II. El grado relativo a "x" en P(x;y)=3x y –4x y es 7 ( )

III. Si P(x) es de grado 12, el grado de 3 P (x) es 4 ( ) IV. Si Q(x) es de grado 22, el grado de 11

Q (x) es ( )

3. Completar correctamente 5

4 7

3

2

a) El polinomio P(x)=3x y+x y –3x –x y–7x+9 . es 4

3

2 2

b) El polinomio P (x;y) =3x +3xy –x y . 2 4

es

c) El polinomio: P(x;y)=(a–1)x y +(b–2)xy . para a=1 y b=2 es 2

d) Sean P(x)=3x +4x

y

2

.

2

4. Calcular a +b para P(x;y) =n 5 x3a + b y 4b + 2 si G.A. (P)=21 y G.R.(Y)=10 a) 10 d) 16

b) 13 e) 12

c) 11

4

5. Si Q(x;y)=` 15 b x2a y3bj , además GR(x)=40 y a G.R.(y)=12; hallar el coeficiente. a) 16 d) 1

Colegios

22

TRILCE

b) 625 e) 256

c) 81

a) 26 d) 3

(x2n − 3) 4 es de segundo (x3n) 5

b) 2 e) 31

c) –1

7. Sea el polinomio: a+7 a 2a+3 3a+7 5–a N(x;y)=x y –3x –x y si se cumple que G.A.(N)=20; calcular GR(x).GR(y) a) 95 b) 76 d) 91 e) 8 8. Hallar "a+b" si el polinomio:

c) 98

2 2 2 R (x; y) = 3xa yb + 1 − xa + 4 yb − 1 − 7xa + 3 yb − 3 verifica que G.A.=17 y GR(y)=10

a) 12 d) 13

b) 8 e) 11

,

c) –12

2

9. Hallar (a–b) , si G.A.(P)=24 y GR(x)=13; siendo: 2a+b a–5 2a+b+1 a+6 a+b 2a+4 y –x y –4x y P(x;y)=3x a) 16 d) 1

b) 25 e) 9

c) 49

10. Dado el polinomio P(x) de grado (3m+4n) y el

Q(x)=ax +bx, si

a=3 y b=4; P(x) y Q(x) son: 2

5

6. Si el monomio R(x)= 7 grado, hallar –7n

polinomio Q(x) de grado (7m–5n), hallar "m" si 5

4

el grado de P (x).Q (x) es 172 a) 5 d) 4

b) 3 e) 6

c) 1

11. Si el grado de P(x) es "a+1" y el grado de Q(x) P3 (x) .Q 4 (x) es "a–3", hallar el grado de: ; (a 2 3) P (x) − Q (x) a) a+3 b) a–5 c) 2a+3 d) 3a+5 e) 2(3a–5) 12. Calcular el valor de 2(a+b+c), si el polinomio b+2 a+b+7 2a+c +x –5x es completo y P(x)= x ordenado en forma creciente. a) 72 d) 10

b) 8 e) 14

c) 92

Central: 6198-100

Álgebra 13. Hallar el valor de a–b+c–d si el polinomio 3 2 3 2 Q(x)=3dx +18x –9x +9ax +2c–5bx+15x es idénticamente nulo. a) –5 d) –8

b) –6 e) –9

c) –7

14. Nico, Nacho y Nolbert son trabajadores de una fábrica textil en la que pegan botones. Luego de la primera semana de trabajo el supervisor notó m+3n que: Nico pegó 5 botones Nacho pegó (n+1) 5(n–1) botones y Nolber, 5 botones. 125 m ¿Cuál es el valor de n si se sabe que los tres pegaron la misma cantidad de botones? a) 64 d) 125

b) 8 e) 216

15. Dos empresas de bebidas gaseosas "Chimú Cola" y "Chavín Cola" compiten por la hegemonía de sus productos en el mercado. Luego de un estudio se supo que el consumo de "Chimú Cola" en un mes estuvo dado por 2 la expresión: F(x)=(a+2b)x +(b+2c)x+(a+c) y el consumo de "Chavín Cola" estuvo regido 2 por la expresión: G(x)=3bx +3cx+2c. Hallar (2a+b+c)÷(b+c) si dicho mes ambas empresas registraron el mismo consumo (x: número de cajas distribuidas en cada tienda) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

c) 27

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 4 2 4 7

A

P(x;y;z)=7 x y z

[P(x)–Q(x)]º=12

B

3 4 3 5 P(x;y)= n x y + n x y 2 3

G.A.=13

C

[P(x)]º=3 ∧ [Q(x)]º=7

G.R.(x)–G.R.(y)=–1

D

[P(x)]º=9 ∧ [Q(x)]º=12

[P (x)–Q(x)]º=15

5

2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 3 4 5 6

I. El grado de P(x;y;z)=2 x y z es 18 7 6

9

(

)

5 5

II. En P(x;y)=4x y –7xy – x y , GR(x) –GR(Y)=–2

(

)

(

)

IV. Si Q(x) es de grado 38, 619 Q (x) @º = 2 (

)

3

III. Si P(x) es de grado 25, [P (x)]º=75

2

4. Calcular a.b si G.R.(y)=14 y G.A.(Q)=59 en 5a+8b b+9 y Q(x;y)=3 x

2b x3a − 5 yb + 2 5 m , además G.R.(x)=20 a y G.R.(y)=40; hallar el coeficiente.

5. Si M(x;y)= c

1

2a 2 + a + 7 3 5 ( x ) 6. Si la expresión N (x) = > H es de 2 3a + a + 5 2 2 ( x ) tercer grado, hallar a

3. Completar correctamente a) Si a=8, b=5 y c=–3, el polinomio 3

2

3

2

P(x)=8x –5x –ax +bx +3+c es: 2 11

13

. 10 3

b) El polinomio P(x;y)=3x y –x z+x y es . 5

6 2

c) El polinomio P(x;y)=7x –7xy+12x y –4y es .

3

d) Para m=5 y n=3 los polinomios 3 3 P(x)=7x +3x y Q(x)=(6–n)x+(12–m)x son .

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3a+7 9–a

2a

a+4 7+a

7. Sea el polinomio R(x;y)=x y –5x –7x y si se cumple que G.A.(R)=34, hallar G.R.(x)–G.R.(y)

8. En el polinomio: P (x; y) =− 4x7m − 2 − 7 x6m y 4 − m + 8x7m + 6 y7 − m 2 se tiene que G.R.(x)=20, calcular m +G.R.(y)


23

4

Capítulo

9. Hallar el valor de b–a sabiendo que el grado relativo a "x" es 6 y el grado relativo a "y" es 9: a–1 b+2 a b+1 a+1 b M(x;y)=–x y +2x y –3x y 10. Si [P(x)]º=5 y [Q(x)]º=7, hallar el grado de: P7 (x) .Q (x) 6Q (x) − P (x)@2 11. Si el grado de M es 5 y el grado de N es 6, 2 3 calcular el grado de (M .N ) 12. Dado el polinomio homogéneo: n 3 n+1

n m

3 n+1 4

P(x;y;z)=x y z +xy z +x y z Calcular: G.R.(x)+G.R.(y)+G.R.(z)+1 13. El siguiente polinomio está completo y ordenado en forma descendente: 2m–10

m+n–7

P(x)=x +3x Calcular: E = mnp + 1

–5x

3n–2p

14. Giovana y Lucía son dos personas muy solidarias por ello cuando su vecino Jesús sufrió un accidente ambas salieron a pedir apoyo económico a sus vecinos. Al final del día, el dinero recaudado por Giovana estaba definido por la expresión a(x–2)+b(x+1) y el dinero recaudado por Lucía estaba dado por la expresión: 5x–25. Hallar a/b si ambas recolectaron la misma cantidad (x: número de vecinos) 15. Las inversiones en Bolsa de "Don Gerónimo Grito de Las Casas" estaban representadas por la 2 2 2 2 expresión: P(x;y)=(9–n)x y+mxy +3x y–2xy (x: activos en moneda nacional; y activos en moneda extranjera). Un "Jueves negro" todos las Bolsas del mundo cayeron y las inversiones de Don Gerónimo se redujeron a nada. Hallar m n 4

Tú puedes 4. UNMSM 2009 – II

1. Universidad agraria 2006 – I Hallar "m", si P(1)+P(0)=200; 3 P(x–2)=(x+2) +3(x–1)+mx+5 a) 8/3 d) –8/5

b) –2/3 e) 5/3

c) 2

a) –15 d) 5

2. Universidad agraria 2007 – II 2 Si f(x)=(x–1) +a, entonces f (x) − f (x + 2) será: x a) 4 d) –4

b) 2 e) –2

c) 1

3. UNAC 2006 – I 3

Si F(a)=a–2 y F(a;b)=b +a, halle F(3, F(4)) a) 7 d) 8

b) 6 e) 11

Si el polinomio n+5 n+6 n+7 P(x)=nx +(n+1)x +(n+2)x + ... es ordenado y completo, calcular P(1)–P(–1) b) –12 e) 15

c) 12

5. Villarreal 2008 2

Si f(x+4)=x +3x, halle f(a+1) 2 a) a +3a+4 2 b) a –6a+4 c) 3a–4 2 d) a –3a 2 e) a –3a+4

c) 29

“Quiero, puedo y lo lograré” Colegios

24

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

5

Repaso I

Lectura: Algo sobre las bacterias Las bacterias son microorganismos unicelulares que presentan un tamaño de algunos micrómetros y diversas formas incluyendo esferas, barras, hélices, etc. Las bacterias son los organismos mas abundantes del planeta, crecen hasta en los hábitats más extremos como en los manantiales de aguas calientes y ácidas, en desechos radiactivos, en las profundidades tanto del mar como de la corteza terrestre. Algunas bacterias pueden incluso sobrevivir en las condiciones extremas del espacio exterior. Lo mas interesante, sin embargo, se encuentra en su forma de reproducción. Algunas bacterias se dividen cada cierto tiempo. En condiciones favorables, si se dividen un vez cada 30 minutos, transcurridas 15 horas, una sola habrá dado lugar a MIL MILLONES de descendientes. FUENTE: http://ventanaalreinomonera.blogspot.com

En este capítulo recordaremos .. Teoría de exponentes I (definiciones, teoremas) .. Teoría de exponentes II (ecuaciones exponenciales)

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25

5

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente 4

a) (–2) –2 4

2

4

b) (–3) +9

I. 2º

2

2

c) 23 +(–4)

II. 448 III. 0

3 24

d) (5.125.625)÷(5 ) a

b

2

3 6 2 5. Reducir: 5− 1 e 5 5. (− −52) o 5 5 .5

IV. 162

c

d

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

6. Efectuar: y3 .y − 1.y3 .y − 1....y − 1 − y20 14444 244443 20 factores

corresponda –3

a) 2 =–8

(

)

(

)

c) 2 +2 +2 =2

(

)

3 d) 2(− 5) + 125 = 1

(

)

3

4

2

9

b) (–2) (–2) (–2) =–2 3

5

7

15

x x x 7. Si x =2, hallar ^xx + 2h

x+ 8 + 2x + 7 + 2x + 5 , hallar 8. Si: A= 2 32.2x

3. Completar correctamente a) En 7

x–8

2

3

4. Reducir: R = = (− 3) .3 3. (−−31) G 27. (− 3) .3

A+ 3

=49, el valor de "x" es:

b) Para que se cumpla: 2

x+2

+2

x+1

=48, "x" 5

9. Hallar "x" en (3x–2) =32

debe ser igual a: a

c) Si se verifica que 9 =7

b–2

; el valor de a+b

es: y

2

d) En la siguiente igualdad y =27; y toma el

x

x

3

10. En: 2 +4 =72, hallar x +1

valor de:

Aprende más 1. Relacionar correctamente 2

2

a) x3 .x(− 3) .x3 .x(− 3) ...10 factores

I. (xy)

b) (xy)(xy)(xy)... 30 factores

II. x

0

0

0

0

c) x5 .y7 .x5 .y7 ... 40 factores d)

Colegios

26

1 : 1 : 1 ... 1 x − 1 x − 2 x − 3 x − 10

TRILCE

20

60

a

b

c

d

2 2 15

III. (x y ) 11 5

IV. (x )

Central: 6198-100

Álgebra 2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

3n + 1 + 3n + 2 + 3n + 3 8. Simplificar: 3n − 1 + 3n − 2 + 3n − 3

0

a) x =1, se cumple para cualquier valor real de "x" ( ) b) x5 .x

− 32

(− 3) 2

.x

4 (− 5) 4 − 625

c) (x )

32

d) x2

= x − 13

= 1; 6 x ! R − " 0 ,

= x12

(

)

(

)

(

)

a) 3

7

b) 3

8

d) 3

4

e) 3

3

a) Si 5 b) Si

=5

8x

x

a) 2

b) 16

d) 64

e) 32

10. Si: M = 16 4 el valor de "x" es x

3.2 =2.3 ;

"x" toma

el

valor

5

b+1 b+2 b+3 b+4 Q = 2 b − 1 + 2b − 2 + 2 b − 3 + 2 b − 4 9. Reducir: 2 +2 +2 +2

3. Completar 23

c) 3

de

− 2 −1

c) 1

indicar M

a) 1/2

b) 1/8

d) 1/16

e) 1/32

–1

c) 1/4

6y.y2 .y3 ... (n factores)@ 11. Simplificar: Q = 2 4 6 8 y .y .y .y ... (n factores) 2

9

3

c) Si (5x+7) =512; x es igual a d) Si

2 3 2 3 23 .32 .23 .32 = 23x .3 4y

; x+y es

4. Si:

n

a) y

b) y

d) 1

e) yn

c) y

n+1

2 1

P = 2 # 2 # 2... # 2 / R = 2 + 2 + 2 + ... + 2 1 4444 2 44 44 3 1 444 2 444 3 128 veces

9 veces

hallar (P − R) P R a) 512

b) 300

d) 518

e) 360

c) 1

2

2

b) x +x

2

e) x +3x

d) x –x

2

2

c) x +2x

d) 1/2

e) 5

c) 2

d) 4

e) 8

www.trilce.edu.pe

"2a" veces "2a" veces

6 44 7 44 8 6 44 7 44 8 (x.x.x...x)(y.y.y...y) 13. Efectuar: (x (x... (x (x (xy) y) y) ...y) y) 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3 a) xy

b) 1

a

22 2

a) (m ) –22

c) xy

a

a a

e) x y

11 3

b) (m )

2

–44

c) m

–24

e) m

15. Resolver: 27 y − 3 # 9 y + 1 = 81 y + 9

3

b) 2

e) 1/8

d) m

2m + 3 # 4m + 2n G 7. Simplificar = m − 2 8 # 16n + 2 a) 16

d) 8

c) 1/4

23 3 2 2 (− 2) ) 14. Simplificar: (− m ) 3(−− 4m ) (m (m ) (− m − 4) 3

2 2 6. Simplificar 25 # 436 #3 32 30 # 8

b) 1/16

b) 1/2

d) x y

2

a) 1/4

a) 4

"2a" paréntesis

5. Si P(x)=x –1, hallar P(x+1) a) x –2x

x+1 −x + 1 x 12. Si x =2 calcular xx + x− x − ` 1j2 2

c) 6

a) 19

b) 18

d) 12

e) 43

c) 16


27

5

Capítulo

16. Resolver: `23 x−4 x+3

6 x−7 3

j = 51227 , luego indicar

a) 5

b) 3

d) 8

e) 6

c) 7

2

a) 2

b) 1/2

d) 3

e) 7

18. Resolver: 2

2

2º semana: 3 –1x4

17. Hallar el valor de 13/60 ^x2h = x1/(m + 2) 8 1 30 / ^x h

37x+ 13 33x+ 5

19. En un departamento selvático, una especie de planta se reproduce de forma rara, siguiendo la siguiente secuencia: 1º semana: 1

"m"

que

verifica:

a) 21 d) 26 c) 4

3x + 9

b) 1/4

d) 1/3

e) 1/7

b) 23 e) 27

c) 25

20. Se estima que existen 10 billones de galaxias cada una con 10 billones de estrellas y cada una con 10 planetas girando a su alrededor. De acuerdo con estos datos, ¿Cuántos planetas aproximadamente existen en el universo?

=2

a) 1/2

3º semana: 5 –(1+2)x4 ¿Cuántas plantas habrá la cuarta semana?

c) 1/5

a) 10

21

b) 10

22

d) 10

24

e) 10

25

c) 10

23

Practica en casa 3. Completar correctamente

1. Relacionar correctamente 2

2

2

a) x − 3 .x − 3 .x − 3 ...(15 factores) 1/2

b) x9

1/2

.x9

...(18 factores)

–1 2 –3 4

c) x .x .x .x ...(20 factores) 7

d) x . x

–14

a

7

.x .x

–14

b

c

I. x

10

II. x

–135 –63

III. x

...(18 factores) IV. x d

3

4

5

a) 3 − 81

1 − 4−

x

entonces

54

c) Si 12 x

a–5

=13

x+1

b–7

+4

x+2

=21; x+9 es

4. Reducir: 3 # 3 # 3... # 3 − 3 + 3 + 3 + ... + 3 1 4 4 44 2 4 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3 (

319 sumandos

) 10 veces

7 veces

−1 =5

(

)

6 4 4 44 7 4 4 44 8 6 4 4 44 7 4 4 44 8 (5 5. Reducir: # 5 # 5 # ... # 25)(1515# 15 # ... # 15) 81 # 5

c) 22 − 6(− 2) 4@ = 0

(

)

6. Efectuar:

b) 625 − 16 3

Colegios

28

es

, b–a es

20 factores

= 3 3

x+1

x x x b) Si x =2; 8xx + 3B es igual a

d) Si 4 +4 2. Colocar verdadero (V) o falso (F)

6

a) 2 .2 .2 .(–2) =2 ;

TRILCE

− 2−

1

2

63 (3a + 4) 3a + 4 + 3a + 2 − 3a + 3 Central: 6198-100

Álgebra x+1 x+2 x+3 x+4 7. Reducir: A = 3x − 1 + 3x − 2 + 3x − 3 + 3x − 4 3 +3 +3 +3

−9 8. Calcular: A = ` 1 j 8

− 2−

2x + 3 13. Resolver: 5 4x − 1 5x + 70 75 =7

1

9. Si: 2x + 4 + 2x + 3 + 2x + 2 + 2x + 1 + 2x = 124 , hallar 3x

10. Simplificar: >

1

5

12. Si: R(2x–5)= 2x + 1 + 3 x + 4 , hallar R(3)

4n + 1 n

125 n + 3 .125 3 (n + 3)

1 n

H

x; si "x" es par 14. Si: P (x) = * x + 1 ; si "x" es impar 2 Hallar; P(2) + P(5)

2

11. Hallar "6x"en 2x − 6 .2x − 6 .2x − 6 ... 2x − 6 = 1024 1 444444 2 444444 3

15. Si P(x) = x –2, calcular: P (P (P.....P (2) ...)) 1 4 4 44 2 4 4 44 3 100 veces

12 factores

Tú puedes 1. Universidad Agraria 2007–I Calcular: x+1 x+2 x+3 E = 2x − 3 + 2 x − 2 + 2 x − 1 2 +2 +2 a) 12 b) 14 d) 18 e) 22

4. UNAC 2007 – II Si los números enteros "x" e "y" satisfacen la ecuación: 3x + 1 + 2 y = 2 y + 2 − 3x . El valor de 3 c) 16

2. UNAC 2006 – I Si: x

2 −1 5 x

−2 = 5 ; determine ^x h

a) 5 d) 1/125

b) 1/25 e) 5

c) 3 5

2 ab .ba = 2 2 , entonces el valor de (ab) es:

b) 2

es: a) 3

b) 1/3

d) 1

e) 9

c) 1/9

5

3. UNAC 2007 – II Si "a" y "b" son números reales tales que: a) 2 d) 8

x

5. UNAC 2009 – II

1 + 2x1+x

x

Si x =2, entonces F = xx a) 2

12

b) 2

16

d) 2

8

e) 2

18

es igual a: c) 2

24

c) 4

e) 2 2

“Equivocarte no es fracasar; el mayor fracaso es no intentarlo” www.trilce.edu.pe


29

6

Capítulo

Productos Notables Lectura: Multiplicación árabe Este es un método derivado del Hindú. Es un método gráfico que pasaremos a describir: Pongamos que se quiere multiplicar 8537 x 435 1. Se dibuja un rectángulo apoyado sobre uno de los vértices. Se colocan los factores sobre los lados del rectángulo, de manera que a cada cifra le corresponda una cuadrícula. 2. Se traza la diagonal vertical en cada cuadrado. 3. Se obtiene una tabla de doble entrada. Se multiplican las cifras de las distintas casillas. Los resultados se colocan en la casilla correspondiente y se separan las decenas de las unidades por la diagonal. Si el producto nada más tiene una cifra, se pone un cero en el lugar de las decenas. 4. Se prolongan las diagonales y se suman las cantidades obtenidas, por columnas, comenzando por la derecha. Del gráfico, el resultado para nuestro ejemplo sería: 3713595 FUENTE: http://intercentres.cult.gra.es

En este capítulo aprenderemos Productos notables .. Binomio al cuadrado. .. Producto de dos binomios con un término común. .. Diferencia de cuadrados. .. Suma y diferencia de cubos. .. Identidades de Legendre.

Colegios

30

TRILCE

Central: 6198-100


PRODUCTOS NOTABLES

Diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

Suma y diferencia de cubos

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Producto de dos binomios con un término en común

Identidades de Legendre


31

6

Capítulo

Saberes previos 4. Operar

1. Efectuar (–8)(+12) =

(–4x)(5x) =

(+5)(–13) =

(3xy)(–7xy) =

(–2)(–4)(+5) =

2

2

(4x y)(–6xy ) =

(–6)(3)(–4) =

2

(2xy)(–3x y)(xy) =

2. Completar la igualdad 5 6

x .x .x = 9

5. Desarrollar:

2 3

x .y.x .y =

2

.x =

5 3a–2 2a–3

x .x

.x

2

2x (3x +4y) =

a a+b b

x .x

2

–4x(6x –3z) =

=

2

2

7xy (–2xy +3z) =

3. Efectuar 52 33

(x ) (x ) = 32 23

(x ) (x ) = 43

34

(–x ) .(–x ) =

8^x2h3B (− x3) 4 = 5


a) (x+9)(x+7) =

2

a) (x+3)(x+4) b) (x+3)

3. Completar

I. x +6x+9

2

2

2

II. x +7x+12

2

b) (x–8) =

2

III. x –16

c) (x–4) d) (x+4)(x–4)

c) (x+6)(x–6) =

2

IV. x –8x+16

d) (x–12)(x+4) = a

b

c

d

2

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2

a) (x+1)(x–1)=x –1 2

3

b) (x–1)(x +x+1)=x –1 2

3

c) (x+1)(x –x+1)=x +1 2

2

32

TRILCE

)

(

) )

3

(

)

3

(

)

e) (x–2)(x +2x+4)=x –8 Colegios

(

(

d) (x+2)(x –2x+4)=x +8

2

4. Reducir: (x+6) –(x+4) –2(2x+5)

2

2

5. Reducir: (a+b)(a–b)(a +b )+b

4

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente 2

b) (x+4) +(x–4)

I. x –27

2

2

2

a

a) x

II. 16x

2

III. x +27

2

2

c

d

2

2

b) (x+3)(x+3)=x +9 2

2

c) (x+5) –(x–5) =20x 2

2

2

d) (x+5) +(x–5) =2(x +25)

d) 10 (

)

(

)

(

)

(

)

a) (x+1)(x–9) =

2

c) (x+4)(x –4x+16) = 2

2

4

b) 2010

d) –1

e) 2013

2

12

c) 1

N , para x=2, y=3, si:

6^x + yh2 + ^x − yh2@2 2 22 − ^x − y h 4

2

2

I. x +y

e) (x+2) –(x–2) =

b) 16 e) 4

c) 8

xy=10, calcular

2

II. x–y

4. Reducir : A=(x+8)(x–3)+(x+7)(x–5)–2(x+4)(x+6) a) 13x+107

b) –13x+107

c) 13x–107

d) –13x–107

a) 149; ! 129 b) 149; 129 c) 149; − 129 d) 140; 10

e) –13x+7

e) 149; –129

5. Calcular: M=(x+4)(x–4)+(x+5)(x–5)–2(x+3)(x–3) a) –12

b) –16

d) –14

e) –23

c) –20

6. Reducir 2

2

2

(x+3) –(x+4) +(x–1)(x +x+1)–(x+1)(x –x+1) a) –2x–7

b) –2x–5

d) –2x+7

e) –2x–9

c) –2x+5

12. Si se cumple: 3 x = 8; x ≠ 2 3 y = –1; y ≠ –1 2 2 Hallar el valor de: (x + 2x + 3)(2y – 2y +5) a) –3 d) 7

b) 4 e) –6

c) –5

2

13. Si (a+b+c+d) =4(a+b)(c+d), encontrar T=

4 (c + d)

a) 4 d) 25 www.trilce.edu.pe

2

a) 2011

11. Si x+y=13

d) (x+2) +(x–2) =

2

4

B=(x +1)(x –x +1)(x –1)(x +x +1)–x

a) 12 d) 20

2

2

e) 4

c) 1

2000

9. Si x=2012, hallar B

N=

b) (x+7)(x–7) =

b) 10

8

10. Hallar

3. Completar

2

x

c) y

e) 8x

a) 1000

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) (x+12)(x–10)=x +2x+120

y

2h2 ^ 2 2h2 1000 ^ 2 8. Calcular: R = = a + b − 2a − b G (2ab)

IV. 2(x +16)

b

b) x

d) x

3

c) (x–3)(x +3x+9) d) (x+4) –(x–4)

E = 8 (x + y) (x − y) (x2 + y2) (x 4 + y 4) + y8 ^x 2 0h

3

a) (x+3)(x –3x+9) 2

7. Hallar

a b 625 +

b) 3 e) 5

c)

5


33

6

Capítulo

14. Tano estaba reflexionando y se dio cuenta de que si al cuadrado de los meses transcurridos del año se le suma uno y a este resultado lo dividimos entre dicho número de meses se obtiene dos. ¿Cuántos meses han transcurrido? a) 2 d) 1

b) 3 e) 7

c) 4

15. La suma de las edades de tres hermanos es 8, una vecina curiosa observa además que la suma de sus cuadrados es 26. ¿Qué resultado obtendremos si sumamos los cuadrados de la suma de estas edades tomadas de 2 en 2, sin repetición? a) 90 d) 60

b) 80 e) 50

c) 70

Practica en casa 1. Relacionar correctamente

R=(x+7)(x–7)+(x+8)(x–8)–2(x+6)(x–6)

2

a) (x+3)(x–12)

b) (x+8)

5. Calcular:

I. x +16x+64

2

2

II. x –9x–36

2

c) (x+8) –(x–8) 2

2

d) (x+8) +(x–8) a

6. Reducir 2 2 2 2 (x+5) –(x+8) +(x+2)(x –2x+4)–(x–2)(x +2x+4)

2

III. 2(x +64) 2

b

IV. 32x

c

7. Hallar "K"

d

2

2

4

4

8

8

16

K = 16 (a + b) (a − b) (a + b ) (a + b ) (a + b ) + b


3

(

)

3

(

)

2

(

)

d) (x+9) –(x–9) =36x

(

)

a) (x+5)(x –5x+25)=x –125 2

b) (x–5)(x +5x+25)=x +125 2

2

2

2

c) (x+9) –(x–9) =2(x +81)

x y 2 x y 2 8. Calcular: S = (e + e ) x− (ey − e ) 2e .e

9. Si x=1000000, hallar M 3

6

3

3

6

3

18

M = (x + 1) (x − x + 1) (x − 1) (x + x + 1) − (x

+ 1)

10. Hallar T, 2

3. Completar a) (x+11)(x–7) = b) (x+11)(x–11) = 2

c) (x+12) = 2

2

d) (x+6) –(x–6) = 2

e) (x+8)(x –8x+64) = 4. Reducir:

(x + y) 2 − (x − y) 2 E 2 2 T=; − 4x (y + 3) 2

11. Si A + B = 15 / AB = 36 , calcular 2

I. A +B II. A–B

2

12. Si x + 1 = 6 , hallar H x –2 –1 2 H= x +x +x+x

M=(x+9)(x–4)+(x+8)(x–5)–2(x+8)(x+7) Colegios

34

TRILCE

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Álgebra 2

13. Si (m+n+p+q) =4(m+q)(n+p), encontrar Q=

4 (m + q)

n+p

81

14. Si elevamos al cuadrado la temperatura de una cuidad y le sumamos la inversa de dicho resultado, obtenemos dos. ¿Cuál es la temperatura de la ciudad?

15. Elisa divide los años que ha vivido entre los meses del año que ya han transcurrido y a este resultado le suma el inverso de dicha división, notando con sorpresa que obtiene dos. De lo anterior podemos afirmar que: a) años vividos =meses transcurridos b) años vividos >meses transcurridos c) ha vivido 13 años d) ha transcurrido 9 meses del año e) no podemos afirmar nada

Tú puedes 1. UNMSM 2005 – II Si se satisfacen: x+y= 5 xy=2 y Hallar: + x x y a) 1/2 b) 1 d) 3 e) 2/3 2. Villarreal 2009 Simplifique: 4 4 M = (a + b) 2 − (a −2 b) 2a + 2b 2 2 a) 6ab b) a +b d) 4ab e) 2 3. Universidad Agraria 2010 – I 2 Calcular E

E=

5 + 24 + 3+ 2

a) 2 d) 8 c) 1/3

c) 6

4. Sean "a" y "b" números reales tales que a+b=5 3 3 y ab=1. Hallar a +b a) 120 d) 110

c) ab

5 − 24 3− 2 b) 4 e) 16

b) 124 e) 125

c) 100

5. UNAC 2008 – I 2 2 Si: (x + 1) − (x − 1) = 1, entonces el valor de (x + 1) (x − 1) 4 1 x + 4 es x a) 324 d) 320

b) 318 e) 322

c) 300

“Cada obstáculo es una oportunidad, supéralo y sé un ganador”

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35

7

Capítulo

División algebraica Lectura: El número áureo (

≈ 1,618)

El numero áureo representado por la letra griega es un número irracional. Se trata de un número que posee muchas propiedades y que fue descubierto en la antigüedad como relación entre segmentos de rectas. Este número se encuentra presente en algunas figuras geométricas y en la naturaleza, algunos de los ejemplos más resaltantes son: • Al dividir la altura de un ser humano entre la altura de su ombligo, el resultado es aproximadamente el valor de . • La división entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. • La división entre la cantidad de abejas macho y hembra en un panal. • Además, un estudio realizado el año 2005 mostró que la cruz en la que Jesucristo fue crucificado mantiene la proporción áurea, es decir, al dividir la longitud del madero más largo entre el valor de la longitud del madero más corto, el resultado es aproximadamente . FUENTE: http://www.abc.es

En este capítulo aprenderemos División algebraica .. Definición .. Clases de división .. Propiedades .. Métodos para dividir polinomios –– Método de Horner –– Método de Ruffini .. Teorema de Resto

Colegios

36

TRILCE

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DIVISIÓN ALGEBRAICA

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37

7

Capítulo

Saberes previos 1. Dividir e indicar el cociente y residuo en: • 724÷15 • 270÷3

4. Ordenar en forma ascendente con respecto al exponente de la variable, los siguientes polinomios 3 6 2 4 5 P(x)=2x +x +x –3x +x –3x+8 2 5 4 3 P(y)=–2y +3y+y –6y –3y +9

2. Si: Grado (P)=8 Grado (Q)=6 Hallar Grado (P÷Q) Grado (P×Q) 3

5. Completar los siguientes polinomios con los términos faltantes y luego ordénalos. 3 2 Ejem: P(x)=x –2+x 3 2 Luego queda: P(x)=x +x –2

2

3. Sea P(x)=x –2x +x–2, calcular • P(–1) • P(2)

2

4

• Q(x)=x –3x +5 3 5 2 • R(x)=2x +9–x –3x

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las columnas correctamente: División exacta

A

R(x) ≠ 0

Grado(D)–Grado(d)

B

Máx grado(R)

División inexacta

C

Grado (q)

Grado (d)–1

D

R(x)=0

2. Completa correctamente 2

3

2

a) En la división: (2x +x +x–4)÷(x –x+1) el grado del cociente es igual b) En la división: 6

5

4

2

(x –x +2x –x+1)÷(x –3x+2) el grado máximo del

es igual a uno. .

c) Identidad fundamental de la división esta dada por

el divisor es de la forma: ax+b.

d) Al dividir dos polinomios por la regla 4

3

2

2

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir: (x –2x +x +x–1) ÷ (x –x+1) a) Se aplica la regla Ruffini

( )

b) El grado del cociente es igual a 2

( )

c) El dividendo es un polinomio de grado 4

( )

d) Se obtiene un residuo de la forma: ax+b

( ) 2

4. Calcular el cociente en la siguiente división: (x +3x+5)÷(x–2) 3

2

5. Calcular el residuo en (3x –6x–x +12)÷(x–2) Colegios

38

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 6. Hallar el cociente en la siguiente división

1. Relacionar las columnas correctamente: 3

(x –1)÷(x–1) 2 (x +x+1)÷(x–2) 2 (x +1)÷(x–1) 3 (x +1)÷(x+1)

A B C D

6x 4 + 11x3 + 2x2 − x + 5 2x 2 + 3x + 1

R(x)=7 2 q(x)=x +x+1 R(x)=2 2 q(x)=x –x+1

a) Todos los polinomios (Dividendo y divisor) y

con respecto a la variable en referencia. b) En la división se utiliza solo los

c) Generalmente si el divisor es un Polinomio de la forma (ax+b) se utiliza la regla de

que

d) El grado del residuo es el grado del divisor.

2

(x +3x –x –2x+1)÷(x+1) a) El divisor es un polinomio de grado 3

( )

b) Se obtiene un R(x)=0

( )

c) El coeficiente principal del divisor es igual a uno

( )

d) Se obtiene un cociente de grado 3 4. Hallar el cociente de la división 2

x + 3x + 6 x + 7 x + 1 2 x +x+1 2

3

2

a) 6

b) 7

d) 4

e) 9

c) 3

6x 4 + 2x2 + 11x3 − x + 5 2 3x + 2x + 1

2

Se obtiene un cociente igual a: mx +nx+p, a) 2 d) –2

b) 3 e) 0

c) 5

( )

a) 3+2x

b) 3x+2

d) x+3

e) 3x+3 17

5

c) 2x–3

3

10. Hallar el resto en: x + 2x + x − 1 x+1 a) –3 d) –6

b) 5 e) –5

c) 3

4 3 2 11. Al dividir: 6x + ax + bx + cx + d se obtiene 3x (x + 2) − 1 un cociente cuyos coeficientes son números

a) 23

b) 19

d) 6

e) 13

e) x +3x+3

c) 12

12. Hallar el resto en la siguiente división: (x − a) 5 − x5 + a5 x+a

5. Hallar el resto de la división x 4 + 4x 3 − x 2 − 5 x + 4 x+2

www.trilce.edu.pe

4

2

d) x +3x+2

b) –6 e) –2

5

3x + 2x − x + 2x + 3x − 1 x3 − x + 1 Hallar la suma de coeficientes del cociente

Calcular: a–b+c–d

c) x +2x–3

a) 2 d) 3

7. En la siguiente división

2

b) x +2x+3

2

e) x +3x–2

enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7.

a) x –2x+3 2

2

4 3 2 9. Calcular el resto en: 16x + 8x2 + x + 2x − 6 4x + x − 3

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir

3

d) 3x +2

hallar "m+n+p"

.

4

2

8. Después de dividir:

de los polinomios.

3

2

2

métodos de Horner y Ruffini.

4

b) 3x –2x+1

c) 3x +x–2

2. Complete correctamente con respecto a los

deben ser polinomios

2

a) 3x +x+2

c) 7

a) 0 5 d) 34a

5

b) 2a 5 e) –30a

c) –2a

5


39

7

Capítulo

10

8

6

4

2

13. Luego de dividir x − 5x + x 2 + 3x − 2x − 1 x +1 El termino independiente del cociente es: a) 2 d) 1

b) 4 e) –3

b) 14 e) 17

7

11

P(x)=(ax +5x –4x+8) soles y decide repartirla en forma equitativa entre sus (x–1) hijos. Sucede que al hacerlo se obtiene un sobrante

c) 7

que asciende a S/.11009 y dicho monto se lo

14. Don Julio, por "Halloween" decide repartir 6 4 x –3x +3x–5 caramelos entre los (x–2) niños que vayan a su tienda a pedir dulces. A cada uno le dio cierta cantidad de caramelos y al final sobraron unos cuantos. Hallar la cantidad de dulces que quedaron sin repartir a) 12 d) 16

15. Un padre posee una herencia de:

obsequia a Doña Juana, la señora que trabajó siempre en su casa. Hallar el valor de "a". a) 11000 d) 15000

b) 12000 e) 10000

c) 13000

c) 15

Practica en casa 4. Hallar el cociente en la división


A q(x)=x +2x+4

2

3

B R(x)=4

2

C q(x)=x–2

2

D R(x)=8

(x –4)÷(x+2) (x –8)÷(x–2) (x +2x–4)÷(x–2) (x +4)÷(x–2)

5. Hallar el residuo en la división 3

2

a) Al dividir (x +3x+1)÷(x–1) el residuo obtenido es 2

b) Al dividir (x –3x+2)÷(x–2) el cociente obtenido es 2

c) Al dividir (2x +x–3)÷(x–2) el residuo obtenido es 2

d) Al dividir (x +4x+3)÷(x+3) el cociente es

5 4 3 7. En la siguiente división: 2x + x3 + 3x − 3x + 1 x − 2x − 1 Indicar la suma de coeficientes del cociente 4

2

8. Después de dividir: 16x −24x + 4x − 1 4x − 2x − 1 2 Se obtiene un cociente igual: ax +bx+c, hallar "a+b+c"

25

a) El cociente es igual a (x+2)

( )

b) El residuo es igual a "–3"

( )

c) Se emplea el método de Ruffini

( )

d) El grado del cociente es igual a 2

( )

TRILCE

6. Hallar el cociente en la siguiente división 4x 3 + 4x 2 + 7x + 9 2x 2 + x + 3

3 2 9. Calcular el resto en: 6x + 5x − 5x + 9 3x + 1

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) al dividir 2 (x +4x+1)÷(x+2)

40

2

x − 2x + 3x − 7 x−2

2. Complete correctamente

Colegios

4 3 2 x − 2x + x + 3 x − 2 2 x −x+1

3

3

10. Hallar el resto: x − 5x + 2x − 3 x−1 4

3

2

11. Si la división: x + 3x 2+ 4x + ax + b x +x+1 Es exacta, hallar "a+b" Central: 6198-100

Álgebra 12. Hallar "R(x)" en: x

2011

14. Una mamá decide repartir, en partes iguales, 6 2 (x –2x +5x+9) soles entre sus (x–1) pequeños hijos, al hacerlo, sobró cierta cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero quedó?

2010

− 6x + 2x − 9 x−6

12

9

6

3

13. En la división: x − 3x +35x − 2x + 4 x −2 Determinar cociente.

el

término

independiente

del

15. Por Navidad un supermercado reparte 6 4 P(x)=(x +2x +5x–b) panetones, en forma equitativa, entre las (x–2) madres que asistían a la celebración. Hallar el valor de "b" sabiendo que sobraron 70 panetones.

Tú puedes 4

3

2

1. Si la siguiente división mx + nx2 + 5x + 4x − 4 x +x+2 Es exacta; halle "m+n" a) 6 d) –1

b) 7 e) 3

c) 8

2. Hallar el residuo en: x3 (x + 1) (x + 2) a) 7x+6 d) 6x–7

b) 6x+3 e) 3x–7

b) 9 e) 4

x131 − 4x 4 + 1 2 x −x+1 a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5

5. Calcule el resto en la división: 8

c) 7x+3

3. Luego de dividir 5 4 (x–6) +(x–4) –3x+7÷(x–4)(x–6) Se obtiene un resto igual a : –ax+b, hallar a−b a) 7 d) 8

4. Halle la suma de coeficientes del resto al dividir

4

2

3x − 28x − 5x + 4 2 x +3 a) 4 d) 8

b) 5 e) 10

c) 6

c) 10

“No triunfa el más inteligente, sino el que más persevera hasta vencer los obstáculos”

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41

8

Capítulo

Factorización I Lectura: Una nueva forma de multiplicar No se si sabeis, que los cosacos eran personas de un pueblo a los que les gustaba montar a caballo por sus estepas rusas, Tanto les gustaba que casi nunca bajaban de el. Hasta los niños iban siempre a caballo y, claro, no asistian a las escuela. El maestro no les dejaba entrar a caballo. Tampoco sabían la tabla de multiplicar pero sabían muy bien hacer dobles y mitades de números, así que inventaron este truco para multiplicar; vamos por ejemplo a calcular: 56×320

(mitad)

56 28 14 7 3 1

320 640 1280 2560 5120 10240 17920

(doble)

Ponemos estos dos números y hacemos dos columnas. En una hacemos la mitad y en la otra el doble, ah! no os preocupeis si la mitad no sale exacto, luego tachamos todos los pares de la primera columna y los que caen en frente también. Así sumamos los que quedan de la segunda columna y ¡ese es el resultado! 56×320=17920 FUENTE: www.4.bp.blogspot.com

En este capítulo aprenderemos Factorización .. Definición .. Conceptos básicos –– Factor –– Factor primo .. Método para factorizar –– –– –– ––

Colegios

42

TRILCE

Método del factor común Método por agrupaciones Método por identidades Método del aspa simple

Central: 6198-100


FACTORIZACIÓN I

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43

8

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar x(x+3)=

4. Efectuar 2

(a+2) =

a(a–2)=

2

(b–2) =

y(2y+5)=

2

(x+6) =

2. Efectuar (a+2)(a–2)=

5. Factorizar

(b–3)(b+3)=

2

2

(x+y)(x –xy+y )=

(x–8)(x+8)=

2

(y+2)(y –2y+4)=

3. Operar (a+2)(b–2)=

2

(a–3)(a +3a+9)=

(x+5)(y–5)= (y+3)(z–3)=

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las columnas correctamente: 2

F(x)=2x (x+3)(x–2)

Tiene cinco factores primos

A

M(x;y)=–7xy (x+y)(x–3)(y–1)

Tiene cuatro factores primos

B

R(x)=xyz(x+y)(y+1)

Tiene tres factores primos

C

Tiene dos factores primos

D

2

2

N(a;b)=2ac(a+b) (a–b)(a+c) 2. Completar correctamente

.

a) El polinomio (xy+yz) se factoriza por el método del 2

2

b) El polinomio (a –b ) se factoriza por el método de identidades, propiedad llamada 2

c) El polinomio (x –3x+2) se factoriza por el método de 2

d) El polinomio (a +ab+ca+cb) se

.

por el método de agrupaciones.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: 2

a) Al factorizar (6y –2y) se obtiene 2y(3y–1) 2

b) Al factorizar (2x –x–1) se obtiene (2x+1)(x–1) 2

( ) ( )

c) Al factorizar x –16 se obtiene (x+4)(x–4)

( )

d) Al factorizar (ab–a+b–1) se obtiene (a–1)(b+1)

( )

2 2

3 5

5 2

4. Factorizar: T(a;b)=6a b +9a b +12a b , indicar el número de factores primos 5. Factorizar 2 F(x)=x –16 2 Q(x)=x –3x–4 Indique el factor común obtenido Colegios

44

TRILCE

Central: 6198-100

.

Álgebra Aprende más 8

8. Uno de los factores primos de: N(x)=x –1

1. Relaciona correctamente:

4

2

2

A x(x–2)

a) x –1

b) x –1

2

B (x–2)

2

d) x+1

e) Hay dos correctas

2

C (y+3)(y–3)

2

D (x+2)

y –9 x +4x+4 x –2x x –4x+4

2. Completar correctamente 2 a) Al factorizar (x –36) b) Al

factorizar

2

se

2

(12y –6y)

2

9. Factorizar: 16x –(y+x)

se

obtiene obtiene

2

c) Al factorizar (3y +10y+3) se obtiene d) Al

2

factorizar

2

(16a –25b )

se

obtiene

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) El polinomio esta totalmente factorizado: P(x)=x(y+x)(x–3)

b) El polinomio esta parcialmente factorizado: 2

2

a) (4x+y)(4x–y)

b) (4x+y)(3x–y)

c) (3x–y)(5x+y)

d) (5x–y)(3x+y)

e) (3x–y)(6x+y) 2

2

a) 3 d) 1

c) 4 4

b) 1 e) 0 4

2

12. Factorizar: x –25x +144 Indicar la suma de factores primos

c) El número de factores primos de primer grado de: 2ab(a+3)(a+b) es 4 ( )

d) 2x+14

e) 3x+9

4. Uno de los factores primos de: 3 3 2

2

3

3

2

b) a+c e) b+c

c) a+1

2

2

2

2

b) m+p d) n+p 3

2

2

3

6. Factorizar: f(y)=a –a y+ay –y , indicar un factor primo a) a d) a+y

2

b) a +y 3 e) a +y

2

c) (a–y)

7. Indicar cuantos factores primos tiene: 3 2 P(x)=x +x –x–1 a) 2 d) 4

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b) 3 e) 5

c) 1

13. Indicar la cantidad de factores primos de: 5 3 2 M(x)=x –2x –x (2x–1)–4 a) 3 d) 4

b) 2 e) 1

c) 5

I. Hallar la velocidad

5. Después de factorizar: m (n+p)+p (n+p)–n–p; indicar el factor trinomio a) m +p 2 2 c) m –p +1 2 2 e) m +p –1

c) 4x

14. La velocidad de un cuerpo se calcula por la siguiente fórmula d=v×t; si la partícula recorre 3 2 d=(x +2x –3x)m; en t=x(x–1)seg.

3

a b c –abc +a bc –ab c ; es: a) b +c d) b–c

2

c) 3

b) 4x+14

f(x;y)=x(y+3)(y–3)(xy+2) tiene un factor primo cuadrático ( )

3

11. Luego de factorizar: H(a)=6a –5a –6a Indicar el número de factores de primer grado

a) 4x+13

d) El polinomio factorizado:

2

b) 0 e) 5

( )

f(x)=5x(x –9)

2

10. Al factorizar: x–y–x y+xy +x –2xy+y Indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos

a) 2 d) 4 ( )

c) x–1

2

II. Hallar su velocidad cuando x=1 a) x+3; 4 d) x–3; 4

b) x+2; 3 e) x+3; 3

c) x+5; 6

15. El volumen de un deposito que tiene la forma de un paralelepípedo está dada por 3 2 V(x)=x +3x +2x; si la altura del deposito es igual a"x" I. Hallar los lados de la base, indicar uno de ellos. II. Hallar el área de la base cuando x es igual a 3. a) (x+2);6 c) (x+2);20 e) (x+5);10

b) (x+1);4 d) (x+3);20


45

8

Capítulo

Practica en casa 6. Después de factorizar 2 2 x (y+z)+z (y+z)–y–z, indicar el factor trinomio

1. Relaciona correctamente: 2

2

A a(a–b)

2

a –8a+16

B (a+4)

2

C (a–b)(a+b)

2

D (a–4)

a –b

a –ab a +8a+16

2. Completar correctamente 2 a) Al factorizar (9y –4)

7. Indicar cuántos factores primos tiene 3 2 Q(y)=y +y –4y–4

2

2

se

4

4

8. Después de factorizar: P(x)=y –2 , indicar el factor primo cuadrático. obtiene

2

b) Al factorizar (3x +19x+6) se obtiene

4

4

9. Factorizar: (a+b) –(a–b) , luego indicar un factor primo cuadrático 2

c) Al d) Al

factorizar

2

(6a –12a) 2

factorizar

2

(x –2xy+y )

se se

obtiene obtiene

2

3

2

11. Luego de factorizar: M(x)=12x –25x +12x, indicar la suma de sus factores primos de primer grado

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al factorizar 2 2 F(x)=(x –3x–10)(x +5x–14) a) El polinomio f(x) posee 4 factores primos ( ) b) Uno de sus factores primos es (x–7)

2

10. Al factorizar: P(a; b) = a–2b–2a b+4ab +a – 2 4ab+4b , indicar la mayor suma de coeficientes en uno de sus factores primos.

( )

6

3

12. Factorizar: x –2x +1, indicar la cantidad de factores primos obtenidos 2

2

c) La suma de sus factores de primer grado es 4x+2 ( )

13. Factorizar: y –4y+4–4x , e indicar el número de factores primos obtenidos

d) Existe un factor primo de segundo grado ( )

14. La velocidad esta dada por la siguiente fórmula 2 d=V×t, si un auto recorre (x +5x–14)m en (x–2)seg. Hallar la velocidad cuando x es 2.

4. Factorizar: 2 N(x)=(3x +2x)(x–5)+(5x+7)(x–5)–5x+25, indicar el número de factores primo 4

2

5. Factorizar: 4a –101a +25, señalar e indicar la suma de sus factores primos.

15. El volumen de un depósito esta dada por 3 2 V(x)=x +4x –5x; si el área de la base es igual a x(x–1), hallar la altura cuando x=3

Tú puedes 8

4

1. Factorizar: x –5x +4, indicar la suma de factores primos de primer grado a) 3x d) x+2

b) 2x e) 3x+1

c) 2x+2

2. Determinar el número de factores primos al 12 8 4 4 8 12 factorizar P(a;b)=a –a b –a b +b a) 3 d) 7

b) 4 e) 8 3

c) 6

4. Halle la suma de los factores primos de: 4 2 2 2 2 22 P(x)=x –2(a +b )x +(a –b ) a) x d) 6x

b) 3x e) 7x 8

6

c) 4x

2

5. Factorizar: x –x –x +1, indicar el número de factores primos a) 2 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

3

3. Al factorizar: (m+n) –(m–n) , se obtiene un 2 2 factor primo de la forma: am +bn , hallar "a+b" a) 3 d) 2 Colegios

46

TRILCE

b) 4 e) 7

c) 5

Central: 6198-100

Capítulo

9

Factorización II Lectura: Cómo resolver operaciones básicas con habilidad La matemática no solo se trata de saber fórmulas, teoremas, etc. Es importante saber resolver problemas y sobre todo resolveremos con habilidad, utilizando uno que otro truco que nos ayude a llegar a la respuesta rápidamente, por ejemplo, si en algún ejercicio nos enfrentamos a una operación así: 627×623–254 Seguro que a más de uno se le ocurrirá multiplicar, resolver la potencia y finalmente restar, sin embargo, hay un camino mucho más sencillo que ese. Sucede que la multiplicación indicada es posible expresarla como una diferencia de cuadrados, Observa: 2

2

(25 +2)(25 –2)–25 4

25 –4–25

4

4

–4

FUENTE: www.recursosparaeleducador.blogspot.com

En este capítulo aprenderemos Factorización II .. Método del aspa doble .. Método del aspa doble especial .. Método de divisores binomicos .. Métodos de sumar y restar

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47

9

Capítulo

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN II

Colegios

48

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 3

1. Factorizar 2 x –3x+2=

2

4. Si: P(x)=x –3x +12–4x, Hallar P(3)=

2

x –5x–6=

P(2)= P(–2)=

2. Completar 2 2 x +....+16=(x+4) 2

y –....+81=(y–9)

5. Sea: Q(x)=3x(x–3)(x+2) Indicar: Factores primos: Factores primos de primer grado: Factores primos cuadráticos:

2

3. Dividir 2 (x –5x–14)÷(x–7)

Aplica lo comprendido 1. Relaciona correctamente: 4

2

2

P(x)=x –2x –15

A

(x–2)(x +4x+4)

3

B

(x –5)(x +3)

2

C

(x–9)(x+2)

2

D (x–9)(x+9)

Q(x)=x –8 R(x)=x –81 T(x)=x –7x–18

2

2


a) Si al polinomio P(x)=x +4 se le agrega 4x se forma un trinomio 3

2

2

b) Si x=1 anula al polinomio P(x)=x +x –x–1, entonces (x–1) es un del polinomio. 2

2

c) El polinomio x –3xy+2y +2x–3y+1 se factoriza por el método . 4

3

2

d) El polinomio x +x +2x +5x+3 factoriza por el método doble

se

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: a) El método del aspa doble especial se aplica para factorizar polinomios de cuarto grado ( ) b) Para factorizar polinomios de grado superior se utiliza el método de divisores binómicos ( )

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c) Al factorizar un polinomio por el método del aspa doble siempre se obtiene dos factores primos ( ) d) Al factorizar un polinomio por el método de divisores binomicos se obtiene al menos un factor lineal ( ) 4. Factorizar: 2 2 x –2xy+y +3y–3x+2, luego indicar un factor primo

5. Luego de factorizar por el método del aspa doble se obtiene el siguiente esquema: 2 2 P(x)=6x +cxy+6y +ax+by+2 3x 2y 2 2x 3y 1 Hallar "a+b+c"


49

9

Capítulo

Aprende más 1. Relaciona correctamente: 4

3

2

x +7x +14x +7x+1 2

2

x +2xy+y –2x–2y–63

A

divisores binómicos.

B

aspa doble

3

C

aspa simple

2

D aspa doble especial

x +6x–7 x +4x–5

2. Complete correctamente, con respecto al método de divisores binómicos se tiene: 3 2 a) El polinomio P(x)=x +2x –x–2 tiene como posibles ceros: . 3

2

b) El polinomio Q(x)=x +4x +x–2 tiene como posibles ceros: . 3

c) El polinomio R(x)=x –2x+4 tiene como posibles ceros: . 3

d) El polinomio M(x)=x +4x–5 tiene como posibles ceros: . 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) (x–1) es un factor del 3 2 P(x)=x +3x –3x–1

polinomio ( )

b) (x–2) es un factor 3 Q (x) =x –5x+2

del

polinomio ( )

c) (x+3) es un factor 3 R (x) =x –8x+3

del

polinomio ( )

d) (x–5) es un factor del polinomio 3 M (x) =x –10x+5 ( ) 2

2

4. Factorizar: x –3xy+2y +5x–7y+6, indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos a) 4 d) 7

b) 2 e) –2

c) 5

3

5. Factorizar: x –7x–6, dar la suma de sus factores primos de primer grado a) 2x d) 3x+1

b) 3x e) 3x–3 4

3

c) x+3

2

6. Factorizar: x +2x +6x +5x+6, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor término independiente a) 5 d) 8

b) 7 e) 2 4

3

c) 3 2

7. Factorizar: x +x –7x –4x+6, e indicar el número de factores primos de primer grado. a) 0 d) 4 Colegios

50

TRILCE

b) 1 e) 3

8. Al factorizar: P(x)=(x+2)(x–1)(x–3)(x+4)+24, indicar la suma de coeficientes del factor primo de mayor grado. a) –4 d) 5

b) –6 e) 8 4

c) 2

2

9. Al factorizar: a +2a +9, indicar el número de factores primos de primer grado. a) 3 d) 1

b) 4 e) 2

c) 0

10. Al factorizar por el método del aspa se tiene: doble el polinomio P(x); 2 2 P(x)=15a +19ab+6b +5a+4b–10 3a

nb

–2

ma

3b

p

Hallar "m+n+p" a) 10 d) 12

b) 8 e) 14 3

c) 15

2

11. Al factorizar: x +x –10x+8, indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a) 1 d) 8

b) 3 e) 4

c) 10

12. Si(x+1) es un factor primo del polinomio: 3 2 P(x)=x +x +ax–4, hallar "a" a) 3 d) –4

b) –2 e) 5

c) 2

13. Indicar el factor primo cuadrático de menor suma 4 2 de coeficientes, al factorizar M(y)=y +4y +16 a) c) e)

2

y +y–2 2 y +y–8 2 y –2y+4

2

b) y +2y–4 2 d) y +8

c) 2

Central: 6198-100

Álgebra 14. Juancito al factorizar un polinomio por aspa doble, elabora el siguiente esquema 2 2 4x +29xy+30y +14x+27y+6 x

y

15. Un científico descubre una fórmula que permite predecir la cantidad de temblores que habrá cada mes en el mundo, a lo largo del 2012. La 2 fórmula es: P(x)=x –3x+2a (x: número de mes), hallar el valor de "a" sabiendo que en el mes de abril se registrarán 8 temblores

x y Si los coeficientes que falta colocar son números consecutivos del 1 al 6; indicar la suma de coeficientes de uno de los factores. a) 7 d) 9

b) 11 e) 12

a) 3 d) 4

b) 2 e) 6

c) 5

c) 13

Practica en casa 1. Relaciona correctamente: Polinomio a factorizar

Método a emplear

2

x –4 3

x –5x+4 2

2

x +3xy+2y +5x+8y+6 4

3

2

x –3x –2x –3x+1

A

Aspa doble

B

Aspa doble especial

C

Diferencia de cuadrado

D Divisores binómicos

2. Completar correctamente, con respecto al método de divisores binómicos se tiene : 3

2

a) El polinomio P(x)=x –3x +2x–4 tiene como . posible ceros: 3

b) El polinomio Q(x)=x –3x+6 tiene como . posibles cero:

4. Factorizar: 2 2 x +2xy–3y +3x+y+2, indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos 3

5. Factorizar: x –13x+12, dar la suma de factores primos de primer grado

3

c) El polinomio R(x)=x –2x+5 tiene como . posibles ceros: 3

d) El posible N(x)=x +4x–8 tiene . posibles ceros:

como


4

a) (x–4) es un factor del polinomio 3

2

P(x)=x –4x +3x–12

4

( )

3

2

6. Factorizar: x +3x +8x +10x+8, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor término independiente.

3

2

7. Factorizar: x +5x +7x –x–2, indicar el número de factores primos de primer grado.

b) (x+2) es un factor del polinomio 3

2

Q(x)=x +3x +x–2

( )

c) (x–1) es un factor del polinomio 3

2

M(x)=x +2x –2x–1

( )

d) (x+3) es un factor del polinomio 3

2

N(x)=x +3x –2x+6

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8. Al factorizar: (x–3)(x+1)(x–4)(x+2)–14, indicar la mayor suma de coeficientes de un factor primo

4

( )

2

9. Al factorizar: b +4b +16, indicar el número de factores primos de primer grado.


51

9

Capítulo

10. Al factorizar por el método del aspa doble el polinomio Q(x; y); se tiene el siguiente esquema 2 2 10x +14xy+by +10y+16x+6 5x cy 3 ax 2y hallar "a+b+c+d" 3

d

2

11. Al factorizar: x –6x +11x–6, indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos 12. Si (x+2) es un factor primo del polinomio 3 2 Q(x)=x –2x +ax–6, hallar "a" 13. Indicar el factor primo cuadrático de menor suma 4 2 de coeficientes, al factorizar: N(x)=x +x +25

14. Al factorizar un polinomio por aspa doble se obtiene el siguiente esquema: 2 2 10x +32xy+24y +41x+54y+21 x

y

x y Si los coeficientes que faltan colocar son números consecutivos del 2 al 7, indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primos 15. Un dentista descubre una fórmula que deduce la cantidad de caries que posee una persona a partir del número de veces que dejó de lavarse los dientes antes de dormir. La fórmula es: 2 P(x)=x +5ax (x: número de veces que no se lavó los dientes). Hallar "a" si María dejó de lavarse una vez y tiene 6 caries.

Tú puedes 1. Si P es un polinomio factorizable 4 3 2 P(x)=3x +7x +13x +2x+20, halle la suma de los factores primos 2

2

a) 4x +x+5 2 c) 4x +x+9 2 e) 4x +10x+5

b) 4x +5x+3 d) 4x+x+10

2. Determinar un factor primo de P(x;y) 2 2 P(x;y)=15x –2xy–y +47x+3y+28 a) 5x–y d) 5x–y–4

b) 5x+y e) 5x–y+4

c) 5x+y+4

3. Determinar el valor de "a" para que: 4 3 2 P(x)=x +ax +7x +6x+9, tenga raíz cuadrada exacta. a) 1 d) 4

Colegios

52

TRILCE

b) 2 e) 7

5

4. Factorizar x +x+1, e indicar el número de factores primos. a) 1 d) 4

b) 3 e) 5

c) 2

5. Si H es un polinomio factorizable definido por 2 2 H(x;y)=6x +15xy+9y +10x+12y+4, sume los factores primos y determine el coeficiente de la variable "x". a) 1 d) 5

b) 8 e) 6

c) 3

c) 3

Central: 6198-100

Capítulo

10

Fracciones Algebraicas Lectura: Johannis Wallis (Ashford 1616 – Oxford, 1703) Profesor en la Universidad de Oxford, fue uno de los fundadores de la Royal Society y es el más importante Matemático inglés anterior a Newton. Sus trabajos sobre aritmética y álgebra dieron a estas ramas de las matemáticas una independencia respecto de la geometría. Fue un precursor del cálculo infinitesimal, desarrolló y presentó la identidad 4 = 3 # 3 # 5 # 5 # 7 # 7 # 9... π 2 # 4 # 4 # 6 # 6 # 8 # 9... El primer presidente de la Royal Society, Lord Broucker (1620 – 1684) transformó esta identidad en 4 = 1+ π

12 32 2+ 2 2+ 5 2 2+ 7 ...

Waallis tomó la iniciativa y comenzó los primeros pasos para la generalización de la teoría de fracciones continuas. Entre sus obras más notables están: Cónicas, Aritmética infinitorum, y De cicloide tractaus, todos ellos recogidos en su libro Opera Mathematica (1695), explicó cómo calcular el enésimo convergente y descubrió algunas de las propiedades ya conocidas de los convergentes. Fue también en este trabajo que el término "fracción continua" fue utilizado por primera vez. FUENTE: www.gap_system.org

En este capítulo aprenderemos Fracciones algebraicas .. Fracción algebraica (concepto) .. Signos en una fracción. Regla para cambiar signos. .. Simplificación de una fracción. .. Operaciones con fracciones –– Adición y/o sustracción –– Multiplicación –– División

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53

10

Capítulo

Síntesis teórica

Colegios

54

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 3. Efectuar 2 3 2 2 5x(x +7x)–3(x +8x )–x(2x +11x)

1. Factorizar 2 N=x –2x 2 D=x –4

4. Reducir 2 xy(x+y)+x(y –xy)–2y(xy)

2. Factorizar 2 A=3x –10x+3 2 B=2x –12x+18

5. Calcular R=a(b–c)+b(c–a)+c(a–b)+(a–b)(a+b)+(b–c)(b+c)+(c–a)(c+a)

Aplica lo comprendido 1. Relaciona correctamente: x −a a − x2

A

a b

x+y 2y − x−y x−y

B

–1

−x x−y

C

x y−x

D

1

2

2

a − ab 2 ab − b

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) 3 esta definida sólo si x ! 2 x−2

(

)

b) x − 2 no es una fracción algebraica. 5

(

)

c) Toda fracción reductible se puede simplificar.

(

)

(

)

a)

d) El equivalente de

1 es x x+1 1+ 1 x

3. Completar correctamente: Si una fracción es simplificable entonces es ..........., luego de transformarla quedara una fracción irreductible. 2

4. Simplificar: x 2 − x x −1

5. Reducir: H =

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5x7 + 5x7 3 8 x3 − y 8 −x + y Tercer año de secundaria

55

10

Capítulo

Aprende más 1. Relaciona correctamente: 3 esta definida si: x−2 2

cuando x=2, x − 9 es: x−3 x − 3 x − 2 equivale a: ` x − 5 j` x + 1 j 3 + 1 equivale a: x

A

5

B

x−3 x+1 ` x − 5j '` x − 2j

C

x!2

D

3x + 1 x

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. Si x + z = x − 3 + 1 & z =− 2 ( ) y y y y II. x + 2 no es una fracción algebraica 3 III. − 5 equivale a la fracción 5 x−2 2−x 3x − 2y es reductible ( ) IV. 6x − 4y

8. Dividir: x (x + 5) + 6 (x + 4) ' x+3 x (x + 9) + 4 (x + 10) x + 5 (

)

(

)

3. Completar correctamente: 2

Si la fracción: F(x)= x2 − 4x es simplificada su x − 16 cuando "x" sea "–2" valor será 4. Simplificar: a)

d) x + 2 x+5 5. Reducir: M = a) 1 d)

a a−b+c

b) 0

c) 1

a−b a−b+c

c)

1 a−b+c

2 2

6. Reducir: c ab + a mc ab − a m ' e a2 b 2 o a−b a+b b −a 2 a) b2 a

2 b) a 2 b

2 d) a 2 b

e) ab

2 c) − b2 a

x2 x+1

d) x − 5 x+1 Colegios

56

TRILCE

b)

x x+1

x x+5

9. Operar: 1 `x − 1 − x j`x + 1 `x + 1 + x j`x − 1 x+1

1 x + 1j ; x ^ 0 / x ^ 1 / x ^ − 1 1 x − 1j b)

d) x − 1 x+1

c) x − 1 x

x x+1

e) x2− 1 x +1

2 2 2 2a − 2a + a − 5a + 6 − 3a + 18a + 15 a2 − 6a + 5 a2 − 7a + 10 a2 − 25

3 a−5 d) 3 a+5

2 a+5 e) 6 5−a

a)

b)

c)

6 3−a

11. Efectuar: x+y x+y 1 −1 + − c m xy −1 + 1 yx −1 + 1 x + y a) x d) 1

b) x–y e) 0

c) x+y

m

12. Calcular n si: x−1 = m + n x + 3x + 2 x + 2 x + 1

2 2 7. Multiplicar: e x2 + 5x o . c x − 5x m x+1 x − 25

a)

e) 1

S=

a−b + b−a a−b+c a−b+c

e)

d) x + 3 x

c)

10. Efectuar

e) x + 2 x+3

b) 0

b) x

a)

x2 + 7x + 10 2 (x + 7x + 10) + (x + 5)

1 x+5

a) x + 3 x+5

2

c) 1

a) –8 d) 64

b) –9 e) –1

c) 81

e) x + 5 x+1 Central: 6198-100

Álgebra 13. Indicar el equivalente de: 2 F(x)= x − 1− 3 3− 1 x a) 4x − 1 b) 3x+1 3x − 1 d) 7x − 2 3x − 1

c) 7x–2

e) 4x − 1 7x − 2

14. En el cumpleaños de Diego: "x" personas se encontraban (Incluido el dueño del cumpleaños). Si la mitad de la torta queda para Diego y la otra mitad se reparte a los demás, llegando en ese instante 2 personas más. ¿Cuánto menos le tocó a cada uno de los presentes? a)

1 x −x

2 x2 − 1 e) 1 x−1 b)

2

d) 12 x

c)

15. Andrea cuenta: si el primer día de agosto repartí mi sol de propina entre mis "a" amigas, el segundo día entre mis (a+1) amigas, el tercer día entre mis (a+2) amigas y así sucesivamente hasta el último día de este mes. Siendo Sofía la amiga que estuvo en todas las reparticiones, le pregunté: ¿Cuál es el producto de las diferencias "De lo que yo tenía con respecto a lo que te tocó" día a día?, indicar la respuesta de Sofía. a) 1 a d)

b) 1 2a

a−1 a + 30

e)

c)

1 a + 30

a−2 a + 30

1 x2 − 1

Practica en casa 1. Relaciona correctamente: El denominador común de: 1 + 1 + 1 x y xy xy + y Luego de simplificar queda x+1 x−y+z y−z−x El equivalente de:

x−y x2 − y2

A

–1

B

y

C

xy

D

1 x+y

2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

5. Efectuar:

a) x − 2 está definida sólo si: x ! 2 / x ! 5 ( x−5

)

b)

3 es una fracción irreductible. x+2

(

)

c)

5x es una fracción reductible. x+6

(

)

3 con 3 es cero. ( x+2 −x − 2

)

d) La suma de

3. Completar correctamente:

R=

y x z + + x−y+z x−y+z y−x−z

6. Efectuar:

4 − 2 x+3 x+1

2 2 7. Operar: R = e x +24x + 3 o e x − 28x + 15 o x −9 x − 5x

La suma algebraica de fracciones homogéneas en la fracción resultante. origina igual 2

4. Simplificar: www.trilce.edu.pe

10 − x (x + 3) − 15 − x (x + 8)

2

8. Dividir : e x2 + 3x + 2 o ' e 2 x − 4 o x + 6x + 5 x + 3x − 10


57

10

Capítulo

1 1 à + a + 1j à − a − 1j 9. Operar: H = ' 1 1 à + a + 1j à − a − 1j Siendo: a ^ 1 / a ^ − 1 / a ^ 0

14. ¿Cuál es el equivalente de 17 en fracción 5 continua? 15. Un procesador formado por dos núcleos variables tales que:

10. Efectuar: 2 2 2 + 4m F = m −2m − 2 + m 2− 2m − 3 − m 2 m −4 m − m − 6 m + 6m + 8

11. Identifique el numerador resultante: F=

1 + 1 + 1 z+2 z−2 z−1

12. Calcular a+b si: a + b = 3x + 2 x + 2 x −2 x2 − 4 13. Hallar el equivalente de: 1 E = 1− 2 1+ 1+ 1 n−1

El núcleo T–1000, realiza: Los primeros 4000 cálculos en 1/2 segundo los siguientes 4000 cálculos en 1/3 segundo, los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo y así sucesivamente.

El núcleo U–1000, realiza: Los primeros 4000 cálculos en 1/3 segundo los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo, los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo y así sucesivamente.

Para el mismo número de cálculos en cada uno, indique las diferencias de las "fracciones de segundo totales" empleadas por T–1000 y U–1000 respectivamente

Tú puedes 1. UNMSM 2011–I Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción propia a resulta la b fracción b . ¿Cuál es aquella cantidad? a a) 2a+b d) a+2b

b) 3a+b e) b–a

b) 11 e) 6

c) 12

2

2

4. Si:

2

b) 3 –1 e) x

1 + 2a b M= . b + 1m 2 c 2a 1 + (2a − b) 8ab

Colegios

58

TRILCE

2

d) 2

c) 5 –2

2

b) 3 –6 e) b

3

c) 2 –1

5. UNMSM 2006–II x x −x −x Si: 3 (x) = e − e y 4 (x) = e + e 2 2 3 ( ) 2 x Calcular: 1 + 4 (2x) a) 1 + 3 (x) 4 (x)

3. Efectuar 1 1 R= . 1 1+ 1− 1 1 1+ 2+ 1 x x a) 3 –5 2 3 d) 3 –2

Calcular "M+N" a) 2 +1 d) a

c) a+b

3 2 2. Simplificar: 3x 3+ 3x 2+ 2x + 2 2x + 5x + x − 2 Indicar como respuesta el numerador reducido valuado en dos.

a) 10 d) 14

2a + b 2 a + b 2a − b N= b − 2a 2a + b 2a − b

3 (x) 1 + 4 (x)

b)

3 (x) 1 + 3 (x)

c) 3 (x) 4 (x)

e) 4 (x) 3 (x)

3

“Si otros pudieron, ¿Porque no voy a poder yo?" San Agustín

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Capítulo

11

Cantidades Imaginarias I Lectura: Los super computadores más poderosos de la tierra La organización a cargo del sitio Top 500.org ha publicado su "International Top 500 List", (como el Ranking Forbes pero de los Supercomputadores) correspondientes al mes de noviembre y donde se rankea las 500 súper máquinas de cómputo más poderosas del planeta, este listado precisamente no "Rankea" amigo lector su flamante computador Quad–Core, con sus 4GB de RAM DDR3, sus cuatro discos de 1TB o su sistema CrossFireX de Radeon HD 4870 X2 o 3–Way SLI de GeFoce GTX 280 con súper Windows Vista ultra Fast. Lo que hace este Ranking es agrupar los Supercomputadores más poderosos del planeta en cuanto a su potencia de cómputo expresada e TeraFlops, una medida de rendimiento especialmente destinada a cálculos que requieren un intensivo uso de operaciones de punto flotante, en donde las capacidades aritméticas y el poder conjunto de cientos de procesadores / núcleos es vital para superar varios TeraFlops de potencia. Estos Supercomputadores son usados por gobiernos, instituciones de investigación, universidades y otras instituciones para fines científios y de investigación en donde Gigantes como IBM, INTEL, AMD y Sun son los principales proveedores de procesadores para estas máquinas del tamaño de un armario y ensambladas por compañías como IBM, Cray, Sum, HP entre otras. El ordenador "K", una supercomputadora japonesa capaz de realizar mas de 8 billones de cálculos por segundo (petaflop / s) es el nuevo número uno del sistema en el mundo. ... Los números complejos se emplean en electrónica, para la descripción adecuada de las señales periódicas variables. FUENTE: http://www.madboxpc.com

En este capítulo aprenderemos Cantidades imaginarias I .. Cantidades imaginarias –– Unidad imaginaria –– Potencias de i –– Propiedades .. Número complejo –– Forma binómica y cartesiana –– Clases de complejos: Real, imaginario puro, nulo.

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59

11

Capítulo

Síntesis teórica

Colegios

60

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Calcular:

3. Calcular: 3

25 =

3

4. Efectuar:

144 =

(x+yz)(3x+2yz)

5 + 16 =

2

5. Efectuar: (x–3y) +(3x–y)

2. Efectuar 3

2

2

− 8 + 5 − 32 + 3 − 125

Aplica lo comprendido 1. Relaciona correctamente: 5 3

i .i

3. Completar correctamente: La raíz cuadrada de "–1" es la unidad

A

3

B

–6

(2i)(3i)

C

15 2 i

(5i)(3 2 )

D

1

4

12

i +i +i

16

y su equivalente es

4

5

.

4. A partir de: Z=–3+2i Indique el doble de su parte real aumentada en su parte imaginaria.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) 3

,

6

a) Al efectuar i +i +i +i se obtiene cero b) (1+i) presenta como parte imaginaria a "1" c) Si Z=–2+4i, su forma cartesiana es (–2; 4i) d) Si W=3i+2, su forma cartesiana es (3;2)

(

)

(

)

(

)

(

)

5. Efectuar: 3

4

5

6

7

S=i +i +i +i +i +...+i

103

Aprende más 3. Completar correctamente


i +i

12

A

2i

i +i

B

0

−4

C

–2

−8

D

2

3

3

En el complejo 3+2i su parte número dos y su parte tres. 4. Sea Z–3=2+5i

Indique la parte real de Z disminuida en su parte imaginaria.


a) 10 d) 5

b) 2 e) 0

c) 4

I. Si (m+4)+(n–3)i es nulo, entonces ( mn=–12

)

II. Si 3+(n–5)i es real, entonces n=5

(

)

Z=(m –27)+(n –125)i es nulo.

III. En Z=–4–2i su parte imaginaria es 2 (

)

IV. En Z=–3+5i su parte real es –3

)

a) 10 d) 20

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es el es el número

(

5. Calcular: 5m+2n, si el complejo m

3

b) 25 e) 30

c) 15


61

11

Capítulo

6. Indicar "xy" si 3 3 Z=(x –8)+(y –27)i, es un complejo nulo a) 8 d) 6

b) 9 e) 3 5

9

13

17

a) 1 d) 0

403

+i

216

325

+i

423

b) i e) –1

9. Efectuar:

+i

121

c) –i

c) 1

b) el opuesto de tres c) cero

c) –16

d) la unidad imaginaria e) el opuesto de la unidad

−4 −2 −2 − −3 −3 −9 b) –5i e) –3i

c) 3i

11. Si al complejo (3;–2) le disminuimos 2 unidades en su parte real y le aumentamos 2 unidades en su parte imaginaria, resulta un: a) imaginario puro c) complejo nulo e) hay 2 correctas

b) 2 e) –1

a) el opuesto de dos

b) 16i e) –4

a) 5i d) 12i

c) 1

14. Al sumar las primeras quince potencias positivas sucesivas de la unidad imaginaria se obtiene:

− 3 − 12 + − 5 − 20

a) –16i d) 16 10. Calcular:

a) –2 d) 0

c) –1 +i

b) i e) 0

13. Efectuar: Re (i 40 + i55 + i70 + i95)

21

b) 1 e) 5i

8. Calcular: M=i

a) –i d) –1

c) 4

7. Reducir: S= i +i +i +i +i a) i d) –i

12. Calcular: Im (i12 + i20 + i19)

b) complejo real d) la unidad imaginaria

15. Si (m;n) es la unidad imaginaria en su forma cartesiana y (p;q) es la unidad real en su forma cartesiana. Calcular n+1 q+2 E=(m+1) +(p+2) a) 8 d) 12

b) 9 e) 17

c) 10

Practica en casa 3. Completar correctamente , tanto su parte real En el complejo como su parte imaginaria son iguales a cero


i +i

14

A

–5

B

–1

C

–2

D

5

10

−5 −5 La parte real de: –5i+5 30

31

32

33

i +i +i +i +i

34

4. Si: W=–5+3i ¿Cuánto hay que sumarle para que se transforme en un complejo nulo?

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. Si(r–3)+8i es imaginario puro, en( tonces r=3

)

II. En Z=3i–4 su parte imaginaria es 3i

(

)

III. Luego de efectuar i+i +i , su parte ( real es 1

)

IV. Al operar − 8 − 2 se obtiene un ( complejo real

)

5

p+2

–16)i es un complejo real, indicar

n

m

5. Si Z=3+(p "p+1"

6

6. Calcular m +n sabiendo que : m n Z=(m –4)+8(n –27)i, es un complejo nulo 7. Efectuar: N = − 10 − 10 + − 3 − 27 114

8. Sumar: i

205

+i

115

+i

206

+i

116

+i

207

+i

117

+i

208

+i

9. Calcular: 315 728 419 324 221 541 S=i +i +i +i +i +i

Colegios

62

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Álgebra 10. Operar: H = −3 −3 −4 −

− 2 − 2 − 25

11. ¿Cuánto hay que sumarle a 3–5i para que resulte un complejo real)?

13. Indicar: Im (i10 + i12 + i18 + i24) 14. En la pantalla de su calculadora José observa un número complejo en su forma binómica 3–4i. Pero en su computadora el programa usado le permite ingresar el mismo número en su forma cartesiana. ¿Cuál es esta? 3

8

17

15. Josefina le dicta por teléfono a José "i +i +i " para que este, le otorgue la respuesta, pero José 3 8 17 en forma distraída transcribe "i .i .i ". ¿Cómo resultan los cálculos?

12. Efectuar Re (3 + i5 + i6)

Tú puedes 1. Calcular: 2050

1270

4. En un número complejo sus partes suman dos. Si al triple de su parte real le sumamos el doble de su parte imaginaria obtenemos el complejo nulo. Calcular el opuesto de su parte real.

1030

F = i 20 + i 12 + i 10 50 70 30 i +i +i a) –i b) i d) –1 e) 3

c) 1

2. A partir del complejo nulo: −1 ^x x − 2 − 1h + ` y y − 2 j i, donde x ^ 1 / y ^ 2 2 Calcular 1 + y x a) 5/4 b) 3/4 c) 5/2 d) 1/8 e) 8 7

5

2

3. Reducir: 2 − 3 −22 − 2 2 i + ( 2 i ) + ( 3 i) a) 3 12 d) 6 6

b) 18 48 c) 12 54 e) hay 2 correctas

a) –4 d) 2

b) –6 e) 4

c) 6

5. Hallar x para que el complejo. J N 1 Z = ^1 + 3ih + K + xiO 2 K1 + O K O 1+ 3 x L P sea imaginario puro. a) − 3 4

b) ≠ 3

d) − 3 2

e) − 2 3

c) ≠

“Si quieres tener éxito, no debes cansarte en tratar de conseguirlo"

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63

12

Capítulo

Cantidades Imaginarias II Lectura: El ordenador "K" El ordenador "K" , una supercomputadora japonesa capaz de realizar más de 8 billones de cálculos por segundo (petroflop / s) es el nuevo número uno del sistema en el mundo poniendo de nuevo a Japón en el primer puesto por primera vez desde que fue destronado por el Simulador de la Tierra en noviembre del 2004, según la última edición de la lista TOP500 de los superordenadores más importantes del mundo. El sistema, se encuentra en el Centro Avanzado para las Ciencias de la Computación del instituto RIKEN, en Kobe: Los números complejos se emplean en electrónica, para la descripción adecuada de las señales periódicas variables. FUENTE: http://www.ntn24.cpm

En este capítulo aprenderemos Cantidades imaginarias II .. Definiciones –– Módulo de un complejo –– Conjugado de un complejo –– Opuesto de un Complejo .. Igualdad entre complejos. .. Representación gráfica. .. Operaciones de adición y sustracción.

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65

12

Capítulo

Saberes previos 1. Calcular −2 −2 + −3 −3 12

18

26

2. Efectuar: i +i +i +i 10

4. Calcular Im(2i

104

+3i

111

) 12

19

5. La forma cartesiana de 5i –2i , es:

40

12

3. Indicar Re(3i +i )

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: − 3 + 2i es igual a:

A

5 − 3i

B

–5i

El opuesto de 3–2i

C

–3+2i

2(3–i)–3(2+i)

D

–3–2i

34

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): a) Si: (m–1; n–2) es el complejo nulo, entonces: mn=2

(

)

b) Si: Z1=m+ni y Z2=m+pi son conjugados, entonces: n+p=0

(

)

c) Si: p+qi y r+si son opuestos, entonces: p+q+r+s=0

(

)

d) Si: x–2+yi=5+3i ⇒ xy=21

(

)

3. Completar correctamente El

es el punto en el plano Gaussiano que representa al complejo.

4. Calcular: Z=|–3+4i|+2–7i+Re(–5i+8) 5. De la igualdad: 2(n+5i)+3(mi+4)=(6–n)+(4m+3)i, calcular m+n

Aprende más 2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

1. Relacionar correctamente: 2(3+i)+3(2–i)+i

A

(–8;3)

I. La parte imaginaria de Z=3–2i, es 2

(

)

5+2i es igual a:

B

5–2i

II. El opuesto de –3–4i, es 3–4i

(

)

3i–8, equivale a:

C

5–8i

(

)

el opuesto de: –5+8i

D

12

(

)

Colegios

66

TRILCE

III. Para (2;–4), su representación binómica es Z=2–4i IV. 5(3+5i)+(–25i) es un imaginario puro

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Álgebra 3. Completar correctamente Si el conjugado de m+ni es –7+8i luego m+n es igual a .

9. Si: W1=7+2i , W2=–7+3i , W3=–2–5i Calcular: W1+W2–W3 10. Considerando: Z1=1+i , Z2=3i y Z3=4 Calcular: 3Z1+Z2–Z3

4. Considerando Z1=8+6i ∧ Z2=–3–7i Calcular Re(Z1)+Re(Z2)

2

3

4

5

6

7

8

11. Efectuar: E=i+i –i +i –i +i –i +i –i

9

5. Efectuar 40

41

42

43

44

45

H=i +i +i +i +i +i +i

46

12. Si: m+ni=5(3+2i)+1; i = − 1, calcular m–n 13. A partir de la igualdad:

6. Completar Conjugado

Opuesto

Módulo

Z1=–2+4i Z2=3+4i

mi+5(3+ni)=3(5+6i); i = − 1 Calcular: E = 18 − 4n m+n

;

m ! 0/n ! 0

14. Un rectángulo con centro en el origen de coordenadas tiene un vértice en el afijo del complejo 1+4i. Calcular el área de la región rectangular total.

Z 3= − 3 − 2 i 7. Operar: 2(–5+2i)+5(1–3i)+Im(5–2i)

15. La diferencia de un complejo con su conjugado es igual a 18i. Indicar el opuesto de la parte imaginaria del complejo original.

8. Efectuar: i(3+4i)+Re(3–2i)

Practica en casa 4. Si Z1=3+2i ∧ Z2=3+2i Calcular Re(Z1+5)+Re(Z2+3)

1. Relacionar correctamente: El opuesto de –3+2i

A

–3+5i

El módulo de 1+3i

B

–3–2i

C

3–2i

D

10

5

5i +3i

2

Efectuar –2(1+i)–1

5. Del complejo: Z=10+3i, si a su conjugado le sumamos su opuesto se obtiene un: 6. Completar Conjugado

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 3+2(i+5)–13 es un imaginario puro. II. 2(8+8i)–(16+16i) es el complejo nulo. 16

III. i +4–2i

20

es un complejo real

IV. El módulo de –5 es cinco

Z=3+8i (

)

Z2=2–i

(

)

Z3=5+ 2

(

)

(

)

3. Completar correctamente Para obtener el conjugado de un número a la parte complejo basta cambiar de imaginaria.

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Opuesto

Recordar, el opuesto de Z, se puede representar así: –Z 7. Efectuar: 3+2i+2(–3+4i)–Re(2+i) 8. Calcular: 7(2–5i)–Im(1+30i) 9. Si: Z1=3+2i; Z2=1+4i y Z3=2+5i Calcular: Z1 + Z2 + Z3


67

12

Capítulo

10. Si: Z1=3+2i ; Z2=1+4i y Z3=2+5i Calcular: − Z1 + Z2 + Z3 4

8

12

16

11. Calcular: S=i +i +i +i +...+i

14. En el plano de Gauss: Z1=(3;0), siendo el triángulo equilátero, Calcular m+n, si Z2=(m;n) Im Z2

100

12. Si: 3(m+i)+2(n+i)=2(m+n)+3+pi, Calcular Z, siendo Z=m+pi 13. Sabiendo que: x+y=3∧ xy=1 2 2 calcular |Z–3i| , si Z=x+(3+y)i; i =–1

Z1

Re

15. Una señal periódica queda descrita según: /y = 1 x ! 63t; 3t + 1 Z = x + yi = * x ! 63t + 1; 3t + 2 / y = 2 x ! 63t + 2; 3t + 3 / y = 3 Considerando "t" unidad por segundo. Indique su gráfica en el plano de Gauss.

Tú puedes 1. Si Z=|3–2i|+ 5 i, calcular |Z| a)

3

d) 3 2

b) 2 2

c) 3 3

e) 2 3

2. Calcular "m+n" si: 3+2i–2–ni=m–|–3+4i| a) 6 d) –4

b) 4 e) 10

3. Calcular "ab" si: 5–4i+2| a) 10 d) 2

b) 6 e) 8

c) 8 3 +i|=a+(b+2)i c) 18

4. Hallar los valores de "x" e "y" en la ecuación: 2x+10+5y+(7x+4y)i=19i a) 0;3 b) 4;–2 c) 4;–5 d) 5;–4 e) 1;–2 5. Universidad Agraria la Molina 2009–II Si: Z1=1+2i

a)

Z2=12+2i

b)

Z3=–5–i

c)

Z4=2– i 2

d) 2

26 4 26 2 23 2

e) 5 Hallar, Z1 − Z3 + Z 4 Z2

“La ocasión solamente encuentra a quien está preparado" (San Juan Bosco)

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Capítulo

13

Cantidades imaginarias III Lectura: Aunque hoy no es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Sabemos que los problemas de los números irracionales se resolvió por completo, con Fermat durante el siglo XVII. Sólo quedaba por resolver el problema de la raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de –1( − 1 ), el nombre de i (imaginario). En 1779, Gauss acabó por resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuese cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria. FUENTE: http://webdelprofesor.ula.ve

En este capítulo aprenderemos Cantidades imaginarias III .. Cantidades imaginarias III –– Multiplicación –– División –– Potenciación

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69

13

Capítulo

Colegios

70

Síntesis teórica

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Álgebra Saberes previos

1. Operar: E =

2. Reducir: S =

(x + 3) (y − 2) −3 xy + 3y − 2x − 6 2

4. Reduce:

3 + x+1+ x+1+ 3 x−1 x−2 2−x 1−x

3. Efectuar: A=(x+3)(y+2)–2x–xy

x2 − 4xy + 4y2 2xy − x2 + 2 (x − 2y) (x + 2y) x + 2xy

5. Simplificar: F = ` 2 j` x + 5 j` x + 3 j` x + 4 j` x + 7 j x+3 x+4 x+7 x+5 2

Aplica lo comprendido 2

1. Relaciona correctamente: (i =–1) (2+i)(1–i)

A i

1+i 1−i

B

(1+i) (2–i)

2

2i

C 3–i

2

D 3–4i

2. Indicar el valor de verdad de cada proposición 2 (i =–1) 2 2 ( ) a) (1+i) =–(1–i) b)

1 + 1 = 2 1+i 1−i

( )

c) (1+i) =4

4

( )

d) (4+i)(4–i)=15

( )

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3. Completar en cada caso: a) (5+2i)(2–3i)= b) 1 + i + 1 − i = 1−i 1+ i 2

2

c) (1+i) +(1–i) = 2

d) (1+2i) –4i= 4. Si: z = 2 − 3i ; indicar el equivalente de 1+i 2 "(z+3)(1+i)" (i =–1) 5. Simplificar: 2 2 2 z = (1 + i) + (1 − i) ; i =–1 2i 2i


71

13

Capítulo

Aprende más 2

1. Relacionar correctamente (i =–1) (5–i)(2+i) (1+i)

8. Si:

A

1 + 3i 2

B

11+3i

4

2+i 1−i

C –i

1 i

D –4

1 1 1 1 `1 + i j`1 + i + 1j`1 + i + 2 j ...`1 + i + 99 j = a + bi 2 Calcular: a–b; siendo i =–1 a) 100 d) 109

2

Re (z) + Im (z) ; si i =–1

2

a) (1+2i) =3–4i

( )

b) ` 1 + i jc 1 − i m = 2i 1−i 1+ i

( )

8

c) (1+i) =16

( )

d) (2+3i)(5–i)=13+13i

( )

3. Completar en cada caso

b) 3 + i = 4 − 3i 2

2

4. Si: z1=5–2i; z2=3+i ; i= –1 Determinar "z3"; si: z3 = 10 8 z1 B z2 a) 13–11i

b) 13 i

d) 11i

e) 13+11i

c) 12i 2

b) 4i e) 8+4i

c) 6i

1+i ; i= –1 1− 1+ i 1−1+ i 1−i b) i 4 e) i

c) 2i

7. Halle: x.y, sabiendo que se cumple: (x+4i)(7+yi)=23+43i ; i= –1

72

TRILCE

b) 31 − 17i 2

c) 30 + 17i 2

d) 30 − 17i 2

b) 1–2i e) 14

b) –2 e) 4

c) –3 2011 219

12. Efectuar: e 1 + i2011 + 1 − i2011 o 1−i 1+i a) 7 b) 5 d) 0 e) 2

2

; i =–1 c) 3

13. El número complejo "Z0" satisface la relación: 2

Colegios

a) − 31 + 17i 2

2011

5. Si: z=i–1 / w=3+i; reducir E=z +w ; i= –1

6. Simplificar: E =

c) 39

4 10. Si: z=(2+i); indicar el equivalente de: (z) − 1 ; 1−i i= –1

a) 1 d) 3

2

d) (1+i) –(2i+1) =

a) 9i+9 d) 8–4i

b) 26 e) 42

11. Si: z=1+i y w=1–i, calcule: ^z − wh 2 + ` z j4 ; w i= –1

c) (3–i) +(2+i) = 3

a) 13 d) 52

e) –16+8i

a) (8–i)(4–2i)=

a) 2i d) 10

c) 99

9. Si: z=(2+3i)(2–3i)(1+2i); indicar el valor de:

2. Indicar el valor de verdad de cada proposición: 2 (i =–1)

a) –i d) –2i

b) 101 e) 103

5 + 3i = 2i − 2i, determinar el valor de f(z ); 0 z0 −4 + i 2 donde: f(x)=x –3x+3; i= –1 a) 1+i d) 2i

b) 2–i e) i

c) 2+i

14. Hallar un número complejo tal que si al dividirlo entre (4+5i) y al cociente sumarle 4; se obtenga (5+i). Dar como respuesta su parte imaginaria. a) 2 d) 9

b) –1 e) –9i

c) 4i

c) 15

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Álgebra 15. Los números complejos también se utilizan en el área de la electrónica. En el siguiente circuito eléctrico calcular la resistencia equivalente. Sabiendo que: R1=4+3i; R2=2+i, además REQ = R1.R2 ; i= –1 R1 + R2 (Req= Resistencia equivalente) R1

b) 7 + 4i 13

a) 7+4i c) 4i + 7 12 e) 4i + 7 12

R2

d) 35 + 20i 26

Practica en casa 2

1. Relacionar correctamente (i =–1) (5+i)(2–i) (1–i)

A –4

4

B

2+i 1−i −1 i

1 + 3i 2 2

C 11–3i D i

2. Indicar el valor de verdad de cada proposición 2 (i =–1) 2 ( ) a) (1–2i) =–3–4i b) ` 1 − i j` 1 + i j = 4i 1+i 1−i 8 c) (1–i) =16

( )

d) (2–3i)(5+i)=8+12i

( )

2

Calcular: ab; siendo i =–1 9. Si: Z=(3–2i)(3+2i)(2+i); indicar el valor de: Re (z) + Im (z); si i2 = − 1 4 10. Si: z=(1+i); indicar el equivalente de: z − 1 ; 1−i 2 i = –1

11. Si: z=1–i y w=1+i, calcular: (z − w) 2 + ` z j 4 ; w i= –1

219

; i= –1

2

d) (1–i) –(2i–1) = 4. Si: Z1=5+2i; Z2=3–i Determinar "Z3";si:

Z3 =

10 ; Z1 E Z2

5. Si: z = i + 1 / w = 3 − i; reducir: z2 + w2 + z 6. Simplificar Z = i −

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1 1 1 1 `1 − i j`1 − i − 1j`1 − i − 2 j ... `1 − i − 99 j = a + bi

2015 2015 1 i 1−i e + 2015 + o 1−i 1 + i2015

2

c) (3+i) +(2–i) = 3

8. Si:

12. Efectuar

3−i = 4 + 3i 2

(x–3i)(6+yi)=20+40i

( )

3. Completar en cada caso: a) (8+i)(4+2i)= b)

7. Halle xy, sabiendo que se cumple:

1−i 1+ 1−i 1+1−i 1+i

13. Si z=a+bi, donde "a", "b" ! R ; hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad: 3z + 3z = 4 , señalar: (a+b)2 1−i i 3−i 14. Si un número complejo de divide entre 5+i, y al cociente se le suma 2, se obtiene 3–i. Hallar la parte real del complejo original. 15. Reducir:

1−i 1+i 2

− B 8 2 H = 81 − i − 1 + i B 1 + i 1 − i ; i =–1 1+i 1−i


73

13

Capítulo

Tú puedes

1. Efectuar: E =

a) 1 d) –i

1+i 1+ i 1− 1+ i 1− 1− 1+ i 1−1+ i 1−i b) i e) 1–i

2

4. La expresión (1 + i) (1 + 3i) donde i = i−3 igual a: a) 1–3i d) 2 c) 1+i

2. Sean: z=3+2i y w=2+i ; i= –1 Halle: (z + w) i w a) 2 + i 3 3

b) − 1 + 13 i 5 5

d) 1 + i 5

e) 1 + 3i 5 5

b) –2 e) –10

5. Reducir: M = c 1 + 1− a) 1 b) d) 6 e)

3

− 1, es

c) 10 6

3 i + 1 + 3 i ; i= –1 m c m 3i 1− 3i 2 c) 4 8

c) 2 + i 5

3. Universidad agraria la Molina 2009 – II Si: z1=1+2i z3=–5–i Hallar : z1 − z3 + z 4 z2 a) d) 2

20 4

b)

z2=12+2i z4 = 2 − i 2 26 2

c)

23 2

e) 5

“El éxito no consiste en conseguir todo lo que no pueda, sino en dar lo mejor de sí mismo.” Colegios

74

TRILCE

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Capítulo

14

Teoría de Ecuaciones Lectura: Samuel Finley Breese Morse Nacido en 1791, en Charlestown, Massachusetts, la vida del inventor norteamericano Samuel Morse fue, hasta los 42 años, la de un pintor activo e influyente. La fama le había llegado por su retrato de La Fayette, al que conoció en Washington. Había dado inicio a sus estudios en la Academia Phillips de Adover, y de allí pasó al Yale College. En su juventud descubrió cierta vocación para la pintura y decidió dedicarse a ella, pero también le atraían los recientes descubrimientos y experimentos respecto a la electricidad. Por una temporada, trabajó en Boston para un editor y luego viajó a Inglaterra para estudiar pintura en la ciudad de Londres, hasta que se convirtió en pintor de escenas históricas. En 1826, fundó en Nueva York una sociedad de bellas artes que con el tiempo se convirtió en la Academia Nacional de dibujo, que presidió desde 1826 a 1845. Fue en 1832, al volver de un viaje a Europa, donde había estudiado las colecciones de arte de Inglaterra, Francia e Italia, cuando concibió la idea de utilizar la electricidad para trasmitir mensajes. Inventó el telégrafo electromagnético registrador y su correspondiente código de señales. Construyó la primera línea telegráfica entre Washington y Baltimore (1844) e investigó también, la factibilidad del cable submarino. FUENTE: http://www.profesorenlinea.cl

En este capítulo aprenderemos Ecuaciones de primer grado .. Conceptos previos. .. Clasificación de las ecuaciones. .. Ecuaciones reducibles a primer grado. .. Ecuación de la forma Ax+B=0

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75

14

Capítulo

Colegios

76

Síntesis teórica

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Efectuar: (x+5)(x+3)= 2 (x+2) = 2 (x–1) = 2. Operar: x + x + 1 − 7x 3 4 12

2

4. Reducir: x 2 + 5x + 6 − x + 3 x + 3x + 2 x + 1

5. Reduzca: 2 2 (x+5)(x–5)+(x+3)(x+2)–5(x +x)+3x

3. Factorizar: 3(x–5)+y(x–5)+z(x–5)

Aplica lo comprendido 1. Resolver por simple inspección: I. 3x–5=16 II. 8 = 2 y+3 III. z + 1 = 5 Indicar "x+y+z" 2. Si 6 es solución de la ecuación: (8+n)(x–5)+n(x–7)=4n–2, calcular "n" 3. La siguiente ecuación: 5(x+3)=2(x+2)+3(x+4)–1 presenta como solución: 4. En la ecuación: x − m + x − n = 2, luego de resolverla, indique su solución n m 5. Si la ecuación: 3(mx+4)=6(2x+n) es compatible indeterminada, calcular "mn"

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77

14

Capítulo

Aprende más

1. Relacionar:

8. Indicar el conjunto solución de: A

x=1

x − m + x − n = m2 + n2 m n mn

(x+2) –(x–2) =7x+1

B

x=–3

x+5 = 1 2

a) {m;n} d) {m+n}

C

x=0

D

x=6

2(x–3)+3(2–x)=0 2

2

x−2+1 = 3

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. En ax–12=0, si a=3, entonces "x" es cuatro". II. x+5=x+3 es una ecuación absurda. III. Si 2(x–1)=5(x–1) entonces x=1 a) VVF d) FVF

b) VFF e) VVV

c) FVV

4. Resolver: 5x + 2 + 2013 = 4x + 5 + 2013 x−3 x−3 a) 3 d) {}

b) –3 e) R

5. Resolver: 7 x + 1 + 2 = 5x + 7 + 2 , x−3 x−3 Indique posteriormente su conjunto solución a) {3} d) { }

b) {2} e) R

c) {0}

6. Resolver: 3x − 1 = 3x + 1 , indique posteriormente el 2−1 2+1 opuesto de su solución. a)

2

b) 2 2

d)

2 2

e) – 2 3

c) − 2

7. Resolver: x−m−n + x−n−p + x−m−p = 3 p m n a) mnp c) m+n+p e) 1 Colegios

78

TRILCE

a) 8 d) –1/8

b) m+p+1 d) mn+np+mp

b) 4 e) –4

c) –1/4

10. La solución de: ^x − 2 h2 + ^x − 2 − 1h2 = ^x − 3h2 + n

es " 2 + 3" Halle el valor de "n". d)

b) 11 8

e)

c) 5

2

11. Si la ecuación: 3(nx–1)+m=x+2, presenta infinitas soluciones calcular 3n+m a) 4 d) 3

c) {0}

c) {n}

9. Resolver: 2 x + 7x + 10 = 3 x2 + 9x + 20 2 Indique el recíproco de su solución

a) 9

3. Completar: Una ecuación imposible es aquella cuyo conjunto es el conjunto .

b) {m} e) { }

b) 5 e) 8

c) 6

12. Indicar los valores de "n" tales que permitan a la ecuación: 4(nx+2)=8(x–1)+1, presentar solución única en "x". a) R–{2} d) {2;4}

b) R e) {2}

c) R–{–4}

13. Resolver: 2x − 3 + x+7 = 2 x+7 2x − 3 Indique posteriormente una característica de la solución obtenida. a) es un cuadrado perfecto. b) es un cubo perfecto. c) es positivo. d) es fraccionario. e) es negativo. 14. UNMSM 2010–I Al examen de un curso de matemáticas solo asistieron del número total de alumnos 3/4 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/5 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso? a) 120 d) 80

b) 100 e) 180

c) 75

Central: 6198-100

Álgebra 15. UNMSM 2008 – I Mario podría ahorrar 20 soles diarios, pero cada día de la semana gasta o 6 soles en el cine o 5 soles en la cafetería. ¿Al cabo de cuántos días ha logrado ahorrar 176 soles? a) 12

b) 10

c) 16

d) 14

e) 11

Practica en casa 1. Relacionar: 5(x–8)+2(8–x)=0

A

x=7

x+2 + x−1= 4 3 6

B

x=5

3

C

x=8

x+3+ 4 = 4

8. Resolver: 2 x − 4 + 2 (x + 1) = 1 2 2 (x + 2) x + 3x + 2 Indique su conjunto solución: 9. Indicar el conjunto solución de: x+b + x+c = 2 b + c +1 ;c b E c b

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 2x+5=2x+5 es una ecuación compatible indeterminada. ... (

)

1 = 5 + 1 , se resuelve con x=5. x−5 x−5 ... ( )

II. x +

III. Si x=2 en ax+b=0, entonces 2a+b=0 ... (

10. Calcular "a" si la solución de: ^x − 5 h2 + ^x − 1 − 5 h2 = a − 2, es " 5 + 1"

)

11. Calcular 4n–3m; si la ecuación en "x": (n+2)(x+3)=m(x+2) presenta infinitas soluciones.

12. Indique un valor que no admite "m" tal que la ecuación en "x": m(mx+1)=x+2, presenta solución única.

3. Completar: Si la ecuación presenta infinitos valores para "x", entonces será llamada indeterminada.

13. Si la ecuación 3(mx+n)+mx=4(2x+3) es absurda. Identifique el valor que no debe admitir "n".

4. Resolver: 1 = 4x + 4 + 1 x−2 x−2 Indique el conjunto solución. 3x − 2 +

5. Calcule "x" en: x + 12 + x + 8 = 5 4 12 6. Al resolver: x− 2 + x− 3 +x− 3 − 2 = 2 3 2 Se obtiene:

14. Resolver : 4 7x − 2 − 1 = 1 − 4 x + 1 , indique x+1 7x − 2 el recíproco de su solución.

15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es esta cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró?

7. Luego de resolver: 5x + 4 = 5x − 4 3 +4 3 −4 Indique el opuesto de su solución.

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79

14

Capítulo

Tú puedes 4. UNMSM 2011 – I

1. UNMSM 2010 – II Al dividir 287 entre un número positivo "n" se obtiene como cociente (n–1) y de residuo (n–2). ¿Cuál es el valor de "n"? a) 15 d) 17

b) 19 e) 16

c) 18

2. Indique la solución de: x + x + x +5+ 6 12 7 a) 86 d) 80

x +4 = x 2 b) 82 e) 84

Un frutero compra fresas pagando S/.7.00 por cada 3 Kg. de fresa. Si vendiera a S/.13.00 cada 4 Kg. y ha ganado el precio de costo de 44 Kg. de fresa. ¿Cuántos Kg. de fresa vendió? a) 106 Kg. c) 112 Kg. e) 120 Kg. 2

b) 116 Kg. d) 110 Kg. 2

5. Si np=m +p , resolver en "x" c) 88

3. UNMSM 2011 – I

m ` n x + m j − m2 c x + 1m = 9p ; mp≠ 0 m p p a) 5 b) 10 c) 8 d) 7 e) 9

Ana compró un bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regaló 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio? a) 20 d) 22

b) 25 e) 18

c) 30

"Rie, juega y canta, que en TRILCE si avanzas"

Colegios

80

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

15

Repaso II: Productos Notables y Factorización Lectura: demostración algebraica del teorema de Pitágoras: Tenemos una página que explica el Teorema de Pitágoras, aquí tienes un breve resumen: a

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado 2 2 2 de a (a ) más el cuadrado de b (b ) es igual el cuadrado de c (c ):

c

2

2

a +b =c

b

2

Partimos de la siguiente figura: ÁreaTotal=ÁreaABCD + 4 . ÁreaNDC N

C

a

b

P a

c b

B

c

ÁreaTotal = c + 4 (ab) 2 2 ÁreaTotal = c + 2 ab 2

Pero:

ÁreaTotal = (a+b) 2

2

2

(a+b) = c + 2ab c

D

b

Desarrollando: 2

a

c

M

b

2

2

a + 2ab + b = c + 2ab A

a

Q

Reducimos: 2

2

a +b =c

2

..... Lo que queríamos demostrar

En este capítulo recordaremos .. Productos Notables y Factorización

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81

15

Capítulo

Aplica lo comprendido 5


(x+3) (x–5)(x+5) 2 (x–5) (x+3)(x+2)

A B C D

2

4. Factorizar: P(x)=x +3x +x

2

2

x –10x+25 2 x +6x+9 2 x +5x+6 2 x –25

5. Factorizar: L(x;y)=xy+y+x+1

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones 2

I. x –5x+4=(x–4)(x–1)

(

)

(

)

III. 3x –x=x(3x–1)

(

)

2

(

)

2

II. x –7=(x– 7 )(x+ 7 ) 2

2

IV. (x+4) –(x–4) =16x

4

2

6. Factorizar: x –3x +x

2

7. Factorizar: y –my+ny–mn

2

8. Si: a+b=4 y ab=3, calcular: a +b

2

3. Desarrollar los siguientes ejercicios: 2

2

a) (x+1) –(x–1) =

.

b) (x–8)(x–2)=

.

2

2

c) ( +2) –( –2) =

.

d) 2x(x+3)+x–1=

.

3

3

9. Calcula ab; si a +b =10 y a+b=5

2 2 –2 10. Calcula: x +x , si `x + 1 j = 64 x

Aprende más 1. Relacionar las columnas correctamente:

3. Completar en cada caso: 2

(x+5) =

2

A

(x–2)(x–1)

(x–6)(x+6)=

B

(x +4x–21)

(x+7)(x–3)=

C

x –36

2

x –3x+2=

a) Factorizar: x +2x–24

2

2

x +10x+25

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones 2

I. x +9x+20=(x+4)(x+5) 2

II. m +4m+3=(m+3)(m+1) 2

2

2

III. (a–b) =a –2ab–b 2

IV. (x+5)(x–3)=x +2x–15

Colegios

82

TRILCE

b) Factorizar: 25a –36b

2

.

2

.

d) Factorizar: n –4n +4

.

c) Factorizar: ab+ac+b +bc

2

D

2

.

(

)

(

)

(

)

(

)

4

2

4. Sabiendo que: J=(x+1)(x+4) T=(x+6)(x–1) Señale el valor de: J–T a) –10

b) 4

d) 10

e) 24

c) –6

Central: 6198-100

Álgebra 2

2

2

2

5. Efectúa: R=(a+b)(a –ab+b )–(a–b)(a +ab+b ) a) 2 d) a

b) b

3

3

c) 2a

e) 2b

3

2

2

3

5

d) 5 3

e) 1 4

6

7. Factorizar lo siguiente: 6a x–9a x 4

2

b) 3a x(1–3a )

2

4

2

d) 5a x(3+4a )

2

4

c) 3a x(2–3a )

2

4

e) 6a x 2

2

2

2

8. Factorizar: (x +y )–5y(x +y ) a) x

2 2

b) 6y (1–5y) 2

2

2

2

d) (x +y )(5y)

9. Factorizar: 2 2 F(x)=(x +x+1)(x+2)–(x +x+1)(3–x)

2

c) (x +x+2)(2x+4)

2

b) (x +x+1)(2x–1) 2

d) (x –x+1)(2x–1)

c)

9 (x + 3) 2

d) 1

e) 0 3

2

14. Factorizar: P(x)=x –6x +11x–6 a) (x–1)(x–3)(x–2)

b) (x–1)(x+2)(x+3)

c) (x–2)x(x–4)

d) (x–1)(x+6)

e) x –3 3

2

15. Factorizar: M(x)=x –x –x+1 2

b) (x+1) (x–1)

2

c) (x–2)

2

d) (x–1)

e) (x–2)

3 4

2

2

16. Factorizar: x –13x +36 2

a) (x +4)(x+1) c) (x–3)(x+3)(x–4)(x+4)

10. Aplicar "aspa simple" para factorizar: 2 (x+1) +5(x+1)+6 a) (x+3)(x+2)

b) (x+4)(x+3)

c) (x+1)(x+6)

d) (x+2)(x+1)

e) (x+5)(x+1) 2

11. Factorizar el polinomio: 4y –22y+10 a) (4y–2)(y–5)

b) (2y+2)(2y+5)

c) (4y–5)(y–2)

d) (y+20)(y–2)

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2 b) x + 92 (x + 3)

b) (x–3)(x+3)(x+2)

2

e) (x +x+1)(2x+1)

e) (4y+2)

x2 (x + 3) 2

a) (x–1) (x+1)

2

e) –4y(x +y )

a) (x+1)(x+2)

a)

3

2

c) (x +y )(1–5y)

5

e) x +3

2 2 A = = 24 G= x −26x + 9 G= x + 9 G; x≠ –3; 3 x − 9 2x − 18 2

c) 4 3

a) 3a x(1–3a )

c) x–2

13. Reducir al efectuar lo siguiente

E = (a + b) 2 − (a − b) 2 ; ab≠ 0 (a + b) + (a − b) b) 2 3

5

d) x +2

2

a) 1 3

5

b) x +9

a) x–9

6. Si se cumple que: a +b =3ab, reduce: 2

10

12. Factorizar: x –7x –18, e indicar uno de los factores primos.

d) (x–3)(x+3)(x–2)(x+2) e) (x–5)

2 4

2

17. Factorizar: Q(x)=4x –37x +9 indicar un factor primo a) x+2

b) x–2

d) x+4

e) x+6

c) x+3

5

18. Factorizar: a +a–1, e indicar un factor primo 2

a) (a –a+1) 3

d) a –a

2

2

b) a +a+1

3

c) a +1

e) a(a–2)


83

15

Capítulo

2

19. El polinomio x –12x+36, representa el área de un cuadrado ¿Qué expresión representa el lado

20. Pamela dibujó un polígono cuya área es igual a la suma de áreas de tres cuadrados diferentes. 1

del cuadrado?

1

a) (x–5)

b) x–2

d) x–6

e) x+6

c) x+1 x+1

x

x–1

¿Qué binomio representa el área del polígono? 2

b) 3x +2

2

2

e) x +1

a) 4x +1

2

c) 5x +1

2

d) 2x +3

Practica en casa 2

2

A

x (x–1)

2

B

(x–6)(x+6)

2

C

x –14x+49

2

D

(x–5)(x–1)

(x–7) 3

x –x

x –6x+5 x –36

2

2

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes

2

7. Factorizar : P(x)=12x +7x–12

8. Si la suma de los factores primos de: 2

proposiciones:

T(x)=12x –mx–15 es 7x–2, hallar "m"

2

(

)

2

(

)

(

)

(

)

a) x +7x+6=(x+1)(x+6) b) a –3a+2=(a–3)(a–2) 2

2

6. Reducir: (x+7) –(x–4) –22x

1. Relacionar las columnas:

2

2

c) (a–b) =a +2ab+b 2

d) (x+a)(x–b)=x +(a–b)x+ab

2

2

2

3. Completar en cada caso: 3

a) (a+b) =

10. Factorizar el siguiente polinomio 7 5 4x (a–b)–8x (b–a)

3

b) (a–b) = 2

2

c) (a+b) –(a–b) = 2

2

d) (a+b) +(a–b) = 4. Efectuar: 2

(x+4)(x–4)+(x+5)(x–5)–2(x –10)

11. Efectuar a + 5 . 12a 4 b3 o c m e 2 4ab a −5

2

5. Si: a +3a=5 Calcular: Q=a(a+1)(a+2)(a+3)

Colegios

84

TRILCE

2

9. Factorizar: A(x)=(x +5) +13x(x +5)+42x , indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

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Álgebra 3

2

15. Carlos dibujó un polígono cuya área es igual a la

12. Factorizar: P(x)=x –5x –2x+24

suma de área de tres cuadrados diferentes. ¿Qué trinomio representa el área del polígono? 13. Factorizar e indicar la suma de sus factores 4 2 primos: p(x)=x –5x +4

1 1

x+2

2

14. El polinomio x –14x+49, representa el área de un cuadrado. ¿Qué expresión representa el lado del cuadrado?

x+1

x

Tú puedes 1. UNMSM – 2011 II 2 2 3 3 Si: ab=3 y a +b =19, calcule el valor de a +b a) 75 d) 120

b) 60 e) 90

c) 80

2. UNMSM – 2010 II –1 Si: x–x =1, (x ! 0) , entonces los valores de 2 –2 3 –3 x +x y x –x son: a) 2 y 3 d) 3 y 4

b) 2 y 1/2 e) 4 y 1/4

c) 3 y 1/3

3. UNMSM 2005 – II y Si se satisfacen: x + y = 5 , hallar + x x y xy = 2 b) 1 c) 1 a) 1 2 3 2 d) 3 e) 3

4. UNI 2008 –I

−1

−3 m− 3 Hallar el valor numérico de: P = e n −+ o m 3 .n − 3 si: m + n = 3 12 ; mn = 2 3 18

a) –24

b) –12

c) − 1 24 e) 1 12

d) 1 24

5. UNAC 2010 – II 6 3 5 Del polinomio P(x)=(x +x )+(x +x–1); calcular la suma de coeficientes de sus factores primos. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

“Si quieres triunfar, no te quedes mirando la escalera. Empieza a subir, escalón por escalón, hasta que llegues arriba”

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85

16

Capítulo

Ecuaciones de segundo grado I Lectura: Un poco de historia (sobre la

2)

Las tablas babilónicas del (YBC 7289)(c. 2000–1650 a.C.) proporcionan una aproximación de

2 en

cuatro dígitos sexagesimales, que es similar a seis cifras decimales: 1 + 24 + 514 + 103 = 1, 4142196 60 60 60 Otra aproximación antigua a este número irracional se da en la antigua India por los textos matemáticos, el Sulbasutras (c. 800—200 a. C.) diciendo: Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por su tres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro. Esto es 1 1+ 1+ 1 − = 577 . 1, 41421686 3 3 # 4 3 # 4 # 34 408 El descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hipaso de Metaponto, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos FUENTE: http:/www.disfrutalasmatematicas.com

En este capítulo aprenderemos Ecuaciones de segundo grado .. Fórmula general –– Discriminante .. Resolución: –– Por factorización * Por fórmula

Colegios

86

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

Síntesis teórica

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Forma general

Discriminante

Resolución

Mediante factorización

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Mediante la fórmula


87

16

Capítulo

Saberes previos 2

Factorizar en cada caso:

3. 4x –25

1. ax+bx

4. x –2x–15

2

2

2

2. 3x –8x

5. x –11x+30

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 2

A

" − 5; 5,

2

B

"2; 3,

2

C

' 5 ! 21 1 2

2

D

"0; 3,

La ecuación: x –3x=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –5x+6=0 presenta como raíces a La ecuación: x –25=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –5x+1=0 presenta como raíces a: 2. Completar correctamente: a) Si: x(3x–1)=0; entonces se cumple que :

0 x=

x=

2

b) Sea la ecuación: x –2x–8=0; la mayor solución es: 2

c) Sea la ecuación: x –5=0; la menor solución es: d) Si: x(x–1)=2; entonces se cumple que:

x=

0 x=


a) Al resolver: x =16, la solución única es: x=4

(

)

(

)

c) Al resolver: x =2; una de sus soluciones es x= − 2

(

)

2 d) Dada la ecuación: x –x–1=0; su solución es: 1 ! 5 2

(

)

2

b) Dada la ecuación: x –3=0, la solución menor es :

3

2

4. Resolver la siguiente ecuación: x(x–7)=44 2

5. Resolver: (x–2) +x(x+1)=4

Colegios

88

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2

A

'3 ! 5 1 2

2

B

" − 6; 6 ,

2

C

"0; 5,

2

D

"3; 4,

La ecuación: x –5x=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –7x+12=0 presenta como raíces a La ecuación: x –36=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –3x+1=0 presenta como raíces a:

2. Completar correctamente: a) Si: x(5x–1)=0; entonces se cumple que: x= 0 x= 2

b) Sea la ecuación: x –3x–10=0; la mayor solución es: 2

c) Sea la ecuación: x –7=0; la menor solución es: d) Si: x(x–4)=12; entonces se cumple que: x= 0 x= 3. Indicar verdadero (V) o falso (F)

2

b) Dada la ecuación: x –6=0, la solución menor es : 6 ( ) 2

c) Al resolver: x =5; una de sus soluciones es x= − 5 ( ) 2

d) Dada la ecuación: x –x–3=0; su solución es: 1 ! 13 ( ) 2 4. Resolver la ecuación: 2

(x–3) +x(x+2)=9

5. Resolver: solución.

2

x –6x+3=0,

c) {0;2} señalar

a) 3– 2

b) 3+ 2

d) 3+ 6

e) –3– 6 2

2

la

menor

c) 3– 6

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b) 2 e) 5

8. Resolver la ecuación: 4 + 3 =0 x x2 + x a) –7/2 d) –7/5

b) –7/3 e) –7/6

c) –7/4

a) $ − 1 , 1 . a b

b) $ − 1 , − 1 . a b

d) $ 1 , − 2 . a b

e) $ 2 , − 1 . a b

c) $ − 2 , − 2 . a b

10. Determine la menor solución de la ecuación: 2x + 1 + 1 =− 14 x − 3 2x − 1 3 a) − 14 3

b) 3 8

d) − 5 14

e) − 14 9

c) − 14 5

11. Hallar las raíces enteras de la ecuación 2 2 2 (x –5x+6) –5(x –5x+6)+6=0 a) {1;2} d) {2;4}

b) {1;3} e) {1;4}

c) {2;3}

12. Resolver la ecuación: (x–1)(x+2)(x+3)(x–2)=–3 e indicar la mayor de sus raíces:

2

a) − 1 + 21 2

b) − 1 − 21 2

c) 3

d) − 1 − 13 2

e) − 1 + 15 2

6. Resolver: (x+2) +(x+3) =(x+4) , señalar la mayor solución: a) 1 d) 4

e) ! 1 6

2

2

b) {1;2} e) {0;3}

d) ! 1 5

c) ! 1 3

9. Resuelva: abx –(b–2a)x=2, a, b ^ 0

a) Al resolver: x =9, la solución única es: x=3 ( )

a) {0;1} d) {2;3}

7. Resolver: 1 1 3 `x − 4 j`x + 4 j = 16 a) ! 1 b) ! 1 4 2

c) − 1 + 13 2


89

16

Capítulo

x2 + x + 4 + 10 = x2 + x 13. Dada la ecuación: 2 hallar la mayor solución. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

14. El producto de la edad de Saul por 9 es equivalente a 90 menos que el cuadrado de su edad ¿cuántos años tendrá Saul dentro de 10 años? a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

15. En que tiempo harían A, B y C un trabajo juntos; si A solo puede hacerlo en 6 horas más; B solo puede en 1 hora mas; y C solo en el doble del tiempo. a) 10 minutos b) 20 minutos c) 30 minutos d) 40 minutos e) 50 minutos

c) 16

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2

A

" 2; 4 ,

2

B

" 0; − 4 ,

2

C

' 3 ! 21 1 2

2

D

" − 8; 8,

La ecuación: x +4x=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –6x+8=0 presenta como raíces a La ecuación: x –64=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –3x–3=0 presenta como raíces a:

2

4. Resolver la ecuación: (x–5) +x(x+3)=25

2. Completar correctamente: a) Si: x(3x–2)=0; entonces se cumple que : x= 0 x= 2

b) Sea la ecuación: x –x–30=0; la mayor solución es: 2

c) Sea la ecuación: x –11=0; la menor solución es: d) Si: x(x–5)=50; entonces se cumple que: x= 0 x= 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) 2

a) Al resolver: x =100, la solución única es: x=10 ( ) 2

b) Dada la ecuación: x –2=0, la solución menor es : 2 ( ) 2

c) Al resolver: x =10; una de sus soluciones es x= − 10 ( ) 2

d) Dada la ecuación: x –x–7=0; su solución es: 1 ! 29 ( ) 2 Colegios

90

TRILCE

2

5. Resolver: x –10x+5=0 señalar la menor solución 2

2

6. Resolver: (x+4) +(x+5) =(x+6)

2

señalar la mayor solución 7. Resolver 1 1 1 `x − 3 j`x + 3 j = 3 8. Resolver la ecuación 6 + 5 =0 x x2 + x

2

9. Resuelva: ax +(a+b)x+b=0, a ^ 0

Central: 6198-100

Álgebra 10. Determine la mayor solución de la ecuación x+2 + 1 = 1 x−1 x−2 2

2

2

2

x (4x+6) –6(4x +6x)+8=0

11. Hallar la mayor solución de la siguiente ecuación: x+2 = x x−2 3

14. Un número entero no negativo elevado al cuadrado equivale al mismo número aumentado en 30. ¿Que número es?

15. Un obrero puede hacer una obra en un número de días y otro obrero puede hacer la misma obra en seis días más, si trabajando juntos los dos obreros, hacen la obra en cuatro días. ¿En cuántos días podrá hacer la obra el primer obrero?

12. Resolver la ecuación: ^x + 1h2 = ^x − 1h2

13. Indicar la mayor solución de la ecuación siguiente:

2+1 2−1


3. UNMSM 2005 – II

Dada la ecuación: –1 2

–2

m x –m x=x–m

–1

Si:

; m≠ 0

El cuadrado de la diferencia de sus raíces es: 1 − m2 m2

b) m2 + 12 + 2 m

c) m − 12 m

d) m + 12 − 2 m

a)

2

2

e) m − 12 + 1 m 2

2. UNMSM 2004 – I Si: r y s son las raíces de la ecuación: 2 2 2 ax +bx+c=0, determinar "P". Para que r y s 2 sean las raíces de la ecuación x +Px+q=0 2 a) b − 22ac a 2

c) b − 24ac a 2

b) 2ac −2 b a d) 2c–b

2

2

"x" es un número entero tal que x − 7x + 432 = 0 , entonces el valor de 2 8 2x + x + 20 es:

a) 402 d) 240

b) 564 e) 604

c) 320

4. Una ecuación cuadrática tiene como raíces a 3+ 4 y 3− 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo 3 el discriminante de la ecuación. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

5. Si: A es el conjunto de la ecuación: 2 2 2x + 2x − 3 x + x + 3 = 3 entonces la suma de los elementos de A es: a) –3 d) 3

b) –1 e) 4

c) 1

e) b –2c

“Deléitate asimismo en Dios, y él te concederá las peticiones de tu corazón”

Salmo 37:4

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91

17

Capítulo

Ecuaciones de segundo grado II Lectura: El número áureo en el ser humano Existen desacuerdos sobre la neutralidad en el punto de vista de la versión actual de este artículo o sección. En la página de discusión pueden consultar el debate al respecto. La anatomía de los humanos se basa en una relación áurea " " estadística y aproximada, así vemos que: • La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo es f. • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos es f. • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpio) y la primera falange, o entre la primera y la segunda y la tercera, si dividimos todo es: • La relación entre diámetro de la boca y el de nariz es f. • La relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter–pupilar es f. • Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene " ", o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas). FUENTE: http://4.bp.blogspot.com

En este capítulo aprenderemos .. Propiedad de las raíces –– Suma de raíces –– Producto de raíces –– Diferencia de raíces –– Raíces simétricas –– Raíces recíprocas .. Reconstrucción de la ecuación .. Ecuaciones equivalentes.

Colegios

92

TRILCE

Central: 6198-100


Ecuaciones de segundo grado II

Sea: 2 ax +bx+c=0; a≠ 0 Raíces: "x1 ∨ x2"

Propiedades

Suma de raíces

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Producto de raíces

Diferencia de raíces


93

17

Capítulo

Saberes previos 2

Dado el polinomio: (2n–1)x +(m+1)x+P–2 2

3. El término independiente es: 2

1. El coeficiente de "x " es:

4. El coeficiente de "x " es 9; entonces "n" es:

2. El coeficiente de "x" es:

5. El coeficiente de "x" es 21; entonces "m" es:

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 2

A

–5

2

B

–1

2

C

1

D

5

La ecuación: x –5x+3=0, tiene como suma de raíces: La ecuación: x –2x+1=0, tiene como producto de raíces La ecuación: x +(b+1)x–3=0, tiene raíces simétricas, hallar "b" 2

La ecuación: ax +3x–5=0, tiene raíces recíprocas, hallar "a" 2. Completar correctamente: a) Dada las raíces: {3;5} generar su ecuación:

.

2

.

b) En la ecuación: mx +nx+p=0; la suma de raíces es: 2

.

2

.

c) En la ecuación: nx +px+q=0; tiene raíces recíprocas si: d) En la ecuación: 2x –5=0; el producto de raíces es: 2

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la ecuación: mx +nx+p=0 a) La suma de raíces es: −

p m

(

)

(

)

c) Si; p=0, entonces las raíces son simétricas

(

)

d) Si; m=p, entonces las raíces son recíprocas

(

)

b) El producto de raíces es:

p m

4. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x" 2

3x +mx–4=0; si sus raíces suman –2 5. Hallar la diferencia de las raíces de: 2

x –3x–3=0

Colegios

94

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2

La ecuación: x +(b+3)x–5=0, tiene raíces simétricas, hallar "b" 2

La ecuación: 2x +9x+8=0, tiene como producto de raíces 2

La ecuación: x –3x+1=0, tiene como suma de raíces 2

La ecuación: ax +3x–4=0, tiene raíces recíprocas, hallar "a" 2. Completar correctamente: a) Dada las raíces: {2;4} generar su ecuación: . 2

b) En la ecuación: 3x –4=0; el producto de raíces es . 2

c) En la ecuación: rx +px+q=0; la suma de raíces es: . 2

d) En la ecuación: mx +nx+p=0; tiene raíces simétricas si: .

x1 = 2 − 3

–4

C

–3

D

3

2

b) x +4x+1=0

2

2

d) x +4x–1=0

a) x –4x+1=0

2

c) x –4x–1=0 2

e) x +x–4=0 7. Si las ecuaciones cuadráticas : 2

(m–2)x –(n–1)x+5=0 2

(m+3)x –(n+2)x+2=0 Son equivalentes, calcule el valor de n–m b) 7 3

a) Si: q=0, entonces las raíces son simétricas ( )

d) 7 5

e) 7 6

( )

B

, x2 = 2 + 3

a) 7 2

q P

4

6. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la 2 ecuación: Px +qx+r=0

b) La suma de raíces es:

A

c) 7 4

2

8. Si la ecuación en "x": x –(m+4)x+6–m=0

c) Si: P=r, entonces las raíces son recíprocas ( )

Tiene C.S={ , }, halle el valor de : + + .

d) El producto de raíces es: − r p

a) 2 d) 8

( )

4. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "x" 2

(k+1)x –(2k–1)x–4=0, si sus raíces suman 3 a) –1 d) –4

b) –2 e) –5

c) –3

5. Hallar el valor de "m" en la ecuación de "x" 2

(m–1)x +(m+3)x+5=0, si el producto de sus raíces es 10 a) 1 2

b) 3 2

d) 7 2

e) 9 2

c) 5 2

b) 4 e) 10

c) 6 2

9. La ecuación cuadrática: 4x –(2k+6)x+3k=0, tiene C.S={x0}, calcule la suma de x0 con el valor de k. a) 3 2

b) 5 2

d) 9 2

e) 11 2

c) 7 2

a 2

b

10. Sea la ecuación en "x": a x +9(b –1)x+27=0, de raíces recíprocas y simétricas. Halle la ecuación cuadrática formada por a y b. 2

b) x +4x–3=0

2

d) x –3x+4=0

a) x +4x+3=0 c) x –4x+3=0

2 2

2

e) x –3x–4=0

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95

17

Capítulo

2

11. Al resolver la ecuación: 2x +3x–7=0, se tiene 3 3 2 2 su c.s= {a;b}, calcule: 2 (a + b ) + 3 (a + b ) a+ b a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

2

12. Si: ax +2ax+b=0, posee raíces recíprocas, calcule: x12 + x22 x2 x1 a) –2 d) 2

b) –1 e) 3

c) 1

13. Si: m y n son las raíces de la ecuación: 2 2 2x –3x+2=0, halle: (m + 2) (n + 2) + m + 1 m a) 11 2

b) 13 2

d) 17 2

e) 19 2

14. El precio de un artículo esta dado por: P=30–q, el costo de producir estos "q" artículos es: C=375–10q. Encontrar la suma de valores de "q" que hacen que la utilidad sea cero. a) 30 d) 20

b) 40 e) 60

c) 80

2

15. La gráfica de f(x)=x +bx+c, es el de la figura adjunta. 2 Dada la ecuación x +bx+c=0, sea "P" el producto de la raíces y "m" la suma de la raíces. Hallar P+m

y

a) 2 b) 4

c) 15 2

c) 6

2

d) 8

3

e) 10

x

–1

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2

La ecuación: x –6x+1=0, tiene como suma de raíces

A

–6

B

6

2

C

7

2

D

–7

2

La ecuación: ax +2x–7=0, tiene raíces recíprocas, hallar "a" La ecuación: x +(b+6)x–4=0, tiene raíces simétricas, hallar "b" La ecuación: x –x+7=0, tiene como producto de raíces 2. Completar correctamente: a) Dada las raíces: {1;4} generar su ecuación: . 2

b) En la ecuación: Px +qx+r=0; tiene raíces simétricas si: . 2

c) En la ecuación: 4x –6=0; el producto de raíces es: . 2

d) En la ecuación: ax +bx+c=0; tiene raíces recíprocas si: . 3. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la 2 ecuación: ax +bx+c=0 a) El producto de raíces es: c b

( )

b) Si: b=0, entonces las raíces son recíprocas ( ) Colegios

96

TRILCE

c) La suma de raíces es: − b a

( )

d) Si: b=0, entonces las raíces son simétricas ( ) 4. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "x": 2

(k+3)x –(3k+4)x–5=0, si sus raíces suman 4 5. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x" 2 (m–2)x +(m+5)x+4=0, si el producto de sus raíces es 8 6. Hallar la ecuación de segundo grado cuya raíces son: x1 = 3 − 8 , x2 = 3 + 8 7. Si las ecuaciones cuadráticas: 2 2x –ax+1=0 2 3x +2x+b=0 son equivalentes, calcule "ab" Central: 6198-100

Álgebra 2

8. Si la ecuación en "x": x –(k+2)x+5–m=0, tiene C.S.={a,b}, halle el valor de: a+b+a.b 9. Si : {x0} es el conjunto solución de: 2 x +(m+2)x+2m=0, halle el valor de m 10. Si la ecuación cuadrática: 2 3 m 1024x –(n –8)x+n =0, tiene raíces simétricas y recíprocas, hallar: n+m 2

11. Dada la ecuación: x –ax+1=0, de raíces: k k x1=2 +1 y x2=2 –1, calcule el producto de "ak"

13. Si: "a" y "b" son raíces de la ecuación: 2 x –3x+1=0, calcule el valor de : b a a b (a +b )(a +b ) 14. El precio de un artículo esta dado por: P=20–q; el costo de producir estos "q" artículos es: C=150–5q. Encontrar la suma de los valores de "q" que hacen que la utilidad sea cero. 15. Dos caños pueden llenar un tanque en dos días, si trabajase solo el primero se demoraría tres días más que si trabajase solo el segundo. ¿En cuántos días llenaría el primer caño todo el tanque.

2

12. La ecuación: x –3x+1=0, posee como C.S. {a,b}, halle el valor de : a + b a−3 b−3

Tú puedes 1. UNMSM 2009 – II Halle el valor de k, de modo que las raíces de la ecuación: (x+1)(x+2)–(k+2)(x+2)=0, sean iguales a) 2 d) –4

b) –3 e) 1

c) –1

2. UNMSM 2008 – I Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la 2 ecuación: (2k+2)x +(4–4k)x+(k–2)=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra a) 80 9

b) 31 9

c) 61 9

d) 82 e) 9 9 82 3. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación: 2 x –2(m–1)x+3=0, la suma de los valores que puede tomar m; para que satisfaga la relación x1 + x2 = 1 x2 x1 a) –12 d) 2 www.trilce.edu.pe

b) 1/2 e) 3/2

c) 5/2

4. UNMSM 2004 – II Si: a + b ^ 0 , ¿Qué valor deberá tener w en la 2 2 2 2 ecuación? (a+b) x +2(a –b )x+w=0, para que sus 2 raíces sean iguales a) (a–b) 2 d) –(a+b)

2

b) (a–b) 2 2 e) b –a

2

c) a –b

2

2

5. Si: r y s son las raíces distintas de: x –px+q=0, 2 2 entonces la ecuación cuyas raíces son r y s es: 2 2 2 a) x +(p –2q)x+q =0 2 2 b) x –(2q–3p )x+q=0 2 2 2 c) x +(2q–p )x+q =0 2 2 2 d) x –(2p–3q )x+p =0 2 2 e) x –(2p–q )x+p=0

“Lo que quiero, lo puedo y lo voy a hacer”


97

18

Capítulo

Ecuaciones de segundo grado III – Planteo Lectura: Evolución de la resolución de las ecuaciones cuadráticas A menudo se afirma que los babilonios (Alrededor del año 400 a.C.) fueron los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Esto es sólo una simplificación, en realidad los babilonios no tenían noción de lo que era una ecuación. Lo que ellos desarrollaron fue una aproximación algorítmica a resolver ciertos problemas, que en nuestra terminología, darían lugar a una ecuación cuadrática. El método era esencialmente el de completación de cuadrados. Además, todos los problemas babilónicos tenían soluciones positivas (Las obtenían sin signo), cantidades que representaban usualmente una longitud. Alrededor del 300 a.C., Euclides desarrolló un método geométrico para hallar una longitud que en nuestra notación es la raíz de una ecuación cuadrática. Sin embargo, al-Khwarizmi da una clasificación de diferentes tipos de ecuaciones cuadráticas (Aunque sólo ejemplos numéricos). Al-Khwarizmi da la regla para resolver cada tipo de ecuación, esencialmente la fórmula cuadrática escolar aplicada a cada tipo de ejemplo, acompañada de una demostración geométrica que es la completación de cuadrados en cada caso. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi, conocido por Savasorda, se hizo famoso por su libro Liber embadorum, publicado en 1145, que es el primero en Europa en publicar la solución completa de la ecuación de segundo grado. FUENTE: http://www.xtimeline.com

En este capítulo aprenderemos Planteo de Ecuaciones de segundo grado .. Presentación de terminologías a emplear para simbolizarlas matemáticamente. .. Interpretación matemática del texto, llevándolo a lenguaje simbólico (Formación de la ecuación). .. Resolución de la ecuación .. Interpretación de los resultados

Colegios

98

TRILCE

Central: 6198-100


ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO para

Plantear ecuaciones

pasos

Entender el texto

Transformar matemáticamente el enunciado verbal

Representar la(s) incógnita(s)

Formar la ecuación y resolverla

Interpretar los resultados obtenidos

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99

18

Capítulo

Saberes previos

Determina el valor de la incógnita en cada caso: 1. El doble de un número es igual a 20

4. La suma de un número y 8 es 24 5. La suma de dos números consecutivos es 13

2. La diferencia de un número y 7 es 15 3. El producto de un número y 4 es 36

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: El cuadrado de "x" es igual a 36

A

x=!4

La suma de 3 con el cuadrado de "x" es igual a 12

B

x=!6

El doble del cuadrado de "x" es igual a 32

C

x=!3

La diferencia entre el cuadrado de "x" y 12 es 13

D

x=!5


a) Si: x –100=0, entonces se cumple que: x=

0 x=

b) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean –2 y –5: c) El producto de un número por su doble es 50, hallar el número: 2

d) Si: x =28, entonces se cumple que: x=

0 x=

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Las soluciones de la ecuación: (x–5)(x+7)=0, son 5 y –7 2

b) La ecuación : 0x +6x–5=0, en una ecuación de segundo grado 2

c) Las raíces 2 y 3 generan esta ecuación: x +5x+6=0 2

d) Si: x –7=0; entonces una solución es x= 7

(

)

(

)

(

)

(

)

4. El producto de un número por su doble es 200 ¿Qué número es? 5. Encuentra dos números positivos consecutivos tales que al multiplicarlos se obtenga 600.

Colegios

100

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente: El cuadrado de "x" es igual a 64

A

x=!2


B

x=!6

La diferencia entre el cuadrado de "x" y 3 es 6

C

x=!8

La suma de 5 con el cuadrado de "x" es 41

D

x=!3

2. Completar correctamente a) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y 7: 2

b) Si: x =50, entonces se cumple que: x= 0 x= c) El producto de un número por su triple es 27, hallar el número: 2

d) Si: x –81=0, entonces se cumple que: x= 0 x= 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) 2 a) Si: x –6=0, entonces una solución es x= 6 ( ) b) Las raíces 1 y 4 generan esta ecuación: 2 x +5x+4=0 ( ) c) Las soluciones de la ecuación: (x–2)(x+6)= 0, son 2 y –6 ( ) 2

d) La ecuación: x(x–3)=x +2, es una ecuación de segundo grado ( ) 4. La suma de un número positivo y su cuadrado es 42 ¿De que número se trata? a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

5. El producto de la edad de Jorge por la de su hermano 9 años menor es 112 ¿cuántos años tiene Jorge? a) 6 d) 28

b) 16 e) 34

c) 22

6. Para cercar un terreno rectangular de 1250 2 m se utilizan 150 m de cerco. Calcular las dimensiones del terreno. a) 30 y 45 d) 25 y 50

b) 20 y 55 e) 15 y 60

c) 10 y 65

7. Si a un número se le agrega su raíz cuadrada se obtiene 240 ¿cuál es el resultado de agregar –40 a dicho número? a) 185 d) 215 www.trilce.edu.pe

b) 195 e) 225

c) 205

8. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad ¿cuál es la fracción? a) 1 6

b) 2 6

d) 4 6

e) 5 6

c) 3 6

9. La suma de los cuadrados de 3 números impares positivos y consecutivos excede a 170 al cuadrado del segundo de ellos. ¿Cuál es la suma de los dos menores? a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

10. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240Km. Si la velocidad hubiera sido 20 Km por hora más que la que llevaba, hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia ¿en que tiempo recorrió los 240 Km? a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

11. Un anciano deja una herencia en "2mn" soles a un cierto número de parientes. Sin embargo "m" de ellos renuncian a su parte y entonces, cada uno de los restantes se beneficia en "n" soles más, ¿cuántos son los parientes? a) m d) 2n

b) 2m e) 3m

c) n

12. Si una de las raíces de la ecuación: 2 m +12m–P=0, es igual a cinco, "P" debe ser: a) 55 d) 85

b) 65 e) 95

c) 75

13. En un país, su unidad monetaria era el tótems, si se disponen de dos tipos de monedas, siendo el valor de una de ellas igual al cuadrado de la otra. Si se compra un objeto que cuesta 900 tótems y se han utilizado 5 monedas del menor valor y 2 del otro, ¿cuántos tótems equivale la moneda menor. a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30


101

18

Capítulo

2

14. El área del rectángulo es 32 cm . Calcula el perímetro del rectángulo. x+2 x–2 a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

15. Se compró cierto número de manzanas por "m" soles. Al día siguiente le hubieran dado "n" manzanas mas por el mismo dinero con la cual el precio de una manzana hubiera sido 10 céntimos menos. Hallar la ecuación de segundo grado que permita hallar el número de manzanas que se compró. 2 a) x +mx = 0 2 b) x + nx – 100 mn = 0 2 c) x – mx = 0 2 d) x + mx + 100 mn = 0 2 e) x + 100 = 0

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: La diferencia entre el cuadrado de "x" y 10 es 15

A

x=!6

El cuadrado de "x" es igual a 49

B

x=!4

La suma de 2 con el cuadrado de "x" es igual a 18

C

x=!7


D

x=!5

2. Completar correctamente a) El producto de un número por su doble es 18, hallar el número

2

6. Para cercar un terreno rectangular de 750 m se utilizan 110 m de cerco. Calcula las dimensiones del terreno.

2

b) Si: x –144=0, entonces se cumple que: x= 0 x= c) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean –4 y 6 2

7. Si a un número de le agrega su raíz cuadrada se obtiene 210. ¿Cuál es el resultado de agregar –86 a dicho número?

d) Si: x =12, entonces se cumple que: x=

0 x=

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Las raíces 4 y 5 generan esta ecuación: 2 ( ) x +9x+20=0

8. Si se quita 1 al denominador de una fracción, cuyo numerador es 12, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción?

2

b) La ecuación: (x+5)(x+2)=x +3, es una ecuación de segundo grado. ( ) 2

c) Si: x –16=0, entonces su solución es x=4 ( ) d) Las soluciones de la ecuación: (x–4) (x+8)=0, son 4 y –8 ( ) 4. La suma de un número positivo y su cuadrado es 72 ¿de qué número se trata? 5. El producto de la edad de Carlos por la edad de su hermano 7 años menos es 120. ¿Cuántos años tiene Carlos? Colegios

102

TRILCE

9. El largo de un terreno rectangular excede al ancho en 4 m si ambas dimensiones aumentan en 4 m, el área se duplica. Determinada las dimensiones del terreno.

10. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niño. Si se retiran 4 niños los restantes reciben 5 caramelos más ¿Cuántos niños había inicialmente?

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Álgebra 11. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede 194 al número de personas, ¿cuántas personas participan en la compra? 12. Si los cuadrados de las 2 raíces reales de la 2 ecuación x +x+C=0, suma 9, entonces el valor de C es: 13. El producto de la edad de Javier por 7 es equivalente a 120 menos que el cuadrado de su edad ¿cuántos años tendrá Javier dentro de 10 años?

14. Se tiene la misma área ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

4

x x+8

x

15. Dos caños abiertos simultáneamente llenan una piscina en 1h 36min abiertos por separado, el primero la llena en 6 horas menos que el segundo. ¿Cuál es el tiempo que tarda cada uno de ellos en llenarla?

Tú puedes 1. Sean "A" la suma de las raíces de: 2 ax +bx+c=0 y "B" la suma de las raíces de: 2 a(x+1) +b(x+1)+c=0, entonces (B–A) es igual a: a) –2 d) 1

b) –1 e) 2

c) 0

2. En la ecuación de segundo grado 2 cuyo conjunto (m–2)x –2mx+2m–3=0 solución es ( ; ) y donde la suma de sus raíces es al producto de ellos como 10 es a 7. Hallar el valor absoluto del producto de sus raíces. a) 7 3

b) 7 4

d) 4 7

e) 2

c) 3 7

3. Pagué 12 centavos por los huevos que compre al almacenero, explicó la cocinera, pero le hice darme dos huevos extra, porque eran muy pequeños, eso hizo que en total pagará un centavo menos por docena que el primer precio que me dio, ¿cuántos huevos llevó al final la cocinera? a) 16 d) 18

b) 15 e) 20

c) 17

4. Al multiplicar dos números, uno de los cuales es mayor que el otro en 10 unidades, un alumno cometió un error disminuyendo en 4 a la cifra de las decenas del producto. Al dividir el producto obtenido por el menor de los factores obtuvo 39 de cociente y 22 de residuo. Hallar el mayor de los factores. a) 21 d) 33

b) 31 e) 46

c) 41

5. De un deposito de 100 litros de capacidad lleno de alcohol puro, se extrae una cierta cantidad de alcohol y se reemplaza por agua, se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando esta última mezcla con 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha extraído. a) 50 d) 49

b) 30 e) 20

c) 100

“Dios da la sabiduría y de su boca procede todo conocimiento e inteligencia”

Proverbios 2:6

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103

19

Capítulo

Sistema de ecuaciones I Lectura: Los sistemas de ecuaciones El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) forma parte del álgebra lineal, área cuyo uso se ha expandido a las diversas ciencias utilizadoras de la matemática: la economía, la ingeniería, la física, la química. etc. Este tipo de "universalidad" del álgebra lineal tomó realmente auge a partir de la década 1920 – 1930. Desde la antigüedad en civilizaciones occidentales y orientales, existían técnicas de eliminación y de sustitución para resolver tales SEL. Sin embargo, fue solamente a partir de la segunda mitad del siglo XVIII, con un trabajo de Leonahard Euler y otro de Gabriel Cramer, en 1750, en los que se comenzó a investigar sobre los (SEL) como objetos de estudios en sí mismos. FUENTE: http://listas.20minutos.es

En este capítulo aprenderemos Sistema de ecuaciones lineales I .. Definición –– Forma general .. Conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. .. Clasificación según su conjunto solución –– Sistema compatible determinado –– Sistema compatible indeterminado –– Sistema incompatible .. Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales –– Método de igualación –– Método de sustitución –– Método de reducción

Colegios

104

TRILCE

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES I

es

Método de igualación

El conjunto formado por pares ordenados (x0, y0) que verifican las 2 ecuaciones simultáneamente

Método de sustitución

Método de reducción

Sistema compatible determinado

www.trilce.edu.pe

Sistema compatible indeterminado

Sistema incompatible


105

19

Capítulo

Saberes previos

1. Al resolver, calcular x 2(x–1)+3(x–2)=4(x+2) 2. Al resolver, calcular x 3(2x–5)–4(x+3)=–(x+3) 3. Al resolver, calcular x x − 5 − x − 4 = x − 3 − (x − 2) 4 3 2

4. Al resolver, calcular x 3 (5 − 2x) − 5 (x + 1) = 1 2 2 5. Al resolver, calcular x x+3 − x−4 = x−5 − x+6 3 4 5 6

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: x+y = 2 Dado el sistema ' x − y = 6 ; tiene como C.S:

A

C.S "(6; 3),

x+ y = 9 Dado el sistema ' x − y = 3 ; tiene como C.S:

B

C.S "(2; 4),

x + y = 10 Dado el sistema ' − x + y = 2 ; tiene como C.S:

C

C.S "(4; − 2),

3x + y = 10 Dado el sistema '2x + y = 8 ; tiene como C.S:

D

C.S "(4; 6),

ax + by = c 2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema 'mx + ny = p a) Si el sistema es compatible determinado, entonces tiene infinitas soluciones

(

)

b) Si el sistema es compatible determinado entonces tiene solución única

(

)

c) Si el sistema es compatible indeterminado, entonces tiene infinitas soluciones

(

)

(

)

d) Si el sistema es incompatible, entonces no tiene solución ax + by = c 3. Completar correctamente, dado el sistema 'mx + ny = p a) Si el sistema tiene solución única se cumple: b) Si el sistema no tiene solución, se cumple: c) Si el sistema tiene infinitas soluciones, se cumple: d) Si el sistema es inconsistente, se cumple: 4. Resolver el sistema usando el método de 2x + y = 4 sustitución ' x − y = 5

Colegios

106

TRILCE

5. Resolver el sistema usando el método de 2x − y = 5 sustitución ' x − 3y = 0

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Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2x + 3y = 13 Dado el sistema ' 3x − 3y = 2 ; tiene como C.S:

A

C.S "(2; 2),

x + 3y = 9 Dado el sistema ' x − 3y = 3 ; tiene como C.S:

B

C.S "(6; 1),

2x + y = 10 Dado el sistema ' x − y = 2 ; tiene como C.S:

C

C.S "(4; 2),

4x + 2y = 12 Dado el sistema ' − 4x + 6y = 4 ; tiene como C.S:

D

C.S $(3; 7 ). 3

2. Señalar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema cx + ay = b 'px + my = n a) Si c = a , entonces el sistema tiene infinitas p m soluciones ( ) b) Si c ! a , entonces el sistema tiene solución p m única ( ) c = a = b , entonces el sistema es p m n compatible indeterminado ( )

c) Si

c = a ! b , entonces el sistema es p m n incompatible ( )

d) Si

3. Completar correctamente, dado el sistema (a − 2) x + (2b − 5) y = 5c ' (m − 1) x + (n − 3) y = p − 4 a) Si el sistema tiene solución única, se cumple: b) Si el sistema tiene infinitas soluciones, se cumple: c) Si el sistema no tiene solución, se cumple:

d) Si el sistema es compatible determinado, se cumple: 4. Resolver el sistema usando el método de x = 6 − 3y sustitución y calcular x+y : '5x − 2y = 13 a) C.S "(3; 1),; 4

b) C.S "(4; 1),; 5

c) C.S "(1; 3),; 4

d) C.S "(3; − 1),; 2

e) C.S "(2; 4),; 6

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5. Resuelve el sistema usando el método de 6x − 5y =− 9 igualación y calcular x–y '2x + 3y = 4 a) C.S $` 1, − 2 j.; 1 3 3

b) C.S $` − 1 , 3 j.; − 7 4 2 4

c) C.S $` 1 , 3 j.; − 5 4 2 4

d) C.S $` 3 , 1 j.; 5 2 4 4

e) C.S $` − 1 , 3 j.; 7 4 2 4 6. Resolver el sistema usando el método de 2x + 3y = 1 reducción y calcula x–y. ' x + 6y =− 4 a) C.S = "(2; − 1),; 1

b) C.S = "(2; − 1),; 3

c) C.S "(2; − 1),; 1

d) C.S = "(1; − 2),; 3

e) C.S = "(2; − 1),; 4 2x − (m − 4) y = 7 7. Si ' 3x + (m + 2) y = 1 es compatible determinado, calcula los valores que puede tomar "m" a) 8/5 d) 5/8

b) R - "8/5, e) R − "5/8,

(a − 5) x + 3y = 9 ' 8. Si 2x − (b − 4) y = 3 indeterminado, calcula ab a) 40 d) 33

b) 32 e) 20

es

c) R

compatible c) 21

18x − (a + 2) y = 7 9. Si '9x + (a − 4) y = 11 es incompatible, calcula "a" a) 25 d) 3

b) 26 e) 2

c) 1

10. Calcular "a" para que el sistema de ecuaciones: Z (a + 1) x + 5y = 7 ] x+y = 5 [ ] 5x − 3y = 9 \ Tenga solución única a) 6 d) –2

b) –5 e) 4

c) 4


107

19

Capítulo

11. Hallar "a.b" para que el sistema de ecuaciones (a − 1) x + (b + 9) y =− 1 ' 2ax − by = 62, admita como solución: x=5; y=9 a) 5 d) 8

b) –8 e) 9

c) –9

2x − y − z = 2

* − x + 2y − z = 4

12. Resolver el sistema − x + y + 2z = 6 , calcular el valor de "5z" a) 8

b) 16

d) 32

e) 40 3

13. Resolver Z ]x + ]] x+ [ ]y + ]] y+ \ a) 7 d) 4

a) 910 d) 720

c) 24 5

b) 540 e) 840

c) 360

15. Se desea obtener 80 kilogramos de azúcar "A" mezclando azúcar "B" de S/.18 el kilogramo y azúcar "C" de S/.10 el kilogramo. Si se quiere que el precio del kilogramo de mezcla sea S/.13. ¿Que cantidad de azúcar de S/.18 el kilogramo se debe mezclar?

y

y = x+ y y x+ x+ y 2 , indique 2x–y x x = y+ x y+ x x−y 4 b) 5 e) 3

14. En una empresa se confeccionan "x" cantidad de polos e "y" cantidad de chompas en 10 minutos. Determinar la cantidad de prendas producidas en un día, sabiendo que la empresa nunca descansa y que "x" e "y" están relacionadas según el sistema: 1 1 + = 5 3x − 2y + 1 x + 2y − 3 12 1 1 − = 1 x + 2y − 3 3x − 2y + 1 12

a) 40 Kg d) 32 Kg

b) 30 Kg e) 45 Kg

c) 22 Kg

c) 6

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 5x + 4y = 14 Dado el sistema ' 3x − 4y = 2 ; tiene como C.S:

A

C.S "(1; 2),

3x + y = 10 Dado el sistema ' 2x − y = 5 ; tiene como C.S:

B

C.S "(2; − 4),

6x + y = 8 Dado el sistema ' x − y = 6 ; tiene como C.S:

C

C.S "(2; 1),

− 2x + 3y = 4 Dado el sistema ' 2x + 5y = 12; tiene como C.S:

D

C.S "(3; 1),

2. Señalar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema bx + cy = a 'nx + py = m b= c= a , entonces n p m compatible indeterminado

a) Si

el

sistema (

)

b) Si b = c , entonces el sistema tiene solución n p única ( ) c) Si b ! c , entonces el sistema es compatible n p determinado ( ) d) Si b ! c = a , entonces el sistema es n p m inconsistente ( ) Colegios

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TRILCE

3. Completar correctamente, dado el sistema ax − (b a) y − 4c 2 '(m − 5) x + (2n = 1) y +− 2p + + = a) Si el sistema es compatible determinado, se cumple: b) Si el sistema tiene infinitas soluciones, se cumple: c) Si el sistema tiene solución única, se cumple: d) Si el sistema es incompatible, se cumple:

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Álgebra 4. Resolver el sistema usando el método de x = 8 + 5y sustitución y calcule x–y ' − 7x + 8y = 25 5. Resolver el sistema usando el método de 5x + y = 9 x igualación y determinar y ' 4x = 7 − y 6. Resolver utilizando el método de reducción y y calcule: x + y x 3x − y = 2 ' 2x = 5 − 3y 7. Si el sistema de ecuaciones (a + 1) x + (a − 1) y = 8 ' (2a + b) x + (3a − 2b) y =− 17

el

sistema:

(3φ + 1) x + 3φy = 4 ' (φ + 2) x + (φ + 3) y = 6

es

incompatible, entonces f vale 47x − 17y = 483 11. Resolver '29x + 93y = 277 indique x+y 7x + 4y − 4z = 7 )7x + 5y + 0z = 12 12. Calcular x+y+z del sistema 11x + 8z = 19 13. Determinar el valor de "xy" sabiendo que x (y − 2) − y (x − 3) =− 14 ' y (x − 6) − x (y + 9) = 54 14. Resolver

Admite como solución: x=–2; y=5. Calcular a+b (w − 1) y + 2x = 1 8. Si ' 4x + (w + 1) y = 7 , es compatible determinado, calcule el valor que no puede tomar "w" 9. Si el sistema: '

10. Si

10 8 =3 + 3 x + y + 5 2y − x + 1 20 8 = 0 ; calcular x+y − 3 x + y + 5 2y − x + 1 x + y =− 2 ) y + z = 13 2 15. Resolver z + x = 21 e indicar x

(a + b) x + (a − b) y = 6 5x + 2y = 3 presenta

infinitas soluciones, determinar el valor de ab


5x − 2y = m Dado el sistema de ecuaciones ' x + 9y = m determina "m" de modo que "y" sea menor que "x" en 7 unidades.

a) 47 d) 4

b) 37 e) 74

c) 11

2. UNMSM 2002 En el sistema de ecuaciones ax − by = 4 ' (a + b) x + (a − b) y = 11 calcula la suma de valores de "a" y "b", para que la solución sea x=3 e y=2 a) 10 d) 7

b) –3 e) 5

c) 3

3. UNMSM 2008 – I Determine la suma de todos los valores reales de 6x − ay = y "a", de modo que el sistema '2x + 3y = ax tenga infinitas soluciones a) 1 d) 2 www.trilce.edu.pe

b) –1 e) –2

4. UNMSM 2009 –I Si x e y son números reales negativos, halle los valores enteros de "a" para que el sistema de 6x + (a + 3) y =− 2 ecuaciones ' (a + 4) x + ay = 3 tenga solución única. a) " a ! Z/ − 13 1 a 1 − 2, b) " a ! Z − 12 1 a # − 1, c) " a ! Z/ − 12 1 a 1 0, d) " a ! Z/ − 13 1 a # − 3, e) " a ! Z/ − 13 1 a # − 2, 5. UNMSM 2010 – I Si m–4p=3n y a = a) 4 d) 2

m−p a , halle 2 n+p

b) 8 e) 32

c) 16

c) 0


109

20

Capítulo

Sistema de ecuaciones II Lectura: Interpretando las ecuaciones Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid (1.650 a.C) y el de Moscú (1850 a.C.) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida cotidiana; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos, de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Los Griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones, Diophante carecía de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos LECTURA: http://www.esacademic.com

En este capítulo aprenderemos Sistema de ecuaciones lineales II Planteo de ecuaciones con sistemas de ecuaciones .. Paso 1: Comprender el problema –– Identificar las incógnitas y los datos. –– Verificar la suficiencia de las condiciones que plantea el problema. .. Paso 2 : Interpretar matemáticamente el enunciado verbal –– Definir la variables (incógnitas) del problema. –– Transformar el enunciado verbal a lenguaje algebraico (simbólico). .. Paso 3 : Resolución de las ecuaciones que responden a las interrogantes del problema. .. Paso 4 : Interpretación de los resultados.

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111

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Capítulo

Saberes previos

1. Resolver x + 1 + x + 2 = x + 3 + x + 4 2 3 4 5

4x − y = 5 2. Resolver '3x + y = 2

5x + 3y = 13 4. Resolver ' − 5x + 6y = 5

3x + 9y = 12 5. Resolver ' x + 2y = 3

3x − y = 7 3. Resolver ' x + y = 5

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: El triple de un número

A

El doble de la suma de un número y 7

B

x+ 3x 4 3x

Un número aumentado en sus tres cuartas partes

C

x–y

La diferencia de dos números

D

2(x+7)

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) El triple de un número se escribe como "3x" y tres veces un número también se escribe como "3x" ( ) 2 ( ) b) El cuadrado de un número se escribe como "x " c) El doble de un número disminuido en el triple de otro se escribe como "2x–3y" ( ) d) La suma de números enteros consecutivos se escribe como: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+... ( ) 3. Completar correctamente , tu= a) Mi edad es os veces la tuya: yo = b) Mi edad es dos veces más que la tuya yo = c) El exceso de un número sobre otro: d) El triple del exceso de un número sobre cinco:

, tu=

4. La suma de dos números es 60 y su diferencia es 8, halle dichos números 5. La cuarta parte de la edad de Raúl aumentado en 9 es igual al quíntuple de dicha edad disminuido en 1 , ¿cuál es la edad de Raúl? 2

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Álgebra Aprende más 1. Relacionar correctamente: La suma de los cuadrados de dos números

A

x–9

Un número disminuido en nueve

B

x–8=5

El exceso de un número sobre ocho es cinco

C

xy

El producto de dos números

D

x +y

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) El exceso de un número sobre cuatro, se escribe como: "x–4" ( ) b) Un número disminuido en sus dos terceras partes, se escribe como: x − 2 x ( ) 3 c) La quinta parte de la diferencia de dos números, se escribe como: 1 (x − y) ( ) 5 d) La división o cociente entre dos números, se escribe como: x ( ) y 3. Completar correctamente a) El triple de un número aumentado en el cuádruple de otro número: b) El exceso de un número sobre tres es cinco: c) El triple de la suma de un número y once: d) Un número excede a cinco tanto como trece excede a dicho número: 4. Dividir el número 17 en dos partes, tal que el triple del mayor más doble del menor es 46, ¿cuál es el mayor? a) 9 d) 18

b) 12 e) 6

c) 14

5. La suma de dos números es 190 y la octava parte de su diferencia es 2. Halle el menor de los números. a) 103 y 87 d) 98 y 92

b) 100 y 90 e) N.A

c) 60 y 10

6. La diferencia entre dos números es 16, tres veces el mayor de ellos es nueve veces el mas pequeño, ¿cuáles son los números? a) 19 y 3 d) 17 y 1

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b) 24 y 8 e) 28 y 12

2

2

7. La soya contiene un 16% de proteínas y el maíz un 9% ¿cuántos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debería mezclar para obtener una mezcla de 350 kilogramos con un 12% de proteínas? a) 280 y 70 Kg. c) 250 y 100 Kg. e) 50 y 300 Kg.

b) 120 y 230 Kg. d) 150 y 200 Kg.

8. Un día un tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En total, se vendieron $310,60 en camisetas ¿cuántas camisetas se vendieron de cada color? a) 8 y 22 d) 20 y 10

b) 15 y 15 e) 18 y 12

c) 11 y 19

9. Iván y Carlos son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años, Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Carlos como profesor. ¿Cuántos años en la enseñanza cada uno de ellos? a) 30 y 16 años c) 32 y 14 años e) 15 y 31 años

b) 20 y 26 años d) 23 y 23 años

10. La suma de tres números en 105. El tercero es 11 menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo, Calcula los números a) 17; 9; 79 c) 37; 18; 50 e) 27; 18; 60

b) 10; 16; 79 d) 60; 40; 5

11. El dígito de las decenas de un entero positivo de dos dígitos es 2 más que tres veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se intercambian, el nuevo es 13 menos que la mitad del número dado. Averigua el entero dado. a) 48 d) 84

b) 34 e) 82

c) 28

c) 30 y 14


113

20

Capítulo

12. Un tren sale de la estación unión hacia la estación central, a 216 Km. de distancia, a las 9:00 a.m. Una hora más tarde un tren sale de la estación central hacia la estación unión. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9:00 a.m, y el primero a las 10:30 a.m. También se habrían encontrado al mediodía. Averigua la velocidad de cada tren. a) 20 Km./h y 42 Km./h b) 36 Km./h y 54 Km./h c) 28 Km./h y 62 Km./h d) 10 Km./h y 18 Km./h e) 14 Km./h y 12 Km./h

14. Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las calificaciones del primero y el segundo de ellos excede en su tercera calificación en 61 puntos. Su primera calificación supera a las segunda en 6 puntos. Encuentra las tres calificaciones. a) 50; 75; 100 c) 74,5; 68,5; 82 e) 100; 100; 25

15. En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es el doble que la del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 80º mayor que la del ángulo "A". Calcula las medida de los ángulos. a) 25º; 50º; 105º c) 30º; 120º; 30º e) 70º; 60º; 50º

13. La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más el segundo. Calcula los números. a) 3; 2; 0 c) –2; 5; 0 e) 4; 2 ;–1

b) 18; 150; 67 d) 13; 127; 85

b) 75º; 35º; 70º d) 40º; 80º; 60º

b) 3; 4; –2 d) 1; 4; 0

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: La suma de los cubos de dos números

A

x+ 3x 5

Un número aumentado en sus tres quintas partes

B

3 (x + 1) 5

El exceso de un número sobre tres es dos

C

x–3=2

Tres quintas partes de la suma de un número y uno

D

x +y

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) Un número aumentado en su quinta parte, se escribe como: x + 1 ( ) 5 b) Un número aumentado en su quinta parte, se escribe como: x + 1 x ( ) 5 c) La mitad del exceso de un número sobre cuatro, se escribe como: 1 (x − 4) ( ) 2 d) Un número excede a tres tanto como trece excede a dicho número, se escribe como: x–3=x–13 ( ) 3. Completar correctamente a) El doble de un número aumentado en el triple de dicho número: b) La mitad del exceso de un número sobre tres es cinco: c) El doble de un número es cuatro menos que otro número: Colegios

114

TRILCE

3

3

d) Tres veces un número es cinco más que tres veces otro número: 4. Los 2 de la suma de dos números es 74 y los 3 3 5 de su diferencia es 9. Halle el mayor. 5. Al dividir el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera por 25 es igual que al dividir la segunda por 20. Halle el valor de cada parte 6. La diferencia entre dos números es 11. El doble del más pequeño más tres veces el mayor es 123. ¿Cuáles son los números? 7. Un químico tiene una solución que contiene ácido al 25% y otra solución que contiene ácido al 50%. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 litros de una solución que contenga ácido al 40%? Central: 6198-100

Álgebra 8. Una semana un establecimiento vendió 40 manteles. Los blancos costaban $4,95, y los estampados $7,95. En total las ventas fueron de $282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron? 9. Se vendieron 117 entradas para un concierto, cada adulto pagó $1,25, y cada niño $0,75. En total, se vendieron entrada por $129,75. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? 10. Dos aviones viajan aproximándose entre sí después de partir de ciudades que se encuentran a 780 kilómetros de distancia a velocidades de 190 y 200 Km./h. Si la salida fue a la misma hora, ¿en cuántas horas se encontrarán? 11. Jorge tiene un trabajo en el que le pagan S/.50 por cada día de trabajo y le descuentan S/.25 por cada día que no trabaja. Si después de 30 días recibió S/.1050, ¿cuántos días trabajó?

13. Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total $66. El jueves vendió $3 más que el viernes. El sábado vendió $6 más que el jueves. ¿Cuánto vendió cada día? 14. La sierras de agua"A", "B" y "C" pueden producir 7400 metros cuadrados de tabla en un día. "A" y "B" juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras que "B" y "C" pueden producir 5200 metros cuadrados ¿cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra por separado?

15. En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es 2º más que tres veces la medida del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 8º más que la medida del ángulo "A". Calcula las medidas de los ángulos

12. Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido el más rápido alcanza al otro en 50 segundos. Halla la velocidad de cada uno.

Tú puedes 1. UNMSM 2006 – I Un comerciante cambia una arroba de camote por un costal de trigo y 2000 soles. Luego cambia otra arroba por un costal de papas y 3000 soles o un costal de trigo y un costal de papas. ¿Cuánto cuesta 2 arrobas de camote? a) 1000 d) 2500

b) 10 000 e) 5000

c) 15000

2. UNMSM 2007 – I Si por el precio de 3 libros y 4 lapiceros, compro 7 cuadernos; y por el precio de 9 cuadernos y 12 lapiceros, compro 6 libros. ¿Cuántos libros compraría por el precio de 16 cuadernos y 8 lapiceros? a) 4 d) 9

b) 5 e) 10

c) 6

3. UNMSM 2007 – I De cinco amigos se sabe que Mario tiene 2 años menos que Pedro, Luis tiene 1 año menos que José. Raúl tiene 2 años más que Luis y José tiene 3 años más que Mario. Si el menor de ellos tiene 14 años, hallar la suma de las edades de Pedro y Raúl.

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a) 32 d) 21

b) 22 e) 34

c) 20

4. UNMSM 2007 – I Una competencia se inició con una determinada cantidad de personas. Luego 8 mujeres salieron de la competencia, quedando 2 hombres por cada mujer, finalmente se retiraron 20 hombres y quedaron 3 mujeres por cada hombre.¿Con cuántas personas se inició la competencia? a) 50 d) 40

b) 52 e) 44

c) 48

5. UNMSM 2007 – II Si Luis vende todos sus helados a S/.1,50 cada uno, le faltaría S/.15 para comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/.2 cada uno, le sobrarían S/.30, ¿cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/.100 d) S/.125

b) S/.150 e) S/.75

c) S/.140


115

21

Capítulo

Repaso III: Ecuaciones y sistemas Lectura: Consolidando lo aprendido Para resolver sistemas de ecuaciones se pueden plantear diversos métodos, un problema que refleja una situación concreta de la vida diaria se puede plantear algebraicamente con el uso de símbolos matemáticos mediante una ecuación y para resolverlos por ejemplo, En la 1º mitad del siglo III Diofanto de Alejandría usa símbolos algebraicos y enuncia las reglas para resolver ecuaciones de 1º y 2º grado.

En este capítulo recordaremos Repaso III .. Ecuación de 2° grado –– Forma general. –– Resolución de la ecuación de segundo grado. * Por fórmula general * Por factorización –– Discusión de las raíces. –– Propiedades de las raíces y reconstrucción de la ecuación de 2º grado. –– Problemas sobre planteo de ecuaciones de 2º grado. .. Sistemas de ecuaciones –– –– –– –– ––

Colegios

116

TRILCE

Sistema compatible determinado. Sistema compatible indeterminado. Sistema incompatible. Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Problemas sobre planteo de ecuaciones con sistemas de ecuaciones.

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Álgebra Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 2

A

C.S.={2;7}

Al resolver: x –9x+14=0; su C.S.

2

B

C.S.= {(3;3)}

Al resolver: ' x − y = 10 ; su C.S. x + y = 12

C

C.S.={–4;–2}

x + 2y = 9 Al resolver: ' 2x − y = 3 ; su C.S.

D

C.S.={(11;1)}

Al resolver :x +6x+8=0; su C.S.

5. Siendo "x1" y "x2", raíces de la ecuación


a) En la ecuación x =3x, su C.S.={3}

( )

2

x –7x+12=0. Calcular (x1+1)(x2+1)

2

b) En la ecuación x –9x+8=0, la suma de raíces es 9 c) Dado

( )

el

sistema

x + 5y = 12 ' x − 5y = 2

C.S.={(1;10)}

su ( )

2

d) La ecuación ax +bx+c=0; a ! 0 presenta raíces simétricas si b=0

5x + y = 9 6. Luego de resolver ' 4x + y = 7 calcular x+y

( )

mx + 10y = 12 7. Hallar "m" para que el sistema ' 3x + 5y = 6 tenga infinitas soluciones.

3. Completar correctamente ax + by = c a) Si el sistema 'mx + ny = p presenta infinitas soluciones, se cumple:

8. La suma de las edades de Luis y Arturo es 58 años y la diferencia entre dichas edades es 24. Halle la edad de Luis.

ax + by = c b) Si el sistema 'mx + ny = p es incompatible, se cumple: c) Si

en

la

ecuación

2

3x +6x+n=0;

el

9. La diferencia de 2 números es 14 y 1 de su suma 4 es 13. Determinar el mayor de los números.

producto de raíces es 2, el valor de "n" es:

2

d) En la ecuación x = 4x, su C.S. es:

10. Si el numerador de una fracción se aumenta en 26, el valor de la fracción es 3, y si el denominador se disminuye en 4 el valor de la fracción es 1. Determina la fracción.

2

4. De la ecuación 2x +11x+5=0 determinar su C.S.

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117

21

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2

A

3

Si 3x +4x+4=0; el producto de raíces es

2

B

8

Si '2x − y = 5 ; el valor de "x" es 3x + y = 10

C

4/3

4x + 12y = 16 Si ' x + 2y = 6 ; el valor de "x+y" es

D

3/4

Si 4x –3x+7=0; la suma de raíces es

2. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2 a) Dado ax +bx+c=0; a ! 0 , presenta raíces recíprocas si: a=c ( ) 2 b) Dado 5x +4x–6=0; la suma de raíces es 4 5 y el producto de raíces es − 6 ( ) 5 ax by c = + 'mx + ny = p ; c) Dado es compatible a b determinado si se cumple: ( ) ! m n 4x + 3y = 5 '12x + 9y = 18 ; no presenta d) Dado

solución

( )

2

a) Si en: 3x –mx+5=0; la suma de raíces es 7, el valor de "m" es: 2

b) Si la ecuación 5x +6x–n=0 presenta raíces recíprocas, "n" vale: 2x + ay = 12 c) Si ' x + 3y = 6 presenta infinitas soluciones, el valor de "a" es: (a − 2) x + (3b − 1) y = p − 3 ' (m + 6) x + (2 − n) y = c − 5

es

incompatible, se cumple que: 4. Si x1 = 2 + 2 y x2 = 2 − 2 son raíces de una ecuación; determinar dicha ecuación de raíces x1 y x 2 a) c) e)

2

2

x +4x+4=0 2 x +4x–6=0 2 x +2x–4=0

b) 2x –5x+1=0 2 d) x –4x+2=0

5. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces 2 simétricas: 4x +(n–6)x–36=0; hallar "2n" a) 12 d) 6

Colegios

118

TRILCE

b) 5 e) 4

a) 5 2

b) − 5 4

d) 1

e) –1

c) 1 2

7. Hallar "n", si la suma de raíces de la ecuación: 2 (n–1)x –3(n+5)x+10=0 es 12 a) 1 d) 4

b) 2 e) 10

c) 3 2

3

8. Calcular "m" si en la ecuación x –6mx+m =0 una de las raíces es el doble de la otra.


d) Si

6. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces 2 recíprocas (3m–2)x +5x+1=0, hallar " m " 2

c) –6

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

(1 + 2n) x + 5y = 7 9. Hallar "n" si el sistema: ' (2 + n) x + 4y = 8 es incompatible a) 1 d) 8

b) 2 e) 9

c) 3

(x + 5) (y + 4) = xy + 61 10. Resolver: '(x + 4) (y + 5) = xy + 60 calcular "xy" a) 6 d) 15

b) 8 e) 20

c) 12

27x + 13y = 100 11. Resolver: '13x + 27y = 140 indique x+y a) –2 d) 6

b) 4 e) 10

c) 3

(a − 3) x + 2y = 6 ' es 12. Si 4x − (b − 5) y = 3 indeterminado, calcula "ab" a) –20 d) 44

b) 40 e) 50

compatible c) 30

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Álgebra 13. El doble de la edad de Juan excede en 50 años a la edad de Bertha, y 1 de la edad de Bertha es 4 35 años menos que la edad de Juan, calcula la edad de Juan. a) 42

b) 45

d) 48

e) 54

c) 47

14. Tomás, David y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Tomás y carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado? a) 10; 14; 12

b) 8; 13; 16

c) 10; 12; 15

d) 20; 10; 7

e) 15; 8; 14 15. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 m 2 más de largo y 4 m más de ancho sería 192 m más grande; y si tuviera 4 m menos de largo y 3 2 m menos de ancho sería 158 m mas pequeño. Las dimensiones del patio son: a) 10m y 20m

b) 20m y 30m

c) 30m y 40m

d) 10m y 30m

e) 15m y 25m 16. Calcular (p+q), si las ecuaciones de segundo grado (p − 1) x2 + 2x + 1 = 0 (p − 1) x2 + (q + 1) x + 3 = 0 son equivalentes. a) 5

b) 7

d) 11

e) 13

2

17. En la ecuación x –ax+48=0 de raíces "x1" y "x2" determinar "a", tal que 1 + 1 = 219 x1 x2 24 a) 219 d) 2011

b) 438 e) 2010

c) 2

18. ¿Para qué valor de "a" el sistema (1 − a) x + (a + 3) y = 3a + 1 '2 (1 − a) x + (a + 6) y = a + 2 es indeterminado? a) –7

b) –1

d) 1

e) 2

c) 0

19. Javier tiene el cuádruple de la edad que tenía Ricardo cuando él tenía la edad que Ricardo tiene; pero cuando Ricardo tenga la edad que Javier tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Javier? a) 20

b) 25

d) 35

e) 40

c) 30

20. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que; por cada tiro que acierte recibirá "a" soles y pagará "b" soles por cada uno que falle. Si después de "n" tiros, ha recibido "c" soles. ¿Cuánto tiros dio en el blanco? a) a − b bn + c

b)

c) bn(a-b)

d) bn + c a+b

nc a+b

e) cn + b a+b

c) 9

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: Si 5x2 + 8x + 7 = 0 ; la suma de raíces es

A

1

Si 4x2 − 5x − 16 = 0 ; el producto de raíces es

B

–8/5

C

8

D

–4

3y − x =− 8 Si ' 2y + x = 13; el valor de "y" es Si ' x − y = 2 ; el valor de x+y es x − 3y =− 4

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119

21

Capítulo

2


a) Dado bx +cx+a=0; a ! 0 , presenta raíces recíprocas sí a=c

( )

2

b) Dado –4x +8x+2=0; la suma de raíces es 2 y su producto es − 1 ( ) 2 cx + by = a 'nx c) Dado es + py = m;

compatible

determinado c ! b ( ) n p 3x − y = 9 d) Dado '6x − 2y = 24 ; si tiene solución ( ) 3. Completar correctamente 2

a) Si en: 4x +ax–5=0; la suma de raíces es 8,

7. En la ecuación (n+3)x –(n–5)x+n–4=0, el producto de raíces es 2. Halle "5n"

8. ¿Cuál es el valor de "a" si una raíz es el triple de 2 la otra en la ecuación: x –12x+a=0?

9. Proporcionar "x" del sistema Z 2 ] + 5 =2 ] 3x − y y + 2 x [ ]] 4 − 3 = 17 3x − y y + 2x \ 12x − (a − 3) y = 9 10. Si ' 3x + (a + 2) y = 4 es incompatible, calcula "a"

el valor de "a"es: 2

b) Si la ecuación 16x –2x–8b=0 presenta raíces recíprocas, "b" vale: ax − 2y = 10 '3x + y =− 5;

c) Si

indeterminado;

el

es valor

compatible de

"a"

es:

11. Calcula "x–y" en el siguiente sistema de ecuaciones: 113x + 67y =− 23 '79x + 101y = 11 ax − y = 2 − a 12. Para qué valor de "a" el sistema '2x − (a + 1) y = 2 es compatible indeterminado

(4 − a) x + (b + 5) y = 3 d) Si '(m + 3) x + (n + 4) y = 5 − p ; es compatible determinado; se cumple: 4. Si x1 = 5 + 3 y x2 = 5 − 3 son raíces de una ecuación; determinar dicha ecuación de raíces x1 y x 2 . 2

a) 2x +6x+22=0

13. Un día una tienda vendió 45 plumas, las de un tipo a $8,50 y las de otro a $9,75. El total de ventas fue de $398,75. ¿Cuántas plumas de cada tipo se vendieron?

14. Si tengo el doble de la edad que tú tenías cuando

2

yo tenía la edad que tú tienes, ¿cuántos años

2

tengo si la suma de nuestras edades actuales es

2

42 años?

b) x –6x+22=0 c) x –10x+22=0 d) x +22x–10=0 2

e) 5x +10x–22=0 2

5. La ecuación: (2n–1)x –(3n–15)x+(4n+6)=0, tiene raíces simétricas. Calcular "n". 6. Hallar "k" si la suma de las raíces de 2 (k–1)x –6kx+3=0, es 7

Colegios

120

TRILCE

15. Una joven debe lavar "n" docenas de camisas; recibirá "a" nuevos soles por cada camisa bien lavada y pagará "b" nuevos soles por cada camisa mal lavada. Si recibió "m" nuevos soles en total. ¿Cuántas camisas fueron mal lavadas?

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Álgebra Tú puedes 1. UNMSM 2007 – II Dada la ecuación con raíces complejas 2 3x +(m+2)x+m=–2. Halle el máximo valor entero que puede tomar m. a) 7

b) 8

d) 10

e) 6

c) 9

b) 9/82

d) 80/9

e) 82/9

c) 31/9

b) 5

d) –5

e) –2

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de los valores de α para los cuales el sistema

a) –2

b) 0

d) 2

e) –1

c) 1

5. UNMSM 2011 – I Un reservorio de agua lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000 Kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900 Kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad?

3. UNMSM 2011 – I Si el par (1;a) es solución del sistema 3x − y = k ' 5x + y = k − 2 halle el valor de "a" a) 2

αx + y =− 1 − α Dado el sistema ' x + αy = 1 + α , halle la suma

tenga más de una solución.

2. UNMSM 2008 – I Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación 2 (2k+2)x +(4–4k)x+(k–2)=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra. a) 61/9

4. UNMSM 2004 – II

c) 1

a) 3400 Kg

b) 3600 Kg

c) 3300 Kg

d) 3500 Kg

e) 3200 Kg


121

22

Capítulo

Inecuaciones I Lectura: Agustín Louis Cauchy (1789 – 1857) Matemático francés, nació el 21 de agosto de 1789 en París. Se desempeñó como ingeniero militar y en 1810 llegó a Cherbourg para participar en la invasión a Inglaterra. En 1813 regresó a París y ocupó diversos puestos en la Facultad de Ciencias, El Colegio de Francia y La Escuela Politécnica. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. Publicó con regularidad durante los 45 años de su vida científica sobre aritmética, física, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc. Autor de Analyse Algébrique, (1822) entre otros 789 escritos. Cuando estalló la Revolución de 1830, abandonó París y después de un corto tiempo en Suiza aceptó una oferta del rey de Piedmont para realizar una cátedra en Turín donde estuvo hasta 1832. En 1833 se trasladó a Praga para acompañar a Charles X y ser el tutor de su hijo. Retornó a París en 1838 y retomó su cargo en la academia, pero no su posición de profesor por haber rechazado tomar el juramento de lealtad. Cuando Louis Philippe fue destronado en 1848, retomó su cátedra en Sorbonne. Falleció el 23 de Mayo 1857 en Sceaux (cerca de París), Francia. FUENTE: http://buscabiografias.com

En este capítulo aprenderemos .. Desigualdad .. Intervalos .. Inecuaciones lineales

Colegios

122

TRILCE

Central: 6198-100


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123

22

Capítulo

Saberes previos

1. Complete con los signos de relación de orden (<,>,≤,≥) que correspondan a) 10

–10

b) –15

–20

c) –25

0

d) –34

53

e) 0

–1

f) 7 g) 1/4

p

3. Relacione convenientemente a) b) c) d) e) f)

a>4 –3a≥–15 a–3≤5 4a<20 a+9>14 a≥7

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

I. a≤8 II. a>5 III. 1/a<1/4 IV. a≤5 V. a<5 VI. a=7 ∨ a>7

4. El intervalo solución de la inecuación –3x+1>7 es:

1/5

2. Respecto al intervalo [–4;3] indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) La suma de valores enteros negativos es –6 ( ) b) El mínimo valor entero es –3 ( ) c) La suma de todo los valores enteros es –4 ( ) d) Es un intervalo acotado ( ) e) Es un subconjunto de R ( ) f) Su máximo valor es 3 ( )

5. Determinar los valores de x en la siguiente inecuación: 2x + 1 1 3x − 4 8 3

Aplica lo comprendido 1. Relacione

3. La figura

a) x+7<13

(

)

I. x≥0

b) 4x≥20

(

)

II. x<6

c) x–5>–9

(

)

III. x>–3

d) x/3≥0

(

)

IV. x≥5

e) –2x<6

(

)

V. x<8

I. 13 ≥ x

f) –x/8>–1

(

)

VI. x>–4

II. 5x–26 ≤ 3x–13+x

–5

)

c) [7;15]

)

es un intervalo cerrado ( (

)

su máximo valor es 15 (

)

f) [4;+∞[=[4;+∞〉 es un intervalo no acotado (

)

Colegios

124

TRILCE

–2

–1

0

1

2

4. ¿Cuál de las siguientes equivalente a x ≤ 13

b) [–3;6〉=[–3;6[ es un intervalo semiabierto (

e) ]5;15]

–3

Corresponde a la desigualdad respectivamente.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda a) <7;9>=]7;9[ es un intervalo abierto ( )

d) 〈–∞; ∞〉 =]–∞;+∞[=R

–4

3

4

5

e intervalo inecuaciones

III. –2x ≥ –26

5. El conjunto solución de la inecuación 3(x–2) ≥ x+4 es

Central: 6198-100

es

Álgebra Aprende más 1. Relacionar

–∞

–2

8

–∞

+∞

15

–∞

–7

–∞

+∞

4

+∞ 5

1 3

+∞

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 5 ≤ 7 II. 3 ≤ 3 III. –3 ≤ 0

B

− 3; − 7 @ , 4; + 3

C

15; + 3

D

6− 2; 8@

1

a) 810 ; + 3 3 d) 8 8 ;+ 3 3

J = 6− 3 ; 4@

Completar la intersección de I con J es el intervalo: 4. Si x∈[ 2;10]. ¿A que intervalo pertenece − x + 4 ? 2 a) [–1;3] b) [0;3] c) [–1;2] d) [–1;4] e) [0;6] 5. El conjunto solución de la inecuación 2x − 1 1 x + 3 es 5 2 a) <–17; +∞> b) <–4, +∞> c) <–∞; –17> d) <–∞; –4> e) <– ∞; +∞> 6. La representación gráfica de la inecuación 3 − 2x $ 15 es: 2 10 a)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

b)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

c)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

d)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

e)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

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8 3 , 5B

7. En la inecuación 3 − x # 2x − 1 , su conjunto 3 solución es:

3. Dados: I = 6− 5; 0@

A

b) − 3; 10 B 3

c) − 3;2@

e) 62; + 3

8. Resolver: 2x + 7 < x + 8 ≤ 8 + 2x a) <0; 1] d) <–1; 0>

b) [0; 1> e) [–1; 1>

c) <–1; 0]

9. ¿Cuál(es) de las siguientes inecuaciones posee(n) como solución al intervalo <1;+ ∞>? I. x+2>3 III. − x + 1 1 1 2 2

II. 2(x–1)<3x–3

a) solo I c) solo I y III e) Todas

b) solo I y II d) solo II y III

10. Si 5 veces un número se disminuye en 3 unidades resulta un número menor que 27, entonces el número debe ser menor que: a) 8 d) 10

b) 6 e) 30

c) 9

11. Si el cuádruple de un número NO es mayor que el triple del mismo número, más cuatro unidades, entonces. ¿Cuántos números enteros positivos existen, que cumplan dicha condición? a) 12 d) 3

b) 5 e) infinitos

c) 4


125

22

Capítulo

12. Resolver: 7 − 3x < 1 −5 a) <–∞; 20>

b) <–∞; 10>

c) <–∞; 4>

d) <3; + ∞>

e) <1; +∞ > 13. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de 5x − 12 1 13 inecuaciones $ x + 12 $ 13 ? a) @1, 5@

c) @− 3, 16 , 65, + 36 e) @1, 56

b) @− 3; 1@ , @5; + 36 d) 61; 56

14. La solución del siguiente sistema de inecuaciones es: 4x + 2 2 1 6x # 2 * 3 (x + 1) 2 2 (x + 1) a) − 1 1 x # 4 c) − 1 1 x # 3 e) − 1 1 x 4

1 3 1 4

b) 1 1 x # 1 4 3 d) − 1 1 x # − 1 3 4

15. Si a

b) <1; a+b>

c)

d)

e) <–∞; a+b>

Practica en casa 1. El intervalo [–3;4[, se escribe en notación conjuntista como:

7. Resolver: 2x − 1 < 3 −5

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 5 ≥ 7 II. –3 ≤ –5 III. –2 ≤ –2

8. Resuelva la inecuación: x (x+4) > (x–3)

Indique uno de los valores que la verifica:

3. Si P={x∈R/4>x∧–x≤2}, entonces ¿cuál (es) de los siguientes números pertenece(n) al conjunto P? I. 0

2

II. –2

III. 4

4. Si x ! 63; 15@. ¿A que intervalo pertenece − x + 4 ? 3

9. Resuelve el sistema ) .10 + x # 6 (2x + 1) $ 4(x(x+−110 ) 1 − 6 (2 − x) − 6x E indique la suma de valores enteros en su conjunto solución:

10. Calcule el mayor número entero cuyo triple, disminuido en 20 unidades es menor que su

5. ¿Cual de los siguientes valores satisfacen

doble, aumentado en 40.

simultáneamente las inecuaciones? I. x − 5 2 15 8

II. 2 − 3x 2 1 2

6. El intervalo 〈– ∞; 15] es el C.S. de: I. 15 $ x

11. Indique qué alternativa presenta la solución de: (x − 1) 2 # x (x − 4) + 8 I. x # 7 2

II. B− 3, 7 B 2

III.

7 2

II. 5x − 29 # 3x − 14 + x III. − 3x $ − 45 Colegios

126

TRILCE

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Álgebra 12. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones 4 $22((xx −+ 23)) 1 $6 ?

13. Resolver: x + 1 # x + 2 # x + 3 3 4 2

14. En la pizarra al resolver una inecuación un alumno obtiene el intervalo: [–2; 6>. Pablo afirma: existen 8 valores en tu respuesta. Pedro afirma: hay 3 enteros no positivos en tu respuesta. Tomas afirma: hay 6 enteros no negativos en tu respuesta. ¿Cuál de ellos se equivocó? 15. Si a < 0 < b; resolver la inecuación en "x": 2 2a (ax–b) + b < abx

Tú puedes +

1. Siendo a ∈ R ∧ ab < 0 ∧ bc < 0; |c|<|b| Resolver: b (x–b) < –c (x+c) a) <–∞; b–c> c) R e)

b) <–∞; c–b> d)

2. Si "m" es un número natural mayor que 3, ¿Qué fracción podría adoptar el mayor valor con respecto a las otras tres? x= 5, y= 5 , z= 5 , w = 5 m m−1 m+ 1 m+2 a) x b) y c) z d) w e) No es posible determinar 3. Una persona tiene $p y quiere comprar la mayor cantidad posible de ciertos artículos, los cuales tienen un valor de $a cada uno. Si del total del dinero que tiene, la persona gasta $q en locomoción. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el planteamiento correcto de la inecuación que permite conocer la cantidad x

de artículos que puede comprar la persona? a) x.p>a.q d) a.x>p–q

b) a.x≤p–q e) x≤a.(p–q)

c) x+q≤a.p

4. Sean M = " x ! R/x + 5 2 2x, y N = $ x ! R/ x − 3 # x . 4 Hallar M∩N a) 〈–1; 5〉 d) 〈–∞; –1〉

b) [–1; 5〉 e) R–〈–1;5〉

c) 〈–1;5]

5. Si el inverso de (x–1) varía entre 3 y 7 . ¿Entre 5 4 qué valores varía (x+1)? a) Entre 17 y 10 7 3

b) Entre 15 y 19 6 5

c) Entre 18 y 11 7 3

d) Entre 2 y 3 5 4

e) Entre 11 y 8 7 3

"No te cuides de hermosear el rostro, sino de adornar el alma con honrados estudios." (Tales de Mileto) www.trilce.edu.pe


127

23

Capítulo

Inecuaciones II Lectura: Laurent Schwartz (1915 - 2002) Nació en París, el 5 de marzo de 1915. Fue un matemático francés conocido por sus trabajos sobre la teoría de distribuciones. Fue un estudiante brillante sobre todo en latín, griego y matemáticas, uno de sus profesores dijo a sus padres: "Vuestro hijo es dotado para los idiomas, pero debe convertirse en matemático". Durante toda su vida fue un activo militante de izquierda y un hombre público por lo que también fue conocido fuera de los medios científicos. La aparente indiferencia y la objetividad que mostraba hacia su propia vida, no podían ocultar las indignaciones profundas que le afectaban, pero jamás reclamó a voz en grito, siempre usaba palabras adecuadas que reflejaban su gran inteligencia, su personalidad fuera de lo común lo convirtió en un referente para varias generaciones. En 1950 recibe la medalla FIELDS, premio similar a los "Nobel", pero en las matemáticas. Murió el 4 de julio del 2002. FUENTE: http://www.gap-system.org

En este capítulo aprenderemos Inecuación de segundo grado .. Forma general .. Métodos de resolución .. Teoremas

Colegios

128

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129

23

Capítulo

Saberes previos

1. Hallar "x", 3x + 1 1 7 −2

4. Resolver la siguiente inecuación: x(x+3)>x(x+2)


5. Resolver 1 $ 1 $ 1 3 x 21

2

a) En x ≤–4 su conjunto solución es el ( vacío 2 b) En x ≥ –4 su conjunto solución es ( los Reales c) 5 ≤ 5 es una desigualdad verdadera (

) ) )

3. Indicar los valores que verifican: –6 ≤ x–1 ≤ 4

Aplica lo comprendido 1. Relacionar 2

a) (x–5) ≤ 0

I. R

2

b) (x+3) >0

II. Ø

2

c) (x–2) +1<0

III. {5}

2

d) 4x +4x+1 ≥ 0

IV. R–{3}

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) (x–4)(x–5)<0 → 4
(

)

b) (x–2)(x+8) ≤ 0 → –8 ≤ x ≤ 2

(

)

c) (x+3)(x+6)>0 → x<–6 ∨ x>–3

(

)

d) (x–7)(x+1) ≤ 0 →x ≤ –1 ∨ x ≥ 7

(

)

3. Completar: 2

a) La suma del máximo y mínimo valor de: x ≤ 16 es 2

b) Cuantos valores enteros cumplen: x <5: 2

c) Que valor entero verifica la desigualdad: x –4x+4 ≤ 0: 4. Resolver 2

7x +21x–28<0 2

5. Indicar el conjunto solución de: 4x –16 ≥ 0

Colegios

130

TRILCE

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Álgebra Aprende más 1. Relacionar: 〈–5; 5〉

A

I. (x+6)(x+2) ≥ 0

]– ∞ ;+∞[

B

II. (x–5)(x+5)<0

[4;7]

C

III. x ≥ 0

〈– ∞ ; –6] ∪[–2; +∞〉

D

IV. (x–4)(x–7) ≤ 0

2

2

9. Resolver: x +20x+100>0

2. Indicar verdadero(V) o falso(F) –∞

2

4

+∞

Representa a: (x–2)(x–4) ≤ 0

(

)

a) − 10; 10

b) − 3; − 10 , 10; 3

c) − 3; − 10

d) R − " − 10,

e) f –∞

–3

5

+∞

2

Representa a: (x+3)(x–5)>0

(

)

3. Respecto a la inecuación cuadrática 2 x –2x–15 ≤ 0 complete los enunciados respectivos Su conjunto solución es [ ; ]

10. Resolver: x +10x+25<0 b) φ + e) R

a) R–{–5} d) {5}

2

11. Indicar el conjunto solución de: x +2x<1 a) − 2; 2

Tiene

valores enteros positivos

b) − 2 − 1; − 2 + 1

Tiene

valores enteros negativos

c) 1 − 2 ; 1 + 2

El total de números enteros es

.

b) 〈8; +∞〉 e) 〈0; 8〉

c) 〈–∞; –8〉

a) 〈–∞;–4] ∪ [5;+∞〉

b) 〈–∞; –4] ∪ 〈3;+∞〉

c) [–2; 3]

d) 〈3; +∞〉

e) 〈–∞; –2〉 2

6. Resolver: 2x –11x+12 ≤ 0 b) 8− 3 ; 4B 2 e) 4; + 3

d) 8 3 ; 4B 2

c) − 3; 2@ 2

7. Indicar el intervalo solución de: 4x –64 ≥ 0 a) @− 4; 46

b) @− 3; − 4@ , 64; + 36

c) 6− 4; 4@

e) @− 8; 86

d) @− 3; − 46 , 64; + 36 2

8. Resolver: 9x +12x+4 ≤ 0 a) R c) R– {–2/3} e) [–3/4; 3/4] www.trilce.edu.pe

2

12. Resuelve: x –4x+1<0 a) 60; 2 + 3

b) 2 − 3 ; 2 + 3 d) Hay dos respuestas

c) R e) φ

5. Indicar el intervalo solución de: 2 x –x–20≥0

a) 64; + 3

d) − 2 − 1; 2 − 1 e) − 2 − 2 ; 2 − 2

2

4. Resolver: x –8x<0 a) 〈–8; 8〉 d) 〈8; +∞〉

c) R

b) Ø d) {–2/3}

13. Sean los conjuntos: A = " x ! R/x2 − x − 2 $ 0, B = " x ! R/x2 − 4x − 5 # 0, determine A∩B a) [2; 5] ∪ {–1} c) [–∞; –1] ∪ [2; 5] e) [–1; +∞[

b) [–1; 2] ∪ [5; +∞[ d) [2; 5]

14. Al resolver el sistema: 2 2 x +x+1 ≤ x+50
b) 19

d) –28

e) 21

c) 0 2

15. Si el conjunto solución de: x –ax+b>0 es: 〈–∞; –1〉∪〈8; +∞〉, calcular ab a) –56

b) 56

d) –49

e) –42

c) 49


131

23

Capítulo

Practica en casa

1. Relacionar (x–9)(x–2)<0

A

I. [–8; –5]

(x–4)(x+7) ≥ 0

B

II. 〈–∞;–1〉∪〈6; +∞〉

(x+1)(x–6)>0

C

III. 〈2; 9〉

(x+5)(x+8) ≤ 0

D

IV. 〈–∞;–7]∪[4;+∞〉 9. Respecto a la inecuación cuadrática


2

(

)

x –3x–28 ≤ respectivos

(

)

Su conjunto solución es [

(

)

d) 4x +4x+1 ≥ 0 → C.S=〈–∞; +∞〉=R (

)

2

a) (x–7) ≤ 0 → C.S={7} 2

b) (x+8) >0 → C.S=R–{–8} 2

c) (x–3) +1<0 → C.S= φ ={ } 2

3. Completar

0

complete

los

enunciados ]

;

Tiene

valores enteros positivos

Tiene

valores enteros negativos

El total de números enteros es

.

a) La suma del máximo y mínimo valor de: 2

x ≤ 9 es

10. Indicar el conjunto solución de: 2

2

2

2

b) Cuantos valores enteros verifican: x <4

(x+5) ≤ (x+4) +(x–3)

c) Que valor entero verifica la desigualdad: 2 x –2x+1 ≤ 0

11. Resolver: x2 − 20 x + 5 1 0

2

4. Resolver: x –5x<0 2

12. Resuelve: x –7<2x 2

5. Resolver: 2x +25 ≤ x(x+10) 13. Sea los conjuntos: A = " x ! R/x2 − 4x − 45 $ 0, B = " x ! R/x2 − 13x − 30 # 0, Determine la suma de valores enteros de A ∩ B

6. El conjunto solución de: 2

8x +24x–32<0 es 〈a;b〉 indique (a+b) 2

7. Indicar el intervalo solución de: x –x–42 ≥ 0 14. Al resolver la inecuación simultánea: 2

2

x +2x–28 ≥ x–8>x +2x–50 8. Indicar verdadero o falso –∞

–4

8

Su solución es 〈c;d] ∪ [a;b〉. Indica M=bd–ac +∞

Representa a: (x+4)(x–8)>0

(

)

2

15. Si el conjunto solución de: x –ax+b<0 es: 〈–2; 5〉, calcular ab

–∞

–3

9

+∞

Representa a: (x+3)(x+9) ≤ 0 Colegios

132

TRILCE

(

)

Central: 6198-100

Álgebra Tú puedes 1. Un número verifica que el cuadrado del antecesor de su doble no supera a su cuadrado aumentado en 5. Determine cuántos números cumplen con dicha condición a) 0 d) 3

b) 1 e) mas de 3

2

2. Si x +2kx+k– determine el pertenece k. a) 0; 1 2 d) 8 1 ; 3 B 4 4

c) 2

1; 3 4 4 e) 0; 3 4

c)

1; 5 4 2

3. ¿En que intervalo debe variar k de modo que 2 una de las raíces de la ecuación x –4x–k=0 se encuentre en el intervalo 〈2; 6〉? a) 〈–4; 12〉 d) 〈5;8〉

b) 〈–2; 1〉 e) 〈–6; –2〉

a) 80, 25 B 12

d) − 3; 25 12

3 >0 se cumple 6x ! R 16 conjunto numérico al que b)

2

4. Dado el polinomio: P(x)=3x –5x+n, halle los valores de n para que las raíces sean positivas

c) 〈–3; 3〉

b) 0; 25 B 12

c) 0; 25 12

e) 8 26 ; + 3 12

5. Resuelve la inecuación en x 2 n(n–1)x +(2n–3)x–n(n+3)<0, considere 0
¡Estudia! No para saber una cosa más, sino para saberla mejor. (Lucio Anneo Séneca) www.trilce.edu.pe


133

24

Capítulo

Funciones I Lectura: Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) Nació el 23 de enero de 1736 en Turín, ahora Italia. Su padre decidió que su hijo estudiase la carrera de abogado y Lagrange lo aceptó con mucho gusto, el interés por las matemáticas empezó en 1753, cuando leyó una copia del trabajo de Halley sobre el uso del álgebra en óptica. El 23 de julio de 1754 publicó su primer trabajo matemático donde se notaba que era un autodidacta. Se casó con una prima suya y tuvo una vida tranquila, sin dificultades económicas. Años después aceptó un puesto en la academia de Ciencias de París (una de las cláusulas del puesto es que no tenía que dar clases). No era apreciado como profesor, tenía una voz muy débil, acento italiano y pronunciaba la "s" como "z". En ese lugar permaneció hasta su muerte, llegó incluso a tener una relación muy cercana con Napoleón. Dejó diversos escritos y realizó muchos aportes; Lagrange era de complexión débil, ojos azules y piel pálida, tenía además un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia y al evitarla, permitió a otros tener crédito por cosas que el había hecho. Murió en París el 10 de abril de 1813. Una semana antes recibió la Gran Cruz de la Orden Imperial de la Reunión. FUENTE: http://www.oocities.org

En este capítulo aprenderemos Funciones I .. Par ordenado .. Producto cartesiano .. Relaciones Binarias .. Funciones –– –– –– ––

Colegios

134

TRILCE

Dominio Rango Valuación Representaciones gráficas

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Referencias preliminares

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135

24

Capítulo

Saberes previos 1. Si (2x+y; 3x–2y)=(9; 3), hallar x+y

3. Determina la relación R en los conjuntos A={1; 3; 5} y B={2; 3; 6} siendo R={(a:b) ∈ A×B/ b=2a}

2. Sean los conjuntos: A={1; 3}

4. Sea V={–2;–1;0;1;2} y la función g: V → R,

B={0;2; 4}

2

Si R={(x;y) ∈ A×B/x
definida por g(x)=x +1. Determinar el rango de g

I. Dom R=A

(

)

II. n [Dom R]=4

(

)

III. Ran (R)={2;4}

(

)

R={(x; y) ∈ A×B/ x
IV. Dom (R) ∪ Ran (R)={0; 1; 2; 3; 4}

(

)

elementos de su dominio y rango.

5. Dados A={1;2;3;4} y B={1;3;5} sabiendo que

Aplica lo comprendido 1. Dado A={1;2;3}. relaciones.

Hallar

las

siguientes

A

• 1 • 2 • 3

2

a) R1={(a;b) ∈ A /a+b ≤ 2} 2

b) R2={(a;b) ∈ A /(a+b) ∈ A} 2. Sean los conjuntos: A={2;4;5} y B={3;4} y la relación R: A → B, definida por "... es mayor que ..." a) Hallar R por extensión b) Hallar Dom (R) y Ram (R) 3. ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función? A

• 1 • 2 • 3

B

• 4 • 5

c) 4. Si A×B={(1;3), (1;5), (2;3), (2;5)} B×C={(3;2), (3;3), (3;5), (5;2); (5;3), (5;5)} Calcular: (A ∪ B)–C

B

• 4 • 5

a)

5. Cual (es) de las siguientes relaciones es una función: I. F={(1;5), (1;6), (1;7)}

A

• 1 • 2 • 3

B

• 4 • 5

II. G={(1;3), (2;4), (1;2)} III. H={(1;2), (7;4), (1;2)}

b)

Colegios

136

TRILCE

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Álgebra Aprende más 1. Sean: A={1;2;3;5} y B={2;4;8;9} y la relación 2 R={(a;b) ∈ A×B/ a =b}, relacionar {2;3} (2;4) {4;9} (5;2)

∈R Dom (R) ∉R Ram (R)

A B C D

A

A

a) VFFV d) VVVV

b) FFFF e) VVFF

c) FFVV

3. Sea la función f={(1;7), (3;4), (5;7), (3;3y–5), (1;2x+1)} hallar x+y a) 4 d) 9

b) 5 e) 6

c) 7

4. Dada la función 2 3 G={(3;7), (4;3), (4; x –x+1)}, hallar x –5 a) 3 d) 8

b) –6 e) 6

c) 3 y –6

5. Dada la función: f={(1;2), (2;3), (3;4)}, calcular f(3)+2f(1)+f(f(1)) a) 9 d) 8

b) 7 e) 11

c) 5

6. Cual (es) de los siguientes diagramas no representa una función. f A B • 1 • 4 • 9 • 5

• 1 • 2 • 3 a)

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B • a • b • c

d)

IV. n(R)= 10

b)

M

• 0 • 3 • 7 • 8

II. (4;1), (8;1), (8;2)∈R

• 2 • ≠ • e

• a • b • c

c)

x

A

B

• 5 • 7 • 9

2. Sea: A={2 /x∈z; 0≤x≤5} y 2 R={(a,b)∈A /a+b= impar}. Colocar (V) o (F) I. (1;16)∈R III. (32;1)∉R

h

g

B • 1 • 3 • 5

7. De las siguientes relaciones, ¿cuáles no son funciones? I. F={(4;4), (5;5), (6;6)} II. G={(3;4), (4;4), (5;4), (6;4)} III. H={(5;2), (5;3), (5;6)} IV. I={(4;3), (3;4), (5;2) (2;5)} V. J={(3;6), (7;4), (3;8), (2;9)} a) H d) F y I

b) H y J e) F y G

c) J

8. Determine el valor de: a+b+f(2)+f(–1), si 2 f={(2;5), (–1;3), (2;2a–b), (–1;b–a), (a+b ;a)} es una función. a) 8 d) 1 9. Dada la función H A • x • y • z

b) 27 e) 16

c) 19

B • x • y • z

Hallar: H (x) + H (H (z)) y+z a) 2 d) 1

b) 1/2 e) 0

c) x

10. Sea la función f: R → R definida por 3x − 1; si x 2 3 2 f (x)* x − 2; si − 2 # x # 3 2x + 3; si x 1 − 2 Hallar f(–2)+f(7)+8f(1/2)+f(–4) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


137

24

Capítulo

11. Sea f una función tal que: f(x)=4x–9; –2 ≤ x ≤ 3, el rango de f es: a) [–17;3] d) [4;15]

b) [–15;4] e) [3;17]

c) [–17;2]

12. Sea G una función tal que: 2 G(x)=(x+5) –10; –1 ≤ x ≤ 2 El rango es: a) [6;30] d) [0;36]

b) [0;32] e) [0;49]

–6 Hallar mn c) [6;39]

a) 11 d) –10

13. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función? y

14. Dado la función: f(x)=mx+n+1, cuya gráfica es: y f –1 2 x

y

x

b) –13 e) –8

15. La gráfica de la figura corresponde a la de la función f(x). Entonces f(–1)+f(1)+f(2)+f(3) es igual a: y 2

x b)

a) y

1

y –2 x

x

–1

1

2

3

x

–1 a) –1 d) 2

d)

c)

c) –15

b) 0 e) 3

c) 1

Practica en casa 2

+

1. Si (2a+2; 14)=(10; b –2) relacionar (b∈R ) 2

a 3b a+b b a

A B C D

12 16 256 8

2. Sean los conjuntos A={1;3}

B={2;3;4}

Si R={(x;y)∈A×B)/x+y=par}. Indicar (V) o (F) I. (1;2)∈R II. Dom R={1;3} III. Ran R={3}

4. Si A×B={(1;3), (1;7), (2;3), (2;7), (4;3), (4;7)} y B×C={(3;5), (3;4), (7;5), (7;4)} calcular (A ∪ B)–C

5. Cuál de las siguientes relaciones no es una función F={(2;4), (4;5), (5;6)} G={(1;9), (2;7), (1;9)} H={(1;7), (2;7), (3;7)} I={(2;3), (5;8), (8;5)} J={(4;3), (4;8), (2;10)}

3. Si: A={12;8;5} y B={2;3;4;5} si R={(a;b)∈A×B/ A=Bc } a) Hallar R por extensión b) Hallar Dom (R) y Ran (R)

Colegios

138

TRILCE

6. Si R={(x;y)∈N×N/x+y=6}, halle el número de elementos de la relación R

Central: 6198-100

Álgebra 10. Dada la función:

7. Si: A={3;5;6} y B={3;4;5} además R1={(x;y)∈A×B/x+y=9}

A

R2={(x;y)∈A×B/y=4} Calcular Dom R1 ∩ Dom R2 8. De la siguientes gráficas, cuales no corresponden a una función? A

f

• a • b • c

A

h

• a • b • c

g

B

A

• x • y • z

• a • b

B

A

• x • y • z

A • a • b • c

• x • y • z

i

• a • b • c

j

B

f

• 2 • 4 • 6

B • 2 • 4 • 6

Calcular f (6) + f (f (2)) f (4)

11. Sabiendo que: F={(1;2), (2;x), (3;x+y), (1;x+1), (3;–y)} es una función , calcular 5x+4y

B • x • y • z

12. Sea f una función definida en Q cuya regla de 2 correspondencia es: f(x)=x –1 Hallar f(a); si f(a–1)=f(a)

13. Se sabe que: B • x • y • z

f={(a;b), (3;c), (1;3); (2a;4)} y que f(x)=x–2a, entonces el producto de los elementos de: Dom (f)∩Ran (f), es:

14. Dada la función: f(x)= 7x − 3 ; 3 ≤ x ≤ 5 . Calcular 2 su rango 9. Indicar cual (es) de las siguientes relaciones son funciones f={(–2;4), (2;4), (3;9), (4;16), (5;25)} g={(1;3), (2;6), (3;9), (4;12), (13;15)}

2

15. Sea la función G(x)=(x–3) –20 con 5≤x<8 su rango es:

h={(3;–3), (2;–3), (4;–3), (5;–3), (6;–3)} j={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5)}

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139

24

Capítulo

Tú puedes

1. Universidad Agraria 2007–II

3. Universidad Agraria 2007–II

2

2

Si f(x)=(x–1) +a

Si f(x)=–x +ax+(a–3), además f(3)=8. Hallar "a"

Entonces: f (x) − f (x + 2) será: x a) 4 d) –4

b) 2 e) –2

c) 1

c) 7

Si g(f(x))=x+2; halle g(27), siendo:

x–1; si x ≥ 10 f(f(x+2)); si x<10

3

a) 0 d) 8 b) 7 e) 10

2

f(x)=x +6x +12x+8

Hallar: F(1) a) 8 d) 9

b) 5 e) 3

4. UNAC 2007–I

2. UNAC 2006–II f(x)=

a) 2 d) 4

c) 5

b) 3 e) –1

c) 2

5. Universidad Agraria 2009–I 2

Hallar el rango de: f(x)=3(x–1) –2, x∈〈–1;2] a) [–2;10〉 d) 〈–2;1〉

b) [1;10〉 e) [–2;1〉

c) [–2; 10]

"Los errores del pasado representan la sabiduría del futuro"

Colegios

140

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

25

Funciones II Lectura: Concepto moderno de la función Notación Y=F(x) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) nació en Düren el 13 de febrero de 1805, en ese entonces era el Imperio francés, pero ahora es el oeste de Alemania, y fue educado en la Universidad de Göttingen, donde Carl Friedrich Gauss fue uno de sus mentores. Él era fluido en francés y alemán y, como tal, ha participado con frecuencia en la comunicación de ideas entre los matemáticos franceses y Germanos. Hizo importantes contribuciones en los campos de la teoría de números, el análisis y la mecánica, y enseña en las universidades de Breslau (1827) y Berlín (1828 a 1855). Fue Dirichlet quien propuso (en 1837) el teorema en su nombre que establece la existencia de un número infinito de números primos en cualquier serie aritmética un a + b , 2a + b , 3a + b , ..., na + b, en el que ninguno de los dos "a" ni "b" son divisibles por el otro. Por ejemplo, 5, 11, 17, 23 y 29 se encuentran entre los primos de la forma 6n+5. En 1837 introdujo el concepto moderno de una función con la notación y = f(x), en la que es determinada únicamente por el valor de x . Este trabajo fue inspirado por importantes contribuciones que había hecho a la comprensión de algunas series notables FUENTE: http://www.britannica.com

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Representación –– Pares ordenados –– Gráficas –– Una ecuación .. Cálculos –– Dominio –– Rango

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141

25

Capítulo

Síntesis teórica

Representación mediante

Colegios

142

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. De la siguiente igualdad de pares ordenados: (m+2; 13)=(12; m+n). Hallar "m.n"

4. Del conjunto de pares ordenados: P={(–3;2), (–1;–4), (1;5)}, hallar el rango de "P"

2. Dados los conjuntos: A={1;0}

B={2}

5. Calcular la suma de elementos del dominio de: R={(–3;2), (–2;1), (1;1), (3;3)}

Hallar el producto cartesiano de A×B. 3. Del conjunto de pares ordenados: H={(1;2), (3;4), (5;6), (6;7)} Calcular el dominio "H"

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: F={(2;1), (3;5), (7;6)}

A

Dominio={1}

G={(1;2), (1;2), (1;2)}

B

Rango={2;3;7}

H={(2;1), (4;1), (5;1}

C

Dominio={2;3;7}

I={(6;7), (5;3), (1;2)}

D

Rango={1} 2

c) Si g(x)=x entonces [0;+ ∞〉 representa su

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): a) El dominio de la función : F(x)= x − 1 es Dom (F)=R–{1} x−2

2

el

b) El dominio de la función: G(x)= x − 5 + 2011es Dom(G)=[5;+∞〉

( )

c) El dominio de la función: H(x)= 2011+4 x − 6 es Dom(H)=[6;+∞〉 ( ) x−7 d) El dominio de la función: 1 es Dom (I)=〈2011; +∞〉 ( ) I(x)= x − 2011 3. Completar correctamente a) Si (2;7)∈f entonces f(2) es

d) El conjunto de los números reales representa

( )

.

de H(x)=x +1

4. De la secuencia de pares ordenados de la función: 2

3

4

f={(1;2), (2;2 ), (3;2 ), (4;2 ), ..., (m; 2

100

)}

Indica la suma de elementos de su dominio.

5. Calcular el rango de la función:

b) Si f(x)= 2x − 6 entonces [3;+∞〉 representa su

2

g(x)=(x+3) –5

Aprende más 1. Relacionar correctamente: f(x)=1+ x − 3

A

Dominio=R

g(x)=2+ 3 − x

B

Dominio=R–{3}

h(x)=x–3

C

Dominio=[3; +∞〉

k(x)= 1 x−3

D

Dominio=〈–∞; 3]

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143

25

Capítulo

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) F={(3;5), (3;5), (8;6), (7;3)} es una función. b) G={(–1;2), (–2;3), (–3;4), (–4;5)} es una función. c) H={(3;1), (4;1), (5;1), (6;1)} es una función. d) I={(7;2), (7;3), (7;4), (7;5)} es una función.

( ) ( ) ( )

8. Hallar el dominio de la función: F (x) = 5 16 − x2 + 2x x−2 a) 〈–4;4〉 b) [–4;4]–{2} c) [–4;4] d) 〈–∞;–4∪[4;+∞〉 e) [0;4] 9. Calcular el dominio de la gráfica f(x) y

( ) f(x)

2

–4

0

3. Completar correctamente: a) El dominio de la función: E(x)=x+ x − 2 es: b) El rango de la función: F(x)=5+ 6 x − 3 es: 2

c) El rango de la función: P(x)=7+(x+6) es: 2

d) El rango de la función: Q(x)=3–(x+2) es: 4. Encontrar el valor de "m" de modo que la relación: R={(3;5m–1), (5;6), (3;4m+1), (6;3)} sea una función. a) –2 d) 1

b) –1 e) 2

c) 0

5. Calcular el mayor valor que puede asumir "a" si la relación: 2

2

E={(–3;5), (–2;3a –6a), (7;5), (–2;a +4a+28), (1;6)}

es una función. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

6. Si: F(x)=x+5 y además: F={(7;12), (a;15), (4;b), (–2;3)}, calcular "a+b" a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 7. Marca las gráficas que representan una función:

3 1

3

5

x

–3

a) 〈–4;5〉 b) 〈–4;0〉 ∪ 〈1;5〉 c) 〈–5;5〉 d) 〈–4;0〉 ∪ [1;5〉 e) [–3;3〉 10. Calcular el rango de la siguiente función 2 2 f(x)=4ax–2(2a –5)–x a) 〈–4;+∞〉 d) [10;+∞〉

b) 〈–∞;10〉 e) 〈–∞;-10〉

11. Calcular el rango de: Q (x) =

c) 〈–∞;10] x2 + x + 1 + 2

c) [2;+∞〉 a) R b) R–{2} d) [0;+∞〉 e) 〈–∞; 2] 12. Si: x∈[3;6〉, calcular el rango de: 10 H(x)= 3 3x − 10 + 3 a) 〈1;6] b) 〈3;10〉 c) [10/3;+∞〉 d) 〈3;5] e) 〈2;5] 13. Calcular el dominio de: F(x)= 20x2 + 2x − 2 + 10 − x2 + 4x + 5 x −x−6 a) [–1;5]–{3} b) [–1;5]–{–2;3} c) 〈–1;5〉–{3} d) [–1;5〉 e) [–1;5]–{–2;2;3} 14. Con 200 metros de valla queremos cercar un recinto rectangular aprovechando una pared. 200 m x

I.

II.

III.

IV.

Colegios

144

TRILCE

a) Llamar "x" a uno de los lados de la valla. ¿Cuanto valen los otros dos lados? b) Construir la función que nos da el área del recinto. 15. De un cuadrado de 10 cm de lado se recorta una tira de "x"cm en la base y otra de la misma longitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado. a) Hallar el área del cuadrado obtenido en función de "x" b) ¿Cuál es el dominio de esta función? Central: 6198-100

Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente f(x)=5–x

A

Dominio= R–{5}

g(x)=3x+ 5 − x

B

Dominio=〈–∞;5]

h(x)= x + 5 + x

C

Dominio= R

k(x)= x 5−x

D

Dominio=[–5;+∞〉


y

y

a) F={(1;3), (2;4), (5;6), (7;8)} es una ( ) función. b) G={(10;1), (10;2), (10;3), (10;4)} es ( ) una función.

x

x

III.

c) H={(3;10), (4;10), (5;10), (6;10)} es ( ) una función.

IV.

7. Calcular el rango según la siguiente gráfica

d) I={(5;8), (–5;8), (3;8), (5;3)} es una ( ) función.

y


3

2

a) La función F(x)=3x +6 tiene por al conjunto 〈–∞;+∞〉

–5

–2 –2

f(x) 4

x

b) La función H(x)= x tiene por al conjunto [0;+∞〉 2

c) El rango de la función R(x)=(x–1) +3 es: .

8. Calcular el rango de la siguiente función: 2

H(x)=3(4–3m )+x(6m–x)

2

d) El rango de la función M(x)=x –1 es: . 4. Hallar el valor de "a" de modo que la relación: R={(7;a), (4;8), (5;7), (7;2a–1)} sea una función. 5. Encontrar el menor valor que puede asumir "m" si la relación: 2 F={(2;5), (3;m ), (1;0), (3;m+6)} es una función. 6. Indicar la gráfica que representa una función: y

9. Indicar el dominio de la función: L (x) = x + 2 + 2011 25 − x2 x−3 10. Si: E={(3;5), (4;m), (7;n+1), (–2;–5), (0;–1)} ∧ además: E(x)=2x–1 ; Calcular "m–n"

11. Calcular el dominio de: E (x) =

y

4

2

2

− x + 9x − 14 + 6 − x + 6x − 5 + x

12. Si: x∈〈3;5], Hallar el rango de: F(x)= x I.

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x II.

3

5 2x − 5

13. Calcular el rango de: F (x) = 5 − x (x − 1) + 1


145

25

Capítulo

14. Un tendero tiene 20 kg de manzanas que hoy venderá a 4 soles del Kg. cada día que pasa se estropeará 1 Kg. y el precio aumentará 1 sol el Kg. Escribe la ecuación que nos da la venta "y", en función de los "x" días que pasan hasta que se venden las manzanas.

15. De un cuadrado de 4cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden "x". a) Escribe el área del octógono que resulta en función de "x" b) ¿Cuál es el dominio de esa función?

Tú puedes 1. Hallar el rango de f(x)= 4 − x + 1 a) [1;3〉 d) [0;3]

b) 〈2;3] e) 〈1;3〉

c) [1;3]

2. Dado A = " x ! Z/ x # 4, , sean f y g funciones de A en R definidos por: 2

f(x)=x –3 y g(x)= 1 − x + 1 Hallar la intersección del rango de f con el dominio de g. a) {0;–2;3} c) {1;2;3} e) {–1;0;1}

b) {–3;–2;–1} d) {–3;–2;1}

3. Si f es una función definida en el conjunto de todos los enteros por: x − 1, si x $ 10 f(x)= ' f (f (x + 2)); si x 1 10 , hallar f(1) a) 8 d) 9

b) 7 e) 10

4. Sea la función definida por: x2 + 4x + 13 ; x ! 6–2; 2 ; x ! 63; 3 x–3 Indicar el rango de H H (x) = )

a) [3; 5〉 c) [1; 2〉

b) [0; 3〉 d) [3; 3〉

e) 〈–3; 1] 5. Dada la función: f(x)=–3+ x2 − 4x + 5, x ! 6− 2; 6@ Hallar: [0;

17 +1] ∩ Ran f

a) 60; 17 − 2@ c) 60; 17 + 1@ e) 60; 17 − 3@

b) 6− 2; 17 + 1@ d) 6− 1; 17 + 1@

c) 5

"Mejor es adquirir sabiduría que oro preciado; y adquirir inteligencia vale mas que la plata" (Proverbios 16:16)

Colegios

146

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

26

Funciones III Lectura: Modelar un problema del mundo real Un desarrollo muy importante en las matemáticas fue la introducción del sistema de coordenadas cartesianas (o el sistema de coordenadas xy), desarrollado por René Descartes (1596 – 1650). Por lo general, dibujar la gráfica de una función mediante el sistema de coordenadas cartesianas. Este sistema hizo posible la creación de nuevas matemáticas, incluyendo el cálculo. La gráfica de una función es muy útil si estamos tratando de modelar un problema del mundo real. A veces podemos no saber una expresión para una función, pero sí sabemos algunos valores (tal vez de un experimento). El gráfico nos puede dar una buena idea de qué función se puede aplicar a la situación para resolver el problema. FUENTE: http://www.eured.cu

En este capítulo aprenderemos Funciones III .. Definición y gráfica –– Función constante –– Función identidad –– Función lineal .. Ejercicios

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147

26

Capítulo

Síntesis teórica

FUNCIONES III

Función constante

Colegios

148

TRILCE

Función identidad

Función lineal

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Hallar el valor de "a", de modo que la relación: R = "(1; 2), (3; a − 1), (2; 5), (3; 7 − a), sea una función 2. De la función: f = "(2; 3), (5; 3), (7; 2), (− 3; 5), , calcular la suma de elementos del dominio.

4. Calcular el dominio de la siguiente función: f(x)=x + x − 5 5. Calcular el dominio de la siguiente función: M (x) = 3x + 2 + 1 x−4

3. De la función: H = "( 5 ; 3), ( 5 + 1; 4), (5; b + 7), (− 1; 3 − b), calcular la suma de elementos del rango.

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Si f(x)=5 entonces f(5)+f(3) es:

A

la pendiente es 11

Si H(x)=3x+2 entonces H(3) es:

B

la pendiente es 2

De la función lineal g(x)=2x+3

C

11

De la función lineal M(x)=11x+1

D

10

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráfica de f(x)=x+2, es una recta oblicua de pendiente 2. ( )

4. Hallar el valor de "a", si la gráfica de f(x)=3a–4, es: y

b) La gráfica de g(x)=–4x+1; es una recta oblicua a la izquierda ( )

a x

c) La gráfica de h(x)=+5, es una recta horizontal ( ) d) La gráfica de k(x)=–3, es una recta vertical ( )

5. Hallar el valor de "a+b", si la gráfica de g(x)=3x+6, es:

3. Completar correctamente a) F(x)=7 es una función

y

b) La pendiente de la función lineal Y=3x–1 es: c) "5" es el valor de la f(x)=3+5x.

a b

x

de

d) La gráfica de H(x)=2011, es una recta

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149

26

Capítulo

Aprende más

1. Relacionar correctamente: P(x)=–5x+5

A

pendiente =–5

Q(x)=5x–5

B

rango={5}

R(x)=5

C

rango={–5}

S(x)=–5

D

pendiente=5

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráfica de y=5x–2, es una recta oblicua a la derecha ( ) b) La gráfica de y=–3, es una recta horizontal ( ) c) La gráfica de y=–2x–10, es una recta oblicua a la izquierda ( ) d) La gráfica de y=x, tiene pendiente igual a 1 ( ) 3. Completar correctamente a) La pendiente de la recta y=3x+5 es: b) F(x)=–2011 es una función c) La función f(x)=–2x+1, tiene pendiente negativa. d) La gráfica de una función lineal es siempre una 4. Hallar el valor de "m", si la gráfica de f(x)=5m–2, es: y

7. Indicar la función que define la siguiente gráfica es: y 3 -2

− 2; − 2 G x 1 3 a) F(x)= ' 3; 3 G x 1 5 − 2; − 2 1 x 1 0 b) F(x)= ' + 3; 0 G x 1 3 c) F(x)= ' − 2; − 1 1 x 1 2 3; 2 G x 1 5 − 2; − 2 1 x G 3 d) F(x)= ' 3; 3 1 x 1 5 − 2; − 2 1 x 1 2 e) F(x)= ' 3; 3 G x 1 5 8. Indicar la gráfica de F(x)=2x–6 3

b) 1 e) –2

c) 3

c) –3

6. Si "m" / "n" son números reales negativos y F es una función constante que satisface: F (100) + F (600 − a) = 1 2 + F (100 + b) calcular E=F(2010)+F(2011) a) 4 d) n Colegios

150

TRILCE

b) 2 e) m+n

6

a)

y 6 c)

–3

3

x

b) –6

x

y –3 x

d)

–6

x

y 6

5. Si F(x) es una función constante, y además se cumple que: F(–3)+F(–2)+F(–1)+F(0)=12, calcular: F(–4) a) –1 d) 3

y

y

x b) 2 e) 5

x

-2

2m+7

a) 1 d) 4

5

3

c) m

3

e)

x

9. Hallar el área que encierran las gráficas de f(x)=3x–6, g(x)=–x+2 con el eje de las ordenadas a) 3µ d) 16

2

b) 5 e) 8

c) 4

10. Hallar el punto de intersección de las gráficas de las funciones H(x)=3x–9 / G(x)=16–2x a) (–5;7) d) (6;5)

b) (4;8) e) (–4;–21)

c) (5;6)

11. Hallar la pendiente de la siguiente recta: g(x)=–2+ax si: g(3)=7 a) +2 d) –2

b) –1 e) 3

c) 1

Central: 6198-100

Álgebra 12. ¿Cuál (es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contiene a los puntos (5;6) y (8;15)? I. (1;–6) III. (–2;–15) a) II y IV d) I y III

II. (2;–2) IV. (–3;–16) b) I y IV e) todas

a) y=x+32 c) y=32x

c) II y III

5

y b

a) 6 d) 7

a

b) 5 e) 8

b) y=16x+12 d) y=9x+16

e) y= 9 x+32

13. Calcular "a+b+c", si la gráfica de:

− x; x G − 2 *5; x ! − 2; 3 f(x)= − x + 8; x H 3

14. En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distintos a los grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10ºC=50ºF y que 60ºC=140ºF, obtener la ecuación que nos permita traducir temperaturas de ºC a ºF.

c

x

c) 4

15. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 100 Km, depende de la velocidad a la que va. A 60 Km/h consume 5,7 Lt y a 90 Km/h consume 7,2 Lt. Estima cuánto consumirá si recorre 100 Km a 70 Km/h. a) 4,6 lt d) 6 lt

b) 9,8 lt e) 6,2 lt

c) 7 lt

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: H(x)=9x+5 R(x)=5x+9 F(x)=x G(x)=1

A B C D

pendiente=5 función identidad pendiente=9 función constante

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráfica de una función lineal es siempre una recta ( ) b) La gráfica de f(x)=3x+1, es una recta oblicua a la derecha ( ) c) La gráfica de g(x)=–x+2, es una recta oblicua a la izquierda ( ) d) La gráfica de h(x)=7, es una recta horizontal ( ) 3. Completar correctamente . a) R(x)=1+3x es una función: . b) A(x)=–9 es una función: 2 c) F(x)=(a–3)x +ax+1, es una función lineal si a= . d) Para que la función H(x)=5+ax sea lineal . a^ 4. Si "H" es una función constante que satisface: 2H (5) + 2 + 3H (3) = 2, calcular el valor de H(–2011) 2H (0) + 1 −3 , − 5 1 x G 1 5. Indicar la gráfica de: F(x)= ' 4 , 1 1 x G 3 6. Indicar la gráfica de y=–5x+10 www.trilce.edu.pe

7. Hallar el valor de "a", si la gráfica de f(x)= 3a − 1, es 2 y 11 x 8. Si la pendiente de la recta H(x)=(a–5)x+(a+2) es "–2", calcular el valor de H(–2) 9. La gráfica de la función lineal f(x)= x + 1, cuyo 2 dominio es <2;b> es: y 5 a 2

b

x

Calcular el valor de "a+b" 10. ¿Cuál (es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contiene a los puntos (–2;–14) y (5;0) I. (2;–6)

II. (0;–8)

III. (–5;–20)

11. Si el punto de intersección de las gráficas de las funciones: P(x)=5–x / Q(x)= x + 2 es (a;b), 2 calcular "a+b" Tercer año de secundaria

151

26

Capítulo

12. Hallar el área que encierran la gráfica de:

14. Un establecimiento en la ciudad cobra $20 por la primera hora y $10 por cada hora adicional. Expresar la cuota de establecimiento como una función del número de horas estacionadas.

g(x)= 4 − x y los ejes de coordenadas 2 13. Calcular "a+b+c", si la gráfica de:

15. Si f es una función lineal tal que: f(–2)= –6 y f(n+m)= f(n) + f(m) ∀n,m∈R Halle f(2)

y x + 3; x 1 − 5

f(x)=

*c; x ! 6− 5; 4

2

x–2; x H 4

a

x

b

Tú puedes 1. UNMSM 2011 – I La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f. x

2 5 f(x) 10 a La suma de a y b es: a) 25 d) 30

8 28

b 37

1 1

b) 40 e) 35

c) 45

2. UNMSM 2009 – I Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x)=|2x| y g(x)= x + 5 2 2 2 38 20 a) b) c) 32 µ2 µ µ 3 3 3 d) 40 µ2 3

a) 4^2 + 2 h µ c) 13 µ e) 12 µ

152

TRILCE

y 1 1

b)

x

y

1 c)

d) 3^2 +

1

2 hµ

–1 d)

c) –8

x

y

b) 15 µ

b) 8 e) –2

x

1

4. UNAC 2004 – II Se llama punto fijo de una función f, a un número x, tal que f(x)=x. Si el punto fijo de la función f(x)=mx–8, es igual a 2, determinar el punto fijo de la función g(x)=2x+m.

Colegios

a)

e) 16 µ2 3

3. UNAC 2005 – I Hallar el perímetro de la región determinada por las rectas x+y=2, x=1; y=5

a) 5 d) –5

5. Esbozar la gráfica de la función F, donde: F: R " R / y = F (x) = x − 1 + x y

x y

0

x

e)

Central: 6198-100

Capítulo

27

Función cuadrática Lectura: Federico Villarreal Federico Villarreal nació el 3 de agosto de 1850 en Túcume, departamento de Lambayeque (Perú) (El departamento de Lambayeque tiene como capital departamental a la ciudad de Lambayeque). Entre 1877 y 1880 estudió en la sección de ciencias matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduándose como bachiller en 1879 con la tesis: "Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras" y como licenciado con la tesis: "Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros" (1880). En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticas mediante la tesis: "Clasificación de Curvas de Tercer Grado". Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias de la UNMSM en 1880, donde dictó su primer curso: Astronomía; luego en esa misma casa de estudio se encarga de los cursos: Revisión de Matemáticas, Mecánica Racional, Geodesia y Teoría General de Motores y Máquinas. En este centro docente enseñó los cursos de física, cálculo infinitesimal, teoría de caminos, puentes y ferrocarriles, Topografía y luego los cursos de Resistencia de Materiales e Hidráulica. También fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890) en donde enseñó los cursos de: Cosmografía, Trigonometría Esférica, Construcción de Cartas Topográficas y Cálculo de Probabilidades. Fundó la Revista de Ciencias en 1897. Fue uno de los iniciadores de la ley que estableció el examen de ingreso a la universidad. En matemáticas sus principales trabajos fueron: 1. 2. 3. 4.

"Elevación de polinomios a una potencia cualquiera" (1879) "Clasificación de las curvas de tercer grado" (tesis doctoral de 1881) En este trabajo Villarreal logra obtener y clasificar matemáticamente 80 curvas de tercer grado "Aportes a la teoría de los números" (1897) FUENTE: http://www.arrakis.es

En este capítulo aprenderemos .. Definición –– Gráfica de la función (casos) –– Dominio y Rango de la función cuadrática

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153

27

Capítulo

Síntesis teórica

Regla

gráfica

Caso 1

Colegios

154

TRILCE

Caso 2

Central: 6198-100

Álgebra Saberes previos 1. Si: F(x)=5, calcular el valor de: F(0)+F(1)+F(–2)

5. Si la gráfica de "F" es: y

2. Indicar la gráfica de : y=x+1

(0,1) F(x) x

3. Indicar la gráfica de: y=7 4. Calcular la pendiente de la recta: 2y=3x–1

Indicar: • F (2) • F (–1)

Aplica lo comprendido 3. Completar correctamente: 2 a) La gráfica de y=ax +bx+c, (a≠0) es siempre una 2 b) Si (h;k) es el vértice de y=x –2x+5 entonces h= 2 c) Si (h;k) es el vértice de y=–x +4x–1 entonces k= 2 d) Si y=–x +2x–7, entonces su gráfica es una parábola abierta hacia .

1. Relacionar correctamente y

f(x)=x

2

A

x y

g(x)=–x

2

B y

2

p(x)=x –2x+m

C

x

4. Calcularla suma de coordenadas del vértice de 2 la gráfica de la parábola y=x –2x+3

y

2

q(x)=–x –2x+n

D

x

5. Calcular "a+b", en el siguiente gráfico: y

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Si (3;5) es un punto de paso de ( 2 f(x)=x –a, entonces a=4 2 b) La gráfica de f(x)=x es una parábola ( abierta hacia abajo 2

c) El vértice de g(x)=x –1 es (0;–1) 2

d) El vértice de h(x)=3x es (0;2)

www.trilce.edu.pe

a

) )

(

)

(

)

b –3

f(x)=x 5

2

x


155

27

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente

y

2

El vértice de y=x +1

A

(0;3)

2

B

(0;4)

2

C

(0;1)

D

(0;2)

El vértice de y=–x +2 El vértice de y=3x +4 2

El vértice de y=–5x +3

y x

c)

d) y


x

2

a) La gráfica de f(x)=–x +3, es una ( parábola abierta hacia abajo.

)

e) 6. Calcular "a–b", dada la siguiente gráfica:

y

2

x

b) La gráfica de g(x)=x –2 es

(

)

c) La gráfica de h(x)=x –2x, tiene ( como vértice a (1;–1)

)

d) (0;0) es el vértice de la gráfica de ( 2 H(x)=–x

)

–2

x

y

a) –1 b) 1

2

3. Completar correctamente a) Si (3;b) es un punto de paso de 2

f(x)=3x –5x–10, entonces b= 2

b) Si (h;k) es el vértice de y=x –2x+7, entonces h= 2

c) Si (h;k) es el vértice de y=x +6x–8, entonces h=

f(x)=5–x

a

2

c) 2

b

d) 3

–1

2

x

e) 4

7. UNMSM 2010 – I 2 Hallar el rango de la función: f(x)=–x +2x, sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) − 3; 0@ c) − 3; 1@ e) 60; + 3

b) − 3; 1 d) − 3; + 3

8. Hallar "a.b", si: 2

d) La gráfica de la parábola g(x)=4x+1–x , es

y

abierta hacia

a) 13 b) 15 2

4. Calcular la suma de coordenadas del vértice de

y=x +ax+b

c) 18

2

la gráfica de la parábola y=–x –2x+4 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

d) 11

c) 4

–3

2

9. Hallar el valor mínimo de f(x)=x –4x+3

2

5. Indicar la gráfica de y=–2x +4x+1 y

a)

Colegios

156

TRILCE

a) –3 d) –2

y x

e) 21

x b) 2 e) –1

c) 1

x b)

Central: 6198-100

Álgebra 2

10. Indicar la gráfica de y=x –6x+7 y

13. La resistencia de una cuerda que sostiene un peso "x" está dado por la función f(x)=x(12–2x). ¿Para qué peso la resistencia es máxima?

y

x

x

a)

a) 3

b) 2

d) –2

e) –3

c) 0

b) y

14. De un cuadrado de 4cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden "x".

y

x

x

c)

d)

I. Escriba el área del octógono que resulta en función de "x" II. ¿Cuál es el dominio de esa función?

y

2

a) 16–2x ; <0; 2> 2

b) 16–x ; <0; 7

x

2

c) 16–x ; <0; 1>

e)

2

11. Indicar la ecuación que describe la función representada en el siguiente gráfico

d) 8 – x ;<0; 1> 2

e) 32–x ; <1; 2>

y

15. Si f(x) es una función cuadrática con coeficiente principal igual a uno y f(0)= 1; f(1)= 3. 10

Halle f(2x). 4

8

2

a) x +x+1

x

2

–6

b) x –2x–1

2

2

2

a) y=x +8x+10 2 c) y=–x +7x+10 2 e) y=x +10x+10

b) y=x –8x+10 2 d) y=–x –8x+10

c) 4x +2x–1 2

d) 4x +2x+1 2

e) 4x –2x–1

12. Según la gráfica, calcular: "a+b"

y

a) 8 g(x)=2x+1

b) 10 c) 12

2

f(x)=x –6x+16

d) 6

a

www.trilce.edu.pe

b

x

e) 11


157

27

Capítulo

Practica en casa 7. Calcular "a.b", dada la gráfica:

1. Relacionar correctamente 2

El vértice de y=–x +6 2

El vértice de y=–3x –2 2

El vértice de y=6x +1 2

El vértice de y=2x –3

y

A

(0;–2)

B

(0;1)

–5

C

(0;–3)

2

D

(0;6)

f(x)=–x

2

x

a b 5


a) f(x)=5x –2 es una parábola abierta ( hacia arriba. 2 b) g(x)=5–x es una parábola abierta ( hacia arriba.

)

2

8. Si f(x)=–x +8x–20. Hallar el valor máximo de f(x)

)

2

9. Indicar la gráfica de y=2x –4x+5

c) (2;3) es un punto que pertenece a la ( 2 gráfica de y=x +2

)

d) (5;2) es un punto que pertenece a la ( 2 gráfica a y=3x –73

)

10. Calcular el área de la región sombreada:

y

3. Completar correctamente 2 a) La gráfica de la parábola f(x)=3x –x+1 es abierta hacia

2

F(x)=x –x–6

5

2

b) La gráfica de la parábola g(x)=2x–3x –2 es abierta hacia 2

c) Si (1;3) es un punto de paso de f(x)=2x – x+a entonces a=

x

11. Indicar la ecuación que describe la función, representada en el siguiente gráfico.

d) Si (2;b) es un punto de paso de

y

2

h(x)=x –5x+6, entonces b= 2

5

4. Si el vértice de la gráfica de y=–x +4x–2 es b a (a;b). Calcular el valor de "a +b ". 3 2

5. Si la gráfica de f(x)=x –2x+b, es:

x

–4

y

c

6

2

12. Hallar "n", si : f(x)=3x ∧ g(x)=nx–12 y

4

f(x)

a

g(x)

x b

Calcular "a+b+c"

a

x

6. Del siguiente gráfico, calcular "a+b"

y

a) 5 2

y=x +ax+b

b) 25 c) 10 d) 20

5

Colegios

158

TRILCE

x

e) 15

Central: 6198-100

Álgebra 13. Según la gráfica de las funciones f y g. Determinar el valor de 2a+2b.

14. Encontrar los valores de "m" para que la función 2

y=–x +12x+m, tenga con el eje de abscisas: I. Dos puntos de corte.

y

II. Un punto de corte.

f(x)=x2–3x+3

III. Ningún punto de corte. a

15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba

x

b

desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza

g(x)=–x+13

2

viene dada por la fórmula h=80+64t–16 t (t en segundos y h en metros) I. Hallar la altura del edificio. II. ¿En que instante alcanza su máxima altura?

Tú puedes 1. UNAC 2005–II Una función cuadrática f(x)=mx2+nx+p en el que (0;2) es un punto perteneciente a su gráfico y que tiene un mínimo en el punto (–1;3). En estas condiciones el valor de la expresión m2+n2+p2 es: a) 9 d) 2

b) 1 e) 4

a) g(x)=–(16/3)x +4x+1 2 c) g(x)=–(8/3)x +2x+8/3 2 e) g(x)=–(16/3)x +4x–1

2

b) g(x)=–(16/3)x +4x 2 d) g(x)=(8/3)x –4x

f(x)=x2–(a+2)x+a+5

b

b+3

x

d) 6 e) 12

5. UNAC 2004–II Sean f y g funciones definidas en los números reales, que satisfacen las siguientes relaciones. 2

a) 4

y

b) 7 c) –5

x

b) 4

f(x)

c) 2

3. Según la gráfica de la función: , señale el valor de "a+b"

b

a) –3 y

c) 3

2. UNMSM 2011–II Si f: R→R es una función cuadrática que satisface las condiciones f(1)=2, f(–1)=–2 y f(2)=–4. Hallar g(x)=f(x+1)+f(x–1) 2

4. Calcular el valor de "a+b", si la gráfica de 2 f(x)=x –7x+a es:

f(x)=–g(–x)+x –2 2

f(–x)=g(x)–x +4;∀x∈R Calcular el valor de f(301)+g(4) a) 15 c) 0 e) 13

b) 14 d) 900

d) –6 e) 3

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159

28

Capítulo

Repaso IV: Ecuaciones de segundo grado Lectura: Algo de historia de las ecuaciones Actualmente hay evidencias que los babilonios alrededor del año 1600 a.C. ya conocían un método para resolver ecuaciones de segundo grado, aunque no tenían una notación algebraica para expresar la solución. Los griegos, al menos a partir del año 100 a.C., resolvían las ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos, métodos que también utilizaban para resolver algunas ecuaciones de tercer grado. Parece ser que en el Renacimiento, los matemáticos de Bolonia resolvieron por métodos algebraicos la ecuación de tercer grado (se cree que Scipio del Ferro fue el primero en resolverla), pero la solución permaneció en secreto. En 1535, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia) demostró que era capaz de resolver la ecuación de tercer grado, pero no explicó como. Sólo se dedico a ganar un concurso público con su método sin desvelar los detalles. La fórmula descubierta por Tartaglia fue publicada por el físico Girolamo Cardano en su famosa obra Ars Magna en 1545. Tartaglia 3 reducía todas las ecuaciones de grado tres a una de la forma x + px = q y la fórmula que dio para resolverlas era: x=3

q + 2

p3 q 2 + + 27 4

3

q − 2

p3 q 2 + 27 4

En el Ars Magna también aparecía un método, descubierto por Ludovico, que permitía reducir la resolución de una ecuación de cuarto grado a una de tercer grado, con lo que la fórmula de Tartaglia permite también resolver las ecuaciones de cuarto grado. FUENTE: http://www.juntadeandalucía.es

En este capítulo recordaremos Repaso IV: Ecuaciones de 2do grado .. Resolución de ecuaciones por factorización y fórmula general. .. Propiedades de las raíces. .. Naturaleza de las raíces. .. Reconstrucción de la ecuación. .. Ecuaciones equivalentes.

Colegios

160

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra Aplica lo comprendido 1. Hallar el conjunto solución de la siguiente 2 ecuación: 36x =5+8x 2

2. En la ecuación: 3x –18x+1=0, hallar la suma y el producto de raíces. 2

2

3. Resolver: (2x–3) +23=(x+5) , mayor solución.

indique

la

4. Hallar la diferencia de raíces en la siguiente ecuación: 2 x +5x–6=0 5. Determinar "n", si la ecuación tiene raíces iguales. 2 x –10x+n–2=0

6. Hallar "p" si la suma de raíces es 8. 2

2

2

(p–2)x –(p –4)x+p +p–1=0 7. Formar la ecuación de segundo grado con coeficientes racionales sabiendo que una raíz es: 3 + 5 8. Indicar el valor de "m" en la ecuación: 2 x +(2m+5)x+m=0, si una raíz excede a la otra en 3 unidades. 2

9. En la ecuación: 4x +5x+6=0 de raíces x1 y x2, calcular: N = (1 − x1) (1 − x2) (1 + x1) (1 + x2) 10. Halle las soluciones no nulas de la siguiente 2 ecuación: 20x +3x+3=0, considere "3" el discriminante de la ecuación.

Aprende más 1. Relacionar correctamente según la teoría de las ecuación cuadráticas 2

A

complejos

2

B

{0; 4}

2

C

4

2

D

−9! 5 2

La ecuación x +9x–1=0, presenta como raíces: La ecuación x –4x+3=0, tiene como suma de raíces: La ecuación x +x+1=0, tiene raíces: La ecuación x –4x=0, presenta como raíces a: 2. Completar correctamente: 2 Dada la ecuación: mx –nx+5=0 a) La suma de raíces es: b) El producto de raíces es:

d) Si b=c, las multiplicativas

raíces

a) 2

b) 3

d) El discriminante es:

d) 1 + 5

e) 1 + 6 2

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inversas ( )

4. Resolver: x(x+3)=5x+3, señalar la mayor solución:

c) La suma de raíces inversas es:

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a la ecuación: 2 bx +ax+c= a) La suma de raíces es: − a ( ) b b) El producto de raíces es: c ( ) b c) Si b=0, las raíces son simétricas ( )

son

c) 4

2

5. Resolver: 2x –3=3x; indicar una de las raíces a) − 2 + 2

b) 2 − 32 6

d) 7 + 17 2

e)

c)

33 + 3 4

32 + 1 2


161

28

Capítulo

6. Siendo y raíces de la ecuación: 2 x +10=3x, calcular: ( +2)( +2) a) 5 d) 20

b) 10 e) 30

c) 15 2

7. Las raíces de la ecuación: x –(2a–1)x=4a+2, se diferencian en 7 unidades. Determine el menor valor de "a". a) –5 d) –1

b) –3 e) –2

c) 1

8. Halle "k" para que la diferencia de raíces sea uno. 2 2x –(k–1)x+(k+1)=0 a) –2 d) 1

b) –3 e) 2

c) 11

9. Calcule el valor de " " si la ecuación de segundo grado: 2 (4– )x +2( x+1)=0; tiene solución única. a) 2 d) 2 y 4

b) 4 y –2 e) 5

c) –4 y 2

2

10. Si el polinomio P(x)=3x –10x+m, tiene raíces reales y diferentes, entonces "m" varía en: a) 0; 1 d) 0; 1@

b) 0; 25 3 e) − 1; 1

c) 0; 2

11. Hallar la ecuación de segundo grado, cuya raíces son: 3 y 5 2 a) x –8x+4=0 2 b) x –8x–15=0 2 c) x –8x+15=0 2 d) x +8x+15=0 2 e) x –15x+8=0 12. Halle la ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean las inversas de los raíces de la ecuación: 2 x –2x+5=0 2 a) 3x –5x–1=0 2 b) x +5x+2=0 2 c) 2x –5x–1=0 2 d) 5x –2x+1=0 2 e) 3x –x+5=0 2 13. En la ecuación: 2x –4x+p=0, halle "p" si una raíz es: 1 − 2 a) 1 d) –1

Colegios

162

TRILCE

b) –2 e) 3

c) 2

14. Calcular " + ", si las ecuaciones de segundo grado: 2 ( –1)x +2x+1=0 2 9x +( +1)x+3=0 Son equivalentes. a) 5 d) 11

b) 7 e) 13

c) 9

15. Si las raíces de la ecuación: 2 3(m+3)x =(14m+3)x–(5m–1), son recíprocas, hallar "m" a) 3 d) 2

b) –2 e) 5

c) 4 2

16. Si la ecuación cuadrática: 2x –10x+4p+2=0 tiene raíces x1 = α + 3 / x2 = α − 3 , halle el 2 2 valor de "P" a) 7 2 d) 2 7

b) 3 2 e) 4 3

c) 2 3

17. Halle el valor de "m" en la ecuación: 2

x –mx+5=0, m<0; si sus soluciones a y b verifican: a + b = 3 b a a) 5 b) –5 c) 2 d) –2 e) –3 2

18. Si las soluciones r y s de la ecuación x +3x+k=0, 2 2 verifica r +s =p, hallar una relación entre p y k. a) 2p–k=9 b) 2p+k=3 c) p–2k=8 d) p+2k=9 e) p+8=2k 19. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante comete un error con el término constante de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error con el coeficiente del término de primer grado y obtiene por raíces –9 y –1, indicar cual es la ecuación correcta. 2

2

a) x – 10x + 9 = 0 b) x –10x+16=0 2 2 c) x –8x+9=0 d) x –9x+10=0 2 e) x –3 20. Tanto el largo como el ancho de un paralelepípedo rectángulo, son el doble de su altura. Si cada una de las tres dimensiones aumentase en 1 unidad, el volumen aumentaría en 43 metros cúbicos. ¿Cuál es la altura del paralelepípedo? a) 3m d) 1m

b) 2m e) 6m

c) 4m

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Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente según la teoría de las ecuaciones. 2

La ecuación x +7x–1=0, tiene como discriminante: 2

Al resolver x –9=0, se obtiene por conjunto solución a: 2

Si la ecuación ax +bx+c=0, tiene raíces recíprocas entonces: 2

En la ecuación 2x –5x+1=0, la suma de sus inversas está dado por:

A

a=c

B

37

C

"! 3,

D

5

8. Determinar el valor de "p" en la ecuación: 2 x –6x+4+p=0, si la diferencia de sus raíces es 2.


Dada la ecuación: bx +ax+c=0 a) Su discriminante es igual a: b) Si la ecuación posee raíces simétricas entonces: c) Si la ecuación posee raíces recíprocas entonces: d) La suma de sus raíces inversas está dado por:

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a 2 la ecuación: x –3x–1=0 a) La suma de sus raíces es: –3

( )

b) El producto de raíces es: 1

( )

c) La suma de sus raíces inversas es: 1

( )

d) La diferencia de sus raíces es:

13

( )

4. Resolver 3(3x–2)=(4+x)(4–x); señalar la menor solución

6 = 5; indicar x+3 una solución del conjunto solución:

5. Luego de resolver

x+3+

9. Indicar el producto de los valores de "m" que 2 hacen que la ecuación: 2x –mx+m–2=0, tengan raíces iguales.

10. Si "m" y "n" son las raíces de la ecuación: 2 calcular el valor de x +2x–4=0, 1 1 N= + m+3 n+3

11. Hallar la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son: − 4 y 3 5 7 2

12. Una raíz de la ecuación: 8x –2x+c=0, es x =− 1 ¿cuál es la otra? 2 13. Calcular (n–m) si las ecuaciones 2 (2m+1)x –(3m–1)x+2=0 2 (n+2)x –(2n+1)x–1=0 son equivalentes

2

6. Sabiendo que "x1" y "x2" son las raíces de la 2 ecuación: 2x –6x+1=0, hallar el valor de : (x1+1)(x2+1)

7. Hallar la diferencia de raíces de la ecuación: 2 (2x–7) +8=6(2x–7)

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14. Si p y q son raíces de la ecuación: x –2bx+2c=0, entonces el valor de : 12 + 12 p q 2

15. Si la ecuación: x +(n–2)x+n–5=0, tiene raíces opuestas, y la ecuación: 2 tiene raíces (m+3)x –3(m–1)x+6–m=0, recíprocas, calcular el valor de m.n


163

28

Capítulo

Tú puedes 4. CEPRE – UNI

1. CEPRE – UNFV Para que valor de "m" las raíces de la ecuación 2 x + 3x = m − 1 serán iguales en magnitud, 5x + 12 m + 1 pero de signos contrarios

Calcular los valores de "m" proporcionar el

a) 2 d) 5

(m–1)x –(m +1)x–(4n –4)=0

b) 3 e) 6

c) 4

2. CEPRE – UNAM Dada la ecuación de segundo grado: 2 4x –x+3=0, formar una nueva ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las inversas de las raíces de dicha ecuación. 2 a) 9x –15x+4=0 2 b) 10x –15x–4=0 2 c) 9x –15x–4=0 2 d) x –15x–2=0 2 e) 3x –x+4=0

mayor, para los cuales las ecuaciones: 2

3

(m–2)x –(m+2)x–(n +6)=0 2

2

3

tendrán las mismas soluciones; (n∈Z) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2

5. La ecuación x +4x+(m–1)=0, tiene raíces 2

reales, pero la ecuación x –2x+(m+1)=0 tiene raíces complejas. Hallar la suma de los valores enteros de "m". a) 10 d) 13

b) 15 e) 9

c) 14

3. CEPRE – UNI n n n Si: x +2 x+2 =0, tiene dos raíces reales diferentes, entonces "n" es: a) 0

b) 1

d) mayor que 2

c) 2 e) menor que 2

“Evita las preocupaciones y penas, que solo están en tu imaginación" Colegios

164

TRILCE

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Capítulo

29

Progresiones I

Lectura: Anécdota sobre Gauss Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050. Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50 · 101 = 5 050. FUENTE: http://www.educarchile.cl

En este capítulo aprenderemos Progresiones I .. Sucesión .. Progresión aritmética (P.A.) –– Propiedades –– Fórmulas * Término de posición general * Término central * Suma de los "n" primeros términos .. Interpolación de medios aritméticos

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165

29

Capítulo

Colegios

166

Síntesis teórica

TRILCE

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Álgebra Saberes previos 1. Calcular "a" (3a–2)–(8a–4)=5(a–3) 2. Indicar an si: an+am=18 an–am=12

4. Si: S=400, calcule "n" en: S = n (n + 20) 2

5. Indique el equivalente numérico de "r" en: 5x − 2y siendo: 5x ^ 2y r= 4y − 10x

3. Despejar "p" en: 5(x+3)=2(x+1)+3p

Aplica lo comprendido 1. En la siguiente P.A. ÷(x–7); 5; (x+3), ¿cuál es el valor de "x"?

2. En la siguiente progresión aritmética, calcular el término de lugar 31.

4. Hallar la suma de los 20 primeros números impares

5. Luego de interpolar 3 medios aritméticos entre 6 y 30, se forma una progresión de 5 términos cuyo término central es:

÷3; 6; 9; ...

3. En la P.A. ÷4; x; 14; y; 24; ... .Hallar: 2y–x

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167

29

Capítulo

Aprende más

1. Relacionar correctamente según la teoría de progresión aritmética. En ÷3; 5; 7; 9 ..., su razón es:

A

3

Si ÷2; 4; 6; 8; ..., entonces t10 es:

B

20

El valor de "n" en ÷n–2; 4; n+4 es:

C

195

Calcular: 3+5+7+...+27

D

2

2. Completar correctamente Dada la P.A. ÷7; 15; 23; ... a) La razón es:

9. La suma de los "n" términos de una P.A. es: Sn = ` 7n + 1j .n, calcular el término que ocupa 2 el lugar 21.

b) El término de lugar nueve es: c) El

término

n–ésimo

está

dado

por:

d) La suma de los 6 primeros términos es: 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ÷5.5; 6.75; 8; ...; 18 a) El primer término es: 5.5 ( ) b) La razón es: 1.25

( )

c) El número de términos es 16

( )

d) La suma de todos sus términos es 270 ( ) 4. Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente P.A. ÷12; 8, 4; ... a) –12 d) –20

b) 44 e) 21

c) –44

5. En la P.A. ÷100; 96; 92; ..., calcule el término que ocupa el lugar 18 a) 28 d) 31

b) 29 e) 32

c) 30

6. Dadas las progresiones aritméticas: ÷x: 2y; (4x+1); ... ÷y; (x+y); (2y+2); ..., calcule el valor de (x+y) a) 7 d) 13

b) 4 e) 9

c) 3

7. En una P.A. los términos que ocupan los lugares 54 y 4 son –61 y 64; hallar el término que ocupa el lugar 23. a) 15 d) 16.5

b) 15.5 e) 17

c) 16

Colegios

168

TRILCE

b) 53 e) 60

c) 54

b) 144 e) 100

c) 169

10. En una P.A. el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. a) 50 d) 100

b) 30 e) 20

c) 80

11. Hallar la razón para interpolar 6 medios aritméticos entre 32 y 70. a) 5 3 7 d) 5 4 7

b) 4 3 7 e) 2 7 8

c) 3 7 8

12. Hallar el menor de tres números que están en P.A. tales que al adicionales respectivamente 3; 10 y 2, las sumas obtenidas sean proporcionales a 2; 6 y 7. a) 10 d) 7

b) 13 e) 9

c) 8

4

2

13. Los números ÷144; x ; 2x formaron una P.A. entonces los valores reales de "x" son: b) ±3 e) ±2

a) ± 8 d) ±5

c) ±4

14. Calcular la suma de los "p" primeros términos de la P.A. cuyo término n–ésimo es: 3n–1 a)

p (3p − 1) 3

d) 3p+5 15. Sea

la

b)

p (3p + 1) 2

e)

p (p − 1) 2

sucesión 2

" an,

c) 3p–2

definida

por:

2n + 1 − 2 n + n determine el valor de

an = 24

8. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A. ÷13; 20; 27; ...; 391? a) 52 d) 55

a) 122 d) 224

/ ak

k=1

a) 16 d)

24 − 1

b)

24

e)

25

c) 4

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Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente según la teoría de progresión aritmética. En ÷1; 5; 9 ..., su razón es:

A

44

Si ÷3; 7; 11; ..., el término 11 es:

B

4

Calcular: s=1+3+5+7+...+(2n–1)

C

n

Hallar "x" en ÷4x–4; 5; 3x

D

2

2. Completar correctamente Dada la P.G. ÷ 5; 18; 11; .....

2

9. La suma de tres términos en progresión aritmética es 27 y la suma de los cuadrados es 293. Hallar

a) La razón es:

el mayor de los términos.

b) El término de lugar 4 es: c) El

término

n–ésimo

está

dado

por: 10. La suma del tercero y octavo término de una

d) La suma de los 5 primeros términos es:

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) con respecto a la P.A. ÷–5; –13; –21; ...; –85 a) El valor de la razón es; 8

( )

b) El primer término es: –5

( )

c) El número de términos es: 10

( )

d) La suma de sus términos es: –100050 ( ) 4. Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente P.A. ÷12;8 ; 4; ...

P.A. es 41 y la relación del quinto al séptimo 19 . ¿El segundo términos es? 25

11. En una P.A. de 6 términos creciente, de términos positivos, el producto de los extremos es 154 y el producto de los términos centrales es 208. El último término es:

12. Calcular el valor de: K=1–2+3–4+...–2n

5. En una progresión aritmética el primer término es 3 y el último 33. Hallar el número de términos que tiene, si su suma es 162.

6. La suma de 15 términos de P.A. es 600 y la razón es 5. Hallar el primer término. 7. El primer término de una P.A. es 5, el último 45 y la suma 400. Hallar el número de términos y la razón.

8. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437.

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13. Determine el número de medios aritméticos que se pueden interpolar entre los números 1 .......... 3 , si la razón de interpolación es 1 2 4 64

14. Si la suma de "n" términos de una P.A. es 2

2n +5n, para todos los valores de "n". Hallar el término de lugar 10.

15. En una P.A. de 15 términos, la suma de los términos es 360, ¿cuál es el valor del término central?


169

29

Capítulo

Tú puedes

1. CEPRE – UNI Hallar la suma de las "n" primeros términos de la sucesión. 1+11+111+1111+... a) 10n+4n–10

n b) 10 − 9n − 10 81

n c) 10 + 9n − 10 81

n+1 d) 10 + 9n − 10 81

n+1 e) 10 − 9n − 10 81

2. CEPRE – UNMSM La suma de los tres primeros de una P.A. es 42, la suma de los 3 últimos es 312, y la suma de todos los términos es 1062 ¿cuántos términos tiene dicha P.A.? a) 18 d) 12

b) 10 e) 6

c) 8

4. CEPRE – UNI La suma de los primeros "n" términos de la 2 2 2 sucesión ' n − 1, n, n + 1, n + 2 , ..., es: n n n a) n (n + 1) 2 c) (n − 1) (2n + 1) 2 e) n (n − 1) 2

b) (n − 1) (2n + 3) 2 d) 2n + 3 2

5. CEPRE – UNAC La suma de los "n" términos de una P.A. 2 es 2n +3n. Hallar el término 50 de dicha progresión. a) 196 d) 201

b) 210 e) 190

c) 192

3. CEPRE – UNMSM Un coronel que tiene a su mando 3003 soldados los que quiere formar en triángulo de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera, y así sucesivamente. ¿Cuántas filas habrá? a) 70 d) 77

b) 71 e) 74

c) 72

“La verdad os hará libres"

Colegios

170

TRILCE

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Capítulo

30

Progresiones II Lectura: El mendigo y el grano de arroz Había una vez, hace mucho tiempo, un rey que gobernaba un próspero país. La pobreza era desconocida y todo el mundo tenía un trabajo productivo. Por eso, la aparición de un mendigo caminando por la calle principal causó un gran alboroto en la capital. El rey pidió ver a este hombre extraño. Cuando se lo llevaron, el mendigo declaró que en verdad no tenía ninguna posesión ni ningún dinero para comprar comida. El rey magnánimamente le ofreció todo cuanto pudiera comer en el resto de la semana, y ropas limpias, para que el mendigo pudiera continuar su camino al reino vecino. Sorprendentemente, éste declino la oferta real, y pidió un modesto favor. El rey pidió saber de qué se trataba. El mendigo humildemente solicitó un grano de arroz para el primer día, dos el segundo, cuatro el tercero, y así sucesivamente, doblando cada día la contribución del anterior. El rey miró por la ventana sus graneros llenos a rebosar y estaba a punto de aceptar cuando su gran visir, que recordaba lo que había aprendido en su asignatura de Introducción a las Matemáticas en la universidad local, advirtió a su majestad que se lo pensara mejor. Para calcular las implicaciones de la petición, sacó un ábaco polvoriento y empezó a calcular exponenciales. Tras un rato de trajinar, encontró que no podía expresar la maginud de los números porque se le acababan las cuentas. El rey, impaciente con su visir ante un deseo tan simple de un pobre hombre, concedió oficialmente al mendigo su deseo. No sabía que había firmado la sentencia de muerte de su reino. Al día siguiente, el mendigo apareció para reclamar su grano de arroz. Los paisanos se rieron de él y le dijeron que más le hubiera valido aceptar la oferta del rey de comer hasta hartarse en lugar de ese miserable grano de arroz. Al segundo día, volvió por dos granos. Una semana más tarde, trajo una cucharilla para llevarse los 128 granos que le correspondían. En dos semanas, ya era una porción no desdeñable de medio kilo. Al final del mes, había crecino a 35 toneladas. Unos días después el rey tuvo que declarar la bancarrota. Eso fue lo que se tardó en arruinar el reino. FUENTE: http://pseudopodo.wordpress.com

En este capítulo aprenderemos Progresiones II .. Progresión geométrica (P.G) –– Propiedades –– Fórmulas * Término de posición general * Término central * Suma de los "n" primeros términos * Suma límite .. Interpolación de medios aritméticos

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171

30

Capítulo

Colegios

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Síntesis teórica

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Álgebra Saberes previos 1. Hallar an en: an+ap=12 an–ap=10

4. Indique "n" en: (n − 2) (n + 7) = n + 1 5. Despejar x en

2. Calcular "q" es: q+3 q+5 = q−1 q−3

8 = 8.2 x + 1

3. Hallar "to" en: 2 (to+5)(to+3)=(to+1)

Aplica lo comprendido 1. Hallar el término que ocupa el lugar 7 de la siguiente P.G. .... 2; 8; 32; ...

4. Luego de interpolar 3 medias geométricas entre 5 y 3125 se obtiene un razón igual a:

2. Calcular el número de términos en la siguiente P.G. .... 4; 8; 16; ...; 4096

2 3 5. Calcular la suma 1 + 1 + ` 1 j + ` 1 j + ... 2 2 2

3. En una P.G. el primer término es 7, el último término 448 y la suma 889. Hallar la razón.

Aprende más 1. Relacionar correctamente según la teoría de progresión geométrica. .. .. 2 : 4 : 8 : 1 6 : . . . ,

En

su razón es:

A

±3

2 : 6 : 1 8 : . . . , entonces t5 es: El valor de "y" en .... y + 1 : 3 y : 9 y – 6 : . . . , es:

B

162

C

2

En una P.G. se conoce: S4=10S2; hallar "q"

D

2

Si

.. ..

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173

30

Capítulo

9. La suma de los términos de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término.

2. Completar correctamente: Dada la P.G.

.. .. 3:6:12:

...

a) La razón es:

a) 1 d) 4

b) El término de lugar 7 es: c) El

término

n–ésimo

está

dado

por:

d) La suma de los cinco primeros términos es: 3. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a la P.G. .... 2:8: ...:8192 a) El primer término es: 2

( )

b) La razón es: 4

( )

c) El número de término es: 7

( )

d) El último términos es: 8162

( )

4. Hallar el término que ocupa el lugar 9 de la siguiente P.G. .... 1 : 1 : 1: ... 4 2 a) 4 d) 64

b) 16 e) 128

c) 32

5. Calcular el número de términos de la siguiente progresión: .... 2:6:...:1458 a) 4 d) 7 6. En la P.G. a) 111 d) 222

b) 5 e) 8 .... 2:x:18:y:z:...,

b) 120 e) 300

c) 6 hallar x+y+z c) 166

7. Dada una P.G. se cumple que t5=2; t11=128; indicar el valor de la razón. a) 3/2 d) 5/3

b) 2 e) 5

c) 4

8. En una P.G. t8=8t5 y t5+t8=6, calcular t1 a)

1 24

d) − 1 30

Colegios

174

TRILCE

b) − 1 24 e)

1 44

c)

1 30

b) 2 e) 5

c) 3

10. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una P.G. de 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar par 1911. Hallar la razón a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

11. En una P.G. se conoce. S6=28S3, hallar "q" a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

12. Interpolar 3 medios proporcionales entre : ab y a , indicar el tercer término de la progresión b obtenida. 2

a) b

b) ab

d) a b

e) a b 2

c) a

13. Señalar el valor de: K = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... 2 3 4 9 8 a) 0,2 d) 0,8

b) 0,4 e) 1,0

c) 0,5

14. Sea la sucesión {an} cuyo término enésimo está dado por la fórmula de recurrencia. a1=2 y an = 1 an–1; indicar el valor de: 2 a1+a2+a3+a4+... a) 4 d) 10

b) 5 e) 11

c) 6

15. En un cuadrado cuyo lado es "a" se unen los puntos medios de los cuatro lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Calcular el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados. 2 a) a 2 2 d) 6a

b) a

2

e) 2a

c) 3 a2 2 2

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Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente según la teoría progresión geométrica: En ÷÷ 3 : 3 : 27: ....., su razón es:

A

Si: ÷÷ 5 : 25 : 125 : ... , entonces t5 es:

B

3125

Si: ÷÷ a1 : a2 : a3 : .... an, su término central es:

C

3

2. Completar correctamente: Dada la P.G. ÷÷ 8 : 16 : 32 : ....

a1a2

9. La suma de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término.

a) La razón es: b) El término de lugar 8 es: c) El

término

n–ésimo

está

dado

por:

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), en: ÷÷5 : 10 : 20 : ....: 320 ... a) El primer término es: 5

(

)

b) La razón es: 3

(

)

c) El número de términos es: 7

(

)

4. Hallar el término que ocupa el lugar 7 de la siguiente P.G. ÷÷ 1 : 1 : .... 2 4 5. Calcular el número de términos de la siguiente progresión: ÷÷ 1 : 2 : 1: ... : 256 2 2 2 2 6. En la P.G: 9 : a : b : 1 : ..., hallar a +b 3

7. En una P.G. se cumple que: t5=32; t8=4, indicar el valor de la razón. 8. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros. Hallar la razón.

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10. De la P.G. cuyos términos son t1, t2, t3, ..., tn, t .t además: t1=16, determine el valor de 5 4 t8 11. La diferencia del sexto término y el tercer término de una P.G. es 26 y el cociente es 27. Calcular el primer término.

12. Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 5,120; indicar la razón.

13. Hallar la suma de los infinitos términos de: 1 + 2 + 1 + 2 + ... 7 72 73 7 4

14. Calcular la suma de la serie indefinida: 3 + 7 + 15 + 31 + ... 4 16 64 256

15. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una P.G. de 6 términos es 637, y la suma de los que ocupan el lugar par 1,911. Hallar el primer término.


175

30

Capítulo

Tú puedes

1. CEPRE – UNAC Tres números enteros están en P.G. si al segundo se le suma 2, se convierte en aritmética, si a continuación se suma al tercero 9, vuelve a ser geométrica, hallar el mayor de los números. a) 25 d) 5

b) 16 e) 2

c) 30

2. CEPRE – UNAM Determinar el valor de: K = 3 − 2 + 32 − 22 + 33 − 23 + ... 5 7 5 7 5 7 a) 1/2 d) 13/12

b) 5/4 e) 5/12

c) 1/4

3. CEPRE – UNMSM La suma de los términos que ocupan el lugar impar de una P.G. de 6 términos es 637, y la suma de los que ocupan el lugar par 1.911. Hallar el primer términos y la razón. a) t1 = 7; q=2 c) t1=3; q=7

4. UNMSM 2010–II La suma de los "n" primeros términos de una 3n + 1 P.G. es 21– n − 1 . 7 5 Halle 7 veces la cuarta parte de sexto término de esta progresión. 6

a) 3 5 d) 2(3 )

5

6

b) 3 6 e) 3(2 )

c) 2(3 )

5. CEPRE - UNI Si x<1; calcular el límite de la suma de la serie 2 3 4 indefinida 1+3x+5x +7x +9x +... n

a) x + 1

n+1 +3 b) x x

c) 2x + 3

d)

e)

1+x (1 − x) 2

x2 − 1 (x + 1) 2

b) t1=7; q=3 d) t1=4; q=3

e) t1=5; q=1

“Se íntegro y todas la cosas vendrán a tí"

Colegios

176

TRILCE

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Capítulo

31

Logarítmos I

Lectura: Logarítmos y antropología

Hablar de Logaritmos no se trata de un asunto sólo de las ciencias. Los historiadores también lo usan cuando datan la antigüedad de los restos orgánicos por el método del C14. La datación por Carbono-14 es un procedimiento para determinar la edad de ciertos objetos arqueológicos que tengan un origen biológico con una antigüedad de hasta cerca de 60.000 años. Se utiliza para fechar cosas tales como: huesos, madera, fibras vegetales que fueron creadas en un pasado relativamente reciente por actividades humanas. El carbono-14 es radioactivo, siendo su “período de semi desintegración ” de 5760 años(es decir, a los 5760 años de la muerte de un ser vivo la cantidad de C-14 en sus restos fósiles se reduce a la mitad). En cuanto los organismos vegetales o animales mueren, cesa el intercambio con la atmósfera y cesa el reemplazo de carbono de sus tejidos. Desde ese momento el porcentaje de C-14 de la materia orgánica muerta comienza a disminuir, ya que se transmuta en N-14 y no es reemplazado. La masa de C-14 de cualquier fósil disminuye a un ritmo exponencial que es conocido. Se sabe que a los 5760 años de la muerte de un ser vivo la cantidad de C-14 en sus restos fósiles se ha reducido a la mitad y que a los 57600 años es de tan solo el 0,01% del que tenía cuando estaba vivo. La fórmula es la siguiente:

t=

T1/2 N . ln c f m No − ln 2

No

: es la cantidad de C-14 original del fósil ( al morir).

Nf

: es la cantidad de C-14 final del fósil ( al encontrarlo).

T1/2

: es el periodo de semidesintegración del C-14, es constante. Nosotros utilizaremos 5.760 años.

t

: tiempo estimado de antigüedad del fósil.

En este capítulo aprenderemos Logarítmos I .. Definición .. Identidad fundamental .. Propiedades –– Logarítmo de la unidad, de la base. –– Adición y sustracción. –– Logarítmo de la potencia, de la raíz

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177

31

Capítulo

Síntesis teórica

Colegios

178

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Álgebra Saberes previos 1. Calcular: 2 9 + (32) 2 + (− 2) 3

4. Hallar "x" en: x 3 2 3 = 2 + 3 + 10

2. La potencia de 2 a la 6 es:

5. En la siguiente igualdad: log Y X = Z Indicar el logarítmo:

3. La raíz cúbica del opuesto de 8 es:

Aplica lo comprendido 1. Calcular: Log2 32 + Log3 27 + Log5 25

4. Reducir: 1 log 2 + log 3 25 0,5 5 3

2. Calcular: Log6 1 + Log7 7 + Log3 81 Log2 64 + Log6 36 + Log7 49

5. Indicar "r" log2 (r + 5) = log3 81

3. Calcular: Log 4 8 + Log9 27 + Log25 125

Aprende más 1. Relacionar correctamente considerando la igualdad: log b am = c c

• Si "a" vale 1 entonces "c" vale

A

b

• El valor de a es

m

B

m

• Si a = m b entonces "c" vale

C

cero

• Si a=b entonces "c" vale

D

uno

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179

31

Capítulo

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El logaritmo en base 9 de 3 es 2

(

)

Log 8 3 2

II. El logaritmo de 2 en base 8 es 3

(

)

III. El logaritmo en base 5 de 25 es 2

(

)

IV. El logaritmo en base 8 de 4 no es entero (

)

a) 213 49 13 d) 59

V. El logaritmo en base 1 de 3 no está de( finido

)

3. Completar : I. La propiedad de la suma de dos logaritmos se aplica solo cuando tienen igual II. El

logaritmo es -1 cuando la base es la del número

III. El logarítmo es cero cuando el número es .

b) 3/4 e) 5/6

c) 3/2

a) –2/3 d) –1

b) –3/2 e) –3

8. Calcular: Log 2 3 2 + Log3 4 9 + Log 4 5 8 8 9

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b) 52 5 113 e) 30

Log12 36 + Log12 4 Log6 108 + Log6 2

a) 2/3 d) 1

b) 3/2 e) 3

12. Calcular:

2+ Log25

c) 4

c) –1

1+ Log54

+5

b) 36 e) 26 Log8 125 +

13. Calcular: 4

c) 48

Log12527

25

b) 34 e) 42

c) 40

c) 0,02

Log 2 8 + Log 3 3 81 + Log 4 4 64 8 9 a) 5 b) 9 c) 7 d) 8 e) 10

Colegios

11. Calcular:

b) 5 e) 8

15. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula: M(x) = Log ` x j xo Donde: x = Lectura del sismógrafo –3 xo = 10 (Lectura referencial)

7. Calcular:

a) 103 5 133 d) 60

c) 124 135

c) 1

Log25 0, 2 + Log 4 0, 5 Log2 0, 25 + Log5 0, 04 b) 0,5 e) 0,25

49

14. Calcular el logaritmo de 9 en base 1024 16 243 a) 3/5 b) 2/5 c) 4/5 d) –2/5 e) 1/3

6. Calcular:

a) 0,2 d) 0,05

a) 6 d) 7

a) 18 d) 32

5. Calcular: Log0,2 5 + Log0,5 2 + Log0,25 4

3

b) 375 256 123 e) 53

a) 30 d) 40

Log16 64 + Log8127 Log27 9 + Log8 16 a) 9/8 d) 6/5

2 9 + Log3 5 7

10. Calcular: Log 4 8 + Log 4 2 + Log3 54 − Log3 2

2

4. Calcular:

180

9. Calcular: Log 2 3 4 + Log3

c) 114 35

2

• Si se registra una lectura de 10 , indicar la magnitud del movimiento telúrico. a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 15

• Si se produce un terremoto de grado 6 en escala de Richter, indicar la magnitud de la lectura del sismógrafo. a) 1/100 d) 1000

b) 100000 e) 100

c) 10000

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Álgebra Practica en casa 9. Calcular: Log 8 3 16 + Log3

1. Calcular: Log2 64 + Log3 9 + Log5 625 2. Calcular:

Log5 1 + Log6 6 + Log2 128 Log2 16 + Log 4 64 + Log9 81

10. Calcular: Log12 8 + Log12 18 + Log6 72 − Log6 2

Log8 4 + Log9 243 Log16 128 + Log8 2

11. Calcular:

5. Calcular: Log0,5 8 + Log0,25 2 + Log0,2 125 6. Calcular:

8. Calcular: Log 5 3 5 + Log 4

3

27

3+ Log25

+2

Log9 16 Log 125 + 16 8

4 3

3

27 + Log5

1+ Log37

13. Calcular: 27

16 + Log 4

4

Log12 36 − Log12 3 Log6 9 + Log6 4

12. Calcular: 3

Log25 0, 04 + Log8 0, 25 Log 4 0, 5 + Log5 0, 2

7. Calcular: Log 7 343 + Log3

8

5 Log 5 3 25 + Log 4 9 27

3. Calcular: Log27 9 + Log8 32 + Log125 5 4. Calcular:

4 4

4

27

14. Calcular el logaritmo de 729 en base 32 64 243 Log57 Log7 3 Log 12 Log 2 ) + (27 3 ) 12

15. Calcular: (25

4

Tú puedes 1. Calcular el logaritmo de ^ 2 + 1h en base ^ 2 − 1h . a) 3/2 d) 1

b) 1/2 e) –1

c) 1/4

2. Calcular:

101/2−Log(0,5

b) 10 e) –2

3. Si x = 10 3 . Calcular: Log

Logx (3

3

a) 5 d)

x

Log2x

+4

c) 1/2

Log

+6

b) 25 5

a) 8 d) 2

b) 4 e) 1

c) 6

5. Si log2= m y log3= n Halle: Log615

10 )

a) 2 d) 1

4. Calcular: Log2 (Log2 (Log2 (Log2 65536)))

6

a) m d) m–n + 1 m+n

b) n e) n–m + 1 m+n

c) m–n

x

) c)

2

e) 12

"Encomienda a Dios tu camino; y confía en él; y él hará" Salmo 37:5

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181

32

Capítulo

Logarítmos II Lectura: Los logarítmos y la intensidad del sonido La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce una onda sonora (Medida en watts por metro cuadrado). Las intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbral –2 2 de audibilidad) es aproximadamente 10 W/m . La "Sonoridad" se define como L = 10 Log I− 2 , 10 donde I es la intensidad y L se mide en decibelios. Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. forman en nuestro oído una progresión aritmética, en cambio la energía de estos sonidos constituye una progresión geométrica de razón 10. Como ejemplo, una conversación en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un león 87 decibelios (posee una energía 158 veces mayor que la conversación en voz alta), el ruido de un martillo sobre una lámina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial. La intensidad de sonido producida por un gran avión de reacción es 10 13 veces tan intensa como el umbral de audibilidad. ¿Cómo es de ruidoso? Si se duplica la intensidad de un sonido, ¿en cuántos decibelios aumenta la sonoridad?

En este capítulo aprenderemos Logarítmos II .. Logarítmo decimal. .. Logarítmo natural. .. Propiedades –– Cambio de base –– Regla de la cadena –– Regla del intercambio

Colegios

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183

32

Capítulo

Saberes previos

1. Resolver:

4. Resolver:

x

x=

y

y=

z

z=

2 = 16 3 = 27 4 = 1 u

5 = 5

u=

2. Resolver:

4

x/2

= 8

x=

8

y/3

= 32

y=

27

z/3

= 9

z=

16

u/4

= 64

u=

x

x=

y

y=

z

z=

u

u=

3

x=

6

5. Resolver:

y=

4

7 = 1/7

z=

6 = x 2 = y 3 = z 3

5 = u

u=

3 = 1/27

3. Resolver: 2

x=

3

y=

4

z=

5

u=

x = 49 y = 64 z = 16 u = 243

2 = 1/4

4 = 1/2

Aplica lo comprendido 1. Calcular: Log 100 + Ln e + Log 0,01 – Ln 1 2. Calcular: Log6 4 . Log2 6 Log3 5 . Log5 3

4. Reducir: 2 + log 5 45 log3 45 5. Calcular: log32 6 log16 6

3. Calcular: Log3 8 . Log7 5 . Log2 7 . Log5 3

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184

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Álgebra Aprende más 1. Relacionar: • La base del logaritmo natural es

A

cero

• El logaritmo decimal de 10 vale

B

diez

• El logaritmo decimal del logaritmo natural del número e vale

C

e

• Al sumar logaritmos decimales se obtiene un logaritmo en base

D

uno

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: Logb c

E=a

I. Si E=1 entonces a = 1 o c = 1

(

)

(

)

(

)

(

)

V. Si "b" se intercambia de lugar con "c" no se altera el resultado (

)

II. Si E = c entonces a = b III. Si E = a entonces c =

2

b

2

2

IV. Si "c" es igual a b el resultado es a

I. En el producto de logaritmos se puede cancelar la

de un logaritmo con

el número de otro logaritmo. II. En el logaritmo natural y el logaritmo decimal no se coloca la III. Al dividir el logaritmo natural de ” a ” entre el logaritmo natural de 10 se obtiene el logaritmo

de “ a”.

8. Calcular: Log3 5 Log5 10 Log7 2 + + Log3 10 Log7 10 Log5 10 a) 2 d) 3

b) 1 e) 1,5

c) 4

9. Si: x = Log2 5, expresar el equivalente de 1 x−1 d) x x−1

b) 1 x e) x + 1 x

a)

c)

1 x+1

10. Calcular:

^Log2 5h

5 +

a) 13 d) 5

^Log1115h

15

b) 12 e) 10

c) 14

b) 3 e) –1

c) 2

Log37 Log 2 −7 3 Log27

b) 3/2 e) 5/2

c) 3/4

b) 2 e) 1

b) 5 e) 12

3 a) 0 d) 1

12. Calcular: 2 c) 4

6. Calcular: 1 + 1 Log2 6 Log108 6

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c) 6

2

5. Calcular: Log 5 . Ln 100 . Log25 e

a) 6 d) 3

b) 2 e) 15

11. Calcular:

4. Calcular: Log3 4 . Log8 9 Log 4 125 . Log5 2

a) 10 d) 5

a) 3 d) 5

Log 2 en términos de "x".

3. Completar:

a) 1/4 d) 8/9

7. Calcular: ^1 + Log5 3h^1 + Log3 5h − Log5 3 − Log3 5

c) 2

4+Log34 6

+4

2+Log32

Log316

8

a) 18 d) 15 13. Calcular: 2 Ln 5 (4eLn) 4 5 a) 8 d) 9

b) 17 e) 32

c) 16

b) 10 e) 25

c) 14


185

32

Capítulo

14. Calcular: 1 1 1 + + 1 + Logx yz 1 + Log y xz 1 + Logz xy a) 3 d) 10

b) 1/3 e) 0,1

c) 1

15. La demanda "D" de un producto se relaciona con su precio de venta "p" con frecuencia mediante la ecuación: LogaD = Logac – K Logap; donde "a" "c" y "K" son constantes positivas, entonces: • Despejar "D" en esta ecuación: K

K

b) D=p.c a) D=c.p –K –K c) D=c.p d) D = p.c –c e) D=K.p • Para un precio de S/.10 con: c=1000; K=2, indicar el valor de la demanda: a) 1/10 d) 100

b) 1 e) 1000

c) 10

Practica en casa 1. Calcular: Log 1000 + Ln 2. Calcular:

e + Log 0,1 – Ln e

2

Log7 16 . Log8 7 Log9 6 . Log6 27

9. Si x = Log5 3, expresar el equivalente de Log15 3 en términos de "x". 10. Calcular: ^Log3 7h

7 +

^Log6 5h

5

3. Calcular: Log8 6 . Log3 10 . Log6 4 . Log3 4. Calcular:

Log8 9 . Log27 4 Log16 25 . Log125 32

6

5. Calcular: Log27 6 . Ln81. Log36 e

12. Calcular: 43+Log 8 + 82+Log 4 8Log 4

6. Calcular: 1 − 1 Log50 5 Log2 5

2 13. Calcular: 56Log 7 6 2

7. Calcular: ^2 + Log2 7h^2 + Log7 2h − Log2 49 − Log7 4

14. Calcular: 1 1 1 + + 1 + Log 4 36 1 + Log2 72 1 + Log18 8

8. Calcular: Log5 2 Log9 6 Log2 3 + + Log2 36 Log5 36 Log9 36

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186

Log53 Log 6 +3 5 1+Log53

11. Calcular: 6

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Log 6

15. Calcular:

Log6 3 Log 72 +3 6 Log6 2

2

3

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Álgebra Tú puedes y

x

2

1. Si: x . y = (xy) x ≠ y y x Reducir: + Log y x + 1 Logx y + 1 a) 0,5 d) 0

b) 1 e) 0,25

4. Calcular: Log (Log9 36) (Log6 3)

c) 2

2. Si Log14 28 = a . Calcular: Log 49 16 a) 2 (a − 1) 2−a

b) 2 (1 − a) 2−a

d) a − 2 1−a

e) 2 − a a

2

c) 1 − a 2−a

a) –36 d) 6

b) –1 e) 9

c) 3

5. Si Logab a = 3. Calcular: Logab ^ a 3 b h a) 1/6 d) 5/6

b) 2/5 e) 1

c) 2/3

2

3. Si: x + y = 1. Reducir: 1−y Log ` x j + Log c m 1−y 1+ y x−y+ 1 2 Log c m x+ y+ 1 a) 2 d) 0,25

b) 1 e) 4

c) 0,5

"Honra a tu padre y a tu madre, que es el primer mandamiento con promesa; para que te vaya bien, y seas de larga vida sobre la tierra" (Efesios 6:2–3)

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187

33

Capítulo

Logarítmos III Lectura: Música y logarítmos Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Supongamos que la nota do de la octava más baja, que representaremos por cero, está determinada por n vibraciones por segundo. El do de la primera octava producirá 2n vibraciones, el do de m-ésima octava producirá n.2m vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol será la 7ª, la la 9ª… la 12ª será de nuevo do, en una octava más alta, etc. Como en la escala cada nota tiene 12 2 más vibraciones que la anterior, entonces el número de éstas en cualquier tono se puede expresar con la fórmula Npm = n . 2m (12 2 ) p .Tomando logaritmos: log Npm = log n + `m +

p j log 2 12

Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se p tiene que log Npm = m + 12 En el tono sol de la tercera octava, 3 + 7 . 3'583, 3 es la característica del logaritmo del número de 12 vibraciones y 7/12 la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el número de vibraciones es 23'583 , que es 11'98 veces mayor que las del tono do de la 1ª octava.

En este capítulo aprenderemos Logarítmos III .. Definiciones. –– Cologarítmo –– Antilogarítmo .. Ecuaciones logarítmicas.

Colegios

188

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Definiciones

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189

33

Capítulo

Saberes previos

1. Calcular: Log2 8 + Log 4 16 = Log9 1+ Log3 9 = Log5 25 − Log25 1 = Log9 81 − Log3 3 = 2. Calcular: Log2 16 = Log2 4 Log3 9 = Log3 81

4. Completar: Log3 2 + Log9 5 = Log9 Log5 3 + Log125 2 = Log125 Log2 x + Log 4 x + Log16 x = Log16 Log7 6 − Log 49 2 = Log 49

5. Calcular:

Log2 4 . Log 4 16 =

1 Log2 4

=

Log3 9 . Log9 81 =

1 Log3 81

=

1 Log25 5

=

1 Log813

=

3. Calcular:

Log 2 7 7 = Log6 3 =

36

10Log 2 = eLn 6 =

Aplica lo comprendido 1. Calcular: x + y + z si Log5 x 2= ; Log3 y 4; Log2 z = 3 =

4. Resolver: log (Antilog (x+3)) = Colog 0,1

2. Calcular "x", si Logx + Log3 = Log 90 – Log 2

5. Calcular: Co log2 8 + Anti log3 4 + log 100

3. Calcular "x" si 10Log 2 + eLn x = 2012

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Álgebra Aprende más 1. Relacionar: • Logb x = a

A

x=b a

• Logx b = a

B

x=a

• Loga x = b

C

x= a b

• Logx a = b

D

x=b

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Colog 1000 = 3

( )

II. Antilog 2 5 = 32

( )

8

III. Ln e = e

8

( )

IV. Log52 x = Log5 x2

( )

3. Completar: I. En una igualdad de dos logaritmos se iguala los números siempre y cuando tengan la misma

.

II. El cologaritmo y el logaritmo en la misma base del mismo número suman III. El antilogaritmo decimal del logaritmo decimal del número p es igual a 4. Calcular

x + 1 si: Log3 (Log2 x) = 1

a) 1 d) 5

b) 3 e) 2

c) 4

5. Calcular: Log5(x +2) Log32

Log2x

+4

a) 1 d) 4

= anti log5 2

b) 2 e) 5

a

9. Indicar el producto de las soluciones al resolver: Log23 x = 4 a) 3 b) 4 c) 2 d) 6 e) 1 10. Indicar el producto de las soluciones de: 2 Log x + colog x = 6 a) 1 b) 100 c) 20 d) 0,1 e) 10 11. Indicar el producto de las soluciones al resolver: (Ln x + 1) Ln x = 12 a) 1/e 3 d) e

c) 3

6. Calcular Logx ` 16 j si: 9 Log336 + Colog3x = antilog31

b) e e) 1

2

a) 0,1 b) 0,001 c) 0,01 d) 100 e) 10 14. Indicar la suma de las cifras de la solución de: Log Log (x − 1) = 1 3

a) 11 b) 9 c) 10 d) 7 e) 8 15. La temperatura "T" en ºC de un objeto en el –2t momento "t" se expresa: T=75 e ; donde t: horas; T: temperatura en ºC; expresar "t" en función de "T" a) t = Ln

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Calcular: Log9 (0, 5 x) en Log3 6 = Log9 (2x) a) 2 b) –1 c) –2 d) –3 e) 1

c) e

12. Reducir: E = log0, 25 8anti log64 `co log8 ` 1 jjB 2 a) 1 b) –1 c) 1/2 d) 1/4 e) –1/4 13. Indicar la menor solución al resolver: 2 2 Log x–Logx =15

3

2

Si: 3

b

75 T 2

c) t = Ln ` 75 j T e) t =

b) t = Ln

T 75

2 d) t = Ln ` T j 75

Ln ` 75 j 7

8. Indicar la menor solución obtenida al resolver: 1 + Log5 x2 = Log5 40 − Log5 2 a) 3 d) –2 www.trilce.edu.pe

b) –3 e) 1

c) 4


191

33

Capítulo

Practica en casa

1. Calcular a + b + c, si: Log3 a 2= ; Log 4 b 1; Log6 c = 0 =

9. Indicar el producto de las soluciones al resolver 2 Log x – 9 = 0

2. Calcular "x" si: Log3 75 − Log3 5 = 1 + Log3 x

10. Indicar el producto de las soluciones de 2 Log x – colog x = 12

3. Calcular

x + 9 si: Log3 (Log 4 (Log2 x)) = 0 Log6 x

4. Calcular "x" si: 6

Log2x

+2

= 10Log 2000

11. Indicar el producto de las soluciones al resolver (Log x + 2) Log x = 3 12. Indicar la suma de las soluciones al resolver: Log2x

x 5. Calcular Log (x – 10) si: eLn 8 + Anti log 2 = 10Log x + co log 100

= 16

13. Indicar el producto de las soluciones al resolver Log23 x − Log3 x3 = 10

6. Calcular Log2 (x + 2) si: Co log2 Anti log2 6 + Log3 Anti log3 x = Log x + co log x

7. Calcular Log2 (0, 5 x) en Log5 8 = Log25 (4x)

14. Indicar la suma de las cifras de la solución de Log 4 Log3 x − 1 = 0 15. Calcular "x" al resolver: 100Log x−2 = 1, 44

8. Indicar la menor solución obtenida al resolver: 2 + Log3 x2 = Log3 72 − Log3 2

Tú puedes x

1. Hallar "x" en Logx 4 125 = 3 2 a) 1/5 d) 5

b) 2 e) 25

c) logx 81

2. Calcular el valor de "x" en: 3 a) 1 d) 1/9

b) 3 e) 1/27 x

5

=x

c) 1/3

x

x

3. Resolver: 4 = 2( 14 ) + 3(49 ) a) log7 3 c)

Log 3 Log 2 − Log 7

b) log2 7 d)

Log 7 Log 3 + Log 2

y

4. Dado el sistema: 10 +10 = a x − y = Log c a + b m a−b x

Calcular: 10 – 10 a) 2a d) 2b

y

b) a e) a–b

c) b

x 5. Resolver: ab = c

a) loga a

b) logb (loga c)

c) loga (logc a)

d) logac b

e) log (logb ac)

e) Log 3

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