PRODUCTOS NOTABLES Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo, sin necesidad de efectuar la operación.
1.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b) 2 = a2 - 2ab + b2
Identidad de Legendre I ! (a + b) 2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) I2 ! (a + b)2 – (a – b) 2 = "ab
2.
DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b) (a – b) = a 2 – b2
3.
DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO (a + b)# = a# + #$2 b + #ab2 + b# (a – b)# = a# – #a2b + #ab2 – b#
Relaciones particulares (a + b)# + (a – b) # = 2a (a2 + #b2) (a + b)# – (a – b) # = 2b (#a2 + b2)
S u b – Áre a : Á l g e b r a
3º Secundaria
4.
SUMA ! DIFERENCIA DE CUBOS (a + b) (a2 – ab + b2) = a# + b# (a – b) (a2 + ab + b2) = a# – b#
5.
IDENTIDADES DE STE"IN (% + a) (% + b) = %2 + (a + b)% + ab (% + a) (% + b) (% + c) = %# + (a + b + c) % 2 + (ab + bc + ca)% + ac (% – a) (% – b) (% – c) = % # – (a + b + c)% 2 + (ab + bc + ca) % – abc
6.
IDENTIDAD TRIN#MICA DE AR$AND
% 2m
%m &n
& 2n % 2m
%m&n
& 2n
% "m
% 2m & 2n
& "n
For%as For%as particulares %&s usuales Si! m = ' n = %2
%&
&2 %2
%&
&2
%"
% 2&2
%
%"
%2
&"
Si! m = , n = %2
7.
%
%2
IDENTIDAD DE LA$RAN$E a2
b2 % 2
a2
b2
&2
c2 %2
a% b& &2
)2
2
a& a%
b&
b%
2
c)
2
a&
b%
2
b)
c&
2
a)
c%
2
ACTI"IDAD EN AULA S u b – Áre a : Á l g e b r a
3º Secundaria
. Si! a2 + b2 = 2' ab = 2 *allar! = a + b ( ) a) 2 d) "
3. 4alcular 6m7 entero positi8o de tal forma que! 3%3 + (m –2) %# &" + "0&1
b) c) –" e) dos respuestas
sea un trinomio cuadrado perfecto. 2. Si! a + b = ' ab = # *allar! = a – b ( ) a) d) /
b) e)
a) 3 d) 2
#
/. 4alcular!
E =
= (%2 – "% – )2 – (%2 – "% – 2)2 – 2(% – 2) 2 b) –# e) -
c)
b) ( e) " 3
a) " # d) # #
%2
b) e)
+
e
− x
)
2
−
(e
x
−
e
− x
)
2
"
b) 2 e) e2
c) "
1. 9educir! = (% - &) (% + &) (% 2 + &2)(%" + &") + 2&1
c) 2
Si! %
. Sabiendo que!
4alcular! 5 =
x
donde! e = 2,/12.....
a) d) 2
%+& = " # %& = 2 # - #
(e
a) d) e
". Sabiendo que! a + b = 1 & ab = *allar! = a – b a) 2 3 d) "
c) 1
c) /
#
#. Simplificar!
a) d) –0
b) " e) 3
1
#
;
b) -2 e) –
&
1
#
c) 2 #
2
&2
2
c) 2 2
#
ACTI"IDAD
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
. 4alcular! . fectuar! =:(%+#) (# –%) 3 (% + 2) (% –2);
.
= (%+ & + ) (% + & - ) + (% +&+) (-%-&+) a) d) "
b) 2 e)
c) # a) c) %& e) "%&
b) %& d) %& + % + &
2. 9educir! = (2% + )2 + (2% – )2 – 2 a) 1 d) "%2
b) e) 1%2
c) "
3. fectuar! = (% + ) (% +#) + (% + 2)(% + 2)–2% 2 –/–% a) "% d) 2%
b) 2 e) –2%
c) #%
#. 4alcular el equi8alente de! = ("a + b)2 + ("a-b) 2 – 2(1a2+b)2 a) "a2 + b2 d) "a2 – b2
b) 3aa e) 2b2
c) 1a2
/. 4alcular! = (% + ") (% – 2) + (% – 3) (% + ") – 2%2 a) 3 d) -#2
b) -3 e) #
c) 2"
". *allar! = (2%2 + &#)2 + (2%2 – &#)2 – 1%" a) &3 d) –2&3
b) 2&3 e) "&3
c) –"%"
1. 4alcular! = (% + #) (% + 2) – (% + /) (%-2) + (% + 0) (% – ") – (% + ") (% + ) a) -21 d) -"
b) -2" e) -2
c) "
UU nn f r a cc aa ss oo dd ee bb ee f r a seruna seruna exhort aci ónpara exhort aci ónpara re a l i z a r co nn real i zar co sagaci daduna sagaci daduna nn uu ev a t e n t a t i v a .. evat en t a t i va
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
ACTI"IDAD EN AULA . Si! %2 + % + = a %–=a *allar! +
a) a d)
3
%#
. Si! (a + b + c + d)2 = "(a + b)(c + d) ncontrar el 8alor de!
b) a- e) a2
c)
a
E =
2 − (a + b)
( c + d ) 2 ( a + b )( c + d )
a) " d) #
2
+
b) e) 0
c) /
2. Si! %# + &# = 21' además! %& (% + &) = 2 3. 4alcular! 4alcular! 5 = % + & a) 2 d) –2
<=
b) # e) –#
%
2
Si! % =
c) "
2%
#
"
2
% %
2
%
"
%
2
2
a) d) #
b) # e)
c) "
2
#. fectuar! /. Sabiendo que! #
%2
#
(%+#) (% – #) + (% + ) – % – % ("%+)+0-2% a) d) "
b) 2 e)
c) #
a) 2 d)
b) 3 e)
2
%
4alcular! +
a) 2 d) 2
". Si! %2 + &2 = ' %& = 2 *allar! %3 + &3
%
%2
%
b) 2 2 e) "
c)
c) 3 1. *allar el equi8alente de! =
a) 2 d) 3
#
-"
#( #
b) # e)
#
-"
#( #
c) "
ACTI"IDAD
. fectuar!
Sub – Área: Álgebra
(%+&+2)2 + 2(%+&+2) (%-&-2)+(%-&-2)2 – "%2
3º Secundaria
b) %2 e) >%
a) d)
c) "%2 a) –1 d) –2/
b) 2/ e) 1
c) 0
2. 4alcular! #2
+
#2
2
2
a) #2 d) "
"
2
1
3
2
b) 3 e) 2
c) 1
%# +
#. 4alcular! .
%
2
Si! % =
%
/
2
#
%
%
2 %
#
%
"
2
c) 2 #
a) 0 d) 2
%#
b) e) 2/
c) 1
2
a) d) #
b) # e)
/. fectuar! (% + ) (%2 + % + ) (% - )(%2 – % + ) - %3 a) d) –2
". Simplificar! # #
a) d) " . Si! a + b = #' *allar! a# + b#
=# % 4alcular!
3. Si! % +
"
2
#
#
2
b) 2 e)
b) 2 e) –
c)
1. fectuar!
3
%
#
2 %2
#
2%
#
" %#
2
"
c) # a) %# + 2 d) 2
b) % e)
c) % + 2
ElElmundo mundoprogresa progresamenos, menos, porque los hombres buscan porque los hombres buscan apoyo apoyoen enlos losdemás demásyyno noen en sísímismos. mismos.
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
DI"ISION NO AL$EBRAICA DE POLINOMIOS sta di8isión e%i?e condiciones especiales! a) 5plicamos el m@todo de *orner con el ordenamiento de los polinomios ascendentemente. b) l cociente obtenido posee infinitos t@rminos. c) l resto se Aace tender a cero. d) BicAa di8isión es 8álida para ciertos inter8alos de la 8ariable. Cemplos! -
Unf r ac asodebe Unf r acasodebe seruna seruna e x ho r t ac i ó npar a e x ho r t ac i ó npar a r e al i z arc o n r e al i z arc o n sagac i daduna sagac i daduna nue v at e nt at i v a. nue v at e nt at i v a.
Bi8idir entre – % 9esolución! Dor *orner
↓
-
............ ............
= + % + %2 + %# + E.' -% F%FG
Bi8idir entre – "% + "% 2 9esolución! Dor *orner " -"
"
"
-" 3 -3 "1 -"1 2 #2
......... .........
.........
= + "% + 2%2 + #2%# + E.' -"% + "%2 F%F G 2 2 Bi8idir 2% – #% + # entre "%# – % + 9esolución! Dor *orner
-
-"
#
-# #
OBSERVA OBSERVA
2
......... -2 2 -1 # 2 - ......... 2 2 # 2% – #% + # = # + 2% - % + E.' "%# – % +
¡Mira ¡Miraque quefácil! fácil!
s la operación que tiene como obCeti8o calcular una e%presión llamada cociente (q) & otra llamada residuo (9 ), conociendo otras denominadas di8idendo (B) & di8isor (d).
Es'ue%a cl&sico B d
Sub – Área: Álgebra
Se conoce
!B&d
3º Secundaria
9q
Dor conocer ! q & 9
Se cumple! B = dq + 9
PROPIEDADES . l ?rado del cociente es i?ual al ?rado del di8idendo menos el ?rado del di8isor. H = BH - dH
2. l ?rado má%imo del resto es el ?rado del di8isor disminuido en uno. 95 = dH -
9H5 Jrado má%imo del resto
#. Ka propiedad fundamental de la di8isión en el ál?ebra forma una identidad. B=d +9
". Si la di8isión es id@nticamente nulo.
e%acta,
el
resto
es
un
polinomio
9=
ESFUÉRZATE ESFUÉRZATEPOR PORSER SER MEJOR CADA DÍA. MEJOR CADA DÍA. ELELTRUFO TRUFOESESTU"O. TU"O.
Cemplo!
1H B d
%1 + %" + 2% – # %2 + % – /
qH = 1 – = # 9H5 = – = "
H
DI"ISION ENTRE POLINOMIOS Dara todos los m@todos es necesario que el di8idendo & el di8isor est@n ordenados & completos (o al menos ten?a esa forma).
M(todo de )orner Dara este m@todo sólo se utilian coeficientes, empleando el si?uiente esquema! con su mismo si?no
d
B I
Sub – Área: Álgebra
I B
L B M
Tr i unf an Tr i unf an sól o s ó l o q ui e ne ss e q ui e ne ss e at r e v e na at r e v e na at r e ver s e. at r e v e r s e . 3º Secundaria
4on si?no cambiado
i 8 Ii s o r 4 M 4 I L N 9SNM
O*ser+aci,n -
-
Kos lu?ares en que se indica Bi8idendo & di8isor se colocan sólo coeficientes. n el caso del di8isor la letra 6d7 simbolia el primer coeficiente del di8isor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con si?no cambiado. Ka lOnea que separa el cociente del resto se traa de acuerdo al ?rado del di8isor. s decir, se cuenta de derecAa a iquierda tantos lu?ares como lo indica el nPmero que representa el ?rado del di8isor. Cemplo!
Bi8idir! " % -"% + 1%# + 3%2 – % +
2%2 – 2% + " Solución! 5plicando *orner! 2
2
-"
1
-2
-"
3
3
#
-2 -3
-
-#
4oef. del cociente
-3
2 -2
2"
-
#
4oef. del resto
Ka 8ariable se a?re?a de acuerdo al ?rado del cociente & del resto.
LAPACI ENCI AES LACLAVEDEL ÉXI TO.
Se tiene! qH = #' 9H5 = q = %# + #%2 – #% – 3 9 = % + #
ACTI"IDAD EN AULA ) Beterminar 6a + b7' si la di8isión!
Sub – Área: Álgebra
#%" – % # + a% + b %2 + % –
3º Secundaria
#%2 – #% – / deCa como residuo! % + / es e%acta. a) 21 d) 3
b) 2" e) 2
c) 2 a) d) "
2) n la si?uiente di8isión!
2%" – 2%# + #%2 + 5% – < 2%2 + #% +
deCa como resto! 2% + # b) 2 #
deCa como resto! "% + c) >2
a) " d) "1
b) "3 e) L.5.
c) "/
/) 4alcular 65 + < – 47, si la di8isión! 1% + "% # + 5%2 +<% + 4 2%# + %2 + #
#) *allar el residuo lue?o de di8idir! 1%3 – 0% " – 2% 2 –" %2 – 2 a) b) 2 d) " e) L.5.
c) #
3) 4alcule 65 + <7, si la di8isión!
22 + / # + 32 + 5% + < 2%2 + #% – "
a) d) >#
b) 2 e) L.5.
deCa como resto! % 2 + % + / c) # a) 1 d) /
") Beterminar 6m + n7, para que la di8isión! 3%" + 3% # + 2%2 + m% + n #%2 + 2% +
b) 0 e) L.5.
c)
1) Si al di8idir! "%" + 3% # – 2% 2 + a% + b %2 + 2% – 2
sea e%acta. a) / b) 1 c) 0 d) 2 e) L.5. ) Betermine 6p – q7, si la di8isión! 3%" – 1% 2 + p% + q
deCa un resto! -2% + 2, Aallar 6a – b7 a) –2 b) c) 2 d) e) –
ACTI"IDAD
. 5l di8idir! 3%3 + #% – /%" + % 2 – 1% + 2%# + #%2 +
Sub – Área: Álgebra
•
SeQalar el coeficiente! a) #%# + 2%2 + % + 2
3º Secundaria
b) c) d) e) •
%# + 2%2 + % + 2 %# + %2 + % + %# - 2%2 + #% - 2 1%2 + % + #
SeQalar el residuo! a) %2 + 2% + 2 b) #%# + 2%2 + % +2 c) 1%2 + % + # d) %2 – % + e) 2
" + # # + 2 2 + - 2 – # + a) 2 + d) –3 3.
b) –2 e) " – 3
c) "
*allar 65 + <7, si la si?uiente di8isión! %" + #%# + 2%2 + 5% + b 2 + #% – 2 es e%acta.
2. l coeficiente del t@rmino lineal del cociente es! a) b) 2 c) # d) e) " #. Ka suma de coeficientes del cociente! a) " b) / c) 3 d) e) 1
a) b) 2 c) # d) " e) /. 4alcular 6m + n + p7 si la di8isión! 3& – /&" + /& # + m& 2 + n& + p #&# – "&2 + & – / es e%acta.
". *allar el cociente de la si?uiente di8isión! #
a) 22 b) 1 c) / d) 2 e) 21 1. n la si?uiente di8isión e%acta!
2
& + & – /& + &2 + 2& – # a) & + c) & + # b) & + "
b) &2 + # d) –& + "
2m" – "m# + am2 – m + b m2 – m + 2 calcular 6a + b7 a) 2 d) 1
b) # e) 0
c) 0
. *allar el residuo de la di8isión!
“ L a l e a l t a ddcc oo nn s t i t u y e e l má ss ss aa gg rr aa dd o b i e n “ L a l e a l t a s t i t u y e e l má o b i e n d e l c o r a z ó n h u ma n o ” . delcor azónhumano” .
METODO DE RUFFINI - TEOREMA DEL RESTO
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
M(todo de Ru.ni Se aplica cuando el di8isor es un binomio de primer ?rado de la forma! a% + b. 5l i?ual que en *orner, utiliaremos sólo coeficientes, cumpliendo el si?uiente esquema!
L
B I I B L B M 4M4ILN 9 alor de 6%7 al i?ualar el di8isor a cero
Cemplo! Bi8idir! #% – 2% " + /% # – %2 + % + %–2 Solución
Dor 9uffini! %–2= 2
#
-2 3
/ 1
- #
"
0
#
#1 "#
13
9esto
1/
coeficientes del cociente 4omo! qH = – = " q = #%" +"%# + %2 + 0% + "# 9 = 1/
O*ser+aci,n Si el di8isor! a% + b, a ≠ , lue?o de di8idir por 9uffini, los coeficientes del cociente deben di8idirse entre 6a7 para obtener el cociente correcto.
Cemplo! Bi8idir! #%" + % # – /%2 + 1% + / #% –
Solución! Dor 9uffini! #% – = >#
# ↓
-/ 2
1 -
/
3 ↓ 2
- ↓ -
# ↓
1
÷#
# ↓
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
coeficientes del cociente 4omo! qH = " – q = %# + 2%2 – % + 9=1
Teore%a del resto Se utilia para calcular el resto sin tener que efectuar la di8isión, se aplica cuando el di8isor es un binomio de primer ?rado de la forma! a% + b & en al?unos casos especiales.
Regla Dara calcular el resto, se i?uala el di8isor a cero, se calcula el 8alor de la 8ariable (siempre que el di8isor sea de er ?rado) & el 8alor obtenido se reemplaa en el di8idendo. l resultado obtenido es el res to. Cemplo! 4alcular el resto en! % + #% – %–2 Solución N. 9esto! % – 2 = % = 2 ⇒ 9 = 2 + #(2) – 9 = ##
Ha yy qu i e n es Ha qu i en e, s, i ncapacesdeel evarse i ncapacesdeel evarse uncent í met r o, uncent í met r o, t r a t a n d e l e v a n t a r e t r atandel evant as r se sobr el arui nade sobr el arui nade ot r o s . otros.
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
ACTI"IDAD EN AULA ) *allar 6a7 en la di8isión e%acta. %" + 3% # – 1% + a %+# a) " b) –" d) –# e) –2
2) *allar el resto en! (% –") 1 + (% – ") 3 + %– a) b) # d) – e)
) *allar el coeficiente lineal del cociente, en la di8isión! 2% + "%# – 2% + %–# c) # a) d) 33
c2
b) –3 e) –
3) *allar el coeficiente cuadrático del cociente, en! % + %# –% %+ a) # d) 2
#) 5l di8idir obten?o como resto el menor nPmero primo! 3%" – "% # + %2 + % –2$ #% +
c) –33
b) e) –2
c)
/) *allar el resto en! 2%0 – #% 3 + %# + %#-
Aallar 6a7. a) – # 2 d) 2
b)
c) –
e) – 2
a) d) –
b) 2 e) –2
c)
1) *allar el residuo, en! -#% + 3% –# % +
") n la di8isión! 2%" – #% # + 2a%2 – #a %+ a) # d) –2
b) 2 e) –
Sub – Área: Álgebra
a) d) 3
b) " e) 1
c)
c)
3º Secundaria
ACTI"IDAD ) *allar el residuo en la si?uiente di8isión "
2
#
% – 3% – % + /% – 1 % – 2 a) 3 d) –"
b) e) L.5.
c) –
) *allar el resto & el coeficiente ma&or del cociente, en la di8isión! a) # & # d) # &
b) #2 & 3 e) & –
c) # &
3) 4alcular el resto en! 2) n el si?uiente esquema de 9uffini! " R 3 R 1 R -" R - R R
R
R
R
3
*allar la suma de coeficientes del cociente. a) b) 2 c) # d) " e) L.5.
(% – 2)1 + (% + ) " – 3 %– a) d) 3
b) 2 e)
c) #2
/) *allar la suma de coeficientes en la si?uiente di8isión! 2 %(%2 + ) – #% (% – ) + 2 %–2
#) 4alcular el resto en! 1%" + 1%# + a% 2 + b% + c 2% + #
a) –1 d) 3
b) –/ e)
c) 1
son nPmeros consecuti8os & el residuo es –1' calcular 6a + b + c7 1) 4alcular el resto en! a) 3 d) 22
b) 1 e) L.5.
c) 2 (% + )2n – (% + )n – # %+2
") *allar el resto en la si?uiente di8isión! 6n7 es impar. #
% + #% – %–2 a) d)
b) – e) –
a) – d) 2
b) e)
c) –2
c)
Elhombr enodebepensarenl oquel edano Elhombr enodebepensarenl oquel edano l epr e s t an,s i noe nl oquepo rs imi s moesy l epr e s t an,s i noe nl oquepo rs imi s moesy porsupr opi oesf ue r z oadqui er e. pors upr opi oes f uer z oadqui er e.
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
5l e%presar 2" = # . 1 se Aa factoriado 2" en producto de enteros' siendo # & 1 factores enteros de 2". 5 su 8e 2" = #. 2#' # & 2 son tambi@n factores de 2" & se llaman factores primos. 5l e%presar un polinomio como el producto de otros polinomios pertenecientes a un conCunto dado, se Aa efectuado una factoriación de polinomios. Lo todos los polinomios se pueden factoriar. Be acuerdo a las caracterOsticas que presentan los polinomios se puede aplicar tal o cual m@todo, por eCemplo!
a%2&2 + b%&# + c%#m&" 2n n m 2m 5% + <% & + 4& 2n n m 2m n m 5% + <% & + 4& + B% + & + 5%"n + <%#n + 4%2n + B%n + # 2 5% + <% + 4% + B
actor comPn 5spa simple 5spa doble 5spa doble especial Bi8isores binómicos
ntre otros casos particulares. 4omience factoriando cada uno de los polinomios! • • • • • • • •
%2&2 + %&# + %2& 2"%2&2 + 3%&# + #2%#m&" – 3"%#& 0ab + 2bd –"ac – 3cd 2m2 – 30n2 23p1 – q1 "%2 – 2%& + 0&2 #%2 – %& – #&2 %" – 22%2 – /
para saber cómo estamos comenando en este mara8illoso tema que es la factoriación.
De/nici,n s un proceso mediante el cual, un polinomio se e%presa como la multiplicación indicada de factores primos. Dara lle8ar a cabo este proceso se usarán di8ersos criterios, como! - l factor comPn - Identidades - 8aluación
- 5?rupación de t@rminos - 5spas
Factor pri%o s aquel que no se puede factoriar más' es decir son aquellos polinomios de ?rado positi8o que no se pueden e%presar como una multiplicación de factores de ?rado positi8o. 5sO por eCemplo! • • •
(%) = %2 – "' no es primo' porque se puede e%presar como! (% – 2) (% + 2) (%) = % – 2! si es primo' porque no se puede factoriar. J(%) = #% – 3' si es primo' porque al obtener #(% – 2), percátese que # es de ?rado cero.
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
Se dice que la factoriación se realia en Ζ cuando los factores primos obtenidos presentan Pnicamente coeficientes enteros' mientras no se indique al?una aclaración la factoriación sólo se realiará en . Cemplos! . actoriar! (%) = %2 – 2 9econociendo una diferencia de cuadrados obtenemos! (%) = (% – ) ( % + ) 2. actoriar! J(%) =%2 – # Biremos! 6no se puede factoriar, es primo7' en cambio si el enunciado fuera! actoriar en 9, entonces! J(%) = (% - √#)(% + √#) Lótese que la 8ariable no está baCo el si?no radical' ambos factores son de primer ?rado & esto es correcto.
O*ser+aciones ) Nodo polinomio de primer ?rado es primo. Dor eCemplo! "% – #' % + & + 2) Dara reconocer si un polinomio es primo en , no es suficiente con a?otar los recursos necesarios' a 8eces se encuentran en un artificio de 6sumas & restas7. %" + "%2 + " – "%2 N.4.D. 2 = (% + 2)2 – (2%)2 diferencia de cuadrados = (%2 + 2 + 2%) (%2 + 2 –2%)
Dor eCemplo! (%) =
I.
Criterios di+ersos Factor Co%0n.- Se denomina asO al factor repetido en 8arios t@rminos' para lo cual se eli?en las bases comunes afectadas al menor e%ponente. 5sO! "%#&" – %2& +/%"&/ Se obser8a! (%2&") como factor comPn. Kue?o factoriando tenemos! 2&"("% -+ & + /%2&#)
II.
Identidades.- s la aplicación inmediata de al?unos productos notables como! A1Di2erencia de cuadrados 52 – <2 = (5 + <)(5 – <) 5sO, al factoriar! 0%2 – 3 9econocemos! (#%)2 – (")2 Kue?o! 0%2 – 3 = (#% – ")(#% + ")
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
B1 Di2erencia de cu*os 5# – <# = (5 – <)(52 + 5< + <2) 5sO, al factoriar! 2/n# – 1 9econocemos! (#n)# – (2)# Kue?o! 2/n# – 1 = (#n – 2)(0n2 + 3n + ")
C1 Su%a de cu*os 5# + <# = (5 + <)(52 – 5< + <2) 5sO, al factoriar! 1n3 + 9econocemos! (2n2)# + ()# Kue?o! 1n3 + = (2n2 + )("n" – 2n2 + )
D1Trino%io cuadrado per2ecto 52 + 25< + <2 = (5 + <) 2 52 – 25< + <2 = (< – 5) 2 = (5 - <)2 5sO, al factoriar! 0" + 32 + Lótese! (#%2)2 + 2(#%2)() + ()2 Kue?o! 0" + 32 + = (#% 2 +)2 actoriar! 2&" – 2&2 + " Lótese! (&2)2 – 2(2)(2) + (2)2 Kue?o! 2&" – 2&2 + " = (&2 – 2)2
31
Agrupaci,n
4onsiste en seleccionar con8enientemente los t@rminos de tal manera que se ?enere al?Pn factor comPn o al?una identidad. 5sO, al factoriar! a – a2b1 + a1b2 – b Los percatamos que no Aa& factor repetido en todos los t@rminos' pero si a?rupamos de dos en dos obtenemos! a2(a1 – b1) + b2(a1 – b1) actor repetido! a1 – b1 Kue?o! (a1 – b1)(a2 – b2) 4ontinuamos! (a" + b")(a2 + b2)(a + b)(a - b)(a2 + b2) Se usó repetidas 8eces 6diferencias de cuadrados7. (a" + b")(a2 + b2)(a + b)(a - b)
Lac onfianzaensími smo, eselsec r e t odeléxi t o.
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
ACTI"IDAD EN AULA
. 5l factoriar!
. Bespu@s de factoriar! ac"%"& – ab"c"&
a2%2 + b2&2 – b2%2 – a2&2
T4uántos factores primos se obtienenR
indicar un factor primo.
a) d) /
a) % + & d) % + a
b) 3 e) #
c) "
b) % + b e) % – a
c) & + b
3. actoriar! 2. Bespu@s de factotiar! ("% + #&)2 – (% – &) 2 %" – e indicar un factor. seQalar el nPmero de factores primos. a) d) "
b) 2 e)
a) % + "& d) #% + "&
c) #
b) #% + 2& e) % + #
c) 2% + &
/. actoriar! #. *allar el nPmero de factores primos de! %#&2 +  – %#2 – & a%2 + b%2 – a&2 – b&2 a) b) d) " e) 2
c) #
seQalar un factor primo. a) % + & d) %2 – % + &2
". T4uántos factores primos se obtienen al factoriar! a"m + a"n – b"m – b"nR a) 2 b) # d) " e)
b) & + c) & + 2 2 e) % – %& + &
1. actoriar! a2(b – c) + b2(c – a) +c2(a – b)
c) a) b) c) d) e)
(b – c)(a – b)(a –c) (a + b)(a + c)(b + c) (a + b)(a – b)(a + c) (a + b + c)(ab + ac + bc) L.5.
ACTI"IDAD Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
. actoriar los si?uientes polinomios!
". actoriar!
a.
m% + n%
a.
– %2
b.
a& + b&
b.
3 – &2
c.
cm – dm
c.
a" – &2
d.
%2a + %2b
d.
"%2 – b2
e.
m#& + m#t
e.
–a2 + b2
f.
a#% – a2&
f.
2%2 –0&2
?.
a2% + a&
?.
(% +#)2 – 3
A.
a# + a2 + a
A.
(2a+ )2 – 2
2. actoriar los si?uientes polinomios!
. SeQalar el nPmero de factores primos de cada
a.
(% – &)a + (% – &)b
b.
(a + b)m2 + (a + b)n
c.
(% + &)a# + (% + &)b2
a.
d.
(a + 2b)%" + (2b + a)&#
a)
b) 2
e.
(m2 + n2)%2 + (m2 + n2)&2
d) "
e)
f.
(a + b + c)% + (a + b + c)&
?.
(m# + n")a" – (m# + n")b#
b.
A.
(%" – a)#&2 – (%" –a)(& – )
a)
b) 2
d) 3
e)
factoriación!
D(%) = (% – #)(% –2) (% – )(% – ) c) #
U(%) = (% + )2(% + 2)#(% + #) c) #
#. actoriar! a.
a% + b% + %2 + ab
c.
b.
m2 – mn – mp + np
a)
b) 2
c.
a% + b% + c% + a& + b& + c&
d) "
e)
d.
%2&2 + %#&# + % + &
e.
%/ – %"&" – %#&# + &/
Sub – Área: Álgebra
d.
(%) = %(% + )(% - 2)(% - /)0(% – ) c) #
(%) = 2%#(% + )(%2 – )" (% + )
a)
b) 2
d) "
e)
c) #
3º Secundaria
Aspa si%ple Se utilia para factoriar particularmente polinomios de la forma a% 2n + b%n + c' o que se amolden a dicAa forma.
Proceso . Bescomponer los e%tremos. 2. erificar que la suma de productos en aspa sea i?ual al t@rmino central. 5sO, al factoriar! %2 – /% + 2 Bescomponemos! %2 – /% + 2 %
-#
%
-"
erificando! #% – "% = - /% Kue?o, los factores se forman Aoriontalmente! (% –#)(% – ") Criterio de e+aluar Se usa básicamente para factoriar polinomios de ?rado ma&ores o i?uales a #.
Proceso 4onsiste en e8aluar usando el esquema de 9uffini, asO dado un polinomio (%)!
4oeficiente del polinomio (%)
%=a di8isión e%acta
4ociente
Kue?o! (%) = )% – a)q(%) 5l 8alor 6a7 se denomina cero del polinomio.
1
-1
0
-4
2
2
"
2
Cemplo! %# – %2 – "' si e8aluamos en % = 2, tenemos! %=2
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
Kue?o! %# – %2 – "' se puede e%presar como! (% – 2)(% 2 + % + 2). Lótese que está factoriado. Importante es saber en qu@ 8alores podemos usar el esquema' entonces 8eamos! . Si el primer coeficiente es la unidad (polinomio mónico), se trabaCa con los di8isores del t@rmino independiente. 5sO, al factoriar! %# + #%2 – % – 3' notamos que es mónico, lue?o planteamos! + (' 2' #' 3). Drobando! 1
%=2
3
-1
-6
-2
-2
3
-#
di8isión e%acta
Kue?o (% + 2)(%2 + % – #) 2. Si no es mónico el polinomio, ,usaremos opcionalmente! + di8isores del t@rmino independiente di8isores del coeficiente principal 5sO, al factoriar! 2%# + %2 + % – Dlanteamos, lue?o! + '2 5l usar el esquema, una 8e a?otados los 8alores enteros! (' -) no ?enera di8isión e%acta, entonces probamos!
2
% = >2 2
1
1
2
2
-1
VimportanteW Bi8isión e%acta
inalmente! % – (2%2 + 2% + 2) = 2% – 2 2
2(%2 + % + ) = (2% – )(%2 + % + )
E4EMPLOS Pro*le%as para la clase Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
. actoriar por aspa simple! •
%2 + /% + 2
•
%2 – 0% + 1
•
%2 – "% – #2
•
%2 + "% – 2
•
2 + m2 – m
•
&2 – 2/ – 3&
•
n" + n2 – 3
•
p3 – 3p# +
•
– – 2
•
3%2 – /% + 2
•
"$2 + 20$ -
•
#%/ + %" –
•
#$2 + ab – 2b 2
•
%" + %2& – 3&2
•
%2& + %" – 3&2
•
2m1 – /m"n + 2n2
•
"a/b2 + /a" – 3b"
•
3%2&" + /%&2 – 2
•
%2a + 0%a – 1
•
"%2a + 2 – %a + -
2. actoriar por aspa doble! •
%2 + 2%& + &2 + #% + #& + 2
•
a2 + ab -2b2 + bc – 2ac – c2
•
/bc + 2a2 – #ab – #c 2 – 2b2 – ac
•
%2 – /%& – "% + &2 – & + #2
•
m2 – 2n2 + 3p2 – mn + mp – np
•
2%2 + "%& – % – 3&2 + /& +
•
2%2 – %& + % – 3& 2 + #& –
•
2m2 – mm + 2n 2 -#n – 2
•
2%2 + #%& + %& – 2&2 – #& – 2
•
3a2 – ab – b2 + b – 3
Sub – Área: Álgebra
3º Secundaria
ACTI"IDAD EN AULA . actoriar! 2%2 + /%& - 2&2 + 2% + & –2
#. actoriar! 3%2 – /%& + 2&2 + 2% – /& + 3
indicar la suma de los t@rminos independientes de sus factores primos.
la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es!
a) d) -#
a) # d) 0
b) - e)
c) #
2. actoriar! 2%2 + 2%& + 1&2 - 2% - & + # la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es! a) " d) /
b) e) 0
c) /
". T4uántos factores primos lineales se obtienen al factoriar! "%"& + "& – /%2&R a) d) "
c) 3
b) e)
b) 2 e)
4) #
ACTI"IDAD . Xno de los factores que se obtiene al factoriar! (%" – ) – (%2 + #) es! a) % – 2 b) %2 + c) % + d) %# + 2 e) 2% + 2. T4uántos factores primos se obtienen al factoriar! %#& – %2&2 – 3&#%R a) d) "
b) 2 e)
c) #
#. *allar la suma de los t@rminos independientes de los factores primos de! D(&) = "&2 + &" – a) d) #
b) 3 e) L.5.
c) /
". T4uántos factores primos de se?undo ?rado se obtienen al factoriar! 0m3 + 23m" – #m2R a) d) "
b) 2 e) L.5.
Sub – Área: Álgebra
. T4uántos factores primos lineales se obtienen al factoriar! D(%) = "%2&2 + 2%&# + 0&"R a) b) 2 c) # d) " e) L.5. 3. T4uántos factores primos de se?undo ?rado se obtienen al factoriar D (%)R D(%) = 2%3 – %" + %2 a) b) 2 c) # d) " e) /. SeQalar un factor de! (%' &) = %2 + 2#%& + 2&2 +23% + 2& + 2 a) #% + "& + c) 2% + #& +" e) 2% – #& + "
b) 2% + & + # d) 2% + #& +
1. actoriar! D(%' &) = "%2 + #%& +&2 +1% + 2/& + 1 a) % + /& + 0 c) % + #& + / e) "% + 3& + /
b) % + "& + 1 d) "% + /& + 3
c) #
3º Secundaria
